representasi operator pada ruang barisan …digilib.unila.ac.id/25214/20/skripsi tanpa bab...

REPRESENTASI OPERATOR PADA RUANG BARISAN TERBATAS

( Skripsi )

Oleh

ANGGER PAMBUDHI

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG2017

ABSTRACT

REPRESENTATION OF OPERATOR IN FINITE SEQUENCE SPACE

by

Angger Pambudhi

The mapping of vector space especially on norm space is called operator. There

are many cases in linear operator from sequence space into sequence space can be

represented by an infinite matrices. For example, a matrices where

[

] and { ( ) |(∑ | |

)

} is a sequence real

numbers. Furthermore, it can be constructed an operator A from sequence space to

sequence space by using a standard basis ( ) and it can be proven that the

collection all the operators become Banach space.

Key Words : Operator, finite sequence space

ABSTRAK


Oleh

Angger Pambudhi

Suatu pemetaan pda ruang vector khususnya ruang bernorma disebut operator.

Banyak kasus pada operator linear dari ruang barisan dapat diwakili oleh suatu

matriks tak hingga. Sebagai contoh, suatu matriks dengan

[

] dan { ( ) |(∑ | |

)

} merupakan barisan bilangan

real. Selanjutnya, dikonstruksikan operator A dari ruang barisan ke ruang barisan

dengan basis standar * + dan ditunjukkan bawa koleksi semua operator

membentuk ruang Banach.

Kata Kunci : Operator, ruang barisan terbatas


Oleh

ANGGER PAMBUDHI

Skripsi

Sebagai salah satu syarat untuk mencapai gelarSARJANA SAINS

Pada

Jurusan MatematikaFakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG2017

RIWAYAT HIDUP

Penulis bernama Angger Pambudhi, Dilahirkan di Metro, pada tanggal 28

Februari 1994, sebagai anak pertama dari empat bersaudara pasangan Bapak

Prayitno dan Ibu Ponisri.

Menempuh pendidikan awal Taman Kanak-kanak di TK Aisiyah Metro Pusat

tamat pada tahun 2000, Sekolah Dasar (SD) di SD Negeri 7 Metro Pusat tamat

pada tahun 2006, Sekolah Menengah Pertama (SMP) di SMPN 2 Metro tamat

pada tahun 2009, dan Sekolah Menengah Atas (SMA) di SMA Muhammadiyah 1

Metro tamat pada tahun 2012. Pada tahun 2012 penulis diterima sebagai

Mahasiswa Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan

Alam Universitas Lampung, melalui jalur tertulis atau SNMPTN.

Pada saat duduk di bangku kuliah, penulis mengikuti organisasi di dalam kampus.

Penulis aktif di Himpunan Mahasiswa Matematika (HIMATIKA) sebagai

Anggota Biro Dana dan Usaha (tahun 2012/2013), sebagai Anggota Biro Dana

dan Usaha (tahun 2013/2014).

Sebagai salah satu mata kuliah wajib, penulis juga pernah mengikuti Kuliah

Praktek (KP) di Badan Perencanaan Pembangunan Daerah (BAPPEDA) provinsi

Lampung pada tanggal 26 Januari sampai dengan 13 Februari 2015.

Selanjutnya bulan januari-maret 2016 melaksanakan Kuliah Kerja Nyata (KKN)

di Karang Agung, Kecamatan Semaka, Kabupaten Tanggamus.

MOTTO

“Winning isn’t everything, even if you win everything”

(Leo Messi)

“Realisasikan perkataan dengan perbuatan”

(Angger Pambudhi)

PERSEMBAHAN

Teriring do’a dan rasa syukur kepada Allah SWT, ku persembahkan karya kecil inisebagai rasa sayang dan terimakasih ku kepada:

Orang Tua Tercinta

Bapak Prayitno dan ibu Ponisriatas limpahan kasih sayang, do’a dan tetesan keringat dalam merawat dan

menyekolahkanku selama ini demi keberhasilanku

Adik Tercinta

Rani Prambandari, Adel Lia dan Ma’ruf Zakaria yang selalu memberikan semangatdan dukungan

Serta Keluarga Besarku.

Para Pendidikku, Dosen Dan Guru-Guruku Yang Telah Memberikan Ilmu Kepadaku

Teman-teman seperjuangan angkatan 2012

Almamater tercinta.

SANWACANA

Syukur Alhamdulillah penulis panjatkan kehadirat Allah SWT karena atas berkat

rahmat dan hidayah-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan judul

“Representasi Operator Pada Ruang Barisan Terbatas ” sebagai salah satu

syarat meraih gelar sarjana pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan

Alam Universitas Lampung.

Terima kasih yang setulus-tulusnya penulis ucapkan kepada:

1. Bapak Dr. Muslim Ansori, S.Si., M.Sc., selaku Dosen Pembimbing I yang

selalu mengarahkan, membimbing dan memotivasi penulis dalam

menyelesaikan skripsi ini.

2. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D, selaku Pembimbing Akademik

sekaligus Dosen Pembimbing II yang selalu sabar membimbing dan

mengarahkan dalam penyelesaian skripsi ini.

3. Bapak Agus Sutrisno, S.Si, M.Si, selaku Dosen Pembahas yang telah

memberikan saran dan nasehatnya dalam menyelesaikan skripsi ini

4. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung

5. Bapak Prof. Warsito, S.Si., D.E.A., Ph.D., selaku Dekan FMIPA Universitas

Lampung.

6. Seluruh dosen dan Tenaga Pendidikan Jurusan Matematika yang telah

memberikan ilmu dan bantuan yang berguna bagi penulis.

7. Bapak dan Ibu yang senantiasa dengan tulus menyayangi, mendoakan dan

memotivasiku dalam menggapai cita-citaku.

8. Adik Rani, Adel, Zaka dan keluarga besarku yang telah memberikan

dorongan, semangat dan motivasi kepada penulis.

9. Rara Berthania, yang dengan tulus memberikan bantuan selama penulis

menyelesaikan studi.

10. Rekan dan sahabat-sahabatku di Matematika: Pras, Candra, Danar, Topik,

Anwar, Rendi, Ernia, Dwi, Anggi, Yanti, Imah, Elva, Putri, Selvi, Riyama,

Maya dan teman-teman angkatan 2012 yang tidak bias disebutkan satu-satu

terima kasih atas kebaikan dan motivasinya selama ini.

11. Keluarga besar HIMATIKA yang telah banyak memberikan motivasi dan

kenangan selama di kampus.

Bandar Lampung, Januari 2017Penulis

Angger Pambudhi

DAFTAR ISI

Halaman

I. PENDAHULUAN

1.1. LatarBelakangMasalah ........................................................................ 1

1.2. TujuanPenelitian ................................................................................ 2

1.3. ManfaatPenelitian ............................................................................ 2

II.TINJAUANPUSTAKA 2.1. Operator ................................................................................. 3

2.2. RuangMatriks .................................................................................. 11

2.3. RuangVektor ................................................................................... 13

2.4. RuangBernorma ................................................................................. 14

2.5. RuangBanach ..................................................................................... 15

2.6. Barisan ................................................................................... 15

2.7. Basis ................................................................................................... 21

III. METODE PENELITIAN

3.1. WaktudanTempatPenelitian ............................................................... 23

3.2. MetodePenelitian ..................................................................... 23

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN

V . KESIMPULAN

DAFTAR PUSTAKA

1

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Salah satu kajian tentang operator, dalam hal ini operator linear, merupakan suatu

operator yang bekerja pada ruang barisan. Banyak kasus pada operator linear dari

ruang barisan ke ruang barisan dapat diwakili oleh suatu matriks tak hingga.

Matriks tak hingga yaitu suatu matriks berukuran tak hingga kali tak hingga.

Sebagai contoh, suatu matriks dengan [

] dan

{ ( ) |(∑ | |

)

} merupakan barisan bilangan real.

Jika ( ) maka

( ) [

] [ ]

[

]

[ ∑

∑

]

2

Sehingga timbul permasalahan, syarat apa yang harus dipenuhi supaya ( ) .

Oleh karena itu, penelitian akan difokuskan pada permasalahan tersebut.

1.2 Tujuan Penelitian

Adapun tujuan penelitian ini diantaranya :

1. Mengkaji ruang barisan terbatas .

2. Mempelajari sifat-sifat operator linear yang bekerja pada ruang barisan

terbatas .

3. Mencari representasi operator linear pada ruang barisan terbatas .

1.3 Manfaat Penelitian

Adapun manfaat Penelitian tentang representasi operator linear pada ruang barisan

ini, diantaranya :

1. Memahami sifat dari operator linear.

2. Memahami masalah operator linear pada ruang barisan terbatas .

3. Mengetahui aplikasi dari operator linear pada ruang barisan terbatas .

4. Dapat memberi ide bagi penulis lain yang ingin meneliti lebih lanjut

tentang operator.

3

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Operator

Definisi 2.1.1 (Kreyszig, 1989)

Suatu pemetaan pada ruang vektor khususnya ruang bernorma disebut operator.


Diberikan ruang Bernorm X dan Y atas field yang sama.

a. Pemetaan dari X dan Y disebut operator.

b. Operator A : X Y dikatakan linear jika untuk setiap X dan setiap

skalar berlaku A( x) = Ax dan A( x + y) = Ax + Ay.


Diberikan ( ‖ ‖) dan ( ‖ ‖) masing-masing ruang bernorm.

a. Operaror A : X → Y dikatakan terbatas jika ada bilangan M R dengan

M ≥ 0 sehingga untuk setiap berlaku ‖ ‖ ‖ ‖.

b. Operator A dikatakan kontinu di jika diberikan bilangan ada

bilangan sehingga untuk setiap dengan ‖ ‖

berlaku ‖ ‖ .

c. Jika A kontinu di setiap , A disebut kontinu pada X.

4

Teorema 2.1.4 (Ruckle, 1991)

Jika X dan Y masing-masing ruang Bernorm atas field yang sama maka lc(X, Y)

merupakan ruang linear.

Bukti :

Diambil sebarang ( ) dan sebarang untuk setiap

diperoleh

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

Jadi, ( ) merupakan operator linear.

Karena A dan B terbatas maka ada bilangan real M1, M2 ≥ 0 sehingga,

‖( ) ‖ = ‖ ‖

≤ ‖ ‖ ‖ ‖

= | |‖ ‖ | |‖ ‖

≤ | | ‖ ‖ | | ‖ ‖

= (| | | | )‖ ‖

5

Dengan demikian, terbatas (kontinu).

Jadi ( )

Telah dibuktikan bahwa untuk setiap ( ) dan sebarang skalar

berlaku ( ). Jadi ( ) linear.

Teorema 2.1.5 (Maddox, 1970)

Jika Y ruang Banach maka (( ) ) ruang Banach.

Bukti :

Diambil sebarang barisan Cauchy * + (( ) ‖ ‖).

Jadi untuk setiap bilangan terdapat sehingga jika dengan

berlaku ‖ ‖ .

Misal, untuk setiap dan diperoleh

‖ ‖ = ‖( ) ‖

≤ ‖ ‖‖ ‖ ‖ ‖

Jelas untuk setiap bilangan (dapat dipilh bilangan sehingga

ada sehingga untuk setiap dengan berlaku

‖ ‖ ‖ ‖ .

Dengan demikian diperoleh barisan Cauchy * + dan Y lengkap, dengan

kata lain * + konvergen ke

Jadi, dan x menentukan suatu operator A sehingga .

6

Proses di atas dapat diulang untuk tetap, dengan . Jadi diperoleh

dan z menentukan suatu operator A sehingga .

Untuk setiap skalar a dan b, diperoleh ,

( ) dan menentukan suatu operator A

sehingga ( ) .

Jadi ( ) ( )

( )

=

=

=

=

Jadi operator A bersifat linear.

Untuk diperoleh

‖( ) ‖ = ‖ ‖

= ‖( )‖

= ‖( ) ‖ ‖ ‖

Jadi operator ( ) dengan bersifat linear terbatas.

7

Karena dan masing-masing terbatas, serta ( ) maka

A terbatas (kontinu).

Jadi (( ) ‖ ‖) dengan kata lain (( ) ‖ ‖) ruang Banach.


Diberikan ruang Bernorm X dengan field .

a. Pemetaan disebut fungsi.

b. Himpunan semua fungsi linear kontinu pada X disebut ruang dual X,

biasanya ditulis ( ).

Teorema 2.1.7 (Ruckle, 1991)

Misal X dan Y ruang BK (Banach lengkap). Jika A matriks tak hingga yang

memetakan X ke Y maka A kontinu.

Bukti :

Misal A = ( )

X = ( )

y = ( ) dapat dinyatakan

∑

Mendefinisikan suatu fungsi linear kontinu pada X. Jelas bahwa untuk setiap :

8

( ) ∑

Misal ( ), ( ) dan

( ) ∑

( ) ∑

( ) ( ) ( ) ∑

∑

∑( )

∑ ( )

∑ ( )

( )

( )( )( ) ∑ ( )

∑ ( )

∑

9

( ( ))

Berdasarkan (i) dan (ii) terbukti merupakan fungsi linear pada X.

Selanjutnya akan ditunjukkan kontinu pada X.

Hal ini sama saja membuktikan terbatas pada X.

Diketahui X ruang BK maka terdapat M > 0 sehingga | ( )| | |

Oleh karena itu :

| ( )| |∑

|

∑| || |

∑| |

Berdasarkan pembuktian di atas, mendefinisikan fungsi linear kontinu pada x

( ) ( )

Maka f juga kontinu pada x.

Karena y ruang BK diperoleh

∑

( )

Atau

10

( ) [

]

[ ( )

( )

( )

]

(

∑

( )

∑ ( )

)

[ ]

∑

( )

( ( ))

( )

( )

Jika y = Ax maka bukti lengkap

Definisi 2.1.8 (Berberian, 1996)

a. Matriks takhingga ( ) adalah matriks dengan dan elemen

pada baris dan kolom sebanyak takhingga.

b. Jika ( ) dan ( ) masing-masing matriks takhingga dan

skalar maka ( ) ( ) dan (∑ )

dengan ∑ , (Cooke, 1955)

11

Definisi 2.1.9 (Fuhrmann, 1987)

Diketahui suatu operator ( ) maka ( ) disebut operator

adjoint operator T jika untuk setiap dan berlaku ( )

( ).

2.2 Ruang Metrik

Ruang metrik merupakan ruang abstrak, yaitu ruang yang dibangun oleh

aksioma-aksioma tertentu. Ruang metrik merupakan hal yang fundamental

dalam analisis fungsional, sebab memegang peranan yang sama dengan jarak

pada real line R.


Misal X adalah himpunan tak kosong, suatu metriks di X adalah suatu fungsi

, ), sehingga untuk setiap pasangan ( ) berlaku :

i. ( ) untuk setiap

ii. ( ) jika dan hanya jika x = y

iii. ( ) ( ) untuk setiap (sifat simetri)

iv. ( ) ( ) ( ) untuk setiap (ketidaksamaan

segitiga)

Selanjutnya pasangan (X, d) dengan d adalah metrik pada X disebut ruang metrik.

Setiap anggota X disebut titik dan nilai d(x,y) disebut jarak(distance) dari titik x ke

titik y atau jarak antara titik x dan titik y.

12


Suatu barisan (xn) dalam ruang metrik (X, d) dikatakan barisan Cauchy jika untuk

setiap bilangan terdapat bilangan asli ( ) sehingga ( )

untuk setiap . Ruang X dikatakan X dikatakan lengkap jika setiap

barisan Cauchy di dalamnya konvergen.

Definisi 2.2.3 (Maddox, 1970)

Suatu ruang metrik (X, d) dikatakan lengkap jika dan hanya jika setiap barisan

Cauchy di dalamnya konvergen. Dengan kata lain jika ( ) ( )

maka terdapat seningga ( ) ( ).

Definisi 2.2.4 (Beberian, 1996)

Misal (X,d) adalah suatu ruang metrik. Suatu barisan ( ) dikatakan

konvergen jika terdapat suatu titik sehingga ( ) untuk

(yaitu untuk setiap ( ) ). Titik x adalah unik sebab jika ( )

maka ( ) ( ) ( ) menunjukkan bahwa x = y. Dapat

dikatakan xn konvergen ke limit x (dalam X) sehingga dapat ditulis

Lemma 2.2.5 (Kreyszig, 1989)

Jika X = (X,d) adalah ruang metrik, maka :

i. Suatu barisan konvergen di X adalah terbatas dan limitnya adalah unik.

ii. Jika dan di X, maka ( ) ( ).

13

Teorema 2.2.6 (Parzynsky dan Zipse, 1987)

Setiap barisan Cauchy adalah terbatas.

Bukti :

Jika {an} barisan Cauchy maka untuk ada bilangan asli N sehingga

| | dimana n, m > N. Perhatikan bahwa untuk maka | |

| | | | | | | | untuk setiap n > N. Jika

(| | | | | | | |) jelas | | untuk setiap bilangan asli N

sehingga barisan {an} terbatas.

2.3 Ruang Vektor


Ruang vektor adalah suatu himpunan tak kosong X yang dilengkapi dengan fungsi

penjumlahan ( ) dan fungsi perkalian skalar ( )

sehingga untuk setiap skalar dengan elemen berlaku :

i.

ii. ( ) ( )

iii. ada sehingga

iv. ada sehingga ( )

v.

vi. ( )

vii. ( )

viii. ( ) ( )

14

2.4 Ruang Bernorma

Definisi 2.4.1 (Darmawijaya, 1970)

Diberikan ruang linear X. Fungsi ‖ ‖ yang mempunyai sifat-sifat :

i. ‖ ‖ untuk setiap

ii. ‖ ‖ , jika dan hanya jika , (0 vektor nol)

iii. ‖ ‖ | | ‖ ‖ untuk setiap skalar dan .

iv. ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ untuk setiap

disebut norma(norm) pada X dan bilangan nonnegatif ‖ ‖ disebut norma vektor x.

Ruang linear X yang dilengkapi dengan suatu norma ‖ ‖ disebut ruang bernorma

(norm space) dan dituliskan singkat dengan ‖ ‖ atau X saja asalkan nrmanya

telah diketahui.

Lemma 2.4.2 (Maddox, 1970)

Dalam ruang linier bernorm X berlaku ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ untuk setiap

.

Bukti :

untuk setiap diperoleh :

‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖.

15

2.5 Ruang Banach


Ruang Banach (Banach space) adalah ruang bernorma yang lengkap (sebagai

ruang metrik yang lengkap) jika dalam suatu ruang bernorm X berlaku kondisi

bahwa setiap barisan Cauchy di X adalah konvergen

2.6 Barisan

Definisi 2.6.1 (Mizrahi dan Sulivan, 1982)

Barisan adalah suatu fungsi yang domainnya adalah himpunan bilangan bulat

positif. Misal terdapat bilangan bulat positif 1, 2, 3,...,n,... yang bersesuaian

dengan bilangan real xn tertentu, maka x1, x2,...,xn,... dikatakan barisan.

Definisi 2.6.2 (Yahya, Suryadi, Agus, 1990)

Bilangan-bilangan disebut barisan bilangan tak hingga cn disebut

suku umum dari barisan. Bilangan n, (n = 1, 2, 3,...) adalah nomor urut atau

indeks yang menunjukkan letak bilangan tersebut dalam barisan.

Definisi 2.6.3 (Mizrahi dan Sulivan, 1982)

Misal L adalah suatu bilangan real dan {xn} suatu barisan, {xn} konvergen ke L

jika untuk setiap bilangan terdapat suatu bilangan asli N, sehingga |

| untuk setiap

Suatu bilangan L dikatakan limit dari suatu barisan takhingga jika ada

bilangan real positif sehingga dapat ditemukan bilangan asli N yang tergantung

16

pada sehingga | | untuk setiap , daan suatu barisan dikatakan

konvergen jika ia mempunyai nilai limit.

Teorema 2.6.4 (Martono, 1984)

Setiap barisan bilangan real yang konvergen selalu terbatas.

Bukti :

Misalkan barisan bilangan real {an} konvergen ke a, akan ditunjukkan terdapat

suatu bilangan real sehinga | | untuk setiap . Karena {an}

konvergen ke a, maka terapat suatu sehingga | | .

Akibatnya | | | | | | | | | | untuk setiap .

Ambillah (| | | | | | | | ) , maka setiap berlaku

| | , yang berarti bahwa barisan bilangan real {an} terbatas.


Suatu barisan ( ) dikatakan terbatas jika dan hanya jika terdapat suatu

bilangan sehingga | | . Himpunan dari semua barisan

terbatas dilambangkan dengan

Definisi 2.6.6 (Yahya, Suryadi, Agus, 1990)

Suatu barisan {xn} dikatakan mempunyai limit L bila untuk setiap bilangan

dapat dicari suatu nomor indeks sedemikian sehingga untuk berlaku

(atau | | ) artinya jika L adalah limit dari {xn} maka

xn mendekati L jika n mendekati tak hingga.

17

Definisi 2.6.7 (Martono, 1984)

Suatu barisan yang mempunyai limit dinamakan barisan konvergen dan barisan

yang tak konvergen dinamakan barisan divergen.

Definisi 2.6.8 (Soeparna, 2007)

Diberikan yaitu koleksi semua barisan bilangan real, jadi :

* ̅ * + +

a. Untuk setiap bilangan real p dengan didefinisikan

{ { } ∑| |

}

dan norm pada yaitu

‖ ‖ (∑| |

)

b. Untuk didefinisikan

{ ̅ * + | | }

dan norm pada yaitu

‖ ‖ | |


Misal ( ) dengan

(q konjugat p), untuk dan

( ) ∑| | ‖ ‖

‖ ‖

18

Teorema 2.6.10 (Darmawijaya, 2007)

( ) merupakan ruang bernorma terhadap norm ‖ ‖ .

Bukti :

a) Akan dibuktikan bahwa merupakan ruang bernorm terhadap ‖ ‖ .

Untuk setiap skalar ̅ * + * + diperoleh

) ‖ ̃‖ | | | |

‖ ̃‖ | | | | ̃ * + ̃

) ‖ ̃‖ | |

| | ‖ ‖

| | ‖ ̃‖ ‖ ‖ ̃

) ‖ ̃ ̃‖ ‖ ̃‖ ‖ ̃‖ ‖ ̃ ̃‖ ̃ ̃

berdasarkan i), ii) dan iii) terbukti bahwa merupakan ruang linear dan

‖ ‖ norm pada . Dengan kata lain ( ‖ ‖ ) ruang bernorma.

b) Untuk diambil sebarang ̃ * + ̃ * + dan skalar .

Diperoleh :

) ‖ ̃‖ {∑| |

}

| |

‖ ̃‖ {∑| |

}

| | ̃ * + ̃

19

) ‖ ̃‖ {∑| |

}

| | {∑| |

}

| |‖ ‖

jelas bahwa ‖ ‖

) ‖ ̃ ̃‖ ‖ ̃‖ ‖ ̃‖ {∑| |

}

{∑| |

}

Berdasarkan iv), v) dan vi) terbukti bahwa merupakan ruang linear dan

‖ ‖ norm pada . Dengan kata lain ( ‖ ‖ ) ruang bernorm.

Teorema 2.6.11 (Darmawijaya, 2007)

Jika bilangan real p dengan , maka ( ‖ ‖ ) merupakan ruang

banach.

Bukti :

Telah dibuktikan bahwa ( ‖ ‖ ) merupakan ruang bernorm

Jadi tinggal membuktikan bahwa ruang bernorm itu lengkap.

Dibuktikan dahulu untuk diambil sebarang barisan Cauchy { ̃( )}

dengan

a) ̃( ) { ̃( )} ( ̃ ( ) ̃

( ) ̃ ( ) )

Untuk sebarang terdapat bilangan asli sehingga untuk setiap dua

bilangan asli berlaku

b) ‖ ( ) ( )‖

∑ |

( ) ( )|

.

/

.

Hal ini berakibat untuk setiap dua bilangan asli diperoleh

| ( ) ( )|

untuk setiap k. Dengan kata lain diperoleh barisan

Cauchy ( )

untuk setiap k. Jadi terdapat bilangan sehingga

20

( ) atau |

( ) | . Berdasarkan b) diperoleh

untuk berlaku | ( ) | |

( ) ( )|

.

Selanjutnya dibentuk barisan ̃ * + . Menurut ketidaksamaan

minkowski.

c) *∑ | |

+

{∑ | ( ) ( )|

}

{∑|

( ) ( )

( )|

}

{∑|

( ) ( )|

}

{∑| ( )|

}

Yang berarti ̃ * + . Berdasarkan pertidaksamaan a) diperoleh

untuk berlaku

d) ‖ ̃ ̃( )‖ {∑ | ( )|

}

{∑ |

( )|

}

Maka barisan { ̃( )} konvergen ke ̃. Berdasarkan hasil c) dan d), terbukti

bahwa barisan Cauchy { ̃( )} konvergen ke ̃ * + atau

terbukti bahwa ( ‖ ‖ ), ( ) merupakan ruang banach.

Definisi 2.6.12 (Ruckle, 1991)

Misalkan X merupakan ruang barisan, X dikatakan ruang BK (banach lengkap)

jika X merupakan ruang banach dan pemetaan koordinatnya ( )

( ) kontinu.

Contoh ruang BK (banach lengkap) adalah ruang barisan , .

21

2.7 Basis


Ruang vektor V dikatakan terbangkitkan secara hingga (finitely generated) jika

ada vektor-vektor sehingga , -. Dalam keadaan

seperti itu * + disebut pembangkit (generator) ruang vektor V.

Menurut definisi di atas, ruang vektor V terbangkitkan secara hingga jika dan

hanya jika ada vektor-vektor sehingga untuk setiap vektor

ada skalar-skalar sehingga

Secara umum, jika dan V terbangkitkan oleh B, jadi | | atau B

pembangkit V, maka untuk setiap terdapat vektor-vektor

dan skalar sehingga

∑


Diberikan ruang vektor V. Himpunan dikatakan bebas linear jika setiap

himpunan bagian hingga di dalam B bebas linear.


Diberikan ruang vektor V atas lapangan . Himpunan disebut basis (base)

V jika B bebas linear dan | | .

22

Contoh :

Himpunan * ̌ ̌ ̌ + , dengan ̃ vektor di dalam yang komponen ke-k

sama dengan 1 dan semua komponen lainnya sama dengan 0, merupakan basis

ruang vektor .

23

III. METODE PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun ajaran 2015/2016 di jurusan

Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas

Lampung.

3.2 Metode Penelitian

Langkah-langkah yang digunakan dalam penelitian ini antara lain :

1. Mengkonstruksikan operator A dari ruang barisan ke ruang barisan

dengan basis standar * + dengan ( ( ) ).

2. Mengkonstruksikan norma operator A

3. Menyelidiki apakah koleksi semua operator membentuk ruang Banach

4. Merepresentasikan operator A sebagai matriks takhingga yang dikerjakan

pada barisan ke ruang barisan dengan basis standar * + dengan

( ( ) ).

33

V. KESIMPULAN

Operator linear dan kontinu : merupakan operator SM jika dan hanya jika

terdapat suatu matriks ( ) yang memenuhi :

(i). = {∑ } untuk setiap = ( )

(ii). ∑ ∑ | |

(iii). ∑ |∑ |

Koleksi semua operator SM : yang di notasikan dengan SM ( )

membentuk ruang Banach.

34

DAFTAR PUSTAKA

Berbrian, S. K. 1996. Fundamental of Real Analysis. Springer, Texas.

Darmawijaya, S. 2007. Pengantar Analisis Abstrak. Universitas Gajah Mada,

Yogyakarta.

Fuhrmannn, P. A. 1981. Linear Syatem and Operator in Hibert Space. Mc Graw

Hill and Sons, New York.

Kreyszig, E.1989. Introductory Function Analysis with Application. Willey

Calssic Library, New York.

Maddox, I.J. 1970. Element of Functional Analysis. Cambridge Univercity Press,

London.

Martono, k. 1984. Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik 2. Angkasa, Bandung.

Mizrahi, A. dan Sullivan, M. 1982. Calculus and Analitic Geometry.

Wadsworth Publishing Company Belmont, California.

Parzynski and Zipse.1987. Introduction to Mathematical Analysis. Mc Graw Hill

International Edition, Singapore.

Ruckle, W. H. 1991. Modern Analysis. PWS-KENT Publishing Company. Boston

Yahya, Y., Suryadi , D. H. S. dan Agus, S. 1990. Matematika Dasar untuk

Perguruan Tinggi. Ghalia Indonesia, Jakarta.

representasi operator pada ruang barisan …digilib.unila.ac.id/25214/20/skripsi tanpa bab...

Documents