Pronósticos en el mediano y largo plazo

Análisis de Regresión

Los pronósticos en el mediano plazo pueden ser explicados mediante un análisis de regresión, este análisis de regresión indica la tendencia de la demanda en función a otro factor formándose tendencias tales como: lineal, exponencial, logarítmica, etc.

Un análisis de regresión se puede realizar sobre modelos de pronósticos: series de tiempo o causales.

Análisis de Regresión

El análisis de regresión se utiliza para determinar si un grupo de datos (una o más variables independientes) guardan algún tipo de relación o correlación con otro grupo de datos (variable dependiente). Una vez que se hayan calculado dichas relaciones podrán hacerse pronósticos.

• Tipos de análisis de regresión:•

• Lineal•

• y = a + bx•

• Poli nómica•

• y = b + c1x + c2x2 + c3x3 + … + c6x6

•

• Logarítmica•

• y = b + clnx •

• Exponencial•

• y = cebx

•

• Potencial•

• y = cxb

Análisis de Regresión Lineal

• Análisis de Regresión Lineal Simple. Modelo matemático que sólo contiene una variable independiente y una variable dependiente.

•

• Ecuación matemática: y = a + bx

• Análisis de Regresión Lineal Múltiple.Modelo Matemático que contiene 2 o más variables independientes y una variable dependiente.

•

• Ecuación matemática: y = a + b1x1 + b2x2 + … + bnxn

Análisis de Regresión Lineal Simple. Modelo matemático que sólo contiene una variable independiente y una variable dependiente. Si los datos forman una serie de tiempo, la variable independiente es el tiempo en períodos y la variable dependiente son las ventas o demanda.

Ecuación de regresión: y = a + bx

Donde:

x : valores de la variable independiente

y : valores de la variable dependiente

a : intersección con el eje vertical

b : pendiente de la línea de regresión

n : número de observaciones

Análisis de Regresión Lineal Simple. Los valores de a y b se obtienen mediante las siguientes formulas:

𝑎 = 𝑥2 𝑦 − 𝑥 𝑥𝑦

𝑛 𝑥2 − 𝑥 2

𝑏 =𝑛 𝑥𝑦 − 𝑥 𝑦

𝑛 𝑥2 − 𝑥 2

Coeficiente de Correlación (r).

Explica la importancia relativa, el grado o fuerza de la relación entre y & x; el signo de r indica la dirección de dicha relación, y el valor absoluto de r la magnitud de la relación. r puede asumir cualquier valor entre -1 y +1. El signo de r será siempre igual al signo de b.

Coeficiente de Correlación (r).

Una r negativa indica que los valores de y i x tienden a moverse en direcciones opuestas, y una r positiva indica que los valores de y i x se mueven en la misma dirección. Así tenemos:

-1 Una relación negativa perfecta; conforme y sube, x baja unidad por unidad y viceversa.

+1 Una relación positiva perfecta; conforme y sube, x sube unidad por unidad y viceversa.

0 No existe relación alguna entre y & x.

+0.3 Una relación positiva débil.

-0.9 Una relación negativa fuerte.

Coeficiente de Correlación (r).

El coeficiente de correlación se calcula como sigue:

𝑟 =𝑛 𝑥𝑦 − 𝑥 𝑦

𝑛 𝑥2 − 𝑥 2 𝑛 𝑦2 − 𝑦 2

Coeficiente de Determinación (r2).

Es el porcentaje de variación en la variable dependiente y que es explicada por la ecuación de regresión. El valor de r2 será siempre un número positivo en el rango de 0 ≤ r2 ≤ 1

Error estándar de pronóstico o desviación estándar.

Un punto estimado de y es en realidad la media o valor esperado, de una distribución de valores posibles. Para medir la exactitud de los estimados en la regresión se establecen rangos dentro de los cuales los datos reales más probablemente ocurrirán.

𝑆𝑦𝑥 = 𝑦2 − 𝑎 𝑦 − 𝑏 𝑥𝑦

𝑛 − 2

Calculo de los rangos para los pronósticosLímite Superior = Yi + t Syx

Límite Inferior = Yi - t Syx

Donde:

Y: demanda pronosticada

i : período pronosticado

Syx : Desviación estándar

t : valor de la distribución de probabilidad t student para un nivel de significancia del 0.01 y para n-2 grados de libertad para un nivel de confianza del 90%

Ejemplo

La empresa Motores Andinos S.A. produce motores petroleros Perkins. Durante más de un año, la planta de producción ha operado a casi plena capacidad. El gerente de planta, estima que el crecimiento en las ventas continuará y desea desarrollar un pronóstico a largo plazo que se usará para planear las necesidades de las instalaciones para los siguientes tres años. Se han totalizado las cifras de ventas correspondientes a los últimos diez años:

Ejemplo

Solución

Año

Ventas anuales (miles de unid.)

(y) Periodo

(x)

x2

xy

1 1,000 1 1 1,000

2 1,300 2 4 2,600

3 1,800 3 9 5,400

4 2,000 4 16 8,000

5 2,000 5 25 10,000

6 2,000 6 36 12,000

7 2,200 7 49 15,400

8 2,600 8 64 20,800

9 2,900 9 81 26,100

10 3,200 10 100 32,000

Totales ∑y = 21,000 ∑x = 55 ∑x2 = 385 ∑xy = 133,300

Solución

Resolvamos ahora despejando los valores de a y de b:

a = (385)(21,000) - (55)(133,300)10(385) - (55)2

a = 913.333

b = (10)(133,300) - (55)(21,000)825

b = 215.785

Solución

• Ahora que conocemos los valores de a y de b, podemos utilizar la ecuación de regresión para pronosticar las ventas de años futuros:

• Y = 913.333 + 215.758X

• Si deseamos pronosticar las ventas en miles de unidades para los tres años siguientes, podríamos reemplazar 11, 12 y 13, que son los tres valores siguientes de X, en la ecuación de regresión de X:

Solución

• Y11 = 913.333 + 215.758(11) = 3,286.7, o 3,290 miles de unidades

• Y12 = 913.333 + 215.758(12) = 3,502.4, o 3,500 miles de unidades

• Y13 = 913.333 + 215.758(13) = 3,718.2, o 3,720 miles de unidades

Solución

Año

Ventas anuales (miles de

unid.) (y) Periodo

(x)

x2

xy Pronóstico

1 1,000 1 1 1,000 1,129

2 1,300 2 4 2,600 1,345

3 1,800 3 9 5,400 1,561

4 2,000 4 16 8,000 1,776

5 2,000 5 25 10,000 1,992

6 2,000 6 36 12,000 2,208

7 2,200 7 49 15,400 2,424

8 2,600 8 64 20,800 2,639

9 2,900 9 81 26,100 2,855

10 3,200 10 100 32,000 3,071

11 11 3,287

12 12 3,502

13 13 3,718

Solución

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Períodos

500

1,000

1,500

2,000

2,500

3,000

3,500

4,000

Ve

nta

s M

iles d

e u

nid

ade

s

Ventas

Regresión

Análisis de Regresión Lineal

Solución

• Calculo del coeficiente de correlación:

• r = 0.9702

• Calculo del coeficiente de determinación:

• r2 = 0.9412 o 94.12%

• Calculo del error estándar de pronostico

• Sxy = 173.0 miles de unidades

Solución

• Estableciendo rangos: para un nivel de significancia 0.01 y a n-2 grados de libertad, para la demanda pronosticada del período 11 tenemos:

•

• LS = 3,286.7 + 1.86(173) = 3,610 miles de unidades.

• LI = 3,286.7 - 1.86(173) = 2,960 miles de unidades.

• Interpretación: Existe una probabilidad del 90% de que nuestras ventas anuales del próximo año queden entre 3,610 y 2,960 miles de unidades. Sólo existe una probabilidad del 10% de que nuestras ventas caigan fuera de este límite. Nuestra mejor estimación es 3,290 miles de unidades.