SCIENCES SUPCourset exercicescorrigsSCIENCES SUPRELATIVIT RESTREINTEBases et applicationsClaude Semay Bernard Silvestre-Brac MATHMATIQUESPHYSIQUECHIMIESCIENCES DE LINGNIEURINFORMATIQUESCIENCES DE LA VIESCIENCES DE LA TERREC. SEMAYB. SILVESTRE-BRACISBN 2 10 049483 X www.dunod.comRELATIVIT RESTREINTECet ouvrage sadresse, en particulier, aux tudiants de Licence nayantencore aucune notion de la thorie de la relativit. Il constitue donc unoutil de travail trs utile pour la prparation dexamens, de concours,dexposs ou darticles. La relativit dEinstein est par bien des aspects une thorie trange.Heureusement, cela ninterdit nullement quelle puisse tre bien comprise.Parmi les sujets traits dans cet ouvrage, citons entre autres la cinmatique,la dynamique, les systmes de particules, la thorie lectromagntiqueet le formalisme tensoriel. De plus, une attention toute particulire estconsacre la rsolution de soi-disant paradoxes attribus cette thorie,comme celui des jumeaux de Langevin .Les autres particularits pdagogiques de cet ouvrage sont lutilisationdune reprsentation graphique originale de la relativit restreinte,lillustration de la thorie par de nombreux exemples bass sur les (futurs ?)voyages interstellaires, et la construction des quations de transformationde Lorentz, la fois suivant une dmarche historique et suivant uneapproche moderne beaucoup plus gnrale. La bonne comprhension dune thorie se manifeste par la capacit dersoudre des problmes spcifiques. Cest pourquoi des exercices sontproposs avec leurs rponses la fin de chaque chapitre.COURSLicence Master coles dingnieurs Claude Semay Bernard Silvestre-Brac RELATIVIT RESTREINTE1 2 3 4 5 6 7 81ercycle 2ecycle 3ecycleLICENCE MASTER DOCTORATCLAUDE SEMAY est chercheur qualifiFNRS, luniversit deMons-Hainaut (Belgique)BERNARD SILVESTRE-BRAC est charg de recherchesCNRS, au laboratoire dePhysique Subatomique etde Cosmologie deGrenoble RELATIVITRESTREINTE Bases et applications Claude Semay Chercheur qualifi FNRS luniversit de Mons-Hainaut (Belgique) Bernard Silvestre-Brac Charg de recherches CNRSau laboratoire de Physique Subatomiqueet de Cosmologie de Grenoble Lim SemayPage ILundi, 12. septembre 20053:08 15 Illustration de couverture : Raoul Giordan Dunod, Paris, 2005ISBN2 10 049483 X Lim SemayPage IILundi, 12. septembre 20053:08 15Avant-propos Oui, mais qui a raison en ralit ? insista M. Tompkins. Vous ne pouvez pas poser une question aussi gnrale.En relativit, les observations sont toujours rapportes un observateur particulier, un observateurdont le mouvement est bien dfini relativement ce qui est observ.Extrait dun dialogue entre M. TOMPKINS et le professeurDepuis quAlbert Einstein a, en 1905, jet les bases dune des thories les plus fon-damentales de lhistoire des sciences, la relativit restreinte, des centaines de livresetdesmilliersdarticlesonttpublissurlesujet.Rechercher,dansunouvragecomme celui-ci, loriginalit tout prix naurait donc t ni ais ni, sans doute, pda-gogiquement avantageux. Nous croyons cependant que ce manuel se distingue dau-tres livres par trois caractristiques : premirement, lutilisation dune reprsentationgraphiqueoriginaledelarelativitrestreinte ;deuximement,lillustrationdelathorie par des exemples (acadmiques) bass sur les (futurs ?) voyages interstellai-res ; troisimement, la drivation des quations de transformation la fois par unedmarche historique et par une approche moderne beaucoup plus gnrale.Nombre de nos concepts, bass sur le sens commun, doivent tre abandonns enrelativit restreinte, dont le plus solidement ancr en nous est sans doute le caractreabsolu du temps. La relativit dEinstein est par bien des aspects une thorie trange.Heureusement,celaninterditnullementquellepuissetrebiencomprisesilonveut bien se donner la peine de lui accorder lattention quelle mrite. Un peu daidetant cependant toujours la bienvenue, nous avons illustr aussi souvent que possiblecertains dveloppements formels de la thorie par une approche graphique originaledue F. W. Sears et R. W. Brehme. Nous pensons quune reprsentation graphiquedes concepts de base de la relativit restreinte peut fortement aider la comprhen-sion de la thorie et, en particulier, des fameux paradoxes quon lui attribue.Comme dans beaucoup de manuels, nous illustrons la thorie par des applicationstires,aussisouventquepossible,depublicationsscientifiques.Danscetouvrage,nous faisons de plus appel des exercices acadmiques bass sur les vhicules spa-tiaux. Sil est vrai que les fuses, et autres astronefs, ne sont pas des objets relativis-tes, on ne peut toutefois pas rejeter le fait quils le deviennent un jour, dans un futurpeut-tre lointain. Nous pensons en outre que ces applications , toujours dvelop-pes avec rigueur, peuvent apporter un peu de fantaisie et de rve dans un texte par-fois (souvent ?) austre. Cest galement dans le but dagrmenter un peu le manuelque des illustrations issues de vieux magazines de science-fiction ont t ajoutes.Dans ce livre, les quations de transformation de la relativit restreinte sont ta-bliesensebasantsurlinvariancedelavitessedelalumiredanslevide.Cettedmarche, qui est la plus utilise et sans doute aussi la plus simple, nest cependantpas la plus gnrale. Nous dmontrerons donc lexistence dune vitesse limite inva-riantedansluniversenpartantdhypothsestrsraisonnablessurlastructuredelespace-temps.Celasefaitindpendammentdelathorielectromagntique,celle-ci ne fournissant quun cadre pratique pour mesurer cette vitesse.Cet ouvrage ne se prtend nullement exhaustif. En particulier, certains points dif-ficiles de la thorie de la relativit restreinte, comme les reprsentations des grou-pes de Lorentz ou de Poincar, ne seront pas abords. Bien quun chapitre impor-tantsoitconsacrauxconnexionsexistantentrelarelativitrestreinteetllectromagntisme, cette dernire thorie est loin dtre compltement couverte.Ce manuel sadresse avant tout aux tudiants nayant encore aucune notion de lathoriedelarelativitrestreinte,maisdeslecteursplusavertisdoiventpouvoircependant y trouver de nombreuses matires rflexion.Nous proposons ici un petit guide de lecture. Certains mots importants, souventpropres la thorie de la relativit restreinte, sont crits en italique lorsquils appa-raissent pour la premire fois dans le texte. Nous insistons sur un mot ou un bout dephrase en lcrivant en gras. Certaines sections marques dun astrisque (*) abor-dent des sujets plus difficiles ou pouvant tre omis dans une premire lecture. Lesnombreusesrfrencescitesdansletexte,ainsiquelesouvragesreprisdanslabibliographie,permettentaulecteurdapprofondircertainspointsparticuliers.Lindication biblio signalequunerfrenceestmentionnedanslabibliogra-phie.Une bonne comprhension dune thorie se traduit par la capacit rsoudre desproblmes spcifiques. la fin de chaque chapitre, des exercices sont donc propo-ssaulecteurdansunordrededifficult,approximativementettrssubjective-ment,croissante.Lesexercicessontparnatureuneuvrecollective.Certainsdeceux que nous proposons sont inspirs de problmes parus dans dautres manuels,citsdanslabibliographie ;dautressontextraitsdexamensdontnousavonseuconnaissance ; quelques-uns sont de notre cru. Des notes sur ces exercices, donnantles solutions quand elles ne sont pas contenues dans lnonc du problme oudes informations complmentaires, sont rassembles la fin de louvrage.Le manuel se clture par quelques annexes. Nous ne saurions trop conseiller leurlecture, en particulier celle consacre aux units dites naturelles et celle o sont dis-cuteslesnotions(tropsouventconfondues)degrandeursinvariantes,conserveset constantes.Lardactiondecetouvrageabnficidesobservationsetcritiquesdenomb-reux lecteurs, tudiants, enseignants et amis. Nous les remercions tous chaleureu-sement, en particulier Fabien Buisseret, Benjamin Fuks et Vincent Mathieu. NousremercionsaussiDanielFlipopoursesnombreuxconseilsdeTEXnicien.Noustenons galement exprimer toute notre gratitude Raoul Giordan qui nous a per-mis dillustrer cet ouvrage avec quelques-uns de ses dessins. IV Avant-proposTable des matiresAVANT-PROPOS VCHAPITRE 1 LE CONCEPT DE LA RELATIVIT 11.1La notion de rfrentiel 11.2Les transformations de Galile 81.3Michelson, la Terre et lther 101.4 Les postulats dEinstein 131.5 La relativit du temps 161.6 Lexprience de Kennedy-Thorndike 181.7 La vitesse de la lumire 201.8 Avant daller plus loin 21EXERCICES 22CHAPITRE 2 TRANSFORMATIONS DE LORENTZ SPCIALES 262.1 Transformations de Lorentz 262.2 Approches graphiques 38EXERCICES 48CHAPITRE 3 LE TEMPS ET LA RELATIVIT 503.1 La notion de simultanit 503.2 Temps propre et dilatation des temps 523.3 Structure causale de lespace-temps 553.4 Vitesses supraluminiques et voyages dans le temps 563.5 Prsents absolu et relatif 583.6 * La flche du temps 603.7 Le paradoxe des jumeaux 61EXERCICES 68CHAPITRE 4 LESPACE ET LA RELATIVIT 734.1 Contraction des longueurs 734.2 Invariance de la dimension transversale 754.3 Transformation des angles 764.4 Transformation des volumes 774.5 Mson en mouvement rapide 784.6 Le train et le tunnel 80EXERCICES 82CHAPITRE 5 LA VITESSE ET LA RELATIVIT 865.1 Composition des vitesses 865.2 Exprience de Fizeau 895.3 Illusions relativistes 91EXERCICES 97CHAPITRE 6 RECONSTRUIRE LA RELATIVIT RESTREINTE 1016.1 Dfinition dun groupe 1016.2 * Nouvelle drivation des transformations de Lorentz 1026.3 Structure de groupe et rapidit 1116.4 Du relatif et de labsolu 113EXERCICES 114CHAPITRE 7 TRANSFORMATIONS DE LORENTZ GNRALES 1167.1 Non-commutativit des transformations spciales 1167.2 Transformations de Lorentz avec et sans rotation 1187.3 * Prcession de Thomas 1237.4 Transformations non homognes 1287.5 Loi gnrale de composition des vitesses 129EXERCICES 130VI Table des matiresCHAPITRE 8 QUADRIVECTEURS 1338.1 Lespace-temps de Minkowski 1348.2 Proprits des quadrivecteurs et mtrique de Minkowski 1378.3 Groupe de Lorentz 1438.4 Intervalle de temps propre 1468.5 Quadrivecteur vitesse 1488.6 Vitesse relative 1508.7 Quadrivecteur acclration 1518.8 Mobile acclration propre constante 154EXERCICES 159CHAPITRE 9 DYNAMIQUE RELATIVISTE 1669.1 quation fondamentale 1669.2 quivalence masse-nergie 1709.3 Quadrivecteur nergie-impulsion 1739.4 Quadrivecteur force 1759.5 Particules de masse nulle 1769.6 Quadrivecteur frquence 186EXERCICES 188CHAPITRE 10 SYSTMES DE PARTICULES 19510.1 Conservation du quadrivecteur nergie-impulsion 19510.2 Astronefs relativistes 19710.3 Rfrentiel du centre de masse 20310.4 Dsintgrations et collisions 20710.5 Systmes deux particules dans la voie finale 21410.6 * Systmes trois particules dans la voie finale 220EXERCICES 224CHAPITRE 11 LE CHAMP LECTROMAGNTIQUE 23311.1 Champs tensoriels et drives covariantes 233Table des matiresVIIVIII Table des matires11.2 quations de Maxwell et ondes lectromagntiques 23511.3 Quadrivecteur densit de courant lectrique 23711.4 Quadrivecteur potentiel 23811.5 Tenseur lectromagntique 23911.6 Transformation du champ lectromagntique 24211.7 Force de Lorentz 24411.8 Ondes planes 24611.9 Mouvement dune charge dans un champ lectrique uniforme 24811.10 * Potentiel et champ dune charge en mouvement 249EXERCICES 254SOLUTIONS DES EXERCICES 260POSTFACE 277ANNEXE A UNITS NATURELLES 278ANNEXE B QUANTITS INVARIANTES, CONSERVES ET CONSTANTES 280ANNEXE C GROUPE DE POINCAR 282ANNEXE D LES MTRIQUES DE LA RELATIVIT RESTREINTE 284ANNEXE E LE PARADOXE EPR 287LEXIQUE FRANAIS-ANGLAIS 290BIBLIOGRAPHIE 291RFRENCES DES CITATIONS 293INDEX 294Chapitre 1Le concept de relativitJe ne peux rien vous prouver si vous ne me laissez faire aucune mesure.La mesure est pour moi le seul moyen de trouver les lois de la nature.Je ne suis pas un mtaphysicien. Arthur S. EDDINGTON (1921)1.1 LA NOTION DE RFRENTIEL1.1.1 Systmes de rfrenceLhommedsirecomprendrelemondequilentoureetlepourquoideschoses.Iltire mme une gloire personnelle pouvoir faire des prdictions sur les phnom-nes naturels. Pour ce faire, il doit effectuer des mesures, les plus prcises possible,sur des quantits susceptibles dintervenir dans la description de ces phnomnes.Or ces quantits dpendent de lobservateur et de ce par rapport quoi il effectueses mesures.Considrons un homme A assis dans un train en marche. Il pense lgitimementtre au repos car il est immobile par rapport tout son environnement proche : sonvoisin assis en face de lui, son livre sur les genoux, sa valise dans le compartiment bagages sont fixes par rapport lui. Le train passe devant un passage niveau oun autre individuB laisse tomber un caillou en attendant louverture de la barrire.Cepersonnagepensegalementtreaureposcarilestimmobileparrapportlabarrire,parrapportlarbrevoisin.Ilvoitaussisoncailloutombersespiedsselonlaverticale.Enrevanche,ilvoitA passerdevantluietmanifestementilne Dunod. La photocopie non autorise est un dlit.considre pas ce dernier comme tant au repos. Du point de vue de A,B nest pasau repos non plus puisquil dfile devant lui. De mme la trajectoire du caillou nestpas une droite verticale, mais une courbe qui peut ne pas tre simple selon le mou-vement du train. Pendant le temps de chute du caillou, le train a avanc et, par rap-port au train, le point de contact du caillou au sol nest pas la verticale de son pointde lcher. Les deux personnages A etB ne voient pas les mmes choses, pour-tant ils doivent tre en mesure den dduire lun et lautre ce qui se passe rellement,car les phnomnes naturels et les vnements ont une ralit intrinsque indpen-dante de la faon dont on les apprhende. Connaissant le mouvement du train parrapport lui,B doit tre en mesure de savoir que A est immobile dans le train. Demme A, connaissant le mouvement de larbre par rapport lui, doit tre en mesurede savoir que B est immobile par rapport larbre et, partir de la mesure de la tra-jectoireducailloudansletrain,ildoitaussitreenmesuredendduirequelecaillou tombe verticalement par rapport B.Autrementdit,lhommeabesoinderepresdanslespaceetdansletemps.Considrons dabord les proprits de lespace. Toute mesure doit tre faite par rap-port quelque chose . Ce quelque chose demande tre prcis et se nommeunsystmederfrence ourfrentiel.Celui-ciestunensembleinfinicontinudepoints (au sens mathmatique du terme) tels quils sont fixes les uns par rapport auxautres. Cette proprit est le fait dun corps solide et un systme de rfrence pour-rait tre un solide, condition quil ait une extension suffisamment importante pourrecouvrir tous les phnomnes qui nous intressent. Cest un fait dexprience que,pour dcrire notre espace, il faut dsigner un point spcial O, appel origine, et troisaxesOx,Oy,Oz,quelonpeutprendremutuellementorthogonaux(formant,parexemple un tridre direct). En termes mathmatiques, on dit que lespace est affine trois dimensions. La donne de lorigine et des trois axes constitue un rfren-tiel despace (ou un repre , ou un systme de rfrence ) et, par dfinition,ces lments sont fixes les uns par rapport aux autres. Un autre rfrentiel est dfinipar une autre origine O

et par trois autres axes O

x

,O

y

,O

z

qui, eux-aussi, sontfixes les uns par rapport aux autres. Par contre, ce nouveau rfrentiel peut se dpla-cer, de manire rigide, dans le premier rfrentiel. La formalisation des phnom-nes physiques dans chacun des rfrentiels et le lien entre les quantits mathma-tiques qui les dcrivent est la question de base du physicien.Et le temps ? Le temps est mesur par une horloge et jouit dun statut spcial : enmcaniqueclassique(newtonienne)letemps estabsolu,indpendantdurepre.Toutes les horloges dans tous les rfrentiels peuvent tre synchronises. Le voya-geur prenant le train Paris rgle sa montre sur lhorloge de la gare. En arrivant Bruxelles, il compare lheure de sa montre celle indique par lhorloge de la garedarrive(quiestsupposesynchronisesurcelledeParis):ellemarqueexacte-mentlammeheure,etceciquelquesoitlemouvementdutrainlelongdupar-cours.En relativit, mme restreinte, qui nous intresse ici, il nen va plus de mme. Letemps dpend du mouvement ; il ne peut tre absolu. Ainsi, pour dfinir proprementunrfrentiel,ondoitluiaffectergalementsonpropresystmedhorlogessyn-2 1Le concept de relativitchronises (voir section 2.1.2). La lecture du temps sur lhorloge dfinit un nouvelaxe,temporel,surlequelilfautgalementdfiniruneorigine.Ilfauttoutefoissegarder de mettre sur le mme pied le temps et lespace. Sil est vrai que le tempspeuttreconsidrcommeunequatrimedimension,elleestdenaturediffrentedes dimensions spatiales, mme en relativit. En effet, dans un rfrentiel donn, unobjet peut explorer une direction spatiale dans un sens ou dans lautre. Par contre,sonvolutionsefaittoujoursdansunseulsensdutemps,verslefutur.Laraisonprofonde de cette dissymtrie est encore mal connue (voir section 3.6).Pourrsumercettelonguediscussion,unrfrentielR estfixparladonnedune origine O dans lespace et dans le temps, et de 4 axes de reprage : trois axesdans des directions, par exemple, mutuellement orthogonales et un dans la direc-tiondutemps .Enmcaniqueclassique,onometsouventlaxedestempscarilnest pas spcifique un repre particulier. En relativit, on utilise abusivement lenomderfrentielenserestreignantaurfrentielspatiallorsquonseconcentreuniquement sur la partie espace ; cest de pratique courante et nous tomberons sou-vent dans cet abus de langage qui ne porte pas consquence. Dans la suite, nousutiliserons frquemment la notion de rfrentiel propre : le rfrentiel propre dunobservateur ou dun objet est le rfrentiel dans lequel cet observateur ou cet objetest au repos.Signalons enfin que lespace de la relativit restreinte est euclidien et que tous lesthormes de gomtrie euclidienne (rapport du primtre dun cercle son rayon,thormedePythagore,sommedesanglesduntrianglegale180,etc.)yontcours. En relativit gnrale, cette proprit nest plus vraie car la gomtrie dpendducontenuenmatireetseullevideesteuclidien.strictementparler,lorsquenous utilisons le terme rfrentiel, nous sous-entendons toujours un espace vide ouun espace pour lequel la densit de matire est trop faible pour induire une modifi-cationsignificativelagomtrieeuclidienne.Danscetouvrage,cesttoujoursdans ce cadre que nous emploierons le terme rfrentiel.1.1.2 Systmes de coordonnesSe fixer un rfrentiel est une tape indispensable pour tudier la nature, mais celanesuffitpas.Direparrapportquoionfaitunemesurecestbien,encorefaut-ilmaintenant effectuer les mesures proprement dites et affecter des nombres celles-ci. Pour cela, nous avons dabord besoin dune unit de longueur et dune unit detemps. Chaque axe du rfrentiel peut ainsi tre gradu.Un vnement est, par dfinition, un point de lespace et du temps. Il repre unphnomne naturel qui a lieu en un point bien prcis de lespace et en un temps bienprcis, par exemple un flash lumineux ou le passage dune particule. Comme nousle verrons plus loin, la relativit restreinte est avant tout une bonne gestion des v-nements. Lvnement est dtermin sans ambigut par 3 nombres (x,y,z) qui don-nentsapositionparrapportaux3axesspatiaux,quenousprenonsorthonorms(orthogonaux et norms) par commodit, et un temps t repr sur laxe du temps.Comment fait-on, en pratique, la mesure dun vnement ? Pour la coordonnetemporelle, on utilise une horloge talonne suivant lunit de temps ou une sous-1.1 La notion de rfrentiel 3 Dunod. La photocopie non autorise est un dlit.unit.Pourlescoordonnesdespace,onutiliseunergletalonneaussisuivantlunitetsessous-multiples(onsupposeraquecesontlesmmessurchacundesaxes).Parlapense,onpeutfaire,grcecettergle,undcoupagergulierdelunit, repr par des traits, aussi fins que souhait, sur chacun des axes despace.partirdecesaxes,onconstruitunmaillagedetouslespointsdespacequiontpour coordonnes lun quelconque des repres sur chacun des axes. On obtient unesorte de cristal dont chaque sommet est tiquet de faon unique par les coor-donnescorrespondantauxmultiplesdelunitoudesessous-units.Enfin,chaque sommet on affecte une horloge. Le cadran des horloges est gradu par lu-nit de temps choisie, et ventuellement des sous-multiples de cette unit. Les hor-loges, supposes identiques et parfaites, de tous les points du rfrentiel sont syn-chronises (nous prciserons comment synchroniser celles-ci dans la section 2.1.2).Un vnement dclenche, par un mcanisme appropri, le blocage de lhorloge surunegraduationetlallumagedu sommetducristal oilalieu.Lamesureconsiste lire lindication de lhorloge, qui fournit le temps t , et lexamen du som-met allum fournit les trois coordonnes despace (x,y,z). Ces nombres (t,x,y,z),obtenus par projection sur chacun des axes, sappellent les coordonnes cartsien-nes de lvnement. On recommence cette opration pour tous les vnements quinous intressent et, si on veut des mesures encore plus prcises, on rduit lcart dumaillage en utilisant une sous-unit plus petite, et on rduit lcart entre les gradua-tions des horloges. On a reprsent sur la figure 1.1 un tel cristal dhorloges quiest ncessaire pour dfinir correctement un vnement. 4 1Le concept de relativitFigure 1.1 Un cristal dhorloges, toutes synchronises en tous les points du maillage delespace, est ncessaire pour dfinir les coordonnes des vnements.Cette faon de structurer lespace et le temps comme un cristal dhorloges estune vue idale qui permet de dfinir proprement un vnement et qui simule la qua-trimedimension,relativeautemps.Dunpointdevuepratique,onnemetvi-demment pas une horloge en chaque point tiquet de lespace. Pour dcrire un ph-1.1 La notion de rfrentiel 5 Dunod. La photocopie non autorise est un dlit.1. Pour des informations dtailles sur la mcanique classique, on peut consulter, par exemple,lesouvragessuivants :lecoursdeBerkeley(biblio) ;louvragedeH.Goldstein,C.PooleetJ. Safko (biblio) ; Philippe Spindel, Mcanique, Gordon and Breach Science Publishers, vol. 1et2,2001-2002 ;ClaudeGignouxetBernardSilvestre-Brac,Mcanique.Delaformulationlagrangienne au chaos hamiltonien, EDP Sciences, 2002.nomne se droulant dans lespace et dans le temps, on se borne en gnral met-tre unehorloge au dpart de celui-ci, une autre la fin, puis on interpole tous lespoints intermdiaires par une loi mathmatique adquate et vraisemblable. Dans lasuite de cet ouvrage, il sera trs souvent question dvnements, et on sous-entendque ceux-ci peuvent tre dtermins de faon prcise par lexistence implicite dun cristal dhorloges ou dun procd qui lui est quivalent.Concentrons-noussurlapositiondanslespace.Nouslavonscompris,unpointest dtermin par trois nombres : ses coordonnes cartsiennes sur chacun des axes.Dans ce cas prcis, ces nombres ont pour dimension une longueur. Mais lutilisationdes coordonnes cartsiennes, bien que trs pratique, nest pas une ncessit. Il noussuffit davoir une prescription qui dfinit un point de lespace de faon non ambigu.Pour cela il nous faut 3 nombres (u,v,w) et un procd permettant de dterminer lepoint de faon unique. Ce procd consiste souvent en pratique dfinir ces nomb-rescommefonctionsdescoordonnescartsiennes(u(x,y,z),v(x,y,z), w(x,y,z)),permettant une correspondance univoque. Une fois cette transformation effectue,on dit quon a dfini un autre jeu de coordonnes et on appelle ce nouveau jeu lescoordonnes curvilignes,paroppositionauxcoordonnescartsiennes(voirannexe D).Les tudiants ont souvent tendance confondre le concept de rfrentiel et celuide systme de coordonnes. Prcisons nouveau la diffrence. Un rfrentiel dfi-nit un cadre, un contenu dans lequel on effectue des mesures, indpendamment dela faon dont on effectue celles-ci. Un systme de coordonnes est un procd per-mettant,dansunrfrentieldonn,dedterminerdefaonuniqueunpointdecerfrentiel. On peut trs bien imaginer travailler avec des coordonnes cartsiennesdans deux rfrentiels diffrents (et vous verrez par la suite que nous ne nous en pri-verons pas !) ; on peut aussi, dans le mme rfrentiel, utiliser des systmes de coor-donnesdiffrents.Lessystmesdecoordonnescylindriquesetsphriquessonttrs utiliss en pratique.1.1.3 Rfrentiels dinertieParmi tous les rfrentiels imaginables, certains vont jouer un rle incontournable, cesont les rfrentiels dinertie, ou rfrentiels inertiels, ou rfrentiels galilens. Pourcomprendrecepoint,ilconvientderemarquerquelavitesseoulatrajectoiredunpoint matriel sont des quantits qui dpendent du rfrentiel. La faon dont les quan-titscinmatiquessemodifientenfonctiondesperturbationsextrieures,nommesforces, fait lobjet de lois. Les lois de la mcanique classique1ont t nonces parNewton, aprs que Galile ait grandement dblay le terrain du point de vue concep-tuel. La premire loi peut tre formule de la faon suivante :Il sagit dun postulat, mais cautionn par plusieurs sicles dexpriences. De cepostulat mme, on conclut que les rfrentiels galilens se dduisent les uns des au-tresparunmouvementrectiligneuniforme.Onpeutdirequilexisteunerelationdquivalence au sens mathmatique du terme entre les rfrentiels dinertie, cest--dire une relation qui possde les proprits suivantes : Rflexivit : tout rfrentiel R est quivalent lui-mme ; Symtrie : si un rfrentiel R est quivalent un rfrentiel R

, alors la rciproqueest vraie ; Transitivit : si les rfrentiels R et R

sont quivalents et quil en est de mmepour les rfrentiels R

et R

, alors les rfrentiels R et R

sont quivalents. Nous verrons que ces proprits sont cohrentes avec la seconde loi. Celle-ci sti-pule :6 1Le concept de relativitIlexisteuneclassederfrentielsparticuliers,nommsrfrentiels galilens,dans lesquels tout corps conservera son tat de repos ou de mouvement rectiligneuniforme, en labsence de force extrieure agissant sur lui.Dans un rfrentiel galilen, la rsultante des forces

F applique un corps est leproduit de sa masse m par son acclration

F = m. (1.1)En gnral lexpression de la force dpend de la position et de la vitesse, et cetteseconde loi, aussi nomme principe fondamental de la dynamique, permet de dter-minerparcalcullvolutiondansletempsdececorpsmatriel.Latroisimeloiconcernelgalitdesforcesdaction etderaction.Ellesupposeuneinteractioninstantane entre les corps et ne peut saccommoder de la relativit restreinte. Nousnen ferons pas usage par la suite, mais nous en reparlerons brivement dans la sec-tion 11.10.Navement, on a limpression que la seconde loi contient la premire puisque sion annule la force, on dduit que la vitesse est constante. En fait il nen est rien. Sion veut pouvoir noncer la seconde loi, il faut au pralable dire dans quel rfren-tiel on se place et, pour cela, il faut se baser sur la premire loi. On veut noncer desloissimples.Maiscettesimplicitnepeutpastreuniverselle,etlecadredanslequel elle sapplique est celui des systmes dits galilens.Prsupposer lexistence de rfrentiels dinertie est une chose ; avoir la certitudeque nous effectuons nos mesures par rapport un de ceux-ci en est une autre, autre-mentplusdifficilevrifier.Oneffectuetoujoursdesmesuresavecunecertaineprcision ; si le rfrentiel utilis nest pas tout fait galilen, mais que les correc-tions apportes de ce fait sont infrieures la prcision de nos mesures, ce nest pastrs gnant, et on peut dire quavec une bonne approximation on travaille dans unrfrentiel galilen.1.1 La notion de rfrentiel 7 Dunod. La photocopie non autorise est un dlit.Pour la plupart des expriences de la vie courante, un systme rfrentiel li laTerrepeuttreconsidrcommegalilen.MaislaTerretournesurelle-mmeetautourduSoleilet,pourdesexpriencesconcernantlesmouvementsclestes,onchoisit plutt le systme de Copernic centr sur le Soleil et dont les axes pointentvers des toiles fixes . Mais ces toiles sont emportes dans un tourbillon autourdu centre de la Galaxie et la Galaxie elle-mme se dplace par rapport aux galaxiesenvironnantes. La qute dun vrai rfrentiel dinertie nest donc pas une sincure !Dans la section suivante, nous donnons une piste pour sa dtermination.Heureusement, pour mettre au point la thorie, il nest pas ncessaire de se pr-occuper trop de ces dtails pratiques . On se borne dire quil existe des rf-rentielsdinertieetquontravailledansleurcadre.Cestainsiquefonctionnelathorie de la relativit restreinte. Le but de la relativit gnrale est de se dmarquerdecettecontrainteetdtablirlesloisdelaphysiquedansdesrfrentielsquel-conques.1.1.4 * Le rfrentiel universelLUniversestbaignparunrayonnementdecorpsnoir,lerayonnementcos-miquedefond,dontlatempratureabsolueestdenviron2,7K.Cetteradiationlectromagntique,reliquatdubig-bang,provientdetouteslesdirectionsduciel.On dtecte toutefois une anisotropie qui peut sinterprter comme un effet Doppler(voir sections 3.7.2 et 9.5.2) d au dplacement de la Terre dans lespace2. Il sem-ble donc exister un rfrentiel dinertie privilgi (plus prcisment une classe pri-vilgie de rfrentiels) que lon peut considrer, dans un certain sens, comme aureposparrapportauxgrandesstructuresdelunivers(amasdegalaxies)carlerayonnement cosmique de fond y est parfaitement isotrope ; appelons-le rfren-tiel universel .Si on fait lhypothse quil existe bien un rfrentiel dinertie privilgi le rf-rentieluniverselestunboncandidat,ilestpossiblededvelopperunethorie test diffrentedelarelativitrestreinte.Desobservationsexprimentalessontalorsenmesuredetrancherenfaveurdunedesdeuxthories.Jusquprsent,aucune dviation notable par rapport la thorie dEinstein na pu tre mise en vi-dence3.2.Voir,parexemple,louvragedeBernardSchutz,Gravityfromthegroundup,CambridgeUniversity Press, 2003, p. 355. Lanisotropie mesure correspond une vitesse de dplacementde la Terre denviron 350 km/s par rapport au rfrentiel universel.3.Pourplusdinformation,onpeutconsulterlesrfrencessuivantes:H. P.Robertson, Postulate versus Observation in the Special Theory of Relativity , Reviews of Modern Physics,vol. 21,n 3,July1949,p.378-382;RezaMansourietRomanU.Sexl, ATestTheoryofSpecialRelativity:I.SimultaneityandClockSynchronization ,GeneralRelativityandGravitation, vol. 8, n 7, 1977, p. 497-513 ; Id., A Test Theory of Special Relativity: II. FirstOrder Tests , General Relativity and Gravitation, vol. 8, n 7, 1977, p. 515-524 ; Id., A TestTheoryofSpecialRelativity:III.Second-OrderTests ,GeneralRelativityandGravitation,vol. 8, n 10, 1977, p. 809-814 ; G. Saathoff et al., Improved Test of Time Dilatation in SpecialRelativity , Physical Review Letters, vol. 91, n 19, 7 November 2003, p. 190403/1-4.1.2 LES TRANSFORMATIONS DE GALILEComme nous lavons vu, la mcanique fait jouer un rle particulier aux systmes derfrence appels rfrentiels dinertie. La figure 1.2 montre les parties spatiales dedeux tels rfrentiels dans une configuration particulire o leurs axes sont parall-les deux deux et leur mouvement relatif est parallle un des axes. Une telle confi-guration sera frquemment utilise par la suite.Au dpart de toute thorie, il y a des postulats. La mcanique classique est base,entre autres, sur un postulat fondamental appel postulat de la relativit galilenne :8 1Le concept de relativitLes lois de la mcanique sont identiques dans tous les rfrentiels dinertie.Bien entendu, pour pouvoir effectuer des calculs sur un mme phnomne phy-sique dans deux rfrentiels distincts, il faut se donner des rgles qui permettent depasser de lun lautre. En particulier, il faut connatre les rgles qui permettent depasserdunjeudecoordonnesdansunrfrentielceluidunautrerfrentiel.Ces rgles sappellent les quations de transformation. Celles qui respectent le pos-tulat de la relativit galilenne sappellent les transformations de Galile.Figure 1.2

V tant une vitesse constante, si R est un rfrentiel dinertie,R

lest galement.RRO OyyVxxz zConsidrons un rfrentiel dinertie R

se dplaant avec une vitesse constante

Vdans un rfrentiel dinertie R, de telle manire que les deux systmes daxes soientconfondus quand les horloges des deux rfrentiels marquent linstant 0. Un ph-nomne quelconque se produisant la coordonne r et linstant t dans R se pro-duitlacoordonne r

etlinstantt

dansR

.Lesquationsdetransformationentre ces deux rfrentiels scrivent alors r =r

+ V t

, (1.2)t = t

. (1.3)Cesrelationssinversentsimplementenremplaant

V par

V.Remarquonsque,pourcestransformations,letemps estconsidrcommeabsolu :ilscouledelamme manire pour tous les observateurs, quel que soit leur tat de mouvement.Vrifionsquecestransformationsrespectentbienlepostulatderelativitgali-lenne.Larelationfondamentaledeladynamiquepouruneparticuledemasse mscrit

F = md2 rdt2 , (1.4)o

F est le vecteur force qui sexerce sur cette particule. Notons quen mcaniqueclassique,lamassem,appeleplusprcismentmasse dinertie,estconsidrecommeunattributdelaparticuleetnepeutdpendredesontatdemouvement.Dans un autre rfrentiel dinertie, les transformations de Galile donnent d2 r dt

2=d2dt2( r V t ) =d2 rdt2 . (1.5)En outre, en mcanique classique, on suppose que la force qui agit sur la masse mest indpendante du rfrentiel par rapport auquel elle est mesure. En effet, elle nepeutdpendrequedespositionsrelativesetventuellementdesvitessesrelativesdes corps avec lesquels interagit la particule considre ; ces deux caractristiquessontdesgrandeursindpendantesdurfrentielet,parconsquent,ilenestdemme de la force. On a donc

F = F, ce qui implique

F = md2 r dt

2. (1.6)Autrementdit,laloiestlammedanslesdeuxrfrentiels.Enfait,uneautremanire dnoncer le postulat de la relativit galilenne est :1.2 Les transformations de Galile 9 Dunod. La photocopie non autorise est un dlit.Les expriences de mcanique faites lintrieur de rfrentiels dinertie ne per-mettent pas de dceler la vitesse relative de ces rfrentiels.Une consquence immdiate des quations de transformation de Galile est la loidaddition des vitesses. Si un objet est anim dune vitesse v dans le rfrentiel Ret dune vitessev dans le rfrentiel R

, alors, en vertu des quations (1.2) et (1.3),on a v =v

+ V. (1.7)La lumire est une onde lectromagntique dont le comportement est rgi par lesquations de Maxwell. Si la lumire est affecte de la mme manire que les parti-culesparlaloidetransformation(1.7)(voirsection11.6),alorslavitessedunrayon lumineux dpend du mouvement relatif de la source et de lobservateur. Nousallons voir que cela nest en fait pas observ exprimentalement, en ce qui concernele module de cette vitesse.1.3 MICHELSON, LA TERRE ET LTHERAvant daller plus loin, il convient de parler dune notion introduite au XIXesiclepour expliquer un certain nombre de phnomnes physiques. Lexprience a mon-tr que les ondes mcaniques, comme les ondes sonores par exemple, ncessitent unmilieu matriel pour se propager. Les ondes lectromagntiques se propagent ga-lementdanscertainsmilieuxmatriels,maisellespossdentenoutrelaproprittrs remarquable de se propager dans le vide. Les physiciens du XIXesicle, et enparticulier Fresnel, nadmettaient pas lide dune propagation sans support mat-riel. Ils imaginrent donc un milieu hypothtique baignant tout lunivers, quils bap-tisrent ther, et dont les vibrations assuraient la propagation des ondes lectroma-gntiquesdanslevide4.Lalumirenedevaitalorssepropageravecunevitessebiendfiniec,prditeparlathorielectromagntique,quedanslesmilieuxaurepos par rapport lther5. Remarquons que lther devait possder des propritscontradictoires : il ne devait offrir aucune rsistance aux dplacements plantaires,mais pour transmettre des ondes transversales comme la lumire, il devait tre pra-tiquement incompressible.Vers1880,lesphysiciens,pourquiltherrestaitlesubstratindispensablelapropagation des rayons lumineux, vont imaginer un certain nombre dexpriencespourmettreenvidencesonexistence.Telleestloriginedelexprience,resteclbre,deMichelsonen1881,renouveleen1887parMichelsonetMorley,etultrieurement de nombreuses fois avec une prcision sans cesse accrue.Partant du principe que la Terre est en mouvement dans lther et que la vitessede la lumire est constante par rapport lther, Michelson suppose que la mesurede la vitesse de la lumire doit donner des rsultats diffrents suivant lorientationde la vitesse de la Terre par rapport lther. Lide est alors dessayer de mettre envidencecesvariationsenfaisantintervenirdesphnomnesdinterfrencelumi-neusedontonconnatlintrtenmtrologielorsquonveutraliserdesmesuresfines.10 1Le concept de relativit4. Lide quun fluide pouvait baigner tout lunivers fut introduite ds lAntiquit. Aux qua-trelments (eau,air,terreetfeu)suppossformerlemondesublunaireoumondeterrestre,introduits par Empdocle et comments par Platon, Aristote proposa dajouter un cinquime l-ment, lther, constituant inaltrable du monde cleste.5. Autrement dit, les quations de propagation de la lumire ne devaient prendre exactement laforme (11.14) que dans ces milieux (voir section 11.2).La figure 1.3 montre le schma de principe de lexprience6. Un faisceau lumi-neux issu dune source S est divis en deux par une lame semi-transparente faisantun angle de 45 par rapport ce faisceau. Un des rayons dcrit la trajectoire allerretour AC avant dtre rflchi par la lame vers lobservateur. Lautre rayon parcourtle bras AB puis traverse la lame avant datteindre lobservateur. Un tel dispositif estappel un interfromtre. Pour lexprimentateur, lclairement au point dobserva-tionO dpend de la diffrence des temps de propagation t des deux rayons lumi-neuxissusdeS etserecombinantenO.Plusprcisment,laspectinterfrentieldpend de la diffrence de phase 2t , o est la frquence du rayonnement. Lestrajets SA et AO tant communs pour les deux rayons, t ne dpend que des tempsde parcours t (AB) et t (AC) des rayons dans les bras AB et AC. Nous allons main-tenant calculer la quantit t (AB) t (AC) pour deux configurations diffrentes delinterfromtre.La figure 1.3 montre en fait la situation pour laquelle le dispositif serait immo-bile par rapport lther. Supposons maintenant que lensemble soit en mouvementparrapportltherdanslequellalumiresepropage,selonlhypothsedelpoque,aveclavitessec.Considrons,parexemple,quaumomentdelexp-rience, la vitesse dentranement du systme,

V, qui est en gros la vitesse de la Terrepar rapport lther, soit parallle7 la direction du bras AB. Posonsl1 = AB etl2 = AC. Calculons le temps que met un rayon lumineux pour parcourir le bras ABpour un trajet aller retour. Pour valuer ce temps, t1, plaons-nous dans un rfren-tiel li la Terre. Les vitesses sajoutant algbriquement, on aurait 1.3 Michelson, la Terre et lther 11 Dunod. La photocopie non autorise est un dlit.Figure 1.3 Schma de principe de lexprience de Michelson et Morley.SABCO6.LesdifficultsexprimentalesinhrentessaralisationsontprsentesdansunarticledeR. S.Shankland, TheMichelson-Morleyexperiment ,ScientificAmerican,vol. 211,1964,p. 107-114.7. Si ce nest pas le cas, il faut introduire des variables angulaires, ce qui complique les calculssans changer la conclusion.t (AB) = t1 =l1c V +l1c + V . (1.8)Dans le bras AC, le temps t2pour un trajet aller retour se calcule plus aisment dansun rfrentiel li lther (voir figure 1.4). Le rayon lumineux parcourt dans ce casles deux bras dun triangle isocle (de base 2h) avec la vitesse c. On obtient t (AC) = t2 =1c2

l22 +h2avec V t2 = 2h, (1.9)puisque la distance 2h est parcourue en une dure t2 la vitesse V. On en tire ais-mentt (AC) = t2 =2l2c2 V2. (1.10)Les franges dinterfrence observes pour cette configuration dpendent donc de ladiffrence des temps de propagation t (AB) t (AC) = t1t2.On peut maintenant changer le rle des deux bras de linterfromtre en faisantpivoter lensemble de lappareil dun quart de tour. On obtient alorst (AB) = t3 =2l1c2 V2et t (AC) = t4 =l2c + V +l2c V . (1.11)La diffrence des temps de propagation t (AB) t (AC) = t3t4contrle mainte-nant laspect des franges dinterfrence.12 1Le concept de relativitFigure 1.4 Trajet du rayon lumineux dans le brasAC de linterfromtre de Michelson etMorley pour le rfrentiel li lther. La flche paisse montre le sens de dplacement delinterfromtre par rapport lther.2hAACl2VLa diffrence T des diffrences de temps de propagation des rayons lumineuxdans les deux configurations de linterfromtre est donne parT = (t1t2) (t3t4) (l1+l2)V2c3, (1.12)oonutiliselefaitqueV c pourfaireuncalculapproch.Eneffet,lavitessedentranement du rfrentiel dans lther tant suppose proche de la vitesse de laTerreautourduSoleil,cest--dire30 km/s,onaV/c 104.Aprsrotationdudispositif exprimental, on sattend donc observer une variation de la diffrencede phase gale = 2T 2(l1+l2)V2c2, (1.13)o = c/ est la longueur donde la lumire utilise. Cela se traduit par un dfile-ment de n = /(2) franges dinterfrence, puisquun dplacement dune frangecorrespond un retard de phase gal 2. Lexprience, rpte plusieurs fois (enparticulierdespoquesdiffrentesdelanne:lorientationdelavitessedelaTerrechangetoutaulongdelannedansunrfrentieldinertieliauSoleil),atoujours donn le mme rsultat : T = 0 ! Aucun effet attribuable au mouvementorbital de la Terre, ni au mouvement du systme solaire par rapport au rayonnementcosmiquedefond(voirsection1.1.4),najamaisputreobserv8.Nousverronsdans la section suivante comment interprter correctement ces rsultats.1.4 LES POSTULATS DEINSTEINLe dsaccord est flagrant entre observation et calcul thorique dans lexprience deMichelsonetMorley.Commentlexpliquer ?Lexpressiondesdiffrencesdestemps de propagation de la lumire dans cette exprience sobtient en supposant quela loi galilenne daddition des vitesses est valable pour les rayons lumineux. Cettehypothse de travail est une consquence directe de la manire dont se transformentlesquationsdeMaxwell,quirgissentlecomportementdelalumire,souslactiondestransformationsdeGalile.Or,ilapparatquelesquationsde1.4 Les postulats dEinstein 13 Dunod. La photocopie non autorise est un dlit.8.Desexpriencesmodernesonttralisesavecdesmasers(T. S.Jaseja,A.Javan,J.MurrayetC. H.Townes, TestofSpecialRelativityoroftheIsotropyofSpacebyUseofInfraredMasers ,PhysicalReview,vol. 133,n 5A,2March1964,p. A1221-A1225)etdeslasers (A. Brillet et J. L. Hall, Improved Laser Test of the Isotropy of Space ,Physical ReviewLetters, vol. 42, n 9, 26 February 1979, p. 549-552). Signalons quil est galement possible detesterlinvariancedelavitessedelalumireenutilisantleGPS(RainerMller, TheEtherWindandtheGlobalPositioningSystem ,ThePhysicsTeacher,vol. 38,April2000,p. 243-246).Maxwell, contrairement aux quations de la mcanique classique, ne sont pas inva-riantes pour les transformations de Galile (voir section 11.6).CommentdoncconcilierlamcaniqueclassiquedeNewton,lathorielectro-magntique de Maxwell, la relativit galilenne et les rsultats de lexprience deMichelson et Morley ? Plusieurs solutions soffraient aux scientifiques du XIXesi-cle : Admettre que la thorie de llectromagntisme de Maxwell tait fausse ; Rendre compatibles les postulats de la mcanique classique et de llectromagn-tisme ; Admettre que les postulats de la mcanique classique taient faux.La premire solution est vite apparue inacceptable. Toute une srie de belles ex-priences prouvaient nettement que toutes les prdictions de la thorie de Maxwellse vrifient trs bien. La deuxime voie conduit llaboration du concept dther,rfrentielprivilgiservantdesupportlapropagationdesondeslectromagn-tiques et seul rfrentiel o les quations de Maxwell seraient strictement valables.Cependant, toutes les expriences, du type de celle de Michelson et Morley, tentantde mettre en vidence lexistence de lther ont chou.Finalement cest la troisime voie qui se rvle tre la bonne : reconnatre que lamcaniqueclassiquesefondesurdespostulatsquidoiventtreabandonns.Lachose se fait graduellement, avec des scientifiques comme FitzGerald puis Lorentzet Poincar, mais cest Einstein en 1905 (alors g de 26 ans) qui fait le pas dcisifen postulant le caractre non absolu du temps et de lespace9. Il labore une nou-velle mcanique qui permet dexpliquer lensemble des rsultats thoriques et exp-rimentaux concernant les ondes lectromagntiques. Cette thorie, la relativit res-treinte,estbasesurdeuxpostulatsextrmementsimples.Lepremierdecespostulats est llargissement toutes les lois de la physique du principe de relativit. 14 1Le concept de relativitPremier postulat : tous les rfrentiels dinertie sont quivalents ; autrement dit,la formulation mathmatique des lois de la physique doit tre la mme dans tousces rfrentiels.9. On peut trouver quelques lments sur lhistoire de la gense de la thorie de la relativit res-treinte, par exemple, dans le livre de M. Boratav et R. Kerner (biblio), et dans les ouvrages devulgarisationdeKipS.Thorne(biblio)etdeJean-PaulAuffray,Lespace-temps,Flammarion,1998.Aucune exprience de physique ralise dans un rfrentiel dinertie ne permetdedcelerlemouvementdecerfrentiel:ilnexistepasdtatdemouvementabsolu.Leseulmouvementquelonpuisseobserverestlemouvementrelatifdun objet par rapport un autre.Le deuxime postulat rige en principe limpossibilit de la mesure de la vitessede la lumire par rapport un hypothtique rfrentiel absolu10.1.4 Les postulats dEinstein 15 Dunod. La photocopie non autorise est un dlit.10. Prenons garde au fait que si le module de la vitesse de la lumire est invariant pour un chan-gement de rfrentiel, il nen est pas de mme de la couleur de la lumire (ou frquence ou lon-gueur donde) qui, elle, dpend du mouvement relatif de lobservateur et de la source. Nous tu-dierons en dtail ce phnomne, connu sous le nom deffet Doppler, plus loin dans le livre (voirsections 3.7.1 et 9.5.2).11. Quand on parle de vitesse de la lumire , il faut toujours comprendre module de la vitessede la lumire dans le vide, habituellement not c, moins que ce ne soit prcis autrement. Lavitesse de la lumire dans un matriau transparent peut tre infrieure c et mme infrieure celle dune particule de matire se dplaant dans ce milieu.12. Voir par exemple louvrage de M. Boratav et R. Kerner, chap. 2 (biblio).Deuximepostulat :lavitessedelalumiredanslevideestindpendantedeltat de mouvement de la source.En fait, lintrt du deuxime postulat est surtout historique, puisque son noncpeutsedduirenaturellementdupremierpostulatetdequelquespropritsnatu-relles de lespace et du temps. En effet, nous verrons dans la section 6.2 commentil est possible de se passer de linvariance de la vitesse de la lumire11pour cons-truire la thorie dEinstein. Cependant, dans la suite, nous tablirons les quationsde transformation de la relativit restreinte en nous basant sur le deuxime postulat.Cette dmarche, conforme lhistoire et base sur des faits exprimentaux solide-ment tablis, a le mrite dtre dun abord plus simple que la thorie trs gnraledveloppe dans la section 6.2.Ces postulats impliquent que les lois de transformations de Galile doivent treremplaces par de nouvelles lois de transformations qui, en particulier, laissent inva-riante lquation de propagation des ondes lectromagntiques. Llaboration de cesloisetlexamendequelques-unesdeleursextraordinairesconsquencesfontlobjet des chapitres suivants.LesrsultatsdelexpriencedeMichelsonetMorley peuventtretrssimple-ment expliqus par lapplication du second postulat. Si la vitesse de la lumire estbienidentiquepourtouslesrfrentielsdinertie,lestempsdepropagationdesrayons lumineux le long des deux bras de linterfromtre sontt1 = t3 =2l1cet t2 = t4 =2l2c, (1.14)ce qui conduit bien T = 0, cest--dire aucun dfilement de franges.Dautres expriences, comme celle de Fizeau (dont nous reparlerons dans la sec-tion5.2),quiavaientreuuneinterprtationclassiquepeusatisfaisante,nontputrecorrectementinterprtesquedanslecadredelarelativitdEinstein12.Prcisons immdiatement que cette thorie a fini par simposer lpoque parce quectaitlaseulethoriecohrenteexpliquantlensemble desobservationsetexp-riences faites jusque-l.1.5 LA RELATIVIT DU TEMPS16 1Le concept de relativitFigure 1.5 Trajets aller retour du photon dans lhorloge photonspour les rfrentiels R et R

.VtdR RUne consquence immdiate et a priori surprenante des postulats dEinstein estquil nexiste pas de temps absolu, et que lcoulement du temps dpend de ltatde mouvement de lobservateur par rapport un systme de rfrence donn. Il estpossible dillustrer simplement ce phnomne en construisant mentalement unehorloge battant la mesure du temps au moyen de photons. Imaginons deux miroirsparalllessefaisantfacelunpositionnau-dessusdelautresparsparunedistance d. Un observateur du rfrentiel propre R

de ces deux miroirs observe unphoton faisant des allers retours perpendiculaires ces deux miroirs, laller dfinis-santle tic etleretourle tac delhorloge(voirfigure1.5).Cesystmeestappel horloge photons (ouhorlogedEinstein-Langevin,ouhorlogedeFeynman). Le temps aller retour dun photon est videmmentt

= 2dc, (1.15)o c est la vitesse de la lumire.Supposons maintenant que le rfrentiel R

soit anim dune vitesse V parallleaux miroirs par rapport un rfrentiel R. Un observateur de R ne constatera pasque le photon fait des allers retours perpendiculaires aux miroirs. Il va observer untrajet oblique comme indiqu sur la figure 1.5.Un aller retour dans le rfrentiel R prend videmment plus de temps que dansle rfrentiel R

car le photon se dplace toujours la mme vitesse c mais doit par-courir une distance plus grande. En fait, si t est le temps dun aller retour dans lerfrentiel R, la distanceD parcourue par le photon est gale D = 2

d2+

Vt2

2. (1.16)Do on dduit quet =2c

d2+

Vt2

2. (1.17)Par de simples manipulations algbriques, il est possible de relier t et t

, cest--dire le temps dun aller retour dans le rfrentiel R o lhorloge est mobile et dansle rfrentiel R

o elle est stationnaire. On trouvet =t

1 V2c2. (1.18)Notonsquecettequationserduitbient = t

quandV = 0,cest--direquand les deux rfrentiels sont immobiles lun par rapport lautre.La relation (1.18) est la fameuse formule dEinstein de dilatation des temps quimontrequett

etquet = quandV = c.Autrementditlhorlogephotons en mouvement bat la mesure du temps plus lentement quune horloge qui-valentedansunrfrentielstationnaire.LorsqueV> c,lquation(1.18)indiqueque lintervalle de temps t devient imaginaire, ce qui est dj une indication quilest impossible de dpasser la vitesse de la lumire.Une modification similaire des longueurs (mesures dans la direction du mouve-ment)apparatquandV =/ 0.Tandisquunobservateuraureposparrapportunobjet mesure la longueur de cet objet comme tant

, un observateur en mouvementpar rapport cet objet observera une longueur contracte =

1 V2c2. (1.19)Ceteffetestappellacontractiondeslongueurs oucontractiondeLorentz,ouencorecontractiondeLorentz-FitzGerald,puisquelemathmaticienFitzGeraldavait avanc la mme ide quelques annes avant Lorentz. Lutilisation de lhorloge photons permet de dmontrer facilement cette relation (voir aussi exercice 4.2).Notons que pour faire nos calculs avec lhorloge photons, nous avons supposque la distance d entre les deux miroirs tait la mme pour les observateurs des rf-rentiels R et R

. Cette hypothse est correcte car le trajet des photons est perpendi-culaireladirectiondelavitesserelativeentrelesdeuxrfrentiels.Cetteinva-riance des dimensions transversales sera discute plus loin (voir sections 4.2 et 6.2).1.5 La relativit du temps 17 Dunod. La photocopie non autorise est un dlit.Le phnomne de dilatation du temps est prsent icidefaonintuitive,simpleetpdagogiquegrcelhorlogephotons.Ilseradmontrdefaonplusrigoureuse dans le chapitre 3.Le ralentissement du temps ne devient perceptibleque pour des vitesses proches de celle de la lumire.Le tableau 1.1 illustre cet effet. Par exemple, une hor-loge voyageant 99,99 % de la vitesse de la lumirepar rapport la Terre enregistrera le passage dun antandis que presque 71 ans scouleront sur Terre.Une objection possible cette analyse est quelle atfaitepourunehorlogeparticulire.Commentsavons-nousquuneautrehorloge(utilisantunpen-duleetdesrouesdentesparexemple)neserapasaffectediffremmentparlemouvement ?Larponse vient de la relativit elle-mme qui nous dit quil nest pas possible de dce-lerunmouvementabsolu.Sideuxhorlogessecomportaientdiffremment,alorscettediffrencepourraittreutilisecommedtecteurdemouvement.Celatantimpossible, toutes les horloges, quel que soit leur mcanisme interne (incluant leshorlogesbiologiquescomplexesdenosorganismes),doiventrpondreaumouve-ment prcisment de la mme manire. Insistons sur le fait quil ny a rien de mys-trieuxdanslecomportementdeshorloges.Silyaquelquechosedemystrieuxdans la relativit restreinte, cest linvariance de la vitesse de la lumire. Une fois cephnomne tabli, tout le reste suit naturellement. Notons que si on avait supposvalablelaloigalilennedadditiondesvitesses,alorslephnomnededilatationdes temps nexisterait pas (voir exercice 1.1).1.6 LEXPRIENCE DE KENNEDY-THORNDIKELexprience de Michelson et Morley a videmment t le germe des rflexions surune nouvelle faon de voir lespace et le temps. De grands savants ont t impliqusdanscetterflexion :citonsseulementlesgrandsnomsdeFitzGerald,Lorentz,Poincaret,biensr,Einsteinquiaassisdfinitivementlathoriedelarelativitrestreinte. Dans les annes qui suivirent, un certain nombre dexpriences ont tentdamliorer la prcision de lexprience de 1887.1.6.1 Les expriences pionniresToutes les expriences qui suivent celle de Michelson et Morley en sont finalementdesvariantes,basessurlaprcisionextraordinairedesmthodesinterfrom-triques (voir tableau 1.2). La longueur des bras de linterfromtre est une donneimportante ainsi que la longueur donde de la radiation choisie. Lcart des frangesdinterfrenceendpenddefaoncruciale.Nousindiquonsci-dessouslesexp-riences pionnires qui ont permis de conforter un peu plus la thorie de la relativit.18 1Le concept de relativitTABLEAU 1.1FACTEUR DE DILATATION DES TEMPS.Vc1

1 V2c20,1 1,0050,2 1,0210,5 1,1550,7 1,4000,9 2,2940,99 7,0890,999 22,3660,9999 70,7121.6 Lexprience de Kennedy-Thorndike 19 Dunod. La photocopie non autorise est un dlit.Nom(s) Anne(s) Endroit D(m) a(frange) m(frange)Michelson 1881 Potsdam 1,2 0,04 0,01Michelson et Morley 1887 Cleveland 11 0,40 0,005Morley et Miller 1902-04 Cleveland 32,2 1,13 0,007 3Miller 1921 Mt Wilson 32 1,12 0,04Miller 1923-24 Cleveland 32 1,12 0,015Miller 1924 Cleveland 32 1,12 0,007Tomascheck 1924 Heidelberg 8,6 0,3 0,01Miller 1925-26 Mt Wilson 32 1,12 0,044Kennedy 1926 Pasadena 2 0,07 0,001Illingworth 1927 Pasadena 2 0,07 0,000 2Piccard et Stahel 1927 Mt Rigi 2,8 0,13 0,003Michelson, et al. 1929 Mt Wilson 25,9 0,9 0,005Joos 1930 Jena 21 0,75 0,001TABLEAU 1.2VARIANTES DE LEXPRIENCE DE MICHELSON ET MORLEY.D REPRSENTE LA LONGUEUR DES BRAS, aREPRSENTE LE DPLACEMENT DES FRANGES ATTENDU EN SUPPOSANTLTHER AU REPOS PAR RAPPORT AU SOLEIL ET UN DPLACEMENT DE LA TERRE LA VITESSE DE 30 KM/S,mREPRSENTE LE DPLACEMENT DES FRANGES MESUR DANS LEXPRIENCE14.14. Les donnes proviennent de larticle : R. S. Shankland, S. W. McCuskey, F. C. Leone et G.Kuerti, NewAnalysisoftheInterferometerObservationsofDaytonC.Miller ,ReviewsofModern Physics, vol. 27, n 2, April 1955, p. 167-178.15. Roy J. Kennedy et Edward M. Thorndike, Experimental Establishment of the Relativity ofTime , Physical Review, vol. 42, November 1932, p. 400-418.Aprsavoirralisleurfameuseexprience,MichelsonetMorleynesintres-sent plus que de loin ce type de recherches et passent le flambeau Miller. Bienque les rsultats des expriences de Miller, tout en confirmant ceux de Michelson etMorley,soientunpeudcevantssurleplandelaprcisionatteinte,lemritedecelui-ci est davoir beaucoup mieux cern les sources dincertitudes, notamment leseffets de la temprature et de la magntostriction sur lacier de lappareillage dus auchamp magntique terrestre. Ces tudes srieuses ont normment aid les succes-seurs de Miller et la prcision a t sans cesse amliore. Lexprience qui, malgrtout, a assis dfinitivement lisotropie et linvariance de c, et donc la thorie de larelativit restreinte, est celle de Kennedy et Thorndike en 1932.1.6.2 Une exprience dcisiveDans son esprit, la technique exprimentale de Kennedy et Thorndike est la mmeque celle de Michelson et Morley15. Il sagit dun dispositif interfromtrique avecunelamesemi-rflchissantequispareendeuxunrayonmonochromatiquevert(raie 5461 du mercure) ; ces deux rayons parcourent les deux bras de linterfro-mtre et se recombinent la sortie pour former un systme dinterfrences (voir sec-tion 1.3). Le dplacement des franges a t mesur avec une grande prcision toutau long de lanne.Les principales diffrences entre cette exprience et celle de Michelson et Morleysont essentiellement dordre technique de faon limiter au maximum les sourcesderreur : Les bras de linterfromtre ne sont plus perpendiculaires et nont plus la mmelongueur. Cela permet davoir plus de latitude pour la mesure des effets, notam-ment sur la diffrence de chemins optiques. Les auteurs ont utilis un appareillage rvolutionnaire pour maintenir la tempra-ture de la chambre vide de linterfromtre stable moins de 0,001 C, touteheure et en toutes saisons. Les miroirs sont soutenus par un dispositif en quartz, pour limiter au maximum leseffetsdedilatationetdemagntostriction.Leurrotationlafoisparrapportlhorizontale et la verticale est assure, non plus la main, mais par un dispositiflectrique trs fin. Les franges dinterfrence sont examines travers un tlescope et sont photogra-phies toutes les douze heures pour essayer de dceler des effets diurnes. Les auteurs ont cherch la fois des effets priodiques sur quelques jours, maisaussisurdespriodesdeplusieursmois.Lanalysedesdonnesestvidemmentcruciale et, l encore, ils ont pris dnormes prcautions. Toutes les sries de mesu-res montrent des dcalages infrieurs 0,000 05 franges, compatibles avec un dca-lage nul. Aprs cette brillante exprience, la cause est entendue : plus personne neremet en cause lisotropie et linvariance de la vitesse de la lumire dans le vide.1.7 LA VITESSE DE LA LUMIRELa vitesse de la lumire dans le vide est la constante fondamentale de la thorie dela relativit restreinte, comme lest la constante de Planck pour la mcanique quan-tiqueoulaconstantedelagravitationuniversellepourlarelativitgnrale.Lapremiretentativedemesuredecettevitessedontnousayonsconnaissanceatfaite par Galile au XVIesicle. Bien que son exprience nait pas conduit un rsul-tat concluant, une autre de ses dcouvertes, celle des satellites de Jupiter, fournit lesbases pour la premire mesure relle de la vitesse de la lumire. En 1676, lastro-nomedanoisRoemerdduisit,enobservantlesclipsesdeIo(satelliteleplusinterne de Jupiter), que la lumire met environ 11 minutes pour franchir le rayon delorbite terrestre. Avec les donnes de lpoque, la vitesse de la lumire fut value environ 215 000 km/s, ce qui est le bon ordre de grandeur (se reporter lexercice1.6 pour une explication de la mthode). En 1849, le physicien franais Fizeau cons-truisitundispositifdontlapartieprincipaleconsistaitendeuxrouesdentesde20 1Le concept de relativitmme axe tournant grande vitesse. Grce cet appareil, Fizeau calcula une vitessede 315 000 km/s, rsultat comparable celui de Roemer16.Longtempsmesureavecuneprcisiondeplusenplusgrande,lavitessedelalumire dans le vide est dsormais fixe exactement par convention17: c = 299 792 458 m/s.Cela entrane une nouvelle dfinition du mtre qui devient : Le mtre est la longueur du trajet parcouru dans le vide par la lumire pendantune dure de 1/299 792 458 de seconde.Prcisons quen 1967 la dfinition suivante de la seconde a t adopte : La seconde est la dure de 9 192 631 770 priodes de la radiation correspondant la transition entre les deux niveaux hyperfins de ltat fondamental de latomede csium 133.Lerreur relative faite en assimilant la vitesse de la lumire 300 000 km/s est inf-rieure 0,1 %.1.8 AVANT DALLER PLUS LOINLa relativit restreinte admet lquivalence de tous les rfrentiels dinertie pour laformulation des lois physiques. Cela implique quil est impossible de mettre en vi-dence un mouvement rectiligne uniforme par des expriences internes, cest--diredes expriences menes sans se rapporter dautres rfrentiels que son rfrentielpropre. Or il semble en premire analyse que les mouvements non uniformes soienten contradiction avec la relativit restreinte, puisquune acclration peut tre mesu-re par une exprience interne. Alors que la vitesse est une grandeur relative pourun observateur, lacclration est donc une grandeur absolue. Cest en ce sens quelapremireversiondelathoriedelarelativitdveloppeparEinsteinestres-treinte. Il ne faudrait pas croire pour autant quil est impossible dans ce formalismede traiter le cas de rfrentiels en mouvement acclr (voir section 8.8). En fait, descontradictions apparaissent lorsque lon essaie de dcrire le comportement dobjetssoumisunchampdegravitationdanslecadredelathoriedelarelativitres-treinte. Lintroduction des forces de gravit dans le formalisme dEinstein ne peutsefairequauprixdunerefontedelarelativitrestreinteenuneautrethorie,larelativit gnrale.Larelativitrestreintedcrit,enfait,ununiversidalisdpourvu de gravitation.1.8 Avant daller plus loin 21 Dunod. La photocopie non autorise est un dlit.16. Pour obtenir plus de dtails sur ces expriences, on peut consulter, par exemple, le cours deBerkeley, chap. 10 (biblio). Voir galement larticle de Albert Van Helden, Roemers speed oflight , Journal for the History of Astronomy, vol. 14, 1983, p. 137-141.17. Harry E. Bates, Resource Letter RMSL-1: Recent measurements of the speed of light andthe redefinition of the meter , American Journal of Physics, vol. 56, n 8, August 1988, p. 682-687.Le principe de relativit restreinte peut tre considr comme un mta-principeen ce sens quil nest pas lui-mme une loi de la physique mais plutt un schmaauquel doit obir toute loi de la physique. Ce principe doit tre la pierre angulairede toute nouvelle thorie propose. Si une nouvelle loi est bien identique dans tousles rfrentiels dinertie, alors elle a une chance de dcrire une partie du comporte-mentdelunivers.Siellenerespectepasceprincipe,alorselledoittrerejete.Toutelexprienceaccumuledepuis1905suggrequelarelativitrestreintedEinsteindoiteffectivementtrerigeen principegouverneur desloisdelaphysique.Peu aprs la publication des travaux dEinstein, la relativit restreinte rencontrauneviveoppositiondelapartdenombreuxphysiciens.Lacontroversefinitpar steindredanslesannes30,quandlatechnologiedevintsuffisammentavancepourpermettrelespremiresvrificationsexprimentalesdesprdictionsdelathorie. Aujourdhui, il ny a plus de place pour le doute : le comportement des par-ticules se dplaant des vitesses proches de celle de la lumire dans les acclra-teurs est en parfait accord avec les lois de la relativit restreinte dEinstein.Le succs de la relativit restreinte ne signifie pas que nous devons abandonnerlamcaniqueclassique.LesloisdeNewtonsontparfaitementapplicablesdanslaviedetouslesjours,danslaplupartdesdisciplinesscientifiquesetdanspresquetoute la technologie. On ne doit pas se proccuper du phnomne de dilatation destempspourplanifierunvoyageenavion,niprendreencomptelephnomnedecontractiondeslongueursdanslaconceptiondunvhicule.Lesprdictionsdelathorie dEinstein et de la thorie de Newton sont presque identiques pour les ph-nomnesdontlesvitessescaractristiquessontpetitesparrapportcelledelalumire. Elles ne commencent diverger fortement que lorsque les vitesses misesen jeu sont proches de la vitesse de la lumire.EXERCICESLes rponses ces exercices sont donnes la page 260.1.1 Lhorloge photons galilenneMontrerquesilaloigalilennedadditiondesvitessesestcorrecte,alorslexp-rience de lhorloge photons dcrite dans la section 1.5 nimplique pas le phno-mne de dilatation des temps.1.2 Utilisation dhorloges atomiques dans les avionsUne vrification possible de la thorie de la relativit restreinte consiste mesurerexplicitement le phnomne de dilatation du temps. Pour ce faire, on embarque dansun avion de ligne volant la vitesse constante de 800 km/h une horloge atomique22 1Le concept de relativitde prcision ; on laisse au sol une horloge atomique identique qui sert de tmoin. Ilsuffit de comparer les temps (cest plus facile dire qu faire !) des deux horloges lissue dun voyage commenc au temps t = 0 sur chacune des horloges. (a) Quelle doit tre la prcision minimale des horloges pour mettre en vidence lephnomne de dilatation des temps ?(b) Surunetellehorloge,quelseraitlcartmaximummesur(parrapportunehorloge infiniment prcise) sur une dure dune anne ?1.3 Voyage vers AndromdeLa galaxie dAndromde est situe 2,3 millions dannes-lumire de la Terre. Onconsidre que la Terre et Andromde sont des points, sans mouvement relatif. Ondcide de visiter Andromde grce une fuse voyageant vitesse constante depuisla Terre jusqu Andromde. (a) Si le temps mis pour faire le voyage est de 2,31 millions dannes pour les ob-servateursterrestres,quelleestlavitessedelafuse ?Quelleestladureduvoyagepourlespassagersdelafuse ?Seront-ilsencorevivantslafinduvoyage ? Et leurs descendants ?(b) Mmesquestionssionembarquesurunefusepluspuissantequinemetque2,301 millions dannes.(c) On dsire que le voyage en fuse nexcde pas 20 ans pour les passagers. Quelleestlavitesseminimumcommuniquerlafusepourraliserceprojet ?Combien de temps dure ce voyage pour un observateur terrestre ?1.4 La course infernaleUn proton cosmique voyage la vitesse v = 0,999 999 c pendant 4 annes-lumireentreltoile duCentaureetlaTerre(1 anne-lumire=9,461 1015m).Supposonsqueceprotonengageunecourseavecunphoton(quisedplacelavitesse de la lumire dans tous les rfrentiels) le long de ce trajet. Quelles sont lesdiffrences de temps de vol pour un observateur sur la Terre, pour le proton et pourle photon ? 1.5 Vitesse relative de deux fusesSoientdeuxfusesF etF

enmouvementdetranslationrectiligneuniformesurdeux droites parallles. On appelle R et R

les rfrentiels inertiels lis respective-ment F et F

. Les observateurs du rfrentiel R mesurent la vitesse de la fuse F

,qui a pour module VR

/R. Les observateurs du rfrentiel R

mesurent la vitesse dela fuse F qui a pour module VR/R . En appliquant le principe de la relativit, mon-trer que VR

/R= VR/R . Exercices 23 Dunod. La photocopie non autorise est un dlit.1.6 Roemer et les clipses de IoEn se basant sur les clipses de Io, satellite le plus interne de Jupiter, lastronomedanoisRoemeraconclu,en1676,unevitessefiniepourlapropagationdelalumire dans le vide. Dans ce problme, nous indiquons le principe de sa dmarche,sans nous encombrer de toutes les subtilits affrentes. Nous adoptons un modlesimplifi pour illustrer la mthode.Le Soleil (S), la Terre (T), Jupiter (J) et Io (I) sont reprsents par des points. Il ya occultation de Io lorsque T, J etI sont aligns avec J entre T etI (Jupiter inter-cepte la lumire que Io nous envoie). En fait Jupiter nest pas un point et possdeune zone dombre ; il y a clipse lorsque Io se trouve dans la zone dombre. Lorbitede la Terre est situe dans le plan appel cliptique, et peut tre considre commeun cercle de centreS de rayonST = R = 1,49 108km. Cette orbite est parcou-rue en Tt= 1 an = 365,25 jours. Lorbite de Io est un cercle, dans le plan de lclip-tique, de centre J, accomplie enTi 42,5 heures. La Terre et Io tournent dans lemme sens sur leur orbite. Les priodes donnes sont valables dans un rfrentielinertiel li aux toiles. Nous nous intressons lvolution du systme au maximumsur une demi-anne ; pendant ce laps de temps, Jupiter a peu boug sur son orbite.Nous faisons lhypothse que S et J sont fixes.En fait, Roemer a travaill sur des clipses et non sur des occultations. Il y a plu-sieurs raisons cela : dabord loccultation peut avoir lieu aprs le dbut de lclipse(Ioestparconsquentinvisibleaumomentdeloccultation)et,surtout,ladureentredeuxoccultationsvarieenfonctiondelapositiondelaTerre,alorsqueladure entre deux clipses reste plus ou moins constante.Il y a opposition lorsque Jupiter est au plus prs de la Terre (T est entre S et J).Il y a quadrature lorsque le triangleST J est rectangle enT. Nous notons c lavitesse de la lumire. Ainsi, le moment o lclipse est observe sur Terre est galautempsvraiaugmentdutempsquamislalumirepoureffectuerladistanceI T J T. (a) Donner une estimation du nombre N dclipses visibles de la Terre en une demi-anne.(b) SeplacerauvoisinagedeloppositionetcalculerletempsT sparantn(nN) clipses vues de la Terre (on se place dans la situation symtrique den/2 clipsesavantloppositionetn/2 clipsesaprslopposition).OnnoteTa = T/n la dure apparente dune clipse. Montrer que Ta Ti.(c) Rsoudre la mme question que la prcdente, en se plaant maintenant au voi-sinage de la quadrature. Montrer que Ta> Ti; les clipses semblent prendre duretard. Que se passe-t-il au voisinage de la seconde quadrature lorsque la Terreest de lautre ct de son orbite ?(d) Calculer le retard cumul T nTisur n clipses au voisinage de la premirequadrature. Roemer a mesur un retard denviron 10 min au dbut novembre delanne 1676. Il a dduit que le temps mis par la lumire pour parcourir une24 1Le concept de relativitunitastronomiqueR taitde11 min.LavaleurdeR connuelpoquetaitR = 1,45 108km. En dduire la vitesse de la lumire mesure par Roemer18. (e) La valeur la plus mal mesure lpoque ntait finalement pasR, mais . Lavaleuractuelledecettequantitest = 8 min.Quelleestlavaleurdec cor-respondante ?Exercices 25 Dunod. La photocopie non autorise est un dlit.18. Roemer na pas calcul la vitesse de la lumire ; il sest content de montrer quelle est finie.Le calcul explicite de cette vitesse a t fait par son lve Horrebow.Chapitre 2Transformations de LorentzspcialesManifestement, continua l'Explorateur du Temps, tout corps rel doit s'tendredans quatre dimensions. Il doit avoir Longueur, Largeur, paisseur et Dure.Herbert George WELLS (1895)2.1 TRANSFORMATIONS DE LORENTZDans le premier chapitre, nous avons vu que les transformations de Galile doiventtre remplaces par de nouvelles transformations qui, en particulier, laissent inva-riante lquation de propagation des ondes lectromagntiques. Ces transformationssont appeles transformations de Lorentz.Avantdedterminerlaformedecestransformations,nousallonsreparlerduconcept dvnement, notion centrale dans la thorie de la relativit restreinte. Nousallonsgalementnousassurerdelapossibilitdedfiniruntempscommunpourtoutes les horloges immobiles dun mme rfrentiel dinertie.2.1.1 Notion dvnementUnvnement estunphnomnephysiquesuppos infiniment localisdanslespaceetdansletemps,sontenduetantrduiteunpointetsadureuninstantinfinimentcourt.Dansunrfrentieldonn,unvnementseracomplte-ment caractris par ses trois coordonnes spatiales (x,y,z) et le temps t , indiqupar une horloge immobile de ce rfrentiel au moment o se produit cet vnement.Un vnement peut donc tre reprsent par un point dun espace quatre dimen-sions,appelespace-temps1.Sescoordonnessont(t,x,y,z) ou(ct,x,y,z),lacoordonne temporelle ayant dans cette dernire notation la mme dimension quelescoordonnesspatiales.Remarquonsquesiunvnementapourcoordonnes(t,x,y,z) dans un rfrentiel dinertie R et pour coordonnes (t

,x

,y

,z

) dans unautre rfrentiel dinertie R

, alors on peut faire correspondre cet vnement lescoordonnes respectives (ct,x,y,z) et (ct

,x

,y

,z

) car la vitesse de la lumire estla mme dans tous les rfrentiels dinertie.Danslasuite,lestroiscoordonnesspatialesseronttoujoursrapportesunreprecartsienorthonorm(voirannexeDpourdautrespossibilits).Loriginespatiale dun rfrentiel dsignera le point de lespace (x = 0, y = 0, z = 0) uninstantquelconque.Lepointdelespace-tempsquiapourcoordonnes(t = 0, x = 0, y = 0, z = 0) seraappeloriginespatiotemporelle durepre.Cesdeux origines seront indiffremment notesO.2.1.2 Mesures des positions et des temps, synchronisationdes horlogesDans un rfrentiel dinertie R, les coordonnes spatiotemporelles dun vnementsont mesures localement par un observateur, muni de son horloge, au repos dansce rfrentiel : il enregistre la concidence entre lvnement qui se produit l o ilse trouve et le temps marqu par son horloge (voir section 1.1.2). Le deuxime pos-tulat permet de dfinir lunit de longueur partir de lunit de temps. Lobservateurpeut mesurer, par exemple, la distance qui le spare de lorigine spatialeO de sonrfrentiel en faisant rflchir un signal lumineux sur un miroir plac en O. La dis-tance est le produit par c/2 du temps coul entre lmission du signal et la rcep-tion du signal rflchi.On voit quil est loisible de fabriquer une rgle simplement par des mesuresdetemps,encochantsurunbtonsolideetimmobiledanslerfrentielR despointscorrespondantdesmultiplesduntempsdonn,choisicommeunit.Ceprotocole de construction dune rgle est loin dtre artificiel. Rappelons que notreunit de longueur, le mtre, est dfinie partir de lunit de temps, via linvariancede la vitesse de la lumire dans le vide (voir section 1.7). Il existe de trs nombreuxcas pour lesquels une mesure de longueur se dduit dune mesure de temps : ce sontles situations o le transport dune rgle physique savre matriellement impossi-ble. Un exemple difiant est celui de la mesure de la distance Terre-Lune obtenuepar le temps sparant lmission et la rception, aprs rflexion sur le sol lunaire,dun signal lectromagntique2.2.1 Transformations de Lorentz 27 Dunod. La photocopie non autorise est un dlit.1. On parle aussi de continuum spatiotemporel ou continuum espace-temps, un continuum dsi-gnant, en physique, un ensemble dlments de mme nature.2.Voir,parexemple,larticledeKennethNordtvedt, LaLuneausecoursdEinstein ,LaRecherche, n 295, fvrier 1997, p. 70-76.DanscerfrentielR,onpeutsynchronisertoutesleshorlogesquiysontaurepos. En effet, puisque la vitesse de la lumire est une constante universelle, il suf-fit de placer au milieu du segment de droite qui joint deux horloges une source qui, un instant quelconque, envoie un signal lumineux dans toutes les directions ; lesdeux horloges considres sont synchronises si elles indiquent le mme temps larception de ce signal, puisque la vitesse de la lumire est identique dans toutes lesdirections3(voirfigure2.1).Ceprotocoledesynchronisationpermetdviterledplacement des horloges, empchant ainsi le phnomne de dilatation des tempsdaffecter la marche de ces horloges (voir section 1.5).28 2Transformations de Lorentz spciales3. Dautres procdures de synchronisation des horloges peuvent tre utilises : voir, par exemple,lelivredeM.Ludvigsen,p. 23(biblio),oularticledeN.DavidMermin, Relativitywithoutlight , American Journal of Physics, vol. 52, n 2, February 1984, p. 119-124.Figure 2.1 Synchronisation de deux horloges au repos dans un rfrentiel dinertieau moyen de signaux lumineux.Leprocessusdesynchronisationest,defait,bassurlapropritqueletempsscouledelammefaonpourtoutesleshorloges,supposesparfaitesetiden-tiques,immobileslesunesparrapportauxautresdansunrfrentieldinertie.Lhorloge,situeparexempleloriginespatiale,peutservirderfrentpourlasynchronisation de toutes les horloges de notre cristal dhorloges par le proto-cole prcdent ou un autre protocole quivalent (voir exercice 2.1). Il nest pas dif-ficile de montrer que, si toutes les horloges sont synchronises sur lhorloge de rf-rence,ellessontsynchronisesentreelles.Mathmatiquement,larelation tresynchronise est une relation dquivalence. La classe dquivalence de cette rela-tion est dsigne simplement comme le temps dans le rfrentiel R .Les mesures de temps et de distances peuvent seffectuer suivant les mmes prin-cipes dans un autre rfrentiel dinertie R

. Le premier postulat garantit en effet quetous les observateurs inertiels peuvent construire des horloges quivalentes basessurlemmetalondefrquence(voirsection1.7).Deplus,ilassurequelaphy-sique ne dpend pas du choix de ce standard. On peut galement synchroniser tou-tes les horloges au repos dans cet autre rfrentiel dinertie. Toutefois nous avonsvuquilfallaitabandonnerlanotiondetemps absolu.Celasignifiequeletempsindiquparleshorlogesaureposdanslerfrentiel R

nepourraengnralplustre pris identique au temps indiqu par les horloges au repos dans le rfrentiel R.2.1 Transformations de Lorentz 29 Dunod. La photocopie non autorise est un dlit.Figure 2.2 Propagation dun front donde lumineux sphrique.yyz zxxt > 0t = 0ct2.1.3 Transformations homognesLa vitesse de la lumire dans le vide est indpendante des mouvements de la sourceet du rcepteur. Considrons un observateur immobile dans un rfrentiel dinertieR.Lespositionsetlestempsmesursparcetobservateursontnotsx,y,z ett .Supposons quune source lumineuse ponctuelle, situe sur lorigine spatialeO durfrentielR,mettelinstantt = 0 uneimpulsionlumineusedanstouteslesdirections. un instant ultrieur t , lquation du front donde sphrique de rayon Rest donne parR =

x2+ y2+ z2= ct (voir figure 2.2), ce qui peut scrire x2+ y2+ z2= c2t2. (2.1)Considrons un autre rfrentiel dinertie R

, anim dune vitesse

V par rapport R, dans lequel un observateur note ses mesures de positions et de temps par x

,y

,z

et t

. Pour simplifier, nous allons galement supposer que les origines spatiales Oet O

des deux rfrentiels concident en t = t

= 0. Autrement dit, le front dondelumineux sphrique est mis linstant zro depuis lorigine spatiale dans les deuxrfrentiels. Pour lobservateur du rfrentiel R

, lquation du front donde sph-rique de rayonR

est donc donne parR

=

x

2+ y2+ z2= ct

, cest--dire x

2+ y

2+ z

2= c2t

2, (2.2)car la vitesse de la lumire c est la mme dans les deux rfrentiels.LestransformationsdeLorentzsetrouventainsidfiniescommeleschange-ments de coordonnest = t (t

,x

,y

,z

),x = x(t

,x

,y

,z

),y = y(t

,x

,y

,z

),z = z(t

,x

,y

,z

),(2.3)telsquelquationdumouvement(2.1)esttransformeenlquationdumouve-ment (2.2), cest--dire quec2t2 x2 y2 z2= 0 c2t

2 x

2 y

2 z

2= 0. (2.4)Nous allons maintenant supposer que lespace et le temps sont homognes, cest--dire quil nexiste pas dorigine spatiotemporelle absolue. Cela entrane la linaritdelatransformation.Eneffet,regardonsdesvnementscaractrissparx

= y

= z

= 0.Imaginonsquaulieudunerelationlinairedutypet = A t

,nousayonsunerelationdugenret = S t

2,oS estuneconstante.Troisvne-ments se produisant cet endroit dans le rfrentiel R

, des instants t

= 1, 2 et 3secondes, se produisent des instants t = 1S, 4S et 9S secondes dans le rfrentielR. Ces vnements ne sont pas galement espacs dans le temps pour un observa-teur de ce rfrentiel. Supposons maintenant que lorigine spatiotemporelle du rf-rentiel R

soit dplace sur le premier vnement. Dans ce cas, les trois vnementsapparaissent aux temps t

= 0, 1 et 2 secondes dans le rfrentiel R

, ce qui se tra-duit par des instants t = 0, 1S et 4S secondes dans le rfrentiel R. Les intervallesde temps entre les mmes vnements sont donc modifis dans ce rfrentiel. Celanepeutlogiquementrsulterdunsimplechoixdoriginespatiotemporelle.Onobtientunrsultatsimilairepourunetransformationquelconquesurlestemps,sielle est non linaire. On en conclut donc que les transformations de Lorentz doiventtrelinaires,aussibienpourlespacequepourletemps(voirsection6.2.2pourune dmonstration rigoureuse).Onvrifieaismentquelquivalence(2.4)nepeutpastresatisfaitepourunetransformation de Galile. Lquivalence recherche peut scrirec2t

2 x

2 y

2 z

2= (c2t2 x2 y2 z2). (2.5)La transformation tant linaire, le coefficient ne peut dpendre que du param-tre caractrisant la transformation, savoir

V. Nous allons maintenant faire lhypo-thse supplmentaire que lespace est isotrope. Dans ce cas, le coefficient ne peut dpendre que du module de

V et non de son orientation. De plus, si nous consid-rons trois rfrentiels R1, R2et R3, tels que

V12caractrise la transformation desrfrentielsR1versR2,que

V23caractriselatransformationdesrfrentielsR2versR3etque

V13caractriselatransformationdesrfrentielsR1versR3,onsattend avoir(|

V13|) = (|

V12|)(|

V23|). (2.6)Puisque |

V13| ne dpend pas seulement de |

V12| et |

V23|, mais aussi de langle entre

V12et

V23, est ncessairement une constante. En vertu de la relation (2.6), on adonc = 1, ce qui impliquec2t

2 x

2 y

2 z

2= c2t2 x2 y2 z2. (2.7)30 2Transformations de Lorentz spcialesCes transformations sont dites homognes : elles sont telles que les repres spatiauxet la synchronisation des horloges dans chacun des rfrentiels R et R

sont choisisde sorte quex = y = z = ct = 0 x

= y

= z

= ct

= 0. (2.8)Autrementdit,lesoriginesdesrepresspatiauxdanslesdeuxrfrentielsconci-dent au moment o les horloges synchronises de ces deux laboratoires marquenttoutes linstant zro. 2.1 Transformations de Lorentz 31 Dunod. La photocopie non autorise est un dlit.Dans un rfrentiel dinertie, t tant la coordonne temporelle, (x,y,z) les coor-donnesdunreprecartsienorthonormetc lavitessedelalumiredanslevide, les transformations de Lorentz homognes sont les transformations linairesqui laissent invariante la forme quadratique c2t2 x2 y2 z2. LestransformationsdeLorentzlesplussimplesquelonpuisseraliserneconcernent que deux des quatre coordonnes despace-temps. Une premire famillecomprend les transformations qui mlangent une coordonne despace avec lacoordonne temporelle. Il sagit de rotations despace-temps :y = y

, z = z

et (x,t ) (x

,t

) tel que c2t2 x2= c2t

2 x

2,x = x

, z = z

et (y,t ) (y

,t

) tel que c2t2 y2= c2t

2 y

2,x = x

, y = y

et (z,t ) (z

,t

) tel que c2t2 z2= c2t

2 z

2.(2.9)Comme nous le verrons dans la section suivante, chacune des trois transformations(2.9) dpend dun paramtre sans dimension qui est le rapport entre la vitesse rela-tive V des deux rfrentiels dinertie et la vitesse de la lumire.Une autre famille de transformations, qui satisfait la condition (2.7), consiste entrois rotations spatiales deux dimensions :t = t

, z = z

et (x,y) (x

,y

) tel que x2+ y2= x

2+ y

2,t = t

, y = y

et (x,z) (x

,z

) tel que x2+ z2= x

2+ z

2,t = t

, x = x

et (y,z) (y

,z

) tel que y2+ z2= y

2+ z

2.(2.10)Chacune de ces trois rotations dpend dun seul paramtre qui est langle de rota-tion.Unerotationquelconquetroisdimensionsestdonccaractrisepartroisangles de rotation, par exemple les angles dEuler4. Nous reparlerons des rotationsdans le chapitre 7.Les rotations et les rotations despace-temps sont des transformations continuesen ce sens quelles dpendent de paramtres que lon peut faire varier continment.Notons enfin que les transformations discrtes suivantes sont galement des trans-formations de Lorentz :4. Voir, par exemple, louvrage de H. Goldstein, C. Poole et J. Safko, p. 150 (biblio).t t renversement du temps (2.11)(x,y,z) (x,y,z) rflexion despace (parit). (2.12)2.1.4 Transformations spcialesDterminonsmaintenantlaformeexplicitedunerotationdespace-temps.Pourcela, nous allons considrer une situation physique particulire.Deux rfrentiels dinertie R et R

sont unis par une transformation de Lorentzspciale si ces deux rfrentiels sont dans la situation particulire o leurs axes sontparallles deux deux et leur mouvement relatif est parallle un des axes. De plus,lesoriginesspatialesO etO

desdeuxrfrentielsconcidenten t = t

= 0.Unetelle configuration est illustre sur la figure 2.3. Dans la suite de cette section, noussupposerons que, dans le rfrentiel R, les composantes de la vitesse du rfrentielR

sont donnes parVx = V, Vy = Vz = 0. (2.13)Nous devons chercher la transformation de Lorentz qui correspond cette situationphysique.Soient(t,x,y,z) et(t

,x

,y

,z

) lescoordonnesspatiotemporellesdunmme vnementdanslesdeuxrfrentielsdinertieR etR

.Danslecasdunetransformation de Galile, nous avonst = t

,x = x

+ V t

,y = y

,z = z

.(2.14)Pour une transformation spciale de Lorentz nous allons supposer, par analogie eten imposant la linarit de la transformation, que les relations (2.3) se rduisent ct = A ct

+ B x

,x = C ct

+ D x

,y = y

,z = z

.(2.15)Dans ces expressions, le temps nest plus considr comme absolu : nous avons vudanslasection1.5queladuredunphnomnedpendaitdelobservateur.Lhypothse que dans une transformation spciale de Lorentz le long de laxeOxles coordonnesy etz demeurent inchanges parat assez naturelle et sera pleine-ment justifie dans les sections 4.2 et 6.2.3. Nous savons que la grandeur c va jouerun rle particulier; elle est donc introduite au niveau de la coordonne temporelle(voir section 2.1.1).32 2Transformations de Lorentz spcialesLes coefficients sans dimension A,B,C etD dans les relations (2.15) peuventtredterminsparlacondition(2.7).LidentificationtermetermefournitlesconditionsA2C2= 1,B2 D2= 1,A B C D = 0.Nous avons ici trois quations pour quatre inconnues. La solution dpend donc dunparamtre. Il ne peut en tre autrement car la transformation entre les deux rfren-tiels dpend de leur vitesse relative V. La relation (2.16) est satisfaite si on pose A = cosh et C = sinh . (2.19)De mme, la relation (2.17) est satisfaite si on poseD = cosh et B = sinh . (2.20)Finalement la condition (2.18) entranesinh( ) = 0, (2.21)dont lunique solution est = . Les relations de transformation sont donc donnesparct = cosh ct

+sinh x

,x = sinh ct

+cosh x

,y = y

,z = z

.(2.22)2.1 Transformations de Lorentz 33 Dunod. La photocopie non autorise est un dlit.Figure 2.3 Rfrentiels dinertie unis par une transformation spciale de Lorentz.yyz zO Ox xVPRR(2.16)(2.17)(2.18)Remarquons que ces relations sinversent en changeant le signe de .Ilfautmaintenantdterminerlelienexistantentreleparamtre etlavitesserelative V des deux rfrentiels. Pour cela, considrons lorigine spatiale O

du rf-rentiel R

. Les coordonnes spatiotemporelles de ce point dans le rfrentiel R

sont(ct

,0,0,0) o t

est un instant arbitraire. Dans le rfrentiel R, lquation du mou-vement de O

est x = V t, puisque O

se dplace la vitesse constante V le long delaxe Ox dans ce rfrentiel, et puisque les origines spatiales des deux repres con-cident pour t = t

= 0. On en conclut que les coordonnes spatiotemporelles de O

sont (ct,V t,0,0) dans R. Donc, en utilisant les relations (2.22), on obtient ct = cosh ct

et V t = sinh ct

. (2.23)On en dduit queVc= tanh , (2.24)ce qui implique quecosh =1

1 V2/c2et sinh =V/c

1 V2/c2 . (2.25)Le signe de cosh est choisi de sorte queV = 0 implique t = t

, ce qui revient identifierlatransformationdeLorentzlatransformationdeGalileauxfaiblesvitesses. Le paramtre sans dimension est appel rapidit ou pseudo-vitesse.Il est commode dutiliser les deux paramtres sans dimension suivants =Vcet =1

1 2 . (2.26)On tablit immdiatement que22= 21. (2.27)Avec les conventions (2.26), on a cosh = , sinh = et tanh = . Les trans-formations de Lorentz spciales scrivent alorsct = (ct

+x

),x = (x

+ct

),y = y

,z = z

.(2.28)Lestransformationsci-dessusrelientdonclescoordonnesspatiotemporelles(ct,x,y,z) dun vnementE dans le rfrentiel dinertie R aux coordonnes spa-tiotemporelles (ct

,x

,y

,z

) du mme vnement E dans le rfrentiel dinertie R

.34 2Transformations de Lorentz spcialesCes deux rfrentiels se prsentent comme indiqu sur la figure 2.3. Bien que cestransformationsaientttabliesentudiantlephnomnetrsparticulierdelapropagation dun front donde lumineux5, nous verrons dans la section 6.2 que cestransformations sont les seules possibles, et quelles peuvent sappliquer tout v-nement, quelle que soit sa nature physique.La forme (2.28) de la transformation de Lorentz spciale a t obtenue laidede deux vnements, dont lun est lorigine spatiotemporelle. Cette condition nestpas ncessaire. On peut choisir deux vnements quelconquesE1de coordonnes(ct1,x1,y1,z1)etE2decoordonnes(ct2,x2,y2,z2)danslerfrentielR,etdesquantits primes correspondantes dans le rfrentiel R

. Il est facile de vrifier quela transformation (2.28) laisse invariante la grandeur suivante, relie lintervalledespace-temps entre les deux vnementsE1etE2,s2= c2(t2t1)2(x1 x2)2(y1 y2)2(z1 z2)2= c2(t

2t

1)2(x

1 x

2)2(y

1 y

2)2(z

1 z

2)2.(2.29)Nous reviendrons abondamment sur cette proprit dans les chapitres suivants.Les relations (2.28) mettent clairement en vidence la symtrie qui existe, dunepart entre le temps et lespace, dautre part entre les deux rfrentiels. Pour inverserces relations, il suffit de remplacerV par V (ou par ). Cela implique doncquelavitesserelativedurfrentielR vuedurfrentielR

estcaractriseparV

x = V et V

y = V

z = 0, ce qui semble assez naturel (voir exercice 1.5). Les qua-tions de transformation de Lorentz inverses sont doncct

= (ct x),x

= (x ct ),y

= y,z

= z.(2.30)LagrandeurV/c estleparamtresansdimensionquicaractriselarotationdespace-temps (x,t ) (x

,t

).Laformedesautresrotationsdespace-temps lmentaires possiblessobtientenpermutantlerledex ety,oudex etz.NousdiscuteronslecasdunetransformationgnraleavecVx =/ 0,Vy =/ 0 etVz =/ 0 dans la section 7.2.2.1 Transformations de Lorentz 35 Dunod. La photocopie non autorise est un dlit.5. Il existe plusieurs manires dtablir la forme des transformations de Lorentz au moyen de ceshypothses.Onpeutconsultercesujet,parexemple,louvragedeJ.-L.Bobin(biblio).Signalons galement la mthode originale propose dans le livre de M. Ludvigsen (biblio). Unetape de la dmonstration est lintroduction du coefficientK =

1+1, appel facteur de Bondi.On a alors 2 = K + K1et 2 = K K1.La prsence du facteur = 1/

1 V2/c2dans les transformations de Lorentzimplique que |V| < c, cest--dire que la vitesse relative de deux rfrentiels iner-tiels ne peut ni atteindre ni excder la vitesse de la lumire dans le vide. Une par-ticule estditematrielle silesttoujourspossiblededfinir,aumoinsinstantan-ment, un rfrentiel inertiel dans lequel cette particule est au repos. Cela impliquedonc que la vitesse dune telle particule ne peut ni atteindre ni dpasser la valeur cparrapportunrfrentieldinertiequelconque6.Soulignonsgalementquelorsque la vitesse dune particule est voisine de c les effets relativistes deviennenttrs importants, comme lillustre la figure 2.4 o et sont reprsents en fonc-tion de . Un corollaire cette