rationella tal. r - skolverket...diamant – nationella diagnoser i matematik 2 rationella tal...

DIAMANT – NATIONELLA DIAGNOSER I MATEMATIK 1

R

Rationella tal. R

Diagnoserna i området avser att kartlägga elevernas förståelse och färdighet avseende tal i bråkform, tal i decimalform, proportionalitet och procent.

Området består av följande tre delområden:

RB Bråk

RD Tal i decimalform

RP Proportionalitet och procent

Sambanden mellan delområden ser ut så här:

Strukturschemat visar att den grundläggande aritme-tiken, AG omfattar förkunskaper till området och att delar av RB, tal i bråkform, utgör förkunskaper till proportionalitet och procent, RP och tal i decimal-form, RD. Detaljer för detta framgår av struktur-schemat för respektive delområde.

RP Proportionalitetoch procent

RD Tal i decimalform

AG GrundläggandeAritmetik

RB Bråk


Ratio

nella tal

kommentaReRkR

Område R omfattar delområdena RB, tal i bråkform, RD, tal i decimal form och RP, proportionalitet och procent, och handlar om de rationella talen och dess aritmetik. Logiskt sett borde givetvis RB, RD och RP vara delområden till A, aritmetik, men området A skulle då bli ohanterligt stort. Vi har därför valt att låta de rationella talen utgöra ett eget område.

Med hjälp av diagnoserna inom detta område kan man ta reda på kvalitet och omfattning av de begrepp och metoder som eleven har inom rationella tal för att kunna utveckla förmågan att:– formulera och lösa problem med hjälp av matematik

samt värdera valda strategier och metoder,

– använda och analysera matematiska begrepp och sam-band mellan begrepp,

– välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar och lösa rutinuppgifter

– föra och följa matematiska resonemang, och

– använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser

Beräkningar med rationella tal bygger på samma räkne-lagar och räkneregler som den övriga aritmetiken. Men nu är det en annan typ av tal jämfört med de naturliga talen som eleverna arbetat med tidigare. Genom att synliggöra detta i undervisningen underlättar man för eleverna att utveckla förmågan att kunna resonera, bygga begrepp och se samband samt att senare kunna generalisera den grundläggande aritmetiken till andra områden. Genom att tala matematik och göra skriftliga redovisningar ska eleven få hjälp att använda matema-tiska uttrycksformer och beräkningsmetoder inom området, på ett korrekt sätt.

Diagnoserna ger eleven möjlighet att visa kunskap inom följande centrala innehåll:

Det centrala innehållet som behandlar rationella tal finner man under rubrikerna Taluppfattning och tals användning och under Samband och förändring.

Årskurs 1–3Taluppfattning och tals användning:

– Del av helhet och del av antal. Hur delarna kan benämnas och uttryckas som enkla bråk samt hur enkla bråk förhåller sig till naturliga tal.

– enkla tal i bråkform och deras användning i vardagliga situationer.

Samband och förändring:

– Olika proportionella samband, däribland dubbelt och hälften

I kunskapskrav för godtagbara kunskaper i årskurs 3 finns följande:

– Eleven visar grundläggande kunskaper om tal i bråk-form genom att dela helheter i olika antal delar samt jämföra och namnge delarna som enkla bråk.

– Eleven kan även använda och ge exempel på enkla proportionella samband i elevnära situationer.

Eleven ska alltså själv aktivt kunna dela helheter i olika antal lika stora delar och sedan uttrycka delarnas stor-lek med tal i bråkform. Detta förutsätter att eleven har förstått nämnarens och täljarens innebörd.

Årskurs 4–6Taluppfattning och tals användning:

– Rationella tal och deras egenskaper

– Positionssystemet för tal i decimalform.

– Tal i bråk- och decimalform och deras användning i vardagliga situationer.

– Centrala metoder för beräkningar med… enkla tal i decimalform vid överslagsräkning, huvudräkning samt vid beräkningar med skriftliga metoder …


– Proportionalitet och procent samt deras samband

– Grafer för att uttrycka olika typer av proportionella samband vid enkla undersökningar.

I kunskapskraven i slutet av årskurs 6 finns ingen direkt beskrivning i relation till det centrala innehållet men det är nödvändigt att eleverna behärskar grund-läggande bråkräkning och räkning med tal i decimal-form, inte minst med tanke på att bråkräkning är en viktig förkunskap såväl till räkning med procent som inom algebra.

Området Rationella tal i relation till syfte och centralt innehåll i kursplanen i matematik


Ratio

nella tal

kommentaReRkRÅrskurs 7–9

Taluppfattning och tals användning:

– Reella tal och deras egenskaper och användning i vardagliga och matematiska situationer.

Talsystemets utveckling från naturliga tal till reella tal:

– Centrala metoder för beräkningar med tal i bråk- och decimalform vid överslagsräkning, huvudräkning samt vid beräkningar med skriftliga metoder…


– Procent för att uttrycka förändring och förändrings-faktorer samt beräkningar med procent i vardagliga situationer och situationer inom olika ämnes områden

I kunskapskraven i slutet av årskurs 9, finns ingen direkt beskrivning i relation till det centrala innehållet, men arbete med rationella tal genomsyrar under dessa årskurser stora delar av skolans matematikundervis-ning.


Ratio

nella tal

kommentaReRkR

Bråkens roll i samhället har successivt övertagits av deci maltalen (bland annat efter införandet av SI-enheter för olika storheter). Detta får emellertid inte tolkas så att vi inte längre behöver undervisa om bråk i skolan. Bråket har fortfarande en stor roll att spela när det gäller att beskriva andelar och är samtidigt en förkunskap för att lära sig algebra. Att elever kan multiplicera, dividera eller förlänga tal i bråkform är nödvändigt på flera av gymnasieskolans program.

Räkning med bråk är en förkunskap för såväl räk-ning med decimaltal som för algebra. Decimaltal är en speciell typ av bråk och reglerna för hur man multipli-cerar och dividerar decimaltal är desamma som för tal i bråkform. Decimaltal är inte något annat än bråktal med nämnaren 10, 100, 1 000 etc. skrivna på ett annat sätt.

I vardagen använder man relativt sällan tal i bråk-form. Gör man det är det snarare som namn på en storhet.

Du spelar en halvton för högt.

Hon kommer om en kvart.

I andra fall räcker det med att kunna tolka storleken av de nämnda ”bråken”.

Lektionen varade i tre kvart.

Bråkformen i de här exemplen är egentligen skenbar. En kvart är inte ett bråktal i egentlig mening utan utgör snarare en proportion.

När man studerar hur bråk behandlas i vardagen, och hur detta speglas i läromedel och under lektioner, visar det sig att bråk förekommer i en rad olika situa-tioner. Det är emellertid inte lätt att genomskåda på vilket sätt de matematiska modellerna för bråkräkning används i dessa olika situationer. Man kan uttrycka detta som att bråken har många ansikten/aspekter. Ett bråk kan uppfattas på bland annat följande sätt, som:

• etttal,

• endelavenhel,

• endelavettantal,

• enandel,

• enproportion,

• ettförhållandet.ex.enskala.

• divisionsommetafor.

För att lösa problem som hör samman med de olika situationerna använder man sig av bråken som ratio-nella tal och opererar med dem enligt gällande räkne-lagar. Det är emellertid inte alltid lätt för en elev att se sambanden mellan de olika situationerna. För en elev är det inte så lätt att inse att man kan arbeta med 2 _ 3 av en helhet och 2 _ 3 av ett antal utgående från samma

matematiska modell, eller att en strategi som beskrivits för del av en hel också gäller för en del av ett antal. När man själv behärskar detta och därmed tar det för givet, kan det vara svårt att föreställa sig elevernas problem.

Eftersom de räkneregler som gäller för tal i decimal-form bygger på motsvarande regler för tal i bråkform är det lämpligt att behandla tal i bråkform före tal i decimalform, så att reglerna för hur man opererar med decimaltal inte enbart blir procedurella utan att eleverna får förståelse.

Varje reellt tal kan utvecklas i decimalform med en decimalutveckling som är

• ändligomtaletärettdecimaltal,3 _ 8 = 0,375

• oändligochperiodiskomtaletärettrationellttal,

som inte är ett decimaltal, 2 _ 3 = 0,666 66… eller

16 __ 37 = 0, 432 432 4…

• oändligaochickeperiodiskaomtaletärettirratio-nellt tal, π = 3, 141 59…

Varje bråk kan skrivas som en ändlig eller periodisk decimalutveckling. I vissa fall består perioden av enbart nollor. Sådana tal kallas för decimaltal.

Alla rationella tal (tal i bråkform) kan uttryckas i decimalform och har en plats på tallinjen vilket gör att Positionssystemet för tal i decimalform utgör ett centralt undervisningsinnehåll. För att undvika en rad räknefel bör ett tal som 3,25 läsas 3 hela och 25 hundra delar

och även kunna tecknas som 3 25 ___ 100 eller ännu hellre

som 3 + 25 ___ 100 . Mellan två rationella tal på tallinjen

finns det alltid oändligt många andra rationella tal. Mellan talen 0,25 och 0,26 finns t.ex. talen 0,251, 0,252 … och 0,2511, 0,2512, … osv.

För att avgöra vilket av två tal i decimalform som är störst, t.ex. 3,547 och 3,539, börjar man med att jämföra entalen. De är lika stora. Därefter jämför man tiondelarna. De är lika stora. I nästa steg jämför man hundradelarna. Eftersom 4 hundradelar är större än 3 hundradelar så är talet 3,547 störst, oberoende av tusendelen.

Didaktiska kommentarer till område R


Ratio

nella tal

kommentaReRkREn förutsättning för att man skall kunna addera eller

subtrahera två tal är att de är jämförbara. Man adderar t.ex. inte storheter som 2 cm och 3 mm utan att först uttrycka dem i samma enhet. Mätetalet blir alltså inte 2 + 3 = 5 utan 20 + 3 = 23 (mm) eller 2 + 0,3 = 2,3 (cm). På motsvarande sätt utför man inte subtraktio-ner som 2,10 – 2,9 utan att först skriva talen i samma enhet, nämligen hundradelar. Det bli då lätt att se att 2,10 är ett mindre tal än 2,90.

Finns det verkligen tal mellan 1 och 0,9? Att skriva talen i samma enhet, alltså som 1,0 och 0,9 hjälper inte heller. Det gäller att inse att varje tal i decimal-form kan skrivas på olika sätt. I det här fallet kan talen också skrivas som 1,00 och 0,90 eller 1,000 och 0,900 (jämför förlängning och förkortning av bråk). En bra metafor för detta är tallinjen. De första tiondelarna på tallinjen ser ut så här, uttryckt i såväl bråkform som decimalform.

1 ___ 10 2 ___ 10 3 ___ 10 4 ___ 10 5 ___ 10 6 ___ 10 7 ___ 10 8 ___ 10 9 __ 10 10 __ 10 11

___ 10 12 ___ 10 13

___ 10 14 ___ 10 15

___ 10 16 ___ 10

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,60

Av tallinjen framgår det tydligt att det är ett avstånd mellan 0,9 och 1,0. På den sträckan finns det nya tal. Om man nu förstorar tallinjen mellan 0,9 och 1,0 tio gånger så ser det ut så här. I det här fallet bör talen skrivas som 0,90 och 1,00 eftersom noggrannheten nu är en hundradel.

90 ____ 100 91

____ 100 92 ____ 100 93

____ 100 94 ____ 100 95

____ 100 96 ____ 100 97

____ 100 98 ____ 100 99

____ 100 100 ____ 100 101 ____ 100 102 ____ 100 103 ____ 100

0,91 0,92 0,93 0,94 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99 1,00 1,01 1,02 1,030,90

Det här betyder att det mellan talen 0,9 och 1 finns åtminstone nio tal, 0,91, 0,92, …, 0,99. Sträckan mellan 0,91 och 0,92 kan i sin tur förstoras upp tio gånger så mellan dessa tal ligger det åtminstone nio nya tal nämligen 0,911, 0,912, …, 0,919. Eftersom detta kan upprepas i all oändlighet visar det sig att det i själva verket finns oändligt många tal mellan decimal-talen 0,9 och 1,0.

Man kan också uttrycka detta på följande sätt. De naturliga talen känner sina grannar. Talen 8 och 10 är grannar till 9. Bland de naturliga talen finns inga tal mellan 9 och 10. När man kommer till de rationella talen (decimaltalen är rationella tal) så är det tvärtom. De rationella talen känner inte sina grannar. Det för-håller sig i stället så att det mellan två godtyckligt valda decimaltal finns oändligt många tal. Det är detta som demonstreras med hjälp av ovanstående tallinjer.

Inom de naturorienterande ämnena är det viktigt att man anger noggrannheten i en mätning. Om man anger att en sträcka är 1,9 meter lång, så menar man något helt annat än om man anger att sträckan är 1,90 meter lång. Detsamma gäller för matematikens avrundningsregler. När man anger en sträcka till 1,9 meter, så menar man i allmänhet att den är mellan 1,85 meter och 1,95 meter lång. Det betyder att deci-maltalet 1,9 oftast tolkas som ett tal inom det skuggade området i figuren.

1,70 1,80 1,90 2,00

Det här betyder i sin tur att man inte kan avgöra vilket tal som är störst, 1,9 eller 1,86. Som framgår av ned-anstående figur så kan 1,9 vara såväl större som mindre än 1,86. Däremot vet man med säkerhet att 1,90 är större än 1,86.

1,70 1,80 1,90 2,00

I en inledande undervisning kanske man ska undvika att jämföra tal som 1,86 och 1,9. Får man en sådan uppgift bör man direkt ställa följdfrågan vad avses. Menar man 1,90 eller 1,9? Om talen hade angetts i samma enhet eller skrivits om så att de fick samma enhet så hade uppgifterna varit enkla att lösa. Då hade en uppgift som att jämföra talen 3,521, 3,6 och 3,75 i stället handlat om att jämföra talen 3,521, 3,600 och 3,750 och det hade inte rått någon tvekan om vilket tal som var störst.

Dagligen möter man procentbegreppet i olika situationer. De matematiska modeller som används vid procenträkning har sina rötter i bråkräkningen och handlar i grunden om att räkna med andelar. Det krävs därför en god taluppfattning kopplad till bråk och decimaltal för att eleverna skall lyckas med procent-räkning. Man bör därför ge eleverna möjlighet att få en fördjupad förståelse av procentbegreppet så att det fungerar vi problemlösning.

1 ___ 10


Ratio

nella tal

kommentaReRkRRationella tal. Alla diagnoser

RB1 En del av en hel

RB2 Flera delar av en hel RB4 Bråk som tal

RB5 Taluppfattning av bråk

RB6 Addition och subtraktion av tal i bråkform

RB7 Multiplikation och division av tal i bråkform

RB3 Del av ett antal

RD1 Tal i decimal form

RD3 Taluppfattning av tal i decimalform, multiplikation och division

RD5 Huvudräkning med tal i decimalform, multiplikation och division

RD6 Närmedvärden

RD4 Huvudräkning med tal i decimalform, addition och subtraktion

RD2 Taluppfattning av tal i decimalform, addition och subtraktion

RP6 Förändringsfaktorer

RP1 Grundläggande proportionalitet

RP2 Proportionalitet i grafform

RP3 Grundläggande procent

RP4 Procenträkning

RP5 Procent problemlösning

RP7 Ränta

AUp1 Potenser

TAg2


Ratio

nella tal

kommentaReRkR

Delområdet RB omfattar följande sju diagnoser:


RB2 Flera delar av en hel


RB4 Bråk som tal




Diagnoserna inom delområdet bygger på att elever har en (intuitiv) kunskap om del av en helhet eller delar av ett antal samt att de behärskar de grundläggande räknelagarna från AG1.

Sambandet mellan de olika diagnoserna ser du i strukturschemat nedan.

Där framgår att för att arbeta med bråk som tal RB4 –RB7 krävs konkretiserande förkunskaper från RB1–RB3. Lägg märke till att arbetet med tal i decimal form kräver förkunskaper från RB4.

Bråk. RB


RB2 Flera delar av en hel RB4 Bråk som tal






Ratio

nella tal

kommentaReRkR

Räkning med bråk är en förkunskap såväl för räkning med tal i decimalform som för algebran.

Bråk används för att beskriva en rad olika fenomen inom vardagens matematik. De olika aspekterna kan beskrivas som bråkets olika ansikten.

• Bråk som beskriver tal . Tal som 3 _ 7 och 2 _ 5 har liksom talen 2, 3 och 5 en plats på tallinjen. De kan också

definieras med hjälp av divisionerna 3/7 och 2/5.Vissa av bråken såsom 2 _ 5 kan också skrivas som ett

avslutat decimaltal, i det här fallet som 0,4. Däremot kan talet 3 _ 7 inte skrivas som ett avslutat

decimaltal, men kan ges ett hur noggrant närme-värde som helst med hjälp av en decimalutveckling såsom 0,428571428571…

• Bråk som beskriver en eller flera andelar av en hel Talen 1/3 och 3/4 kan illustreras så här.

• Bråk som beskriver en eller flera andelar av ett antal. En tredjedel av 6 och 3 fjärdedelar av 8 kan beskrivas så här:

• Bråk som beskriver proportion. Ett exempel på detta är att 7 av 10 elever vill ha pizza på skollunchen. (Detta kan också beskrivas som att 70 % av dem vill ha pizza till lunch.)

• Bråk som används för att beskriva skala. I dessa fall skrivs bråken ofta som 5:1 eller 1:20 000.

• Bråk som används även för att ange förhållande. Om man ska dela ett 7 m långt rep i förhållandet 2:5, så blir andelarna 2/7 respektive 5/7.

Man kan konstatera att bråk används i en rad olika situationer. Många elever har redan vid skolstarten en intuitiv uppfattning om bråk och andelar. Denna intuitiva vardagsuppfattning kan användas i undervis-ningen på ett sådant sätt att eleverna ges möjligheter att uppfatta begreppen och att på sikt formalisera dem. De flesta diagnoserna i området förutsätter att eleverna har en god taluppfattning och behärskar grundläg-gande aritmetik. För att förstå varför en division med ett bråk mindre än ett i nämnaren ger en kvot större än täljaren måste division förstås som innehållsdivision. Till exempel bör en uppgift som: 4 _ 1 = 12

( _ 3 ) lösas genom

tanken att det ryms 12 stycken tredjedelar i 4 hela.

Didaktiska kommentarer till delområdet RB


Ratio

nella tal

kommentaReRkR

En del av en helDiagnosen omfattar sju uppgifter där eleven ges möj-lighet att visa att hon förstår ”en del av en helhet” alltså nämnarens innebörd. Alla uppgifterna handlar alltså om stambråk, dvs. bråk där täljaren är 1.

Uppgifterna behandlar följande innehåll:

1 Hur stor del av en figur som är skuggad

2 Ange de figurer där en fjärdedel är skuggad.

3 Skugga en given andel av olika figurer. Indelning gjord på förhand.

4 Skugga en given andel av olika figurer. Ingen indelning är gjord på förhand.

5 Skriva enkla bråk med siffror.

6 Ange de figurer där 1/3 är skuggad, generalisering.

7 Skugga en given andel av olika figurer, geometriskt tänkande.

Uppgifterna i diagnosen är av olika slag. Uppgifterna 1, 2 och 6 handlar om att visa en passiv kunskap, där eleven bara behöver avläsa en andel. På uppgifterna 3, 4 och 7 krävs det en aktiv kunskap, där eleven själva måste konstruera andelarna.

GenomförandeI diagnosen används ordet skugga. Detta ord kanske måste förklaras för eleverna. Du kan även använda ordet måla. Det räcker om eleverna på något sätt mar-kerar de avsedda delarna.

För elever som förstått de här aspekterna av bråk tar det 4–5 minuter att genomföra diagnosen. Elever som använder betydligt längre tid saknar i allmänhet till-räckliga kunskaper för att lösa den här typen av uppgif-ter. Det kan därför vara lämpligt att avbryta diagnosen efter cirka 10 minuter. Skriv i resultatblanketten ett X om uppgiften är korrekt löst, 0 om den är felaktigt löst och sätt ett streck (–) om uppgiften är överhoppad.

UppföljningFör att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan man se om det bara är enstaka elever som gjort fel på en uppgift eller om det är många elever. Detta kan ha stor betydelse för planering och genomförande av upp-följning såväl på individnivå som på gruppnivå. Vid planeringen kan du använda dig av det strukturschema som gäller för området/delområdet.

Det här, nämnarens betydelse, är det första viktiga begreppet som eleven måste förstå för att kunna arbeta med bråk. Det handlar om att uppfatta en del av en helhet. För att få en fjärdedel som i uppgift 4 gäller det att dela figuren i fyra lika stora delar och välja en sådan del. Detta kan göras på olika sätt. Uppgift 6b testar om eleven förstått att delarna måste vara lika stora. Om 1/3 är en ruta av tre så gäller det sedan att kunna generalisera detta tänkande till att 1/3 av sex rutor är två rutor. Detta testas i 3c och 6c.

Facit

1a (en fjärdedel) 1b (en tredjedel) 1c (en halv)2a Ja 2b Nej 2c Ja 2d Nej3a 3b 3c

På uppgift 3c kan eleven betrakta de sex rutorna som 3 par.4a 4b 4c

Det är viktigt att eleven delar figurerna i fyra lika stora delar.

5a 1 _ 3 5b 1 _ 2 5c 1 _ 6 5d 1 _ 4

6a Ja. 6b Nej. 6c Ja.7a 7b 7c

Rationella tal | DIaGnoS RB1


Ratio

nella tal

DIaGnoSDR

Namn Klass

1 Hur stor del av figuren är skuggad?

a) ____________ b) ____________ c) ____________

2 Ringa in alla figurer där en fjärdedel är skuggad.

a) b) c) d)

3 a) Skugga en sjättedel av figuren. b) Skugga en fjärdedel av figuren.

c) Skugga en tredjedel av figuren.

DIaGnoS RB1


Ratio

nella tal

DIaGnoSDR

4 Skugga en fjärdedel av dessa figurer.

a) b) c)

5 Skriv med siffror (i bråkform)

a) en tredjedel ____________ b) en halv ____________

c) en sjättedel ____________ d) en fjärdedel ____________

6 Ringa in alla figurer där 1 __ 3 är skuggad?

a) b) c)

7 Skugga 1 __ 5 av följande figurer.

a) b) c)

DIaGnoS RB1

DIA

MA

NT

– N

AT

ION

EL

LA

DIA

GN

OS

ER

I M

AT

EM

ATIK

12

Rationella talR

eS

Ult

atR

REn del av en hel | DIaGnoS RB1

Uppgift nrElev

1a 1b 1c 2a 2b 2c 2d 3a 3b 3c 4a 4b 4c 5a 5b 5c 5d 6a 6b 6c 7a 7b 7c Kommentarer


Ratio

nella tal

kommentaReRkR

Flera delar av en hel Diagnosen omfattar fyra uppgifter där eleven ges möjlighet att visa att hon förstår bråk med fler än en andel. Det är alltså täljarens betydelse som står i fokus. Här kan man iaktta om eleven förstår att 2:an och 3:an i bråket 2 _ 3 har helt olika funktion. Siffran 3 ska här inte tolkas som ett separat tal utan hela bråkuttrycket ( 1 _ 3 ) måste beaktas. Talet 2 står för att man avser summan av två sådana bråk, alltså 1 _ 3 + 1 _ 3 .


1 Ange andelen som är skuggade i olika figurer.

2 Skriva bråktal som uttrycks med bokstäver med hjälp av siffror.

3 Markera en given andel av figurer när bråken är givna med siffror.

4 Markera en given andel av figurer där eleven själv får dela in figurerna i delar.

Uppgifterna är av olika slag. Uppgift 1 handlar om att visa en passiv kunskap, där eleven bara behöver avläsa andelarna. På uppgift 3 och 4 krävs det en aktiv kunskap, där eleven själv ska skugga en andel. I uppgift 3 finns andelarna redan markerade medan i uppgift 4 måste eleven konstruera andelarna.

GenomförandeI diagnosen används ordet skugga. Detta ord kanske måste förklaras för eleverna. Du kan även använda ordet måla. Det räcker om eleverna på något sätt mar-kerar de avsedda delarna.

För elever som förstått de här aspekterna av bråk tar det 3–4 minuter att genomföra diagnosen. Elever som använder betydligt längre tid saknar sannolikt tillräck-liga kunskaper för att lösa den här typen av uppgifter. Det kan därför vara lämpligt att avbryta diagnosen efter cirka 8 minuter. Skriv i resultatblanketten ett X om uppgiften är korrekt löst, 0 om den är felaktigt löst och sätt ett streck (–), om uppgiften är överhoppad.

UppföljningFör att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan man se om det bara är enstaka elever som gjort fel på en uppgift eller om det är många elever. Detta kan ha stor betydelse för planering och genomförande av upp-följningen såväl på individnivå som på gruppnivå. Vid planeringen kan du använda dig av det strukturschema som gäller för området/delområdet. Här kan du se att denna diagnos, RB2, har förkunskaper från RB1.

Det som diagnostiseras här är ett andra viktigt begrepp när det gäller att förstå och arbeta med tal i bråkform, nämligen att förstå täljarens betydelse. Här gäller det först att identifiera delen (nämnaren) och sedan välja rätt antal delar. Det är det antalet som ger täljaren.

Facit

1a två femtedelar ( 2 _ 5 )

1b två tredjedelar ( 2 _ 3 )

1c tre fjärdedelar ( 3 _ 4 )

2a 2 _ 3 2b 3 _ 5 2c 3 _ 4 2d 5 _ 6

3a 3b 3c

4a 4b 4c

Det är viktigt att eleven ritar ut lika stora delar.



Ratio

nella tal

DIaGnoSDR

Namn Klass

1 Hur stor del av figuren är skuggad?

a) b) c)

Svar: ____________ Svar: ____________ Svar: ____________

2 Skriv med siffror (i bråkform)

a) två tredjedelar ____________ b) tre femtedelar ____________

c) tre fjärdedelar ____________ d) fem sjättedelar ____________

3 a) Skugga 2 __ 5 av figuren. b) Skugga 3 __

4 av figuren. c) Skugga 5 __

6 av figuren.

4. Skugga 2 __ 3 av följande figurer.

a) b) c)

DIaGnoS RB2

DIA

MA

NT

– N

AT

ION

EL

LA

DIA

GN

OS

ER

I M

AT

EM

ATIK

15

Rationella talR

eS

Ult

atR

RFlera delar av en hel | DIaGnoS RB2

Uppgift nrElev

1a 1b 1c 2a 2b 2c 2d 3a 3b 3c 4a 4b 4c Kommentarer


Ratio

nella tal

kommentaReRkR

Del av ett antalDiagnosen omfattar sex uppgifter där eleven ges möj-lighet att visa att hon förstår hur andelar av ett antal eller av ett tal uttrycks.

Uppgifterna behandlar följande innehåll.

1 Ange hur stor andel av ett antal cirklar som är skuggade.

2 Markera en angiven andel av ett uppritat antal figurer.

3 Ange en del av ett tal där antalet andelar är 1 (täljaren är 1).

4 Ange en del av ett tal där antalet andelar är större än 1 (täljaren är större än 1).

5 I en vardagsanknuten situation uppfatta att 1 _ 3 = 2 _ 6

6 Föränderliga helheter

Uppgifterna är av olika slag. Uppgift 1 handlar om att visa en passiv kunskap, där eleverna bara behöver avläsa andelar. På uppgifterna 3, 4, 5 och 6 krävs det en aktiv kunskap, där eleverna själva måste tänka sig/konstru-era andelarna. Uppgifterna utgör en förkunskap till proportionalitet.

GenomförandeI diagnosen används ordet skugga. Detta ord kanske måste förklaras för eleverna. Du kan även använda or-det måla. Det räcker att eleverna markerar de avsedda delarna.

För elever som förstått de här aspekterna av bråk tar det 4–5 minuter att genomföra diagnosen. Elever som använder betydligt längre tid saknar i allmänhet till-räckliga kunskaper för att lösa den här typen av uppgif-ter. Det kan därför vara lämpligt att avbryta diagnosen efter cirka 10 minuter. Skriv i resultatblanketten ett X om uppgiften är korrekt löst, 0 om den är felaktigt löst och sätt ett streck (–) om uppgiften är överhoppad.

UppföljningFör att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan man se om det bara är enstaka elever som gjort fel på en uppgift eller om det är många elever. Detta kan ha stor betydelse för planering och genomförande av upp-följningen såväl på individnivå som på gruppnivå. Vid planeringen kan du använda dig av det strukturschema som gäller för området/delområdet. Här kan du se att denna diagnos, RB3, kräver förkunskaper från diagnos RB2.

De här operationerna bör konkretiseras när du diskuterar dem med eleverna i undervisningen. Upp-gifterna 3 och 4 är t.ex. betydligt lättare att lösa om eleven använder materiel eller ritar figurer. För att kon-kretisera uppgift 6 kan man utgå från 12 föremål (kara-meller). När Ola ätit upp en tredjedel av dem (alltså 4 karameller) så är det bara 8 kvar. Hälften av dessa 8 är 4. Det är så här eleven kan tänka under diagnosen, som ju mäter om de har abstraherat denna kunskap. Betona att det antal som man ska ta en del av, förändras.

Facit

1a 4 _ 9 1b 2 _ 5 1c 1 _ 3 eller 2 _ 6

2a 2b 2c

Uppgift 2b kan man uppfatta som ett av tre tretal och 2c som tre av fyra par.

3a 6 3b 2 3c 2 3d 24a 4 4b 6 4c 4 4d 65 2 (bitar)6 4 (karameller)



Ratio

nella tal

DIaGnoSDR

Namn Klass

1 Hur stor andel av cirklarna är skuggade? Svara i bråkform.

a) b) c)

Svar: ____________ Svar: ____________ Svar: ____________

2 Skugga

a) 3 __ 5

av cirklarna b) 1 __ 3 av cirklarna c) 3 __

4 av cirklarna

3 Hur mycket är

a) hälften av 12? ____________ b) en tredjedel av 6? ____________

c) en femtedel av 10? _________ d) en fjärdedel av 8? ____________

4 Hur mycket är

a) två tredjedelar av 6? ____________ b) två tredjedelar av 9? _________

c) två femtedelar av 10? ___________ d) tre fjärdedelar av 8? __________

DIaGnoS RB3


Ratio

nella tal

DIaGnoSDR

5 En pizza är delad i 6 bitar. Markus åt upp en tredjedel av pizzan. Hur många bitar åt Markus?

Svar: ________________ bitar.

6 I en skål låg det 12 karameller. Först åt Ola upp en tredjedel av karamellerna. Sedan åt Lisa upp hälften av de karameller som var kvar. Hur många karameller låg det sedan i skålen?

Svar: ________________ karameller

DIaGnoS RB3

DIA

MA

NT

– N

AT

ION

EL

LA

DIA

GN

OS

ER

I M

AT

EM

ATIK

19

Rationella talR

eS

Ult

atR

RDel av ett antal | DIaGnoS RB3

Uppgift nrElev

1a 1b 1c 2a 2b 2c 3a 3b 3c 3d 4a 4b 4c 4d 5 5 Kommentarer


Ratio

nella tal

kommentaReRkR

Bråk som talDiagnosen omfattar fem uppgifter där eleven ges möjlighet att visa att hon har grundläggande förståelse av bråk som tal. Bråken har alltså i det här fallet inte någon betydelse av andel.

Däremot kan ett tal som 3 _ 5 även uppfattas som resultatet av divisionen 3/5.


1 Placera talen 1 _ 2 och 1 _ 4 på tallinjen.

2 Placera talen 1 _ 3 och 5 _ 6 på tallinjen.

3 Jämföra två tal med samma täljare och olika nämnare.

4 Jämföra två tal i bråkform.

5 Ange olika uttryck för samma bråktal genom att ange rätt täljare.

GenomförandeTala om för eleverna att de ska titta noga på hur de två tallinjerna är uppbyggda.

För elever som förstått de här aspekterna av bråk tar det 3–4 minuter att genomföra diagnosen. Elever som använder betydligt längre tid saknar i allmän-het tillräckliga kunskaper för att lösa den här typen av uppgifter. Det kan därför vara lämpligt att avbryta diagnosen efter cirka 8 minuter. Skriv i resultat-blanketten ett X om uppgiften är korrekt löst, 0 om den är felaktigt löst och sätt ett streck (–) om uppgiften är överhoppad.

UppföljningFör att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan man se om det bara är enstaka elever som gjort fel på en uppgift eller om det är många elever. Detta kan ha stor betydelse för planering och genomförande av upp-följningen såväl på individnivå som på gruppnivå. Vid planeringen kan du använda dig av det strukturschema som gäller för området/delområdet. Här kan du se att denna diagnos, RB4, bygger på diagnos RB2.

Storleksordning av bråk kan ske på två sätt. Man kan ge dem en plats på tallinjen och man kan skriva dem så att de får samma nämnare. Detta är viktiga egenska-per som ligger till grund för bråkräkning och varje tal i bråkform kan alltså skrivas på oändligt många sätt. Dessa egenskaper bör man konkretisera för eleverna.

Att till exempel talen i uppgift 5b och 5a är lika framgår av följande figurer där den vänstra figuren visar att 1 _ 2 = 2 _ 6 och den högra figuren att 1 _ 2 = 3 _ 6 .

Facit

1

ab

a b

2

ab

a b

3a 1 _ 2 3b 1 _ 4 3c 3 _ 4

4a nej 4b ja 4c nej 4d ja

5a 4 _ 8 = 6 __ 12 5b 3 _ 9 = 4 __ 12 5c 10 __ 15 = 12 __ 18 5d 4 _ 4 = 7 _ 7



Ratio

nella tal

DIaGnoSDR

Namn Klass

1 Sätt ett a vid talet 1 __ 2 på tallinjen och ett b vid talet 1 __

4 på tallinjen.

2 Sätt ett a vid talet 1 __ 3 på tallinjen och ett b vid talet 5 __

6 på tallinjen.

3 Vilket av de två talen är störst? Gör en ring omkring det största talet i varje par.

a) 1 __ 2

eller 1 __ 3 b) 1 __

7 eller 1 __

4 c) 3 __

4 eller 3 __

5

4 Jämför de båda talen i uppgifterna. Ringa in de uppgifter där båda talen är lika stora.

a) 1 __ 2 = 1 __

6 b) 1 __

4 = 2 __

8 c) 2 __

3 = 2 __

4 d) 1 __

2 = 3 __

6

5 Fyll i rätt siffror så att alla tal i raden blir lika stora.

a) 1 __ 2 = 3 __

6 = __

8 = ___

12 b) 1 __

3 = 2 __

6 = __

9 = ___

12

c) 2 __ 3 = 4 __

6 = ___

15 = ___

18 d) 1 = 2 __

2 = __

4 = __

7

DIaGnoS RB4

DIA

MA

NT

– N

AT

ION

EL

LA

DIA

GN

OS

ER

I M

AT

EM

ATIK

22

Rationella talR

eS

Ult

atR

RBråk som tal | DIaGnoS RB4

Uppgift nrElev

1a 1b 2a 2b 3a 3b 3c 4a 4b 4c 4d 5a 5b 5c 5d Kommentarer


Ratio

nella tal

kommentaReRkR

Taluppfattning av bråkDiagnosen omfattar fem uppgifter där eleven ges möjlighet att visa att hon har grundläggande talupp-fattning när det gäller bråk. Detta utgör en grund för räkning med bråk.


1 Täljarens innebörd

2 Subtraktion av bråk med lika nämnare

3 Multiplikation av ett bråk med ett naturligt tal.

4 Division av ett bråk med ett naturligt tal, delnings-division.

5 Division där nämnaren är ett bråktal, innehålls-division.

De här uppgifterna handlar egentligen inte om de fyra räknesätten, utan de handlar om taluppfattning, alltsåatt 1 _ 3 + 1 _ 3 = 2 _ 3 och att 3 ∙ 1 _ 5 = 1 _ 5 + 1 _ 5 + 1 _ 5 = 3 _ 5

GenomförandeFör att lösa dessa uppgifter gäller det att tänka efter vad uppgifterna innebär. Tala därför om för eleverna att uppgifterna är enklare än de ser ut och att det snarare gäller att tänka än att räkna. Uppmuntra dem att hellre försöka svara än hoppa över uppgiften även om de är tveksamma. Tala också om att det finns olika tecken för division och här används tecknet /.

För elever som har en grundläggande taluppfattning av bråk tar det 4–5 minuter att genomföra diagno-sen. Elever som använder betydligt längre tid saknar i allmänhet tillräckliga kunskaper för att lösa den här typen av uppgifter. Det kan därför vara lämpligt att avbryta diagnosen efter cirka 10 minuter. Skriv i resul-tatblanketten ett X om uppgiften är korrekt löst, 0 om den är felaktigt löst och sätt ett streck (–) om uppgiften är överhoppad.

UppföljningFör att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan man se om det bara är enstaka elever som gjort fel på en uppgift eller om det är många elever. Detta kan ha stor betydelse för planering och genomförande av upp-följningen såväl på individnivå som på gruppnivå. Vid planeringen kan du använda dig av det strukturschema som gäller för området/delområdet. Här kan du se att denna diagnos, RB5, bygger på diagnos RB4.

För de elever som har gjort fel på de här uppgifterna kan man rita figurer eller tolka innebörden i uppgif-terna. Eftersom 2 _ 5 betyder 1 _ 5 + 1 _ 5 så måste 2 ∙ 2 _ 5

betyda

( 1 _ 5 + 1 _ 5 ) + ( 1 _ 5 + 1 _ 5 ) alltså 4 _ 5 . På motsvarande sätt kan

visa att 4 _ 5 /2 = 2 _ 5 . Uppgifterna i 5 svarar mot innehålls-division och uppgift 5b löses enklast genom frågan hur många tredjedelar får det plats (ryms) i en hel.

Facit

1a 2 _ 3 1b 3 _ 5 1c 4 _ 5

2a 1 _ 3 2b 2 _ 5 2c 1 _ 4

3a 3 _ 5 3b 4 _ 5 3c 4 _ 3 eller 1 1 _ 3

4a 1 _ 3 4b 2 _ 5 4c 1 _ 4

5a 2 5b 3 5c 2



Ratio

nella tal

DIaGnoSDR

Namn Klass

1 a) 1 __ 3

+ 1 __ 3 = ________ b) 1 __

5 + 1 __

5 + 1 __

5 = ______ c) 2 __

5 + 2 __

5 = ________

2 a) 2 __ 3

– 1 __ 3 = ________ b) 4 __

5 – 2 __

5 = _________ c) 1 – 3 __

4 = ________

3 a) 3 ∙ 1 __ 5 = ________ b) 2 ∙ 2 __

5 = _________ c) 4 ∙ 1 __

3 = _________

4 a) 2 __ 3 / 2 = ________ b) 4 __

5 / 2 = _________ c) 3 __

4 / 3 = _________

5 a) 1 / 1 __ 2 = ________ b) 1 / 1 __

3 = _________ c) 2 __

3 / 1 __

3 = ________

DIaGnoS RB5

DIA

MA

NT

– N

AT

ION

EL

LA

DIA

GN

OS

ER

I M

AT

EM

ATIK

25

Rationella talR

eS

Ult

atR

RTaluppfattning av bråk | DIaGnoS RB5

Uppgift nrElev

1a 1b 1c 2a 2b 2c 3a 3b 3c 4a 4b 4c 5a 5b 5c Kommentarer


Ratio

nella tal

kommentarerkR

Addition och subtraktion av tal i bråkform Diagnosen omfattar 12 uppgifter där eleven ges möjligheter att visa att hon kan utföra additioner och subtraktioner med tal i bråkform.


1 Additioner där termerna har samma nämnare

2 Additioner där termerna har olika nämnare

3 Subtraktioner där termerna har samma nämnare

4 Subtraktioner där termerna har olika nämnare

GenomförandeFör att lösa dessa uppgifter gäller det att tänka efter vad uppgifterna innebär. Tala därför om för eleverna att uppgifterna är enklare än de ser ut och att det snarare gäller att tänka än att räkna. Uppmuntra dem att hellre försöka svara än hoppa över uppgiften även om de är tveksamma.

För elever som förstått hur man räknar med tal i bråkform tar det 5–6 minuter att genomföra diagno-sen. Elever som använder betydligt längre tid saknar i allmänhet tillräckliga kunskaper för att lösa den här typen av uppgifter. Det kan därför vara lämpligt att avbryta diagnosen efter cirka 12 minuter. Skriv i resul-tatblanketten ett X om uppgiften är korrekt löst, 0 om den är felaktigt löst och sätt ett streck (–) om uppgiften är överhoppad.

UppföljningFör att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan man se om det bara är enstaka elever som gjort fel på en uppgift eller om det är många elever. Detta kan ha stor betydelse för planering och genomförande av uppföljningen såväl på individnivå som på gruppnivå.

Vid planeringen kan du använda dig av det struk-turschema som gäller för området/delområdet. Här kan du se att denna diagnos, RB6, bygger på diagnos RB5. Uppgifterna i diagnosen är av olika komplexitet. Genom att studera vilka uppgifter eleverna löst res-pektive inte klarat av kan du få en uppfattning om vad vissa elever behöver ytterligare undervisning om.

Facit

1a 4 _ 5 1b 8 _ 9 1c 4 _ 3 = 1 1 _ 3

2a 7 _ 8 2b 7 __ 12 2c 22 __ 15 = 1 7 __ 15

3a 2 __ 4 = 1 _ 2 3b 2 _ 7 3c 4 _ 5

4a 1 _ 4 4b 4 __ 15 4c 1 11 __ 12

Rationella tal | DIaGnoS rB6


Ratio

nella tal

DIaGnoSDR

Namn Klass

1 a) 1 __ 5

+ 3 __ 5 = __________ b) 5 __

9 + 3 __

9 = __________ c) 2 __

3 + 2 __

3 = __________

2 a) 3 __ 4

+ 1 __ 8 = __________ b) 1 __

3 + 1 __

4 = __________ c) 4 __

5 + 2 __

3 = __________

3 a) 3 __ 4

– 1 __ 4 = __________ b) 5 __

7 – 3 __

7 = __________ c) 1 3 __

5 – 4 __

5 = __________

4 a) 3 __ 4

– 1 __ 2 = __________ b) 3 __

5 – 1 __

3 = _________ c) 2 2 __

3 – 3 __

4 = __________

DIaGnoS rB6

DIA

MA

NT

– N

AT

ION

EL

LA

DIA

GN

OS

ER

I M

AT

EM

ATIK

28

Rationella talR

eS

Ult

atR

RAddition och subtraktion av tal i bråkform | DIaGnoS RB6

Uppgift nrElev

1a 1b 1c 2a 2b 2c 3a 3b 3c 4a 4b 4c Kommentarer


Ratio

nella tal

kommentaReRkR

Multiplikation och division av tal i bråkform Diagnosen omfattar 12 uppgifter där eleven ges möjlig-heter att visa att hon kan utföra multiplikationer och divisioner med tal i bråkform.


1 Multiplikationer där den ena faktorn är ett naturligt tal

2 Multiplikationer där båda faktorerna är tal i bråkform

3 Divisioner där nämnaren är ett naturligt tal

4 Divisioner där nämnaren är ett tal i bråkform

GenomförandeFör att lösa dessa uppgifter gäller det att tänka efter vad uppgifterna innebär. Tala därför om för eleverna att uppgifterna är enklare än de ser ut och att det snarare gäller att tänka än att räkna. Uppmuntra dem att hellre försöka svara än hoppa över uppgiften även om de är tveksamma.

För elever som förstått hur man räknar med tal i bråkform tar det 5–6 minuter att genomföra diagnosen. Elever som använder betydligt längre tid saknar i allmänhet tillräckliga kunskaper för att lösa den här typen av uppgifter. Det kan därför vara lämp-ligt att avbryta diagnosen efter cirka 12 minuter. Skriv i resultatblanketten ett X om uppgiften är korrekt löst, 0 om den är felaktigt löst och sätt ett streck (–) om uppgiften är överhoppad.

UppföljningFör att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan man se om det bara är enstaka elever som gjort fel på en uppgift eller om det är många elever. Detta kan ha stor betydelse för planering och genomförande av upp-följningen såväl på individnivå som på gruppnivå.

Vid planeringen kan du använda dig av det struk-turschema som gäller för området/delområdet. Här kan du se att denna diagnos, RB7 bygger på diagnos RB6. Uppgifterna i diagnosen är av olika komplexitet. Genom att studera vilka uppgifter eleverna löst res-pektive inte klarat av kan du få en uppfattning om vad vissa elever behöver ytterligare undervisning om.

Facit

1a 3 1b 6 _ 4 = 1 1 _ 2 1c 4 4 _ 5

2a 15 __ 6 = 2 1 _ 2 2b 6 __ 20 = 3 __ 10 2c 12 __ 10 = 1 1 _ 5

3a 2 _ 5 3b 1 __ 12 3c 2 _ 5

4a 6 4b 3 4c 8 __ 15

Rationella tal | DIaGnoS RB 7


Ratio

nella tal

DIaGnoSDR

Namn Klass

1 a) 6 ∙ 1 __ 2 = __________ b) 1 __

4 ∙ 6 = __________ c) 4 ∙ 1 1 __

5 = __________

2 a) 3 ∙ 5 __ 6 = __________ b) 3 __

4 ∙ 2 __

5 = __________ c) 1 1 __

2 ∙ 4 __

5 = __________

3 a) 6 __ 5 / 3 = __________ b) 1 __

3 / 4 = __________ c) 1 3 __

5 / 4 = __________

4 a) 2 / 1 __ 3 = __________ b) 3 __

4 / 1 __

4 = __________ c) 2 __

5 / 3 __

4 = __________

DIaGnoS RB7

DIA

MA

NT

– N

AT

ION

EL

LA

DIA

GN

OS

ER

I M

AT

EM

ATIK

31

Rationella talR

eS

Ult

atR

RMultiplikation och division av tal i bråkform | DIaGnoS RB7

Uppgift nrElev



Ratio

nella tal

kommentaReRkR

Delområdet RD omfattar följande sex diagnoser:

RD1 Tal i decimalform

RD2 Taluppfattning av decimaltal, addition och subtraktion

RD3 Taluppfattning av decimaltal, multiplikation och division

RD4 Addition och subtraktion av tal i decimalform

RD5 Multiplikation och division av tal i decimalform

RD6 Avrundning och gällande siffror

Eftersom decimalformen är ett speciellt sätt att ut-trycka bråk med nämnare som 10, 100 osv. krävs för-kunskaper från RB4. För att operera med tal i decimal-form kräv dessutom förkunskaper från område A.

Sambandet mellan de olika diagnoserna ser du i strukturschemat nedan. Där framgår att taluppfattning av tal i decimalform föregår operationer med dessa tal. Här gäller det huvudräkning i RD2 och RD3 men dessa diagnoser utgör i sin tur förkunskaper till AS9, AS10 och AS11 som testar skriftlig räkning med tal i decimalform.

Tal i decimalform. RD

RB4 Bråk som tal


RD1 Tal i decimal form

RD3 Taluppfattning av tal i decimalform, multiplikation och division

RD5 Huvudräkning med tal i decimalform, multiplikation och division

RD6 Närmedvärden

RD4 Huvudräkning med tal i decimalform, addition och subtraktion

RD2 Taluppfattning av tal i decimalform, addition och subtraktion


Ratio

nella tal

kommentaReRkR

Diagnoserna inom detta delområde innehåller upp-gifter som eleven ska lösa med hjälp av effektiva huvudräkningsstrategier vilket förutsätter att eleven har god taluppfattning när det gäller tal i decimalform. Skriftlig räkning med tal i decimalform prövas inom diagnoser i Aritmetik, delområdet skriftlig räkning (AS).

Decimaltal kan ses som tal i bråkform där man ut-tryckt bråket med hjälp av nämnaren 10, 100, 1 000 och så vidare. I undervisningen behöver du ägna tid åt att diskutera decimaltalens egenskaper och uppbygg-nad och det är viktigt att eleverna ges möjlighet att ut-veckla språklig förståelse och innebörd av positionernas värde. Detta för att räkningen med decimaltal inte ska bli alltför procedurell. På samma sätt som man disku-terar ental, tiotal, hundratal och tusental när det gäller de naturliga talen bör man hantera tiondel, hundradel, tusendel och så vidare när det gäller decimaltalen.

375 ska förstås som:

Hundratal Tiotal Ental

3 7 5

3,75 ska förstås som:

Ental Tiondel hundradel

3 7 5

Till exempel behöver eleverna förstå talet 2,75 som 2 + 7/10 + 5/100 det vill säga som 2 hela, 7 tiondelar och 5 hundradelar. Detta för att kunna jämföra med talet 2,8 som då betyder 2 + 8/10 (+ 0/100) det vill säga 2 hela och 8 tiondelar (och inga hundradelar, det samma som 2,80) och på så sätt förstå varför 2,8 ("två komma 8") är större än 2,75 ("två komma 75"), trots att 75 är mer än 8.

De båda talen kan jämföras enligt:


2 7 5


2 8 0

Effektiva räknestrategier för tal i decimalform bygger liksom räkning med naturliga tal på god förståelse för räknesättens innebörd. Till exempel att subtraktion kan ses som skillnad och att en uppgift som 7,2 – 3,9 därför kan beräknas som 7,3 – 4,0 (ett lika-tillägg med 0,1 på båda termer) = 3,3. Samt att 1,2/0,6 = 2 efter-som 0,6 ryms två gånger i 1,2 (innehållsdivision).

Didaktiska kommentarer till delområdet RD


Ratio

nella tal

kommentaReRkR

Tal i decimalformDiagnosen omfattar sju uppgifter där eleven ges möjlighet att visa att hon har grundläggande förståelse av tal i decimalform. Det gäller relationen mellan bråk-tal och decimaltal och förståelse av positionssystemet när det gäller decimaltal.


1 Uttrycka tal skrivna i bråkform med nämnarna 10 eller 100 i decimalform.

2 Uttrycka tal skrivna i bråkform i decimalform.

3 Ange ett tal som ligger mellan två decimaltal.

4 Storleksordna två decimaltal.

5 Markera decimaltals placering på tallinjen.

6 Tal i decimalform adderas till eller subtraheras från ett naturligt tal

7 Dela ett tal i decimalform i två, tre eller fyra delar

GenomförandeUppgifterna är av ett liknande slag som i RB4, bråk som tal, men här handlar det om tal i decimalform.

För elever som förstått dessa aspekter av bråk och decimaltal tar det 4–5 minuter att genomföra diagno-sen. Elever som använder betydligt längre tid saknar i allmänhet tillräckliga kunskaper för att lösa den här typen av uppgifter. Det kan därför vara lämpligt att avbryta diagnosen efter cirka 10 minuter. Skriv i resul-tatblanketten ett X om uppgiften är korrekt löst, 0 om den är felaktigt löst och sätt ett streck (–) om uppgiften är överhoppad.

UppföljningFör att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan man se om det bara är enstaka elever som gjort fel på en uppgift eller om det är många elever. Detta kan ha stor betydelse för planering och genomförande av upp-följningen såväl på individnivå som på gruppnivå. Vid planeringen kan du använda dig av det strukturschema som gäller för området/delområdet. Här kan man se vilka förkunskaper som krävs för diagnosen i fråga och var bristerna kan ha sin grund.

För att lösa dessa uppgifter gäller det att ha förstå-else av bråk som tal. Att en femtedel är lika med två tiondelar ger till exempel direkt decimaltalet 0,2. Jäm-för med RB4, exempelvis uppgift 5. För den som läser ut decimalformen på ett lämpligt sätt blir en jämförelse av talens storlek inte så svår. Att 0,90 är större än 0,10 eller att 9 tiondelar är större än (1 tiondel) 10 hund-radelar är tydligt. För de elever som läser ut 0,10 som noll komma tio, är det emellertid inte så konstigt om de anser att 0,9 är mindre än 0,10.

Facit

1a 0,1 1b 0,3 1c 1,1 1d 0,032a 0,5 2b 0,25 2c 0,2 2d 0,023a t.ex. 0,6 3b t.ex. 0,24 eller 0,25 3c t.ex. 0,454a 1,0 4b 0,9 4c 0,85

b a

b a

6a 0,4 6b 2,7 6c 1,57a 0,4 7b 0,3 7c 0,04 7d 0,8

Rationella tal | DIaGnoS RD1


Ratio

nella tal

DIaGnoSDR

Namn Klass

1 Skriv som ett decimaltal

a) 1 ___ 10

= ______ b) 3 ___ 10

= ______ c) 11 ___ 10

= ______ d) 3 ____ 100

= ______

2 Skriv som ett decimaltal

a) 1 __ 2 = ______ b) 1 __

4 = ______ c) 1 __

5 = ______ d) 1 ___

50 = ______

3 Skriv ett tal som ligger mellan följande tal:

a) 0,5 < _______ < 0,7 b) 0,23 < ________ < 0,26 c) 0,4 < ________ < 0,5

4 Vilket tal är störst? Ringa in det talet.

a) 1,0 eller 0,9 b) 0,10 eller 0,9 c) 0,19 eller 0,8

5 Sätt ett a vid talet 0,6 på tallinjen och ett b vid talet 0,25 på tallinjen.

b a

6 Beräkna

a) 1 – 0,6 = ________ b) 2 + 0,7 = ________ c) 2 – 0,5 = _______

7 Beräkna

a) Hälften av 0,8 = ____________ b) En tredjedel av 0,9 = ________

c) En fjärdedel av 0,16 = ________ d) Hälften av 1,6 = ___________

DIaGnoS RD1

DIA

MA

NT

– N

AT

ION

EL

LA

DIA

GN

OS

ER

I M

AT

EM

ATIK

36

Rationella talR

eS

Ult

atR

RTal i decimalform | DIaGnoS RD1

Uppgift nrElev

1a 1b 1c 1d 2a 2b 2c 2d 3a 3b 3c 4a 4b 4c 5a 5b 6a 6b 6c 7a 7b 7c 7d Kommentarer


Ratio

nella tal

kommentarerkR

Taluppfattning av decimaltal, addition och subtraktionDiagnosen omfattar sex uppgifter där eleven ges möjlighet att visa att hon har god taluppfattning när det gäller addition och subtraktion av enkla tal i decimalform.


1 Addition med tiondelar och hundradelar utan tiondelsövergång

2 Addition med tiondelar och hundradelar medtiondelsövergång

3 Addition med tiondelar och hundradelar

4 Subtraktion med tiondelar och hundradelar utan tiondelsövergång

5 Subtraktion med tiondelar och hundradelar med tiondelsövergång

6 Subtraktion med tiondelar och hundradelar

GenomförandeHär gäller det att tänka efter vad uppgifterna innebär. Det gäller dels att hålla reda på positionernas betydelse, dels att använda räknelagar och räkneregler på ett bra sätt. Tala därför om för eleverna att uppgifterna är enklare än de ser ut och att det snarare gäller att tänka än att räkna. Uppmuntra eleverna att hellre försöka svara än hoppa över en uppgift även om de är tveksamma.

För elever som har en grundläggande taluppfattning av decimaltal tar det 4–5 minuter att genomföra diagnosen. Elever som använder betydligt längre tid saknar i allmänhet tillräckliga kunskaper för att lösa den här typen av uppgifter. Det kan därför vara lämpligt att avbryta diagnosen efter cirka 10 minuter. Skriv i resultatblanketten ett X om uppgiften är korrekt löst, med 0 om den är felaktigt löst och sätt ett streck (–) om uppgiften är överhoppad.

UppföljningFör att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan man se om det bara är enstaka elever som gjort fel på en uppgift eller om det är många elever. Detta kan ha stor betydelse för planering och genomförande av uppföljningen såväl på individnivå som på gruppnivå. Vid planeringen kan du använda dig av det strukturschema som gäller för området/delområdet. Här kan man se vilka förkunskaper som krävs för diagnosen i fråga och Dessutom utgör AG2, AG3 och AG4 förkunskaper till denna diagnos.

Elever som till exempel inte behärskar tiotalsövergångar får sannolikt problem med tiondelsövergångar på den här diagnosen.

Facit

1a 0,5 1b 1,9 1c 0,08 2a 1,1 2b 2,4 2c 0,123a 3,25 3b 4,3 3c 2,00 4a 0,3 4b 1,5 4c 0,045a 2,5 5b 0,6 5c 0,9 6a 0,2 6b 0,25 6c 0,06

Rationella tal | DIaGnoS rD2


Ratio

nella tal

diagnosdR

Namn Klass

1 a) 0,2 + 0,3 = ________ b) 1,6 + 0,3 = ________ c) 0,03 + 0,05 = ________

2 a) 0,4 + 0,7 = ________ b) 1,6 + 0,8 = ________ c) 0,05 + 0,07 = ________

3 a) 3 + 0,25 = ________ b) 2,4 + 1,9 = ________ c) 1,35 + 0,65 = ________

4 a) 0,7 – 0,4 = ________ b) 1,8 – 0,3 = ________ c) 0,07 – 0,03 = ________

5 a) 3 – 0,5 = ________ b) 1,4 – 0,8 = ________ c) 1,7 – 0,8 = ________

6 a) 2,1 – 1,9 = ________ b) 1 – 0,75 = ________ c) 2,54 – 2,48 = ________

diagnos Rd2

DIA

MA

NT

– N

AT

ION

EL

LA

DIA

GN

OS

ER

I M

AT

EM

ATIK

39

Rationella talR

eS

Ult

atR

RTaluppfattning av decimaltal, addition och subtraktion | DIaGnoS RD2

Uppgift nrElev

1a 1b 1c 2a 2b 2c 3a 3b 3c 4a 4b 4c 5a 5b 5c 6a 6b 6c Kommentarer


Ratio

nella tal

KOMMENTARERKR

Taluppfattning av decimaltal, multiplikation och divisionDiagnosen omfattar sex uppgifter där eleven ges möjlighet att visa att hon har god taluppfattning när det gäller multiplikation och division av enkla tal i decimalform.


1–2 Multiplikation av ett tal i decimalform med ett naturligt tal

3 Multiplikation av ett tal i decimalform med ett tiotal eller hundratal

4–5 Division av ett tal i decimalform med ett naturligt tal, delningsdivision.

6 Division med ett tal i decimalform, innehållsdivision.

GenomförandeHär gäller det att tänka efter vad uppgifterna innebär. Det gäller dels att hålla reda på positionernas betydelse, dels att använda räknelagar och räkneregler på ett bra sätt. Tala därför om för eleverna att uppgifterna är enk-lare än de ser ut och att det snarare gäller att tänka än att räkna. Uppmuntra eleverna att hellre försöka svara än hoppa över en uppgift även om de är tveksamma. Tala också om att det finns olika tecken för division och att här används tecknet /.

För elever som har en grundläggande taluppfattning av decimaltal tar det 4–5 minuter att genomföra diag-nosen. Elever som använder betydligt längre tid saknar i allmänhet tillräckliga kunskaper för att lösa den här typen av uppgifter. Det kan därför vara lämpligt att avbryta diagnosen efter cirka 10 minuter. Skriv i resul-tatblanketten ett X om uppgiften är korrekt löst, 0 om den är felaktigt löst och sätt ett streck (–) om uppgiften är överhoppad.

UppföljningFör att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan man se om det bara är enstaka elever som gjort fel på en uppgift eller om det är många elever. Detta kan ha stor betydelse för planering och genomförande av upp-följningen såväl på individnivå som på gruppnivå. Vid planeringen kan du använda dig av det strukturschema som gäller för området/delområdet. Här kan man se vilka förkunskaper som krävs för diagnosen i fråga och var bristerna kan ha sin grund. Dessutom utgör AG6, AG7 och AG8 förkunskaper till denna diagnos. Elever som till exempel inte behärskar tiotalsövergångar får sannolikt problem med tiondelsövergångar på den här diagnosen.

Uppmärksamma speciellt uppgift 6 som kräver kunskaper om innehållsdivision. Exempelvis hand-lar uppgift 6a om hur många halva som (hur många gånger 0,5) ryms i 1. Uppgift 6b handlar om hur många gånger 2 (tiondelar) ryms i 8 (tiondelar).

Facit

1a 0,6 1b 1,5 1c 0,122a 4,48 2b 1,25 2c 6,183a 6 3b 7 3c 204a 0,4 4b 2,4 4c 0,115a 0,2 5b 0,04 5c 1,086a 2 6b 50 6c 2

Rationella tal | DIAGNOS RD3


Ratio

nella tal

DIaGnoSDR

Namn Klass

1 a) 3 ∙ 0,2 = ________ b) 0,3 ∙ 5 = ________ c) 6 ∙ 0,02 = ________

2 a) 4 ∙ 1,12 = ________ b) 5 ∙ 0,25 = ________ c) 6 ∙ 1,03 = ________

3 a) 0,5 ∙ 12 = ________ b) 0,7 ∙ 10 = ________ c) 0,2 ∙ 100 = ________

4 a) 0,8 / 2 = ________ b) 4,8 / 2 = ________ c) 0,44 / 4 = ________

5 a) 1,6 / 8 = ________ b) 0,16 / 4 = ________ c) 8,64 / 8 = ________

6 a) 1 / 0,5 = ________ b) 5 / 0,1 = ________ c) 1,2 / 0,6 = ________

DIaGnoS RD3

DIA

MA

NT

– N

AT

ION

EL

LA

DIA

GN

OS

ER

I M

AT

EM

ATIK

42

Rationella talR

eS

Ult

atR

RTaluppfattning av decimaltal, multiplikation och division | DIaGnoS RD3

Uppgift nrElev

1a 1b 1c 2a 2b 2c 3a 3b 3c 4a 4b 4c 5a 5b 5c 6a 6b 6c Kommentarer


Ratio

nella tal

kommentaReRkR

Huvudräkning med tal i decimalform, addition och subtraktionDiagnosen omfattar 12 uppgifter där eleven ges möjlig-het att visa att hon i huvudet kan utföra additions- och subtraktionsberäkningar med tal i decimalform.


1–2 Addition med tiondelar och hundradelar

3–4 Subtraktion med tiondelar och hundradelar

GenomförandeHär gäller det att tänka efter vad uppgifterna innebär. Det gäller dels att hålla reda på positionernas betydelse, dels att använda räknelagar och räkneregler på ett bra sätt. Tala därför om för eleverna att uppgifterna är enk-lare än de ser ut och att det snarare gäller att tänka än att räkna. Uppmuntra eleverna att hellre försöka svara än hoppa över en uppgift även om de är tveksamma.

För elever som förstått att operera med decimaltal tar det 5–6 minuter att genomföra diagnosen. Elever som använder betydligt längre tid saknar i allmänhet tillräckliga kunskaper för att lösa den här typen av upp-gifter. Det kan därför vara lämpligt att avbryta diagno-sen efter cirka 10 minuter. Skriv i resultatblanketten ett X om uppgiften är korrekt löst, 0 om den är felaktigt löst och sätt ett streck (–) om uppgiften är överhoppad.

UppföljningFör att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan man se om det bara är enstaka elever som gjort fel på en uppgift eller om det är många elever. Detta kan ha stor betydelse för planering och genomförande av uppfölj-ningen såväl på individnivå som på gruppnivå. Vid planeringen kan du använda dig av det strukturschema som gäller för området/delområdet. Här kan man se vilka förkunskaper som krävs för diagnosen i fråga och var bristerna kan ha sin grund. Dessutom utgör AG2, AG3 och AG4 förkunskaper till denna diagnos. Elever som till exempel inte behärskar tiotalsövergångar får sannolikt problem med tiondelsövergångar på den här diagnosen.

Facit

1a 6,15 1b 10 1c 4,1 2a 1,27 2b 1,06 2c 15,1 3a 3,2 3b 3,3 3c 1,2 (0) 4a 4,26 4b 0,95 4c 0,99



Ratio

nella tal

DIaGnoSDR

Namn Klass

1 a) 4 + 2,15 = ________ b) 4,4 + 5,6 = _________ c) 2,3 + 1,8 = ________

2 a) 1,07 + 0,20 = ______ b) 0,54 + 0,52 = _______ c) 7,2 + 7,9 = ________

3 a) 5,9 – 2,7 = ________ b) 7,2 – 3,9 = _________ c) 4,65 – 3,45 = ________

4 a) 8,24 – 3,98 = _______ b) 1,6 – 0,65 = _________ c) 1,56 – 0,57 = ________

DIaGnoS RD4

DIA

MA

NT

– N

AT

ION

EL

LA

DIA

GN

OS

ER

I M

AT

EM

ATIK

45

Rationella talR

eS

Ult

atR

RHuvudräkning med tal i decimalform, addition och subtraktion | DIaGnoS RD4

Uppgift nrElev



Ratio

nella tal

kommentaReRkR

Huvudräkning med tal i decimalform, multiplikation och divisionDiagnosen omfattar 12 uppgifter där eleven ges möjlig-heter att visa en hon i huvudet kan utföra multiplika-tions- och divisionsberäkningar med tal i decimalform.


1 Multiplikation av ett tal i decimalform med ett naturligt tal.

2 Multiplikation av två tal i decimalform.

3 Division av ett tal i decimalform med ett naturligt tal, delningsdivision.

4 Division med ett tal i decimalform, innehålls-division.

GenomförandeHär gäller det att tänka efter vad uppgifterna innebär. Det gäller dels att hålla reda på positionernas betydelse, dels att använda räknelagar och räkneregler på ett bra sätt. Tala därför om för eleverna att uppgifterna är enk-lare än de ser ut och att det snarare gäller att tänka än att räkna. Uppmuntra eleverna att hellre försöka svara än hoppa över en uppgift även om de är tveksamma. Tala också om att det finns olika tecken för division och att här används tecknet /.

För elever som förstått att operera med decimaltal tar det 6–7 minuter att genomföra diagnosen. Elever som använder betydligt längre tid saknar i allmän-het tillräckliga kunskaper för att lösa den här typen av uppgifter. Det kan därför vara lämpligt att avbryta diagnosen efter cirka 15 minuter. Skriv i resultatblan-ketten ett X om uppgiften är korrekt löst, 0 om den är felaktigt löst och sätt ett streck (–) om uppgiften är överhoppad.

UppföljningFör att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan man se om det bara är enstaka elever som gjort fel på en uppgift eller om det är många elever. Detta kan ha stor betydelse för planering och genomförande av upp-följningen såväl på individnivå som på gruppnivå. Vid planeringen kan du använda dig av det strukturschema som gäller för området/delområdet. Här kan man se vilka förkunskaper som krävs för diagnosen i fråga och var bristerna kan ha sin grund. Dessutom utgör AG2, AG3 och AG4 förkunskaper till denna diagnos. Exem-pelvis får elever som inte behärskar tiotalsövergångar får givetvis problem med tiondelsövergångar på den här diagnosen.

Uppmärksamma speciellt uppgifterna 11 och 12 som kräver kunskaper om innehållsdivision.

Facit

1a 13,5 1b 1,2 1c 352a 0,1 2b 0,7 2c 2,475 3a 3,125 3b 5,2 3c 2,014a 0,2 4b 1,1 4c 70



Ratio

nella tal

DIaGnoSDR

Namn Klass

1 a) 9 ∙ 1,5 = ________ b) 30 ∙ 0,04 = ________ c) 0,7 ∙ 50 = ________

2 a) 0,4 ∙ 0,25 = ________ b) 0,5 ∙ 1,4 = ________ c) 1,1 ∙ 2,25 = ________

3 a) 6,25 / 2 = ________ b) 15,6 / 3 = ________ c) 10,05 / 5 = ________

4 a) 0,16 / 0,8 = ________ b) 0,44 / 0,4 = ________ c) 0,7 / 0,01 = ________

DIaGnoS RD5

DIA

MA

NT

– N

AT

ION

EL

LA

DIA

GN

OS

ER

I M

AT

EM

ATIK

48

Rationella talR

eS

Ult

atR

RHuvudräkning med tal i decimalform, multiplikation och division | DIaGnoS RD5

Uppgift nrElev



Ratio

nella tal

kommentaReRkR

NärmevärdenDiagnosen omfattar 8 uppgifter där eleven ges möjlig-het att visa att hon kan avrunda tal korrekt samt ange lämpligt antal gällande siffror (även kallat värdesiffror).


1 Avrundning till hela tiotal.

2 Avrundning till hela hundratal.

3 Avrundning till två decimaler.

4 Ange ett tal som efter avrundning får ett visst värde.

5 Avrunda mm till hela cm.

6 Avrunda meter till hundratals meter uttryckt i km.

7 Ange ett tal med ett visst antal gällande siffror.

8 Ange antal gällande siffror efter en beräkning.

GenomförandeDet har genom tiderna föreskrivits olika regler för av-rundning av tal där nästkommande siffra är 5. Låt dina elever göra som du undervisat dem eller som läromed-let föreskriver. I facit till denna diagnos har regeln att ”en 5:a höjer” använts.

Ofta när vi löser vardagsproblem använder vi tal som bygger på uppmätta värden. Hur noggrant man kan mäta bestämmer hur många gällande siffror i talet man kan vara säker på och det avgör antal siffror man ska ta med i sitt svar. Vid beräkningar med flera ingående tal ska svaret avrundas till lika många gäl-lande siffror som det ingående tal som har minst antal gällande siffror.

För elever som förstått dessa aspekter av avrundning och gällande siffror tar det 5–6 minuter att genomföra diagnosen. Elever som använder betydligt längre tid saknar i allmänhet tillräckliga kunskaper för att lösa den här typen av uppgifter. Det kan därför vara lämp-ligt att avbryta diagnosen efter cirka 10 minuter. Skriv i resultatblanketten ett X om uppgiften är korrekt löst, 0 om den är felaktigt löst och sätt ett streck (–) om uppgiften är överhoppad.

UppföljningFör att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan man se om det bara är enstaka elever som gjort fel på en uppgift eller om det är många elever. Detta kan ha stor betydelse för planering och genomförande av upp-följningen såväl på individnivå som på gruppnivå. Vid planeringen kan du använda dig av det strukturschema som gäller för området/delområdet. Här kan man se att det krävs förkunskaper från RD5. Vidare behövs en god taluppfattning som testas inom området Aritmetik och då främst diagnoserna inom delområdet AG.

Facit

1a 10 1b 30 1c 70 1d 1302a 200 2b 400 2c 400 2d 3003a 3,14 3b 9,814 Flera svar är möjliga, exempelvis 8,34.5 196 cm 6 2,4 km 7a 2 320 7b 2 300 7c 2 0008 280 (23,4 har tre gällande siffror och 12 har två. Svaret bör då anges med två gällande siffror.)



Ratio

nella tal

DIaGnoSDR

Namn Klass

1 Avrunda till närmaste tiotal:

a) 11 _____________ b) 28 _____________

c) 65 _____________ d) 134 _____________

2 Avrunda till närmaste hundratal:

a) 203 _____________ b) 426 _____________

c) 367 _____________ d) 250 _____________

3 Avrunda till två decimaler:

a) 3,141 _____________ b) 9,8052 _____________

4 Ange ett tal med två decimaler som blir 8,3 om det avrundas till en decimal.

Svar: _______________________

5 David mäter längden på sin säng och får mätetalet 1 958 mm. Avrunda mätetalet till centimeter och svara med ett heltal.

Svar: _______________________

6 Tova mätte upp en träningsrunda med sin GPS. Hon fick då värdet 2 351 meter. Avrunda värdet till kilometer och svara med en decimal.

Svar: _______________________

DIaGnoS RD6


Ratio

nella tal

DIaGnoSDR

7 Skriv talet 2 318 med

a) tre gällande siffror: ____________________

b) två gällande siffror: ____________________

c) en gällande siffra: ____________________

8 Två mätningar ger talen 23,6 och 12. Produkten av dessa tal är 283,2. Skriv produkten med ett lämpligt antal gällande siffror.

Svar: ____________________

DIaGnoS RD6

DIA

MA

NT

– N

AT

ION

EL

LA

DIA

GN

OS

ER

I M

AT

EM

ATIK

52

Rationella talR

eS

Ult

atR

RNärmevärden | DIaGnoS RD6

Uppgift nrElev

1a 1b 1c 1d 2a 2b 2c 2d 3a 3b 4 5 6 7a 7b 7c 8 Kommentarer


Ratio

nella tal

kommentaReRkR

Delområdet RP omfattar följande sju diagnoser:




RP4 Procenträkning

RP5 Procent, problemlösning

RP6 Förändringsfaktor

RP7 Ränta

Arbete med proportionalitet har sin grund i bråk och bråkräkning och bygger tekniskt sett på arbete med tal i decimalform.

Sambandet mellan de olika diagnoserna ser du i strukturschemat nedan. Där framgår det att, RB3, del av ett antal, utgör förkunskap till delområdet. Vidare syns att RP2 kräver förkunskaper från TAg2, koordi-natsystem och rätalinjen. För arbete med förändrings-faktor RP6 behövs förkunskaper från AUp1 potenser.

Proportionalitet och procent. RP


RP6 Förändringsfaktorer




RP4 Procenträkning

RP5 Procent problemlösning

RP7 Ränta

AUp1 Potenser

TAg2


Ratio

nella tal

kommentaReRkR

Procenträkning har sin grund i bråkräkning och hand-lar om att räkna med andelar.

För att på djupet förstå procenträkning behöver eleverna ha en god taluppfattning inom tal i bråkform och tal i decimalform.

Ordet procent har sitt ursprung i latinets per cen-tum, vilket kan översättas till för varje hundrade.

När man undervisar om procent bör man skilja mel-lan att behärska enkla procedurer som kan utföras med hjälp av en miniräknare och att ha en djupare förståelse av procentbegreppet.

För eleverna är det inte alltid så lätt att förstå kopp-lingen mellan decimalform och procentform. Procent utgör alltid en andel av något och kan aldrig vara ett uttryck för ett enskilt tal.

Till exempel betyder 20 % av 70 andelen 20 ___ 100 av70 som i sin tur betyder 20 ∙ ( 1 ___ 100 av 70), alltså 20 ∙ 0,7 = 14.

Detta motsvaras av den i dag vanliga metoden att först räkna ut hur mycket 1 % är för att sedan, i detta fall, multiplicera det med 20 för att få fram hur mycket 20 % av 70 är.

Detta betyder att det är olämpligt att skriva 0,20 = 20 % eftersom 0,20 är ett tal och 20 % är en andel. Visserligen är 20 % av 1 = 0,20, men 20 % av 10 är ju lika med 2.

Beräkningen 20 % av 70 = 0,20 ∙ 70 = 14 ger samma svar, men det kan bli problematiskt att förstå 20 % som 0,20 eftersom 20 % i så fall måste betraktas som ett namn på talet 0,2. Men på svenska blir detta väldigt

konstigt. Vi kan ju inte säga att 0,2 av de röstande tyckte att skolmaten var god om vi menar att 20 % av de röstande tyckte att skolmaten var god. 0,2 och 20 % är alltså inte synonyma på svenska. Detta beror just på att 0,2 betecknar ett tal medan 20 % betecknar en andel, i det här fallet andelen röstande. Skriver vi 1/5 av de röstande tyckte att skolmaten var god, betecknar 1/5 också en andel och inte ett tal. Proble-met här är att bråkstrecket är flertydigt; 1/5 kan i vissa sammanhang beteckna en andel, som när vi talar om andelen röstande, men i andra ett tal, som i 1/5 > 1/6 eller 1/5 ∙ 1/6.

I uttrycken 20 % = 1/5 = 0,2 gör vi alltså felet att vi blandar ihop de två olika betydelserna hos bråkstrecket. I den första likheten läser vi 1/5 som 1 andel av 5. I den andra läser vi 1/5 som ett namn på talet 1/5 eller 0,2. Sedan använder vi i den första läsningen dessutom likhetstecknet på ett felaktigt sätt i och med att vi i den första läsningen inte använder vare sig 20 % eller 1/5 som termer. Det är således olämpligt att skriva ett ut-tryck som det ovan. Skriv 20 % av X = 1/5 av X som uttrycker andelar och 1/5 = 0,2 som är tal.

Om man vill ange hur många procent 12 elever utgör av 30 elever är det hur stor andel dessa 12 elever utgör av hela gruppen (30 stycken) man vill veta. Andelen är 12 av 30, vilket i bråkform uttrycks som andelen 12 __ 30 . Detta kan i sin tur uttryckas som 4 __ 10 vilket kan uttryck-as som 40 ___ 100 och denna andel kan uttryckas som 40 %.

Använder man division som metafor vet man att ande-len 12 __ 30 vid division ger kvoten 0,4= 0,40 (det vill säga 40 hundradelar) = 40 %.

Didaktiska kommentarer till delområdet RP


Ratio

nella tal

kommentaReRkR

Grundläggande proportionalitetDiagnosen omfattar fem uppgifter där eleven ges möjlighet att visa att hon förstår och kan lösa uppgifter som behandlar proportionella samband.


1–2 Proportionalitet som behandlar dubbelt,

hälften och 3 gånger så mycket

3 Proportionalitet och kilopris

4 Proportionalitet vid delning av en lotterivinst

5 Proportionalitet vid blandning av saft

GenomförandeOm det finns elever i klassen som har svårigheter med att läsa, så kan man läsa uppgifterna för eleven.

För elever som behärskar de här uppgifterna tar det 4–5 minuter att genomföra diagnosen. Elever som använder betydligt längre tid saknar i allmänhet tillräck-liga kunskaper för att lösa den här typen av uppgifter. Det kan därför vara lämpligt att avbryta diagnosen efter cirka 10 minuter. Skriv i resultatblanketten ett X om uppgiften är korrekt löst, 0 om den är felaktigt löst och sätt ett streck(–) om uppgiften är överhoppad.

UppföljningFör att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan man se om det bara är enstaka elever som gjort fel på en uppgift eller om det är många elever. Detta kan ha stor betydelse för planering och genomförande av upp-följningen såväl på individnivå som på gruppnivå. Vid planeringen kan du använda dig av det strukturschema som gäller för området/delområdet. Här kan man se att denna diagnos, RP1, bygger på diagnosen RB3.

Att lösa denna typ av uppgifter kräver kunskaper av flera slag. Först och främst måste eleven kunna tolka texten och ge uppgiften en mening. Därefter gäller det att välja rätt matematisk modell och att kunna teckna denna med användande av matematikens uttrycksfor-mer. Slutligen ska eleven utföra en beräkning av typen del av ett antal.

Facit

1a 4 dl 1b 3 dl 2a 800 g (0,8 kg) 2b 200 g 2c 1 200 g (1,2 kg)3a 10 kr 3b 20 kr4a 200 kr 4b 100 kr5a 2 dl 5b 16 dl (1,6 liter) (4 dl vatten och 1 dl koncentrerad saft ger 5 dl eller 0,5 liter bandad saft)

Proportionalitet och procent | DIaGnoS RP1


Ratio

nella tal

DIaGnoSDR

Namn Klass

1 När man gör pannkakssmet ska man ha dubbelt så mycket mjölk som mjöl.

a) Hur mycket mjölk ska man ta om man tar 2 dl mjöl? __________________

b) Hur mycket mjöl ska man ta om man tar 6 dl mjölk? __________________

2 I ett recept på köttbullar ska det vara 400 gram köttfärs till 4 portioner. Hur många gram köttfärs ska man ta om det ska räcka till:

a) dubbelt så många portioner? ___________________________

b) hälften så många portioner? ____________________________

c) 12 portioner? ________________________________________

3 Elin och Elsa köper lördagsgodis. De köper lösgodis som kostar 5 kr / hg.

a) Elin köper 2 hg. Hur mycket ska hon betala? _________________

b) Elsa köper dubbelt så mycket som Elin. Hur mycket ska Elsa betala? _____________________________

4 Anders och Amanda köper en lott ihop. Anders betalar dubbelt så mycket som Amanda av lottpriset. De vinner 300 kronor på lotten. Vinsten ska delas efter hur mycket de betalade för lotten. Hur mycket av vinsten får:

a) Anders? _____________________

b) Amanda? ____________________

5 När man blandar saft ska man ta 4 dl vatten till 1 dl koncentrerad saft.

a) Hur mycket koncentrerad saft ska man ta till 8 dl vatten? ___________________

b) Hur mycket vatten ska man ta om man vill ha 2 liter färdigblandad saft? __________

DIaGnoS RP1

DIA

MA

NT

– N

AT

ION

EL

LA

DIA

GN

OS

ER

I M

AT

EM

ATIK

57

Rationella talR

eS

Ult

atR

RGrundläggande proportionalitet | DIaGnoS RP1

Uppgift nrElev

1a 1b 2a 2b 2c 3a 3b 4a 4b 5a 5b Kommentarer


Ratio

nella tal

kommentaReRkR

Proportionalitet i grafformDiagnosen omfattar tre uppgifter där eleven ges möjligheter att visa att hon kan göra tabeller och rita grafer som handlar om proportionalitet samt välja rätt räkneoperation


1 Fylla i en värdetabell, rita motsvarande graf i ett färdigt diagram och avläsa ett värde i diagrammet.

2 Fylla i en värdetabell, gradera axlarna i ett koordi-natsystem och rita den graf som svarar mot tabellen

3 Tolka och dra slutsatser från ett diagram.

GenomförandeTala om för eleverna att de ska vara noggranna när de studerar axlarna i koordinatsystemen.

För elever som behärskar de här uppgifterna tar det 6–7 minuter att genomföra diagnosen. Elever som an-vänder betydligt längre tid saknar allmänhet tillräckliga kunskaper för att lösa den här typen av uppgifter. Det kan därför vara lämpligt att avbryta diagnosen efter cirka 15 minuter. Med tanke på uppgifternas karaktär kan man med fördel dela upp diagnosen och ge den vid olika tillfällen. Skriv i resultatblanketten ett X om uppgiften är korrekt löst, 0 om den är felaktigt löst och sätt ett streck (–) om uppgiften är överhoppad.

UppföljningFör att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan man se om det bara är enstaka elever som gjort fel på en uppgift eller om det är många elever. Detta kan ha stor betydelse för planering och genomförande av uppföljningen såväl på individnivå som på gruppnivå. Vid planeringen kan du använda dig av det struktur-schema som gäller för området/delområdet. Här kan man se att denna diagnos, RP2, bygger på diagnoserna RP1 och TAg2.

Att lösa denna typ av uppgifter kräver kunskaper av flera slag. Först och främst måste eleven kunna tolka texten. Det gäller att välja rätt matematisk modell och att kunna använda denna på ett matematiskt vedertaget sätt, med användande av matematikens uttrycksformer.

Facit

1a Vikt (kg) Pris (kr)

1 10

2 20

4 40

5 50

6 60

1b

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

Pris (kr)

Vikt (kg)0,50 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,51 1,5 2

f(x) = 10x

1c 36 kr2a Antal filmer Pris (kr)

1 20

2 40

4 80

10 200

2b

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

Pris (kr)

Antal filmer

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

f(x) = 20x

2c 140 kr3a Efter 5 timmar 3b 21 mil 3c 17,5 mil



Ratio

nella tal

DIaGnoSDR

Namn Klass

1 Tabellen visar hur mycket det kostar att köpa äpplen som kostar 10 kr/kg.

Vikt (kg) Pris (kr)

1 10

2 20

4 40

5

6

a) Fyll i tabellen vad det kostar att köpa 5 kg och 6 kg äpplen

b) Pricka in värdena i koordinatsystemet och rita en graf som visar hur priset beror på vikten.

c) Använd grafen för att läsa av hur mycket 4,5 kg äpplen kostar.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

Pris (kr)

Vikt (kg)0,50 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,51 1,5 2

DIaGnoS RP2


Ratio

nella tal

DIaGnoSDR

2 Att hyra film i en butik kostar 20 kronor/film.

a) Fyll i tabellen som visar vad det kostar att hyra olika antal filmer.

antal filmer Pris (kr)

1 20

2

4

10

b) Gradera axlarna i nedanstående koordinatsystem och rita ut grafen till tabellen ovan.

c) Avläs ur grafen vad det kostar att hyra 7 filmer.

Pris (kr)

Antal filmer

DIaGnoS RP2


Ratio

nella tal

DIaGnoSDR

3 En bil kör hela tiden med samma hastighet. I diagrammet ser du hur långt bilen kommer på en viss tid.

a) Efter hur lång tid har bilen kört 35 mil?

b) Hur långt kommer bilen på 3 timmar?

c) Hur långt kommer en bil som kör hälften så fort på 5 timmar?

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Avstånd (mil)

Tid (timmar)

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5

DIaGnoS RP2

f(x) = 7x

DIA

MA

NT

– N

AT

ION

EL

LA

DIA

GN

OS

ER

I M

AT

EM

ATIK

62

Rationella talR

eS

Ult

atR

RProportionalitet i grafform | DIaGnoS RP2

Uppgift nrElev

1a 1b 1c 2a 2b 2c 3a 3b 3c Kommentarer


Ratio

nella tal

kommentaReRkR

Grundläggande procenträkningDiagnosen omfattar fem uppgifter där eleven ges möj-lighet att visa att hon förstår procentbegreppet.


1–2 Skriva om från bråkform till procentform.

3 Skriva om från procentform till bråkform, hundradelar respektive tiondelar.

4 Hur många procent av en figur som är skuggad.

5 Beräkna en procentuell andel av olika storheter.

GenomförandeFör elever som behärskar de här uppgifterna tar det 4–5 minuter att genomföra diagnosen. Elever som använ-der betydligt längre tid saknar i allmänhet tillräckliga kunskaper för att lösa denna typ av uppgifter. Det kan därför vara lämpligt att avbryta diagnosen efter cirka 10 minuter. Skriv i resultatblanketten ett X om uppgiften är korrekt löst, 0 om den är felaktigt löst och sätt ett streck(–) om uppgiften är överhoppad.

UppföljningFör att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan man se om det bara är enstaka elever som gjort fel på en uppgift eller om det är många elever. Detta kan ha stor betydelse för planering och genomförande av uppföljningen såväl på individnivå som på gruppnivå. Vid planeringen kan du använda dig av det struktur-schema som gäller för området/delområdet. Här kan man se att denna diagnos, RP3, bygger på diagnoserna RB3 och RD1.

Facit

1a 43 % 1b 30 %2a 20 % 2b 5 %3a 35 ___ 100 3b 4 __ 10

4a 25 % 4b 20 % 4c 75 % 5a 8 kr 5b 120 kr 5c 8 kr



Ratio

nella tal

DIaGnoSDR

Namn Klass

1 a) Skriv andelen 43 ____ 100

som procent _________ %

b) Skriv andelen 3 ___ 10


2 a) Skriv andelen 1 __ 5 som procent _________ %

b) Skriv andelen 1 ___ 20


3 a) Skriv andelen 35 % som hundradelar ____ 100

b) Skriv andelen 40 % som tiondelar ___ 10

4 Hur många procent av figurerna är skuggade?

a) ___________ % b) ___________ % c) ___________%

5 Hur mycket är:

a) 5 % av 160 kr? _____________ b) 25 % av 480 kr? _____________

c) 20 % av 40 kr? _____________

DIaGnoS RP3

DIA

MA

NT

– N

AT

ION

EL

LA

DIA

GN

OS

ER

I M

AT

EM

ATIK

65

Rationella talR

eS

Ult

atR

RGrundläggande procenträkning | DIaGnoS RP3

Uppgift nrElev

1a 1b 2a 2b 3a 3b 4a 4b 4c 5a 5b 5c Kommentarer


Ratio

nella tal

kommentarerkR

ProcenträkningDiagnosen omfattar fem uppgifter där eleven ges möjlighet att visa att hon förstår och kan lösa uppgifter som handlar om proportionalitet och procent.


1 Omvandla proportionen 1:3 till procentform.

2 Bestämma procenthalten saft i en saftblandning.

3 Bestämma promillehalten salt i saltvatten.

4 Beskriva en del av en given population i procent.

5 Bestämma procenthalten ättika i en ättiksblandning.

GenomförandeDenna diagnos kräver dels att en del text ska läsas och dels att ett antal beräkningar ska göras. Ingående beräknar är relativt enkla och tänkta att eleven ska kunna göra med huvudräkning. Om det finns elever i klassen som har svårigheter med att läsa så kan man läsa uppgifterna för eleven. Här gäller det för eleven att tolka vad uppgifterna innebär och använda lämplig beräkningsmodell. Tala om för eleverna att de ska göra så gott de kan och hellre försöka svara på en uppgift än hoppa över den, även om de är tveksamma.

För elever som behärskar de här uppgifterna tar det cirka 15 minuter att genomföra diagnosen Elever som använder betydligt längre tid saknar i allmänhet tillräck-liga kunskaper för att lösa den här typen av uppgifter. Det kan därför vara lämpligt att avbryta diagnosen efter cirka 20 minuter. Skriv i resultatblanketten ett X om uppgiften är korrekt löst, 0 om den är felaktigt löst och sätt ett streck (–) om uppgiften är överhoppad.

UppföljningFör att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan man se om det bara är enstaka elever som gjort fel på en uppgift eller om det är många elever. Detta kan ha stor betydelse för planering och genomförande av up-pföljningen såväl på individnivå som på gruppnivå.

Vid planeringen kan du använda dig av det struk-turschema som gäller för området/delområdet. Här kan man se att denna diagnos bygger på diagnosen RP3.

Uppgifterna i diagnosen behandlar olika aspekter av proportionalitet och procent. Genom att studera vilka uppgifter eleverna har löst respektive inte löst kan man därför bilda sig en uppfattning om vad vissa elever behöver ytterligare undervisning om.

Facit

1 25 %2 20 %3 40 ‰4 40 %5 25 %

Proportionalitet och procent | DIaGnoS rP 4


Ratio

nella tal

DIAGNOSDR

Namn Klass

1 För att få en salladsdressing blandar man 3 dl olja och 1 dl vinäger. Hur många procent av blandningen består av vinäger?

Svar: ___________________________

2 Vid ett barnkalas har man blandat 1 liter ren saft och 6 liter vatten. Eftersom saften blev för svag blandade man in ytterligare 5 dl ren saft. Hur många procent av en nya blandningen består av ren saft?

Svar: ___________________________

3 1 liter vatten väger 1 kg. Elsa häller 100 g salt i 24 dl vatten. Hur stor blir salthalten uttryckt i promille?

Svar: ___________________________

4 I en by i Schweiz talar 452 personer franska, 800 personer tyska och 748 personer italienska . Hur många procent av alla i byn talar tyska?

Svar: ___________________________

5 I ett kärl blandar Stina 1,2 liter vatten och 0,4 liter ren ättiksprit. Hur många procent ättiksprit innehåller blandningen?

Svar: ___________________________

DIAGNOS RP4

DIA

MA

NT

– N

AT

ION

EL

LA

DIA

GN

OS

ER

I M

AT

EM

ATIK

68

Rationella talR

eS

Ult

atR

RProcenträkning | DIaGnoS RP4

Uppgift nrElev

1 2 3 4 5 Kommentarer


Ratio

nella tal

kommentaReRkR

Procent, problemlösning Diagnosen omfattar fem uppgifter där eleven ges möjlighet att visa att hon förstår och kan lösa uppgifter som handlar om procent.


1 Bestämma nettopriset vid rabatt.

2 Bestämma skatten i procent när bruttolön och nettolön är givna.

3 Bestämma ett pris efter momspåslag.

4 Bestämma priset efter först en prishöjning och sedan en prissänkning.

5 Bestämma ett pris innan rabatten dragits av.

GenomförandeHär gäller det för eleven att tolka vad uppgifterna innebär. Uppgifterna är av olika komplexitet. Tala om för eleverna att de ska göra så gott de kan och hellre försöka svara på en uppgift än hoppa över den, även om de är tveksamma.

Uppgifterna kräver en del beräkningar. Du be-stämmer själv om du vill ge eleverna miniräknare för uträkningarna. En elev som har svårt för aritmetiska beräkningar kan på så sätt ändå få visa sin förståelse för procentbegreppet. Bifoga ett lösblad för eleven att redovisa sina uträkningar på.

För elever som förstått procentbegreppet och kan lösa den här typen av uppgifter tar det ca 15–20 minu-ter att genomföra diagnosen. Skriv i resultatblanketten med ett X om uppgiften är korrekt löst, 0 om den är felaktigt löst och sätt ett streck (–) om uppgiften är överhoppad.

UppföljningFör att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan man se om det bara är enstaka elever som gjort fel på en uppgift eller om det är många elever. Detta kan ha stor betydelse för planering och genomförande av uppföljningen såväl på individnivå som på gruppnivå. Studera även elevens redovisade lösningar. Många gånger framträder problemet att eleven utgår från fel helhet vid uträkning av andelen.

Vid planeringen kan du använda dig av det struk-turschema som gäller för området/delområdet. Här kan man se vilka förkunskaper som krävs för denna diagnos till exempel att den bygger på kunskaper från diagnosen RP4. Uppgifterna i diagnosen är varierade på ett sådant sätt att de täcker olika aspekter av pro-centräkning. Genom att studera vilka uppgifter elev-erna har löst respektive inte löst kan man bilda sig en uppfattning om vad vissa elever behöver ytterligare undervisning om.

Facit

1 612 kr2 16 %3 10 500 kr4 391 kr 5 900 kr

Proportionalitet och procent | DIaGnoS RP 5


Ratio

nella tal

DIaGnoSDR

Namn Klass

1 Ett par jeans kostar 720 kr. Man får 15 % rabatt. Hur mycket får man då betala?

Svar: ___________________________

2 Lisas månadslön är 25 000 kr. När skatten är dragen har Lisa 21 000 kr kvar. Hur många procent av lönen betalar hon i skatt?

Svar: ___________________________

3 En dator kostar 8 400 kr utan moms. Man får också betala 25 % moms. Hur mycket kostar datorn när momsen är inräknad?

Svar: ___________________________

4 Priset på en skjorta som tidigare kostat 400 kr höjs med 15 %. På det priset får Erik 15 % rabatt. Hur mycket får Erik betala?

Svar: ___________________________

5 Vid en rea har man sänkt alla priser med 20 %. Stina har där handlat kläder för 720 kr. Hur mycket skulle hon fått betala om det inte varit rea?

Svar: ___________________________

DIaGnoS RP5

DIA

MA

NT

– N

AT

ION

EL

LA

DIA

GN

OS

ER

I M

AT

EM

ATIK

71

Rationella talR

eS

Ult

atR

RProcent, problemlösning | DIaGnoS RP5

Uppgift nrElev

1 2 3 4 5 Kommentarer


Ratio

nella tal

kommentaReRkR

FörändringsfaktorDiagnosen omfattar sex uppgifter där eleven ges möj-lighet att visa att hon kan använda generella metoder för beräkning av upprepade procentuella förändringar.

Uppgifterna behandlar:

1 Procentuell prishöjning och sänkning, val av lämplig beräkning.

2 Upprepat räntepåslag på kapital, val av lämplig beräkning.

3 Upprepad procentuell prissänkning, val av lämplig beräkning.

4 Upprepad procentuell lönehöjning, val av lämplig beräknad.

5 Formulera eget uttryck för upprepad procentuell sänkning.

6 Formulera eget uttryck för upprepad procentuell höjning.

GenomförandePåpeka för eleverna att de inte ska räkna ut uppgifterna endast visa vilka uttryck som ger rätt svar om man skulle räkna ut dem.

För elever som behärskar de här uppgifterna tar det ca 15 minuter att genomföra diagnosen. Elever som använder betydligt längre tid saknar i allmän-het tillräckliga kunskaper för att lösa den här typen av uppgifter. Det kan därför vara lämpligt att avbryta diagnosen efter cirka 20 minuter.

Skriv i resultatblanketten ett X om uppgiften är korrekt löst, 0 om den är felaktigt löst och sätt ett streck(–) om uppgiften är överhoppad.

UppföljningFör att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan man se om det bara är enstaka elever som gjort fel på en uppgift eller om det är många elever. Detta kan ha stor betydelse för planering och genomförande av uppföljningen såväl på individnivå som på gruppnivå. Studera även elevens redovisade lösningar. Uppgifterna kräver att eleverna har god grundläggande förståelse för procentbegreppet.

Vid planeringen kan du använda dig av det struk-turschema som gäller för området/delområdet. Här kan man se vilka förkunskaper som krävs för denna diagnos till exempel att den bygger på kunskaper från tidigare diagnoser RP3, RP4 och RP5. Uppgifterna i diagnosen är varierade på ett sådant sätt att de täcker olika aspekter av förändringsfaktor. Genom att studera vilka uppgifter eleverna har löst respektive inte löst kan man därför bilda sig en uppfattning om vad vissa elever behöver ytterligare undervisning om. Eleven behöver även ha god förståelse för matematisk notation och till exempel förstå innebörden av parenteser och priorite-ringsregler.

Facit

1 c2 a och d3 b och d4 b och d 5 lämpligt uttryck är till exempel: 250 ∙ 0,8 ∙ 0,7 eller 250 ∙ 0,566 lämpligt uttryck är till exempel: 28 000 ∙ 1,07 ∙ 1,03



Ratio

nella tal

DIAGNOSDR

Namn Klass

1 Priset på en jacka är 250 kr. Först höjs priset med 20 % och sedan sänks det med 10 %. Vad blir det slutliga priset? Kryssa i alla uttryck som ger korrekt svar på uppgiften.

a) 250 + 20 – 10 b) 0,2 ∙ 250 ∙ 0,1

c) 250 ∙ 1,2 ∙ 0,9 d) 250 + 1,20 – 0,9

2 Carin har 2 000 kronor på ett bankkonto som ger 3 % ränta. Hur mycket har Carin på kontot efter två år om hon inte rör pengarna? Kryssa i alla uttryck som ger korrekt svar på uppgiften.

a) 2000 ∙ 1,03 ∙ 1,03 b) 2000 + 1.03 + 1,03

c) 2000 ∙ 1,06 d) 2000 ∙ 1,032

3 En prissäkning i en möbelaffär genomförs i två steg. Först är det rea med 30 % sedan annonseras ny rea med 30 % på reapriset. Vad kostar en soffa efter den andra sänkningen om ursprungspriset på soffan är 6 500 kr? Kryssa i alla uttryck som ger korrekt svar på uppgiften.

a) 6500 ∙ 1,30 ∙ 1,30 b) 6500 ∙ 0,7 ∙0,7

c) 6500 – (0,6 ∙ 650) d) 6500 ∙ 0,49

4 Carlos har en månadspeng på 700 kronor i månaden. Efter förhandling med sina föräldrar får han en höjning med 15 % och sedan får han en ytterligare höjning på den nya månadspengen med 10 % varje månad om han dammsuger lägenheten en gång i veckan. Kryssa i alla uttryck som visar Carlos månadspeng för en månad när han dammsugit varje vecka.

a) 700 + 0,15 ∙ 700 + 0,10 ∙ 700 b) 700 ∙ 1,15 ∙ 1,10

c) 700 ∙ 1,25 d) (700 + 0,15 ∙ 700) ∙ 1,10

DIAGNOS RP6


Ratio

nella tal

DIaGnoSDR

5 Formulera ett uttryck som visar hur man beräknar det slutliga priset för en bok som först kostar 250 kronor och sedan sänks med 20 % och därefter sänks med 30 %. (OBS! du ska inte räkna ut uppgiften).

Svar: ___________________________________

6 Formulera ett uttryck som visar hur man beräknar den slutliga lönen som först är på 28 000 kr/mån och sedan höjs med 7 % för att därefter höjas med ytterligare 3 %.

Svar: ___________________________________

DIaGnoS RP6

DIA

MA

NT

– N

AT

ION

EL

LA

DIA

GN

OS

ER

I M

AT

EM

ATIK

75

Rationella talR

eS

Ult

atR

RFörändringsfaktor | DIaGnoS RP6

Uppgift nrElev

1 2 3 4 5 6 Kommentarer


Ratio

nella tal

kommentaReRkR

RäntaDiagnosen omfattar sju uppgifter där eleven ges möj-lighet att visa att hon kan lösa uppgifter som handlar om procent i samband med ränta.


1 Beräkna räntesatsen när kapitalet har angetts före och efter det att räntan lagts på.

2 Beräkna räntan när kapital och räntesats är angivna.

3 Beräkna genomsnittlig ränta när två lån lagts samman.

4 Beräkna räntesatsen när räntan efter 3 månader är känd.

5 Beräkna upprepat räntepåslag.

6 Beräkna ursprungligt kapital då kapital efter viss tid samt räntesatsen är känd.

7 Beräkna erhållet kapital efter årliga insättningar och räntepåslag.

GenomförandeHär gäller det för eleven att tolka vad uppgifterna inne bär. Tala om för eleverna att de ska göra så gott de kan och hellre försöka svara på en uppgift än hoppa över den, även om de är tveksamma.

Uppgifterna kräver en del beräkningar. Ge gärna eleverna miniräknare för att utföra beräkningarna. En elev som har svårt för aritmetiska beräkningar kan på så sätt ändå få visa sin förståelse av procentbegreppet. Bifoga ett lösblad för eleven att redovisa sina uträk-ningar på.

För elever som förstått begreppet ränta och kan utföra dessa beräkningar med räknare tar det 15–20 minuter att genomföra diagnosen. Elever som använ-

der betydligt längre tid saknar i allmänhet tillräckliga kunskaper för att lösa den här typen av uppgifter. Skriv i resultatblanketten ett X om uppgiften är korrekt löst, 0 om den är felaktigt löst och sätt ett streck (–) om uppgiften är överhoppad.

UppföljningFör att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan man se om det bara är enstaka elever som gjort fel på en uppgift eller om det är många elever. Detta kan ha stor betydelse för planering och genomförande av uppföljningen såväl på individnivå som på gruppnivå. Studera även elevens redovisade lösningar. Många gånger framträder problemet att eleven utgår från fel helhet vid uträkning av andelen.

Vid planeringen kan du använda dig av det struk-turschema som gäller för området/delområdet. Här kan du se vilka förkunskaper som krävs för diagnosen i fråga och var eventuella brister kan ha sin grund. Upp-gifterna i diagnosen är varierade på ett sådant sätt att de täcker olika aspekter av ränteberäkning. Genom att studera vilka uppgifter eleverna har löst respektive inte löst kan man därför bilda sig en uppfattning om vad vissa elever behöver ytterligare undervisning om

Facit

1 5,4 %2 13 500 kr3 4,4 %4 6 %5 730 340 kr6 82 193 kr 7 30 909 kr

Proportionalitet och procent | DIaGnoS RP 7


Ratio

nella tal

DIaGnoSDR

Namn Klass

1 Mette lånar i början av ett år 60 000 kr till rörlig ränta. Efter ett år har lånet vuxit till 63 240 kr. Hur stor har den genomsnittliga räntesatsen varit?

Svar: ___________________________

2 Du har lånat 80 000 till räntesatsen 5 %.Varje år betalar du tillbaka 10 000 plus räntan. Hur mycket betalar du tillbaka efter det andra året?

Svar: ___________________________

3 Erik har två lån ett på 120 000 kr till 4 % ränta och ett annat på 80 000 kr till 5 % ränta. Hur stor är räntesatsen i genomsnitt på de 200 000 kr han lånat?

Svar: ___________________________

4 Nora har lånat 60 000 kr. Efter 3 månader betalar hon tillbaka lånet med ränta. Hon betalar då 60 900 kr. Bestäm räntesatsen.

Svar: ___________________________

5 Till hur mycket växer ett kapital på 650 000 kr med ränta på ränta under 2 år om räntesatsen är 6 %?

Svar: ___________________________

6 Märtas farmor vill att Märta skall ha 100 000 kr på banken när hon fyller 20 år. Hur mycket skall hon sätt in på banken på Märtas 15-årsdag om räntesatsen beräknas vara 4 %.

Svar: ___________________________

7 Under 3 år i rad sätter Egil in 10 000 kr i början av året. Hur mycket har Egil på banken i början av det tredje året om räntan varit 3 %?

Svar: ___________________________

DIaGnoS RP7

DIA

MA

NT

– N

AT

ION

EL

LA

DIA

GN

OS

ER

I M

AT

EM

ATIK

78

Rationella talR

eS

Ult

atR

RRänta | DIaGnoS RP7

Uppgift nrElev

1 2 3 4 5 6 7 Kommentarer

rationella tal. r - skolverket...diamant – nationella diagnoser i matematik 2 rationella tal...

Documents