puente narrow

7/25/2019 puente narrow

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MAESTRIA EN INGENIERIAESTRUCTURALMODULO 1: MATEMATICA APLICADA

PROYECTO FINAL

Estudio del colapso del puete Taco!a Na""o#s

GRUPO $

No!%"es:

Pa%lo Ro!ao &ald'

Die(o )ui"o(a Mo"eo

I*a A!pue"o


2/36

Coc+a%a!%a , -oli*ia

Escuela Militar de Ingeniera

Unidad de Postgrado Cochabamba

Programa de Maestra en Ingeniera Estructural

Mdulo 1: Matemtica Aplicada

P"o.ecto Fial

G"upo $

Estudio del colapso del puete Taco!a Na""o#s

m x' '+F(x )=g (t)

m x' '+kx=sin(4 t) /Ecuaci0 1

x' '+

k

mx=

sin(4 t)m

Solucin a la ecuacin homognea

m2+

k

mm=0

m=k

mi

xc=c1cos (k

mt)+c2sin(

k

mt)

Solucin particular

xp=A sin(4 t)

xp' '=16Asin (4 t)

!eempla"ando en Ecuacin 1


3/36

m16Asin (4 t)+kA sin (4 t)=sin(4 t)

A= 1

k16m

x=c1cos(kmt)+c2 sin(km t)+ 1k16m sin (4 t) /Ecuaci0 2

Iciso 1Condiciones de borde

x (0)=c1cos(kmt)+c2 sin(kmt)+ 1k16msin ( 4 t)=0

c1=0

x (0)'=c2kmcos(kmt)+ 4k16mcos (4 t)=

x (0)'=c2km+ 4k16 m=

c2=( 4k16m )mk #Ecuacin $%

c2=(k16 m4k16m )mk

x=( k16 m4k16m )mk sin (kmt)+ 1k16msin(4 t) #Ecuacin &%! 131 132 &( sin#&t%

4/5 '46/5


4/36

x=c1cos (2t)+c

2sin (2 t)+

1

12sin (4 t) #En traccin%

x=c1cos (t)+c

2sin (t)+ 1

15

sin (4 t) #En compresin%

(bser)aciones:

1* Si se anali"a en coordenadas locales de un ciclo determinado+ estas

ecuaciones se pueden e,presar -a sea con c1 o c. igual a cero* /ado

0ue el periodo #Constante 0ue multiplica a t en la uncin sinusoidal%+

del termino de la carga es un multiplico de . - el periodo de los otros

trminos* Siempre es posible actori"ar una uncin sinusoidal de la

e,presin+ - por lo tanto+ sal)o combinaciones particulares de las

constantes cada ciclo es de periodo constante*.* El periodo de la cur)a a traccin es de 2.

$* El periodo de la cur)a a compresin es de &* El periodo de un ciclo completo de traccin - compresin ser de:

$2.3* 4os periodos de ambas cur)as son independientes de alpha #primera

deri)ada en el inicio del ciclo o cuando la deormacin es '% si el

sistema no se )a reduciendo* #Caso especial en 0ue el otro trmino de

la actori"acin mencionada se hace cero en su inter)alo%*5* En la ecuacin $ el )alor de c. nos indica la deormacin m,ima 0ue

puede tener el ciclo+ se puede asumir 0ue

k acota

apro,imadamente el ciclo #ignorando el )alor pe0ue6o del otro

trmino%*7* El signo de alpha determina por0ue cur)a empie"a la gr8ca+ si es

positi)o comien"a en traccin si en negati)o a compresin*

'*' pi '*. pi '*& pi '*5 pi '*9 pi 1*' pi 1*. pi 1*& pi

:1.

:1'

:9

:5

:&

:.

'

.

&

5

G"78ca N9 1 De;o"!aci0 co alp+a < 15 e u ciclo 5 = t = $>2


5/36


'*3

'*&

'*$

'*.

'*1

'

'*1

'*.

'*$

G"78ca N9 2 De;o"!aci0 co alp+a < 5 e u ciclo 5 = t = $>2

'*1 pi '*1 pi '*$ pi '*3 pi '*7 pi '*; pi 1*1 pi 1*$ pi 1*3 pi

1.

1'9

5

&

.

'

.

&

5

G"78ca N9 $ De;o"!aci0 co alp+a < ,15 e u ciclo 5 = t = $>2

' 1' .' $' &' 3' 5' 7' 9' ;' 1''

'

.

&

5

9

1'

1.

G"78ca N9 ? De;o"!aci0 co alp+a < 1 e u ciclo 5 = t = 155


6/36

' 1' .' $' &' 3' 5' 7' 9' ;' 1''

'

.

&

5

9

1'

1.

G"78ca N9 @ De;o"!aci0 co alp+a < ,1 e u ciclo 5 = t = 155

' 1' .' $' &' 3' 5' 7' 9' ;' 1''

'

.

&

5

9

1'

1.

G"78ca N9 De;o"!aci0 co alp+a < 155 e u ciclo 5 = t = 155

4as gr8cas entre el periodo ' < 1'' #de )arios ciclos% ueron construidas

despus del anlisis hecho en los incisos . - $*

Coclusioes

1* Cada ciclo el )alor de alpha )a incrementando en )alor #ma-or si es

positi)o menor si es negati)o%* #/emostrado en inciso .%*.* Alpha #la primera deri)ada del despla"amiento en el tiempo%+ es la

)elocidad de deormacin del cable*$* A ma-or )elocidad ma-or la deormacin m,ima en el ciclo* En

proporcin lineal*&* En el puente esto implica 0ue el cable ira deormndose cada )e"

ms hasta superar los lmites de resistencia= el puente alla*


7/36


8/36

E)aluando en ,>#'%

x'=2(2 + 16 )13

x'= SI cumple condicin de borde .

x(

2)=

1

6sin () [3+1cos ()]

x(

2)=

1

6sin () [3+1cos ()]

x( 2)=0

x '(

2)=2(2 + 16 )cos ()13 cos (2)

x'

(2)=2(2 + 16 )13

x '(

2)=(+

2

3)

'* pi '*1 pi '*. pi '*$ pi '*& pi '*3 pi '*5 pi

'*'3

'*1'

'*13

'*.'

'*.3

G"78ca N9 B: p"i!e" t"a!o co alp+a < 5 e ite"*alo 5 = t = pi>2


9/36

'* pi '*1 pi '*. pi '*$ pi '*& pi '*3 pi '*5 pi

1*''

.*''

$*''

&*''

3*''

5*''

G"78ca N9 : p"i!e" t"a!o co alp+a < 15 e ite"*alo 5 = t = pi>2


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Iciso $!ango a compresin #?1%

x=c1cos(

km

t)+c2 sin(km

t)+ 1

k16msin (4 t)

x=c1cos ( t)+c

2sin ( t) 1

15sin (4 t)

x'=c

1sin ( t)+c

2cos ( t) 4

15cos (4 t)

Condiciones de borde

x( 2)=c

2=0

x '(

2)=c

1

4

15=(+

2

3)

c1=+

2

5

4uego

x=(+ 25 )cos (t) 115 sin (4 t)

sin (4 t)=2sin (2 t) cos (2 t)=4sin ( t) cos ( t) cos (2 t) #identidad trigonomtrica%

x=(+ 2

5 )cos (t) 4

15sin ( t)cos ( t) cos (2 t)

x=cos (t) [(+ 25 ) 415 sin ( t) cos (2 t)]

x'=(+ 25 )sin (t) 415 cos (4 t)


11/36

x(32)

=0

x '

(3

2

)

=

(+

2

5

)

4

15

x '( 32)

=+ 2

15


'*3

'*&

'*$

'*.

'*1

'

'*1

'*.

'*$

G"78ca N9 : p"i!e" t"a!o co alp+a < 5 e ite"*alo 5 = t = $>2 pi


:1.

:1'

:9

:5

:&

:.

'

.

&

5

G"78ca N9 15: p"i!e" t"a!o co alp+a < 15 e ite"*alo 5 = t = $>2

pi


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'*' pi .*' pi &*' pi 5*' pi 9*' pi 1'*' pi 1.*' pi

1*3

1

'*3

'

'*3

1

G"78ca N9 11: De;o"!aci0 co alp+a < 5 e ite"*alo 5 = t = 12 pi

/SOLUCION DE LA EDO

O%se"*acioes1* Cada ciclo el )alor de alpha #giro inicial% incrementa en .213 respecto

al ciclo anterior*

i=i1+ 2

15

.* @acia el in8nito el )alor de alpha inicial no es rele)ante -a 0ue el girotiende al in8nito*

$* En ciclo de traccin la deormacin est acotada por:

2+ 1

15n+c (pequea)

/onde n es ciclo*&* En ciclo de compresin la deormacin est acotada por:

+6+n15

+c(pequea)

/onde n es ciclo3* Cuando t se encuentra en los lmites entre ciclos+ la deormacin es

nula+ sin embargo el giro #la primera deri)ada% incrementa cada ciclo

en un )alor constante+ lo 0ue hace 0ue la deormacin m,ima en el

ciclo sea cada )e" ma-or*

t=3

2n

/onde n es el ciclo #desde ' al in8nito%5* @acia el in8nito la deormacin tambin tiende al in8nito+ lo 0ue

e,plicara el colapso del puente*


13/36

Iciso ?

A31


14/36

c2=2

1

10

x=

(

2

110

)sin (2 t) 1

12sin ( 4 t)

Periodo #de8nido por sin#.t%% es igual a 2.

x'( 32 )=2(2 110 )cos (2 t) 412 cos (4 t)= 215

Si alpha uera negati)o+ 1er tramo sera a compresin*

x=c1cos (2t)+c

2sin (2 t) 1

12sin (4 t)

x (0 )=c1=0

x'(0 )=2c

2cos (2 t) 4

12cos (4 t)=

c2=

2+ 16

x=(2 + 16 )sin (2 t) 112 sin (4 t)

Periodo #de8nido por sin#.t%% es igual a /2

x'( /2 )=2

(

2

+1

6

)cos (2 t) 4

12

cos (4 t)=2

3

.do tramo a traccin*

x=c1cos (t)+c

2sin (t) 1

15sin (4 t)

x ( /2 )=c2=0


15/36

x'( /2 )=c

1sin ( t)

4

15cos (4 t)=

2

3

c1=+

2

5

x=(+ 25 )cos (t) 115 sin (4 t)

Periodo #de8nido por cos#t%% es igual a

x'(3/2 )=(+ 25 )sin ( t) 415 cos (4 t)=+ 215

Como alpha inicial es igual a 1= - el )alor de la )elocidad )a decreciendo

ciclo a ciclo+ analicemos el 9)o ciclo #cuando alpha pasa a ser negati)o%*

= 1

15

[ x=( 13 )sin ( t) 115 sin (4 t) 0

x=(215)

sin (2 t)1

12 sin (4 t) 3

2

Bra8cando entre ' - $/2

' '*. '*& '*5 '*9 1 1*. 1*& 1*5

'*$

'*.

'*1

'

'*1

'*.

'*$

'*&

'*3

G"78ca N9 12 Octa*o Ciclo


16/36

otamos 0ue e,iste otro punto en 0ue la gr8ca cru"a el eDe t+ en el tramo a

compresin* Igualamos , a cero para encontrar el )alor*

x=(215)sin (2t) 212 sin (2 t) cos (2 t)=0

t=acos(

1215

)

2=1.249 #uera del rango%

t2=t+=4.39063843=1.397583

tC . absolutas=73

2+4.39063843=37.37736129

Comprobamos

x (t2 )=(215)sin (2 t2) 112 sin (4 t2 )=0.08+0.08=0

4uego el cambio de ecuacin sucede en la posicin de t.- no en $2. -:

x'(t2 )=

415

cos (2 t2 )1

3sin (4 t2 )=

8

15

Ciclo ;+ 1'+ 11+ 1. se comporta normalmente hasta 0ue ,F' - ,>F'+

Ciclo 1$:

[ x=( 4

15 )sin ( t) 115 sin (4 t) 0x=(110)sin (2 t) 112 sin (4 t) 32


17/36

' '*3 1 1*3 . .*3 $ $*3 & &*3 3

'*.

'*1

'

'*1

'*.

'*$

'*&

G"78ca N9 1$ T"ecea*o ciclo

Guel)e a intersectar al eDe antes de completar periodo #en tramo .%*

(110)sin (2 t) 112 sin (4 t)=0

(110) 212 cos (2t)=0

t=acos(

610

)

2=1.107148 #uera de rango%

t2=t+=4.248741

x'(t2 )=

16

75

En el ciclo 13 )uel)e a cru"ar el origen antes de cumplir periodo donde

x'(t2 )=

16

75

2

15=

2

25


18/36

[ x=( 2

25+ 4

15 )sin (t) 115 sin (4 t) 0x=(125 110 )sin (2 t) 112 sin (4 t) 32

(875 110 )16 cos (2 t)=0

t=acos(

2125

)

2=4.425632

x'

( t)=1

5

Ciclo 15 es regular con

x'( t)=

1

5

2

15=

1

15

Condicin igual al ciclo 9+ por lo tanto se repite el rango del ciclo 915

' 1' .' $' &' 3' 5' 7' 9' ;' 1''

1

'*3

'

'*3

1

1*3

G"78ca N9 1?9 Soluci0 de la EDO iciso a9 et"e ite"*alos 5 = t =

155

(bser)aciones:

1* Cuando alpha #la )elocidad inicial de un determinado ciclo% es

positi)a+ )a disminu-endo hasta un ciclo en el 0ue la gr8ca cru"a elorigen antes de completar el ciclo #ciclo ms corto%= el siguiente ciclo


19/36

de uno de estos cortes tiene un incremento en )elocidad 0ue -a

disminu-endo hasta el siguiente ciclo corto*.* El sistema con alpha inicial F 1 #Condicin base del problema% se

estabili"a disminu-endo )elocidades - deormaciones hasta una

)ibracin estable= con nuestros )alores propuestos esta estabili"acin

sucede a tF$7*$9*$* HaDo esta hiptesis el puente no debera haber allado la )ibracin se

amortigua como muestra la gr8ca*&* Esta estabili"acin se debe a 0ue debido a la in)ersin de resistencias

#traccin% J #compresin% la )elocidad )a disminu-endo en )e" de

aumentar*


20/36

-31


21/36

Periodo #de8nido por t1% es igual a 0.41545

.do tramo a compresin

x=c1cos (2t)+c

2sin (2 t)

1

12sin (4 t)

Condiciones de borde

x (t1 )=0

x'( t1)=0.90907

[ cos2 t sin2 t2sin2t 2cos2 t][

c1c2]=[

0

+

1

12sin 4

t

0.90907+1

3cos4 t]

[c1c2]=0.4028450.25538

x=0.402845cos (2 t)0.25538sin (2t) 1

12sin (4 t)

Encontrando interseccin de la ecuacin #sotKare+ no se puede despeDar%

t2=2.140297463

x'( t2 )=20.402845sin (2 t)20.25538cos (2t)

1

3cos (4 t)

x

'

( t2

)=1.162088

Siguiente ciclo en traccin*

x=c1cos (8 t)+c

2sin (8 t)+

1

48sin (4 t)

[ cos 8t sin 8 t8sin 8 t 8cos8 t][c1c2]=

[

0 1

48sin 4 t

1.162088

1

12 cos 4 t

]


22/36

t2=2.14032

[c1c2]= 0.152640.00801

x=0.15264cos (8t)0.00801sin (8 t)+ 148

sin (4 t)

t3=2.53483

x'( t3 )=1.28089

Ciclo en compresin

x=c1cos (2t)+c

2sin (2 t) 1

12sin (4 t)

[ cos2 t sin 2 t2sin2t 2cos2 t][c1c2]=[ 0+

1

12sin 4 t

1.28089+1

3cos4 t]

t3=2.53483

[c1c2]=0.737050.21685

x=0.73705cos (2t)0.21685sin (2 t)1

12sin (4 t)

t4=4.045340

x'( t3 )=1.831375

Siguiente ciclo en traccin*

x=c1cos (8 t)+c

2sin (8 t)+

1

48sin (4 t)


23/36

[ cos 8t sin 8 t8sin8 t 8cos8 t][c1c2]=[ 0

1

48sin 4 t

1.831375 1

12cos 4 t]

t5=4.045340

[c1c2]=0.187750.14688

x=0.18775cos (8 t)+0.14688sin (8 t)+ 148

sin (4 t)

t6=4.42306

x'( t3 )=1.867479

Ciclo en compresin

x=c1cos (2t)+c

2sin (2 t) 1

12sin (4 t)

[ cos2 t sin 2 t2sin 2t 2cos2 t][c1c2]=[ 0+

1

12sin 4 t

1.867479+1

3cos4 t]

t3=4.42306

[c1

c2]=0.53793

0.68393

x=0.53793cos (2 t)+0.68393sin (2 t)1

12sin (4 t)

t4=5.90206

x'(t4 )=1.716849

Manteniendo el mismo procedimiento para ms ciclos*


24/36

' 1 . $ & 3 5 7 9 ; 1'

1*.

1

'*9

'*5

'*&

'*.

'

'*.

'*&

G"78ca N9 1@9 Soluci0 de la EDO pa"a pe"iodo 5 = t = 15

' 1' .' $' &' 3' 5' 7' 9' ;' 1''

1*.

1

'*9

'*5

'*&

'*.

'

'*.

'*&

G"78ca N9 1@9 Soluci0 de la EDO pa"a pe"iodo 5 = t = 155

(bser)aciones:

1* En la gr8ca con periodo hasta el 1'' se obser)a 0ue la deormacin

del cable )a disminu-endo hasta estabili"arse en el in8nito= el puente

no alla*

.* 4a estabili"acin se debe a la resistencia asignada al cable km esma-or en comparacin a la oscilacin de la carga #&%*


25/36

C31


26/36

x'( t2 )=0.61791

!epitiendo el proceso para ms ciclos*

' '*3 1 1*3 . .*3 $ $*3 & &*3 3

'*.3

'*.

'*13

'*1

'*'3

'

'*'3

'*1

'*13'*.

G"a8ca N9 19 Soluci0 de la EDO e ite"*alo 5 = t = @

' 1' .' $' &' 3' 5' 7' 9' ;' 1''

'*&

'*$

'*.

'*1

'

'*1

'*.

'*$

G"a8ca N9 1B9 Soluci0 de la EDO e ite"*alo 5 = t =155

(bser)aciones

1* Al no ser los periodos de )ibracin por la resistencia del cable # km %mLltiplos de . por el periodo de la carga #&%+ o )ice)ersa* 4os ciclos

tienes rango )ariable*.* A largo pla"o el sistema se mantiene acotado+ el puente no alla*


27/36


28/36

Iciso @Solucin general

x' '

+ x'

+F(x )=g+sen(t)

x' '+ x '+!x=g+sen (t)

Polinomio caracterstico:

m2+m+!=0

m=

24!2

m=2

4!2

2i

4!2

2+c

2e2sin

4!2

2

xc=c1 e2cos

xp=A+" sint+Ccost

xp'="costCsint

xp' '="2 sintC 2cost

A=

g

!

[ !2

! 2 ]["C]=[0]

["C]= 12 2+!22! 2+4 (!2)

si las condiciones de borde:


29/36

[x (t0 )x '(t0 )]=[##']

[ e

$tcos

it e

$tsin

ite$t($cos itisin it) e$t($ sin iti cos it)][

c1c2]

=[#A"

sintC

cost

#'" cost+C sint]

4uego usando los )alores

?1F 17+ ?.F1$+ NF'*'1+ gF1'


30/36

A


31/36

-# < ? < 595? 4/51B 4H/5


32/36

CEl estado estable de la E/( se obtiene utili"ando solo los terminos de la

solucin particular+ - es resultado es una cur)a estable+ es decir acotada por

)alores constantes:

G"78ca N9 21 Estado Esta%le de la EDO

G"78ca N9 22 T"!io t"asito"io de la EDO

1* El Ormino transitorio se obtiene utili"ando solamente la solucin

particular de la Ecuacin.* El estado estable corresponde a la solucin caracterstica de la

Ecuacin dierencial homognea*


33/36

D


34/36

' 3 1' 13 .' .3 $' $3 &' &3 3'

1*.

1

'*9

'*5

'*&

'*.

'

G"a8ca N9 29 Soluci0 co


35/36

G"a8ca N9 29 Soluci0 co


36/36

' 3 1' 13 .' .3 $' $3 &' &3 3'

.

1*3

1

'*3

'

'*3

1

G"a8ca N9 $$9 Soluci0 co

puente narrow

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