random variabel

Random Variabel

Hasdi Radiles19770909 201101 1 005

Teknik TelekomunikasiJurusan Elektro- Fakultas SainTek UIN Suska – Riau

Pekanbaru, 01 April 2012

Probabilitas dan Statistik

Syllabus

Materi perkuliahan :

1. Random variabel

2. Random variabel diskrit

3. Random variabel kontinu

4. Distribusi khusus

5. Analisa Join Distribusi

Referensi:

1. Douglas C. Montgomery: “Applied statistics and Probability for Engineers”, John Wiley & sons, Asia, 2007.

2. http://stattrek.com/probability/random-variable.aspx?Tutorial=Stat, akses Mar 2012

Update : 01 April 2012Elektro - UIN SUSKA2 – Probabilitas dan Statistik

http://stattrek.com/probability/random-variable.aspx?Tutorial=Stat

Definisi random variabel Sebuah fungsi yang memberikan bilangan real untuk setiap outcome yang

terdapat dalam ruang sampel dari suatu eksperimen random (proses random). Dinotasikan dengan huruf kapital, dan setelah eksperimen dilakukan nilai yang

didapat dari suatu random variabel di notasikan dengan huruf kecil. Diskrit: r.v. yang memiliki interval terbatas ( atau tak terbatas tetapi dapat

hitung). Contohnya: jumlah garis pada permukaan, jumlah bit yang rusak, dll.

Kontinu: r.v. yang memiliki interval bilangan real baik untuk terbatas maupun tak terbatas. Contohnya : arus listrik, panjang, tekanan, suhu, waktu, berat, dll

Contoh soal 1: Manakah yang merupakan r.v. diskrit? Suatu percobaan melemparkan koin sebanyak tak terhingga Perhitungan mean munculnya gambar pada setiap pelemparan koin. Jumlah hari dalam setahun Jumlah anak yang lahir dalam setahun di kota pekanbaru


Random variabel

Penggambaran dari r.v. diskrit dapat disajikan dalam 2 fungsi yaitu: Fungsi distribusi probabilitas (probability mass function – pmf):

Fungsi yang menggambarkan nilai probabilitas untuk masing-masing out come yang memenuhi syarat sebagai berikut:

Untuk semua x: f (xi) ≥ 0

Total probabilitas: f (xi) = 1 Definisi f (xi) = P(X = xi)

Fungsi distribusi kumulatif (cumulative distribution function – CDF):

Fungsi yang menggambarkan nilai kumulatif yang berarti lebih kecil atau sama dengan () nilai interval tertentu, dan memenuhi syarat:

F(x) = P(X x) ={ (xi) untuk xi x}

0 F(x) 1 Jika x y, maka F(x) F(y)


Random variabel diskrit

Contoh soal 2:

Dalam pengiriman 1000 bit informasi melalui kanal, 50 bit mengalami error selama transmisi. 2 bit dipilih secara random dengan metoda non-replacement dari 1000 bit tersebut. Misalkan r.v. X sebanding dengan jumlah bit yang error dalam sampel yang didapat. Berapakah fungsi distribusi kumulatif dari X?

Jawab;P(X = 0) = (950/1000) x (949/999) =0.90245

P(X = 1) = 2 {950/1000 x 50/999} = 0.09509

P(X = 2) = 50/1000 x 49/999 =0.00245

Sehingga :

F(0) = P(X 0) = 0.90245

F(1) = P(X 1) = 0.90245 + 0.09509 = 0.99754

F(2) = P(X 2) = 1

CDF harus digambarkan dari -< x < dan bukan hanya untuk 0, 1, dan 2 saja.



Atribut r.v. Diskrit : Mean atau Nilai Ekspektasi

Mean atau Nilai Ekspektasi dari r.v. diskrit dinotasikan dengan atau E(X):

Median : Merupakan nilai x dimana P(X x) ≥ 0.5 atau P(X ≥ x) ≥ 0.5

Variansi (Var) dari X adalah:

Standar Deviasi (SD)

Nilai Ekspetasi dari fungsi random variabel

Jika X adalah r.v. diskrit dengan pmf f(x), maka:



x

xxfXE

xx

xfxxfxXEXV 22222

x

xfxhXhE

2 SD

Contoh soal 3:

Misalkan X adalah jumlah bit error dalam transmisi 4 bit sinyal. Kemungkinan nilai X adalah {0, 1, 2, 3, 4}. Misalkan model error diberikan adalah P(X = 0)=0.6561; P(X=1)=0.2916; P(X=2)=0.0486; P(X=3)=0.0036; P(X=4)=0.0001.

a. Hitunglah mean dan variansi

b. Gambarkan fungsi distribusi dan distribusi kumulatif dari r.v. X tersebut.

Jawab:

Tabel lebih mudah

menggunakan ms office XL



4.0

0001.040036.030486.022916.016561.004433221100

fffffXE

x x - 0.4 (x - 0.4)^2 f(X) f(x)(x-0.4)^2

0 -0.4 0.16 0.6561 0.1049761 0.6 0.36 0.2916 0.1049762 1.6 2.56 0.0486 0.1244163 2.6 6.76 0.0036 0.0243364 3.6 12.96 0.0001 0.001296

36.0

4.05

1

22

i

ii xxfXV



0 1 2 3 4 x

f(x)

0.6561

0.2916

0.04860.0036

0.0001

0 1 2 3 4 x

f(x)Probability mass

functionCumulative

Distribution function

Definisi : Jika X adalah r.v. kontinu, maka untuk sembarang x1 dan x2, berlaku:

Penggambaran dari r.v. kontinu dapat disajikan dalam 2 fungsi yaitu: Fungsi distribusi probabilitas (probability density function – pdf):

Memenuhi f (x) ≥ 0 Total probabilitas: Luas area dibawah fungsi f(x) untuk sembarang nilai a dan b berlaku:

Fungsi distribusi kumulatif (cumulative distribution function – CDF):

CDF dari suatu r.v. kontinu X adalah:


Random variabel kontinu

1

dxxf

b

a

dxxfbXaP

21212121 xXxPxXxPxXxPxXxP

xduufxXPXFx

Contoh soal 4:

Misalkan r.v. X menunjukkan arus yang di ukur dalam kawat tembaga dalam satuan mA dengan range [0, 20mA]. Diasumsikan bahwa pdf dari X adalah f(x) = 0.05 untuk 0 x 20mA.

a. Berapakan probabilitas bahwa pengukuran arus yang didapatkan kurang dari 10 mA?

b. Berapakah probabilitas pengukuran berkisar antara 5 dan 20?

c. Buatlah grafik CDF dari r.v. X tersebut

Jawab:

Grafik pdf untuk r.v. X adalah dengan mengasumsikan diluar range f(x) = 0

d. Probabilitas arus kurang dari 10 mA adalah:

e. Probabilitas arus berkisar antara 5 hingga 20mA adalah:



5.0005.01005.005.01010

0

10

0

dxdxxfXP

75.025.0105.0505.02020520

5

dxxfXP

c. CDF dari r.v. X terdiri dari 3 bagian, yaituo F(X) = 0, untuk x < 0 mAo F(X) = 0.05x untuk 0 x 20 mAo F(X) = 1 untuk x > 20 mA



0 20 x

F(x)

1

Atribut r.v. kontinu Mean atau Nilai Ekspektasi

Mean atau Nilai Ekspektasi dari r.v. diskrit dinotasikan dengan atau E(X):

Variansi (Var) dari X adalah:

Standar Deviasi (SD)

Nilai Ekspetasi dari fungsi random variabel

Jika X adalah r.v. diskrit dengan pdf f(x), maka:



dxxxfXE

2222

dxxfxdxxfxXV

2

dxxfxhxhE

Contoh soal 5:

Minimum arus yang mengalir pada sebuah perangkat elektronik adalah 10 mA. Pencatu daya perangkat tersebut mampu memberikan arus maksimal hingga 20 mA. Jika densitas dari arus tersebut adalah f(x) = 0.1 dengan hambatan 1, maka

a. Berapakah mean dan variansi arus tersebut.

b. Berapakah mean dari daya arus pada perangkat tersebut

Jawab:



1510040005.02

1.020

10

220

10

x

dxxxfXE

33.44322545021040

3100800

2251.021.0

31.0

225301.01520

10

2320

10

220

10

2

xxx

xxdxxfxXV

3.2333

1.01.020

10

320

10

22

xdxxdxxRfxXhE

1. Sebuah provider internet memberikan 2 jenis layanan, yaitu layanan A dengan pembayaran tetap/bulan dan layanan B dengan bergantung pada pemakaian bandwidth. Diketahui jumlah pelanggan adalah 1000 sambungan dengan persentase 30% menggunakan layanan tetap dan sisanya adalah layanan B. Tarif layanan A adalah Rp. 500ribu/bulan, sedangkan layanan B Rp. 1/kb. Data menunjukkan bahwa 20% penggunaan bandwidth perbulan layanan B rata-rata 500MB, 80% 1GB dan sisanya 2GB.

a. Berapakah mean dan variansi pembayaran layanan A dan B

b. Manakah layanan yang lebih menguntungkan? Berikan alasannya

2. Dari pengukuran lamanya baterai berfungsi didapatkan data bahwa minimal pemakaian adalah 5 menit. Akibat beragamnya umur laptop yang telah digunakan, fungsi f(x) = 20e-20(x-15) , dan x ≥ 15 menit, merupakan representasi data durasi baterai yang digunakan pada laptop di suatu perkantoran besar.

a. Berapa persenkan jumlah baterai yang bekerja lebih dari 30 menit

b. Jika standar kantor laptop harus berfungsi minimal 1 jam, berapa banyak laptop yang harus diganti baru?

c. Hitunglah mean durasi baterai dan variansinya.


Responsi #1

Illustrasi: [Telekomunikasi] Dalam penelitian suatu sistem komunikasi optik, besarnya error

diklasifikasikan dalam 3 kelas (10-9, 10-10, 10-11, 10-12). Percobaan tersebut dilakukan dengan menggunakan fiber optik single mode, dan multimode. Bagaimanakah anda dapat memberikan analisa distribusi probabilitas errornya jika mengasumsikan jenis fiber yang digunakan?

[komputer] Dalam sistem antrian pada komunikasi data, message dikirimkan melewati 4 kemungkinan server yang berbeda. Kondisi masing-masing server bisa dinyatakan dalam keadaan sibuk (congestion) atau dalam keadaan kosong (idle). Bagaimanakah anda menerangkan distribusi peluang message tersebut datang ke suatu server dan server sedang dalam keadaan sibuk?

[Energi] kebutuhan listrik suatu kota berkisar [10 – 20MW]. Penggunaan energi ini bergantung pada hari pemakaiannya. Bagaimanakah kemungkinan distribusi penggunaan energi di kota tersebut?

Kita perlu menganalisa join probablitas untuk dua atau lebih random variabel

Untuk 2 r.v. disebut dengan bivariate distribution


Distribusi probabilitas join

Joint probability mass function dari r.v. diskrit X dan Y di notasikan dengan fXY (x,y), memenuhi kondisi sebagai berikut:

Marginal probability mass function dari r.v. diskrit X dan Y adalah:


Probablitas join diskrit r.v.

0, yxfXY 1,

x yXY yxf

yYxXPyxfXY ,,

y

XYX yxfxXPxf ,

x

XYY yxfyYPyf ,

Contoh soal 6:

Dalam sebuah drive test, seorang engineer melakukan panggilan dari lokasi yang berbeda-beda terhadap BTS yang baru on air. Setiap tempat dilakukan 4x panggilan dan rata-rata sinyal dicatatnya dalam satuan jumlah bar pada handpone. Misalkan X adalah r.v. yang menyatakan jumlah bar (kekuatan sinyal handphone) dan Y adalah r.v. Y yang menyatakan jumlah sukses panggilan yang dilakukan. Probabilitas data kedua r.v. tersebut diberikan oleh tabel disamping.

Carilah marginal distribusi

probabilitas X dan Y



x = Jumlah bar dari kekuatan sinyal

1 2 3

Y= Jumla

h sukse

s

4 0.15 0.1 0.05

3 0.02 0.1 0.05

2 0.02 0.03 0.2

1 0.01 0.02 0.25

Jawab:

Penyelesaian dapat dilakukan dengan 2 cara yaitu: dengan perhitungan persamaan dan perhitungan menggunakan tabel.

dan dengan cara yang sama juga didapat

kan distribusi marginal Y.

perhatikan tabel disamping ini.



y

XYX yxfxXPxf ,

55.005.005.02.025.0,334

1

i

XYX iff

2.015.002.002.001.0,114

1

i

XYX iff

25.01.01.003.002.0,224

1

i

XYX iff x = Jumlah bar dari kekuatan sinyal fY(x,y)

1 2 3

Y= Jumlah sukses

4 0.15 0.1 0.05 0.3

3 0.02 0.1 0.05 0.17

2 0.02 0.03 0.2 0.25

1 0.01 0.02 0.25 0.28

fX(x,y) 0.2 0.25 0.55

Conditional pmf dari Y jika diberikan (X = x) adalah:

memenuhi persyaratan

Mean :

Variansi



;0,

xfxfyxf

yf XX

XYxY

0yf xY

1y

xY yf

yfxXyYP xY

y

xYxY yyfxYE2

2222xY

yxY

yxYxYxY yfyyfyxYV

Contoh soal 7

Carilah



Independen

Dua buah r.v. X dan Y dikatakan independen jika memenuhi salah satu yang mengakibatkan memenuhi smua kriteria berikut:

untuk seluruh set A dan B dalam rentang X dan Y, dan sebaliknya



yxyfxfyxf YXXY ,,

0, xfyxyfyf XYxY

0, yfyxxfyf YXyX

BYPAXPBYAXP ,

Karakteristik: Finite possible value: memiliki range yang terbatas dan diskrit Equal probability: masing-masing outcome memiliki probabilitas yang sama Constant probability: probabilitas masing-masing outcome adalah konstan

Atribut: Mean

Variansi


Distribusi uniform

ninxf i ,,2,1/1

22

b

XE

12

11 22

ab

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x

f(x)

0.1

random variabel

Documents

nilai x dimana px x

memberikan bilangan

2 bit dipilih secara

0 fx 1jika x y

f xi 0total probabilitas

fungsi random variabeljika

xi untuk xi x

eksperimen dilakukan