rank reduction and conjugation aurél galántaimiskolc mathematical notes hu e-issn 1787-2413 ol.v 1...

24

Upload: others

Post on 24-Jan-2021

0 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Rank reduction and conjugation Aurél GalántaiMiskolc Mathematical Notes HU e-ISSN 1787-2413 ol.V 1 (2000), No 1, pp. 11-33 DOI: 10.18514/MMN.2000.15 Rank reduction and conjugation

Miskolc Mathematical Notes HU e-ISSN 1787-2413Vol. 1 (2000), No 1, pp. 11-33 DOI: 10.18514/MMN.2000.15

Rank reduction and conjugation

Aurél Galántai

Page 2: Rank reduction and conjugation Aurél GalántaiMiskolc Mathematical Notes HU e-ISSN 1787-2413 ol.V 1 (2000), No 1, pp. 11-33 DOI: 10.18514/MMN.2000.15 Rank reduction and conjugation

����������� ���� ������ ����� ���� ������ ��� �����

���� ������� ��� ����� ���

����� ��������������� � ���� ������ ���������� � ������

���� ������ � ������ ������ �������

������������� ��������

�������� !�"�� #�� $$� �%%%&

��������� '� ����������� ��������(� ���� �� ������ ���� �� ������ ���)������� ��*������ �+ '� ���� �� �,��� ����������-����� � ��� ��� ���� ������-����� "�� ��� #� ������� �� ������ �������� �� �,"���� ���� ������ ���������� ����, ��� "�������� �� ���*)������� "���� ����+

����������� ������� ������������ .�/�0� .�/�0� .�/%%� ��1$$� ��1$�!�"#�$%� 2 ���� �� ������� ���)�������� ����, ������-������

�� �����������

�� ��� "�"�� 3� ����������� ��� ���� �� ������ "���� ��� � �������� �4&� ��0&� ���&��$5& �� ���)������� �������� � 3���� ��� ������ �� ��� ����3��� ����� � ���)����� �������� ���� � �$�& �� ������� ������ ����� � � ��� ��

�� � ��� � ����� � � ��� ��� ��� �� �

�� 6�+�7

�� ���� �

8�� �� � �� #� ��#������+

��� � � � � � ��� � ��� � ��� � ��

�� ����

���� � �� � �������

8�� � � ��� ��� � � � � ��� � ���� �� � � ��� ��� � � � � ��� � ���� #� ������*�����+ 9�� "��� ��� � � �� ��� �� #� �*���)����� � ��� ����, � � � ��� �� ��3������������+ 9�� "��� ��� � � �� ��� �� #� �*#����)����� � � ��� � � �� �������+1������� � ��� ������ �� ���"� � ����� � �+ :� #����� ��� ������� � !��3����$�& �� ;��� �� �5& 3� ��� ����#���� ��� ����3���

����! � &'�$���� � ��$������� �� ����� (�$ ��" ���$���' ����� �� �( ��% ��"�( ��� ���$ ��� � � �� �)�����'����

1 "��������� ���)����� �������� ���� �� �<�� #� ��� �*���)����� "��� ��� � �+�� ��� "�"�� 3� ����������� ���)������� "���� ���� 3���� ��� ������ �� ��� ����

Page 3: Rank reduction and conjugation Aurél GalántaiMiskolc Mathematical Notes HU e-ISSN 1787-2413 ol.V 1 (2000), No 1, pp. 11-33 DOI: 10.18514/MMN.2000.15 Rank reduction and conjugation

�$ &� *�+����

�� ������ �������� � ��������+ 9��� 3� ��� 3��� ��� &,� ���)������� "���� ���� 1#�=�� ;��� �� �� !"� ����� ��&���&� ��� ���)������� "���� ��� � !��3��� �$�&���� �3�*�� � >�� *!�� � � "���� ��� � ���� ?� ��.&� ��@&� ��4&� A������ �$�&� :���/�� ����� �� >���# �.& 6�� ����� �*���)������� "���� ����� ��� B����� �� �$.&7+

�� ����� #� ������� ���� ��� ���� �� ������ �������� 3�� �� �������� ���*������� ��� &,� ���� � 3���� 3��� �����"� ����� C����*D�3��� ������C��� ��&+

'� �<�� �*���)������� �� ����������� ������� �� 3���+ 8�� � � ����� � ����� �� � � ����+ 9�� "��� ��� � � �� ��� �� #� �*���)����� � � � � ����� ����������� ��3�� ����������+ 9�� "��� ��� � � �� �*#����)����� � � � � ��� ������������� �������+

>���� ��� ����, �� ��� ������� ��� ���� �� �� ��� 3��� ����� ��� ��# �*������ ���������� � ��� <��� � ��3�� ��� <��� � ���� ��� ��� ���� � ��3� �� ��� ����

� ���� ��� ���"��������+ 9��� ��� �� ��� ��� ��� "�����"�� ��# ����, � �� �� �+ 1����������� ����, � � ���� �� ��� �� #� �������� ������������ � � ��� �� -. �*�� "�������+ �� �� 3��� ���3� ���� � ����������� ����, � ��� �� -. ��� "��������

� �� ���� � ���� ��� �� ����������� �� � � �� � � � �� �+

�� !������ $ 3� ����� ��� ��� ���� �� ������ "���� ���+ �� !������� � �� 5 3������������ ��� ��������� �� ��E����� ��� ������ �� "���� ��� ��� ���� �� ������"���� ��� 3������ #���� �3�+ �� !������ � 3� ���� �� �,��� ����������-����� �� ����� "������ � ��� ��� ���� ������-����� �� � ���

��� ��

� � ���� "�� ��� #� ������� �� ������ �������� �� ����� ������� ������-����� �������+ �� �� ���� ���3����� ��� �� "������ � ��� ��� ���� ������-����� ��� #����)�����+ ��� "�������� ���"��� ���� ��� �� �

�� *#����)������ 3���� �

�� ������ ��� �*������� � ��+ 9�� &,�

���)������� "���� ���� 3���� "�� ���� �*���)����� "���� ���� � � �� ����������� ��!������ .+ ���� 3� ���3 ���� &,� ���)������� �� ����������� � ��� ���� ������-�����#� ��������(� ���� �� ������ �������� + 9�� �C��������� � !��3���(� ���)��������������� �� ��� &,� ���)������� �� ���3� �� !������ @+ �� !������ 4 3� �������������� 9!>! #����)������� "������ � ���� ?� ��.&� ��@&� ��4&� A������ �$�&� :��� /�� ������� >���# �.&+ �� �� ���3� �� #� � �"����� ���� � ��������(� ���� �� ������ �������� +!������ % �����3� �� � � ��� 9!>! ������ ������� � :��� /�� ����� �� >���# �.&������ ��3 "���� �� 3���+

"� �#��$%�&'� ���( ��������� )��������

9�� ���� �� ������ "���� ��� �� #��� �� ��� ����3��� ������ � �������� ��0& �� '� ��#��� �$4&+

����! " �/'�$0+$" 1��2� -�� � � ���� �� �$���$�$" #��� ��� ��� � �� 3���

������ ���

�� ��� ���� � �� � ��� � � ��� 6$+�7

��%� �( ��% ��" �( ��� � ����� ����� #��$� � � �� � � �� �$� �$���$�$" 0����$�������� ��" �� ��� $���$������ ���� �� ��

Page 4: Rank reduction and conjugation Aurél GalántaiMiskolc Mathematical Notes HU e-ISSN 1787-2413 ol.V 1 (2000), No 1, pp. 11-33 DOI: 10.18514/MMN.2000.15 Rank reduction and conjugation

4��� $�%������ ��% �����'����� ��

�� 3�� '� ��#��� 3�� "���� ��� � "��� � ��� ������ <��� �$4&+ 9�������3� ���� ���� ������ ��� ��������*'� ��#��� ������ + /�� ����� "���� �� ������ ������ 3� ���� �� ������*�F-�� ��$& �� G�������� �$0&+ �� �� ���� ���� ���� �� �������� ��������� �����#��� 9����� $ ���� �� '� ��#��� 6��%&7� �� �������� ��6�$0&7 �� �� '� ��#��� �� �������� �� 6�@&7+

9�� ���� �� ������ "���� ��� � �������� ��0&� ���& �� ��� ����3���+

8�� �� � ���� #� �� ��#������ ����, � ���� �� ���

���� � �� ���������� �

������� � � �� � � � � 6$+$7

�� ��� ������� �� � �� �� �� � �� �� 3���� ������� �� �+

1� ��� ������ � ��� ���� � � ��� "���� ��� ��� ������ �� ���"�� ���� ������ � �+ ����� ��� �������� �� � ����

���� ����� � � � � �

������

�3� ��� 3���� ��

�� �� �� �����*"�� ��� ��

���� � �� � ����� � � � ���������

��� ��� ��

+++�����

��� 6$+�7

��

�� � ����� � � � ����������

��� ��� ��

+++��� ��

��� � 6$+57

���"��������+ �� ����3� �� ��������� 6$+$7 ���� ����� ������ � ����� ���� �� �����

���

���

�� �����

���

�+ � � � ��� � � � � ��� �� � � ��� � � � � ���� ���� ��

� � �

�!! ���� � "���� ����

� ����� ���� � "���

�� ����

� 6$+�7

*� � ��������+ ���! �� �#��$%�&

'� ���� �� ��� ������ �� �� 3���� � ���"� � ���������� �� "�� ���� �� �������"�������� 6$+$7 ��� #� "���� � + '� ��� ��� ����3��� ������ � >��� �� ���&6��� ���� G�������� �$0&7+

��!!� * �*������ 1�52� -�� � � ���� �� ��$�������% �� ��� (�$�

� �

�# $% �

�� 6�+�7

#��$� # � ���� �� ������'��$� 3���

��� ��� � ��� �#� � ����� �%#��$

�� 6�+$7

Page 5: Rank reduction and conjugation Aurél GalántaiMiskolc Mathematical Notes HU e-ISSN 1787-2413 ol.V 1 (2000), No 1, pp. 11-33 DOI: 10.18514/MMN.2000.15 Rank reduction and conjugation

�5 &� *�+����

� #��� � �� # ��� ������������ ���� ��� !���� �� "�� ��� � �%#��$ �� ���������������+ 9�� � "��� � ��� ����3��� #���� ������ 3�� <��� "���� #� ����������0&� ���&� 3���� ��� ���� � "��� 3�� <��� "���� #� 1#�=�� ;��� �� �� !"� �������&� ��&+

����! , 3�� �$�� � ����� �( $��� $�%������ �'�$���� ����� ��� �� ��$$��% ��� �(��% ��" �( � ������

�� �� ��$��'" ������'��$� 6( � �������� �� ��$��'" ������'��$

����

���� � �� ������� ������

����

� ������ 6�+�7

-����� '� <��� ���� � ���� � ���������� ���"� 3��� "���� � � 3���� ���� ������� ���� �� � �� � � �� � � � � �+ 8�� �� � ����� � � � ������ �� �� �

��

� ��� � � ���� ��

�+

9���

���� � �� ������

� ��� �

8�� �� �#����� ���� � ����� � ��� ����

�������

� �� � ���� �� ����������� ��3��

���������� �� ��� �

�� � ��� ����

�������

� &� � �� &� �� ����������� �""�� ����������+

���� �� �� &� ��� ���� ��3�� �� �""�� ����������� ���"��������+ '� ��� ���� �#���������

����� � ��� �������

�� � �����

� ��� �

�� � �����

� &� � �� &�

�� 3���� �� � �����&��

� �� � ����� &��

� ����3�+ !� ������ 3� �#���� ����

� ����� � � ��� ��� ������ � �������

��

� ��� � ���

��

� ��� � ���

��

�� ��� � ���

��

� ������ � ���

� ������+ �����

���� � �� ������ &��

� ���

� ���

� ������ � �� ����

�� ����

&�

��

� ������

1�

� �������� � � ������

��

� ��� �

�� � ���� &� 6�+57

3� "���� ���� � �������� �� �������� �����������+ ;� ��#��������� 3� �#���� �� ���

6�+�7+ 8�� �� ��""��� ���� � �������� �� �������� �����������+ '� ��� "���� ����

��� ���� �� � �� � � �� � � � � �+ 1� #� ���� "���� ��� ���� �� � ��� ����, �� ���������

�� �� �

�� ���� �� �<�� + 8�� �� ���� � ���� 3� ���� �<�� �� �� � � �+

9���

�� � �� ���

� ����

��� ����

�������

��� � ����

��

Page 6: Rank reduction and conjugation Aurél GalántaiMiskolc Mathematical Notes HU e-ISSN 1787-2413 ol.V 1 (2000), No 1, pp. 11-33 DOI: 10.18514/MMN.2000.15 Rank reduction and conjugation

4��� $�%������ ��% �����'����� ��

��

��� ���� � ��� ���� � �

�� ��

� ����

��� ����

�������

��� � ����

�����

8�� �� �#����� ���� ��� ���� �� ��� !���� �� "�� ��� � ��� #�� ��� ����,

� �������� �

� �� ����

�����

������ ����

������

��� ������� ��� ����

��

1� ����� ������

���� � �� ���

�� ����

�����

����

� ���� ��� >��� �� �� �

� "���� ���� ������� ����

�� � �� ��� ���� �� �+ ����� ���� �� �<�� �� 3�

�� "���� ��� "��� � ��� ������ +

9�� <��� "��� � ��� "��� �� � ������ � �<������ � 9����� � 5+$ �� 5+� �� ��&+9�� ����� "��� � ��� "��� �� ��3+

'� ������ ���� �� ������� #�� ��� ������� � ��� ��

'� �

�' ()� *

� �' � ����� (� ) � ��

���� � ������ ��� �'�� � ��� �'� �*�)�'��(� ��� �� � ' �� �����������+ /�� � + � 3���� 3����

��� ���� � ���� ������

�� ���

�� ����

�������

�� 6�+�7

/�� � + � �� ������ ����3� ����

�����

��� ���� � ���� ������

��� 6�+.7

9��� �� ��� �� 3���*���3� ���������� ��� #�� ����� ��������� ���� � 3���� � �*�)�'��(� �""���� �� "���� � * �� ��� ������� � '� 6���� �+�+ �$�&� �.&7+

����� ��� ��������� �� 6�+�7 3� ��� ������ "����

-��)������� . -�� ��� �� ��" �)��0�$�� �( ��� 3���

����� �� � ���

�� �� � �� �, � �� � 6�+@7

9��� ������ 3�� <��� �#����� #� 1#�=�� ;��� �� �� !"� ����� �� �������������

��&� ��&+ 8�� �� ������ ���� ��� ��(� ��� "��)������+ A������������ �� �� � � � ����

��� ��(� ��� "��)������+

/�� � � ��� ��������� �� 6�+�7 ��� � �� ��� ��� "�������

�� � ����� ����

���� ���� 6�+47

Page 7: Rank reduction and conjugation Aurél GalántaiMiskolc Mathematical Notes HU e-ISSN 1787-2413 ol.V 1 (2000), No 1, pp. 11-33 DOI: 10.18514/MMN.2000.15 Rank reduction and conjugation

�. &� *�+����

3���� - � ��� ����

���� � �����<�� ��-�� � �� �� -��- � -+ ����� - ��

� ��H�,��� �*������� � ��+ � �� � $% �� � ��� ���� ������-������ � � %�. ��

� � $ 6.� � ���� ��� ����������� �������7� ���� - � ��� ����

���� � ��

��� ����*A������ ������� � ��+ /�� ����� "��"������ � ��� ��H�,��� �*������� - 3����� �� �������� �%&+

-��)������� / 6( �� � $% �� � (� $��� (����$�7����� � � %��%%�

�����%

� � $�$�$

��� ���� ���� ��� �� (����$�7�% �� ��� (�$�

���� � $� � � ����

%

�� � ����

�� 6�+%7

,� 0+��( ���( ���������

�������� ����� ��� �� ��� 6�+�7 �� ��� #���� ���� �� ������ ��0&� ���&+ ;���� ������ ������ 3�� ���� ����������� #� :���� �� /�� ����� �@&� �� G�������� �$0& 6��� ������� �$$&7+ ���� 3� ������ ��� ������ � :���� �� /�� ����� 6�@&� :�������� �+�7 �� ���� � ��3 "��� 3���� �,"����� � ������C�� � G�������� 6�$0&� 9� �+ $+.� �� $+.#7+

����! 1 �����)8��%�$�� 192� -�� ��" � ���� ��� ��� � ��� �"� � � ��%�� &���� � �& � ���� � � ���� � � ����� �� � (� $��� (����$�7����� �( "�3���

��� �� � "� � ��� ���� ��� �"� 65+�7

�( ��% ��" �(

& � ��� � � � � ��� � ��� � � 65+$7

(�$ ���� ���$���� � � ���� ��% � � �����

-����� '� <��� "���� ��� � "���+ 8�� �� ����� �� ��� ����,

' �

�� ��� � ���� �

��

�� �

��

�� �� ��� �

/�� ��� !�������� ��3 � ������� �� ����3� ���� ��� ��� � ��� �'�+ 1""����� ���>��� �� �� � 3� �#����

���� ���

�� ���

���� ��

� ��� ���� ��� �"� �

9�� ���� � "��� �� � �������� �� ��� ����3��� 3��+ 8�� �� ���� � ���� ��� �� � "� /��� ���� � � � �� ���

' �

�� � �

& �

��

Page 8: Rank reduction and conjugation Aurél GalántaiMiskolc Mathematical Notes HU e-ISSN 1787-2413 ol.V 1 (2000), No 1, pp. 11-33 DOI: 10.18514/MMN.2000.15 Rank reduction and conjugation

4��� $�%������ ��% �����'����� �@

1� #� ��� >��� �� �� �

��� ��� � ��� �'� � ��� ��� � ����� � &���� �

�/ ��� ��� � ��

3� �#���� ���� ��� ��� � ��� �'�+ ����� ����� �,��� ������� � �� � ���� ����

�� � �

�� � � &��� �

��&

��

�� �

���

/�� ���� 3� �#���� ���� � � � � ��� & � �� �� � � � �� � � �& � � ���+9��� 3� "���� ��� ������ +

��!��( 2 3�� ���� � � � '�0�� ��� :�%%�$��$�)/'�$0+$" ����$��� 3�� �( ��$��( 3���$�� 9 #�� �$�� �$�0�% �" /'�$0+$" 1��2 1��2 ��% ��� �����$� �� 4�� 1��2�;������ ��0����'���% ��� ���� $��� $�%������

� ����� ���

��� ��

#��� $�����'��$ � ��� ��% ��" ������ �( '���$��7�% ��0�$�� 1��2�

9�� #���� ���� �� ������ �� ��� ���������� �� "�� ���� �� ������� ��� ��� �C���*�����+ �������� "���� ���� �� �������� ����������� � ������

�� ��� #���� �� ������6�+�7 �� �#�����#�� #� � ���������� �� "�� ���� �"�������� ��0&� ���&+ 9��� �� ��� ������� � � ������

�� �� ��� �������� ����������� �� ���3� #� ��� ����3��� �,� "��

�� �

�� � � �� � �� � �

�� � � � � � �� � � ��

!� ��� ��� ������ � #���� ���� �� ������ ��� ���� �����������+ '� ��� ������ �,��� ��� ��������� �� ��� � �������� �� ��� #���� ���� �� ������ ��������

���� � �� �����

�� �� ����

���� �� ��� � � �� � � � � 0� 65+�7

3���� �� � ���� � �� � ���� � !� � � �� ��� ���� ��

���!�+

8�� ���

���!�+ 1 ����, � � ���� �� ��� �� #� "��������� 3��� ���"��� ��

��� "�������� �!�� � � � � !��� � � � ��� �������

�� ��� � ���� + 1 ����, � �� ��� ��

#� #���� �������� ����������� 3��� ���"��� �� ��� "�������� �!�� � � � � !�� � ����� �,�������������� #���� ��3�� ���������� � �� ����������� #���� �""�� ���������� & �������� � � �& � �� #��� ������� ��� "��������� 3��� ���"��� �� �!�� � � � � !��+ 8���� �� � ��� � � � ����� �� �� � ��� � � � � ���+ 9���

����� ���� � "������ ����

� �!! ���� � "���

�� ����

� 65+57

9�� ����3��� ������ ��� #� "���� �� ��� �� � 3�� �� 9����� 5+

Page 9: Rank reduction and conjugation Aurél GalántaiMiskolc Mathematical Notes HU e-ISSN 1787-2413 ol.V 1 (2000), No 1, pp. 11-33 DOI: 10.18514/MMN.2000.15 Rank reduction and conjugation

�4 &� *�+����

����! 3 3�� �$�� � ����� �( ���� $��� $�%������ �'�$���� �<��� ��� �� ��$$��%��� �( ��% ��" �( �� �����

���� �� ���� ��$��'" ������'��$� 6( �� ��������� �� ����

��$��'" ������'��$ ����

���� � �� ����� ��

�� ������� ��

�� �� ������ 65+�7

9�� ���� � "��� � ��� ������ <��� �""���� �� �$& 3��� � �������� �=����� "���

6���� ���� ��&7+ � �� ������� �� �� �������� ����������� �� ��� ����� ������ ���� �� �� ����

#���� �������� ����������� �� ��� "��������+ �� ���� ���� ��� � "��� � ��� ������ ����3� �� 9����� 5� 3���� �� � �"����� ���� � 9����� %+ '� ���� ���� ���� ������ ������� � ��#��C���� �������� 3���� ����3 �� 9����� 5 ��� ���� #� ����#����� �� ��� #���� ���� �� � ����������3�� 3��+

.� �����4 �������5������ ��� ���( ���������

'� ���� ��� ��� �� "������ � ��� ��� ���� ������-����� 6$+57 �� ��� � � ��� "�*�� ����� ��� � �� � �� ����� � "������ �����C������ ���� �� ����, ��� "���*������ �����������-����� �� �� ������� ������� ������ �� ������#��� �� ��� ��������� �+ �� �� ���� ���3� ���� ��� "��� ���� ��� �� �

�� *#����)������ 3���� �

�� �� ���

�*�������+

8�� ' � ����&� #� ��� ���C�� -=. * ��� "������� � ����, ' � ���� 3������� ��3�� ���������� ��� ������� �� �� ���� �""�� ���������� &�+ '� ����� ������ ����3��� �� "�� �#����������+

� � �� ����������� ��3�� ����������� ���� �� � � � ���

� � �� � ��� �� &� � & + � � �� ����������� �""�� ����������� ���� � � � � � � � � � ��

�� & � � ���

� & �+ 8�� � #� � ����������� ��3�� ���������� ����,+ � �� �������������������� � �� ���� � � � �� ���� �������� �����������+ !� ������� ��� � #� ������������ �""�� ���������� ����,+ 9��� � �� �������� ����������� � �� ���� ��� �� ���� �������� �����������+

� �3� ����������� ������� � �� ' ���� ��� -. * ��� "�������� � � ��& �� ' � ��& 3��� ��� �� � �""�� ���������� & � ���� ����� �� � ���C�� ��3�� ���������� ����, � ���� ���� � � �'+ !� ������� � � � �&� �� ' � �&� ��� 3��� ����� � ��3�� ���������� �� ���� ����� �� � ���C�� �""�� ���������� ����, & ���� ����� � '& +

/�� ��� "��� � 9����� 5 6�� ��� 6�+577 3� ��� ������ ����#���� ����

�� � �� �������� � �� � �� �������� � �&� � &� �������� � 6�+�7

��� � ���

� ��������������� �� � ���

��&��

� �������� � 6�+$7

/�� � � 3� �#���� ��� �� "������ � ��������(� ��� ���� ������-����� �� ��� � ���� "��� ����� ��� �� ��+

Page 10: Rank reduction and conjugation Aurél GalántaiMiskolc Mathematical Notes HU e-ISSN 1787-2413 ol.V 1 (2000), No 1, pp. 11-33 DOI: 10.18514/MMN.2000.15 Rank reduction and conjugation

4��� $�%������ ��% �����'����� �%

����! �6 -�� �� � ���� �( $��� ��% �� � ���� �� ��$��'" ������'��$�3�� ���������� �( ��� (� $��� (����$�7����� �� � ���

��� ��

� �$�

�� � ��� � �

��� ����

� �� � ���&��

� ����� �� � �� ���� � 6�+�7

��% �� ��� �� �>�$����% �� ��� (�$�

�� ����&

��

� ����

���

� ����

���

� ����� ���

� 6�+57

�,"������� 6�+�7 �� �� <��� �""���� �� ���&� ��5& 3��� � �=����� "���+ �� 3����� �����-� ����� 3������ ���� "�"�� ���� ��� "��� � 9����� 5 ��� #� � �<� ������ �,"�������� 6�+�7*6�+57 ���� #� ����� ������+

9�� ������� �� �� �� ��� #� 3������ �� ��� �� �� � ��� � &

��

�������� �� �

����������

��� ���"��������+ 9�� ���� � �� ��� #� ������ 3��� �� #� �����"�����

��+ 1�

��� �

��

� � &��

������

���

�����

���

����������

6�+�7

������� ������� �� �� ��� #� �� ����� �� �� � 3� ��"���� �� #� ��� � � �� � #�

���� �����+

'� ���� ���� ���� �� ����������� �""�� ���������� &� �� &� ��� ������� ������� � &� �� � �&� ������ ��� ������-����� 6�+57 ��

�� ����&

��

� �������

���

�����

� �������

��

���

���

� ����� ���

� 6�+.7

����� ��� �=��� � ����� ������� ������ �� ���� � ������� �������+

9�� ����3��� �#��������� ���������� � #���� "��"���� � ��� ��� ���� ������-�����6�+57+

-��)������� �� -�� ��� %����� ��" �)��0�$�� �( ��� 3��� ��� ���$ ���� ��� �� ��

� )�������'����

-����� ;� �<������

��� �

�� �� � �

��

� ����� �

����

�� ��

��&��

� ����� �� ���� �

9�� ���� �� ������ "���� ��� �<��� � ��� ���� ������-����� 6�+57 � ����,��+ 9�� ��,� �#���������� 3���� ����3� �� 9����� �0� ���3� ���� ��� ��� ����������-������ ��� #� �������� #� ��������(� ���� �� ������ "���� ���+

-��)������� �" -�� �� � ���� �� �( $��� ��% �� �� � $% �� ��" (� $���(����$�7������ -�� � � %�

�%%�

�����% � � $

�$�$

���� 3��� �� � $ �� � �

��% ��� � %�

Page 11: Rank reduction and conjugation Aurél GalántaiMiskolc Mathematical Notes HU e-ISSN 1787-2413 ol.V 1 (2000), No 1, pp. 11-33 DOI: 10.18514/MMN.2000.15 Rank reduction and conjugation

$0 &� *�+����

'� ������ ���� �3� �� "�� �,� "���+

�4�!)+� �* -�� ��� ���'��$ 0��� %������������ �( �� � ���� �� '�0�� �� ���(�$� �� � &

��� �

� #��$� & � ���� � � ���� &�& � � � �� � � ��%

� � ���� �� ������'��$� 3�� ������ $ � & % � �� � "��%� � � � ��� ��%� � & � 3��� �� � & ��% �� � �� � �

9�� "���� ��� "������� ������ ���� ���� ����� ����������� ����, � � ����

��� #� 3������ �� ��� �� � � �� � 3���� � �� �� ���������� �� � �� � �� �����"������� �<���� ����,+

�4�!)+� �, -�� �� � ���� �� ������'��$ ��% �� �� � �� �� ��� ���$ %����)��������� 3�� ������ $ � � % � � "��%� � � ��� ��% � � �� 3��� �� � � ��%��� � � �

'� ����� �� ��3 ��� ����, ������-������ 3� ��� �#���� �� 9����� �0+ /����� ���� � ���� ������� 3� ���� � ���� ��� ������� ����� � � ���� ��� ������������� ���� ����� ��� �������� �����������+ 9��� �� �� �� ��� ���� �������������� � ���

��� �� �� �� ��� 6�+57 ��� #� 3������ �� ��� ��

�� ��� ���� ������ ����

����

� ����

��� ����&� �����

���� 6�+@7

-��)������� �. ��� �� ����$ �$���'��$ �( ��% ��" �( � �� ����$ �$���'��$� ��

� ���#�$ �$���'��$ �( ��% ��" �( � ��� �� �#�$ �$���'��$� �� �� ����$ �$���'��$�( ��% ��" �( ��� �� ����$ �$���'��$� �� �� �#�$ �$���'��$ �( ��% ��" �( � � ���#�$ �$���'��$�

-����� /�� ��� �������� ��� � ��� ����&� �������� � �& � 3���� �& �� �""��

����������� �� ����3� ���� ��� � &��

� �������

� �����& �� ���� �""�� ����������+ �����

� �� �""�� ����������+ � ��� � ���

� ����� ��� � ��� 3���� �� �� ��3�� ����������� ����

� ��� � �� ������ �� ���� ��3�� ����������+ !� ������� �� � ���&

��

� ����� �& � �

�� ���� � ��� �� �""�� ����������+ /������� �� � � ���� ������ ���� � ��� ��� ���� � � � �� ��3�� ����������+

����++��& �/ �� �� �#�$ �$���'��$ ��% ��� �� ����$ �$���'��$ �( ��% ��" �( �

��% � �$� ����$ �$���'��$�

�� ���� ���� ������-����� 6�+57 �� "��<�� �� ��� -. ������-�����

�� � �������

�������

� ���

�����

� �

���� ����

&���

�� ����� ��� 3��� 6�+.7+ /�� � � � � � ���� ������ 3�� <��� �#����� #� ���������4&� ��0& 6�� &,� ���)�������� ��� ��&7+

Page 12: Rank reduction and conjugation Aurél GalántaiMiskolc Mathematical Notes HU e-ISSN 1787-2413 ol.V 1 (2000), No 1, pp. 11-33 DOI: 10.18514/MMN.2000.15 Rank reduction and conjugation

4��� $�%������ ��% �����'����� $�

-��)������� �1 �� �� ����$ ?�������$' �( ��% ��" �( ��� � �� ����$ ?�������$'�

�� �� ����$ ?�������$' �( ��% ��" �( ��� �� ����$ ?�������$'�

-����� '� �,"���� ��� ��� ���� ��� �""�� ������#��� �� �� ��������� ��* �� ����"�������� #� �""�� ���������� ����, �� #��� �� ��+ ;� �<������ �� ���

� � ���� ����

� $ � 3���� $ �� �""�� ������#��� � �� ���� � ��� � � $��

� ����

�� �""�� ������#���+ !� ������� �� � ���&��

� ����� $ �� �""�� ������#��� � ��

���� � ��� � $&� ���� �� �""�� ������#���+

-��)������� �2 -�� ' � ���� �� � �"����$�� ��% ������0� %������ ���$�>� ��

�� ')�$���'��� �( ��% ��" �( � � '��� � & ��%� #��� ��" ������'��$ � ��% �

������'��$ ����$ �$���'��$ & �

-����� �� �� '*����������� � �� ���� �

���'�� � ���

� ����� ���'�

�� � �

��� ����

� ��

3���� � �� �������+ 9��� ��� � �,����� � � ���'��� � � �� ������

�� ����

+ 9���� "���� �� ������

�� � �� ���� + ����� � ����������� �""�� ���������� & �,����

���� ���� � ���'��� � & � � ����� �� 3���� � � '��

� � & ����3�+ 1� ' ���� ����� �� "������� �<����� ��� �������������� � � �� & �� ��� ��� ����� ����� ������ �������������� � � ����+

'� ��� ��" ��� "������� �<�������� ��� ����� � ' � 3� ���� � ���� � ���� �� ���'�

�� � �� �������� �����������+

����++��& �3 �� �� �$���'��� �� �� � %��'��� �����' ��% �� �� �#�$ �$���'��$�( ��% ��" �( � � ��

� � & ��%� #��� ��" ������'��$ ����$ �$���'��$ & ��% � � 6����� � ���� (����$�7����� �5�<� �� ��� 8I)(����$�7����� �( ���

-��)������� "6 -�� ' � ���� �� � �"����$�� ��% ������0� %������ ���$�>� ��

�� ')�$���'��� �( ��% ��" �( � � '����� ��%� #��� ��" ������'��$ � ��% �

������'��$ �#�$ �$���'��$ ��

-����� �� �� '*���������� � �� ���� �

���'�� � &��

� ��������

� '���&��

� ����� ��

3���� � �� �������+ 9��� ��� � �,����� � ����� '��� � &�

� �����&� ���� ��

3���� &��������� � &� ���� ����3�+ ����� � ����������� ��3�� ���������� ����,

� �,���� ���� ���� ������ '��� � � ����+ 9��� � "���� � � '����

� + 1� ' ���� ����� �� "������� �<����� ��� �������������� � � �� � �� ��� ��� ����� ����� ������ �������������� � � ����+

����++��& "� �� �� �$���'��� �� �� � %��'��� �����' ��% ��� �� ����$ �$���'��$

�( ��% ��" �( � � ����� ��%� #��� ��" ������'��$ �#�$ �$���'��$ � ��% ����$

�$���'��$ �� 6� ���� � ���� (����$�7����� �5�<� �� ��� I�)(����$�7����� �( ���

Page 13: Rank reduction and conjugation Aurél GalántaiMiskolc Mathematical Notes HU e-ISSN 1787-2413 ol.V 1 (2000), No 1, pp. 11-33 DOI: 10.18514/MMN.2000.15 Rank reduction and conjugation

$$ &� *�+����

'� ���� ���� �"����� ����� � :���������� �% �� $� �""��� �� ��� &,� ���)���������&+

>���� � ����, �� � ����� � *4 ��� "������� � �� �� � ������-����� ��� ���� � "�� ��� ' � %�� 3���� % �� ����������� �� � �� �""�� ���������� �$@&+;� A��"������� �$ ��� *4 ��� "������� ��� #� �#����� #� ��� ���� �� �������������� � ��������+ /�� �"����� ����� ���� �� ��� -. �� @4 ������-������ 3����� �� :���������� �. �� $�+

/������ 3� ����������� ��� �"����� ���� �� � �+ 9���

� ���&��

� ��

����

� ��

����

� ��� �

�6�+47

�� ��� �������� � �&��

� ��� � ���� ���� �� ��� � �� �� �� �� � � ���

� ���

���&�� ���� �� ��� ���� ���� ��

� �����

���

���+

9�� ����3��� ��#�� ����� �� � -. ������-����� ������ ������� �� �� � � �� ��� "��� ����� ����� �������+

� � �� ���� ��

� � � � ���

���

�� � &� � ���

&��

� � ��� ���

� ��

� �� &��

���

� &

�� �� ���� ���� ��� "��� ����� � � �� �� � � � �<�� ��� � "����� -. &,� ���� 6��� ��&7+

9�� ����3��� �#���������� ��� ������ �� ��� 8���-�� �� ������� 6���� �+�+ ��%&7+8�� �� � �� �� �� � �

����� 6� � �� � � � �7+ 8�� �� � �� #� ���� ���� ��� J����� ����, � �

��� ���� � � � � �

�������� �����������+ 9��� ��� �

�����1��

����� �� �� � � $ � 3���� ��� �� "����� ����, $ �� �<�� #�

$ �

���������

� � � � � � 1�

� �+++

+++

� �+ + +

++++++

++++ + +

+ + + � 1���

� � � � � � 1�

����������

'� �,"���� ���� ��� �

����

���

����� �� � � + 8�� �� ����� �� ��� �� �������

������� �����

����

����

���

�� �� ���

�� ��

�� ����

����� ��

���

� ��

� �� ����� ��$�

��� ��

���

� ���

6�+%7

3���� ��� �""�� ������#��� ����, $ �� ����"��� #� �3� �""�� ���������� �*������+ 9��� ����"�������� ���"� ��� �""�� ������#��� �� + ����� ��������(�

Page 14: Rank reduction and conjugation Aurél GalántaiMiskolc Mathematical Notes HU e-ISSN 1787-2413 ol.V 1 (2000), No 1, pp. 11-33 DOI: 10.18514/MMN.2000.15 Rank reduction and conjugation

4��� $�%������ ��% �����'����� $�

���� �� ������ �������� �<��� � �� ������� ������� ����� � ����, � �� �"*"�� ������#��� �� �� ����� ��� ������� ����� ������� ��

� �� ���� �� ��*

���������+ 8�� �� ���� � ����� ���� �� � �� �� ���� ���� ��� J����� ����,

� ����� �

���� � � � ����

������

��� �����������+ 9��� ��� � �$� ��� � 3���

� �����#�� �� "����� ����, $�+ '��� ���� ������ � �� �������� 6�+%7 #��� ��

����

����

���

�� &��

� ��

�������

�&�� �� � &��

� ��$�� &

�� �� �

3���� ��� ��3�� ������#��� ����, $�� �� ����"��� #� �3� ��3�� ���������� �������+

9��� ����"�������� ���"� ��� ��3�� ������#��� �� + 1� ����

����

���

��� � #���

�""�� �� ��3�� ������#��� �� � ��� ����, ��� #� ��� �������+ ����� ��� ������ ������ �������� ���� �<��� � �� ������� ������� ����� � ����, � �� ��� ��������� ������ ��� ������� ����� ������� ��

� �� ���� �� �����������+

����! "" -�� �� � �� �� ���� ���� � � ��� ���� � � � � �

������

�� ������'��$�6( �� � � ��% � �� ���� ���� � �� �� ��$��'" ������'��$ ���� ��

������

���

�%����� �� ����$ ?�������$' ���$�> #���� �� �����$ �� �� 6( �� �%%����� � ����� �

���� � � � ����

������

� ���� ��

������

���

��� � �$�%��'��� ���$�> #���� ��

�����$ �� ��

!� ���� ������� �""���� �� !��3��� �$�&� �� 1#�=� �� !"� ����� ��& �� �������*���� 3��� ��� �*���)������� �������� �+ '��� �� ������ ��3 ���� �� ��� �� ����������� "������� � ��� ������� ����� ����, �� ��� �������+

/� � ��� ���7�#����� )��������

�� ���� ������� 3� ����������� ��� &,� ���)������� "���� ��� � 1#�=�� ;��� ���� !"� ����� ��&+ 9��� �������� � 3���� �� #��� �� ��� ���� �� ������ "���� ����"�� ���� �*���)����� "���� ���� �+ '� ���� � ���� ��� � � ���� ��� �����������+

�� ���� "

�� � ���� �� ��#������ �����������

��� � � � �� � ��

� (� 6(� � ��� ��� �� �� �7���� � �� ������

���� �

������

��� � ��� ������� �� �

����

1� �� � / , ��� �������� �� � �!! ���� � "���� ��� ��� � ��� ��� �� � �� ���

����, � � ��� �� ����������� ��3�� ����������+ ����� 1������� $ "�� ���� ����*���)����� "��� �����+ 9�� ��#��������� �� � �� �� 6� � �� � � � �7 �� � � ������� � � � ��� � � ��� + !� ��� ��������� "��� ��� � � �� �*���)�����+ 9������� ���� ������ �� �� ����� �� "���� ����� ���� ���� �� �*���)����� "����+

'� ��� ���� �<�� ��� ���)����� "��� ���� � #� ������� 2� � ��)� 6� � �� � � � �7�� � � 2�� � � � � 2��+ /�� � / ,� ��� �2� � ��� ��)� � �+ ����� ��� "��� ���� � ���� �� �*���)�����+

Page 15: Rank reduction and conjugation Aurél GalántaiMiskolc Mathematical Notes HU e-ISSN 1787-2413 ol.V 1 (2000), No 1, pp. 11-33 DOI: 10.18514/MMN.2000.15 Rank reduction and conjugation

$5 &� *�+����

/�� ������ ��� ��� - � (�� � � � � (��+ '� ���� �� ��� ������ �� �� 3���� 1������� $ "�� ���� ����������� �*���)����� "���� �����+ 9��� ��""��� � �� ���� �

��� �� �� �� ������� �� � �� � �� � � � �� � 6.+�7

9�� ����� ��� ����� ��� � � �� ���� � ����� �� �������� �����������+ ;� �<��*���� ��� �� � ����

�� (� ��

��������� � �������� (��� � �

�����

�� �

��� �����

� �����

������� (����

3���� �� ��� !���� �� "�� ��� � ��� #�� ��� ����,�����

���

�� ��� (���

��

�� �����

� ��� ������

� (���

�������

� ��� �����

��� (���

��

;� ��� >��� �� �� � ��������� �� � ��� � � �� ���� �

�������������

�� ���

������

���

�� ��� (���

��� ���

� �����

� ���� ��

9��� ��""��� �,����� � ���������

����

� ��� (���

�� � � �� ���� �� �

���

������

���

�� ��� (���

���� ��

9��� 3� ����

����! "* &'�$���� � �$�%���� � ������'��$ �)�����'��� ���$ ����� �( ��% ��"�( ��� ���$�> � ���� �� ��$��'" ������'��$ ����

�� (� �� � ��%

���

�� ����

���

�� ��� (���

���� � �� � �� � � � �� �� � 6.+$7

� 3� ������ (� � �� 6� � �� � � � �7� ���� ��� ����� 6.+�7 ������� ��

��� �� � ������� �� � �� � �� � � � ��� 6.+�7

������ ��� ������ �������������� � � ���� �� ��� ��������� �� ��E����� ��� ������� "�� ����� ����������� �*���)����� "���� ���� �+ 9�� ������ - � � �<��� �����������-� � "�����-. �� *6-.&,� ��#����� � ��� &,� ���� � ���&� ��5&+ 8���� ������ ���� �� � ��

� �� �� ��� ��� �� "����� � ��� ��� �����"��� � 3���� 3������������ �� !������ �+ 1� � � �� 3� ��� ������ � ���� *6-.&,� ���)��������� "�� ����� ��� "��� ������� 3���� �� �*���)�����+ !� ��� *6-.&,� ���)��������� ������� ���� #�� � ��� ���� ������-����� #� ��������(� ���� �� ������ "���� ���+!� ������� 3� ���� ���� "��� ���� � � �� ���� �*���)�����+ 9����� � 5 �� �0 � "��

Page 16: Rank reduction and conjugation Aurél GalántaiMiskolc Mathematical Notes HU e-ISSN 1787-2413 ol.V 1 (2000), No 1, pp. 11-33 DOI: 10.18514/MMN.2000.15 Rank reduction and conjugation

4��� $�%������ ��% �����'����� $�

����! ", -�� - � � � &'�$���� � �$�%���� � ������'��$ �)�����'��� ���$����� �( ��% ��" �( ��� ���$�> � ���� �� ��$��'" ������'��$� 6( � ���� �� ��$��'"������'��$ ���� � � ��

� � ���� ����

� ��� � &

��

������

'� "���� ��� ����3��� ����������-������ � 1������� $+

����! ". 8�$ ��" �)�����'��� ���$ ����� ���$� �>��� �� �$���'��� ���$�> � ��%� ������'��$ %��'��� ���$�> � ���� ���� &'�$���� � #��� �� � � � � - � ��'���$���� ��� ���$ ������

-����� 8�� � � ���� #� � @4*������-����� � � 3��� ������� � �� �����""�� ���������� ��+ 1� �

�� � ������ � � � "���� ���� � ����

� � ��� ����,���� �� �������� �����������+ ����� #� 9����� $5 1������� $ "�� ���� �,�������� "��� ����� �� ��� "��� ����� �� � �� - � � � ��+

/�� � ����� � �� ���������� � ����� ��� ��� ����������� �,��� �� �*���)�����"��� ����� "�� ��� #� � *6-.&,� ���)�������+ /�� �,� "��� ��� �� � ��

� �

�� � � �� � �� � �

�� � � �

�� � � �� � 3� �3 �

�� ��� � 3� � �

��

9���

� ���� � ��� �

�� � � �� � �33 3 �

���� ��� �������� �����������+

-��)������� "/ -�� - � � � &'�$���� � �$�%���� � ������'��$ �)�������'��� ���$����� �( ��% ��" �( ��� ���$�> � ���� �� �#�$ �$���'��$�

-����� 9�� "��� ����� �� �*#����)������ � ��� � � �� �������+ 1� ��� �����

� � &��

������

� ������������

�� ���� �� ��""�� �,����� � �����

�� �� ����

�������+

����! "1 -�� ' � ���� �� � �"����$�� ������0� %������ ���$�> ��% - � � � &)'�$���� � �$�%���� � ������'��$ �)�����'��� ���$ ����� ���� ���� � �� ')�$���'��� �( ��% ��" �( � � '��

� � �� #��$� � �� ��" ������'��$ ��% � �� ��" ������'��$

�#�$ �$���'��$ ���$�>� 6� ���� � ���� � � ��� � &

��

� ��������

9�� �� � � ��� #� �#����� � � 3� ������ � � '� �� 1������� $+ 9��� ��� ���'� � � � "���� ���� � � � �� ��������

&������

��� ���'�

�� � &

��

������� ��

Page 17: Rank reduction and conjugation Aurél GalántaiMiskolc Mathematical Notes HU e-ISSN 1787-2413 ol.V 1 (2000), No 1, pp. 11-33 DOI: 10.18514/MMN.2000.15 Rank reduction and conjugation

$. &� *�+����

� ���'��� � � &�

�������&����

�� �� � � '��

� � �� 3��� � ����������� ��3��

���������� �+ �� ���� ��� ������ � � '� � '��� � &

��

������������"�� � �� �� �

&��

������+

9�� �#��� ������ �""���� <��� �� !��3��� �$�& �� ��� �"����� ���� � � ��� �� � �� � �� � - � � � � �� �� � �� 3��� � � � &��

� � � �6��� ���� ��&7+

1� 8��9��� '� ���7�#����� )��������

!��3���(� �*���)������� "������ �� #��� �� ��� -. ������-����� � ��� � �"� 3����� � 2�� � � � � 2�� �� ��� "��� ���� �$�&+ :������� �� � �"�� �<��� ��� �*���)�����

"��� ��� � + '� "���� ���� !��3���(� �*���)������� "���� ��� �� �C�������� 3���

��� *6-.&,� ���)������� "���� ���+ ����� �� �� ���� ������ �� ��� ���� �� �������������� +

8�:��'8 ����� ��� �� ����

�� � 2�

��� � � � �� � + �

4� ������

�� �� ����

���2�

�� � 5��

��

2� � � ����4�

� 5�� �� �

���

��� ��� ��

��� � ��

���

�� �� ���� �� ��� ����

���� � 5��

�������

�� � � ��

� ���� � ��

��

� ����

�2����

1� � � �"�� 3� ��� 3���� � �� � ����"��

�����

� ��� ���� � ��

��

� ���� � ����� �������

���

� �����

;� ��� �� "�� ��#��������� �� � 5��

�� 2� 3� �#���� ���� �� � ��� �� �� � � �� � � � �+

9��� 3� "���� ���� !��3���(� ���)������� "���� ��� �� ����#�������� �C�������� 3���1������� $ �� ��� �"����� ���� - � � � �� � � �� � � ��� + �� ���� ��� !��3����������� � "������� ���� ��� ��������� �� 6�+�7+

2� � �9�;����� ��!;8� !��� !�� ��

�� ���� ������� 3� ��� 3��� ��� �3�*�� � >�� *!�� � � 69!>!7 "������� 3���� "��* ���� �� ��*#����)����� "��� �&� � �+ 8�� �� � ���� #� � ���� � � � ��� � � � � ���

Page 18: Rank reduction and conjugation Aurél GalántaiMiskolc Mathematical Notes HU e-ISSN 1787-2413 ol.V 1 (2000), No 1, pp. 11-33 DOI: 10.18514/MMN.2000.15 Rank reduction and conjugation

4��� $�%������ ��% �����'����� $@

�� � � ��� � � � � ���+ 9�� �3�*�� � >�� *!�� � � �������� �� �<�� #�

�� � ��� �� � �� 64+�7

�� � �� ��������

��� ������� ����

�� �� � �� � � � � � 64+$7

�� � �� ��������

���������� ����

�� �� � �� � � � � � 64+�7

3���� �� �� �� ��� ��� "��)������� � �� �� ��� ���"��������+

9��� "������ 3�� �����"� �� �� �������� #� ������� �������� ��� <��� � 3������ :+ ���� ?� ��.&� ��@&���4&+ ���� ?� "���� ���� ��� "��� �&� � � �� ��*#����)������

�� � ��&�� ���&

���� ���� �� &

�� ���&

���� � �� � ��H�,��� �*������� � ��

� ��� "������ �� ������ ���+ A������ �$�& �<�� �������� 64+�7*64+�7 �� �� � � �����+ :��� /�� ����� �� >���# �.& �<�� �� ����������� ��� 9!>! #����)���*���� "������ �� ����������� 3��� ��� �������� ���� �� ������ �������� + /������ 3� ������ ;��� �� ��&� 3�� ���� � #���� ��������-����� � ��� >�� *!�� � � �������� �3���� �������� ��� 9!>! #����)������� "������ � ���� ?� �� � �"����� ����+

����� 9����� �0 3� ���� � ���C�� ����������-����� � & �� � �� ��� � � ���"��� ����� ��� � �� � + '� ���3 ���� 9!>! #����)������� �� � �"����� ���� ���������(� ���� �� ������ �������� +

:��� /�� ����� �� >���# �.& "���� ��� ����3��� ������ �� ����������� 3��� ������� �� ������ �������� 6$+$7+

����! "2 ����)8��%�$��)*��� 1A2� B$�0�%�% ���� �$����� �C���)�C��� �� ��$$��%��� ���� � ���� ����� � ����� ������� � ������� (�$ � � ��% ��� ���� � � (�$� � �� ,�

8�� & � ��� � � � � ���� � � ��� � � � � ��� �� � � ���� �6��+ 9��� � ���& � ��� ����������� ������� #� 9����� $4+ ����� ��� "��� �&� � � �� ��*#����)�����+'� ��� �#����� ���� & �� � ���� ������ ��� ��������� �� � ��& � � � �� �� �� � ��

� � + 9��� �� ��� ��"����������� 6�+�7*6�+57 3� ��� ���� � ����

& � �&��

� ����� � � � ���

� ����� � &��

������� 64+57

����� ��� "��� � 9����� 5 3� ��� "���� ���� �� ���+

����! "3 -�� �� � ���� �� �( $��� � � ���� ��% � � ���� 3�� 3�*��������'����� �'�$���� ��� �� ��$$��% ��� �( ��% ��" �( /'�$0+$"D� $��� $�%�������'�$���� ��� �� ��$$��% ���� 6� ���� � ���� #��� � ���� �� ��$��'" ������'��$ $������ �C�<� ��%��

-����� 8�� �� ���� � <��� ���� � ���� �� �������� �����������+ /�� � � ���� � �&� ������ � ��� � �� �� �� � � ���

� ������ � � �� � ��+ 1��� ��� ���

Page 19: Rank reduction and conjugation Aurél GalántaiMiskolc Mathematical Notes HU e-ISSN 1787-2413 ol.V 1 (2000), No 1, pp. 11-33 DOI: 10.18514/MMN.2000.15 Rank reduction and conjugation

$4 &� *�+����

����� ��� �� � � � � � � � 3� ��� 3����

��� ���� � ��� �

���&�� � ��� �

��

� ����� ����&

��

� ������ � �

�� �� ������ � 6��

;� �<������ 3� ����

�� � �� ��������

��� ������� ����

��

� ��� ��������

��� ���

� ����� ������

6��&��

� ������

� �&��

� ����

�� �

�������

����� �� ����

��

�&� ������

� �&��

� �������

!� ������ 3� ����

�� � �� ��������

���������� ����

�� � � ���� ����

���

�� �� ���� ����� ���� ��� ���� � ��� �

��

� ����� ����&

��

� ������ � �

�� �� ������ �� -����

� � �� , �� 6� �� � � , 6� � �� , � �7+ 8�� �� ���� � ��3 ���� � ���� �� ��� �������������������+ 9��� ����� �� �� �� �, 0 ���� ���� �� �� � � �� ��� ���� �� � �� � / 063������� 0 + �7+ ����� 3� ��� ��������� ���� ���

���

3��� ��� 3�*� �������� + '������� �<��� ��3����� ��� �� ��� #������ �� �� � �� ��� � �+ 9��� 3�"���� ��� ������ +

8�� �� ������ ���� 3� ���� "���� 9����� $4+

9�� ����3��� "��� � ��� �#��� ������ 3�� �� ����� �� "���� �� � �=�����3�� #� :��� /�� ����� �� >���# �.&+

����! *6 �1A2 3��� ���� -�� �� � ���� �� �( $��� � � ���� ��% � ������ 3�� 3�*� �������'����� �'�$���� ��� �� ��$$��% ��� �( ��% ��" �( � ������ ��$��'" ������'��$� 6� ���� � ���� $������ �C�<� ��%��

9��� 9����� ���������� 3��� 9����� 5 ���� ���� � 9����� $%+ 9�� ����� ����*�������" #��3��� ��� ���� �� ������ �� 9!>! #����)������� �� ��� �� ��� ���"������+D�,� 3� ���3 ���� 9!>! �� � �"����� ���� � ��������(� ���� �� ������ �������� +'� ���� �3� "����#������� �� ���� ����+

8�� �� � � � ���� #� � ���� � � � ���� �� � � ���� #� ���� ���� � ���

�� �������� �����������+ 8�� �� � ��� ���

���� � #� ��� ��H�,��� �*������� � �

Page 20: Rank reduction and conjugation Aurél GalántaiMiskolc Mathematical Notes HU e-ISSN 1787-2413 ol.V 1 (2000), No 1, pp. 11-33 DOI: 10.18514/MMN.2000.15 Rank reduction and conjugation

4��� $�%������ ��% �����'����� $%

"�� ��� � "������� #� ��� ���� �� ������ "���� ��� 6$+$7+ 8�� �� �<�� ��� ������ ������ "��������� � �� 64+�7����� � ��� � �������

�� � ��� �

�� � ������ �� � �� � � � � � 64+.7

�� ��� ������ C���������

��� � ���� �

� ��� �2� � ������ �� � �� � � � � � � 64+@7

1�����

�� ��� ���� � � ������ � � ���� ��� ���� �� ������ "������ ��� #�

������ ���� �� #� ��� �"����� ������ � �� 3� ���� ��� � ����&��

� � �� �&��

� � �

�� ��� � �������� ���

� � �� � ���

� � �+ 9���� ��� �,����� & �� � �<�� ��

64+57+ '� ���� ��� ����3��� ����������

����� � ���� �

� ���� ���

���

�2�� �� ����

��� �������

�����

�2��� � �������� ���

���

���� �����

��� �������

�2��1� �� ��H�,��� �*�������� ����

�� �� 3� ��� 3����

��� � ������ � ��� � ���

���������� � ���� ���

� �2� � ���� ��2��1���� #� ��� �"����� ������ � ��� 3� ���� ���

� �� ���� � ���� �� �������� � ����+

9��� 3� ���� ��� ����3��� ���������

����� � ���� ���

���

�������2����� ��2� ���� �2��� � ���� �

�����

���� ��������� ��2� �2�� 64+47

8������ �� � �2� �� �� � ��� 3� �#���� ��� 9!>! ��������� 64+�7*64+�7+

����! *� 3�� $��� $�%������ �$����� �C�5�)�C�9� ��� �� #$����� �� 3�*� �����)��'����� �'�$�����

'� ��� �#���� ��� 9!>! #����)������� "������ 3������ ����� � �"����� ��H�,����*�������� � 3� ��� �3� ���� �� ������ "�������� �� ����3�+ 8�� �� ����� ��� ���� ����,+ 8����� � �� 64+%7����� � ��� � ����

� �������� �

������

� �� �� � �� � � � � � 64+�07��� � ���� �� 64+��7

Page 21: Rank reduction and conjugation Aurél GalántaiMiskolc Mathematical Notes HU e-ISSN 1787-2413 ol.V 1 (2000), No 1, pp. 11-33 DOI: 10.18514/MMN.2000.15 Rank reduction and conjugation

�0 &� *�+����

��

�� � �� 64+�$7����� � ��� � ������������ �

�������� �� � �� � � � � � 64+��7��� � ���

� ��� 64+�57

1� � ��� �� �������� ������������ #��� ���������� ��� #� ������ ���+ ;� 9����� �0 ��� � ����

�� ��� �&��

� � ��� ��� � � ���

� � �+ 9���� ��� �,����� & �� �

�<�� #� 64+57+ 8�� �� ������ ���� ��� ������ C��������� ��� �� ��� ��� ��� �C���

�� � �� & + /�� ��� �� ��� 3� ���� ��� ����3��� ����������

����� � ���� ���

���

��� ����� ����

�������� ��

�����

����� � ���� ���

���

��� �� ���

� ����

���������

����D������� ���� � ���

� � ���� 3� ��� 3����

��� � ���� ���� � ���� ������ ��� �

� ���� ���� � ���������

��� ����� �� � �

�������� � �

�����

������ � ������� ���

� �� � ���� �����;� ��#��������� 3� �#���� ��� ����3��� ���������

����� � ���� ���

���

���� ��������� ���� ���� ����� � ���� ���

���

������������� ���� ����

8������ �� � ��� �� �� � ��� 3� �#���� ��� 9!>! #����)������� "������+

����! *" 3�� �#� $��� $�%������ �$���%�$�� �C�E�)�C���� ��% �C����)�C��<� ����� #$����� �� 3�*� �'�$�����

/������� 3� ���� ���� 1#�=� �� !"� ����� "���� ���� ��� 9!>! �������� ����� K�� 6�� ���� � ;� F��7 �� � �"����� ���� � ��� 1;! ���)������� �������� 6��&�9� + 4+�07+

3� 0����7�#����� ��� �������5������

1������� ��� 9!>! #����)������� �������� �� � �"����� ���� � ��� ���� �� �������������� � �� �� ����� �� �����3 ��� ����3��� ��� ������� � :��*/�� ����� �� >���#�.&+ �� �� ���� ���� 3� �� ����� �� "���� ����� ������� �=�������+

Page 22: Rank reduction and conjugation Aurél GalántaiMiskolc Mathematical Notes HU e-ISSN 1787-2413 ol.V 1 (2000), No 1, pp. 11-33 DOI: 10.18514/MMN.2000.15 Rank reduction and conjugation

4��� $�%������ ��% �����'����� ��

-��)������� ** �1A2 3��� ���� -�� �� � ����� 8�$ � � � � � ���� ��� 3�*��'�$���� ��� �� ��$$��% ��� �( ��% ��" �( �� �� ��$��'" ������'��$� 6� ���� ������� ���� %��'���� �( ��� � ��� ��% � �$� �%������ ��% �� � � ���&�� �� ������F�� 8L� (����$�7����� �( ���

-����� 9�� <��� "��� � ��� ������ ����3� �� 9����� $%+ � � � � �� � � �� ���� & � &��

��� � � ���

���� � � ���

+ 9��� ��& � ��&��

��� ���

����

� ��� � ���

���� � ���

&�����3��� ���� ��� ����� ������� ���� ��� �� � �������+

9�� "�� ��� � ���&�� � ������

&���� �� �� �� -=. ������-����� � ��+

-��)������� *, �1A2 3��� ���� 6( �� � ���� �� �"����$�� ��% � � ���� �� �������� ����� �� ��$��'" ������'��$ ���� ��� $������' ��)�������'��� ���$ �&�� ���� & � � � 6� ���� ���� � ���& � � �� ��� �������� (�$� �( �� #��� $������ �����'$����� ��% ��� ������ �( & �$� �)�$���'����

-����� ;� 9����� $% & � �&��

������� � � ����

������ �&��

�����+ 9���

& � � ��

� ���& � � ���� � ���

����������&����� � ������ �

-��)������� *. �1A2 3��� ��A � -�� �� � ���� ��0� (� ����� $��� � � ���% � � ��� 3��� ��� 3�*� �������'����� ��� �� ��$$��% ��� ��% ��� $������'��)�������'��� ���$ �&�� � �� ���� ���� � � � �

����

�����

��% � � ����

�����

& %����� �I�)(����$�7����� �( ���

-����� 9�� � ���� � ��� �� �� �� ����� �� "������� �<����+ ����� & �

&��

�����

� � � ��&��

�����

+ �� �� ����� ���� � � ��&��

�����

�����

�����

�� ����������� �� �

�� � � ����

�����

&�����

�<�� ��� @4*������-����� � ��+

/�� C�� ����� ������� ���� ������ �""���� �� ������� �� � 6���� �+�+ !��3��� �$�&�1#�=�*!"� ����� ��& �� !������ � � ���� "�"��7+

-��)������� */ �1A2 3��� ��9� -�� �� � ���� ��0� ��� ���'��$ 0��� %��������)���� �� � ���� #��$� � �� � � � ��� ��% � � ���� �� ������'��$� 8�$ ������ ��% � ��� 3�*� �������'����� �'�$���� �$�%���� ��� ��)�������'��� ���$ ���� ��

-����� ;� �<������ � ���� � � �� �������� �����������+ !� ��� #����)���������� #� ������ ���+ 1��� #� �<������ & � �&��

� ����� � �� � � � ���

� ����� � +

9��� ������ �� � �"����� ���� � A��"������� �$+

-��)������� *1 �1A2 3��� ��C� -�� ��� ���7�$� ���'��$ 0���� �( �� �� �$%�$�%���� ���� 6� � 6� � � � � � 6� + �� 6( �� ��� $��� $�%����' �$����� 6��� � �������

Page 23: Rank reduction and conjugation Aurél GalántaiMiskolc Mathematical Notes HU e-ISSN 1787-2413 ol.V 1 (2000), No 1, pp. 11-33 DOI: 10.18514/MMN.2000.15 Rank reduction and conjugation

�$ &� *�+����

���� ��� ��$$�����%��' ������% ���� 0����$� ��" �� ������ �� �� ��� ��$$�����%��'���'��$ 0����$� �( �� ��% ��� �$'��� ���'��$ 0��� �( ���� �� ��� �� � ���� �$'������'��$ 0��� �( ���

9�� ������ �� � �"����� ���� � A��"������� . 3��� ��� ������ $ � � �� % � ��� +

�6� ��(��9+��#!����

9��� "�"�� 3�� 3������ �� ����#���� ��� @��� #���� �� � A��+ A�� �F-�� � ���9�������� ���������� � ;� �"���+ 9�� ������ �� �,"������� ��� ������� � �� A��+A�� �F-�� �� ��� ���" ���������� ��������(� 3��� �� ������ ����#��+ 1 ����� �����*���� 3��� A��+ :+ ;��� �� �� �����3�� �� + A���+ 1#�=� M+� ���� ?� :+ �� �+!"� ����� ���� � � ���"�� �� ���� �� ��� �������"�+

��<������8

��& ��� � ��� ������� ����� ��������� ��� & ���� �( %�$��� �����%� (�$ ����$�F������� ���$����� ���������� ,.� 6�%457� �.�*�@.+

�$& ��� � ��� ������ ��� �����'��� %�$������ �����%� (�$ ����$ ��% �������$ �"�)���� �( �'��$��� �F������� :����C��� ���� ����� !��+ M���� ;������ �0+ D� ���������� �� ������ 6�������7 �%4.+ 6� + A+ �F-��7 D����*������ � 1 ���� � � �%4@�54�*�0$+

��& ��� � ��� ��������� ��� &,�)�$�������� &'�$����� ����������� 3�����F��� (�$-����$ ��% ������$ &'��$��� /F������� ����� ���3�� � :���������� �%4%+

�5& ������� ����� ;� ��� ����$��� �������" �( ?���'D� ��% $����% �����%� MG91�,1� 6�%4�7� 50�*5�$+

��& ������� ����� 3�� *$��)�����%� �����% ) � ���$�$��" �( �'�$����� ��2 1+ !� �3�� ����� ���� �1:! '��� :������� �� !������<� :� "�������� � ������ �� 1""��� ���� ������ B��+ $� D� ������ ���� ������ '���������� �� 9������ B������ ;������%%@� �5�*��0+

�.& ���� ����� ��������� ���� ������ ��!�� & $���)��� $�%������ (�$��� ��% �������������� �� ���$�> (����$�7������ !�1 �����3� *1� 6�%%�7� ��$*��0+

�@& ����� ���� ��������� ���� 3�� $��� �( � %�G�$���� �( ���$���� ��% ���������%'���$��7�% ��0�$��� 8��+ 1��+ 1""�+� ",� 6�%@%7� �4�*$��+

�4& �"��#��� ��� H��$ %�� 8����$������� 0�� ���$�7�� ��% ��$� &�#��%��' ��( %�� -I���'0�� ����$�� *������'��"������ N��������� O� ����3�� �� ���� ���� �� �������*.� 6�%��7� ���*��4+

�%& �"��#���� ��� &7 ��0�$7 �+�$�> +��+���J�+�� 6G� � ��������-� ������� �� �������� �����������7� 1 ����� 9� � ����� 1�� P �� ��� ������ J����F ���P-��P��� JQ-*�� P���� 6A�#��������� � ��� ���� ������ ��������� � ��� ��������� 1�� � � �!�������7� �6�7� 6�%�.7� ���*�$5+

��0& �"��#���� ��� ;� $���)%���������' ���$������ ��% ����$ ����������� �� ��� ������� �(����$ �F������� N1A� R�+� 6�%.07� �@.*�4.+

���& �"��#��� ��� H��$ ���� �����%� 7�$ ����$������ -I���' %�$ B����������� =�G�$��)

Page 24: Rank reduction and conjugation Aurél GalántaiMiskolc Mathematical Notes HU e-ISSN 1787-2413 ol.V 1 (2000), No 1, pp. 11-33 DOI: 10.18514/MMN.2000.15 Rank reduction and conjugation

4��� $�%������ ��% �����'����� ��

7��'������' (K$ ������'� *������ 1��� ���� ����� 1�� � ��� !���������� ������*���� ��� 6�%.07� �5�*�.�+

��$& ��$��� %�� &'$� (�� ;� ��'��0����$� ��% �%������ �( ��%���% ���$���� 8����� �� ���������� 1���#��� �6� 6�%4�7� $��*$5@+

���& ������ ��� *���$��7�% ������� -. �'�$����� �� ��� ���� �( &,� �����%� (�$����$ ��% �������$ �"����� �( �'��$��� �F������� I�� ���� L!�1 %�S�� ����������� ;���� �� ;���� �� �%%�+

��5& ������ ��� 3�� '��� ���0�$'���� �( ��� &,� �����%� (�$ � ���� �( �������$�$����� G"�� �-����� ���� � �� !��3���� ,� 6�%%�7 $4�*$%�+

���& ��)�� %�� /��$'����� �����%� (�$ ��������' ��� ��0�$�� ���$�> 1��+ ���+!������+ �1� 6�%5.7� ��.*�5�+

��.& !�"��*$ ����� *���$��7����� �( ��� �����% �( �����'��� '$�%����� 3�� �����% �(�����'��� ���$� ��2 :��������� � !������<� A�"��� �� :����#������� 3��� ��� M���� �����*���� �� D������ ��������� L�#��� �!!� �� ��� :������ �������� ��������� �� A�������;� �"���� �������� 1������� � �� A����� � �� !������� � !� � A��#�� � �� A������6��"��� J/J� �%@%*4$� 91 J/J�� ;� �"���� �%@%� �%%*$0%+

��@& !�"��*$ ����� ���&�$ %�� !����'+� �$+�"�� �L�+J�+�� � �����'+� �+$�� �M%�7�$� 6>��������� � ���)����� ���������2 9�� ���� � ���)����� "����� �� ���������7�1���� �-��� ��� ������ 8�"��� ��� 6�%4�7� $%@*�0%+

��4& !�"��*$ ����� *���$����' �����'��� %�$������� (�$ �$���$�$" ���$���� �" ���$�> �F��)����� 6)66� :� "����� ���+ 1""���+ "�� 6�%%�7� @�*%5+

��%& !��$�������� ����� 3�� 3���$" �( ���$���� �� ���$��� &��"��� ;���� ���� D�3T���� �%.5+

�$0& +������� ,�-�� ����$ ���������� ��% ���������� 8��+ 1��+ 1""�+� */� 6�%4�7��4@*$%�+

�$�& (����� ��.�� 4�%������ �� �$�%��'��� (�$� ��% ������ $���7������ !�1 M+ �*���, 1���+ 1""�+� �*� 6�%%$7� �.@*�%�+

�$$& ��� �� �� -����$ ���������� 6�(�$���� ��% 6�� &���������� '����� D�3 T���� �%.�+

�$�& �""�� �� �� /����"� ,�,�� & ���� �� ��� ��$%�$��' �����% �( ��0�$���' � ���$�> 1 + ���+ ������� 1*� 6�%..7� 4@%*4%0+

�$5& &'$� (�� -���+$�� �'��$� N� �����7+��� 68����� ����#�� �� ��� �""���������� �����������7� O�-��� JQ������ F� ;� �"���� �%@5+

�$�& ��0��� ��/�� �����'��� %�$������ �����%� (�$ ��0��' �"����� �( ����$ �F������� D� + ���+� "�� 6�%@�7� $4�*$%@+

�$.& -���#���� -�-�� -����$ �'��$� ��� ����3� �%4�+

�$@& /�1�$� ,���� ��$��� %�� ���0�$'���� �( �'�$����� �( %������������ �"�� (�$ �����'��0��� �$���� 8����� 1���#�� 1""�+� �,*� 6�%%�7� �%*5@+

�$4& /��������� ��!���� -����$�� �� ���$���� 1 ��+ ���+ !��+ :����C��� A�#����*������ B��+ RB��+� �%�5+