Forfatter:

Sanda Bojanic

Vejleder:

Stig Vinther Møller

Porteføljeoptimering

Ejendommes rolle som del af en investeringsportefølje

Handelshøjskolen i Århus

2009

Side 1 af 91

Executive summary:

The main purpose of this paper is to make a study of the importance of including real estate in a

portfolio consisting of financial assets. The most important questions to answer are:

What effect does human capital have on the optimal portfolio seen from a life perspective?

Which significance does it have to include real estate in the portfolio? How are the changes through

a life time?

Will it present a higher return for a given risk, to include real estate in a financial portfolio, based

on Danish data?

Markowitz suggested that an investor evaluates the return and risk, associated with the investment,

from its mean and its variance. He then moves on to determine the efficient portfolios from those

that have the highest expected return for a given risk or alternatively the ones with the lowest risk

for a given expected return. The efficient portfolios created from the tradeoff between return and

risk is defined as the efficient frontier.

In mean-variance portfolio the optimal composition of risky assets are the same for all investors,

because it constitutes from the market portfolio. The investor only has to relate to his risk aversion,

and this will then determine the relationship between the portfolio of risky assets and the riskless

asset.

If the human capital is included, the conclusion is that the optimal portfolio shares depend on the

risk profile of the income. If an investor’s income resembles an investment in bonds, the investor

should hold a high share of stocks when he is young and reduce it as he gets older. If the income has

a high correlation with stocks, the best strategy is to hold a low share of stocks while being young,

and increase it as time passes by. The flexibility of the human capital implies that young people

should hold a big holding of stocks, because their human capital is much larger than their financial

wealth. If young people lose money on their financial assets, the likelihood of earning them back is

higher, because they have a higher possibility to increase their human capital over time. As they get

older, their flexibility reduces, and therefore, they should decrease their share of stocks and increase

the share of bonds.

Flavin and Yamashita use mean variance portfolio to examine how a household’s optimal portfolio

composition is influenced by ownership of real estate and the mortgage on this asset. They discover

that including housing in the portfolio brings a diversification effect, and improves the efficient

Side 2 af 91

frontier dramatically. They show that the correlation between housing and the other assets (T-bills,

bonds, stocks and mortgage) are very low and negative. They also examine how the optimal

portfolio changes in a lifecycle pattern, and therefore they divide the households in different age

cohorts. The youngest households have the highest mean ratio of house value to net worth, and have

a high leverage on their house. For this reason they want to reduce their risk, by holding a low share

of stocks and a high share of bonds. As the household gets older and their house value compared to

their financial worth decreases, they increase their risk by holding a higher share of stocks and a

lower share of bonds.

Flavin and Yamashia’s article is conducted on basis of American data, and therefore this paper is

interested in examining if the same conclusion would be reached, based on Danish data. The

examination is made in the light of stocks, 2-year bonds, 10-year bonds and real estate for the

period 1989-2007.

From the Danish data, it is found, that housing has en expected return that is a little smaller than the

return for 2-year bonds, but housing has a standard deviation of 2,1062 % compared to the standard

deviation of 2-year bonds of 1,2522 %. The correlations between these two assets are -0, 2536, so

there is a possibility that including housing will diversify the portfolio. The conclusion from the

Danish data is though that it only improves the efficient frontier slightly, by including housing in

the portfolio. This improvement is only apparent for values of expected return that is smaller than

approximately 1,7 % per quarter of a year. The conclusion is valid both with and without the

possibility of short sales. When a risk free asset is included, the capital market line can be found for

the portfolios with and without housing. The conclusion is, that investor gets the highest benefit

from including housing in his portfolio, when the expected return from the risk free asset is low and

when he invests in a portfolio with a high expected return, that is to say when investors risk

aversion is small.

Side 3 af 91

Indholdsfortegnelse

Indledning:.......................................................................................................................................................3

1.1 Problemformulering................................................................................................................................3

1.2 Afgrænsning...........................................................................................................................................4

1.3 Metode....................................................................................................................................................5

2 Middelværdi-varians porteføljeteori..............................................................................................................5

2.1 Tobin’s seperationsprincip......................................................................................................................8

2.2 Inddragelse af humankapital.................................................................................................................15

2.3 Modellens begrænsninger.....................................................................................................................18

3 Ejendomme..................................................................................................................................................20

4 Porteføljemodel med ejendom.....................................................................................................................23

4.1 Data......................................................................................................................................................23

4.2 Resultater..............................................................................................................................................26

4.3 Modellens forudsigende egenskaber.....................................................................................................32

4.4 Konklusion for porteføljemodel med ejendom.....................................................................................35

4.5 Begrænsninger......................................................................................................................................36

5 Diskussion af teoriernes implikationer........................................................................................................37

6 Data for Danmark........................................................................................................................................39

6.1 Gennemgang af beregningerne i Excel.................................................................................................42

6.2 Resultater..............................................................................................................................................44

6.3 Konklusion for de danske data..............................................................................................................50

6.4 Begrænsninger......................................................................................................................................50

7 Konklusion..................................................................................................................................................51

Kildefortegnelse.............................................................................................................................................54

Side 4 af 91

Indledning:

Næsten alle mennesker ejer en portefølje af aktiver. Denne portefølje kan både indeholde

realaktiver, som bil, hus eller båd, og finansielle aktiver, eksempelvis aktier og obligationer.

Sammensætningen af aktiverne kan skyldes tilfældigheder, eller grundig planlægning fra den

enkeltes side. Beslutningen, om hvilke aktiver ens portefølje skal indeholde, kan virke uoverskuelig

og vanskelig, da mulighederne for at sammensætte aktiverne er mangfoldige.

I de tidligere årtier boede mange mennesker i den samme bolig igennem hele deres liv. Nu er der en

større grad af mobilitet og højere finansieringsmuligheder. Dette har medført at den formue som

bliver brugt på, eller skabt som følge af beslutninger for fast ejendom, er blevet mere signifikant.

Boligejere betragter ofte deres bolig som et separat aktiv, og ser det ikke i sammenhæng med

investering i aktier og obligationer. Der har været meget debat, om fast ejendom skal betragtes som

en komponent i ens investeringsportefølje. (Bobby E. Waldrup, Seth C. Anderson, Sid Rosenberg

og Vincent Shea (2005))

Idet lidt over halvdelen af danskerne, 51 %, ejer deres egen bolig (Jens Erik Skovgaard (2008)),

anses debatten om ejendommes rolle i en porteføljesammenhæng, for værende en relevant

problemstilling. Et andet argument for inkludering af ejendom, er de seneste års brug af friværdi til

investering i de finansielle aktiver. Derfor ønskes der at undersøge fast ejendoms rolle som en del af

en investeringsportefølje.

1.1 Problemformulering

Formålet med denne rapport er at afdække den optimale investeringsstrategi, når man inkluderer

fast ejendom i sin portefølje. Idet boligens værdi udgør en stor del af boligejernes aktiver, er det

sandsynligt, at det vil påvirke investors optimale porteføljevalg, hvis man inddrager denne kapital.

Boligens andel af den samlede formue aftager, som følge af at husholdningen akkumulerer en større

formue igennem tiden. Hermed introduceres der et livscyklusmønster i den optimale portefølje.

Dette mønster ønskes sammenlignet med det livscyklusmønster, der opstår, hvis man erkender, at

investor foruden de finansielle aktiver også har en humankapital.

I opgaven redegøres der for Flavin og Yamashita’s artikel, der undersøger hvordan

husholdningernes optimale portefølje påvirkes ved inddragelse af fast ejendom, samt den gæld man

har på dette aktiv. Da denne artikel bygger på amerikanske data, vil der blive foretaget en analyse

Side 5 af 91

af, hvilken betydning inkludering af fast ejendom i en portefølje har, hvis man tager udgangspunkt i

danske data.

De vigtigste spørgsmål, der undersøges, er:

Hvilke indvirkninger har humankapitalen på det optimale porteføljevalg set i en livscyklus

betragtning?

Hvilken betydning har inddragelse af fast ejendom i porteføljen? Hvordan er ændringerne

igennem livsforløbet?

Giver det et højere afkast for en given risiko at inddrage ejendom i sin investeringsportefølje

for danske data?

1.2 Afgrænsning

Der antages at investor er rationel og risikoavers. Derfor vil investor stræbe efter at opnå et så højt

afkast som muligt, i forhold til den risiko han påtager sig. Investors investering i risikofyldte

aktiver, vil være en investering i markedsporteføljen. Hans individuelle risikoaversion vil afgøre

hvor stor en del af hans formue, der skal placeres i den risikofyldte portefølje, og hvilken andel han

skal placere i det risikofri aktiv.

For de danske data vil der ikke blive korrigeret for inflationen eller skatten. Ligeledes vil gæld ikke

være inkluderet i porteføljen. Grunden til at der ikke er taget hensyn til skat, er at det ikke er muligt

at finde ud af, hvad de enkelte aktiver skal beskattes med. F.eks. gælder der for obligationer, at

kursgevinsten er skattefri, mens rentebetalingerne er skattepligtige. Ud fra obligationsindekset kan

man ikke se, hvor stor en andel af stigningen der skyldes kursgevinsten, og hvor stor en del der er

forårsaget af rentebetalingerne. Det faktum, at der ikke er taget højde for inflationen, har ikke en

betydning for opgaven, idet inflationen påvirker aktiverne på samme måde. Dermed vil en

deflatering ikke ændre de optimale porteføljeandele.

Der ses ikke på leje kontra eje beslutningen i forbindelse med fast ejendom. Derfor vil der heller

ikke blive taget hensyn til den sparede husleje, som en husholdning opnår i kraft af, at de har købt

deres bolig.

Ydermere er der begrænsninger for de valgte modeller, men de vil fremgå af de pågældende afsnit,

hvori modellerne beskrives.

Side 6 af 91

1.3 Metode

Opgaven starter med at fortælle om middelværdi-varians porteføljemodellen. Idet modellen ikke

siger noget om, hvordan man skal investere i en livscyklusbetragtning, vil der blive redegjort for

humankapitalen, for at få dette aspekt med.

Dernæst fortælles der kort om ejendomme, og hvordan de adskiller sig fra de finansielle aktiver. Til

videre analyse om ejendommes betydning i en portefølje, er der blevet valgt at redegøre for Flavin

og Yamashita’s model. Denne model analyserer, om inddragelse af fast ejendom og gælden herpå

kan forbedre den efficiente rand for de amerikanske data. Derudover efterforsker modellen hvordan

man skal investere igennem ens livsforløb, hvis man er boligejer.

Der er i denne opgave valgt at undersøge, om inddragelse af fast ejendom giver et højere forventet

afkast for en given risiko på baggrund af danske data. I forbindelse med udledning af den efficiente

rand, er der blevet benyttet tre metoder; Lagrange, Black og Solver. Derudover er den efficiente

rand beregnet både med og uden kortsalgsmuligheder. Idet der ikke findes de samme data for det

danske marked som for det amerikanske, er fremgangsmåden anderledes end i Flavin og

Yamashita’s artikel. Derfor vil modellernes forudsætninger blive diskuteret.

2 Middelværdi-varians porteføljeteori

Porteføljeoptimering går ud på at bestemme den optimale kombination af et antal usikre

investeringer. I porteføljesammensætningen er den vigtigste opgave at maksimere det forventede

afkast for en given risiko, eller alternativt at minimere risikoen for et givet forventet afkast.

Modellen forudsætter at investor er risikoavers, dvs. at hvis han får muligheden for at vælge mellem

to aktiver med det samme forventede afkast, så vil han vælge den med den mindste risiko. Investor

er kun villig til at påtage sig en højere risiko, hvis det bliver kompenseret med et højere forventet

afkast.

Markowitz foreslog, at investor vurderer investeringens afkast og risiko ud fra dens middelværdi og

varians, som for en portefølje er udtrykt ved:

E(r¿¿ p)=∑i=1

n

x i∗¿ E(r¿¿i)¿¿¿ (1)

Hvor E(rp) angiver porteføljens forventede afkast, n er antallet af aktiver i porteføljen, xi er den

andel som aktiv i indgår med i porteføljen, og E(ri) er det forventede afkast for aktiv i.

Side 7 af 91

σ p2=∑

i=1

n

x i2 σ i

2+∑i=1

n

∑j=1

n

x i x j σ ij i ≠ j (2)

Hvor σp2 er variansen på afkastet for porteføljen, og σij er kovariansen mellem aktiv i og aktiv j

(Michael Christensen og Frank Pedersen (2003) side 45 og 49). Standardafvigelsen, som er lig med

kvadratroden af variansen, er et risikobegreb, som siger noget om, hvor meget afkastet svinger.

Standardafvigelsen måler sandsynligheden for, at en enkelt periodes afkast ligger i nærheden af det

gennemsnitlige afkast, der er opgjort for perioderne. Hvis afkastene er normalfordelte, og det

gennemsnitlige afkast f.eks. har været 10 % årligt med en standardafvigelsen på 3 %, har afkastet

lagt mellem 7 % og 13 % i 68 % af perioderne. Den empiriske regel siger, at ca. 68 % af afkastene

vil lige indenfor (E(r) ± σ), hvorimod 95 % af afkastene vil ligge indenfor (E(r) ± 2σ).

Kovariansen mellem to aktiver kan beregnes som:

σ ij=1

n−1∑t=1

n

¿¿ (3)

Hvor rit er afkastet for aktiv i på tidspunkt t, E(ri) er lig med det gennemsnitlige afkast for aktiv i, og

n er antallet af fælles observationer. Kovariansen er et mål for den lineære afhængighed mellem to

variabler. En positiv kovarians er et udtryk for, at de to variabler bevæger sig i samme retning, mens

en negativ kovarians er et udtryk for, at de bevæger sig i modsat retning (Jacob Aqraou (1997) side

23). Grunden til at man dividerer med n-1 og ikke med n, er for at sørge for, at kovariansen for

stikprøven bliver en unbiased estimator af populationens kovarians.

Kovariansen mellem en variabel og sig selv er lig med variansen, dvs. σii = σi2.

Kovariansen er ikke uafhængig af skala, dvs. at kovariansen mellem to variabler målt i tusinde

kroner vil ikke være den samme, som hvis den blev målt i millioner kroner. Korrelationen mellem

to aktiver er derimod uafhængig af den anvendte måleenhed.

ρij=σ ij

σ i σ j (4)

Hvor ρij er korrelationen mellem aktiv i og aktiv j. Denne koefficient skal ligge i intervallet mellem

-1 og 1. Korrelationen er et mål for sammenhængen mellem et sæt af to variabler. En høj

korrelation betyder, at det ene sæt af variabler kan forudsiges fra det andet og omvendt. Hvis ρ = 0

Side 8 af 91

er der ingen samvariation mellem aktiv i og j. Er ρ = 1 betyder det, at der er perfekt positiv

samvariation, mens ρ = -1 er et udtryk for perfekt negativ samvariation.

Sammenholder man formel (2) med formel (4), vil man kunne se, at alle porteføljer som er

sammensat af aktiver, der ikke har en perfekt korrelation, vil have en varians, der er mindre end det

vægtede gennemsnit af de enkelte aktivers varianser. Dette sker pga. diversifikation. Vha.

diversifikation kan man sammensætte en portefølje, der har en lavere risiko uden at have et lavere

forventet afkast. Men der findes to former for risiko, den systematiske og den usystematiske. Den

systematiske risiko eksisterer pga. en generel usikkerhed i økonomien, f.eks. inflation og

økonomisk politik. Denne risiko kan ikke diversificeres væk, idet den påvirker alle aktiver. Den

usystematiske risiko er specifik for det enkelte aktiv, og derfor kan denne diversificeres væk. Jo

flere aktiver man inkluderer i porteføljen, desto mindre følsom vil porteføljen være overfor det

enkelte aktivs risiko (Michael Christensen og Frank Pedersen (2003) side 49).

Korrelationen har en stor betydning for sammenhængen mellem det forventede afkast og risikoen

for forskellige porteføljekombinationer, som det kan ses i figur 1.

Figur 1: Sammenhængen mellem det forventede afkast og standardafvigelsen for forskellige

korrelationskoefficienter.

Kilde: Edwin J. Elton, Martin J. Gruber, Stephen J. Brown og William N. Goetzmann (2007) side 77.

I figuren kan man se, at jo lavere korrelationskoefficienten mellem aktiverne er, desto højere

udbytte fra diversifikationen vil man kunne få, alt andet lige. Den største diversifikationsgevinst

Side 9 af 91

opnås når ρ = -1. Derudover kan kombinationer af to aktiver aldrig have mere risiko end når

korrelationskoefficienten er lig med 1, repræsenteret ved den lige linje der forbinder de to aktiver.

Er ρ = 1 eksisterer der ikke nogen diversifikationsmuligheder, idet aktiverne er perfekt korreleret og

dermed bevæger afkastene sig i takt med hinanden. Forudsætningen for brugbarheden af denne

sammenhæng er, at investor er risikoavers. Hvis han ikke er risikoavers, er der ikke grund til at

diversificere, fordi investor vil vælge at investere udelukkende i det aktiv med det højeste

forventede afkast.

2.1 Tobin’s seperationsprincip

Tobin definerede et seperationsprincip, der siger at investors optimale porteføljesammensætning

kan deles op i tre faktorer. Det første man skal gøre, er at finde den efficiente rand, hvorefter man

skal udlede kapitalmarkedslinjen. Til sidst skal investor ud fra sin risikoaversion bestemme sit

indifferenskurvesæt, og dermed den optimale fordeling mellem det risikofri aktiv og den

risikofyldte portefølje (Michael Christensen og Frank Pedersen (2003) side 74). Disse tre trin

beskrives i de efterfølgende afsnit.

Fremgangsmåden ved udledning af den efficiente rand er følgende: Hvis portefølje A både har et

højere forventet afkast og en mindre risiko end portefølje B, så er A bedre end B. Portefølje B er

inefficient, og kommer derfor ikke med i betragtning. Når man har elimineret alle de inefficiente

porteføljer, står man tilbage med alle de efficiente porteføljer. En efficient portefølje er den, der har

det højeste forventede afkast for en given risiko, eller alternativt den mindste risiko for et givet

forventet afkast. Ud fra alle de efficiente porteføljer, kan man konstruere den efficiente rand.

Udseendet af randen afhænger af, om der er kortsalgsmuligheder. Kortsalg omfatter de situationer,

hvor investor sælger et aktiv, som han ikke selv ejer. Det kan f.eks. lade sig gøre, hvis han låner

aktivet af en anden investor. Formålet er, at hvis investor har en forventning om, at der vil være

kursfald, så kan han på et senere tidspunkt købe aktivet tilbage til denne lavere kurs, og derefter

levere det tilbage til ejermanden (Michael Christensen og Frank Pedersen (2003) side 55). I denne

opgave vil der både blive set på situationer hvor kortsalg er tilladt, og hvor det ikke er. Der er flere

metoder, hvorpå man kan udlede den efficiente rand, bl.a. ved hjælp af Black, Lagrange og Solver. I

det følgende vil Lagrange’s metode blive beskrevet, mens der vil blive redegjort for Solver’s og

Black’s metode i afsnit 5.1.

Side 10 af 91

Man kan lave selve porteføljeoptimeringen vha. Lagrange (Klaus D. Sørensen, Lars Rasmussen,

Kenneth I.K.E. Jørgensen og Jeppe Brandstrup (2008)) ved at minimere variansen, som er udtrykt

ved denne formel1:

σ p2=X ' (σ ij ) X (5)

Hvor X er vektoren for porteføljevægtene, X´ er vægtenes transponerede2 vektor, og σij er

kovariansmatricen.

Variansen skal minimeres under følgende betingelser:

∑i=1

n

x i=1, hvilket betyder at summen af porteføljevægtene skal være 1.

∑i=1

n

x i E(r¿¿ i )=E(r¿¿ p)¿¿

xi > 0, hvor i = 1,…,n. Denne begrænsning skal kun være til stede, hvis man ønsker at

udelukke muligheden for at gå kort i et aktiv.

Lagrange ligningen kan skrives som:

L ( X , λ )=X ' (σ ij) X−λ' (R' X−μ) (6)

Hvor λ er en vektor der indeholder Lagrange multiplikatoren, R er en [i x 2] matrice, der indeholder

det forventede afkast i den første søjle og 1 i den anden søjle, μ er en [2 x 1] vektor der indeholder

gennemsnittet for porteføljeafkastet i den første række og 1 i den anden række. Man opnår

løsningen til Lagrange ligningen ved at differentiere formel (6). Det vil ikke blive udledt her, men

resultatet for porteføljevægtene er:

X=¿ (7)

Hvor A-1 er den inverse3 af matricen A. A er en [2 x 2] matrice og givet ved følgende formel:

1 Man skal lægge mærke til at man kun kan gange to matricer, A og B, hvis der gælder, at antallet af søjler i A er lig med antallet af rækker i B, dvs. at man kan godt gange en 6x3 matrice med en 3x5, men man kan ikke gange en 3x5 matrice med en 6x3.2 Hvis man har en [m x n] matrice A så er dens transponerede matrice, A ', en [n x m] matrice hvis første søjle er den første række i A, dens anden søjle er den anden række i A osv.3 Hvis man har en matrice A, så siger man at X er en invers af A, hvis der eksisterer en matrice X, der opfylder at AX = XA = I, hvor I er identitetsmatricen som består af 1’taller langs diagonalen og 0 alle andre steder. Ud fra dette kan man se at det kun er kvadratiske matricer, der kan have en invers, men at det er en kvadratisk matrice betyder ikke at den har en invers.

Side 11 af 91

A=R'¿ (8)

Derudover skal man beregne porteføljens gennemsnit og varians. Variansen er givet ved formel (5),

mens gennemsnittet er udtrykt ved E(r p)=X ' E (r ).

Disse beregninger er blevet lavet i Excel, og kan findes i bilag 7 og 8.

Der er specielt en porteføljekombination på den kritiske rand, der er interessant. Dette er Minimums

Varians Porteføljen (MVP), som er den porteføljekombination, hvor risikoen er lavest mulig. Hvis

man har 2 aktiver, i og j, så findes porteføljen af disse aktiver med den mindste varians som:

x i=σ j

2−σ ij

σ i2+σ j

2−2 σ ij

(9)

Hvor xi symboliserer den vægt som aktiv i skal indgå i porteføljen med. Vægten for aktiv j i MPV

kan findes ved xj = 1 – xi (Michael Christensen og Frank Pedersen (2003) side 59). Aktiv i og j skal

ikke forstås bogstaveligt, f.eks. kan aktiv i godt bestå af hele aktieindekset, eller det kan være en

portefølje.

Hvis man kombinerer den efficiente rand med et risikofrit aktiv, får man en lineær sammenhæng,

som illustreret i figur 2.

Figur 2: Kapitalmarkedslinjen og den efficiente rand.

Side 12 af 91

Kilde: Michael Christensen og Frank Pedersen (2003) side 61.

Den lige linje, som udtrykker sammenhængen mellem det risikofri aktiv og den efficiente rand,

kaldes for kapitalmarkedslinjen. I figuren kan man se, at kapitalmarkedslinjen skærer y-aksen ved

5 %. Dette skyldes, at det risikofri aktiv i dette tilfælde er et pengemarkedsindlån til en rente på

5 %. Hvis man har et aktiv, der er risikofrit, betyder det at standardafvigelsen for afkastet på det

pågældende aktiv er lig med 0, og at det risikofri aktiv er ukorreleret med de risikofyldte aktiver. I

figur 2 kan man også se, at kapitalmarkedslinjen tangerer den efficiente rand. Dette tangentpunkt

kaldes for markedsporteføljen (Michael Christensen og Frank Pedersen (2003) side 61-62). Hvis

investor er interesseret i at opnå et højere afkast, end det han får i tangentporteføljen, har han to

muligheder. Den ene mulighed er at bevæge sig langs den efficiente rand ved at øge aktieandelen i

porteføljen. Hermed opnår han et højere forventet afkast, men også en langt højere risiko. Den

anden mulighed investor har, er at låne til den risikofri rente og investere mere end 100 % i

markedsporteføljen. Dvs. at han kan geare sin investering og dermed bevæge sig langs

kapitalmarkedslinjen. Det sidstnævnte er det bedste at gøre, idet investor opnår et højere forventet

afkast for den samme risiko ved at geare porteføljen, end han gør ved at investere en højere andel i

aktier (Jacob Aqraou (1997) side 211). Markedsporteføljen har den egenskab, at enhver

kombination af den og det risikofri aktiv vil generere et afkast, der ligger over det afkast, man

kunne have opnået ved en investering alene på den efficiente rand.

For sammenhængen mellem det risikofri aktiv og den risikofyldte portefølje, kan den kombinerede

porteføljes afkast, E(rc), beregnes som:

E(r¿¿c)=rf +x p∗(E (r¿¿ p)−r f )¿¿

(10)

Hvor xp angiver den andel, der investeres i den risikofyldte portefølje, og rf er den risikofri rente.

E(r¿¿ p)−r f ¿ kaldes for risikopræmien, og den angiver det merafkast man får ud over den risikofri

rente.

Man kan beregne risikoen på den kombinerede portefølje vha.:

σ c=x p∗σ p (11)

Side 13 af 91

Hvor σp er standardafvigelsen på den risikofyldte portefølje. Dette simple udtryk skyldes, at risikoen

på det risikofri aktiv er lig med 0, og at kovariansen mellem det risikofri aktiv og den risikofyldte

portefølje også er lig med 0.

Kapitalmarkedslinjen er udtrykt som:

E(r¿¿c)=rf +E(r¿¿ p)−rf

σ p∗σc ¿¿

(12)

Den består af en konstant, som er den risikofri rente, og en hældningskoefficient, som er

risikopræmien pr. risikoenhed, der er ganget med risikoen for den kombinerede portefølje.

Risikopræmien pr. risikoenhed kaldes for Reward-to-Variability ratioen (RTVR). Investor er

interesseret i at maksimere RTVR, idet dette genererer det højst mulige afkast, givet den

dertilhørende risiko. Den optimale kapitalmarkedslinje er derfor den, der har den højeste RTVR,

dvs. den største hældningskoefficient (Michael Christensen og Frank Pedersen (2003) side 61-62).

En investors risikoaversion er afgørende for, hvordan han vil fordele sin formue mellem det

risikofrie aktiv og den risikofyldte portefølje. Risikoaversionen angiver, hvor villig investor er til at

investere i risikofyldte aktiver. Der gælder, at jo højere risikoaversion man har, desto mindre risiko

er man villig til at påtage sig. Ved den optimale porteføljesammensætning skelnes der ikke mellem

investors evne til at bære risiko og hans holdning til risiko. Det eneste der betyder noget, er om han

er mere villig end gennemsnittet til at bære risiko for at opnå et højere forventet afkast (Zvi Bodie,

Robert C. Merton og David L. Cleeton (2007) side 337-338).

Udgangspunktet for hvordan investor vil fordele sin formue er nyttefunktionen. Nyttefunktioner

repræsenterer, hvilken nytte en person opnår ved at besidde en bestemt formue. Nyttefunktionen

kombinerer det forventede afkast og risikoen, så derfor angiver den, den samlede tilfredshed som

investor opnår ved sin investering. Forudsætningen er, at enhver person ønsker at opnå den størst

mulige nytte, og derfor vil det ligge til grund for valget, når han skal træffe en beslutning. En

investors nyttefunktion udledes ved at forestille sig, at investor står overfor et spil, hvor han skal

vælge mellem en sikker gevinst og et spil med usikre gevinster. Herudfra kan man finde ud af, hvor

meget investor er villig til at betale for at indgå i spillet. Dermed kan man se om det ligger under, på

Side 14 af 91

eller over det forventede afkast for det usikre spil. Ved at finde den forventede nytte af en investering kan en investor sammenligne med nytten af ikke at investere, og derved vælge om den usikre investering skal foretages. Forventet nytte kan også anvendes til at sammenligne forskellige usikre investeringer. Hvis investor er bevidst om nytten for to investeringer, kan han se, hvilken han vil få størst forventet nytte af, og derved hvilken han bør vælge (Michael Christensen og

Frank Pedersen (2003) side 66-67).

Man siger, at en investor kan være risikoavers, risikoneutral eller risikovillig. De dertilhørende

nyttefunktioner ser ud som vist i figur 3.

Figur 3: Nyttefunktionerne.

Kilde: Edwin J. Elton, Martin J. Gruber, Stephen J. Brown og William N. Goetzmann (2007) side 247.

I figuren er W et udtryk for ændringen i investors formue, og U(W) er nytten. Herfra kan man

udlede hvor stor en nytteforbedring en stigning i formuen giver investoren. I figuren viser graf 1

nyttefunktionen for en risikovillig person. En risikovillig investor har en nyttekurve der er konveks,

hvilket medfører, at han har en stigende marginalnytte. Denne investor vil være villig til at betale en

højere pris end det forventede afkast af de usikre investeringer for at få muligheden for at spille

med. Nyttefunktionen for en risikoneutral investor er lineær, og er udtrykt ved graf 2 i figuren.

Marginalnytten for denne investor er konstant. I figuren viser graf 3 nyttefunktionen for en

risikoavers investor. En risikoavers investor har en aftagende marginalnytte, hvilket vil sige, at

nytteforbedringen af en ekstra krone er faldende. Investor vil få en højere nytteforbedring hvis han

går fra at have 10 kroner til 11 kroner, end hvis han går fra at have 1000 kroner til at have 1001

Side 15 af 91

kroner. Jo mere konkav investors nyttefunktion er, dvs. jo mere kurven buer indad, desto højere

beløb kræves der for at opnå en given nytteforbedring, og dermed er investor mere risikoavers

(Michael Christensen og Frank Pedersen (2003) side 68-69).

Ud fra nyttefunktionen er det muligt at bestemme et kvantitativt udtryk for investors risikoaversion.

Der skelnes mellem absolut risikoaversion og relativ risikoaversion. Absolut risikoaversion

defineres som investors reaktion på usikkerheden om ændringer i hans velstand i kroner og ører.

Relativ risikoaversion er derimod investors reaktion på usikkerheden om den procentvise ændring i

hans formue. Disse begreber kan benyttes til at finde ud af, om investor f.eks. vil investere flere

kroner i den risikofyldte portefølje, som hans formue stiger eller om han f.eks. vil holde andelen,

der er investeret i den risikofyldte portefølje konstant. Dette giver en større nuance af begrebet

risikoaversion.

I det efterfølgende tages der udgangspunkt i nyttefunktionen for den risikoaverse investor. Derfor

repræsenterer indifferenskurvesættet i figur 4 den konkave, kvadratiske nyttefunktion.

Figur 4: Indifferenskurvesættet som svarer til en konkav nyttefunktion.

Kilde: Michael Christensen og Frank Pedersen (2003) side 74.

I figuren kan man se, at kurverne har en positiv hældning, hvilket skyldes, at det kun er et højere

forventet afkast der giver nytte, mens en højere risiko mindsker nytten. Fortolkningen af kurverne

er, at investor er indifferent mellem alle punkterne på kurven. Dvs. at han føler sig lige godt stillet i

punkt A, der har en lav risiko og et lavt forventet afkast, og punkt B, der både har et højere afkast

og en højere risiko. I figuren repræsenterer indifferenskurve III den højeste nytte (Michael

Christensen og Frank Pedersen (2003) side 74).

Side 16 af 91

Når man har fundet indifferenskurvesættet, kan man finde investors optimale portefølje ved at

forskyde kurven indtil indifferenskurven tangerer den efficiente rand. Tangentpunktet mellem

indifferenskurven og den efficiente rand er investors optimale portefølje (Jacob Aqraou (1997) side

204). Hvis der eksisterer et risikofrit aktiv, skal indifferenskurven forskydes indtil den tangerer

kapitalmarkedslinjen, og dette punkt vil være investors optimale portefølje.

Figur 5: Den optimale porteføljesammensætning.

Kilde: Michael Christensen og Frank Pedersen (2003) side 77.

I figuren ses de optimale porteføljer for to forskellige investorer, illustreret ved punkterne P og Q. P

er en forholdsvis forsigtig investor, der vælger at investere halvdelen af sin formue i den

risikofyldte portefølje og den anden halvdel i det risikofri aktiv. Investor Q er derimod mindre

risikoavers, og derfor består hans optimale porteføljesammensætning af en gearing af

markedsporteføljen, idet han befinder sig på kapitalmarkedslinjen til højre for tangentporteføljen.

Der findes mange andre faktorer udover de allerede nævnte, som man skal tage hensyn til, når man

skal bestemme den optimale porteføljesammensætning. Derfor er modellen meget forsimplet, og

kunne med fordel udvides, men til trods for dette er middelværdi-varians teorien ofte benyttet.

2.2 Inddragelse af humankapital

Side 17 af 91

I den klassiske porteføljeteori er den optimale sammensætning af risikable aktiver ens for alle, idet

den udgøres af markedsporteføljen. Det eneste man som investor skal forholde sig til er sin

risikoaversion, og denne vil bestemme forholdet mellem porteføljen af de risikable aktiver og det

risikofri aktiv. Sammensætningen af en portefølje af risikable aktiver er uafhængig af investors

specifikke forhold. Konklusionen ændres dog når man indser, at investors formue foruden de

finansielle aktiver også inkluderer humankapital, som er nutidsværdien af de forventede fremtidige

lønindkomster. Anders Lund Larsen (2007) analyserer i en artikel i Finans/Invest lønindkomstens

betydning for porteføljevalget. Han anfører, at hvis ens lønindkomst er usikker og

konjukturafhængig, vil ens humankapital minde mest om en aktieinvestering, og derfor skal man

placere en større andel af sin finansielle formue i obligationer. Dette skyldes, at porteføljeteoriens

grundide er at sammensætte aktiver, hvis afkast er så lavt korreleret som muligt med hinanden. Idet

personen allerede er indirekte eksponeret mod aktiemarkedet, vil diversifikationen blive større ved

en investering i obligationsmarkedet. Er ens humankapital derimod relativ sikker, som f.eks. for

offentligt ansatte, vil den ligne en obligationsinvestering, og derfor skal man investere en højere

andel af den finansielle formue i aktier.

Formlen for den optimale aktieandel når lønindkomsten er risikofri er:

α ¿=μ−rf +σ2/2

γ σ 2 (1+H t

F t) (13)

Hvor 𝛼* angiver den optimale aktieandel under hensyntagen til humankapital, Ht angiver

humankapitalen i kroner i tidspunkt t, Ft angiver den finansielle formue i kroner i tidspunkt t, μ

angiver det forventede log afkast på aktier, rf er den risikofri rente, σ angiver standardafvigelsen på

aktiemarkedet, og γ angiver investors risikoaversion (Anders Lund Larsen (2007)).

Når lønindkomsten svarer til en obligation, stiger den optimale aktieandel i takt med, at

humankapitalen vokser i forhold til den finansielle formue. For unge mennesker vil humankapitalen

være meget større end den finansielle formue, idet de har mange år tilbage på arbejdsmarkedet, men

til gengæld har de ikke nået at opspare særlig meget finansiel formue. Derfor skal de unge

mennesker alt andet lige holde en større aktieandel. Dette gælder dog kun for personer, der har en

lønindkomst, der svarer til en risikofri investering.

For en ung person for hvem humankapitalen er stærkt korreleret med aktieafkastet, og

humankapitalen udgør en stor del af den samlede formue, må aktieandelen af den finansielle formue

Side 18 af 91

være mindre. Jo ældre investor bliver, desto mindre bliver hans humankapital, og derfor må en

større andel af den finansielle formue placeres i aktier for at fastholde den optimale aktieandel af

den samlede formue. Som det ses, når man frem til to forskellige konklusioner, for hvordan man

skal investere igennem ens livsforløb, afhængig af lønindkomstens risikoprofil.

De fleste menneskers lønindkomst er hverken perfekt positivt korreleret med aktiemarkedet eller

fuldstændig risikofri, men ligger et sted imellem. Hvis man tillader at korrelationen mellem

lønindkomsten og aktieafkastet kan være et hvilket som helst tal mellem -1 og 1, får man følgende

sammenhæng for den optimale aktieandel:

α ¿=(1+ HF )( μ−r f +σ2/2

γσ 2 )−( HF )( σ H ,F

σ2 ) (14)

Hvor HF er middelværdien af

H t

Ft, og σH,F er kovariansen mellem lønindkomsten og aktieafkastet.

Denne kovarians divideret med aktieafkastets varians er lig med korrelationen mellem lønindkomst

og aktieafkast (Anders Lund Larsen (2007)).

Det første led er det samme som i formel (13) hvor korrelationen mellem lønindkomsten og

aktiemarkedet var lig med 0, mens det sidste udtryk angiver effekten af korrelationen. Det kan ses,

at hvis der er en negativ samvariation mellem lønindkomsten og aktieafkastet, fører det til en højere

optimal aktieandel, end i tilfældet hvor korrelationen mellem dem var 0. En positiv samvariation

fører derimod til en lavere optimal aktieandel.

Et andet forhold for lønindkomstens betydning for porteføljevalget er den fleksibilitet, som

tilstedeværelsen af humankapital skaber. Man anbefaler investorerne, at holde en højere aktieandel

mens de er unge, fordi man som ung har en større mulighed for at påvirke sin arbejdsindsats og

dermed sin lønindkomst. Investor kan arbejde flere timer om måneden og derigennem opnå en

højere humankapital, eller han kan vælge at udskyde sin pension og blive på arbejdsmarkedet i

længere tid. Desuden har han muligheden for at uddanne sig og forøge sin humankapital, fordi han

får en højere løn. Effekten af uddannelse er højere for unge mennesker, idet de har flere år tilbage

på arbejdsmarkedet, hvori de kan få denne højere løn. Denne fleksibilitet skaber en form for

forsikring mod dårlige afkast på den finansielle formue. Jo større mulighed investor har for at

påvirke sin lønindkomst, desto større risiko kan han påtage sig på de finansielle markeder. Årsagen

Side 19 af 91

ligger i, at han har en bedre mulighed for at tjene pengene ind igen ved at øge humankapitalen, hvis

det går dårligt med investeringerne. Som investor bliver ældre, mindskes skjoldet mod dårlige

afkast på de finansielle markeder, og derfor må den optimale aktieandel nedbringes.

Mange rådgivere anbefaler langsigtede investorer at holde en høj aktieandel, fordi aktier på lang

sigt vil give et højere afkast end obligationer. Som man bliver ældre vil ens investeringshorisont

blive kortere, og derfor skal man gradvist skifte over til en højere obligationsandel. Dette skyldes,

foruden fleksibiliteten af humankapitalen, at sandsynligheden for, at aktier vil outperforme

obligationer, er større ved en længere tidshorisont. Aktier er mere volatile end obligationer, men

genererer et højere forventet afkast på længere sigt (Claus Munk og Carsten Sørensen (2001)).

Tommelfingerreglen om at aktieandelen bør stige med investeringshorisonten gælder ikke for alle.

For personer som er meget risikoaverse og/eller har en humankapital, der er stærkt positivt

korreleret med aktiemarkedet, kan den optimale aktieandel være faldende med

investeringshorisonten.

2.3 Modellens begrænsninger

Middelværdi-varians teorien antager, at en investors nytte kun afhænger af middelværdien og

standardafvigelsen for afkastet. Den efficiente rand blev derfor udledt udelukkende ud fra disse to

parametre. Forenkling er kun rimelig hvis afkastene er normalfordelte, eller investors nyttefunktion

er en kvadratisk funktion af formuen (Jacob Aqraou (1997) side 205-206). De empiriske

undersøgelser konkluderer, at stort set ingen finansielle afkastserier kan betragtes som

normalfordelte. Dette er ikke et problem, hvis investors nyttefunktion er tilnærmelsesvis kvadratisk,

fordi det kan bevises, at hvis dette er opfyldt, maksimerer investor sin nytte på baggrund af

middelværdien og variansen, uanset hvordan afkastene er fordelt. Men antagelsen om at investors

nyttefunktion er kvadratisk, er imidlertid også problematisk. Den kvadratiske nyttefunktion er

udtrykt ved:

U(r) = r-a*r2 (15)

Hvor r angiver afkastet, og a angiver graden af risikoaversion. Differentierer man denne funktion

får man at:

U΄(r) = 1- 2ar og U΄΄(r) = -2a (16)

Side 20 af 91

Nyttefunktionen vil kun repræsentere en risikoavers investor, hvis a er positiv, idet U΄΄(r) skal være

negativ. Desuden kræves det, at r < (2a)-1 for at U΄(r) kan være positiv. Det kan ikke afvises, at

denne betingelse ikke er opfyldt for rimelige antagelser af a. Derudover afspejler den absolutte og

den relative risikoaversion i den kvadratiske nyttefunktion ikke de empiriske erfaringer.

Den absolutte risikoaversion er:

A (r )= 2a1−2ar (17)

Den relative risikoaversion er:

R (r )= 2 ar1−2ar . (18)

Disse to formler skal differentieres, for at man kan finde ud af, hvordan risikoaversionsmålene

påvirkes af en stigning i afkastet.

A' (r )= 4 a2

(1−2 ar)2 og R' (r )= 2 a

(1−2 ar)2 . (19)

Begge formler er positive, hvis a er positiv. Det betyder, at både den absolutte og den relative

risikoaversion stiger, hvis afkastet stiger. Dermed vil investor investere færre penge i den

risikofyldte portefølje, og den samlede andel af hans formue, der er investeret i den risikofyldte

portefølje vil falde, som følge af et stigende afkast. Dette strider imod de empiriske erfaringer

(Michael Christensen og Frank Pedersen (2003) side 71-73).

Middelværdi-varians porteføljeteorien er en statisk model, som kun viser, hvordan man skal

investere i en periode ad gangen. Men et langsigtet porteføljevalg er næppe en sekvens af

uafhængige kortsigtede porteføljevalg. Som forholdene i ens liv ændrer sig, og jo ældre man bliver,

er det relevant at vide, hvordan man skal investere i de forskellige perioder i ens liv. Modellen tager

ikke hensyn til, at det kan være fordelagtigt for investor f.eks. at ændre sin aktieandel gennem

livsforløbet. Desuden betragtes investeringsbeslutningen på et givet tidspunkt. Der tages ikke højde

for, at investor hele tiden får ny information, og derfor kan have behov for at ændre beslutningen.

Middelværdi-varians analysen tillader kun køb-og-behold strategier, men i den virkelige verden har

investor muligheden for at ændre eller tilpasse sin beslutning, f.eks. som følge af ændringer i renter,

forventede afkast eller indkomstforhold. Derfor er en dynamisk model mere realistisk.

Side 21 af 91

Investors nytte afhænger bl.a. af hans forbrug, men modellen tager ikke hensyn til forbrugssiden.

De fleste investorer er ikke kun interesserede i deres formue på et bestemt fremtidigt tidspunkt, men

også i deres forbrug over hele levetiden. Derfor vil de både vælge en forbrugsstrategi og en

investeringsstrategi med henblik på at maksimere den forventede livstidsnytte. Man kan dog antage,

at forbrugsbeslutningen allerede er blevet truffet, og at investeringsbeslutningen skal forsøge på at

dække denne bedst muligt.

I middelværdi-varians porteføljeteorien er den optimale sammensætning af risikable aktiver

uafhængig af investors specifikke forhold. Investor maksimerer sin nytte på baggrund af kun to

parametre, det forventede afkast og variansen. Teorien tager ikke hensyn til bl.a. alder, arbejde,

humankapital, ligesom den heller ikke tager hensyn til at f.eks. en investering i globale porteføljer

vil medføre en højere omkostning og en valutarisiko. Ved at undlade disse forhold er der en stor

risiko for, at den optimale portefølje som er forudsagt af modellen, ikke stemmer overens med

hvordan det i virkeligheden er optimalt for investor at forvalte sin formue. Dette gælder for alle

porteføljemodeller, men jo flere forhold de tager med i betragtning, desto tættere kommer man på

virkeligheden.

3 Ejendomme

Fast ejendom adskiller sig fra aktier og obligationer på flere forskellige måder. Når man investerer i

de finansielle aktiver, er der kun forbundet en investeringshensigt med det, og derfor er man kun

interesseret i at generere et så højt afkast som muligt af den investerede kapital. Når man derimod

køber en ejendom, er der både en konsumhensigt og en investeringshensigt forbundet med købet.

Undtagelsen er de investorer, der udelukkende benytter boliger som et investeringsaktiv, mens de

lejer den bolig, de selv bor i. Når investor køber en bolig tænker han oftest ikke udelukkende på,

hvor han tror den største værdistigning kan opnås, men også på forhold som afstanden til hans

arbejdsplads, boligens størrelse, dens stand, beliggenhed med mere. Investor skal bo i ejendommen,

så derfor skal det også opfylde hans ikke-finansielle behov. Dertil kommer at ejendomme er

illikvide, man skifter ikke bolig et par gange om året. De fleste synes, at det er for besværligt at

flytte, og derudover er der høje transaktionsomkostninger, bl.a. til advokat og det offentlige ved

købet og til mægler når ejendommen skal sælges. Fast ejendom anses for at være et aktiv, der er

bedst egnet for den langsigtede investor, idet den er illikvid.

Side 22 af 91

Man kan ikke blive ejendomsinvestor med en mindre pose penge i hånden på samme måde, som

man kan med aktier og obligationer. Det er ikke nemt at opdele ejendomme i små bidder, og derfor

vil køb af en ejendom for mange private ofte medføre en unødig stor og typisk illikvid investering.

Grunden til at man ikke kan investere et mindre beløb i ejendomme skyldes, at danske

investeringsforeninger endnu ikke må udbyde ejendomsfonde. Investor kan selv investere i fast

ejendom, men forskellen er, at for langt de fleste private investorer vil bare én ejendomsinvestering

udgøre en betragtelig del af porteføljen. Det vil give en meget højere eksponering mod

ejendomsmarkedet, end hvis investor har mulighed for at investere den del, som han har lyst til i en

ejendomsfond (Nikolaj Holdt Mikkelsen (2008)). Andelen, der er investeret i fast ejendom, vil være

nemmere at tilpasse i en ejendomsfond. I ejendomsfonde får man med bare én investering en god

spredning, fordi investeringen kan fordeles på mange ejendomme. Hvis man derimod selv køber en

ejendom, vil der være en risiko for, at boligmarkedet rammes særligt hårdt i det område, hvor man

har købt sin bolig, hvis boligmarkedet falder. Det er også svære at gardere sig mod andre forhold

som f.eks. at nabolaget forringes pga. en ny infrastruktur.

Et alternativ til selv at købe en bolig eller at investere i en ejendomsfond, er at investere i et

kommanditselskab, hvor man har mulighed for at foretage en ejendomsinvestering med op til ni

andre privatpersoner. Den enkelte investor hæfter kun med sin egen andel af selskabet. Ved at

investere sammen med andre kan man sprede sine ejendomsinvesteringer, men det er ikke lige så

effektivt som at investere i en ejendomsfond (www.ejendomsinvest.dk).

De danske investeringsforeningers brancheorganisation er i dialog med Finanstilsynet om

muligheden for også at tilbyde ejendomsfonde til danske investorer, så i fremtiden vil danske

investorer formodentlig også have muligheden for at investere i ejendomsfonde (Nikolaj Holdt

Mikkelsen (2008)).

Der er forskellige meninger om korrelationen mellem afkastet på boliger og afkastet på aktier og

obligationer. Bl.a. Marjorie Flavin og Takashi Yamashita (1998) siger, at de essentielt er

ukorreleret. Men en artikel af Peter Bach og Per Søgaard-Andersen (2007) om risikoanalyse af

ejendomme i investeringsporteføljer konkluderer, at risikoen ved ejendomsinvesteringer er meget

højere end tidligere antaget, og at korrelationen mellem ejendommes afkast og andre aktiver også er

højere. Dette skyldes metoden til at opgøre værdien af en ejendom. Problemet er, at der ikke findes

et åbent effektivt marked, hvor ejendomme værdiansættes hyppigt, derimod vurderes de 1-2 gange

Side 23 af 91

årligt. Dette mindsker de løbende udsving, når man måler på afkastet, idet månedsværdierne i høj

grad bliver en funktion af tidligere vurderinger, og der opstår seriekorrelation. Afkastene for aktier

og obligationer vil fluktuere mere, idet der løbende stilles nye priser for disse aktiver. Det faktum,

at der ikke er uafhængighed imellem de enkelte afkast for ejendomme, medfører, at volatiliteten af

afkastene på længere horisonter bliver undervurderet, hvis afkastvolatiliteten beregnes ud fra de

løbende månedlige afkast. Dvs. at risikoen ved ejendomsinvesteringer kommer til at fremstå

kunstigt lav, hvis man vurderer på længere horisonter. Dermed kommer en investering i fast

ejendom til at fremstå mere sikker end en investering i aktier og obligationer. For de fleste

investorer er de månedlige tal ikke særlig interessante, idet ejendomme er illikvide aktiver, og er

oftest købt med henblik på at blive boende i længere tid. Dertil kommer, at der er relativt høje

handelsomkostninger. Derfor vil det for den langsigtede investor være mest relevant at måle

udsvingene på de årlige afkast. Gør man ikke dette, risikerer man at undervurdere risikoen på

ejendomsinvesteringen, hvilket kan føre til en uhensigtsmæssig porteføljesammensætning.

Derudover viser Peter Bach og Per Søgaard-Andersen (2007), at korrelationen mellem

ejendomsafkastet og andre aktiver øges markant ved at benytte data med længere afstand mellem

observationerne. Korrelationen mellem aktier/obligationer og ejendomme er meget højere, hvis der

måles på de årlige afkast frem for månedsafkast. Det skal dog bemærkes, at denne artikel har taget

udgangspunkt i amerikanske og engelske data for ejendomme.

De vigtigste faktorer for priserne på fast ejendom er byggeomkostningerne, husholdningernes

disponible indkomster, renten og forventningerne til de fremtidige boligpriser.

Byggeomkostningerne har en stor betydning for priserne på ejendomme, idet folk kan vælge at

bygge en ny bolig frem for at købe en eksisterende. Dette er problematisk i områder, hvor der ikke

er grunde nok, men økonomisk teori tilsiger, at der er en stabil sammenhæng mellem huspriserne og

ny-bygningsomkostningerne. For den disponible indkomst gælder der, at jo højere disponibel

indkomst man har, desto større er sandsynligheden for at man vil købe en bolig (Christian Heinig og

Steen Bocian (2007)). Det er ikke kun investors disponible indkomst, der er afgørende, men også

lønindkomstens korrelation med boligpriserne. En husholdning, hvis lønindkomst er mindre

korreleret med boligpriserne, vil med større sandsynlighed være boligejer. En tredje faktor, der har

stor betydning for boligpriserne, er renten. De empiriske analyser viser, at en stigning i realrenten

efter skat på et procentpoint umiddelbart reducerer ejendomspriserne med 5-6 % (Torben M.

Andersen (1998)). Hvis værdien på boligen svinger modsat renten, kan noget af risikoen reduceres

væk, hvis man optager et fastforrentet lån. Hvis renten stiger, og boligen dermed falder i værdi, kan

Side 24 af 91

noget af den faldende friværdi tjenes ind vha. kursgevinster på lånet. Forventningerne til

boligpriserne er vigtige, fordi en meget stor optimisme kan føre til kraftige stigninger på

boligmarkedet. Hvis investor har en forventning om, at boligpriserne vil stige, vil han være villig til

at påtage sig højere omkostninger end ellers i forbindelse med købet af ejendommen. Der kan være

to årsager til dette, den ene er, at han anser risikoen ved at købe en bolig som værende mindre end

normalt, og den anden grund er, at de forventede boligomkostninger vil være mindre i

boligkøbernes øjne, idet investor regner med at tjene flere penge på boligen pga. højere fremtidige

priser (Christian Heinig og Steen Bocian (2007)).

Hvis man har en formue kan man i stedet for at købe aktier eller obligationer vælge at investere i et

risikofrit aktiv. Dermed kan man eliminere risikoen, men som følge af et lavere forventet afkast.

Den samme mulighed foreligger ikke ved investering i fast ejendom. Alternativet til at eje sit bolig

er at leje det. I denne sammenhæng er det vigtigt at huske, at det ikke er risikofrit at leje, idet

huslejen ikke ligger fast, men varierer. Hvis man optager et fastforrentet lån i forbindelse med køb

af ens bolig, kan man afdække denne risiko, fordi man ved, hvad det vil koste at bo der i fremtiden.

Derimod vil der være forbundet en risiko med ejendommens værdi. Derfor gælder det at uanset om

man køber en bolig eller ej, vil man være eksponeret overfor en vis risiko.

4 Porteføljemodel med ejendom

I det efterfølgende vil der blive gjort rede for Flavin og Yamashita’s artikel, der undersøger hvordan

husholdningers optimale portefølje påvirkes ved inddragelse af fast ejendom, samt den gæld man

har på dette aktiv. Artiklen estimerer de forventede afkast og standardafvigelser for et sæt af aktiver

som består af ejendom, lån mod pant i fast ejendom, aktier, Treasury bonds og T-bills. Flavin og

Yamashita benytter middelværdi-varians porteføljeteori til at finde husholdningernes optimale

andele af de finansielle aktiver, betinget af deres ejerskab af huset, samt gælden herpå.

Da boligens værdi set i forhold til nettoformuen falder som husstanden akkumulerer rigdom,

induceres et livscyklusmønster i porteføljen. Artiklen belyser de ændringer, der forekommer i den

optimale porteføljesammensætning for forskellige aldersgrupper.

Flavin og Yamashita forudsætter, at man investerer i en specifikt ejendom, som man bor i, og ser

bort fra dem, der investerer i en diversificeret ejendomsfond, mens de lejer deres bolig.

Side 25 af 91

4.1 Data

Afkastet på ejendomme afhænger bl.a. af ændringen i boligens værdi og omkostninger for ejerskab

og vedligeholdelse. Idet man mangler observationer for lejeværdien af egen bolig, Dt, og

vedligeholdelsesomkostningerne, COMt, er disse komponenter udtrykt således:

Dt = (r + d)Pt-1 + PropertyTaxt (20)

COMt = dPt-1 + (1- τ)PropertyTaxt (21)

Hvor r er realrenten, d er afskrivningssatsen, τ er den marginale indkomsts skattesats, Pt-1 er

boligens værdi på tidspunkt t-1, PropertyTaxt er ejendomsskatten i periode t, og er afhængig af

husstandens bopæl. Boligens lejeværdi er beregnet under forudsætning af, at udlejer fuldt ud ville

overvælte ejendomsskatten over på lejeren. Indkomst skattesatsen, τ, vil variere både på tværs af

husholdningerne og over tid, men Flavin og Yamashita udfører deres beregninger ved at sætte

τ = 33 %. Ligeledes sættes realrenten til 5 %.

Realafkastet på en ejendom, Rt, er:

Rt = P t+Dt−COM t−P t−1

Pt −1 =

P t+rP t−1+τPropertyTax t−Pt−1

Pt−1

(22)

Hvor Pt er boligens værdi i tidspunkt t. Afkastet på boligen er beregnet efter skat, men under den

forudsætning at der hverken betales skat af lejeværdien eller af kapitalgevinsten. Der er også taget

højde for inflationen, idet de nominelle boligværdier og den nominelle ejendomsskat er deflateret

via Comsumer Price Indekset.

Afkastet på fast ejendom er beregnet for boligejere i Panel Study of Income Dynamics (PSID) fra

1968 til 1992. For hver husholdning blev afkastet på ejendommen beregnet ud fra ligningen for Rt,

hvis husholdningen boede i den samme bolig i år t og år t-1. Hvis dette ikke var gældende, blev

værdien sat til at være manglende. Prisen på boligen er taget fra PSID’s data, som er indsamlet ud

fra husholdningernes subjektive vurdering af ejendommens værdi. De boligværdier som har ændret

sig dramatisk i et år, uden at husholdningen har flyttet, anses for værende trykfejl, og der er derfor

enten sat et ekstra 0 på observationen, eller fjernet et 0. Desuden er de nederste og de øverste 2 % af

boligafkastene fjernet, under den antagelse at det skyldes målefejl.

Side 26 af 91

Forskellige husholdninger står overfor forskellige realkreditrenter, fordi der er forskel på hvornår

boligen og dermed lånet erhverves. Når Flavin og Yamashita beregner realkreditrenten efter skat,

forudsætter de, at husholdningen optager et fastforrentet lån når ejendommen købes, og at de ikke

refinansierer lånet, så længe de bor i den pågældende bolig. Dermed bliver realkreditrenten efter

skat i år t udtrykt ved ligningen:

Mortgaget = 1+(1−τ )Nominal Mortgages

1+ Inflationt−1 (23)

Hvor Nominal Mortgages er den faste rente som man optog lånet til ved køb af boligen i periode s.

Som det kan ses ud fra formlen, så falder Mortgage, hvis τ eller inflationen stiger.

Afkastet på Treasury bills er målt ved at beregne det realiserede afkast efter skat ved at holde

Treasury bills i ét år under forudsætningen af, at afkastet er beskattet med 28 %. Hver måned bliver

der konstrueret en portefølje indeholdende en obligation, som har en måned eller mindre til

udløbsdato. Afkastet, som opnås fra denne obligation i perioden, er forskellen mellem den tidligere

og nuværende pris, hvor prisen er defineret som 1 - yt * D

360 . Yt er afkastet i tidspunkt t, og D er

antallet af dage til udløb (Marjorie Flavin og Takashi Yamashita (1998) side 34).

Afkastet for Treasury bills er beregnet ud fra denne formel:

rtTreasuryBill=

(1−τ )∑i=1

12

(1+USTRE T i)

1+inflationt−1

(24)

Hvor USTRET er data for de amerikanske Treasury bills totale afkast.

Afkastet på Treasury bonds er blevet beregnet på samme måde som for Treasury bills, hvor man har

benyttet en 20-årig obligation. En portefølje indeholdende en enkel obligation bliver konstrueret

hver måned. Obligationen har en cirka resterende løbetid på 20 år og en tilsvarende kuponrente,

hvis rente ikke reflekterer potentielle skattefordele eller call privilegier. Hvis opsigelige obligationer

benyttes, bliver obligationens løbetid antaget til at være et simpelt gennemsnit af udløbsdatoen og

den dato, hvor obligationen må opsiges første gang minus de aktuelle månedlige data. Obligationen

bliver holdt for kalenderåret og afkastet beregnes. Afkastet er målt som ændringen i prisen, hvor

prisen er udtrykt som gennemsnittet af obligationens bud og udbudskurser plus den tilskrevne rente.

Side 27 af 91

Afkastet for Treasury bonds er beregnet ud fra:

rtTreasuryBond=(1−τ )

∑i=1

12

(1+GBTRET ¿¿ i)

1+inflationt−1¿

(25)

Hvor GBTRET er data for de amerikanske Treasury obligationers totale afkast.

Ved beregning af afkastet på aktier skal man tage hensyn til, at der ved aktier både er en

værditilvækst og dividendebetalinger. Derfor er afkastet for aktier blevet beregnet vha.

sammenhængen:

rtStock=

∑i=1

12

(1+CSCRET ¿¿ i+ (1−τ )CSIRET i)

1+inflation t−1¿

(26)Kapital værditilvæksten for aktieafkastet (CSCRET) er taget som ændringen i S&P 500.

Afkastet for aktiers indkomst (CSIRET) er også taget for S&P 500. For årene 1977-1992 er

indkomsten blevet beregnet som det realiserede udbytte. Udbyttet er akkumuleret over måneden og

derefter investeret på den sidste handelsdag af måneden i S&P 500, på det niveau som dagen

lukkede. For perioden 1926-1976 er de kvartalvise dividender taget fra løbende årlige dividender,

som er rapporteret kvartalvist i Standard and Poor’s Trade and Securities Statistics. Derefter er de

allokeret til måneder indenfor hvert kvartal under den forudsætning, at betalingerne skete i den

samme måned og på den samme dag som i 1974. Ved beregning af afkastet på aktier er der

forudsat, at det modtagne udbytte er blevet beskattet med 33 %, hvorimod kursgevinsterne er

skattefrie.

4.2 Resultater

De gennemsnitlige afkast, standardafvigelserne og kovariansmatricen for de 5 aktiver er vist i tabel

1. Ved beregning af kovariansmatricen antager Flavin og Yamashita, at alle aktiverne følger den

samme fordeling, uafhængig af område og tidsperiode.

Tabel 1: Forventede afkast og kovariansmatrice.

Side 28 af 91

    T-Bills Bonds Stocks House MortgageMean Return (arithmetic) -0,0038 0,0060 0,0824 0,0659 0,0000Standard Deviation 0,0435 0,0840 0,2415 0,1424 0,0336Covariance Matrix

T-Bills 0,0018920T-Bonds 0,0025050 0,0070613Stocks 0,0002008 0,0040381 0,0583292House -0,000119 -0,000067 -0,000178 0,20284Mortgage 0,0007087 0,0023854 0,0025400 -0,0000057 0,0011274

Correlation MatrixT-Bills 1T-Bonds 0,68533 1Stocks 0,01912 0,19879 1House -0,03339 -0,004506 -0,000771 1

  Mortgage 0,84119 0,680286 0,467954 -0,001192 1Kilde: Marjorie Flavin og Takashi Yamashita (1998) side 7.

Note: Arithmetic mean er et gennemsnit, hvor man tager summen af værdierne for variablerne divideret med antallet af variabler.

Denne tabel viser, at aktier genererer det højeste reale afkast på 8,2 %, mens Treasury bills har det

laveste afkast, som ligger på -0,38 %. Afkastet på ejendomme er lidt mindre end aktiernes afkast, og

ligger på 6,6 %, men standardafvigelsen for ejendomme er 14,24 %, hvorimod den for aktier ligger

på 24,15 %. Tabellen viser også, at korrelationen mellem ejendomme og de andre aktiver er

negativ. Dette gør ejendomme til et attraktivt instrument til at hedge udsving i de finansielle aktiver.

For at undersøge effekten af at inkludere fast ejendom i porteføljen, er de efficiente rande blevet

beregnet ud fra følgende forudsætninger:

(i) Husholdningen kan kun investere i de finansielle aktiver, dvs. T-bills, Tresury bonds og

aktier. Desuden er der sat en begrænsning om at husholdningerne kan udlåne, men ikke

låne penge, hvilket medvirker, at det ikke er muligt at geare deres aktie portefølje.

(ii) Husholdninger kan investere i en bolig og låne til en fastforrentet rente mod pant i deres

ejendom. Værdien på gælden må ikke overstige boligens værdi. Husholdningen kan også

investere i finansielle aktiver med de samme begrænsninger som under scenarie (i).

Hvor (i) er forudsætningerne for den efficiente rand uden fast ejendom, mens (ii) er betingelserne

for den efficiente rand med ejendom.

Side 29 af 91

Figur 6: Den efficiente rand med og uden fast ejendom.

Kilde: Marjorie Flavin og Takashi Yamashita (199) side 8-9.

I figur 6 kan man se, at den efficiente rand bliver forbedret meget, når man inkluderer fast ejendom

og gæld i sin portefølje. En portefølje med en standardafvigelse på 15 % giver et afkast på 5 % uden

fast ejendom, mens det forventede afkast ligger på 8,8 %, hvis man inkluderer fast ejendom og

gælden herpå, uden at risikoen ændres. Dvs. at investor kan opnå et højere forventet afkast for den

samme risiko. Denne figur bekræfter at ejerskab af en bolig er en god investering. Ved at undersøge

porteføljerne på randen, finder man ud af, at med undtagelse af meget små værdier af det forventede

afkast og risiko, udgør fast ejendom en betydelig andel af den optimale portefølje.

For at vise hvor vigtig fast ejendom er i en husholdnings portefølje, er der blevet lavet en tabel, der

viser forholdet mellem boligens værdi i forhold til nettoformuen, udtrykt ved h, for forskellige

aldersgrupper. Hvis en husholdnings portefølje udelukkende består af finansielle aktiver, vil den

optimale portefølje ikke blive ændret med alderen, forudsat at husholdningen har en konstant

risikoaversion. Hvis man derimod inkluderer humankapital eller fast ejendom, vil ændringer i

risikoen og afkastet for disse føre til at investors optimale portefølje ændres igennem livsforløbet.

Side 30 af 91

En husholdning kan i princippet adskille størrelsen af sit ejendomsaktiv med niveauet af hus-

servicer, som de forbruger, idet udlejningsmarkedet eksisterer. Men grundet skattemæssige

fordrejninger og transaktionsomkostninger, er lejemarkedet på ingen måde en perfekt substitut til

ejerskab. Det vil føre til, at en husholdnings ejerskab er delvist bestemt af dens konsum

efterspørgsel for hus-service. En livscyklus mønster i husejerskab og gælden herpå, vil medføre et

livscyklusmønster i beholdningen af de finansielle aktiver. Tabel 2 viser det livscyklusmønster, som

modellen forudsiger. Tabellen viser også det forventede afkast og risikoen for hver aldersgruppes

portefølje.

Tabel 2: Livscyklus mønster for beholdning af aktiver.

Age af Head Cash Bonds Stocks House Mortgage μ σ18-30 0,193 0,072 0,056 3,511 -2,833 0,236 0,50731-40 0,169 0,067 0,068 2,366 -1,671 0,161 0,34041-50 0,148 0,060 0,085 1,588 -0,882 0,112 0,22751-60 0,200 0,058 0,092 0,969 -0,319 0,071 0,14061-70 0,254 0,048 0,113 0,757 -0,171 0,059 0,11171+ 0,264 0,029 0,098 0,648 -0,038 0,050 0,097

Kilde: Marjorie Flavin og Takashi Yamashita (1998) side 12.

I tabellen refererer cash til de penge man har på bankkontoen, pengemarkedskontoen og investeret i

Tresury bills. Bonds refererer til alle andre former for opsparede midler, inklusiv obligationsfonde

og rettigheder i forvaltnings og kontantværdier af forsikringspolicer. Af denne tabel kan der ses, at

boligens værdi udgør den største del af nettoformuen for de 18-30-årige, hvorefter den falder for

hver aldersgruppe. Desuden ses der, at de 18-30-årige er dem, der holder den mindste aktieandel.

Aktieandelen bliver ved med at stige til og med de 61-70-årige, hvorefter den falder for dem, der er

71+. De 18-31-årige er dem, der har en portefølje med det højeste forventede afkast, men også den

største standardafvigelse. Derimod er de 71+ dem med det mindste forventede afkast og den

mindste standardafvigelse.

Figur 7: De efficiente rande.

Side 31 af 91

Kilde: Marjorie Flavin og Takashi Yamashita (1998) side 12-13.

Figur 7 illustrerer de 6 aldersspecifikke begrænsede efficiente rande, samt en ubegrænset efficient

rand, som er den efficiente rand uden fastholdning af investering i fast ejendom. For beregning af de

efficiente rande er begrænsningerne; husholdningen kun kan låne mod pant i fast ejendom, gældens

værdi må ikke overstige boligens værdi, og porteføljevægtene for de finansielle aktiver må ikke

være negative. Ud fra figur 7 kan man se, at valget af niveauet for investering i fast ejendom har en

meget stor betydning for det tradeoff mellem risiko og afkast, som er mulig for en husholdning.

Figuren viser, hvor meget husholdningernes efficiente rand ændres gennem livsforløbet. De yngste

boligejere, med h = 3,51, er begrænset til den efficiente rand i øverste højre hjørne i figuren. For

denne gruppe vil porteføljen med den mindste risiko have et forventet afkast på 24 % og en

standardafvigelse på lidt over 50 %. Som husholdningen gennem tiden akkumulerer rigdom, og

værdien af h falder, vil den begrænsede efficiente rand bevæge sig mod venstre. Det er først når

værdien af h falder til det niveau som husholdninger i en alder af 50, 60 og 70 år har, at den

begrænsede efficiente rand bliver en rimelig approksimation af den ubegrænsede rand.

Side 32 af 91

Figur 7 viser desuden de begrænsede optimale porteføljer for en relativ risikoaversion, ρ, på 2 og 4.

Den optimale portefølje for en husholdning med ρ = 4 har en lavere forventet afkast og risiko end

den optimale portefølje for en husholdning med ρ = 2 på en givet begrænset rand. Men pga. den

store lånefinansierede andel af boligen, holder en ung husholdning (18-30-årige) med en

risikoaversion på 4, en meget mere risikofyldt portefølje end en 50-årig husholdning med en risiko

aversion på 2.

Tabel 3 viser de optimale porteføljevægte for forskellige værdier af risikoaversionen når den

efficiente rand er estimeret ved:

(i) Udelukkende finansielle aktiver.

(ii) Når værdien for h holdes konstant for de forskellige niveauer, svarende til de forskellige

aldre.

(iii) Når der ikke er sat nogle begrænsninger for h.

Tabel 3: Porteføljevægte for forskellige begrænsninger af h.

  Coefficient of Relative Risk Aversion ( ρ ) Housing-to-NW Ratio

Assets in Portfolio ρ≈1 ρ≈2 ρ≈3 ρ≈4Treasury Bills 0 0 0,2425 0,4618

Financial Treasury Bonds 0 0,2669 0,2681 0,1580Assets Only Stocks 1 0,7331 0,4894 0,3802

Treasury Bills 0 0 0 Treasury Bonds 0 0,5605 0,9143 Not

Side 33 af 91

3,51 Stocks 1 0,4395 0,0857 Attainable*House 3,51 3,51 3,51

  Mortgage -3,51 -3,51 -3,51  Treasury Bills 0 0 0 0Treasury Bonds 0 0,3622 0,7026 0,6190

2,37 Stocks 1 0,6378 0,2974 0,1093House 2,37 2,37 2,37 2,37

  Mortgage -2,37 -2,37 -2,37 -2,0983Treasury Bills 0 0 0 0Treasury Bonds 0 0,2125 0,5660 0,4914

1,59 Stocks 1 0,7875 0,4340 0,2452House 1,59 1,59 1,59 1,59

  Mortgage -1,59 -1,59 -1,59 -1,3269Treasury Bills 0 0 0 0Treasury Bonds 0 0,1093 0,4628 0,3978

0,97 Stocks 1 0,8907 0,5372 0,3599House 0,97 0,97 0,97 0,97

  Mortgage -0,97 -0,97 -0,97 -0,7277Treasury Bills 0 0 0 0Treasury Bonds 0 0,0720 0,4255 0,3640

0,76 Stocks 1 0,9280 0,5745 0,3969House 0,76 0,76 0,76 0,76

  Mortgage -0,76 -0,76 -0,76 -0,4070Treasury Bills 0 0 0 0Treasury Bonds 0 0,0556 0,3960 0,3434

0,65 Stocks 1 0,9444 0,6040 0,4136House 0,65 0,65 0,65 0,65

  Mortgage -0,65 -0,65 -0,65 -0,4070Treasury Bills 0 0 0 0

No Treasury Bonds 0 0,2431 0,4933 0,3825Constraint Stocks 1 0,7569 0,5067 0,3768on h House 3,6490 1,7317 1,1570 0,8744  Mortgage -3,6490 -1,7317 -1,1570 -0,6337

Kilde: Marjorie Flavin og Takashi Yamashita (1998) side 14-15.

Det fremgår af tabellen, at når risikoaversionen er meget lille, svarende til ρ = 1, så inkluderer den

optimale portefølje udelukkende aktier og en ejendom, der er belånt 100 %. Dette er gældende for

alle værdier af h. Ved en højere grad af risikoaversion ændres de optimale porteføljevægte meget.

Tabellen viser at med 2 ≤ ρ ≤ 4, vil husholdningens aktieandel altid stige hvis h stiger, hvorimod

dens obligationsandel altid vil falde. F.eks. vil en husholdning med en risikoaversion på 3 holde en

obligationsandel på 91,43 % og en aktieandel på 8,57 % når h = 3,51, mens obligationsandelen vil

falde til 39,6 % og aktieandelen vil stige til 60,4 %, når h falder til 0,65. Der ses også at med

undtagelse af husholdninger, der udelukkende investerer i de finansielle aktiver, og har en

risikoaversion på 3 eller 4, vil ingen holde T-bills. For 1 ≤ ρ ≤ 3 vil husholdningerne holde en gæld,

der svarer til ejendommens værdi, og dermed er det kun de mere risikoaverse, der vil nedbringe

Side 34 af 91

deres gæld på boligen. Alle husholdninger, med undtagelse af dem der har en risikoaversion på 1,

holder obligationer. Lån mod pant i fast ejendom og obligationer er to aktiver, der ligner hinanden

meget, så man kunne have valgt at afbetale på lånet frem for at holde obligationer.

4.3 Modellens forudsigende egenskaber

For at karakterisere de aktie- og gældsandele, som er forudsagt af modellen blev forholdet mellem h

og den optimale porteføljeandel beregnet for forskellige værdier af h. Når plots af den optimale

aktieandel som en funktion af h næsten var lineær, var den forventede værdi af aktierne i forhold til

nettoformuen, s, regresseret på h. Resultaterne af OLS regressionen er vist i tabel 4.

Tabel 4: Regression af porteføljevægte af aktier i den optimale portefølje.

  Coefficient of Relative Risk Aversion    ρ≈2 ρ≈3 ρ≈4Constant 1,0653 0,7151 0,5383

(0,00215) (0,00178) (0,00176)h -0,1780 -0,1782 -0,1812

(0,00098) (0,00118) (0,00121)Sample Size 14 14 14R2   0,9996 0,9994 0,9994

Kilde: Marjorie Flavin og Takashi Yamshita (1998) side 16.

I tabellen er ρ = 1 ikke medtaget, fordi man i tabel 3 kunne se, at man ville holde en aktieandel på

100 % uafhængig af værdien for h. Af tabel 4 ses der, at estimaterne for hældningskoefficienterne er

næsten ens, ca. -0,18. Dette betyder, at hvis h bliver reduceret med 1 %, vil aktieandelen stige med

ca. 0,18 %. Dette er kun gældende i det interval hvor både s og h er forskellige fra 0.

For at sammenligne med data fra PSID, har Flavin og Yamashita plottet det forudsagte forhold

mellem s og h i en figur for hver aldersgruppe med forskellige grader af risikoaversion. Figurerne

kan ses i bilag 1-6. I disse figurer illustrerer +’erne og x’erne de virkelige data, mens linjerne er

modellens forudsigelser. I bilag 1, der viser husholdninger i aldersgruppen 18-30, kan man se, at

68 % har en aktieandel på 0. Modellen forudsiger, at for enhver husholdning med en ρ ≈ 4 og en h

større end 2,97, er en aktieandel på 0 det mest optimale. Hvis ρ < 4, forudsiger modellen, at

husholdninger der har en h, der er mindre end 2,97 vil holde en positiv aktieandel, hvilket er

inkonsistent med hvad de virkelige data i figuren viser. Ser man på husholdninger, der har en

aktieandel, der er forskellig fra 0, har de fleste husholdninger værdier af s, der ligger indenfor

modellens forudsigelser for ρ ≈ 2 til ρ ≈ 4. Plots for de andre aldersgrupper kan ses i bilag 2-6. Her

ses det, at plottene bliver mere koncentrerede for lavere værdier af h, dvs. jo ældre husholdningen

Side 35 af 91

er, selvom det forudsagte forhold mellem s og h er uafhængig af alder. Modellen anbefaler, at en

husholdning med en risikoaversion på 2 eller 3 bør holde et lån på 100 %, uanset hvor lav h bliver

for at investere i aktiver, der genererer et højere afkast. Dette er inkonsistent med data fra PSID, der

viser at størstedelen af boligejerne, der er over 61 år, ikke har gæld på deres ejendom. Dette fører

til, at modellen forudsiger en for høj aktieandel i forhold til de virkelige data.

PSID indeholder data for husholdninger for både år 1984 og år 1989, så derfor har Flavin og

Yamashita undersøgt, hvad der sker med porteføljeandelene over det 5-årige interval for

husholdninger, der er boligejere i begge år. Ifølge modellen er det optimalt for husholdninger at

holde en aktieandel på 0, hvis h overstiger en tærskelværdi H, som afhænger af værdien af

risikoaversionen. Hvis h < H for begge år, forudsiger modellen at ændringen i aktieandelen er Δst

= -0,18 Δht. Husholdningens ændring i aktieandelen skal kun være 0 hvis h > H i begge år. Hvis det

forholder sig sådan, at h < H i det ene år og h > H i det andet år forudsiger modellen at ændringen i

aktieandelen er Δst = konstant + βΔht, hvor konstanten er positiv, og β er negativ og mindre end

0,18 i absolut værdi.

Tabel 5 viser ændringerne i porteføljevægtene for husholdningerne i PSID mellem 1984 og 1989

afhængig af h. Implikationerne af modellen er testet under den forudsætning at ρ ≈ 4, hvilket svarer

til H = 2,97.

Tabel 5: Overgangen af porteføljevægtene for PSID husholdningerne mellem 1984 og 1989.

Side 36 af 91

Kilde: Marjorie Flavin og Takashi Yamashita (1998) side 20.

I tabellen ses der, at størstedelen, 87,7 %, har en h, der er mindre end 2,97 i begge år, og derfor skal

de ifølge modellen holde en positiv aktieandel i begge år. Samtidig skal ændringen i aktieandelen

være forskellig fra 0. I tabellen ses der dog, at 43,2 % af disse har en aktieandel, der er lig med 0 i

begge år. For husholdninger hvor der gælder at h > 2,97 i begge år, forudsiger modellen, at

investors aktieandel ikke skal ændres, dvs. Δs = 0, men data i tabellen viser, at 59,4 % af

investorerne har en ændring i aktieandelen. Flavin og Yamashita erkender, at modellen ikke kan

forklare den store andel af husholdningerne, der har en aktieandel på 0, så derfor benytter de kun

observationer, hvis værdi af s er forskellig fra 0 i mindst et af årene i regressionen.

Regressionsresultaterne kan ses i tabel 6.

Tabel 6: Regression estimaterne for ændringer i porteføljevægtene.

Side 37 af 91

Kilde: Marjorie Flavin og Takashi Yamashita (1998) side 21.

Hvis forholdet mellem Δst og Δht er lineært for alle værdier af Δht, er hældningskoefficienten -

0,103, hvilket er noget mindre end den forudsagte værdi på -0,18 for de observationer hvor h

< 2,97 i begge år. For observationer hvor h > 2,97 i et af de to år, er hældningskoefficienten negativ,

men mindre end 0,18 i absolut værdi og statistisk insignifikant. Det konstante led er positivt og

statistisk signifikant, hvilket er konsistent med modellens forudsigelser. For observationer med h >

2,97 i begge år er hældningskoefficienten numerisk og statistisk insignifikant forskellig fra 0. Det

konstante led er positivt men statistisk insignifikant, hvilket er konsistent med modellen.

4.4 Konklusion for porteføljemodel med ejendom

Flavin og Yamashita finder frem til at fast ejendom er en god investering for husholdninger. Når

man inkluderer fast ejendom samt gælden herpå i sin portefølje, forbedres den efficiente rand

meget. At fast ejendom forbedrer porteføljen skyldes, at korrelationen mellem boligen og de andre

aktiver er meget lille og negativ.

Side 38 af 91

Når husholdningernes investering i fast ejendom tages for givet pga. deres konsumefterspørgsel

efter hus-servicer, placeres der en begrænsning på husholdningernes porteføljeproblem. Denne

begrænsning fører til en livscyklus mønster i husholdningernes optimale porteføljer. For unge

husholdninger vil ejendommen typisk udgøre en stor del af deres nettoformue, og de vil ikke have

en særlig stor finansiel formue. Derudover vil ejendommen i høj grad være lånefinansieret for unge

husholdninger. Dette medfører, at de er udsat for en høj porteføljerisiko. For at reducere risikoen på

deres portefølje, benytter de deres formue på enten at afbetale på deres lån eller på at købe

obligationer frem for at købe aktier. Som husholdningerne bliver ældre, har de akkumuleret en

større formue, og har dermed reduceret den andel, ejendommen udgør i forhold til deres finansielle

formue. Derfor er det mere attraktivt for de ældre husholdninger at øge deres aktieandel, og

reducere deres obligationsandel.

4.5 Begrænsninger

Flavin og Yamashita’s model er statisk. Den antager at afkast, standardafvigelser og korrelationer er

konstante over tid. Derfor er denne model ikke lige så realistisk som de dynamiske modeller, f.eks.

Cocco’s model.

PSID data indebærer subjektive mål for boligens værdi, idet de er opnået ved hvert år at spørge

boligejerne, hvor meget de vil kunne få for deres ejendom, hvis de solgte det, den dag interviewet

foregik. Dette kan være svært for boligejerne at vurdere, idet ejendomme ikke værdiansættes særlig

ofte. Skinner fandt ud af, at boligejernes subjektive værdi stemmer godt overens med de objektive

mål, foretaget af Commerce Department, så derfor anses det ikke for værende et stort problem

(Marjorie Flavin og Takashi Yamashita (1998) side 6).

Et problem med alle porteføljemodeller, der inkluderer fast ejendom, er at de ofte vil være

inefficiente, grundet at ejerskab af fast ejendom som husholdningen ville have på baggrund af

behovet for huskonsum sjældent vil falde sammen med niveauet af fast ejendom, der er optimal i en

porteføljesammenhæng.

Perioden for data for aktier, obligationer og ejendomme er ikke den samme. Data for de finansielle

aktiver er målt i perioden 1926-1992, mens ejendomme er observeret i perioden 1968-1992. De

finansielle aktiver er taget for en meget længere periode, og det er derfor ikke utænkeligt, at

resultaterne ville have været anderledes, hvis de havde taget udgangspunkt i den samme periode.

F.eks. kan aktiernes afkast have været mindre fra 1926 til 1968, eller dens volatilitet kan have været

Side 39 af 91

større, hvilket vil påvirke resultatet i den forstand, at aktier for hele perioden virker mindre

attraktive, og derfor er aktieandelene i Flavin og Yamashita’s porteføljer for små. Det havde været

mere sammenligneligt, hvis både de finansielle aktiver og fast ejendom var beregnet på grundlag af

den samme tidsperiode.

5 Diskussion af teoriernes implikationer

Alt efter hvilke faktorer man tager med i betragtning, kan man nå frem til forskellige konklusioner,

for hvordan man skal investere. I afsnit 2.2 blev der set på, hvordan man skal investere i en

livscyklusbetragtning, når man inddrager humankapitalen. Man kom frem til to forskellige

konklusioner, for hvordan man skal investere igennem ens livsforløb afhængig af lønindkomstens

risikoprofil. Minder ens humankapital om en obligation, skal man holde en højere aktieandel som

ung og mindske den igennem årene. Er ens humankapital derimod højt korreleret med aktieafkastet,

skal man holde en lav aktieandel som ung, og øge den med alderen. Humankapitalens mulighed for

fleksibilitet skaber en yderligere dimension. Anbefalingen er, at unge investorer alt andet lige skal

holde en højere aktieandel, fordi de har en stor mulighed for at påvirke deres fremtidige

lønindkomst. Dermed har de mulighed for at dække eventuelle tab på de finansielle aktiver ved at

øge deres humankapital. Ældre mennesker har kortere tid tilbage på arbejdsmarkedet, og dermed er

deres fleksibilitet mindre, hvilket medfører, at de skal holde en lavere aktieandel.

Idet den samlede livsindkomst for de fleste menneskers vedkommende kan estimeres med en vis

sikkerhed, minder deres løn mest om et obligationsafkast. Det er kun de færreste indkomstforhold

der svinger i takt med aktiemarkedet. Hvis man også tager hensyn til investeringshorisonten, styrkes

konklusionen om at unge mennesker skal holde en højere aktieandel end ældre, idet

sandsynligheden for at aktier vil outperforme obligationer er størst for længere tidshorisonter.

Derfor anbefaler de fleste investeringsrådgivere, at man skal holde en høj aktieandel som ung, og en

høj obligationsandel når man er ældre.

I den virkelige verden forholder det sig ofte anderledes, idet mange folk vælger at holde en høj

aktieandel som ældre, og dermed påtager de sig en højere risiko end anbefalet. Derfor er det

interessant at se, om den optimale aktieandel ændrer sig, hvis man medtager fast ejendom i sin

portefølje.

I Flavin og Yamashita’s artikel så man hvordan inddragelse af en bolig, kan påvirke de optimale

porteføljeandele. Flavin og Yamashita kom frem til, at det var optimalt for unge mennesker at holde

Side 40 af 91

en lav aktieandel, og øge den som de blev ældre. Dette skyldes, at unge mennesker typisk vil have

en bolig, der udgør en stor del af deres nettoformue samtidig med, at størstedelen af boligen vil

være lånefinansieret. Derfor er disse husholdninger udsat for en høj porteføljerisiko, og for ikke at

eksponere sig yderligere, vil de holde en lav aktieandel og en høj obligationsandel. Derimod er det

meget mere attraktivt for ældre husholdninger at investere i aktier, fordi de har akkumuleret en

større formue, og har dermed reduceret den andel ejendommen udgør af deres nettoformue.

Flavin og Yamashita’s model finder derfor frem til, at det er optimalt for ældre mennesker at holde

en høj aktieandel, men dette gælder kun for de husholdninger, der ejer deres egen bolig. Inddragelse

af fast ejendom i investeringsporteføljen kan godt forklare, hvorfor nogle investorer vælger at holde

en høj aktieandel, når de er ældre. Konklusion bygger kun på inkludering af fast ejendom, men hvad

sker der, hvis man udover boligen også inddrager humankapitalen? Dette er tilfældet for rigtig

mange mennesker, idet 51 % af danskerne ejer en bolig, mens alle har en humankapital.

Ved at sammensætte modellerne for porteføljerne med fast ejendom og humankapital, kan man

sige, at en investor der ejer sin egen bolig og har en humankapital, der er højt korreleret med

aktiemarkedet, skal holde en lav aktieandel som ung og øge den med alderen. Derimod giver en

kombination af de to teorier ikke nogle retningslinjer, for hvordan man skal investere, hvis man har

en lønindkomst, der minder om en obligationsinvestering samtidig med, at man ejer sin bolig. De to

faktorer trækker i hver deres retning, så derfor er der behov for en model, som inkluderer både

humankapitalen og fast ejendom, før man kan konkludere, hvordan denne type investorer skal

forvalte deres formue.

Hvorfor er der denne forskel på, hvordan man skal investere? Hvilket investeringsråd skal en

investor følge?

I bund og grund siger inddragelse af humankapitalen og fast ejendom det samme. Selv om der i

Flavin og Yamashita’s artikel ses at ældre husholdninger har de højeste aktieandele, er det stadig

dem, der har det mindste forventede afkast og den mindste standardafvigelse. Derfor er essensen

den samme for begge modeller, nemlig at man skal påtage sig den højeste risiko, mens man er ung,

og derefter skal man mindske risikoen som ens pensionsalder nærmer sig. Det der adskiller

modellerne er at porteføljeandelene, der opfylder dette formål, er anderledes. Hvis man ejer fast

ejendom opnår man det ved at holde en højere aktieandel, jo ældre man bliver. Derimod skal man

holde en lavere aktieandel, jo ældre man bliver, hvis man kun medtager humankapital. For at finde

Side 41 af 91

ud af hvilken af faktorerne der får den største betydning, er der behov for en porteføljemodel, der

både inddrager humankapitalen og fast ejendom.

Det er vigtigt at huske, at den optimale investeringsstrategi er investorspecifik. Den bedste strategi

afhænger af individets personlige forhold, f.eks. alder, arbejde, indkomst, formue og familiestatus.

Et bestemt aktiv kan for nogle investorer øge deres risikoeksponering, mens det samme aktiv kan

reducere risikoen for andre. Desuden er et aktiv, der er risikoreducerende i den tidlige fase af ens

liv, ikke nødvendigvis risikoreducerende når man er ældre. Derfor er der ikke én portefølje, som er

bedst for alle (Zvi Bodie, Robert C. Merton og David L. Cleeton (2007) side 334). Ved

porteføljesammensætning bør der tages udgangspunkt i den enkelte investors situation.

6 Data for Danmark

For de danske data er der valgt at analysere på en portefølje bestående af aktier, 2-årige

obligationer, 10-årige obligationer og fast ejendom. Grunden til at der er valgt at medtage to

obligationer, er ønsket om at få hele kurven med. Hensigten var at inddrage en 1-årig obligation og

en 20-årig obligation, men idet data ikke var tilgængelig for en lang nok årrække, var dette ikke

muligt. Aktieindekset er et markedsindeks, der er blevet beregnet på baggrund af 50 store

virksomheder i Danmark. Data for ejendomme bygger på enfamiliehuse, rækkehuse, sommerhuse

og ejerlejligheder (Erik Haller Pedersen (2004)).

For alle data er der blevet valgt at analysere for en periode på 18 år, fra 1989-2007. Det var ikke

muligt at finde data for obligationerne, der gik længere tilbage. Det er altid bedre at foretage en

analyse for længere perioder, men ved en investeringshorisont på 18 år vil mange af effekterne af

økonomiske opsving, lavkonjunkturer og andre forhold der kan påvirke resultaterne være med.

Derfor anses det ikke for værende et problem, at den analyserede periode er 18 år.

Det er ikke muligt, at foretage en undersøgelse af effekten ved at inkludere fast ejendom i

porteføljen på tilsvarende måde som Flavin og Yamashita har gjort det. I Danmark har man ikke

indsamlet data ved at følge husholdningerne, som PSID har gjort i USA. Derfor er der her valgt at

se på det danske husprisindeks, som er udviklet af Nationalbanken. Det største problem ved denne

fremgangsmåde, er at en investor ikke kan investere i dette indeks. Derfor antages der, at den

procentvise stigning i dette indeks svarer til det afkast som den gennemsnitlige husholdning kan

opnå ved at investere i fast ejendom. Der er visse problemer forbundet med dette. F.eks. er der

perioder, hvor ejendomme i de store byer stiger langt mere end i mindre byer, ligesom det kan

Side 42 af 91

forholde sig modsat. Der kan også opstå meget kriminalitet i ens nabolag, eller blive anlagt en

motorvej i nærheden af ens bolig, hvilket får boligen til at falde i pris. Dermed vil boligens

værdiændring ikke reflektere den gennemsnitlige ændring i boligpriserne. Man kan sige, at selv om

Flavin og Yamashita følger forskellige husholdninger, afspejler deres beregnede afkast,

standardafvigelser og korrelationer alligevel den gennemsnitlige husholdning. Dermed vil de

forventede afkast for de fleste husholdningers vedkommende afvige fra resultaterne præsenteret i

artiklen.

I beregningerne for de amerikanske data inddrager Flavin og Yamashita skatten, men i denne

opgave vil der blive set bort fra skatteeffekterne. Dette skyldes komplikationer med hensyn til at

finde ud af, hvad de pågældende aktiver skal beskattes med. For aktier gælder der, at de beskattes

med 28 % for de første 48.300 kr., og 43 % af aktieindkomst over 48.300 kr., men under 106.100

kr., og 45 % af resten. Er man gift, og bor man sammen med sin ægtefælle ved indkomstårets udløb,

er beløbsgrænserne de dobbelte (www.skat.dk (2009)). For obligationer skal man i langt de fleste

tilfælde, som almindelig privatperson, ikke betale skat af fortjenester som følge af stigende kurser

på obligationerne. Man kan heller ikke trække tab fra, hvis obligationskurserne falder (www.skat.dk

(2009)). Til gengæld er den løbende rentebetaling fra obligationerne skattepligtig, og den beskattes

som kapitalindkomst. Derfor varierer skatten afhængig af investoren og hans forhold. Det er ikke

muligt, at se i obligationsindekserne, som beregningerne bygger på, hvor stor en andel af

stigningen, der skyldes kursgevinster, og hvor meget der skyldes rentebetalingerne. Derfor er det

svært at adskille den skattepligtige del fra den skattefrie. For ejendomme skal man betale

ejendomsværdiskat og grundskyld. Ejendomsværdiskatten beregnes ud fra den værdi for boligen,

som er fastsat ved den offentlige ejendomsvurdering. Der skal betales 1 % ejendomsværdiskat af

husets værdi op til 3.040.000 kr. og 3 % af resten. Pga. skattestoppet er der lavet et loft over det

beløb som ejendomsværdiskatten beregnes af. Den bliver beregnet på baggrund af den mindste af

følgende værdier (www.skat.dk (2009)):

Ejendomsværdien pr. 1. oktober i indkomståret.

Ejendomsværdien pr. 1. januar 2002.

Ejendomsværdien pr. 1. januar 2001 + 5 %.

Udover, at det er svært at bestemme ejendomsværdiskatten for de danske boliger, er der flere

faktorer, som man skal tage hensyn til. Bl.a. kan man ikke vide hvor stor en andel af stigningen i

Side 43 af 91

boligens værdi, der skyldes forbedringer på ejendommen. Det ville ikke være retvisende hvis en

stigning i boligens værdi, som følge af forbedringer, medtages i det afkast som investeringen i

boligen har genereret. Derudover har den sparede husleje også en betydning. Da det er næsten

umuligt at få disse aspekter med, er der valgt at se bort fra dem, når afkastene for de forskellige

aktiver skal kalkuleres.

For de finansielle data, ønskes der et udtryk for hvor meget investor samlet set tjener ved at lægge

sine penge i de pågældende aktiver. Derfor er der blevet valgt et afkastindeks og ikke et prisindeks.

Ved at vælge et afkastindeks bliver dividender geninvesteret, og kuponbetalingerne bliver medtaget,

hvorimod et prisindeks udelukkende viser, hvor meget aktiverne er steget i værdi.

For de danske data vil der også blive set bort fra inflationen, idet inflationen påvirker aktiverne på

samme måde. Derfor kan det ikke ændre på konklusionen, om inddragelse af fast ejendom i en

portefølje er gunstig. Det eneste denne antagelse ændrer, er at de reale afkast man får ved at

investere i aktiverne er mindre, men dette er ikke betydningsfuldt for opgavens formål. Hvis data

blev deflateret, skulle der også tages hensyn til, at inflationen har sin egen varians, idet den sjældent

kan forudsiges med nøjagtighed. Denne risiko bør i princippet estimeres og lægges til

porteføljevariansen, men disse beregninger kan blive meget komplekse, idet inflationen er

korreleret med aktiverne i porteføljen, fordi den bl.a. påvirker renten (Jacob Aqraou (1997) side

213).

De vigtigste beregninger for de danske data er udledningen af den efficiente rand, idet man ud fra

denne kan se, om det er fordelagtigt at inkludere fast ejendom i sin portefølje. Derfor er der i denne

opgave valgt at benytte flere måder til at udlede den efficiente rand, som er Lagrange’s, Black’s og

Solver’s metode. Ingen af metoderne er helt præcise, så derfor ønskes der at validere resultatet ved

at undersøge, om man når frem til den samme konklusion ved forskellige beregningsmetoder. I

denne sammenhæng er det ikke af betydning hvis porteføljevægtene afviger en smule fra hinanden,

så længe konklusionerne for de forskellige metoder er den samme. Den mest upræcise metode er

Solver, men det er også den mest intuitive, og den der er nemmest at udvide til en situation, hvor

kortsalgsmulighederne ikke er til stede. Derfor er den efficiente rand blevet udregnet både med og

uden mulighed for kortsalg for Solver metoden. Formålet er, at finde ud af om det ændrer noget ved

konklusionen, hvis man udelukker muligheden for at gå kort i aktiverne.

6.1 Gennemgang af beregningerne i Excel

Side 44 af 91

Ved beregning af afkastene for de pågældende aktiver, er der blevet benyttet følgende formel:

Ri , t=ln( Pi ,t

P i ,t−1)∗100 (27)

Hvor Ri,t er afkastet for aktiv i i tidspunkt t og Pi,t er prisen på aktiv i i tidspunkt t. Der er blevet

ganget med 100 for at få afkastene udtrykt i procent.

Kovariansen mellem to aktiver er beregnet som i formel (3), men ved brug af formlerne for

matriceregning i Excel.

Som sagt er der brugt forskellige metoder til at udlede den efficiente rand. Den efficiente rand vha.

Lagrange er blevet beregnet som i den beskrevne metode under afsnit 2.1, så derfor vil der ikke

kommes nærmere ind på det her. Der vil derimod kort blive gjort rede for Black’s metode og Solver

metoden. Ligesom i Lagrange er målet for Black metoden (Klaus D. Sørensen, Lars Rasmussen,

Kenneth I.K.E. Jørgensen og Jeppe Brandstrup (2008)) at minimere variansen, som er udtrykt ved:

σ p2=X ' (σ ij ) X (28)

Hvor X er vektoren for porteføljevægtene, X´ er vægtenes transponerede vektor og σij er

kovariansmatricen.

Variansen skal minimeres under følgende betingelser:

∑i=1

n

x i=1

∑i=1

n

x i E(r¿¿ i )=E(r¿¿ p)¿¿

Dette er en Black optimering, når der eksisterer kortsalgsmuligheder. Der vil ikke blive redegjort

for metoden uden kortsalgsmuligheder, idet denne ikke er udført i Excel. Black har vist, at hele den

efficiente rand kan udledes ved at benytte en kombination af kun 2 efficiente porteføljer. Disse er i

denne opgave benævnt som portefølje M og Y. Black siger, at hvis man har 2 efficiente porteføljer,

så vil alle efficiente porteføljer være en kombination af disse. Man kan finde de andre efficiente

porteføljer ved at ændre de andele, der investeres i henholdsvis portefølje M og Y. Ved at ændre

andelene gentagne gange kan man udlede hele den efficiente rand.

Når man skal beregne vektoren Z, som er de ustandardiserede vægte for aktiverne i porteføljen,

benyttes følgende formler:

Side 45 af 91

Z=¿¿ og Z=¿¿ (29)

Den første formel er for aktiverne i portefølje M, og den anden er gældende for portefølje Y.

Vektoren (E(r) – c) viser de forventede afkast for aktiverne fratrukket en konstant. I Excel er

konstanten sat til at være 0,75.

Det giver mere mening at arbejde med de standardiserede vægte, hvilket kan gøres ved at omregne

de ustandardiserede vha.: mi=

Z i

∑i

n

Z i og

y i=Z i

∑i

n

Zi. De dertilhørende forventede afkast og varianser

kan blive beregnet ud fra:

E(rM )=X ' E(r ) og Var (r M )=X ' (σ ij ) X . (30)

Det tilsvarende kan gøres for portefølje Y, der skal dog lægges mærke til, at ved beregning af

portefølje Y’s forventede afkast skal der også ganges med E(r) og ikke med (E(r) - c).

Kovariansen mellem portefølje M og Y kan beregnes som: σ M ,Y=M '(σ ¿¿ ij)Y ¿. Når man har

beregnet vægtene for porteføljerne M og Y, og deres egenskaber, kan man beregne det forventede

afkast og variansen for den samlede portefølje ud fra følgende formler:

E(r¿¿ p)=a∗E(r M)+(1−a )∗E(r y)¿ (31)

Var (r p )=a2∗¿. (32)

Hvor a er den andel der investeres i portefølje M.

En illustration af Black’s metode kan ses i bilag 7 og 8.

Solver metoden (Klaus D. Sørensen, Lars Rasmussen, Kenneth I.K.E. Jørgensen og Jeppe

Brandstrup (2008)) er den eneste metode, der vil blive benyttet til at finde den efficiente rand uden

kortsalgsmuligheder. Denne metode har det samme formål, som er at minimere variansen, men i det

tilfælde hvor kortsalgsmulighederne ikke er til stede, har den en ekstra begrænsning. Nemlig at alle

vægtene for aktiverne skal være større eller lig med 0. Solver metoden benytter sig at Newton-

Raphsons4 procedure for at finde den optimale løsning. Metoden er relativ simpel, men er til

gengæld mere tidskrævende end de andre. Den kræver meget få beregninger, fordi det kun er det

4 Denne metode er en iterativ proces til bestemmelse af nulpunkter.

Side 46 af 91

forventede afkast og variansen, der skal udregnes, og formlerne for disse er de samme som i

Lagrange. Når man har beregnet det forventede afkast og variansen for fiktive tal, skal man gå ind i

Solver og bede den om at minimere variansen ved at ændre på porteføljevægtene. Forudsætningerne

er; mål-afkastet skal være lig med det forventede afkast, porteføljevægtene skal summere til 1, og

hvis der ikke er mulighed for kortsalg, skal porteføljevægtene også være større eller lig med 0. Den

løsning som Solver genererer skrives ind i tabellen nedenunder. Derefter skal man ændre mål-

afkastet med et lille interval, og få Solver til at finde den optimale løsning endnu engang. Denne

procedure gentages, indtil man har fundet hele den efficiente rand.

I Excel er der blevet beregnet Reward-to-Variability Ratioen og kapitalmarkedslinjen, som det er

blevet beskrevet under Tobin’s seperationsprincip. Grunden til at dette er taget med, er for at gøre

det muligt at finde markedsporteføljen. I Excel skal man starte med at finde RTVR, som er udtrykt

ved:

RTVR=E (r¿¿ p)−r f

σ p¿ (33)

Kapitalmarkedslinjen er beregnet som i formel (12). Den optimale kapitalmarkedslinje er den, der

har den højeste RTVR. Derfor skal man udvælge den største RTVR iblandt de fundne porteføljer,

og benytte denne som hældningskoefficient til kapitalmarkedslinjen.

6.2 Resultater

Dette afsnit vil indeholde resultaterne for de danske data under forudsætningen af, at der hverken er

fratrukket skat eller inflation. Derfor ville de forventede afkast være mindre, hvis man korrigerede

for disse faktorer.

Tabel 7: De forventede afkast og korrelationsmatrice.

    Aktier 2-årig obligation 10-årig obligation EjendomForventet afkast 3,1534 1,5058 2,0270 1,4904Standardafvigelse 9,4780 1,2522 3,4002 2,1062Kovariansmatrice        Aktier 89,8319 0,1831 3,7749 3,6079  2-årig obligation 0,1831 1,5679 3,2288 -0,6688  10-årig obligation 3,7749 3,2288 11,5616 0,4512  Ejendom 3,6079 -0,6688 0,4512 4,4360Korrelationsmatrice        Aktier 1 0,0154 0,1171 0,1807

Side 47 af 91

  2-årig obligation 0,0154 1 0,7584 -0,2536  10-årig obligation 0,1171 0,7584 1 0,0630  Ejendom 0,1807 -0,2536 0,0630 1

I tabel 7 kan man bl.a. se de kvartalvise afkast og standardafvigelser for de finansielle aktiver og for

fast ejendom. Aktier har det højeste afkast på 3,1504 %, men samtidig har de også den største

standardafvigelse. De 10-årige obligationer har det næststørste afkast på 2,027 %, og en

standardafvigelse der næsten er 3 gange mindre end den for aktier. De 2-årige obligationer og fast

ejendom har et forventet afkast, der ligger tæt på hinanden, men ejendomme har et lidt lavere afkast

samtidig med, at de har en højere standardafvigelse end de 2-årige obligationer. Ud fra

korrelationsmatricen kan man se, at ejendomme er negativt korreleret med 2-årige obligationer,

mens de er positivt korreleret med aktier og 10-årige obligationer. Denne negative korrelation

mellem boliger og de 2-årige obligationer kan medvirke til, at ejendomme forbedrer den efficiente

rand til trods for, at en investering udelukkende i boliger ikke er fordelagtig, idet de 2-årige

obligationer genererer et højere forventet afkast og samtidig har en lavere risiko. I tabel 7 ses der

også, at aktier og 2-årige obligationer har en høj korrelation, 0,7584.

For at give et bedre overblik er de forventede afkast og standardafvigelser vist i årlige termer i tabel

8.

Tabel 8: De årlige forventede afkast og standardafvigelser.

    Aktier 2-årig obligation 10-årig obligationEjendom

Forventet afkast 13,2229 6,1602 8,3579 6,0610Standardafvigelse 18,956 2,5044 6,8004 4,2124

Ved beregning af det årlige forventede afkast er der taget hensyn til, at det kvartalvise afkast bliver

geninvesteret. Når det kvartalvise afkast skal omregnes til årligt forventet afkast, benyttes

sammenhængen:

(1+( det kvartalvise afkast i %100 )

4

−1)∗100=det årlige afkast i%. (34)

En omregning af standardafvigelsen foretages ved at multiplicere den kvartalvise standardafvigelse

med kvadratroden af 4 for at få den årlige.

Side 48 af 91

Der vil kun blive præsenteret to figurer, som viser de efficiente rande. Den ene figur er en Lagrange

optimering, hvor der er kortsalgsmuligheder. Lagrange er blevet valgt, fordi det også er den metode,

der er benyttet i Flavin og Yamashita’s artikel. Den anden figur illustrerer de efficiente rande, hvor

der ikke eksisterer kortsalgsmuligheder og er udledt vha. Solver. Figurerne for Black’s metode og

for Solver metoden med kortsalgsmuligheder kan ses i bilag 9.

Figur 8: De efficiente rande med kortsalgsmuligheder.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Lagrange uden ejendomLagrange med ejendom

Standardafvigelse

Forv

ente

t afk

ast

I figur 8 ses der, at det ikke forbedrer den efficiente rand særlig meget, når man inkluderer fast

ejendomme i sin portefølje. Det er kun synligt, at den efficiente rand med ejendom har en lavere

standardafvigelse for et givet afkast, der ligger under ca. 1,7 % pr. kvartal. Derefter falder de to

figurer sammen. For Lagrange optimeringen kan man kun se en forskel på anden decimal for

forventede afkast på over 1,95 %. For forventede afkast på over 2,85 % kan man først se en forskel

på standardafvigelserne i 3, 4 eller 5 decimal. F.eks. er standardafvigelsen for porteføljen uden bolig

på 5,737587 % og for porteføljen med bolig er den på 5,735027 % ved et afkastniveau på 2,85 %.

Det betyder, at de mest risikoaverse investorer, som vil investere i porteføljerne med lave

forventede afkast, godt kan reducere deres risiko lidt ved at investere i ejendomme. Derimod får de

mindst risikoaverse investorer næsten ingenting ud af at inkludere fast ejendom i deres portefølje.

For at validere resultaterne af Lagrange’s metode, er de efficiente rande også blevet beregnet ud fra

Black’s metode og vha. Solver. Resultaterne for disse er samlet i to figurer, hvoraf den ene figur

illustrerer konklusionerne for den efficiente rand uden ejendom og den anden med ejendom.

Figurerne kan ses i bilag 10. Man kan se, at de forskellige metoder udleder den samme efficiente

Side 49 af 91

rand. Alle tre grafer i begge figurer ligger oven på hinanden, således at man kun kan se den ene

graf. Det betyder, at metoderne kommer frem til den samme konklusion og indeholder de samme

optimale porteføljevægte.

Når den efficiente rand for de danske data bliver forbedret så lidt, er det ikke kun usikkerheden for

metoderne, der har en betydning for konklusionen, om det er gunstigt at investere i ejendomme.

Tager man højde for f.eks. de høje transaktionsomkostninger på boligmarkedet og eventuelle

kurstab på lånet til ejendommen er konklusionen, at det for de fleste investorers vedkommende ikke

kan betale sig at investere i en bolig. Konklusionen bygger på den forudsætning, at boligens afkast

udelukkende reflekterer en stigning i dens værdi. Det kan forholde sig anderledes, hvis man tager

højde for den sparede husleje, investor kan opnå som følge af, at han har købt sin egen bolig. Der

kan være mange årsager til, at husholdninger skal erhverve sig fast ejendom, men ud fra et rent

finansielt synspunkt er investering i boliger, på baggrund af det danske husprisindeks, ikke

tilrådelig.

Figur 9: De efficiente rande uden kortsalgsmuligheder.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Solver uden kortsalg uden ejendomSolver uden kortsalg med ejendom

Standardafvigelse

Forv

ente

t afk

ast

Som det ses i figur 9, forbedres den efficiente rand ikke særlig meget, når man inddrager ejendom i

sin portefølje, hvis man forudsætter, at det ikke er muligt at gå kort i aktiverne. Dermed ændrer det

ikke på den konklusion man kom frem til i tilfældet med kortsalgsmuligheder. Det er stadig kun for

Side 50 af 91

små værdier af standardafvigelse og afkast, at man kan se en forskel. Dette skyldes, at ved et

forventet afkast på 1,5 % i kvartalet består porteføljen udelukkende af 2-årige obligationer og

ejendomme, som er negativt korreleret med hinanden. Derefter falder de optimale andele af både

ejendomme og 2-årige obligationer i porteføljen. Ved et forventet afkast på 2,4 % er ejendomme

slet ikke inkluderet i porteføljen. De 2-årige obligationer har porteføljeandele på 0 ved et forventet

afkast på 2,2 % for porteføljen med ejendom, og ved et afkast på 2,4 % for porteføljen uden fast

ejendom.

For at illustrere, hvordan den beskrevne teori i afsnit 2.1 kan bruges, er der valgt at indtegne

kapitalmarkedslinjen for derefter at finde investors optimale portefølje ved at investere i 2-årige

obligationer, 10-årige obligationer, aktier og ejendomme. Fremgangsmåden er beskrevet under

afsnit 5.1.

Figur 10: Den optimale portefølje med fast ejendom.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

Lagrange med ejendomCML

Standardafvigelse

Forv

ente

t afk

ast

Kapitalmarkedslinjen er blevet beregnet ud fra den forudsætning, at den årlige risikofri rente er 4 %.

Denne rente er valgt fordi flere banker, bl.a. Farsø Sparekasse, tilbyder en fast indlånsrente på 4 %.

Den kvartalvise rente er 0,985 %, idet der er taget højde for rentes rente.

Tangentporteføljen i figur 10 har et forventet afkast på 1,5 % og en standardafvigelse på 0,861 %.

De dertilhørende porteføljevægte er 3,156 % aktier, 80,021 % 2-årige obligationer, -10,286 %

10-årige obligationer og 26,918 % ejendomme. Valget af den risikofri rente har ikke særlig stor

betydning i dette tilfælde. Selv hvis man antager at den er 2 % om året, så vil den optimale

portefølje stadig have et forventet afkast på 1,5 % pr. kvartal, og dermed vil de optimale

Side 51 af 91

porteføljevægte også være de samme. Hæver man derimod den risikofri rente til 5 %, vil

markedsporteføljen kun ændre sig lidt og have et forventet afkast på 1,65 % pr. kvartal.

Idet ejendomme udgør en relativ stor andel af markedsporteføljen, vil der blive undersøgt, hvad

investors optimale portefølje er, hvis der udelukkende investeres i de finansielle aktiver.

Figur 11: Den optimale portefølje uden fast ejendom.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

Lagrange uden ejendomCML

Standardafvigelse

Forv

ente

t afk

ast

I figur 11 kan man se den efficiente rand og kapitalmarkedslinjen for en portefølje bestående af

aktier, 2-årige obligationer og 10-årige obligationer. Den optimale portefølje har et afkast på 1,65 %

pr. kvartal og en dertilhørende standardafvigelse på 1,4208 %. Denne portefølje består af 8,205 %

aktier, 90,057 % 2-årige obligationer og 1,738 % 10-årige obligationer. Sammenligner man disse

resultater med dem, hvor fast ejendom var en del af porteføljen, kan man se, at markedsporteføljen

uden ejendom har et højere forventet afkast og en højere standardafvigelse. Portefølje inklusiv fast

ejendom som har et forventet afkast på 1,65 %, har en dertilhørende risiko på 1,2624 %, dvs.

0,1584 % lavere end risikoen for porteføljen uden ejendom. Tager man udgangspunkt i

markedsporteføljen og gearer den, kan man opnå et forventet afkast på 1,74 % med en

standardafvigelse på 1,2624 % for porteføljen med fast ejendom. Dermed kan investor få et højere

afkast på 0,36 % om året ved at investere i porteføljen med ejendom frem for at investere i den

uden, samtidig med at risikoen er lavere. Konklusionen er, at inddragelse af fast ejendom har en

større betydning for porteføljesammensætningen, hvis der eksisterer et risikofrit aktiv. Årsagen til

dette findes i, at hældningskoefficienten for kapitalmarkedslinjen er større for porteføljen med

Side 52 af 91

ejendom. Derfor får de mindst risikoaverse investorer det største udbytte af at inkludere fast

ejendom i sin portefølje, hvis der eksisterer et risikofrit aktiv. RTVR er højere for porteføljen med

fast ejendom uanset hvad den risikofri rente er, men forskellen på hældningskoefficienterne for

kapitalmarkedslinjerne mindskes, når den risikofri rente stiger. Derfor får investor mest ud af at

inkludere fast ejendom i sin portefølje, hvis den risikofri rente er lav.

6.3 Konklusion for de danske data

Aktier er, som forventet, det aktiv der genererer det højeste afkast og har den højeste risiko.

Ejendomme har et afkast, der er lidt mindre end afkastet for de 2-årige obligationer. Til gengæld er

standardafvigelsen for ejendomme højere. Korrelationen mellem ejendomme og de 2-årige

obligationer er negativ, -0,2536. Af figurerne for de efficiente rande, blev det fremført, at den

efficiente rand ikke bliver forbedret særlig meget ved inddragelse af ejendomme, uanset om der er

kortsalgsmuligheder eller ej. For langt de fleste af værdierne ligger de to efficiente rande oven på

hinanden. Det er kun for forventede afkast på under ca. 1,7 % pr. kvartal, at man i figurerne kan se,

at standardafvigelsen for porteføljen med fast ejendom er mindre.

Hvis der eksisterer et risikofrit aktiv får ejendomme en større betydning for

porteføljesammensætningen. Risikopræmien pr. risikoenhed er højere for porteføljen med fast

ejendom for alle værdier af den risikofri rente. Forskellen på RTVT’erne er størst når den risikofri

rente er lav. Derfor får de mindst risikoaverse investorer mest ud af at inkludere fast ejendom i

deres porteføljer, hvis der eksisterer et risikofrit aktiv. Ydermere er udbyttet fra at inkludere

ejendom i porteføljen størst, når den risikofri rente er lav.

6.4 Begrænsninger

Nogle af begrænsningerne for de danske data er de samme som i Flavin og Yamashita’s model.

Disse er, at modellen er statisk, og at modellen i mange tilfælde vil være inefficient, idet

husholdningernes behov for huskonsum sjældent vil være den samme som det niveau af fast

ejendom, der er optimal i en porteføljesammensætning. Det sidstnævnte problem kan

imødekommes, hvis det bliver muligt at investere i en ejendomsfond. I så fald, kan investor vælge

at leje en bolig, der dækker hans behov for huskonsum og samtidig investere den optimale andel af

fast ejendom i en ejendomsfond. En anden begrænsning, som også bliver løst hvis investering i

ejendomsfonde bliver mulig, er, at man kan investere i husprisindekset som beregningerne er lavet

på baggrund af. Men det afkast, som man opnår ved investering i en ejendomsfond, bliver beskattet

på en anderledes måde, end hvis man bor i sin egen bolig, hvilket der også skal tages hensyn til.

Side 53 af 91

Der er en stor sandsynlighed for, at man vil nå frem til samme konklusion for danske data, som

Peter Bach og Per Søgaard Andersen (2007) kom frem til for de engelske og amerikanske data.

Denne konklusion er at korrelationerne mellem de finansielle aktiver og ejendomme er højere, hvis

der måles på de årlige afkast frem for på de kvartalvise afkast. Det anses ikke for værende et

problem i det her tilfælde, idet en højere korrelation mellem ejendomme og de andre aktiver vil

bevirke, at ejendomme medfører en mindre diversifikationsmulighed, og derfor skal have en mindre

andel i porteføljen. Idet konklusionen for de danske data er, at man ikke skal inkludere fast ejendom

i sin portefølje, vil højere korrelationer ikke ændre på konklusionen.

Metoderne hvorpå den efficiente rand er blevet beregnet er ikke helt præcise, men de anses for at

være gode, idet modellerne har genereret det samme resultat og har fundet frem til efficiente rande,

der ligger meget tæt op ad hinanden, som vist i bilag 10.

Beskatningen af aktiverne er ikke inkluderet i denne opgave, hvilket medfører, at modellen er meget

forsimplet og ikke afspejler virkeligheden. Det er ikke utænkeligt, at hvis skatteeffekterne var

inkluderet, ville ejendomme få en større andel i de optimale porteføljer, fordi der skal betales en

højere skat på afkastene fra de finansielle aktiver end for ejendomme, forudsat at investor bor i det

hus, som han ejer. For ejendomme tages der endvidere kun hensyn til det afkast, de har genereret

som følge af en stigning i husets værdi. Der ses ikke på, at man også sparer penge ved at eje en

bolig, fordi man ikke skal betale husleje.

Endvidere er der ikke taget gæld med i porteføljen. Dette er et problem, idet gælden på fast ejendom

for de fleste mennesker udgør en stor del af husets værdi. Danskere har i gennemsnit en gæld der er

ca. 3 gange større end deres disponible årlige indkomst. Derfor har gælden en stor betydning for

danskernes økonomi. Det faktum, at dette aspekt ikke er med, svækker konklusionen.

7 Konklusion

Markowitz foreslog, at en investor vurderer et aktivs afkast og risiko ud fra dens middelværdi og

standardafvigelse. Dette er blevet benyttet til at udlede den efficiente rand, hvor de aktiver, der har

det højeste afkast givet standardafvigelsen, er indtegnet. Kapitalmarkedslinjen udtrykker

sammenhængen mellem den efficiente rand og et risikofrit aktiv. En investors risikoaversion

bestemmer forholdet mellem den del af hans portefølje, der skal investeres i den risikofyldte

portefølje og den del der skal investeres i det risikofri aktiv.

Side 54 af 91

Inddrager man humankapital, afhænger de optimale porteføljeandele af lønindkomstens risikoprofil.

Minder ens humankapital om en obligationsinvestering, skal man holde en høj aktieandel som ung

og mindske den gennem årene. Er ens lønindkomst derimod højt korreleret med aktieafkastet, er det

bedst at holde en lav aktieandel som ung og øge den med alderen. Dette skyldes, at humankapitalen

er på sit højeste, når man er ung. Dermed er man i høj grad indirekte eksponeret mod aktiemarkedet,

og for at reducere risikoen, skal man investere i en høj obligationsandel som ung. Ser man på den

fleksibilitet som humankapitalen har, finder man, at unge mennesker skal holde en højere

aktieandel, idet deres humankapital vil være meget større end deres finansielle formue. Unge

mennesker har mange år tilbage på arbejdsmarkedet, så derfor kan de nemmere tjene eventuelle tab

på deres formue ind, ved at øge deres humankapital, f.eks. ved at arbejde flere timer om ugen eller

blive længere tid på arbejdsmarkedet. Som man bliver ældre mindskes humankapitalen i forhold til

den finansielle formue, og derfor skal man gradvist nedbringe sin aktieandel.

Fast ejendom adskiller sig fra de finansielle aktiver på flere måder. Den vigtigste er, at man i

Danmark ikke kan investere i en diversificeret ejendomsfond, og derfor kan man kun inddrage

ejendom i sin portefølje ved at købe en bolig eller ved at investere i et kommanditselskab.

Ejendomme er dyre, så derfor får man ved køb af bare én bolig en høj eksponering mod

ejendomsmarkedet.

Flavin og Yamashita har undersøgt, hvordan en husholdnings optimale porteføljesammensætning

påvirkes af fast ejendom samt gælden herpå. De finder frem til, at ejendomme er meget lavt og

negativt korreleret med de andre aktiver. Derfor kan husholdningerne opnå et højere forventet

afkast for en given risiko ved at inkludere fast ejendom, og den gæld de har på boligen i deres

portefølje. Flavin og Yamashita undersøger også, hvordan de optimale porteføljeandele ændres over

livscyklus. Resultatet af livscyklus analysen er, at unge husholdninger bærer en høj risiko, fordi

værdien på deres bolig i forhold til deres finansielle formue er høj. Derfor holder de en højere

obligationsandel og en lavere aktieandel. Som husholdningerne bliver ældre, får de en lavere

boligværdi i forhold til deres finansielle formue, og derfor øger de risikoen ved at holde en højere

aktieandel og en lavere obligationsandel. Aktieandelen stiger derfor med alderen på grund af

investeringen i fast ejendom.

Ved beregningerne for de danske data er der fundet frem til, at inddragelse af fast ejendom i en

portefølje ikke forbedrer den efficiente rand særlig meget. Afkastet for ejendomme er lidt mindre

end afkastet for 2-årige obligationer, men boliger har en højere standardafvigelse. I figurerne, der

Side 55 af 91

illustrerer de efficiente rande, er det kun ved lave værdier af det forventede afkast, man kan se, at

randen med ejendom har en lavere standardafvigelse. Konklusionen er den samme uanset om man

antager, at der eksisterer kortsalgsmuligheder eller ej. Når den efficiente rand ved inddragelse af

fast ejendom forbedres så lidt, kan det, på baggrund af det danske husprisindeks, ikke tilrådes at

investere i fast ejendom. Inddragelse af fast ejendom har en større betydning for

porteføljesammensætningen, hvis der eksisterer et risikofrit aktiv. Dette skyldes, at

kapitalmarkedslinjen har en højere hældningskoefficient for porteføljen med ejendom, uanset hvad

den risikofri rente er. Investor får mest udbytte af at inkludere fast ejendom i sin portefølje, hvis den

risikofri rente er lav, og investor er mindre risikoavers.

Side 56 af 91

Kildefortegnelse

Bøger:

- Michael Christensen og Frank Pedersen: Aktie investering – Teori og praktisk anvendelse.

Jurist- og Økonomforbundets Forlag. 2. udgave, 1. oplag 2003.

- Zvi Bodie, Robert C. Merton og David L. Cleeton: Financial economics. Pearson Prentice

Hall, 2. udgave, 2007.

- Edwin J. Elton, Martin J. Gruber, Stephen J. Brown og William N. Goetzmann: Modern

portfolio theory and investment analysis. John Wiley & Sons, inc. Syvende udgave, 2007.

- Jacob Aqraou: Finansieringsteori. Samfundslitteratur, 1. udgave, 1997.

Artikler:

- Marjorie Flavin og Takashi Yamashita: Owner-occupied housing and the composition of the

household portfolio over the life cycle. Department of Economics, UCSD, 1998.

- Peder Bach og Per Søgaard-Andersen: Risikoanalyse af ejendomme i

investeringsporteføljer. Finans/Invest 2007 - nr. 6.

- Anders Lund Larsen: Lønindkomstens betydning for porteføljevalget – Er du en aktie eller

en obligation? Finans/Invest 2007- nr. 2.

- Nikolaj Holdt Mikkelsen: Ejendomsfonde bør være med i enhver langsigtet portefølje. 2008.

- Klaus D. Sørensen, Lars Rasmussen, Kenneth I.K.E. Jørgensen og Jeppe Brandstrup:

Portfolio Optimization and Matrix Calculation in Excel. IKT Department på ASB, 2008.

- Christian Heinig og Steen Bocian: Faresignaler på boligmarkedet. Danske analyse, 2007.

- Claus Munk og Carsten Sørensen: Skal investor med lang investeringshorisont have større

aktieandel. Finans/Invest 2001 – nr. 7.

- Bobby E. Waldrup, Seth C. Anderson, Sid Rosenberg og Vincent Shea: Housing as a

Portfolio Asset: A Life-Cycle Analysis. 2005.

- Jens Erik Skovgaard: Få danskere ejer egen bolig. 2008.

Side 57 af 91

- Erik Haller Pedersen: Udviklingen i kontantpriser på ejerboliger. Danmarks Nationalbanks

kvartalsoversigt, 1. kvartal 2004.

Hjemmesider:

- Beskatning af aktier: http://www.skat.dk/data.aspx?oId=1617780&vId=201932.

- Beskatning af obligationer: http://www.skat.dk/SKAT.aspx?oId=1801858.

- Ejendomsværdiskatten: http://www.skat.dk/getFile.aspx?Id=52794.

- Kommanditselskaber: http://www.ejendomsinvest.dk/default.asp?id=470.

Data:

- Aktier: Datastream. Name: DENMARK – DS Market – TOT RETURN IND. Code:

TOTMKDK(RI).

- 2-årig obligation: Datastream. Name: DK BENCHMARK 2 YEAR DS GOVT. INDEX –

TOT RETURN IND. Code: BMDK02Y (RI).

- 10-årig obligation: Datastream. Name: DK BENCHMARK 10 YEAR DS GOVT. INDEX –

TOT RETURN IND. Code: BMDK10Y (RI).

- Husprisindekset: Nationalbankens kvartalsmodel.

Side 58 af 91

Bilag 1: Det forudsagte forhold mellem s og h for 18-30-årige husholdninger.

Side 59 af 91

Kilde: Marjorie Flavin og Takashi Yamshita (1998) side 17-18.

Bilag 2: Det forudsagte forhold mellem s og h for 31-40-årige husholdninger.

Side 60 af 91

Kilde: Marjorie Flavin og Takashi Yamshita (1998) side 17-18.Bilag 3: Det forudsagte forhold mellem s og h for 41-50-årige husholdninger.

Side 61 af 91

Kilde: Marjorie Flavin og Takashi Yamshita (1998) side 17-18.Bilag 4: Det forudsagte forhold mellem s og h for 51-60-årige husholdninger.

Side 62 af 91

Kilde: Marjorie Flavin og Takashi Yamshita (1998) side 17-18.Bilag 5: Det forudsagte forhold mellem s og h for 61-70-årige husholdninger.

Side 63 af 91

Kilde: Marjorie Flavin og Takashi Yamshita (1998) side 17-18.Bilag 6: Det forudsagte forhold mellem s og h for husholdninger over 71 år.

Side 64 af 91

Kilde: Marjorie Flavin og Takashi Yamshita (1998) side 17-18.Bilag 7: Beregningerne i Excel med fast ejendom:

Side 65 af 91

Dato Aktier Afkast Dato 2-årig obligation Afkast

01-01-1989 943,2   07-01-1989 100,172  01-04-1989 1024,38 8,256448129 07-04-1989 101,225 1,04570534401-07-1989 1233,14 18,54762104 07-07-1989 103,215 1,9468429401-10-1989 1177,85 -4,587301928 07-10-1989 103,947 0,70669625401-01-1990 1314,78 10,99786086 07-01-1990 104,969 0,97839146101-04-1990 1418,95 7,624781022 07-04-1990 108,443 3,25596208501-07-1990 1357,24 -4,446393554 07-07-1990 112,577 3,74127426501-10-1990 1215,94 -10,99357857 07-10-1990 114,771 1,93014067701-01-1991 1130,26 -7,306974547 07-01-1991 117,294 2,17447647201-04-1991 1303,51 14,26129313 07-04-1991 121,904 3,85502462701-07-1991 1423 8,770669309 07-07-1991 124,842 2,38150880501-10-1991 1444,45 1,496130716 07-10-1991 127,969 2,47391093101-01-1992 1390,57 -3,801489124 07-01-1992 131,168 2,46908972301-04-1992 1299,54 -6,770337933 07-04-1992 132,883 1,29900974901-07-1992 1284,12 -1,193669685 07-07-1992 135,576 2,00633268801-10-1992 1079,81 -17,32885591 07-10-1992 136,196 0,45626560201-01-1993 1095,06 1,402405655 07-01-1993 140,373 3,0208140701-04-1993 1206,54 9,6947603 07-04-1993 147,651 5,05482155301-07-1993 1385,26 13,81310884 07-07-1993 156,392 5,75142949701-10-1993 1469,43 5,898672284 07-10-1993 158,357 1,24863019701-01-1994 1660,02 12,195508 07-01-1994 163,329 3,09145935901-04-1994 1707,68 2,830607369 07-04-1994 164,371 0,63594965601-07-1994 1590,1 -7,133881685 07-07-1994 161,667 -1,65874039101-10-1994 1511,17 -5,09127221 07-10-1994 162,744 0,66397499301-01-1995 1550,24 2,552557242 07-01-1995 166,539 2,30511021801-04-1995 1444,97 -7,032119755 07-04-1995 171,340 2,84203703101-07-1995 1542,42 6,526405149 07-07-1995 176,557 2,99938838801-10-1995 1605,97 4,03753238 07-10-1995 181,759 2,90378633401-01-1996 1661,57 3,403500313 07-01-1996 188,012 3,38241568201-04-1996 1758,77 5,685176256 07-04-1996 191,286 1,72638997101-07-1996 1857,11 5,440681485 07-07-1996 193,266 1,02977880601-10-1996 1996,49 7,23691228 07-10-1996 197,723 2,27995829501-01-1997 2204,52 9,911915938 07-01-1997 200,583 1,43610648801-04-1997 2480,8 11,80712907 07-04-1997 202,128 0,76730339101-07-1997 2844,99 13,69784638 07-07-1997 206,288 2,03720905801-10-1997 3229,3 12,67058428 07-10-1997 206,399 0,05379379701-01-1998 3447,19 6,529401093 07-01-1998 209,437 1,46117895101-04-1998 3952,1 13,66876768 07-04-1998 211,592 1,02369139401-07-1998 3773,03 -4,636869103 07-07-1998 214,218 1,23342960101-10-1998 3018,44 -22,31382505 07-10-1998 216,230 0,93484678901-01-1999 3421,77 12,54178194 07-01-1999 221,942 2,60734304901-04-1999 3213,25 -6,287507505 07-04-1999 225,303 1,50300764501-07-1999 3478,13 7,921190703 07-07-1999 225,623 0,141930185

Side 66 af 91

01-10-1999 3632,52 4,343182926 07-10-1999 226,097 0,20986459501-01-2000 4328,25 17,5236681 07-01-2000 227,020 0,4074008601-04-2000 4700,34 8,247154325 07-04-2000 229,088 0,90680898901-07-2000 4696,67 -0,078109956 07-07-2000 228,217 -0,3809278501-10-2000 5511,8 16,00375016 07-10-2000 232,831 2,00159377901-01-2001 4910,27 -11,55623185 07-01-2001 238,119 2,24576802101-04-2001 4633,4 -5,803799026 07-04-2001 241,052 1,22421291401-07-2001 4948,43 6,57794147 07-07-2001 243,164 0,87234349701-10-2001 3910,6 -23,53795396 07-10-2001 249,852 2,71326297401-01-2002 4300,91 9,513581331 07-01-2002 250,890 0,4145853501-04-2002 4495,48 4,424581932 07-04-2002 252,243 0,53783125401-07-2002 4063,46 -10,10376201 07-07-2002 255,593 1,31934269901-10-2002 3242,73 -22,56192598 07-10-2002 263,856 3,1817164201-01-2003 3424,97 5,467714494 07-01-2003 267,494 1,36936363901-04-2003 3308,25 -3,467336388 07-04-2003 270,768 1,21652294901-07-2003 3881,9 15,99053758 07-07-2003 274,645 1,42169889701-10-2003 4392,18 12,35009625 07-10-2003 275,407 0,27706489101-01-2004 4496,78 2,353589811 07-01-2004 277,634 0,80536959701-04-2004 4856,02 7,685758728 07-04-2004 280,706 1,10041587501-07-2004 5097,51 4,853301285 07-07-2004 281,917 0,4304843101-10-2004 5349,84 4,831446871 07-10-2004 283,876 0,69248217201-01-2005 5581,68 4,242315243 07-01-2005 287,264 1,18641304801-04-2005 6177,38 10,1404427 07-04-2005 289,524 0,78365415601-07-2005 6757,83 8,980759925 07-07-2005 292,066 0,87416089901-10-2005 7282,86 7,48218096 07-10-2005 292,888 0,28104792601-01-2006 7897,91 8,107452531 07-01-2006 293,798 0,31021729801-04-2006 8113,89 2,697924037 07-04-2006 293,556 -0,08240346201-07-2006 7348,52 -9,907847547 07-07-2006 294,230 0,22933526701-10-2006 8009,25 8,609819133 07-10-2006 297,333 1,04909484201-01-2007 8966,98 11,29518178 07-01-2007 298,802 0,49284238401-04-2007 9426,46 4,997168693   07-04-2007 300,693 0,630866403

Gennemsnit 3,153421313 1,505754935Standardafvigelse 9,477969618 1,252168723

Dato 10-årig obligation Afkast Dato Ejendom Afkast

Side 67 af 91

07-01-1989 100   1988Q4 0,606764  07-04-1989 98,541 -1,469748076 1989Q1 0,599623 -1,1838457807-07-1989 101,305 2,766306315 1989Q2 0,599631 0,00123531707-10-1989 101,228 -0,076036995 1989Q3 0,590567 -1,52313337507-01-1990 100,660 -0,562689708 1989Q4 0,581392 -1,56571237307-04-1990 101,881 1,205696418 1990Q1 0,554675 -4,70433051807-07-1990 107,420 5,294091895 1990Q2 0,554901 0,04070347307-10-1990 104,728 -2,53798716 1990Q3 0,543994 -1,9851517107-01-1991 110,781 5,618876659 1990Q4 0,539742 -0,78466132207-04-1991 122,134 9,756352317 1991Q1 0,550662 2,00296760707-07-1991 124,104 1,600112113 1991Q2 0,555161 0,81375319407-10-1991 129,300 4,101536202 1991Q3 0,556555 0,25075214407-01-1992 135,090 4,38059372 1991Q4 0,559413 0,51217773307-04-1992 134,698 -0,290598749 1992Q1 0,555144 -0,76597142507-07-1992 135,999 0,961229727 1992Q2 0,553844 -0,23447738507-10-1992 131,987 -2,994409988 1992Q3 0,54603 -1,42091284407-01-1993 142,129 7,403166303 1992Q4 0,531291 -2,73643118107-04-1993 153,914 7,965890895 1993Q1 0,523429 -1,49082609207-07-1993 167,132 8,238991449 1993Q2 0,519075 -0,83532629307-10-1993 174,290 4,193665917 1993Q3 0,547407 5,31450469107-01-1994 182,371 4,532249524 1993Q4 0,576722 5,21677996707-04-1994 177,555 -2,67626537 1994Q1 0,608855 5,4218877907-07-1994 161,874 -9,246216525 1994Q2 0,608202 -0,10731524907-10-1994 157,759 -2,574970274 1994Q3 0,603531 -0,77086805507-01-1995 160,602 1,786070264 1994Q4 0,60897 0,89707413207-04-1995 168,493 4,796495117 1995Q1 0,623609 2,37544819807-07-1995 176,901 4,869604816 1995Q2 0,645014 3,37481349607-10-1995 183,887 3,873118446 1995Q3 0,663797 2,87054564707-01-1996 198,820 7,807845427 1995Q4 0,682098 2,71971067807-04-1996 198,884 0,032184741 1996Q1 0,693366 1,63842224907-07-1996 203,069 2,082408258 1996Q2 0,70922 2,26083563107-10-1996 214,756 5,595667717 1996Q3 0,731974 3,15788032907-01-1997 220,350 2,571469135 1996Q4 0,761405 3,94202160507-04-1997 222,734 1,076104308 1997Q1 0,781183 2,5643512207-07-1997 237,044 6,226754355 1997Q2 0,799909 2,36888862907-10-1997 245,490 3,50104353 1997Q3 0,818014 2,23818995507-01-1998 256,729 4,476484063 1997Q4 0,828805 1,31052123207-04-1998 267,479 4,102000474 1998Q1 0,846055 2,05996659607-07-1998 273,804 2,337146337 1998Q2 0,877574 3,65762396707-10-1998 284,114 3,696304412 1998Q3 0,888561 1,24427130707-01-1999 297,006 4,437677455 1998Q4 0,906732 2,02429588107-04-1999 295,463 -0,520872312 1999Q1 0,921852 1,65381449907-07-1999 279,531 -5,543041871 1999Q2 0,931185 1,00730588507-10-1999 273,088 -2,331911122 1999Q3 0,946547 1,63633831

Side 68 af 91

07-01-2000 274,065 0,357121697 1999Q4 0,956672 1,06393457107-04-2000 282,650 3,084407859 2000Q1 0,969358 1,31738067807-07-2000 281,832 -0,289823439 2000Q2 0,990385 2,1459860607-10-2000 289,647 2,735179143 2000Q3 1,009921 1,95337348507-01-2001 306,453 5,640145925 2000Q4 1,030335 2,001137707-04-2001 310,126 1,19142671 2001Q1 1,04706 1,61019312107-07-2001 305,583 -1,475723904 2001Q2 1,053641 0,62657915807-10-2001 321,016 4,926953865 2001Q3 1,063611 0,94182383307-01-2002 318,755 -0,70681835 2001Q4 1,06816 0,42680185107-04-2002 317,288 -0,461290385 2002Q1 1,082026 1,28970034707-07-2002 324,127 2,132553552 2002Q2 1,093566 1,0609328707-10-2002 344,295 6,036343372 2002Q3 1,099277 0,52088879607-01-2003 351,317 2,019010177 2002Q4 1,113828 1,31498141707-04-2003 355,781 1,262642323 2003Q1 1,11239 -0,12918953407-07-2003 370,865 4,152274197 2003Q2 1,124127 1,04957884307-10-2003 367,497 -0,912295963 2003Q3 1,137306 1,16554300207-01-2004 370,711 0,870762795 2003Q4 1,152622 1,33773615607-04-2004 379,597 2,368738034 2004Q1 1,180056 2,3521838607-07-2004 379,271 -0,085917451 2004Q2 1,212167 2,68477826707-10-2004 391,450 3,160680421 2004Q3 1,247283 2,85579682307-01-2005 411,565 5,010917298 2004Q4 1,288805 3,27485038307-04-2005 420,954 2,255659772 2005Q1 1,33632 3,62037557407-07-2005 443,162 5,141182763 2005Q2 1,397525 4,47832026607-10-2005 445,499 0,525961055 2005Q3 1,480708 5,78179181907-01-2006 446,386 0,198904633 2005Q4 1,583011 6,6807817407-04-2006 425,632 -4,76089254 2006Q1 1,670781 5,39626245307-07-2006 424,424 -0,284216761 2006Q2 1,752602 4,78102783807-10-2006 441,951 4,046606064 2006Q3 1,790064 2,11502475607-01-2007 439,930 -0,458339286 2006Q4 1,778255 -0,66188691907-04-2007 439,163 -0,174498078 2007Q1 1,801041 1,273211693

Gennemsnit 2,026986927 1,490383817Std.afv. 3,400228968 2,106176431

Kovariansmatricen:

Side 69 af 91

  Aktier 2-årig obligation 10-årig obligation EjendomAktier 89,83190807 0,183082018 3,774917222 3,607880382-årig obligation 0,183082018 1,56792651 3,22880385 -0,668838310-årig obligation 3,774917222 3,22880385 11,56155703 0,45122067Ejendom 3,607880381 -0,668838262 0,451220675 4,43597916

Korrelationsmatricen:

  Aktier 2-årig obligation 10-årig obligation EjendomAktier 1 0,015426504 0,117134265 0,180734922-årig obligation 0,015426504 1 0,758351671 -0,253608310-årig obligation 0,117134265 0,758351671 1 0,06300661Ejendom 0,180734919 -0,253608327 0,063006605 1

Side 70 af 91

Lagrange optimering med kortsalgsmuligheder:

Kovariansmatricen

  Aktier 2-årig obligation 10-årig obligation EjendomAktier 89,83190807 0,183082018 3,774917222 3,6078803812-årig obligation 0,183082018 1,56792651 3,22880385 -0,66883826210-årig obligation 3,774917222 3,22880385 11,56155703 0,451220675ejendom 3,607880381 -0,668838262 0,451220675 4,435979158

Gennemsnit Gennemsnit og 1 taller Aktier 3,153421313 3,153421313 12-årig obligation 1,505754935 1,505754935 110-årig obligation 2,026986927 2,026986927 1Ejendom 1,490383817 1,490383817 1

Auxiliary matrix3,573342205 2,5285911442,528591144 1,823061182

Mål-afkast vektorMål-afkast 0,5En 1

Portefølje vægtene Porteføjle egenskaberAktier -0,228167628 Varians 12,437112332-årig obligation 2,003485574 Afkast 0,510-årig obligation -1,195908665 Srd.afv. 3,526629032Ejendom 0,420590719Sum 1

Side 71 af 91

Risikofri rente: 0,985

  Aktier 2-årig obligation 10-årig obligation Ejendom Varians Forventet afkast 1 Std.afv. RTVR CML

  0 0,985Portefølje 1 -0,319071315 2,42396418 -1,578476305 0,473583441 23,67032054 0,15 1 4,865215 -0,171627 3,8948064Portefølje 2 -0,280112592 2,243759063 -1,414518745 0,450872274 18,40277216 0,3 1 4,289845 -0,159679 3,5506869Portefølje 3 -0,241153869 2,063553946 -1,250561185 0,428161108 13,81519822 0,45 1 3,71688 -0,143938 3,2080058Portefølje 4 -0,202195146 1,883348829 -1,086603625 0,405449942 9,907598695 0,6 1 3,147634 -0,122314 2,8675488Portefølje 5 -0,163236423 1,703143712 -0,922646065 0,382738776 6,679973602 0,75 1 2,584564 -0,090924 2,5307861Portefølje 6 -0,124277699 1,522938595 -0,758688505 0,360027609 4,132322939 0,9 1 2,032812 -0,041814 2,2007916Portefølje 7 -0,085318976 1,342733478 -0,594730945 0,337316443 2,264646703 1,05 1 1,504874 0,043193 1,8850409Portefølje 8 -0,046360253 1,162528362 -0,430773385 0,314605277 1,076944896 1,2 1 1,03776 0,2071771 1,6056672Portefølje 9 -0,00740153 0,982323245 -0,266815825 0,29189411 0,569217517 1,35 1 0,754465 0,4837865 1,4362333Portefølje 10 0,031557193 0,802118128 -0,102858265 0,269182944 0,741464567 1,5 1 0,861083 0,5980838 1,5Portefølje 11 0,070515917 0,621913011 0,061099295 0,246471778 1,593686044 1,65 1 1,262413 0,5267691 1,7400286Portefølje 12 0,10947464 0,441707894 0,225056855 0,223760612 3,12588195 1,8 1 1,768016 0,4609686 2,0424219Portefølje 13 0,148433363 0,261502777 0,389014415 0,201049445 5,338052285 1,95 1 2,310423 0,4176725 2,3668263Portefølje 14 0,187392086 0,08129766 0,552971975 0,178338279 8,230197048 2,1 1 2,868832 0,3886599 2,7008019Portefølje 15 0,226350809 -0,098907457 0,716929535 0,155627113 11,80231624 2,25 1 3,43545 0,3682196 3,0396869Portefølje 16 0,265309533 -0,279112574 0,880887095 0,132915947 16,05440986 2,4 1 4,006795 0,35315 3,3813994Portefølje 17 0,304268256 -0,459317691 1,044844655 0,11020478 20,98647791 2,55 1 4,5811 0,341621 3,7248817Portefølje 18 0,343226979 -0,639522808 1,208802215 0,087493614 26,59852038 2,7 1 5,157375 0,3325335 4,0695426Portefølje 19 0,382185702 -0,819727925 1,372759774 0,064782448 32,89053729 2,85 1 5,735027 0,3251946 4,4150268Portefølje 20 0,421144426 -0,999933041 1,536717334 0,042071281 39,86252862 3 1 6,313678 0,3191484 4,7611084Portefølje 21 0,460103149 -1,180138158 1,700674894 0,019360115 47,51449438 3,15 1 6,893076 0,3140833 5,1076369Portefølje 22 0,499061872 -1,360343275 1,864632454 -0,003351051 55,84643457 3,3 1 7,473047 0,3097799 5,4545084Portefølje 23 0,538020595 -1,540548392 2,028590014 -0,026062217 64,85834919 3,45 1 8,053468 0,3060793 5,8016487Portefølje 24 0,576979318 -1,720753509 2,192547574 -0,048773384 74,55023823 3,6 1 8,634248 0,3028637 6,1490037Portefølje 25 0,615938042 -1,900958626 2,356505134 -0,07148455 84,92210171 3,75 1 9,215319 0,3000439 6,4965328

Side 72 af 91

Black optimering med kortsalgsmuligheder

Kovariansmatricen

  Aktier 2-årig obligation 10-årig obligation EjendomAktier 89,83190807 0,183082018 3,774917222 3,6078803812-årig obligation 0,183082018 1,56792651 3,22880385 -0,66883826210-årig obligation 3,774917222 3,22880385 11,56155703 0,451220675Ejendom 3,607880381 -0,668838262 0,451220675 4,435979158

Gennemsnit Konstant Gns. minus konstantAktier 3,153421313 0,75 2,4034213132-årig obligation 1,505754935   0,75575493510-årig obligation 2,026986927   1,276986927Ejendom 1,490383817   0,740383817

Poretfølje vægtePortefølje M Z Vægte Portefølje Y Z Vægte Aktier 0,022774081 0,009006628 Aktier 0,019753668 0,017010032-årig obligation 2,291982423 0,906426659 2-årig obligation 1,009637768 0,8694066110-årig obligation -0,500059714 -0,197762187 10-årig obligation -0,190545228 -0,1640799Ejendom 0,713894355 0,282328899 Ejendom 0,32244905 0,27766328Sum for vægte 1 Sum for vægte 1Varians 0,558878476 Varians 0,59760004Middelværdi 1,413175164 Middelværdi 1,44399009Kovarians 0,571065076 Kovarians 0,57106508

Portefølje eksempelVægt i M 0,25Vægt i Y 0,75Gennemsnit 1,436286361Varians 0,585229331

Side 73 af 91

Standardafvigelse 0,765002831

  Aktier 2-årig obligation

10-årig obligation Ejendom

Andel af m

Forventet afkast Varians Std.afv.  

Portefølje 1 0,577248171 -1,721997098 2,193679039 -0,048930113 -70 3,601035144 74,619484 8,638257  

Portefølje 2 0,537231161 -1,536896833 2,025267685 -0,025602013 -65 3,446960498 64,668988 8,041703  

Portefølje 3 0,497214151 -1,351796569 1,856856331 -0,002273914 -60 3,292885851 55,43591 7,44553  

Portefølje 4 0,457197141 -1,166696304 1,688444977 0,021054186 -55 3,138811205 46,920251 6,849836  

Portefølje 5 0,417180131 -0,98159604 1,520033624 0,044382285 -50 2,984736558 39,122009 6,254759  

Portefølje 6 0,377163121 -0,796495775 1,35162227 0,067710385 -45 2,830661912 32,041186 5,660493  

Portefølje 7 0,337146111 -0,61139551 1,183210916 0,091038484 -40 2,676587265 25,677781 5,067325  

Portefølje 8 0,297129101 -0,426295246 1,014799562 0,114366584 -35 2,522512619 20,031795 4,475689  

Portefølje 9 0,257112091 -0,241194981 0,846388208 0,137694683 -30 2,368437972 15,103227 3,886287  

Portefølje 10 0,217095081 -0,056094717 0,677976854 0,161022782 -25 2,214363326 10,892076 3,300315  

Portefølje 11 0,177078071 0,129005548 0,5095655 0,184350882 -20 2,060288679 7,3983447 2,71999  

Portefølje 12 0,137061061 0,314105812 0,341154146 0,207678981 -15 1,906214033 4,6220311 2,149891  

Portefølje 13 0,097044051 0,499206077 0,172742792 0,231007081 -10 1,752139386 2,5631359 1,60098  

Portefølje 14 0,05702704 0,684306342 0,004331438 0,25433518 -5 1,59806474 1,2216588 1,105287  

Portefølje 15 0,01701003 0,869406606 -0,164079916 0,27766328 0 1,443990093 0,5976 0,773046  

Portefølje 16 -0,02300698 1,054506871 -0,33249127 0,300991379 5 1,289915447 0,6909595 0,83124  

Side 74 af 91

Portefølje 17 -0,06302399 1,239607135 -0,500902624 0,324319478 10 1,1358408 1,5017372 1,225454  

Portefølje 18 -0,103041 1,4247074 -0,669313978 0,347647578 15 0,981766154 3,0299332 1,74067  

Portefølje 19 -0,14305801 1,609807664 -0,837725332 0,370975677 20 0,827691507 5,2755475 2,296856  

Portefølje 20 -0,18307502 1,794907929 -1,006136686 0,394303777 25 0,673616861 8,2385799 2,870293  

Portefølje 21 -0,22309203 1,980008194 -1,17454804 0,417631876 30 0,519542214 11,919031 3,452395  

Portefølje 22 -0,26310904 2,165108458 -1,342959394 0,440959976 35 0,365467568 16,3169 4,039418  

Portefølje 23 -0,30312605 2,350208723 -1,511370748 0,464288075 40 0,211392921 21,432187 4,629491  

Portefølje 24 -0,34314306 2,535308987 -1,679782102 0,487616174 45 0,057318275 27,264892 5,221579  

                 

Solver optimering med kortsalgsmuligheder:

Kovariansmatricen:

  Aktier 2-årig obligation

10-årig obligation Ejendom

Aktier 89,83190807 0,183082018 3,774917222 3,6078803812-årig obligation 0,183082018 1,56792651 3,22880385 -0,66883826210-årig obligation 3,774917222 3,22880385 11,56155703 0,451220675Ejendom 3,607880381 -0,668838262 0,451220675 4,435979158

Gennemsnit:

Side 75 af 91

Aktier 3,1534213132-årig obligation 1,50575493510-årig obligation 2,026986927Ejendom 1,490383817

Vægte: Portefølje-egenskaber:Aktier 0,615938152 Varians 84,9221022-årig obligation -1,900958417 Stdafv 9,215318910-årig obligation 2,3565048 Forventet afkast 3,75Ejendom -0,071484535 Mål-afkast 3,75Sum 1

  Aktier 2-årig obligation

10-årig obligation Ejendom

Forventet afkast Std.afv  

Portefølje 1 -0,319071332 2,423964289 -1,578476504 0,473583547 0,15 4,8652159  Portefølje 2 -0,280112596 2,243759202 -1,414518716 0,45087211 0,3 4,2898452  Portefølje 3 -0,241153874 2,063554056 -1,250561149 0,428160967 0,45 3,7168801  Portefølje 4 -0,202195171 1,883348761 -1,086603503 0,405449912 0,6 3,1476337  Portefølje 5 -0,16323642 1,703143812 -0,922646047 0,382738655 0,75 2,5845644  Portefølje 6 -0,124277712 1,522938514 -0,75868842 0,360027591 0,9 2,0328115  

Side 76 af 91

Portefølje 7 -0,085318974 1,342733524 -0,594730923 0,337316373 1,05 1,5048743  Portefølje 8 -0,046360256 1,162518335 -0,430773346 0,314605267 1,2 1,0377595  Portefølje 9 -0,007401532 0,98232318 -0,266815788 0,29189414 1,35 0,754465  Portefølje 10 0,031557197 0,802118109 -0,102858233 0,269182926 1,5 0,8610834  Portefølje 11 0,07051593 0,621912999 0,061099296 0,246471774 1,65 1,2624129  Portefølje 12 0,109474658 0,441707873 0,225056829 0,22376064 1,8 1,7680164  Portefølje 13 0,148433393 0,261502821 0,389014349 0,201049436 1,95 2,3104226  Portefølje 14 0,187392124 0,081297684 0,552971902 0,178338291 2,1 2,8688321  Portefølje 15 0,226350862 -0,098907435 0,716929415 0,155627158 2,25 3,43545  Portefølje 16 0,265309613 -0,279112473 0,880886987 0,132915873 2,4 4,0067958  Portefølje 17 0,304268321 -0,45931765 1,04484494 0,110204835 2,55 4,5811002  Portefølje 18 0,343227061 -0,639522572 1,208801982 0,087493529 2,7 5,1573754  Portefølje 19 0,382185774 -0,81972778 1,372759575 0,064782432 2,85 5,7350273  Portefølje 20 0,421144527 -0,999932749 1,536717037 0,04071185 3 6,313678  Portefølje 21 0,460103272 -1,18137779 1,700674524 0,019359984 3,15 6,8930759  Portefølje 22 0,499061986 -1,360342952 1,864632111 -0,003351145 3,3 7,4730472  Portefølje 23 0,538020699 -1,540548097 2,028589701 -0,026062304 3,45 8,0534682  Portefølje 24 0,576979426 -1,720753404 2,192547281 -0,048773303 3,6 8,6342481  Portefølje 25 0,615938152 -1,900958417 2,3565048 -0,071484535 3,75 9,2153189  

Solver optimering uden kortsalgsmuligheder:

Kovariansmatricen

  Aktier 2-årig obligation

10-årig obligation Ejendom

Aktier 89,83190807 0,183082018 3,774917222 3,6078803812-årig obligation 0,183082018 1,56792651 3,22880385 -0,66883826210-årig obligation 3,774917222 3,22880385 11,56155703 0,451220675

Side 77 af 91

Ejendom 3,607880381 -0,668838262 0,451220675 4,435979158

GennemsnitAktier 3,1534213132-årig obligation 1,50575493510-årig obligation 2,026986927Ejendom 1,490383817

Vægte Portefølje-egenskaberAktier 0,996962706 Varians 89,3100132-årig obligation 0 Std.afv 9,450397510-årig obligation 0,003037294 Forventet afkast 3,15Ejendom 0 Mål-afkast 3,15Sum 1

  Aktier 2-årig obligation

10-årig obligation Ejendom Forventet afkast Std.afv.  

Portefølje 1 0 0,625600762 0 0,374399238 1,5 0,96028391  Portefølje 2 0,057529663 0,681981284 0,006446807 0,254042246 1,6 1,11088229  Portefølje 3 0,083502167 0,561844599 0,1157518 0,238901434 1,7 1,42438245  Portefølje 4 0,10947466 0,441707899 0,22505682 0,223760621 1,8 1,76801644  Portefølje 5 0,135447146 0,321571163 0,334361848 0,208619843 1,9 2,12723052  

Side 78 af 91

Portefølje 6 0,161419636 0,201434434 0,443666866 0,193479064 2 2,49530521  Portefølje 7 0,187392127 0,081297774 0,552971859 0,17833824 2,1 2,86883203  Portefølje 8 0,217417433 0 0,648603871 0,133078696 2,2 3,24701107  Portefølje 9 0,255926102 0 0,715615469 0,028458429 2,3 3,64167541  Portefølje 10 0,331144963 0 0,668855037 0 2,4 4,08597035  Portefølje 11 0,419920662 0 0,680079338 0 2,5 4,64432752  Portefølje 12 0,508696361 0 0,491303639 0 2,6 5,28427755  Portefølje 13 0,59747206 0 0,40252794 0 2,7 5,97968118  Portefølje 14 0,686247759 0 0,313752241 0 2,8 6,71332791  Portefølje 15 0,775023458 0 0,224976542 0 2,9 7,47396434  Portefølje 16 0,863799157 0 0,136200843 0 3 8,25413235  Portefølje 17 0,952575744 0 0,047424256 0 3,1 9,04878945  Portefølje 18 0,996962706 0 0,003037294 0 3,15 9,4503975               

Side 79 af 91

Bilag 8: Beregningerne i Excel uden fast ejendom:

Side 80 af 91

Kovariansmatrice

  Aktier 2-årig obligation

10-årig obligation

Aktier 89,83190807 0,183082018 3,7749172222-årig obligation 0,183082018 1,56792651 3,2288038510-årig obligation 3,774917222 3,22880385 11,56155703

Gennemsnit Gennemsnit og 1 taller Aktier 3,153421313 3,153421313 12-årig obligation 1,505754935 1,505754935 110-årig obligation 2,026986927 2,026986927 1

Auxiliary matrix A1,839010267 1,2606237111,260623711 0,896052127

Mål-afkast vektorMål-afkast 0,5En 1

Portefølje vægtene Porteføjle egenskaberAktier -0,208492735 Varians 13,674882-årig obligation 2,478998911 Gns 0,510-årig obligation -1,270506177 Std.afv. 3,697956Sum 1

Risikofri rente: 0,985

  Aktier 2-årig obligation

10-årig obligation Varians

Forventet afkast 1 Std.afv. RTVR CML

  0 0,985Portefølje 1 -0,296917465 2,959390266 -1,6624728 25,23963944 0,15 1 5,0239068 -0,16621 3,336376Portefølje 2 -0,259021152 2,753508257 -1,494487104 19,82518364 0,3 1 4,452548 -0,15384 3,068959Portefølje 3 -0,221124839 2,547626248 -1,326501409 15,09792044 0,45 1 3,8856043 -0,13769 2,803608Portefølje 4 -0,183228526 2,341744239 -1,158515713 11,05784983 0,6 1 3,3253345 -0,11578 2,541381Portefølje 5 -0,145332213 2,13586223 -0,990530017 7,704971828 0,75 1 2,7757831 -0,08466 2,28417Portefølje 6 -0,107435899 1,929980221 -0,822544322 5,03928642 0,9 1 2,2448355 -0,03786 2,035667Portefølje 7 -0,069539586 1,724098212 -0,654558626 3,060793609 1,05 1 1,7495124 0,037153 1,803837Portefølje 8 -0,031643273 1,518216203 -0,48657293 1,769493395 1,2 1 1,3302231 0,161627 1,607594Portefølje 9 0,00625304 1,312334194 -0,318587235 1,165385779 1,35 1 1,0795304 0,33811 1,490261Portefølje 10 0,044149354 1,106452185 -0,150601539 1,248470761 1,5 1 1,1173499 0,460912 1,507962Portefølje 11 0,082045667 0,900570176 0,017384157 2,01874834 1,65 1 1,4208266 0,468037 1,65Portefølje 12 0,11994198 0,694688168 0,185369852 3,476218516 1,8 1 1,864462 0,437123 1,857638Portefølje 13 0,157838293 0,488806159 0,353355548 5,62088129 1,95 1 2,3708398 0,407029 2,094642Portefølje 14 0,195734607 0,28292415 0,521341244 8,452736662 2,1 1 2,9073591 0,38351 2,345753Portefølje 15 0,23363092 0,077042141 0,689326939 11,97178463 2,25 1 3,4600267 0,365604 2,604422Portefølje 16 0,271527233 -0,128839868 0,857312635 16,1780252 2,4 1 4,0221916 0,351798 2,867536Portefølje 17 0,309423546 -0,334721877 1,025298331 21,07145836 2,55 1 4,5903658 0,340931 3,133463

Side 81 af 91

Portefølje 18 0,34731986 -0,540603886 1,193284026 26,65208412 2,7 1 5,1625657 0,332199 3,401274Portefølje 19 0,385216173 -0,746485895 1,361269722 32,91990248 2,85 1 5,7375868 0,32505 3,670405Portefølje 20 0,423112486 -0,952367904 1,529255418 39,87491344 3 1 6,3146586 0,319099 3,940496Portefølje 21 0,461008799 -1,158249913 1,697241113 47,51711699 3,15 1 6,8932661 0,314075 4,211306Portefølje 22 0,498905112 -1,364131922 1,865226809 55,84651314 3,3 1 7,4730525 0,30978 4,482668Portefølje 23 0,536801426 -1,570013931 2,033212505 64,86310189 3,45 1 8,0537632 0,306068 4,754462Portefølje 24 0,574697739 -1,775895939 2,2011982 74,56688324 3,6 1 8,6352118 0,30283 5,026602Portefølje 25 0,612594052 -1,981777948 2,369183896 84,95785718 3,75 1 9,2172587 0,299981 5,299022

Black optimering med kortsalgsmuligheder:

Kovariansmatricen

  Aktier 2-årig obligation

10-årig obligation

Aktier 89,83190807 0,183082018 3,774917222

2-årig obligation 0,183082018 1,56792651 3,22880385

10-årig obligation 3,774917222 3,22880385 11,56155703

Gennemsnit Konstant Gns minus konstant

Aktier 3,153421313 0,75 2,403421313

2-årig obligation 1,505754935   0,755754935Side 82 af 91

10-årig obligation 2,026986927   1,276986927

Portefølje vægte

Portefølje M Z Vægte Portefølje Y Z Vægte

Aktier 0,042537206 0,033742984 Aktier 0,0286802 0,0487274

2-årig obligation 1,466089758 1,162987611 2-årig obligation 0,636601754 1,08158069

10-årig obligation -0,248003254 -0,196730596 10-årig obligation -0,076697338 -0,1303081

Sum for vægte 1 Sum for vægte 1

Varians 1,157212753 Varians 1,30503019

Middelværdi 1,458809835 Middelværdi 1,51812069

Kovarians 1,204261573 Kovarians 1,20426157

Portefølje eksempel

Vægt i M 0,25

Vægt i Y 0,75

Gennemsnit 1,503292978

Varians 1,258003368

Side 83 af 91

Standardafvigelse 1,121607493

  Aktier 2-årig obligation

10-årig obligation Andel af m Forventet afkast Varians Std.afv.  

Portefølje 1 0,498259969 -1,360627002 1,862367034 -30 3,297446412 55,69896437 7,46317388  Portefølje 2 0,468291131 -1,197813156 1,729522025 -28 3,178824697 49,06439346 7,00459802  Portefølje 3 0,438322293 -1,03499931 1,596677017 -26 3,060202982 42,85958093 6,54672292  Portefølje 4 0,408353455 -0,872185464 1,463832009 -24 2,941581268 37,08452678 6,08970663  Portefølje 5 0,378384618 -0,709371618 1,330987 -22 2,822959553 31,739231 5,63375816  Portefølje 6 0,34841578 -0,546557772 1,198141992 -20 2,704337838 26,8236936 5,17915955  Portefølje 7 0,318446942 -0,383743926 1,065296984 -18 2,585716124 22,33791457 4,7263003  Portefølje 8 0,288478105 -0,22093008 0,932451975 -16 2,467094409 18,28189391 4,27573314  Portefølje 9 0,258509267 -0,058116234 0,799606967 -14 2,348472695 14,65563164 3,82826745  Portefølje 10 0,228540429 0,104697612 0,666761958 -12 2,22985098 11,45912773 3,38513334  Portefølje 11 0,198571592 0,267511458 0,53391695 -10 2,111229265 8,692382204 2,94828462  Portefølje 12 0,168602754 0,430325304 0,401071942 -8 1,992607551 6,355395051 2,52099089  Portefølje 13 0,138633916 0,59313915 0,268226933 -6 1,873985836 4,448166273 2,10906763  Portefølje 14 0,108665079 0,755952996 0,135381925 -4 1,755364122 2,97069587 1,72357067  Portefølje 15 0,078696241 0,918766842 0,002536917 -2 1,636742407 1,922983842 1,38671693  Portefølje 16 0,048727403 1,081580688 -0,130308092 0 1,518120692 1,305030189 1,14237918  Portefølje 17 0,018758566 1,244394534 -0,2631531 2 1,399498978 1,116834911 1,0568041  Portefølje 18 -0,011210272 1,40720838 -0,395998108 4 1,280877263 1,358398009 1,16550333  Portefølje 19 -0,04117911 1,570022226 -0,528843117 6 1,162255549 2,029719481 1,42468224  Portefølje 20 -0,071147948 1,732836073 -0,661688125 8 1,043633834 3,130799329 1,76940649  Portefølje 21 -0,101116785 1,895649919 -0,794533133 10 0,925012119 4,661637552 2,15908257  Portefølje 22 -0,131085623 2,058463765 -0,927378142 12 0,806390405 6,62223415 2,57337019  Portefølje 23 -0,161054461 2,221277611 -1,06022315 14 0,68776869 9,012589123 3,00209745  Portefølje 24 -0,191023298 2,384091457 -1,193068158 16 0,569146975 11,83270247 3,43986954  Portefølje 25 -0,220992136 2,546905303 -1,325913167 18 0,450525261 15,08257419 3,883629  

Side 84 af 91

Solver optimering med kortsalgsmuligheder:

Kovariansmatrice:

  Aktier 2-årig obligation

10-årig obligation

Aktier 89,83190807 0,183082018 3,7749172222-årig obligation 0,183082018 1,56792651 3,2288038510-årig obligation 3,774917222 3,22880385 11,56155703

Gennemsnit:Aktier 3,1534213132-årig obligation 1,50575493510-årig obligation 2,026986927

Vægte: Portefølje-egenskaber:Aktier 0,612594162 Varians 84,957862-årig obligation -1,981777761 Std.afv. 9,21725910-årig obligation 2,369183599 Forventet afkast 3,75Sum 1 Mål-afkast 3,75

Side 85 af 91

  Aktier 2-årig obligation

10-årig obligation

Forventet afkast Std.afv.

Portefølje 1 -0,296917512 2,959390115 -1,662472603 0,15 5,023907Portefølje 2 -0,25902119 2,753508145 -1,494486955 0,3 4,452548Portefølje 3 -0,221124872 2,547626125 -1,326501252 0,45 3,885604Portefølje 4 -0,183228553 2,341744129 -1,158515576 0,6 3,325334Portefølje 5 -0,145332235 2,135862145 -0,99052991 0,75 2,775783Portefølje 6 -0,107435915 1,929980148 -0,822544233 0,9 2,244835Portefølje 7 -0,069519594 1,724098143 -0,654558549 1,05 1,749512Portefølje 8 -0,031643275 1,518216159 -0,486572885 1,2 1,330223Portefølje 9 0,006251043 1,312334161 -0,318587204 1,35 1,07953Portefølje 10 0,044149362 1,106452165 -0,150601528 1,5 1,11735Portefølje 11 0,082045684 0,900570162 0,017384154 1,65 1,420827Portefølje 12 0,119942003 0,694688167 0,18536983 1,8 1,864462Portefølje 13 0,157838321 0,4880618 0,353355499 1,95 2,37084Portefølje 14 0,195734641 0,282924185 0,521341174 2,1 2,907359Portefølje 15 0,233630962 0,077042181 0,689326857 2,25 3,460027Portefølje 16 0,271527282 -0,1288398 0,857312518 2,4 4,022192Portefølje 17 0,309423601 -0,334721809 1,025298208 2,55 4,590366Portefølje 18 0,347319921 -0,540603804 1,193283884 2,7 5,162566Portefølje 19 0,385216243 -0,746485795 1,361269552 2,85 5,737587Portefølje 20 0,42311256 -0,952367795 1,529255235 3 6,314659Portefølje 21 0,46100888 -0,15824979 1,697240911 3,15 6,893266Portefølje 22 0,498905201 -1,364131781 1,86522658 3,3 7,473053Portefølje 23 0,536801523 -1,570013771 2,033212248 3,45 8,053763Portefølje 24 0,574697837 -1,775895754 2,201197917 3,6 8,635212Portefølje 25 0,612594162 -1,981777761 2,369183599 3,75 9,217259

Side 86 af 91

Solver optimering uden kortsalgsmuligheder:

Kovariansmatrice:

  Aktier 2-årig obligation

10-årig obligation

Aktier 89,83190807 0,183082018 3,7749172222-årig obligation 0,183082018 1,56792651 3,2288038510-årig obligation 3,774917222 3,22880385 11,56155703

Gennemsnit:Aktier 3,1534213132-årig obligation 1,50575493510-årig obligation 2,026986927

Vægte: Portefølje-egenskaber:Aktier 0,996962706 Varians 89,3100132-årig obligation 0 Std.afv. 9,450397510-årig obligation 0,003037294 Forventet afkast 3,15Sum 1 Mål-afkast 3,15

Side 87 af 91

  Aktier 2-årig obligation

10-årig obligation

Forventet afkast Std.afv.

Portefølje 1 0,00257641 0,99742359 0 1,51 1,2495579Portefølje 2 0,057199726 0,942800274 0 1,6 1,3066544Portefølje 3 0,094677784 0,831942863 0,073379353 1,7 1,5582737Portefølje 4 0,119942001 0,694688179 0,18536982 1,8 1,864462Portefølje 5 0,145206212 0,557433524 0,297360264 1,9 2,197644Portefølje 6 0,170470426 0,42017886 0,409350714 2 2,5472492Portefølje 7 0,19573464 0,282924189 0,521341171 2,1 2,9073591Portefølje 8 0,220998852 0,145669534 0,633331614 2,2 3,2745098Portefølje 9 0,246263066 0,008414861 0,745322073 2,3 3,6465752Portefølje 10 0,331144963 0 0,668855037 2,4 4,0859703Portefølje 11 0,419920662 0 0,580079338 2,5 4,6443275Portefølje 12 0,508697249 0 0,491302751 2,6 5,2842843Portefølje 13 0,59747206 0 0,40252794 2,7 5,9796812Portefølje 14 0,686247759 0 0,313752241 2,8 6,7133279Portefølje 15 0,775024346 0 0,224975654 2,9 7,4739721Portefølje 16 0,863799157 0 0,136200843 3 8,2541324Portefølje 17 0,952574856 0 0,047425144 3,1 9,0487814Portefølje 18 0,996962706 0 0,003037294 3,15 9,4503975           

Side 88 af 91

Bilag 9: De efficiente rande:

De efficiente rande beregnet ud fra Black:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Black uden ejendomBlack med ejendom

Standardafvigelse

Forv

ente

t afk

ast

De efficiente rande beregnet vha. Solver (med kortsalgsmuligheder):

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Solver med kortsalg uden ejendomSolver med kortsalg med ejendom

Standardafvigelse

Forv

ente

t afk

ast

Side 0 af 91

Bilag 10: Sammenligning af de efficiente rande for modellerne:

De efficiente rande uden fast ejendom:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Lagrange uden ejendomBlack uden ejendomSolver uden ejendom

Standardafvigelse

Forv

ente

t afk

ast

De efficiente rande med fast ejendom:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Lagrange med ejendomBlack med ejendomSolver med ejendom

Standardafvigelse

Forv

ente

t afk

ast

Bilag 11: CD-rom.

Side 1 af 91