prosiding seminar nasional matematika dan terapannya · pdf filey d u x x y b x g x y y u x u...

Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Terapannya 2016
p-ISSN : 2550-0384; e-ISSN : 2550-0392
PERSAMAAN SUPERDIFUSI DAN PENYELESAIAN
FUNDAMENTALNYA
Irfan Nurhidayat
Universitas Jenderal Soedirman
[email protected]
Bambang Hendriya Guswanto
Agung Prabowo
ABSTRACT. In this article, we discuss the derivation of the superdiffusion equation and
its fundamental solution. Superdiffusion equation is derived from random walk process
on lattice by using the probability of jump direction
1( ) , \{0},
( )0, 0,
C x xx
x
K
with 0 2 and ( )C is the normalization coefficient. The fundamental solution of
superdiffusion equation is obtained by employing Laplace transform, Fourier transform,
and Mittag-Leffler function. The properties of the solution, such as symmetrical, tending
to zero at infinity, positive, and normal, are gotten by mathematical analysis approach.
Keywords: superdiffusion equation, fundamental solution, the probability of jump
direction.
ABSTRAK. Artikel ini membahas penurunan persamaan superdifusi dan penyelesaian
fundamentalnya. Persamaan superdifusi diturunkan dari proses gerak acak pada lattice
dengan menggunakan peluang arah lompatan 1
( ) , \{0},( )
0, 0,
C x xx
x
K
dengan 0 2 dan ( )C adalah koefisien normalisasi. Penyelesaian fundamental
persamaan superdifusi diperoleh dengan memanfaatkan transformasi Laplace,
transformasi Fourier, dan fungsi Mittag-Leffler. Sifat-sifat penyelesaian, seperti simetris,
menuju nol di ketakberhinggaan, positif, dan normal, diperoleh dengan menggunakan
pendekatan matematika analisis.
Kata kunci: persamaan superdifusi, penyelesaian fundamental, peluang arah lompatan.

Persamaan Superdifusi dan Penyelesaian Fundamentalnya 49
Purwokerto, 3 Desember 2016
1. PENDAHULUAN
Difusi adalah peristiwa berpindahnya suatu zat dalam pelarut dari bagian
yang berkonsentrasi tinggi ke bagian yang berkonsentrasi rendah (Lihat [6]).
Difusi akan terus terjadi hingga seluruh partikel tersebar luas secara merata atau
mencapai keadaan setimbang (Lihat [5]). Menurut [8], difusi adalah pergerakan
mikroskopis dari kumpulan partikel pada sel, bakteri, bahan kimia, dan hewan di
mana dalam pergerakannya biasanya partikel bergerak acak dan menyebar.
Pergerakan acak partikel yang demikian dapat dimodelkan dalam bentuk
persamaan matematika. Proses difusi dapat dimodelkan dengan persamaan
, 0.tu u t
Berikut ini beberapa proses difusi dalam kehidupan sehari-hari, seperti
saat membuat teh manis yaitu dengan memasukkan gula pada air tawar dan
mengaduknya sampai gula terlarut dalam air tawar, kemudian saat kelembaban di
dalam rumah tinggi dikarenakan curah hujan yang rendah di sekitar rumah.
Pergerakan partikel proses difusi mengikuti pola
( )
dengan 2 ( )x t adalah Mean Square Displacement (MSD) pada saat .t
Pada proses difusi, terdapat proses yang mengalami anomali, yaitu proses
subdifusi (difusi lambat) dan proses superdifusi (difusi cepat). Beberapa contoh
proses yang menunjukkan proses subdifusi adalah dispersi pada akuifer yang
heterogen (Lihat [1]), penyebaran ion pada suatu eksperimen kolom (Lihat [3]),
penyebaran kontaminan pada formasi geologi (Lihat [2]), dan difusi air tanah
(Lihat [7]). Berbeda dengan proses difusi, dalam proses subdifusi pergerakan
partikel mengikuti pola
2( ) , 0, 0 1.x t t t
Beberapa contoh proses superdifusi, yaitu kepadatan molekul pada reaksi kimia
dan gerakan bertumbukan molekul karena adanya perbedaan kecepatan gerak
antar molekul (Lihat [13]), transportasi dari kompartemen satu ke kompartemen
lainnya untuk menunjukkan kepekaan rangsangan pada sel (Lihat [5]), dan
perubahan gerak protein dalam inti (nucleus) yang terjadi karena sel darah putih

50 I. Nurhidayat d.k.k.
(leukosit) lebih banyak dari sel darah merah (eritrosit) (Lihat [9]). Proses difusi
anomali yang demikian tidak dapat dimodelkan dengan menggunakan persamaan
difusi biasa dan persamaan subdifusi. Pada proses superdifusi pergerakan partikel
mengikuti pola
2( ) , 0, 1.x t t t
2. HASIL DAN PEMBAHASAN
Bagian ini membahas tentang penurunan dan penyelesaian fundamental
dari persamaan superdifusi.
2.1 Penurunan Persamaan Superdifusi
Misalkan : [0, ) K adalah suatu fungsi genap, yaitu
( ) ( )y y K K untuk setiap ,y dan memenuhi kondisi
( ) 1.k
k
KZ
Di sini, persamaan superdifusi akan diturunkan dari proses yang dilakukan oleh
suatu partikel yang bergerak secara acak pada lattice h yang didefinisikan
sebagai
:h hz z
dengan 0.h Dalam proses ini, pada setiap satuan waktu 0, partikel
melompat dari suatu titik ke titik lainnya di .h Asumsikan peluang suatu partikel
untuk melompat dari titik hk h ke titik hk h adalah
( ) ( ).k k k k K K
Di sini, kita mengasumsikan (0) 0K yang berarti bahwa peluang suatu partikel
tidak melompat adalah 0. Dengan kata lain, partikel pasti selalu melompat pada
setiap jangka waktu tertentu. Selanjutnya, misalkan ( , )u x t adalah peluang suatu
partikel berada di x h dan pada waktu t dengan didefinisikan
sebagai
: .z z

Karenanya, ( , )u x t adalah penjumlahan semua peluang partikel berada pada
posisi x hk dan pada waktu t dikalikan dengan peluang partikel melompat dari
posisi x hk ke x dalam jangka waktu , yaitu
( , ) ( ) ( , ).k
u x t k u x hk t
K
Akibatnya,
( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) .k
u x t u x t k u x hk t u x t
K
(1)
Berikutnya, misalkan fungsi K memenuhi persamaan
1( ) , 0,
( )0, 0,
C y yy
y
K
dengan ( )C adalah suatu konstanta. Jika , (0,2),h maka
( )( ) .
kh hk
KK
(2)
Misalkan ( , , ) ( ) ( , ) ( , ) .y x t y u x y t u x t K Dari persamaan (1) dan (2),
( , ) ( , )( , , ).
k
u x t u x th hk x t
Z
(3)
Dari (3), jika 0 yang berimplikasi pada 0,h
0 0
( , ) ( , )lim lim ( , , )
hk
u x t u x th hk x t
1
( ) ( )( , ) ( ) .
u x y u xu x t C dy
t y
(4)
Selanjutnya, kita akan menunjukkan, untuk (0,2), ( ),uS dan terbatas,
integral pada persamaan (4) terdefinisi dengan baik. Integral pada persamaan (4)
dapat dituliskan dalam pengertian the Principle Value, disingkat . .,PV yaitu
1 1\ (0)0
1\ (0)0
( ) ( ) ( ) ( ). . lim
1 2 ( ) ( ) ( )lim .
2
B
B
u x u y u x u yPV dy dy
x y x y
u x u x y u x ydy
y
Untuk setiap y berlaku

52 I. Nurhidayat d.k.k.
1
2 ( ) ( ) ( )( )
u x u x y u x yf y
y
dengan
1 2
1
( ) , ( ),( )
, \ ( ).
y D u x y B xf y
y u y B x
Lemma 2.1 Fungsi 1( ) ( )y f y L dengan
1 2
1
( ) , ( ),( )
, \ ( ).
y D u x y B xf y
y u y B x
Bukti. Perhatikan bahwa kasus (0),x B
1 12
( ) \ ( )
1 12
(0) \ (0)
2 22
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) .
2 2
B x B x
B B
f y dy y D u x dy y u dy
D u x y x dy u y x dy
x x x xD u x u
Selanjutnya, kasus (0)x B dengan ,x
2 22 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) .
2 2
x x x xf y dy D u x u
Untuk ,x
2 22 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) .
2 2
x x x xf y dy D u x u
Dengan demikian,
1( ) ( ).y f y L
Berdasarkan Lemma 2.1, integral pada persamaan (4) terdefinisi dengan baik.
Lemma 2.2 Fungsi 1( , ) ( , ) ( )x y g x y L dengan

1 2
1
( ) , ( , ) ( ),( , )
2 ( ) ( ) ( ) , ( , ) \ ( ).
y D u x x y B xg x y
y u x u x y u x y x y B x
Bukti. Karena ( ),uS maka untuk setiap ,x
2 2 2 2
2 2
1 ( ) sup 1 ( ) ,
1 ( ) sup 1 ( ) .
z
z
x D u x z D u z
x u x z u z
Oleh karena itu, terdapat 0K sedemikian sehingga untuk setiap ,x
1
22( ) , ( ) 1 .u x D u x K x
Jadi,
2 1( ) , ( ) ( ).u x D u x L
Berdasarkan Lemma 2.1,
12
( )
1
\ ( )
12
( )
1
\ ( )
( , ) ( ) ( )
2 ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
4 ( ) ( )
B x
B x
B x
B x
g

prosiding seminar nasional matematika dan terapannya · pdf filey d u x x y b x g x y y u x u...

Documents