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Equation Chapter 1 Section 1

Proyecto Fin de Carrera

Ingeniería Industrial

Estudio Metodológico mediante Elementos Finitos

del Comportamiento de las Rótulas Plásticas en

Elementos de Hormigón Armado

Autor: Álvaro Blanco Mira

Tutor: Antonio Martínez de la Concha

Dep. Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras

Escuela Técnica Superior de Ingeniería

Universidad de Sevilla

Sevilla, 2016

iii

Proyecto Fin de Carrera

Ingeniería Industrial

Estudio Metodológico mediante Elementos Finitos

del Comportamiento de las Rótulas Plásticas en

Elementos de Hormigón Armado

Autor:

Álvaro Blanco Mira

Tutor:

Antonio Martínez de la Concha

Profesor Sustituto Interino

Dep. de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras

Escuela Técnica Superior de Ingeniería

Universidad de Sevilla

Sevilla, 2016

v

Agradecimientos

A Don Antonio Martínez de la Concha por brindarme la oportunidad de realizar este proyecto, y por

su inconmensurable aporte de conocimientos, apoyo y dedicación a lo largo del mismo.

A Tere, por su apoyo en todo momento y su férreo convencimiento de que podía llevarse a cabo aún

cuando no se vea el final.

A mis padres, sin los cuales no hubiera llegado donde estoy.

vii

Resumen

La ingeniería sísmica aplicada al cálculo de estructuras se fundamenta en el empleo de modelos que

permitan predecir con certeza el comportamiento real de una estructura incluyendo el colapso de la

misma.

En el presente proyecto se realiza un estudio del comportamiento de columnas de hormigón armado

sometidas a carga cíclica con el objetivo de establecer una relación momento-rotación que simule la

formación y evolución de una rótula plástica frente a una carga sísmica.

Pretende representar una primera etapa de un análisis futuro más profundo para la consecución de

expresiones experimentales que permitan adaptar las leyes momento rotación en función de las

diferentes tipologías del elemento de estudio.

La modelización mediante elementos finitos se ha realizado en ABAQUS empleando el modelo

Concrete Damaged Plasticity, el cual permite simular el comportamiento del hormigón mediante el

empleo de variables de daño. Los resultados obtenidos en el análisis de elementos finitos se

contrastan con ensayos experimentales de carga lateral en elementos tipo columna.

Varias leyes de comportamiento han sido empleadas en la simulación del hormigón para contrastar

los resultados obtenidos mediante el programa en base al modo de definición del material.

Finalmente se analizan las posibilidades futuras de análisis para establecer leyes experimentales en

función de los parámetros que permitan adaptar el modelo según las diferentes tipologías.

ix

Índice de contenidos

Agradecimientos v

Resumen vii

Índice de contenidos ix

Índice de tablas xi

Índice de figuras xiii

1 Conceptos básicos 1

1.1 Introducción 1

1.2 Concepto de rótula plástica 2

1.3 Diseño sísmico. Acerca de la norma FEMA 356 3

1.3.1 Organización de la norma 3

1.3.2 Método de cálculo estático no lineal o método “push-over” 6

1.3.3 Niveles de aceptación 8

1.3.4 Curvas Fuerza-Deformación 8

1.4 Fundamentos de la plasticidad 10

1.5 Introducción a la mecánica de fractura en el hormigón armado 11

1.5.1 Evolución de la fisuración en un elemento de hormigón armado 11

1.5.2 Modelos de análisis de rótulas plásticas 13

2 Modelos de daño plástico 15

2.1 Fundamentos de la teoría de plasticidad 15

2.2 Criterio de plastificación 17

2.2.1 Criterio de Von Mises 21

2.2.2 Criterio de Mohr-Coulomb 21

2.2.3 Criterio de Drucker-Prager 22

2.3 Concrete Damaged Plasticity 23

2.3.1 Modelo inicial J. Lubliner et al. (12) 23

2.3.2 Modelo J.Lee y G.L. Fenves (13) 28

2.3.3 Modelo CDP incluido en ABAQUS (11) 29

3 Mecánica de la fractura en el hormigón armado 35

3.1 Modelos de fractura en el hormigón 35

3.1.1 Modelo de fisura discreta 35

3.1.2 Modelo de fisura distribuida 37

3.1.3 Modelos de daño 38

3.1.4 Modelos de barras 41

4 Datos experimentales. Descripción del ensayo 42

4.1 Necesidad de bases de datos experimentales 42

4.2 Base de datos empleada 43

x

4.2.1 Base de datos de columnas de hormigón armado 43

4.3 Descripción del ensayo 45

5 Generación de modelos en ABAQUS 50

5.1 Introducción 50

5.2 Geometría 50

5.3 Leyes de comportamiento 51

5.3.1 Leyes de comportamiento del hormigón 51

5.3.2 Ley de comportamiento del acero 65

5.3.3 Parámetros del modelo Concrete Damaged Plasticity 66

5.4 Condiciones de contorno 66

5.5 Carga aplicada 66

5.6 Elementos y mallado 67

5.7 Definición de modelos 67

5.7.1 Modelo M1-HM-S-0.5MM 69

5.7.2 Modelo M1-HM-GFI-0.5MM 70

5.7.3 Modelo M1-HM-W-0.5MM 71

5.7.4 Modelo M2-HA-S-30MM 72

5.7.5 Modelo M2-HA-GFI-30MM 73

5.7.6 Modelo M2-HA-W-30MM 74

5.7.7 Modelo M3-S-3C-5MM 75

5.7.8 Modelo M4-GFI-3C-5MM 76

5.7.9 Modelo M4-GFI-3C-10MM 77

5.7.10 Modelo M4-GFI-3C-2-5-8MM 78

5.7.11 Modelo M5-W-3C-5MM 79

5.7.12 Modelo M5-W-3C-10MM 80

5.7.13 Modelo M5-W-3C-2-5-8MM 81

5.7.14 Modelo M6-TEST-SIMULATION-GFI-DMG 82

5.7.15 Modelo M6-TEST-1Cx25MM 83

5.7.16 Modelo M6-TEST-1Cx25MM-V2 84



6 Análisis de resultados 88

6.1 Modelos de hormigón en masa 88

6.1.1 Formulación del problema 88

6.2 Modelos de hormigón armado frente a carga monotónica 93

6.3 Modelos de hormigón armado sometidos a carga cíclica 94

6.4 Comparación de modelo 6 con test experimental 97

6.4.1 M6-TEST-SIMULATION-GFI-DMG 97

6.4.2 M6-TEST-1Cx25MM 99

6.4.3 M6-TEST-1Cx25MM-V2 100

6.4.4 M6-TEST-1Cx50MM 101

6.4.5 M6-TEST-1Cx80MM 102

7 Conclusiones y trabajos futuros 104

7.1 Conclusiones obtenidas 104

7.2 Trabajos futuros 105

Referencias 106

xi

Índice de tablas

Tabla 4-1: Datos de los materiales del ensayo experimental U1 48

Tabla 5-1: Parámetros de definición del comportamiento a compresión del hormigón 54

Tabla 5-2: Datos de definición de la ley de comportamiento a compresión del hormigón 58

Tabla 5-3: Datos de definición de la ley de comportamiento a tracción (stress-strain) 60

Tabla 5-4: Parámetros del comportamiento a tracción empleando 𝐺𝑓 62

Tabla 5-5: Parámetros del comportamiento a tracción 64

Tabla 5-6: Parámetros del comportamiento a tracción según curva de ablandamiento 65

Tabla 5-7: Parámetros de definición del comportamiento del acero 66

Tabla 5-8: Parámetros del modelo Concrete Damaged Plasticity (CDP) 66

Tabla 6-1: Datos del ensayo 88

Tabla 6-2: Valores mediante teoría de resistencia de materiales 90

Tabla 6-3: Tiempos de resolución de los ensayos M2 94

Tabla 7-1: Tiempos de resolución de análisis 104

xiii

Índice de figuras

Figura 1-1: Viga biempotrada sometida a carga uniforme vertical 2

Figura 1-2: Métodos de análisis sísmico (5) 4

Figura 1-3: Proceso de conversión a modelo de un grado de libertad (5) 5

Figura 1-4: Curva de histéresis (5) 5

Figura 1-5: Envolvente de la curva de histéresis (5) 6

Figura 1-6: Curvas de comportamiento simplificadas (5) 6

Figura 1-7: Curva Fuerza – Desplazamiento (2) 7

Figura 1-8: Ley de comportamiento Fuerza-Desplazamiento (2) 9

Figura 1-9: Parámetros para definición de columnas de hormigón armado (2) 9

Figura 1-10: Curva de ensayo uniaxial de compresión (6) 10

Figura 1-11: Relación Axil-Deformación para un elemento de hormigón armado (7) 12

Figura 1-12: Formación de primera fisura (7) 13

Figura 1-13: Formación de última fisura(7) 13

Figura 2-1: Ley de comportamiento a compresión (9) 16

Figura 2-2: Superficie de plastificación (9) 17

Figura 2-3: Superficies de plastificación según criterio de Von Mises (sólido) y Tresca

(discontinuo): a) meridianos, b) plano desviador, c) tensión plana (10) 21

Figura 2-4: Superficie de plastificación en el plano 𝜎 − 𝜏: a) Mohr-Coulomb, b) Tresca

(10) 22

Figura 2-5: Superficie de plastificación según criterio de Drucker-Prager: a) meridianos,

b) plano desviador, c) tensión plana (10) 22

Figura 2-6: Curvas uniaxiales 𝜎 − 휀𝑝: a) tensión; b) compresión (12) 25

Figura 2-7: Superficie de plastificación en el plano desviador según valores de 𝐾𝑐 31

Figura 2-8: Fenómeno de dilatancia (9) 32

Figura 2-9: Superficie de plastificación en tensión plana (11) 32

Figura 2-10: Ley de comportamiento a tracción (11) 33


Figura 3-1: Variación de tensiones en la formación de grieta (18) 35

Figura 3-2: Ley de ablandamiento 𝜎 − 𝑤 (18) 36

Figura 3-3: Ley de ablandamiento: a) Lineal, b) Bilineal, c) Exponencial (18) 37

xiv

Figura 3-4: Disciplinas relaciones en modelos de daño plástico (9) 38

Figura 3-5: Teorías y métodos de resolución implicados en los modelos de daño plástico

(9) 39

Figura 3-6: Fenómeno de fisuración (9) 39

Figura 4-1: Tipo de configuración del ensayo 45

Figura 4-2: Geometría del ensayo experimental (24) 46

Figura 4-3: Equipo de realización del ensayo (24) 47

Figura 4-4: Historial de carga teórico del ensayo experimental 48

Figura 4-5: Historial de carga digitalizado del ensayo experimental 49

Figura 5-1: Geometría de columna de hormigón en masa (dimensiones en m) 50

Figura 5-2: Geometría de columna de hormigón armado (dimensiones en m) 51


Figura 5-4: Ley de comportamiento a compresión 55

Figura 5-5: Ley de comportamiento a compresión (Okamoto et al. 1976) (26)(27) 56

Figura 5-6: Relación tensión-deformación inelástica 57

Figura 5-7: Ley de comportamiento a tracción (Yankelevsky & Reinhardt (1987b)(28) 59

Figura 5-8: Ley de comportamiento a tracción 60

Figura 5-9: Relación tensión-deformación inelástica 61

Figura 5-10: Ley de comportamiento a tracción mediante el valor 𝐺𝑓 62

Figura 5-11: Leyes de comportamiento a tracción (29) 63

Figura 5-12: Ley de comportamiento a tracción bilineal 64

Figura 5-13: Comparativa entre leyes de comportamiento 65

Figura 6-1: Tensión-Desplazamiento en la base de la columna 91

Figura 6-2: Tensión-Deformación total en un nodo de la base de la columna 92

Figura 6-3: Relación Deformación plástica-desplazamiento 92

Figura 6-4: Relación DAMAGET-Desplazamiento horizontal 93

Figura 6-5: Fuerza-Desplazamiento para modelos 3, 4 y 5. 94

Figura 6-6: Curva de histéresis para ciclos de 5mm (M4-M5) 95

Figura 6-7: Curva de histéresis para ciclos de 10mm (M4-M5) 96

Figura 6-8: Curva de histéresis para ciclos de 2, 5 y 8mm (M4-M5) 97

Figura 6-9: Historial de carga empleado en el análisis M6-TEST-SIMULATION-GFI-

DMG 98

Figura 6-10: Curva de histéresis del modelo M6-TEST-SIMULATION-GFI-DMG

frente al ensayo experimental 99

Figura 6-11: Curva de histéresis con ciclos de 25mm 𝜇 = 0.0001 100

Figura 6-12: Curva de histéresis para ciclo de 25mm (𝜇 = 0.001) 101

Figura 6-13: Curva de histéresis para 50mm 102

Figura 6-14: Curva de histéresis para ciclo de 80mm 103

1

1 CONCEPTOS BÁSICOS

1.1 Introducción

El desarrollo de modelos que permiten caracterizar mejor el comportamiento de estructuras frente a

acciones sísmicas, así como su comportamiento a lo largo del proceso, permiten predecir con mayor

certeza y seguridad el modo de rotura del elemento y la resistencia que este puede experimentar.

Un primer paso en este sentido, fue la aparición de estándares de diseño sísmico como son las

normas FEMA 273 (1) y 356 (2). y ATC 40 (3). En dichas publicaciones se establecen diferentes

enfoques de cálculo no lineal para simular el comportamiento y cuantificar el daño producido en la

estructura.

El proyecto de desarrollo de la FEMA 273/356 fue un importante hito, dado que contempla modelos

no lineales con degradación del material para permitir la evaluación del colapso estructural. Una

pieza fundamental en este diseño radica en la especificación de las “monotonic backbone curve”.

Dichas curvas definen la relación de comportamiento entre fuerza y deformación, en función de

parámetros sísmicos. Puede definirse, por ejemplo, la curva que relaciona el momento-giro para un

elemento en función de su nivel de armado. Cabe destacar que dichos modelos, a pesar de tener

limitaciones en su campo de aplicación, al ser modelos muy idealizados y generalmente

conservativos, son capaces de modelizar numerosas casuísticas en el diseño estructural.

El presente proyecto trata de analizar mediante un modelo de elementos finitos, la similitud en el

comportamiento obtenido mediante dicho modelo frente a los datos experimentales obtenidos en un

ensayo de laboratorio. A partir de dichos resultados, puede extrapolarse una curva de

comportamiento fuerza-deformación, de forma semejante a lo establecido en la FEMA 356 (2).

El presente proyecto se ha estructurado focalizándose tanto en la explicación y compresión de los

análisis realizados, explicando las bases teóricas de donde estos provienen, así como en los

resultados obtenidos y su aplicabilidad.

En el presente Capítulo 1 se establecen los fundamentos básicos relativos a la teoría de plasticidad,

mecánica de fractura y los modelos de daño, los cuales se basan en los conceptos anteriores.

También se introduce brevemente la aplicabilidad de la norma FEMA 356 (2).

En el Capítulo 2 se profundiza en los modelos de daño plástico, describiendo su caracterización y

aplicabilidad. Finalmente se describen los parámetros implicados en el modelo CDP (Concrete

Damaged Plasticity) incorporado en ABAQUS, así como la metodología para su obtención.

En el Capítulo 3 se describe la evolución de la fisuración en un elemento de hormigón armado y se

contemplan los diferentes modelos de la mecánica de la fractura aplicada al hormigón. Entre ellos se

destaca la mecánica basada en el daño plástico, cuyas bases serán las empleadas en el presente

proyecto.

En el Capítulo 4 se explica el tipo de ensayo realizado para la obtención de los datos experimentales.

Se describe su realización, los datos obtenidos, y sus características. Se incluye también una breve

referencia a las bases de datos existentes en este campo.

En el Capítulo 5 se explica la realización del modelo mediante ABAQUS. En este apartado se

describen las leyes de comportamiento empleadas, condiciones de contorno, tipo de carga aplicado,

etc.

1.2 Concepto de rótula plástica

2

En el Capítulo 6, se analizan los resultados obtenidos, comparándolos con los datos experimentales.

Para una mayor comprensión del modelo empleado, se incluyen modelos que simulan el

comportamiento de elementos de hormigón en masa y elementos de hormigón armado hasta rotura,

analizando los resultados obtenidos haciendo referencia a los resultados de la teoría de resistencia de

materiales. Finalmente se realiza una interpolación de los resultados obtenidos para la obtención de

la curva fuerza-deformación.

1.2 Concepto de rótula plástica

El hormigón debido a su ley de comportamiento inelástica, conduce a una redistribución de fuerzas y

momentos que produce un incremento de la carga que la estructura soporta. Al incrementarse la

carga, las rótulas plásticas se forman en aquellos puntos en los que el momento plástico límite es

superado. Con posteriores incrementos de carga, las rótulas continúan aumentando su rotación hasta

que se forma la última rótula y la estructura se convierte en un mecanismo que provoca el fallo de la

misma.

Para ilustrar el concepto de la formación de una rótula plástica se presenta el siguiente ejemplo,

donde se supone una viga biempotrada sometida a una carga uniforme vertical distribuida P (Figura

1-1)

Figura 1-1: Viga biempotrada sometida a carga uniforme vertical

El momento flector máximo se dará en los extremos y su valor vendrá dado por la Ecuación (1-1):

Mientras la carga P se mantenga inferior al valor 𝑃𝑒𝑙 , (siendo éste el valor de la carga que genera un

momento elástico límite a partir del cual la sección comienza a plastificar), la sección se mantendrá

en régimen elástico. Si dicho valor 𝑃𝑒𝑙 es superado, la sección en el empotramiento comienza a

deformarse plásticamente hasta que se alcanza el momento plástico 𝑀𝑝𝑙 .

En las proximidades de la zona empotrada, las deformaciones que experimenta la sección son muy

elevadas, formándose sendas rótulas plásticas en ambos empotramientos. Conforme aumenta la

carga, el momento que resisten los empotramientos es menor, y en la sección central comienza a

incrementarse el momento 𝑀 = 𝑃𝐿2/24 hasta llegar a plastificar.

𝑀 =𝑃 ∙ 𝐿2

12 (1-1)

1.3 Diseño sísmico. Acerca de la norma FEMA 356

3

El concepto de rótula plástica por lo tanto trata de definir el hecho de la libre rotación que es capaz de

experimentar una sección cuando en ella se supera el momento plástico. Esto lleva consigo una

transformación de la viga en un mecanismo articulado, produciéndose deformaciones indefinidas

bajo carga constante.

El valor de la rotación plástica 𝜃𝑝 en elementos de hormigón armado depende de una serie de

parámetros como son la ley de comportamiento del acero y del hormigón, la geometría de la sección,

la relación de armado del elemento, la rigidez a tracción y compresión, tipo de carga, etc.

Son varios los investigadores que han realizado estudios sobre este tema, sin embargo la definición

de lo que debe tomarse como capacidad de rotación plástica aún no está claramente definida.

Varias ecuaciones han sido planteadas para calcular la longitud de rótula plástica y la capacidad de

rotación plástica, sin embargo no son de aplicación para una casuística general.


La FEMA 356 (2) surge como una continuación de la anterior FEMA 273 (1) y tiene como objetivo

consolidar lo establecido en esta última, y estandarizar los métodos de cálculo sísmico en edificación.

Dicha normativa, en conclusión, propone una serie de métodos de diseño sísmico en edificación, así

como las pautas para la definición de los elementos que componen la estructura.

1.3.1 Organización de la norma

En sus primeros capítulos se establecen los requisitos y consideraciones generales a tener en cuenta

en el diseño sísmico. En los siguientes capítulos se definen los métodos de análisis y las

características de los diferentes materiales empleados como son el acero, el hormigón, las obras de

fábrica y la madera.

Los diferentes métodos propuestos en la FEMA 356 (2) se clasifican según su ley de

comportamiento en:

Lineales

No lineales

Y según el modo de análisis en:

Estáticos

Dinámicos

Como se presentó anteriormente, durante las últimas décadas se han realizado importantes progresos

en el campo de la los métodos de diseño basados en el funcionamiento (“Perfomance-based

engineering methods”) principalmente en la aplicación de métodos estáticos no lineales (NSP).

En el año 1996 se publicó el informe ATC-40 (3). Posteriormente en el año 1997 se publicaron la

FEMA 273 (1) y su anexa FEMA 274 (4). Como sucesor de dicha publicación, surgió en el año 2000

la FEMA 356 (2).

Estos documentos, presentan enfoques equivalentes en cuanto al diseño, siendo similares en cuanto a

la definición de la generación de curvas “push-over”. Difieren en cuanto al método empleado en la

definición del desplazamiento inelástico a partir de la carga sísmica. Las publicaciones FEMA

273/274 y FEMA 356 emplean un procedimiento denominado “Método del Coeficiente” mientras

que ATC-40 muestra un método basado en el espectro.


4

A modo general, en la Figura 1-2 se ilustra un resumen de las diferentes metodologías que se

emplean en el diseño:

Figura 1-2: Métodos de análisis sísmico (5)

Para realizar modelos SDOF simplificados de la estructura, se emplea la metodología ilustrada en la

Figura 1-3, donde a partir de una distribución lateral de carga se obtiene una relación no lineal

fuerza-deformación global de la estructura:


5

Figura 1-3: Proceso de conversión a modelo de un grado de libertad (5)

En el caso de la ley de comportamiento aplicable a la unión viga pilar, las figuras 1-5, 1-6 y 1-7,

resumen el proceso:

Figura 1-4: Curva de histéresis (5)

En la Figura 1-4 se muestran los resultados de la curva de histéresis típicos de un ensayo.

En la Figura 1-5, se representa esquemáticamente las curvas de histéresis, así como la envolvente que

definiría la ley de comportamiento última del elemento.


6

Figura 1-5: Envolvente de la curva de histéresis (5)

En la Figura 1-6se representan curvas base típicamente empleadas según el material sea dúctil, semi-

dúctil o frágil.

Figura 1-6: Curvas de comportamiento simplificadas (5)

1.3.2 Método de cálculo estático no lineal o método “push-over”

Dado que uno de los objetivos finales de este proyecto consiste en la validación de un modelo que

permita la obtención de curvas de comportamiento fuerza-deformación, se pretende en este apartado

explicar de manera simplificada la aplicabilidad de dicha curva de comportamiento al diseño sísmico

de estructuras.

Uno de los métodos de cálculo más empleados por su simplicidad, es el método Estático No lineal

(Non Linear Static Procedure, NSP), ampliamente conocido como método Pushover, que se

presenta a continuación:

El método NSP o pushover, en primer lugar, define el comportamiento de los elementos mediante un

modelo matemático no lineal que relaciona las variables fuerza-deformación individualmente para

cada elemento y somete la estructura a una carga lateral, monotónica e incremental hasta que se


7

supera un desplazamiento máximo establecido previamente.

La normativa establece la localización del punto de control de desplazamiento, asemejable al punto

que hace coincidir la curva de demanda con la de respuesta, es decir el desplazamiento “real”

máximo elástico más el desplazamiento inelástico que alcanzará la estructura cuando se le aplique el

terremoto de diseño en su emplazamiento, y la distribución de carga a aplicar lateralmente. También

se establece el valor de desplazamiento máximo permitido el cual viene definido por la Ecuación

(1-2):

Donde 𝐶0, 𝐶1, 𝐶2, y 𝐶3 son coeficientes de corrección, 𝑆𝑎 es la aceleración espectral y 𝑇𝑒 el valor del

periodo.

El resultado obtenido del análisis, al superar el valor máximo de desplazamiento permitido arroja una

curva similar a la mostrada en la Figura 1-7:

Figura 1-7: Curva Fuerza – Desplazamiento (2)

A partir de dicha curva se obtienen de manera aproximada los valores 𝐾𝑖 y 𝐾𝑒 que representan

respectivamente:

𝐾𝑖 = Rigidez lateral elástica del edificio en la dirección considerada

𝐾𝑒 = Rigidez lateral efectiva del edificio en la dirección considerada

Como resumen de las características del método descrito se pueden remarcar las planteadas a

continuación:

Convierte un problema tridimensional en uno unidimensional en la dirección de carga

establecida

Incorpora una ley de comportamiento fuerza-deformación no lineal para cada elemento

𝛿𝑡 = 𝐶0𝐶1𝐶2𝐶3𝑆𝑎𝑇𝑒

2

4𝜋2𝑔 (1-2)


8

Se establece un nodo de control de desplazamiento y se define un valor de desplazamiento

máximo para dicho nodo en función del periodo de oscilación, el espectro de aceleración y

una serie de factores correctores

Se obtiene una curva fuerza-desplazamiento que permite obtener la rigidez de la estructura

completa.

Este proyecto se centrará en realizar un modelo que permita obtener esa ley de comportamiento no

lineal que emplea el método pushover.

La normativa proporciona unas pautas para obtener dicha ley de comportamiento y establece a su vez

unos criterios de aceptabilidad según los resultados obtenidos en el análisis.

1.3.3 Niveles de aceptación

Un primer concepto a considerar antes de describir las curvas fuerza-deformación es el de niveles de

aceptación o niveles de funcionamiento. Esto no es más que una clasificación de situaciones de

diseño establecida en base a las capacidades resistentes de la estructura según el método de cálculo

llevado a cabo.

La FEMA 356 establece la siguiente clasificación:

Inmediate Ocuppancy: Situación del edificio posterior a la acción sísmica en la cual existe

seguridad en cuanto a ocupación del mismo. El edificio mantiene sus características previas

al terremoto en cuanto a resistencia y rigidez y cumple con el diseño realizado.

Life safety: Situación del edificio posterior a la acción sísmica en la cual se han producido

daños estructurales en algunos componentes pero se mantiene un margen de seguridad en

cuanto al colapso parcial o total de la estructura en los términos de cálculo establecidos.

Collapse prevention: Situación del edificio posterior a la acción sísmica en la cual se han

producido daños estructurales tales que la estructura es capaz de soportar cargas gravitatorias

pero no dispone de margen en cuanto al colapso según el método de cálculo establecido.

Se definen a su vez estados intermedios continuos, denominados rangos, que incluyen situaciones

que se encuentran en valores intermedios de los anteriores estados.

1.3.4 Curvas Fuerza-Deformación

Como se ha explicado anteriormente, el primer paso en el método de cálculo no lineal, consiste en

establecer una relación fuerza-deformación para los diferentes elementos que constituyen la

estructura según su comportamiento y material.

Una curva fuerza-deformación simplificada se ilustra en la Figura 1-8:


9

Figura 1-8: Ley de comportamiento Fuerza-Desplazamiento (2)

Donde la relación 𝑄/𝑄𝑦 representa la relación entre la fuerza/momento aplicada/o y la

fuerza/momento de límite elástico, y los valores 𝜃 y ∆ representan las variables de rotación o

deformación respectivamente.

Los valores 𝑎, 𝑏, y 𝑐 representan parámetros de deformación y resistencia que definen la curva.

Dichos parámetros dependen de muchos factores como la geometría, el material, etc. La FEMA 356,

por ejemplo en el caso del elementos de hormigón armado incluye una serie de tablas que permiten

estimar dichos valores según diferentes casuísticas. Un ejemplo de esto se muestra en la Figura 1-9:

Figura 1-9: Parámetros para definición de columnas de hormigón armado (2)

En la Figura 1-9 podemos observar como para diferentes configuraciones se establecen valores para

𝑎, 𝑏, y 𝑐, y los valores que definen los diferentes niveles de aceptación explicados anterioremente.

1.4 Fundamentos de la plasticidad

10

1.4 Fundamentos de la plasticidad

Dado que el modelo que se empleará en el cálculo es un modelo plástico, conviene explicar los

fundamentos de la plasticidad que serán comentados en mayor medida en el capítulo 2 de este

proyecto.

Una de las maneras más sencillas de conocer cómo se comporta un material al someterlo a carga, se

realiza, por ejemplo en el caso del acero, mediante un ensayo uniaxial de tracción. Dicho ensayo

consiste en someter una probeta de dimensiones normalizas a una fuerza axial de tracción y medir la

deformación que se produce en la misma. Al representar los valores de fuerza y deformación se

obtiene una curva semejante a la ilustrada en la Figura 1-10:

Figura 1-10: Curva de ensayo uniaxial de compresión (6)

Un primer tramo, conocido como tramo elástico, conlleva deformaciones, las cuales desaparecen una

vez retirada la carga; éstos son deformaciones elásticas. A partir de un determinado valor,

denominado límite elástico, las deformaciones producidas en el elemento permanecerán en él al

retirar la carga. Dichas deformaciones se conocen como deformaciones plásticas. Llegado un punto,

el material no resiste más carga y éste se rompe (carga de rotura).

Cabe diferenciar entre deformación real y deformación ingenieril, relacionadas por la Ecuación (1-3):

Por lo tanto mediante el ensayo uniaxial, es posible obtener una curva de comportamiento que

relaciona fuerza y deformación para un material en una dirección. Existen ensayos similares que

permiten la obtención de curvas de compresión, como en el caso del hormigón, o de tracción en

materiales frágiles.

Sin embargo, dicho modelo permite predecir el comportamiento de un material en la dirección del

ensayo. Cabe preguntarse que sucederá con el material ante un estado de carga aleatorio. Este

휀𝑟𝑒𝑎𝑙 = ln(1 + 휀𝑛𝑜𝑚 ) (1-3)

1.5 Introducción a la mecánica de fractura en el hormigón armado

11

aspecto, es el que analiza la teoría de la plasticidad, permitiendo analizar el comportamiento de los

materiales ante estados de carga aleatorios.

Como explicaremos más detalladamente en el siguiente capítulo, la teoría de plasticidad se

fundamenta en los siguientes conceptos fundamentales:

Criterio de plastificación: Define el límite a partir del cual el material se comporta

plásticamente

Regla de flujo: Describe la relación entre tensión y deformación una vez el material ha

plastificado

Condición de consistencia: Condición que previene que la tensión supere el límite de

plastificación

Cabe diferenciar el distinto tratamiento que debe realizarse según estudiemos un material típicamente

metálico o un material granular como pueden ser las rocas, suelos, hormigón u otros materiales

granulares.

Mientras que para materiales metálicos es relativamente sencillo definir un comportamiento plástico

al ser éstos incompresibles, no sensibles a la presión hidrostática y seguir con buena aproximación

una regla de flujo asociado. Para materiales como el hormigón, resulta más complicado definir un

comportamiento plástico. Sin embargo como veremos más adelante, también es posible definir

modelos de comportamiento plástico para estos materiales.


En este apartado se presenta la evolución del proceso de fisuración de un elemento de hormigón

armado. La mayor o menor aparición de fisuras está relacionada con multitud de factores como

pueden ser la carga aplicada o la temperatura.

1.5.1 Evolución de la fisuración en un elemento de hormigón armado

Para la explicación del fenómeno de fisuración emplearemos un elemento de hormigón armado

sometido a tracción, siendo extrapolable el concepto a cualquier otro estado de carga, donde, la

evolución de tensiones en la pieza será diferente.

Supongamos un tirante de hormigón de longitud 𝐿, de sección rectangular 𝑏𝑥𝑕, y reforzado mediante

una armadura de área 𝐴𝑐 .

El comportamiento de dicho elemento frente a una carga axial creciente viene definido por la gráfica

de la Figura 1-11:


12

Figura 1-11: Relación Axil-Deformación para un elemento de hormigón armado (7)

En la Figura 1-11 podemos observar tres fases diferenciadas:

Fase sin presencia de fisuras

Fase de formación de fisuras

Fase de fisuración estabilizada

En la primera fase, denominada sin presencia de fisuras, existe compatibilidad de deformaciones

entre acero y hormigón en todas las secciones del tirante; esto es, en todas las secciones del mismo la

deformación de ambos materiales es la misma.

Cuando el hormigón alcanza una tensión de tracción de valor igual a la resistencia a tracción 𝑓𝑐𝑡 se

provoca una fisura en la sección más débil del elemento.

En dicha sección, desaparece el hormigón a tracción, siendo el acero quien resiste toda la tracción

producida.

En las zonas alejadas de la fisura, no se ha modificado el estado y permanecen sin fisuración

existiendo en ellas compatibilidad de deformaciones entre acero y hormigón.

En la zona próxima a la fisura, en una longitud 𝑙𝑡 , a cada lado de la misma, las secciones presentan

un comportamiento intermedio entre ambos estados, sin fisuras y formación de fisuras.

Como se puede observar en la Figura 1-11, el tramo de formación de fisuras es horizontal, dado que

sin necesidad de un incremento en la fuerza, el tirante experimenta un aumento de elongación, como

consecuencia de una disminución de rigidez, tanto en la fisura como en las zonas cercanas a ella.

El estado de formación de primera fisura se ilustra en la Figura 1-12:


13

Figura 1-12: Formación de primera fisura (7)

El axil no se ha visto modificado, de modo que cualquiera de las secciones, la más débil en este caso,

podrá volver a fisurarse sin necesidad de que éste se vea incrementado.

Figura 1-13: Formación de última fisura(7)

1.5.2 Modelos de análisis de rótulas plásticas

El comportamiento de las estructuras frente a cargas sísmicas es altamente complejo incluyendo

multitud de factores que influyen en la respuesta como pueden ser acciones dinámicas, grandes

deformaciones y desplazamientos, daño, plasticidad y comportamiento próximo al colapso.

El riesgo que supone la degradación de una estructura debida a la acción sísmica ha provocado que


14

se haya avanzado en este campo enormemente en los últimos años. Una de las estrategias de diseño

más empleadas y que proporciona grandes resultados a pesar de su alto coste es el Análisis Dinámico

Incremental (IDA).

Sin embargo, a pesar de la alta complejidad del cálculo sísmico, mayormente se emplean modelos

simplificados por su mayor aplicabilidad. Es por ello que se necesita la verificación y análisis de la

certeza de los resultados que presentan dichos modelos simplificados de cálculo.

Los dos enfoques de cálculo principales a la hora de realizar un análisis no lineal de estructuras de

hormigón armado se describen a continuación:

1.5.2.1 Lumped plasticity models

En este tipo de modelos, el comportamiento no lineal del hormigón armado se concentra en zonas de

longitud cero en el modelo, denominadas rótulas plásticas, normalmente situadas en las zonas de

conexión entre vigas y columnas.

La ley de comportamiento que define cada rótula plástica es caracterizada mediante una ley fuerza-

desplazamiento.

Este tipo de modelos se encuentra implementado en multitud de programas de elementos finitos,

como puede ser SAP2000. Dichos modelos se basan en las relaciones establecidas en la FEMA 356.

1.5.2.2 Modelos basados en la mecánica de medios continuos

El elemento de hormigón armado se modeliza mediante elementos finitos mediante el empleo de

software de cálculo. En la mayoría de los casos, el hormigón se modela mediante modelos 3D

sólidos mientras que los refuerzos se modelizan mediante elementos tipo viga, imponiendo

condiciones de contorno adecuados entre ambos. Se simula el comportamiento mediante modelos no

lineales de plasticidad

El modelo analizado en el presente proyecto estaría integrado en este grupo.

1.5.2.3 Otros modelos

Otros modelos empleados pueden ser los de plasticidad distribuida. En ellos se emplean fibras para

simular el comportamiento plástico a lo largo del elemento. Cada fibra se asocia con una relación

tensión-deformación y posteriormente se realiza la integración imponiendo las condiciones de Euler-

Bermouilli(8).

15

2 MODELOS DE DAÑO PLÁSTICO

2.1 Fundamentos de la teoría de plasticidad

Como se anticipó en el Capítulo 1, la teoría de la plasticidad es la encargada de representar el

comportamiento de sólidos bajo carga en un rango de aplicación cuyo análisis no es abarcable desde

el punto de vista de la teoría de la elasticidad.

Esta teoría fue inicialmente formulada en 1872 para representar el fenómeno de distorsión en la red

cristalina de los metales y se emplea en la actualidad para representar el comportamiento a escala

macroscópica sin que se esté desarrollando ningún fenómeno de plasticidad de metales a escala

microscópica.

El postulado principal de la teoría de la plasticidad consiste en descomposición de la deformación

según una deformación elástica y una deformación plástica irreversible (Ecuación (2-1)):

Es precisamente la deformación plástica la que lleva asociado un comportamiento energético no

conservativo dependiente del camino recorrido.

La teoría de plasticidad representa el comportamiento físico macroscópico de los sólidos a partir las

siguientes premisas o características:

Un período inicial elástico, el cual puede ser lineal o no lineal.

Un comportamiento elasto-plástico posterior al elástico, donde las tensiones no crecen de manera

proporcional al campo de deformaciones y donde éstas resultan de la adición de una parte

recuperable (elástica) y una parte irrecuperable (plástica). El punto de separación de ambos estados

se conoce como límite de fluencia en materiales metálicos y como límite de discontinuidad en el caso

de materiales friccionales (por ejemplo el hormigón). El espacio tensional que define dicho punto de

separación es conocido como función de fluencia plástica o de discontinuidad respectivamente.

En la Figura 2-1 se ilustra de forma esquemática el comportamiento uniaxial de un punto

correspondiente a un material elasto-plástico ideal. Al inicio se presenta una zona elástica donde

existe proporcionalidad entre tensiones y deformaciones hasta el punto A (límite de

proporcionalidad). A partir de dicho punto se inicia un tramo elástico no lineal hasta el punto A’, a

partir del cual aparece el comportamiento elasto-plástico caracterizado por una disminuación del

módulo de rigidez tangente. En el caso de realizar un proceso de descarga en dicho tramo, se puede

observar que únicamente se recuperaría la parte elástica, quedando remanente una parte plástica.

휀 = 휀𝑒 + 휀𝑝 (2-1)

2.1 Fundamentos de la teoría de plasticidad

16

Figura 2-1: Ley de comportamiento a compresión (9)

Dentro del tramo elasto-plástico se distinguen tres zonas diferentes:

Zona de crecimiento de tensión (Tramo OB), denominada zona elasto-plástica con

endurecimiento.

Zona plástica perfecta o zona sin endurecimiento (Tramo CD)

Zona plástica con ablandamiento (Tramo DE).

Dentro de la teoría de la plasticidad existen dos conceptos a destacar que se explican a continuación:

El criterio de fluencia o plastificación expresado de forma genérica según la Ecuación (2-2),

que permite establecer el inicio del comportamiento inelástico y la posterior evolución de las

fronteras del dominio elástico dentro del espacio de tensiones.

El comportamiento del material fuera del límite elástico, denominado comportamiento

elasto-plástico viene definido mediante la formulación de:

Una descomposición de las deformaciones según una parte elástica y una plástica.

Una regla de flujo plástica 𝑔(𝜎)

Unas variables internas 𝛼(𝜎,𝛼) que dependen de la evolución del proceso elasto-

plástico.

𝐹 𝜎,𝛼 = 0 (2-2)

2.2 Criterio de plastificación

17

Pasemos a continuación a describir la definición y formulación de cada uno de los conceptos

anteriores.


Como se explicó en el capítulo anterior, existe un valor por encima del cual el material plastifica. Y

como hemos visto dicho valor es fácil de obtener mediante la realización de un ensayo uniaxial. Sin

embargo en el caso de existir diferentes fuerzas actuando simultáneamente en diferentes direcciones,

establecer el valor de dichas fuerzas a partir del cual el material comienza a plastificar resulta algo

más complejo.

El criterio de fluencia es una función escalar de argumentos tensoriales que delimita el dominio

elástico.

La definición de un criterio de plastificación tiene, de forma genérica una expresión como la

expresada en la Ecuación (2-3):

Donde se incluyen las 6 componentes independientes de tension y 𝛼 define una serie de variables

internas. De forma simplificada se puede expresar como indica la Ecuación (2-4):

La Ecuación (2-4) refleja una superficie tridimensional en el espacio tensión, reflejada en la Figura

2-2 para el caso bidimensional:

Figura 2-2: Superficie de plastificación (9)

𝑓 𝜎𝑥 ,𝜎𝑦 ,𝜎𝑧 ,𝜎𝑥𝑧 ,𝜎𝑥𝑦 ,𝜎𝑦𝑧 ,𝛼𝑖 ,… ,𝛼𝑛 = 0 (2-3)

𝑓 𝝈,𝜶 = 0 (2-4)


18

Se distinguen 3 situaciones diferentes:

𝑓 < 0: Nos encontraríamos en zona elastica

𝑓 > 0: Zona inadmisible

𝑓 = 0: Nos encontraríamos en zona plástica

La teoría de la plasticidad tan solo admite dos estados de comportamiento mecánico en cada punto de

un sólido: elástico o elasto-plástico. La situación de un punto cualquiera, en un instante de tiempo

determinado del proceso de carga viene definida a partir de la condición de consistencia plástica.

Esto es:

El proceso de deformación de un punto es elástico si se cumple (Ecuación (2-5)):

El proceso de deformación de un punto es elasto-plástico si se cumple (Ecuación (2-6)):

El hecho de que el material plastifique o no, debe ser independiente del sistema de coordenadas

elegido en el cálculo. Dado que para materiales isótropos, no podemos considerar ningún efecto en

función de la orientación, un criterio de plastificación debe depender únicamente de los invariantes

del tensor de tensiones.

Conviene primeramente, para mayor compresión de los criterios que posteriormente se

explicarán,establecer la división del tensor de tensiones en un tensor esférico o hidrostático, y un

tensor desviador.

El tensor de tensiones viene expresado, en un sistema de coordenadas cualquiera mediante de la

siguiente manera (Ecuación (2-7)):

Las tensiones principales de dicho tensor pueden ser obtenidas resolviendo el siguiente problema de

𝑓 𝜎,𝛼 < 0 ó 𝑓 𝜎,𝛼 =𝜕𝑓

𝜕𝜎∙ 𝜎 +

𝜕𝑓

𝜕𝛼∙ 𝛼 < 0 (𝑑𝑒𝑠𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎) (2-5)

𝑓 𝜎,𝛼 = 0 𝑦 𝑓 𝜎,𝛼 =𝜕𝑓

𝜕𝜎∙ 𝜎 +

𝜕𝑓

𝜕𝛼∙ 𝛼 < 0 (𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎) (2-6)

𝜎11 𝜎12 𝜎13

𝜎21 𝜎22 𝜎23

𝜎31 𝜎32 𝜎33

=

𝜎𝑥 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧𝜏𝑦𝑥 𝜎𝑦 𝜏𝑦𝑧𝜏𝑧𝑥 𝜏𝑧𝑦 𝜎𝑧

(2-7)


19

autovalores (Ecuación (2-8)):

Lo cual lleva a la resolución de la siguiente Ecuación cúbica en 𝜎 (Ecuación (2-9):

En la Ecuación XX, los valores 𝜎1, 𝜎2, y 𝜎3 representan los valores de las tensiones principales y los

valores 𝐼1, 𝐼2, y 𝐼3 se denominan invariantes del tensor y vienen definidos por las Ecuaciones (2-10) -

(2-12):

La expresión de los invariantes se simplifica teniendo en cuenta que en el plano definido por las

tensiones principales, las tensiones tangenciales son nulas (Ecuaciones (2-13) – (2-15)):

El tensor de tensiones, expresado en copmonentes de tensiones principales puede ser expresado

como la suma de un tensor esférico o hidrostático y un tensor desviador (Ecuación (2-16):

𝜎𝑖𝑗 − 𝜎𝛿𝑖𝑗 = 0 (2-8)

𝜎3 − 𝐼1𝜎2 + 𝐼2𝜎 − 𝐼3 = 0 (2-9)

𝐼1 = 𝜎11 + 𝜎22 + 𝜎33 (2-10)

𝐼2 = 𝜎11𝜎22 + 𝜎22𝜎33 + 𝜎33𝜎11 − 𝜎122 − 𝜎13

2 − 𝜎232 (2-11)

𝐼3 =

𝜎11 𝜎12 𝜎13

𝜎21 𝜎22 𝜎23

𝜎31 𝜎32 𝜎33

(2-12)

𝐼1 = 𝜎1 + 𝜎2 + 𝜎3 (2-13)

𝐼2 = 𝜎1𝜎2 + 𝜎2𝜎3 + 𝜎3𝜎1 (2-14)

𝐼3 = 𝜎1𝜎2𝜎3 (2-15)


20

Donde 𝜎𝑕 representa el tensor esférico y 𝑠 el tensor desviador.

El tensor esférico o hidrostático viene definido por la Ecuación (2-17:

Donde el valor 𝜎𝑚 viene definido por la Ecuación (2-18:

De forma similar a lo realizado para el tensor de tensiones se pueden obtener las tensiones

principales del tensor desviador, obteniendo los valores de los invariantes 𝐽1, 𝐽2 y 𝐽3 (Ecuación (2-19)

- (2-21)):

De esta manera el criterio de plastificación puede expresarse en función de los diferentes invariantes.

Típicamente en el caso de materiales metálicos, se ha probado experimentalmente que la influencia

de la presión hidrostática sobre la deformación plástica es despreciable, siendo dependiente

principalmente de la tensión desviadora. Esto conlleva que los criterios de fluencia para materiales

metálicos vengan expresados generalmente según la Ecuación (2-22):

En el caso de materiales friccionales, como el hormigón, las fuerzas de rozamiento entre partículas

aumentan con la presión en sus caras (tensor esférico o hidrostático). Esto se refleja en el criterio de

plastificación mediante la dependencia del mismo con el invariante 𝐼1 (Ecuación (2-23)):

𝜎 = 𝜎𝑕 + 𝑠 (2-16)

𝜎𝑕 = 𝜎𝑚 0 00 𝜎𝑚 00 0 𝜎𝑚

(2-17)

𝜎𝑚 =1

3 𝜎1 + 𝜎2 + 𝜎3 =

1

3𝐼1 (2-18)

𝐽1 = 𝑠1 + 𝑠2 + 𝑠3 = 0 (2-19)

𝐽2 =1

6 𝜎1 − 𝜎2

2 + 𝜎2 − 𝜎3 2 + 𝜎3 − 𝜎1

2 (2-20)

𝐽3 = 𝑠1𝑠2𝑠3 (2-21)

𝑓 𝐽2 , 𝐽3 ,𝛼 = 0 (2-22)


21

2.2.1 Criterio de Von Mises

En materiales dúctiles como son típicamente los metales, las deformaciones inelásticas tiene lugar a

partir de la rotura a lo largo de los planos cristalográficos. El principio de plastificación es por lo

tanto independiente de la parte volumétrica del tensor (presión o tensión principal). Esto implica su

independencia del invariante 𝐼1 definido anteriormente.

Este criterio se define según la Ecuación (2-24):

Donde 𝛼 es un parámetro del material.

Figura 2-3: Superficies de plastificación según criterio de Von Mises (sólido) y Tresca (discontinuo):

a) meridianos, b) plano desviador, c) tensión plana (10)

2.2.2 Criterio de Mohr-Coulomb

El criterio de Mohr-Coulomb es un criterio dependiente de la presión, esto es del tensor esférico

empleado frecuentemente para la resistencia de suelos. Se fundamenta en el hecho de que la tensión

tangencial necesaria para la plastificación se incrementa con la tensión de compresión normal a dicho

plano.

En su expresión más sencilla, el criterio viene definido por la Ecuación (2-25):

Donde 𝜏 y 𝜎 son respectivamente las tensiones tangencial y normal, y 𝑐 y 𝜙 son constantes del

𝑓 𝐼1, 𝐽2 , 𝐽3 ,𝛼 = 0 (2-23)

𝐽2 − 𝛼 = 0 (2-24)

𝜏 = 𝑐 − 𝜎 ∙ 𝑡𝑎𝑛𝜙 (2-25)


22

material.

El parámetro 𝑐 se conoce como cohesión y representa la resistencia tangencial del material bajo una

tensión normal a dicho plano nula. El valor 𝜙 es el ángulo de fricción interno.

En el plano 𝜎 − 𝜏, se puede visualizar la plastificación cuando el círculo que representa la tensión,

entra en contacto con la recta representada (Figura 2-4):

Figura 2-4: Superficie de plastificación en el plano 𝜎 − 𝜏: a) Mohr-Coulomb, b) Tresca (10)

2.2.3 Criterio de Drucker-Prager

El criterio de Drucker-Prager, criterio dependiente de la presión, se expresa según la Ecuación

(2-26):

Donde 𝛼 y 𝜏0 son propiedades del material.

Este criterio se asemeja al criterio de Von Mises, sin embargo en este caso, el criterio es dependiente

de la presión (parte esférica del tensor o presión hidrostática).

Figura 2-5: Superficie de plastificación según criterio de Drucker-Prager: a) meridianos, b) plano

desviador, c) tensión plana (10)

𝑓 𝐼1, 𝐽2 = 𝛼𝐼1 + 𝐽2 − 𝜏0 = 0 (2-26)

2.3 Concrete Damaged Plasticity

23


El modelo de daño empleado en el proyecto, y que incorpora el software ABAQUS (11) denominado

Concrete Damaged Plasticity fue incorporado en su versión 2013 y está basado en el modelo(12) y

su posterior modificación según (13)

En este apartado se describirá primeramente el modelo sin degradación de rigidez propuesto por

J.Lubliner (12) para ilustar los conceptos asociados a un modelo plástico. Posteriormente se explicará

el modelo con degradación de rigidez propuesto por J.Lee y G:L. Fenves (13). Finalmente se

formulará el modelo implementado en ABAQUS indicando el significado de los diferentes

parámetros así como los parámetros así como su significado físico y la metodología necesaria para su

obtención.

2.3.1 Modelo inicial J. Lubliner et al. (12)

2.3.1.1 Generalidades del modelo

El modelo implementado en el software ABAQUS procede del modelo presentado por J. Lubliner

(12) et al en el año 1988 modificado posteriormente por J. Lee (13)

Como introducción a los modelos de daño plásticos se describirá a continuación el modelo planteado

inicialmente por Lubliner et al.(12) incidiendo en los aspectos más importantes de la publicación

para posteriormente comentar brevemente los cambios introducidos en el modelo por J. Lee.

La idea surge de la necesidad de contemplar en un único modelo constitutivo el comportamiento no

lineal del hormigón tanto en tracción como en compresión.

Hasta ahora en la mayoría de los casos donde el estudio se centraba en el desarrollo de grietas por

tracción en el hormigón, el enfoque se basaba en la aplicación de la teoría de la plasticidad en la zona

de compresión y en el tratamiento de la zona de tracción mediante diversas versiones de la mecánica

de fractura.

La problemática de este enfoque, a pesar de su probada utilidad, radica en la necesidad de definir

comportamientos independientes en cada dirección principal, la necesidad del uso de factores de

retención de resistencia tangencial a lo largo de la grieta, la falta de equilibrio en el punto de fractura

cuando se forma más de una grieta, la dificultad de definir el camino de fisuración siguiendo la

apertura y cierre de grietas bajo carga cíclica y las dificultades a la hora de enfrentarse con el efecto

combinado de fractura y plasticidad en los puntos dañados.

Como bien es sabido, el hormigón presenta un ablandamiento que lleva a una pérdida total de la

resistencia bajo cualquier estado de carga exceptuando la compresión triaxial, donde la presión

hidrostática predomina frente al tensor desviador. Dicho ablandamiento se produce tanto en tracción

como en compresión, pero mientras que la curva de ablandamiento en tracción se describe en los

modelos de mecánica de fractura, el ablandamiento en compresión es más controvertido.

Sin embargo, cualitativamente el comportamiento en tracción y compresión en el hormigón no

difiere mucho en su forma. El hormigón se incluye dentro de los materiales con fricción cohesivos,

siendo el motivo de la pérdida de resistencia la desaparición de la cohesión entre las partículas.

Como se comento anteriormente, los elementos principales que debe incluir todo modelo plástico

son el criterio de plastificación, la regla de flujo y la regla de endurecimiento.

El primero de los elementos enunciados, se consigue mediante el empleo de criterios de

plastificación como el de Mohr-Coulomb o Drucker Prager, descritos anteriormente y que pueden


24

expresarse de forma genérica según la Ecuación (2-27):

Donde 𝑓(𝜎) es una función de los componentes de tensión homogénea de primer grado y el

parámetro 𝑐 se identifica con la cohesión del material.

Estos criterios, sin embargo, no representan de un modo preciso el comportamiento real del

hormigón salvo que sean adecuadamente modificados. Durante los últimos años se han propuesto

numerosos criterios y superficies de plastificación para simular el comportamiento del hormigón

(14)(15)(16)(17). Sin embargo pocos de ellos vienen expresados según la Ecuación (2-27).

El segundo y tercero de los componentes de la teoría de plasticidad, puede obtenerse mediante la

incorporación de una variable de daño plástico que permite determinar la evolución de la variable de

cohesión 𝑐 de forma similar al modelo clásico de plasticidad.

2.3.1.2 Formulación del modelo

El modelo de daño plástico consiste en una forma particular del modelo de la teoría de plasticidad

donde la variable de endurecimiento es sustituida por una variable, que denominaremos 𝜅, similar en

su definición dado que su valor nunca decrete, y éste solo aumenta tan solo si tiene lugar una

deformación plástica. Además el valor de dicha variable tiene un valor máximo límite relacionado

con la formación de una grieta macroscópica.

Como se dijo previamente, dicha variable 𝜅 debe estar relacionada con la degradación de la cohesión

en el material. Se escalará el valor de 𝑐 de manera que se cumpla 𝑐 = 𝑓𝑐𝑜 cuando 𝜅 = 0 y 𝑐 = 0

cuando 𝜅 = 1. Sin embargo a diferencia de los modelos de plasticidad usuales que emplean

endurecimiento isotrópico, el valor 𝑐 tiene necesariamente que ser una función de 𝜅. El valor de 𝑐

para un determinado 𝜅 debe depender del proceso; esto es, el valor de cohesión 𝑐 se incluye como

una variable interna gobernada por una Ecuación donde 𝑐 es proporcional a 𝜅 , siendo dicho

coeficiente de proporcionalidad función de las variables de estado.

Si no contabilizamos la degradación de la rigidez en el modelo, las ecuaciones básicas que incluye el

modelo son las ilustradas en las ecuaciones (2-28) a (2-32):

El criterio de plastificación:

La descomposición elasto-plástica de la deformación:

La regla de flujo:

𝑓 𝜎 = 𝑐 (2-27)

𝑓 𝜎 = 𝑐 (2-28)

휀 = 𝐷−1𝜎 + 휀𝑝 (2-29)

휀 𝑝 = 𝜆 𝑔 (2-30)


25

Donde 𝜆 es el factor de carga plástica y 𝑔 =𝜕𝐺

𝜕𝜎 es el vector de flujo plástico normal a la superficie de

plastificación 𝐺 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.

La ecuación de variación para la variable de daño 𝜅:

La ecuación de variación para la variable de cohesión 𝑐

Para entender mejor el concepto de la variable interna 𝜅 procedamos a definir 𝜅 en el caso de

tracción como se muestra en la Ecuación (2-33), partiendo del conocimiento de la curva de

comportamiento 𝜎 − 휀𝑝 como se ilustra en la Figura 2-6:

Figura 2-6: Curvas uniaxiales 𝜎 − 휀𝑝 : a) tensión; b) compresión (12)

La función 𝜎 − 휀𝑝 ha de ser convertida en una función 𝜎 − 𝜅. Para ello se escalará de manera que se

cumplan las siguientes condiciones (ecuaciones (2-34) y (2-35)):

𝜅 = 𝑕𝑇(𝜎, 𝑐, 𝜅)휀𝑝 (2-31)

𝑐 = 𝑘(𝜎, 𝑐, 𝜅)𝜅 (2-32)

𝜅 =1

𝑔𝑡 𝜎휀𝑝

0

𝑑휀𝑝 (2-33)


26

De igual manera se puede proceder para el comportamiento a compresión definiendo la variable de

daño 𝜅 según la Ecuación (2-36):

La Ecuación (2-36) deberá cumplir las mismas condiciones que en el caso de tracción; esto es

(Ecuación (2-37) y (2-38)):

La relación considerada que relaciona 𝜎 − 휀𝑝 viene expresada según la Ecuación (2-39):

Donde 𝑎 y 𝑏 son constantes adimensionales.

Combinando la Ecuación (2-36) y (2-39) obtenemos la relación 𝜎 = 𝑓(𝜅) que viene expresada en la

Ecuación (2-40):

Donde: 𝜙 𝜅 = 1 + 𝑎 2 + 𝑎 𝜅.

𝑓𝑡 0 = 𝑓𝑡0 (2-34)

𝑓𝑡 1 = 0 (2-35)

𝜅 =1

𝑔𝑐 𝜎휀𝑝

0

𝑑휀𝑝 (2-36)

𝑓𝑐 0 = 𝑓𝑐0 (2-37)

𝑓𝑐 1 = 0 (2-38)

𝜎 = 𝑓0 1− 𝑎 𝑒𝑥𝑝 −𝑏휀𝑝 − 𝑎𝑒𝑥𝑝 −2𝑏휀𝑝 (2-39)

𝜎 = 𝑓 𝜅 =𝑓0

𝑎 1 + 𝑎 𝜙(𝜅)− 𝜙(𝜅) (2-40)


27

La superficie de plastificación viene determinada por la Ecuación (2-41):

Donde 𝛼, 𝛽 y 𝛾 son constantes adimensionales dependientes del material.

Cabe destacar la relación del criterio de plastificación descrito con el de Drucker-Prager, sin más que

hacer nulo el valor de 𝜎𝑚𝑎𝑥 (en el caso de compresión biaxial).

El parámetro 𝛼 viene definido por la Ecuación (2-42):

Donde 𝑓𝑏0 es la resistencia del hormigón frente a compresión biaxial, y 𝑓𝑐0 es la resistencia a

compresión uniaxial.

Valores experimentales de la relación 𝑓𝑏0/𝑓𝑐0 se encuentran entre 1.10 y 1.16, lo cual implica

valores de 𝛼 entre 0.08 y 0.12.

El valor de 𝛽 puede obtenerse una vez conocido 𝛼 a partir de la Ecuación (2-43):

Donde 𝑓𝑡0 es el valor de la resistencia a tracción uniaxial del hormigón.

El parámetro 𝛾 solamente aparece en el caso de compresión triaxial, es decir, en aquellos casos en los

que 𝜎𝑚𝑎𝑥 < 0.

La regla de flujo empleada en el modelo para evaluar el camino plástico del material consiste en una

modificación del valor de G típico del criterio de Mohr-Coulomb modificando el valor del ángulo de

dilatación por el ángulo de fricción interno (Ecuación (2-44)):

𝑓 𝜎 =1

1 − 𝛼 3𝐽2 + 𝛼𝐼1 + 𝛽 𝜎𝑚𝑎𝑥 − 𝛾 𝜎𝑚𝑎𝑥 (2-41)

𝑓𝑏0

𝑓𝑐0=

1− 𝛼

1− 2𝛼 (2-42)

𝑓𝑐0

𝑓𝑡0=

1 + 𝛼 + 𝛽

1 − 𝛼 (2-43)

𝐺 𝜎,𝜓 =𝐼13𝑠𝑒𝑛𝜓+ 𝐽2 𝑐𝑜𝑠𝜃 −

𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝜓

3 (2-44)


28

2.3.2 Modelo J.Lee y G.L. Fenves (13)

El modelo surge como una mejora al modelo propuesto por J.Lubliner incorporando varias

modificaciones al mismo con el objetivo de simular de una manera más certera el comportamiento

del hormigón frente a cargas cíclicas.

La rotura del hormigón se diferencia de la rotura de otros materiales como pueden ser los metales

debido a que no se debe a una formación de nueva superfícies de rotura, sino a la generación de

microgrietas en el material. Dicha formación de microgrietas es la causante del fallo, y se representa

macroscópicamente a través de un ablandamiento del material.

A su vez, la formación de microgrietas también causa una degradación de la rigidez del material, lo

cual puede verse en el caso de estructuras sometidas a carga cíclica. Esta degradación puede

contemplarse en el campo de la mecánica de medios continuos mediante la relación entre tensiones

totales y tensiones efectivas.

En el modelo propuesto por J. Lubliner, se introducía una variable escalar de daño para representar

cualquier estado de daño del material. Además se introducían variables de degradación elástica y

plástica para simular la degradación de rigidez producida.

Dado que en materiales quasi-frágiles, como el hormigón, sometidos a carga cíclica se producen

diferentes estados de daño como son la fractura por compresión, fractura por tracción y degradación

de rigidez, el empleo de una única variable de daño no parece adecuado.

Este modelo, acorde con lo explicado anteriormente, modifica el modelo de J. Lubliner al incluir dos

variables de daño, una para tracción y otra para compresión, y modifica el criterio de plastificación.

2.3.2.1 Formulación del modelo

Al igual que presentamos anteriormente el modelo de J. Lubliner, las ecuaciones que definen el

presente modelo son idénticas a las presentadas en dicho modelo con las salvedades que se indican a

continuación y que constituyen las mejoras del modelo.

El modelo incluye dos variables para representar el daño a tracción y compresión 𝜅𝑡 y 𝜅𝑐 .

A diferencia del modelo propuesto por J. Lubliner, donde la variable de cohesión 𝑐 dependía

únicamente de la variable de daño 𝑐 = 𝑐(𝜅), en el presente modelo se modela la función de

plastificación mediante dos variables de cohesión 𝑐𝑐 para la cohesión a compresión y 𝑐𝑡 para la

cohesión a tracción. Para ello se hace uso de un parámetro 𝛽. (ecuaciones (2-45) a (2-47)):

De esta manera, el criterio de plastificación queda expresado mediante la Ecuación (2-48):

𝛽 = 𝛽(𝜅) (2-45)

𝛽 =𝑐𝑐 𝜅

𝑐𝑡 𝜅 1− 𝛼 − (1 + 𝛼) (2-46)

𝑐 = 𝑐𝑐(𝜅) (2-47)


29

2.3.3 Modelo CDP incluido en ABAQUS (11)

El modelo implementado en ABAQUS denominado “Concrete Damaged Plasticity” está basado en

todo lo expuesto en los apartados anteriores. A continuación se describen sus características

fundamentales.

Se contempla una descomposición de la deformación en parte elástica y parte plástica (Ecuación

(2-49)):

Se establece la relación entre tensión y defromación mediante un matriz de rigidez multiplicada por

un valor escalar de degradación (Ecuación (2-50)):

Se incluyen dos variables de daño, una para el comportamiento a tracción 휀 𝑡𝑝𝑙

y otra para el

comportamiento a compresión 휀 𝑐𝑝𝑙

. La evolución de dichas variables viene dada por la Ecuación

(2-51):

La función de plastificación en el estado de tensiones efectivas viene dado de forma genérica por la

expresión (2-52):

Dicha expresión de plastificación, en su versión desarrollada viene dada por la Ecuación (2-53):

𝑓 𝜎, 𝜅 =1

1− 𝛼 3𝐽2 + 𝛼𝐼1 + 𝛽(𝜅) 𝜎𝑚𝑎𝑥 − 𝑐𝑐(𝜅) (2-48)

휀 = 휀𝑒 + 휀𝑝 (2-49)

𝜎 = 1− 𝑑 𝐷0𝑒𝑙 : (휀 − 휀𝑝𝑙 ) (2-50)

휀 𝑝𝑙 = 𝑕(𝜎 , 휀 𝑝𝑙 ) ∙ 휀 𝑝𝑙 (2-51)

𝐹 𝜎 , 휀 𝑝𝑙 ≤ 0 (2-52)


30

Donde 𝛼 y 𝛾 son constantes adimensionales del material; 𝑝 es la presión hidrostática efectiva, y 𝑞 es

la tensión equivalente de Von Mises.

El valor 𝛼 y 𝛽 tienen la definición dada anteriormente en las ecuaciones (2-54) y (2-55).

El coeficiente 𝛾 solo entra en juego en el caso de compresión triaxial y se determina mediante la

comparación de los meridianos de tracción y compresión. Definiendo 𝐾𝑐 = 𝑞𝐶𝑀/𝑞𝑇𝑀 , este viene

dado por la Ecuación (2-56):

Típicamente el valor de 𝐾𝑐 se considera igual a 2/3 lo cual equivale a un valor de 𝛾 = 3

El valor de 𝐾𝑐 tiene influencia en la forma de la superficie de plastificación tal y como se puede

apreciar en la Figura 2-7:

𝐹 𝜎 , 휀 𝑝𝑙 =1

1− 𝛼 𝑞 + 3𝛼𝑝 + 𝛽 휀 𝑝𝑙 𝜎 𝑚𝑎𝑥 − 𝛾 −𝜎 𝑚𝑎𝑥 − 𝜎 휀

𝑝𝑙 ≤ 0 (2-53)

𝛽 =𝜎𝑐 휀

𝑝𝑙

𝜎 𝑡 휀 𝑝𝑙

1− 𝛼 − (1 + 𝛼) (2-54)

𝑓𝑏0

𝑓𝑐0=

1− 𝛼

1− 2𝛼 (2-55)

𝐾𝑐 =𝛾 + 3

2𝛾 + 3 (2-56)


31

Figura 2-7: Superficie de plastificación en el plano desviador según valores de 𝐾𝑐

La regla de flujo deriva de un potencial G según la Ecuación (2-57):

Donde 𝜆 es un multiplicador plástico no negativo.

El potencial plástico viene dado por la expresión (2-58):

Donde 𝜓 es el ángulo de dilatancia medido en el plano p-q, 𝜎𝑡0 es la tensión de rotura a tracción, 𝜖 es

un parámetro denominado excentricidad, el cual define lo próxima que se encuentra la superficie a la

asíntota.

El ángulo de dilatancia viene asociado al cambio de volumen inelástico que experimenta un material

𝛾휀 𝑝𝑙 = 𝜆 𝜕𝐺(𝜎 )

𝜕𝜎 (2-57)

𝐺 𝜎,𝜓 = 𝜖𝜎𝑡0𝑡𝑎𝑛𝜓 2 + 𝑞 2 − 𝑝 𝑡𝑎𝑛𝜓 (2-58)


32

friccional, como es el hormigón, debido a la desviación plástica. Este fenómeno, denominado

dilatancia, se puede atribuir al crecimiento de los mecanismos de micro-fisuración que sufre el

hormigón durante el periodo inelástico. La Figura 2-8 representa este fenómeno:

Figura 2-8: Fenómeno de dilatancia (9)

La superficie de plastificación en el estado de tensión plana se representa en la Figura 2-9:

Figura 2-9: Superficie de plastificación en tensión plana (11)


33

La representación de los estados de compresión y tracción uniaxiales viene dada por las Figuras 2-10

y 2-11:

Figura 2-10: Ley de comportamiento a tracción (11)


Por último, el modelo considera una variable de viscosidad que favorece la convergencia a la hora de

resolver el análisis no lineal. Esta variable resulta muy importante, dado que al definir

comportamientos inelásticos del material, combinado con variables de daño y degradación, así como

bajo estados de carga cíclicos, se producen problemas importantes de convergencia.


34

Esta variable permite que valores de la tensión se sitúen fuera de la superficie de plastificación

definida. El empleo de valores pequeños de dicha variable donde 𝑡

𝜇−→ ∞, permite mejorar

enormemente la convergencia, sin comprometer los resultados.

35

3 MECÁNICA DE LA FRACTURA EN EL

HORMIGÓN ARMADO

En el presente apartado se pretende presentar de manera sucinta los principales métodos de fractura

empleados en la actualidad, describiendo con mayor detalle los modelos de daño, siendo éste el

modelo empleado en el análisis realizado (18).

3.1 Modelos de fractura en el hormigón

Existen fundamentalmente cuatro procedimientos principales que permiten modelizar el

comportamiento no lineal de estructuras de hormigón armado y en masa, en los cuales se predice la

aparición y posterior evolución de las fisuras y la carga última de colapso:

Modelo de fisura discreta

Modelo de fisura distribuida

Modelos de daño

Modelos de barras

3.1.1 Modelo de fisura discreta

Este modelo se fundamenta en la condición de que al superarse la tensión de resistencia a tracción

del hormigón, se empieza a producir una caída en las tensiones, la cual varía con el valor de la

apertura de grieta. La zona de ablandamiento del hormigón donde se produce la nucleación,

crecimiento y propagación de la microfisuración inicial es la zona de proceso de fisura. En la Figura

3-1 se ilustra este concepto:

Figura 3-1: Variación de tensiones en la formación de grieta (18)


36

En dicho modelo, se supone que la fisura se produce en el momento en que la fuerza nodal normal a

los contornos de un elemento finito excede la máxima tensión de tracción que resiste el hormigón

acorde a un ensayo uniaxial de tensión. Una vez alcanzado dicho límite en un nodo, se incorporan

nuevos grados de libertad en el mismo y se crea una discontinuidad geométrica entre el nodo antiguo

y el nuevo.

Las principales desventajas que presenta este método son la necesidad de un cambio en la topología

de la malla y la restricción de la propagación de fisuras a líneas nodales del modelo. Esto puede

mejorarse, por ejemplo, mediante el empleo de técnicas de remallado.

La curva que describe el ablandamiento del hormigón se describe mediante una curva tensión –

apertura de grieta (𝜎 − 𝑤) que permite determinar el desarrollo de la zona de proceso de fractura

(ZPF). La Figura 3-2 muestra una curva tensión – apertura de grieta típica del comportamiento del

hormigón:

Figura 3-2: Ley de ablandamiento 𝜎 − 𝑤 (18)

Cabe destacar el valor de 𝑓𝑐𝑡 el cual se corresponde con el límite de tracción del hormigón, y la

relación existente entre la zona de ablandamiento y la energía de fractura, la cual viene relacionada

mediante la Ecuación (3-1):

Donde 𝐺𝑓 representa la energía de fractura, y 𝑤𝑐𝑢 la apertura crítica de grieta a partir de la cual el

valor de las tensiones es nulo.

Como veremos posteriormente en los modelos de daño, se han propuesto diferentes modelos de leyes

de ablandamiento, los cuales se ilustran en la Figura 3-3:

𝐺𝑓 = 𝜎𝑤𝑐𝑢

0

𝑑𝑤 (3-1)


37

Figura 3-3: Ley de ablandamiento: a) Lineal, b) Bilineal, c) Exponencial (18)

Siendo la distribución más empleada la bilineal.

3.1.2 Modelo de fisura distribuida

El modelo de fisura distribuida o continua, al contrario que el modelo de fisura discreta, contempla el

sólido como un continuo. Una vez iniciada la fisuración, se supone que el comportamiento isótropo

lineal cambia por un modelo ortótropo en función de la dirección de la fisuración. La fundamental

consecuencia de este hecho es la preservación de la topología inicial de la malla.

En las ecuaciones (3-2) y (3-3) se muestran las ecuaciones que modelan el comportamiento antes de

la fisuración y posterior a la fisuración en un elemento plano (donde x e y representan ejes

principales y 1 y 2 ejes locales de la fisura):

El momento en que la tensión principal mayor supera el valor de la resistencia a tracción del

hormigón, se supone la aparición de una fisura en la dirección normal. Alcanzado dicho valor, se

modifica la matriz de comportamiento en ejes locales, reduciéndose la resistencia en la dirección

normal a la fisura y manteniéndose la resistencia en la dirección de la misma. La nueva matriz de

comportamiento se convierte a ejes globales mediante una matriz de transformación.

𝜎𝑥𝜎𝑦𝜎𝑧 =

𝐸

1− 𝜈2

1 𝜈 0𝜈 1 0

0 01 − 𝜈

2

휀𝑥휀𝑦𝛾𝑥𝑦

(3-2)

𝜎1

𝜎2

𝜏12

=𝐸

1− 𝜈2

0 0 00 𝐸 00 0 𝛽𝐺

휀1

휀2

𝛾12

(3-3)


38

3.1.3 Modelos de daño

Los modelos daño fundamentan su aplicabilidad en la mecánica del daño. Esta disciplina es una

rama de la mecánica de medios continuos que incorpora los cambios que se producen a nivel

microestructural en el elemento mediante la incorporación de variables internas bien escalares o

vectoriales.

En este sentido, la teoría del daño se encuentra íntimamente ligada a la teoría de la plasticidad, dado

que ambas empleen variables internas para la simular la influencia de la historia del material en la

evolución del mismo.

Las Figuras 3-4 y 3-5 representan las diferentes disciplinas y métodos de resolución que están

presentes en el planteamiento y resolución de los modelos de daño plástico:

Figura 3-4: Disciplinas relaciones en modelos de daño plástico (9)


39

Figura 3-5: Teorías y métodos de resolución implicados en los modelos de daño plástico (9)

El proceso de microfisuración en el hormigón, sucede a niveles de carga bajos, debido a la pérdida de

cohesión entre las diferentes partículas de mortero y árido presentes en la mezcla, o por la fisuración

del propio mortero.

Dicha fisuración progresa siguiendo caminos no homogéneos que combinan los mecanismos

anteriormente mencionados así como la interconexión entre microfisuras en diferentes direcciones.

Experimentalmente se ha probado que la microfisuración es un fenómeno no direccional y que la

propagación de fisuras sigue caminos aleatorios dependiendo del tamaño de las partículas del árido.

Según esto, las direcciones de fisuración principales pueden interpretarse como el lugar geométrico

de las trayectorias de los puntos dañados del material (Figura 3-6).

Figura 3-6: Fenómeno de fisuración (9)


40

La conclusión que se extrae de este planeamiento es la posibilidad de modelar el comportamiento no

lineal del hormigón mediante la teoría del daño, si se define una función de daño adecuada que tenga

en cuenta la diferencia de comportamiento en tracción y compresión del material.

La fisuración se interpreta en este caso como un efecto de daño local, definido por la evolución de

parámetros conocidos del material y de funciones que controlan la aparición y posterior evolución

del daño.

La principal ventaja de este tipo de modelos radica en la independencia del análisis de las direcciones

de fisuración, las cuales pueden ser identificadas posteriormente una vez obtenida la solución no

lineal del problema.

3.1.3.1 Modelo de daño isótropo

Para entender mejor el concepto de daño, se ilustra ahora este concepto aplicado a un ejemplo

concreto. Imaginemos un elemento de hormigón, donde la variable 𝑆 representa la sección total de la

probeta y 𝑆′ el área resistente efectiva en cada instante. Definiremos el índice de daño según la

Ecuación (3-4):

Dicho índice de daño 𝑑 puede definirse como la proporción de defectos existente en el material.

En el caso de un material sin daño, el valor de 𝑑 será nulo, viéndose incrementado su valor según se

produzca la propagación de la fisuración en el elemento.

En este caso consideraremos un valor escalar para representar el daño, considerando que las

microfisuras no tienen una dirección particular y definiéndose la fractura macroscópica

posteriormente como el lugar geométrico de los puntos dañados (variable de daño superior a 0).

Podemos relacionar el concepto de daño, con el concepto de tensión efectiva. Por equilibrio debe

cumplirse la relación mostrada en la Ecuación (3-5):

Donde 𝜎′ es el valor de la tensión efectiva.

Sustituyendo el valor de la Ecuación (3-4) en la Ecuación (3-5) obtenemos la siguiente relación

mostrada en la Ecuación (3-6):

𝑑 =𝑆 − 𝑆′

𝑆= 1−

𝑆′

𝑆 (3-4)

𝜎 ∙ 𝑆 = 𝜎′ ∙ 𝑆′ (3-5)

𝜎 = 1− 𝑑 ∙ 𝜎′ = 1− 𝑑 ∙ 𝐸 ∙ 휀 (3-6)


41

Durante el proceso de fisuración del material, 𝑆′ es el valor del área efectiva que soporta la carga

exterior, y por ello, el valor de la tensión efectiva 𝜎′ es un valor más representativo físicamente que

𝜎.

El modelo de daño requiere conocer en todo momento el valor de la variable de daño 𝑑 en cada

instante de la historia de la deformación de la estructura.

3.1.4 Modelos de barras

En este tipo de modelos, el modelo continuo del elemento se sustituye por una malla de elementos de

barras articuladas o reticuladas. Posteriormente se asignan a dichas barras propiedades de la

microestructura del material dependiendo del elemento que modelen en cada caso.

El empleo de este tipo de modelos es útil cuando el objetivo del análisis es investigar sobre el origen

del proceso de fisuración a nivel de detalle.

42

4 DATOS EXPERIMENTALES. DESCRIPCIÓN DEL

ENSAYO

4.1 Necesidad de bases de datos experimentales

El objetivo del diseño sísmico mediante la ingeniería sísmica basada en la experiencia (perfomance-

based eartquake engineering, PBEE) consiste en la evaluación de los edificios en base a objetivos o

criterios límite.

Un objetivo viene definido como una probabilidad de alcanzarse o superarse un determinado estado

de daño en el edificio (desde un comportamiento elástico hasta el colapso del mismo) según unos

niveles de riesgo discretos.

En los Estados Unidos las primeras referencias a esta metodología se encuentran en las publicaciones

de ATC (1996) y FEMA (1997). Como se comentó en el Capítulo 1, en dichas publicaciones se

establece unos niveles de funcionamiento como son en el caso FEMA: Ocupación inmediata (IO),

Seguridad ocupacional (LS), y Prevención del colapso (CP).

Durante los últimos años, la organización Pacific Earthquake Engineering Research (PEER) ha

desarrollado una metodología de aplicación a la técnica PBEE. Dicha metodología se basa en la

definición de unos patrones de intensidad sísmica y su evaluación en modelos no lineales que

simulan el comportamiento de la estructura. Los resultados obtenidos del análisis permiten obtener

fuerzas, esfuerzos cortantes, momentos, aceleraciones... Posteriormente dichos valores son

relacionados(19) con estados de daño que determinan el estado de daño global del edificio.

Para poder realizar un enfoque de dichas características es precisa la realización de un número

suficiente de ensayos que permitan validar y calibrar los modelos de comportamiento no lineal de las

estructuras.

Hasta hace poco tiempo, tan solo existían algunas bases de datos de estas características. Estas bases

de datos incluían datos parciales sobre los componentes ensayados de acero y hormigón armado. Sin

embargo no incluían informes digitalizados del ensayo de carga o de la relación de histéresis

momento-rotación.

Una de las bases de datos existentes actualmente es la realizada por Lignos y Krawinkler, 2011 (20).

En ella se incluyen 3 bases de datos diferentes:

Secciones en W de vigas de acero

Perfiles cuadrados de sección hueca de acero

Vigas de hormigón armado

El contenido general en cada una de las bases de datos es el siguiente:

Metadatos: Configuración, geometría, propiedades del material, detalles de armado (en el

caso de hormigón armado, etc...

Resultados obtenidos: Historial digitalizado del ensayo.

Datos deducidos del ensayo: Curvas de histéresis momento-rotación, carga última de rotura...

4.2 Base de datos empleada

43


La base de datos empleada en el presente proyecto ha sido la elaborada por la organización europea

Seismic Engineering Research Infrastructures for European Synergies (SERIES) para el proyecto

“Enrichment of the distributed database with existing data” (2013) (21)

Dicha base de datos se subdivide en 3 categorías:

Vigas de hormigón armado

Columnas de hormigón armado

Muros de hormigón armado

La base de datos se realizó con el propósito de proporcionar a los investigadores una base sólida de

datos experimentales para el desarrollo e investigación en el campo del diseño sísmico. La presente

base de datos se apoya en trabajos previos llevados a cabo en Washington University (PEER

Database), University of Patras (Biskinis et al. 2004, Panagiotakos and Fardis, 2001) (19) (22)(23)

Además de los datos obtenidos de las fuentes anteriores, la presente base de datos también incorpora

datos propios producidos por la propia organización SERIES.

4.2.1 Base de datos de columnas de hormigón armado

Las tres subdivisiones de la base de datos siguen una estructura parecida, sin embargo, siendo la base

de columnas de hormigón armado la empleada en el proyecto, procederemos a comentar los aspectos

principales de la misma, siendo la estructura de las dos restantes muy similar a la descrita.

4.2.1.1 Reported Data

Experiment campaign number: Se incluye el número del experimento. Este es un número de la base

de datos.

Test number: Número de serie del experimento.

Test ID notation: Número que incluye el número de experimento y el número de test.

Reference: Es la fuente, por ejemplo, artículo, donde se describe el experimento.

Digitized History: Hace referencia al archivo que contiene el historial de la respuesta del

experimento.

Comments: Incluye comentarios pertinentes al experimento.

X-Axis: Unidades empleadas en el eje X

Y-Axis: Unidades empleadas en el eje Y.

4.2.1.2 MetaData

Units: Sistema de unidades empleado (Sistema métrico o internacional)

Loading: Tipo de carga cíclica (C) o monotónica (M).

Cross Section: Indica el tipo de sección. Cuadrada (S) o circular (C).

𝑓𝑐 Resistencia a compresión del hormigón

𝑓𝑐𝑡 ,𝑓𝑙 Resistencia a flexión del hormigón


44

𝑓𝑐𝑡 ,𝑠𝑝 Spliting tensile of concrete

N: Denota la fuerza axial

P-D: Indica el efecto P-delta.

b: Ancho de la sección

h: Altura de la sección

L: Longitud de la columna Cantilever equivalente

𝐿𝑠𝑝𝑙𝑖𝑐𝑒 : Longitud de anclaje

Test configuration: Indica el tipo de configuración del ensayo según las siguiente categorías:

C: Viga Cantilever

DC: Doble curvatura

FB: Viga Cantilever con base flexible

DE: Doble acabado

HH: Cabeza de martillo

Una representación de los tipos de configuración nombrados se muestra en la Figura 4-1:

4.3 Descripción del ensayo

45

Figura 4-1: Tipo de configuración del ensayo


Se ha tomado para la comprobación de los modelos de elementos finitos los resultados obtenidos de

los ensayos realizados por Murat Saatcioglu y Guney Ozcebe (1989) (24)

En dichos ensayos se ensayaban elementos de hormigón armado representativos de una columna de

un primer piso. La geometría de dicho pilar se ilustra en la Figura 4-2:


46

Figura 4-2: Geometría del ensayo experimental (24)

La carga lateral se aplicó mediante el empleo de dos actuadores de 250 kN de capacidad, actuando

sobre un elemento de transferencia de carga en la parte superior de la columna.

Las columnas se anclaron al suelo mediante armadura postesada para alcanzar una condición de

empotramiento en la base.

Para la medición de los desplazamientos horizontales se emplearon transductores de desplazamiento

variable lineales (LVDTs). A su vez, un sistema de adquisición de datos automático fue empleado

para el registro de datos. La configuración del ensayo, así como los elementos que lo componen se

ilustra en la Figura 4-3:


47

Figura 4-3: Equipo de realización del ensayo (24)

Los especímenes fueron sometidos a una carga cíclica en desplazamiento controlado. El historial de

carga se definió relativo al desplazamiento de plastificación (Δ𝑦). Dicho desplazamiento de

plastificación se refiere a aquel desplazamiento impuesto que produce una plastificación a nivel

general de la columna. La Figura 4-4 ilustra el estado de carga previsto en el ensayo:


48

Figura 4-4: Historial de carga teórico del ensayo experimental

El ensayo escogido dentro de los existentes fue el realizado al espécimen U1 cuyas características se

incluyen en la Tabla 4-1:

Test

Resistencia

característica

del

hormigón

(MPa)

Acero

longitudinal Acero transversal

Configuración

Carga

axial (kN) 𝑓𝑦 (MPa) 𝑓𝑦 (MPa) Separación (mm)

U1 43.6 430 470 150 Tipo A 0

Tabla 4-1: Datos de los materiales del ensayo experimental U1

La representación del historial de carga real realizado, se representa en la Figura 4-5:

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35

De

fle

xió

n D/D

y

Estado de carga

Historial de carga


49

Figura 4-5: Historial de carga digitalizado del ensayo experimental

-80,00

-60,00

-40,00

-20,00

0,00

20,00

40,00

60,00

80,00

100,00

1 51 101 151 201 251 301 351 401 451 501

De

spla

zam

ien

to h

ori

zon

tal (

mm

)

Estado de carga

Historial de carga real

50

5 GENERACIÓN DE MODELOS EN ABAQUS

5.1 Introducción

Se describe en el presente apartado la metodología para realizar los diferentes modelos analizados en

este proyecto. No pretende ser un manual de uso de ABAQUS, sin embargo si resulta interesante

analizar los valores introducidos y el tratamiento que el programa realiza con ellos.

Se incidirá principalmente en el modelado de las leyes de comportamiento, dada su importancia en la

obtención de la solución.

Finalmente, en el último apartado se aportan los parámetros necesarios para la definición de cada uno

de los modelos, así como las características de los diferentes análisis.

5.2 Geometría

La geometría en aquellos modelos donde se emplea un elemento de hormigón en masa, consiste en

una columna de sección cuadrada de ancho 𝑏 = 0.35 𝑚 y longitud 𝐿 = 1 𝑚. (Figura 5-1)

En los modelos donde el elemento consiste en una columna de hormigón armado, la geometría es

una columna de hormigón armado de sección cuadrada de ancho 𝑏 = 0.35 𝑚 y longitud 𝐿 = 1 𝑚.

El armado de la sección se indica en la Figura 5-2:

Figura 5-1: Geometría de columna de hormigón en masa (dimensiones en m)

5.3 Leyes de comportamiento

51

Figura 5-2: Geometría de columna de hormigón armado (dimensiones en m)


La definición de las leyes de comportamiento requiere una mayor atención, dada su especial

importancia en el modelo realizado. Se comentarán a continuación las diferentes leyes de

comportamiento empleadas para el hormigón así como la ley de comportamiento empleada para la

definición del acero.

5.3.1 Leyes de comportamiento del hormigón

Se han definido 3 leyes diferentes de comportamiento para el hormigón para un mayor análisis del

comportamiento del modelo CDP. Las tres leyes de comportamiento simulan de igual manera el

comportamiento a compresión, diferenciándose entre sí en la definición del comportamiento a

tracción.

5.3.1.1 Ley de comportamiento a compresión

La definición de la curva de comportamiento a compresión del hormigón ha sido idéntica en todos

los modelos analizados. Se ha definido mediante una curva 𝜎𝑐 − 휀𝑐,𝑖𝑛 , representando pares de

valores de tensión y deformación inelástica.

Para una correcta definición de la curva se ha hecho uso del Código Modelo (1993). Dicho estándar

de diseño establece, en función de la resistencia a compresión 𝑓𝑐𝑘 del hormigón una serie de

ecuaciones que permiten la obtención de parámetros de diseño.

Se define la resistencia a compresión media 𝑓𝑐𝑚 según la Ecuación (5-1):


52

Donde ∆𝑓 = 8 𝑀𝑃𝑎.

El valor del módulo de elasticidad puede ser obtenido mediante la Ecuación (5-2):

Donde 𝑓𝑐𝑚0 = 10 𝑀𝑃𝑎, ∆𝑓 = 8 𝑀𝑃𝑎 y 𝐸𝑐0 = 2.15𝑥104𝑀𝑃𝑎.

El coeficiente de Poisson (𝜈) puede tomar valores comprendidos entre 0.1 y 0.2. En nuestro se acepta

como válido un valor del coeficiente de Poisson 𝜈 = 0.2.

En la Figura 5-3 se ilustra un diagrama típico de compresión uniaxial para el hormigón:


La curva que describe el comportamiento hasta el punto de rotura 𝜎𝑐 ,𝑙𝑖𝑚 viene dada por la Ecuación

(5-3):

𝑓𝑐𝑚 = 𝑓𝑐𝑘 + ∆𝑓 (5-1)

𝐸𝑐𝑖 = 𝐸𝑐0 𝑓𝑐𝑘 + ∆𝑓

𝑓𝑐𝑚0

1/3

(5-2)


53

Donde el valor 𝐸𝑐1 se corresponde con el módulo de elasticidad secante desde el origen hasta la

tensión pico de compresión y viene definido por la Ecuación (5-4):

El valor correspondiente a la deformación en el punto de tensión máxima tiene se define 휀𝑐1 =0.0022.

El valor de tensión límite 휀𝑐 ,𝑙𝑖𝑚 se obtiene mediante la aplicación de la Ecuación (5-5):

Para describir la curva de ablandamiento posterior al valor de deformación límite se emplea la

Ecuación (5-6):

Donde el valor 𝜉 viene definido por la Ecuación (5-7):

𝜎𝑐 = −

𝐸𝑐𝑖

𝐸𝑐1∙휀𝑐

휀𝑐1−

휀𝑐

휀𝑐1

2

1 + 𝐸𝑐𝑖

𝐸𝑐1− 2 ∙

휀𝑐

휀𝑐1

∙ 𝑓𝑐𝑚 (5-3)

𝐸𝑐1 = 𝑓𝑐𝑚 /0.0022 (5-4)

휀𝑐 ,𝑙𝑖𝑚

휀𝑐1=

1

2

1

2

𝐸𝑐𝑖𝐸𝑐1

+ 1 + 1

4

1

2

𝐸𝑐𝑖𝐸𝑐1

+ 1 2

−1

2

1/2

(5-5)

𝜎𝑐 = 1


휀𝑐1

∙ 𝜉 −2


휀𝑐1

2 ∙ 휀𝑐휀𝑐1

2

+ 4


휀𝑐1

− 𝜉 ∙휀𝑐휀𝑐1

−1

∙ 𝑓𝑐𝑚 (5-6)


54

En nuestro caso, se ha considerado un rango elástico del material desde el origen hasta un valor de

tensión de compresión 𝜎𝑐 = 0.4 ∙ 𝑓𝑐𝑚 .

En la Tabla 5-1 se ilustran los valores que definen el comportamiento del hormigón a compresión y

la expresión para su obtención:

Parámetro Valor

𝑓𝑐𝑘 43.6 MPa (Obtenido del ensayo)

𝑓𝑐𝑚 51.60 MPa (Ecuación (5-1)

𝜈 0.2

𝐸𝑐1 23.454 GPa

𝐸𝑐𝑖 37.152 GPa (Ecuación (5-2)

휀𝑐1 0.0022 (Según Código Modelo)

휀𝑐 ,𝑙𝑖𝑚 0.0035 (Aprox. acorde a Código Módelo)

𝜎𝑒 0.4 ∙ 𝑓𝑐𝑚

Tabla 5-1: Parámetros de definición del comportamiento a compresión del hormigón

En la Figura 5-4 se ilustra la curva definida por las ecuaciones (5-3) y (5-6) anteriormente

formuladas:

𝜉 =4 ∙


휀𝑐1

2∙

𝐸𝑐𝑖

𝐸𝑐1− 2 + 2 ∙


휀𝑐1−

𝐸𝑐𝑖

𝐸𝑐1

1 + 𝐸𝑐𝑖

𝐸𝑐1− 2 ∙


휀𝑐1

2 (5-7)


55

Figura 5-4: Ley de comportamiento a compresión

Para obtener los valores de degradación de la rigidez, se ha escalado la curva de comportamiento

relativa a los valores de tensión 𝑓𝑐𝑚 y deformación 휀𝑐1, y comparado con la curva experimental de

Okamoto et al. (1976) (26). (Figura 5-5).

0

10

20

30

40

50

60

0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007

Ten

sió

n (

MP

a)

Deformación total

Ley de comportamiento a compresión

Compresión Elástica Lineal Daño 0.18 Daño 0.57 Daño 0.86


56

Figura 5-5: Ley de comportamiento a compresión (Okamoto et al. 1976) (26)(27)

Visualmente se han determinado tres puntos de descarga y obtenido el valor de la pendiente de

dichas rectas para determinar los valores de 𝑑𝑐 .

En la Figura 5-6 se muestra la curva de comportamiento del hormigón a compresión introducida en

ABAQUS, teniendo en cuenta que deben incluirse pares de valores tensión-deformación inelástica,

siendo ésta última el valor de la deformación total menos el valor de la deformación elástica.

(Ecuación (5-8)):

휀𝑖𝑛 = 휀𝑡𝑜𝑡 − 휀𝑒𝑙 = 휀𝑡𝑜𝑡 −𝜎

𝐸𝑖 (5-8)


57

Figura 5-6: Relación tensión-deformación inelástica

Se ha tomado un número de puntos de manera que la curva de comportamiento del hormigón sea

suficientemente representativa. En la Tabla 5-2 se muestran los valores de tensión, deformación y

daño seleccionados para el modelo.

Tensión (MPa) Deformación inelástica Variable de daño 𝑑𝑐

20.64 0 0

32.66831842 0.000120697 0

44.30781636 0.000307408 0

49.01412441 0.000480732 0

51.6 0.000811131 0

49.78033893 0.001160109 0

43.44396921 0.001630659 0

28.05121663 0.002390972 0.18760414

13.80480411 0.003128429 0.57194406

5.074601045 0.004263412 0.86589321

0

10

20

30

40

50

60

0 0,0005 0,001 0,0015 0,002 0,0025 0,003 0,0035 0,004 0,0045

Ten

sió

n (

MP

a)

Deformación inelástica

Ley de Comportamiento a Compresión


58

Tabla 5-2: Datos de definición de la ley de comportamiento a compresión del hormigón

5.3.1.2 Leyes de comportamiento a tracción

En la primera ley de comportamiento, la etapa de tracción se ha modelado mediante la definición de

una curva 𝜎𝑡 − 휀𝑡 ,𝑖𝑛 para simular el ablandamiento del hormigón una vez superado el límite de

tracción. En esta ley, los valores de degradación de la rigidez 𝑑𝑡 se han definido para los diferentes

puntos de deformación inelástica.

En la segunda ley de comportamiento, se ha simulado la etapa de tracción mediante la definición del

valor de la energía de fractura del material obtenida de acuerdo al Código Modelo. En esta ley, los

valores de degradación de la rigidez se han definido para diferentes valores de apertura de grieta (𝑤).

En la tercera ley, el comportamiento del hormigón a tracción se ha definido mediante una curva

bilineal 𝜎𝑡 − 𝑤 que relaciona el valor de la tensión a tracción (𝜎𝑡) con el valor de apertura de grieta

(𝑤). En esta ley, los valores de degradación de la rigidez se han definido para diferentes valores de

apertura de grieta.

Cabe destacar la relación existente entre las dos últimas definiciones del comportamiento a tracción,

siendo equivalentes entre sí en su modo de definición.

5.3.1.3 Ley de comportamiento 𝝈𝒕 − 𝜺𝒕,𝒊𝒏

Inicialmente se ha determinado el valor de la resistencia media a la tracción definido según el Código

Modelo mediante la Ecuación (5-9):

Donde 𝑓𝑐𝑡𝑘0,𝑚 = 1.40 𝑀𝑃𝑎 y 𝑓𝑐𝑘0 = 10 𝑀𝑃𝑎.

Se considera un tramo elástico con pendiente 𝐸𝑐𝑖 desde punto inicial hasta el valor 𝑓𝑐𝑡𝑚 de

resistencia a la tracción. Posteriormente se considera una curva de de ablandamiento en tracción.

Dicha evolución del ablandamiento en tracción se ha modelado partiendo de la curva experimental

realizada por Yankelevsky and Reinhardt (1987b) (28) que se ilustra en la Figura 5-7:

𝑓𝑐𝑡𝑚 = 𝑓𝑐𝑡𝑘0,𝑚 ∙ 𝑓𝑐𝑘𝑓𝑐𝑘0

2/3

(5-9)


59

Figura 5-7: Ley de comportamiento a tracción (Yankelevsky & Reinhardt (1987b)(28)

Al igual que se realizó en el caso de compresión, se obtienen los parámetros de daño de forma visual

según las curvas de descarga establecidas en el ensayo.

La curva que representa la tensión frente a la deformación total a tracción, incluyendo las curvas de

descarga en los puntos donde se ha especificado el daño se ilustra en la Figura 5-8:


60

Figura 5-8: Ley de comportamiento a tracción

En la Tabla 5-3 se muestran los valores introducidos en el modelo de ABAQUS para simular su

comportamiento a tracción mediante una ley de comportamiento del tipo tensión-deformación

inelástica, de igual manera que se realizó para introducir el comportamiento a compresión.

Tensión (MPa) Deformación inelástica Variable de daño 𝑑𝑡

3.73639138 0 0

3 0.000169252 0

2 0.000346168 0

1.3 0.000565009 0

0.68 0.000981697 0.7

0.52 0.001486004 0.92

0.45 0.001987888 0.96

Tabla 5-3: Datos de definición de la ley de comportamiento a tracción (stress-strain)

La curva que representa los puntos indicados en la Tabla 5-3 se ilustra en la Figura 5-9:

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0 0,0005 0,001 0,0015 0,002 0,0025

Ten

sió

n (

MP

a)

Deformación total

Ley de Comportamiento a Tracción

Tensión

Daño 0.7

Daño 0.92

Daño 0.96


61

Figura 5-9: Relación tensión-deformación inelástica

5.3.1.4 Ley de comportamiento mediante 𝑮𝑭

En este caso, el comportamiento en tracción del hormigón se determina mediante el valor de la

resistencia a tracción 𝑓𝑐𝑡𝑚 hallada previamente según el Código Modelo y el valor de la energía de

fractura del hormigón. Dicho valor viene definido mediante la Ecuación (5-10):

Donde 𝑓𝑐𝑚0 = 10 𝑀𝑃𝑎 y el valor de 𝐺𝐹0 viene dado en función del tamaño máximo del árido.

Considerando un tamaño máximo de árido 𝑑𝑚á𝑥 = 32 𝑚𝑚, se obtiene un valor de 𝐺𝐹0 =0.058 𝑁𝑚𝑚/𝑚𝑚2.

Otra fórmula propuesta para la determinación de la energía viene dada por la Ecuación (5-11), y será

la empleada en este modelo:

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0 0,0005 0,001 0,0015 0,002 0,0025

Ten

sió

n (

MP

a)

Deformación inelástica


𝐺𝐹 = 𝐺𝐹0 ∙ 𝑓𝑐𝑚𝑓𝑐𝑚0

0.7

(5-10)


62

El comportamiento al igual que en el caso anterior vendrá dado por un tramo lineal, seguido por un

ablandamiento, el cual se define mediante el valor de la energía de fractura definido arriba.

En la Tabla 5-4 se muestran los valores que definen este modelo de comportamiento:

Parámetro Valor

𝐺𝑓 148.4567013 N/m (Ecuación (5-11)

𝐸𝑐𝑖 37.152 GPa (Ecuación (5-2)

𝑓𝑐𝑡𝑚 3.736391 MPa (Ecuación (5-9)

Tabla 5-4: Parámetros del comportamiento a tracción empleando 𝐺𝑓

A la hora de definir los valores de daño, hay que interpretar la definición que realiza ABAQUS de la

energía de fractura. El software considera, si empleamos está definición, una ley lineal que relaciona

el valor de la tensión de tracción y la apertura de grieta como se ilustra en la Figura 5-10, siendo el

valor de 𝐺𝐹 , el área interior de dicha zona:

Figura 5-10: Ley de comportamiento a tracción mediante el valor 𝐺𝑓

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0 0,00001 0,00002 0,00003 0,00004 0,00005 0,00006 0,00007 0,00008 0,00009

Ten

sió

n (

MP

a)

Apertura de grieta w (m)


Ley de comp. Daño 0.5 Daño 0.8

𝐺𝐹 = 73 ∙ 𝑓𝑐𝑚0.18 (5-11)


63

Es sencillo, a raíz de lo explicado, obtener el valor de la apertura de grieta para el cual el hormigón

no resiste mayor tracción, mediante la Ecuación (5-12):

5.3.1.5 Ley de comportamiento 𝝈𝒕 −𝒘

Para caracterizar el comportamiento mediante la curva tensión-apertura de grieta se parte de la curva

aportada por el Código Modelo ilustrada en la Figura 5-11:

Figura 5-11: Leyes de comportamiento a tracción (29)

La curva de subida se simplificará en el modelo considerando un tramo lineal hasta el valor de 𝑓𝑐𝑡𝑚

con pendiente 𝐸𝑐𝑖 .

Para determinar el tramo de ablandamiento del hormigón se deben obtener los valores 𝑤1 y 𝑤𝑐 definidos según las ecuaciones (5-13) y (5-14) respectivamente:

𝑤𝑢 =2𝐺𝐹𝑓𝑐𝑡𝑚

= 7.947𝐸 − 05 𝑚 (5-12)


64

En Tabla 5-5: se muestran los valores que definen el comportamiento de ablandamiento en tracción:

Parámetro Valor

𝑤1 3.97326E-05 m (Ecuación (5-13))

𝑤𝑐 1.98663E-04 m (Ecuación (5-14))

𝑓𝑐𝑡𝑚 3.736391 MPa (Ecuación (5-9))

Tabla 5-5: Parámetros del comportamiento a tracción

En la Figura 5-12 se muestra la curva que define el comportamiento de ablandamiento:

Figura 5-12: Ley de comportamiento a tracción bilineal

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025

Ten

sió

n (

MP

a)



𝑤1 =𝐺𝐹𝑓𝑐𝑡𝑚

(5-13)

𝑤𝑐 = 5𝐺𝐹𝑓𝑐𝑡𝑚

(5-14)


65

Los valores introducidos en el modelo se ilustran en la Tabla 5-6:

Tensión (MPa) Apertura de grieta (m)

3.736391383 0

0.747278277 3.97326E-05

0 0.000198663

Tabla 5-6: Parámetros del comportamiento a tracción según curva de ablandamiento

En este modelo, no se ha considerado variable de disminución de la rigidez a tracción.

En la Figura 5-13 se ilustra una comparativa entre los dos métodos de definición del comportamiento

a tracción basados en la relación tensión-apertura de grieta:

Figura 5-13: Comparativa entre leyes de comportamiento

5.3.2 Ley de comportamiento del acero

La ley de comportamiento del acero considerada en los modelos que incluyen armado viene dada por

una ley elasto-plástica ideal formada por un tramo lineal hasta el valor de la tensión de límite elástico

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025

Ten

sió

n (

MP

a)


Leyes de Comportamiento a Tracción

GFI Desplazamiento Daño 0.5 Daño 0.8

5.4 Condiciones de contorno

66

y un tramo plástico horizontal.

Los valores que definen dicha curva se indican en la Tabla 5-7:

Parámetro Valor

𝜎𝑦 ,𝑡 (límite elástico armado transversal) 470 MPa (Según ensayo)

𝜎𝑦 ,𝑙 (límite elástico armado longitudinal) 430 MPa (Según ensayo)

𝐸𝑠 (Módulo de elasticidad del acero) 210000 MPa

Tabla 5-7: Parámetros de definición del comportamiento del acero

5.3.3 Parámetros del modelo Concrete Damaged Plasticity

Los parámetros explicados en el Capítulo 4 referente a la definición de la superficie de plastificación

que emplea el modelo CDP, incluidos en los modelos descritos se reflejan a en la Tabla 5-8:

Parámetro Valor

Dilation angle 40⁰

Eccentricity 0.1

𝑓𝑏0/𝑓𝑐0 1.16

𝐾 0.67

Viscosity Parameter 1E-03 – 1E-05

Tabla 5-8: Parámetros del modelo Concrete Damaged Plasticity (CDP)

5.4 Condiciones de contorno

Las condiciones aplicadas en el problema son las típicas de una configuración de viga en voladizo,

estando la base empotrada y el extremo libre.

En los modelos con armado, la compatibilidad de deformaciones entre acero y hormigón se ha

modelado mediante la condición embedded que ofrece ABAQUS.

La placa superior de anclaje de las armaduras se ha modelado mediante una condición tipo

embedded con la armadura interior, así como una condición tipo tie entre la placa y el hormigón de

su base para simular el contacto entre la superficie inferior de la placa y la parte superior de la viga

de hormigón.

5.5 Carga aplicada

En todos los modelos, la aplicación de carga se ha realizado mediante desplazamiento controlado.

En la comparativa de los diferentes modelos entre sí, la carga aplicada ha consistido en ciclos de 5, 8,

5.6 Elementos y mallado

67

y 10. A su vez, la carga empleada para la comparativa con el modelo experimental se realizó

mediante los datos digitalizados disponibles en la base de datos del mismo.

En el caso de los modelos de hormigón en masa, se introdujo una carga muy pequeña hasta los

0.5mm para contrastar la formación de grietas en la base de la columna.

En la comparativa entre los diferentes modelos entre sí se empleó por un lado una carga creciente

hasta 30mm para ver la evolución fuerza-desplazamiento y por otro lado cargas cíclicas como se

indica a continuación:

3 ciclos de carga de amplitud 5 mm

3 ciclos de carga de amplitud 10 mm

3 ciclos de carga de amplitud 2, 5 y 8 mm

A la hora de implementar los ciclos de carga en ABAQUS es necesario introducirla mediante

incrementos muy pequeños para facilitar la convergencia. En los modelos se emplearon incrementos

de carga de entre 0.1 y 0.2mm, así como incrementos mayores (1-2 mm) en el caso de la

introducción de la carga digitalizada del ensayo.

La carga se ha aplicado en su totalidad en un única etapa de carga (“step”) definiendo una tabla con

los diferentes valores que toma el desplazamiento impuesto en cada instante. Para ello se ha hecho

uso de la variable “time” que incluye ABAQUS y que en nuestro caso representa un tiempo ficticio

dado que no incluimos efectos dinámicos en el modelo.

5.6 Elementos y mallado

Para simular el hormigón se han empleado elementos denominados C3D8R y que representan

elementos·3D de 8 nodos. El mallado se realizó empleando elementos de 30mm.

De igual manera para modelar la placa de acero ubicada en la parte superior se emplearon elementos

tipo C3D8R de 50mm.

Para la simulación de las barras de armado longitudinal y transversal, se emplearon elementos

lineales 3D lineales tipo “truss” (T3D2) de una longitud de 25mm.

5.7 Definición de modelos

En los siguientes apartados se incluyen todos los parámetros necesarios para la realización de cada

uno de los modelos incluyendo a su vez todas las características del análisis realizado.

La lista de ensayos realizados se muestra a continuación:

M1-HM-S-0.5MM

M1-HM-GFI-0.5MM

M1-HM-W-0.5MM

M2-HA-S-30MM

M2-HA-W-30MM


68

M2-HA-GFI-30MM

M3-S-3C-5MM

M4-GFI-3C-5MM

M4-GFI-3C-10MM

M4-GFI-3C-2-5-8MM

M5-W-3C-5MM

M5-W-3C-10MM

M5-W-3C-2-5-8MM

M6-TEST-SIMULATION-GFI-DMG

M6-TEST-1Cx25MM

M6-TEST-1Cx25MM-V2

M6-TEST-1Cx50MM

M6-TEST-1Cx80MM

Las siglas empleadas tienen el siguiente significado:

𝑀1 −𝑀6: Identifican el archivo .cae de ABAQUS desde el modelo 1 hasta el 6.

𝐻𝑀: Hormigón en masa

𝐻𝐴: Hormigón armado

𝑆: Ley de comportamiento del hormigón a tracción mediante curva Stress-Strain

𝐺𝐹𝐼: Ley de comportamiento del hormigón a tracción mediante valor de Energía de Fractura

𝑊: Ley de comportamiento del hormigón a tracción mediante ley de ablandamiento bilineal

(tensión-apertura de grieta)

1𝐶𝑥10𝑀𝑀: Representan el número de ciclos y el valor de la amplitud de la carga en

desplazamiento.

A continuación, en las siguientes páginas se explican los parámetros de cada modelo detalladamente

en una hoja de características:


69

5.7.1 Modelo M1-HM-S-0.5MM

Identificador de ensayo: M1-HM-S-0.5MM

Descripción: Columna de hormigón en masa, empotrada en la base sometida a una carga lateral

creciente hasta un valor de 0.5mm.

Elasticidad Lineal 𝐸 = 37.152 GPa 𝜈 = 0.2

Concrete Damaged Plasticity Dilation angle 𝑓𝑏0/𝑓𝑐0 𝐾 Eccentricity 𝜇

40 1.16 0.67 0.1 0

Comportamiento a compresión Comportamiento a tracción

Tensión

(MPa)

Deformación

inelástica Variable de daño 𝑑𝑐 Tensión (MPa) Deformación

inelástica

Variable de

daño 𝑑𝑡

20.64 0 0 3.73639138 0 0

32.66831842 0.000120697 0 3 0.000169252 0

44.30781636 0.000307408 0 2 0.000346168 0

49.01412441 0.000480732 0 1.3 0.000565009 0

51.6 0.000811131 0 0.68 0.000981697 0.7

49.78033893 0.001160109 0 0.52 0.001486004 0.92

43.44396921 0.001630659 0 0.45 0.001987888 0.96

28.05121663 0.002390972 0.18760414

13.80480411 0.003128429 0.57194406

5.074601045 0.004263412 0.86589321

Parámetros de ejecución

Análisis (Job) Carga aplicada

Tipo: Estático Tipo: Desplazamiento controlado

Step time: 50 Monotónica

Step Max. Increments: 5000000 Rango: Desde 0 hasta 0.5mm

Tamaño de incremento: Min 1E-30/ Max 10 Valor de incremento de carga: 0.1mm

Variables de salida: UT, S, E, PE, PEEQ, RT, DAMAGET, DAMAGEC


70

5.7.2 Modelo M1-HM-GFI-0.5MM

Identificador de ensayo: M1-HM-GFI-0.5MM





40 1.16 0.67 0.1 0


Tensión

(MPa)

Deformación

inelástica Variable de daño 𝑑𝑐 Tensión (MPa) GFI (N/m)

20.64 0 0 3.73639138 148.4567

32.66831842 0.000120697 0 Apertura de grieta (m) Variable de daño 𝑑𝑡

44.30781636 0.000307408 0 0 0

49.01412441 0.000480732 0 5.81974E-05 0.5

51.6 0.000811131 0 7.41483E-05 0.8

49.78033893 0.001160109 0

43.44396921 0.001630659 0

28.05121663 0.002390972 0.18760414

13.80480411 0.003128429 0.57194406

5.074601045 0.004263412 0.86589321









71

5.7.3 Modelo M1-HM-W-0.5MM

Identificador de ensayo: M1-HM-W-0.5MM





40 1.16 0.67 0.1 0


Tensión

(MPa)

Deformación

inelástica Variable de daño 𝑑𝑐 Tensión (MPa) Apertura de grieta (m)

20.64 0 0 3.736391383 0

32.66831842 0.000120697 0 0.747278277 3.97326E-05

44.30781636 0.000307408 0 0 0.000198663

49.01412441 0.000480732 0

51.6 0.000811131 0

49.78033893 0.001160109 0

43.44396921 0.001630659 0

28.05121663 0.002390972 0

13.80480411 0.003128429 0

5.074601045 0.004263412 0









72

5.7.4 Modelo M2-HA-S-30MM

Identificador de ensayo: M2-HA-S-30MM

Descripción: Columna de hormigón armado, empotrada en la base sometida a una carga lateral

creciente hasta un valor de 30mm.



40 1.16 0.67 0.1 1E-04


Tensión

(MPa)

Deformación


inelástica

Variable de

daño 𝑑𝑡

20.64 0 0 3.73639138 0 0

32.66831842 0.000120697 0 3 0.000169252 0

44.30781636 0.000307408 0 2 0.000346168 0

49.01412441 0.000480732 0 1.3 0.000565009 0

51.6 0.000811131 0 0.68 0.000981697 0.7

49.78033893 0.001160109 0 0.52 0.001486004 0.92

43.44396921 0.001630659 0 0.45 0.001987888 0.96

28.05121663 0.002390972 0.18760414

13.80480411 0.003128429 0.57194406

5.074601045 0.004263412 0.86589321





Step Max. Increments: 5000000 Rango: Desde 0 hasta 30mm




73

5.7.5 Modelo M2-HA-GFI-30MM

Identificador de ensayo: M2-HA-GFI-30MM





40 1.16 0.67 0.1 1E-04


Tensión

(MPa)

Deformación


20.64 0 0 3.73639138 148.4567


44.30781636 0.000307408 0 0 0

49.01412441 0.000480732 0 5.81974E-05 0.5

51.6 0.000811131 0 7.41483E-05 0.8

49.78033893 0.001160109 0

43.44396921 0.001630659 0

28.05121663 0.002390972 0.18760414

13.80480411 0.003128429 0.57194406

5.074601045 0.004263412 0.86589321









74

5.7.6 Modelo M2-HA-W-30MM

Identificador de ensayo: M2-HA-W-30MM





40 1.16 0.67 0.1 1E-04


Tensión

(MPa)

Deformación


20.64 0 0 3.736391383 0

32.66831842 0.000120697 0 0.747278277 3.97326E-05

44.30781636 0.000307408 0 0 0.000198663

49.01412441 0.000480732 0

51.6 0.000811131 0

49.78033893 0.001160109 0

43.44396921 0.001630659 0

28.05121663 0.002390972 0

13.80480411 0.003128429 0

5.074601045 0.004263412 0









75

5.7.7 Modelo M3-S-3C-5MM

Identificador de ensayo: M3-S-3C-5MM

Descripción: Columna de hormigón armado, empotrada en la base, sometida a 3 ciclos de carga

lateral de 5mm de amplitud.



40 1.16 0.67 0.1 1E-05


Tensión

(MPa)

Deformación


inelástica

Variable de

daño 𝑑𝑡

20.64 0 0 3.73639138 0 0

32.66831842 0.000120697 0 3 0.000169252 0

44.30781636 0.000307408 0 2 0.000346168 0

49.01412441 0.000480732 0 1.3 0.000565009 0

51.6 0.000811131 0 0.68 0.000981697 0.7

49.78033893 0.001160109 0 0.52 0.001486004 0.92

43.44396921 0.001630659 0 0.45 0.001987888 0.96

28.05121663 0.002390972 0.18760414

13.80480411 0.003128429 0.57194406

5.074601045 0.004263412 0.86589321




Step time: 300 Cíclica

Step Max. Increments: 5000000 Rango: Desde -5mm hasta +5mm




76

5.7.8 Modelo M4-GFI-3C-5MM

Identificador de ensayo: M4-GFI-3C-5MM





40 1.16 0.67 0.1 1E-05


Tensión

(MPa)

Deformación


20.64 0 0 3.73639138 148.4567


44.30781636 0.000307408 0 0 0

49.01412441 0.000480732 0 5.81974E-05 0.5

51.6 0.000811131 0 7.41483E-05 0.8

49.78033893 0.001160109 0

43.44396921 0.001630659 0

28.05121663 0.002390972 0.18760414

13.80480411 0.003128429 0.57194406

5.074601045 0.004263412 0.86589321









77

5.7.9 Modelo M4-GFI-3C-10MM

Identificador de ensayo: M4-GFI-3C-10MM





40 1.16 0.67 0.1 1E-05


Tensión

(MPa)

Deformación


20.64 0 0 3.73639138 148.4567


44.30781636 0.000307408 0 0 0

49.01412441 0.000480732 0 5.81974E-05 0.5

51.6 0.000811131 0 7.41483E-05 0.8

49.78033893 0.001160109 0

43.44396921 0.001630659 0

28.05121663 0.002390972 0.18760414

13.80480411 0.003128429 0.57194406

5.074601045 0.004263412 0.86589321









78

5.7.10 Modelo M4-GFI-3C-2-5-8MM

Identificador de ensayo: M4-GFI-3C-2-5-8MM


lateral de 2, 5 y 8mm de amplitud respectivamente.



40 1.16 0.67 0.1 1E-05


Tensión

(MPa)

Deformación


20.64 0 0 3.73639138 148.4567


44.30781636 0.000307408 0 0 0

49.01412441 0.000480732 0 5.81974E-05 0.5

51.6 0.000811131 0 7.41483E-05 0.8

49.78033893 0.001160109 0

43.44396921 0.001630659 0

28.05121663 0.002390972 0.18760414

13.80480411 0.003128429 0.57194406

5.074601045 0.004263412 0.86589321





Step Max. Increments: 5000000 Rango: Desde +-2mm. +-5mm, +-8mm




79

5.7.11 Modelo M5-W-3C-5MM

Identificador de ensayo: M5-W-3C-5MM





40 1.16 0.67 0.1 1E-05


Tensión

(MPa)

Deformación


20.64 0 0 3.736391383 0

32.66831842 0.000120697 0 0.747278277 3.97326E-05

44.30781636 0.000307408 0 0 0.000198663

49.01412441 0.000480732 0

51.6 0.000811131 0

49.78033893 0.001160109 0

43.44396921 0.001630659 0

28.05121663 0.002390972 0

13.80480411 0.003128429 0

5.074601045 0.004263412 0





Step Max. Increments: 5000000 Rango: +-5mm


Variables de salida: UT, S, E, PE, PEEQ, RT


80

5.7.12 Modelo M5-W-3C-10MM

Identificador de ensayo: M5-W-3C-10MM





40 1.16 0.67 0.1 1E-05


Tensión

(MPa)

Deformación


20.64 0 0 3.736391383 0

32.66831842 0.000120697 0 0.747278277 3.97326E-05

44.30781636 0.000307408 0 0 0.000198663

49.01412441 0.000480732 0

51.6 0.000811131 0

49.78033893 0.001160109 0

43.44396921 0.001630659 0

28.05121663 0.002390972 0

13.80480411 0.003128429 0

5.074601045 0.004263412 0









81

5.7.13 Modelo M5-W-3C-2-5-8MM

Identificador de ensayo: M5-W-3C-2-5-8MM


lateral de 2, 5 y 8mm de amplitud respectivamente.



40 1.16 0.67 0.1 1E-05


Tensión

(MPa)

Deformación


20.64 0 0 3.736391383 0

32.66831842 0.000120697 0 0.747278277 3.97326E-05

44.30781636 0.000307408 0 0 0.000198663

49.01412441 0.000480732 0

51.6 0.000811131 0

49.78033893 0.001160109 0

43.44396921 0.001630659 0

28.05121663 0.002390972 0

13.80480411 0.003128429 0

5.074601045 0.004263412 0





Step Max. Increments: 5000000 Rango: +-2mm, +-5mm, +-8mm




82

5.7.14 Modelo M6-TEST-SIMULATION-GFI-DMG

Identificador de ensayo: M6-TEST-SIMULATION-

GFI-DMG

Descripción: Columna de hormigón armado, empotrada en la base, sometida a los ciclos de carga

digitalizados del ensayo experimental.



40 1.16 0.67 0.1 1E-05


Tensión

(MPa)

Deformación


20.64 0 0 3.73639138 148.4567


44.30781636 0.000307408 0 0 0

49.01412441 0.000480732 0 5.81974E-05 0.5

51.6 0.000811131 0 7.41483E-05 0.8

49.78033893 0.001160109 0

43.44396921 0.001630659 0

28.05121663 0.002390972 0.18760414

13.80480411 0.003128429 0.57194406

5.074601045 0.004263412 0.86589321





Step Max. Increments: 5000000 Rango: -

Tamaño de incremento: Min 1E-30/ Max 10 Valor de incremento de carga: Variable



83

5.7.15 Modelo M6-TEST-1Cx25MM

Identificador de ensayo: M6-TEST-1Cx25MM

Descripción: Columna de hormigón armado, empotrada en la base, sometida a 3 ciclos de amplitud

aproximada 25mm (según ensayo experimental)



40 1.16 0.67 0.1 1E-05


Tensión

(MPa)

Deformación


20.64 0 0 3.73639138 148.4567


44.30781636 0.000307408 0 0 0

49.01412441 0.000480732 0 5.81974E-05 0.5

51.6 0.000811131 0 7.41483E-05 0.8

49.78033893 0.001160109 0

43.44396921 0.001630659 0

28.05121663 0.002390972 0.18760414

13.80480411 0.003128429 0.57194406

5.074601045 0.004263412 0.86589321





Step Max. Increments: 5000000 Rango: Aprox. +-25mm




84

5.7.16 Modelo M6-TEST-1Cx25MM-V2

Identificador de ensayo: M6-TEST-1Cx25MM-V2





40 1.16 0.67 0.1 1E-04


Tensión

(MPa)

Deformación


20.64 0 0 3.73639138 148.4567


44.30781636 0.000307408 0 0 0

49.01412441 0.000480732 0 5.81974E-05 0.5

51.6 0.000811131 0 7.41483E-05 0.8

49.78033893 0.001160109 0

43.44396921 0.001630659 0

28.05121663 0.002390972 0.18760414

13.80480411 0.003128429 0.57194406

5.074601045 0.004263412 0.86589321









85







40 1.16 0.67 0.1 1E-03


Tensión

(MPa)

Deformación


20.64 0 0 3.73639138 148.4567


44.30781636 0.000307408 0 0 0

49.01412441 0.000480732 0 5.81974E-05 0.5

51.6 0.000811131 0 7.41483E-05 0.8

49.78033893 0.001160109 0

43.44396921 0.001630659 0

28.05121663 0.002390972 0.18760414

13.80480411 0.003128429 0.57194406

5.074601045 0.004263412 0.86589321









86







40 1.16 0.67 0.1 1E-03


Tensión

(MPa)

Deformación


20.64 0 0 3.73639138 148.4567


44.30781636 0.000307408 0 0 0

49.01412441 0.000480732 0 5.81974E-05 0.5

51.6 0.000811131 0 7.41483E-05 0.8

49.78033893 0.001160109 0

43.44396921 0.001630659 0

28.05121663 0.002390972 0.18760414

13.80480411 0.003128429 0.57194406

5.074601045 0.004263412 0.86589321






Tamaño de incremento: Min 1E-30/ Max 10 Valor de incremento de carga: 0.2



87

88

6 ANÁLISIS DE RESULTADOS

6.1 Modelos de hormigón en masa

En un primer análisis para comprender el funcionamiento del modelo, y su comprobación con la

teoría de resistencia de materiales se ha realizado un modelo de una columna de hormigón en masa

sometida a una carga lateral monotónica hasta la rotura del elemento.

Los modelos analizados son:

M1-HM-S-0.5MM

M1-HM-GFI-0.5MM

M1-HM-W-0.5MM

Dichos modelos difieren entre sí, únicamente en la definición de la ley de comportamiento del

hormigón. En el primer caso, se empleó una ley tensión deformación con degradación de rigidez, en

el segundo se empleó el valor de la energía de fractura y en el tercero una ley de ablandamiento

tensión-apertura de grieta.

Primeramente formularemos el problema según la teoría de resistencia de materiales para las

características del ensayo, y posteriormente analizaremos los resultados obtenidos mediante

ABAQUS.

6.1.1 Formulación del problema

Se analiza una columna de 1 metro de altura, empotrada en su base, sometida a una carga lateral; esto

es típicamente una configuración de ensayo Cantilever.

Los datos del ensayo se incluyen a continuación en la Tabla 6-1:

Dato Valor

B (ancho de sección) 350 mm

H (altura de sección) 350 mm

L (Longitud de la columna) 1000 mm

𝑓𝑐𝑘 43.6 MPa

𝑓𝑐𝑚 51.6 MPa

𝑓𝑐𝑡 3.73 MPa

E 37.152 GPa

Tabla 6-1: Datos del ensayo

El ensayo se realizará mediante desplazamiento controlado en la cabeza de la columna hasta rotura.


89

Según la teoría de resistencia de materiales, el valor del desplazamiento de una viga Cantilever

empotrada en su extremo y en voladizo viene dado según la Ecuación (6-1):

Donde:

𝑃 = carga aplicada

𝐿 = Longitud de la columna

𝐸 = Módulo de elasticidad del hormigón

𝐼 = Inercia de la sección

∆ = Desplazamiento impuesto

El valor de la inercia para una sección rectangular viene dado por la Ecuación (6-2):

En nuestro caso, al tratarse de una sección cuadrada, 𝑏 = 𝑕 y dicha expresión se simplifica

(Ecuación (6-3)):

Mediante la Ecuación (6-2) es posible obtener el valor de la carga aplicada según el desplazamiento

impuesto. A su vez, el momento en la base de la columna vendrá dado por la Ecuación (6-4):

El valor de la tensión que se produce en cualquier sección en función del momento viene dado por la

Ecuación (6-5):

∆=𝑃𝐿3

3𝐸𝐼 (6-1)

𝐼 =𝑏 ∙ 𝑕3

12 (6-2)

𝐼 =𝑏4

12 (6-3)

𝑀𝐵 = 𝑃 ∙ 𝐿 (6-4)


90

Donde 𝑧 = 𝑕/2.

Dicha tensión será en un lateral de la sección de compresión y en el otro de tracción.

Primeramente, al iniciar el proceso de carga, estaremos en un tramo elástico, mientras las tensiones

en la sección más desfavorable, en este caso en la base, se encuentren por debajo del límite de

tracción del hormigón. Una vez superado dicho límite se comenzarán a producir grietas en dicha

sección y las tensiones disminuirán en la zona de fractura, dado que el hormigón no es capaza de

soportar dichas tracciones. Al seguir incrementando el desplazamiento, y con ello la carga, la grieta

en la base seguirá progresando hasta producirse el fallo total de la columna.

Según las dimensiones de nuestro problema, en la Tabla 6-2 se muestran los valores resultantes:

Parámetro Valor

𝑏 = 𝑕 0.35 m

𝐿 1 m

𝐼 1.25E-03 m

𝜎𝑐𝑡𝑚 3.73 MPa

𝑀𝑐𝑡𝑚 26.7 kNm

𝑃𝑐𝑡𝑚 26.7 kN

𝑢𝑐𝑡𝑚 ~0.2 mm

Tabla 6-2: Valores mediante teoría de resistencia de materiales

Por lo tanto, la teoría lineal de resistencia de materiales prevé que la tensión de rotura por tracción se

alcanzará aproximadamente con valores de desplazamiento impuesto de 0.2mm. Los resultados

obtenidos en un punto de la base de la columna, mediante los 3 modelos empleados, se ilustran en la

Figura 6-1:

𝜎 =𝑀𝐵

𝐼∙ 𝑧 (6-5)


91

Figura 6-1: Tensión-Desplazamiento en la base de la columna

Podemos observar en la Figura 6-1, como para los 3 modelos, la zona de fractura se produce para el

valor de tensión de resistencia a tracción (3.73 MPa) en la zona comprendida entre 0.2 y 0.3 mm. Los

resultados obtenidos están en concordancia con lo expuesto previamente mediante la teoría de

resistencia de materiales.

En las siguientes gráficas (Figuras 6-2, 6-3 y 6-4) podemos ver la curva tensión-deformación, la

deformación plástica y la variable de degradación de rigidez a tracción. Puede comprobarse que es a

partir de la superación del valor de la resistencia a tracción cuando tanto la variable daño como la

deformación plástica comienzan a incrementarse.

0

500000

1000000

1500000

2000000

2500000

3000000

3500000

4000000

0 0,0001 0,0002 0,0003 0,0004 0,0005 0,0006

Ten

sió

n (

Pa)

Desplazamiento horitzontal (m)

Tensión - Desplazamiento

M1-HM-S-0.5MM M1-HM-GFI-0.5MM M1-HM-W-0.5MM


92

Figura 6-2: Tensión-Deformación total en un nodo de la base de la columna

Figura 6-3: Relación Deformación plástica-desplazamiento

0

500000

1000000

1500000

2000000

2500000

3000000

3500000

4000000

0 0,0005 0,001 0,0015 0,002 0,0025 0,003 0,0035 0,004

Ten

sió

n (

Pa)

Deformación total

Tensión - Deformación


-0,0005

0

0,0005

0,001

0,0015

0,002

0,0025

0,003

0,0035

0,004

0 0,0001 0,0002 0,0003 0,0004 0,0005 0,0006

De

form

ació

n p

lást

ica

Desplazamiento horizontal (m)

Deformación plástica - Desplazamiento


6.2 Modelos de hormigón armado frente a carga monotónica

93

Figura 6-4: Relación DAMAGET-Desplazamiento horizontal

6.2 Modelos de hormigón armado frente a carga monotónica

Los 3 modelos comparados en este caso son los siguientes:

M2-HA-S-30MM

M2-HA-W-30MM

M2-HA-GFI-30MM

Difieren, al igual que en la comparativa anterior en la definición de la ley de comportamiento del

hormigón a tracción.

Tras someterse en los 3 casos a una carga lateral de desplazamiento controlado hasta 30mm se

obtuvieron los resultados ilustrados en la Figura 6-5:

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,0001 0,0002 0,0003 0,0004 0,0005 0,0006

Var

iab

le d

e d

año

DA

MA

GET

Desplazamiento hortizontal (m)

Damaget - Desplazamiento

M1-HM-S-0.5MM M1-HM-GFI-0.5MM

6.3 Modelos de hormigón armado sometidos a carga cíclica

94

Figura 6-5: Fuerza-Desplazamiento para modelos 3, 4 y 5.

El modelo definido mediante la ley de comportamiento tensión-deformación no concluyó el análisis,

siendo su tiempo de computación mucho mayor que en los dos otros modelos. El modelo que mostró

mayor convergencia de los tres fue sin duda, el definido mediante el parámetro de la energía de

fractura (GFI). En la Tabla 6-3 se muestran los parámetros de resolución que permiten compara la

facilidad de resolución de los tres casos:

M2-HA-S-30MM M2-HA-GFI-30MM M2-HA-W-30MM

% Completado 26.67% 100% 75.33%

Tiempo requerido 1 hora 57 minutos 22 minutos 3 horas 45 minutos

Tabla 6-3: Tiempos de resolución de los ensayos M2


Primeramente se ha realizado una comparativa entre los 3 modelos diferentes para determinar cuál es

la definición de la ley de comportamiento del hormigón que permite obtener buenos resultados y una

convergencia de los mismos en un tiempo adecuado.

0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 0,035

Fuerza - Desplazamiento

M2-HA-S-30MM M2-HA-W-30MM M2-HA-GFI-30MM


95

Los ensayos comparados en este apartado son los siguientes:

M3-S-3C-5MM

M4-GFI-3C-5MM

M4-GFI-3C-10MM

M4-GFI-3C-2-5-8MM

M5-W-3C-5MM

M5-W-3C-10MM

M5-W-3C-2-5-8MM

Cabe destacar desde un inicio la no convergencia del modelo definido mediante la ley de

comportamiento del hormigón a tracción mediante tensión-deformación (M3-S-3C-5MM, el cual no

se representa).

En las Figuras 6-6, 6-7 y 6-8 se representa la comparación entre los modelos definidos mediante el

valor de la energía de fractura (M4-GFI) y los modelos definidos mediante una ley de ablandamiento

bilineal mediante una relación tensión-apertura de grieta (M5-W)

Figura 6-6: Curva de histéresis para ciclos de 5mm (M4-M5)

-300000

-200000

-100000

0

100000

200000

300000

-0,006 -0,004 -0,002 0 0,002 0,004 0,006Fue

rza

(N)

Desplazamiento horitzonal (m)

Fuerza - Desplazamiento (Ciclos de 5 mm)M5-W-3C-5MM M4-GFI-3C-5MM


96

Figura 6-7: Curva de histéresis para ciclos de 10mm (M4-M5)

-300000

-200000

-100000

0

100000

200000

300000

-0,015 -0,01 -0,005 0 0,005 0,01 0,015

Fue

rza

(N)


Fuerza - Desplazamiento (Ciclos de 10 mm)M5-W-3C-10MM M4-GFI-3C-10MM

6.4 Comparación de modelo 6 con test experimental

97

Figura 6-8: Curva de histéresis para ciclos de 2, 5 y 8mm (M4-M5)


Una vez realizada la comparación entre los modelos 3, 4 y 5 a diferentes estados de carga, y

concluido que el modelo que mejor se comporta es el definido mediante el valor de la energía de

fractura del hormigón, procedemos a realizar una comparación entre los resultados que arroja dicho

modelo sometido a los estados de carga digitalizados del ensayo experimental.

Se han realizado los siguientes análisis:

M6-TEST-SIMULATION-GFI-DMG

M6-TEST-1Cx25MM

M6-TEST-1Cx25MM-V2

M6-TEST-1Cx50MM

M6-TEST-1Cx80MM

6.4.1 M6-TEST-SIMULATION-GFI-DMG

Este primer análisis consistió en la realización del siguiente estado de carga en desplazamiento

(Figura 6-9):

-300000

-200000

-100000

0

100000

200000

300000

-0,01 -0,008 -0,006 -0,004 -0,002 0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01Fue

rza

(N)


Fuerza - Desplazamiento (Ciclos 2-5-8 mm)M5-W-3C-2-5-8MM M4-GFI-3C-2-5-8MM


98

Figura 6-9: Historial de carga empleado en el análisis M6-TEST-SIMULATION-GFI-DMG

Los resultados arrojados por el modelo, contrastados con los disponibles del ensayo se ilustran en la

Figura 6-10:

-30,00

-20,00

-10,00

0,00

10,00

20,00

30,001 7

13

19

25

31

37

43

49

55

61

67

73

79

85

91

97

10

3

10

9

11

5

12

1

12

7

13

3

13

9

14

5

De

spla

zam

ien

to (

mm

)

Estados

Historial de carga

Historial de carga


99

Figura 6-10: Curva de histéresis del modelo M6-TEST-SIMULATION-GFI-DMG frente al ensayo

experimental

Podemos observar como la pendiente varía de manera acertada de los tramos iniciales (ciclos de

aproximadamente 4-6mm) a los ciclos de 25mm mostrando una pérdida de rigidez.

6.4.2 M6-TEST-1Cx25MM

En este análisis, se sometió al modelo a un ciclo de 25mm comparándolo con los datos del ensayo

experimental (Figura 6-11):

-300000

-200000

-100000

0

100000

200000

300000

-0,03 -0,02 -0,01 0 0,01 0,02 0,03Fue

rza

(N)

Desplazamiento (m)


Test Experimental M6-TEST-SIMULATION-GFI-DMG


100

Figura 6-11: Curva de histéresis con ciclos de 25mm 𝜇 = 0.0001

En este caso la variable de viscosidad empleada fue 𝜇 = 0.0001. Dada su no convergencia al llegar

a incrementos de carga en desplazamiento negativos, se modificó el valor de la viscosidad,

realizando el modelo que se ilustra en el siguiente apartado.

6.4.3 M6-TEST-1Cx25MM-V2

En este modelo, se realizó el mismo estado de carga anterior, es decir, un ciclo de 25mm acorde a lo

establecido en el ensayo experimental asignándole al parámetro de viscosidad un valor de 𝜇 =0.001.

El modelo convergió y los resultados se ilustran en la Figura 6-12:

-300000

-200000

-100000

0

100000

200000

300000

-0,03 -0,02 -0,01 0 0,01 0,02 0,03Fue

rza

(N)

Desplazamiento (m)


M6-TEST-1Cx25MM Test Experimental


101

Figura 6-12: Curva de histéresis para ciclo de 25mm (𝜇 = 0.001)

Puede observarse en la gráfica que aproxima de manera adecuada la carga límite en el tramo

positivo.

Cabe destacar que los resultados del modelo representan una curva de primer ciclo, y los resultados

experimentales representan una curva de 4 ciclo.


Los resultados obtenidos para un ciclo de 50mm se ilustran en la Figura 6-13:

-300000

-200000

-100000

0

100000

200000

300000

-0,03 -0,02 -0,01 0 0,01 0,02 0,03

Fue

rza

(N)



M6-TEST-1Cx25MM-V2 Test Experimental


102

Figura 6-13: Curva de histéresis para 50mm

Al igual que en el caso anterior, la curva del modelo representa un primer ciclo, y la curva del ensayo

es una curva de final de ciclo (habiendo transcurrido 8-10 ciclos).


Finalmente como última comparativa se muestra la de un ensayo de 80mm de carga en

desplazamiento (Figura 6-14):

-300000

-200000

-100000

0

100000

200000

300000

400000

-0,06 -0,04 -0,02 0 0,02 0,04 0,06

Fue

rza

(N)



Test Experimental M6-TEST-1Cx50MM


103

Figura 6-14: Curva de histéresis para ciclo de 80mm

-200000

-150000

-100000

-50000

0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

-0,1 -0,08 -0,06 -0,04 -0,02 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1

Fue

rza

(N)



Test Experimental M6-TEST-1Cx80MM

104

7 CONCLUSIONES Y TRABAJOS FUTUROS

7.1 Conclusiones obtenidas

En base a los análisis realizados, descritos en los apartados anteriores, se puede constatar la mayor

facilidad de convergencia que posee el modelo en el cual se definió el comportamiento a tracción del

hormigón mediante el valor de la energía de fractura. Para dar fe de este hecho se presenta a

continuación (Tabla 7-1) un resumen de los análisis realizados indicando el porcentaje que se llegó a

completar así como el tiempo requerido en cada caso.

Modelo % Completado Tiempo requerido

M1-HM-S-0.5MM 100.00% <15 minutos

M1-HM-GFI-0.5MM 100.00% <15 minutos

M1-HM-W-0.5MM 72.00% <15 minutos

M2-HA-S-30MM 26.67% 2 horas

M2-HA-W-30MM 75.33% 3 horas 45 minutos

M2-HA-GFI-30MM 100.00% 22 minutos

M3-S-3C-5MM ~5% -

M4-GFI-3C-5MM 100.00% 4 horas 30 minutos

M4-GFI-3C-10MM 56.50% 4 horas 25 minutos

M4-GFI-3C-2-5-8MM 100.00% 5 horas 15 minutos

M5-W-3C-5MM 71.67% 3 horas

M5-W-3C-10MM 36.67% 6 horas 5 minutos

M5-W-3C-2-5-8MM 74.00% 4 horas 5 minutos

M6-Test-Simulation-GFI-DMG 76.82% 4 horas

M6-Test-1Cx25MM 53.66% 3 horas 30 minutos

M6-Test-1Cx25MM-v2 100.00% 3 horas 30 minutos

M6-Test-1Cx50MM 100.00% 3 horas 40 minutos

M6-Test-1Cx80MM 100.00% 4 horas

Tabla 7-1: Tiempos de resolución de análisis

7.2 Trabajos futuros

105

Para permitir la convergencia del modelo, los incrementos de carga deben realizarse mediante

valores muy pequeños, (en nuestro caso del orden de 0.1-0.2mm). Para incrementos superiores a 2-

3mm el programa presenta serias dificultades y en muchos casos no es posible la convergencia.

Resulta de vital importancia la inclusión de la variable de viscosidad en modelos donde se define de

manera completa el material, como en el presente caso donde se incluyen curvas de comportamiento

no lineales a partir de puntos, y donde existen condiciones de contorno con las barras de armado, el

empleo de la variable de viscosidad.

Dicha variable facilita enormemente la convergencia, pues permite superar la zona de plastificación

definida mediante los parámetros del CDP en una cierta cantidad. El valor de viscosidad debe

ajustarse mediante prueba y error.

Los resultados obtenidos mediante el modelo empleado simulan de manera cualitativamente

adecuada los ensayos a baja carga (hasta 25mm) con pendientes de razonable parecido, y

envolventes similares.

7.2 Trabajos futuros

Como se anticipó en el resumen inicial, el presente proyecto pretende sentar una base sobre la que

construir unas leyes experimentales que permitan ajustar un modelo que simule el comportamiento

frente a sismo en función de la tipología del elemento.

Este primer paso ha establecido la adecuación de emplear el modelo Concrete Damaged Plasticity

para simular el comportamiento del hormigón armado frente a sismo, estableciendo la manera más

adecuada de realizarlo.

En este sentido, partiendo de un modelo definido a partir de la energía de fractura, el cual se ha

postulado como la mejor opción de definir el comportamiento a tracción del hormigón, sería

adecuado realizar un análisis de los diferentes parámetros que definen el comportamiento plástico.

Entre ellos, valores fundamentales que influyen de manera decisiva y para los cuales existe muy poca

definición son los parámetros de degradación de rigidez 𝑑𝑐 y 𝑑𝑡 .

106

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