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Resistencia de Materiales. Capítulo VI.
Universidad de Santiago de Chile. Fac. de Ingeniería. Departamento de Ing. Metalúrgica. 6-1
CAPÍTULO VI
ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS
6.1. Estructuras Articuladas simples
BARRAS
A B
C
NUDOS
Figura 6.1. Estructura articulada simple.
6.1.1 Análisis por el método de los nudos
Nudos especiales
E
B
B
B
B
A
A
A
A
C
C
C
D
D
FAE
FAC
FAD
FAC
FAB Hay equilibrio
Si FAC
= O
Hay equilibrio
Si FAB
= O
FAC
= O
C
FABF
AD
FAE
FAC
FAB
FAD
FABF
AC
FAB
= FACF
AB
FAC
Figura 6.2. Nudos especiales.
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Procedimiento de operación para el método de los nudos
a) Determinar reacciones tomando la estructura completa como un sólido rígido.
b) Separar las barras de los nudos y comenzar a equilibrar cada nudo, partiendo
por uno que no tenga más de dos incógnitas (debido a que se usan dos
ecuaciones).
Problema 6.1: Empleando el método de los nudos, determinar la fuerza en cada
barra y el tipo de solicitación. Cotas en metros.
6
6
23
4
14,5 3,5
14 ton
Figura 6.3 (a).Problema 6.1.
Solución:
23
4
1
14 ton
R1 y
R4 x
R1 x
Figura 6.3 (b).Problema 6.1. 00
70140
7012614
0
1
141
44
1
yy
xxxx
xx
RF
tonRRRF
tonRR
M
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37º
53º
53º
37º
6 6
4.5 8
Nudo 1:
37º
53º
R1x
F12
F13
)(3,20
28,15º37º53º37cos
0º37º53º53cos
º37cos
º53cos
º37cos
0º37cosº53cos0
0º37º530
13
112
12121
1213
1213
12131
compresióntonF
tonsentg
RF
senFsenFR
FF
FFF
senFsenFRF
x
x
y
xx
Nudo 2:
tonFF
tonFF
senFsenF
F
FFF
F
y
x
4,18º53cos2
28,15
0º53º53
0
0º53cosº53cos
0
2123
2421
2421
242123
Figura 6.3 (d).Problema 6.1.
F21
F23
F24
Figura 6.3 (c).Problema 6.1.
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Universidad de Santiago de Chile. Fac. de Ingeniería. Departamento de Ing. Metalúrgica. 6-4
Nudo 3:
37º
37º
F32
F31
F34
14 ton
Figura 6.3 (e).Problema 6.1.
tonFF
senFsenFF
FFFF
y
x
3.20
0º37º370
0º37cosº37cos140
3134
3134
343132
6.2. Análisis por el método de las secciones
Tiene la ventaja sobre el método de los nudos de que no es necesario hacer el
cálculo de las fuerzas en todas las barras para determinar el esfuerzo a la que está
sometida cada una de ellas en particular.
Se divide la estructura en dos secciones, asegurándose de incluir en el corte la
barra en estudio; además el corte no debe pasar por más de tres barras, por contar
con sólo tres ecuaciones en el plano.
En los cálculos se puede tomar cualquiera de las dos secciones, ya que ambas se
encuentran en equilibrio estático.
Se deben primero evaluar las reacciones en los apoyos.
Problema 6.2: Determinar los esfuerzos axiales en las barras BD y DE de la
estructura representada.
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Figura 6.4 (a).Problema 6.2. Figura 6.4 (b).Problema 6.2.
0 EM
03º.9,362
5,1º.9,36cos315615 senFF BDBD
kNF
FF
BD
BDBD
75
08,18,14590
kN
FFFF BDEGBDEG
60F
º9,36cos75º9,36cos0º9,36cos
EG
0º9,367545 senFED
0
0º9,367545
ED
ED
F
senF
C
A
B
D E
F G
IH
3 m
3 m
3 m
3 m
4.5 m
15 kN
15 kN
15 kN
A
C
E
B
15 KN
15 KN
15 KNF
ED
FEG
4.5
6
º9,36
FBD
RHx
RHy
RIy
B
A
C
ED
F
G
HI
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Problema 6.3: Hallar los esfuerzos axiales en las barras AB, AC, y BC. (kN y m)
1,25
CC
x
3A
B
84 kN
Ax
Ay
4
Figura 6.5 (a).Problema 6.3.
Nudo A:
84 KN
Ax = 48 kN
22,6º
FAB
FAC
Figura 6.5 (b).Problema 6.3.
Nudo B:
FAB
84 kN
37°
FBC
Figura 6.5 (c).Problema 6.3.
kNA
kNC
C
kNAA
CA
x
x
x
yy
xx
48
48
038425,5
84084
0
kNF
AsenFF
kNF
FA
AC
yABAC
AB
ABx
64
0º6,22
52
06,22cos
kNF
senFF
BC
BCAB
80
0º37º6,22cos
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0º37cos80º6,225284
0º37cosº6,22840
sen
FsenFF BCABy
Nudo C:
FBC
FAC
Cx
Figura 6.5 (d).Problema 6.3.
Problema 6.4: Hallar los esfuerzos axiales sobre las barras AC, AB y BC.
B450 kN
10 m
22,6º53ºA
y
Ax
2.4 m7.5 m
C
Figura 6.6 (a).Problema 6.4.
kNA
kNCCM
CA
A
y
yyA
yy
x
14401890450
189005,75,314500
0450
0
Nudo A:
FAC
Fy
FAB
Figura 6.6 (b).Problema 6.4.
0º37cos8064
0º37cos
0º378048
0º37
BCAC
BCx
FF
sen
senFC
tracciónkNFF
compresiónkNF
senFA
F
FFF
ACAB
AC
ACy
y
ACABx
1083º53cos
1800
0º53
0
0º53cos0
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Nudo B:
FBC
FAB
450 kN
Figura 6.6 (c).Problema 6.4.
Problema 6.5: Hallar las cargas sobre los elementos FH, GI y GH. Cotas en metros.
B
Ay
Ax
D
F
H
J
A L
5 55
Ly
1
1
1
1
1
FH
GH
GI
8
kN
kN
58
15C E G I K
6 6 6 66 6
38
5arctg
Figura 6.7 (a).Problema 6.5.
030251201156106560
200155
0
yA
yyyy
x
LM
ALAL
A
kNA
kNL
y
y
5,12
5,7
0º6,22450
1173
0º6,22cos
senF
compresiónkNF
FF
BC
BC
BCAB
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1
1
1
5 kN5512,5
FFH
FGI
FGH
Figura 6.7 (b).Problema 6.5.
0185,120
125,13
0205,12156106563
160
senFsenFF
tracciónkNF
FM
FHGHy
GI
GIH
compresiónkNsen
senF
compresiónkNF
FM
GH
FH
FHG
1.1º8,46
º1,2882,135,5
82,13
0155,1210656º1,28cos80
Problema 6.6: Hallar las fuerza sobre los elementos CD y DF. (Unidades en kN y
m).
2.42.4 2.4 2.4D F H
C E GA
B
I
J
1.8J
y
BX
By
1212
Figura 6.8 (a).Problema 6.6.
Solución:
Bx = 0
Jy = By – 24 = 0
º8,465
388
º1,2815
8
arctg
arctg
FCD = ?
FDF = ?
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compresiónkNB
compresiónkNJ
JM
y
y
yB
91524
15
06.92.7128.4120
compresióntonFFM
traccióntonFFM
CDCDA
DFDFC
908,1124,20
1204,298,10
Figura 6.8 (b).Problema 6.6.
Problema 6.7: Hallar las fuerzas sobre los elementos EF, DE, BF y EB. . (Unidades
en kN y m).
A
BC
F
E
D
5205
33
12
Fy
Dy
1.6
Figura 6.9 (a).Problema 6.7.
5
21
20
A B
D
FBC
FBF
FEF
Figura 6.9 (b).Problema 6.7.
A
B
C
FCD
FDF
FAC
By
º2836,1 arctg
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tracciónkNF
FM
EF
EFB
30
03216.1350
21
5 20
FBC
FBF
FEB
FDE
Figura 6.9 (c).Problema 6.7.
tracciónkNFFM DEDEB 3006.1353210
0º28cos0 DEBFBCx FFFF
compresiónkNFF
FF
BFBC
BFBC
340
30º28cos
0º2825210 senFFF BFEBy
tracciónkNFEB 12
Problema 6.8: Hallar las fuerzas sobre los elementos FG y FH. Unidades en kN y
m.
3.5 m
Gy
Jy
Jx
P=35 kNP P P P P P
4 4 4 4 4A B D F H J
C
E G
IFG = ?
FH = ?
Figura 6.10 (a).Problema 6.8.
48º28cos6.1
06.1º28cos6.135321
0
BFBC
BFBC
E
FF
FF
M
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08481216200
606
0
yJ
yyyy
x
GPPPPPM
PGJPGJ
J
kNPJ
kNPG
y
y
5,525,1
5,2625,7
35 35
52,5
FHF
FFG
FEG
Gy = 262,5
Figura 6.10 (b).Problema 6.8.
Problema 6.9: Hallar las fuerzas sobre los elementos DE y DF. Unidades en
metros.
B
D
C
F
E
G
H
I X
J
L
P PC
y
Ky
7,5 m
DE = ?
DF = ?
P = 20 kN
66 666 6A
Figura 6.11 (a).Problema 6.9.
PKCKPCC yyyyx 5050
0GM
tracciónkNFM
F
HFA
HF
2400
05,34358355,52
compresiónkNF
F
FG
FG
70
0125,26212163520355,52
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Figura 6.11 (b).Problema 6.9.
º62.2218
5.7 arctg
kNFFPM DEDEA 2501265,20
025.15,20 PPsenFF DFy
compresiónPPsen
FDF 65.05,225,1
0cos0 CEDFx FFF
tracciónPF
PF
CE
CE
6.0
cos65.0
Problema 6.10: Hallar las fuerzas sobre los elementos EF y GI. Unidades kN y m.
8 8 8 8
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K16
28 28
By
Bx J
y
EF = ?
GI = ?
10 m
Figura 6.12 (a).Problema 6.10.
kNBBF xxx 160160
0cM
6P-6P-12P-18P+24Ky–30P=0
Ky=2,5P Cy=2,5 P
FCE
FDE
P
A
B
D
C
FDF
yC
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560560 yyyyy JBJBF
010163224288280 yB JM
kNB
kNJ
y
y
23
33
A
Bx
C
D
E
FEF
FDF
FEG
By
Figura 6.12 (b).Problema 6.10.
Otra Forma:
compresiónkNFxF GIGI 4.100101683310
Figura 6.12 (c).Problema 6.10.
Problema 6.11: Hallar las fuerzas sobre cada elemento. Unidades en N y m.
A B C
DE
12
1000
12
12
E
2000C
x
Cy
8
Figura 6.13 (a).Problema 6.11.
0xF
compresiónkNF
FB
FF
EF
EFy
DFEG
5
028
016
0HM
FGI
FHI
FHJ J
y
16
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03000010002000 xyy CECEC
061210002420000 EMC
E = 10.000 N
Cy = -7000 N
8
FAB
FAD
Figura 6.13 (b).Problema 6.11.
1500cos0cos
25002000
02000
ADABADAB
ADAD
FFFF
senFsenF
6
8
FBD
FDE
FAD
Figura 6.13 (b).Problema 6.11.
FDE
FADFBD
Figura 6.13 (c).Problema 6.11.
10.536
8 arctg
NFFF
FF
FsenFsenF
BDBDAD
BDAD
DEBDAD
2500
0coscos
0
NF
senFF
senFsenFF
DE
ADBD
ADBDDE
3000
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FDE
FBEFBD
D
FBA
FBD
FBE
FBC
1000
E
B
E
FBA
05
325001500
0
BEBC
BDBEBCBA
FF
senFsenFFF
0coscos10000 BABEy FFF
NF
F BDBE 3750
cos
cos1000
NFBC 52505
3250037501500
Cy
FCE
FCB Cy
FCB
FCE
Cx
Figura 6.13 (e).Problema 6.11.
NF
F
FFF
CBCE
CECBx
750.8
53
5250
cos
0cos0
00 senFCF CEyy
00
Figura 6.13 (d).Problema 6.11.
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6.3. Entramados y máquinas
Las estructuras articuladas están diseñadas para soportar fuerzas dirigidas según
la dirección de la barra. Por tanto los elementos trabajan a tracción o compresión.
Los entramados y las máquinas están diseñadas para que sus elementos soporten
fuerzas en cualquier dirección, es decir, pueden soportar tres o más fuerzas.
Las máquinas son estructuras diseñadas para transmitir fuerzas e incluso
modificarlas y pueden o no ser fijas, pero siempre poseen piezas móviles.
Problema 6.12: Determinar el esfuerzo en el elemento BD y las componentes de la
reacción en C. (Cotas en mm)
400 N
A
B
Cy
Cx
450
120
135 240
Dx
Dy
D
Figura 6.14 (a).Problema 6.12.
400
0400
0
yy
yy
xxxx
DC
DC
DCDC
0cM
NC
NDD
y
yy
625
2250240135400
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Cy = 625 N
400 N
Cx
FBD
Figura 6.14 (b).Problema 6.12.
Problema 6.13: Hallar las componentes de las fuerzas que actúan sobre ABCD.
E
B
D
4 12 4
8
60 (N)
FAx
A
2
BxBy
(mm)
Figura 6.15 (a).Problema 6.13.
NBBAB yyxx 600600
NAAM xxB 1500206080
NBx 150
0yF
º93,6124
45
2550400625
arctg
NFsenF BDBD
ND
NC
FC
x
x
BDx
9,119
9,119
cos
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D
60
150
150
Cx
CyF
ED
Figura 6.15 (b).Problema 6.13.
Problema 6.14: Encontrar las reacciones sabiendo que hay un momento de 150 Nm
aplicado a la barra AD. Las medidas están en m.
0.4
0.4
A
C
B
0.6 0.6
150 Nm
Dy E
y
Ex
Dx
0.6
Figura 6.16 (a).Problema 6.14.
xxxxx DEDEF 00
yyyyy DEDEF 00
08.08,18.02,11500 xyxyA EEDDM
1508.08,18.02.1 xyxy DDDD
060
0
EDy
x
FC
C
0DM
NFNC
C
EDy
y
8020
01216608150
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150 Nm
Cx
Cy
250
Dx
C
D
0CM
-150 -250 0,6 + 0.4 Dx = 0
Dx = 750 N
Ex = -750 N
Otra solución:
0BM 04.04.08.12,1150 xXyy EDED
Cy
Cx
Ey
Ex
Figura 6.16 (c).Problema 6.14.
ND
NEEM
x
xxc
750
75002502.14.00
Figura 6.16 (b).Problema 6.14.
Dy =-250 N
Ey = 250 N
1504.04.08,12,1 xxyy DDDD
NE
ND
y
y
250
250
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Problema 6.15: Disponer dispositivo para remolcar aviones. Medidas en mm.
100
450
200
825675500850
200 kg
1150
D
AE
F
CG
200 kg
Ey
Ay
Cx
CyEx
C
8,43º675
1001 =
= -tg
200 kg = 1,96 kN (mm)
Figura 6.17 (a).Problema 6.15.
Ey – 200 - Cy + Ay = 0 Ex + Cx =0 Ex = - Cx
Cx = C cos 8,43º = 0,989 C
Cy = -0.146 C
0AM Estructura completa
- 200 1150 + Fy 850 = 0 Fy = 270,6 kg
= 2,65 kN
Ay + Fy = 1,96 Ay = - 0.69 kN
0EM Elemento aislado
0.69 (850 + 500) + 1,96 200 – Cx 450-Cy 675 =0
931,5 + 392 - (0.989 450 + 0.146 675) C = 0
C = 2,43 kN
Ex + Cx =0 Ex = -0.989 2,43 = - 2,4 kN
kNEEM yyc 3067545041,267520096,167550085069.00