public class PrintSquares{  public static void main(String [] args)  {    System.out.println("****");    System.out.println("*  *");    System.out.println("*  *");    System.out.println("****");    System.out.println();    System.out.println("****");    System.out.println("*  *");    System.out.println("*  *");    System.out.println("****");  }}

public class PrintSteps{  public static void main(String [] args)  {    System.out.println("-----");    System.out.println("     |");    System.out.println("     |");    System.out.println("      -----");    System.out.println("           |");    System.out.println("           |");  }}

public static void pos(int n, String str){    for(int i=0;i<n;i++)System.out.print(str);}

public static void square(int len){    pos(len, “*”);    System.out.println();    for(int i=0;i<len-2;i++){        pos(1, “*”);        pos(len-2, “*”);        pos(1, “*”);        System.out.println();    }    pos(len, “*”);    System.out.println();}

public static void squares (int n, int length){    square(length);    for(int i=1;i<n;i++){

System.out.printsquare(length);

    }}

public static void pos(int n, String str){    for(int i=0;i<n;i++)System.out.print(str);}

public static void step(int start, int width, int depth){    space(start, “ “);    pos(width, “-”);    System.out.println();    for(int i=0;i<depth;i++){        pos(start+width, “ “);        pos(1, “|”);        System.out.println();    }}

public static void steps (int n, int width, int depth){    for(int i=0;i<n;i++){

step((width+1)*i, width, depth);    }}

• Calculate the result 1+3+5+7+9+11+13+…+99 when f1(99) is called. 

job division: 1+3+5+…+97+99  => 1+…+97                     f1(99)                          =>       f1(97)results collection: f1(97)+99  result reporting: return

job division: 1+3+5+…+97  => 1+…+95                     f1(97)                =>       f1(95)results collection: f1(95)+97  result reporting: return

General format::job division: f1(x)                 =>   f1(x-2)results collection: f1(x-2)+x  result reporting: return

 job division: f1(x)                 =>   f1(x-2)      f1(3)                 =>   f1(1)   =>    

none!Terminating condition: x <=1Why x<=2 ok?

7, 5, 3  go false!

public   static int f1 (                        )xint {

}

if (x <=1) return 1;else return f1(x-2)+x; 

job division: f1(x)                 =>   f1(x-2)results collection: f1(x-2)+x  result reporting: returnTerminating condition: x <=1

• Calculate the result 1+2+4+8+16+32+…+4096 when f2(4096) is called.  

job division: 1+2+…+2048+4096  => 1+…+2048                     f2(4096)                       =>       f2(2048)results collection: f2(2048)+4096  result reporting: return

job division: f2(x)                 =>   f2(x/2)results collection: f2(x/2)+x  result reporting: return

 f2(x)                 =>   f2(x/2) f2(2)                 =>   f2(1)   =>    none!Terminating condition: x <=1

public   static int f2 (                        )xint {

}

if (x <=1) return 1;else return f2(x/2)+x; 

job division: f2(x)                 =>   f2(x/2)results collection: f2(x/2)+x  result reporting: returnTerminating condition: x <=1

• Calculate the result 1/i+2/(i-1)+3/(i-2)+…+(i-1)/2+i/1 when f3(1, i).

job division: 1/i+2/(i-1)+…+i/1 => 2/(i-1)+…+i/1     => f3(2,i-1)

results collection: f3(2, i-1) + (double)1/i  result reporting: return

 f3(1,i) 

 f3(1,i) 

job division: f3(x, y)                 =>   f3(x+1, y-1)results collection: f3(x+1, y-1)+(double)x/y  result reporting: return

 f3(x, y)                 =>   f3(x+1, y-1) f3(i-1, 2)              =>   f3(i, 1)   =>    none!Terminating condition: x >=iTerminating condition: y <=1

Where is “I” in “f3”?

public   static double f3 (                                )X,int {

}

if (y<=1) return (double)x/y;else return f3(x+1, y-1)+(double)x/y; 

  yint

job division: f3(x, y)                 =>   f3(x+1, y-1)results collection: f3(x+1, y-1)+(double)x/y  result reporting: returnTerminating condition: y <=1

• Calculate the result 1/i+2/(i-1)+3/(i-2)+…+(i-1)/2+i/1.

job division: 1/i+…+(i-1)/2+i/1 => 1/i+…. (i-1)/2                                            f3(1,i) =>             f3(2,i-1)results collection: f3(2, i-1) + (double)i/1  result reporting: return

job division: f3(x, y)                 =>   f3(x+1, y-1)results collection: f3(x+1, y-1)+(double)y/x  result reporting: return

 f3(x, y)                          =>   f3(x+1, y-1) f3(i-1, 2), i.e., 2/i-1     =>   f3(i, 1), i.e., 1/i  =>  none!Terminating condition: y<=1

public   static double f3 (                                )X,int {

}

if (y<=1) return (double)y/x;else return f3(x+1, y-1)+(double)y/x; 

  yint

job division: f3(x, y)                 =>   f3(x+1, y-1)results collection: f3(x+1, y-1)+(double)y/x  result reporting: returnTerminating condition: y<=1

• The world population reached 6 billion people in 1999 and was growing at the rate of 1.4 percent each year. Write a recursive function f to return/determine when the population will exceed 10 Billion when f4(6, 10, 1999) is called. 

job division: from 1999 (p=6) to target year (p>10)    from 2000 (p=6*1.014) to target year

results collection: f4(6*1.014, 10, 2000) result reporting: return

job division: f4(cp, tp, y) => f4(cp *1.014, tp, y+1)results collection: f4(cp *1.014, tp, y+1)result reporting: return

General Format: =>  f4(cp, tp, yr)… =>  f4(>tp, tp, yr)   =>    none!

Terminating condition: cp>tp

public   static int f4 (                                                             )cp,double {

}

if (cp >tp) return x;else return f4(cp*1.014, tp, x+1); 

tp,double xint

job division: f4(cp, tp, y)   =>   f4(cp *1.014, tp, y+1)results collection: f4(cp *1.014, tp, y+1)result reporting: returnTerminating condition: cp>tp

• A TV set is purchased with a loan of $563 to be paid off with monthly payment (no more than $116). The interest rate is 1 percent per month. Write a recursive function f to return the amount of last bill when f5(563, 116) is called.

job division:              from 563 until <=116                           from (563-116 )*1.01 (i.e., next month) until <=116results collection: f5((563-116)*1.01, 116) result reporting: return

job division: f5(x, y)              =>   f5((x-y)*1.01, y)results collection: f5((x-y)*1.01,y)  result reporting: return

 f5(x, y)                 =>   f5((x-y)*1.01, y) …                           =>   f5(<=116, 116)   =>    none!Terminating condition: x <=116, i.e., y

job division: f5(x, y)               =>   f5((x-y)*1.01, y)results collection: f5((x-y)*1.01,y)  result reporting: returnTerminating condition: x <=y

public   static double f5 (                                )X,double {

}

if (x<=y) return x;else return f5((x-y)*1.01, y); 

  yint

• Develop a recursive function f6 to display the sequence 1 2 3 4 5 … i   in a text field when f6(i) is called.

job division:              display 1, 2, …, i-1, i                          

  display 1, 2, …, i-1results collection:                f6(i-1) on the screen, and System.out.print(i)result reporting: results are on the screen, nothing to report!

job division: f6(x)              =>   f6(x-1)results collection: 

f6(x-1);System.out.print(x); 

result reporting: void

 f6(x)                 =>   f6(x-1) …                      =>   f6(1)   =>    none!Terminating condition: x <=1

job division: f6(x)               =>   f6(x-1)results collection: 

  f6(x-1);  System.out.print(x);  

result reporting: noneTerminating condition: x <=y

public   static void f6 (                        )xint {

}

if (x <=1) System.out.print(x);else {f6(x-1);System.out.print(x);} 

• Develop a recursive function f7  to display the sequence 1 2 3 4 5 … i   (i-1)  (i-2) … 2 1 in a text field when f7(1,i) is called. 

job division:              display 1, 2, …, i-1, i, i-1, …, 2, 1                                              

  display    2, …, i-1, i, i-1, …, 2results collection:                f7(2,i) on the screen, and System.out.print(1) twice!result reporting: results are on the screen, nothing to report!

job division: f7(x, y)              =>   f7(x+1, y)results collection: 

System.out.print(x)f7(x+1,y);System.out.print(x); 

result reporting: void

 f7(x,y)        =>   f7(x+1,y) …                      =>   f7(i-1, i) //two 8’s  =>    none!Terminating condition: x >=y

job division: f7(x,y)               =>   f7(x+1,y)results collection:                 System.out.print(x);

                           f7(x+1,y);                           System.out.print(x);  

result reporting: noneTerminating condition: x >=y

public   static void f7 (                                )X,int {

}

if (x>=y) System.out.print(x);else {        System.out.print(x);        f7(x+1,y);        System.out.print(x);} 

  yint