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¿Qué es la supersimetría?
José Figueroa-O’Farrill
School of Mathematics
IMAFF, CSIC, Madrid, 14 febrero 2005
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Un precedente jurídico
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Un precedente jurídico
I can’t define it, but I know it when I see it.
Juez Stewart en Jacobellis versus Ohio
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Orígenes
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Orígenes
• Física de partículas
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Orígenes
• Física de partículas
• Unificación de simetrías de carácter geométrico y simetrías internas
2
Orígenes
• Física de partículas
• Unificación de simetrías de carácter geométrico y simetrías internas
• Partículas elementales son representaciones unitarias e irreducibles delgrupo de isometrías del espacio-tiempo de Minkowski
P = SL(2,C) n R4
3
• Se construyen por el método de representaciones inducidas de Mackey
3
• Se construyen por el método de representaciones inducidas de Mackey
• En un lenguaje más geométrico: secciones L2 de un fibrado homogéneo,que además satisfacen ecuaciones diferenciales
3
• Se construyen por el método de representaciones inducidas de Mackey
• En un lenguaje más geométrico: secciones L2 de un fibrado homogéneo,que además satisfacen ecuaciones diferenciales:
? «bosones»
3
• Se construyen por el método de representaciones inducidas de Mackey
• En un lenguaje más geométrico: secciones L2 de un fibrado homogéneo,que además satisfacen ecuaciones diferenciales:
? «bosones»: ecuaciones de segundo orden, como la de Klein-Gordon,
4φ = m2φ
3
• Se construyen por el método de representaciones inducidas de Mackey
• En un lenguaje más geométrico: secciones L2 de un fibrado homogéneo,que además satisfacen ecuaciones diferenciales:
? «bosones»: ecuaciones de segundo orden, como la de Klein-Gordon,
4φ = m2φ
? «fermiones»
3
• Se construyen por el método de representaciones inducidas de Mackey
• En un lenguaje más geométrico: secciones L2 de un fibrado homogéneo,que además satisfacen ecuaciones diferenciales:
? «bosones»: ecuaciones de segundo orden, como la de Klein-Gordon,
4φ = m2φ
? «fermiones»: ecuaciones de primer orden, como la de Dirac,
i∂6 ψ = mψ
4
• Cualquier grupo G ⊃ P se podría llamar una super simetría
4
• Cualquier grupo G ⊃ P se podría llamar una super simetría: variaspartículas elementales se agrupan en una super representación de G(Wigner)
4
• Cualquier grupo G ⊃ P se podría llamar una super simetría: variaspartículas elementales se agrupan en una super representación de G(Wigner)
• Teorema de Coleman y Mandula (1967)
4
• Cualquier grupo G ⊃ P se podría llamar una super simetría: variaspartículas elementales se agrupan en una super representación de G(Wigner)
• Teorema de Coleman y Mandula (1967):
G = P ×K
donde K es un grupo de Lie compacto
4
• Cualquier grupo G ⊃ P se podría llamar una super simetría: variaspartículas elementales se agrupan en una super representación de G(Wigner)
• Teorema de Coleman y Mandula (1967):
G = P ×K
donde K es un grupo de Lie compacto =⇒ irreducibles de G son ⊗de irreducibles de P y K
4
• Cualquier grupo G ⊃ P se podría llamar una super simetría: variaspartículas elementales se agrupan en una super representación de G(Wigner)
• Teorema de Coleman y Mandula (1967):
G = P ×K
donde K es un grupo de Lie compacto =⇒ irreducibles de G son ⊗de irreducibles de P y K: no muy interesante...
4
• Cualquier grupo G ⊃ P se podría llamar una super simetría: variaspartículas elementales se agrupan en una super representación de G(Wigner)
• Teorema de Coleman y Mandula (1967):
G = P ×K
donde K es un grupo de Lie compacto =⇒ irreducibles de G son ⊗de irreducibles de P y K: no muy interesante...
• Teorema de Haag, Łopuszański y Sohnius (1975)
4
• Cualquier grupo G ⊃ P se podría llamar una super simetría: variaspartículas elementales se agrupan en una super representación de G(Wigner)
• Teorema de Coleman y Mandula (1967):
G = P ×K
donde K es un grupo de Lie compacto =⇒ irreducibles de G son ⊗de irreducibles de P y K: no muy interesante...
• Teorema de Haag, Łopuszański y Sohnius (1975): G es un supergrupode Lie
5
• Esto da lugar al estudio de representaciones de superálgebras de Lieen el contexto de teoría cuántica de campos
5
• Esto da lugar al estudio de representaciones de superálgebras de Lieen el contexto de teoría cuántica de campos: lo que hoy se denomina«supersimetría»
5
• Esto da lugar al estudio de representaciones de superálgebras de Lieen el contexto de teoría cuántica de campos: lo que hoy se denomina«supersimetría»
• Desde entonces se estudian teorías supersimétricas
5
• Esto da lugar al estudio de representaciones de superálgebras de Lieen el contexto de teoría cuántica de campos: lo que hoy se denomina«supersimetría»
• Desde entonces se estudian teorías supersimétricas:
? modelo sigma supersimétrico
5
• Esto da lugar al estudio de representaciones de superálgebras de Lieen el contexto de teoría cuántica de campos: lo que hoy se denomina«supersimetría»
• Desde entonces se estudian teorías supersimétricas:
? modelo sigma supersimétrico∗ geometría Kähler y sus generalizaciones
5
• Esto da lugar al estudio de representaciones de superálgebras de Lieen el contexto de teoría cuántica de campos: lo que hoy se denomina«supersimetría»
• Desde entonces se estudian teorías supersimétricas:
? modelo sigma supersimétrico∗ geometría Kähler y sus generalizaciones∗ teorema del índice
5
• Esto da lugar al estudio de representaciones de superálgebras de Lieen el contexto de teoría cuántica de campos: lo que hoy se denomina«supersimetría»
• Desde entonces se estudian teorías supersimétricas:
? modelo sigma supersimétrico∗ geometría Kähler y sus generalizaciones∗ teorema del índice
? teoría Yang–Mills supersimétrica
5
• Esto da lugar al estudio de representaciones de superálgebras de Lieen el contexto de teoría cuántica de campos: lo que hoy se denomina«supersimetría»
• Desde entonces se estudian teorías supersimétricas:
? modelo sigma supersimétrico∗ geometría Kähler y sus generalizaciones∗ teorema del índice
? teoría Yang–Mills supersimétrica∗ instantones, monopolos y sus generalizaciones
5
• Esto da lugar al estudio de representaciones de superálgebras de Lieen el contexto de teoría cuántica de campos: lo que hoy se denomina«supersimetría»
• Desde entonces se estudian teorías supersimétricas:
? modelo sigma supersimétrico∗ geometría Kähler y sus generalizaciones∗ teorema del índice
? teoría Yang–Mills supersimétrica∗ instantones, monopolos y sus generalizaciones∗ invariantes de Donaldson, Seiberg–Witten,...
5
• Esto da lugar al estudio de representaciones de superálgebras de Lieen el contexto de teoría cuántica de campos: lo que hoy se denomina«supersimetría»
• Desde entonces se estudian teorías supersimétricas:
? modelo sigma supersimétrico∗ geometría Kähler y sus generalizaciones∗ teorema del índice
? teoría Yang–Mills supersimétrica∗ instantones, monopolos y sus generalizaciones∗ invariantes de Donaldson, Seiberg–Witten,...
? supergravedad
5
• Esto da lugar al estudio de representaciones de superálgebras de Lieen el contexto de teoría cuántica de campos: lo que hoy se denomina«supersimetría»
• Desde entonces se estudian teorías supersimétricas:
? modelo sigma supersimétrico∗ geometría Kähler y sus generalizaciones∗ teorema del índice
? teoría Yang–Mills supersimétrica∗ instantones, monopolos y sus generalizaciones∗ invariantes de Donaldson, Seiberg–Witten,...
? supergravedad∗ superficies mínimas y geometría calibrada
6
? supercuerdas
6
? supercuerdas∗ incorporación de todo lo anterior (y mucho más)
6
? supercuerdas∗ incorporación de todo lo anterior (y mucho más)∗ relaciones inesperadas entre estas teorías
6
? supercuerdas∗ incorporación de todo lo anterior (y mucho más)∗ relaciones inesperadas entre estas teorías: dualidades, simetría
especular,...
6
? supercuerdas∗ incorporación de todo lo anterior (y mucho más)∗ relaciones inesperadas entre estas teorías: dualidades, simetría
especular,...
• En geometría casi nunca hay tanta simetría (P , G, ...) y muchomenos bosones y fermiones
6
? supercuerdas∗ incorporación de todo lo anterior (y mucho más)∗ relaciones inesperadas entre estas teorías: dualidades, simetría
especular,...
• En geometría casi nunca hay tanta simetría (P , G, ...) y muchomenos bosones y fermiones; sin embargo aun sin simetría puede habersupersimetría
6
? supercuerdas∗ incorporación de todo lo anterior (y mucho más)∗ relaciones inesperadas entre estas teorías: dualidades, simetría
especular,...
• En geometría casi nunca hay tanta simetría (P , G, ...) y muchomenos bosones y fermiones; sin embargo aun sin simetría puede habersupersimetría
• Mis ejemplos salen de la geometría pero estoy seguro que esto es unfenómeno mucho más extendido
7
Una conjetura metamatemática
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Una conjetura metamatemática
• Idea principal:
fermiones ecuaciones de primer orden
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Una conjetura metamatemática
• Idea principal:
fermiones ecuaciones de primer ordenysupersimetría
ysupersimetría
bosones ecuaciones de segundo orden
7
Una conjetura metamatemática
• Idea principal:
fermiones ecuaciones de primer ordenysupersimetría
ysupersimetría
bosones ecuaciones de segundo orden
• Conjetura
7
Una conjetura metamatemática
• Idea principal:
fermiones ecuaciones de primer ordenysupersimetría
ysupersimetría
bosones ecuaciones de segundo orden
• Conjetura: La supersimetría subyace cualquier situación dondeecuaciones de primer order impliquen ecuaciones de segundo orden
7
Una conjetura metamatemática
• Idea principal:
fermiones ecuaciones de primer ordenysupersimetría
ysupersimetría
bosones ecuaciones de segundo orden
• Conjetura: La supersimetría subyace cualquier situación dondeecuaciones de primer order impliquen ecuaciones de segundo orden,y donde además las soluciones a las ecuaciones de primer orden sean«mínimas»
8
Varios ejemplos
8
Varios ejemplos
• Teoría de Hodge
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Varios ejemplos
• Teoría de Hodge
• Instantones y sus generalizaciones
8
Varios ejemplos
• Teoría de Hodge
• Instantones y sus generalizaciones
• Geometría calibrada
9
Teoría de Hodge
9
Teoría de Hodge
• (Mn, g): variedad diferenciable riemanniana compacta y orientable
9
Teoría de Hodge
• (Mn, g): variedad diferenciable riemanniana compacta y orientable
• el complejo de formas diferenciales (de Rham)
C∞(M) d−→ Ω1(M) d−→ Ω2(M) d−→ · · · d−→ Ωn(M)
9
Teoría de Hodge
• (Mn, g): variedad diferenciable riemanniana compacta y orientable
• el complejo de formas diferenciales (de Rham)
C∞(M) d−→ Ω1(M) d−→ Ω2(M) d−→ · · · d−→ Ωn(M)
? un álgebra graduada ∧ : Ωp(M)× Ωq(M) → Ωp+q(M)
9
Teoría de Hodge
• (Mn, g): variedad diferenciable riemanniana compacta y orientable
• el complejo de formas diferenciales (de Rham)
C∞(M) d−→ Ω1(M) d−→ Ω2(M) d−→ · · · d−→ Ωn(M)
? un álgebra graduada ∧ : Ωp(M)× Ωq(M) → Ωp+q(M)? una derivación d : Ωp(M) → Ωp+1(M), d2 = 0
10
• (orientabilidad =⇒ ) un operador de Hodge ? : Ωp(M) → Ωn−p(M)
10
• (orientabilidad =⇒ ) un operador de Hodge ? : Ωp(M) → Ωn−p(M)que permite definir un producto escalar
〈α, β〉 :=∫
M
α ∧ ?β
y un adjunto formal del diferencial d
δ = ?d ?
10
• (orientabilidad =⇒ ) un operador de Hodge ? : Ωp(M) → Ωn−p(M)que permite definir un producto escalar
〈α, β〉 :=∫
M
α ∧ ?β
y un adjunto formal del diferencial d
δ = ?d ?
• el laplaciano de Hodge 4 = dδ + δd
10
• (orientabilidad =⇒ ) un operador de Hodge ? : Ωp(M) → Ωn−p(M)que permite definir un producto escalar
〈α, β〉 :=∫
M
α ∧ ?β
y un adjunto formal del diferencial d
δ = ?d ?
• el laplaciano de Hodge 4 = dδ + δd y
〈α,4α〉 = ‖dα‖2 + ‖δα‖2 ≥ 0
11
• Igualdad
11
• Igualdad ⇐⇒ 4α = 0
11
• Igualdad ⇐⇒ 4α = 0 ⇐⇒ dα = δα = 0
11
• Igualdad ⇐⇒ 4α = 0 ⇐⇒ dα = δα = 0 ⇐⇒ Dα = 0
11
• Igualdad ⇐⇒ 4α = 0 ⇐⇒ dα = δα = 0 ⇐⇒ Dα = 0 donde
D := d+ δ : Ωpar(M) → Ωimpar(M) y viceversa
11
• Igualdad ⇐⇒ 4α = 0 ⇐⇒ dα = δα = 0 ⇐⇒ Dα = 0 donde
D := d+ δ : Ωpar(M) → Ωimpar(M) y viceversa
• Las formas armónicas minimizan la «energía»
E(α) := 〈α,4α〉
11
• Igualdad ⇐⇒ 4α = 0 ⇐⇒ dα = δα = 0 ⇐⇒ Dα = 0 donde
D := d+ δ : Ωpar(M) → Ωimpar(M) y viceversa
• Las formas armónicas minimizan la «energía»
E(α) := 〈α,4α〉
• el teorema de Hodge: Hp ∼= Hp(M,R)
12
Supersimetría
12
Supersimetría
• La teoría subyacente es el modelo sigma supersimétrico unidimensional
12
Supersimetría
• La teoría subyacente es el modelo sigma supersimétrico unidimensional
? ∆ ↔ «hamiltoniano»
12
Supersimetría
• La teoría subyacente es el modelo sigma supersimétrico unidimensional
? ∆ ↔ «hamiltoniano»? D ↔ «operador de supersimetría»
12
Supersimetría
• La teoría subyacente es el modelo sigma supersimétrico unidimensional
? ∆ ↔ «hamiltoniano»? D ↔ «operador de supersimetría»? Ω ↔ «espacio de Hilbert»
12
Supersimetría
• La teoría subyacente es el modelo sigma supersimétrico unidimensional
? ∆ ↔ «hamiltoniano»? D ↔ «operador de supersimetría»? Ω ↔ «espacio de Hilbert»? H ⊂ Ω ↔ «vacíos»
12
Supersimetría
• La teoría subyacente es el modelo sigma supersimétrico unidimensional
? ∆ ↔ «hamiltoniano»? D ↔ «operador de supersimetría»? Ω ↔ «espacio de Hilbert»? H ⊂ Ω ↔ «vacíos»
• En toda teoría supersimétrica se puede definir el «índice de Witten»
12
Supersimetría
• La teoría subyacente es el modelo sigma supersimétrico unidimensional
? ∆ ↔ «hamiltoniano»? D ↔ «operador de supersimetría»? Ω ↔ «espacio de Hilbert»? H ⊂ Ω ↔ «vacíos»
• En toda teoría supersimétrica se puede definir el «índice de Witten»
Tr(−1)F := #estados bosónicos−#estados fermiónicos
13
• Se puede demostrar que sólo contribuyen los vacíos
13
• Se puede demostrar que sólo contribuyen los vacíos:
Tr(−1)F = dim Hpar − dim Himpar
13
• Se puede demostrar que sólo contribuyen los vacíos:
Tr(−1)F = dim Hpar − dim Himpar
= χ(M)
13
• Se puede demostrar que sólo contribuyen los vacíos:
Tr(−1)F = dim Hpar − dim Himpar
= χ(M)
= indD
13
• Se puede demostrar que sólo contribuyen los vacíos:
Tr(−1)F = dim Hpar − dim Himpar
= χ(M)
= indD
• Este resultado es paradigmático y sugiere una demostraciónsupersimétrica del teorema del índice de Atiyah–Singer a partir deteorías supersimétricas que generalizan y extienden el modelo sigma(Álvarez-Gaumé, Getzler,...)
14
Teoría de Hodge–Lefschetz
14
Teoría de Hodge–Lefschetz
• La noción de variedad (hiper)Kähler se puede definirsupersimétricamente
14
Teoría de Hodge–Lefschetz
• La noción de variedad (hiper)Kähler se puede definirsupersimétricamente
• Los teoremas básicos de la teoría de Hodge–Lefschetz son consecuenciasdirectas de la supersimetría de un modelo sigma cuatridimensional
14
Teoría de Hodge–Lefschetz
• La noción de variedad (hiper)Kähler se puede definirsupersimétricamente
• Los teoremas básicos de la teoría de Hodge–Lefschetz son consecuenciasdirectas de la supersimetría de un modelo sigma cuatridimensional:
? identidades de Hodge
14
Teoría de Hodge–Lefschetz
• La noción de variedad (hiper)Kähler se puede definirsupersimétricamente
• Los teoremas básicos de la teoría de Hodge–Lefschetz son consecuenciasdirectas de la supersimetría de un modelo sigma cuatridimensional:
? identidades de Hodge? identidades ∂
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Teoría de Hodge–Lefschetz
• La noción de variedad (hiper)Kähler se puede definirsupersimétricamente
• Los teoremas básicos de la teoría de Hodge–Lefschetz son consecuenciasdirectas de la supersimetría de un modelo sigma cuatridimensional:
? identidades de Hodge? identidades ∂? acción de SL(2,C) en cohomología
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Teoría de Hodge–Lefschetz
• La noción de variedad (hiper)Kähler se puede definirsupersimétricamente
• Los teoremas básicos de la teoría de Hodge–Lefschetz son consecuenciasdirectas de la supersimetría de un modelo sigma cuatridimensional:
? identidades de Hodge? identidades ∂? acción de SL(2,C) en cohomología
• También se extiende a variedades hiperkähler (Verbitsky) a partir de lasupersimetría de un modelo sigma seis-dimensional
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Teoría de Hodge–Lefschetz
• La noción de variedad (hiper)Kähler se puede definirsupersimétricamente
• Los teoremas básicos de la teoría de Hodge–Lefschetz son consecuenciasdirectas de la supersimetría de un modelo sigma cuatridimensional:
? identidades de Hodge? identidades ∂? acción de SL(2,C) en cohomología
• También se extiende a variedades hiperkähler (Verbitsky) a partir de lasupersimetría de un modelo sigma seis-dimensional
[FO–Köhl–Spence, hep-th/9705161]
15
Teoría gauge
15
Teoría gauge
• Una versión no lineal de la teoría de Hodge
15
Teoría gauge
• Una versión no lineal de la teoría de Hodge:
? P →M un fibrado principal con grupo G, compacto
15
Teoría gauge
• Una versión no lineal de la teoría de Hodge:
? P →M un fibrado principal con grupo G, compacto? una conexión A en P
15
Teoría gauge
• Una versión no lineal de la teoría de Hodge:
? P →M un fibrado principal con grupo G, compacto? una conexión A en P? con curvatura FA = dA+ 1
2[A,A]
15
Teoría gauge
• Una versión no lineal de la teoría de Hodge:
? P →M un fibrado principal con grupo G, compacto? una conexión A en P? con curvatura FA = dA+ 1
2[A,A]? para todo fibrado asociado E,
C∞(E)dA−−→ Ω1(E)
dA−−→ Ω2(E)dA−−→ · · ·
donde dA = d+A
15
Teoría gauge
• Una versión no lineal de la teoría de Hodge:
? P →M un fibrado principal con grupo G, compacto? una conexión A en P? con curvatura FA = dA+ 1
2[A,A]? para todo fibrado asociado E,
C∞(E)dA−−→ Ω1(E)
dA−−→ Ω2(E)dA−−→ · · ·
donde dA = d+A: no es un complejo d2A = FA
15
Teoría gauge
• Una versión no lineal de la teoría de Hodge:
? P →M un fibrado principal con grupo G, compacto? una conexión A en P? con curvatura FA = dA+ 1
2[A,A]? para todo fibrado asociado E,
C∞(E)dA−−→ Ω1(E)
dA−−→ Ω2(E)dA−−→ · · ·
donde dA = d+A: no es un complejo d2A = FA
? en particular, FA ∈ Ω2(adP )
15
Teoría gauge
• Una versión no lineal de la teoría de Hodge:
? P →M un fibrado principal con grupo G, compacto? una conexión A en P? con curvatura FA = dA+ 1
2[A,A]? para todo fibrado asociado E,
C∞(E)dA−−→ Ω1(E)
dA−−→ Ω2(E)dA−−→ · · ·
donde dA = d+A: no es un complejo d2A = FA
? en particular, FA ∈ Ω2(adP ) y dAFA = 0 («identidad deBianchi»)
16
• la ecuación de Yang–Mills
dA ? FA = 0
16
• la ecuación de Yang–Mills
dA ? FA = 0
extremiza el funcional
YM[A] = ‖FA‖2
16
• la ecuación de Yang–Mills
dA ? FA = 0
extremiza el funcional
YM[A] = ‖FA‖2
• En el caso abeliano G = S1, FA ∈ Ω2(M) y dA = d
16
• la ecuación de Yang–Mills
dA ? FA = 0
extremiza el funcional
YM[A] = ‖FA‖2
• En el caso abeliano G = S1, FA ∈ Ω2(M) y dA = d, así que
dFA = 0 y d ? FA = 0
17
Instantones
17
Instantones
• dimM = 4
17
Instantones
• dimM = 4 =⇒ ? : Ω2(E) → Ω2(E) obedece ?2 = 1
17
Instantones
• dimM = 4 =⇒ ? : Ω2(E) → Ω2(E) obedece ?2 = 1, así que
Ω2(E) = Ω2+(E)⊕ Ω2
−(E)
17
Instantones
• dimM = 4 =⇒ ? : Ω2(E) → Ω2(E) obedece ?2 = 1, así que
Ω2(E) = Ω2+(E)⊕ Ω2
−(E)
• A es un «instantón» ⇐⇒ FA ∈ Ω2±(adP )
17
Instantones
• dimM = 4 =⇒ ? : Ω2(E) → Ω2(E) obedece ?2 = 1, así que
Ω2(E) = Ω2+(E)⊕ Ω2
−(E)
• A es un «instantón» ⇐⇒ FA ∈ Ω2±(adP )
• A satisface automáticamente dA ? FA = 0
18
• Además el funcional de Yang–Mills está acotado por debajo
YM[A] ≥ | 〈c2(P ), [M ]〉 |
18
• Además el funcional de Yang–Mills está acotado por debajo
YM[A] ≥ | 〈c2(P ), [M ]〉 |
con igualdad ⇐⇒ A es un instantón
19
Instantones en dimensión > 4
19
Instantones en dimensión > 4
• ϕ ∈ Ω4(M) define una aplicación
ϕ : Ω2(E) → Ω2(E)
19
Instantones en dimensión > 4
• ϕ ∈ Ω4(M) define una aplicación
ϕ : Ω2(E) → Ω2(E)
F 7→ ?(?ϕ ∧ F )
19
Instantones en dimensión > 4
• ϕ ∈ Ω4(M) define una aplicación
ϕ : Ω2(E) → Ω2(E)
F 7→ ?(?ϕ ∧ F )
• ϕ es simétrica y se puede diagonalizar
Ω2(E) =⊕
λ
Ω2λ(E)
20
• Si d ? ϕ = 0, esto da lugar a una generalización de la noción deinstantón
20
• Si d ? ϕ = 0, esto da lugar a una generalización de la noción deinstantón: A es un «instantón»
20
• Si d ? ϕ = 0, esto da lugar a una generalización de la noción deinstantón: A es un «instantón» ⇐⇒ FA ∈ Ω2
λ(adP ) ∃λ 6= 0
20
• Si d ? ϕ = 0, esto da lugar a una generalización de la noción deinstantón: A es un «instantón» ⇐⇒ FA ∈ Ω2
λ(adP ) ∃λ 6= 0
• En efecto, si ϕFA = λFA, λ 6= 0
20
• Si d ? ϕ = 0, esto da lugar a una generalización de la noción deinstantón: A es un «instantón» ⇐⇒ FA ∈ Ω2
λ(adP ) ∃λ 6= 0
• En efecto, si ϕFA = λFA, λ 6= 0,
dA ? FA = λ−1dA(?ϕ ∧ FA)
20
• Si d ? ϕ = 0, esto da lugar a una generalización de la noción deinstantón: A es un «instantón» ⇐⇒ FA ∈ Ω2
λ(adP ) ∃λ 6= 0
• En efecto, si ϕFA = λFA, λ 6= 0,
dA ? FA = λ−1dA(?ϕ ∧ FA)
= λ−1 (d ? ϕ ∧ FA ± ?ϕ ∧ dAFA)
20
• Si d ? ϕ = 0, esto da lugar a una generalización de la noción deinstantón: A es un «instantón» ⇐⇒ FA ∈ Ω2
λ(adP ) ∃λ 6= 0
• En efecto, si ϕFA = λFA, λ 6= 0,
dA ? FA = λ−1dA(?ϕ ∧ FA)
= λ−1 (d ? ϕ ∧ FA ± ?ϕ ∧ dAFA)
• El funcional de Yang–Mills está acotado por debajo
YM[A] ≥ | 〈c2(P ) ∪ [?ϕ], [M ]〉 |
20
• Si d ? ϕ = 0, esto da lugar a una generalización de la noción deinstantón: A es un «instantón» ⇐⇒ FA ∈ Ω2
λ(adP ) ∃λ 6= 0
• En efecto, si ϕFA = λFA, λ 6= 0,
dA ? FA = λ−1dA(?ϕ ∧ FA)
= λ−1 (d ? ϕ ∧ FA ± ?ϕ ∧ dAFA)
• El funcional de Yang–Mills está acotado por debajo
YM[A] ≥ | 〈c2(P ) ∪ [?ϕ], [M ]〉 |
con igualdad ⇐⇒ A es un instantón con el menor |λ| posible
21
Supersimetría
21
Supersimetría
• Existe una única teoría Yang–Mills supersimétrica en el espacio-tiempode Minkowski
21
Supersimetría
• Existe una única teoría Yang–Mills supersimétrica en el espacio-tiempode Minkowski en 10 dimensiones
21
Supersimetría
• Existe una única teoría Yang–Mills supersimétrica en el espacio-tiempode Minkowski en 10 dimensiones
• La teoría se puede definir en una variedad lorentziana espín (M, g)de dimensión 10
21
Supersimetría
• Existe una única teoría Yang–Mills supersimétrica en el espacio-tiempode Minkowski en 10 dimensiones
• La teoría se puede definir en una variedad lorentziana espín (M, g)de dimensión 10, pero no es supersimétrica a no ser que M admitaespinores paralelos
21
Supersimetría
• Existe una única teoría Yang–Mills supersimétrica en el espacio-tiempode Minkowski en 10 dimensiones
• La teoría se puede definir en una variedad lorentziana espín (M, g)de dimensión 10, pero no es supersimétrica a no ser que M admitaespinores paralelos
• Equivalentemente, el grupo de holonomía
Hol(g) ⊆ Spin(7) n R8 ⊂ SO(1, 9)
22
• Nos concentramos en variedades M = R1,9−d×Kd
22
• Nos concentramos en variedades M = R1,9−d×Kd, donde K es unavariedad compacta con holonomía en la tabla de Wang
d Hol(g) ⊂ SO(d) Geometría4 Sp(1) hiperkähler6 SU(3) Calabi–Yau7 G2
8 Spin(7)8 SU(4) Calabi–Yau8 Sp(2) hiperkähler8 Sp(1)× Sp(1) hiperkähler
23
• Curiosamente todas estas geometrías tienen 4-formas paralelas
23
• Curiosamente todas estas geometrías tienen 4-formas paralelas, que seconstruyen a partir de los espinores paralelos
23
• Curiosamente todas estas geometrías tienen 4-formas paralelas, que seconstruyen a partir de los espinores paralelos
• Teorema: Dada una conexión gauge A en K, su «pull-back» aR1,9−d ×K es «supersimétrica» ⇐⇒ A es un instantón
[Acharya–FO–O’Loughlin–Spence, hep-th/9707118]
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• Curiosamente todas estas geometrías tienen 4-formas paralelas, que seconstruyen a partir de los espinores paralelos
• Teorema: Dada una conexión gauge A en K, su «pull-back» aR1,9−d ×K es «supersimétrica» ⇐⇒ A es un instantón
[Acharya–FO–O’Loughlin–Spence, hep-th/9707118]
• La supersimetría escoge un valor de λ
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• Curiosamente todas estas geometrías tienen 4-formas paralelas, que seconstruyen a partir de los espinores paralelos
• Teorema: Dada una conexión gauge A en K, su «pull-back» aR1,9−d ×K es «supersimétrica» ⇐⇒ A es un instantón
[Acharya–FO–O’Loughlin–Spence, hep-th/9707118]
• La supersimetría escoge un valor de λ
• En particular, se podría haber descubierto la noción de instantóngeneralizado a partir de supersimetría
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• Esta construcción sugiere un resultado (aun no demostrado) análogo ala correspondencia de Dostoglou–Salamon
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• Esta construcción sugiere un resultado (aun no demostrado) análogo ala correspondencia de Dostoglou–Salamon:
instantones en Σ1 × εΣ2 enel límite adiabático ε→ 0
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• Esta construcción sugiere un resultado (aun no demostrado) análogo ala correspondencia de Dostoglou–Salamon:
instantones en Σ1 × εΣ2 enel límite adiabático ε→ 0
↔
curvas holomorfasΣ1 → MΣ2
en el espacio de móduli defibrados vectoriales planos enΣ2
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Curvas cuaterniónicas
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Curvas cuaterniónicas
• (M, g, I, J,K) una variedad hiperkähler
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Curvas cuaterniónicas
• (M, g, I, J,K) una variedad hiperkähler:
? (M, g) variedad riemanniana de dimensión 4n
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Curvas cuaterniónicas
• (M, g, I, J,K) una variedad hiperkähler:
? (M, g) variedad riemanniana de dimensión 4n? I, J,K endomorfismos ortogonales de TM obedeciendo el álgebra
cuaterniónica
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Curvas cuaterniónicas
• (M, g, I, J,K) una variedad hiperkähler:
? (M, g) variedad riemanniana de dimensión 4n? I, J,K endomorfismos ortogonales de TM obedeciendo el álgebra
cuaterniónica y paralelos con respecto a ∇
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Curvas cuaterniónicas
• (M, g, I, J,K) una variedad hiperkähler:
? (M, g) variedad riemanniana de dimensión 4n? I, J,K endomorfismos ortogonales de TM obedeciendo el álgebra
cuaterniónica y paralelos con respecto a ∇
• (M ′, g′, I ′, J ′,K ′) otra variedad hiperkähler
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Curvas cuaterniónicas
• (M, g, I, J,K) una variedad hiperkähler:
? (M, g) variedad riemanniana de dimensión 4n? I, J,K endomorfismos ortogonales de TM obedeciendo el álgebra
cuaterniónica y paralelos con respecto a ∇
• (M ′, g′, I ′, J ′,K ′) otra variedad hiperkähler: una aplicación φ : M →M ′ es «cuaterniónica»
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Curvas cuaterniónicas
• (M, g, I, J,K) una variedad hiperkähler:
? (M, g) variedad riemanniana de dimensión 4n? I, J,K endomorfismos ortogonales de TM obedeciendo el álgebra
cuaterniónica y paralelos con respecto a ∇
• (M ′, g′, I ′, J ′,K ′) otra variedad hiperkähler: una aplicación φ : M →M ′ es «cuaterniónica» si
I ′ φ∗ I + J ′ φ∗ J +K ′ φ∗ K = −φ∗
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Curvas cuaterniónicas
• (M, g, I, J,K) una variedad hiperkähler:
? (M, g) variedad riemanniana de dimensión 4n? I, J,K endomorfismos ortogonales de TM obedeciendo el álgebra
cuaterniónica y paralelos con respecto a ∇
• (M ′, g′, I ′, J ′,K ′) otra variedad hiperkähler: una aplicación φ : M →M ′ es «cuaterniónica» si
I ′ φ∗ I + J ′ φ∗ J +K ′ φ∗ K = −φ∗
que es una ecuación diferencial elíptica de primer orden
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• Si dimM = 4 el funcional
S[φ] :=∫
M
‖dφ‖2g′
para aplicaciones φ : M →M ′
26
• Si dimM = 4 el funcional
S[φ] :=∫
M
‖dφ‖2g′
para aplicaciones φ : M →M ′ está acotado por debajo
S[φ] ≥∫
M
(ωI ∧ φ∗ωI′ + ωJ ∧ φ∗ωJ ′ + ωK ∧ φ∗ωK′)
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• Si dimM = 4 el funcional
S[φ] :=∫
M
‖dφ‖2g′
para aplicaciones φ : M →M ′ está acotado por debajo
S[φ] ≥∫
M
(ωI ∧ φ∗ωI′ + ωJ ∧ φ∗ωJ ′ + ωK ∧ φ∗ωK′)
con igualdad ⇐⇒ φ(M) es una curva cuaterniónica
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• Si dimM = 4 el funcional
S[φ] :=∫
M
‖dφ‖2g′
para aplicaciones φ : M →M ′ está acotado por debajo
S[φ] ≥∫
M
(ωI ∧ φ∗ωI′ + ωJ ∧ φ∗ωJ ′ + ωK ∧ φ∗ωK′)
con igualdad ⇐⇒ φ(M) es una curva cuaterniónica, dondeωI(X,Y ) = g(IX, Y ), etc... son las 2-formas asociadas
27
• Un argumento supersimétrico partiendo de la teoría Yang–Millssupersimétrica en 10 dimensiones sugiere la siguiente correspondencia
27
• Un argumento supersimétrico partiendo de la teoría Yang–Millssupersimétrica en 10 dimensiones sugiere la siguiente correspondencia:
instantones en M1× εM2 enel límite adiabático ε→ 0
27
• Un argumento supersimétrico partiendo de la teoría Yang–Millssupersimétrica en 10 dimensiones sugiere la siguiente correspondencia:
instantones en M1× εM2 enel límite adiabático ε→ 0
↔
curvas cuaterniónicasM1 → MM2
en el espacio de móduli deinstantones en M2
[FO–Köhl–Spence, hep-th/9710082]
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• Un argumento supersimétrico partiendo de la teoría Yang–Millssupersimétrica en 10 dimensiones sugiere la siguiente correspondencia:
instantones en M1× εM2 enel límite adiabático ε→ 0
↔
curvas cuaterniónicasM1 → MM2
en el espacio de móduli deinstantones en M2
[FO–Köhl–Spence, hep-th/9710082]
• Ejercicio: ¡Demostrarlo!
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Epílogo
• Existen otras ilustraciones de la conjetura
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Epílogo
• Existen otras ilustraciones de la conjetura:
? monopolos y sus generalizaciones
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Epílogo
• Existen otras ilustraciones de la conjetura:
? monopolos y sus generalizaciones? vórtices y sus generalizaciones
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Epílogo
• Existen otras ilustraciones de la conjetura:
? monopolos y sus generalizaciones? vórtices y sus generalizaciones? la geometría calibrada de Harvey y Lawson
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Epílogo
• Existen otras ilustraciones de la conjetura:
? monopolos y sus generalizaciones? vórtices y sus generalizaciones? la geometría calibrada de Harvey y Lawson
• Ejercicio
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Epílogo
• Existen otras ilustraciones de la conjetura:
? monopolos y sus generalizaciones? vórtices y sus generalizaciones? la geometría calibrada de Harvey y Lawson
• Ejercicio: ¡Buscar más ejemplos!
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Muchas gracias.