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7/29/2019 Resume Automatique

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Automatique - Reprsentation Externe 2. Performances dun Systme : Stabilit - Prcision - Rapidit

TR 2. 1

2. Performances d'un Systme : Stabilit - Prcision - Rapidit

STABILITE

Condition gnrale de stabilit

Stabilit au sens strict

(systme asymptotiquement stable, stabilit au sens de Lyapunov)

Il y a retour l'quilibre aprs disparition de la perturbation.

Il est instable sil ny revient pas ou sil s'en carte.

Exemple : pendule simple

Autre dfinition de la stabilit (au sens large) :A entre borne correspond une sortie borne pour le systme.

Critre gnral de stabilit des systmes TC

y(t) = h(t)h(t)

Temps

1H(p)

Y(p) = H(p)

Frquence

( )t

Thorme : (hypothse de causalit)

TC : Un systme linaire TC est stable si et seulement si tousles ples de sa FT ont leur partie relle strictement ngative.

TD : TCTD : z epT= (T: priode dchantillonnage)

Un systme linaire TD est stable si et seulement si tous les ples

de sa FT ont leur module strictement infrieur 1.


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TR 2. 2

Lesples d'un systme caractrisent sa dynamique (stabilit).

Leszros dterminent sa rapidit (phase minimale).

Lieu des ples de la FT et stabilit (systmes TC)

Plus les ples de la FT sont loigns de l'axe imaginaire

(avec partie relle


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TR 2. 3

Exemple :

3me ordre (3 ples) constitu dun sous-systme du 1er ordre

(ple 2p

) et dun sous-systme du 2nd ordre (ples 1p

et

*

1

p)

Im p

Re p

1p

*

1p

2p

Critre algbrique de stabilit de Routh des systmes TC

Soit H pN p

D p( )

( )

( )= la FT d'un systme linaire continu ( TC)

Q p( ) : polynme caractristique de la stabilit

Stabilit de H p( ) : H(p) H pN p

D p( )

( )

( )=

Q p D p( ) ( )=

Stabilit du Systme Boucl H p( ) :+

-

H(p) H'(p)

=+

=

+

=+

H pH p

H p

N p

D p

N p

D p

N p

N p D p( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )11

Q p N p D p( ) ( ) ( )= +


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TR 2. 4

Q p a p a p a p ann

n

n( ) = + + + + =

1

1

1 0 0L 0na 0>n

Critre de Routh

1. Si certains coeffs ai 0, Q p( ) a des racines partie relle 0Le systme est donc instable (cas o au moins un a i < 0), ou juste

instable (cas o au moins un a i = 0 avec les autres coeffs 0).

2. Tableau de Routh

On

crit

pn

:

pn - 1

:

an - 2

an

an - 1

an - 3

an - 4

an - 5

...

...

a1

si n impairou a

0si n pair

On

calcule

A1

A2

A3

...

B1

B2

B3

...

.

.

.

M1

M2

M3

...

N1

N2

N3

O1

O2

O3

...

...

pn - 2

:

pn - 3

:

p 2 :

p1

:

p0

:

On analyse

-

a1

si n pair

ou a0 si n impair

.

.

....

.

.

....

Calculs

Pivot : an1 :A

a a a a

a

n n n n

n

11 2 3

1

=

A

a a a a

a

n n n n

n

21 4 5

1

=

Pivot : A1 :B

A a a A

A

n n1

1 3 1 2

1

=

BA a a A

A

n n2

1 5 1 3

1

=

...

Pivot : N1 : O

N M M N

N11 2 1 2

1=


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TR 2. 5

Thorme

Une CNS de stabilit du systme est que tous les coefficients de la

1re colonne du tableau de Routh soient>0.

Le nombre de changements de signe des coefficients de la 1re

colonne est gal au nombre de ples instables.

Cas particuliers

1. Il apparat un 0 dans la 1re colonne seulement :

Un coeff. nul dans la 1re colonne indique la prsence dune (ou

des) racine(s) juste instable(s) ou instable(s) de )(pQ

Poursuite de la construction du tableau :

On remplace 0


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TR 2. 6

Exemple :

Stabilit du SB ( retour unitaire et comparateur +/-) de BO H p( )

en fonction du gainKde lamplificateur de la BO :

Systme en Boucle Ouverte (BO) : ( )H p

K

p p p( ) =

+ +5 102

Systme en Boucle Ferme (BF) : = + + +H p

K

p p p K( )

5 103 2

Polynme caractristique : Q p p p p K ( ) = + + +5 103 2

Tableau de Routh :

p

p

p

p

3

2

1

0

:

:

:

:

5

1

10 5 K

K

10

0

0

K

Le Systme Boucl (SB) H p( ) est stable si : 0


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TR 2. 7

Critre de stabilit de Nyquist des systmes TC

X(p)+

-

Y(p)E(p)

H(p) Y(p)X(p) H'(p)

=+

H pH p

H p( )

( )

( )1

Soit : +n : le nombre de ples partie relle > 0 de H p( ) )

n+ : le nombre de ples partie relle > 0 deH(p)

t : le nombre de tours compts algbriquement dans lesens trigonomtrique du lieu deH(p) autour du point -1.

On a : ++ = 'nnt ou encore : tnn = ++'

Theorme de Nyquist

Un Systme Boucl est stable ( ( ) =+n' 0 ) si et seulement si lenombre tde tours autour du point -1 du lieu de la BO est gal au

nombre de ples partie relle > 0 ( +n ) de la BO.


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TR 2. 8

Exemple 1 : H pK

p a p b p c( )

( )( )( )=

+ + +

0

Im[H(p)]

Re[H(p)]= +=

= 0= +0

-1

t= 0 Systmestable (sens large) enBF( 0' =+n ) si systme

stable (sens large) en BO, or ici 0=+n SB stable

Exemple 2 : H pK

p p b p c( )

( )( )=

+ +

0

Im[H(p)]

Re[H(p)]= +=

= 0

= +0

-1

t= 2 Systme instable enBF

( 0' >= ++ tnn , car +n ne peut tre


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TR 2. 9

Exemple 3 : ap

KppH

+=)(

0

Im[H(p)]

Re[H(p)]= +=-1

t= 1 Systmestable (sens large) enBF( 0' =+n ) si systme

instable en BO avec 1 ple instable, or ici 0=+n

Critre du revers

(critre simplifi, moins gnral que le critre de Nyquist)

Soit dterminer si un SB )(pH de BO H p( ) est stable (SB

comparateur +/- :)(1

)()(

pH

pHpH

+= )

. On se restreint des systmes stables en BO (au sens large, cest-

-dire tels que 0=+n )

. On limite le trac du lieu de Nyquist de la BO pourp restreint la branche p i= ( > 0) du contour de Bromwich


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TR 2. 10

Critre du revers dans le plan de Nyquist

Si lorsqu'on parcourt le lieu de la BO H i( ) dans le sens des ( varie de 0 + ), on laisse sur sa gauche le point -1 lorsquon

se trouve 0 telle que [ ]Arg H i( ) 0 = , le SB est stable

Exemple : H pK

p a p b p c( )

( )( )( )=

+ + +

0

Im[H(p)]

Re[H(p)]= +

= 0

-1

0

0

Im[H(p)]

Re[H(p)]= +

= 0-1

0

0

Im[H(p)]

Re[H(p)]= +

=0-1

0

SBstable SB limite stable SB instable

Critre du revers algbrique

Soit 0 telle que Arg H i[ ( )] 0 = .Si H i( )0 1< : SB stable

.Si H i( )0 1= : SB limite stable

.Si H i( )0 1> : SB instable

Critre du revers dans le plan de Bode

0 dB

0

H idB

( )

0

0

Arg H i[ ( )]

0 dB

0

H idB

( )

0

0

Arg H i[ ( )]

0 dB

0

H idB

( )

0

0

Arg H i[ ( )]

SB stable SB juste stable SB instable

H i dBdB

( )0 0< H i dBdB( )0 0= H i dBdB( )0 0>

0 : pulsation telle que Arg H i[ ( )] 0 =


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TR 2. 11

Critre du Revers dans le plan de Black

0 dB

H idB

( )

0

Arg H i[ ( )]

0 dB

H idB

( )

0Arg H i[ ( )]

0 dB

H idB

( )

0

Arg H i[ ( )]

SB stable SB juste stable SB instable

H i dBdB

( )0 0< H i dBdB( )0 0= H i dBdB( )0 0>

0 : pulsation telle que Arg H i[ ( )] 0=

Lieu des Racines (lieu d'Evans)

FTBO : H p KN p

D p( )

( )

( )=

Stabilit de la FTBF : racines de : D p K N p( ) ( )+ = 0

Polynme caractristique Q(p) : Q(p) = D(p) + K. N(p) = 0

Lorsque le gainKvarie de 0 + , les racines du polynmecaractristique dcrivent dans le plan complexe le lieu des racines.

Exemple :

BO : H pK

p p a( )

( )=

+ Polynme caractristique :

Q(p) = p(p + a) + K = 0 p ap K2 0+ + =


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TR 2. 12

Racines de Q(p) : ( 0 ) :

pa a

K

p a a K

1

2

2

2

2 4

2 4

= +

=

( < 0 ) :

pa

i Ka

p

a

i K

a

1

2

2

2

2 4

2 4

= +

=

-a K K0

Im( , )p p1 2

Re( , )p p1 2

Ka=

2

4 K= 0

a2

K= +

K= +

K= 0

Systme boucl Stable K>0


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TR 2. 13

Marges de stabilit

Marges de stabilit dans le plan de Nyquist

-1

cercle unit

0

Im[ ( )]H i

Re[ ( )]H i0

1

g

M

( )H i

Mg'

Soit 0 telle que : Arg H i[ ( )] 0 = :

.Mgg

g H idB = = = 201

20 20 0log log log ( )

Soit 1 telle que : H i( )1 1= :

. M Arg H i = + [ ( )]1

Marges de stabilit dans le plan de Bode

0 dB

0

H idB

( )

0

0

Arg H i[ ( )]

1

1

MgdB

M

Soit 0 telle que : Arg H i[ ( )] 0 = : .Mg H idB dB= ( )0

Soit 1 telle que : H i dBdB( )1 0= : . M Arg H i = + [ ( )]1


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TR 2. 14

Marges de stabilit dans le plan de Black

0 dB

H idB

( )

0

Arg H i[ ( )]1

MgdB

M

Soit 0 telle que : Arg H i[ ( )] 0 = : .Mg H idB dB= ( )0

Soit 1 telle que : H i dBdB( )1 0= : . M Arg H i = + [ ( )]1

Valeurs deMetMgassurant une bonne marge de stabilit :

M

Mg dBdB

=

=

45

10 (valeurs usuelles)

Abaque de Black

Lecture de labaque de Black

X(p)+

-

Y(p)T(p) X(p) Y(p) T p( )

T p( ) : FTBO T pT p

T p' ( )

( )

( )=

+1: FTBF

Trac BO T i( ) (coordonnes rectangulaires)

Abaques T i dB( ) et Arg T i[ ( )] (coordonnes curviligne)


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TR 2. 15

- 90 - 45

8 dB

6 dB

0dB

- 180 - 90 T i

dB( )

Arg T i[ ( )]

0 dB

-3 dB0dB

- 180 - 90 T i

dB( )

Arg T i[ ( )]

Abaques de gain

Abaques de phase

Exemple :

- 90 - 45

8 dB

6 dB

0dB

- 180 - 90 T i

dB( )

Arg T i[ ( )]

0 dB

-3 dB

M

T i( )

MM

A M , T i( ) est tel que :

T i dB

Arg T i

dB( )

( )

=

=

0

90

Abaques BF : =

=

T i dB

Arg T i

dB( )

( )

3

45


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TR 2. 16

Rsonance en BF

Le contour de l'abaque (en dB) que le lieu de la BO T i( )

tangente, indique la valeur maximale du module du gain de la BF

T i dB( ) et donc le facteur de rsonnance Q de la BF et la

pulsation de rsonnance r de la BF :

Exemple avec une BO rsonante :

8 dB

6 dB

0dB

T idB

( )

Arg T i[ ( )]

2.3 dB

T i( )

r

r

TdB0

r :pulsation de rsonance (BO) r :pulsation de rsonance (BF)

T dB0 : gain statique de la BO : T T idB dB0=

( ) pour =

0 T

dB0 : gain statique de la BF : = T T idB dB0 ( ) pour = 0 :

=+

TT

T0

0

01 T dBdB0 0

T i( ) passe par un maximum pour = r

Dans cet exemple: = Q dB T dB dB

2 30

.

= Q T i T dB dB dB

( )max

0

Avec : dBT dB 00 : =Q dBdB 2 3.

Comme =

Qm m

1

2 1 2, on a : m = 0 42. (amortissement de la

BF) si on assimile la BF un 2nd ordre.


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TR 2. 17

PRECISION - RAPIDITE

Exemples

- Asservissement de position de lobjectif dun appareil photo

(auto-focus)

Prcision

y

c

+

-

yH(p)

Prcision inverse de l'erreur ( ) ( ) ( )t y t y t c=

Prcision statique erreur statique ( ) lim ( ) lim ( )t t p pt p= = =

0

Prcision dynamique erreur dynamique (transitoire)

Ex.:rponse indicielle dun SB du 2nd ordre pseudo-oscillant

t

y(t)

0

)(y tc

( )t= y t( )= ( )t

Erreur dynamique

Erreur statique

La prcision si ( )t ( ) ( ) ( )t y t y t c=


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TR 2. 18

Prcision des Systmes Asservis Linaires (SAL)

Soit le SB de BO H p( ) (SB comparateur +/-)

y

c

+

-

yH(p)

Erreur ( ) ( ) ( )t y t y t c=

( ) [ ( )]p TL t=

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )

( )p Y p Y p Y p

H p

H pY p Y p

H pc c c c= =

+=

+1

1

1

Erreur absolue ( ) ( ) ( )t y t y t c= TL ( ) ( )

( )p Y p

H pc=

+

1

1

Erreur relative(y t C yc te c( ) = = ) ( )( ) ( )

( )ty t y t

y trelative c

c=

(%)

Prcision statique = = = =

( ) lim ( ) lim ( )t t p pt p 0

=

+lim ( )

( )pcpY p

H p0

1

1

Intgrateur (pur)

K p( ) possde un intgrateur (pur) si K p pK p( ) ( )=

11

K p( ) comporte n intgrateurs (purs) si K p p K pn( ) ( )=

1

1


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TR 2. 19

Gain en BO et gain en BF

BO )(tu )(tyBO)(pH BF

)(pH)(tyBF)(tyc

)(t+

-

0H gain statique de BO 0H gain statique de BF0

0

01 H

HH

+=

Rponses indicielles non unitaires :

BO BF

)(tyBO

0U

00UH

t

)(tu

)(tyBF

)(tyc0Y

00YH

t

0H 0

0

01 H

HH

+= 1


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TR 2. 20

Prcision statique dun Systme Boucl

n nombre dintgrateurs (purs) de la BO H p( ) H p pH p

n n( ) ( )=

1

Entre de consigne constante ( en chelon)

( )t erreur de position p t( ) erreur statique de position p

Consigne: chelon damplitude Y0 y t Y tc ( ) ( )= 0 de TL Y pY

pc ( ) =

0

Ex. : rponse indicielle dun SB du 2nd ordre pseudo-oscillant

t

y(t)

0

y t( )=

y t Yc ( ) = 0

p

=+

lim ( )( )p

cpY pH p0

1

1 p

pY

H p=

+lim

( )00

1

1

n = 0 :p

p

YK

=+

0

1

1

avec : K H H ppp

= =

00

lim ( ) : Gain statique de la BO

n 1: p = 0


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TR 2. 21

Entre de consigne en rampe

( )t erreur de vitesse v t( ) erreur statique de vitesse v

Consigne: rampe de pente a y t at tc ( ) ( )= de TL Y pa

pc ( ) = 2

Ex. : rponse dun SB du 2nd ordre pseudo-oscillant

t

y(t)

0

y tc ( )

v

= +lim ( ) ( )pcpY p H p0

1

1 v p

a

p H p=

+lim ( )0

1

1

n = 0 : v =

n = 1: vv

a

K=

avec : K H pH pvp

= =

100

lim ( )

n 2 : v = 0


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TR 2. 22

Entre de consigne en parabole

( )t erreur dacclration a t( ) erreur statique dacclration a

Consigne: parabole (param. b ) y tb

t tc ( ) ( )=2

2 de TL Y p

b

pc ( ) = 3

Ex. : rponse dun SB du 2nd ordre non oscillant

ty(t)

0

y tc ( )

a

= +lim ( )

( )pcpY p

H p01

1 a

p

b

p H p= +lim ( )0 21

1

n 1 : a =

n = 2 : aa

b

K=

avec : K H p H pa p= =

200

2lim ( )

n 3 : a = 0


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TR 2. 23

Rsum (les erreurs statiques unitaires sobtiennent pour

Y

a

b

0 1

1

1

=

=

=

)

y t( )

y t Y tc ( ) ( )= 0 y t at tc ( ) ( )= y tb

t tc ( ) ( )=2

2

n = 0 p

pp

YK

=+

0

1

1

v

v =

a

a =

n = 1 p

p = 0

v

vv

a

K=

a

a =

n = 2 p

p=

0

v

v=

0

a

a a

b

K=

p v a

K H H ppp

= =

00

lim ( ) : Gain statique de la BO

K H pH pv p

= =

10 0lim ( )

K H p H pa p

= =

20 0

2lim ( )


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TR 2. 24

Rapidit des systmes

Rapidit et stabilit

Exemple (lieu des ples) :

3me ordre (3 ples) = sous-systme du 1er ordre (ple 2p )

+ sous-systme du 2nd ordre (ples 1p et*

1p )

Im p

Re p

1p

*

1

p

2p

Sous-systme du 1er ordre gouvern par le ple 2p :

moins stable et moins rapide

que le sous-systme du 2nd ordre rgi par les ples 1p et*

1p ,

car 2p est situ plus prs de laxe imaginaire.

Les ples dominants (lents) sont situs le plus prs de laxe imaginaire


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TR 2. 25

Rapidit et stabilit dans le plan de Black

Exemple (lieu de Black) :

Module

Phase

BO BO plus rapide

BF plus stable

Rapidit dun systme en BO avance de temps avance de phase

dcalage vers la droite du lieu de la BO dans le plan de Black

stabilit la BF


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TR 2. 26

Performances dans le domaine frquentiel

+

-

Y(p)E(p)

H(p) Y(p)H'(p)Y pc ( )Y pc ( )

Frquence Temps(Plan de Black de la BO) (rponse indicielle de la BF)

Arg H

H01

| H | (BO)

1

2

3

H03

H02

2

2.3 dB

-6 dB

dB

r1

r2

r3

1

t

y(t)

0

yc

p

2

t

y(t)

0

yc

p

3

t

y(t)

0

yc

p

cyHty 10)( ==

cyHty

20)( ==

cyHty 30)( ==

cy t y

H

H y Hc c( )= = + =

0

0

0

1

1

11 p faible (H0 1 lev) = H dB0 1 1 =H dB1 2 3max .

dy t yH

Hy Hc c( )= =

+=

0

0

0

2

2

21 p leve (H0 2 faible) = H dB0 2 8 = H dB2 6max

ey t yH

Hy Hc c( )= =

+=

0

0

0

3

3

31 p nulle (H0 3 ) =H dB0 3 0 =H dB3 2 3max .


27/28


TR 2. 27

On dduit le facteur de rsonance de la BF assimile un 2nd ordre :

Qm m

=

1

2 1 2 0

max

H

H

=

dBenHH )( 0max =

c : Q dBdB = 3 3. 37.0=m

d : Q dBdB = 2 44.0=m e : Q dBdB = 2 3. 42.0=m

( m < 1: rgime pseudo-oscillant)

(rsonance si Q dBdB > 0 1>Q ( m < 0 7. ))

Pulsation de rsonance et rapidit

La pulsation de rsonance r du SB ( de la BF) est obtenue la

tangence de la BO au contour de labaque de Black de gain

(du fait que labaque de gain crot de faon concentrique au fur et mesure quon sapproche du point critique)

La pulsation de rsonance r du SB traduit sa rapidit :

plus un SB est rapide, plus r est leve.


28/28


Rappels sur la rponse en BO et en BF

Rponse indicielle de la BO Rponse indicielle de la BF

0H faible :

t0

A

AHtyBO 0)( ==

)(tyBO

t0

A

AH'tyBF 0)( == )(tyBF

p

0H lev :

t0

A

AHtyBO 0)( ==

)(tyBO

t

0

A

AH'tyBF 0)( ==

)(tyBF

p

0H infini (prsence dintgrateur pur sans la BO) :

t0

A

AHtyBO 0)( ==

)(tyBO

t

0

A

AH'tyBF 0)( ==

)(tyBF

0=p

0H 0

0

01 H

HH

+=

1

_________

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