resnick, halliday. physics. volume i

7/27/2019 Resnick, Halliday. Physics. Volume I

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J . M a r t n e z T a r r a z o

R e s o l u c i o n d e p r o b l e m a s

R e s n i c k , H a l l i d a y . P h y s i c s . W i l e y , 1 9 6 6

A p r i l 2 , 2 0 1 3

S p r i n g e r



C o n t e n t s

1 P a r t i c l e D y n a m i c s I I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

P r o b l e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 W o r k a n d E n e r g y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

P r o b l e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3 T h e C o n s e r v a t i o n o f E n e r g y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

P r o b l e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

S o l u t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1



1

P a r t i c l e D y n a m i c s I I

P r o b l e m s

1 . 1 . A b l o c k o f m a s s m s l i d e s i n a n i n c l i n e d r i g h t - a n g l e d t r o u g h a s i n F i g . 1 . 1 . I f

t h e c o e c i e n t o f k i n e t i c f r i c t i o n b e t w e e n t h e b l o c k a n d t h e m a t e r i a l c o m p o s i n g

t h e t r o u g h i s "

k

, n d t h e a c c e l e r a t i o n o f t h e b l o c k .

F i g . 1 . 1 .

1 . 2 . A s m a l l c o i n i s p l a c e d o n a a t , h o r i z o n t a l t u r n t a b l e . T h e t u r n t a b l e i s

o b s e r v e d t o m a k e t h r e e r e v o l u t i o n s i n 3 . 1 4 s e c . ( a ) W h a t i s t h e s p e e d o f t h e

c o i n w h e n i t r i d e s w i t h o u t s l i p p i n g a t a d i s t a n c e o f 5 . 0 c m f r o m t h e c e n t e r o f

t h e t u r n t a b l e ? ( b ) W h a t i s t h e a c c e l e r a t i o n ( m a g n i t u d e a n d d i r e c t i o n ) o f t h e

c o i n i n p a r t ( a ) ? ( c ) W h a t i s t h e f r i c t i o n a l - f o r c e a c t i n g o n t h e c o i n i n p a r t ( a )

i f t h e c o i n h a s a m a s s m ? ( d ) W h a t i s t h e c o e c i e n t o f s t a t i c f r i c t i o n b e t w e e n

t h e c o i n a n d t h e t u r n t a b l e i f t h e c o i n i s o b s e r v e d t o s l i d e o t h e t u r n t a b l e

w h e n i t i s g r e a t e r t h a n 1 0 c m f r o m t h e c e n t e r o f t h e t u r n t a b l e ?

1 . 3 . A v e r y s m a l l c u b e o f m a s s m i s p l a c e d i n t h e i n s i d e o f a f u n n e l ( F i g . 1 . 2 )

r o t a t i n g a b o u t a v e r t i c a l a x i s a t a c o n s t a n t r a t e o f # r e v / s e c . T h e w a l l o f t h e

f u n n e l m a k e s a n a n g l e w i t h t h e h o r i z o n t a l . I f t h e c o e c i e n t o f s t a t i c f r i c t i o n

b e t w e e n t h e c u b e a n d t h e f u n n e l i s " a n d t h e c e n t e r o f t h e c u b e i s a d i s t a n c e



2 1 P a r t i c l e D y n a m i c s I I

r f r o m t h e a x i s o f r o t a t i o n , w h a t a r e t h e l a r g e s t a n d s m a l l e s t v a l u e s o f # f o r

w h i c h t h e b l o c k w i l l n o t m o v e w i t h r e s p e c t t o t h e f u n n e l ?

F i g . 1 . 2 .



2

W o r k a n d E n e r g y

P r o b l e m s

2 . 1 . A 1 0 0 - l b b l o c k o f i c e s l i d e s d o w n a n i n c l i n e 5 . 0 f t l o n g a n d 3 . 0 f t h i g h .

A m a n p u s h s e s u p o n t h e i c e p a r a l l e l t o t h e i n c l i n e s o t h a t i t s l i d e s d o w n a t

c o n s t a n t s p e e d . T h e c o e f f i c i e n t o f f r i c t i o n b e t w e e n t h e i c e a n d t h e i n c l i n e i s

0 . 1 0 . F i n d ( a ) t h e f o r c e e x e r t e d b y t h e m a n , ( b ) t h e w o r k d o n e b y t h e m a n

o n t h e b l o c k , ( c ) t h e w o r k d o n e b y g r a v i t y o n t h e b l o c k , ( d ) t h e w o r k d o n e

b y t h e s u r f a c e o f t h e i n c l i n e o n t h e b l o c k , ( e ) t h e w o r k d o n e b y t h e r e s u l t a n t

f o r c e o n t h e b l o c k , a n d ( f ) t h e c h a n g e i n k i n e t i c e n e r g y o f t h e b l o c k .

2 . 2 . A m a n p u s h e s a 6 0 - l b b l o c k 3 0 f t a l o n g a l e v e l o o r a t c o n s t a n t s p e e d

w i t h a f o r c e d i r e c t e d 4 5

b e l o w t h e h o r i z o n t a l . I f t h e c o e f f i c i e n t o f k i n e t i c

f r i c t i o n i s 0 . 2 0 , h o w m u c h w o r k d o e s t h e m a n o n t h e b l o c k ?

2 . 3 . A c r a t e w e i g h i n g 5 0 0 l b i s s u s p e n d e d f r o m t h e e n d o f a r o p e 4 0 f t l o n g .

T h e c r a t e i s t h e n p u s h e d a s i d e 4 . 0 f t f r o m t h e v e r t i c a l a n d h e l d t h e r e . ( a )

W h a t i s t h e f o r c e n e e d e d t o k e e p t h e c r a t e i n t h i s p o s i t i o n ? ( b ) I s w o r k b e i n g

d o n e i n h o l d i n g i t t h e r e ? ( c ) W a s w o r k d o n e i n m o v i n g i t a s i d e ? I f s o , h o w

m u c h ? ( d ) D o e s t h e t e n s i o n i n t h e r o p e p e r f o r m a n y w o r k o n t h e c r a t e ?

2 . 4 . A c o r d i s u s e d t o l o w e r v e r t i c a l l y a b l o c k o f m a s s w a d i s t a n c e a t a

c o n s t a n t d o w n w a r d a c c e l e r a t i o n o f a 4 . F i n d t h e w o r k d o n e b y t h e c o r d o n

t h e b l o c k .

2 . 5 . A b l o c k o f m a s s m = 3 X 5 7 k g i s d r a w n a t c o n s t a n t s p e e d a d i s t a n c e

= 4 X 0 6 m e t e r s a l o n g a h o r i z o n t a l o o r b y a r o p e e x e r t i n g a c o n s t a n t f o r c e

o f m a g n i t u d e p = 7 X 6 8 n t m a k i n g a n a n g l e = 1 5 X 0

w i t h t h e h o r i z o n t a l .

C o m p u t e ( a ) t h e t o t a l w o r k d o n e o n t h e b l o c k ; ( b ) t h e w o r k d o n e b y t h e r o p e

o n t h e b l o c k ; ( c ) t h e w o r k d o n e b y f r i c t i o n o n t h e b l o c k ; ( d ) t h e c o e f f i c i e n t o f

k i n e t i c f r i c t i o n b e t w e e n b l o c k a n d o o r .



3

T h e C o n s e r v a t i o n o f E n e r g y

P r o b l e m s

3 . 1 . S h o w t h a t f o r t h e s a m e i n i t i a l s p e e d

0

, t h e s p e e d o f a p r o j e c t i l e w i l l

b e t h e s a m e a t a l l p o i n t s a t t h e s a m e e l e v a t i o n , r e g a r d l e s s o f t h e a n g l e o f

p r o j e c t i o n .

3 . 2 . T h e s t r i n g i n F i g . 3 . 1 h a s l e n g t h l = 4 X 0 f t . W h e n t h e b a l l i s r e l e a s e d , i t

w i l l s w i n g d o w n t h e d o t t e d a r c . H o w f a s t w i l l i t b e g o i n g w h e n i t r e a c h e s t h e

l o w e s t p o i n t i n i t s s w i n g ?

F i g . 3 . 1 .

3 . 3 . T h e n a i l i n F i g . 3 . 1 i s l o c a t e d a d i s t a n c e b e l o w t h e p o i n t o f s u s p e n s i o n ,

S h o w t h a t m u s t b e a t l e a s t 0 X 6 l i f t h e b a l l i s t o s w i n g c o m p l e t e l y a r o u n d i n

a c i r c l e c e n t e r e d o n t h e n a i l .

3 . 4 . S u p p o s e t h a t t h e s t r i n g o f F i g . 3 . 1 i s v e r y e l a s t i c , m a d e o f r u b b e r , s a y ,

a n d t h a t t h e s t r i n g i s u n e x t e n d e d a t l e n g t h l w h e n t h e b a l l i s r e l e a s e d . ( a )

E x p l a i n w h y y o u w o u l d e x p e c t t h e b a l l t o r e a c h a l o w p o i n t g r e a t e r t h a n a

d i s t a n c e l b e l o w t h e p o i n t o f s u s p e n s i o n . ( b ) S h o w , u s i n g d y n a m i s a n d e n e r g y

c o n s i d e r a t i o n s , t h a t i f ¡ l i s s m a l l c o m p a r e d t o l t h e s t r i n g w i l l s t r e t c h b y



6 3 T h e C o n s e r v a t i o n o f E n e r g y

a n a m o u n t ¡ l = 3 m a k , w h e r e k i s t h e a s s u m e d f o r c e c o n s t a n t o f t h e s t r i n g .

N o t i c e t h a t t h e l a r g e r k i s , t h e s m a l l e r ¡ l i s , a n d t h e b e t t e r t h e a p p r o x i m a t i o n

¡ l ( l . ( c ) S h o w , u n d e r t h e s e c i r c u m s t a n c e s , t h a t t h e s p e e d o f t h e b a l l a t

t h e b o t t o m i s =

p

2 ( l 3 m a 2 k ) , l e s s t h a n i t w o u l d b e f o r a n i n e l a s t i c

s t r i n g ( k =

I ) . G i v e n a p h y s i c a l e x p l a n a t i o n f o r t h i s r e s u l t u s i n g e n e r g y

c o n s i d e r a t i o n s .

3 . 5 . ( a ) A l i g h t r i g i d r o d o f l e n g t h l h a s a m a s s m a t t a c h e d t o i t s e n d , f o r m i n g

a s i m p l e p e n d u l u m . I t i s i n v e r t e d a n d t h e n r e l e a s e d . W h a t i s i t s s p e e d a t

t h e l o w e s t p o i n t a n d w h a t i s t h e t e n s i o n i n t h e s u s p e n s i o n a t t h a t i n s t a n t ?

( b ) T h e s a m e p e n d u l u m i s n e x t p u t i n a h o r i z o n t a l p o s i t i o n a n d r e l e a s e d f r o m

r e s t . A t w h a t a n g l e f r o m t h e v e r t i c a l w i l l t h e t e n s i o n i n t h e s u s p e n s i o n e q u a l

t h e w e i g h t i n m a g n i t u d e ?

3 . 6 . A s i m p l e p e n d u l u m o f l e n g t h l , t h e m a s s o f w h o s e b o b i s m , i s o b s e r v e d

t o h a v e a s p e e d

0

w h e n t h e c o r d m a k e s t h e a n g l e

0

w i t h t h e v e r t i c a l ( 0 ̀

0

` % a 2 ) , a s i n F i g . 3 . 2 . I n t e r m s o f a n d t h e f o r e g o i n g g i v e n q u a n t i t i e s ,

d e t e r m i n e ( a ) t h e t o t a l m e c h a n i c a l e n e r g y o f t h e s y s t e m ; ( b ) t h e s p e e d

1

o f

t h e b o b w h e n i t i s a t i t s l o w e s t p o s i t i o n ; ( c ) t h e l e a s t v a l u e

2

t h a t

0

c o u l d

h a v e i f t h e c o r d i s t o a c h i e v e a h o r i z o n t a l p o s i t i o n d u r i n g t h e m o t i o n ; ( d ) t h e

s p e e d

3

s u c h t h a t i f

0

b

3

t h e p e n d u l u m w i l l n o t o s c i l a t e b u t r a t h e r w i l l

c o n t i n u e t o m o v e a r o u n d i n a v e r t i c a l c i r c l e .

F i g . 3 . 2 .

3 . 7 . A n o b j e c t i s a t t a c h e d t o a v e r t i c a l s p r i n g a n d s l o w l y l o w e r e d t o i t s e q u i -

l i b r i u m p o s i t i o n . T h i s s t r e t c h e s t h e s p r i n g b y a n a m o u n t . I f t h e s a m e o b j e c t

i s a t t a c h e d t o t h e s a m e v e r t i c a l s p r i n g b u t p e r m i t t e d t o f a l l i n s t e a d , t h r o u g h

w h a t d i s t a n c e d o e s i t s t r e t c h t h e s p r i n g ?

3 . 8 . A 2 . 0 - k g b l o c k i s d r o p p e d f r o m a h e i g h t o f 0 . 4 0 m e t e r o n t o a s p r i n g o f

f o r c e c o n s t a n t k = 1 9 6 0 n t / m e t e r . F i n d t h e m a x i m u m d i s t a n c e t h e s p r i n g w i l l

b e c o m p r e s s e d ( n e g l e c t f r i c t i o n ) .

3 . 9 . A f r i c t i o n l e s s r o l l e r c o a s t e r o f m a s s m s t a r t s a t p o i n t e w i t h s p e e d

0

a s

i n F i g . 3 . 3 . A s s u m e t h a t t h e r o l l e r c o a s t e r c a n b e c o n s i d e r e d a s a p o i n t p a r t i c l e

a n d t h a t i t a l w a y s r e m a i n s o n t h e t r a c k . ( a ) W h a t w i l l b e t h e s p e e d o f t h e



3 T h e C o n s e r v a t i o n o f E n e r g y 7

r o l l e r c o a s t e r a t p o i n t s f a n d g ? ( b ) W h a t c o n s t a n t d e c e l e r a t i o n i s r e q u i r e d

t o s t o p i t a t p o i n t i i f t h e b r a k e s a r e a p p l i e d a t p o i n t h ? ( c ) S u p p o s e

0

= 0 ;

h o w l o n g w i l l i t t a k e t h e r o l l e r c o a s t e r t o r e a c h p o i n t f ?

F i g . 3 . 3 .

3 . 1 0 . A s m a l l b l o c k o f m a s s m s l i d e s a l o n g t h e f r i c t i o n l e s s l o o p - a - l o o p t r a c k

s h o w n i n F i g . 3 . 4 . ( a ) I f i t s t a r t s f r o m r e s t a t , w h a t i s t h e r e s u l t a n t f o r c e

a c t i n g o n i t a t ? ( b ) A t w h a t h e i g h t a b o v e t h e b o t t o m o f t h e l o o p s h o u l d

t h e b l o c k b e r e l e a s e d s o t h a t t h e f o r c e i t e x e r t s a g a i n s t t h e t r a c k a t t h e t o p

o f t h e l o o p i s e q u a l t o i t s w e i g h t ?

F i g . 3 . 4 .

3 . 1 1 . T h e p a r t i c l e m i n F i g . 3 . 5 i s m o v i n g i n a v e r t i c a l c i r c l e o f r a d i u s

i n s i d e a t r a c k . T h e r e i s n o f r i c t i o n . W h e n m i s a t i t s l o w e s t p o s i t i o n , i t s s p e e d

i s

0

. ( a ) W h a t i s t h e m i n i m u m v a l u e

m

o f

0

f o r w h i c h m w i l l g o c o m p l e t e l y

a r o u n d t h e c i r c l e w i t h o u t l o s i n g c o n t a c t w i t h t h e t r a c k ? ( b ) S u p p o s e

0

i s

0 X 7 7 5

m

. T h e p a r t i c l e w i l l m o v e u p t h e t r a c k t o s o m e p o i n t a t a t w h i c h

i t l o s e c o n t a c t w i t h t h e t r a c k a n d t r a v e l a l o n g a p a t h s h o w n r o u g h l y b y t h e

d a s h e d l i n e . F i n d t h e a n g u l a r p o s i t i o n o f p o i n t .

3 . 1 2 . A p o i n t o f m a s s m s t a r t s f r o m r e s t a n d s l i d e s d o w n t h e s u r f a c e o f a

f r i c t i o n l e s s s o l i d s p h e r e o f r a d i u s r a s i n F i g . 3 . 6 . M e a s u r e a n g l e s f r o m t h e

v e r t i c a l a n d p o t e n t i a l e n e r g y f r o m t h e t o p . F i n d ( a ) t h e c h a n g e i n p o t e n t i a l

e n e r g y o f t h e m a s s w i t h a n g l e ; ( b ) t h e k i n e t i c e n e r g y a s a f u n c t i o n o f a n g l e ;



8 3 T h e C o n s e r v a t i o n o f E n e r g y

F i g . 3 . 5 .

( c ) t h e r a d i a l a n d t a n g e n t i a l a c c e l e r a t i o n s a s a f u n c t i o n o f a n g l e ; ( d ) t h e a n g l e

a t w h i c h t h e m a s s i e s o t h e s p h e r e . ( e ) I f t h e r e i s f r i c t i o n b e t w e e n t h e m a s s

a n d t h e s p h e r e , d o e s t h e m a s s y o a t a g r e a t e r o r l e s s e r a n g l e t h a n i n p a r t

( d ) ?

F i g . 3 . 6 .

3 . 1 3 . A n i d e a l m a s s l e s s s p r i n g c a n b e c o m p r e s s e d 1 . 0 m e t e r b y a f o r c e o f

1 0 0 n t . T h i s s a m e s p r i n g i s p l a c e d a t t h e b o t t o m o f a f r i c t i o n l e s s i n c l i n e d

p l a n e w h i c h m a k e s a n a n g l e o f = 3 0

w i t h t h e h o r i z o n t a l ( s e e F i g . 3 . 7 ) . A

1 0 - k g m a s s w i s r e l e a s e d f r o m r e s t a t t h e t o p o f t h e i n c l i n e a n d i s b r o u g h t t o

r e s t m o m e n t a r i l y a f t e r c o m p r e s s i n g t h e s p r i n g 2 . 0 m e t e r s . ( a ) T h r o u g h w h a t

d i s t a n c e d o e s t h e m a s s s l i d e b e f o r e c o m i n g t o r e s t ? ( b ) W h a t i s t h e s p e e d o f

t h e m a s s j u s t b e f o r e i t r e a c h e s t h e s p r i n g ?

F i g . 3 . 7 .



3 T h e C o n s e r v a t i o n o f E n e r g y 9

3 . 1 4 . A b o d y m o v i n g a l o n g t h e - a x i s i s s u b j e c t t o a f o r c e r e p e l l i n g i t f r o m

t h e o r i g i n , g i v e n b y p = k . ( a ) F i n d t h e p o t e n t i a l e n e r g y f u n c t i o n ( ) f o r

t h e m o t i o n a n d w r i t e d o w n t h e c o n s e r v a t i o n o f e n e r g y c o n d i t i o n . ( b ) D e s c r i b e

t h e m o t i o n o f t h e s y s t e m a n d s h o w t h a t t h i s i s t h e k i n d o f m o t i o n w e w o u l d

e x p e c t n e a r a p o i n t o f u n s t a b l e e q u i l i b r i u m .

3 . 1 5 . I f t h e m a g n i t u d e o f t h e f o r c e o f a t t r a c t i o n b e t w e e n a p a r t i c l e o f m a s s

m

1

a n d o n e o f m a s s m

2

i s g i v e n b y

p = k

m

1

m

2

2

w h e r e k i s a c o n s t a n t a n d i s t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e p a r t i c l e s , n d ( a ) t h e

p o t e n t i a l e n e r g y f u n c t i o n a n d ( b ) t h e w o r k r e q u i r e d t o i n c r e a s e t h e s e p a r a t i o n

o f t h e m a s s e s f r o m =

1

t o =

1

+ .

3 . 1 6 . T h e m a g n i t u d e o f t h e f o r c e o f a t t r a c t i o n b e t w e e n t h e p o s i t i v e l y c h a r g e d

n u c l e u s a n d t h e n e g a t i v e l y c h a r g e d e l e c t r o n i n t h e h y d r o g e n a t o m i s g i v e n b y

p = k

2

r

2

w h e r e i s t h e c h a r g e o f t h e e l e c t r o n , k i s a c o n s t a n t , a n d r i s t h e s e p a r a t i o n

b e t w e e n e l e c t r o n a n d n u c l e u s . A s s u m e t h a t t h e n u c l e u s i s x e d . T h e e l e c t r o n ,

i n i t i a l l y m o v i n g i n a c i r c l e o f r a d i u s

1

a b o u t t h e n u c l e u s , j u m p s s u d d e n l y

i n t o a c i r c u l a r o r b i t o f s m a l l e r r a d i u s

2

. ( a ) C a l c u l a t e t h e c h a n g e i n k i n e t i c

e n e r g y o f t h e e l e c t r o n , u s i n g N e w t o n ' s s e c o n d l a w . ( b ) U s i n g t h e r e l a t i o n

b e t w e e n f o r c e a n d p o t e n t i a l e n e r g y , c a l c u l a t e t h e c h a n g e o f p o t e n t i a l e n e r g y

o f t h e a t o m . ( c ) S h o w b y h o w m u c h t h e t o t a l e n e r g y o f t h e a t o m h a s c h a n g e d

i n t h i s p r o c e s s . ( T h e t o t a l e n e r g y w i l l p r o v e t o h a v e d e c r e a s e d ; t h i s e n e r g y i s

g i v e n o i n t h e f o r m o f r a d i a t i o n . )

3 . 1 7 . T h e p o t e n t i a l e n e r g y c o r r e s p o n d i n g t o a c e r t a i n t w o - d i m e n s i o n a l f o r c e

e l d i s g i v e n b y ( Y y ) =

1

2

k (

2

+ y

2

) . ( a ) D e r i v e p

x

a n d p

y

a n d d e s c r i b e

t h e v e c t o r f o r c e a t e a c h p o i n t i n t e r m s o f i t s C a r t e s i a n c o o r d i n a t e s a n d y .

( b ) D e r i v e p

r

a n d p

a n d d e s c r i b e t h e v e c t o r f o r c e a t e a c h p o i n t i n t e r m s o f

t h e p o l a r c o o r d i n a t e s r a n d o f t h e p o i n t . ( c ) C a n y o u t h i n k o f a p h y s i c a l

m o d e l o f s u c h a f o r c e ?

3 . 1 8 . T h e s o - c a l l e d Y u k a w a p o t e n t i a l

( r ) =

r

0

r

0

r = r

0

g i v e s a f a i r l y a c c u r a t e d e s c r i p t i o n o f t h e i n t e r a c t i o n b e t w e e n n u c l e o n s ( t h a t

i s , n e u t r o n s a n d p r o t o n s , t h e c o n s t i t u e n t s o f t h e n u c l e u s ) . T h e c o n s t a n t r

0

i s a b o u t 1 X 5

¢ 1 0

1 5

m e t e r a n d t h e c o n s t a n t

0

i s a b o u t 5 0 M e v . ( a ) F i n d

t h e c o r r e s p o n d i n g e x p r e s s i o n f o r t h e f o r c e o f a t t r a c t i o n . ( b ) T o s h o w t h e s h o r t

r a n g e o f t h i s f o r c e , c o m p u t e t h e r a t i o o f t h e f o r c e a t r = 2 r

0

, 4 r

0

, a n d 1 0 r

0

t o t h e f o r c e a t r = r

0

.



S o l u t i o n s

P r o b l e m s o f C h a p t e r 1

1 . 1

mg

1 2

F i g . 3 . 8 .

D e l a F i g . 3 . 8 , l a s e c u a c i o n e s d e l m o v i m i e n t o s o n :

m c o s =

p

2 x

m = m s i n 2 "

k

x

A

d e d o n d e = ( s i n

p

2 "

k

c o s ) .

1 . 2 L a s s o l u c i o n e s s o n : ( a ) = 2 % ¡

3

3 : 1 4

¡ 5 = 3 0 . 0 2 c m / s e c . ( b ) =

v

2

r

=

1 8 0 . 1 8 c m / s e c

2

. ( c )

r

=

m v

2

r

= 1 8 0 . 1 8 m d i n a s . ( d )

r

e s m a x i m a , p o r t a n t o

p

r

= " x = " m , d e d o n d e " =

1

9 8 0

2 % ¡

3

3 : 1 4

¡

2

¡ 1 0 = 0 X 3 6 7 7 .

E s t e p r o b l e m a t i e n e i n t e r e s p o r q u e e s u n c a s o p a r t i c u l a r d e l p r o b l e m a

s i g u i e n t e .

2 D e b e m o s d e d i s t i n g u i r d o s c a s o s , a s a b e r :

C u a n d o l a f r e c u e n c i a e s m n i m a , #

m n

, l a f u e r z a d e r o z a m i e n t o a d q u i e r e

s u m a x i m o v a l o r d i r i g i d a h a c i a a r r i b a F i g . 3 . 9 ( a ) .



1 2 S o l u t i o n s

C u a n d o l a f r e c u e n c i a e s m a x i m a , #

m a x

, l a f u e r z a d e r o z a m i e n t o a d q u i e r e

s u m a x i m o v a l o r d i r i g i d a h a c i a a b a j o F i g . 3 . 9 ( b ) .

θ

N

f s

mg

( a )

m n

θ

N

f s

mg

( b )

m a x

F i g . 3 . 9 .

D e l a F i g . 3 . 9 ( a ) , t e n e m o s q u e l a s c o m p o n e n t e s h o r i z o n t a l y v e r t i c a l d e l a

e c u a c i o n d e l m o v i m i e n t o c o n d u c e n a l s i s t e m a :

x s i n

s

c o s = 4 %

2

m #

2

m n

r

x c o s +

s

s i n = m

A

L a f u e r z a d e r o z a m i e n t o t o m a s u m a x i m o v a l o r ,

s

= " x , d i v i d i e n d o l a

p r i m e r a e c u a c i o n e n t r e l a s e g u n d a y d e s p e j a n d o #

m n

, o b t e n e m o s :

#

m n

=

1

2 %

s

r

¡

s i n

" c o s

c o s + " s i n

D e l a F i g . 3 . 9 ( b ) p o r u n p r o c e s o c o m p l e t a m e n t e a n a l o g o , o b t e n e m o s :

#

m a x

=

1

2 %

s

r

¡

s i n + " c o s

c o s

" s i n

P o r t a n t o , s i q u e r e m o s m a n t e n e r s i n d e s l i z a r ( n i a b a j o n i a r r i b a ) a l a

p a r t c u l a , l a f r e c u e n c i a d e b e m a n t e n e r s e e n t r e l o s v a l o r e s e x t r e m o s h a l l a d o s :

1

2 %

s

r

¡

s i n " c o s

c o s + " s i n

#

1

2 %

s

r

¡

s i n + " c o s

c o s " s i n

E s o p o r t u n o s e ~ n a l a r q u e c u a n d o = 0

s e r e d u c e a l p r o b l e m a a n t e r i o r ,

q u e p o d r a m o s d e n o m i n a r e l p r o b l e m a d e l T o c a d i s c o s y c u a n d o = 9 0

a l

p r o b l e m a T h e R o t o r e x p u e s t o e n e l l i b r o .



S o l u t i o n s 1 3


2 . 1

θ

θ

N

mg

F

f

F i g . 3 . 1 0 .

D e l a F i g . 3 . 1 0 , t e n e m o s :

p + m s i n = 0

x m c o s = 0

= " x

W

b

a

b

Y

( a ) D e l s i s t e m a , t e n e m o s p = m ( s i n

" c o s ) = 1 0 0 ( 0 X 6

0 X 1 0

¢ 0 X 8 ) =

5 2 l b . ( b )

F

= 5 2 ¢ 5 ¢ c o s 1 8 0

= 2 6 0 f t - l b . ( c )

g

= 1 0 0 ¢ 0 X 6 ¢ 5 =

3 0 0 f t - l b . ( d )

s u r f a c e

=

N

+

f

= 0 + 0 X 1 0 ¢ 1 0 0 ¢ 0 X 8 ¢ 5 ¢ c o s 1 8 0

=

4 0 f t - l b . ( e ) 0 . ( f ) 0 .

2 . 2

N

Fmg

f

θ

F i g . 3 . 1 1 .

D e l a F i g . 3 . 1 1 , t e n e m o s :




p c o s = 0

x

m

p s i n = 0

= "

k

x

W

b

a

b

Y

D e l s i s t e m a t e n e m o s p =

k

m g

c o s

k

s i n

, d e d o n d e = p c o s

¡ =

k

1

k

t a n

¢ m =

0 : 2

1 0 : 2 0 t a n 4 5

¢ 6 0 ¢ 3 0 f t - l b = 4 5 0 f t - l b .

2 . 3

l θ

θ0

d

T

Fmg

F i g . 3 . 1 2 .

D e l a F i g . 3 . 1 2 , t e n e m o s :

p s i n = 0

c o s m = 0

A

( a ) p = m t a n

0

= m

d

p

l

2

d

2

=

m g

q

(

l

d

)

2

1

=

5 0 0

p

9 9

l b % 5 0 X 2 5 l b . ( b )

N o , e l d e s p l a z a m i e n t o e s n u l o . ( c ) S , =

0

0

p l c o s = m l

0

0

s i n =

m l ( 1 c o s

0

) = m l

1

p

l

2

d

2

l

= m l

1

q

1

d

l

¡

2

= 5 0 0 ¢ 4 0 ¢

1

p

0 X 9 9

¡

% 1 0 0 X 2 5 f t - l b . N o , l a f u e r z a e s n o r m a l a l d e s p l a z a m i e n t o .

2 . 4 w = w

g

4

¡

, d e d o n d e =

3

4

w . E l t r a b a j o e s =

3

4

w ( ) =

3 M g d

4

.

2 . 5

D e l a F i g . 3 . 1 3 , t e n e m o s :

p c o s

= 0

x + p s i n m = 0

= "

k

x

W

b

a

b

Y




θ

FN

f

mg

F i g . 3 . 1 3 .

( a ) 0 , p u e s l a r e s u l t a n t e e s n u l a ( v e l o c i d a d c o n s t a n t e ) . ( b )

F

= p c o s ¢

= 7 X 6 8 c o s 1 5

¢ 4 X 0 6 J % 3 0 X 1 2 J . ( c )

f

=

F

% 3 0 X 1 2 J , p u e s

N

=

g

= 0 . ( d ) D e l s i s t e m a t e n e m o s "

k

=

F c o s

m g F s i n

=

7 : 6 8 c o s 1 5

3 : 5 7 ¢ 9 : 8 7 : 6 8 s i n 1 5

%

0 X 2 2 4 8 .


3 . 1 E s o b v i o p o r l a c o n s e r v a c i o n d e l a e n e r g a m e c a n i c a . P r o b e m o s l o d i r e c -

t a m e n t e , t e n e m o s e l s i g u i e n t e s i s t e m a d e e c u a c i o n e s :

=

0

c o s ¡ t

y =

0

s i n ¡ t

1

2

t

2

x

=

0

c o s

y

=

0

s i n

t

W

b

b

b

b

b

a

b

b

b

b

b

Y

T o m e m o s l a a l t u r a y = , d e l a s e g u n d a e c u a c i o n :

=

0

s i n ¡ t

1

2

t

2

,

e q u i v a l e n t e a

t

2

2

0

s i n

¡ t +

2

= 0 ,

r e s o l v i e n d o p a r a t e n c o n t r a m o s l o s t i e m p o s d e v u e l o e n q u e e l p r o y e c t i l a l c a n z a

l a a l t u r a , l o s t i e m p o s s o n :

t =

0

s i n

¦

s

2

0

s i n

2

2

2

.

S u s t i t u y e n d o e n l a c u a r t a e c u a c i o n d e l s i s t e m a , e n c o n t r a m o s :

y

=

0

s i n

H

d

0

s i n

¦

s

2

0

s i n

2

2

2

I

e

= ¦

q

2

0

s i n

2

2 .




P o r t a n t o :

=

q

2

x

+

2

y

=

q

2

0

c o s

2

+

0

s i n

2

2 =

q

2

0

2 .

Q u e n o d e p e n d e d e l a n g u l o d e p r o y e c c i o n .

3 . 2 T o m a n d o c o m o r e f e r e n c i a p a r a l a e n e r g a p o t e n c i a l l a h o r i z o n t a l q u e p a s a

p o r e l c e n t r o d e r o t a c i o n , t e n e m o s :

0 =

1

2

m

2

m l , d e d o n d e =

p

2 l =

p

2 ¡ 3 2 ¡ 4 f t / s e c = 1 6 f t / s e c .

3 . 3

l

d

T

mg

A

F i g . 3 . 1 4 .

S i l a p a r t c u l a h a d e r i z a r e l r i z o , t i e n e q u e l l e g a r a l p u n t o e d e l a F i g . 3 . 1 4

c o n u n a v e l o c i d a d

A

a c o t a d a i n f e r i o r m e n t e y c u y a m a x i m a c o t a i n f e r i o r

h e m o s d e d e t e r m i n a r . D e l a e c u a c i o n p a r a l a a c e l e r a c i o n c e n t r p e t a e n e l

p u n t o e , t e n e m o s :

m + =

m

2

A

l

,

l a v e l o c i d a d e n e v i e n e c o n d i c i o n a d a p o r l a l i g a d u r a

! 0 , q u e c o n d u c e a :

2

A

! ( l

) .

T o m a n d o l a m i s m a r e f e r e n c i a p a r a l a e n e r g a p o t e n c i a l q u e e n e l p r o b l e m a

a n t e r i o r , t e n e m o s q u e l a c o n s e r v a c i o n d e l a e n e r g a c o n d u c e a :

m

l 2 ( l )

¡

+

1

2

m

2

A

= 0 d e d o n d e

2

A

= 2 ( 2 l ) ,

s u s t i t u y e n d o e n l a d e s i g u a l d a d a n t e r i o r y c a n c e l a n d o e l f a c t o r , t e n e m o s :

2 ( 2

l )

! l

d e d o n d e

!

3 l

5




3 . 4 L a e n e r g a p o t e n c i a l , a l d e j a r c a e r l a b o l a , u n a p a r t e d e e l l a d e b e t r a n s -

f o r m a r s e e n e n e r g a p o t e n c i a l e l a s t i c a q u e , s i ¡ l e s p e q u e ~ n o , s e d e b e s u s t r a e r

a l a e n e r g a c i n e t i c a . D e a h , c a b e e s p e r a r s e u n a d i s m i n u c i o n d e l a v e l o c i d a d

r e s p e c t o d e l a s i t u a c i o n n o e l a s t i c a . L a s e c u a c i o n e s d i n a m i c a y d e l a c o n s e r -

v a c i o n d e l a e n e r g a s o n :

k ¡ l m =

m

2

l + ¡ l

0 =

1

2

m

2

m ( l + ¡ l ) +

1

2

k ( ¡ l )

2

W

b

b

a

b

b

Y

s i e n d o l a p r i m e r a e c u a c i o n u n a a p r o x i m a c i o n d e l a e c u a c i o n d e l m o v i m i e n t o ,

m u c h o m a s c o m p l e j a . S i p o n e m o s ¡ l ( l , e l a n t e r i o r s i s t e m a s e r e d u c e a :

k ¡ l m =

m

2

l

0 =

1

2

m

2

m l +

1

2

k ( ¡ l )

2

W

b

a

b

Y

S u s t i t u y e n d o e l v a l o r d e m

2

d e l a p r i m e r a e n l a s e g u n d a :

0 =

1

2

( k l ¡ l m l ) m l +

1

2

k ( ¡ l )

2

,

t e n e m o s l a e c u a c i o n d e s e g u n d o g r a d o e n ¡ l :

( ¡ l )

2

+ l ¡ l

3 m l

k

= 0 ,

t o m a n d o l a s o l u c i o n p o s i t i v a :

¡ l =

l +

q

l

2

+

1 2 m g l

k

2

=

l

2

2

r

1 +

1 2 m

k l

1

3

%

l

2

1 +

1

2

¡

1 2 m

k l

1

=

3 m

k

.

D o n d e s e h a s u p u e s t o m ( k l y s e h a u s a d o l a a p r o x i m a c i o n

p

1 + % 1 +

1

2

p o r m e d i o d e l t e o r e m a d e l b i n o m i o g e n e r a l i z a d o y s u p o n i e n d o

j

j ̀ 1 y

( 1 .

P a r a o b t e n e r l a v e l o c i d a d , i n t r o d u c i m o s l a a n t e r i o r a p r o x i m a c i o n e n l a

s e g u n d a e c u a c i o n d e l s i s t e m a o r i g i n a l ( l a u n i c a e x a c t a ) , o b t e n i e n d o :

0 =

1

2

m

2

m

¡

3 m

k

+

1

2

k

¡

9 m

2

2

k

2

,

d e d o n d e :

=

r

2 l + 2 ¡

3 m

k

9 m

2

k

=

s

2

l

3 m

2 k

.




3 . 5 ( a ) T o m a n d o l a r e f e r e n c i a d e e n e r g a p o t e n c i a l e n l a h o r i z o n t a l q u e p a s a

p o r e l p u n t o d e s u s p e n s i o n , t e n e m o s :

m l =

1

2

m

2

m l ,

d e d o n d e = 2

p

l . D e l a a c e l e r a c i o n c e n t r p e t a :

m =

m

2

l

,

t e n e m o s = m +

4 m g l

l

= 5 m . ( b ) D e l a F i g . 3 . 1 5 t e n e m o s e l s i s t e m a :

θ

θmg

T

l

F i g . 3 . 1 5 .

m c o s =

m

2

l

0 =

1

2

m

2

m l c o s

= m

W

b

b

b

b

a

b

b

b

b

Y

d e d o n d e :

c o s =

1

3

i . e . % 7 0

3 1

H

4 4

H H

.

3 . 6 ( a ) T o m a n d o c o m o r e f e r e n c i a d e e n e r g a p o t e n c i a l l a h o r i z o n t a l q u e p a s a

p o r e l p u n t o d e s u s p e n s i o n , l a e n e r g a m e c a n i c a t o t a l e s

1

2

m

2

0

m l c o s

0

;

( b ) d e l a c o n s e r v a c i o n d e l a e n e r g a ,

1

2

m

2

1

m l =

1

2

m

2

0

m l c o s

0

, d e

d o n d e ,

1

=

p

2

0

+ 2 l ( 1 c o s

0

) ; ( c ) d e b e m o s t e n e r

1

2

m

2

0

m l c o s

0

! 0 ,

p o r t a n t o

0

!

p

2 l c o s

0

, i . e .

2

=

p

2 l c o s

0

; ( d ) p a r a c o m p l e t a r l a

c i r c u n f e r e n c i a s e d e b e m a n t e n e r t e n s a l a c u e r d a l o q u e e x i g e q u e l a v e l o c i d a d

d e l a p a r t c u l a e n s u p o s i c i o n m a s a l t a n o s e a n u l a , e s d e c i r

m v

2

l

= m + , c o n

b 0 , i . e . b

p

l , p o r l a c o n s e r v a c i o n d e l a e n e r g a

1

2

m

2

0

m l c o s

0

=

1

2

m

2

+ m l b

1

2

m l + m l , d e d o n d e

0

b

p

l ( 3 l + 2 c o s

0

) , i . e .

3

=

p

l ( 3 l + 2 c o s

0

) .

3 . 7 E n e l q u i l i b r i o , m = k , d e d o n d e k = m a . S i t o m a m o s e l o r i g e n

d e e n e r g a p o t e n c i a l y d e l s i s t e m a d e c o o r d e n a d a s v e r t i c a l e n l a p o s i c i o n d e




e q u i l i b r i o d e l m u e l l e s i n c a r g a , p o r l a c o n s e r v a c i o n d e l a e n e r g a , 0 =

1

2

m

2

+

m y +

m g

2 d

y

2

, e n l a p o s i c i o n d e m a x i m o e s t i r a m i e n t o d e l m u e l l e = 0 , d e

d o n d e y = 2 . E s d e c i r e l m u e l l e s e e s t i r a u n a l o n g i t u d 2 .

3 . 8 S i e s l a d i s t a n c i a a l a q u e s e c o m p r i m e e l m u e l l e , m = 1 a 2 k

2

, d e

d o n d e =

q

2 m g h

k

=

q

2 ¢ 2 : 0 ¢ 9 : 8 ¢ 0 : 4 0

1 9 6 0

% 0 X 0 8 9 4 m e t e r .

3 . 9 ( a ) P o r l a c o n s e r v a c i o n d e l a e n e r g a :

m +

1

2

m

2

B

= m +

1

2

m

2

0

d e d o n d e

B

=

0

,

m

2

+

1

2

m

2

C

= m +

1

2

m

2

0

d e d o n d e

C

=

q

2

0

+ .

( b ) L a v e l o c i d a d e n h e s :

1

2

m

2

D

= m +

1

2

m

2

0

d e d o n d e

D

=

q

2

0

+ 2 ,

l a d e s a c e l e r a c i o n , d e 0 =

2

D

2 v , s e o b t i e n e =

v

2

0

+ 2 g h

2 L

. ( c ) P a r a u n p u n t o

d e l a t r a y e c t o r i a e n t r e e y f , p o r l a c o n s e r v a c i o n d e l a e n e r g a :

1

2

m

2

+ m y = m d e d o n d e =

p

2 (

y ) .

E s d e c i r :

s

t

2

+

y

t

2

=

p

2 ( y ) ,

d e s p e j a n d o t :

t =

t

0

t =

a

0

s

1 + ( y

H

( ) )

2

2 ( y ( ) )

e l n u m e r a d o r e s m a y o r o i g u a l q u e 1 y e l d e n o m i n a d o r t i e n d e a c e r o e n l o s

l m i t e s d e i n t e g r a c i o n , c a b e e s p e r a r q u e l a i n t e g r a l e s d i v e r g e n t e .

3 . 1 0 ( a ) m

¡ 5 = m +

1

2

m

2

, d e d o n d e

2

= 8 y l a t e n s i o n =

m v

2

R

=

8 m . S i p e s l a r e s u l t a n t e , p =

p

6 4 m

2

2

+ m

2

2

=

p

6 5 m , e l a n g u l o , , q u e

f o r m a c o n l a h o r i z o n t a l h a c i a d e n t r o d e l c r c u l o , t a n =

1

8

, o s e a , % 7

7

H

3 0

H H

.

( b ) P o r l a t e r c e r a l e y = m y d e m + =

m v

2

R

, d e d o n d e

2

= 2 . S i

e s l a a l t u r a b u s c a d a , m = m ¡ 2 +

1

2

m ¡ 2 , s e o b t i e n e = 2 + = 3 .

3 . 1 1 ( a ) E n l a p a r t e m a s a l t a d e l c r c u l o t e n d r a m o s m + =

m v

2

R

, l a

m e n o r v e l o c i d a d e n e s t e p u n t o ( = 0 ) e s =

p

. P o r l a c o n s e r v a c i o n d e l a

e n e r g a

1

2

m

2

m

=

1

2

m ¡ + m ¡ 2 , d e d o n d e

m

=

p

5 . ( b ) E n e l p u n t o ,

t e n e m o s

m v

2

P

R

= + m s i n , c o m o = 0 , s e d e s p r e n d e

P

=

p

s i n . P o r

l a c o n s e r v a c i o n d e l a e n e r g a

1

2

m ¡ s i n + m ¡ ( 1 + s i n ) =

1

2

¡ 0 X 7 7 5

2

¡ 5 ,

d e d o n d e =

5 ¡ 0 : 7 7 5

2

2

3

, e l a n g u l o e s = 1 9

2 8

H

1 6

H H

.




θ

r mg

N

F i g . 3 . 1 6 .

3 . 1 2

D e l a F i g . 3 . 1 6 , t e n e m o s ( a ) = ¡ =

m r ( 1

c o s ) ; ( b ) D e l a

c o n s e r v a c i o n d e l a e n e r g a m e c a n i c a ¡ u + ¡ = 0 , s e d e s p r e n d e u = ¡ u =

m r ( 1 c o s ) ; ( c ) c o m o

R

=

v

2

r

y u =

1

2

m

2

= m r ( 1 c o s ) , t e n e m o s

R

= 2 ( 1 c o s ) , p a r a l a a c e l e r a c i o n t a n g e n c i a l , d e m

T

= m s i n , t e n e m o s

T

= s i n ; ( d ) d e l a s e g u n d a l e y d e N e w t o n p a r a l a a c e l e r a c i o n c e n t r p e t a

m

R

=

m

2

r

= m c o s x

p a r a q u e e l b l o q u e s e d e s p r e n d a d e l a e s f e r a , l a f u e r z a n o r m a l d e b e a n u l a r s e ,

x = 0 , s u s t i t u y e n d o l a e x p r e s i o n d e

R

e n f u n c i o n d e l a n g u l o , l l e g a m o s a q u e

e l a n g u l o

1

, e n q u e e l b l o q u e s e s e p a r a d e l a e s f e r a , c u m p l e l a e c u a c i o n :

2 ( 1 c o s

1

) = c o s

1

Y c o s

1

=

2

3

Y

1

% 4 8

1 1

H

2 3

H H

.

( e ) D e l t e o r e m a t r a b a j o - e n e r g a , t e n e m o s :

f

= ¡ u + ¡

d o n d e

f

e s e l t r a b a j o d e b i d o a l a f u e r z a d e r o z a m i e n t o q u e e s n e g a t i v o , p u e s

l a f u e r z a d e r o z a m i e n t o s e o p o n e a l m o v i m i e n t o , i . e .

f

̀ 0 Y d e d o n d e ¡ u ̀ ¡ Y e s d e c i r ,

1

2

m

2

` m r ( 1 c o s )

c o n s e c u e n t e m e n t e

m

2

r

̀ 2 m ( 1 c o s )

D e l a e c u a c i o n d e l m o v i e n t o p a r a l a a c e l e r a c i o n c e n t r p e t a r e s u l t a l a d e s i g u a l -

d a d :

m c o s x ̀ 2 m ( 1 c o s )




e l a n g u l o d e s e p a r a c i o n ,

2

, s e o b t i e n e e x i g i e n d o x = 0 , l o q u e i m p l i c a :

m c o s

2

̀ 2 m ( 1 c o s

2

) Y d e d o n d e , c o s

2

̀

2

3

Y e s d e c i r ,

2

b

1

,

l a s e p a r a c i o n t i e n e l u g a r p a r a u n a n g u l o m a y o r q u e e l a n t e r i o r .

3 . 1 3 ( a ) L l a m a r e m o s s a l a d i s t a n c i a q u e s e d e s l i z a l a m a s a j u s t o a n t e s d e

a l c a n z a r e l m u e l l e , = 2 m , l a d i s t a n c i a q u e s e c o m p r i m e e l m u e l l e y a l a

a l t u r a d e l p l a n o i n c l i n a d o . T e n e m o s e l s i s t e m a :

= ( s + ) s i n

m =

1

2

k

2

W

a

Y

L a d i s t a c i a t o t a l , s + , q u e r e c o r r e l a m a s a e s

s + =

k

2

2 m s i n

% 4 X 0 8 m

( b ) D e

1

2

m

2

+ m s i n = m , t e n e m o s =

p

2 s s i n % 4 X 5 2 m / s .

3 . 1 4 ( a ) ( ) =

x

0

k + ( 0 ) =

1

2

k

2

, d o n d e s e h a t o m a d o ( 0 ) = 0 .

L a c o n s e r v a c i o n d e l a e n e r g a e s

1

2

m

2

1

2

k

2

= i .

L a g r a c a d e l a e n e r g a p o t e n c i a l e s

( )

( b ) L a d e s c r i p c i o n d e l m o v i m i e n t o d e p e n d e d e l s i g n o d e i .

i ̀ 0 . E n e s t e c a s o e l m o v i m i e n t o s e e n c u e n t r a c o n n a d o a u n a d e d o s

s e m i r r e c t a s y h a y d o s p u n t o s d e r e t o r n o , v e a m o s , d e l a c o n s e r v a c i o n d e l a

e n e r g a t e n e m o s

2

=

2 E

m

+

k x

2

m

, c o m o

2

! 0 , e n n u e s t r o c a s o




2 j i j

m

+

k

2

m

! 0 @ A j j !

r

2 j i j

k

l o q u e n o s p r o p o r c i o n a l a s s e m i r r e c t a s d o n d e s e e n c u e n t r a c o n n a d o e l

m o v i m i e n t o y l o s p u n t o s d e r e t o r n o . S u p o n g a m o s

0

b

q

2 j E j

k

y

0

̀ 0

p a r a t

0

= 0 . D e l a c o n s e r v a c i o n d e l a e n e r g a o b t e n e m o s

q

k x

2

m

2 j E j

m

= t s i 0 t t

1

d o n d e ( t

1

) = 0

i n t e g r a n d o

x

x

0

q

k x

2

m

2 j E j

m

=

t

0

t

n o s p r o p o r c i o n a l a s o l u c i o n

a r g c o s h

2

s

k

2

j i

j

3

a r g c o s h

2

s

k

2

j i

j

0

3

=

r

k

m

t

d e s p u e s d e a l g u n o s c a l c u l o s t e n e m o s

( t ) =

r

2

j i

j

k

c o s h

2

r

k

m

t a r g c o s h

2

s

k

2

j i

j

0

3 3

s i 0 t t

1

.

D e r i v a n d o

( t ) =

r

2 j i j

m

s i n h

2

r

k

m

t a r g c o s h

2

s

k

2 j i j

0

3 3

d e l a c o n d i c i o n ( t

1

) = 0 o b t e n e m o s t

1

=

p

m

k

a r g c o s h

q

k

2 j E j

0

, d o n d e

a l c a n z a e l p u n t o d e r e t o r n o ( t

1

) =

q

2 j E j

k

.

P a r a t

! t

1

l a v e l o c i d a d c a m b i a d e s i g n o y l a e c u a c i o n d e l a c o n s e r v a c i o n

d e l a e n e r g a e s

q

k x

2

m

2 j E j

m

= t s i t

! t

1

d o n d e ( t

1

) = 0

i n t e g r a n d o

x

q

2 j E j

k

q

k x

2

m

2 j E j

m

=

t

p

m

k

a r g c o s h

q

k

2 j E j

x

0

t

l a s o l u c i o n e s




a r g c o s h

2

s

k

2 j i j

3

a r g c o s h 1 =

r

k

m

2

t

r

m

k

a r g c o s h

2

s

k

2 j i j

0

3 3

c o m o a r g c o s h 1 = 0 o b t e n e m o s p a r a ( t ) l a m i s m a f o r m u l a q u e a n t e s .

C u y a g r a c a c o n j u n t a e s

t

( t )

p

m

k

a r g c o s h

q

k

2 j E j

0

q

2 j E j

k

0

P a r a

0

! 0 e l t r a t a m i e n t o e s a n a l o g o . L o m i s m o s i

0

̀

q

2 j E j

k

.

i = 0 . S i s u p o n e m o s

0

b 0 l a d e s c r i p c i o n e s m u y d i s t i n t a s i s u p o n e m o s

0

̀ 0 o

0

! 0 .

{

0

̀ 0 . S u p o n e m o s , a p a r t i r d e l a c o n s e r v a c i o n d e l a e n e r g a , q u e

= k s i 0 ` t ` t

1

d o n d e ( t

1

) = 0

i . e .

x

x

0

= k

t

0

t

c u y a s o l u c i o n e s

( t ) =

0

e x p ( k t )

c u y a g r a c a e s




t

( t )

0

d e l o q u e s e d e d u c e t

1

= I .

{

0

b 0 . O b t e n e m o s

( t ) =

0

e x p ( k t )

c u y a g r a c a o b v i a m e n t e e s

t

( t )

0

{ i b 0 . S i s u p o n e m o s

0

b 0 y

0

̀ 0 . P o r u n p r o c e d i m i e n t o a n a l o g o

a l p r i m e r c a s o , o b t e n e m o s

( t ) =

r

2 i

k

s i n h

2

r

k

m

t a r g s i n h

2

r

k

2 i

0

3 3

c u y a g r a c a e s




t

( t )

0

S i i = 0 . = 0 e s u n p u n t o d e e q u i l i b r i o p e r o a p o c o q u e s e a p a r t e d e e s t e

l o h a c e e x p o n e n c i a l m e n t e c o m o m u e s t r a e l s e g u n d o s u b c a s o d e l s e g u n d o c a s o

( i = 0 Y

0

b 0 ) .

3 . 1 5 ( a ) P o r s e r l a f u e r z a a t r a c t i v a

p = k

m

1

m

2

2

l a e n e r g a p o t e n c i a l e s

( I ) ( ) =

I

x

k

m

1

m

2

2

= k

m

1

m

2

t o m a n d o ( I ) = 0 t e n e m o s ( ) = k

m

1

m

2

x

. ( b ) L a f u e r z a q u e h a c e e l

t r a b a j o d e b e s e r o p u e s t a a p i . e . p

H

( ) = k

m

1

m

2

x

2

. E l t r a b a j o e s

=

x

1

+ d

x

1

k

m

1

m

2

2

= k m

1

m

2

1

1

+

1

1

=

k m

1

m

2

1

(

1

+ )

.

3 . 1 6 ( a ) S e t i e n e

m

e

2

2

2

= k

2

2

2

m

e

2

1

1

= k

2

2

1

W

b

b

a

b

b

Y

= A ¡ u = u

2

u

1

=

1

2

m

e

2

2

2

1

¡

=

k

2

(

2

1

)

2

1

2

( b )

¡ =

2

1

=

R

2

R

1

k

2

r

2

r =

k

2

(

2

1

)

1

2

( c )




¡ i = ¡ u + ¡ =

k

2

(

2

1

)

2

1

2

+

k

2

(

2

1

)

1

2

=

3 k

2

(

2

1

)

2

1

2

̀ 0

p u e s

2

`

1

.

3 . 1 7 ( a )

F = r ( Y y ) =

d

d

i

d

d y

j = k i k y j = k r X

( b )

p = k r = k r e

r

i . e . p

r

= k r Y p

= 0 X

( c ) O s c i l a d o r s i m p l e b i d i m e n s i o n a l , m u e l l e c o n l i b e r t a d e n e l p l a n o s i g u i e n d o

l a l e y d e H o o k e c o n l a m i s m a c o n s t a n t e p a r a c a d a d i m e n s i o n .

3 . 1 8 ( a )

F ( r ) =

d

d r

e

r

=

d

d r

r

0

r

0

r = r

0

e

r

=

r

0

r

2

0

r = r

0

1

r

0

r = r

0

e

r

=

r

0

r

+ 1

1

r

0

r = r

0

e

r

X

( b )

p ( r

0

) =

2

r

0

0

1

p ( 2 r

0

) =

3

4 r

0

0

2

p ( 4 r

0

) =

5

1 6 r

0

0

4

p ( 1 0 r

0

) =

1 1

1 0 0 r

0

0

1 0

W

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

a

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

Y

= A

p ( 2 r

0

)

p ( r

0

)

=

3

8

1

% 0 X 1 3 8 0

p ( 4 r

0

)

p ( r

0

)

=

5

3 2

3

% 0 X 0 0 7 8

p ( 1 0 r

0

)

p ( r

0

)

=

1 1

2 0 0

9

% 6 X 7 8 7 5

¢ 1 0

6

resnick, halliday. physics. volume i

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