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Proseminar – Computer GraphicsProseminar – Computer GraphicsSabrina EllermeierSabrina Ellermeier

computer graphics & computer graphics & visualizationvisualization

Geometric Geometric RepresentationRepresentation

Wintersemester 2005/06Wintersemester 2005/0627.10.200527.10.2005

Proseminar – Computer GraphicsProseminar – Computer GraphicsSabrina EllermeierSabrina Ellermeier computer graphics & computer graphics &

visualizationvisualization

GliederungGliederung1.1. Grundlagen: Geometric RepresentationGrundlagen: Geometric Representation

2.2. Direkte DarstellungsschemataDirekte Darstellungsschemata

3.3. Indirekte DarstellungsschemataIndirekte Darstellungsschemata

4.4. Topologische StrukturTopologische Struktur

5.5. Datenstrukturen in der HardwareDatenstrukturen in der Hardware



Definition: Geometric RepresentationDefinition: Geometric Representation- Geometric Representation ist die Darstellung von Geometric Representation ist die Darstellung von

3D Objekten durch mathematische (bzw. 3D Objekten durch mathematische (bzw. „informatische“) Modelle am Computer.„informatische“) Modelle am Computer.

- Dargestellt werden reale oder virtuelle ObjektDargestellt werden reale oder virtuelle Objekt

- Legt die Grundlage für:Legt die Grundlage für:- Berechnung geometrischer Eigenschaften (Volumen,…)Berechnung geometrischer Eigenschaften (Volumen,…)- Graphische DarstellungGraphische Darstellung- Weitergehende Graphische Anwendungen Weitergehende Graphische Anwendungen

(Spiegelungseffekte, Schattierung, usw.)(Spiegelungseffekte, Schattierung, usw.)- Berechnung des physikalisch-geometrischen Verhaltens Berechnung des physikalisch-geometrischen Verhaltens

der Körper nach einer weiteren Attributierung der Körper der Körper nach einer weiteren Attributierung der Körper mit physikalischen Eigenschaften bzw. Materialparametermit physikalischen Eigenschaften bzw. Materialparameter



Definition Solid („starre Körper“)Definition Solid („starre Körper“)- Durchgehende Oberfläche, die den Raum teilt: Durchgehende Oberfläche, die den Raum teilt:

in das Innere, die Oberfläche selbst, das Äußerein das Innere, die Oberfläche selbst, das Äußere

- Translations und rotationsinvariantTranslations und rotationsinvariant

- Echt dreidimensionale StrukturenEcht dreidimensionale Strukturen- Keine isolierten PunkteKeine isolierten Punkte- Keine isolierten oder baumelnden Kanten und FlächenKeine isolierten oder baumelnden Kanten und Flächen



Ziele bei der Wahl eines SchemasZiele bei der Wahl eines Schemas1.1. Darstellung = SolidDarstellung = Solid

Es sollte entweder leicht zu überprüfen sein, ob die Es sollte entweder leicht zu überprüfen sein, ob die Darstellung ein Solid ist,Darstellung ein Solid ist,oder generell unmöglich kein Solid zu implementieren.oder generell unmöglich kein Solid zu implementieren.

2.2. ExaktheitExaktheitBei Komplexen Strukturen sind nur Annäherungen Bei Komplexen Strukturen sind nur Annäherungen möglich.möglich.

3.3. KompaktheitKompaktheit

Die Beschreibung sollte möglichst wenig Speicherplatz Die Beschreibung sollte möglichst wenig Speicherplatz benötigen.benötigen.



Ziele bei der Wahl eines SchemasZiele bei der Wahl eines Schemas4.4.MächtigkeitMächtigkeit

Das Darstellungsschema soll möglichst viele Körper Das Darstellungsschema soll möglichst viele Körper darstellen können.darstellen können.

5.5. Eindeutige AbbildungEindeutige AbbildungKein Repräsentant soll zwei Körper beschreibenKein Repräsentant soll zwei Körper beschreibenKein Körper soll durch zwei Repräsentanten beschrieben Kein Körper soll durch zwei Repräsentanten beschrieben werden.werden.

6.6.EffizienzEffizienz

Die Algorithmen sollten möglichst wenig Rechnerleistung Die Algorithmen sollten möglichst wenig Rechnerleistung beanspruchenbeanspruchen



Normzellen-AufzählungsschemaNormzellen-Aufzählungsschema- Raum wird in ein Gitter gleichgroßer Zellen aufgeteilt:Raum wird in ein Gitter gleichgroßer Zellen aufgeteilt:

- Geleichgroße Zellen:Geleichgroße Zellen:- Voxel (volume elements; analog zu Pixel) Voxel (volume elements; analog zu Pixel) - Meist Würfel der Kantenlänge hMeist Würfel der Kantenlänge h



Normzellen-AufzählungsschemaNormzellen-Aufzählungsschema- Anders als bei Pixel werden keine Anders als bei Pixel werden keine

Farbinformationen gespeichert sondern ob der Farbinformationen gespeichert sondern ob der Würfel innerhalb des Körpers istWürfel innerhalb des Körpers ist Effizienter Test: Ist ein Punkt innerhalb oder außerhalb?Effizienter Test: Ist ein Punkt innerhalb oder außerhalb?

- Erreichbare Genauigkeit ist abhängig von Erreichbare Genauigkeit ist abhängig von Würfelkante hWürfelkante h- Bei kleinem h: sehr genauBei kleinem h: sehr genau- Problem: hoher SpeicherbedarfProblem: hoher Speicherbedarf



Oktalbäume (Octrees)Oktalbäume (Octrees)Vermeidet den enormen Speicherplatz des Vermeidet den enormen Speicherplatz des

AufzählungsschemasAufzählungsschemas- Wahl eines ausreichend großen den Körper Wahl eines ausreichend großen den Körper

umschließenden Würfels.umschließenden Würfels.- Unterteilung des Würfels in vier Würfel der halben Unterteilung des Würfels in vier Würfel der halben

Kantenlänge bis der jeweilige Würfel ganz:Kantenlänge bis der jeweilige Würfel ganz:- Innerhalb (in) oderInnerhalb (in) oder- Außerhalb (off) des zu beschreibenden Körpers ist,Außerhalb (off) des zu beschreibenden Körpers ist,- oder bis die gewünschte Tiefe (Genauigkeit) erreicht ist: oder bis die gewünschte Tiefe (Genauigkeit) erreicht ist:

auf der Oberfläche (on)auf der Oberfläche (on)- Datenstruktur: BaumDatenstruktur: Baum



Oktalbäume (Octrees)Oktalbäume (Octrees)- Analog zu Octrees, gibt es für Flächen Quadtrees:Analog zu Octrees, gibt es für Flächen Quadtrees:



CSG-Schema (Constructive Solid Geometrie)CSG-Schema (Constructive Solid Geometrie)- Auf vorgegebene Grundkörper (Primitive)Auf vorgegebene Grundkörper (Primitive)- Werden die Mengenoperationen Werden die Mengenoperationen *, *, *, *, * *

angewendet.angewendet.

- Speicherung: Binärbaum,Speicherung: Binärbaum,- Knoten sind MengenoperationenKnoten sind Mengenoperationen- Blätter sind die PrimitivenBlätter sind die Primitiven

- Besonders für interaktive Programme geeignetBesonders für interaktive Programme geeignet

- Problem: Nicht eindeutig darstellbarProblem: Nicht eindeutig darstellbar



CSG-Schema (Constructive Solid Geometrie)CSG-Schema (Constructive Solid Geometrie)



DrahtmodellschemaDrahtmodellschema- Definition des Körpers über seine KantenDefinition des Körpers über seine Kanten

- Kanten können gerade oder gekrümmt seinKanten können gerade oder gekrümmt sein- Sehr einfache RealisierungSehr einfache Realisierung- Nachteil: MehrdeutigkeitNachteil: Mehrdeutigkeit



OberflächendarstellungOberflächendarstellung- Körper wird über seine Oberfläche dargestellt:Körper wird über seine Oberfläche dargestellt:

Aufteilung in eine endliche Zahl von EinzelflächenAufteilung in eine endliche Zahl von Einzelflächen- Passendes Schema muss gefunden werden:Passendes Schema muss gefunden werden:

- Einzelflächen können Polygone seinEinzelflächen können Polygone sein- Einzelflächen können gekrümmt seinEinzelflächen können gekrümmt sein

- Sehr mächtiges Schema, wenn gekrümmte Sehr mächtiges Schema, wenn gekrümmte Flächen zugelassen sindFlächen zugelassen sind- Problem: Zusätzliche Informationen müssen gespeichert Problem: Zusätzliche Informationen müssen gespeichert

werdenwerden- Bei Polygonen:Bei Polygonen:

- Um Kurven anzunähern sind viele Polygone notwendigUm Kurven anzunähern sind viele Polygone notwendig- Problem: SpeicherplatzProblem: Speicherplatz



Voraussetzungen für SolidsVoraussetzungen für Solids- Oberflächendarstellungen sind nicht immer Oberflächendarstellungen sind nicht immer

Solids, es müssen drei weitere Voraussetzungen Solids, es müssen drei weitere Voraussetzungen erfüllt sein:erfüllt sein:

1.1.Oberfläche des Körpers muss geschlossen sein d.h. sie Oberfläche des Körpers muss geschlossen sein d.h. sie darf keine Löcher haben (erlaubt sind Löcher die durch darf keine Löcher haben (erlaubt sind Löcher die durch den ganzen Körper hindurchgehen)den ganzen Körper hindurchgehen)

2.2.Die Oberfläche muss orientierbar sein d.h. bei jeder Die Oberfläche muss orientierbar sein d.h. bei jeder Teilfläche muss eindeutig festgelegt werden, welche Teilfläche muss eindeutig festgelegt werden, welche Seite auf der Innenseite des Körpers ist und welche auf Seite auf der Innenseite des Körpers ist und welche auf der Außenseite.der Außenseite.



Voraussetzungen für SolidsVoraussetzungen für Solids3.3.Die Oberfläche darf sich nicht selbst schneiden. Dieses Die Oberfläche darf sich nicht selbst schneiden. Dieses

Kriterium ist nur erfüllt, wenn vier Unterkriterien Kriterium ist nur erfüllt, wenn vier Unterkriterien zutreffen:zutreffen:- Jede einzelne Teilfläche darf sich nicht schneidenJede einzelne Teilfläche darf sich nicht schneiden- Je zwei Teilflächen dürfen sich nur an ihrem Rand nicht in Je zwei Teilflächen dürfen sich nur an ihrem Rand nicht in

ihrem Inneren schneidenihrem Inneren schneiden- Eine Kante darf sich nicht selbst schneidenEine Kante darf sich nicht selbst schneiden- Kanten dürfen sich nur an ihren Eckpunkten schneidenKanten dürfen sich nur an ihren Eckpunkten schneiden



Polygon MeshesPolygon MeshesExplicit RepresentationExplicit Representation- Jedes Polygon wird über die Koordinaten seiner Jedes Polygon wird über die Koordinaten seiner

Eckpunkte (Knoten) gespeichertEckpunkte (Knoten) gespeichert- Reihenfolge der Knoten: Reihenfolge der Knoten:

- Wie beim ZeichnenWie beim Zeichnen- Am besten immer im UhrzeigersinnAm besten immer im Uhrzeigersinn

P = ((xP = ((x11,y,y11,z,z11),…,(x),…,(xnn,y,ynn,z,znn))))- Sinnvoll bei einem PolygonSinnvoll bei einem Polygon- Problem bei Polygon Meshes: RedundanzProblem bei Polygon Meshes: Redundanz



Polygon MeshesPolygon MeshesPointers to a vertex listPointers to a vertex list- Knoten werden in einer Liste gespeichert (vertex list)Knoten werden in einer Liste gespeichert (vertex list)- Ecken des Polygons werden als Zeiger auf die vertex list Ecken des Polygons werden als Zeiger auf die vertex list

gespeichertgespeichert

Pointers to an edge listPointers to an edge list- Knoten werden in einer Liste gespeichert (vertex list)Knoten werden in einer Liste gespeichert (vertex list)- Kanten werden in einer Liste gespeichert (edge list)Kanten werden in einer Liste gespeichert (edge list)- Kanten des Polygon werden als Zeiger auf die edge list Kanten des Polygon werden als Zeiger auf die edge list

gespeichertgespeichert- Eckpunkte der Kanten werden als Zeiger auf die vertex list Eckpunkte der Kanten werden als Zeiger auf die vertex list

gespeichertgespeichert



Polygon Meshes – Topologische StrukturPolygon Meshes – Topologische Struktur- Mithilfe der letzten drei Schemata ist die Mithilfe der letzten drei Schemata ist die

Speicherung von dreidimensionalen Objekten Speicherung von dreidimensionalen Objekten relativ einfachrelativ einfach

- Problem: Algorithmen können nicht effizient Problem: Algorithmen können nicht effizient ausgeführt werdenausgeführt werden

Lösung: Topologische StrukturLösung: Topologische Struktur- Das Darstellungsschema muss so beschaffen sein, Das Darstellungsschema muss so beschaffen sein,

dass die Beziehungen zwischen den Knoten dass die Beziehungen zwischen den Knoten (Vertex = V), Kanten (Edge = E) und Flächen (Face (Vertex = V), Kanten (Edge = E) und Flächen (Face = F) berücksichtigt werden= F) berücksichtigt werden



Winged-Edge-DatenstrukturWinged-Edge-Datenstruktur- Gespeicherte Relationen für Gespeicherte Relationen für

Kanten:Kanten:- Die Eckpunkte jeder Kante Die Eckpunkte jeder Kante - Die Flächen an die die Die Flächen an die die

Kante stößtKante stößt- Für jede Kante die vier Für jede Kante die vier

benachbarten Kanten mit benachbarten Kanten mit denen die Kante eine denen die Kante eine gemeinsame Fläche besitztgemeinsame Fläche besitzt

- Punktliste, pro Punkt eine Punktliste, pro Punkt eine Kante die er begrenztKante die er begrenzt

- Flächenliste, pro Fläche Flächenliste, pro Fläche eine Kante an die sie stößteine Kante an die sie stößt



Winged-Edge-DatenstrukturWinged-Edge-Datenstruktur



Half-Winged-Edge-DatenstrukturHalf-Winged-Edge-Datenstruktur- Basiert auf der Winged-Edge-DatenstrukturBasiert auf der Winged-Edge-Datenstruktur- Änderung: Es werden nicht alle benachbarten Kanten Änderung: Es werden nicht alle benachbarten Kanten

gespeichert, die eine gemeinsame Fläche mit E habengespeichert, die eine gemeinsame Fläche mit E haben- Es werden nur die zwei Ecken gespeichert die in Bezug auf die Es werden nur die zwei Ecken gespeichert die in Bezug auf die

gemeinsame Fläche im Uhrzeigersinn zu der Kante e stehengemeinsame Fläche im Uhrzeigersinn zu der Kante e stehen- In diesem Fall also eIn diesem Fall also e22 und e und e33



Datenstrukturen in der HardwareDatenstrukturen in der Hardware- Datenschemata in der Hardware: Polygon MeshesDatenschemata in der Hardware: Polygon Meshes- Aber: es werden nur Dreiecke verwendetAber: es werden nur Dreiecke verwendet

- Mögliche Datenstrukturen:Mögliche Datenstrukturen:- Triangle ListsTriangle Lists

- Alle Dreiecke werden explizit abgespeichertAlle Dreiecke werden explizit abgespeichert- Problem: hoher SpeicherbedarfProblem: hoher Speicherbedarf

- Triangle StripsTriangle Strips

- Triangle FansTriangle Fans



Triangle StripsTriangle Strips- Das erste Dreieck wird vollständig gespeichertDas erste Dreieck wird vollständig gespeichert- Alle weiteren Dreiecke teilen sich mit dem vorhergehenden Alle weiteren Dreiecke teilen sich mit dem vorhergehenden

Dreieck eine KanteDreieck eine Kante Es muss jeweils nur ein weiterer Punkt gespeichert werdenEs muss jeweils nur ein weiterer Punkt gespeichert werden Rotation des ersten Dreiecks wird festgelegt, nachfolgende Rotation des ersten Dreiecks wird festgelegt, nachfolgende

Dreiecke besitzen gegenläufige RotationDreiecke besitzen gegenläufige Rotation- Die Triangle Strips werden aneinandergehängt um ein Objekt Die Triangle Strips werden aneinandergehängt um ein Objekt

darzustellendarzustellen



Triangle FansTriangle Fans- Das erste Dreieck wird vollständig gespeichertDas erste Dreieck wird vollständig gespeichert- Alle weiteren Dreiecke teilen sich mit dem vorhergehenden Alle weiteren Dreiecke teilen sich mit dem vorhergehenden

Dreieck eine KanteDreieck eine Kante Es muss jeweils nur ein weiterer Punkt gespeichert werdenEs muss jeweils nur ein weiterer Punkt gespeichert werden Rotation des ersten Dreiecks wird festgelegt, nachfolgende Rotation des ersten Dreiecks wird festgelegt, nachfolgende

Dreiecke besitzen die gleiche RotationDreiecke besitzen die gleiche Rotation- Alle Dreiecke besitzen einen gemeinsamen PunktAlle Dreiecke besitzen einen gemeinsamen Punkt

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