rank reduction and conjugation aurél galántaimiskolc mathematical notes hu e-issn 1787-2413 ol.v 1...
TRANSCRIPT
![Page 1: Rank reduction and conjugation Aurél GalántaiMiskolc Mathematical Notes HU e-ISSN 1787-2413 ol.V 1 (2000), No 1, pp. 11-33 DOI: 10.18514/MMN.2000.15 Rank reduction and conjugation](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022061003/60b1b8e9aad562316f3d5ae6/html5/thumbnails/1.jpg)
Miskolc Mathematical Notes HU e-ISSN 1787-2413Vol. 1 (2000), No 1, pp. 11-33 DOI: 10.18514/MMN.2000.15
Rank reduction and conjugation
Aurél Galántai
![Page 2: Rank reduction and conjugation Aurél GalántaiMiskolc Mathematical Notes HU e-ISSN 1787-2413 ol.V 1 (2000), No 1, pp. 11-33 DOI: 10.18514/MMN.2000.15 Rank reduction and conjugation](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022061003/60b1b8e9aad562316f3d5ae6/html5/thumbnails/2.jpg)
����������� ���� ������ ����� ���� ������ ��� �����
���� ������� ��� ����� ���
����� ��������������� � ���� ������ ���������� � ������
���� ������ � ������ ������ �������
������������� ��������
�������� !�"�� #�� $$� �%%%&
��������� '� ����������� ��������(� ���� �� ������ ���� �� ������ ���)������� ��*������ �+ '� ���� �� �,��� ����������-����� � ��� ��� ���� ������-����� "�� ��� #� ������� �� ������ �������� �� �,"���� ���� ������ ���������� ����, ��� "�������� �� ���*)������� "���� ����+
����������� ������� ������������ .�/�0� .�/�0� .�/%%� ��1$$� ��1$�!�"#�$%� 2 ���� �� ������� ���)�������� ����, ������-������
�� �����������
�� ��� "�"�� 3� ����������� ��� ���� �� ������ "���� ��� � �������� �4&� ��0&� ���&��$5& �� ���)������� �������� � 3���� ��� ������ �� ��� ����3��� ����� � ���)����� �������� ���� � �$�& �� ������� ������ ����� � � ��� ��
�� � ��� � ����� � � ��� ��� ��� �� �
�� 6�+�7
�� ���� �
8�� �� � �� #� ��#������+
��� � � � � � ��� � ��� � ��� � ��
�� ����
���� � �� � �������
8�� � � ��� ��� � � � � ��� � ���� �� � � ��� ��� � � � � ��� � ���� #� ������*�����+ 9�� "��� ��� � � �� ��� �� #� �*���)����� � ��� ����, � � � ��� �� ��3������������+ 9�� "��� ��� � � �� ��� �� #� �*#����)����� � � ��� � � �� �������+1������� � ��� ������ �� ���"� � ����� � �+ :� #����� ��� ������� � !��3����$�& �� ;��� �� �5& 3� ��� ����#���� ��� ����3���
����! � &'�$���� � ��$������� �� ����� (�$ ��" ���$���' ����� �� �( ��% ��"�( ��� ���$ ��� � � �� �)�����'����
1 "��������� ���)����� �������� ���� �� �<�� #� ��� �*���)����� "��� ��� � �+�� ��� "�"�� 3� ����������� ���)������� "���� ���� 3���� ��� ������ �� ��� ����
![Page 3: Rank reduction and conjugation Aurél GalántaiMiskolc Mathematical Notes HU e-ISSN 1787-2413 ol.V 1 (2000), No 1, pp. 11-33 DOI: 10.18514/MMN.2000.15 Rank reduction and conjugation](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022061003/60b1b8e9aad562316f3d5ae6/html5/thumbnails/3.jpg)
�$ &� *�+����
�� ������ �������� � ��������+ 9��� 3� ��� 3��� ��� &,� ���)������� "���� ���� 1#�=�� ;��� �� �� !"� ����� ��&���&� ��� ���)������� "���� ��� � !��3��� �$�&���� �3�*�� � >�� *!�� � � "���� ��� � ���� ?� ��.&� ��@&� ��4&� A������ �$�&� :���/�� ����� �� >���# �.& 6�� ����� �*���)������� "���� ����� ��� B����� �� �$.&7+
�� ����� #� ������� ���� ��� ���� �� ������ �������� 3�� �� �������� ���*������� ��� &,� ���� � 3���� 3��� �����"� ����� C����*D�3��� ������C��� ��&+
'� �<�� �*���)������� �� ����������� ������� �� 3���+ 8�� � � ����� � ����� �� � � ����+ 9�� "��� ��� � � �� ��� �� #� �*���)����� � � � � ����� ����������� ��3�� ����������+ 9�� "��� ��� � � �� �*#����)����� � � � � ��� ������������� �������+
>���� ��� ����, �� ��� ������� ��� ���� �� �� ��� 3��� ����� ��� ��# �*������ ���������� � ��� <��� � ��3�� ��� <��� � ���� ��� ��� ���� � ��3� �� ��� ����
� ���� ��� ���"��������+ 9��� ��� �� ��� ��� ��� "�����"�� ��# ����, � �� �� �+ 1����������� ����, � � ���� �� ��� �� #� �������� ������������ � � ��� �� -. �*�� "�������+ �� �� 3��� ���3� ���� � ����������� ����, � ��� �� -. ��� "��������
� �� ���� � ���� ��� �� ����������� �� � � �� � � � �� �+
�� !������ $ 3� ����� ��� ��� ���� �� ������ "���� ���+ �� !������� � �� 5 3������������ ��� ��������� �� ��E����� ��� ������ �� "���� ��� ��� ���� �� ������"���� ��� 3������ #���� �3�+ �� !������ � 3� ���� �� �,��� ����������-����� �� ����� "������ � ��� ��� ���� ������-����� �� � ���
��� ��
� � ���� "�� ��� #� ������� �� ������ �������� �� ����� ������� ������-����� �������+ �� �� ���� ���3����� ��� �� "������ � ��� ��� ���� ������-����� ��� #����)�����+ ��� "�������� ���"��� ���� ��� �� �
�� *#����)������ 3���� �
�� ������ ��� �*������� � ��+ 9�� &,�
���)������� "���� ���� 3���� "�� ���� �*���)����� "���� ���� � � �� ����������� ��!������ .+ ���� 3� ���3 ���� &,� ���)������� �� ����������� � ��� ���� ������-�����#� ��������(� ���� �� ������ �������� + 9�� �C��������� � !��3���(� ���)��������������� �� ��� &,� ���)������� �� ���3� �� !������ @+ �� !������ 4 3� �������������� 9!>! #����)������� "������ � ���� ?� ��.&� ��@&� ��4&� A������ �$�&� :��� /�� ������� >���# �.&+ �� �� ���3� �� #� � �"����� ���� � ��������(� ���� �� ������ �������� +!������ % �����3� �� � � ��� 9!>! ������ ������� � :��� /�� ����� �� >���# �.&������ ��3 "���� �� 3���+
"� �#��$%�&'� ���( ��������� )��������
9�� ���� �� ������ "���� ��� �� #��� �� ��� ����3��� ������ � �������� ��0& �� '� ��#��� �$4&+
����! " �/'�$0+$" 1��2� -�� � � ���� �� �$���$�$" #��� ��� ��� � �� 3���
������ ���
�� ��� ���� � �� � ��� � � ��� 6$+�7
��%� �( ��% ��" �( ��� � ����� ����� #��$� � � �� � � �� �$� �$���$�$" 0����$�������� ��" �� ��� $���$������ ���� �� ��
![Page 4: Rank reduction and conjugation Aurél GalántaiMiskolc Mathematical Notes HU e-ISSN 1787-2413 ol.V 1 (2000), No 1, pp. 11-33 DOI: 10.18514/MMN.2000.15 Rank reduction and conjugation](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022061003/60b1b8e9aad562316f3d5ae6/html5/thumbnails/4.jpg)
4��� $�%������ ��% �����'����� ��
�� 3�� '� ��#��� 3�� "���� ��� � "��� � ��� ������ <��� �$4&+ 9�������3� ���� ���� ������ ��� ��������*'� ��#��� ������ + /�� ����� "���� �� ������ ������ 3� ���� �� ������*�F-�� ��$& �� G�������� �$0&+ �� �� ���� ���� ���� �� �������� ��������� �����#��� 9����� $ ���� �� '� ��#��� 6��%&7� �� �������� ��6�$0&7 �� �� '� ��#��� �� �������� �� 6�@&7+
9�� ���� �� ������ "���� ��� � �������� ��0&� ���& �� ��� ����3���+
8�� �� � ���� #� �� ��#������ ����, � ���� �� ���
���� � �� ���������� �
������� � � �� � � � � 6$+$7
�� ��� ������� �� � �� �� �� � �� �� 3���� ������� �� �+
1� ��� ������ � ��� ���� � � ��� "���� ��� ��� ������ �� ���"�� ���� ������ � �+ ����� ��� �������� �� � ����
���� ����� � � � � �
������
�3� ��� 3���� ��
�� �� �� �����*"�� ��� ��
���� � �� � ����� � � � ���������
�
��� ��� ��
+++�����
��� 6$+�7
��
�� � ����� � � � ����������
��� ��� ��
+++��� ��
��� � 6$+57
���"��������+ �� ����3� �� ��������� 6$+$7 ���� ����� ������ � ����� ���� �� �����
���
���
�� �����
���
�
�+ � � � ��� � � � � ��� �� � � ��� � � � � ���� ���� ��
� � �
�!! ���� � "���� ����
� ����� ���� � "���
�� ����
� 6$+�7
*� � ��������+ ���! �� �#��$%�&
'� ���� �� ��� ������ �� �� 3���� � ���"� � ���������� �� "�� ���� �� �������"�������� 6$+$7 ��� #� "���� � + '� ��� ��� ����3��� ������ � >��� �� ���&6��� ���� G�������� �$0&7+
��!!� * �*������ 1�52� -�� � � ���� �� ��$�������% �� ��� (�$�
� �
�# $% �
�� 6�+�7
#��$� # � ���� �� ������'��$� 3���
��� ��� � ��� �#� � ����� �%#��$
�� 6�+$7
![Page 5: Rank reduction and conjugation Aurél GalántaiMiskolc Mathematical Notes HU e-ISSN 1787-2413 ol.V 1 (2000), No 1, pp. 11-33 DOI: 10.18514/MMN.2000.15 Rank reduction and conjugation](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022061003/60b1b8e9aad562316f3d5ae6/html5/thumbnails/5.jpg)
�5 &� *�+����
� #��� � �� # ��� ������������ ���� ��� !���� �� "�� ��� � �%#��$ �� ���������������+ 9�� � "��� � ��� ����3��� #���� ������ 3�� <��� "���� #� ����������0&� ���&� 3���� ��� ���� � "��� 3�� <��� "���� #� 1#�=�� ;��� �� �� !"� �������&� ��&+
����! , 3�� �$�� � ����� �( $��� $�%������ �'�$���� ����� ��� �� ��$$��% ��� �(��% ��" �( � ������
�� �� ��$��'" ������'��$� 6( � �������� �� ��$��'" ������'��$
����
���� � �� ������� ������
����
� ������ 6�+�7
-����� '� <��� ���� � ���� � ���������� ���"� 3��� "���� � � 3���� ���� ������� ���� �� � �� � � �� � � � � �+ 8�� �� � ����� � � � ������ �� �� �
��
� ��� � � ���� ��
�+
9���
���� � �� ������
� ��� �
8�� �� �#����� ���� � ����� � ��� ����
�������
� �� � ���� �� ����������� ��3��
���������� �� ��� �
�� � ��� ����
�������
� &� � �� &� �� ����������� �""�� ����������+
���� �� �� &� ��� ���� ��3�� �� �""�� ����������� ���"��������+ '� ��� ���� �#���������
����� � ��� �������
�� � �����
� ��� �
�� � �����
� &� � �� &�
�� 3���� �� � �����&��
� �� � ����� &��
� ����3�+ !� ������ 3� �#���� ����
� ����� � � ��� ��� ������ � �������
��
� ��� � ���
��
� ��� � ���
��
�� ��� � ���
��
� ������ � ���
� ������+ �����
���� � �� ������ &��
� ���
� ���
� ������ � �� ����
�� ����
&�
��
� ������
1�
� �������� � � ������
��
� ��� �
�� � ���� &� 6�+57
3� "���� ���� � �������� �� �������� �����������+ ;� ��#��������� 3� �#���� �� ���
6�+�7+ 8�� �� ��""��� ���� � �������� �� �������� �����������+ '� ��� "���� ����
��� ���� �� � �� � � �� � � � � �+ 1� #� ���� "���� ��� ���� �� � ��� ����, �� ���������
�� �� �
�� ���� �� �<�� + 8�� �� ���� � ���� 3� ���� �<�� �� �� � � �+
9���
�� � �� ���
� ����
��� ����
�
�������
��� � ����
�
��
![Page 6: Rank reduction and conjugation Aurél GalántaiMiskolc Mathematical Notes HU e-ISSN 1787-2413 ol.V 1 (2000), No 1, pp. 11-33 DOI: 10.18514/MMN.2000.15 Rank reduction and conjugation](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022061003/60b1b8e9aad562316f3d5ae6/html5/thumbnails/6.jpg)
4��� $�%������ ��% �����'����� ��
��
��� ���� � ��� ���� � �
�� ��
� ����
��� ����
�
�������
��� � ����
�
�����
8�� �� �#����� ���� ��� ���� �� ��� !���� �� "�� ��� � ��� #�� ��� ����,
� �������� �
� �� ����
�����
������ ����
������
��� ������� ��� ����
��
1� ����� ������
���� � �� ���
�� ����
�����
����
� ���� ��� >��� �� �� �
� "���� ���� ������� ����
�� � �� ��� ���� �� �+ ����� ���� �� �<�� �� 3�
�� "���� ��� "��� � ��� ������ +
9�� <��� "��� � ��� "��� �� � ������ � �<������ � 9����� � 5+$ �� 5+� �� ��&+9�� ����� "��� � ��� "��� �� ��3+
'� ������ ���� �� ������� #�� ��� ������� � ��� ��
'� �
�' ()� *
� �' � ����� (� ) � ��
���� � ������ ��� �'�� � ��� �'� �*�)�'��(� ��� �� � ' �� �����������+ /�� � + � 3���� 3����
��� ���� � ���� ������
�� ���
�� ����
�
�������
�� 6�+�7
/�� � + � �� ������ ����3� ����
�����
��� ���� � ���� ������
��� 6�+.7
9��� �� ��� �� 3���*���3� ���������� ��� #�� ����� ��������� ���� � 3���� � �*�)�'��(� �""���� �� "���� � * �� ��� ������� � '� 6���� �+�+ �$�&� �.&7+
����� ��� ��������� �� 6�+�7 3� ��� ������ "����
-��)������� . -�� ��� �� ��" �)��0�$�� �( ��� 3���
����� �� � ���
�� �� � �� �, � �� � 6�+@7
9��� ������ 3�� <��� �#����� #� 1#�=�� ;��� �� �� !"� ����� �� �������������
��&� ��&+ 8�� �� ������ ���� ��� ��(� ��� "��)������+ A������������ �� �� � � � ����
��� ��(� ��� "��)������+
/�� � � ��� ��������� �� 6�+�7 ��� � �� ��� ��� "�������
�� � ����� ����
���� ���� 6�+47
![Page 7: Rank reduction and conjugation Aurél GalántaiMiskolc Mathematical Notes HU e-ISSN 1787-2413 ol.V 1 (2000), No 1, pp. 11-33 DOI: 10.18514/MMN.2000.15 Rank reduction and conjugation](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022061003/60b1b8e9aad562316f3d5ae6/html5/thumbnails/7.jpg)
�. &� *�+����
3���� - � ��� ����
���� � �����<�� ��-�� � �� �� -��- � -+ ����� - ��
� ��H�,��� �*������� � ��+ � �� � $% �� � ��� ���� ������-������ � � %�. ��
� � $ 6.� � ���� ��� ����������� �������7� ���� - � ��� ����
���� � ��
��� ����*A������ ������� � ��+ /�� ����� "��"������ � ��� ��H�,��� �*������� - 3����� �� �������� �%&+
-��)������� / 6( �� � $% �� � (� $��� (����$�7����� � � %��%%�
�����%
� � $�$�$
��� ���� ���� ��� �� (����$�7�% �� ��� (�$�
���� � $� � � ����
%
�� � ����
�� 6�+%7
,� 0+��( ���( ���������
�������� ����� ��� �� ��� 6�+�7 �� ��� #���� ���� �� ������ ��0&� ���&+ ;���� ������ ������ 3�� ���� ����������� #� :���� �� /�� ����� �@&� �� G�������� �$0& 6��� ������� �$$&7+ ���� 3� ������ ��� ������ � :���� �� /�� ����� 6�@&� :�������� �+�7 �� ���� � ��3 "��� 3���� �,"����� � ������C�� � G�������� 6�$0&� 9� �+ $+.� �� $+.#7+
����! 1 �����)8��%�$�� 192� -�� ��" � ���� ��� ��� � ��� �"� � � ��%�� &���� � �& � ���� � � ���� � � ����� �� � (� $��� (����$�7����� �( "�3���
��� �� � "� � ��� ���� ��� �"� 65+�7
�( ��% ��" �(
& � ��� � � � � ��� � ��� � � 65+$7
(�$ ���� ���$���� � � ���� ��% � � �����
-����� '� <��� "���� ��� � "���+ 8�� �� ����� �� ��� ����,
' �
�� ��� � ���� �
��
�� �
��
�� �� ��� �
/�� ��� !�������� ��3 � ������� �� ����3� ���� ��� ��� � ��� �'�+ 1""����� ���>��� �� �� � 3� �#����
���� ���
�� ���
���� ��
� ��� ���� ��� �"� �
9�� ���� � "��� �� � �������� �� ��� ����3��� 3��+ 8�� �� ���� � ���� ��� �� � "� /��� ���� � � � �� ���
' �
�� � �
& �
��
![Page 8: Rank reduction and conjugation Aurél GalántaiMiskolc Mathematical Notes HU e-ISSN 1787-2413 ol.V 1 (2000), No 1, pp. 11-33 DOI: 10.18514/MMN.2000.15 Rank reduction and conjugation](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022061003/60b1b8e9aad562316f3d5ae6/html5/thumbnails/8.jpg)
4��� $�%������ ��% �����'����� �@
1� #� ��� >��� �� �� �
��� ��� � ��� �'� � ��� ��� � ����� � &���� �
�/ ��� ��� � ��
3� �#���� ���� ��� ��� � ��� �'�+ ����� ����� �,��� ������� � �� � ���� ����
�� � �
�� � � &��� �
��&
��
�� �
�
���
/�� ���� 3� �#���� ���� � � � � ��� & � �� �� � � � �� � � �& � � ���+9��� 3� "���� ��� ������ +
��!��( 2 3�� ���� � � � '�0�� ��� :�%%�$��$�)/'�$0+$" ����$��� 3�� �( ��$��( 3���$�� 9 #�� �$�� �$�0�% �" /'�$0+$" 1��2 1��2 ��% ��� �����$� �� 4�� 1��2�;������ ��0����'���% ��� ���� $��� $�%������
� ����� ���
��� ��
#��� $�����'��$ � ��� ��% ��" ������ �( '���$��7�% ��0�$�� 1��2�
9�� #���� ���� �� ������ �� ��� ���������� �� "�� ���� �� ������� ��� ��� �C���*�����+ �������� "���� ���� �� �������� ����������� � ������
�� ��� #���� �� ������6�+�7 �� �#�����#�� #� � ���������� �� "�� ���� �"�������� ��0&� ���&+ 9��� �� ��� ������� � � ������
�� �� ��� �������� ����������� �� ���3� #� ��� ����3��� �,� "��
�� �
�� � � �� � �� � �
�� � � � � � �� � � ��
!� ��� ��� ������ � #���� ���� �� ������ ��� ���� �����������+ '� ��� ������ �,��� ��� ��������� �� ��� � �������� �� ��� #���� ���� �� ������ ��������
���� � �� �����
�� �� ����
���� �� ��� � � �� � � � � 0� 65+�7
3���� �� � ���� � �� � ���� � !� � � �� ��� ���� ��
���!�+
8�� ���
���!�+ 1 ����, � � ���� �� ��� �� #� "��������� 3��� ���"��� ��
��� "�������� �!�� � � � � !��� � � � ��� �������
�� ��� � ���� + 1 ����, � �� ��� ��
#� #���� �������� ����������� 3��� ���"��� �� ��� "�������� �!�� � � � � !�� � ����� �,�������������� #���� ��3�� ���������� � �� ����������� #���� �""�� ���������� & �������� � � �& � �� #��� ������� ��� "��������� 3��� ���"��� �� �!�� � � � � !��+ 8���� �� � ��� � � � ����� �� �� � ��� � � � � ���+ 9���
����� ���� � "������ ����
� �!! ���� � "���
�� ����
� 65+57
9�� ����3��� ������ ��� #� "���� �� ��� �� � 3�� �� 9����� 5+
![Page 9: Rank reduction and conjugation Aurél GalántaiMiskolc Mathematical Notes HU e-ISSN 1787-2413 ol.V 1 (2000), No 1, pp. 11-33 DOI: 10.18514/MMN.2000.15 Rank reduction and conjugation](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022061003/60b1b8e9aad562316f3d5ae6/html5/thumbnails/9.jpg)
�4 &� *�+����
����! 3 3�� �$�� � ����� �( ���� $��� $�%������ �'�$���� �<��� ��� �� ��$$��%��� �( ��% ��" �( �� �����
���� �� ���� ��$��'" ������'��$� 6( �� ��������� �� ����
��$��'" ������'��$ ����
���� � �� ����� ��
�� ������� ��
�� �� ������ 65+�7
9�� ���� � "��� � ��� ������ <��� �""���� �� �$& 3��� � �������� �=����� "���
6���� ���� ��&7+ � �� ������� �� �� �������� ����������� �� ��� ����� ������ ���� �� �� ����
#���� �������� ����������� �� ��� "��������+ �� ���� ���� ��� � "��� � ��� ������ ����3� �� 9����� 5� 3���� �� � �"����� ���� � 9����� %+ '� ���� ���� ���� ������ ������� � ��#��C���� �������� 3���� ����3 �� 9����� 5 ��� ���� #� ����#����� �� ��� #���� ���� �� � ����������3�� 3��+
.� �����4 �������5������ ��� ���( ���������
'� ���� ��� ��� �� "������ � ��� ��� ���� ������-����� 6$+57 �� ��� � � ��� "�*�� ����� ��� � �� � �� ����� � "������ �����C������ ���� �� ����, ��� "���*������ �����������-����� �� �� ������� ������� ������ �� ������#��� �� ��� ��������� �+ �� �� ���� ���3� ���� ��� "��� ���� ��� �� �
�� *#����)������ 3���� �
�� �� ���
�*�������+
8�� ' � ����&� #� ��� ���C�� -=. * ��� "������� � ����, ' � ���� 3������� ��3�� ���������� ��� ������� �� �� ���� �""�� ���������� &�+ '� ����� ������ ����3��� �� "�� �#����������+
� � �� ����������� ��3�� ����������� ���� �� � � � ���
� � �� � ��� �� &� � & + � � �� ����������� �""�� ����������� ���� � � � � � � � � � ��
�� & � � ���
� & �+ 8�� � #� � ����������� ��3�� ���������� ����,+ � �� �������������������� � �� ���� � � � �� ���� �������� �����������+ !� ������� ��� � #� ������������ �""�� ���������� ����,+ 9��� � �� �������� ����������� � �� ���� ��� �� ���� �������� �����������+
� �3� ����������� ������� � �� ' ���� ��� -. * ��� "�������� � � ��& �� ' � ��& 3��� ��� �� � �""�� ���������� & � ���� ����� �� � ���C�� ��3�� ���������� ����, � ���� ���� � � �'+ !� ������� � � � �&� �� ' � �&� ��� 3��� ����� � ��3�� ���������� �� ���� ����� �� � ���C�� �""�� ���������� ����, & ���� ����� � '& +
/�� ��� "��� � 9����� 5 6�� ��� 6�+577 3� ��� ������ ����#���� ����
�� � �� �������� � �� � �� �������� � �&� � &� �������� � 6�+�7
��� � ���
� ��������������� �� � ���
��&��
� �������� � 6�+$7
/�� � � 3� �#���� ��� �� "������ � ��������(� ��� ���� ������-����� �� ��� � ���� "��� ����� ��� �� ��+
![Page 10: Rank reduction and conjugation Aurél GalántaiMiskolc Mathematical Notes HU e-ISSN 1787-2413 ol.V 1 (2000), No 1, pp. 11-33 DOI: 10.18514/MMN.2000.15 Rank reduction and conjugation](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022061003/60b1b8e9aad562316f3d5ae6/html5/thumbnails/10.jpg)
4��� $�%������ ��% �����'����� �%
����! �6 -�� �� � ���� �( $��� ��% �� � ���� �� ��$��'" ������'��$�3�� ���������� �( ��� (� $��� (����$�7����� �� � ���
��� ��
� �$�
�� � ��� � �
��� ����
� �� � ���&��
� ����� �� � �� ���� � 6�+�7
��% �� ��� �� �>�$����% �� ��� (�$�
�� ����&
��
� ����
���
� ����
���
� ����� ���
� 6�+57
�,"������� 6�+�7 �� �� <��� �""���� �� ���&� ��5& 3��� � �=����� "���+ �� 3����� �����-� ����� 3������ ���� "�"�� ���� ��� "��� � 9����� 5 ��� #� � �<� ������ �,"�������� 6�+�7*6�+57 ���� #� ����� ������+
9�� ������� �� �� �� ��� #� 3������ �� ��� �� �� � ��� � &
��
�������� �� �
����������
��� ���"��������+ 9�� ���� � �� ��� #� ������ 3��� �� #� �����"�����
��+ 1�
��� �
��
� � &��
������
���
�����
���
����������
�
6�+�7
������� ������� �� �� ��� #� �� ����� �� �� � 3� ��"���� �� #� ��� � � �� � #�
���� �����+
'� ���� ���� ���� �� ����������� �""�� ���������� &� �� &� ��� ������� ������� � &� �� � �&� ������ ��� ������-����� 6�+57 ��
�� ����&
��
� �������
���
�����
� �������
��
���
���
� ����� ���
� 6�+.7
����� ��� �=��� � ����� ������� ������ �� ���� � ������� �������+
9�� ����3��� �#��������� ���������� � #���� "��"���� � ��� ��� ���� ������-�����6�+57+
-��)������� �� -�� ��� %����� ��" �)��0�$�� �( ��� 3��� ��� ���$ ���� ��� �� ��
� )�������'����
-����� ;� �<������
��� �
�� �� � �
��
� ����� �
����
�� ��
��&��
� ����� �� ���� �
9�� ���� �� ������ "���� ��� �<��� � ��� ���� ������-����� 6�+57 � ����,��+ 9�� ��,� �#���������� 3���� ����3� �� 9����� �0� ���3� ���� ��� ��� ����������-������ ��� #� �������� #� ��������(� ���� �� ������ "���� ���+
-��)������� �" -�� �� � ���� �� �( $��� ��% �� �� � $% �� ��" (� $���(����$�7������ -�� � � %�
�%%�
�����% � � $
�$�$
���� 3��� �� � $ �� � �
��% ��� � %�
![Page 11: Rank reduction and conjugation Aurél GalántaiMiskolc Mathematical Notes HU e-ISSN 1787-2413 ol.V 1 (2000), No 1, pp. 11-33 DOI: 10.18514/MMN.2000.15 Rank reduction and conjugation](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022061003/60b1b8e9aad562316f3d5ae6/html5/thumbnails/11.jpg)
$0 &� *�+����
'� ������ ���� �3� �� "�� �,� "���+
�4�!)+� �* -�� ��� ���'��$ 0��� %������������ �( �� � ���� �� '�0�� �� ���(�$� �� � &
��� �
� #��$� & � ���� � � ���� &�& � � � �� � � ��%
� � ���� �� ������'��$� 3�� ������ $ � & % � �� � "��%� � � � ��� ��%� � & � 3��� �� � & ��% �� � �� � �
9�� "���� ��� "������� ������ ���� ���� ����� ����������� ����, � � ����
��� #� 3������ �� ��� �� � � �� � 3���� � �� �� ���������� �� � �� � �� �����"������� �<���� ����,+
�4�!)+� �, -�� �� � ���� �� ������'��$ ��% �� �� � �� �� ��� ���$ %����)��������� 3�� ������ $ � � % � � "��%� � � ��� ��% � � �� 3��� �� � � ��%��� � � �
'� ����� �� ��3 ��� ����, ������-������ 3� ��� �#���� �� 9����� �0+ /����� ���� � ���� ������� 3� ���� � ���� ��� ������� ����� � � ���� ��� ������������� ���� ����� ��� �������� �����������+ 9��� �� �� �� ��� ���� �������������� � ���
��� �� �� �� ��� 6�+57 ��� #� 3������ �� ��� ��
�� ��� ���� ������ ����
����
� ����
��� ����&� �����
���� 6�+@7
-��)������� �. ��� �� ����$ �$���'��$ �( ��% ��" �( � �� ����$ �$���'��$� ��
� ���#�$ �$���'��$ �( ��% ��" �( � ��� �� �#�$ �$���'��$� �� �� ����$ �$���'��$�( ��% ��" �( ��� �� ����$ �$���'��$� �� �� �#�$ �$���'��$ �( ��% ��" �( � � ���#�$ �$���'��$�
-����� /�� ��� �������� ��� � ��� ����&� �������� � �& � 3���� �& �� �""��
����������� �� ����3� ���� ��� � &��
� �������
� �����& �� ���� �""�� ����������+ �����
� �� �""�� ����������+ � ��� � ���
� ����� ��� � ��� 3���� �� �� ��3�� ����������� ����
� ��� � �� ������ �� ���� ��3�� ����������+ !� ������� �� � ���&
��
� ����� �& � �
�� ���� � ��� �� �""�� ����������+ /������� �� � � ���� ������ ���� � ��� ��� ���� � � � �� ��3�� ����������+
����++��& �/ �� �� �#�$ �$���'��$ ��% ��� �� ����$ �$���'��$ �( ��% ��" �( �
��% � �$� ����$ �$���'��$�
�� ���� ���� ������-����� 6�+57 �� "��<�� �� ��� -. ������-�����
�� � �������
�������
� ���
�����
� �
���� ����
&���
�� ����� ��� 3��� 6�+.7+ /�� � � � � � ���� ������ 3�� <��� �#����� #� ���������4&� ��0& 6�� &,� ���)�������� ��� ��&7+
![Page 12: Rank reduction and conjugation Aurél GalántaiMiskolc Mathematical Notes HU e-ISSN 1787-2413 ol.V 1 (2000), No 1, pp. 11-33 DOI: 10.18514/MMN.2000.15 Rank reduction and conjugation](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022061003/60b1b8e9aad562316f3d5ae6/html5/thumbnails/12.jpg)
4��� $�%������ ��% �����'����� $�
-��)������� �1 �� �� ����$ ?�������$' �( ��% ��" �( ��� � �� ����$ ?�������$'�
�� �� ����$ ?�������$' �( ��% ��" �( ��� �� ����$ ?�������$'�
-����� '� �,"���� ��� ��� ���� ��� �""�� ������#��� �� �� ��������� ��* �� ����"�������� #� �""�� ���������� ����, �� #��� �� ��+ ;� �<������ �� ���
� � ���� ����
� $ � 3���� $ �� �""�� ������#��� � �� ���� � ��� � � $��
� ����
�� �""�� ������#���+ !� ������� �� � ���&��
� ����� $ �� �""�� ������#��� � ��
���� � ��� � $&� ���� �� �""�� ������#���+
-��)������� �2 -�� ' � ���� �� � �"����$�� ��% ������0� %������ ���$�>� ��
�� ')�$���'��� �( ��% ��" �( � � '��� � & ��%� #��� ��" ������'��$ � ��% �
������'��$ ����$ �$���'��$ & �
-����� �� �� '*����������� � �� ���� �
���'�� � ���
� ����� ���'�
�� � �
��� ����
� ��
3���� � �� �������+ 9��� ��� � �,����� � � ���'��� � � �� ������
�� ����
+ 9���� "���� �� ������
�� � �� ���� + ����� � ����������� �""�� ���������� & �,����
���� ���� � ���'��� � & � � ����� �� 3���� � � '��
� � & ����3�+ 1� ' ���� ����� �� "������� �<����� ��� �������������� � � �� & �� ��� ��� ����� ����� ������ �������������� � � ����+
'� ��� ��" ��� "������� �<�������� ��� ����� � ' � 3� ���� � ���� � ���� �� ���'�
�� � �� �������� �����������+
����++��& �3 �� �� �$���'��� �� �� � %��'��� �����' ��% �� �� �#�$ �$���'��$�( ��% ��" �( � � ��
� � & ��%� #��� ��" ������'��$ ����$ �$���'��$ & ��% � � 6����� � ���� (����$�7����� �5�<� �� ��� 8I)(����$�7����� �( ���
-��)������� "6 -�� ' � ���� �� � �"����$�� ��% ������0� %������ ���$�>� ��
�� ')�$���'��� �( ��% ��" �( � � '����� ��%� #��� ��" ������'��$ � ��% �
������'��$ �#�$ �$���'��$ ��
-����� �� �� '*���������� � �� ���� �
���'�� � &��
� ��������
� '���&��
� ����� ��
3���� � �� �������+ 9��� ��� � �,����� � ����� '��� � &�
� �����&� ���� ��
3���� &��������� � &� ���� ����3�+ ����� � ����������� ��3�� ���������� ����,
� �,���� ���� ���� ������ '��� � � ����+ 9��� � "���� � � '����
� + 1� ' ���� ����� �� "������� �<����� ��� �������������� � � �� � �� ��� ��� ����� ����� ������ �������������� � � ����+
����++��& "� �� �� �$���'��� �� �� � %��'��� �����' ��% ��� �� ����$ �$���'��$
�( ��% ��" �( � � ����� ��%� #��� ��" ������'��$ �#�$ �$���'��$ � ��% ����$
�$���'��$ �� 6� ���� � ���� (����$�7����� �5�<� �� ��� I�)(����$�7����� �( ���
![Page 13: Rank reduction and conjugation Aurél GalántaiMiskolc Mathematical Notes HU e-ISSN 1787-2413 ol.V 1 (2000), No 1, pp. 11-33 DOI: 10.18514/MMN.2000.15 Rank reduction and conjugation](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022061003/60b1b8e9aad562316f3d5ae6/html5/thumbnails/13.jpg)
$$ &� *�+����
'� ���� ���� �"����� ����� � :���������� �% �� $� �""��� �� ��� &,� ���)���������&+
>���� � ����, �� � ����� � *4 ��� "������� � �� �� � ������-����� ��� ���� � "�� ��� ' � %�� 3���� % �� ����������� �� � �� �""�� ���������� �$@&+;� A��"������� �$ ��� *4 ��� "������� ��� #� �#����� #� ��� ���� �� �������������� � ��������+ /�� �"����� ����� ���� �� ��� -. �� @4 ������-������ 3����� �� :���������� �. �� $�+
/������ 3� ����������� ��� �"����� ���� �� � �+ 9���
� ���&��
� ��
����
� ��
����
� ��� �
�6�+47
�� ��� �������� � �&��
� ��� � ���� ���� �� ��� � �� �� �� �� � � ���
� ���
���&�� ���� �� ��� ���� ���� ��
� �����
���
���+
9�� ����3��� ��#�� ����� �� � -. ������-����� ������ ������� �� �� � � �� ��� "��� ����� ����� �������+
� � �� ���� ��
�
� � � � ���
���
�� � &� � ���
&��
� � ��� ���
� ��
� �� &��
���
� &
�� �� ���� ���� ��� "��� ����� � � �� �� � � � �<�� ��� � "����� -. &,� ���� 6��� ��&7+
9�� ����3��� �#���������� ��� ������ �� ��� 8���-�� �� ������� 6���� �+�+ ��%&7+8�� �� � �� �� �� � �
����� 6� � �� � � � �7+ 8�� �� � �� #� ���� ���� ��� J����� ����, � �
��� ���� � � � � �
�������� �����������+ 9��� ��� �
�����1��
����� �� �� � � $ � 3���� ��� �� "����� ����, $ �� �<�� #�
$ �
���������
� � � � � � 1�
� �+++
+++
� �+ + +
++++++
++++ + +
+ + + � 1���
� � � � � � 1�
����������
'� �,"���� ���� ��� �
����
���
����� �� � � + 8�� �� ����� �� ��� �� �������
������� �����
����
����
���
�� �� ���
�� ��
�� ����
����� ��
���
� ��
� �� ����� ��$�
��� ��
���
� ���
6�+%7
3���� ��� �""�� ������#��� ����, $ �� ����"��� #� �3� �""�� ���������� �*������+ 9��� ����"�������� ���"� ��� �""�� ������#��� �� + ����� ��������(�
![Page 14: Rank reduction and conjugation Aurél GalántaiMiskolc Mathematical Notes HU e-ISSN 1787-2413 ol.V 1 (2000), No 1, pp. 11-33 DOI: 10.18514/MMN.2000.15 Rank reduction and conjugation](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022061003/60b1b8e9aad562316f3d5ae6/html5/thumbnails/14.jpg)
4��� $�%������ ��% �����'����� $�
���� �� ������ �������� �<��� � �� ������� ������� ����� � ����, � �� �"*"�� ������#��� �� �� ����� ��� ������� ����� ������� ��
� �� ���� �� ��*
���������+ 8�� �� ���� � ����� ���� �� � �� �� ���� ���� ��� J����� ����,
� ����� �
���� � � � ����
������
��� �����������+ 9��� ��� � �$� ��� � 3���
� �����#�� �� "����� ����, $�+ '��� ���� ������ � �� �������� 6�+%7 #��� ��
����
����
���
�� &��
� ��
�������
�&�� �� � &��
� ��$�� &
�� �� �
3���� ��� ��3�� ������#��� ����, $�� �� ����"��� #� �3� ��3�� ���������� �������+
9��� ����"�������� ���"� ��� ��3�� ������#��� �� + 1� ����
����
���
��� � #���
�""�� �� ��3�� ������#��� �� � ��� ����, ��� #� ��� �������+ ����� ��� ������ ������ �������� ���� �<��� � �� ������� ������� ����� � ����, � �� ��� ��������� ������ ��� ������� ����� ������� ��
� �� ���� �� �����������+
����! "" -�� �� � �� �� ���� ���� � � ��� ���� � � � � �
������
�� ������'��$�6( �� � � ��% � �� ���� ���� � �� �� ��$��'" ������'��$ ���� ��
������
���
�%����� �� ����$ ?�������$' ���$�> #���� �� �����$ �� �� 6( �� �%%����� � ����� �
���� � � � ����
������
� ���� ��
������
���
��� � �$�%��'��� ���$�> #���� ��
�����$ �� ��
!� ���� ������� �""���� �� !��3��� �$�&� �� 1#�=� �� !"� ����� ��& �� �������*���� 3��� ��� �*���)������� �������� �+ '��� �� ������ ��3 ���� �� ��� �� ����������� "������� � ��� ������� ����� ����, �� ��� �������+
/� � ��� ���7�#����� )��������
�� ���� ������� 3� ����������� ��� &,� ���)������� "���� ��� � 1#�=�� ;��� ���� !"� ����� ��&+ 9��� �������� � 3���� �� #��� �� ��� ���� �� ������ "���� ����"�� ���� �*���)����� "���� ���� �+ '� ���� � ���� ��� � � ���� ��� �����������+
�� ���� "
�� � ���� �� ��#������ �����������
��� � � � �� � ��
� (� 6(� � ��� ��� �� �� �7���� � �� ������
���� �
������
��� � ��� ������� �� �
����
1� �� � / , ��� �������� �� � �!! ���� � "���� ��� ��� � ��� ��� �� � �� ���
����, � � ��� �� ����������� ��3�� ����������+ ����� 1������� $ "�� ���� ����*���)����� "��� �����+ 9�� ��#��������� �� � �� �� 6� � �� � � � �7 �� � � ������� � � � ��� � � ��� + !� ��� ��������� "��� ��� � � �� �*���)�����+ 9������� ���� ������ �� �� ����� �� "���� ����� ���� ���� �� �*���)����� "����+
'� ��� ���� �<�� ��� ���)����� "��� ���� � #� ������� 2� � ��)� 6� � �� � � � �7�� � � 2�� � � � � 2��+ /�� � / ,� ��� �2� � ��� ��)� � �+ ����� ��� "��� ���� � ���� �� �*���)�����+
![Page 15: Rank reduction and conjugation Aurél GalántaiMiskolc Mathematical Notes HU e-ISSN 1787-2413 ol.V 1 (2000), No 1, pp. 11-33 DOI: 10.18514/MMN.2000.15 Rank reduction and conjugation](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022061003/60b1b8e9aad562316f3d5ae6/html5/thumbnails/15.jpg)
$5 &� *�+����
/�� ������ ��� ��� - � (�� � � � � (��+ '� ���� �� ��� ������ �� �� 3���� 1������� $ "�� ���� ����������� �*���)����� "���� �����+ 9��� ��""��� � �� ���� �
��� �� �� �� ������� �� � �� � �� � � � �� � 6.+�7
9�� ����� ��� ����� ��� � � �� ���� � ����� �� �������� �����������+ ;� �<��*���� ��� �� � ����
�� (� ��
��������� � �������� (��� � �
�����
�� �
��� �����
� �����
������� (����
3���� �� ��� !���� �� "�� ��� � ��� #�� ��� ����,�����
�
���
�� ��� (���
��
�� �����
� ��� ������
� (���
�������
� ��� �����
��� (���
��
;� ��� >��� �� �� � ��������� �� � ��� � � �� ���� �
�������������
�� ���
������
�
���
�� ��� (���
��� ���
� �����
� ���� ��
9��� ��""��� �,����� � ���������
����
�
� ��� (���
�� � � �� ���� �� �
���
������
�
���
�� ��� (���
���� ��
9��� 3� ����
����! "* &'�$���� � �$�%���� � ������'��$ �)�����'��� ���$ ����� �( ��% ��"�( ��� ���$�> � ���� �� ��$��'" ������'��$ ����
�� (� �� � ��%
���
�� ����
�
���
�� ��� (���
���� � �� � �� � � � �� �� � 6.+$7
� 3� ������ (� � �� 6� � �� � � � �7� ���� ��� ����� 6.+�7 ������� ��
��� �� � ������� �� � �� � �� � � � ��� 6.+�7
������ ��� ������ �������������� � � ���� �� ��� ��������� �� ��E����� ��� ������� "�� ����� ����������� �*���)����� "���� ���� �+ 9�� ������ - � � �<��� �����������-� � "�����-. �� *6-.&,� ��#����� � ��� &,� ���� � ���&� ��5&+ 8���� ������ ���� �� � ��
� �� �� ��� ��� �� "����� � ��� ��� �����"��� � 3���� 3������������ �� !������ �+ 1� � � �� 3� ��� ������ � ���� *6-.&,� ���)��������� "�� ����� ��� "��� ������� 3���� �� �*���)�����+ !� ��� *6-.&,� ���)��������� ������� ���� #�� � ��� ���� ������-����� #� ��������(� ���� �� ������ "���� ���+!� ������� 3� ���� ���� "��� ���� � � �� ���� �*���)�����+ 9����� � 5 �� �0 � "��
![Page 16: Rank reduction and conjugation Aurél GalántaiMiskolc Mathematical Notes HU e-ISSN 1787-2413 ol.V 1 (2000), No 1, pp. 11-33 DOI: 10.18514/MMN.2000.15 Rank reduction and conjugation](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022061003/60b1b8e9aad562316f3d5ae6/html5/thumbnails/16.jpg)
4��� $�%������ ��% �����'����� $�
����! ", -�� - � � � &'�$���� � �$�%���� � ������'��$ �)�����'��� ���$����� �( ��% ��" �( ��� ���$�> � ���� �� ��$��'" ������'��$� 6( � ���� �� ��$��'"������'��$ ���� � � ��
� � ���� ����
� ��� � &
��
������
�
'� "���� ��� ����3��� ����������-������ � 1������� $+
����! ". 8�$ ��" �)�����'��� ���$ ����� ���$� �>��� �� �$���'��� ���$�> � ��%� ������'��$ %��'��� ���$�> � ���� ���� &'�$���� � #��� �� � � � � - � ��'���$���� ��� ���$ ������
-����� 8�� � � ���� #� � @4*������-����� � � 3��� ������� � �� �����""�� ���������� ��+ 1� �
�� � ������ � � � "���� ���� � ����
� � ��� ����,���� �� �������� �����������+ ����� #� 9����� $5 1������� $ "�� ���� �,�������� "��� ����� �� ��� "��� ����� �� � �� - � � � ��+
/�� � ����� � �� ���������� � ����� ��� ��� ����������� �,��� �� �*���)�����"��� ����� "�� ��� #� � *6-.&,� ���)�������+ /�� �,� "��� ��� �� � ��
� �
�� � � �� � �� � �
�� � � �
�� � � �� � 3� �3 �
�� ��� � 3� � �
��
9���
� ���� � ��� �
�� � � �� � �33 3 �
���� ��� �������� �����������+
-��)������� "/ -�� - � � � &'�$���� � �$�%���� � ������'��$ �)�������'��� ���$����� �( ��% ��" �( ��� ���$�> � ���� �� �#�$ �$���'��$�
-����� 9�� "��� ����� �� �*#����)������ � ��� � � �� �������+ 1� ��� �����
� � &��
������
� ������������
�� ���� �� ��""�� �,����� � �����
�� �� ����
�������+
����! "1 -�� ' � ���� �� � �"����$�� ������0� %������ ���$�> ��% - � � � &)'�$���� � �$�%���� � ������'��$ �)�����'��� ���$ ����� ���� ���� � �� ')�$���'��� �( ��% ��" �( � � '��
� � �� #��$� � �� ��" ������'��$ ��% � �� ��" ������'��$
�#�$ �$���'��$ ���$�>� 6� ���� � ���� � � ��� � &
��
� ��������
�
9�� �� � � ��� #� �#����� � � 3� ������ � � '� �� 1������� $+ 9��� ��� ���'� � � � "���� ���� � � � �� ��������
&������
��� ���'�
�� � &
��
������� ��
![Page 17: Rank reduction and conjugation Aurél GalántaiMiskolc Mathematical Notes HU e-ISSN 1787-2413 ol.V 1 (2000), No 1, pp. 11-33 DOI: 10.18514/MMN.2000.15 Rank reduction and conjugation](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022061003/60b1b8e9aad562316f3d5ae6/html5/thumbnails/17.jpg)
$. &� *�+����
� ���'��� � � &�
�������&����
�� �� � � '��
� � �� 3��� � ����������� ��3��
���������� �+ �� ���� ��� ������ � � '� � '��� � &
��
������������"�� � �� �� �
&��
������+
9�� �#��� ������ �""���� <��� �� !��3��� �$�& �� ��� �"����� ���� � � ��� �� � �� � �� � - � � � � �� �� � �� 3��� � � � &��
� � � �6��� ���� ��&7+
1� 8��9��� '� ���7�#����� )��������
!��3���(� �*���)������� "������ �� #��� �� ��� -. ������-����� � ��� � �"� 3����� � 2�� � � � � 2�� �� ��� "��� ���� �$�&+ :������� �� � �"�� �<��� ��� �*���)�����
"��� ��� � + '� "���� ���� !��3���(� �*���)������� "���� ��� �� �C�������� 3���
��� *6-.&,� ���)������� "���� ���+ ����� �� �� ���� ������ �� ��� ���� �� �������������� +
8�:��'8 ����� ��� �� ����
�� � 2�
��� � � � �� � + �
4� ������
�� �� ����
���2�
�� � 5��
��
2� � � ����4�
� 5�� �� �
���
��� ��� ��
��� � ��
���
�� �� ���� �� ��� ����
���� � 5��
�������
�� � � ��
� ���� � ��
��
� ����
�2����
1� � � �"�� 3� ��� 3���� � �� � ����"��
�����
� ��� ���� � ��
��
� ���� � ����� �������
���
� �����
;� ��� �� "�� ��#��������� �� � 5��
�� 2� 3� �#���� ���� �� � ��� �� �� � � �� � � � �+
9��� 3� "���� ���� !��3���(� ���)������� "���� ��� �� ����#�������� �C�������� 3���1������� $ �� ��� �"����� ���� - � � � �� � � �� � � ��� + �� ���� ��� !��3����������� � "������� ���� ��� ��������� �� 6�+�7+
2� � �9�;����� ��!;8� !��� !�� ��
�� ���� ������� 3� ��� 3��� ��� �3�*�� � >�� *!�� � � 69!>!7 "������� 3���� "��* ���� �� ��*#����)����� "��� �&� � �+ 8�� �� � ���� #� � ���� � � � ��� � � � � ���
![Page 18: Rank reduction and conjugation Aurél GalántaiMiskolc Mathematical Notes HU e-ISSN 1787-2413 ol.V 1 (2000), No 1, pp. 11-33 DOI: 10.18514/MMN.2000.15 Rank reduction and conjugation](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022061003/60b1b8e9aad562316f3d5ae6/html5/thumbnails/18.jpg)
4��� $�%������ ��% �����'����� $@
�� � � ��� � � � � ���+ 9�� �3�*�� � >�� *!�� � � �������� �� �<�� #�
�� � ��� �� � �� 64+�7
�� � �� ��������
��� ������� ����
�� �� � �� � � � � � 64+$7
�� � �� ��������
���������� ����
�� �� � �� � � � � � 64+�7
3���� �� �� �� ��� ��� "��)������� � �� �� ��� ���"��������+
9��� "������ 3�� �����"� �� �� �������� #� ������� �������� ��� <��� � 3������ :+ ���� ?� ��.&� ��@&���4&+ ���� ?� "���� ���� ��� "��� �&� � � �� ��*#����)������
�� � ��&�� ���&
���� ���� �� &
�� ���&
���� � �� � ��H�,��� �*������� � ��
� ��� "������ �� ������ ���+ A������ �$�& �<�� �������� 64+�7*64+�7 �� �� � � �����+ :��� /�� ����� �� >���# �.& �<�� �� ����������� ��� 9!>! #����)���*���� "������ �� ����������� 3��� ��� �������� ���� �� ������ �������� + /������ 3� ������ ;��� �� ��&� 3�� ���� � #���� ��������-����� � ��� >�� *!�� � � �������� �3���� �������� ��� 9!>! #����)������� "������ � ���� ?� �� � �"����� ����+
����� 9����� �0 3� ���� � ���C�� ����������-����� � & �� � �� ��� � � ���"��� ����� ��� � �� � + '� ���3 ���� 9!>! #����)������� �� � �"����� ���� ���������(� ���� �� ������ �������� +
:��� /�� ����� �� >���# �.& "���� ��� ����3��� ������ �� ����������� 3��� ������� �� ������ �������� 6$+$7+
����! "2 ����)8��%�$��)*��� 1A2� B$�0�%�% ���� �$����� �C���)�C��� �� ��$$��%��� ���� � ���� ����� � ����� ������� � ������� (�$ � � ��% ��� ���� � � (�$� � �� ,�
8�� & � ��� � � � � ���� � � ��� � � � � ��� �� � � ���� �6��+ 9��� � ���& � ��� ����������� ������� #� 9����� $4+ ����� ��� "��� �&� � � �� ��*#����)�����+'� ��� �#����� ���� & �� � ���� ������ ��� ��������� �� � ��& � � � �� �� �� � ��
� � + 9��� �� ��� ��"����������� 6�+�7*6�+57 3� ��� ���� � ����
& � �&��
� ����� � � � ���
� ����� � &��
������� 64+57
����� ��� "��� � 9����� 5 3� ��� "���� ���� �� ���+
����! "3 -�� �� � ���� �� �( $��� � � ���� ��% � � ���� 3�� 3�*��������'����� �'�$���� ��� �� ��$$��% ��� �( ��% ��" �( /'�$0+$"D� $��� $�%�������'�$���� ��� �� ��$$��% ���� 6� ���� � ���� #��� � ���� �� ��$��'" ������'��$ $������ �C�<� ��%��
-����� 8�� �� ���� � <��� ���� � ���� �� �������� �����������+ /�� � � ���� � �&� ������ � ��� � �� �� �� � � ���
� ������ � � �� � ��+ 1��� ��� ���
![Page 19: Rank reduction and conjugation Aurél GalántaiMiskolc Mathematical Notes HU e-ISSN 1787-2413 ol.V 1 (2000), No 1, pp. 11-33 DOI: 10.18514/MMN.2000.15 Rank reduction and conjugation](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022061003/60b1b8e9aad562316f3d5ae6/html5/thumbnails/19.jpg)
$4 &� *�+����
����� ��� �� � � � � � � � 3� ��� 3����
��� ���� � ��� �
���&�� � ��� �
��
� ����� ����&
��
� ������ � �
�� �� ������ � 6��
;� �<������ 3� ����
�� � �� ��������
��� ������� ����
��
� ��� ��������
��� ���
� ����� ������
6��&��
� ������
� �&��
� ����
�� �
�������
����� �� ����
��
�&� ������
� �&��
� �������
!� ������ 3� ����
�� � �� ��������
���������� ����
�� � � ���� ����
���
�� �� ���� ����� ���� ��� ���� � ��� �
��
� ����� ����&
��
� ������ � �
�� �� ������ �� -����
� � �� , �� 6� �� � � , 6� � �� , � �7+ 8�� �� ���� � ��3 ���� � ���� �� ��� �������������������+ 9��� ����� �� �� �� �, 0 ���� ���� �� �� � � �� ��� ���� �� � �� � / 063������� 0 + �7+ ����� 3� ��� ��������� ���� ���
���
3��� ��� 3�*� �������� + '������� �<��� ��3����� ��� �� ��� #������ �� �� � �� ��� � �+ 9��� 3�"���� ��� ������ +
8�� �� ������ ���� 3� ���� "���� 9����� $4+
9�� ����3��� "��� � ��� �#��� ������ 3�� �� ����� �� "���� �� � �=�����3�� #� :��� /�� ����� �� >���# �.&+
����! *6 �1A2 3��� ���� -�� �� � ���� �� �( $��� � � ���� ��% � ������ 3�� 3�*� �������'����� �'�$���� ��� �� ��$$��% ��� �( ��% ��" �( � ������ ��$��'" ������'��$� 6� ���� � ���� $������ �C�<� ��%��
9��� 9����� ���������� 3��� 9����� 5 ���� ���� � 9����� $%+ 9�� ����� ����*�������" #��3��� ��� ���� �� ������ �� 9!>! #����)������� �� ��� �� ��� ���"������+D�,� 3� ���3 ���� 9!>! �� � �"����� ���� � ��������(� ���� �� ������ �������� +'� ���� �3� "����#������� �� ���� ����+
8�� �� � � � ���� #� � ���� � � � ���� �� � � ���� #� ���� ���� � ���
�� �������� �����������+ 8�� �� � ��� ���
���� � #� ��� ��H�,��� �*������� � �
![Page 20: Rank reduction and conjugation Aurél GalántaiMiskolc Mathematical Notes HU e-ISSN 1787-2413 ol.V 1 (2000), No 1, pp. 11-33 DOI: 10.18514/MMN.2000.15 Rank reduction and conjugation](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022061003/60b1b8e9aad562316f3d5ae6/html5/thumbnails/20.jpg)
4��� $�%������ ��% �����'����� $%
"�� ��� � "������� #� ��� ���� �� ������ "���� ��� 6$+$7+ 8�� �� �<�� ��� ������ ������ "��������� � �� 64+�7����� � ��� � �������
�� � ��� �
�� � ������ �� � �� � � � � � 64+.7
�� ��� ������ C���������
��� � ���� �
� ��� �2� � ������ �� � �� � � � � � � 64+@7
1�����
�� ��� ���� � � ������ � � ���� ��� ���� �� ������ "������ ��� #�
������ ���� �� #� ��� �"����� ������ � �� 3� ���� ��� � ����&��
� � �� �&��
� � �
�� ��� � �������� ���
� � �� � ���
� � �+ 9���� ��� �,����� & �� � �<�� ��
64+57+ '� ���� ��� ����3��� ����������
����� � ���� �
� ���� ���
���
�2�� �� ����
��� �������
�����
�2��� � �������� ���
���
���� �����
��� �������
�2��1� �� ��H�,��� �*�������� ����
�� �� 3� ��� 3����
��� � ������ � ��� � ���
���������� � ���� ���
� �2� � ���� ��2��1���� #� ��� �"����� ������ � ��� 3� ���� ���
� �� ���� � ���� �� �������� � ����+
9��� 3� ���� ��� ����3��� ���������
����� � ���� ���
���
�������2����� ��2� ���� �2��� � ���� �
�����
���� ��������� ��2� �2�� 64+47
8������ �� � �2� �� �� � ��� 3� �#���� ��� 9!>! ��������� 64+�7*64+�7+
����! *� 3�� $��� $�%������ �$����� �C�5�)�C�9� ��� �� #$����� �� 3�*� �����)��'����� �'�$�����
'� ��� �#���� ��� 9!>! #����)������� "������ 3������ ����� � �"����� ��H�,����*�������� � 3� ��� �3� ���� �� ������ "�������� �� ����3�+ 8�� �� ����� ��� ���� ����,+ 8����� � �� 64+%7����� � ��� � ����
� �������� �
������
� �� �� � �� � � � � � 64+�07��� � ���� �� 64+��7
![Page 21: Rank reduction and conjugation Aurél GalántaiMiskolc Mathematical Notes HU e-ISSN 1787-2413 ol.V 1 (2000), No 1, pp. 11-33 DOI: 10.18514/MMN.2000.15 Rank reduction and conjugation](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022061003/60b1b8e9aad562316f3d5ae6/html5/thumbnails/21.jpg)
�0 &� *�+����
��
�� � �� 64+�$7����� � ��� � ������������ �
�������� �� � �� � � � � � 64+��7��� � ���
� ��� 64+�57
1� � ��� �� �������� ������������ #��� ���������� ��� #� ������ ���+ ;� 9����� �0 ��� � ����
�� ��� �&��
� � ��� ��� � � ���
� � �+ 9���� ��� �,����� & �� �
�<�� #� 64+57+ 8�� �� ������ ���� ��� ������ C��������� ��� �� ��� ��� ��� �C���
�� � �� & + /�� ��� �� ��� 3� ���� ��� ����3��� ����������
����� � ���� ���
���
��� ����� ����
�������� ��
�����
����� � ���� ���
���
��� �� ���
� ����
���������
����D������� ���� � ���
� � ���� 3� ��� 3����
��� � ���� ���� � ���� ������ ��� �
� ���� ���� � ���������
��� ����� �� � �
�������� � �
�����
������ � ������� ���
� �� � ���� �����;� ��#��������� 3� �#���� ��� ����3��� ���������
����� � ���� ���
���
���� ��������� ���� ���� ����� � ���� ���
���
������������� ���� ����
8������ �� � ��� �� �� � ��� 3� �#���� ��� 9!>! #����)������� "������+
����! *" 3�� �#� $��� $�%������ �$���%�$�� �C�E�)�C���� ��% �C����)�C��<� ����� #$����� �� 3�*� �'�$�����
/������� 3� ���� ���� 1#�=� �� !"� ����� "���� ���� ��� 9!>! �������� ����� K�� 6�� ���� � ;� F��7 �� � �"����� ���� � ��� 1;! ���)������� �������� 6��&�9� + 4+�07+
3� 0����7�#����� ��� �������5������
1������� ��� 9!>! #����)������� �������� �� � �"����� ���� � ��� ���� �� �������������� � �� �� ����� �� �����3 ��� ����3��� ��� ������� � :��*/�� ����� �� >���#�.&+ �� �� ���� ���� 3� �� ����� �� "���� ����� ������� �=�������+
![Page 22: Rank reduction and conjugation Aurél GalántaiMiskolc Mathematical Notes HU e-ISSN 1787-2413 ol.V 1 (2000), No 1, pp. 11-33 DOI: 10.18514/MMN.2000.15 Rank reduction and conjugation](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022061003/60b1b8e9aad562316f3d5ae6/html5/thumbnails/22.jpg)
4��� $�%������ ��% �����'����� ��
-��)������� ** �1A2 3��� ���� -�� �� � ����� 8�$ � � � � � ���� ��� 3�*��'�$���� ��� �� ��$$��% ��� �( ��% ��" �( �� �� ��$��'" ������'��$� 6� ���� ������� ���� %��'���� �( ��� � ��� ��% � �$� �%������ ��% �� � � ���&�� �� ������F�� 8L� (����$�7����� �( ���
-����� 9�� <��� "��� � ��� ������ ����3� �� 9����� $%+ � � � � �� � � �� ���� & � &��
��� � � ���
���� � � ���
+ 9��� ��& � ��&��
��� ���
����
� ��� � ���
���� � ���
&�����3��� ���� ��� ����� ������� ���� ��� �� � �������+
9�� "�� ��� � ���&�� � ������
&���� �� �� �� -=. ������-����� � ��+
-��)������� *, �1A2 3��� ���� 6( �� � ���� �� �"����$�� ��% � � ���� �� �������� ����� �� ��$��'" ������'��$ ���� ��� $������' ��)�������'��� ���$ �&�� ���� & � � � 6� ���� ���� � ���& � � �� ��� �������� (�$� �( �� #��� $������ �����'$����� ��% ��� ������ �( & �$� �)�$���'����
-����� ;� 9����� $% & � �&��
������� � � ����
������ �&��
�����+ 9���
& � � ��
� ���& � � ���� � ���
����������&����� � ������ �
-��)������� *. �1A2 3��� ��A � -�� �� � ���� ��0� (� ����� $��� � � ���% � � ��� 3��� ��� 3�*� �������'����� ��� �� ��$$��% ��� ��% ��� $������'��)�������'��� ���$ �&�� � �� ���� ���� � � � �
����
�����
��% � � ����
�����
& %����� �I�)(����$�7����� �( ���
-����� 9�� � ���� � ��� �� �� �� ����� �� "������� �<����+ ����� & �
&��
�����
� � � ��&��
�����
+ �� �� ����� ���� � � ��&��
�����
�����
�����
�� ����������� �� �
�� � � ����
�����
&�����
�<�� ��� @4*������-����� � ��+
/�� C�� ����� ������� ���� ������ �""���� �� ������� �� � 6���� �+�+ !��3��� �$�&�1#�=�*!"� ����� ��& �� !������ � � ���� "�"��7+
-��)������� */ �1A2 3��� ��9� -�� �� � ���� ��0� ��� ���'��$ 0��� %��������)���� �� � ���� #��$� � �� � � � ��� ��% � � ���� �� ������'��$� 8�$ ������ ��% � ��� 3�*� �������'����� �'�$���� �$�%���� ��� ��)�������'��� ���$ ���� ��
-����� ;� �<������ � ���� � � �� �������� �����������+ !� ��� #����)���������� #� ������ ���+ 1��� #� �<������ & � �&��
� ����� � �� � � � ���
� ����� � +
9��� ������ �� � �"����� ���� � A��"������� �$+
-��)������� *1 �1A2 3��� ��C� -�� ��� ���7�$� ���'��$ 0���� �( �� �� �$%�$�%���� ���� 6� � 6� � � � � � 6� + �� 6( �� ��� $��� $�%����' �$����� 6��� � �������
![Page 23: Rank reduction and conjugation Aurél GalántaiMiskolc Mathematical Notes HU e-ISSN 1787-2413 ol.V 1 (2000), No 1, pp. 11-33 DOI: 10.18514/MMN.2000.15 Rank reduction and conjugation](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022061003/60b1b8e9aad562316f3d5ae6/html5/thumbnails/23.jpg)
�$ &� *�+����
���� ��� ��$$�����%��' ������% ���� 0����$� ��" �� ������ �� �� ��� ��$$�����%��'���'��$ 0����$� �( �� ��% ��� �$'��� ���'��$ 0��� �( ���� �� ��� �� � ���� �$'������'��$ 0��� �( ���
9�� ������ �� � �"����� ���� � A��"������� . 3��� ��� ������ $ � � �� % � ��� +
�6� ��(��9+��#!����
9��� "�"�� 3�� 3������ �� ����#���� ��� @��� #���� �� � A��+ A�� �F-�� � ���9�������� ���������� � ;� �"���+ 9�� ������ �� �,"������� ��� ������� � �� A��+A�� �F-�� �� ��� ���" ���������� ��������(� 3��� �� ������ ����#��+ 1 ����� �����*���� 3��� A��+ :+ ;��� �� �� �����3�� �� + A���+ 1#�=� M+� ���� ?� :+ �� �+!"� ����� ���� � � ���"�� �� ���� �� ��� �������"�+
��<������8
��& ��� � ��� ������� ����� ��������� ��� & ���� �( %�$��� �����%� (�$ ����$�F������� ���$����� ���������� ,.� 6�%457� �.�*�@.+
�$& ��� � ��� ������ ��� �����'��� %�$������ �����%� (�$ ����$ ��% �������$ �"�)���� �( �'��$��� �F������� :����C��� ���� ����� !��+ M���� ;������ �0+ D� ���������� �� ������ 6�������7 �%4.+ 6� + A+ �F-��7 D����*������ � 1 ���� � � �%4@�54�*�0$+
��& ��� � ��� ��������� ��� &,�)�$�������� &'�$����� ����������� 3�����F��� (�$-����$ ��% ������$ &'��$��� /F������� ����� ���3�� � :���������� �%4%+
�5& ������� ����� ;� ��� ����$��� �������" �( ?���'D� ��% $����% �����%� MG91�,1� 6�%4�7� 50�*5�$+
��& ������� ����� 3�� *$��)�����%� �����% ) � ���$�$��" �( �'�$����� ��2 1+ !� �3�� ����� ���� �1:! '��� :������� �� !������<� :� "�������� � ������ �� 1""��� ���� ������ B��+ $� D� ������ ���� ������ '���������� �� 9������ B������ ;������%%@� �5�*��0+
�.& ���� ����� ��������� ���� ������ ��!�� & $���)��� $�%������ (�$��� ��% �������������� �� ���$�> (����$�7������ !�1 �����3� *1� 6�%%�7� ��$*��0+
�@& ����� ���� ��������� ���� 3�� $��� �( � %�G�$���� �( ���$���� ��% ���������%'���$��7�% ��0�$��� 8��+ 1��+ 1""�+� ",� 6�%@%7� �4�*$��+
�4& �"��#��� ��� H��$ %�� 8����$������� 0�� ���$�7�� ��% ��$� &�#��%��' ��( %�� -I���'0�� ����$�� *������'��"������ N��������� O� ����3�� �� ���� ���� �� �������*.� 6�%��7� ���*��4+
�%& �"��#���� ��� &7 ��0�$7 �+�$�> +��+���J�+�� 6G� � ��������-� ������� �� �������� �����������7� 1 ����� 9� � ����� 1�� P �� ��� ������ J����F ���P-��P��� JQ-*�� P���� 6A�#��������� � ��� ���� ������ ��������� � ��� ��������� 1�� � � �!�������7� �6�7� 6�%�.7� ���*�$5+
��0& �"��#���� ��� ;� $���)%���������' ���$������ ��% ����$ ����������� �� ��� ������� �(����$ �F������� N1A� R�+� 6�%.07� �@.*�4.+
���& �"��#��� ��� H��$ ���� �����%� 7�$ ����$������ -I���' %�$ B����������� =�G�$��)
![Page 24: Rank reduction and conjugation Aurél GalántaiMiskolc Mathematical Notes HU e-ISSN 1787-2413 ol.V 1 (2000), No 1, pp. 11-33 DOI: 10.18514/MMN.2000.15 Rank reduction and conjugation](https://reader033.vdocument.in/reader033/viewer/2022061003/60b1b8e9aad562316f3d5ae6/html5/thumbnails/24.jpg)
4��� $�%������ ��% �����'����� ��
7��'������' (K$ ������'� *������ 1��� ���� ����� 1�� � ��� !���������� ������*���� ��� 6�%.07� �5�*�.�+
��$& ��$��� %�� &'$� (�� ;� ��'��0����$� ��% �%������ �( ��%���% ���$���� 8����� �� ���������� 1���#��� �6� 6�%4�7� $��*$5@+
���& ������ ��� *���$��7�% ������� -. �'�$����� �� ��� ���� �( &,� �����%� (�$����$ ��% �������$ �"����� �( �'��$��� �F������� I�� ���� L!�1 %�S�� ����������� ;���� �� ;���� �� �%%�+
��5& ������ ��� 3�� '��� ���0�$'���� �( ��� &,� �����%� (�$ � ���� �( �������$�$����� G"�� �-����� ���� � �� !��3���� ,� 6�%%�7 $4�*$%�+
���& ��)�� %�� /��$'����� �����%� (�$ ��������' ��� ��0�$�� ���$�> 1��+ ���+!������+ �1� 6�%5.7� ��.*�5�+
��.& !�"��*$ ����� *���$��7����� �( ��� �����% �( �����'��� '$�%����� 3�� �����% �(�����'��� ���$� ��2 :��������� � !������<� A�"��� �� :����#������� 3��� ��� M���� �����*���� �� D������ ��������� L�#��� �!!� �� ��� :������ �������� ��������� �� A�������;� �"���� �������� 1������� � �� A����� � �� !������� � !� � A��#�� � �� A������6��"��� J/J� �%@%*4$� 91 J/J�� ;� �"���� �%@%� �%%*$0%+
��@& !�"��*$ ����� ���&�$ %�� !����'+� �$+�"�� �L�+J�+�� � �����'+� �+$�� �M%�7�$� 6>��������� � ���)����� ���������2 9�� ���� � ���)����� "����� �� ���������7�1���� �-��� ��� ������ 8�"��� ��� 6�%4�7� $%@*�0%+
��4& !�"��*$ ����� *���$����' �����'��� %�$������� (�$ �$���$�$" ���$���� �" ���$�> �F��)����� 6)66� :� "����� ���+ 1""���+ "�� 6�%%�7� @�*%5+
��%& !��$�������� ����� 3�� 3���$" �( ���$���� �� ���$��� &��"��� ;���� ���� D�3T���� �%.5+
�$0& +������� ,�-�� ����$ ���������� ��% ���������� 8��+ 1��+ 1""�+� */� 6�%4�7��4@*$%�+
�$�& (����� ��.�� 4�%������ �� �$�%��'��� (�$� ��% ������ $���7������ !�1 M+ �*���, 1���+ 1""�+� �*� 6�%%$7� �.@*�%�+
�$$& ��� �� �� -����$ ���������� 6�(�$���� ��% 6�� &���������� '����� D�3 T���� �%.�+
�$�& �""�� �� �� /����"� ,�,�� & ���� �� ��� ��$%�$��' �����% �( ��0�$���' � ���$�> 1 + ���+ ������� 1*� 6�%..7� 4@%*4%0+
�$5& &'$� (�� -���+$�� �'��$� N� �����7+��� 68����� ����#�� �� ��� �""���������� �����������7� O�-��� JQ������ F� ;� �"���� �%@5+
�$�& ��0��� ��/�� �����'��� %�$������ �����%� (�$ ��0��' �"����� �( ����$ �F������� D� + ���+� "�� 6�%@�7� $4�*$%@+
�$.& -���#���� -�-�� -����$ �'��$� ��� ����3� �%4�+
�$@& /�1�$� ,���� ��$��� %�� ���0�$'���� �( �'�$����� �( %������������ �"�� (�$ �����'��0��� �$���� 8����� 1���#�� 1""�+� �,*� 6�%%�7� �%*5@+
�$4& /��������� ��!���� -����$�� �� ���$���� 1 ��+ ���+ !��+ :����C��� A�#����*������ B��+ RB��+� �%�5+