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REPUBLIQUE GABONAISE Inspection Déléguée d'Académie de l'Ogooué-Maritime

EXAMEN BLANC DU BACCALAUREAT MAI 2006 SERIEe

EPREUVE DE MATHEMATIQUES DUREE :4H COEF.: 5

Exercice 1(4 points) Koumba débute un jeu dans lequel il a autant de chances de gagner que de perdre la première par­tie. On admet que, s'il gagne une partie, la probabilité qu'il gagne la suivante est 0,6 et s'il perd une partie. la probabilité qu'il perde la suivante est de 0,7. On note, pour tout entier naturel n non nul: Gn : l'événement « Koumba gagne la n-ième partie ii ;

Pn : l'événement « Koumba perd la n-ième partie il.

1) a) Déterminer les probabilités p(Gl), p (G2/Gl) et p(G2/Pl). En déduire p(G2). b) Calculer p(P2).

2) On pose, pour tout entier naturel n non nul: Xn =p(Gn) et Yn =p(pn). '" .. ,,,~,_

a) Déterminer. "pour tout entier n non nul, les probabilités p(Pn+lIGn) et p(Gn+ llPn). b) Montrer que, pour tout entier n non nul: Xn+l = 0,6Xn + O,3Yn Yn+ 1 = 0,4Xn + O,7Yn.

3) Pour tout entier n non nul, on pose: Vn=Xn+ Yn et W"l '=4Xn-3Yn

a) Montrer que (Vn) est une suite constante. b) Déterminer la nature de la suite (Wn) et exprimer U'n en fonction de n.

4)a) Déterminer Xn en fonction de n. b) Nfontrer que (Xn) est une suite convergente.

Elli.fÎce .2 (4 poi~!§_.l Dan-ç le plan orienté, on considère un triangle direct OAB, rectangle et isocèle en 0.

On a donc (OA, OB) =trl2 (2'R). On note RA et RB les rotations de centres respectif\' A et B et de même angle 'ld2, et SO la symétrie de centre 0. On place un point C, non situé sur la droite (AB). on trace les carrés

--t --t

BEDC et ACFG directs. On a donc (BE,BC) = n:/2 (2nj et

(AC,AG) = m2 (2tr) 1 a) Déterminer l'image de Epar RA 0 RB.

b) En déduire que 0 est le milieu du segment [EG]. c) On note RF et RD les rotations de centres respectifs F et D et de même angle m2 Étudier l'image de C par la transformation RF 0 SO a Ri'­Déterminer la transformation RF 0 SO 0 RD.

d) Placer H le symétrique de D par rapport à 0 Démontrer que RF (H) = D. Démontrer que le triangle FOD est rectangle et isocèle en 0.

2. a) Déterminer S(AO) 0 S(AB) composée des réflexions d'axes (AB) et (AO). b) En écrivant RB sous laforme d'une composée de deux réflexions, démontrer que RA 0 RB = So.

PROBLEl\1E (12 points)

La partie C est indépendante de la partie B du problème.

Partie A 1. Étudier sur J'intervalle 10; + ocr le sens de variation de la jonction hl définie par: hl (x) = x -- ln x. Montrer que pour tout nombre réel x appartenant à rtnter· valle 10; + oot ana: hf(x} >0. On dé./init alors s.ur l'intervalle] 0; of- oo[ la jonction ft par :

xft (x) = ln' x-. x

2. Etudier le sens de variation de la jonctionft . Déterminer les limites de J; aux bomes de l'intervalle JO; + 00[. Dresser le tableau de variations. 3. On considère la fo.nction 'I, définie sur l'intervalle CO; + ocl par :

"f{O) ""U {. ~I(x) '"Ji (x) pour xe]O; + oc{.

Montrer que '1 prolongefi par continuité. Étudier la dérivabilité de fit en O. 4. Tracer la représentation graphique Clet fl'I dans un repère OTthonormé (unit~ : 4 cm).

PariieS Dans cette partie, fi désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2. J. Étudier sur l'intervf/./Ie ]0; + col le sens de variation de la fonction hll déjinie par:

ho('ii;) '" x" - ln x. En déduire que pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle ]0; + Col. on fA : hn(x) > O. On définit alors sur l'wervalle ]0; + oo[ la fonction f" par :

xf,,(x)'" ~ •

xlf-lnx

2. On définit sur l'intervalle ]0; + cor la fonction g" par glt(x) == 1 + (j -"fl)xJf -ln x.

Montrer que Kil est strictement dâ:roissante sur l'intervaUe )0; + «:l{. En déduire l'existence d'un ;éel unique a" tel que :

g.(an ) = O. Comparer les nombres a" et 1. QueUe est la wdeur de Q2?

3. a) Démontrer que pour tout x de /'intervaOe lO; + 00[, ona:

f; (x) "" K" (x) (x"-lnx)2

En déduiTe le sens de variatûms de J". b) Préciser les /imites deJ" aux bornes de ]0; + 00] et dresser le tableau des yariatWllS de J". 4. a) En lIOUS aidant de la question 3. de la partie A. montrer quej" admet un prolongement par continuité , .. dérivable sur [0; + col. b) Tracer la représentation graphique C2 de f'2 dans un repère orthonormé (unité; 4 cm).

Partie C 3

Calcul approché de l'intégrale 1.ft (x)dx par la méthode des rectangles.

1. En utilisant la question Al., déterminer lorsque x appar· tient à l'intervalle [1 ; 3]. un encadrement de : x - ln x. En déduire que pour tout X de l'intervalle [1 ; 31 on a :

1!{(x)l..;:;l (1)

2. On considère deux nombres réel a et fJ tels que·: 1";:;a<p~3

P et on pose; A =Iii .ft (x)dx et J ... Lft (cr.)dx.

a) En utilisant la relation (r) et l'inégalité des accroissements finis. démontrer, que pour tout nombre réel x appartenant d 17ntervalle fa, Pl. on a :

(% - x ~J;(x) -Ji (oc) ~ x-(%.

h) En déduire que :

III (a- x)dx~A _. J ~ iP(x- a:)dx.

c) Montrer alors que: lA - JI~! IR - a)2., 2\P'

3. On partage l'interValle [1; 3] en n intervalles de même longueur en utilisant les réel.,,; Xo, XI ~ •••• Xli tels que: t-Xo<Xt <: ... <x"_.1 <x,.- 3. On a donc:

2 Xk+ 1 - Xk;:: - pour k appartenant à {O; 1; ... ; n - I}

n X

On. pose : ~ ... ('''hl Ji (x)dx et Je" i '" Ji (xk)dx. . J~ ~

13 2 Dhnonuer que: ff(x)dx- (Jo + J l + ... + J"-l) ~-.

1 n

En déduire une valeuT approchée de 1: 3 ft (x)dx a 10- 1 près.

On légitimera le clwix de n,.

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REPUBLIQUE GABONAISE ':-­

Inspection Déléguée d'Académie de l'Ogooué-Maritime

EXAMEN BLANC DU BACCALAUREAT MAI 2006 SERIE C

EPREUVE DE MATHEMATIQUES DUREE :4H COEF.: 5

Exercice 1(4 points) Koumba debute un jeu dans lequel il a autant de chances de gagner que de perdre la première par­tie. On admet que, s'il gagne une partie, la probabilité qu r il gagne la suivante est 0,6 et s'il perd une partie. la probabilité qu'il perde la suivante est de 0.7. On note, pour tout entier naturel n non nul: Gn : l'événement « Koumba gagne la n-ième partie » ; Pn : l'événement « Koumba perd la n-ième partie ». 1) a) Déterminer les probabilités p(Gl), p (G2/G1) et p(G2/Pl). En déduire p(G2).

b) Calculer p(p2). 2) On pose, pour tout entier naturel n non nul:

Xn =p(Gn) et Yn = p(pn)... .,,~_,w.

a) Déterminer, "pour tout entier n non nul, les probabilités p(Pn+l/Gn) et p(Gn+ 1/Pn). b) Montrer que, pour touf entier n non nul: Xn+1 = O,6Xn + O,3Yn Yn+l = 0,4Xn + 0,7Yn.

3) Pour tout entier n non nul, on pose: Vn=Xn+Yn et W>,/o=4Xn-3Yn

a) Montrer que (Vn) est une suite constante. b) Déterminer la nature de la suite (Wn) et exprimer Wn enfonction de 11.

4)a) Déterminer Xn en fonction de n. b) Montrer que (Xn) est une suite convergente.

Exercice 2 (4 pointsj Dans le plan orienté, on considère un triangle direct OAB, rectangle et isocèle en 0.

On a donc (OA, OB) =m2(21<). On note RA et RB les rotations de centres respectift A et B et de même angle nl2, et SO la symétrie de centre 0. On place un point C, non situé sur la droUe (AB), on trace les carrés

BEDC et ACFG directs. On a donc (BE,BC) .-=-~ nl2 (21r) et

(AC,AG) = m2 (br) 1 a) Déterminer l'image de Epar RA 0 RB.

b) En déduire que a est le milieu du segment [EG]. c) On note RF et RD les rotations de centres respectifs F et D et de même angle m2 Étudier l'image de C par la transformation RF 0 sa 0 RD. Déterminer la transformation RF 0 sa 0 RD.

d) Placer H le symétrique de D par rapport à 0 Démontrer que RF (H) = D. Démontrer que le triangle FOD est rectangle et isocèle en O.

2. a) Déterminer S(AO) 0 S(AB) composée des réflexions d'axes (AB) et (AO). b) En écrivant RB sous laforme d'une composée de deux réflexions, démontrer que RA 0 RB = Sa.

PROBLEME (12 points)

lA partie C est indépendante de la partie B du problème.

Partie A 1. Étudier sur J'intervalle] 0; + col Je sens de variation de la fonction hl définie par: hl (x) = X _. ln x. Mo.ntrer que pour tout nombre réel x appartenant à i'inter­vaUe )0; + o:>t on a : hr(x) > O. On définit alors sur l'intervalle] 0; + col la fimction h par :

J; (x) = _~x..-­x-lnx

2. Etudier le sens de variation de la jonction}; . Déterminer les limites de ft aux bornes de l'intervalle JO; + 00[. Dresser le tableau de variations. 3. On considère la jonction fil définie sur l'intervalle [0; + col pm :

'I(O}""'U {. 911 (x) ",. jj(x) pour xE]O; + col·

lIfontrer que '1 prolonge ft par continuité. Etudier la dérivabililé de fit en O. 4. Tracer la représentation graphique Clet 91 dans un repère orthonormé (unité: 4 cm).

PartieS Dans L'eue partie. ft désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2. J. lttudier sur l'intervalle JO; +oo{ le sens de variation i.e la jonction hJl définie par :

h;k(Ji.1 "" x" - in x-En dédwe que pour tout nombre réel x appartenam à /'i11.tervaJ/e ]0; + (;of. on tA : h,,(x) > O. On définit alors sur /'iJt1ervalle ]0; + oo[ la fimetion J.. par :

xfn(x)'" .

x"-lnx

2. On définit SUT l'intervalle ]0; + 0:>[ la fonction K." jJar

Kn(X)'" 1 + (J - ,,)x'" - ln x. Montrer que K" est strictement déaoissante sur l'inte:rvaUe )0; + «l[. En déduire l'existence d'ulf réel unique ft" tel que :

K.(a... ) = O. Comparer les nombres a" et 1. Quelle est la wdeur de Q2?

3. a) Démontrer que pour tl1ut x de J'intervane )0; +oo{, ona:

f~ (x) "" K" (x) (x f1 -lnxf

En déduire le sens de variations de f". b) Prtciser les limites de/" aux bornes de ]0; + 00] et dresser le tableau des yariatkJns de f". 4. a) En WJUS aidant de la question 3. de la partie A, montrer que1,. admet un prolongement par continuité "'.. dérivable sur [0; + 00[. b) Tracer la représentation graphique Czde 9'2 dans un repère orthonormé (unité: 4 cm).

Partie C

Cakul approché de l'intégrale f 3 J; (x)dx par la méthode

des rectangles.

1. En 14lilisant la question Al.. déterminer lorsque x appar· tient à l'intervalle [1 ; 3], un encadrement de : x - ln x. En déduire que pour tout x de l'intervalle [1; 3] on a :

If{{x)1~ 1 (1)

2. On considère deux nombres réel Œ el p tels que.: 1<JSiet<P __ 3

P el on pose: A=: Lf.. (x)dx et J ... IIIJ; (Cl)dx.

a) En utilisant la relation (i) et J'inégalité des accroissements finis. démontrer. que pour tout nombre rtel x appartenant à l'intervalle ra, Pl. on a :

1%-x~ft (x) - Ji (Cl) ~ x - O!. ...

h) En déduire que :

iP{a - x)dx~A _. J.s;; i.8 (x - a)dx.

c) Montrer alors que: lA - JI~-1 (jJ - 0:)2.. 2

3. On partage l'intervalle [1 ; 3} en n intervalles de même longueur en utilisant les réel... X-o, XI' ..., XII tels que: l-Xo<Xt < ... <Xn-l <x,." 3. On a donc:

2 Xk+! - Xk = - pour k appartenant à {O; 1; ... ; n - I}

n

On pose: ~= (X, •• Ji (x)dx et h= LX'.' h(Xk)dx. . lx. x.

2Dhnontrerque: jj-(x)dx- (Jo + J, + ••. + J,,_,) ~-.i1

3

n

En déduJre une valeur approchée de J: 3ft (x)dx à 10- 1 près.

On légitimera le c!wix de n,.