regresie liniara multipla
TRANSCRIPT
-
8/18/2019 Regresie Liniara Multipla
1/5
APROXIMAREA FUNC Ț IILOR
11
4. Regresie liniară multiplă
Problema
Se cunoa]te un set n de c@te 3 valori ),,( 21 y x x :
x11 x12 x13 .... x1n
x21 x22 x23 .... x2n
y1 y2 y3 .... yn
Se determin` func\ia care descrie suprafa\a plan` ce aproximeaz` cel mai bine rela\iade leg`tur` dintre puncte.
Polinomul de regresie liniară multiplă este de forma:
22110 xa xaa y ⋅+⋅+=
Principiul metodei
Se determină coeficien\ii polinomului de regresie liniar ă multiplă prin rezolvarea
sistem de 3 ecuații cu 3 necunoscute care are matricea extinsă:
( )
( )
⋅⋅
⋅⋅
∑∑∑∑
∑∑∑∑
∑∑∑
n
ii
n
i
n
ii
n
i
n
ii
n
ii
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
y x x x x x
y x x x x x
y x xn
1
2
1
2
2
1
21
1
2
1
1
1
21
1
2
1
1
1
11
2
1
1
-
8/18/2019 Regresie Liniara Multipla
2/5
APROXIMAREA FUNC Ț IILOR
22
Se calculează coeficientul de corelare:
S
S S c r
−=
unde:
( )∑=
⋅−⋅−−=
n
i
iiir xa xaa yS 1
2
22110
( )∑=
−=
n
i
i y yS 1
2
n
y
y
n
i
i∑=
=1
Coeficientul de corelare are valori cuprinse în intervalul [ ]10L și arat` gradul dedependen\` [ntre variabilele x ]i y . Valorile extreme au următoarele semnifica\ii:
1=c arată că exist` o corelare perfect` [ntre puncte, iar 0=c arată că nu exist` nicio
legătură [ntre puncte. Coeficientul de corelar e trebuie să aibe o valoare c@t mai
apropiat` de 1.
Exemplu de calcul
Problemă:
Fie următoarea funcție dată sub formă tabelară:
x1i 1 2 3 4 5 6
x2i1 2 3 2 5 1 0
yi 3 4 7 6 12 15
Se determină polinomul de regresie liniară multiplă și coeficientul de corelare.
-
8/18/2019 Regresie Liniara Multipla
3/5
APROXIMAREA FUNC Ț IILOR
33
Rezolvare:
Numărul seturilor de câte 3 valori ( )iii y x x ,, 21 :
6=n
Se caută polinomul de regresie liniară multiplă de forma:
22110 xa xaa y ⋅+⋅+=
Calculul sumelor pentru definirea matricii extinse a sistemului de 3 ecuații cu 3
necunoscute definit pentru determinarea coeficien\ilor polinomului de regresie
( 0a , 1a , 2a ):
216543211
1 =+++++=∑=
n
i
i x
130152321
2 =+++++=∑=
n
i
i x
91654321 222222
1
2
1 =+++++=∑=
n
i
i x
43015232 2222222
1
2 =+++++=∑=
n
i
i x
( ) 390615542332211
21 =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=⋅∑=
n
i
ii x x
47151267431
=+++++=∑=
n
i
i y
( ) 206156125647342311
1 =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=⋅∑=
n
i
ii y x
( ) 74150121657243321
2 =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=⋅∑=
n
i
ii y x
-
8/18/2019 Regresie Liniara Multipla
4/5
APROXIMAREA FUNC Ț IILOR
44
Matricea extinsă a sistemului de ecuații:
( )
( )
=
⋅⋅
⋅⋅
∑∑∑∑
∑∑∑∑∑∑∑
74433913
206399121
4713216
1
2
1
2
2
1
21
1
2
1
1
1
21
1
2
1
1
1
112
11
n
ii
n
i
n
ii
n
i
n
ii
n
ii
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
y x x x x x
y x x x x x
y x xn
Rezolvarea sistemului de ecuații prin metoda eliminării parțiale:
o Itera ț ia 1: pivot = 6 (primul element de pe diagonala principală)
−−
−
8333,278333,145,60
5,415,65,170
8333,71667,25,31
o Itera ț ia 2: pivot = 17,5 (al doilea element de pe diagonala principală)
−
−
−
419,12419,1200
3714,23714,010
4667,04667,301
o Itera ț ia 3: pivot = -0,3714 (al treilea element de pe diagonala principală)
−1100
2010
3001
o Valorile necunoscutelor (coeficienții polinomului de regresie):
30 =a
21 =a
12 −=a
-
8/18/2019 Regresie Liniara Multipla
5/5
APROXIMAREA FUNC Ț IILOR
55
Polinomul de regresie liniară multiplă:
212122110 23)1(23 x x x x xa xaa y −+=⋅−+⋅+=⋅+⋅+=
Calculul coeficientului de corelare:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) 292
222
22
1
2
22110
1006,10162315
1152312514236213237
312234211233
−
=
⋅=⋅+⋅−−+
+⋅+⋅−−+⋅+⋅−−+⋅+⋅−−+
+⋅+⋅−−+⋅+⋅−−=⋅−⋅−−=∑n
i
iiir xa xaa yS
( ) ( ) =−+−+ 2222 2411 0
833,76
471=== ∑=
n
y y
n
i
i
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 833,110833,715833,712833,76
833,77833,74833,73
222
222
1
2
=−+−+−+
+−+−+−=−=∑=
n
i
i y yS
1833,110
1006,1833,110 29≅
⋅−=
−=
−
S
S S c r
⇒ corelare perfect`; polinomul de regresie trece prin puncte
Soluția problemei:
Polinomul de regresie este: 2123 x x y −+= cu coeficientul de corelare: 1=c