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Reti Complesse
seconda lezione
I. Alcuni Esempi di reti complesse
II. Concetti base di teoria dei grafi e delle reti
III. Modelli
IV. La rete come insieme di comunità
Programma
Bibliografia• Evolution of networks
S.N. Dorogovtsev, J.F.F. Mendes, Adv. Phys. 51, 1079 (2002), cond-mat/0106144• Statistical mechanics of complex networks
Reka Albert, Albert-Laszlo BarabasiReviews of Modern Physics 74, 47 (2002), cond-mat/0106096
• The structure and function of complex networksM. E. J. Newman, SIAM Review 45, 167-256 (2003), cond-mat/0303516
• Complex networks: structure and dynamics S. Boccaletti, V. Latora, Y. Moreno, M. Chavez, D.-U. Hwang Physics Reports 424, 175-308 (2006)
Definizione di NetworkNetwork=insieme di vertici (nodi) uniti da
legami (links)
Rappresentazione molto astratta
molto generaleUtile per descrivere sistemi molto diversi
Nodi Links
Reti sociali Individui Relazioni sociali
Internet Routers
AS
Cavi + coll. wireless
Accordi commerciali
WWW Webpages Hyperlinks
Rete di interazione tra proteine
Proteine Reazioni chimiche
Esempi
Argomento interdisciplinare
Reti complesse sono importanti per:
-teoria dei grafi
-sociologia
-scienza delle comunicazioni
-biologia
-fisica
-informatica
Piano della lezione
1) Breve introduzione ai concetti base di teoria dei grafi
2) Approccio statistico: Ensemble di grafi, distribuzioni di probabilità e correlazioni
3) Reti pesate.
Obiettivo
Definire una serie di osservabili che permettano di caratterizzare un sistema complesso e che forniscano indicazioni per spiegare i meccanismi microscopici che hanno portato alla formazione del sistema
1) Introduzione alla teoria dei grafi
- Definizioni di base
- Matrice di adiacenza
- Densità
- Cammini e connettività
- Alberi
- Centralità
- Clustering
Teoria dei grafi
Grafo G=(V,E)• V=insieme di vertici i=1,…,N• E=insieme di links (i,j)
Link ordinario:
Link diretto :
i j
ij
Bidirezionale comunicazione/interazione
Numero massimo di links
• Non diretti: N(N-1)/2
• Diretti: N(N-1)
Teoria dei grafi
Grafo completo:
(interazione “tutti con tutti”)
Matrice di adiacenza
N nodi i=1,…,N
aij= 1 if (i,j) E0 if (i,j) E
0 1 2 3
0 0 1 1 1
1 1 0 1 1
2 1 1 0 1
3 1 1 1 0
0
3
1
2
Matrice di adiacenza
N nodi i=1,…,N
aij= 1 if (i,j) E0 if (i,j) E
0 1 2 3
0 0 1 0 0
1 1 0 1 1
2 0 1 0 1
3 0 1 1 0
0
3
1
2
Simmetrica se i link non sono diretti.
Matrice di adiacenza
N nodi i=1,…,N
aij= 1 if (i,j) E0 if (i,j) E
0 1 2 3
0 0 1 0 1
1 0 0 0 0
2 0 1 0 0
3 0 1 1 0
0
3
1
2
Non simmetricaSe i links sono diretti
Densità di un grafo
Densità di un grafo: D=|E|/(N(N-1)/2)
Numero dei links
Massimo num. di links possibileD=
Grafo “sparso”: D <<1 Matrice di adiacenza con pochi 1 e molti 0
Rappresentazione: lista dei vicini di ogni nodo
l(i, V(i))
V(i)= vicini di i
CamminiG=(V,E)
Cammino di lunghezza n = lista ordinata di
• n+1 vertici i0,i1,…,in V
• n links (i0,i1), (i1,i2)…,(in-1,in) E
i2i0 i1
i5
i4
i3
Ciclo/loop = cammino chiuso (i0=in)
Alberi
Un albero è un grafo senza cicli
• N nodi, N-1 links
Cammini e connettività
G=(V,E) è connesso se e solo se esiste un cammino che connette ogni coppia di nodi di G .
È connesso
• non è connesso• è formato da due componenti
Cammini e connettività
G=(V,E)=> distribuzione delle componenti connesse
Componente gigante= componente la cui dimensione cresce in modo proporzionale al numero di vertici N
Esistenza di una componente gigante
Una frazione macroscopica dei nodi del grafo è connessa
Cammino minimo (shortest path)
i
j
Cammino minimo tra i e j: numero minimo di links necessari a congiungere i e j
distanza l(i,j)= cammino minimo tra i and j
Diametro di un grafo= max(l(i,j))Cammino minimo medio = ij l(i,j)/(N(N-1)/2)
Grafo completo: l(i,j)=1 per tutte le coppie i,j .“Piccolo mondo”(Small-world): “piccolo” diametro
Centralità
Come quantificare l’importanza di un nodo?
• Grado (degree)=numero di vicini =j aij
i
ki=5
(grafi diretti: kin, kout)
“Betweenness centrality”Per ogni coppia di nodi (l,m) , definisco:
lm numero di cammini minimi tra l e m
ilm num. di cammini minimi che passano per i
bi è la somma ilm
/ lm su tutte le coppie (l,m)
ij
bi è grandebj è piccola
NB: quantità simile: “load” li= ilm
NB: generalizzazione: “link betweenness centrality”
Importante: è una quantità basata sui cammini
“Clustering”
C(i) =# di links tra 1,2,…n vicini
k(k-1)/2
1
2
3
k
Clustering: c’è un’alta probabilità che i miei amici si conoscano!(esempio tipico: social networks)
Coefficiente di clustering di un nodo
i
Clustering
Coefficiente di clustering medio di un grafo
C=i C(i)/N
2) Approccio statistico
- Distribuzione di probabilità dei gradi
- Correlazioni a più punti
- Rappresentazione spettrale
- Assortatività e dissortatività
Distribuzione dei gradi
•Lista dei gradi k1,k2,…,kN Non molto utile!
•Istogramma: Nk= numero dei nodi di grado k•Distribuzione: P(k)=Nk/N=probabilità che un nodo scelto a caso abbia grado k •Distribuzione cumulativa: P>(k)=probabilità che un nodo scelto a caso abbia grado almeno k
Distribuzione dei gradi
P(k)=Nk/N= probabilità che un nodo scelto a caso abbia grado k
Media=< k > = i ki/N = k k P(k)=2|E|/N
Fluttuazioni: < k2 > - < k > 2 < k2 > = i k2
i/N = k k2 P(k)< kn > = k kn P(k)
Grafo “sparso”: < k > << N
Correlazioni a più punti dei gradi
P(k): non è sufficiente a descrive un networkReti “assortative”:Nodi di grado alto preferiscono connettersi con altri nodi di grado alto.Ex: social networks
Reti “dissortative”: Nodi di grado alto preferiscono connettersi a nodi di grado basso.Ex: technological networks
Correlazioni a più punti dei gradi
Misura della correlazione:P(k’,k’’,…k(n)|k): probabilità condizionale che un nodo di grado k sia connesso a nodi di grado k’, k’’,…
Caso più semplice:P(k’|k): probabilità condizionale che un nodo di grado k sia connesso ad un nodo di grado k’
Correlazioni a più punti dei gradi
misura “pratica” di correlazione :
Grado medio dei primi vicini
i
k=3k=7
k=4k=4
ki=4knn,i=(3+4+4+7)/4=4.5
Grado medio dei primi vicini
“Spettro di correlazione”:
Costruito mettendo assieme nodi con lo stesso grado
Class di grado k
Esempio: rete casuale e scorrelata
P(k’|k) indipendente da k(ricorda: P(k’|k) = prob. che un link di grado k punti ad un nodo di grado k’)
proporzionale a k’ stesso
Punc(k’|k)=k’P(k’)/< k >
numero di link uscenti da un nodo di grado k’
numero di link uscenti da un nodo qualsiasi
Assortatività
• Comportamento Assortativo :
knn(k) è una funzione crescente di kEsempio: social networks
• Comportamento Dissortativo:
knn(k) è una funzione decresente di kEsempio: internet (struttura gerarchica)
3) Reti pesate
1) Definizioni ed esempi
2) Coefficiente di clustering pesato
3) Assortatività pesata
Reti pesate
Nelle reti reali i links:• Portano traffico (reti di trasporti, Internet…)• Hanno intensità diverse (social networks…)
Descrizione generale: pesi
i jwij
aij: 0 or 1Wij: variabile continua
- Collaborazioni scientifiche: numero di articoli in
comune●Internet, emails: numero di emails scambiati●Aereoporti: numero di passeggeri●Reti metaboliche: flussi ●Reti economiche: numero di azioni possedute●…
Pesi: esempi
In generale si pone: wii=0Ed il peso è simmetrico: wij=wji
Reti Pesate
I pesi stanno sui link (weigths)
Forza (Strength) di un nodo:
si = j V(i) wij
=>Generalizza in modo naturale la nozione di grado alle reti pesate
=>Esempio: quantifica il traffico totale che passa per un nodo.
Coefficiente di clustering pesato
si=16ci
w=0.625 > ci
ki=4ci=0.5
si=8ci
w=0.25 < ci
wij=1
wij=5
i i
Coefficiente di clustering pesato
Se i pesi sono random: C = Cw
C < Cw : piu pesi sui grafi completi (cliques)
C > Cw : meno pesi sui grafi completi (cliques)
ij
k(wjk)
wij
wik
Coefficiente di clustering medioC=i C(i)/NCw=i Cw(i)/N
Rappresentazione spettrale del Clustering:
Assortatività pesata
ki=5; knn,i=1.8
1
55
5
5i
Assortatività pesata
ki=5; knn,i=1.8
5
11
1
1i
Assortatività pesata
ki=5; si=21; k
nn,i=1.8 ; knn,i
w=1.2: knn,i > knn,iw
1
55
5
5
i
ki=5; si=9; k
nn,i=1.8 ; knn,i
w=3.2: knn,i < knn,iw
511
1
1
i
Assortatività pesata
“Participation ratio”
1/ki se tutti i pesi sono uguali
vicino a 1 se alcuni pesi dominano