riccati-basierte feedback-stabilisierung von ......y(t) = z(t)−w des aktuellen vom station¨aren...

UberblickRealisierung

Beispiel

Riccati-basierte Feedback-Stabilisierungvon Stromungsproblemen

Anne Heubner in Zusammenarbeit mitPeter Benner (MiIT) und Eberhard Bansch (FAU Erlangen)

DFG-Projekt ”Optimal Control-Based Feedback Stabilizationin Multi-Field Flow Problems”

SPP 1253: ”Optimierung mit partiellen Differentialgleichungen”

Elgersburg, 13.02.2008

1/37 Anne Heubner Riccati-basierte Feedback-Stabilisierung von Stromungsproblemen


Beispiel

...uber Ziel und Vorgehen

...uber den theoretischen Hintergrund

Gliederung

1 Uberblick...uber Ziel und Vorgehen...uber den theoretischen Hintergrund

2 RealisierungProjektion der BasisfunktionenProjektion auf Matrixebene

3 Beispiel



Beispiel



Ziel

Entwicklung effizienter Algorithmen zur exponentiellenStabilisierung von Mehrfeld-Stromungsproblemen durchDirichlet-Randeingriff,

Verifizierung anhand von Modellproblemen.

Beispiel: Phasenubergang flussig/fest mit Konvektion



Beispiel



Herangehensweise

1 Umformulierung des Stabilisierungsproblems in einlinear-quadratisches Regelungs- (LQR-) Problem fur PDEs,

2 Diskretisierung,

3 Berechnung der optimalen Zustandsruckfuhrung uber dieLosung der algebraischen Riccatigleichung (ARE),

4 Losung des geregelten PDE-Systems.



Beispiel



Software

PDE-Loser NAVIER;

ARE-Loser:

Hochdimensionales Problem

Matlab-Control-Toolbox ungeeignet.

Verwenden ARE-Loser aus der Toolbox LYAPACK,

muss jedoch angepasst werden!



Beispiel



Ausgangspunkt (Reiner Navier-Stokes-Fall)

In einem Gebiet Ω ⊆ R2 mit glatten Rand Γ := ∂Ω

sei z Losung von

∂t z− 1

Re∆z + (z · ∇)z +∇q = f und

∇ · z = 0 in Ω× (0,∞],

z = g auf Γ× (0,∞],

z(0) = w + y0 in Ω;

lost das zugehorige System,

y0 ist eine Anfangsstorung.



Beispiel



Ausgangspunkt (Reiner Navier-Stokes-Fall)

In einem Gebiet Ω ⊆ R2 mit glatten Rand Γ := ∂Ω

sei z Losung von

∂t z− 1

Re∆z + (z · ∇)z +∇q = f und

∇ · z = 0 in Ω× (0,∞],

z = g auf Γ× (0,∞],

z(0) = w + y0 in Ω;

w lost das zugehorige stationare System,

y0 ist eine Anfangsstorung.



Beispiel



Ziel: Exponentielle Stabilisierung

Betrachte die Abweichung

y(t) = z(t)−w

des aktuellen vom stationaren Zustand.

Bestimme das optimale Dirichlet-Feedback u auf Γ, so dass

||y(t)|| ≤ C (w) e−ωt

in einer geeigneten Norm.



Beispiel



Ziel: Exponentielle Stabilisierung

Linearisierung y gegeben durch Oseen-Gleichungen.

Berechnung von u mithilfe von Riccati-Theorie.

Minimierung des Kostenfunktionals

I(y,u) =1

2

∫ ∞

0(||y(t)||2 + ||u(t)||2) dt.



Beispiel



Hilfsmittel Helmholtz-Projektion

Brauchen fur Riccati-Ansatz Evolutionsgleichung fur dieZustandsvariable.

Oseen-Gleichungen transformierbar in Evolutionsgleichungmithilfe der Helmholtz-Projektion:

P :

L2(Ω) → Hv 7→ P v

H := y ∈ L2(Ω) : ∇ · y = 0 in Ω, y · n|Γ = 0

”Raum der divergenzfreien Funktionen”.



Beispiel



Umwandlung in ein LQR-Problem

Helmholtz-Zerlegung der Zustandsvariablen:

y = P y + (I − P) y.

Umformulierung des geregelten Systems als...

fur P y,

elliptische Gleichung fur (I − P) y.



Beispiel




Helmholtz-Zerlegung der Zustandsvariablen:

y = P y + (I − P) y.

Umformulierung des geregelten Systems als...

Evolutionsgleichung fur P y,

elliptische Gleichung fur (I − P) y.



Beispiel




Elimination von (I − P) y aus dem Kostenfunktional,

Anwendung der Riccati-Theorie

auf das Optimalsteuerungsproblem in P y.

Satz (Jean-Pierre Raymond 2006)

Fur hinreichend kleine y0 gibt es ε > 0, ω > 0, so dass

||y(t)||V1/2−ε(Ω) ≤ C e−ωt .



Beispiel



LQR-Problem

infI(y,u) : (y,u) erfullt (1), u ∈ H(Σ∞), (P)

wobei

I(y,u) =1

2

∫ ∞

0(||P y(t)||2 + ||R1/2

A γnu(t)||2 + ||γτu(t)||2) dt,

P y = AP y + B u in (0,∞),

Py(0) = P y0,

(I − P) y = (I − P) DAγnu

(1)



Beispiel



Riccatigleichung

Daraus ergibt sich die Operator-Riccatigleichung

A?X + X A− X B R−1A B? X + I = 0

fur die UnbekannteX = X ? : H → H.



Beispiel

Projektion der BasisfunktionenProjektion auf Matrixebene

Gliederung



3 Beispiel



Beispiel


Hauptschwierigkeit

Geregelter Zustand P y ∈ H,

Operatoren der Evolutionsgleichung auf H definiert.

FE-Diskretisierung von H praktisch

nicht vernunftig realisierbar!

Arbeiten mit Taylor-Hood-Elementen (Xh,Yh),

Xh ⊂ [ H10 (Ω) ∩ S2

h ]2, Yh ⊂ L2?(Ω) ∩ S1

h .

Keine Standard-Galerkin-Diskretisierung

der Operatoren moglich!



Beispiel


Strategie 1

1 Helmholtz-Projektion der Basisfunktionen durch Losung vonSattelpunktproblemen,

2 Assemblierung der Matrizen mit diesen ”divergenzfreien”Basisfunktionen.

Berechnung der Projektionen sehr zeitintensiv!!!



Beispiel


Steifigkeitsmatrix A

Keine direkte Assemblierung von A,

stattdessen Auswertungsroutine fur den ARE-Loser

zwei Sattelpunktprobleme pro Auswertung Ay.



Beispiel


Massematrix M

Fur den konstanten Term Matrix notwendig!

Trick: Verwendung des Newton-Differenzen-Verfahrens zurNaherung der Losung X der ARE

ATXM + MXA− c MXbbTXM + M = 0 :

1 X0 vorgegeben, lose fur X1 einmal

(AT − c X0bbT )︸︷︷︸=:F0

X1M + MX1 FT0 = − c MX0bbTX0M︸︷︷︸

=:G0

−M,

2 lose fur Di+1 = Xi+1 − Xi , i = 2, . . . ,

FiDi+1M + MDi+1FTi =

− Gi + Gi−1 − (Fi − Fi−1)Xi M−MXi (Fi − Fi−1)T .



Beispiel


Massematrix M

Vorgehensweise:

1 Projektion aller Basisfunktionen eines groben Gitters,

2 vollstandige Assemblierung der Massematrix,

3 Berechnung von X1 auf grobem Level,

4 Prolongation von X0 und X1 auf das feine Gitter,

5 Newton-Differenzen-Schritte auf dem feinen Level

(ohne konstanten Term).



Beispiel


Strategie 2: Grundlage

”Balanced Truncation Model Reduction for a Class ofDescriptor Systems with Application to the Oseen Equations”von Heinkenschloss/Sorensen/Sun

Strategie zur Losung von Lyapunovgleichungenfur Oseen-Systeme



Beispiel


Betrachtete Systeme

Betrachte differential-algebraische Gleichungen (DAE) der Form

E11d

dty(t) = A11y(t) + A12p(t) + B1g(t)

0 = AT12y(t) + B2g(t)

y(0) = y0

x(t) = C1y(t) + C2p(t) + Dg(t).

Dabei sei np < nv , E11 ∈ Rnv×nv s.p.d., AT12 ∈ Rnp×nv habe Rang np.

y ∈ Rnv und p ∈ Rnp sind die Zustande,

g ∈ Rng die Inputs und x ∈ Rny die Outputs des Systems.



Beispiel


Projektion auf Matrixebene

DefiniereΠ := I− A12(A

T12E

−111 A12)

−1AT12E

−111 ,

dann ist Π eine Projektion mit

AT12z = 0 ⇔ ΠTz = z,

i. e. ΠTy = y fur jede Losung y der DAE.

System transformierbar in gewohnliche Differentialgleichungen!



Beispiel


Lyapunov-Gleichung

Im k-ten Newton-Kleinman-Schritt losen wir dieLyapunov-Gleichung

F(k)X(k)ΠE11ΠT + ΠE11Π

TX(k)F(k)T = −G(k)G(k)T

wobei

F(k) = ΠA11ΠT − ΠE11Π

TX(k−1)ΠB1 BT1 ΠT ,

G(k) = [CΠT , ΠE11ΠTX(k−1)ΠB1].

Problem: Projektionen Π!



Beispiel


Losung

Nach Heinkenschloss/Sorensen/Sun gilt

X(k) = −2Re(µ)∞∑i=1

(Ak,µ)i Bk,µB?k,µ(A?

k,µ)i ,

wobei

µ ∈ C− Shift,

Ak,µ := (ΠE11ΠT + µF(k))I (ΠE11Π

T − µF(k)),

Bk,µ := (ΠE11ΠT + µF(k))I G(k),

( · )I verallgemeinerte Inverse.



Beispiel


Partialsummen

Fur die i-te Partialsumme X(k)i der Reihe gilt

X(k)i = U

(k)i U

(k)i

?,

wobei

U(k)i =

√−2 Re(µ) (Bk,µ, Ak,µ Bk,µ, A2

k,µ Bk,µ, . . . ,Ai−1k,µ Bk,µ).



Beispiel


Numerische Berechnung

Berechne Bk,µ durch Losung des Sattelpunktproblems(E11 + µ (AT

11 − E11X(k−1)B1BT1 ) A12

AT12 0

) (Bk,µ

Λ

)=

(G(k)

0

),

wobeiG(k) = [CT , E11 X(k−1)B1].



Beispiel



Zur Berechnung von Z = Ak,µM

1 setze R := (E11 − µ (AT11 − E11X(k−1)B1BT

1 ))M

2 und berechne Z durch(E11 + µ (AT

11 − E11X(k−1)B1BT1 ) A12

AT12 0

) (ZΛ

)=

(R0

).



Beispiel



Bausteine fur Single- oder Multishiftalgorithmus vorhanden.

Erweiterung von LYAPACK: Losung vonSattelpunktproblemen.

Erwarten deutlich weniger Rechenaufwand als mit Strategie 1.



Beispiel

Gliederung



3 Beispiel



Beispiel

Karman’sche Wirbelstraße

Parabolischer Dirichlet-Einfluss

Neumann-Ausfluss

Fur hohe Reynoldszahlen:

Verwirbelungen hinter dem Hindernis!



Beispiel

Benchmark-Beispiel

Sei w Losung der stationaren NVS fur Re = 1,

η lose die instationaren Gleichungen fur Re = 500

mit leicht gestortem Anfangswert w

Ziel: Fur Re = 200,

η w durch Kontrolle am Hindernis!



Beispiel

Vorgehensweise

Nur ∼ 5000 Unbekannte

Projektion aller Basisfunktionen moglich

Matrixaufbau nach Strategie 1

Losung der ARE mit dem Matlab-Code care



Beispiel

Geregeltes System

t = 1.0:

t = 5.0:



Beispiel

Geregeltes System

Die Verwirbelungen bewegen sich nach rechts:

t = 8.0:

t = 10.0:



Beispiel

Ausblick

Implementierung von Strategie 2,

Verifikation anhand von Navier-Stokes-Beispiel,

Verifikation anhand von Mehrfeld-Stromungsproblemen.



Beispiel

Zusammenfassung

Exponentielle Stabilisierung von Stromungen um einenstationaren Zustand durch Dirichlet-Feedback.

Problematik divergenzfreier Zustandsraum.

Zwei Ansatze:

Erst Projektion, dann Matrixassemblierung;

erst Matrixassemblierung, dann Projektion.

Beispiel Karman’sche Wirbelstraße



Beispiel

Literaturauswahl

Matthias Heinkenschloss, Danny Sorensen, Kai Sun 2007:Balanced Truncation Model Reduction for a Class ofDescriptor Systems with Application to the Oseen Equations,CAAM TR07-02;

Jean-Pierre Raymond 2006: Feedback Boundary Stabilizationof the two dimensional Navier Stokes Equations, SIAM J.Control Optim., Vol. 43-3. S. 790-828.


riccati-basierte feedback-stabilisierung von ......y(t) = z(t)−w des aktuellen vom station¨aren...

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