rossellamarrano_seminariofirenze

Una fondazione ordinale per i gradi di verità

Rossella Marrano

Scuola Normale Superiore

Firenze, 16 maggio 2014

Rossella Marrano (SNS) Una fondazione ordinale per i gradi di verità 16/05/2014 1 / 29

MotivazioneNozione graduata di verità

Gradi di verità come numeri reali

We shall assume that the truth degrees are linearly ordered, with 1as maximum and 0 as minimum. Thus truth degrees will be codedby (some) reals. And even if logics of finitely many truth degreescan be developed we choose not to exclude any real number from theset of truth degrees. We shall always take the set [0, 1] with itsnatural (standard) linear order. (Petr Hájek, Metamathematics ofFuzzy Logic, 1998)

Precisione artificiale

I arbitrarietà della scelta

come si giustifica la scelta di 0.23 e non 0.24?

I implausibilità dell’interpretazione

cosa significa che un enunciato è vero con grado 1/π?


Problema più generale

Posso dire “il dente malato mi duole oggi più di ieri” manaturalmente sono ben lontano dall’aver dato un senso preciso afrasi come: “la quantità di dolore legata al mio dente malato è oggi74,189”. (Roberto Magari, 1982)

In presenza di nozioni graduate:

I interesse in un’analisi numerica (o quantitativa)

I maggiore plausibilità di giudizi comparativi (o qualitativi)

Teoria della misurazione (Euclide, Hölder)Partire da una struttura relazionale e trovare le condizioni che questa devesoddisfare per essere immersa in una struttura numerica.


Un esempio: il caso dell’utilità

Bisogna trovare il modo di sottoporre i gusti degli uomini al calcolo.Perciò si ebbe l’idea di dedurli dal piacere che certe cose fannoprovare all’uomo. Se una cosa soddisfa bisogni o desideri dell’uomosi disse che aveva un valore d’uso, un’utilità. (Pareto)

Bentham (1789) la quantità di piacere o di dolore che un bene provoca ad unindividuo è misurabile.

Pareto (1906) un individuo può al massimo dire tra due beni quale preferisce(‘rivoluzione ordinale’).


Un esempio: il caso dell’utilitàUtilità ordinale

I preferenza o indifferenza

I confronto tra alternative

I � ⊆ X2

Utilità cardinale

I misura esatta della soddisfazione

I rappresentazione numerica

I U : X → R

Teoremi di rappresentazioneSe � soddisfa certi assiomi allora esiste una funzione a valori reali U (unica ameno di trasformazioni lineari) tale che per ogni x, y ∈ X

x � y ⇐⇒ U(x) ≥ U(y).

I von Neumann, J., & Morgenstern, O. (1947). The Theory of Games andEconomic Behavior (2nd ed). Princeton: Princeton University Press.

I Savage, L. J. (1954). The Foundations of Statistics. Wiley.I Debreu, G. (1954). Representation of a preference ordering by a numerical

function. Cowles Foundation Paper 97.


Tornando alla verità come nozione graduata

Qualitativa o ordinale

I “più vero di”

I confronto fra alternative

I nessuna scala d’insentità

Quantitativa o cardinale

I “gradi di verità”

I valutazione puntuale

I qualunque scala d’intensità

ProblemaÈ possibile una fondazione ordinale per i gradi di verità?

Primo passo teorema di rappresentazione

Secondo passo giustificare gli assiomi e l’interpretazione


La logica di Łukasiewicz a valori realiLinguaggio

I L = {p1, p2, . . . }I ⊥I ¬, →I SL

Connettivi definiti

I > := ¬⊥I θ ⊕ φ := ¬θ → φ

Logica di Łukasiewicz

(Ł1) θ → (φ→ θ)

(Ł2) (θ → φ)→ ((φ→ χ)→ (θ → χ))

(Ł3) (¬θ → ¬φ)→ (φ→ θ)

(Ł4) ((θ → φ)→ φ)→ ((φ→ θ)→ θ)

(MP)

I `


PreliminariDefinizione: MV-algebra (A,¬,⊕, 0) tale che per ogni x, y ∈ A

I x⊕ (y ⊕ z) = (x⊕ y)⊕ zI x⊕ y = y ⊕ xI x⊕ 0 = x

I ¬¬x = x

I x⊕ ¬0 = ¬0

I ¬(¬x⊕ y)⊕ y = ¬(¬y ⊕ x)⊕ x

Esempio([0, 1],¬,⊕, 0) con ¬x = 1− x e x⊕ y = min{1, x+ y}.

TeoremaSe M è una MV-algebra non banale allora esiste almeno un omomorfismo

m : M → ([0, 1],¬,⊕, 0).


Due modi per valutare le formule

I Valutazioni di Łukasiewicz v : SL → [0, 1]

1. v(⊥) = 0.2. v(¬θ) = 1− v(θ)

3. v(θ → φ) =

{1, se v(θ) ≤ v(φ);1− v(θ) + v(φ), altrimenti.

4. v(θ ⊕ φ) = min{1, v(θ) + v(φ)}

I Valutazione ordinale (‘non più vero di’) � ⊆ SL × SL

I θ ∼ φ⇐⇒def θ � φ e φ � θ.


Condizioni su �Vincoli strutturali

(A.1) � è un preordine(A.1a) θ � θ(A.1b) θ � φ, φ � χ =⇒ θ � χ

Vincoli logici

(A.2) ` θ → φ =⇒ θ � φ(A.3) θ � φ =⇒ θ → φ ∼ >(A.4) θ � >

Vincoli sui connettivi

(A.5) θ1 � θ2, φ1 � φ2 =⇒ θ1 ⊕ φ1 � θ2 ⊕ φ2(A.6) θ � φ =⇒ ¬φ � ¬θ

Non banalità

(A.7) > � ⊥


Alcune conseguenze

Proposizione

Se (A.6) è soddisfatto, allora l’assioma (A.5) è equivalente al seguente:

(A.5′) θ1 � θ2, φ1 � φ2 =⇒ θ1 → φ1 � θ2 → φ2

Proposizione

1. ` θ =⇒ θ ∼ >

2. ` θ ↔ φ =⇒ θ ∼ φ

Proposizione

1. ∼ è una relazione d’equivalenza

2. θ1 ∼ φ1, θ2 ∼ φ2 =⇒ θ1 ⊕ θ2 ∼ φ1 ⊕ φ23. θ ∼ φ =⇒ ¬φ ∼ ¬θ


Un teorema di rappresentazione

TeoremaSe �⊆ SL2 soddisfa gli assiomi (A.1)–(A.7) allora esiste almeno unavalutazione di Łukasiewicz v : SL → [0, 1] tale che per ogni θ, φ ∈ SL:

θ � φ =⇒ v(θ) ≤ v(φ).


Corollari

(A.1c) θ � φ oppure φ � θ

Corollario 1

Se �⊆ SL2 soddisfa gli assiomi (A.1)–(A.7), (A.1c) allora esiste esattamenteuna valutazione che lo rappresenta.

(A.A) se θ � φ e θ � ⊥ allora ∃n θ ⊕ · · · ⊕ θ︸︷︷︸n

� φ

Corollario 2

Se �⊆ SL2 soddisfa gli assiomi (A.1)–(A.7), (A.1c), (A.A) allora esiste unavalutazione di Łukasiewicz v : SL → [0, 1] tale che per ogni θ, φ ∈ SL:

θ � φ⇐⇒ v(θ) ≤ v(φ).


Un’algebra su (SL,�)

I θ ∼ φ⇐⇒def θ � φ e φ � θ

I SL/∼= { [θ]∼ | θ ∈ SL }I [θ]∼ = { φ | φ ∼ θ }

I∼⊥ := [⊥]∼ := ⊥

I∼¬[θ]∼ := [¬θ]∼

I [θ]∼∼⊕ [φ]∼ := [θ ⊕ φ]∼

I [θ]∼ ≤∼ [φ]∼ ⇐⇒def ∃θi ∈ [θ]∼, φi ∈ [φ]∼ θi � φi

Lemma∼⊕ e

∼¬ sono ben definite.


Verso una rappresentazione

(SL,�) (SL/∼,∼¬,∼⊕,∼⊥,≤∼) ([0, 1],¬,⊕, 0,≤)

q∼ m

V�

Lemma

(SL/∼,∼¬,∼⊕,∼⊥) è una MV-algebra non banale.

LemmaI Esiste V� : SL → [0, 1].

I V� è una valutazione di Łukasiewicz.

I V� preserva �, cioè: θ � φ =⇒ V�(θ) ≤ V�(φ).


Riepilogo

I Implausibilità dei gradi numerici di verità.

I Analogia con l’utilità: fondazione ordinale.

I Formalizzazione del concetto ‘più o meno vero’: l’ordine �.

I Teorema: se l’ordine soddisfa alcuni assiomi allora esiste una valutazionenumerica compatibile con esso.

FeedbackSe le alternative si possono confrontare ‘abbastanza bene’ allora è come sevalutassimo numericamente.

I In che misura questa è una fondazione ordinale?

1. quella generata da � è una semantica per la logica?2. come s’interpreta la relazione �?3. alla luce dell’interpretazione, gli assiomi sono desiderabili?


Adeguatezza

I |=� φ⇐⇒def ∀ �⊆ SL2 che soddisfa (A.1)–(A.7) φ ∼ >

I Θ |=� φ⇐⇒def ∀ �⊆ SL2 che soddisfa (A.1)–(A.7) se ∀θ ∈ Θ θ ∼> allora φ ∼ >.

Adeguatezza

∀φ ∈ SL |=� φ ⇐⇒ ` φ.

Adeguatezza forte

∀φ ∈ SL, ∀Θ ⊆ SL Θ |=� φ ⇐⇒ Θ ` φ.


Interpretazione

� ⊆ SL × SLRelazione tra coppie ordinate di enunciati interpretata come ‘non più vero di’.


Verità 6= credenza

CONCETTUALMENTE

Verità fondata su degli stati di fatto oggettivi

Credenza attitudine di un agente verso quegli stati di fatto

FORMALMENTE

Verità valori di verità composizionali

Credenza gradi di probabilità soggettiva non composizionali


L’ordine ‘più o meno probabile’

Bruno de Finetti(1906-1985)

A volte invece sembra preferibile partire da unarelazione puramente ordinale, ossia qualitativa,che o sostituisce la nozione quantitativa (se la siritiene priva di senso, o comunque la si vuoleevitare), o si usa come primo passo per la suadefinizione. Così fra due beni (o due situazionieconomiche) A e B, si può chiedere quale deidue è preferibile (o se sono indifferenti) primadi definire l’utilità (o anche rifiutando lanozione di utilità misurabile), e lo stesso dicasiper la temperatura, per l’altezza di un suono, perla lunghezza di segmenti, ecc. ecc.Si potrebbe procedere allo stesso modo anche perle probabilità. (de Finetti, 1931)


Lezioni da Shakespeare: �b 6= �t

That handkerchief which I so loved and gave thee. Thou gavest toCassio.

Othello

A A Desdemona è stato rubato il fazzoletto.

B Desdemona ha perso il fazzoletto.

C Desdemona ha regalato il fazzoletto.

I Otello: A �b B �b C

I Shakespeare: C �t A �t B


Chi ordina?

I Otello: incerto

I Shakespeare: informazioni complete sulla storia

Non c’è un agente che ordina gli enunciati. Se si vuole pensare in termini diagente si deve pensare ad un agente onnisciente.

La relazione è oggettiva:

I indipendente dal soggetto

I intersoggettiva

The opinion which is fated to be ultimately agreed to by all whoinvestigate, is what we mean by the truth. (Peirce)


Rilevanza filosofica: non solo vaghezza!

I ‘meno sbagliato di’ nel linguaggio quotidiano

I vicinanza alla verità (truthlikeness)

I fallibilismo scientifico

John, when people thought the Earth was flat, they were wrong.When people thought the Earth was spherical, they were wrong.But if you think that thinking the Earth is spherical is just aswrong as thinking the Earth is flat, then your view is wrongerthan both of them put together. (Isaac Asimov, The Relativityof Wrong, 1989)

I modellazione matematica

All models are wrong, but some models are more wrong thanothers.


Giustificare gli assiomi: vincoli strutturali

(A.1a) θ � θI Riflessività

(A.1b) θ � φ, φ � χ =⇒ θ � χI Transitività

(A.1c) θ � φ oppure φ � θI Totalità


Vincoli logici

In two-valued logic, the implication φ→ ψ is true iff the truth-valueof φ is less than or equal to the truth-value of ψ. (Hájek, 1998)

(A.2) ` θ → φ =⇒ θ � φI l’implicazione si dimostra nella pura logica, quindi se

l’antecedente è vero allora anche il conseguente lo è.

(A.3) θ � φ =⇒ θ → φ ∼ >I parziale inverso del precedente. In tutte le logiche a infiniti

valori questo vale.

L’ordine di verità deve essere compatibile con l’ordine dato dall’implicazione.

(A.4) θ � >I si fissa il massimo (e il minimo)


Vincoli sui connettivi

(A.5) θ1 � θ2, φ1 � φ2 =⇒ θ1 ⊕ φ1 � θ2 ⊕ φ2

(A.5*) θ � φ =⇒ θ ⊕ ψ � φ⊕ ψ

I additività o invarianza per traslazioni

(A.6) θ � φ =⇒ ¬φ � ¬θI la negazione è idempotente


Assioma archimedeo

I numeri reali soddisfano la

Proprietà Archimedease h ≤ g e h 6= 0 allora ∃n ∈ N tale che h+ · · ·+ h︸︷︷︸

n volte

≥ g

I non ci sono elementi infinitamente grandi o infinitamentepiccoli

Se vogliamo un’immersione iniettiva della struttura (SL,�) nella struttura(R,≤) allora � deve soddisfare il seguente:

(A.A) se θ � φ e θ � ⊥ allora ∃n ∈ N θ ⊕ · · · ⊕ θ︸︷︷︸n

� φ

I Non esistono enunciati infinitamente più veri di altri


Conclusione

TeoremaSe � soddisfa gli assiomi (A.1)–(A.7) allora esiste almeno una valutazione diŁukasiewicz v : SL → [0, 1] tale che per ogni θ, φ ∈ SL:

θ � φ =⇒ v(θ) ≤ v(φ).

I � può essere considerato una semantica alternativa (corretta e completa).

I � come ‘non più vero di’:I non è un ordine di probabilità: verità 6= credenzaI non c’è un agente che ordina: verità come intersoggettivitàI rilevanza per l’analisi filosofica

I Data l’interpretazione, gli assiomi su � sono condizioni desiderabili.

Una fondazione ordinale per i gradi di verità (nel caso di Łukasiewicz).


Riferimenti bibliografici

Roberto L. O. Cignoli, Italia M. L. D’Ottaviano and Daniele Mundici.Algebraic foundations of many-valued reasoning,Trends in Logic – Studia Logica Library, Kluwer Academic Publishers, 2000.

B. de Finetti.Sul significato soggettivo della probabilità.Fundamenta Mathematicae, 17:289–329, 1931.

Petr Hájek.Metamathematics of Fuzzy Logic,Kluwer Academic Publishers, 1998.

George J. Stigler.The Development of Utility Theory. IThe Journal of Political Economy, Vol. 58, No. 4. (Aug., 1950), pp. 307-327.

George J. Stigler.The Development of Utility Theory. IIThe Journal of Political Economy, Vol. 58, No. 5. (Oct., 1950), pp. 373-396.


rossellamarrano_seminariofirenze

Presentations & Public Speaking

una struttura numerica

piacere o

dolore che

tornando alla verit

ogni x y

theset of truth degrees

truth degreescan

massimo dire tra