regresie liniara multipla

8/18/2019 Regresie Liniara Multipla

1/5

APROXIMAREA FUNC Ț IILOR

11

4. Regresie liniară multiplă

Problema

Se cunoa]te un set n de c@te 3 valori ),,( 21 y x x :

x11 x12 x13 .... x1n

x21 x22 x23 .... x2n

y1 y2 y3 .... yn

Se determin` func\ia care descrie suprafa\a plan` ce aproximeaz` cel mai bine rela\iade leg`tur` dintre puncte.

Polinomul de regresie liniară multiplă este de forma:

22110 xa xaa y ⋅+⋅+=

Principiul metodei

Se determină coeficien\ii polinomului de regresie liniar ă multiplă prin rezolvarea

sistem de 3 ecuații cu 3 necunoscute care are matricea extinsă:

( )

( )

⋅⋅

⋅⋅

∑∑∑∑

∑∑∑∑

∑∑∑

n

ii

n

i

n

ii

n

i

n

ii

n

ii

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

y x x x x x

y x x x x x

y x xn

1

2

1

2

2

1

21

1

2

1

1

1

21

1

2

1

1

1

11

2

1

1


2/5


22

Se calculează coeficientul de corelare:

S

S S c r

−=

unde:

( )∑=

⋅−⋅−−=

n

i

iiir xa xaa yS 1

2

22110

( )∑=

−=

n

i

i y yS 1

2

n

y

y

n

i

i∑=

=1

Coeficientul de corelare are valori cuprinse în intervalul [ ]10L și arat` gradul dedependen\` [ntre variabilele x ]i y . Valorile extreme au următoarele semnifica\ii:

1=c arată că exist` o corelare perfect` [ntre puncte, iar 0=c arată că nu exist` nicio

legătură [ntre puncte. Coeficientul de corelar e trebuie să aibe o valoare c@t mai

apropiat` de 1.

Exemplu de calcul

Problemă:

Fie următoarea funcție dată sub formă tabelară:

x1i 1 2 3 4 5 6

x2i1 2 3 2 5 1 0

yi 3 4 7 6 12 15

Se determină polinomul de regresie liniară multiplă și coeficientul de corelare.


3/5


33

Rezolvare:

Numărul seturilor de câte 3 valori ( )iii y x x ,, 21 :

6=n

Se caută polinomul de regresie liniară multiplă de forma:

22110 xa xaa y ⋅+⋅+=

Calculul sumelor pentru definirea matricii extinse a sistemului de 3 ecuații cu 3

necunoscute definit pentru determinarea coeficien\ilor polinomului de regresie

( 0a , 1a , 2a ):

216543211

1 =+++++=∑=

n

i

i x

130152321

2 =+++++=∑=

n

i

i x

91654321 222222

1

2

1 =+++++=∑=

n

i

i x

43015232 2222222

1

2 =+++++=∑=

n

i

i x

( ) 390615542332211

21 =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=⋅∑=

n

i

ii x x

47151267431

=+++++=∑=

n

i

i y

( ) 206156125647342311

1 =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=⋅∑=

n

i

ii y x

( ) 74150121657243321

2 =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=⋅∑=

n

i

ii y x


4/5


44

Matricea extinsă a sistemului de ecuații:

( )

( )

=

⋅⋅

⋅⋅

∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑∑

74433913

206399121

4713216

1

2

1

2

2

1

21

1

2

1

1

1

21

1

2

1

1

1

112

11

n

ii

n

i

n

ii

n

i

n

ii

n

ii

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

y x x x x x

y x x x x x

y x xn

Rezolvarea sistemului de ecuații prin metoda eliminării parțiale:

o Itera ț ia 1: pivot = 6 (primul element de pe diagonala principală)

−−

−

8333,278333,145,60

5,415,65,170

8333,71667,25,31

o Itera ț ia 2: pivot = 17,5 (al doilea element de pe diagonala principală)

−

−

−

419,12419,1200

3714,23714,010

4667,04667,301

o Itera ț ia 3: pivot = -0,3714 (al treilea element de pe diagonala principală)

−1100

2010

3001

o Valorile necunoscutelor (coeficienții polinomului de regresie):

30 =a

21 =a

12 −=a


5/5


55

Polinomul de regresie liniară multiplă:

212122110 23)1(23 x x x x xa xaa y −+=⋅−+⋅+=⋅+⋅+=

Calculul coeficientului de corelare:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) 292

222

22

1

2

22110

1006,10162315

1152312514236213237

312234211233

−

=

⋅=⋅+⋅−−+

+⋅+⋅−−+⋅+⋅−−+⋅+⋅−−+

+⋅+⋅−−+⋅+⋅−−=⋅−⋅−−=∑n

i

iiir xa xaa yS

( ) ( ) =−+−+ 2222 2411 0

833,76

471=== ∑=

n

y y

n

i

i

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 833,110833,715833,712833,76

833,77833,74833,73

222

222

1

2

=−+−+−+

+−+−+−=−=∑=

n

i

i y yS

1833,110

1006,1833,110 29≅

⋅−=

−=

−

S

S S c r

⇒ corelare perfect`; polinomul de regresie trece prin puncte

Soluția problemei:

Polinomul de regresie este: 2123 x x y −+= cu coeficientul de corelare: 1=c

regresie liniara multipla

Documents