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Criterio ROUTH - HURWITZ

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Page 1: Routh   hurwitz

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CRITERIO DE ROUTH - HURWITZ

MAESTRIA EN BIOMATEMATICASAndrey Mauricio Montoya Jurado

[email protected]

Curso Analisis de Sistemas Dinamicos 1

Page 2: Routh   hurwitz

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1. Introduccion

Dada una ecuacion diferencial lineal de coeficientes reales constantes:

a0y(n) + a1y

(n−1) + ... + any = 0 (1)

donde, a0, a1, ..., an = const., a0 > 0.

Resultado:La solucion nula y = 0 de la ecuacion (1) es asintoticamente estable,cuando las partes reales de todas las raıces de la ecuacion caracterıstica:

f (λ) = a0λn + a1λ

n−1 + ... + an = 0 (2)

son negativas.

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2. Criterio de Routh - Hurwitz:

Para que las partes reales de todas las raıces de la ecuacion (2) sean ne-gativas es necesario y suficiente que sean positivos todos los menoresprincipales diagonales de la matriz de Hurtwitz:

a1 a0 0 0 0 0 . . . 0a3 a2 a1 a0 0 0 . . . 0a5 a4 a3 a2 a1 a0 . . . 0− − − − − − − −0 0 0 0 0 0 . . . an

(3)

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2.1. Construccion de la matriz de Hurwitz

1. En la diagonal principal se escriben los coeficientes del polinomio (2),iniciando con a1 y terminando con an.

2. Las columnas, una tras otra, constan de los coeficientes de subındicessolo impares o de subındices solo pares. Entre los ultimos va incluidoel coeficiente a0.

3. Todos los demas elementos de la matriz, correspondientes a subındicesmayores que n o menores que cero, se suponen iguales a cero.

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2.2. Menores Diagonales Principales

Son de la forma:

∆1 = a1, ∆2 =

∣∣∣∣ a1 a0a3 a2

∣∣∣∣ , ∆3 =

∣∣∣∣∣∣a1 a0 0a3 a2 a1a5 a4 a3

∣∣∣∣∣∣ , ...

∆n =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a1 a0 0 . . . 0a3 a2 a1 . . . 0a5 a4 a3 . . . 0− − − − −0 0 0 . . . an

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Resultado:Para que la solucion y = 0 de la ecuacion (1) sea estable, es necesario ysuficiente que se cumplan las relaciones:

∆1 > 0,∆2 > 0, ...,∆n > 0 (4)

Como ∆n = an∆n−1, la condicion ∆n > 0 puede sustituirse por an > 0.

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Ejemplo: Estudiar la estabilidad de la solucion nula correspondiente a laecuacion:

y(4) + 5y′′′

+ 13y′′

+ 19y′+ 10y = 0 (5)

Solucion:La ecuacion (5) tiene la ecuacion caracterıstica:

f (λ) = λ4 + 5λ3 + 13λ2 + 19λ + 10 = 0

donde, a0 = 1, a1 = 5, a2 = 13, a3 = 19, a4 = 10.

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Los menores diagonales de Hurwitz:

∆4 =

∣∣∣∣∣∣∣∣5 1 0 019 13 5 10 10 19 130 0 0 10

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 4240 > 0

∆3 =

∣∣∣∣∣∣5 1 019 13 50 10 19

∣∣∣∣∣∣ = 424 > 0, ∆2 =

∣∣∣∣ 5 119 13

∣∣∣∣ = 46 > 0, ∆1 = 5 > 0

Conclusion: Puesto que ∆1 > 0, ∆2 > 0, ∆3 > 0 y ∆4 > 0, la soluciontrivial y ≡ 0 de la ecuacion (5) es asintoticamente estable.

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3. Criterio de Routh - Hurwitz para k = 2, 3, 4

k = 2: a1 > 0, a2 > 0

k = 3: a1 > 0, a3 > 0, a1a2 > a3

k = 4: a1 > 0, a3 > 0, a4 > 0, a1a2a3 > a23 + a2

1a4

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4. Aplicacion: Dinamica Infecciosa SEIR

Los supuestos del modelo son:

Poblacion constante

Estado de latencia

Principio de accion de masas

Inmunidad permanente

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4.1. Variables y parametros

x : numero promedio de personas susceptibles en un tiempo t

w : numero promedio de personas en estado latente en un tiempo t

y : numero promedio de personas infecciosas en un tiempo t

z : numero promedio de personas inmunes en un tiempo t

µ : tasa de natalidad igual a la tasa de muerte natural

β : probabilidad de transmision

θ : tasa de personas en estado latente que desarrollan la infeccion

α : tasa de personas infecciosas que desarrollan inmunidad

N = x + w + y + z : poblacion total

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µN

��

xβxy //

��

w θw //

��

y αy //

��

z

��µx µw µy µz

dx

dt= µN − βxy − µx

dw

dt= βxy − (µ + θ)w

dy

dt= θw − (α + µ)y

dz

dt= αy − µz

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Poblacion constante:

N = x + w + y + z

dN

dt=dx

dt+dw

dt+dy

dt+dz

dtdN

dt= µN − µx− µw − µy − µz = µN − µ(x + w + y + z) = 0

Por lo tanto,N = Const.

El sistema reducido es:dx

dt= µN − βxy − µx ≡ f (·)

dw

dt= βxy − (µ + θ)w ≡ g(·)

dy

dt= θw − (α + µ)y ≡ s(·)

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5. Soluciones Estacionarias

Son las soluciones constantes donde: dxdt = 0, dwdt = 0, dydt = 0 y dzdt = 0:

0 = µN − βxy − µx

0 = βxy − (µ + θ)w

0 = θw − (α + µ)y

De la tercera ecuac. w = α+µθ y y sustituyendo en la segunda ecuac.,

obtenemos:y

(βx− (µ + θ)(α + µ)

θ

)= 0

de donde y = 0 o x =(µ+θ)(α+µ)

βθ .

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Para y = 0 :

µN − µx = 0

implica que x = N , w = 0.

Por lo tanto, (x, w, y) = (N, 0, 0), solucion estacionaria trivial (librede infeccion).

Para x =(µ+θ)(α+µ)

βθ , se obtiene:

y =µ

β(R0 − 1)

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donde,

R0 =βθN

(µ + θ)(α + µ)

R0: Es el Numero Basico Reproductivo de la Infeccion.

Resumiendo: la solucion estacionaria no trivial (de coexistencia conla infeccion ) es (x1, w1, y1):

x1 =N

R0, w1 =

µ

β(R0 − 1)

y1 =µ(α + µ)

βθ(R0 − 1)

con la condicion de sentido epidemiologico R0 > 1.

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6. Estabilidad local

Perturbacion local de las soluciones estacionarias:

x = x + u , w = w + v , y = y + h

Sustituyendo en el sistema no lineal reducido tenemos:

d(x + u)

dt= f (x + u, w + v, y + h)

d(w + v)

dt= g(x + u, w + v, y + h)

d(y + h)

dt= s(x + u, w + v, y + h)

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Puesto que:

d(x + u)

dt=du

dt,

d(w + v)

dt=dv

dt,

d(y + h)

dt=dh

dt

obtenemos:du

dt= f (x + u, w + v, y + h)

dv

dt= g(x + u, w + v, y + h)

dh

dt= s(x + u, w + v, y + h)

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Expandiendo las funciones f, g y s en series de Taylor en la vecindad del equilibrio, resulta:

f (x + u, w + v, y + h) = f (x, w, y) +∂f

∂x(E)u +

∂f

∂w(E)v +

∂f

∂y(E)h + Terminos de orden superior

g(x + u, w + v, y + h) = f (x, w, y) +∂g

∂x(E)u +

∂g

∂w(E)v +

∂g

∂y(E)h + Terminos de orden superior

s(x + u, w + v, y + h) = s(x, w, y) +∂s

∂x(E)u +

∂s

∂w(E)v +

∂s

∂y(E)h + Terminos de orden superior

El modelo lineal resultante es el siguiente:

du

dt=∂f

∂x(E)u +

∂f

∂w(E)v +

∂f

∂y(E)h

dv

dt=∂g

∂x(E)u +

∂g

∂w(E)v +

∂g

∂y(E)h

dh

dt=∂s

∂x(E)u +

∂s

∂w(E)v +

∂s

∂y(E)h

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Page 20: Routh   hurwitz

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Es decir:dX

dt= AX

donde la matriz de coeficientes del sistema lineal (matriz jacobiana omatriz de comunidades) es:

A =

∂f∂x(E) ∂f

∂w(E) ∂f∂y (E)

∂g∂x(E) ∂g

∂w(E) ∂g∂y(E)

∂s∂x(E) ∂s

∂w(E) ∂s∂y(E)

, X =

uvh

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En el caso de las funciones f , g y s:

f (·) = µN − βxy − µx

g(·) = βxy − (µ + θ)w

s(·) = θw − (α + µ)y

La matriz jacobiana es:

A =

−βy − µ 0 −βxβy −(µ + θ) βx0 θ −(α + µ)

correspondiente al sistema lineal: dXdt = AX .

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Para la solucion estacionaria trivial (N, 0, 0) la matriz jacobiana es:

A =

−µ 0 −βN0 −(µ + θ) βN0 θ −(α + µ)

La ecuacion caracterıstica |A− λI| = 0:

det

−(µ + λ) 0 −βN0 −(µ + θ + λ) βN0 θ −(α + µ + λ)

= (µ + λ)(µ + θ + λ)(α + µ + λ)− µθβN = 0

Ecuacion cubica de la forma:λ3 + a1λ

2 + a2λ + a3 = 0

donde,

a1 = 3µ + α + θ

a2 = µ(µ + θ) + (2µ + θ)(α + µ)

a3 = µ(µ + θ)(α + µ)− µθβN = µ(µ + θ)(α + µ)(1− R0)

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Si se cumplen las desigualdades de Routh - Hurwitz para k = 3:

a1 > 0 , a3 > 0 , a1a2 > a3

Las raıces (valores propios) de la ecuacion cubica (ecuacion caracterısti-ca) son negativas y por lo tanto la solucion estacionaria trivial (libre deinfeccion) es estable. Se cumplen las dos primeras desigualdades paraR0 < 1.

La tercera desigualdad a1a2 > a3. Es decir,

(3µ + α + θ)(µ(µ + θ) + (2µ + θ)(α + µ) > µ(µ + θ)(α + µ)− µθβN

(2µ + θ)[µ(µ + θ) + (2µ + θ)(α + µ)] + (µ + α)2(2µ + θ) + βθµN > 0

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En el caso de la solucion estacionaria no trivial la ecuacion caracterıstica|A− λI| = 0 tiene la forma:

det

−(βy + µ + λ) 0 −βNR0

βy −(µ + θ + λ) βNR0

0 θ −(α + µ + λ)

= 0

λ3 + a1λ2 + a2λ + a3 = 0

donde,

a1 = βy + 3µ + α + θa2 = (βy + µ)(2µ + α + θ)a3 = βy(µ + θ)(µ + α)

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Por el criterio de Routh - Hurwitz para k = 3 se deben cumplir las de-sigualdades:

a1 > 0

a3 > 0

a1a2 > a3

Las primeras desigualdades se cumplen puesto que los parametros sontodos positivos y y tambien cuando R0 > 1.

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La tercera desigualdad a1a2 > a3. Es decir:

(βy + 3µ + α + θ)(βy + µ)(2µ + α + θ) > βy(µ + θ)(µ + α)

se cumple si

[(βy + 2µ + α)(βy + µ) + µ(µ + θ)](2µ + θ + α) + βy(µ + θ)2 > 0

cuando R0 > 1.

Por lo tanto los valores propios (raıces de la ecuacion caracterısticason negativos y en consecuencia la solucion estacionaria no trivial esestable si R0 > 1.

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