recuperativo 1 2014 sol
DESCRIPTION
computacion 1TRANSCRIPT
-
(1.2)(1.2)
(1.1)(1.1)
UNIVERSIDAD DE CARABOBO Lapso: 1-2014 FACULTAD DE INGENIERIA DPTO DE MATEMATICASProf:Amabiles nuez Examen recuperativo Funciones Vectoriales
Obtencion del punto de interseccion
-
(1.3)(1.3)
a) Ecuacin vectorial del plano tangente a S en el punto Como S es definida implicitamente por G, entonces: = Gradiente de la funcion G evaluada en (x0,y0,z0)Es un vector normal a S en el punto y representa la normal del plano tangente en dicho punto.
Entonces la ecuacion cartesiana del plano tangente a S en ( )
seria . (x-x0, y-y0, z-z0) = 0
Gradiente de la funcion G evaluada en (x0,y0,z0)
VG = (2x, 2y, -1) = (2, 0, -1)
Luego,
(2, 0, -1).(x-1, y, z-1) = 0
Para la ecuacion vectorial encontremos dos direcciones ortogonales a la normal del plano.N=(2, 0, -1)
Vector director 1: ( )
Vector director 2: ( )
Ecuacion vectorial:
-
b) El ngulo entre este plano y el vector director a C.
Vector director de la recta tangente a C en el punto
H define de manera implicita a una curva C en el espacio. De manera que las filasde la matriz diferencial de H representan los vectores normales de los planos que definen a la recta tangente a C en el punto.
Matriz diferencial de H
JH = J =
Vectores normales de los planos que definen a la recta tangente
Vn1 = (1,0,0) Vn2 = (-1, 0, 2)
Vector director de la recta tangente
Vd = Vn1 x Vn2
Vd = (1,0,0) x (-1, 0, 2) = (0, -2, 0)
Vd = (0, -2, 0)
Angulo entre N= y vd=
-
(1.4)(1.4)
luego el angulo entre S y el vector Vd es 0.
RESPUESTA: ngulo entre el plano tangente y el vector director a C = 0
-
u1 = (cos( ), sen( )) 0 u1 = ( , )
u2 = (cos( ), sen( )) 0 u2 = ( , )
Gradiente de la funcion f
Vf = (fx, fy)
Derivada direccional en la direccion 1
-
fu1 = 0 u1 = 4 0 (fx, fy) 0 ( , ) = 4
Derivada direccional en la direccion 2
fu2 = 0 u2 = -6 0 (fx, fy) 0 ( , ) = -6
0
0
0
Transformacion afin aproximante A(x,y) = f(x0,y0) + fx (x-x0) + fy (y-y0) (x0,y0) = (2,1)
Como f es continua
f(x0,y0) = = 2
f(x0,y0) = 2
A(x,y) = 2 + 10 (x-2) (y-1)
A(2.05,0.98) = 2 + 10 (2.05-2) (0.98-1)
= 2 + 10(0.05) (-0.02)
-
= 2+ 0.5 + 0.04 = 2.5 + 0.04
b) Variacin de f fu = Vf f = fu.u
Obtencion de la direccion u
hx =
hy =
Vh = ( , )
, ) 0
Derivada direccional fu = Vf
-
fu = ( )
fu =
Variacin de f
J
-
=
h = g o g
-
Funcion compuesta G = f o h
Derivada direccional de la funcion compuesta G
Gu = G 0 u
Obtencion del Gradiente de la funcion compuesta G
Teorema de la funcion Compuesta
-
JACOBIANO DE f(x,y)
JACOBIANO DE
J = Teorema de la funcion inversa
Jg
-
=
Jg =
J =
J = =
-
0 J = =
J =
J = 0 VG =
Como la funcion G es real, La matriz diferencial de G (Jacobiano de G)tiene los mismos elementos que el gradiente de G. El primero en distribucion matricial (matriz fila) y el segundo en forma de vector.
Obtencion de la direccion uu es la direccin normal a la circunferencia definida por:
+ y2 - 4x = 0
-
Vn = (2x-4, 2y)
V = (2, 2 )
Direccion unitaria u:
u =
u =
x1 2 3
y 0
1
2
Derivada direccional de la funcion compuesta G
Gu = G 0 u
Gu = 0 =
-
(3.1)(3.1)
Transformacion a coordenadas cilndricas
a) Cilindro en coordenadas cilindricas
r = 2
-
b) Frontera x = 1
x = 1 = 1 r = sec
=
dz =
-
=
-
0 z = (2,
z = 2 (2 ,
0 z = (2,
Transformacion a coordenadas esfricas
a.1) Esfera en coordenadas esfericas
a.2) Cilindro en coordenadas esfericas
-
a.3) Angulo
-
=
=
-
(5.1)(5.1)
Volumen de la region