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8/3/2019 P.V.Tytarenko and V.I.Zhdanov- The existence and stability of relativistic shock waves: general criteria and numeric

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Condensed Matter Physics, 1998, Vol. 1, No. 3(15), p. 643654

The existence and stability of

relativistic shock waves: generalcriteria and numerical simulations for a

non-convex equation of state

P.V.Tytarenko, V.I.Zhdanov

Astronomical Observatory of Kyiv Schevchenko University3 Observatorna St., Kyiv53, UA-254053, Ukraine

January 30, 1998

A small viscosity approach to discontinuous flows is discussed in relativis-

tic hydrodynamics with a general (possibly, non-convex) equation of statethat typically occurs in the domains of phase transitions. Different forms of

criteria for the existence and stability of relativistic shock waves, such asevolutionarity conditions, entropy criterion and corrugation stability condi-tions are compared with the requirement of the existence of shock viscousprofile. The latter is shown to be most restrictive in case of a single-valued

shock adiabat expressed as a function of pressure. One-dimensional nu-merical simulations with artificial viscosity for a simple piecewise-linear

equation of state are carried out to illustrate the criteria in the case of pla-nar and spherical shock waves. The effect of a phase transition domain on

the shock amplitude in the process of a hydrodynamical spherical collapseis demonstrated.

Key words: relativistic hydrodynamics, shock waves, anomalous equation

of state, instabilities, numerical methods

PACS: 95.30.Lz, 95.30.Qd

1. Introduction

A n u m b e r o f a p p l i c a t i o n s o f r e l a t i v i s t i c h y d r o d y n a m i c s d e a l w i t h s h o c k w a v e

p r o p a g a t i o n i n a m a t t e r a t e x t r e m e l y h i g h d e n s i t i e s . T h i s p r o b l e m s c o n c e r n , e . g . ,

t h e r e l a t i v i s t i c s t e l l a r c o l l a p s e , t h e t h e o r y o f e a r l y U n i v e r s e , h y d r o d y n a m i c a l m o d -

e l s o f e l e m e n t a r y p a r t i c l e p r o d u c t i o n i n n u c l e u s - n u c l e u s c o l l i s i o n s . S u c h a c o n s i d -

e r a t i o n u s u a l l y r e q u i r e s t a k i n g i n t o a c c o u n t v a r i o u s p h a s e t r a n s i t i o n s t h a t m a y

o c c u r i n a s u p e r - d e n s e m a t t e r u n d e r a p p r o p r i a t e c o n d i t i o n s . T h e d o m a i n o f p h a s e

t r a n s i t i o n s t y p i c a l l y h a s e s s e n t i a l p e c u l i a r i t i e s f r o m t h e v i e w p o i n t o f h y d r o d y n a m -

i c s b e c a u s e o f t h e p o s s i b l e n o n - c o n v e x i t y o f t h e e q u a t i o n o f s t a t e . N a m e l y , t h i s

c

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r e q u i r e s s p e c i a l a t t e n t i o n t o t h e e x i s t e n c e a n d s t a b i l i t y p r o p e r t i e s o f d i s c o n t i n u o u s

s o l u t i o n s 1 , 2 ] . T h e m a i n p r o b l e m i s t h a t s t a n d a r d e q u a t i o n s f o r a n i d e a l u i d

o w w i t h t h e g e n e r a l e q u a t i o n o f s t a t e d o n o t r e s t r i c t p r o p e r l y t h e d i s c o n t i n u o u s

s o l u t i o n s a n d t h e q u e s t i o n i s h o w t o d i s t i n g u i s h t h e p h y s i c a l s o l u t i o n s o b t a i n e d

e i t h e r b y a n a l y t i c a l o r n u m e r i c a l a l g o r i t h m s f r o m t h o s e t h a t c a n n o t b e r e a l i z e d i n

n a t u r e . T h i s p r o b l e m i s w e l l k n o w n i n c l a s s i c a l h y d r o d y n a m i c s 1 , 2 ] a n d n e e d s t o

b e i n v e s t i g a t e d i n a r e l a t i v i s t i c c a s e .

T h e e q u a t i o n s f o r a u i d o w o f r e l a t i v i s t i c h y d r o d y n a m i c s a r e d e n e d b y c o n -

s e r v a t i o n l a w s f o r e n e r g y - m o m e n t u m a n d b a r y o n i c c h a r g e ( o r a n o t h e r c o n s e r v e d

c h a r g e ) c o m b i n e d w i t h t h e e q u a t i o n o f s t a t e . H o w e v e r , i n t h e p r e s e n c e o f d i s -

c o n t i n u i t i e s ( s h o c k w a v e s ) t h e s e e q u a t i o n s m u s t b e c o m p l e m e n t e d b y a d d i t i o n a l

r e s t r i c t i o n s i n o r d e r t o d e n e c o r r e c t l y a g e n e r a l i z e d s o l u t i o n a n d t o p r o v i d e i t s

u n i q u e n e s s . O t h e r w i s e , t h e r e m a y b e d i e r e n t s o l u t i o n s s a t i s f y i n g t h e s a m e d i s c o n -

t i n u o u s i n i t i a l d a t a . T h i s s i t u a t i o n i s t y p i c a l o f t h e q u a s i l i n e a r e q u a t i o n s t h e o r y

1 , 2 ] . T h e c r i t e r i a f o r t h e e x i s t e n c e o f a v i s c o u s p r o l e ( E V P ) , e n t r o p y c r i t e r i o n

( E n C ) a n d e v o l u t i o n a r i t y c r i t e r i o n ( E v C ) m a y b e c o n s i d e r e d a s t h e m o s t f a m o u s

e x a m p l e s o f t h e a b o v e r e s t r i c t i o n s 1 { 3 ] . E V P s e l e c t s t h e d i s c o n t i n u o u s s o l u t i o n s

t h a t c a n b e o b t a i n e d f r o m c o n t i n u o u s s o l u t i o n s o f h y d r o d y n a m i c a l e q u a t i o n s w i t h

a n o n - z e r o v i s c o s i t y i n t h e s m a l l - v i s c o s i t y l i m i t . T h e p h y s i c a l b a c k g r o u n d o f t h i s

a p p r o a c h i n v o l v e s a d i s c u s s i o n o f v a l i d i t y o f a v i s c o u s h y d r o d y n a m i c s a p p r o x i -

m a t i o n t o d e s c r i b e t h e s h o c k w a v e s t r u c t u r e . T h i s a p p r o x i m a t i o n i s n o t a l w a y s

p h y s i c a l l y a d m i s s i b l e a n d t h i s d i m i n i s h e s t h e r o l e o f a n E V P c r i t e r i o n . N e v e r t h e -

l e s s , a s m a l l v i s c o s i t y m o d e l i s p h y s i c a l l y w e l l u n d e r s t a n d a b l e a n d m a y b e u s e f u l

i n p h e n o m e n o l o g i c a l s c h e m e s o f r e l a t i v i s t i c h y d r o d y n a m i c s ( s e e , e . g . , 4 , 5 ] ) d e a l i n g

w i t h a s u p e r d e n s e m a t t e r , w h e r e i n v e s t i g a t i o n o f t h e s h o c k s t r u c t u r e a t a m i c r o -

l e v e l i s r a t h e r c o m p l i c a t e d . E n C p r o h i b i t s u n p h y s i c a l s h o c k s w i t h t h e d e c r e a s i n g

e n t r o p y . I n m a n y c a s e s i t i s t h e o n l y c r i t e r i o n t h a t m a y b e t a k e n i n t o a c c o u n t , b u t

i n t h e c a s e o f a n o n - c o n v e x e q u a t i o n o f s t a t e i t i s n o t s u c i e n t 1 , 2 ] . E v C m a y

b e c o n s i d e r e d a s a g e n e r a l r e q u i r e m e n t t h a t p r o v i d e s a c o r r e c t c o n s t r u c t i o n o f t h e

s o l u t i o n b y t h e d e t e r m i n a t i o n o f h y d r o d y n a m i c a l p a r a m e t e r s o n t h e s h o c k 3 ] . T h e

s o l u t i o n s t h a t d o n o t s a t i s f y t h e s e r e q u i r e m e n t s a r e c o n s i d e r e d t o b e u n p h y s i c a l

a n d m u s t b e r e j e c t e d o n a f o r m a l l e v e l 1 { 3 ] . A n i m p o r t a n t p r a c t i c a l q u e s t i o n c o n -

c e r n s t h e v a l i d i t y o f n u m e r i c a l a l g o r i t h m s a n d t h e i r c o r r e s p o n d e n c e t o t h e a b o v e

c r i t e r i a .

A n o t h e r s e t o f c r i t e r i a c o n c e r n s t h e s t a b i l i t y o f s h o c k w a v e s . A c c o r d i n g t o

t h e g e n e r a l n o t i o n o f s t a b i l i t y t h e s e c r i t e r i a d o n o t p r o h i b i t ( m a t h e m a t i c a l l y ) t h e

e x i s t e n c e o f c e r t a i n s o l u t i o n s . H o w e v e r , t h e y s h o w t h a t s o m e s o l u t i o n s a r e d e -

s t r o y e d w i t h t i m e b y e x p o n e n t i a l l y g r o w i n g s m a l l p e r t u r b a t i o n s a n d , t h e r e f o r e ,

t h e y c a n n o t b e r e a l i z e d i n n a t u r e . T h e c o r r u g a t i o n s t a b i l i t y c r i t e r i o n 6 , 7 ] e x a m -

i n e s s u c h p e r t u r b a t i o n s o f h y d r o d y n a m i c a l q u a n t i t i e s i n a c o n t i n u o u s o w a n d

t h r e e - d i m e n s i o n a l d e f o r m a t i o n s o f t h e d i s c o n t i n u i t y f r o n t i t s e l f .

I n c l a s s i c a l h y d r o d y n a m i c s m u c h a t t e n t i o n h a s b e e n p a i d t o c o m p a r e d i e r e n t

c r i t e r i a f o r t h e e x i s t e n c e a n d s t a b i l i t y o f s h o c k w a v e s . T h e a i m o f t h i s p a p e r i s t o

o u t l i n e s o m e r e s u l t s c o n c e r n i n g s u c h a c o m p a r i s o n i n r e l a t i v i s t i c h y d r o d y n a m i c s .

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Relativistic shock waves

T h e p l a n o f t h e p a p e r i s a s f o l l o w s . I n s e c t i o n 2 w e r e v i e w t h e c o n d i t i o n s f o r E V P

o f r e l a t i v i s i c s h o c k w a v e s w i t h s o m e g e n e r a l i z a t i o n t h a t a l l o w s o n e t o c o m p a r e

d i e r e n t t y p e s o f v i s c o s i t y . I n s e c t i o n 3 t h e E V P i s c o m p a r e d w i t h t h e c o r r u g a t i o n

s t a b i l i t y c o n d i t i o n s . S e c t i o n 4 d e a l s w i t h n u m e r i c a l s i m u l a t i o n s o f t h e s h o c k s i n

t h e c a s e o f p l a n e a n d s p h e r i c a l s y m m e t r y f o r a s i m p l e p i e c e w i s e - l i n e a r e q u a t i o n

o f s t a t e t h a t m o d e l s a p h a s e t r a n s i t i o n . W e c o m p a r e t h e n u m e r i c a l a n d a n a l y t i c a l

r e s u l t s i n a p l a n e c a s e a n d s t u d y s o m e q u a l i t a t i v e e e c t s d u e t o t h e d o m a i n o f

p h a s e t r a n s i t i o n i n a s p h e r i c a l c o l l a p s e . S e c t i o n 5 s u m m a r i s e s t h e r e s u l t s o f t h e

p a p e r .

2. Existence of a viscous profile of a shock wave

A d e t a i l e d i n v e s t i g a t i o n o f t h e E V P c r i t e r i o n f o r r e l a t i v i s t i c s h o c k s i n a n i d e a l

u i d w i t h a g e n e r a l e q u a t i o n o f s t a t e h a s b e e n c a r r i e d o u t i n 4 , 5 ] . I t i s i m p o r t a n t

t o n o t e t h a t t h e r e s u l t s o f 4 , 5 ] d o n o t u s e s u p p o s i t i o n a b o u t t h e c o n v e x i t y o f

P o i s s o n a d i a b a t s , t h a t i s o n e o f t h e B e t h e { W e y l c o n d i t i o n s ( s e e , e . g . , 1 ] ) f o r a

n o r m a l m e d i u m . I n t h i s s e c t i o n w e r e c o n s i d e r s o m e o f t h e s e r e s u l t s i n o r d e r t o

c o m p a r e t h e m w i t h t h e s t a b i l i t y c r i t e r i a a n d w i t h n u m e r i c a l a l g o r i t h m s i n v o l v i n g

t h e N e u m a n n { R i c h t m y e r a r t i c i a l v i s c o s i t y .

T h e e q u a t i o n s o f m o t i o n o f a n i d e a l r e l a t i v i s t i c u i d c a n b e w r i t t e n a s c o n s e r -

v a t i o n e q u a t i o n s o f t h e e n e r g y - m o m e n t u m t e n s o r 3 ]

T

= ( " + p ) u

u

? p g

; ( 1 )

w h e r e u

i s 4 - v e l o c i t y o f t h e u i d , f g

g = d i a g ( 1 ; ? 1 ; ? 1 ; ? 1 ) , p i s p r e s s u r e a n d

" i s t h e p r o p e r e n e r g y d e n s i t y . T h e p r e s s u r e i s r e l a t e d t o " a n d t o t h e b a r y o n

n u m b e r d e n s i t y n ( o r d e n s i t y o f s o m e o t h e r c o n s e r v e d c h a r g e ) b y a s u c i e n t l y

s m o o t h e q u a t i o n o f s t a t e p = p ( " ; V ) , V = 1 = n b e i n g t h e s p e c i c v o l u m e .

T h e c o n s e r v a t i o n e q u a t i o n s f o r T

m u s t b e c o m p l e m e n t e d b y c o n s e r v a t i o n

e q u a t i o n s f o r t h e b a r y o n i c c h a r g e

@

( n u

) = 0 : ( 2 )

I n a d i s c o n t i n u o u s o w t h e h y d r o d y n a m i c q u a n t i t i e s o n b o t h s i d e s o f t h e s h o c k

a r e r e l a t e d t h r o u g h t h e i n t e g r a l f o r m o f c o n s e r v a t i o n l a w s . H o w e v e r , r e l a t i o n s o n

t h e d i s c o n t i n u i t i e s m u s t b e c o m p l e m e n t e d b y c e r t a i n r e s t r i c t i o n s t h a t a r e n e c e s s a r y

t o p r o v i d e t h e u n i q u e n e s s o f d i s c o n t i n u o u s s o l u t i o n s 1 , 2 ] . T h e s e r e s t r i c t i o n s m a y

b e o b t a i n e d b y a n a l y z i n g t h e s t r u c t u r e o f a s h o c k t r a n s i t i o n i n t h e p r e s e n c e o f s m a l l

d i s s i p a t i v e e e c t s , s u c h a s v i s c o s i t y . I n t h e p r e s e n c e o f v i s c o s i t y t h e c o n s e r v a t i o n

e q u a t i o n f o r T

m u s t b e r e p l a c e d b y

@

( T

+

) = 0 , ( 3 )

w h e r e

= R

v i s c

,

645


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v i s c

= ( u

;

+ u

;

? u

u

u

;

? u

u

u

;

) +

?

2

3

@ u

@ x

( g

? u

u

) , ( 4 )

i s t h e L a n d a u { L i f s h i t s r e l a t i v i s t i c v i s c o s i t y t e n s o r 3 ] ; a n d t h e m u l t i p l y e r R , t h a t

m a k e s e q u a t i o n ( 3 ) s o m e w h a t d i e r e n t f r o m t h a t u s e d i n 4 , 5 ] , m a y b e a n y p o s i t i v e

f u n c t i o n o f o w p a r a m e t e r s t o b e s p e c i e d l a t e r .

U n d e r t h e g i v e n e q u a t i o n o f s t a t e a n d a p p r o p r i a t e i n i t i a l c o n d i t i o n s , e q u a t i o n s

( 2 ) a n d ( 3 ) d e n e s o l u t i o n s f o r t h e v i s c o u s u i d d y n a m i c s . T o o b t a i n t h e d i s c o n t i n -

u o u s i d e a l u i d m o t i o n w e s u p p o s e t h a t s o m e l i m i t o f s u c h a d i s s i p a t i v e s o l u t i o n

e x i s t s f o r ! 0 , ! 0 . T h i s l i m i t i s c o n s i d e r e d a s a g e n e r a l i z e d s o l u t i o n o f t h e

c o n s e r v a t i o n e q u a t i o n s f o r a n i d e a l u i d . T h i s i s o n e o f a n u m b e r o f p o s s i b l e m e t h -

o d s t o d e n e d i s c o n t i n u o u s s o l u t i o n s ; t h e r e m a y b e , e . g . , o t h e r d i s s i p a t i v e e e c t s

b e s i d e s v i s c o s i t y ; o n e m a y a l s o u s e d i e r e n t d e n i t i o n s o f a g e n e r a l i z e d s o l u t i o n

o f h y d r o d y n a m i c e q u a t i o n s o f m o t i o n 3 ] . H o w e v e r , t h e a p p r o a c h b a s e d o n t h e

v i s c o s i t y t e n s o r 3 ] a p p e a r s t o b e t h e s i m p l e s t a n d p h y s i c a l l y w e l l u n d e r s t a n d a b l e .

I t i s s u c i e n t t o o b t a i n a c o n t i n u o u s p r o l e o f t h e s h o c k , t h e r e s u l t i n g r e s t r i c t i o n s

b e i n g m o r e s t r i n g e n t , e . g . , t h a n t h e e v o l u t i o n a r i t y c o n d i t i o n s .

T h u s , w e e x p e c t t h a t i n t h e l i m i t o f s m a l l v i s c o s i t y t h e s o l u t i o n s o f h y d r o d y -

n a m i c a l e q u a t i o n s y i e l d d i s c o n t i n u o u s o w s d e s c r i b i n g s h o c k w a v e s . I n t h e c a s e o f

a n o n z e r o v i s c o s i t y t h e s t a t i o n a r y s h o c k w a v e p r o p a g a t i n g i n a s p a c e - l i k e d i r e c t i o n

l

i s l o c a l l y r e p r e s e n t e d i n a p r o p e r f r a m e b y a s t a t i o n a r y v i s c o u s o w d e p e n d i n g

u p o n t h e o n l y v a r i a b l e x = x

l

. W e c h o o s e t h e c o o r d i n a t e s i n s u c h a w a y t h a t

f l

g = f 0 ; 1 ; 0 ; 0 g , x = x

1

. F u r t h e r , w i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y , o n e m a y a l s o p u t

u

2

u

3

0 d u e t o t h e c h o i c e o f t h e r e f e r e n c e f r a m e .

T h e e q u a t i o n s ( 1 ) , ( 2 ) y i e l d

T

1

+

1

= T

1

0

= c o n s t , ( 5 )

n u

1

= j = c o n s t ; ( 6 )

w h e r e j = n

0

u

1

0

a n d T

1

0

a r e a s y m p t o t i c q u a n t i t i e s e i t h e r f o r x ! 1 o r f o r x ! ? 1 .

H e r e w e a s s u m e t h a t f o r x ! ? 1 , a l l t h e q u a n t i t i e s t e n d t o s o m e c o n s t a n t v a l u e s

m a r k e d b y \ 0 " ( t h e s t a t e a h e a d o f t h e s h o c k ) a n d f o r x ! 1 , t h e q u a n t i t i e s

t e n d t o c o n s t a n t v a l u e s m a r k e d b y \ 1 " ( b e h i n d t h e s h o c k ) . B e c a u s e

! 0 f o r

x ! 1 , t h e s o l u t i o n o f e q u a t i o n s ( 5 ) , ( 6 ) ( i f i t e x i s t s ) s a t i s e s t h e c o n s e r v a t i o n

r e l a t i o n s t h a t c o n n e c t h y d r o d y n a m i c a l q u a n t i t i e s o n t h e b o t h s i d e s o f t h e s h o c k .

H o w e v e r , t h e r e a r i s e s t h e q u e s t i o n w h e t h e r t h e r e i s a c o n t i n u o u s o n e - d i m e n -

s i o n a l o w r e p r e s e n t e d b y t h e s o l u t i o n o f ( 5 ) , ( 6 ) t h a t s a t i s e s t h e b o t h a b o v e

a s y m p t o t i c s f o r x

! 1a n d x

! ? 1. T h e e x i s t e n c e c o n d i t i o n s f o r a c o n t i n u o u s

s o l u t i o n o f t h i s b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m a r e t h e n i n t e r p r e t e d a s a d m i s s i b i l i t y c o n -

d i t i o n s f o r s h o c k t r a n s i t i o n u

( 0 )

; V

0

; p

0

! u

( 1 )

; V

1

; p

1

w i t h t h e c o r r e s p o n d i n g s t a t e s

s a t i s f y i n g t h e r e l a t i o n s o n t h e s h o c k w a v e .

E q u a t i o n s ( 5 ) , ( 6 ) c a n b e r e d u c e d , a n a l o g o u s l y t o 4 , 5 ] , t o t h e r s t o r d e r o r d i -

n a r y d i e r e n t i a l e q u a t i o n

R

+

4

3

u

1

( 0 )

V

0

d V

d x

= p ( V ; e" ( V ) ) ? ep ( V ) , ( 7 )

646


5/12


w h e r e

ep ( V ) =

n

1 + ( u

1

)

2

o

? 1

n

T

1 1

( 0 )

? T

1

( 0 )

u

u

1

o

,

( 8 )

e" ( V ) = T

1

( 0 )

u

= u

1

: ( 9 )

T h e r i g h t - h a n d s i d e o f e q u a t i o n ( 7 ) e q u a l s z e r o f o r V = V

0

a n d V = V

1

.

N o w o n e m u s t a n a l y s e d i e r e n t c h o i c e s o f R .

a ) R 1 . T h i s c a s e h a s b e e n s t u d i e d i n 4 , 5 ] . L e t , e . g . , V

1

> V

0

( t h e r e v e r s e c a s e

y i e l d s t h e s a m e r e s u l t s ) , a n d t h e r . h . s . o f ( 7 ) i s s m o o t h a n d p o s i t i v e f o r V 2 ( V

0

; V

1

) .

T h e n , t h e r e i s a s m o o t h s o l u t i o n V ( x ) o f ( 7 ) t h a t t e n d s t o V

0

f o r x ! ? 1 a n d t o

V

1

f o r x ! 1 . I f t h e r i g h t - h a n d s i d e o f ( 7 ) c h a n g e s i t s s i g n a t s o m e p o i n t b e t w e e n

V

0

a n d V

1

, t h e n t h e r e i s n o c o n t i n u o u s s o l u t i o n o f ( 7 ) i n ( ? 1 ; 1 ) c o n n e c t i n g V

0

a n d V

1

. A s a r e s u l t , w e o b t a i n t h e f o l l o w i n g c r i t e r i o n o f a d m i s s i b i l i t y o f a s t a t i o n a r y

s h o c k t r a n s i t i o n :

( V

1

? V

0

) ( p ( V ; e" ( V ) ) ? ep ( V ) ) > 0 ( 1 0 )

f o r a l l V b e t w e e n V

0

a n d V

1

. T h e c a s e s w h e n t h e l e f t - h a n d s i d e o f ( 1 0 ) h a s z e r o s

w i t h i n ( V

0

; V

1

) b u t d o e s n o t h a v e n e g a t i v e v a l u e s ( e . g . i n t h e c a s e o f J o q u e t p o i n t s )

m a y b e a l s o i n c l u d e d , b u t t h i s r e q u i r e s s o m e a d d i t i o n a l c o n s i d e r a t i o n .

b ) T h e h y d r o d y n a m i c a l n u m e r i c a l c a l c u l a t i o n s o f t e n d e a l w i t h a n a r t i c i a l v i s -

c o s i t y o f t h e N e u m a n n { R i c h t m y e r t y p e 1 , 1 1 ] . W e s h a l l t a k e t h i s i n t o a c c o u n t b y

p u t t i n g R = C

d V

d x

i n ( 4 ) , C b e i n g a p o s i t i v e c o n s t a n t . L e t a g a i n , f o r d e n i t e n e s s ,

V

1

> V

0

, a n d o n e h a s a s t r i c t i n e q u a l i t y i n ( 1 0 ) . I n t h i s c a s e , e x p a n d i n g e q u a t i o n

( 7 ) i n t h e n e i g h b o r h o o d o f V

1

a n d V

0

, o n e o b t a i n s d V = d x / ( V

1

? V )

1 = 2

a n d a n

a n a l o g o u s r e l a t i o n f o r V

0

. U s i n g t h i s i t i s e a s y t o s e e t h a t w e h a v e a n i t e i n -

t e r v a l x

0

; x

1

] f o r t h e s m o o t h s o l u t i o n V ( x ) , s u c h t h a t V ( x

0

) = V

0

, V ( x

1

) = V

1

( n i t e w i d t h o f t h e s h o c k f r o n t , c f . 1 ] ) . O u t s i d e t h i s i n t e r v a l t h e s o l u t i o n m a y b e

c o n t i n u e d b y p u t t i n g V ( x ) V

0

f o r x < x

0

, V ( x ) V

1

f o r x > x > x

1

.

O n t h e o t h e r h a n d , i f t h e r e i s p o i n t V

0

2 ( V

0

; V

1

) w h e r e t h e r i g h t - h a n d s i d e o f

( 7 ) c h a n g e s i t s s i g n , t h e n t h e s o l u t i o n s o f ( 7 ) m u s t b e i n c r e a s i n g f o r V < V

0

a n d

d e c r e a s i n g f o r V > V

0

. T h e r e f o r e , t h e r e i s n o c o n t i n u o u s s o l u t i o n c o n n e c t i n g s t a t e s

\ 0 " a n d \ 1 " . T h e r e f o r e , w e a g a i n c o m e t o c r i t e r i o n ( 1 0 ) .

I t i s s h o w n i n 4 , 5 ] t h a t i n e q u a l i t y ( 1 0 ) i s e q u i v a l e n t t o a n o t h e r o n e

( "

1

? "

0

) ( ep ( " ) ? p

H

( " ) ) > 0 ( 1 1 )

e x p r e s s e d i n t e r m s o f t h e H u g o n i o t { T a u b s h o c k a d i a b a t p

H

( " ) i n p l a n e o f t h e r m o -

d y n a m i c a l v a r i a b l e s p ? " ; t h e p a t t e r n f u n c t i o n ep ( " ) = A ? C = ( A + " ) r e p r e s e n t s

c u r v e ( 8 ) p a s s i n g t h r o u g h t h e i n i t i a l a n d t h e n a l s t a t e i n t h e p ? " p l a n e o f t h e r -

m o d y n a m i c a l p a r a m e t e r s ( t h i s c o n d i t i o n d e n e s c o n s t a n t s A a n d C ) . I n e q u a l i t y

( 1 1 ) m u s t h o l d f o r a l l t h e v a l u e s o f e n e r g y d e n s i t y " b e t w e e n s t a t e s \ 0 " a n d \ 1 " ,

a h e a d o f a n d b e h i n d t h e s h o c k , r e s p e c t i v e l y . T h i s f o r m o f t h e E V P c r i t e r i o n w o r k s

i n t h e c a s e o f t h e s i n g l e - v a l u e d H u g o n i o t { T a u b a d i a b a t p

H

( " ) . I f t h i s i s n o t t h e

c a s e , o n e m a y u s e a n o t h e r f o r m 4 , 5 ] o f t h e c r i t e r i o n t h a t u s e s a n e q u a t i o n o f s t a t e

o n l y . A n e q u i v a l e n t a s s e r t i o n i n t e r m s o f s h o c k a d i a b a t s m a y b e f o r m u l a t e d a s

f o l l o w s .

647


6/12


T h e c o m p r e s s i o n ( r a r e f a c t i o n ) s h o c k t r a n s i t i o n h a s a v i s c o u s p r o l e o n t h e

c o n d i t i o n t h a t p a t t e r n c u r v e ep ( " ) l i e s a b o v e ( b e l o w ) t h e H u g o n i o t { T a u b a d i a b a t

i n t h e v i c i n i t y o f t h e i n i t i a l p o i n t a n d d o e s n o t i n t e r s e c t i t b e t w e e n t h e i n i t i a l a n d

t h e n a l s t a t e s .

I t h a s b e e n s h o w n 4 , 5 ] t h a t E n C f o l l o w s f r o m E V P , b u t t h e r e v e r s e s t a t e m e n t i s

n o t v a l i d . T h e e v o l u t i o n a r i t y c o n d i t i o n s f o r r e l a t i v i s t i c s h o c k s y i e l d t h e i n e q u a l i t i e s

f o r u i d v e l o c i t i e s a n d s o u n d s p e e d s v

0

; v

1

; c

0

; c

1

a h e a d o f a n d b e h i n d t h e s h o c k

v

0

> c

0

; v

1

6 c

1

, ( 1 2 )

t h a t h a v e t h e s a m e f o r m a s f o r n o n r e l a t i v i s t i c o n e s 3 ] . I n e q u a l i t i e s ( 1 2 ) c a n b e a l s o

b e o b t a i n e d a s a c o n s e q u e n c e o f E V P 4 , 1 4 ] . E v i d e n t l y , E V P i m p o s e s m o r e p o w e r f u l

r e s t r i c t i o n s u p o n t h e p a r a m e t e r s o f t h e s h o c k b e c a u s e ( 1 0 ) o r ( 1 1 ) c o n c e r n s a l l

t h e s t a t e s o n t h e H u g o n i o t { T a u b a d i a b a t , n o t o n l y i n t h e n e i g h b o u r h o o d o f \ 0 "

a n d \ 1 " . H o w e v e r , i n t h e c a s e o f a n o r m a l e q u a t i o n o f s t a t e ( t h a t a l l o w s o n l y

c o m p r e s s i o n s h o c k s ) t h e s e c r i t e r i a a r e e q u i v a l e n t .

F u r t h e r w e s h a l l u s e a n o t h e r f o r m o f t h e E V P c r i t e r i o n 1 3 ] :

( p

1

? p

0

) ( P

0 ; 1

( ) ? p

H

( ) ) > 0 ; 2

0

;

1

] , ( 1 3 )

w h e r e P

0 ; 1

( ) =

p

1

? p

0

1

?

0

( ?

0

) + p

0

i s a r e l a t i v i s t i c a n a l o g o f t h e R a y l e i g h l i n e ,

p

H

( ) i s a s h o c k a d i a b a t w i t h t h e c e n t r e a t p

0

,

0

, = ( " + p ) V

2

i s a g e n e r a l i z e d

s p e c i c v o l u m e . I t h a s b e e n s h o w n i n 1 3 ] t h a t i n e q u a l i t i e s ( 1 1 ) a n d ( 1 3 ) a r e

e q u i v a l e n t .

3. Shock wave instabilities and viscous profiles

C o n s i d e r n o w t h e c o r r u g a t i o n s t a b i l i t y c o n d i t i o n s 6 , 7 ] d e a l i n g w i t h p e r t u r b a -

t i o n s o f t h e s o l u t i o n s o f h y d r o d y n a m i c a l e q u a t i o n s . T h e s h o c k t r a n s i t i o n \ 0 "

!\ 1 "

i s c o r r u g a t i o n a l l y u n s t a b l e 6 , 7 ] i f a t t h e n a l s t a t e p = p

1

, =

1

e i t h e r

m

2

@

@ p

H

1 + 2 M + v

0

v

1

1 ? v

0

v

1

; ( 1 5 )

w h e r e M = v

1

= c

1

i s t h e M a c h n u m b e r b e h i n d t h e s h o c k ; v i s t h e u i d v e l o c i t y w i t h

r e s p e c t t o t h e s h o c k f r o n t , m = v =

p

1 ? v

2

i s a c o n s e r v e d u x , i n d e x H m e a n s t h a t

t h e d e r i v a t i v e s a r e t a k e n a l o n g t h e H u g o n i o t { T a u b a d i a b a t .

O n a c c o u n t o f t h e r e l a t i o n m

2

= ( p

?p

0

) = (

0

? ) w e s e e t h a t b y v i r t u e o f

( 1 4 ) t h e r e l a t i v e d i s p o s i t i o n o f t h e s h o c k a d i a b a t a n d t h e R a y l e i g h l i n e i n t h e

n e i g h b o u r h o o d o f t h e n a l p o i n t p = p

1

c o n t r a d i c t s ( 1 3 ) . T h e n c o n d i t i o n ( 1 4 ) i s

n o t s a t i s e d f o r s h o c k s s a t i s f y i n g E V P .

648


7/12


T o a n a l y s e t h e s e c o n d i n e q u a l i t y ( 1 5 ) w e p a s s o n t o v a r i a b l e s u ; p , w h e r e u i s

t h e u i d v e l o c i t y a h e a d o f t h e s h o c k w i t h r e s p e c t t o t h e u i d b e h i n d t h e s h o c k ,

u

2

=

( p ? p

0

) ( " ? "

0

)

( "

0

+ p ) ( " + p

0

)

. ( 1 6 )

L e t p

H

( u ) r e p r e s e n t a s h o c k a d i a b a t i n t h e p ? u p l a n e . W e s h a l l n o w a n a l y z e i n -

e q u a l i t y ( 1 5 ) i n v i e w o f t h e r e q u i r e m e n t t h a t p

H

( u ) i s a s i n g l e - v a l u e d f u n c t i o n . T h i s

i s n o t a p h y s i c a l r e q u i r e m e n t ; a n d , i n d e e d , t h e r e a r e e x a m p l e s o f n o n - s i n g l e - v a l u e d

a d i a b a t s 2 ] . H o w e v e r , t h e c a s e o f s i n g l e v a l u e d a d i a b a t s p

H

( u ) c o v e r s a s i g n i -

c a n t n u m b e r o f p h y s i c a l a p p l i c a t i o n s ; a n d i n t h e o p p o s i t e c a s e t h e i n v e s t i g a t i o n o f

d i s c o n t i n u o u s s o l u t i o n s r e q u i r e s a d d i t i o n a l i n f o r m a t i o n o f a n o n - h y d r o d y n a m i c a l

n a t u r e 2 ] , 9 ] .

T h e e q u a t i o n f o r t h e H u g o n i o t { T a u b a d i a b a t 8 ] w i t h t h e c e n t r e a t ( "

0

; p

0

) c a n

b e w r i t t e n a s

( " + p

0

) ?

0

( "

0

+ p ) = 0 .

D u e t o t h i s e q u a t i o n w e h a v e t h e d e r i v a t i v e ( @ " = @ p )

H

t h a t i s u s e d t o o b t a i n

( @ u = @ p )

H

f r o m ( 1 6 ) ; t h e n , s u b s t i t u t i o n i n t o ( 1 5 ) y i e l d s

@ u

@ p

H


8/12


s p e a k i n g , w h e n w e p a s s o n t o a n i t e - d i e r e n c e a n a l o g u e s o f h y d r o d y n a m i c a l e q u a -

t i o n s , s u c h a c o m p a r i s o n n e e d s s p e c i a l m a t h e m a t i c a l i n v e s t i g a t i o n o f a c o n c r e t e

n u m e r i c a l a l g o r i t h m . I n t h i s c o n n e c t i o n w e o u t l i n e t h e r e s u l t s o f n u m e r i c a l s i m u l a -

t i o n s o f d i s c o n t i n u o u s o w s i n o r d e r t o i l l u s t r a t e t h e c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n t h e

a b o v e E V P c r i t e r i o n a n d a n a l g o r i t h m i n v o l v i n g a r t i c i a l v i s c o s i t y . I n t h i s s e c t i o n

w e a l s o a p p l y a n u m e r i c a l a l g o r i t h m t o s t u d y t h e f o r m a t i o n o f a s h o c k w a v e i n a

h y d r o d y n a m i c a l s p h e r i c a l c o l l a p s e .

W e c o n n e o u r s e l v e s t o a s i m p l e p i e c e w i s e - l i n e a r e q u a t i o n o f s t a t e t h a t i s s i m i -

l a r t o t h o s e c o n s i d e r e d i n a m o s t s i m p l e h y d r o d y n a m i c a l m o d e l o f a q u a r k - h a d r o n

p h a s e t r a n s i t i o n ( s e e , e . g . , 1 2 ] )

p ( " ) = " = 3 f o r 0 < " 6 "

1

( h a d r o n p h a s e ) , p ( " ) = 1 = 3 f o r "

1

< " 6 "

2

;

p ( " ) = ( " ? 1 ) = 3 f o r " > "

2

( q u a r k p h a s e ) :

( 1 8 )

T h e i n t e r m e d i a t e p a r t f o r "

1

< " 6 "

2

i s c o n s i d e r e d a s s o m e m o d e l o f a p h a s e

t r a n s i t i o n d o m a i n b e t w e e n t h e q u a r k a n d h a d r o n p h a s e s . T h i s i s a n o n - c o n v e x

o n e - p a r a m e t r i c e q u a t i o n o f s t a t e ; t h e s a m e i s t h e H u g o n i o t { T a u b a d i a b a t .

T o p e r f o r m t h e n u m e r i c a l c a l c u l a t i o n s w e h a v e w o r k e d o u t a c o m p u t e r p r o -

g r a m t h a t r e a l i z e s a n a b s o l u t e l y c o n s e r v a t i v e n u m e r i c a l a l g o r i t h m f o r r e l a t i v i s t i c

h y d r o d y n a m i c a l e q u a t i o n s u s i n g s m a l l v i s c o s i t y o f t h e N e u m a n n { R i c h t m y e r t y p e .

T h e p r i n c i p l e o f a b s o l u t e c o n s e r v a t i o n m e a n s t h a t n o t o n l y c o n s e r v a t i o n l a w s a r e

a p p r o x i m a t e d n u m e r i c a l l y b u t s o a r e a l l t h e i r d i e r e n t i a l c o n s e q u e n c e s . S u c h a

p r o p e r t y p e r m i t s u s t o w o r k w i t h r a t h e r r o u g h g r i d s ( w h i c h d o n o t r e q u i r e p o w -

e r f u l h a r d w a r e ) i n o r d e r t o o b t a i n q u a l i t a t i v e l y g o o d r e s u l t s b y m e a n s o f p e r s o n a l

Figure 1.N u m e r i c a l s i m u l a t i o n s

u s i n g t h e N e u m a n n { R i c h t m y e r v i s -

c o s i t y ( c r o s s e s ) v e r s u s a n a l y t i c a l

s o l u t i o n s ( s o l i d l i n e ) . T h e p i c t u r e

d e s c r i b e s a n e n e r g y d e n s i t y p r o -

l e t h a t e v o l v e s f r o m a n \ u n s t a b l e "

p l a n e c o m p r e s s i o n s h o c k .

c o m p u t e r s . F o r a d e t a i l e d d e s c r i p t i o n o f t h e

m e t h o d f o r n o n r e l a t i v i s t i c e q u a t i o n s s e e 1 1 ] ;

w e h a v e m o d i e d t h i s a p p r o a c h t o t h e r e l a -

t i v i s t i c o n e - d i m e n s i o n a l o w i n t h e c a s e o f

p l a n a r a n d s p h e r i c a l s y m m e t r y .

A . I n a p l a n a r c a s e t h e p r o b l e m w e d e a l

w i t h i s e s s e n t i a l l y a b r e a k - u p p r o b l e m o f a r -

b i t r a r y d i s c o n t i n u i t y w h i c h i s a n a l o g o u s t o

t h e w e l l - k n o w n c l a s s i c a l p r o b l e m 1 ] . A n a l -

g o r i t h m o f a n a n a l y t i c a l s o l u t i o n f o r a r e l a -

t i v i s t i c v e r s i o n o f t h i s p r o b l e m c a n b e f o u n d

i n 1 3 , 1 4 ] ; a d e t a i l e d a n a l y t i c a l i n v e s t i g a t i o n

o f d i s c o n t i n u o u s i n i t i a l d a t a b r e a k - u p s f o r

t h e a b o v e e q u a t i o n o f s t a t e i s p r e s e n t e d i n

1 4 ] . T h e h y d r o d y n a m i c a l o w s o f t h e b r e a k -

u p p r o b l e m d e p e n d u p o n t h e o n l y s i m i l a r i t y

v a r i a b l e x = t ( t i s t i m e , x { a s p a t i a l v a r i -

a b l e ) . T h e a n a l y t i c a l s o l u t i o n s f o r d i s c o n t i n -

u o u s i n i t i a l d a t a h a v e b e e n c o m p a r e d w i t h

t h e r e s u l t s o f c o m p u t e r s i m u l a t i o n s . T h e r e -

s u l t s s h o w n i n g u r e s 1 a n d 2 d e m o n s t r a t e

650


9/12


t h a t t h e i n i t i a l c o n g u r a t i o n s n o t s a t i s f y i n g ( 1 3 ) o n d i s c o n t i n u i t i e s a r e d i s r u p t e d

i n t o s m a l l e r s h o c k s a n d s i m p l e w a v e s . T h e r e s u l t s a l s o s h o w t h e e x i s t e n c e o f a d m i s -

s i b l e ( s a t i s f y i n g ( 1 3 ) ) r a r e f a c t i o n s h o c k s c o m p a t i b l e w i t h a n a l y t i c a l c a l c u l a t i o n s .

Figure 2.E n e r g y d e n s i t y p r o l e

e v o l v i n g f r o m t h e d e s r u p t i o n o f a n

u n s t a b l e p l a n e r a r e f a c t i o n s h o c k .

Figure 3. S p h e r i c a l l y s y m m e t r i -

c a l d i s c o n t i n u o u s o w i n t h e c a s e

o f a c o n v e r g i n g r a r e f a c t i o n s h o c k .

T h e s o l i d l i n e s h o w s t h e s o l u t i o n

o b t a i n e d b y n u m e r i c a l i n t e g r a t i o n

o f o r d i n a r y d i e r e n t i a l e q u a t i o n s

c o r r e s p o n d i n g t o t h e s e l f - s i m i l a r i t y

c a s e ; t h e c r o s s e s s h o w t h e r e s u l t s o f

a n a r t i c i a l v i s c o s i t y a l g o r i t h m .

B . I n t h e c a s e o f s p h e r i c a l s y m m e t r y w e

c a n n o t c o n s t r u c t a n a n a l y t i c s o l u t i o n f o r t h e

e q u a t i o n o f s t a t e ( 1 8 ) w i t h t h e s a m e d e g r e e

o f c o m p l e t e n e s s a s i n t h e p l a n a r c a s e . T o

c h e c k u p t h e p r o g r a m i n t h i s c a s e w e u s e a

s p e c i c s e l f - s i m i l a r s o l u t i o n d e s c r i b i n g e v a p -

o r a t i o n o f a l i q u i d d r o p t h r o u g h a c o n v e r g -

i n g r a r e f a c t i o n s h o c k w a v e . T h e s o l u t i o n d e -

p e n d s u p o n t h e o n l y v a r i a b l e = r = t ( r b e -

i n g a r a d i a l v a r i a b l e ) . T h e t r a j e c t o r y o f t h e

c o n v e r g i n g s h o c k i s = ?

0

.

I n s i d e t h e d r o p ( j j <

0

) t h e u i d i s a t

r e s t ( v = 0 ) , " = "

0

= c o n s t .

O u t s i d e t h e d r o p ( j j >

0

) t h e s o l u -

t i o n i s d e s c r i b e d b y a n o r d i n a r y d i e r e n t i a l

e q u a t i o n ( s e e , e . g . , 1 5 ] ) t h a t i s s o l v e d n u -

m e r i c a l l y . T h e i n i t i a l v a l u e s f o r v a n d " i n

t h e h a d r o n p h a s e a r e o b t a i n e d f r o m "

0

a n d

0

t h r o u g h c o n s e r v a t i o n r e l a t i o n s t h a t r e l a t e

t h e h y d r o d y n a m i c a l q u a n t i t i e s o n t h e b o t h

s i d e s o f t h e s h o c k . T h e n t h i s r e s u l t i s c o m -

p a r e d w i t h t h e r e s u l t s o f n u m e r i c a l s i m u l a -

t i o n s u s i n g a r t i c i a l v i s c o s i t y . T h e s e a r e a l s o

i n g o o d a g r e e m e n t ( s e e g u r e 3 ) .

C . T h e f o l l o w i n g q u e s t i o n c o n c e r n s t h e

a p p l i c a t i o n o f t h e a b o v e a l g o r i t h m t o t h e

s t u d y o f a r o l e o f t h e s h e l f p a r t ( m o d e l l i n g

t h e p h a s e t r a n s i t i o n d o m a i n ) i n t h e e q u a t i o n

o f s t a t e ( 1 8 ) i n a h y d r o d y n a m i c a l s p h e r i c a l

c o l l a p s e . A s i n i t i a l c o n d i t i o n s f o r t h e c o n -

v e r g i n g r a r e f a c t i o n s h o c k w a v e w e t a k e a

s p h e r i c a l l y s y m m e t r i c c o n g u r a t i o n w i t h e n -

e r g y d e n s i t y " ( r ; 0 ) = 1 = ( 2 + r

2

) a n d w i t h

h o m o l o g i c a l c o n d i t i o n s o n v e l o c i t y v ( r ; 0 ) =

? r . W e c o n s i d e r a c l a s s o f e q u a t i o n s o f

s t a t e ( 1 8 ) w i t h d i e r e n t s i z e s o f t h e \ s h e l f "

" = "

2

?"

1

a n d o u r a i m i s t o s t u d y t h e

q u a l i t a t i v e d e p e n d e n c e o f t h e o w u p o n i t .

T h e r e s u l t s o f t h e c a l c u l a t i o n s a r e d e p i c t e d

i n g u r e 4 . T h e s e g u r e s s h o w t h e s e q u e n t i a l t i m e s l i c e s o f e n e r g y d e n s i t y " ( r ; t )

a s a f u n c t i o n o f t h e E u l e r i a n c o o r d i n a t e .

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10/12


a ) b ) c )

Figure 4.E n e r g y d e n s i t y p r o l e s i n t h e c a s e o f a s p h e r i c a l c o l l a p s e f o r d i e r e n t

t i m e m o m e n t s . T h e g u r e s a ) , b ) a n d c ) c o r r e s p o n d t o t h e v a l u e s o f t h e \ s h e l f "

" e q u a l t o 0 , 5 , 1 7 , r e s p e c t i v e l y . T h e w a v e - l i k e s t r u c t u r e s a n d o s c i l l a t i o n s i n t h e

n u m e r i c a l s o l u t i o n a r e t h e c o n s e q u e n c e o f t h e g r i d r o u g h n e s s . T h e \ t a i l s " o f t h e

s o l u t i o n s a t t h e r i g h t - h a n d s i d e o f t h e c u r v e s c o r r e s p o n d t o a r a r e f a c t i o n w a v e o f

t h e o u t e r l a y e r s i n v i e w o f a n o n e q u i l l i b r i u m i n i t i a l c o n g u r a t i o n t h a t i s c u t o

a t " = 0 : 0 5 :

Figure 5.N u m e r i c a l s i m u l a t i o n s

u s i n g t h e N e u m a n n { R i c h t m y e r v i s -

c o s i t y ( c r o s s e s ) v e r s u s a n a l y t i c a l

s o l u t i o n s ( s o l i d l i n e ) . T h e p i c t u r e

d e s c r i b e s a n e n e r g y d e n s i t y p r o -

l e t h a t e v o l v e s f r o m a n \ u n s t a b l e "

p l a n e c o m p r e s s i o n s h o c k .

A s i t c a n b e s e e n f r o m t h e g u r e s , t h e

s h e l f p a r t o f t h e E O S c a u s e s a n e m e r g e n c e

o f a s h o c k w a v e m o v i n g f r o m t h e c e n t r e o f

t h e c o n g u r a t i o n t o t h e o u t e r l a y e r s . T h i s

t a k e s p l a c e a t t h e m o m e n t w h e n t h e e n e r g y

d e n s i t y r e a c h e s "

2

. T h i s i s n o t s u r p r i s i n g b e -

c a u s e t h e s t i e n i n g o f t h e e q u a t i o n o f s t a t e

a t t h i s p o i n t a c t s a s a n e l a s t i c p i s t o n . S u c h

a s h o c k e m e r g i n g i n a s t a r c o r e i n t h e c o l -

l a p s e p r o c e s s w i l l p r e s s o n t h e o u t e r l a y e r s o f

t h e s t a r a s a p i s t o n a n d m a y c o n t r i b u t e t o

t h e e n v e l o p e o v e r t h r o w i n g i n s u p e r n o v a e e x -

p l o s i o n s . D e p e n d e n c e o f t h e i n t e n s i t y o f t h e

s h o c k w a v e u p o n t h e s i z e o f a p h a s e t r a n -

s i t i o n , i . e . o n t h e s i z e o f t h e \ s h e l f " , i s d e -

p i c t e d i n g u r e 5 . A s w e s e e , t h e l a r g e r " ,

t h e s t r o n g e r i s t h e s h o c k , i . e . t h e s t r o n g e r i s

t h e e e c t o f t h e p i s t o n o n t h e o u t e r e n v e l o p e .

5. Conclusions

W e h a v e c o m p a r e d d i e r e n t k n o w n c r i t e r i a f o r t h e e x i s t e n c e a n d s t a b i l i t y o f

r e l a t i v i s t i c s h o c k w a v e s : t h e e x i s t e n c e o f a v i s c o u s p r o l e , e n t r o p y c r i t e r i o n , e v o -

l u t i o n a r i t y c r i t e r i o n a n d c o r r u g a t i o n s t a b i l i t y . T h e s e c r i t e r i a h a v e d i e r e n t s e n s e s

a n d l e v e l s o f p h y s i c a l j u s t i c a t i o n a n d d i e r e n t l y r e s t r i c t d i s c o n t i n u o u s o w s . T h e

E n C a n d E v C f o l l o w f r o m v e r y g e n e r a l r e q u i r e m e n t s , h o w e v e r , i n t h e c a s e o f n o n -

c o n v e x e q u a t i o n s o f s t a t e t h e y d o n o t p r o p e r l y r e s t r i c t d i s c o n t i n u o u s s o l u t i o n s o f

652


11/12


h y d r o d y n a m i c a l e q u a t i o n s . T h e s o l u t i o n s m a y b e s p e c i e d d u e t o E V P r e q u i r e -

m e n t s ; i n p a r t i c u l a r , t h i s c r i t e r i o n d o e s w o r k i n t h e r e l a t i v i s t i c p r o b l e m o f d e c a y o f

a r b i t r a r y d i s c o n t i n u i t y 1 4 ] . H o w e v e r , j u s t i c a t i o n o f t h i s c r i t e r i o n i s l e s s g e n e r a l

f r o m t h e p h y s i c a l p o i n t o f v i e w . T h i s c r i t e r i o n w a s o b t a i n e d i n 4 , 5 ] b y u s i n g t h e

p h e n o m e n o l o g i c a l r e l a t i v i s t i c v i s c o s i t y t e n s o r 3 ] ( i n a s m a l l v i s c o s i t y l i m i t ) f o r a

o n e - d i m e n s i o n a l p i c t u r e o f t h e s h o c k w a v e , s o o n e m a y e n q u i r e a b o u t o t h e r m o d e l s

o f t h e r e l a t i v i s t i c s h o c k s t r u c t u r e y i e l d i n g o t h e r w a y s o f s t u d y i n g d i s c o n t i n u o u s

s o l u t i o n s . H e r e w e d o n o t d i s c u s s p o s s i b l e p h y s i c a l s i t u a t i o n s r e l a t e d t o t h i s m o d e l ,

b u t c o n c e n t r a t e o n f o r m a l r e s u l t s .

T h o u g h t h e r e l a t i v i s t i c E V P c r i t e r i o n o f 4 , 5 ] i s e s s e n t i a l l y o n e - d i m e n s i o n a l a n d

t h e c o r r u g a t i o n s t a b i l i t y c o n c e r n s t h r e e - d i m e n s i o n a l p e r t u r b a t i o n s o f t h e u i d o w ,

i n t h e c a s e o f s i n g l e - v a l u e d s h o c k a d i a b a t s ( i n t h e p ? u p l a n e ) t h e r e q u i r e m e n t o f

E V P i s s h o w n t o b e m o s t r e s t r i c t i v e : t h e s h o c k s s a t i s f y i n g t h i s c r i t e r i o n a l s o s a t i s f y

E v C , E n C a n d a r e c o r r u g a t i o n a l l y s t a b l e . T h i s i s a n a l o g o u s t o t h e n o n - r e l a t i v i s t i c

c a s e 2 ] . T h o u g h t h e r e q u i r e m e n t o f a s i n g l e - v a l u e d s h o c k a d i a b a t i s n o t a p h y s i c a l

o n e 2 ] , t h i s c a s e c o v e r s a s i g n i c a n t n u m b e r o f p h y s i c a l a p p l i c a t i o n s . I f t h e s h o c k

a d i a b a t i s n o t s i n g l e - v a l u e d , t h e n t h e r e m a y e x i s t c o r r u g a t i o n a l l y u n s t a b l e s h o c k s

t h a t s a t i s f y E V P , E v C a n d E n C 2 , 9 ] a n d t h e i r c o n s i d e r a t i o n r e q u i r e s a d d i t i o n a l

i n f o r m a t i o n o f a n o n - h y d r o d y n a m i c a l n a t u r e . N o t e t h a t t h e r e s u l t s a r e v a l i d f o r

a w i d e c l a s s o f e q u a t i o n s o f s t a t e i n c l u d i n g t h o s e h a v i n g a n o m a l o u s d o m a i n s t h a t

a r e t y p i c a l i n t h e n e i g h b o u r h o o d s o f p h a s e t r a n s i t i o n s .

I t i s a l s o i m p o r t a n t t o n o t e t h a t t h e r e s u l t s o f t h e c o m p u t e r s i m u l a t i o n b a s e d

o n w i d e l y u s e d a r t i c i a l v i s c o s i t y s c h e m e s a g r e e w i t h t h e E V P c r i t e r i o n . T h i s

h a s b e e n i l l u s t r a t e d b y n u m e r i c a l s i m u l a t i o n s u s i n g a n a b s o l u t e l y c o n s e r v a t i v e

s c h e m e w i t h a r t i c i a l v i s c o s i t y f o r s p e c i a l o n e - d i m e n s i o n a l r e l a t i v i s t i c o w s w i t h a

s i m p l e p i e c e w i s e - l i n e a r e q u a t i o n o f s t a t e . T h e r e s u l t s o f t h e s e s i m u l a t i o n s s h o w a n

e s s e n t i a l i n u e n c e o f t h e m o d e l p h a s e t r a n s i t i o n d o m a i n o n t h e a m p l i t u d e o f t h e

s h o c k a r i s i n g i n t h e s p h e r i c a l h y d r o d y n a m i c a l c o l l a p s e . T h i s m a y b e o f i n t e r e s t

f o r m o r e d e t a i l e d c o n s i d e r a t i o n s o f a r e l a t i v i s t i c s t e l l a r c o l l a p s e i n t h e s u p e r n o v a

a r e s t h e o r y .

References

1 . R o z h d e s t v e n s k y B . L . , Y a n e n k o N . N . S y s t e m s o f Q u a s i l i n e a r E q u a t i o n s . N a u k a , M o s -

c o w , 1 9 7 8 ( i n R u s s i a n ) .

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M o d . P h y s . , 1 9 8 9 , v o l . 6 1 , N o 1 , p . 7 5 .

3 . L a n d a u L . D . , L i f s h i t s E . M . . F l u i d D y n a m i c s . N a u k a , M o s c o w , 1 9 8 6 ( i n R u s s i a n ) .

4 . B u g a e v K . A . , G o r e n s t e i n M . I . , Z h d a n o v V . I . R e l a t i v i s t i c s h o c k w a v e s u n d e r t h e e x -

i s t e n c e o f a n o m a l o u s e q u a t i o n o f s t a t e d o m a i n s / / T e o r . M a t . F i z . , 1 9 8 9 , v o l . 8 0 ,

p . 1 3 8 { 1 4 9 ( i n R u s s i a n ) .

5 . B u g a e v K . A . , G o r e n s t e i n M . I . , Z h d a n o v V . I . R e l a t i v i s t i c s h o c k s i n t h e s y s t e m s

c o n t a i n i n g d o m a i n s w i t h a n o m a l o u s e q u a t i o n o f s t a t e a n d q u a r k b a r i o n i c m a t t e r

h a d r o n i z a t i o n / / Z . P h y s . C , 1 9 8 8 , v o l . 3 9 , p . 3 6 5 { 3 7 0 .

6 . K o n t o r o v i c h V . M . S t a b i l i t y o f s h o c k w a v e s i n t e l a t i v i s t i c h y d r o d y n a m i c s / / J E T P ,

1 9 5 8 , v o l . 3 4 , p . 1 8 6 ( i n R u s s i a n ) .

653


12/12


7 . A n i l e A . M . , R u s s o G . L i n e a r s t a b i l i t y f o r p l a n e r e l a t i v i s t i c s h o c k w a v e s / / P h y s .

F l u i d s , 1 9 8 7 , v o l . 3 0 , p . 1 0 4 5 ; S t a b i l i t y p r o p e r t i e s o f r e l a t i v i s t i c s h o c k w a v e s : B a s i c

r e s u l t s / / P h y s . F l u i d s , 1 9 8 7 , v o l . 3 0 , p . 2 4 0 6 .

8 . T h o r n e K . S . R e l a t i v i s t i c s h o c k s : t h e T a u b a d i a b a t / / A s t r o p h y s . J . , 1 9 7 3 , v o l . 1 7 9 ,

N o 3 , p . 8 9 7 { 9 0 7 .

9 . K u z n e t s o v N . N . O n t h e t h e o r y o f s h o c k w a v e s t a b i l i t y / / J E T P , 1 9 8 5 , v o l . 8 8 , p . 4 7 0

( i n R u s s i a n ) .

1 0 . G l i m m J . , K l i n g e n b e r g C . , M c B r y a n O . , P l o h r B . , S h a r p D . , Y a n i v S . / / A d v . A p p l .

M a t h . , 1 9 8 5 , v o l . 6 , p . 2 5 9 .

1 1 . S a m a r s k y A . A . , P o p o v Y u . P . D i e r e n c e S c h e m e s o f G a s D y n a m i c s . M o s c o w , N a u k a ,

1 9 7 5 ( i n R u s s i a n ) .

1 2 . V a n H o v e L . T w o p r o b l e m s c o n c e r n i n g h o t h a d r o n i c m a t t e r a n d h i g h e n e r g y c o l l i s i o n s

/ / Z . P h y s . C , 1 9 8 3 , v o l . 2 , p . 9 3 { 9 8 .

1 3 . B u g a e v K . A . , G o r e n s t e i n M . I . , K a m p f e r B . , Z h d a n o v V . I . G e n e r a l i z e d s h o c k a d i a b a t i c s

a n d r e l a t i v i s t i c n u c l e a r c o l l i s i o n s / / P h y s . R e v . D , 1 9 8 9 , v o l . 4 0 , N o 9 , p . 2 9 0 3 { 2 9 1 3 .

1 4 . Z h d a n o v V . I . , K o l o m o e t s S . V . O n e - d i m e n s i o n a l d i s c o n t i n u o u s o w s o f t h e r e l a t i v i s t i c

u i d w i t h a n o m a l o u s e q u a t i o n o f s t a t e / / V i s n y k K y i v U n i v . ( M e s s e n g e r o f K y i v

U n i v e r s i t y ) S e r . A s t r o n o m y , 1 9 9 4 , v o l . 3 3 , p . 3 1 { 4 3 .

1 5 . S i b g a t u l l i n N . R . . O s c i l l a t i o n s a n d W a v e s i n S t r o n g G r a v i t a t i o n a l a n d E l e c t r o m a g n e t i c

F i e l d s . N a u k a , M o s c o w , 1 9 8 4 ( i n R u s s a i n ) .

:

.., ..

. .,

254053 . , . , 3

30 1998 .

-

(, ) -

, . -

,

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, ,

PACS: 95.30.Lz, 95.30.Qd

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p.v.tytarenko and v.i.zhdanov- the existence and stability of relativistic shock waves: general...

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