reverse sensitivity testing: what does it take to break the model? · 2020-04-21 · insurance...
TRANSCRIPT
Reverse Sensitivity Testing:
What does it take to break the model?
Silvana Pesenti
joint work with Pietro Millossovich and Andreas Tsanakas
Insurance Data Science Conference, 16 July 2018
http://openaccess.city.ac.uk/18896/
Motivation
Motivation: Real-data example
Proprietary model of a London insurance market portfolio
Y = g(X)
Facts
• 500,000 Monte Carlo simulations of inputs X = (X1, . . . , X72) and
output Y
• no knowledge about distributional assumptions
Reverse Sensitivity Testing, Silvana Pesenti 1
Risk measures
Risk assessment of Y through the risk measures:
VaRα(Y ) = inf{y ∈ R |P (Y ≤ y) ≥ α},
ESα(Y ) =1
1− α
∫ 1
α
VaRu(Y ) du.
Reverse Sensitivity Testing, Silvana Pesenti 2
• 1. Which input factor is most important?
• 2. Which is the most plausible alternative
model that leads to an increase in the
risk measure?
Reverse Sensitivity Testing, Silvana Pesenti 2
• 1. Which input factor is most important?
• 2. Which is the most plausible alternative
model that leads to an increase in the
risk measure?
Reverse Sensitivity Testing, Silvana Pesenti 2
Reverse sensitivity testing
Method
1. Define a stress on the output Y :
- increase of VaR or/and ES
2. Derive weights (change of measure) such that
- re-weighted output fulfils the required stress
- most plausible (minimal Entropy)
3. Analyse the stressed model
- sensitivity measure
Reverse Sensitivity Testing, Silvana Pesenti 3
Model and applicability
Applicable
• in a Monte Carlo setting
• for n large
• for any distribution of Xi
• for any dependence structure of X
• under no restrictions on g
Reverse Sensitivity Testing, Silvana Pesenti 4
Monte Carlo setup
• M Monte Carlo simulations of Y = g(X)
• Find weights w(1), . . . , w(M), such that the re-weighted output has
the required stress
X1 . . . Xn Y w
x(1)1 . . . x
(1)n y(1) = g(x
(1)1 , . . . , x
(1)n )
?...
. . ....
...
x(M)1 . . . x
(M)n y(M) = g(x
(M)1 , . . . , x
(M)n )
→ Weights w are analytical functions of the output.
Reverse Sensitivity Testing, Silvana Pesenti 5
Stress on VaR
Weights for a stress on VaR
Reverse Sensitivity Testing, Silvana Pesenti 6
Stress on VaR and ES
Weights for a stress on VaR and ES
Reverse Sensitivity Testing, Silvana Pesenti 7
Numerical example
Insurance portfolio
Non-linear insurance portfolio
Y = L− (1−X4) min{
(L− d)+, l}
L = X3(X1 +X2),
where
• X1, X2 different lines of business
• X3 positive multiplicative risk factor, e.g. inflation
• X4 percentage lost due to default of the reinsurance company
• reinsurance limit l and deductible d
Reverse Sensitivity Testing, Silvana Pesenti 8
Insurance portfolio - Weights
Stress:
• VaR0.95(Y ) by 10%
• ES0.95(Y ) by 13%
Y
RN
−de
nsity
010
300 400 500
VaR(Y) under Q
Reverse Sensitivity Testing, Silvana Pesenti 9
Insurance portfolio - Output
● ● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
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●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●● ● ●
Y
empi
rical
dis
trib
utio
n
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
300 400 500
Baseline ModelStressed Model
Reverse Sensitivity Testing, Silvana Pesenti 10
Insurance portfolio - Input
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
50 100 150 200 250 300
X1
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
150 200 250
X2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
1.00 1.05 1.10
X3
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
X4
empi
rical
dis
tr. fu
nctio
n
diffe
renc
e of
em
piric
al d
istr.
Reverse Sensitivity Testing, Silvana Pesenti 11
Insurance portfolio
X1 X2 X3 X4 Y
Mean 150 200 1.05 0.10 362
Mean, stressed 157 202 1.05 0.14 371
Relative increase 5% 1% 0% 44% 3%
Standard deviation 35 20 0.02 0.20 36
Standard deviation, stressed 43 21 0.02 0.26 50
Relative increase 25% 5% 1% 30% 38%
Reverse Sensitivity Testing, Silvana Pesenti 12
Which input factor is most important?
Reverse Sensitivity Testing, Silvana Pesenti 12
Sensitivity measures
Sensitivity measure
Sensitivity measure
Γi =Estressed(Xi)− E(Xi)
normalised
• depends on Y through the weights w.
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Real-data example
Proprietary model of a London insurance market portfolio
Y = g(X)
Stress:
• VaR0.95(Y ) by 8%
• ES0.95(Y ) by 10%
Reverse Sensitivity Testing, Silvana Pesenti 14
Real-data example
0.5 1.0 1.5 2.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Y
empi
rical
dis
trib
utio
n fu
nctio
ns
Figure 1: Empirical distribution of the output under the baseline model and
the stressed model.
Reverse Sensitivity Testing, Silvana Pesenti 15
Real-data example
●●
●●
●●
● ● ●
● ●●
● ●●
● ●
● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ●
● ●● ●
●●
● ● ●● ●
● ●● ● ● ●● ●
● ● ●● ● ● ● ●
●
●
● ●● ●
●●
●● ●
●●
● ●
●
0.50
0.55
0.60
0.65
0.70
0.75
0.80
0.85
Input risk factor
Sen
sitiv
ity m
easu
re
1835
3 4712
5938 68 58
4 1634
52 69 1
41 2 61 5 40 6727 44 31 32 24 50 23 66
45 2557 15 8 22 65 64 43 17 21 60 28 13 29 39 20 55 46
9 42 1030 14 7 63 54
51
62
53 7071 36 49
72
1937 48
633 11 56
26
Reverse Sensitivity Testing, Silvana Pesenti 16
Thank you!
Reverse Sensitivity Testing, Silvana Pesenti 16
Appendix
Insurance portfolio - Assumptions
Assumptions:
• X1 ∼ (truncated) LogNormal with mean 150 and sd 35.
• X2 ∼ Gamma with mean 200 and sd 20.
• X3 ∼ (truncated) LogNormal with mean 1.05 and sd 0.02.
• X4 ∼ Beta with mean 0.1 and sd 0.2.
• X1, X2, X3 are independent.
• X4 dependent on L through a Gaussian copula with correlation 0.6.
• d = 380, l = 30.
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