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Rolamento Torque Momentum angular

ROLAMENTO, TORQUE EMOMENTUM ANGULAR

Fısica Geral I (1108030) - Capıtulo 08

I. Paulino*

*UAF/CCT/UFCG - Brasil

2012.2

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Sumario

Rolamento

Rolamento como rotacao e translacao combinados e como uma rotacao pura

Energia cinetica de rolamento e forcas do rolamento

Torque

Torque revisado

Momentum angular

Momentum angular, 2a Lei de Newton na forma angular,

Momentum angular de um sistema de partıculas e de um corpo rıgido

Conservacao do momentum angular

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Rolamento como rotacao e translacao combinados

RolamentoPode-se definir o rolamento, como o movimento que um roda faz ao se deslocar. Porexemplo, uma roda de bicicleta. Este movimento pode ser entendido do ponto devista fısico de duas formas: (1) Como uma combinacao do movimento de translacao erotacao da roda ou (2) apenas como o movimento de rotacao pura.

O movimento de rolamento pode ser observado de duas maneiras diferentes. No casoda roda deslizando suavemente, o centro da roda descreve um movimento uniforme,enquanto que um ponto na periferia da roda, descrevera um movimento maiscomplexo como pode ser visto na Figura abaixo:

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Rolamento como rotacao e translacao combinadosImagine o movimento de uma roda de bicicleta que rolasuavemente sem deslizar conforme ilustra a figura aolado.O centro de massa O da roda se move para frente comvelocidade de constante de modulo vcm que permanecesempre a mesma distancia do ponto P, que e o pontode contato da roda com o solo, em relacao a vertical.Durante um intervalo de tempo ∆t um observadoafastado da bicicleta ve o os pontos P e O se moverempara frente a uma distancia s. Ja o ciclista, olhandopara o pneu, ve a roda girar um angulo θ em torno doeixo da roda.O comprimento de arco s esta relacionado com oangulo θ pela seguinte expressao:

s = Rθ

em que R e o raio da roda. O modulo velocidade lineardo centro de massa e dada por:

vcm =ds

dt=

d

dtθR = ωR.

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Rolamento como rotacao e translacao combinados

Na figura acima pode ser visto que o movimento de rolamento (c) pode serentendido como a soma do movimento de rotacao pura (a) com omovimento de translacao pura (b) da roda

A figura ao lado mostra mostra a fotografia de uma roda de bicicletarolando. Esta imagem comprova o que foi explicado acima porque os raiosproximos a superfıcie estao nıtidos enquanto que os raios da parte superiorestao borrados.

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Rolamento como rotacao pura

O rolamento tambem pode ser enxergado como umarotacao pura em torno do ponto P A figura ao ladomostra a distribuicao dos vetores velocidades emdiversos pontos da roda.A velocidade angular do movimento em relacao a essenovo eixo de rotacao visto por um observadorestacionario e exatamente igual a velocidade angularque o ciclista atribui a roda quando observa omovimento de rotacao pura.Desta maneira, o modulo da velocidade no ponto maisalto da roda, sera:

valto = ω2R = 2ωR = 2vcm ,

que concorda com o que foi discutido para o caso dorolamento como combinacao da rotacao e datranslacao.

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Energia cinetica de rolamento

Para calcular a energia cinetica da roda emmovimento por um observador estacionario,considere o rolamento como o caso da rotacaopura em torno do ponto P. A energia cinetica edada por:

K =1

2IPω

2 ,

no qual, ω e o modulo da velocidade angular daroda e IP e o momentum de inercia em relacaoao eixo que passa por P.Do teorema do eixo paralelo tem-se que

IP = Icm + MR2 ,

na qual M e a massa da roda, Icm e omomentum de inercia para o eixo que passapelo centro de massa da roda de raio R.

Combinando essas duas equacoes, tem-se:

K =1

2Icmω

2 +1

2MR2ω2

K =1

2Icmω

2 +1

2Mv2

cm .

Um objeto rolando possui dois tipos de energiacinetica: Um termo devido a rotacao em tornodo seu centro de massa e outro devido aomovimento de translacao do seu centro demassa.

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Forcas do rolamento

Se uma roda rola com velocidade constante, nenhuma forca atua sobre ela enao existe forca de atrito que se oponha ao movimento. Entretanto, se umaforca resultante atuar sobre a roda para aumentar ou diminuir sua velocidade,entao, a forca resultante provoca uma aceleracao do centro de massa. Elatambem faz a roda gira mais rapidamente ou mais lentamente, o que significaque que ela provoca uma aceleracao angular α em torno do centro de massa.Essas aceleracoes tendem fazer a roda deslizar em torno do ponto P. Assim,uma forca de atrito surge para se opor essa tendencia.Se a roda nao deslizar, a forca de atrito sera uma forca de atrito estatica fs e omovimento de rolamento sera suave. A aceleracao linear do centro de massaneste caso sera:

acm = αR .

Se a roda deslizar quando a forca resultante atuar sobre ela, a forca de atrito edita cinetica fk e o rolamento nao e suave. Neste curso serao estudados apenasrolamentos suaves.

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Rolamento numa rampa

A figura ao lado mostra um corpo uniformeredondo de massa M e raio R rolandosuavemente para baixo numa rampa inclinadade angulo θ ao longo do eixo x . Escrevendo acomponente x da segunda lei de Newton,tem-se

fs −Mg sin θ = Macm .

Usando a segunda lei de Newton para suaforma angular fica

Icmα = Rfs .

Agora α = − acm,x

fs, logo

fs = −Icmacm,x

R2.

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Rolamento numa rampa

Substituindo a ultima expressao do slide anterior na segunda lei de Newtonpara as variaveis lineares, tem-se

acm,x = − g sin θ

1 + Icm/MR2

que e a equacao que pode ser utilizada para calcular a aceleracao linear docentro de massa de qualquer corpo que esteja rolando sobre um plano inclinadode angulo θ.

Para um ioio que desliza verticalmente num cordao a expressao para aaceleracao linear do centro de massa pode ser calculada analogamente por (verfigura ao lado):

acm = − g

1 + Icm/MR20

,

em que Icm e a inercia a rotacao do ioio em torno do seu centro e M e a suamassa.

IOIO

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Torque

O torque pode ser escrito de uma forma mais ampla, por exemplopara qualquer partıcula descrevendo qualquer trajetoria e naoapenas para o movimento circular como havıamos discutido nocapıtulo anterior. A Figura acima ilustra essa forma mais geral quepode ser escrita matematicamente por:

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Torque

~τ = ~r × ~F .

A direcao e o sentido do vetor torque pode ser dada pela regra damao direita e sua intensidade e definida por

τ = rF sinφ ,

neste caso, φ e o angulo entre os vetores ~r e ~F . Isto implica, queapenas a componente perpendicular a forca aplicada contribui parao torque, logo, o modulo do torque tambem pode ser expresso por:

τ = r⊥F ,

ou

τ = rF⊥.12 / 21


Momentum angular

Da mesma forma que a quantidade de movimento linear e o princıpio de conservacaodo momentum linear foram importantes para os movimentos de translacao. Existeuma grandeza fısica equivalente na rotacao chamada de momentum angular. Omomentum angular e uma grandeza vetorial definida por:

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Momentum angular

~= ~r × ~p = m(~r × ~v) .

neste caso, ~r e o vetor posicao da partıcula em relacao ao ponto O que eilustrado na figura do slide anterior.A intensidade do vetor momentum angular e dado por:

` = rmv sinφ ,

em que φ e o angulo entre ~r e ~p. A direcao e o sentido do vetor ~l e dada pelaregra da mao direita.Da mesma maneira que o torque, o modulo do momentum angular pode sercalculado por

` = r⊥mv ,

ou

` = rmv⊥ .

MOMENTUM ANGULAR14 / 21


2a lei de Newton na forma angular

Para demonstrar a expressao para asegunda lei de Newton na formaangular, parte-se da definicao demomentum angular, ou seja,

~= m(~r × ~v) ,

derivando com relacao ao tempotem-se

d ~

dt= m

(~r × d~v

dt+

d~r

dt× ~v

)agora, d~v

dt = ~a e d~rdt = ~v .

Portanto,

d ~

dt= m (~r ×~a + ~v × ~v)

mas, ~v × ~v = 0, logo

d ~

dt= (~r ×m~a)

Por fim, pode-se escrever

d ~

dt= ~r × ~F = ~τ ,

que e a segunda lei Newtonconsiderando movimento de rotacaoe em funcao do momentum angular.

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Momentum angular de um sistema de partıculas

Se for necessario calcular o momentum angulardevido a um sistema de partıculas, utiliza-se oprincıpio da superposicao, ou seja:

~L = ~1 + ~

2 + ~3 + · · · + ~

n =n∑

i=1

~i ,

o ındice “i” identifica as partıculas.A variacao temporal do momentum angulartotal do sistema devido a mudancas domomentum angular de um ou mais partıculaspode ser escrito por:

d~L

dt=

n∑i=1

d ~i

dt.

Utilizando a segunda lei de Newton na formaangular, tem-se

d~L

dt=

n∑i=1

~τres,i ,

neste caso, ~τres,i e o torque resultante que agesobre a i-esima partıcula.

Entao, a variacao temporal do momentumangular e igual a somas dos torques que atuamsobre as partıculas que compoe o sistema.Porem, torques internos sao compensados eapenas torque devido a forcas externas saocapazes de modificar o momentum angular dosistema, desta forma pode-se se escrever:

~τres =d~L

dt,

isto e:

O torque externo atuando sobre um sistemade partıculas e igual a taxa de variacao domomentum angular total do sistema.

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Momentum angular de um corpo rıgido

Para o esquema da figura ao lado, ocorpo rıgido gira com velocidadeangular ω constante em torno de umeixo fixo. O modulo do momentumlinear do elemento de massa ∆mi

pode ser calculado por:

ì = ripi sinα = ripi sinπ

2

ì = ripi = ri∆mivi

E de interesse, para este caso apenasa componente z, logo

ìz = ì sin θ = ri sin θ∆mivi .

ìz = r⊥i∆mivi .

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Momentum angular de um corpo rıgido

Somando para todos os elementosde massa ∆mi , tem-se

Lz =n∑

i=1

`iz =n∑

i=1

∆mivi r⊥i

Lz =n∑

i=1

∆miωi r2⊥i ,

mas I =n∑

i=1

∆mi r2⊥i , entao

L = Iω .

L e o modulo do momentum angularem torno do eixo fixo z e I e omomentum de inercia do sistemacalculando em torno deste mesmoeixo.

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Se o torque externo que atua sobre umsistema for nulo, da segunda lei deNewton, tem-se:

~τres =d~L

dt= 0 ,

logo

~L = constante ⇒

~Li = ~Lf .

isto implica que o sistema esta isolado, ouseja, nenhuma forca externa atua sobre omesmo. Este o o princıpio de conservacaodo momentum angular que ainda pode serescrito da seguinte forma:

Se o torque resultante que atua sobreum sistema for nulo, o momentumangular do sistema ~L permanececonstante e nao importa as mudancasque ocorrem dentro do sistema.

O momentum angular e uma grandezavetorial. Porem, se o torque resultante emuma das componentes do sistema for nula,o momentum angular desse se conservarnaquela direcao.

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EXEMPLO 1

EXEMPLO 2

EXEMPLO 3

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Exercıcios

LIVRO: Fundamentos de Fısica

AUTORES: Halliday e Resnick

8a Edicao. Volume 1 - Mecanica

CAPITULO 11 - ROLAMENTO, TORQUE E

MOMENTUM ANGULAR - Pag. 318-324.

Problemas

06, 08, 22, 24, 30, 35, 41, 55, 59, 66.21 / 21

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