Pontificia Universidad Catolica de ChileFacultad de MatematicasDepartamento de MatematicaCalculo II (mat1620)

Apuntes para Interrogacion 3Por Sebastian Soto R. (spsoto@uc.cl)

Indice

1. Aplicaciones de la integral 4

1.1. Areas entre curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2. Volumenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1. Volumenes de rotacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3. Momentos y centros de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.1. Sistema de partıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.2. Caso lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.3. Caso de una placa de densidad constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.4. Para volumenes de revolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4. Coordenadas parametricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5. Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5.1. Area en polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5.2. Volumenes de revolucion en polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.6. Longitud de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6.1. Coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6.2. Coordenadas parametricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.6.3. Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.7. Integrales de lınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.7.1. Coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.7.2. Coordenadas parametricas y polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.8. Superficies de revolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.8.1. En torno al eje x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.8.2. En torno al eje y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.8.3. Caso general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1

2. Integrales impropias 17

2.1. Integrales impropias de tipo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2. Integrales impropias de tipo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3. Estrategias para determinar la convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3. Series 21

3.1. Conceptos basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3. Criterios de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.3.1. Test de divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.3.2. Comparacion con sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.3.3. Convergencia absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.3.4. Convergencia condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.3.5. Series alternantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3.6. Criterio de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.3.7. Criterio del cuociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3.8. Criterio de la raız . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3.9. Criterios de Abel y Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3.10. Test-M de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3.11. Estrategias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.4. Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.4.1. Conceptos basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.4.2. Derivacion de series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.4.3. Integracion de series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.4.4. Convergencia uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.4.5. Productos de series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.4.6. Composicion de series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.4.7. Inverso multiplicativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.4.8. Teorema de Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2

3.4.9. Serie binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.4.10. Formulas importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.5. Series de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.5.1. Serie y polinomio de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.5.2. Resto de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4. Vectores y geometrıa en R3 42

4.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.2. Operaciones lineales en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.3. Producto escalar y norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.4. Rectas en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.5. Planos en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.6. Producto cruz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.6.1. Producto mixto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.7. Combinaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.8. Conjuntos equidistantes en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.9. Interseccion de planos y rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.10. Distancias a puntos y rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5. Curvas en Rn 56

5.1. Diferenciacion e integracion en vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.2. Longitud de curva y arcoparametro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.3. Propiedades geometricas de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3

1. Aplicaciones de la integral

1.1. Areas entre curvas

Sean f(x) y g(x) funciones reales e integrables y consideremos que A es el area comprendida entreambas curvas en el intervalo [a, b]. Supongamos a priori que f(x) ≥ g(x) ≥ 0 ∀x ∈ [a, b].

Por lo tanto, se puede considerar la particion P = {I1, . . . , In} para una funcion h(x) de modo que:

ˆ b

ah(x)dx = A

Intuitivamente, la suma de Riemann corresponderıa a:

n∑i=1

[f(ci)− g(ci)] ∆xi ci ∈ In

Por lo tanto, se tiene que:

ˆ b

ah(x)dx = lım

n→∞

n∑i=1

[f(ci)− g(ci)] ∆xi

El termino de la derecha se identifica con otra integral ya conocida, concluyendo que para este caso:

ˆ b

ah(x)dx =

ˆ b

a[f(x)− g(x)] dx

Pero en el intervalo [a, b]:

f(x) y g(x) no necesariamente tienen que ser positivas. Sin embargo, esto no altera el razona-miento de sustraccion para considerar el area entre curvas.

f(x)− g(x) � 0. Sin embargo, el area entre curvas tiene que ser necesariamente positiva, por lotanto, a modo general, sı se puede considerar la suma de Riemann:

A = lımn→∞

n∑i=1

|f(ci)− g(ci)|∆xi

El problema se reduce a evaluar el modulo segun corresponda.

Sean f(x) y g(x) funciones integrables, se asume el area entre curvas para el intervalo [a, b] como:

ˆ b

a|f(x)− g(x)| dx

Por lo tanto, se debe dividir el problema para obtener A1, . . . , Ak areas positivas como sea necesario.

4

Observacion: Para funciones definidas en terminos de y, tambien se puede hacer la integracionrespectiva siguiendo las convenciones del plano cartesiano (a mas a la derecha, mas positivo). Se sigueque:

A =

ˆ b

a|f(y)− g(y)| dy

Considerando que x1 = f(y) y x2 = g(y).

1.2. Volumenes

Se puede ubicar un solido en R3 por medio del sistema cartesiano, pero aun ası darle especial impor-tancia a los ejes x e y. Un solido S se puede dividir al “cortarlo” con planos transversales {P1, . . . , Pn}paralelos al plano Y Z.

Este conjunto de planos determinan una particion P para el eje x. Sea A(ci) el area contenida en elplano Pi, entonces se puede considerar la suma de Riemann

n∑i=1

A(ci)∆xi

Al refinar la particion, el valor se aproxima cada vez mas al volumen. Es decir,

V = lımn→∞

n∑i=1

A(ci)∆xi

Tenemos una suma de Riemann, asociada a una integral.

Sea S el solido contenido en [a, b]. Si la funcion continua A(x) es el area seccional de S en el plano Piperpendicular al eje x, entonces el volumen de S corresponde a:

V =

ˆ b

aA(x)dx

1.2.1. Volumenes de rotacion

En torno al eje x: Una funcion f(x) puede ser rotada en torno al eje x para formar un volumen. Dela definicion anterior, se tiene que el area de seccion transversal corresponderıa a un cırculo de radiof(x). Por lo tanto,

A(x) = πf2(x)

De donde se sigue el volumen del solido de revolucion generado por rotar f(x) en torno al eje x y enel intervalo [a, b] corresponde a:

5

V =

ˆ b

aπf2(x)dx

Tambien se puede generalizar el concepto para el volumen entre dos funciones f(x) y g(x). En dichocaso,

V =

ˆ b

aπ(f2(x)− g2(x)

)dx

En torno al eje y: Para rotar una funcion monotona creciente en torno al eje y, se pueden considerarlas secciones transversales paralelas al eje x. Es decir,

A(y) = πx2 (considerando que y = f(x))

Ademas, y = f(x) =⇒ dy = f ′(x)dx. Como el volumen a buscar es:

ˆ f(b)

f(a)A(y)dy =

ˆ b

aπx2f ′(x)dx

Por casquetes cilındricos: Se puede calcular el volumen de rotacion de lo que esta bajo la curva f(x)en torno al eje y por medio de este metodo.

El solido generado por la revolucion puede ser dividido en casquetes cilındricos con altura paralela aleje y. El area del casquete para un punto x en el intervalo de integracion serıa:

A(x) = 2πxf(x)

Luego, el volumen del solido corresponde a la suma de estos casquetes. Es decir,

V =

ˆ b

a2πxf(x)dx

Para obtener un metodo de integracion analogo al de la rotacion en torno al eje y, y que sı es util parafunciones no inyectivas, se puede tomar:

V1 =

ˆ b

a2πxf(x)dx

V2 = πb2 ·max {f(x) : x ∈ [a, b]} − πa2f(a)

De esta forma, el volumen buscado resulta ser:

V = V2 − V1

6

1.3. Momentos y centros de masa

Definiciones:

Se entiende por centro de masa (o centroide) como aquel punto geometrico de un sistema en elque se considera como si estuvieran aplicadas en el todas las fuerzas resultantes.

Se entiende por momento como la suma de los productos de cada punto con masa del sistemapor su respectivo vector posicion.

1.3.1. Sistema de partıculas

Para un sistema de masa con n partıculas, se tiene que:

Momento del sistema con respecto al orıgen:

M =

n∑i=1

xi ·mi

Masa total :

m =n∑i=1

mi

Centro de masa:

x =M

m

1.3.2. Caso lineal

Para una lınea a lo largo del eje x con densidad lineal de masa ρ(x) se tiene que.

Momento de masa:

M =

ˆ b

axρ(x)dx

Masa total :

m =

ˆ b

aρ(x)dx

Centro de masa: x =M

m.

7

1.3.3. Caso de una placa de densidad constante

Sea una placa determinada por el area bajo la curva f(x) en el intervalo [a, b] y de densidad constanteρ(x). Entonces,

Momento:

My =

ˆ b

aρxf(x)dx ; Mx =

ˆ b

aρf2(x)

2dx

Masa total :

m =

ˆ b

aρf(x)dx

Centros de masa:

x =My

m=

ˆ b

aρxf(x)dx

ˆ b

aρf(x)dx

=

ˆ b

axf(x)dx

ˆ b

af(x)dx2

y =Mx

m=

ˆ b

aρf2(x)

2dx

ˆ b

aρf(x)dx

=

ˆ b

a

f2(x)

2dx

ˆ b

af(x)dx

Con esto queda de manifiesto que para el caso de densidad constante el centro de masa no dependede esta variable.

En general, a densidad de masa constante, el centro de masa del area entre dos curvas f(x) y g(x) seubica en:

x =

ˆ b

ax|f(x)− g(x)|dx

ˆ b

a|f(x)− g(x)|dx

; y =

ˆ b

a

(f(x) + g(x)

2

)|f(x)− g(x)|dx

ˆ b

a|f(x)− g(x)|dx

1.3.4. Para volumenes de revolucion

En torno al eje x, se tiene que y = z = 0 por la simetrıa de la figura generada. Para una densidadvariable segun el eje x determinada por la funcion ρ(x), se tiene que el centro de masa quedadeterminado por:

x =

ˆ b

aπxf2(x)ρ(x)dx

ˆ b

aπf2(x)ρ(x)dx

8

En torno al eje y se puede hacer el calculo por medio del metodo de casquetes cilındricos. Porla simetrıa del problema, tenemos que x = z = 0. Para el eje y:

y =

ˆ b

a2πxf(x)ρ · f(x)

2dx

ˆ b

a2πxf(x)ρdx

Teorema del centroide de Pappus: (para volumenes de rotacion) Sea P una region del plano quese encuentra completamente a un lado de una recta l en el plano. Si P es rotado al rededor de l,entonces el volumen del solido resultante es:

V = A · d

Donde d es la distancia recorrida por el centroide.

La distancia recorrida suele ser 2πr, donde r es la distancia del punto a la recta. Recordar que parala recta ax+ by + c = 0, la distancia queda determinada por:

r =

√(ax+ by + c)2

a2 + b2

1.4. Coordenadas parametricas

Para las curvas que no se pueden expresar facilmente de la forma y = f(x). Otra forma de representara estas curvas es escribiendolas como la trayectoria de una partıcula en el tiempo. Es decir, unaparticula queda determinada por las coordenadas (x(t), y(t)).

Si x(t) es monotona, entonces sabemos que el area bajo la curva en los instantes t0 y tf se puedeexpresar como:

A =

ˆ x(tf )

x(t0)ydx

y = y(t)

x = x(t) −→ dx = x(t)dt

Haciendo el cambio de variable:

A =

ˆ tf

t0

y(t)x(t)dt

1.5. Coordenadas polares

Un punto p en el plano puede ser tambien determinado por el sistema de coordenadas polares, ex-presandose p = (r, θ). Donde r es la distencia del punto al origen y θ el angulo del semieje x positivo.

Relacionando coordenadas polares con coordenadas cartesianas:

x = r cos θ r2 = x2 + y2

y = r sin θ tan θ =y

x

Estas mismas ecuaciones permiten la conversion de un sistema a otro.

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1.5.1. Area en polares

r en funcion de θ:

Se puede considerar la region limitada como:

D =

{(x, y)

x = r cos θy = r sin θ

θ1 ≤ θ ≤ θ2

0 ≤ r ≤ r(θ)

}D = {r, θ : θ1 ≤ θ ≤ θ2 ∧ 0 ≤ r ≤ r(θ)}

Particionando el area en sectores circulares en una particion P, cuando ‖P‖ → 0, se tiene que apro-ximadamente el sector se asemeja a un triangulo, donde h ≈ r(θi) y la base se asemeja al arco quecomprende, es decir, b ≈ r(θi)∆θi. Por lo tanto, el area aproximada corresponde a:

An =n∑i=1

r2(θi)

2∆θi

Tomando ‖P‖ → 0⇐⇒ n→∞, se tiene que el area exacta corresponde a:

A =

ˆ θ2

θ1

r2(θ)

2dθ

Bajo el mismo razonamiento, para calcular el area entre dos sectores basta considerar la formula:

A =

ˆ θ2

θ1

∣∣f2(θ)− g2(θ)∣∣

2dθ

θ en funcion de r:

Considerando el dominio en polares:

D =

{(r, θ) :

0 ≤ r ≤ R0 ≤ θ ≤ α(r)

}La region puede ser particionada en anillos de acuerdo a una particion P. Cuando ‖P‖ → 0, el areaaproximada de un anillo corresponde a:

Aanillo = α(ri)r2i

2− α(ri)

r2i−1

2

=α(ri)

2·

(r2i − r2

i−1)

∆ri∆ri

=α(ri)

2· (ri − ri−1)(ri + ri−1)

∆ri∆ri︸ ︷︷ ︸

ri+ri−1→2ri ri−ri−1→0

= α(ri)ri∆ri

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El area aproximada del sector queda dada por:

An =n∑i=1

α(ri)ri∆ri

Cuando n→∞ se obtiene el area exacta:

A =

ˆ R

0α(r)rdr

1.5.2. Volumenes de revolucion en polares

Consideramos el trozo del solido de revolucion comprendido entre los angulos θ y θ + ∆θ. Se puedeconsiderar que para ∆θ → 0 entonces ρ(θ + ∆θ) ≈ ρ(θ). Al rotarlo en torno al eje x se obtiene ladiferencia de dos volumenes de conos esfericos con angulos θ y θ + ∆θ respectivamente.

Un cono esferico rotado en torno al eje x se representa por la curva de ecuacion:

f(x) =

x tanα 0 ≤ x ≤ r cosα

√r2 − x2 r cosα ≤ x ≤ r

Por lo tanto, aplicando el metodo de los casquetes cilındricos:

Vcono esferico = π

ˆ r cosα

0x2 tan2 αdx+ π

ˆ r

r cosαr2 − x2dx

Donde tan2 α y r2 se consideran como onstantes en la integracion. Calculando el valor y con el adecuadotrabajo algebraico tenemos que:

Vcono esferico =2πr3

3(1− cosα)

De esta forma encontramos una expresion para el volumen que solo depende del radio y el angulo,componentes clave del sistema de coordenadas. Luego calculando el ∆V con θ y θ + ∆θ:

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∆V =2πρ3

3(1− cos(θ + ∆θ)− (1− cos θ))

=2πρ3

32 sin

(θ +

θ

2

)sin

(∆θ

2

)

=4πρ3

3sin

(θ +

θ

2

)sin

(∆θ

2

)∆θ

2

∆θ

2

=2πρ3

3sin

(θ +

θ

2

)sin

(∆θ

2

)∆θ

2

∆θ

Se sigue que:

∆V

∆θ=

2πρ3

3sin

(θ +

θ

2

)sin

(∆θ

2

)∆θ

2

tomando ∆θ → 0

dV

dθ=

2πρ3

3sin θ =⇒ dV =

2πρ3

3sin θdθ

Como es una funcion continua, podemos integrar:

V = 2π

ˆ θ2

θ1

ρ3

3sin θdθ

1.6. Longitud de curvas

1.6.1. Coordenadas cartesianas

Sea una curva determinada por Γ = {(x, y) : x ∈ [x, x] y = f(x)}. La curva puede ser dividida ensegmentos, cuyos puntos estan determinados por una particion ‖P‖. Cada segmento tiene una longitud:

`i =√

∆x2i + ∆y2

i

=

√∆x2

i +∆y2

i

∆x2i

∆x2i

`i = ∆xi

√1 +

∆y2i

∆x2i

12

La longitud aproximada de la curva queda determinada por:

Ln =n∑i=1

`i =n∑i=1

∆xi

√1 +

∆y2i

∆x2i

Cuando n→∞,∆yi∆xi

→ f ′(xi). Por lo tanto, el alrgo exacto queda determinado por:

L =

ˆ x

x

√1 + f ′(x)2dx

1.6.2. Coordenadas parametricas

Analogamente, consideramos la curva Γ = {x(t), y(t) : t ∈ [ti, tf ]}. Haciendo una particion del tiempoT , se tiene que la longitud aproximada del segmento es:

`i =

√(y(ti)− y(ti−1))2 + (x(ti)− x(ti−1))2 = ∆ti

√y′(ti)2 + x′(ti)2︸ ︷︷ ︸

cuando ‖T‖→0

El largo aproximado de la lınea queda determinado por:

Ln =

n∑i=1

∆ti√y′(ti)2 + x′(ti)2

Y siguiendo la misma logica, al disminuir la norma de la particion, se obtiene el largo exacto deter-minado por la integral:

L =

ˆ tf

ti

√y(t)2 + x(t)2dt

1.6.3. Coordenadas polares

Considerando la curva Γ =

{(x, y) :

x = r cos θy = r sin θ

θ ≤ θ ≤ θr = r(θ)

}se divide el angulo en subintervalos

de acuerdo a una particion P. La figura aproxima la situacion:

13

Cuando la norma de la particion se hace cada vez mas pequena, se tiene que s ≈ l, y que el segmentode curva se aproxima a la hipotenusa del triangulo rectangulo formado por l y d. Como l ≈ ∆θir(θi)y d ≈ r(θi)− r(θi−1), entonces el largo aproximado del segmento queda determinado por:

`i =√

(∆θir(θi))2︸ ︷︷ ︸

l

+ (r(θi)− r(θi−1))2︸ ︷︷ ︸d

=√r(θi)2 + r′(θi)2∆θi

El largo aproximado queda determinado por:

Ln =

n∑i=1

√r(θi)2 + r′(θi)2∆θi

Concluimos que el largo exacto esta dado por:

L =

ˆ b

a

√r(θ)2 + r′(θ)2dθ

1.7. Integrales de lınea

1.7.1. Coordenadas cartesianas

Supongamos que en la curva Γ = {(x, f(x)) : x ∈ [xi, xf ]} se tiene una densidad de masa ρ(x) yqueremos calcular la masa total de esta curva. Repitiendo el proceso anterior, tenemos que el largo esaproximadamente:

14

mi = `i · ρ(xi)

La masa total, por lo tanto, es aproximadamente:

Maprox =∑

ρ(xi)√

1 + f ′(xi)2∆xi

Por lo tanto, la masa exacta, obtenida al tomar el lımite, corresponde a:

M =

ˆ xf

xi

ρ(x)√

1 + f ′(x)2dx

1.7.2. Coordenadas parametricas y polares

Siguiendo un procedimiento analogo y la misma idea, se concluye que en parametricas y en polares,las formulas son respectivamente:

M =

ˆ tf

ti

ρ(t)√x′(t)2 + y′(t)2dt

M =

ˆ θf

θi

ρ(θ)√r(θ)2 + r′(θ)2dθ

Tener especial cuidado con las funciones de densidad, pues en estos casos varian del parametro y delangulo respectivamente.

1.8. Superficies de revolucion

1.8.1. En torno al eje x

Se busca obtener el area generada al revolucionar la curva determinada por f(x) en el intervalo[xi, xf ]. Para ello, se puede particionar el intervalo como se ha hecho en casos anteriores, de forma quese generan anillos de un area aproximada:

ai = 2πf(xi)`i

Cuando la norma de la particion se hace muy pequena, se tiene que `i ≈√

1 + f ′(xi)2∆xi (de formaanaloga al procedimiento de largo de curvas). Por lo tanto, el area aproximada del manto es:

Aaprox =

n∑i=1

2πf(xi)√

1 + f ′(xi)2∆xi

Tomando el lımite, se tiene que el area exacta es:

A =

ˆ xf

xi

2πf(x)√

1 + f ′(x)2dx

15

1.8.2. En torno al eje y

Utilizando un metodo analogo al de casquetes cilındricos, se puede particionar el manto en anillos. Elarea de cada anillo queda determinada por:

ai = 2πxi`i = 2πxi√

1 + f ′(xi)2∆xi

El area exacta, por lo tanto, corresponde a:

A =

ˆ xf

xi

2πx√

1 + f ′(x)2dx

1.8.3. Caso general

Teorema del centroide de Pappus: (para superficies) Sea L la curva que limita a la region R yque se encuentra a un solo lado de la recta oblicua `, entonces la superficie de revolucion generada alrotar la region R entorno a la recta ` esta determinada por:

A = L · d

Donde L es el largo de la curva L y d es la distancia recorrida por el centroide de la region. En estecaso, viene a ser 2πr, donde r es la distancia del centroide a la recta.

16

2. Integrales impropias

2.1. Integrales impropias de tipo I

Definicion:

Sea f(x) continua (o con un numero finito de discontinuidades) en [a,∞), se dice que

ˆ ∞a

f(x)dx

es una integral impropia de tipo I.

Sea F (x) =

ˆ x

af(t)dt. Si lım

x→+∞F (x) = L existe, se dice que la integral

ˆ ∞a

f(x)dx es conver-

gente y toma el valor L. Es decir,

ˆ ∞a

f(t)dt = lımx→+∞

ˆ x

af(x)dx

En caso contrario, se dice que dicha integral es divergente.

Propiedades: Si

ˆ ∞af(x)dx y

ˆ ∞a

g(x)dx son convergentes, entonces:

1.

ˆ ∞a

(f + g)(x)dx es convergente y ademas

ˆ ∞a

(f + g)(x)dx =

ˆ ∞af(x)dx+

ˆ ∞a

g(x)dx

.

2. Para c ∈ R, se tiene que

ˆ ∞a

c · f(x)dx converge y

ˆ ∞a

c · f(x)dx = c ·ˆ ∞a

f(x)dx

.

3. Si s > a, entonces: ˆ ∞a

f(x)dx =

ˆ s

af(x)dx+

ˆ ∞s

f(x)dx

4. Como ˆ ∞a

f(x)dx = lıms→∞

ˆ s

af(x)dx

yˆ ∞a

f(x)dx =

ˆ s

af(x)dx+

ˆ ∞s

f(x)dx

Entonces se tiene que:

ˆ ∞a

f(x)dx−ˆ s

af(x)dx =

ˆ ∞s

f(x)dx tomando s→∞

lıms→∞

ˆ ∞s

f(x)dx = 0

17

Teorema de comparacion: Sean f , g y h funciones continuas en R tales que g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)para todo x ∈ [a,∞).

1. Si

ˆ ∞a

h(x)dx y

ˆ ∞a

g(x)dx son convergentes, entonces

ˆ ∞a

f(x)dx es convergente.

2. La expresion contrarecıproca1 tambien se verifica: Si

ˆ ∞a

f(x)dx es divergente, entonces

ˆ ∞a

h(x)dx

o

ˆ ∞a

g(x)dx es divergente.

Demostracion: Se demostrara la primera expresion, pues con ella queda demostrada la segunda.

Caso 1 : Si 0 ≤ u(x) ≤ v(x) y

ˆ ∞0

v(x)dx converge. Se tiene que:

U(t) =

ˆ t

au(x)dx

V (t) =

ˆ t

au(x)dx

Como u(x), v(x) ≥ 0, entonces U(t) y V (t) son monotonas crecientes. Como V (t) es convergente porhipotesis, entonces (∃c ∈ R) (∀t ∈ [a,∞)) V (t) ≤ c. Ademas, u(x) ≤ v(x) =⇒ U(t) ≤ V (t) ≤ c portransitividad.

Se tiene que U(t) es monotona y acotada. Por lo tanto, por teorema de Bolzano-Weirstrass, es con-vergente.

Caso 2 : Si h(x) ≤ f(x) ≤ g(x) consideramos:

u(x) = f(x)− h(x)

v(x) = g(x)− h(x)

Por el caso 1, tenemos que

ˆ ∞a

u(x)dx = lımt→∞

ˆ t

af(x)− g(x)dx converge.

Como

ˆ t

af(x)dx =

ˆ t

af(x)− h(x)dx+

ˆ t

ah(x)dx. Entonces,

ˆ ∞a

f(x)dx existe. �

Corolario: Claramente, si 0 ≤ f(x) ≤ g(x) para todo x ∈ R y

ˆ ∞a

f(x)dx diverge, entonces

ˆ ∞a

g(x)dx

diverge.

Observacion: Las integrales de la forma

ˆ a

−∞f(x)dx y

ˆ ∞−∞

f(x)dx tambien entran dentro de esta

categorizacion y satisfacen las mismas condiciones.

ˆ a

−∞f(x)dx = lım

s→−∞

ˆ a

sf(x)dx

1p =⇒ q ⇐⇒ q =⇒ p

18

Para

ˆ ∞−∞

f(x)dx basta considerar que:

ˆ ∞−∞

f(x)dx converge⇐⇒ (∀a ∈ R)

ˆ ∞a

f(x)dx y

ˆ a

−∞f(x)dx convergen

2.2. Integrales impropias de tipo II

Definicion:

Sea f(x) una funcion continua en (a, b] y no necesariamente acotada en a. Se dice que la integralˆ b

af(x)dx es una integral impropia de tipo II.

Para t > a se define F (t) =

ˆ b

tf(x)dx. Se dice que

ˆ b

af(x)dx converge si y solo si lım

t→a+F (t)

existe.

En caso contrario, la integral se dice divergente.

Propiedades: Si

ˆ b

af(x)dx y

ˆ b

ag(x)dx son convergentes, entonces las siguientes integrales tambien

son convergentes y satisfacen:

1.

ˆ b

a(f + g)(x)dx =

ˆ b

af(x)dx+

ˆ b

ag(x)dx.

2.

ˆ b

ac · f(x)dx = c ·

ˆ b

af(x)dx.

3. Si a < s ≤ b, entonces ˆ b

af(x)dx =

ˆ s

af(x)dx+

ˆ b

sg(x)dx

4. lıms→a+

ˆ s

af(x)dx = 0.

Teorema de comparacion: Si h(x) ≤ f(x) ≤ g(x) para todo x ≥ a, entonces:

1. Si

ˆ b

ah(x)dx y

´ ba g(x)dx son convergentes, entonces

´ ba f(x)dx converge.

2. La expresion contrarrecıproca: Si

ˆ b

af(x)dx es divergente, entonces

ˆ b

ah(x)dx o

ˆ b

ag(x)dx

diverge.

Observacion 1: El argumento se puede extender dividiendo en integrales adecuadas, y si todas lasintegrales que obtenemos de esta forma son convergentes, entonces la integral original es convergentey tenemos teoremas de comparacion analogos.

Observacion 2: En este caso, para α > 0 tenemos que:

19

ˆ b

a

1

(x− a)αdx = lım

x→a+1

(1− α)(x− a)α−1

∣∣∣∣ba

= lımx→a+

(x− a)1−α

1− α

∣∣∣∣ba

Este lımite existe si y solo si 1− α > 0. Es decir, esta integral converge si y solo si α ∈ (0, 1).

2.3. Estrategias para determinar la convergencia

1. Anular los terminos que “molestan” en la expresion de la integral. Esto se hace pensando en lapregunta: ¿que termino es predominante en el extremo donde la funcion esta no acotada?

2. Intentar acotar la funcion de acuerdo a la axiomatica en R.

a) Para garantizar convergencia basta encontrar una funcion g(x) > f(x) de modo queˆIg(x)dx sea convergente.

b) Para garantizar divergencia basta encontrar una funcion g(x) < f(x) de modo que

ˆIg(x)dx

sea divergente.

3. En caso de no poder hacerlo facilmente, se puede hacer uso del siguiente teorema:

Teorema: Este teorema es consecuencia de los teoremas de comparacion anteriores. Sean f y gfunciones de [n,∞)→ R positivas. Si

lımx→∞

f(x)

g(x)= L > 0 =⇒

[ˆ ∞n

f(x)dx converge⇐⇒ˆ ∞n

g(x) converge

]

Este mismo criterio puede ser utilizado para integrales de segunda especie, siempre que se comparecon una funcion no acotada en el punto en el que se evalua en el lımite.

Muchas veces se suele comparar con la funcion1

xα. Estas comparaciones se pueden resumir como

sigue:

1.

ˆ ∞a

f(x)dx converge si y solo si lımx→∞

xαf(x) > 0 con α > 1.

2.

ˆ a

−∞f(x)dx converge si y solo si lım

x→∞xαf(−x) > 0 con α > 1.

3.

ˆ b

af(x)dx converge (no acotada en b) si y solo si lım

x→∞(b− x)αf(x) > 0 con α ∈ (0, 1).

4.

ˆ b

af(x)dx converge (no acotada en a) si y solo si lım

x→∞(x− a)αf(x) > 0 con α ∈ (0, 1).

20

3. Series

3.1. Conceptos basicos

Definicion: Sea {an}ni=1 ⊆ R una sucesion, consideramos las sumas parciales de terminos. Se defineuna serie como la sucesion {Sn}∞i=1 con una suma determinada por:

Sn =

n∑i=1

ai ∈ R en particular,

∞∑i=1

ai o∑

ai

Si s = lımn→∞

Snexiste, entonces decimos que la serie es convergente y s es la suma de la serie.

En caso contrario, la serie se dice divergente.

Observacion: i = 1 no es una condicion necesaria. La convergencia se evalua cuando n→∞.

Ejemplo: La serie geometrica, determinada por

∞∑i=0

ri (r ∈ R\ {0}). Sea Sn =

n∑i=0

ri, entonces rSn =

n∑i=0

ri+1. Por lo tanto,

(1− r)Sn =

n∑i=0

ri − ri+1 = 1− rn+1

︸ ︷︷ ︸propiedad telescopica

Sn =1− rn+1

1− r

De aquı observamos que:

Para |r| < 1 la serie converge y∞∑i=0

ri =1

1− r.

Para |r| ≥ 1 la serie diverge.

3.2. Propiedades

Teorema: Si

∞∑i=1

an converge, entonces:

1. lımi→∞

ai = 0.

2. lımm→∞

∞∑i=m

ai = 0.

21

Demostracion:

(1) Sn =

n∑i=1

ai =⇒ Sn+1 =

n+1∑i=1

ai. Como Sn converge, entonces Sn+1 tambien converge, y ademas

convergen al mismo numero s. Se tiene por lo tanto que:

Sn − Sn+1 = an+1 tomando n→∞

0 = lımn→∞

an+1 = lımi→∞

ai �

(2) Sea m ∈ N, entonces∞∑i=1

ai es convergente si y solo si∞∑i=m

ai es convergente. Tenemos que:

∞∑i=1

ai =

m−1∑i=1

ai +

∞∑i=m

ai tomando m→∞

∞∑i=1

ai =∞∑i=1

ai + lımm→∞

∞∑i=m

ai

Concluimos:

lımm→∞

∞∑i=m

ai = 0 �

Observacion: Notar que la expresion recıproca de (1) no se verifica. Basta ver el caso de ai =1

i.

Teorema: Si

∞∑k=0

ak es convergente y σ : N → N es un reordenamiento de los ındices (σ biyeccion),

entonces

∞∑k=0

aσ(k) es convergente.

Demostracion: Sea m tal que∞∑k=m

ak <ε

2. Como σ es una biyeccion, entonces existe σ−1. Sea

n = max{m,σ−1(1), . . . , σ−1(m)

}Entonces:

∣∣∣∣∣n∑k=1

aσ(k) −n∑k=1

ak

∣∣∣∣∣ ≤n∑k=1

∣∣aσ(k)

∣∣+n∑

k=m+1

|ak| ≤ 2n∑

k=m+1

|ak| ≤2ε

2

Observamos que para m→∞ por propiedad se tiene que∞∑k=m

ak → 0. Entonces, necesariamente ε→ 0

y n→∞. Por criterio del sandwich concluimos que necesariamente:

22

lımm→∞

∣∣∣∣∣n∑k=1

aσ(k) −n∑k=1

ak

∣∣∣∣∣ = 0 =⇒∞∑k=1

aσ(k) =

∞∑k=1

ak

Proposiciones: Si∑ai y

∑bi son convergentes y c ∈ R, entonces se verifica que:

1.∑

(ai + bi) converge y∑

(ai + bi) =∑ai +

∑bi.

2.∑cai converge y

∑cai = c

∑ai.

3.∑

(ai − bi) =∑ai +

∑bi.

3.3. Criterios de convergencia

3.3.1. Test de divergencia

Esta es la expresion contrarrecıproca del teorema anteriormente visto y el criterio basico para evaluarla convergencia de una serie.

Test de divergencia: Si lımn→∞

ai no existe o lımn→∞

ai 6= 0, entonces la serie∞∑i=1

ai diverge.

3.3.2. Comparacion con sucesiones

Proposiciones:

1. Si

∞∑i=1

ai es convergente y existe un n tal que ai = bi para todo i ≥ n, entonces

∞∑i=1

bi es

convergente. Es directo de observar que la convergencia se evalua en n→∞.

2. Si 0 ≤ ai ≤ bi para todo i ≥ n y∑bn es convergente, entonces

∑ai es convergente. De forma

contrarrecıproca, si∑ai diverge, entonces

∑bi diverge.

3. Si∑ai y

∑ci convergen y ai ≤ bi ≤ ci para todo i ≥ n, entonces

∑bi converge. La expresion

contrarrecıproca tambien se verifica: si∑bi diverge, entonces

∑ai o

∑ci divergen.

4. Si ai, bi ≥ 0 para todo n ∈ N y lımi→∞

aibi

= c > 0, entonces∞∑i=1

ai converge⇐⇒∞∑i=1

bi converge.

5. Si ai, bi ≥ 0 para todo n ∈ N y lımi→∞

aibi

= 0, entonces:

∑bi converge =⇒

∑ai converge∑

ai diverge =⇒∑

bi diverge

23

Demostraciones:

(2) Sea Sn =n∑i=1

ai y Tn =n∑i=1

bi. Como ai y bi son mayores que cero, entonces Sn y Tn son crecientes.

Se tiene que ademas que lımn→∞

Tn = T existe y que Sn ≤ Tn ≤ T . Por lo tanto, Sn es monotona

creciente y acotada. Por el teorema de Bolzano-Weierstrass concluimos que Sn converge. �

(3) Dado ai ≤ bi ≤ ci, entonces se verifica por axiomatica real que:

0 ≤ bi − ai ≤ ci − ai

Es decir, consideramos las sucesiones:

Un =∞∑i=1

bi − ai

Vn =∞∑i=1

ci − ai

Como∞∑i=1

ci y∞∑i=1

ai convergen, entonces Vn tambien converge. Luego, por (2) se verifica que Un

converge. De acuerdo a las propiedades, entonces:

Un converge⇐⇒∞∑i=1

bi y∞∑i=1

ai convergen

Luego,∞∑i=1

bi converge. �

(4) De acuerdo a la definicion de lımite, como lımi→∞

aibi

= c > 0, entonces existe un n ∈ N y un ε ∈ (0, 1)

tal que:

(0 ≤)

∣∣∣∣aibi − c∣∣∣∣ ≤ εc

(1− ε)c ≤ aibi≤ (1 + ε)c

(1− ε)cbi ≤ ai ≤ (1 + ε)cbi aplicando

∞∑i=1∑

(1− ε)cbi ≤∑

ai ≤∑

(1 + ε)cbi

De la proposicion (3) y las propiedades vistas anteriormente:

24

Si∑bi converge, entonces

∑(1 − ε)cbi y

∑(1 + ε)cbi convergen y son positivas. Por lo tanto,∑

ai converge.

Si ai converge, entonces 0 ≤∑

(1− ε)cbi tambien converge. Se concluye que∑bi converge.

Como se verifican ambas implicancias, queda entonces demostrado. �

Recordar: Para el calculo de lımites. Sea {an} una sucesion tal que an > 0 (∀n ∈ N). Entonces:

lımn→∞

an+1

an= ` < 1 =⇒ lım

n→∞an = 0

3.3.3. Convergencia absoluta

Definicion: Una serie

∞∑i=1

ai se dice absolutamente convergente si

∞∑i=1

|ai| es convergente.

Teorema: Si∞∑i=1

ai es absolutamente convergente, entonces es convergente.

Demostracion: Notamos que:

−|ai| ≤ ai ≤ |ai| (∀ai)

Sumando termino a termino:

−∞∑i=1

|ai| ≤∞∑i=1

ai ≤∞∑i=1

|ai|

De la hipotesis sabemos que las sucesiones de los extremos convergen. Luego, por teorema de compa-racion la sucesion necesariamente converge.

3.3.4. Convergencia condicional

Definicion: La serie

∞∑k=0

ak se dice condicionalmente convergente si es convergente, pero no absoluta-

mente.

Teorema: Si ak es condicionalmente convergente y z ∈ N entonces existe un σ : N→ N biyeccion tal

que

∞∑k=0

aσ(n) = z.

25

3.3.5. Series alternantes

Definicion: Una serie

∞∑i=1

ai se dice alternante si:

ai · ai+1 < 0 (∀i ∈ N)

Teorema: Criterio de Leibniz. Si para {ai}∞i=1 se verifica que ai ≥ 0 y es decreciente para todo i ∈ N

y ai −→ 0, entonces S =∞∑i=1

(−1)iai es convergente. Ademas, se tiene que:

|Si − S| < |Si − Si−1| = ai

Esto permite un calculo aproximado de la serie con un error maximo.

Demostracion: Sea Sn =

∞∑i=1

(−1)iai, Pn = S2n y Rn = S2n−1. Entonces:

Pn = −a1 + a2 + (−a3 + a4) + . . .+ (−a2n−1 + a2n)Pn+1 = Pn + (−a2n+1 + a2n+2)︸ ︷︷ ︸

<0

Entonces Pn es decreciente. De forma analoga, Rn es creciente. Ademas se tiene que:

Pn = Rn + a2n

Entonces Pn ≥ Rn. Como Pn es decreciente y esta siempre acotada por un Rn, entonces Pn converge.Por lo tanto,

Pn → P

Rn → R

Falta demostrar que P = R. Cuando n→∞. Ademas notemos que:

Pn −Rn = a2n

Tomando n→∞ se tiene que:

P −R = 0

Tenemos que dos subsucesiones de Sn (Pn y Rn) convergen a un mismo numero, entonces por laprimera formulacion del teorema de Bolzano-Weierstrass, tenemos que:

Sn → P = R �

Importante: Se debe demostrar que ai es positiva y decreciente para poder hacer uso del teorema.

26

3.3.6. Criterio de la integral

Teorema: Sea f : [n,∞)→ [0,∞) decreciente y tal que f(i) = ai, entonces:

ˆ ∞n

f(x) es convergente⇐⇒∞∑i=n

ai es convergente

Demostracion: Notar que:

m∑i=n

ˆ i+1

if(x)dx =

ˆ m+1

nf(x)dx ≤

m∑i=n

ai

Esta ultima desigualdad se puede ver explicada con la siguiente grafica:

Al tratarse de una funcion decreciente y positiva, la serie representa una suma de Riemann superiorcon rectangulos de ancho 1, y resulta mayor que el area de la integral en el intervalo [n,m+1]. Ademas,es mas evidente aun que:

m+1∑i=n+1

f(i) ≤ˆ m+1

nf(x)dx ≤

m∑i=n

ai

En base a esto, considerando Sm =

m∑i=n

f(i) y F (y) =

ˆ y

nf(x)dx, entonces:

F (y) ≤ S[y] (∀y ≥ n)

Sm ≤ F (m)− am

Sm es una funcion creciente y F (m) una sucesion creciente. Como F (m) es acotada superiormente siy solo si Sm es acotada, entonces se concluye que una expresion es convergente si la otra lo es.

Observacion 1: De la demostracion anterior se verifica que:

27

ˆ ∞n

f(x)dx ≤∞∑i=n

ai ≤ˆ ∞n−1

f(x)

ˆ ∞n

f(x) ≤∞∑i=n

ai ≤ˆ ∞n

f(x) + a1

De esta forma se puede acotar o estimar el valor de una serie calculando una integral.

Importante: Al aplicar el criterio de la integral siempre se debe demostrar que la funcion implicadaes positiva y decreciente.

3.3.7. Criterio del cuociente

Teorema: Consideramos la serie

∞∑j=1

aj . Si lımi→∞

∣∣∣∣aj+1

aj

∣∣∣∣ = c existe, entonces

si c < 1, entonces la serie es convergente.

si c > 1, entonces la serie diverge.

si c = 1, entonces no es concluyente.

Demostracion: Se tomara el caso de que an ≥ 0.

Si |c| < 1 entonces

(∃n ∈ N) (∀n > j) 0 <an+1

an<c+ 1

2= c

∴ an+1 ≤ canan+2 ≤ can+1 ≤ c2an

aN+m ≤ cman

Sumando termino a termino:

0 ≤N+m∑n=N

an ≤N+m∑n=N

cm−naN = aN

m∑j=0

cj

Como c < 1 (y solo lo es en el caso de que |c| < 1), entonces∞∑j=0

cj converge. Por lo tanto, se concluye

que:

∞∑n=N

an es convergente

28

3.3.8. Criterio de la raız

Teorema: Para la serie

∞∑k=1

ak calculamos lımk→∞

k√|ak| = c > 0. Entonces,

si c < 1 la serie converge.

si c > 1 la serie diverge.

si c = 1 no podemos concluir.

3.3.9. Criterios de Abel y Dirichlet

Teorema: Criterio de Dirichlet. Sea An =

n∑i=1

ai acotada y {bn}∞i=1 decreciente tal que lımn→∞

bn = 0,

entonces∞∑i=1

ai · bi converge.

Teorema: Criterio de Abel. Sea∞∑i=1

ai convergente y bi monotona acotada, entonces∞∑i=1

ai · bi converge.

3.3.10. Test-M de Weierstrass

Teorema: Sea an : N→ R. Si para cada n existe una constante Mn ∈ R tal que |an| ≤Mn y ademas∞∑n=1

Mn converge, entonces∞∑n=1

an converge absolutamente.

Demostracion: Por hipotesis, se verifica para todo n que:

|an| ≤Mn

Sumando termino a termino:

∞∑n=1

|an| ≤∞∑n=1

Mn

Tenemos que |an| ≥ 0, entonces∞∑n=1

|an| es creciente. Ademas, como∞∑n=1

Mn converge, entonces la serie

esta acotada. Se tiene entonces, por teorema de Bolzano-Weierstrass, que la serie∞∑n=1

|an| converge.

Se concluye que

∞∑n=1

an converge absolutamente. �

29

3.3.11. Estrategias

Algunas observaciones y/o sugerencias que pueden ser utiles para el estudio de la convergencia deseries.

1. Si lımn→∞ an 6= 0, entonces es inmediato que diverge.

2. Si es de la forma∑ 1

npo∑

arn estudiar segun el caso de r o p. Puede requerirse algun trabajo

algebraico para llevarlas a esta forma.

3. Si tiene una forma similar a funcion algebraica o a serie geometica, se realizan tests de compa-racion. Si llega a tener valores negativos, se puede estudiar la convergencia absoluta.

4. Si es de la forma∑

(−1)nbn se realiza el test de las series alternantes.

5. Series que involucren factoriales u otros productos (constante a la n) pueden ser evaluados conel criterio del cuociente.

6. Si es de la forma (bn)n se puede aplicar el criterio de la raız.

7. Si an = f(n) donde

ˆ ∞1

f(x)dx es facil de calcular, entonces se aplica el criterio de la integral.

8. En el peor de los casos, se puede utilizar los criterios de Abel, Dirichlet o el test M de Weierstrass.Este ultimo puede resultar util en series de la forma geometrica × trigonometrica.

3.4. Series de potencias

3.4.1. Conceptos basicos

Definicion: Sea una sucesion {an}∞i=1 para la cual ai ∈ R para todo i.

1. Se define el lımite superior como:

lım supn→∞

an = lımn→∞

sup {bk : k ≥ n}

2. Se define el lımite inferior como:

lım infn→∞

an = lımn→∞

ınf {bk : k ≥ n}

3. an es convergente si y solo si:

lım supn→∞

an = lım infn→∞

an = lımn→∞

an = L

30

Definicion: Sea {ck}∞k=0 ⊆ R, entonces se define una serie de potencias centrada en a como la serie:

s(x) =∞∑k=0

ck(x− a)k

Esta serie (por criterio de la raız) converge si y solo si:

lımk→∞

k

√|ck(x− a)k| = lım sup

k→∞

k√|ck| |x− a|︸ ︷︷ ︸

(*)

< 1

El termino (*) se encuentra fuera del lımite, pero garantiza la convergencia. Luego, se define el radiode convergencia de una sucesion como:

r :=1

lım supk→∞

k√|ck|

El intervalo de convergencia queda definido como:

I = {x ∈ R : s(x) converge}

Es decir, se debe considerar el intervalo cerrado para el radio de convergencia y evaluar tambien laconvergencia en los puntos que el radio delimita.

Teorema: La serie de potencias∞∑k=0

ck(x− a)k es convergente si:

1. x = a y r = 0.

2. |x− a| < r y r ∈ (0,∞).

3. ∀x ∈ R si r =∞ −→ lım supn→∞

n√cn = 0.

La serie en cambio es divergente si:

1. x 6= a y r = 0.

2. |x− a| > r y r ∈ (0,∞)

3. Nunca diverge si r =∞.

En el caso de que |x− a| = r se debe estudiar la serie para determinar la convergencia.

Observacion: Si el siguiente lımite existe, se verifica que:

lımk→∞

∣∣∣∣ck+1

ck

∣∣∣∣ =1

r

31

3.4.2. Derivacion de series de potencias

Consideramos la serie de potencias s(x) =

∞∑k=0

ck(x− a)k. En el caso de una suma finita tenemos que:

d

dx

n∑k=0

ck(x− a)k =n∑k=1

kck(x− a)k−1

Podemos considerar la serie:

s =

∞∑k=1

ckk(x− a)k−1

(=

∞∑k=0

ck+1(k + 1)

)

El radio de convergencia:

r =1

lım supn→∞

n√|cn|n

= r

Sin embargo, pueden haber variaciones en los extremos del radio de converencia.

Teorema: Si s(x) =∞∑k=0

ck(x− a)k tiene radio de convergencia r > 0, entonces s(x) es diferenciable y

ademas

s′(x) =∞∑k=1

ckk(x− a)k−1

con el mismo radio de converencia.

Demostracion: Cabe notar primero que para sucesiones am,n no siempre se verifica que:

lımm→∞

lımn→∞

am,n 6= lımn→∞

lımm→∞

am,n

Basta tomar el ejemplo:

am,n =

1

n+

1

m2

1

n+

1

m

Se busca demostrar que:

lımh→0

[s(x+ h)− s(x)

h− s(x)

]= 0

32

Considerando las definiciones dadas,

lımh→0

lımn→∞

n∑k=0

ck(x− a+ h)k −n∑k=0

ck(x− a)k

h−

n∑k=1

ckk(x− a)k−1

= 0

Esto se puede escribir como:

lımh→0

lımn→∞

n∑k=2

ck

[(x− a+ h)k − (x− a)k

h− k(x− a)k−1

]= 0

Tenemos que ∃ξ ∈ (0, h):

f(x+ h)− f(x)

h− f ′(x) =

f ′′(x+ ξ)

2h

para f con segunda derivada continua. Como este es el caso, tenemos que:

(x− a+ h)k − (x− a)k

h− k(x− a)k−1 = (x− a+ ξ)k−2k(k − 1)

h

2︸ ︷︷ ︸∗

Fijando ademas h > 0 tal que para un q se cumple que:

q = max{|x− a− h|, |x− a+ h|} < r

donde r es el radio de convergencia. Notar que por lo tanto, para |h| < h se verifica que:

(x− a+ ξ) ≤ q

Por lo tanto, reemplazando (*) en el lımite e introduciendo los conceptos de la suma, se verifica lasiguiente desigualdad:

lımh→0

lımn→∞

n∑k=2

ck(x− a+ ξ)k−2k(k − 1)h

2≤ lım

h→0lımn→∞

n∑k=0

ckk(k − 1)qk−2

2h

Este ultimo termino puede ser escrito como:

lımh→0

h∞∑k=0

ckk(k − 1)qk−2

2

33

Es decir, para demostrar que el lımite converge a 0 debemos demostrar que la suma

∞∑k=0

ckk(k − 1)qk−2

2

converge. Aplicamos el criterio de la raız:

lımk→∞

k

√∣∣∣∣ck k(k − 1)qk−2

2

∣∣∣∣ = q lımk→∞

k√|ck| < 1

q · 1

r< 1

Lo que se verifica, pues q cumple la condicion de que 0 < q < r. Por lo tanto, esta serie converge, loque implica que el lımite planteado converge, y por lo tanto se verifica el enunciado.

Corolario: La funcion s(x) es infinitamente diferenciable. Ademas:

dn

dxns(x) =

∞∑k=n

cik!

(k − n)!(x− a)k−n

3.4.3. Integracion de series de potencias

Corolario: Del teorema anterior. Si s(x) =

∞∑n=0

cn(x− a)n tiene un radio de convergencia r > 0,

entonces:

S(x) =

ˆs(x)dx = c+

∞∑k=1

cn(x− a)k+1

k + 1

con radio de convergencia r. En particular, si [α, β] ⊂ (a− r, a+ r), entonces:

ˆ β

αs(x)dx = S(β)− S(α)

3.4.4. Convergencia uniforme

Teorema: Si s(x) =∞∑k=0

ck(x− a)k con radio de convergencia r converge, entonces existe {dk}∞k=0 tal

que:

s(x) =

∞∑k=0

dk(x− b)k, para b ∈ (a− r, a+ r)

r = mın(a+ r − b, b− a+ r)

Luego la serie converge para todo x ∈ (b− r, b+ r). La serie puede ser expresada en torno a otro puntocon un dk adecuado y obtener el mismo resultado.

34

Definicion: Decimos que fn(x) converge uniformemente a f(x) en el conjunto A ⊂ R si

lımn→∞

supx∈A|fn(x)− f(x)| = 0

La convergencia uniforme garantiza la convergencia puntual, pero no se verifica la expresion recıproca.

Teorema: Sea sn(x) =n∑k=0

ck(x− a)k y sea 0 < r < R donde R es el radio de convergencia de la serie,

entonces sn(x) converge uniformemente a s(x) en el conjunto |x− a| < r.

Demostracion: Como lım supk→∞

k√|ck| = R

entonces existe un n0 tal que:

k√|ck| <

1− εr

para algun 0 < ε < 1 (∀k > n0)

Si |x− a| ≤ r luego

|s(x)− sn(x)| =

∣∣∣∣∣∞∑

k=n+1

ck(x− a)k

∣∣∣∣∣ ≤∞∑

k=n+1

|ck| |x− a| k︸ ︷︷ ︸desigualdad triangular

≤∞∑

k=n+1

|ck| rk

Para n ≥ n0 tenemos que ademas:

|s(x)− sn(x)| ≤∞∑

k=n+1

(1− ε)k = (1− ε)n+1 1

ε

Notamos finalmente que:

0 ≤ lımn→∞

sup|x−a|≤r

|s(x)− sn(x)| ≤ lımn→∞

(1− ε)n+1

ε= 0

Entonces, por teorema, este lımite necesariamente es 0. Concluimos que sn(x) converge uniformementea s(x). Esto ademas garantiza que la serie es continua en su radio de convergencia.

3.4.5. Productos de series

n∑k=0

ck(x− a)k ·n∑k=0

dk(x− a)k =

2n∑k=0

(k∑i=0

cidk−i

)︸ ︷︷ ︸

ek

(x− a)k

35

3.4.6. Composicion de series de potencias

Sea s(x) =

∞∑k=0

ckxk convergente en (−r, r) y p(x) =

∞∑i=0

dixi. Sabemos por el teorema anterior que

toda serie converge uniformemente, luego:

pn(x)→ p(x)

Como s(x) es continua, entonces:

s(pn(x))→ s(p(x))

Ademas se tiene que:

lımn→∞

lımm→∞

sn(pm(x)) = s(p(x))

independiente del orden de los lımites, gracias a la convergencia uniforme. En particular,

lımn→∞

sn(pn(x)) = s(p(x))

Como una composicion de polinomios es un polinomio, el lımite anterior indica que s(p(x)) se pue-de escribir como una serie de potencias, con la restriccion de que p(x) pertenezca al intervalo deconvergencia de s(x).

Entonces, para c ∈ (a− r, a+ r) donde c = p(x0) existe ej tales que:

s(p(x)) =∞∑k=0

ck

[( ∞∑k=0

di(x− b)i)− a

]k=∞∑j=0

ej(x− c)j

3.4.7. Inverso multiplicativo

Del analisis anterior, en particular si p(x) =∞∑i=0

dixi con p(0) = d0 6= 0 entonces,

1

p(x)se puede

escribir como una serie de potencias para x ∼ 0.

Es decir, para dos series de potencias q(x) y r(x) con r(0) 6= 0 se tiene queq(x)

r(x)se puede escribir

como una serie de potencias.

En todos estos casos la determinacion del termino ej depende de la naturaleza de las series involucradas.

36

3.4.8. Teorema de Abel

Por medio de este teorema se puede obtener el valor numerico de ciertas series apoyandose en seriesde potencias.

Enunciado: Si∞∑k=0

ckxk converge ∀|x| < 1 y

∞∑k=0

ck converge, entonces

∞∑k=0

ck = lımx→1−

∞∑k=0

ckxk

Demostracion: Se quiere demostrar que:

∣∣∣∣∣∞∑k=0

ckxk −

∞∑k=0

ck

∣∣∣∣∣→ 0 cuando x→ 1−

Consideremos dk = ck con d0 = c0 −∞∑k=0

ck. Con esto se puede sustituir, y se tiene que demostrar por

lo tanto que:

∣∣∣∣∣∞∑k=0

dkxk

∣∣∣∣∣→ 0 cuando x→ 1−

Sea Sn =n∑k=0

dk, luego Sn − Sn−1 = dn (∀n ≥ 0) y lımn→∞

Sn = 0. Se tiene por lo tanto que:

∣∣∣∣∣∞∑k=0

dkxk

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∞∑k=1

(Sk − Sk−1)xk

∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∞∑k=1

Skxk − x

∞∑k=1

Sk−1xk−1

∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣−S0 + (1− x)

∞∑k=0

Skxk

∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣(1− x)∞∑k=0

Skxk

∣∣∣∣∣Tomando el lımite cuando x tiende a 1 por la izquierda tendrıamos una expresion convergiendo a 0por una expresion que no hemos garantizado que este acotada. Esto ultimo hay que demostrarlo.

Sea ε > 0. Como Sn → 0, existe N tal que |Sn| < ε para todo n ≥ N . Se sigue que:

∣∣∣∣∣(1− x)∞∑n=0

Snxn

∣∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣∣(1− x)

N∑n=0

Snxn

∣∣∣∣∣+ (1− x)∞∑

n=N+1

|Sn| |x|n

37

Es decir, ∣∣∣∣∣(1− x)

∞∑n=0

Snxn

∣∣∣∣∣ ≤ (1− x)

N∑n=0

|Sn| |x|n + ε |x|n+1

Tomando x→ 1− se tiene que:

0 ≤ lımx→1−

∣∣∣∣∣∞∑n=0

dkxn

∣∣∣∣∣ ≤ εPero como ε > 0 es arbitrario, la expresion anterior se verifica para cualquier ε muy cercano a 0. Seconcluye entonces que:

lımx→1−

∣∣∣∣∣∞∑n=0

dkxn

∣∣∣∣∣ = 0

Que es lo que se necesitaba demostrar.

3.4.9. Serie binomial

Teorema: Sea α ∈ R y |x| < 1, entonces:

(1 + x)α =∞∑k=0

(α

k

)xk

En particular, el binomio se extiende esta forma para los reales:(α

k

)=α(α− 1) . . . (α− k + 1)

k!

Demostracion: Sea

u(x) =∞∑k=0

(α

k

)xk

Observamos que esta serie converge haciendo uso del criterio del cuociente:

∣∣∣∣( α

k + 1

)∣∣∣∣∣∣∣∣(αk)∣∣∣∣ =

∣∣∣∣α− kk + 1

∣∣∣∣→ 1

Ademas, al tratarse de una serie de potencias, sabemos que es infinitamente diferenciable. Notamosque:

38

d

dxu(x) =

∞∑k=1

(α

k

)kxk−1 = α

∞∑k=1

(α− 1

k − 1

)xk−1

Como (α− 1

k − 1

)+

(α− 1

k

)=

(α

k

)

Entonces:

(1 + x)u′(x) = αu(x)

Multiplicamos por (1 + x):

(1 + x)u′(x) = α

∞∑k=1

(α− 1

k − 1

)xk−1 +

(α− 1

k − 1

)xk = α

∞∑k=0

(α− 1

k

)xk +

(α− 1

k

)xk+1

Luego, reordenamos e integramos:

u′(x)

u(x)=

α

1 + x

=⇒ lnu(x) = α ln(1 + x) + k

=⇒ u(x) = (1 + x)α · ek

Sabemos que u(0) = 1 = ek. Concluimos que:

u(x) = (1 + x)α

3.4.10. Formulas importantes

Algunas formulas clave que pueden ser facilmente verificadas a traves del desarrollo de la serie geometri-ca:

1

1− x=

∞∑n=0

xn

1

1 + x=

∞∑n=0

(−1)nxn

Generalmente a partir de estas por derivacion e integracion se puede obtener el resto de expresiones.

39

3.5. Series de Taylor

3.5.1. Serie y polinomio de Taylor

Teorema: Si f(x) se puede escribir para x cerca de a como una serie de potencias, entonces la seriede potencias, entonces la serie de potencias

f(x) =∞∑k=0

f (k)(a)

k!(x− a)k |x− a| < r

converge para r el radio de potencias.

1

r= lım sup

k→∞

√∣∣∣∣f (k)(a)

k!

∣∣∣∣Demostracion: Como f(x) se puede escribir como serie de potencias, entonces es infinitamente dife-renciable. Luego, por inspeccion se tiene que:

f(a) = c0

f ′(a) = c1 · 1

f ′′(a) = c2 · 1 · 2...

...

f (k)(a) = ck · k!

Luego se tiene que ck =f (k)(a)

k!.

Definicion:

Si f admite infinitas derivadas en a se define la serie de Taylor de f alrededor de a como:

Tf,a(x) =

∞∑k=0

f (k)(a)

k!(x− a)k

(que se anota T (x) teniendo claro el contexto)

Si una funcion f(x) coincide con su serie de Taylor Tf,a(x) en |x− a| < r, entonces f se llamaanalıtica real en |x− a| < r.

Observacion: Siempre se tendra que

f(a) = Tf,a(x)

pero hay funciones con infinitas derivadas en a tales que Tf,a(x) 6= f(x) ∀x 6= a. Por ejemplo, bastaconsiderar la funcion:

40

f(x) =

e− 1|x| si x 6= 0

0 si x = 0

y desarrollar su polinomio de Taylor en torno a 0.

3.5.2. Resto de Taylor

Teorema: (del resto de Taylor) Sea f con (n+1) derivadas continuas en el punto a. Si∣∣f (n+1)(ξ)

∣∣ ≤M∀ |ξ − a| ≤ d, entonces para Rn(x) se tiene que:

|Rn(x)| = |f(x)− Tf,a,n(x)| ≤ M

(n+ 1)!|x− a|n+1

De aquı se derivan distintas expresiones que se pueden obtener para el resto de orden n:

Resto de Lagrange: Rn(x) =f (n+1)(ξ)

(n+ 1)!(x− a)n+1 para ξ tal que |ξ − a| < |x− a|.

Resto de Cauchy: Rn(x) =f (n+1)(ξ)

n!(x− ξ)n(x− a) con |ξ − a| ≤ |x− a|.

Resto integral:

ˆ x

a

f (n+1)(s)

n!(x− s)nds.

Observacion: Dentro del intervalo de convergencia de Tf,a(x) se tiene que:

Tf,a,n(x)→ Tf,a(x) cuando n→∞

y por ende si f(x) es analıtica cuando |x− a| < r entonces

f(x)− Tf,a,n → 0 cuando n→∞

De hecho, converge uniformemente. De esta forma se puede demostrar que una funcion es analıtica.

41

4. Vectores y geometrıa en R3

4.1. Introduccion

Definicion:

Se define R3 como el conjunto:

R3 = R× R× R = {(x, y, z) : x, y, z ∈ R}

Esta representacion permite expresar regiones del espacio mediante ecuaciones.

Sus elementos se representan por vectores. Se asume ~r = (r1, r2, r3), ~a = (a1, a2, a3), etc. a menosque se explicite lo contrario.2

Se define la longitud de un vector como:

‖~a‖ =

√√√√ 3∑i=1

a2i

Se define la distancia entre dos puntos/vectores como:

d(~a,~b) =∥∥∥~a−~b∥∥∥

4.2. Operaciones lineales en R3

Suma: ~a+~b = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3).

Multiplicacion por escalar: α~a = (αa1, αa2, αa3).

Ambas operaciones conservan las propiedades lineales. Es decir,

~a+~b = ~b+ ~a.(~a+~b

)+ ~c = ~a+

(~b+ ~c

).

λ(~a+~b

)= λ~a+ λ~b.

λ(β ~a) = (λβ)~a.

λβ~a = βλ~a.

2Puede omitirse el signo de vector mientras se explicite que el objeto pertenece a R3. Por ejemplo, r ∈ R3.

42

4.3. Producto escalar y norma

Definicion: Sean x e y dos vectores de Rn, se define el producto escalar como la operacion · : Rn → Rtal que:

x · y =n∑i

xiyi

y que con z ∈ Rn y λ ∈ R verifica las siguientes propiedades:

x · y = y · x.

(λx) · y = x · (λy) = λ (x · y).

x · (y + z) = x · y + x · z.

Definicion: Se define la norma como la operacion Rn → R+ ∪ {0} tal que:

‖~x‖ =√~x · ~x =

√√√√ n∑i=1

x2i

y que verifica las siguientes propiedades:

‖~a‖ = 0⇐⇒ ~a = ~0.

‖λ~a‖ = |λ| ‖~a‖.

Por ley del coseno: x · y = ‖x‖ ‖y‖ cosα.

Teorema: (desigualdad de Cauchy-Schwarz) Sean x, y vectores de Rn, entonces se verifica que:

|x · y| ≤ ‖x‖ ‖y‖

Demostracion: Consideramos x− αy con α ∈ R. Se tiene que:

‖x− αy‖2 = (x− αy) · (x− αy) = ‖x‖2 + α2 ‖y‖2 − 2αx · y

Como la expresion es una funcion cuadratica de α que tiene que ser mayor o igual a cero, entonces eldiscriminante de la expresion verifica que:

4 |x · y|2 − 4 ‖x‖2 ‖y‖2 ≤ 0

De donde se concluye que:

43

|x · y| ≤ ‖x‖ ‖y‖ �

Y la igualdad solo se verifica cuando x = λy o viceversa.

Teorema: (desigualdad triangular) Sean x, y vectoresde Rn, entonces se cumple que:

‖x‖+ ‖y‖ ≥ ‖x+ y‖

Demostracion:

‖x+ y‖2 = (x+ y) · (x+ y) = ‖x‖2 + ‖y‖2 + 2x · y

Por el teorema de Cauchy-Schwarz se sigue que:

‖x‖2 + ‖y‖2 + 2x · y ≤ ‖x‖2 + ‖y‖2 + 2 ‖x‖ ‖y‖

Por lo tanto:

‖x+ y‖2 ≤ (‖x‖+ ‖y‖)2

Como por definicion de norma ambas expresiones son necesariamente positivas, concluimos:

‖x‖+ ‖y‖ ≥ ‖x+ y‖ �

Definicion:

x e y vectores de Rn se dicen perpendiculares u ortogonales (se nota x⊥y) si es que x · y = 0.

x e y vectores de Rn son paralelos si es que existen α 6= 0 tal que x = αy o αx = y.

Observacion: 0 es paralelo y ortogonal a todo vector en Rn.

4.4. Rectas en R3

Una recta en R3 se puede representar por medio de las siguientes parametrizaciones:

Ecuacion vectorial: Una recta que pasa por los puntos a y b se puede representar como:

L : ~a+ (~b− ~a)t t ∈ R

O analogamente ~p+ t~d donde ~p es el punto y ~d es el vector direccion.

44

Ecuacion parametrica: De la ecuacion anterior se tiene que:

x ∈ L ⇐⇒

x1

x2

x3

=

p1

p2

p3

+ t

d1

d2

d3

De donde se desprende que la recta se puede representar por:

L :

x1(t) = p1 + td1

x2(t) = p2 + td2

x3(t) = p3 + td3

Ecuacion cartesiana: Igualando el parametro:

x1 − p1

d1=x2 − p2

d2=x3 − p3

d3

4.5. Planos en R3

Un plano en R3 tambien se puede expresar mediante las mismas parametrizaciones:

Ecuacion vectorial: Un plano se puede caracterizar por un vector normal y un punto que pertenecea el. Luego, la diferencia de cualquier punto debe ser ortogonal a la normal:

Π = {x ∈ Rn : n · (x− p) = 0}

De aquı se sigue que se tiene que verificar que:

n · x = c

Donde n · p = c que es un numero real fijo. Ademas notamos que:

xyz

∈ Π⇐⇒

n1

n2

n3

· x

yz

= c =⇒ n1x+ n2y + n3z = c

Se toma una variable y se despeja. Por ejemplo, z:

z =c− n1x− n2y

n3

Luego un vector (x, y, z) en el plano se escribe como:

45

xyz

=

xy

c− n1x− n2y

n3

=

00c

n3

+ x

10

−n1

n3

+ y

01

−n2

n3

Con x e y arbitrarios. Es decir, para p, s y d vectores en R3 todo plano tambien se puede representarcomo:

x ∈ Π⇐⇒ x = p+ λs+ td λ, t ∈ R

Ecuacion parametrica: se sigue que:

x ∈ Π⇐⇒

xyz

=

p1

p2

p3

+ λ

s1

s2

s3

+ t

d1

d2

d3

Π :

x(λ, t) = p1 + λs1 + td1

y(λ, t) = p2 + λs2 + td2

z(λ, t) = p3 + λs3 + td3

Ecuacion cartesiana: de la ecuacion normal es directo:

n1x+ n2y + n3z = c

con c = n · p.

4.6. Producto cruz

Definicion: Se define el producto cruz o producto vectorial entre dos vectores ~a y ~b en R3 como aquelvector que cumple:

~a×~b⊥~a y ~a×~b⊥~b.∥∥∥~a×~b∥∥∥ = ‖~a‖∥∥∥~b∥∥∥ sin θ.

La direccion queda determinada por la regla de la mano derecha.

Ademas si ~a = a1i+ a2j + a3k y ~b = b1i+ b2j + b3k entonces:

~a×~b =

∣∣∣∣∣∣i j ka1 a2 a3

b1 b2 b3

∣∣∣∣∣∣ = i

∣∣∣∣ a2 a3

b2 b3

∣∣∣∣− j ∣∣∣∣ a1 a3

b1 b3

∣∣∣∣+ k

∣∣∣∣ a1 a2

b1 b2

∣∣∣∣Propiedades: Sean u, w, a, b y c en R3 y λ ∈ R, entonces se verifican las siguientes propiedades para×:

46

1. Anticonmutatividad: a× b = −b× a.

2. λ (a× b) = (λa)× b = a× (λb).

3. a× (b+ c) = a× b+ a× c.

4. u · (v × w) = (u× v) · w.

5. u× (v × w) = (u · w) v − (u · v)w.

Demostracion:

(1) Recordando que una operacion elemental de permutacion tiene determinante −1 se tiene que:

a× b = i

∣∣∣∣ a2 a3

b2 b3

∣∣∣∣− j ∣∣∣∣ a1 a3

b1 b3

∣∣∣∣+ k

∣∣∣∣ a1 a2

b1 b2

∣∣∣∣a× b = −i

∣∣∣∣ b2 b3a2 a3

∣∣∣∣+ j

∣∣∣∣ b1 b3a1 a3

∣∣∣∣− k ∣∣∣∣ b1 b2a1 a2

∣∣∣∣a× b = −b× a

(2) Recordando que una matriz de escalamiento Ei(λ) tiene determinante λ se sigue que:

λ (a× b) = λ

∣∣∣∣∣∣i j ka1 a2 a3

b1 b2 b3

∣∣∣∣∣∣(λa)× b =

∣∣∣∣∣∣i j kλa1 λa2 λa3

b1 b2 b3

∣∣∣∣∣∣ = |E2(λ)|

∣∣∣∣∣∣i j ka1 a2 a3

b1 b2 b3

∣∣∣∣∣∣ = λ

∣∣∣∣∣∣i j ka1 a2 a3

b1 b2 b3

∣∣∣∣∣∣a× (λb) =

∣∣∣∣∣∣i j ka1 a2 a3

λb1 λb2 λb3

∣∣∣∣∣∣ = |E3(λ)|

∣∣∣∣∣∣i j ka1 a2 a3

b1 b2 b3

∣∣∣∣∣∣ = λ

∣∣∣∣∣∣i j ka1 a2 a3

b1 b2 b3

∣∣∣∣∣∣Por transitividad se verifica la igualdad.

(3) Tenemos que:

a× (b+ c) =

∣∣∣∣∣∣i j ka1 a2 a3

b1 + c1 b2 + c2 b3 + c3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

i j ka1 a2 a3

b1 + c1 b2 + c2 b3 + c3

∣∣∣∣∣∣ = i [a2(b3 + c3)− a3(b2 + c2)]

−j [a1(b3 + c3)− a3(b1 + c1)] + k [a1(b2 + c2)− a2(b1 + c1)]

Desarrollando y reagrupando se tiene que:

47

∣∣∣∣∣∣i j ka1 a2 a3

b1 + c1 b2 + c2 b3 + c3

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣i j ka1 a2 a3

b1 b2 b3

∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣i j ka1 a2 a3

c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣a× (b+ c) = a× b+ a× c

(4) Se quiere demostrar que:

u · (v × w) = (u× v) · w

Demostraremos que ambas expresiones son equivalentes. Notar que:

v × w =

∣∣∣∣∣∣i j kv1 v2 v3

w1 w2 w3

∣∣∣∣∣∣= (v2w3 − v3w2) i− (v1w3 − v3w1) j + (v1w2 − v2w1) k

Luego:

u · (v × w) = u1v2w3 − u1v3w2 + u2v3w1 − u2v1w3 + u3v1w2 − u3v2w1

Analogamente:

u× v =

∣∣∣∣∣∣i j ku1 u2 u3

v1 v2 v3

∣∣∣∣∣∣= (u2v3 − u3v2) i− (u1v3 − u3v1) j + (u1v2 − u2v1) k

Luego:

(u× v) · w = u2v3w1 − u3v2w1 + u3v1w2 − u1v3w2 + u1v2w3 − u2v1v3

De esta forma se verifica que ambas expresiones son equivalentes. �

(5) De forma analoga a la demostracion anterior se verificara que las siguientes expresiones son equi-valentes:

u× (v × w) = (u · w) v − (u · v)w

Notamos que:

48

u× (v × w) = u×

∣∣∣∣∣∣i j kv1 v2 v3

w1 w2 w3

∣∣∣∣∣∣= u×

v2w3 − v3w2

v3w1 − v1w3

v1w2 − v2w1

=

∣∣∣∣∣∣i j ku1 u2 u3

v2w3 − v3w2 v3w1 − v1w3 v1w2 − v2w1

∣∣∣∣∣∣=

u2v1w2 − u2v2w1 − u3v3w1 + u3v1w3

− (u1v1w2 − u1v2w1 − u3v2w3 + u3v3w2)v1v3w1 − u1v1w3 − u2v2w3 + u2v3w2

Por otra parte:

u · w = u1w1 + u2w2 + u3w3

Entonces:

(u · w) v =

u1w1v1 + u2w2v1 + u3w3v1

u1w1v2 + u2w2v2 + u3w3v2

u1w1v3 + u2w2v3 + u3w3v3

Con este mismo proceder se llega a que:

(u · v)w =

u1v1w1 + u2v2w1 + u3v3w1

u1v1w2 + u2v2w2 + u3v3w2

u1v1w3 + u2v2w3 + u3v3w3

⇒ (u · w) v − (u · v)w =

u2v2w2 − u2v2w1 − u3v3w1 + u3v1w3

u1v2w1 + u3v2w3 − u1v1w2 − u3v3w2

u1v3w1 − u1v1w3 − u2v2w3 + u2w2v3

Revisando con cuidado (y paciencia) se concluye que ambas expresiones son equivalentes. �

4.6.1. Producto mixto

Definicion: Sean ~u,~v, ~w vectores de R3, entonces se define el producto mixto o producto caja como:

[~u,~v, ~w] = ~u · (~v × ~w)

Por lo tanto, de acuerdo a la definicion de ambas operaciones se tiene que:

[~u,~v, ~w] =

∣∣∣∣∣∣u1 u2 u3

v1 v2 v3

w1 w2 w3

∣∣∣∣∣∣49

Observacion: |[~u,~v, ~w]| corresponde al volumen signado del paralelepıpedo determinado por los vec-tores ~u, ~v y ~w. Notarlo no es complicado:

|[~u,~v, ~w]| = |~u · (~v × ~w)| = |~u| |~v × ~w| cos θ 0 ≤ θ ≤ π

2

Sabemos que |~v × ~w| corresponde al area del paralelogramo, que se multiplica por la altura, dada por|~u| cos θ (la proyeccion del vector ~u).

Propiedades: El producto mixto verifica que:

(1) [u, v, w] = −[u,w, v]

(2) [u, v, w] = [w, u, v] = [v, w, u]

Demostracion:

(1)

[u, v, w] =

∣∣∣∣∣∣u1 u2 u3

v1 v2 v3

w1 w2 w3

∣∣∣∣∣∣ = −

∣∣∣∣∣∣u1 u2 u3

w1 w2 w3

v1 v2 v3

∣∣∣∣∣∣ = −[u,w, v]

(2)

[u, v, w] =

∣∣∣∣∣∣u1 u2 u3

v1 v2 v3

w1 w2 w3

∣∣∣∣∣∣ = (−1)2

∣∣∣∣∣∣w1 w2 w3

u1 u2 u3

v1 v2 v3

∣∣∣∣∣∣︸ ︷︷ ︸F2 ←→ F3

F1 ←→ F2

= [w, u, v]

[u, v, w] =

∣∣∣∣∣∣u1 u2 u3

v1 v2 v3

w1 w2 w3

∣∣∣∣∣∣ = (−1)2

∣∣∣∣∣∣v1 v2 v3

w1 w2 w3

u1 u2 u3

∣∣∣∣∣∣︸ ︷︷ ︸F1 ←→ F2

F2 ←→ F3

= [v, w, u]

Observacion: Sean dos rectas L1 : p1 + λd1 y L1 : p2 + λd2.

son paralelas si d1 × d2 = 0.

son alabeadas si [p1 − p2, d1, d2] 6= 0

se intersectan si [p1 − p2, d1d2] = 0.

50

4.7. Combinaciones lineales

Definicion: Para r1, . . . , rm ∈ Rn (m ≤ n) se dice que r ∈ Rn es una combinacion lineal de dichosvectores si es que existen α1, . . . , αm ∈ R tales que:

r = α1r1 + . . .+ αmrm

Definicion: Se dice que los vectores r1, . . . , rm ∈ Rn(m ≤ n) se dicen linealmente independientes si ysolo si:

α1r1 + . . .+ αmrm = 0⇐⇒ (∀i ≤ m) αi = 0

4.8. Conjuntos equidistantes en R3

Caso de 2 vectores: Para r = (x, y, z) que equidista de dos vectores a y b se cumple que:

‖r − a‖2 = ‖r − b‖2

‖r‖2 − 2r · a+ ‖a‖2 = ‖r‖2 − 2r · b+ ‖b‖2

‖b‖2 − ‖a‖2

2= r · (b− a)

Se concluye que el vector r se debe encontrar en el plano:

r · (b− a) =1

2(b− a) · (b+ a)

Siendo b− a un vector normal. Notar que de la ecuacion anterior:

(b− a) ·(r − b+ a

2

)= 0

Caso de 3 vectores: Para r = (x, y, z) que equidista de los vectores a, b y c se cumple que:

‖r − a‖2 = ‖r − b‖2 = ‖r − c‖2

De acuerdo al caso anterior, podemos considerar dos planos:

Π1 = {x ∈ R3 : ‖r − a‖2 = ‖r − b‖2}

Π2 = {x ∈ R3 : ‖r − a‖2 = ‖r − c‖2}

De donde se observa que:

51

r ∈ Π1 ⇐⇒(r − b+ a

2

)⊥ (b− a)

r ∈ Π2 ⇐⇒(r − c+ a

2

)⊥ (c− a).

Buscamos que r ∈ Π1 ∩ Π2 para que se cumplan simultaneamente ambas expresiones. Observamosque:

(b− a)× (c− a)⊥(b− a) y (b− a)× (c− a)⊥(c− a)

De esta forma, encontramos la recta que satisface la condicion:

L : r + t(b− a)× (c− a)

pues

[r + t(b− a)× (c− a)] · (b− a) =1

2(b− a) · (b+ a)

[r + t(b− a)× (c− a)] · (c− a) =1

2(c− a) · (c+ a)

4.9. Interseccion de planos y rectas

Considerando dos planos en R3: Π1 : n1 · (x− p1) = 0 y Π2 : n2 · (x− p2) = 0.

Si n1 ∦ n2 entonces los planos se intersectan en una recta.

Si n1 ‖ n2 entonces:

• si (p1 − p2) · n1 = 0 los planos son el mismo. Se puede hacer la prueba con otros vectorescualesquiera.

• si no se cumple esto, los planos son paralelos.

Considerando un plano y una recta: Π : {r ∈ R3 : r · n = c} y L : {r ∈ R3 : r = p + td t ∈R; p, d ∈ R3}.

si d⊥n:

• si p ∈ Π (n · p = c) entonces L ⊂ Π.

• si p /∈ Π entonces L ∩Π = ∅.

si d · n 6= 0 entonces si r ∈ L ∩Π se tiene que

{r · n = cr = p+ td

por lo que p · n+ td · n = c. Luego:

t =c− p · nd · n

se concluye:

L =

{p+

c− p · nd · n

d

}

52

4.10. Distancias a puntos y rectas

Antes de deducir las formulas se presenta un marco teorico previo:

Definicion: Si A ⊆ Rn y x ∈ Rn se define la distancia de x a A como

d(x,A) = ınfy∈A‖x− y‖

Proposiciones:

Si A 6= ∅ entonces d(x,A) es finito y mayor o igual a cero.

d(x,A) ≤ ‖x− z‖+ d(z,A).

Definicion: Decimos que A 6= ∅, A ⊂ Rn es cerrado si d(x,A) = 0⇒ x ∈ A.

Teorema: Sea x ∈ Rn y A ⊂ Rn. Si A 6= ∅ es cerrado, entonces existe z ∈ A tal que:

‖x− z‖ ≤ ‖x− y‖ ∀y ∈ A

Definicion: Si dice que C ⊂ Rn es convexo si ∀x, y ∈ C:

[x, y] = {λx+ (1− λ)y : λ ∈ [0, 1]} ⊂ C

Teorema: Si C ⊂ Rn es convexo y cerrado y x /∈ C entonces z ∈ C es el punto (unico) mas cercanoa x en C. Es decir,

x− z ≤ x− y ⇐⇒ (x− z) · (y − z)︸ ︷︷ ︸θ≥π/2

≤ 0

Demostracion:

(⇐) Sea z ∈ C satisfaciendo (x− z) · (y − z) ≤ 0. Entonces:

‖x− y‖2 = ‖(x− z) + (z − y)‖2 = ‖x− z‖2︸ ︷︷ ︸≥0

+2 (x− z) · (z − y)︸ ︷︷ ︸≥0

+ ‖z − y‖2︸ ︷︷ ︸≥0

≥ 0

Es inmediato que la ultima expresion es mayor a ‖x− z‖2. Entonces:

‖x− y‖2 ≥ ‖x− z‖2

53

Se desprende de inmediato la unicidad. Si suponemos z1 6= z2 se tiene que:

‖x− z1‖2 = ‖x− z2‖2

Bajo el mismo argumento anterior se llega a que:

0 ≤ ‖z2 − z1‖2 ≤ 0

De donde se concluye que z2 = z1.

(⇒) Sea z ∈ C tal que ‖x− z‖ ≤ ‖x− y‖ (∀y ∈ C) y sea y ∈ C, como C es convexo, entoncesz + λ(y − z) ∈ C ∀λ ∈ [0, 1] y por lo tanto:

‖x− z‖2 ≤ ‖x− [z + λ(y − z)]‖2 ∀y ∈ C

⇒ ‖x− z‖2 ≤ ‖x− z‖2 − 2λ(x− z) · (y − z) + λ2 ‖y − z‖2

⇒ (x− z) · (y − z) ≤ λ

2‖y − z‖

Tomando lımλ→0+

:

⇒ (x− z) · (y − z) ≤ 0

Quedan demostradas las dos implicancias, y por lo tanto la equivalencia. �

Definicion: Si C es convexo cerrado y no vacıo y x ∈ Rn se define PC(x) como z ∈ C que satisfaceque ‖x− z‖ ≤ ‖x− y‖.

Proposicion:

1. los planos y rectas son conjuntos cerrados y convexos.

2. si r1 y r2 pertenecen a un plano Π o una recta L entonces r1 + λ(r2 − r1) ∈ Π para todo λ ∈ R.

Demostracion: (1) Si Π = {r ∈ R3 : r · n = c} con n ∈ R3 y c ∈ R dados y r1 y r2 ∈ Π. Luego,

[λr1 + (1− λ)r2] · n = λ(r1 · n) + (1− λ) (r2 · n) = λc+ (1− λ)c = c (∀λ ∈ R)

Teorema: Si Π es un plano (o L es una recta) y x /∈ Π entonces el punto z ∈ Π mas cercano a xsatisface:

(x− z) · (y − z) = 0 ∀y ∈ Π

Demostracion: Si z ∈ Π es el punto mas cercano a x entonces

54

(x− z) · (y − z) ≤ 0 ∀y ∈ Π

Si y ∈ Π, como z ∈ Π entonces z + λ(y − z) ∈ Π (∀y ∈ R) y luego (x− z) · (λ(y − z)) ≤ 0.

Si tomamos λ = 1 se verifica que (x− z) · (y− z) ≤ 0. Si λ = −1 se verifica que (x− z) · (y− z). Comodebe cumplirse simultaneamente para ambos casos. Es condicion necesaria que (x− z) · (y− z) = 0. �

Despues de este marco teorico se pueden establecer las formulas para distancia punto-plano:

Distancia punto-plano: Sea Π = {r ∈ R3 : r · n = c} un plano en R3. Para un vector x se laproyeccion z ∈ Π que representa la distancia mınima al plano. Luego,

x =

x · n− c︷︸︸︷z · n

n

︸ ︷︷ ︸x−z

+

c︷ ︸︸ ︷(z · n) n+

direccion en el plano︷ ︸︸ ︷(x− (x · n)n)︸ ︷︷ ︸∈Π

De donde se sigue que:

d(x,Π) = ‖x− z‖ = |x · n− c|

y para la distancia punto-recta:

Distancia punto-recta: Sea L = {r ∈ R3 : r = p + λd λ ∈ R} con p ∈ R3 y d ∈ R3 y x un punto.La altura del paralelogramo determinado por x− p y d corresponde a la distancia mınima del puntoa la recta. Es decir,

d(x,L) = ‖x− p‖ sinα = ‖x− p‖ ‖(x− p)× d‖‖x− p‖ ‖d‖

Despejando:

d(x,L) =‖(x− p)× d‖

‖d‖

Algunos casos particulares:

Distancia entre rectas: en caso de no intersectarse se toma un punto de una se calcula la distanciapunto-recta.

Distancia recta-plano: en caso de ser paralelos, se toma un punto de la recta y se calcula ladistancia al plano.

Distancia entre planos: se toma el punto de un plano se calcula la distancia punto-plano con elotro.

55

5. Curvas en Rn

Definicion: Se define una curva como un conjunto unidimensional en Rn que se ve representado poruna funcion de R→ Rn denominada parametrizacion.

5.1. Diferenciacion e integracion en vectores

Definicion:

Definimos una funcion f : R→ Rn como f(t) = (f1(t), . . . , fn(t)), donde fi : R→ R.

f es continua en t0 si y solo si fi es continua ∀i ≤ n. Es decir, si

lımt→t0

f(t) =

(lımt→t0

f1(t), lımt→t0

f2(t), lımt→t0

f3(t)

)= f(t0)

Se dice que la curva Γ ⊂ Rn es continua si existe un intervalo I ⊂ R y una parametrizacioncontinua tal que Γ = f(I).

Observacion: Se puede observar que una curva continua Γ ⊂ Rn admite mas de una paramtrizacion.Las curvas, por lo tanto, pueden reparametrizarse.

Definicion: Se dice que f : R→ Rn es derivable en t si

lımh→0

f(t+ h)− f(t)

hexiste

Es decir, si lımh→0

fi(t+ h)− fi(t)h

existe. Analogamente, si f es derivable en t, entonces es continua en

dicho punto.

En este caso, la notacion es f ′(t), y representa al vector tangente a la curva Γ en el punto t (representasu velocidad).

Teorema: Si u, v : R→ R3, f : R→ R son funciones diferenciables y sea c ∈ R, entonces:

1.d

dt(u(t) + v(t)) =

d

dtu(t) +

d

dtv(t).

2.d

dtcu(t) = c

d

dtu(t).

3.d

dtf(t)u(t) = f ′(t)u(t) + f(t)u′(t).

4.d

dtu(t) · v(t) = u′(t) · v(t) + u(t) · v′(t).

5.d

dt[u(t)× v(t)] = u′(t)× v(t) + u(t)× v′(t). Notar que por este caso en particular se consideran

u y v vectores de R3. Los teoremas anteriores son generalizables para Rn.

56

Teorema: Sea Γ una curva parametrizada por r : R → R3 diferenciable. Entonces, si ‖r(t)‖ esconstante, entonces r(t) y r′(t) son ortogonales.

Demostracion:

d

dt‖r(t)‖ = 2r(t) · r′(t) = 0 =⇒ r(t) · r′(t) = 0�

Definicion: Sea r : R→ Rn continua, se define

ˆ b

ar(t)dt = lım

∆ti→0

n∑i=1

r(ti)∆ti

donde ∆ti = ti − ti−1 y a = t0 < . . . < tn = b. Entonces:

ˆ b

ar(t)dt =

(ˆ b

ax(t)dt,

ˆ b

ay(t)dt,

ˆ b

az(t)dt

)

5.2. Longitud de curva y arcoparametro

Definicion: Sea Γ una curva en Rn con una parametrizacion r : R→ Rn diferenciable. Se define lalongitud de arco como:

ds

dt=∥∥r′(t)∥∥ −→ s(t) =

ˆ t

a

∥∥r′(t)∥∥ dtProposicion: La longitud de Γ es independiente de la parametrizacion con si r′(t) es continua ydistinta de cero y r es inyectiva.

Demostracion: Si Γ : r([a, b]), entonces σ : [c, d] → Γ ⊂ R3 es otra parametrizacion con las mismaspropiedades.

Luego, existe τ : [a, b] → [c, d] continuamente diferenciable, con τ ′ 6= 0 y tal que r(t) = σ(τ(t))entonces:

r′(t) = σ′(τ(t))τ ′(t)

Por lo tanto:

L(Γ) =

ˆ b

a

∥∥r′(t)∥∥ dt=

ˆ b

a

∥∥σ′(τ(t))τ ′(t)∥∥ dt

=

ˆ b

a

∥∥r′(τ)∥∥ dτ

57

Por lo tanto, la longitud de la curva es la misma. Esto sirve como corolario para la definicion que sepresenta a continuacion.

Observaciones: Si r(t) es derivable y tal que r′(t) 6= 0 entonces:

r : [a, b]→ Γ ⊂ R3 es biyectiva.

s(t) : [a, b]→ [0, L(Γ)] y s′(t) 6= 0 para todo t ∈ [a, b].

Luego, existe t = s−1(s). Es decir, cada longitud de arco se puede asociar a un instante delparametro inicial, y por lo tanto t puede ser una funcion de la longitud s.∥∥∥∥drds

∥∥∥∥ =

∥∥∥∥drdt · dtds∥∥∥∥ =

∥∥∥∥drdt · dtdr∥∥∥∥ = 1. Al hacer una parametrizacion en funcion de la longitud arco

se obtiene una velocidad constante.

Definicion: Se define la reparametrizacion por longitud de arco o el arcoparametro como la parame-trizacion r ◦ s−1 : [0, L(Γ)]→ Γ ⊂ Rn denotada por r(t(s)).

El arcoparametro es unico para la curva que representa.

5.3. Propiedades geometricas de curvas

Definicion: Sea Γ una curva representada por la parametrizacion r : [a, b] → Γ diferenciable, conr′(t) 6= 0 y s su arcoparametro, entonces se define:

El vector tangente unitario como T =r′(t)

‖r′(t)‖.

La curvatura como κ =

∥∥∥∥dTds∥∥∥∥.

El vector normal como N =dT

dt/

∥∥∥∥∥dTdt∥∥∥∥∥.

El vector binormal como B = T ×N .

La torsion como τ = −N · dBds

.

Definicion:

Se define el plano normal a r(t) como r(t) + 〈N(t), B(t)〉.

Se define el plano osculador a r(t) como r(t) + 〈N(t), T (t)〉.

58

Teorema: (Formulas de Frenet-Serret) Para una curva con parametrizacion diferenciable se verificaque:

1.dT

ds= κN .

2.dN

ds= −κT + τB.

3.dB

ds= −τN .

Esta informacion se puede representar en la siguiente matriz antisimetrica:

dV

ds=

0 κ 0−κ τ0 −τ 0

V donde V =

TNB

Demostracion: Observamos que T , N y B son vectores ortogonales entre sı y unitarios. Luego, formanuna base ortonormal de Rn. Es decir, cada una de las derivadas se puede escribir como una combinacionlineal de dichos vectores.

(1) Observamos que:

N =

dT

dt∥∥∥∥dTdt∥∥∥∥ =

dT

ds

ds

dt∥∥∥∥dTds dsdt∥∥∥∥ =

dT

ds

∥∥r′(t)∥∥∥∥∥∥dTds∥∥∥∥∥∥r′(t)∥∥ =

dT

dsκ

De donde se obtiene que:

dT

ds= κN �

(2) Del preambulo de la demostracion sabemos que se pueden encontrar α, β y γ reales tales que:

dN

ds= αT + βN + γB

Queremos encontrar dichos coeficientes. Para ello, recordamos que si:

u = δ1v1 + δ2v2 + δ3v3 con v1, v2, v3 ortogonoales

Entonces δi = u·vi. Aplicaremos esta idea en esta demostracion. Sabemos a priori que T ·N = B ·N = 0(por ortogonalidad) y que N ·N = 1 (pues es la norma de un vector unitario), luego:

d

ds(T ·N) =

dT

ds︸︷︷︸κN

·N +dN

ds· T = 0 −→ dN

ds· T = α = −k

59

d

ds(N ·N) = 2

dN

ds·N = 0 −→ dN

ds·N = β = 0

d

ds(B ·N) =

dB

ds·N︸ ︷︷ ︸

−τ por def

+dN

ds·B = 0 −→ dN

ds·B = γ = τ

Se concluye que:

dN

ds= −κT + τB�

(3) De forma analoga:

dB

ds= αT + βN + γB

Donde γ = 0 por el mismo razonamiento usado anteriormente. Ademas, bajo el mismo procedimiento:

d

ds(T ·B) =

dT

ds︸︷︷︸κN

·B +dB

ds· T = 0 −→ dB

ds· T = α = 0

d

ds(N ·B) =

dN

ds·B +

dB

ds·N = τ +

dB

ds·N = 0 −→ dB

ds·N = β = −τ

Notar que en el ultimo paso se reemplazo con el resultado obtenido en (2). Se concluye que:

dB

ds= −τN �

Proposicion: Las propiedades geometricas de las curvas se pueden representar por medio de lossiguientes vectores:

1. κ =‖r′(t)× r′′(t)‖‖r′(t)‖3

.

2. B =r′(t)× r′′(t)‖r′(t)× r′′(t)‖

.

3. N =(r′(t)× r′′(t))× r′(t)‖r′(t)× r′′(t)‖ ‖r′(t)‖

.

4. τ =(r′(t)× r′′(t)) · r′′′(t)‖r′(t)× r′′(t)‖2

.

60

Demostracion:

(1) Sabemos por regla de la cadena que:

κ =

∥∥∥∥dTdt · dtds∥∥∥∥ =

∥∥∥∥dTdt∥∥∥∥ · 1

‖r′(t)‖

Debemos encontrar una expresion para

∥∥∥∥dTdt∥∥∥∥. Como T es unitario, entonces T ′⊥T y ademas al derivar

r′(t) = Tds

dtse obtiene que:

r′′(t) = T ′ds

dt+ T

d2s

dt2

El segundo termino de esta expresion se anula si es que tomamos r′(t)× r′′(t):

r′(t)× r′′(t) = T × T ′(ds

dt

)2

︸ ︷︷ ︸‖r′(t)‖2

Y sabiendo que ‖T‖ = 1 se llega a que:

∥∥r′(t)× r′′(t)∥∥ =∥∥r′(t)∥∥2

∥∥∥∥dTdt∥∥∥∥ ‖T‖ sinα donde α =

π

2pues T⊥T ′

Finalmente, reemplazando en la formula que se tenıa para κ:

κ =‖r′(t)× r′′(t)‖‖r′(t)‖3

�

(2) Recordamos que:

r′(t)× r′′(t) = T × T ′∥∥r′(t)∥∥2

= T ×N︸ ︷︷ ︸B

∥∥∥∥dTdt∥∥∥∥∥∥r′(t)∥∥2

Ademas, de la demostracion anterior, tenemos que

∥∥∥∥dTdt∥∥∥∥ =‖r′(t)× r′′(t)‖‖r′(t)‖2

. Luego,

r′(t)× r′′(t) = B∥∥r′(t)× r′′(t)∥∥

Concluimos que:

B =r′(t)× r′′(t)‖r′(t)× r′′(t)‖

�

61

(3) Como B = T ×N entonces N = B × T . Es inmediato que:

N = B × T =(r′(t)× r′′(t))× r′(t)‖r′(t)× r′′(t)‖ ‖r′(t)‖

�

(4) Como {B, T,N} es una base ortonormal, entonces:

r′′′(t) = αT + βB + γN

Recordemos que:

r′′(t) = N

∥∥∥∥dTdt∥∥∥∥ dsdt︸ ︷︷ ︸

‖r′(t)‖2

+Td2s

dt2

Al derivar esta expresion, nos importa el termino que acompana a B. Dicho termino aparecera alderivar N con respecto a t. Es decir,

r′′′(t) = . . .+ κ∥∥r′(t)∥∥2 dN

dt

= . . .+ κ∥∥r′(t)∥∥2 dN

ds

ds

dt

= . . .+ κ∥∥r′(t)∥∥3 dN

ds︸︷︷︸−κT+τB

←− formula de Frenet

Luego,

r′′′(t) ·B = κ∥∥r′(t)∥∥3

τ =∥∥r′(t)× r′′(t)∥∥ τ

Concluimos que:

τ =r′′′(t) ·B

‖r′(t)× r′′(t)‖=

(r′(t)× r′′(t)) · r′′′(t)‖r′(t)× r′′(t)‖2

�

62

Formulario

Areas y volumenes:

Area entre curvas:

• Cartesiana:

ˆ b

a|f(x)− g(x)|dx.

• Polares:

ˆ θ2

θ1

∣∣∣∣ρ(θ)2

2− ϕ(θ)2

2

∣∣∣∣ dθ• Parametricas:

ˆ tf

ti

y(t)x(t)dt, x(t) creciente.

Formula general para volumenes:

ˆ b

aA(x)dx donde A(x) es el area de la seccion trasnversal.

Volumen de rotacion en torno al eje x:

• Cartesiana:

ˆ b

aπf2(x)dx.

• Polares: 2π

ˆ θ2

θ1

ρ3

3sin θdθ.

Volumen de rotacion en torno al eje y:

ˆ f(b)

f(a)πx2dy =

ˆ b

aπx2f ′(x)dx. a y b son los puntos en el

eje x.

En torno al eje y por casquetes cilındricos:

ˆ b

a2πxf(x)dx.

Para coordenadas parametricas con x(t) creciente:

A =

ˆ tf

ti

y(t)x(t)dt

Momentos y centros de masa:

C =momento

masa

Momento de una lınea:

ˆ b

axρ(x)dx. Masa de una lınea:

ˆ b

aρ(x)dx.

Momento de una placa:

x =

ˆ b

aρ(x)xf(x)dx

y =

ˆ b

aρ(x)

f2(x)

2dx

63

ρ(x) solo depende del eje x. Si ρ(x) es constante, se anulan.

Para coordenadas cartesianas:

x =1

A

ˆ b

a

1

3r3 cos θdθ

y =1

A

ˆ b

a

1

3r3 sin θdθ

Masa de una placa con densidad constante: m =

ˆ b

aρ(x)f(x)dx.

Momento de area entre curvas:

x =

ˆ b

aρ(x)x|f(x)− g(x)|dx

y =

ˆ b

aρ(x)

(f(x) + g(x)

2

)|f(x)− g(x)|dx

Centro de masa para solido de revolucion en torno al eje x: Cuidadosamente aplicado, tambiensirve para el eje y.

y = z = 0

x =

ˆ b

aρ(x)xπf2(x)dx

ˆ b

aρ(x)πf2(x)dx

Centro de masa para solido de revolucion en torno al eje y:

x = z = 0

y =

ˆ b

aρ(x)πxf2(x)dx

ˆ b

aρ(x)2πf(x)dx

Centro de masa para una curva a densidad constante:

x =

ˆ b

ax√

1 + f ′(x)2

ˆ b

a

√1 + f ′(x)2

y =

ˆ b

ay√

1 + f ′(x)2

ˆ b

a

√1 + f ′(x)2

• Coordenadas polares:

x =1

3A

ˆ b

ar3 cos θdθ

y =1

3A

ˆ b

ar3 sin θdθ

64

Distancia punto recta: (para el centroide)

r =

√(ax+ by + c)2

a2 + b2

Longitud de curvas:

En coordenadas cartesianas:

L =

ˆ b

a

√1 + f ′(x)2dx

En coordenadas parametricas:

L =

ˆ tf

ti

√x(t)2 + y(t)2dt

En coordenadas polares:

L =

ˆ θf

θi

√r(θ)2 + r′(θ)2dθ

Superficies de revolucion:

Ax =

ˆ b

ayds Ay =

ˆ b

axds

En coordenadas cartesianas:

• En torno al eje x:

A =

ˆ b

a2πf(x)

√1 + f ′(x)2dx

• En torno al eje y:

A =

ˆ b

a2πx

√1 + f ′(x)2dx

En coordenadas parametricas:

A =

ˆ tf

ti

2πy(t)√x′(t)2 + y′(t)2dt

En coordenadas polares:

• En torno al eje x:

A =

ˆ θ2

θ1

r sin θ√r(θ)2 + r′(θ)2dθ

• En torno al eje y:

A =

ˆ θ2

θ1

r cos θ√r(θ)2 + r′(θ)2dθ

65

Teorema del centroide de Pappus: Ambos teoremas funcionan para cualquier sistema de coorde-nadas. Resultan utiles en especial para los calculos en polares y parametricas.

Volumenes de revolucion: Para una region que esta a un solo lado de la recta oblıcua.

V = A · d

donde A es el area de la region y d = 2πr es la distancia recorrida por el centroide.

Superficies de revolucion:

A = L · d

donde L es la longitud de la curva y d = 2πr es la distancia recorrida por el centroide.

Propiedades geometricas de las curvas:

Vector tangente: T =dr

ds=

r′(t)

‖r′(t)‖.

Curvatura: κ =

∥∥∥∥dTds∥∥∥∥ =‖r′(t)× r′′(t)‖‖r′(t)‖3

.

Vector normal : N =

dT

dt∥∥∥∥dTdt∥∥∥∥ =

(r′(t)× r′′(t))× r′(t)‖r′(t)× r′′(t)‖ ‖r′(t)‖

.

Vector binormal : B = T ×N =r′(t)× r′′(t)‖r′(t)× r′′(t)‖

.

Torsion: τ = −N · dBds

=(r′(t)× r′′(t)) · r′′′(t)‖r′(t)× r′′(t)‖2

.

Triedro de Frenet:

T ′

N ′

B′

=

κ−κ τ

−τ

TNB

66