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Universidade do Sul de Santa Catarina
Palhoccedila
UnisulVirtual
2009
Curso de ExtensatildeoUsando a calculadora financeira
na Internet
Disciplina na modalidade a distacircncia
2ordf ediccedilatildeo revista e atualizada
Palhoccedila
UnisulVirtual
2009
Design instrucionalAna Claacuteudia TauLuceacutesia Pereira
2ordf ediccedilatildeo revista e atualizada
Joseacute Humberto Dias de Toledo
Curso de ExtensatildeoUsando a calculadora financeira
na InternetLivro didaacutetico
51393T58 Toledo Joseacute Humberto Dias de
Curso de extensatildeo usando calculadora financeira na Internet livro didaacutetico Joseacute Humberto Dias de Toledo design instrucional Ana Claacuteudia Tauacute Luceacutesia Pereira [assistente acadecircmico Emiacutelia Juliana Ferreira] ndash 2 ed rev e atual ndash Palhoccedila UnisulVirtual 2009
78 p il 28 cm
Inclui bibliografia
1 Calculadora HP-12C 2 Matemaacutetica financiera I Tauacute Ana Claacuteudia II Pereira Luceacutesia III Ferreira Emiacutelia Juliana IV Tiacutetulo
Ediccedilatildeo ndash Versatildeo on line
Professor Conteudista Joseacute Humberto Dias de Toledo
Design InstrucionalAna Claacuteudia TauLuceacutesia Pereira
Assistente AcadecircmicoEmilia Juliana Ferreira (2ordf ed rev e atual)
Projeto Graacutefico e CapaEquipe UnisulVirtual
DiagramaccedilatildeoAlice Demaria Silva
Edison Rodrigo ValimPedro Paulo Alves Teixeira
Revisatildeo OrtograacuteficaAmaline Boulus Issa Mussi
Ficha catalograacutefica elaborada pela Biblioteca Universitaacuteria da Unisul
Copyright copy UnisulVirtual 2009
Nenhuma parte desta publicaccedilatildeo pode ser reproduzida por qualquer meio sem a preacutevia autorizaccedilatildeo desta instituiccedilatildeo
Apresentaccedilatildeo 7Palavras do professor conteudista 9Plano de estudo 11
UNIDADE 1 ndash Apresentando a calculadora HP ndash 12C 15UNIDADE 2 ndash Regimes de capitalizaccedilatildeo simples e composto 31UNIDADE 3 ndash Taxa de juros equivalentes e caacutelculo de pagamentos
perioacutedicos 47UNIDADE 4 ndash Valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e
amortizaccedilatildeo de empreacutestimos 59
Para concluir o estudo 71 Referecircncias 73Sobre o professor conteudista 75Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo 77
Sumaacuterio
Apresentaccedilatildeo
Este livro didaacutetico corresponde ao Curso de Extensatildeo Usando calculadora financeira na Internet
O material foi elaborado visando a uma aprendizagem autocircnoma Neste sentido aborda conteuacutedos especialmente selecionados e relacionados agrave sua aacuterea de formaccedilatildeo Ao adotar uma linguagem didaacutetica e dialoacutegica objetivamos facilitar seu estudo a distacircncia proporcionando condiccedilotildees favoraacuteveis agraves muacuteltiplas interaccedilotildees e a um aprendizado contextualizado e eficaz
Lembre que sua caminhada neste curso seraacute acompanhada e monitorada constantemente pelo Sistema Tutorial da UnisulVirtual Assim a designaccedilatildeo a distacircncia caracteriza tatildeo-somente a modalidade de ensino por que vocecirc optou para a sua formaccedilatildeo pois na relaccedilatildeo de aprendizagem professores e instituiccedilatildeo vatildeo estar em conexatildeo com vocecirc continuamente
Entatildeo sempre que sentir necessidade entre em contato Vocecirc tem agrave disposiccedilatildeo diversas ferramentas e canais de acesso tais como telefone e-mail e o Espaccedilo UnisulVirtual de Aprendizagem que eacute o canal mais recomendado pois tudo o que for enviado e recebido fica registrado para seu maior controle e comodidade Nossa equipe teacutecnica e pedagoacutegica teraacute o maior prazer em lhe atender pois sua aprendizagem eacute o nosso principal objetivo
Bom estudo e sucesso
Equipe UnisulVirtual
Palavras do professor
Caro(a) Aluno(a)
A matemaacutetica financeira estaacute presente no nosso cotidiano desde eacutepocas antigas tornando-se na atualidade alvo das maiores preocupaccedilotildees humanas
Eacute de grande importacircncia adquirir os conhecimentos sobre esse tema pois eles vatildeo certamente contribuir para que vocecirc estabeleccedila uma visatildeo criacutetica teoacuterica reflexiva investigativa e praacutetica de temas que satildeo tatildeo comuns no seu cotidiano e ainda gerar conhecimentos que ajudem a organizar a sua vida financeira
Procurando promover a resoluccedilatildeo de problemas relacionados agrave aacuterea financeira com mais agilidade e consequentemente liberando o seu tempo para tomada de decisotildees elaboramos este curso de extensatildeo sobre o uso de uma ferramenta muito utilizada no meio acadecircmico nas aacutereas de Administraccedilatildeo Contaacutebeis Tecnoacutelogos em Gestatildeo Matemaacutetica ndash Licenciatura etc Trata-se da calculadora financeira HP ndash 12C
A calculadora permite que vocecirc realize caacutelculos de montantes taxas prazos pagamentos perioacutedicos e que elabore tabelas de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos que podem proporcionar-lhe conhecimentos uacuteteis e aplicaacuteveis no seu dia-a-dia
Caro aluno(a) neste curso estaremos constantemente fazendo links com os conteuacutedos abordados na disciplina Matemaacutetica Financeira Para facilitar seu estudo este material didaacutetico se encontra disponiacutevel na MIDIATECA
Por fim se vocecirc natildeo possui a calculadora poderaacute instalar o emulador da mesma em seu computador e realizar todos os caacutelculos necessaacuterios Para baixar o arquivo acesse diretamente o site lthttpwwwbaixenamolezacoms=emulador+HP+12Cgt
Bom estudo
Professor Joseacute Humberto Dias de Toledo
Plano de estudo
O plano de estudos visa a orientaacute-lo(a) no desenvolvimento da Disciplina Nele vocecirc encontraraacute elementos que esclareceratildeo o contexto da Disciplina e sugeriratildeo formas de organizar o seu tempo de estudos
O processo de ensino e aprendizagem na UnisulVirtual leva em conta instrumentos que se articulam e se complementam Assim a construccedilatildeo de competecircncias se daacute sobre a articulaccedilatildeo de metodologias e por meio das diversas formas de accedilatildeomediaccedilatildeo
Satildeo elementos desse processo
o Espaccedilo UnisulVirtual de Aprendizagem - EVA
as atividades de avaliaccedilatildeo (complementares a distacircncia e presenciais)
Ementa
Introduccedilatildeo algumas funccedilotildees baacutesicas da HP - 12C Caacutelculo de juros simples e composto Usando as funccedilotildees financeiras para caacutelculo de montante valor presente periacuteodo Usando as funccedilotildees financeiras para caacutelculo de taxas de juros seacuterie de pagamentos ou anuidades Usando as funccedilotildees data e hora para caacutelculo de nuacutemero de dias entre datas data futura data passada verificar o dia da semana para vencimentos futuros Elaboraccedilatildeo de planilhas de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos e financiamentos
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Carga Horaacuteria
15 horas-aula
Objetivos
Geral
Capacitar os participantes para a utilizaccedilatildeo da calculadora HP - 12C na resoluccedilatildeo de problemas praacuteticos promovendo a integraccedilatildeo entre teoria e praacutetica na aacuterea financeira
Especiacuteficos
Usar a Hp -12C para o caacutelculo de juros simples composto montante periacuteodo valor presente e pagamentos perioacutedicos
Fazer uso da HP - 12C para elaboraccedilatildeo de planilhas de amortizaccedilatildeo
Explorar as funccedilotildees data e hora da HP -12C
Usar a ferramenta para auxiliar na resoluccedilatildeo de problemas do cotidiano na aacuterea financeira
Conteuacutedo programaacuteticoobjetivos
Os objetivos de cada unidade definem o conjunto de conhecimentos que vocecirc deveraacute deter para o desenvolvimento de habilidades e competecircncias necessaacuterias agrave sua formaccedilatildeo Neste sentido veja a seguir as unidades que compotildeem o Livro Didaacutetico deste curso bem como os seus respectivos objetivos
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidades de estudo 4
Unidade 1 - Apresentando a calculadora HP ndash 12C
Unidade 2 - Regimes de capitalizaccedilatildeo simples e composto
Unidade 3 - Taxas de juros equivalentes e caacutelculo de pagamentos perioacutedicos
Unidade 4 - Valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Agenda de atividades Cronograma
Verifique com atenccedilatildeo o EVA e organize-se para acessar periodicamente o espaccedilo da Disciplina O sucesso nos seus estudos depende da priorizaccedilatildeo do tempo para a leitura da realizaccedilatildeo de anaacutelises e siacutenteses do conteuacutedo e da interaccedilatildeo com os seus colegas e professor virtual
Natildeo perca os prazos das atividades Registre as datas no espaccedilo a seguir com base no cronograma da disciplina disponibilizado no EVA
Use o quadro para agendar e programar as atividades relativas ao desenvolvimento da Disciplina
1UNIDADE 1
Apresentando a calculadora HP ndash 12C
Objetivos de aprendizagem
Apresentar as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C
Realizar caacutelculos elementares com a ferramenta
Conhecer os modos ldquoRPNrdquo e ldquoALGrdquo da HP
Utilizar as memoacuterias da calculadora para realizar caacutelculos
Usar as funccedilotildees de percentagem
Determinar datas futuras passadas e nuacutemero de dias entre datas
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 A calculadora HP ndash 12C
Seccedilatildeo 2 Caacutelculos aritmeacuteticos no modo ldquoRPNrdquo e no modo ldquoALGrdquo
Seccedilatildeo 3 Funccedilotildees de percentagem e calendaacuterio
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vamos lhe apresentar a calculadora HP ndash 12C com o objetivo de realizar caacutelculos aritmeacuteticos no modo ldquoRPNrdquo ndash Notaccedilatildeo Polonesa Reversa e no modo ldquoALGrdquo ndash Algeacutebrico Aleacutem disso vocecirc aprenderaacute a fazer uso das funccedilotildees de percentagem e calendaacuterio e em desdobramento aprenderaacute a determinar percentagens de um nuacutemero percentagem de um total e diferenccedila percentual caacutelculo de datas futuras e passadas e o nuacutemero de dias entre datas Vocecirc usaraacute as memoacuterias da calculadora para auxiliar nos caacutelculos eou armazenar dados que possam ser usados posteriormente
Seccedilatildeo 1 ndash A calculadora HP ndash 12C
Na presente etapa seratildeo apresentadas algumas funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para utilizaccedilatildeo neste curso Observe na figura 11 a imagem da calculadora
Figura 11- Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Arquivo do autor
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
Fique atento(a) ao fato de que muitas teclas da HP ndash 12C executam duas ou ateacute trecircs funccedilotildees A funccedilatildeo primaacuteria eacute indicada pelos caracteres impressos em branco na face superior As funccedilotildees secundaacuterias da calculadora satildeo impressas nas cores dourado e azul apresentadas respectivamente acima da tecla e na sua face inferior
Para acionar essas funccedilotildees acione a tecla de prefixo que eacute apropriada antes da tecla da funccedilatildeo ou seja e Veja na figura 12
Para selecionar a funccedilatildeo secundaacuteria impressa em dourado aperte a tecla de prefixo f e em seguida a tecla da funccedilatildeo
Para selecionar a funccedilatildeo primaacuteria impressa na face superior de uma tecla aperte somente a tecla
Para selecionar a funccedilatildeo secundaacuteria impressa em azul aperte a tecla de prefixo azul g e em seguida a tecla da funccedilatildeo
Figura 12 - Modo de acesso agraves funccedilotildees primaacuterias e secundaacuterias da Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Disponiacutevel em lthttphpcomlatambrprodutoscalculadorasgrandeprofessores12phtmlgt Acesso em 29 mai 2008
Entrando com nuacutemeros e separadores de diacutegitos
Para que vocecirc possa entrar com um nuacutemero na HP aperte as teclas correspondentes ao nuacutemero em sequecircncia O ponto decimal deve ser usado para separar a parte inteira da parte fracionaacuteria do nuacutemero Se vocecirc quiser pode configurar a calculadora para exibir a viacutergula como separador Para tanto desligue a calculadora e depois aperte simultaneamente as teclas
e
Para voltar
agrave configuraccedilatildeo anterior repita a operaccedilatildeo
Nuacutemeros negativos
A tecla troca o sinal de um nuacutemero no mostrador Portanto se vocecirc quiser trocar o sinal de um nuacutemero positivo que estaacute no visor aperte a tecla ele ficaraacute negativo E vice-versa
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As teclas ldquoCLEARrdquo (apagar)
A ilustraccedilatildeo a seguir apresenta as teclas ldquoClearrdquo que apagam ou zeram o mostrador as memoacuterias a memoacuteria de programaccedilatildeo os registradores financeiros os registros de pilha e registros estatiacutesticos Confira na figura 13
Apaga o mostrador
Apaga os registros estatiacutesticos registros da pilha e mostrador
Apaga a memoacuteria de programaccedilatildeo
Apaga os registros financeiros
Apaga os registros de armazenamento de dados registros financeiros registros de pilha LAST X e mostrador
Figura 13 - As teclas CLEAR da Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Registros de armazenamento
Os dados de entrada na HP ndash 12C podem ser armazenados em memoacuterias chamadas ldquoregistros de armazenamentordquo Quatro registros satildeo usados para o armazenamento de nuacutemeros durante os caacutelculos e mais um que eacute usado para armazenar o uacuteltimo nuacutemero chamado ldquoLAST Xrdquo
Aleacutem dos registros citados nos quais os nuacutemeros satildeo armazenados automaticamente existem outros 20 registros para o armazenamento manual de nuacutemeros Eles satildeo designados por R R R R a e a Outros registros de armazenamento designados como registros financeiros satildeo reservados para os nuacutemeros que seratildeo usados em caacutelculos financeiros
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
Armazenando recuperando nuacutemeros e zerando registros
Para armazenar um nuacutemero em um registro de armazenamento de dados aperte a tecla (armazenar) e em seguida um dos nuacutemeros de 0 a 9 para os registros R R
0 9 a e 0 a 9 para os
registros R R 0 9
a
Para recuperar um nuacutemero de um registro de armazenamento de dados aperte a tecla (recuperar) e em seguida um dos nuacutemeros de 0 a 9 para os registros R R
0 9 a e 0 a 9 para os
registros R R 0 9
a
Jaacute para zerar um uacutenico registro de armazenamento vocecirc pode armazenar o valor zero no registro Agora para zerar todos os registros de armazenamento de uma soacute vez ndash incluindo os registros financeiros os registros da pilha e o registro LAST X ndash aperte
E entatildeo estaacute motivado(a) para continuar Na proacutexima seccedilatildeo apresentaremos as teclas ldquoRPNrdquo e ldquoALGrdquo e faremos caacutelculos aritmeacuteticos usando esses modos
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Seccedilatildeo 2 ndash Caacutelculos aritmeacuteticos no modo ldquoRPNrdquo e no modo ldquoALGrdquo
A calculadora HP ndash 12C pode ser configurada para executar operaccedilotildees aritmeacuteticas nos modos RPN ndash Notaccedilatildeo Polonesa Reversa e ALG ndash Algeacutebrico No modo RPN os resultados intermediaacuterios nas operaccedilotildees aritmeacuteticas satildeo armazenados automaticamente portanto natildeo eacute necessaacuterio o uso dos parecircnteses Jaacute no modo ALG as operaccedilotildees elementares satildeo executadas de maneira convencional
Conheccedila alguns exemplos na sequecircncia do texto
Exemplo 11
Calcular 3 x 2 + 5 usando os modos RPN e ALG na HP ndash 12C
Resolvendo no modo RPN
Para configurar a calculadora no modo RPN aperte a tecla e em seguida Observe que vai aparecer o indicador RPN no visor da maacutequina
Agora que a calculadora estaacute no modo RPN vamos ao caacutelculo
3 2 5 11
Resultado
Resolvendo no modo ALG
Para configurar a calculadora no modo ALG aperte a tecla e em seguida Observe que vai aparecer o indicador ALG no visor da maacutequina
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
Calculando no modo algeacutebrico
3 2 5 11
Resultado
Os modelos mais antigos de calculadoras HP ndash 12C natildeo disponibilizam o modo algeacutebrico Portanto se vocecirc eacute usuaacuterio desse tipo de calculadora todos os caacutelculos devem ser efetuados no modo RPN
Exemplo 12
Resolver os caacutelculos solicitados a seguir usando os modos RPN e ALG
a) 3 2 5 33+ minus x
b) ( )minus + minus2 3 4 43 x
c) 2 9 3 52minus + + minus
d) 2 35
2+ minusln
e) 3 4 62+ minuse
Resolvendo no modo RPN
a)
3 2 3 5 3 - 4
Resultado
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b)
c)
d)
Obs para alterar a quantidade de casas decimais no visor da calculadora aperte e em seguida um nuacutemero de 1 a 9 que corresponde agrave quantidade de casas decimais No exemplo acima usamos
e)
2
3 3
4
4
0
Resultado
2
2
9 3 5 125
Resultado
2
3
5 2 0599
Resultado
3
2
46 5789
Resultado
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
Resolvendo no modo ALG com o auxiacutelio dos registros R R
0 9 a
a)
2
3
5 3 3
4
Resultado
Armazena o resultado do visor na memoacuteria 0
Recupera o registro da memoacuteria 0
b)
2
3
3 4
4 0
Resultado
c)
2 2
9
3 5 125
Resultado
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d)
e)
Exemplo 13
Usando a calculadora HP ndash 12C no modo RPN as seguintes operaccedilotildees bancaacuterias foram realizadas a conta tinha um saldo de R$ 12300 e foi feito um depoacutesito referente ao salaacuterio de R$ 189035 Em seguida foram emitidos e compensados cheques nos valores de R$ 38590 R$ 23478 e R$ 62389 Qual eacute o novo saldo da conta
Soluccedilatildeo use
para apresentar os caacutelculos com duas casas decimais
12300 189035 38590
23478 62389 76920
Saldo
2 3 5 2 0 0599
Resultado
3 2 46 5789
Resultado
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
Seccedilatildeo 3 ndash Funccedilotildees de percentagem e calendaacuterio
A calculadora HP ndash 12C apresenta funccedilotildees que permitem o caacutelculo de percentagens e de calendaacuterio Para caacutelculo com percentagens natildeo eacute necessaacuterio converter o nuacutemero na notaccedilatildeo percentual para a notaccedilatildeo decimal Jaacute as funccedilotildees calendaacuterio fornecidas pela HP trabalham com datas entre 15 de outubro de 1582 e 25 de novembro de 4046 A seguir vocecirc conheceraacute detalhadamente essas funccedilotildees
Funccedilotildees de percentagem
Calcula a Percentagem de um nuacutemero ou valor
Calcula a diferenccedila percentual entre dois nuacutemeros
Calcula qual percentual um nuacutemero eacute de outro
Figura 14 - Ilustraccedilatildeo das funccedilotildees de percentagem da Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Funccedilotildees de calendaacuterio
Configura o formato de uma data para dia-mecircs-ano
Configura o formato de uma data para mecircs-dia-ano
Calcula o nuacutemero de dias entre datas
Calcula datas futuras ou passadas
Figura 15 - Ilustraccedilatildeo das funccedilotildees de calendaacuterio da Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Nos exemplos a seguir estaacute demonstrado o uso de todas as funccedilotildees apresentadas Obs os caacutelculos vatildeo ser realizados no modo RPN
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 14
Calcular 16 de R$ 198000
Soluccedilatildeo
198000 1600 31680
Resultado
Exemplo 15
Determinada empresa com accedilotildees na bolsa de valores verificou as seguintes variaccedilotildees nos valores das suas accedilotildees no dia 150508 o valor da accedilatildeo passou de R$ 5025 para R$ 5498 jaacute no dia 210508 o valor da accedilatildeo caiu de R$ 5498 para R$ 5208 Qual a diferenccedila percentual nas duas situaccedilotildees
Soluccedilatildeo a sequecircncia a seguir apresenta a variaccedilatildeo percentual
Caacutelculo da variaccedilatildeo percentual de R$ 5025 para R$ 5498 usando a HP ndash 12C
5025 5498 941
Resultado
Observe que o resultado apresentado eacute positivo portanto representa aumento
Caacutelculo da variaccedilatildeo percentual de R$ 5498 para R$ 5208 usando a HP ndash 12C
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
5498 5208 -527
Resultado
Observe que o resultado apresentado eacute negativo portanto representa queda
Exemplo 16
A empresa do exemplo anterior atua na regiatildeo sul do Brasil com vendas totais realizadas no mecircs de abril de 2008 de R$ 589636996 distribuiacutedas da seguinte forma R$ 123656939 no Paranaacute R$ 356963920 em Santa Catarina e R$ 109016137 no Rio Grande do Sul Qual a percentagem das vendas totais em cada um dos trecircs Estados
Soluccedilatildeo
A sequecircncia apresenta os percentuais nos estados do Paranaacute Santa Catarina e Rio Grande do Sul
Soluccedilatildeo
589636996 123656939 2097
356963920 6054 109016137 1849
Resultado SC Resultado RS
Resultado PR
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 17
Comprei uma TV LCD em 17052008 com vencimento para 120 dias Determine a data do vencimento usando a calculadora HP ndash 12C
Soluccedilatildeo
17052008 120 14092008 7
A data do vencimento eacute 14 de setembro de
2008 domingo
Exemplo 18
Fiz uma compra no dia 12052008 com vencimento para o dia 26082008 Use a calculadora HP ndash 12C para determinar o nuacutemero de dias entre a data da compra e do vencimento
Soluccedilatildeo
12052008 20082008 100
Nuacutemero de dias entre as datas
Nesta unidade vocecirc conheceu algumas funccedilotildees elementares da calculadora as quais seratildeo utilizadas nas demais unidades e satildeo muito importantes para realizar caacutelculos que envolvem questotildees do nosso cotidiano Na proacutexima unidade vocecirc vai usar as funccedilotildees financeiras da calculadora para calcular juros simples e compostos descontos simples e compostos
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
Efetue as atividades de autoavaliaccedilatildeo e acompanhe as respostas e comentaacuterios a respeito nas paacuteginas finais deste material Para melhor aproveitamento do seu estudo realize a conferecircncia de suas respostas somente depois de fazer as atividades propostas Desse modo o momento da conferecircncia lhe proporcionaraacute novas oportunidades de aprendizagem
1 Calcule o valor das expressotildees numeacutericas a seguir usando a HP ndash 12C nos modos RPN e ALG
a) 2 5 3 8 24 minus + divide =x
b) minus + minus =3 5 32 3x eln
c) 16 25 3 45 89+ minus =x
d) 2
35 5
3+ minus =ln
e) 0 253
55
2 + minus =minus
2 Use a HP ndash 12C para realizar os caacutelculos e informar o saldo final da seguinte movimentaccedilatildeo financeira Saldo inicial na conta R$ 167890 depoacutesito de R$ 143587 cheques compensados nos valores de R$ 34598 R$ 12345 R$ 65790 e R$ 30987
3 No dia 130508 o doacutelar americano estava cotado em R$ 165 no dia 190508 a cotaccedilatildeo foi de R$ 161 Com base nestes dados indique qual foi a variaccedilatildeo percentual do doacutelar
4 Foi realizada uma compra em um supermercado no valor de R$ 67890 em 150508 Sabendo que esse estabelecimento trabalha com prazo de 90 dias use as funccedilotildees calendaacuterio da HP ndash 12C e determine a data e o dia da semana do vencimento
5 Uma empresa tem vendas mensais para o mecircs de maio de 2008 estimadas em R$ 178909000 Sabendo que o valor total das vendas estaacute distribuiacutedo nas cidades de Florianoacutepolis Curitiba e Porto Alegre com valores correspondentes a R$ 59089000 R$ 89767898 e R$ 30052102 respectivamente determine qual percentagem das vendas totais ocorre em cada uma das cidades
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
HPndash12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
No link abaixo vocecirc tem disponiacutevel o manual da calculadora HP ndash 12C na versatildeo online lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt
2UNIDADE 2
Regimes de capitalizaccedilatildeo simples e composto
Objetivos de aprendizagem
Fazer uso das funccedilotildees financeiras da calculadora HP ndash 12C para calcular juros simples e composto
Dominar o caacutelculo do montante simples e composto
Aprender o caacutelculo de desconto simples e composto
Calcular capital taxa e prazo no regime de capitalizaccedilatildeo composto usando a HP ndash 12C
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Regime de capitalizaccedilatildeo simples
Seccedilatildeo 2 Regime de capitalizaccedilatildeo composto
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc vai fazer uso das funccedilotildees financeiras da HP ndash 12C com o objetivo de realizar caacutelculos de juros simples e composto montantes simples e composto descontos simples e composto caacutelculo de taxas e prazos
Nesta etapa de estudos seratildeo utilizados exemplos do material didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira que estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do Espaccedilo Virtual de Aprendizagem ndash EVA Eacute importante lembrar natildeo ser objetivo deste curso discutir os conceitos da Matemaacutetica Financeira mas apenas utilizar as funccedilotildees disponibilizadas na calculadora para resolver problemas relacionados a essa aacuterea Entretanto caso vocecirc julgue importante os conceitos podem ser relembrados ou vistos no material didaacutetico da disciplina
Seccedilatildeo 1 ndash Regime de capitalizaccedilatildeo simples
Na unidade 1 vocecirc foi apresentado(a) agrave calculadora HP ndash 12C e a algumas das suas funccedilotildees com o objetivo de capacitaacute-lo(a) para o uso adequado dessa ferramenta Esta unidade inicia com uma abordagem sobre os registradores financeiros os quais seratildeo utilizados na maioria dos exemplos que deveratildeo ser resolvidos ao longo das proacuteximas seccedilotildees desta unidade e nas demais unidades deste curso Veja na ilustraccedilatildeo a seguir os registradores financeiros e as suas aplicaccedilotildees
Registra e armazena periacuteodo
Registra e armazena taxa
Registra e armazena valor presente
Registra e armazena pagamentos perioacutedicos
Registra e armazena valor futuro
Figura 21 - Registradores financeiros e as suas aplicaccedilotildees Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
Para armazenar um nuacutemero em um registrador financeiro digite o nuacutemero e em seguida uma das teclas correspondentes ilustradas acima
Para exibir um nuacutemero armazenado em um dos registradores financeiros aperte e em seguida a tecla correspondente
Para zerar todos os registradores financeiros aperte a sequecircncia de teclas
Eacute importante lembrar que os registradores financeiros tambeacutem satildeo zerados ao apertar a sequecircncia
e quando a memoacuteria contiacutenua eacute
reinicializada
A seguir vocecirc faraacute caacutelculo de juros simples e de descontos simples usando a HP ndash 12C
Regime de capitalizaccedilatildeo simples
A HP ndash 12C calcula automaticamente juros simples ordinaacuterios ndash usando o ano comercial e juros simples exatos ndash usando um ano de 365 dias simultaneamente
Eacute possiacutevel apresentar qualquer um dos dois e mais com os juros acumulados no mostrador podemos calcular o montante apertando a tecla
Para exemplificar vamos resolver problemas do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira que se encontra disponiacutevel (formato digital) na ferramenta Midiateca do EVA ndash Espaccedilo Virtual de Aprendizagem
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 21 (exemplo 1 paacuteg 29 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital de R$ 1800000 foi aplicado a juros simples durante 3 anos agrave taxa de 6 aa Qual eacute o valor dos juros e o montante adquirido
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula os juros e o montante
Exemplo 22 (exemplo 1 paacuteg 33 do livro Matemaacutetica Financeira)
Ache os juros simples exatos auferidos em uma aplicaccedilatildeo de R$ 1500000 a uma taxa de 16 aa de 20 de abril de 2003 a 1ordm de julho de 2003
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula os juros comerciais e os juros exatos
Neste exemplo utilizamos duas teclas que seratildeo ilustradas a seguir para realizar o caacutelculo dos juros exatos
1800000 1080 6
324000 2124000
Juros Montante
No caacutelculo de Juros simples o periacuteodo deve ser em dias
Calcula juros simples
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Unidade 2
1500000 20042003 01072003
72 16 48000 47342
Juro comercial Juro exato nordm de dias
Ao apertar essa tecla ela rola para baixo o conteuacutedo da pilha para visualizaccedilatildeo no registro X
Ao apertar essa tecla ela troca o conteuacutedo dos registros X e Y da pilha
Figura 22 - Teclas utilizadas para registros de dados Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Exemplo 23 (exemplo 2 paacuteg 34 do livro Matemaacutetica Financeira)
Determine o juro simples exato obtido em uma aplicaccedilatildeo de R$ 1300000 durante 146 dias a uma taxa de 9 aa
Soluccedilatildeo a sequecircncia a seguir realiza os caacutelculos solicitados
1330000 146 9
48545 47880
Juro comercial Juro exato
36
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Exemplo 24 (exemplo 1 paacuteg 47 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma duplicata de R$ 1500000 com vencimento no dia 03042005 foi descontada em um banco em 08012005 a uma taxa de 25 am Qual eacute o desconto simples bancaacuterio da operaccedilatildeo
Soluccedilatildeo
08012005 03042005 85
1500000 0025 30 106250
Taxa decimal Desconto bancaacuterio
Nordm de dias entre as datas
Exemplo 25 (exemplo 1 paacuteg 48 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma empresa descontou um tiacutetulo com valor de face de R$ 1450000 3 meses e 15 dias antes do vencimento com uma taxa de desconto bancaacuterio simples de 24 am Quanto a empresa recebeu liacutequido na operaccedilatildeo
Soluccedilatildeo
1450000 0024 35 1450000 1328200
Periacuteodo em meses Valor liacutequidoTaxa decimal
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Unidade 2
Exemplo 26 (exemplo 1 paacuteg 49 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma duplicata de R$ 4800000 foi descontada 6 meses antes de seu vencimento em uma instituiccedilatildeo financeira que trabalha com uma taxa de desconto simples de 32 am Com base nestes dados determine
o valor do desconto simples bancaacuterio
o valor do desconto simples racional
Soluccedilatildeo
4800000 6 0032 921600
Taxa decimal Valor liacutequido
921600 1 0032
6 773154
Taxa decimal Valor liacutequido
Na proacutexima seccedilatildeo vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros compostos e de desconto compostos
38
Universidade do Sul de Santa Catarina
Seccedilatildeo 2 ndash Regime de capitalizaccedilatildeo composto
Os exemplos apresentados a partir de agora satildeo ilustrativos de uma ampla variedade de caacutelculos financeiros Para resolvecirc-los vocecirc precisa estruturaacute-los identificando os elementos baacutesicos do problema de maneira que fiquem evidentes as quantidades que devem ser fornecidas agrave calculadora e quem eacute o valor desconhecido ou seja o valor que desejamos determinar
Na resoluccedilatildeo dos caacutelculos usando a HP ndash 12C eacute indispensaacutevel elaborar o diagrama de fluxo de caixa Eacute importante ressaltar que a calculadora precisa de ajuda para comparar o fluxo de caixa ou seja eacute preciso informar quando temos uma entrada ou uma saiacuteda
O fluxo de caixa serve para demonstrar graficamente as transaccedilotildees financeiras em um periacuteodo de tempo
O tempo eacute representado por uma linha horizontal dividida pelo nuacutemero de periacuteodos relevantes para anaacutelise As entradas ou recebimentos satildeo representados por setas verticais apontadas para cima e as saiacutedas ou pagamentos satildeo representados por setas verticais apontadas para baixo Observe o modelo simplificado
(+) entradas
(-) saiacutedas
tempo (n)
Veja agora o modelo detalhado
Entradas
Saiacutedas
Tempo
Fluxo de caixa pode ser definido como sendo a movimentaccedilatildeo de recursos financeiros (entradas e saiacutedas de caixa) ao longo de um periacuteodo de tempo - agrave entrada e saiacuteda de dinheiro O conceito caixa (financeiro) natildeo pode ser confundido com conceito de competecircncia (contaacutebil)
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Unidade 2
Na HP-12C a tecla (do inglecircs Change Sign) serve para introduzir ou tirar um sinal negativo de um nuacutemero ou seja faz o fluxo de caixa
Na sequecircncia de exemplos apresentados a seguir realizaremos caacutelculos de juros montantes valor presente prazo taxa de juros e descontos no regime composto com o auxiacutelio dos registradores financeiros da calculadora HP ndash 12C
Exemplo 27 (exemplo 1 paacuteg 58 do livro Matemaacutetica Financeira)
Qual o montante gerado por um capital de R$ 450000 aplicado por 9 meses a juros compostos a uma taxa de 35 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o montante composto
450000 9 35 613304
MontanteFluxo de caixa saiacuteda do dinheiro para aplicaccedilatildeo
Exemplo 28 (exemplo 2 paacuteg 58 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital de R$ 1200000 foi aplicado a juros compostos durante 6 meses agrave taxa de 2 am Calcule os juros auferidos na aplicaccedilatildeo
Soluccedilatildeo use a sequecircncia a seguir para calcular os juros
1200000 6 2
1351395 151395
Montante Juros
Fluxo de caixa saiacuteda do dinheiro para aplicaccedilatildeo
Recupera um valor em um registrador
financeiro
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Exemplo 29 (exemplo 3 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital ldquoXrdquo eacute aplicado a juros compostos agrave taxa de 35 am gerando um montante de R$ 1950000 apoacutes 1 ano e 3 meses Determine o capital ldquoXrdquo
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar o capital
1950000 35 15 -1163937
Capital aplicado
Exemplo 210 (exemplo 4 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
A que taxa mensal de juros compostos um capital de R$ 1250000 pode transformar-se em R$ 1537342 no periacuteodo de 7 meses
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
1250000 1537342 7 300
Taxa de juros mensal
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Unidade 2
Exemplo 211 (exemplo 5 paacuteg 60 do livro Matemaacutetica Financeira)
Em que prazo um empreacutestimo de R$ 3500000 pode ser pago pela quantia de R$ 4790000 se a taxa de juros compostos cobrada for de 4 am
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
3500000 4790000 4 8
Periacuteodo em meses
Funccedilatildeo ldquoCrdquo na HP ndash 12C e as teclas ldquoSTOrdquo e ldquoEEXrdquo
Vocecirc pode calcular taxa de juros (i) Capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos Perioacutedicos (PMT) para transaccedilotildees financeiras com periacuteodos fracionaacuterios Ao digitar um periacuteodo fracionaacuterio por exemplo 23 meses a parte inteira do nuacutemero indica o nuacutemero de periacuteodos inteiro e a parte fracionaacuteria do nuacutemero o tamanho do periacuteodo fracionaacuterio como uma fraccedilatildeo do periacuteodo inteiro (no exemplo 2 meses e 03 meses)
De acordo com o criteacuterio do usuaacuterio os caacutelculos de taxa de juros ( i ) capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos perioacutedicos (PMT) podem ser executados com juros simples ou compostos acumulados durante o periacuteodo fracionaacuterio Para escolher uma das duas opccedilotildees faccedila
Aparece o indicador ldquoCldquo Portanto os juros compostos satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Natildeo aparece o indicador ldquoCrdquo Portanto os juros simples satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Figura 23 - Teclas utilizadas para caacutelculo de juros simples e compostos para periacuteodo fracionaacuterio Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
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Exemplo 212
Calcular o valor futuro de uma aplicaccedilatildeo de R$ 185030000 aplicado agrave taxa de 14 aa durante 45 anos usando juros compostos e simples para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Soluccedilatildeo as sequecircncias a seguir apresentam os resultados para o caacutelculo do valor futuro com juros simples para o periacuteodo fracionaacuterio e juros compostos para o periacuteodo fracionaacuterios respectivamente
185030000 14
45 334383879
Valor futuro calculado com juros simples para o periacuteodo
fracionaacuterio
185030000
14 45 333667556
Valor futuro calculado com juros compostos para o
periacuteodo fracionaacuterio
Exemplo 213 (exemplo 1 paacuteg 81 do livro Matemaacutetica Financeira)
Determine o valor do desconto composto racional e o valor do resgate de um tiacutetulo de R$ 1560000 descontado 5 meses antes do seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto composto racional eacute de 4 am
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Unidade 2
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor do desconto racional composto e o valor liacutequido a receber
1560000 1
1 004 5
277794 1560000 1282206
Valor do desconto Valor liacutequido
Exemplo 214 (exemplo 1 paacuteg 84 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um tiacutetulo de valor nominal de R$ 1500000 eacute descontado em um banco 3 meses antes de seu vencimento Se a taxa de desconto comercial usada pelo banco eacute de 8 am qual eacute o valor do desconto
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor liacutequido e o valor do desconto bancaacuterio ou comercial
1500000 3 8
-1168032 331968
Valor liacutequido Valor do desconto
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Nesta unidade vocecirc usou a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros simples e compostos descontos simples e compostos valor presente taxa de juros periacuteodo e montante Na proacutexima unidade usaremos a ferramenta para auxiliar no caacutelculo de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir foram propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo em PDF estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as questotildees 1 3 5 e 6 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteginas 38 e 39 Confira os resultados na paacuteg 194
1) Qual o rendimento que obtemos ao aplicarmos um capital de R$ 1000000 a uma taxa de juros simples de 5 aa durante 3 anos
3) Em um regime de capitalizaccedilatildeo simples qual eacute o montante que se obteacutem quando aplicamos um capital de R$ 200000 a uma taxa 6 aa durante 24 meses
5) Uma quantia de R$ 6200000 foi aplicada em uma operaccedilatildeo financeira no dia 20 de setembro de 2003 e resgatada no dia 21 de dezembro de 2003 a uma taxa de 125 aa Quais os juros simples exatos e comerciais da operaccedilatildeo
6) Calcule os juros simples exatos e comerciais nas seguintes condiccedilotildees
bull R$ 600000 aplicados por 180 dias a 12 aa
bull R$ 520000 aplicados por 230 dias a 15 aa
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Unidade 2
2 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 2 e 4 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegs 52 e 53 Confira os resultados nas paacuteginas 194 e 195
1) Uma empresa desconta uma duplicata no valor nominal de R$ 5000000 no Banco ldquoXrdquo 4 meses antes do seu vencimento Sabendo que o banco ldquoXrdquo trabalha com uma taxa de desconto simples bancaacuterio de 45 am qual eacute o valor do desconto e o valor liacutequido recebido
2) Para pagar uma diacutevida hoje uma empresa descontou em uma carteira de creacutedito uma duplicata no valor de R$ 1650000 com vencimento daqui a 2 meses recebendo um valor nominal liacutequido de R$ 1500000 Determine a taxa mensal de desconto simples bancaacuterio utilizada
4) Uma letra de cacircmbio no valor nominal de R$ 500000 foi comercializada 4 meses antes do vencimento a uma taxa de desconto simples de 22 am Se o desconto simples fosse o racional qual seria o valor deste desconto
3 Elabore uma sequecircncia de passos para resolver as questotildees propostas 1 2 3 4 e 6 nas paacuteginas 65 66 e 67 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira e confira os resultados na paacuteg 195
1) Calcule o montante produzido por um capital de R$ 2600000 aplicado a uma taxa de juros compostos de 52 am por 6 meses
2) Calcule os juros compostos auferidos por um capital de R$ 420000 aplicado a uma taxa de 3 am durante 10 meses
3) Um empreacutestimo de R$ 600000 deve ser pago em 120 dias a juros compostos pelo valor de R$ 900000 Qual eacute a taxa mensal da operaccedilatildeo
4) Em que prazo uma aplicaccedilatildeo a juros compostos de R$ 2400000 produziraacute um montante de R$ 6151930 agrave taxa de 4 am
6) Quanto Paulo deve aplicar hoje a juros compostos em uma instituiccedilatildeo financeira que paga uma taxa de 12 am para pagar um compromisso de valor nominal igual a R$ 3800000 que vence daqui a 3 meses
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Universidade do Sul de Santa Catarina
4 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 e 8 das paacuteginas 88 e 90 respectivamente do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira Confira os resultados na paacuteg 196
1) Determine o valor do desconto composto racional de um tiacutetulo de valor nominal de R$ 830000 descontado 6 meses antes de seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto eacute de 42 am
8) Um tiacutetulo de R$ 3000000 foi descontado em uma instituiccedilatildeo financeira a uma taxa de desconto composto comercial de 64 am e o valor liacutequido recebido era de R$ 2017327 Quantos meses antes do vencimento foi descontado este tiacutetulo
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
3UNIDADE 3
Taxas de juros equivalentes e caacutelculo de pagamentos perioacutedicos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para calcular taxas equivalentes
Usar as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP ndash 12C para programar o algoritmo da taxa equivalente no regime de capitalizaccedilatildeo composto
Calcular pagamentos perioacutedicos de sequecircncias uniformes postecipadas e antecipadas
Calcular montante de uma sequecircncia uniforme
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Taxas equivalentes
Seccedilatildeo 2 Sequecircncia de capitais
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar taxas equivalentes no regime de capitalizaccedilatildeo composto Vocecirc usaraacute as funccedilotildees de programaccedilatildeo com o objetivo de elaborar um algoritmo para fazer a conversatildeo de taxas de um periacuteodo de capitalizaccedilatildeo (ex mensal) para outro periacuteodo (ex anual) usando o programa Vamos explorar as funccedilotildees ldquoPMTrdquo ldquoBEGrdquo e ldquoENDrdquo para realizar caacutelculo de pagamentos antecipados e postecipados em uma sequecircncia uniforme Destacamos que os exemplos que seratildeo apresentados estatildeo no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira
Seccedilatildeo 1 ndash Taxas equivalentes
Nesta unidade vocecirc usaraacute algumas funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos (postecipados e antecipados) de uma seacuterie uniforme Vocecirc usaraacute ainda as funccedilotildees de programaccedilatildeo para elaborar um programa para calcular taxas equivalentes A figura a seguir apresenta as funccedilotildees que vocecirc usaraacute nos exemplos apresentados posteriormente
Aciona o modo de programaccedilatildeo de HP ndash 12C
Aciona a funccedilatildeo Begin que calcula a parcela com pagamento antecipado
Aciona a funccedilatildeo End (natildeo aparece no visor da calculadora) que calcula parcela com pagamento postecipado
Figura 31 - Teclas utilizadas para acionar as funccedilotildees Beg e End e entrar no modo de programaccedilatildeo
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
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Unidade 3
Taxas equivalentes
No mercado financeiro e nas operaccedilotildees bancaacuterias e comerciais a palavra taxa eacute empregada de vaacuterias formas ou seja vaacuterios conceitos satildeo abordados em vaacuterias situaccedilotildees Esta seccedilatildeo tem como objetivo mostrar como as taxas de juros satildeo informadas no mercado financeiro e como adequaacute-las agraves condiccedilotildees padronizadas pela HP ndash 12C
Duas taxas satildeo consideradas equivalentes a juros compostos quando aplicadas a um mesmo capital por um periacuteodo de tempo equivalente e geram o mesmo rendimento
Exemplo 31(exemplo 1 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
No regime de juros compostos qual a taxa anual equivalente a 4 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente anual
Exemplo 32 (exemplo 2 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
Calcule a taxa quadrimestral equivalente agrave taxa de juros compostos de 8 aa
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente quadrimestral
1 004 12 1 1 10000 6010
Taxa anual
50
Universidade do Sul de Santa Catarina
1 008 1 3 1 10000 260
Taxa quadrimestral
Programa para caacutelculo da taxa equivalente pela hp ndash 12c
O professor Carlos Shinoda em seu livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48) apresenta um programa para calcular a taxa equivalente atraveacutes da calculadora HP ndash 12C
Siga os procedimentos abaixo para introduzir o programa na HP ndash 12C
Figura 32 - Algoritmo para a programaccedilatildeo de taxa equivalente
Fonte Livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48)
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Unidade 3
Agora que vocecirc programou a HP ndash 12C para o caacutelculo de taxas equivalentes resolva o exemplo a seguir usando o programa
Exemplo 33
Usando o programa anterior determine as taxas equivalentes propostas nos exemplos 31 e 32
Soluccedilatildeo
As sequecircncias abaixo calculam as taxas equivalentes
Executa oprograma
4 1 12 6010
Taxa anual
Executa oprograma
8 360 120 260
Taxa quadrimestral
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Seccedilatildeo 2 ndash Sequecircncia de capitais
Nesta seccedilatildeo vocecirc acompanharaacute as situaccedilotildees em que haacute mais de um pagamento ou seja vocecirc estudaraacute as operaccedilotildees envolvendo pagamentos ou recebimentos perioacutedicos e uniformes
As seacuteries uniformes de pagamentos satildeo aquelas em que os pagamentos ou recebimentos satildeo constantes e ocorrem em intervalos iguais
Seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas e antecipadas
As seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1 Este sistema eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada (0 + n)
Pagamentos ou recebimentos podem ser chamados de prestaccedilatildeo representada pela sigla PMT que vem do inglecircs Payment e significa pagamento ou recebimento
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentosPMT
++
0 1 2 3 4 5 6 n
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
++
0 1 2 3 4 5 6 n
PMT
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Unidade 3
As seacuteries uniformes de pagamentos antecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre na data focal 0 (zero) Este tipo de sistema de pagamento eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento com entrada (1+ n)
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
Exemplo 34 (exemplo 2 paacuteg 108 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um automoacutevel eacute vendido em uma loja por R$ 3200000 A loja propotildee as seguintes condiccedilotildees para financiamento
Proposta A 12 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta B 24 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta C 36 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
A taxa de juros usada eacute de 32 am Qual o valor de cada prestaccedilatildeo nas 3 modalidades de financiamento
Soluccedilatildeo
As sequecircncias a seguir calculam os valores das parcelas nas trecircs propostas
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3200000
32 12 -325329
parcela
3200000
32 24 -193046
parcela
3200000
32 36 -150979
parcela
Exemplo 35 (exemplo 2 paacuteg 111 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma casa cujo valor agrave vista eacute R$ 4924456 eacute vendida em prestaccedilotildees mensais e iguais de R$ 250000 sendo a primeira dada como entrada Se a taxa de financiamento eacute de 18 am determine o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas no financiamento
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o nuacutemero de parcelas
4924456 18
250000 24
nordm de parcelas
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Unidade 3
No exemplo acima o nuacutemero de pagamento deu um nuacutemero inteiro Mas podem acontecer situaccedilotildees em que ao se determinar o nuacutemero de parcelas o resultado natildeo seja um nuacutemero inteiro
Nessa situaccedilatildeo a HP ndash 12C arredonda a resposta para o proacuteximo inteiro para cima antes de armazenaacute-la e exibi-la
Exemplo 36
Vocecirc comprou um terreno por R$ 3500000 a juros de 105 aa Vocecirc pretende fazer pagamentos de R$ 32500 no fim de cada mecircs Quantos pagamentos seratildeo necessaacuterios para pagar o terreno e quanto tempo levaraacute
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o nuacutemero de pagamentos e o tempo necessaacuterio
3500000 105
32500 328 2733
nordm de parcelas Tempo (anos)
Como a calculadora arredonda o valor do tempo para o proacuteximo inteiro eacute provaacutevel que apesar de serem necessaacuterios 328 pagamentos somente 327 seratildeo inteiros de R$ 32500 com o pagamento final sendo menor do que R$ 32500 Para calcular o valor do pagamento de nuacutemero 328 vamos fazer o seguinte
A calculadora natildeo ajusta os valores nos outros registros financeiros automaticamente para refletir os n pagamentos iguais ao contraacuterio ela lhe permite escolher quais valores (se houver) que vocecirc deseja ajustar
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328 18189 - 32500 -14311
Valor da parcela 328
Nesta unidade vocecirc calculou taxas equivalentes usou as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP e fez caacutelculos de pagamentos perioacutedicos de uma seacuterie uniforme antecipado ou postecipado Na proacutexima unidade vamos realizar caacutelculos de valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades abaixo (Essa atividade corresponde agrave autoavaliaccedilatildeo 1 da unidade 5 do livro didaacutetico de Matemaacutetica Financeira) Em seguida use o programa elaborado para resolver a mesma questatildeo
Calcule a taxa anual das seguintes taxas
a) 26 am
b) 42 ab
c) 48 at
d) 12 as
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Unidade 3
2 Elabore um algoritmo para resolver as seguintes atividades (Estas questotildees equivalem agraves autoavaliaccedilotildees 1 2 3 4 e 5 da unidade 8 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 121 122 e 123)
a) Calcule o valor da prestaccedilatildeo mensal de um empreacutestimo de R$ 600000 que seraacute amortizado em 12 prestaccedilotildees mensais postecipadas sabendo que o banco cobra uma taxa de juros de 2 am
b) Uma loja vende um automoacutevel agrave vista por R$ 1650000 Se o comprador quiser fazer um financiamento em 36 parcelas mensais e iguais onde o 1ordm pagamento seraacute efetuado no 1ordm mecircs apoacutes a compra a uma taxa de juros de 21 am qual o valor da prestaccedilatildeo
c) Uma mercadoria custa R$ 9038071 agrave vista podendo ser vendida em prestaccedilotildees mensais de R$ 1050000 sendo a primeira prestaccedilatildeo dada como entrada Sabendo-se que a loja aplica uma taxa de 35 am qual o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas
d) Carlos depositou certa quantia durante 10 meses de forma antecipada a uma taxa de 25 am obtendo um montante de R$ 25000000 Quanto depositou mensalmente Carlos
e) Um produto eacute vendido agrave vista por R$ 200000 ou em 10 prestaccedilotildees mensais iguais sem entrada com uma carecircncia de 90 dias apoacutes a compra Qual o valor de cada prestaccedilatildeo sabendo que a taxa de juros eacute de 6 am
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
4UNIDADE 4
Valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa
Usar as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Valor presente liacutequido
Seccedilatildeo 2 Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs ndash SFA (Price)
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa usando as funccedilotildees CF0 CFj e NPV Vocecirc deveraacute ainda fazer uso da funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos usando o Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo ndash SFA ou tabela Price
Seccedilatildeo 1 ndash Valor presente liacutequido
A figura 41 a seguir apresenta as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C que vocecirc usaraacute nessa unidade para realizar caacutelculo de valor presente liacutequido e para a elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos ou financiamento
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor inicial do fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor do fluxo de caixa no periacuteodo j
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula o valor presente atual de um fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula a parte dos pagamentos usada para pagar juros
Figura 41 - Teclas para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
Valor presente liacutequido
Nessa seccedilatildeo vocecirc usaraacute as funccedilotildees da HP ndash 12C para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa Para entender como usar as funccedilotildees CF0 CFj e NPV considere o fluxo de caixa para um investimento que exige capital inicial (CF0) e que gera um fluxo de caixa (CFj ) no final de j periacuteodos
61
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Veja a seguir o fluxo de caixa
CF0CF1
CF2 CF5
CFn
CF3 CF4
O VPL = Valor Presente Liacutequido eacute calculado somando ao investimento inicial o valor presente dos fluxos de caixa futuros projetados Portanto
se o VPL for positivo o valor financeiro do ativo do investidor aumentaraacute ou seja o investimento financeiro seraacute atrativo em termos financeiros
se o VPL for zero o valor financeiro do ativo financeiro do investidor natildeo mudaraacute ou seja o investidor seraacute indiferente ao investimento
se o VPL for negativo o valor financeiro do ativo do investidor seraacute reduzido ou seja o investimento natildeo seraacute atrativo em termos financeiros
Exemplo 41
Um investidor compra uma casa por R$ 7000000 e gostaria de ter um retorno de pelo menos 15 Ele pretende manter a casa por 4 anos e depois vendecirc-la por R$ 11000000 Ele prevecirc os fluxos de caixa mostrados no diagrama abaixo
CF0CF1
CF1
CF3CF4
CF5
R$ 7000000
R$ 50000
R$ 450000R$ 450000
R$ 13000000R$ 550000
Sendo assim calcule o VPL para determinar se o investimento resultaria em um retorno ou perda
62
Universidade do Sul de Santa Catarina
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o VPL
7000000 50000
450000 550000 450000
13000000 15 379007
VPL
Como o VPL eacute positivo o investimento aumentaria o valor financeiro do ativo do investidor
Exemplo 42 (exemplo 4 paacuteg 98 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um proprietaacuterio recebeu as seguintes propostas para a venda de uma casa
Proposta A entrada de R$ 10000000 + R$ 5000000 em 6 meses + R$ 6000000 em 1 ano
Proposta B entrada de R$ 8000000 + R$ 6000000 em 5 meses + R$ 7000000 em 10 meses
Sabendo-se que a taxa de juros de mercado eacute de 3 am qual a melhor proposta para o vendedor
Soluccedilatildeo
Essa questatildeo deve ser resolvida pelo meacutetodo do Valor Presente Liacutequido A alternativa que tiver o maior valor seraacute a melhor Entretanto para facilitar a elaboraccedilatildeo do algoritmo de resoluccedilatildeo na HP ndash 12C elabore o fluxo de caixa para cada situaccedilatildeo
63
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
1 Proposta A Fluxo de caixa
10000000 5000000 6000000
1 2 3 4 5 7 8 9 10 110 6 12
Calculando o VPL
10000000 000 5
5000000 000
5
6000000
3
18395701
VPL
Armazena o zero 5 vezes
2 Proposta B Fluxo de caixa
8000000 70000006000000
1 2 3 4 6 7 8 90 5 10
Calculando o VPL
8000000 000 4
6000000 000
4
7000000
3
18384310
VPL
Armazena o zero 4 vezes
Resposta a melhor proposta eacute a A
64
Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 43
Dois equipamentos satildeo examinados Considerando ser a taxa miacutenima de atratividade de 20aa qual o equipamento que deve ser adquirido
Dados
41 - Tabela de DadosEquipamento K Equipamento L
Custo R$ 5000000 R$ 8000000Custo anual de manutenccedilatildeo R$ 2000000 R$ 1500000Valor residual para venda R$ 400000 R$ 800000Duraccedilatildeo em anos 10 10
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
A seguir veja o diagrama de fluxo de caixa
Os caacutelculos do Valor Presente Liacutequido para as duas situaccedilotildees satildeo
Equipamento K
5000000
Equipamento K
2000000
400000
0 1 2 10
8000000
Equipamento L
1500000
800000
0 1 2 10
50000 20000
9 4000 20000 1
20 -13320342
65
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Equipamento L
80000 15000
9 8000 15000 1
20 -14159504
Importante Veja que a alternativa K equivale a um equipamento em que se investe R$ 13320342 enquanto que o equipamento L equivale a um investimento de R$ 14159504 Portanto eacute preferiacutevel o equipamento K pois o investimento eacute menor
66
Universidade do Sul de Santa Catarina
Seccedilatildeo 2 ndash Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs - SFA
Este sistema consiste no pagamento de empreacutestimos ou financiamentos com prestaccedilotildees iguais e com periodicidade constante Eacute considerado o sistema de amortizaccedilatildeo mais utilizado pelas instituiccedilotildees financeiras e pelo comeacutercio em geral
O Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo eacute assim chamado por ter sido inventado na Franccedila por volta do seacuteculo XVIII pelo matemaacutetico inglecircs Richard Price daiacute portanto a origem da denominaccedilatildeo Sistema Price tambeacutem comumente chamado de Tabela Price
Na verdade a Tabela Price eacute um caso particular derivado do Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo Neste sistema o financiamento (PV) eacute pago em parcelas (PMT) iguais constituiacutedas da amortizaccedilatildeo do principal da diacutevida + juros compensatoacuterios (J) que variam inversamente ao longo do tempo Ou seja agrave medida que aumenta o valor da parcela de amortizaccedilatildeo haveraacute uma queda dos juros compensatoacuterios em funccedilatildeo da reduccedilatildeo do saldo devedor
Principais Caracteriacutesticas
As principais caracteriacutesticas do SFA satildeo
a prestaccedilatildeo eacute constante durante todo o periacuteodo do financiamento
a parcela de amortizaccedilatildeo aumenta a cada periacuteodo (n)
os juros compensatoacuterios diminuem a cada periacuteodo (n)
Exemplo 44 (exemplo 1 paacuteg 148 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma instituiccedilatildeo financeira libera um empreacutestimo para uma induacutestria no valor de R$ 60000000 para ser pago pelo sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs em 120 meses a uma taxa de 15 am Faccedila a planilha ateacute o 4ordm mecircs e calcule o saldo devedor no 100ordm mecircs
67
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Soluccedilatildeo
A sequecircncia abaixo calcula o valor da prestaccedilatildeo os juros a amortizaccedilatildeo o saldo devedor e valor do saldo devedor no 100ordm mecircs Acompanhe
Zera os registradores
60000000 Armazena o valor presente
120 Armazena o periacuteodo
15 Armazena a taxa
- R$ 1081111 Valor da prestaccedilatildeo
1 - R$ 900000 Valor dos juros da 1ordf parcela
R$ 181111Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 1ordf parcela
R$ 58918889 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 897283 Valor dos juros da 2ordf parcela
- R$ 183828Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 2ordf parcela
R$ 59635061 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 894526 Valor dos juros da 3ordf parcela
- R$ 186585Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 3ordf parcela
R$ 59448476 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 891727 Valor dos juros da 4ordf parcela
- R$ 189384Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 4ordf parcela
R$ 59259092 Recupera o saldo devedor
A tabela a seguir apresenta um resumo das operaccedilotildees realizadas
68
Universidade do Sul de Santa Catarina
Tabela 42 ndash Planilha de amortizaccedilatildeoPeriacuteodo (n) Amortizaccedilatildeo (A) Juros (J) Prestaccedilotildees (R) Saldo Devedor (S)
0 - - - R$ 600000001 R$ 181111 R$ 900000 R$ 1081111 R$ 598188892 R$ 183828 R$ 897283 R$ 1081111 R$ 596350613 R$ 186585 R$ 894526 R$ 1081111 R$ 594484764 R$ 189384 R$ 891727 R$ 1081111 R$ 59259092
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Para determinar o saldo devedor no 100ordm mecircs faccedila como indicado a seguir
60000000 120 150
-1081111 18561247
Prestaccedilatildeo Saldo devedor no 100ordm mecircs
Nesta unidade vocecirc usou as funccedilotildees de fluxo de caixa para calcular o valor presente liacutequido e a funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
69Unidade 4
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades a seguir (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 4 e 5 da unidade 7 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegina 102) Em seguida use o programa elaborado para resolver as mesmas questotildees
a) Qual das alternativas de pagamento eacute a melhor para uma taxa de juros compostos de 75 am
Alternativa A Pagamento de R$ 15000000 agrave vista
Alternativa B Entrada de R$ 5000000 + R$ 8000000 em 90 dias + R$ 6000000 em 150 dias
b) Uma pessoa deve a um banco dois tiacutetulos com valores de R$ 300000 e R$ 600000 venciacuteveis respectivamente em 4 meses e 8 meses Se a pessoa deseja antecipar para hoje a liquidaccedilatildeo dos tiacutetulos qual o valor a pagar considerando que o banco opera com uma taxa de juros compostos de 23 am
2 Elabore um algoritmo para resolver as atividades abaixo (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 1 e 4 da unidade 10 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 151 e 153)
a) Um cliente solicita a um banco um empreacutestimo de R$ 4000000 pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs em 60 prestaccedilotildees mensais Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de juros de 28 am obtenha o valor da prestaccedilatildeo e o saldo devedor depois de pagar a 20ordf prestaccedilatildeo
b) Um empreacutestimo de R$ 30000000 seraacute saldado em 50 prestaccedilotildees mensais a uma taxa de 15 am Determine a parcela de juros relativa agrave 15ordf prestaccedilatildeo pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs (price)
70
Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
Manual da calculadora HP ndash 12C
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico ndash 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7ed Satildeo Paulo Atlas 2000
Para concluir o estudo
Com o teacutermino desse curso de extensatildeo acreditamos que proporcionamos momentos de aprendizagem por meio da interaccedilatildeo da calculadora financeira e que vocecirc estaacute habilitado(a) a fazer uso dessa ferramenta com qualidade no mercado de trabalho relacionado a essa aacuterea tatildeo importante no nosso dia-a-dia
Referecircncias
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7 ed Satildeo Paulo Atlas 2000
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003 Disponiacutevel em lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt Acesso em 05 jun 2008
Sobre o professor conteudista
Joseacute Humberto Dias de Toledo - eacute Mestre em Educaccedilatildeo pela Universidade do Sul de Santa Catarina Graduado em Licenciatura em Matemaacutetica e em Engenharia Civil Professor das disciplinas Meacutetodos Numeacutericos Informaacutetica Aplicada agrave Matemaacutetica Financeira Caacutelculo I e Matemaacutetica Financeira no Curso de Matemaacutetica ndash Licenciatura nesta mesma instituiccedilatildeo Atualmente ministra a disciplina Representaccedilotildees Graacuteficas na Poacutes-graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo Matemaacutetica da UNISUL
Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo
Unidade 1
1 a) 5
b) -2359
c) 3311
d) 077
e) 081
Respostas modo RPN
a)
b)
c)
d)
e)
Respostas modo ALG
a
b
c
d
e
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Universidade do Sul de Santa Catarina
2 R$ 167757
Modo RPN
Modo ALG
3 -242
4 Data 13082008 3 (quarta-feira)
5 Florianoacutepolis = 3303 Curitiba = 5018 Porto Alegre = 1680
Unidade 2
1 1) 150000
Dados
C = R$ 1000000
i = 5 aa
n = 3 anos = 1080 dias
J =
3) 24 meses = 2 anos
Dados
C = R$ 200000
i = 6 aa
n = 24 meses = 720 dias
M =
79
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
86
Universidade do Sul de Santa Catarina
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
87
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
88
Universidade do Sul de Santa Catarina
Palhoccedila
UnisulVirtual
2009
Design instrucionalAna Claacuteudia TauLuceacutesia Pereira
2ordf ediccedilatildeo revista e atualizada
Joseacute Humberto Dias de Toledo
Curso de ExtensatildeoUsando a calculadora financeira
na InternetLivro didaacutetico
51393T58 Toledo Joseacute Humberto Dias de
Curso de extensatildeo usando calculadora financeira na Internet livro didaacutetico Joseacute Humberto Dias de Toledo design instrucional Ana Claacuteudia Tauacute Luceacutesia Pereira [assistente acadecircmico Emiacutelia Juliana Ferreira] ndash 2 ed rev e atual ndash Palhoccedila UnisulVirtual 2009
78 p il 28 cm
Inclui bibliografia
1 Calculadora HP-12C 2 Matemaacutetica financiera I Tauacute Ana Claacuteudia II Pereira Luceacutesia III Ferreira Emiacutelia Juliana IV Tiacutetulo
Ediccedilatildeo ndash Versatildeo on line
Professor Conteudista Joseacute Humberto Dias de Toledo
Design InstrucionalAna Claacuteudia TauLuceacutesia Pereira
Assistente AcadecircmicoEmilia Juliana Ferreira (2ordf ed rev e atual)
Projeto Graacutefico e CapaEquipe UnisulVirtual
DiagramaccedilatildeoAlice Demaria Silva
Edison Rodrigo ValimPedro Paulo Alves Teixeira
Revisatildeo OrtograacuteficaAmaline Boulus Issa Mussi
Ficha catalograacutefica elaborada pela Biblioteca Universitaacuteria da Unisul
Copyright copy UnisulVirtual 2009
Nenhuma parte desta publicaccedilatildeo pode ser reproduzida por qualquer meio sem a preacutevia autorizaccedilatildeo desta instituiccedilatildeo
Apresentaccedilatildeo 7Palavras do professor conteudista 9Plano de estudo 11
UNIDADE 1 ndash Apresentando a calculadora HP ndash 12C 15UNIDADE 2 ndash Regimes de capitalizaccedilatildeo simples e composto 31UNIDADE 3 ndash Taxa de juros equivalentes e caacutelculo de pagamentos
perioacutedicos 47UNIDADE 4 ndash Valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e
amortizaccedilatildeo de empreacutestimos 59
Para concluir o estudo 71 Referecircncias 73Sobre o professor conteudista 75Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo 77
Sumaacuterio
Apresentaccedilatildeo
Este livro didaacutetico corresponde ao Curso de Extensatildeo Usando calculadora financeira na Internet
O material foi elaborado visando a uma aprendizagem autocircnoma Neste sentido aborda conteuacutedos especialmente selecionados e relacionados agrave sua aacuterea de formaccedilatildeo Ao adotar uma linguagem didaacutetica e dialoacutegica objetivamos facilitar seu estudo a distacircncia proporcionando condiccedilotildees favoraacuteveis agraves muacuteltiplas interaccedilotildees e a um aprendizado contextualizado e eficaz
Lembre que sua caminhada neste curso seraacute acompanhada e monitorada constantemente pelo Sistema Tutorial da UnisulVirtual Assim a designaccedilatildeo a distacircncia caracteriza tatildeo-somente a modalidade de ensino por que vocecirc optou para a sua formaccedilatildeo pois na relaccedilatildeo de aprendizagem professores e instituiccedilatildeo vatildeo estar em conexatildeo com vocecirc continuamente
Entatildeo sempre que sentir necessidade entre em contato Vocecirc tem agrave disposiccedilatildeo diversas ferramentas e canais de acesso tais como telefone e-mail e o Espaccedilo UnisulVirtual de Aprendizagem que eacute o canal mais recomendado pois tudo o que for enviado e recebido fica registrado para seu maior controle e comodidade Nossa equipe teacutecnica e pedagoacutegica teraacute o maior prazer em lhe atender pois sua aprendizagem eacute o nosso principal objetivo
Bom estudo e sucesso
Equipe UnisulVirtual
Palavras do professor
Caro(a) Aluno(a)
A matemaacutetica financeira estaacute presente no nosso cotidiano desde eacutepocas antigas tornando-se na atualidade alvo das maiores preocupaccedilotildees humanas
Eacute de grande importacircncia adquirir os conhecimentos sobre esse tema pois eles vatildeo certamente contribuir para que vocecirc estabeleccedila uma visatildeo criacutetica teoacuterica reflexiva investigativa e praacutetica de temas que satildeo tatildeo comuns no seu cotidiano e ainda gerar conhecimentos que ajudem a organizar a sua vida financeira
Procurando promover a resoluccedilatildeo de problemas relacionados agrave aacuterea financeira com mais agilidade e consequentemente liberando o seu tempo para tomada de decisotildees elaboramos este curso de extensatildeo sobre o uso de uma ferramenta muito utilizada no meio acadecircmico nas aacutereas de Administraccedilatildeo Contaacutebeis Tecnoacutelogos em Gestatildeo Matemaacutetica ndash Licenciatura etc Trata-se da calculadora financeira HP ndash 12C
A calculadora permite que vocecirc realize caacutelculos de montantes taxas prazos pagamentos perioacutedicos e que elabore tabelas de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos que podem proporcionar-lhe conhecimentos uacuteteis e aplicaacuteveis no seu dia-a-dia
Caro aluno(a) neste curso estaremos constantemente fazendo links com os conteuacutedos abordados na disciplina Matemaacutetica Financeira Para facilitar seu estudo este material didaacutetico se encontra disponiacutevel na MIDIATECA
Por fim se vocecirc natildeo possui a calculadora poderaacute instalar o emulador da mesma em seu computador e realizar todos os caacutelculos necessaacuterios Para baixar o arquivo acesse diretamente o site lthttpwwwbaixenamolezacoms=emulador+HP+12Cgt
Bom estudo
Professor Joseacute Humberto Dias de Toledo
Plano de estudo
O plano de estudos visa a orientaacute-lo(a) no desenvolvimento da Disciplina Nele vocecirc encontraraacute elementos que esclareceratildeo o contexto da Disciplina e sugeriratildeo formas de organizar o seu tempo de estudos
O processo de ensino e aprendizagem na UnisulVirtual leva em conta instrumentos que se articulam e se complementam Assim a construccedilatildeo de competecircncias se daacute sobre a articulaccedilatildeo de metodologias e por meio das diversas formas de accedilatildeomediaccedilatildeo
Satildeo elementos desse processo
o Espaccedilo UnisulVirtual de Aprendizagem - EVA
as atividades de avaliaccedilatildeo (complementares a distacircncia e presenciais)
Ementa
Introduccedilatildeo algumas funccedilotildees baacutesicas da HP - 12C Caacutelculo de juros simples e composto Usando as funccedilotildees financeiras para caacutelculo de montante valor presente periacuteodo Usando as funccedilotildees financeiras para caacutelculo de taxas de juros seacuterie de pagamentos ou anuidades Usando as funccedilotildees data e hora para caacutelculo de nuacutemero de dias entre datas data futura data passada verificar o dia da semana para vencimentos futuros Elaboraccedilatildeo de planilhas de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos e financiamentos
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Carga Horaacuteria
15 horas-aula
Objetivos
Geral
Capacitar os participantes para a utilizaccedilatildeo da calculadora HP - 12C na resoluccedilatildeo de problemas praacuteticos promovendo a integraccedilatildeo entre teoria e praacutetica na aacuterea financeira
Especiacuteficos
Usar a Hp -12C para o caacutelculo de juros simples composto montante periacuteodo valor presente e pagamentos perioacutedicos
Fazer uso da HP - 12C para elaboraccedilatildeo de planilhas de amortizaccedilatildeo
Explorar as funccedilotildees data e hora da HP -12C
Usar a ferramenta para auxiliar na resoluccedilatildeo de problemas do cotidiano na aacuterea financeira
Conteuacutedo programaacuteticoobjetivos
Os objetivos de cada unidade definem o conjunto de conhecimentos que vocecirc deveraacute deter para o desenvolvimento de habilidades e competecircncias necessaacuterias agrave sua formaccedilatildeo Neste sentido veja a seguir as unidades que compotildeem o Livro Didaacutetico deste curso bem como os seus respectivos objetivos
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidades de estudo 4
Unidade 1 - Apresentando a calculadora HP ndash 12C
Unidade 2 - Regimes de capitalizaccedilatildeo simples e composto
Unidade 3 - Taxas de juros equivalentes e caacutelculo de pagamentos perioacutedicos
Unidade 4 - Valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Agenda de atividades Cronograma
Verifique com atenccedilatildeo o EVA e organize-se para acessar periodicamente o espaccedilo da Disciplina O sucesso nos seus estudos depende da priorizaccedilatildeo do tempo para a leitura da realizaccedilatildeo de anaacutelises e siacutenteses do conteuacutedo e da interaccedilatildeo com os seus colegas e professor virtual
Natildeo perca os prazos das atividades Registre as datas no espaccedilo a seguir com base no cronograma da disciplina disponibilizado no EVA
Use o quadro para agendar e programar as atividades relativas ao desenvolvimento da Disciplina
1UNIDADE 1
Apresentando a calculadora HP ndash 12C
Objetivos de aprendizagem
Apresentar as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C
Realizar caacutelculos elementares com a ferramenta
Conhecer os modos ldquoRPNrdquo e ldquoALGrdquo da HP
Utilizar as memoacuterias da calculadora para realizar caacutelculos
Usar as funccedilotildees de percentagem
Determinar datas futuras passadas e nuacutemero de dias entre datas
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 A calculadora HP ndash 12C
Seccedilatildeo 2 Caacutelculos aritmeacuteticos no modo ldquoRPNrdquo e no modo ldquoALGrdquo
Seccedilatildeo 3 Funccedilotildees de percentagem e calendaacuterio
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vamos lhe apresentar a calculadora HP ndash 12C com o objetivo de realizar caacutelculos aritmeacuteticos no modo ldquoRPNrdquo ndash Notaccedilatildeo Polonesa Reversa e no modo ldquoALGrdquo ndash Algeacutebrico Aleacutem disso vocecirc aprenderaacute a fazer uso das funccedilotildees de percentagem e calendaacuterio e em desdobramento aprenderaacute a determinar percentagens de um nuacutemero percentagem de um total e diferenccedila percentual caacutelculo de datas futuras e passadas e o nuacutemero de dias entre datas Vocecirc usaraacute as memoacuterias da calculadora para auxiliar nos caacutelculos eou armazenar dados que possam ser usados posteriormente
Seccedilatildeo 1 ndash A calculadora HP ndash 12C
Na presente etapa seratildeo apresentadas algumas funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para utilizaccedilatildeo neste curso Observe na figura 11 a imagem da calculadora
Figura 11- Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Arquivo do autor
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Unidade 1
Fique atento(a) ao fato de que muitas teclas da HP ndash 12C executam duas ou ateacute trecircs funccedilotildees A funccedilatildeo primaacuteria eacute indicada pelos caracteres impressos em branco na face superior As funccedilotildees secundaacuterias da calculadora satildeo impressas nas cores dourado e azul apresentadas respectivamente acima da tecla e na sua face inferior
Para acionar essas funccedilotildees acione a tecla de prefixo que eacute apropriada antes da tecla da funccedilatildeo ou seja e Veja na figura 12
Para selecionar a funccedilatildeo secundaacuteria impressa em dourado aperte a tecla de prefixo f e em seguida a tecla da funccedilatildeo
Para selecionar a funccedilatildeo primaacuteria impressa na face superior de uma tecla aperte somente a tecla
Para selecionar a funccedilatildeo secundaacuteria impressa em azul aperte a tecla de prefixo azul g e em seguida a tecla da funccedilatildeo
Figura 12 - Modo de acesso agraves funccedilotildees primaacuterias e secundaacuterias da Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Disponiacutevel em lthttphpcomlatambrprodutoscalculadorasgrandeprofessores12phtmlgt Acesso em 29 mai 2008
Entrando com nuacutemeros e separadores de diacutegitos
Para que vocecirc possa entrar com um nuacutemero na HP aperte as teclas correspondentes ao nuacutemero em sequecircncia O ponto decimal deve ser usado para separar a parte inteira da parte fracionaacuteria do nuacutemero Se vocecirc quiser pode configurar a calculadora para exibir a viacutergula como separador Para tanto desligue a calculadora e depois aperte simultaneamente as teclas
e
Para voltar
agrave configuraccedilatildeo anterior repita a operaccedilatildeo
Nuacutemeros negativos
A tecla troca o sinal de um nuacutemero no mostrador Portanto se vocecirc quiser trocar o sinal de um nuacutemero positivo que estaacute no visor aperte a tecla ele ficaraacute negativo E vice-versa
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As teclas ldquoCLEARrdquo (apagar)
A ilustraccedilatildeo a seguir apresenta as teclas ldquoClearrdquo que apagam ou zeram o mostrador as memoacuterias a memoacuteria de programaccedilatildeo os registradores financeiros os registros de pilha e registros estatiacutesticos Confira na figura 13
Apaga o mostrador
Apaga os registros estatiacutesticos registros da pilha e mostrador
Apaga a memoacuteria de programaccedilatildeo
Apaga os registros financeiros
Apaga os registros de armazenamento de dados registros financeiros registros de pilha LAST X e mostrador
Figura 13 - As teclas CLEAR da Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Registros de armazenamento
Os dados de entrada na HP ndash 12C podem ser armazenados em memoacuterias chamadas ldquoregistros de armazenamentordquo Quatro registros satildeo usados para o armazenamento de nuacutemeros durante os caacutelculos e mais um que eacute usado para armazenar o uacuteltimo nuacutemero chamado ldquoLAST Xrdquo
Aleacutem dos registros citados nos quais os nuacutemeros satildeo armazenados automaticamente existem outros 20 registros para o armazenamento manual de nuacutemeros Eles satildeo designados por R R R R a e a Outros registros de armazenamento designados como registros financeiros satildeo reservados para os nuacutemeros que seratildeo usados em caacutelculos financeiros
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Unidade 1
Armazenando recuperando nuacutemeros e zerando registros
Para armazenar um nuacutemero em um registro de armazenamento de dados aperte a tecla (armazenar) e em seguida um dos nuacutemeros de 0 a 9 para os registros R R
0 9 a e 0 a 9 para os
registros R R 0 9
a
Para recuperar um nuacutemero de um registro de armazenamento de dados aperte a tecla (recuperar) e em seguida um dos nuacutemeros de 0 a 9 para os registros R R
0 9 a e 0 a 9 para os
registros R R 0 9
a
Jaacute para zerar um uacutenico registro de armazenamento vocecirc pode armazenar o valor zero no registro Agora para zerar todos os registros de armazenamento de uma soacute vez ndash incluindo os registros financeiros os registros da pilha e o registro LAST X ndash aperte
E entatildeo estaacute motivado(a) para continuar Na proacutexima seccedilatildeo apresentaremos as teclas ldquoRPNrdquo e ldquoALGrdquo e faremos caacutelculos aritmeacuteticos usando esses modos
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Seccedilatildeo 2 ndash Caacutelculos aritmeacuteticos no modo ldquoRPNrdquo e no modo ldquoALGrdquo
A calculadora HP ndash 12C pode ser configurada para executar operaccedilotildees aritmeacuteticas nos modos RPN ndash Notaccedilatildeo Polonesa Reversa e ALG ndash Algeacutebrico No modo RPN os resultados intermediaacuterios nas operaccedilotildees aritmeacuteticas satildeo armazenados automaticamente portanto natildeo eacute necessaacuterio o uso dos parecircnteses Jaacute no modo ALG as operaccedilotildees elementares satildeo executadas de maneira convencional
Conheccedila alguns exemplos na sequecircncia do texto
Exemplo 11
Calcular 3 x 2 + 5 usando os modos RPN e ALG na HP ndash 12C
Resolvendo no modo RPN
Para configurar a calculadora no modo RPN aperte a tecla e em seguida Observe que vai aparecer o indicador RPN no visor da maacutequina
Agora que a calculadora estaacute no modo RPN vamos ao caacutelculo
3 2 5 11
Resultado
Resolvendo no modo ALG
Para configurar a calculadora no modo ALG aperte a tecla e em seguida Observe que vai aparecer o indicador ALG no visor da maacutequina
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Unidade 1
Calculando no modo algeacutebrico
3 2 5 11
Resultado
Os modelos mais antigos de calculadoras HP ndash 12C natildeo disponibilizam o modo algeacutebrico Portanto se vocecirc eacute usuaacuterio desse tipo de calculadora todos os caacutelculos devem ser efetuados no modo RPN
Exemplo 12
Resolver os caacutelculos solicitados a seguir usando os modos RPN e ALG
a) 3 2 5 33+ minus x
b) ( )minus + minus2 3 4 43 x
c) 2 9 3 52minus + + minus
d) 2 35
2+ minusln
e) 3 4 62+ minuse
Resolvendo no modo RPN
a)
3 2 3 5 3 - 4
Resultado
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b)
c)
d)
Obs para alterar a quantidade de casas decimais no visor da calculadora aperte e em seguida um nuacutemero de 1 a 9 que corresponde agrave quantidade de casas decimais No exemplo acima usamos
e)
2
3 3
4
4
0
Resultado
2
2
9 3 5 125
Resultado
2
3
5 2 0599
Resultado
3
2
46 5789
Resultado
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Unidade 1
Resolvendo no modo ALG com o auxiacutelio dos registros R R
0 9 a
a)
2
3
5 3 3
4
Resultado
Armazena o resultado do visor na memoacuteria 0
Recupera o registro da memoacuteria 0
b)
2
3
3 4
4 0
Resultado
c)
2 2
9
3 5 125
Resultado
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d)
e)
Exemplo 13
Usando a calculadora HP ndash 12C no modo RPN as seguintes operaccedilotildees bancaacuterias foram realizadas a conta tinha um saldo de R$ 12300 e foi feito um depoacutesito referente ao salaacuterio de R$ 189035 Em seguida foram emitidos e compensados cheques nos valores de R$ 38590 R$ 23478 e R$ 62389 Qual eacute o novo saldo da conta
Soluccedilatildeo use
para apresentar os caacutelculos com duas casas decimais
12300 189035 38590
23478 62389 76920
Saldo
2 3 5 2 0 0599
Resultado
3 2 46 5789
Resultado
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Unidade 1
Seccedilatildeo 3 ndash Funccedilotildees de percentagem e calendaacuterio
A calculadora HP ndash 12C apresenta funccedilotildees que permitem o caacutelculo de percentagens e de calendaacuterio Para caacutelculo com percentagens natildeo eacute necessaacuterio converter o nuacutemero na notaccedilatildeo percentual para a notaccedilatildeo decimal Jaacute as funccedilotildees calendaacuterio fornecidas pela HP trabalham com datas entre 15 de outubro de 1582 e 25 de novembro de 4046 A seguir vocecirc conheceraacute detalhadamente essas funccedilotildees
Funccedilotildees de percentagem
Calcula a Percentagem de um nuacutemero ou valor
Calcula a diferenccedila percentual entre dois nuacutemeros
Calcula qual percentual um nuacutemero eacute de outro
Figura 14 - Ilustraccedilatildeo das funccedilotildees de percentagem da Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Funccedilotildees de calendaacuterio
Configura o formato de uma data para dia-mecircs-ano
Configura o formato de uma data para mecircs-dia-ano
Calcula o nuacutemero de dias entre datas
Calcula datas futuras ou passadas
Figura 15 - Ilustraccedilatildeo das funccedilotildees de calendaacuterio da Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Nos exemplos a seguir estaacute demonstrado o uso de todas as funccedilotildees apresentadas Obs os caacutelculos vatildeo ser realizados no modo RPN
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Exemplo 14
Calcular 16 de R$ 198000
Soluccedilatildeo
198000 1600 31680
Resultado
Exemplo 15
Determinada empresa com accedilotildees na bolsa de valores verificou as seguintes variaccedilotildees nos valores das suas accedilotildees no dia 150508 o valor da accedilatildeo passou de R$ 5025 para R$ 5498 jaacute no dia 210508 o valor da accedilatildeo caiu de R$ 5498 para R$ 5208 Qual a diferenccedila percentual nas duas situaccedilotildees
Soluccedilatildeo a sequecircncia a seguir apresenta a variaccedilatildeo percentual
Caacutelculo da variaccedilatildeo percentual de R$ 5025 para R$ 5498 usando a HP ndash 12C
5025 5498 941
Resultado
Observe que o resultado apresentado eacute positivo portanto representa aumento
Caacutelculo da variaccedilatildeo percentual de R$ 5498 para R$ 5208 usando a HP ndash 12C
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Unidade 1
5498 5208 -527
Resultado
Observe que o resultado apresentado eacute negativo portanto representa queda
Exemplo 16
A empresa do exemplo anterior atua na regiatildeo sul do Brasil com vendas totais realizadas no mecircs de abril de 2008 de R$ 589636996 distribuiacutedas da seguinte forma R$ 123656939 no Paranaacute R$ 356963920 em Santa Catarina e R$ 109016137 no Rio Grande do Sul Qual a percentagem das vendas totais em cada um dos trecircs Estados
Soluccedilatildeo
A sequecircncia apresenta os percentuais nos estados do Paranaacute Santa Catarina e Rio Grande do Sul
Soluccedilatildeo
589636996 123656939 2097
356963920 6054 109016137 1849
Resultado SC Resultado RS
Resultado PR
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Exemplo 17
Comprei uma TV LCD em 17052008 com vencimento para 120 dias Determine a data do vencimento usando a calculadora HP ndash 12C
Soluccedilatildeo
17052008 120 14092008 7
A data do vencimento eacute 14 de setembro de
2008 domingo
Exemplo 18
Fiz uma compra no dia 12052008 com vencimento para o dia 26082008 Use a calculadora HP ndash 12C para determinar o nuacutemero de dias entre a data da compra e do vencimento
Soluccedilatildeo
12052008 20082008 100
Nuacutemero de dias entre as datas
Nesta unidade vocecirc conheceu algumas funccedilotildees elementares da calculadora as quais seratildeo utilizadas nas demais unidades e satildeo muito importantes para realizar caacutelculos que envolvem questotildees do nosso cotidiano Na proacutexima unidade vocecirc vai usar as funccedilotildees financeiras da calculadora para calcular juros simples e compostos descontos simples e compostos
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Unidade 1
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
Efetue as atividades de autoavaliaccedilatildeo e acompanhe as respostas e comentaacuterios a respeito nas paacuteginas finais deste material Para melhor aproveitamento do seu estudo realize a conferecircncia de suas respostas somente depois de fazer as atividades propostas Desse modo o momento da conferecircncia lhe proporcionaraacute novas oportunidades de aprendizagem
1 Calcule o valor das expressotildees numeacutericas a seguir usando a HP ndash 12C nos modos RPN e ALG
a) 2 5 3 8 24 minus + divide =x
b) minus + minus =3 5 32 3x eln
c) 16 25 3 45 89+ minus =x
d) 2
35 5
3+ minus =ln
e) 0 253
55
2 + minus =minus
2 Use a HP ndash 12C para realizar os caacutelculos e informar o saldo final da seguinte movimentaccedilatildeo financeira Saldo inicial na conta R$ 167890 depoacutesito de R$ 143587 cheques compensados nos valores de R$ 34598 R$ 12345 R$ 65790 e R$ 30987
3 No dia 130508 o doacutelar americano estava cotado em R$ 165 no dia 190508 a cotaccedilatildeo foi de R$ 161 Com base nestes dados indique qual foi a variaccedilatildeo percentual do doacutelar
4 Foi realizada uma compra em um supermercado no valor de R$ 67890 em 150508 Sabendo que esse estabelecimento trabalha com prazo de 90 dias use as funccedilotildees calendaacuterio da HP ndash 12C e determine a data e o dia da semana do vencimento
5 Uma empresa tem vendas mensais para o mecircs de maio de 2008 estimadas em R$ 178909000 Sabendo que o valor total das vendas estaacute distribuiacutedo nas cidades de Florianoacutepolis Curitiba e Porto Alegre com valores correspondentes a R$ 59089000 R$ 89767898 e R$ 30052102 respectivamente determine qual percentagem das vendas totais ocorre em cada uma das cidades
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Saiba mais
HPndash12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
No link abaixo vocecirc tem disponiacutevel o manual da calculadora HP ndash 12C na versatildeo online lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt
2UNIDADE 2
Regimes de capitalizaccedilatildeo simples e composto
Objetivos de aprendizagem
Fazer uso das funccedilotildees financeiras da calculadora HP ndash 12C para calcular juros simples e composto
Dominar o caacutelculo do montante simples e composto
Aprender o caacutelculo de desconto simples e composto
Calcular capital taxa e prazo no regime de capitalizaccedilatildeo composto usando a HP ndash 12C
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Regime de capitalizaccedilatildeo simples
Seccedilatildeo 2 Regime de capitalizaccedilatildeo composto
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc vai fazer uso das funccedilotildees financeiras da HP ndash 12C com o objetivo de realizar caacutelculos de juros simples e composto montantes simples e composto descontos simples e composto caacutelculo de taxas e prazos
Nesta etapa de estudos seratildeo utilizados exemplos do material didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira que estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do Espaccedilo Virtual de Aprendizagem ndash EVA Eacute importante lembrar natildeo ser objetivo deste curso discutir os conceitos da Matemaacutetica Financeira mas apenas utilizar as funccedilotildees disponibilizadas na calculadora para resolver problemas relacionados a essa aacuterea Entretanto caso vocecirc julgue importante os conceitos podem ser relembrados ou vistos no material didaacutetico da disciplina
Seccedilatildeo 1 ndash Regime de capitalizaccedilatildeo simples
Na unidade 1 vocecirc foi apresentado(a) agrave calculadora HP ndash 12C e a algumas das suas funccedilotildees com o objetivo de capacitaacute-lo(a) para o uso adequado dessa ferramenta Esta unidade inicia com uma abordagem sobre os registradores financeiros os quais seratildeo utilizados na maioria dos exemplos que deveratildeo ser resolvidos ao longo das proacuteximas seccedilotildees desta unidade e nas demais unidades deste curso Veja na ilustraccedilatildeo a seguir os registradores financeiros e as suas aplicaccedilotildees
Registra e armazena periacuteodo
Registra e armazena taxa
Registra e armazena valor presente
Registra e armazena pagamentos perioacutedicos
Registra e armazena valor futuro
Figura 21 - Registradores financeiros e as suas aplicaccedilotildees Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
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Unidade 2
Para armazenar um nuacutemero em um registrador financeiro digite o nuacutemero e em seguida uma das teclas correspondentes ilustradas acima
Para exibir um nuacutemero armazenado em um dos registradores financeiros aperte e em seguida a tecla correspondente
Para zerar todos os registradores financeiros aperte a sequecircncia de teclas
Eacute importante lembrar que os registradores financeiros tambeacutem satildeo zerados ao apertar a sequecircncia
e quando a memoacuteria contiacutenua eacute
reinicializada
A seguir vocecirc faraacute caacutelculo de juros simples e de descontos simples usando a HP ndash 12C
Regime de capitalizaccedilatildeo simples
A HP ndash 12C calcula automaticamente juros simples ordinaacuterios ndash usando o ano comercial e juros simples exatos ndash usando um ano de 365 dias simultaneamente
Eacute possiacutevel apresentar qualquer um dos dois e mais com os juros acumulados no mostrador podemos calcular o montante apertando a tecla
Para exemplificar vamos resolver problemas do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira que se encontra disponiacutevel (formato digital) na ferramenta Midiateca do EVA ndash Espaccedilo Virtual de Aprendizagem
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Exemplo 21 (exemplo 1 paacuteg 29 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital de R$ 1800000 foi aplicado a juros simples durante 3 anos agrave taxa de 6 aa Qual eacute o valor dos juros e o montante adquirido
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula os juros e o montante
Exemplo 22 (exemplo 1 paacuteg 33 do livro Matemaacutetica Financeira)
Ache os juros simples exatos auferidos em uma aplicaccedilatildeo de R$ 1500000 a uma taxa de 16 aa de 20 de abril de 2003 a 1ordm de julho de 2003
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula os juros comerciais e os juros exatos
Neste exemplo utilizamos duas teclas que seratildeo ilustradas a seguir para realizar o caacutelculo dos juros exatos
1800000 1080 6
324000 2124000
Juros Montante
No caacutelculo de Juros simples o periacuteodo deve ser em dias
Calcula juros simples
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Unidade 2
1500000 20042003 01072003
72 16 48000 47342
Juro comercial Juro exato nordm de dias
Ao apertar essa tecla ela rola para baixo o conteuacutedo da pilha para visualizaccedilatildeo no registro X
Ao apertar essa tecla ela troca o conteuacutedo dos registros X e Y da pilha
Figura 22 - Teclas utilizadas para registros de dados Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Exemplo 23 (exemplo 2 paacuteg 34 do livro Matemaacutetica Financeira)
Determine o juro simples exato obtido em uma aplicaccedilatildeo de R$ 1300000 durante 146 dias a uma taxa de 9 aa
Soluccedilatildeo a sequecircncia a seguir realiza os caacutelculos solicitados
1330000 146 9
48545 47880
Juro comercial Juro exato
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Exemplo 24 (exemplo 1 paacuteg 47 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma duplicata de R$ 1500000 com vencimento no dia 03042005 foi descontada em um banco em 08012005 a uma taxa de 25 am Qual eacute o desconto simples bancaacuterio da operaccedilatildeo
Soluccedilatildeo
08012005 03042005 85
1500000 0025 30 106250
Taxa decimal Desconto bancaacuterio
Nordm de dias entre as datas
Exemplo 25 (exemplo 1 paacuteg 48 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma empresa descontou um tiacutetulo com valor de face de R$ 1450000 3 meses e 15 dias antes do vencimento com uma taxa de desconto bancaacuterio simples de 24 am Quanto a empresa recebeu liacutequido na operaccedilatildeo
Soluccedilatildeo
1450000 0024 35 1450000 1328200
Periacuteodo em meses Valor liacutequidoTaxa decimal
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Unidade 2
Exemplo 26 (exemplo 1 paacuteg 49 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma duplicata de R$ 4800000 foi descontada 6 meses antes de seu vencimento em uma instituiccedilatildeo financeira que trabalha com uma taxa de desconto simples de 32 am Com base nestes dados determine
o valor do desconto simples bancaacuterio
o valor do desconto simples racional
Soluccedilatildeo
4800000 6 0032 921600
Taxa decimal Valor liacutequido
921600 1 0032
6 773154
Taxa decimal Valor liacutequido
Na proacutexima seccedilatildeo vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros compostos e de desconto compostos
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Seccedilatildeo 2 ndash Regime de capitalizaccedilatildeo composto
Os exemplos apresentados a partir de agora satildeo ilustrativos de uma ampla variedade de caacutelculos financeiros Para resolvecirc-los vocecirc precisa estruturaacute-los identificando os elementos baacutesicos do problema de maneira que fiquem evidentes as quantidades que devem ser fornecidas agrave calculadora e quem eacute o valor desconhecido ou seja o valor que desejamos determinar
Na resoluccedilatildeo dos caacutelculos usando a HP ndash 12C eacute indispensaacutevel elaborar o diagrama de fluxo de caixa Eacute importante ressaltar que a calculadora precisa de ajuda para comparar o fluxo de caixa ou seja eacute preciso informar quando temos uma entrada ou uma saiacuteda
O fluxo de caixa serve para demonstrar graficamente as transaccedilotildees financeiras em um periacuteodo de tempo
O tempo eacute representado por uma linha horizontal dividida pelo nuacutemero de periacuteodos relevantes para anaacutelise As entradas ou recebimentos satildeo representados por setas verticais apontadas para cima e as saiacutedas ou pagamentos satildeo representados por setas verticais apontadas para baixo Observe o modelo simplificado
(+) entradas
(-) saiacutedas
tempo (n)
Veja agora o modelo detalhado
Entradas
Saiacutedas
Tempo
Fluxo de caixa pode ser definido como sendo a movimentaccedilatildeo de recursos financeiros (entradas e saiacutedas de caixa) ao longo de um periacuteodo de tempo - agrave entrada e saiacuteda de dinheiro O conceito caixa (financeiro) natildeo pode ser confundido com conceito de competecircncia (contaacutebil)
39
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Unidade 2
Na HP-12C a tecla (do inglecircs Change Sign) serve para introduzir ou tirar um sinal negativo de um nuacutemero ou seja faz o fluxo de caixa
Na sequecircncia de exemplos apresentados a seguir realizaremos caacutelculos de juros montantes valor presente prazo taxa de juros e descontos no regime composto com o auxiacutelio dos registradores financeiros da calculadora HP ndash 12C
Exemplo 27 (exemplo 1 paacuteg 58 do livro Matemaacutetica Financeira)
Qual o montante gerado por um capital de R$ 450000 aplicado por 9 meses a juros compostos a uma taxa de 35 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o montante composto
450000 9 35 613304
MontanteFluxo de caixa saiacuteda do dinheiro para aplicaccedilatildeo
Exemplo 28 (exemplo 2 paacuteg 58 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital de R$ 1200000 foi aplicado a juros compostos durante 6 meses agrave taxa de 2 am Calcule os juros auferidos na aplicaccedilatildeo
Soluccedilatildeo use a sequecircncia a seguir para calcular os juros
1200000 6 2
1351395 151395
Montante Juros
Fluxo de caixa saiacuteda do dinheiro para aplicaccedilatildeo
Recupera um valor em um registrador
financeiro
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Exemplo 29 (exemplo 3 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital ldquoXrdquo eacute aplicado a juros compostos agrave taxa de 35 am gerando um montante de R$ 1950000 apoacutes 1 ano e 3 meses Determine o capital ldquoXrdquo
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar o capital
1950000 35 15 -1163937
Capital aplicado
Exemplo 210 (exemplo 4 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
A que taxa mensal de juros compostos um capital de R$ 1250000 pode transformar-se em R$ 1537342 no periacuteodo de 7 meses
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
1250000 1537342 7 300
Taxa de juros mensal
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Unidade 2
Exemplo 211 (exemplo 5 paacuteg 60 do livro Matemaacutetica Financeira)
Em que prazo um empreacutestimo de R$ 3500000 pode ser pago pela quantia de R$ 4790000 se a taxa de juros compostos cobrada for de 4 am
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
3500000 4790000 4 8
Periacuteodo em meses
Funccedilatildeo ldquoCrdquo na HP ndash 12C e as teclas ldquoSTOrdquo e ldquoEEXrdquo
Vocecirc pode calcular taxa de juros (i) Capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos Perioacutedicos (PMT) para transaccedilotildees financeiras com periacuteodos fracionaacuterios Ao digitar um periacuteodo fracionaacuterio por exemplo 23 meses a parte inteira do nuacutemero indica o nuacutemero de periacuteodos inteiro e a parte fracionaacuteria do nuacutemero o tamanho do periacuteodo fracionaacuterio como uma fraccedilatildeo do periacuteodo inteiro (no exemplo 2 meses e 03 meses)
De acordo com o criteacuterio do usuaacuterio os caacutelculos de taxa de juros ( i ) capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos perioacutedicos (PMT) podem ser executados com juros simples ou compostos acumulados durante o periacuteodo fracionaacuterio Para escolher uma das duas opccedilotildees faccedila
Aparece o indicador ldquoCldquo Portanto os juros compostos satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Natildeo aparece o indicador ldquoCrdquo Portanto os juros simples satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Figura 23 - Teclas utilizadas para caacutelculo de juros simples e compostos para periacuteodo fracionaacuterio Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
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Exemplo 212
Calcular o valor futuro de uma aplicaccedilatildeo de R$ 185030000 aplicado agrave taxa de 14 aa durante 45 anos usando juros compostos e simples para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Soluccedilatildeo as sequecircncias a seguir apresentam os resultados para o caacutelculo do valor futuro com juros simples para o periacuteodo fracionaacuterio e juros compostos para o periacuteodo fracionaacuterios respectivamente
185030000 14
45 334383879
Valor futuro calculado com juros simples para o periacuteodo
fracionaacuterio
185030000
14 45 333667556
Valor futuro calculado com juros compostos para o
periacuteodo fracionaacuterio
Exemplo 213 (exemplo 1 paacuteg 81 do livro Matemaacutetica Financeira)
Determine o valor do desconto composto racional e o valor do resgate de um tiacutetulo de R$ 1560000 descontado 5 meses antes do seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto composto racional eacute de 4 am
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Unidade 2
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor do desconto racional composto e o valor liacutequido a receber
1560000 1
1 004 5
277794 1560000 1282206
Valor do desconto Valor liacutequido
Exemplo 214 (exemplo 1 paacuteg 84 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um tiacutetulo de valor nominal de R$ 1500000 eacute descontado em um banco 3 meses antes de seu vencimento Se a taxa de desconto comercial usada pelo banco eacute de 8 am qual eacute o valor do desconto
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor liacutequido e o valor do desconto bancaacuterio ou comercial
1500000 3 8
-1168032 331968
Valor liacutequido Valor do desconto
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Nesta unidade vocecirc usou a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros simples e compostos descontos simples e compostos valor presente taxa de juros periacuteodo e montante Na proacutexima unidade usaremos a ferramenta para auxiliar no caacutelculo de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir foram propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo em PDF estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as questotildees 1 3 5 e 6 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteginas 38 e 39 Confira os resultados na paacuteg 194
1) Qual o rendimento que obtemos ao aplicarmos um capital de R$ 1000000 a uma taxa de juros simples de 5 aa durante 3 anos
3) Em um regime de capitalizaccedilatildeo simples qual eacute o montante que se obteacutem quando aplicamos um capital de R$ 200000 a uma taxa 6 aa durante 24 meses
5) Uma quantia de R$ 6200000 foi aplicada em uma operaccedilatildeo financeira no dia 20 de setembro de 2003 e resgatada no dia 21 de dezembro de 2003 a uma taxa de 125 aa Quais os juros simples exatos e comerciais da operaccedilatildeo
6) Calcule os juros simples exatos e comerciais nas seguintes condiccedilotildees
bull R$ 600000 aplicados por 180 dias a 12 aa
bull R$ 520000 aplicados por 230 dias a 15 aa
45
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Unidade 2
2 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 2 e 4 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegs 52 e 53 Confira os resultados nas paacuteginas 194 e 195
1) Uma empresa desconta uma duplicata no valor nominal de R$ 5000000 no Banco ldquoXrdquo 4 meses antes do seu vencimento Sabendo que o banco ldquoXrdquo trabalha com uma taxa de desconto simples bancaacuterio de 45 am qual eacute o valor do desconto e o valor liacutequido recebido
2) Para pagar uma diacutevida hoje uma empresa descontou em uma carteira de creacutedito uma duplicata no valor de R$ 1650000 com vencimento daqui a 2 meses recebendo um valor nominal liacutequido de R$ 1500000 Determine a taxa mensal de desconto simples bancaacuterio utilizada
4) Uma letra de cacircmbio no valor nominal de R$ 500000 foi comercializada 4 meses antes do vencimento a uma taxa de desconto simples de 22 am Se o desconto simples fosse o racional qual seria o valor deste desconto
3 Elabore uma sequecircncia de passos para resolver as questotildees propostas 1 2 3 4 e 6 nas paacuteginas 65 66 e 67 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira e confira os resultados na paacuteg 195
1) Calcule o montante produzido por um capital de R$ 2600000 aplicado a uma taxa de juros compostos de 52 am por 6 meses
2) Calcule os juros compostos auferidos por um capital de R$ 420000 aplicado a uma taxa de 3 am durante 10 meses
3) Um empreacutestimo de R$ 600000 deve ser pago em 120 dias a juros compostos pelo valor de R$ 900000 Qual eacute a taxa mensal da operaccedilatildeo
4) Em que prazo uma aplicaccedilatildeo a juros compostos de R$ 2400000 produziraacute um montante de R$ 6151930 agrave taxa de 4 am
6) Quanto Paulo deve aplicar hoje a juros compostos em uma instituiccedilatildeo financeira que paga uma taxa de 12 am para pagar um compromisso de valor nominal igual a R$ 3800000 que vence daqui a 3 meses
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Universidade do Sul de Santa Catarina
4 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 e 8 das paacuteginas 88 e 90 respectivamente do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira Confira os resultados na paacuteg 196
1) Determine o valor do desconto composto racional de um tiacutetulo de valor nominal de R$ 830000 descontado 6 meses antes de seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto eacute de 42 am
8) Um tiacutetulo de R$ 3000000 foi descontado em uma instituiccedilatildeo financeira a uma taxa de desconto composto comercial de 64 am e o valor liacutequido recebido era de R$ 2017327 Quantos meses antes do vencimento foi descontado este tiacutetulo
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
3UNIDADE 3
Taxas de juros equivalentes e caacutelculo de pagamentos perioacutedicos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para calcular taxas equivalentes
Usar as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP ndash 12C para programar o algoritmo da taxa equivalente no regime de capitalizaccedilatildeo composto
Calcular pagamentos perioacutedicos de sequecircncias uniformes postecipadas e antecipadas
Calcular montante de uma sequecircncia uniforme
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Taxas equivalentes
Seccedilatildeo 2 Sequecircncia de capitais
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar taxas equivalentes no regime de capitalizaccedilatildeo composto Vocecirc usaraacute as funccedilotildees de programaccedilatildeo com o objetivo de elaborar um algoritmo para fazer a conversatildeo de taxas de um periacuteodo de capitalizaccedilatildeo (ex mensal) para outro periacuteodo (ex anual) usando o programa Vamos explorar as funccedilotildees ldquoPMTrdquo ldquoBEGrdquo e ldquoENDrdquo para realizar caacutelculo de pagamentos antecipados e postecipados em uma sequecircncia uniforme Destacamos que os exemplos que seratildeo apresentados estatildeo no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira
Seccedilatildeo 1 ndash Taxas equivalentes
Nesta unidade vocecirc usaraacute algumas funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos (postecipados e antecipados) de uma seacuterie uniforme Vocecirc usaraacute ainda as funccedilotildees de programaccedilatildeo para elaborar um programa para calcular taxas equivalentes A figura a seguir apresenta as funccedilotildees que vocecirc usaraacute nos exemplos apresentados posteriormente
Aciona o modo de programaccedilatildeo de HP ndash 12C
Aciona a funccedilatildeo Begin que calcula a parcela com pagamento antecipado
Aciona a funccedilatildeo End (natildeo aparece no visor da calculadora) que calcula parcela com pagamento postecipado
Figura 31 - Teclas utilizadas para acionar as funccedilotildees Beg e End e entrar no modo de programaccedilatildeo
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
49
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Unidade 3
Taxas equivalentes
No mercado financeiro e nas operaccedilotildees bancaacuterias e comerciais a palavra taxa eacute empregada de vaacuterias formas ou seja vaacuterios conceitos satildeo abordados em vaacuterias situaccedilotildees Esta seccedilatildeo tem como objetivo mostrar como as taxas de juros satildeo informadas no mercado financeiro e como adequaacute-las agraves condiccedilotildees padronizadas pela HP ndash 12C
Duas taxas satildeo consideradas equivalentes a juros compostos quando aplicadas a um mesmo capital por um periacuteodo de tempo equivalente e geram o mesmo rendimento
Exemplo 31(exemplo 1 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
No regime de juros compostos qual a taxa anual equivalente a 4 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente anual
Exemplo 32 (exemplo 2 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
Calcule a taxa quadrimestral equivalente agrave taxa de juros compostos de 8 aa
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente quadrimestral
1 004 12 1 1 10000 6010
Taxa anual
50
Universidade do Sul de Santa Catarina
1 008 1 3 1 10000 260
Taxa quadrimestral
Programa para caacutelculo da taxa equivalente pela hp ndash 12c
O professor Carlos Shinoda em seu livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48) apresenta um programa para calcular a taxa equivalente atraveacutes da calculadora HP ndash 12C
Siga os procedimentos abaixo para introduzir o programa na HP ndash 12C
Figura 32 - Algoritmo para a programaccedilatildeo de taxa equivalente
Fonte Livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48)
51
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Unidade 3
Agora que vocecirc programou a HP ndash 12C para o caacutelculo de taxas equivalentes resolva o exemplo a seguir usando o programa
Exemplo 33
Usando o programa anterior determine as taxas equivalentes propostas nos exemplos 31 e 32
Soluccedilatildeo
As sequecircncias abaixo calculam as taxas equivalentes
Executa oprograma
4 1 12 6010
Taxa anual
Executa oprograma
8 360 120 260
Taxa quadrimestral
52
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Seccedilatildeo 2 ndash Sequecircncia de capitais
Nesta seccedilatildeo vocecirc acompanharaacute as situaccedilotildees em que haacute mais de um pagamento ou seja vocecirc estudaraacute as operaccedilotildees envolvendo pagamentos ou recebimentos perioacutedicos e uniformes
As seacuteries uniformes de pagamentos satildeo aquelas em que os pagamentos ou recebimentos satildeo constantes e ocorrem em intervalos iguais
Seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas e antecipadas
As seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1 Este sistema eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada (0 + n)
Pagamentos ou recebimentos podem ser chamados de prestaccedilatildeo representada pela sigla PMT que vem do inglecircs Payment e significa pagamento ou recebimento
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentosPMT
++
0 1 2 3 4 5 6 n
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
++
0 1 2 3 4 5 6 n
PMT
53
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Unidade 3
As seacuteries uniformes de pagamentos antecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre na data focal 0 (zero) Este tipo de sistema de pagamento eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento com entrada (1+ n)
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
Exemplo 34 (exemplo 2 paacuteg 108 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um automoacutevel eacute vendido em uma loja por R$ 3200000 A loja propotildee as seguintes condiccedilotildees para financiamento
Proposta A 12 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta B 24 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta C 36 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
A taxa de juros usada eacute de 32 am Qual o valor de cada prestaccedilatildeo nas 3 modalidades de financiamento
Soluccedilatildeo
As sequecircncias a seguir calculam os valores das parcelas nas trecircs propostas
54
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3200000
32 12 -325329
parcela
3200000
32 24 -193046
parcela
3200000
32 36 -150979
parcela
Exemplo 35 (exemplo 2 paacuteg 111 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma casa cujo valor agrave vista eacute R$ 4924456 eacute vendida em prestaccedilotildees mensais e iguais de R$ 250000 sendo a primeira dada como entrada Se a taxa de financiamento eacute de 18 am determine o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas no financiamento
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o nuacutemero de parcelas
4924456 18
250000 24
nordm de parcelas
55
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Unidade 3
No exemplo acima o nuacutemero de pagamento deu um nuacutemero inteiro Mas podem acontecer situaccedilotildees em que ao se determinar o nuacutemero de parcelas o resultado natildeo seja um nuacutemero inteiro
Nessa situaccedilatildeo a HP ndash 12C arredonda a resposta para o proacuteximo inteiro para cima antes de armazenaacute-la e exibi-la
Exemplo 36
Vocecirc comprou um terreno por R$ 3500000 a juros de 105 aa Vocecirc pretende fazer pagamentos de R$ 32500 no fim de cada mecircs Quantos pagamentos seratildeo necessaacuterios para pagar o terreno e quanto tempo levaraacute
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o nuacutemero de pagamentos e o tempo necessaacuterio
3500000 105
32500 328 2733
nordm de parcelas Tempo (anos)
Como a calculadora arredonda o valor do tempo para o proacuteximo inteiro eacute provaacutevel que apesar de serem necessaacuterios 328 pagamentos somente 327 seratildeo inteiros de R$ 32500 com o pagamento final sendo menor do que R$ 32500 Para calcular o valor do pagamento de nuacutemero 328 vamos fazer o seguinte
A calculadora natildeo ajusta os valores nos outros registros financeiros automaticamente para refletir os n pagamentos iguais ao contraacuterio ela lhe permite escolher quais valores (se houver) que vocecirc deseja ajustar
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328 18189 - 32500 -14311
Valor da parcela 328
Nesta unidade vocecirc calculou taxas equivalentes usou as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP e fez caacutelculos de pagamentos perioacutedicos de uma seacuterie uniforme antecipado ou postecipado Na proacutexima unidade vamos realizar caacutelculos de valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades abaixo (Essa atividade corresponde agrave autoavaliaccedilatildeo 1 da unidade 5 do livro didaacutetico de Matemaacutetica Financeira) Em seguida use o programa elaborado para resolver a mesma questatildeo
Calcule a taxa anual das seguintes taxas
a) 26 am
b) 42 ab
c) 48 at
d) 12 as
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Unidade 3
2 Elabore um algoritmo para resolver as seguintes atividades (Estas questotildees equivalem agraves autoavaliaccedilotildees 1 2 3 4 e 5 da unidade 8 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 121 122 e 123)
a) Calcule o valor da prestaccedilatildeo mensal de um empreacutestimo de R$ 600000 que seraacute amortizado em 12 prestaccedilotildees mensais postecipadas sabendo que o banco cobra uma taxa de juros de 2 am
b) Uma loja vende um automoacutevel agrave vista por R$ 1650000 Se o comprador quiser fazer um financiamento em 36 parcelas mensais e iguais onde o 1ordm pagamento seraacute efetuado no 1ordm mecircs apoacutes a compra a uma taxa de juros de 21 am qual o valor da prestaccedilatildeo
c) Uma mercadoria custa R$ 9038071 agrave vista podendo ser vendida em prestaccedilotildees mensais de R$ 1050000 sendo a primeira prestaccedilatildeo dada como entrada Sabendo-se que a loja aplica uma taxa de 35 am qual o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas
d) Carlos depositou certa quantia durante 10 meses de forma antecipada a uma taxa de 25 am obtendo um montante de R$ 25000000 Quanto depositou mensalmente Carlos
e) Um produto eacute vendido agrave vista por R$ 200000 ou em 10 prestaccedilotildees mensais iguais sem entrada com uma carecircncia de 90 dias apoacutes a compra Qual o valor de cada prestaccedilatildeo sabendo que a taxa de juros eacute de 6 am
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
4UNIDADE 4
Valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa
Usar as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Valor presente liacutequido
Seccedilatildeo 2 Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs ndash SFA (Price)
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa usando as funccedilotildees CF0 CFj e NPV Vocecirc deveraacute ainda fazer uso da funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos usando o Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo ndash SFA ou tabela Price
Seccedilatildeo 1 ndash Valor presente liacutequido
A figura 41 a seguir apresenta as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C que vocecirc usaraacute nessa unidade para realizar caacutelculo de valor presente liacutequido e para a elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos ou financiamento
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor inicial do fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor do fluxo de caixa no periacuteodo j
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula o valor presente atual de um fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula a parte dos pagamentos usada para pagar juros
Figura 41 - Teclas para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
Valor presente liacutequido
Nessa seccedilatildeo vocecirc usaraacute as funccedilotildees da HP ndash 12C para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa Para entender como usar as funccedilotildees CF0 CFj e NPV considere o fluxo de caixa para um investimento que exige capital inicial (CF0) e que gera um fluxo de caixa (CFj ) no final de j periacuteodos
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Veja a seguir o fluxo de caixa
CF0CF1
CF2 CF5
CFn
CF3 CF4
O VPL = Valor Presente Liacutequido eacute calculado somando ao investimento inicial o valor presente dos fluxos de caixa futuros projetados Portanto
se o VPL for positivo o valor financeiro do ativo do investidor aumentaraacute ou seja o investimento financeiro seraacute atrativo em termos financeiros
se o VPL for zero o valor financeiro do ativo financeiro do investidor natildeo mudaraacute ou seja o investidor seraacute indiferente ao investimento
se o VPL for negativo o valor financeiro do ativo do investidor seraacute reduzido ou seja o investimento natildeo seraacute atrativo em termos financeiros
Exemplo 41
Um investidor compra uma casa por R$ 7000000 e gostaria de ter um retorno de pelo menos 15 Ele pretende manter a casa por 4 anos e depois vendecirc-la por R$ 11000000 Ele prevecirc os fluxos de caixa mostrados no diagrama abaixo
CF0CF1
CF1
CF3CF4
CF5
R$ 7000000
R$ 50000
R$ 450000R$ 450000
R$ 13000000R$ 550000
Sendo assim calcule o VPL para determinar se o investimento resultaria em um retorno ou perda
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o VPL
7000000 50000
450000 550000 450000
13000000 15 379007
VPL
Como o VPL eacute positivo o investimento aumentaria o valor financeiro do ativo do investidor
Exemplo 42 (exemplo 4 paacuteg 98 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um proprietaacuterio recebeu as seguintes propostas para a venda de uma casa
Proposta A entrada de R$ 10000000 + R$ 5000000 em 6 meses + R$ 6000000 em 1 ano
Proposta B entrada de R$ 8000000 + R$ 6000000 em 5 meses + R$ 7000000 em 10 meses
Sabendo-se que a taxa de juros de mercado eacute de 3 am qual a melhor proposta para o vendedor
Soluccedilatildeo
Essa questatildeo deve ser resolvida pelo meacutetodo do Valor Presente Liacutequido A alternativa que tiver o maior valor seraacute a melhor Entretanto para facilitar a elaboraccedilatildeo do algoritmo de resoluccedilatildeo na HP ndash 12C elabore o fluxo de caixa para cada situaccedilatildeo
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
1 Proposta A Fluxo de caixa
10000000 5000000 6000000
1 2 3 4 5 7 8 9 10 110 6 12
Calculando o VPL
10000000 000 5
5000000 000
5
6000000
3
18395701
VPL
Armazena o zero 5 vezes
2 Proposta B Fluxo de caixa
8000000 70000006000000
1 2 3 4 6 7 8 90 5 10
Calculando o VPL
8000000 000 4
6000000 000
4
7000000
3
18384310
VPL
Armazena o zero 4 vezes
Resposta a melhor proposta eacute a A
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 43
Dois equipamentos satildeo examinados Considerando ser a taxa miacutenima de atratividade de 20aa qual o equipamento que deve ser adquirido
Dados
41 - Tabela de DadosEquipamento K Equipamento L
Custo R$ 5000000 R$ 8000000Custo anual de manutenccedilatildeo R$ 2000000 R$ 1500000Valor residual para venda R$ 400000 R$ 800000Duraccedilatildeo em anos 10 10
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
A seguir veja o diagrama de fluxo de caixa
Os caacutelculos do Valor Presente Liacutequido para as duas situaccedilotildees satildeo
Equipamento K
5000000
Equipamento K
2000000
400000
0 1 2 10
8000000
Equipamento L
1500000
800000
0 1 2 10
50000 20000
9 4000 20000 1
20 -13320342
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Equipamento L
80000 15000
9 8000 15000 1
20 -14159504
Importante Veja que a alternativa K equivale a um equipamento em que se investe R$ 13320342 enquanto que o equipamento L equivale a um investimento de R$ 14159504 Portanto eacute preferiacutevel o equipamento K pois o investimento eacute menor
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Seccedilatildeo 2 ndash Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs - SFA
Este sistema consiste no pagamento de empreacutestimos ou financiamentos com prestaccedilotildees iguais e com periodicidade constante Eacute considerado o sistema de amortizaccedilatildeo mais utilizado pelas instituiccedilotildees financeiras e pelo comeacutercio em geral
O Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo eacute assim chamado por ter sido inventado na Franccedila por volta do seacuteculo XVIII pelo matemaacutetico inglecircs Richard Price daiacute portanto a origem da denominaccedilatildeo Sistema Price tambeacutem comumente chamado de Tabela Price
Na verdade a Tabela Price eacute um caso particular derivado do Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo Neste sistema o financiamento (PV) eacute pago em parcelas (PMT) iguais constituiacutedas da amortizaccedilatildeo do principal da diacutevida + juros compensatoacuterios (J) que variam inversamente ao longo do tempo Ou seja agrave medida que aumenta o valor da parcela de amortizaccedilatildeo haveraacute uma queda dos juros compensatoacuterios em funccedilatildeo da reduccedilatildeo do saldo devedor
Principais Caracteriacutesticas
As principais caracteriacutesticas do SFA satildeo
a prestaccedilatildeo eacute constante durante todo o periacuteodo do financiamento
a parcela de amortizaccedilatildeo aumenta a cada periacuteodo (n)
os juros compensatoacuterios diminuem a cada periacuteodo (n)
Exemplo 44 (exemplo 1 paacuteg 148 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma instituiccedilatildeo financeira libera um empreacutestimo para uma induacutestria no valor de R$ 60000000 para ser pago pelo sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs em 120 meses a uma taxa de 15 am Faccedila a planilha ateacute o 4ordm mecircs e calcule o saldo devedor no 100ordm mecircs
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Soluccedilatildeo
A sequecircncia abaixo calcula o valor da prestaccedilatildeo os juros a amortizaccedilatildeo o saldo devedor e valor do saldo devedor no 100ordm mecircs Acompanhe
Zera os registradores
60000000 Armazena o valor presente
120 Armazena o periacuteodo
15 Armazena a taxa
- R$ 1081111 Valor da prestaccedilatildeo
1 - R$ 900000 Valor dos juros da 1ordf parcela
R$ 181111Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 1ordf parcela
R$ 58918889 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 897283 Valor dos juros da 2ordf parcela
- R$ 183828Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 2ordf parcela
R$ 59635061 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 894526 Valor dos juros da 3ordf parcela
- R$ 186585Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 3ordf parcela
R$ 59448476 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 891727 Valor dos juros da 4ordf parcela
- R$ 189384Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 4ordf parcela
R$ 59259092 Recupera o saldo devedor
A tabela a seguir apresenta um resumo das operaccedilotildees realizadas
68
Universidade do Sul de Santa Catarina
Tabela 42 ndash Planilha de amortizaccedilatildeoPeriacuteodo (n) Amortizaccedilatildeo (A) Juros (J) Prestaccedilotildees (R) Saldo Devedor (S)
0 - - - R$ 600000001 R$ 181111 R$ 900000 R$ 1081111 R$ 598188892 R$ 183828 R$ 897283 R$ 1081111 R$ 596350613 R$ 186585 R$ 894526 R$ 1081111 R$ 594484764 R$ 189384 R$ 891727 R$ 1081111 R$ 59259092
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Para determinar o saldo devedor no 100ordm mecircs faccedila como indicado a seguir
60000000 120 150
-1081111 18561247
Prestaccedilatildeo Saldo devedor no 100ordm mecircs
Nesta unidade vocecirc usou as funccedilotildees de fluxo de caixa para calcular o valor presente liacutequido e a funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
69Unidade 4
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades a seguir (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 4 e 5 da unidade 7 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegina 102) Em seguida use o programa elaborado para resolver as mesmas questotildees
a) Qual das alternativas de pagamento eacute a melhor para uma taxa de juros compostos de 75 am
Alternativa A Pagamento de R$ 15000000 agrave vista
Alternativa B Entrada de R$ 5000000 + R$ 8000000 em 90 dias + R$ 6000000 em 150 dias
b) Uma pessoa deve a um banco dois tiacutetulos com valores de R$ 300000 e R$ 600000 venciacuteveis respectivamente em 4 meses e 8 meses Se a pessoa deseja antecipar para hoje a liquidaccedilatildeo dos tiacutetulos qual o valor a pagar considerando que o banco opera com uma taxa de juros compostos de 23 am
2 Elabore um algoritmo para resolver as atividades abaixo (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 1 e 4 da unidade 10 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 151 e 153)
a) Um cliente solicita a um banco um empreacutestimo de R$ 4000000 pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs em 60 prestaccedilotildees mensais Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de juros de 28 am obtenha o valor da prestaccedilatildeo e o saldo devedor depois de pagar a 20ordf prestaccedilatildeo
b) Um empreacutestimo de R$ 30000000 seraacute saldado em 50 prestaccedilotildees mensais a uma taxa de 15 am Determine a parcela de juros relativa agrave 15ordf prestaccedilatildeo pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs (price)
70
Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
Manual da calculadora HP ndash 12C
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico ndash 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7ed Satildeo Paulo Atlas 2000
Para concluir o estudo
Com o teacutermino desse curso de extensatildeo acreditamos que proporcionamos momentos de aprendizagem por meio da interaccedilatildeo da calculadora financeira e que vocecirc estaacute habilitado(a) a fazer uso dessa ferramenta com qualidade no mercado de trabalho relacionado a essa aacuterea tatildeo importante no nosso dia-a-dia
Referecircncias
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7 ed Satildeo Paulo Atlas 2000
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003 Disponiacutevel em lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt Acesso em 05 jun 2008
Sobre o professor conteudista
Joseacute Humberto Dias de Toledo - eacute Mestre em Educaccedilatildeo pela Universidade do Sul de Santa Catarina Graduado em Licenciatura em Matemaacutetica e em Engenharia Civil Professor das disciplinas Meacutetodos Numeacutericos Informaacutetica Aplicada agrave Matemaacutetica Financeira Caacutelculo I e Matemaacutetica Financeira no Curso de Matemaacutetica ndash Licenciatura nesta mesma instituiccedilatildeo Atualmente ministra a disciplina Representaccedilotildees Graacuteficas na Poacutes-graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo Matemaacutetica da UNISUL
Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo
Unidade 1
1 a) 5
b) -2359
c) 3311
d) 077
e) 081
Respostas modo RPN
a)
b)
c)
d)
e)
Respostas modo ALG
a
b
c
d
e
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Universidade do Sul de Santa Catarina
2 R$ 167757
Modo RPN
Modo ALG
3 -242
4 Data 13082008 3 (quarta-feira)
5 Florianoacutepolis = 3303 Curitiba = 5018 Porto Alegre = 1680
Unidade 2
1 1) 150000
Dados
C = R$ 1000000
i = 5 aa
n = 3 anos = 1080 dias
J =
3) 24 meses = 2 anos
Dados
C = R$ 200000
i = 6 aa
n = 24 meses = 720 dias
M =
79
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
86
Universidade do Sul de Santa Catarina
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
87
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
88
Universidade do Sul de Santa Catarina
51393T58 Toledo Joseacute Humberto Dias de
Curso de extensatildeo usando calculadora financeira na Internet livro didaacutetico Joseacute Humberto Dias de Toledo design instrucional Ana Claacuteudia Tauacute Luceacutesia Pereira [assistente acadecircmico Emiacutelia Juliana Ferreira] ndash 2 ed rev e atual ndash Palhoccedila UnisulVirtual 2009
78 p il 28 cm
Inclui bibliografia
1 Calculadora HP-12C 2 Matemaacutetica financiera I Tauacute Ana Claacuteudia II Pereira Luceacutesia III Ferreira Emiacutelia Juliana IV Tiacutetulo
Ediccedilatildeo ndash Versatildeo on line
Professor Conteudista Joseacute Humberto Dias de Toledo
Design InstrucionalAna Claacuteudia TauLuceacutesia Pereira
Assistente AcadecircmicoEmilia Juliana Ferreira (2ordf ed rev e atual)
Projeto Graacutefico e CapaEquipe UnisulVirtual
DiagramaccedilatildeoAlice Demaria Silva
Edison Rodrigo ValimPedro Paulo Alves Teixeira
Revisatildeo OrtograacuteficaAmaline Boulus Issa Mussi
Ficha catalograacutefica elaborada pela Biblioteca Universitaacuteria da Unisul
Copyright copy UnisulVirtual 2009
Nenhuma parte desta publicaccedilatildeo pode ser reproduzida por qualquer meio sem a preacutevia autorizaccedilatildeo desta instituiccedilatildeo
Apresentaccedilatildeo 7Palavras do professor conteudista 9Plano de estudo 11
UNIDADE 1 ndash Apresentando a calculadora HP ndash 12C 15UNIDADE 2 ndash Regimes de capitalizaccedilatildeo simples e composto 31UNIDADE 3 ndash Taxa de juros equivalentes e caacutelculo de pagamentos
perioacutedicos 47UNIDADE 4 ndash Valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e
amortizaccedilatildeo de empreacutestimos 59
Para concluir o estudo 71 Referecircncias 73Sobre o professor conteudista 75Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo 77
Sumaacuterio
Apresentaccedilatildeo
Este livro didaacutetico corresponde ao Curso de Extensatildeo Usando calculadora financeira na Internet
O material foi elaborado visando a uma aprendizagem autocircnoma Neste sentido aborda conteuacutedos especialmente selecionados e relacionados agrave sua aacuterea de formaccedilatildeo Ao adotar uma linguagem didaacutetica e dialoacutegica objetivamos facilitar seu estudo a distacircncia proporcionando condiccedilotildees favoraacuteveis agraves muacuteltiplas interaccedilotildees e a um aprendizado contextualizado e eficaz
Lembre que sua caminhada neste curso seraacute acompanhada e monitorada constantemente pelo Sistema Tutorial da UnisulVirtual Assim a designaccedilatildeo a distacircncia caracteriza tatildeo-somente a modalidade de ensino por que vocecirc optou para a sua formaccedilatildeo pois na relaccedilatildeo de aprendizagem professores e instituiccedilatildeo vatildeo estar em conexatildeo com vocecirc continuamente
Entatildeo sempre que sentir necessidade entre em contato Vocecirc tem agrave disposiccedilatildeo diversas ferramentas e canais de acesso tais como telefone e-mail e o Espaccedilo UnisulVirtual de Aprendizagem que eacute o canal mais recomendado pois tudo o que for enviado e recebido fica registrado para seu maior controle e comodidade Nossa equipe teacutecnica e pedagoacutegica teraacute o maior prazer em lhe atender pois sua aprendizagem eacute o nosso principal objetivo
Bom estudo e sucesso
Equipe UnisulVirtual
Palavras do professor
Caro(a) Aluno(a)
A matemaacutetica financeira estaacute presente no nosso cotidiano desde eacutepocas antigas tornando-se na atualidade alvo das maiores preocupaccedilotildees humanas
Eacute de grande importacircncia adquirir os conhecimentos sobre esse tema pois eles vatildeo certamente contribuir para que vocecirc estabeleccedila uma visatildeo criacutetica teoacuterica reflexiva investigativa e praacutetica de temas que satildeo tatildeo comuns no seu cotidiano e ainda gerar conhecimentos que ajudem a organizar a sua vida financeira
Procurando promover a resoluccedilatildeo de problemas relacionados agrave aacuterea financeira com mais agilidade e consequentemente liberando o seu tempo para tomada de decisotildees elaboramos este curso de extensatildeo sobre o uso de uma ferramenta muito utilizada no meio acadecircmico nas aacutereas de Administraccedilatildeo Contaacutebeis Tecnoacutelogos em Gestatildeo Matemaacutetica ndash Licenciatura etc Trata-se da calculadora financeira HP ndash 12C
A calculadora permite que vocecirc realize caacutelculos de montantes taxas prazos pagamentos perioacutedicos e que elabore tabelas de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos que podem proporcionar-lhe conhecimentos uacuteteis e aplicaacuteveis no seu dia-a-dia
Caro aluno(a) neste curso estaremos constantemente fazendo links com os conteuacutedos abordados na disciplina Matemaacutetica Financeira Para facilitar seu estudo este material didaacutetico se encontra disponiacutevel na MIDIATECA
Por fim se vocecirc natildeo possui a calculadora poderaacute instalar o emulador da mesma em seu computador e realizar todos os caacutelculos necessaacuterios Para baixar o arquivo acesse diretamente o site lthttpwwwbaixenamolezacoms=emulador+HP+12Cgt
Bom estudo
Professor Joseacute Humberto Dias de Toledo
Plano de estudo
O plano de estudos visa a orientaacute-lo(a) no desenvolvimento da Disciplina Nele vocecirc encontraraacute elementos que esclareceratildeo o contexto da Disciplina e sugeriratildeo formas de organizar o seu tempo de estudos
O processo de ensino e aprendizagem na UnisulVirtual leva em conta instrumentos que se articulam e se complementam Assim a construccedilatildeo de competecircncias se daacute sobre a articulaccedilatildeo de metodologias e por meio das diversas formas de accedilatildeomediaccedilatildeo
Satildeo elementos desse processo
o Espaccedilo UnisulVirtual de Aprendizagem - EVA
as atividades de avaliaccedilatildeo (complementares a distacircncia e presenciais)
Ementa
Introduccedilatildeo algumas funccedilotildees baacutesicas da HP - 12C Caacutelculo de juros simples e composto Usando as funccedilotildees financeiras para caacutelculo de montante valor presente periacuteodo Usando as funccedilotildees financeiras para caacutelculo de taxas de juros seacuterie de pagamentos ou anuidades Usando as funccedilotildees data e hora para caacutelculo de nuacutemero de dias entre datas data futura data passada verificar o dia da semana para vencimentos futuros Elaboraccedilatildeo de planilhas de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos e financiamentos
12
Universidade do Sul de Santa Catarina
Carga Horaacuteria
15 horas-aula
Objetivos
Geral
Capacitar os participantes para a utilizaccedilatildeo da calculadora HP - 12C na resoluccedilatildeo de problemas praacuteticos promovendo a integraccedilatildeo entre teoria e praacutetica na aacuterea financeira
Especiacuteficos
Usar a Hp -12C para o caacutelculo de juros simples composto montante periacuteodo valor presente e pagamentos perioacutedicos
Fazer uso da HP - 12C para elaboraccedilatildeo de planilhas de amortizaccedilatildeo
Explorar as funccedilotildees data e hora da HP -12C
Usar a ferramenta para auxiliar na resoluccedilatildeo de problemas do cotidiano na aacuterea financeira
Conteuacutedo programaacuteticoobjetivos
Os objetivos de cada unidade definem o conjunto de conhecimentos que vocecirc deveraacute deter para o desenvolvimento de habilidades e competecircncias necessaacuterias agrave sua formaccedilatildeo Neste sentido veja a seguir as unidades que compotildeem o Livro Didaacutetico deste curso bem como os seus respectivos objetivos
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Unidades de estudo 4
Unidade 1 - Apresentando a calculadora HP ndash 12C
Unidade 2 - Regimes de capitalizaccedilatildeo simples e composto
Unidade 3 - Taxas de juros equivalentes e caacutelculo de pagamentos perioacutedicos
Unidade 4 - Valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Agenda de atividades Cronograma
Verifique com atenccedilatildeo o EVA e organize-se para acessar periodicamente o espaccedilo da Disciplina O sucesso nos seus estudos depende da priorizaccedilatildeo do tempo para a leitura da realizaccedilatildeo de anaacutelises e siacutenteses do conteuacutedo e da interaccedilatildeo com os seus colegas e professor virtual
Natildeo perca os prazos das atividades Registre as datas no espaccedilo a seguir com base no cronograma da disciplina disponibilizado no EVA
Use o quadro para agendar e programar as atividades relativas ao desenvolvimento da Disciplina
1UNIDADE 1
Apresentando a calculadora HP ndash 12C
Objetivos de aprendizagem
Apresentar as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C
Realizar caacutelculos elementares com a ferramenta
Conhecer os modos ldquoRPNrdquo e ldquoALGrdquo da HP
Utilizar as memoacuterias da calculadora para realizar caacutelculos
Usar as funccedilotildees de percentagem
Determinar datas futuras passadas e nuacutemero de dias entre datas
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 A calculadora HP ndash 12C
Seccedilatildeo 2 Caacutelculos aritmeacuteticos no modo ldquoRPNrdquo e no modo ldquoALGrdquo
Seccedilatildeo 3 Funccedilotildees de percentagem e calendaacuterio
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vamos lhe apresentar a calculadora HP ndash 12C com o objetivo de realizar caacutelculos aritmeacuteticos no modo ldquoRPNrdquo ndash Notaccedilatildeo Polonesa Reversa e no modo ldquoALGrdquo ndash Algeacutebrico Aleacutem disso vocecirc aprenderaacute a fazer uso das funccedilotildees de percentagem e calendaacuterio e em desdobramento aprenderaacute a determinar percentagens de um nuacutemero percentagem de um total e diferenccedila percentual caacutelculo de datas futuras e passadas e o nuacutemero de dias entre datas Vocecirc usaraacute as memoacuterias da calculadora para auxiliar nos caacutelculos eou armazenar dados que possam ser usados posteriormente
Seccedilatildeo 1 ndash A calculadora HP ndash 12C
Na presente etapa seratildeo apresentadas algumas funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para utilizaccedilatildeo neste curso Observe na figura 11 a imagem da calculadora
Figura 11- Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Arquivo do autor
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Unidade 1
Fique atento(a) ao fato de que muitas teclas da HP ndash 12C executam duas ou ateacute trecircs funccedilotildees A funccedilatildeo primaacuteria eacute indicada pelos caracteres impressos em branco na face superior As funccedilotildees secundaacuterias da calculadora satildeo impressas nas cores dourado e azul apresentadas respectivamente acima da tecla e na sua face inferior
Para acionar essas funccedilotildees acione a tecla de prefixo que eacute apropriada antes da tecla da funccedilatildeo ou seja e Veja na figura 12
Para selecionar a funccedilatildeo secundaacuteria impressa em dourado aperte a tecla de prefixo f e em seguida a tecla da funccedilatildeo
Para selecionar a funccedilatildeo primaacuteria impressa na face superior de uma tecla aperte somente a tecla
Para selecionar a funccedilatildeo secundaacuteria impressa em azul aperte a tecla de prefixo azul g e em seguida a tecla da funccedilatildeo
Figura 12 - Modo de acesso agraves funccedilotildees primaacuterias e secundaacuterias da Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Disponiacutevel em lthttphpcomlatambrprodutoscalculadorasgrandeprofessores12phtmlgt Acesso em 29 mai 2008
Entrando com nuacutemeros e separadores de diacutegitos
Para que vocecirc possa entrar com um nuacutemero na HP aperte as teclas correspondentes ao nuacutemero em sequecircncia O ponto decimal deve ser usado para separar a parte inteira da parte fracionaacuteria do nuacutemero Se vocecirc quiser pode configurar a calculadora para exibir a viacutergula como separador Para tanto desligue a calculadora e depois aperte simultaneamente as teclas
e
Para voltar
agrave configuraccedilatildeo anterior repita a operaccedilatildeo
Nuacutemeros negativos
A tecla troca o sinal de um nuacutemero no mostrador Portanto se vocecirc quiser trocar o sinal de um nuacutemero positivo que estaacute no visor aperte a tecla ele ficaraacute negativo E vice-versa
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As teclas ldquoCLEARrdquo (apagar)
A ilustraccedilatildeo a seguir apresenta as teclas ldquoClearrdquo que apagam ou zeram o mostrador as memoacuterias a memoacuteria de programaccedilatildeo os registradores financeiros os registros de pilha e registros estatiacutesticos Confira na figura 13
Apaga o mostrador
Apaga os registros estatiacutesticos registros da pilha e mostrador
Apaga a memoacuteria de programaccedilatildeo
Apaga os registros financeiros
Apaga os registros de armazenamento de dados registros financeiros registros de pilha LAST X e mostrador
Figura 13 - As teclas CLEAR da Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Registros de armazenamento
Os dados de entrada na HP ndash 12C podem ser armazenados em memoacuterias chamadas ldquoregistros de armazenamentordquo Quatro registros satildeo usados para o armazenamento de nuacutemeros durante os caacutelculos e mais um que eacute usado para armazenar o uacuteltimo nuacutemero chamado ldquoLAST Xrdquo
Aleacutem dos registros citados nos quais os nuacutemeros satildeo armazenados automaticamente existem outros 20 registros para o armazenamento manual de nuacutemeros Eles satildeo designados por R R R R a e a Outros registros de armazenamento designados como registros financeiros satildeo reservados para os nuacutemeros que seratildeo usados em caacutelculos financeiros
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Unidade 1
Armazenando recuperando nuacutemeros e zerando registros
Para armazenar um nuacutemero em um registro de armazenamento de dados aperte a tecla (armazenar) e em seguida um dos nuacutemeros de 0 a 9 para os registros R R
0 9 a e 0 a 9 para os
registros R R 0 9
a
Para recuperar um nuacutemero de um registro de armazenamento de dados aperte a tecla (recuperar) e em seguida um dos nuacutemeros de 0 a 9 para os registros R R
0 9 a e 0 a 9 para os
registros R R 0 9
a
Jaacute para zerar um uacutenico registro de armazenamento vocecirc pode armazenar o valor zero no registro Agora para zerar todos os registros de armazenamento de uma soacute vez ndash incluindo os registros financeiros os registros da pilha e o registro LAST X ndash aperte
E entatildeo estaacute motivado(a) para continuar Na proacutexima seccedilatildeo apresentaremos as teclas ldquoRPNrdquo e ldquoALGrdquo e faremos caacutelculos aritmeacuteticos usando esses modos
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Seccedilatildeo 2 ndash Caacutelculos aritmeacuteticos no modo ldquoRPNrdquo e no modo ldquoALGrdquo
A calculadora HP ndash 12C pode ser configurada para executar operaccedilotildees aritmeacuteticas nos modos RPN ndash Notaccedilatildeo Polonesa Reversa e ALG ndash Algeacutebrico No modo RPN os resultados intermediaacuterios nas operaccedilotildees aritmeacuteticas satildeo armazenados automaticamente portanto natildeo eacute necessaacuterio o uso dos parecircnteses Jaacute no modo ALG as operaccedilotildees elementares satildeo executadas de maneira convencional
Conheccedila alguns exemplos na sequecircncia do texto
Exemplo 11
Calcular 3 x 2 + 5 usando os modos RPN e ALG na HP ndash 12C
Resolvendo no modo RPN
Para configurar a calculadora no modo RPN aperte a tecla e em seguida Observe que vai aparecer o indicador RPN no visor da maacutequina
Agora que a calculadora estaacute no modo RPN vamos ao caacutelculo
3 2 5 11
Resultado
Resolvendo no modo ALG
Para configurar a calculadora no modo ALG aperte a tecla e em seguida Observe que vai aparecer o indicador ALG no visor da maacutequina
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Unidade 1
Calculando no modo algeacutebrico
3 2 5 11
Resultado
Os modelos mais antigos de calculadoras HP ndash 12C natildeo disponibilizam o modo algeacutebrico Portanto se vocecirc eacute usuaacuterio desse tipo de calculadora todos os caacutelculos devem ser efetuados no modo RPN
Exemplo 12
Resolver os caacutelculos solicitados a seguir usando os modos RPN e ALG
a) 3 2 5 33+ minus x
b) ( )minus + minus2 3 4 43 x
c) 2 9 3 52minus + + minus
d) 2 35
2+ minusln
e) 3 4 62+ minuse
Resolvendo no modo RPN
a)
3 2 3 5 3 - 4
Resultado
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b)
c)
d)
Obs para alterar a quantidade de casas decimais no visor da calculadora aperte e em seguida um nuacutemero de 1 a 9 que corresponde agrave quantidade de casas decimais No exemplo acima usamos
e)
2
3 3
4
4
0
Resultado
2
2
9 3 5 125
Resultado
2
3
5 2 0599
Resultado
3
2
46 5789
Resultado
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Unidade 1
Resolvendo no modo ALG com o auxiacutelio dos registros R R
0 9 a
a)
2
3
5 3 3
4
Resultado
Armazena o resultado do visor na memoacuteria 0
Recupera o registro da memoacuteria 0
b)
2
3
3 4
4 0
Resultado
c)
2 2
9
3 5 125
Resultado
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d)
e)
Exemplo 13
Usando a calculadora HP ndash 12C no modo RPN as seguintes operaccedilotildees bancaacuterias foram realizadas a conta tinha um saldo de R$ 12300 e foi feito um depoacutesito referente ao salaacuterio de R$ 189035 Em seguida foram emitidos e compensados cheques nos valores de R$ 38590 R$ 23478 e R$ 62389 Qual eacute o novo saldo da conta
Soluccedilatildeo use
para apresentar os caacutelculos com duas casas decimais
12300 189035 38590
23478 62389 76920
Saldo
2 3 5 2 0 0599
Resultado
3 2 46 5789
Resultado
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Unidade 1
Seccedilatildeo 3 ndash Funccedilotildees de percentagem e calendaacuterio
A calculadora HP ndash 12C apresenta funccedilotildees que permitem o caacutelculo de percentagens e de calendaacuterio Para caacutelculo com percentagens natildeo eacute necessaacuterio converter o nuacutemero na notaccedilatildeo percentual para a notaccedilatildeo decimal Jaacute as funccedilotildees calendaacuterio fornecidas pela HP trabalham com datas entre 15 de outubro de 1582 e 25 de novembro de 4046 A seguir vocecirc conheceraacute detalhadamente essas funccedilotildees
Funccedilotildees de percentagem
Calcula a Percentagem de um nuacutemero ou valor
Calcula a diferenccedila percentual entre dois nuacutemeros
Calcula qual percentual um nuacutemero eacute de outro
Figura 14 - Ilustraccedilatildeo das funccedilotildees de percentagem da Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Funccedilotildees de calendaacuterio
Configura o formato de uma data para dia-mecircs-ano
Configura o formato de uma data para mecircs-dia-ano
Calcula o nuacutemero de dias entre datas
Calcula datas futuras ou passadas
Figura 15 - Ilustraccedilatildeo das funccedilotildees de calendaacuterio da Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Nos exemplos a seguir estaacute demonstrado o uso de todas as funccedilotildees apresentadas Obs os caacutelculos vatildeo ser realizados no modo RPN
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Exemplo 14
Calcular 16 de R$ 198000
Soluccedilatildeo
198000 1600 31680
Resultado
Exemplo 15
Determinada empresa com accedilotildees na bolsa de valores verificou as seguintes variaccedilotildees nos valores das suas accedilotildees no dia 150508 o valor da accedilatildeo passou de R$ 5025 para R$ 5498 jaacute no dia 210508 o valor da accedilatildeo caiu de R$ 5498 para R$ 5208 Qual a diferenccedila percentual nas duas situaccedilotildees
Soluccedilatildeo a sequecircncia a seguir apresenta a variaccedilatildeo percentual
Caacutelculo da variaccedilatildeo percentual de R$ 5025 para R$ 5498 usando a HP ndash 12C
5025 5498 941
Resultado
Observe que o resultado apresentado eacute positivo portanto representa aumento
Caacutelculo da variaccedilatildeo percentual de R$ 5498 para R$ 5208 usando a HP ndash 12C
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Unidade 1
5498 5208 -527
Resultado
Observe que o resultado apresentado eacute negativo portanto representa queda
Exemplo 16
A empresa do exemplo anterior atua na regiatildeo sul do Brasil com vendas totais realizadas no mecircs de abril de 2008 de R$ 589636996 distribuiacutedas da seguinte forma R$ 123656939 no Paranaacute R$ 356963920 em Santa Catarina e R$ 109016137 no Rio Grande do Sul Qual a percentagem das vendas totais em cada um dos trecircs Estados
Soluccedilatildeo
A sequecircncia apresenta os percentuais nos estados do Paranaacute Santa Catarina e Rio Grande do Sul
Soluccedilatildeo
589636996 123656939 2097
356963920 6054 109016137 1849
Resultado SC Resultado RS
Resultado PR
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Exemplo 17
Comprei uma TV LCD em 17052008 com vencimento para 120 dias Determine a data do vencimento usando a calculadora HP ndash 12C
Soluccedilatildeo
17052008 120 14092008 7
A data do vencimento eacute 14 de setembro de
2008 domingo
Exemplo 18
Fiz uma compra no dia 12052008 com vencimento para o dia 26082008 Use a calculadora HP ndash 12C para determinar o nuacutemero de dias entre a data da compra e do vencimento
Soluccedilatildeo
12052008 20082008 100
Nuacutemero de dias entre as datas
Nesta unidade vocecirc conheceu algumas funccedilotildees elementares da calculadora as quais seratildeo utilizadas nas demais unidades e satildeo muito importantes para realizar caacutelculos que envolvem questotildees do nosso cotidiano Na proacutexima unidade vocecirc vai usar as funccedilotildees financeiras da calculadora para calcular juros simples e compostos descontos simples e compostos
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Unidade 1
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
Efetue as atividades de autoavaliaccedilatildeo e acompanhe as respostas e comentaacuterios a respeito nas paacuteginas finais deste material Para melhor aproveitamento do seu estudo realize a conferecircncia de suas respostas somente depois de fazer as atividades propostas Desse modo o momento da conferecircncia lhe proporcionaraacute novas oportunidades de aprendizagem
1 Calcule o valor das expressotildees numeacutericas a seguir usando a HP ndash 12C nos modos RPN e ALG
a) 2 5 3 8 24 minus + divide =x
b) minus + minus =3 5 32 3x eln
c) 16 25 3 45 89+ minus =x
d) 2
35 5
3+ minus =ln
e) 0 253
55
2 + minus =minus
2 Use a HP ndash 12C para realizar os caacutelculos e informar o saldo final da seguinte movimentaccedilatildeo financeira Saldo inicial na conta R$ 167890 depoacutesito de R$ 143587 cheques compensados nos valores de R$ 34598 R$ 12345 R$ 65790 e R$ 30987
3 No dia 130508 o doacutelar americano estava cotado em R$ 165 no dia 190508 a cotaccedilatildeo foi de R$ 161 Com base nestes dados indique qual foi a variaccedilatildeo percentual do doacutelar
4 Foi realizada uma compra em um supermercado no valor de R$ 67890 em 150508 Sabendo que esse estabelecimento trabalha com prazo de 90 dias use as funccedilotildees calendaacuterio da HP ndash 12C e determine a data e o dia da semana do vencimento
5 Uma empresa tem vendas mensais para o mecircs de maio de 2008 estimadas em R$ 178909000 Sabendo que o valor total das vendas estaacute distribuiacutedo nas cidades de Florianoacutepolis Curitiba e Porto Alegre com valores correspondentes a R$ 59089000 R$ 89767898 e R$ 30052102 respectivamente determine qual percentagem das vendas totais ocorre em cada uma das cidades
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Saiba mais
HPndash12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
No link abaixo vocecirc tem disponiacutevel o manual da calculadora HP ndash 12C na versatildeo online lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt
2UNIDADE 2
Regimes de capitalizaccedilatildeo simples e composto
Objetivos de aprendizagem
Fazer uso das funccedilotildees financeiras da calculadora HP ndash 12C para calcular juros simples e composto
Dominar o caacutelculo do montante simples e composto
Aprender o caacutelculo de desconto simples e composto
Calcular capital taxa e prazo no regime de capitalizaccedilatildeo composto usando a HP ndash 12C
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Regime de capitalizaccedilatildeo simples
Seccedilatildeo 2 Regime de capitalizaccedilatildeo composto
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc vai fazer uso das funccedilotildees financeiras da HP ndash 12C com o objetivo de realizar caacutelculos de juros simples e composto montantes simples e composto descontos simples e composto caacutelculo de taxas e prazos
Nesta etapa de estudos seratildeo utilizados exemplos do material didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira que estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do Espaccedilo Virtual de Aprendizagem ndash EVA Eacute importante lembrar natildeo ser objetivo deste curso discutir os conceitos da Matemaacutetica Financeira mas apenas utilizar as funccedilotildees disponibilizadas na calculadora para resolver problemas relacionados a essa aacuterea Entretanto caso vocecirc julgue importante os conceitos podem ser relembrados ou vistos no material didaacutetico da disciplina
Seccedilatildeo 1 ndash Regime de capitalizaccedilatildeo simples
Na unidade 1 vocecirc foi apresentado(a) agrave calculadora HP ndash 12C e a algumas das suas funccedilotildees com o objetivo de capacitaacute-lo(a) para o uso adequado dessa ferramenta Esta unidade inicia com uma abordagem sobre os registradores financeiros os quais seratildeo utilizados na maioria dos exemplos que deveratildeo ser resolvidos ao longo das proacuteximas seccedilotildees desta unidade e nas demais unidades deste curso Veja na ilustraccedilatildeo a seguir os registradores financeiros e as suas aplicaccedilotildees
Registra e armazena periacuteodo
Registra e armazena taxa
Registra e armazena valor presente
Registra e armazena pagamentos perioacutedicos
Registra e armazena valor futuro
Figura 21 - Registradores financeiros e as suas aplicaccedilotildees Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
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Unidade 2
Para armazenar um nuacutemero em um registrador financeiro digite o nuacutemero e em seguida uma das teclas correspondentes ilustradas acima
Para exibir um nuacutemero armazenado em um dos registradores financeiros aperte e em seguida a tecla correspondente
Para zerar todos os registradores financeiros aperte a sequecircncia de teclas
Eacute importante lembrar que os registradores financeiros tambeacutem satildeo zerados ao apertar a sequecircncia
e quando a memoacuteria contiacutenua eacute
reinicializada
A seguir vocecirc faraacute caacutelculo de juros simples e de descontos simples usando a HP ndash 12C
Regime de capitalizaccedilatildeo simples
A HP ndash 12C calcula automaticamente juros simples ordinaacuterios ndash usando o ano comercial e juros simples exatos ndash usando um ano de 365 dias simultaneamente
Eacute possiacutevel apresentar qualquer um dos dois e mais com os juros acumulados no mostrador podemos calcular o montante apertando a tecla
Para exemplificar vamos resolver problemas do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira que se encontra disponiacutevel (formato digital) na ferramenta Midiateca do EVA ndash Espaccedilo Virtual de Aprendizagem
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Exemplo 21 (exemplo 1 paacuteg 29 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital de R$ 1800000 foi aplicado a juros simples durante 3 anos agrave taxa de 6 aa Qual eacute o valor dos juros e o montante adquirido
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula os juros e o montante
Exemplo 22 (exemplo 1 paacuteg 33 do livro Matemaacutetica Financeira)
Ache os juros simples exatos auferidos em uma aplicaccedilatildeo de R$ 1500000 a uma taxa de 16 aa de 20 de abril de 2003 a 1ordm de julho de 2003
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula os juros comerciais e os juros exatos
Neste exemplo utilizamos duas teclas que seratildeo ilustradas a seguir para realizar o caacutelculo dos juros exatos
1800000 1080 6
324000 2124000
Juros Montante
No caacutelculo de Juros simples o periacuteodo deve ser em dias
Calcula juros simples
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Unidade 2
1500000 20042003 01072003
72 16 48000 47342
Juro comercial Juro exato nordm de dias
Ao apertar essa tecla ela rola para baixo o conteuacutedo da pilha para visualizaccedilatildeo no registro X
Ao apertar essa tecla ela troca o conteuacutedo dos registros X e Y da pilha
Figura 22 - Teclas utilizadas para registros de dados Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Exemplo 23 (exemplo 2 paacuteg 34 do livro Matemaacutetica Financeira)
Determine o juro simples exato obtido em uma aplicaccedilatildeo de R$ 1300000 durante 146 dias a uma taxa de 9 aa
Soluccedilatildeo a sequecircncia a seguir realiza os caacutelculos solicitados
1330000 146 9
48545 47880
Juro comercial Juro exato
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Exemplo 24 (exemplo 1 paacuteg 47 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma duplicata de R$ 1500000 com vencimento no dia 03042005 foi descontada em um banco em 08012005 a uma taxa de 25 am Qual eacute o desconto simples bancaacuterio da operaccedilatildeo
Soluccedilatildeo
08012005 03042005 85
1500000 0025 30 106250
Taxa decimal Desconto bancaacuterio
Nordm de dias entre as datas
Exemplo 25 (exemplo 1 paacuteg 48 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma empresa descontou um tiacutetulo com valor de face de R$ 1450000 3 meses e 15 dias antes do vencimento com uma taxa de desconto bancaacuterio simples de 24 am Quanto a empresa recebeu liacutequido na operaccedilatildeo
Soluccedilatildeo
1450000 0024 35 1450000 1328200
Periacuteodo em meses Valor liacutequidoTaxa decimal
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Unidade 2
Exemplo 26 (exemplo 1 paacuteg 49 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma duplicata de R$ 4800000 foi descontada 6 meses antes de seu vencimento em uma instituiccedilatildeo financeira que trabalha com uma taxa de desconto simples de 32 am Com base nestes dados determine
o valor do desconto simples bancaacuterio
o valor do desconto simples racional
Soluccedilatildeo
4800000 6 0032 921600
Taxa decimal Valor liacutequido
921600 1 0032
6 773154
Taxa decimal Valor liacutequido
Na proacutexima seccedilatildeo vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros compostos e de desconto compostos
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Seccedilatildeo 2 ndash Regime de capitalizaccedilatildeo composto
Os exemplos apresentados a partir de agora satildeo ilustrativos de uma ampla variedade de caacutelculos financeiros Para resolvecirc-los vocecirc precisa estruturaacute-los identificando os elementos baacutesicos do problema de maneira que fiquem evidentes as quantidades que devem ser fornecidas agrave calculadora e quem eacute o valor desconhecido ou seja o valor que desejamos determinar
Na resoluccedilatildeo dos caacutelculos usando a HP ndash 12C eacute indispensaacutevel elaborar o diagrama de fluxo de caixa Eacute importante ressaltar que a calculadora precisa de ajuda para comparar o fluxo de caixa ou seja eacute preciso informar quando temos uma entrada ou uma saiacuteda
O fluxo de caixa serve para demonstrar graficamente as transaccedilotildees financeiras em um periacuteodo de tempo
O tempo eacute representado por uma linha horizontal dividida pelo nuacutemero de periacuteodos relevantes para anaacutelise As entradas ou recebimentos satildeo representados por setas verticais apontadas para cima e as saiacutedas ou pagamentos satildeo representados por setas verticais apontadas para baixo Observe o modelo simplificado
(+) entradas
(-) saiacutedas
tempo (n)
Veja agora o modelo detalhado
Entradas
Saiacutedas
Tempo
Fluxo de caixa pode ser definido como sendo a movimentaccedilatildeo de recursos financeiros (entradas e saiacutedas de caixa) ao longo de um periacuteodo de tempo - agrave entrada e saiacuteda de dinheiro O conceito caixa (financeiro) natildeo pode ser confundido com conceito de competecircncia (contaacutebil)
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Unidade 2
Na HP-12C a tecla (do inglecircs Change Sign) serve para introduzir ou tirar um sinal negativo de um nuacutemero ou seja faz o fluxo de caixa
Na sequecircncia de exemplos apresentados a seguir realizaremos caacutelculos de juros montantes valor presente prazo taxa de juros e descontos no regime composto com o auxiacutelio dos registradores financeiros da calculadora HP ndash 12C
Exemplo 27 (exemplo 1 paacuteg 58 do livro Matemaacutetica Financeira)
Qual o montante gerado por um capital de R$ 450000 aplicado por 9 meses a juros compostos a uma taxa de 35 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o montante composto
450000 9 35 613304
MontanteFluxo de caixa saiacuteda do dinheiro para aplicaccedilatildeo
Exemplo 28 (exemplo 2 paacuteg 58 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital de R$ 1200000 foi aplicado a juros compostos durante 6 meses agrave taxa de 2 am Calcule os juros auferidos na aplicaccedilatildeo
Soluccedilatildeo use a sequecircncia a seguir para calcular os juros
1200000 6 2
1351395 151395
Montante Juros
Fluxo de caixa saiacuteda do dinheiro para aplicaccedilatildeo
Recupera um valor em um registrador
financeiro
40
Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 29 (exemplo 3 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital ldquoXrdquo eacute aplicado a juros compostos agrave taxa de 35 am gerando um montante de R$ 1950000 apoacutes 1 ano e 3 meses Determine o capital ldquoXrdquo
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar o capital
1950000 35 15 -1163937
Capital aplicado
Exemplo 210 (exemplo 4 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
A que taxa mensal de juros compostos um capital de R$ 1250000 pode transformar-se em R$ 1537342 no periacuteodo de 7 meses
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
1250000 1537342 7 300
Taxa de juros mensal
41
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
Exemplo 211 (exemplo 5 paacuteg 60 do livro Matemaacutetica Financeira)
Em que prazo um empreacutestimo de R$ 3500000 pode ser pago pela quantia de R$ 4790000 se a taxa de juros compostos cobrada for de 4 am
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
3500000 4790000 4 8
Periacuteodo em meses
Funccedilatildeo ldquoCrdquo na HP ndash 12C e as teclas ldquoSTOrdquo e ldquoEEXrdquo
Vocecirc pode calcular taxa de juros (i) Capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos Perioacutedicos (PMT) para transaccedilotildees financeiras com periacuteodos fracionaacuterios Ao digitar um periacuteodo fracionaacuterio por exemplo 23 meses a parte inteira do nuacutemero indica o nuacutemero de periacuteodos inteiro e a parte fracionaacuteria do nuacutemero o tamanho do periacuteodo fracionaacuterio como uma fraccedilatildeo do periacuteodo inteiro (no exemplo 2 meses e 03 meses)
De acordo com o criteacuterio do usuaacuterio os caacutelculos de taxa de juros ( i ) capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos perioacutedicos (PMT) podem ser executados com juros simples ou compostos acumulados durante o periacuteodo fracionaacuterio Para escolher uma das duas opccedilotildees faccedila
Aparece o indicador ldquoCldquo Portanto os juros compostos satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Natildeo aparece o indicador ldquoCrdquo Portanto os juros simples satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Figura 23 - Teclas utilizadas para caacutelculo de juros simples e compostos para periacuteodo fracionaacuterio Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
42
Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 212
Calcular o valor futuro de uma aplicaccedilatildeo de R$ 185030000 aplicado agrave taxa de 14 aa durante 45 anos usando juros compostos e simples para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Soluccedilatildeo as sequecircncias a seguir apresentam os resultados para o caacutelculo do valor futuro com juros simples para o periacuteodo fracionaacuterio e juros compostos para o periacuteodo fracionaacuterios respectivamente
185030000 14
45 334383879
Valor futuro calculado com juros simples para o periacuteodo
fracionaacuterio
185030000
14 45 333667556
Valor futuro calculado com juros compostos para o
periacuteodo fracionaacuterio
Exemplo 213 (exemplo 1 paacuteg 81 do livro Matemaacutetica Financeira)
Determine o valor do desconto composto racional e o valor do resgate de um tiacutetulo de R$ 1560000 descontado 5 meses antes do seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto composto racional eacute de 4 am
43
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor do desconto racional composto e o valor liacutequido a receber
1560000 1
1 004 5
277794 1560000 1282206
Valor do desconto Valor liacutequido
Exemplo 214 (exemplo 1 paacuteg 84 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um tiacutetulo de valor nominal de R$ 1500000 eacute descontado em um banco 3 meses antes de seu vencimento Se a taxa de desconto comercial usada pelo banco eacute de 8 am qual eacute o valor do desconto
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor liacutequido e o valor do desconto bancaacuterio ou comercial
1500000 3 8
-1168032 331968
Valor liacutequido Valor do desconto
44
Universidade do Sul de Santa Catarina
Nesta unidade vocecirc usou a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros simples e compostos descontos simples e compostos valor presente taxa de juros periacuteodo e montante Na proacutexima unidade usaremos a ferramenta para auxiliar no caacutelculo de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir foram propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo em PDF estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as questotildees 1 3 5 e 6 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteginas 38 e 39 Confira os resultados na paacuteg 194
1) Qual o rendimento que obtemos ao aplicarmos um capital de R$ 1000000 a uma taxa de juros simples de 5 aa durante 3 anos
3) Em um regime de capitalizaccedilatildeo simples qual eacute o montante que se obteacutem quando aplicamos um capital de R$ 200000 a uma taxa 6 aa durante 24 meses
5) Uma quantia de R$ 6200000 foi aplicada em uma operaccedilatildeo financeira no dia 20 de setembro de 2003 e resgatada no dia 21 de dezembro de 2003 a uma taxa de 125 aa Quais os juros simples exatos e comerciais da operaccedilatildeo
6) Calcule os juros simples exatos e comerciais nas seguintes condiccedilotildees
bull R$ 600000 aplicados por 180 dias a 12 aa
bull R$ 520000 aplicados por 230 dias a 15 aa
45
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
2 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 2 e 4 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegs 52 e 53 Confira os resultados nas paacuteginas 194 e 195
1) Uma empresa desconta uma duplicata no valor nominal de R$ 5000000 no Banco ldquoXrdquo 4 meses antes do seu vencimento Sabendo que o banco ldquoXrdquo trabalha com uma taxa de desconto simples bancaacuterio de 45 am qual eacute o valor do desconto e o valor liacutequido recebido
2) Para pagar uma diacutevida hoje uma empresa descontou em uma carteira de creacutedito uma duplicata no valor de R$ 1650000 com vencimento daqui a 2 meses recebendo um valor nominal liacutequido de R$ 1500000 Determine a taxa mensal de desconto simples bancaacuterio utilizada
4) Uma letra de cacircmbio no valor nominal de R$ 500000 foi comercializada 4 meses antes do vencimento a uma taxa de desconto simples de 22 am Se o desconto simples fosse o racional qual seria o valor deste desconto
3 Elabore uma sequecircncia de passos para resolver as questotildees propostas 1 2 3 4 e 6 nas paacuteginas 65 66 e 67 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira e confira os resultados na paacuteg 195
1) Calcule o montante produzido por um capital de R$ 2600000 aplicado a uma taxa de juros compostos de 52 am por 6 meses
2) Calcule os juros compostos auferidos por um capital de R$ 420000 aplicado a uma taxa de 3 am durante 10 meses
3) Um empreacutestimo de R$ 600000 deve ser pago em 120 dias a juros compostos pelo valor de R$ 900000 Qual eacute a taxa mensal da operaccedilatildeo
4) Em que prazo uma aplicaccedilatildeo a juros compostos de R$ 2400000 produziraacute um montante de R$ 6151930 agrave taxa de 4 am
6) Quanto Paulo deve aplicar hoje a juros compostos em uma instituiccedilatildeo financeira que paga uma taxa de 12 am para pagar um compromisso de valor nominal igual a R$ 3800000 que vence daqui a 3 meses
46
Universidade do Sul de Santa Catarina
4 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 e 8 das paacuteginas 88 e 90 respectivamente do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira Confira os resultados na paacuteg 196
1) Determine o valor do desconto composto racional de um tiacutetulo de valor nominal de R$ 830000 descontado 6 meses antes de seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto eacute de 42 am
8) Um tiacutetulo de R$ 3000000 foi descontado em uma instituiccedilatildeo financeira a uma taxa de desconto composto comercial de 64 am e o valor liacutequido recebido era de R$ 2017327 Quantos meses antes do vencimento foi descontado este tiacutetulo
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
3UNIDADE 3
Taxas de juros equivalentes e caacutelculo de pagamentos perioacutedicos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para calcular taxas equivalentes
Usar as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP ndash 12C para programar o algoritmo da taxa equivalente no regime de capitalizaccedilatildeo composto
Calcular pagamentos perioacutedicos de sequecircncias uniformes postecipadas e antecipadas
Calcular montante de uma sequecircncia uniforme
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Taxas equivalentes
Seccedilatildeo 2 Sequecircncia de capitais
48
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar taxas equivalentes no regime de capitalizaccedilatildeo composto Vocecirc usaraacute as funccedilotildees de programaccedilatildeo com o objetivo de elaborar um algoritmo para fazer a conversatildeo de taxas de um periacuteodo de capitalizaccedilatildeo (ex mensal) para outro periacuteodo (ex anual) usando o programa Vamos explorar as funccedilotildees ldquoPMTrdquo ldquoBEGrdquo e ldquoENDrdquo para realizar caacutelculo de pagamentos antecipados e postecipados em uma sequecircncia uniforme Destacamos que os exemplos que seratildeo apresentados estatildeo no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira
Seccedilatildeo 1 ndash Taxas equivalentes
Nesta unidade vocecirc usaraacute algumas funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos (postecipados e antecipados) de uma seacuterie uniforme Vocecirc usaraacute ainda as funccedilotildees de programaccedilatildeo para elaborar um programa para calcular taxas equivalentes A figura a seguir apresenta as funccedilotildees que vocecirc usaraacute nos exemplos apresentados posteriormente
Aciona o modo de programaccedilatildeo de HP ndash 12C
Aciona a funccedilatildeo Begin que calcula a parcela com pagamento antecipado
Aciona a funccedilatildeo End (natildeo aparece no visor da calculadora) que calcula parcela com pagamento postecipado
Figura 31 - Teclas utilizadas para acionar as funccedilotildees Beg e End e entrar no modo de programaccedilatildeo
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
49
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
Taxas equivalentes
No mercado financeiro e nas operaccedilotildees bancaacuterias e comerciais a palavra taxa eacute empregada de vaacuterias formas ou seja vaacuterios conceitos satildeo abordados em vaacuterias situaccedilotildees Esta seccedilatildeo tem como objetivo mostrar como as taxas de juros satildeo informadas no mercado financeiro e como adequaacute-las agraves condiccedilotildees padronizadas pela HP ndash 12C
Duas taxas satildeo consideradas equivalentes a juros compostos quando aplicadas a um mesmo capital por um periacuteodo de tempo equivalente e geram o mesmo rendimento
Exemplo 31(exemplo 1 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
No regime de juros compostos qual a taxa anual equivalente a 4 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente anual
Exemplo 32 (exemplo 2 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
Calcule a taxa quadrimestral equivalente agrave taxa de juros compostos de 8 aa
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente quadrimestral
1 004 12 1 1 10000 6010
Taxa anual
50
Universidade do Sul de Santa Catarina
1 008 1 3 1 10000 260
Taxa quadrimestral
Programa para caacutelculo da taxa equivalente pela hp ndash 12c
O professor Carlos Shinoda em seu livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48) apresenta um programa para calcular a taxa equivalente atraveacutes da calculadora HP ndash 12C
Siga os procedimentos abaixo para introduzir o programa na HP ndash 12C
Figura 32 - Algoritmo para a programaccedilatildeo de taxa equivalente
Fonte Livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48)
51
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
Agora que vocecirc programou a HP ndash 12C para o caacutelculo de taxas equivalentes resolva o exemplo a seguir usando o programa
Exemplo 33
Usando o programa anterior determine as taxas equivalentes propostas nos exemplos 31 e 32
Soluccedilatildeo
As sequecircncias abaixo calculam as taxas equivalentes
Executa oprograma
4 1 12 6010
Taxa anual
Executa oprograma
8 360 120 260
Taxa quadrimestral
52
Universidade do Sul de Santa Catarina
Seccedilatildeo 2 ndash Sequecircncia de capitais
Nesta seccedilatildeo vocecirc acompanharaacute as situaccedilotildees em que haacute mais de um pagamento ou seja vocecirc estudaraacute as operaccedilotildees envolvendo pagamentos ou recebimentos perioacutedicos e uniformes
As seacuteries uniformes de pagamentos satildeo aquelas em que os pagamentos ou recebimentos satildeo constantes e ocorrem em intervalos iguais
Seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas e antecipadas
As seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1 Este sistema eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada (0 + n)
Pagamentos ou recebimentos podem ser chamados de prestaccedilatildeo representada pela sigla PMT que vem do inglecircs Payment e significa pagamento ou recebimento
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentosPMT
++
0 1 2 3 4 5 6 n
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
++
0 1 2 3 4 5 6 n
PMT
53
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
As seacuteries uniformes de pagamentos antecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre na data focal 0 (zero) Este tipo de sistema de pagamento eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento com entrada (1+ n)
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
Exemplo 34 (exemplo 2 paacuteg 108 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um automoacutevel eacute vendido em uma loja por R$ 3200000 A loja propotildee as seguintes condiccedilotildees para financiamento
Proposta A 12 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta B 24 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta C 36 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
A taxa de juros usada eacute de 32 am Qual o valor de cada prestaccedilatildeo nas 3 modalidades de financiamento
Soluccedilatildeo
As sequecircncias a seguir calculam os valores das parcelas nas trecircs propostas
54
Universidade do Sul de Santa Catarina
3200000
32 12 -325329
parcela
3200000
32 24 -193046
parcela
3200000
32 36 -150979
parcela
Exemplo 35 (exemplo 2 paacuteg 111 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma casa cujo valor agrave vista eacute R$ 4924456 eacute vendida em prestaccedilotildees mensais e iguais de R$ 250000 sendo a primeira dada como entrada Se a taxa de financiamento eacute de 18 am determine o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas no financiamento
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o nuacutemero de parcelas
4924456 18
250000 24
nordm de parcelas
55
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
No exemplo acima o nuacutemero de pagamento deu um nuacutemero inteiro Mas podem acontecer situaccedilotildees em que ao se determinar o nuacutemero de parcelas o resultado natildeo seja um nuacutemero inteiro
Nessa situaccedilatildeo a HP ndash 12C arredonda a resposta para o proacuteximo inteiro para cima antes de armazenaacute-la e exibi-la
Exemplo 36
Vocecirc comprou um terreno por R$ 3500000 a juros de 105 aa Vocecirc pretende fazer pagamentos de R$ 32500 no fim de cada mecircs Quantos pagamentos seratildeo necessaacuterios para pagar o terreno e quanto tempo levaraacute
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o nuacutemero de pagamentos e o tempo necessaacuterio
3500000 105
32500 328 2733
nordm de parcelas Tempo (anos)
Como a calculadora arredonda o valor do tempo para o proacuteximo inteiro eacute provaacutevel que apesar de serem necessaacuterios 328 pagamentos somente 327 seratildeo inteiros de R$ 32500 com o pagamento final sendo menor do que R$ 32500 Para calcular o valor do pagamento de nuacutemero 328 vamos fazer o seguinte
A calculadora natildeo ajusta os valores nos outros registros financeiros automaticamente para refletir os n pagamentos iguais ao contraacuterio ela lhe permite escolher quais valores (se houver) que vocecirc deseja ajustar
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328 18189 - 32500 -14311
Valor da parcela 328
Nesta unidade vocecirc calculou taxas equivalentes usou as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP e fez caacutelculos de pagamentos perioacutedicos de uma seacuterie uniforme antecipado ou postecipado Na proacutexima unidade vamos realizar caacutelculos de valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades abaixo (Essa atividade corresponde agrave autoavaliaccedilatildeo 1 da unidade 5 do livro didaacutetico de Matemaacutetica Financeira) Em seguida use o programa elaborado para resolver a mesma questatildeo
Calcule a taxa anual das seguintes taxas
a) 26 am
b) 42 ab
c) 48 at
d) 12 as
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Unidade 3
2 Elabore um algoritmo para resolver as seguintes atividades (Estas questotildees equivalem agraves autoavaliaccedilotildees 1 2 3 4 e 5 da unidade 8 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 121 122 e 123)
a) Calcule o valor da prestaccedilatildeo mensal de um empreacutestimo de R$ 600000 que seraacute amortizado em 12 prestaccedilotildees mensais postecipadas sabendo que o banco cobra uma taxa de juros de 2 am
b) Uma loja vende um automoacutevel agrave vista por R$ 1650000 Se o comprador quiser fazer um financiamento em 36 parcelas mensais e iguais onde o 1ordm pagamento seraacute efetuado no 1ordm mecircs apoacutes a compra a uma taxa de juros de 21 am qual o valor da prestaccedilatildeo
c) Uma mercadoria custa R$ 9038071 agrave vista podendo ser vendida em prestaccedilotildees mensais de R$ 1050000 sendo a primeira prestaccedilatildeo dada como entrada Sabendo-se que a loja aplica uma taxa de 35 am qual o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas
d) Carlos depositou certa quantia durante 10 meses de forma antecipada a uma taxa de 25 am obtendo um montante de R$ 25000000 Quanto depositou mensalmente Carlos
e) Um produto eacute vendido agrave vista por R$ 200000 ou em 10 prestaccedilotildees mensais iguais sem entrada com uma carecircncia de 90 dias apoacutes a compra Qual o valor de cada prestaccedilatildeo sabendo que a taxa de juros eacute de 6 am
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
4UNIDADE 4
Valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa
Usar as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Valor presente liacutequido
Seccedilatildeo 2 Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs ndash SFA (Price)
60
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa usando as funccedilotildees CF0 CFj e NPV Vocecirc deveraacute ainda fazer uso da funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos usando o Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo ndash SFA ou tabela Price
Seccedilatildeo 1 ndash Valor presente liacutequido
A figura 41 a seguir apresenta as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C que vocecirc usaraacute nessa unidade para realizar caacutelculo de valor presente liacutequido e para a elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos ou financiamento
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor inicial do fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor do fluxo de caixa no periacuteodo j
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula o valor presente atual de um fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula a parte dos pagamentos usada para pagar juros
Figura 41 - Teclas para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
Valor presente liacutequido
Nessa seccedilatildeo vocecirc usaraacute as funccedilotildees da HP ndash 12C para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa Para entender como usar as funccedilotildees CF0 CFj e NPV considere o fluxo de caixa para um investimento que exige capital inicial (CF0) e que gera um fluxo de caixa (CFj ) no final de j periacuteodos
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Veja a seguir o fluxo de caixa
CF0CF1
CF2 CF5
CFn
CF3 CF4
O VPL = Valor Presente Liacutequido eacute calculado somando ao investimento inicial o valor presente dos fluxos de caixa futuros projetados Portanto
se o VPL for positivo o valor financeiro do ativo do investidor aumentaraacute ou seja o investimento financeiro seraacute atrativo em termos financeiros
se o VPL for zero o valor financeiro do ativo financeiro do investidor natildeo mudaraacute ou seja o investidor seraacute indiferente ao investimento
se o VPL for negativo o valor financeiro do ativo do investidor seraacute reduzido ou seja o investimento natildeo seraacute atrativo em termos financeiros
Exemplo 41
Um investidor compra uma casa por R$ 7000000 e gostaria de ter um retorno de pelo menos 15 Ele pretende manter a casa por 4 anos e depois vendecirc-la por R$ 11000000 Ele prevecirc os fluxos de caixa mostrados no diagrama abaixo
CF0CF1
CF1
CF3CF4
CF5
R$ 7000000
R$ 50000
R$ 450000R$ 450000
R$ 13000000R$ 550000
Sendo assim calcule o VPL para determinar se o investimento resultaria em um retorno ou perda
62
Universidade do Sul de Santa Catarina
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o VPL
7000000 50000
450000 550000 450000
13000000 15 379007
VPL
Como o VPL eacute positivo o investimento aumentaria o valor financeiro do ativo do investidor
Exemplo 42 (exemplo 4 paacuteg 98 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um proprietaacuterio recebeu as seguintes propostas para a venda de uma casa
Proposta A entrada de R$ 10000000 + R$ 5000000 em 6 meses + R$ 6000000 em 1 ano
Proposta B entrada de R$ 8000000 + R$ 6000000 em 5 meses + R$ 7000000 em 10 meses
Sabendo-se que a taxa de juros de mercado eacute de 3 am qual a melhor proposta para o vendedor
Soluccedilatildeo
Essa questatildeo deve ser resolvida pelo meacutetodo do Valor Presente Liacutequido A alternativa que tiver o maior valor seraacute a melhor Entretanto para facilitar a elaboraccedilatildeo do algoritmo de resoluccedilatildeo na HP ndash 12C elabore o fluxo de caixa para cada situaccedilatildeo
63
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
1 Proposta A Fluxo de caixa
10000000 5000000 6000000
1 2 3 4 5 7 8 9 10 110 6 12
Calculando o VPL
10000000 000 5
5000000 000
5
6000000
3
18395701
VPL
Armazena o zero 5 vezes
2 Proposta B Fluxo de caixa
8000000 70000006000000
1 2 3 4 6 7 8 90 5 10
Calculando o VPL
8000000 000 4
6000000 000
4
7000000
3
18384310
VPL
Armazena o zero 4 vezes
Resposta a melhor proposta eacute a A
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 43
Dois equipamentos satildeo examinados Considerando ser a taxa miacutenima de atratividade de 20aa qual o equipamento que deve ser adquirido
Dados
41 - Tabela de DadosEquipamento K Equipamento L
Custo R$ 5000000 R$ 8000000Custo anual de manutenccedilatildeo R$ 2000000 R$ 1500000Valor residual para venda R$ 400000 R$ 800000Duraccedilatildeo em anos 10 10
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
A seguir veja o diagrama de fluxo de caixa
Os caacutelculos do Valor Presente Liacutequido para as duas situaccedilotildees satildeo
Equipamento K
5000000
Equipamento K
2000000
400000
0 1 2 10
8000000
Equipamento L
1500000
800000
0 1 2 10
50000 20000
9 4000 20000 1
20 -13320342
65
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Equipamento L
80000 15000
9 8000 15000 1
20 -14159504
Importante Veja que a alternativa K equivale a um equipamento em que se investe R$ 13320342 enquanto que o equipamento L equivale a um investimento de R$ 14159504 Portanto eacute preferiacutevel o equipamento K pois o investimento eacute menor
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Seccedilatildeo 2 ndash Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs - SFA
Este sistema consiste no pagamento de empreacutestimos ou financiamentos com prestaccedilotildees iguais e com periodicidade constante Eacute considerado o sistema de amortizaccedilatildeo mais utilizado pelas instituiccedilotildees financeiras e pelo comeacutercio em geral
O Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo eacute assim chamado por ter sido inventado na Franccedila por volta do seacuteculo XVIII pelo matemaacutetico inglecircs Richard Price daiacute portanto a origem da denominaccedilatildeo Sistema Price tambeacutem comumente chamado de Tabela Price
Na verdade a Tabela Price eacute um caso particular derivado do Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo Neste sistema o financiamento (PV) eacute pago em parcelas (PMT) iguais constituiacutedas da amortizaccedilatildeo do principal da diacutevida + juros compensatoacuterios (J) que variam inversamente ao longo do tempo Ou seja agrave medida que aumenta o valor da parcela de amortizaccedilatildeo haveraacute uma queda dos juros compensatoacuterios em funccedilatildeo da reduccedilatildeo do saldo devedor
Principais Caracteriacutesticas
As principais caracteriacutesticas do SFA satildeo
a prestaccedilatildeo eacute constante durante todo o periacuteodo do financiamento
a parcela de amortizaccedilatildeo aumenta a cada periacuteodo (n)
os juros compensatoacuterios diminuem a cada periacuteodo (n)
Exemplo 44 (exemplo 1 paacuteg 148 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma instituiccedilatildeo financeira libera um empreacutestimo para uma induacutestria no valor de R$ 60000000 para ser pago pelo sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs em 120 meses a uma taxa de 15 am Faccedila a planilha ateacute o 4ordm mecircs e calcule o saldo devedor no 100ordm mecircs
67
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Soluccedilatildeo
A sequecircncia abaixo calcula o valor da prestaccedilatildeo os juros a amortizaccedilatildeo o saldo devedor e valor do saldo devedor no 100ordm mecircs Acompanhe
Zera os registradores
60000000 Armazena o valor presente
120 Armazena o periacuteodo
15 Armazena a taxa
- R$ 1081111 Valor da prestaccedilatildeo
1 - R$ 900000 Valor dos juros da 1ordf parcela
R$ 181111Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 1ordf parcela
R$ 58918889 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 897283 Valor dos juros da 2ordf parcela
- R$ 183828Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 2ordf parcela
R$ 59635061 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 894526 Valor dos juros da 3ordf parcela
- R$ 186585Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 3ordf parcela
R$ 59448476 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 891727 Valor dos juros da 4ordf parcela
- R$ 189384Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 4ordf parcela
R$ 59259092 Recupera o saldo devedor
A tabela a seguir apresenta um resumo das operaccedilotildees realizadas
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Tabela 42 ndash Planilha de amortizaccedilatildeoPeriacuteodo (n) Amortizaccedilatildeo (A) Juros (J) Prestaccedilotildees (R) Saldo Devedor (S)
0 - - - R$ 600000001 R$ 181111 R$ 900000 R$ 1081111 R$ 598188892 R$ 183828 R$ 897283 R$ 1081111 R$ 596350613 R$ 186585 R$ 894526 R$ 1081111 R$ 594484764 R$ 189384 R$ 891727 R$ 1081111 R$ 59259092
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Para determinar o saldo devedor no 100ordm mecircs faccedila como indicado a seguir
60000000 120 150
-1081111 18561247
Prestaccedilatildeo Saldo devedor no 100ordm mecircs
Nesta unidade vocecirc usou as funccedilotildees de fluxo de caixa para calcular o valor presente liacutequido e a funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
69Unidade 4
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades a seguir (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 4 e 5 da unidade 7 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegina 102) Em seguida use o programa elaborado para resolver as mesmas questotildees
a) Qual das alternativas de pagamento eacute a melhor para uma taxa de juros compostos de 75 am
Alternativa A Pagamento de R$ 15000000 agrave vista
Alternativa B Entrada de R$ 5000000 + R$ 8000000 em 90 dias + R$ 6000000 em 150 dias
b) Uma pessoa deve a um banco dois tiacutetulos com valores de R$ 300000 e R$ 600000 venciacuteveis respectivamente em 4 meses e 8 meses Se a pessoa deseja antecipar para hoje a liquidaccedilatildeo dos tiacutetulos qual o valor a pagar considerando que o banco opera com uma taxa de juros compostos de 23 am
2 Elabore um algoritmo para resolver as atividades abaixo (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 1 e 4 da unidade 10 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 151 e 153)
a) Um cliente solicita a um banco um empreacutestimo de R$ 4000000 pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs em 60 prestaccedilotildees mensais Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de juros de 28 am obtenha o valor da prestaccedilatildeo e o saldo devedor depois de pagar a 20ordf prestaccedilatildeo
b) Um empreacutestimo de R$ 30000000 seraacute saldado em 50 prestaccedilotildees mensais a uma taxa de 15 am Determine a parcela de juros relativa agrave 15ordf prestaccedilatildeo pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs (price)
70
Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
Manual da calculadora HP ndash 12C
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico ndash 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7ed Satildeo Paulo Atlas 2000
Para concluir o estudo
Com o teacutermino desse curso de extensatildeo acreditamos que proporcionamos momentos de aprendizagem por meio da interaccedilatildeo da calculadora financeira e que vocecirc estaacute habilitado(a) a fazer uso dessa ferramenta com qualidade no mercado de trabalho relacionado a essa aacuterea tatildeo importante no nosso dia-a-dia
Referecircncias
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7 ed Satildeo Paulo Atlas 2000
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003 Disponiacutevel em lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt Acesso em 05 jun 2008
Sobre o professor conteudista
Joseacute Humberto Dias de Toledo - eacute Mestre em Educaccedilatildeo pela Universidade do Sul de Santa Catarina Graduado em Licenciatura em Matemaacutetica e em Engenharia Civil Professor das disciplinas Meacutetodos Numeacutericos Informaacutetica Aplicada agrave Matemaacutetica Financeira Caacutelculo I e Matemaacutetica Financeira no Curso de Matemaacutetica ndash Licenciatura nesta mesma instituiccedilatildeo Atualmente ministra a disciplina Representaccedilotildees Graacuteficas na Poacutes-graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo Matemaacutetica da UNISUL
Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo
Unidade 1
1 a) 5
b) -2359
c) 3311
d) 077
e) 081
Respostas modo RPN
a)
b)
c)
d)
e)
Respostas modo ALG
a
b
c
d
e
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Universidade do Sul de Santa Catarina
2 R$ 167757
Modo RPN
Modo ALG
3 -242
4 Data 13082008 3 (quarta-feira)
5 Florianoacutepolis = 3303 Curitiba = 5018 Porto Alegre = 1680
Unidade 2
1 1) 150000
Dados
C = R$ 1000000
i = 5 aa
n = 3 anos = 1080 dias
J =
3) 24 meses = 2 anos
Dados
C = R$ 200000
i = 6 aa
n = 24 meses = 720 dias
M =
79
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
85
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
86
Universidade do Sul de Santa Catarina
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
87
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
88
Universidade do Sul de Santa Catarina
Apresentaccedilatildeo 7Palavras do professor conteudista 9Plano de estudo 11
UNIDADE 1 ndash Apresentando a calculadora HP ndash 12C 15UNIDADE 2 ndash Regimes de capitalizaccedilatildeo simples e composto 31UNIDADE 3 ndash Taxa de juros equivalentes e caacutelculo de pagamentos
perioacutedicos 47UNIDADE 4 ndash Valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e
amortizaccedilatildeo de empreacutestimos 59
Para concluir o estudo 71 Referecircncias 73Sobre o professor conteudista 75Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo 77
Sumaacuterio
Apresentaccedilatildeo
Este livro didaacutetico corresponde ao Curso de Extensatildeo Usando calculadora financeira na Internet
O material foi elaborado visando a uma aprendizagem autocircnoma Neste sentido aborda conteuacutedos especialmente selecionados e relacionados agrave sua aacuterea de formaccedilatildeo Ao adotar uma linguagem didaacutetica e dialoacutegica objetivamos facilitar seu estudo a distacircncia proporcionando condiccedilotildees favoraacuteveis agraves muacuteltiplas interaccedilotildees e a um aprendizado contextualizado e eficaz
Lembre que sua caminhada neste curso seraacute acompanhada e monitorada constantemente pelo Sistema Tutorial da UnisulVirtual Assim a designaccedilatildeo a distacircncia caracteriza tatildeo-somente a modalidade de ensino por que vocecirc optou para a sua formaccedilatildeo pois na relaccedilatildeo de aprendizagem professores e instituiccedilatildeo vatildeo estar em conexatildeo com vocecirc continuamente
Entatildeo sempre que sentir necessidade entre em contato Vocecirc tem agrave disposiccedilatildeo diversas ferramentas e canais de acesso tais como telefone e-mail e o Espaccedilo UnisulVirtual de Aprendizagem que eacute o canal mais recomendado pois tudo o que for enviado e recebido fica registrado para seu maior controle e comodidade Nossa equipe teacutecnica e pedagoacutegica teraacute o maior prazer em lhe atender pois sua aprendizagem eacute o nosso principal objetivo
Bom estudo e sucesso
Equipe UnisulVirtual
Palavras do professor
Caro(a) Aluno(a)
A matemaacutetica financeira estaacute presente no nosso cotidiano desde eacutepocas antigas tornando-se na atualidade alvo das maiores preocupaccedilotildees humanas
Eacute de grande importacircncia adquirir os conhecimentos sobre esse tema pois eles vatildeo certamente contribuir para que vocecirc estabeleccedila uma visatildeo criacutetica teoacuterica reflexiva investigativa e praacutetica de temas que satildeo tatildeo comuns no seu cotidiano e ainda gerar conhecimentos que ajudem a organizar a sua vida financeira
Procurando promover a resoluccedilatildeo de problemas relacionados agrave aacuterea financeira com mais agilidade e consequentemente liberando o seu tempo para tomada de decisotildees elaboramos este curso de extensatildeo sobre o uso de uma ferramenta muito utilizada no meio acadecircmico nas aacutereas de Administraccedilatildeo Contaacutebeis Tecnoacutelogos em Gestatildeo Matemaacutetica ndash Licenciatura etc Trata-se da calculadora financeira HP ndash 12C
A calculadora permite que vocecirc realize caacutelculos de montantes taxas prazos pagamentos perioacutedicos e que elabore tabelas de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos que podem proporcionar-lhe conhecimentos uacuteteis e aplicaacuteveis no seu dia-a-dia
Caro aluno(a) neste curso estaremos constantemente fazendo links com os conteuacutedos abordados na disciplina Matemaacutetica Financeira Para facilitar seu estudo este material didaacutetico se encontra disponiacutevel na MIDIATECA
Por fim se vocecirc natildeo possui a calculadora poderaacute instalar o emulador da mesma em seu computador e realizar todos os caacutelculos necessaacuterios Para baixar o arquivo acesse diretamente o site lthttpwwwbaixenamolezacoms=emulador+HP+12Cgt
Bom estudo
Professor Joseacute Humberto Dias de Toledo
Plano de estudo
O plano de estudos visa a orientaacute-lo(a) no desenvolvimento da Disciplina Nele vocecirc encontraraacute elementos que esclareceratildeo o contexto da Disciplina e sugeriratildeo formas de organizar o seu tempo de estudos
O processo de ensino e aprendizagem na UnisulVirtual leva em conta instrumentos que se articulam e se complementam Assim a construccedilatildeo de competecircncias se daacute sobre a articulaccedilatildeo de metodologias e por meio das diversas formas de accedilatildeomediaccedilatildeo
Satildeo elementos desse processo
o Espaccedilo UnisulVirtual de Aprendizagem - EVA
as atividades de avaliaccedilatildeo (complementares a distacircncia e presenciais)
Ementa
Introduccedilatildeo algumas funccedilotildees baacutesicas da HP - 12C Caacutelculo de juros simples e composto Usando as funccedilotildees financeiras para caacutelculo de montante valor presente periacuteodo Usando as funccedilotildees financeiras para caacutelculo de taxas de juros seacuterie de pagamentos ou anuidades Usando as funccedilotildees data e hora para caacutelculo de nuacutemero de dias entre datas data futura data passada verificar o dia da semana para vencimentos futuros Elaboraccedilatildeo de planilhas de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos e financiamentos
12
Universidade do Sul de Santa Catarina
Carga Horaacuteria
15 horas-aula
Objetivos
Geral
Capacitar os participantes para a utilizaccedilatildeo da calculadora HP - 12C na resoluccedilatildeo de problemas praacuteticos promovendo a integraccedilatildeo entre teoria e praacutetica na aacuterea financeira
Especiacuteficos
Usar a Hp -12C para o caacutelculo de juros simples composto montante periacuteodo valor presente e pagamentos perioacutedicos
Fazer uso da HP - 12C para elaboraccedilatildeo de planilhas de amortizaccedilatildeo
Explorar as funccedilotildees data e hora da HP -12C
Usar a ferramenta para auxiliar na resoluccedilatildeo de problemas do cotidiano na aacuterea financeira
Conteuacutedo programaacuteticoobjetivos
Os objetivos de cada unidade definem o conjunto de conhecimentos que vocecirc deveraacute deter para o desenvolvimento de habilidades e competecircncias necessaacuterias agrave sua formaccedilatildeo Neste sentido veja a seguir as unidades que compotildeem o Livro Didaacutetico deste curso bem como os seus respectivos objetivos
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidades de estudo 4
Unidade 1 - Apresentando a calculadora HP ndash 12C
Unidade 2 - Regimes de capitalizaccedilatildeo simples e composto
Unidade 3 - Taxas de juros equivalentes e caacutelculo de pagamentos perioacutedicos
Unidade 4 - Valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Agenda de atividades Cronograma
Verifique com atenccedilatildeo o EVA e organize-se para acessar periodicamente o espaccedilo da Disciplina O sucesso nos seus estudos depende da priorizaccedilatildeo do tempo para a leitura da realizaccedilatildeo de anaacutelises e siacutenteses do conteuacutedo e da interaccedilatildeo com os seus colegas e professor virtual
Natildeo perca os prazos das atividades Registre as datas no espaccedilo a seguir com base no cronograma da disciplina disponibilizado no EVA
Use o quadro para agendar e programar as atividades relativas ao desenvolvimento da Disciplina
1UNIDADE 1
Apresentando a calculadora HP ndash 12C
Objetivos de aprendizagem
Apresentar as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C
Realizar caacutelculos elementares com a ferramenta
Conhecer os modos ldquoRPNrdquo e ldquoALGrdquo da HP
Utilizar as memoacuterias da calculadora para realizar caacutelculos
Usar as funccedilotildees de percentagem
Determinar datas futuras passadas e nuacutemero de dias entre datas
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 A calculadora HP ndash 12C
Seccedilatildeo 2 Caacutelculos aritmeacuteticos no modo ldquoRPNrdquo e no modo ldquoALGrdquo
Seccedilatildeo 3 Funccedilotildees de percentagem e calendaacuterio
16
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vamos lhe apresentar a calculadora HP ndash 12C com o objetivo de realizar caacutelculos aritmeacuteticos no modo ldquoRPNrdquo ndash Notaccedilatildeo Polonesa Reversa e no modo ldquoALGrdquo ndash Algeacutebrico Aleacutem disso vocecirc aprenderaacute a fazer uso das funccedilotildees de percentagem e calendaacuterio e em desdobramento aprenderaacute a determinar percentagens de um nuacutemero percentagem de um total e diferenccedila percentual caacutelculo de datas futuras e passadas e o nuacutemero de dias entre datas Vocecirc usaraacute as memoacuterias da calculadora para auxiliar nos caacutelculos eou armazenar dados que possam ser usados posteriormente
Seccedilatildeo 1 ndash A calculadora HP ndash 12C
Na presente etapa seratildeo apresentadas algumas funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para utilizaccedilatildeo neste curso Observe na figura 11 a imagem da calculadora
Figura 11- Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Arquivo do autor
17
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
Fique atento(a) ao fato de que muitas teclas da HP ndash 12C executam duas ou ateacute trecircs funccedilotildees A funccedilatildeo primaacuteria eacute indicada pelos caracteres impressos em branco na face superior As funccedilotildees secundaacuterias da calculadora satildeo impressas nas cores dourado e azul apresentadas respectivamente acima da tecla e na sua face inferior
Para acionar essas funccedilotildees acione a tecla de prefixo que eacute apropriada antes da tecla da funccedilatildeo ou seja e Veja na figura 12
Para selecionar a funccedilatildeo secundaacuteria impressa em dourado aperte a tecla de prefixo f e em seguida a tecla da funccedilatildeo
Para selecionar a funccedilatildeo primaacuteria impressa na face superior de uma tecla aperte somente a tecla
Para selecionar a funccedilatildeo secundaacuteria impressa em azul aperte a tecla de prefixo azul g e em seguida a tecla da funccedilatildeo
Figura 12 - Modo de acesso agraves funccedilotildees primaacuterias e secundaacuterias da Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Disponiacutevel em lthttphpcomlatambrprodutoscalculadorasgrandeprofessores12phtmlgt Acesso em 29 mai 2008
Entrando com nuacutemeros e separadores de diacutegitos
Para que vocecirc possa entrar com um nuacutemero na HP aperte as teclas correspondentes ao nuacutemero em sequecircncia O ponto decimal deve ser usado para separar a parte inteira da parte fracionaacuteria do nuacutemero Se vocecirc quiser pode configurar a calculadora para exibir a viacutergula como separador Para tanto desligue a calculadora e depois aperte simultaneamente as teclas
e
Para voltar
agrave configuraccedilatildeo anterior repita a operaccedilatildeo
Nuacutemeros negativos
A tecla troca o sinal de um nuacutemero no mostrador Portanto se vocecirc quiser trocar o sinal de um nuacutemero positivo que estaacute no visor aperte a tecla ele ficaraacute negativo E vice-versa
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As teclas ldquoCLEARrdquo (apagar)
A ilustraccedilatildeo a seguir apresenta as teclas ldquoClearrdquo que apagam ou zeram o mostrador as memoacuterias a memoacuteria de programaccedilatildeo os registradores financeiros os registros de pilha e registros estatiacutesticos Confira na figura 13
Apaga o mostrador
Apaga os registros estatiacutesticos registros da pilha e mostrador
Apaga a memoacuteria de programaccedilatildeo
Apaga os registros financeiros
Apaga os registros de armazenamento de dados registros financeiros registros de pilha LAST X e mostrador
Figura 13 - As teclas CLEAR da Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Registros de armazenamento
Os dados de entrada na HP ndash 12C podem ser armazenados em memoacuterias chamadas ldquoregistros de armazenamentordquo Quatro registros satildeo usados para o armazenamento de nuacutemeros durante os caacutelculos e mais um que eacute usado para armazenar o uacuteltimo nuacutemero chamado ldquoLAST Xrdquo
Aleacutem dos registros citados nos quais os nuacutemeros satildeo armazenados automaticamente existem outros 20 registros para o armazenamento manual de nuacutemeros Eles satildeo designados por R R R R a e a Outros registros de armazenamento designados como registros financeiros satildeo reservados para os nuacutemeros que seratildeo usados em caacutelculos financeiros
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Unidade 1
Armazenando recuperando nuacutemeros e zerando registros
Para armazenar um nuacutemero em um registro de armazenamento de dados aperte a tecla (armazenar) e em seguida um dos nuacutemeros de 0 a 9 para os registros R R
0 9 a e 0 a 9 para os
registros R R 0 9
a
Para recuperar um nuacutemero de um registro de armazenamento de dados aperte a tecla (recuperar) e em seguida um dos nuacutemeros de 0 a 9 para os registros R R
0 9 a e 0 a 9 para os
registros R R 0 9
a
Jaacute para zerar um uacutenico registro de armazenamento vocecirc pode armazenar o valor zero no registro Agora para zerar todos os registros de armazenamento de uma soacute vez ndash incluindo os registros financeiros os registros da pilha e o registro LAST X ndash aperte
E entatildeo estaacute motivado(a) para continuar Na proacutexima seccedilatildeo apresentaremos as teclas ldquoRPNrdquo e ldquoALGrdquo e faremos caacutelculos aritmeacuteticos usando esses modos
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Seccedilatildeo 2 ndash Caacutelculos aritmeacuteticos no modo ldquoRPNrdquo e no modo ldquoALGrdquo
A calculadora HP ndash 12C pode ser configurada para executar operaccedilotildees aritmeacuteticas nos modos RPN ndash Notaccedilatildeo Polonesa Reversa e ALG ndash Algeacutebrico No modo RPN os resultados intermediaacuterios nas operaccedilotildees aritmeacuteticas satildeo armazenados automaticamente portanto natildeo eacute necessaacuterio o uso dos parecircnteses Jaacute no modo ALG as operaccedilotildees elementares satildeo executadas de maneira convencional
Conheccedila alguns exemplos na sequecircncia do texto
Exemplo 11
Calcular 3 x 2 + 5 usando os modos RPN e ALG na HP ndash 12C
Resolvendo no modo RPN
Para configurar a calculadora no modo RPN aperte a tecla e em seguida Observe que vai aparecer o indicador RPN no visor da maacutequina
Agora que a calculadora estaacute no modo RPN vamos ao caacutelculo
3 2 5 11
Resultado
Resolvendo no modo ALG
Para configurar a calculadora no modo ALG aperte a tecla e em seguida Observe que vai aparecer o indicador ALG no visor da maacutequina
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Unidade 1
Calculando no modo algeacutebrico
3 2 5 11
Resultado
Os modelos mais antigos de calculadoras HP ndash 12C natildeo disponibilizam o modo algeacutebrico Portanto se vocecirc eacute usuaacuterio desse tipo de calculadora todos os caacutelculos devem ser efetuados no modo RPN
Exemplo 12
Resolver os caacutelculos solicitados a seguir usando os modos RPN e ALG
a) 3 2 5 33+ minus x
b) ( )minus + minus2 3 4 43 x
c) 2 9 3 52minus + + minus
d) 2 35
2+ minusln
e) 3 4 62+ minuse
Resolvendo no modo RPN
a)
3 2 3 5 3 - 4
Resultado
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b)
c)
d)
Obs para alterar a quantidade de casas decimais no visor da calculadora aperte e em seguida um nuacutemero de 1 a 9 que corresponde agrave quantidade de casas decimais No exemplo acima usamos
e)
2
3 3
4
4
0
Resultado
2
2
9 3 5 125
Resultado
2
3
5 2 0599
Resultado
3
2
46 5789
Resultado
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Unidade 1
Resolvendo no modo ALG com o auxiacutelio dos registros R R
0 9 a
a)
2
3
5 3 3
4
Resultado
Armazena o resultado do visor na memoacuteria 0
Recupera o registro da memoacuteria 0
b)
2
3
3 4
4 0
Resultado
c)
2 2
9
3 5 125
Resultado
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d)
e)
Exemplo 13
Usando a calculadora HP ndash 12C no modo RPN as seguintes operaccedilotildees bancaacuterias foram realizadas a conta tinha um saldo de R$ 12300 e foi feito um depoacutesito referente ao salaacuterio de R$ 189035 Em seguida foram emitidos e compensados cheques nos valores de R$ 38590 R$ 23478 e R$ 62389 Qual eacute o novo saldo da conta
Soluccedilatildeo use
para apresentar os caacutelculos com duas casas decimais
12300 189035 38590
23478 62389 76920
Saldo
2 3 5 2 0 0599
Resultado
3 2 46 5789
Resultado
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Unidade 1
Seccedilatildeo 3 ndash Funccedilotildees de percentagem e calendaacuterio
A calculadora HP ndash 12C apresenta funccedilotildees que permitem o caacutelculo de percentagens e de calendaacuterio Para caacutelculo com percentagens natildeo eacute necessaacuterio converter o nuacutemero na notaccedilatildeo percentual para a notaccedilatildeo decimal Jaacute as funccedilotildees calendaacuterio fornecidas pela HP trabalham com datas entre 15 de outubro de 1582 e 25 de novembro de 4046 A seguir vocecirc conheceraacute detalhadamente essas funccedilotildees
Funccedilotildees de percentagem
Calcula a Percentagem de um nuacutemero ou valor
Calcula a diferenccedila percentual entre dois nuacutemeros
Calcula qual percentual um nuacutemero eacute de outro
Figura 14 - Ilustraccedilatildeo das funccedilotildees de percentagem da Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Funccedilotildees de calendaacuterio
Configura o formato de uma data para dia-mecircs-ano
Configura o formato de uma data para mecircs-dia-ano
Calcula o nuacutemero de dias entre datas
Calcula datas futuras ou passadas
Figura 15 - Ilustraccedilatildeo das funccedilotildees de calendaacuterio da Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Nos exemplos a seguir estaacute demonstrado o uso de todas as funccedilotildees apresentadas Obs os caacutelculos vatildeo ser realizados no modo RPN
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Exemplo 14
Calcular 16 de R$ 198000
Soluccedilatildeo
198000 1600 31680
Resultado
Exemplo 15
Determinada empresa com accedilotildees na bolsa de valores verificou as seguintes variaccedilotildees nos valores das suas accedilotildees no dia 150508 o valor da accedilatildeo passou de R$ 5025 para R$ 5498 jaacute no dia 210508 o valor da accedilatildeo caiu de R$ 5498 para R$ 5208 Qual a diferenccedila percentual nas duas situaccedilotildees
Soluccedilatildeo a sequecircncia a seguir apresenta a variaccedilatildeo percentual
Caacutelculo da variaccedilatildeo percentual de R$ 5025 para R$ 5498 usando a HP ndash 12C
5025 5498 941
Resultado
Observe que o resultado apresentado eacute positivo portanto representa aumento
Caacutelculo da variaccedilatildeo percentual de R$ 5498 para R$ 5208 usando a HP ndash 12C
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Unidade 1
5498 5208 -527
Resultado
Observe que o resultado apresentado eacute negativo portanto representa queda
Exemplo 16
A empresa do exemplo anterior atua na regiatildeo sul do Brasil com vendas totais realizadas no mecircs de abril de 2008 de R$ 589636996 distribuiacutedas da seguinte forma R$ 123656939 no Paranaacute R$ 356963920 em Santa Catarina e R$ 109016137 no Rio Grande do Sul Qual a percentagem das vendas totais em cada um dos trecircs Estados
Soluccedilatildeo
A sequecircncia apresenta os percentuais nos estados do Paranaacute Santa Catarina e Rio Grande do Sul
Soluccedilatildeo
589636996 123656939 2097
356963920 6054 109016137 1849
Resultado SC Resultado RS
Resultado PR
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Exemplo 17
Comprei uma TV LCD em 17052008 com vencimento para 120 dias Determine a data do vencimento usando a calculadora HP ndash 12C
Soluccedilatildeo
17052008 120 14092008 7
A data do vencimento eacute 14 de setembro de
2008 domingo
Exemplo 18
Fiz uma compra no dia 12052008 com vencimento para o dia 26082008 Use a calculadora HP ndash 12C para determinar o nuacutemero de dias entre a data da compra e do vencimento
Soluccedilatildeo
12052008 20082008 100
Nuacutemero de dias entre as datas
Nesta unidade vocecirc conheceu algumas funccedilotildees elementares da calculadora as quais seratildeo utilizadas nas demais unidades e satildeo muito importantes para realizar caacutelculos que envolvem questotildees do nosso cotidiano Na proacutexima unidade vocecirc vai usar as funccedilotildees financeiras da calculadora para calcular juros simples e compostos descontos simples e compostos
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Unidade 1
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
Efetue as atividades de autoavaliaccedilatildeo e acompanhe as respostas e comentaacuterios a respeito nas paacuteginas finais deste material Para melhor aproveitamento do seu estudo realize a conferecircncia de suas respostas somente depois de fazer as atividades propostas Desse modo o momento da conferecircncia lhe proporcionaraacute novas oportunidades de aprendizagem
1 Calcule o valor das expressotildees numeacutericas a seguir usando a HP ndash 12C nos modos RPN e ALG
a) 2 5 3 8 24 minus + divide =x
b) minus + minus =3 5 32 3x eln
c) 16 25 3 45 89+ minus =x
d) 2
35 5
3+ minus =ln
e) 0 253
55
2 + minus =minus
2 Use a HP ndash 12C para realizar os caacutelculos e informar o saldo final da seguinte movimentaccedilatildeo financeira Saldo inicial na conta R$ 167890 depoacutesito de R$ 143587 cheques compensados nos valores de R$ 34598 R$ 12345 R$ 65790 e R$ 30987
3 No dia 130508 o doacutelar americano estava cotado em R$ 165 no dia 190508 a cotaccedilatildeo foi de R$ 161 Com base nestes dados indique qual foi a variaccedilatildeo percentual do doacutelar
4 Foi realizada uma compra em um supermercado no valor de R$ 67890 em 150508 Sabendo que esse estabelecimento trabalha com prazo de 90 dias use as funccedilotildees calendaacuterio da HP ndash 12C e determine a data e o dia da semana do vencimento
5 Uma empresa tem vendas mensais para o mecircs de maio de 2008 estimadas em R$ 178909000 Sabendo que o valor total das vendas estaacute distribuiacutedo nas cidades de Florianoacutepolis Curitiba e Porto Alegre com valores correspondentes a R$ 59089000 R$ 89767898 e R$ 30052102 respectivamente determine qual percentagem das vendas totais ocorre em cada uma das cidades
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Saiba mais
HPndash12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
No link abaixo vocecirc tem disponiacutevel o manual da calculadora HP ndash 12C na versatildeo online lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt
2UNIDADE 2
Regimes de capitalizaccedilatildeo simples e composto
Objetivos de aprendizagem
Fazer uso das funccedilotildees financeiras da calculadora HP ndash 12C para calcular juros simples e composto
Dominar o caacutelculo do montante simples e composto
Aprender o caacutelculo de desconto simples e composto
Calcular capital taxa e prazo no regime de capitalizaccedilatildeo composto usando a HP ndash 12C
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Regime de capitalizaccedilatildeo simples
Seccedilatildeo 2 Regime de capitalizaccedilatildeo composto
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc vai fazer uso das funccedilotildees financeiras da HP ndash 12C com o objetivo de realizar caacutelculos de juros simples e composto montantes simples e composto descontos simples e composto caacutelculo de taxas e prazos
Nesta etapa de estudos seratildeo utilizados exemplos do material didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira que estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do Espaccedilo Virtual de Aprendizagem ndash EVA Eacute importante lembrar natildeo ser objetivo deste curso discutir os conceitos da Matemaacutetica Financeira mas apenas utilizar as funccedilotildees disponibilizadas na calculadora para resolver problemas relacionados a essa aacuterea Entretanto caso vocecirc julgue importante os conceitos podem ser relembrados ou vistos no material didaacutetico da disciplina
Seccedilatildeo 1 ndash Regime de capitalizaccedilatildeo simples
Na unidade 1 vocecirc foi apresentado(a) agrave calculadora HP ndash 12C e a algumas das suas funccedilotildees com o objetivo de capacitaacute-lo(a) para o uso adequado dessa ferramenta Esta unidade inicia com uma abordagem sobre os registradores financeiros os quais seratildeo utilizados na maioria dos exemplos que deveratildeo ser resolvidos ao longo das proacuteximas seccedilotildees desta unidade e nas demais unidades deste curso Veja na ilustraccedilatildeo a seguir os registradores financeiros e as suas aplicaccedilotildees
Registra e armazena periacuteodo
Registra e armazena taxa
Registra e armazena valor presente
Registra e armazena pagamentos perioacutedicos
Registra e armazena valor futuro
Figura 21 - Registradores financeiros e as suas aplicaccedilotildees Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
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Unidade 2
Para armazenar um nuacutemero em um registrador financeiro digite o nuacutemero e em seguida uma das teclas correspondentes ilustradas acima
Para exibir um nuacutemero armazenado em um dos registradores financeiros aperte e em seguida a tecla correspondente
Para zerar todos os registradores financeiros aperte a sequecircncia de teclas
Eacute importante lembrar que os registradores financeiros tambeacutem satildeo zerados ao apertar a sequecircncia
e quando a memoacuteria contiacutenua eacute
reinicializada
A seguir vocecirc faraacute caacutelculo de juros simples e de descontos simples usando a HP ndash 12C
Regime de capitalizaccedilatildeo simples
A HP ndash 12C calcula automaticamente juros simples ordinaacuterios ndash usando o ano comercial e juros simples exatos ndash usando um ano de 365 dias simultaneamente
Eacute possiacutevel apresentar qualquer um dos dois e mais com os juros acumulados no mostrador podemos calcular o montante apertando a tecla
Para exemplificar vamos resolver problemas do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira que se encontra disponiacutevel (formato digital) na ferramenta Midiateca do EVA ndash Espaccedilo Virtual de Aprendizagem
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 21 (exemplo 1 paacuteg 29 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital de R$ 1800000 foi aplicado a juros simples durante 3 anos agrave taxa de 6 aa Qual eacute o valor dos juros e o montante adquirido
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula os juros e o montante
Exemplo 22 (exemplo 1 paacuteg 33 do livro Matemaacutetica Financeira)
Ache os juros simples exatos auferidos em uma aplicaccedilatildeo de R$ 1500000 a uma taxa de 16 aa de 20 de abril de 2003 a 1ordm de julho de 2003
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula os juros comerciais e os juros exatos
Neste exemplo utilizamos duas teclas que seratildeo ilustradas a seguir para realizar o caacutelculo dos juros exatos
1800000 1080 6
324000 2124000
Juros Montante
No caacutelculo de Juros simples o periacuteodo deve ser em dias
Calcula juros simples
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Unidade 2
1500000 20042003 01072003
72 16 48000 47342
Juro comercial Juro exato nordm de dias
Ao apertar essa tecla ela rola para baixo o conteuacutedo da pilha para visualizaccedilatildeo no registro X
Ao apertar essa tecla ela troca o conteuacutedo dos registros X e Y da pilha
Figura 22 - Teclas utilizadas para registros de dados Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Exemplo 23 (exemplo 2 paacuteg 34 do livro Matemaacutetica Financeira)
Determine o juro simples exato obtido em uma aplicaccedilatildeo de R$ 1300000 durante 146 dias a uma taxa de 9 aa
Soluccedilatildeo a sequecircncia a seguir realiza os caacutelculos solicitados
1330000 146 9
48545 47880
Juro comercial Juro exato
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Exemplo 24 (exemplo 1 paacuteg 47 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma duplicata de R$ 1500000 com vencimento no dia 03042005 foi descontada em um banco em 08012005 a uma taxa de 25 am Qual eacute o desconto simples bancaacuterio da operaccedilatildeo
Soluccedilatildeo
08012005 03042005 85
1500000 0025 30 106250
Taxa decimal Desconto bancaacuterio
Nordm de dias entre as datas
Exemplo 25 (exemplo 1 paacuteg 48 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma empresa descontou um tiacutetulo com valor de face de R$ 1450000 3 meses e 15 dias antes do vencimento com uma taxa de desconto bancaacuterio simples de 24 am Quanto a empresa recebeu liacutequido na operaccedilatildeo
Soluccedilatildeo
1450000 0024 35 1450000 1328200
Periacuteodo em meses Valor liacutequidoTaxa decimal
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Unidade 2
Exemplo 26 (exemplo 1 paacuteg 49 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma duplicata de R$ 4800000 foi descontada 6 meses antes de seu vencimento em uma instituiccedilatildeo financeira que trabalha com uma taxa de desconto simples de 32 am Com base nestes dados determine
o valor do desconto simples bancaacuterio
o valor do desconto simples racional
Soluccedilatildeo
4800000 6 0032 921600
Taxa decimal Valor liacutequido
921600 1 0032
6 773154
Taxa decimal Valor liacutequido
Na proacutexima seccedilatildeo vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros compostos e de desconto compostos
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Seccedilatildeo 2 ndash Regime de capitalizaccedilatildeo composto
Os exemplos apresentados a partir de agora satildeo ilustrativos de uma ampla variedade de caacutelculos financeiros Para resolvecirc-los vocecirc precisa estruturaacute-los identificando os elementos baacutesicos do problema de maneira que fiquem evidentes as quantidades que devem ser fornecidas agrave calculadora e quem eacute o valor desconhecido ou seja o valor que desejamos determinar
Na resoluccedilatildeo dos caacutelculos usando a HP ndash 12C eacute indispensaacutevel elaborar o diagrama de fluxo de caixa Eacute importante ressaltar que a calculadora precisa de ajuda para comparar o fluxo de caixa ou seja eacute preciso informar quando temos uma entrada ou uma saiacuteda
O fluxo de caixa serve para demonstrar graficamente as transaccedilotildees financeiras em um periacuteodo de tempo
O tempo eacute representado por uma linha horizontal dividida pelo nuacutemero de periacuteodos relevantes para anaacutelise As entradas ou recebimentos satildeo representados por setas verticais apontadas para cima e as saiacutedas ou pagamentos satildeo representados por setas verticais apontadas para baixo Observe o modelo simplificado
(+) entradas
(-) saiacutedas
tempo (n)
Veja agora o modelo detalhado
Entradas
Saiacutedas
Tempo
Fluxo de caixa pode ser definido como sendo a movimentaccedilatildeo de recursos financeiros (entradas e saiacutedas de caixa) ao longo de um periacuteodo de tempo - agrave entrada e saiacuteda de dinheiro O conceito caixa (financeiro) natildeo pode ser confundido com conceito de competecircncia (contaacutebil)
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Unidade 2
Na HP-12C a tecla (do inglecircs Change Sign) serve para introduzir ou tirar um sinal negativo de um nuacutemero ou seja faz o fluxo de caixa
Na sequecircncia de exemplos apresentados a seguir realizaremos caacutelculos de juros montantes valor presente prazo taxa de juros e descontos no regime composto com o auxiacutelio dos registradores financeiros da calculadora HP ndash 12C
Exemplo 27 (exemplo 1 paacuteg 58 do livro Matemaacutetica Financeira)
Qual o montante gerado por um capital de R$ 450000 aplicado por 9 meses a juros compostos a uma taxa de 35 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o montante composto
450000 9 35 613304
MontanteFluxo de caixa saiacuteda do dinheiro para aplicaccedilatildeo
Exemplo 28 (exemplo 2 paacuteg 58 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital de R$ 1200000 foi aplicado a juros compostos durante 6 meses agrave taxa de 2 am Calcule os juros auferidos na aplicaccedilatildeo
Soluccedilatildeo use a sequecircncia a seguir para calcular os juros
1200000 6 2
1351395 151395
Montante Juros
Fluxo de caixa saiacuteda do dinheiro para aplicaccedilatildeo
Recupera um valor em um registrador
financeiro
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Exemplo 29 (exemplo 3 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital ldquoXrdquo eacute aplicado a juros compostos agrave taxa de 35 am gerando um montante de R$ 1950000 apoacutes 1 ano e 3 meses Determine o capital ldquoXrdquo
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar o capital
1950000 35 15 -1163937
Capital aplicado
Exemplo 210 (exemplo 4 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
A que taxa mensal de juros compostos um capital de R$ 1250000 pode transformar-se em R$ 1537342 no periacuteodo de 7 meses
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
1250000 1537342 7 300
Taxa de juros mensal
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Unidade 2
Exemplo 211 (exemplo 5 paacuteg 60 do livro Matemaacutetica Financeira)
Em que prazo um empreacutestimo de R$ 3500000 pode ser pago pela quantia de R$ 4790000 se a taxa de juros compostos cobrada for de 4 am
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
3500000 4790000 4 8
Periacuteodo em meses
Funccedilatildeo ldquoCrdquo na HP ndash 12C e as teclas ldquoSTOrdquo e ldquoEEXrdquo
Vocecirc pode calcular taxa de juros (i) Capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos Perioacutedicos (PMT) para transaccedilotildees financeiras com periacuteodos fracionaacuterios Ao digitar um periacuteodo fracionaacuterio por exemplo 23 meses a parte inteira do nuacutemero indica o nuacutemero de periacuteodos inteiro e a parte fracionaacuteria do nuacutemero o tamanho do periacuteodo fracionaacuterio como uma fraccedilatildeo do periacuteodo inteiro (no exemplo 2 meses e 03 meses)
De acordo com o criteacuterio do usuaacuterio os caacutelculos de taxa de juros ( i ) capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos perioacutedicos (PMT) podem ser executados com juros simples ou compostos acumulados durante o periacuteodo fracionaacuterio Para escolher uma das duas opccedilotildees faccedila
Aparece o indicador ldquoCldquo Portanto os juros compostos satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Natildeo aparece o indicador ldquoCrdquo Portanto os juros simples satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Figura 23 - Teclas utilizadas para caacutelculo de juros simples e compostos para periacuteodo fracionaacuterio Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
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Exemplo 212
Calcular o valor futuro de uma aplicaccedilatildeo de R$ 185030000 aplicado agrave taxa de 14 aa durante 45 anos usando juros compostos e simples para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Soluccedilatildeo as sequecircncias a seguir apresentam os resultados para o caacutelculo do valor futuro com juros simples para o periacuteodo fracionaacuterio e juros compostos para o periacuteodo fracionaacuterios respectivamente
185030000 14
45 334383879
Valor futuro calculado com juros simples para o periacuteodo
fracionaacuterio
185030000
14 45 333667556
Valor futuro calculado com juros compostos para o
periacuteodo fracionaacuterio
Exemplo 213 (exemplo 1 paacuteg 81 do livro Matemaacutetica Financeira)
Determine o valor do desconto composto racional e o valor do resgate de um tiacutetulo de R$ 1560000 descontado 5 meses antes do seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto composto racional eacute de 4 am
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Unidade 2
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor do desconto racional composto e o valor liacutequido a receber
1560000 1
1 004 5
277794 1560000 1282206
Valor do desconto Valor liacutequido
Exemplo 214 (exemplo 1 paacuteg 84 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um tiacutetulo de valor nominal de R$ 1500000 eacute descontado em um banco 3 meses antes de seu vencimento Se a taxa de desconto comercial usada pelo banco eacute de 8 am qual eacute o valor do desconto
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor liacutequido e o valor do desconto bancaacuterio ou comercial
1500000 3 8
-1168032 331968
Valor liacutequido Valor do desconto
44
Universidade do Sul de Santa Catarina
Nesta unidade vocecirc usou a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros simples e compostos descontos simples e compostos valor presente taxa de juros periacuteodo e montante Na proacutexima unidade usaremos a ferramenta para auxiliar no caacutelculo de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir foram propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo em PDF estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as questotildees 1 3 5 e 6 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteginas 38 e 39 Confira os resultados na paacuteg 194
1) Qual o rendimento que obtemos ao aplicarmos um capital de R$ 1000000 a uma taxa de juros simples de 5 aa durante 3 anos
3) Em um regime de capitalizaccedilatildeo simples qual eacute o montante que se obteacutem quando aplicamos um capital de R$ 200000 a uma taxa 6 aa durante 24 meses
5) Uma quantia de R$ 6200000 foi aplicada em uma operaccedilatildeo financeira no dia 20 de setembro de 2003 e resgatada no dia 21 de dezembro de 2003 a uma taxa de 125 aa Quais os juros simples exatos e comerciais da operaccedilatildeo
6) Calcule os juros simples exatos e comerciais nas seguintes condiccedilotildees
bull R$ 600000 aplicados por 180 dias a 12 aa
bull R$ 520000 aplicados por 230 dias a 15 aa
45
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
2 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 2 e 4 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegs 52 e 53 Confira os resultados nas paacuteginas 194 e 195
1) Uma empresa desconta uma duplicata no valor nominal de R$ 5000000 no Banco ldquoXrdquo 4 meses antes do seu vencimento Sabendo que o banco ldquoXrdquo trabalha com uma taxa de desconto simples bancaacuterio de 45 am qual eacute o valor do desconto e o valor liacutequido recebido
2) Para pagar uma diacutevida hoje uma empresa descontou em uma carteira de creacutedito uma duplicata no valor de R$ 1650000 com vencimento daqui a 2 meses recebendo um valor nominal liacutequido de R$ 1500000 Determine a taxa mensal de desconto simples bancaacuterio utilizada
4) Uma letra de cacircmbio no valor nominal de R$ 500000 foi comercializada 4 meses antes do vencimento a uma taxa de desconto simples de 22 am Se o desconto simples fosse o racional qual seria o valor deste desconto
3 Elabore uma sequecircncia de passos para resolver as questotildees propostas 1 2 3 4 e 6 nas paacuteginas 65 66 e 67 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira e confira os resultados na paacuteg 195
1) Calcule o montante produzido por um capital de R$ 2600000 aplicado a uma taxa de juros compostos de 52 am por 6 meses
2) Calcule os juros compostos auferidos por um capital de R$ 420000 aplicado a uma taxa de 3 am durante 10 meses
3) Um empreacutestimo de R$ 600000 deve ser pago em 120 dias a juros compostos pelo valor de R$ 900000 Qual eacute a taxa mensal da operaccedilatildeo
4) Em que prazo uma aplicaccedilatildeo a juros compostos de R$ 2400000 produziraacute um montante de R$ 6151930 agrave taxa de 4 am
6) Quanto Paulo deve aplicar hoje a juros compostos em uma instituiccedilatildeo financeira que paga uma taxa de 12 am para pagar um compromisso de valor nominal igual a R$ 3800000 que vence daqui a 3 meses
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Universidade do Sul de Santa Catarina
4 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 e 8 das paacuteginas 88 e 90 respectivamente do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira Confira os resultados na paacuteg 196
1) Determine o valor do desconto composto racional de um tiacutetulo de valor nominal de R$ 830000 descontado 6 meses antes de seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto eacute de 42 am
8) Um tiacutetulo de R$ 3000000 foi descontado em uma instituiccedilatildeo financeira a uma taxa de desconto composto comercial de 64 am e o valor liacutequido recebido era de R$ 2017327 Quantos meses antes do vencimento foi descontado este tiacutetulo
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
3UNIDADE 3
Taxas de juros equivalentes e caacutelculo de pagamentos perioacutedicos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para calcular taxas equivalentes
Usar as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP ndash 12C para programar o algoritmo da taxa equivalente no regime de capitalizaccedilatildeo composto
Calcular pagamentos perioacutedicos de sequecircncias uniformes postecipadas e antecipadas
Calcular montante de uma sequecircncia uniforme
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Taxas equivalentes
Seccedilatildeo 2 Sequecircncia de capitais
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar taxas equivalentes no regime de capitalizaccedilatildeo composto Vocecirc usaraacute as funccedilotildees de programaccedilatildeo com o objetivo de elaborar um algoritmo para fazer a conversatildeo de taxas de um periacuteodo de capitalizaccedilatildeo (ex mensal) para outro periacuteodo (ex anual) usando o programa Vamos explorar as funccedilotildees ldquoPMTrdquo ldquoBEGrdquo e ldquoENDrdquo para realizar caacutelculo de pagamentos antecipados e postecipados em uma sequecircncia uniforme Destacamos que os exemplos que seratildeo apresentados estatildeo no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira
Seccedilatildeo 1 ndash Taxas equivalentes
Nesta unidade vocecirc usaraacute algumas funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos (postecipados e antecipados) de uma seacuterie uniforme Vocecirc usaraacute ainda as funccedilotildees de programaccedilatildeo para elaborar um programa para calcular taxas equivalentes A figura a seguir apresenta as funccedilotildees que vocecirc usaraacute nos exemplos apresentados posteriormente
Aciona o modo de programaccedilatildeo de HP ndash 12C
Aciona a funccedilatildeo Begin que calcula a parcela com pagamento antecipado
Aciona a funccedilatildeo End (natildeo aparece no visor da calculadora) que calcula parcela com pagamento postecipado
Figura 31 - Teclas utilizadas para acionar as funccedilotildees Beg e End e entrar no modo de programaccedilatildeo
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
49
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
Taxas equivalentes
No mercado financeiro e nas operaccedilotildees bancaacuterias e comerciais a palavra taxa eacute empregada de vaacuterias formas ou seja vaacuterios conceitos satildeo abordados em vaacuterias situaccedilotildees Esta seccedilatildeo tem como objetivo mostrar como as taxas de juros satildeo informadas no mercado financeiro e como adequaacute-las agraves condiccedilotildees padronizadas pela HP ndash 12C
Duas taxas satildeo consideradas equivalentes a juros compostos quando aplicadas a um mesmo capital por um periacuteodo de tempo equivalente e geram o mesmo rendimento
Exemplo 31(exemplo 1 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
No regime de juros compostos qual a taxa anual equivalente a 4 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente anual
Exemplo 32 (exemplo 2 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
Calcule a taxa quadrimestral equivalente agrave taxa de juros compostos de 8 aa
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente quadrimestral
1 004 12 1 1 10000 6010
Taxa anual
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1 008 1 3 1 10000 260
Taxa quadrimestral
Programa para caacutelculo da taxa equivalente pela hp ndash 12c
O professor Carlos Shinoda em seu livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48) apresenta um programa para calcular a taxa equivalente atraveacutes da calculadora HP ndash 12C
Siga os procedimentos abaixo para introduzir o programa na HP ndash 12C
Figura 32 - Algoritmo para a programaccedilatildeo de taxa equivalente
Fonte Livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48)
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Unidade 3
Agora que vocecirc programou a HP ndash 12C para o caacutelculo de taxas equivalentes resolva o exemplo a seguir usando o programa
Exemplo 33
Usando o programa anterior determine as taxas equivalentes propostas nos exemplos 31 e 32
Soluccedilatildeo
As sequecircncias abaixo calculam as taxas equivalentes
Executa oprograma
4 1 12 6010
Taxa anual
Executa oprograma
8 360 120 260
Taxa quadrimestral
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Seccedilatildeo 2 ndash Sequecircncia de capitais
Nesta seccedilatildeo vocecirc acompanharaacute as situaccedilotildees em que haacute mais de um pagamento ou seja vocecirc estudaraacute as operaccedilotildees envolvendo pagamentos ou recebimentos perioacutedicos e uniformes
As seacuteries uniformes de pagamentos satildeo aquelas em que os pagamentos ou recebimentos satildeo constantes e ocorrem em intervalos iguais
Seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas e antecipadas
As seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1 Este sistema eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada (0 + n)
Pagamentos ou recebimentos podem ser chamados de prestaccedilatildeo representada pela sigla PMT que vem do inglecircs Payment e significa pagamento ou recebimento
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentosPMT
++
0 1 2 3 4 5 6 n
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
++
0 1 2 3 4 5 6 n
PMT
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Unidade 3
As seacuteries uniformes de pagamentos antecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre na data focal 0 (zero) Este tipo de sistema de pagamento eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento com entrada (1+ n)
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
Exemplo 34 (exemplo 2 paacuteg 108 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um automoacutevel eacute vendido em uma loja por R$ 3200000 A loja propotildee as seguintes condiccedilotildees para financiamento
Proposta A 12 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta B 24 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta C 36 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
A taxa de juros usada eacute de 32 am Qual o valor de cada prestaccedilatildeo nas 3 modalidades de financiamento
Soluccedilatildeo
As sequecircncias a seguir calculam os valores das parcelas nas trecircs propostas
54
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3200000
32 12 -325329
parcela
3200000
32 24 -193046
parcela
3200000
32 36 -150979
parcela
Exemplo 35 (exemplo 2 paacuteg 111 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma casa cujo valor agrave vista eacute R$ 4924456 eacute vendida em prestaccedilotildees mensais e iguais de R$ 250000 sendo a primeira dada como entrada Se a taxa de financiamento eacute de 18 am determine o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas no financiamento
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o nuacutemero de parcelas
4924456 18
250000 24
nordm de parcelas
55
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Unidade 3
No exemplo acima o nuacutemero de pagamento deu um nuacutemero inteiro Mas podem acontecer situaccedilotildees em que ao se determinar o nuacutemero de parcelas o resultado natildeo seja um nuacutemero inteiro
Nessa situaccedilatildeo a HP ndash 12C arredonda a resposta para o proacuteximo inteiro para cima antes de armazenaacute-la e exibi-la
Exemplo 36
Vocecirc comprou um terreno por R$ 3500000 a juros de 105 aa Vocecirc pretende fazer pagamentos de R$ 32500 no fim de cada mecircs Quantos pagamentos seratildeo necessaacuterios para pagar o terreno e quanto tempo levaraacute
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o nuacutemero de pagamentos e o tempo necessaacuterio
3500000 105
32500 328 2733
nordm de parcelas Tempo (anos)
Como a calculadora arredonda o valor do tempo para o proacuteximo inteiro eacute provaacutevel que apesar de serem necessaacuterios 328 pagamentos somente 327 seratildeo inteiros de R$ 32500 com o pagamento final sendo menor do que R$ 32500 Para calcular o valor do pagamento de nuacutemero 328 vamos fazer o seguinte
A calculadora natildeo ajusta os valores nos outros registros financeiros automaticamente para refletir os n pagamentos iguais ao contraacuterio ela lhe permite escolher quais valores (se houver) que vocecirc deseja ajustar
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328 18189 - 32500 -14311
Valor da parcela 328
Nesta unidade vocecirc calculou taxas equivalentes usou as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP e fez caacutelculos de pagamentos perioacutedicos de uma seacuterie uniforme antecipado ou postecipado Na proacutexima unidade vamos realizar caacutelculos de valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades abaixo (Essa atividade corresponde agrave autoavaliaccedilatildeo 1 da unidade 5 do livro didaacutetico de Matemaacutetica Financeira) Em seguida use o programa elaborado para resolver a mesma questatildeo
Calcule a taxa anual das seguintes taxas
a) 26 am
b) 42 ab
c) 48 at
d) 12 as
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Unidade 3
2 Elabore um algoritmo para resolver as seguintes atividades (Estas questotildees equivalem agraves autoavaliaccedilotildees 1 2 3 4 e 5 da unidade 8 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 121 122 e 123)
a) Calcule o valor da prestaccedilatildeo mensal de um empreacutestimo de R$ 600000 que seraacute amortizado em 12 prestaccedilotildees mensais postecipadas sabendo que o banco cobra uma taxa de juros de 2 am
b) Uma loja vende um automoacutevel agrave vista por R$ 1650000 Se o comprador quiser fazer um financiamento em 36 parcelas mensais e iguais onde o 1ordm pagamento seraacute efetuado no 1ordm mecircs apoacutes a compra a uma taxa de juros de 21 am qual o valor da prestaccedilatildeo
c) Uma mercadoria custa R$ 9038071 agrave vista podendo ser vendida em prestaccedilotildees mensais de R$ 1050000 sendo a primeira prestaccedilatildeo dada como entrada Sabendo-se que a loja aplica uma taxa de 35 am qual o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas
d) Carlos depositou certa quantia durante 10 meses de forma antecipada a uma taxa de 25 am obtendo um montante de R$ 25000000 Quanto depositou mensalmente Carlos
e) Um produto eacute vendido agrave vista por R$ 200000 ou em 10 prestaccedilotildees mensais iguais sem entrada com uma carecircncia de 90 dias apoacutes a compra Qual o valor de cada prestaccedilatildeo sabendo que a taxa de juros eacute de 6 am
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
4UNIDADE 4
Valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa
Usar as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Valor presente liacutequido
Seccedilatildeo 2 Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs ndash SFA (Price)
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa usando as funccedilotildees CF0 CFj e NPV Vocecirc deveraacute ainda fazer uso da funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos usando o Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo ndash SFA ou tabela Price
Seccedilatildeo 1 ndash Valor presente liacutequido
A figura 41 a seguir apresenta as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C que vocecirc usaraacute nessa unidade para realizar caacutelculo de valor presente liacutequido e para a elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos ou financiamento
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor inicial do fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor do fluxo de caixa no periacuteodo j
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula o valor presente atual de um fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula a parte dos pagamentos usada para pagar juros
Figura 41 - Teclas para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
Valor presente liacutequido
Nessa seccedilatildeo vocecirc usaraacute as funccedilotildees da HP ndash 12C para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa Para entender como usar as funccedilotildees CF0 CFj e NPV considere o fluxo de caixa para um investimento que exige capital inicial (CF0) e que gera um fluxo de caixa (CFj ) no final de j periacuteodos
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Unidade 4
Veja a seguir o fluxo de caixa
CF0CF1
CF2 CF5
CFn
CF3 CF4
O VPL = Valor Presente Liacutequido eacute calculado somando ao investimento inicial o valor presente dos fluxos de caixa futuros projetados Portanto
se o VPL for positivo o valor financeiro do ativo do investidor aumentaraacute ou seja o investimento financeiro seraacute atrativo em termos financeiros
se o VPL for zero o valor financeiro do ativo financeiro do investidor natildeo mudaraacute ou seja o investidor seraacute indiferente ao investimento
se o VPL for negativo o valor financeiro do ativo do investidor seraacute reduzido ou seja o investimento natildeo seraacute atrativo em termos financeiros
Exemplo 41
Um investidor compra uma casa por R$ 7000000 e gostaria de ter um retorno de pelo menos 15 Ele pretende manter a casa por 4 anos e depois vendecirc-la por R$ 11000000 Ele prevecirc os fluxos de caixa mostrados no diagrama abaixo
CF0CF1
CF1
CF3CF4
CF5
R$ 7000000
R$ 50000
R$ 450000R$ 450000
R$ 13000000R$ 550000
Sendo assim calcule o VPL para determinar se o investimento resultaria em um retorno ou perda
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Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o VPL
7000000 50000
450000 550000 450000
13000000 15 379007
VPL
Como o VPL eacute positivo o investimento aumentaria o valor financeiro do ativo do investidor
Exemplo 42 (exemplo 4 paacuteg 98 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um proprietaacuterio recebeu as seguintes propostas para a venda de uma casa
Proposta A entrada de R$ 10000000 + R$ 5000000 em 6 meses + R$ 6000000 em 1 ano
Proposta B entrada de R$ 8000000 + R$ 6000000 em 5 meses + R$ 7000000 em 10 meses
Sabendo-se que a taxa de juros de mercado eacute de 3 am qual a melhor proposta para o vendedor
Soluccedilatildeo
Essa questatildeo deve ser resolvida pelo meacutetodo do Valor Presente Liacutequido A alternativa que tiver o maior valor seraacute a melhor Entretanto para facilitar a elaboraccedilatildeo do algoritmo de resoluccedilatildeo na HP ndash 12C elabore o fluxo de caixa para cada situaccedilatildeo
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Unidade 4
1 Proposta A Fluxo de caixa
10000000 5000000 6000000
1 2 3 4 5 7 8 9 10 110 6 12
Calculando o VPL
10000000 000 5
5000000 000
5
6000000
3
18395701
VPL
Armazena o zero 5 vezes
2 Proposta B Fluxo de caixa
8000000 70000006000000
1 2 3 4 6 7 8 90 5 10
Calculando o VPL
8000000 000 4
6000000 000
4
7000000
3
18384310
VPL
Armazena o zero 4 vezes
Resposta a melhor proposta eacute a A
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Exemplo 43
Dois equipamentos satildeo examinados Considerando ser a taxa miacutenima de atratividade de 20aa qual o equipamento que deve ser adquirido
Dados
41 - Tabela de DadosEquipamento K Equipamento L
Custo R$ 5000000 R$ 8000000Custo anual de manutenccedilatildeo R$ 2000000 R$ 1500000Valor residual para venda R$ 400000 R$ 800000Duraccedilatildeo em anos 10 10
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
A seguir veja o diagrama de fluxo de caixa
Os caacutelculos do Valor Presente Liacutequido para as duas situaccedilotildees satildeo
Equipamento K
5000000
Equipamento K
2000000
400000
0 1 2 10
8000000
Equipamento L
1500000
800000
0 1 2 10
50000 20000
9 4000 20000 1
20 -13320342
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Unidade 4
Equipamento L
80000 15000
9 8000 15000 1
20 -14159504
Importante Veja que a alternativa K equivale a um equipamento em que se investe R$ 13320342 enquanto que o equipamento L equivale a um investimento de R$ 14159504 Portanto eacute preferiacutevel o equipamento K pois o investimento eacute menor
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Seccedilatildeo 2 ndash Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs - SFA
Este sistema consiste no pagamento de empreacutestimos ou financiamentos com prestaccedilotildees iguais e com periodicidade constante Eacute considerado o sistema de amortizaccedilatildeo mais utilizado pelas instituiccedilotildees financeiras e pelo comeacutercio em geral
O Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo eacute assim chamado por ter sido inventado na Franccedila por volta do seacuteculo XVIII pelo matemaacutetico inglecircs Richard Price daiacute portanto a origem da denominaccedilatildeo Sistema Price tambeacutem comumente chamado de Tabela Price
Na verdade a Tabela Price eacute um caso particular derivado do Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo Neste sistema o financiamento (PV) eacute pago em parcelas (PMT) iguais constituiacutedas da amortizaccedilatildeo do principal da diacutevida + juros compensatoacuterios (J) que variam inversamente ao longo do tempo Ou seja agrave medida que aumenta o valor da parcela de amortizaccedilatildeo haveraacute uma queda dos juros compensatoacuterios em funccedilatildeo da reduccedilatildeo do saldo devedor
Principais Caracteriacutesticas
As principais caracteriacutesticas do SFA satildeo
a prestaccedilatildeo eacute constante durante todo o periacuteodo do financiamento
a parcela de amortizaccedilatildeo aumenta a cada periacuteodo (n)
os juros compensatoacuterios diminuem a cada periacuteodo (n)
Exemplo 44 (exemplo 1 paacuteg 148 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma instituiccedilatildeo financeira libera um empreacutestimo para uma induacutestria no valor de R$ 60000000 para ser pago pelo sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs em 120 meses a uma taxa de 15 am Faccedila a planilha ateacute o 4ordm mecircs e calcule o saldo devedor no 100ordm mecircs
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Unidade 4
Soluccedilatildeo
A sequecircncia abaixo calcula o valor da prestaccedilatildeo os juros a amortizaccedilatildeo o saldo devedor e valor do saldo devedor no 100ordm mecircs Acompanhe
Zera os registradores
60000000 Armazena o valor presente
120 Armazena o periacuteodo
15 Armazena a taxa
- R$ 1081111 Valor da prestaccedilatildeo
1 - R$ 900000 Valor dos juros da 1ordf parcela
R$ 181111Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 1ordf parcela
R$ 58918889 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 897283 Valor dos juros da 2ordf parcela
- R$ 183828Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 2ordf parcela
R$ 59635061 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 894526 Valor dos juros da 3ordf parcela
- R$ 186585Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 3ordf parcela
R$ 59448476 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 891727 Valor dos juros da 4ordf parcela
- R$ 189384Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 4ordf parcela
R$ 59259092 Recupera o saldo devedor
A tabela a seguir apresenta um resumo das operaccedilotildees realizadas
68
Universidade do Sul de Santa Catarina
Tabela 42 ndash Planilha de amortizaccedilatildeoPeriacuteodo (n) Amortizaccedilatildeo (A) Juros (J) Prestaccedilotildees (R) Saldo Devedor (S)
0 - - - R$ 600000001 R$ 181111 R$ 900000 R$ 1081111 R$ 598188892 R$ 183828 R$ 897283 R$ 1081111 R$ 596350613 R$ 186585 R$ 894526 R$ 1081111 R$ 594484764 R$ 189384 R$ 891727 R$ 1081111 R$ 59259092
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Para determinar o saldo devedor no 100ordm mecircs faccedila como indicado a seguir
60000000 120 150
-1081111 18561247
Prestaccedilatildeo Saldo devedor no 100ordm mecircs
Nesta unidade vocecirc usou as funccedilotildees de fluxo de caixa para calcular o valor presente liacutequido e a funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
69Unidade 4
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades a seguir (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 4 e 5 da unidade 7 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegina 102) Em seguida use o programa elaborado para resolver as mesmas questotildees
a) Qual das alternativas de pagamento eacute a melhor para uma taxa de juros compostos de 75 am
Alternativa A Pagamento de R$ 15000000 agrave vista
Alternativa B Entrada de R$ 5000000 + R$ 8000000 em 90 dias + R$ 6000000 em 150 dias
b) Uma pessoa deve a um banco dois tiacutetulos com valores de R$ 300000 e R$ 600000 venciacuteveis respectivamente em 4 meses e 8 meses Se a pessoa deseja antecipar para hoje a liquidaccedilatildeo dos tiacutetulos qual o valor a pagar considerando que o banco opera com uma taxa de juros compostos de 23 am
2 Elabore um algoritmo para resolver as atividades abaixo (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 1 e 4 da unidade 10 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 151 e 153)
a) Um cliente solicita a um banco um empreacutestimo de R$ 4000000 pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs em 60 prestaccedilotildees mensais Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de juros de 28 am obtenha o valor da prestaccedilatildeo e o saldo devedor depois de pagar a 20ordf prestaccedilatildeo
b) Um empreacutestimo de R$ 30000000 seraacute saldado em 50 prestaccedilotildees mensais a uma taxa de 15 am Determine a parcela de juros relativa agrave 15ordf prestaccedilatildeo pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs (price)
70
Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
Manual da calculadora HP ndash 12C
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico ndash 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7ed Satildeo Paulo Atlas 2000
Para concluir o estudo
Com o teacutermino desse curso de extensatildeo acreditamos que proporcionamos momentos de aprendizagem por meio da interaccedilatildeo da calculadora financeira e que vocecirc estaacute habilitado(a) a fazer uso dessa ferramenta com qualidade no mercado de trabalho relacionado a essa aacuterea tatildeo importante no nosso dia-a-dia
Referecircncias
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7 ed Satildeo Paulo Atlas 2000
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003 Disponiacutevel em lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt Acesso em 05 jun 2008
Sobre o professor conteudista
Joseacute Humberto Dias de Toledo - eacute Mestre em Educaccedilatildeo pela Universidade do Sul de Santa Catarina Graduado em Licenciatura em Matemaacutetica e em Engenharia Civil Professor das disciplinas Meacutetodos Numeacutericos Informaacutetica Aplicada agrave Matemaacutetica Financeira Caacutelculo I e Matemaacutetica Financeira no Curso de Matemaacutetica ndash Licenciatura nesta mesma instituiccedilatildeo Atualmente ministra a disciplina Representaccedilotildees Graacuteficas na Poacutes-graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo Matemaacutetica da UNISUL
Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo
Unidade 1
1 a) 5
b) -2359
c) 3311
d) 077
e) 081
Respostas modo RPN
a)
b)
c)
d)
e)
Respostas modo ALG
a
b
c
d
e
78
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 R$ 167757
Modo RPN
Modo ALG
3 -242
4 Data 13082008 3 (quarta-feira)
5 Florianoacutepolis = 3303 Curitiba = 5018 Porto Alegre = 1680
Unidade 2
1 1) 150000
Dados
C = R$ 1000000
i = 5 aa
n = 3 anos = 1080 dias
J =
3) 24 meses = 2 anos
Dados
C = R$ 200000
i = 6 aa
n = 24 meses = 720 dias
M =
79
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
85
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
86
Universidade do Sul de Santa Catarina
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
87
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
88
Universidade do Sul de Santa Catarina
Apresentaccedilatildeo
Este livro didaacutetico corresponde ao Curso de Extensatildeo Usando calculadora financeira na Internet
O material foi elaborado visando a uma aprendizagem autocircnoma Neste sentido aborda conteuacutedos especialmente selecionados e relacionados agrave sua aacuterea de formaccedilatildeo Ao adotar uma linguagem didaacutetica e dialoacutegica objetivamos facilitar seu estudo a distacircncia proporcionando condiccedilotildees favoraacuteveis agraves muacuteltiplas interaccedilotildees e a um aprendizado contextualizado e eficaz
Lembre que sua caminhada neste curso seraacute acompanhada e monitorada constantemente pelo Sistema Tutorial da UnisulVirtual Assim a designaccedilatildeo a distacircncia caracteriza tatildeo-somente a modalidade de ensino por que vocecirc optou para a sua formaccedilatildeo pois na relaccedilatildeo de aprendizagem professores e instituiccedilatildeo vatildeo estar em conexatildeo com vocecirc continuamente
Entatildeo sempre que sentir necessidade entre em contato Vocecirc tem agrave disposiccedilatildeo diversas ferramentas e canais de acesso tais como telefone e-mail e o Espaccedilo UnisulVirtual de Aprendizagem que eacute o canal mais recomendado pois tudo o que for enviado e recebido fica registrado para seu maior controle e comodidade Nossa equipe teacutecnica e pedagoacutegica teraacute o maior prazer em lhe atender pois sua aprendizagem eacute o nosso principal objetivo
Bom estudo e sucesso
Equipe UnisulVirtual
Palavras do professor
Caro(a) Aluno(a)
A matemaacutetica financeira estaacute presente no nosso cotidiano desde eacutepocas antigas tornando-se na atualidade alvo das maiores preocupaccedilotildees humanas
Eacute de grande importacircncia adquirir os conhecimentos sobre esse tema pois eles vatildeo certamente contribuir para que vocecirc estabeleccedila uma visatildeo criacutetica teoacuterica reflexiva investigativa e praacutetica de temas que satildeo tatildeo comuns no seu cotidiano e ainda gerar conhecimentos que ajudem a organizar a sua vida financeira
Procurando promover a resoluccedilatildeo de problemas relacionados agrave aacuterea financeira com mais agilidade e consequentemente liberando o seu tempo para tomada de decisotildees elaboramos este curso de extensatildeo sobre o uso de uma ferramenta muito utilizada no meio acadecircmico nas aacutereas de Administraccedilatildeo Contaacutebeis Tecnoacutelogos em Gestatildeo Matemaacutetica ndash Licenciatura etc Trata-se da calculadora financeira HP ndash 12C
A calculadora permite que vocecirc realize caacutelculos de montantes taxas prazos pagamentos perioacutedicos e que elabore tabelas de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos que podem proporcionar-lhe conhecimentos uacuteteis e aplicaacuteveis no seu dia-a-dia
Caro aluno(a) neste curso estaremos constantemente fazendo links com os conteuacutedos abordados na disciplina Matemaacutetica Financeira Para facilitar seu estudo este material didaacutetico se encontra disponiacutevel na MIDIATECA
Por fim se vocecirc natildeo possui a calculadora poderaacute instalar o emulador da mesma em seu computador e realizar todos os caacutelculos necessaacuterios Para baixar o arquivo acesse diretamente o site lthttpwwwbaixenamolezacoms=emulador+HP+12Cgt
Bom estudo
Professor Joseacute Humberto Dias de Toledo
Plano de estudo
O plano de estudos visa a orientaacute-lo(a) no desenvolvimento da Disciplina Nele vocecirc encontraraacute elementos que esclareceratildeo o contexto da Disciplina e sugeriratildeo formas de organizar o seu tempo de estudos
O processo de ensino e aprendizagem na UnisulVirtual leva em conta instrumentos que se articulam e se complementam Assim a construccedilatildeo de competecircncias se daacute sobre a articulaccedilatildeo de metodologias e por meio das diversas formas de accedilatildeomediaccedilatildeo
Satildeo elementos desse processo
o Espaccedilo UnisulVirtual de Aprendizagem - EVA
as atividades de avaliaccedilatildeo (complementares a distacircncia e presenciais)
Ementa
Introduccedilatildeo algumas funccedilotildees baacutesicas da HP - 12C Caacutelculo de juros simples e composto Usando as funccedilotildees financeiras para caacutelculo de montante valor presente periacuteodo Usando as funccedilotildees financeiras para caacutelculo de taxas de juros seacuterie de pagamentos ou anuidades Usando as funccedilotildees data e hora para caacutelculo de nuacutemero de dias entre datas data futura data passada verificar o dia da semana para vencimentos futuros Elaboraccedilatildeo de planilhas de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos e financiamentos
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Carga Horaacuteria
15 horas-aula
Objetivos
Geral
Capacitar os participantes para a utilizaccedilatildeo da calculadora HP - 12C na resoluccedilatildeo de problemas praacuteticos promovendo a integraccedilatildeo entre teoria e praacutetica na aacuterea financeira
Especiacuteficos
Usar a Hp -12C para o caacutelculo de juros simples composto montante periacuteodo valor presente e pagamentos perioacutedicos
Fazer uso da HP - 12C para elaboraccedilatildeo de planilhas de amortizaccedilatildeo
Explorar as funccedilotildees data e hora da HP -12C
Usar a ferramenta para auxiliar na resoluccedilatildeo de problemas do cotidiano na aacuterea financeira
Conteuacutedo programaacuteticoobjetivos
Os objetivos de cada unidade definem o conjunto de conhecimentos que vocecirc deveraacute deter para o desenvolvimento de habilidades e competecircncias necessaacuterias agrave sua formaccedilatildeo Neste sentido veja a seguir as unidades que compotildeem o Livro Didaacutetico deste curso bem como os seus respectivos objetivos
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidades de estudo 4
Unidade 1 - Apresentando a calculadora HP ndash 12C
Unidade 2 - Regimes de capitalizaccedilatildeo simples e composto
Unidade 3 - Taxas de juros equivalentes e caacutelculo de pagamentos perioacutedicos
Unidade 4 - Valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Agenda de atividades Cronograma
Verifique com atenccedilatildeo o EVA e organize-se para acessar periodicamente o espaccedilo da Disciplina O sucesso nos seus estudos depende da priorizaccedilatildeo do tempo para a leitura da realizaccedilatildeo de anaacutelises e siacutenteses do conteuacutedo e da interaccedilatildeo com os seus colegas e professor virtual
Natildeo perca os prazos das atividades Registre as datas no espaccedilo a seguir com base no cronograma da disciplina disponibilizado no EVA
Use o quadro para agendar e programar as atividades relativas ao desenvolvimento da Disciplina
1UNIDADE 1
Apresentando a calculadora HP ndash 12C
Objetivos de aprendizagem
Apresentar as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C
Realizar caacutelculos elementares com a ferramenta
Conhecer os modos ldquoRPNrdquo e ldquoALGrdquo da HP
Utilizar as memoacuterias da calculadora para realizar caacutelculos
Usar as funccedilotildees de percentagem
Determinar datas futuras passadas e nuacutemero de dias entre datas
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 A calculadora HP ndash 12C
Seccedilatildeo 2 Caacutelculos aritmeacuteticos no modo ldquoRPNrdquo e no modo ldquoALGrdquo
Seccedilatildeo 3 Funccedilotildees de percentagem e calendaacuterio
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vamos lhe apresentar a calculadora HP ndash 12C com o objetivo de realizar caacutelculos aritmeacuteticos no modo ldquoRPNrdquo ndash Notaccedilatildeo Polonesa Reversa e no modo ldquoALGrdquo ndash Algeacutebrico Aleacutem disso vocecirc aprenderaacute a fazer uso das funccedilotildees de percentagem e calendaacuterio e em desdobramento aprenderaacute a determinar percentagens de um nuacutemero percentagem de um total e diferenccedila percentual caacutelculo de datas futuras e passadas e o nuacutemero de dias entre datas Vocecirc usaraacute as memoacuterias da calculadora para auxiliar nos caacutelculos eou armazenar dados que possam ser usados posteriormente
Seccedilatildeo 1 ndash A calculadora HP ndash 12C
Na presente etapa seratildeo apresentadas algumas funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para utilizaccedilatildeo neste curso Observe na figura 11 a imagem da calculadora
Figura 11- Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Arquivo do autor
17
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
Fique atento(a) ao fato de que muitas teclas da HP ndash 12C executam duas ou ateacute trecircs funccedilotildees A funccedilatildeo primaacuteria eacute indicada pelos caracteres impressos em branco na face superior As funccedilotildees secundaacuterias da calculadora satildeo impressas nas cores dourado e azul apresentadas respectivamente acima da tecla e na sua face inferior
Para acionar essas funccedilotildees acione a tecla de prefixo que eacute apropriada antes da tecla da funccedilatildeo ou seja e Veja na figura 12
Para selecionar a funccedilatildeo secundaacuteria impressa em dourado aperte a tecla de prefixo f e em seguida a tecla da funccedilatildeo
Para selecionar a funccedilatildeo primaacuteria impressa na face superior de uma tecla aperte somente a tecla
Para selecionar a funccedilatildeo secundaacuteria impressa em azul aperte a tecla de prefixo azul g e em seguida a tecla da funccedilatildeo
Figura 12 - Modo de acesso agraves funccedilotildees primaacuterias e secundaacuterias da Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Disponiacutevel em lthttphpcomlatambrprodutoscalculadorasgrandeprofessores12phtmlgt Acesso em 29 mai 2008
Entrando com nuacutemeros e separadores de diacutegitos
Para que vocecirc possa entrar com um nuacutemero na HP aperte as teclas correspondentes ao nuacutemero em sequecircncia O ponto decimal deve ser usado para separar a parte inteira da parte fracionaacuteria do nuacutemero Se vocecirc quiser pode configurar a calculadora para exibir a viacutergula como separador Para tanto desligue a calculadora e depois aperte simultaneamente as teclas
e
Para voltar
agrave configuraccedilatildeo anterior repita a operaccedilatildeo
Nuacutemeros negativos
A tecla troca o sinal de um nuacutemero no mostrador Portanto se vocecirc quiser trocar o sinal de um nuacutemero positivo que estaacute no visor aperte a tecla ele ficaraacute negativo E vice-versa
18
Universidade do Sul de Santa Catarina
As teclas ldquoCLEARrdquo (apagar)
A ilustraccedilatildeo a seguir apresenta as teclas ldquoClearrdquo que apagam ou zeram o mostrador as memoacuterias a memoacuteria de programaccedilatildeo os registradores financeiros os registros de pilha e registros estatiacutesticos Confira na figura 13
Apaga o mostrador
Apaga os registros estatiacutesticos registros da pilha e mostrador
Apaga a memoacuteria de programaccedilatildeo
Apaga os registros financeiros
Apaga os registros de armazenamento de dados registros financeiros registros de pilha LAST X e mostrador
Figura 13 - As teclas CLEAR da Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Registros de armazenamento
Os dados de entrada na HP ndash 12C podem ser armazenados em memoacuterias chamadas ldquoregistros de armazenamentordquo Quatro registros satildeo usados para o armazenamento de nuacutemeros durante os caacutelculos e mais um que eacute usado para armazenar o uacuteltimo nuacutemero chamado ldquoLAST Xrdquo
Aleacutem dos registros citados nos quais os nuacutemeros satildeo armazenados automaticamente existem outros 20 registros para o armazenamento manual de nuacutemeros Eles satildeo designados por R R R R a e a Outros registros de armazenamento designados como registros financeiros satildeo reservados para os nuacutemeros que seratildeo usados em caacutelculos financeiros
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
Armazenando recuperando nuacutemeros e zerando registros
Para armazenar um nuacutemero em um registro de armazenamento de dados aperte a tecla (armazenar) e em seguida um dos nuacutemeros de 0 a 9 para os registros R R
0 9 a e 0 a 9 para os
registros R R 0 9
a
Para recuperar um nuacutemero de um registro de armazenamento de dados aperte a tecla (recuperar) e em seguida um dos nuacutemeros de 0 a 9 para os registros R R
0 9 a e 0 a 9 para os
registros R R 0 9
a
Jaacute para zerar um uacutenico registro de armazenamento vocecirc pode armazenar o valor zero no registro Agora para zerar todos os registros de armazenamento de uma soacute vez ndash incluindo os registros financeiros os registros da pilha e o registro LAST X ndash aperte
E entatildeo estaacute motivado(a) para continuar Na proacutexima seccedilatildeo apresentaremos as teclas ldquoRPNrdquo e ldquoALGrdquo e faremos caacutelculos aritmeacuteticos usando esses modos
20
Universidade do Sul de Santa Catarina
Seccedilatildeo 2 ndash Caacutelculos aritmeacuteticos no modo ldquoRPNrdquo e no modo ldquoALGrdquo
A calculadora HP ndash 12C pode ser configurada para executar operaccedilotildees aritmeacuteticas nos modos RPN ndash Notaccedilatildeo Polonesa Reversa e ALG ndash Algeacutebrico No modo RPN os resultados intermediaacuterios nas operaccedilotildees aritmeacuteticas satildeo armazenados automaticamente portanto natildeo eacute necessaacuterio o uso dos parecircnteses Jaacute no modo ALG as operaccedilotildees elementares satildeo executadas de maneira convencional
Conheccedila alguns exemplos na sequecircncia do texto
Exemplo 11
Calcular 3 x 2 + 5 usando os modos RPN e ALG na HP ndash 12C
Resolvendo no modo RPN
Para configurar a calculadora no modo RPN aperte a tecla e em seguida Observe que vai aparecer o indicador RPN no visor da maacutequina
Agora que a calculadora estaacute no modo RPN vamos ao caacutelculo
3 2 5 11
Resultado
Resolvendo no modo ALG
Para configurar a calculadora no modo ALG aperte a tecla e em seguida Observe que vai aparecer o indicador ALG no visor da maacutequina
21
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
Calculando no modo algeacutebrico
3 2 5 11
Resultado
Os modelos mais antigos de calculadoras HP ndash 12C natildeo disponibilizam o modo algeacutebrico Portanto se vocecirc eacute usuaacuterio desse tipo de calculadora todos os caacutelculos devem ser efetuados no modo RPN
Exemplo 12
Resolver os caacutelculos solicitados a seguir usando os modos RPN e ALG
a) 3 2 5 33+ minus x
b) ( )minus + minus2 3 4 43 x
c) 2 9 3 52minus + + minus
d) 2 35
2+ minusln
e) 3 4 62+ minuse
Resolvendo no modo RPN
a)
3 2 3 5 3 - 4
Resultado
22
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b)
c)
d)
Obs para alterar a quantidade de casas decimais no visor da calculadora aperte e em seguida um nuacutemero de 1 a 9 que corresponde agrave quantidade de casas decimais No exemplo acima usamos
e)
2
3 3
4
4
0
Resultado
2
2
9 3 5 125
Resultado
2
3
5 2 0599
Resultado
3
2
46 5789
Resultado
23
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
Resolvendo no modo ALG com o auxiacutelio dos registros R R
0 9 a
a)
2
3
5 3 3
4
Resultado
Armazena o resultado do visor na memoacuteria 0
Recupera o registro da memoacuteria 0
b)
2
3
3 4
4 0
Resultado
c)
2 2
9
3 5 125
Resultado
24
Universidade do Sul de Santa Catarina
d)
e)
Exemplo 13
Usando a calculadora HP ndash 12C no modo RPN as seguintes operaccedilotildees bancaacuterias foram realizadas a conta tinha um saldo de R$ 12300 e foi feito um depoacutesito referente ao salaacuterio de R$ 189035 Em seguida foram emitidos e compensados cheques nos valores de R$ 38590 R$ 23478 e R$ 62389 Qual eacute o novo saldo da conta
Soluccedilatildeo use
para apresentar os caacutelculos com duas casas decimais
12300 189035 38590
23478 62389 76920
Saldo
2 3 5 2 0 0599
Resultado
3 2 46 5789
Resultado
25
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
Seccedilatildeo 3 ndash Funccedilotildees de percentagem e calendaacuterio
A calculadora HP ndash 12C apresenta funccedilotildees que permitem o caacutelculo de percentagens e de calendaacuterio Para caacutelculo com percentagens natildeo eacute necessaacuterio converter o nuacutemero na notaccedilatildeo percentual para a notaccedilatildeo decimal Jaacute as funccedilotildees calendaacuterio fornecidas pela HP trabalham com datas entre 15 de outubro de 1582 e 25 de novembro de 4046 A seguir vocecirc conheceraacute detalhadamente essas funccedilotildees
Funccedilotildees de percentagem
Calcula a Percentagem de um nuacutemero ou valor
Calcula a diferenccedila percentual entre dois nuacutemeros
Calcula qual percentual um nuacutemero eacute de outro
Figura 14 - Ilustraccedilatildeo das funccedilotildees de percentagem da Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Funccedilotildees de calendaacuterio
Configura o formato de uma data para dia-mecircs-ano
Configura o formato de uma data para mecircs-dia-ano
Calcula o nuacutemero de dias entre datas
Calcula datas futuras ou passadas
Figura 15 - Ilustraccedilatildeo das funccedilotildees de calendaacuterio da Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Nos exemplos a seguir estaacute demonstrado o uso de todas as funccedilotildees apresentadas Obs os caacutelculos vatildeo ser realizados no modo RPN
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 14
Calcular 16 de R$ 198000
Soluccedilatildeo
198000 1600 31680
Resultado
Exemplo 15
Determinada empresa com accedilotildees na bolsa de valores verificou as seguintes variaccedilotildees nos valores das suas accedilotildees no dia 150508 o valor da accedilatildeo passou de R$ 5025 para R$ 5498 jaacute no dia 210508 o valor da accedilatildeo caiu de R$ 5498 para R$ 5208 Qual a diferenccedila percentual nas duas situaccedilotildees
Soluccedilatildeo a sequecircncia a seguir apresenta a variaccedilatildeo percentual
Caacutelculo da variaccedilatildeo percentual de R$ 5025 para R$ 5498 usando a HP ndash 12C
5025 5498 941
Resultado
Observe que o resultado apresentado eacute positivo portanto representa aumento
Caacutelculo da variaccedilatildeo percentual de R$ 5498 para R$ 5208 usando a HP ndash 12C
27
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
5498 5208 -527
Resultado
Observe que o resultado apresentado eacute negativo portanto representa queda
Exemplo 16
A empresa do exemplo anterior atua na regiatildeo sul do Brasil com vendas totais realizadas no mecircs de abril de 2008 de R$ 589636996 distribuiacutedas da seguinte forma R$ 123656939 no Paranaacute R$ 356963920 em Santa Catarina e R$ 109016137 no Rio Grande do Sul Qual a percentagem das vendas totais em cada um dos trecircs Estados
Soluccedilatildeo
A sequecircncia apresenta os percentuais nos estados do Paranaacute Santa Catarina e Rio Grande do Sul
Soluccedilatildeo
589636996 123656939 2097
356963920 6054 109016137 1849
Resultado SC Resultado RS
Resultado PR
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 17
Comprei uma TV LCD em 17052008 com vencimento para 120 dias Determine a data do vencimento usando a calculadora HP ndash 12C
Soluccedilatildeo
17052008 120 14092008 7
A data do vencimento eacute 14 de setembro de
2008 domingo
Exemplo 18
Fiz uma compra no dia 12052008 com vencimento para o dia 26082008 Use a calculadora HP ndash 12C para determinar o nuacutemero de dias entre a data da compra e do vencimento
Soluccedilatildeo
12052008 20082008 100
Nuacutemero de dias entre as datas
Nesta unidade vocecirc conheceu algumas funccedilotildees elementares da calculadora as quais seratildeo utilizadas nas demais unidades e satildeo muito importantes para realizar caacutelculos que envolvem questotildees do nosso cotidiano Na proacutexima unidade vocecirc vai usar as funccedilotildees financeiras da calculadora para calcular juros simples e compostos descontos simples e compostos
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
Efetue as atividades de autoavaliaccedilatildeo e acompanhe as respostas e comentaacuterios a respeito nas paacuteginas finais deste material Para melhor aproveitamento do seu estudo realize a conferecircncia de suas respostas somente depois de fazer as atividades propostas Desse modo o momento da conferecircncia lhe proporcionaraacute novas oportunidades de aprendizagem
1 Calcule o valor das expressotildees numeacutericas a seguir usando a HP ndash 12C nos modos RPN e ALG
a) 2 5 3 8 24 minus + divide =x
b) minus + minus =3 5 32 3x eln
c) 16 25 3 45 89+ minus =x
d) 2
35 5
3+ minus =ln
e) 0 253
55
2 + minus =minus
2 Use a HP ndash 12C para realizar os caacutelculos e informar o saldo final da seguinte movimentaccedilatildeo financeira Saldo inicial na conta R$ 167890 depoacutesito de R$ 143587 cheques compensados nos valores de R$ 34598 R$ 12345 R$ 65790 e R$ 30987
3 No dia 130508 o doacutelar americano estava cotado em R$ 165 no dia 190508 a cotaccedilatildeo foi de R$ 161 Com base nestes dados indique qual foi a variaccedilatildeo percentual do doacutelar
4 Foi realizada uma compra em um supermercado no valor de R$ 67890 em 150508 Sabendo que esse estabelecimento trabalha com prazo de 90 dias use as funccedilotildees calendaacuterio da HP ndash 12C e determine a data e o dia da semana do vencimento
5 Uma empresa tem vendas mensais para o mecircs de maio de 2008 estimadas em R$ 178909000 Sabendo que o valor total das vendas estaacute distribuiacutedo nas cidades de Florianoacutepolis Curitiba e Porto Alegre com valores correspondentes a R$ 59089000 R$ 89767898 e R$ 30052102 respectivamente determine qual percentagem das vendas totais ocorre em cada uma das cidades
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Saiba mais
HPndash12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
No link abaixo vocecirc tem disponiacutevel o manual da calculadora HP ndash 12C na versatildeo online lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt
2UNIDADE 2
Regimes de capitalizaccedilatildeo simples e composto
Objetivos de aprendizagem
Fazer uso das funccedilotildees financeiras da calculadora HP ndash 12C para calcular juros simples e composto
Dominar o caacutelculo do montante simples e composto
Aprender o caacutelculo de desconto simples e composto
Calcular capital taxa e prazo no regime de capitalizaccedilatildeo composto usando a HP ndash 12C
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Regime de capitalizaccedilatildeo simples
Seccedilatildeo 2 Regime de capitalizaccedilatildeo composto
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc vai fazer uso das funccedilotildees financeiras da HP ndash 12C com o objetivo de realizar caacutelculos de juros simples e composto montantes simples e composto descontos simples e composto caacutelculo de taxas e prazos
Nesta etapa de estudos seratildeo utilizados exemplos do material didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira que estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do Espaccedilo Virtual de Aprendizagem ndash EVA Eacute importante lembrar natildeo ser objetivo deste curso discutir os conceitos da Matemaacutetica Financeira mas apenas utilizar as funccedilotildees disponibilizadas na calculadora para resolver problemas relacionados a essa aacuterea Entretanto caso vocecirc julgue importante os conceitos podem ser relembrados ou vistos no material didaacutetico da disciplina
Seccedilatildeo 1 ndash Regime de capitalizaccedilatildeo simples
Na unidade 1 vocecirc foi apresentado(a) agrave calculadora HP ndash 12C e a algumas das suas funccedilotildees com o objetivo de capacitaacute-lo(a) para o uso adequado dessa ferramenta Esta unidade inicia com uma abordagem sobre os registradores financeiros os quais seratildeo utilizados na maioria dos exemplos que deveratildeo ser resolvidos ao longo das proacuteximas seccedilotildees desta unidade e nas demais unidades deste curso Veja na ilustraccedilatildeo a seguir os registradores financeiros e as suas aplicaccedilotildees
Registra e armazena periacuteodo
Registra e armazena taxa
Registra e armazena valor presente
Registra e armazena pagamentos perioacutedicos
Registra e armazena valor futuro
Figura 21 - Registradores financeiros e as suas aplicaccedilotildees Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
Para armazenar um nuacutemero em um registrador financeiro digite o nuacutemero e em seguida uma das teclas correspondentes ilustradas acima
Para exibir um nuacutemero armazenado em um dos registradores financeiros aperte e em seguida a tecla correspondente
Para zerar todos os registradores financeiros aperte a sequecircncia de teclas
Eacute importante lembrar que os registradores financeiros tambeacutem satildeo zerados ao apertar a sequecircncia
e quando a memoacuteria contiacutenua eacute
reinicializada
A seguir vocecirc faraacute caacutelculo de juros simples e de descontos simples usando a HP ndash 12C
Regime de capitalizaccedilatildeo simples
A HP ndash 12C calcula automaticamente juros simples ordinaacuterios ndash usando o ano comercial e juros simples exatos ndash usando um ano de 365 dias simultaneamente
Eacute possiacutevel apresentar qualquer um dos dois e mais com os juros acumulados no mostrador podemos calcular o montante apertando a tecla
Para exemplificar vamos resolver problemas do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira que se encontra disponiacutevel (formato digital) na ferramenta Midiateca do EVA ndash Espaccedilo Virtual de Aprendizagem
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 21 (exemplo 1 paacuteg 29 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital de R$ 1800000 foi aplicado a juros simples durante 3 anos agrave taxa de 6 aa Qual eacute o valor dos juros e o montante adquirido
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula os juros e o montante
Exemplo 22 (exemplo 1 paacuteg 33 do livro Matemaacutetica Financeira)
Ache os juros simples exatos auferidos em uma aplicaccedilatildeo de R$ 1500000 a uma taxa de 16 aa de 20 de abril de 2003 a 1ordm de julho de 2003
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula os juros comerciais e os juros exatos
Neste exemplo utilizamos duas teclas que seratildeo ilustradas a seguir para realizar o caacutelculo dos juros exatos
1800000 1080 6
324000 2124000
Juros Montante
No caacutelculo de Juros simples o periacuteodo deve ser em dias
Calcula juros simples
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Unidade 2
1500000 20042003 01072003
72 16 48000 47342
Juro comercial Juro exato nordm de dias
Ao apertar essa tecla ela rola para baixo o conteuacutedo da pilha para visualizaccedilatildeo no registro X
Ao apertar essa tecla ela troca o conteuacutedo dos registros X e Y da pilha
Figura 22 - Teclas utilizadas para registros de dados Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Exemplo 23 (exemplo 2 paacuteg 34 do livro Matemaacutetica Financeira)
Determine o juro simples exato obtido em uma aplicaccedilatildeo de R$ 1300000 durante 146 dias a uma taxa de 9 aa
Soluccedilatildeo a sequecircncia a seguir realiza os caacutelculos solicitados
1330000 146 9
48545 47880
Juro comercial Juro exato
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Exemplo 24 (exemplo 1 paacuteg 47 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma duplicata de R$ 1500000 com vencimento no dia 03042005 foi descontada em um banco em 08012005 a uma taxa de 25 am Qual eacute o desconto simples bancaacuterio da operaccedilatildeo
Soluccedilatildeo
08012005 03042005 85
1500000 0025 30 106250
Taxa decimal Desconto bancaacuterio
Nordm de dias entre as datas
Exemplo 25 (exemplo 1 paacuteg 48 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma empresa descontou um tiacutetulo com valor de face de R$ 1450000 3 meses e 15 dias antes do vencimento com uma taxa de desconto bancaacuterio simples de 24 am Quanto a empresa recebeu liacutequido na operaccedilatildeo
Soluccedilatildeo
1450000 0024 35 1450000 1328200
Periacuteodo em meses Valor liacutequidoTaxa decimal
37
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Unidade 2
Exemplo 26 (exemplo 1 paacuteg 49 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma duplicata de R$ 4800000 foi descontada 6 meses antes de seu vencimento em uma instituiccedilatildeo financeira que trabalha com uma taxa de desconto simples de 32 am Com base nestes dados determine
o valor do desconto simples bancaacuterio
o valor do desconto simples racional
Soluccedilatildeo
4800000 6 0032 921600
Taxa decimal Valor liacutequido
921600 1 0032
6 773154
Taxa decimal Valor liacutequido
Na proacutexima seccedilatildeo vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros compostos e de desconto compostos
38
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Seccedilatildeo 2 ndash Regime de capitalizaccedilatildeo composto
Os exemplos apresentados a partir de agora satildeo ilustrativos de uma ampla variedade de caacutelculos financeiros Para resolvecirc-los vocecirc precisa estruturaacute-los identificando os elementos baacutesicos do problema de maneira que fiquem evidentes as quantidades que devem ser fornecidas agrave calculadora e quem eacute o valor desconhecido ou seja o valor que desejamos determinar
Na resoluccedilatildeo dos caacutelculos usando a HP ndash 12C eacute indispensaacutevel elaborar o diagrama de fluxo de caixa Eacute importante ressaltar que a calculadora precisa de ajuda para comparar o fluxo de caixa ou seja eacute preciso informar quando temos uma entrada ou uma saiacuteda
O fluxo de caixa serve para demonstrar graficamente as transaccedilotildees financeiras em um periacuteodo de tempo
O tempo eacute representado por uma linha horizontal dividida pelo nuacutemero de periacuteodos relevantes para anaacutelise As entradas ou recebimentos satildeo representados por setas verticais apontadas para cima e as saiacutedas ou pagamentos satildeo representados por setas verticais apontadas para baixo Observe o modelo simplificado
(+) entradas
(-) saiacutedas
tempo (n)
Veja agora o modelo detalhado
Entradas
Saiacutedas
Tempo
Fluxo de caixa pode ser definido como sendo a movimentaccedilatildeo de recursos financeiros (entradas e saiacutedas de caixa) ao longo de um periacuteodo de tempo - agrave entrada e saiacuteda de dinheiro O conceito caixa (financeiro) natildeo pode ser confundido com conceito de competecircncia (contaacutebil)
39
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
Na HP-12C a tecla (do inglecircs Change Sign) serve para introduzir ou tirar um sinal negativo de um nuacutemero ou seja faz o fluxo de caixa
Na sequecircncia de exemplos apresentados a seguir realizaremos caacutelculos de juros montantes valor presente prazo taxa de juros e descontos no regime composto com o auxiacutelio dos registradores financeiros da calculadora HP ndash 12C
Exemplo 27 (exemplo 1 paacuteg 58 do livro Matemaacutetica Financeira)
Qual o montante gerado por um capital de R$ 450000 aplicado por 9 meses a juros compostos a uma taxa de 35 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o montante composto
450000 9 35 613304
MontanteFluxo de caixa saiacuteda do dinheiro para aplicaccedilatildeo
Exemplo 28 (exemplo 2 paacuteg 58 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital de R$ 1200000 foi aplicado a juros compostos durante 6 meses agrave taxa de 2 am Calcule os juros auferidos na aplicaccedilatildeo
Soluccedilatildeo use a sequecircncia a seguir para calcular os juros
1200000 6 2
1351395 151395
Montante Juros
Fluxo de caixa saiacuteda do dinheiro para aplicaccedilatildeo
Recupera um valor em um registrador
financeiro
40
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Exemplo 29 (exemplo 3 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital ldquoXrdquo eacute aplicado a juros compostos agrave taxa de 35 am gerando um montante de R$ 1950000 apoacutes 1 ano e 3 meses Determine o capital ldquoXrdquo
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar o capital
1950000 35 15 -1163937
Capital aplicado
Exemplo 210 (exemplo 4 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
A que taxa mensal de juros compostos um capital de R$ 1250000 pode transformar-se em R$ 1537342 no periacuteodo de 7 meses
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
1250000 1537342 7 300
Taxa de juros mensal
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Unidade 2
Exemplo 211 (exemplo 5 paacuteg 60 do livro Matemaacutetica Financeira)
Em que prazo um empreacutestimo de R$ 3500000 pode ser pago pela quantia de R$ 4790000 se a taxa de juros compostos cobrada for de 4 am
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
3500000 4790000 4 8
Periacuteodo em meses
Funccedilatildeo ldquoCrdquo na HP ndash 12C e as teclas ldquoSTOrdquo e ldquoEEXrdquo
Vocecirc pode calcular taxa de juros (i) Capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos Perioacutedicos (PMT) para transaccedilotildees financeiras com periacuteodos fracionaacuterios Ao digitar um periacuteodo fracionaacuterio por exemplo 23 meses a parte inteira do nuacutemero indica o nuacutemero de periacuteodos inteiro e a parte fracionaacuteria do nuacutemero o tamanho do periacuteodo fracionaacuterio como uma fraccedilatildeo do periacuteodo inteiro (no exemplo 2 meses e 03 meses)
De acordo com o criteacuterio do usuaacuterio os caacutelculos de taxa de juros ( i ) capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos perioacutedicos (PMT) podem ser executados com juros simples ou compostos acumulados durante o periacuteodo fracionaacuterio Para escolher uma das duas opccedilotildees faccedila
Aparece o indicador ldquoCldquo Portanto os juros compostos satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Natildeo aparece o indicador ldquoCrdquo Portanto os juros simples satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Figura 23 - Teclas utilizadas para caacutelculo de juros simples e compostos para periacuteodo fracionaacuterio Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
42
Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 212
Calcular o valor futuro de uma aplicaccedilatildeo de R$ 185030000 aplicado agrave taxa de 14 aa durante 45 anos usando juros compostos e simples para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Soluccedilatildeo as sequecircncias a seguir apresentam os resultados para o caacutelculo do valor futuro com juros simples para o periacuteodo fracionaacuterio e juros compostos para o periacuteodo fracionaacuterios respectivamente
185030000 14
45 334383879
Valor futuro calculado com juros simples para o periacuteodo
fracionaacuterio
185030000
14 45 333667556
Valor futuro calculado com juros compostos para o
periacuteodo fracionaacuterio
Exemplo 213 (exemplo 1 paacuteg 81 do livro Matemaacutetica Financeira)
Determine o valor do desconto composto racional e o valor do resgate de um tiacutetulo de R$ 1560000 descontado 5 meses antes do seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto composto racional eacute de 4 am
43
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor do desconto racional composto e o valor liacutequido a receber
1560000 1
1 004 5
277794 1560000 1282206
Valor do desconto Valor liacutequido
Exemplo 214 (exemplo 1 paacuteg 84 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um tiacutetulo de valor nominal de R$ 1500000 eacute descontado em um banco 3 meses antes de seu vencimento Se a taxa de desconto comercial usada pelo banco eacute de 8 am qual eacute o valor do desconto
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor liacutequido e o valor do desconto bancaacuterio ou comercial
1500000 3 8
-1168032 331968
Valor liacutequido Valor do desconto
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Nesta unidade vocecirc usou a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros simples e compostos descontos simples e compostos valor presente taxa de juros periacuteodo e montante Na proacutexima unidade usaremos a ferramenta para auxiliar no caacutelculo de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir foram propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo em PDF estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as questotildees 1 3 5 e 6 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteginas 38 e 39 Confira os resultados na paacuteg 194
1) Qual o rendimento que obtemos ao aplicarmos um capital de R$ 1000000 a uma taxa de juros simples de 5 aa durante 3 anos
3) Em um regime de capitalizaccedilatildeo simples qual eacute o montante que se obteacutem quando aplicamos um capital de R$ 200000 a uma taxa 6 aa durante 24 meses
5) Uma quantia de R$ 6200000 foi aplicada em uma operaccedilatildeo financeira no dia 20 de setembro de 2003 e resgatada no dia 21 de dezembro de 2003 a uma taxa de 125 aa Quais os juros simples exatos e comerciais da operaccedilatildeo
6) Calcule os juros simples exatos e comerciais nas seguintes condiccedilotildees
bull R$ 600000 aplicados por 180 dias a 12 aa
bull R$ 520000 aplicados por 230 dias a 15 aa
45
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
2 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 2 e 4 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegs 52 e 53 Confira os resultados nas paacuteginas 194 e 195
1) Uma empresa desconta uma duplicata no valor nominal de R$ 5000000 no Banco ldquoXrdquo 4 meses antes do seu vencimento Sabendo que o banco ldquoXrdquo trabalha com uma taxa de desconto simples bancaacuterio de 45 am qual eacute o valor do desconto e o valor liacutequido recebido
2) Para pagar uma diacutevida hoje uma empresa descontou em uma carteira de creacutedito uma duplicata no valor de R$ 1650000 com vencimento daqui a 2 meses recebendo um valor nominal liacutequido de R$ 1500000 Determine a taxa mensal de desconto simples bancaacuterio utilizada
4) Uma letra de cacircmbio no valor nominal de R$ 500000 foi comercializada 4 meses antes do vencimento a uma taxa de desconto simples de 22 am Se o desconto simples fosse o racional qual seria o valor deste desconto
3 Elabore uma sequecircncia de passos para resolver as questotildees propostas 1 2 3 4 e 6 nas paacuteginas 65 66 e 67 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira e confira os resultados na paacuteg 195
1) Calcule o montante produzido por um capital de R$ 2600000 aplicado a uma taxa de juros compostos de 52 am por 6 meses
2) Calcule os juros compostos auferidos por um capital de R$ 420000 aplicado a uma taxa de 3 am durante 10 meses
3) Um empreacutestimo de R$ 600000 deve ser pago em 120 dias a juros compostos pelo valor de R$ 900000 Qual eacute a taxa mensal da operaccedilatildeo
4) Em que prazo uma aplicaccedilatildeo a juros compostos de R$ 2400000 produziraacute um montante de R$ 6151930 agrave taxa de 4 am
6) Quanto Paulo deve aplicar hoje a juros compostos em uma instituiccedilatildeo financeira que paga uma taxa de 12 am para pagar um compromisso de valor nominal igual a R$ 3800000 que vence daqui a 3 meses
46
Universidade do Sul de Santa Catarina
4 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 e 8 das paacuteginas 88 e 90 respectivamente do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira Confira os resultados na paacuteg 196
1) Determine o valor do desconto composto racional de um tiacutetulo de valor nominal de R$ 830000 descontado 6 meses antes de seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto eacute de 42 am
8) Um tiacutetulo de R$ 3000000 foi descontado em uma instituiccedilatildeo financeira a uma taxa de desconto composto comercial de 64 am e o valor liacutequido recebido era de R$ 2017327 Quantos meses antes do vencimento foi descontado este tiacutetulo
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
3UNIDADE 3
Taxas de juros equivalentes e caacutelculo de pagamentos perioacutedicos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para calcular taxas equivalentes
Usar as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP ndash 12C para programar o algoritmo da taxa equivalente no regime de capitalizaccedilatildeo composto
Calcular pagamentos perioacutedicos de sequecircncias uniformes postecipadas e antecipadas
Calcular montante de uma sequecircncia uniforme
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Taxas equivalentes
Seccedilatildeo 2 Sequecircncia de capitais
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar taxas equivalentes no regime de capitalizaccedilatildeo composto Vocecirc usaraacute as funccedilotildees de programaccedilatildeo com o objetivo de elaborar um algoritmo para fazer a conversatildeo de taxas de um periacuteodo de capitalizaccedilatildeo (ex mensal) para outro periacuteodo (ex anual) usando o programa Vamos explorar as funccedilotildees ldquoPMTrdquo ldquoBEGrdquo e ldquoENDrdquo para realizar caacutelculo de pagamentos antecipados e postecipados em uma sequecircncia uniforme Destacamos que os exemplos que seratildeo apresentados estatildeo no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira
Seccedilatildeo 1 ndash Taxas equivalentes
Nesta unidade vocecirc usaraacute algumas funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos (postecipados e antecipados) de uma seacuterie uniforme Vocecirc usaraacute ainda as funccedilotildees de programaccedilatildeo para elaborar um programa para calcular taxas equivalentes A figura a seguir apresenta as funccedilotildees que vocecirc usaraacute nos exemplos apresentados posteriormente
Aciona o modo de programaccedilatildeo de HP ndash 12C
Aciona a funccedilatildeo Begin que calcula a parcela com pagamento antecipado
Aciona a funccedilatildeo End (natildeo aparece no visor da calculadora) que calcula parcela com pagamento postecipado
Figura 31 - Teclas utilizadas para acionar as funccedilotildees Beg e End e entrar no modo de programaccedilatildeo
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
Taxas equivalentes
No mercado financeiro e nas operaccedilotildees bancaacuterias e comerciais a palavra taxa eacute empregada de vaacuterias formas ou seja vaacuterios conceitos satildeo abordados em vaacuterias situaccedilotildees Esta seccedilatildeo tem como objetivo mostrar como as taxas de juros satildeo informadas no mercado financeiro e como adequaacute-las agraves condiccedilotildees padronizadas pela HP ndash 12C
Duas taxas satildeo consideradas equivalentes a juros compostos quando aplicadas a um mesmo capital por um periacuteodo de tempo equivalente e geram o mesmo rendimento
Exemplo 31(exemplo 1 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
No regime de juros compostos qual a taxa anual equivalente a 4 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente anual
Exemplo 32 (exemplo 2 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
Calcule a taxa quadrimestral equivalente agrave taxa de juros compostos de 8 aa
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente quadrimestral
1 004 12 1 1 10000 6010
Taxa anual
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Universidade do Sul de Santa Catarina
1 008 1 3 1 10000 260
Taxa quadrimestral
Programa para caacutelculo da taxa equivalente pela hp ndash 12c
O professor Carlos Shinoda em seu livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48) apresenta um programa para calcular a taxa equivalente atraveacutes da calculadora HP ndash 12C
Siga os procedimentos abaixo para introduzir o programa na HP ndash 12C
Figura 32 - Algoritmo para a programaccedilatildeo de taxa equivalente
Fonte Livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48)
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
Agora que vocecirc programou a HP ndash 12C para o caacutelculo de taxas equivalentes resolva o exemplo a seguir usando o programa
Exemplo 33
Usando o programa anterior determine as taxas equivalentes propostas nos exemplos 31 e 32
Soluccedilatildeo
As sequecircncias abaixo calculam as taxas equivalentes
Executa oprograma
4 1 12 6010
Taxa anual
Executa oprograma
8 360 120 260
Taxa quadrimestral
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Seccedilatildeo 2 ndash Sequecircncia de capitais
Nesta seccedilatildeo vocecirc acompanharaacute as situaccedilotildees em que haacute mais de um pagamento ou seja vocecirc estudaraacute as operaccedilotildees envolvendo pagamentos ou recebimentos perioacutedicos e uniformes
As seacuteries uniformes de pagamentos satildeo aquelas em que os pagamentos ou recebimentos satildeo constantes e ocorrem em intervalos iguais
Seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas e antecipadas
As seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1 Este sistema eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada (0 + n)
Pagamentos ou recebimentos podem ser chamados de prestaccedilatildeo representada pela sigla PMT que vem do inglecircs Payment e significa pagamento ou recebimento
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentosPMT
++
0 1 2 3 4 5 6 n
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
++
0 1 2 3 4 5 6 n
PMT
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
As seacuteries uniformes de pagamentos antecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre na data focal 0 (zero) Este tipo de sistema de pagamento eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento com entrada (1+ n)
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
Exemplo 34 (exemplo 2 paacuteg 108 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um automoacutevel eacute vendido em uma loja por R$ 3200000 A loja propotildee as seguintes condiccedilotildees para financiamento
Proposta A 12 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta B 24 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta C 36 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
A taxa de juros usada eacute de 32 am Qual o valor de cada prestaccedilatildeo nas 3 modalidades de financiamento
Soluccedilatildeo
As sequecircncias a seguir calculam os valores das parcelas nas trecircs propostas
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Universidade do Sul de Santa Catarina
3200000
32 12 -325329
parcela
3200000
32 24 -193046
parcela
3200000
32 36 -150979
parcela
Exemplo 35 (exemplo 2 paacuteg 111 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma casa cujo valor agrave vista eacute R$ 4924456 eacute vendida em prestaccedilotildees mensais e iguais de R$ 250000 sendo a primeira dada como entrada Se a taxa de financiamento eacute de 18 am determine o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas no financiamento
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o nuacutemero de parcelas
4924456 18
250000 24
nordm de parcelas
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
No exemplo acima o nuacutemero de pagamento deu um nuacutemero inteiro Mas podem acontecer situaccedilotildees em que ao se determinar o nuacutemero de parcelas o resultado natildeo seja um nuacutemero inteiro
Nessa situaccedilatildeo a HP ndash 12C arredonda a resposta para o proacuteximo inteiro para cima antes de armazenaacute-la e exibi-la
Exemplo 36
Vocecirc comprou um terreno por R$ 3500000 a juros de 105 aa Vocecirc pretende fazer pagamentos de R$ 32500 no fim de cada mecircs Quantos pagamentos seratildeo necessaacuterios para pagar o terreno e quanto tempo levaraacute
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o nuacutemero de pagamentos e o tempo necessaacuterio
3500000 105
32500 328 2733
nordm de parcelas Tempo (anos)
Como a calculadora arredonda o valor do tempo para o proacuteximo inteiro eacute provaacutevel que apesar de serem necessaacuterios 328 pagamentos somente 327 seratildeo inteiros de R$ 32500 com o pagamento final sendo menor do que R$ 32500 Para calcular o valor do pagamento de nuacutemero 328 vamos fazer o seguinte
A calculadora natildeo ajusta os valores nos outros registros financeiros automaticamente para refletir os n pagamentos iguais ao contraacuterio ela lhe permite escolher quais valores (se houver) que vocecirc deseja ajustar
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Universidade do Sul de Santa Catarina
328 18189 - 32500 -14311
Valor da parcela 328
Nesta unidade vocecirc calculou taxas equivalentes usou as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP e fez caacutelculos de pagamentos perioacutedicos de uma seacuterie uniforme antecipado ou postecipado Na proacutexima unidade vamos realizar caacutelculos de valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades abaixo (Essa atividade corresponde agrave autoavaliaccedilatildeo 1 da unidade 5 do livro didaacutetico de Matemaacutetica Financeira) Em seguida use o programa elaborado para resolver a mesma questatildeo
Calcule a taxa anual das seguintes taxas
a) 26 am
b) 42 ab
c) 48 at
d) 12 as
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
2 Elabore um algoritmo para resolver as seguintes atividades (Estas questotildees equivalem agraves autoavaliaccedilotildees 1 2 3 4 e 5 da unidade 8 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 121 122 e 123)
a) Calcule o valor da prestaccedilatildeo mensal de um empreacutestimo de R$ 600000 que seraacute amortizado em 12 prestaccedilotildees mensais postecipadas sabendo que o banco cobra uma taxa de juros de 2 am
b) Uma loja vende um automoacutevel agrave vista por R$ 1650000 Se o comprador quiser fazer um financiamento em 36 parcelas mensais e iguais onde o 1ordm pagamento seraacute efetuado no 1ordm mecircs apoacutes a compra a uma taxa de juros de 21 am qual o valor da prestaccedilatildeo
c) Uma mercadoria custa R$ 9038071 agrave vista podendo ser vendida em prestaccedilotildees mensais de R$ 1050000 sendo a primeira prestaccedilatildeo dada como entrada Sabendo-se que a loja aplica uma taxa de 35 am qual o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas
d) Carlos depositou certa quantia durante 10 meses de forma antecipada a uma taxa de 25 am obtendo um montante de R$ 25000000 Quanto depositou mensalmente Carlos
e) Um produto eacute vendido agrave vista por R$ 200000 ou em 10 prestaccedilotildees mensais iguais sem entrada com uma carecircncia de 90 dias apoacutes a compra Qual o valor de cada prestaccedilatildeo sabendo que a taxa de juros eacute de 6 am
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
4UNIDADE 4
Valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa
Usar as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Valor presente liacutequido
Seccedilatildeo 2 Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs ndash SFA (Price)
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa usando as funccedilotildees CF0 CFj e NPV Vocecirc deveraacute ainda fazer uso da funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos usando o Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo ndash SFA ou tabela Price
Seccedilatildeo 1 ndash Valor presente liacutequido
A figura 41 a seguir apresenta as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C que vocecirc usaraacute nessa unidade para realizar caacutelculo de valor presente liacutequido e para a elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos ou financiamento
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor inicial do fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor do fluxo de caixa no periacuteodo j
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula o valor presente atual de um fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula a parte dos pagamentos usada para pagar juros
Figura 41 - Teclas para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
Valor presente liacutequido
Nessa seccedilatildeo vocecirc usaraacute as funccedilotildees da HP ndash 12C para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa Para entender como usar as funccedilotildees CF0 CFj e NPV considere o fluxo de caixa para um investimento que exige capital inicial (CF0) e que gera um fluxo de caixa (CFj ) no final de j periacuteodos
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Veja a seguir o fluxo de caixa
CF0CF1
CF2 CF5
CFn
CF3 CF4
O VPL = Valor Presente Liacutequido eacute calculado somando ao investimento inicial o valor presente dos fluxos de caixa futuros projetados Portanto
se o VPL for positivo o valor financeiro do ativo do investidor aumentaraacute ou seja o investimento financeiro seraacute atrativo em termos financeiros
se o VPL for zero o valor financeiro do ativo financeiro do investidor natildeo mudaraacute ou seja o investidor seraacute indiferente ao investimento
se o VPL for negativo o valor financeiro do ativo do investidor seraacute reduzido ou seja o investimento natildeo seraacute atrativo em termos financeiros
Exemplo 41
Um investidor compra uma casa por R$ 7000000 e gostaria de ter um retorno de pelo menos 15 Ele pretende manter a casa por 4 anos e depois vendecirc-la por R$ 11000000 Ele prevecirc os fluxos de caixa mostrados no diagrama abaixo
CF0CF1
CF1
CF3CF4
CF5
R$ 7000000
R$ 50000
R$ 450000R$ 450000
R$ 13000000R$ 550000
Sendo assim calcule o VPL para determinar se o investimento resultaria em um retorno ou perda
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o VPL
7000000 50000
450000 550000 450000
13000000 15 379007
VPL
Como o VPL eacute positivo o investimento aumentaria o valor financeiro do ativo do investidor
Exemplo 42 (exemplo 4 paacuteg 98 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um proprietaacuterio recebeu as seguintes propostas para a venda de uma casa
Proposta A entrada de R$ 10000000 + R$ 5000000 em 6 meses + R$ 6000000 em 1 ano
Proposta B entrada de R$ 8000000 + R$ 6000000 em 5 meses + R$ 7000000 em 10 meses
Sabendo-se que a taxa de juros de mercado eacute de 3 am qual a melhor proposta para o vendedor
Soluccedilatildeo
Essa questatildeo deve ser resolvida pelo meacutetodo do Valor Presente Liacutequido A alternativa que tiver o maior valor seraacute a melhor Entretanto para facilitar a elaboraccedilatildeo do algoritmo de resoluccedilatildeo na HP ndash 12C elabore o fluxo de caixa para cada situaccedilatildeo
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
1 Proposta A Fluxo de caixa
10000000 5000000 6000000
1 2 3 4 5 7 8 9 10 110 6 12
Calculando o VPL
10000000 000 5
5000000 000
5
6000000
3
18395701
VPL
Armazena o zero 5 vezes
2 Proposta B Fluxo de caixa
8000000 70000006000000
1 2 3 4 6 7 8 90 5 10
Calculando o VPL
8000000 000 4
6000000 000
4
7000000
3
18384310
VPL
Armazena o zero 4 vezes
Resposta a melhor proposta eacute a A
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Exemplo 43
Dois equipamentos satildeo examinados Considerando ser a taxa miacutenima de atratividade de 20aa qual o equipamento que deve ser adquirido
Dados
41 - Tabela de DadosEquipamento K Equipamento L
Custo R$ 5000000 R$ 8000000Custo anual de manutenccedilatildeo R$ 2000000 R$ 1500000Valor residual para venda R$ 400000 R$ 800000Duraccedilatildeo em anos 10 10
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
A seguir veja o diagrama de fluxo de caixa
Os caacutelculos do Valor Presente Liacutequido para as duas situaccedilotildees satildeo
Equipamento K
5000000
Equipamento K
2000000
400000
0 1 2 10
8000000
Equipamento L
1500000
800000
0 1 2 10
50000 20000
9 4000 20000 1
20 -13320342
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Unidade 4
Equipamento L
80000 15000
9 8000 15000 1
20 -14159504
Importante Veja que a alternativa K equivale a um equipamento em que se investe R$ 13320342 enquanto que o equipamento L equivale a um investimento de R$ 14159504 Portanto eacute preferiacutevel o equipamento K pois o investimento eacute menor
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Seccedilatildeo 2 ndash Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs - SFA
Este sistema consiste no pagamento de empreacutestimos ou financiamentos com prestaccedilotildees iguais e com periodicidade constante Eacute considerado o sistema de amortizaccedilatildeo mais utilizado pelas instituiccedilotildees financeiras e pelo comeacutercio em geral
O Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo eacute assim chamado por ter sido inventado na Franccedila por volta do seacuteculo XVIII pelo matemaacutetico inglecircs Richard Price daiacute portanto a origem da denominaccedilatildeo Sistema Price tambeacutem comumente chamado de Tabela Price
Na verdade a Tabela Price eacute um caso particular derivado do Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo Neste sistema o financiamento (PV) eacute pago em parcelas (PMT) iguais constituiacutedas da amortizaccedilatildeo do principal da diacutevida + juros compensatoacuterios (J) que variam inversamente ao longo do tempo Ou seja agrave medida que aumenta o valor da parcela de amortizaccedilatildeo haveraacute uma queda dos juros compensatoacuterios em funccedilatildeo da reduccedilatildeo do saldo devedor
Principais Caracteriacutesticas
As principais caracteriacutesticas do SFA satildeo
a prestaccedilatildeo eacute constante durante todo o periacuteodo do financiamento
a parcela de amortizaccedilatildeo aumenta a cada periacuteodo (n)
os juros compensatoacuterios diminuem a cada periacuteodo (n)
Exemplo 44 (exemplo 1 paacuteg 148 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma instituiccedilatildeo financeira libera um empreacutestimo para uma induacutestria no valor de R$ 60000000 para ser pago pelo sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs em 120 meses a uma taxa de 15 am Faccedila a planilha ateacute o 4ordm mecircs e calcule o saldo devedor no 100ordm mecircs
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Unidade 4
Soluccedilatildeo
A sequecircncia abaixo calcula o valor da prestaccedilatildeo os juros a amortizaccedilatildeo o saldo devedor e valor do saldo devedor no 100ordm mecircs Acompanhe
Zera os registradores
60000000 Armazena o valor presente
120 Armazena o periacuteodo
15 Armazena a taxa
- R$ 1081111 Valor da prestaccedilatildeo
1 - R$ 900000 Valor dos juros da 1ordf parcela
R$ 181111Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 1ordf parcela
R$ 58918889 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 897283 Valor dos juros da 2ordf parcela
- R$ 183828Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 2ordf parcela
R$ 59635061 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 894526 Valor dos juros da 3ordf parcela
- R$ 186585Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 3ordf parcela
R$ 59448476 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 891727 Valor dos juros da 4ordf parcela
- R$ 189384Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 4ordf parcela
R$ 59259092 Recupera o saldo devedor
A tabela a seguir apresenta um resumo das operaccedilotildees realizadas
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Tabela 42 ndash Planilha de amortizaccedilatildeoPeriacuteodo (n) Amortizaccedilatildeo (A) Juros (J) Prestaccedilotildees (R) Saldo Devedor (S)
0 - - - R$ 600000001 R$ 181111 R$ 900000 R$ 1081111 R$ 598188892 R$ 183828 R$ 897283 R$ 1081111 R$ 596350613 R$ 186585 R$ 894526 R$ 1081111 R$ 594484764 R$ 189384 R$ 891727 R$ 1081111 R$ 59259092
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Para determinar o saldo devedor no 100ordm mecircs faccedila como indicado a seguir
60000000 120 150
-1081111 18561247
Prestaccedilatildeo Saldo devedor no 100ordm mecircs
Nesta unidade vocecirc usou as funccedilotildees de fluxo de caixa para calcular o valor presente liacutequido e a funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
69Unidade 4
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Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades a seguir (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 4 e 5 da unidade 7 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegina 102) Em seguida use o programa elaborado para resolver as mesmas questotildees
a) Qual das alternativas de pagamento eacute a melhor para uma taxa de juros compostos de 75 am
Alternativa A Pagamento de R$ 15000000 agrave vista
Alternativa B Entrada de R$ 5000000 + R$ 8000000 em 90 dias + R$ 6000000 em 150 dias
b) Uma pessoa deve a um banco dois tiacutetulos com valores de R$ 300000 e R$ 600000 venciacuteveis respectivamente em 4 meses e 8 meses Se a pessoa deseja antecipar para hoje a liquidaccedilatildeo dos tiacutetulos qual o valor a pagar considerando que o banco opera com uma taxa de juros compostos de 23 am
2 Elabore um algoritmo para resolver as atividades abaixo (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 1 e 4 da unidade 10 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 151 e 153)
a) Um cliente solicita a um banco um empreacutestimo de R$ 4000000 pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs em 60 prestaccedilotildees mensais Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de juros de 28 am obtenha o valor da prestaccedilatildeo e o saldo devedor depois de pagar a 20ordf prestaccedilatildeo
b) Um empreacutestimo de R$ 30000000 seraacute saldado em 50 prestaccedilotildees mensais a uma taxa de 15 am Determine a parcela de juros relativa agrave 15ordf prestaccedilatildeo pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs (price)
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
Manual da calculadora HP ndash 12C
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico ndash 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7ed Satildeo Paulo Atlas 2000
Para concluir o estudo
Com o teacutermino desse curso de extensatildeo acreditamos que proporcionamos momentos de aprendizagem por meio da interaccedilatildeo da calculadora financeira e que vocecirc estaacute habilitado(a) a fazer uso dessa ferramenta com qualidade no mercado de trabalho relacionado a essa aacuterea tatildeo importante no nosso dia-a-dia
Referecircncias
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7 ed Satildeo Paulo Atlas 2000
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003 Disponiacutevel em lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt Acesso em 05 jun 2008
Sobre o professor conteudista
Joseacute Humberto Dias de Toledo - eacute Mestre em Educaccedilatildeo pela Universidade do Sul de Santa Catarina Graduado em Licenciatura em Matemaacutetica e em Engenharia Civil Professor das disciplinas Meacutetodos Numeacutericos Informaacutetica Aplicada agrave Matemaacutetica Financeira Caacutelculo I e Matemaacutetica Financeira no Curso de Matemaacutetica ndash Licenciatura nesta mesma instituiccedilatildeo Atualmente ministra a disciplina Representaccedilotildees Graacuteficas na Poacutes-graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo Matemaacutetica da UNISUL
Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo
Unidade 1
1 a) 5
b) -2359
c) 3311
d) 077
e) 081
Respostas modo RPN
a)
b)
c)
d)
e)
Respostas modo ALG
a
b
c
d
e
78
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 R$ 167757
Modo RPN
Modo ALG
3 -242
4 Data 13082008 3 (quarta-feira)
5 Florianoacutepolis = 3303 Curitiba = 5018 Porto Alegre = 1680
Unidade 2
1 1) 150000
Dados
C = R$ 1000000
i = 5 aa
n = 3 anos = 1080 dias
J =
3) 24 meses = 2 anos
Dados
C = R$ 200000
i = 6 aa
n = 24 meses = 720 dias
M =
79
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
85
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
86
Universidade do Sul de Santa Catarina
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
87
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
88
Universidade do Sul de Santa Catarina
Palavras do professor
Caro(a) Aluno(a)
A matemaacutetica financeira estaacute presente no nosso cotidiano desde eacutepocas antigas tornando-se na atualidade alvo das maiores preocupaccedilotildees humanas
Eacute de grande importacircncia adquirir os conhecimentos sobre esse tema pois eles vatildeo certamente contribuir para que vocecirc estabeleccedila uma visatildeo criacutetica teoacuterica reflexiva investigativa e praacutetica de temas que satildeo tatildeo comuns no seu cotidiano e ainda gerar conhecimentos que ajudem a organizar a sua vida financeira
Procurando promover a resoluccedilatildeo de problemas relacionados agrave aacuterea financeira com mais agilidade e consequentemente liberando o seu tempo para tomada de decisotildees elaboramos este curso de extensatildeo sobre o uso de uma ferramenta muito utilizada no meio acadecircmico nas aacutereas de Administraccedilatildeo Contaacutebeis Tecnoacutelogos em Gestatildeo Matemaacutetica ndash Licenciatura etc Trata-se da calculadora financeira HP ndash 12C
A calculadora permite que vocecirc realize caacutelculos de montantes taxas prazos pagamentos perioacutedicos e que elabore tabelas de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos que podem proporcionar-lhe conhecimentos uacuteteis e aplicaacuteveis no seu dia-a-dia
Caro aluno(a) neste curso estaremos constantemente fazendo links com os conteuacutedos abordados na disciplina Matemaacutetica Financeira Para facilitar seu estudo este material didaacutetico se encontra disponiacutevel na MIDIATECA
Por fim se vocecirc natildeo possui a calculadora poderaacute instalar o emulador da mesma em seu computador e realizar todos os caacutelculos necessaacuterios Para baixar o arquivo acesse diretamente o site lthttpwwwbaixenamolezacoms=emulador+HP+12Cgt
Bom estudo
Professor Joseacute Humberto Dias de Toledo
Plano de estudo
O plano de estudos visa a orientaacute-lo(a) no desenvolvimento da Disciplina Nele vocecirc encontraraacute elementos que esclareceratildeo o contexto da Disciplina e sugeriratildeo formas de organizar o seu tempo de estudos
O processo de ensino e aprendizagem na UnisulVirtual leva em conta instrumentos que se articulam e se complementam Assim a construccedilatildeo de competecircncias se daacute sobre a articulaccedilatildeo de metodologias e por meio das diversas formas de accedilatildeomediaccedilatildeo
Satildeo elementos desse processo
o Espaccedilo UnisulVirtual de Aprendizagem - EVA
as atividades de avaliaccedilatildeo (complementares a distacircncia e presenciais)
Ementa
Introduccedilatildeo algumas funccedilotildees baacutesicas da HP - 12C Caacutelculo de juros simples e composto Usando as funccedilotildees financeiras para caacutelculo de montante valor presente periacuteodo Usando as funccedilotildees financeiras para caacutelculo de taxas de juros seacuterie de pagamentos ou anuidades Usando as funccedilotildees data e hora para caacutelculo de nuacutemero de dias entre datas data futura data passada verificar o dia da semana para vencimentos futuros Elaboraccedilatildeo de planilhas de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos e financiamentos
12
Universidade do Sul de Santa Catarina
Carga Horaacuteria
15 horas-aula
Objetivos
Geral
Capacitar os participantes para a utilizaccedilatildeo da calculadora HP - 12C na resoluccedilatildeo de problemas praacuteticos promovendo a integraccedilatildeo entre teoria e praacutetica na aacuterea financeira
Especiacuteficos
Usar a Hp -12C para o caacutelculo de juros simples composto montante periacuteodo valor presente e pagamentos perioacutedicos
Fazer uso da HP - 12C para elaboraccedilatildeo de planilhas de amortizaccedilatildeo
Explorar as funccedilotildees data e hora da HP -12C
Usar a ferramenta para auxiliar na resoluccedilatildeo de problemas do cotidiano na aacuterea financeira
Conteuacutedo programaacuteticoobjetivos
Os objetivos de cada unidade definem o conjunto de conhecimentos que vocecirc deveraacute deter para o desenvolvimento de habilidades e competecircncias necessaacuterias agrave sua formaccedilatildeo Neste sentido veja a seguir as unidades que compotildeem o Livro Didaacutetico deste curso bem como os seus respectivos objetivos
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidades de estudo 4
Unidade 1 - Apresentando a calculadora HP ndash 12C
Unidade 2 - Regimes de capitalizaccedilatildeo simples e composto
Unidade 3 - Taxas de juros equivalentes e caacutelculo de pagamentos perioacutedicos
Unidade 4 - Valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Agenda de atividades Cronograma
Verifique com atenccedilatildeo o EVA e organize-se para acessar periodicamente o espaccedilo da Disciplina O sucesso nos seus estudos depende da priorizaccedilatildeo do tempo para a leitura da realizaccedilatildeo de anaacutelises e siacutenteses do conteuacutedo e da interaccedilatildeo com os seus colegas e professor virtual
Natildeo perca os prazos das atividades Registre as datas no espaccedilo a seguir com base no cronograma da disciplina disponibilizado no EVA
Use o quadro para agendar e programar as atividades relativas ao desenvolvimento da Disciplina
1UNIDADE 1
Apresentando a calculadora HP ndash 12C
Objetivos de aprendizagem
Apresentar as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C
Realizar caacutelculos elementares com a ferramenta
Conhecer os modos ldquoRPNrdquo e ldquoALGrdquo da HP
Utilizar as memoacuterias da calculadora para realizar caacutelculos
Usar as funccedilotildees de percentagem
Determinar datas futuras passadas e nuacutemero de dias entre datas
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 A calculadora HP ndash 12C
Seccedilatildeo 2 Caacutelculos aritmeacuteticos no modo ldquoRPNrdquo e no modo ldquoALGrdquo
Seccedilatildeo 3 Funccedilotildees de percentagem e calendaacuterio
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vamos lhe apresentar a calculadora HP ndash 12C com o objetivo de realizar caacutelculos aritmeacuteticos no modo ldquoRPNrdquo ndash Notaccedilatildeo Polonesa Reversa e no modo ldquoALGrdquo ndash Algeacutebrico Aleacutem disso vocecirc aprenderaacute a fazer uso das funccedilotildees de percentagem e calendaacuterio e em desdobramento aprenderaacute a determinar percentagens de um nuacutemero percentagem de um total e diferenccedila percentual caacutelculo de datas futuras e passadas e o nuacutemero de dias entre datas Vocecirc usaraacute as memoacuterias da calculadora para auxiliar nos caacutelculos eou armazenar dados que possam ser usados posteriormente
Seccedilatildeo 1 ndash A calculadora HP ndash 12C
Na presente etapa seratildeo apresentadas algumas funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para utilizaccedilatildeo neste curso Observe na figura 11 a imagem da calculadora
Figura 11- Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Arquivo do autor
17
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
Fique atento(a) ao fato de que muitas teclas da HP ndash 12C executam duas ou ateacute trecircs funccedilotildees A funccedilatildeo primaacuteria eacute indicada pelos caracteres impressos em branco na face superior As funccedilotildees secundaacuterias da calculadora satildeo impressas nas cores dourado e azul apresentadas respectivamente acima da tecla e na sua face inferior
Para acionar essas funccedilotildees acione a tecla de prefixo que eacute apropriada antes da tecla da funccedilatildeo ou seja e Veja na figura 12
Para selecionar a funccedilatildeo secundaacuteria impressa em dourado aperte a tecla de prefixo f e em seguida a tecla da funccedilatildeo
Para selecionar a funccedilatildeo primaacuteria impressa na face superior de uma tecla aperte somente a tecla
Para selecionar a funccedilatildeo secundaacuteria impressa em azul aperte a tecla de prefixo azul g e em seguida a tecla da funccedilatildeo
Figura 12 - Modo de acesso agraves funccedilotildees primaacuterias e secundaacuterias da Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Disponiacutevel em lthttphpcomlatambrprodutoscalculadorasgrandeprofessores12phtmlgt Acesso em 29 mai 2008
Entrando com nuacutemeros e separadores de diacutegitos
Para que vocecirc possa entrar com um nuacutemero na HP aperte as teclas correspondentes ao nuacutemero em sequecircncia O ponto decimal deve ser usado para separar a parte inteira da parte fracionaacuteria do nuacutemero Se vocecirc quiser pode configurar a calculadora para exibir a viacutergula como separador Para tanto desligue a calculadora e depois aperte simultaneamente as teclas
e
Para voltar
agrave configuraccedilatildeo anterior repita a operaccedilatildeo
Nuacutemeros negativos
A tecla troca o sinal de um nuacutemero no mostrador Portanto se vocecirc quiser trocar o sinal de um nuacutemero positivo que estaacute no visor aperte a tecla ele ficaraacute negativo E vice-versa
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Universidade do Sul de Santa Catarina
As teclas ldquoCLEARrdquo (apagar)
A ilustraccedilatildeo a seguir apresenta as teclas ldquoClearrdquo que apagam ou zeram o mostrador as memoacuterias a memoacuteria de programaccedilatildeo os registradores financeiros os registros de pilha e registros estatiacutesticos Confira na figura 13
Apaga o mostrador
Apaga os registros estatiacutesticos registros da pilha e mostrador
Apaga a memoacuteria de programaccedilatildeo
Apaga os registros financeiros
Apaga os registros de armazenamento de dados registros financeiros registros de pilha LAST X e mostrador
Figura 13 - As teclas CLEAR da Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Registros de armazenamento
Os dados de entrada na HP ndash 12C podem ser armazenados em memoacuterias chamadas ldquoregistros de armazenamentordquo Quatro registros satildeo usados para o armazenamento de nuacutemeros durante os caacutelculos e mais um que eacute usado para armazenar o uacuteltimo nuacutemero chamado ldquoLAST Xrdquo
Aleacutem dos registros citados nos quais os nuacutemeros satildeo armazenados automaticamente existem outros 20 registros para o armazenamento manual de nuacutemeros Eles satildeo designados por R R R R a e a Outros registros de armazenamento designados como registros financeiros satildeo reservados para os nuacutemeros que seratildeo usados em caacutelculos financeiros
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
Armazenando recuperando nuacutemeros e zerando registros
Para armazenar um nuacutemero em um registro de armazenamento de dados aperte a tecla (armazenar) e em seguida um dos nuacutemeros de 0 a 9 para os registros R R
0 9 a e 0 a 9 para os
registros R R 0 9
a
Para recuperar um nuacutemero de um registro de armazenamento de dados aperte a tecla (recuperar) e em seguida um dos nuacutemeros de 0 a 9 para os registros R R
0 9 a e 0 a 9 para os
registros R R 0 9
a
Jaacute para zerar um uacutenico registro de armazenamento vocecirc pode armazenar o valor zero no registro Agora para zerar todos os registros de armazenamento de uma soacute vez ndash incluindo os registros financeiros os registros da pilha e o registro LAST X ndash aperte
E entatildeo estaacute motivado(a) para continuar Na proacutexima seccedilatildeo apresentaremos as teclas ldquoRPNrdquo e ldquoALGrdquo e faremos caacutelculos aritmeacuteticos usando esses modos
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Seccedilatildeo 2 ndash Caacutelculos aritmeacuteticos no modo ldquoRPNrdquo e no modo ldquoALGrdquo
A calculadora HP ndash 12C pode ser configurada para executar operaccedilotildees aritmeacuteticas nos modos RPN ndash Notaccedilatildeo Polonesa Reversa e ALG ndash Algeacutebrico No modo RPN os resultados intermediaacuterios nas operaccedilotildees aritmeacuteticas satildeo armazenados automaticamente portanto natildeo eacute necessaacuterio o uso dos parecircnteses Jaacute no modo ALG as operaccedilotildees elementares satildeo executadas de maneira convencional
Conheccedila alguns exemplos na sequecircncia do texto
Exemplo 11
Calcular 3 x 2 + 5 usando os modos RPN e ALG na HP ndash 12C
Resolvendo no modo RPN
Para configurar a calculadora no modo RPN aperte a tecla e em seguida Observe que vai aparecer o indicador RPN no visor da maacutequina
Agora que a calculadora estaacute no modo RPN vamos ao caacutelculo
3 2 5 11
Resultado
Resolvendo no modo ALG
Para configurar a calculadora no modo ALG aperte a tecla e em seguida Observe que vai aparecer o indicador ALG no visor da maacutequina
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
Calculando no modo algeacutebrico
3 2 5 11
Resultado
Os modelos mais antigos de calculadoras HP ndash 12C natildeo disponibilizam o modo algeacutebrico Portanto se vocecirc eacute usuaacuterio desse tipo de calculadora todos os caacutelculos devem ser efetuados no modo RPN
Exemplo 12
Resolver os caacutelculos solicitados a seguir usando os modos RPN e ALG
a) 3 2 5 33+ minus x
b) ( )minus + minus2 3 4 43 x
c) 2 9 3 52minus + + minus
d) 2 35
2+ minusln
e) 3 4 62+ minuse
Resolvendo no modo RPN
a)
3 2 3 5 3 - 4
Resultado
22
Universidade do Sul de Santa Catarina
b)
c)
d)
Obs para alterar a quantidade de casas decimais no visor da calculadora aperte e em seguida um nuacutemero de 1 a 9 que corresponde agrave quantidade de casas decimais No exemplo acima usamos
e)
2
3 3
4
4
0
Resultado
2
2
9 3 5 125
Resultado
2
3
5 2 0599
Resultado
3
2
46 5789
Resultado
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
Resolvendo no modo ALG com o auxiacutelio dos registros R R
0 9 a
a)
2
3
5 3 3
4
Resultado
Armazena o resultado do visor na memoacuteria 0
Recupera o registro da memoacuteria 0
b)
2
3
3 4
4 0
Resultado
c)
2 2
9
3 5 125
Resultado
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Universidade do Sul de Santa Catarina
d)
e)
Exemplo 13
Usando a calculadora HP ndash 12C no modo RPN as seguintes operaccedilotildees bancaacuterias foram realizadas a conta tinha um saldo de R$ 12300 e foi feito um depoacutesito referente ao salaacuterio de R$ 189035 Em seguida foram emitidos e compensados cheques nos valores de R$ 38590 R$ 23478 e R$ 62389 Qual eacute o novo saldo da conta
Soluccedilatildeo use
para apresentar os caacutelculos com duas casas decimais
12300 189035 38590
23478 62389 76920
Saldo
2 3 5 2 0 0599
Resultado
3 2 46 5789
Resultado
25
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
Seccedilatildeo 3 ndash Funccedilotildees de percentagem e calendaacuterio
A calculadora HP ndash 12C apresenta funccedilotildees que permitem o caacutelculo de percentagens e de calendaacuterio Para caacutelculo com percentagens natildeo eacute necessaacuterio converter o nuacutemero na notaccedilatildeo percentual para a notaccedilatildeo decimal Jaacute as funccedilotildees calendaacuterio fornecidas pela HP trabalham com datas entre 15 de outubro de 1582 e 25 de novembro de 4046 A seguir vocecirc conheceraacute detalhadamente essas funccedilotildees
Funccedilotildees de percentagem
Calcula a Percentagem de um nuacutemero ou valor
Calcula a diferenccedila percentual entre dois nuacutemeros
Calcula qual percentual um nuacutemero eacute de outro
Figura 14 - Ilustraccedilatildeo das funccedilotildees de percentagem da Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Funccedilotildees de calendaacuterio
Configura o formato de uma data para dia-mecircs-ano
Configura o formato de uma data para mecircs-dia-ano
Calcula o nuacutemero de dias entre datas
Calcula datas futuras ou passadas
Figura 15 - Ilustraccedilatildeo das funccedilotildees de calendaacuterio da Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Nos exemplos a seguir estaacute demonstrado o uso de todas as funccedilotildees apresentadas Obs os caacutelculos vatildeo ser realizados no modo RPN
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 14
Calcular 16 de R$ 198000
Soluccedilatildeo
198000 1600 31680
Resultado
Exemplo 15
Determinada empresa com accedilotildees na bolsa de valores verificou as seguintes variaccedilotildees nos valores das suas accedilotildees no dia 150508 o valor da accedilatildeo passou de R$ 5025 para R$ 5498 jaacute no dia 210508 o valor da accedilatildeo caiu de R$ 5498 para R$ 5208 Qual a diferenccedila percentual nas duas situaccedilotildees
Soluccedilatildeo a sequecircncia a seguir apresenta a variaccedilatildeo percentual
Caacutelculo da variaccedilatildeo percentual de R$ 5025 para R$ 5498 usando a HP ndash 12C
5025 5498 941
Resultado
Observe que o resultado apresentado eacute positivo portanto representa aumento
Caacutelculo da variaccedilatildeo percentual de R$ 5498 para R$ 5208 usando a HP ndash 12C
27
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
5498 5208 -527
Resultado
Observe que o resultado apresentado eacute negativo portanto representa queda
Exemplo 16
A empresa do exemplo anterior atua na regiatildeo sul do Brasil com vendas totais realizadas no mecircs de abril de 2008 de R$ 589636996 distribuiacutedas da seguinte forma R$ 123656939 no Paranaacute R$ 356963920 em Santa Catarina e R$ 109016137 no Rio Grande do Sul Qual a percentagem das vendas totais em cada um dos trecircs Estados
Soluccedilatildeo
A sequecircncia apresenta os percentuais nos estados do Paranaacute Santa Catarina e Rio Grande do Sul
Soluccedilatildeo
589636996 123656939 2097
356963920 6054 109016137 1849
Resultado SC Resultado RS
Resultado PR
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 17
Comprei uma TV LCD em 17052008 com vencimento para 120 dias Determine a data do vencimento usando a calculadora HP ndash 12C
Soluccedilatildeo
17052008 120 14092008 7
A data do vencimento eacute 14 de setembro de
2008 domingo
Exemplo 18
Fiz uma compra no dia 12052008 com vencimento para o dia 26082008 Use a calculadora HP ndash 12C para determinar o nuacutemero de dias entre a data da compra e do vencimento
Soluccedilatildeo
12052008 20082008 100
Nuacutemero de dias entre as datas
Nesta unidade vocecirc conheceu algumas funccedilotildees elementares da calculadora as quais seratildeo utilizadas nas demais unidades e satildeo muito importantes para realizar caacutelculos que envolvem questotildees do nosso cotidiano Na proacutexima unidade vocecirc vai usar as funccedilotildees financeiras da calculadora para calcular juros simples e compostos descontos simples e compostos
29
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
Efetue as atividades de autoavaliaccedilatildeo e acompanhe as respostas e comentaacuterios a respeito nas paacuteginas finais deste material Para melhor aproveitamento do seu estudo realize a conferecircncia de suas respostas somente depois de fazer as atividades propostas Desse modo o momento da conferecircncia lhe proporcionaraacute novas oportunidades de aprendizagem
1 Calcule o valor das expressotildees numeacutericas a seguir usando a HP ndash 12C nos modos RPN e ALG
a) 2 5 3 8 24 minus + divide =x
b) minus + minus =3 5 32 3x eln
c) 16 25 3 45 89+ minus =x
d) 2
35 5
3+ minus =ln
e) 0 253
55
2 + minus =minus
2 Use a HP ndash 12C para realizar os caacutelculos e informar o saldo final da seguinte movimentaccedilatildeo financeira Saldo inicial na conta R$ 167890 depoacutesito de R$ 143587 cheques compensados nos valores de R$ 34598 R$ 12345 R$ 65790 e R$ 30987
3 No dia 130508 o doacutelar americano estava cotado em R$ 165 no dia 190508 a cotaccedilatildeo foi de R$ 161 Com base nestes dados indique qual foi a variaccedilatildeo percentual do doacutelar
4 Foi realizada uma compra em um supermercado no valor de R$ 67890 em 150508 Sabendo que esse estabelecimento trabalha com prazo de 90 dias use as funccedilotildees calendaacuterio da HP ndash 12C e determine a data e o dia da semana do vencimento
5 Uma empresa tem vendas mensais para o mecircs de maio de 2008 estimadas em R$ 178909000 Sabendo que o valor total das vendas estaacute distribuiacutedo nas cidades de Florianoacutepolis Curitiba e Porto Alegre com valores correspondentes a R$ 59089000 R$ 89767898 e R$ 30052102 respectivamente determine qual percentagem das vendas totais ocorre em cada uma das cidades
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Saiba mais
HPndash12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
No link abaixo vocecirc tem disponiacutevel o manual da calculadora HP ndash 12C na versatildeo online lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt
2UNIDADE 2
Regimes de capitalizaccedilatildeo simples e composto
Objetivos de aprendizagem
Fazer uso das funccedilotildees financeiras da calculadora HP ndash 12C para calcular juros simples e composto
Dominar o caacutelculo do montante simples e composto
Aprender o caacutelculo de desconto simples e composto
Calcular capital taxa e prazo no regime de capitalizaccedilatildeo composto usando a HP ndash 12C
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Regime de capitalizaccedilatildeo simples
Seccedilatildeo 2 Regime de capitalizaccedilatildeo composto
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc vai fazer uso das funccedilotildees financeiras da HP ndash 12C com o objetivo de realizar caacutelculos de juros simples e composto montantes simples e composto descontos simples e composto caacutelculo de taxas e prazos
Nesta etapa de estudos seratildeo utilizados exemplos do material didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira que estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do Espaccedilo Virtual de Aprendizagem ndash EVA Eacute importante lembrar natildeo ser objetivo deste curso discutir os conceitos da Matemaacutetica Financeira mas apenas utilizar as funccedilotildees disponibilizadas na calculadora para resolver problemas relacionados a essa aacuterea Entretanto caso vocecirc julgue importante os conceitos podem ser relembrados ou vistos no material didaacutetico da disciplina
Seccedilatildeo 1 ndash Regime de capitalizaccedilatildeo simples
Na unidade 1 vocecirc foi apresentado(a) agrave calculadora HP ndash 12C e a algumas das suas funccedilotildees com o objetivo de capacitaacute-lo(a) para o uso adequado dessa ferramenta Esta unidade inicia com uma abordagem sobre os registradores financeiros os quais seratildeo utilizados na maioria dos exemplos que deveratildeo ser resolvidos ao longo das proacuteximas seccedilotildees desta unidade e nas demais unidades deste curso Veja na ilustraccedilatildeo a seguir os registradores financeiros e as suas aplicaccedilotildees
Registra e armazena periacuteodo
Registra e armazena taxa
Registra e armazena valor presente
Registra e armazena pagamentos perioacutedicos
Registra e armazena valor futuro
Figura 21 - Registradores financeiros e as suas aplicaccedilotildees Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
Para armazenar um nuacutemero em um registrador financeiro digite o nuacutemero e em seguida uma das teclas correspondentes ilustradas acima
Para exibir um nuacutemero armazenado em um dos registradores financeiros aperte e em seguida a tecla correspondente
Para zerar todos os registradores financeiros aperte a sequecircncia de teclas
Eacute importante lembrar que os registradores financeiros tambeacutem satildeo zerados ao apertar a sequecircncia
e quando a memoacuteria contiacutenua eacute
reinicializada
A seguir vocecirc faraacute caacutelculo de juros simples e de descontos simples usando a HP ndash 12C
Regime de capitalizaccedilatildeo simples
A HP ndash 12C calcula automaticamente juros simples ordinaacuterios ndash usando o ano comercial e juros simples exatos ndash usando um ano de 365 dias simultaneamente
Eacute possiacutevel apresentar qualquer um dos dois e mais com os juros acumulados no mostrador podemos calcular o montante apertando a tecla
Para exemplificar vamos resolver problemas do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira que se encontra disponiacutevel (formato digital) na ferramenta Midiateca do EVA ndash Espaccedilo Virtual de Aprendizagem
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Exemplo 21 (exemplo 1 paacuteg 29 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital de R$ 1800000 foi aplicado a juros simples durante 3 anos agrave taxa de 6 aa Qual eacute o valor dos juros e o montante adquirido
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula os juros e o montante
Exemplo 22 (exemplo 1 paacuteg 33 do livro Matemaacutetica Financeira)
Ache os juros simples exatos auferidos em uma aplicaccedilatildeo de R$ 1500000 a uma taxa de 16 aa de 20 de abril de 2003 a 1ordm de julho de 2003
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula os juros comerciais e os juros exatos
Neste exemplo utilizamos duas teclas que seratildeo ilustradas a seguir para realizar o caacutelculo dos juros exatos
1800000 1080 6
324000 2124000
Juros Montante
No caacutelculo de Juros simples o periacuteodo deve ser em dias
Calcula juros simples
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Unidade 2
1500000 20042003 01072003
72 16 48000 47342
Juro comercial Juro exato nordm de dias
Ao apertar essa tecla ela rola para baixo o conteuacutedo da pilha para visualizaccedilatildeo no registro X
Ao apertar essa tecla ela troca o conteuacutedo dos registros X e Y da pilha
Figura 22 - Teclas utilizadas para registros de dados Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Exemplo 23 (exemplo 2 paacuteg 34 do livro Matemaacutetica Financeira)
Determine o juro simples exato obtido em uma aplicaccedilatildeo de R$ 1300000 durante 146 dias a uma taxa de 9 aa
Soluccedilatildeo a sequecircncia a seguir realiza os caacutelculos solicitados
1330000 146 9
48545 47880
Juro comercial Juro exato
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Exemplo 24 (exemplo 1 paacuteg 47 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma duplicata de R$ 1500000 com vencimento no dia 03042005 foi descontada em um banco em 08012005 a uma taxa de 25 am Qual eacute o desconto simples bancaacuterio da operaccedilatildeo
Soluccedilatildeo
08012005 03042005 85
1500000 0025 30 106250
Taxa decimal Desconto bancaacuterio
Nordm de dias entre as datas
Exemplo 25 (exemplo 1 paacuteg 48 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma empresa descontou um tiacutetulo com valor de face de R$ 1450000 3 meses e 15 dias antes do vencimento com uma taxa de desconto bancaacuterio simples de 24 am Quanto a empresa recebeu liacutequido na operaccedilatildeo
Soluccedilatildeo
1450000 0024 35 1450000 1328200
Periacuteodo em meses Valor liacutequidoTaxa decimal
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Unidade 2
Exemplo 26 (exemplo 1 paacuteg 49 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma duplicata de R$ 4800000 foi descontada 6 meses antes de seu vencimento em uma instituiccedilatildeo financeira que trabalha com uma taxa de desconto simples de 32 am Com base nestes dados determine
o valor do desconto simples bancaacuterio
o valor do desconto simples racional
Soluccedilatildeo
4800000 6 0032 921600
Taxa decimal Valor liacutequido
921600 1 0032
6 773154
Taxa decimal Valor liacutequido
Na proacutexima seccedilatildeo vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros compostos e de desconto compostos
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Seccedilatildeo 2 ndash Regime de capitalizaccedilatildeo composto
Os exemplos apresentados a partir de agora satildeo ilustrativos de uma ampla variedade de caacutelculos financeiros Para resolvecirc-los vocecirc precisa estruturaacute-los identificando os elementos baacutesicos do problema de maneira que fiquem evidentes as quantidades que devem ser fornecidas agrave calculadora e quem eacute o valor desconhecido ou seja o valor que desejamos determinar
Na resoluccedilatildeo dos caacutelculos usando a HP ndash 12C eacute indispensaacutevel elaborar o diagrama de fluxo de caixa Eacute importante ressaltar que a calculadora precisa de ajuda para comparar o fluxo de caixa ou seja eacute preciso informar quando temos uma entrada ou uma saiacuteda
O fluxo de caixa serve para demonstrar graficamente as transaccedilotildees financeiras em um periacuteodo de tempo
O tempo eacute representado por uma linha horizontal dividida pelo nuacutemero de periacuteodos relevantes para anaacutelise As entradas ou recebimentos satildeo representados por setas verticais apontadas para cima e as saiacutedas ou pagamentos satildeo representados por setas verticais apontadas para baixo Observe o modelo simplificado
(+) entradas
(-) saiacutedas
tempo (n)
Veja agora o modelo detalhado
Entradas
Saiacutedas
Tempo
Fluxo de caixa pode ser definido como sendo a movimentaccedilatildeo de recursos financeiros (entradas e saiacutedas de caixa) ao longo de um periacuteodo de tempo - agrave entrada e saiacuteda de dinheiro O conceito caixa (financeiro) natildeo pode ser confundido com conceito de competecircncia (contaacutebil)
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Unidade 2
Na HP-12C a tecla (do inglecircs Change Sign) serve para introduzir ou tirar um sinal negativo de um nuacutemero ou seja faz o fluxo de caixa
Na sequecircncia de exemplos apresentados a seguir realizaremos caacutelculos de juros montantes valor presente prazo taxa de juros e descontos no regime composto com o auxiacutelio dos registradores financeiros da calculadora HP ndash 12C
Exemplo 27 (exemplo 1 paacuteg 58 do livro Matemaacutetica Financeira)
Qual o montante gerado por um capital de R$ 450000 aplicado por 9 meses a juros compostos a uma taxa de 35 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o montante composto
450000 9 35 613304
MontanteFluxo de caixa saiacuteda do dinheiro para aplicaccedilatildeo
Exemplo 28 (exemplo 2 paacuteg 58 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital de R$ 1200000 foi aplicado a juros compostos durante 6 meses agrave taxa de 2 am Calcule os juros auferidos na aplicaccedilatildeo
Soluccedilatildeo use a sequecircncia a seguir para calcular os juros
1200000 6 2
1351395 151395
Montante Juros
Fluxo de caixa saiacuteda do dinheiro para aplicaccedilatildeo
Recupera um valor em um registrador
financeiro
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Exemplo 29 (exemplo 3 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital ldquoXrdquo eacute aplicado a juros compostos agrave taxa de 35 am gerando um montante de R$ 1950000 apoacutes 1 ano e 3 meses Determine o capital ldquoXrdquo
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar o capital
1950000 35 15 -1163937
Capital aplicado
Exemplo 210 (exemplo 4 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
A que taxa mensal de juros compostos um capital de R$ 1250000 pode transformar-se em R$ 1537342 no periacuteodo de 7 meses
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
1250000 1537342 7 300
Taxa de juros mensal
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Unidade 2
Exemplo 211 (exemplo 5 paacuteg 60 do livro Matemaacutetica Financeira)
Em que prazo um empreacutestimo de R$ 3500000 pode ser pago pela quantia de R$ 4790000 se a taxa de juros compostos cobrada for de 4 am
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
3500000 4790000 4 8
Periacuteodo em meses
Funccedilatildeo ldquoCrdquo na HP ndash 12C e as teclas ldquoSTOrdquo e ldquoEEXrdquo
Vocecirc pode calcular taxa de juros (i) Capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos Perioacutedicos (PMT) para transaccedilotildees financeiras com periacuteodos fracionaacuterios Ao digitar um periacuteodo fracionaacuterio por exemplo 23 meses a parte inteira do nuacutemero indica o nuacutemero de periacuteodos inteiro e a parte fracionaacuteria do nuacutemero o tamanho do periacuteodo fracionaacuterio como uma fraccedilatildeo do periacuteodo inteiro (no exemplo 2 meses e 03 meses)
De acordo com o criteacuterio do usuaacuterio os caacutelculos de taxa de juros ( i ) capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos perioacutedicos (PMT) podem ser executados com juros simples ou compostos acumulados durante o periacuteodo fracionaacuterio Para escolher uma das duas opccedilotildees faccedila
Aparece o indicador ldquoCldquo Portanto os juros compostos satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Natildeo aparece o indicador ldquoCrdquo Portanto os juros simples satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Figura 23 - Teclas utilizadas para caacutelculo de juros simples e compostos para periacuteodo fracionaacuterio Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
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Exemplo 212
Calcular o valor futuro de uma aplicaccedilatildeo de R$ 185030000 aplicado agrave taxa de 14 aa durante 45 anos usando juros compostos e simples para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Soluccedilatildeo as sequecircncias a seguir apresentam os resultados para o caacutelculo do valor futuro com juros simples para o periacuteodo fracionaacuterio e juros compostos para o periacuteodo fracionaacuterios respectivamente
185030000 14
45 334383879
Valor futuro calculado com juros simples para o periacuteodo
fracionaacuterio
185030000
14 45 333667556
Valor futuro calculado com juros compostos para o
periacuteodo fracionaacuterio
Exemplo 213 (exemplo 1 paacuteg 81 do livro Matemaacutetica Financeira)
Determine o valor do desconto composto racional e o valor do resgate de um tiacutetulo de R$ 1560000 descontado 5 meses antes do seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto composto racional eacute de 4 am
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Unidade 2
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor do desconto racional composto e o valor liacutequido a receber
1560000 1
1 004 5
277794 1560000 1282206
Valor do desconto Valor liacutequido
Exemplo 214 (exemplo 1 paacuteg 84 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um tiacutetulo de valor nominal de R$ 1500000 eacute descontado em um banco 3 meses antes de seu vencimento Se a taxa de desconto comercial usada pelo banco eacute de 8 am qual eacute o valor do desconto
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor liacutequido e o valor do desconto bancaacuterio ou comercial
1500000 3 8
-1168032 331968
Valor liacutequido Valor do desconto
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Nesta unidade vocecirc usou a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros simples e compostos descontos simples e compostos valor presente taxa de juros periacuteodo e montante Na proacutexima unidade usaremos a ferramenta para auxiliar no caacutelculo de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir foram propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo em PDF estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as questotildees 1 3 5 e 6 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteginas 38 e 39 Confira os resultados na paacuteg 194
1) Qual o rendimento que obtemos ao aplicarmos um capital de R$ 1000000 a uma taxa de juros simples de 5 aa durante 3 anos
3) Em um regime de capitalizaccedilatildeo simples qual eacute o montante que se obteacutem quando aplicamos um capital de R$ 200000 a uma taxa 6 aa durante 24 meses
5) Uma quantia de R$ 6200000 foi aplicada em uma operaccedilatildeo financeira no dia 20 de setembro de 2003 e resgatada no dia 21 de dezembro de 2003 a uma taxa de 125 aa Quais os juros simples exatos e comerciais da operaccedilatildeo
6) Calcule os juros simples exatos e comerciais nas seguintes condiccedilotildees
bull R$ 600000 aplicados por 180 dias a 12 aa
bull R$ 520000 aplicados por 230 dias a 15 aa
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Unidade 2
2 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 2 e 4 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegs 52 e 53 Confira os resultados nas paacuteginas 194 e 195
1) Uma empresa desconta uma duplicata no valor nominal de R$ 5000000 no Banco ldquoXrdquo 4 meses antes do seu vencimento Sabendo que o banco ldquoXrdquo trabalha com uma taxa de desconto simples bancaacuterio de 45 am qual eacute o valor do desconto e o valor liacutequido recebido
2) Para pagar uma diacutevida hoje uma empresa descontou em uma carteira de creacutedito uma duplicata no valor de R$ 1650000 com vencimento daqui a 2 meses recebendo um valor nominal liacutequido de R$ 1500000 Determine a taxa mensal de desconto simples bancaacuterio utilizada
4) Uma letra de cacircmbio no valor nominal de R$ 500000 foi comercializada 4 meses antes do vencimento a uma taxa de desconto simples de 22 am Se o desconto simples fosse o racional qual seria o valor deste desconto
3 Elabore uma sequecircncia de passos para resolver as questotildees propostas 1 2 3 4 e 6 nas paacuteginas 65 66 e 67 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira e confira os resultados na paacuteg 195
1) Calcule o montante produzido por um capital de R$ 2600000 aplicado a uma taxa de juros compostos de 52 am por 6 meses
2) Calcule os juros compostos auferidos por um capital de R$ 420000 aplicado a uma taxa de 3 am durante 10 meses
3) Um empreacutestimo de R$ 600000 deve ser pago em 120 dias a juros compostos pelo valor de R$ 900000 Qual eacute a taxa mensal da operaccedilatildeo
4) Em que prazo uma aplicaccedilatildeo a juros compostos de R$ 2400000 produziraacute um montante de R$ 6151930 agrave taxa de 4 am
6) Quanto Paulo deve aplicar hoje a juros compostos em uma instituiccedilatildeo financeira que paga uma taxa de 12 am para pagar um compromisso de valor nominal igual a R$ 3800000 que vence daqui a 3 meses
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4 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 e 8 das paacuteginas 88 e 90 respectivamente do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira Confira os resultados na paacuteg 196
1) Determine o valor do desconto composto racional de um tiacutetulo de valor nominal de R$ 830000 descontado 6 meses antes de seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto eacute de 42 am
8) Um tiacutetulo de R$ 3000000 foi descontado em uma instituiccedilatildeo financeira a uma taxa de desconto composto comercial de 64 am e o valor liacutequido recebido era de R$ 2017327 Quantos meses antes do vencimento foi descontado este tiacutetulo
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
3UNIDADE 3
Taxas de juros equivalentes e caacutelculo de pagamentos perioacutedicos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para calcular taxas equivalentes
Usar as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP ndash 12C para programar o algoritmo da taxa equivalente no regime de capitalizaccedilatildeo composto
Calcular pagamentos perioacutedicos de sequecircncias uniformes postecipadas e antecipadas
Calcular montante de uma sequecircncia uniforme
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Taxas equivalentes
Seccedilatildeo 2 Sequecircncia de capitais
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar taxas equivalentes no regime de capitalizaccedilatildeo composto Vocecirc usaraacute as funccedilotildees de programaccedilatildeo com o objetivo de elaborar um algoritmo para fazer a conversatildeo de taxas de um periacuteodo de capitalizaccedilatildeo (ex mensal) para outro periacuteodo (ex anual) usando o programa Vamos explorar as funccedilotildees ldquoPMTrdquo ldquoBEGrdquo e ldquoENDrdquo para realizar caacutelculo de pagamentos antecipados e postecipados em uma sequecircncia uniforme Destacamos que os exemplos que seratildeo apresentados estatildeo no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira
Seccedilatildeo 1 ndash Taxas equivalentes
Nesta unidade vocecirc usaraacute algumas funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos (postecipados e antecipados) de uma seacuterie uniforme Vocecirc usaraacute ainda as funccedilotildees de programaccedilatildeo para elaborar um programa para calcular taxas equivalentes A figura a seguir apresenta as funccedilotildees que vocecirc usaraacute nos exemplos apresentados posteriormente
Aciona o modo de programaccedilatildeo de HP ndash 12C
Aciona a funccedilatildeo Begin que calcula a parcela com pagamento antecipado
Aciona a funccedilatildeo End (natildeo aparece no visor da calculadora) que calcula parcela com pagamento postecipado
Figura 31 - Teclas utilizadas para acionar as funccedilotildees Beg e End e entrar no modo de programaccedilatildeo
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
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Unidade 3
Taxas equivalentes
No mercado financeiro e nas operaccedilotildees bancaacuterias e comerciais a palavra taxa eacute empregada de vaacuterias formas ou seja vaacuterios conceitos satildeo abordados em vaacuterias situaccedilotildees Esta seccedilatildeo tem como objetivo mostrar como as taxas de juros satildeo informadas no mercado financeiro e como adequaacute-las agraves condiccedilotildees padronizadas pela HP ndash 12C
Duas taxas satildeo consideradas equivalentes a juros compostos quando aplicadas a um mesmo capital por um periacuteodo de tempo equivalente e geram o mesmo rendimento
Exemplo 31(exemplo 1 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
No regime de juros compostos qual a taxa anual equivalente a 4 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente anual
Exemplo 32 (exemplo 2 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
Calcule a taxa quadrimestral equivalente agrave taxa de juros compostos de 8 aa
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente quadrimestral
1 004 12 1 1 10000 6010
Taxa anual
50
Universidade do Sul de Santa Catarina
1 008 1 3 1 10000 260
Taxa quadrimestral
Programa para caacutelculo da taxa equivalente pela hp ndash 12c
O professor Carlos Shinoda em seu livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48) apresenta um programa para calcular a taxa equivalente atraveacutes da calculadora HP ndash 12C
Siga os procedimentos abaixo para introduzir o programa na HP ndash 12C
Figura 32 - Algoritmo para a programaccedilatildeo de taxa equivalente
Fonte Livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48)
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Unidade 3
Agora que vocecirc programou a HP ndash 12C para o caacutelculo de taxas equivalentes resolva o exemplo a seguir usando o programa
Exemplo 33
Usando o programa anterior determine as taxas equivalentes propostas nos exemplos 31 e 32
Soluccedilatildeo
As sequecircncias abaixo calculam as taxas equivalentes
Executa oprograma
4 1 12 6010
Taxa anual
Executa oprograma
8 360 120 260
Taxa quadrimestral
52
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Seccedilatildeo 2 ndash Sequecircncia de capitais
Nesta seccedilatildeo vocecirc acompanharaacute as situaccedilotildees em que haacute mais de um pagamento ou seja vocecirc estudaraacute as operaccedilotildees envolvendo pagamentos ou recebimentos perioacutedicos e uniformes
As seacuteries uniformes de pagamentos satildeo aquelas em que os pagamentos ou recebimentos satildeo constantes e ocorrem em intervalos iguais
Seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas e antecipadas
As seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1 Este sistema eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada (0 + n)
Pagamentos ou recebimentos podem ser chamados de prestaccedilatildeo representada pela sigla PMT que vem do inglecircs Payment e significa pagamento ou recebimento
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentosPMT
++
0 1 2 3 4 5 6 n
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
++
0 1 2 3 4 5 6 n
PMT
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Unidade 3
As seacuteries uniformes de pagamentos antecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre na data focal 0 (zero) Este tipo de sistema de pagamento eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento com entrada (1+ n)
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
Exemplo 34 (exemplo 2 paacuteg 108 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um automoacutevel eacute vendido em uma loja por R$ 3200000 A loja propotildee as seguintes condiccedilotildees para financiamento
Proposta A 12 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta B 24 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta C 36 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
A taxa de juros usada eacute de 32 am Qual o valor de cada prestaccedilatildeo nas 3 modalidades de financiamento
Soluccedilatildeo
As sequecircncias a seguir calculam os valores das parcelas nas trecircs propostas
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3200000
32 12 -325329
parcela
3200000
32 24 -193046
parcela
3200000
32 36 -150979
parcela
Exemplo 35 (exemplo 2 paacuteg 111 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma casa cujo valor agrave vista eacute R$ 4924456 eacute vendida em prestaccedilotildees mensais e iguais de R$ 250000 sendo a primeira dada como entrada Se a taxa de financiamento eacute de 18 am determine o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas no financiamento
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o nuacutemero de parcelas
4924456 18
250000 24
nordm de parcelas
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Unidade 3
No exemplo acima o nuacutemero de pagamento deu um nuacutemero inteiro Mas podem acontecer situaccedilotildees em que ao se determinar o nuacutemero de parcelas o resultado natildeo seja um nuacutemero inteiro
Nessa situaccedilatildeo a HP ndash 12C arredonda a resposta para o proacuteximo inteiro para cima antes de armazenaacute-la e exibi-la
Exemplo 36
Vocecirc comprou um terreno por R$ 3500000 a juros de 105 aa Vocecirc pretende fazer pagamentos de R$ 32500 no fim de cada mecircs Quantos pagamentos seratildeo necessaacuterios para pagar o terreno e quanto tempo levaraacute
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o nuacutemero de pagamentos e o tempo necessaacuterio
3500000 105
32500 328 2733
nordm de parcelas Tempo (anos)
Como a calculadora arredonda o valor do tempo para o proacuteximo inteiro eacute provaacutevel que apesar de serem necessaacuterios 328 pagamentos somente 327 seratildeo inteiros de R$ 32500 com o pagamento final sendo menor do que R$ 32500 Para calcular o valor do pagamento de nuacutemero 328 vamos fazer o seguinte
A calculadora natildeo ajusta os valores nos outros registros financeiros automaticamente para refletir os n pagamentos iguais ao contraacuterio ela lhe permite escolher quais valores (se houver) que vocecirc deseja ajustar
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328 18189 - 32500 -14311
Valor da parcela 328
Nesta unidade vocecirc calculou taxas equivalentes usou as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP e fez caacutelculos de pagamentos perioacutedicos de uma seacuterie uniforme antecipado ou postecipado Na proacutexima unidade vamos realizar caacutelculos de valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades abaixo (Essa atividade corresponde agrave autoavaliaccedilatildeo 1 da unidade 5 do livro didaacutetico de Matemaacutetica Financeira) Em seguida use o programa elaborado para resolver a mesma questatildeo
Calcule a taxa anual das seguintes taxas
a) 26 am
b) 42 ab
c) 48 at
d) 12 as
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Unidade 3
2 Elabore um algoritmo para resolver as seguintes atividades (Estas questotildees equivalem agraves autoavaliaccedilotildees 1 2 3 4 e 5 da unidade 8 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 121 122 e 123)
a) Calcule o valor da prestaccedilatildeo mensal de um empreacutestimo de R$ 600000 que seraacute amortizado em 12 prestaccedilotildees mensais postecipadas sabendo que o banco cobra uma taxa de juros de 2 am
b) Uma loja vende um automoacutevel agrave vista por R$ 1650000 Se o comprador quiser fazer um financiamento em 36 parcelas mensais e iguais onde o 1ordm pagamento seraacute efetuado no 1ordm mecircs apoacutes a compra a uma taxa de juros de 21 am qual o valor da prestaccedilatildeo
c) Uma mercadoria custa R$ 9038071 agrave vista podendo ser vendida em prestaccedilotildees mensais de R$ 1050000 sendo a primeira prestaccedilatildeo dada como entrada Sabendo-se que a loja aplica uma taxa de 35 am qual o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas
d) Carlos depositou certa quantia durante 10 meses de forma antecipada a uma taxa de 25 am obtendo um montante de R$ 25000000 Quanto depositou mensalmente Carlos
e) Um produto eacute vendido agrave vista por R$ 200000 ou em 10 prestaccedilotildees mensais iguais sem entrada com uma carecircncia de 90 dias apoacutes a compra Qual o valor de cada prestaccedilatildeo sabendo que a taxa de juros eacute de 6 am
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
4UNIDADE 4
Valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa
Usar as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Valor presente liacutequido
Seccedilatildeo 2 Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs ndash SFA (Price)
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa usando as funccedilotildees CF0 CFj e NPV Vocecirc deveraacute ainda fazer uso da funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos usando o Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo ndash SFA ou tabela Price
Seccedilatildeo 1 ndash Valor presente liacutequido
A figura 41 a seguir apresenta as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C que vocecirc usaraacute nessa unidade para realizar caacutelculo de valor presente liacutequido e para a elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos ou financiamento
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor inicial do fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor do fluxo de caixa no periacuteodo j
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula o valor presente atual de um fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula a parte dos pagamentos usada para pagar juros
Figura 41 - Teclas para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
Valor presente liacutequido
Nessa seccedilatildeo vocecirc usaraacute as funccedilotildees da HP ndash 12C para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa Para entender como usar as funccedilotildees CF0 CFj e NPV considere o fluxo de caixa para um investimento que exige capital inicial (CF0) e que gera um fluxo de caixa (CFj ) no final de j periacuteodos
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Veja a seguir o fluxo de caixa
CF0CF1
CF2 CF5
CFn
CF3 CF4
O VPL = Valor Presente Liacutequido eacute calculado somando ao investimento inicial o valor presente dos fluxos de caixa futuros projetados Portanto
se o VPL for positivo o valor financeiro do ativo do investidor aumentaraacute ou seja o investimento financeiro seraacute atrativo em termos financeiros
se o VPL for zero o valor financeiro do ativo financeiro do investidor natildeo mudaraacute ou seja o investidor seraacute indiferente ao investimento
se o VPL for negativo o valor financeiro do ativo do investidor seraacute reduzido ou seja o investimento natildeo seraacute atrativo em termos financeiros
Exemplo 41
Um investidor compra uma casa por R$ 7000000 e gostaria de ter um retorno de pelo menos 15 Ele pretende manter a casa por 4 anos e depois vendecirc-la por R$ 11000000 Ele prevecirc os fluxos de caixa mostrados no diagrama abaixo
CF0CF1
CF1
CF3CF4
CF5
R$ 7000000
R$ 50000
R$ 450000R$ 450000
R$ 13000000R$ 550000
Sendo assim calcule o VPL para determinar se o investimento resultaria em um retorno ou perda
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Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o VPL
7000000 50000
450000 550000 450000
13000000 15 379007
VPL
Como o VPL eacute positivo o investimento aumentaria o valor financeiro do ativo do investidor
Exemplo 42 (exemplo 4 paacuteg 98 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um proprietaacuterio recebeu as seguintes propostas para a venda de uma casa
Proposta A entrada de R$ 10000000 + R$ 5000000 em 6 meses + R$ 6000000 em 1 ano
Proposta B entrada de R$ 8000000 + R$ 6000000 em 5 meses + R$ 7000000 em 10 meses
Sabendo-se que a taxa de juros de mercado eacute de 3 am qual a melhor proposta para o vendedor
Soluccedilatildeo
Essa questatildeo deve ser resolvida pelo meacutetodo do Valor Presente Liacutequido A alternativa que tiver o maior valor seraacute a melhor Entretanto para facilitar a elaboraccedilatildeo do algoritmo de resoluccedilatildeo na HP ndash 12C elabore o fluxo de caixa para cada situaccedilatildeo
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Unidade 4
1 Proposta A Fluxo de caixa
10000000 5000000 6000000
1 2 3 4 5 7 8 9 10 110 6 12
Calculando o VPL
10000000 000 5
5000000 000
5
6000000
3
18395701
VPL
Armazena o zero 5 vezes
2 Proposta B Fluxo de caixa
8000000 70000006000000
1 2 3 4 6 7 8 90 5 10
Calculando o VPL
8000000 000 4
6000000 000
4
7000000
3
18384310
VPL
Armazena o zero 4 vezes
Resposta a melhor proposta eacute a A
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Exemplo 43
Dois equipamentos satildeo examinados Considerando ser a taxa miacutenima de atratividade de 20aa qual o equipamento que deve ser adquirido
Dados
41 - Tabela de DadosEquipamento K Equipamento L
Custo R$ 5000000 R$ 8000000Custo anual de manutenccedilatildeo R$ 2000000 R$ 1500000Valor residual para venda R$ 400000 R$ 800000Duraccedilatildeo em anos 10 10
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
A seguir veja o diagrama de fluxo de caixa
Os caacutelculos do Valor Presente Liacutequido para as duas situaccedilotildees satildeo
Equipamento K
5000000
Equipamento K
2000000
400000
0 1 2 10
8000000
Equipamento L
1500000
800000
0 1 2 10
50000 20000
9 4000 20000 1
20 -13320342
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Unidade 4
Equipamento L
80000 15000
9 8000 15000 1
20 -14159504
Importante Veja que a alternativa K equivale a um equipamento em que se investe R$ 13320342 enquanto que o equipamento L equivale a um investimento de R$ 14159504 Portanto eacute preferiacutevel o equipamento K pois o investimento eacute menor
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Seccedilatildeo 2 ndash Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs - SFA
Este sistema consiste no pagamento de empreacutestimos ou financiamentos com prestaccedilotildees iguais e com periodicidade constante Eacute considerado o sistema de amortizaccedilatildeo mais utilizado pelas instituiccedilotildees financeiras e pelo comeacutercio em geral
O Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo eacute assim chamado por ter sido inventado na Franccedila por volta do seacuteculo XVIII pelo matemaacutetico inglecircs Richard Price daiacute portanto a origem da denominaccedilatildeo Sistema Price tambeacutem comumente chamado de Tabela Price
Na verdade a Tabela Price eacute um caso particular derivado do Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo Neste sistema o financiamento (PV) eacute pago em parcelas (PMT) iguais constituiacutedas da amortizaccedilatildeo do principal da diacutevida + juros compensatoacuterios (J) que variam inversamente ao longo do tempo Ou seja agrave medida que aumenta o valor da parcela de amortizaccedilatildeo haveraacute uma queda dos juros compensatoacuterios em funccedilatildeo da reduccedilatildeo do saldo devedor
Principais Caracteriacutesticas
As principais caracteriacutesticas do SFA satildeo
a prestaccedilatildeo eacute constante durante todo o periacuteodo do financiamento
a parcela de amortizaccedilatildeo aumenta a cada periacuteodo (n)
os juros compensatoacuterios diminuem a cada periacuteodo (n)
Exemplo 44 (exemplo 1 paacuteg 148 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma instituiccedilatildeo financeira libera um empreacutestimo para uma induacutestria no valor de R$ 60000000 para ser pago pelo sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs em 120 meses a uma taxa de 15 am Faccedila a planilha ateacute o 4ordm mecircs e calcule o saldo devedor no 100ordm mecircs
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Unidade 4
Soluccedilatildeo
A sequecircncia abaixo calcula o valor da prestaccedilatildeo os juros a amortizaccedilatildeo o saldo devedor e valor do saldo devedor no 100ordm mecircs Acompanhe
Zera os registradores
60000000 Armazena o valor presente
120 Armazena o periacuteodo
15 Armazena a taxa
- R$ 1081111 Valor da prestaccedilatildeo
1 - R$ 900000 Valor dos juros da 1ordf parcela
R$ 181111Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 1ordf parcela
R$ 58918889 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 897283 Valor dos juros da 2ordf parcela
- R$ 183828Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 2ordf parcela
R$ 59635061 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 894526 Valor dos juros da 3ordf parcela
- R$ 186585Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 3ordf parcela
R$ 59448476 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 891727 Valor dos juros da 4ordf parcela
- R$ 189384Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 4ordf parcela
R$ 59259092 Recupera o saldo devedor
A tabela a seguir apresenta um resumo das operaccedilotildees realizadas
68
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Tabela 42 ndash Planilha de amortizaccedilatildeoPeriacuteodo (n) Amortizaccedilatildeo (A) Juros (J) Prestaccedilotildees (R) Saldo Devedor (S)
0 - - - R$ 600000001 R$ 181111 R$ 900000 R$ 1081111 R$ 598188892 R$ 183828 R$ 897283 R$ 1081111 R$ 596350613 R$ 186585 R$ 894526 R$ 1081111 R$ 594484764 R$ 189384 R$ 891727 R$ 1081111 R$ 59259092
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Para determinar o saldo devedor no 100ordm mecircs faccedila como indicado a seguir
60000000 120 150
-1081111 18561247
Prestaccedilatildeo Saldo devedor no 100ordm mecircs
Nesta unidade vocecirc usou as funccedilotildees de fluxo de caixa para calcular o valor presente liacutequido e a funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
69Unidade 4
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades a seguir (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 4 e 5 da unidade 7 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegina 102) Em seguida use o programa elaborado para resolver as mesmas questotildees
a) Qual das alternativas de pagamento eacute a melhor para uma taxa de juros compostos de 75 am
Alternativa A Pagamento de R$ 15000000 agrave vista
Alternativa B Entrada de R$ 5000000 + R$ 8000000 em 90 dias + R$ 6000000 em 150 dias
b) Uma pessoa deve a um banco dois tiacutetulos com valores de R$ 300000 e R$ 600000 venciacuteveis respectivamente em 4 meses e 8 meses Se a pessoa deseja antecipar para hoje a liquidaccedilatildeo dos tiacutetulos qual o valor a pagar considerando que o banco opera com uma taxa de juros compostos de 23 am
2 Elabore um algoritmo para resolver as atividades abaixo (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 1 e 4 da unidade 10 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 151 e 153)
a) Um cliente solicita a um banco um empreacutestimo de R$ 4000000 pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs em 60 prestaccedilotildees mensais Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de juros de 28 am obtenha o valor da prestaccedilatildeo e o saldo devedor depois de pagar a 20ordf prestaccedilatildeo
b) Um empreacutestimo de R$ 30000000 seraacute saldado em 50 prestaccedilotildees mensais a uma taxa de 15 am Determine a parcela de juros relativa agrave 15ordf prestaccedilatildeo pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs (price)
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
Manual da calculadora HP ndash 12C
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico ndash 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7ed Satildeo Paulo Atlas 2000
Para concluir o estudo
Com o teacutermino desse curso de extensatildeo acreditamos que proporcionamos momentos de aprendizagem por meio da interaccedilatildeo da calculadora financeira e que vocecirc estaacute habilitado(a) a fazer uso dessa ferramenta com qualidade no mercado de trabalho relacionado a essa aacuterea tatildeo importante no nosso dia-a-dia
Referecircncias
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7 ed Satildeo Paulo Atlas 2000
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003 Disponiacutevel em lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt Acesso em 05 jun 2008
Sobre o professor conteudista
Joseacute Humberto Dias de Toledo - eacute Mestre em Educaccedilatildeo pela Universidade do Sul de Santa Catarina Graduado em Licenciatura em Matemaacutetica e em Engenharia Civil Professor das disciplinas Meacutetodos Numeacutericos Informaacutetica Aplicada agrave Matemaacutetica Financeira Caacutelculo I e Matemaacutetica Financeira no Curso de Matemaacutetica ndash Licenciatura nesta mesma instituiccedilatildeo Atualmente ministra a disciplina Representaccedilotildees Graacuteficas na Poacutes-graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo Matemaacutetica da UNISUL
Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo
Unidade 1
1 a) 5
b) -2359
c) 3311
d) 077
e) 081
Respostas modo RPN
a)
b)
c)
d)
e)
Respostas modo ALG
a
b
c
d
e
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2 R$ 167757
Modo RPN
Modo ALG
3 -242
4 Data 13082008 3 (quarta-feira)
5 Florianoacutepolis = 3303 Curitiba = 5018 Porto Alegre = 1680
Unidade 2
1 1) 150000
Dados
C = R$ 1000000
i = 5 aa
n = 3 anos = 1080 dias
J =
3) 24 meses = 2 anos
Dados
C = R$ 200000
i = 6 aa
n = 24 meses = 720 dias
M =
79
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
85
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
86
Universidade do Sul de Santa Catarina
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
87
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
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Por fim se vocecirc natildeo possui a calculadora poderaacute instalar o emulador da mesma em seu computador e realizar todos os caacutelculos necessaacuterios Para baixar o arquivo acesse diretamente o site lthttpwwwbaixenamolezacoms=emulador+HP+12Cgt
Bom estudo
Professor Joseacute Humberto Dias de Toledo
Plano de estudo
O plano de estudos visa a orientaacute-lo(a) no desenvolvimento da Disciplina Nele vocecirc encontraraacute elementos que esclareceratildeo o contexto da Disciplina e sugeriratildeo formas de organizar o seu tempo de estudos
O processo de ensino e aprendizagem na UnisulVirtual leva em conta instrumentos que se articulam e se complementam Assim a construccedilatildeo de competecircncias se daacute sobre a articulaccedilatildeo de metodologias e por meio das diversas formas de accedilatildeomediaccedilatildeo
Satildeo elementos desse processo
o Espaccedilo UnisulVirtual de Aprendizagem - EVA
as atividades de avaliaccedilatildeo (complementares a distacircncia e presenciais)
Ementa
Introduccedilatildeo algumas funccedilotildees baacutesicas da HP - 12C Caacutelculo de juros simples e composto Usando as funccedilotildees financeiras para caacutelculo de montante valor presente periacuteodo Usando as funccedilotildees financeiras para caacutelculo de taxas de juros seacuterie de pagamentos ou anuidades Usando as funccedilotildees data e hora para caacutelculo de nuacutemero de dias entre datas data futura data passada verificar o dia da semana para vencimentos futuros Elaboraccedilatildeo de planilhas de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos e financiamentos
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Carga Horaacuteria
15 horas-aula
Objetivos
Geral
Capacitar os participantes para a utilizaccedilatildeo da calculadora HP - 12C na resoluccedilatildeo de problemas praacuteticos promovendo a integraccedilatildeo entre teoria e praacutetica na aacuterea financeira
Especiacuteficos
Usar a Hp -12C para o caacutelculo de juros simples composto montante periacuteodo valor presente e pagamentos perioacutedicos
Fazer uso da HP - 12C para elaboraccedilatildeo de planilhas de amortizaccedilatildeo
Explorar as funccedilotildees data e hora da HP -12C
Usar a ferramenta para auxiliar na resoluccedilatildeo de problemas do cotidiano na aacuterea financeira
Conteuacutedo programaacuteticoobjetivos
Os objetivos de cada unidade definem o conjunto de conhecimentos que vocecirc deveraacute deter para o desenvolvimento de habilidades e competecircncias necessaacuterias agrave sua formaccedilatildeo Neste sentido veja a seguir as unidades que compotildeem o Livro Didaacutetico deste curso bem como os seus respectivos objetivos
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Unidades de estudo 4
Unidade 1 - Apresentando a calculadora HP ndash 12C
Unidade 2 - Regimes de capitalizaccedilatildeo simples e composto
Unidade 3 - Taxas de juros equivalentes e caacutelculo de pagamentos perioacutedicos
Unidade 4 - Valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Agenda de atividades Cronograma
Verifique com atenccedilatildeo o EVA e organize-se para acessar periodicamente o espaccedilo da Disciplina O sucesso nos seus estudos depende da priorizaccedilatildeo do tempo para a leitura da realizaccedilatildeo de anaacutelises e siacutenteses do conteuacutedo e da interaccedilatildeo com os seus colegas e professor virtual
Natildeo perca os prazos das atividades Registre as datas no espaccedilo a seguir com base no cronograma da disciplina disponibilizado no EVA
Use o quadro para agendar e programar as atividades relativas ao desenvolvimento da Disciplina
1UNIDADE 1
Apresentando a calculadora HP ndash 12C
Objetivos de aprendizagem
Apresentar as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C
Realizar caacutelculos elementares com a ferramenta
Conhecer os modos ldquoRPNrdquo e ldquoALGrdquo da HP
Utilizar as memoacuterias da calculadora para realizar caacutelculos
Usar as funccedilotildees de percentagem
Determinar datas futuras passadas e nuacutemero de dias entre datas
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 A calculadora HP ndash 12C
Seccedilatildeo 2 Caacutelculos aritmeacuteticos no modo ldquoRPNrdquo e no modo ldquoALGrdquo
Seccedilatildeo 3 Funccedilotildees de percentagem e calendaacuterio
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vamos lhe apresentar a calculadora HP ndash 12C com o objetivo de realizar caacutelculos aritmeacuteticos no modo ldquoRPNrdquo ndash Notaccedilatildeo Polonesa Reversa e no modo ldquoALGrdquo ndash Algeacutebrico Aleacutem disso vocecirc aprenderaacute a fazer uso das funccedilotildees de percentagem e calendaacuterio e em desdobramento aprenderaacute a determinar percentagens de um nuacutemero percentagem de um total e diferenccedila percentual caacutelculo de datas futuras e passadas e o nuacutemero de dias entre datas Vocecirc usaraacute as memoacuterias da calculadora para auxiliar nos caacutelculos eou armazenar dados que possam ser usados posteriormente
Seccedilatildeo 1 ndash A calculadora HP ndash 12C
Na presente etapa seratildeo apresentadas algumas funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para utilizaccedilatildeo neste curso Observe na figura 11 a imagem da calculadora
Figura 11- Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Arquivo do autor
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Unidade 1
Fique atento(a) ao fato de que muitas teclas da HP ndash 12C executam duas ou ateacute trecircs funccedilotildees A funccedilatildeo primaacuteria eacute indicada pelos caracteres impressos em branco na face superior As funccedilotildees secundaacuterias da calculadora satildeo impressas nas cores dourado e azul apresentadas respectivamente acima da tecla e na sua face inferior
Para acionar essas funccedilotildees acione a tecla de prefixo que eacute apropriada antes da tecla da funccedilatildeo ou seja e Veja na figura 12
Para selecionar a funccedilatildeo secundaacuteria impressa em dourado aperte a tecla de prefixo f e em seguida a tecla da funccedilatildeo
Para selecionar a funccedilatildeo primaacuteria impressa na face superior de uma tecla aperte somente a tecla
Para selecionar a funccedilatildeo secundaacuteria impressa em azul aperte a tecla de prefixo azul g e em seguida a tecla da funccedilatildeo
Figura 12 - Modo de acesso agraves funccedilotildees primaacuterias e secundaacuterias da Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Disponiacutevel em lthttphpcomlatambrprodutoscalculadorasgrandeprofessores12phtmlgt Acesso em 29 mai 2008
Entrando com nuacutemeros e separadores de diacutegitos
Para que vocecirc possa entrar com um nuacutemero na HP aperte as teclas correspondentes ao nuacutemero em sequecircncia O ponto decimal deve ser usado para separar a parte inteira da parte fracionaacuteria do nuacutemero Se vocecirc quiser pode configurar a calculadora para exibir a viacutergula como separador Para tanto desligue a calculadora e depois aperte simultaneamente as teclas
e
Para voltar
agrave configuraccedilatildeo anterior repita a operaccedilatildeo
Nuacutemeros negativos
A tecla troca o sinal de um nuacutemero no mostrador Portanto se vocecirc quiser trocar o sinal de um nuacutemero positivo que estaacute no visor aperte a tecla ele ficaraacute negativo E vice-versa
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As teclas ldquoCLEARrdquo (apagar)
A ilustraccedilatildeo a seguir apresenta as teclas ldquoClearrdquo que apagam ou zeram o mostrador as memoacuterias a memoacuteria de programaccedilatildeo os registradores financeiros os registros de pilha e registros estatiacutesticos Confira na figura 13
Apaga o mostrador
Apaga os registros estatiacutesticos registros da pilha e mostrador
Apaga a memoacuteria de programaccedilatildeo
Apaga os registros financeiros
Apaga os registros de armazenamento de dados registros financeiros registros de pilha LAST X e mostrador
Figura 13 - As teclas CLEAR da Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Registros de armazenamento
Os dados de entrada na HP ndash 12C podem ser armazenados em memoacuterias chamadas ldquoregistros de armazenamentordquo Quatro registros satildeo usados para o armazenamento de nuacutemeros durante os caacutelculos e mais um que eacute usado para armazenar o uacuteltimo nuacutemero chamado ldquoLAST Xrdquo
Aleacutem dos registros citados nos quais os nuacutemeros satildeo armazenados automaticamente existem outros 20 registros para o armazenamento manual de nuacutemeros Eles satildeo designados por R R R R a e a Outros registros de armazenamento designados como registros financeiros satildeo reservados para os nuacutemeros que seratildeo usados em caacutelculos financeiros
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Unidade 1
Armazenando recuperando nuacutemeros e zerando registros
Para armazenar um nuacutemero em um registro de armazenamento de dados aperte a tecla (armazenar) e em seguida um dos nuacutemeros de 0 a 9 para os registros R R
0 9 a e 0 a 9 para os
registros R R 0 9
a
Para recuperar um nuacutemero de um registro de armazenamento de dados aperte a tecla (recuperar) e em seguida um dos nuacutemeros de 0 a 9 para os registros R R
0 9 a e 0 a 9 para os
registros R R 0 9
a
Jaacute para zerar um uacutenico registro de armazenamento vocecirc pode armazenar o valor zero no registro Agora para zerar todos os registros de armazenamento de uma soacute vez ndash incluindo os registros financeiros os registros da pilha e o registro LAST X ndash aperte
E entatildeo estaacute motivado(a) para continuar Na proacutexima seccedilatildeo apresentaremos as teclas ldquoRPNrdquo e ldquoALGrdquo e faremos caacutelculos aritmeacuteticos usando esses modos
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Seccedilatildeo 2 ndash Caacutelculos aritmeacuteticos no modo ldquoRPNrdquo e no modo ldquoALGrdquo
A calculadora HP ndash 12C pode ser configurada para executar operaccedilotildees aritmeacuteticas nos modos RPN ndash Notaccedilatildeo Polonesa Reversa e ALG ndash Algeacutebrico No modo RPN os resultados intermediaacuterios nas operaccedilotildees aritmeacuteticas satildeo armazenados automaticamente portanto natildeo eacute necessaacuterio o uso dos parecircnteses Jaacute no modo ALG as operaccedilotildees elementares satildeo executadas de maneira convencional
Conheccedila alguns exemplos na sequecircncia do texto
Exemplo 11
Calcular 3 x 2 + 5 usando os modos RPN e ALG na HP ndash 12C
Resolvendo no modo RPN
Para configurar a calculadora no modo RPN aperte a tecla e em seguida Observe que vai aparecer o indicador RPN no visor da maacutequina
Agora que a calculadora estaacute no modo RPN vamos ao caacutelculo
3 2 5 11
Resultado
Resolvendo no modo ALG
Para configurar a calculadora no modo ALG aperte a tecla e em seguida Observe que vai aparecer o indicador ALG no visor da maacutequina
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Unidade 1
Calculando no modo algeacutebrico
3 2 5 11
Resultado
Os modelos mais antigos de calculadoras HP ndash 12C natildeo disponibilizam o modo algeacutebrico Portanto se vocecirc eacute usuaacuterio desse tipo de calculadora todos os caacutelculos devem ser efetuados no modo RPN
Exemplo 12
Resolver os caacutelculos solicitados a seguir usando os modos RPN e ALG
a) 3 2 5 33+ minus x
b) ( )minus + minus2 3 4 43 x
c) 2 9 3 52minus + + minus
d) 2 35
2+ minusln
e) 3 4 62+ minuse
Resolvendo no modo RPN
a)
3 2 3 5 3 - 4
Resultado
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b)
c)
d)
Obs para alterar a quantidade de casas decimais no visor da calculadora aperte e em seguida um nuacutemero de 1 a 9 que corresponde agrave quantidade de casas decimais No exemplo acima usamos
e)
2
3 3
4
4
0
Resultado
2
2
9 3 5 125
Resultado
2
3
5 2 0599
Resultado
3
2
46 5789
Resultado
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Unidade 1
Resolvendo no modo ALG com o auxiacutelio dos registros R R
0 9 a
a)
2
3
5 3 3
4
Resultado
Armazena o resultado do visor na memoacuteria 0
Recupera o registro da memoacuteria 0
b)
2
3
3 4
4 0
Resultado
c)
2 2
9
3 5 125
Resultado
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d)
e)
Exemplo 13
Usando a calculadora HP ndash 12C no modo RPN as seguintes operaccedilotildees bancaacuterias foram realizadas a conta tinha um saldo de R$ 12300 e foi feito um depoacutesito referente ao salaacuterio de R$ 189035 Em seguida foram emitidos e compensados cheques nos valores de R$ 38590 R$ 23478 e R$ 62389 Qual eacute o novo saldo da conta
Soluccedilatildeo use
para apresentar os caacutelculos com duas casas decimais
12300 189035 38590
23478 62389 76920
Saldo
2 3 5 2 0 0599
Resultado
3 2 46 5789
Resultado
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Unidade 1
Seccedilatildeo 3 ndash Funccedilotildees de percentagem e calendaacuterio
A calculadora HP ndash 12C apresenta funccedilotildees que permitem o caacutelculo de percentagens e de calendaacuterio Para caacutelculo com percentagens natildeo eacute necessaacuterio converter o nuacutemero na notaccedilatildeo percentual para a notaccedilatildeo decimal Jaacute as funccedilotildees calendaacuterio fornecidas pela HP trabalham com datas entre 15 de outubro de 1582 e 25 de novembro de 4046 A seguir vocecirc conheceraacute detalhadamente essas funccedilotildees
Funccedilotildees de percentagem
Calcula a Percentagem de um nuacutemero ou valor
Calcula a diferenccedila percentual entre dois nuacutemeros
Calcula qual percentual um nuacutemero eacute de outro
Figura 14 - Ilustraccedilatildeo das funccedilotildees de percentagem da Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Funccedilotildees de calendaacuterio
Configura o formato de uma data para dia-mecircs-ano
Configura o formato de uma data para mecircs-dia-ano
Calcula o nuacutemero de dias entre datas
Calcula datas futuras ou passadas
Figura 15 - Ilustraccedilatildeo das funccedilotildees de calendaacuterio da Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Nos exemplos a seguir estaacute demonstrado o uso de todas as funccedilotildees apresentadas Obs os caacutelculos vatildeo ser realizados no modo RPN
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Exemplo 14
Calcular 16 de R$ 198000
Soluccedilatildeo
198000 1600 31680
Resultado
Exemplo 15
Determinada empresa com accedilotildees na bolsa de valores verificou as seguintes variaccedilotildees nos valores das suas accedilotildees no dia 150508 o valor da accedilatildeo passou de R$ 5025 para R$ 5498 jaacute no dia 210508 o valor da accedilatildeo caiu de R$ 5498 para R$ 5208 Qual a diferenccedila percentual nas duas situaccedilotildees
Soluccedilatildeo a sequecircncia a seguir apresenta a variaccedilatildeo percentual
Caacutelculo da variaccedilatildeo percentual de R$ 5025 para R$ 5498 usando a HP ndash 12C
5025 5498 941
Resultado
Observe que o resultado apresentado eacute positivo portanto representa aumento
Caacutelculo da variaccedilatildeo percentual de R$ 5498 para R$ 5208 usando a HP ndash 12C
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Unidade 1
5498 5208 -527
Resultado
Observe que o resultado apresentado eacute negativo portanto representa queda
Exemplo 16
A empresa do exemplo anterior atua na regiatildeo sul do Brasil com vendas totais realizadas no mecircs de abril de 2008 de R$ 589636996 distribuiacutedas da seguinte forma R$ 123656939 no Paranaacute R$ 356963920 em Santa Catarina e R$ 109016137 no Rio Grande do Sul Qual a percentagem das vendas totais em cada um dos trecircs Estados
Soluccedilatildeo
A sequecircncia apresenta os percentuais nos estados do Paranaacute Santa Catarina e Rio Grande do Sul
Soluccedilatildeo
589636996 123656939 2097
356963920 6054 109016137 1849
Resultado SC Resultado RS
Resultado PR
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Exemplo 17
Comprei uma TV LCD em 17052008 com vencimento para 120 dias Determine a data do vencimento usando a calculadora HP ndash 12C
Soluccedilatildeo
17052008 120 14092008 7
A data do vencimento eacute 14 de setembro de
2008 domingo
Exemplo 18
Fiz uma compra no dia 12052008 com vencimento para o dia 26082008 Use a calculadora HP ndash 12C para determinar o nuacutemero de dias entre a data da compra e do vencimento
Soluccedilatildeo
12052008 20082008 100
Nuacutemero de dias entre as datas
Nesta unidade vocecirc conheceu algumas funccedilotildees elementares da calculadora as quais seratildeo utilizadas nas demais unidades e satildeo muito importantes para realizar caacutelculos que envolvem questotildees do nosso cotidiano Na proacutexima unidade vocecirc vai usar as funccedilotildees financeiras da calculadora para calcular juros simples e compostos descontos simples e compostos
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Unidade 1
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
Efetue as atividades de autoavaliaccedilatildeo e acompanhe as respostas e comentaacuterios a respeito nas paacuteginas finais deste material Para melhor aproveitamento do seu estudo realize a conferecircncia de suas respostas somente depois de fazer as atividades propostas Desse modo o momento da conferecircncia lhe proporcionaraacute novas oportunidades de aprendizagem
1 Calcule o valor das expressotildees numeacutericas a seguir usando a HP ndash 12C nos modos RPN e ALG
a) 2 5 3 8 24 minus + divide =x
b) minus + minus =3 5 32 3x eln
c) 16 25 3 45 89+ minus =x
d) 2
35 5
3+ minus =ln
e) 0 253
55
2 + minus =minus
2 Use a HP ndash 12C para realizar os caacutelculos e informar o saldo final da seguinte movimentaccedilatildeo financeira Saldo inicial na conta R$ 167890 depoacutesito de R$ 143587 cheques compensados nos valores de R$ 34598 R$ 12345 R$ 65790 e R$ 30987
3 No dia 130508 o doacutelar americano estava cotado em R$ 165 no dia 190508 a cotaccedilatildeo foi de R$ 161 Com base nestes dados indique qual foi a variaccedilatildeo percentual do doacutelar
4 Foi realizada uma compra em um supermercado no valor de R$ 67890 em 150508 Sabendo que esse estabelecimento trabalha com prazo de 90 dias use as funccedilotildees calendaacuterio da HP ndash 12C e determine a data e o dia da semana do vencimento
5 Uma empresa tem vendas mensais para o mecircs de maio de 2008 estimadas em R$ 178909000 Sabendo que o valor total das vendas estaacute distribuiacutedo nas cidades de Florianoacutepolis Curitiba e Porto Alegre com valores correspondentes a R$ 59089000 R$ 89767898 e R$ 30052102 respectivamente determine qual percentagem das vendas totais ocorre em cada uma das cidades
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Saiba mais
HPndash12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
No link abaixo vocecirc tem disponiacutevel o manual da calculadora HP ndash 12C na versatildeo online lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt
2UNIDADE 2
Regimes de capitalizaccedilatildeo simples e composto
Objetivos de aprendizagem
Fazer uso das funccedilotildees financeiras da calculadora HP ndash 12C para calcular juros simples e composto
Dominar o caacutelculo do montante simples e composto
Aprender o caacutelculo de desconto simples e composto
Calcular capital taxa e prazo no regime de capitalizaccedilatildeo composto usando a HP ndash 12C
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Regime de capitalizaccedilatildeo simples
Seccedilatildeo 2 Regime de capitalizaccedilatildeo composto
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc vai fazer uso das funccedilotildees financeiras da HP ndash 12C com o objetivo de realizar caacutelculos de juros simples e composto montantes simples e composto descontos simples e composto caacutelculo de taxas e prazos
Nesta etapa de estudos seratildeo utilizados exemplos do material didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira que estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do Espaccedilo Virtual de Aprendizagem ndash EVA Eacute importante lembrar natildeo ser objetivo deste curso discutir os conceitos da Matemaacutetica Financeira mas apenas utilizar as funccedilotildees disponibilizadas na calculadora para resolver problemas relacionados a essa aacuterea Entretanto caso vocecirc julgue importante os conceitos podem ser relembrados ou vistos no material didaacutetico da disciplina
Seccedilatildeo 1 ndash Regime de capitalizaccedilatildeo simples
Na unidade 1 vocecirc foi apresentado(a) agrave calculadora HP ndash 12C e a algumas das suas funccedilotildees com o objetivo de capacitaacute-lo(a) para o uso adequado dessa ferramenta Esta unidade inicia com uma abordagem sobre os registradores financeiros os quais seratildeo utilizados na maioria dos exemplos que deveratildeo ser resolvidos ao longo das proacuteximas seccedilotildees desta unidade e nas demais unidades deste curso Veja na ilustraccedilatildeo a seguir os registradores financeiros e as suas aplicaccedilotildees
Registra e armazena periacuteodo
Registra e armazena taxa
Registra e armazena valor presente
Registra e armazena pagamentos perioacutedicos
Registra e armazena valor futuro
Figura 21 - Registradores financeiros e as suas aplicaccedilotildees Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
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Unidade 2
Para armazenar um nuacutemero em um registrador financeiro digite o nuacutemero e em seguida uma das teclas correspondentes ilustradas acima
Para exibir um nuacutemero armazenado em um dos registradores financeiros aperte e em seguida a tecla correspondente
Para zerar todos os registradores financeiros aperte a sequecircncia de teclas
Eacute importante lembrar que os registradores financeiros tambeacutem satildeo zerados ao apertar a sequecircncia
e quando a memoacuteria contiacutenua eacute
reinicializada
A seguir vocecirc faraacute caacutelculo de juros simples e de descontos simples usando a HP ndash 12C
Regime de capitalizaccedilatildeo simples
A HP ndash 12C calcula automaticamente juros simples ordinaacuterios ndash usando o ano comercial e juros simples exatos ndash usando um ano de 365 dias simultaneamente
Eacute possiacutevel apresentar qualquer um dos dois e mais com os juros acumulados no mostrador podemos calcular o montante apertando a tecla
Para exemplificar vamos resolver problemas do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira que se encontra disponiacutevel (formato digital) na ferramenta Midiateca do EVA ndash Espaccedilo Virtual de Aprendizagem
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Exemplo 21 (exemplo 1 paacuteg 29 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital de R$ 1800000 foi aplicado a juros simples durante 3 anos agrave taxa de 6 aa Qual eacute o valor dos juros e o montante adquirido
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula os juros e o montante
Exemplo 22 (exemplo 1 paacuteg 33 do livro Matemaacutetica Financeira)
Ache os juros simples exatos auferidos em uma aplicaccedilatildeo de R$ 1500000 a uma taxa de 16 aa de 20 de abril de 2003 a 1ordm de julho de 2003
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula os juros comerciais e os juros exatos
Neste exemplo utilizamos duas teclas que seratildeo ilustradas a seguir para realizar o caacutelculo dos juros exatos
1800000 1080 6
324000 2124000
Juros Montante
No caacutelculo de Juros simples o periacuteodo deve ser em dias
Calcula juros simples
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Unidade 2
1500000 20042003 01072003
72 16 48000 47342
Juro comercial Juro exato nordm de dias
Ao apertar essa tecla ela rola para baixo o conteuacutedo da pilha para visualizaccedilatildeo no registro X
Ao apertar essa tecla ela troca o conteuacutedo dos registros X e Y da pilha
Figura 22 - Teclas utilizadas para registros de dados Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Exemplo 23 (exemplo 2 paacuteg 34 do livro Matemaacutetica Financeira)
Determine o juro simples exato obtido em uma aplicaccedilatildeo de R$ 1300000 durante 146 dias a uma taxa de 9 aa
Soluccedilatildeo a sequecircncia a seguir realiza os caacutelculos solicitados
1330000 146 9
48545 47880
Juro comercial Juro exato
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 24 (exemplo 1 paacuteg 47 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma duplicata de R$ 1500000 com vencimento no dia 03042005 foi descontada em um banco em 08012005 a uma taxa de 25 am Qual eacute o desconto simples bancaacuterio da operaccedilatildeo
Soluccedilatildeo
08012005 03042005 85
1500000 0025 30 106250
Taxa decimal Desconto bancaacuterio
Nordm de dias entre as datas
Exemplo 25 (exemplo 1 paacuteg 48 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma empresa descontou um tiacutetulo com valor de face de R$ 1450000 3 meses e 15 dias antes do vencimento com uma taxa de desconto bancaacuterio simples de 24 am Quanto a empresa recebeu liacutequido na operaccedilatildeo
Soluccedilatildeo
1450000 0024 35 1450000 1328200
Periacuteodo em meses Valor liacutequidoTaxa decimal
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
Exemplo 26 (exemplo 1 paacuteg 49 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma duplicata de R$ 4800000 foi descontada 6 meses antes de seu vencimento em uma instituiccedilatildeo financeira que trabalha com uma taxa de desconto simples de 32 am Com base nestes dados determine
o valor do desconto simples bancaacuterio
o valor do desconto simples racional
Soluccedilatildeo
4800000 6 0032 921600
Taxa decimal Valor liacutequido
921600 1 0032
6 773154
Taxa decimal Valor liacutequido
Na proacutexima seccedilatildeo vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros compostos e de desconto compostos
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Seccedilatildeo 2 ndash Regime de capitalizaccedilatildeo composto
Os exemplos apresentados a partir de agora satildeo ilustrativos de uma ampla variedade de caacutelculos financeiros Para resolvecirc-los vocecirc precisa estruturaacute-los identificando os elementos baacutesicos do problema de maneira que fiquem evidentes as quantidades que devem ser fornecidas agrave calculadora e quem eacute o valor desconhecido ou seja o valor que desejamos determinar
Na resoluccedilatildeo dos caacutelculos usando a HP ndash 12C eacute indispensaacutevel elaborar o diagrama de fluxo de caixa Eacute importante ressaltar que a calculadora precisa de ajuda para comparar o fluxo de caixa ou seja eacute preciso informar quando temos uma entrada ou uma saiacuteda
O fluxo de caixa serve para demonstrar graficamente as transaccedilotildees financeiras em um periacuteodo de tempo
O tempo eacute representado por uma linha horizontal dividida pelo nuacutemero de periacuteodos relevantes para anaacutelise As entradas ou recebimentos satildeo representados por setas verticais apontadas para cima e as saiacutedas ou pagamentos satildeo representados por setas verticais apontadas para baixo Observe o modelo simplificado
(+) entradas
(-) saiacutedas
tempo (n)
Veja agora o modelo detalhado
Entradas
Saiacutedas
Tempo
Fluxo de caixa pode ser definido como sendo a movimentaccedilatildeo de recursos financeiros (entradas e saiacutedas de caixa) ao longo de um periacuteodo de tempo - agrave entrada e saiacuteda de dinheiro O conceito caixa (financeiro) natildeo pode ser confundido com conceito de competecircncia (contaacutebil)
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
Na HP-12C a tecla (do inglecircs Change Sign) serve para introduzir ou tirar um sinal negativo de um nuacutemero ou seja faz o fluxo de caixa
Na sequecircncia de exemplos apresentados a seguir realizaremos caacutelculos de juros montantes valor presente prazo taxa de juros e descontos no regime composto com o auxiacutelio dos registradores financeiros da calculadora HP ndash 12C
Exemplo 27 (exemplo 1 paacuteg 58 do livro Matemaacutetica Financeira)
Qual o montante gerado por um capital de R$ 450000 aplicado por 9 meses a juros compostos a uma taxa de 35 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o montante composto
450000 9 35 613304
MontanteFluxo de caixa saiacuteda do dinheiro para aplicaccedilatildeo
Exemplo 28 (exemplo 2 paacuteg 58 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital de R$ 1200000 foi aplicado a juros compostos durante 6 meses agrave taxa de 2 am Calcule os juros auferidos na aplicaccedilatildeo
Soluccedilatildeo use a sequecircncia a seguir para calcular os juros
1200000 6 2
1351395 151395
Montante Juros
Fluxo de caixa saiacuteda do dinheiro para aplicaccedilatildeo
Recupera um valor em um registrador
financeiro
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Exemplo 29 (exemplo 3 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital ldquoXrdquo eacute aplicado a juros compostos agrave taxa de 35 am gerando um montante de R$ 1950000 apoacutes 1 ano e 3 meses Determine o capital ldquoXrdquo
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar o capital
1950000 35 15 -1163937
Capital aplicado
Exemplo 210 (exemplo 4 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
A que taxa mensal de juros compostos um capital de R$ 1250000 pode transformar-se em R$ 1537342 no periacuteodo de 7 meses
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
1250000 1537342 7 300
Taxa de juros mensal
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Unidade 2
Exemplo 211 (exemplo 5 paacuteg 60 do livro Matemaacutetica Financeira)
Em que prazo um empreacutestimo de R$ 3500000 pode ser pago pela quantia de R$ 4790000 se a taxa de juros compostos cobrada for de 4 am
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
3500000 4790000 4 8
Periacuteodo em meses
Funccedilatildeo ldquoCrdquo na HP ndash 12C e as teclas ldquoSTOrdquo e ldquoEEXrdquo
Vocecirc pode calcular taxa de juros (i) Capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos Perioacutedicos (PMT) para transaccedilotildees financeiras com periacuteodos fracionaacuterios Ao digitar um periacuteodo fracionaacuterio por exemplo 23 meses a parte inteira do nuacutemero indica o nuacutemero de periacuteodos inteiro e a parte fracionaacuteria do nuacutemero o tamanho do periacuteodo fracionaacuterio como uma fraccedilatildeo do periacuteodo inteiro (no exemplo 2 meses e 03 meses)
De acordo com o criteacuterio do usuaacuterio os caacutelculos de taxa de juros ( i ) capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos perioacutedicos (PMT) podem ser executados com juros simples ou compostos acumulados durante o periacuteodo fracionaacuterio Para escolher uma das duas opccedilotildees faccedila
Aparece o indicador ldquoCldquo Portanto os juros compostos satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Natildeo aparece o indicador ldquoCrdquo Portanto os juros simples satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Figura 23 - Teclas utilizadas para caacutelculo de juros simples e compostos para periacuteodo fracionaacuterio Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
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Exemplo 212
Calcular o valor futuro de uma aplicaccedilatildeo de R$ 185030000 aplicado agrave taxa de 14 aa durante 45 anos usando juros compostos e simples para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Soluccedilatildeo as sequecircncias a seguir apresentam os resultados para o caacutelculo do valor futuro com juros simples para o periacuteodo fracionaacuterio e juros compostos para o periacuteodo fracionaacuterios respectivamente
185030000 14
45 334383879
Valor futuro calculado com juros simples para o periacuteodo
fracionaacuterio
185030000
14 45 333667556
Valor futuro calculado com juros compostos para o
periacuteodo fracionaacuterio
Exemplo 213 (exemplo 1 paacuteg 81 do livro Matemaacutetica Financeira)
Determine o valor do desconto composto racional e o valor do resgate de um tiacutetulo de R$ 1560000 descontado 5 meses antes do seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto composto racional eacute de 4 am
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Unidade 2
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor do desconto racional composto e o valor liacutequido a receber
1560000 1
1 004 5
277794 1560000 1282206
Valor do desconto Valor liacutequido
Exemplo 214 (exemplo 1 paacuteg 84 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um tiacutetulo de valor nominal de R$ 1500000 eacute descontado em um banco 3 meses antes de seu vencimento Se a taxa de desconto comercial usada pelo banco eacute de 8 am qual eacute o valor do desconto
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor liacutequido e o valor do desconto bancaacuterio ou comercial
1500000 3 8
-1168032 331968
Valor liacutequido Valor do desconto
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Nesta unidade vocecirc usou a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros simples e compostos descontos simples e compostos valor presente taxa de juros periacuteodo e montante Na proacutexima unidade usaremos a ferramenta para auxiliar no caacutelculo de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir foram propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo em PDF estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as questotildees 1 3 5 e 6 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteginas 38 e 39 Confira os resultados na paacuteg 194
1) Qual o rendimento que obtemos ao aplicarmos um capital de R$ 1000000 a uma taxa de juros simples de 5 aa durante 3 anos
3) Em um regime de capitalizaccedilatildeo simples qual eacute o montante que se obteacutem quando aplicamos um capital de R$ 200000 a uma taxa 6 aa durante 24 meses
5) Uma quantia de R$ 6200000 foi aplicada em uma operaccedilatildeo financeira no dia 20 de setembro de 2003 e resgatada no dia 21 de dezembro de 2003 a uma taxa de 125 aa Quais os juros simples exatos e comerciais da operaccedilatildeo
6) Calcule os juros simples exatos e comerciais nas seguintes condiccedilotildees
bull R$ 600000 aplicados por 180 dias a 12 aa
bull R$ 520000 aplicados por 230 dias a 15 aa
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Unidade 2
2 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 2 e 4 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegs 52 e 53 Confira os resultados nas paacuteginas 194 e 195
1) Uma empresa desconta uma duplicata no valor nominal de R$ 5000000 no Banco ldquoXrdquo 4 meses antes do seu vencimento Sabendo que o banco ldquoXrdquo trabalha com uma taxa de desconto simples bancaacuterio de 45 am qual eacute o valor do desconto e o valor liacutequido recebido
2) Para pagar uma diacutevida hoje uma empresa descontou em uma carteira de creacutedito uma duplicata no valor de R$ 1650000 com vencimento daqui a 2 meses recebendo um valor nominal liacutequido de R$ 1500000 Determine a taxa mensal de desconto simples bancaacuterio utilizada
4) Uma letra de cacircmbio no valor nominal de R$ 500000 foi comercializada 4 meses antes do vencimento a uma taxa de desconto simples de 22 am Se o desconto simples fosse o racional qual seria o valor deste desconto
3 Elabore uma sequecircncia de passos para resolver as questotildees propostas 1 2 3 4 e 6 nas paacuteginas 65 66 e 67 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira e confira os resultados na paacuteg 195
1) Calcule o montante produzido por um capital de R$ 2600000 aplicado a uma taxa de juros compostos de 52 am por 6 meses
2) Calcule os juros compostos auferidos por um capital de R$ 420000 aplicado a uma taxa de 3 am durante 10 meses
3) Um empreacutestimo de R$ 600000 deve ser pago em 120 dias a juros compostos pelo valor de R$ 900000 Qual eacute a taxa mensal da operaccedilatildeo
4) Em que prazo uma aplicaccedilatildeo a juros compostos de R$ 2400000 produziraacute um montante de R$ 6151930 agrave taxa de 4 am
6) Quanto Paulo deve aplicar hoje a juros compostos em uma instituiccedilatildeo financeira que paga uma taxa de 12 am para pagar um compromisso de valor nominal igual a R$ 3800000 que vence daqui a 3 meses
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Universidade do Sul de Santa Catarina
4 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 e 8 das paacuteginas 88 e 90 respectivamente do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira Confira os resultados na paacuteg 196
1) Determine o valor do desconto composto racional de um tiacutetulo de valor nominal de R$ 830000 descontado 6 meses antes de seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto eacute de 42 am
8) Um tiacutetulo de R$ 3000000 foi descontado em uma instituiccedilatildeo financeira a uma taxa de desconto composto comercial de 64 am e o valor liacutequido recebido era de R$ 2017327 Quantos meses antes do vencimento foi descontado este tiacutetulo
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
3UNIDADE 3
Taxas de juros equivalentes e caacutelculo de pagamentos perioacutedicos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para calcular taxas equivalentes
Usar as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP ndash 12C para programar o algoritmo da taxa equivalente no regime de capitalizaccedilatildeo composto
Calcular pagamentos perioacutedicos de sequecircncias uniformes postecipadas e antecipadas
Calcular montante de uma sequecircncia uniforme
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Taxas equivalentes
Seccedilatildeo 2 Sequecircncia de capitais
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar taxas equivalentes no regime de capitalizaccedilatildeo composto Vocecirc usaraacute as funccedilotildees de programaccedilatildeo com o objetivo de elaborar um algoritmo para fazer a conversatildeo de taxas de um periacuteodo de capitalizaccedilatildeo (ex mensal) para outro periacuteodo (ex anual) usando o programa Vamos explorar as funccedilotildees ldquoPMTrdquo ldquoBEGrdquo e ldquoENDrdquo para realizar caacutelculo de pagamentos antecipados e postecipados em uma sequecircncia uniforme Destacamos que os exemplos que seratildeo apresentados estatildeo no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira
Seccedilatildeo 1 ndash Taxas equivalentes
Nesta unidade vocecirc usaraacute algumas funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos (postecipados e antecipados) de uma seacuterie uniforme Vocecirc usaraacute ainda as funccedilotildees de programaccedilatildeo para elaborar um programa para calcular taxas equivalentes A figura a seguir apresenta as funccedilotildees que vocecirc usaraacute nos exemplos apresentados posteriormente
Aciona o modo de programaccedilatildeo de HP ndash 12C
Aciona a funccedilatildeo Begin que calcula a parcela com pagamento antecipado
Aciona a funccedilatildeo End (natildeo aparece no visor da calculadora) que calcula parcela com pagamento postecipado
Figura 31 - Teclas utilizadas para acionar as funccedilotildees Beg e End e entrar no modo de programaccedilatildeo
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
49
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Unidade 3
Taxas equivalentes
No mercado financeiro e nas operaccedilotildees bancaacuterias e comerciais a palavra taxa eacute empregada de vaacuterias formas ou seja vaacuterios conceitos satildeo abordados em vaacuterias situaccedilotildees Esta seccedilatildeo tem como objetivo mostrar como as taxas de juros satildeo informadas no mercado financeiro e como adequaacute-las agraves condiccedilotildees padronizadas pela HP ndash 12C
Duas taxas satildeo consideradas equivalentes a juros compostos quando aplicadas a um mesmo capital por um periacuteodo de tempo equivalente e geram o mesmo rendimento
Exemplo 31(exemplo 1 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
No regime de juros compostos qual a taxa anual equivalente a 4 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente anual
Exemplo 32 (exemplo 2 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
Calcule a taxa quadrimestral equivalente agrave taxa de juros compostos de 8 aa
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente quadrimestral
1 004 12 1 1 10000 6010
Taxa anual
50
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1 008 1 3 1 10000 260
Taxa quadrimestral
Programa para caacutelculo da taxa equivalente pela hp ndash 12c
O professor Carlos Shinoda em seu livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48) apresenta um programa para calcular a taxa equivalente atraveacutes da calculadora HP ndash 12C
Siga os procedimentos abaixo para introduzir o programa na HP ndash 12C
Figura 32 - Algoritmo para a programaccedilatildeo de taxa equivalente
Fonte Livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48)
51
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
Agora que vocecirc programou a HP ndash 12C para o caacutelculo de taxas equivalentes resolva o exemplo a seguir usando o programa
Exemplo 33
Usando o programa anterior determine as taxas equivalentes propostas nos exemplos 31 e 32
Soluccedilatildeo
As sequecircncias abaixo calculam as taxas equivalentes
Executa oprograma
4 1 12 6010
Taxa anual
Executa oprograma
8 360 120 260
Taxa quadrimestral
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Seccedilatildeo 2 ndash Sequecircncia de capitais
Nesta seccedilatildeo vocecirc acompanharaacute as situaccedilotildees em que haacute mais de um pagamento ou seja vocecirc estudaraacute as operaccedilotildees envolvendo pagamentos ou recebimentos perioacutedicos e uniformes
As seacuteries uniformes de pagamentos satildeo aquelas em que os pagamentos ou recebimentos satildeo constantes e ocorrem em intervalos iguais
Seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas e antecipadas
As seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1 Este sistema eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada (0 + n)
Pagamentos ou recebimentos podem ser chamados de prestaccedilatildeo representada pela sigla PMT que vem do inglecircs Payment e significa pagamento ou recebimento
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentosPMT
++
0 1 2 3 4 5 6 n
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
++
0 1 2 3 4 5 6 n
PMT
53
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Unidade 3
As seacuteries uniformes de pagamentos antecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre na data focal 0 (zero) Este tipo de sistema de pagamento eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento com entrada (1+ n)
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
Exemplo 34 (exemplo 2 paacuteg 108 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um automoacutevel eacute vendido em uma loja por R$ 3200000 A loja propotildee as seguintes condiccedilotildees para financiamento
Proposta A 12 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta B 24 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta C 36 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
A taxa de juros usada eacute de 32 am Qual o valor de cada prestaccedilatildeo nas 3 modalidades de financiamento
Soluccedilatildeo
As sequecircncias a seguir calculam os valores das parcelas nas trecircs propostas
54
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3200000
32 12 -325329
parcela
3200000
32 24 -193046
parcela
3200000
32 36 -150979
parcela
Exemplo 35 (exemplo 2 paacuteg 111 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma casa cujo valor agrave vista eacute R$ 4924456 eacute vendida em prestaccedilotildees mensais e iguais de R$ 250000 sendo a primeira dada como entrada Se a taxa de financiamento eacute de 18 am determine o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas no financiamento
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o nuacutemero de parcelas
4924456 18
250000 24
nordm de parcelas
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Unidade 3
No exemplo acima o nuacutemero de pagamento deu um nuacutemero inteiro Mas podem acontecer situaccedilotildees em que ao se determinar o nuacutemero de parcelas o resultado natildeo seja um nuacutemero inteiro
Nessa situaccedilatildeo a HP ndash 12C arredonda a resposta para o proacuteximo inteiro para cima antes de armazenaacute-la e exibi-la
Exemplo 36
Vocecirc comprou um terreno por R$ 3500000 a juros de 105 aa Vocecirc pretende fazer pagamentos de R$ 32500 no fim de cada mecircs Quantos pagamentos seratildeo necessaacuterios para pagar o terreno e quanto tempo levaraacute
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o nuacutemero de pagamentos e o tempo necessaacuterio
3500000 105
32500 328 2733
nordm de parcelas Tempo (anos)
Como a calculadora arredonda o valor do tempo para o proacuteximo inteiro eacute provaacutevel que apesar de serem necessaacuterios 328 pagamentos somente 327 seratildeo inteiros de R$ 32500 com o pagamento final sendo menor do que R$ 32500 Para calcular o valor do pagamento de nuacutemero 328 vamos fazer o seguinte
A calculadora natildeo ajusta os valores nos outros registros financeiros automaticamente para refletir os n pagamentos iguais ao contraacuterio ela lhe permite escolher quais valores (se houver) que vocecirc deseja ajustar
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328 18189 - 32500 -14311
Valor da parcela 328
Nesta unidade vocecirc calculou taxas equivalentes usou as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP e fez caacutelculos de pagamentos perioacutedicos de uma seacuterie uniforme antecipado ou postecipado Na proacutexima unidade vamos realizar caacutelculos de valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades abaixo (Essa atividade corresponde agrave autoavaliaccedilatildeo 1 da unidade 5 do livro didaacutetico de Matemaacutetica Financeira) Em seguida use o programa elaborado para resolver a mesma questatildeo
Calcule a taxa anual das seguintes taxas
a) 26 am
b) 42 ab
c) 48 at
d) 12 as
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Unidade 3
2 Elabore um algoritmo para resolver as seguintes atividades (Estas questotildees equivalem agraves autoavaliaccedilotildees 1 2 3 4 e 5 da unidade 8 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 121 122 e 123)
a) Calcule o valor da prestaccedilatildeo mensal de um empreacutestimo de R$ 600000 que seraacute amortizado em 12 prestaccedilotildees mensais postecipadas sabendo que o banco cobra uma taxa de juros de 2 am
b) Uma loja vende um automoacutevel agrave vista por R$ 1650000 Se o comprador quiser fazer um financiamento em 36 parcelas mensais e iguais onde o 1ordm pagamento seraacute efetuado no 1ordm mecircs apoacutes a compra a uma taxa de juros de 21 am qual o valor da prestaccedilatildeo
c) Uma mercadoria custa R$ 9038071 agrave vista podendo ser vendida em prestaccedilotildees mensais de R$ 1050000 sendo a primeira prestaccedilatildeo dada como entrada Sabendo-se que a loja aplica uma taxa de 35 am qual o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas
d) Carlos depositou certa quantia durante 10 meses de forma antecipada a uma taxa de 25 am obtendo um montante de R$ 25000000 Quanto depositou mensalmente Carlos
e) Um produto eacute vendido agrave vista por R$ 200000 ou em 10 prestaccedilotildees mensais iguais sem entrada com uma carecircncia de 90 dias apoacutes a compra Qual o valor de cada prestaccedilatildeo sabendo que a taxa de juros eacute de 6 am
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
4UNIDADE 4
Valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa
Usar as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Valor presente liacutequido
Seccedilatildeo 2 Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs ndash SFA (Price)
60
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa usando as funccedilotildees CF0 CFj e NPV Vocecirc deveraacute ainda fazer uso da funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos usando o Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo ndash SFA ou tabela Price
Seccedilatildeo 1 ndash Valor presente liacutequido
A figura 41 a seguir apresenta as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C que vocecirc usaraacute nessa unidade para realizar caacutelculo de valor presente liacutequido e para a elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos ou financiamento
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor inicial do fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor do fluxo de caixa no periacuteodo j
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula o valor presente atual de um fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula a parte dos pagamentos usada para pagar juros
Figura 41 - Teclas para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
Valor presente liacutequido
Nessa seccedilatildeo vocecirc usaraacute as funccedilotildees da HP ndash 12C para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa Para entender como usar as funccedilotildees CF0 CFj e NPV considere o fluxo de caixa para um investimento que exige capital inicial (CF0) e que gera um fluxo de caixa (CFj ) no final de j periacuteodos
61
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Veja a seguir o fluxo de caixa
CF0CF1
CF2 CF5
CFn
CF3 CF4
O VPL = Valor Presente Liacutequido eacute calculado somando ao investimento inicial o valor presente dos fluxos de caixa futuros projetados Portanto
se o VPL for positivo o valor financeiro do ativo do investidor aumentaraacute ou seja o investimento financeiro seraacute atrativo em termos financeiros
se o VPL for zero o valor financeiro do ativo financeiro do investidor natildeo mudaraacute ou seja o investidor seraacute indiferente ao investimento
se o VPL for negativo o valor financeiro do ativo do investidor seraacute reduzido ou seja o investimento natildeo seraacute atrativo em termos financeiros
Exemplo 41
Um investidor compra uma casa por R$ 7000000 e gostaria de ter um retorno de pelo menos 15 Ele pretende manter a casa por 4 anos e depois vendecirc-la por R$ 11000000 Ele prevecirc os fluxos de caixa mostrados no diagrama abaixo
CF0CF1
CF1
CF3CF4
CF5
R$ 7000000
R$ 50000
R$ 450000R$ 450000
R$ 13000000R$ 550000
Sendo assim calcule o VPL para determinar se o investimento resultaria em um retorno ou perda
62
Universidade do Sul de Santa Catarina
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o VPL
7000000 50000
450000 550000 450000
13000000 15 379007
VPL
Como o VPL eacute positivo o investimento aumentaria o valor financeiro do ativo do investidor
Exemplo 42 (exemplo 4 paacuteg 98 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um proprietaacuterio recebeu as seguintes propostas para a venda de uma casa
Proposta A entrada de R$ 10000000 + R$ 5000000 em 6 meses + R$ 6000000 em 1 ano
Proposta B entrada de R$ 8000000 + R$ 6000000 em 5 meses + R$ 7000000 em 10 meses
Sabendo-se que a taxa de juros de mercado eacute de 3 am qual a melhor proposta para o vendedor
Soluccedilatildeo
Essa questatildeo deve ser resolvida pelo meacutetodo do Valor Presente Liacutequido A alternativa que tiver o maior valor seraacute a melhor Entretanto para facilitar a elaboraccedilatildeo do algoritmo de resoluccedilatildeo na HP ndash 12C elabore o fluxo de caixa para cada situaccedilatildeo
63
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
1 Proposta A Fluxo de caixa
10000000 5000000 6000000
1 2 3 4 5 7 8 9 10 110 6 12
Calculando o VPL
10000000 000 5
5000000 000
5
6000000
3
18395701
VPL
Armazena o zero 5 vezes
2 Proposta B Fluxo de caixa
8000000 70000006000000
1 2 3 4 6 7 8 90 5 10
Calculando o VPL
8000000 000 4
6000000 000
4
7000000
3
18384310
VPL
Armazena o zero 4 vezes
Resposta a melhor proposta eacute a A
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Exemplo 43
Dois equipamentos satildeo examinados Considerando ser a taxa miacutenima de atratividade de 20aa qual o equipamento que deve ser adquirido
Dados
41 - Tabela de DadosEquipamento K Equipamento L
Custo R$ 5000000 R$ 8000000Custo anual de manutenccedilatildeo R$ 2000000 R$ 1500000Valor residual para venda R$ 400000 R$ 800000Duraccedilatildeo em anos 10 10
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
A seguir veja o diagrama de fluxo de caixa
Os caacutelculos do Valor Presente Liacutequido para as duas situaccedilotildees satildeo
Equipamento K
5000000
Equipamento K
2000000
400000
0 1 2 10
8000000
Equipamento L
1500000
800000
0 1 2 10
50000 20000
9 4000 20000 1
20 -13320342
65
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Unidade 4
Equipamento L
80000 15000
9 8000 15000 1
20 -14159504
Importante Veja que a alternativa K equivale a um equipamento em que se investe R$ 13320342 enquanto que o equipamento L equivale a um investimento de R$ 14159504 Portanto eacute preferiacutevel o equipamento K pois o investimento eacute menor
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Seccedilatildeo 2 ndash Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs - SFA
Este sistema consiste no pagamento de empreacutestimos ou financiamentos com prestaccedilotildees iguais e com periodicidade constante Eacute considerado o sistema de amortizaccedilatildeo mais utilizado pelas instituiccedilotildees financeiras e pelo comeacutercio em geral
O Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo eacute assim chamado por ter sido inventado na Franccedila por volta do seacuteculo XVIII pelo matemaacutetico inglecircs Richard Price daiacute portanto a origem da denominaccedilatildeo Sistema Price tambeacutem comumente chamado de Tabela Price
Na verdade a Tabela Price eacute um caso particular derivado do Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo Neste sistema o financiamento (PV) eacute pago em parcelas (PMT) iguais constituiacutedas da amortizaccedilatildeo do principal da diacutevida + juros compensatoacuterios (J) que variam inversamente ao longo do tempo Ou seja agrave medida que aumenta o valor da parcela de amortizaccedilatildeo haveraacute uma queda dos juros compensatoacuterios em funccedilatildeo da reduccedilatildeo do saldo devedor
Principais Caracteriacutesticas
As principais caracteriacutesticas do SFA satildeo
a prestaccedilatildeo eacute constante durante todo o periacuteodo do financiamento
a parcela de amortizaccedilatildeo aumenta a cada periacuteodo (n)
os juros compensatoacuterios diminuem a cada periacuteodo (n)
Exemplo 44 (exemplo 1 paacuteg 148 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma instituiccedilatildeo financeira libera um empreacutestimo para uma induacutestria no valor de R$ 60000000 para ser pago pelo sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs em 120 meses a uma taxa de 15 am Faccedila a planilha ateacute o 4ordm mecircs e calcule o saldo devedor no 100ordm mecircs
67
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Soluccedilatildeo
A sequecircncia abaixo calcula o valor da prestaccedilatildeo os juros a amortizaccedilatildeo o saldo devedor e valor do saldo devedor no 100ordm mecircs Acompanhe
Zera os registradores
60000000 Armazena o valor presente
120 Armazena o periacuteodo
15 Armazena a taxa
- R$ 1081111 Valor da prestaccedilatildeo
1 - R$ 900000 Valor dos juros da 1ordf parcela
R$ 181111Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 1ordf parcela
R$ 58918889 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 897283 Valor dos juros da 2ordf parcela
- R$ 183828Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 2ordf parcela
R$ 59635061 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 894526 Valor dos juros da 3ordf parcela
- R$ 186585Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 3ordf parcela
R$ 59448476 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 891727 Valor dos juros da 4ordf parcela
- R$ 189384Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 4ordf parcela
R$ 59259092 Recupera o saldo devedor
A tabela a seguir apresenta um resumo das operaccedilotildees realizadas
68
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Tabela 42 ndash Planilha de amortizaccedilatildeoPeriacuteodo (n) Amortizaccedilatildeo (A) Juros (J) Prestaccedilotildees (R) Saldo Devedor (S)
0 - - - R$ 600000001 R$ 181111 R$ 900000 R$ 1081111 R$ 598188892 R$ 183828 R$ 897283 R$ 1081111 R$ 596350613 R$ 186585 R$ 894526 R$ 1081111 R$ 594484764 R$ 189384 R$ 891727 R$ 1081111 R$ 59259092
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Para determinar o saldo devedor no 100ordm mecircs faccedila como indicado a seguir
60000000 120 150
-1081111 18561247
Prestaccedilatildeo Saldo devedor no 100ordm mecircs
Nesta unidade vocecirc usou as funccedilotildees de fluxo de caixa para calcular o valor presente liacutequido e a funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
69Unidade 4
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades a seguir (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 4 e 5 da unidade 7 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegina 102) Em seguida use o programa elaborado para resolver as mesmas questotildees
a) Qual das alternativas de pagamento eacute a melhor para uma taxa de juros compostos de 75 am
Alternativa A Pagamento de R$ 15000000 agrave vista
Alternativa B Entrada de R$ 5000000 + R$ 8000000 em 90 dias + R$ 6000000 em 150 dias
b) Uma pessoa deve a um banco dois tiacutetulos com valores de R$ 300000 e R$ 600000 venciacuteveis respectivamente em 4 meses e 8 meses Se a pessoa deseja antecipar para hoje a liquidaccedilatildeo dos tiacutetulos qual o valor a pagar considerando que o banco opera com uma taxa de juros compostos de 23 am
2 Elabore um algoritmo para resolver as atividades abaixo (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 1 e 4 da unidade 10 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 151 e 153)
a) Um cliente solicita a um banco um empreacutestimo de R$ 4000000 pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs em 60 prestaccedilotildees mensais Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de juros de 28 am obtenha o valor da prestaccedilatildeo e o saldo devedor depois de pagar a 20ordf prestaccedilatildeo
b) Um empreacutestimo de R$ 30000000 seraacute saldado em 50 prestaccedilotildees mensais a uma taxa de 15 am Determine a parcela de juros relativa agrave 15ordf prestaccedilatildeo pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs (price)
70
Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
Manual da calculadora HP ndash 12C
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico ndash 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7ed Satildeo Paulo Atlas 2000
Para concluir o estudo
Com o teacutermino desse curso de extensatildeo acreditamos que proporcionamos momentos de aprendizagem por meio da interaccedilatildeo da calculadora financeira e que vocecirc estaacute habilitado(a) a fazer uso dessa ferramenta com qualidade no mercado de trabalho relacionado a essa aacuterea tatildeo importante no nosso dia-a-dia
Referecircncias
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7 ed Satildeo Paulo Atlas 2000
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003 Disponiacutevel em lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt Acesso em 05 jun 2008
Sobre o professor conteudista
Joseacute Humberto Dias de Toledo - eacute Mestre em Educaccedilatildeo pela Universidade do Sul de Santa Catarina Graduado em Licenciatura em Matemaacutetica e em Engenharia Civil Professor das disciplinas Meacutetodos Numeacutericos Informaacutetica Aplicada agrave Matemaacutetica Financeira Caacutelculo I e Matemaacutetica Financeira no Curso de Matemaacutetica ndash Licenciatura nesta mesma instituiccedilatildeo Atualmente ministra a disciplina Representaccedilotildees Graacuteficas na Poacutes-graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo Matemaacutetica da UNISUL
Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo
Unidade 1
1 a) 5
b) -2359
c) 3311
d) 077
e) 081
Respostas modo RPN
a)
b)
c)
d)
e)
Respostas modo ALG
a
b
c
d
e
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2 R$ 167757
Modo RPN
Modo ALG
3 -242
4 Data 13082008 3 (quarta-feira)
5 Florianoacutepolis = 3303 Curitiba = 5018 Porto Alegre = 1680
Unidade 2
1 1) 150000
Dados
C = R$ 1000000
i = 5 aa
n = 3 anos = 1080 dias
J =
3) 24 meses = 2 anos
Dados
C = R$ 200000
i = 6 aa
n = 24 meses = 720 dias
M =
79
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
85
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c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
86
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b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
87
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b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
88
Universidade do Sul de Santa Catarina
Plano de estudo
O plano de estudos visa a orientaacute-lo(a) no desenvolvimento da Disciplina Nele vocecirc encontraraacute elementos que esclareceratildeo o contexto da Disciplina e sugeriratildeo formas de organizar o seu tempo de estudos
O processo de ensino e aprendizagem na UnisulVirtual leva em conta instrumentos que se articulam e se complementam Assim a construccedilatildeo de competecircncias se daacute sobre a articulaccedilatildeo de metodologias e por meio das diversas formas de accedilatildeomediaccedilatildeo
Satildeo elementos desse processo
o Espaccedilo UnisulVirtual de Aprendizagem - EVA
as atividades de avaliaccedilatildeo (complementares a distacircncia e presenciais)
Ementa
Introduccedilatildeo algumas funccedilotildees baacutesicas da HP - 12C Caacutelculo de juros simples e composto Usando as funccedilotildees financeiras para caacutelculo de montante valor presente periacuteodo Usando as funccedilotildees financeiras para caacutelculo de taxas de juros seacuterie de pagamentos ou anuidades Usando as funccedilotildees data e hora para caacutelculo de nuacutemero de dias entre datas data futura data passada verificar o dia da semana para vencimentos futuros Elaboraccedilatildeo de planilhas de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos e financiamentos
12
Universidade do Sul de Santa Catarina
Carga Horaacuteria
15 horas-aula
Objetivos
Geral
Capacitar os participantes para a utilizaccedilatildeo da calculadora HP - 12C na resoluccedilatildeo de problemas praacuteticos promovendo a integraccedilatildeo entre teoria e praacutetica na aacuterea financeira
Especiacuteficos
Usar a Hp -12C para o caacutelculo de juros simples composto montante periacuteodo valor presente e pagamentos perioacutedicos
Fazer uso da HP - 12C para elaboraccedilatildeo de planilhas de amortizaccedilatildeo
Explorar as funccedilotildees data e hora da HP -12C
Usar a ferramenta para auxiliar na resoluccedilatildeo de problemas do cotidiano na aacuterea financeira
Conteuacutedo programaacuteticoobjetivos
Os objetivos de cada unidade definem o conjunto de conhecimentos que vocecirc deveraacute deter para o desenvolvimento de habilidades e competecircncias necessaacuterias agrave sua formaccedilatildeo Neste sentido veja a seguir as unidades que compotildeem o Livro Didaacutetico deste curso bem como os seus respectivos objetivos
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Unidades de estudo 4
Unidade 1 - Apresentando a calculadora HP ndash 12C
Unidade 2 - Regimes de capitalizaccedilatildeo simples e composto
Unidade 3 - Taxas de juros equivalentes e caacutelculo de pagamentos perioacutedicos
Unidade 4 - Valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Agenda de atividades Cronograma
Verifique com atenccedilatildeo o EVA e organize-se para acessar periodicamente o espaccedilo da Disciplina O sucesso nos seus estudos depende da priorizaccedilatildeo do tempo para a leitura da realizaccedilatildeo de anaacutelises e siacutenteses do conteuacutedo e da interaccedilatildeo com os seus colegas e professor virtual
Natildeo perca os prazos das atividades Registre as datas no espaccedilo a seguir com base no cronograma da disciplina disponibilizado no EVA
Use o quadro para agendar e programar as atividades relativas ao desenvolvimento da Disciplina
1UNIDADE 1
Apresentando a calculadora HP ndash 12C
Objetivos de aprendizagem
Apresentar as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C
Realizar caacutelculos elementares com a ferramenta
Conhecer os modos ldquoRPNrdquo e ldquoALGrdquo da HP
Utilizar as memoacuterias da calculadora para realizar caacutelculos
Usar as funccedilotildees de percentagem
Determinar datas futuras passadas e nuacutemero de dias entre datas
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 A calculadora HP ndash 12C
Seccedilatildeo 2 Caacutelculos aritmeacuteticos no modo ldquoRPNrdquo e no modo ldquoALGrdquo
Seccedilatildeo 3 Funccedilotildees de percentagem e calendaacuterio
16
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vamos lhe apresentar a calculadora HP ndash 12C com o objetivo de realizar caacutelculos aritmeacuteticos no modo ldquoRPNrdquo ndash Notaccedilatildeo Polonesa Reversa e no modo ldquoALGrdquo ndash Algeacutebrico Aleacutem disso vocecirc aprenderaacute a fazer uso das funccedilotildees de percentagem e calendaacuterio e em desdobramento aprenderaacute a determinar percentagens de um nuacutemero percentagem de um total e diferenccedila percentual caacutelculo de datas futuras e passadas e o nuacutemero de dias entre datas Vocecirc usaraacute as memoacuterias da calculadora para auxiliar nos caacutelculos eou armazenar dados que possam ser usados posteriormente
Seccedilatildeo 1 ndash A calculadora HP ndash 12C
Na presente etapa seratildeo apresentadas algumas funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para utilizaccedilatildeo neste curso Observe na figura 11 a imagem da calculadora
Figura 11- Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Arquivo do autor
17
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
Fique atento(a) ao fato de que muitas teclas da HP ndash 12C executam duas ou ateacute trecircs funccedilotildees A funccedilatildeo primaacuteria eacute indicada pelos caracteres impressos em branco na face superior As funccedilotildees secundaacuterias da calculadora satildeo impressas nas cores dourado e azul apresentadas respectivamente acima da tecla e na sua face inferior
Para acionar essas funccedilotildees acione a tecla de prefixo que eacute apropriada antes da tecla da funccedilatildeo ou seja e Veja na figura 12
Para selecionar a funccedilatildeo secundaacuteria impressa em dourado aperte a tecla de prefixo f e em seguida a tecla da funccedilatildeo
Para selecionar a funccedilatildeo primaacuteria impressa na face superior de uma tecla aperte somente a tecla
Para selecionar a funccedilatildeo secundaacuteria impressa em azul aperte a tecla de prefixo azul g e em seguida a tecla da funccedilatildeo
Figura 12 - Modo de acesso agraves funccedilotildees primaacuterias e secundaacuterias da Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Disponiacutevel em lthttphpcomlatambrprodutoscalculadorasgrandeprofessores12phtmlgt Acesso em 29 mai 2008
Entrando com nuacutemeros e separadores de diacutegitos
Para que vocecirc possa entrar com um nuacutemero na HP aperte as teclas correspondentes ao nuacutemero em sequecircncia O ponto decimal deve ser usado para separar a parte inteira da parte fracionaacuteria do nuacutemero Se vocecirc quiser pode configurar a calculadora para exibir a viacutergula como separador Para tanto desligue a calculadora e depois aperte simultaneamente as teclas
e
Para voltar
agrave configuraccedilatildeo anterior repita a operaccedilatildeo
Nuacutemeros negativos
A tecla troca o sinal de um nuacutemero no mostrador Portanto se vocecirc quiser trocar o sinal de um nuacutemero positivo que estaacute no visor aperte a tecla ele ficaraacute negativo E vice-versa
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As teclas ldquoCLEARrdquo (apagar)
A ilustraccedilatildeo a seguir apresenta as teclas ldquoClearrdquo que apagam ou zeram o mostrador as memoacuterias a memoacuteria de programaccedilatildeo os registradores financeiros os registros de pilha e registros estatiacutesticos Confira na figura 13
Apaga o mostrador
Apaga os registros estatiacutesticos registros da pilha e mostrador
Apaga a memoacuteria de programaccedilatildeo
Apaga os registros financeiros
Apaga os registros de armazenamento de dados registros financeiros registros de pilha LAST X e mostrador
Figura 13 - As teclas CLEAR da Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Registros de armazenamento
Os dados de entrada na HP ndash 12C podem ser armazenados em memoacuterias chamadas ldquoregistros de armazenamentordquo Quatro registros satildeo usados para o armazenamento de nuacutemeros durante os caacutelculos e mais um que eacute usado para armazenar o uacuteltimo nuacutemero chamado ldquoLAST Xrdquo
Aleacutem dos registros citados nos quais os nuacutemeros satildeo armazenados automaticamente existem outros 20 registros para o armazenamento manual de nuacutemeros Eles satildeo designados por R R R R a e a Outros registros de armazenamento designados como registros financeiros satildeo reservados para os nuacutemeros que seratildeo usados em caacutelculos financeiros
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Unidade 1
Armazenando recuperando nuacutemeros e zerando registros
Para armazenar um nuacutemero em um registro de armazenamento de dados aperte a tecla (armazenar) e em seguida um dos nuacutemeros de 0 a 9 para os registros R R
0 9 a e 0 a 9 para os
registros R R 0 9
a
Para recuperar um nuacutemero de um registro de armazenamento de dados aperte a tecla (recuperar) e em seguida um dos nuacutemeros de 0 a 9 para os registros R R
0 9 a e 0 a 9 para os
registros R R 0 9
a
Jaacute para zerar um uacutenico registro de armazenamento vocecirc pode armazenar o valor zero no registro Agora para zerar todos os registros de armazenamento de uma soacute vez ndash incluindo os registros financeiros os registros da pilha e o registro LAST X ndash aperte
E entatildeo estaacute motivado(a) para continuar Na proacutexima seccedilatildeo apresentaremos as teclas ldquoRPNrdquo e ldquoALGrdquo e faremos caacutelculos aritmeacuteticos usando esses modos
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Seccedilatildeo 2 ndash Caacutelculos aritmeacuteticos no modo ldquoRPNrdquo e no modo ldquoALGrdquo
A calculadora HP ndash 12C pode ser configurada para executar operaccedilotildees aritmeacuteticas nos modos RPN ndash Notaccedilatildeo Polonesa Reversa e ALG ndash Algeacutebrico No modo RPN os resultados intermediaacuterios nas operaccedilotildees aritmeacuteticas satildeo armazenados automaticamente portanto natildeo eacute necessaacuterio o uso dos parecircnteses Jaacute no modo ALG as operaccedilotildees elementares satildeo executadas de maneira convencional
Conheccedila alguns exemplos na sequecircncia do texto
Exemplo 11
Calcular 3 x 2 + 5 usando os modos RPN e ALG na HP ndash 12C
Resolvendo no modo RPN
Para configurar a calculadora no modo RPN aperte a tecla e em seguida Observe que vai aparecer o indicador RPN no visor da maacutequina
Agora que a calculadora estaacute no modo RPN vamos ao caacutelculo
3 2 5 11
Resultado
Resolvendo no modo ALG
Para configurar a calculadora no modo ALG aperte a tecla e em seguida Observe que vai aparecer o indicador ALG no visor da maacutequina
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Unidade 1
Calculando no modo algeacutebrico
3 2 5 11
Resultado
Os modelos mais antigos de calculadoras HP ndash 12C natildeo disponibilizam o modo algeacutebrico Portanto se vocecirc eacute usuaacuterio desse tipo de calculadora todos os caacutelculos devem ser efetuados no modo RPN
Exemplo 12
Resolver os caacutelculos solicitados a seguir usando os modos RPN e ALG
a) 3 2 5 33+ minus x
b) ( )minus + minus2 3 4 43 x
c) 2 9 3 52minus + + minus
d) 2 35
2+ minusln
e) 3 4 62+ minuse
Resolvendo no modo RPN
a)
3 2 3 5 3 - 4
Resultado
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b)
c)
d)
Obs para alterar a quantidade de casas decimais no visor da calculadora aperte e em seguida um nuacutemero de 1 a 9 que corresponde agrave quantidade de casas decimais No exemplo acima usamos
e)
2
3 3
4
4
0
Resultado
2
2
9 3 5 125
Resultado
2
3
5 2 0599
Resultado
3
2
46 5789
Resultado
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Unidade 1
Resolvendo no modo ALG com o auxiacutelio dos registros R R
0 9 a
a)
2
3
5 3 3
4
Resultado
Armazena o resultado do visor na memoacuteria 0
Recupera o registro da memoacuteria 0
b)
2
3
3 4
4 0
Resultado
c)
2 2
9
3 5 125
Resultado
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d)
e)
Exemplo 13
Usando a calculadora HP ndash 12C no modo RPN as seguintes operaccedilotildees bancaacuterias foram realizadas a conta tinha um saldo de R$ 12300 e foi feito um depoacutesito referente ao salaacuterio de R$ 189035 Em seguida foram emitidos e compensados cheques nos valores de R$ 38590 R$ 23478 e R$ 62389 Qual eacute o novo saldo da conta
Soluccedilatildeo use
para apresentar os caacutelculos com duas casas decimais
12300 189035 38590
23478 62389 76920
Saldo
2 3 5 2 0 0599
Resultado
3 2 46 5789
Resultado
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Unidade 1
Seccedilatildeo 3 ndash Funccedilotildees de percentagem e calendaacuterio
A calculadora HP ndash 12C apresenta funccedilotildees que permitem o caacutelculo de percentagens e de calendaacuterio Para caacutelculo com percentagens natildeo eacute necessaacuterio converter o nuacutemero na notaccedilatildeo percentual para a notaccedilatildeo decimal Jaacute as funccedilotildees calendaacuterio fornecidas pela HP trabalham com datas entre 15 de outubro de 1582 e 25 de novembro de 4046 A seguir vocecirc conheceraacute detalhadamente essas funccedilotildees
Funccedilotildees de percentagem
Calcula a Percentagem de um nuacutemero ou valor
Calcula a diferenccedila percentual entre dois nuacutemeros
Calcula qual percentual um nuacutemero eacute de outro
Figura 14 - Ilustraccedilatildeo das funccedilotildees de percentagem da Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Funccedilotildees de calendaacuterio
Configura o formato de uma data para dia-mecircs-ano
Configura o formato de uma data para mecircs-dia-ano
Calcula o nuacutemero de dias entre datas
Calcula datas futuras ou passadas
Figura 15 - Ilustraccedilatildeo das funccedilotildees de calendaacuterio da Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Nos exemplos a seguir estaacute demonstrado o uso de todas as funccedilotildees apresentadas Obs os caacutelculos vatildeo ser realizados no modo RPN
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Exemplo 14
Calcular 16 de R$ 198000
Soluccedilatildeo
198000 1600 31680
Resultado
Exemplo 15
Determinada empresa com accedilotildees na bolsa de valores verificou as seguintes variaccedilotildees nos valores das suas accedilotildees no dia 150508 o valor da accedilatildeo passou de R$ 5025 para R$ 5498 jaacute no dia 210508 o valor da accedilatildeo caiu de R$ 5498 para R$ 5208 Qual a diferenccedila percentual nas duas situaccedilotildees
Soluccedilatildeo a sequecircncia a seguir apresenta a variaccedilatildeo percentual
Caacutelculo da variaccedilatildeo percentual de R$ 5025 para R$ 5498 usando a HP ndash 12C
5025 5498 941
Resultado
Observe que o resultado apresentado eacute positivo portanto representa aumento
Caacutelculo da variaccedilatildeo percentual de R$ 5498 para R$ 5208 usando a HP ndash 12C
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Unidade 1
5498 5208 -527
Resultado
Observe que o resultado apresentado eacute negativo portanto representa queda
Exemplo 16
A empresa do exemplo anterior atua na regiatildeo sul do Brasil com vendas totais realizadas no mecircs de abril de 2008 de R$ 589636996 distribuiacutedas da seguinte forma R$ 123656939 no Paranaacute R$ 356963920 em Santa Catarina e R$ 109016137 no Rio Grande do Sul Qual a percentagem das vendas totais em cada um dos trecircs Estados
Soluccedilatildeo
A sequecircncia apresenta os percentuais nos estados do Paranaacute Santa Catarina e Rio Grande do Sul
Soluccedilatildeo
589636996 123656939 2097
356963920 6054 109016137 1849
Resultado SC Resultado RS
Resultado PR
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Exemplo 17
Comprei uma TV LCD em 17052008 com vencimento para 120 dias Determine a data do vencimento usando a calculadora HP ndash 12C
Soluccedilatildeo
17052008 120 14092008 7
A data do vencimento eacute 14 de setembro de
2008 domingo
Exemplo 18
Fiz uma compra no dia 12052008 com vencimento para o dia 26082008 Use a calculadora HP ndash 12C para determinar o nuacutemero de dias entre a data da compra e do vencimento
Soluccedilatildeo
12052008 20082008 100
Nuacutemero de dias entre as datas
Nesta unidade vocecirc conheceu algumas funccedilotildees elementares da calculadora as quais seratildeo utilizadas nas demais unidades e satildeo muito importantes para realizar caacutelculos que envolvem questotildees do nosso cotidiano Na proacutexima unidade vocecirc vai usar as funccedilotildees financeiras da calculadora para calcular juros simples e compostos descontos simples e compostos
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Unidade 1
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
Efetue as atividades de autoavaliaccedilatildeo e acompanhe as respostas e comentaacuterios a respeito nas paacuteginas finais deste material Para melhor aproveitamento do seu estudo realize a conferecircncia de suas respostas somente depois de fazer as atividades propostas Desse modo o momento da conferecircncia lhe proporcionaraacute novas oportunidades de aprendizagem
1 Calcule o valor das expressotildees numeacutericas a seguir usando a HP ndash 12C nos modos RPN e ALG
a) 2 5 3 8 24 minus + divide =x
b) minus + minus =3 5 32 3x eln
c) 16 25 3 45 89+ minus =x
d) 2
35 5
3+ minus =ln
e) 0 253
55
2 + minus =minus
2 Use a HP ndash 12C para realizar os caacutelculos e informar o saldo final da seguinte movimentaccedilatildeo financeira Saldo inicial na conta R$ 167890 depoacutesito de R$ 143587 cheques compensados nos valores de R$ 34598 R$ 12345 R$ 65790 e R$ 30987
3 No dia 130508 o doacutelar americano estava cotado em R$ 165 no dia 190508 a cotaccedilatildeo foi de R$ 161 Com base nestes dados indique qual foi a variaccedilatildeo percentual do doacutelar
4 Foi realizada uma compra em um supermercado no valor de R$ 67890 em 150508 Sabendo que esse estabelecimento trabalha com prazo de 90 dias use as funccedilotildees calendaacuterio da HP ndash 12C e determine a data e o dia da semana do vencimento
5 Uma empresa tem vendas mensais para o mecircs de maio de 2008 estimadas em R$ 178909000 Sabendo que o valor total das vendas estaacute distribuiacutedo nas cidades de Florianoacutepolis Curitiba e Porto Alegre com valores correspondentes a R$ 59089000 R$ 89767898 e R$ 30052102 respectivamente determine qual percentagem das vendas totais ocorre em cada uma das cidades
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Saiba mais
HPndash12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
No link abaixo vocecirc tem disponiacutevel o manual da calculadora HP ndash 12C na versatildeo online lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt
2UNIDADE 2
Regimes de capitalizaccedilatildeo simples e composto
Objetivos de aprendizagem
Fazer uso das funccedilotildees financeiras da calculadora HP ndash 12C para calcular juros simples e composto
Dominar o caacutelculo do montante simples e composto
Aprender o caacutelculo de desconto simples e composto
Calcular capital taxa e prazo no regime de capitalizaccedilatildeo composto usando a HP ndash 12C
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Regime de capitalizaccedilatildeo simples
Seccedilatildeo 2 Regime de capitalizaccedilatildeo composto
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc vai fazer uso das funccedilotildees financeiras da HP ndash 12C com o objetivo de realizar caacutelculos de juros simples e composto montantes simples e composto descontos simples e composto caacutelculo de taxas e prazos
Nesta etapa de estudos seratildeo utilizados exemplos do material didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira que estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do Espaccedilo Virtual de Aprendizagem ndash EVA Eacute importante lembrar natildeo ser objetivo deste curso discutir os conceitos da Matemaacutetica Financeira mas apenas utilizar as funccedilotildees disponibilizadas na calculadora para resolver problemas relacionados a essa aacuterea Entretanto caso vocecirc julgue importante os conceitos podem ser relembrados ou vistos no material didaacutetico da disciplina
Seccedilatildeo 1 ndash Regime de capitalizaccedilatildeo simples
Na unidade 1 vocecirc foi apresentado(a) agrave calculadora HP ndash 12C e a algumas das suas funccedilotildees com o objetivo de capacitaacute-lo(a) para o uso adequado dessa ferramenta Esta unidade inicia com uma abordagem sobre os registradores financeiros os quais seratildeo utilizados na maioria dos exemplos que deveratildeo ser resolvidos ao longo das proacuteximas seccedilotildees desta unidade e nas demais unidades deste curso Veja na ilustraccedilatildeo a seguir os registradores financeiros e as suas aplicaccedilotildees
Registra e armazena periacuteodo
Registra e armazena taxa
Registra e armazena valor presente
Registra e armazena pagamentos perioacutedicos
Registra e armazena valor futuro
Figura 21 - Registradores financeiros e as suas aplicaccedilotildees Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
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Unidade 2
Para armazenar um nuacutemero em um registrador financeiro digite o nuacutemero e em seguida uma das teclas correspondentes ilustradas acima
Para exibir um nuacutemero armazenado em um dos registradores financeiros aperte e em seguida a tecla correspondente
Para zerar todos os registradores financeiros aperte a sequecircncia de teclas
Eacute importante lembrar que os registradores financeiros tambeacutem satildeo zerados ao apertar a sequecircncia
e quando a memoacuteria contiacutenua eacute
reinicializada
A seguir vocecirc faraacute caacutelculo de juros simples e de descontos simples usando a HP ndash 12C
Regime de capitalizaccedilatildeo simples
A HP ndash 12C calcula automaticamente juros simples ordinaacuterios ndash usando o ano comercial e juros simples exatos ndash usando um ano de 365 dias simultaneamente
Eacute possiacutevel apresentar qualquer um dos dois e mais com os juros acumulados no mostrador podemos calcular o montante apertando a tecla
Para exemplificar vamos resolver problemas do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira que se encontra disponiacutevel (formato digital) na ferramenta Midiateca do EVA ndash Espaccedilo Virtual de Aprendizagem
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 21 (exemplo 1 paacuteg 29 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital de R$ 1800000 foi aplicado a juros simples durante 3 anos agrave taxa de 6 aa Qual eacute o valor dos juros e o montante adquirido
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula os juros e o montante
Exemplo 22 (exemplo 1 paacuteg 33 do livro Matemaacutetica Financeira)
Ache os juros simples exatos auferidos em uma aplicaccedilatildeo de R$ 1500000 a uma taxa de 16 aa de 20 de abril de 2003 a 1ordm de julho de 2003
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula os juros comerciais e os juros exatos
Neste exemplo utilizamos duas teclas que seratildeo ilustradas a seguir para realizar o caacutelculo dos juros exatos
1800000 1080 6
324000 2124000
Juros Montante
No caacutelculo de Juros simples o periacuteodo deve ser em dias
Calcula juros simples
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Unidade 2
1500000 20042003 01072003
72 16 48000 47342
Juro comercial Juro exato nordm de dias
Ao apertar essa tecla ela rola para baixo o conteuacutedo da pilha para visualizaccedilatildeo no registro X
Ao apertar essa tecla ela troca o conteuacutedo dos registros X e Y da pilha
Figura 22 - Teclas utilizadas para registros de dados Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Exemplo 23 (exemplo 2 paacuteg 34 do livro Matemaacutetica Financeira)
Determine o juro simples exato obtido em uma aplicaccedilatildeo de R$ 1300000 durante 146 dias a uma taxa de 9 aa
Soluccedilatildeo a sequecircncia a seguir realiza os caacutelculos solicitados
1330000 146 9
48545 47880
Juro comercial Juro exato
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Exemplo 24 (exemplo 1 paacuteg 47 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma duplicata de R$ 1500000 com vencimento no dia 03042005 foi descontada em um banco em 08012005 a uma taxa de 25 am Qual eacute o desconto simples bancaacuterio da operaccedilatildeo
Soluccedilatildeo
08012005 03042005 85
1500000 0025 30 106250
Taxa decimal Desconto bancaacuterio
Nordm de dias entre as datas
Exemplo 25 (exemplo 1 paacuteg 48 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma empresa descontou um tiacutetulo com valor de face de R$ 1450000 3 meses e 15 dias antes do vencimento com uma taxa de desconto bancaacuterio simples de 24 am Quanto a empresa recebeu liacutequido na operaccedilatildeo
Soluccedilatildeo
1450000 0024 35 1450000 1328200
Periacuteodo em meses Valor liacutequidoTaxa decimal
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Unidade 2
Exemplo 26 (exemplo 1 paacuteg 49 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma duplicata de R$ 4800000 foi descontada 6 meses antes de seu vencimento em uma instituiccedilatildeo financeira que trabalha com uma taxa de desconto simples de 32 am Com base nestes dados determine
o valor do desconto simples bancaacuterio
o valor do desconto simples racional
Soluccedilatildeo
4800000 6 0032 921600
Taxa decimal Valor liacutequido
921600 1 0032
6 773154
Taxa decimal Valor liacutequido
Na proacutexima seccedilatildeo vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros compostos e de desconto compostos
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Seccedilatildeo 2 ndash Regime de capitalizaccedilatildeo composto
Os exemplos apresentados a partir de agora satildeo ilustrativos de uma ampla variedade de caacutelculos financeiros Para resolvecirc-los vocecirc precisa estruturaacute-los identificando os elementos baacutesicos do problema de maneira que fiquem evidentes as quantidades que devem ser fornecidas agrave calculadora e quem eacute o valor desconhecido ou seja o valor que desejamos determinar
Na resoluccedilatildeo dos caacutelculos usando a HP ndash 12C eacute indispensaacutevel elaborar o diagrama de fluxo de caixa Eacute importante ressaltar que a calculadora precisa de ajuda para comparar o fluxo de caixa ou seja eacute preciso informar quando temos uma entrada ou uma saiacuteda
O fluxo de caixa serve para demonstrar graficamente as transaccedilotildees financeiras em um periacuteodo de tempo
O tempo eacute representado por uma linha horizontal dividida pelo nuacutemero de periacuteodos relevantes para anaacutelise As entradas ou recebimentos satildeo representados por setas verticais apontadas para cima e as saiacutedas ou pagamentos satildeo representados por setas verticais apontadas para baixo Observe o modelo simplificado
(+) entradas
(-) saiacutedas
tempo (n)
Veja agora o modelo detalhado
Entradas
Saiacutedas
Tempo
Fluxo de caixa pode ser definido como sendo a movimentaccedilatildeo de recursos financeiros (entradas e saiacutedas de caixa) ao longo de um periacuteodo de tempo - agrave entrada e saiacuteda de dinheiro O conceito caixa (financeiro) natildeo pode ser confundido com conceito de competecircncia (contaacutebil)
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Unidade 2
Na HP-12C a tecla (do inglecircs Change Sign) serve para introduzir ou tirar um sinal negativo de um nuacutemero ou seja faz o fluxo de caixa
Na sequecircncia de exemplos apresentados a seguir realizaremos caacutelculos de juros montantes valor presente prazo taxa de juros e descontos no regime composto com o auxiacutelio dos registradores financeiros da calculadora HP ndash 12C
Exemplo 27 (exemplo 1 paacuteg 58 do livro Matemaacutetica Financeira)
Qual o montante gerado por um capital de R$ 450000 aplicado por 9 meses a juros compostos a uma taxa de 35 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o montante composto
450000 9 35 613304
MontanteFluxo de caixa saiacuteda do dinheiro para aplicaccedilatildeo
Exemplo 28 (exemplo 2 paacuteg 58 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital de R$ 1200000 foi aplicado a juros compostos durante 6 meses agrave taxa de 2 am Calcule os juros auferidos na aplicaccedilatildeo
Soluccedilatildeo use a sequecircncia a seguir para calcular os juros
1200000 6 2
1351395 151395
Montante Juros
Fluxo de caixa saiacuteda do dinheiro para aplicaccedilatildeo
Recupera um valor em um registrador
financeiro
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Exemplo 29 (exemplo 3 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital ldquoXrdquo eacute aplicado a juros compostos agrave taxa de 35 am gerando um montante de R$ 1950000 apoacutes 1 ano e 3 meses Determine o capital ldquoXrdquo
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar o capital
1950000 35 15 -1163937
Capital aplicado
Exemplo 210 (exemplo 4 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
A que taxa mensal de juros compostos um capital de R$ 1250000 pode transformar-se em R$ 1537342 no periacuteodo de 7 meses
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
1250000 1537342 7 300
Taxa de juros mensal
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Unidade 2
Exemplo 211 (exemplo 5 paacuteg 60 do livro Matemaacutetica Financeira)
Em que prazo um empreacutestimo de R$ 3500000 pode ser pago pela quantia de R$ 4790000 se a taxa de juros compostos cobrada for de 4 am
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
3500000 4790000 4 8
Periacuteodo em meses
Funccedilatildeo ldquoCrdquo na HP ndash 12C e as teclas ldquoSTOrdquo e ldquoEEXrdquo
Vocecirc pode calcular taxa de juros (i) Capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos Perioacutedicos (PMT) para transaccedilotildees financeiras com periacuteodos fracionaacuterios Ao digitar um periacuteodo fracionaacuterio por exemplo 23 meses a parte inteira do nuacutemero indica o nuacutemero de periacuteodos inteiro e a parte fracionaacuteria do nuacutemero o tamanho do periacuteodo fracionaacuterio como uma fraccedilatildeo do periacuteodo inteiro (no exemplo 2 meses e 03 meses)
De acordo com o criteacuterio do usuaacuterio os caacutelculos de taxa de juros ( i ) capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos perioacutedicos (PMT) podem ser executados com juros simples ou compostos acumulados durante o periacuteodo fracionaacuterio Para escolher uma das duas opccedilotildees faccedila
Aparece o indicador ldquoCldquo Portanto os juros compostos satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Natildeo aparece o indicador ldquoCrdquo Portanto os juros simples satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Figura 23 - Teclas utilizadas para caacutelculo de juros simples e compostos para periacuteodo fracionaacuterio Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
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Exemplo 212
Calcular o valor futuro de uma aplicaccedilatildeo de R$ 185030000 aplicado agrave taxa de 14 aa durante 45 anos usando juros compostos e simples para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Soluccedilatildeo as sequecircncias a seguir apresentam os resultados para o caacutelculo do valor futuro com juros simples para o periacuteodo fracionaacuterio e juros compostos para o periacuteodo fracionaacuterios respectivamente
185030000 14
45 334383879
Valor futuro calculado com juros simples para o periacuteodo
fracionaacuterio
185030000
14 45 333667556
Valor futuro calculado com juros compostos para o
periacuteodo fracionaacuterio
Exemplo 213 (exemplo 1 paacuteg 81 do livro Matemaacutetica Financeira)
Determine o valor do desconto composto racional e o valor do resgate de um tiacutetulo de R$ 1560000 descontado 5 meses antes do seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto composto racional eacute de 4 am
43
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor do desconto racional composto e o valor liacutequido a receber
1560000 1
1 004 5
277794 1560000 1282206
Valor do desconto Valor liacutequido
Exemplo 214 (exemplo 1 paacuteg 84 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um tiacutetulo de valor nominal de R$ 1500000 eacute descontado em um banco 3 meses antes de seu vencimento Se a taxa de desconto comercial usada pelo banco eacute de 8 am qual eacute o valor do desconto
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor liacutequido e o valor do desconto bancaacuterio ou comercial
1500000 3 8
-1168032 331968
Valor liacutequido Valor do desconto
44
Universidade do Sul de Santa Catarina
Nesta unidade vocecirc usou a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros simples e compostos descontos simples e compostos valor presente taxa de juros periacuteodo e montante Na proacutexima unidade usaremos a ferramenta para auxiliar no caacutelculo de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir foram propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo em PDF estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as questotildees 1 3 5 e 6 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteginas 38 e 39 Confira os resultados na paacuteg 194
1) Qual o rendimento que obtemos ao aplicarmos um capital de R$ 1000000 a uma taxa de juros simples de 5 aa durante 3 anos
3) Em um regime de capitalizaccedilatildeo simples qual eacute o montante que se obteacutem quando aplicamos um capital de R$ 200000 a uma taxa 6 aa durante 24 meses
5) Uma quantia de R$ 6200000 foi aplicada em uma operaccedilatildeo financeira no dia 20 de setembro de 2003 e resgatada no dia 21 de dezembro de 2003 a uma taxa de 125 aa Quais os juros simples exatos e comerciais da operaccedilatildeo
6) Calcule os juros simples exatos e comerciais nas seguintes condiccedilotildees
bull R$ 600000 aplicados por 180 dias a 12 aa
bull R$ 520000 aplicados por 230 dias a 15 aa
45
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
2 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 2 e 4 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegs 52 e 53 Confira os resultados nas paacuteginas 194 e 195
1) Uma empresa desconta uma duplicata no valor nominal de R$ 5000000 no Banco ldquoXrdquo 4 meses antes do seu vencimento Sabendo que o banco ldquoXrdquo trabalha com uma taxa de desconto simples bancaacuterio de 45 am qual eacute o valor do desconto e o valor liacutequido recebido
2) Para pagar uma diacutevida hoje uma empresa descontou em uma carteira de creacutedito uma duplicata no valor de R$ 1650000 com vencimento daqui a 2 meses recebendo um valor nominal liacutequido de R$ 1500000 Determine a taxa mensal de desconto simples bancaacuterio utilizada
4) Uma letra de cacircmbio no valor nominal de R$ 500000 foi comercializada 4 meses antes do vencimento a uma taxa de desconto simples de 22 am Se o desconto simples fosse o racional qual seria o valor deste desconto
3 Elabore uma sequecircncia de passos para resolver as questotildees propostas 1 2 3 4 e 6 nas paacuteginas 65 66 e 67 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira e confira os resultados na paacuteg 195
1) Calcule o montante produzido por um capital de R$ 2600000 aplicado a uma taxa de juros compostos de 52 am por 6 meses
2) Calcule os juros compostos auferidos por um capital de R$ 420000 aplicado a uma taxa de 3 am durante 10 meses
3) Um empreacutestimo de R$ 600000 deve ser pago em 120 dias a juros compostos pelo valor de R$ 900000 Qual eacute a taxa mensal da operaccedilatildeo
4) Em que prazo uma aplicaccedilatildeo a juros compostos de R$ 2400000 produziraacute um montante de R$ 6151930 agrave taxa de 4 am
6) Quanto Paulo deve aplicar hoje a juros compostos em uma instituiccedilatildeo financeira que paga uma taxa de 12 am para pagar um compromisso de valor nominal igual a R$ 3800000 que vence daqui a 3 meses
46
Universidade do Sul de Santa Catarina
4 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 e 8 das paacuteginas 88 e 90 respectivamente do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira Confira os resultados na paacuteg 196
1) Determine o valor do desconto composto racional de um tiacutetulo de valor nominal de R$ 830000 descontado 6 meses antes de seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto eacute de 42 am
8) Um tiacutetulo de R$ 3000000 foi descontado em uma instituiccedilatildeo financeira a uma taxa de desconto composto comercial de 64 am e o valor liacutequido recebido era de R$ 2017327 Quantos meses antes do vencimento foi descontado este tiacutetulo
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
3UNIDADE 3
Taxas de juros equivalentes e caacutelculo de pagamentos perioacutedicos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para calcular taxas equivalentes
Usar as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP ndash 12C para programar o algoritmo da taxa equivalente no regime de capitalizaccedilatildeo composto
Calcular pagamentos perioacutedicos de sequecircncias uniformes postecipadas e antecipadas
Calcular montante de uma sequecircncia uniforme
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Taxas equivalentes
Seccedilatildeo 2 Sequecircncia de capitais
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar taxas equivalentes no regime de capitalizaccedilatildeo composto Vocecirc usaraacute as funccedilotildees de programaccedilatildeo com o objetivo de elaborar um algoritmo para fazer a conversatildeo de taxas de um periacuteodo de capitalizaccedilatildeo (ex mensal) para outro periacuteodo (ex anual) usando o programa Vamos explorar as funccedilotildees ldquoPMTrdquo ldquoBEGrdquo e ldquoENDrdquo para realizar caacutelculo de pagamentos antecipados e postecipados em uma sequecircncia uniforme Destacamos que os exemplos que seratildeo apresentados estatildeo no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira
Seccedilatildeo 1 ndash Taxas equivalentes
Nesta unidade vocecirc usaraacute algumas funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos (postecipados e antecipados) de uma seacuterie uniforme Vocecirc usaraacute ainda as funccedilotildees de programaccedilatildeo para elaborar um programa para calcular taxas equivalentes A figura a seguir apresenta as funccedilotildees que vocecirc usaraacute nos exemplos apresentados posteriormente
Aciona o modo de programaccedilatildeo de HP ndash 12C
Aciona a funccedilatildeo Begin que calcula a parcela com pagamento antecipado
Aciona a funccedilatildeo End (natildeo aparece no visor da calculadora) que calcula parcela com pagamento postecipado
Figura 31 - Teclas utilizadas para acionar as funccedilotildees Beg e End e entrar no modo de programaccedilatildeo
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
49
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
Taxas equivalentes
No mercado financeiro e nas operaccedilotildees bancaacuterias e comerciais a palavra taxa eacute empregada de vaacuterias formas ou seja vaacuterios conceitos satildeo abordados em vaacuterias situaccedilotildees Esta seccedilatildeo tem como objetivo mostrar como as taxas de juros satildeo informadas no mercado financeiro e como adequaacute-las agraves condiccedilotildees padronizadas pela HP ndash 12C
Duas taxas satildeo consideradas equivalentes a juros compostos quando aplicadas a um mesmo capital por um periacuteodo de tempo equivalente e geram o mesmo rendimento
Exemplo 31(exemplo 1 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
No regime de juros compostos qual a taxa anual equivalente a 4 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente anual
Exemplo 32 (exemplo 2 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
Calcule a taxa quadrimestral equivalente agrave taxa de juros compostos de 8 aa
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente quadrimestral
1 004 12 1 1 10000 6010
Taxa anual
50
Universidade do Sul de Santa Catarina
1 008 1 3 1 10000 260
Taxa quadrimestral
Programa para caacutelculo da taxa equivalente pela hp ndash 12c
O professor Carlos Shinoda em seu livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48) apresenta um programa para calcular a taxa equivalente atraveacutes da calculadora HP ndash 12C
Siga os procedimentos abaixo para introduzir o programa na HP ndash 12C
Figura 32 - Algoritmo para a programaccedilatildeo de taxa equivalente
Fonte Livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48)
51
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
Agora que vocecirc programou a HP ndash 12C para o caacutelculo de taxas equivalentes resolva o exemplo a seguir usando o programa
Exemplo 33
Usando o programa anterior determine as taxas equivalentes propostas nos exemplos 31 e 32
Soluccedilatildeo
As sequecircncias abaixo calculam as taxas equivalentes
Executa oprograma
4 1 12 6010
Taxa anual
Executa oprograma
8 360 120 260
Taxa quadrimestral
52
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Seccedilatildeo 2 ndash Sequecircncia de capitais
Nesta seccedilatildeo vocecirc acompanharaacute as situaccedilotildees em que haacute mais de um pagamento ou seja vocecirc estudaraacute as operaccedilotildees envolvendo pagamentos ou recebimentos perioacutedicos e uniformes
As seacuteries uniformes de pagamentos satildeo aquelas em que os pagamentos ou recebimentos satildeo constantes e ocorrem em intervalos iguais
Seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas e antecipadas
As seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1 Este sistema eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada (0 + n)
Pagamentos ou recebimentos podem ser chamados de prestaccedilatildeo representada pela sigla PMT que vem do inglecircs Payment e significa pagamento ou recebimento
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentosPMT
++
0 1 2 3 4 5 6 n
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
++
0 1 2 3 4 5 6 n
PMT
53
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Unidade 3
As seacuteries uniformes de pagamentos antecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre na data focal 0 (zero) Este tipo de sistema de pagamento eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento com entrada (1+ n)
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
Exemplo 34 (exemplo 2 paacuteg 108 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um automoacutevel eacute vendido em uma loja por R$ 3200000 A loja propotildee as seguintes condiccedilotildees para financiamento
Proposta A 12 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta B 24 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta C 36 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
A taxa de juros usada eacute de 32 am Qual o valor de cada prestaccedilatildeo nas 3 modalidades de financiamento
Soluccedilatildeo
As sequecircncias a seguir calculam os valores das parcelas nas trecircs propostas
54
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3200000
32 12 -325329
parcela
3200000
32 24 -193046
parcela
3200000
32 36 -150979
parcela
Exemplo 35 (exemplo 2 paacuteg 111 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma casa cujo valor agrave vista eacute R$ 4924456 eacute vendida em prestaccedilotildees mensais e iguais de R$ 250000 sendo a primeira dada como entrada Se a taxa de financiamento eacute de 18 am determine o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas no financiamento
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o nuacutemero de parcelas
4924456 18
250000 24
nordm de parcelas
55
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Unidade 3
No exemplo acima o nuacutemero de pagamento deu um nuacutemero inteiro Mas podem acontecer situaccedilotildees em que ao se determinar o nuacutemero de parcelas o resultado natildeo seja um nuacutemero inteiro
Nessa situaccedilatildeo a HP ndash 12C arredonda a resposta para o proacuteximo inteiro para cima antes de armazenaacute-la e exibi-la
Exemplo 36
Vocecirc comprou um terreno por R$ 3500000 a juros de 105 aa Vocecirc pretende fazer pagamentos de R$ 32500 no fim de cada mecircs Quantos pagamentos seratildeo necessaacuterios para pagar o terreno e quanto tempo levaraacute
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o nuacutemero de pagamentos e o tempo necessaacuterio
3500000 105
32500 328 2733
nordm de parcelas Tempo (anos)
Como a calculadora arredonda o valor do tempo para o proacuteximo inteiro eacute provaacutevel que apesar de serem necessaacuterios 328 pagamentos somente 327 seratildeo inteiros de R$ 32500 com o pagamento final sendo menor do que R$ 32500 Para calcular o valor do pagamento de nuacutemero 328 vamos fazer o seguinte
A calculadora natildeo ajusta os valores nos outros registros financeiros automaticamente para refletir os n pagamentos iguais ao contraacuterio ela lhe permite escolher quais valores (se houver) que vocecirc deseja ajustar
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328 18189 - 32500 -14311
Valor da parcela 328
Nesta unidade vocecirc calculou taxas equivalentes usou as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP e fez caacutelculos de pagamentos perioacutedicos de uma seacuterie uniforme antecipado ou postecipado Na proacutexima unidade vamos realizar caacutelculos de valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades abaixo (Essa atividade corresponde agrave autoavaliaccedilatildeo 1 da unidade 5 do livro didaacutetico de Matemaacutetica Financeira) Em seguida use o programa elaborado para resolver a mesma questatildeo
Calcule a taxa anual das seguintes taxas
a) 26 am
b) 42 ab
c) 48 at
d) 12 as
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Unidade 3
2 Elabore um algoritmo para resolver as seguintes atividades (Estas questotildees equivalem agraves autoavaliaccedilotildees 1 2 3 4 e 5 da unidade 8 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 121 122 e 123)
a) Calcule o valor da prestaccedilatildeo mensal de um empreacutestimo de R$ 600000 que seraacute amortizado em 12 prestaccedilotildees mensais postecipadas sabendo que o banco cobra uma taxa de juros de 2 am
b) Uma loja vende um automoacutevel agrave vista por R$ 1650000 Se o comprador quiser fazer um financiamento em 36 parcelas mensais e iguais onde o 1ordm pagamento seraacute efetuado no 1ordm mecircs apoacutes a compra a uma taxa de juros de 21 am qual o valor da prestaccedilatildeo
c) Uma mercadoria custa R$ 9038071 agrave vista podendo ser vendida em prestaccedilotildees mensais de R$ 1050000 sendo a primeira prestaccedilatildeo dada como entrada Sabendo-se que a loja aplica uma taxa de 35 am qual o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas
d) Carlos depositou certa quantia durante 10 meses de forma antecipada a uma taxa de 25 am obtendo um montante de R$ 25000000 Quanto depositou mensalmente Carlos
e) Um produto eacute vendido agrave vista por R$ 200000 ou em 10 prestaccedilotildees mensais iguais sem entrada com uma carecircncia de 90 dias apoacutes a compra Qual o valor de cada prestaccedilatildeo sabendo que a taxa de juros eacute de 6 am
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
4UNIDADE 4
Valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa
Usar as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Valor presente liacutequido
Seccedilatildeo 2 Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs ndash SFA (Price)
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa usando as funccedilotildees CF0 CFj e NPV Vocecirc deveraacute ainda fazer uso da funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos usando o Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo ndash SFA ou tabela Price
Seccedilatildeo 1 ndash Valor presente liacutequido
A figura 41 a seguir apresenta as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C que vocecirc usaraacute nessa unidade para realizar caacutelculo de valor presente liacutequido e para a elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos ou financiamento
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor inicial do fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor do fluxo de caixa no periacuteodo j
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula o valor presente atual de um fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula a parte dos pagamentos usada para pagar juros
Figura 41 - Teclas para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
Valor presente liacutequido
Nessa seccedilatildeo vocecirc usaraacute as funccedilotildees da HP ndash 12C para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa Para entender como usar as funccedilotildees CF0 CFj e NPV considere o fluxo de caixa para um investimento que exige capital inicial (CF0) e que gera um fluxo de caixa (CFj ) no final de j periacuteodos
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Unidade 4
Veja a seguir o fluxo de caixa
CF0CF1
CF2 CF5
CFn
CF3 CF4
O VPL = Valor Presente Liacutequido eacute calculado somando ao investimento inicial o valor presente dos fluxos de caixa futuros projetados Portanto
se o VPL for positivo o valor financeiro do ativo do investidor aumentaraacute ou seja o investimento financeiro seraacute atrativo em termos financeiros
se o VPL for zero o valor financeiro do ativo financeiro do investidor natildeo mudaraacute ou seja o investidor seraacute indiferente ao investimento
se o VPL for negativo o valor financeiro do ativo do investidor seraacute reduzido ou seja o investimento natildeo seraacute atrativo em termos financeiros
Exemplo 41
Um investidor compra uma casa por R$ 7000000 e gostaria de ter um retorno de pelo menos 15 Ele pretende manter a casa por 4 anos e depois vendecirc-la por R$ 11000000 Ele prevecirc os fluxos de caixa mostrados no diagrama abaixo
CF0CF1
CF1
CF3CF4
CF5
R$ 7000000
R$ 50000
R$ 450000R$ 450000
R$ 13000000R$ 550000
Sendo assim calcule o VPL para determinar se o investimento resultaria em um retorno ou perda
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Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o VPL
7000000 50000
450000 550000 450000
13000000 15 379007
VPL
Como o VPL eacute positivo o investimento aumentaria o valor financeiro do ativo do investidor
Exemplo 42 (exemplo 4 paacuteg 98 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um proprietaacuterio recebeu as seguintes propostas para a venda de uma casa
Proposta A entrada de R$ 10000000 + R$ 5000000 em 6 meses + R$ 6000000 em 1 ano
Proposta B entrada de R$ 8000000 + R$ 6000000 em 5 meses + R$ 7000000 em 10 meses
Sabendo-se que a taxa de juros de mercado eacute de 3 am qual a melhor proposta para o vendedor
Soluccedilatildeo
Essa questatildeo deve ser resolvida pelo meacutetodo do Valor Presente Liacutequido A alternativa que tiver o maior valor seraacute a melhor Entretanto para facilitar a elaboraccedilatildeo do algoritmo de resoluccedilatildeo na HP ndash 12C elabore o fluxo de caixa para cada situaccedilatildeo
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Unidade 4
1 Proposta A Fluxo de caixa
10000000 5000000 6000000
1 2 3 4 5 7 8 9 10 110 6 12
Calculando o VPL
10000000 000 5
5000000 000
5
6000000
3
18395701
VPL
Armazena o zero 5 vezes
2 Proposta B Fluxo de caixa
8000000 70000006000000
1 2 3 4 6 7 8 90 5 10
Calculando o VPL
8000000 000 4
6000000 000
4
7000000
3
18384310
VPL
Armazena o zero 4 vezes
Resposta a melhor proposta eacute a A
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Exemplo 43
Dois equipamentos satildeo examinados Considerando ser a taxa miacutenima de atratividade de 20aa qual o equipamento que deve ser adquirido
Dados
41 - Tabela de DadosEquipamento K Equipamento L
Custo R$ 5000000 R$ 8000000Custo anual de manutenccedilatildeo R$ 2000000 R$ 1500000Valor residual para venda R$ 400000 R$ 800000Duraccedilatildeo em anos 10 10
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
A seguir veja o diagrama de fluxo de caixa
Os caacutelculos do Valor Presente Liacutequido para as duas situaccedilotildees satildeo
Equipamento K
5000000
Equipamento K
2000000
400000
0 1 2 10
8000000
Equipamento L
1500000
800000
0 1 2 10
50000 20000
9 4000 20000 1
20 -13320342
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Unidade 4
Equipamento L
80000 15000
9 8000 15000 1
20 -14159504
Importante Veja que a alternativa K equivale a um equipamento em que se investe R$ 13320342 enquanto que o equipamento L equivale a um investimento de R$ 14159504 Portanto eacute preferiacutevel o equipamento K pois o investimento eacute menor
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Seccedilatildeo 2 ndash Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs - SFA
Este sistema consiste no pagamento de empreacutestimos ou financiamentos com prestaccedilotildees iguais e com periodicidade constante Eacute considerado o sistema de amortizaccedilatildeo mais utilizado pelas instituiccedilotildees financeiras e pelo comeacutercio em geral
O Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo eacute assim chamado por ter sido inventado na Franccedila por volta do seacuteculo XVIII pelo matemaacutetico inglecircs Richard Price daiacute portanto a origem da denominaccedilatildeo Sistema Price tambeacutem comumente chamado de Tabela Price
Na verdade a Tabela Price eacute um caso particular derivado do Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo Neste sistema o financiamento (PV) eacute pago em parcelas (PMT) iguais constituiacutedas da amortizaccedilatildeo do principal da diacutevida + juros compensatoacuterios (J) que variam inversamente ao longo do tempo Ou seja agrave medida que aumenta o valor da parcela de amortizaccedilatildeo haveraacute uma queda dos juros compensatoacuterios em funccedilatildeo da reduccedilatildeo do saldo devedor
Principais Caracteriacutesticas
As principais caracteriacutesticas do SFA satildeo
a prestaccedilatildeo eacute constante durante todo o periacuteodo do financiamento
a parcela de amortizaccedilatildeo aumenta a cada periacuteodo (n)
os juros compensatoacuterios diminuem a cada periacuteodo (n)
Exemplo 44 (exemplo 1 paacuteg 148 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma instituiccedilatildeo financeira libera um empreacutestimo para uma induacutestria no valor de R$ 60000000 para ser pago pelo sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs em 120 meses a uma taxa de 15 am Faccedila a planilha ateacute o 4ordm mecircs e calcule o saldo devedor no 100ordm mecircs
67
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Soluccedilatildeo
A sequecircncia abaixo calcula o valor da prestaccedilatildeo os juros a amortizaccedilatildeo o saldo devedor e valor do saldo devedor no 100ordm mecircs Acompanhe
Zera os registradores
60000000 Armazena o valor presente
120 Armazena o periacuteodo
15 Armazena a taxa
- R$ 1081111 Valor da prestaccedilatildeo
1 - R$ 900000 Valor dos juros da 1ordf parcela
R$ 181111Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 1ordf parcela
R$ 58918889 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 897283 Valor dos juros da 2ordf parcela
- R$ 183828Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 2ordf parcela
R$ 59635061 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 894526 Valor dos juros da 3ordf parcela
- R$ 186585Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 3ordf parcela
R$ 59448476 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 891727 Valor dos juros da 4ordf parcela
- R$ 189384Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 4ordf parcela
R$ 59259092 Recupera o saldo devedor
A tabela a seguir apresenta um resumo das operaccedilotildees realizadas
68
Universidade do Sul de Santa Catarina
Tabela 42 ndash Planilha de amortizaccedilatildeoPeriacuteodo (n) Amortizaccedilatildeo (A) Juros (J) Prestaccedilotildees (R) Saldo Devedor (S)
0 - - - R$ 600000001 R$ 181111 R$ 900000 R$ 1081111 R$ 598188892 R$ 183828 R$ 897283 R$ 1081111 R$ 596350613 R$ 186585 R$ 894526 R$ 1081111 R$ 594484764 R$ 189384 R$ 891727 R$ 1081111 R$ 59259092
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Para determinar o saldo devedor no 100ordm mecircs faccedila como indicado a seguir
60000000 120 150
-1081111 18561247
Prestaccedilatildeo Saldo devedor no 100ordm mecircs
Nesta unidade vocecirc usou as funccedilotildees de fluxo de caixa para calcular o valor presente liacutequido e a funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
69Unidade 4
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades a seguir (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 4 e 5 da unidade 7 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegina 102) Em seguida use o programa elaborado para resolver as mesmas questotildees
a) Qual das alternativas de pagamento eacute a melhor para uma taxa de juros compostos de 75 am
Alternativa A Pagamento de R$ 15000000 agrave vista
Alternativa B Entrada de R$ 5000000 + R$ 8000000 em 90 dias + R$ 6000000 em 150 dias
b) Uma pessoa deve a um banco dois tiacutetulos com valores de R$ 300000 e R$ 600000 venciacuteveis respectivamente em 4 meses e 8 meses Se a pessoa deseja antecipar para hoje a liquidaccedilatildeo dos tiacutetulos qual o valor a pagar considerando que o banco opera com uma taxa de juros compostos de 23 am
2 Elabore um algoritmo para resolver as atividades abaixo (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 1 e 4 da unidade 10 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 151 e 153)
a) Um cliente solicita a um banco um empreacutestimo de R$ 4000000 pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs em 60 prestaccedilotildees mensais Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de juros de 28 am obtenha o valor da prestaccedilatildeo e o saldo devedor depois de pagar a 20ordf prestaccedilatildeo
b) Um empreacutestimo de R$ 30000000 seraacute saldado em 50 prestaccedilotildees mensais a uma taxa de 15 am Determine a parcela de juros relativa agrave 15ordf prestaccedilatildeo pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs (price)
70
Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
Manual da calculadora HP ndash 12C
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico ndash 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7ed Satildeo Paulo Atlas 2000
Para concluir o estudo
Com o teacutermino desse curso de extensatildeo acreditamos que proporcionamos momentos de aprendizagem por meio da interaccedilatildeo da calculadora financeira e que vocecirc estaacute habilitado(a) a fazer uso dessa ferramenta com qualidade no mercado de trabalho relacionado a essa aacuterea tatildeo importante no nosso dia-a-dia
Referecircncias
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7 ed Satildeo Paulo Atlas 2000
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003 Disponiacutevel em lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt Acesso em 05 jun 2008
Sobre o professor conteudista
Joseacute Humberto Dias de Toledo - eacute Mestre em Educaccedilatildeo pela Universidade do Sul de Santa Catarina Graduado em Licenciatura em Matemaacutetica e em Engenharia Civil Professor das disciplinas Meacutetodos Numeacutericos Informaacutetica Aplicada agrave Matemaacutetica Financeira Caacutelculo I e Matemaacutetica Financeira no Curso de Matemaacutetica ndash Licenciatura nesta mesma instituiccedilatildeo Atualmente ministra a disciplina Representaccedilotildees Graacuteficas na Poacutes-graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo Matemaacutetica da UNISUL
Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo
Unidade 1
1 a) 5
b) -2359
c) 3311
d) 077
e) 081
Respostas modo RPN
a)
b)
c)
d)
e)
Respostas modo ALG
a
b
c
d
e
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Universidade do Sul de Santa Catarina
2 R$ 167757
Modo RPN
Modo ALG
3 -242
4 Data 13082008 3 (quarta-feira)
5 Florianoacutepolis = 3303 Curitiba = 5018 Porto Alegre = 1680
Unidade 2
1 1) 150000
Dados
C = R$ 1000000
i = 5 aa
n = 3 anos = 1080 dias
J =
3) 24 meses = 2 anos
Dados
C = R$ 200000
i = 6 aa
n = 24 meses = 720 dias
M =
79
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
85
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
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Universidade do Sul de Santa Catarina
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
87
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
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12
Universidade do Sul de Santa Catarina
Carga Horaacuteria
15 horas-aula
Objetivos
Geral
Capacitar os participantes para a utilizaccedilatildeo da calculadora HP - 12C na resoluccedilatildeo de problemas praacuteticos promovendo a integraccedilatildeo entre teoria e praacutetica na aacuterea financeira
Especiacuteficos
Usar a Hp -12C para o caacutelculo de juros simples composto montante periacuteodo valor presente e pagamentos perioacutedicos
Fazer uso da HP - 12C para elaboraccedilatildeo de planilhas de amortizaccedilatildeo
Explorar as funccedilotildees data e hora da HP -12C
Usar a ferramenta para auxiliar na resoluccedilatildeo de problemas do cotidiano na aacuterea financeira
Conteuacutedo programaacuteticoobjetivos
Os objetivos de cada unidade definem o conjunto de conhecimentos que vocecirc deveraacute deter para o desenvolvimento de habilidades e competecircncias necessaacuterias agrave sua formaccedilatildeo Neste sentido veja a seguir as unidades que compotildeem o Livro Didaacutetico deste curso bem como os seus respectivos objetivos
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidades de estudo 4
Unidade 1 - Apresentando a calculadora HP ndash 12C
Unidade 2 - Regimes de capitalizaccedilatildeo simples e composto
Unidade 3 - Taxas de juros equivalentes e caacutelculo de pagamentos perioacutedicos
Unidade 4 - Valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Agenda de atividades Cronograma
Verifique com atenccedilatildeo o EVA e organize-se para acessar periodicamente o espaccedilo da Disciplina O sucesso nos seus estudos depende da priorizaccedilatildeo do tempo para a leitura da realizaccedilatildeo de anaacutelises e siacutenteses do conteuacutedo e da interaccedilatildeo com os seus colegas e professor virtual
Natildeo perca os prazos das atividades Registre as datas no espaccedilo a seguir com base no cronograma da disciplina disponibilizado no EVA
Use o quadro para agendar e programar as atividades relativas ao desenvolvimento da Disciplina
1UNIDADE 1
Apresentando a calculadora HP ndash 12C
Objetivos de aprendizagem
Apresentar as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C
Realizar caacutelculos elementares com a ferramenta
Conhecer os modos ldquoRPNrdquo e ldquoALGrdquo da HP
Utilizar as memoacuterias da calculadora para realizar caacutelculos
Usar as funccedilotildees de percentagem
Determinar datas futuras passadas e nuacutemero de dias entre datas
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 A calculadora HP ndash 12C
Seccedilatildeo 2 Caacutelculos aritmeacuteticos no modo ldquoRPNrdquo e no modo ldquoALGrdquo
Seccedilatildeo 3 Funccedilotildees de percentagem e calendaacuterio
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vamos lhe apresentar a calculadora HP ndash 12C com o objetivo de realizar caacutelculos aritmeacuteticos no modo ldquoRPNrdquo ndash Notaccedilatildeo Polonesa Reversa e no modo ldquoALGrdquo ndash Algeacutebrico Aleacutem disso vocecirc aprenderaacute a fazer uso das funccedilotildees de percentagem e calendaacuterio e em desdobramento aprenderaacute a determinar percentagens de um nuacutemero percentagem de um total e diferenccedila percentual caacutelculo de datas futuras e passadas e o nuacutemero de dias entre datas Vocecirc usaraacute as memoacuterias da calculadora para auxiliar nos caacutelculos eou armazenar dados que possam ser usados posteriormente
Seccedilatildeo 1 ndash A calculadora HP ndash 12C
Na presente etapa seratildeo apresentadas algumas funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para utilizaccedilatildeo neste curso Observe na figura 11 a imagem da calculadora
Figura 11- Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Arquivo do autor
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
Fique atento(a) ao fato de que muitas teclas da HP ndash 12C executam duas ou ateacute trecircs funccedilotildees A funccedilatildeo primaacuteria eacute indicada pelos caracteres impressos em branco na face superior As funccedilotildees secundaacuterias da calculadora satildeo impressas nas cores dourado e azul apresentadas respectivamente acima da tecla e na sua face inferior
Para acionar essas funccedilotildees acione a tecla de prefixo que eacute apropriada antes da tecla da funccedilatildeo ou seja e Veja na figura 12
Para selecionar a funccedilatildeo secundaacuteria impressa em dourado aperte a tecla de prefixo f e em seguida a tecla da funccedilatildeo
Para selecionar a funccedilatildeo primaacuteria impressa na face superior de uma tecla aperte somente a tecla
Para selecionar a funccedilatildeo secundaacuteria impressa em azul aperte a tecla de prefixo azul g e em seguida a tecla da funccedilatildeo
Figura 12 - Modo de acesso agraves funccedilotildees primaacuterias e secundaacuterias da Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Disponiacutevel em lthttphpcomlatambrprodutoscalculadorasgrandeprofessores12phtmlgt Acesso em 29 mai 2008
Entrando com nuacutemeros e separadores de diacutegitos
Para que vocecirc possa entrar com um nuacutemero na HP aperte as teclas correspondentes ao nuacutemero em sequecircncia O ponto decimal deve ser usado para separar a parte inteira da parte fracionaacuteria do nuacutemero Se vocecirc quiser pode configurar a calculadora para exibir a viacutergula como separador Para tanto desligue a calculadora e depois aperte simultaneamente as teclas
e
Para voltar
agrave configuraccedilatildeo anterior repita a operaccedilatildeo
Nuacutemeros negativos
A tecla troca o sinal de um nuacutemero no mostrador Portanto se vocecirc quiser trocar o sinal de um nuacutemero positivo que estaacute no visor aperte a tecla ele ficaraacute negativo E vice-versa
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Universidade do Sul de Santa Catarina
As teclas ldquoCLEARrdquo (apagar)
A ilustraccedilatildeo a seguir apresenta as teclas ldquoClearrdquo que apagam ou zeram o mostrador as memoacuterias a memoacuteria de programaccedilatildeo os registradores financeiros os registros de pilha e registros estatiacutesticos Confira na figura 13
Apaga o mostrador
Apaga os registros estatiacutesticos registros da pilha e mostrador
Apaga a memoacuteria de programaccedilatildeo
Apaga os registros financeiros
Apaga os registros de armazenamento de dados registros financeiros registros de pilha LAST X e mostrador
Figura 13 - As teclas CLEAR da Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Registros de armazenamento
Os dados de entrada na HP ndash 12C podem ser armazenados em memoacuterias chamadas ldquoregistros de armazenamentordquo Quatro registros satildeo usados para o armazenamento de nuacutemeros durante os caacutelculos e mais um que eacute usado para armazenar o uacuteltimo nuacutemero chamado ldquoLAST Xrdquo
Aleacutem dos registros citados nos quais os nuacutemeros satildeo armazenados automaticamente existem outros 20 registros para o armazenamento manual de nuacutemeros Eles satildeo designados por R R R R a e a Outros registros de armazenamento designados como registros financeiros satildeo reservados para os nuacutemeros que seratildeo usados em caacutelculos financeiros
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
Armazenando recuperando nuacutemeros e zerando registros
Para armazenar um nuacutemero em um registro de armazenamento de dados aperte a tecla (armazenar) e em seguida um dos nuacutemeros de 0 a 9 para os registros R R
0 9 a e 0 a 9 para os
registros R R 0 9
a
Para recuperar um nuacutemero de um registro de armazenamento de dados aperte a tecla (recuperar) e em seguida um dos nuacutemeros de 0 a 9 para os registros R R
0 9 a e 0 a 9 para os
registros R R 0 9
a
Jaacute para zerar um uacutenico registro de armazenamento vocecirc pode armazenar o valor zero no registro Agora para zerar todos os registros de armazenamento de uma soacute vez ndash incluindo os registros financeiros os registros da pilha e o registro LAST X ndash aperte
E entatildeo estaacute motivado(a) para continuar Na proacutexima seccedilatildeo apresentaremos as teclas ldquoRPNrdquo e ldquoALGrdquo e faremos caacutelculos aritmeacuteticos usando esses modos
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Seccedilatildeo 2 ndash Caacutelculos aritmeacuteticos no modo ldquoRPNrdquo e no modo ldquoALGrdquo
A calculadora HP ndash 12C pode ser configurada para executar operaccedilotildees aritmeacuteticas nos modos RPN ndash Notaccedilatildeo Polonesa Reversa e ALG ndash Algeacutebrico No modo RPN os resultados intermediaacuterios nas operaccedilotildees aritmeacuteticas satildeo armazenados automaticamente portanto natildeo eacute necessaacuterio o uso dos parecircnteses Jaacute no modo ALG as operaccedilotildees elementares satildeo executadas de maneira convencional
Conheccedila alguns exemplos na sequecircncia do texto
Exemplo 11
Calcular 3 x 2 + 5 usando os modos RPN e ALG na HP ndash 12C
Resolvendo no modo RPN
Para configurar a calculadora no modo RPN aperte a tecla e em seguida Observe que vai aparecer o indicador RPN no visor da maacutequina
Agora que a calculadora estaacute no modo RPN vamos ao caacutelculo
3 2 5 11
Resultado
Resolvendo no modo ALG
Para configurar a calculadora no modo ALG aperte a tecla e em seguida Observe que vai aparecer o indicador ALG no visor da maacutequina
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Unidade 1
Calculando no modo algeacutebrico
3 2 5 11
Resultado
Os modelos mais antigos de calculadoras HP ndash 12C natildeo disponibilizam o modo algeacutebrico Portanto se vocecirc eacute usuaacuterio desse tipo de calculadora todos os caacutelculos devem ser efetuados no modo RPN
Exemplo 12
Resolver os caacutelculos solicitados a seguir usando os modos RPN e ALG
a) 3 2 5 33+ minus x
b) ( )minus + minus2 3 4 43 x
c) 2 9 3 52minus + + minus
d) 2 35
2+ minusln
e) 3 4 62+ minuse
Resolvendo no modo RPN
a)
3 2 3 5 3 - 4
Resultado
22
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b)
c)
d)
Obs para alterar a quantidade de casas decimais no visor da calculadora aperte e em seguida um nuacutemero de 1 a 9 que corresponde agrave quantidade de casas decimais No exemplo acima usamos
e)
2
3 3
4
4
0
Resultado
2
2
9 3 5 125
Resultado
2
3
5 2 0599
Resultado
3
2
46 5789
Resultado
23
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
Resolvendo no modo ALG com o auxiacutelio dos registros R R
0 9 a
a)
2
3
5 3 3
4
Resultado
Armazena o resultado do visor na memoacuteria 0
Recupera o registro da memoacuteria 0
b)
2
3
3 4
4 0
Resultado
c)
2 2
9
3 5 125
Resultado
24
Universidade do Sul de Santa Catarina
d)
e)
Exemplo 13
Usando a calculadora HP ndash 12C no modo RPN as seguintes operaccedilotildees bancaacuterias foram realizadas a conta tinha um saldo de R$ 12300 e foi feito um depoacutesito referente ao salaacuterio de R$ 189035 Em seguida foram emitidos e compensados cheques nos valores de R$ 38590 R$ 23478 e R$ 62389 Qual eacute o novo saldo da conta
Soluccedilatildeo use
para apresentar os caacutelculos com duas casas decimais
12300 189035 38590
23478 62389 76920
Saldo
2 3 5 2 0 0599
Resultado
3 2 46 5789
Resultado
25
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
Seccedilatildeo 3 ndash Funccedilotildees de percentagem e calendaacuterio
A calculadora HP ndash 12C apresenta funccedilotildees que permitem o caacutelculo de percentagens e de calendaacuterio Para caacutelculo com percentagens natildeo eacute necessaacuterio converter o nuacutemero na notaccedilatildeo percentual para a notaccedilatildeo decimal Jaacute as funccedilotildees calendaacuterio fornecidas pela HP trabalham com datas entre 15 de outubro de 1582 e 25 de novembro de 4046 A seguir vocecirc conheceraacute detalhadamente essas funccedilotildees
Funccedilotildees de percentagem
Calcula a Percentagem de um nuacutemero ou valor
Calcula a diferenccedila percentual entre dois nuacutemeros
Calcula qual percentual um nuacutemero eacute de outro
Figura 14 - Ilustraccedilatildeo das funccedilotildees de percentagem da Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Funccedilotildees de calendaacuterio
Configura o formato de uma data para dia-mecircs-ano
Configura o formato de uma data para mecircs-dia-ano
Calcula o nuacutemero de dias entre datas
Calcula datas futuras ou passadas
Figura 15 - Ilustraccedilatildeo das funccedilotildees de calendaacuterio da Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Nos exemplos a seguir estaacute demonstrado o uso de todas as funccedilotildees apresentadas Obs os caacutelculos vatildeo ser realizados no modo RPN
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Exemplo 14
Calcular 16 de R$ 198000
Soluccedilatildeo
198000 1600 31680
Resultado
Exemplo 15
Determinada empresa com accedilotildees na bolsa de valores verificou as seguintes variaccedilotildees nos valores das suas accedilotildees no dia 150508 o valor da accedilatildeo passou de R$ 5025 para R$ 5498 jaacute no dia 210508 o valor da accedilatildeo caiu de R$ 5498 para R$ 5208 Qual a diferenccedila percentual nas duas situaccedilotildees
Soluccedilatildeo a sequecircncia a seguir apresenta a variaccedilatildeo percentual
Caacutelculo da variaccedilatildeo percentual de R$ 5025 para R$ 5498 usando a HP ndash 12C
5025 5498 941
Resultado
Observe que o resultado apresentado eacute positivo portanto representa aumento
Caacutelculo da variaccedilatildeo percentual de R$ 5498 para R$ 5208 usando a HP ndash 12C
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
5498 5208 -527
Resultado
Observe que o resultado apresentado eacute negativo portanto representa queda
Exemplo 16
A empresa do exemplo anterior atua na regiatildeo sul do Brasil com vendas totais realizadas no mecircs de abril de 2008 de R$ 589636996 distribuiacutedas da seguinte forma R$ 123656939 no Paranaacute R$ 356963920 em Santa Catarina e R$ 109016137 no Rio Grande do Sul Qual a percentagem das vendas totais em cada um dos trecircs Estados
Soluccedilatildeo
A sequecircncia apresenta os percentuais nos estados do Paranaacute Santa Catarina e Rio Grande do Sul
Soluccedilatildeo
589636996 123656939 2097
356963920 6054 109016137 1849
Resultado SC Resultado RS
Resultado PR
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 17
Comprei uma TV LCD em 17052008 com vencimento para 120 dias Determine a data do vencimento usando a calculadora HP ndash 12C
Soluccedilatildeo
17052008 120 14092008 7
A data do vencimento eacute 14 de setembro de
2008 domingo
Exemplo 18
Fiz uma compra no dia 12052008 com vencimento para o dia 26082008 Use a calculadora HP ndash 12C para determinar o nuacutemero de dias entre a data da compra e do vencimento
Soluccedilatildeo
12052008 20082008 100
Nuacutemero de dias entre as datas
Nesta unidade vocecirc conheceu algumas funccedilotildees elementares da calculadora as quais seratildeo utilizadas nas demais unidades e satildeo muito importantes para realizar caacutelculos que envolvem questotildees do nosso cotidiano Na proacutexima unidade vocecirc vai usar as funccedilotildees financeiras da calculadora para calcular juros simples e compostos descontos simples e compostos
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
Efetue as atividades de autoavaliaccedilatildeo e acompanhe as respostas e comentaacuterios a respeito nas paacuteginas finais deste material Para melhor aproveitamento do seu estudo realize a conferecircncia de suas respostas somente depois de fazer as atividades propostas Desse modo o momento da conferecircncia lhe proporcionaraacute novas oportunidades de aprendizagem
1 Calcule o valor das expressotildees numeacutericas a seguir usando a HP ndash 12C nos modos RPN e ALG
a) 2 5 3 8 24 minus + divide =x
b) minus + minus =3 5 32 3x eln
c) 16 25 3 45 89+ minus =x
d) 2
35 5
3+ minus =ln
e) 0 253
55
2 + minus =minus
2 Use a HP ndash 12C para realizar os caacutelculos e informar o saldo final da seguinte movimentaccedilatildeo financeira Saldo inicial na conta R$ 167890 depoacutesito de R$ 143587 cheques compensados nos valores de R$ 34598 R$ 12345 R$ 65790 e R$ 30987
3 No dia 130508 o doacutelar americano estava cotado em R$ 165 no dia 190508 a cotaccedilatildeo foi de R$ 161 Com base nestes dados indique qual foi a variaccedilatildeo percentual do doacutelar
4 Foi realizada uma compra em um supermercado no valor de R$ 67890 em 150508 Sabendo que esse estabelecimento trabalha com prazo de 90 dias use as funccedilotildees calendaacuterio da HP ndash 12C e determine a data e o dia da semana do vencimento
5 Uma empresa tem vendas mensais para o mecircs de maio de 2008 estimadas em R$ 178909000 Sabendo que o valor total das vendas estaacute distribuiacutedo nas cidades de Florianoacutepolis Curitiba e Porto Alegre com valores correspondentes a R$ 59089000 R$ 89767898 e R$ 30052102 respectivamente determine qual percentagem das vendas totais ocorre em cada uma das cidades
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Saiba mais
HPndash12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
No link abaixo vocecirc tem disponiacutevel o manual da calculadora HP ndash 12C na versatildeo online lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt
2UNIDADE 2
Regimes de capitalizaccedilatildeo simples e composto
Objetivos de aprendizagem
Fazer uso das funccedilotildees financeiras da calculadora HP ndash 12C para calcular juros simples e composto
Dominar o caacutelculo do montante simples e composto
Aprender o caacutelculo de desconto simples e composto
Calcular capital taxa e prazo no regime de capitalizaccedilatildeo composto usando a HP ndash 12C
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Regime de capitalizaccedilatildeo simples
Seccedilatildeo 2 Regime de capitalizaccedilatildeo composto
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc vai fazer uso das funccedilotildees financeiras da HP ndash 12C com o objetivo de realizar caacutelculos de juros simples e composto montantes simples e composto descontos simples e composto caacutelculo de taxas e prazos
Nesta etapa de estudos seratildeo utilizados exemplos do material didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira que estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do Espaccedilo Virtual de Aprendizagem ndash EVA Eacute importante lembrar natildeo ser objetivo deste curso discutir os conceitos da Matemaacutetica Financeira mas apenas utilizar as funccedilotildees disponibilizadas na calculadora para resolver problemas relacionados a essa aacuterea Entretanto caso vocecirc julgue importante os conceitos podem ser relembrados ou vistos no material didaacutetico da disciplina
Seccedilatildeo 1 ndash Regime de capitalizaccedilatildeo simples
Na unidade 1 vocecirc foi apresentado(a) agrave calculadora HP ndash 12C e a algumas das suas funccedilotildees com o objetivo de capacitaacute-lo(a) para o uso adequado dessa ferramenta Esta unidade inicia com uma abordagem sobre os registradores financeiros os quais seratildeo utilizados na maioria dos exemplos que deveratildeo ser resolvidos ao longo das proacuteximas seccedilotildees desta unidade e nas demais unidades deste curso Veja na ilustraccedilatildeo a seguir os registradores financeiros e as suas aplicaccedilotildees
Registra e armazena periacuteodo
Registra e armazena taxa
Registra e armazena valor presente
Registra e armazena pagamentos perioacutedicos
Registra e armazena valor futuro
Figura 21 - Registradores financeiros e as suas aplicaccedilotildees Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
Para armazenar um nuacutemero em um registrador financeiro digite o nuacutemero e em seguida uma das teclas correspondentes ilustradas acima
Para exibir um nuacutemero armazenado em um dos registradores financeiros aperte e em seguida a tecla correspondente
Para zerar todos os registradores financeiros aperte a sequecircncia de teclas
Eacute importante lembrar que os registradores financeiros tambeacutem satildeo zerados ao apertar a sequecircncia
e quando a memoacuteria contiacutenua eacute
reinicializada
A seguir vocecirc faraacute caacutelculo de juros simples e de descontos simples usando a HP ndash 12C
Regime de capitalizaccedilatildeo simples
A HP ndash 12C calcula automaticamente juros simples ordinaacuterios ndash usando o ano comercial e juros simples exatos ndash usando um ano de 365 dias simultaneamente
Eacute possiacutevel apresentar qualquer um dos dois e mais com os juros acumulados no mostrador podemos calcular o montante apertando a tecla
Para exemplificar vamos resolver problemas do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira que se encontra disponiacutevel (formato digital) na ferramenta Midiateca do EVA ndash Espaccedilo Virtual de Aprendizagem
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Exemplo 21 (exemplo 1 paacuteg 29 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital de R$ 1800000 foi aplicado a juros simples durante 3 anos agrave taxa de 6 aa Qual eacute o valor dos juros e o montante adquirido
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula os juros e o montante
Exemplo 22 (exemplo 1 paacuteg 33 do livro Matemaacutetica Financeira)
Ache os juros simples exatos auferidos em uma aplicaccedilatildeo de R$ 1500000 a uma taxa de 16 aa de 20 de abril de 2003 a 1ordm de julho de 2003
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula os juros comerciais e os juros exatos
Neste exemplo utilizamos duas teclas que seratildeo ilustradas a seguir para realizar o caacutelculo dos juros exatos
1800000 1080 6
324000 2124000
Juros Montante
No caacutelculo de Juros simples o periacuteodo deve ser em dias
Calcula juros simples
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Unidade 2
1500000 20042003 01072003
72 16 48000 47342
Juro comercial Juro exato nordm de dias
Ao apertar essa tecla ela rola para baixo o conteuacutedo da pilha para visualizaccedilatildeo no registro X
Ao apertar essa tecla ela troca o conteuacutedo dos registros X e Y da pilha
Figura 22 - Teclas utilizadas para registros de dados Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Exemplo 23 (exemplo 2 paacuteg 34 do livro Matemaacutetica Financeira)
Determine o juro simples exato obtido em uma aplicaccedilatildeo de R$ 1300000 durante 146 dias a uma taxa de 9 aa
Soluccedilatildeo a sequecircncia a seguir realiza os caacutelculos solicitados
1330000 146 9
48545 47880
Juro comercial Juro exato
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Exemplo 24 (exemplo 1 paacuteg 47 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma duplicata de R$ 1500000 com vencimento no dia 03042005 foi descontada em um banco em 08012005 a uma taxa de 25 am Qual eacute o desconto simples bancaacuterio da operaccedilatildeo
Soluccedilatildeo
08012005 03042005 85
1500000 0025 30 106250
Taxa decimal Desconto bancaacuterio
Nordm de dias entre as datas
Exemplo 25 (exemplo 1 paacuteg 48 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma empresa descontou um tiacutetulo com valor de face de R$ 1450000 3 meses e 15 dias antes do vencimento com uma taxa de desconto bancaacuterio simples de 24 am Quanto a empresa recebeu liacutequido na operaccedilatildeo
Soluccedilatildeo
1450000 0024 35 1450000 1328200
Periacuteodo em meses Valor liacutequidoTaxa decimal
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Unidade 2
Exemplo 26 (exemplo 1 paacuteg 49 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma duplicata de R$ 4800000 foi descontada 6 meses antes de seu vencimento em uma instituiccedilatildeo financeira que trabalha com uma taxa de desconto simples de 32 am Com base nestes dados determine
o valor do desconto simples bancaacuterio
o valor do desconto simples racional
Soluccedilatildeo
4800000 6 0032 921600
Taxa decimal Valor liacutequido
921600 1 0032
6 773154
Taxa decimal Valor liacutequido
Na proacutexima seccedilatildeo vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros compostos e de desconto compostos
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Seccedilatildeo 2 ndash Regime de capitalizaccedilatildeo composto
Os exemplos apresentados a partir de agora satildeo ilustrativos de uma ampla variedade de caacutelculos financeiros Para resolvecirc-los vocecirc precisa estruturaacute-los identificando os elementos baacutesicos do problema de maneira que fiquem evidentes as quantidades que devem ser fornecidas agrave calculadora e quem eacute o valor desconhecido ou seja o valor que desejamos determinar
Na resoluccedilatildeo dos caacutelculos usando a HP ndash 12C eacute indispensaacutevel elaborar o diagrama de fluxo de caixa Eacute importante ressaltar que a calculadora precisa de ajuda para comparar o fluxo de caixa ou seja eacute preciso informar quando temos uma entrada ou uma saiacuteda
O fluxo de caixa serve para demonstrar graficamente as transaccedilotildees financeiras em um periacuteodo de tempo
O tempo eacute representado por uma linha horizontal dividida pelo nuacutemero de periacuteodos relevantes para anaacutelise As entradas ou recebimentos satildeo representados por setas verticais apontadas para cima e as saiacutedas ou pagamentos satildeo representados por setas verticais apontadas para baixo Observe o modelo simplificado
(+) entradas
(-) saiacutedas
tempo (n)
Veja agora o modelo detalhado
Entradas
Saiacutedas
Tempo
Fluxo de caixa pode ser definido como sendo a movimentaccedilatildeo de recursos financeiros (entradas e saiacutedas de caixa) ao longo de um periacuteodo de tempo - agrave entrada e saiacuteda de dinheiro O conceito caixa (financeiro) natildeo pode ser confundido com conceito de competecircncia (contaacutebil)
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Unidade 2
Na HP-12C a tecla (do inglecircs Change Sign) serve para introduzir ou tirar um sinal negativo de um nuacutemero ou seja faz o fluxo de caixa
Na sequecircncia de exemplos apresentados a seguir realizaremos caacutelculos de juros montantes valor presente prazo taxa de juros e descontos no regime composto com o auxiacutelio dos registradores financeiros da calculadora HP ndash 12C
Exemplo 27 (exemplo 1 paacuteg 58 do livro Matemaacutetica Financeira)
Qual o montante gerado por um capital de R$ 450000 aplicado por 9 meses a juros compostos a uma taxa de 35 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o montante composto
450000 9 35 613304
MontanteFluxo de caixa saiacuteda do dinheiro para aplicaccedilatildeo
Exemplo 28 (exemplo 2 paacuteg 58 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital de R$ 1200000 foi aplicado a juros compostos durante 6 meses agrave taxa de 2 am Calcule os juros auferidos na aplicaccedilatildeo
Soluccedilatildeo use a sequecircncia a seguir para calcular os juros
1200000 6 2
1351395 151395
Montante Juros
Fluxo de caixa saiacuteda do dinheiro para aplicaccedilatildeo
Recupera um valor em um registrador
financeiro
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Exemplo 29 (exemplo 3 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital ldquoXrdquo eacute aplicado a juros compostos agrave taxa de 35 am gerando um montante de R$ 1950000 apoacutes 1 ano e 3 meses Determine o capital ldquoXrdquo
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar o capital
1950000 35 15 -1163937
Capital aplicado
Exemplo 210 (exemplo 4 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
A que taxa mensal de juros compostos um capital de R$ 1250000 pode transformar-se em R$ 1537342 no periacuteodo de 7 meses
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
1250000 1537342 7 300
Taxa de juros mensal
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Unidade 2
Exemplo 211 (exemplo 5 paacuteg 60 do livro Matemaacutetica Financeira)
Em que prazo um empreacutestimo de R$ 3500000 pode ser pago pela quantia de R$ 4790000 se a taxa de juros compostos cobrada for de 4 am
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
3500000 4790000 4 8
Periacuteodo em meses
Funccedilatildeo ldquoCrdquo na HP ndash 12C e as teclas ldquoSTOrdquo e ldquoEEXrdquo
Vocecirc pode calcular taxa de juros (i) Capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos Perioacutedicos (PMT) para transaccedilotildees financeiras com periacuteodos fracionaacuterios Ao digitar um periacuteodo fracionaacuterio por exemplo 23 meses a parte inteira do nuacutemero indica o nuacutemero de periacuteodos inteiro e a parte fracionaacuteria do nuacutemero o tamanho do periacuteodo fracionaacuterio como uma fraccedilatildeo do periacuteodo inteiro (no exemplo 2 meses e 03 meses)
De acordo com o criteacuterio do usuaacuterio os caacutelculos de taxa de juros ( i ) capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos perioacutedicos (PMT) podem ser executados com juros simples ou compostos acumulados durante o periacuteodo fracionaacuterio Para escolher uma das duas opccedilotildees faccedila
Aparece o indicador ldquoCldquo Portanto os juros compostos satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Natildeo aparece o indicador ldquoCrdquo Portanto os juros simples satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Figura 23 - Teclas utilizadas para caacutelculo de juros simples e compostos para periacuteodo fracionaacuterio Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 212
Calcular o valor futuro de uma aplicaccedilatildeo de R$ 185030000 aplicado agrave taxa de 14 aa durante 45 anos usando juros compostos e simples para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Soluccedilatildeo as sequecircncias a seguir apresentam os resultados para o caacutelculo do valor futuro com juros simples para o periacuteodo fracionaacuterio e juros compostos para o periacuteodo fracionaacuterios respectivamente
185030000 14
45 334383879
Valor futuro calculado com juros simples para o periacuteodo
fracionaacuterio
185030000
14 45 333667556
Valor futuro calculado com juros compostos para o
periacuteodo fracionaacuterio
Exemplo 213 (exemplo 1 paacuteg 81 do livro Matemaacutetica Financeira)
Determine o valor do desconto composto racional e o valor do resgate de um tiacutetulo de R$ 1560000 descontado 5 meses antes do seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto composto racional eacute de 4 am
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Unidade 2
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor do desconto racional composto e o valor liacutequido a receber
1560000 1
1 004 5
277794 1560000 1282206
Valor do desconto Valor liacutequido
Exemplo 214 (exemplo 1 paacuteg 84 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um tiacutetulo de valor nominal de R$ 1500000 eacute descontado em um banco 3 meses antes de seu vencimento Se a taxa de desconto comercial usada pelo banco eacute de 8 am qual eacute o valor do desconto
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor liacutequido e o valor do desconto bancaacuterio ou comercial
1500000 3 8
-1168032 331968
Valor liacutequido Valor do desconto
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Nesta unidade vocecirc usou a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros simples e compostos descontos simples e compostos valor presente taxa de juros periacuteodo e montante Na proacutexima unidade usaremos a ferramenta para auxiliar no caacutelculo de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir foram propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo em PDF estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as questotildees 1 3 5 e 6 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteginas 38 e 39 Confira os resultados na paacuteg 194
1) Qual o rendimento que obtemos ao aplicarmos um capital de R$ 1000000 a uma taxa de juros simples de 5 aa durante 3 anos
3) Em um regime de capitalizaccedilatildeo simples qual eacute o montante que se obteacutem quando aplicamos um capital de R$ 200000 a uma taxa 6 aa durante 24 meses
5) Uma quantia de R$ 6200000 foi aplicada em uma operaccedilatildeo financeira no dia 20 de setembro de 2003 e resgatada no dia 21 de dezembro de 2003 a uma taxa de 125 aa Quais os juros simples exatos e comerciais da operaccedilatildeo
6) Calcule os juros simples exatos e comerciais nas seguintes condiccedilotildees
bull R$ 600000 aplicados por 180 dias a 12 aa
bull R$ 520000 aplicados por 230 dias a 15 aa
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
2 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 2 e 4 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegs 52 e 53 Confira os resultados nas paacuteginas 194 e 195
1) Uma empresa desconta uma duplicata no valor nominal de R$ 5000000 no Banco ldquoXrdquo 4 meses antes do seu vencimento Sabendo que o banco ldquoXrdquo trabalha com uma taxa de desconto simples bancaacuterio de 45 am qual eacute o valor do desconto e o valor liacutequido recebido
2) Para pagar uma diacutevida hoje uma empresa descontou em uma carteira de creacutedito uma duplicata no valor de R$ 1650000 com vencimento daqui a 2 meses recebendo um valor nominal liacutequido de R$ 1500000 Determine a taxa mensal de desconto simples bancaacuterio utilizada
4) Uma letra de cacircmbio no valor nominal de R$ 500000 foi comercializada 4 meses antes do vencimento a uma taxa de desconto simples de 22 am Se o desconto simples fosse o racional qual seria o valor deste desconto
3 Elabore uma sequecircncia de passos para resolver as questotildees propostas 1 2 3 4 e 6 nas paacuteginas 65 66 e 67 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira e confira os resultados na paacuteg 195
1) Calcule o montante produzido por um capital de R$ 2600000 aplicado a uma taxa de juros compostos de 52 am por 6 meses
2) Calcule os juros compostos auferidos por um capital de R$ 420000 aplicado a uma taxa de 3 am durante 10 meses
3) Um empreacutestimo de R$ 600000 deve ser pago em 120 dias a juros compostos pelo valor de R$ 900000 Qual eacute a taxa mensal da operaccedilatildeo
4) Em que prazo uma aplicaccedilatildeo a juros compostos de R$ 2400000 produziraacute um montante de R$ 6151930 agrave taxa de 4 am
6) Quanto Paulo deve aplicar hoje a juros compostos em uma instituiccedilatildeo financeira que paga uma taxa de 12 am para pagar um compromisso de valor nominal igual a R$ 3800000 que vence daqui a 3 meses
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Universidade do Sul de Santa Catarina
4 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 e 8 das paacuteginas 88 e 90 respectivamente do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira Confira os resultados na paacuteg 196
1) Determine o valor do desconto composto racional de um tiacutetulo de valor nominal de R$ 830000 descontado 6 meses antes de seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto eacute de 42 am
8) Um tiacutetulo de R$ 3000000 foi descontado em uma instituiccedilatildeo financeira a uma taxa de desconto composto comercial de 64 am e o valor liacutequido recebido era de R$ 2017327 Quantos meses antes do vencimento foi descontado este tiacutetulo
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
3UNIDADE 3
Taxas de juros equivalentes e caacutelculo de pagamentos perioacutedicos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para calcular taxas equivalentes
Usar as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP ndash 12C para programar o algoritmo da taxa equivalente no regime de capitalizaccedilatildeo composto
Calcular pagamentos perioacutedicos de sequecircncias uniformes postecipadas e antecipadas
Calcular montante de uma sequecircncia uniforme
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Taxas equivalentes
Seccedilatildeo 2 Sequecircncia de capitais
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar taxas equivalentes no regime de capitalizaccedilatildeo composto Vocecirc usaraacute as funccedilotildees de programaccedilatildeo com o objetivo de elaborar um algoritmo para fazer a conversatildeo de taxas de um periacuteodo de capitalizaccedilatildeo (ex mensal) para outro periacuteodo (ex anual) usando o programa Vamos explorar as funccedilotildees ldquoPMTrdquo ldquoBEGrdquo e ldquoENDrdquo para realizar caacutelculo de pagamentos antecipados e postecipados em uma sequecircncia uniforme Destacamos que os exemplos que seratildeo apresentados estatildeo no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira
Seccedilatildeo 1 ndash Taxas equivalentes
Nesta unidade vocecirc usaraacute algumas funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos (postecipados e antecipados) de uma seacuterie uniforme Vocecirc usaraacute ainda as funccedilotildees de programaccedilatildeo para elaborar um programa para calcular taxas equivalentes A figura a seguir apresenta as funccedilotildees que vocecirc usaraacute nos exemplos apresentados posteriormente
Aciona o modo de programaccedilatildeo de HP ndash 12C
Aciona a funccedilatildeo Begin que calcula a parcela com pagamento antecipado
Aciona a funccedilatildeo End (natildeo aparece no visor da calculadora) que calcula parcela com pagamento postecipado
Figura 31 - Teclas utilizadas para acionar as funccedilotildees Beg e End e entrar no modo de programaccedilatildeo
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
Taxas equivalentes
No mercado financeiro e nas operaccedilotildees bancaacuterias e comerciais a palavra taxa eacute empregada de vaacuterias formas ou seja vaacuterios conceitos satildeo abordados em vaacuterias situaccedilotildees Esta seccedilatildeo tem como objetivo mostrar como as taxas de juros satildeo informadas no mercado financeiro e como adequaacute-las agraves condiccedilotildees padronizadas pela HP ndash 12C
Duas taxas satildeo consideradas equivalentes a juros compostos quando aplicadas a um mesmo capital por um periacuteodo de tempo equivalente e geram o mesmo rendimento
Exemplo 31(exemplo 1 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
No regime de juros compostos qual a taxa anual equivalente a 4 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente anual
Exemplo 32 (exemplo 2 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
Calcule a taxa quadrimestral equivalente agrave taxa de juros compostos de 8 aa
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente quadrimestral
1 004 12 1 1 10000 6010
Taxa anual
50
Universidade do Sul de Santa Catarina
1 008 1 3 1 10000 260
Taxa quadrimestral
Programa para caacutelculo da taxa equivalente pela hp ndash 12c
O professor Carlos Shinoda em seu livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48) apresenta um programa para calcular a taxa equivalente atraveacutes da calculadora HP ndash 12C
Siga os procedimentos abaixo para introduzir o programa na HP ndash 12C
Figura 32 - Algoritmo para a programaccedilatildeo de taxa equivalente
Fonte Livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48)
51
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
Agora que vocecirc programou a HP ndash 12C para o caacutelculo de taxas equivalentes resolva o exemplo a seguir usando o programa
Exemplo 33
Usando o programa anterior determine as taxas equivalentes propostas nos exemplos 31 e 32
Soluccedilatildeo
As sequecircncias abaixo calculam as taxas equivalentes
Executa oprograma
4 1 12 6010
Taxa anual
Executa oprograma
8 360 120 260
Taxa quadrimestral
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Seccedilatildeo 2 ndash Sequecircncia de capitais
Nesta seccedilatildeo vocecirc acompanharaacute as situaccedilotildees em que haacute mais de um pagamento ou seja vocecirc estudaraacute as operaccedilotildees envolvendo pagamentos ou recebimentos perioacutedicos e uniformes
As seacuteries uniformes de pagamentos satildeo aquelas em que os pagamentos ou recebimentos satildeo constantes e ocorrem em intervalos iguais
Seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas e antecipadas
As seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1 Este sistema eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada (0 + n)
Pagamentos ou recebimentos podem ser chamados de prestaccedilatildeo representada pela sigla PMT que vem do inglecircs Payment e significa pagamento ou recebimento
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentosPMT
++
0 1 2 3 4 5 6 n
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
++
0 1 2 3 4 5 6 n
PMT
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
As seacuteries uniformes de pagamentos antecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre na data focal 0 (zero) Este tipo de sistema de pagamento eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento com entrada (1+ n)
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
Exemplo 34 (exemplo 2 paacuteg 108 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um automoacutevel eacute vendido em uma loja por R$ 3200000 A loja propotildee as seguintes condiccedilotildees para financiamento
Proposta A 12 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta B 24 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta C 36 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
A taxa de juros usada eacute de 32 am Qual o valor de cada prestaccedilatildeo nas 3 modalidades de financiamento
Soluccedilatildeo
As sequecircncias a seguir calculam os valores das parcelas nas trecircs propostas
54
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3200000
32 12 -325329
parcela
3200000
32 24 -193046
parcela
3200000
32 36 -150979
parcela
Exemplo 35 (exemplo 2 paacuteg 111 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma casa cujo valor agrave vista eacute R$ 4924456 eacute vendida em prestaccedilotildees mensais e iguais de R$ 250000 sendo a primeira dada como entrada Se a taxa de financiamento eacute de 18 am determine o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas no financiamento
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o nuacutemero de parcelas
4924456 18
250000 24
nordm de parcelas
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
No exemplo acima o nuacutemero de pagamento deu um nuacutemero inteiro Mas podem acontecer situaccedilotildees em que ao se determinar o nuacutemero de parcelas o resultado natildeo seja um nuacutemero inteiro
Nessa situaccedilatildeo a HP ndash 12C arredonda a resposta para o proacuteximo inteiro para cima antes de armazenaacute-la e exibi-la
Exemplo 36
Vocecirc comprou um terreno por R$ 3500000 a juros de 105 aa Vocecirc pretende fazer pagamentos de R$ 32500 no fim de cada mecircs Quantos pagamentos seratildeo necessaacuterios para pagar o terreno e quanto tempo levaraacute
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o nuacutemero de pagamentos e o tempo necessaacuterio
3500000 105
32500 328 2733
nordm de parcelas Tempo (anos)
Como a calculadora arredonda o valor do tempo para o proacuteximo inteiro eacute provaacutevel que apesar de serem necessaacuterios 328 pagamentos somente 327 seratildeo inteiros de R$ 32500 com o pagamento final sendo menor do que R$ 32500 Para calcular o valor do pagamento de nuacutemero 328 vamos fazer o seguinte
A calculadora natildeo ajusta os valores nos outros registros financeiros automaticamente para refletir os n pagamentos iguais ao contraacuterio ela lhe permite escolher quais valores (se houver) que vocecirc deseja ajustar
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328 18189 - 32500 -14311
Valor da parcela 328
Nesta unidade vocecirc calculou taxas equivalentes usou as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP e fez caacutelculos de pagamentos perioacutedicos de uma seacuterie uniforme antecipado ou postecipado Na proacutexima unidade vamos realizar caacutelculos de valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades abaixo (Essa atividade corresponde agrave autoavaliaccedilatildeo 1 da unidade 5 do livro didaacutetico de Matemaacutetica Financeira) Em seguida use o programa elaborado para resolver a mesma questatildeo
Calcule a taxa anual das seguintes taxas
a) 26 am
b) 42 ab
c) 48 at
d) 12 as
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
2 Elabore um algoritmo para resolver as seguintes atividades (Estas questotildees equivalem agraves autoavaliaccedilotildees 1 2 3 4 e 5 da unidade 8 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 121 122 e 123)
a) Calcule o valor da prestaccedilatildeo mensal de um empreacutestimo de R$ 600000 que seraacute amortizado em 12 prestaccedilotildees mensais postecipadas sabendo que o banco cobra uma taxa de juros de 2 am
b) Uma loja vende um automoacutevel agrave vista por R$ 1650000 Se o comprador quiser fazer um financiamento em 36 parcelas mensais e iguais onde o 1ordm pagamento seraacute efetuado no 1ordm mecircs apoacutes a compra a uma taxa de juros de 21 am qual o valor da prestaccedilatildeo
c) Uma mercadoria custa R$ 9038071 agrave vista podendo ser vendida em prestaccedilotildees mensais de R$ 1050000 sendo a primeira prestaccedilatildeo dada como entrada Sabendo-se que a loja aplica uma taxa de 35 am qual o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas
d) Carlos depositou certa quantia durante 10 meses de forma antecipada a uma taxa de 25 am obtendo um montante de R$ 25000000 Quanto depositou mensalmente Carlos
e) Um produto eacute vendido agrave vista por R$ 200000 ou em 10 prestaccedilotildees mensais iguais sem entrada com uma carecircncia de 90 dias apoacutes a compra Qual o valor de cada prestaccedilatildeo sabendo que a taxa de juros eacute de 6 am
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
4UNIDADE 4
Valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa
Usar as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Valor presente liacutequido
Seccedilatildeo 2 Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs ndash SFA (Price)
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa usando as funccedilotildees CF0 CFj e NPV Vocecirc deveraacute ainda fazer uso da funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos usando o Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo ndash SFA ou tabela Price
Seccedilatildeo 1 ndash Valor presente liacutequido
A figura 41 a seguir apresenta as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C que vocecirc usaraacute nessa unidade para realizar caacutelculo de valor presente liacutequido e para a elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos ou financiamento
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor inicial do fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor do fluxo de caixa no periacuteodo j
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula o valor presente atual de um fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula a parte dos pagamentos usada para pagar juros
Figura 41 - Teclas para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
Valor presente liacutequido
Nessa seccedilatildeo vocecirc usaraacute as funccedilotildees da HP ndash 12C para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa Para entender como usar as funccedilotildees CF0 CFj e NPV considere o fluxo de caixa para um investimento que exige capital inicial (CF0) e que gera um fluxo de caixa (CFj ) no final de j periacuteodos
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Veja a seguir o fluxo de caixa
CF0CF1
CF2 CF5
CFn
CF3 CF4
O VPL = Valor Presente Liacutequido eacute calculado somando ao investimento inicial o valor presente dos fluxos de caixa futuros projetados Portanto
se o VPL for positivo o valor financeiro do ativo do investidor aumentaraacute ou seja o investimento financeiro seraacute atrativo em termos financeiros
se o VPL for zero o valor financeiro do ativo financeiro do investidor natildeo mudaraacute ou seja o investidor seraacute indiferente ao investimento
se o VPL for negativo o valor financeiro do ativo do investidor seraacute reduzido ou seja o investimento natildeo seraacute atrativo em termos financeiros
Exemplo 41
Um investidor compra uma casa por R$ 7000000 e gostaria de ter um retorno de pelo menos 15 Ele pretende manter a casa por 4 anos e depois vendecirc-la por R$ 11000000 Ele prevecirc os fluxos de caixa mostrados no diagrama abaixo
CF0CF1
CF1
CF3CF4
CF5
R$ 7000000
R$ 50000
R$ 450000R$ 450000
R$ 13000000R$ 550000
Sendo assim calcule o VPL para determinar se o investimento resultaria em um retorno ou perda
62
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Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o VPL
7000000 50000
450000 550000 450000
13000000 15 379007
VPL
Como o VPL eacute positivo o investimento aumentaria o valor financeiro do ativo do investidor
Exemplo 42 (exemplo 4 paacuteg 98 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um proprietaacuterio recebeu as seguintes propostas para a venda de uma casa
Proposta A entrada de R$ 10000000 + R$ 5000000 em 6 meses + R$ 6000000 em 1 ano
Proposta B entrada de R$ 8000000 + R$ 6000000 em 5 meses + R$ 7000000 em 10 meses
Sabendo-se que a taxa de juros de mercado eacute de 3 am qual a melhor proposta para o vendedor
Soluccedilatildeo
Essa questatildeo deve ser resolvida pelo meacutetodo do Valor Presente Liacutequido A alternativa que tiver o maior valor seraacute a melhor Entretanto para facilitar a elaboraccedilatildeo do algoritmo de resoluccedilatildeo na HP ndash 12C elabore o fluxo de caixa para cada situaccedilatildeo
63
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Unidade 4
1 Proposta A Fluxo de caixa
10000000 5000000 6000000
1 2 3 4 5 7 8 9 10 110 6 12
Calculando o VPL
10000000 000 5
5000000 000
5
6000000
3
18395701
VPL
Armazena o zero 5 vezes
2 Proposta B Fluxo de caixa
8000000 70000006000000
1 2 3 4 6 7 8 90 5 10
Calculando o VPL
8000000 000 4
6000000 000
4
7000000
3
18384310
VPL
Armazena o zero 4 vezes
Resposta a melhor proposta eacute a A
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Exemplo 43
Dois equipamentos satildeo examinados Considerando ser a taxa miacutenima de atratividade de 20aa qual o equipamento que deve ser adquirido
Dados
41 - Tabela de DadosEquipamento K Equipamento L
Custo R$ 5000000 R$ 8000000Custo anual de manutenccedilatildeo R$ 2000000 R$ 1500000Valor residual para venda R$ 400000 R$ 800000Duraccedilatildeo em anos 10 10
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
A seguir veja o diagrama de fluxo de caixa
Os caacutelculos do Valor Presente Liacutequido para as duas situaccedilotildees satildeo
Equipamento K
5000000
Equipamento K
2000000
400000
0 1 2 10
8000000
Equipamento L
1500000
800000
0 1 2 10
50000 20000
9 4000 20000 1
20 -13320342
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Unidade 4
Equipamento L
80000 15000
9 8000 15000 1
20 -14159504
Importante Veja que a alternativa K equivale a um equipamento em que se investe R$ 13320342 enquanto que o equipamento L equivale a um investimento de R$ 14159504 Portanto eacute preferiacutevel o equipamento K pois o investimento eacute menor
66
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Seccedilatildeo 2 ndash Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs - SFA
Este sistema consiste no pagamento de empreacutestimos ou financiamentos com prestaccedilotildees iguais e com periodicidade constante Eacute considerado o sistema de amortizaccedilatildeo mais utilizado pelas instituiccedilotildees financeiras e pelo comeacutercio em geral
O Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo eacute assim chamado por ter sido inventado na Franccedila por volta do seacuteculo XVIII pelo matemaacutetico inglecircs Richard Price daiacute portanto a origem da denominaccedilatildeo Sistema Price tambeacutem comumente chamado de Tabela Price
Na verdade a Tabela Price eacute um caso particular derivado do Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo Neste sistema o financiamento (PV) eacute pago em parcelas (PMT) iguais constituiacutedas da amortizaccedilatildeo do principal da diacutevida + juros compensatoacuterios (J) que variam inversamente ao longo do tempo Ou seja agrave medida que aumenta o valor da parcela de amortizaccedilatildeo haveraacute uma queda dos juros compensatoacuterios em funccedilatildeo da reduccedilatildeo do saldo devedor
Principais Caracteriacutesticas
As principais caracteriacutesticas do SFA satildeo
a prestaccedilatildeo eacute constante durante todo o periacuteodo do financiamento
a parcela de amortizaccedilatildeo aumenta a cada periacuteodo (n)
os juros compensatoacuterios diminuem a cada periacuteodo (n)
Exemplo 44 (exemplo 1 paacuteg 148 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma instituiccedilatildeo financeira libera um empreacutestimo para uma induacutestria no valor de R$ 60000000 para ser pago pelo sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs em 120 meses a uma taxa de 15 am Faccedila a planilha ateacute o 4ordm mecircs e calcule o saldo devedor no 100ordm mecircs
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Unidade 4
Soluccedilatildeo
A sequecircncia abaixo calcula o valor da prestaccedilatildeo os juros a amortizaccedilatildeo o saldo devedor e valor do saldo devedor no 100ordm mecircs Acompanhe
Zera os registradores
60000000 Armazena o valor presente
120 Armazena o periacuteodo
15 Armazena a taxa
- R$ 1081111 Valor da prestaccedilatildeo
1 - R$ 900000 Valor dos juros da 1ordf parcela
R$ 181111Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 1ordf parcela
R$ 58918889 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 897283 Valor dos juros da 2ordf parcela
- R$ 183828Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 2ordf parcela
R$ 59635061 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 894526 Valor dos juros da 3ordf parcela
- R$ 186585Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 3ordf parcela
R$ 59448476 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 891727 Valor dos juros da 4ordf parcela
- R$ 189384Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 4ordf parcela
R$ 59259092 Recupera o saldo devedor
A tabela a seguir apresenta um resumo das operaccedilotildees realizadas
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Tabela 42 ndash Planilha de amortizaccedilatildeoPeriacuteodo (n) Amortizaccedilatildeo (A) Juros (J) Prestaccedilotildees (R) Saldo Devedor (S)
0 - - - R$ 600000001 R$ 181111 R$ 900000 R$ 1081111 R$ 598188892 R$ 183828 R$ 897283 R$ 1081111 R$ 596350613 R$ 186585 R$ 894526 R$ 1081111 R$ 594484764 R$ 189384 R$ 891727 R$ 1081111 R$ 59259092
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Para determinar o saldo devedor no 100ordm mecircs faccedila como indicado a seguir
60000000 120 150
-1081111 18561247
Prestaccedilatildeo Saldo devedor no 100ordm mecircs
Nesta unidade vocecirc usou as funccedilotildees de fluxo de caixa para calcular o valor presente liacutequido e a funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
69Unidade 4
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades a seguir (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 4 e 5 da unidade 7 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegina 102) Em seguida use o programa elaborado para resolver as mesmas questotildees
a) Qual das alternativas de pagamento eacute a melhor para uma taxa de juros compostos de 75 am
Alternativa A Pagamento de R$ 15000000 agrave vista
Alternativa B Entrada de R$ 5000000 + R$ 8000000 em 90 dias + R$ 6000000 em 150 dias
b) Uma pessoa deve a um banco dois tiacutetulos com valores de R$ 300000 e R$ 600000 venciacuteveis respectivamente em 4 meses e 8 meses Se a pessoa deseja antecipar para hoje a liquidaccedilatildeo dos tiacutetulos qual o valor a pagar considerando que o banco opera com uma taxa de juros compostos de 23 am
2 Elabore um algoritmo para resolver as atividades abaixo (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 1 e 4 da unidade 10 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 151 e 153)
a) Um cliente solicita a um banco um empreacutestimo de R$ 4000000 pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs em 60 prestaccedilotildees mensais Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de juros de 28 am obtenha o valor da prestaccedilatildeo e o saldo devedor depois de pagar a 20ordf prestaccedilatildeo
b) Um empreacutestimo de R$ 30000000 seraacute saldado em 50 prestaccedilotildees mensais a uma taxa de 15 am Determine a parcela de juros relativa agrave 15ordf prestaccedilatildeo pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs (price)
70
Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
Manual da calculadora HP ndash 12C
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico ndash 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7ed Satildeo Paulo Atlas 2000
Para concluir o estudo
Com o teacutermino desse curso de extensatildeo acreditamos que proporcionamos momentos de aprendizagem por meio da interaccedilatildeo da calculadora financeira e que vocecirc estaacute habilitado(a) a fazer uso dessa ferramenta com qualidade no mercado de trabalho relacionado a essa aacuterea tatildeo importante no nosso dia-a-dia
Referecircncias
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7 ed Satildeo Paulo Atlas 2000
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003 Disponiacutevel em lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt Acesso em 05 jun 2008
Sobre o professor conteudista
Joseacute Humberto Dias de Toledo - eacute Mestre em Educaccedilatildeo pela Universidade do Sul de Santa Catarina Graduado em Licenciatura em Matemaacutetica e em Engenharia Civil Professor das disciplinas Meacutetodos Numeacutericos Informaacutetica Aplicada agrave Matemaacutetica Financeira Caacutelculo I e Matemaacutetica Financeira no Curso de Matemaacutetica ndash Licenciatura nesta mesma instituiccedilatildeo Atualmente ministra a disciplina Representaccedilotildees Graacuteficas na Poacutes-graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo Matemaacutetica da UNISUL
Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo
Unidade 1
1 a) 5
b) -2359
c) 3311
d) 077
e) 081
Respostas modo RPN
a)
b)
c)
d)
e)
Respostas modo ALG
a
b
c
d
e
78
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 R$ 167757
Modo RPN
Modo ALG
3 -242
4 Data 13082008 3 (quarta-feira)
5 Florianoacutepolis = 3303 Curitiba = 5018 Porto Alegre = 1680
Unidade 2
1 1) 150000
Dados
C = R$ 1000000
i = 5 aa
n = 3 anos = 1080 dias
J =
3) 24 meses = 2 anos
Dados
C = R$ 200000
i = 6 aa
n = 24 meses = 720 dias
M =
79
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
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b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidades de estudo 4
Unidade 1 - Apresentando a calculadora HP ndash 12C
Unidade 2 - Regimes de capitalizaccedilatildeo simples e composto
Unidade 3 - Taxas de juros equivalentes e caacutelculo de pagamentos perioacutedicos
Unidade 4 - Valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Agenda de atividades Cronograma
Verifique com atenccedilatildeo o EVA e organize-se para acessar periodicamente o espaccedilo da Disciplina O sucesso nos seus estudos depende da priorizaccedilatildeo do tempo para a leitura da realizaccedilatildeo de anaacutelises e siacutenteses do conteuacutedo e da interaccedilatildeo com os seus colegas e professor virtual
Natildeo perca os prazos das atividades Registre as datas no espaccedilo a seguir com base no cronograma da disciplina disponibilizado no EVA
Use o quadro para agendar e programar as atividades relativas ao desenvolvimento da Disciplina
1UNIDADE 1
Apresentando a calculadora HP ndash 12C
Objetivos de aprendizagem
Apresentar as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C
Realizar caacutelculos elementares com a ferramenta
Conhecer os modos ldquoRPNrdquo e ldquoALGrdquo da HP
Utilizar as memoacuterias da calculadora para realizar caacutelculos
Usar as funccedilotildees de percentagem
Determinar datas futuras passadas e nuacutemero de dias entre datas
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 A calculadora HP ndash 12C
Seccedilatildeo 2 Caacutelculos aritmeacuteticos no modo ldquoRPNrdquo e no modo ldquoALGrdquo
Seccedilatildeo 3 Funccedilotildees de percentagem e calendaacuterio
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vamos lhe apresentar a calculadora HP ndash 12C com o objetivo de realizar caacutelculos aritmeacuteticos no modo ldquoRPNrdquo ndash Notaccedilatildeo Polonesa Reversa e no modo ldquoALGrdquo ndash Algeacutebrico Aleacutem disso vocecirc aprenderaacute a fazer uso das funccedilotildees de percentagem e calendaacuterio e em desdobramento aprenderaacute a determinar percentagens de um nuacutemero percentagem de um total e diferenccedila percentual caacutelculo de datas futuras e passadas e o nuacutemero de dias entre datas Vocecirc usaraacute as memoacuterias da calculadora para auxiliar nos caacutelculos eou armazenar dados que possam ser usados posteriormente
Seccedilatildeo 1 ndash A calculadora HP ndash 12C
Na presente etapa seratildeo apresentadas algumas funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para utilizaccedilatildeo neste curso Observe na figura 11 a imagem da calculadora
Figura 11- Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Arquivo do autor
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
Fique atento(a) ao fato de que muitas teclas da HP ndash 12C executam duas ou ateacute trecircs funccedilotildees A funccedilatildeo primaacuteria eacute indicada pelos caracteres impressos em branco na face superior As funccedilotildees secundaacuterias da calculadora satildeo impressas nas cores dourado e azul apresentadas respectivamente acima da tecla e na sua face inferior
Para acionar essas funccedilotildees acione a tecla de prefixo que eacute apropriada antes da tecla da funccedilatildeo ou seja e Veja na figura 12
Para selecionar a funccedilatildeo secundaacuteria impressa em dourado aperte a tecla de prefixo f e em seguida a tecla da funccedilatildeo
Para selecionar a funccedilatildeo primaacuteria impressa na face superior de uma tecla aperte somente a tecla
Para selecionar a funccedilatildeo secundaacuteria impressa em azul aperte a tecla de prefixo azul g e em seguida a tecla da funccedilatildeo
Figura 12 - Modo de acesso agraves funccedilotildees primaacuterias e secundaacuterias da Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Disponiacutevel em lthttphpcomlatambrprodutoscalculadorasgrandeprofessores12phtmlgt Acesso em 29 mai 2008
Entrando com nuacutemeros e separadores de diacutegitos
Para que vocecirc possa entrar com um nuacutemero na HP aperte as teclas correspondentes ao nuacutemero em sequecircncia O ponto decimal deve ser usado para separar a parte inteira da parte fracionaacuteria do nuacutemero Se vocecirc quiser pode configurar a calculadora para exibir a viacutergula como separador Para tanto desligue a calculadora e depois aperte simultaneamente as teclas
e
Para voltar
agrave configuraccedilatildeo anterior repita a operaccedilatildeo
Nuacutemeros negativos
A tecla troca o sinal de um nuacutemero no mostrador Portanto se vocecirc quiser trocar o sinal de um nuacutemero positivo que estaacute no visor aperte a tecla ele ficaraacute negativo E vice-versa
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As teclas ldquoCLEARrdquo (apagar)
A ilustraccedilatildeo a seguir apresenta as teclas ldquoClearrdquo que apagam ou zeram o mostrador as memoacuterias a memoacuteria de programaccedilatildeo os registradores financeiros os registros de pilha e registros estatiacutesticos Confira na figura 13
Apaga o mostrador
Apaga os registros estatiacutesticos registros da pilha e mostrador
Apaga a memoacuteria de programaccedilatildeo
Apaga os registros financeiros
Apaga os registros de armazenamento de dados registros financeiros registros de pilha LAST X e mostrador
Figura 13 - As teclas CLEAR da Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Registros de armazenamento
Os dados de entrada na HP ndash 12C podem ser armazenados em memoacuterias chamadas ldquoregistros de armazenamentordquo Quatro registros satildeo usados para o armazenamento de nuacutemeros durante os caacutelculos e mais um que eacute usado para armazenar o uacuteltimo nuacutemero chamado ldquoLAST Xrdquo
Aleacutem dos registros citados nos quais os nuacutemeros satildeo armazenados automaticamente existem outros 20 registros para o armazenamento manual de nuacutemeros Eles satildeo designados por R R R R a e a Outros registros de armazenamento designados como registros financeiros satildeo reservados para os nuacutemeros que seratildeo usados em caacutelculos financeiros
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
Armazenando recuperando nuacutemeros e zerando registros
Para armazenar um nuacutemero em um registro de armazenamento de dados aperte a tecla (armazenar) e em seguida um dos nuacutemeros de 0 a 9 para os registros R R
0 9 a e 0 a 9 para os
registros R R 0 9
a
Para recuperar um nuacutemero de um registro de armazenamento de dados aperte a tecla (recuperar) e em seguida um dos nuacutemeros de 0 a 9 para os registros R R
0 9 a e 0 a 9 para os
registros R R 0 9
a
Jaacute para zerar um uacutenico registro de armazenamento vocecirc pode armazenar o valor zero no registro Agora para zerar todos os registros de armazenamento de uma soacute vez ndash incluindo os registros financeiros os registros da pilha e o registro LAST X ndash aperte
E entatildeo estaacute motivado(a) para continuar Na proacutexima seccedilatildeo apresentaremos as teclas ldquoRPNrdquo e ldquoALGrdquo e faremos caacutelculos aritmeacuteticos usando esses modos
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Seccedilatildeo 2 ndash Caacutelculos aritmeacuteticos no modo ldquoRPNrdquo e no modo ldquoALGrdquo
A calculadora HP ndash 12C pode ser configurada para executar operaccedilotildees aritmeacuteticas nos modos RPN ndash Notaccedilatildeo Polonesa Reversa e ALG ndash Algeacutebrico No modo RPN os resultados intermediaacuterios nas operaccedilotildees aritmeacuteticas satildeo armazenados automaticamente portanto natildeo eacute necessaacuterio o uso dos parecircnteses Jaacute no modo ALG as operaccedilotildees elementares satildeo executadas de maneira convencional
Conheccedila alguns exemplos na sequecircncia do texto
Exemplo 11
Calcular 3 x 2 + 5 usando os modos RPN e ALG na HP ndash 12C
Resolvendo no modo RPN
Para configurar a calculadora no modo RPN aperte a tecla e em seguida Observe que vai aparecer o indicador RPN no visor da maacutequina
Agora que a calculadora estaacute no modo RPN vamos ao caacutelculo
3 2 5 11
Resultado
Resolvendo no modo ALG
Para configurar a calculadora no modo ALG aperte a tecla e em seguida Observe que vai aparecer o indicador ALG no visor da maacutequina
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Unidade 1
Calculando no modo algeacutebrico
3 2 5 11
Resultado
Os modelos mais antigos de calculadoras HP ndash 12C natildeo disponibilizam o modo algeacutebrico Portanto se vocecirc eacute usuaacuterio desse tipo de calculadora todos os caacutelculos devem ser efetuados no modo RPN
Exemplo 12
Resolver os caacutelculos solicitados a seguir usando os modos RPN e ALG
a) 3 2 5 33+ minus x
b) ( )minus + minus2 3 4 43 x
c) 2 9 3 52minus + + minus
d) 2 35
2+ minusln
e) 3 4 62+ minuse
Resolvendo no modo RPN
a)
3 2 3 5 3 - 4
Resultado
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b)
c)
d)
Obs para alterar a quantidade de casas decimais no visor da calculadora aperte e em seguida um nuacutemero de 1 a 9 que corresponde agrave quantidade de casas decimais No exemplo acima usamos
e)
2
3 3
4
4
0
Resultado
2
2
9 3 5 125
Resultado
2
3
5 2 0599
Resultado
3
2
46 5789
Resultado
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Unidade 1
Resolvendo no modo ALG com o auxiacutelio dos registros R R
0 9 a
a)
2
3
5 3 3
4
Resultado
Armazena o resultado do visor na memoacuteria 0
Recupera o registro da memoacuteria 0
b)
2
3
3 4
4 0
Resultado
c)
2 2
9
3 5 125
Resultado
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d)
e)
Exemplo 13
Usando a calculadora HP ndash 12C no modo RPN as seguintes operaccedilotildees bancaacuterias foram realizadas a conta tinha um saldo de R$ 12300 e foi feito um depoacutesito referente ao salaacuterio de R$ 189035 Em seguida foram emitidos e compensados cheques nos valores de R$ 38590 R$ 23478 e R$ 62389 Qual eacute o novo saldo da conta
Soluccedilatildeo use
para apresentar os caacutelculos com duas casas decimais
12300 189035 38590
23478 62389 76920
Saldo
2 3 5 2 0 0599
Resultado
3 2 46 5789
Resultado
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Unidade 1
Seccedilatildeo 3 ndash Funccedilotildees de percentagem e calendaacuterio
A calculadora HP ndash 12C apresenta funccedilotildees que permitem o caacutelculo de percentagens e de calendaacuterio Para caacutelculo com percentagens natildeo eacute necessaacuterio converter o nuacutemero na notaccedilatildeo percentual para a notaccedilatildeo decimal Jaacute as funccedilotildees calendaacuterio fornecidas pela HP trabalham com datas entre 15 de outubro de 1582 e 25 de novembro de 4046 A seguir vocecirc conheceraacute detalhadamente essas funccedilotildees
Funccedilotildees de percentagem
Calcula a Percentagem de um nuacutemero ou valor
Calcula a diferenccedila percentual entre dois nuacutemeros
Calcula qual percentual um nuacutemero eacute de outro
Figura 14 - Ilustraccedilatildeo das funccedilotildees de percentagem da Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Funccedilotildees de calendaacuterio
Configura o formato de uma data para dia-mecircs-ano
Configura o formato de uma data para mecircs-dia-ano
Calcula o nuacutemero de dias entre datas
Calcula datas futuras ou passadas
Figura 15 - Ilustraccedilatildeo das funccedilotildees de calendaacuterio da Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Nos exemplos a seguir estaacute demonstrado o uso de todas as funccedilotildees apresentadas Obs os caacutelculos vatildeo ser realizados no modo RPN
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Exemplo 14
Calcular 16 de R$ 198000
Soluccedilatildeo
198000 1600 31680
Resultado
Exemplo 15
Determinada empresa com accedilotildees na bolsa de valores verificou as seguintes variaccedilotildees nos valores das suas accedilotildees no dia 150508 o valor da accedilatildeo passou de R$ 5025 para R$ 5498 jaacute no dia 210508 o valor da accedilatildeo caiu de R$ 5498 para R$ 5208 Qual a diferenccedila percentual nas duas situaccedilotildees
Soluccedilatildeo a sequecircncia a seguir apresenta a variaccedilatildeo percentual
Caacutelculo da variaccedilatildeo percentual de R$ 5025 para R$ 5498 usando a HP ndash 12C
5025 5498 941
Resultado
Observe que o resultado apresentado eacute positivo portanto representa aumento
Caacutelculo da variaccedilatildeo percentual de R$ 5498 para R$ 5208 usando a HP ndash 12C
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
5498 5208 -527
Resultado
Observe que o resultado apresentado eacute negativo portanto representa queda
Exemplo 16
A empresa do exemplo anterior atua na regiatildeo sul do Brasil com vendas totais realizadas no mecircs de abril de 2008 de R$ 589636996 distribuiacutedas da seguinte forma R$ 123656939 no Paranaacute R$ 356963920 em Santa Catarina e R$ 109016137 no Rio Grande do Sul Qual a percentagem das vendas totais em cada um dos trecircs Estados
Soluccedilatildeo
A sequecircncia apresenta os percentuais nos estados do Paranaacute Santa Catarina e Rio Grande do Sul
Soluccedilatildeo
589636996 123656939 2097
356963920 6054 109016137 1849
Resultado SC Resultado RS
Resultado PR
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Exemplo 17
Comprei uma TV LCD em 17052008 com vencimento para 120 dias Determine a data do vencimento usando a calculadora HP ndash 12C
Soluccedilatildeo
17052008 120 14092008 7
A data do vencimento eacute 14 de setembro de
2008 domingo
Exemplo 18
Fiz uma compra no dia 12052008 com vencimento para o dia 26082008 Use a calculadora HP ndash 12C para determinar o nuacutemero de dias entre a data da compra e do vencimento
Soluccedilatildeo
12052008 20082008 100
Nuacutemero de dias entre as datas
Nesta unidade vocecirc conheceu algumas funccedilotildees elementares da calculadora as quais seratildeo utilizadas nas demais unidades e satildeo muito importantes para realizar caacutelculos que envolvem questotildees do nosso cotidiano Na proacutexima unidade vocecirc vai usar as funccedilotildees financeiras da calculadora para calcular juros simples e compostos descontos simples e compostos
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
Efetue as atividades de autoavaliaccedilatildeo e acompanhe as respostas e comentaacuterios a respeito nas paacuteginas finais deste material Para melhor aproveitamento do seu estudo realize a conferecircncia de suas respostas somente depois de fazer as atividades propostas Desse modo o momento da conferecircncia lhe proporcionaraacute novas oportunidades de aprendizagem
1 Calcule o valor das expressotildees numeacutericas a seguir usando a HP ndash 12C nos modos RPN e ALG
a) 2 5 3 8 24 minus + divide =x
b) minus + minus =3 5 32 3x eln
c) 16 25 3 45 89+ minus =x
d) 2
35 5
3+ minus =ln
e) 0 253
55
2 + minus =minus
2 Use a HP ndash 12C para realizar os caacutelculos e informar o saldo final da seguinte movimentaccedilatildeo financeira Saldo inicial na conta R$ 167890 depoacutesito de R$ 143587 cheques compensados nos valores de R$ 34598 R$ 12345 R$ 65790 e R$ 30987
3 No dia 130508 o doacutelar americano estava cotado em R$ 165 no dia 190508 a cotaccedilatildeo foi de R$ 161 Com base nestes dados indique qual foi a variaccedilatildeo percentual do doacutelar
4 Foi realizada uma compra em um supermercado no valor de R$ 67890 em 150508 Sabendo que esse estabelecimento trabalha com prazo de 90 dias use as funccedilotildees calendaacuterio da HP ndash 12C e determine a data e o dia da semana do vencimento
5 Uma empresa tem vendas mensais para o mecircs de maio de 2008 estimadas em R$ 178909000 Sabendo que o valor total das vendas estaacute distribuiacutedo nas cidades de Florianoacutepolis Curitiba e Porto Alegre com valores correspondentes a R$ 59089000 R$ 89767898 e R$ 30052102 respectivamente determine qual percentagem das vendas totais ocorre em cada uma das cidades
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
HPndash12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
No link abaixo vocecirc tem disponiacutevel o manual da calculadora HP ndash 12C na versatildeo online lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt
2UNIDADE 2
Regimes de capitalizaccedilatildeo simples e composto
Objetivos de aprendizagem
Fazer uso das funccedilotildees financeiras da calculadora HP ndash 12C para calcular juros simples e composto
Dominar o caacutelculo do montante simples e composto
Aprender o caacutelculo de desconto simples e composto
Calcular capital taxa e prazo no regime de capitalizaccedilatildeo composto usando a HP ndash 12C
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Regime de capitalizaccedilatildeo simples
Seccedilatildeo 2 Regime de capitalizaccedilatildeo composto
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc vai fazer uso das funccedilotildees financeiras da HP ndash 12C com o objetivo de realizar caacutelculos de juros simples e composto montantes simples e composto descontos simples e composto caacutelculo de taxas e prazos
Nesta etapa de estudos seratildeo utilizados exemplos do material didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira que estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do Espaccedilo Virtual de Aprendizagem ndash EVA Eacute importante lembrar natildeo ser objetivo deste curso discutir os conceitos da Matemaacutetica Financeira mas apenas utilizar as funccedilotildees disponibilizadas na calculadora para resolver problemas relacionados a essa aacuterea Entretanto caso vocecirc julgue importante os conceitos podem ser relembrados ou vistos no material didaacutetico da disciplina
Seccedilatildeo 1 ndash Regime de capitalizaccedilatildeo simples
Na unidade 1 vocecirc foi apresentado(a) agrave calculadora HP ndash 12C e a algumas das suas funccedilotildees com o objetivo de capacitaacute-lo(a) para o uso adequado dessa ferramenta Esta unidade inicia com uma abordagem sobre os registradores financeiros os quais seratildeo utilizados na maioria dos exemplos que deveratildeo ser resolvidos ao longo das proacuteximas seccedilotildees desta unidade e nas demais unidades deste curso Veja na ilustraccedilatildeo a seguir os registradores financeiros e as suas aplicaccedilotildees
Registra e armazena periacuteodo
Registra e armazena taxa
Registra e armazena valor presente
Registra e armazena pagamentos perioacutedicos
Registra e armazena valor futuro
Figura 21 - Registradores financeiros e as suas aplicaccedilotildees Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
Para armazenar um nuacutemero em um registrador financeiro digite o nuacutemero e em seguida uma das teclas correspondentes ilustradas acima
Para exibir um nuacutemero armazenado em um dos registradores financeiros aperte e em seguida a tecla correspondente
Para zerar todos os registradores financeiros aperte a sequecircncia de teclas
Eacute importante lembrar que os registradores financeiros tambeacutem satildeo zerados ao apertar a sequecircncia
e quando a memoacuteria contiacutenua eacute
reinicializada
A seguir vocecirc faraacute caacutelculo de juros simples e de descontos simples usando a HP ndash 12C
Regime de capitalizaccedilatildeo simples
A HP ndash 12C calcula automaticamente juros simples ordinaacuterios ndash usando o ano comercial e juros simples exatos ndash usando um ano de 365 dias simultaneamente
Eacute possiacutevel apresentar qualquer um dos dois e mais com os juros acumulados no mostrador podemos calcular o montante apertando a tecla
Para exemplificar vamos resolver problemas do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira que se encontra disponiacutevel (formato digital) na ferramenta Midiateca do EVA ndash Espaccedilo Virtual de Aprendizagem
34
Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 21 (exemplo 1 paacuteg 29 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital de R$ 1800000 foi aplicado a juros simples durante 3 anos agrave taxa de 6 aa Qual eacute o valor dos juros e o montante adquirido
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula os juros e o montante
Exemplo 22 (exemplo 1 paacuteg 33 do livro Matemaacutetica Financeira)
Ache os juros simples exatos auferidos em uma aplicaccedilatildeo de R$ 1500000 a uma taxa de 16 aa de 20 de abril de 2003 a 1ordm de julho de 2003
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula os juros comerciais e os juros exatos
Neste exemplo utilizamos duas teclas que seratildeo ilustradas a seguir para realizar o caacutelculo dos juros exatos
1800000 1080 6
324000 2124000
Juros Montante
No caacutelculo de Juros simples o periacuteodo deve ser em dias
Calcula juros simples
35
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
1500000 20042003 01072003
72 16 48000 47342
Juro comercial Juro exato nordm de dias
Ao apertar essa tecla ela rola para baixo o conteuacutedo da pilha para visualizaccedilatildeo no registro X
Ao apertar essa tecla ela troca o conteuacutedo dos registros X e Y da pilha
Figura 22 - Teclas utilizadas para registros de dados Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Exemplo 23 (exemplo 2 paacuteg 34 do livro Matemaacutetica Financeira)
Determine o juro simples exato obtido em uma aplicaccedilatildeo de R$ 1300000 durante 146 dias a uma taxa de 9 aa
Soluccedilatildeo a sequecircncia a seguir realiza os caacutelculos solicitados
1330000 146 9
48545 47880
Juro comercial Juro exato
36
Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 24 (exemplo 1 paacuteg 47 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma duplicata de R$ 1500000 com vencimento no dia 03042005 foi descontada em um banco em 08012005 a uma taxa de 25 am Qual eacute o desconto simples bancaacuterio da operaccedilatildeo
Soluccedilatildeo
08012005 03042005 85
1500000 0025 30 106250
Taxa decimal Desconto bancaacuterio
Nordm de dias entre as datas
Exemplo 25 (exemplo 1 paacuteg 48 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma empresa descontou um tiacutetulo com valor de face de R$ 1450000 3 meses e 15 dias antes do vencimento com uma taxa de desconto bancaacuterio simples de 24 am Quanto a empresa recebeu liacutequido na operaccedilatildeo
Soluccedilatildeo
1450000 0024 35 1450000 1328200
Periacuteodo em meses Valor liacutequidoTaxa decimal
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Unidade 2
Exemplo 26 (exemplo 1 paacuteg 49 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma duplicata de R$ 4800000 foi descontada 6 meses antes de seu vencimento em uma instituiccedilatildeo financeira que trabalha com uma taxa de desconto simples de 32 am Com base nestes dados determine
o valor do desconto simples bancaacuterio
o valor do desconto simples racional
Soluccedilatildeo
4800000 6 0032 921600
Taxa decimal Valor liacutequido
921600 1 0032
6 773154
Taxa decimal Valor liacutequido
Na proacutexima seccedilatildeo vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros compostos e de desconto compostos
38
Universidade do Sul de Santa Catarina
Seccedilatildeo 2 ndash Regime de capitalizaccedilatildeo composto
Os exemplos apresentados a partir de agora satildeo ilustrativos de uma ampla variedade de caacutelculos financeiros Para resolvecirc-los vocecirc precisa estruturaacute-los identificando os elementos baacutesicos do problema de maneira que fiquem evidentes as quantidades que devem ser fornecidas agrave calculadora e quem eacute o valor desconhecido ou seja o valor que desejamos determinar
Na resoluccedilatildeo dos caacutelculos usando a HP ndash 12C eacute indispensaacutevel elaborar o diagrama de fluxo de caixa Eacute importante ressaltar que a calculadora precisa de ajuda para comparar o fluxo de caixa ou seja eacute preciso informar quando temos uma entrada ou uma saiacuteda
O fluxo de caixa serve para demonstrar graficamente as transaccedilotildees financeiras em um periacuteodo de tempo
O tempo eacute representado por uma linha horizontal dividida pelo nuacutemero de periacuteodos relevantes para anaacutelise As entradas ou recebimentos satildeo representados por setas verticais apontadas para cima e as saiacutedas ou pagamentos satildeo representados por setas verticais apontadas para baixo Observe o modelo simplificado
(+) entradas
(-) saiacutedas
tempo (n)
Veja agora o modelo detalhado
Entradas
Saiacutedas
Tempo
Fluxo de caixa pode ser definido como sendo a movimentaccedilatildeo de recursos financeiros (entradas e saiacutedas de caixa) ao longo de um periacuteodo de tempo - agrave entrada e saiacuteda de dinheiro O conceito caixa (financeiro) natildeo pode ser confundido com conceito de competecircncia (contaacutebil)
39
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
Na HP-12C a tecla (do inglecircs Change Sign) serve para introduzir ou tirar um sinal negativo de um nuacutemero ou seja faz o fluxo de caixa
Na sequecircncia de exemplos apresentados a seguir realizaremos caacutelculos de juros montantes valor presente prazo taxa de juros e descontos no regime composto com o auxiacutelio dos registradores financeiros da calculadora HP ndash 12C
Exemplo 27 (exemplo 1 paacuteg 58 do livro Matemaacutetica Financeira)
Qual o montante gerado por um capital de R$ 450000 aplicado por 9 meses a juros compostos a uma taxa de 35 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o montante composto
450000 9 35 613304
MontanteFluxo de caixa saiacuteda do dinheiro para aplicaccedilatildeo
Exemplo 28 (exemplo 2 paacuteg 58 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital de R$ 1200000 foi aplicado a juros compostos durante 6 meses agrave taxa de 2 am Calcule os juros auferidos na aplicaccedilatildeo
Soluccedilatildeo use a sequecircncia a seguir para calcular os juros
1200000 6 2
1351395 151395
Montante Juros
Fluxo de caixa saiacuteda do dinheiro para aplicaccedilatildeo
Recupera um valor em um registrador
financeiro
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Exemplo 29 (exemplo 3 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital ldquoXrdquo eacute aplicado a juros compostos agrave taxa de 35 am gerando um montante de R$ 1950000 apoacutes 1 ano e 3 meses Determine o capital ldquoXrdquo
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar o capital
1950000 35 15 -1163937
Capital aplicado
Exemplo 210 (exemplo 4 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
A que taxa mensal de juros compostos um capital de R$ 1250000 pode transformar-se em R$ 1537342 no periacuteodo de 7 meses
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
1250000 1537342 7 300
Taxa de juros mensal
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Unidade 2
Exemplo 211 (exemplo 5 paacuteg 60 do livro Matemaacutetica Financeira)
Em que prazo um empreacutestimo de R$ 3500000 pode ser pago pela quantia de R$ 4790000 se a taxa de juros compostos cobrada for de 4 am
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
3500000 4790000 4 8
Periacuteodo em meses
Funccedilatildeo ldquoCrdquo na HP ndash 12C e as teclas ldquoSTOrdquo e ldquoEEXrdquo
Vocecirc pode calcular taxa de juros (i) Capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos Perioacutedicos (PMT) para transaccedilotildees financeiras com periacuteodos fracionaacuterios Ao digitar um periacuteodo fracionaacuterio por exemplo 23 meses a parte inteira do nuacutemero indica o nuacutemero de periacuteodos inteiro e a parte fracionaacuteria do nuacutemero o tamanho do periacuteodo fracionaacuterio como uma fraccedilatildeo do periacuteodo inteiro (no exemplo 2 meses e 03 meses)
De acordo com o criteacuterio do usuaacuterio os caacutelculos de taxa de juros ( i ) capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos perioacutedicos (PMT) podem ser executados com juros simples ou compostos acumulados durante o periacuteodo fracionaacuterio Para escolher uma das duas opccedilotildees faccedila
Aparece o indicador ldquoCldquo Portanto os juros compostos satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Natildeo aparece o indicador ldquoCrdquo Portanto os juros simples satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Figura 23 - Teclas utilizadas para caacutelculo de juros simples e compostos para periacuteodo fracionaacuterio Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
42
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Exemplo 212
Calcular o valor futuro de uma aplicaccedilatildeo de R$ 185030000 aplicado agrave taxa de 14 aa durante 45 anos usando juros compostos e simples para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Soluccedilatildeo as sequecircncias a seguir apresentam os resultados para o caacutelculo do valor futuro com juros simples para o periacuteodo fracionaacuterio e juros compostos para o periacuteodo fracionaacuterios respectivamente
185030000 14
45 334383879
Valor futuro calculado com juros simples para o periacuteodo
fracionaacuterio
185030000
14 45 333667556
Valor futuro calculado com juros compostos para o
periacuteodo fracionaacuterio
Exemplo 213 (exemplo 1 paacuteg 81 do livro Matemaacutetica Financeira)
Determine o valor do desconto composto racional e o valor do resgate de um tiacutetulo de R$ 1560000 descontado 5 meses antes do seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto composto racional eacute de 4 am
43
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Unidade 2
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor do desconto racional composto e o valor liacutequido a receber
1560000 1
1 004 5
277794 1560000 1282206
Valor do desconto Valor liacutequido
Exemplo 214 (exemplo 1 paacuteg 84 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um tiacutetulo de valor nominal de R$ 1500000 eacute descontado em um banco 3 meses antes de seu vencimento Se a taxa de desconto comercial usada pelo banco eacute de 8 am qual eacute o valor do desconto
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor liacutequido e o valor do desconto bancaacuterio ou comercial
1500000 3 8
-1168032 331968
Valor liacutequido Valor do desconto
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Nesta unidade vocecirc usou a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros simples e compostos descontos simples e compostos valor presente taxa de juros periacuteodo e montante Na proacutexima unidade usaremos a ferramenta para auxiliar no caacutelculo de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir foram propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo em PDF estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as questotildees 1 3 5 e 6 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteginas 38 e 39 Confira os resultados na paacuteg 194
1) Qual o rendimento que obtemos ao aplicarmos um capital de R$ 1000000 a uma taxa de juros simples de 5 aa durante 3 anos
3) Em um regime de capitalizaccedilatildeo simples qual eacute o montante que se obteacutem quando aplicamos um capital de R$ 200000 a uma taxa 6 aa durante 24 meses
5) Uma quantia de R$ 6200000 foi aplicada em uma operaccedilatildeo financeira no dia 20 de setembro de 2003 e resgatada no dia 21 de dezembro de 2003 a uma taxa de 125 aa Quais os juros simples exatos e comerciais da operaccedilatildeo
6) Calcule os juros simples exatos e comerciais nas seguintes condiccedilotildees
bull R$ 600000 aplicados por 180 dias a 12 aa
bull R$ 520000 aplicados por 230 dias a 15 aa
45
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Unidade 2
2 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 2 e 4 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegs 52 e 53 Confira os resultados nas paacuteginas 194 e 195
1) Uma empresa desconta uma duplicata no valor nominal de R$ 5000000 no Banco ldquoXrdquo 4 meses antes do seu vencimento Sabendo que o banco ldquoXrdquo trabalha com uma taxa de desconto simples bancaacuterio de 45 am qual eacute o valor do desconto e o valor liacutequido recebido
2) Para pagar uma diacutevida hoje uma empresa descontou em uma carteira de creacutedito uma duplicata no valor de R$ 1650000 com vencimento daqui a 2 meses recebendo um valor nominal liacutequido de R$ 1500000 Determine a taxa mensal de desconto simples bancaacuterio utilizada
4) Uma letra de cacircmbio no valor nominal de R$ 500000 foi comercializada 4 meses antes do vencimento a uma taxa de desconto simples de 22 am Se o desconto simples fosse o racional qual seria o valor deste desconto
3 Elabore uma sequecircncia de passos para resolver as questotildees propostas 1 2 3 4 e 6 nas paacuteginas 65 66 e 67 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira e confira os resultados na paacuteg 195
1) Calcule o montante produzido por um capital de R$ 2600000 aplicado a uma taxa de juros compostos de 52 am por 6 meses
2) Calcule os juros compostos auferidos por um capital de R$ 420000 aplicado a uma taxa de 3 am durante 10 meses
3) Um empreacutestimo de R$ 600000 deve ser pago em 120 dias a juros compostos pelo valor de R$ 900000 Qual eacute a taxa mensal da operaccedilatildeo
4) Em que prazo uma aplicaccedilatildeo a juros compostos de R$ 2400000 produziraacute um montante de R$ 6151930 agrave taxa de 4 am
6) Quanto Paulo deve aplicar hoje a juros compostos em uma instituiccedilatildeo financeira que paga uma taxa de 12 am para pagar um compromisso de valor nominal igual a R$ 3800000 que vence daqui a 3 meses
46
Universidade do Sul de Santa Catarina
4 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 e 8 das paacuteginas 88 e 90 respectivamente do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira Confira os resultados na paacuteg 196
1) Determine o valor do desconto composto racional de um tiacutetulo de valor nominal de R$ 830000 descontado 6 meses antes de seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto eacute de 42 am
8) Um tiacutetulo de R$ 3000000 foi descontado em uma instituiccedilatildeo financeira a uma taxa de desconto composto comercial de 64 am e o valor liacutequido recebido era de R$ 2017327 Quantos meses antes do vencimento foi descontado este tiacutetulo
Saiba mais
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DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
3UNIDADE 3
Taxas de juros equivalentes e caacutelculo de pagamentos perioacutedicos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para calcular taxas equivalentes
Usar as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP ndash 12C para programar o algoritmo da taxa equivalente no regime de capitalizaccedilatildeo composto
Calcular pagamentos perioacutedicos de sequecircncias uniformes postecipadas e antecipadas
Calcular montante de uma sequecircncia uniforme
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Taxas equivalentes
Seccedilatildeo 2 Sequecircncia de capitais
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar taxas equivalentes no regime de capitalizaccedilatildeo composto Vocecirc usaraacute as funccedilotildees de programaccedilatildeo com o objetivo de elaborar um algoritmo para fazer a conversatildeo de taxas de um periacuteodo de capitalizaccedilatildeo (ex mensal) para outro periacuteodo (ex anual) usando o programa Vamos explorar as funccedilotildees ldquoPMTrdquo ldquoBEGrdquo e ldquoENDrdquo para realizar caacutelculo de pagamentos antecipados e postecipados em uma sequecircncia uniforme Destacamos que os exemplos que seratildeo apresentados estatildeo no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira
Seccedilatildeo 1 ndash Taxas equivalentes
Nesta unidade vocecirc usaraacute algumas funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos (postecipados e antecipados) de uma seacuterie uniforme Vocecirc usaraacute ainda as funccedilotildees de programaccedilatildeo para elaborar um programa para calcular taxas equivalentes A figura a seguir apresenta as funccedilotildees que vocecirc usaraacute nos exemplos apresentados posteriormente
Aciona o modo de programaccedilatildeo de HP ndash 12C
Aciona a funccedilatildeo Begin que calcula a parcela com pagamento antecipado
Aciona a funccedilatildeo End (natildeo aparece no visor da calculadora) que calcula parcela com pagamento postecipado
Figura 31 - Teclas utilizadas para acionar as funccedilotildees Beg e End e entrar no modo de programaccedilatildeo
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
49
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Unidade 3
Taxas equivalentes
No mercado financeiro e nas operaccedilotildees bancaacuterias e comerciais a palavra taxa eacute empregada de vaacuterias formas ou seja vaacuterios conceitos satildeo abordados em vaacuterias situaccedilotildees Esta seccedilatildeo tem como objetivo mostrar como as taxas de juros satildeo informadas no mercado financeiro e como adequaacute-las agraves condiccedilotildees padronizadas pela HP ndash 12C
Duas taxas satildeo consideradas equivalentes a juros compostos quando aplicadas a um mesmo capital por um periacuteodo de tempo equivalente e geram o mesmo rendimento
Exemplo 31(exemplo 1 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
No regime de juros compostos qual a taxa anual equivalente a 4 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente anual
Exemplo 32 (exemplo 2 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
Calcule a taxa quadrimestral equivalente agrave taxa de juros compostos de 8 aa
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente quadrimestral
1 004 12 1 1 10000 6010
Taxa anual
50
Universidade do Sul de Santa Catarina
1 008 1 3 1 10000 260
Taxa quadrimestral
Programa para caacutelculo da taxa equivalente pela hp ndash 12c
O professor Carlos Shinoda em seu livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48) apresenta um programa para calcular a taxa equivalente atraveacutes da calculadora HP ndash 12C
Siga os procedimentos abaixo para introduzir o programa na HP ndash 12C
Figura 32 - Algoritmo para a programaccedilatildeo de taxa equivalente
Fonte Livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48)
51
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Unidade 3
Agora que vocecirc programou a HP ndash 12C para o caacutelculo de taxas equivalentes resolva o exemplo a seguir usando o programa
Exemplo 33
Usando o programa anterior determine as taxas equivalentes propostas nos exemplos 31 e 32
Soluccedilatildeo
As sequecircncias abaixo calculam as taxas equivalentes
Executa oprograma
4 1 12 6010
Taxa anual
Executa oprograma
8 360 120 260
Taxa quadrimestral
52
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Seccedilatildeo 2 ndash Sequecircncia de capitais
Nesta seccedilatildeo vocecirc acompanharaacute as situaccedilotildees em que haacute mais de um pagamento ou seja vocecirc estudaraacute as operaccedilotildees envolvendo pagamentos ou recebimentos perioacutedicos e uniformes
As seacuteries uniformes de pagamentos satildeo aquelas em que os pagamentos ou recebimentos satildeo constantes e ocorrem em intervalos iguais
Seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas e antecipadas
As seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1 Este sistema eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada (0 + n)
Pagamentos ou recebimentos podem ser chamados de prestaccedilatildeo representada pela sigla PMT que vem do inglecircs Payment e significa pagamento ou recebimento
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentosPMT
++
0 1 2 3 4 5 6 n
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
++
0 1 2 3 4 5 6 n
PMT
53
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Unidade 3
As seacuteries uniformes de pagamentos antecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre na data focal 0 (zero) Este tipo de sistema de pagamento eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento com entrada (1+ n)
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
Exemplo 34 (exemplo 2 paacuteg 108 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um automoacutevel eacute vendido em uma loja por R$ 3200000 A loja propotildee as seguintes condiccedilotildees para financiamento
Proposta A 12 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta B 24 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta C 36 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
A taxa de juros usada eacute de 32 am Qual o valor de cada prestaccedilatildeo nas 3 modalidades de financiamento
Soluccedilatildeo
As sequecircncias a seguir calculam os valores das parcelas nas trecircs propostas
54
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3200000
32 12 -325329
parcela
3200000
32 24 -193046
parcela
3200000
32 36 -150979
parcela
Exemplo 35 (exemplo 2 paacuteg 111 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma casa cujo valor agrave vista eacute R$ 4924456 eacute vendida em prestaccedilotildees mensais e iguais de R$ 250000 sendo a primeira dada como entrada Se a taxa de financiamento eacute de 18 am determine o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas no financiamento
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o nuacutemero de parcelas
4924456 18
250000 24
nordm de parcelas
55
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Unidade 3
No exemplo acima o nuacutemero de pagamento deu um nuacutemero inteiro Mas podem acontecer situaccedilotildees em que ao se determinar o nuacutemero de parcelas o resultado natildeo seja um nuacutemero inteiro
Nessa situaccedilatildeo a HP ndash 12C arredonda a resposta para o proacuteximo inteiro para cima antes de armazenaacute-la e exibi-la
Exemplo 36
Vocecirc comprou um terreno por R$ 3500000 a juros de 105 aa Vocecirc pretende fazer pagamentos de R$ 32500 no fim de cada mecircs Quantos pagamentos seratildeo necessaacuterios para pagar o terreno e quanto tempo levaraacute
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o nuacutemero de pagamentos e o tempo necessaacuterio
3500000 105
32500 328 2733
nordm de parcelas Tempo (anos)
Como a calculadora arredonda o valor do tempo para o proacuteximo inteiro eacute provaacutevel que apesar de serem necessaacuterios 328 pagamentos somente 327 seratildeo inteiros de R$ 32500 com o pagamento final sendo menor do que R$ 32500 Para calcular o valor do pagamento de nuacutemero 328 vamos fazer o seguinte
A calculadora natildeo ajusta os valores nos outros registros financeiros automaticamente para refletir os n pagamentos iguais ao contraacuterio ela lhe permite escolher quais valores (se houver) que vocecirc deseja ajustar
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328 18189 - 32500 -14311
Valor da parcela 328
Nesta unidade vocecirc calculou taxas equivalentes usou as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP e fez caacutelculos de pagamentos perioacutedicos de uma seacuterie uniforme antecipado ou postecipado Na proacutexima unidade vamos realizar caacutelculos de valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades abaixo (Essa atividade corresponde agrave autoavaliaccedilatildeo 1 da unidade 5 do livro didaacutetico de Matemaacutetica Financeira) Em seguida use o programa elaborado para resolver a mesma questatildeo
Calcule a taxa anual das seguintes taxas
a) 26 am
b) 42 ab
c) 48 at
d) 12 as
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Unidade 3
2 Elabore um algoritmo para resolver as seguintes atividades (Estas questotildees equivalem agraves autoavaliaccedilotildees 1 2 3 4 e 5 da unidade 8 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 121 122 e 123)
a) Calcule o valor da prestaccedilatildeo mensal de um empreacutestimo de R$ 600000 que seraacute amortizado em 12 prestaccedilotildees mensais postecipadas sabendo que o banco cobra uma taxa de juros de 2 am
b) Uma loja vende um automoacutevel agrave vista por R$ 1650000 Se o comprador quiser fazer um financiamento em 36 parcelas mensais e iguais onde o 1ordm pagamento seraacute efetuado no 1ordm mecircs apoacutes a compra a uma taxa de juros de 21 am qual o valor da prestaccedilatildeo
c) Uma mercadoria custa R$ 9038071 agrave vista podendo ser vendida em prestaccedilotildees mensais de R$ 1050000 sendo a primeira prestaccedilatildeo dada como entrada Sabendo-se que a loja aplica uma taxa de 35 am qual o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas
d) Carlos depositou certa quantia durante 10 meses de forma antecipada a uma taxa de 25 am obtendo um montante de R$ 25000000 Quanto depositou mensalmente Carlos
e) Um produto eacute vendido agrave vista por R$ 200000 ou em 10 prestaccedilotildees mensais iguais sem entrada com uma carecircncia de 90 dias apoacutes a compra Qual o valor de cada prestaccedilatildeo sabendo que a taxa de juros eacute de 6 am
Saiba mais
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DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
4UNIDADE 4
Valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa
Usar as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Valor presente liacutequido
Seccedilatildeo 2 Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs ndash SFA (Price)
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa usando as funccedilotildees CF0 CFj e NPV Vocecirc deveraacute ainda fazer uso da funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos usando o Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo ndash SFA ou tabela Price
Seccedilatildeo 1 ndash Valor presente liacutequido
A figura 41 a seguir apresenta as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C que vocecirc usaraacute nessa unidade para realizar caacutelculo de valor presente liacutequido e para a elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos ou financiamento
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor inicial do fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor do fluxo de caixa no periacuteodo j
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula o valor presente atual de um fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula a parte dos pagamentos usada para pagar juros
Figura 41 - Teclas para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
Valor presente liacutequido
Nessa seccedilatildeo vocecirc usaraacute as funccedilotildees da HP ndash 12C para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa Para entender como usar as funccedilotildees CF0 CFj e NPV considere o fluxo de caixa para um investimento que exige capital inicial (CF0) e que gera um fluxo de caixa (CFj ) no final de j periacuteodos
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Veja a seguir o fluxo de caixa
CF0CF1
CF2 CF5
CFn
CF3 CF4
O VPL = Valor Presente Liacutequido eacute calculado somando ao investimento inicial o valor presente dos fluxos de caixa futuros projetados Portanto
se o VPL for positivo o valor financeiro do ativo do investidor aumentaraacute ou seja o investimento financeiro seraacute atrativo em termos financeiros
se o VPL for zero o valor financeiro do ativo financeiro do investidor natildeo mudaraacute ou seja o investidor seraacute indiferente ao investimento
se o VPL for negativo o valor financeiro do ativo do investidor seraacute reduzido ou seja o investimento natildeo seraacute atrativo em termos financeiros
Exemplo 41
Um investidor compra uma casa por R$ 7000000 e gostaria de ter um retorno de pelo menos 15 Ele pretende manter a casa por 4 anos e depois vendecirc-la por R$ 11000000 Ele prevecirc os fluxos de caixa mostrados no diagrama abaixo
CF0CF1
CF1
CF3CF4
CF5
R$ 7000000
R$ 50000
R$ 450000R$ 450000
R$ 13000000R$ 550000
Sendo assim calcule o VPL para determinar se o investimento resultaria em um retorno ou perda
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o VPL
7000000 50000
450000 550000 450000
13000000 15 379007
VPL
Como o VPL eacute positivo o investimento aumentaria o valor financeiro do ativo do investidor
Exemplo 42 (exemplo 4 paacuteg 98 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um proprietaacuterio recebeu as seguintes propostas para a venda de uma casa
Proposta A entrada de R$ 10000000 + R$ 5000000 em 6 meses + R$ 6000000 em 1 ano
Proposta B entrada de R$ 8000000 + R$ 6000000 em 5 meses + R$ 7000000 em 10 meses
Sabendo-se que a taxa de juros de mercado eacute de 3 am qual a melhor proposta para o vendedor
Soluccedilatildeo
Essa questatildeo deve ser resolvida pelo meacutetodo do Valor Presente Liacutequido A alternativa que tiver o maior valor seraacute a melhor Entretanto para facilitar a elaboraccedilatildeo do algoritmo de resoluccedilatildeo na HP ndash 12C elabore o fluxo de caixa para cada situaccedilatildeo
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
1 Proposta A Fluxo de caixa
10000000 5000000 6000000
1 2 3 4 5 7 8 9 10 110 6 12
Calculando o VPL
10000000 000 5
5000000 000
5
6000000
3
18395701
VPL
Armazena o zero 5 vezes
2 Proposta B Fluxo de caixa
8000000 70000006000000
1 2 3 4 6 7 8 90 5 10
Calculando o VPL
8000000 000 4
6000000 000
4
7000000
3
18384310
VPL
Armazena o zero 4 vezes
Resposta a melhor proposta eacute a A
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Exemplo 43
Dois equipamentos satildeo examinados Considerando ser a taxa miacutenima de atratividade de 20aa qual o equipamento que deve ser adquirido
Dados
41 - Tabela de DadosEquipamento K Equipamento L
Custo R$ 5000000 R$ 8000000Custo anual de manutenccedilatildeo R$ 2000000 R$ 1500000Valor residual para venda R$ 400000 R$ 800000Duraccedilatildeo em anos 10 10
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
A seguir veja o diagrama de fluxo de caixa
Os caacutelculos do Valor Presente Liacutequido para as duas situaccedilotildees satildeo
Equipamento K
5000000
Equipamento K
2000000
400000
0 1 2 10
8000000
Equipamento L
1500000
800000
0 1 2 10
50000 20000
9 4000 20000 1
20 -13320342
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Unidade 4
Equipamento L
80000 15000
9 8000 15000 1
20 -14159504
Importante Veja que a alternativa K equivale a um equipamento em que se investe R$ 13320342 enquanto que o equipamento L equivale a um investimento de R$ 14159504 Portanto eacute preferiacutevel o equipamento K pois o investimento eacute menor
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Seccedilatildeo 2 ndash Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs - SFA
Este sistema consiste no pagamento de empreacutestimos ou financiamentos com prestaccedilotildees iguais e com periodicidade constante Eacute considerado o sistema de amortizaccedilatildeo mais utilizado pelas instituiccedilotildees financeiras e pelo comeacutercio em geral
O Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo eacute assim chamado por ter sido inventado na Franccedila por volta do seacuteculo XVIII pelo matemaacutetico inglecircs Richard Price daiacute portanto a origem da denominaccedilatildeo Sistema Price tambeacutem comumente chamado de Tabela Price
Na verdade a Tabela Price eacute um caso particular derivado do Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo Neste sistema o financiamento (PV) eacute pago em parcelas (PMT) iguais constituiacutedas da amortizaccedilatildeo do principal da diacutevida + juros compensatoacuterios (J) que variam inversamente ao longo do tempo Ou seja agrave medida que aumenta o valor da parcela de amortizaccedilatildeo haveraacute uma queda dos juros compensatoacuterios em funccedilatildeo da reduccedilatildeo do saldo devedor
Principais Caracteriacutesticas
As principais caracteriacutesticas do SFA satildeo
a prestaccedilatildeo eacute constante durante todo o periacuteodo do financiamento
a parcela de amortizaccedilatildeo aumenta a cada periacuteodo (n)
os juros compensatoacuterios diminuem a cada periacuteodo (n)
Exemplo 44 (exemplo 1 paacuteg 148 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma instituiccedilatildeo financeira libera um empreacutestimo para uma induacutestria no valor de R$ 60000000 para ser pago pelo sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs em 120 meses a uma taxa de 15 am Faccedila a planilha ateacute o 4ordm mecircs e calcule o saldo devedor no 100ordm mecircs
67
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Unidade 4
Soluccedilatildeo
A sequecircncia abaixo calcula o valor da prestaccedilatildeo os juros a amortizaccedilatildeo o saldo devedor e valor do saldo devedor no 100ordm mecircs Acompanhe
Zera os registradores
60000000 Armazena o valor presente
120 Armazena o periacuteodo
15 Armazena a taxa
- R$ 1081111 Valor da prestaccedilatildeo
1 - R$ 900000 Valor dos juros da 1ordf parcela
R$ 181111Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 1ordf parcela
R$ 58918889 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 897283 Valor dos juros da 2ordf parcela
- R$ 183828Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 2ordf parcela
R$ 59635061 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 894526 Valor dos juros da 3ordf parcela
- R$ 186585Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 3ordf parcela
R$ 59448476 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 891727 Valor dos juros da 4ordf parcela
- R$ 189384Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 4ordf parcela
R$ 59259092 Recupera o saldo devedor
A tabela a seguir apresenta um resumo das operaccedilotildees realizadas
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Tabela 42 ndash Planilha de amortizaccedilatildeoPeriacuteodo (n) Amortizaccedilatildeo (A) Juros (J) Prestaccedilotildees (R) Saldo Devedor (S)
0 - - - R$ 600000001 R$ 181111 R$ 900000 R$ 1081111 R$ 598188892 R$ 183828 R$ 897283 R$ 1081111 R$ 596350613 R$ 186585 R$ 894526 R$ 1081111 R$ 594484764 R$ 189384 R$ 891727 R$ 1081111 R$ 59259092
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Para determinar o saldo devedor no 100ordm mecircs faccedila como indicado a seguir
60000000 120 150
-1081111 18561247
Prestaccedilatildeo Saldo devedor no 100ordm mecircs
Nesta unidade vocecirc usou as funccedilotildees de fluxo de caixa para calcular o valor presente liacutequido e a funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
69Unidade 4
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Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades a seguir (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 4 e 5 da unidade 7 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegina 102) Em seguida use o programa elaborado para resolver as mesmas questotildees
a) Qual das alternativas de pagamento eacute a melhor para uma taxa de juros compostos de 75 am
Alternativa A Pagamento de R$ 15000000 agrave vista
Alternativa B Entrada de R$ 5000000 + R$ 8000000 em 90 dias + R$ 6000000 em 150 dias
b) Uma pessoa deve a um banco dois tiacutetulos com valores de R$ 300000 e R$ 600000 venciacuteveis respectivamente em 4 meses e 8 meses Se a pessoa deseja antecipar para hoje a liquidaccedilatildeo dos tiacutetulos qual o valor a pagar considerando que o banco opera com uma taxa de juros compostos de 23 am
2 Elabore um algoritmo para resolver as atividades abaixo (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 1 e 4 da unidade 10 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 151 e 153)
a) Um cliente solicita a um banco um empreacutestimo de R$ 4000000 pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs em 60 prestaccedilotildees mensais Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de juros de 28 am obtenha o valor da prestaccedilatildeo e o saldo devedor depois de pagar a 20ordf prestaccedilatildeo
b) Um empreacutestimo de R$ 30000000 seraacute saldado em 50 prestaccedilotildees mensais a uma taxa de 15 am Determine a parcela de juros relativa agrave 15ordf prestaccedilatildeo pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs (price)
70
Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
Manual da calculadora HP ndash 12C
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico ndash 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7ed Satildeo Paulo Atlas 2000
Para concluir o estudo
Com o teacutermino desse curso de extensatildeo acreditamos que proporcionamos momentos de aprendizagem por meio da interaccedilatildeo da calculadora financeira e que vocecirc estaacute habilitado(a) a fazer uso dessa ferramenta com qualidade no mercado de trabalho relacionado a essa aacuterea tatildeo importante no nosso dia-a-dia
Referecircncias
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7 ed Satildeo Paulo Atlas 2000
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003 Disponiacutevel em lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt Acesso em 05 jun 2008
Sobre o professor conteudista
Joseacute Humberto Dias de Toledo - eacute Mestre em Educaccedilatildeo pela Universidade do Sul de Santa Catarina Graduado em Licenciatura em Matemaacutetica e em Engenharia Civil Professor das disciplinas Meacutetodos Numeacutericos Informaacutetica Aplicada agrave Matemaacutetica Financeira Caacutelculo I e Matemaacutetica Financeira no Curso de Matemaacutetica ndash Licenciatura nesta mesma instituiccedilatildeo Atualmente ministra a disciplina Representaccedilotildees Graacuteficas na Poacutes-graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo Matemaacutetica da UNISUL
Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo
Unidade 1
1 a) 5
b) -2359
c) 3311
d) 077
e) 081
Respostas modo RPN
a)
b)
c)
d)
e)
Respostas modo ALG
a
b
c
d
e
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2 R$ 167757
Modo RPN
Modo ALG
3 -242
4 Data 13082008 3 (quarta-feira)
5 Florianoacutepolis = 3303 Curitiba = 5018 Porto Alegre = 1680
Unidade 2
1 1) 150000
Dados
C = R$ 1000000
i = 5 aa
n = 3 anos = 1080 dias
J =
3) 24 meses = 2 anos
Dados
C = R$ 200000
i = 6 aa
n = 24 meses = 720 dias
M =
79
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
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Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
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c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
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b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
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b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
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1UNIDADE 1
Apresentando a calculadora HP ndash 12C
Objetivos de aprendizagem
Apresentar as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C
Realizar caacutelculos elementares com a ferramenta
Conhecer os modos ldquoRPNrdquo e ldquoALGrdquo da HP
Utilizar as memoacuterias da calculadora para realizar caacutelculos
Usar as funccedilotildees de percentagem
Determinar datas futuras passadas e nuacutemero de dias entre datas
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 A calculadora HP ndash 12C
Seccedilatildeo 2 Caacutelculos aritmeacuteticos no modo ldquoRPNrdquo e no modo ldquoALGrdquo
Seccedilatildeo 3 Funccedilotildees de percentagem e calendaacuterio
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vamos lhe apresentar a calculadora HP ndash 12C com o objetivo de realizar caacutelculos aritmeacuteticos no modo ldquoRPNrdquo ndash Notaccedilatildeo Polonesa Reversa e no modo ldquoALGrdquo ndash Algeacutebrico Aleacutem disso vocecirc aprenderaacute a fazer uso das funccedilotildees de percentagem e calendaacuterio e em desdobramento aprenderaacute a determinar percentagens de um nuacutemero percentagem de um total e diferenccedila percentual caacutelculo de datas futuras e passadas e o nuacutemero de dias entre datas Vocecirc usaraacute as memoacuterias da calculadora para auxiliar nos caacutelculos eou armazenar dados que possam ser usados posteriormente
Seccedilatildeo 1 ndash A calculadora HP ndash 12C
Na presente etapa seratildeo apresentadas algumas funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para utilizaccedilatildeo neste curso Observe na figura 11 a imagem da calculadora
Figura 11- Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Arquivo do autor
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
Fique atento(a) ao fato de que muitas teclas da HP ndash 12C executam duas ou ateacute trecircs funccedilotildees A funccedilatildeo primaacuteria eacute indicada pelos caracteres impressos em branco na face superior As funccedilotildees secundaacuterias da calculadora satildeo impressas nas cores dourado e azul apresentadas respectivamente acima da tecla e na sua face inferior
Para acionar essas funccedilotildees acione a tecla de prefixo que eacute apropriada antes da tecla da funccedilatildeo ou seja e Veja na figura 12
Para selecionar a funccedilatildeo secundaacuteria impressa em dourado aperte a tecla de prefixo f e em seguida a tecla da funccedilatildeo
Para selecionar a funccedilatildeo primaacuteria impressa na face superior de uma tecla aperte somente a tecla
Para selecionar a funccedilatildeo secundaacuteria impressa em azul aperte a tecla de prefixo azul g e em seguida a tecla da funccedilatildeo
Figura 12 - Modo de acesso agraves funccedilotildees primaacuterias e secundaacuterias da Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Disponiacutevel em lthttphpcomlatambrprodutoscalculadorasgrandeprofessores12phtmlgt Acesso em 29 mai 2008
Entrando com nuacutemeros e separadores de diacutegitos
Para que vocecirc possa entrar com um nuacutemero na HP aperte as teclas correspondentes ao nuacutemero em sequecircncia O ponto decimal deve ser usado para separar a parte inteira da parte fracionaacuteria do nuacutemero Se vocecirc quiser pode configurar a calculadora para exibir a viacutergula como separador Para tanto desligue a calculadora e depois aperte simultaneamente as teclas
e
Para voltar
agrave configuraccedilatildeo anterior repita a operaccedilatildeo
Nuacutemeros negativos
A tecla troca o sinal de um nuacutemero no mostrador Portanto se vocecirc quiser trocar o sinal de um nuacutemero positivo que estaacute no visor aperte a tecla ele ficaraacute negativo E vice-versa
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As teclas ldquoCLEARrdquo (apagar)
A ilustraccedilatildeo a seguir apresenta as teclas ldquoClearrdquo que apagam ou zeram o mostrador as memoacuterias a memoacuteria de programaccedilatildeo os registradores financeiros os registros de pilha e registros estatiacutesticos Confira na figura 13
Apaga o mostrador
Apaga os registros estatiacutesticos registros da pilha e mostrador
Apaga a memoacuteria de programaccedilatildeo
Apaga os registros financeiros
Apaga os registros de armazenamento de dados registros financeiros registros de pilha LAST X e mostrador
Figura 13 - As teclas CLEAR da Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Registros de armazenamento
Os dados de entrada na HP ndash 12C podem ser armazenados em memoacuterias chamadas ldquoregistros de armazenamentordquo Quatro registros satildeo usados para o armazenamento de nuacutemeros durante os caacutelculos e mais um que eacute usado para armazenar o uacuteltimo nuacutemero chamado ldquoLAST Xrdquo
Aleacutem dos registros citados nos quais os nuacutemeros satildeo armazenados automaticamente existem outros 20 registros para o armazenamento manual de nuacutemeros Eles satildeo designados por R R R R a e a Outros registros de armazenamento designados como registros financeiros satildeo reservados para os nuacutemeros que seratildeo usados em caacutelculos financeiros
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
Armazenando recuperando nuacutemeros e zerando registros
Para armazenar um nuacutemero em um registro de armazenamento de dados aperte a tecla (armazenar) e em seguida um dos nuacutemeros de 0 a 9 para os registros R R
0 9 a e 0 a 9 para os
registros R R 0 9
a
Para recuperar um nuacutemero de um registro de armazenamento de dados aperte a tecla (recuperar) e em seguida um dos nuacutemeros de 0 a 9 para os registros R R
0 9 a e 0 a 9 para os
registros R R 0 9
a
Jaacute para zerar um uacutenico registro de armazenamento vocecirc pode armazenar o valor zero no registro Agora para zerar todos os registros de armazenamento de uma soacute vez ndash incluindo os registros financeiros os registros da pilha e o registro LAST X ndash aperte
E entatildeo estaacute motivado(a) para continuar Na proacutexima seccedilatildeo apresentaremos as teclas ldquoRPNrdquo e ldquoALGrdquo e faremos caacutelculos aritmeacuteticos usando esses modos
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Seccedilatildeo 2 ndash Caacutelculos aritmeacuteticos no modo ldquoRPNrdquo e no modo ldquoALGrdquo
A calculadora HP ndash 12C pode ser configurada para executar operaccedilotildees aritmeacuteticas nos modos RPN ndash Notaccedilatildeo Polonesa Reversa e ALG ndash Algeacutebrico No modo RPN os resultados intermediaacuterios nas operaccedilotildees aritmeacuteticas satildeo armazenados automaticamente portanto natildeo eacute necessaacuterio o uso dos parecircnteses Jaacute no modo ALG as operaccedilotildees elementares satildeo executadas de maneira convencional
Conheccedila alguns exemplos na sequecircncia do texto
Exemplo 11
Calcular 3 x 2 + 5 usando os modos RPN e ALG na HP ndash 12C
Resolvendo no modo RPN
Para configurar a calculadora no modo RPN aperte a tecla e em seguida Observe que vai aparecer o indicador RPN no visor da maacutequina
Agora que a calculadora estaacute no modo RPN vamos ao caacutelculo
3 2 5 11
Resultado
Resolvendo no modo ALG
Para configurar a calculadora no modo ALG aperte a tecla e em seguida Observe que vai aparecer o indicador ALG no visor da maacutequina
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Unidade 1
Calculando no modo algeacutebrico
3 2 5 11
Resultado
Os modelos mais antigos de calculadoras HP ndash 12C natildeo disponibilizam o modo algeacutebrico Portanto se vocecirc eacute usuaacuterio desse tipo de calculadora todos os caacutelculos devem ser efetuados no modo RPN
Exemplo 12
Resolver os caacutelculos solicitados a seguir usando os modos RPN e ALG
a) 3 2 5 33+ minus x
b) ( )minus + minus2 3 4 43 x
c) 2 9 3 52minus + + minus
d) 2 35
2+ minusln
e) 3 4 62+ minuse
Resolvendo no modo RPN
a)
3 2 3 5 3 - 4
Resultado
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b)
c)
d)
Obs para alterar a quantidade de casas decimais no visor da calculadora aperte e em seguida um nuacutemero de 1 a 9 que corresponde agrave quantidade de casas decimais No exemplo acima usamos
e)
2
3 3
4
4
0
Resultado
2
2
9 3 5 125
Resultado
2
3
5 2 0599
Resultado
3
2
46 5789
Resultado
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Unidade 1
Resolvendo no modo ALG com o auxiacutelio dos registros R R
0 9 a
a)
2
3
5 3 3
4
Resultado
Armazena o resultado do visor na memoacuteria 0
Recupera o registro da memoacuteria 0
b)
2
3
3 4
4 0
Resultado
c)
2 2
9
3 5 125
Resultado
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d)
e)
Exemplo 13
Usando a calculadora HP ndash 12C no modo RPN as seguintes operaccedilotildees bancaacuterias foram realizadas a conta tinha um saldo de R$ 12300 e foi feito um depoacutesito referente ao salaacuterio de R$ 189035 Em seguida foram emitidos e compensados cheques nos valores de R$ 38590 R$ 23478 e R$ 62389 Qual eacute o novo saldo da conta
Soluccedilatildeo use
para apresentar os caacutelculos com duas casas decimais
12300 189035 38590
23478 62389 76920
Saldo
2 3 5 2 0 0599
Resultado
3 2 46 5789
Resultado
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Unidade 1
Seccedilatildeo 3 ndash Funccedilotildees de percentagem e calendaacuterio
A calculadora HP ndash 12C apresenta funccedilotildees que permitem o caacutelculo de percentagens e de calendaacuterio Para caacutelculo com percentagens natildeo eacute necessaacuterio converter o nuacutemero na notaccedilatildeo percentual para a notaccedilatildeo decimal Jaacute as funccedilotildees calendaacuterio fornecidas pela HP trabalham com datas entre 15 de outubro de 1582 e 25 de novembro de 4046 A seguir vocecirc conheceraacute detalhadamente essas funccedilotildees
Funccedilotildees de percentagem
Calcula a Percentagem de um nuacutemero ou valor
Calcula a diferenccedila percentual entre dois nuacutemeros
Calcula qual percentual um nuacutemero eacute de outro
Figura 14 - Ilustraccedilatildeo das funccedilotildees de percentagem da Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Funccedilotildees de calendaacuterio
Configura o formato de uma data para dia-mecircs-ano
Configura o formato de uma data para mecircs-dia-ano
Calcula o nuacutemero de dias entre datas
Calcula datas futuras ou passadas
Figura 15 - Ilustraccedilatildeo das funccedilotildees de calendaacuterio da Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Nos exemplos a seguir estaacute demonstrado o uso de todas as funccedilotildees apresentadas Obs os caacutelculos vatildeo ser realizados no modo RPN
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Exemplo 14
Calcular 16 de R$ 198000
Soluccedilatildeo
198000 1600 31680
Resultado
Exemplo 15
Determinada empresa com accedilotildees na bolsa de valores verificou as seguintes variaccedilotildees nos valores das suas accedilotildees no dia 150508 o valor da accedilatildeo passou de R$ 5025 para R$ 5498 jaacute no dia 210508 o valor da accedilatildeo caiu de R$ 5498 para R$ 5208 Qual a diferenccedila percentual nas duas situaccedilotildees
Soluccedilatildeo a sequecircncia a seguir apresenta a variaccedilatildeo percentual
Caacutelculo da variaccedilatildeo percentual de R$ 5025 para R$ 5498 usando a HP ndash 12C
5025 5498 941
Resultado
Observe que o resultado apresentado eacute positivo portanto representa aumento
Caacutelculo da variaccedilatildeo percentual de R$ 5498 para R$ 5208 usando a HP ndash 12C
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Unidade 1
5498 5208 -527
Resultado
Observe que o resultado apresentado eacute negativo portanto representa queda
Exemplo 16
A empresa do exemplo anterior atua na regiatildeo sul do Brasil com vendas totais realizadas no mecircs de abril de 2008 de R$ 589636996 distribuiacutedas da seguinte forma R$ 123656939 no Paranaacute R$ 356963920 em Santa Catarina e R$ 109016137 no Rio Grande do Sul Qual a percentagem das vendas totais em cada um dos trecircs Estados
Soluccedilatildeo
A sequecircncia apresenta os percentuais nos estados do Paranaacute Santa Catarina e Rio Grande do Sul
Soluccedilatildeo
589636996 123656939 2097
356963920 6054 109016137 1849
Resultado SC Resultado RS
Resultado PR
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Exemplo 17
Comprei uma TV LCD em 17052008 com vencimento para 120 dias Determine a data do vencimento usando a calculadora HP ndash 12C
Soluccedilatildeo
17052008 120 14092008 7
A data do vencimento eacute 14 de setembro de
2008 domingo
Exemplo 18
Fiz uma compra no dia 12052008 com vencimento para o dia 26082008 Use a calculadora HP ndash 12C para determinar o nuacutemero de dias entre a data da compra e do vencimento
Soluccedilatildeo
12052008 20082008 100
Nuacutemero de dias entre as datas
Nesta unidade vocecirc conheceu algumas funccedilotildees elementares da calculadora as quais seratildeo utilizadas nas demais unidades e satildeo muito importantes para realizar caacutelculos que envolvem questotildees do nosso cotidiano Na proacutexima unidade vocecirc vai usar as funccedilotildees financeiras da calculadora para calcular juros simples e compostos descontos simples e compostos
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Unidade 1
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
Efetue as atividades de autoavaliaccedilatildeo e acompanhe as respostas e comentaacuterios a respeito nas paacuteginas finais deste material Para melhor aproveitamento do seu estudo realize a conferecircncia de suas respostas somente depois de fazer as atividades propostas Desse modo o momento da conferecircncia lhe proporcionaraacute novas oportunidades de aprendizagem
1 Calcule o valor das expressotildees numeacutericas a seguir usando a HP ndash 12C nos modos RPN e ALG
a) 2 5 3 8 24 minus + divide =x
b) minus + minus =3 5 32 3x eln
c) 16 25 3 45 89+ minus =x
d) 2
35 5
3+ minus =ln
e) 0 253
55
2 + minus =minus
2 Use a HP ndash 12C para realizar os caacutelculos e informar o saldo final da seguinte movimentaccedilatildeo financeira Saldo inicial na conta R$ 167890 depoacutesito de R$ 143587 cheques compensados nos valores de R$ 34598 R$ 12345 R$ 65790 e R$ 30987
3 No dia 130508 o doacutelar americano estava cotado em R$ 165 no dia 190508 a cotaccedilatildeo foi de R$ 161 Com base nestes dados indique qual foi a variaccedilatildeo percentual do doacutelar
4 Foi realizada uma compra em um supermercado no valor de R$ 67890 em 150508 Sabendo que esse estabelecimento trabalha com prazo de 90 dias use as funccedilotildees calendaacuterio da HP ndash 12C e determine a data e o dia da semana do vencimento
5 Uma empresa tem vendas mensais para o mecircs de maio de 2008 estimadas em R$ 178909000 Sabendo que o valor total das vendas estaacute distribuiacutedo nas cidades de Florianoacutepolis Curitiba e Porto Alegre com valores correspondentes a R$ 59089000 R$ 89767898 e R$ 30052102 respectivamente determine qual percentagem das vendas totais ocorre em cada uma das cidades
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Saiba mais
HPndash12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
No link abaixo vocecirc tem disponiacutevel o manual da calculadora HP ndash 12C na versatildeo online lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt
2UNIDADE 2
Regimes de capitalizaccedilatildeo simples e composto
Objetivos de aprendizagem
Fazer uso das funccedilotildees financeiras da calculadora HP ndash 12C para calcular juros simples e composto
Dominar o caacutelculo do montante simples e composto
Aprender o caacutelculo de desconto simples e composto
Calcular capital taxa e prazo no regime de capitalizaccedilatildeo composto usando a HP ndash 12C
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Regime de capitalizaccedilatildeo simples
Seccedilatildeo 2 Regime de capitalizaccedilatildeo composto
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc vai fazer uso das funccedilotildees financeiras da HP ndash 12C com o objetivo de realizar caacutelculos de juros simples e composto montantes simples e composto descontos simples e composto caacutelculo de taxas e prazos
Nesta etapa de estudos seratildeo utilizados exemplos do material didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira que estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do Espaccedilo Virtual de Aprendizagem ndash EVA Eacute importante lembrar natildeo ser objetivo deste curso discutir os conceitos da Matemaacutetica Financeira mas apenas utilizar as funccedilotildees disponibilizadas na calculadora para resolver problemas relacionados a essa aacuterea Entretanto caso vocecirc julgue importante os conceitos podem ser relembrados ou vistos no material didaacutetico da disciplina
Seccedilatildeo 1 ndash Regime de capitalizaccedilatildeo simples
Na unidade 1 vocecirc foi apresentado(a) agrave calculadora HP ndash 12C e a algumas das suas funccedilotildees com o objetivo de capacitaacute-lo(a) para o uso adequado dessa ferramenta Esta unidade inicia com uma abordagem sobre os registradores financeiros os quais seratildeo utilizados na maioria dos exemplos que deveratildeo ser resolvidos ao longo das proacuteximas seccedilotildees desta unidade e nas demais unidades deste curso Veja na ilustraccedilatildeo a seguir os registradores financeiros e as suas aplicaccedilotildees
Registra e armazena periacuteodo
Registra e armazena taxa
Registra e armazena valor presente
Registra e armazena pagamentos perioacutedicos
Registra e armazena valor futuro
Figura 21 - Registradores financeiros e as suas aplicaccedilotildees Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
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Unidade 2
Para armazenar um nuacutemero em um registrador financeiro digite o nuacutemero e em seguida uma das teclas correspondentes ilustradas acima
Para exibir um nuacutemero armazenado em um dos registradores financeiros aperte e em seguida a tecla correspondente
Para zerar todos os registradores financeiros aperte a sequecircncia de teclas
Eacute importante lembrar que os registradores financeiros tambeacutem satildeo zerados ao apertar a sequecircncia
e quando a memoacuteria contiacutenua eacute
reinicializada
A seguir vocecirc faraacute caacutelculo de juros simples e de descontos simples usando a HP ndash 12C
Regime de capitalizaccedilatildeo simples
A HP ndash 12C calcula automaticamente juros simples ordinaacuterios ndash usando o ano comercial e juros simples exatos ndash usando um ano de 365 dias simultaneamente
Eacute possiacutevel apresentar qualquer um dos dois e mais com os juros acumulados no mostrador podemos calcular o montante apertando a tecla
Para exemplificar vamos resolver problemas do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira que se encontra disponiacutevel (formato digital) na ferramenta Midiateca do EVA ndash Espaccedilo Virtual de Aprendizagem
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Exemplo 21 (exemplo 1 paacuteg 29 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital de R$ 1800000 foi aplicado a juros simples durante 3 anos agrave taxa de 6 aa Qual eacute o valor dos juros e o montante adquirido
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula os juros e o montante
Exemplo 22 (exemplo 1 paacuteg 33 do livro Matemaacutetica Financeira)
Ache os juros simples exatos auferidos em uma aplicaccedilatildeo de R$ 1500000 a uma taxa de 16 aa de 20 de abril de 2003 a 1ordm de julho de 2003
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula os juros comerciais e os juros exatos
Neste exemplo utilizamos duas teclas que seratildeo ilustradas a seguir para realizar o caacutelculo dos juros exatos
1800000 1080 6
324000 2124000
Juros Montante
No caacutelculo de Juros simples o periacuteodo deve ser em dias
Calcula juros simples
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Unidade 2
1500000 20042003 01072003
72 16 48000 47342
Juro comercial Juro exato nordm de dias
Ao apertar essa tecla ela rola para baixo o conteuacutedo da pilha para visualizaccedilatildeo no registro X
Ao apertar essa tecla ela troca o conteuacutedo dos registros X e Y da pilha
Figura 22 - Teclas utilizadas para registros de dados Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Exemplo 23 (exemplo 2 paacuteg 34 do livro Matemaacutetica Financeira)
Determine o juro simples exato obtido em uma aplicaccedilatildeo de R$ 1300000 durante 146 dias a uma taxa de 9 aa
Soluccedilatildeo a sequecircncia a seguir realiza os caacutelculos solicitados
1330000 146 9
48545 47880
Juro comercial Juro exato
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Exemplo 24 (exemplo 1 paacuteg 47 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma duplicata de R$ 1500000 com vencimento no dia 03042005 foi descontada em um banco em 08012005 a uma taxa de 25 am Qual eacute o desconto simples bancaacuterio da operaccedilatildeo
Soluccedilatildeo
08012005 03042005 85
1500000 0025 30 106250
Taxa decimal Desconto bancaacuterio
Nordm de dias entre as datas
Exemplo 25 (exemplo 1 paacuteg 48 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma empresa descontou um tiacutetulo com valor de face de R$ 1450000 3 meses e 15 dias antes do vencimento com uma taxa de desconto bancaacuterio simples de 24 am Quanto a empresa recebeu liacutequido na operaccedilatildeo
Soluccedilatildeo
1450000 0024 35 1450000 1328200
Periacuteodo em meses Valor liacutequidoTaxa decimal
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Unidade 2
Exemplo 26 (exemplo 1 paacuteg 49 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma duplicata de R$ 4800000 foi descontada 6 meses antes de seu vencimento em uma instituiccedilatildeo financeira que trabalha com uma taxa de desconto simples de 32 am Com base nestes dados determine
o valor do desconto simples bancaacuterio
o valor do desconto simples racional
Soluccedilatildeo
4800000 6 0032 921600
Taxa decimal Valor liacutequido
921600 1 0032
6 773154
Taxa decimal Valor liacutequido
Na proacutexima seccedilatildeo vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros compostos e de desconto compostos
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Seccedilatildeo 2 ndash Regime de capitalizaccedilatildeo composto
Os exemplos apresentados a partir de agora satildeo ilustrativos de uma ampla variedade de caacutelculos financeiros Para resolvecirc-los vocecirc precisa estruturaacute-los identificando os elementos baacutesicos do problema de maneira que fiquem evidentes as quantidades que devem ser fornecidas agrave calculadora e quem eacute o valor desconhecido ou seja o valor que desejamos determinar
Na resoluccedilatildeo dos caacutelculos usando a HP ndash 12C eacute indispensaacutevel elaborar o diagrama de fluxo de caixa Eacute importante ressaltar que a calculadora precisa de ajuda para comparar o fluxo de caixa ou seja eacute preciso informar quando temos uma entrada ou uma saiacuteda
O fluxo de caixa serve para demonstrar graficamente as transaccedilotildees financeiras em um periacuteodo de tempo
O tempo eacute representado por uma linha horizontal dividida pelo nuacutemero de periacuteodos relevantes para anaacutelise As entradas ou recebimentos satildeo representados por setas verticais apontadas para cima e as saiacutedas ou pagamentos satildeo representados por setas verticais apontadas para baixo Observe o modelo simplificado
(+) entradas
(-) saiacutedas
tempo (n)
Veja agora o modelo detalhado
Entradas
Saiacutedas
Tempo
Fluxo de caixa pode ser definido como sendo a movimentaccedilatildeo de recursos financeiros (entradas e saiacutedas de caixa) ao longo de um periacuteodo de tempo - agrave entrada e saiacuteda de dinheiro O conceito caixa (financeiro) natildeo pode ser confundido com conceito de competecircncia (contaacutebil)
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Unidade 2
Na HP-12C a tecla (do inglecircs Change Sign) serve para introduzir ou tirar um sinal negativo de um nuacutemero ou seja faz o fluxo de caixa
Na sequecircncia de exemplos apresentados a seguir realizaremos caacutelculos de juros montantes valor presente prazo taxa de juros e descontos no regime composto com o auxiacutelio dos registradores financeiros da calculadora HP ndash 12C
Exemplo 27 (exemplo 1 paacuteg 58 do livro Matemaacutetica Financeira)
Qual o montante gerado por um capital de R$ 450000 aplicado por 9 meses a juros compostos a uma taxa de 35 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o montante composto
450000 9 35 613304
MontanteFluxo de caixa saiacuteda do dinheiro para aplicaccedilatildeo
Exemplo 28 (exemplo 2 paacuteg 58 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital de R$ 1200000 foi aplicado a juros compostos durante 6 meses agrave taxa de 2 am Calcule os juros auferidos na aplicaccedilatildeo
Soluccedilatildeo use a sequecircncia a seguir para calcular os juros
1200000 6 2
1351395 151395
Montante Juros
Fluxo de caixa saiacuteda do dinheiro para aplicaccedilatildeo
Recupera um valor em um registrador
financeiro
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Exemplo 29 (exemplo 3 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital ldquoXrdquo eacute aplicado a juros compostos agrave taxa de 35 am gerando um montante de R$ 1950000 apoacutes 1 ano e 3 meses Determine o capital ldquoXrdquo
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar o capital
1950000 35 15 -1163937
Capital aplicado
Exemplo 210 (exemplo 4 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
A que taxa mensal de juros compostos um capital de R$ 1250000 pode transformar-se em R$ 1537342 no periacuteodo de 7 meses
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
1250000 1537342 7 300
Taxa de juros mensal
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Unidade 2
Exemplo 211 (exemplo 5 paacuteg 60 do livro Matemaacutetica Financeira)
Em que prazo um empreacutestimo de R$ 3500000 pode ser pago pela quantia de R$ 4790000 se a taxa de juros compostos cobrada for de 4 am
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
3500000 4790000 4 8
Periacuteodo em meses
Funccedilatildeo ldquoCrdquo na HP ndash 12C e as teclas ldquoSTOrdquo e ldquoEEXrdquo
Vocecirc pode calcular taxa de juros (i) Capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos Perioacutedicos (PMT) para transaccedilotildees financeiras com periacuteodos fracionaacuterios Ao digitar um periacuteodo fracionaacuterio por exemplo 23 meses a parte inteira do nuacutemero indica o nuacutemero de periacuteodos inteiro e a parte fracionaacuteria do nuacutemero o tamanho do periacuteodo fracionaacuterio como uma fraccedilatildeo do periacuteodo inteiro (no exemplo 2 meses e 03 meses)
De acordo com o criteacuterio do usuaacuterio os caacutelculos de taxa de juros ( i ) capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos perioacutedicos (PMT) podem ser executados com juros simples ou compostos acumulados durante o periacuteodo fracionaacuterio Para escolher uma das duas opccedilotildees faccedila
Aparece o indicador ldquoCldquo Portanto os juros compostos satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Natildeo aparece o indicador ldquoCrdquo Portanto os juros simples satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Figura 23 - Teclas utilizadas para caacutelculo de juros simples e compostos para periacuteodo fracionaacuterio Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
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Exemplo 212
Calcular o valor futuro de uma aplicaccedilatildeo de R$ 185030000 aplicado agrave taxa de 14 aa durante 45 anos usando juros compostos e simples para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Soluccedilatildeo as sequecircncias a seguir apresentam os resultados para o caacutelculo do valor futuro com juros simples para o periacuteodo fracionaacuterio e juros compostos para o periacuteodo fracionaacuterios respectivamente
185030000 14
45 334383879
Valor futuro calculado com juros simples para o periacuteodo
fracionaacuterio
185030000
14 45 333667556
Valor futuro calculado com juros compostos para o
periacuteodo fracionaacuterio
Exemplo 213 (exemplo 1 paacuteg 81 do livro Matemaacutetica Financeira)
Determine o valor do desconto composto racional e o valor do resgate de um tiacutetulo de R$ 1560000 descontado 5 meses antes do seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto composto racional eacute de 4 am
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Unidade 2
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor do desconto racional composto e o valor liacutequido a receber
1560000 1
1 004 5
277794 1560000 1282206
Valor do desconto Valor liacutequido
Exemplo 214 (exemplo 1 paacuteg 84 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um tiacutetulo de valor nominal de R$ 1500000 eacute descontado em um banco 3 meses antes de seu vencimento Se a taxa de desconto comercial usada pelo banco eacute de 8 am qual eacute o valor do desconto
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor liacutequido e o valor do desconto bancaacuterio ou comercial
1500000 3 8
-1168032 331968
Valor liacutequido Valor do desconto
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Nesta unidade vocecirc usou a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros simples e compostos descontos simples e compostos valor presente taxa de juros periacuteodo e montante Na proacutexima unidade usaremos a ferramenta para auxiliar no caacutelculo de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir foram propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo em PDF estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as questotildees 1 3 5 e 6 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteginas 38 e 39 Confira os resultados na paacuteg 194
1) Qual o rendimento que obtemos ao aplicarmos um capital de R$ 1000000 a uma taxa de juros simples de 5 aa durante 3 anos
3) Em um regime de capitalizaccedilatildeo simples qual eacute o montante que se obteacutem quando aplicamos um capital de R$ 200000 a uma taxa 6 aa durante 24 meses
5) Uma quantia de R$ 6200000 foi aplicada em uma operaccedilatildeo financeira no dia 20 de setembro de 2003 e resgatada no dia 21 de dezembro de 2003 a uma taxa de 125 aa Quais os juros simples exatos e comerciais da operaccedilatildeo
6) Calcule os juros simples exatos e comerciais nas seguintes condiccedilotildees
bull R$ 600000 aplicados por 180 dias a 12 aa
bull R$ 520000 aplicados por 230 dias a 15 aa
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Unidade 2
2 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 2 e 4 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegs 52 e 53 Confira os resultados nas paacuteginas 194 e 195
1) Uma empresa desconta uma duplicata no valor nominal de R$ 5000000 no Banco ldquoXrdquo 4 meses antes do seu vencimento Sabendo que o banco ldquoXrdquo trabalha com uma taxa de desconto simples bancaacuterio de 45 am qual eacute o valor do desconto e o valor liacutequido recebido
2) Para pagar uma diacutevida hoje uma empresa descontou em uma carteira de creacutedito uma duplicata no valor de R$ 1650000 com vencimento daqui a 2 meses recebendo um valor nominal liacutequido de R$ 1500000 Determine a taxa mensal de desconto simples bancaacuterio utilizada
4) Uma letra de cacircmbio no valor nominal de R$ 500000 foi comercializada 4 meses antes do vencimento a uma taxa de desconto simples de 22 am Se o desconto simples fosse o racional qual seria o valor deste desconto
3 Elabore uma sequecircncia de passos para resolver as questotildees propostas 1 2 3 4 e 6 nas paacuteginas 65 66 e 67 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira e confira os resultados na paacuteg 195
1) Calcule o montante produzido por um capital de R$ 2600000 aplicado a uma taxa de juros compostos de 52 am por 6 meses
2) Calcule os juros compostos auferidos por um capital de R$ 420000 aplicado a uma taxa de 3 am durante 10 meses
3) Um empreacutestimo de R$ 600000 deve ser pago em 120 dias a juros compostos pelo valor de R$ 900000 Qual eacute a taxa mensal da operaccedilatildeo
4) Em que prazo uma aplicaccedilatildeo a juros compostos de R$ 2400000 produziraacute um montante de R$ 6151930 agrave taxa de 4 am
6) Quanto Paulo deve aplicar hoje a juros compostos em uma instituiccedilatildeo financeira que paga uma taxa de 12 am para pagar um compromisso de valor nominal igual a R$ 3800000 que vence daqui a 3 meses
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Universidade do Sul de Santa Catarina
4 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 e 8 das paacuteginas 88 e 90 respectivamente do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira Confira os resultados na paacuteg 196
1) Determine o valor do desconto composto racional de um tiacutetulo de valor nominal de R$ 830000 descontado 6 meses antes de seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto eacute de 42 am
8) Um tiacutetulo de R$ 3000000 foi descontado em uma instituiccedilatildeo financeira a uma taxa de desconto composto comercial de 64 am e o valor liacutequido recebido era de R$ 2017327 Quantos meses antes do vencimento foi descontado este tiacutetulo
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
3UNIDADE 3
Taxas de juros equivalentes e caacutelculo de pagamentos perioacutedicos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para calcular taxas equivalentes
Usar as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP ndash 12C para programar o algoritmo da taxa equivalente no regime de capitalizaccedilatildeo composto
Calcular pagamentos perioacutedicos de sequecircncias uniformes postecipadas e antecipadas
Calcular montante de uma sequecircncia uniforme
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Taxas equivalentes
Seccedilatildeo 2 Sequecircncia de capitais
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar taxas equivalentes no regime de capitalizaccedilatildeo composto Vocecirc usaraacute as funccedilotildees de programaccedilatildeo com o objetivo de elaborar um algoritmo para fazer a conversatildeo de taxas de um periacuteodo de capitalizaccedilatildeo (ex mensal) para outro periacuteodo (ex anual) usando o programa Vamos explorar as funccedilotildees ldquoPMTrdquo ldquoBEGrdquo e ldquoENDrdquo para realizar caacutelculo de pagamentos antecipados e postecipados em uma sequecircncia uniforme Destacamos que os exemplos que seratildeo apresentados estatildeo no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira
Seccedilatildeo 1 ndash Taxas equivalentes
Nesta unidade vocecirc usaraacute algumas funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos (postecipados e antecipados) de uma seacuterie uniforme Vocecirc usaraacute ainda as funccedilotildees de programaccedilatildeo para elaborar um programa para calcular taxas equivalentes A figura a seguir apresenta as funccedilotildees que vocecirc usaraacute nos exemplos apresentados posteriormente
Aciona o modo de programaccedilatildeo de HP ndash 12C
Aciona a funccedilatildeo Begin que calcula a parcela com pagamento antecipado
Aciona a funccedilatildeo End (natildeo aparece no visor da calculadora) que calcula parcela com pagamento postecipado
Figura 31 - Teclas utilizadas para acionar as funccedilotildees Beg e End e entrar no modo de programaccedilatildeo
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
49
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Unidade 3
Taxas equivalentes
No mercado financeiro e nas operaccedilotildees bancaacuterias e comerciais a palavra taxa eacute empregada de vaacuterias formas ou seja vaacuterios conceitos satildeo abordados em vaacuterias situaccedilotildees Esta seccedilatildeo tem como objetivo mostrar como as taxas de juros satildeo informadas no mercado financeiro e como adequaacute-las agraves condiccedilotildees padronizadas pela HP ndash 12C
Duas taxas satildeo consideradas equivalentes a juros compostos quando aplicadas a um mesmo capital por um periacuteodo de tempo equivalente e geram o mesmo rendimento
Exemplo 31(exemplo 1 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
No regime de juros compostos qual a taxa anual equivalente a 4 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente anual
Exemplo 32 (exemplo 2 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
Calcule a taxa quadrimestral equivalente agrave taxa de juros compostos de 8 aa
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente quadrimestral
1 004 12 1 1 10000 6010
Taxa anual
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1 008 1 3 1 10000 260
Taxa quadrimestral
Programa para caacutelculo da taxa equivalente pela hp ndash 12c
O professor Carlos Shinoda em seu livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48) apresenta um programa para calcular a taxa equivalente atraveacutes da calculadora HP ndash 12C
Siga os procedimentos abaixo para introduzir o programa na HP ndash 12C
Figura 32 - Algoritmo para a programaccedilatildeo de taxa equivalente
Fonte Livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48)
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Unidade 3
Agora que vocecirc programou a HP ndash 12C para o caacutelculo de taxas equivalentes resolva o exemplo a seguir usando o programa
Exemplo 33
Usando o programa anterior determine as taxas equivalentes propostas nos exemplos 31 e 32
Soluccedilatildeo
As sequecircncias abaixo calculam as taxas equivalentes
Executa oprograma
4 1 12 6010
Taxa anual
Executa oprograma
8 360 120 260
Taxa quadrimestral
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Seccedilatildeo 2 ndash Sequecircncia de capitais
Nesta seccedilatildeo vocecirc acompanharaacute as situaccedilotildees em que haacute mais de um pagamento ou seja vocecirc estudaraacute as operaccedilotildees envolvendo pagamentos ou recebimentos perioacutedicos e uniformes
As seacuteries uniformes de pagamentos satildeo aquelas em que os pagamentos ou recebimentos satildeo constantes e ocorrem em intervalos iguais
Seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas e antecipadas
As seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1 Este sistema eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada (0 + n)
Pagamentos ou recebimentos podem ser chamados de prestaccedilatildeo representada pela sigla PMT que vem do inglecircs Payment e significa pagamento ou recebimento
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentosPMT
++
0 1 2 3 4 5 6 n
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
++
0 1 2 3 4 5 6 n
PMT
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Unidade 3
As seacuteries uniformes de pagamentos antecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre na data focal 0 (zero) Este tipo de sistema de pagamento eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento com entrada (1+ n)
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
Exemplo 34 (exemplo 2 paacuteg 108 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um automoacutevel eacute vendido em uma loja por R$ 3200000 A loja propotildee as seguintes condiccedilotildees para financiamento
Proposta A 12 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta B 24 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta C 36 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
A taxa de juros usada eacute de 32 am Qual o valor de cada prestaccedilatildeo nas 3 modalidades de financiamento
Soluccedilatildeo
As sequecircncias a seguir calculam os valores das parcelas nas trecircs propostas
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3200000
32 12 -325329
parcela
3200000
32 24 -193046
parcela
3200000
32 36 -150979
parcela
Exemplo 35 (exemplo 2 paacuteg 111 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma casa cujo valor agrave vista eacute R$ 4924456 eacute vendida em prestaccedilotildees mensais e iguais de R$ 250000 sendo a primeira dada como entrada Se a taxa de financiamento eacute de 18 am determine o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas no financiamento
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o nuacutemero de parcelas
4924456 18
250000 24
nordm de parcelas
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Unidade 3
No exemplo acima o nuacutemero de pagamento deu um nuacutemero inteiro Mas podem acontecer situaccedilotildees em que ao se determinar o nuacutemero de parcelas o resultado natildeo seja um nuacutemero inteiro
Nessa situaccedilatildeo a HP ndash 12C arredonda a resposta para o proacuteximo inteiro para cima antes de armazenaacute-la e exibi-la
Exemplo 36
Vocecirc comprou um terreno por R$ 3500000 a juros de 105 aa Vocecirc pretende fazer pagamentos de R$ 32500 no fim de cada mecircs Quantos pagamentos seratildeo necessaacuterios para pagar o terreno e quanto tempo levaraacute
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o nuacutemero de pagamentos e o tempo necessaacuterio
3500000 105
32500 328 2733
nordm de parcelas Tempo (anos)
Como a calculadora arredonda o valor do tempo para o proacuteximo inteiro eacute provaacutevel que apesar de serem necessaacuterios 328 pagamentos somente 327 seratildeo inteiros de R$ 32500 com o pagamento final sendo menor do que R$ 32500 Para calcular o valor do pagamento de nuacutemero 328 vamos fazer o seguinte
A calculadora natildeo ajusta os valores nos outros registros financeiros automaticamente para refletir os n pagamentos iguais ao contraacuterio ela lhe permite escolher quais valores (se houver) que vocecirc deseja ajustar
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328 18189 - 32500 -14311
Valor da parcela 328
Nesta unidade vocecirc calculou taxas equivalentes usou as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP e fez caacutelculos de pagamentos perioacutedicos de uma seacuterie uniforme antecipado ou postecipado Na proacutexima unidade vamos realizar caacutelculos de valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades abaixo (Essa atividade corresponde agrave autoavaliaccedilatildeo 1 da unidade 5 do livro didaacutetico de Matemaacutetica Financeira) Em seguida use o programa elaborado para resolver a mesma questatildeo
Calcule a taxa anual das seguintes taxas
a) 26 am
b) 42 ab
c) 48 at
d) 12 as
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Unidade 3
2 Elabore um algoritmo para resolver as seguintes atividades (Estas questotildees equivalem agraves autoavaliaccedilotildees 1 2 3 4 e 5 da unidade 8 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 121 122 e 123)
a) Calcule o valor da prestaccedilatildeo mensal de um empreacutestimo de R$ 600000 que seraacute amortizado em 12 prestaccedilotildees mensais postecipadas sabendo que o banco cobra uma taxa de juros de 2 am
b) Uma loja vende um automoacutevel agrave vista por R$ 1650000 Se o comprador quiser fazer um financiamento em 36 parcelas mensais e iguais onde o 1ordm pagamento seraacute efetuado no 1ordm mecircs apoacutes a compra a uma taxa de juros de 21 am qual o valor da prestaccedilatildeo
c) Uma mercadoria custa R$ 9038071 agrave vista podendo ser vendida em prestaccedilotildees mensais de R$ 1050000 sendo a primeira prestaccedilatildeo dada como entrada Sabendo-se que a loja aplica uma taxa de 35 am qual o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas
d) Carlos depositou certa quantia durante 10 meses de forma antecipada a uma taxa de 25 am obtendo um montante de R$ 25000000 Quanto depositou mensalmente Carlos
e) Um produto eacute vendido agrave vista por R$ 200000 ou em 10 prestaccedilotildees mensais iguais sem entrada com uma carecircncia de 90 dias apoacutes a compra Qual o valor de cada prestaccedilatildeo sabendo que a taxa de juros eacute de 6 am
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
4UNIDADE 4
Valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa
Usar as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Valor presente liacutequido
Seccedilatildeo 2 Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs ndash SFA (Price)
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa usando as funccedilotildees CF0 CFj e NPV Vocecirc deveraacute ainda fazer uso da funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos usando o Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo ndash SFA ou tabela Price
Seccedilatildeo 1 ndash Valor presente liacutequido
A figura 41 a seguir apresenta as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C que vocecirc usaraacute nessa unidade para realizar caacutelculo de valor presente liacutequido e para a elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos ou financiamento
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor inicial do fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor do fluxo de caixa no periacuteodo j
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula o valor presente atual de um fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula a parte dos pagamentos usada para pagar juros
Figura 41 - Teclas para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
Valor presente liacutequido
Nessa seccedilatildeo vocecirc usaraacute as funccedilotildees da HP ndash 12C para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa Para entender como usar as funccedilotildees CF0 CFj e NPV considere o fluxo de caixa para um investimento que exige capital inicial (CF0) e que gera um fluxo de caixa (CFj ) no final de j periacuteodos
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Unidade 4
Veja a seguir o fluxo de caixa
CF0CF1
CF2 CF5
CFn
CF3 CF4
O VPL = Valor Presente Liacutequido eacute calculado somando ao investimento inicial o valor presente dos fluxos de caixa futuros projetados Portanto
se o VPL for positivo o valor financeiro do ativo do investidor aumentaraacute ou seja o investimento financeiro seraacute atrativo em termos financeiros
se o VPL for zero o valor financeiro do ativo financeiro do investidor natildeo mudaraacute ou seja o investidor seraacute indiferente ao investimento
se o VPL for negativo o valor financeiro do ativo do investidor seraacute reduzido ou seja o investimento natildeo seraacute atrativo em termos financeiros
Exemplo 41
Um investidor compra uma casa por R$ 7000000 e gostaria de ter um retorno de pelo menos 15 Ele pretende manter a casa por 4 anos e depois vendecirc-la por R$ 11000000 Ele prevecirc os fluxos de caixa mostrados no diagrama abaixo
CF0CF1
CF1
CF3CF4
CF5
R$ 7000000
R$ 50000
R$ 450000R$ 450000
R$ 13000000R$ 550000
Sendo assim calcule o VPL para determinar se o investimento resultaria em um retorno ou perda
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Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o VPL
7000000 50000
450000 550000 450000
13000000 15 379007
VPL
Como o VPL eacute positivo o investimento aumentaria o valor financeiro do ativo do investidor
Exemplo 42 (exemplo 4 paacuteg 98 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um proprietaacuterio recebeu as seguintes propostas para a venda de uma casa
Proposta A entrada de R$ 10000000 + R$ 5000000 em 6 meses + R$ 6000000 em 1 ano
Proposta B entrada de R$ 8000000 + R$ 6000000 em 5 meses + R$ 7000000 em 10 meses
Sabendo-se que a taxa de juros de mercado eacute de 3 am qual a melhor proposta para o vendedor
Soluccedilatildeo
Essa questatildeo deve ser resolvida pelo meacutetodo do Valor Presente Liacutequido A alternativa que tiver o maior valor seraacute a melhor Entretanto para facilitar a elaboraccedilatildeo do algoritmo de resoluccedilatildeo na HP ndash 12C elabore o fluxo de caixa para cada situaccedilatildeo
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Unidade 4
1 Proposta A Fluxo de caixa
10000000 5000000 6000000
1 2 3 4 5 7 8 9 10 110 6 12
Calculando o VPL
10000000 000 5
5000000 000
5
6000000
3
18395701
VPL
Armazena o zero 5 vezes
2 Proposta B Fluxo de caixa
8000000 70000006000000
1 2 3 4 6 7 8 90 5 10
Calculando o VPL
8000000 000 4
6000000 000
4
7000000
3
18384310
VPL
Armazena o zero 4 vezes
Resposta a melhor proposta eacute a A
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Exemplo 43
Dois equipamentos satildeo examinados Considerando ser a taxa miacutenima de atratividade de 20aa qual o equipamento que deve ser adquirido
Dados
41 - Tabela de DadosEquipamento K Equipamento L
Custo R$ 5000000 R$ 8000000Custo anual de manutenccedilatildeo R$ 2000000 R$ 1500000Valor residual para venda R$ 400000 R$ 800000Duraccedilatildeo em anos 10 10
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
A seguir veja o diagrama de fluxo de caixa
Os caacutelculos do Valor Presente Liacutequido para as duas situaccedilotildees satildeo
Equipamento K
5000000
Equipamento K
2000000
400000
0 1 2 10
8000000
Equipamento L
1500000
800000
0 1 2 10
50000 20000
9 4000 20000 1
20 -13320342
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Unidade 4
Equipamento L
80000 15000
9 8000 15000 1
20 -14159504
Importante Veja que a alternativa K equivale a um equipamento em que se investe R$ 13320342 enquanto que o equipamento L equivale a um investimento de R$ 14159504 Portanto eacute preferiacutevel o equipamento K pois o investimento eacute menor
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Seccedilatildeo 2 ndash Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs - SFA
Este sistema consiste no pagamento de empreacutestimos ou financiamentos com prestaccedilotildees iguais e com periodicidade constante Eacute considerado o sistema de amortizaccedilatildeo mais utilizado pelas instituiccedilotildees financeiras e pelo comeacutercio em geral
O Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo eacute assim chamado por ter sido inventado na Franccedila por volta do seacuteculo XVIII pelo matemaacutetico inglecircs Richard Price daiacute portanto a origem da denominaccedilatildeo Sistema Price tambeacutem comumente chamado de Tabela Price
Na verdade a Tabela Price eacute um caso particular derivado do Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo Neste sistema o financiamento (PV) eacute pago em parcelas (PMT) iguais constituiacutedas da amortizaccedilatildeo do principal da diacutevida + juros compensatoacuterios (J) que variam inversamente ao longo do tempo Ou seja agrave medida que aumenta o valor da parcela de amortizaccedilatildeo haveraacute uma queda dos juros compensatoacuterios em funccedilatildeo da reduccedilatildeo do saldo devedor
Principais Caracteriacutesticas
As principais caracteriacutesticas do SFA satildeo
a prestaccedilatildeo eacute constante durante todo o periacuteodo do financiamento
a parcela de amortizaccedilatildeo aumenta a cada periacuteodo (n)
os juros compensatoacuterios diminuem a cada periacuteodo (n)
Exemplo 44 (exemplo 1 paacuteg 148 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma instituiccedilatildeo financeira libera um empreacutestimo para uma induacutestria no valor de R$ 60000000 para ser pago pelo sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs em 120 meses a uma taxa de 15 am Faccedila a planilha ateacute o 4ordm mecircs e calcule o saldo devedor no 100ordm mecircs
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Soluccedilatildeo
A sequecircncia abaixo calcula o valor da prestaccedilatildeo os juros a amortizaccedilatildeo o saldo devedor e valor do saldo devedor no 100ordm mecircs Acompanhe
Zera os registradores
60000000 Armazena o valor presente
120 Armazena o periacuteodo
15 Armazena a taxa
- R$ 1081111 Valor da prestaccedilatildeo
1 - R$ 900000 Valor dos juros da 1ordf parcela
R$ 181111Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 1ordf parcela
R$ 58918889 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 897283 Valor dos juros da 2ordf parcela
- R$ 183828Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 2ordf parcela
R$ 59635061 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 894526 Valor dos juros da 3ordf parcela
- R$ 186585Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 3ordf parcela
R$ 59448476 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 891727 Valor dos juros da 4ordf parcela
- R$ 189384Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 4ordf parcela
R$ 59259092 Recupera o saldo devedor
A tabela a seguir apresenta um resumo das operaccedilotildees realizadas
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Tabela 42 ndash Planilha de amortizaccedilatildeoPeriacuteodo (n) Amortizaccedilatildeo (A) Juros (J) Prestaccedilotildees (R) Saldo Devedor (S)
0 - - - R$ 600000001 R$ 181111 R$ 900000 R$ 1081111 R$ 598188892 R$ 183828 R$ 897283 R$ 1081111 R$ 596350613 R$ 186585 R$ 894526 R$ 1081111 R$ 594484764 R$ 189384 R$ 891727 R$ 1081111 R$ 59259092
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Para determinar o saldo devedor no 100ordm mecircs faccedila como indicado a seguir
60000000 120 150
-1081111 18561247
Prestaccedilatildeo Saldo devedor no 100ordm mecircs
Nesta unidade vocecirc usou as funccedilotildees de fluxo de caixa para calcular o valor presente liacutequido e a funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
69Unidade 4
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades a seguir (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 4 e 5 da unidade 7 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegina 102) Em seguida use o programa elaborado para resolver as mesmas questotildees
a) Qual das alternativas de pagamento eacute a melhor para uma taxa de juros compostos de 75 am
Alternativa A Pagamento de R$ 15000000 agrave vista
Alternativa B Entrada de R$ 5000000 + R$ 8000000 em 90 dias + R$ 6000000 em 150 dias
b) Uma pessoa deve a um banco dois tiacutetulos com valores de R$ 300000 e R$ 600000 venciacuteveis respectivamente em 4 meses e 8 meses Se a pessoa deseja antecipar para hoje a liquidaccedilatildeo dos tiacutetulos qual o valor a pagar considerando que o banco opera com uma taxa de juros compostos de 23 am
2 Elabore um algoritmo para resolver as atividades abaixo (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 1 e 4 da unidade 10 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 151 e 153)
a) Um cliente solicita a um banco um empreacutestimo de R$ 4000000 pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs em 60 prestaccedilotildees mensais Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de juros de 28 am obtenha o valor da prestaccedilatildeo e o saldo devedor depois de pagar a 20ordf prestaccedilatildeo
b) Um empreacutestimo de R$ 30000000 seraacute saldado em 50 prestaccedilotildees mensais a uma taxa de 15 am Determine a parcela de juros relativa agrave 15ordf prestaccedilatildeo pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs (price)
70
Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
Manual da calculadora HP ndash 12C
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico ndash 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7ed Satildeo Paulo Atlas 2000
Para concluir o estudo
Com o teacutermino desse curso de extensatildeo acreditamos que proporcionamos momentos de aprendizagem por meio da interaccedilatildeo da calculadora financeira e que vocecirc estaacute habilitado(a) a fazer uso dessa ferramenta com qualidade no mercado de trabalho relacionado a essa aacuterea tatildeo importante no nosso dia-a-dia
Referecircncias
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7 ed Satildeo Paulo Atlas 2000
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003 Disponiacutevel em lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt Acesso em 05 jun 2008
Sobre o professor conteudista
Joseacute Humberto Dias de Toledo - eacute Mestre em Educaccedilatildeo pela Universidade do Sul de Santa Catarina Graduado em Licenciatura em Matemaacutetica e em Engenharia Civil Professor das disciplinas Meacutetodos Numeacutericos Informaacutetica Aplicada agrave Matemaacutetica Financeira Caacutelculo I e Matemaacutetica Financeira no Curso de Matemaacutetica ndash Licenciatura nesta mesma instituiccedilatildeo Atualmente ministra a disciplina Representaccedilotildees Graacuteficas na Poacutes-graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo Matemaacutetica da UNISUL
Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo
Unidade 1
1 a) 5
b) -2359
c) 3311
d) 077
e) 081
Respostas modo RPN
a)
b)
c)
d)
e)
Respostas modo ALG
a
b
c
d
e
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2 R$ 167757
Modo RPN
Modo ALG
3 -242
4 Data 13082008 3 (quarta-feira)
5 Florianoacutepolis = 3303 Curitiba = 5018 Porto Alegre = 1680
Unidade 2
1 1) 150000
Dados
C = R$ 1000000
i = 5 aa
n = 3 anos = 1080 dias
J =
3) 24 meses = 2 anos
Dados
C = R$ 200000
i = 6 aa
n = 24 meses = 720 dias
M =
79
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
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4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
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c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
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b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vamos lhe apresentar a calculadora HP ndash 12C com o objetivo de realizar caacutelculos aritmeacuteticos no modo ldquoRPNrdquo ndash Notaccedilatildeo Polonesa Reversa e no modo ldquoALGrdquo ndash Algeacutebrico Aleacutem disso vocecirc aprenderaacute a fazer uso das funccedilotildees de percentagem e calendaacuterio e em desdobramento aprenderaacute a determinar percentagens de um nuacutemero percentagem de um total e diferenccedila percentual caacutelculo de datas futuras e passadas e o nuacutemero de dias entre datas Vocecirc usaraacute as memoacuterias da calculadora para auxiliar nos caacutelculos eou armazenar dados que possam ser usados posteriormente
Seccedilatildeo 1 ndash A calculadora HP ndash 12C
Na presente etapa seratildeo apresentadas algumas funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para utilizaccedilatildeo neste curso Observe na figura 11 a imagem da calculadora
Figura 11- Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Arquivo do autor
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
Fique atento(a) ao fato de que muitas teclas da HP ndash 12C executam duas ou ateacute trecircs funccedilotildees A funccedilatildeo primaacuteria eacute indicada pelos caracteres impressos em branco na face superior As funccedilotildees secundaacuterias da calculadora satildeo impressas nas cores dourado e azul apresentadas respectivamente acima da tecla e na sua face inferior
Para acionar essas funccedilotildees acione a tecla de prefixo que eacute apropriada antes da tecla da funccedilatildeo ou seja e Veja na figura 12
Para selecionar a funccedilatildeo secundaacuteria impressa em dourado aperte a tecla de prefixo f e em seguida a tecla da funccedilatildeo
Para selecionar a funccedilatildeo primaacuteria impressa na face superior de uma tecla aperte somente a tecla
Para selecionar a funccedilatildeo secundaacuteria impressa em azul aperte a tecla de prefixo azul g e em seguida a tecla da funccedilatildeo
Figura 12 - Modo de acesso agraves funccedilotildees primaacuterias e secundaacuterias da Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Disponiacutevel em lthttphpcomlatambrprodutoscalculadorasgrandeprofessores12phtmlgt Acesso em 29 mai 2008
Entrando com nuacutemeros e separadores de diacutegitos
Para que vocecirc possa entrar com um nuacutemero na HP aperte as teclas correspondentes ao nuacutemero em sequecircncia O ponto decimal deve ser usado para separar a parte inteira da parte fracionaacuteria do nuacutemero Se vocecirc quiser pode configurar a calculadora para exibir a viacutergula como separador Para tanto desligue a calculadora e depois aperte simultaneamente as teclas
e
Para voltar
agrave configuraccedilatildeo anterior repita a operaccedilatildeo
Nuacutemeros negativos
A tecla troca o sinal de um nuacutemero no mostrador Portanto se vocecirc quiser trocar o sinal de um nuacutemero positivo que estaacute no visor aperte a tecla ele ficaraacute negativo E vice-versa
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As teclas ldquoCLEARrdquo (apagar)
A ilustraccedilatildeo a seguir apresenta as teclas ldquoClearrdquo que apagam ou zeram o mostrador as memoacuterias a memoacuteria de programaccedilatildeo os registradores financeiros os registros de pilha e registros estatiacutesticos Confira na figura 13
Apaga o mostrador
Apaga os registros estatiacutesticos registros da pilha e mostrador
Apaga a memoacuteria de programaccedilatildeo
Apaga os registros financeiros
Apaga os registros de armazenamento de dados registros financeiros registros de pilha LAST X e mostrador
Figura 13 - As teclas CLEAR da Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Registros de armazenamento
Os dados de entrada na HP ndash 12C podem ser armazenados em memoacuterias chamadas ldquoregistros de armazenamentordquo Quatro registros satildeo usados para o armazenamento de nuacutemeros durante os caacutelculos e mais um que eacute usado para armazenar o uacuteltimo nuacutemero chamado ldquoLAST Xrdquo
Aleacutem dos registros citados nos quais os nuacutemeros satildeo armazenados automaticamente existem outros 20 registros para o armazenamento manual de nuacutemeros Eles satildeo designados por R R R R a e a Outros registros de armazenamento designados como registros financeiros satildeo reservados para os nuacutemeros que seratildeo usados em caacutelculos financeiros
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
Armazenando recuperando nuacutemeros e zerando registros
Para armazenar um nuacutemero em um registro de armazenamento de dados aperte a tecla (armazenar) e em seguida um dos nuacutemeros de 0 a 9 para os registros R R
0 9 a e 0 a 9 para os
registros R R 0 9
a
Para recuperar um nuacutemero de um registro de armazenamento de dados aperte a tecla (recuperar) e em seguida um dos nuacutemeros de 0 a 9 para os registros R R
0 9 a e 0 a 9 para os
registros R R 0 9
a
Jaacute para zerar um uacutenico registro de armazenamento vocecirc pode armazenar o valor zero no registro Agora para zerar todos os registros de armazenamento de uma soacute vez ndash incluindo os registros financeiros os registros da pilha e o registro LAST X ndash aperte
E entatildeo estaacute motivado(a) para continuar Na proacutexima seccedilatildeo apresentaremos as teclas ldquoRPNrdquo e ldquoALGrdquo e faremos caacutelculos aritmeacuteticos usando esses modos
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Seccedilatildeo 2 ndash Caacutelculos aritmeacuteticos no modo ldquoRPNrdquo e no modo ldquoALGrdquo
A calculadora HP ndash 12C pode ser configurada para executar operaccedilotildees aritmeacuteticas nos modos RPN ndash Notaccedilatildeo Polonesa Reversa e ALG ndash Algeacutebrico No modo RPN os resultados intermediaacuterios nas operaccedilotildees aritmeacuteticas satildeo armazenados automaticamente portanto natildeo eacute necessaacuterio o uso dos parecircnteses Jaacute no modo ALG as operaccedilotildees elementares satildeo executadas de maneira convencional
Conheccedila alguns exemplos na sequecircncia do texto
Exemplo 11
Calcular 3 x 2 + 5 usando os modos RPN e ALG na HP ndash 12C
Resolvendo no modo RPN
Para configurar a calculadora no modo RPN aperte a tecla e em seguida Observe que vai aparecer o indicador RPN no visor da maacutequina
Agora que a calculadora estaacute no modo RPN vamos ao caacutelculo
3 2 5 11
Resultado
Resolvendo no modo ALG
Para configurar a calculadora no modo ALG aperte a tecla e em seguida Observe que vai aparecer o indicador ALG no visor da maacutequina
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Unidade 1
Calculando no modo algeacutebrico
3 2 5 11
Resultado
Os modelos mais antigos de calculadoras HP ndash 12C natildeo disponibilizam o modo algeacutebrico Portanto se vocecirc eacute usuaacuterio desse tipo de calculadora todos os caacutelculos devem ser efetuados no modo RPN
Exemplo 12
Resolver os caacutelculos solicitados a seguir usando os modos RPN e ALG
a) 3 2 5 33+ minus x
b) ( )minus + minus2 3 4 43 x
c) 2 9 3 52minus + + minus
d) 2 35
2+ minusln
e) 3 4 62+ minuse
Resolvendo no modo RPN
a)
3 2 3 5 3 - 4
Resultado
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b)
c)
d)
Obs para alterar a quantidade de casas decimais no visor da calculadora aperte e em seguida um nuacutemero de 1 a 9 que corresponde agrave quantidade de casas decimais No exemplo acima usamos
e)
2
3 3
4
4
0
Resultado
2
2
9 3 5 125
Resultado
2
3
5 2 0599
Resultado
3
2
46 5789
Resultado
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Unidade 1
Resolvendo no modo ALG com o auxiacutelio dos registros R R
0 9 a
a)
2
3
5 3 3
4
Resultado
Armazena o resultado do visor na memoacuteria 0
Recupera o registro da memoacuteria 0
b)
2
3
3 4
4 0
Resultado
c)
2 2
9
3 5 125
Resultado
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d)
e)
Exemplo 13
Usando a calculadora HP ndash 12C no modo RPN as seguintes operaccedilotildees bancaacuterias foram realizadas a conta tinha um saldo de R$ 12300 e foi feito um depoacutesito referente ao salaacuterio de R$ 189035 Em seguida foram emitidos e compensados cheques nos valores de R$ 38590 R$ 23478 e R$ 62389 Qual eacute o novo saldo da conta
Soluccedilatildeo use
para apresentar os caacutelculos com duas casas decimais
12300 189035 38590
23478 62389 76920
Saldo
2 3 5 2 0 0599
Resultado
3 2 46 5789
Resultado
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Unidade 1
Seccedilatildeo 3 ndash Funccedilotildees de percentagem e calendaacuterio
A calculadora HP ndash 12C apresenta funccedilotildees que permitem o caacutelculo de percentagens e de calendaacuterio Para caacutelculo com percentagens natildeo eacute necessaacuterio converter o nuacutemero na notaccedilatildeo percentual para a notaccedilatildeo decimal Jaacute as funccedilotildees calendaacuterio fornecidas pela HP trabalham com datas entre 15 de outubro de 1582 e 25 de novembro de 4046 A seguir vocecirc conheceraacute detalhadamente essas funccedilotildees
Funccedilotildees de percentagem
Calcula a Percentagem de um nuacutemero ou valor
Calcula a diferenccedila percentual entre dois nuacutemeros
Calcula qual percentual um nuacutemero eacute de outro
Figura 14 - Ilustraccedilatildeo das funccedilotildees de percentagem da Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Funccedilotildees de calendaacuterio
Configura o formato de uma data para dia-mecircs-ano
Configura o formato de uma data para mecircs-dia-ano
Calcula o nuacutemero de dias entre datas
Calcula datas futuras ou passadas
Figura 15 - Ilustraccedilatildeo das funccedilotildees de calendaacuterio da Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Nos exemplos a seguir estaacute demonstrado o uso de todas as funccedilotildees apresentadas Obs os caacutelculos vatildeo ser realizados no modo RPN
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Exemplo 14
Calcular 16 de R$ 198000
Soluccedilatildeo
198000 1600 31680
Resultado
Exemplo 15
Determinada empresa com accedilotildees na bolsa de valores verificou as seguintes variaccedilotildees nos valores das suas accedilotildees no dia 150508 o valor da accedilatildeo passou de R$ 5025 para R$ 5498 jaacute no dia 210508 o valor da accedilatildeo caiu de R$ 5498 para R$ 5208 Qual a diferenccedila percentual nas duas situaccedilotildees
Soluccedilatildeo a sequecircncia a seguir apresenta a variaccedilatildeo percentual
Caacutelculo da variaccedilatildeo percentual de R$ 5025 para R$ 5498 usando a HP ndash 12C
5025 5498 941
Resultado
Observe que o resultado apresentado eacute positivo portanto representa aumento
Caacutelculo da variaccedilatildeo percentual de R$ 5498 para R$ 5208 usando a HP ndash 12C
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
5498 5208 -527
Resultado
Observe que o resultado apresentado eacute negativo portanto representa queda
Exemplo 16
A empresa do exemplo anterior atua na regiatildeo sul do Brasil com vendas totais realizadas no mecircs de abril de 2008 de R$ 589636996 distribuiacutedas da seguinte forma R$ 123656939 no Paranaacute R$ 356963920 em Santa Catarina e R$ 109016137 no Rio Grande do Sul Qual a percentagem das vendas totais em cada um dos trecircs Estados
Soluccedilatildeo
A sequecircncia apresenta os percentuais nos estados do Paranaacute Santa Catarina e Rio Grande do Sul
Soluccedilatildeo
589636996 123656939 2097
356963920 6054 109016137 1849
Resultado SC Resultado RS
Resultado PR
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Exemplo 17
Comprei uma TV LCD em 17052008 com vencimento para 120 dias Determine a data do vencimento usando a calculadora HP ndash 12C
Soluccedilatildeo
17052008 120 14092008 7
A data do vencimento eacute 14 de setembro de
2008 domingo
Exemplo 18
Fiz uma compra no dia 12052008 com vencimento para o dia 26082008 Use a calculadora HP ndash 12C para determinar o nuacutemero de dias entre a data da compra e do vencimento
Soluccedilatildeo
12052008 20082008 100
Nuacutemero de dias entre as datas
Nesta unidade vocecirc conheceu algumas funccedilotildees elementares da calculadora as quais seratildeo utilizadas nas demais unidades e satildeo muito importantes para realizar caacutelculos que envolvem questotildees do nosso cotidiano Na proacutexima unidade vocecirc vai usar as funccedilotildees financeiras da calculadora para calcular juros simples e compostos descontos simples e compostos
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
Efetue as atividades de autoavaliaccedilatildeo e acompanhe as respostas e comentaacuterios a respeito nas paacuteginas finais deste material Para melhor aproveitamento do seu estudo realize a conferecircncia de suas respostas somente depois de fazer as atividades propostas Desse modo o momento da conferecircncia lhe proporcionaraacute novas oportunidades de aprendizagem
1 Calcule o valor das expressotildees numeacutericas a seguir usando a HP ndash 12C nos modos RPN e ALG
a) 2 5 3 8 24 minus + divide =x
b) minus + minus =3 5 32 3x eln
c) 16 25 3 45 89+ minus =x
d) 2
35 5
3+ minus =ln
e) 0 253
55
2 + minus =minus
2 Use a HP ndash 12C para realizar os caacutelculos e informar o saldo final da seguinte movimentaccedilatildeo financeira Saldo inicial na conta R$ 167890 depoacutesito de R$ 143587 cheques compensados nos valores de R$ 34598 R$ 12345 R$ 65790 e R$ 30987
3 No dia 130508 o doacutelar americano estava cotado em R$ 165 no dia 190508 a cotaccedilatildeo foi de R$ 161 Com base nestes dados indique qual foi a variaccedilatildeo percentual do doacutelar
4 Foi realizada uma compra em um supermercado no valor de R$ 67890 em 150508 Sabendo que esse estabelecimento trabalha com prazo de 90 dias use as funccedilotildees calendaacuterio da HP ndash 12C e determine a data e o dia da semana do vencimento
5 Uma empresa tem vendas mensais para o mecircs de maio de 2008 estimadas em R$ 178909000 Sabendo que o valor total das vendas estaacute distribuiacutedo nas cidades de Florianoacutepolis Curitiba e Porto Alegre com valores correspondentes a R$ 59089000 R$ 89767898 e R$ 30052102 respectivamente determine qual percentagem das vendas totais ocorre em cada uma das cidades
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Saiba mais
HPndash12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
No link abaixo vocecirc tem disponiacutevel o manual da calculadora HP ndash 12C na versatildeo online lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt
2UNIDADE 2
Regimes de capitalizaccedilatildeo simples e composto
Objetivos de aprendizagem
Fazer uso das funccedilotildees financeiras da calculadora HP ndash 12C para calcular juros simples e composto
Dominar o caacutelculo do montante simples e composto
Aprender o caacutelculo de desconto simples e composto
Calcular capital taxa e prazo no regime de capitalizaccedilatildeo composto usando a HP ndash 12C
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Regime de capitalizaccedilatildeo simples
Seccedilatildeo 2 Regime de capitalizaccedilatildeo composto
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc vai fazer uso das funccedilotildees financeiras da HP ndash 12C com o objetivo de realizar caacutelculos de juros simples e composto montantes simples e composto descontos simples e composto caacutelculo de taxas e prazos
Nesta etapa de estudos seratildeo utilizados exemplos do material didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira que estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do Espaccedilo Virtual de Aprendizagem ndash EVA Eacute importante lembrar natildeo ser objetivo deste curso discutir os conceitos da Matemaacutetica Financeira mas apenas utilizar as funccedilotildees disponibilizadas na calculadora para resolver problemas relacionados a essa aacuterea Entretanto caso vocecirc julgue importante os conceitos podem ser relembrados ou vistos no material didaacutetico da disciplina
Seccedilatildeo 1 ndash Regime de capitalizaccedilatildeo simples
Na unidade 1 vocecirc foi apresentado(a) agrave calculadora HP ndash 12C e a algumas das suas funccedilotildees com o objetivo de capacitaacute-lo(a) para o uso adequado dessa ferramenta Esta unidade inicia com uma abordagem sobre os registradores financeiros os quais seratildeo utilizados na maioria dos exemplos que deveratildeo ser resolvidos ao longo das proacuteximas seccedilotildees desta unidade e nas demais unidades deste curso Veja na ilustraccedilatildeo a seguir os registradores financeiros e as suas aplicaccedilotildees
Registra e armazena periacuteodo
Registra e armazena taxa
Registra e armazena valor presente
Registra e armazena pagamentos perioacutedicos
Registra e armazena valor futuro
Figura 21 - Registradores financeiros e as suas aplicaccedilotildees Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
Para armazenar um nuacutemero em um registrador financeiro digite o nuacutemero e em seguida uma das teclas correspondentes ilustradas acima
Para exibir um nuacutemero armazenado em um dos registradores financeiros aperte e em seguida a tecla correspondente
Para zerar todos os registradores financeiros aperte a sequecircncia de teclas
Eacute importante lembrar que os registradores financeiros tambeacutem satildeo zerados ao apertar a sequecircncia
e quando a memoacuteria contiacutenua eacute
reinicializada
A seguir vocecirc faraacute caacutelculo de juros simples e de descontos simples usando a HP ndash 12C
Regime de capitalizaccedilatildeo simples
A HP ndash 12C calcula automaticamente juros simples ordinaacuterios ndash usando o ano comercial e juros simples exatos ndash usando um ano de 365 dias simultaneamente
Eacute possiacutevel apresentar qualquer um dos dois e mais com os juros acumulados no mostrador podemos calcular o montante apertando a tecla
Para exemplificar vamos resolver problemas do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira que se encontra disponiacutevel (formato digital) na ferramenta Midiateca do EVA ndash Espaccedilo Virtual de Aprendizagem
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Exemplo 21 (exemplo 1 paacuteg 29 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital de R$ 1800000 foi aplicado a juros simples durante 3 anos agrave taxa de 6 aa Qual eacute o valor dos juros e o montante adquirido
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula os juros e o montante
Exemplo 22 (exemplo 1 paacuteg 33 do livro Matemaacutetica Financeira)
Ache os juros simples exatos auferidos em uma aplicaccedilatildeo de R$ 1500000 a uma taxa de 16 aa de 20 de abril de 2003 a 1ordm de julho de 2003
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula os juros comerciais e os juros exatos
Neste exemplo utilizamos duas teclas que seratildeo ilustradas a seguir para realizar o caacutelculo dos juros exatos
1800000 1080 6
324000 2124000
Juros Montante
No caacutelculo de Juros simples o periacuteodo deve ser em dias
Calcula juros simples
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
1500000 20042003 01072003
72 16 48000 47342
Juro comercial Juro exato nordm de dias
Ao apertar essa tecla ela rola para baixo o conteuacutedo da pilha para visualizaccedilatildeo no registro X
Ao apertar essa tecla ela troca o conteuacutedo dos registros X e Y da pilha
Figura 22 - Teclas utilizadas para registros de dados Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Exemplo 23 (exemplo 2 paacuteg 34 do livro Matemaacutetica Financeira)
Determine o juro simples exato obtido em uma aplicaccedilatildeo de R$ 1300000 durante 146 dias a uma taxa de 9 aa
Soluccedilatildeo a sequecircncia a seguir realiza os caacutelculos solicitados
1330000 146 9
48545 47880
Juro comercial Juro exato
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Exemplo 24 (exemplo 1 paacuteg 47 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma duplicata de R$ 1500000 com vencimento no dia 03042005 foi descontada em um banco em 08012005 a uma taxa de 25 am Qual eacute o desconto simples bancaacuterio da operaccedilatildeo
Soluccedilatildeo
08012005 03042005 85
1500000 0025 30 106250
Taxa decimal Desconto bancaacuterio
Nordm de dias entre as datas
Exemplo 25 (exemplo 1 paacuteg 48 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma empresa descontou um tiacutetulo com valor de face de R$ 1450000 3 meses e 15 dias antes do vencimento com uma taxa de desconto bancaacuterio simples de 24 am Quanto a empresa recebeu liacutequido na operaccedilatildeo
Soluccedilatildeo
1450000 0024 35 1450000 1328200
Periacuteodo em meses Valor liacutequidoTaxa decimal
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Unidade 2
Exemplo 26 (exemplo 1 paacuteg 49 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma duplicata de R$ 4800000 foi descontada 6 meses antes de seu vencimento em uma instituiccedilatildeo financeira que trabalha com uma taxa de desconto simples de 32 am Com base nestes dados determine
o valor do desconto simples bancaacuterio
o valor do desconto simples racional
Soluccedilatildeo
4800000 6 0032 921600
Taxa decimal Valor liacutequido
921600 1 0032
6 773154
Taxa decimal Valor liacutequido
Na proacutexima seccedilatildeo vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros compostos e de desconto compostos
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Seccedilatildeo 2 ndash Regime de capitalizaccedilatildeo composto
Os exemplos apresentados a partir de agora satildeo ilustrativos de uma ampla variedade de caacutelculos financeiros Para resolvecirc-los vocecirc precisa estruturaacute-los identificando os elementos baacutesicos do problema de maneira que fiquem evidentes as quantidades que devem ser fornecidas agrave calculadora e quem eacute o valor desconhecido ou seja o valor que desejamos determinar
Na resoluccedilatildeo dos caacutelculos usando a HP ndash 12C eacute indispensaacutevel elaborar o diagrama de fluxo de caixa Eacute importante ressaltar que a calculadora precisa de ajuda para comparar o fluxo de caixa ou seja eacute preciso informar quando temos uma entrada ou uma saiacuteda
O fluxo de caixa serve para demonstrar graficamente as transaccedilotildees financeiras em um periacuteodo de tempo
O tempo eacute representado por uma linha horizontal dividida pelo nuacutemero de periacuteodos relevantes para anaacutelise As entradas ou recebimentos satildeo representados por setas verticais apontadas para cima e as saiacutedas ou pagamentos satildeo representados por setas verticais apontadas para baixo Observe o modelo simplificado
(+) entradas
(-) saiacutedas
tempo (n)
Veja agora o modelo detalhado
Entradas
Saiacutedas
Tempo
Fluxo de caixa pode ser definido como sendo a movimentaccedilatildeo de recursos financeiros (entradas e saiacutedas de caixa) ao longo de um periacuteodo de tempo - agrave entrada e saiacuteda de dinheiro O conceito caixa (financeiro) natildeo pode ser confundido com conceito de competecircncia (contaacutebil)
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Unidade 2
Na HP-12C a tecla (do inglecircs Change Sign) serve para introduzir ou tirar um sinal negativo de um nuacutemero ou seja faz o fluxo de caixa
Na sequecircncia de exemplos apresentados a seguir realizaremos caacutelculos de juros montantes valor presente prazo taxa de juros e descontos no regime composto com o auxiacutelio dos registradores financeiros da calculadora HP ndash 12C
Exemplo 27 (exemplo 1 paacuteg 58 do livro Matemaacutetica Financeira)
Qual o montante gerado por um capital de R$ 450000 aplicado por 9 meses a juros compostos a uma taxa de 35 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o montante composto
450000 9 35 613304
MontanteFluxo de caixa saiacuteda do dinheiro para aplicaccedilatildeo
Exemplo 28 (exemplo 2 paacuteg 58 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital de R$ 1200000 foi aplicado a juros compostos durante 6 meses agrave taxa de 2 am Calcule os juros auferidos na aplicaccedilatildeo
Soluccedilatildeo use a sequecircncia a seguir para calcular os juros
1200000 6 2
1351395 151395
Montante Juros
Fluxo de caixa saiacuteda do dinheiro para aplicaccedilatildeo
Recupera um valor em um registrador
financeiro
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Exemplo 29 (exemplo 3 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital ldquoXrdquo eacute aplicado a juros compostos agrave taxa de 35 am gerando um montante de R$ 1950000 apoacutes 1 ano e 3 meses Determine o capital ldquoXrdquo
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar o capital
1950000 35 15 -1163937
Capital aplicado
Exemplo 210 (exemplo 4 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
A que taxa mensal de juros compostos um capital de R$ 1250000 pode transformar-se em R$ 1537342 no periacuteodo de 7 meses
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
1250000 1537342 7 300
Taxa de juros mensal
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Unidade 2
Exemplo 211 (exemplo 5 paacuteg 60 do livro Matemaacutetica Financeira)
Em que prazo um empreacutestimo de R$ 3500000 pode ser pago pela quantia de R$ 4790000 se a taxa de juros compostos cobrada for de 4 am
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
3500000 4790000 4 8
Periacuteodo em meses
Funccedilatildeo ldquoCrdquo na HP ndash 12C e as teclas ldquoSTOrdquo e ldquoEEXrdquo
Vocecirc pode calcular taxa de juros (i) Capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos Perioacutedicos (PMT) para transaccedilotildees financeiras com periacuteodos fracionaacuterios Ao digitar um periacuteodo fracionaacuterio por exemplo 23 meses a parte inteira do nuacutemero indica o nuacutemero de periacuteodos inteiro e a parte fracionaacuteria do nuacutemero o tamanho do periacuteodo fracionaacuterio como uma fraccedilatildeo do periacuteodo inteiro (no exemplo 2 meses e 03 meses)
De acordo com o criteacuterio do usuaacuterio os caacutelculos de taxa de juros ( i ) capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos perioacutedicos (PMT) podem ser executados com juros simples ou compostos acumulados durante o periacuteodo fracionaacuterio Para escolher uma das duas opccedilotildees faccedila
Aparece o indicador ldquoCldquo Portanto os juros compostos satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Natildeo aparece o indicador ldquoCrdquo Portanto os juros simples satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Figura 23 - Teclas utilizadas para caacutelculo de juros simples e compostos para periacuteodo fracionaacuterio Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
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Exemplo 212
Calcular o valor futuro de uma aplicaccedilatildeo de R$ 185030000 aplicado agrave taxa de 14 aa durante 45 anos usando juros compostos e simples para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Soluccedilatildeo as sequecircncias a seguir apresentam os resultados para o caacutelculo do valor futuro com juros simples para o periacuteodo fracionaacuterio e juros compostos para o periacuteodo fracionaacuterios respectivamente
185030000 14
45 334383879
Valor futuro calculado com juros simples para o periacuteodo
fracionaacuterio
185030000
14 45 333667556
Valor futuro calculado com juros compostos para o
periacuteodo fracionaacuterio
Exemplo 213 (exemplo 1 paacuteg 81 do livro Matemaacutetica Financeira)
Determine o valor do desconto composto racional e o valor do resgate de um tiacutetulo de R$ 1560000 descontado 5 meses antes do seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto composto racional eacute de 4 am
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Unidade 2
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor do desconto racional composto e o valor liacutequido a receber
1560000 1
1 004 5
277794 1560000 1282206
Valor do desconto Valor liacutequido
Exemplo 214 (exemplo 1 paacuteg 84 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um tiacutetulo de valor nominal de R$ 1500000 eacute descontado em um banco 3 meses antes de seu vencimento Se a taxa de desconto comercial usada pelo banco eacute de 8 am qual eacute o valor do desconto
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor liacutequido e o valor do desconto bancaacuterio ou comercial
1500000 3 8
-1168032 331968
Valor liacutequido Valor do desconto
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Nesta unidade vocecirc usou a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros simples e compostos descontos simples e compostos valor presente taxa de juros periacuteodo e montante Na proacutexima unidade usaremos a ferramenta para auxiliar no caacutelculo de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir foram propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo em PDF estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as questotildees 1 3 5 e 6 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteginas 38 e 39 Confira os resultados na paacuteg 194
1) Qual o rendimento que obtemos ao aplicarmos um capital de R$ 1000000 a uma taxa de juros simples de 5 aa durante 3 anos
3) Em um regime de capitalizaccedilatildeo simples qual eacute o montante que se obteacutem quando aplicamos um capital de R$ 200000 a uma taxa 6 aa durante 24 meses
5) Uma quantia de R$ 6200000 foi aplicada em uma operaccedilatildeo financeira no dia 20 de setembro de 2003 e resgatada no dia 21 de dezembro de 2003 a uma taxa de 125 aa Quais os juros simples exatos e comerciais da operaccedilatildeo
6) Calcule os juros simples exatos e comerciais nas seguintes condiccedilotildees
bull R$ 600000 aplicados por 180 dias a 12 aa
bull R$ 520000 aplicados por 230 dias a 15 aa
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
2 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 2 e 4 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegs 52 e 53 Confira os resultados nas paacuteginas 194 e 195
1) Uma empresa desconta uma duplicata no valor nominal de R$ 5000000 no Banco ldquoXrdquo 4 meses antes do seu vencimento Sabendo que o banco ldquoXrdquo trabalha com uma taxa de desconto simples bancaacuterio de 45 am qual eacute o valor do desconto e o valor liacutequido recebido
2) Para pagar uma diacutevida hoje uma empresa descontou em uma carteira de creacutedito uma duplicata no valor de R$ 1650000 com vencimento daqui a 2 meses recebendo um valor nominal liacutequido de R$ 1500000 Determine a taxa mensal de desconto simples bancaacuterio utilizada
4) Uma letra de cacircmbio no valor nominal de R$ 500000 foi comercializada 4 meses antes do vencimento a uma taxa de desconto simples de 22 am Se o desconto simples fosse o racional qual seria o valor deste desconto
3 Elabore uma sequecircncia de passos para resolver as questotildees propostas 1 2 3 4 e 6 nas paacuteginas 65 66 e 67 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira e confira os resultados na paacuteg 195
1) Calcule o montante produzido por um capital de R$ 2600000 aplicado a uma taxa de juros compostos de 52 am por 6 meses
2) Calcule os juros compostos auferidos por um capital de R$ 420000 aplicado a uma taxa de 3 am durante 10 meses
3) Um empreacutestimo de R$ 600000 deve ser pago em 120 dias a juros compostos pelo valor de R$ 900000 Qual eacute a taxa mensal da operaccedilatildeo
4) Em que prazo uma aplicaccedilatildeo a juros compostos de R$ 2400000 produziraacute um montante de R$ 6151930 agrave taxa de 4 am
6) Quanto Paulo deve aplicar hoje a juros compostos em uma instituiccedilatildeo financeira que paga uma taxa de 12 am para pagar um compromisso de valor nominal igual a R$ 3800000 que vence daqui a 3 meses
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4 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 e 8 das paacuteginas 88 e 90 respectivamente do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira Confira os resultados na paacuteg 196
1) Determine o valor do desconto composto racional de um tiacutetulo de valor nominal de R$ 830000 descontado 6 meses antes de seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto eacute de 42 am
8) Um tiacutetulo de R$ 3000000 foi descontado em uma instituiccedilatildeo financeira a uma taxa de desconto composto comercial de 64 am e o valor liacutequido recebido era de R$ 2017327 Quantos meses antes do vencimento foi descontado este tiacutetulo
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
3UNIDADE 3
Taxas de juros equivalentes e caacutelculo de pagamentos perioacutedicos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para calcular taxas equivalentes
Usar as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP ndash 12C para programar o algoritmo da taxa equivalente no regime de capitalizaccedilatildeo composto
Calcular pagamentos perioacutedicos de sequecircncias uniformes postecipadas e antecipadas
Calcular montante de uma sequecircncia uniforme
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Taxas equivalentes
Seccedilatildeo 2 Sequecircncia de capitais
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar taxas equivalentes no regime de capitalizaccedilatildeo composto Vocecirc usaraacute as funccedilotildees de programaccedilatildeo com o objetivo de elaborar um algoritmo para fazer a conversatildeo de taxas de um periacuteodo de capitalizaccedilatildeo (ex mensal) para outro periacuteodo (ex anual) usando o programa Vamos explorar as funccedilotildees ldquoPMTrdquo ldquoBEGrdquo e ldquoENDrdquo para realizar caacutelculo de pagamentos antecipados e postecipados em uma sequecircncia uniforme Destacamos que os exemplos que seratildeo apresentados estatildeo no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira
Seccedilatildeo 1 ndash Taxas equivalentes
Nesta unidade vocecirc usaraacute algumas funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos (postecipados e antecipados) de uma seacuterie uniforme Vocecirc usaraacute ainda as funccedilotildees de programaccedilatildeo para elaborar um programa para calcular taxas equivalentes A figura a seguir apresenta as funccedilotildees que vocecirc usaraacute nos exemplos apresentados posteriormente
Aciona o modo de programaccedilatildeo de HP ndash 12C
Aciona a funccedilatildeo Begin que calcula a parcela com pagamento antecipado
Aciona a funccedilatildeo End (natildeo aparece no visor da calculadora) que calcula parcela com pagamento postecipado
Figura 31 - Teclas utilizadas para acionar as funccedilotildees Beg e End e entrar no modo de programaccedilatildeo
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
Taxas equivalentes
No mercado financeiro e nas operaccedilotildees bancaacuterias e comerciais a palavra taxa eacute empregada de vaacuterias formas ou seja vaacuterios conceitos satildeo abordados em vaacuterias situaccedilotildees Esta seccedilatildeo tem como objetivo mostrar como as taxas de juros satildeo informadas no mercado financeiro e como adequaacute-las agraves condiccedilotildees padronizadas pela HP ndash 12C
Duas taxas satildeo consideradas equivalentes a juros compostos quando aplicadas a um mesmo capital por um periacuteodo de tempo equivalente e geram o mesmo rendimento
Exemplo 31(exemplo 1 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
No regime de juros compostos qual a taxa anual equivalente a 4 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente anual
Exemplo 32 (exemplo 2 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
Calcule a taxa quadrimestral equivalente agrave taxa de juros compostos de 8 aa
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente quadrimestral
1 004 12 1 1 10000 6010
Taxa anual
50
Universidade do Sul de Santa Catarina
1 008 1 3 1 10000 260
Taxa quadrimestral
Programa para caacutelculo da taxa equivalente pela hp ndash 12c
O professor Carlos Shinoda em seu livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48) apresenta um programa para calcular a taxa equivalente atraveacutes da calculadora HP ndash 12C
Siga os procedimentos abaixo para introduzir o programa na HP ndash 12C
Figura 32 - Algoritmo para a programaccedilatildeo de taxa equivalente
Fonte Livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48)
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
Agora que vocecirc programou a HP ndash 12C para o caacutelculo de taxas equivalentes resolva o exemplo a seguir usando o programa
Exemplo 33
Usando o programa anterior determine as taxas equivalentes propostas nos exemplos 31 e 32
Soluccedilatildeo
As sequecircncias abaixo calculam as taxas equivalentes
Executa oprograma
4 1 12 6010
Taxa anual
Executa oprograma
8 360 120 260
Taxa quadrimestral
52
Universidade do Sul de Santa Catarina
Seccedilatildeo 2 ndash Sequecircncia de capitais
Nesta seccedilatildeo vocecirc acompanharaacute as situaccedilotildees em que haacute mais de um pagamento ou seja vocecirc estudaraacute as operaccedilotildees envolvendo pagamentos ou recebimentos perioacutedicos e uniformes
As seacuteries uniformes de pagamentos satildeo aquelas em que os pagamentos ou recebimentos satildeo constantes e ocorrem em intervalos iguais
Seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas e antecipadas
As seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1 Este sistema eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada (0 + n)
Pagamentos ou recebimentos podem ser chamados de prestaccedilatildeo representada pela sigla PMT que vem do inglecircs Payment e significa pagamento ou recebimento
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentosPMT
++
0 1 2 3 4 5 6 n
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
++
0 1 2 3 4 5 6 n
PMT
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
As seacuteries uniformes de pagamentos antecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre na data focal 0 (zero) Este tipo de sistema de pagamento eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento com entrada (1+ n)
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
Exemplo 34 (exemplo 2 paacuteg 108 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um automoacutevel eacute vendido em uma loja por R$ 3200000 A loja propotildee as seguintes condiccedilotildees para financiamento
Proposta A 12 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta B 24 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta C 36 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
A taxa de juros usada eacute de 32 am Qual o valor de cada prestaccedilatildeo nas 3 modalidades de financiamento
Soluccedilatildeo
As sequecircncias a seguir calculam os valores das parcelas nas trecircs propostas
54
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3200000
32 12 -325329
parcela
3200000
32 24 -193046
parcela
3200000
32 36 -150979
parcela
Exemplo 35 (exemplo 2 paacuteg 111 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma casa cujo valor agrave vista eacute R$ 4924456 eacute vendida em prestaccedilotildees mensais e iguais de R$ 250000 sendo a primeira dada como entrada Se a taxa de financiamento eacute de 18 am determine o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas no financiamento
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o nuacutemero de parcelas
4924456 18
250000 24
nordm de parcelas
55
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
No exemplo acima o nuacutemero de pagamento deu um nuacutemero inteiro Mas podem acontecer situaccedilotildees em que ao se determinar o nuacutemero de parcelas o resultado natildeo seja um nuacutemero inteiro
Nessa situaccedilatildeo a HP ndash 12C arredonda a resposta para o proacuteximo inteiro para cima antes de armazenaacute-la e exibi-la
Exemplo 36
Vocecirc comprou um terreno por R$ 3500000 a juros de 105 aa Vocecirc pretende fazer pagamentos de R$ 32500 no fim de cada mecircs Quantos pagamentos seratildeo necessaacuterios para pagar o terreno e quanto tempo levaraacute
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o nuacutemero de pagamentos e o tempo necessaacuterio
3500000 105
32500 328 2733
nordm de parcelas Tempo (anos)
Como a calculadora arredonda o valor do tempo para o proacuteximo inteiro eacute provaacutevel que apesar de serem necessaacuterios 328 pagamentos somente 327 seratildeo inteiros de R$ 32500 com o pagamento final sendo menor do que R$ 32500 Para calcular o valor do pagamento de nuacutemero 328 vamos fazer o seguinte
A calculadora natildeo ajusta os valores nos outros registros financeiros automaticamente para refletir os n pagamentos iguais ao contraacuterio ela lhe permite escolher quais valores (se houver) que vocecirc deseja ajustar
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328 18189 - 32500 -14311
Valor da parcela 328
Nesta unidade vocecirc calculou taxas equivalentes usou as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP e fez caacutelculos de pagamentos perioacutedicos de uma seacuterie uniforme antecipado ou postecipado Na proacutexima unidade vamos realizar caacutelculos de valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades abaixo (Essa atividade corresponde agrave autoavaliaccedilatildeo 1 da unidade 5 do livro didaacutetico de Matemaacutetica Financeira) Em seguida use o programa elaborado para resolver a mesma questatildeo
Calcule a taxa anual das seguintes taxas
a) 26 am
b) 42 ab
c) 48 at
d) 12 as
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Unidade 3
2 Elabore um algoritmo para resolver as seguintes atividades (Estas questotildees equivalem agraves autoavaliaccedilotildees 1 2 3 4 e 5 da unidade 8 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 121 122 e 123)
a) Calcule o valor da prestaccedilatildeo mensal de um empreacutestimo de R$ 600000 que seraacute amortizado em 12 prestaccedilotildees mensais postecipadas sabendo que o banco cobra uma taxa de juros de 2 am
b) Uma loja vende um automoacutevel agrave vista por R$ 1650000 Se o comprador quiser fazer um financiamento em 36 parcelas mensais e iguais onde o 1ordm pagamento seraacute efetuado no 1ordm mecircs apoacutes a compra a uma taxa de juros de 21 am qual o valor da prestaccedilatildeo
c) Uma mercadoria custa R$ 9038071 agrave vista podendo ser vendida em prestaccedilotildees mensais de R$ 1050000 sendo a primeira prestaccedilatildeo dada como entrada Sabendo-se que a loja aplica uma taxa de 35 am qual o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas
d) Carlos depositou certa quantia durante 10 meses de forma antecipada a uma taxa de 25 am obtendo um montante de R$ 25000000 Quanto depositou mensalmente Carlos
e) Um produto eacute vendido agrave vista por R$ 200000 ou em 10 prestaccedilotildees mensais iguais sem entrada com uma carecircncia de 90 dias apoacutes a compra Qual o valor de cada prestaccedilatildeo sabendo que a taxa de juros eacute de 6 am
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
4UNIDADE 4
Valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa
Usar as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Valor presente liacutequido
Seccedilatildeo 2 Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs ndash SFA (Price)
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa usando as funccedilotildees CF0 CFj e NPV Vocecirc deveraacute ainda fazer uso da funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos usando o Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo ndash SFA ou tabela Price
Seccedilatildeo 1 ndash Valor presente liacutequido
A figura 41 a seguir apresenta as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C que vocecirc usaraacute nessa unidade para realizar caacutelculo de valor presente liacutequido e para a elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos ou financiamento
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor inicial do fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor do fluxo de caixa no periacuteodo j
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula o valor presente atual de um fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula a parte dos pagamentos usada para pagar juros
Figura 41 - Teclas para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
Valor presente liacutequido
Nessa seccedilatildeo vocecirc usaraacute as funccedilotildees da HP ndash 12C para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa Para entender como usar as funccedilotildees CF0 CFj e NPV considere o fluxo de caixa para um investimento que exige capital inicial (CF0) e que gera um fluxo de caixa (CFj ) no final de j periacuteodos
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Unidade 4
Veja a seguir o fluxo de caixa
CF0CF1
CF2 CF5
CFn
CF3 CF4
O VPL = Valor Presente Liacutequido eacute calculado somando ao investimento inicial o valor presente dos fluxos de caixa futuros projetados Portanto
se o VPL for positivo o valor financeiro do ativo do investidor aumentaraacute ou seja o investimento financeiro seraacute atrativo em termos financeiros
se o VPL for zero o valor financeiro do ativo financeiro do investidor natildeo mudaraacute ou seja o investidor seraacute indiferente ao investimento
se o VPL for negativo o valor financeiro do ativo do investidor seraacute reduzido ou seja o investimento natildeo seraacute atrativo em termos financeiros
Exemplo 41
Um investidor compra uma casa por R$ 7000000 e gostaria de ter um retorno de pelo menos 15 Ele pretende manter a casa por 4 anos e depois vendecirc-la por R$ 11000000 Ele prevecirc os fluxos de caixa mostrados no diagrama abaixo
CF0CF1
CF1
CF3CF4
CF5
R$ 7000000
R$ 50000
R$ 450000R$ 450000
R$ 13000000R$ 550000
Sendo assim calcule o VPL para determinar se o investimento resultaria em um retorno ou perda
62
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Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o VPL
7000000 50000
450000 550000 450000
13000000 15 379007
VPL
Como o VPL eacute positivo o investimento aumentaria o valor financeiro do ativo do investidor
Exemplo 42 (exemplo 4 paacuteg 98 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um proprietaacuterio recebeu as seguintes propostas para a venda de uma casa
Proposta A entrada de R$ 10000000 + R$ 5000000 em 6 meses + R$ 6000000 em 1 ano
Proposta B entrada de R$ 8000000 + R$ 6000000 em 5 meses + R$ 7000000 em 10 meses
Sabendo-se que a taxa de juros de mercado eacute de 3 am qual a melhor proposta para o vendedor
Soluccedilatildeo
Essa questatildeo deve ser resolvida pelo meacutetodo do Valor Presente Liacutequido A alternativa que tiver o maior valor seraacute a melhor Entretanto para facilitar a elaboraccedilatildeo do algoritmo de resoluccedilatildeo na HP ndash 12C elabore o fluxo de caixa para cada situaccedilatildeo
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Unidade 4
1 Proposta A Fluxo de caixa
10000000 5000000 6000000
1 2 3 4 5 7 8 9 10 110 6 12
Calculando o VPL
10000000 000 5
5000000 000
5
6000000
3
18395701
VPL
Armazena o zero 5 vezes
2 Proposta B Fluxo de caixa
8000000 70000006000000
1 2 3 4 6 7 8 90 5 10
Calculando o VPL
8000000 000 4
6000000 000
4
7000000
3
18384310
VPL
Armazena o zero 4 vezes
Resposta a melhor proposta eacute a A
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Exemplo 43
Dois equipamentos satildeo examinados Considerando ser a taxa miacutenima de atratividade de 20aa qual o equipamento que deve ser adquirido
Dados
41 - Tabela de DadosEquipamento K Equipamento L
Custo R$ 5000000 R$ 8000000Custo anual de manutenccedilatildeo R$ 2000000 R$ 1500000Valor residual para venda R$ 400000 R$ 800000Duraccedilatildeo em anos 10 10
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
A seguir veja o diagrama de fluxo de caixa
Os caacutelculos do Valor Presente Liacutequido para as duas situaccedilotildees satildeo
Equipamento K
5000000
Equipamento K
2000000
400000
0 1 2 10
8000000
Equipamento L
1500000
800000
0 1 2 10
50000 20000
9 4000 20000 1
20 -13320342
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Unidade 4
Equipamento L
80000 15000
9 8000 15000 1
20 -14159504
Importante Veja que a alternativa K equivale a um equipamento em que se investe R$ 13320342 enquanto que o equipamento L equivale a um investimento de R$ 14159504 Portanto eacute preferiacutevel o equipamento K pois o investimento eacute menor
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Seccedilatildeo 2 ndash Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs - SFA
Este sistema consiste no pagamento de empreacutestimos ou financiamentos com prestaccedilotildees iguais e com periodicidade constante Eacute considerado o sistema de amortizaccedilatildeo mais utilizado pelas instituiccedilotildees financeiras e pelo comeacutercio em geral
O Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo eacute assim chamado por ter sido inventado na Franccedila por volta do seacuteculo XVIII pelo matemaacutetico inglecircs Richard Price daiacute portanto a origem da denominaccedilatildeo Sistema Price tambeacutem comumente chamado de Tabela Price
Na verdade a Tabela Price eacute um caso particular derivado do Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo Neste sistema o financiamento (PV) eacute pago em parcelas (PMT) iguais constituiacutedas da amortizaccedilatildeo do principal da diacutevida + juros compensatoacuterios (J) que variam inversamente ao longo do tempo Ou seja agrave medida que aumenta o valor da parcela de amortizaccedilatildeo haveraacute uma queda dos juros compensatoacuterios em funccedilatildeo da reduccedilatildeo do saldo devedor
Principais Caracteriacutesticas
As principais caracteriacutesticas do SFA satildeo
a prestaccedilatildeo eacute constante durante todo o periacuteodo do financiamento
a parcela de amortizaccedilatildeo aumenta a cada periacuteodo (n)
os juros compensatoacuterios diminuem a cada periacuteodo (n)
Exemplo 44 (exemplo 1 paacuteg 148 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma instituiccedilatildeo financeira libera um empreacutestimo para uma induacutestria no valor de R$ 60000000 para ser pago pelo sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs em 120 meses a uma taxa de 15 am Faccedila a planilha ateacute o 4ordm mecircs e calcule o saldo devedor no 100ordm mecircs
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Unidade 4
Soluccedilatildeo
A sequecircncia abaixo calcula o valor da prestaccedilatildeo os juros a amortizaccedilatildeo o saldo devedor e valor do saldo devedor no 100ordm mecircs Acompanhe
Zera os registradores
60000000 Armazena o valor presente
120 Armazena o periacuteodo
15 Armazena a taxa
- R$ 1081111 Valor da prestaccedilatildeo
1 - R$ 900000 Valor dos juros da 1ordf parcela
R$ 181111Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 1ordf parcela
R$ 58918889 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 897283 Valor dos juros da 2ordf parcela
- R$ 183828Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 2ordf parcela
R$ 59635061 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 894526 Valor dos juros da 3ordf parcela
- R$ 186585Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 3ordf parcela
R$ 59448476 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 891727 Valor dos juros da 4ordf parcela
- R$ 189384Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 4ordf parcela
R$ 59259092 Recupera o saldo devedor
A tabela a seguir apresenta um resumo das operaccedilotildees realizadas
68
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Tabela 42 ndash Planilha de amortizaccedilatildeoPeriacuteodo (n) Amortizaccedilatildeo (A) Juros (J) Prestaccedilotildees (R) Saldo Devedor (S)
0 - - - R$ 600000001 R$ 181111 R$ 900000 R$ 1081111 R$ 598188892 R$ 183828 R$ 897283 R$ 1081111 R$ 596350613 R$ 186585 R$ 894526 R$ 1081111 R$ 594484764 R$ 189384 R$ 891727 R$ 1081111 R$ 59259092
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Para determinar o saldo devedor no 100ordm mecircs faccedila como indicado a seguir
60000000 120 150
-1081111 18561247
Prestaccedilatildeo Saldo devedor no 100ordm mecircs
Nesta unidade vocecirc usou as funccedilotildees de fluxo de caixa para calcular o valor presente liacutequido e a funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
69Unidade 4
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Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades a seguir (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 4 e 5 da unidade 7 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegina 102) Em seguida use o programa elaborado para resolver as mesmas questotildees
a) Qual das alternativas de pagamento eacute a melhor para uma taxa de juros compostos de 75 am
Alternativa A Pagamento de R$ 15000000 agrave vista
Alternativa B Entrada de R$ 5000000 + R$ 8000000 em 90 dias + R$ 6000000 em 150 dias
b) Uma pessoa deve a um banco dois tiacutetulos com valores de R$ 300000 e R$ 600000 venciacuteveis respectivamente em 4 meses e 8 meses Se a pessoa deseja antecipar para hoje a liquidaccedilatildeo dos tiacutetulos qual o valor a pagar considerando que o banco opera com uma taxa de juros compostos de 23 am
2 Elabore um algoritmo para resolver as atividades abaixo (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 1 e 4 da unidade 10 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 151 e 153)
a) Um cliente solicita a um banco um empreacutestimo de R$ 4000000 pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs em 60 prestaccedilotildees mensais Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de juros de 28 am obtenha o valor da prestaccedilatildeo e o saldo devedor depois de pagar a 20ordf prestaccedilatildeo
b) Um empreacutestimo de R$ 30000000 seraacute saldado em 50 prestaccedilotildees mensais a uma taxa de 15 am Determine a parcela de juros relativa agrave 15ordf prestaccedilatildeo pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs (price)
70
Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
Manual da calculadora HP ndash 12C
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico ndash 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7ed Satildeo Paulo Atlas 2000
Para concluir o estudo
Com o teacutermino desse curso de extensatildeo acreditamos que proporcionamos momentos de aprendizagem por meio da interaccedilatildeo da calculadora financeira e que vocecirc estaacute habilitado(a) a fazer uso dessa ferramenta com qualidade no mercado de trabalho relacionado a essa aacuterea tatildeo importante no nosso dia-a-dia
Referecircncias
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7 ed Satildeo Paulo Atlas 2000
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003 Disponiacutevel em lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt Acesso em 05 jun 2008
Sobre o professor conteudista
Joseacute Humberto Dias de Toledo - eacute Mestre em Educaccedilatildeo pela Universidade do Sul de Santa Catarina Graduado em Licenciatura em Matemaacutetica e em Engenharia Civil Professor das disciplinas Meacutetodos Numeacutericos Informaacutetica Aplicada agrave Matemaacutetica Financeira Caacutelculo I e Matemaacutetica Financeira no Curso de Matemaacutetica ndash Licenciatura nesta mesma instituiccedilatildeo Atualmente ministra a disciplina Representaccedilotildees Graacuteficas na Poacutes-graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo Matemaacutetica da UNISUL
Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo
Unidade 1
1 a) 5
b) -2359
c) 3311
d) 077
e) 081
Respostas modo RPN
a)
b)
c)
d)
e)
Respostas modo ALG
a
b
c
d
e
78
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 R$ 167757
Modo RPN
Modo ALG
3 -242
4 Data 13082008 3 (quarta-feira)
5 Florianoacutepolis = 3303 Curitiba = 5018 Porto Alegre = 1680
Unidade 2
1 1) 150000
Dados
C = R$ 1000000
i = 5 aa
n = 3 anos = 1080 dias
J =
3) 24 meses = 2 anos
Dados
C = R$ 200000
i = 6 aa
n = 24 meses = 720 dias
M =
79
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
85
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
86
Universidade do Sul de Santa Catarina
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
87
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
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Unidade 1
Fique atento(a) ao fato de que muitas teclas da HP ndash 12C executam duas ou ateacute trecircs funccedilotildees A funccedilatildeo primaacuteria eacute indicada pelos caracteres impressos em branco na face superior As funccedilotildees secundaacuterias da calculadora satildeo impressas nas cores dourado e azul apresentadas respectivamente acima da tecla e na sua face inferior
Para acionar essas funccedilotildees acione a tecla de prefixo que eacute apropriada antes da tecla da funccedilatildeo ou seja e Veja na figura 12
Para selecionar a funccedilatildeo secundaacuteria impressa em dourado aperte a tecla de prefixo f e em seguida a tecla da funccedilatildeo
Para selecionar a funccedilatildeo primaacuteria impressa na face superior de uma tecla aperte somente a tecla
Para selecionar a funccedilatildeo secundaacuteria impressa em azul aperte a tecla de prefixo azul g e em seguida a tecla da funccedilatildeo
Figura 12 - Modo de acesso agraves funccedilotildees primaacuterias e secundaacuterias da Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Disponiacutevel em lthttphpcomlatambrprodutoscalculadorasgrandeprofessores12phtmlgt Acesso em 29 mai 2008
Entrando com nuacutemeros e separadores de diacutegitos
Para que vocecirc possa entrar com um nuacutemero na HP aperte as teclas correspondentes ao nuacutemero em sequecircncia O ponto decimal deve ser usado para separar a parte inteira da parte fracionaacuteria do nuacutemero Se vocecirc quiser pode configurar a calculadora para exibir a viacutergula como separador Para tanto desligue a calculadora e depois aperte simultaneamente as teclas
e
Para voltar
agrave configuraccedilatildeo anterior repita a operaccedilatildeo
Nuacutemeros negativos
A tecla troca o sinal de um nuacutemero no mostrador Portanto se vocecirc quiser trocar o sinal de um nuacutemero positivo que estaacute no visor aperte a tecla ele ficaraacute negativo E vice-versa
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As teclas ldquoCLEARrdquo (apagar)
A ilustraccedilatildeo a seguir apresenta as teclas ldquoClearrdquo que apagam ou zeram o mostrador as memoacuterias a memoacuteria de programaccedilatildeo os registradores financeiros os registros de pilha e registros estatiacutesticos Confira na figura 13
Apaga o mostrador
Apaga os registros estatiacutesticos registros da pilha e mostrador
Apaga a memoacuteria de programaccedilatildeo
Apaga os registros financeiros
Apaga os registros de armazenamento de dados registros financeiros registros de pilha LAST X e mostrador
Figura 13 - As teclas CLEAR da Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Registros de armazenamento
Os dados de entrada na HP ndash 12C podem ser armazenados em memoacuterias chamadas ldquoregistros de armazenamentordquo Quatro registros satildeo usados para o armazenamento de nuacutemeros durante os caacutelculos e mais um que eacute usado para armazenar o uacuteltimo nuacutemero chamado ldquoLAST Xrdquo
Aleacutem dos registros citados nos quais os nuacutemeros satildeo armazenados automaticamente existem outros 20 registros para o armazenamento manual de nuacutemeros Eles satildeo designados por R R R R a e a Outros registros de armazenamento designados como registros financeiros satildeo reservados para os nuacutemeros que seratildeo usados em caacutelculos financeiros
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Unidade 1
Armazenando recuperando nuacutemeros e zerando registros
Para armazenar um nuacutemero em um registro de armazenamento de dados aperte a tecla (armazenar) e em seguida um dos nuacutemeros de 0 a 9 para os registros R R
0 9 a e 0 a 9 para os
registros R R 0 9
a
Para recuperar um nuacutemero de um registro de armazenamento de dados aperte a tecla (recuperar) e em seguida um dos nuacutemeros de 0 a 9 para os registros R R
0 9 a e 0 a 9 para os
registros R R 0 9
a
Jaacute para zerar um uacutenico registro de armazenamento vocecirc pode armazenar o valor zero no registro Agora para zerar todos os registros de armazenamento de uma soacute vez ndash incluindo os registros financeiros os registros da pilha e o registro LAST X ndash aperte
E entatildeo estaacute motivado(a) para continuar Na proacutexima seccedilatildeo apresentaremos as teclas ldquoRPNrdquo e ldquoALGrdquo e faremos caacutelculos aritmeacuteticos usando esses modos
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Seccedilatildeo 2 ndash Caacutelculos aritmeacuteticos no modo ldquoRPNrdquo e no modo ldquoALGrdquo
A calculadora HP ndash 12C pode ser configurada para executar operaccedilotildees aritmeacuteticas nos modos RPN ndash Notaccedilatildeo Polonesa Reversa e ALG ndash Algeacutebrico No modo RPN os resultados intermediaacuterios nas operaccedilotildees aritmeacuteticas satildeo armazenados automaticamente portanto natildeo eacute necessaacuterio o uso dos parecircnteses Jaacute no modo ALG as operaccedilotildees elementares satildeo executadas de maneira convencional
Conheccedila alguns exemplos na sequecircncia do texto
Exemplo 11
Calcular 3 x 2 + 5 usando os modos RPN e ALG na HP ndash 12C
Resolvendo no modo RPN
Para configurar a calculadora no modo RPN aperte a tecla e em seguida Observe que vai aparecer o indicador RPN no visor da maacutequina
Agora que a calculadora estaacute no modo RPN vamos ao caacutelculo
3 2 5 11
Resultado
Resolvendo no modo ALG
Para configurar a calculadora no modo ALG aperte a tecla e em seguida Observe que vai aparecer o indicador ALG no visor da maacutequina
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Unidade 1
Calculando no modo algeacutebrico
3 2 5 11
Resultado
Os modelos mais antigos de calculadoras HP ndash 12C natildeo disponibilizam o modo algeacutebrico Portanto se vocecirc eacute usuaacuterio desse tipo de calculadora todos os caacutelculos devem ser efetuados no modo RPN
Exemplo 12
Resolver os caacutelculos solicitados a seguir usando os modos RPN e ALG
a) 3 2 5 33+ minus x
b) ( )minus + minus2 3 4 43 x
c) 2 9 3 52minus + + minus
d) 2 35
2+ minusln
e) 3 4 62+ minuse
Resolvendo no modo RPN
a)
3 2 3 5 3 - 4
Resultado
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b)
c)
d)
Obs para alterar a quantidade de casas decimais no visor da calculadora aperte e em seguida um nuacutemero de 1 a 9 que corresponde agrave quantidade de casas decimais No exemplo acima usamos
e)
2
3 3
4
4
0
Resultado
2
2
9 3 5 125
Resultado
2
3
5 2 0599
Resultado
3
2
46 5789
Resultado
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Unidade 1
Resolvendo no modo ALG com o auxiacutelio dos registros R R
0 9 a
a)
2
3
5 3 3
4
Resultado
Armazena o resultado do visor na memoacuteria 0
Recupera o registro da memoacuteria 0
b)
2
3
3 4
4 0
Resultado
c)
2 2
9
3 5 125
Resultado
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d)
e)
Exemplo 13
Usando a calculadora HP ndash 12C no modo RPN as seguintes operaccedilotildees bancaacuterias foram realizadas a conta tinha um saldo de R$ 12300 e foi feito um depoacutesito referente ao salaacuterio de R$ 189035 Em seguida foram emitidos e compensados cheques nos valores de R$ 38590 R$ 23478 e R$ 62389 Qual eacute o novo saldo da conta
Soluccedilatildeo use
para apresentar os caacutelculos com duas casas decimais
12300 189035 38590
23478 62389 76920
Saldo
2 3 5 2 0 0599
Resultado
3 2 46 5789
Resultado
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Unidade 1
Seccedilatildeo 3 ndash Funccedilotildees de percentagem e calendaacuterio
A calculadora HP ndash 12C apresenta funccedilotildees que permitem o caacutelculo de percentagens e de calendaacuterio Para caacutelculo com percentagens natildeo eacute necessaacuterio converter o nuacutemero na notaccedilatildeo percentual para a notaccedilatildeo decimal Jaacute as funccedilotildees calendaacuterio fornecidas pela HP trabalham com datas entre 15 de outubro de 1582 e 25 de novembro de 4046 A seguir vocecirc conheceraacute detalhadamente essas funccedilotildees
Funccedilotildees de percentagem
Calcula a Percentagem de um nuacutemero ou valor
Calcula a diferenccedila percentual entre dois nuacutemeros
Calcula qual percentual um nuacutemero eacute de outro
Figura 14 - Ilustraccedilatildeo das funccedilotildees de percentagem da Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Funccedilotildees de calendaacuterio
Configura o formato de uma data para dia-mecircs-ano
Configura o formato de uma data para mecircs-dia-ano
Calcula o nuacutemero de dias entre datas
Calcula datas futuras ou passadas
Figura 15 - Ilustraccedilatildeo das funccedilotildees de calendaacuterio da Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Nos exemplos a seguir estaacute demonstrado o uso de todas as funccedilotildees apresentadas Obs os caacutelculos vatildeo ser realizados no modo RPN
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Exemplo 14
Calcular 16 de R$ 198000
Soluccedilatildeo
198000 1600 31680
Resultado
Exemplo 15
Determinada empresa com accedilotildees na bolsa de valores verificou as seguintes variaccedilotildees nos valores das suas accedilotildees no dia 150508 o valor da accedilatildeo passou de R$ 5025 para R$ 5498 jaacute no dia 210508 o valor da accedilatildeo caiu de R$ 5498 para R$ 5208 Qual a diferenccedila percentual nas duas situaccedilotildees
Soluccedilatildeo a sequecircncia a seguir apresenta a variaccedilatildeo percentual
Caacutelculo da variaccedilatildeo percentual de R$ 5025 para R$ 5498 usando a HP ndash 12C
5025 5498 941
Resultado
Observe que o resultado apresentado eacute positivo portanto representa aumento
Caacutelculo da variaccedilatildeo percentual de R$ 5498 para R$ 5208 usando a HP ndash 12C
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Unidade 1
5498 5208 -527
Resultado
Observe que o resultado apresentado eacute negativo portanto representa queda
Exemplo 16
A empresa do exemplo anterior atua na regiatildeo sul do Brasil com vendas totais realizadas no mecircs de abril de 2008 de R$ 589636996 distribuiacutedas da seguinte forma R$ 123656939 no Paranaacute R$ 356963920 em Santa Catarina e R$ 109016137 no Rio Grande do Sul Qual a percentagem das vendas totais em cada um dos trecircs Estados
Soluccedilatildeo
A sequecircncia apresenta os percentuais nos estados do Paranaacute Santa Catarina e Rio Grande do Sul
Soluccedilatildeo
589636996 123656939 2097
356963920 6054 109016137 1849
Resultado SC Resultado RS
Resultado PR
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Exemplo 17
Comprei uma TV LCD em 17052008 com vencimento para 120 dias Determine a data do vencimento usando a calculadora HP ndash 12C
Soluccedilatildeo
17052008 120 14092008 7
A data do vencimento eacute 14 de setembro de
2008 domingo
Exemplo 18
Fiz uma compra no dia 12052008 com vencimento para o dia 26082008 Use a calculadora HP ndash 12C para determinar o nuacutemero de dias entre a data da compra e do vencimento
Soluccedilatildeo
12052008 20082008 100
Nuacutemero de dias entre as datas
Nesta unidade vocecirc conheceu algumas funccedilotildees elementares da calculadora as quais seratildeo utilizadas nas demais unidades e satildeo muito importantes para realizar caacutelculos que envolvem questotildees do nosso cotidiano Na proacutexima unidade vocecirc vai usar as funccedilotildees financeiras da calculadora para calcular juros simples e compostos descontos simples e compostos
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Unidade 1
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
Efetue as atividades de autoavaliaccedilatildeo e acompanhe as respostas e comentaacuterios a respeito nas paacuteginas finais deste material Para melhor aproveitamento do seu estudo realize a conferecircncia de suas respostas somente depois de fazer as atividades propostas Desse modo o momento da conferecircncia lhe proporcionaraacute novas oportunidades de aprendizagem
1 Calcule o valor das expressotildees numeacutericas a seguir usando a HP ndash 12C nos modos RPN e ALG
a) 2 5 3 8 24 minus + divide =x
b) minus + minus =3 5 32 3x eln
c) 16 25 3 45 89+ minus =x
d) 2
35 5
3+ minus =ln
e) 0 253
55
2 + minus =minus
2 Use a HP ndash 12C para realizar os caacutelculos e informar o saldo final da seguinte movimentaccedilatildeo financeira Saldo inicial na conta R$ 167890 depoacutesito de R$ 143587 cheques compensados nos valores de R$ 34598 R$ 12345 R$ 65790 e R$ 30987
3 No dia 130508 o doacutelar americano estava cotado em R$ 165 no dia 190508 a cotaccedilatildeo foi de R$ 161 Com base nestes dados indique qual foi a variaccedilatildeo percentual do doacutelar
4 Foi realizada uma compra em um supermercado no valor de R$ 67890 em 150508 Sabendo que esse estabelecimento trabalha com prazo de 90 dias use as funccedilotildees calendaacuterio da HP ndash 12C e determine a data e o dia da semana do vencimento
5 Uma empresa tem vendas mensais para o mecircs de maio de 2008 estimadas em R$ 178909000 Sabendo que o valor total das vendas estaacute distribuiacutedo nas cidades de Florianoacutepolis Curitiba e Porto Alegre com valores correspondentes a R$ 59089000 R$ 89767898 e R$ 30052102 respectivamente determine qual percentagem das vendas totais ocorre em cada uma das cidades
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Saiba mais
HPndash12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
No link abaixo vocecirc tem disponiacutevel o manual da calculadora HP ndash 12C na versatildeo online lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt
2UNIDADE 2
Regimes de capitalizaccedilatildeo simples e composto
Objetivos de aprendizagem
Fazer uso das funccedilotildees financeiras da calculadora HP ndash 12C para calcular juros simples e composto
Dominar o caacutelculo do montante simples e composto
Aprender o caacutelculo de desconto simples e composto
Calcular capital taxa e prazo no regime de capitalizaccedilatildeo composto usando a HP ndash 12C
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Regime de capitalizaccedilatildeo simples
Seccedilatildeo 2 Regime de capitalizaccedilatildeo composto
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc vai fazer uso das funccedilotildees financeiras da HP ndash 12C com o objetivo de realizar caacutelculos de juros simples e composto montantes simples e composto descontos simples e composto caacutelculo de taxas e prazos
Nesta etapa de estudos seratildeo utilizados exemplos do material didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira que estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do Espaccedilo Virtual de Aprendizagem ndash EVA Eacute importante lembrar natildeo ser objetivo deste curso discutir os conceitos da Matemaacutetica Financeira mas apenas utilizar as funccedilotildees disponibilizadas na calculadora para resolver problemas relacionados a essa aacuterea Entretanto caso vocecirc julgue importante os conceitos podem ser relembrados ou vistos no material didaacutetico da disciplina
Seccedilatildeo 1 ndash Regime de capitalizaccedilatildeo simples
Na unidade 1 vocecirc foi apresentado(a) agrave calculadora HP ndash 12C e a algumas das suas funccedilotildees com o objetivo de capacitaacute-lo(a) para o uso adequado dessa ferramenta Esta unidade inicia com uma abordagem sobre os registradores financeiros os quais seratildeo utilizados na maioria dos exemplos que deveratildeo ser resolvidos ao longo das proacuteximas seccedilotildees desta unidade e nas demais unidades deste curso Veja na ilustraccedilatildeo a seguir os registradores financeiros e as suas aplicaccedilotildees
Registra e armazena periacuteodo
Registra e armazena taxa
Registra e armazena valor presente
Registra e armazena pagamentos perioacutedicos
Registra e armazena valor futuro
Figura 21 - Registradores financeiros e as suas aplicaccedilotildees Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
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Unidade 2
Para armazenar um nuacutemero em um registrador financeiro digite o nuacutemero e em seguida uma das teclas correspondentes ilustradas acima
Para exibir um nuacutemero armazenado em um dos registradores financeiros aperte e em seguida a tecla correspondente
Para zerar todos os registradores financeiros aperte a sequecircncia de teclas
Eacute importante lembrar que os registradores financeiros tambeacutem satildeo zerados ao apertar a sequecircncia
e quando a memoacuteria contiacutenua eacute
reinicializada
A seguir vocecirc faraacute caacutelculo de juros simples e de descontos simples usando a HP ndash 12C
Regime de capitalizaccedilatildeo simples
A HP ndash 12C calcula automaticamente juros simples ordinaacuterios ndash usando o ano comercial e juros simples exatos ndash usando um ano de 365 dias simultaneamente
Eacute possiacutevel apresentar qualquer um dos dois e mais com os juros acumulados no mostrador podemos calcular o montante apertando a tecla
Para exemplificar vamos resolver problemas do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira que se encontra disponiacutevel (formato digital) na ferramenta Midiateca do EVA ndash Espaccedilo Virtual de Aprendizagem
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 21 (exemplo 1 paacuteg 29 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital de R$ 1800000 foi aplicado a juros simples durante 3 anos agrave taxa de 6 aa Qual eacute o valor dos juros e o montante adquirido
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula os juros e o montante
Exemplo 22 (exemplo 1 paacuteg 33 do livro Matemaacutetica Financeira)
Ache os juros simples exatos auferidos em uma aplicaccedilatildeo de R$ 1500000 a uma taxa de 16 aa de 20 de abril de 2003 a 1ordm de julho de 2003
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula os juros comerciais e os juros exatos
Neste exemplo utilizamos duas teclas que seratildeo ilustradas a seguir para realizar o caacutelculo dos juros exatos
1800000 1080 6
324000 2124000
Juros Montante
No caacutelculo de Juros simples o periacuteodo deve ser em dias
Calcula juros simples
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Unidade 2
1500000 20042003 01072003
72 16 48000 47342
Juro comercial Juro exato nordm de dias
Ao apertar essa tecla ela rola para baixo o conteuacutedo da pilha para visualizaccedilatildeo no registro X
Ao apertar essa tecla ela troca o conteuacutedo dos registros X e Y da pilha
Figura 22 - Teclas utilizadas para registros de dados Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Exemplo 23 (exemplo 2 paacuteg 34 do livro Matemaacutetica Financeira)
Determine o juro simples exato obtido em uma aplicaccedilatildeo de R$ 1300000 durante 146 dias a uma taxa de 9 aa
Soluccedilatildeo a sequecircncia a seguir realiza os caacutelculos solicitados
1330000 146 9
48545 47880
Juro comercial Juro exato
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Exemplo 24 (exemplo 1 paacuteg 47 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma duplicata de R$ 1500000 com vencimento no dia 03042005 foi descontada em um banco em 08012005 a uma taxa de 25 am Qual eacute o desconto simples bancaacuterio da operaccedilatildeo
Soluccedilatildeo
08012005 03042005 85
1500000 0025 30 106250
Taxa decimal Desconto bancaacuterio
Nordm de dias entre as datas
Exemplo 25 (exemplo 1 paacuteg 48 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma empresa descontou um tiacutetulo com valor de face de R$ 1450000 3 meses e 15 dias antes do vencimento com uma taxa de desconto bancaacuterio simples de 24 am Quanto a empresa recebeu liacutequido na operaccedilatildeo
Soluccedilatildeo
1450000 0024 35 1450000 1328200
Periacuteodo em meses Valor liacutequidoTaxa decimal
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Unidade 2
Exemplo 26 (exemplo 1 paacuteg 49 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma duplicata de R$ 4800000 foi descontada 6 meses antes de seu vencimento em uma instituiccedilatildeo financeira que trabalha com uma taxa de desconto simples de 32 am Com base nestes dados determine
o valor do desconto simples bancaacuterio
o valor do desconto simples racional
Soluccedilatildeo
4800000 6 0032 921600
Taxa decimal Valor liacutequido
921600 1 0032
6 773154
Taxa decimal Valor liacutequido
Na proacutexima seccedilatildeo vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros compostos e de desconto compostos
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Seccedilatildeo 2 ndash Regime de capitalizaccedilatildeo composto
Os exemplos apresentados a partir de agora satildeo ilustrativos de uma ampla variedade de caacutelculos financeiros Para resolvecirc-los vocecirc precisa estruturaacute-los identificando os elementos baacutesicos do problema de maneira que fiquem evidentes as quantidades que devem ser fornecidas agrave calculadora e quem eacute o valor desconhecido ou seja o valor que desejamos determinar
Na resoluccedilatildeo dos caacutelculos usando a HP ndash 12C eacute indispensaacutevel elaborar o diagrama de fluxo de caixa Eacute importante ressaltar que a calculadora precisa de ajuda para comparar o fluxo de caixa ou seja eacute preciso informar quando temos uma entrada ou uma saiacuteda
O fluxo de caixa serve para demonstrar graficamente as transaccedilotildees financeiras em um periacuteodo de tempo
O tempo eacute representado por uma linha horizontal dividida pelo nuacutemero de periacuteodos relevantes para anaacutelise As entradas ou recebimentos satildeo representados por setas verticais apontadas para cima e as saiacutedas ou pagamentos satildeo representados por setas verticais apontadas para baixo Observe o modelo simplificado
(+) entradas
(-) saiacutedas
tempo (n)
Veja agora o modelo detalhado
Entradas
Saiacutedas
Tempo
Fluxo de caixa pode ser definido como sendo a movimentaccedilatildeo de recursos financeiros (entradas e saiacutedas de caixa) ao longo de um periacuteodo de tempo - agrave entrada e saiacuteda de dinheiro O conceito caixa (financeiro) natildeo pode ser confundido com conceito de competecircncia (contaacutebil)
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Unidade 2
Na HP-12C a tecla (do inglecircs Change Sign) serve para introduzir ou tirar um sinal negativo de um nuacutemero ou seja faz o fluxo de caixa
Na sequecircncia de exemplos apresentados a seguir realizaremos caacutelculos de juros montantes valor presente prazo taxa de juros e descontos no regime composto com o auxiacutelio dos registradores financeiros da calculadora HP ndash 12C
Exemplo 27 (exemplo 1 paacuteg 58 do livro Matemaacutetica Financeira)
Qual o montante gerado por um capital de R$ 450000 aplicado por 9 meses a juros compostos a uma taxa de 35 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o montante composto
450000 9 35 613304
MontanteFluxo de caixa saiacuteda do dinheiro para aplicaccedilatildeo
Exemplo 28 (exemplo 2 paacuteg 58 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital de R$ 1200000 foi aplicado a juros compostos durante 6 meses agrave taxa de 2 am Calcule os juros auferidos na aplicaccedilatildeo
Soluccedilatildeo use a sequecircncia a seguir para calcular os juros
1200000 6 2
1351395 151395
Montante Juros
Fluxo de caixa saiacuteda do dinheiro para aplicaccedilatildeo
Recupera um valor em um registrador
financeiro
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Exemplo 29 (exemplo 3 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital ldquoXrdquo eacute aplicado a juros compostos agrave taxa de 35 am gerando um montante de R$ 1950000 apoacutes 1 ano e 3 meses Determine o capital ldquoXrdquo
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar o capital
1950000 35 15 -1163937
Capital aplicado
Exemplo 210 (exemplo 4 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
A que taxa mensal de juros compostos um capital de R$ 1250000 pode transformar-se em R$ 1537342 no periacuteodo de 7 meses
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
1250000 1537342 7 300
Taxa de juros mensal
41
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
Exemplo 211 (exemplo 5 paacuteg 60 do livro Matemaacutetica Financeira)
Em que prazo um empreacutestimo de R$ 3500000 pode ser pago pela quantia de R$ 4790000 se a taxa de juros compostos cobrada for de 4 am
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
3500000 4790000 4 8
Periacuteodo em meses
Funccedilatildeo ldquoCrdquo na HP ndash 12C e as teclas ldquoSTOrdquo e ldquoEEXrdquo
Vocecirc pode calcular taxa de juros (i) Capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos Perioacutedicos (PMT) para transaccedilotildees financeiras com periacuteodos fracionaacuterios Ao digitar um periacuteodo fracionaacuterio por exemplo 23 meses a parte inteira do nuacutemero indica o nuacutemero de periacuteodos inteiro e a parte fracionaacuteria do nuacutemero o tamanho do periacuteodo fracionaacuterio como uma fraccedilatildeo do periacuteodo inteiro (no exemplo 2 meses e 03 meses)
De acordo com o criteacuterio do usuaacuterio os caacutelculos de taxa de juros ( i ) capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos perioacutedicos (PMT) podem ser executados com juros simples ou compostos acumulados durante o periacuteodo fracionaacuterio Para escolher uma das duas opccedilotildees faccedila
Aparece o indicador ldquoCldquo Portanto os juros compostos satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Natildeo aparece o indicador ldquoCrdquo Portanto os juros simples satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Figura 23 - Teclas utilizadas para caacutelculo de juros simples e compostos para periacuteodo fracionaacuterio Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
42
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Exemplo 212
Calcular o valor futuro de uma aplicaccedilatildeo de R$ 185030000 aplicado agrave taxa de 14 aa durante 45 anos usando juros compostos e simples para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Soluccedilatildeo as sequecircncias a seguir apresentam os resultados para o caacutelculo do valor futuro com juros simples para o periacuteodo fracionaacuterio e juros compostos para o periacuteodo fracionaacuterios respectivamente
185030000 14
45 334383879
Valor futuro calculado com juros simples para o periacuteodo
fracionaacuterio
185030000
14 45 333667556
Valor futuro calculado com juros compostos para o
periacuteodo fracionaacuterio
Exemplo 213 (exemplo 1 paacuteg 81 do livro Matemaacutetica Financeira)
Determine o valor do desconto composto racional e o valor do resgate de um tiacutetulo de R$ 1560000 descontado 5 meses antes do seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto composto racional eacute de 4 am
43
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor do desconto racional composto e o valor liacutequido a receber
1560000 1
1 004 5
277794 1560000 1282206
Valor do desconto Valor liacutequido
Exemplo 214 (exemplo 1 paacuteg 84 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um tiacutetulo de valor nominal de R$ 1500000 eacute descontado em um banco 3 meses antes de seu vencimento Se a taxa de desconto comercial usada pelo banco eacute de 8 am qual eacute o valor do desconto
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor liacutequido e o valor do desconto bancaacuterio ou comercial
1500000 3 8
-1168032 331968
Valor liacutequido Valor do desconto
44
Universidade do Sul de Santa Catarina
Nesta unidade vocecirc usou a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros simples e compostos descontos simples e compostos valor presente taxa de juros periacuteodo e montante Na proacutexima unidade usaremos a ferramenta para auxiliar no caacutelculo de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir foram propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo em PDF estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as questotildees 1 3 5 e 6 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteginas 38 e 39 Confira os resultados na paacuteg 194
1) Qual o rendimento que obtemos ao aplicarmos um capital de R$ 1000000 a uma taxa de juros simples de 5 aa durante 3 anos
3) Em um regime de capitalizaccedilatildeo simples qual eacute o montante que se obteacutem quando aplicamos um capital de R$ 200000 a uma taxa 6 aa durante 24 meses
5) Uma quantia de R$ 6200000 foi aplicada em uma operaccedilatildeo financeira no dia 20 de setembro de 2003 e resgatada no dia 21 de dezembro de 2003 a uma taxa de 125 aa Quais os juros simples exatos e comerciais da operaccedilatildeo
6) Calcule os juros simples exatos e comerciais nas seguintes condiccedilotildees
bull R$ 600000 aplicados por 180 dias a 12 aa
bull R$ 520000 aplicados por 230 dias a 15 aa
45
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Unidade 2
2 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 2 e 4 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegs 52 e 53 Confira os resultados nas paacuteginas 194 e 195
1) Uma empresa desconta uma duplicata no valor nominal de R$ 5000000 no Banco ldquoXrdquo 4 meses antes do seu vencimento Sabendo que o banco ldquoXrdquo trabalha com uma taxa de desconto simples bancaacuterio de 45 am qual eacute o valor do desconto e o valor liacutequido recebido
2) Para pagar uma diacutevida hoje uma empresa descontou em uma carteira de creacutedito uma duplicata no valor de R$ 1650000 com vencimento daqui a 2 meses recebendo um valor nominal liacutequido de R$ 1500000 Determine a taxa mensal de desconto simples bancaacuterio utilizada
4) Uma letra de cacircmbio no valor nominal de R$ 500000 foi comercializada 4 meses antes do vencimento a uma taxa de desconto simples de 22 am Se o desconto simples fosse o racional qual seria o valor deste desconto
3 Elabore uma sequecircncia de passos para resolver as questotildees propostas 1 2 3 4 e 6 nas paacuteginas 65 66 e 67 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira e confira os resultados na paacuteg 195
1) Calcule o montante produzido por um capital de R$ 2600000 aplicado a uma taxa de juros compostos de 52 am por 6 meses
2) Calcule os juros compostos auferidos por um capital de R$ 420000 aplicado a uma taxa de 3 am durante 10 meses
3) Um empreacutestimo de R$ 600000 deve ser pago em 120 dias a juros compostos pelo valor de R$ 900000 Qual eacute a taxa mensal da operaccedilatildeo
4) Em que prazo uma aplicaccedilatildeo a juros compostos de R$ 2400000 produziraacute um montante de R$ 6151930 agrave taxa de 4 am
6) Quanto Paulo deve aplicar hoje a juros compostos em uma instituiccedilatildeo financeira que paga uma taxa de 12 am para pagar um compromisso de valor nominal igual a R$ 3800000 que vence daqui a 3 meses
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4 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 e 8 das paacuteginas 88 e 90 respectivamente do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira Confira os resultados na paacuteg 196
1) Determine o valor do desconto composto racional de um tiacutetulo de valor nominal de R$ 830000 descontado 6 meses antes de seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto eacute de 42 am
8) Um tiacutetulo de R$ 3000000 foi descontado em uma instituiccedilatildeo financeira a uma taxa de desconto composto comercial de 64 am e o valor liacutequido recebido era de R$ 2017327 Quantos meses antes do vencimento foi descontado este tiacutetulo
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
3UNIDADE 3
Taxas de juros equivalentes e caacutelculo de pagamentos perioacutedicos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para calcular taxas equivalentes
Usar as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP ndash 12C para programar o algoritmo da taxa equivalente no regime de capitalizaccedilatildeo composto
Calcular pagamentos perioacutedicos de sequecircncias uniformes postecipadas e antecipadas
Calcular montante de uma sequecircncia uniforme
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Taxas equivalentes
Seccedilatildeo 2 Sequecircncia de capitais
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar taxas equivalentes no regime de capitalizaccedilatildeo composto Vocecirc usaraacute as funccedilotildees de programaccedilatildeo com o objetivo de elaborar um algoritmo para fazer a conversatildeo de taxas de um periacuteodo de capitalizaccedilatildeo (ex mensal) para outro periacuteodo (ex anual) usando o programa Vamos explorar as funccedilotildees ldquoPMTrdquo ldquoBEGrdquo e ldquoENDrdquo para realizar caacutelculo de pagamentos antecipados e postecipados em uma sequecircncia uniforme Destacamos que os exemplos que seratildeo apresentados estatildeo no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira
Seccedilatildeo 1 ndash Taxas equivalentes
Nesta unidade vocecirc usaraacute algumas funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos (postecipados e antecipados) de uma seacuterie uniforme Vocecirc usaraacute ainda as funccedilotildees de programaccedilatildeo para elaborar um programa para calcular taxas equivalentes A figura a seguir apresenta as funccedilotildees que vocecirc usaraacute nos exemplos apresentados posteriormente
Aciona o modo de programaccedilatildeo de HP ndash 12C
Aciona a funccedilatildeo Begin que calcula a parcela com pagamento antecipado
Aciona a funccedilatildeo End (natildeo aparece no visor da calculadora) que calcula parcela com pagamento postecipado
Figura 31 - Teclas utilizadas para acionar as funccedilotildees Beg e End e entrar no modo de programaccedilatildeo
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
49
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Unidade 3
Taxas equivalentes
No mercado financeiro e nas operaccedilotildees bancaacuterias e comerciais a palavra taxa eacute empregada de vaacuterias formas ou seja vaacuterios conceitos satildeo abordados em vaacuterias situaccedilotildees Esta seccedilatildeo tem como objetivo mostrar como as taxas de juros satildeo informadas no mercado financeiro e como adequaacute-las agraves condiccedilotildees padronizadas pela HP ndash 12C
Duas taxas satildeo consideradas equivalentes a juros compostos quando aplicadas a um mesmo capital por um periacuteodo de tempo equivalente e geram o mesmo rendimento
Exemplo 31(exemplo 1 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
No regime de juros compostos qual a taxa anual equivalente a 4 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente anual
Exemplo 32 (exemplo 2 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
Calcule a taxa quadrimestral equivalente agrave taxa de juros compostos de 8 aa
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente quadrimestral
1 004 12 1 1 10000 6010
Taxa anual
50
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1 008 1 3 1 10000 260
Taxa quadrimestral
Programa para caacutelculo da taxa equivalente pela hp ndash 12c
O professor Carlos Shinoda em seu livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48) apresenta um programa para calcular a taxa equivalente atraveacutes da calculadora HP ndash 12C
Siga os procedimentos abaixo para introduzir o programa na HP ndash 12C
Figura 32 - Algoritmo para a programaccedilatildeo de taxa equivalente
Fonte Livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48)
51
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Unidade 3
Agora que vocecirc programou a HP ndash 12C para o caacutelculo de taxas equivalentes resolva o exemplo a seguir usando o programa
Exemplo 33
Usando o programa anterior determine as taxas equivalentes propostas nos exemplos 31 e 32
Soluccedilatildeo
As sequecircncias abaixo calculam as taxas equivalentes
Executa oprograma
4 1 12 6010
Taxa anual
Executa oprograma
8 360 120 260
Taxa quadrimestral
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Seccedilatildeo 2 ndash Sequecircncia de capitais
Nesta seccedilatildeo vocecirc acompanharaacute as situaccedilotildees em que haacute mais de um pagamento ou seja vocecirc estudaraacute as operaccedilotildees envolvendo pagamentos ou recebimentos perioacutedicos e uniformes
As seacuteries uniformes de pagamentos satildeo aquelas em que os pagamentos ou recebimentos satildeo constantes e ocorrem em intervalos iguais
Seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas e antecipadas
As seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1 Este sistema eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada (0 + n)
Pagamentos ou recebimentos podem ser chamados de prestaccedilatildeo representada pela sigla PMT que vem do inglecircs Payment e significa pagamento ou recebimento
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentosPMT
++
0 1 2 3 4 5 6 n
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
++
0 1 2 3 4 5 6 n
PMT
53
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Unidade 3
As seacuteries uniformes de pagamentos antecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre na data focal 0 (zero) Este tipo de sistema de pagamento eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento com entrada (1+ n)
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
Exemplo 34 (exemplo 2 paacuteg 108 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um automoacutevel eacute vendido em uma loja por R$ 3200000 A loja propotildee as seguintes condiccedilotildees para financiamento
Proposta A 12 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta B 24 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta C 36 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
A taxa de juros usada eacute de 32 am Qual o valor de cada prestaccedilatildeo nas 3 modalidades de financiamento
Soluccedilatildeo
As sequecircncias a seguir calculam os valores das parcelas nas trecircs propostas
54
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3200000
32 12 -325329
parcela
3200000
32 24 -193046
parcela
3200000
32 36 -150979
parcela
Exemplo 35 (exemplo 2 paacuteg 111 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma casa cujo valor agrave vista eacute R$ 4924456 eacute vendida em prestaccedilotildees mensais e iguais de R$ 250000 sendo a primeira dada como entrada Se a taxa de financiamento eacute de 18 am determine o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas no financiamento
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o nuacutemero de parcelas
4924456 18
250000 24
nordm de parcelas
55
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Unidade 3
No exemplo acima o nuacutemero de pagamento deu um nuacutemero inteiro Mas podem acontecer situaccedilotildees em que ao se determinar o nuacutemero de parcelas o resultado natildeo seja um nuacutemero inteiro
Nessa situaccedilatildeo a HP ndash 12C arredonda a resposta para o proacuteximo inteiro para cima antes de armazenaacute-la e exibi-la
Exemplo 36
Vocecirc comprou um terreno por R$ 3500000 a juros de 105 aa Vocecirc pretende fazer pagamentos de R$ 32500 no fim de cada mecircs Quantos pagamentos seratildeo necessaacuterios para pagar o terreno e quanto tempo levaraacute
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o nuacutemero de pagamentos e o tempo necessaacuterio
3500000 105
32500 328 2733
nordm de parcelas Tempo (anos)
Como a calculadora arredonda o valor do tempo para o proacuteximo inteiro eacute provaacutevel que apesar de serem necessaacuterios 328 pagamentos somente 327 seratildeo inteiros de R$ 32500 com o pagamento final sendo menor do que R$ 32500 Para calcular o valor do pagamento de nuacutemero 328 vamos fazer o seguinte
A calculadora natildeo ajusta os valores nos outros registros financeiros automaticamente para refletir os n pagamentos iguais ao contraacuterio ela lhe permite escolher quais valores (se houver) que vocecirc deseja ajustar
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328 18189 - 32500 -14311
Valor da parcela 328
Nesta unidade vocecirc calculou taxas equivalentes usou as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP e fez caacutelculos de pagamentos perioacutedicos de uma seacuterie uniforme antecipado ou postecipado Na proacutexima unidade vamos realizar caacutelculos de valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades abaixo (Essa atividade corresponde agrave autoavaliaccedilatildeo 1 da unidade 5 do livro didaacutetico de Matemaacutetica Financeira) Em seguida use o programa elaborado para resolver a mesma questatildeo
Calcule a taxa anual das seguintes taxas
a) 26 am
b) 42 ab
c) 48 at
d) 12 as
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Unidade 3
2 Elabore um algoritmo para resolver as seguintes atividades (Estas questotildees equivalem agraves autoavaliaccedilotildees 1 2 3 4 e 5 da unidade 8 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 121 122 e 123)
a) Calcule o valor da prestaccedilatildeo mensal de um empreacutestimo de R$ 600000 que seraacute amortizado em 12 prestaccedilotildees mensais postecipadas sabendo que o banco cobra uma taxa de juros de 2 am
b) Uma loja vende um automoacutevel agrave vista por R$ 1650000 Se o comprador quiser fazer um financiamento em 36 parcelas mensais e iguais onde o 1ordm pagamento seraacute efetuado no 1ordm mecircs apoacutes a compra a uma taxa de juros de 21 am qual o valor da prestaccedilatildeo
c) Uma mercadoria custa R$ 9038071 agrave vista podendo ser vendida em prestaccedilotildees mensais de R$ 1050000 sendo a primeira prestaccedilatildeo dada como entrada Sabendo-se que a loja aplica uma taxa de 35 am qual o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas
d) Carlos depositou certa quantia durante 10 meses de forma antecipada a uma taxa de 25 am obtendo um montante de R$ 25000000 Quanto depositou mensalmente Carlos
e) Um produto eacute vendido agrave vista por R$ 200000 ou em 10 prestaccedilotildees mensais iguais sem entrada com uma carecircncia de 90 dias apoacutes a compra Qual o valor de cada prestaccedilatildeo sabendo que a taxa de juros eacute de 6 am
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
4UNIDADE 4
Valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa
Usar as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Valor presente liacutequido
Seccedilatildeo 2 Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs ndash SFA (Price)
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa usando as funccedilotildees CF0 CFj e NPV Vocecirc deveraacute ainda fazer uso da funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos usando o Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo ndash SFA ou tabela Price
Seccedilatildeo 1 ndash Valor presente liacutequido
A figura 41 a seguir apresenta as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C que vocecirc usaraacute nessa unidade para realizar caacutelculo de valor presente liacutequido e para a elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos ou financiamento
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor inicial do fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor do fluxo de caixa no periacuteodo j
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula o valor presente atual de um fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula a parte dos pagamentos usada para pagar juros
Figura 41 - Teclas para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
Valor presente liacutequido
Nessa seccedilatildeo vocecirc usaraacute as funccedilotildees da HP ndash 12C para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa Para entender como usar as funccedilotildees CF0 CFj e NPV considere o fluxo de caixa para um investimento que exige capital inicial (CF0) e que gera um fluxo de caixa (CFj ) no final de j periacuteodos
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Unidade 4
Veja a seguir o fluxo de caixa
CF0CF1
CF2 CF5
CFn
CF3 CF4
O VPL = Valor Presente Liacutequido eacute calculado somando ao investimento inicial o valor presente dos fluxos de caixa futuros projetados Portanto
se o VPL for positivo o valor financeiro do ativo do investidor aumentaraacute ou seja o investimento financeiro seraacute atrativo em termos financeiros
se o VPL for zero o valor financeiro do ativo financeiro do investidor natildeo mudaraacute ou seja o investidor seraacute indiferente ao investimento
se o VPL for negativo o valor financeiro do ativo do investidor seraacute reduzido ou seja o investimento natildeo seraacute atrativo em termos financeiros
Exemplo 41
Um investidor compra uma casa por R$ 7000000 e gostaria de ter um retorno de pelo menos 15 Ele pretende manter a casa por 4 anos e depois vendecirc-la por R$ 11000000 Ele prevecirc os fluxos de caixa mostrados no diagrama abaixo
CF0CF1
CF1
CF3CF4
CF5
R$ 7000000
R$ 50000
R$ 450000R$ 450000
R$ 13000000R$ 550000
Sendo assim calcule o VPL para determinar se o investimento resultaria em um retorno ou perda
62
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Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o VPL
7000000 50000
450000 550000 450000
13000000 15 379007
VPL
Como o VPL eacute positivo o investimento aumentaria o valor financeiro do ativo do investidor
Exemplo 42 (exemplo 4 paacuteg 98 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um proprietaacuterio recebeu as seguintes propostas para a venda de uma casa
Proposta A entrada de R$ 10000000 + R$ 5000000 em 6 meses + R$ 6000000 em 1 ano
Proposta B entrada de R$ 8000000 + R$ 6000000 em 5 meses + R$ 7000000 em 10 meses
Sabendo-se que a taxa de juros de mercado eacute de 3 am qual a melhor proposta para o vendedor
Soluccedilatildeo
Essa questatildeo deve ser resolvida pelo meacutetodo do Valor Presente Liacutequido A alternativa que tiver o maior valor seraacute a melhor Entretanto para facilitar a elaboraccedilatildeo do algoritmo de resoluccedilatildeo na HP ndash 12C elabore o fluxo de caixa para cada situaccedilatildeo
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Unidade 4
1 Proposta A Fluxo de caixa
10000000 5000000 6000000
1 2 3 4 5 7 8 9 10 110 6 12
Calculando o VPL
10000000 000 5
5000000 000
5
6000000
3
18395701
VPL
Armazena o zero 5 vezes
2 Proposta B Fluxo de caixa
8000000 70000006000000
1 2 3 4 6 7 8 90 5 10
Calculando o VPL
8000000 000 4
6000000 000
4
7000000
3
18384310
VPL
Armazena o zero 4 vezes
Resposta a melhor proposta eacute a A
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Exemplo 43
Dois equipamentos satildeo examinados Considerando ser a taxa miacutenima de atratividade de 20aa qual o equipamento que deve ser adquirido
Dados
41 - Tabela de DadosEquipamento K Equipamento L
Custo R$ 5000000 R$ 8000000Custo anual de manutenccedilatildeo R$ 2000000 R$ 1500000Valor residual para venda R$ 400000 R$ 800000Duraccedilatildeo em anos 10 10
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
A seguir veja o diagrama de fluxo de caixa
Os caacutelculos do Valor Presente Liacutequido para as duas situaccedilotildees satildeo
Equipamento K
5000000
Equipamento K
2000000
400000
0 1 2 10
8000000
Equipamento L
1500000
800000
0 1 2 10
50000 20000
9 4000 20000 1
20 -13320342
65
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Equipamento L
80000 15000
9 8000 15000 1
20 -14159504
Importante Veja que a alternativa K equivale a um equipamento em que se investe R$ 13320342 enquanto que o equipamento L equivale a um investimento de R$ 14159504 Portanto eacute preferiacutevel o equipamento K pois o investimento eacute menor
66
Universidade do Sul de Santa Catarina
Seccedilatildeo 2 ndash Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs - SFA
Este sistema consiste no pagamento de empreacutestimos ou financiamentos com prestaccedilotildees iguais e com periodicidade constante Eacute considerado o sistema de amortizaccedilatildeo mais utilizado pelas instituiccedilotildees financeiras e pelo comeacutercio em geral
O Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo eacute assim chamado por ter sido inventado na Franccedila por volta do seacuteculo XVIII pelo matemaacutetico inglecircs Richard Price daiacute portanto a origem da denominaccedilatildeo Sistema Price tambeacutem comumente chamado de Tabela Price
Na verdade a Tabela Price eacute um caso particular derivado do Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo Neste sistema o financiamento (PV) eacute pago em parcelas (PMT) iguais constituiacutedas da amortizaccedilatildeo do principal da diacutevida + juros compensatoacuterios (J) que variam inversamente ao longo do tempo Ou seja agrave medida que aumenta o valor da parcela de amortizaccedilatildeo haveraacute uma queda dos juros compensatoacuterios em funccedilatildeo da reduccedilatildeo do saldo devedor
Principais Caracteriacutesticas
As principais caracteriacutesticas do SFA satildeo
a prestaccedilatildeo eacute constante durante todo o periacuteodo do financiamento
a parcela de amortizaccedilatildeo aumenta a cada periacuteodo (n)
os juros compensatoacuterios diminuem a cada periacuteodo (n)
Exemplo 44 (exemplo 1 paacuteg 148 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma instituiccedilatildeo financeira libera um empreacutestimo para uma induacutestria no valor de R$ 60000000 para ser pago pelo sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs em 120 meses a uma taxa de 15 am Faccedila a planilha ateacute o 4ordm mecircs e calcule o saldo devedor no 100ordm mecircs
67
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Soluccedilatildeo
A sequecircncia abaixo calcula o valor da prestaccedilatildeo os juros a amortizaccedilatildeo o saldo devedor e valor do saldo devedor no 100ordm mecircs Acompanhe
Zera os registradores
60000000 Armazena o valor presente
120 Armazena o periacuteodo
15 Armazena a taxa
- R$ 1081111 Valor da prestaccedilatildeo
1 - R$ 900000 Valor dos juros da 1ordf parcela
R$ 181111Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 1ordf parcela
R$ 58918889 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 897283 Valor dos juros da 2ordf parcela
- R$ 183828Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 2ordf parcela
R$ 59635061 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 894526 Valor dos juros da 3ordf parcela
- R$ 186585Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 3ordf parcela
R$ 59448476 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 891727 Valor dos juros da 4ordf parcela
- R$ 189384Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 4ordf parcela
R$ 59259092 Recupera o saldo devedor
A tabela a seguir apresenta um resumo das operaccedilotildees realizadas
68
Universidade do Sul de Santa Catarina
Tabela 42 ndash Planilha de amortizaccedilatildeoPeriacuteodo (n) Amortizaccedilatildeo (A) Juros (J) Prestaccedilotildees (R) Saldo Devedor (S)
0 - - - R$ 600000001 R$ 181111 R$ 900000 R$ 1081111 R$ 598188892 R$ 183828 R$ 897283 R$ 1081111 R$ 596350613 R$ 186585 R$ 894526 R$ 1081111 R$ 594484764 R$ 189384 R$ 891727 R$ 1081111 R$ 59259092
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Para determinar o saldo devedor no 100ordm mecircs faccedila como indicado a seguir
60000000 120 150
-1081111 18561247
Prestaccedilatildeo Saldo devedor no 100ordm mecircs
Nesta unidade vocecirc usou as funccedilotildees de fluxo de caixa para calcular o valor presente liacutequido e a funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
69Unidade 4
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades a seguir (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 4 e 5 da unidade 7 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegina 102) Em seguida use o programa elaborado para resolver as mesmas questotildees
a) Qual das alternativas de pagamento eacute a melhor para uma taxa de juros compostos de 75 am
Alternativa A Pagamento de R$ 15000000 agrave vista
Alternativa B Entrada de R$ 5000000 + R$ 8000000 em 90 dias + R$ 6000000 em 150 dias
b) Uma pessoa deve a um banco dois tiacutetulos com valores de R$ 300000 e R$ 600000 venciacuteveis respectivamente em 4 meses e 8 meses Se a pessoa deseja antecipar para hoje a liquidaccedilatildeo dos tiacutetulos qual o valor a pagar considerando que o banco opera com uma taxa de juros compostos de 23 am
2 Elabore um algoritmo para resolver as atividades abaixo (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 1 e 4 da unidade 10 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 151 e 153)
a) Um cliente solicita a um banco um empreacutestimo de R$ 4000000 pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs em 60 prestaccedilotildees mensais Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de juros de 28 am obtenha o valor da prestaccedilatildeo e o saldo devedor depois de pagar a 20ordf prestaccedilatildeo
b) Um empreacutestimo de R$ 30000000 seraacute saldado em 50 prestaccedilotildees mensais a uma taxa de 15 am Determine a parcela de juros relativa agrave 15ordf prestaccedilatildeo pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs (price)
70
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Saiba mais
Manual da calculadora HP ndash 12C
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico ndash 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7ed Satildeo Paulo Atlas 2000
Para concluir o estudo
Com o teacutermino desse curso de extensatildeo acreditamos que proporcionamos momentos de aprendizagem por meio da interaccedilatildeo da calculadora financeira e que vocecirc estaacute habilitado(a) a fazer uso dessa ferramenta com qualidade no mercado de trabalho relacionado a essa aacuterea tatildeo importante no nosso dia-a-dia
Referecircncias
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7 ed Satildeo Paulo Atlas 2000
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003 Disponiacutevel em lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt Acesso em 05 jun 2008
Sobre o professor conteudista
Joseacute Humberto Dias de Toledo - eacute Mestre em Educaccedilatildeo pela Universidade do Sul de Santa Catarina Graduado em Licenciatura em Matemaacutetica e em Engenharia Civil Professor das disciplinas Meacutetodos Numeacutericos Informaacutetica Aplicada agrave Matemaacutetica Financeira Caacutelculo I e Matemaacutetica Financeira no Curso de Matemaacutetica ndash Licenciatura nesta mesma instituiccedilatildeo Atualmente ministra a disciplina Representaccedilotildees Graacuteficas na Poacutes-graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo Matemaacutetica da UNISUL
Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo
Unidade 1
1 a) 5
b) -2359
c) 3311
d) 077
e) 081
Respostas modo RPN
a)
b)
c)
d)
e)
Respostas modo ALG
a
b
c
d
e
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2 R$ 167757
Modo RPN
Modo ALG
3 -242
4 Data 13082008 3 (quarta-feira)
5 Florianoacutepolis = 3303 Curitiba = 5018 Porto Alegre = 1680
Unidade 2
1 1) 150000
Dados
C = R$ 1000000
i = 5 aa
n = 3 anos = 1080 dias
J =
3) 24 meses = 2 anos
Dados
C = R$ 200000
i = 6 aa
n = 24 meses = 720 dias
M =
79
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
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4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
85
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c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
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b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
87
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b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
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As teclas ldquoCLEARrdquo (apagar)
A ilustraccedilatildeo a seguir apresenta as teclas ldquoClearrdquo que apagam ou zeram o mostrador as memoacuterias a memoacuteria de programaccedilatildeo os registradores financeiros os registros de pilha e registros estatiacutesticos Confira na figura 13
Apaga o mostrador
Apaga os registros estatiacutesticos registros da pilha e mostrador
Apaga a memoacuteria de programaccedilatildeo
Apaga os registros financeiros
Apaga os registros de armazenamento de dados registros financeiros registros de pilha LAST X e mostrador
Figura 13 - As teclas CLEAR da Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Registros de armazenamento
Os dados de entrada na HP ndash 12C podem ser armazenados em memoacuterias chamadas ldquoregistros de armazenamentordquo Quatro registros satildeo usados para o armazenamento de nuacutemeros durante os caacutelculos e mais um que eacute usado para armazenar o uacuteltimo nuacutemero chamado ldquoLAST Xrdquo
Aleacutem dos registros citados nos quais os nuacutemeros satildeo armazenados automaticamente existem outros 20 registros para o armazenamento manual de nuacutemeros Eles satildeo designados por R R R R a e a Outros registros de armazenamento designados como registros financeiros satildeo reservados para os nuacutemeros que seratildeo usados em caacutelculos financeiros
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
Armazenando recuperando nuacutemeros e zerando registros
Para armazenar um nuacutemero em um registro de armazenamento de dados aperte a tecla (armazenar) e em seguida um dos nuacutemeros de 0 a 9 para os registros R R
0 9 a e 0 a 9 para os
registros R R 0 9
a
Para recuperar um nuacutemero de um registro de armazenamento de dados aperte a tecla (recuperar) e em seguida um dos nuacutemeros de 0 a 9 para os registros R R
0 9 a e 0 a 9 para os
registros R R 0 9
a
Jaacute para zerar um uacutenico registro de armazenamento vocecirc pode armazenar o valor zero no registro Agora para zerar todos os registros de armazenamento de uma soacute vez ndash incluindo os registros financeiros os registros da pilha e o registro LAST X ndash aperte
E entatildeo estaacute motivado(a) para continuar Na proacutexima seccedilatildeo apresentaremos as teclas ldquoRPNrdquo e ldquoALGrdquo e faremos caacutelculos aritmeacuteticos usando esses modos
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Seccedilatildeo 2 ndash Caacutelculos aritmeacuteticos no modo ldquoRPNrdquo e no modo ldquoALGrdquo
A calculadora HP ndash 12C pode ser configurada para executar operaccedilotildees aritmeacuteticas nos modos RPN ndash Notaccedilatildeo Polonesa Reversa e ALG ndash Algeacutebrico No modo RPN os resultados intermediaacuterios nas operaccedilotildees aritmeacuteticas satildeo armazenados automaticamente portanto natildeo eacute necessaacuterio o uso dos parecircnteses Jaacute no modo ALG as operaccedilotildees elementares satildeo executadas de maneira convencional
Conheccedila alguns exemplos na sequecircncia do texto
Exemplo 11
Calcular 3 x 2 + 5 usando os modos RPN e ALG na HP ndash 12C
Resolvendo no modo RPN
Para configurar a calculadora no modo RPN aperte a tecla e em seguida Observe que vai aparecer o indicador RPN no visor da maacutequina
Agora que a calculadora estaacute no modo RPN vamos ao caacutelculo
3 2 5 11
Resultado
Resolvendo no modo ALG
Para configurar a calculadora no modo ALG aperte a tecla e em seguida Observe que vai aparecer o indicador ALG no visor da maacutequina
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Unidade 1
Calculando no modo algeacutebrico
3 2 5 11
Resultado
Os modelos mais antigos de calculadoras HP ndash 12C natildeo disponibilizam o modo algeacutebrico Portanto se vocecirc eacute usuaacuterio desse tipo de calculadora todos os caacutelculos devem ser efetuados no modo RPN
Exemplo 12
Resolver os caacutelculos solicitados a seguir usando os modos RPN e ALG
a) 3 2 5 33+ minus x
b) ( )minus + minus2 3 4 43 x
c) 2 9 3 52minus + + minus
d) 2 35
2+ minusln
e) 3 4 62+ minuse
Resolvendo no modo RPN
a)
3 2 3 5 3 - 4
Resultado
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b)
c)
d)
Obs para alterar a quantidade de casas decimais no visor da calculadora aperte e em seguida um nuacutemero de 1 a 9 que corresponde agrave quantidade de casas decimais No exemplo acima usamos
e)
2
3 3
4
4
0
Resultado
2
2
9 3 5 125
Resultado
2
3
5 2 0599
Resultado
3
2
46 5789
Resultado
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Unidade 1
Resolvendo no modo ALG com o auxiacutelio dos registros R R
0 9 a
a)
2
3
5 3 3
4
Resultado
Armazena o resultado do visor na memoacuteria 0
Recupera o registro da memoacuteria 0
b)
2
3
3 4
4 0
Resultado
c)
2 2
9
3 5 125
Resultado
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d)
e)
Exemplo 13
Usando a calculadora HP ndash 12C no modo RPN as seguintes operaccedilotildees bancaacuterias foram realizadas a conta tinha um saldo de R$ 12300 e foi feito um depoacutesito referente ao salaacuterio de R$ 189035 Em seguida foram emitidos e compensados cheques nos valores de R$ 38590 R$ 23478 e R$ 62389 Qual eacute o novo saldo da conta
Soluccedilatildeo use
para apresentar os caacutelculos com duas casas decimais
12300 189035 38590
23478 62389 76920
Saldo
2 3 5 2 0 0599
Resultado
3 2 46 5789
Resultado
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Unidade 1
Seccedilatildeo 3 ndash Funccedilotildees de percentagem e calendaacuterio
A calculadora HP ndash 12C apresenta funccedilotildees que permitem o caacutelculo de percentagens e de calendaacuterio Para caacutelculo com percentagens natildeo eacute necessaacuterio converter o nuacutemero na notaccedilatildeo percentual para a notaccedilatildeo decimal Jaacute as funccedilotildees calendaacuterio fornecidas pela HP trabalham com datas entre 15 de outubro de 1582 e 25 de novembro de 4046 A seguir vocecirc conheceraacute detalhadamente essas funccedilotildees
Funccedilotildees de percentagem
Calcula a Percentagem de um nuacutemero ou valor
Calcula a diferenccedila percentual entre dois nuacutemeros
Calcula qual percentual um nuacutemero eacute de outro
Figura 14 - Ilustraccedilatildeo das funccedilotildees de percentagem da Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Funccedilotildees de calendaacuterio
Configura o formato de uma data para dia-mecircs-ano
Configura o formato de uma data para mecircs-dia-ano
Calcula o nuacutemero de dias entre datas
Calcula datas futuras ou passadas
Figura 15 - Ilustraccedilatildeo das funccedilotildees de calendaacuterio da Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Nos exemplos a seguir estaacute demonstrado o uso de todas as funccedilotildees apresentadas Obs os caacutelculos vatildeo ser realizados no modo RPN
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Exemplo 14
Calcular 16 de R$ 198000
Soluccedilatildeo
198000 1600 31680
Resultado
Exemplo 15
Determinada empresa com accedilotildees na bolsa de valores verificou as seguintes variaccedilotildees nos valores das suas accedilotildees no dia 150508 o valor da accedilatildeo passou de R$ 5025 para R$ 5498 jaacute no dia 210508 o valor da accedilatildeo caiu de R$ 5498 para R$ 5208 Qual a diferenccedila percentual nas duas situaccedilotildees
Soluccedilatildeo a sequecircncia a seguir apresenta a variaccedilatildeo percentual
Caacutelculo da variaccedilatildeo percentual de R$ 5025 para R$ 5498 usando a HP ndash 12C
5025 5498 941
Resultado
Observe que o resultado apresentado eacute positivo portanto representa aumento
Caacutelculo da variaccedilatildeo percentual de R$ 5498 para R$ 5208 usando a HP ndash 12C
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
5498 5208 -527
Resultado
Observe que o resultado apresentado eacute negativo portanto representa queda
Exemplo 16
A empresa do exemplo anterior atua na regiatildeo sul do Brasil com vendas totais realizadas no mecircs de abril de 2008 de R$ 589636996 distribuiacutedas da seguinte forma R$ 123656939 no Paranaacute R$ 356963920 em Santa Catarina e R$ 109016137 no Rio Grande do Sul Qual a percentagem das vendas totais em cada um dos trecircs Estados
Soluccedilatildeo
A sequecircncia apresenta os percentuais nos estados do Paranaacute Santa Catarina e Rio Grande do Sul
Soluccedilatildeo
589636996 123656939 2097
356963920 6054 109016137 1849
Resultado SC Resultado RS
Resultado PR
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Exemplo 17
Comprei uma TV LCD em 17052008 com vencimento para 120 dias Determine a data do vencimento usando a calculadora HP ndash 12C
Soluccedilatildeo
17052008 120 14092008 7
A data do vencimento eacute 14 de setembro de
2008 domingo
Exemplo 18
Fiz uma compra no dia 12052008 com vencimento para o dia 26082008 Use a calculadora HP ndash 12C para determinar o nuacutemero de dias entre a data da compra e do vencimento
Soluccedilatildeo
12052008 20082008 100
Nuacutemero de dias entre as datas
Nesta unidade vocecirc conheceu algumas funccedilotildees elementares da calculadora as quais seratildeo utilizadas nas demais unidades e satildeo muito importantes para realizar caacutelculos que envolvem questotildees do nosso cotidiano Na proacutexima unidade vocecirc vai usar as funccedilotildees financeiras da calculadora para calcular juros simples e compostos descontos simples e compostos
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
Efetue as atividades de autoavaliaccedilatildeo e acompanhe as respostas e comentaacuterios a respeito nas paacuteginas finais deste material Para melhor aproveitamento do seu estudo realize a conferecircncia de suas respostas somente depois de fazer as atividades propostas Desse modo o momento da conferecircncia lhe proporcionaraacute novas oportunidades de aprendizagem
1 Calcule o valor das expressotildees numeacutericas a seguir usando a HP ndash 12C nos modos RPN e ALG
a) 2 5 3 8 24 minus + divide =x
b) minus + minus =3 5 32 3x eln
c) 16 25 3 45 89+ minus =x
d) 2
35 5
3+ minus =ln
e) 0 253
55
2 + minus =minus
2 Use a HP ndash 12C para realizar os caacutelculos e informar o saldo final da seguinte movimentaccedilatildeo financeira Saldo inicial na conta R$ 167890 depoacutesito de R$ 143587 cheques compensados nos valores de R$ 34598 R$ 12345 R$ 65790 e R$ 30987
3 No dia 130508 o doacutelar americano estava cotado em R$ 165 no dia 190508 a cotaccedilatildeo foi de R$ 161 Com base nestes dados indique qual foi a variaccedilatildeo percentual do doacutelar
4 Foi realizada uma compra em um supermercado no valor de R$ 67890 em 150508 Sabendo que esse estabelecimento trabalha com prazo de 90 dias use as funccedilotildees calendaacuterio da HP ndash 12C e determine a data e o dia da semana do vencimento
5 Uma empresa tem vendas mensais para o mecircs de maio de 2008 estimadas em R$ 178909000 Sabendo que o valor total das vendas estaacute distribuiacutedo nas cidades de Florianoacutepolis Curitiba e Porto Alegre com valores correspondentes a R$ 59089000 R$ 89767898 e R$ 30052102 respectivamente determine qual percentagem das vendas totais ocorre em cada uma das cidades
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Saiba mais
HPndash12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
No link abaixo vocecirc tem disponiacutevel o manual da calculadora HP ndash 12C na versatildeo online lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt
2UNIDADE 2
Regimes de capitalizaccedilatildeo simples e composto
Objetivos de aprendizagem
Fazer uso das funccedilotildees financeiras da calculadora HP ndash 12C para calcular juros simples e composto
Dominar o caacutelculo do montante simples e composto
Aprender o caacutelculo de desconto simples e composto
Calcular capital taxa e prazo no regime de capitalizaccedilatildeo composto usando a HP ndash 12C
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Regime de capitalizaccedilatildeo simples
Seccedilatildeo 2 Regime de capitalizaccedilatildeo composto
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc vai fazer uso das funccedilotildees financeiras da HP ndash 12C com o objetivo de realizar caacutelculos de juros simples e composto montantes simples e composto descontos simples e composto caacutelculo de taxas e prazos
Nesta etapa de estudos seratildeo utilizados exemplos do material didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira que estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do Espaccedilo Virtual de Aprendizagem ndash EVA Eacute importante lembrar natildeo ser objetivo deste curso discutir os conceitos da Matemaacutetica Financeira mas apenas utilizar as funccedilotildees disponibilizadas na calculadora para resolver problemas relacionados a essa aacuterea Entretanto caso vocecirc julgue importante os conceitos podem ser relembrados ou vistos no material didaacutetico da disciplina
Seccedilatildeo 1 ndash Regime de capitalizaccedilatildeo simples
Na unidade 1 vocecirc foi apresentado(a) agrave calculadora HP ndash 12C e a algumas das suas funccedilotildees com o objetivo de capacitaacute-lo(a) para o uso adequado dessa ferramenta Esta unidade inicia com uma abordagem sobre os registradores financeiros os quais seratildeo utilizados na maioria dos exemplos que deveratildeo ser resolvidos ao longo das proacuteximas seccedilotildees desta unidade e nas demais unidades deste curso Veja na ilustraccedilatildeo a seguir os registradores financeiros e as suas aplicaccedilotildees
Registra e armazena periacuteodo
Registra e armazena taxa
Registra e armazena valor presente
Registra e armazena pagamentos perioacutedicos
Registra e armazena valor futuro
Figura 21 - Registradores financeiros e as suas aplicaccedilotildees Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
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Unidade 2
Para armazenar um nuacutemero em um registrador financeiro digite o nuacutemero e em seguida uma das teclas correspondentes ilustradas acima
Para exibir um nuacutemero armazenado em um dos registradores financeiros aperte e em seguida a tecla correspondente
Para zerar todos os registradores financeiros aperte a sequecircncia de teclas
Eacute importante lembrar que os registradores financeiros tambeacutem satildeo zerados ao apertar a sequecircncia
e quando a memoacuteria contiacutenua eacute
reinicializada
A seguir vocecirc faraacute caacutelculo de juros simples e de descontos simples usando a HP ndash 12C
Regime de capitalizaccedilatildeo simples
A HP ndash 12C calcula automaticamente juros simples ordinaacuterios ndash usando o ano comercial e juros simples exatos ndash usando um ano de 365 dias simultaneamente
Eacute possiacutevel apresentar qualquer um dos dois e mais com os juros acumulados no mostrador podemos calcular o montante apertando a tecla
Para exemplificar vamos resolver problemas do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira que se encontra disponiacutevel (formato digital) na ferramenta Midiateca do EVA ndash Espaccedilo Virtual de Aprendizagem
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Exemplo 21 (exemplo 1 paacuteg 29 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital de R$ 1800000 foi aplicado a juros simples durante 3 anos agrave taxa de 6 aa Qual eacute o valor dos juros e o montante adquirido
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula os juros e o montante
Exemplo 22 (exemplo 1 paacuteg 33 do livro Matemaacutetica Financeira)
Ache os juros simples exatos auferidos em uma aplicaccedilatildeo de R$ 1500000 a uma taxa de 16 aa de 20 de abril de 2003 a 1ordm de julho de 2003
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula os juros comerciais e os juros exatos
Neste exemplo utilizamos duas teclas que seratildeo ilustradas a seguir para realizar o caacutelculo dos juros exatos
1800000 1080 6
324000 2124000
Juros Montante
No caacutelculo de Juros simples o periacuteodo deve ser em dias
Calcula juros simples
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Unidade 2
1500000 20042003 01072003
72 16 48000 47342
Juro comercial Juro exato nordm de dias
Ao apertar essa tecla ela rola para baixo o conteuacutedo da pilha para visualizaccedilatildeo no registro X
Ao apertar essa tecla ela troca o conteuacutedo dos registros X e Y da pilha
Figura 22 - Teclas utilizadas para registros de dados Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Exemplo 23 (exemplo 2 paacuteg 34 do livro Matemaacutetica Financeira)
Determine o juro simples exato obtido em uma aplicaccedilatildeo de R$ 1300000 durante 146 dias a uma taxa de 9 aa
Soluccedilatildeo a sequecircncia a seguir realiza os caacutelculos solicitados
1330000 146 9
48545 47880
Juro comercial Juro exato
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Exemplo 24 (exemplo 1 paacuteg 47 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma duplicata de R$ 1500000 com vencimento no dia 03042005 foi descontada em um banco em 08012005 a uma taxa de 25 am Qual eacute o desconto simples bancaacuterio da operaccedilatildeo
Soluccedilatildeo
08012005 03042005 85
1500000 0025 30 106250
Taxa decimal Desconto bancaacuterio
Nordm de dias entre as datas
Exemplo 25 (exemplo 1 paacuteg 48 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma empresa descontou um tiacutetulo com valor de face de R$ 1450000 3 meses e 15 dias antes do vencimento com uma taxa de desconto bancaacuterio simples de 24 am Quanto a empresa recebeu liacutequido na operaccedilatildeo
Soluccedilatildeo
1450000 0024 35 1450000 1328200
Periacuteodo em meses Valor liacutequidoTaxa decimal
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Unidade 2
Exemplo 26 (exemplo 1 paacuteg 49 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma duplicata de R$ 4800000 foi descontada 6 meses antes de seu vencimento em uma instituiccedilatildeo financeira que trabalha com uma taxa de desconto simples de 32 am Com base nestes dados determine
o valor do desconto simples bancaacuterio
o valor do desconto simples racional
Soluccedilatildeo
4800000 6 0032 921600
Taxa decimal Valor liacutequido
921600 1 0032
6 773154
Taxa decimal Valor liacutequido
Na proacutexima seccedilatildeo vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros compostos e de desconto compostos
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Seccedilatildeo 2 ndash Regime de capitalizaccedilatildeo composto
Os exemplos apresentados a partir de agora satildeo ilustrativos de uma ampla variedade de caacutelculos financeiros Para resolvecirc-los vocecirc precisa estruturaacute-los identificando os elementos baacutesicos do problema de maneira que fiquem evidentes as quantidades que devem ser fornecidas agrave calculadora e quem eacute o valor desconhecido ou seja o valor que desejamos determinar
Na resoluccedilatildeo dos caacutelculos usando a HP ndash 12C eacute indispensaacutevel elaborar o diagrama de fluxo de caixa Eacute importante ressaltar que a calculadora precisa de ajuda para comparar o fluxo de caixa ou seja eacute preciso informar quando temos uma entrada ou uma saiacuteda
O fluxo de caixa serve para demonstrar graficamente as transaccedilotildees financeiras em um periacuteodo de tempo
O tempo eacute representado por uma linha horizontal dividida pelo nuacutemero de periacuteodos relevantes para anaacutelise As entradas ou recebimentos satildeo representados por setas verticais apontadas para cima e as saiacutedas ou pagamentos satildeo representados por setas verticais apontadas para baixo Observe o modelo simplificado
(+) entradas
(-) saiacutedas
tempo (n)
Veja agora o modelo detalhado
Entradas
Saiacutedas
Tempo
Fluxo de caixa pode ser definido como sendo a movimentaccedilatildeo de recursos financeiros (entradas e saiacutedas de caixa) ao longo de um periacuteodo de tempo - agrave entrada e saiacuteda de dinheiro O conceito caixa (financeiro) natildeo pode ser confundido com conceito de competecircncia (contaacutebil)
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Unidade 2
Na HP-12C a tecla (do inglecircs Change Sign) serve para introduzir ou tirar um sinal negativo de um nuacutemero ou seja faz o fluxo de caixa
Na sequecircncia de exemplos apresentados a seguir realizaremos caacutelculos de juros montantes valor presente prazo taxa de juros e descontos no regime composto com o auxiacutelio dos registradores financeiros da calculadora HP ndash 12C
Exemplo 27 (exemplo 1 paacuteg 58 do livro Matemaacutetica Financeira)
Qual o montante gerado por um capital de R$ 450000 aplicado por 9 meses a juros compostos a uma taxa de 35 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o montante composto
450000 9 35 613304
MontanteFluxo de caixa saiacuteda do dinheiro para aplicaccedilatildeo
Exemplo 28 (exemplo 2 paacuteg 58 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital de R$ 1200000 foi aplicado a juros compostos durante 6 meses agrave taxa de 2 am Calcule os juros auferidos na aplicaccedilatildeo
Soluccedilatildeo use a sequecircncia a seguir para calcular os juros
1200000 6 2
1351395 151395
Montante Juros
Fluxo de caixa saiacuteda do dinheiro para aplicaccedilatildeo
Recupera um valor em um registrador
financeiro
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Exemplo 29 (exemplo 3 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital ldquoXrdquo eacute aplicado a juros compostos agrave taxa de 35 am gerando um montante de R$ 1950000 apoacutes 1 ano e 3 meses Determine o capital ldquoXrdquo
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar o capital
1950000 35 15 -1163937
Capital aplicado
Exemplo 210 (exemplo 4 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
A que taxa mensal de juros compostos um capital de R$ 1250000 pode transformar-se em R$ 1537342 no periacuteodo de 7 meses
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
1250000 1537342 7 300
Taxa de juros mensal
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Unidade 2
Exemplo 211 (exemplo 5 paacuteg 60 do livro Matemaacutetica Financeira)
Em que prazo um empreacutestimo de R$ 3500000 pode ser pago pela quantia de R$ 4790000 se a taxa de juros compostos cobrada for de 4 am
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
3500000 4790000 4 8
Periacuteodo em meses
Funccedilatildeo ldquoCrdquo na HP ndash 12C e as teclas ldquoSTOrdquo e ldquoEEXrdquo
Vocecirc pode calcular taxa de juros (i) Capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos Perioacutedicos (PMT) para transaccedilotildees financeiras com periacuteodos fracionaacuterios Ao digitar um periacuteodo fracionaacuterio por exemplo 23 meses a parte inteira do nuacutemero indica o nuacutemero de periacuteodos inteiro e a parte fracionaacuteria do nuacutemero o tamanho do periacuteodo fracionaacuterio como uma fraccedilatildeo do periacuteodo inteiro (no exemplo 2 meses e 03 meses)
De acordo com o criteacuterio do usuaacuterio os caacutelculos de taxa de juros ( i ) capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos perioacutedicos (PMT) podem ser executados com juros simples ou compostos acumulados durante o periacuteodo fracionaacuterio Para escolher uma das duas opccedilotildees faccedila
Aparece o indicador ldquoCldquo Portanto os juros compostos satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Natildeo aparece o indicador ldquoCrdquo Portanto os juros simples satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Figura 23 - Teclas utilizadas para caacutelculo de juros simples e compostos para periacuteodo fracionaacuterio Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
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Exemplo 212
Calcular o valor futuro de uma aplicaccedilatildeo de R$ 185030000 aplicado agrave taxa de 14 aa durante 45 anos usando juros compostos e simples para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Soluccedilatildeo as sequecircncias a seguir apresentam os resultados para o caacutelculo do valor futuro com juros simples para o periacuteodo fracionaacuterio e juros compostos para o periacuteodo fracionaacuterios respectivamente
185030000 14
45 334383879
Valor futuro calculado com juros simples para o periacuteodo
fracionaacuterio
185030000
14 45 333667556
Valor futuro calculado com juros compostos para o
periacuteodo fracionaacuterio
Exemplo 213 (exemplo 1 paacuteg 81 do livro Matemaacutetica Financeira)
Determine o valor do desconto composto racional e o valor do resgate de um tiacutetulo de R$ 1560000 descontado 5 meses antes do seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto composto racional eacute de 4 am
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Unidade 2
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor do desconto racional composto e o valor liacutequido a receber
1560000 1
1 004 5
277794 1560000 1282206
Valor do desconto Valor liacutequido
Exemplo 214 (exemplo 1 paacuteg 84 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um tiacutetulo de valor nominal de R$ 1500000 eacute descontado em um banco 3 meses antes de seu vencimento Se a taxa de desconto comercial usada pelo banco eacute de 8 am qual eacute o valor do desconto
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor liacutequido e o valor do desconto bancaacuterio ou comercial
1500000 3 8
-1168032 331968
Valor liacutequido Valor do desconto
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Nesta unidade vocecirc usou a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros simples e compostos descontos simples e compostos valor presente taxa de juros periacuteodo e montante Na proacutexima unidade usaremos a ferramenta para auxiliar no caacutelculo de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir foram propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo em PDF estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as questotildees 1 3 5 e 6 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteginas 38 e 39 Confira os resultados na paacuteg 194
1) Qual o rendimento que obtemos ao aplicarmos um capital de R$ 1000000 a uma taxa de juros simples de 5 aa durante 3 anos
3) Em um regime de capitalizaccedilatildeo simples qual eacute o montante que se obteacutem quando aplicamos um capital de R$ 200000 a uma taxa 6 aa durante 24 meses
5) Uma quantia de R$ 6200000 foi aplicada em uma operaccedilatildeo financeira no dia 20 de setembro de 2003 e resgatada no dia 21 de dezembro de 2003 a uma taxa de 125 aa Quais os juros simples exatos e comerciais da operaccedilatildeo
6) Calcule os juros simples exatos e comerciais nas seguintes condiccedilotildees
bull R$ 600000 aplicados por 180 dias a 12 aa
bull R$ 520000 aplicados por 230 dias a 15 aa
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Unidade 2
2 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 2 e 4 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegs 52 e 53 Confira os resultados nas paacuteginas 194 e 195
1) Uma empresa desconta uma duplicata no valor nominal de R$ 5000000 no Banco ldquoXrdquo 4 meses antes do seu vencimento Sabendo que o banco ldquoXrdquo trabalha com uma taxa de desconto simples bancaacuterio de 45 am qual eacute o valor do desconto e o valor liacutequido recebido
2) Para pagar uma diacutevida hoje uma empresa descontou em uma carteira de creacutedito uma duplicata no valor de R$ 1650000 com vencimento daqui a 2 meses recebendo um valor nominal liacutequido de R$ 1500000 Determine a taxa mensal de desconto simples bancaacuterio utilizada
4) Uma letra de cacircmbio no valor nominal de R$ 500000 foi comercializada 4 meses antes do vencimento a uma taxa de desconto simples de 22 am Se o desconto simples fosse o racional qual seria o valor deste desconto
3 Elabore uma sequecircncia de passos para resolver as questotildees propostas 1 2 3 4 e 6 nas paacuteginas 65 66 e 67 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira e confira os resultados na paacuteg 195
1) Calcule o montante produzido por um capital de R$ 2600000 aplicado a uma taxa de juros compostos de 52 am por 6 meses
2) Calcule os juros compostos auferidos por um capital de R$ 420000 aplicado a uma taxa de 3 am durante 10 meses
3) Um empreacutestimo de R$ 600000 deve ser pago em 120 dias a juros compostos pelo valor de R$ 900000 Qual eacute a taxa mensal da operaccedilatildeo
4) Em que prazo uma aplicaccedilatildeo a juros compostos de R$ 2400000 produziraacute um montante de R$ 6151930 agrave taxa de 4 am
6) Quanto Paulo deve aplicar hoje a juros compostos em uma instituiccedilatildeo financeira que paga uma taxa de 12 am para pagar um compromisso de valor nominal igual a R$ 3800000 que vence daqui a 3 meses
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4 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 e 8 das paacuteginas 88 e 90 respectivamente do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira Confira os resultados na paacuteg 196
1) Determine o valor do desconto composto racional de um tiacutetulo de valor nominal de R$ 830000 descontado 6 meses antes de seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto eacute de 42 am
8) Um tiacutetulo de R$ 3000000 foi descontado em uma instituiccedilatildeo financeira a uma taxa de desconto composto comercial de 64 am e o valor liacutequido recebido era de R$ 2017327 Quantos meses antes do vencimento foi descontado este tiacutetulo
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
3UNIDADE 3
Taxas de juros equivalentes e caacutelculo de pagamentos perioacutedicos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para calcular taxas equivalentes
Usar as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP ndash 12C para programar o algoritmo da taxa equivalente no regime de capitalizaccedilatildeo composto
Calcular pagamentos perioacutedicos de sequecircncias uniformes postecipadas e antecipadas
Calcular montante de uma sequecircncia uniforme
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Taxas equivalentes
Seccedilatildeo 2 Sequecircncia de capitais
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar taxas equivalentes no regime de capitalizaccedilatildeo composto Vocecirc usaraacute as funccedilotildees de programaccedilatildeo com o objetivo de elaborar um algoritmo para fazer a conversatildeo de taxas de um periacuteodo de capitalizaccedilatildeo (ex mensal) para outro periacuteodo (ex anual) usando o programa Vamos explorar as funccedilotildees ldquoPMTrdquo ldquoBEGrdquo e ldquoENDrdquo para realizar caacutelculo de pagamentos antecipados e postecipados em uma sequecircncia uniforme Destacamos que os exemplos que seratildeo apresentados estatildeo no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira
Seccedilatildeo 1 ndash Taxas equivalentes
Nesta unidade vocecirc usaraacute algumas funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos (postecipados e antecipados) de uma seacuterie uniforme Vocecirc usaraacute ainda as funccedilotildees de programaccedilatildeo para elaborar um programa para calcular taxas equivalentes A figura a seguir apresenta as funccedilotildees que vocecirc usaraacute nos exemplos apresentados posteriormente
Aciona o modo de programaccedilatildeo de HP ndash 12C
Aciona a funccedilatildeo Begin que calcula a parcela com pagamento antecipado
Aciona a funccedilatildeo End (natildeo aparece no visor da calculadora) que calcula parcela com pagamento postecipado
Figura 31 - Teclas utilizadas para acionar as funccedilotildees Beg e End e entrar no modo de programaccedilatildeo
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
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Unidade 3
Taxas equivalentes
No mercado financeiro e nas operaccedilotildees bancaacuterias e comerciais a palavra taxa eacute empregada de vaacuterias formas ou seja vaacuterios conceitos satildeo abordados em vaacuterias situaccedilotildees Esta seccedilatildeo tem como objetivo mostrar como as taxas de juros satildeo informadas no mercado financeiro e como adequaacute-las agraves condiccedilotildees padronizadas pela HP ndash 12C
Duas taxas satildeo consideradas equivalentes a juros compostos quando aplicadas a um mesmo capital por um periacuteodo de tempo equivalente e geram o mesmo rendimento
Exemplo 31(exemplo 1 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
No regime de juros compostos qual a taxa anual equivalente a 4 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente anual
Exemplo 32 (exemplo 2 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
Calcule a taxa quadrimestral equivalente agrave taxa de juros compostos de 8 aa
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente quadrimestral
1 004 12 1 1 10000 6010
Taxa anual
50
Universidade do Sul de Santa Catarina
1 008 1 3 1 10000 260
Taxa quadrimestral
Programa para caacutelculo da taxa equivalente pela hp ndash 12c
O professor Carlos Shinoda em seu livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48) apresenta um programa para calcular a taxa equivalente atraveacutes da calculadora HP ndash 12C
Siga os procedimentos abaixo para introduzir o programa na HP ndash 12C
Figura 32 - Algoritmo para a programaccedilatildeo de taxa equivalente
Fonte Livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48)
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Unidade 3
Agora que vocecirc programou a HP ndash 12C para o caacutelculo de taxas equivalentes resolva o exemplo a seguir usando o programa
Exemplo 33
Usando o programa anterior determine as taxas equivalentes propostas nos exemplos 31 e 32
Soluccedilatildeo
As sequecircncias abaixo calculam as taxas equivalentes
Executa oprograma
4 1 12 6010
Taxa anual
Executa oprograma
8 360 120 260
Taxa quadrimestral
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Seccedilatildeo 2 ndash Sequecircncia de capitais
Nesta seccedilatildeo vocecirc acompanharaacute as situaccedilotildees em que haacute mais de um pagamento ou seja vocecirc estudaraacute as operaccedilotildees envolvendo pagamentos ou recebimentos perioacutedicos e uniformes
As seacuteries uniformes de pagamentos satildeo aquelas em que os pagamentos ou recebimentos satildeo constantes e ocorrem em intervalos iguais
Seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas e antecipadas
As seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1 Este sistema eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada (0 + n)
Pagamentos ou recebimentos podem ser chamados de prestaccedilatildeo representada pela sigla PMT que vem do inglecircs Payment e significa pagamento ou recebimento
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentosPMT
++
0 1 2 3 4 5 6 n
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
++
0 1 2 3 4 5 6 n
PMT
53
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
As seacuteries uniformes de pagamentos antecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre na data focal 0 (zero) Este tipo de sistema de pagamento eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento com entrada (1+ n)
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
Exemplo 34 (exemplo 2 paacuteg 108 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um automoacutevel eacute vendido em uma loja por R$ 3200000 A loja propotildee as seguintes condiccedilotildees para financiamento
Proposta A 12 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta B 24 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta C 36 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
A taxa de juros usada eacute de 32 am Qual o valor de cada prestaccedilatildeo nas 3 modalidades de financiamento
Soluccedilatildeo
As sequecircncias a seguir calculam os valores das parcelas nas trecircs propostas
54
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3200000
32 12 -325329
parcela
3200000
32 24 -193046
parcela
3200000
32 36 -150979
parcela
Exemplo 35 (exemplo 2 paacuteg 111 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma casa cujo valor agrave vista eacute R$ 4924456 eacute vendida em prestaccedilotildees mensais e iguais de R$ 250000 sendo a primeira dada como entrada Se a taxa de financiamento eacute de 18 am determine o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas no financiamento
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o nuacutemero de parcelas
4924456 18
250000 24
nordm de parcelas
55
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
No exemplo acima o nuacutemero de pagamento deu um nuacutemero inteiro Mas podem acontecer situaccedilotildees em que ao se determinar o nuacutemero de parcelas o resultado natildeo seja um nuacutemero inteiro
Nessa situaccedilatildeo a HP ndash 12C arredonda a resposta para o proacuteximo inteiro para cima antes de armazenaacute-la e exibi-la
Exemplo 36
Vocecirc comprou um terreno por R$ 3500000 a juros de 105 aa Vocecirc pretende fazer pagamentos de R$ 32500 no fim de cada mecircs Quantos pagamentos seratildeo necessaacuterios para pagar o terreno e quanto tempo levaraacute
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o nuacutemero de pagamentos e o tempo necessaacuterio
3500000 105
32500 328 2733
nordm de parcelas Tempo (anos)
Como a calculadora arredonda o valor do tempo para o proacuteximo inteiro eacute provaacutevel que apesar de serem necessaacuterios 328 pagamentos somente 327 seratildeo inteiros de R$ 32500 com o pagamento final sendo menor do que R$ 32500 Para calcular o valor do pagamento de nuacutemero 328 vamos fazer o seguinte
A calculadora natildeo ajusta os valores nos outros registros financeiros automaticamente para refletir os n pagamentos iguais ao contraacuterio ela lhe permite escolher quais valores (se houver) que vocecirc deseja ajustar
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328 18189 - 32500 -14311
Valor da parcela 328
Nesta unidade vocecirc calculou taxas equivalentes usou as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP e fez caacutelculos de pagamentos perioacutedicos de uma seacuterie uniforme antecipado ou postecipado Na proacutexima unidade vamos realizar caacutelculos de valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades abaixo (Essa atividade corresponde agrave autoavaliaccedilatildeo 1 da unidade 5 do livro didaacutetico de Matemaacutetica Financeira) Em seguida use o programa elaborado para resolver a mesma questatildeo
Calcule a taxa anual das seguintes taxas
a) 26 am
b) 42 ab
c) 48 at
d) 12 as
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Unidade 3
2 Elabore um algoritmo para resolver as seguintes atividades (Estas questotildees equivalem agraves autoavaliaccedilotildees 1 2 3 4 e 5 da unidade 8 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 121 122 e 123)
a) Calcule o valor da prestaccedilatildeo mensal de um empreacutestimo de R$ 600000 que seraacute amortizado em 12 prestaccedilotildees mensais postecipadas sabendo que o banco cobra uma taxa de juros de 2 am
b) Uma loja vende um automoacutevel agrave vista por R$ 1650000 Se o comprador quiser fazer um financiamento em 36 parcelas mensais e iguais onde o 1ordm pagamento seraacute efetuado no 1ordm mecircs apoacutes a compra a uma taxa de juros de 21 am qual o valor da prestaccedilatildeo
c) Uma mercadoria custa R$ 9038071 agrave vista podendo ser vendida em prestaccedilotildees mensais de R$ 1050000 sendo a primeira prestaccedilatildeo dada como entrada Sabendo-se que a loja aplica uma taxa de 35 am qual o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas
d) Carlos depositou certa quantia durante 10 meses de forma antecipada a uma taxa de 25 am obtendo um montante de R$ 25000000 Quanto depositou mensalmente Carlos
e) Um produto eacute vendido agrave vista por R$ 200000 ou em 10 prestaccedilotildees mensais iguais sem entrada com uma carecircncia de 90 dias apoacutes a compra Qual o valor de cada prestaccedilatildeo sabendo que a taxa de juros eacute de 6 am
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
4UNIDADE 4
Valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa
Usar as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Valor presente liacutequido
Seccedilatildeo 2 Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs ndash SFA (Price)
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa usando as funccedilotildees CF0 CFj e NPV Vocecirc deveraacute ainda fazer uso da funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos usando o Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo ndash SFA ou tabela Price
Seccedilatildeo 1 ndash Valor presente liacutequido
A figura 41 a seguir apresenta as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C que vocecirc usaraacute nessa unidade para realizar caacutelculo de valor presente liacutequido e para a elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos ou financiamento
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor inicial do fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor do fluxo de caixa no periacuteodo j
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula o valor presente atual de um fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula a parte dos pagamentos usada para pagar juros
Figura 41 - Teclas para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
Valor presente liacutequido
Nessa seccedilatildeo vocecirc usaraacute as funccedilotildees da HP ndash 12C para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa Para entender como usar as funccedilotildees CF0 CFj e NPV considere o fluxo de caixa para um investimento que exige capital inicial (CF0) e que gera um fluxo de caixa (CFj ) no final de j periacuteodos
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Unidade 4
Veja a seguir o fluxo de caixa
CF0CF1
CF2 CF5
CFn
CF3 CF4
O VPL = Valor Presente Liacutequido eacute calculado somando ao investimento inicial o valor presente dos fluxos de caixa futuros projetados Portanto
se o VPL for positivo o valor financeiro do ativo do investidor aumentaraacute ou seja o investimento financeiro seraacute atrativo em termos financeiros
se o VPL for zero o valor financeiro do ativo financeiro do investidor natildeo mudaraacute ou seja o investidor seraacute indiferente ao investimento
se o VPL for negativo o valor financeiro do ativo do investidor seraacute reduzido ou seja o investimento natildeo seraacute atrativo em termos financeiros
Exemplo 41
Um investidor compra uma casa por R$ 7000000 e gostaria de ter um retorno de pelo menos 15 Ele pretende manter a casa por 4 anos e depois vendecirc-la por R$ 11000000 Ele prevecirc os fluxos de caixa mostrados no diagrama abaixo
CF0CF1
CF1
CF3CF4
CF5
R$ 7000000
R$ 50000
R$ 450000R$ 450000
R$ 13000000R$ 550000
Sendo assim calcule o VPL para determinar se o investimento resultaria em um retorno ou perda
62
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Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o VPL
7000000 50000
450000 550000 450000
13000000 15 379007
VPL
Como o VPL eacute positivo o investimento aumentaria o valor financeiro do ativo do investidor
Exemplo 42 (exemplo 4 paacuteg 98 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um proprietaacuterio recebeu as seguintes propostas para a venda de uma casa
Proposta A entrada de R$ 10000000 + R$ 5000000 em 6 meses + R$ 6000000 em 1 ano
Proposta B entrada de R$ 8000000 + R$ 6000000 em 5 meses + R$ 7000000 em 10 meses
Sabendo-se que a taxa de juros de mercado eacute de 3 am qual a melhor proposta para o vendedor
Soluccedilatildeo
Essa questatildeo deve ser resolvida pelo meacutetodo do Valor Presente Liacutequido A alternativa que tiver o maior valor seraacute a melhor Entretanto para facilitar a elaboraccedilatildeo do algoritmo de resoluccedilatildeo na HP ndash 12C elabore o fluxo de caixa para cada situaccedilatildeo
63
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Unidade 4
1 Proposta A Fluxo de caixa
10000000 5000000 6000000
1 2 3 4 5 7 8 9 10 110 6 12
Calculando o VPL
10000000 000 5
5000000 000
5
6000000
3
18395701
VPL
Armazena o zero 5 vezes
2 Proposta B Fluxo de caixa
8000000 70000006000000
1 2 3 4 6 7 8 90 5 10
Calculando o VPL
8000000 000 4
6000000 000
4
7000000
3
18384310
VPL
Armazena o zero 4 vezes
Resposta a melhor proposta eacute a A
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Exemplo 43
Dois equipamentos satildeo examinados Considerando ser a taxa miacutenima de atratividade de 20aa qual o equipamento que deve ser adquirido
Dados
41 - Tabela de DadosEquipamento K Equipamento L
Custo R$ 5000000 R$ 8000000Custo anual de manutenccedilatildeo R$ 2000000 R$ 1500000Valor residual para venda R$ 400000 R$ 800000Duraccedilatildeo em anos 10 10
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
A seguir veja o diagrama de fluxo de caixa
Os caacutelculos do Valor Presente Liacutequido para as duas situaccedilotildees satildeo
Equipamento K
5000000
Equipamento K
2000000
400000
0 1 2 10
8000000
Equipamento L
1500000
800000
0 1 2 10
50000 20000
9 4000 20000 1
20 -13320342
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Unidade 4
Equipamento L
80000 15000
9 8000 15000 1
20 -14159504
Importante Veja que a alternativa K equivale a um equipamento em que se investe R$ 13320342 enquanto que o equipamento L equivale a um investimento de R$ 14159504 Portanto eacute preferiacutevel o equipamento K pois o investimento eacute menor
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Seccedilatildeo 2 ndash Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs - SFA
Este sistema consiste no pagamento de empreacutestimos ou financiamentos com prestaccedilotildees iguais e com periodicidade constante Eacute considerado o sistema de amortizaccedilatildeo mais utilizado pelas instituiccedilotildees financeiras e pelo comeacutercio em geral
O Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo eacute assim chamado por ter sido inventado na Franccedila por volta do seacuteculo XVIII pelo matemaacutetico inglecircs Richard Price daiacute portanto a origem da denominaccedilatildeo Sistema Price tambeacutem comumente chamado de Tabela Price
Na verdade a Tabela Price eacute um caso particular derivado do Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo Neste sistema o financiamento (PV) eacute pago em parcelas (PMT) iguais constituiacutedas da amortizaccedilatildeo do principal da diacutevida + juros compensatoacuterios (J) que variam inversamente ao longo do tempo Ou seja agrave medida que aumenta o valor da parcela de amortizaccedilatildeo haveraacute uma queda dos juros compensatoacuterios em funccedilatildeo da reduccedilatildeo do saldo devedor
Principais Caracteriacutesticas
As principais caracteriacutesticas do SFA satildeo
a prestaccedilatildeo eacute constante durante todo o periacuteodo do financiamento
a parcela de amortizaccedilatildeo aumenta a cada periacuteodo (n)
os juros compensatoacuterios diminuem a cada periacuteodo (n)
Exemplo 44 (exemplo 1 paacuteg 148 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma instituiccedilatildeo financeira libera um empreacutestimo para uma induacutestria no valor de R$ 60000000 para ser pago pelo sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs em 120 meses a uma taxa de 15 am Faccedila a planilha ateacute o 4ordm mecircs e calcule o saldo devedor no 100ordm mecircs
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Unidade 4
Soluccedilatildeo
A sequecircncia abaixo calcula o valor da prestaccedilatildeo os juros a amortizaccedilatildeo o saldo devedor e valor do saldo devedor no 100ordm mecircs Acompanhe
Zera os registradores
60000000 Armazena o valor presente
120 Armazena o periacuteodo
15 Armazena a taxa
- R$ 1081111 Valor da prestaccedilatildeo
1 - R$ 900000 Valor dos juros da 1ordf parcela
R$ 181111Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 1ordf parcela
R$ 58918889 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 897283 Valor dos juros da 2ordf parcela
- R$ 183828Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 2ordf parcela
R$ 59635061 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 894526 Valor dos juros da 3ordf parcela
- R$ 186585Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 3ordf parcela
R$ 59448476 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 891727 Valor dos juros da 4ordf parcela
- R$ 189384Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 4ordf parcela
R$ 59259092 Recupera o saldo devedor
A tabela a seguir apresenta um resumo das operaccedilotildees realizadas
68
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Tabela 42 ndash Planilha de amortizaccedilatildeoPeriacuteodo (n) Amortizaccedilatildeo (A) Juros (J) Prestaccedilotildees (R) Saldo Devedor (S)
0 - - - R$ 600000001 R$ 181111 R$ 900000 R$ 1081111 R$ 598188892 R$ 183828 R$ 897283 R$ 1081111 R$ 596350613 R$ 186585 R$ 894526 R$ 1081111 R$ 594484764 R$ 189384 R$ 891727 R$ 1081111 R$ 59259092
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Para determinar o saldo devedor no 100ordm mecircs faccedila como indicado a seguir
60000000 120 150
-1081111 18561247
Prestaccedilatildeo Saldo devedor no 100ordm mecircs
Nesta unidade vocecirc usou as funccedilotildees de fluxo de caixa para calcular o valor presente liacutequido e a funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
69Unidade 4
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades a seguir (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 4 e 5 da unidade 7 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegina 102) Em seguida use o programa elaborado para resolver as mesmas questotildees
a) Qual das alternativas de pagamento eacute a melhor para uma taxa de juros compostos de 75 am
Alternativa A Pagamento de R$ 15000000 agrave vista
Alternativa B Entrada de R$ 5000000 + R$ 8000000 em 90 dias + R$ 6000000 em 150 dias
b) Uma pessoa deve a um banco dois tiacutetulos com valores de R$ 300000 e R$ 600000 venciacuteveis respectivamente em 4 meses e 8 meses Se a pessoa deseja antecipar para hoje a liquidaccedilatildeo dos tiacutetulos qual o valor a pagar considerando que o banco opera com uma taxa de juros compostos de 23 am
2 Elabore um algoritmo para resolver as atividades abaixo (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 1 e 4 da unidade 10 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 151 e 153)
a) Um cliente solicita a um banco um empreacutestimo de R$ 4000000 pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs em 60 prestaccedilotildees mensais Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de juros de 28 am obtenha o valor da prestaccedilatildeo e o saldo devedor depois de pagar a 20ordf prestaccedilatildeo
b) Um empreacutestimo de R$ 30000000 seraacute saldado em 50 prestaccedilotildees mensais a uma taxa de 15 am Determine a parcela de juros relativa agrave 15ordf prestaccedilatildeo pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs (price)
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
Manual da calculadora HP ndash 12C
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico ndash 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7ed Satildeo Paulo Atlas 2000
Para concluir o estudo
Com o teacutermino desse curso de extensatildeo acreditamos que proporcionamos momentos de aprendizagem por meio da interaccedilatildeo da calculadora financeira e que vocecirc estaacute habilitado(a) a fazer uso dessa ferramenta com qualidade no mercado de trabalho relacionado a essa aacuterea tatildeo importante no nosso dia-a-dia
Referecircncias
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7 ed Satildeo Paulo Atlas 2000
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003 Disponiacutevel em lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt Acesso em 05 jun 2008
Sobre o professor conteudista
Joseacute Humberto Dias de Toledo - eacute Mestre em Educaccedilatildeo pela Universidade do Sul de Santa Catarina Graduado em Licenciatura em Matemaacutetica e em Engenharia Civil Professor das disciplinas Meacutetodos Numeacutericos Informaacutetica Aplicada agrave Matemaacutetica Financeira Caacutelculo I e Matemaacutetica Financeira no Curso de Matemaacutetica ndash Licenciatura nesta mesma instituiccedilatildeo Atualmente ministra a disciplina Representaccedilotildees Graacuteficas na Poacutes-graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo Matemaacutetica da UNISUL
Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo
Unidade 1
1 a) 5
b) -2359
c) 3311
d) 077
e) 081
Respostas modo RPN
a)
b)
c)
d)
e)
Respostas modo ALG
a
b
c
d
e
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Universidade do Sul de Santa Catarina
2 R$ 167757
Modo RPN
Modo ALG
3 -242
4 Data 13082008 3 (quarta-feira)
5 Florianoacutepolis = 3303 Curitiba = 5018 Porto Alegre = 1680
Unidade 2
1 1) 150000
Dados
C = R$ 1000000
i = 5 aa
n = 3 anos = 1080 dias
J =
3) 24 meses = 2 anos
Dados
C = R$ 200000
i = 6 aa
n = 24 meses = 720 dias
M =
79
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
85
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
86
Universidade do Sul de Santa Catarina
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
87
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
Armazenando recuperando nuacutemeros e zerando registros
Para armazenar um nuacutemero em um registro de armazenamento de dados aperte a tecla (armazenar) e em seguida um dos nuacutemeros de 0 a 9 para os registros R R
0 9 a e 0 a 9 para os
registros R R 0 9
a
Para recuperar um nuacutemero de um registro de armazenamento de dados aperte a tecla (recuperar) e em seguida um dos nuacutemeros de 0 a 9 para os registros R R
0 9 a e 0 a 9 para os
registros R R 0 9
a
Jaacute para zerar um uacutenico registro de armazenamento vocecirc pode armazenar o valor zero no registro Agora para zerar todos os registros de armazenamento de uma soacute vez ndash incluindo os registros financeiros os registros da pilha e o registro LAST X ndash aperte
E entatildeo estaacute motivado(a) para continuar Na proacutexima seccedilatildeo apresentaremos as teclas ldquoRPNrdquo e ldquoALGrdquo e faremos caacutelculos aritmeacuteticos usando esses modos
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Seccedilatildeo 2 ndash Caacutelculos aritmeacuteticos no modo ldquoRPNrdquo e no modo ldquoALGrdquo
A calculadora HP ndash 12C pode ser configurada para executar operaccedilotildees aritmeacuteticas nos modos RPN ndash Notaccedilatildeo Polonesa Reversa e ALG ndash Algeacutebrico No modo RPN os resultados intermediaacuterios nas operaccedilotildees aritmeacuteticas satildeo armazenados automaticamente portanto natildeo eacute necessaacuterio o uso dos parecircnteses Jaacute no modo ALG as operaccedilotildees elementares satildeo executadas de maneira convencional
Conheccedila alguns exemplos na sequecircncia do texto
Exemplo 11
Calcular 3 x 2 + 5 usando os modos RPN e ALG na HP ndash 12C
Resolvendo no modo RPN
Para configurar a calculadora no modo RPN aperte a tecla e em seguida Observe que vai aparecer o indicador RPN no visor da maacutequina
Agora que a calculadora estaacute no modo RPN vamos ao caacutelculo
3 2 5 11
Resultado
Resolvendo no modo ALG
Para configurar a calculadora no modo ALG aperte a tecla e em seguida Observe que vai aparecer o indicador ALG no visor da maacutequina
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
Calculando no modo algeacutebrico
3 2 5 11
Resultado
Os modelos mais antigos de calculadoras HP ndash 12C natildeo disponibilizam o modo algeacutebrico Portanto se vocecirc eacute usuaacuterio desse tipo de calculadora todos os caacutelculos devem ser efetuados no modo RPN
Exemplo 12
Resolver os caacutelculos solicitados a seguir usando os modos RPN e ALG
a) 3 2 5 33+ minus x
b) ( )minus + minus2 3 4 43 x
c) 2 9 3 52minus + + minus
d) 2 35
2+ minusln
e) 3 4 62+ minuse
Resolvendo no modo RPN
a)
3 2 3 5 3 - 4
Resultado
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b)
c)
d)
Obs para alterar a quantidade de casas decimais no visor da calculadora aperte e em seguida um nuacutemero de 1 a 9 que corresponde agrave quantidade de casas decimais No exemplo acima usamos
e)
2
3 3
4
4
0
Resultado
2
2
9 3 5 125
Resultado
2
3
5 2 0599
Resultado
3
2
46 5789
Resultado
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
Resolvendo no modo ALG com o auxiacutelio dos registros R R
0 9 a
a)
2
3
5 3 3
4
Resultado
Armazena o resultado do visor na memoacuteria 0
Recupera o registro da memoacuteria 0
b)
2
3
3 4
4 0
Resultado
c)
2 2
9
3 5 125
Resultado
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d)
e)
Exemplo 13
Usando a calculadora HP ndash 12C no modo RPN as seguintes operaccedilotildees bancaacuterias foram realizadas a conta tinha um saldo de R$ 12300 e foi feito um depoacutesito referente ao salaacuterio de R$ 189035 Em seguida foram emitidos e compensados cheques nos valores de R$ 38590 R$ 23478 e R$ 62389 Qual eacute o novo saldo da conta
Soluccedilatildeo use
para apresentar os caacutelculos com duas casas decimais
12300 189035 38590
23478 62389 76920
Saldo
2 3 5 2 0 0599
Resultado
3 2 46 5789
Resultado
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Unidade 1
Seccedilatildeo 3 ndash Funccedilotildees de percentagem e calendaacuterio
A calculadora HP ndash 12C apresenta funccedilotildees que permitem o caacutelculo de percentagens e de calendaacuterio Para caacutelculo com percentagens natildeo eacute necessaacuterio converter o nuacutemero na notaccedilatildeo percentual para a notaccedilatildeo decimal Jaacute as funccedilotildees calendaacuterio fornecidas pela HP trabalham com datas entre 15 de outubro de 1582 e 25 de novembro de 4046 A seguir vocecirc conheceraacute detalhadamente essas funccedilotildees
Funccedilotildees de percentagem
Calcula a Percentagem de um nuacutemero ou valor
Calcula a diferenccedila percentual entre dois nuacutemeros
Calcula qual percentual um nuacutemero eacute de outro
Figura 14 - Ilustraccedilatildeo das funccedilotildees de percentagem da Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Funccedilotildees de calendaacuterio
Configura o formato de uma data para dia-mecircs-ano
Configura o formato de uma data para mecircs-dia-ano
Calcula o nuacutemero de dias entre datas
Calcula datas futuras ou passadas
Figura 15 - Ilustraccedilatildeo das funccedilotildees de calendaacuterio da Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Nos exemplos a seguir estaacute demonstrado o uso de todas as funccedilotildees apresentadas Obs os caacutelculos vatildeo ser realizados no modo RPN
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Exemplo 14
Calcular 16 de R$ 198000
Soluccedilatildeo
198000 1600 31680
Resultado
Exemplo 15
Determinada empresa com accedilotildees na bolsa de valores verificou as seguintes variaccedilotildees nos valores das suas accedilotildees no dia 150508 o valor da accedilatildeo passou de R$ 5025 para R$ 5498 jaacute no dia 210508 o valor da accedilatildeo caiu de R$ 5498 para R$ 5208 Qual a diferenccedila percentual nas duas situaccedilotildees
Soluccedilatildeo a sequecircncia a seguir apresenta a variaccedilatildeo percentual
Caacutelculo da variaccedilatildeo percentual de R$ 5025 para R$ 5498 usando a HP ndash 12C
5025 5498 941
Resultado
Observe que o resultado apresentado eacute positivo portanto representa aumento
Caacutelculo da variaccedilatildeo percentual de R$ 5498 para R$ 5208 usando a HP ndash 12C
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Unidade 1
5498 5208 -527
Resultado
Observe que o resultado apresentado eacute negativo portanto representa queda
Exemplo 16
A empresa do exemplo anterior atua na regiatildeo sul do Brasil com vendas totais realizadas no mecircs de abril de 2008 de R$ 589636996 distribuiacutedas da seguinte forma R$ 123656939 no Paranaacute R$ 356963920 em Santa Catarina e R$ 109016137 no Rio Grande do Sul Qual a percentagem das vendas totais em cada um dos trecircs Estados
Soluccedilatildeo
A sequecircncia apresenta os percentuais nos estados do Paranaacute Santa Catarina e Rio Grande do Sul
Soluccedilatildeo
589636996 123656939 2097
356963920 6054 109016137 1849
Resultado SC Resultado RS
Resultado PR
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Exemplo 17
Comprei uma TV LCD em 17052008 com vencimento para 120 dias Determine a data do vencimento usando a calculadora HP ndash 12C
Soluccedilatildeo
17052008 120 14092008 7
A data do vencimento eacute 14 de setembro de
2008 domingo
Exemplo 18
Fiz uma compra no dia 12052008 com vencimento para o dia 26082008 Use a calculadora HP ndash 12C para determinar o nuacutemero de dias entre a data da compra e do vencimento
Soluccedilatildeo
12052008 20082008 100
Nuacutemero de dias entre as datas
Nesta unidade vocecirc conheceu algumas funccedilotildees elementares da calculadora as quais seratildeo utilizadas nas demais unidades e satildeo muito importantes para realizar caacutelculos que envolvem questotildees do nosso cotidiano Na proacutexima unidade vocecirc vai usar as funccedilotildees financeiras da calculadora para calcular juros simples e compostos descontos simples e compostos
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Unidade 1
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
Efetue as atividades de autoavaliaccedilatildeo e acompanhe as respostas e comentaacuterios a respeito nas paacuteginas finais deste material Para melhor aproveitamento do seu estudo realize a conferecircncia de suas respostas somente depois de fazer as atividades propostas Desse modo o momento da conferecircncia lhe proporcionaraacute novas oportunidades de aprendizagem
1 Calcule o valor das expressotildees numeacutericas a seguir usando a HP ndash 12C nos modos RPN e ALG
a) 2 5 3 8 24 minus + divide =x
b) minus + minus =3 5 32 3x eln
c) 16 25 3 45 89+ minus =x
d) 2
35 5
3+ minus =ln
e) 0 253
55
2 + minus =minus
2 Use a HP ndash 12C para realizar os caacutelculos e informar o saldo final da seguinte movimentaccedilatildeo financeira Saldo inicial na conta R$ 167890 depoacutesito de R$ 143587 cheques compensados nos valores de R$ 34598 R$ 12345 R$ 65790 e R$ 30987
3 No dia 130508 o doacutelar americano estava cotado em R$ 165 no dia 190508 a cotaccedilatildeo foi de R$ 161 Com base nestes dados indique qual foi a variaccedilatildeo percentual do doacutelar
4 Foi realizada uma compra em um supermercado no valor de R$ 67890 em 150508 Sabendo que esse estabelecimento trabalha com prazo de 90 dias use as funccedilotildees calendaacuterio da HP ndash 12C e determine a data e o dia da semana do vencimento
5 Uma empresa tem vendas mensais para o mecircs de maio de 2008 estimadas em R$ 178909000 Sabendo que o valor total das vendas estaacute distribuiacutedo nas cidades de Florianoacutepolis Curitiba e Porto Alegre com valores correspondentes a R$ 59089000 R$ 89767898 e R$ 30052102 respectivamente determine qual percentagem das vendas totais ocorre em cada uma das cidades
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Saiba mais
HPndash12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
No link abaixo vocecirc tem disponiacutevel o manual da calculadora HP ndash 12C na versatildeo online lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt
2UNIDADE 2
Regimes de capitalizaccedilatildeo simples e composto
Objetivos de aprendizagem
Fazer uso das funccedilotildees financeiras da calculadora HP ndash 12C para calcular juros simples e composto
Dominar o caacutelculo do montante simples e composto
Aprender o caacutelculo de desconto simples e composto
Calcular capital taxa e prazo no regime de capitalizaccedilatildeo composto usando a HP ndash 12C
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Regime de capitalizaccedilatildeo simples
Seccedilatildeo 2 Regime de capitalizaccedilatildeo composto
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc vai fazer uso das funccedilotildees financeiras da HP ndash 12C com o objetivo de realizar caacutelculos de juros simples e composto montantes simples e composto descontos simples e composto caacutelculo de taxas e prazos
Nesta etapa de estudos seratildeo utilizados exemplos do material didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira que estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do Espaccedilo Virtual de Aprendizagem ndash EVA Eacute importante lembrar natildeo ser objetivo deste curso discutir os conceitos da Matemaacutetica Financeira mas apenas utilizar as funccedilotildees disponibilizadas na calculadora para resolver problemas relacionados a essa aacuterea Entretanto caso vocecirc julgue importante os conceitos podem ser relembrados ou vistos no material didaacutetico da disciplina
Seccedilatildeo 1 ndash Regime de capitalizaccedilatildeo simples
Na unidade 1 vocecirc foi apresentado(a) agrave calculadora HP ndash 12C e a algumas das suas funccedilotildees com o objetivo de capacitaacute-lo(a) para o uso adequado dessa ferramenta Esta unidade inicia com uma abordagem sobre os registradores financeiros os quais seratildeo utilizados na maioria dos exemplos que deveratildeo ser resolvidos ao longo das proacuteximas seccedilotildees desta unidade e nas demais unidades deste curso Veja na ilustraccedilatildeo a seguir os registradores financeiros e as suas aplicaccedilotildees
Registra e armazena periacuteodo
Registra e armazena taxa
Registra e armazena valor presente
Registra e armazena pagamentos perioacutedicos
Registra e armazena valor futuro
Figura 21 - Registradores financeiros e as suas aplicaccedilotildees Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
Para armazenar um nuacutemero em um registrador financeiro digite o nuacutemero e em seguida uma das teclas correspondentes ilustradas acima
Para exibir um nuacutemero armazenado em um dos registradores financeiros aperte e em seguida a tecla correspondente
Para zerar todos os registradores financeiros aperte a sequecircncia de teclas
Eacute importante lembrar que os registradores financeiros tambeacutem satildeo zerados ao apertar a sequecircncia
e quando a memoacuteria contiacutenua eacute
reinicializada
A seguir vocecirc faraacute caacutelculo de juros simples e de descontos simples usando a HP ndash 12C
Regime de capitalizaccedilatildeo simples
A HP ndash 12C calcula automaticamente juros simples ordinaacuterios ndash usando o ano comercial e juros simples exatos ndash usando um ano de 365 dias simultaneamente
Eacute possiacutevel apresentar qualquer um dos dois e mais com os juros acumulados no mostrador podemos calcular o montante apertando a tecla
Para exemplificar vamos resolver problemas do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira que se encontra disponiacutevel (formato digital) na ferramenta Midiateca do EVA ndash Espaccedilo Virtual de Aprendizagem
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 21 (exemplo 1 paacuteg 29 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital de R$ 1800000 foi aplicado a juros simples durante 3 anos agrave taxa de 6 aa Qual eacute o valor dos juros e o montante adquirido
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula os juros e o montante
Exemplo 22 (exemplo 1 paacuteg 33 do livro Matemaacutetica Financeira)
Ache os juros simples exatos auferidos em uma aplicaccedilatildeo de R$ 1500000 a uma taxa de 16 aa de 20 de abril de 2003 a 1ordm de julho de 2003
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula os juros comerciais e os juros exatos
Neste exemplo utilizamos duas teclas que seratildeo ilustradas a seguir para realizar o caacutelculo dos juros exatos
1800000 1080 6
324000 2124000
Juros Montante
No caacutelculo de Juros simples o periacuteodo deve ser em dias
Calcula juros simples
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Unidade 2
1500000 20042003 01072003
72 16 48000 47342
Juro comercial Juro exato nordm de dias
Ao apertar essa tecla ela rola para baixo o conteuacutedo da pilha para visualizaccedilatildeo no registro X
Ao apertar essa tecla ela troca o conteuacutedo dos registros X e Y da pilha
Figura 22 - Teclas utilizadas para registros de dados Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Exemplo 23 (exemplo 2 paacuteg 34 do livro Matemaacutetica Financeira)
Determine o juro simples exato obtido em uma aplicaccedilatildeo de R$ 1300000 durante 146 dias a uma taxa de 9 aa
Soluccedilatildeo a sequecircncia a seguir realiza os caacutelculos solicitados
1330000 146 9
48545 47880
Juro comercial Juro exato
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Exemplo 24 (exemplo 1 paacuteg 47 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma duplicata de R$ 1500000 com vencimento no dia 03042005 foi descontada em um banco em 08012005 a uma taxa de 25 am Qual eacute o desconto simples bancaacuterio da operaccedilatildeo
Soluccedilatildeo
08012005 03042005 85
1500000 0025 30 106250
Taxa decimal Desconto bancaacuterio
Nordm de dias entre as datas
Exemplo 25 (exemplo 1 paacuteg 48 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma empresa descontou um tiacutetulo com valor de face de R$ 1450000 3 meses e 15 dias antes do vencimento com uma taxa de desconto bancaacuterio simples de 24 am Quanto a empresa recebeu liacutequido na operaccedilatildeo
Soluccedilatildeo
1450000 0024 35 1450000 1328200
Periacuteodo em meses Valor liacutequidoTaxa decimal
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Unidade 2
Exemplo 26 (exemplo 1 paacuteg 49 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma duplicata de R$ 4800000 foi descontada 6 meses antes de seu vencimento em uma instituiccedilatildeo financeira que trabalha com uma taxa de desconto simples de 32 am Com base nestes dados determine
o valor do desconto simples bancaacuterio
o valor do desconto simples racional
Soluccedilatildeo
4800000 6 0032 921600
Taxa decimal Valor liacutequido
921600 1 0032
6 773154
Taxa decimal Valor liacutequido
Na proacutexima seccedilatildeo vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros compostos e de desconto compostos
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Seccedilatildeo 2 ndash Regime de capitalizaccedilatildeo composto
Os exemplos apresentados a partir de agora satildeo ilustrativos de uma ampla variedade de caacutelculos financeiros Para resolvecirc-los vocecirc precisa estruturaacute-los identificando os elementos baacutesicos do problema de maneira que fiquem evidentes as quantidades que devem ser fornecidas agrave calculadora e quem eacute o valor desconhecido ou seja o valor que desejamos determinar
Na resoluccedilatildeo dos caacutelculos usando a HP ndash 12C eacute indispensaacutevel elaborar o diagrama de fluxo de caixa Eacute importante ressaltar que a calculadora precisa de ajuda para comparar o fluxo de caixa ou seja eacute preciso informar quando temos uma entrada ou uma saiacuteda
O fluxo de caixa serve para demonstrar graficamente as transaccedilotildees financeiras em um periacuteodo de tempo
O tempo eacute representado por uma linha horizontal dividida pelo nuacutemero de periacuteodos relevantes para anaacutelise As entradas ou recebimentos satildeo representados por setas verticais apontadas para cima e as saiacutedas ou pagamentos satildeo representados por setas verticais apontadas para baixo Observe o modelo simplificado
(+) entradas
(-) saiacutedas
tempo (n)
Veja agora o modelo detalhado
Entradas
Saiacutedas
Tempo
Fluxo de caixa pode ser definido como sendo a movimentaccedilatildeo de recursos financeiros (entradas e saiacutedas de caixa) ao longo de um periacuteodo de tempo - agrave entrada e saiacuteda de dinheiro O conceito caixa (financeiro) natildeo pode ser confundido com conceito de competecircncia (contaacutebil)
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Unidade 2
Na HP-12C a tecla (do inglecircs Change Sign) serve para introduzir ou tirar um sinal negativo de um nuacutemero ou seja faz o fluxo de caixa
Na sequecircncia de exemplos apresentados a seguir realizaremos caacutelculos de juros montantes valor presente prazo taxa de juros e descontos no regime composto com o auxiacutelio dos registradores financeiros da calculadora HP ndash 12C
Exemplo 27 (exemplo 1 paacuteg 58 do livro Matemaacutetica Financeira)
Qual o montante gerado por um capital de R$ 450000 aplicado por 9 meses a juros compostos a uma taxa de 35 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o montante composto
450000 9 35 613304
MontanteFluxo de caixa saiacuteda do dinheiro para aplicaccedilatildeo
Exemplo 28 (exemplo 2 paacuteg 58 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital de R$ 1200000 foi aplicado a juros compostos durante 6 meses agrave taxa de 2 am Calcule os juros auferidos na aplicaccedilatildeo
Soluccedilatildeo use a sequecircncia a seguir para calcular os juros
1200000 6 2
1351395 151395
Montante Juros
Fluxo de caixa saiacuteda do dinheiro para aplicaccedilatildeo
Recupera um valor em um registrador
financeiro
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Exemplo 29 (exemplo 3 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital ldquoXrdquo eacute aplicado a juros compostos agrave taxa de 35 am gerando um montante de R$ 1950000 apoacutes 1 ano e 3 meses Determine o capital ldquoXrdquo
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar o capital
1950000 35 15 -1163937
Capital aplicado
Exemplo 210 (exemplo 4 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
A que taxa mensal de juros compostos um capital de R$ 1250000 pode transformar-se em R$ 1537342 no periacuteodo de 7 meses
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
1250000 1537342 7 300
Taxa de juros mensal
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Unidade 2
Exemplo 211 (exemplo 5 paacuteg 60 do livro Matemaacutetica Financeira)
Em que prazo um empreacutestimo de R$ 3500000 pode ser pago pela quantia de R$ 4790000 se a taxa de juros compostos cobrada for de 4 am
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
3500000 4790000 4 8
Periacuteodo em meses
Funccedilatildeo ldquoCrdquo na HP ndash 12C e as teclas ldquoSTOrdquo e ldquoEEXrdquo
Vocecirc pode calcular taxa de juros (i) Capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos Perioacutedicos (PMT) para transaccedilotildees financeiras com periacuteodos fracionaacuterios Ao digitar um periacuteodo fracionaacuterio por exemplo 23 meses a parte inteira do nuacutemero indica o nuacutemero de periacuteodos inteiro e a parte fracionaacuteria do nuacutemero o tamanho do periacuteodo fracionaacuterio como uma fraccedilatildeo do periacuteodo inteiro (no exemplo 2 meses e 03 meses)
De acordo com o criteacuterio do usuaacuterio os caacutelculos de taxa de juros ( i ) capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos perioacutedicos (PMT) podem ser executados com juros simples ou compostos acumulados durante o periacuteodo fracionaacuterio Para escolher uma das duas opccedilotildees faccedila
Aparece o indicador ldquoCldquo Portanto os juros compostos satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Natildeo aparece o indicador ldquoCrdquo Portanto os juros simples satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Figura 23 - Teclas utilizadas para caacutelculo de juros simples e compostos para periacuteodo fracionaacuterio Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
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Exemplo 212
Calcular o valor futuro de uma aplicaccedilatildeo de R$ 185030000 aplicado agrave taxa de 14 aa durante 45 anos usando juros compostos e simples para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Soluccedilatildeo as sequecircncias a seguir apresentam os resultados para o caacutelculo do valor futuro com juros simples para o periacuteodo fracionaacuterio e juros compostos para o periacuteodo fracionaacuterios respectivamente
185030000 14
45 334383879
Valor futuro calculado com juros simples para o periacuteodo
fracionaacuterio
185030000
14 45 333667556
Valor futuro calculado com juros compostos para o
periacuteodo fracionaacuterio
Exemplo 213 (exemplo 1 paacuteg 81 do livro Matemaacutetica Financeira)
Determine o valor do desconto composto racional e o valor do resgate de um tiacutetulo de R$ 1560000 descontado 5 meses antes do seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto composto racional eacute de 4 am
43
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor do desconto racional composto e o valor liacutequido a receber
1560000 1
1 004 5
277794 1560000 1282206
Valor do desconto Valor liacutequido
Exemplo 214 (exemplo 1 paacuteg 84 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um tiacutetulo de valor nominal de R$ 1500000 eacute descontado em um banco 3 meses antes de seu vencimento Se a taxa de desconto comercial usada pelo banco eacute de 8 am qual eacute o valor do desconto
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor liacutequido e o valor do desconto bancaacuterio ou comercial
1500000 3 8
-1168032 331968
Valor liacutequido Valor do desconto
44
Universidade do Sul de Santa Catarina
Nesta unidade vocecirc usou a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros simples e compostos descontos simples e compostos valor presente taxa de juros periacuteodo e montante Na proacutexima unidade usaremos a ferramenta para auxiliar no caacutelculo de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir foram propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo em PDF estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as questotildees 1 3 5 e 6 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteginas 38 e 39 Confira os resultados na paacuteg 194
1) Qual o rendimento que obtemos ao aplicarmos um capital de R$ 1000000 a uma taxa de juros simples de 5 aa durante 3 anos
3) Em um regime de capitalizaccedilatildeo simples qual eacute o montante que se obteacutem quando aplicamos um capital de R$ 200000 a uma taxa 6 aa durante 24 meses
5) Uma quantia de R$ 6200000 foi aplicada em uma operaccedilatildeo financeira no dia 20 de setembro de 2003 e resgatada no dia 21 de dezembro de 2003 a uma taxa de 125 aa Quais os juros simples exatos e comerciais da operaccedilatildeo
6) Calcule os juros simples exatos e comerciais nas seguintes condiccedilotildees
bull R$ 600000 aplicados por 180 dias a 12 aa
bull R$ 520000 aplicados por 230 dias a 15 aa
45
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Unidade 2
2 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 2 e 4 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegs 52 e 53 Confira os resultados nas paacuteginas 194 e 195
1) Uma empresa desconta uma duplicata no valor nominal de R$ 5000000 no Banco ldquoXrdquo 4 meses antes do seu vencimento Sabendo que o banco ldquoXrdquo trabalha com uma taxa de desconto simples bancaacuterio de 45 am qual eacute o valor do desconto e o valor liacutequido recebido
2) Para pagar uma diacutevida hoje uma empresa descontou em uma carteira de creacutedito uma duplicata no valor de R$ 1650000 com vencimento daqui a 2 meses recebendo um valor nominal liacutequido de R$ 1500000 Determine a taxa mensal de desconto simples bancaacuterio utilizada
4) Uma letra de cacircmbio no valor nominal de R$ 500000 foi comercializada 4 meses antes do vencimento a uma taxa de desconto simples de 22 am Se o desconto simples fosse o racional qual seria o valor deste desconto
3 Elabore uma sequecircncia de passos para resolver as questotildees propostas 1 2 3 4 e 6 nas paacuteginas 65 66 e 67 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira e confira os resultados na paacuteg 195
1) Calcule o montante produzido por um capital de R$ 2600000 aplicado a uma taxa de juros compostos de 52 am por 6 meses
2) Calcule os juros compostos auferidos por um capital de R$ 420000 aplicado a uma taxa de 3 am durante 10 meses
3) Um empreacutestimo de R$ 600000 deve ser pago em 120 dias a juros compostos pelo valor de R$ 900000 Qual eacute a taxa mensal da operaccedilatildeo
4) Em que prazo uma aplicaccedilatildeo a juros compostos de R$ 2400000 produziraacute um montante de R$ 6151930 agrave taxa de 4 am
6) Quanto Paulo deve aplicar hoje a juros compostos em uma instituiccedilatildeo financeira que paga uma taxa de 12 am para pagar um compromisso de valor nominal igual a R$ 3800000 que vence daqui a 3 meses
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4 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 e 8 das paacuteginas 88 e 90 respectivamente do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira Confira os resultados na paacuteg 196
1) Determine o valor do desconto composto racional de um tiacutetulo de valor nominal de R$ 830000 descontado 6 meses antes de seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto eacute de 42 am
8) Um tiacutetulo de R$ 3000000 foi descontado em uma instituiccedilatildeo financeira a uma taxa de desconto composto comercial de 64 am e o valor liacutequido recebido era de R$ 2017327 Quantos meses antes do vencimento foi descontado este tiacutetulo
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
3UNIDADE 3
Taxas de juros equivalentes e caacutelculo de pagamentos perioacutedicos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para calcular taxas equivalentes
Usar as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP ndash 12C para programar o algoritmo da taxa equivalente no regime de capitalizaccedilatildeo composto
Calcular pagamentos perioacutedicos de sequecircncias uniformes postecipadas e antecipadas
Calcular montante de uma sequecircncia uniforme
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Taxas equivalentes
Seccedilatildeo 2 Sequecircncia de capitais
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar taxas equivalentes no regime de capitalizaccedilatildeo composto Vocecirc usaraacute as funccedilotildees de programaccedilatildeo com o objetivo de elaborar um algoritmo para fazer a conversatildeo de taxas de um periacuteodo de capitalizaccedilatildeo (ex mensal) para outro periacuteodo (ex anual) usando o programa Vamos explorar as funccedilotildees ldquoPMTrdquo ldquoBEGrdquo e ldquoENDrdquo para realizar caacutelculo de pagamentos antecipados e postecipados em uma sequecircncia uniforme Destacamos que os exemplos que seratildeo apresentados estatildeo no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira
Seccedilatildeo 1 ndash Taxas equivalentes
Nesta unidade vocecirc usaraacute algumas funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos (postecipados e antecipados) de uma seacuterie uniforme Vocecirc usaraacute ainda as funccedilotildees de programaccedilatildeo para elaborar um programa para calcular taxas equivalentes A figura a seguir apresenta as funccedilotildees que vocecirc usaraacute nos exemplos apresentados posteriormente
Aciona o modo de programaccedilatildeo de HP ndash 12C
Aciona a funccedilatildeo Begin que calcula a parcela com pagamento antecipado
Aciona a funccedilatildeo End (natildeo aparece no visor da calculadora) que calcula parcela com pagamento postecipado
Figura 31 - Teclas utilizadas para acionar as funccedilotildees Beg e End e entrar no modo de programaccedilatildeo
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
49
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Unidade 3
Taxas equivalentes
No mercado financeiro e nas operaccedilotildees bancaacuterias e comerciais a palavra taxa eacute empregada de vaacuterias formas ou seja vaacuterios conceitos satildeo abordados em vaacuterias situaccedilotildees Esta seccedilatildeo tem como objetivo mostrar como as taxas de juros satildeo informadas no mercado financeiro e como adequaacute-las agraves condiccedilotildees padronizadas pela HP ndash 12C
Duas taxas satildeo consideradas equivalentes a juros compostos quando aplicadas a um mesmo capital por um periacuteodo de tempo equivalente e geram o mesmo rendimento
Exemplo 31(exemplo 1 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
No regime de juros compostos qual a taxa anual equivalente a 4 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente anual
Exemplo 32 (exemplo 2 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
Calcule a taxa quadrimestral equivalente agrave taxa de juros compostos de 8 aa
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente quadrimestral
1 004 12 1 1 10000 6010
Taxa anual
50
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1 008 1 3 1 10000 260
Taxa quadrimestral
Programa para caacutelculo da taxa equivalente pela hp ndash 12c
O professor Carlos Shinoda em seu livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48) apresenta um programa para calcular a taxa equivalente atraveacutes da calculadora HP ndash 12C
Siga os procedimentos abaixo para introduzir o programa na HP ndash 12C
Figura 32 - Algoritmo para a programaccedilatildeo de taxa equivalente
Fonte Livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48)
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Unidade 3
Agora que vocecirc programou a HP ndash 12C para o caacutelculo de taxas equivalentes resolva o exemplo a seguir usando o programa
Exemplo 33
Usando o programa anterior determine as taxas equivalentes propostas nos exemplos 31 e 32
Soluccedilatildeo
As sequecircncias abaixo calculam as taxas equivalentes
Executa oprograma
4 1 12 6010
Taxa anual
Executa oprograma
8 360 120 260
Taxa quadrimestral
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Seccedilatildeo 2 ndash Sequecircncia de capitais
Nesta seccedilatildeo vocecirc acompanharaacute as situaccedilotildees em que haacute mais de um pagamento ou seja vocecirc estudaraacute as operaccedilotildees envolvendo pagamentos ou recebimentos perioacutedicos e uniformes
As seacuteries uniformes de pagamentos satildeo aquelas em que os pagamentos ou recebimentos satildeo constantes e ocorrem em intervalos iguais
Seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas e antecipadas
As seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1 Este sistema eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada (0 + n)
Pagamentos ou recebimentos podem ser chamados de prestaccedilatildeo representada pela sigla PMT que vem do inglecircs Payment e significa pagamento ou recebimento
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentosPMT
++
0 1 2 3 4 5 6 n
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
++
0 1 2 3 4 5 6 n
PMT
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Unidade 3
As seacuteries uniformes de pagamentos antecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre na data focal 0 (zero) Este tipo de sistema de pagamento eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento com entrada (1+ n)
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
Exemplo 34 (exemplo 2 paacuteg 108 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um automoacutevel eacute vendido em uma loja por R$ 3200000 A loja propotildee as seguintes condiccedilotildees para financiamento
Proposta A 12 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta B 24 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta C 36 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
A taxa de juros usada eacute de 32 am Qual o valor de cada prestaccedilatildeo nas 3 modalidades de financiamento
Soluccedilatildeo
As sequecircncias a seguir calculam os valores das parcelas nas trecircs propostas
54
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3200000
32 12 -325329
parcela
3200000
32 24 -193046
parcela
3200000
32 36 -150979
parcela
Exemplo 35 (exemplo 2 paacuteg 111 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma casa cujo valor agrave vista eacute R$ 4924456 eacute vendida em prestaccedilotildees mensais e iguais de R$ 250000 sendo a primeira dada como entrada Se a taxa de financiamento eacute de 18 am determine o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas no financiamento
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o nuacutemero de parcelas
4924456 18
250000 24
nordm de parcelas
55
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Unidade 3
No exemplo acima o nuacutemero de pagamento deu um nuacutemero inteiro Mas podem acontecer situaccedilotildees em que ao se determinar o nuacutemero de parcelas o resultado natildeo seja um nuacutemero inteiro
Nessa situaccedilatildeo a HP ndash 12C arredonda a resposta para o proacuteximo inteiro para cima antes de armazenaacute-la e exibi-la
Exemplo 36
Vocecirc comprou um terreno por R$ 3500000 a juros de 105 aa Vocecirc pretende fazer pagamentos de R$ 32500 no fim de cada mecircs Quantos pagamentos seratildeo necessaacuterios para pagar o terreno e quanto tempo levaraacute
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o nuacutemero de pagamentos e o tempo necessaacuterio
3500000 105
32500 328 2733
nordm de parcelas Tempo (anos)
Como a calculadora arredonda o valor do tempo para o proacuteximo inteiro eacute provaacutevel que apesar de serem necessaacuterios 328 pagamentos somente 327 seratildeo inteiros de R$ 32500 com o pagamento final sendo menor do que R$ 32500 Para calcular o valor do pagamento de nuacutemero 328 vamos fazer o seguinte
A calculadora natildeo ajusta os valores nos outros registros financeiros automaticamente para refletir os n pagamentos iguais ao contraacuterio ela lhe permite escolher quais valores (se houver) que vocecirc deseja ajustar
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328 18189 - 32500 -14311
Valor da parcela 328
Nesta unidade vocecirc calculou taxas equivalentes usou as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP e fez caacutelculos de pagamentos perioacutedicos de uma seacuterie uniforme antecipado ou postecipado Na proacutexima unidade vamos realizar caacutelculos de valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades abaixo (Essa atividade corresponde agrave autoavaliaccedilatildeo 1 da unidade 5 do livro didaacutetico de Matemaacutetica Financeira) Em seguida use o programa elaborado para resolver a mesma questatildeo
Calcule a taxa anual das seguintes taxas
a) 26 am
b) 42 ab
c) 48 at
d) 12 as
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Unidade 3
2 Elabore um algoritmo para resolver as seguintes atividades (Estas questotildees equivalem agraves autoavaliaccedilotildees 1 2 3 4 e 5 da unidade 8 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 121 122 e 123)
a) Calcule o valor da prestaccedilatildeo mensal de um empreacutestimo de R$ 600000 que seraacute amortizado em 12 prestaccedilotildees mensais postecipadas sabendo que o banco cobra uma taxa de juros de 2 am
b) Uma loja vende um automoacutevel agrave vista por R$ 1650000 Se o comprador quiser fazer um financiamento em 36 parcelas mensais e iguais onde o 1ordm pagamento seraacute efetuado no 1ordm mecircs apoacutes a compra a uma taxa de juros de 21 am qual o valor da prestaccedilatildeo
c) Uma mercadoria custa R$ 9038071 agrave vista podendo ser vendida em prestaccedilotildees mensais de R$ 1050000 sendo a primeira prestaccedilatildeo dada como entrada Sabendo-se que a loja aplica uma taxa de 35 am qual o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas
d) Carlos depositou certa quantia durante 10 meses de forma antecipada a uma taxa de 25 am obtendo um montante de R$ 25000000 Quanto depositou mensalmente Carlos
e) Um produto eacute vendido agrave vista por R$ 200000 ou em 10 prestaccedilotildees mensais iguais sem entrada com uma carecircncia de 90 dias apoacutes a compra Qual o valor de cada prestaccedilatildeo sabendo que a taxa de juros eacute de 6 am
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
4UNIDADE 4
Valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa
Usar as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Valor presente liacutequido
Seccedilatildeo 2 Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs ndash SFA (Price)
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa usando as funccedilotildees CF0 CFj e NPV Vocecirc deveraacute ainda fazer uso da funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos usando o Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo ndash SFA ou tabela Price
Seccedilatildeo 1 ndash Valor presente liacutequido
A figura 41 a seguir apresenta as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C que vocecirc usaraacute nessa unidade para realizar caacutelculo de valor presente liacutequido e para a elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos ou financiamento
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor inicial do fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor do fluxo de caixa no periacuteodo j
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula o valor presente atual de um fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula a parte dos pagamentos usada para pagar juros
Figura 41 - Teclas para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
Valor presente liacutequido
Nessa seccedilatildeo vocecirc usaraacute as funccedilotildees da HP ndash 12C para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa Para entender como usar as funccedilotildees CF0 CFj e NPV considere o fluxo de caixa para um investimento que exige capital inicial (CF0) e que gera um fluxo de caixa (CFj ) no final de j periacuteodos
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Unidade 4
Veja a seguir o fluxo de caixa
CF0CF1
CF2 CF5
CFn
CF3 CF4
O VPL = Valor Presente Liacutequido eacute calculado somando ao investimento inicial o valor presente dos fluxos de caixa futuros projetados Portanto
se o VPL for positivo o valor financeiro do ativo do investidor aumentaraacute ou seja o investimento financeiro seraacute atrativo em termos financeiros
se o VPL for zero o valor financeiro do ativo financeiro do investidor natildeo mudaraacute ou seja o investidor seraacute indiferente ao investimento
se o VPL for negativo o valor financeiro do ativo do investidor seraacute reduzido ou seja o investimento natildeo seraacute atrativo em termos financeiros
Exemplo 41
Um investidor compra uma casa por R$ 7000000 e gostaria de ter um retorno de pelo menos 15 Ele pretende manter a casa por 4 anos e depois vendecirc-la por R$ 11000000 Ele prevecirc os fluxos de caixa mostrados no diagrama abaixo
CF0CF1
CF1
CF3CF4
CF5
R$ 7000000
R$ 50000
R$ 450000R$ 450000
R$ 13000000R$ 550000
Sendo assim calcule o VPL para determinar se o investimento resultaria em um retorno ou perda
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Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o VPL
7000000 50000
450000 550000 450000
13000000 15 379007
VPL
Como o VPL eacute positivo o investimento aumentaria o valor financeiro do ativo do investidor
Exemplo 42 (exemplo 4 paacuteg 98 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um proprietaacuterio recebeu as seguintes propostas para a venda de uma casa
Proposta A entrada de R$ 10000000 + R$ 5000000 em 6 meses + R$ 6000000 em 1 ano
Proposta B entrada de R$ 8000000 + R$ 6000000 em 5 meses + R$ 7000000 em 10 meses
Sabendo-se que a taxa de juros de mercado eacute de 3 am qual a melhor proposta para o vendedor
Soluccedilatildeo
Essa questatildeo deve ser resolvida pelo meacutetodo do Valor Presente Liacutequido A alternativa que tiver o maior valor seraacute a melhor Entretanto para facilitar a elaboraccedilatildeo do algoritmo de resoluccedilatildeo na HP ndash 12C elabore o fluxo de caixa para cada situaccedilatildeo
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Unidade 4
1 Proposta A Fluxo de caixa
10000000 5000000 6000000
1 2 3 4 5 7 8 9 10 110 6 12
Calculando o VPL
10000000 000 5
5000000 000
5
6000000
3
18395701
VPL
Armazena o zero 5 vezes
2 Proposta B Fluxo de caixa
8000000 70000006000000
1 2 3 4 6 7 8 90 5 10
Calculando o VPL
8000000 000 4
6000000 000
4
7000000
3
18384310
VPL
Armazena o zero 4 vezes
Resposta a melhor proposta eacute a A
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Exemplo 43
Dois equipamentos satildeo examinados Considerando ser a taxa miacutenima de atratividade de 20aa qual o equipamento que deve ser adquirido
Dados
41 - Tabela de DadosEquipamento K Equipamento L
Custo R$ 5000000 R$ 8000000Custo anual de manutenccedilatildeo R$ 2000000 R$ 1500000Valor residual para venda R$ 400000 R$ 800000Duraccedilatildeo em anos 10 10
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
A seguir veja o diagrama de fluxo de caixa
Os caacutelculos do Valor Presente Liacutequido para as duas situaccedilotildees satildeo
Equipamento K
5000000
Equipamento K
2000000
400000
0 1 2 10
8000000
Equipamento L
1500000
800000
0 1 2 10
50000 20000
9 4000 20000 1
20 -13320342
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Unidade 4
Equipamento L
80000 15000
9 8000 15000 1
20 -14159504
Importante Veja que a alternativa K equivale a um equipamento em que se investe R$ 13320342 enquanto que o equipamento L equivale a um investimento de R$ 14159504 Portanto eacute preferiacutevel o equipamento K pois o investimento eacute menor
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Seccedilatildeo 2 ndash Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs - SFA
Este sistema consiste no pagamento de empreacutestimos ou financiamentos com prestaccedilotildees iguais e com periodicidade constante Eacute considerado o sistema de amortizaccedilatildeo mais utilizado pelas instituiccedilotildees financeiras e pelo comeacutercio em geral
O Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo eacute assim chamado por ter sido inventado na Franccedila por volta do seacuteculo XVIII pelo matemaacutetico inglecircs Richard Price daiacute portanto a origem da denominaccedilatildeo Sistema Price tambeacutem comumente chamado de Tabela Price
Na verdade a Tabela Price eacute um caso particular derivado do Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo Neste sistema o financiamento (PV) eacute pago em parcelas (PMT) iguais constituiacutedas da amortizaccedilatildeo do principal da diacutevida + juros compensatoacuterios (J) que variam inversamente ao longo do tempo Ou seja agrave medida que aumenta o valor da parcela de amortizaccedilatildeo haveraacute uma queda dos juros compensatoacuterios em funccedilatildeo da reduccedilatildeo do saldo devedor
Principais Caracteriacutesticas
As principais caracteriacutesticas do SFA satildeo
a prestaccedilatildeo eacute constante durante todo o periacuteodo do financiamento
a parcela de amortizaccedilatildeo aumenta a cada periacuteodo (n)
os juros compensatoacuterios diminuem a cada periacuteodo (n)
Exemplo 44 (exemplo 1 paacuteg 148 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma instituiccedilatildeo financeira libera um empreacutestimo para uma induacutestria no valor de R$ 60000000 para ser pago pelo sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs em 120 meses a uma taxa de 15 am Faccedila a planilha ateacute o 4ordm mecircs e calcule o saldo devedor no 100ordm mecircs
67
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Soluccedilatildeo
A sequecircncia abaixo calcula o valor da prestaccedilatildeo os juros a amortizaccedilatildeo o saldo devedor e valor do saldo devedor no 100ordm mecircs Acompanhe
Zera os registradores
60000000 Armazena o valor presente
120 Armazena o periacuteodo
15 Armazena a taxa
- R$ 1081111 Valor da prestaccedilatildeo
1 - R$ 900000 Valor dos juros da 1ordf parcela
R$ 181111Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 1ordf parcela
R$ 58918889 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 897283 Valor dos juros da 2ordf parcela
- R$ 183828Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 2ordf parcela
R$ 59635061 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 894526 Valor dos juros da 3ordf parcela
- R$ 186585Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 3ordf parcela
R$ 59448476 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 891727 Valor dos juros da 4ordf parcela
- R$ 189384Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 4ordf parcela
R$ 59259092 Recupera o saldo devedor
A tabela a seguir apresenta um resumo das operaccedilotildees realizadas
68
Universidade do Sul de Santa Catarina
Tabela 42 ndash Planilha de amortizaccedilatildeoPeriacuteodo (n) Amortizaccedilatildeo (A) Juros (J) Prestaccedilotildees (R) Saldo Devedor (S)
0 - - - R$ 600000001 R$ 181111 R$ 900000 R$ 1081111 R$ 598188892 R$ 183828 R$ 897283 R$ 1081111 R$ 596350613 R$ 186585 R$ 894526 R$ 1081111 R$ 594484764 R$ 189384 R$ 891727 R$ 1081111 R$ 59259092
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Para determinar o saldo devedor no 100ordm mecircs faccedila como indicado a seguir
60000000 120 150
-1081111 18561247
Prestaccedilatildeo Saldo devedor no 100ordm mecircs
Nesta unidade vocecirc usou as funccedilotildees de fluxo de caixa para calcular o valor presente liacutequido e a funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
69Unidade 4
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades a seguir (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 4 e 5 da unidade 7 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegina 102) Em seguida use o programa elaborado para resolver as mesmas questotildees
a) Qual das alternativas de pagamento eacute a melhor para uma taxa de juros compostos de 75 am
Alternativa A Pagamento de R$ 15000000 agrave vista
Alternativa B Entrada de R$ 5000000 + R$ 8000000 em 90 dias + R$ 6000000 em 150 dias
b) Uma pessoa deve a um banco dois tiacutetulos com valores de R$ 300000 e R$ 600000 venciacuteveis respectivamente em 4 meses e 8 meses Se a pessoa deseja antecipar para hoje a liquidaccedilatildeo dos tiacutetulos qual o valor a pagar considerando que o banco opera com uma taxa de juros compostos de 23 am
2 Elabore um algoritmo para resolver as atividades abaixo (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 1 e 4 da unidade 10 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 151 e 153)
a) Um cliente solicita a um banco um empreacutestimo de R$ 4000000 pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs em 60 prestaccedilotildees mensais Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de juros de 28 am obtenha o valor da prestaccedilatildeo e o saldo devedor depois de pagar a 20ordf prestaccedilatildeo
b) Um empreacutestimo de R$ 30000000 seraacute saldado em 50 prestaccedilotildees mensais a uma taxa de 15 am Determine a parcela de juros relativa agrave 15ordf prestaccedilatildeo pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs (price)
70
Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
Manual da calculadora HP ndash 12C
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico ndash 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7ed Satildeo Paulo Atlas 2000
Para concluir o estudo
Com o teacutermino desse curso de extensatildeo acreditamos que proporcionamos momentos de aprendizagem por meio da interaccedilatildeo da calculadora financeira e que vocecirc estaacute habilitado(a) a fazer uso dessa ferramenta com qualidade no mercado de trabalho relacionado a essa aacuterea tatildeo importante no nosso dia-a-dia
Referecircncias
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7 ed Satildeo Paulo Atlas 2000
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003 Disponiacutevel em lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt Acesso em 05 jun 2008
Sobre o professor conteudista
Joseacute Humberto Dias de Toledo - eacute Mestre em Educaccedilatildeo pela Universidade do Sul de Santa Catarina Graduado em Licenciatura em Matemaacutetica e em Engenharia Civil Professor das disciplinas Meacutetodos Numeacutericos Informaacutetica Aplicada agrave Matemaacutetica Financeira Caacutelculo I e Matemaacutetica Financeira no Curso de Matemaacutetica ndash Licenciatura nesta mesma instituiccedilatildeo Atualmente ministra a disciplina Representaccedilotildees Graacuteficas na Poacutes-graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo Matemaacutetica da UNISUL
Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo
Unidade 1
1 a) 5
b) -2359
c) 3311
d) 077
e) 081
Respostas modo RPN
a)
b)
c)
d)
e)
Respostas modo ALG
a
b
c
d
e
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Universidade do Sul de Santa Catarina
2 R$ 167757
Modo RPN
Modo ALG
3 -242
4 Data 13082008 3 (quarta-feira)
5 Florianoacutepolis = 3303 Curitiba = 5018 Porto Alegre = 1680
Unidade 2
1 1) 150000
Dados
C = R$ 1000000
i = 5 aa
n = 3 anos = 1080 dias
J =
3) 24 meses = 2 anos
Dados
C = R$ 200000
i = 6 aa
n = 24 meses = 720 dias
M =
79
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
85
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
86
Universidade do Sul de Santa Catarina
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
87
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
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20
Universidade do Sul de Santa Catarina
Seccedilatildeo 2 ndash Caacutelculos aritmeacuteticos no modo ldquoRPNrdquo e no modo ldquoALGrdquo
A calculadora HP ndash 12C pode ser configurada para executar operaccedilotildees aritmeacuteticas nos modos RPN ndash Notaccedilatildeo Polonesa Reversa e ALG ndash Algeacutebrico No modo RPN os resultados intermediaacuterios nas operaccedilotildees aritmeacuteticas satildeo armazenados automaticamente portanto natildeo eacute necessaacuterio o uso dos parecircnteses Jaacute no modo ALG as operaccedilotildees elementares satildeo executadas de maneira convencional
Conheccedila alguns exemplos na sequecircncia do texto
Exemplo 11
Calcular 3 x 2 + 5 usando os modos RPN e ALG na HP ndash 12C
Resolvendo no modo RPN
Para configurar a calculadora no modo RPN aperte a tecla e em seguida Observe que vai aparecer o indicador RPN no visor da maacutequina
Agora que a calculadora estaacute no modo RPN vamos ao caacutelculo
3 2 5 11
Resultado
Resolvendo no modo ALG
Para configurar a calculadora no modo ALG aperte a tecla e em seguida Observe que vai aparecer o indicador ALG no visor da maacutequina
21
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
Calculando no modo algeacutebrico
3 2 5 11
Resultado
Os modelos mais antigos de calculadoras HP ndash 12C natildeo disponibilizam o modo algeacutebrico Portanto se vocecirc eacute usuaacuterio desse tipo de calculadora todos os caacutelculos devem ser efetuados no modo RPN
Exemplo 12
Resolver os caacutelculos solicitados a seguir usando os modos RPN e ALG
a) 3 2 5 33+ minus x
b) ( )minus + minus2 3 4 43 x
c) 2 9 3 52minus + + minus
d) 2 35
2+ minusln
e) 3 4 62+ minuse
Resolvendo no modo RPN
a)
3 2 3 5 3 - 4
Resultado
22
Universidade do Sul de Santa Catarina
b)
c)
d)
Obs para alterar a quantidade de casas decimais no visor da calculadora aperte e em seguida um nuacutemero de 1 a 9 que corresponde agrave quantidade de casas decimais No exemplo acima usamos
e)
2
3 3
4
4
0
Resultado
2
2
9 3 5 125
Resultado
2
3
5 2 0599
Resultado
3
2
46 5789
Resultado
23
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
Resolvendo no modo ALG com o auxiacutelio dos registros R R
0 9 a
a)
2
3
5 3 3
4
Resultado
Armazena o resultado do visor na memoacuteria 0
Recupera o registro da memoacuteria 0
b)
2
3
3 4
4 0
Resultado
c)
2 2
9
3 5 125
Resultado
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Universidade do Sul de Santa Catarina
d)
e)
Exemplo 13
Usando a calculadora HP ndash 12C no modo RPN as seguintes operaccedilotildees bancaacuterias foram realizadas a conta tinha um saldo de R$ 12300 e foi feito um depoacutesito referente ao salaacuterio de R$ 189035 Em seguida foram emitidos e compensados cheques nos valores de R$ 38590 R$ 23478 e R$ 62389 Qual eacute o novo saldo da conta
Soluccedilatildeo use
para apresentar os caacutelculos com duas casas decimais
12300 189035 38590
23478 62389 76920
Saldo
2 3 5 2 0 0599
Resultado
3 2 46 5789
Resultado
25
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
Seccedilatildeo 3 ndash Funccedilotildees de percentagem e calendaacuterio
A calculadora HP ndash 12C apresenta funccedilotildees que permitem o caacutelculo de percentagens e de calendaacuterio Para caacutelculo com percentagens natildeo eacute necessaacuterio converter o nuacutemero na notaccedilatildeo percentual para a notaccedilatildeo decimal Jaacute as funccedilotildees calendaacuterio fornecidas pela HP trabalham com datas entre 15 de outubro de 1582 e 25 de novembro de 4046 A seguir vocecirc conheceraacute detalhadamente essas funccedilotildees
Funccedilotildees de percentagem
Calcula a Percentagem de um nuacutemero ou valor
Calcula a diferenccedila percentual entre dois nuacutemeros
Calcula qual percentual um nuacutemero eacute de outro
Figura 14 - Ilustraccedilatildeo das funccedilotildees de percentagem da Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Funccedilotildees de calendaacuterio
Configura o formato de uma data para dia-mecircs-ano
Configura o formato de uma data para mecircs-dia-ano
Calcula o nuacutemero de dias entre datas
Calcula datas futuras ou passadas
Figura 15 - Ilustraccedilatildeo das funccedilotildees de calendaacuterio da Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Nos exemplos a seguir estaacute demonstrado o uso de todas as funccedilotildees apresentadas Obs os caacutelculos vatildeo ser realizados no modo RPN
26
Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 14
Calcular 16 de R$ 198000
Soluccedilatildeo
198000 1600 31680
Resultado
Exemplo 15
Determinada empresa com accedilotildees na bolsa de valores verificou as seguintes variaccedilotildees nos valores das suas accedilotildees no dia 150508 o valor da accedilatildeo passou de R$ 5025 para R$ 5498 jaacute no dia 210508 o valor da accedilatildeo caiu de R$ 5498 para R$ 5208 Qual a diferenccedila percentual nas duas situaccedilotildees
Soluccedilatildeo a sequecircncia a seguir apresenta a variaccedilatildeo percentual
Caacutelculo da variaccedilatildeo percentual de R$ 5025 para R$ 5498 usando a HP ndash 12C
5025 5498 941
Resultado
Observe que o resultado apresentado eacute positivo portanto representa aumento
Caacutelculo da variaccedilatildeo percentual de R$ 5498 para R$ 5208 usando a HP ndash 12C
27
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
5498 5208 -527
Resultado
Observe que o resultado apresentado eacute negativo portanto representa queda
Exemplo 16
A empresa do exemplo anterior atua na regiatildeo sul do Brasil com vendas totais realizadas no mecircs de abril de 2008 de R$ 589636996 distribuiacutedas da seguinte forma R$ 123656939 no Paranaacute R$ 356963920 em Santa Catarina e R$ 109016137 no Rio Grande do Sul Qual a percentagem das vendas totais em cada um dos trecircs Estados
Soluccedilatildeo
A sequecircncia apresenta os percentuais nos estados do Paranaacute Santa Catarina e Rio Grande do Sul
Soluccedilatildeo
589636996 123656939 2097
356963920 6054 109016137 1849
Resultado SC Resultado RS
Resultado PR
28
Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 17
Comprei uma TV LCD em 17052008 com vencimento para 120 dias Determine a data do vencimento usando a calculadora HP ndash 12C
Soluccedilatildeo
17052008 120 14092008 7
A data do vencimento eacute 14 de setembro de
2008 domingo
Exemplo 18
Fiz uma compra no dia 12052008 com vencimento para o dia 26082008 Use a calculadora HP ndash 12C para determinar o nuacutemero de dias entre a data da compra e do vencimento
Soluccedilatildeo
12052008 20082008 100
Nuacutemero de dias entre as datas
Nesta unidade vocecirc conheceu algumas funccedilotildees elementares da calculadora as quais seratildeo utilizadas nas demais unidades e satildeo muito importantes para realizar caacutelculos que envolvem questotildees do nosso cotidiano Na proacutexima unidade vocecirc vai usar as funccedilotildees financeiras da calculadora para calcular juros simples e compostos descontos simples e compostos
29
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
Efetue as atividades de autoavaliaccedilatildeo e acompanhe as respostas e comentaacuterios a respeito nas paacuteginas finais deste material Para melhor aproveitamento do seu estudo realize a conferecircncia de suas respostas somente depois de fazer as atividades propostas Desse modo o momento da conferecircncia lhe proporcionaraacute novas oportunidades de aprendizagem
1 Calcule o valor das expressotildees numeacutericas a seguir usando a HP ndash 12C nos modos RPN e ALG
a) 2 5 3 8 24 minus + divide =x
b) minus + minus =3 5 32 3x eln
c) 16 25 3 45 89+ minus =x
d) 2
35 5
3+ minus =ln
e) 0 253
55
2 + minus =minus
2 Use a HP ndash 12C para realizar os caacutelculos e informar o saldo final da seguinte movimentaccedilatildeo financeira Saldo inicial na conta R$ 167890 depoacutesito de R$ 143587 cheques compensados nos valores de R$ 34598 R$ 12345 R$ 65790 e R$ 30987
3 No dia 130508 o doacutelar americano estava cotado em R$ 165 no dia 190508 a cotaccedilatildeo foi de R$ 161 Com base nestes dados indique qual foi a variaccedilatildeo percentual do doacutelar
4 Foi realizada uma compra em um supermercado no valor de R$ 67890 em 150508 Sabendo que esse estabelecimento trabalha com prazo de 90 dias use as funccedilotildees calendaacuterio da HP ndash 12C e determine a data e o dia da semana do vencimento
5 Uma empresa tem vendas mensais para o mecircs de maio de 2008 estimadas em R$ 178909000 Sabendo que o valor total das vendas estaacute distribuiacutedo nas cidades de Florianoacutepolis Curitiba e Porto Alegre com valores correspondentes a R$ 59089000 R$ 89767898 e R$ 30052102 respectivamente determine qual percentagem das vendas totais ocorre em cada uma das cidades
30
Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
HPndash12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
No link abaixo vocecirc tem disponiacutevel o manual da calculadora HP ndash 12C na versatildeo online lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt
2UNIDADE 2
Regimes de capitalizaccedilatildeo simples e composto
Objetivos de aprendizagem
Fazer uso das funccedilotildees financeiras da calculadora HP ndash 12C para calcular juros simples e composto
Dominar o caacutelculo do montante simples e composto
Aprender o caacutelculo de desconto simples e composto
Calcular capital taxa e prazo no regime de capitalizaccedilatildeo composto usando a HP ndash 12C
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Regime de capitalizaccedilatildeo simples
Seccedilatildeo 2 Regime de capitalizaccedilatildeo composto
32
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc vai fazer uso das funccedilotildees financeiras da HP ndash 12C com o objetivo de realizar caacutelculos de juros simples e composto montantes simples e composto descontos simples e composto caacutelculo de taxas e prazos
Nesta etapa de estudos seratildeo utilizados exemplos do material didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira que estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do Espaccedilo Virtual de Aprendizagem ndash EVA Eacute importante lembrar natildeo ser objetivo deste curso discutir os conceitos da Matemaacutetica Financeira mas apenas utilizar as funccedilotildees disponibilizadas na calculadora para resolver problemas relacionados a essa aacuterea Entretanto caso vocecirc julgue importante os conceitos podem ser relembrados ou vistos no material didaacutetico da disciplina
Seccedilatildeo 1 ndash Regime de capitalizaccedilatildeo simples
Na unidade 1 vocecirc foi apresentado(a) agrave calculadora HP ndash 12C e a algumas das suas funccedilotildees com o objetivo de capacitaacute-lo(a) para o uso adequado dessa ferramenta Esta unidade inicia com uma abordagem sobre os registradores financeiros os quais seratildeo utilizados na maioria dos exemplos que deveratildeo ser resolvidos ao longo das proacuteximas seccedilotildees desta unidade e nas demais unidades deste curso Veja na ilustraccedilatildeo a seguir os registradores financeiros e as suas aplicaccedilotildees
Registra e armazena periacuteodo
Registra e armazena taxa
Registra e armazena valor presente
Registra e armazena pagamentos perioacutedicos
Registra e armazena valor futuro
Figura 21 - Registradores financeiros e as suas aplicaccedilotildees Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
Para armazenar um nuacutemero em um registrador financeiro digite o nuacutemero e em seguida uma das teclas correspondentes ilustradas acima
Para exibir um nuacutemero armazenado em um dos registradores financeiros aperte e em seguida a tecla correspondente
Para zerar todos os registradores financeiros aperte a sequecircncia de teclas
Eacute importante lembrar que os registradores financeiros tambeacutem satildeo zerados ao apertar a sequecircncia
e quando a memoacuteria contiacutenua eacute
reinicializada
A seguir vocecirc faraacute caacutelculo de juros simples e de descontos simples usando a HP ndash 12C
Regime de capitalizaccedilatildeo simples
A HP ndash 12C calcula automaticamente juros simples ordinaacuterios ndash usando o ano comercial e juros simples exatos ndash usando um ano de 365 dias simultaneamente
Eacute possiacutevel apresentar qualquer um dos dois e mais com os juros acumulados no mostrador podemos calcular o montante apertando a tecla
Para exemplificar vamos resolver problemas do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira que se encontra disponiacutevel (formato digital) na ferramenta Midiateca do EVA ndash Espaccedilo Virtual de Aprendizagem
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 21 (exemplo 1 paacuteg 29 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital de R$ 1800000 foi aplicado a juros simples durante 3 anos agrave taxa de 6 aa Qual eacute o valor dos juros e o montante adquirido
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula os juros e o montante
Exemplo 22 (exemplo 1 paacuteg 33 do livro Matemaacutetica Financeira)
Ache os juros simples exatos auferidos em uma aplicaccedilatildeo de R$ 1500000 a uma taxa de 16 aa de 20 de abril de 2003 a 1ordm de julho de 2003
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula os juros comerciais e os juros exatos
Neste exemplo utilizamos duas teclas que seratildeo ilustradas a seguir para realizar o caacutelculo dos juros exatos
1800000 1080 6
324000 2124000
Juros Montante
No caacutelculo de Juros simples o periacuteodo deve ser em dias
Calcula juros simples
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
1500000 20042003 01072003
72 16 48000 47342
Juro comercial Juro exato nordm de dias
Ao apertar essa tecla ela rola para baixo o conteuacutedo da pilha para visualizaccedilatildeo no registro X
Ao apertar essa tecla ela troca o conteuacutedo dos registros X e Y da pilha
Figura 22 - Teclas utilizadas para registros de dados Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Exemplo 23 (exemplo 2 paacuteg 34 do livro Matemaacutetica Financeira)
Determine o juro simples exato obtido em uma aplicaccedilatildeo de R$ 1300000 durante 146 dias a uma taxa de 9 aa
Soluccedilatildeo a sequecircncia a seguir realiza os caacutelculos solicitados
1330000 146 9
48545 47880
Juro comercial Juro exato
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 24 (exemplo 1 paacuteg 47 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma duplicata de R$ 1500000 com vencimento no dia 03042005 foi descontada em um banco em 08012005 a uma taxa de 25 am Qual eacute o desconto simples bancaacuterio da operaccedilatildeo
Soluccedilatildeo
08012005 03042005 85
1500000 0025 30 106250
Taxa decimal Desconto bancaacuterio
Nordm de dias entre as datas
Exemplo 25 (exemplo 1 paacuteg 48 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma empresa descontou um tiacutetulo com valor de face de R$ 1450000 3 meses e 15 dias antes do vencimento com uma taxa de desconto bancaacuterio simples de 24 am Quanto a empresa recebeu liacutequido na operaccedilatildeo
Soluccedilatildeo
1450000 0024 35 1450000 1328200
Periacuteodo em meses Valor liacutequidoTaxa decimal
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Unidade 2
Exemplo 26 (exemplo 1 paacuteg 49 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma duplicata de R$ 4800000 foi descontada 6 meses antes de seu vencimento em uma instituiccedilatildeo financeira que trabalha com uma taxa de desconto simples de 32 am Com base nestes dados determine
o valor do desconto simples bancaacuterio
o valor do desconto simples racional
Soluccedilatildeo
4800000 6 0032 921600
Taxa decimal Valor liacutequido
921600 1 0032
6 773154
Taxa decimal Valor liacutequido
Na proacutexima seccedilatildeo vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros compostos e de desconto compostos
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Seccedilatildeo 2 ndash Regime de capitalizaccedilatildeo composto
Os exemplos apresentados a partir de agora satildeo ilustrativos de uma ampla variedade de caacutelculos financeiros Para resolvecirc-los vocecirc precisa estruturaacute-los identificando os elementos baacutesicos do problema de maneira que fiquem evidentes as quantidades que devem ser fornecidas agrave calculadora e quem eacute o valor desconhecido ou seja o valor que desejamos determinar
Na resoluccedilatildeo dos caacutelculos usando a HP ndash 12C eacute indispensaacutevel elaborar o diagrama de fluxo de caixa Eacute importante ressaltar que a calculadora precisa de ajuda para comparar o fluxo de caixa ou seja eacute preciso informar quando temos uma entrada ou uma saiacuteda
O fluxo de caixa serve para demonstrar graficamente as transaccedilotildees financeiras em um periacuteodo de tempo
O tempo eacute representado por uma linha horizontal dividida pelo nuacutemero de periacuteodos relevantes para anaacutelise As entradas ou recebimentos satildeo representados por setas verticais apontadas para cima e as saiacutedas ou pagamentos satildeo representados por setas verticais apontadas para baixo Observe o modelo simplificado
(+) entradas
(-) saiacutedas
tempo (n)
Veja agora o modelo detalhado
Entradas
Saiacutedas
Tempo
Fluxo de caixa pode ser definido como sendo a movimentaccedilatildeo de recursos financeiros (entradas e saiacutedas de caixa) ao longo de um periacuteodo de tempo - agrave entrada e saiacuteda de dinheiro O conceito caixa (financeiro) natildeo pode ser confundido com conceito de competecircncia (contaacutebil)
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
Na HP-12C a tecla (do inglecircs Change Sign) serve para introduzir ou tirar um sinal negativo de um nuacutemero ou seja faz o fluxo de caixa
Na sequecircncia de exemplos apresentados a seguir realizaremos caacutelculos de juros montantes valor presente prazo taxa de juros e descontos no regime composto com o auxiacutelio dos registradores financeiros da calculadora HP ndash 12C
Exemplo 27 (exemplo 1 paacuteg 58 do livro Matemaacutetica Financeira)
Qual o montante gerado por um capital de R$ 450000 aplicado por 9 meses a juros compostos a uma taxa de 35 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o montante composto
450000 9 35 613304
MontanteFluxo de caixa saiacuteda do dinheiro para aplicaccedilatildeo
Exemplo 28 (exemplo 2 paacuteg 58 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital de R$ 1200000 foi aplicado a juros compostos durante 6 meses agrave taxa de 2 am Calcule os juros auferidos na aplicaccedilatildeo
Soluccedilatildeo use a sequecircncia a seguir para calcular os juros
1200000 6 2
1351395 151395
Montante Juros
Fluxo de caixa saiacuteda do dinheiro para aplicaccedilatildeo
Recupera um valor em um registrador
financeiro
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Exemplo 29 (exemplo 3 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital ldquoXrdquo eacute aplicado a juros compostos agrave taxa de 35 am gerando um montante de R$ 1950000 apoacutes 1 ano e 3 meses Determine o capital ldquoXrdquo
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar o capital
1950000 35 15 -1163937
Capital aplicado
Exemplo 210 (exemplo 4 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
A que taxa mensal de juros compostos um capital de R$ 1250000 pode transformar-se em R$ 1537342 no periacuteodo de 7 meses
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
1250000 1537342 7 300
Taxa de juros mensal
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Unidade 2
Exemplo 211 (exemplo 5 paacuteg 60 do livro Matemaacutetica Financeira)
Em que prazo um empreacutestimo de R$ 3500000 pode ser pago pela quantia de R$ 4790000 se a taxa de juros compostos cobrada for de 4 am
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
3500000 4790000 4 8
Periacuteodo em meses
Funccedilatildeo ldquoCrdquo na HP ndash 12C e as teclas ldquoSTOrdquo e ldquoEEXrdquo
Vocecirc pode calcular taxa de juros (i) Capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos Perioacutedicos (PMT) para transaccedilotildees financeiras com periacuteodos fracionaacuterios Ao digitar um periacuteodo fracionaacuterio por exemplo 23 meses a parte inteira do nuacutemero indica o nuacutemero de periacuteodos inteiro e a parte fracionaacuteria do nuacutemero o tamanho do periacuteodo fracionaacuterio como uma fraccedilatildeo do periacuteodo inteiro (no exemplo 2 meses e 03 meses)
De acordo com o criteacuterio do usuaacuterio os caacutelculos de taxa de juros ( i ) capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos perioacutedicos (PMT) podem ser executados com juros simples ou compostos acumulados durante o periacuteodo fracionaacuterio Para escolher uma das duas opccedilotildees faccedila
Aparece o indicador ldquoCldquo Portanto os juros compostos satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Natildeo aparece o indicador ldquoCrdquo Portanto os juros simples satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Figura 23 - Teclas utilizadas para caacutelculo de juros simples e compostos para periacuteodo fracionaacuterio Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 212
Calcular o valor futuro de uma aplicaccedilatildeo de R$ 185030000 aplicado agrave taxa de 14 aa durante 45 anos usando juros compostos e simples para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Soluccedilatildeo as sequecircncias a seguir apresentam os resultados para o caacutelculo do valor futuro com juros simples para o periacuteodo fracionaacuterio e juros compostos para o periacuteodo fracionaacuterios respectivamente
185030000 14
45 334383879
Valor futuro calculado com juros simples para o periacuteodo
fracionaacuterio
185030000
14 45 333667556
Valor futuro calculado com juros compostos para o
periacuteodo fracionaacuterio
Exemplo 213 (exemplo 1 paacuteg 81 do livro Matemaacutetica Financeira)
Determine o valor do desconto composto racional e o valor do resgate de um tiacutetulo de R$ 1560000 descontado 5 meses antes do seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto composto racional eacute de 4 am
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Unidade 2
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor do desconto racional composto e o valor liacutequido a receber
1560000 1
1 004 5
277794 1560000 1282206
Valor do desconto Valor liacutequido
Exemplo 214 (exemplo 1 paacuteg 84 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um tiacutetulo de valor nominal de R$ 1500000 eacute descontado em um banco 3 meses antes de seu vencimento Se a taxa de desconto comercial usada pelo banco eacute de 8 am qual eacute o valor do desconto
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor liacutequido e o valor do desconto bancaacuterio ou comercial
1500000 3 8
-1168032 331968
Valor liacutequido Valor do desconto
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Nesta unidade vocecirc usou a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros simples e compostos descontos simples e compostos valor presente taxa de juros periacuteodo e montante Na proacutexima unidade usaremos a ferramenta para auxiliar no caacutelculo de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir foram propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo em PDF estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as questotildees 1 3 5 e 6 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteginas 38 e 39 Confira os resultados na paacuteg 194
1) Qual o rendimento que obtemos ao aplicarmos um capital de R$ 1000000 a uma taxa de juros simples de 5 aa durante 3 anos
3) Em um regime de capitalizaccedilatildeo simples qual eacute o montante que se obteacutem quando aplicamos um capital de R$ 200000 a uma taxa 6 aa durante 24 meses
5) Uma quantia de R$ 6200000 foi aplicada em uma operaccedilatildeo financeira no dia 20 de setembro de 2003 e resgatada no dia 21 de dezembro de 2003 a uma taxa de 125 aa Quais os juros simples exatos e comerciais da operaccedilatildeo
6) Calcule os juros simples exatos e comerciais nas seguintes condiccedilotildees
bull R$ 600000 aplicados por 180 dias a 12 aa
bull R$ 520000 aplicados por 230 dias a 15 aa
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
2 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 2 e 4 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegs 52 e 53 Confira os resultados nas paacuteginas 194 e 195
1) Uma empresa desconta uma duplicata no valor nominal de R$ 5000000 no Banco ldquoXrdquo 4 meses antes do seu vencimento Sabendo que o banco ldquoXrdquo trabalha com uma taxa de desconto simples bancaacuterio de 45 am qual eacute o valor do desconto e o valor liacutequido recebido
2) Para pagar uma diacutevida hoje uma empresa descontou em uma carteira de creacutedito uma duplicata no valor de R$ 1650000 com vencimento daqui a 2 meses recebendo um valor nominal liacutequido de R$ 1500000 Determine a taxa mensal de desconto simples bancaacuterio utilizada
4) Uma letra de cacircmbio no valor nominal de R$ 500000 foi comercializada 4 meses antes do vencimento a uma taxa de desconto simples de 22 am Se o desconto simples fosse o racional qual seria o valor deste desconto
3 Elabore uma sequecircncia de passos para resolver as questotildees propostas 1 2 3 4 e 6 nas paacuteginas 65 66 e 67 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira e confira os resultados na paacuteg 195
1) Calcule o montante produzido por um capital de R$ 2600000 aplicado a uma taxa de juros compostos de 52 am por 6 meses
2) Calcule os juros compostos auferidos por um capital de R$ 420000 aplicado a uma taxa de 3 am durante 10 meses
3) Um empreacutestimo de R$ 600000 deve ser pago em 120 dias a juros compostos pelo valor de R$ 900000 Qual eacute a taxa mensal da operaccedilatildeo
4) Em que prazo uma aplicaccedilatildeo a juros compostos de R$ 2400000 produziraacute um montante de R$ 6151930 agrave taxa de 4 am
6) Quanto Paulo deve aplicar hoje a juros compostos em uma instituiccedilatildeo financeira que paga uma taxa de 12 am para pagar um compromisso de valor nominal igual a R$ 3800000 que vence daqui a 3 meses
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Universidade do Sul de Santa Catarina
4 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 e 8 das paacuteginas 88 e 90 respectivamente do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira Confira os resultados na paacuteg 196
1) Determine o valor do desconto composto racional de um tiacutetulo de valor nominal de R$ 830000 descontado 6 meses antes de seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto eacute de 42 am
8) Um tiacutetulo de R$ 3000000 foi descontado em uma instituiccedilatildeo financeira a uma taxa de desconto composto comercial de 64 am e o valor liacutequido recebido era de R$ 2017327 Quantos meses antes do vencimento foi descontado este tiacutetulo
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
3UNIDADE 3
Taxas de juros equivalentes e caacutelculo de pagamentos perioacutedicos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para calcular taxas equivalentes
Usar as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP ndash 12C para programar o algoritmo da taxa equivalente no regime de capitalizaccedilatildeo composto
Calcular pagamentos perioacutedicos de sequecircncias uniformes postecipadas e antecipadas
Calcular montante de uma sequecircncia uniforme
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Taxas equivalentes
Seccedilatildeo 2 Sequecircncia de capitais
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar taxas equivalentes no regime de capitalizaccedilatildeo composto Vocecirc usaraacute as funccedilotildees de programaccedilatildeo com o objetivo de elaborar um algoritmo para fazer a conversatildeo de taxas de um periacuteodo de capitalizaccedilatildeo (ex mensal) para outro periacuteodo (ex anual) usando o programa Vamos explorar as funccedilotildees ldquoPMTrdquo ldquoBEGrdquo e ldquoENDrdquo para realizar caacutelculo de pagamentos antecipados e postecipados em uma sequecircncia uniforme Destacamos que os exemplos que seratildeo apresentados estatildeo no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira
Seccedilatildeo 1 ndash Taxas equivalentes
Nesta unidade vocecirc usaraacute algumas funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos (postecipados e antecipados) de uma seacuterie uniforme Vocecirc usaraacute ainda as funccedilotildees de programaccedilatildeo para elaborar um programa para calcular taxas equivalentes A figura a seguir apresenta as funccedilotildees que vocecirc usaraacute nos exemplos apresentados posteriormente
Aciona o modo de programaccedilatildeo de HP ndash 12C
Aciona a funccedilatildeo Begin que calcula a parcela com pagamento antecipado
Aciona a funccedilatildeo End (natildeo aparece no visor da calculadora) que calcula parcela com pagamento postecipado
Figura 31 - Teclas utilizadas para acionar as funccedilotildees Beg e End e entrar no modo de programaccedilatildeo
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
Taxas equivalentes
No mercado financeiro e nas operaccedilotildees bancaacuterias e comerciais a palavra taxa eacute empregada de vaacuterias formas ou seja vaacuterios conceitos satildeo abordados em vaacuterias situaccedilotildees Esta seccedilatildeo tem como objetivo mostrar como as taxas de juros satildeo informadas no mercado financeiro e como adequaacute-las agraves condiccedilotildees padronizadas pela HP ndash 12C
Duas taxas satildeo consideradas equivalentes a juros compostos quando aplicadas a um mesmo capital por um periacuteodo de tempo equivalente e geram o mesmo rendimento
Exemplo 31(exemplo 1 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
No regime de juros compostos qual a taxa anual equivalente a 4 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente anual
Exemplo 32 (exemplo 2 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
Calcule a taxa quadrimestral equivalente agrave taxa de juros compostos de 8 aa
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente quadrimestral
1 004 12 1 1 10000 6010
Taxa anual
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Universidade do Sul de Santa Catarina
1 008 1 3 1 10000 260
Taxa quadrimestral
Programa para caacutelculo da taxa equivalente pela hp ndash 12c
O professor Carlos Shinoda em seu livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48) apresenta um programa para calcular a taxa equivalente atraveacutes da calculadora HP ndash 12C
Siga os procedimentos abaixo para introduzir o programa na HP ndash 12C
Figura 32 - Algoritmo para a programaccedilatildeo de taxa equivalente
Fonte Livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48)
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Unidade 3
Agora que vocecirc programou a HP ndash 12C para o caacutelculo de taxas equivalentes resolva o exemplo a seguir usando o programa
Exemplo 33
Usando o programa anterior determine as taxas equivalentes propostas nos exemplos 31 e 32
Soluccedilatildeo
As sequecircncias abaixo calculam as taxas equivalentes
Executa oprograma
4 1 12 6010
Taxa anual
Executa oprograma
8 360 120 260
Taxa quadrimestral
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Seccedilatildeo 2 ndash Sequecircncia de capitais
Nesta seccedilatildeo vocecirc acompanharaacute as situaccedilotildees em que haacute mais de um pagamento ou seja vocecirc estudaraacute as operaccedilotildees envolvendo pagamentos ou recebimentos perioacutedicos e uniformes
As seacuteries uniformes de pagamentos satildeo aquelas em que os pagamentos ou recebimentos satildeo constantes e ocorrem em intervalos iguais
Seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas e antecipadas
As seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1 Este sistema eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada (0 + n)
Pagamentos ou recebimentos podem ser chamados de prestaccedilatildeo representada pela sigla PMT que vem do inglecircs Payment e significa pagamento ou recebimento
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentosPMT
++
0 1 2 3 4 5 6 n
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
++
0 1 2 3 4 5 6 n
PMT
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Unidade 3
As seacuteries uniformes de pagamentos antecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre na data focal 0 (zero) Este tipo de sistema de pagamento eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento com entrada (1+ n)
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
Exemplo 34 (exemplo 2 paacuteg 108 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um automoacutevel eacute vendido em uma loja por R$ 3200000 A loja propotildee as seguintes condiccedilotildees para financiamento
Proposta A 12 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta B 24 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta C 36 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
A taxa de juros usada eacute de 32 am Qual o valor de cada prestaccedilatildeo nas 3 modalidades de financiamento
Soluccedilatildeo
As sequecircncias a seguir calculam os valores das parcelas nas trecircs propostas
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3200000
32 12 -325329
parcela
3200000
32 24 -193046
parcela
3200000
32 36 -150979
parcela
Exemplo 35 (exemplo 2 paacuteg 111 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma casa cujo valor agrave vista eacute R$ 4924456 eacute vendida em prestaccedilotildees mensais e iguais de R$ 250000 sendo a primeira dada como entrada Se a taxa de financiamento eacute de 18 am determine o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas no financiamento
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o nuacutemero de parcelas
4924456 18
250000 24
nordm de parcelas
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Unidade 3
No exemplo acima o nuacutemero de pagamento deu um nuacutemero inteiro Mas podem acontecer situaccedilotildees em que ao se determinar o nuacutemero de parcelas o resultado natildeo seja um nuacutemero inteiro
Nessa situaccedilatildeo a HP ndash 12C arredonda a resposta para o proacuteximo inteiro para cima antes de armazenaacute-la e exibi-la
Exemplo 36
Vocecirc comprou um terreno por R$ 3500000 a juros de 105 aa Vocecirc pretende fazer pagamentos de R$ 32500 no fim de cada mecircs Quantos pagamentos seratildeo necessaacuterios para pagar o terreno e quanto tempo levaraacute
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o nuacutemero de pagamentos e o tempo necessaacuterio
3500000 105
32500 328 2733
nordm de parcelas Tempo (anos)
Como a calculadora arredonda o valor do tempo para o proacuteximo inteiro eacute provaacutevel que apesar de serem necessaacuterios 328 pagamentos somente 327 seratildeo inteiros de R$ 32500 com o pagamento final sendo menor do que R$ 32500 Para calcular o valor do pagamento de nuacutemero 328 vamos fazer o seguinte
A calculadora natildeo ajusta os valores nos outros registros financeiros automaticamente para refletir os n pagamentos iguais ao contraacuterio ela lhe permite escolher quais valores (se houver) que vocecirc deseja ajustar
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328 18189 - 32500 -14311
Valor da parcela 328
Nesta unidade vocecirc calculou taxas equivalentes usou as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP e fez caacutelculos de pagamentos perioacutedicos de uma seacuterie uniforme antecipado ou postecipado Na proacutexima unidade vamos realizar caacutelculos de valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades abaixo (Essa atividade corresponde agrave autoavaliaccedilatildeo 1 da unidade 5 do livro didaacutetico de Matemaacutetica Financeira) Em seguida use o programa elaborado para resolver a mesma questatildeo
Calcule a taxa anual das seguintes taxas
a) 26 am
b) 42 ab
c) 48 at
d) 12 as
57
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
2 Elabore um algoritmo para resolver as seguintes atividades (Estas questotildees equivalem agraves autoavaliaccedilotildees 1 2 3 4 e 5 da unidade 8 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 121 122 e 123)
a) Calcule o valor da prestaccedilatildeo mensal de um empreacutestimo de R$ 600000 que seraacute amortizado em 12 prestaccedilotildees mensais postecipadas sabendo que o banco cobra uma taxa de juros de 2 am
b) Uma loja vende um automoacutevel agrave vista por R$ 1650000 Se o comprador quiser fazer um financiamento em 36 parcelas mensais e iguais onde o 1ordm pagamento seraacute efetuado no 1ordm mecircs apoacutes a compra a uma taxa de juros de 21 am qual o valor da prestaccedilatildeo
c) Uma mercadoria custa R$ 9038071 agrave vista podendo ser vendida em prestaccedilotildees mensais de R$ 1050000 sendo a primeira prestaccedilatildeo dada como entrada Sabendo-se que a loja aplica uma taxa de 35 am qual o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas
d) Carlos depositou certa quantia durante 10 meses de forma antecipada a uma taxa de 25 am obtendo um montante de R$ 25000000 Quanto depositou mensalmente Carlos
e) Um produto eacute vendido agrave vista por R$ 200000 ou em 10 prestaccedilotildees mensais iguais sem entrada com uma carecircncia de 90 dias apoacutes a compra Qual o valor de cada prestaccedilatildeo sabendo que a taxa de juros eacute de 6 am
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
4UNIDADE 4
Valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa
Usar as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Valor presente liacutequido
Seccedilatildeo 2 Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs ndash SFA (Price)
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa usando as funccedilotildees CF0 CFj e NPV Vocecirc deveraacute ainda fazer uso da funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos usando o Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo ndash SFA ou tabela Price
Seccedilatildeo 1 ndash Valor presente liacutequido
A figura 41 a seguir apresenta as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C que vocecirc usaraacute nessa unidade para realizar caacutelculo de valor presente liacutequido e para a elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos ou financiamento
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor inicial do fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor do fluxo de caixa no periacuteodo j
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula o valor presente atual de um fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula a parte dos pagamentos usada para pagar juros
Figura 41 - Teclas para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
Valor presente liacutequido
Nessa seccedilatildeo vocecirc usaraacute as funccedilotildees da HP ndash 12C para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa Para entender como usar as funccedilotildees CF0 CFj e NPV considere o fluxo de caixa para um investimento que exige capital inicial (CF0) e que gera um fluxo de caixa (CFj ) no final de j periacuteodos
61
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Veja a seguir o fluxo de caixa
CF0CF1
CF2 CF5
CFn
CF3 CF4
O VPL = Valor Presente Liacutequido eacute calculado somando ao investimento inicial o valor presente dos fluxos de caixa futuros projetados Portanto
se o VPL for positivo o valor financeiro do ativo do investidor aumentaraacute ou seja o investimento financeiro seraacute atrativo em termos financeiros
se o VPL for zero o valor financeiro do ativo financeiro do investidor natildeo mudaraacute ou seja o investidor seraacute indiferente ao investimento
se o VPL for negativo o valor financeiro do ativo do investidor seraacute reduzido ou seja o investimento natildeo seraacute atrativo em termos financeiros
Exemplo 41
Um investidor compra uma casa por R$ 7000000 e gostaria de ter um retorno de pelo menos 15 Ele pretende manter a casa por 4 anos e depois vendecirc-la por R$ 11000000 Ele prevecirc os fluxos de caixa mostrados no diagrama abaixo
CF0CF1
CF1
CF3CF4
CF5
R$ 7000000
R$ 50000
R$ 450000R$ 450000
R$ 13000000R$ 550000
Sendo assim calcule o VPL para determinar se o investimento resultaria em um retorno ou perda
62
Universidade do Sul de Santa Catarina
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o VPL
7000000 50000
450000 550000 450000
13000000 15 379007
VPL
Como o VPL eacute positivo o investimento aumentaria o valor financeiro do ativo do investidor
Exemplo 42 (exemplo 4 paacuteg 98 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um proprietaacuterio recebeu as seguintes propostas para a venda de uma casa
Proposta A entrada de R$ 10000000 + R$ 5000000 em 6 meses + R$ 6000000 em 1 ano
Proposta B entrada de R$ 8000000 + R$ 6000000 em 5 meses + R$ 7000000 em 10 meses
Sabendo-se que a taxa de juros de mercado eacute de 3 am qual a melhor proposta para o vendedor
Soluccedilatildeo
Essa questatildeo deve ser resolvida pelo meacutetodo do Valor Presente Liacutequido A alternativa que tiver o maior valor seraacute a melhor Entretanto para facilitar a elaboraccedilatildeo do algoritmo de resoluccedilatildeo na HP ndash 12C elabore o fluxo de caixa para cada situaccedilatildeo
63
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Unidade 4
1 Proposta A Fluxo de caixa
10000000 5000000 6000000
1 2 3 4 5 7 8 9 10 110 6 12
Calculando o VPL
10000000 000 5
5000000 000
5
6000000
3
18395701
VPL
Armazena o zero 5 vezes
2 Proposta B Fluxo de caixa
8000000 70000006000000
1 2 3 4 6 7 8 90 5 10
Calculando o VPL
8000000 000 4
6000000 000
4
7000000
3
18384310
VPL
Armazena o zero 4 vezes
Resposta a melhor proposta eacute a A
64
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Exemplo 43
Dois equipamentos satildeo examinados Considerando ser a taxa miacutenima de atratividade de 20aa qual o equipamento que deve ser adquirido
Dados
41 - Tabela de DadosEquipamento K Equipamento L
Custo R$ 5000000 R$ 8000000Custo anual de manutenccedilatildeo R$ 2000000 R$ 1500000Valor residual para venda R$ 400000 R$ 800000Duraccedilatildeo em anos 10 10
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
A seguir veja o diagrama de fluxo de caixa
Os caacutelculos do Valor Presente Liacutequido para as duas situaccedilotildees satildeo
Equipamento K
5000000
Equipamento K
2000000
400000
0 1 2 10
8000000
Equipamento L
1500000
800000
0 1 2 10
50000 20000
9 4000 20000 1
20 -13320342
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Unidade 4
Equipamento L
80000 15000
9 8000 15000 1
20 -14159504
Importante Veja que a alternativa K equivale a um equipamento em que se investe R$ 13320342 enquanto que o equipamento L equivale a um investimento de R$ 14159504 Portanto eacute preferiacutevel o equipamento K pois o investimento eacute menor
66
Universidade do Sul de Santa Catarina
Seccedilatildeo 2 ndash Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs - SFA
Este sistema consiste no pagamento de empreacutestimos ou financiamentos com prestaccedilotildees iguais e com periodicidade constante Eacute considerado o sistema de amortizaccedilatildeo mais utilizado pelas instituiccedilotildees financeiras e pelo comeacutercio em geral
O Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo eacute assim chamado por ter sido inventado na Franccedila por volta do seacuteculo XVIII pelo matemaacutetico inglecircs Richard Price daiacute portanto a origem da denominaccedilatildeo Sistema Price tambeacutem comumente chamado de Tabela Price
Na verdade a Tabela Price eacute um caso particular derivado do Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo Neste sistema o financiamento (PV) eacute pago em parcelas (PMT) iguais constituiacutedas da amortizaccedilatildeo do principal da diacutevida + juros compensatoacuterios (J) que variam inversamente ao longo do tempo Ou seja agrave medida que aumenta o valor da parcela de amortizaccedilatildeo haveraacute uma queda dos juros compensatoacuterios em funccedilatildeo da reduccedilatildeo do saldo devedor
Principais Caracteriacutesticas
As principais caracteriacutesticas do SFA satildeo
a prestaccedilatildeo eacute constante durante todo o periacuteodo do financiamento
a parcela de amortizaccedilatildeo aumenta a cada periacuteodo (n)
os juros compensatoacuterios diminuem a cada periacuteodo (n)
Exemplo 44 (exemplo 1 paacuteg 148 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma instituiccedilatildeo financeira libera um empreacutestimo para uma induacutestria no valor de R$ 60000000 para ser pago pelo sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs em 120 meses a uma taxa de 15 am Faccedila a planilha ateacute o 4ordm mecircs e calcule o saldo devedor no 100ordm mecircs
67
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Unidade 4
Soluccedilatildeo
A sequecircncia abaixo calcula o valor da prestaccedilatildeo os juros a amortizaccedilatildeo o saldo devedor e valor do saldo devedor no 100ordm mecircs Acompanhe
Zera os registradores
60000000 Armazena o valor presente
120 Armazena o periacuteodo
15 Armazena a taxa
- R$ 1081111 Valor da prestaccedilatildeo
1 - R$ 900000 Valor dos juros da 1ordf parcela
R$ 181111Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 1ordf parcela
R$ 58918889 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 897283 Valor dos juros da 2ordf parcela
- R$ 183828Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 2ordf parcela
R$ 59635061 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 894526 Valor dos juros da 3ordf parcela
- R$ 186585Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 3ordf parcela
R$ 59448476 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 891727 Valor dos juros da 4ordf parcela
- R$ 189384Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 4ordf parcela
R$ 59259092 Recupera o saldo devedor
A tabela a seguir apresenta um resumo das operaccedilotildees realizadas
68
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Tabela 42 ndash Planilha de amortizaccedilatildeoPeriacuteodo (n) Amortizaccedilatildeo (A) Juros (J) Prestaccedilotildees (R) Saldo Devedor (S)
0 - - - R$ 600000001 R$ 181111 R$ 900000 R$ 1081111 R$ 598188892 R$ 183828 R$ 897283 R$ 1081111 R$ 596350613 R$ 186585 R$ 894526 R$ 1081111 R$ 594484764 R$ 189384 R$ 891727 R$ 1081111 R$ 59259092
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Para determinar o saldo devedor no 100ordm mecircs faccedila como indicado a seguir
60000000 120 150
-1081111 18561247
Prestaccedilatildeo Saldo devedor no 100ordm mecircs
Nesta unidade vocecirc usou as funccedilotildees de fluxo de caixa para calcular o valor presente liacutequido e a funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
69Unidade 4
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades a seguir (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 4 e 5 da unidade 7 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegina 102) Em seguida use o programa elaborado para resolver as mesmas questotildees
a) Qual das alternativas de pagamento eacute a melhor para uma taxa de juros compostos de 75 am
Alternativa A Pagamento de R$ 15000000 agrave vista
Alternativa B Entrada de R$ 5000000 + R$ 8000000 em 90 dias + R$ 6000000 em 150 dias
b) Uma pessoa deve a um banco dois tiacutetulos com valores de R$ 300000 e R$ 600000 venciacuteveis respectivamente em 4 meses e 8 meses Se a pessoa deseja antecipar para hoje a liquidaccedilatildeo dos tiacutetulos qual o valor a pagar considerando que o banco opera com uma taxa de juros compostos de 23 am
2 Elabore um algoritmo para resolver as atividades abaixo (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 1 e 4 da unidade 10 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 151 e 153)
a) Um cliente solicita a um banco um empreacutestimo de R$ 4000000 pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs em 60 prestaccedilotildees mensais Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de juros de 28 am obtenha o valor da prestaccedilatildeo e o saldo devedor depois de pagar a 20ordf prestaccedilatildeo
b) Um empreacutestimo de R$ 30000000 seraacute saldado em 50 prestaccedilotildees mensais a uma taxa de 15 am Determine a parcela de juros relativa agrave 15ordf prestaccedilatildeo pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs (price)
70
Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
Manual da calculadora HP ndash 12C
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico ndash 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7ed Satildeo Paulo Atlas 2000
Para concluir o estudo
Com o teacutermino desse curso de extensatildeo acreditamos que proporcionamos momentos de aprendizagem por meio da interaccedilatildeo da calculadora financeira e que vocecirc estaacute habilitado(a) a fazer uso dessa ferramenta com qualidade no mercado de trabalho relacionado a essa aacuterea tatildeo importante no nosso dia-a-dia
Referecircncias
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7 ed Satildeo Paulo Atlas 2000
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003 Disponiacutevel em lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt Acesso em 05 jun 2008
Sobre o professor conteudista
Joseacute Humberto Dias de Toledo - eacute Mestre em Educaccedilatildeo pela Universidade do Sul de Santa Catarina Graduado em Licenciatura em Matemaacutetica e em Engenharia Civil Professor das disciplinas Meacutetodos Numeacutericos Informaacutetica Aplicada agrave Matemaacutetica Financeira Caacutelculo I e Matemaacutetica Financeira no Curso de Matemaacutetica ndash Licenciatura nesta mesma instituiccedilatildeo Atualmente ministra a disciplina Representaccedilotildees Graacuteficas na Poacutes-graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo Matemaacutetica da UNISUL
Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo
Unidade 1
1 a) 5
b) -2359
c) 3311
d) 077
e) 081
Respostas modo RPN
a)
b)
c)
d)
e)
Respostas modo ALG
a
b
c
d
e
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2 R$ 167757
Modo RPN
Modo ALG
3 -242
4 Data 13082008 3 (quarta-feira)
5 Florianoacutepolis = 3303 Curitiba = 5018 Porto Alegre = 1680
Unidade 2
1 1) 150000
Dados
C = R$ 1000000
i = 5 aa
n = 3 anos = 1080 dias
J =
3) 24 meses = 2 anos
Dados
C = R$ 200000
i = 6 aa
n = 24 meses = 720 dias
M =
79
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
86
Universidade do Sul de Santa Catarina
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
87
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
88
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21
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
Calculando no modo algeacutebrico
3 2 5 11
Resultado
Os modelos mais antigos de calculadoras HP ndash 12C natildeo disponibilizam o modo algeacutebrico Portanto se vocecirc eacute usuaacuterio desse tipo de calculadora todos os caacutelculos devem ser efetuados no modo RPN
Exemplo 12
Resolver os caacutelculos solicitados a seguir usando os modos RPN e ALG
a) 3 2 5 33+ minus x
b) ( )minus + minus2 3 4 43 x
c) 2 9 3 52minus + + minus
d) 2 35
2+ minusln
e) 3 4 62+ minuse
Resolvendo no modo RPN
a)
3 2 3 5 3 - 4
Resultado
22
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b)
c)
d)
Obs para alterar a quantidade de casas decimais no visor da calculadora aperte e em seguida um nuacutemero de 1 a 9 que corresponde agrave quantidade de casas decimais No exemplo acima usamos
e)
2
3 3
4
4
0
Resultado
2
2
9 3 5 125
Resultado
2
3
5 2 0599
Resultado
3
2
46 5789
Resultado
23
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
Resolvendo no modo ALG com o auxiacutelio dos registros R R
0 9 a
a)
2
3
5 3 3
4
Resultado
Armazena o resultado do visor na memoacuteria 0
Recupera o registro da memoacuteria 0
b)
2
3
3 4
4 0
Resultado
c)
2 2
9
3 5 125
Resultado
24
Universidade do Sul de Santa Catarina
d)
e)
Exemplo 13
Usando a calculadora HP ndash 12C no modo RPN as seguintes operaccedilotildees bancaacuterias foram realizadas a conta tinha um saldo de R$ 12300 e foi feito um depoacutesito referente ao salaacuterio de R$ 189035 Em seguida foram emitidos e compensados cheques nos valores de R$ 38590 R$ 23478 e R$ 62389 Qual eacute o novo saldo da conta
Soluccedilatildeo use
para apresentar os caacutelculos com duas casas decimais
12300 189035 38590
23478 62389 76920
Saldo
2 3 5 2 0 0599
Resultado
3 2 46 5789
Resultado
25
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
Seccedilatildeo 3 ndash Funccedilotildees de percentagem e calendaacuterio
A calculadora HP ndash 12C apresenta funccedilotildees que permitem o caacutelculo de percentagens e de calendaacuterio Para caacutelculo com percentagens natildeo eacute necessaacuterio converter o nuacutemero na notaccedilatildeo percentual para a notaccedilatildeo decimal Jaacute as funccedilotildees calendaacuterio fornecidas pela HP trabalham com datas entre 15 de outubro de 1582 e 25 de novembro de 4046 A seguir vocecirc conheceraacute detalhadamente essas funccedilotildees
Funccedilotildees de percentagem
Calcula a Percentagem de um nuacutemero ou valor
Calcula a diferenccedila percentual entre dois nuacutemeros
Calcula qual percentual um nuacutemero eacute de outro
Figura 14 - Ilustraccedilatildeo das funccedilotildees de percentagem da Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Funccedilotildees de calendaacuterio
Configura o formato de uma data para dia-mecircs-ano
Configura o formato de uma data para mecircs-dia-ano
Calcula o nuacutemero de dias entre datas
Calcula datas futuras ou passadas
Figura 15 - Ilustraccedilatildeo das funccedilotildees de calendaacuterio da Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Nos exemplos a seguir estaacute demonstrado o uso de todas as funccedilotildees apresentadas Obs os caacutelculos vatildeo ser realizados no modo RPN
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Exemplo 14
Calcular 16 de R$ 198000
Soluccedilatildeo
198000 1600 31680
Resultado
Exemplo 15
Determinada empresa com accedilotildees na bolsa de valores verificou as seguintes variaccedilotildees nos valores das suas accedilotildees no dia 150508 o valor da accedilatildeo passou de R$ 5025 para R$ 5498 jaacute no dia 210508 o valor da accedilatildeo caiu de R$ 5498 para R$ 5208 Qual a diferenccedila percentual nas duas situaccedilotildees
Soluccedilatildeo a sequecircncia a seguir apresenta a variaccedilatildeo percentual
Caacutelculo da variaccedilatildeo percentual de R$ 5025 para R$ 5498 usando a HP ndash 12C
5025 5498 941
Resultado
Observe que o resultado apresentado eacute positivo portanto representa aumento
Caacutelculo da variaccedilatildeo percentual de R$ 5498 para R$ 5208 usando a HP ndash 12C
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
5498 5208 -527
Resultado
Observe que o resultado apresentado eacute negativo portanto representa queda
Exemplo 16
A empresa do exemplo anterior atua na regiatildeo sul do Brasil com vendas totais realizadas no mecircs de abril de 2008 de R$ 589636996 distribuiacutedas da seguinte forma R$ 123656939 no Paranaacute R$ 356963920 em Santa Catarina e R$ 109016137 no Rio Grande do Sul Qual a percentagem das vendas totais em cada um dos trecircs Estados
Soluccedilatildeo
A sequecircncia apresenta os percentuais nos estados do Paranaacute Santa Catarina e Rio Grande do Sul
Soluccedilatildeo
589636996 123656939 2097
356963920 6054 109016137 1849
Resultado SC Resultado RS
Resultado PR
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 17
Comprei uma TV LCD em 17052008 com vencimento para 120 dias Determine a data do vencimento usando a calculadora HP ndash 12C
Soluccedilatildeo
17052008 120 14092008 7
A data do vencimento eacute 14 de setembro de
2008 domingo
Exemplo 18
Fiz uma compra no dia 12052008 com vencimento para o dia 26082008 Use a calculadora HP ndash 12C para determinar o nuacutemero de dias entre a data da compra e do vencimento
Soluccedilatildeo
12052008 20082008 100
Nuacutemero de dias entre as datas
Nesta unidade vocecirc conheceu algumas funccedilotildees elementares da calculadora as quais seratildeo utilizadas nas demais unidades e satildeo muito importantes para realizar caacutelculos que envolvem questotildees do nosso cotidiano Na proacutexima unidade vocecirc vai usar as funccedilotildees financeiras da calculadora para calcular juros simples e compostos descontos simples e compostos
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
Efetue as atividades de autoavaliaccedilatildeo e acompanhe as respostas e comentaacuterios a respeito nas paacuteginas finais deste material Para melhor aproveitamento do seu estudo realize a conferecircncia de suas respostas somente depois de fazer as atividades propostas Desse modo o momento da conferecircncia lhe proporcionaraacute novas oportunidades de aprendizagem
1 Calcule o valor das expressotildees numeacutericas a seguir usando a HP ndash 12C nos modos RPN e ALG
a) 2 5 3 8 24 minus + divide =x
b) minus + minus =3 5 32 3x eln
c) 16 25 3 45 89+ minus =x
d) 2
35 5
3+ minus =ln
e) 0 253
55
2 + minus =minus
2 Use a HP ndash 12C para realizar os caacutelculos e informar o saldo final da seguinte movimentaccedilatildeo financeira Saldo inicial na conta R$ 167890 depoacutesito de R$ 143587 cheques compensados nos valores de R$ 34598 R$ 12345 R$ 65790 e R$ 30987
3 No dia 130508 o doacutelar americano estava cotado em R$ 165 no dia 190508 a cotaccedilatildeo foi de R$ 161 Com base nestes dados indique qual foi a variaccedilatildeo percentual do doacutelar
4 Foi realizada uma compra em um supermercado no valor de R$ 67890 em 150508 Sabendo que esse estabelecimento trabalha com prazo de 90 dias use as funccedilotildees calendaacuterio da HP ndash 12C e determine a data e o dia da semana do vencimento
5 Uma empresa tem vendas mensais para o mecircs de maio de 2008 estimadas em R$ 178909000 Sabendo que o valor total das vendas estaacute distribuiacutedo nas cidades de Florianoacutepolis Curitiba e Porto Alegre com valores correspondentes a R$ 59089000 R$ 89767898 e R$ 30052102 respectivamente determine qual percentagem das vendas totais ocorre em cada uma das cidades
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
HPndash12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
No link abaixo vocecirc tem disponiacutevel o manual da calculadora HP ndash 12C na versatildeo online lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt
2UNIDADE 2
Regimes de capitalizaccedilatildeo simples e composto
Objetivos de aprendizagem
Fazer uso das funccedilotildees financeiras da calculadora HP ndash 12C para calcular juros simples e composto
Dominar o caacutelculo do montante simples e composto
Aprender o caacutelculo de desconto simples e composto
Calcular capital taxa e prazo no regime de capitalizaccedilatildeo composto usando a HP ndash 12C
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Regime de capitalizaccedilatildeo simples
Seccedilatildeo 2 Regime de capitalizaccedilatildeo composto
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc vai fazer uso das funccedilotildees financeiras da HP ndash 12C com o objetivo de realizar caacutelculos de juros simples e composto montantes simples e composto descontos simples e composto caacutelculo de taxas e prazos
Nesta etapa de estudos seratildeo utilizados exemplos do material didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira que estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do Espaccedilo Virtual de Aprendizagem ndash EVA Eacute importante lembrar natildeo ser objetivo deste curso discutir os conceitos da Matemaacutetica Financeira mas apenas utilizar as funccedilotildees disponibilizadas na calculadora para resolver problemas relacionados a essa aacuterea Entretanto caso vocecirc julgue importante os conceitos podem ser relembrados ou vistos no material didaacutetico da disciplina
Seccedilatildeo 1 ndash Regime de capitalizaccedilatildeo simples
Na unidade 1 vocecirc foi apresentado(a) agrave calculadora HP ndash 12C e a algumas das suas funccedilotildees com o objetivo de capacitaacute-lo(a) para o uso adequado dessa ferramenta Esta unidade inicia com uma abordagem sobre os registradores financeiros os quais seratildeo utilizados na maioria dos exemplos que deveratildeo ser resolvidos ao longo das proacuteximas seccedilotildees desta unidade e nas demais unidades deste curso Veja na ilustraccedilatildeo a seguir os registradores financeiros e as suas aplicaccedilotildees
Registra e armazena periacuteodo
Registra e armazena taxa
Registra e armazena valor presente
Registra e armazena pagamentos perioacutedicos
Registra e armazena valor futuro
Figura 21 - Registradores financeiros e as suas aplicaccedilotildees Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
Para armazenar um nuacutemero em um registrador financeiro digite o nuacutemero e em seguida uma das teclas correspondentes ilustradas acima
Para exibir um nuacutemero armazenado em um dos registradores financeiros aperte e em seguida a tecla correspondente
Para zerar todos os registradores financeiros aperte a sequecircncia de teclas
Eacute importante lembrar que os registradores financeiros tambeacutem satildeo zerados ao apertar a sequecircncia
e quando a memoacuteria contiacutenua eacute
reinicializada
A seguir vocecirc faraacute caacutelculo de juros simples e de descontos simples usando a HP ndash 12C
Regime de capitalizaccedilatildeo simples
A HP ndash 12C calcula automaticamente juros simples ordinaacuterios ndash usando o ano comercial e juros simples exatos ndash usando um ano de 365 dias simultaneamente
Eacute possiacutevel apresentar qualquer um dos dois e mais com os juros acumulados no mostrador podemos calcular o montante apertando a tecla
Para exemplificar vamos resolver problemas do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira que se encontra disponiacutevel (formato digital) na ferramenta Midiateca do EVA ndash Espaccedilo Virtual de Aprendizagem
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 21 (exemplo 1 paacuteg 29 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital de R$ 1800000 foi aplicado a juros simples durante 3 anos agrave taxa de 6 aa Qual eacute o valor dos juros e o montante adquirido
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula os juros e o montante
Exemplo 22 (exemplo 1 paacuteg 33 do livro Matemaacutetica Financeira)
Ache os juros simples exatos auferidos em uma aplicaccedilatildeo de R$ 1500000 a uma taxa de 16 aa de 20 de abril de 2003 a 1ordm de julho de 2003
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula os juros comerciais e os juros exatos
Neste exemplo utilizamos duas teclas que seratildeo ilustradas a seguir para realizar o caacutelculo dos juros exatos
1800000 1080 6
324000 2124000
Juros Montante
No caacutelculo de Juros simples o periacuteodo deve ser em dias
Calcula juros simples
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Unidade 2
1500000 20042003 01072003
72 16 48000 47342
Juro comercial Juro exato nordm de dias
Ao apertar essa tecla ela rola para baixo o conteuacutedo da pilha para visualizaccedilatildeo no registro X
Ao apertar essa tecla ela troca o conteuacutedo dos registros X e Y da pilha
Figura 22 - Teclas utilizadas para registros de dados Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Exemplo 23 (exemplo 2 paacuteg 34 do livro Matemaacutetica Financeira)
Determine o juro simples exato obtido em uma aplicaccedilatildeo de R$ 1300000 durante 146 dias a uma taxa de 9 aa
Soluccedilatildeo a sequecircncia a seguir realiza os caacutelculos solicitados
1330000 146 9
48545 47880
Juro comercial Juro exato
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Exemplo 24 (exemplo 1 paacuteg 47 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma duplicata de R$ 1500000 com vencimento no dia 03042005 foi descontada em um banco em 08012005 a uma taxa de 25 am Qual eacute o desconto simples bancaacuterio da operaccedilatildeo
Soluccedilatildeo
08012005 03042005 85
1500000 0025 30 106250
Taxa decimal Desconto bancaacuterio
Nordm de dias entre as datas
Exemplo 25 (exemplo 1 paacuteg 48 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma empresa descontou um tiacutetulo com valor de face de R$ 1450000 3 meses e 15 dias antes do vencimento com uma taxa de desconto bancaacuterio simples de 24 am Quanto a empresa recebeu liacutequido na operaccedilatildeo
Soluccedilatildeo
1450000 0024 35 1450000 1328200
Periacuteodo em meses Valor liacutequidoTaxa decimal
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Unidade 2
Exemplo 26 (exemplo 1 paacuteg 49 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma duplicata de R$ 4800000 foi descontada 6 meses antes de seu vencimento em uma instituiccedilatildeo financeira que trabalha com uma taxa de desconto simples de 32 am Com base nestes dados determine
o valor do desconto simples bancaacuterio
o valor do desconto simples racional
Soluccedilatildeo
4800000 6 0032 921600
Taxa decimal Valor liacutequido
921600 1 0032
6 773154
Taxa decimal Valor liacutequido
Na proacutexima seccedilatildeo vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros compostos e de desconto compostos
38
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Seccedilatildeo 2 ndash Regime de capitalizaccedilatildeo composto
Os exemplos apresentados a partir de agora satildeo ilustrativos de uma ampla variedade de caacutelculos financeiros Para resolvecirc-los vocecirc precisa estruturaacute-los identificando os elementos baacutesicos do problema de maneira que fiquem evidentes as quantidades que devem ser fornecidas agrave calculadora e quem eacute o valor desconhecido ou seja o valor que desejamos determinar
Na resoluccedilatildeo dos caacutelculos usando a HP ndash 12C eacute indispensaacutevel elaborar o diagrama de fluxo de caixa Eacute importante ressaltar que a calculadora precisa de ajuda para comparar o fluxo de caixa ou seja eacute preciso informar quando temos uma entrada ou uma saiacuteda
O fluxo de caixa serve para demonstrar graficamente as transaccedilotildees financeiras em um periacuteodo de tempo
O tempo eacute representado por uma linha horizontal dividida pelo nuacutemero de periacuteodos relevantes para anaacutelise As entradas ou recebimentos satildeo representados por setas verticais apontadas para cima e as saiacutedas ou pagamentos satildeo representados por setas verticais apontadas para baixo Observe o modelo simplificado
(+) entradas
(-) saiacutedas
tempo (n)
Veja agora o modelo detalhado
Entradas
Saiacutedas
Tempo
Fluxo de caixa pode ser definido como sendo a movimentaccedilatildeo de recursos financeiros (entradas e saiacutedas de caixa) ao longo de um periacuteodo de tempo - agrave entrada e saiacuteda de dinheiro O conceito caixa (financeiro) natildeo pode ser confundido com conceito de competecircncia (contaacutebil)
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Unidade 2
Na HP-12C a tecla (do inglecircs Change Sign) serve para introduzir ou tirar um sinal negativo de um nuacutemero ou seja faz o fluxo de caixa
Na sequecircncia de exemplos apresentados a seguir realizaremos caacutelculos de juros montantes valor presente prazo taxa de juros e descontos no regime composto com o auxiacutelio dos registradores financeiros da calculadora HP ndash 12C
Exemplo 27 (exemplo 1 paacuteg 58 do livro Matemaacutetica Financeira)
Qual o montante gerado por um capital de R$ 450000 aplicado por 9 meses a juros compostos a uma taxa de 35 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o montante composto
450000 9 35 613304
MontanteFluxo de caixa saiacuteda do dinheiro para aplicaccedilatildeo
Exemplo 28 (exemplo 2 paacuteg 58 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital de R$ 1200000 foi aplicado a juros compostos durante 6 meses agrave taxa de 2 am Calcule os juros auferidos na aplicaccedilatildeo
Soluccedilatildeo use a sequecircncia a seguir para calcular os juros
1200000 6 2
1351395 151395
Montante Juros
Fluxo de caixa saiacuteda do dinheiro para aplicaccedilatildeo
Recupera um valor em um registrador
financeiro
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Exemplo 29 (exemplo 3 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital ldquoXrdquo eacute aplicado a juros compostos agrave taxa de 35 am gerando um montante de R$ 1950000 apoacutes 1 ano e 3 meses Determine o capital ldquoXrdquo
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar o capital
1950000 35 15 -1163937
Capital aplicado
Exemplo 210 (exemplo 4 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
A que taxa mensal de juros compostos um capital de R$ 1250000 pode transformar-se em R$ 1537342 no periacuteodo de 7 meses
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
1250000 1537342 7 300
Taxa de juros mensal
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Unidade 2
Exemplo 211 (exemplo 5 paacuteg 60 do livro Matemaacutetica Financeira)
Em que prazo um empreacutestimo de R$ 3500000 pode ser pago pela quantia de R$ 4790000 se a taxa de juros compostos cobrada for de 4 am
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
3500000 4790000 4 8
Periacuteodo em meses
Funccedilatildeo ldquoCrdquo na HP ndash 12C e as teclas ldquoSTOrdquo e ldquoEEXrdquo
Vocecirc pode calcular taxa de juros (i) Capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos Perioacutedicos (PMT) para transaccedilotildees financeiras com periacuteodos fracionaacuterios Ao digitar um periacuteodo fracionaacuterio por exemplo 23 meses a parte inteira do nuacutemero indica o nuacutemero de periacuteodos inteiro e a parte fracionaacuteria do nuacutemero o tamanho do periacuteodo fracionaacuterio como uma fraccedilatildeo do periacuteodo inteiro (no exemplo 2 meses e 03 meses)
De acordo com o criteacuterio do usuaacuterio os caacutelculos de taxa de juros ( i ) capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos perioacutedicos (PMT) podem ser executados com juros simples ou compostos acumulados durante o periacuteodo fracionaacuterio Para escolher uma das duas opccedilotildees faccedila
Aparece o indicador ldquoCldquo Portanto os juros compostos satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Natildeo aparece o indicador ldquoCrdquo Portanto os juros simples satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Figura 23 - Teclas utilizadas para caacutelculo de juros simples e compostos para periacuteodo fracionaacuterio Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
42
Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 212
Calcular o valor futuro de uma aplicaccedilatildeo de R$ 185030000 aplicado agrave taxa de 14 aa durante 45 anos usando juros compostos e simples para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Soluccedilatildeo as sequecircncias a seguir apresentam os resultados para o caacutelculo do valor futuro com juros simples para o periacuteodo fracionaacuterio e juros compostos para o periacuteodo fracionaacuterios respectivamente
185030000 14
45 334383879
Valor futuro calculado com juros simples para o periacuteodo
fracionaacuterio
185030000
14 45 333667556
Valor futuro calculado com juros compostos para o
periacuteodo fracionaacuterio
Exemplo 213 (exemplo 1 paacuteg 81 do livro Matemaacutetica Financeira)
Determine o valor do desconto composto racional e o valor do resgate de um tiacutetulo de R$ 1560000 descontado 5 meses antes do seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto composto racional eacute de 4 am
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor do desconto racional composto e o valor liacutequido a receber
1560000 1
1 004 5
277794 1560000 1282206
Valor do desconto Valor liacutequido
Exemplo 214 (exemplo 1 paacuteg 84 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um tiacutetulo de valor nominal de R$ 1500000 eacute descontado em um banco 3 meses antes de seu vencimento Se a taxa de desconto comercial usada pelo banco eacute de 8 am qual eacute o valor do desconto
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor liacutequido e o valor do desconto bancaacuterio ou comercial
1500000 3 8
-1168032 331968
Valor liacutequido Valor do desconto
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Nesta unidade vocecirc usou a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros simples e compostos descontos simples e compostos valor presente taxa de juros periacuteodo e montante Na proacutexima unidade usaremos a ferramenta para auxiliar no caacutelculo de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir foram propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo em PDF estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as questotildees 1 3 5 e 6 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteginas 38 e 39 Confira os resultados na paacuteg 194
1) Qual o rendimento que obtemos ao aplicarmos um capital de R$ 1000000 a uma taxa de juros simples de 5 aa durante 3 anos
3) Em um regime de capitalizaccedilatildeo simples qual eacute o montante que se obteacutem quando aplicamos um capital de R$ 200000 a uma taxa 6 aa durante 24 meses
5) Uma quantia de R$ 6200000 foi aplicada em uma operaccedilatildeo financeira no dia 20 de setembro de 2003 e resgatada no dia 21 de dezembro de 2003 a uma taxa de 125 aa Quais os juros simples exatos e comerciais da operaccedilatildeo
6) Calcule os juros simples exatos e comerciais nas seguintes condiccedilotildees
bull R$ 600000 aplicados por 180 dias a 12 aa
bull R$ 520000 aplicados por 230 dias a 15 aa
45
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
2 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 2 e 4 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegs 52 e 53 Confira os resultados nas paacuteginas 194 e 195
1) Uma empresa desconta uma duplicata no valor nominal de R$ 5000000 no Banco ldquoXrdquo 4 meses antes do seu vencimento Sabendo que o banco ldquoXrdquo trabalha com uma taxa de desconto simples bancaacuterio de 45 am qual eacute o valor do desconto e o valor liacutequido recebido
2) Para pagar uma diacutevida hoje uma empresa descontou em uma carteira de creacutedito uma duplicata no valor de R$ 1650000 com vencimento daqui a 2 meses recebendo um valor nominal liacutequido de R$ 1500000 Determine a taxa mensal de desconto simples bancaacuterio utilizada
4) Uma letra de cacircmbio no valor nominal de R$ 500000 foi comercializada 4 meses antes do vencimento a uma taxa de desconto simples de 22 am Se o desconto simples fosse o racional qual seria o valor deste desconto
3 Elabore uma sequecircncia de passos para resolver as questotildees propostas 1 2 3 4 e 6 nas paacuteginas 65 66 e 67 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira e confira os resultados na paacuteg 195
1) Calcule o montante produzido por um capital de R$ 2600000 aplicado a uma taxa de juros compostos de 52 am por 6 meses
2) Calcule os juros compostos auferidos por um capital de R$ 420000 aplicado a uma taxa de 3 am durante 10 meses
3) Um empreacutestimo de R$ 600000 deve ser pago em 120 dias a juros compostos pelo valor de R$ 900000 Qual eacute a taxa mensal da operaccedilatildeo
4) Em que prazo uma aplicaccedilatildeo a juros compostos de R$ 2400000 produziraacute um montante de R$ 6151930 agrave taxa de 4 am
6) Quanto Paulo deve aplicar hoje a juros compostos em uma instituiccedilatildeo financeira que paga uma taxa de 12 am para pagar um compromisso de valor nominal igual a R$ 3800000 que vence daqui a 3 meses
46
Universidade do Sul de Santa Catarina
4 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 e 8 das paacuteginas 88 e 90 respectivamente do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira Confira os resultados na paacuteg 196
1) Determine o valor do desconto composto racional de um tiacutetulo de valor nominal de R$ 830000 descontado 6 meses antes de seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto eacute de 42 am
8) Um tiacutetulo de R$ 3000000 foi descontado em uma instituiccedilatildeo financeira a uma taxa de desconto composto comercial de 64 am e o valor liacutequido recebido era de R$ 2017327 Quantos meses antes do vencimento foi descontado este tiacutetulo
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
3UNIDADE 3
Taxas de juros equivalentes e caacutelculo de pagamentos perioacutedicos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para calcular taxas equivalentes
Usar as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP ndash 12C para programar o algoritmo da taxa equivalente no regime de capitalizaccedilatildeo composto
Calcular pagamentos perioacutedicos de sequecircncias uniformes postecipadas e antecipadas
Calcular montante de uma sequecircncia uniforme
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Taxas equivalentes
Seccedilatildeo 2 Sequecircncia de capitais
48
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar taxas equivalentes no regime de capitalizaccedilatildeo composto Vocecirc usaraacute as funccedilotildees de programaccedilatildeo com o objetivo de elaborar um algoritmo para fazer a conversatildeo de taxas de um periacuteodo de capitalizaccedilatildeo (ex mensal) para outro periacuteodo (ex anual) usando o programa Vamos explorar as funccedilotildees ldquoPMTrdquo ldquoBEGrdquo e ldquoENDrdquo para realizar caacutelculo de pagamentos antecipados e postecipados em uma sequecircncia uniforme Destacamos que os exemplos que seratildeo apresentados estatildeo no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira
Seccedilatildeo 1 ndash Taxas equivalentes
Nesta unidade vocecirc usaraacute algumas funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos (postecipados e antecipados) de uma seacuterie uniforme Vocecirc usaraacute ainda as funccedilotildees de programaccedilatildeo para elaborar um programa para calcular taxas equivalentes A figura a seguir apresenta as funccedilotildees que vocecirc usaraacute nos exemplos apresentados posteriormente
Aciona o modo de programaccedilatildeo de HP ndash 12C
Aciona a funccedilatildeo Begin que calcula a parcela com pagamento antecipado
Aciona a funccedilatildeo End (natildeo aparece no visor da calculadora) que calcula parcela com pagamento postecipado
Figura 31 - Teclas utilizadas para acionar as funccedilotildees Beg e End e entrar no modo de programaccedilatildeo
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
49
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
Taxas equivalentes
No mercado financeiro e nas operaccedilotildees bancaacuterias e comerciais a palavra taxa eacute empregada de vaacuterias formas ou seja vaacuterios conceitos satildeo abordados em vaacuterias situaccedilotildees Esta seccedilatildeo tem como objetivo mostrar como as taxas de juros satildeo informadas no mercado financeiro e como adequaacute-las agraves condiccedilotildees padronizadas pela HP ndash 12C
Duas taxas satildeo consideradas equivalentes a juros compostos quando aplicadas a um mesmo capital por um periacuteodo de tempo equivalente e geram o mesmo rendimento
Exemplo 31(exemplo 1 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
No regime de juros compostos qual a taxa anual equivalente a 4 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente anual
Exemplo 32 (exemplo 2 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
Calcule a taxa quadrimestral equivalente agrave taxa de juros compostos de 8 aa
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente quadrimestral
1 004 12 1 1 10000 6010
Taxa anual
50
Universidade do Sul de Santa Catarina
1 008 1 3 1 10000 260
Taxa quadrimestral
Programa para caacutelculo da taxa equivalente pela hp ndash 12c
O professor Carlos Shinoda em seu livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48) apresenta um programa para calcular a taxa equivalente atraveacutes da calculadora HP ndash 12C
Siga os procedimentos abaixo para introduzir o programa na HP ndash 12C
Figura 32 - Algoritmo para a programaccedilatildeo de taxa equivalente
Fonte Livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48)
51
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
Agora que vocecirc programou a HP ndash 12C para o caacutelculo de taxas equivalentes resolva o exemplo a seguir usando o programa
Exemplo 33
Usando o programa anterior determine as taxas equivalentes propostas nos exemplos 31 e 32
Soluccedilatildeo
As sequecircncias abaixo calculam as taxas equivalentes
Executa oprograma
4 1 12 6010
Taxa anual
Executa oprograma
8 360 120 260
Taxa quadrimestral
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Seccedilatildeo 2 ndash Sequecircncia de capitais
Nesta seccedilatildeo vocecirc acompanharaacute as situaccedilotildees em que haacute mais de um pagamento ou seja vocecirc estudaraacute as operaccedilotildees envolvendo pagamentos ou recebimentos perioacutedicos e uniformes
As seacuteries uniformes de pagamentos satildeo aquelas em que os pagamentos ou recebimentos satildeo constantes e ocorrem em intervalos iguais
Seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas e antecipadas
As seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1 Este sistema eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada (0 + n)
Pagamentos ou recebimentos podem ser chamados de prestaccedilatildeo representada pela sigla PMT que vem do inglecircs Payment e significa pagamento ou recebimento
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentosPMT
++
0 1 2 3 4 5 6 n
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
++
0 1 2 3 4 5 6 n
PMT
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
As seacuteries uniformes de pagamentos antecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre na data focal 0 (zero) Este tipo de sistema de pagamento eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento com entrada (1+ n)
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
Exemplo 34 (exemplo 2 paacuteg 108 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um automoacutevel eacute vendido em uma loja por R$ 3200000 A loja propotildee as seguintes condiccedilotildees para financiamento
Proposta A 12 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta B 24 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta C 36 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
A taxa de juros usada eacute de 32 am Qual o valor de cada prestaccedilatildeo nas 3 modalidades de financiamento
Soluccedilatildeo
As sequecircncias a seguir calculam os valores das parcelas nas trecircs propostas
54
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3200000
32 12 -325329
parcela
3200000
32 24 -193046
parcela
3200000
32 36 -150979
parcela
Exemplo 35 (exemplo 2 paacuteg 111 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma casa cujo valor agrave vista eacute R$ 4924456 eacute vendida em prestaccedilotildees mensais e iguais de R$ 250000 sendo a primeira dada como entrada Se a taxa de financiamento eacute de 18 am determine o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas no financiamento
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o nuacutemero de parcelas
4924456 18
250000 24
nordm de parcelas
55
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
No exemplo acima o nuacutemero de pagamento deu um nuacutemero inteiro Mas podem acontecer situaccedilotildees em que ao se determinar o nuacutemero de parcelas o resultado natildeo seja um nuacutemero inteiro
Nessa situaccedilatildeo a HP ndash 12C arredonda a resposta para o proacuteximo inteiro para cima antes de armazenaacute-la e exibi-la
Exemplo 36
Vocecirc comprou um terreno por R$ 3500000 a juros de 105 aa Vocecirc pretende fazer pagamentos de R$ 32500 no fim de cada mecircs Quantos pagamentos seratildeo necessaacuterios para pagar o terreno e quanto tempo levaraacute
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o nuacutemero de pagamentos e o tempo necessaacuterio
3500000 105
32500 328 2733
nordm de parcelas Tempo (anos)
Como a calculadora arredonda o valor do tempo para o proacuteximo inteiro eacute provaacutevel que apesar de serem necessaacuterios 328 pagamentos somente 327 seratildeo inteiros de R$ 32500 com o pagamento final sendo menor do que R$ 32500 Para calcular o valor do pagamento de nuacutemero 328 vamos fazer o seguinte
A calculadora natildeo ajusta os valores nos outros registros financeiros automaticamente para refletir os n pagamentos iguais ao contraacuterio ela lhe permite escolher quais valores (se houver) que vocecirc deseja ajustar
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328 18189 - 32500 -14311
Valor da parcela 328
Nesta unidade vocecirc calculou taxas equivalentes usou as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP e fez caacutelculos de pagamentos perioacutedicos de uma seacuterie uniforme antecipado ou postecipado Na proacutexima unidade vamos realizar caacutelculos de valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades abaixo (Essa atividade corresponde agrave autoavaliaccedilatildeo 1 da unidade 5 do livro didaacutetico de Matemaacutetica Financeira) Em seguida use o programa elaborado para resolver a mesma questatildeo
Calcule a taxa anual das seguintes taxas
a) 26 am
b) 42 ab
c) 48 at
d) 12 as
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
2 Elabore um algoritmo para resolver as seguintes atividades (Estas questotildees equivalem agraves autoavaliaccedilotildees 1 2 3 4 e 5 da unidade 8 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 121 122 e 123)
a) Calcule o valor da prestaccedilatildeo mensal de um empreacutestimo de R$ 600000 que seraacute amortizado em 12 prestaccedilotildees mensais postecipadas sabendo que o banco cobra uma taxa de juros de 2 am
b) Uma loja vende um automoacutevel agrave vista por R$ 1650000 Se o comprador quiser fazer um financiamento em 36 parcelas mensais e iguais onde o 1ordm pagamento seraacute efetuado no 1ordm mecircs apoacutes a compra a uma taxa de juros de 21 am qual o valor da prestaccedilatildeo
c) Uma mercadoria custa R$ 9038071 agrave vista podendo ser vendida em prestaccedilotildees mensais de R$ 1050000 sendo a primeira prestaccedilatildeo dada como entrada Sabendo-se que a loja aplica uma taxa de 35 am qual o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas
d) Carlos depositou certa quantia durante 10 meses de forma antecipada a uma taxa de 25 am obtendo um montante de R$ 25000000 Quanto depositou mensalmente Carlos
e) Um produto eacute vendido agrave vista por R$ 200000 ou em 10 prestaccedilotildees mensais iguais sem entrada com uma carecircncia de 90 dias apoacutes a compra Qual o valor de cada prestaccedilatildeo sabendo que a taxa de juros eacute de 6 am
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
4UNIDADE 4
Valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa
Usar as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Valor presente liacutequido
Seccedilatildeo 2 Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs ndash SFA (Price)
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa usando as funccedilotildees CF0 CFj e NPV Vocecirc deveraacute ainda fazer uso da funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos usando o Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo ndash SFA ou tabela Price
Seccedilatildeo 1 ndash Valor presente liacutequido
A figura 41 a seguir apresenta as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C que vocecirc usaraacute nessa unidade para realizar caacutelculo de valor presente liacutequido e para a elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos ou financiamento
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor inicial do fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor do fluxo de caixa no periacuteodo j
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula o valor presente atual de um fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula a parte dos pagamentos usada para pagar juros
Figura 41 - Teclas para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
Valor presente liacutequido
Nessa seccedilatildeo vocecirc usaraacute as funccedilotildees da HP ndash 12C para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa Para entender como usar as funccedilotildees CF0 CFj e NPV considere o fluxo de caixa para um investimento que exige capital inicial (CF0) e que gera um fluxo de caixa (CFj ) no final de j periacuteodos
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Veja a seguir o fluxo de caixa
CF0CF1
CF2 CF5
CFn
CF3 CF4
O VPL = Valor Presente Liacutequido eacute calculado somando ao investimento inicial o valor presente dos fluxos de caixa futuros projetados Portanto
se o VPL for positivo o valor financeiro do ativo do investidor aumentaraacute ou seja o investimento financeiro seraacute atrativo em termos financeiros
se o VPL for zero o valor financeiro do ativo financeiro do investidor natildeo mudaraacute ou seja o investidor seraacute indiferente ao investimento
se o VPL for negativo o valor financeiro do ativo do investidor seraacute reduzido ou seja o investimento natildeo seraacute atrativo em termos financeiros
Exemplo 41
Um investidor compra uma casa por R$ 7000000 e gostaria de ter um retorno de pelo menos 15 Ele pretende manter a casa por 4 anos e depois vendecirc-la por R$ 11000000 Ele prevecirc os fluxos de caixa mostrados no diagrama abaixo
CF0CF1
CF1
CF3CF4
CF5
R$ 7000000
R$ 50000
R$ 450000R$ 450000
R$ 13000000R$ 550000
Sendo assim calcule o VPL para determinar se o investimento resultaria em um retorno ou perda
62
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Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o VPL
7000000 50000
450000 550000 450000
13000000 15 379007
VPL
Como o VPL eacute positivo o investimento aumentaria o valor financeiro do ativo do investidor
Exemplo 42 (exemplo 4 paacuteg 98 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um proprietaacuterio recebeu as seguintes propostas para a venda de uma casa
Proposta A entrada de R$ 10000000 + R$ 5000000 em 6 meses + R$ 6000000 em 1 ano
Proposta B entrada de R$ 8000000 + R$ 6000000 em 5 meses + R$ 7000000 em 10 meses
Sabendo-se que a taxa de juros de mercado eacute de 3 am qual a melhor proposta para o vendedor
Soluccedilatildeo
Essa questatildeo deve ser resolvida pelo meacutetodo do Valor Presente Liacutequido A alternativa que tiver o maior valor seraacute a melhor Entretanto para facilitar a elaboraccedilatildeo do algoritmo de resoluccedilatildeo na HP ndash 12C elabore o fluxo de caixa para cada situaccedilatildeo
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Unidade 4
1 Proposta A Fluxo de caixa
10000000 5000000 6000000
1 2 3 4 5 7 8 9 10 110 6 12
Calculando o VPL
10000000 000 5
5000000 000
5
6000000
3
18395701
VPL
Armazena o zero 5 vezes
2 Proposta B Fluxo de caixa
8000000 70000006000000
1 2 3 4 6 7 8 90 5 10
Calculando o VPL
8000000 000 4
6000000 000
4
7000000
3
18384310
VPL
Armazena o zero 4 vezes
Resposta a melhor proposta eacute a A
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Exemplo 43
Dois equipamentos satildeo examinados Considerando ser a taxa miacutenima de atratividade de 20aa qual o equipamento que deve ser adquirido
Dados
41 - Tabela de DadosEquipamento K Equipamento L
Custo R$ 5000000 R$ 8000000Custo anual de manutenccedilatildeo R$ 2000000 R$ 1500000Valor residual para venda R$ 400000 R$ 800000Duraccedilatildeo em anos 10 10
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
A seguir veja o diagrama de fluxo de caixa
Os caacutelculos do Valor Presente Liacutequido para as duas situaccedilotildees satildeo
Equipamento K
5000000
Equipamento K
2000000
400000
0 1 2 10
8000000
Equipamento L
1500000
800000
0 1 2 10
50000 20000
9 4000 20000 1
20 -13320342
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Unidade 4
Equipamento L
80000 15000
9 8000 15000 1
20 -14159504
Importante Veja que a alternativa K equivale a um equipamento em que se investe R$ 13320342 enquanto que o equipamento L equivale a um investimento de R$ 14159504 Portanto eacute preferiacutevel o equipamento K pois o investimento eacute menor
66
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Seccedilatildeo 2 ndash Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs - SFA
Este sistema consiste no pagamento de empreacutestimos ou financiamentos com prestaccedilotildees iguais e com periodicidade constante Eacute considerado o sistema de amortizaccedilatildeo mais utilizado pelas instituiccedilotildees financeiras e pelo comeacutercio em geral
O Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo eacute assim chamado por ter sido inventado na Franccedila por volta do seacuteculo XVIII pelo matemaacutetico inglecircs Richard Price daiacute portanto a origem da denominaccedilatildeo Sistema Price tambeacutem comumente chamado de Tabela Price
Na verdade a Tabela Price eacute um caso particular derivado do Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo Neste sistema o financiamento (PV) eacute pago em parcelas (PMT) iguais constituiacutedas da amortizaccedilatildeo do principal da diacutevida + juros compensatoacuterios (J) que variam inversamente ao longo do tempo Ou seja agrave medida que aumenta o valor da parcela de amortizaccedilatildeo haveraacute uma queda dos juros compensatoacuterios em funccedilatildeo da reduccedilatildeo do saldo devedor
Principais Caracteriacutesticas
As principais caracteriacutesticas do SFA satildeo
a prestaccedilatildeo eacute constante durante todo o periacuteodo do financiamento
a parcela de amortizaccedilatildeo aumenta a cada periacuteodo (n)
os juros compensatoacuterios diminuem a cada periacuteodo (n)
Exemplo 44 (exemplo 1 paacuteg 148 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma instituiccedilatildeo financeira libera um empreacutestimo para uma induacutestria no valor de R$ 60000000 para ser pago pelo sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs em 120 meses a uma taxa de 15 am Faccedila a planilha ateacute o 4ordm mecircs e calcule o saldo devedor no 100ordm mecircs
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Unidade 4
Soluccedilatildeo
A sequecircncia abaixo calcula o valor da prestaccedilatildeo os juros a amortizaccedilatildeo o saldo devedor e valor do saldo devedor no 100ordm mecircs Acompanhe
Zera os registradores
60000000 Armazena o valor presente
120 Armazena o periacuteodo
15 Armazena a taxa
- R$ 1081111 Valor da prestaccedilatildeo
1 - R$ 900000 Valor dos juros da 1ordf parcela
R$ 181111Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 1ordf parcela
R$ 58918889 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 897283 Valor dos juros da 2ordf parcela
- R$ 183828Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 2ordf parcela
R$ 59635061 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 894526 Valor dos juros da 3ordf parcela
- R$ 186585Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 3ordf parcela
R$ 59448476 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 891727 Valor dos juros da 4ordf parcela
- R$ 189384Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 4ordf parcela
R$ 59259092 Recupera o saldo devedor
A tabela a seguir apresenta um resumo das operaccedilotildees realizadas
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Tabela 42 ndash Planilha de amortizaccedilatildeoPeriacuteodo (n) Amortizaccedilatildeo (A) Juros (J) Prestaccedilotildees (R) Saldo Devedor (S)
0 - - - R$ 600000001 R$ 181111 R$ 900000 R$ 1081111 R$ 598188892 R$ 183828 R$ 897283 R$ 1081111 R$ 596350613 R$ 186585 R$ 894526 R$ 1081111 R$ 594484764 R$ 189384 R$ 891727 R$ 1081111 R$ 59259092
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Para determinar o saldo devedor no 100ordm mecircs faccedila como indicado a seguir
60000000 120 150
-1081111 18561247
Prestaccedilatildeo Saldo devedor no 100ordm mecircs
Nesta unidade vocecirc usou as funccedilotildees de fluxo de caixa para calcular o valor presente liacutequido e a funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
69Unidade 4
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Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades a seguir (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 4 e 5 da unidade 7 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegina 102) Em seguida use o programa elaborado para resolver as mesmas questotildees
a) Qual das alternativas de pagamento eacute a melhor para uma taxa de juros compostos de 75 am
Alternativa A Pagamento de R$ 15000000 agrave vista
Alternativa B Entrada de R$ 5000000 + R$ 8000000 em 90 dias + R$ 6000000 em 150 dias
b) Uma pessoa deve a um banco dois tiacutetulos com valores de R$ 300000 e R$ 600000 venciacuteveis respectivamente em 4 meses e 8 meses Se a pessoa deseja antecipar para hoje a liquidaccedilatildeo dos tiacutetulos qual o valor a pagar considerando que o banco opera com uma taxa de juros compostos de 23 am
2 Elabore um algoritmo para resolver as atividades abaixo (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 1 e 4 da unidade 10 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 151 e 153)
a) Um cliente solicita a um banco um empreacutestimo de R$ 4000000 pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs em 60 prestaccedilotildees mensais Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de juros de 28 am obtenha o valor da prestaccedilatildeo e o saldo devedor depois de pagar a 20ordf prestaccedilatildeo
b) Um empreacutestimo de R$ 30000000 seraacute saldado em 50 prestaccedilotildees mensais a uma taxa de 15 am Determine a parcela de juros relativa agrave 15ordf prestaccedilatildeo pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs (price)
70
Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
Manual da calculadora HP ndash 12C
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico ndash 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7ed Satildeo Paulo Atlas 2000
Para concluir o estudo
Com o teacutermino desse curso de extensatildeo acreditamos que proporcionamos momentos de aprendizagem por meio da interaccedilatildeo da calculadora financeira e que vocecirc estaacute habilitado(a) a fazer uso dessa ferramenta com qualidade no mercado de trabalho relacionado a essa aacuterea tatildeo importante no nosso dia-a-dia
Referecircncias
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7 ed Satildeo Paulo Atlas 2000
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003 Disponiacutevel em lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt Acesso em 05 jun 2008
Sobre o professor conteudista
Joseacute Humberto Dias de Toledo - eacute Mestre em Educaccedilatildeo pela Universidade do Sul de Santa Catarina Graduado em Licenciatura em Matemaacutetica e em Engenharia Civil Professor das disciplinas Meacutetodos Numeacutericos Informaacutetica Aplicada agrave Matemaacutetica Financeira Caacutelculo I e Matemaacutetica Financeira no Curso de Matemaacutetica ndash Licenciatura nesta mesma instituiccedilatildeo Atualmente ministra a disciplina Representaccedilotildees Graacuteficas na Poacutes-graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo Matemaacutetica da UNISUL
Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo
Unidade 1
1 a) 5
b) -2359
c) 3311
d) 077
e) 081
Respostas modo RPN
a)
b)
c)
d)
e)
Respostas modo ALG
a
b
c
d
e
78
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 R$ 167757
Modo RPN
Modo ALG
3 -242
4 Data 13082008 3 (quarta-feira)
5 Florianoacutepolis = 3303 Curitiba = 5018 Porto Alegre = 1680
Unidade 2
1 1) 150000
Dados
C = R$ 1000000
i = 5 aa
n = 3 anos = 1080 dias
J =
3) 24 meses = 2 anos
Dados
C = R$ 200000
i = 6 aa
n = 24 meses = 720 dias
M =
79
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
85
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
86
Universidade do Sul de Santa Catarina
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
87
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
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Universidade do Sul de Santa Catarina
22
Universidade do Sul de Santa Catarina
b)
c)
d)
Obs para alterar a quantidade de casas decimais no visor da calculadora aperte e em seguida um nuacutemero de 1 a 9 que corresponde agrave quantidade de casas decimais No exemplo acima usamos
e)
2
3 3
4
4
0
Resultado
2
2
9 3 5 125
Resultado
2
3
5 2 0599
Resultado
3
2
46 5789
Resultado
23
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
Resolvendo no modo ALG com o auxiacutelio dos registros R R
0 9 a
a)
2
3
5 3 3
4
Resultado
Armazena o resultado do visor na memoacuteria 0
Recupera o registro da memoacuteria 0
b)
2
3
3 4
4 0
Resultado
c)
2 2
9
3 5 125
Resultado
24
Universidade do Sul de Santa Catarina
d)
e)
Exemplo 13
Usando a calculadora HP ndash 12C no modo RPN as seguintes operaccedilotildees bancaacuterias foram realizadas a conta tinha um saldo de R$ 12300 e foi feito um depoacutesito referente ao salaacuterio de R$ 189035 Em seguida foram emitidos e compensados cheques nos valores de R$ 38590 R$ 23478 e R$ 62389 Qual eacute o novo saldo da conta
Soluccedilatildeo use
para apresentar os caacutelculos com duas casas decimais
12300 189035 38590
23478 62389 76920
Saldo
2 3 5 2 0 0599
Resultado
3 2 46 5789
Resultado
25
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
Seccedilatildeo 3 ndash Funccedilotildees de percentagem e calendaacuterio
A calculadora HP ndash 12C apresenta funccedilotildees que permitem o caacutelculo de percentagens e de calendaacuterio Para caacutelculo com percentagens natildeo eacute necessaacuterio converter o nuacutemero na notaccedilatildeo percentual para a notaccedilatildeo decimal Jaacute as funccedilotildees calendaacuterio fornecidas pela HP trabalham com datas entre 15 de outubro de 1582 e 25 de novembro de 4046 A seguir vocecirc conheceraacute detalhadamente essas funccedilotildees
Funccedilotildees de percentagem
Calcula a Percentagem de um nuacutemero ou valor
Calcula a diferenccedila percentual entre dois nuacutemeros
Calcula qual percentual um nuacutemero eacute de outro
Figura 14 - Ilustraccedilatildeo das funccedilotildees de percentagem da Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Funccedilotildees de calendaacuterio
Configura o formato de uma data para dia-mecircs-ano
Configura o formato de uma data para mecircs-dia-ano
Calcula o nuacutemero de dias entre datas
Calcula datas futuras ou passadas
Figura 15 - Ilustraccedilatildeo das funccedilotildees de calendaacuterio da Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Nos exemplos a seguir estaacute demonstrado o uso de todas as funccedilotildees apresentadas Obs os caacutelculos vatildeo ser realizados no modo RPN
26
Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 14
Calcular 16 de R$ 198000
Soluccedilatildeo
198000 1600 31680
Resultado
Exemplo 15
Determinada empresa com accedilotildees na bolsa de valores verificou as seguintes variaccedilotildees nos valores das suas accedilotildees no dia 150508 o valor da accedilatildeo passou de R$ 5025 para R$ 5498 jaacute no dia 210508 o valor da accedilatildeo caiu de R$ 5498 para R$ 5208 Qual a diferenccedila percentual nas duas situaccedilotildees
Soluccedilatildeo a sequecircncia a seguir apresenta a variaccedilatildeo percentual
Caacutelculo da variaccedilatildeo percentual de R$ 5025 para R$ 5498 usando a HP ndash 12C
5025 5498 941
Resultado
Observe que o resultado apresentado eacute positivo portanto representa aumento
Caacutelculo da variaccedilatildeo percentual de R$ 5498 para R$ 5208 usando a HP ndash 12C
27
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
5498 5208 -527
Resultado
Observe que o resultado apresentado eacute negativo portanto representa queda
Exemplo 16
A empresa do exemplo anterior atua na regiatildeo sul do Brasil com vendas totais realizadas no mecircs de abril de 2008 de R$ 589636996 distribuiacutedas da seguinte forma R$ 123656939 no Paranaacute R$ 356963920 em Santa Catarina e R$ 109016137 no Rio Grande do Sul Qual a percentagem das vendas totais em cada um dos trecircs Estados
Soluccedilatildeo
A sequecircncia apresenta os percentuais nos estados do Paranaacute Santa Catarina e Rio Grande do Sul
Soluccedilatildeo
589636996 123656939 2097
356963920 6054 109016137 1849
Resultado SC Resultado RS
Resultado PR
28
Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 17
Comprei uma TV LCD em 17052008 com vencimento para 120 dias Determine a data do vencimento usando a calculadora HP ndash 12C
Soluccedilatildeo
17052008 120 14092008 7
A data do vencimento eacute 14 de setembro de
2008 domingo
Exemplo 18
Fiz uma compra no dia 12052008 com vencimento para o dia 26082008 Use a calculadora HP ndash 12C para determinar o nuacutemero de dias entre a data da compra e do vencimento
Soluccedilatildeo
12052008 20082008 100
Nuacutemero de dias entre as datas
Nesta unidade vocecirc conheceu algumas funccedilotildees elementares da calculadora as quais seratildeo utilizadas nas demais unidades e satildeo muito importantes para realizar caacutelculos que envolvem questotildees do nosso cotidiano Na proacutexima unidade vocecirc vai usar as funccedilotildees financeiras da calculadora para calcular juros simples e compostos descontos simples e compostos
29
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
Efetue as atividades de autoavaliaccedilatildeo e acompanhe as respostas e comentaacuterios a respeito nas paacuteginas finais deste material Para melhor aproveitamento do seu estudo realize a conferecircncia de suas respostas somente depois de fazer as atividades propostas Desse modo o momento da conferecircncia lhe proporcionaraacute novas oportunidades de aprendizagem
1 Calcule o valor das expressotildees numeacutericas a seguir usando a HP ndash 12C nos modos RPN e ALG
a) 2 5 3 8 24 minus + divide =x
b) minus + minus =3 5 32 3x eln
c) 16 25 3 45 89+ minus =x
d) 2
35 5
3+ minus =ln
e) 0 253
55
2 + minus =minus
2 Use a HP ndash 12C para realizar os caacutelculos e informar o saldo final da seguinte movimentaccedilatildeo financeira Saldo inicial na conta R$ 167890 depoacutesito de R$ 143587 cheques compensados nos valores de R$ 34598 R$ 12345 R$ 65790 e R$ 30987
3 No dia 130508 o doacutelar americano estava cotado em R$ 165 no dia 190508 a cotaccedilatildeo foi de R$ 161 Com base nestes dados indique qual foi a variaccedilatildeo percentual do doacutelar
4 Foi realizada uma compra em um supermercado no valor de R$ 67890 em 150508 Sabendo que esse estabelecimento trabalha com prazo de 90 dias use as funccedilotildees calendaacuterio da HP ndash 12C e determine a data e o dia da semana do vencimento
5 Uma empresa tem vendas mensais para o mecircs de maio de 2008 estimadas em R$ 178909000 Sabendo que o valor total das vendas estaacute distribuiacutedo nas cidades de Florianoacutepolis Curitiba e Porto Alegre com valores correspondentes a R$ 59089000 R$ 89767898 e R$ 30052102 respectivamente determine qual percentagem das vendas totais ocorre em cada uma das cidades
30
Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
HPndash12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
No link abaixo vocecirc tem disponiacutevel o manual da calculadora HP ndash 12C na versatildeo online lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt
2UNIDADE 2
Regimes de capitalizaccedilatildeo simples e composto
Objetivos de aprendizagem
Fazer uso das funccedilotildees financeiras da calculadora HP ndash 12C para calcular juros simples e composto
Dominar o caacutelculo do montante simples e composto
Aprender o caacutelculo de desconto simples e composto
Calcular capital taxa e prazo no regime de capitalizaccedilatildeo composto usando a HP ndash 12C
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Regime de capitalizaccedilatildeo simples
Seccedilatildeo 2 Regime de capitalizaccedilatildeo composto
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc vai fazer uso das funccedilotildees financeiras da HP ndash 12C com o objetivo de realizar caacutelculos de juros simples e composto montantes simples e composto descontos simples e composto caacutelculo de taxas e prazos
Nesta etapa de estudos seratildeo utilizados exemplos do material didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira que estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do Espaccedilo Virtual de Aprendizagem ndash EVA Eacute importante lembrar natildeo ser objetivo deste curso discutir os conceitos da Matemaacutetica Financeira mas apenas utilizar as funccedilotildees disponibilizadas na calculadora para resolver problemas relacionados a essa aacuterea Entretanto caso vocecirc julgue importante os conceitos podem ser relembrados ou vistos no material didaacutetico da disciplina
Seccedilatildeo 1 ndash Regime de capitalizaccedilatildeo simples
Na unidade 1 vocecirc foi apresentado(a) agrave calculadora HP ndash 12C e a algumas das suas funccedilotildees com o objetivo de capacitaacute-lo(a) para o uso adequado dessa ferramenta Esta unidade inicia com uma abordagem sobre os registradores financeiros os quais seratildeo utilizados na maioria dos exemplos que deveratildeo ser resolvidos ao longo das proacuteximas seccedilotildees desta unidade e nas demais unidades deste curso Veja na ilustraccedilatildeo a seguir os registradores financeiros e as suas aplicaccedilotildees
Registra e armazena periacuteodo
Registra e armazena taxa
Registra e armazena valor presente
Registra e armazena pagamentos perioacutedicos
Registra e armazena valor futuro
Figura 21 - Registradores financeiros e as suas aplicaccedilotildees Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
33
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
Para armazenar um nuacutemero em um registrador financeiro digite o nuacutemero e em seguida uma das teclas correspondentes ilustradas acima
Para exibir um nuacutemero armazenado em um dos registradores financeiros aperte e em seguida a tecla correspondente
Para zerar todos os registradores financeiros aperte a sequecircncia de teclas
Eacute importante lembrar que os registradores financeiros tambeacutem satildeo zerados ao apertar a sequecircncia
e quando a memoacuteria contiacutenua eacute
reinicializada
A seguir vocecirc faraacute caacutelculo de juros simples e de descontos simples usando a HP ndash 12C
Regime de capitalizaccedilatildeo simples
A HP ndash 12C calcula automaticamente juros simples ordinaacuterios ndash usando o ano comercial e juros simples exatos ndash usando um ano de 365 dias simultaneamente
Eacute possiacutevel apresentar qualquer um dos dois e mais com os juros acumulados no mostrador podemos calcular o montante apertando a tecla
Para exemplificar vamos resolver problemas do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira que se encontra disponiacutevel (formato digital) na ferramenta Midiateca do EVA ndash Espaccedilo Virtual de Aprendizagem
34
Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 21 (exemplo 1 paacuteg 29 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital de R$ 1800000 foi aplicado a juros simples durante 3 anos agrave taxa de 6 aa Qual eacute o valor dos juros e o montante adquirido
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula os juros e o montante
Exemplo 22 (exemplo 1 paacuteg 33 do livro Matemaacutetica Financeira)
Ache os juros simples exatos auferidos em uma aplicaccedilatildeo de R$ 1500000 a uma taxa de 16 aa de 20 de abril de 2003 a 1ordm de julho de 2003
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula os juros comerciais e os juros exatos
Neste exemplo utilizamos duas teclas que seratildeo ilustradas a seguir para realizar o caacutelculo dos juros exatos
1800000 1080 6
324000 2124000
Juros Montante
No caacutelculo de Juros simples o periacuteodo deve ser em dias
Calcula juros simples
35
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
1500000 20042003 01072003
72 16 48000 47342
Juro comercial Juro exato nordm de dias
Ao apertar essa tecla ela rola para baixo o conteuacutedo da pilha para visualizaccedilatildeo no registro X
Ao apertar essa tecla ela troca o conteuacutedo dos registros X e Y da pilha
Figura 22 - Teclas utilizadas para registros de dados Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Exemplo 23 (exemplo 2 paacuteg 34 do livro Matemaacutetica Financeira)
Determine o juro simples exato obtido em uma aplicaccedilatildeo de R$ 1300000 durante 146 dias a uma taxa de 9 aa
Soluccedilatildeo a sequecircncia a seguir realiza os caacutelculos solicitados
1330000 146 9
48545 47880
Juro comercial Juro exato
36
Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 24 (exemplo 1 paacuteg 47 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma duplicata de R$ 1500000 com vencimento no dia 03042005 foi descontada em um banco em 08012005 a uma taxa de 25 am Qual eacute o desconto simples bancaacuterio da operaccedilatildeo
Soluccedilatildeo
08012005 03042005 85
1500000 0025 30 106250
Taxa decimal Desconto bancaacuterio
Nordm de dias entre as datas
Exemplo 25 (exemplo 1 paacuteg 48 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma empresa descontou um tiacutetulo com valor de face de R$ 1450000 3 meses e 15 dias antes do vencimento com uma taxa de desconto bancaacuterio simples de 24 am Quanto a empresa recebeu liacutequido na operaccedilatildeo
Soluccedilatildeo
1450000 0024 35 1450000 1328200
Periacuteodo em meses Valor liacutequidoTaxa decimal
37
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
Exemplo 26 (exemplo 1 paacuteg 49 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma duplicata de R$ 4800000 foi descontada 6 meses antes de seu vencimento em uma instituiccedilatildeo financeira que trabalha com uma taxa de desconto simples de 32 am Com base nestes dados determine
o valor do desconto simples bancaacuterio
o valor do desconto simples racional
Soluccedilatildeo
4800000 6 0032 921600
Taxa decimal Valor liacutequido
921600 1 0032
6 773154
Taxa decimal Valor liacutequido
Na proacutexima seccedilatildeo vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros compostos e de desconto compostos
38
Universidade do Sul de Santa Catarina
Seccedilatildeo 2 ndash Regime de capitalizaccedilatildeo composto
Os exemplos apresentados a partir de agora satildeo ilustrativos de uma ampla variedade de caacutelculos financeiros Para resolvecirc-los vocecirc precisa estruturaacute-los identificando os elementos baacutesicos do problema de maneira que fiquem evidentes as quantidades que devem ser fornecidas agrave calculadora e quem eacute o valor desconhecido ou seja o valor que desejamos determinar
Na resoluccedilatildeo dos caacutelculos usando a HP ndash 12C eacute indispensaacutevel elaborar o diagrama de fluxo de caixa Eacute importante ressaltar que a calculadora precisa de ajuda para comparar o fluxo de caixa ou seja eacute preciso informar quando temos uma entrada ou uma saiacuteda
O fluxo de caixa serve para demonstrar graficamente as transaccedilotildees financeiras em um periacuteodo de tempo
O tempo eacute representado por uma linha horizontal dividida pelo nuacutemero de periacuteodos relevantes para anaacutelise As entradas ou recebimentos satildeo representados por setas verticais apontadas para cima e as saiacutedas ou pagamentos satildeo representados por setas verticais apontadas para baixo Observe o modelo simplificado
(+) entradas
(-) saiacutedas
tempo (n)
Veja agora o modelo detalhado
Entradas
Saiacutedas
Tempo
Fluxo de caixa pode ser definido como sendo a movimentaccedilatildeo de recursos financeiros (entradas e saiacutedas de caixa) ao longo de um periacuteodo de tempo - agrave entrada e saiacuteda de dinheiro O conceito caixa (financeiro) natildeo pode ser confundido com conceito de competecircncia (contaacutebil)
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Unidade 2
Na HP-12C a tecla (do inglecircs Change Sign) serve para introduzir ou tirar um sinal negativo de um nuacutemero ou seja faz o fluxo de caixa
Na sequecircncia de exemplos apresentados a seguir realizaremos caacutelculos de juros montantes valor presente prazo taxa de juros e descontos no regime composto com o auxiacutelio dos registradores financeiros da calculadora HP ndash 12C
Exemplo 27 (exemplo 1 paacuteg 58 do livro Matemaacutetica Financeira)
Qual o montante gerado por um capital de R$ 450000 aplicado por 9 meses a juros compostos a uma taxa de 35 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o montante composto
450000 9 35 613304
MontanteFluxo de caixa saiacuteda do dinheiro para aplicaccedilatildeo
Exemplo 28 (exemplo 2 paacuteg 58 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital de R$ 1200000 foi aplicado a juros compostos durante 6 meses agrave taxa de 2 am Calcule os juros auferidos na aplicaccedilatildeo
Soluccedilatildeo use a sequecircncia a seguir para calcular os juros
1200000 6 2
1351395 151395
Montante Juros
Fluxo de caixa saiacuteda do dinheiro para aplicaccedilatildeo
Recupera um valor em um registrador
financeiro
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Exemplo 29 (exemplo 3 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital ldquoXrdquo eacute aplicado a juros compostos agrave taxa de 35 am gerando um montante de R$ 1950000 apoacutes 1 ano e 3 meses Determine o capital ldquoXrdquo
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar o capital
1950000 35 15 -1163937
Capital aplicado
Exemplo 210 (exemplo 4 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
A que taxa mensal de juros compostos um capital de R$ 1250000 pode transformar-se em R$ 1537342 no periacuteodo de 7 meses
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
1250000 1537342 7 300
Taxa de juros mensal
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Unidade 2
Exemplo 211 (exemplo 5 paacuteg 60 do livro Matemaacutetica Financeira)
Em que prazo um empreacutestimo de R$ 3500000 pode ser pago pela quantia de R$ 4790000 se a taxa de juros compostos cobrada for de 4 am
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
3500000 4790000 4 8
Periacuteodo em meses
Funccedilatildeo ldquoCrdquo na HP ndash 12C e as teclas ldquoSTOrdquo e ldquoEEXrdquo
Vocecirc pode calcular taxa de juros (i) Capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos Perioacutedicos (PMT) para transaccedilotildees financeiras com periacuteodos fracionaacuterios Ao digitar um periacuteodo fracionaacuterio por exemplo 23 meses a parte inteira do nuacutemero indica o nuacutemero de periacuteodos inteiro e a parte fracionaacuteria do nuacutemero o tamanho do periacuteodo fracionaacuterio como uma fraccedilatildeo do periacuteodo inteiro (no exemplo 2 meses e 03 meses)
De acordo com o criteacuterio do usuaacuterio os caacutelculos de taxa de juros ( i ) capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos perioacutedicos (PMT) podem ser executados com juros simples ou compostos acumulados durante o periacuteodo fracionaacuterio Para escolher uma das duas opccedilotildees faccedila
Aparece o indicador ldquoCldquo Portanto os juros compostos satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Natildeo aparece o indicador ldquoCrdquo Portanto os juros simples satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Figura 23 - Teclas utilizadas para caacutelculo de juros simples e compostos para periacuteodo fracionaacuterio Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
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Exemplo 212
Calcular o valor futuro de uma aplicaccedilatildeo de R$ 185030000 aplicado agrave taxa de 14 aa durante 45 anos usando juros compostos e simples para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Soluccedilatildeo as sequecircncias a seguir apresentam os resultados para o caacutelculo do valor futuro com juros simples para o periacuteodo fracionaacuterio e juros compostos para o periacuteodo fracionaacuterios respectivamente
185030000 14
45 334383879
Valor futuro calculado com juros simples para o periacuteodo
fracionaacuterio
185030000
14 45 333667556
Valor futuro calculado com juros compostos para o
periacuteodo fracionaacuterio
Exemplo 213 (exemplo 1 paacuteg 81 do livro Matemaacutetica Financeira)
Determine o valor do desconto composto racional e o valor do resgate de um tiacutetulo de R$ 1560000 descontado 5 meses antes do seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto composto racional eacute de 4 am
43
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Unidade 2
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor do desconto racional composto e o valor liacutequido a receber
1560000 1
1 004 5
277794 1560000 1282206
Valor do desconto Valor liacutequido
Exemplo 214 (exemplo 1 paacuteg 84 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um tiacutetulo de valor nominal de R$ 1500000 eacute descontado em um banco 3 meses antes de seu vencimento Se a taxa de desconto comercial usada pelo banco eacute de 8 am qual eacute o valor do desconto
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor liacutequido e o valor do desconto bancaacuterio ou comercial
1500000 3 8
-1168032 331968
Valor liacutequido Valor do desconto
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Nesta unidade vocecirc usou a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros simples e compostos descontos simples e compostos valor presente taxa de juros periacuteodo e montante Na proacutexima unidade usaremos a ferramenta para auxiliar no caacutelculo de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir foram propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo em PDF estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as questotildees 1 3 5 e 6 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteginas 38 e 39 Confira os resultados na paacuteg 194
1) Qual o rendimento que obtemos ao aplicarmos um capital de R$ 1000000 a uma taxa de juros simples de 5 aa durante 3 anos
3) Em um regime de capitalizaccedilatildeo simples qual eacute o montante que se obteacutem quando aplicamos um capital de R$ 200000 a uma taxa 6 aa durante 24 meses
5) Uma quantia de R$ 6200000 foi aplicada em uma operaccedilatildeo financeira no dia 20 de setembro de 2003 e resgatada no dia 21 de dezembro de 2003 a uma taxa de 125 aa Quais os juros simples exatos e comerciais da operaccedilatildeo
6) Calcule os juros simples exatos e comerciais nas seguintes condiccedilotildees
bull R$ 600000 aplicados por 180 dias a 12 aa
bull R$ 520000 aplicados por 230 dias a 15 aa
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Unidade 2
2 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 2 e 4 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegs 52 e 53 Confira os resultados nas paacuteginas 194 e 195
1) Uma empresa desconta uma duplicata no valor nominal de R$ 5000000 no Banco ldquoXrdquo 4 meses antes do seu vencimento Sabendo que o banco ldquoXrdquo trabalha com uma taxa de desconto simples bancaacuterio de 45 am qual eacute o valor do desconto e o valor liacutequido recebido
2) Para pagar uma diacutevida hoje uma empresa descontou em uma carteira de creacutedito uma duplicata no valor de R$ 1650000 com vencimento daqui a 2 meses recebendo um valor nominal liacutequido de R$ 1500000 Determine a taxa mensal de desconto simples bancaacuterio utilizada
4) Uma letra de cacircmbio no valor nominal de R$ 500000 foi comercializada 4 meses antes do vencimento a uma taxa de desconto simples de 22 am Se o desconto simples fosse o racional qual seria o valor deste desconto
3 Elabore uma sequecircncia de passos para resolver as questotildees propostas 1 2 3 4 e 6 nas paacuteginas 65 66 e 67 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira e confira os resultados na paacuteg 195
1) Calcule o montante produzido por um capital de R$ 2600000 aplicado a uma taxa de juros compostos de 52 am por 6 meses
2) Calcule os juros compostos auferidos por um capital de R$ 420000 aplicado a uma taxa de 3 am durante 10 meses
3) Um empreacutestimo de R$ 600000 deve ser pago em 120 dias a juros compostos pelo valor de R$ 900000 Qual eacute a taxa mensal da operaccedilatildeo
4) Em que prazo uma aplicaccedilatildeo a juros compostos de R$ 2400000 produziraacute um montante de R$ 6151930 agrave taxa de 4 am
6) Quanto Paulo deve aplicar hoje a juros compostos em uma instituiccedilatildeo financeira que paga uma taxa de 12 am para pagar um compromisso de valor nominal igual a R$ 3800000 que vence daqui a 3 meses
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Universidade do Sul de Santa Catarina
4 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 e 8 das paacuteginas 88 e 90 respectivamente do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira Confira os resultados na paacuteg 196
1) Determine o valor do desconto composto racional de um tiacutetulo de valor nominal de R$ 830000 descontado 6 meses antes de seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto eacute de 42 am
8) Um tiacutetulo de R$ 3000000 foi descontado em uma instituiccedilatildeo financeira a uma taxa de desconto composto comercial de 64 am e o valor liacutequido recebido era de R$ 2017327 Quantos meses antes do vencimento foi descontado este tiacutetulo
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
3UNIDADE 3
Taxas de juros equivalentes e caacutelculo de pagamentos perioacutedicos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para calcular taxas equivalentes
Usar as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP ndash 12C para programar o algoritmo da taxa equivalente no regime de capitalizaccedilatildeo composto
Calcular pagamentos perioacutedicos de sequecircncias uniformes postecipadas e antecipadas
Calcular montante de uma sequecircncia uniforme
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Taxas equivalentes
Seccedilatildeo 2 Sequecircncia de capitais
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar taxas equivalentes no regime de capitalizaccedilatildeo composto Vocecirc usaraacute as funccedilotildees de programaccedilatildeo com o objetivo de elaborar um algoritmo para fazer a conversatildeo de taxas de um periacuteodo de capitalizaccedilatildeo (ex mensal) para outro periacuteodo (ex anual) usando o programa Vamos explorar as funccedilotildees ldquoPMTrdquo ldquoBEGrdquo e ldquoENDrdquo para realizar caacutelculo de pagamentos antecipados e postecipados em uma sequecircncia uniforme Destacamos que os exemplos que seratildeo apresentados estatildeo no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira
Seccedilatildeo 1 ndash Taxas equivalentes
Nesta unidade vocecirc usaraacute algumas funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos (postecipados e antecipados) de uma seacuterie uniforme Vocecirc usaraacute ainda as funccedilotildees de programaccedilatildeo para elaborar um programa para calcular taxas equivalentes A figura a seguir apresenta as funccedilotildees que vocecirc usaraacute nos exemplos apresentados posteriormente
Aciona o modo de programaccedilatildeo de HP ndash 12C
Aciona a funccedilatildeo Begin que calcula a parcela com pagamento antecipado
Aciona a funccedilatildeo End (natildeo aparece no visor da calculadora) que calcula parcela com pagamento postecipado
Figura 31 - Teclas utilizadas para acionar as funccedilotildees Beg e End e entrar no modo de programaccedilatildeo
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
49
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Unidade 3
Taxas equivalentes
No mercado financeiro e nas operaccedilotildees bancaacuterias e comerciais a palavra taxa eacute empregada de vaacuterias formas ou seja vaacuterios conceitos satildeo abordados em vaacuterias situaccedilotildees Esta seccedilatildeo tem como objetivo mostrar como as taxas de juros satildeo informadas no mercado financeiro e como adequaacute-las agraves condiccedilotildees padronizadas pela HP ndash 12C
Duas taxas satildeo consideradas equivalentes a juros compostos quando aplicadas a um mesmo capital por um periacuteodo de tempo equivalente e geram o mesmo rendimento
Exemplo 31(exemplo 1 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
No regime de juros compostos qual a taxa anual equivalente a 4 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente anual
Exemplo 32 (exemplo 2 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
Calcule a taxa quadrimestral equivalente agrave taxa de juros compostos de 8 aa
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente quadrimestral
1 004 12 1 1 10000 6010
Taxa anual
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Universidade do Sul de Santa Catarina
1 008 1 3 1 10000 260
Taxa quadrimestral
Programa para caacutelculo da taxa equivalente pela hp ndash 12c
O professor Carlos Shinoda em seu livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48) apresenta um programa para calcular a taxa equivalente atraveacutes da calculadora HP ndash 12C
Siga os procedimentos abaixo para introduzir o programa na HP ndash 12C
Figura 32 - Algoritmo para a programaccedilatildeo de taxa equivalente
Fonte Livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48)
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Unidade 3
Agora que vocecirc programou a HP ndash 12C para o caacutelculo de taxas equivalentes resolva o exemplo a seguir usando o programa
Exemplo 33
Usando o programa anterior determine as taxas equivalentes propostas nos exemplos 31 e 32
Soluccedilatildeo
As sequecircncias abaixo calculam as taxas equivalentes
Executa oprograma
4 1 12 6010
Taxa anual
Executa oprograma
8 360 120 260
Taxa quadrimestral
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Seccedilatildeo 2 ndash Sequecircncia de capitais
Nesta seccedilatildeo vocecirc acompanharaacute as situaccedilotildees em que haacute mais de um pagamento ou seja vocecirc estudaraacute as operaccedilotildees envolvendo pagamentos ou recebimentos perioacutedicos e uniformes
As seacuteries uniformes de pagamentos satildeo aquelas em que os pagamentos ou recebimentos satildeo constantes e ocorrem em intervalos iguais
Seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas e antecipadas
As seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1 Este sistema eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada (0 + n)
Pagamentos ou recebimentos podem ser chamados de prestaccedilatildeo representada pela sigla PMT que vem do inglecircs Payment e significa pagamento ou recebimento
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentosPMT
++
0 1 2 3 4 5 6 n
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
++
0 1 2 3 4 5 6 n
PMT
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Unidade 3
As seacuteries uniformes de pagamentos antecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre na data focal 0 (zero) Este tipo de sistema de pagamento eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento com entrada (1+ n)
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
Exemplo 34 (exemplo 2 paacuteg 108 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um automoacutevel eacute vendido em uma loja por R$ 3200000 A loja propotildee as seguintes condiccedilotildees para financiamento
Proposta A 12 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta B 24 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta C 36 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
A taxa de juros usada eacute de 32 am Qual o valor de cada prestaccedilatildeo nas 3 modalidades de financiamento
Soluccedilatildeo
As sequecircncias a seguir calculam os valores das parcelas nas trecircs propostas
54
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3200000
32 12 -325329
parcela
3200000
32 24 -193046
parcela
3200000
32 36 -150979
parcela
Exemplo 35 (exemplo 2 paacuteg 111 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma casa cujo valor agrave vista eacute R$ 4924456 eacute vendida em prestaccedilotildees mensais e iguais de R$ 250000 sendo a primeira dada como entrada Se a taxa de financiamento eacute de 18 am determine o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas no financiamento
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o nuacutemero de parcelas
4924456 18
250000 24
nordm de parcelas
55
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Unidade 3
No exemplo acima o nuacutemero de pagamento deu um nuacutemero inteiro Mas podem acontecer situaccedilotildees em que ao se determinar o nuacutemero de parcelas o resultado natildeo seja um nuacutemero inteiro
Nessa situaccedilatildeo a HP ndash 12C arredonda a resposta para o proacuteximo inteiro para cima antes de armazenaacute-la e exibi-la
Exemplo 36
Vocecirc comprou um terreno por R$ 3500000 a juros de 105 aa Vocecirc pretende fazer pagamentos de R$ 32500 no fim de cada mecircs Quantos pagamentos seratildeo necessaacuterios para pagar o terreno e quanto tempo levaraacute
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o nuacutemero de pagamentos e o tempo necessaacuterio
3500000 105
32500 328 2733
nordm de parcelas Tempo (anos)
Como a calculadora arredonda o valor do tempo para o proacuteximo inteiro eacute provaacutevel que apesar de serem necessaacuterios 328 pagamentos somente 327 seratildeo inteiros de R$ 32500 com o pagamento final sendo menor do que R$ 32500 Para calcular o valor do pagamento de nuacutemero 328 vamos fazer o seguinte
A calculadora natildeo ajusta os valores nos outros registros financeiros automaticamente para refletir os n pagamentos iguais ao contraacuterio ela lhe permite escolher quais valores (se houver) que vocecirc deseja ajustar
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328 18189 - 32500 -14311
Valor da parcela 328
Nesta unidade vocecirc calculou taxas equivalentes usou as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP e fez caacutelculos de pagamentos perioacutedicos de uma seacuterie uniforme antecipado ou postecipado Na proacutexima unidade vamos realizar caacutelculos de valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades abaixo (Essa atividade corresponde agrave autoavaliaccedilatildeo 1 da unidade 5 do livro didaacutetico de Matemaacutetica Financeira) Em seguida use o programa elaborado para resolver a mesma questatildeo
Calcule a taxa anual das seguintes taxas
a) 26 am
b) 42 ab
c) 48 at
d) 12 as
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Unidade 3
2 Elabore um algoritmo para resolver as seguintes atividades (Estas questotildees equivalem agraves autoavaliaccedilotildees 1 2 3 4 e 5 da unidade 8 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 121 122 e 123)
a) Calcule o valor da prestaccedilatildeo mensal de um empreacutestimo de R$ 600000 que seraacute amortizado em 12 prestaccedilotildees mensais postecipadas sabendo que o banco cobra uma taxa de juros de 2 am
b) Uma loja vende um automoacutevel agrave vista por R$ 1650000 Se o comprador quiser fazer um financiamento em 36 parcelas mensais e iguais onde o 1ordm pagamento seraacute efetuado no 1ordm mecircs apoacutes a compra a uma taxa de juros de 21 am qual o valor da prestaccedilatildeo
c) Uma mercadoria custa R$ 9038071 agrave vista podendo ser vendida em prestaccedilotildees mensais de R$ 1050000 sendo a primeira prestaccedilatildeo dada como entrada Sabendo-se que a loja aplica uma taxa de 35 am qual o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas
d) Carlos depositou certa quantia durante 10 meses de forma antecipada a uma taxa de 25 am obtendo um montante de R$ 25000000 Quanto depositou mensalmente Carlos
e) Um produto eacute vendido agrave vista por R$ 200000 ou em 10 prestaccedilotildees mensais iguais sem entrada com uma carecircncia de 90 dias apoacutes a compra Qual o valor de cada prestaccedilatildeo sabendo que a taxa de juros eacute de 6 am
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
4UNIDADE 4
Valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa
Usar as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Valor presente liacutequido
Seccedilatildeo 2 Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs ndash SFA (Price)
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa usando as funccedilotildees CF0 CFj e NPV Vocecirc deveraacute ainda fazer uso da funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos usando o Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo ndash SFA ou tabela Price
Seccedilatildeo 1 ndash Valor presente liacutequido
A figura 41 a seguir apresenta as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C que vocecirc usaraacute nessa unidade para realizar caacutelculo de valor presente liacutequido e para a elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos ou financiamento
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor inicial do fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor do fluxo de caixa no periacuteodo j
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula o valor presente atual de um fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula a parte dos pagamentos usada para pagar juros
Figura 41 - Teclas para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
Valor presente liacutequido
Nessa seccedilatildeo vocecirc usaraacute as funccedilotildees da HP ndash 12C para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa Para entender como usar as funccedilotildees CF0 CFj e NPV considere o fluxo de caixa para um investimento que exige capital inicial (CF0) e que gera um fluxo de caixa (CFj ) no final de j periacuteodos
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Unidade 4
Veja a seguir o fluxo de caixa
CF0CF1
CF2 CF5
CFn
CF3 CF4
O VPL = Valor Presente Liacutequido eacute calculado somando ao investimento inicial o valor presente dos fluxos de caixa futuros projetados Portanto
se o VPL for positivo o valor financeiro do ativo do investidor aumentaraacute ou seja o investimento financeiro seraacute atrativo em termos financeiros
se o VPL for zero o valor financeiro do ativo financeiro do investidor natildeo mudaraacute ou seja o investidor seraacute indiferente ao investimento
se o VPL for negativo o valor financeiro do ativo do investidor seraacute reduzido ou seja o investimento natildeo seraacute atrativo em termos financeiros
Exemplo 41
Um investidor compra uma casa por R$ 7000000 e gostaria de ter um retorno de pelo menos 15 Ele pretende manter a casa por 4 anos e depois vendecirc-la por R$ 11000000 Ele prevecirc os fluxos de caixa mostrados no diagrama abaixo
CF0CF1
CF1
CF3CF4
CF5
R$ 7000000
R$ 50000
R$ 450000R$ 450000
R$ 13000000R$ 550000
Sendo assim calcule o VPL para determinar se o investimento resultaria em um retorno ou perda
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Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o VPL
7000000 50000
450000 550000 450000
13000000 15 379007
VPL
Como o VPL eacute positivo o investimento aumentaria o valor financeiro do ativo do investidor
Exemplo 42 (exemplo 4 paacuteg 98 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um proprietaacuterio recebeu as seguintes propostas para a venda de uma casa
Proposta A entrada de R$ 10000000 + R$ 5000000 em 6 meses + R$ 6000000 em 1 ano
Proposta B entrada de R$ 8000000 + R$ 6000000 em 5 meses + R$ 7000000 em 10 meses
Sabendo-se que a taxa de juros de mercado eacute de 3 am qual a melhor proposta para o vendedor
Soluccedilatildeo
Essa questatildeo deve ser resolvida pelo meacutetodo do Valor Presente Liacutequido A alternativa que tiver o maior valor seraacute a melhor Entretanto para facilitar a elaboraccedilatildeo do algoritmo de resoluccedilatildeo na HP ndash 12C elabore o fluxo de caixa para cada situaccedilatildeo
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Unidade 4
1 Proposta A Fluxo de caixa
10000000 5000000 6000000
1 2 3 4 5 7 8 9 10 110 6 12
Calculando o VPL
10000000 000 5
5000000 000
5
6000000
3
18395701
VPL
Armazena o zero 5 vezes
2 Proposta B Fluxo de caixa
8000000 70000006000000
1 2 3 4 6 7 8 90 5 10
Calculando o VPL
8000000 000 4
6000000 000
4
7000000
3
18384310
VPL
Armazena o zero 4 vezes
Resposta a melhor proposta eacute a A
64
Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 43
Dois equipamentos satildeo examinados Considerando ser a taxa miacutenima de atratividade de 20aa qual o equipamento que deve ser adquirido
Dados
41 - Tabela de DadosEquipamento K Equipamento L
Custo R$ 5000000 R$ 8000000Custo anual de manutenccedilatildeo R$ 2000000 R$ 1500000Valor residual para venda R$ 400000 R$ 800000Duraccedilatildeo em anos 10 10
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
A seguir veja o diagrama de fluxo de caixa
Os caacutelculos do Valor Presente Liacutequido para as duas situaccedilotildees satildeo
Equipamento K
5000000
Equipamento K
2000000
400000
0 1 2 10
8000000
Equipamento L
1500000
800000
0 1 2 10
50000 20000
9 4000 20000 1
20 -13320342
65
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Equipamento L
80000 15000
9 8000 15000 1
20 -14159504
Importante Veja que a alternativa K equivale a um equipamento em que se investe R$ 13320342 enquanto que o equipamento L equivale a um investimento de R$ 14159504 Portanto eacute preferiacutevel o equipamento K pois o investimento eacute menor
66
Universidade do Sul de Santa Catarina
Seccedilatildeo 2 ndash Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs - SFA
Este sistema consiste no pagamento de empreacutestimos ou financiamentos com prestaccedilotildees iguais e com periodicidade constante Eacute considerado o sistema de amortizaccedilatildeo mais utilizado pelas instituiccedilotildees financeiras e pelo comeacutercio em geral
O Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo eacute assim chamado por ter sido inventado na Franccedila por volta do seacuteculo XVIII pelo matemaacutetico inglecircs Richard Price daiacute portanto a origem da denominaccedilatildeo Sistema Price tambeacutem comumente chamado de Tabela Price
Na verdade a Tabela Price eacute um caso particular derivado do Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo Neste sistema o financiamento (PV) eacute pago em parcelas (PMT) iguais constituiacutedas da amortizaccedilatildeo do principal da diacutevida + juros compensatoacuterios (J) que variam inversamente ao longo do tempo Ou seja agrave medida que aumenta o valor da parcela de amortizaccedilatildeo haveraacute uma queda dos juros compensatoacuterios em funccedilatildeo da reduccedilatildeo do saldo devedor
Principais Caracteriacutesticas
As principais caracteriacutesticas do SFA satildeo
a prestaccedilatildeo eacute constante durante todo o periacuteodo do financiamento
a parcela de amortizaccedilatildeo aumenta a cada periacuteodo (n)
os juros compensatoacuterios diminuem a cada periacuteodo (n)
Exemplo 44 (exemplo 1 paacuteg 148 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma instituiccedilatildeo financeira libera um empreacutestimo para uma induacutestria no valor de R$ 60000000 para ser pago pelo sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs em 120 meses a uma taxa de 15 am Faccedila a planilha ateacute o 4ordm mecircs e calcule o saldo devedor no 100ordm mecircs
67
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Soluccedilatildeo
A sequecircncia abaixo calcula o valor da prestaccedilatildeo os juros a amortizaccedilatildeo o saldo devedor e valor do saldo devedor no 100ordm mecircs Acompanhe
Zera os registradores
60000000 Armazena o valor presente
120 Armazena o periacuteodo
15 Armazena a taxa
- R$ 1081111 Valor da prestaccedilatildeo
1 - R$ 900000 Valor dos juros da 1ordf parcela
R$ 181111Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 1ordf parcela
R$ 58918889 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 897283 Valor dos juros da 2ordf parcela
- R$ 183828Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 2ordf parcela
R$ 59635061 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 894526 Valor dos juros da 3ordf parcela
- R$ 186585Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 3ordf parcela
R$ 59448476 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 891727 Valor dos juros da 4ordf parcela
- R$ 189384Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 4ordf parcela
R$ 59259092 Recupera o saldo devedor
A tabela a seguir apresenta um resumo das operaccedilotildees realizadas
68
Universidade do Sul de Santa Catarina
Tabela 42 ndash Planilha de amortizaccedilatildeoPeriacuteodo (n) Amortizaccedilatildeo (A) Juros (J) Prestaccedilotildees (R) Saldo Devedor (S)
0 - - - R$ 600000001 R$ 181111 R$ 900000 R$ 1081111 R$ 598188892 R$ 183828 R$ 897283 R$ 1081111 R$ 596350613 R$ 186585 R$ 894526 R$ 1081111 R$ 594484764 R$ 189384 R$ 891727 R$ 1081111 R$ 59259092
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Para determinar o saldo devedor no 100ordm mecircs faccedila como indicado a seguir
60000000 120 150
-1081111 18561247
Prestaccedilatildeo Saldo devedor no 100ordm mecircs
Nesta unidade vocecirc usou as funccedilotildees de fluxo de caixa para calcular o valor presente liacutequido e a funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
69Unidade 4
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades a seguir (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 4 e 5 da unidade 7 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegina 102) Em seguida use o programa elaborado para resolver as mesmas questotildees
a) Qual das alternativas de pagamento eacute a melhor para uma taxa de juros compostos de 75 am
Alternativa A Pagamento de R$ 15000000 agrave vista
Alternativa B Entrada de R$ 5000000 + R$ 8000000 em 90 dias + R$ 6000000 em 150 dias
b) Uma pessoa deve a um banco dois tiacutetulos com valores de R$ 300000 e R$ 600000 venciacuteveis respectivamente em 4 meses e 8 meses Se a pessoa deseja antecipar para hoje a liquidaccedilatildeo dos tiacutetulos qual o valor a pagar considerando que o banco opera com uma taxa de juros compostos de 23 am
2 Elabore um algoritmo para resolver as atividades abaixo (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 1 e 4 da unidade 10 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 151 e 153)
a) Um cliente solicita a um banco um empreacutestimo de R$ 4000000 pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs em 60 prestaccedilotildees mensais Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de juros de 28 am obtenha o valor da prestaccedilatildeo e o saldo devedor depois de pagar a 20ordf prestaccedilatildeo
b) Um empreacutestimo de R$ 30000000 seraacute saldado em 50 prestaccedilotildees mensais a uma taxa de 15 am Determine a parcela de juros relativa agrave 15ordf prestaccedilatildeo pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs (price)
70
Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
Manual da calculadora HP ndash 12C
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico ndash 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7ed Satildeo Paulo Atlas 2000
Para concluir o estudo
Com o teacutermino desse curso de extensatildeo acreditamos que proporcionamos momentos de aprendizagem por meio da interaccedilatildeo da calculadora financeira e que vocecirc estaacute habilitado(a) a fazer uso dessa ferramenta com qualidade no mercado de trabalho relacionado a essa aacuterea tatildeo importante no nosso dia-a-dia
Referecircncias
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7 ed Satildeo Paulo Atlas 2000
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003 Disponiacutevel em lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt Acesso em 05 jun 2008
Sobre o professor conteudista
Joseacute Humberto Dias de Toledo - eacute Mestre em Educaccedilatildeo pela Universidade do Sul de Santa Catarina Graduado em Licenciatura em Matemaacutetica e em Engenharia Civil Professor das disciplinas Meacutetodos Numeacutericos Informaacutetica Aplicada agrave Matemaacutetica Financeira Caacutelculo I e Matemaacutetica Financeira no Curso de Matemaacutetica ndash Licenciatura nesta mesma instituiccedilatildeo Atualmente ministra a disciplina Representaccedilotildees Graacuteficas na Poacutes-graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo Matemaacutetica da UNISUL
Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo
Unidade 1
1 a) 5
b) -2359
c) 3311
d) 077
e) 081
Respostas modo RPN
a)
b)
c)
d)
e)
Respostas modo ALG
a
b
c
d
e
78
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 R$ 167757
Modo RPN
Modo ALG
3 -242
4 Data 13082008 3 (quarta-feira)
5 Florianoacutepolis = 3303 Curitiba = 5018 Porto Alegre = 1680
Unidade 2
1 1) 150000
Dados
C = R$ 1000000
i = 5 aa
n = 3 anos = 1080 dias
J =
3) 24 meses = 2 anos
Dados
C = R$ 200000
i = 6 aa
n = 24 meses = 720 dias
M =
79
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
85
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
86
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b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
87
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
88
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23
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
Resolvendo no modo ALG com o auxiacutelio dos registros R R
0 9 a
a)
2
3
5 3 3
4
Resultado
Armazena o resultado do visor na memoacuteria 0
Recupera o registro da memoacuteria 0
b)
2
3
3 4
4 0
Resultado
c)
2 2
9
3 5 125
Resultado
24
Universidade do Sul de Santa Catarina
d)
e)
Exemplo 13
Usando a calculadora HP ndash 12C no modo RPN as seguintes operaccedilotildees bancaacuterias foram realizadas a conta tinha um saldo de R$ 12300 e foi feito um depoacutesito referente ao salaacuterio de R$ 189035 Em seguida foram emitidos e compensados cheques nos valores de R$ 38590 R$ 23478 e R$ 62389 Qual eacute o novo saldo da conta
Soluccedilatildeo use
para apresentar os caacutelculos com duas casas decimais
12300 189035 38590
23478 62389 76920
Saldo
2 3 5 2 0 0599
Resultado
3 2 46 5789
Resultado
25
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Unidade 1
Seccedilatildeo 3 ndash Funccedilotildees de percentagem e calendaacuterio
A calculadora HP ndash 12C apresenta funccedilotildees que permitem o caacutelculo de percentagens e de calendaacuterio Para caacutelculo com percentagens natildeo eacute necessaacuterio converter o nuacutemero na notaccedilatildeo percentual para a notaccedilatildeo decimal Jaacute as funccedilotildees calendaacuterio fornecidas pela HP trabalham com datas entre 15 de outubro de 1582 e 25 de novembro de 4046 A seguir vocecirc conheceraacute detalhadamente essas funccedilotildees
Funccedilotildees de percentagem
Calcula a Percentagem de um nuacutemero ou valor
Calcula a diferenccedila percentual entre dois nuacutemeros
Calcula qual percentual um nuacutemero eacute de outro
Figura 14 - Ilustraccedilatildeo das funccedilotildees de percentagem da Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Funccedilotildees de calendaacuterio
Configura o formato de uma data para dia-mecircs-ano
Configura o formato de uma data para mecircs-dia-ano
Calcula o nuacutemero de dias entre datas
Calcula datas futuras ou passadas
Figura 15 - Ilustraccedilatildeo das funccedilotildees de calendaacuterio da Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Nos exemplos a seguir estaacute demonstrado o uso de todas as funccedilotildees apresentadas Obs os caacutelculos vatildeo ser realizados no modo RPN
26
Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 14
Calcular 16 de R$ 198000
Soluccedilatildeo
198000 1600 31680
Resultado
Exemplo 15
Determinada empresa com accedilotildees na bolsa de valores verificou as seguintes variaccedilotildees nos valores das suas accedilotildees no dia 150508 o valor da accedilatildeo passou de R$ 5025 para R$ 5498 jaacute no dia 210508 o valor da accedilatildeo caiu de R$ 5498 para R$ 5208 Qual a diferenccedila percentual nas duas situaccedilotildees
Soluccedilatildeo a sequecircncia a seguir apresenta a variaccedilatildeo percentual
Caacutelculo da variaccedilatildeo percentual de R$ 5025 para R$ 5498 usando a HP ndash 12C
5025 5498 941
Resultado
Observe que o resultado apresentado eacute positivo portanto representa aumento
Caacutelculo da variaccedilatildeo percentual de R$ 5498 para R$ 5208 usando a HP ndash 12C
27
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
5498 5208 -527
Resultado
Observe que o resultado apresentado eacute negativo portanto representa queda
Exemplo 16
A empresa do exemplo anterior atua na regiatildeo sul do Brasil com vendas totais realizadas no mecircs de abril de 2008 de R$ 589636996 distribuiacutedas da seguinte forma R$ 123656939 no Paranaacute R$ 356963920 em Santa Catarina e R$ 109016137 no Rio Grande do Sul Qual a percentagem das vendas totais em cada um dos trecircs Estados
Soluccedilatildeo
A sequecircncia apresenta os percentuais nos estados do Paranaacute Santa Catarina e Rio Grande do Sul
Soluccedilatildeo
589636996 123656939 2097
356963920 6054 109016137 1849
Resultado SC Resultado RS
Resultado PR
28
Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 17
Comprei uma TV LCD em 17052008 com vencimento para 120 dias Determine a data do vencimento usando a calculadora HP ndash 12C
Soluccedilatildeo
17052008 120 14092008 7
A data do vencimento eacute 14 de setembro de
2008 domingo
Exemplo 18
Fiz uma compra no dia 12052008 com vencimento para o dia 26082008 Use a calculadora HP ndash 12C para determinar o nuacutemero de dias entre a data da compra e do vencimento
Soluccedilatildeo
12052008 20082008 100
Nuacutemero de dias entre as datas
Nesta unidade vocecirc conheceu algumas funccedilotildees elementares da calculadora as quais seratildeo utilizadas nas demais unidades e satildeo muito importantes para realizar caacutelculos que envolvem questotildees do nosso cotidiano Na proacutexima unidade vocecirc vai usar as funccedilotildees financeiras da calculadora para calcular juros simples e compostos descontos simples e compostos
29
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
Efetue as atividades de autoavaliaccedilatildeo e acompanhe as respostas e comentaacuterios a respeito nas paacuteginas finais deste material Para melhor aproveitamento do seu estudo realize a conferecircncia de suas respostas somente depois de fazer as atividades propostas Desse modo o momento da conferecircncia lhe proporcionaraacute novas oportunidades de aprendizagem
1 Calcule o valor das expressotildees numeacutericas a seguir usando a HP ndash 12C nos modos RPN e ALG
a) 2 5 3 8 24 minus + divide =x
b) minus + minus =3 5 32 3x eln
c) 16 25 3 45 89+ minus =x
d) 2
35 5
3+ minus =ln
e) 0 253
55
2 + minus =minus
2 Use a HP ndash 12C para realizar os caacutelculos e informar o saldo final da seguinte movimentaccedilatildeo financeira Saldo inicial na conta R$ 167890 depoacutesito de R$ 143587 cheques compensados nos valores de R$ 34598 R$ 12345 R$ 65790 e R$ 30987
3 No dia 130508 o doacutelar americano estava cotado em R$ 165 no dia 190508 a cotaccedilatildeo foi de R$ 161 Com base nestes dados indique qual foi a variaccedilatildeo percentual do doacutelar
4 Foi realizada uma compra em um supermercado no valor de R$ 67890 em 150508 Sabendo que esse estabelecimento trabalha com prazo de 90 dias use as funccedilotildees calendaacuterio da HP ndash 12C e determine a data e o dia da semana do vencimento
5 Uma empresa tem vendas mensais para o mecircs de maio de 2008 estimadas em R$ 178909000 Sabendo que o valor total das vendas estaacute distribuiacutedo nas cidades de Florianoacutepolis Curitiba e Porto Alegre com valores correspondentes a R$ 59089000 R$ 89767898 e R$ 30052102 respectivamente determine qual percentagem das vendas totais ocorre em cada uma das cidades
30
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Saiba mais
HPndash12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
No link abaixo vocecirc tem disponiacutevel o manual da calculadora HP ndash 12C na versatildeo online lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt
2UNIDADE 2
Regimes de capitalizaccedilatildeo simples e composto
Objetivos de aprendizagem
Fazer uso das funccedilotildees financeiras da calculadora HP ndash 12C para calcular juros simples e composto
Dominar o caacutelculo do montante simples e composto
Aprender o caacutelculo de desconto simples e composto
Calcular capital taxa e prazo no regime de capitalizaccedilatildeo composto usando a HP ndash 12C
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Regime de capitalizaccedilatildeo simples
Seccedilatildeo 2 Regime de capitalizaccedilatildeo composto
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc vai fazer uso das funccedilotildees financeiras da HP ndash 12C com o objetivo de realizar caacutelculos de juros simples e composto montantes simples e composto descontos simples e composto caacutelculo de taxas e prazos
Nesta etapa de estudos seratildeo utilizados exemplos do material didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira que estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do Espaccedilo Virtual de Aprendizagem ndash EVA Eacute importante lembrar natildeo ser objetivo deste curso discutir os conceitos da Matemaacutetica Financeira mas apenas utilizar as funccedilotildees disponibilizadas na calculadora para resolver problemas relacionados a essa aacuterea Entretanto caso vocecirc julgue importante os conceitos podem ser relembrados ou vistos no material didaacutetico da disciplina
Seccedilatildeo 1 ndash Regime de capitalizaccedilatildeo simples
Na unidade 1 vocecirc foi apresentado(a) agrave calculadora HP ndash 12C e a algumas das suas funccedilotildees com o objetivo de capacitaacute-lo(a) para o uso adequado dessa ferramenta Esta unidade inicia com uma abordagem sobre os registradores financeiros os quais seratildeo utilizados na maioria dos exemplos que deveratildeo ser resolvidos ao longo das proacuteximas seccedilotildees desta unidade e nas demais unidades deste curso Veja na ilustraccedilatildeo a seguir os registradores financeiros e as suas aplicaccedilotildees
Registra e armazena periacuteodo
Registra e armazena taxa
Registra e armazena valor presente
Registra e armazena pagamentos perioacutedicos
Registra e armazena valor futuro
Figura 21 - Registradores financeiros e as suas aplicaccedilotildees Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
Para armazenar um nuacutemero em um registrador financeiro digite o nuacutemero e em seguida uma das teclas correspondentes ilustradas acima
Para exibir um nuacutemero armazenado em um dos registradores financeiros aperte e em seguida a tecla correspondente
Para zerar todos os registradores financeiros aperte a sequecircncia de teclas
Eacute importante lembrar que os registradores financeiros tambeacutem satildeo zerados ao apertar a sequecircncia
e quando a memoacuteria contiacutenua eacute
reinicializada
A seguir vocecirc faraacute caacutelculo de juros simples e de descontos simples usando a HP ndash 12C
Regime de capitalizaccedilatildeo simples
A HP ndash 12C calcula automaticamente juros simples ordinaacuterios ndash usando o ano comercial e juros simples exatos ndash usando um ano de 365 dias simultaneamente
Eacute possiacutevel apresentar qualquer um dos dois e mais com os juros acumulados no mostrador podemos calcular o montante apertando a tecla
Para exemplificar vamos resolver problemas do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira que se encontra disponiacutevel (formato digital) na ferramenta Midiateca do EVA ndash Espaccedilo Virtual de Aprendizagem
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Exemplo 21 (exemplo 1 paacuteg 29 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital de R$ 1800000 foi aplicado a juros simples durante 3 anos agrave taxa de 6 aa Qual eacute o valor dos juros e o montante adquirido
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula os juros e o montante
Exemplo 22 (exemplo 1 paacuteg 33 do livro Matemaacutetica Financeira)
Ache os juros simples exatos auferidos em uma aplicaccedilatildeo de R$ 1500000 a uma taxa de 16 aa de 20 de abril de 2003 a 1ordm de julho de 2003
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula os juros comerciais e os juros exatos
Neste exemplo utilizamos duas teclas que seratildeo ilustradas a seguir para realizar o caacutelculo dos juros exatos
1800000 1080 6
324000 2124000
Juros Montante
No caacutelculo de Juros simples o periacuteodo deve ser em dias
Calcula juros simples
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
1500000 20042003 01072003
72 16 48000 47342
Juro comercial Juro exato nordm de dias
Ao apertar essa tecla ela rola para baixo o conteuacutedo da pilha para visualizaccedilatildeo no registro X
Ao apertar essa tecla ela troca o conteuacutedo dos registros X e Y da pilha
Figura 22 - Teclas utilizadas para registros de dados Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Exemplo 23 (exemplo 2 paacuteg 34 do livro Matemaacutetica Financeira)
Determine o juro simples exato obtido em uma aplicaccedilatildeo de R$ 1300000 durante 146 dias a uma taxa de 9 aa
Soluccedilatildeo a sequecircncia a seguir realiza os caacutelculos solicitados
1330000 146 9
48545 47880
Juro comercial Juro exato
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Exemplo 24 (exemplo 1 paacuteg 47 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma duplicata de R$ 1500000 com vencimento no dia 03042005 foi descontada em um banco em 08012005 a uma taxa de 25 am Qual eacute o desconto simples bancaacuterio da operaccedilatildeo
Soluccedilatildeo
08012005 03042005 85
1500000 0025 30 106250
Taxa decimal Desconto bancaacuterio
Nordm de dias entre as datas
Exemplo 25 (exemplo 1 paacuteg 48 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma empresa descontou um tiacutetulo com valor de face de R$ 1450000 3 meses e 15 dias antes do vencimento com uma taxa de desconto bancaacuterio simples de 24 am Quanto a empresa recebeu liacutequido na operaccedilatildeo
Soluccedilatildeo
1450000 0024 35 1450000 1328200
Periacuteodo em meses Valor liacutequidoTaxa decimal
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Unidade 2
Exemplo 26 (exemplo 1 paacuteg 49 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma duplicata de R$ 4800000 foi descontada 6 meses antes de seu vencimento em uma instituiccedilatildeo financeira que trabalha com uma taxa de desconto simples de 32 am Com base nestes dados determine
o valor do desconto simples bancaacuterio
o valor do desconto simples racional
Soluccedilatildeo
4800000 6 0032 921600
Taxa decimal Valor liacutequido
921600 1 0032
6 773154
Taxa decimal Valor liacutequido
Na proacutexima seccedilatildeo vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros compostos e de desconto compostos
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Seccedilatildeo 2 ndash Regime de capitalizaccedilatildeo composto
Os exemplos apresentados a partir de agora satildeo ilustrativos de uma ampla variedade de caacutelculos financeiros Para resolvecirc-los vocecirc precisa estruturaacute-los identificando os elementos baacutesicos do problema de maneira que fiquem evidentes as quantidades que devem ser fornecidas agrave calculadora e quem eacute o valor desconhecido ou seja o valor que desejamos determinar
Na resoluccedilatildeo dos caacutelculos usando a HP ndash 12C eacute indispensaacutevel elaborar o diagrama de fluxo de caixa Eacute importante ressaltar que a calculadora precisa de ajuda para comparar o fluxo de caixa ou seja eacute preciso informar quando temos uma entrada ou uma saiacuteda
O fluxo de caixa serve para demonstrar graficamente as transaccedilotildees financeiras em um periacuteodo de tempo
O tempo eacute representado por uma linha horizontal dividida pelo nuacutemero de periacuteodos relevantes para anaacutelise As entradas ou recebimentos satildeo representados por setas verticais apontadas para cima e as saiacutedas ou pagamentos satildeo representados por setas verticais apontadas para baixo Observe o modelo simplificado
(+) entradas
(-) saiacutedas
tempo (n)
Veja agora o modelo detalhado
Entradas
Saiacutedas
Tempo
Fluxo de caixa pode ser definido como sendo a movimentaccedilatildeo de recursos financeiros (entradas e saiacutedas de caixa) ao longo de um periacuteodo de tempo - agrave entrada e saiacuteda de dinheiro O conceito caixa (financeiro) natildeo pode ser confundido com conceito de competecircncia (contaacutebil)
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Unidade 2
Na HP-12C a tecla (do inglecircs Change Sign) serve para introduzir ou tirar um sinal negativo de um nuacutemero ou seja faz o fluxo de caixa
Na sequecircncia de exemplos apresentados a seguir realizaremos caacutelculos de juros montantes valor presente prazo taxa de juros e descontos no regime composto com o auxiacutelio dos registradores financeiros da calculadora HP ndash 12C
Exemplo 27 (exemplo 1 paacuteg 58 do livro Matemaacutetica Financeira)
Qual o montante gerado por um capital de R$ 450000 aplicado por 9 meses a juros compostos a uma taxa de 35 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o montante composto
450000 9 35 613304
MontanteFluxo de caixa saiacuteda do dinheiro para aplicaccedilatildeo
Exemplo 28 (exemplo 2 paacuteg 58 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital de R$ 1200000 foi aplicado a juros compostos durante 6 meses agrave taxa de 2 am Calcule os juros auferidos na aplicaccedilatildeo
Soluccedilatildeo use a sequecircncia a seguir para calcular os juros
1200000 6 2
1351395 151395
Montante Juros
Fluxo de caixa saiacuteda do dinheiro para aplicaccedilatildeo
Recupera um valor em um registrador
financeiro
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Exemplo 29 (exemplo 3 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital ldquoXrdquo eacute aplicado a juros compostos agrave taxa de 35 am gerando um montante de R$ 1950000 apoacutes 1 ano e 3 meses Determine o capital ldquoXrdquo
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar o capital
1950000 35 15 -1163937
Capital aplicado
Exemplo 210 (exemplo 4 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
A que taxa mensal de juros compostos um capital de R$ 1250000 pode transformar-se em R$ 1537342 no periacuteodo de 7 meses
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
1250000 1537342 7 300
Taxa de juros mensal
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Unidade 2
Exemplo 211 (exemplo 5 paacuteg 60 do livro Matemaacutetica Financeira)
Em que prazo um empreacutestimo de R$ 3500000 pode ser pago pela quantia de R$ 4790000 se a taxa de juros compostos cobrada for de 4 am
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
3500000 4790000 4 8
Periacuteodo em meses
Funccedilatildeo ldquoCrdquo na HP ndash 12C e as teclas ldquoSTOrdquo e ldquoEEXrdquo
Vocecirc pode calcular taxa de juros (i) Capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos Perioacutedicos (PMT) para transaccedilotildees financeiras com periacuteodos fracionaacuterios Ao digitar um periacuteodo fracionaacuterio por exemplo 23 meses a parte inteira do nuacutemero indica o nuacutemero de periacuteodos inteiro e a parte fracionaacuteria do nuacutemero o tamanho do periacuteodo fracionaacuterio como uma fraccedilatildeo do periacuteodo inteiro (no exemplo 2 meses e 03 meses)
De acordo com o criteacuterio do usuaacuterio os caacutelculos de taxa de juros ( i ) capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos perioacutedicos (PMT) podem ser executados com juros simples ou compostos acumulados durante o periacuteodo fracionaacuterio Para escolher uma das duas opccedilotildees faccedila
Aparece o indicador ldquoCldquo Portanto os juros compostos satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Natildeo aparece o indicador ldquoCrdquo Portanto os juros simples satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Figura 23 - Teclas utilizadas para caacutelculo de juros simples e compostos para periacuteodo fracionaacuterio Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
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Exemplo 212
Calcular o valor futuro de uma aplicaccedilatildeo de R$ 185030000 aplicado agrave taxa de 14 aa durante 45 anos usando juros compostos e simples para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Soluccedilatildeo as sequecircncias a seguir apresentam os resultados para o caacutelculo do valor futuro com juros simples para o periacuteodo fracionaacuterio e juros compostos para o periacuteodo fracionaacuterios respectivamente
185030000 14
45 334383879
Valor futuro calculado com juros simples para o periacuteodo
fracionaacuterio
185030000
14 45 333667556
Valor futuro calculado com juros compostos para o
periacuteodo fracionaacuterio
Exemplo 213 (exemplo 1 paacuteg 81 do livro Matemaacutetica Financeira)
Determine o valor do desconto composto racional e o valor do resgate de um tiacutetulo de R$ 1560000 descontado 5 meses antes do seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto composto racional eacute de 4 am
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Unidade 2
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor do desconto racional composto e o valor liacutequido a receber
1560000 1
1 004 5
277794 1560000 1282206
Valor do desconto Valor liacutequido
Exemplo 214 (exemplo 1 paacuteg 84 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um tiacutetulo de valor nominal de R$ 1500000 eacute descontado em um banco 3 meses antes de seu vencimento Se a taxa de desconto comercial usada pelo banco eacute de 8 am qual eacute o valor do desconto
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor liacutequido e o valor do desconto bancaacuterio ou comercial
1500000 3 8
-1168032 331968
Valor liacutequido Valor do desconto
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Nesta unidade vocecirc usou a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros simples e compostos descontos simples e compostos valor presente taxa de juros periacuteodo e montante Na proacutexima unidade usaremos a ferramenta para auxiliar no caacutelculo de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir foram propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo em PDF estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as questotildees 1 3 5 e 6 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteginas 38 e 39 Confira os resultados na paacuteg 194
1) Qual o rendimento que obtemos ao aplicarmos um capital de R$ 1000000 a uma taxa de juros simples de 5 aa durante 3 anos
3) Em um regime de capitalizaccedilatildeo simples qual eacute o montante que se obteacutem quando aplicamos um capital de R$ 200000 a uma taxa 6 aa durante 24 meses
5) Uma quantia de R$ 6200000 foi aplicada em uma operaccedilatildeo financeira no dia 20 de setembro de 2003 e resgatada no dia 21 de dezembro de 2003 a uma taxa de 125 aa Quais os juros simples exatos e comerciais da operaccedilatildeo
6) Calcule os juros simples exatos e comerciais nas seguintes condiccedilotildees
bull R$ 600000 aplicados por 180 dias a 12 aa
bull R$ 520000 aplicados por 230 dias a 15 aa
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
2 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 2 e 4 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegs 52 e 53 Confira os resultados nas paacuteginas 194 e 195
1) Uma empresa desconta uma duplicata no valor nominal de R$ 5000000 no Banco ldquoXrdquo 4 meses antes do seu vencimento Sabendo que o banco ldquoXrdquo trabalha com uma taxa de desconto simples bancaacuterio de 45 am qual eacute o valor do desconto e o valor liacutequido recebido
2) Para pagar uma diacutevida hoje uma empresa descontou em uma carteira de creacutedito uma duplicata no valor de R$ 1650000 com vencimento daqui a 2 meses recebendo um valor nominal liacutequido de R$ 1500000 Determine a taxa mensal de desconto simples bancaacuterio utilizada
4) Uma letra de cacircmbio no valor nominal de R$ 500000 foi comercializada 4 meses antes do vencimento a uma taxa de desconto simples de 22 am Se o desconto simples fosse o racional qual seria o valor deste desconto
3 Elabore uma sequecircncia de passos para resolver as questotildees propostas 1 2 3 4 e 6 nas paacuteginas 65 66 e 67 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira e confira os resultados na paacuteg 195
1) Calcule o montante produzido por um capital de R$ 2600000 aplicado a uma taxa de juros compostos de 52 am por 6 meses
2) Calcule os juros compostos auferidos por um capital de R$ 420000 aplicado a uma taxa de 3 am durante 10 meses
3) Um empreacutestimo de R$ 600000 deve ser pago em 120 dias a juros compostos pelo valor de R$ 900000 Qual eacute a taxa mensal da operaccedilatildeo
4) Em que prazo uma aplicaccedilatildeo a juros compostos de R$ 2400000 produziraacute um montante de R$ 6151930 agrave taxa de 4 am
6) Quanto Paulo deve aplicar hoje a juros compostos em uma instituiccedilatildeo financeira que paga uma taxa de 12 am para pagar um compromisso de valor nominal igual a R$ 3800000 que vence daqui a 3 meses
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4 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 e 8 das paacuteginas 88 e 90 respectivamente do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira Confira os resultados na paacuteg 196
1) Determine o valor do desconto composto racional de um tiacutetulo de valor nominal de R$ 830000 descontado 6 meses antes de seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto eacute de 42 am
8) Um tiacutetulo de R$ 3000000 foi descontado em uma instituiccedilatildeo financeira a uma taxa de desconto composto comercial de 64 am e o valor liacutequido recebido era de R$ 2017327 Quantos meses antes do vencimento foi descontado este tiacutetulo
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
3UNIDADE 3
Taxas de juros equivalentes e caacutelculo de pagamentos perioacutedicos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para calcular taxas equivalentes
Usar as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP ndash 12C para programar o algoritmo da taxa equivalente no regime de capitalizaccedilatildeo composto
Calcular pagamentos perioacutedicos de sequecircncias uniformes postecipadas e antecipadas
Calcular montante de uma sequecircncia uniforme
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Taxas equivalentes
Seccedilatildeo 2 Sequecircncia de capitais
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar taxas equivalentes no regime de capitalizaccedilatildeo composto Vocecirc usaraacute as funccedilotildees de programaccedilatildeo com o objetivo de elaborar um algoritmo para fazer a conversatildeo de taxas de um periacuteodo de capitalizaccedilatildeo (ex mensal) para outro periacuteodo (ex anual) usando o programa Vamos explorar as funccedilotildees ldquoPMTrdquo ldquoBEGrdquo e ldquoENDrdquo para realizar caacutelculo de pagamentos antecipados e postecipados em uma sequecircncia uniforme Destacamos que os exemplos que seratildeo apresentados estatildeo no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira
Seccedilatildeo 1 ndash Taxas equivalentes
Nesta unidade vocecirc usaraacute algumas funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos (postecipados e antecipados) de uma seacuterie uniforme Vocecirc usaraacute ainda as funccedilotildees de programaccedilatildeo para elaborar um programa para calcular taxas equivalentes A figura a seguir apresenta as funccedilotildees que vocecirc usaraacute nos exemplos apresentados posteriormente
Aciona o modo de programaccedilatildeo de HP ndash 12C
Aciona a funccedilatildeo Begin que calcula a parcela com pagamento antecipado
Aciona a funccedilatildeo End (natildeo aparece no visor da calculadora) que calcula parcela com pagamento postecipado
Figura 31 - Teclas utilizadas para acionar as funccedilotildees Beg e End e entrar no modo de programaccedilatildeo
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
Taxas equivalentes
No mercado financeiro e nas operaccedilotildees bancaacuterias e comerciais a palavra taxa eacute empregada de vaacuterias formas ou seja vaacuterios conceitos satildeo abordados em vaacuterias situaccedilotildees Esta seccedilatildeo tem como objetivo mostrar como as taxas de juros satildeo informadas no mercado financeiro e como adequaacute-las agraves condiccedilotildees padronizadas pela HP ndash 12C
Duas taxas satildeo consideradas equivalentes a juros compostos quando aplicadas a um mesmo capital por um periacuteodo de tempo equivalente e geram o mesmo rendimento
Exemplo 31(exemplo 1 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
No regime de juros compostos qual a taxa anual equivalente a 4 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente anual
Exemplo 32 (exemplo 2 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
Calcule a taxa quadrimestral equivalente agrave taxa de juros compostos de 8 aa
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente quadrimestral
1 004 12 1 1 10000 6010
Taxa anual
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Universidade do Sul de Santa Catarina
1 008 1 3 1 10000 260
Taxa quadrimestral
Programa para caacutelculo da taxa equivalente pela hp ndash 12c
O professor Carlos Shinoda em seu livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48) apresenta um programa para calcular a taxa equivalente atraveacutes da calculadora HP ndash 12C
Siga os procedimentos abaixo para introduzir o programa na HP ndash 12C
Figura 32 - Algoritmo para a programaccedilatildeo de taxa equivalente
Fonte Livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48)
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
Agora que vocecirc programou a HP ndash 12C para o caacutelculo de taxas equivalentes resolva o exemplo a seguir usando o programa
Exemplo 33
Usando o programa anterior determine as taxas equivalentes propostas nos exemplos 31 e 32
Soluccedilatildeo
As sequecircncias abaixo calculam as taxas equivalentes
Executa oprograma
4 1 12 6010
Taxa anual
Executa oprograma
8 360 120 260
Taxa quadrimestral
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Seccedilatildeo 2 ndash Sequecircncia de capitais
Nesta seccedilatildeo vocecirc acompanharaacute as situaccedilotildees em que haacute mais de um pagamento ou seja vocecirc estudaraacute as operaccedilotildees envolvendo pagamentos ou recebimentos perioacutedicos e uniformes
As seacuteries uniformes de pagamentos satildeo aquelas em que os pagamentos ou recebimentos satildeo constantes e ocorrem em intervalos iguais
Seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas e antecipadas
As seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1 Este sistema eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada (0 + n)
Pagamentos ou recebimentos podem ser chamados de prestaccedilatildeo representada pela sigla PMT que vem do inglecircs Payment e significa pagamento ou recebimento
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentosPMT
++
0 1 2 3 4 5 6 n
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
++
0 1 2 3 4 5 6 n
PMT
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
As seacuteries uniformes de pagamentos antecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre na data focal 0 (zero) Este tipo de sistema de pagamento eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento com entrada (1+ n)
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
Exemplo 34 (exemplo 2 paacuteg 108 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um automoacutevel eacute vendido em uma loja por R$ 3200000 A loja propotildee as seguintes condiccedilotildees para financiamento
Proposta A 12 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta B 24 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta C 36 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
A taxa de juros usada eacute de 32 am Qual o valor de cada prestaccedilatildeo nas 3 modalidades de financiamento
Soluccedilatildeo
As sequecircncias a seguir calculam os valores das parcelas nas trecircs propostas
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Universidade do Sul de Santa Catarina
3200000
32 12 -325329
parcela
3200000
32 24 -193046
parcela
3200000
32 36 -150979
parcela
Exemplo 35 (exemplo 2 paacuteg 111 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma casa cujo valor agrave vista eacute R$ 4924456 eacute vendida em prestaccedilotildees mensais e iguais de R$ 250000 sendo a primeira dada como entrada Se a taxa de financiamento eacute de 18 am determine o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas no financiamento
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o nuacutemero de parcelas
4924456 18
250000 24
nordm de parcelas
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
No exemplo acima o nuacutemero de pagamento deu um nuacutemero inteiro Mas podem acontecer situaccedilotildees em que ao se determinar o nuacutemero de parcelas o resultado natildeo seja um nuacutemero inteiro
Nessa situaccedilatildeo a HP ndash 12C arredonda a resposta para o proacuteximo inteiro para cima antes de armazenaacute-la e exibi-la
Exemplo 36
Vocecirc comprou um terreno por R$ 3500000 a juros de 105 aa Vocecirc pretende fazer pagamentos de R$ 32500 no fim de cada mecircs Quantos pagamentos seratildeo necessaacuterios para pagar o terreno e quanto tempo levaraacute
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o nuacutemero de pagamentos e o tempo necessaacuterio
3500000 105
32500 328 2733
nordm de parcelas Tempo (anos)
Como a calculadora arredonda o valor do tempo para o proacuteximo inteiro eacute provaacutevel que apesar de serem necessaacuterios 328 pagamentos somente 327 seratildeo inteiros de R$ 32500 com o pagamento final sendo menor do que R$ 32500 Para calcular o valor do pagamento de nuacutemero 328 vamos fazer o seguinte
A calculadora natildeo ajusta os valores nos outros registros financeiros automaticamente para refletir os n pagamentos iguais ao contraacuterio ela lhe permite escolher quais valores (se houver) que vocecirc deseja ajustar
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328 18189 - 32500 -14311
Valor da parcela 328
Nesta unidade vocecirc calculou taxas equivalentes usou as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP e fez caacutelculos de pagamentos perioacutedicos de uma seacuterie uniforme antecipado ou postecipado Na proacutexima unidade vamos realizar caacutelculos de valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades abaixo (Essa atividade corresponde agrave autoavaliaccedilatildeo 1 da unidade 5 do livro didaacutetico de Matemaacutetica Financeira) Em seguida use o programa elaborado para resolver a mesma questatildeo
Calcule a taxa anual das seguintes taxas
a) 26 am
b) 42 ab
c) 48 at
d) 12 as
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
2 Elabore um algoritmo para resolver as seguintes atividades (Estas questotildees equivalem agraves autoavaliaccedilotildees 1 2 3 4 e 5 da unidade 8 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 121 122 e 123)
a) Calcule o valor da prestaccedilatildeo mensal de um empreacutestimo de R$ 600000 que seraacute amortizado em 12 prestaccedilotildees mensais postecipadas sabendo que o banco cobra uma taxa de juros de 2 am
b) Uma loja vende um automoacutevel agrave vista por R$ 1650000 Se o comprador quiser fazer um financiamento em 36 parcelas mensais e iguais onde o 1ordm pagamento seraacute efetuado no 1ordm mecircs apoacutes a compra a uma taxa de juros de 21 am qual o valor da prestaccedilatildeo
c) Uma mercadoria custa R$ 9038071 agrave vista podendo ser vendida em prestaccedilotildees mensais de R$ 1050000 sendo a primeira prestaccedilatildeo dada como entrada Sabendo-se que a loja aplica uma taxa de 35 am qual o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas
d) Carlos depositou certa quantia durante 10 meses de forma antecipada a uma taxa de 25 am obtendo um montante de R$ 25000000 Quanto depositou mensalmente Carlos
e) Um produto eacute vendido agrave vista por R$ 200000 ou em 10 prestaccedilotildees mensais iguais sem entrada com uma carecircncia de 90 dias apoacutes a compra Qual o valor de cada prestaccedilatildeo sabendo que a taxa de juros eacute de 6 am
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
4UNIDADE 4
Valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa
Usar as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Valor presente liacutequido
Seccedilatildeo 2 Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs ndash SFA (Price)
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa usando as funccedilotildees CF0 CFj e NPV Vocecirc deveraacute ainda fazer uso da funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos usando o Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo ndash SFA ou tabela Price
Seccedilatildeo 1 ndash Valor presente liacutequido
A figura 41 a seguir apresenta as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C que vocecirc usaraacute nessa unidade para realizar caacutelculo de valor presente liacutequido e para a elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos ou financiamento
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor inicial do fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor do fluxo de caixa no periacuteodo j
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula o valor presente atual de um fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula a parte dos pagamentos usada para pagar juros
Figura 41 - Teclas para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
Valor presente liacutequido
Nessa seccedilatildeo vocecirc usaraacute as funccedilotildees da HP ndash 12C para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa Para entender como usar as funccedilotildees CF0 CFj e NPV considere o fluxo de caixa para um investimento que exige capital inicial (CF0) e que gera um fluxo de caixa (CFj ) no final de j periacuteodos
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Unidade 4
Veja a seguir o fluxo de caixa
CF0CF1
CF2 CF5
CFn
CF3 CF4
O VPL = Valor Presente Liacutequido eacute calculado somando ao investimento inicial o valor presente dos fluxos de caixa futuros projetados Portanto
se o VPL for positivo o valor financeiro do ativo do investidor aumentaraacute ou seja o investimento financeiro seraacute atrativo em termos financeiros
se o VPL for zero o valor financeiro do ativo financeiro do investidor natildeo mudaraacute ou seja o investidor seraacute indiferente ao investimento
se o VPL for negativo o valor financeiro do ativo do investidor seraacute reduzido ou seja o investimento natildeo seraacute atrativo em termos financeiros
Exemplo 41
Um investidor compra uma casa por R$ 7000000 e gostaria de ter um retorno de pelo menos 15 Ele pretende manter a casa por 4 anos e depois vendecirc-la por R$ 11000000 Ele prevecirc os fluxos de caixa mostrados no diagrama abaixo
CF0CF1
CF1
CF3CF4
CF5
R$ 7000000
R$ 50000
R$ 450000R$ 450000
R$ 13000000R$ 550000
Sendo assim calcule o VPL para determinar se o investimento resultaria em um retorno ou perda
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Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o VPL
7000000 50000
450000 550000 450000
13000000 15 379007
VPL
Como o VPL eacute positivo o investimento aumentaria o valor financeiro do ativo do investidor
Exemplo 42 (exemplo 4 paacuteg 98 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um proprietaacuterio recebeu as seguintes propostas para a venda de uma casa
Proposta A entrada de R$ 10000000 + R$ 5000000 em 6 meses + R$ 6000000 em 1 ano
Proposta B entrada de R$ 8000000 + R$ 6000000 em 5 meses + R$ 7000000 em 10 meses
Sabendo-se que a taxa de juros de mercado eacute de 3 am qual a melhor proposta para o vendedor
Soluccedilatildeo
Essa questatildeo deve ser resolvida pelo meacutetodo do Valor Presente Liacutequido A alternativa que tiver o maior valor seraacute a melhor Entretanto para facilitar a elaboraccedilatildeo do algoritmo de resoluccedilatildeo na HP ndash 12C elabore o fluxo de caixa para cada situaccedilatildeo
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Unidade 4
1 Proposta A Fluxo de caixa
10000000 5000000 6000000
1 2 3 4 5 7 8 9 10 110 6 12
Calculando o VPL
10000000 000 5
5000000 000
5
6000000
3
18395701
VPL
Armazena o zero 5 vezes
2 Proposta B Fluxo de caixa
8000000 70000006000000
1 2 3 4 6 7 8 90 5 10
Calculando o VPL
8000000 000 4
6000000 000
4
7000000
3
18384310
VPL
Armazena o zero 4 vezes
Resposta a melhor proposta eacute a A
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Exemplo 43
Dois equipamentos satildeo examinados Considerando ser a taxa miacutenima de atratividade de 20aa qual o equipamento que deve ser adquirido
Dados
41 - Tabela de DadosEquipamento K Equipamento L
Custo R$ 5000000 R$ 8000000Custo anual de manutenccedilatildeo R$ 2000000 R$ 1500000Valor residual para venda R$ 400000 R$ 800000Duraccedilatildeo em anos 10 10
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
A seguir veja o diagrama de fluxo de caixa
Os caacutelculos do Valor Presente Liacutequido para as duas situaccedilotildees satildeo
Equipamento K
5000000
Equipamento K
2000000
400000
0 1 2 10
8000000
Equipamento L
1500000
800000
0 1 2 10
50000 20000
9 4000 20000 1
20 -13320342
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Unidade 4
Equipamento L
80000 15000
9 8000 15000 1
20 -14159504
Importante Veja que a alternativa K equivale a um equipamento em que se investe R$ 13320342 enquanto que o equipamento L equivale a um investimento de R$ 14159504 Portanto eacute preferiacutevel o equipamento K pois o investimento eacute menor
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Seccedilatildeo 2 ndash Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs - SFA
Este sistema consiste no pagamento de empreacutestimos ou financiamentos com prestaccedilotildees iguais e com periodicidade constante Eacute considerado o sistema de amortizaccedilatildeo mais utilizado pelas instituiccedilotildees financeiras e pelo comeacutercio em geral
O Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo eacute assim chamado por ter sido inventado na Franccedila por volta do seacuteculo XVIII pelo matemaacutetico inglecircs Richard Price daiacute portanto a origem da denominaccedilatildeo Sistema Price tambeacutem comumente chamado de Tabela Price
Na verdade a Tabela Price eacute um caso particular derivado do Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo Neste sistema o financiamento (PV) eacute pago em parcelas (PMT) iguais constituiacutedas da amortizaccedilatildeo do principal da diacutevida + juros compensatoacuterios (J) que variam inversamente ao longo do tempo Ou seja agrave medida que aumenta o valor da parcela de amortizaccedilatildeo haveraacute uma queda dos juros compensatoacuterios em funccedilatildeo da reduccedilatildeo do saldo devedor
Principais Caracteriacutesticas
As principais caracteriacutesticas do SFA satildeo
a prestaccedilatildeo eacute constante durante todo o periacuteodo do financiamento
a parcela de amortizaccedilatildeo aumenta a cada periacuteodo (n)
os juros compensatoacuterios diminuem a cada periacuteodo (n)
Exemplo 44 (exemplo 1 paacuteg 148 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma instituiccedilatildeo financeira libera um empreacutestimo para uma induacutestria no valor de R$ 60000000 para ser pago pelo sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs em 120 meses a uma taxa de 15 am Faccedila a planilha ateacute o 4ordm mecircs e calcule o saldo devedor no 100ordm mecircs
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Unidade 4
Soluccedilatildeo
A sequecircncia abaixo calcula o valor da prestaccedilatildeo os juros a amortizaccedilatildeo o saldo devedor e valor do saldo devedor no 100ordm mecircs Acompanhe
Zera os registradores
60000000 Armazena o valor presente
120 Armazena o periacuteodo
15 Armazena a taxa
- R$ 1081111 Valor da prestaccedilatildeo
1 - R$ 900000 Valor dos juros da 1ordf parcela
R$ 181111Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 1ordf parcela
R$ 58918889 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 897283 Valor dos juros da 2ordf parcela
- R$ 183828Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 2ordf parcela
R$ 59635061 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 894526 Valor dos juros da 3ordf parcela
- R$ 186585Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 3ordf parcela
R$ 59448476 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 891727 Valor dos juros da 4ordf parcela
- R$ 189384Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 4ordf parcela
R$ 59259092 Recupera o saldo devedor
A tabela a seguir apresenta um resumo das operaccedilotildees realizadas
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Tabela 42 ndash Planilha de amortizaccedilatildeoPeriacuteodo (n) Amortizaccedilatildeo (A) Juros (J) Prestaccedilotildees (R) Saldo Devedor (S)
0 - - - R$ 600000001 R$ 181111 R$ 900000 R$ 1081111 R$ 598188892 R$ 183828 R$ 897283 R$ 1081111 R$ 596350613 R$ 186585 R$ 894526 R$ 1081111 R$ 594484764 R$ 189384 R$ 891727 R$ 1081111 R$ 59259092
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Para determinar o saldo devedor no 100ordm mecircs faccedila como indicado a seguir
60000000 120 150
-1081111 18561247
Prestaccedilatildeo Saldo devedor no 100ordm mecircs
Nesta unidade vocecirc usou as funccedilotildees de fluxo de caixa para calcular o valor presente liacutequido e a funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
69Unidade 4
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Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades a seguir (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 4 e 5 da unidade 7 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegina 102) Em seguida use o programa elaborado para resolver as mesmas questotildees
a) Qual das alternativas de pagamento eacute a melhor para uma taxa de juros compostos de 75 am
Alternativa A Pagamento de R$ 15000000 agrave vista
Alternativa B Entrada de R$ 5000000 + R$ 8000000 em 90 dias + R$ 6000000 em 150 dias
b) Uma pessoa deve a um banco dois tiacutetulos com valores de R$ 300000 e R$ 600000 venciacuteveis respectivamente em 4 meses e 8 meses Se a pessoa deseja antecipar para hoje a liquidaccedilatildeo dos tiacutetulos qual o valor a pagar considerando que o banco opera com uma taxa de juros compostos de 23 am
2 Elabore um algoritmo para resolver as atividades abaixo (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 1 e 4 da unidade 10 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 151 e 153)
a) Um cliente solicita a um banco um empreacutestimo de R$ 4000000 pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs em 60 prestaccedilotildees mensais Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de juros de 28 am obtenha o valor da prestaccedilatildeo e o saldo devedor depois de pagar a 20ordf prestaccedilatildeo
b) Um empreacutestimo de R$ 30000000 seraacute saldado em 50 prestaccedilotildees mensais a uma taxa de 15 am Determine a parcela de juros relativa agrave 15ordf prestaccedilatildeo pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs (price)
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
Manual da calculadora HP ndash 12C
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico ndash 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7ed Satildeo Paulo Atlas 2000
Para concluir o estudo
Com o teacutermino desse curso de extensatildeo acreditamos que proporcionamos momentos de aprendizagem por meio da interaccedilatildeo da calculadora financeira e que vocecirc estaacute habilitado(a) a fazer uso dessa ferramenta com qualidade no mercado de trabalho relacionado a essa aacuterea tatildeo importante no nosso dia-a-dia
Referecircncias
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7 ed Satildeo Paulo Atlas 2000
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003 Disponiacutevel em lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt Acesso em 05 jun 2008
Sobre o professor conteudista
Joseacute Humberto Dias de Toledo - eacute Mestre em Educaccedilatildeo pela Universidade do Sul de Santa Catarina Graduado em Licenciatura em Matemaacutetica e em Engenharia Civil Professor das disciplinas Meacutetodos Numeacutericos Informaacutetica Aplicada agrave Matemaacutetica Financeira Caacutelculo I e Matemaacutetica Financeira no Curso de Matemaacutetica ndash Licenciatura nesta mesma instituiccedilatildeo Atualmente ministra a disciplina Representaccedilotildees Graacuteficas na Poacutes-graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo Matemaacutetica da UNISUL
Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo
Unidade 1
1 a) 5
b) -2359
c) 3311
d) 077
e) 081
Respostas modo RPN
a)
b)
c)
d)
e)
Respostas modo ALG
a
b
c
d
e
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2 R$ 167757
Modo RPN
Modo ALG
3 -242
4 Data 13082008 3 (quarta-feira)
5 Florianoacutepolis = 3303 Curitiba = 5018 Porto Alegre = 1680
Unidade 2
1 1) 150000
Dados
C = R$ 1000000
i = 5 aa
n = 3 anos = 1080 dias
J =
3) 24 meses = 2 anos
Dados
C = R$ 200000
i = 6 aa
n = 24 meses = 720 dias
M =
79
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
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c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
86
Universidade do Sul de Santa Catarina
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
87
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
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d)
e)
Exemplo 13
Usando a calculadora HP ndash 12C no modo RPN as seguintes operaccedilotildees bancaacuterias foram realizadas a conta tinha um saldo de R$ 12300 e foi feito um depoacutesito referente ao salaacuterio de R$ 189035 Em seguida foram emitidos e compensados cheques nos valores de R$ 38590 R$ 23478 e R$ 62389 Qual eacute o novo saldo da conta
Soluccedilatildeo use
para apresentar os caacutelculos com duas casas decimais
12300 189035 38590
23478 62389 76920
Saldo
2 3 5 2 0 0599
Resultado
3 2 46 5789
Resultado
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Unidade 1
Seccedilatildeo 3 ndash Funccedilotildees de percentagem e calendaacuterio
A calculadora HP ndash 12C apresenta funccedilotildees que permitem o caacutelculo de percentagens e de calendaacuterio Para caacutelculo com percentagens natildeo eacute necessaacuterio converter o nuacutemero na notaccedilatildeo percentual para a notaccedilatildeo decimal Jaacute as funccedilotildees calendaacuterio fornecidas pela HP trabalham com datas entre 15 de outubro de 1582 e 25 de novembro de 4046 A seguir vocecirc conheceraacute detalhadamente essas funccedilotildees
Funccedilotildees de percentagem
Calcula a Percentagem de um nuacutemero ou valor
Calcula a diferenccedila percentual entre dois nuacutemeros
Calcula qual percentual um nuacutemero eacute de outro
Figura 14 - Ilustraccedilatildeo das funccedilotildees de percentagem da Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Funccedilotildees de calendaacuterio
Configura o formato de uma data para dia-mecircs-ano
Configura o formato de uma data para mecircs-dia-ano
Calcula o nuacutemero de dias entre datas
Calcula datas futuras ou passadas
Figura 15 - Ilustraccedilatildeo das funccedilotildees de calendaacuterio da Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Nos exemplos a seguir estaacute demonstrado o uso de todas as funccedilotildees apresentadas Obs os caacutelculos vatildeo ser realizados no modo RPN
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Exemplo 14
Calcular 16 de R$ 198000
Soluccedilatildeo
198000 1600 31680
Resultado
Exemplo 15
Determinada empresa com accedilotildees na bolsa de valores verificou as seguintes variaccedilotildees nos valores das suas accedilotildees no dia 150508 o valor da accedilatildeo passou de R$ 5025 para R$ 5498 jaacute no dia 210508 o valor da accedilatildeo caiu de R$ 5498 para R$ 5208 Qual a diferenccedila percentual nas duas situaccedilotildees
Soluccedilatildeo a sequecircncia a seguir apresenta a variaccedilatildeo percentual
Caacutelculo da variaccedilatildeo percentual de R$ 5025 para R$ 5498 usando a HP ndash 12C
5025 5498 941
Resultado
Observe que o resultado apresentado eacute positivo portanto representa aumento
Caacutelculo da variaccedilatildeo percentual de R$ 5498 para R$ 5208 usando a HP ndash 12C
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
5498 5208 -527
Resultado
Observe que o resultado apresentado eacute negativo portanto representa queda
Exemplo 16
A empresa do exemplo anterior atua na regiatildeo sul do Brasil com vendas totais realizadas no mecircs de abril de 2008 de R$ 589636996 distribuiacutedas da seguinte forma R$ 123656939 no Paranaacute R$ 356963920 em Santa Catarina e R$ 109016137 no Rio Grande do Sul Qual a percentagem das vendas totais em cada um dos trecircs Estados
Soluccedilatildeo
A sequecircncia apresenta os percentuais nos estados do Paranaacute Santa Catarina e Rio Grande do Sul
Soluccedilatildeo
589636996 123656939 2097
356963920 6054 109016137 1849
Resultado SC Resultado RS
Resultado PR
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Exemplo 17
Comprei uma TV LCD em 17052008 com vencimento para 120 dias Determine a data do vencimento usando a calculadora HP ndash 12C
Soluccedilatildeo
17052008 120 14092008 7
A data do vencimento eacute 14 de setembro de
2008 domingo
Exemplo 18
Fiz uma compra no dia 12052008 com vencimento para o dia 26082008 Use a calculadora HP ndash 12C para determinar o nuacutemero de dias entre a data da compra e do vencimento
Soluccedilatildeo
12052008 20082008 100
Nuacutemero de dias entre as datas
Nesta unidade vocecirc conheceu algumas funccedilotildees elementares da calculadora as quais seratildeo utilizadas nas demais unidades e satildeo muito importantes para realizar caacutelculos que envolvem questotildees do nosso cotidiano Na proacutexima unidade vocecirc vai usar as funccedilotildees financeiras da calculadora para calcular juros simples e compostos descontos simples e compostos
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
Efetue as atividades de autoavaliaccedilatildeo e acompanhe as respostas e comentaacuterios a respeito nas paacuteginas finais deste material Para melhor aproveitamento do seu estudo realize a conferecircncia de suas respostas somente depois de fazer as atividades propostas Desse modo o momento da conferecircncia lhe proporcionaraacute novas oportunidades de aprendizagem
1 Calcule o valor das expressotildees numeacutericas a seguir usando a HP ndash 12C nos modos RPN e ALG
a) 2 5 3 8 24 minus + divide =x
b) minus + minus =3 5 32 3x eln
c) 16 25 3 45 89+ minus =x
d) 2
35 5
3+ minus =ln
e) 0 253
55
2 + minus =minus
2 Use a HP ndash 12C para realizar os caacutelculos e informar o saldo final da seguinte movimentaccedilatildeo financeira Saldo inicial na conta R$ 167890 depoacutesito de R$ 143587 cheques compensados nos valores de R$ 34598 R$ 12345 R$ 65790 e R$ 30987
3 No dia 130508 o doacutelar americano estava cotado em R$ 165 no dia 190508 a cotaccedilatildeo foi de R$ 161 Com base nestes dados indique qual foi a variaccedilatildeo percentual do doacutelar
4 Foi realizada uma compra em um supermercado no valor de R$ 67890 em 150508 Sabendo que esse estabelecimento trabalha com prazo de 90 dias use as funccedilotildees calendaacuterio da HP ndash 12C e determine a data e o dia da semana do vencimento
5 Uma empresa tem vendas mensais para o mecircs de maio de 2008 estimadas em R$ 178909000 Sabendo que o valor total das vendas estaacute distribuiacutedo nas cidades de Florianoacutepolis Curitiba e Porto Alegre com valores correspondentes a R$ 59089000 R$ 89767898 e R$ 30052102 respectivamente determine qual percentagem das vendas totais ocorre em cada uma das cidades
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Saiba mais
HPndash12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
No link abaixo vocecirc tem disponiacutevel o manual da calculadora HP ndash 12C na versatildeo online lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt
2UNIDADE 2
Regimes de capitalizaccedilatildeo simples e composto
Objetivos de aprendizagem
Fazer uso das funccedilotildees financeiras da calculadora HP ndash 12C para calcular juros simples e composto
Dominar o caacutelculo do montante simples e composto
Aprender o caacutelculo de desconto simples e composto
Calcular capital taxa e prazo no regime de capitalizaccedilatildeo composto usando a HP ndash 12C
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Regime de capitalizaccedilatildeo simples
Seccedilatildeo 2 Regime de capitalizaccedilatildeo composto
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc vai fazer uso das funccedilotildees financeiras da HP ndash 12C com o objetivo de realizar caacutelculos de juros simples e composto montantes simples e composto descontos simples e composto caacutelculo de taxas e prazos
Nesta etapa de estudos seratildeo utilizados exemplos do material didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira que estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do Espaccedilo Virtual de Aprendizagem ndash EVA Eacute importante lembrar natildeo ser objetivo deste curso discutir os conceitos da Matemaacutetica Financeira mas apenas utilizar as funccedilotildees disponibilizadas na calculadora para resolver problemas relacionados a essa aacuterea Entretanto caso vocecirc julgue importante os conceitos podem ser relembrados ou vistos no material didaacutetico da disciplina
Seccedilatildeo 1 ndash Regime de capitalizaccedilatildeo simples
Na unidade 1 vocecirc foi apresentado(a) agrave calculadora HP ndash 12C e a algumas das suas funccedilotildees com o objetivo de capacitaacute-lo(a) para o uso adequado dessa ferramenta Esta unidade inicia com uma abordagem sobre os registradores financeiros os quais seratildeo utilizados na maioria dos exemplos que deveratildeo ser resolvidos ao longo das proacuteximas seccedilotildees desta unidade e nas demais unidades deste curso Veja na ilustraccedilatildeo a seguir os registradores financeiros e as suas aplicaccedilotildees
Registra e armazena periacuteodo
Registra e armazena taxa
Registra e armazena valor presente
Registra e armazena pagamentos perioacutedicos
Registra e armazena valor futuro
Figura 21 - Registradores financeiros e as suas aplicaccedilotildees Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
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Unidade 2
Para armazenar um nuacutemero em um registrador financeiro digite o nuacutemero e em seguida uma das teclas correspondentes ilustradas acima
Para exibir um nuacutemero armazenado em um dos registradores financeiros aperte e em seguida a tecla correspondente
Para zerar todos os registradores financeiros aperte a sequecircncia de teclas
Eacute importante lembrar que os registradores financeiros tambeacutem satildeo zerados ao apertar a sequecircncia
e quando a memoacuteria contiacutenua eacute
reinicializada
A seguir vocecirc faraacute caacutelculo de juros simples e de descontos simples usando a HP ndash 12C
Regime de capitalizaccedilatildeo simples
A HP ndash 12C calcula automaticamente juros simples ordinaacuterios ndash usando o ano comercial e juros simples exatos ndash usando um ano de 365 dias simultaneamente
Eacute possiacutevel apresentar qualquer um dos dois e mais com os juros acumulados no mostrador podemos calcular o montante apertando a tecla
Para exemplificar vamos resolver problemas do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira que se encontra disponiacutevel (formato digital) na ferramenta Midiateca do EVA ndash Espaccedilo Virtual de Aprendizagem
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Exemplo 21 (exemplo 1 paacuteg 29 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital de R$ 1800000 foi aplicado a juros simples durante 3 anos agrave taxa de 6 aa Qual eacute o valor dos juros e o montante adquirido
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula os juros e o montante
Exemplo 22 (exemplo 1 paacuteg 33 do livro Matemaacutetica Financeira)
Ache os juros simples exatos auferidos em uma aplicaccedilatildeo de R$ 1500000 a uma taxa de 16 aa de 20 de abril de 2003 a 1ordm de julho de 2003
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula os juros comerciais e os juros exatos
Neste exemplo utilizamos duas teclas que seratildeo ilustradas a seguir para realizar o caacutelculo dos juros exatos
1800000 1080 6
324000 2124000
Juros Montante
No caacutelculo de Juros simples o periacuteodo deve ser em dias
Calcula juros simples
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Unidade 2
1500000 20042003 01072003
72 16 48000 47342
Juro comercial Juro exato nordm de dias
Ao apertar essa tecla ela rola para baixo o conteuacutedo da pilha para visualizaccedilatildeo no registro X
Ao apertar essa tecla ela troca o conteuacutedo dos registros X e Y da pilha
Figura 22 - Teclas utilizadas para registros de dados Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Exemplo 23 (exemplo 2 paacuteg 34 do livro Matemaacutetica Financeira)
Determine o juro simples exato obtido em uma aplicaccedilatildeo de R$ 1300000 durante 146 dias a uma taxa de 9 aa
Soluccedilatildeo a sequecircncia a seguir realiza os caacutelculos solicitados
1330000 146 9
48545 47880
Juro comercial Juro exato
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Exemplo 24 (exemplo 1 paacuteg 47 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma duplicata de R$ 1500000 com vencimento no dia 03042005 foi descontada em um banco em 08012005 a uma taxa de 25 am Qual eacute o desconto simples bancaacuterio da operaccedilatildeo
Soluccedilatildeo
08012005 03042005 85
1500000 0025 30 106250
Taxa decimal Desconto bancaacuterio
Nordm de dias entre as datas
Exemplo 25 (exemplo 1 paacuteg 48 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma empresa descontou um tiacutetulo com valor de face de R$ 1450000 3 meses e 15 dias antes do vencimento com uma taxa de desconto bancaacuterio simples de 24 am Quanto a empresa recebeu liacutequido na operaccedilatildeo
Soluccedilatildeo
1450000 0024 35 1450000 1328200
Periacuteodo em meses Valor liacutequidoTaxa decimal
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Unidade 2
Exemplo 26 (exemplo 1 paacuteg 49 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma duplicata de R$ 4800000 foi descontada 6 meses antes de seu vencimento em uma instituiccedilatildeo financeira que trabalha com uma taxa de desconto simples de 32 am Com base nestes dados determine
o valor do desconto simples bancaacuterio
o valor do desconto simples racional
Soluccedilatildeo
4800000 6 0032 921600
Taxa decimal Valor liacutequido
921600 1 0032
6 773154
Taxa decimal Valor liacutequido
Na proacutexima seccedilatildeo vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros compostos e de desconto compostos
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Seccedilatildeo 2 ndash Regime de capitalizaccedilatildeo composto
Os exemplos apresentados a partir de agora satildeo ilustrativos de uma ampla variedade de caacutelculos financeiros Para resolvecirc-los vocecirc precisa estruturaacute-los identificando os elementos baacutesicos do problema de maneira que fiquem evidentes as quantidades que devem ser fornecidas agrave calculadora e quem eacute o valor desconhecido ou seja o valor que desejamos determinar
Na resoluccedilatildeo dos caacutelculos usando a HP ndash 12C eacute indispensaacutevel elaborar o diagrama de fluxo de caixa Eacute importante ressaltar que a calculadora precisa de ajuda para comparar o fluxo de caixa ou seja eacute preciso informar quando temos uma entrada ou uma saiacuteda
O fluxo de caixa serve para demonstrar graficamente as transaccedilotildees financeiras em um periacuteodo de tempo
O tempo eacute representado por uma linha horizontal dividida pelo nuacutemero de periacuteodos relevantes para anaacutelise As entradas ou recebimentos satildeo representados por setas verticais apontadas para cima e as saiacutedas ou pagamentos satildeo representados por setas verticais apontadas para baixo Observe o modelo simplificado
(+) entradas
(-) saiacutedas
tempo (n)
Veja agora o modelo detalhado
Entradas
Saiacutedas
Tempo
Fluxo de caixa pode ser definido como sendo a movimentaccedilatildeo de recursos financeiros (entradas e saiacutedas de caixa) ao longo de um periacuteodo de tempo - agrave entrada e saiacuteda de dinheiro O conceito caixa (financeiro) natildeo pode ser confundido com conceito de competecircncia (contaacutebil)
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Unidade 2
Na HP-12C a tecla (do inglecircs Change Sign) serve para introduzir ou tirar um sinal negativo de um nuacutemero ou seja faz o fluxo de caixa
Na sequecircncia de exemplos apresentados a seguir realizaremos caacutelculos de juros montantes valor presente prazo taxa de juros e descontos no regime composto com o auxiacutelio dos registradores financeiros da calculadora HP ndash 12C
Exemplo 27 (exemplo 1 paacuteg 58 do livro Matemaacutetica Financeira)
Qual o montante gerado por um capital de R$ 450000 aplicado por 9 meses a juros compostos a uma taxa de 35 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o montante composto
450000 9 35 613304
MontanteFluxo de caixa saiacuteda do dinheiro para aplicaccedilatildeo
Exemplo 28 (exemplo 2 paacuteg 58 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital de R$ 1200000 foi aplicado a juros compostos durante 6 meses agrave taxa de 2 am Calcule os juros auferidos na aplicaccedilatildeo
Soluccedilatildeo use a sequecircncia a seguir para calcular os juros
1200000 6 2
1351395 151395
Montante Juros
Fluxo de caixa saiacuteda do dinheiro para aplicaccedilatildeo
Recupera um valor em um registrador
financeiro
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Exemplo 29 (exemplo 3 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital ldquoXrdquo eacute aplicado a juros compostos agrave taxa de 35 am gerando um montante de R$ 1950000 apoacutes 1 ano e 3 meses Determine o capital ldquoXrdquo
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar o capital
1950000 35 15 -1163937
Capital aplicado
Exemplo 210 (exemplo 4 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
A que taxa mensal de juros compostos um capital de R$ 1250000 pode transformar-se em R$ 1537342 no periacuteodo de 7 meses
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
1250000 1537342 7 300
Taxa de juros mensal
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Unidade 2
Exemplo 211 (exemplo 5 paacuteg 60 do livro Matemaacutetica Financeira)
Em que prazo um empreacutestimo de R$ 3500000 pode ser pago pela quantia de R$ 4790000 se a taxa de juros compostos cobrada for de 4 am
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
3500000 4790000 4 8
Periacuteodo em meses
Funccedilatildeo ldquoCrdquo na HP ndash 12C e as teclas ldquoSTOrdquo e ldquoEEXrdquo
Vocecirc pode calcular taxa de juros (i) Capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos Perioacutedicos (PMT) para transaccedilotildees financeiras com periacuteodos fracionaacuterios Ao digitar um periacuteodo fracionaacuterio por exemplo 23 meses a parte inteira do nuacutemero indica o nuacutemero de periacuteodos inteiro e a parte fracionaacuteria do nuacutemero o tamanho do periacuteodo fracionaacuterio como uma fraccedilatildeo do periacuteodo inteiro (no exemplo 2 meses e 03 meses)
De acordo com o criteacuterio do usuaacuterio os caacutelculos de taxa de juros ( i ) capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos perioacutedicos (PMT) podem ser executados com juros simples ou compostos acumulados durante o periacuteodo fracionaacuterio Para escolher uma das duas opccedilotildees faccedila
Aparece o indicador ldquoCldquo Portanto os juros compostos satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Natildeo aparece o indicador ldquoCrdquo Portanto os juros simples satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Figura 23 - Teclas utilizadas para caacutelculo de juros simples e compostos para periacuteodo fracionaacuterio Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
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Exemplo 212
Calcular o valor futuro de uma aplicaccedilatildeo de R$ 185030000 aplicado agrave taxa de 14 aa durante 45 anos usando juros compostos e simples para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Soluccedilatildeo as sequecircncias a seguir apresentam os resultados para o caacutelculo do valor futuro com juros simples para o periacuteodo fracionaacuterio e juros compostos para o periacuteodo fracionaacuterios respectivamente
185030000 14
45 334383879
Valor futuro calculado com juros simples para o periacuteodo
fracionaacuterio
185030000
14 45 333667556
Valor futuro calculado com juros compostos para o
periacuteodo fracionaacuterio
Exemplo 213 (exemplo 1 paacuteg 81 do livro Matemaacutetica Financeira)
Determine o valor do desconto composto racional e o valor do resgate de um tiacutetulo de R$ 1560000 descontado 5 meses antes do seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto composto racional eacute de 4 am
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Unidade 2
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor do desconto racional composto e o valor liacutequido a receber
1560000 1
1 004 5
277794 1560000 1282206
Valor do desconto Valor liacutequido
Exemplo 214 (exemplo 1 paacuteg 84 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um tiacutetulo de valor nominal de R$ 1500000 eacute descontado em um banco 3 meses antes de seu vencimento Se a taxa de desconto comercial usada pelo banco eacute de 8 am qual eacute o valor do desconto
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor liacutequido e o valor do desconto bancaacuterio ou comercial
1500000 3 8
-1168032 331968
Valor liacutequido Valor do desconto
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Nesta unidade vocecirc usou a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros simples e compostos descontos simples e compostos valor presente taxa de juros periacuteodo e montante Na proacutexima unidade usaremos a ferramenta para auxiliar no caacutelculo de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir foram propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo em PDF estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as questotildees 1 3 5 e 6 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteginas 38 e 39 Confira os resultados na paacuteg 194
1) Qual o rendimento que obtemos ao aplicarmos um capital de R$ 1000000 a uma taxa de juros simples de 5 aa durante 3 anos
3) Em um regime de capitalizaccedilatildeo simples qual eacute o montante que se obteacutem quando aplicamos um capital de R$ 200000 a uma taxa 6 aa durante 24 meses
5) Uma quantia de R$ 6200000 foi aplicada em uma operaccedilatildeo financeira no dia 20 de setembro de 2003 e resgatada no dia 21 de dezembro de 2003 a uma taxa de 125 aa Quais os juros simples exatos e comerciais da operaccedilatildeo
6) Calcule os juros simples exatos e comerciais nas seguintes condiccedilotildees
bull R$ 600000 aplicados por 180 dias a 12 aa
bull R$ 520000 aplicados por 230 dias a 15 aa
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Unidade 2
2 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 2 e 4 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegs 52 e 53 Confira os resultados nas paacuteginas 194 e 195
1) Uma empresa desconta uma duplicata no valor nominal de R$ 5000000 no Banco ldquoXrdquo 4 meses antes do seu vencimento Sabendo que o banco ldquoXrdquo trabalha com uma taxa de desconto simples bancaacuterio de 45 am qual eacute o valor do desconto e o valor liacutequido recebido
2) Para pagar uma diacutevida hoje uma empresa descontou em uma carteira de creacutedito uma duplicata no valor de R$ 1650000 com vencimento daqui a 2 meses recebendo um valor nominal liacutequido de R$ 1500000 Determine a taxa mensal de desconto simples bancaacuterio utilizada
4) Uma letra de cacircmbio no valor nominal de R$ 500000 foi comercializada 4 meses antes do vencimento a uma taxa de desconto simples de 22 am Se o desconto simples fosse o racional qual seria o valor deste desconto
3 Elabore uma sequecircncia de passos para resolver as questotildees propostas 1 2 3 4 e 6 nas paacuteginas 65 66 e 67 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira e confira os resultados na paacuteg 195
1) Calcule o montante produzido por um capital de R$ 2600000 aplicado a uma taxa de juros compostos de 52 am por 6 meses
2) Calcule os juros compostos auferidos por um capital de R$ 420000 aplicado a uma taxa de 3 am durante 10 meses
3) Um empreacutestimo de R$ 600000 deve ser pago em 120 dias a juros compostos pelo valor de R$ 900000 Qual eacute a taxa mensal da operaccedilatildeo
4) Em que prazo uma aplicaccedilatildeo a juros compostos de R$ 2400000 produziraacute um montante de R$ 6151930 agrave taxa de 4 am
6) Quanto Paulo deve aplicar hoje a juros compostos em uma instituiccedilatildeo financeira que paga uma taxa de 12 am para pagar um compromisso de valor nominal igual a R$ 3800000 que vence daqui a 3 meses
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4 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 e 8 das paacuteginas 88 e 90 respectivamente do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira Confira os resultados na paacuteg 196
1) Determine o valor do desconto composto racional de um tiacutetulo de valor nominal de R$ 830000 descontado 6 meses antes de seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto eacute de 42 am
8) Um tiacutetulo de R$ 3000000 foi descontado em uma instituiccedilatildeo financeira a uma taxa de desconto composto comercial de 64 am e o valor liacutequido recebido era de R$ 2017327 Quantos meses antes do vencimento foi descontado este tiacutetulo
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
3UNIDADE 3
Taxas de juros equivalentes e caacutelculo de pagamentos perioacutedicos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para calcular taxas equivalentes
Usar as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP ndash 12C para programar o algoritmo da taxa equivalente no regime de capitalizaccedilatildeo composto
Calcular pagamentos perioacutedicos de sequecircncias uniformes postecipadas e antecipadas
Calcular montante de uma sequecircncia uniforme
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Taxas equivalentes
Seccedilatildeo 2 Sequecircncia de capitais
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar taxas equivalentes no regime de capitalizaccedilatildeo composto Vocecirc usaraacute as funccedilotildees de programaccedilatildeo com o objetivo de elaborar um algoritmo para fazer a conversatildeo de taxas de um periacuteodo de capitalizaccedilatildeo (ex mensal) para outro periacuteodo (ex anual) usando o programa Vamos explorar as funccedilotildees ldquoPMTrdquo ldquoBEGrdquo e ldquoENDrdquo para realizar caacutelculo de pagamentos antecipados e postecipados em uma sequecircncia uniforme Destacamos que os exemplos que seratildeo apresentados estatildeo no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira
Seccedilatildeo 1 ndash Taxas equivalentes
Nesta unidade vocecirc usaraacute algumas funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos (postecipados e antecipados) de uma seacuterie uniforme Vocecirc usaraacute ainda as funccedilotildees de programaccedilatildeo para elaborar um programa para calcular taxas equivalentes A figura a seguir apresenta as funccedilotildees que vocecirc usaraacute nos exemplos apresentados posteriormente
Aciona o modo de programaccedilatildeo de HP ndash 12C
Aciona a funccedilatildeo Begin que calcula a parcela com pagamento antecipado
Aciona a funccedilatildeo End (natildeo aparece no visor da calculadora) que calcula parcela com pagamento postecipado
Figura 31 - Teclas utilizadas para acionar as funccedilotildees Beg e End e entrar no modo de programaccedilatildeo
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
Taxas equivalentes
No mercado financeiro e nas operaccedilotildees bancaacuterias e comerciais a palavra taxa eacute empregada de vaacuterias formas ou seja vaacuterios conceitos satildeo abordados em vaacuterias situaccedilotildees Esta seccedilatildeo tem como objetivo mostrar como as taxas de juros satildeo informadas no mercado financeiro e como adequaacute-las agraves condiccedilotildees padronizadas pela HP ndash 12C
Duas taxas satildeo consideradas equivalentes a juros compostos quando aplicadas a um mesmo capital por um periacuteodo de tempo equivalente e geram o mesmo rendimento
Exemplo 31(exemplo 1 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
No regime de juros compostos qual a taxa anual equivalente a 4 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente anual
Exemplo 32 (exemplo 2 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
Calcule a taxa quadrimestral equivalente agrave taxa de juros compostos de 8 aa
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente quadrimestral
1 004 12 1 1 10000 6010
Taxa anual
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1 008 1 3 1 10000 260
Taxa quadrimestral
Programa para caacutelculo da taxa equivalente pela hp ndash 12c
O professor Carlos Shinoda em seu livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48) apresenta um programa para calcular a taxa equivalente atraveacutes da calculadora HP ndash 12C
Siga os procedimentos abaixo para introduzir o programa na HP ndash 12C
Figura 32 - Algoritmo para a programaccedilatildeo de taxa equivalente
Fonte Livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48)
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
Agora que vocecirc programou a HP ndash 12C para o caacutelculo de taxas equivalentes resolva o exemplo a seguir usando o programa
Exemplo 33
Usando o programa anterior determine as taxas equivalentes propostas nos exemplos 31 e 32
Soluccedilatildeo
As sequecircncias abaixo calculam as taxas equivalentes
Executa oprograma
4 1 12 6010
Taxa anual
Executa oprograma
8 360 120 260
Taxa quadrimestral
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Seccedilatildeo 2 ndash Sequecircncia de capitais
Nesta seccedilatildeo vocecirc acompanharaacute as situaccedilotildees em que haacute mais de um pagamento ou seja vocecirc estudaraacute as operaccedilotildees envolvendo pagamentos ou recebimentos perioacutedicos e uniformes
As seacuteries uniformes de pagamentos satildeo aquelas em que os pagamentos ou recebimentos satildeo constantes e ocorrem em intervalos iguais
Seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas e antecipadas
As seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1 Este sistema eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada (0 + n)
Pagamentos ou recebimentos podem ser chamados de prestaccedilatildeo representada pela sigla PMT que vem do inglecircs Payment e significa pagamento ou recebimento
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentosPMT
++
0 1 2 3 4 5 6 n
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
++
0 1 2 3 4 5 6 n
PMT
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
As seacuteries uniformes de pagamentos antecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre na data focal 0 (zero) Este tipo de sistema de pagamento eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento com entrada (1+ n)
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
Exemplo 34 (exemplo 2 paacuteg 108 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um automoacutevel eacute vendido em uma loja por R$ 3200000 A loja propotildee as seguintes condiccedilotildees para financiamento
Proposta A 12 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta B 24 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta C 36 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
A taxa de juros usada eacute de 32 am Qual o valor de cada prestaccedilatildeo nas 3 modalidades de financiamento
Soluccedilatildeo
As sequecircncias a seguir calculam os valores das parcelas nas trecircs propostas
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3200000
32 12 -325329
parcela
3200000
32 24 -193046
parcela
3200000
32 36 -150979
parcela
Exemplo 35 (exemplo 2 paacuteg 111 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma casa cujo valor agrave vista eacute R$ 4924456 eacute vendida em prestaccedilotildees mensais e iguais de R$ 250000 sendo a primeira dada como entrada Se a taxa de financiamento eacute de 18 am determine o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas no financiamento
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o nuacutemero de parcelas
4924456 18
250000 24
nordm de parcelas
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Unidade 3
No exemplo acima o nuacutemero de pagamento deu um nuacutemero inteiro Mas podem acontecer situaccedilotildees em que ao se determinar o nuacutemero de parcelas o resultado natildeo seja um nuacutemero inteiro
Nessa situaccedilatildeo a HP ndash 12C arredonda a resposta para o proacuteximo inteiro para cima antes de armazenaacute-la e exibi-la
Exemplo 36
Vocecirc comprou um terreno por R$ 3500000 a juros de 105 aa Vocecirc pretende fazer pagamentos de R$ 32500 no fim de cada mecircs Quantos pagamentos seratildeo necessaacuterios para pagar o terreno e quanto tempo levaraacute
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o nuacutemero de pagamentos e o tempo necessaacuterio
3500000 105
32500 328 2733
nordm de parcelas Tempo (anos)
Como a calculadora arredonda o valor do tempo para o proacuteximo inteiro eacute provaacutevel que apesar de serem necessaacuterios 328 pagamentos somente 327 seratildeo inteiros de R$ 32500 com o pagamento final sendo menor do que R$ 32500 Para calcular o valor do pagamento de nuacutemero 328 vamos fazer o seguinte
A calculadora natildeo ajusta os valores nos outros registros financeiros automaticamente para refletir os n pagamentos iguais ao contraacuterio ela lhe permite escolher quais valores (se houver) que vocecirc deseja ajustar
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328 18189 - 32500 -14311
Valor da parcela 328
Nesta unidade vocecirc calculou taxas equivalentes usou as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP e fez caacutelculos de pagamentos perioacutedicos de uma seacuterie uniforme antecipado ou postecipado Na proacutexima unidade vamos realizar caacutelculos de valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades abaixo (Essa atividade corresponde agrave autoavaliaccedilatildeo 1 da unidade 5 do livro didaacutetico de Matemaacutetica Financeira) Em seguida use o programa elaborado para resolver a mesma questatildeo
Calcule a taxa anual das seguintes taxas
a) 26 am
b) 42 ab
c) 48 at
d) 12 as
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Unidade 3
2 Elabore um algoritmo para resolver as seguintes atividades (Estas questotildees equivalem agraves autoavaliaccedilotildees 1 2 3 4 e 5 da unidade 8 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 121 122 e 123)
a) Calcule o valor da prestaccedilatildeo mensal de um empreacutestimo de R$ 600000 que seraacute amortizado em 12 prestaccedilotildees mensais postecipadas sabendo que o banco cobra uma taxa de juros de 2 am
b) Uma loja vende um automoacutevel agrave vista por R$ 1650000 Se o comprador quiser fazer um financiamento em 36 parcelas mensais e iguais onde o 1ordm pagamento seraacute efetuado no 1ordm mecircs apoacutes a compra a uma taxa de juros de 21 am qual o valor da prestaccedilatildeo
c) Uma mercadoria custa R$ 9038071 agrave vista podendo ser vendida em prestaccedilotildees mensais de R$ 1050000 sendo a primeira prestaccedilatildeo dada como entrada Sabendo-se que a loja aplica uma taxa de 35 am qual o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas
d) Carlos depositou certa quantia durante 10 meses de forma antecipada a uma taxa de 25 am obtendo um montante de R$ 25000000 Quanto depositou mensalmente Carlos
e) Um produto eacute vendido agrave vista por R$ 200000 ou em 10 prestaccedilotildees mensais iguais sem entrada com uma carecircncia de 90 dias apoacutes a compra Qual o valor de cada prestaccedilatildeo sabendo que a taxa de juros eacute de 6 am
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
4UNIDADE 4
Valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa
Usar as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Valor presente liacutequido
Seccedilatildeo 2 Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs ndash SFA (Price)
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa usando as funccedilotildees CF0 CFj e NPV Vocecirc deveraacute ainda fazer uso da funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos usando o Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo ndash SFA ou tabela Price
Seccedilatildeo 1 ndash Valor presente liacutequido
A figura 41 a seguir apresenta as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C que vocecirc usaraacute nessa unidade para realizar caacutelculo de valor presente liacutequido e para a elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos ou financiamento
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor inicial do fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor do fluxo de caixa no periacuteodo j
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula o valor presente atual de um fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula a parte dos pagamentos usada para pagar juros
Figura 41 - Teclas para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
Valor presente liacutequido
Nessa seccedilatildeo vocecirc usaraacute as funccedilotildees da HP ndash 12C para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa Para entender como usar as funccedilotildees CF0 CFj e NPV considere o fluxo de caixa para um investimento que exige capital inicial (CF0) e que gera um fluxo de caixa (CFj ) no final de j periacuteodos
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Unidade 4
Veja a seguir o fluxo de caixa
CF0CF1
CF2 CF5
CFn
CF3 CF4
O VPL = Valor Presente Liacutequido eacute calculado somando ao investimento inicial o valor presente dos fluxos de caixa futuros projetados Portanto
se o VPL for positivo o valor financeiro do ativo do investidor aumentaraacute ou seja o investimento financeiro seraacute atrativo em termos financeiros
se o VPL for zero o valor financeiro do ativo financeiro do investidor natildeo mudaraacute ou seja o investidor seraacute indiferente ao investimento
se o VPL for negativo o valor financeiro do ativo do investidor seraacute reduzido ou seja o investimento natildeo seraacute atrativo em termos financeiros
Exemplo 41
Um investidor compra uma casa por R$ 7000000 e gostaria de ter um retorno de pelo menos 15 Ele pretende manter a casa por 4 anos e depois vendecirc-la por R$ 11000000 Ele prevecirc os fluxos de caixa mostrados no diagrama abaixo
CF0CF1
CF1
CF3CF4
CF5
R$ 7000000
R$ 50000
R$ 450000R$ 450000
R$ 13000000R$ 550000
Sendo assim calcule o VPL para determinar se o investimento resultaria em um retorno ou perda
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Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o VPL
7000000 50000
450000 550000 450000
13000000 15 379007
VPL
Como o VPL eacute positivo o investimento aumentaria o valor financeiro do ativo do investidor
Exemplo 42 (exemplo 4 paacuteg 98 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um proprietaacuterio recebeu as seguintes propostas para a venda de uma casa
Proposta A entrada de R$ 10000000 + R$ 5000000 em 6 meses + R$ 6000000 em 1 ano
Proposta B entrada de R$ 8000000 + R$ 6000000 em 5 meses + R$ 7000000 em 10 meses
Sabendo-se que a taxa de juros de mercado eacute de 3 am qual a melhor proposta para o vendedor
Soluccedilatildeo
Essa questatildeo deve ser resolvida pelo meacutetodo do Valor Presente Liacutequido A alternativa que tiver o maior valor seraacute a melhor Entretanto para facilitar a elaboraccedilatildeo do algoritmo de resoluccedilatildeo na HP ndash 12C elabore o fluxo de caixa para cada situaccedilatildeo
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Unidade 4
1 Proposta A Fluxo de caixa
10000000 5000000 6000000
1 2 3 4 5 7 8 9 10 110 6 12
Calculando o VPL
10000000 000 5
5000000 000
5
6000000
3
18395701
VPL
Armazena o zero 5 vezes
2 Proposta B Fluxo de caixa
8000000 70000006000000
1 2 3 4 6 7 8 90 5 10
Calculando o VPL
8000000 000 4
6000000 000
4
7000000
3
18384310
VPL
Armazena o zero 4 vezes
Resposta a melhor proposta eacute a A
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Exemplo 43
Dois equipamentos satildeo examinados Considerando ser a taxa miacutenima de atratividade de 20aa qual o equipamento que deve ser adquirido
Dados
41 - Tabela de DadosEquipamento K Equipamento L
Custo R$ 5000000 R$ 8000000Custo anual de manutenccedilatildeo R$ 2000000 R$ 1500000Valor residual para venda R$ 400000 R$ 800000Duraccedilatildeo em anos 10 10
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
A seguir veja o diagrama de fluxo de caixa
Os caacutelculos do Valor Presente Liacutequido para as duas situaccedilotildees satildeo
Equipamento K
5000000
Equipamento K
2000000
400000
0 1 2 10
8000000
Equipamento L
1500000
800000
0 1 2 10
50000 20000
9 4000 20000 1
20 -13320342
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Unidade 4
Equipamento L
80000 15000
9 8000 15000 1
20 -14159504
Importante Veja que a alternativa K equivale a um equipamento em que se investe R$ 13320342 enquanto que o equipamento L equivale a um investimento de R$ 14159504 Portanto eacute preferiacutevel o equipamento K pois o investimento eacute menor
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Seccedilatildeo 2 ndash Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs - SFA
Este sistema consiste no pagamento de empreacutestimos ou financiamentos com prestaccedilotildees iguais e com periodicidade constante Eacute considerado o sistema de amortizaccedilatildeo mais utilizado pelas instituiccedilotildees financeiras e pelo comeacutercio em geral
O Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo eacute assim chamado por ter sido inventado na Franccedila por volta do seacuteculo XVIII pelo matemaacutetico inglecircs Richard Price daiacute portanto a origem da denominaccedilatildeo Sistema Price tambeacutem comumente chamado de Tabela Price
Na verdade a Tabela Price eacute um caso particular derivado do Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo Neste sistema o financiamento (PV) eacute pago em parcelas (PMT) iguais constituiacutedas da amortizaccedilatildeo do principal da diacutevida + juros compensatoacuterios (J) que variam inversamente ao longo do tempo Ou seja agrave medida que aumenta o valor da parcela de amortizaccedilatildeo haveraacute uma queda dos juros compensatoacuterios em funccedilatildeo da reduccedilatildeo do saldo devedor
Principais Caracteriacutesticas
As principais caracteriacutesticas do SFA satildeo
a prestaccedilatildeo eacute constante durante todo o periacuteodo do financiamento
a parcela de amortizaccedilatildeo aumenta a cada periacuteodo (n)
os juros compensatoacuterios diminuem a cada periacuteodo (n)
Exemplo 44 (exemplo 1 paacuteg 148 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma instituiccedilatildeo financeira libera um empreacutestimo para uma induacutestria no valor de R$ 60000000 para ser pago pelo sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs em 120 meses a uma taxa de 15 am Faccedila a planilha ateacute o 4ordm mecircs e calcule o saldo devedor no 100ordm mecircs
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Unidade 4
Soluccedilatildeo
A sequecircncia abaixo calcula o valor da prestaccedilatildeo os juros a amortizaccedilatildeo o saldo devedor e valor do saldo devedor no 100ordm mecircs Acompanhe
Zera os registradores
60000000 Armazena o valor presente
120 Armazena o periacuteodo
15 Armazena a taxa
- R$ 1081111 Valor da prestaccedilatildeo
1 - R$ 900000 Valor dos juros da 1ordf parcela
R$ 181111Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 1ordf parcela
R$ 58918889 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 897283 Valor dos juros da 2ordf parcela
- R$ 183828Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 2ordf parcela
R$ 59635061 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 894526 Valor dos juros da 3ordf parcela
- R$ 186585Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 3ordf parcela
R$ 59448476 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 891727 Valor dos juros da 4ordf parcela
- R$ 189384Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 4ordf parcela
R$ 59259092 Recupera o saldo devedor
A tabela a seguir apresenta um resumo das operaccedilotildees realizadas
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Tabela 42 ndash Planilha de amortizaccedilatildeoPeriacuteodo (n) Amortizaccedilatildeo (A) Juros (J) Prestaccedilotildees (R) Saldo Devedor (S)
0 - - - R$ 600000001 R$ 181111 R$ 900000 R$ 1081111 R$ 598188892 R$ 183828 R$ 897283 R$ 1081111 R$ 596350613 R$ 186585 R$ 894526 R$ 1081111 R$ 594484764 R$ 189384 R$ 891727 R$ 1081111 R$ 59259092
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Para determinar o saldo devedor no 100ordm mecircs faccedila como indicado a seguir
60000000 120 150
-1081111 18561247
Prestaccedilatildeo Saldo devedor no 100ordm mecircs
Nesta unidade vocecirc usou as funccedilotildees de fluxo de caixa para calcular o valor presente liacutequido e a funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
69Unidade 4
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Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades a seguir (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 4 e 5 da unidade 7 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegina 102) Em seguida use o programa elaborado para resolver as mesmas questotildees
a) Qual das alternativas de pagamento eacute a melhor para uma taxa de juros compostos de 75 am
Alternativa A Pagamento de R$ 15000000 agrave vista
Alternativa B Entrada de R$ 5000000 + R$ 8000000 em 90 dias + R$ 6000000 em 150 dias
b) Uma pessoa deve a um banco dois tiacutetulos com valores de R$ 300000 e R$ 600000 venciacuteveis respectivamente em 4 meses e 8 meses Se a pessoa deseja antecipar para hoje a liquidaccedilatildeo dos tiacutetulos qual o valor a pagar considerando que o banco opera com uma taxa de juros compostos de 23 am
2 Elabore um algoritmo para resolver as atividades abaixo (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 1 e 4 da unidade 10 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 151 e 153)
a) Um cliente solicita a um banco um empreacutestimo de R$ 4000000 pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs em 60 prestaccedilotildees mensais Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de juros de 28 am obtenha o valor da prestaccedilatildeo e o saldo devedor depois de pagar a 20ordf prestaccedilatildeo
b) Um empreacutestimo de R$ 30000000 seraacute saldado em 50 prestaccedilotildees mensais a uma taxa de 15 am Determine a parcela de juros relativa agrave 15ordf prestaccedilatildeo pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs (price)
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Saiba mais
Manual da calculadora HP ndash 12C
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico ndash 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7ed Satildeo Paulo Atlas 2000
Para concluir o estudo
Com o teacutermino desse curso de extensatildeo acreditamos que proporcionamos momentos de aprendizagem por meio da interaccedilatildeo da calculadora financeira e que vocecirc estaacute habilitado(a) a fazer uso dessa ferramenta com qualidade no mercado de trabalho relacionado a essa aacuterea tatildeo importante no nosso dia-a-dia
Referecircncias
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7 ed Satildeo Paulo Atlas 2000
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003 Disponiacutevel em lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt Acesso em 05 jun 2008
Sobre o professor conteudista
Joseacute Humberto Dias de Toledo - eacute Mestre em Educaccedilatildeo pela Universidade do Sul de Santa Catarina Graduado em Licenciatura em Matemaacutetica e em Engenharia Civil Professor das disciplinas Meacutetodos Numeacutericos Informaacutetica Aplicada agrave Matemaacutetica Financeira Caacutelculo I e Matemaacutetica Financeira no Curso de Matemaacutetica ndash Licenciatura nesta mesma instituiccedilatildeo Atualmente ministra a disciplina Representaccedilotildees Graacuteficas na Poacutes-graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo Matemaacutetica da UNISUL
Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo
Unidade 1
1 a) 5
b) -2359
c) 3311
d) 077
e) 081
Respostas modo RPN
a)
b)
c)
d)
e)
Respostas modo ALG
a
b
c
d
e
78
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 R$ 167757
Modo RPN
Modo ALG
3 -242
4 Data 13082008 3 (quarta-feira)
5 Florianoacutepolis = 3303 Curitiba = 5018 Porto Alegre = 1680
Unidade 2
1 1) 150000
Dados
C = R$ 1000000
i = 5 aa
n = 3 anos = 1080 dias
J =
3) 24 meses = 2 anos
Dados
C = R$ 200000
i = 6 aa
n = 24 meses = 720 dias
M =
79
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
85
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
86
Universidade do Sul de Santa Catarina
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
87
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
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Universidade do Sul de Santa Catarina
25
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
Seccedilatildeo 3 ndash Funccedilotildees de percentagem e calendaacuterio
A calculadora HP ndash 12C apresenta funccedilotildees que permitem o caacutelculo de percentagens e de calendaacuterio Para caacutelculo com percentagens natildeo eacute necessaacuterio converter o nuacutemero na notaccedilatildeo percentual para a notaccedilatildeo decimal Jaacute as funccedilotildees calendaacuterio fornecidas pela HP trabalham com datas entre 15 de outubro de 1582 e 25 de novembro de 4046 A seguir vocecirc conheceraacute detalhadamente essas funccedilotildees
Funccedilotildees de percentagem
Calcula a Percentagem de um nuacutemero ou valor
Calcula a diferenccedila percentual entre dois nuacutemeros
Calcula qual percentual um nuacutemero eacute de outro
Figura 14 - Ilustraccedilatildeo das funccedilotildees de percentagem da Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Funccedilotildees de calendaacuterio
Configura o formato de uma data para dia-mecircs-ano
Configura o formato de uma data para mecircs-dia-ano
Calcula o nuacutemero de dias entre datas
Calcula datas futuras ou passadas
Figura 15 - Ilustraccedilatildeo das funccedilotildees de calendaacuterio da Calculadora HP ndash 12C Platinum Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Nos exemplos a seguir estaacute demonstrado o uso de todas as funccedilotildees apresentadas Obs os caacutelculos vatildeo ser realizados no modo RPN
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 14
Calcular 16 de R$ 198000
Soluccedilatildeo
198000 1600 31680
Resultado
Exemplo 15
Determinada empresa com accedilotildees na bolsa de valores verificou as seguintes variaccedilotildees nos valores das suas accedilotildees no dia 150508 o valor da accedilatildeo passou de R$ 5025 para R$ 5498 jaacute no dia 210508 o valor da accedilatildeo caiu de R$ 5498 para R$ 5208 Qual a diferenccedila percentual nas duas situaccedilotildees
Soluccedilatildeo a sequecircncia a seguir apresenta a variaccedilatildeo percentual
Caacutelculo da variaccedilatildeo percentual de R$ 5025 para R$ 5498 usando a HP ndash 12C
5025 5498 941
Resultado
Observe que o resultado apresentado eacute positivo portanto representa aumento
Caacutelculo da variaccedilatildeo percentual de R$ 5498 para R$ 5208 usando a HP ndash 12C
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
5498 5208 -527
Resultado
Observe que o resultado apresentado eacute negativo portanto representa queda
Exemplo 16
A empresa do exemplo anterior atua na regiatildeo sul do Brasil com vendas totais realizadas no mecircs de abril de 2008 de R$ 589636996 distribuiacutedas da seguinte forma R$ 123656939 no Paranaacute R$ 356963920 em Santa Catarina e R$ 109016137 no Rio Grande do Sul Qual a percentagem das vendas totais em cada um dos trecircs Estados
Soluccedilatildeo
A sequecircncia apresenta os percentuais nos estados do Paranaacute Santa Catarina e Rio Grande do Sul
Soluccedilatildeo
589636996 123656939 2097
356963920 6054 109016137 1849
Resultado SC Resultado RS
Resultado PR
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 17
Comprei uma TV LCD em 17052008 com vencimento para 120 dias Determine a data do vencimento usando a calculadora HP ndash 12C
Soluccedilatildeo
17052008 120 14092008 7
A data do vencimento eacute 14 de setembro de
2008 domingo
Exemplo 18
Fiz uma compra no dia 12052008 com vencimento para o dia 26082008 Use a calculadora HP ndash 12C para determinar o nuacutemero de dias entre a data da compra e do vencimento
Soluccedilatildeo
12052008 20082008 100
Nuacutemero de dias entre as datas
Nesta unidade vocecirc conheceu algumas funccedilotildees elementares da calculadora as quais seratildeo utilizadas nas demais unidades e satildeo muito importantes para realizar caacutelculos que envolvem questotildees do nosso cotidiano Na proacutexima unidade vocecirc vai usar as funccedilotildees financeiras da calculadora para calcular juros simples e compostos descontos simples e compostos
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
Efetue as atividades de autoavaliaccedilatildeo e acompanhe as respostas e comentaacuterios a respeito nas paacuteginas finais deste material Para melhor aproveitamento do seu estudo realize a conferecircncia de suas respostas somente depois de fazer as atividades propostas Desse modo o momento da conferecircncia lhe proporcionaraacute novas oportunidades de aprendizagem
1 Calcule o valor das expressotildees numeacutericas a seguir usando a HP ndash 12C nos modos RPN e ALG
a) 2 5 3 8 24 minus + divide =x
b) minus + minus =3 5 32 3x eln
c) 16 25 3 45 89+ minus =x
d) 2
35 5
3+ minus =ln
e) 0 253
55
2 + minus =minus
2 Use a HP ndash 12C para realizar os caacutelculos e informar o saldo final da seguinte movimentaccedilatildeo financeira Saldo inicial na conta R$ 167890 depoacutesito de R$ 143587 cheques compensados nos valores de R$ 34598 R$ 12345 R$ 65790 e R$ 30987
3 No dia 130508 o doacutelar americano estava cotado em R$ 165 no dia 190508 a cotaccedilatildeo foi de R$ 161 Com base nestes dados indique qual foi a variaccedilatildeo percentual do doacutelar
4 Foi realizada uma compra em um supermercado no valor de R$ 67890 em 150508 Sabendo que esse estabelecimento trabalha com prazo de 90 dias use as funccedilotildees calendaacuterio da HP ndash 12C e determine a data e o dia da semana do vencimento
5 Uma empresa tem vendas mensais para o mecircs de maio de 2008 estimadas em R$ 178909000 Sabendo que o valor total das vendas estaacute distribuiacutedo nas cidades de Florianoacutepolis Curitiba e Porto Alegre com valores correspondentes a R$ 59089000 R$ 89767898 e R$ 30052102 respectivamente determine qual percentagem das vendas totais ocorre em cada uma das cidades
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
HPndash12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
No link abaixo vocecirc tem disponiacutevel o manual da calculadora HP ndash 12C na versatildeo online lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt
2UNIDADE 2
Regimes de capitalizaccedilatildeo simples e composto
Objetivos de aprendizagem
Fazer uso das funccedilotildees financeiras da calculadora HP ndash 12C para calcular juros simples e composto
Dominar o caacutelculo do montante simples e composto
Aprender o caacutelculo de desconto simples e composto
Calcular capital taxa e prazo no regime de capitalizaccedilatildeo composto usando a HP ndash 12C
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Regime de capitalizaccedilatildeo simples
Seccedilatildeo 2 Regime de capitalizaccedilatildeo composto
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc vai fazer uso das funccedilotildees financeiras da HP ndash 12C com o objetivo de realizar caacutelculos de juros simples e composto montantes simples e composto descontos simples e composto caacutelculo de taxas e prazos
Nesta etapa de estudos seratildeo utilizados exemplos do material didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira que estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do Espaccedilo Virtual de Aprendizagem ndash EVA Eacute importante lembrar natildeo ser objetivo deste curso discutir os conceitos da Matemaacutetica Financeira mas apenas utilizar as funccedilotildees disponibilizadas na calculadora para resolver problemas relacionados a essa aacuterea Entretanto caso vocecirc julgue importante os conceitos podem ser relembrados ou vistos no material didaacutetico da disciplina
Seccedilatildeo 1 ndash Regime de capitalizaccedilatildeo simples
Na unidade 1 vocecirc foi apresentado(a) agrave calculadora HP ndash 12C e a algumas das suas funccedilotildees com o objetivo de capacitaacute-lo(a) para o uso adequado dessa ferramenta Esta unidade inicia com uma abordagem sobre os registradores financeiros os quais seratildeo utilizados na maioria dos exemplos que deveratildeo ser resolvidos ao longo das proacuteximas seccedilotildees desta unidade e nas demais unidades deste curso Veja na ilustraccedilatildeo a seguir os registradores financeiros e as suas aplicaccedilotildees
Registra e armazena periacuteodo
Registra e armazena taxa
Registra e armazena valor presente
Registra e armazena pagamentos perioacutedicos
Registra e armazena valor futuro
Figura 21 - Registradores financeiros e as suas aplicaccedilotildees Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
Para armazenar um nuacutemero em um registrador financeiro digite o nuacutemero e em seguida uma das teclas correspondentes ilustradas acima
Para exibir um nuacutemero armazenado em um dos registradores financeiros aperte e em seguida a tecla correspondente
Para zerar todos os registradores financeiros aperte a sequecircncia de teclas
Eacute importante lembrar que os registradores financeiros tambeacutem satildeo zerados ao apertar a sequecircncia
e quando a memoacuteria contiacutenua eacute
reinicializada
A seguir vocecirc faraacute caacutelculo de juros simples e de descontos simples usando a HP ndash 12C
Regime de capitalizaccedilatildeo simples
A HP ndash 12C calcula automaticamente juros simples ordinaacuterios ndash usando o ano comercial e juros simples exatos ndash usando um ano de 365 dias simultaneamente
Eacute possiacutevel apresentar qualquer um dos dois e mais com os juros acumulados no mostrador podemos calcular o montante apertando a tecla
Para exemplificar vamos resolver problemas do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira que se encontra disponiacutevel (formato digital) na ferramenta Midiateca do EVA ndash Espaccedilo Virtual de Aprendizagem
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 21 (exemplo 1 paacuteg 29 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital de R$ 1800000 foi aplicado a juros simples durante 3 anos agrave taxa de 6 aa Qual eacute o valor dos juros e o montante adquirido
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula os juros e o montante
Exemplo 22 (exemplo 1 paacuteg 33 do livro Matemaacutetica Financeira)
Ache os juros simples exatos auferidos em uma aplicaccedilatildeo de R$ 1500000 a uma taxa de 16 aa de 20 de abril de 2003 a 1ordm de julho de 2003
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula os juros comerciais e os juros exatos
Neste exemplo utilizamos duas teclas que seratildeo ilustradas a seguir para realizar o caacutelculo dos juros exatos
1800000 1080 6
324000 2124000
Juros Montante
No caacutelculo de Juros simples o periacuteodo deve ser em dias
Calcula juros simples
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
1500000 20042003 01072003
72 16 48000 47342
Juro comercial Juro exato nordm de dias
Ao apertar essa tecla ela rola para baixo o conteuacutedo da pilha para visualizaccedilatildeo no registro X
Ao apertar essa tecla ela troca o conteuacutedo dos registros X e Y da pilha
Figura 22 - Teclas utilizadas para registros de dados Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Exemplo 23 (exemplo 2 paacuteg 34 do livro Matemaacutetica Financeira)
Determine o juro simples exato obtido em uma aplicaccedilatildeo de R$ 1300000 durante 146 dias a uma taxa de 9 aa
Soluccedilatildeo a sequecircncia a seguir realiza os caacutelculos solicitados
1330000 146 9
48545 47880
Juro comercial Juro exato
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 24 (exemplo 1 paacuteg 47 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma duplicata de R$ 1500000 com vencimento no dia 03042005 foi descontada em um banco em 08012005 a uma taxa de 25 am Qual eacute o desconto simples bancaacuterio da operaccedilatildeo
Soluccedilatildeo
08012005 03042005 85
1500000 0025 30 106250
Taxa decimal Desconto bancaacuterio
Nordm de dias entre as datas
Exemplo 25 (exemplo 1 paacuteg 48 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma empresa descontou um tiacutetulo com valor de face de R$ 1450000 3 meses e 15 dias antes do vencimento com uma taxa de desconto bancaacuterio simples de 24 am Quanto a empresa recebeu liacutequido na operaccedilatildeo
Soluccedilatildeo
1450000 0024 35 1450000 1328200
Periacuteodo em meses Valor liacutequidoTaxa decimal
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
Exemplo 26 (exemplo 1 paacuteg 49 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma duplicata de R$ 4800000 foi descontada 6 meses antes de seu vencimento em uma instituiccedilatildeo financeira que trabalha com uma taxa de desconto simples de 32 am Com base nestes dados determine
o valor do desconto simples bancaacuterio
o valor do desconto simples racional
Soluccedilatildeo
4800000 6 0032 921600
Taxa decimal Valor liacutequido
921600 1 0032
6 773154
Taxa decimal Valor liacutequido
Na proacutexima seccedilatildeo vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros compostos e de desconto compostos
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Seccedilatildeo 2 ndash Regime de capitalizaccedilatildeo composto
Os exemplos apresentados a partir de agora satildeo ilustrativos de uma ampla variedade de caacutelculos financeiros Para resolvecirc-los vocecirc precisa estruturaacute-los identificando os elementos baacutesicos do problema de maneira que fiquem evidentes as quantidades que devem ser fornecidas agrave calculadora e quem eacute o valor desconhecido ou seja o valor que desejamos determinar
Na resoluccedilatildeo dos caacutelculos usando a HP ndash 12C eacute indispensaacutevel elaborar o diagrama de fluxo de caixa Eacute importante ressaltar que a calculadora precisa de ajuda para comparar o fluxo de caixa ou seja eacute preciso informar quando temos uma entrada ou uma saiacuteda
O fluxo de caixa serve para demonstrar graficamente as transaccedilotildees financeiras em um periacuteodo de tempo
O tempo eacute representado por uma linha horizontal dividida pelo nuacutemero de periacuteodos relevantes para anaacutelise As entradas ou recebimentos satildeo representados por setas verticais apontadas para cima e as saiacutedas ou pagamentos satildeo representados por setas verticais apontadas para baixo Observe o modelo simplificado
(+) entradas
(-) saiacutedas
tempo (n)
Veja agora o modelo detalhado
Entradas
Saiacutedas
Tempo
Fluxo de caixa pode ser definido como sendo a movimentaccedilatildeo de recursos financeiros (entradas e saiacutedas de caixa) ao longo de um periacuteodo de tempo - agrave entrada e saiacuteda de dinheiro O conceito caixa (financeiro) natildeo pode ser confundido com conceito de competecircncia (contaacutebil)
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
Na HP-12C a tecla (do inglecircs Change Sign) serve para introduzir ou tirar um sinal negativo de um nuacutemero ou seja faz o fluxo de caixa
Na sequecircncia de exemplos apresentados a seguir realizaremos caacutelculos de juros montantes valor presente prazo taxa de juros e descontos no regime composto com o auxiacutelio dos registradores financeiros da calculadora HP ndash 12C
Exemplo 27 (exemplo 1 paacuteg 58 do livro Matemaacutetica Financeira)
Qual o montante gerado por um capital de R$ 450000 aplicado por 9 meses a juros compostos a uma taxa de 35 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o montante composto
450000 9 35 613304
MontanteFluxo de caixa saiacuteda do dinheiro para aplicaccedilatildeo
Exemplo 28 (exemplo 2 paacuteg 58 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital de R$ 1200000 foi aplicado a juros compostos durante 6 meses agrave taxa de 2 am Calcule os juros auferidos na aplicaccedilatildeo
Soluccedilatildeo use a sequecircncia a seguir para calcular os juros
1200000 6 2
1351395 151395
Montante Juros
Fluxo de caixa saiacuteda do dinheiro para aplicaccedilatildeo
Recupera um valor em um registrador
financeiro
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 29 (exemplo 3 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital ldquoXrdquo eacute aplicado a juros compostos agrave taxa de 35 am gerando um montante de R$ 1950000 apoacutes 1 ano e 3 meses Determine o capital ldquoXrdquo
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar o capital
1950000 35 15 -1163937
Capital aplicado
Exemplo 210 (exemplo 4 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
A que taxa mensal de juros compostos um capital de R$ 1250000 pode transformar-se em R$ 1537342 no periacuteodo de 7 meses
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
1250000 1537342 7 300
Taxa de juros mensal
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Unidade 2
Exemplo 211 (exemplo 5 paacuteg 60 do livro Matemaacutetica Financeira)
Em que prazo um empreacutestimo de R$ 3500000 pode ser pago pela quantia de R$ 4790000 se a taxa de juros compostos cobrada for de 4 am
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
3500000 4790000 4 8
Periacuteodo em meses
Funccedilatildeo ldquoCrdquo na HP ndash 12C e as teclas ldquoSTOrdquo e ldquoEEXrdquo
Vocecirc pode calcular taxa de juros (i) Capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos Perioacutedicos (PMT) para transaccedilotildees financeiras com periacuteodos fracionaacuterios Ao digitar um periacuteodo fracionaacuterio por exemplo 23 meses a parte inteira do nuacutemero indica o nuacutemero de periacuteodos inteiro e a parte fracionaacuteria do nuacutemero o tamanho do periacuteodo fracionaacuterio como uma fraccedilatildeo do periacuteodo inteiro (no exemplo 2 meses e 03 meses)
De acordo com o criteacuterio do usuaacuterio os caacutelculos de taxa de juros ( i ) capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos perioacutedicos (PMT) podem ser executados com juros simples ou compostos acumulados durante o periacuteodo fracionaacuterio Para escolher uma das duas opccedilotildees faccedila
Aparece o indicador ldquoCldquo Portanto os juros compostos satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Natildeo aparece o indicador ldquoCrdquo Portanto os juros simples satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Figura 23 - Teclas utilizadas para caacutelculo de juros simples e compostos para periacuteodo fracionaacuterio Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
42
Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 212
Calcular o valor futuro de uma aplicaccedilatildeo de R$ 185030000 aplicado agrave taxa de 14 aa durante 45 anos usando juros compostos e simples para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Soluccedilatildeo as sequecircncias a seguir apresentam os resultados para o caacutelculo do valor futuro com juros simples para o periacuteodo fracionaacuterio e juros compostos para o periacuteodo fracionaacuterios respectivamente
185030000 14
45 334383879
Valor futuro calculado com juros simples para o periacuteodo
fracionaacuterio
185030000
14 45 333667556
Valor futuro calculado com juros compostos para o
periacuteodo fracionaacuterio
Exemplo 213 (exemplo 1 paacuteg 81 do livro Matemaacutetica Financeira)
Determine o valor do desconto composto racional e o valor do resgate de um tiacutetulo de R$ 1560000 descontado 5 meses antes do seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto composto racional eacute de 4 am
43
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor do desconto racional composto e o valor liacutequido a receber
1560000 1
1 004 5
277794 1560000 1282206
Valor do desconto Valor liacutequido
Exemplo 214 (exemplo 1 paacuteg 84 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um tiacutetulo de valor nominal de R$ 1500000 eacute descontado em um banco 3 meses antes de seu vencimento Se a taxa de desconto comercial usada pelo banco eacute de 8 am qual eacute o valor do desconto
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor liacutequido e o valor do desconto bancaacuterio ou comercial
1500000 3 8
-1168032 331968
Valor liacutequido Valor do desconto
44
Universidade do Sul de Santa Catarina
Nesta unidade vocecirc usou a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros simples e compostos descontos simples e compostos valor presente taxa de juros periacuteodo e montante Na proacutexima unidade usaremos a ferramenta para auxiliar no caacutelculo de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir foram propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo em PDF estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as questotildees 1 3 5 e 6 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteginas 38 e 39 Confira os resultados na paacuteg 194
1) Qual o rendimento que obtemos ao aplicarmos um capital de R$ 1000000 a uma taxa de juros simples de 5 aa durante 3 anos
3) Em um regime de capitalizaccedilatildeo simples qual eacute o montante que se obteacutem quando aplicamos um capital de R$ 200000 a uma taxa 6 aa durante 24 meses
5) Uma quantia de R$ 6200000 foi aplicada em uma operaccedilatildeo financeira no dia 20 de setembro de 2003 e resgatada no dia 21 de dezembro de 2003 a uma taxa de 125 aa Quais os juros simples exatos e comerciais da operaccedilatildeo
6) Calcule os juros simples exatos e comerciais nas seguintes condiccedilotildees
bull R$ 600000 aplicados por 180 dias a 12 aa
bull R$ 520000 aplicados por 230 dias a 15 aa
45
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
2 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 2 e 4 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegs 52 e 53 Confira os resultados nas paacuteginas 194 e 195
1) Uma empresa desconta uma duplicata no valor nominal de R$ 5000000 no Banco ldquoXrdquo 4 meses antes do seu vencimento Sabendo que o banco ldquoXrdquo trabalha com uma taxa de desconto simples bancaacuterio de 45 am qual eacute o valor do desconto e o valor liacutequido recebido
2) Para pagar uma diacutevida hoje uma empresa descontou em uma carteira de creacutedito uma duplicata no valor de R$ 1650000 com vencimento daqui a 2 meses recebendo um valor nominal liacutequido de R$ 1500000 Determine a taxa mensal de desconto simples bancaacuterio utilizada
4) Uma letra de cacircmbio no valor nominal de R$ 500000 foi comercializada 4 meses antes do vencimento a uma taxa de desconto simples de 22 am Se o desconto simples fosse o racional qual seria o valor deste desconto
3 Elabore uma sequecircncia de passos para resolver as questotildees propostas 1 2 3 4 e 6 nas paacuteginas 65 66 e 67 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira e confira os resultados na paacuteg 195
1) Calcule o montante produzido por um capital de R$ 2600000 aplicado a uma taxa de juros compostos de 52 am por 6 meses
2) Calcule os juros compostos auferidos por um capital de R$ 420000 aplicado a uma taxa de 3 am durante 10 meses
3) Um empreacutestimo de R$ 600000 deve ser pago em 120 dias a juros compostos pelo valor de R$ 900000 Qual eacute a taxa mensal da operaccedilatildeo
4) Em que prazo uma aplicaccedilatildeo a juros compostos de R$ 2400000 produziraacute um montante de R$ 6151930 agrave taxa de 4 am
6) Quanto Paulo deve aplicar hoje a juros compostos em uma instituiccedilatildeo financeira que paga uma taxa de 12 am para pagar um compromisso de valor nominal igual a R$ 3800000 que vence daqui a 3 meses
46
Universidade do Sul de Santa Catarina
4 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 e 8 das paacuteginas 88 e 90 respectivamente do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira Confira os resultados na paacuteg 196
1) Determine o valor do desconto composto racional de um tiacutetulo de valor nominal de R$ 830000 descontado 6 meses antes de seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto eacute de 42 am
8) Um tiacutetulo de R$ 3000000 foi descontado em uma instituiccedilatildeo financeira a uma taxa de desconto composto comercial de 64 am e o valor liacutequido recebido era de R$ 2017327 Quantos meses antes do vencimento foi descontado este tiacutetulo
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
3UNIDADE 3
Taxas de juros equivalentes e caacutelculo de pagamentos perioacutedicos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para calcular taxas equivalentes
Usar as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP ndash 12C para programar o algoritmo da taxa equivalente no regime de capitalizaccedilatildeo composto
Calcular pagamentos perioacutedicos de sequecircncias uniformes postecipadas e antecipadas
Calcular montante de uma sequecircncia uniforme
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Taxas equivalentes
Seccedilatildeo 2 Sequecircncia de capitais
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar taxas equivalentes no regime de capitalizaccedilatildeo composto Vocecirc usaraacute as funccedilotildees de programaccedilatildeo com o objetivo de elaborar um algoritmo para fazer a conversatildeo de taxas de um periacuteodo de capitalizaccedilatildeo (ex mensal) para outro periacuteodo (ex anual) usando o programa Vamos explorar as funccedilotildees ldquoPMTrdquo ldquoBEGrdquo e ldquoENDrdquo para realizar caacutelculo de pagamentos antecipados e postecipados em uma sequecircncia uniforme Destacamos que os exemplos que seratildeo apresentados estatildeo no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira
Seccedilatildeo 1 ndash Taxas equivalentes
Nesta unidade vocecirc usaraacute algumas funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos (postecipados e antecipados) de uma seacuterie uniforme Vocecirc usaraacute ainda as funccedilotildees de programaccedilatildeo para elaborar um programa para calcular taxas equivalentes A figura a seguir apresenta as funccedilotildees que vocecirc usaraacute nos exemplos apresentados posteriormente
Aciona o modo de programaccedilatildeo de HP ndash 12C
Aciona a funccedilatildeo Begin que calcula a parcela com pagamento antecipado
Aciona a funccedilatildeo End (natildeo aparece no visor da calculadora) que calcula parcela com pagamento postecipado
Figura 31 - Teclas utilizadas para acionar as funccedilotildees Beg e End e entrar no modo de programaccedilatildeo
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
49
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Unidade 3
Taxas equivalentes
No mercado financeiro e nas operaccedilotildees bancaacuterias e comerciais a palavra taxa eacute empregada de vaacuterias formas ou seja vaacuterios conceitos satildeo abordados em vaacuterias situaccedilotildees Esta seccedilatildeo tem como objetivo mostrar como as taxas de juros satildeo informadas no mercado financeiro e como adequaacute-las agraves condiccedilotildees padronizadas pela HP ndash 12C
Duas taxas satildeo consideradas equivalentes a juros compostos quando aplicadas a um mesmo capital por um periacuteodo de tempo equivalente e geram o mesmo rendimento
Exemplo 31(exemplo 1 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
No regime de juros compostos qual a taxa anual equivalente a 4 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente anual
Exemplo 32 (exemplo 2 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
Calcule a taxa quadrimestral equivalente agrave taxa de juros compostos de 8 aa
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente quadrimestral
1 004 12 1 1 10000 6010
Taxa anual
50
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1 008 1 3 1 10000 260
Taxa quadrimestral
Programa para caacutelculo da taxa equivalente pela hp ndash 12c
O professor Carlos Shinoda em seu livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48) apresenta um programa para calcular a taxa equivalente atraveacutes da calculadora HP ndash 12C
Siga os procedimentos abaixo para introduzir o programa na HP ndash 12C
Figura 32 - Algoritmo para a programaccedilatildeo de taxa equivalente
Fonte Livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48)
51
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
Agora que vocecirc programou a HP ndash 12C para o caacutelculo de taxas equivalentes resolva o exemplo a seguir usando o programa
Exemplo 33
Usando o programa anterior determine as taxas equivalentes propostas nos exemplos 31 e 32
Soluccedilatildeo
As sequecircncias abaixo calculam as taxas equivalentes
Executa oprograma
4 1 12 6010
Taxa anual
Executa oprograma
8 360 120 260
Taxa quadrimestral
52
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Seccedilatildeo 2 ndash Sequecircncia de capitais
Nesta seccedilatildeo vocecirc acompanharaacute as situaccedilotildees em que haacute mais de um pagamento ou seja vocecirc estudaraacute as operaccedilotildees envolvendo pagamentos ou recebimentos perioacutedicos e uniformes
As seacuteries uniformes de pagamentos satildeo aquelas em que os pagamentos ou recebimentos satildeo constantes e ocorrem em intervalos iguais
Seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas e antecipadas
As seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1 Este sistema eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada (0 + n)
Pagamentos ou recebimentos podem ser chamados de prestaccedilatildeo representada pela sigla PMT que vem do inglecircs Payment e significa pagamento ou recebimento
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentosPMT
++
0 1 2 3 4 5 6 n
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
++
0 1 2 3 4 5 6 n
PMT
53
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Unidade 3
As seacuteries uniformes de pagamentos antecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre na data focal 0 (zero) Este tipo de sistema de pagamento eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento com entrada (1+ n)
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
Exemplo 34 (exemplo 2 paacuteg 108 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um automoacutevel eacute vendido em uma loja por R$ 3200000 A loja propotildee as seguintes condiccedilotildees para financiamento
Proposta A 12 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta B 24 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta C 36 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
A taxa de juros usada eacute de 32 am Qual o valor de cada prestaccedilatildeo nas 3 modalidades de financiamento
Soluccedilatildeo
As sequecircncias a seguir calculam os valores das parcelas nas trecircs propostas
54
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3200000
32 12 -325329
parcela
3200000
32 24 -193046
parcela
3200000
32 36 -150979
parcela
Exemplo 35 (exemplo 2 paacuteg 111 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma casa cujo valor agrave vista eacute R$ 4924456 eacute vendida em prestaccedilotildees mensais e iguais de R$ 250000 sendo a primeira dada como entrada Se a taxa de financiamento eacute de 18 am determine o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas no financiamento
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o nuacutemero de parcelas
4924456 18
250000 24
nordm de parcelas
55
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Unidade 3
No exemplo acima o nuacutemero de pagamento deu um nuacutemero inteiro Mas podem acontecer situaccedilotildees em que ao se determinar o nuacutemero de parcelas o resultado natildeo seja um nuacutemero inteiro
Nessa situaccedilatildeo a HP ndash 12C arredonda a resposta para o proacuteximo inteiro para cima antes de armazenaacute-la e exibi-la
Exemplo 36
Vocecirc comprou um terreno por R$ 3500000 a juros de 105 aa Vocecirc pretende fazer pagamentos de R$ 32500 no fim de cada mecircs Quantos pagamentos seratildeo necessaacuterios para pagar o terreno e quanto tempo levaraacute
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o nuacutemero de pagamentos e o tempo necessaacuterio
3500000 105
32500 328 2733
nordm de parcelas Tempo (anos)
Como a calculadora arredonda o valor do tempo para o proacuteximo inteiro eacute provaacutevel que apesar de serem necessaacuterios 328 pagamentos somente 327 seratildeo inteiros de R$ 32500 com o pagamento final sendo menor do que R$ 32500 Para calcular o valor do pagamento de nuacutemero 328 vamos fazer o seguinte
A calculadora natildeo ajusta os valores nos outros registros financeiros automaticamente para refletir os n pagamentos iguais ao contraacuterio ela lhe permite escolher quais valores (se houver) que vocecirc deseja ajustar
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328 18189 - 32500 -14311
Valor da parcela 328
Nesta unidade vocecirc calculou taxas equivalentes usou as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP e fez caacutelculos de pagamentos perioacutedicos de uma seacuterie uniforme antecipado ou postecipado Na proacutexima unidade vamos realizar caacutelculos de valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades abaixo (Essa atividade corresponde agrave autoavaliaccedilatildeo 1 da unidade 5 do livro didaacutetico de Matemaacutetica Financeira) Em seguida use o programa elaborado para resolver a mesma questatildeo
Calcule a taxa anual das seguintes taxas
a) 26 am
b) 42 ab
c) 48 at
d) 12 as
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Unidade 3
2 Elabore um algoritmo para resolver as seguintes atividades (Estas questotildees equivalem agraves autoavaliaccedilotildees 1 2 3 4 e 5 da unidade 8 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 121 122 e 123)
a) Calcule o valor da prestaccedilatildeo mensal de um empreacutestimo de R$ 600000 que seraacute amortizado em 12 prestaccedilotildees mensais postecipadas sabendo que o banco cobra uma taxa de juros de 2 am
b) Uma loja vende um automoacutevel agrave vista por R$ 1650000 Se o comprador quiser fazer um financiamento em 36 parcelas mensais e iguais onde o 1ordm pagamento seraacute efetuado no 1ordm mecircs apoacutes a compra a uma taxa de juros de 21 am qual o valor da prestaccedilatildeo
c) Uma mercadoria custa R$ 9038071 agrave vista podendo ser vendida em prestaccedilotildees mensais de R$ 1050000 sendo a primeira prestaccedilatildeo dada como entrada Sabendo-se que a loja aplica uma taxa de 35 am qual o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas
d) Carlos depositou certa quantia durante 10 meses de forma antecipada a uma taxa de 25 am obtendo um montante de R$ 25000000 Quanto depositou mensalmente Carlos
e) Um produto eacute vendido agrave vista por R$ 200000 ou em 10 prestaccedilotildees mensais iguais sem entrada com uma carecircncia de 90 dias apoacutes a compra Qual o valor de cada prestaccedilatildeo sabendo que a taxa de juros eacute de 6 am
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
4UNIDADE 4
Valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa
Usar as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Valor presente liacutequido
Seccedilatildeo 2 Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs ndash SFA (Price)
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa usando as funccedilotildees CF0 CFj e NPV Vocecirc deveraacute ainda fazer uso da funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos usando o Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo ndash SFA ou tabela Price
Seccedilatildeo 1 ndash Valor presente liacutequido
A figura 41 a seguir apresenta as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C que vocecirc usaraacute nessa unidade para realizar caacutelculo de valor presente liacutequido e para a elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos ou financiamento
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor inicial do fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor do fluxo de caixa no periacuteodo j
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula o valor presente atual de um fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula a parte dos pagamentos usada para pagar juros
Figura 41 - Teclas para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
Valor presente liacutequido
Nessa seccedilatildeo vocecirc usaraacute as funccedilotildees da HP ndash 12C para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa Para entender como usar as funccedilotildees CF0 CFj e NPV considere o fluxo de caixa para um investimento que exige capital inicial (CF0) e que gera um fluxo de caixa (CFj ) no final de j periacuteodos
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Unidade 4
Veja a seguir o fluxo de caixa
CF0CF1
CF2 CF5
CFn
CF3 CF4
O VPL = Valor Presente Liacutequido eacute calculado somando ao investimento inicial o valor presente dos fluxos de caixa futuros projetados Portanto
se o VPL for positivo o valor financeiro do ativo do investidor aumentaraacute ou seja o investimento financeiro seraacute atrativo em termos financeiros
se o VPL for zero o valor financeiro do ativo financeiro do investidor natildeo mudaraacute ou seja o investidor seraacute indiferente ao investimento
se o VPL for negativo o valor financeiro do ativo do investidor seraacute reduzido ou seja o investimento natildeo seraacute atrativo em termos financeiros
Exemplo 41
Um investidor compra uma casa por R$ 7000000 e gostaria de ter um retorno de pelo menos 15 Ele pretende manter a casa por 4 anos e depois vendecirc-la por R$ 11000000 Ele prevecirc os fluxos de caixa mostrados no diagrama abaixo
CF0CF1
CF1
CF3CF4
CF5
R$ 7000000
R$ 50000
R$ 450000R$ 450000
R$ 13000000R$ 550000
Sendo assim calcule o VPL para determinar se o investimento resultaria em um retorno ou perda
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Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o VPL
7000000 50000
450000 550000 450000
13000000 15 379007
VPL
Como o VPL eacute positivo o investimento aumentaria o valor financeiro do ativo do investidor
Exemplo 42 (exemplo 4 paacuteg 98 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um proprietaacuterio recebeu as seguintes propostas para a venda de uma casa
Proposta A entrada de R$ 10000000 + R$ 5000000 em 6 meses + R$ 6000000 em 1 ano
Proposta B entrada de R$ 8000000 + R$ 6000000 em 5 meses + R$ 7000000 em 10 meses
Sabendo-se que a taxa de juros de mercado eacute de 3 am qual a melhor proposta para o vendedor
Soluccedilatildeo
Essa questatildeo deve ser resolvida pelo meacutetodo do Valor Presente Liacutequido A alternativa que tiver o maior valor seraacute a melhor Entretanto para facilitar a elaboraccedilatildeo do algoritmo de resoluccedilatildeo na HP ndash 12C elabore o fluxo de caixa para cada situaccedilatildeo
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Unidade 4
1 Proposta A Fluxo de caixa
10000000 5000000 6000000
1 2 3 4 5 7 8 9 10 110 6 12
Calculando o VPL
10000000 000 5
5000000 000
5
6000000
3
18395701
VPL
Armazena o zero 5 vezes
2 Proposta B Fluxo de caixa
8000000 70000006000000
1 2 3 4 6 7 8 90 5 10
Calculando o VPL
8000000 000 4
6000000 000
4
7000000
3
18384310
VPL
Armazena o zero 4 vezes
Resposta a melhor proposta eacute a A
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Exemplo 43
Dois equipamentos satildeo examinados Considerando ser a taxa miacutenima de atratividade de 20aa qual o equipamento que deve ser adquirido
Dados
41 - Tabela de DadosEquipamento K Equipamento L
Custo R$ 5000000 R$ 8000000Custo anual de manutenccedilatildeo R$ 2000000 R$ 1500000Valor residual para venda R$ 400000 R$ 800000Duraccedilatildeo em anos 10 10
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
A seguir veja o diagrama de fluxo de caixa
Os caacutelculos do Valor Presente Liacutequido para as duas situaccedilotildees satildeo
Equipamento K
5000000
Equipamento K
2000000
400000
0 1 2 10
8000000
Equipamento L
1500000
800000
0 1 2 10
50000 20000
9 4000 20000 1
20 -13320342
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Unidade 4
Equipamento L
80000 15000
9 8000 15000 1
20 -14159504
Importante Veja que a alternativa K equivale a um equipamento em que se investe R$ 13320342 enquanto que o equipamento L equivale a um investimento de R$ 14159504 Portanto eacute preferiacutevel o equipamento K pois o investimento eacute menor
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Seccedilatildeo 2 ndash Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs - SFA
Este sistema consiste no pagamento de empreacutestimos ou financiamentos com prestaccedilotildees iguais e com periodicidade constante Eacute considerado o sistema de amortizaccedilatildeo mais utilizado pelas instituiccedilotildees financeiras e pelo comeacutercio em geral
O Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo eacute assim chamado por ter sido inventado na Franccedila por volta do seacuteculo XVIII pelo matemaacutetico inglecircs Richard Price daiacute portanto a origem da denominaccedilatildeo Sistema Price tambeacutem comumente chamado de Tabela Price
Na verdade a Tabela Price eacute um caso particular derivado do Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo Neste sistema o financiamento (PV) eacute pago em parcelas (PMT) iguais constituiacutedas da amortizaccedilatildeo do principal da diacutevida + juros compensatoacuterios (J) que variam inversamente ao longo do tempo Ou seja agrave medida que aumenta o valor da parcela de amortizaccedilatildeo haveraacute uma queda dos juros compensatoacuterios em funccedilatildeo da reduccedilatildeo do saldo devedor
Principais Caracteriacutesticas
As principais caracteriacutesticas do SFA satildeo
a prestaccedilatildeo eacute constante durante todo o periacuteodo do financiamento
a parcela de amortizaccedilatildeo aumenta a cada periacuteodo (n)
os juros compensatoacuterios diminuem a cada periacuteodo (n)
Exemplo 44 (exemplo 1 paacuteg 148 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma instituiccedilatildeo financeira libera um empreacutestimo para uma induacutestria no valor de R$ 60000000 para ser pago pelo sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs em 120 meses a uma taxa de 15 am Faccedila a planilha ateacute o 4ordm mecircs e calcule o saldo devedor no 100ordm mecircs
67
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Soluccedilatildeo
A sequecircncia abaixo calcula o valor da prestaccedilatildeo os juros a amortizaccedilatildeo o saldo devedor e valor do saldo devedor no 100ordm mecircs Acompanhe
Zera os registradores
60000000 Armazena o valor presente
120 Armazena o periacuteodo
15 Armazena a taxa
- R$ 1081111 Valor da prestaccedilatildeo
1 - R$ 900000 Valor dos juros da 1ordf parcela
R$ 181111Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 1ordf parcela
R$ 58918889 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 897283 Valor dos juros da 2ordf parcela
- R$ 183828Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 2ordf parcela
R$ 59635061 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 894526 Valor dos juros da 3ordf parcela
- R$ 186585Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 3ordf parcela
R$ 59448476 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 891727 Valor dos juros da 4ordf parcela
- R$ 189384Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 4ordf parcela
R$ 59259092 Recupera o saldo devedor
A tabela a seguir apresenta um resumo das operaccedilotildees realizadas
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Tabela 42 ndash Planilha de amortizaccedilatildeoPeriacuteodo (n) Amortizaccedilatildeo (A) Juros (J) Prestaccedilotildees (R) Saldo Devedor (S)
0 - - - R$ 600000001 R$ 181111 R$ 900000 R$ 1081111 R$ 598188892 R$ 183828 R$ 897283 R$ 1081111 R$ 596350613 R$ 186585 R$ 894526 R$ 1081111 R$ 594484764 R$ 189384 R$ 891727 R$ 1081111 R$ 59259092
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Para determinar o saldo devedor no 100ordm mecircs faccedila como indicado a seguir
60000000 120 150
-1081111 18561247
Prestaccedilatildeo Saldo devedor no 100ordm mecircs
Nesta unidade vocecirc usou as funccedilotildees de fluxo de caixa para calcular o valor presente liacutequido e a funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
69Unidade 4
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades a seguir (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 4 e 5 da unidade 7 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegina 102) Em seguida use o programa elaborado para resolver as mesmas questotildees
a) Qual das alternativas de pagamento eacute a melhor para uma taxa de juros compostos de 75 am
Alternativa A Pagamento de R$ 15000000 agrave vista
Alternativa B Entrada de R$ 5000000 + R$ 8000000 em 90 dias + R$ 6000000 em 150 dias
b) Uma pessoa deve a um banco dois tiacutetulos com valores de R$ 300000 e R$ 600000 venciacuteveis respectivamente em 4 meses e 8 meses Se a pessoa deseja antecipar para hoje a liquidaccedilatildeo dos tiacutetulos qual o valor a pagar considerando que o banco opera com uma taxa de juros compostos de 23 am
2 Elabore um algoritmo para resolver as atividades abaixo (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 1 e 4 da unidade 10 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 151 e 153)
a) Um cliente solicita a um banco um empreacutestimo de R$ 4000000 pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs em 60 prestaccedilotildees mensais Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de juros de 28 am obtenha o valor da prestaccedilatildeo e o saldo devedor depois de pagar a 20ordf prestaccedilatildeo
b) Um empreacutestimo de R$ 30000000 seraacute saldado em 50 prestaccedilotildees mensais a uma taxa de 15 am Determine a parcela de juros relativa agrave 15ordf prestaccedilatildeo pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs (price)
70
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Saiba mais
Manual da calculadora HP ndash 12C
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico ndash 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7ed Satildeo Paulo Atlas 2000
Para concluir o estudo
Com o teacutermino desse curso de extensatildeo acreditamos que proporcionamos momentos de aprendizagem por meio da interaccedilatildeo da calculadora financeira e que vocecirc estaacute habilitado(a) a fazer uso dessa ferramenta com qualidade no mercado de trabalho relacionado a essa aacuterea tatildeo importante no nosso dia-a-dia
Referecircncias
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7 ed Satildeo Paulo Atlas 2000
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003 Disponiacutevel em lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt Acesso em 05 jun 2008
Sobre o professor conteudista
Joseacute Humberto Dias de Toledo - eacute Mestre em Educaccedilatildeo pela Universidade do Sul de Santa Catarina Graduado em Licenciatura em Matemaacutetica e em Engenharia Civil Professor das disciplinas Meacutetodos Numeacutericos Informaacutetica Aplicada agrave Matemaacutetica Financeira Caacutelculo I e Matemaacutetica Financeira no Curso de Matemaacutetica ndash Licenciatura nesta mesma instituiccedilatildeo Atualmente ministra a disciplina Representaccedilotildees Graacuteficas na Poacutes-graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo Matemaacutetica da UNISUL
Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo
Unidade 1
1 a) 5
b) -2359
c) 3311
d) 077
e) 081
Respostas modo RPN
a)
b)
c)
d)
e)
Respostas modo ALG
a
b
c
d
e
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2 R$ 167757
Modo RPN
Modo ALG
3 -242
4 Data 13082008 3 (quarta-feira)
5 Florianoacutepolis = 3303 Curitiba = 5018 Porto Alegre = 1680
Unidade 2
1 1) 150000
Dados
C = R$ 1000000
i = 5 aa
n = 3 anos = 1080 dias
J =
3) 24 meses = 2 anos
Dados
C = R$ 200000
i = 6 aa
n = 24 meses = 720 dias
M =
79
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
85
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
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b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
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26
Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 14
Calcular 16 de R$ 198000
Soluccedilatildeo
198000 1600 31680
Resultado
Exemplo 15
Determinada empresa com accedilotildees na bolsa de valores verificou as seguintes variaccedilotildees nos valores das suas accedilotildees no dia 150508 o valor da accedilatildeo passou de R$ 5025 para R$ 5498 jaacute no dia 210508 o valor da accedilatildeo caiu de R$ 5498 para R$ 5208 Qual a diferenccedila percentual nas duas situaccedilotildees
Soluccedilatildeo a sequecircncia a seguir apresenta a variaccedilatildeo percentual
Caacutelculo da variaccedilatildeo percentual de R$ 5025 para R$ 5498 usando a HP ndash 12C
5025 5498 941
Resultado
Observe que o resultado apresentado eacute positivo portanto representa aumento
Caacutelculo da variaccedilatildeo percentual de R$ 5498 para R$ 5208 usando a HP ndash 12C
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
5498 5208 -527
Resultado
Observe que o resultado apresentado eacute negativo portanto representa queda
Exemplo 16
A empresa do exemplo anterior atua na regiatildeo sul do Brasil com vendas totais realizadas no mecircs de abril de 2008 de R$ 589636996 distribuiacutedas da seguinte forma R$ 123656939 no Paranaacute R$ 356963920 em Santa Catarina e R$ 109016137 no Rio Grande do Sul Qual a percentagem das vendas totais em cada um dos trecircs Estados
Soluccedilatildeo
A sequecircncia apresenta os percentuais nos estados do Paranaacute Santa Catarina e Rio Grande do Sul
Soluccedilatildeo
589636996 123656939 2097
356963920 6054 109016137 1849
Resultado SC Resultado RS
Resultado PR
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Exemplo 17
Comprei uma TV LCD em 17052008 com vencimento para 120 dias Determine a data do vencimento usando a calculadora HP ndash 12C
Soluccedilatildeo
17052008 120 14092008 7
A data do vencimento eacute 14 de setembro de
2008 domingo
Exemplo 18
Fiz uma compra no dia 12052008 com vencimento para o dia 26082008 Use a calculadora HP ndash 12C para determinar o nuacutemero de dias entre a data da compra e do vencimento
Soluccedilatildeo
12052008 20082008 100
Nuacutemero de dias entre as datas
Nesta unidade vocecirc conheceu algumas funccedilotildees elementares da calculadora as quais seratildeo utilizadas nas demais unidades e satildeo muito importantes para realizar caacutelculos que envolvem questotildees do nosso cotidiano Na proacutexima unidade vocecirc vai usar as funccedilotildees financeiras da calculadora para calcular juros simples e compostos descontos simples e compostos
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
Efetue as atividades de autoavaliaccedilatildeo e acompanhe as respostas e comentaacuterios a respeito nas paacuteginas finais deste material Para melhor aproveitamento do seu estudo realize a conferecircncia de suas respostas somente depois de fazer as atividades propostas Desse modo o momento da conferecircncia lhe proporcionaraacute novas oportunidades de aprendizagem
1 Calcule o valor das expressotildees numeacutericas a seguir usando a HP ndash 12C nos modos RPN e ALG
a) 2 5 3 8 24 minus + divide =x
b) minus + minus =3 5 32 3x eln
c) 16 25 3 45 89+ minus =x
d) 2
35 5
3+ minus =ln
e) 0 253
55
2 + minus =minus
2 Use a HP ndash 12C para realizar os caacutelculos e informar o saldo final da seguinte movimentaccedilatildeo financeira Saldo inicial na conta R$ 167890 depoacutesito de R$ 143587 cheques compensados nos valores de R$ 34598 R$ 12345 R$ 65790 e R$ 30987
3 No dia 130508 o doacutelar americano estava cotado em R$ 165 no dia 190508 a cotaccedilatildeo foi de R$ 161 Com base nestes dados indique qual foi a variaccedilatildeo percentual do doacutelar
4 Foi realizada uma compra em um supermercado no valor de R$ 67890 em 150508 Sabendo que esse estabelecimento trabalha com prazo de 90 dias use as funccedilotildees calendaacuterio da HP ndash 12C e determine a data e o dia da semana do vencimento
5 Uma empresa tem vendas mensais para o mecircs de maio de 2008 estimadas em R$ 178909000 Sabendo que o valor total das vendas estaacute distribuiacutedo nas cidades de Florianoacutepolis Curitiba e Porto Alegre com valores correspondentes a R$ 59089000 R$ 89767898 e R$ 30052102 respectivamente determine qual percentagem das vendas totais ocorre em cada uma das cidades
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
HPndash12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
No link abaixo vocecirc tem disponiacutevel o manual da calculadora HP ndash 12C na versatildeo online lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt
2UNIDADE 2
Regimes de capitalizaccedilatildeo simples e composto
Objetivos de aprendizagem
Fazer uso das funccedilotildees financeiras da calculadora HP ndash 12C para calcular juros simples e composto
Dominar o caacutelculo do montante simples e composto
Aprender o caacutelculo de desconto simples e composto
Calcular capital taxa e prazo no regime de capitalizaccedilatildeo composto usando a HP ndash 12C
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Regime de capitalizaccedilatildeo simples
Seccedilatildeo 2 Regime de capitalizaccedilatildeo composto
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc vai fazer uso das funccedilotildees financeiras da HP ndash 12C com o objetivo de realizar caacutelculos de juros simples e composto montantes simples e composto descontos simples e composto caacutelculo de taxas e prazos
Nesta etapa de estudos seratildeo utilizados exemplos do material didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira que estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do Espaccedilo Virtual de Aprendizagem ndash EVA Eacute importante lembrar natildeo ser objetivo deste curso discutir os conceitos da Matemaacutetica Financeira mas apenas utilizar as funccedilotildees disponibilizadas na calculadora para resolver problemas relacionados a essa aacuterea Entretanto caso vocecirc julgue importante os conceitos podem ser relembrados ou vistos no material didaacutetico da disciplina
Seccedilatildeo 1 ndash Regime de capitalizaccedilatildeo simples
Na unidade 1 vocecirc foi apresentado(a) agrave calculadora HP ndash 12C e a algumas das suas funccedilotildees com o objetivo de capacitaacute-lo(a) para o uso adequado dessa ferramenta Esta unidade inicia com uma abordagem sobre os registradores financeiros os quais seratildeo utilizados na maioria dos exemplos que deveratildeo ser resolvidos ao longo das proacuteximas seccedilotildees desta unidade e nas demais unidades deste curso Veja na ilustraccedilatildeo a seguir os registradores financeiros e as suas aplicaccedilotildees
Registra e armazena periacuteodo
Registra e armazena taxa
Registra e armazena valor presente
Registra e armazena pagamentos perioacutedicos
Registra e armazena valor futuro
Figura 21 - Registradores financeiros e as suas aplicaccedilotildees Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
33
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
Para armazenar um nuacutemero em um registrador financeiro digite o nuacutemero e em seguida uma das teclas correspondentes ilustradas acima
Para exibir um nuacutemero armazenado em um dos registradores financeiros aperte e em seguida a tecla correspondente
Para zerar todos os registradores financeiros aperte a sequecircncia de teclas
Eacute importante lembrar que os registradores financeiros tambeacutem satildeo zerados ao apertar a sequecircncia
e quando a memoacuteria contiacutenua eacute
reinicializada
A seguir vocecirc faraacute caacutelculo de juros simples e de descontos simples usando a HP ndash 12C
Regime de capitalizaccedilatildeo simples
A HP ndash 12C calcula automaticamente juros simples ordinaacuterios ndash usando o ano comercial e juros simples exatos ndash usando um ano de 365 dias simultaneamente
Eacute possiacutevel apresentar qualquer um dos dois e mais com os juros acumulados no mostrador podemos calcular o montante apertando a tecla
Para exemplificar vamos resolver problemas do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira que se encontra disponiacutevel (formato digital) na ferramenta Midiateca do EVA ndash Espaccedilo Virtual de Aprendizagem
34
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Exemplo 21 (exemplo 1 paacuteg 29 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital de R$ 1800000 foi aplicado a juros simples durante 3 anos agrave taxa de 6 aa Qual eacute o valor dos juros e o montante adquirido
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula os juros e o montante
Exemplo 22 (exemplo 1 paacuteg 33 do livro Matemaacutetica Financeira)
Ache os juros simples exatos auferidos em uma aplicaccedilatildeo de R$ 1500000 a uma taxa de 16 aa de 20 de abril de 2003 a 1ordm de julho de 2003
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula os juros comerciais e os juros exatos
Neste exemplo utilizamos duas teclas que seratildeo ilustradas a seguir para realizar o caacutelculo dos juros exatos
1800000 1080 6
324000 2124000
Juros Montante
No caacutelculo de Juros simples o periacuteodo deve ser em dias
Calcula juros simples
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Unidade 2
1500000 20042003 01072003
72 16 48000 47342
Juro comercial Juro exato nordm de dias
Ao apertar essa tecla ela rola para baixo o conteuacutedo da pilha para visualizaccedilatildeo no registro X
Ao apertar essa tecla ela troca o conteuacutedo dos registros X e Y da pilha
Figura 22 - Teclas utilizadas para registros de dados Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Exemplo 23 (exemplo 2 paacuteg 34 do livro Matemaacutetica Financeira)
Determine o juro simples exato obtido em uma aplicaccedilatildeo de R$ 1300000 durante 146 dias a uma taxa de 9 aa
Soluccedilatildeo a sequecircncia a seguir realiza os caacutelculos solicitados
1330000 146 9
48545 47880
Juro comercial Juro exato
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 24 (exemplo 1 paacuteg 47 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma duplicata de R$ 1500000 com vencimento no dia 03042005 foi descontada em um banco em 08012005 a uma taxa de 25 am Qual eacute o desconto simples bancaacuterio da operaccedilatildeo
Soluccedilatildeo
08012005 03042005 85
1500000 0025 30 106250
Taxa decimal Desconto bancaacuterio
Nordm de dias entre as datas
Exemplo 25 (exemplo 1 paacuteg 48 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma empresa descontou um tiacutetulo com valor de face de R$ 1450000 3 meses e 15 dias antes do vencimento com uma taxa de desconto bancaacuterio simples de 24 am Quanto a empresa recebeu liacutequido na operaccedilatildeo
Soluccedilatildeo
1450000 0024 35 1450000 1328200
Periacuteodo em meses Valor liacutequidoTaxa decimal
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
Exemplo 26 (exemplo 1 paacuteg 49 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma duplicata de R$ 4800000 foi descontada 6 meses antes de seu vencimento em uma instituiccedilatildeo financeira que trabalha com uma taxa de desconto simples de 32 am Com base nestes dados determine
o valor do desconto simples bancaacuterio
o valor do desconto simples racional
Soluccedilatildeo
4800000 6 0032 921600
Taxa decimal Valor liacutequido
921600 1 0032
6 773154
Taxa decimal Valor liacutequido
Na proacutexima seccedilatildeo vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros compostos e de desconto compostos
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Seccedilatildeo 2 ndash Regime de capitalizaccedilatildeo composto
Os exemplos apresentados a partir de agora satildeo ilustrativos de uma ampla variedade de caacutelculos financeiros Para resolvecirc-los vocecirc precisa estruturaacute-los identificando os elementos baacutesicos do problema de maneira que fiquem evidentes as quantidades que devem ser fornecidas agrave calculadora e quem eacute o valor desconhecido ou seja o valor que desejamos determinar
Na resoluccedilatildeo dos caacutelculos usando a HP ndash 12C eacute indispensaacutevel elaborar o diagrama de fluxo de caixa Eacute importante ressaltar que a calculadora precisa de ajuda para comparar o fluxo de caixa ou seja eacute preciso informar quando temos uma entrada ou uma saiacuteda
O fluxo de caixa serve para demonstrar graficamente as transaccedilotildees financeiras em um periacuteodo de tempo
O tempo eacute representado por uma linha horizontal dividida pelo nuacutemero de periacuteodos relevantes para anaacutelise As entradas ou recebimentos satildeo representados por setas verticais apontadas para cima e as saiacutedas ou pagamentos satildeo representados por setas verticais apontadas para baixo Observe o modelo simplificado
(+) entradas
(-) saiacutedas
tempo (n)
Veja agora o modelo detalhado
Entradas
Saiacutedas
Tempo
Fluxo de caixa pode ser definido como sendo a movimentaccedilatildeo de recursos financeiros (entradas e saiacutedas de caixa) ao longo de um periacuteodo de tempo - agrave entrada e saiacuteda de dinheiro O conceito caixa (financeiro) natildeo pode ser confundido com conceito de competecircncia (contaacutebil)
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
Na HP-12C a tecla (do inglecircs Change Sign) serve para introduzir ou tirar um sinal negativo de um nuacutemero ou seja faz o fluxo de caixa
Na sequecircncia de exemplos apresentados a seguir realizaremos caacutelculos de juros montantes valor presente prazo taxa de juros e descontos no regime composto com o auxiacutelio dos registradores financeiros da calculadora HP ndash 12C
Exemplo 27 (exemplo 1 paacuteg 58 do livro Matemaacutetica Financeira)
Qual o montante gerado por um capital de R$ 450000 aplicado por 9 meses a juros compostos a uma taxa de 35 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o montante composto
450000 9 35 613304
MontanteFluxo de caixa saiacuteda do dinheiro para aplicaccedilatildeo
Exemplo 28 (exemplo 2 paacuteg 58 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital de R$ 1200000 foi aplicado a juros compostos durante 6 meses agrave taxa de 2 am Calcule os juros auferidos na aplicaccedilatildeo
Soluccedilatildeo use a sequecircncia a seguir para calcular os juros
1200000 6 2
1351395 151395
Montante Juros
Fluxo de caixa saiacuteda do dinheiro para aplicaccedilatildeo
Recupera um valor em um registrador
financeiro
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Exemplo 29 (exemplo 3 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital ldquoXrdquo eacute aplicado a juros compostos agrave taxa de 35 am gerando um montante de R$ 1950000 apoacutes 1 ano e 3 meses Determine o capital ldquoXrdquo
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar o capital
1950000 35 15 -1163937
Capital aplicado
Exemplo 210 (exemplo 4 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
A que taxa mensal de juros compostos um capital de R$ 1250000 pode transformar-se em R$ 1537342 no periacuteodo de 7 meses
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
1250000 1537342 7 300
Taxa de juros mensal
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Unidade 2
Exemplo 211 (exemplo 5 paacuteg 60 do livro Matemaacutetica Financeira)
Em que prazo um empreacutestimo de R$ 3500000 pode ser pago pela quantia de R$ 4790000 se a taxa de juros compostos cobrada for de 4 am
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
3500000 4790000 4 8
Periacuteodo em meses
Funccedilatildeo ldquoCrdquo na HP ndash 12C e as teclas ldquoSTOrdquo e ldquoEEXrdquo
Vocecirc pode calcular taxa de juros (i) Capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos Perioacutedicos (PMT) para transaccedilotildees financeiras com periacuteodos fracionaacuterios Ao digitar um periacuteodo fracionaacuterio por exemplo 23 meses a parte inteira do nuacutemero indica o nuacutemero de periacuteodos inteiro e a parte fracionaacuteria do nuacutemero o tamanho do periacuteodo fracionaacuterio como uma fraccedilatildeo do periacuteodo inteiro (no exemplo 2 meses e 03 meses)
De acordo com o criteacuterio do usuaacuterio os caacutelculos de taxa de juros ( i ) capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos perioacutedicos (PMT) podem ser executados com juros simples ou compostos acumulados durante o periacuteodo fracionaacuterio Para escolher uma das duas opccedilotildees faccedila
Aparece o indicador ldquoCldquo Portanto os juros compostos satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Natildeo aparece o indicador ldquoCrdquo Portanto os juros simples satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Figura 23 - Teclas utilizadas para caacutelculo de juros simples e compostos para periacuteodo fracionaacuterio Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
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Exemplo 212
Calcular o valor futuro de uma aplicaccedilatildeo de R$ 185030000 aplicado agrave taxa de 14 aa durante 45 anos usando juros compostos e simples para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Soluccedilatildeo as sequecircncias a seguir apresentam os resultados para o caacutelculo do valor futuro com juros simples para o periacuteodo fracionaacuterio e juros compostos para o periacuteodo fracionaacuterios respectivamente
185030000 14
45 334383879
Valor futuro calculado com juros simples para o periacuteodo
fracionaacuterio
185030000
14 45 333667556
Valor futuro calculado com juros compostos para o
periacuteodo fracionaacuterio
Exemplo 213 (exemplo 1 paacuteg 81 do livro Matemaacutetica Financeira)
Determine o valor do desconto composto racional e o valor do resgate de um tiacutetulo de R$ 1560000 descontado 5 meses antes do seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto composto racional eacute de 4 am
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Unidade 2
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor do desconto racional composto e o valor liacutequido a receber
1560000 1
1 004 5
277794 1560000 1282206
Valor do desconto Valor liacutequido
Exemplo 214 (exemplo 1 paacuteg 84 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um tiacutetulo de valor nominal de R$ 1500000 eacute descontado em um banco 3 meses antes de seu vencimento Se a taxa de desconto comercial usada pelo banco eacute de 8 am qual eacute o valor do desconto
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor liacutequido e o valor do desconto bancaacuterio ou comercial
1500000 3 8
-1168032 331968
Valor liacutequido Valor do desconto
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Nesta unidade vocecirc usou a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros simples e compostos descontos simples e compostos valor presente taxa de juros periacuteodo e montante Na proacutexima unidade usaremos a ferramenta para auxiliar no caacutelculo de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir foram propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo em PDF estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as questotildees 1 3 5 e 6 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteginas 38 e 39 Confira os resultados na paacuteg 194
1) Qual o rendimento que obtemos ao aplicarmos um capital de R$ 1000000 a uma taxa de juros simples de 5 aa durante 3 anos
3) Em um regime de capitalizaccedilatildeo simples qual eacute o montante que se obteacutem quando aplicamos um capital de R$ 200000 a uma taxa 6 aa durante 24 meses
5) Uma quantia de R$ 6200000 foi aplicada em uma operaccedilatildeo financeira no dia 20 de setembro de 2003 e resgatada no dia 21 de dezembro de 2003 a uma taxa de 125 aa Quais os juros simples exatos e comerciais da operaccedilatildeo
6) Calcule os juros simples exatos e comerciais nas seguintes condiccedilotildees
bull R$ 600000 aplicados por 180 dias a 12 aa
bull R$ 520000 aplicados por 230 dias a 15 aa
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Unidade 2
2 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 2 e 4 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegs 52 e 53 Confira os resultados nas paacuteginas 194 e 195
1) Uma empresa desconta uma duplicata no valor nominal de R$ 5000000 no Banco ldquoXrdquo 4 meses antes do seu vencimento Sabendo que o banco ldquoXrdquo trabalha com uma taxa de desconto simples bancaacuterio de 45 am qual eacute o valor do desconto e o valor liacutequido recebido
2) Para pagar uma diacutevida hoje uma empresa descontou em uma carteira de creacutedito uma duplicata no valor de R$ 1650000 com vencimento daqui a 2 meses recebendo um valor nominal liacutequido de R$ 1500000 Determine a taxa mensal de desconto simples bancaacuterio utilizada
4) Uma letra de cacircmbio no valor nominal de R$ 500000 foi comercializada 4 meses antes do vencimento a uma taxa de desconto simples de 22 am Se o desconto simples fosse o racional qual seria o valor deste desconto
3 Elabore uma sequecircncia de passos para resolver as questotildees propostas 1 2 3 4 e 6 nas paacuteginas 65 66 e 67 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira e confira os resultados na paacuteg 195
1) Calcule o montante produzido por um capital de R$ 2600000 aplicado a uma taxa de juros compostos de 52 am por 6 meses
2) Calcule os juros compostos auferidos por um capital de R$ 420000 aplicado a uma taxa de 3 am durante 10 meses
3) Um empreacutestimo de R$ 600000 deve ser pago em 120 dias a juros compostos pelo valor de R$ 900000 Qual eacute a taxa mensal da operaccedilatildeo
4) Em que prazo uma aplicaccedilatildeo a juros compostos de R$ 2400000 produziraacute um montante de R$ 6151930 agrave taxa de 4 am
6) Quanto Paulo deve aplicar hoje a juros compostos em uma instituiccedilatildeo financeira que paga uma taxa de 12 am para pagar um compromisso de valor nominal igual a R$ 3800000 que vence daqui a 3 meses
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Universidade do Sul de Santa Catarina
4 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 e 8 das paacuteginas 88 e 90 respectivamente do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira Confira os resultados na paacuteg 196
1) Determine o valor do desconto composto racional de um tiacutetulo de valor nominal de R$ 830000 descontado 6 meses antes de seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto eacute de 42 am
8) Um tiacutetulo de R$ 3000000 foi descontado em uma instituiccedilatildeo financeira a uma taxa de desconto composto comercial de 64 am e o valor liacutequido recebido era de R$ 2017327 Quantos meses antes do vencimento foi descontado este tiacutetulo
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
3UNIDADE 3
Taxas de juros equivalentes e caacutelculo de pagamentos perioacutedicos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para calcular taxas equivalentes
Usar as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP ndash 12C para programar o algoritmo da taxa equivalente no regime de capitalizaccedilatildeo composto
Calcular pagamentos perioacutedicos de sequecircncias uniformes postecipadas e antecipadas
Calcular montante de uma sequecircncia uniforme
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Taxas equivalentes
Seccedilatildeo 2 Sequecircncia de capitais
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar taxas equivalentes no regime de capitalizaccedilatildeo composto Vocecirc usaraacute as funccedilotildees de programaccedilatildeo com o objetivo de elaborar um algoritmo para fazer a conversatildeo de taxas de um periacuteodo de capitalizaccedilatildeo (ex mensal) para outro periacuteodo (ex anual) usando o programa Vamos explorar as funccedilotildees ldquoPMTrdquo ldquoBEGrdquo e ldquoENDrdquo para realizar caacutelculo de pagamentos antecipados e postecipados em uma sequecircncia uniforme Destacamos que os exemplos que seratildeo apresentados estatildeo no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira
Seccedilatildeo 1 ndash Taxas equivalentes
Nesta unidade vocecirc usaraacute algumas funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos (postecipados e antecipados) de uma seacuterie uniforme Vocecirc usaraacute ainda as funccedilotildees de programaccedilatildeo para elaborar um programa para calcular taxas equivalentes A figura a seguir apresenta as funccedilotildees que vocecirc usaraacute nos exemplos apresentados posteriormente
Aciona o modo de programaccedilatildeo de HP ndash 12C
Aciona a funccedilatildeo Begin que calcula a parcela com pagamento antecipado
Aciona a funccedilatildeo End (natildeo aparece no visor da calculadora) que calcula parcela com pagamento postecipado
Figura 31 - Teclas utilizadas para acionar as funccedilotildees Beg e End e entrar no modo de programaccedilatildeo
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
49
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
Taxas equivalentes
No mercado financeiro e nas operaccedilotildees bancaacuterias e comerciais a palavra taxa eacute empregada de vaacuterias formas ou seja vaacuterios conceitos satildeo abordados em vaacuterias situaccedilotildees Esta seccedilatildeo tem como objetivo mostrar como as taxas de juros satildeo informadas no mercado financeiro e como adequaacute-las agraves condiccedilotildees padronizadas pela HP ndash 12C
Duas taxas satildeo consideradas equivalentes a juros compostos quando aplicadas a um mesmo capital por um periacuteodo de tempo equivalente e geram o mesmo rendimento
Exemplo 31(exemplo 1 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
No regime de juros compostos qual a taxa anual equivalente a 4 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente anual
Exemplo 32 (exemplo 2 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
Calcule a taxa quadrimestral equivalente agrave taxa de juros compostos de 8 aa
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente quadrimestral
1 004 12 1 1 10000 6010
Taxa anual
50
Universidade do Sul de Santa Catarina
1 008 1 3 1 10000 260
Taxa quadrimestral
Programa para caacutelculo da taxa equivalente pela hp ndash 12c
O professor Carlos Shinoda em seu livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48) apresenta um programa para calcular a taxa equivalente atraveacutes da calculadora HP ndash 12C
Siga os procedimentos abaixo para introduzir o programa na HP ndash 12C
Figura 32 - Algoritmo para a programaccedilatildeo de taxa equivalente
Fonte Livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48)
51
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
Agora que vocecirc programou a HP ndash 12C para o caacutelculo de taxas equivalentes resolva o exemplo a seguir usando o programa
Exemplo 33
Usando o programa anterior determine as taxas equivalentes propostas nos exemplos 31 e 32
Soluccedilatildeo
As sequecircncias abaixo calculam as taxas equivalentes
Executa oprograma
4 1 12 6010
Taxa anual
Executa oprograma
8 360 120 260
Taxa quadrimestral
52
Universidade do Sul de Santa Catarina
Seccedilatildeo 2 ndash Sequecircncia de capitais
Nesta seccedilatildeo vocecirc acompanharaacute as situaccedilotildees em que haacute mais de um pagamento ou seja vocecirc estudaraacute as operaccedilotildees envolvendo pagamentos ou recebimentos perioacutedicos e uniformes
As seacuteries uniformes de pagamentos satildeo aquelas em que os pagamentos ou recebimentos satildeo constantes e ocorrem em intervalos iguais
Seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas e antecipadas
As seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1 Este sistema eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada (0 + n)
Pagamentos ou recebimentos podem ser chamados de prestaccedilatildeo representada pela sigla PMT que vem do inglecircs Payment e significa pagamento ou recebimento
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentosPMT
++
0 1 2 3 4 5 6 n
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
++
0 1 2 3 4 5 6 n
PMT
53
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Unidade 3
As seacuteries uniformes de pagamentos antecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre na data focal 0 (zero) Este tipo de sistema de pagamento eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento com entrada (1+ n)
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
Exemplo 34 (exemplo 2 paacuteg 108 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um automoacutevel eacute vendido em uma loja por R$ 3200000 A loja propotildee as seguintes condiccedilotildees para financiamento
Proposta A 12 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta B 24 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta C 36 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
A taxa de juros usada eacute de 32 am Qual o valor de cada prestaccedilatildeo nas 3 modalidades de financiamento
Soluccedilatildeo
As sequecircncias a seguir calculam os valores das parcelas nas trecircs propostas
54
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3200000
32 12 -325329
parcela
3200000
32 24 -193046
parcela
3200000
32 36 -150979
parcela
Exemplo 35 (exemplo 2 paacuteg 111 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma casa cujo valor agrave vista eacute R$ 4924456 eacute vendida em prestaccedilotildees mensais e iguais de R$ 250000 sendo a primeira dada como entrada Se a taxa de financiamento eacute de 18 am determine o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas no financiamento
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o nuacutemero de parcelas
4924456 18
250000 24
nordm de parcelas
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Unidade 3
No exemplo acima o nuacutemero de pagamento deu um nuacutemero inteiro Mas podem acontecer situaccedilotildees em que ao se determinar o nuacutemero de parcelas o resultado natildeo seja um nuacutemero inteiro
Nessa situaccedilatildeo a HP ndash 12C arredonda a resposta para o proacuteximo inteiro para cima antes de armazenaacute-la e exibi-la
Exemplo 36
Vocecirc comprou um terreno por R$ 3500000 a juros de 105 aa Vocecirc pretende fazer pagamentos de R$ 32500 no fim de cada mecircs Quantos pagamentos seratildeo necessaacuterios para pagar o terreno e quanto tempo levaraacute
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o nuacutemero de pagamentos e o tempo necessaacuterio
3500000 105
32500 328 2733
nordm de parcelas Tempo (anos)
Como a calculadora arredonda o valor do tempo para o proacuteximo inteiro eacute provaacutevel que apesar de serem necessaacuterios 328 pagamentos somente 327 seratildeo inteiros de R$ 32500 com o pagamento final sendo menor do que R$ 32500 Para calcular o valor do pagamento de nuacutemero 328 vamos fazer o seguinte
A calculadora natildeo ajusta os valores nos outros registros financeiros automaticamente para refletir os n pagamentos iguais ao contraacuterio ela lhe permite escolher quais valores (se houver) que vocecirc deseja ajustar
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328 18189 - 32500 -14311
Valor da parcela 328
Nesta unidade vocecirc calculou taxas equivalentes usou as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP e fez caacutelculos de pagamentos perioacutedicos de uma seacuterie uniforme antecipado ou postecipado Na proacutexima unidade vamos realizar caacutelculos de valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades abaixo (Essa atividade corresponde agrave autoavaliaccedilatildeo 1 da unidade 5 do livro didaacutetico de Matemaacutetica Financeira) Em seguida use o programa elaborado para resolver a mesma questatildeo
Calcule a taxa anual das seguintes taxas
a) 26 am
b) 42 ab
c) 48 at
d) 12 as
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Unidade 3
2 Elabore um algoritmo para resolver as seguintes atividades (Estas questotildees equivalem agraves autoavaliaccedilotildees 1 2 3 4 e 5 da unidade 8 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 121 122 e 123)
a) Calcule o valor da prestaccedilatildeo mensal de um empreacutestimo de R$ 600000 que seraacute amortizado em 12 prestaccedilotildees mensais postecipadas sabendo que o banco cobra uma taxa de juros de 2 am
b) Uma loja vende um automoacutevel agrave vista por R$ 1650000 Se o comprador quiser fazer um financiamento em 36 parcelas mensais e iguais onde o 1ordm pagamento seraacute efetuado no 1ordm mecircs apoacutes a compra a uma taxa de juros de 21 am qual o valor da prestaccedilatildeo
c) Uma mercadoria custa R$ 9038071 agrave vista podendo ser vendida em prestaccedilotildees mensais de R$ 1050000 sendo a primeira prestaccedilatildeo dada como entrada Sabendo-se que a loja aplica uma taxa de 35 am qual o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas
d) Carlos depositou certa quantia durante 10 meses de forma antecipada a uma taxa de 25 am obtendo um montante de R$ 25000000 Quanto depositou mensalmente Carlos
e) Um produto eacute vendido agrave vista por R$ 200000 ou em 10 prestaccedilotildees mensais iguais sem entrada com uma carecircncia de 90 dias apoacutes a compra Qual o valor de cada prestaccedilatildeo sabendo que a taxa de juros eacute de 6 am
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
4UNIDADE 4
Valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa
Usar as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Valor presente liacutequido
Seccedilatildeo 2 Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs ndash SFA (Price)
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa usando as funccedilotildees CF0 CFj e NPV Vocecirc deveraacute ainda fazer uso da funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos usando o Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo ndash SFA ou tabela Price
Seccedilatildeo 1 ndash Valor presente liacutequido
A figura 41 a seguir apresenta as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C que vocecirc usaraacute nessa unidade para realizar caacutelculo de valor presente liacutequido e para a elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos ou financiamento
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor inicial do fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor do fluxo de caixa no periacuteodo j
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula o valor presente atual de um fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula a parte dos pagamentos usada para pagar juros
Figura 41 - Teclas para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
Valor presente liacutequido
Nessa seccedilatildeo vocecirc usaraacute as funccedilotildees da HP ndash 12C para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa Para entender como usar as funccedilotildees CF0 CFj e NPV considere o fluxo de caixa para um investimento que exige capital inicial (CF0) e que gera um fluxo de caixa (CFj ) no final de j periacuteodos
61
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Veja a seguir o fluxo de caixa
CF0CF1
CF2 CF5
CFn
CF3 CF4
O VPL = Valor Presente Liacutequido eacute calculado somando ao investimento inicial o valor presente dos fluxos de caixa futuros projetados Portanto
se o VPL for positivo o valor financeiro do ativo do investidor aumentaraacute ou seja o investimento financeiro seraacute atrativo em termos financeiros
se o VPL for zero o valor financeiro do ativo financeiro do investidor natildeo mudaraacute ou seja o investidor seraacute indiferente ao investimento
se o VPL for negativo o valor financeiro do ativo do investidor seraacute reduzido ou seja o investimento natildeo seraacute atrativo em termos financeiros
Exemplo 41
Um investidor compra uma casa por R$ 7000000 e gostaria de ter um retorno de pelo menos 15 Ele pretende manter a casa por 4 anos e depois vendecirc-la por R$ 11000000 Ele prevecirc os fluxos de caixa mostrados no diagrama abaixo
CF0CF1
CF1
CF3CF4
CF5
R$ 7000000
R$ 50000
R$ 450000R$ 450000
R$ 13000000R$ 550000
Sendo assim calcule o VPL para determinar se o investimento resultaria em um retorno ou perda
62
Universidade do Sul de Santa Catarina
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o VPL
7000000 50000
450000 550000 450000
13000000 15 379007
VPL
Como o VPL eacute positivo o investimento aumentaria o valor financeiro do ativo do investidor
Exemplo 42 (exemplo 4 paacuteg 98 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um proprietaacuterio recebeu as seguintes propostas para a venda de uma casa
Proposta A entrada de R$ 10000000 + R$ 5000000 em 6 meses + R$ 6000000 em 1 ano
Proposta B entrada de R$ 8000000 + R$ 6000000 em 5 meses + R$ 7000000 em 10 meses
Sabendo-se que a taxa de juros de mercado eacute de 3 am qual a melhor proposta para o vendedor
Soluccedilatildeo
Essa questatildeo deve ser resolvida pelo meacutetodo do Valor Presente Liacutequido A alternativa que tiver o maior valor seraacute a melhor Entretanto para facilitar a elaboraccedilatildeo do algoritmo de resoluccedilatildeo na HP ndash 12C elabore o fluxo de caixa para cada situaccedilatildeo
63
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
1 Proposta A Fluxo de caixa
10000000 5000000 6000000
1 2 3 4 5 7 8 9 10 110 6 12
Calculando o VPL
10000000 000 5
5000000 000
5
6000000
3
18395701
VPL
Armazena o zero 5 vezes
2 Proposta B Fluxo de caixa
8000000 70000006000000
1 2 3 4 6 7 8 90 5 10
Calculando o VPL
8000000 000 4
6000000 000
4
7000000
3
18384310
VPL
Armazena o zero 4 vezes
Resposta a melhor proposta eacute a A
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 43
Dois equipamentos satildeo examinados Considerando ser a taxa miacutenima de atratividade de 20aa qual o equipamento que deve ser adquirido
Dados
41 - Tabela de DadosEquipamento K Equipamento L
Custo R$ 5000000 R$ 8000000Custo anual de manutenccedilatildeo R$ 2000000 R$ 1500000Valor residual para venda R$ 400000 R$ 800000Duraccedilatildeo em anos 10 10
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
A seguir veja o diagrama de fluxo de caixa
Os caacutelculos do Valor Presente Liacutequido para as duas situaccedilotildees satildeo
Equipamento K
5000000
Equipamento K
2000000
400000
0 1 2 10
8000000
Equipamento L
1500000
800000
0 1 2 10
50000 20000
9 4000 20000 1
20 -13320342
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Unidade 4
Equipamento L
80000 15000
9 8000 15000 1
20 -14159504
Importante Veja que a alternativa K equivale a um equipamento em que se investe R$ 13320342 enquanto que o equipamento L equivale a um investimento de R$ 14159504 Portanto eacute preferiacutevel o equipamento K pois o investimento eacute menor
66
Universidade do Sul de Santa Catarina
Seccedilatildeo 2 ndash Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs - SFA
Este sistema consiste no pagamento de empreacutestimos ou financiamentos com prestaccedilotildees iguais e com periodicidade constante Eacute considerado o sistema de amortizaccedilatildeo mais utilizado pelas instituiccedilotildees financeiras e pelo comeacutercio em geral
O Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo eacute assim chamado por ter sido inventado na Franccedila por volta do seacuteculo XVIII pelo matemaacutetico inglecircs Richard Price daiacute portanto a origem da denominaccedilatildeo Sistema Price tambeacutem comumente chamado de Tabela Price
Na verdade a Tabela Price eacute um caso particular derivado do Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo Neste sistema o financiamento (PV) eacute pago em parcelas (PMT) iguais constituiacutedas da amortizaccedilatildeo do principal da diacutevida + juros compensatoacuterios (J) que variam inversamente ao longo do tempo Ou seja agrave medida que aumenta o valor da parcela de amortizaccedilatildeo haveraacute uma queda dos juros compensatoacuterios em funccedilatildeo da reduccedilatildeo do saldo devedor
Principais Caracteriacutesticas
As principais caracteriacutesticas do SFA satildeo
a prestaccedilatildeo eacute constante durante todo o periacuteodo do financiamento
a parcela de amortizaccedilatildeo aumenta a cada periacuteodo (n)
os juros compensatoacuterios diminuem a cada periacuteodo (n)
Exemplo 44 (exemplo 1 paacuteg 148 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma instituiccedilatildeo financeira libera um empreacutestimo para uma induacutestria no valor de R$ 60000000 para ser pago pelo sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs em 120 meses a uma taxa de 15 am Faccedila a planilha ateacute o 4ordm mecircs e calcule o saldo devedor no 100ordm mecircs
67
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Soluccedilatildeo
A sequecircncia abaixo calcula o valor da prestaccedilatildeo os juros a amortizaccedilatildeo o saldo devedor e valor do saldo devedor no 100ordm mecircs Acompanhe
Zera os registradores
60000000 Armazena o valor presente
120 Armazena o periacuteodo
15 Armazena a taxa
- R$ 1081111 Valor da prestaccedilatildeo
1 - R$ 900000 Valor dos juros da 1ordf parcela
R$ 181111Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 1ordf parcela
R$ 58918889 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 897283 Valor dos juros da 2ordf parcela
- R$ 183828Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 2ordf parcela
R$ 59635061 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 894526 Valor dos juros da 3ordf parcela
- R$ 186585Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 3ordf parcela
R$ 59448476 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 891727 Valor dos juros da 4ordf parcela
- R$ 189384Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 4ordf parcela
R$ 59259092 Recupera o saldo devedor
A tabela a seguir apresenta um resumo das operaccedilotildees realizadas
68
Universidade do Sul de Santa Catarina
Tabela 42 ndash Planilha de amortizaccedilatildeoPeriacuteodo (n) Amortizaccedilatildeo (A) Juros (J) Prestaccedilotildees (R) Saldo Devedor (S)
0 - - - R$ 600000001 R$ 181111 R$ 900000 R$ 1081111 R$ 598188892 R$ 183828 R$ 897283 R$ 1081111 R$ 596350613 R$ 186585 R$ 894526 R$ 1081111 R$ 594484764 R$ 189384 R$ 891727 R$ 1081111 R$ 59259092
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Para determinar o saldo devedor no 100ordm mecircs faccedila como indicado a seguir
60000000 120 150
-1081111 18561247
Prestaccedilatildeo Saldo devedor no 100ordm mecircs
Nesta unidade vocecirc usou as funccedilotildees de fluxo de caixa para calcular o valor presente liacutequido e a funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
69Unidade 4
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades a seguir (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 4 e 5 da unidade 7 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegina 102) Em seguida use o programa elaborado para resolver as mesmas questotildees
a) Qual das alternativas de pagamento eacute a melhor para uma taxa de juros compostos de 75 am
Alternativa A Pagamento de R$ 15000000 agrave vista
Alternativa B Entrada de R$ 5000000 + R$ 8000000 em 90 dias + R$ 6000000 em 150 dias
b) Uma pessoa deve a um banco dois tiacutetulos com valores de R$ 300000 e R$ 600000 venciacuteveis respectivamente em 4 meses e 8 meses Se a pessoa deseja antecipar para hoje a liquidaccedilatildeo dos tiacutetulos qual o valor a pagar considerando que o banco opera com uma taxa de juros compostos de 23 am
2 Elabore um algoritmo para resolver as atividades abaixo (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 1 e 4 da unidade 10 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 151 e 153)
a) Um cliente solicita a um banco um empreacutestimo de R$ 4000000 pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs em 60 prestaccedilotildees mensais Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de juros de 28 am obtenha o valor da prestaccedilatildeo e o saldo devedor depois de pagar a 20ordf prestaccedilatildeo
b) Um empreacutestimo de R$ 30000000 seraacute saldado em 50 prestaccedilotildees mensais a uma taxa de 15 am Determine a parcela de juros relativa agrave 15ordf prestaccedilatildeo pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs (price)
70
Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
Manual da calculadora HP ndash 12C
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico ndash 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7ed Satildeo Paulo Atlas 2000
Para concluir o estudo
Com o teacutermino desse curso de extensatildeo acreditamos que proporcionamos momentos de aprendizagem por meio da interaccedilatildeo da calculadora financeira e que vocecirc estaacute habilitado(a) a fazer uso dessa ferramenta com qualidade no mercado de trabalho relacionado a essa aacuterea tatildeo importante no nosso dia-a-dia
Referecircncias
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7 ed Satildeo Paulo Atlas 2000
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003 Disponiacutevel em lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt Acesso em 05 jun 2008
Sobre o professor conteudista
Joseacute Humberto Dias de Toledo - eacute Mestre em Educaccedilatildeo pela Universidade do Sul de Santa Catarina Graduado em Licenciatura em Matemaacutetica e em Engenharia Civil Professor das disciplinas Meacutetodos Numeacutericos Informaacutetica Aplicada agrave Matemaacutetica Financeira Caacutelculo I e Matemaacutetica Financeira no Curso de Matemaacutetica ndash Licenciatura nesta mesma instituiccedilatildeo Atualmente ministra a disciplina Representaccedilotildees Graacuteficas na Poacutes-graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo Matemaacutetica da UNISUL
Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo
Unidade 1
1 a) 5
b) -2359
c) 3311
d) 077
e) 081
Respostas modo RPN
a)
b)
c)
d)
e)
Respostas modo ALG
a
b
c
d
e
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Universidade do Sul de Santa Catarina
2 R$ 167757
Modo RPN
Modo ALG
3 -242
4 Data 13082008 3 (quarta-feira)
5 Florianoacutepolis = 3303 Curitiba = 5018 Porto Alegre = 1680
Unidade 2
1 1) 150000
Dados
C = R$ 1000000
i = 5 aa
n = 3 anos = 1080 dias
J =
3) 24 meses = 2 anos
Dados
C = R$ 200000
i = 6 aa
n = 24 meses = 720 dias
M =
79
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
85
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
86
Universidade do Sul de Santa Catarina
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
5498 5208 -527
Resultado
Observe que o resultado apresentado eacute negativo portanto representa queda
Exemplo 16
A empresa do exemplo anterior atua na regiatildeo sul do Brasil com vendas totais realizadas no mecircs de abril de 2008 de R$ 589636996 distribuiacutedas da seguinte forma R$ 123656939 no Paranaacute R$ 356963920 em Santa Catarina e R$ 109016137 no Rio Grande do Sul Qual a percentagem das vendas totais em cada um dos trecircs Estados
Soluccedilatildeo
A sequecircncia apresenta os percentuais nos estados do Paranaacute Santa Catarina e Rio Grande do Sul
Soluccedilatildeo
589636996 123656939 2097
356963920 6054 109016137 1849
Resultado SC Resultado RS
Resultado PR
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Exemplo 17
Comprei uma TV LCD em 17052008 com vencimento para 120 dias Determine a data do vencimento usando a calculadora HP ndash 12C
Soluccedilatildeo
17052008 120 14092008 7
A data do vencimento eacute 14 de setembro de
2008 domingo
Exemplo 18
Fiz uma compra no dia 12052008 com vencimento para o dia 26082008 Use a calculadora HP ndash 12C para determinar o nuacutemero de dias entre a data da compra e do vencimento
Soluccedilatildeo
12052008 20082008 100
Nuacutemero de dias entre as datas
Nesta unidade vocecirc conheceu algumas funccedilotildees elementares da calculadora as quais seratildeo utilizadas nas demais unidades e satildeo muito importantes para realizar caacutelculos que envolvem questotildees do nosso cotidiano Na proacutexima unidade vocecirc vai usar as funccedilotildees financeiras da calculadora para calcular juros simples e compostos descontos simples e compostos
29
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
Efetue as atividades de autoavaliaccedilatildeo e acompanhe as respostas e comentaacuterios a respeito nas paacuteginas finais deste material Para melhor aproveitamento do seu estudo realize a conferecircncia de suas respostas somente depois de fazer as atividades propostas Desse modo o momento da conferecircncia lhe proporcionaraacute novas oportunidades de aprendizagem
1 Calcule o valor das expressotildees numeacutericas a seguir usando a HP ndash 12C nos modos RPN e ALG
a) 2 5 3 8 24 minus + divide =x
b) minus + minus =3 5 32 3x eln
c) 16 25 3 45 89+ minus =x
d) 2
35 5
3+ minus =ln
e) 0 253
55
2 + minus =minus
2 Use a HP ndash 12C para realizar os caacutelculos e informar o saldo final da seguinte movimentaccedilatildeo financeira Saldo inicial na conta R$ 167890 depoacutesito de R$ 143587 cheques compensados nos valores de R$ 34598 R$ 12345 R$ 65790 e R$ 30987
3 No dia 130508 o doacutelar americano estava cotado em R$ 165 no dia 190508 a cotaccedilatildeo foi de R$ 161 Com base nestes dados indique qual foi a variaccedilatildeo percentual do doacutelar
4 Foi realizada uma compra em um supermercado no valor de R$ 67890 em 150508 Sabendo que esse estabelecimento trabalha com prazo de 90 dias use as funccedilotildees calendaacuterio da HP ndash 12C e determine a data e o dia da semana do vencimento
5 Uma empresa tem vendas mensais para o mecircs de maio de 2008 estimadas em R$ 178909000 Sabendo que o valor total das vendas estaacute distribuiacutedo nas cidades de Florianoacutepolis Curitiba e Porto Alegre com valores correspondentes a R$ 59089000 R$ 89767898 e R$ 30052102 respectivamente determine qual percentagem das vendas totais ocorre em cada uma das cidades
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
HPndash12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
No link abaixo vocecirc tem disponiacutevel o manual da calculadora HP ndash 12C na versatildeo online lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt
2UNIDADE 2
Regimes de capitalizaccedilatildeo simples e composto
Objetivos de aprendizagem
Fazer uso das funccedilotildees financeiras da calculadora HP ndash 12C para calcular juros simples e composto
Dominar o caacutelculo do montante simples e composto
Aprender o caacutelculo de desconto simples e composto
Calcular capital taxa e prazo no regime de capitalizaccedilatildeo composto usando a HP ndash 12C
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Regime de capitalizaccedilatildeo simples
Seccedilatildeo 2 Regime de capitalizaccedilatildeo composto
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc vai fazer uso das funccedilotildees financeiras da HP ndash 12C com o objetivo de realizar caacutelculos de juros simples e composto montantes simples e composto descontos simples e composto caacutelculo de taxas e prazos
Nesta etapa de estudos seratildeo utilizados exemplos do material didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira que estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do Espaccedilo Virtual de Aprendizagem ndash EVA Eacute importante lembrar natildeo ser objetivo deste curso discutir os conceitos da Matemaacutetica Financeira mas apenas utilizar as funccedilotildees disponibilizadas na calculadora para resolver problemas relacionados a essa aacuterea Entretanto caso vocecirc julgue importante os conceitos podem ser relembrados ou vistos no material didaacutetico da disciplina
Seccedilatildeo 1 ndash Regime de capitalizaccedilatildeo simples
Na unidade 1 vocecirc foi apresentado(a) agrave calculadora HP ndash 12C e a algumas das suas funccedilotildees com o objetivo de capacitaacute-lo(a) para o uso adequado dessa ferramenta Esta unidade inicia com uma abordagem sobre os registradores financeiros os quais seratildeo utilizados na maioria dos exemplos que deveratildeo ser resolvidos ao longo das proacuteximas seccedilotildees desta unidade e nas demais unidades deste curso Veja na ilustraccedilatildeo a seguir os registradores financeiros e as suas aplicaccedilotildees
Registra e armazena periacuteodo
Registra e armazena taxa
Registra e armazena valor presente
Registra e armazena pagamentos perioacutedicos
Registra e armazena valor futuro
Figura 21 - Registradores financeiros e as suas aplicaccedilotildees Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
Para armazenar um nuacutemero em um registrador financeiro digite o nuacutemero e em seguida uma das teclas correspondentes ilustradas acima
Para exibir um nuacutemero armazenado em um dos registradores financeiros aperte e em seguida a tecla correspondente
Para zerar todos os registradores financeiros aperte a sequecircncia de teclas
Eacute importante lembrar que os registradores financeiros tambeacutem satildeo zerados ao apertar a sequecircncia
e quando a memoacuteria contiacutenua eacute
reinicializada
A seguir vocecirc faraacute caacutelculo de juros simples e de descontos simples usando a HP ndash 12C
Regime de capitalizaccedilatildeo simples
A HP ndash 12C calcula automaticamente juros simples ordinaacuterios ndash usando o ano comercial e juros simples exatos ndash usando um ano de 365 dias simultaneamente
Eacute possiacutevel apresentar qualquer um dos dois e mais com os juros acumulados no mostrador podemos calcular o montante apertando a tecla
Para exemplificar vamos resolver problemas do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira que se encontra disponiacutevel (formato digital) na ferramenta Midiateca do EVA ndash Espaccedilo Virtual de Aprendizagem
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 21 (exemplo 1 paacuteg 29 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital de R$ 1800000 foi aplicado a juros simples durante 3 anos agrave taxa de 6 aa Qual eacute o valor dos juros e o montante adquirido
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula os juros e o montante
Exemplo 22 (exemplo 1 paacuteg 33 do livro Matemaacutetica Financeira)
Ache os juros simples exatos auferidos em uma aplicaccedilatildeo de R$ 1500000 a uma taxa de 16 aa de 20 de abril de 2003 a 1ordm de julho de 2003
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula os juros comerciais e os juros exatos
Neste exemplo utilizamos duas teclas que seratildeo ilustradas a seguir para realizar o caacutelculo dos juros exatos
1800000 1080 6
324000 2124000
Juros Montante
No caacutelculo de Juros simples o periacuteodo deve ser em dias
Calcula juros simples
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Unidade 2
1500000 20042003 01072003
72 16 48000 47342
Juro comercial Juro exato nordm de dias
Ao apertar essa tecla ela rola para baixo o conteuacutedo da pilha para visualizaccedilatildeo no registro X
Ao apertar essa tecla ela troca o conteuacutedo dos registros X e Y da pilha
Figura 22 - Teclas utilizadas para registros de dados Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Exemplo 23 (exemplo 2 paacuteg 34 do livro Matemaacutetica Financeira)
Determine o juro simples exato obtido em uma aplicaccedilatildeo de R$ 1300000 durante 146 dias a uma taxa de 9 aa
Soluccedilatildeo a sequecircncia a seguir realiza os caacutelculos solicitados
1330000 146 9
48545 47880
Juro comercial Juro exato
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Exemplo 24 (exemplo 1 paacuteg 47 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma duplicata de R$ 1500000 com vencimento no dia 03042005 foi descontada em um banco em 08012005 a uma taxa de 25 am Qual eacute o desconto simples bancaacuterio da operaccedilatildeo
Soluccedilatildeo
08012005 03042005 85
1500000 0025 30 106250
Taxa decimal Desconto bancaacuterio
Nordm de dias entre as datas
Exemplo 25 (exemplo 1 paacuteg 48 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma empresa descontou um tiacutetulo com valor de face de R$ 1450000 3 meses e 15 dias antes do vencimento com uma taxa de desconto bancaacuterio simples de 24 am Quanto a empresa recebeu liacutequido na operaccedilatildeo
Soluccedilatildeo
1450000 0024 35 1450000 1328200
Periacuteodo em meses Valor liacutequidoTaxa decimal
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Unidade 2
Exemplo 26 (exemplo 1 paacuteg 49 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma duplicata de R$ 4800000 foi descontada 6 meses antes de seu vencimento em uma instituiccedilatildeo financeira que trabalha com uma taxa de desconto simples de 32 am Com base nestes dados determine
o valor do desconto simples bancaacuterio
o valor do desconto simples racional
Soluccedilatildeo
4800000 6 0032 921600
Taxa decimal Valor liacutequido
921600 1 0032
6 773154
Taxa decimal Valor liacutequido
Na proacutexima seccedilatildeo vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros compostos e de desconto compostos
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Seccedilatildeo 2 ndash Regime de capitalizaccedilatildeo composto
Os exemplos apresentados a partir de agora satildeo ilustrativos de uma ampla variedade de caacutelculos financeiros Para resolvecirc-los vocecirc precisa estruturaacute-los identificando os elementos baacutesicos do problema de maneira que fiquem evidentes as quantidades que devem ser fornecidas agrave calculadora e quem eacute o valor desconhecido ou seja o valor que desejamos determinar
Na resoluccedilatildeo dos caacutelculos usando a HP ndash 12C eacute indispensaacutevel elaborar o diagrama de fluxo de caixa Eacute importante ressaltar que a calculadora precisa de ajuda para comparar o fluxo de caixa ou seja eacute preciso informar quando temos uma entrada ou uma saiacuteda
O fluxo de caixa serve para demonstrar graficamente as transaccedilotildees financeiras em um periacuteodo de tempo
O tempo eacute representado por uma linha horizontal dividida pelo nuacutemero de periacuteodos relevantes para anaacutelise As entradas ou recebimentos satildeo representados por setas verticais apontadas para cima e as saiacutedas ou pagamentos satildeo representados por setas verticais apontadas para baixo Observe o modelo simplificado
(+) entradas
(-) saiacutedas
tempo (n)
Veja agora o modelo detalhado
Entradas
Saiacutedas
Tempo
Fluxo de caixa pode ser definido como sendo a movimentaccedilatildeo de recursos financeiros (entradas e saiacutedas de caixa) ao longo de um periacuteodo de tempo - agrave entrada e saiacuteda de dinheiro O conceito caixa (financeiro) natildeo pode ser confundido com conceito de competecircncia (contaacutebil)
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Unidade 2
Na HP-12C a tecla (do inglecircs Change Sign) serve para introduzir ou tirar um sinal negativo de um nuacutemero ou seja faz o fluxo de caixa
Na sequecircncia de exemplos apresentados a seguir realizaremos caacutelculos de juros montantes valor presente prazo taxa de juros e descontos no regime composto com o auxiacutelio dos registradores financeiros da calculadora HP ndash 12C
Exemplo 27 (exemplo 1 paacuteg 58 do livro Matemaacutetica Financeira)
Qual o montante gerado por um capital de R$ 450000 aplicado por 9 meses a juros compostos a uma taxa de 35 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o montante composto
450000 9 35 613304
MontanteFluxo de caixa saiacuteda do dinheiro para aplicaccedilatildeo
Exemplo 28 (exemplo 2 paacuteg 58 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital de R$ 1200000 foi aplicado a juros compostos durante 6 meses agrave taxa de 2 am Calcule os juros auferidos na aplicaccedilatildeo
Soluccedilatildeo use a sequecircncia a seguir para calcular os juros
1200000 6 2
1351395 151395
Montante Juros
Fluxo de caixa saiacuteda do dinheiro para aplicaccedilatildeo
Recupera um valor em um registrador
financeiro
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Exemplo 29 (exemplo 3 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital ldquoXrdquo eacute aplicado a juros compostos agrave taxa de 35 am gerando um montante de R$ 1950000 apoacutes 1 ano e 3 meses Determine o capital ldquoXrdquo
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar o capital
1950000 35 15 -1163937
Capital aplicado
Exemplo 210 (exemplo 4 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
A que taxa mensal de juros compostos um capital de R$ 1250000 pode transformar-se em R$ 1537342 no periacuteodo de 7 meses
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
1250000 1537342 7 300
Taxa de juros mensal
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Unidade 2
Exemplo 211 (exemplo 5 paacuteg 60 do livro Matemaacutetica Financeira)
Em que prazo um empreacutestimo de R$ 3500000 pode ser pago pela quantia de R$ 4790000 se a taxa de juros compostos cobrada for de 4 am
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
3500000 4790000 4 8
Periacuteodo em meses
Funccedilatildeo ldquoCrdquo na HP ndash 12C e as teclas ldquoSTOrdquo e ldquoEEXrdquo
Vocecirc pode calcular taxa de juros (i) Capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos Perioacutedicos (PMT) para transaccedilotildees financeiras com periacuteodos fracionaacuterios Ao digitar um periacuteodo fracionaacuterio por exemplo 23 meses a parte inteira do nuacutemero indica o nuacutemero de periacuteodos inteiro e a parte fracionaacuteria do nuacutemero o tamanho do periacuteodo fracionaacuterio como uma fraccedilatildeo do periacuteodo inteiro (no exemplo 2 meses e 03 meses)
De acordo com o criteacuterio do usuaacuterio os caacutelculos de taxa de juros ( i ) capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos perioacutedicos (PMT) podem ser executados com juros simples ou compostos acumulados durante o periacuteodo fracionaacuterio Para escolher uma das duas opccedilotildees faccedila
Aparece o indicador ldquoCldquo Portanto os juros compostos satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Natildeo aparece o indicador ldquoCrdquo Portanto os juros simples satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Figura 23 - Teclas utilizadas para caacutelculo de juros simples e compostos para periacuteodo fracionaacuterio Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
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Exemplo 212
Calcular o valor futuro de uma aplicaccedilatildeo de R$ 185030000 aplicado agrave taxa de 14 aa durante 45 anos usando juros compostos e simples para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Soluccedilatildeo as sequecircncias a seguir apresentam os resultados para o caacutelculo do valor futuro com juros simples para o periacuteodo fracionaacuterio e juros compostos para o periacuteodo fracionaacuterios respectivamente
185030000 14
45 334383879
Valor futuro calculado com juros simples para o periacuteodo
fracionaacuterio
185030000
14 45 333667556
Valor futuro calculado com juros compostos para o
periacuteodo fracionaacuterio
Exemplo 213 (exemplo 1 paacuteg 81 do livro Matemaacutetica Financeira)
Determine o valor do desconto composto racional e o valor do resgate de um tiacutetulo de R$ 1560000 descontado 5 meses antes do seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto composto racional eacute de 4 am
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Unidade 2
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor do desconto racional composto e o valor liacutequido a receber
1560000 1
1 004 5
277794 1560000 1282206
Valor do desconto Valor liacutequido
Exemplo 214 (exemplo 1 paacuteg 84 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um tiacutetulo de valor nominal de R$ 1500000 eacute descontado em um banco 3 meses antes de seu vencimento Se a taxa de desconto comercial usada pelo banco eacute de 8 am qual eacute o valor do desconto
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor liacutequido e o valor do desconto bancaacuterio ou comercial
1500000 3 8
-1168032 331968
Valor liacutequido Valor do desconto
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Nesta unidade vocecirc usou a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros simples e compostos descontos simples e compostos valor presente taxa de juros periacuteodo e montante Na proacutexima unidade usaremos a ferramenta para auxiliar no caacutelculo de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir foram propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo em PDF estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as questotildees 1 3 5 e 6 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteginas 38 e 39 Confira os resultados na paacuteg 194
1) Qual o rendimento que obtemos ao aplicarmos um capital de R$ 1000000 a uma taxa de juros simples de 5 aa durante 3 anos
3) Em um regime de capitalizaccedilatildeo simples qual eacute o montante que se obteacutem quando aplicamos um capital de R$ 200000 a uma taxa 6 aa durante 24 meses
5) Uma quantia de R$ 6200000 foi aplicada em uma operaccedilatildeo financeira no dia 20 de setembro de 2003 e resgatada no dia 21 de dezembro de 2003 a uma taxa de 125 aa Quais os juros simples exatos e comerciais da operaccedilatildeo
6) Calcule os juros simples exatos e comerciais nas seguintes condiccedilotildees
bull R$ 600000 aplicados por 180 dias a 12 aa
bull R$ 520000 aplicados por 230 dias a 15 aa
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Unidade 2
2 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 2 e 4 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegs 52 e 53 Confira os resultados nas paacuteginas 194 e 195
1) Uma empresa desconta uma duplicata no valor nominal de R$ 5000000 no Banco ldquoXrdquo 4 meses antes do seu vencimento Sabendo que o banco ldquoXrdquo trabalha com uma taxa de desconto simples bancaacuterio de 45 am qual eacute o valor do desconto e o valor liacutequido recebido
2) Para pagar uma diacutevida hoje uma empresa descontou em uma carteira de creacutedito uma duplicata no valor de R$ 1650000 com vencimento daqui a 2 meses recebendo um valor nominal liacutequido de R$ 1500000 Determine a taxa mensal de desconto simples bancaacuterio utilizada
4) Uma letra de cacircmbio no valor nominal de R$ 500000 foi comercializada 4 meses antes do vencimento a uma taxa de desconto simples de 22 am Se o desconto simples fosse o racional qual seria o valor deste desconto
3 Elabore uma sequecircncia de passos para resolver as questotildees propostas 1 2 3 4 e 6 nas paacuteginas 65 66 e 67 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira e confira os resultados na paacuteg 195
1) Calcule o montante produzido por um capital de R$ 2600000 aplicado a uma taxa de juros compostos de 52 am por 6 meses
2) Calcule os juros compostos auferidos por um capital de R$ 420000 aplicado a uma taxa de 3 am durante 10 meses
3) Um empreacutestimo de R$ 600000 deve ser pago em 120 dias a juros compostos pelo valor de R$ 900000 Qual eacute a taxa mensal da operaccedilatildeo
4) Em que prazo uma aplicaccedilatildeo a juros compostos de R$ 2400000 produziraacute um montante de R$ 6151930 agrave taxa de 4 am
6) Quanto Paulo deve aplicar hoje a juros compostos em uma instituiccedilatildeo financeira que paga uma taxa de 12 am para pagar um compromisso de valor nominal igual a R$ 3800000 que vence daqui a 3 meses
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4 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 e 8 das paacuteginas 88 e 90 respectivamente do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira Confira os resultados na paacuteg 196
1) Determine o valor do desconto composto racional de um tiacutetulo de valor nominal de R$ 830000 descontado 6 meses antes de seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto eacute de 42 am
8) Um tiacutetulo de R$ 3000000 foi descontado em uma instituiccedilatildeo financeira a uma taxa de desconto composto comercial de 64 am e o valor liacutequido recebido era de R$ 2017327 Quantos meses antes do vencimento foi descontado este tiacutetulo
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
3UNIDADE 3
Taxas de juros equivalentes e caacutelculo de pagamentos perioacutedicos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para calcular taxas equivalentes
Usar as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP ndash 12C para programar o algoritmo da taxa equivalente no regime de capitalizaccedilatildeo composto
Calcular pagamentos perioacutedicos de sequecircncias uniformes postecipadas e antecipadas
Calcular montante de uma sequecircncia uniforme
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Taxas equivalentes
Seccedilatildeo 2 Sequecircncia de capitais
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar taxas equivalentes no regime de capitalizaccedilatildeo composto Vocecirc usaraacute as funccedilotildees de programaccedilatildeo com o objetivo de elaborar um algoritmo para fazer a conversatildeo de taxas de um periacuteodo de capitalizaccedilatildeo (ex mensal) para outro periacuteodo (ex anual) usando o programa Vamos explorar as funccedilotildees ldquoPMTrdquo ldquoBEGrdquo e ldquoENDrdquo para realizar caacutelculo de pagamentos antecipados e postecipados em uma sequecircncia uniforme Destacamos que os exemplos que seratildeo apresentados estatildeo no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira
Seccedilatildeo 1 ndash Taxas equivalentes
Nesta unidade vocecirc usaraacute algumas funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos (postecipados e antecipados) de uma seacuterie uniforme Vocecirc usaraacute ainda as funccedilotildees de programaccedilatildeo para elaborar um programa para calcular taxas equivalentes A figura a seguir apresenta as funccedilotildees que vocecirc usaraacute nos exemplos apresentados posteriormente
Aciona o modo de programaccedilatildeo de HP ndash 12C
Aciona a funccedilatildeo Begin que calcula a parcela com pagamento antecipado
Aciona a funccedilatildeo End (natildeo aparece no visor da calculadora) que calcula parcela com pagamento postecipado
Figura 31 - Teclas utilizadas para acionar as funccedilotildees Beg e End e entrar no modo de programaccedilatildeo
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
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Unidade 3
Taxas equivalentes
No mercado financeiro e nas operaccedilotildees bancaacuterias e comerciais a palavra taxa eacute empregada de vaacuterias formas ou seja vaacuterios conceitos satildeo abordados em vaacuterias situaccedilotildees Esta seccedilatildeo tem como objetivo mostrar como as taxas de juros satildeo informadas no mercado financeiro e como adequaacute-las agraves condiccedilotildees padronizadas pela HP ndash 12C
Duas taxas satildeo consideradas equivalentes a juros compostos quando aplicadas a um mesmo capital por um periacuteodo de tempo equivalente e geram o mesmo rendimento
Exemplo 31(exemplo 1 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
No regime de juros compostos qual a taxa anual equivalente a 4 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente anual
Exemplo 32 (exemplo 2 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
Calcule a taxa quadrimestral equivalente agrave taxa de juros compostos de 8 aa
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente quadrimestral
1 004 12 1 1 10000 6010
Taxa anual
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1 008 1 3 1 10000 260
Taxa quadrimestral
Programa para caacutelculo da taxa equivalente pela hp ndash 12c
O professor Carlos Shinoda em seu livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48) apresenta um programa para calcular a taxa equivalente atraveacutes da calculadora HP ndash 12C
Siga os procedimentos abaixo para introduzir o programa na HP ndash 12C
Figura 32 - Algoritmo para a programaccedilatildeo de taxa equivalente
Fonte Livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48)
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Unidade 3
Agora que vocecirc programou a HP ndash 12C para o caacutelculo de taxas equivalentes resolva o exemplo a seguir usando o programa
Exemplo 33
Usando o programa anterior determine as taxas equivalentes propostas nos exemplos 31 e 32
Soluccedilatildeo
As sequecircncias abaixo calculam as taxas equivalentes
Executa oprograma
4 1 12 6010
Taxa anual
Executa oprograma
8 360 120 260
Taxa quadrimestral
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Seccedilatildeo 2 ndash Sequecircncia de capitais
Nesta seccedilatildeo vocecirc acompanharaacute as situaccedilotildees em que haacute mais de um pagamento ou seja vocecirc estudaraacute as operaccedilotildees envolvendo pagamentos ou recebimentos perioacutedicos e uniformes
As seacuteries uniformes de pagamentos satildeo aquelas em que os pagamentos ou recebimentos satildeo constantes e ocorrem em intervalos iguais
Seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas e antecipadas
As seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1 Este sistema eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada (0 + n)
Pagamentos ou recebimentos podem ser chamados de prestaccedilatildeo representada pela sigla PMT que vem do inglecircs Payment e significa pagamento ou recebimento
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentosPMT
++
0 1 2 3 4 5 6 n
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
++
0 1 2 3 4 5 6 n
PMT
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Unidade 3
As seacuteries uniformes de pagamentos antecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre na data focal 0 (zero) Este tipo de sistema de pagamento eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento com entrada (1+ n)
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
Exemplo 34 (exemplo 2 paacuteg 108 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um automoacutevel eacute vendido em uma loja por R$ 3200000 A loja propotildee as seguintes condiccedilotildees para financiamento
Proposta A 12 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta B 24 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta C 36 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
A taxa de juros usada eacute de 32 am Qual o valor de cada prestaccedilatildeo nas 3 modalidades de financiamento
Soluccedilatildeo
As sequecircncias a seguir calculam os valores das parcelas nas trecircs propostas
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3200000
32 12 -325329
parcela
3200000
32 24 -193046
parcela
3200000
32 36 -150979
parcela
Exemplo 35 (exemplo 2 paacuteg 111 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma casa cujo valor agrave vista eacute R$ 4924456 eacute vendida em prestaccedilotildees mensais e iguais de R$ 250000 sendo a primeira dada como entrada Se a taxa de financiamento eacute de 18 am determine o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas no financiamento
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o nuacutemero de parcelas
4924456 18
250000 24
nordm de parcelas
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Unidade 3
No exemplo acima o nuacutemero de pagamento deu um nuacutemero inteiro Mas podem acontecer situaccedilotildees em que ao se determinar o nuacutemero de parcelas o resultado natildeo seja um nuacutemero inteiro
Nessa situaccedilatildeo a HP ndash 12C arredonda a resposta para o proacuteximo inteiro para cima antes de armazenaacute-la e exibi-la
Exemplo 36
Vocecirc comprou um terreno por R$ 3500000 a juros de 105 aa Vocecirc pretende fazer pagamentos de R$ 32500 no fim de cada mecircs Quantos pagamentos seratildeo necessaacuterios para pagar o terreno e quanto tempo levaraacute
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o nuacutemero de pagamentos e o tempo necessaacuterio
3500000 105
32500 328 2733
nordm de parcelas Tempo (anos)
Como a calculadora arredonda o valor do tempo para o proacuteximo inteiro eacute provaacutevel que apesar de serem necessaacuterios 328 pagamentos somente 327 seratildeo inteiros de R$ 32500 com o pagamento final sendo menor do que R$ 32500 Para calcular o valor do pagamento de nuacutemero 328 vamos fazer o seguinte
A calculadora natildeo ajusta os valores nos outros registros financeiros automaticamente para refletir os n pagamentos iguais ao contraacuterio ela lhe permite escolher quais valores (se houver) que vocecirc deseja ajustar
56
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328 18189 - 32500 -14311
Valor da parcela 328
Nesta unidade vocecirc calculou taxas equivalentes usou as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP e fez caacutelculos de pagamentos perioacutedicos de uma seacuterie uniforme antecipado ou postecipado Na proacutexima unidade vamos realizar caacutelculos de valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades abaixo (Essa atividade corresponde agrave autoavaliaccedilatildeo 1 da unidade 5 do livro didaacutetico de Matemaacutetica Financeira) Em seguida use o programa elaborado para resolver a mesma questatildeo
Calcule a taxa anual das seguintes taxas
a) 26 am
b) 42 ab
c) 48 at
d) 12 as
57
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
2 Elabore um algoritmo para resolver as seguintes atividades (Estas questotildees equivalem agraves autoavaliaccedilotildees 1 2 3 4 e 5 da unidade 8 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 121 122 e 123)
a) Calcule o valor da prestaccedilatildeo mensal de um empreacutestimo de R$ 600000 que seraacute amortizado em 12 prestaccedilotildees mensais postecipadas sabendo que o banco cobra uma taxa de juros de 2 am
b) Uma loja vende um automoacutevel agrave vista por R$ 1650000 Se o comprador quiser fazer um financiamento em 36 parcelas mensais e iguais onde o 1ordm pagamento seraacute efetuado no 1ordm mecircs apoacutes a compra a uma taxa de juros de 21 am qual o valor da prestaccedilatildeo
c) Uma mercadoria custa R$ 9038071 agrave vista podendo ser vendida em prestaccedilotildees mensais de R$ 1050000 sendo a primeira prestaccedilatildeo dada como entrada Sabendo-se que a loja aplica uma taxa de 35 am qual o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas
d) Carlos depositou certa quantia durante 10 meses de forma antecipada a uma taxa de 25 am obtendo um montante de R$ 25000000 Quanto depositou mensalmente Carlos
e) Um produto eacute vendido agrave vista por R$ 200000 ou em 10 prestaccedilotildees mensais iguais sem entrada com uma carecircncia de 90 dias apoacutes a compra Qual o valor de cada prestaccedilatildeo sabendo que a taxa de juros eacute de 6 am
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
4UNIDADE 4
Valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa
Usar as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Valor presente liacutequido
Seccedilatildeo 2 Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs ndash SFA (Price)
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa usando as funccedilotildees CF0 CFj e NPV Vocecirc deveraacute ainda fazer uso da funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos usando o Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo ndash SFA ou tabela Price
Seccedilatildeo 1 ndash Valor presente liacutequido
A figura 41 a seguir apresenta as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C que vocecirc usaraacute nessa unidade para realizar caacutelculo de valor presente liacutequido e para a elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos ou financiamento
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor inicial do fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor do fluxo de caixa no periacuteodo j
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula o valor presente atual de um fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula a parte dos pagamentos usada para pagar juros
Figura 41 - Teclas para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
Valor presente liacutequido
Nessa seccedilatildeo vocecirc usaraacute as funccedilotildees da HP ndash 12C para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa Para entender como usar as funccedilotildees CF0 CFj e NPV considere o fluxo de caixa para um investimento que exige capital inicial (CF0) e que gera um fluxo de caixa (CFj ) no final de j periacuteodos
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Veja a seguir o fluxo de caixa
CF0CF1
CF2 CF5
CFn
CF3 CF4
O VPL = Valor Presente Liacutequido eacute calculado somando ao investimento inicial o valor presente dos fluxos de caixa futuros projetados Portanto
se o VPL for positivo o valor financeiro do ativo do investidor aumentaraacute ou seja o investimento financeiro seraacute atrativo em termos financeiros
se o VPL for zero o valor financeiro do ativo financeiro do investidor natildeo mudaraacute ou seja o investidor seraacute indiferente ao investimento
se o VPL for negativo o valor financeiro do ativo do investidor seraacute reduzido ou seja o investimento natildeo seraacute atrativo em termos financeiros
Exemplo 41
Um investidor compra uma casa por R$ 7000000 e gostaria de ter um retorno de pelo menos 15 Ele pretende manter a casa por 4 anos e depois vendecirc-la por R$ 11000000 Ele prevecirc os fluxos de caixa mostrados no diagrama abaixo
CF0CF1
CF1
CF3CF4
CF5
R$ 7000000
R$ 50000
R$ 450000R$ 450000
R$ 13000000R$ 550000
Sendo assim calcule o VPL para determinar se o investimento resultaria em um retorno ou perda
62
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Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o VPL
7000000 50000
450000 550000 450000
13000000 15 379007
VPL
Como o VPL eacute positivo o investimento aumentaria o valor financeiro do ativo do investidor
Exemplo 42 (exemplo 4 paacuteg 98 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um proprietaacuterio recebeu as seguintes propostas para a venda de uma casa
Proposta A entrada de R$ 10000000 + R$ 5000000 em 6 meses + R$ 6000000 em 1 ano
Proposta B entrada de R$ 8000000 + R$ 6000000 em 5 meses + R$ 7000000 em 10 meses
Sabendo-se que a taxa de juros de mercado eacute de 3 am qual a melhor proposta para o vendedor
Soluccedilatildeo
Essa questatildeo deve ser resolvida pelo meacutetodo do Valor Presente Liacutequido A alternativa que tiver o maior valor seraacute a melhor Entretanto para facilitar a elaboraccedilatildeo do algoritmo de resoluccedilatildeo na HP ndash 12C elabore o fluxo de caixa para cada situaccedilatildeo
63
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
1 Proposta A Fluxo de caixa
10000000 5000000 6000000
1 2 3 4 5 7 8 9 10 110 6 12
Calculando o VPL
10000000 000 5
5000000 000
5
6000000
3
18395701
VPL
Armazena o zero 5 vezes
2 Proposta B Fluxo de caixa
8000000 70000006000000
1 2 3 4 6 7 8 90 5 10
Calculando o VPL
8000000 000 4
6000000 000
4
7000000
3
18384310
VPL
Armazena o zero 4 vezes
Resposta a melhor proposta eacute a A
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Exemplo 43
Dois equipamentos satildeo examinados Considerando ser a taxa miacutenima de atratividade de 20aa qual o equipamento que deve ser adquirido
Dados
41 - Tabela de DadosEquipamento K Equipamento L
Custo R$ 5000000 R$ 8000000Custo anual de manutenccedilatildeo R$ 2000000 R$ 1500000Valor residual para venda R$ 400000 R$ 800000Duraccedilatildeo em anos 10 10
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
A seguir veja o diagrama de fluxo de caixa
Os caacutelculos do Valor Presente Liacutequido para as duas situaccedilotildees satildeo
Equipamento K
5000000
Equipamento K
2000000
400000
0 1 2 10
8000000
Equipamento L
1500000
800000
0 1 2 10
50000 20000
9 4000 20000 1
20 -13320342
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Unidade 4
Equipamento L
80000 15000
9 8000 15000 1
20 -14159504
Importante Veja que a alternativa K equivale a um equipamento em que se investe R$ 13320342 enquanto que o equipamento L equivale a um investimento de R$ 14159504 Portanto eacute preferiacutevel o equipamento K pois o investimento eacute menor
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Seccedilatildeo 2 ndash Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs - SFA
Este sistema consiste no pagamento de empreacutestimos ou financiamentos com prestaccedilotildees iguais e com periodicidade constante Eacute considerado o sistema de amortizaccedilatildeo mais utilizado pelas instituiccedilotildees financeiras e pelo comeacutercio em geral
O Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo eacute assim chamado por ter sido inventado na Franccedila por volta do seacuteculo XVIII pelo matemaacutetico inglecircs Richard Price daiacute portanto a origem da denominaccedilatildeo Sistema Price tambeacutem comumente chamado de Tabela Price
Na verdade a Tabela Price eacute um caso particular derivado do Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo Neste sistema o financiamento (PV) eacute pago em parcelas (PMT) iguais constituiacutedas da amortizaccedilatildeo do principal da diacutevida + juros compensatoacuterios (J) que variam inversamente ao longo do tempo Ou seja agrave medida que aumenta o valor da parcela de amortizaccedilatildeo haveraacute uma queda dos juros compensatoacuterios em funccedilatildeo da reduccedilatildeo do saldo devedor
Principais Caracteriacutesticas
As principais caracteriacutesticas do SFA satildeo
a prestaccedilatildeo eacute constante durante todo o periacuteodo do financiamento
a parcela de amortizaccedilatildeo aumenta a cada periacuteodo (n)
os juros compensatoacuterios diminuem a cada periacuteodo (n)
Exemplo 44 (exemplo 1 paacuteg 148 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma instituiccedilatildeo financeira libera um empreacutestimo para uma induacutestria no valor de R$ 60000000 para ser pago pelo sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs em 120 meses a uma taxa de 15 am Faccedila a planilha ateacute o 4ordm mecircs e calcule o saldo devedor no 100ordm mecircs
67
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Unidade 4
Soluccedilatildeo
A sequecircncia abaixo calcula o valor da prestaccedilatildeo os juros a amortizaccedilatildeo o saldo devedor e valor do saldo devedor no 100ordm mecircs Acompanhe
Zera os registradores
60000000 Armazena o valor presente
120 Armazena o periacuteodo
15 Armazena a taxa
- R$ 1081111 Valor da prestaccedilatildeo
1 - R$ 900000 Valor dos juros da 1ordf parcela
R$ 181111Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 1ordf parcela
R$ 58918889 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 897283 Valor dos juros da 2ordf parcela
- R$ 183828Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 2ordf parcela
R$ 59635061 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 894526 Valor dos juros da 3ordf parcela
- R$ 186585Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 3ordf parcela
R$ 59448476 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 891727 Valor dos juros da 4ordf parcela
- R$ 189384Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 4ordf parcela
R$ 59259092 Recupera o saldo devedor
A tabela a seguir apresenta um resumo das operaccedilotildees realizadas
68
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Tabela 42 ndash Planilha de amortizaccedilatildeoPeriacuteodo (n) Amortizaccedilatildeo (A) Juros (J) Prestaccedilotildees (R) Saldo Devedor (S)
0 - - - R$ 600000001 R$ 181111 R$ 900000 R$ 1081111 R$ 598188892 R$ 183828 R$ 897283 R$ 1081111 R$ 596350613 R$ 186585 R$ 894526 R$ 1081111 R$ 594484764 R$ 189384 R$ 891727 R$ 1081111 R$ 59259092
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Para determinar o saldo devedor no 100ordm mecircs faccedila como indicado a seguir
60000000 120 150
-1081111 18561247
Prestaccedilatildeo Saldo devedor no 100ordm mecircs
Nesta unidade vocecirc usou as funccedilotildees de fluxo de caixa para calcular o valor presente liacutequido e a funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
69Unidade 4
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Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades a seguir (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 4 e 5 da unidade 7 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegina 102) Em seguida use o programa elaborado para resolver as mesmas questotildees
a) Qual das alternativas de pagamento eacute a melhor para uma taxa de juros compostos de 75 am
Alternativa A Pagamento de R$ 15000000 agrave vista
Alternativa B Entrada de R$ 5000000 + R$ 8000000 em 90 dias + R$ 6000000 em 150 dias
b) Uma pessoa deve a um banco dois tiacutetulos com valores de R$ 300000 e R$ 600000 venciacuteveis respectivamente em 4 meses e 8 meses Se a pessoa deseja antecipar para hoje a liquidaccedilatildeo dos tiacutetulos qual o valor a pagar considerando que o banco opera com uma taxa de juros compostos de 23 am
2 Elabore um algoritmo para resolver as atividades abaixo (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 1 e 4 da unidade 10 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 151 e 153)
a) Um cliente solicita a um banco um empreacutestimo de R$ 4000000 pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs em 60 prestaccedilotildees mensais Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de juros de 28 am obtenha o valor da prestaccedilatildeo e o saldo devedor depois de pagar a 20ordf prestaccedilatildeo
b) Um empreacutestimo de R$ 30000000 seraacute saldado em 50 prestaccedilotildees mensais a uma taxa de 15 am Determine a parcela de juros relativa agrave 15ordf prestaccedilatildeo pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs (price)
70
Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
Manual da calculadora HP ndash 12C
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico ndash 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7ed Satildeo Paulo Atlas 2000
Para concluir o estudo
Com o teacutermino desse curso de extensatildeo acreditamos que proporcionamos momentos de aprendizagem por meio da interaccedilatildeo da calculadora financeira e que vocecirc estaacute habilitado(a) a fazer uso dessa ferramenta com qualidade no mercado de trabalho relacionado a essa aacuterea tatildeo importante no nosso dia-a-dia
Referecircncias
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7 ed Satildeo Paulo Atlas 2000
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003 Disponiacutevel em lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt Acesso em 05 jun 2008
Sobre o professor conteudista
Joseacute Humberto Dias de Toledo - eacute Mestre em Educaccedilatildeo pela Universidade do Sul de Santa Catarina Graduado em Licenciatura em Matemaacutetica e em Engenharia Civil Professor das disciplinas Meacutetodos Numeacutericos Informaacutetica Aplicada agrave Matemaacutetica Financeira Caacutelculo I e Matemaacutetica Financeira no Curso de Matemaacutetica ndash Licenciatura nesta mesma instituiccedilatildeo Atualmente ministra a disciplina Representaccedilotildees Graacuteficas na Poacutes-graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo Matemaacutetica da UNISUL
Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo
Unidade 1
1 a) 5
b) -2359
c) 3311
d) 077
e) 081
Respostas modo RPN
a)
b)
c)
d)
e)
Respostas modo ALG
a
b
c
d
e
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Universidade do Sul de Santa Catarina
2 R$ 167757
Modo RPN
Modo ALG
3 -242
4 Data 13082008 3 (quarta-feira)
5 Florianoacutepolis = 3303 Curitiba = 5018 Porto Alegre = 1680
Unidade 2
1 1) 150000
Dados
C = R$ 1000000
i = 5 aa
n = 3 anos = 1080 dias
J =
3) 24 meses = 2 anos
Dados
C = R$ 200000
i = 6 aa
n = 24 meses = 720 dias
M =
79
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
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c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
86
Universidade do Sul de Santa Catarina
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
87
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 17
Comprei uma TV LCD em 17052008 com vencimento para 120 dias Determine a data do vencimento usando a calculadora HP ndash 12C
Soluccedilatildeo
17052008 120 14092008 7
A data do vencimento eacute 14 de setembro de
2008 domingo
Exemplo 18
Fiz uma compra no dia 12052008 com vencimento para o dia 26082008 Use a calculadora HP ndash 12C para determinar o nuacutemero de dias entre a data da compra e do vencimento
Soluccedilatildeo
12052008 20082008 100
Nuacutemero de dias entre as datas
Nesta unidade vocecirc conheceu algumas funccedilotildees elementares da calculadora as quais seratildeo utilizadas nas demais unidades e satildeo muito importantes para realizar caacutelculos que envolvem questotildees do nosso cotidiano Na proacutexima unidade vocecirc vai usar as funccedilotildees financeiras da calculadora para calcular juros simples e compostos descontos simples e compostos
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
Efetue as atividades de autoavaliaccedilatildeo e acompanhe as respostas e comentaacuterios a respeito nas paacuteginas finais deste material Para melhor aproveitamento do seu estudo realize a conferecircncia de suas respostas somente depois de fazer as atividades propostas Desse modo o momento da conferecircncia lhe proporcionaraacute novas oportunidades de aprendizagem
1 Calcule o valor das expressotildees numeacutericas a seguir usando a HP ndash 12C nos modos RPN e ALG
a) 2 5 3 8 24 minus + divide =x
b) minus + minus =3 5 32 3x eln
c) 16 25 3 45 89+ minus =x
d) 2
35 5
3+ minus =ln
e) 0 253
55
2 + minus =minus
2 Use a HP ndash 12C para realizar os caacutelculos e informar o saldo final da seguinte movimentaccedilatildeo financeira Saldo inicial na conta R$ 167890 depoacutesito de R$ 143587 cheques compensados nos valores de R$ 34598 R$ 12345 R$ 65790 e R$ 30987
3 No dia 130508 o doacutelar americano estava cotado em R$ 165 no dia 190508 a cotaccedilatildeo foi de R$ 161 Com base nestes dados indique qual foi a variaccedilatildeo percentual do doacutelar
4 Foi realizada uma compra em um supermercado no valor de R$ 67890 em 150508 Sabendo que esse estabelecimento trabalha com prazo de 90 dias use as funccedilotildees calendaacuterio da HP ndash 12C e determine a data e o dia da semana do vencimento
5 Uma empresa tem vendas mensais para o mecircs de maio de 2008 estimadas em R$ 178909000 Sabendo que o valor total das vendas estaacute distribuiacutedo nas cidades de Florianoacutepolis Curitiba e Porto Alegre com valores correspondentes a R$ 59089000 R$ 89767898 e R$ 30052102 respectivamente determine qual percentagem das vendas totais ocorre em cada uma das cidades
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Saiba mais
HPndash12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
No link abaixo vocecirc tem disponiacutevel o manual da calculadora HP ndash 12C na versatildeo online lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt
2UNIDADE 2
Regimes de capitalizaccedilatildeo simples e composto
Objetivos de aprendizagem
Fazer uso das funccedilotildees financeiras da calculadora HP ndash 12C para calcular juros simples e composto
Dominar o caacutelculo do montante simples e composto
Aprender o caacutelculo de desconto simples e composto
Calcular capital taxa e prazo no regime de capitalizaccedilatildeo composto usando a HP ndash 12C
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Regime de capitalizaccedilatildeo simples
Seccedilatildeo 2 Regime de capitalizaccedilatildeo composto
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc vai fazer uso das funccedilotildees financeiras da HP ndash 12C com o objetivo de realizar caacutelculos de juros simples e composto montantes simples e composto descontos simples e composto caacutelculo de taxas e prazos
Nesta etapa de estudos seratildeo utilizados exemplos do material didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira que estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do Espaccedilo Virtual de Aprendizagem ndash EVA Eacute importante lembrar natildeo ser objetivo deste curso discutir os conceitos da Matemaacutetica Financeira mas apenas utilizar as funccedilotildees disponibilizadas na calculadora para resolver problemas relacionados a essa aacuterea Entretanto caso vocecirc julgue importante os conceitos podem ser relembrados ou vistos no material didaacutetico da disciplina
Seccedilatildeo 1 ndash Regime de capitalizaccedilatildeo simples
Na unidade 1 vocecirc foi apresentado(a) agrave calculadora HP ndash 12C e a algumas das suas funccedilotildees com o objetivo de capacitaacute-lo(a) para o uso adequado dessa ferramenta Esta unidade inicia com uma abordagem sobre os registradores financeiros os quais seratildeo utilizados na maioria dos exemplos que deveratildeo ser resolvidos ao longo das proacuteximas seccedilotildees desta unidade e nas demais unidades deste curso Veja na ilustraccedilatildeo a seguir os registradores financeiros e as suas aplicaccedilotildees
Registra e armazena periacuteodo
Registra e armazena taxa
Registra e armazena valor presente
Registra e armazena pagamentos perioacutedicos
Registra e armazena valor futuro
Figura 21 - Registradores financeiros e as suas aplicaccedilotildees Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
Para armazenar um nuacutemero em um registrador financeiro digite o nuacutemero e em seguida uma das teclas correspondentes ilustradas acima
Para exibir um nuacutemero armazenado em um dos registradores financeiros aperte e em seguida a tecla correspondente
Para zerar todos os registradores financeiros aperte a sequecircncia de teclas
Eacute importante lembrar que os registradores financeiros tambeacutem satildeo zerados ao apertar a sequecircncia
e quando a memoacuteria contiacutenua eacute
reinicializada
A seguir vocecirc faraacute caacutelculo de juros simples e de descontos simples usando a HP ndash 12C
Regime de capitalizaccedilatildeo simples
A HP ndash 12C calcula automaticamente juros simples ordinaacuterios ndash usando o ano comercial e juros simples exatos ndash usando um ano de 365 dias simultaneamente
Eacute possiacutevel apresentar qualquer um dos dois e mais com os juros acumulados no mostrador podemos calcular o montante apertando a tecla
Para exemplificar vamos resolver problemas do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira que se encontra disponiacutevel (formato digital) na ferramenta Midiateca do EVA ndash Espaccedilo Virtual de Aprendizagem
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Exemplo 21 (exemplo 1 paacuteg 29 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital de R$ 1800000 foi aplicado a juros simples durante 3 anos agrave taxa de 6 aa Qual eacute o valor dos juros e o montante adquirido
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula os juros e o montante
Exemplo 22 (exemplo 1 paacuteg 33 do livro Matemaacutetica Financeira)
Ache os juros simples exatos auferidos em uma aplicaccedilatildeo de R$ 1500000 a uma taxa de 16 aa de 20 de abril de 2003 a 1ordm de julho de 2003
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula os juros comerciais e os juros exatos
Neste exemplo utilizamos duas teclas que seratildeo ilustradas a seguir para realizar o caacutelculo dos juros exatos
1800000 1080 6
324000 2124000
Juros Montante
No caacutelculo de Juros simples o periacuteodo deve ser em dias
Calcula juros simples
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Unidade 2
1500000 20042003 01072003
72 16 48000 47342
Juro comercial Juro exato nordm de dias
Ao apertar essa tecla ela rola para baixo o conteuacutedo da pilha para visualizaccedilatildeo no registro X
Ao apertar essa tecla ela troca o conteuacutedo dos registros X e Y da pilha
Figura 22 - Teclas utilizadas para registros de dados Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Exemplo 23 (exemplo 2 paacuteg 34 do livro Matemaacutetica Financeira)
Determine o juro simples exato obtido em uma aplicaccedilatildeo de R$ 1300000 durante 146 dias a uma taxa de 9 aa
Soluccedilatildeo a sequecircncia a seguir realiza os caacutelculos solicitados
1330000 146 9
48545 47880
Juro comercial Juro exato
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Exemplo 24 (exemplo 1 paacuteg 47 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma duplicata de R$ 1500000 com vencimento no dia 03042005 foi descontada em um banco em 08012005 a uma taxa de 25 am Qual eacute o desconto simples bancaacuterio da operaccedilatildeo
Soluccedilatildeo
08012005 03042005 85
1500000 0025 30 106250
Taxa decimal Desconto bancaacuterio
Nordm de dias entre as datas
Exemplo 25 (exemplo 1 paacuteg 48 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma empresa descontou um tiacutetulo com valor de face de R$ 1450000 3 meses e 15 dias antes do vencimento com uma taxa de desconto bancaacuterio simples de 24 am Quanto a empresa recebeu liacutequido na operaccedilatildeo
Soluccedilatildeo
1450000 0024 35 1450000 1328200
Periacuteodo em meses Valor liacutequidoTaxa decimal
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Unidade 2
Exemplo 26 (exemplo 1 paacuteg 49 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma duplicata de R$ 4800000 foi descontada 6 meses antes de seu vencimento em uma instituiccedilatildeo financeira que trabalha com uma taxa de desconto simples de 32 am Com base nestes dados determine
o valor do desconto simples bancaacuterio
o valor do desconto simples racional
Soluccedilatildeo
4800000 6 0032 921600
Taxa decimal Valor liacutequido
921600 1 0032
6 773154
Taxa decimal Valor liacutequido
Na proacutexima seccedilatildeo vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros compostos e de desconto compostos
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Seccedilatildeo 2 ndash Regime de capitalizaccedilatildeo composto
Os exemplos apresentados a partir de agora satildeo ilustrativos de uma ampla variedade de caacutelculos financeiros Para resolvecirc-los vocecirc precisa estruturaacute-los identificando os elementos baacutesicos do problema de maneira que fiquem evidentes as quantidades que devem ser fornecidas agrave calculadora e quem eacute o valor desconhecido ou seja o valor que desejamos determinar
Na resoluccedilatildeo dos caacutelculos usando a HP ndash 12C eacute indispensaacutevel elaborar o diagrama de fluxo de caixa Eacute importante ressaltar que a calculadora precisa de ajuda para comparar o fluxo de caixa ou seja eacute preciso informar quando temos uma entrada ou uma saiacuteda
O fluxo de caixa serve para demonstrar graficamente as transaccedilotildees financeiras em um periacuteodo de tempo
O tempo eacute representado por uma linha horizontal dividida pelo nuacutemero de periacuteodos relevantes para anaacutelise As entradas ou recebimentos satildeo representados por setas verticais apontadas para cima e as saiacutedas ou pagamentos satildeo representados por setas verticais apontadas para baixo Observe o modelo simplificado
(+) entradas
(-) saiacutedas
tempo (n)
Veja agora o modelo detalhado
Entradas
Saiacutedas
Tempo
Fluxo de caixa pode ser definido como sendo a movimentaccedilatildeo de recursos financeiros (entradas e saiacutedas de caixa) ao longo de um periacuteodo de tempo - agrave entrada e saiacuteda de dinheiro O conceito caixa (financeiro) natildeo pode ser confundido com conceito de competecircncia (contaacutebil)
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Unidade 2
Na HP-12C a tecla (do inglecircs Change Sign) serve para introduzir ou tirar um sinal negativo de um nuacutemero ou seja faz o fluxo de caixa
Na sequecircncia de exemplos apresentados a seguir realizaremos caacutelculos de juros montantes valor presente prazo taxa de juros e descontos no regime composto com o auxiacutelio dos registradores financeiros da calculadora HP ndash 12C
Exemplo 27 (exemplo 1 paacuteg 58 do livro Matemaacutetica Financeira)
Qual o montante gerado por um capital de R$ 450000 aplicado por 9 meses a juros compostos a uma taxa de 35 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o montante composto
450000 9 35 613304
MontanteFluxo de caixa saiacuteda do dinheiro para aplicaccedilatildeo
Exemplo 28 (exemplo 2 paacuteg 58 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital de R$ 1200000 foi aplicado a juros compostos durante 6 meses agrave taxa de 2 am Calcule os juros auferidos na aplicaccedilatildeo
Soluccedilatildeo use a sequecircncia a seguir para calcular os juros
1200000 6 2
1351395 151395
Montante Juros
Fluxo de caixa saiacuteda do dinheiro para aplicaccedilatildeo
Recupera um valor em um registrador
financeiro
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Exemplo 29 (exemplo 3 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital ldquoXrdquo eacute aplicado a juros compostos agrave taxa de 35 am gerando um montante de R$ 1950000 apoacutes 1 ano e 3 meses Determine o capital ldquoXrdquo
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar o capital
1950000 35 15 -1163937
Capital aplicado
Exemplo 210 (exemplo 4 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
A que taxa mensal de juros compostos um capital de R$ 1250000 pode transformar-se em R$ 1537342 no periacuteodo de 7 meses
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
1250000 1537342 7 300
Taxa de juros mensal
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Unidade 2
Exemplo 211 (exemplo 5 paacuteg 60 do livro Matemaacutetica Financeira)
Em que prazo um empreacutestimo de R$ 3500000 pode ser pago pela quantia de R$ 4790000 se a taxa de juros compostos cobrada for de 4 am
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
3500000 4790000 4 8
Periacuteodo em meses
Funccedilatildeo ldquoCrdquo na HP ndash 12C e as teclas ldquoSTOrdquo e ldquoEEXrdquo
Vocecirc pode calcular taxa de juros (i) Capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos Perioacutedicos (PMT) para transaccedilotildees financeiras com periacuteodos fracionaacuterios Ao digitar um periacuteodo fracionaacuterio por exemplo 23 meses a parte inteira do nuacutemero indica o nuacutemero de periacuteodos inteiro e a parte fracionaacuteria do nuacutemero o tamanho do periacuteodo fracionaacuterio como uma fraccedilatildeo do periacuteodo inteiro (no exemplo 2 meses e 03 meses)
De acordo com o criteacuterio do usuaacuterio os caacutelculos de taxa de juros ( i ) capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos perioacutedicos (PMT) podem ser executados com juros simples ou compostos acumulados durante o periacuteodo fracionaacuterio Para escolher uma das duas opccedilotildees faccedila
Aparece o indicador ldquoCldquo Portanto os juros compostos satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Natildeo aparece o indicador ldquoCrdquo Portanto os juros simples satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Figura 23 - Teclas utilizadas para caacutelculo de juros simples e compostos para periacuteodo fracionaacuterio Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
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Exemplo 212
Calcular o valor futuro de uma aplicaccedilatildeo de R$ 185030000 aplicado agrave taxa de 14 aa durante 45 anos usando juros compostos e simples para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Soluccedilatildeo as sequecircncias a seguir apresentam os resultados para o caacutelculo do valor futuro com juros simples para o periacuteodo fracionaacuterio e juros compostos para o periacuteodo fracionaacuterios respectivamente
185030000 14
45 334383879
Valor futuro calculado com juros simples para o periacuteodo
fracionaacuterio
185030000
14 45 333667556
Valor futuro calculado com juros compostos para o
periacuteodo fracionaacuterio
Exemplo 213 (exemplo 1 paacuteg 81 do livro Matemaacutetica Financeira)
Determine o valor do desconto composto racional e o valor do resgate de um tiacutetulo de R$ 1560000 descontado 5 meses antes do seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto composto racional eacute de 4 am
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Unidade 2
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor do desconto racional composto e o valor liacutequido a receber
1560000 1
1 004 5
277794 1560000 1282206
Valor do desconto Valor liacutequido
Exemplo 214 (exemplo 1 paacuteg 84 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um tiacutetulo de valor nominal de R$ 1500000 eacute descontado em um banco 3 meses antes de seu vencimento Se a taxa de desconto comercial usada pelo banco eacute de 8 am qual eacute o valor do desconto
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor liacutequido e o valor do desconto bancaacuterio ou comercial
1500000 3 8
-1168032 331968
Valor liacutequido Valor do desconto
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Nesta unidade vocecirc usou a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros simples e compostos descontos simples e compostos valor presente taxa de juros periacuteodo e montante Na proacutexima unidade usaremos a ferramenta para auxiliar no caacutelculo de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir foram propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo em PDF estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as questotildees 1 3 5 e 6 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteginas 38 e 39 Confira os resultados na paacuteg 194
1) Qual o rendimento que obtemos ao aplicarmos um capital de R$ 1000000 a uma taxa de juros simples de 5 aa durante 3 anos
3) Em um regime de capitalizaccedilatildeo simples qual eacute o montante que se obteacutem quando aplicamos um capital de R$ 200000 a uma taxa 6 aa durante 24 meses
5) Uma quantia de R$ 6200000 foi aplicada em uma operaccedilatildeo financeira no dia 20 de setembro de 2003 e resgatada no dia 21 de dezembro de 2003 a uma taxa de 125 aa Quais os juros simples exatos e comerciais da operaccedilatildeo
6) Calcule os juros simples exatos e comerciais nas seguintes condiccedilotildees
bull R$ 600000 aplicados por 180 dias a 12 aa
bull R$ 520000 aplicados por 230 dias a 15 aa
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Unidade 2
2 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 2 e 4 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegs 52 e 53 Confira os resultados nas paacuteginas 194 e 195
1) Uma empresa desconta uma duplicata no valor nominal de R$ 5000000 no Banco ldquoXrdquo 4 meses antes do seu vencimento Sabendo que o banco ldquoXrdquo trabalha com uma taxa de desconto simples bancaacuterio de 45 am qual eacute o valor do desconto e o valor liacutequido recebido
2) Para pagar uma diacutevida hoje uma empresa descontou em uma carteira de creacutedito uma duplicata no valor de R$ 1650000 com vencimento daqui a 2 meses recebendo um valor nominal liacutequido de R$ 1500000 Determine a taxa mensal de desconto simples bancaacuterio utilizada
4) Uma letra de cacircmbio no valor nominal de R$ 500000 foi comercializada 4 meses antes do vencimento a uma taxa de desconto simples de 22 am Se o desconto simples fosse o racional qual seria o valor deste desconto
3 Elabore uma sequecircncia de passos para resolver as questotildees propostas 1 2 3 4 e 6 nas paacuteginas 65 66 e 67 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira e confira os resultados na paacuteg 195
1) Calcule o montante produzido por um capital de R$ 2600000 aplicado a uma taxa de juros compostos de 52 am por 6 meses
2) Calcule os juros compostos auferidos por um capital de R$ 420000 aplicado a uma taxa de 3 am durante 10 meses
3) Um empreacutestimo de R$ 600000 deve ser pago em 120 dias a juros compostos pelo valor de R$ 900000 Qual eacute a taxa mensal da operaccedilatildeo
4) Em que prazo uma aplicaccedilatildeo a juros compostos de R$ 2400000 produziraacute um montante de R$ 6151930 agrave taxa de 4 am
6) Quanto Paulo deve aplicar hoje a juros compostos em uma instituiccedilatildeo financeira que paga uma taxa de 12 am para pagar um compromisso de valor nominal igual a R$ 3800000 que vence daqui a 3 meses
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4 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 e 8 das paacuteginas 88 e 90 respectivamente do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira Confira os resultados na paacuteg 196
1) Determine o valor do desconto composto racional de um tiacutetulo de valor nominal de R$ 830000 descontado 6 meses antes de seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto eacute de 42 am
8) Um tiacutetulo de R$ 3000000 foi descontado em uma instituiccedilatildeo financeira a uma taxa de desconto composto comercial de 64 am e o valor liacutequido recebido era de R$ 2017327 Quantos meses antes do vencimento foi descontado este tiacutetulo
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
3UNIDADE 3
Taxas de juros equivalentes e caacutelculo de pagamentos perioacutedicos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para calcular taxas equivalentes
Usar as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP ndash 12C para programar o algoritmo da taxa equivalente no regime de capitalizaccedilatildeo composto
Calcular pagamentos perioacutedicos de sequecircncias uniformes postecipadas e antecipadas
Calcular montante de uma sequecircncia uniforme
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Taxas equivalentes
Seccedilatildeo 2 Sequecircncia de capitais
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar taxas equivalentes no regime de capitalizaccedilatildeo composto Vocecirc usaraacute as funccedilotildees de programaccedilatildeo com o objetivo de elaborar um algoritmo para fazer a conversatildeo de taxas de um periacuteodo de capitalizaccedilatildeo (ex mensal) para outro periacuteodo (ex anual) usando o programa Vamos explorar as funccedilotildees ldquoPMTrdquo ldquoBEGrdquo e ldquoENDrdquo para realizar caacutelculo de pagamentos antecipados e postecipados em uma sequecircncia uniforme Destacamos que os exemplos que seratildeo apresentados estatildeo no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira
Seccedilatildeo 1 ndash Taxas equivalentes
Nesta unidade vocecirc usaraacute algumas funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos (postecipados e antecipados) de uma seacuterie uniforme Vocecirc usaraacute ainda as funccedilotildees de programaccedilatildeo para elaborar um programa para calcular taxas equivalentes A figura a seguir apresenta as funccedilotildees que vocecirc usaraacute nos exemplos apresentados posteriormente
Aciona o modo de programaccedilatildeo de HP ndash 12C
Aciona a funccedilatildeo Begin que calcula a parcela com pagamento antecipado
Aciona a funccedilatildeo End (natildeo aparece no visor da calculadora) que calcula parcela com pagamento postecipado
Figura 31 - Teclas utilizadas para acionar as funccedilotildees Beg e End e entrar no modo de programaccedilatildeo
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
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Unidade 3
Taxas equivalentes
No mercado financeiro e nas operaccedilotildees bancaacuterias e comerciais a palavra taxa eacute empregada de vaacuterias formas ou seja vaacuterios conceitos satildeo abordados em vaacuterias situaccedilotildees Esta seccedilatildeo tem como objetivo mostrar como as taxas de juros satildeo informadas no mercado financeiro e como adequaacute-las agraves condiccedilotildees padronizadas pela HP ndash 12C
Duas taxas satildeo consideradas equivalentes a juros compostos quando aplicadas a um mesmo capital por um periacuteodo de tempo equivalente e geram o mesmo rendimento
Exemplo 31(exemplo 1 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
No regime de juros compostos qual a taxa anual equivalente a 4 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente anual
Exemplo 32 (exemplo 2 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
Calcule a taxa quadrimestral equivalente agrave taxa de juros compostos de 8 aa
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente quadrimestral
1 004 12 1 1 10000 6010
Taxa anual
50
Universidade do Sul de Santa Catarina
1 008 1 3 1 10000 260
Taxa quadrimestral
Programa para caacutelculo da taxa equivalente pela hp ndash 12c
O professor Carlos Shinoda em seu livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48) apresenta um programa para calcular a taxa equivalente atraveacutes da calculadora HP ndash 12C
Siga os procedimentos abaixo para introduzir o programa na HP ndash 12C
Figura 32 - Algoritmo para a programaccedilatildeo de taxa equivalente
Fonte Livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48)
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Unidade 3
Agora que vocecirc programou a HP ndash 12C para o caacutelculo de taxas equivalentes resolva o exemplo a seguir usando o programa
Exemplo 33
Usando o programa anterior determine as taxas equivalentes propostas nos exemplos 31 e 32
Soluccedilatildeo
As sequecircncias abaixo calculam as taxas equivalentes
Executa oprograma
4 1 12 6010
Taxa anual
Executa oprograma
8 360 120 260
Taxa quadrimestral
52
Universidade do Sul de Santa Catarina
Seccedilatildeo 2 ndash Sequecircncia de capitais
Nesta seccedilatildeo vocecirc acompanharaacute as situaccedilotildees em que haacute mais de um pagamento ou seja vocecirc estudaraacute as operaccedilotildees envolvendo pagamentos ou recebimentos perioacutedicos e uniformes
As seacuteries uniformes de pagamentos satildeo aquelas em que os pagamentos ou recebimentos satildeo constantes e ocorrem em intervalos iguais
Seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas e antecipadas
As seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1 Este sistema eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada (0 + n)
Pagamentos ou recebimentos podem ser chamados de prestaccedilatildeo representada pela sigla PMT que vem do inglecircs Payment e significa pagamento ou recebimento
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentosPMT
++
0 1 2 3 4 5 6 n
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
++
0 1 2 3 4 5 6 n
PMT
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Unidade 3
As seacuteries uniformes de pagamentos antecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre na data focal 0 (zero) Este tipo de sistema de pagamento eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento com entrada (1+ n)
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
Exemplo 34 (exemplo 2 paacuteg 108 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um automoacutevel eacute vendido em uma loja por R$ 3200000 A loja propotildee as seguintes condiccedilotildees para financiamento
Proposta A 12 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta B 24 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta C 36 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
A taxa de juros usada eacute de 32 am Qual o valor de cada prestaccedilatildeo nas 3 modalidades de financiamento
Soluccedilatildeo
As sequecircncias a seguir calculam os valores das parcelas nas trecircs propostas
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3200000
32 12 -325329
parcela
3200000
32 24 -193046
parcela
3200000
32 36 -150979
parcela
Exemplo 35 (exemplo 2 paacuteg 111 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma casa cujo valor agrave vista eacute R$ 4924456 eacute vendida em prestaccedilotildees mensais e iguais de R$ 250000 sendo a primeira dada como entrada Se a taxa de financiamento eacute de 18 am determine o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas no financiamento
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o nuacutemero de parcelas
4924456 18
250000 24
nordm de parcelas
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Unidade 3
No exemplo acima o nuacutemero de pagamento deu um nuacutemero inteiro Mas podem acontecer situaccedilotildees em que ao se determinar o nuacutemero de parcelas o resultado natildeo seja um nuacutemero inteiro
Nessa situaccedilatildeo a HP ndash 12C arredonda a resposta para o proacuteximo inteiro para cima antes de armazenaacute-la e exibi-la
Exemplo 36
Vocecirc comprou um terreno por R$ 3500000 a juros de 105 aa Vocecirc pretende fazer pagamentos de R$ 32500 no fim de cada mecircs Quantos pagamentos seratildeo necessaacuterios para pagar o terreno e quanto tempo levaraacute
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o nuacutemero de pagamentos e o tempo necessaacuterio
3500000 105
32500 328 2733
nordm de parcelas Tempo (anos)
Como a calculadora arredonda o valor do tempo para o proacuteximo inteiro eacute provaacutevel que apesar de serem necessaacuterios 328 pagamentos somente 327 seratildeo inteiros de R$ 32500 com o pagamento final sendo menor do que R$ 32500 Para calcular o valor do pagamento de nuacutemero 328 vamos fazer o seguinte
A calculadora natildeo ajusta os valores nos outros registros financeiros automaticamente para refletir os n pagamentos iguais ao contraacuterio ela lhe permite escolher quais valores (se houver) que vocecirc deseja ajustar
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328 18189 - 32500 -14311
Valor da parcela 328
Nesta unidade vocecirc calculou taxas equivalentes usou as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP e fez caacutelculos de pagamentos perioacutedicos de uma seacuterie uniforme antecipado ou postecipado Na proacutexima unidade vamos realizar caacutelculos de valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades abaixo (Essa atividade corresponde agrave autoavaliaccedilatildeo 1 da unidade 5 do livro didaacutetico de Matemaacutetica Financeira) Em seguida use o programa elaborado para resolver a mesma questatildeo
Calcule a taxa anual das seguintes taxas
a) 26 am
b) 42 ab
c) 48 at
d) 12 as
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Unidade 3
2 Elabore um algoritmo para resolver as seguintes atividades (Estas questotildees equivalem agraves autoavaliaccedilotildees 1 2 3 4 e 5 da unidade 8 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 121 122 e 123)
a) Calcule o valor da prestaccedilatildeo mensal de um empreacutestimo de R$ 600000 que seraacute amortizado em 12 prestaccedilotildees mensais postecipadas sabendo que o banco cobra uma taxa de juros de 2 am
b) Uma loja vende um automoacutevel agrave vista por R$ 1650000 Se o comprador quiser fazer um financiamento em 36 parcelas mensais e iguais onde o 1ordm pagamento seraacute efetuado no 1ordm mecircs apoacutes a compra a uma taxa de juros de 21 am qual o valor da prestaccedilatildeo
c) Uma mercadoria custa R$ 9038071 agrave vista podendo ser vendida em prestaccedilotildees mensais de R$ 1050000 sendo a primeira prestaccedilatildeo dada como entrada Sabendo-se que a loja aplica uma taxa de 35 am qual o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas
d) Carlos depositou certa quantia durante 10 meses de forma antecipada a uma taxa de 25 am obtendo um montante de R$ 25000000 Quanto depositou mensalmente Carlos
e) Um produto eacute vendido agrave vista por R$ 200000 ou em 10 prestaccedilotildees mensais iguais sem entrada com uma carecircncia de 90 dias apoacutes a compra Qual o valor de cada prestaccedilatildeo sabendo que a taxa de juros eacute de 6 am
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
4UNIDADE 4
Valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa
Usar as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Valor presente liacutequido
Seccedilatildeo 2 Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs ndash SFA (Price)
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa usando as funccedilotildees CF0 CFj e NPV Vocecirc deveraacute ainda fazer uso da funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos usando o Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo ndash SFA ou tabela Price
Seccedilatildeo 1 ndash Valor presente liacutequido
A figura 41 a seguir apresenta as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C que vocecirc usaraacute nessa unidade para realizar caacutelculo de valor presente liacutequido e para a elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos ou financiamento
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor inicial do fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor do fluxo de caixa no periacuteodo j
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula o valor presente atual de um fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula a parte dos pagamentos usada para pagar juros
Figura 41 - Teclas para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
Valor presente liacutequido
Nessa seccedilatildeo vocecirc usaraacute as funccedilotildees da HP ndash 12C para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa Para entender como usar as funccedilotildees CF0 CFj e NPV considere o fluxo de caixa para um investimento que exige capital inicial (CF0) e que gera um fluxo de caixa (CFj ) no final de j periacuteodos
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Unidade 4
Veja a seguir o fluxo de caixa
CF0CF1
CF2 CF5
CFn
CF3 CF4
O VPL = Valor Presente Liacutequido eacute calculado somando ao investimento inicial o valor presente dos fluxos de caixa futuros projetados Portanto
se o VPL for positivo o valor financeiro do ativo do investidor aumentaraacute ou seja o investimento financeiro seraacute atrativo em termos financeiros
se o VPL for zero o valor financeiro do ativo financeiro do investidor natildeo mudaraacute ou seja o investidor seraacute indiferente ao investimento
se o VPL for negativo o valor financeiro do ativo do investidor seraacute reduzido ou seja o investimento natildeo seraacute atrativo em termos financeiros
Exemplo 41
Um investidor compra uma casa por R$ 7000000 e gostaria de ter um retorno de pelo menos 15 Ele pretende manter a casa por 4 anos e depois vendecirc-la por R$ 11000000 Ele prevecirc os fluxos de caixa mostrados no diagrama abaixo
CF0CF1
CF1
CF3CF4
CF5
R$ 7000000
R$ 50000
R$ 450000R$ 450000
R$ 13000000R$ 550000
Sendo assim calcule o VPL para determinar se o investimento resultaria em um retorno ou perda
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Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o VPL
7000000 50000
450000 550000 450000
13000000 15 379007
VPL
Como o VPL eacute positivo o investimento aumentaria o valor financeiro do ativo do investidor
Exemplo 42 (exemplo 4 paacuteg 98 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um proprietaacuterio recebeu as seguintes propostas para a venda de uma casa
Proposta A entrada de R$ 10000000 + R$ 5000000 em 6 meses + R$ 6000000 em 1 ano
Proposta B entrada de R$ 8000000 + R$ 6000000 em 5 meses + R$ 7000000 em 10 meses
Sabendo-se que a taxa de juros de mercado eacute de 3 am qual a melhor proposta para o vendedor
Soluccedilatildeo
Essa questatildeo deve ser resolvida pelo meacutetodo do Valor Presente Liacutequido A alternativa que tiver o maior valor seraacute a melhor Entretanto para facilitar a elaboraccedilatildeo do algoritmo de resoluccedilatildeo na HP ndash 12C elabore o fluxo de caixa para cada situaccedilatildeo
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Unidade 4
1 Proposta A Fluxo de caixa
10000000 5000000 6000000
1 2 3 4 5 7 8 9 10 110 6 12
Calculando o VPL
10000000 000 5
5000000 000
5
6000000
3
18395701
VPL
Armazena o zero 5 vezes
2 Proposta B Fluxo de caixa
8000000 70000006000000
1 2 3 4 6 7 8 90 5 10
Calculando o VPL
8000000 000 4
6000000 000
4
7000000
3
18384310
VPL
Armazena o zero 4 vezes
Resposta a melhor proposta eacute a A
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Exemplo 43
Dois equipamentos satildeo examinados Considerando ser a taxa miacutenima de atratividade de 20aa qual o equipamento que deve ser adquirido
Dados
41 - Tabela de DadosEquipamento K Equipamento L
Custo R$ 5000000 R$ 8000000Custo anual de manutenccedilatildeo R$ 2000000 R$ 1500000Valor residual para venda R$ 400000 R$ 800000Duraccedilatildeo em anos 10 10
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
A seguir veja o diagrama de fluxo de caixa
Os caacutelculos do Valor Presente Liacutequido para as duas situaccedilotildees satildeo
Equipamento K
5000000
Equipamento K
2000000
400000
0 1 2 10
8000000
Equipamento L
1500000
800000
0 1 2 10
50000 20000
9 4000 20000 1
20 -13320342
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Unidade 4
Equipamento L
80000 15000
9 8000 15000 1
20 -14159504
Importante Veja que a alternativa K equivale a um equipamento em que se investe R$ 13320342 enquanto que o equipamento L equivale a um investimento de R$ 14159504 Portanto eacute preferiacutevel o equipamento K pois o investimento eacute menor
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Seccedilatildeo 2 ndash Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs - SFA
Este sistema consiste no pagamento de empreacutestimos ou financiamentos com prestaccedilotildees iguais e com periodicidade constante Eacute considerado o sistema de amortizaccedilatildeo mais utilizado pelas instituiccedilotildees financeiras e pelo comeacutercio em geral
O Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo eacute assim chamado por ter sido inventado na Franccedila por volta do seacuteculo XVIII pelo matemaacutetico inglecircs Richard Price daiacute portanto a origem da denominaccedilatildeo Sistema Price tambeacutem comumente chamado de Tabela Price
Na verdade a Tabela Price eacute um caso particular derivado do Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo Neste sistema o financiamento (PV) eacute pago em parcelas (PMT) iguais constituiacutedas da amortizaccedilatildeo do principal da diacutevida + juros compensatoacuterios (J) que variam inversamente ao longo do tempo Ou seja agrave medida que aumenta o valor da parcela de amortizaccedilatildeo haveraacute uma queda dos juros compensatoacuterios em funccedilatildeo da reduccedilatildeo do saldo devedor
Principais Caracteriacutesticas
As principais caracteriacutesticas do SFA satildeo
a prestaccedilatildeo eacute constante durante todo o periacuteodo do financiamento
a parcela de amortizaccedilatildeo aumenta a cada periacuteodo (n)
os juros compensatoacuterios diminuem a cada periacuteodo (n)
Exemplo 44 (exemplo 1 paacuteg 148 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma instituiccedilatildeo financeira libera um empreacutestimo para uma induacutestria no valor de R$ 60000000 para ser pago pelo sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs em 120 meses a uma taxa de 15 am Faccedila a planilha ateacute o 4ordm mecircs e calcule o saldo devedor no 100ordm mecircs
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Unidade 4
Soluccedilatildeo
A sequecircncia abaixo calcula o valor da prestaccedilatildeo os juros a amortizaccedilatildeo o saldo devedor e valor do saldo devedor no 100ordm mecircs Acompanhe
Zera os registradores
60000000 Armazena o valor presente
120 Armazena o periacuteodo
15 Armazena a taxa
- R$ 1081111 Valor da prestaccedilatildeo
1 - R$ 900000 Valor dos juros da 1ordf parcela
R$ 181111Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 1ordf parcela
R$ 58918889 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 897283 Valor dos juros da 2ordf parcela
- R$ 183828Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 2ordf parcela
R$ 59635061 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 894526 Valor dos juros da 3ordf parcela
- R$ 186585Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 3ordf parcela
R$ 59448476 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 891727 Valor dos juros da 4ordf parcela
- R$ 189384Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 4ordf parcela
R$ 59259092 Recupera o saldo devedor
A tabela a seguir apresenta um resumo das operaccedilotildees realizadas
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Tabela 42 ndash Planilha de amortizaccedilatildeoPeriacuteodo (n) Amortizaccedilatildeo (A) Juros (J) Prestaccedilotildees (R) Saldo Devedor (S)
0 - - - R$ 600000001 R$ 181111 R$ 900000 R$ 1081111 R$ 598188892 R$ 183828 R$ 897283 R$ 1081111 R$ 596350613 R$ 186585 R$ 894526 R$ 1081111 R$ 594484764 R$ 189384 R$ 891727 R$ 1081111 R$ 59259092
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Para determinar o saldo devedor no 100ordm mecircs faccedila como indicado a seguir
60000000 120 150
-1081111 18561247
Prestaccedilatildeo Saldo devedor no 100ordm mecircs
Nesta unidade vocecirc usou as funccedilotildees de fluxo de caixa para calcular o valor presente liacutequido e a funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
69Unidade 4
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Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades a seguir (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 4 e 5 da unidade 7 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegina 102) Em seguida use o programa elaborado para resolver as mesmas questotildees
a) Qual das alternativas de pagamento eacute a melhor para uma taxa de juros compostos de 75 am
Alternativa A Pagamento de R$ 15000000 agrave vista
Alternativa B Entrada de R$ 5000000 + R$ 8000000 em 90 dias + R$ 6000000 em 150 dias
b) Uma pessoa deve a um banco dois tiacutetulos com valores de R$ 300000 e R$ 600000 venciacuteveis respectivamente em 4 meses e 8 meses Se a pessoa deseja antecipar para hoje a liquidaccedilatildeo dos tiacutetulos qual o valor a pagar considerando que o banco opera com uma taxa de juros compostos de 23 am
2 Elabore um algoritmo para resolver as atividades abaixo (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 1 e 4 da unidade 10 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 151 e 153)
a) Um cliente solicita a um banco um empreacutestimo de R$ 4000000 pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs em 60 prestaccedilotildees mensais Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de juros de 28 am obtenha o valor da prestaccedilatildeo e o saldo devedor depois de pagar a 20ordf prestaccedilatildeo
b) Um empreacutestimo de R$ 30000000 seraacute saldado em 50 prestaccedilotildees mensais a uma taxa de 15 am Determine a parcela de juros relativa agrave 15ordf prestaccedilatildeo pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs (price)
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
Manual da calculadora HP ndash 12C
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico ndash 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7ed Satildeo Paulo Atlas 2000
Para concluir o estudo
Com o teacutermino desse curso de extensatildeo acreditamos que proporcionamos momentos de aprendizagem por meio da interaccedilatildeo da calculadora financeira e que vocecirc estaacute habilitado(a) a fazer uso dessa ferramenta com qualidade no mercado de trabalho relacionado a essa aacuterea tatildeo importante no nosso dia-a-dia
Referecircncias
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7 ed Satildeo Paulo Atlas 2000
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003 Disponiacutevel em lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt Acesso em 05 jun 2008
Sobre o professor conteudista
Joseacute Humberto Dias de Toledo - eacute Mestre em Educaccedilatildeo pela Universidade do Sul de Santa Catarina Graduado em Licenciatura em Matemaacutetica e em Engenharia Civil Professor das disciplinas Meacutetodos Numeacutericos Informaacutetica Aplicada agrave Matemaacutetica Financeira Caacutelculo I e Matemaacutetica Financeira no Curso de Matemaacutetica ndash Licenciatura nesta mesma instituiccedilatildeo Atualmente ministra a disciplina Representaccedilotildees Graacuteficas na Poacutes-graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo Matemaacutetica da UNISUL
Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo
Unidade 1
1 a) 5
b) -2359
c) 3311
d) 077
e) 081
Respostas modo RPN
a)
b)
c)
d)
e)
Respostas modo ALG
a
b
c
d
e
78
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 R$ 167757
Modo RPN
Modo ALG
3 -242
4 Data 13082008 3 (quarta-feira)
5 Florianoacutepolis = 3303 Curitiba = 5018 Porto Alegre = 1680
Unidade 2
1 1) 150000
Dados
C = R$ 1000000
i = 5 aa
n = 3 anos = 1080 dias
J =
3) 24 meses = 2 anos
Dados
C = R$ 200000
i = 6 aa
n = 24 meses = 720 dias
M =
79
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
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Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
85
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
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b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
87
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 1
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
Efetue as atividades de autoavaliaccedilatildeo e acompanhe as respostas e comentaacuterios a respeito nas paacuteginas finais deste material Para melhor aproveitamento do seu estudo realize a conferecircncia de suas respostas somente depois de fazer as atividades propostas Desse modo o momento da conferecircncia lhe proporcionaraacute novas oportunidades de aprendizagem
1 Calcule o valor das expressotildees numeacutericas a seguir usando a HP ndash 12C nos modos RPN e ALG
a) 2 5 3 8 24 minus + divide =x
b) minus + minus =3 5 32 3x eln
c) 16 25 3 45 89+ minus =x
d) 2
35 5
3+ minus =ln
e) 0 253
55
2 + minus =minus
2 Use a HP ndash 12C para realizar os caacutelculos e informar o saldo final da seguinte movimentaccedilatildeo financeira Saldo inicial na conta R$ 167890 depoacutesito de R$ 143587 cheques compensados nos valores de R$ 34598 R$ 12345 R$ 65790 e R$ 30987
3 No dia 130508 o doacutelar americano estava cotado em R$ 165 no dia 190508 a cotaccedilatildeo foi de R$ 161 Com base nestes dados indique qual foi a variaccedilatildeo percentual do doacutelar
4 Foi realizada uma compra em um supermercado no valor de R$ 67890 em 150508 Sabendo que esse estabelecimento trabalha com prazo de 90 dias use as funccedilotildees calendaacuterio da HP ndash 12C e determine a data e o dia da semana do vencimento
5 Uma empresa tem vendas mensais para o mecircs de maio de 2008 estimadas em R$ 178909000 Sabendo que o valor total das vendas estaacute distribuiacutedo nas cidades de Florianoacutepolis Curitiba e Porto Alegre com valores correspondentes a R$ 59089000 R$ 89767898 e R$ 30052102 respectivamente determine qual percentagem das vendas totais ocorre em cada uma das cidades
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Saiba mais
HPndash12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
No link abaixo vocecirc tem disponiacutevel o manual da calculadora HP ndash 12C na versatildeo online lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt
2UNIDADE 2
Regimes de capitalizaccedilatildeo simples e composto
Objetivos de aprendizagem
Fazer uso das funccedilotildees financeiras da calculadora HP ndash 12C para calcular juros simples e composto
Dominar o caacutelculo do montante simples e composto
Aprender o caacutelculo de desconto simples e composto
Calcular capital taxa e prazo no regime de capitalizaccedilatildeo composto usando a HP ndash 12C
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Regime de capitalizaccedilatildeo simples
Seccedilatildeo 2 Regime de capitalizaccedilatildeo composto
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc vai fazer uso das funccedilotildees financeiras da HP ndash 12C com o objetivo de realizar caacutelculos de juros simples e composto montantes simples e composto descontos simples e composto caacutelculo de taxas e prazos
Nesta etapa de estudos seratildeo utilizados exemplos do material didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira que estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do Espaccedilo Virtual de Aprendizagem ndash EVA Eacute importante lembrar natildeo ser objetivo deste curso discutir os conceitos da Matemaacutetica Financeira mas apenas utilizar as funccedilotildees disponibilizadas na calculadora para resolver problemas relacionados a essa aacuterea Entretanto caso vocecirc julgue importante os conceitos podem ser relembrados ou vistos no material didaacutetico da disciplina
Seccedilatildeo 1 ndash Regime de capitalizaccedilatildeo simples
Na unidade 1 vocecirc foi apresentado(a) agrave calculadora HP ndash 12C e a algumas das suas funccedilotildees com o objetivo de capacitaacute-lo(a) para o uso adequado dessa ferramenta Esta unidade inicia com uma abordagem sobre os registradores financeiros os quais seratildeo utilizados na maioria dos exemplos que deveratildeo ser resolvidos ao longo das proacuteximas seccedilotildees desta unidade e nas demais unidades deste curso Veja na ilustraccedilatildeo a seguir os registradores financeiros e as suas aplicaccedilotildees
Registra e armazena periacuteodo
Registra e armazena taxa
Registra e armazena valor presente
Registra e armazena pagamentos perioacutedicos
Registra e armazena valor futuro
Figura 21 - Registradores financeiros e as suas aplicaccedilotildees Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
Para armazenar um nuacutemero em um registrador financeiro digite o nuacutemero e em seguida uma das teclas correspondentes ilustradas acima
Para exibir um nuacutemero armazenado em um dos registradores financeiros aperte e em seguida a tecla correspondente
Para zerar todos os registradores financeiros aperte a sequecircncia de teclas
Eacute importante lembrar que os registradores financeiros tambeacutem satildeo zerados ao apertar a sequecircncia
e quando a memoacuteria contiacutenua eacute
reinicializada
A seguir vocecirc faraacute caacutelculo de juros simples e de descontos simples usando a HP ndash 12C
Regime de capitalizaccedilatildeo simples
A HP ndash 12C calcula automaticamente juros simples ordinaacuterios ndash usando o ano comercial e juros simples exatos ndash usando um ano de 365 dias simultaneamente
Eacute possiacutevel apresentar qualquer um dos dois e mais com os juros acumulados no mostrador podemos calcular o montante apertando a tecla
Para exemplificar vamos resolver problemas do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira que se encontra disponiacutevel (formato digital) na ferramenta Midiateca do EVA ndash Espaccedilo Virtual de Aprendizagem
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 21 (exemplo 1 paacuteg 29 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital de R$ 1800000 foi aplicado a juros simples durante 3 anos agrave taxa de 6 aa Qual eacute o valor dos juros e o montante adquirido
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula os juros e o montante
Exemplo 22 (exemplo 1 paacuteg 33 do livro Matemaacutetica Financeira)
Ache os juros simples exatos auferidos em uma aplicaccedilatildeo de R$ 1500000 a uma taxa de 16 aa de 20 de abril de 2003 a 1ordm de julho de 2003
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula os juros comerciais e os juros exatos
Neste exemplo utilizamos duas teclas que seratildeo ilustradas a seguir para realizar o caacutelculo dos juros exatos
1800000 1080 6
324000 2124000
Juros Montante
No caacutelculo de Juros simples o periacuteodo deve ser em dias
Calcula juros simples
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Unidade 2
1500000 20042003 01072003
72 16 48000 47342
Juro comercial Juro exato nordm de dias
Ao apertar essa tecla ela rola para baixo o conteuacutedo da pilha para visualizaccedilatildeo no registro X
Ao apertar essa tecla ela troca o conteuacutedo dos registros X e Y da pilha
Figura 22 - Teclas utilizadas para registros de dados Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Exemplo 23 (exemplo 2 paacuteg 34 do livro Matemaacutetica Financeira)
Determine o juro simples exato obtido em uma aplicaccedilatildeo de R$ 1300000 durante 146 dias a uma taxa de 9 aa
Soluccedilatildeo a sequecircncia a seguir realiza os caacutelculos solicitados
1330000 146 9
48545 47880
Juro comercial Juro exato
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Exemplo 24 (exemplo 1 paacuteg 47 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma duplicata de R$ 1500000 com vencimento no dia 03042005 foi descontada em um banco em 08012005 a uma taxa de 25 am Qual eacute o desconto simples bancaacuterio da operaccedilatildeo
Soluccedilatildeo
08012005 03042005 85
1500000 0025 30 106250
Taxa decimal Desconto bancaacuterio
Nordm de dias entre as datas
Exemplo 25 (exemplo 1 paacuteg 48 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma empresa descontou um tiacutetulo com valor de face de R$ 1450000 3 meses e 15 dias antes do vencimento com uma taxa de desconto bancaacuterio simples de 24 am Quanto a empresa recebeu liacutequido na operaccedilatildeo
Soluccedilatildeo
1450000 0024 35 1450000 1328200
Periacuteodo em meses Valor liacutequidoTaxa decimal
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Unidade 2
Exemplo 26 (exemplo 1 paacuteg 49 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma duplicata de R$ 4800000 foi descontada 6 meses antes de seu vencimento em uma instituiccedilatildeo financeira que trabalha com uma taxa de desconto simples de 32 am Com base nestes dados determine
o valor do desconto simples bancaacuterio
o valor do desconto simples racional
Soluccedilatildeo
4800000 6 0032 921600
Taxa decimal Valor liacutequido
921600 1 0032
6 773154
Taxa decimal Valor liacutequido
Na proacutexima seccedilatildeo vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros compostos e de desconto compostos
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Seccedilatildeo 2 ndash Regime de capitalizaccedilatildeo composto
Os exemplos apresentados a partir de agora satildeo ilustrativos de uma ampla variedade de caacutelculos financeiros Para resolvecirc-los vocecirc precisa estruturaacute-los identificando os elementos baacutesicos do problema de maneira que fiquem evidentes as quantidades que devem ser fornecidas agrave calculadora e quem eacute o valor desconhecido ou seja o valor que desejamos determinar
Na resoluccedilatildeo dos caacutelculos usando a HP ndash 12C eacute indispensaacutevel elaborar o diagrama de fluxo de caixa Eacute importante ressaltar que a calculadora precisa de ajuda para comparar o fluxo de caixa ou seja eacute preciso informar quando temos uma entrada ou uma saiacuteda
O fluxo de caixa serve para demonstrar graficamente as transaccedilotildees financeiras em um periacuteodo de tempo
O tempo eacute representado por uma linha horizontal dividida pelo nuacutemero de periacuteodos relevantes para anaacutelise As entradas ou recebimentos satildeo representados por setas verticais apontadas para cima e as saiacutedas ou pagamentos satildeo representados por setas verticais apontadas para baixo Observe o modelo simplificado
(+) entradas
(-) saiacutedas
tempo (n)
Veja agora o modelo detalhado
Entradas
Saiacutedas
Tempo
Fluxo de caixa pode ser definido como sendo a movimentaccedilatildeo de recursos financeiros (entradas e saiacutedas de caixa) ao longo de um periacuteodo de tempo - agrave entrada e saiacuteda de dinheiro O conceito caixa (financeiro) natildeo pode ser confundido com conceito de competecircncia (contaacutebil)
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Unidade 2
Na HP-12C a tecla (do inglecircs Change Sign) serve para introduzir ou tirar um sinal negativo de um nuacutemero ou seja faz o fluxo de caixa
Na sequecircncia de exemplos apresentados a seguir realizaremos caacutelculos de juros montantes valor presente prazo taxa de juros e descontos no regime composto com o auxiacutelio dos registradores financeiros da calculadora HP ndash 12C
Exemplo 27 (exemplo 1 paacuteg 58 do livro Matemaacutetica Financeira)
Qual o montante gerado por um capital de R$ 450000 aplicado por 9 meses a juros compostos a uma taxa de 35 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o montante composto
450000 9 35 613304
MontanteFluxo de caixa saiacuteda do dinheiro para aplicaccedilatildeo
Exemplo 28 (exemplo 2 paacuteg 58 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital de R$ 1200000 foi aplicado a juros compostos durante 6 meses agrave taxa de 2 am Calcule os juros auferidos na aplicaccedilatildeo
Soluccedilatildeo use a sequecircncia a seguir para calcular os juros
1200000 6 2
1351395 151395
Montante Juros
Fluxo de caixa saiacuteda do dinheiro para aplicaccedilatildeo
Recupera um valor em um registrador
financeiro
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Exemplo 29 (exemplo 3 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital ldquoXrdquo eacute aplicado a juros compostos agrave taxa de 35 am gerando um montante de R$ 1950000 apoacutes 1 ano e 3 meses Determine o capital ldquoXrdquo
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar o capital
1950000 35 15 -1163937
Capital aplicado
Exemplo 210 (exemplo 4 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
A que taxa mensal de juros compostos um capital de R$ 1250000 pode transformar-se em R$ 1537342 no periacuteodo de 7 meses
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
1250000 1537342 7 300
Taxa de juros mensal
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Unidade 2
Exemplo 211 (exemplo 5 paacuteg 60 do livro Matemaacutetica Financeira)
Em que prazo um empreacutestimo de R$ 3500000 pode ser pago pela quantia de R$ 4790000 se a taxa de juros compostos cobrada for de 4 am
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
3500000 4790000 4 8
Periacuteodo em meses
Funccedilatildeo ldquoCrdquo na HP ndash 12C e as teclas ldquoSTOrdquo e ldquoEEXrdquo
Vocecirc pode calcular taxa de juros (i) Capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos Perioacutedicos (PMT) para transaccedilotildees financeiras com periacuteodos fracionaacuterios Ao digitar um periacuteodo fracionaacuterio por exemplo 23 meses a parte inteira do nuacutemero indica o nuacutemero de periacuteodos inteiro e a parte fracionaacuteria do nuacutemero o tamanho do periacuteodo fracionaacuterio como uma fraccedilatildeo do periacuteodo inteiro (no exemplo 2 meses e 03 meses)
De acordo com o criteacuterio do usuaacuterio os caacutelculos de taxa de juros ( i ) capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos perioacutedicos (PMT) podem ser executados com juros simples ou compostos acumulados durante o periacuteodo fracionaacuterio Para escolher uma das duas opccedilotildees faccedila
Aparece o indicador ldquoCldquo Portanto os juros compostos satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Natildeo aparece o indicador ldquoCrdquo Portanto os juros simples satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Figura 23 - Teclas utilizadas para caacutelculo de juros simples e compostos para periacuteodo fracionaacuterio Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 212
Calcular o valor futuro de uma aplicaccedilatildeo de R$ 185030000 aplicado agrave taxa de 14 aa durante 45 anos usando juros compostos e simples para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Soluccedilatildeo as sequecircncias a seguir apresentam os resultados para o caacutelculo do valor futuro com juros simples para o periacuteodo fracionaacuterio e juros compostos para o periacuteodo fracionaacuterios respectivamente
185030000 14
45 334383879
Valor futuro calculado com juros simples para o periacuteodo
fracionaacuterio
185030000
14 45 333667556
Valor futuro calculado com juros compostos para o
periacuteodo fracionaacuterio
Exemplo 213 (exemplo 1 paacuteg 81 do livro Matemaacutetica Financeira)
Determine o valor do desconto composto racional e o valor do resgate de um tiacutetulo de R$ 1560000 descontado 5 meses antes do seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto composto racional eacute de 4 am
43
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Unidade 2
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor do desconto racional composto e o valor liacutequido a receber
1560000 1
1 004 5
277794 1560000 1282206
Valor do desconto Valor liacutequido
Exemplo 214 (exemplo 1 paacuteg 84 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um tiacutetulo de valor nominal de R$ 1500000 eacute descontado em um banco 3 meses antes de seu vencimento Se a taxa de desconto comercial usada pelo banco eacute de 8 am qual eacute o valor do desconto
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor liacutequido e o valor do desconto bancaacuterio ou comercial
1500000 3 8
-1168032 331968
Valor liacutequido Valor do desconto
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Nesta unidade vocecirc usou a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros simples e compostos descontos simples e compostos valor presente taxa de juros periacuteodo e montante Na proacutexima unidade usaremos a ferramenta para auxiliar no caacutelculo de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir foram propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo em PDF estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as questotildees 1 3 5 e 6 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteginas 38 e 39 Confira os resultados na paacuteg 194
1) Qual o rendimento que obtemos ao aplicarmos um capital de R$ 1000000 a uma taxa de juros simples de 5 aa durante 3 anos
3) Em um regime de capitalizaccedilatildeo simples qual eacute o montante que se obteacutem quando aplicamos um capital de R$ 200000 a uma taxa 6 aa durante 24 meses
5) Uma quantia de R$ 6200000 foi aplicada em uma operaccedilatildeo financeira no dia 20 de setembro de 2003 e resgatada no dia 21 de dezembro de 2003 a uma taxa de 125 aa Quais os juros simples exatos e comerciais da operaccedilatildeo
6) Calcule os juros simples exatos e comerciais nas seguintes condiccedilotildees
bull R$ 600000 aplicados por 180 dias a 12 aa
bull R$ 520000 aplicados por 230 dias a 15 aa
45
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
2 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 2 e 4 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegs 52 e 53 Confira os resultados nas paacuteginas 194 e 195
1) Uma empresa desconta uma duplicata no valor nominal de R$ 5000000 no Banco ldquoXrdquo 4 meses antes do seu vencimento Sabendo que o banco ldquoXrdquo trabalha com uma taxa de desconto simples bancaacuterio de 45 am qual eacute o valor do desconto e o valor liacutequido recebido
2) Para pagar uma diacutevida hoje uma empresa descontou em uma carteira de creacutedito uma duplicata no valor de R$ 1650000 com vencimento daqui a 2 meses recebendo um valor nominal liacutequido de R$ 1500000 Determine a taxa mensal de desconto simples bancaacuterio utilizada
4) Uma letra de cacircmbio no valor nominal de R$ 500000 foi comercializada 4 meses antes do vencimento a uma taxa de desconto simples de 22 am Se o desconto simples fosse o racional qual seria o valor deste desconto
3 Elabore uma sequecircncia de passos para resolver as questotildees propostas 1 2 3 4 e 6 nas paacuteginas 65 66 e 67 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira e confira os resultados na paacuteg 195
1) Calcule o montante produzido por um capital de R$ 2600000 aplicado a uma taxa de juros compostos de 52 am por 6 meses
2) Calcule os juros compostos auferidos por um capital de R$ 420000 aplicado a uma taxa de 3 am durante 10 meses
3) Um empreacutestimo de R$ 600000 deve ser pago em 120 dias a juros compostos pelo valor de R$ 900000 Qual eacute a taxa mensal da operaccedilatildeo
4) Em que prazo uma aplicaccedilatildeo a juros compostos de R$ 2400000 produziraacute um montante de R$ 6151930 agrave taxa de 4 am
6) Quanto Paulo deve aplicar hoje a juros compostos em uma instituiccedilatildeo financeira que paga uma taxa de 12 am para pagar um compromisso de valor nominal igual a R$ 3800000 que vence daqui a 3 meses
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Universidade do Sul de Santa Catarina
4 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 e 8 das paacuteginas 88 e 90 respectivamente do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira Confira os resultados na paacuteg 196
1) Determine o valor do desconto composto racional de um tiacutetulo de valor nominal de R$ 830000 descontado 6 meses antes de seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto eacute de 42 am
8) Um tiacutetulo de R$ 3000000 foi descontado em uma instituiccedilatildeo financeira a uma taxa de desconto composto comercial de 64 am e o valor liacutequido recebido era de R$ 2017327 Quantos meses antes do vencimento foi descontado este tiacutetulo
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
3UNIDADE 3
Taxas de juros equivalentes e caacutelculo de pagamentos perioacutedicos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para calcular taxas equivalentes
Usar as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP ndash 12C para programar o algoritmo da taxa equivalente no regime de capitalizaccedilatildeo composto
Calcular pagamentos perioacutedicos de sequecircncias uniformes postecipadas e antecipadas
Calcular montante de uma sequecircncia uniforme
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Taxas equivalentes
Seccedilatildeo 2 Sequecircncia de capitais
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar taxas equivalentes no regime de capitalizaccedilatildeo composto Vocecirc usaraacute as funccedilotildees de programaccedilatildeo com o objetivo de elaborar um algoritmo para fazer a conversatildeo de taxas de um periacuteodo de capitalizaccedilatildeo (ex mensal) para outro periacuteodo (ex anual) usando o programa Vamos explorar as funccedilotildees ldquoPMTrdquo ldquoBEGrdquo e ldquoENDrdquo para realizar caacutelculo de pagamentos antecipados e postecipados em uma sequecircncia uniforme Destacamos que os exemplos que seratildeo apresentados estatildeo no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira
Seccedilatildeo 1 ndash Taxas equivalentes
Nesta unidade vocecirc usaraacute algumas funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos (postecipados e antecipados) de uma seacuterie uniforme Vocecirc usaraacute ainda as funccedilotildees de programaccedilatildeo para elaborar um programa para calcular taxas equivalentes A figura a seguir apresenta as funccedilotildees que vocecirc usaraacute nos exemplos apresentados posteriormente
Aciona o modo de programaccedilatildeo de HP ndash 12C
Aciona a funccedilatildeo Begin que calcula a parcela com pagamento antecipado
Aciona a funccedilatildeo End (natildeo aparece no visor da calculadora) que calcula parcela com pagamento postecipado
Figura 31 - Teclas utilizadas para acionar as funccedilotildees Beg e End e entrar no modo de programaccedilatildeo
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
49
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
Taxas equivalentes
No mercado financeiro e nas operaccedilotildees bancaacuterias e comerciais a palavra taxa eacute empregada de vaacuterias formas ou seja vaacuterios conceitos satildeo abordados em vaacuterias situaccedilotildees Esta seccedilatildeo tem como objetivo mostrar como as taxas de juros satildeo informadas no mercado financeiro e como adequaacute-las agraves condiccedilotildees padronizadas pela HP ndash 12C
Duas taxas satildeo consideradas equivalentes a juros compostos quando aplicadas a um mesmo capital por um periacuteodo de tempo equivalente e geram o mesmo rendimento
Exemplo 31(exemplo 1 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
No regime de juros compostos qual a taxa anual equivalente a 4 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente anual
Exemplo 32 (exemplo 2 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
Calcule a taxa quadrimestral equivalente agrave taxa de juros compostos de 8 aa
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente quadrimestral
1 004 12 1 1 10000 6010
Taxa anual
50
Universidade do Sul de Santa Catarina
1 008 1 3 1 10000 260
Taxa quadrimestral
Programa para caacutelculo da taxa equivalente pela hp ndash 12c
O professor Carlos Shinoda em seu livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48) apresenta um programa para calcular a taxa equivalente atraveacutes da calculadora HP ndash 12C
Siga os procedimentos abaixo para introduzir o programa na HP ndash 12C
Figura 32 - Algoritmo para a programaccedilatildeo de taxa equivalente
Fonte Livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48)
51
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
Agora que vocecirc programou a HP ndash 12C para o caacutelculo de taxas equivalentes resolva o exemplo a seguir usando o programa
Exemplo 33
Usando o programa anterior determine as taxas equivalentes propostas nos exemplos 31 e 32
Soluccedilatildeo
As sequecircncias abaixo calculam as taxas equivalentes
Executa oprograma
4 1 12 6010
Taxa anual
Executa oprograma
8 360 120 260
Taxa quadrimestral
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Seccedilatildeo 2 ndash Sequecircncia de capitais
Nesta seccedilatildeo vocecirc acompanharaacute as situaccedilotildees em que haacute mais de um pagamento ou seja vocecirc estudaraacute as operaccedilotildees envolvendo pagamentos ou recebimentos perioacutedicos e uniformes
As seacuteries uniformes de pagamentos satildeo aquelas em que os pagamentos ou recebimentos satildeo constantes e ocorrem em intervalos iguais
Seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas e antecipadas
As seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1 Este sistema eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada (0 + n)
Pagamentos ou recebimentos podem ser chamados de prestaccedilatildeo representada pela sigla PMT que vem do inglecircs Payment e significa pagamento ou recebimento
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentosPMT
++
0 1 2 3 4 5 6 n
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
++
0 1 2 3 4 5 6 n
PMT
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
As seacuteries uniformes de pagamentos antecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre na data focal 0 (zero) Este tipo de sistema de pagamento eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento com entrada (1+ n)
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
Exemplo 34 (exemplo 2 paacuteg 108 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um automoacutevel eacute vendido em uma loja por R$ 3200000 A loja propotildee as seguintes condiccedilotildees para financiamento
Proposta A 12 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta B 24 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta C 36 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
A taxa de juros usada eacute de 32 am Qual o valor de cada prestaccedilatildeo nas 3 modalidades de financiamento
Soluccedilatildeo
As sequecircncias a seguir calculam os valores das parcelas nas trecircs propostas
54
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3200000
32 12 -325329
parcela
3200000
32 24 -193046
parcela
3200000
32 36 -150979
parcela
Exemplo 35 (exemplo 2 paacuteg 111 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma casa cujo valor agrave vista eacute R$ 4924456 eacute vendida em prestaccedilotildees mensais e iguais de R$ 250000 sendo a primeira dada como entrada Se a taxa de financiamento eacute de 18 am determine o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas no financiamento
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o nuacutemero de parcelas
4924456 18
250000 24
nordm de parcelas
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Unidade 3
No exemplo acima o nuacutemero de pagamento deu um nuacutemero inteiro Mas podem acontecer situaccedilotildees em que ao se determinar o nuacutemero de parcelas o resultado natildeo seja um nuacutemero inteiro
Nessa situaccedilatildeo a HP ndash 12C arredonda a resposta para o proacuteximo inteiro para cima antes de armazenaacute-la e exibi-la
Exemplo 36
Vocecirc comprou um terreno por R$ 3500000 a juros de 105 aa Vocecirc pretende fazer pagamentos de R$ 32500 no fim de cada mecircs Quantos pagamentos seratildeo necessaacuterios para pagar o terreno e quanto tempo levaraacute
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o nuacutemero de pagamentos e o tempo necessaacuterio
3500000 105
32500 328 2733
nordm de parcelas Tempo (anos)
Como a calculadora arredonda o valor do tempo para o proacuteximo inteiro eacute provaacutevel que apesar de serem necessaacuterios 328 pagamentos somente 327 seratildeo inteiros de R$ 32500 com o pagamento final sendo menor do que R$ 32500 Para calcular o valor do pagamento de nuacutemero 328 vamos fazer o seguinte
A calculadora natildeo ajusta os valores nos outros registros financeiros automaticamente para refletir os n pagamentos iguais ao contraacuterio ela lhe permite escolher quais valores (se houver) que vocecirc deseja ajustar
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328 18189 - 32500 -14311
Valor da parcela 328
Nesta unidade vocecirc calculou taxas equivalentes usou as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP e fez caacutelculos de pagamentos perioacutedicos de uma seacuterie uniforme antecipado ou postecipado Na proacutexima unidade vamos realizar caacutelculos de valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades abaixo (Essa atividade corresponde agrave autoavaliaccedilatildeo 1 da unidade 5 do livro didaacutetico de Matemaacutetica Financeira) Em seguida use o programa elaborado para resolver a mesma questatildeo
Calcule a taxa anual das seguintes taxas
a) 26 am
b) 42 ab
c) 48 at
d) 12 as
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Unidade 3
2 Elabore um algoritmo para resolver as seguintes atividades (Estas questotildees equivalem agraves autoavaliaccedilotildees 1 2 3 4 e 5 da unidade 8 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 121 122 e 123)
a) Calcule o valor da prestaccedilatildeo mensal de um empreacutestimo de R$ 600000 que seraacute amortizado em 12 prestaccedilotildees mensais postecipadas sabendo que o banco cobra uma taxa de juros de 2 am
b) Uma loja vende um automoacutevel agrave vista por R$ 1650000 Se o comprador quiser fazer um financiamento em 36 parcelas mensais e iguais onde o 1ordm pagamento seraacute efetuado no 1ordm mecircs apoacutes a compra a uma taxa de juros de 21 am qual o valor da prestaccedilatildeo
c) Uma mercadoria custa R$ 9038071 agrave vista podendo ser vendida em prestaccedilotildees mensais de R$ 1050000 sendo a primeira prestaccedilatildeo dada como entrada Sabendo-se que a loja aplica uma taxa de 35 am qual o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas
d) Carlos depositou certa quantia durante 10 meses de forma antecipada a uma taxa de 25 am obtendo um montante de R$ 25000000 Quanto depositou mensalmente Carlos
e) Um produto eacute vendido agrave vista por R$ 200000 ou em 10 prestaccedilotildees mensais iguais sem entrada com uma carecircncia de 90 dias apoacutes a compra Qual o valor de cada prestaccedilatildeo sabendo que a taxa de juros eacute de 6 am
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
4UNIDADE 4
Valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa
Usar as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Valor presente liacutequido
Seccedilatildeo 2 Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs ndash SFA (Price)
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa usando as funccedilotildees CF0 CFj e NPV Vocecirc deveraacute ainda fazer uso da funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos usando o Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo ndash SFA ou tabela Price
Seccedilatildeo 1 ndash Valor presente liacutequido
A figura 41 a seguir apresenta as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C que vocecirc usaraacute nessa unidade para realizar caacutelculo de valor presente liacutequido e para a elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos ou financiamento
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor inicial do fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor do fluxo de caixa no periacuteodo j
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula o valor presente atual de um fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula a parte dos pagamentos usada para pagar juros
Figura 41 - Teclas para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
Valor presente liacutequido
Nessa seccedilatildeo vocecirc usaraacute as funccedilotildees da HP ndash 12C para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa Para entender como usar as funccedilotildees CF0 CFj e NPV considere o fluxo de caixa para um investimento que exige capital inicial (CF0) e que gera um fluxo de caixa (CFj ) no final de j periacuteodos
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Unidade 4
Veja a seguir o fluxo de caixa
CF0CF1
CF2 CF5
CFn
CF3 CF4
O VPL = Valor Presente Liacutequido eacute calculado somando ao investimento inicial o valor presente dos fluxos de caixa futuros projetados Portanto
se o VPL for positivo o valor financeiro do ativo do investidor aumentaraacute ou seja o investimento financeiro seraacute atrativo em termos financeiros
se o VPL for zero o valor financeiro do ativo financeiro do investidor natildeo mudaraacute ou seja o investidor seraacute indiferente ao investimento
se o VPL for negativo o valor financeiro do ativo do investidor seraacute reduzido ou seja o investimento natildeo seraacute atrativo em termos financeiros
Exemplo 41
Um investidor compra uma casa por R$ 7000000 e gostaria de ter um retorno de pelo menos 15 Ele pretende manter a casa por 4 anos e depois vendecirc-la por R$ 11000000 Ele prevecirc os fluxos de caixa mostrados no diagrama abaixo
CF0CF1
CF1
CF3CF4
CF5
R$ 7000000
R$ 50000
R$ 450000R$ 450000
R$ 13000000R$ 550000
Sendo assim calcule o VPL para determinar se o investimento resultaria em um retorno ou perda
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Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o VPL
7000000 50000
450000 550000 450000
13000000 15 379007
VPL
Como o VPL eacute positivo o investimento aumentaria o valor financeiro do ativo do investidor
Exemplo 42 (exemplo 4 paacuteg 98 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um proprietaacuterio recebeu as seguintes propostas para a venda de uma casa
Proposta A entrada de R$ 10000000 + R$ 5000000 em 6 meses + R$ 6000000 em 1 ano
Proposta B entrada de R$ 8000000 + R$ 6000000 em 5 meses + R$ 7000000 em 10 meses
Sabendo-se que a taxa de juros de mercado eacute de 3 am qual a melhor proposta para o vendedor
Soluccedilatildeo
Essa questatildeo deve ser resolvida pelo meacutetodo do Valor Presente Liacutequido A alternativa que tiver o maior valor seraacute a melhor Entretanto para facilitar a elaboraccedilatildeo do algoritmo de resoluccedilatildeo na HP ndash 12C elabore o fluxo de caixa para cada situaccedilatildeo
63
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Unidade 4
1 Proposta A Fluxo de caixa
10000000 5000000 6000000
1 2 3 4 5 7 8 9 10 110 6 12
Calculando o VPL
10000000 000 5
5000000 000
5
6000000
3
18395701
VPL
Armazena o zero 5 vezes
2 Proposta B Fluxo de caixa
8000000 70000006000000
1 2 3 4 6 7 8 90 5 10
Calculando o VPL
8000000 000 4
6000000 000
4
7000000
3
18384310
VPL
Armazena o zero 4 vezes
Resposta a melhor proposta eacute a A
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Exemplo 43
Dois equipamentos satildeo examinados Considerando ser a taxa miacutenima de atratividade de 20aa qual o equipamento que deve ser adquirido
Dados
41 - Tabela de DadosEquipamento K Equipamento L
Custo R$ 5000000 R$ 8000000Custo anual de manutenccedilatildeo R$ 2000000 R$ 1500000Valor residual para venda R$ 400000 R$ 800000Duraccedilatildeo em anos 10 10
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
A seguir veja o diagrama de fluxo de caixa
Os caacutelculos do Valor Presente Liacutequido para as duas situaccedilotildees satildeo
Equipamento K
5000000
Equipamento K
2000000
400000
0 1 2 10
8000000
Equipamento L
1500000
800000
0 1 2 10
50000 20000
9 4000 20000 1
20 -13320342
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Unidade 4
Equipamento L
80000 15000
9 8000 15000 1
20 -14159504
Importante Veja que a alternativa K equivale a um equipamento em que se investe R$ 13320342 enquanto que o equipamento L equivale a um investimento de R$ 14159504 Portanto eacute preferiacutevel o equipamento K pois o investimento eacute menor
66
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Seccedilatildeo 2 ndash Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs - SFA
Este sistema consiste no pagamento de empreacutestimos ou financiamentos com prestaccedilotildees iguais e com periodicidade constante Eacute considerado o sistema de amortizaccedilatildeo mais utilizado pelas instituiccedilotildees financeiras e pelo comeacutercio em geral
O Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo eacute assim chamado por ter sido inventado na Franccedila por volta do seacuteculo XVIII pelo matemaacutetico inglecircs Richard Price daiacute portanto a origem da denominaccedilatildeo Sistema Price tambeacutem comumente chamado de Tabela Price
Na verdade a Tabela Price eacute um caso particular derivado do Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo Neste sistema o financiamento (PV) eacute pago em parcelas (PMT) iguais constituiacutedas da amortizaccedilatildeo do principal da diacutevida + juros compensatoacuterios (J) que variam inversamente ao longo do tempo Ou seja agrave medida que aumenta o valor da parcela de amortizaccedilatildeo haveraacute uma queda dos juros compensatoacuterios em funccedilatildeo da reduccedilatildeo do saldo devedor
Principais Caracteriacutesticas
As principais caracteriacutesticas do SFA satildeo
a prestaccedilatildeo eacute constante durante todo o periacuteodo do financiamento
a parcela de amortizaccedilatildeo aumenta a cada periacuteodo (n)
os juros compensatoacuterios diminuem a cada periacuteodo (n)
Exemplo 44 (exemplo 1 paacuteg 148 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma instituiccedilatildeo financeira libera um empreacutestimo para uma induacutestria no valor de R$ 60000000 para ser pago pelo sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs em 120 meses a uma taxa de 15 am Faccedila a planilha ateacute o 4ordm mecircs e calcule o saldo devedor no 100ordm mecircs
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Unidade 4
Soluccedilatildeo
A sequecircncia abaixo calcula o valor da prestaccedilatildeo os juros a amortizaccedilatildeo o saldo devedor e valor do saldo devedor no 100ordm mecircs Acompanhe
Zera os registradores
60000000 Armazena o valor presente
120 Armazena o periacuteodo
15 Armazena a taxa
- R$ 1081111 Valor da prestaccedilatildeo
1 - R$ 900000 Valor dos juros da 1ordf parcela
R$ 181111Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 1ordf parcela
R$ 58918889 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 897283 Valor dos juros da 2ordf parcela
- R$ 183828Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 2ordf parcela
R$ 59635061 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 894526 Valor dos juros da 3ordf parcela
- R$ 186585Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 3ordf parcela
R$ 59448476 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 891727 Valor dos juros da 4ordf parcela
- R$ 189384Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 4ordf parcela
R$ 59259092 Recupera o saldo devedor
A tabela a seguir apresenta um resumo das operaccedilotildees realizadas
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Tabela 42 ndash Planilha de amortizaccedilatildeoPeriacuteodo (n) Amortizaccedilatildeo (A) Juros (J) Prestaccedilotildees (R) Saldo Devedor (S)
0 - - - R$ 600000001 R$ 181111 R$ 900000 R$ 1081111 R$ 598188892 R$ 183828 R$ 897283 R$ 1081111 R$ 596350613 R$ 186585 R$ 894526 R$ 1081111 R$ 594484764 R$ 189384 R$ 891727 R$ 1081111 R$ 59259092
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Para determinar o saldo devedor no 100ordm mecircs faccedila como indicado a seguir
60000000 120 150
-1081111 18561247
Prestaccedilatildeo Saldo devedor no 100ordm mecircs
Nesta unidade vocecirc usou as funccedilotildees de fluxo de caixa para calcular o valor presente liacutequido e a funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
69Unidade 4
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Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades a seguir (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 4 e 5 da unidade 7 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegina 102) Em seguida use o programa elaborado para resolver as mesmas questotildees
a) Qual das alternativas de pagamento eacute a melhor para uma taxa de juros compostos de 75 am
Alternativa A Pagamento de R$ 15000000 agrave vista
Alternativa B Entrada de R$ 5000000 + R$ 8000000 em 90 dias + R$ 6000000 em 150 dias
b) Uma pessoa deve a um banco dois tiacutetulos com valores de R$ 300000 e R$ 600000 venciacuteveis respectivamente em 4 meses e 8 meses Se a pessoa deseja antecipar para hoje a liquidaccedilatildeo dos tiacutetulos qual o valor a pagar considerando que o banco opera com uma taxa de juros compostos de 23 am
2 Elabore um algoritmo para resolver as atividades abaixo (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 1 e 4 da unidade 10 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 151 e 153)
a) Um cliente solicita a um banco um empreacutestimo de R$ 4000000 pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs em 60 prestaccedilotildees mensais Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de juros de 28 am obtenha o valor da prestaccedilatildeo e o saldo devedor depois de pagar a 20ordf prestaccedilatildeo
b) Um empreacutestimo de R$ 30000000 seraacute saldado em 50 prestaccedilotildees mensais a uma taxa de 15 am Determine a parcela de juros relativa agrave 15ordf prestaccedilatildeo pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs (price)
70
Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
Manual da calculadora HP ndash 12C
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico ndash 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7ed Satildeo Paulo Atlas 2000
Para concluir o estudo
Com o teacutermino desse curso de extensatildeo acreditamos que proporcionamos momentos de aprendizagem por meio da interaccedilatildeo da calculadora financeira e que vocecirc estaacute habilitado(a) a fazer uso dessa ferramenta com qualidade no mercado de trabalho relacionado a essa aacuterea tatildeo importante no nosso dia-a-dia
Referecircncias
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7 ed Satildeo Paulo Atlas 2000
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003 Disponiacutevel em lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt Acesso em 05 jun 2008
Sobre o professor conteudista
Joseacute Humberto Dias de Toledo - eacute Mestre em Educaccedilatildeo pela Universidade do Sul de Santa Catarina Graduado em Licenciatura em Matemaacutetica e em Engenharia Civil Professor das disciplinas Meacutetodos Numeacutericos Informaacutetica Aplicada agrave Matemaacutetica Financeira Caacutelculo I e Matemaacutetica Financeira no Curso de Matemaacutetica ndash Licenciatura nesta mesma instituiccedilatildeo Atualmente ministra a disciplina Representaccedilotildees Graacuteficas na Poacutes-graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo Matemaacutetica da UNISUL
Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo
Unidade 1
1 a) 5
b) -2359
c) 3311
d) 077
e) 081
Respostas modo RPN
a)
b)
c)
d)
e)
Respostas modo ALG
a
b
c
d
e
78
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 R$ 167757
Modo RPN
Modo ALG
3 -242
4 Data 13082008 3 (quarta-feira)
5 Florianoacutepolis = 3303 Curitiba = 5018 Porto Alegre = 1680
Unidade 2
1 1) 150000
Dados
C = R$ 1000000
i = 5 aa
n = 3 anos = 1080 dias
J =
3) 24 meses = 2 anos
Dados
C = R$ 200000
i = 6 aa
n = 24 meses = 720 dias
M =
79
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
85
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
86
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b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
87
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
88
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30
Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
HPndash12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
No link abaixo vocecirc tem disponiacutevel o manual da calculadora HP ndash 12C na versatildeo online lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt
2UNIDADE 2
Regimes de capitalizaccedilatildeo simples e composto
Objetivos de aprendizagem
Fazer uso das funccedilotildees financeiras da calculadora HP ndash 12C para calcular juros simples e composto
Dominar o caacutelculo do montante simples e composto
Aprender o caacutelculo de desconto simples e composto
Calcular capital taxa e prazo no regime de capitalizaccedilatildeo composto usando a HP ndash 12C
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Regime de capitalizaccedilatildeo simples
Seccedilatildeo 2 Regime de capitalizaccedilatildeo composto
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc vai fazer uso das funccedilotildees financeiras da HP ndash 12C com o objetivo de realizar caacutelculos de juros simples e composto montantes simples e composto descontos simples e composto caacutelculo de taxas e prazos
Nesta etapa de estudos seratildeo utilizados exemplos do material didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira que estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do Espaccedilo Virtual de Aprendizagem ndash EVA Eacute importante lembrar natildeo ser objetivo deste curso discutir os conceitos da Matemaacutetica Financeira mas apenas utilizar as funccedilotildees disponibilizadas na calculadora para resolver problemas relacionados a essa aacuterea Entretanto caso vocecirc julgue importante os conceitos podem ser relembrados ou vistos no material didaacutetico da disciplina
Seccedilatildeo 1 ndash Regime de capitalizaccedilatildeo simples
Na unidade 1 vocecirc foi apresentado(a) agrave calculadora HP ndash 12C e a algumas das suas funccedilotildees com o objetivo de capacitaacute-lo(a) para o uso adequado dessa ferramenta Esta unidade inicia com uma abordagem sobre os registradores financeiros os quais seratildeo utilizados na maioria dos exemplos que deveratildeo ser resolvidos ao longo das proacuteximas seccedilotildees desta unidade e nas demais unidades deste curso Veja na ilustraccedilatildeo a seguir os registradores financeiros e as suas aplicaccedilotildees
Registra e armazena periacuteodo
Registra e armazena taxa
Registra e armazena valor presente
Registra e armazena pagamentos perioacutedicos
Registra e armazena valor futuro
Figura 21 - Registradores financeiros e as suas aplicaccedilotildees Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
33
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
Para armazenar um nuacutemero em um registrador financeiro digite o nuacutemero e em seguida uma das teclas correspondentes ilustradas acima
Para exibir um nuacutemero armazenado em um dos registradores financeiros aperte e em seguida a tecla correspondente
Para zerar todos os registradores financeiros aperte a sequecircncia de teclas
Eacute importante lembrar que os registradores financeiros tambeacutem satildeo zerados ao apertar a sequecircncia
e quando a memoacuteria contiacutenua eacute
reinicializada
A seguir vocecirc faraacute caacutelculo de juros simples e de descontos simples usando a HP ndash 12C
Regime de capitalizaccedilatildeo simples
A HP ndash 12C calcula automaticamente juros simples ordinaacuterios ndash usando o ano comercial e juros simples exatos ndash usando um ano de 365 dias simultaneamente
Eacute possiacutevel apresentar qualquer um dos dois e mais com os juros acumulados no mostrador podemos calcular o montante apertando a tecla
Para exemplificar vamos resolver problemas do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira que se encontra disponiacutevel (formato digital) na ferramenta Midiateca do EVA ndash Espaccedilo Virtual de Aprendizagem
34
Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 21 (exemplo 1 paacuteg 29 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital de R$ 1800000 foi aplicado a juros simples durante 3 anos agrave taxa de 6 aa Qual eacute o valor dos juros e o montante adquirido
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula os juros e o montante
Exemplo 22 (exemplo 1 paacuteg 33 do livro Matemaacutetica Financeira)
Ache os juros simples exatos auferidos em uma aplicaccedilatildeo de R$ 1500000 a uma taxa de 16 aa de 20 de abril de 2003 a 1ordm de julho de 2003
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula os juros comerciais e os juros exatos
Neste exemplo utilizamos duas teclas que seratildeo ilustradas a seguir para realizar o caacutelculo dos juros exatos
1800000 1080 6
324000 2124000
Juros Montante
No caacutelculo de Juros simples o periacuteodo deve ser em dias
Calcula juros simples
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Unidade 2
1500000 20042003 01072003
72 16 48000 47342
Juro comercial Juro exato nordm de dias
Ao apertar essa tecla ela rola para baixo o conteuacutedo da pilha para visualizaccedilatildeo no registro X
Ao apertar essa tecla ela troca o conteuacutedo dos registros X e Y da pilha
Figura 22 - Teclas utilizadas para registros de dados Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Exemplo 23 (exemplo 2 paacuteg 34 do livro Matemaacutetica Financeira)
Determine o juro simples exato obtido em uma aplicaccedilatildeo de R$ 1300000 durante 146 dias a uma taxa de 9 aa
Soluccedilatildeo a sequecircncia a seguir realiza os caacutelculos solicitados
1330000 146 9
48545 47880
Juro comercial Juro exato
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Exemplo 24 (exemplo 1 paacuteg 47 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma duplicata de R$ 1500000 com vencimento no dia 03042005 foi descontada em um banco em 08012005 a uma taxa de 25 am Qual eacute o desconto simples bancaacuterio da operaccedilatildeo
Soluccedilatildeo
08012005 03042005 85
1500000 0025 30 106250
Taxa decimal Desconto bancaacuterio
Nordm de dias entre as datas
Exemplo 25 (exemplo 1 paacuteg 48 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma empresa descontou um tiacutetulo com valor de face de R$ 1450000 3 meses e 15 dias antes do vencimento com uma taxa de desconto bancaacuterio simples de 24 am Quanto a empresa recebeu liacutequido na operaccedilatildeo
Soluccedilatildeo
1450000 0024 35 1450000 1328200
Periacuteodo em meses Valor liacutequidoTaxa decimal
37
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Unidade 2
Exemplo 26 (exemplo 1 paacuteg 49 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma duplicata de R$ 4800000 foi descontada 6 meses antes de seu vencimento em uma instituiccedilatildeo financeira que trabalha com uma taxa de desconto simples de 32 am Com base nestes dados determine
o valor do desconto simples bancaacuterio
o valor do desconto simples racional
Soluccedilatildeo
4800000 6 0032 921600
Taxa decimal Valor liacutequido
921600 1 0032
6 773154
Taxa decimal Valor liacutequido
Na proacutexima seccedilatildeo vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros compostos e de desconto compostos
38
Universidade do Sul de Santa Catarina
Seccedilatildeo 2 ndash Regime de capitalizaccedilatildeo composto
Os exemplos apresentados a partir de agora satildeo ilustrativos de uma ampla variedade de caacutelculos financeiros Para resolvecirc-los vocecirc precisa estruturaacute-los identificando os elementos baacutesicos do problema de maneira que fiquem evidentes as quantidades que devem ser fornecidas agrave calculadora e quem eacute o valor desconhecido ou seja o valor que desejamos determinar
Na resoluccedilatildeo dos caacutelculos usando a HP ndash 12C eacute indispensaacutevel elaborar o diagrama de fluxo de caixa Eacute importante ressaltar que a calculadora precisa de ajuda para comparar o fluxo de caixa ou seja eacute preciso informar quando temos uma entrada ou uma saiacuteda
O fluxo de caixa serve para demonstrar graficamente as transaccedilotildees financeiras em um periacuteodo de tempo
O tempo eacute representado por uma linha horizontal dividida pelo nuacutemero de periacuteodos relevantes para anaacutelise As entradas ou recebimentos satildeo representados por setas verticais apontadas para cima e as saiacutedas ou pagamentos satildeo representados por setas verticais apontadas para baixo Observe o modelo simplificado
(+) entradas
(-) saiacutedas
tempo (n)
Veja agora o modelo detalhado
Entradas
Saiacutedas
Tempo
Fluxo de caixa pode ser definido como sendo a movimentaccedilatildeo de recursos financeiros (entradas e saiacutedas de caixa) ao longo de um periacuteodo de tempo - agrave entrada e saiacuteda de dinheiro O conceito caixa (financeiro) natildeo pode ser confundido com conceito de competecircncia (contaacutebil)
39
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
Na HP-12C a tecla (do inglecircs Change Sign) serve para introduzir ou tirar um sinal negativo de um nuacutemero ou seja faz o fluxo de caixa
Na sequecircncia de exemplos apresentados a seguir realizaremos caacutelculos de juros montantes valor presente prazo taxa de juros e descontos no regime composto com o auxiacutelio dos registradores financeiros da calculadora HP ndash 12C
Exemplo 27 (exemplo 1 paacuteg 58 do livro Matemaacutetica Financeira)
Qual o montante gerado por um capital de R$ 450000 aplicado por 9 meses a juros compostos a uma taxa de 35 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o montante composto
450000 9 35 613304
MontanteFluxo de caixa saiacuteda do dinheiro para aplicaccedilatildeo
Exemplo 28 (exemplo 2 paacuteg 58 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital de R$ 1200000 foi aplicado a juros compostos durante 6 meses agrave taxa de 2 am Calcule os juros auferidos na aplicaccedilatildeo
Soluccedilatildeo use a sequecircncia a seguir para calcular os juros
1200000 6 2
1351395 151395
Montante Juros
Fluxo de caixa saiacuteda do dinheiro para aplicaccedilatildeo
Recupera um valor em um registrador
financeiro
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Exemplo 29 (exemplo 3 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital ldquoXrdquo eacute aplicado a juros compostos agrave taxa de 35 am gerando um montante de R$ 1950000 apoacutes 1 ano e 3 meses Determine o capital ldquoXrdquo
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar o capital
1950000 35 15 -1163937
Capital aplicado
Exemplo 210 (exemplo 4 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
A que taxa mensal de juros compostos um capital de R$ 1250000 pode transformar-se em R$ 1537342 no periacuteodo de 7 meses
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
1250000 1537342 7 300
Taxa de juros mensal
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Unidade 2
Exemplo 211 (exemplo 5 paacuteg 60 do livro Matemaacutetica Financeira)
Em que prazo um empreacutestimo de R$ 3500000 pode ser pago pela quantia de R$ 4790000 se a taxa de juros compostos cobrada for de 4 am
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
3500000 4790000 4 8
Periacuteodo em meses
Funccedilatildeo ldquoCrdquo na HP ndash 12C e as teclas ldquoSTOrdquo e ldquoEEXrdquo
Vocecirc pode calcular taxa de juros (i) Capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos Perioacutedicos (PMT) para transaccedilotildees financeiras com periacuteodos fracionaacuterios Ao digitar um periacuteodo fracionaacuterio por exemplo 23 meses a parte inteira do nuacutemero indica o nuacutemero de periacuteodos inteiro e a parte fracionaacuteria do nuacutemero o tamanho do periacuteodo fracionaacuterio como uma fraccedilatildeo do periacuteodo inteiro (no exemplo 2 meses e 03 meses)
De acordo com o criteacuterio do usuaacuterio os caacutelculos de taxa de juros ( i ) capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos perioacutedicos (PMT) podem ser executados com juros simples ou compostos acumulados durante o periacuteodo fracionaacuterio Para escolher uma das duas opccedilotildees faccedila
Aparece o indicador ldquoCldquo Portanto os juros compostos satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Natildeo aparece o indicador ldquoCrdquo Portanto os juros simples satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Figura 23 - Teclas utilizadas para caacutelculo de juros simples e compostos para periacuteodo fracionaacuterio Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
42
Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 212
Calcular o valor futuro de uma aplicaccedilatildeo de R$ 185030000 aplicado agrave taxa de 14 aa durante 45 anos usando juros compostos e simples para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Soluccedilatildeo as sequecircncias a seguir apresentam os resultados para o caacutelculo do valor futuro com juros simples para o periacuteodo fracionaacuterio e juros compostos para o periacuteodo fracionaacuterios respectivamente
185030000 14
45 334383879
Valor futuro calculado com juros simples para o periacuteodo
fracionaacuterio
185030000
14 45 333667556
Valor futuro calculado com juros compostos para o
periacuteodo fracionaacuterio
Exemplo 213 (exemplo 1 paacuteg 81 do livro Matemaacutetica Financeira)
Determine o valor do desconto composto racional e o valor do resgate de um tiacutetulo de R$ 1560000 descontado 5 meses antes do seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto composto racional eacute de 4 am
43
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor do desconto racional composto e o valor liacutequido a receber
1560000 1
1 004 5
277794 1560000 1282206
Valor do desconto Valor liacutequido
Exemplo 214 (exemplo 1 paacuteg 84 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um tiacutetulo de valor nominal de R$ 1500000 eacute descontado em um banco 3 meses antes de seu vencimento Se a taxa de desconto comercial usada pelo banco eacute de 8 am qual eacute o valor do desconto
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor liacutequido e o valor do desconto bancaacuterio ou comercial
1500000 3 8
-1168032 331968
Valor liacutequido Valor do desconto
44
Universidade do Sul de Santa Catarina
Nesta unidade vocecirc usou a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros simples e compostos descontos simples e compostos valor presente taxa de juros periacuteodo e montante Na proacutexima unidade usaremos a ferramenta para auxiliar no caacutelculo de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir foram propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo em PDF estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as questotildees 1 3 5 e 6 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteginas 38 e 39 Confira os resultados na paacuteg 194
1) Qual o rendimento que obtemos ao aplicarmos um capital de R$ 1000000 a uma taxa de juros simples de 5 aa durante 3 anos
3) Em um regime de capitalizaccedilatildeo simples qual eacute o montante que se obteacutem quando aplicamos um capital de R$ 200000 a uma taxa 6 aa durante 24 meses
5) Uma quantia de R$ 6200000 foi aplicada em uma operaccedilatildeo financeira no dia 20 de setembro de 2003 e resgatada no dia 21 de dezembro de 2003 a uma taxa de 125 aa Quais os juros simples exatos e comerciais da operaccedilatildeo
6) Calcule os juros simples exatos e comerciais nas seguintes condiccedilotildees
bull R$ 600000 aplicados por 180 dias a 12 aa
bull R$ 520000 aplicados por 230 dias a 15 aa
45
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
2 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 2 e 4 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegs 52 e 53 Confira os resultados nas paacuteginas 194 e 195
1) Uma empresa desconta uma duplicata no valor nominal de R$ 5000000 no Banco ldquoXrdquo 4 meses antes do seu vencimento Sabendo que o banco ldquoXrdquo trabalha com uma taxa de desconto simples bancaacuterio de 45 am qual eacute o valor do desconto e o valor liacutequido recebido
2) Para pagar uma diacutevida hoje uma empresa descontou em uma carteira de creacutedito uma duplicata no valor de R$ 1650000 com vencimento daqui a 2 meses recebendo um valor nominal liacutequido de R$ 1500000 Determine a taxa mensal de desconto simples bancaacuterio utilizada
4) Uma letra de cacircmbio no valor nominal de R$ 500000 foi comercializada 4 meses antes do vencimento a uma taxa de desconto simples de 22 am Se o desconto simples fosse o racional qual seria o valor deste desconto
3 Elabore uma sequecircncia de passos para resolver as questotildees propostas 1 2 3 4 e 6 nas paacuteginas 65 66 e 67 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira e confira os resultados na paacuteg 195
1) Calcule o montante produzido por um capital de R$ 2600000 aplicado a uma taxa de juros compostos de 52 am por 6 meses
2) Calcule os juros compostos auferidos por um capital de R$ 420000 aplicado a uma taxa de 3 am durante 10 meses
3) Um empreacutestimo de R$ 600000 deve ser pago em 120 dias a juros compostos pelo valor de R$ 900000 Qual eacute a taxa mensal da operaccedilatildeo
4) Em que prazo uma aplicaccedilatildeo a juros compostos de R$ 2400000 produziraacute um montante de R$ 6151930 agrave taxa de 4 am
6) Quanto Paulo deve aplicar hoje a juros compostos em uma instituiccedilatildeo financeira que paga uma taxa de 12 am para pagar um compromisso de valor nominal igual a R$ 3800000 que vence daqui a 3 meses
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Universidade do Sul de Santa Catarina
4 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 e 8 das paacuteginas 88 e 90 respectivamente do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira Confira os resultados na paacuteg 196
1) Determine o valor do desconto composto racional de um tiacutetulo de valor nominal de R$ 830000 descontado 6 meses antes de seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto eacute de 42 am
8) Um tiacutetulo de R$ 3000000 foi descontado em uma instituiccedilatildeo financeira a uma taxa de desconto composto comercial de 64 am e o valor liacutequido recebido era de R$ 2017327 Quantos meses antes do vencimento foi descontado este tiacutetulo
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
3UNIDADE 3
Taxas de juros equivalentes e caacutelculo de pagamentos perioacutedicos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para calcular taxas equivalentes
Usar as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP ndash 12C para programar o algoritmo da taxa equivalente no regime de capitalizaccedilatildeo composto
Calcular pagamentos perioacutedicos de sequecircncias uniformes postecipadas e antecipadas
Calcular montante de uma sequecircncia uniforme
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Taxas equivalentes
Seccedilatildeo 2 Sequecircncia de capitais
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar taxas equivalentes no regime de capitalizaccedilatildeo composto Vocecirc usaraacute as funccedilotildees de programaccedilatildeo com o objetivo de elaborar um algoritmo para fazer a conversatildeo de taxas de um periacuteodo de capitalizaccedilatildeo (ex mensal) para outro periacuteodo (ex anual) usando o programa Vamos explorar as funccedilotildees ldquoPMTrdquo ldquoBEGrdquo e ldquoENDrdquo para realizar caacutelculo de pagamentos antecipados e postecipados em uma sequecircncia uniforme Destacamos que os exemplos que seratildeo apresentados estatildeo no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira
Seccedilatildeo 1 ndash Taxas equivalentes
Nesta unidade vocecirc usaraacute algumas funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos (postecipados e antecipados) de uma seacuterie uniforme Vocecirc usaraacute ainda as funccedilotildees de programaccedilatildeo para elaborar um programa para calcular taxas equivalentes A figura a seguir apresenta as funccedilotildees que vocecirc usaraacute nos exemplos apresentados posteriormente
Aciona o modo de programaccedilatildeo de HP ndash 12C
Aciona a funccedilatildeo Begin que calcula a parcela com pagamento antecipado
Aciona a funccedilatildeo End (natildeo aparece no visor da calculadora) que calcula parcela com pagamento postecipado
Figura 31 - Teclas utilizadas para acionar as funccedilotildees Beg e End e entrar no modo de programaccedilatildeo
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
49
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
Taxas equivalentes
No mercado financeiro e nas operaccedilotildees bancaacuterias e comerciais a palavra taxa eacute empregada de vaacuterias formas ou seja vaacuterios conceitos satildeo abordados em vaacuterias situaccedilotildees Esta seccedilatildeo tem como objetivo mostrar como as taxas de juros satildeo informadas no mercado financeiro e como adequaacute-las agraves condiccedilotildees padronizadas pela HP ndash 12C
Duas taxas satildeo consideradas equivalentes a juros compostos quando aplicadas a um mesmo capital por um periacuteodo de tempo equivalente e geram o mesmo rendimento
Exemplo 31(exemplo 1 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
No regime de juros compostos qual a taxa anual equivalente a 4 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente anual
Exemplo 32 (exemplo 2 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
Calcule a taxa quadrimestral equivalente agrave taxa de juros compostos de 8 aa
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente quadrimestral
1 004 12 1 1 10000 6010
Taxa anual
50
Universidade do Sul de Santa Catarina
1 008 1 3 1 10000 260
Taxa quadrimestral
Programa para caacutelculo da taxa equivalente pela hp ndash 12c
O professor Carlos Shinoda em seu livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48) apresenta um programa para calcular a taxa equivalente atraveacutes da calculadora HP ndash 12C
Siga os procedimentos abaixo para introduzir o programa na HP ndash 12C
Figura 32 - Algoritmo para a programaccedilatildeo de taxa equivalente
Fonte Livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48)
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
Agora que vocecirc programou a HP ndash 12C para o caacutelculo de taxas equivalentes resolva o exemplo a seguir usando o programa
Exemplo 33
Usando o programa anterior determine as taxas equivalentes propostas nos exemplos 31 e 32
Soluccedilatildeo
As sequecircncias abaixo calculam as taxas equivalentes
Executa oprograma
4 1 12 6010
Taxa anual
Executa oprograma
8 360 120 260
Taxa quadrimestral
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Seccedilatildeo 2 ndash Sequecircncia de capitais
Nesta seccedilatildeo vocecirc acompanharaacute as situaccedilotildees em que haacute mais de um pagamento ou seja vocecirc estudaraacute as operaccedilotildees envolvendo pagamentos ou recebimentos perioacutedicos e uniformes
As seacuteries uniformes de pagamentos satildeo aquelas em que os pagamentos ou recebimentos satildeo constantes e ocorrem em intervalos iguais
Seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas e antecipadas
As seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1 Este sistema eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada (0 + n)
Pagamentos ou recebimentos podem ser chamados de prestaccedilatildeo representada pela sigla PMT que vem do inglecircs Payment e significa pagamento ou recebimento
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentosPMT
++
0 1 2 3 4 5 6 n
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
++
0 1 2 3 4 5 6 n
PMT
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
As seacuteries uniformes de pagamentos antecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre na data focal 0 (zero) Este tipo de sistema de pagamento eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento com entrada (1+ n)
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
Exemplo 34 (exemplo 2 paacuteg 108 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um automoacutevel eacute vendido em uma loja por R$ 3200000 A loja propotildee as seguintes condiccedilotildees para financiamento
Proposta A 12 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta B 24 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta C 36 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
A taxa de juros usada eacute de 32 am Qual o valor de cada prestaccedilatildeo nas 3 modalidades de financiamento
Soluccedilatildeo
As sequecircncias a seguir calculam os valores das parcelas nas trecircs propostas
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3200000
32 12 -325329
parcela
3200000
32 24 -193046
parcela
3200000
32 36 -150979
parcela
Exemplo 35 (exemplo 2 paacuteg 111 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma casa cujo valor agrave vista eacute R$ 4924456 eacute vendida em prestaccedilotildees mensais e iguais de R$ 250000 sendo a primeira dada como entrada Se a taxa de financiamento eacute de 18 am determine o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas no financiamento
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o nuacutemero de parcelas
4924456 18
250000 24
nordm de parcelas
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Unidade 3
No exemplo acima o nuacutemero de pagamento deu um nuacutemero inteiro Mas podem acontecer situaccedilotildees em que ao se determinar o nuacutemero de parcelas o resultado natildeo seja um nuacutemero inteiro
Nessa situaccedilatildeo a HP ndash 12C arredonda a resposta para o proacuteximo inteiro para cima antes de armazenaacute-la e exibi-la
Exemplo 36
Vocecirc comprou um terreno por R$ 3500000 a juros de 105 aa Vocecirc pretende fazer pagamentos de R$ 32500 no fim de cada mecircs Quantos pagamentos seratildeo necessaacuterios para pagar o terreno e quanto tempo levaraacute
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o nuacutemero de pagamentos e o tempo necessaacuterio
3500000 105
32500 328 2733
nordm de parcelas Tempo (anos)
Como a calculadora arredonda o valor do tempo para o proacuteximo inteiro eacute provaacutevel que apesar de serem necessaacuterios 328 pagamentos somente 327 seratildeo inteiros de R$ 32500 com o pagamento final sendo menor do que R$ 32500 Para calcular o valor do pagamento de nuacutemero 328 vamos fazer o seguinte
A calculadora natildeo ajusta os valores nos outros registros financeiros automaticamente para refletir os n pagamentos iguais ao contraacuterio ela lhe permite escolher quais valores (se houver) que vocecirc deseja ajustar
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328 18189 - 32500 -14311
Valor da parcela 328
Nesta unidade vocecirc calculou taxas equivalentes usou as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP e fez caacutelculos de pagamentos perioacutedicos de uma seacuterie uniforme antecipado ou postecipado Na proacutexima unidade vamos realizar caacutelculos de valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades abaixo (Essa atividade corresponde agrave autoavaliaccedilatildeo 1 da unidade 5 do livro didaacutetico de Matemaacutetica Financeira) Em seguida use o programa elaborado para resolver a mesma questatildeo
Calcule a taxa anual das seguintes taxas
a) 26 am
b) 42 ab
c) 48 at
d) 12 as
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Unidade 3
2 Elabore um algoritmo para resolver as seguintes atividades (Estas questotildees equivalem agraves autoavaliaccedilotildees 1 2 3 4 e 5 da unidade 8 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 121 122 e 123)
a) Calcule o valor da prestaccedilatildeo mensal de um empreacutestimo de R$ 600000 que seraacute amortizado em 12 prestaccedilotildees mensais postecipadas sabendo que o banco cobra uma taxa de juros de 2 am
b) Uma loja vende um automoacutevel agrave vista por R$ 1650000 Se o comprador quiser fazer um financiamento em 36 parcelas mensais e iguais onde o 1ordm pagamento seraacute efetuado no 1ordm mecircs apoacutes a compra a uma taxa de juros de 21 am qual o valor da prestaccedilatildeo
c) Uma mercadoria custa R$ 9038071 agrave vista podendo ser vendida em prestaccedilotildees mensais de R$ 1050000 sendo a primeira prestaccedilatildeo dada como entrada Sabendo-se que a loja aplica uma taxa de 35 am qual o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas
d) Carlos depositou certa quantia durante 10 meses de forma antecipada a uma taxa de 25 am obtendo um montante de R$ 25000000 Quanto depositou mensalmente Carlos
e) Um produto eacute vendido agrave vista por R$ 200000 ou em 10 prestaccedilotildees mensais iguais sem entrada com uma carecircncia de 90 dias apoacutes a compra Qual o valor de cada prestaccedilatildeo sabendo que a taxa de juros eacute de 6 am
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
4UNIDADE 4
Valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa
Usar as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Valor presente liacutequido
Seccedilatildeo 2 Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs ndash SFA (Price)
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa usando as funccedilotildees CF0 CFj e NPV Vocecirc deveraacute ainda fazer uso da funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos usando o Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo ndash SFA ou tabela Price
Seccedilatildeo 1 ndash Valor presente liacutequido
A figura 41 a seguir apresenta as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C que vocecirc usaraacute nessa unidade para realizar caacutelculo de valor presente liacutequido e para a elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos ou financiamento
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor inicial do fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor do fluxo de caixa no periacuteodo j
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula o valor presente atual de um fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula a parte dos pagamentos usada para pagar juros
Figura 41 - Teclas para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
Valor presente liacutequido
Nessa seccedilatildeo vocecirc usaraacute as funccedilotildees da HP ndash 12C para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa Para entender como usar as funccedilotildees CF0 CFj e NPV considere o fluxo de caixa para um investimento que exige capital inicial (CF0) e que gera um fluxo de caixa (CFj ) no final de j periacuteodos
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Veja a seguir o fluxo de caixa
CF0CF1
CF2 CF5
CFn
CF3 CF4
O VPL = Valor Presente Liacutequido eacute calculado somando ao investimento inicial o valor presente dos fluxos de caixa futuros projetados Portanto
se o VPL for positivo o valor financeiro do ativo do investidor aumentaraacute ou seja o investimento financeiro seraacute atrativo em termos financeiros
se o VPL for zero o valor financeiro do ativo financeiro do investidor natildeo mudaraacute ou seja o investidor seraacute indiferente ao investimento
se o VPL for negativo o valor financeiro do ativo do investidor seraacute reduzido ou seja o investimento natildeo seraacute atrativo em termos financeiros
Exemplo 41
Um investidor compra uma casa por R$ 7000000 e gostaria de ter um retorno de pelo menos 15 Ele pretende manter a casa por 4 anos e depois vendecirc-la por R$ 11000000 Ele prevecirc os fluxos de caixa mostrados no diagrama abaixo
CF0CF1
CF1
CF3CF4
CF5
R$ 7000000
R$ 50000
R$ 450000R$ 450000
R$ 13000000R$ 550000
Sendo assim calcule o VPL para determinar se o investimento resultaria em um retorno ou perda
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o VPL
7000000 50000
450000 550000 450000
13000000 15 379007
VPL
Como o VPL eacute positivo o investimento aumentaria o valor financeiro do ativo do investidor
Exemplo 42 (exemplo 4 paacuteg 98 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um proprietaacuterio recebeu as seguintes propostas para a venda de uma casa
Proposta A entrada de R$ 10000000 + R$ 5000000 em 6 meses + R$ 6000000 em 1 ano
Proposta B entrada de R$ 8000000 + R$ 6000000 em 5 meses + R$ 7000000 em 10 meses
Sabendo-se que a taxa de juros de mercado eacute de 3 am qual a melhor proposta para o vendedor
Soluccedilatildeo
Essa questatildeo deve ser resolvida pelo meacutetodo do Valor Presente Liacutequido A alternativa que tiver o maior valor seraacute a melhor Entretanto para facilitar a elaboraccedilatildeo do algoritmo de resoluccedilatildeo na HP ndash 12C elabore o fluxo de caixa para cada situaccedilatildeo
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Unidade 4
1 Proposta A Fluxo de caixa
10000000 5000000 6000000
1 2 3 4 5 7 8 9 10 110 6 12
Calculando o VPL
10000000 000 5
5000000 000
5
6000000
3
18395701
VPL
Armazena o zero 5 vezes
2 Proposta B Fluxo de caixa
8000000 70000006000000
1 2 3 4 6 7 8 90 5 10
Calculando o VPL
8000000 000 4
6000000 000
4
7000000
3
18384310
VPL
Armazena o zero 4 vezes
Resposta a melhor proposta eacute a A
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Exemplo 43
Dois equipamentos satildeo examinados Considerando ser a taxa miacutenima de atratividade de 20aa qual o equipamento que deve ser adquirido
Dados
41 - Tabela de DadosEquipamento K Equipamento L
Custo R$ 5000000 R$ 8000000Custo anual de manutenccedilatildeo R$ 2000000 R$ 1500000Valor residual para venda R$ 400000 R$ 800000Duraccedilatildeo em anos 10 10
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
A seguir veja o diagrama de fluxo de caixa
Os caacutelculos do Valor Presente Liacutequido para as duas situaccedilotildees satildeo
Equipamento K
5000000
Equipamento K
2000000
400000
0 1 2 10
8000000
Equipamento L
1500000
800000
0 1 2 10
50000 20000
9 4000 20000 1
20 -13320342
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Unidade 4
Equipamento L
80000 15000
9 8000 15000 1
20 -14159504
Importante Veja que a alternativa K equivale a um equipamento em que se investe R$ 13320342 enquanto que o equipamento L equivale a um investimento de R$ 14159504 Portanto eacute preferiacutevel o equipamento K pois o investimento eacute menor
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Seccedilatildeo 2 ndash Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs - SFA
Este sistema consiste no pagamento de empreacutestimos ou financiamentos com prestaccedilotildees iguais e com periodicidade constante Eacute considerado o sistema de amortizaccedilatildeo mais utilizado pelas instituiccedilotildees financeiras e pelo comeacutercio em geral
O Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo eacute assim chamado por ter sido inventado na Franccedila por volta do seacuteculo XVIII pelo matemaacutetico inglecircs Richard Price daiacute portanto a origem da denominaccedilatildeo Sistema Price tambeacutem comumente chamado de Tabela Price
Na verdade a Tabela Price eacute um caso particular derivado do Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo Neste sistema o financiamento (PV) eacute pago em parcelas (PMT) iguais constituiacutedas da amortizaccedilatildeo do principal da diacutevida + juros compensatoacuterios (J) que variam inversamente ao longo do tempo Ou seja agrave medida que aumenta o valor da parcela de amortizaccedilatildeo haveraacute uma queda dos juros compensatoacuterios em funccedilatildeo da reduccedilatildeo do saldo devedor
Principais Caracteriacutesticas
As principais caracteriacutesticas do SFA satildeo
a prestaccedilatildeo eacute constante durante todo o periacuteodo do financiamento
a parcela de amortizaccedilatildeo aumenta a cada periacuteodo (n)
os juros compensatoacuterios diminuem a cada periacuteodo (n)
Exemplo 44 (exemplo 1 paacuteg 148 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma instituiccedilatildeo financeira libera um empreacutestimo para uma induacutestria no valor de R$ 60000000 para ser pago pelo sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs em 120 meses a uma taxa de 15 am Faccedila a planilha ateacute o 4ordm mecircs e calcule o saldo devedor no 100ordm mecircs
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Unidade 4
Soluccedilatildeo
A sequecircncia abaixo calcula o valor da prestaccedilatildeo os juros a amortizaccedilatildeo o saldo devedor e valor do saldo devedor no 100ordm mecircs Acompanhe
Zera os registradores
60000000 Armazena o valor presente
120 Armazena o periacuteodo
15 Armazena a taxa
- R$ 1081111 Valor da prestaccedilatildeo
1 - R$ 900000 Valor dos juros da 1ordf parcela
R$ 181111Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 1ordf parcela
R$ 58918889 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 897283 Valor dos juros da 2ordf parcela
- R$ 183828Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 2ordf parcela
R$ 59635061 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 894526 Valor dos juros da 3ordf parcela
- R$ 186585Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 3ordf parcela
R$ 59448476 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 891727 Valor dos juros da 4ordf parcela
- R$ 189384Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 4ordf parcela
R$ 59259092 Recupera o saldo devedor
A tabela a seguir apresenta um resumo das operaccedilotildees realizadas
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Tabela 42 ndash Planilha de amortizaccedilatildeoPeriacuteodo (n) Amortizaccedilatildeo (A) Juros (J) Prestaccedilotildees (R) Saldo Devedor (S)
0 - - - R$ 600000001 R$ 181111 R$ 900000 R$ 1081111 R$ 598188892 R$ 183828 R$ 897283 R$ 1081111 R$ 596350613 R$ 186585 R$ 894526 R$ 1081111 R$ 594484764 R$ 189384 R$ 891727 R$ 1081111 R$ 59259092
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Para determinar o saldo devedor no 100ordm mecircs faccedila como indicado a seguir
60000000 120 150
-1081111 18561247
Prestaccedilatildeo Saldo devedor no 100ordm mecircs
Nesta unidade vocecirc usou as funccedilotildees de fluxo de caixa para calcular o valor presente liacutequido e a funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
69Unidade 4
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades a seguir (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 4 e 5 da unidade 7 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegina 102) Em seguida use o programa elaborado para resolver as mesmas questotildees
a) Qual das alternativas de pagamento eacute a melhor para uma taxa de juros compostos de 75 am
Alternativa A Pagamento de R$ 15000000 agrave vista
Alternativa B Entrada de R$ 5000000 + R$ 8000000 em 90 dias + R$ 6000000 em 150 dias
b) Uma pessoa deve a um banco dois tiacutetulos com valores de R$ 300000 e R$ 600000 venciacuteveis respectivamente em 4 meses e 8 meses Se a pessoa deseja antecipar para hoje a liquidaccedilatildeo dos tiacutetulos qual o valor a pagar considerando que o banco opera com uma taxa de juros compostos de 23 am
2 Elabore um algoritmo para resolver as atividades abaixo (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 1 e 4 da unidade 10 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 151 e 153)
a) Um cliente solicita a um banco um empreacutestimo de R$ 4000000 pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs em 60 prestaccedilotildees mensais Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de juros de 28 am obtenha o valor da prestaccedilatildeo e o saldo devedor depois de pagar a 20ordf prestaccedilatildeo
b) Um empreacutestimo de R$ 30000000 seraacute saldado em 50 prestaccedilotildees mensais a uma taxa de 15 am Determine a parcela de juros relativa agrave 15ordf prestaccedilatildeo pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs (price)
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Saiba mais
Manual da calculadora HP ndash 12C
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico ndash 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7ed Satildeo Paulo Atlas 2000
Para concluir o estudo
Com o teacutermino desse curso de extensatildeo acreditamos que proporcionamos momentos de aprendizagem por meio da interaccedilatildeo da calculadora financeira e que vocecirc estaacute habilitado(a) a fazer uso dessa ferramenta com qualidade no mercado de trabalho relacionado a essa aacuterea tatildeo importante no nosso dia-a-dia
Referecircncias
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7 ed Satildeo Paulo Atlas 2000
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003 Disponiacutevel em lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt Acesso em 05 jun 2008
Sobre o professor conteudista
Joseacute Humberto Dias de Toledo - eacute Mestre em Educaccedilatildeo pela Universidade do Sul de Santa Catarina Graduado em Licenciatura em Matemaacutetica e em Engenharia Civil Professor das disciplinas Meacutetodos Numeacutericos Informaacutetica Aplicada agrave Matemaacutetica Financeira Caacutelculo I e Matemaacutetica Financeira no Curso de Matemaacutetica ndash Licenciatura nesta mesma instituiccedilatildeo Atualmente ministra a disciplina Representaccedilotildees Graacuteficas na Poacutes-graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo Matemaacutetica da UNISUL
Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo
Unidade 1
1 a) 5
b) -2359
c) 3311
d) 077
e) 081
Respostas modo RPN
a)
b)
c)
d)
e)
Respostas modo ALG
a
b
c
d
e
78
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 R$ 167757
Modo RPN
Modo ALG
3 -242
4 Data 13082008 3 (quarta-feira)
5 Florianoacutepolis = 3303 Curitiba = 5018 Porto Alegre = 1680
Unidade 2
1 1) 150000
Dados
C = R$ 1000000
i = 5 aa
n = 3 anos = 1080 dias
J =
3) 24 meses = 2 anos
Dados
C = R$ 200000
i = 6 aa
n = 24 meses = 720 dias
M =
79
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
85
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
86
Universidade do Sul de Santa Catarina
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
87
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
88
Universidade do Sul de Santa Catarina
2UNIDADE 2
Regimes de capitalizaccedilatildeo simples e composto
Objetivos de aprendizagem
Fazer uso das funccedilotildees financeiras da calculadora HP ndash 12C para calcular juros simples e composto
Dominar o caacutelculo do montante simples e composto
Aprender o caacutelculo de desconto simples e composto
Calcular capital taxa e prazo no regime de capitalizaccedilatildeo composto usando a HP ndash 12C
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Regime de capitalizaccedilatildeo simples
Seccedilatildeo 2 Regime de capitalizaccedilatildeo composto
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc vai fazer uso das funccedilotildees financeiras da HP ndash 12C com o objetivo de realizar caacutelculos de juros simples e composto montantes simples e composto descontos simples e composto caacutelculo de taxas e prazos
Nesta etapa de estudos seratildeo utilizados exemplos do material didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira que estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do Espaccedilo Virtual de Aprendizagem ndash EVA Eacute importante lembrar natildeo ser objetivo deste curso discutir os conceitos da Matemaacutetica Financeira mas apenas utilizar as funccedilotildees disponibilizadas na calculadora para resolver problemas relacionados a essa aacuterea Entretanto caso vocecirc julgue importante os conceitos podem ser relembrados ou vistos no material didaacutetico da disciplina
Seccedilatildeo 1 ndash Regime de capitalizaccedilatildeo simples
Na unidade 1 vocecirc foi apresentado(a) agrave calculadora HP ndash 12C e a algumas das suas funccedilotildees com o objetivo de capacitaacute-lo(a) para o uso adequado dessa ferramenta Esta unidade inicia com uma abordagem sobre os registradores financeiros os quais seratildeo utilizados na maioria dos exemplos que deveratildeo ser resolvidos ao longo das proacuteximas seccedilotildees desta unidade e nas demais unidades deste curso Veja na ilustraccedilatildeo a seguir os registradores financeiros e as suas aplicaccedilotildees
Registra e armazena periacuteodo
Registra e armazena taxa
Registra e armazena valor presente
Registra e armazena pagamentos perioacutedicos
Registra e armazena valor futuro
Figura 21 - Registradores financeiros e as suas aplicaccedilotildees Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
33
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
Para armazenar um nuacutemero em um registrador financeiro digite o nuacutemero e em seguida uma das teclas correspondentes ilustradas acima
Para exibir um nuacutemero armazenado em um dos registradores financeiros aperte e em seguida a tecla correspondente
Para zerar todos os registradores financeiros aperte a sequecircncia de teclas
Eacute importante lembrar que os registradores financeiros tambeacutem satildeo zerados ao apertar a sequecircncia
e quando a memoacuteria contiacutenua eacute
reinicializada
A seguir vocecirc faraacute caacutelculo de juros simples e de descontos simples usando a HP ndash 12C
Regime de capitalizaccedilatildeo simples
A HP ndash 12C calcula automaticamente juros simples ordinaacuterios ndash usando o ano comercial e juros simples exatos ndash usando um ano de 365 dias simultaneamente
Eacute possiacutevel apresentar qualquer um dos dois e mais com os juros acumulados no mostrador podemos calcular o montante apertando a tecla
Para exemplificar vamos resolver problemas do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira que se encontra disponiacutevel (formato digital) na ferramenta Midiateca do EVA ndash Espaccedilo Virtual de Aprendizagem
34
Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 21 (exemplo 1 paacuteg 29 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital de R$ 1800000 foi aplicado a juros simples durante 3 anos agrave taxa de 6 aa Qual eacute o valor dos juros e o montante adquirido
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula os juros e o montante
Exemplo 22 (exemplo 1 paacuteg 33 do livro Matemaacutetica Financeira)
Ache os juros simples exatos auferidos em uma aplicaccedilatildeo de R$ 1500000 a uma taxa de 16 aa de 20 de abril de 2003 a 1ordm de julho de 2003
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula os juros comerciais e os juros exatos
Neste exemplo utilizamos duas teclas que seratildeo ilustradas a seguir para realizar o caacutelculo dos juros exatos
1800000 1080 6
324000 2124000
Juros Montante
No caacutelculo de Juros simples o periacuteodo deve ser em dias
Calcula juros simples
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
1500000 20042003 01072003
72 16 48000 47342
Juro comercial Juro exato nordm de dias
Ao apertar essa tecla ela rola para baixo o conteuacutedo da pilha para visualizaccedilatildeo no registro X
Ao apertar essa tecla ela troca o conteuacutedo dos registros X e Y da pilha
Figura 22 - Teclas utilizadas para registros de dados Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Exemplo 23 (exemplo 2 paacuteg 34 do livro Matemaacutetica Financeira)
Determine o juro simples exato obtido em uma aplicaccedilatildeo de R$ 1300000 durante 146 dias a uma taxa de 9 aa
Soluccedilatildeo a sequecircncia a seguir realiza os caacutelculos solicitados
1330000 146 9
48545 47880
Juro comercial Juro exato
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 24 (exemplo 1 paacuteg 47 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma duplicata de R$ 1500000 com vencimento no dia 03042005 foi descontada em um banco em 08012005 a uma taxa de 25 am Qual eacute o desconto simples bancaacuterio da operaccedilatildeo
Soluccedilatildeo
08012005 03042005 85
1500000 0025 30 106250
Taxa decimal Desconto bancaacuterio
Nordm de dias entre as datas
Exemplo 25 (exemplo 1 paacuteg 48 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma empresa descontou um tiacutetulo com valor de face de R$ 1450000 3 meses e 15 dias antes do vencimento com uma taxa de desconto bancaacuterio simples de 24 am Quanto a empresa recebeu liacutequido na operaccedilatildeo
Soluccedilatildeo
1450000 0024 35 1450000 1328200
Periacuteodo em meses Valor liacutequidoTaxa decimal
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
Exemplo 26 (exemplo 1 paacuteg 49 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma duplicata de R$ 4800000 foi descontada 6 meses antes de seu vencimento em uma instituiccedilatildeo financeira que trabalha com uma taxa de desconto simples de 32 am Com base nestes dados determine
o valor do desconto simples bancaacuterio
o valor do desconto simples racional
Soluccedilatildeo
4800000 6 0032 921600
Taxa decimal Valor liacutequido
921600 1 0032
6 773154
Taxa decimal Valor liacutequido
Na proacutexima seccedilatildeo vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros compostos e de desconto compostos
38
Universidade do Sul de Santa Catarina
Seccedilatildeo 2 ndash Regime de capitalizaccedilatildeo composto
Os exemplos apresentados a partir de agora satildeo ilustrativos de uma ampla variedade de caacutelculos financeiros Para resolvecirc-los vocecirc precisa estruturaacute-los identificando os elementos baacutesicos do problema de maneira que fiquem evidentes as quantidades que devem ser fornecidas agrave calculadora e quem eacute o valor desconhecido ou seja o valor que desejamos determinar
Na resoluccedilatildeo dos caacutelculos usando a HP ndash 12C eacute indispensaacutevel elaborar o diagrama de fluxo de caixa Eacute importante ressaltar que a calculadora precisa de ajuda para comparar o fluxo de caixa ou seja eacute preciso informar quando temos uma entrada ou uma saiacuteda
O fluxo de caixa serve para demonstrar graficamente as transaccedilotildees financeiras em um periacuteodo de tempo
O tempo eacute representado por uma linha horizontal dividida pelo nuacutemero de periacuteodos relevantes para anaacutelise As entradas ou recebimentos satildeo representados por setas verticais apontadas para cima e as saiacutedas ou pagamentos satildeo representados por setas verticais apontadas para baixo Observe o modelo simplificado
(+) entradas
(-) saiacutedas
tempo (n)
Veja agora o modelo detalhado
Entradas
Saiacutedas
Tempo
Fluxo de caixa pode ser definido como sendo a movimentaccedilatildeo de recursos financeiros (entradas e saiacutedas de caixa) ao longo de um periacuteodo de tempo - agrave entrada e saiacuteda de dinheiro O conceito caixa (financeiro) natildeo pode ser confundido com conceito de competecircncia (contaacutebil)
39
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
Na HP-12C a tecla (do inglecircs Change Sign) serve para introduzir ou tirar um sinal negativo de um nuacutemero ou seja faz o fluxo de caixa
Na sequecircncia de exemplos apresentados a seguir realizaremos caacutelculos de juros montantes valor presente prazo taxa de juros e descontos no regime composto com o auxiacutelio dos registradores financeiros da calculadora HP ndash 12C
Exemplo 27 (exemplo 1 paacuteg 58 do livro Matemaacutetica Financeira)
Qual o montante gerado por um capital de R$ 450000 aplicado por 9 meses a juros compostos a uma taxa de 35 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o montante composto
450000 9 35 613304
MontanteFluxo de caixa saiacuteda do dinheiro para aplicaccedilatildeo
Exemplo 28 (exemplo 2 paacuteg 58 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital de R$ 1200000 foi aplicado a juros compostos durante 6 meses agrave taxa de 2 am Calcule os juros auferidos na aplicaccedilatildeo
Soluccedilatildeo use a sequecircncia a seguir para calcular os juros
1200000 6 2
1351395 151395
Montante Juros
Fluxo de caixa saiacuteda do dinheiro para aplicaccedilatildeo
Recupera um valor em um registrador
financeiro
40
Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 29 (exemplo 3 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital ldquoXrdquo eacute aplicado a juros compostos agrave taxa de 35 am gerando um montante de R$ 1950000 apoacutes 1 ano e 3 meses Determine o capital ldquoXrdquo
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar o capital
1950000 35 15 -1163937
Capital aplicado
Exemplo 210 (exemplo 4 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
A que taxa mensal de juros compostos um capital de R$ 1250000 pode transformar-se em R$ 1537342 no periacuteodo de 7 meses
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
1250000 1537342 7 300
Taxa de juros mensal
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
Exemplo 211 (exemplo 5 paacuteg 60 do livro Matemaacutetica Financeira)
Em que prazo um empreacutestimo de R$ 3500000 pode ser pago pela quantia de R$ 4790000 se a taxa de juros compostos cobrada for de 4 am
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
3500000 4790000 4 8
Periacuteodo em meses
Funccedilatildeo ldquoCrdquo na HP ndash 12C e as teclas ldquoSTOrdquo e ldquoEEXrdquo
Vocecirc pode calcular taxa de juros (i) Capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos Perioacutedicos (PMT) para transaccedilotildees financeiras com periacuteodos fracionaacuterios Ao digitar um periacuteodo fracionaacuterio por exemplo 23 meses a parte inteira do nuacutemero indica o nuacutemero de periacuteodos inteiro e a parte fracionaacuteria do nuacutemero o tamanho do periacuteodo fracionaacuterio como uma fraccedilatildeo do periacuteodo inteiro (no exemplo 2 meses e 03 meses)
De acordo com o criteacuterio do usuaacuterio os caacutelculos de taxa de juros ( i ) capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos perioacutedicos (PMT) podem ser executados com juros simples ou compostos acumulados durante o periacuteodo fracionaacuterio Para escolher uma das duas opccedilotildees faccedila
Aparece o indicador ldquoCldquo Portanto os juros compostos satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Natildeo aparece o indicador ldquoCrdquo Portanto os juros simples satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Figura 23 - Teclas utilizadas para caacutelculo de juros simples e compostos para periacuteodo fracionaacuterio Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
42
Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 212
Calcular o valor futuro de uma aplicaccedilatildeo de R$ 185030000 aplicado agrave taxa de 14 aa durante 45 anos usando juros compostos e simples para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Soluccedilatildeo as sequecircncias a seguir apresentam os resultados para o caacutelculo do valor futuro com juros simples para o periacuteodo fracionaacuterio e juros compostos para o periacuteodo fracionaacuterios respectivamente
185030000 14
45 334383879
Valor futuro calculado com juros simples para o periacuteodo
fracionaacuterio
185030000
14 45 333667556
Valor futuro calculado com juros compostos para o
periacuteodo fracionaacuterio
Exemplo 213 (exemplo 1 paacuteg 81 do livro Matemaacutetica Financeira)
Determine o valor do desconto composto racional e o valor do resgate de um tiacutetulo de R$ 1560000 descontado 5 meses antes do seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto composto racional eacute de 4 am
43
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor do desconto racional composto e o valor liacutequido a receber
1560000 1
1 004 5
277794 1560000 1282206
Valor do desconto Valor liacutequido
Exemplo 214 (exemplo 1 paacuteg 84 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um tiacutetulo de valor nominal de R$ 1500000 eacute descontado em um banco 3 meses antes de seu vencimento Se a taxa de desconto comercial usada pelo banco eacute de 8 am qual eacute o valor do desconto
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor liacutequido e o valor do desconto bancaacuterio ou comercial
1500000 3 8
-1168032 331968
Valor liacutequido Valor do desconto
44
Universidade do Sul de Santa Catarina
Nesta unidade vocecirc usou a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros simples e compostos descontos simples e compostos valor presente taxa de juros periacuteodo e montante Na proacutexima unidade usaremos a ferramenta para auxiliar no caacutelculo de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir foram propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo em PDF estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as questotildees 1 3 5 e 6 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteginas 38 e 39 Confira os resultados na paacuteg 194
1) Qual o rendimento que obtemos ao aplicarmos um capital de R$ 1000000 a uma taxa de juros simples de 5 aa durante 3 anos
3) Em um regime de capitalizaccedilatildeo simples qual eacute o montante que se obteacutem quando aplicamos um capital de R$ 200000 a uma taxa 6 aa durante 24 meses
5) Uma quantia de R$ 6200000 foi aplicada em uma operaccedilatildeo financeira no dia 20 de setembro de 2003 e resgatada no dia 21 de dezembro de 2003 a uma taxa de 125 aa Quais os juros simples exatos e comerciais da operaccedilatildeo
6) Calcule os juros simples exatos e comerciais nas seguintes condiccedilotildees
bull R$ 600000 aplicados por 180 dias a 12 aa
bull R$ 520000 aplicados por 230 dias a 15 aa
45
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
2 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 2 e 4 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegs 52 e 53 Confira os resultados nas paacuteginas 194 e 195
1) Uma empresa desconta uma duplicata no valor nominal de R$ 5000000 no Banco ldquoXrdquo 4 meses antes do seu vencimento Sabendo que o banco ldquoXrdquo trabalha com uma taxa de desconto simples bancaacuterio de 45 am qual eacute o valor do desconto e o valor liacutequido recebido
2) Para pagar uma diacutevida hoje uma empresa descontou em uma carteira de creacutedito uma duplicata no valor de R$ 1650000 com vencimento daqui a 2 meses recebendo um valor nominal liacutequido de R$ 1500000 Determine a taxa mensal de desconto simples bancaacuterio utilizada
4) Uma letra de cacircmbio no valor nominal de R$ 500000 foi comercializada 4 meses antes do vencimento a uma taxa de desconto simples de 22 am Se o desconto simples fosse o racional qual seria o valor deste desconto
3 Elabore uma sequecircncia de passos para resolver as questotildees propostas 1 2 3 4 e 6 nas paacuteginas 65 66 e 67 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira e confira os resultados na paacuteg 195
1) Calcule o montante produzido por um capital de R$ 2600000 aplicado a uma taxa de juros compostos de 52 am por 6 meses
2) Calcule os juros compostos auferidos por um capital de R$ 420000 aplicado a uma taxa de 3 am durante 10 meses
3) Um empreacutestimo de R$ 600000 deve ser pago em 120 dias a juros compostos pelo valor de R$ 900000 Qual eacute a taxa mensal da operaccedilatildeo
4) Em que prazo uma aplicaccedilatildeo a juros compostos de R$ 2400000 produziraacute um montante de R$ 6151930 agrave taxa de 4 am
6) Quanto Paulo deve aplicar hoje a juros compostos em uma instituiccedilatildeo financeira que paga uma taxa de 12 am para pagar um compromisso de valor nominal igual a R$ 3800000 que vence daqui a 3 meses
46
Universidade do Sul de Santa Catarina
4 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 e 8 das paacuteginas 88 e 90 respectivamente do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira Confira os resultados na paacuteg 196
1) Determine o valor do desconto composto racional de um tiacutetulo de valor nominal de R$ 830000 descontado 6 meses antes de seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto eacute de 42 am
8) Um tiacutetulo de R$ 3000000 foi descontado em uma instituiccedilatildeo financeira a uma taxa de desconto composto comercial de 64 am e o valor liacutequido recebido era de R$ 2017327 Quantos meses antes do vencimento foi descontado este tiacutetulo
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
3UNIDADE 3
Taxas de juros equivalentes e caacutelculo de pagamentos perioacutedicos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para calcular taxas equivalentes
Usar as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP ndash 12C para programar o algoritmo da taxa equivalente no regime de capitalizaccedilatildeo composto
Calcular pagamentos perioacutedicos de sequecircncias uniformes postecipadas e antecipadas
Calcular montante de uma sequecircncia uniforme
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Taxas equivalentes
Seccedilatildeo 2 Sequecircncia de capitais
48
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar taxas equivalentes no regime de capitalizaccedilatildeo composto Vocecirc usaraacute as funccedilotildees de programaccedilatildeo com o objetivo de elaborar um algoritmo para fazer a conversatildeo de taxas de um periacuteodo de capitalizaccedilatildeo (ex mensal) para outro periacuteodo (ex anual) usando o programa Vamos explorar as funccedilotildees ldquoPMTrdquo ldquoBEGrdquo e ldquoENDrdquo para realizar caacutelculo de pagamentos antecipados e postecipados em uma sequecircncia uniforme Destacamos que os exemplos que seratildeo apresentados estatildeo no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira
Seccedilatildeo 1 ndash Taxas equivalentes
Nesta unidade vocecirc usaraacute algumas funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos (postecipados e antecipados) de uma seacuterie uniforme Vocecirc usaraacute ainda as funccedilotildees de programaccedilatildeo para elaborar um programa para calcular taxas equivalentes A figura a seguir apresenta as funccedilotildees que vocecirc usaraacute nos exemplos apresentados posteriormente
Aciona o modo de programaccedilatildeo de HP ndash 12C
Aciona a funccedilatildeo Begin que calcula a parcela com pagamento antecipado
Aciona a funccedilatildeo End (natildeo aparece no visor da calculadora) que calcula parcela com pagamento postecipado
Figura 31 - Teclas utilizadas para acionar as funccedilotildees Beg e End e entrar no modo de programaccedilatildeo
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
Taxas equivalentes
No mercado financeiro e nas operaccedilotildees bancaacuterias e comerciais a palavra taxa eacute empregada de vaacuterias formas ou seja vaacuterios conceitos satildeo abordados em vaacuterias situaccedilotildees Esta seccedilatildeo tem como objetivo mostrar como as taxas de juros satildeo informadas no mercado financeiro e como adequaacute-las agraves condiccedilotildees padronizadas pela HP ndash 12C
Duas taxas satildeo consideradas equivalentes a juros compostos quando aplicadas a um mesmo capital por um periacuteodo de tempo equivalente e geram o mesmo rendimento
Exemplo 31(exemplo 1 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
No regime de juros compostos qual a taxa anual equivalente a 4 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente anual
Exemplo 32 (exemplo 2 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
Calcule a taxa quadrimestral equivalente agrave taxa de juros compostos de 8 aa
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente quadrimestral
1 004 12 1 1 10000 6010
Taxa anual
50
Universidade do Sul de Santa Catarina
1 008 1 3 1 10000 260
Taxa quadrimestral
Programa para caacutelculo da taxa equivalente pela hp ndash 12c
O professor Carlos Shinoda em seu livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48) apresenta um programa para calcular a taxa equivalente atraveacutes da calculadora HP ndash 12C
Siga os procedimentos abaixo para introduzir o programa na HP ndash 12C
Figura 32 - Algoritmo para a programaccedilatildeo de taxa equivalente
Fonte Livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48)
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
Agora que vocecirc programou a HP ndash 12C para o caacutelculo de taxas equivalentes resolva o exemplo a seguir usando o programa
Exemplo 33
Usando o programa anterior determine as taxas equivalentes propostas nos exemplos 31 e 32
Soluccedilatildeo
As sequecircncias abaixo calculam as taxas equivalentes
Executa oprograma
4 1 12 6010
Taxa anual
Executa oprograma
8 360 120 260
Taxa quadrimestral
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Seccedilatildeo 2 ndash Sequecircncia de capitais
Nesta seccedilatildeo vocecirc acompanharaacute as situaccedilotildees em que haacute mais de um pagamento ou seja vocecirc estudaraacute as operaccedilotildees envolvendo pagamentos ou recebimentos perioacutedicos e uniformes
As seacuteries uniformes de pagamentos satildeo aquelas em que os pagamentos ou recebimentos satildeo constantes e ocorrem em intervalos iguais
Seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas e antecipadas
As seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1 Este sistema eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada (0 + n)
Pagamentos ou recebimentos podem ser chamados de prestaccedilatildeo representada pela sigla PMT que vem do inglecircs Payment e significa pagamento ou recebimento
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentosPMT
++
0 1 2 3 4 5 6 n
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
++
0 1 2 3 4 5 6 n
PMT
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
As seacuteries uniformes de pagamentos antecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre na data focal 0 (zero) Este tipo de sistema de pagamento eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento com entrada (1+ n)
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
Exemplo 34 (exemplo 2 paacuteg 108 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um automoacutevel eacute vendido em uma loja por R$ 3200000 A loja propotildee as seguintes condiccedilotildees para financiamento
Proposta A 12 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta B 24 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta C 36 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
A taxa de juros usada eacute de 32 am Qual o valor de cada prestaccedilatildeo nas 3 modalidades de financiamento
Soluccedilatildeo
As sequecircncias a seguir calculam os valores das parcelas nas trecircs propostas
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3200000
32 12 -325329
parcela
3200000
32 24 -193046
parcela
3200000
32 36 -150979
parcela
Exemplo 35 (exemplo 2 paacuteg 111 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma casa cujo valor agrave vista eacute R$ 4924456 eacute vendida em prestaccedilotildees mensais e iguais de R$ 250000 sendo a primeira dada como entrada Se a taxa de financiamento eacute de 18 am determine o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas no financiamento
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o nuacutemero de parcelas
4924456 18
250000 24
nordm de parcelas
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Unidade 3
No exemplo acima o nuacutemero de pagamento deu um nuacutemero inteiro Mas podem acontecer situaccedilotildees em que ao se determinar o nuacutemero de parcelas o resultado natildeo seja um nuacutemero inteiro
Nessa situaccedilatildeo a HP ndash 12C arredonda a resposta para o proacuteximo inteiro para cima antes de armazenaacute-la e exibi-la
Exemplo 36
Vocecirc comprou um terreno por R$ 3500000 a juros de 105 aa Vocecirc pretende fazer pagamentos de R$ 32500 no fim de cada mecircs Quantos pagamentos seratildeo necessaacuterios para pagar o terreno e quanto tempo levaraacute
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o nuacutemero de pagamentos e o tempo necessaacuterio
3500000 105
32500 328 2733
nordm de parcelas Tempo (anos)
Como a calculadora arredonda o valor do tempo para o proacuteximo inteiro eacute provaacutevel que apesar de serem necessaacuterios 328 pagamentos somente 327 seratildeo inteiros de R$ 32500 com o pagamento final sendo menor do que R$ 32500 Para calcular o valor do pagamento de nuacutemero 328 vamos fazer o seguinte
A calculadora natildeo ajusta os valores nos outros registros financeiros automaticamente para refletir os n pagamentos iguais ao contraacuterio ela lhe permite escolher quais valores (se houver) que vocecirc deseja ajustar
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328 18189 - 32500 -14311
Valor da parcela 328
Nesta unidade vocecirc calculou taxas equivalentes usou as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP e fez caacutelculos de pagamentos perioacutedicos de uma seacuterie uniforme antecipado ou postecipado Na proacutexima unidade vamos realizar caacutelculos de valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades abaixo (Essa atividade corresponde agrave autoavaliaccedilatildeo 1 da unidade 5 do livro didaacutetico de Matemaacutetica Financeira) Em seguida use o programa elaborado para resolver a mesma questatildeo
Calcule a taxa anual das seguintes taxas
a) 26 am
b) 42 ab
c) 48 at
d) 12 as
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Unidade 3
2 Elabore um algoritmo para resolver as seguintes atividades (Estas questotildees equivalem agraves autoavaliaccedilotildees 1 2 3 4 e 5 da unidade 8 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 121 122 e 123)
a) Calcule o valor da prestaccedilatildeo mensal de um empreacutestimo de R$ 600000 que seraacute amortizado em 12 prestaccedilotildees mensais postecipadas sabendo que o banco cobra uma taxa de juros de 2 am
b) Uma loja vende um automoacutevel agrave vista por R$ 1650000 Se o comprador quiser fazer um financiamento em 36 parcelas mensais e iguais onde o 1ordm pagamento seraacute efetuado no 1ordm mecircs apoacutes a compra a uma taxa de juros de 21 am qual o valor da prestaccedilatildeo
c) Uma mercadoria custa R$ 9038071 agrave vista podendo ser vendida em prestaccedilotildees mensais de R$ 1050000 sendo a primeira prestaccedilatildeo dada como entrada Sabendo-se que a loja aplica uma taxa de 35 am qual o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas
d) Carlos depositou certa quantia durante 10 meses de forma antecipada a uma taxa de 25 am obtendo um montante de R$ 25000000 Quanto depositou mensalmente Carlos
e) Um produto eacute vendido agrave vista por R$ 200000 ou em 10 prestaccedilotildees mensais iguais sem entrada com uma carecircncia de 90 dias apoacutes a compra Qual o valor de cada prestaccedilatildeo sabendo que a taxa de juros eacute de 6 am
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
4UNIDADE 4
Valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa
Usar as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Valor presente liacutequido
Seccedilatildeo 2 Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs ndash SFA (Price)
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa usando as funccedilotildees CF0 CFj e NPV Vocecirc deveraacute ainda fazer uso da funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos usando o Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo ndash SFA ou tabela Price
Seccedilatildeo 1 ndash Valor presente liacutequido
A figura 41 a seguir apresenta as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C que vocecirc usaraacute nessa unidade para realizar caacutelculo de valor presente liacutequido e para a elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos ou financiamento
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor inicial do fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor do fluxo de caixa no periacuteodo j
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula o valor presente atual de um fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula a parte dos pagamentos usada para pagar juros
Figura 41 - Teclas para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
Valor presente liacutequido
Nessa seccedilatildeo vocecirc usaraacute as funccedilotildees da HP ndash 12C para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa Para entender como usar as funccedilotildees CF0 CFj e NPV considere o fluxo de caixa para um investimento que exige capital inicial (CF0) e que gera um fluxo de caixa (CFj ) no final de j periacuteodos
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Veja a seguir o fluxo de caixa
CF0CF1
CF2 CF5
CFn
CF3 CF4
O VPL = Valor Presente Liacutequido eacute calculado somando ao investimento inicial o valor presente dos fluxos de caixa futuros projetados Portanto
se o VPL for positivo o valor financeiro do ativo do investidor aumentaraacute ou seja o investimento financeiro seraacute atrativo em termos financeiros
se o VPL for zero o valor financeiro do ativo financeiro do investidor natildeo mudaraacute ou seja o investidor seraacute indiferente ao investimento
se o VPL for negativo o valor financeiro do ativo do investidor seraacute reduzido ou seja o investimento natildeo seraacute atrativo em termos financeiros
Exemplo 41
Um investidor compra uma casa por R$ 7000000 e gostaria de ter um retorno de pelo menos 15 Ele pretende manter a casa por 4 anos e depois vendecirc-la por R$ 11000000 Ele prevecirc os fluxos de caixa mostrados no diagrama abaixo
CF0CF1
CF1
CF3CF4
CF5
R$ 7000000
R$ 50000
R$ 450000R$ 450000
R$ 13000000R$ 550000
Sendo assim calcule o VPL para determinar se o investimento resultaria em um retorno ou perda
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Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o VPL
7000000 50000
450000 550000 450000
13000000 15 379007
VPL
Como o VPL eacute positivo o investimento aumentaria o valor financeiro do ativo do investidor
Exemplo 42 (exemplo 4 paacuteg 98 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um proprietaacuterio recebeu as seguintes propostas para a venda de uma casa
Proposta A entrada de R$ 10000000 + R$ 5000000 em 6 meses + R$ 6000000 em 1 ano
Proposta B entrada de R$ 8000000 + R$ 6000000 em 5 meses + R$ 7000000 em 10 meses
Sabendo-se que a taxa de juros de mercado eacute de 3 am qual a melhor proposta para o vendedor
Soluccedilatildeo
Essa questatildeo deve ser resolvida pelo meacutetodo do Valor Presente Liacutequido A alternativa que tiver o maior valor seraacute a melhor Entretanto para facilitar a elaboraccedilatildeo do algoritmo de resoluccedilatildeo na HP ndash 12C elabore o fluxo de caixa para cada situaccedilatildeo
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Unidade 4
1 Proposta A Fluxo de caixa
10000000 5000000 6000000
1 2 3 4 5 7 8 9 10 110 6 12
Calculando o VPL
10000000 000 5
5000000 000
5
6000000
3
18395701
VPL
Armazena o zero 5 vezes
2 Proposta B Fluxo de caixa
8000000 70000006000000
1 2 3 4 6 7 8 90 5 10
Calculando o VPL
8000000 000 4
6000000 000
4
7000000
3
18384310
VPL
Armazena o zero 4 vezes
Resposta a melhor proposta eacute a A
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Exemplo 43
Dois equipamentos satildeo examinados Considerando ser a taxa miacutenima de atratividade de 20aa qual o equipamento que deve ser adquirido
Dados
41 - Tabela de DadosEquipamento K Equipamento L
Custo R$ 5000000 R$ 8000000Custo anual de manutenccedilatildeo R$ 2000000 R$ 1500000Valor residual para venda R$ 400000 R$ 800000Duraccedilatildeo em anos 10 10
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
A seguir veja o diagrama de fluxo de caixa
Os caacutelculos do Valor Presente Liacutequido para as duas situaccedilotildees satildeo
Equipamento K
5000000
Equipamento K
2000000
400000
0 1 2 10
8000000
Equipamento L
1500000
800000
0 1 2 10
50000 20000
9 4000 20000 1
20 -13320342
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Unidade 4
Equipamento L
80000 15000
9 8000 15000 1
20 -14159504
Importante Veja que a alternativa K equivale a um equipamento em que se investe R$ 13320342 enquanto que o equipamento L equivale a um investimento de R$ 14159504 Portanto eacute preferiacutevel o equipamento K pois o investimento eacute menor
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Seccedilatildeo 2 ndash Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs - SFA
Este sistema consiste no pagamento de empreacutestimos ou financiamentos com prestaccedilotildees iguais e com periodicidade constante Eacute considerado o sistema de amortizaccedilatildeo mais utilizado pelas instituiccedilotildees financeiras e pelo comeacutercio em geral
O Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo eacute assim chamado por ter sido inventado na Franccedila por volta do seacuteculo XVIII pelo matemaacutetico inglecircs Richard Price daiacute portanto a origem da denominaccedilatildeo Sistema Price tambeacutem comumente chamado de Tabela Price
Na verdade a Tabela Price eacute um caso particular derivado do Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo Neste sistema o financiamento (PV) eacute pago em parcelas (PMT) iguais constituiacutedas da amortizaccedilatildeo do principal da diacutevida + juros compensatoacuterios (J) que variam inversamente ao longo do tempo Ou seja agrave medida que aumenta o valor da parcela de amortizaccedilatildeo haveraacute uma queda dos juros compensatoacuterios em funccedilatildeo da reduccedilatildeo do saldo devedor
Principais Caracteriacutesticas
As principais caracteriacutesticas do SFA satildeo
a prestaccedilatildeo eacute constante durante todo o periacuteodo do financiamento
a parcela de amortizaccedilatildeo aumenta a cada periacuteodo (n)
os juros compensatoacuterios diminuem a cada periacuteodo (n)
Exemplo 44 (exemplo 1 paacuteg 148 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma instituiccedilatildeo financeira libera um empreacutestimo para uma induacutestria no valor de R$ 60000000 para ser pago pelo sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs em 120 meses a uma taxa de 15 am Faccedila a planilha ateacute o 4ordm mecircs e calcule o saldo devedor no 100ordm mecircs
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Unidade 4
Soluccedilatildeo
A sequecircncia abaixo calcula o valor da prestaccedilatildeo os juros a amortizaccedilatildeo o saldo devedor e valor do saldo devedor no 100ordm mecircs Acompanhe
Zera os registradores
60000000 Armazena o valor presente
120 Armazena o periacuteodo
15 Armazena a taxa
- R$ 1081111 Valor da prestaccedilatildeo
1 - R$ 900000 Valor dos juros da 1ordf parcela
R$ 181111Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 1ordf parcela
R$ 58918889 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 897283 Valor dos juros da 2ordf parcela
- R$ 183828Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 2ordf parcela
R$ 59635061 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 894526 Valor dos juros da 3ordf parcela
- R$ 186585Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 3ordf parcela
R$ 59448476 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 891727 Valor dos juros da 4ordf parcela
- R$ 189384Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 4ordf parcela
R$ 59259092 Recupera o saldo devedor
A tabela a seguir apresenta um resumo das operaccedilotildees realizadas
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Tabela 42 ndash Planilha de amortizaccedilatildeoPeriacuteodo (n) Amortizaccedilatildeo (A) Juros (J) Prestaccedilotildees (R) Saldo Devedor (S)
0 - - - R$ 600000001 R$ 181111 R$ 900000 R$ 1081111 R$ 598188892 R$ 183828 R$ 897283 R$ 1081111 R$ 596350613 R$ 186585 R$ 894526 R$ 1081111 R$ 594484764 R$ 189384 R$ 891727 R$ 1081111 R$ 59259092
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Para determinar o saldo devedor no 100ordm mecircs faccedila como indicado a seguir
60000000 120 150
-1081111 18561247
Prestaccedilatildeo Saldo devedor no 100ordm mecircs
Nesta unidade vocecirc usou as funccedilotildees de fluxo de caixa para calcular o valor presente liacutequido e a funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
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Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades a seguir (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 4 e 5 da unidade 7 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegina 102) Em seguida use o programa elaborado para resolver as mesmas questotildees
a) Qual das alternativas de pagamento eacute a melhor para uma taxa de juros compostos de 75 am
Alternativa A Pagamento de R$ 15000000 agrave vista
Alternativa B Entrada de R$ 5000000 + R$ 8000000 em 90 dias + R$ 6000000 em 150 dias
b) Uma pessoa deve a um banco dois tiacutetulos com valores de R$ 300000 e R$ 600000 venciacuteveis respectivamente em 4 meses e 8 meses Se a pessoa deseja antecipar para hoje a liquidaccedilatildeo dos tiacutetulos qual o valor a pagar considerando que o banco opera com uma taxa de juros compostos de 23 am
2 Elabore um algoritmo para resolver as atividades abaixo (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 1 e 4 da unidade 10 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 151 e 153)
a) Um cliente solicita a um banco um empreacutestimo de R$ 4000000 pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs em 60 prestaccedilotildees mensais Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de juros de 28 am obtenha o valor da prestaccedilatildeo e o saldo devedor depois de pagar a 20ordf prestaccedilatildeo
b) Um empreacutestimo de R$ 30000000 seraacute saldado em 50 prestaccedilotildees mensais a uma taxa de 15 am Determine a parcela de juros relativa agrave 15ordf prestaccedilatildeo pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs (price)
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Saiba mais
Manual da calculadora HP ndash 12C
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico ndash 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7ed Satildeo Paulo Atlas 2000
Para concluir o estudo
Com o teacutermino desse curso de extensatildeo acreditamos que proporcionamos momentos de aprendizagem por meio da interaccedilatildeo da calculadora financeira e que vocecirc estaacute habilitado(a) a fazer uso dessa ferramenta com qualidade no mercado de trabalho relacionado a essa aacuterea tatildeo importante no nosso dia-a-dia
Referecircncias
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7 ed Satildeo Paulo Atlas 2000
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003 Disponiacutevel em lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt Acesso em 05 jun 2008
Sobre o professor conteudista
Joseacute Humberto Dias de Toledo - eacute Mestre em Educaccedilatildeo pela Universidade do Sul de Santa Catarina Graduado em Licenciatura em Matemaacutetica e em Engenharia Civil Professor das disciplinas Meacutetodos Numeacutericos Informaacutetica Aplicada agrave Matemaacutetica Financeira Caacutelculo I e Matemaacutetica Financeira no Curso de Matemaacutetica ndash Licenciatura nesta mesma instituiccedilatildeo Atualmente ministra a disciplina Representaccedilotildees Graacuteficas na Poacutes-graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo Matemaacutetica da UNISUL
Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo
Unidade 1
1 a) 5
b) -2359
c) 3311
d) 077
e) 081
Respostas modo RPN
a)
b)
c)
d)
e)
Respostas modo ALG
a
b
c
d
e
78
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 R$ 167757
Modo RPN
Modo ALG
3 -242
4 Data 13082008 3 (quarta-feira)
5 Florianoacutepolis = 3303 Curitiba = 5018 Porto Alegre = 1680
Unidade 2
1 1) 150000
Dados
C = R$ 1000000
i = 5 aa
n = 3 anos = 1080 dias
J =
3) 24 meses = 2 anos
Dados
C = R$ 200000
i = 6 aa
n = 24 meses = 720 dias
M =
79
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
85
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
86
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b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
87
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
88
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32
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc vai fazer uso das funccedilotildees financeiras da HP ndash 12C com o objetivo de realizar caacutelculos de juros simples e composto montantes simples e composto descontos simples e composto caacutelculo de taxas e prazos
Nesta etapa de estudos seratildeo utilizados exemplos do material didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira que estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do Espaccedilo Virtual de Aprendizagem ndash EVA Eacute importante lembrar natildeo ser objetivo deste curso discutir os conceitos da Matemaacutetica Financeira mas apenas utilizar as funccedilotildees disponibilizadas na calculadora para resolver problemas relacionados a essa aacuterea Entretanto caso vocecirc julgue importante os conceitos podem ser relembrados ou vistos no material didaacutetico da disciplina
Seccedilatildeo 1 ndash Regime de capitalizaccedilatildeo simples
Na unidade 1 vocecirc foi apresentado(a) agrave calculadora HP ndash 12C e a algumas das suas funccedilotildees com o objetivo de capacitaacute-lo(a) para o uso adequado dessa ferramenta Esta unidade inicia com uma abordagem sobre os registradores financeiros os quais seratildeo utilizados na maioria dos exemplos que deveratildeo ser resolvidos ao longo das proacuteximas seccedilotildees desta unidade e nas demais unidades deste curso Veja na ilustraccedilatildeo a seguir os registradores financeiros e as suas aplicaccedilotildees
Registra e armazena periacuteodo
Registra e armazena taxa
Registra e armazena valor presente
Registra e armazena pagamentos perioacutedicos
Registra e armazena valor futuro
Figura 21 - Registradores financeiros e as suas aplicaccedilotildees Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
33
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
Para armazenar um nuacutemero em um registrador financeiro digite o nuacutemero e em seguida uma das teclas correspondentes ilustradas acima
Para exibir um nuacutemero armazenado em um dos registradores financeiros aperte e em seguida a tecla correspondente
Para zerar todos os registradores financeiros aperte a sequecircncia de teclas
Eacute importante lembrar que os registradores financeiros tambeacutem satildeo zerados ao apertar a sequecircncia
e quando a memoacuteria contiacutenua eacute
reinicializada
A seguir vocecirc faraacute caacutelculo de juros simples e de descontos simples usando a HP ndash 12C
Regime de capitalizaccedilatildeo simples
A HP ndash 12C calcula automaticamente juros simples ordinaacuterios ndash usando o ano comercial e juros simples exatos ndash usando um ano de 365 dias simultaneamente
Eacute possiacutevel apresentar qualquer um dos dois e mais com os juros acumulados no mostrador podemos calcular o montante apertando a tecla
Para exemplificar vamos resolver problemas do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira que se encontra disponiacutevel (formato digital) na ferramenta Midiateca do EVA ndash Espaccedilo Virtual de Aprendizagem
34
Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 21 (exemplo 1 paacuteg 29 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital de R$ 1800000 foi aplicado a juros simples durante 3 anos agrave taxa de 6 aa Qual eacute o valor dos juros e o montante adquirido
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula os juros e o montante
Exemplo 22 (exemplo 1 paacuteg 33 do livro Matemaacutetica Financeira)
Ache os juros simples exatos auferidos em uma aplicaccedilatildeo de R$ 1500000 a uma taxa de 16 aa de 20 de abril de 2003 a 1ordm de julho de 2003
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula os juros comerciais e os juros exatos
Neste exemplo utilizamos duas teclas que seratildeo ilustradas a seguir para realizar o caacutelculo dos juros exatos
1800000 1080 6
324000 2124000
Juros Montante
No caacutelculo de Juros simples o periacuteodo deve ser em dias
Calcula juros simples
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
1500000 20042003 01072003
72 16 48000 47342
Juro comercial Juro exato nordm de dias
Ao apertar essa tecla ela rola para baixo o conteuacutedo da pilha para visualizaccedilatildeo no registro X
Ao apertar essa tecla ela troca o conteuacutedo dos registros X e Y da pilha
Figura 22 - Teclas utilizadas para registros de dados Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Exemplo 23 (exemplo 2 paacuteg 34 do livro Matemaacutetica Financeira)
Determine o juro simples exato obtido em uma aplicaccedilatildeo de R$ 1300000 durante 146 dias a uma taxa de 9 aa
Soluccedilatildeo a sequecircncia a seguir realiza os caacutelculos solicitados
1330000 146 9
48545 47880
Juro comercial Juro exato
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Exemplo 24 (exemplo 1 paacuteg 47 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma duplicata de R$ 1500000 com vencimento no dia 03042005 foi descontada em um banco em 08012005 a uma taxa de 25 am Qual eacute o desconto simples bancaacuterio da operaccedilatildeo
Soluccedilatildeo
08012005 03042005 85
1500000 0025 30 106250
Taxa decimal Desconto bancaacuterio
Nordm de dias entre as datas
Exemplo 25 (exemplo 1 paacuteg 48 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma empresa descontou um tiacutetulo com valor de face de R$ 1450000 3 meses e 15 dias antes do vencimento com uma taxa de desconto bancaacuterio simples de 24 am Quanto a empresa recebeu liacutequido na operaccedilatildeo
Soluccedilatildeo
1450000 0024 35 1450000 1328200
Periacuteodo em meses Valor liacutequidoTaxa decimal
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
Exemplo 26 (exemplo 1 paacuteg 49 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma duplicata de R$ 4800000 foi descontada 6 meses antes de seu vencimento em uma instituiccedilatildeo financeira que trabalha com uma taxa de desconto simples de 32 am Com base nestes dados determine
o valor do desconto simples bancaacuterio
o valor do desconto simples racional
Soluccedilatildeo
4800000 6 0032 921600
Taxa decimal Valor liacutequido
921600 1 0032
6 773154
Taxa decimal Valor liacutequido
Na proacutexima seccedilatildeo vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros compostos e de desconto compostos
38
Universidade do Sul de Santa Catarina
Seccedilatildeo 2 ndash Regime de capitalizaccedilatildeo composto
Os exemplos apresentados a partir de agora satildeo ilustrativos de uma ampla variedade de caacutelculos financeiros Para resolvecirc-los vocecirc precisa estruturaacute-los identificando os elementos baacutesicos do problema de maneira que fiquem evidentes as quantidades que devem ser fornecidas agrave calculadora e quem eacute o valor desconhecido ou seja o valor que desejamos determinar
Na resoluccedilatildeo dos caacutelculos usando a HP ndash 12C eacute indispensaacutevel elaborar o diagrama de fluxo de caixa Eacute importante ressaltar que a calculadora precisa de ajuda para comparar o fluxo de caixa ou seja eacute preciso informar quando temos uma entrada ou uma saiacuteda
O fluxo de caixa serve para demonstrar graficamente as transaccedilotildees financeiras em um periacuteodo de tempo
O tempo eacute representado por uma linha horizontal dividida pelo nuacutemero de periacuteodos relevantes para anaacutelise As entradas ou recebimentos satildeo representados por setas verticais apontadas para cima e as saiacutedas ou pagamentos satildeo representados por setas verticais apontadas para baixo Observe o modelo simplificado
(+) entradas
(-) saiacutedas
tempo (n)
Veja agora o modelo detalhado
Entradas
Saiacutedas
Tempo
Fluxo de caixa pode ser definido como sendo a movimentaccedilatildeo de recursos financeiros (entradas e saiacutedas de caixa) ao longo de um periacuteodo de tempo - agrave entrada e saiacuteda de dinheiro O conceito caixa (financeiro) natildeo pode ser confundido com conceito de competecircncia (contaacutebil)
39
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
Na HP-12C a tecla (do inglecircs Change Sign) serve para introduzir ou tirar um sinal negativo de um nuacutemero ou seja faz o fluxo de caixa
Na sequecircncia de exemplos apresentados a seguir realizaremos caacutelculos de juros montantes valor presente prazo taxa de juros e descontos no regime composto com o auxiacutelio dos registradores financeiros da calculadora HP ndash 12C
Exemplo 27 (exemplo 1 paacuteg 58 do livro Matemaacutetica Financeira)
Qual o montante gerado por um capital de R$ 450000 aplicado por 9 meses a juros compostos a uma taxa de 35 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o montante composto
450000 9 35 613304
MontanteFluxo de caixa saiacuteda do dinheiro para aplicaccedilatildeo
Exemplo 28 (exemplo 2 paacuteg 58 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital de R$ 1200000 foi aplicado a juros compostos durante 6 meses agrave taxa de 2 am Calcule os juros auferidos na aplicaccedilatildeo
Soluccedilatildeo use a sequecircncia a seguir para calcular os juros
1200000 6 2
1351395 151395
Montante Juros
Fluxo de caixa saiacuteda do dinheiro para aplicaccedilatildeo
Recupera um valor em um registrador
financeiro
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Exemplo 29 (exemplo 3 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital ldquoXrdquo eacute aplicado a juros compostos agrave taxa de 35 am gerando um montante de R$ 1950000 apoacutes 1 ano e 3 meses Determine o capital ldquoXrdquo
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar o capital
1950000 35 15 -1163937
Capital aplicado
Exemplo 210 (exemplo 4 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
A que taxa mensal de juros compostos um capital de R$ 1250000 pode transformar-se em R$ 1537342 no periacuteodo de 7 meses
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
1250000 1537342 7 300
Taxa de juros mensal
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Unidade 2
Exemplo 211 (exemplo 5 paacuteg 60 do livro Matemaacutetica Financeira)
Em que prazo um empreacutestimo de R$ 3500000 pode ser pago pela quantia de R$ 4790000 se a taxa de juros compostos cobrada for de 4 am
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
3500000 4790000 4 8
Periacuteodo em meses
Funccedilatildeo ldquoCrdquo na HP ndash 12C e as teclas ldquoSTOrdquo e ldquoEEXrdquo
Vocecirc pode calcular taxa de juros (i) Capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos Perioacutedicos (PMT) para transaccedilotildees financeiras com periacuteodos fracionaacuterios Ao digitar um periacuteodo fracionaacuterio por exemplo 23 meses a parte inteira do nuacutemero indica o nuacutemero de periacuteodos inteiro e a parte fracionaacuteria do nuacutemero o tamanho do periacuteodo fracionaacuterio como uma fraccedilatildeo do periacuteodo inteiro (no exemplo 2 meses e 03 meses)
De acordo com o criteacuterio do usuaacuterio os caacutelculos de taxa de juros ( i ) capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos perioacutedicos (PMT) podem ser executados com juros simples ou compostos acumulados durante o periacuteodo fracionaacuterio Para escolher uma das duas opccedilotildees faccedila
Aparece o indicador ldquoCldquo Portanto os juros compostos satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Natildeo aparece o indicador ldquoCrdquo Portanto os juros simples satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Figura 23 - Teclas utilizadas para caacutelculo de juros simples e compostos para periacuteodo fracionaacuterio Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
42
Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 212
Calcular o valor futuro de uma aplicaccedilatildeo de R$ 185030000 aplicado agrave taxa de 14 aa durante 45 anos usando juros compostos e simples para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Soluccedilatildeo as sequecircncias a seguir apresentam os resultados para o caacutelculo do valor futuro com juros simples para o periacuteodo fracionaacuterio e juros compostos para o periacuteodo fracionaacuterios respectivamente
185030000 14
45 334383879
Valor futuro calculado com juros simples para o periacuteodo
fracionaacuterio
185030000
14 45 333667556
Valor futuro calculado com juros compostos para o
periacuteodo fracionaacuterio
Exemplo 213 (exemplo 1 paacuteg 81 do livro Matemaacutetica Financeira)
Determine o valor do desconto composto racional e o valor do resgate de um tiacutetulo de R$ 1560000 descontado 5 meses antes do seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto composto racional eacute de 4 am
43
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor do desconto racional composto e o valor liacutequido a receber
1560000 1
1 004 5
277794 1560000 1282206
Valor do desconto Valor liacutequido
Exemplo 214 (exemplo 1 paacuteg 84 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um tiacutetulo de valor nominal de R$ 1500000 eacute descontado em um banco 3 meses antes de seu vencimento Se a taxa de desconto comercial usada pelo banco eacute de 8 am qual eacute o valor do desconto
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor liacutequido e o valor do desconto bancaacuterio ou comercial
1500000 3 8
-1168032 331968
Valor liacutequido Valor do desconto
44
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Nesta unidade vocecirc usou a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros simples e compostos descontos simples e compostos valor presente taxa de juros periacuteodo e montante Na proacutexima unidade usaremos a ferramenta para auxiliar no caacutelculo de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir foram propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo em PDF estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as questotildees 1 3 5 e 6 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteginas 38 e 39 Confira os resultados na paacuteg 194
1) Qual o rendimento que obtemos ao aplicarmos um capital de R$ 1000000 a uma taxa de juros simples de 5 aa durante 3 anos
3) Em um regime de capitalizaccedilatildeo simples qual eacute o montante que se obteacutem quando aplicamos um capital de R$ 200000 a uma taxa 6 aa durante 24 meses
5) Uma quantia de R$ 6200000 foi aplicada em uma operaccedilatildeo financeira no dia 20 de setembro de 2003 e resgatada no dia 21 de dezembro de 2003 a uma taxa de 125 aa Quais os juros simples exatos e comerciais da operaccedilatildeo
6) Calcule os juros simples exatos e comerciais nas seguintes condiccedilotildees
bull R$ 600000 aplicados por 180 dias a 12 aa
bull R$ 520000 aplicados por 230 dias a 15 aa
45
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
2 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 2 e 4 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegs 52 e 53 Confira os resultados nas paacuteginas 194 e 195
1) Uma empresa desconta uma duplicata no valor nominal de R$ 5000000 no Banco ldquoXrdquo 4 meses antes do seu vencimento Sabendo que o banco ldquoXrdquo trabalha com uma taxa de desconto simples bancaacuterio de 45 am qual eacute o valor do desconto e o valor liacutequido recebido
2) Para pagar uma diacutevida hoje uma empresa descontou em uma carteira de creacutedito uma duplicata no valor de R$ 1650000 com vencimento daqui a 2 meses recebendo um valor nominal liacutequido de R$ 1500000 Determine a taxa mensal de desconto simples bancaacuterio utilizada
4) Uma letra de cacircmbio no valor nominal de R$ 500000 foi comercializada 4 meses antes do vencimento a uma taxa de desconto simples de 22 am Se o desconto simples fosse o racional qual seria o valor deste desconto
3 Elabore uma sequecircncia de passos para resolver as questotildees propostas 1 2 3 4 e 6 nas paacuteginas 65 66 e 67 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira e confira os resultados na paacuteg 195
1) Calcule o montante produzido por um capital de R$ 2600000 aplicado a uma taxa de juros compostos de 52 am por 6 meses
2) Calcule os juros compostos auferidos por um capital de R$ 420000 aplicado a uma taxa de 3 am durante 10 meses
3) Um empreacutestimo de R$ 600000 deve ser pago em 120 dias a juros compostos pelo valor de R$ 900000 Qual eacute a taxa mensal da operaccedilatildeo
4) Em que prazo uma aplicaccedilatildeo a juros compostos de R$ 2400000 produziraacute um montante de R$ 6151930 agrave taxa de 4 am
6) Quanto Paulo deve aplicar hoje a juros compostos em uma instituiccedilatildeo financeira que paga uma taxa de 12 am para pagar um compromisso de valor nominal igual a R$ 3800000 que vence daqui a 3 meses
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4 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 e 8 das paacuteginas 88 e 90 respectivamente do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira Confira os resultados na paacuteg 196
1) Determine o valor do desconto composto racional de um tiacutetulo de valor nominal de R$ 830000 descontado 6 meses antes de seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto eacute de 42 am
8) Um tiacutetulo de R$ 3000000 foi descontado em uma instituiccedilatildeo financeira a uma taxa de desconto composto comercial de 64 am e o valor liacutequido recebido era de R$ 2017327 Quantos meses antes do vencimento foi descontado este tiacutetulo
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
3UNIDADE 3
Taxas de juros equivalentes e caacutelculo de pagamentos perioacutedicos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para calcular taxas equivalentes
Usar as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP ndash 12C para programar o algoritmo da taxa equivalente no regime de capitalizaccedilatildeo composto
Calcular pagamentos perioacutedicos de sequecircncias uniformes postecipadas e antecipadas
Calcular montante de uma sequecircncia uniforme
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Taxas equivalentes
Seccedilatildeo 2 Sequecircncia de capitais
48
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar taxas equivalentes no regime de capitalizaccedilatildeo composto Vocecirc usaraacute as funccedilotildees de programaccedilatildeo com o objetivo de elaborar um algoritmo para fazer a conversatildeo de taxas de um periacuteodo de capitalizaccedilatildeo (ex mensal) para outro periacuteodo (ex anual) usando o programa Vamos explorar as funccedilotildees ldquoPMTrdquo ldquoBEGrdquo e ldquoENDrdquo para realizar caacutelculo de pagamentos antecipados e postecipados em uma sequecircncia uniforme Destacamos que os exemplos que seratildeo apresentados estatildeo no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira
Seccedilatildeo 1 ndash Taxas equivalentes
Nesta unidade vocecirc usaraacute algumas funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos (postecipados e antecipados) de uma seacuterie uniforme Vocecirc usaraacute ainda as funccedilotildees de programaccedilatildeo para elaborar um programa para calcular taxas equivalentes A figura a seguir apresenta as funccedilotildees que vocecirc usaraacute nos exemplos apresentados posteriormente
Aciona o modo de programaccedilatildeo de HP ndash 12C
Aciona a funccedilatildeo Begin que calcula a parcela com pagamento antecipado
Aciona a funccedilatildeo End (natildeo aparece no visor da calculadora) que calcula parcela com pagamento postecipado
Figura 31 - Teclas utilizadas para acionar as funccedilotildees Beg e End e entrar no modo de programaccedilatildeo
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
Taxas equivalentes
No mercado financeiro e nas operaccedilotildees bancaacuterias e comerciais a palavra taxa eacute empregada de vaacuterias formas ou seja vaacuterios conceitos satildeo abordados em vaacuterias situaccedilotildees Esta seccedilatildeo tem como objetivo mostrar como as taxas de juros satildeo informadas no mercado financeiro e como adequaacute-las agraves condiccedilotildees padronizadas pela HP ndash 12C
Duas taxas satildeo consideradas equivalentes a juros compostos quando aplicadas a um mesmo capital por um periacuteodo de tempo equivalente e geram o mesmo rendimento
Exemplo 31(exemplo 1 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
No regime de juros compostos qual a taxa anual equivalente a 4 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente anual
Exemplo 32 (exemplo 2 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
Calcule a taxa quadrimestral equivalente agrave taxa de juros compostos de 8 aa
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente quadrimestral
1 004 12 1 1 10000 6010
Taxa anual
50
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1 008 1 3 1 10000 260
Taxa quadrimestral
Programa para caacutelculo da taxa equivalente pela hp ndash 12c
O professor Carlos Shinoda em seu livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48) apresenta um programa para calcular a taxa equivalente atraveacutes da calculadora HP ndash 12C
Siga os procedimentos abaixo para introduzir o programa na HP ndash 12C
Figura 32 - Algoritmo para a programaccedilatildeo de taxa equivalente
Fonte Livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48)
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
Agora que vocecirc programou a HP ndash 12C para o caacutelculo de taxas equivalentes resolva o exemplo a seguir usando o programa
Exemplo 33
Usando o programa anterior determine as taxas equivalentes propostas nos exemplos 31 e 32
Soluccedilatildeo
As sequecircncias abaixo calculam as taxas equivalentes
Executa oprograma
4 1 12 6010
Taxa anual
Executa oprograma
8 360 120 260
Taxa quadrimestral
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Seccedilatildeo 2 ndash Sequecircncia de capitais
Nesta seccedilatildeo vocecirc acompanharaacute as situaccedilotildees em que haacute mais de um pagamento ou seja vocecirc estudaraacute as operaccedilotildees envolvendo pagamentos ou recebimentos perioacutedicos e uniformes
As seacuteries uniformes de pagamentos satildeo aquelas em que os pagamentos ou recebimentos satildeo constantes e ocorrem em intervalos iguais
Seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas e antecipadas
As seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1 Este sistema eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada (0 + n)
Pagamentos ou recebimentos podem ser chamados de prestaccedilatildeo representada pela sigla PMT que vem do inglecircs Payment e significa pagamento ou recebimento
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentosPMT
++
0 1 2 3 4 5 6 n
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
++
0 1 2 3 4 5 6 n
PMT
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Unidade 3
As seacuteries uniformes de pagamentos antecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre na data focal 0 (zero) Este tipo de sistema de pagamento eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento com entrada (1+ n)
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
Exemplo 34 (exemplo 2 paacuteg 108 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um automoacutevel eacute vendido em uma loja por R$ 3200000 A loja propotildee as seguintes condiccedilotildees para financiamento
Proposta A 12 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta B 24 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta C 36 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
A taxa de juros usada eacute de 32 am Qual o valor de cada prestaccedilatildeo nas 3 modalidades de financiamento
Soluccedilatildeo
As sequecircncias a seguir calculam os valores das parcelas nas trecircs propostas
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3200000
32 12 -325329
parcela
3200000
32 24 -193046
parcela
3200000
32 36 -150979
parcela
Exemplo 35 (exemplo 2 paacuteg 111 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma casa cujo valor agrave vista eacute R$ 4924456 eacute vendida em prestaccedilotildees mensais e iguais de R$ 250000 sendo a primeira dada como entrada Se a taxa de financiamento eacute de 18 am determine o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas no financiamento
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o nuacutemero de parcelas
4924456 18
250000 24
nordm de parcelas
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Unidade 3
No exemplo acima o nuacutemero de pagamento deu um nuacutemero inteiro Mas podem acontecer situaccedilotildees em que ao se determinar o nuacutemero de parcelas o resultado natildeo seja um nuacutemero inteiro
Nessa situaccedilatildeo a HP ndash 12C arredonda a resposta para o proacuteximo inteiro para cima antes de armazenaacute-la e exibi-la
Exemplo 36
Vocecirc comprou um terreno por R$ 3500000 a juros de 105 aa Vocecirc pretende fazer pagamentos de R$ 32500 no fim de cada mecircs Quantos pagamentos seratildeo necessaacuterios para pagar o terreno e quanto tempo levaraacute
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o nuacutemero de pagamentos e o tempo necessaacuterio
3500000 105
32500 328 2733
nordm de parcelas Tempo (anos)
Como a calculadora arredonda o valor do tempo para o proacuteximo inteiro eacute provaacutevel que apesar de serem necessaacuterios 328 pagamentos somente 327 seratildeo inteiros de R$ 32500 com o pagamento final sendo menor do que R$ 32500 Para calcular o valor do pagamento de nuacutemero 328 vamos fazer o seguinte
A calculadora natildeo ajusta os valores nos outros registros financeiros automaticamente para refletir os n pagamentos iguais ao contraacuterio ela lhe permite escolher quais valores (se houver) que vocecirc deseja ajustar
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328 18189 - 32500 -14311
Valor da parcela 328
Nesta unidade vocecirc calculou taxas equivalentes usou as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP e fez caacutelculos de pagamentos perioacutedicos de uma seacuterie uniforme antecipado ou postecipado Na proacutexima unidade vamos realizar caacutelculos de valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades abaixo (Essa atividade corresponde agrave autoavaliaccedilatildeo 1 da unidade 5 do livro didaacutetico de Matemaacutetica Financeira) Em seguida use o programa elaborado para resolver a mesma questatildeo
Calcule a taxa anual das seguintes taxas
a) 26 am
b) 42 ab
c) 48 at
d) 12 as
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Unidade 3
2 Elabore um algoritmo para resolver as seguintes atividades (Estas questotildees equivalem agraves autoavaliaccedilotildees 1 2 3 4 e 5 da unidade 8 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 121 122 e 123)
a) Calcule o valor da prestaccedilatildeo mensal de um empreacutestimo de R$ 600000 que seraacute amortizado em 12 prestaccedilotildees mensais postecipadas sabendo que o banco cobra uma taxa de juros de 2 am
b) Uma loja vende um automoacutevel agrave vista por R$ 1650000 Se o comprador quiser fazer um financiamento em 36 parcelas mensais e iguais onde o 1ordm pagamento seraacute efetuado no 1ordm mecircs apoacutes a compra a uma taxa de juros de 21 am qual o valor da prestaccedilatildeo
c) Uma mercadoria custa R$ 9038071 agrave vista podendo ser vendida em prestaccedilotildees mensais de R$ 1050000 sendo a primeira prestaccedilatildeo dada como entrada Sabendo-se que a loja aplica uma taxa de 35 am qual o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas
d) Carlos depositou certa quantia durante 10 meses de forma antecipada a uma taxa de 25 am obtendo um montante de R$ 25000000 Quanto depositou mensalmente Carlos
e) Um produto eacute vendido agrave vista por R$ 200000 ou em 10 prestaccedilotildees mensais iguais sem entrada com uma carecircncia de 90 dias apoacutes a compra Qual o valor de cada prestaccedilatildeo sabendo que a taxa de juros eacute de 6 am
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
4UNIDADE 4
Valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa
Usar as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Valor presente liacutequido
Seccedilatildeo 2 Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs ndash SFA (Price)
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa usando as funccedilotildees CF0 CFj e NPV Vocecirc deveraacute ainda fazer uso da funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos usando o Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo ndash SFA ou tabela Price
Seccedilatildeo 1 ndash Valor presente liacutequido
A figura 41 a seguir apresenta as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C que vocecirc usaraacute nessa unidade para realizar caacutelculo de valor presente liacutequido e para a elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos ou financiamento
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor inicial do fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor do fluxo de caixa no periacuteodo j
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula o valor presente atual de um fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula a parte dos pagamentos usada para pagar juros
Figura 41 - Teclas para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
Valor presente liacutequido
Nessa seccedilatildeo vocecirc usaraacute as funccedilotildees da HP ndash 12C para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa Para entender como usar as funccedilotildees CF0 CFj e NPV considere o fluxo de caixa para um investimento que exige capital inicial (CF0) e que gera um fluxo de caixa (CFj ) no final de j periacuteodos
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Unidade 4
Veja a seguir o fluxo de caixa
CF0CF1
CF2 CF5
CFn
CF3 CF4
O VPL = Valor Presente Liacutequido eacute calculado somando ao investimento inicial o valor presente dos fluxos de caixa futuros projetados Portanto
se o VPL for positivo o valor financeiro do ativo do investidor aumentaraacute ou seja o investimento financeiro seraacute atrativo em termos financeiros
se o VPL for zero o valor financeiro do ativo financeiro do investidor natildeo mudaraacute ou seja o investidor seraacute indiferente ao investimento
se o VPL for negativo o valor financeiro do ativo do investidor seraacute reduzido ou seja o investimento natildeo seraacute atrativo em termos financeiros
Exemplo 41
Um investidor compra uma casa por R$ 7000000 e gostaria de ter um retorno de pelo menos 15 Ele pretende manter a casa por 4 anos e depois vendecirc-la por R$ 11000000 Ele prevecirc os fluxos de caixa mostrados no diagrama abaixo
CF0CF1
CF1
CF3CF4
CF5
R$ 7000000
R$ 50000
R$ 450000R$ 450000
R$ 13000000R$ 550000
Sendo assim calcule o VPL para determinar se o investimento resultaria em um retorno ou perda
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Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o VPL
7000000 50000
450000 550000 450000
13000000 15 379007
VPL
Como o VPL eacute positivo o investimento aumentaria o valor financeiro do ativo do investidor
Exemplo 42 (exemplo 4 paacuteg 98 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um proprietaacuterio recebeu as seguintes propostas para a venda de uma casa
Proposta A entrada de R$ 10000000 + R$ 5000000 em 6 meses + R$ 6000000 em 1 ano
Proposta B entrada de R$ 8000000 + R$ 6000000 em 5 meses + R$ 7000000 em 10 meses
Sabendo-se que a taxa de juros de mercado eacute de 3 am qual a melhor proposta para o vendedor
Soluccedilatildeo
Essa questatildeo deve ser resolvida pelo meacutetodo do Valor Presente Liacutequido A alternativa que tiver o maior valor seraacute a melhor Entretanto para facilitar a elaboraccedilatildeo do algoritmo de resoluccedilatildeo na HP ndash 12C elabore o fluxo de caixa para cada situaccedilatildeo
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Unidade 4
1 Proposta A Fluxo de caixa
10000000 5000000 6000000
1 2 3 4 5 7 8 9 10 110 6 12
Calculando o VPL
10000000 000 5
5000000 000
5
6000000
3
18395701
VPL
Armazena o zero 5 vezes
2 Proposta B Fluxo de caixa
8000000 70000006000000
1 2 3 4 6 7 8 90 5 10
Calculando o VPL
8000000 000 4
6000000 000
4
7000000
3
18384310
VPL
Armazena o zero 4 vezes
Resposta a melhor proposta eacute a A
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Exemplo 43
Dois equipamentos satildeo examinados Considerando ser a taxa miacutenima de atratividade de 20aa qual o equipamento que deve ser adquirido
Dados
41 - Tabela de DadosEquipamento K Equipamento L
Custo R$ 5000000 R$ 8000000Custo anual de manutenccedilatildeo R$ 2000000 R$ 1500000Valor residual para venda R$ 400000 R$ 800000Duraccedilatildeo em anos 10 10
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
A seguir veja o diagrama de fluxo de caixa
Os caacutelculos do Valor Presente Liacutequido para as duas situaccedilotildees satildeo
Equipamento K
5000000
Equipamento K
2000000
400000
0 1 2 10
8000000
Equipamento L
1500000
800000
0 1 2 10
50000 20000
9 4000 20000 1
20 -13320342
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Unidade 4
Equipamento L
80000 15000
9 8000 15000 1
20 -14159504
Importante Veja que a alternativa K equivale a um equipamento em que se investe R$ 13320342 enquanto que o equipamento L equivale a um investimento de R$ 14159504 Portanto eacute preferiacutevel o equipamento K pois o investimento eacute menor
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Seccedilatildeo 2 ndash Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs - SFA
Este sistema consiste no pagamento de empreacutestimos ou financiamentos com prestaccedilotildees iguais e com periodicidade constante Eacute considerado o sistema de amortizaccedilatildeo mais utilizado pelas instituiccedilotildees financeiras e pelo comeacutercio em geral
O Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo eacute assim chamado por ter sido inventado na Franccedila por volta do seacuteculo XVIII pelo matemaacutetico inglecircs Richard Price daiacute portanto a origem da denominaccedilatildeo Sistema Price tambeacutem comumente chamado de Tabela Price
Na verdade a Tabela Price eacute um caso particular derivado do Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo Neste sistema o financiamento (PV) eacute pago em parcelas (PMT) iguais constituiacutedas da amortizaccedilatildeo do principal da diacutevida + juros compensatoacuterios (J) que variam inversamente ao longo do tempo Ou seja agrave medida que aumenta o valor da parcela de amortizaccedilatildeo haveraacute uma queda dos juros compensatoacuterios em funccedilatildeo da reduccedilatildeo do saldo devedor
Principais Caracteriacutesticas
As principais caracteriacutesticas do SFA satildeo
a prestaccedilatildeo eacute constante durante todo o periacuteodo do financiamento
a parcela de amortizaccedilatildeo aumenta a cada periacuteodo (n)
os juros compensatoacuterios diminuem a cada periacuteodo (n)
Exemplo 44 (exemplo 1 paacuteg 148 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma instituiccedilatildeo financeira libera um empreacutestimo para uma induacutestria no valor de R$ 60000000 para ser pago pelo sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs em 120 meses a uma taxa de 15 am Faccedila a planilha ateacute o 4ordm mecircs e calcule o saldo devedor no 100ordm mecircs
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Unidade 4
Soluccedilatildeo
A sequecircncia abaixo calcula o valor da prestaccedilatildeo os juros a amortizaccedilatildeo o saldo devedor e valor do saldo devedor no 100ordm mecircs Acompanhe
Zera os registradores
60000000 Armazena o valor presente
120 Armazena o periacuteodo
15 Armazena a taxa
- R$ 1081111 Valor da prestaccedilatildeo
1 - R$ 900000 Valor dos juros da 1ordf parcela
R$ 181111Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 1ordf parcela
R$ 58918889 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 897283 Valor dos juros da 2ordf parcela
- R$ 183828Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 2ordf parcela
R$ 59635061 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 894526 Valor dos juros da 3ordf parcela
- R$ 186585Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 3ordf parcela
R$ 59448476 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 891727 Valor dos juros da 4ordf parcela
- R$ 189384Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 4ordf parcela
R$ 59259092 Recupera o saldo devedor
A tabela a seguir apresenta um resumo das operaccedilotildees realizadas
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Tabela 42 ndash Planilha de amortizaccedilatildeoPeriacuteodo (n) Amortizaccedilatildeo (A) Juros (J) Prestaccedilotildees (R) Saldo Devedor (S)
0 - - - R$ 600000001 R$ 181111 R$ 900000 R$ 1081111 R$ 598188892 R$ 183828 R$ 897283 R$ 1081111 R$ 596350613 R$ 186585 R$ 894526 R$ 1081111 R$ 594484764 R$ 189384 R$ 891727 R$ 1081111 R$ 59259092
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Para determinar o saldo devedor no 100ordm mecircs faccedila como indicado a seguir
60000000 120 150
-1081111 18561247
Prestaccedilatildeo Saldo devedor no 100ordm mecircs
Nesta unidade vocecirc usou as funccedilotildees de fluxo de caixa para calcular o valor presente liacutequido e a funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
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Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades a seguir (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 4 e 5 da unidade 7 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegina 102) Em seguida use o programa elaborado para resolver as mesmas questotildees
a) Qual das alternativas de pagamento eacute a melhor para uma taxa de juros compostos de 75 am
Alternativa A Pagamento de R$ 15000000 agrave vista
Alternativa B Entrada de R$ 5000000 + R$ 8000000 em 90 dias + R$ 6000000 em 150 dias
b) Uma pessoa deve a um banco dois tiacutetulos com valores de R$ 300000 e R$ 600000 venciacuteveis respectivamente em 4 meses e 8 meses Se a pessoa deseja antecipar para hoje a liquidaccedilatildeo dos tiacutetulos qual o valor a pagar considerando que o banco opera com uma taxa de juros compostos de 23 am
2 Elabore um algoritmo para resolver as atividades abaixo (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 1 e 4 da unidade 10 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 151 e 153)
a) Um cliente solicita a um banco um empreacutestimo de R$ 4000000 pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs em 60 prestaccedilotildees mensais Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de juros de 28 am obtenha o valor da prestaccedilatildeo e o saldo devedor depois de pagar a 20ordf prestaccedilatildeo
b) Um empreacutestimo de R$ 30000000 seraacute saldado em 50 prestaccedilotildees mensais a uma taxa de 15 am Determine a parcela de juros relativa agrave 15ordf prestaccedilatildeo pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs (price)
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Saiba mais
Manual da calculadora HP ndash 12C
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico ndash 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7ed Satildeo Paulo Atlas 2000
Para concluir o estudo
Com o teacutermino desse curso de extensatildeo acreditamos que proporcionamos momentos de aprendizagem por meio da interaccedilatildeo da calculadora financeira e que vocecirc estaacute habilitado(a) a fazer uso dessa ferramenta com qualidade no mercado de trabalho relacionado a essa aacuterea tatildeo importante no nosso dia-a-dia
Referecircncias
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7 ed Satildeo Paulo Atlas 2000
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003 Disponiacutevel em lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt Acesso em 05 jun 2008
Sobre o professor conteudista
Joseacute Humberto Dias de Toledo - eacute Mestre em Educaccedilatildeo pela Universidade do Sul de Santa Catarina Graduado em Licenciatura em Matemaacutetica e em Engenharia Civil Professor das disciplinas Meacutetodos Numeacutericos Informaacutetica Aplicada agrave Matemaacutetica Financeira Caacutelculo I e Matemaacutetica Financeira no Curso de Matemaacutetica ndash Licenciatura nesta mesma instituiccedilatildeo Atualmente ministra a disciplina Representaccedilotildees Graacuteficas na Poacutes-graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo Matemaacutetica da UNISUL
Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo
Unidade 1
1 a) 5
b) -2359
c) 3311
d) 077
e) 081
Respostas modo RPN
a)
b)
c)
d)
e)
Respostas modo ALG
a
b
c
d
e
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2 R$ 167757
Modo RPN
Modo ALG
3 -242
4 Data 13082008 3 (quarta-feira)
5 Florianoacutepolis = 3303 Curitiba = 5018 Porto Alegre = 1680
Unidade 2
1 1) 150000
Dados
C = R$ 1000000
i = 5 aa
n = 3 anos = 1080 dias
J =
3) 24 meses = 2 anos
Dados
C = R$ 200000
i = 6 aa
n = 24 meses = 720 dias
M =
79
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5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
80
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2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
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4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
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c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
85
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c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
86
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b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
87
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b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
Para armazenar um nuacutemero em um registrador financeiro digite o nuacutemero e em seguida uma das teclas correspondentes ilustradas acima
Para exibir um nuacutemero armazenado em um dos registradores financeiros aperte e em seguida a tecla correspondente
Para zerar todos os registradores financeiros aperte a sequecircncia de teclas
Eacute importante lembrar que os registradores financeiros tambeacutem satildeo zerados ao apertar a sequecircncia
e quando a memoacuteria contiacutenua eacute
reinicializada
A seguir vocecirc faraacute caacutelculo de juros simples e de descontos simples usando a HP ndash 12C
Regime de capitalizaccedilatildeo simples
A HP ndash 12C calcula automaticamente juros simples ordinaacuterios ndash usando o ano comercial e juros simples exatos ndash usando um ano de 365 dias simultaneamente
Eacute possiacutevel apresentar qualquer um dos dois e mais com os juros acumulados no mostrador podemos calcular o montante apertando a tecla
Para exemplificar vamos resolver problemas do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira que se encontra disponiacutevel (formato digital) na ferramenta Midiateca do EVA ndash Espaccedilo Virtual de Aprendizagem
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Exemplo 21 (exemplo 1 paacuteg 29 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital de R$ 1800000 foi aplicado a juros simples durante 3 anos agrave taxa de 6 aa Qual eacute o valor dos juros e o montante adquirido
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula os juros e o montante
Exemplo 22 (exemplo 1 paacuteg 33 do livro Matemaacutetica Financeira)
Ache os juros simples exatos auferidos em uma aplicaccedilatildeo de R$ 1500000 a uma taxa de 16 aa de 20 de abril de 2003 a 1ordm de julho de 2003
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula os juros comerciais e os juros exatos
Neste exemplo utilizamos duas teclas que seratildeo ilustradas a seguir para realizar o caacutelculo dos juros exatos
1800000 1080 6
324000 2124000
Juros Montante
No caacutelculo de Juros simples o periacuteodo deve ser em dias
Calcula juros simples
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Unidade 2
1500000 20042003 01072003
72 16 48000 47342
Juro comercial Juro exato nordm de dias
Ao apertar essa tecla ela rola para baixo o conteuacutedo da pilha para visualizaccedilatildeo no registro X
Ao apertar essa tecla ela troca o conteuacutedo dos registros X e Y da pilha
Figura 22 - Teclas utilizadas para registros de dados Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Exemplo 23 (exemplo 2 paacuteg 34 do livro Matemaacutetica Financeira)
Determine o juro simples exato obtido em uma aplicaccedilatildeo de R$ 1300000 durante 146 dias a uma taxa de 9 aa
Soluccedilatildeo a sequecircncia a seguir realiza os caacutelculos solicitados
1330000 146 9
48545 47880
Juro comercial Juro exato
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Exemplo 24 (exemplo 1 paacuteg 47 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma duplicata de R$ 1500000 com vencimento no dia 03042005 foi descontada em um banco em 08012005 a uma taxa de 25 am Qual eacute o desconto simples bancaacuterio da operaccedilatildeo
Soluccedilatildeo
08012005 03042005 85
1500000 0025 30 106250
Taxa decimal Desconto bancaacuterio
Nordm de dias entre as datas
Exemplo 25 (exemplo 1 paacuteg 48 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma empresa descontou um tiacutetulo com valor de face de R$ 1450000 3 meses e 15 dias antes do vencimento com uma taxa de desconto bancaacuterio simples de 24 am Quanto a empresa recebeu liacutequido na operaccedilatildeo
Soluccedilatildeo
1450000 0024 35 1450000 1328200
Periacuteodo em meses Valor liacutequidoTaxa decimal
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Unidade 2
Exemplo 26 (exemplo 1 paacuteg 49 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma duplicata de R$ 4800000 foi descontada 6 meses antes de seu vencimento em uma instituiccedilatildeo financeira que trabalha com uma taxa de desconto simples de 32 am Com base nestes dados determine
o valor do desconto simples bancaacuterio
o valor do desconto simples racional
Soluccedilatildeo
4800000 6 0032 921600
Taxa decimal Valor liacutequido
921600 1 0032
6 773154
Taxa decimal Valor liacutequido
Na proacutexima seccedilatildeo vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros compostos e de desconto compostos
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Seccedilatildeo 2 ndash Regime de capitalizaccedilatildeo composto
Os exemplos apresentados a partir de agora satildeo ilustrativos de uma ampla variedade de caacutelculos financeiros Para resolvecirc-los vocecirc precisa estruturaacute-los identificando os elementos baacutesicos do problema de maneira que fiquem evidentes as quantidades que devem ser fornecidas agrave calculadora e quem eacute o valor desconhecido ou seja o valor que desejamos determinar
Na resoluccedilatildeo dos caacutelculos usando a HP ndash 12C eacute indispensaacutevel elaborar o diagrama de fluxo de caixa Eacute importante ressaltar que a calculadora precisa de ajuda para comparar o fluxo de caixa ou seja eacute preciso informar quando temos uma entrada ou uma saiacuteda
O fluxo de caixa serve para demonstrar graficamente as transaccedilotildees financeiras em um periacuteodo de tempo
O tempo eacute representado por uma linha horizontal dividida pelo nuacutemero de periacuteodos relevantes para anaacutelise As entradas ou recebimentos satildeo representados por setas verticais apontadas para cima e as saiacutedas ou pagamentos satildeo representados por setas verticais apontadas para baixo Observe o modelo simplificado
(+) entradas
(-) saiacutedas
tempo (n)
Veja agora o modelo detalhado
Entradas
Saiacutedas
Tempo
Fluxo de caixa pode ser definido como sendo a movimentaccedilatildeo de recursos financeiros (entradas e saiacutedas de caixa) ao longo de um periacuteodo de tempo - agrave entrada e saiacuteda de dinheiro O conceito caixa (financeiro) natildeo pode ser confundido com conceito de competecircncia (contaacutebil)
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Unidade 2
Na HP-12C a tecla (do inglecircs Change Sign) serve para introduzir ou tirar um sinal negativo de um nuacutemero ou seja faz o fluxo de caixa
Na sequecircncia de exemplos apresentados a seguir realizaremos caacutelculos de juros montantes valor presente prazo taxa de juros e descontos no regime composto com o auxiacutelio dos registradores financeiros da calculadora HP ndash 12C
Exemplo 27 (exemplo 1 paacuteg 58 do livro Matemaacutetica Financeira)
Qual o montante gerado por um capital de R$ 450000 aplicado por 9 meses a juros compostos a uma taxa de 35 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o montante composto
450000 9 35 613304
MontanteFluxo de caixa saiacuteda do dinheiro para aplicaccedilatildeo
Exemplo 28 (exemplo 2 paacuteg 58 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital de R$ 1200000 foi aplicado a juros compostos durante 6 meses agrave taxa de 2 am Calcule os juros auferidos na aplicaccedilatildeo
Soluccedilatildeo use a sequecircncia a seguir para calcular os juros
1200000 6 2
1351395 151395
Montante Juros
Fluxo de caixa saiacuteda do dinheiro para aplicaccedilatildeo
Recupera um valor em um registrador
financeiro
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Exemplo 29 (exemplo 3 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital ldquoXrdquo eacute aplicado a juros compostos agrave taxa de 35 am gerando um montante de R$ 1950000 apoacutes 1 ano e 3 meses Determine o capital ldquoXrdquo
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar o capital
1950000 35 15 -1163937
Capital aplicado
Exemplo 210 (exemplo 4 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
A que taxa mensal de juros compostos um capital de R$ 1250000 pode transformar-se em R$ 1537342 no periacuteodo de 7 meses
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
1250000 1537342 7 300
Taxa de juros mensal
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Unidade 2
Exemplo 211 (exemplo 5 paacuteg 60 do livro Matemaacutetica Financeira)
Em que prazo um empreacutestimo de R$ 3500000 pode ser pago pela quantia de R$ 4790000 se a taxa de juros compostos cobrada for de 4 am
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
3500000 4790000 4 8
Periacuteodo em meses
Funccedilatildeo ldquoCrdquo na HP ndash 12C e as teclas ldquoSTOrdquo e ldquoEEXrdquo
Vocecirc pode calcular taxa de juros (i) Capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos Perioacutedicos (PMT) para transaccedilotildees financeiras com periacuteodos fracionaacuterios Ao digitar um periacuteodo fracionaacuterio por exemplo 23 meses a parte inteira do nuacutemero indica o nuacutemero de periacuteodos inteiro e a parte fracionaacuteria do nuacutemero o tamanho do periacuteodo fracionaacuterio como uma fraccedilatildeo do periacuteodo inteiro (no exemplo 2 meses e 03 meses)
De acordo com o criteacuterio do usuaacuterio os caacutelculos de taxa de juros ( i ) capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos perioacutedicos (PMT) podem ser executados com juros simples ou compostos acumulados durante o periacuteodo fracionaacuterio Para escolher uma das duas opccedilotildees faccedila
Aparece o indicador ldquoCldquo Portanto os juros compostos satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Natildeo aparece o indicador ldquoCrdquo Portanto os juros simples satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Figura 23 - Teclas utilizadas para caacutelculo de juros simples e compostos para periacuteodo fracionaacuterio Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
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Exemplo 212
Calcular o valor futuro de uma aplicaccedilatildeo de R$ 185030000 aplicado agrave taxa de 14 aa durante 45 anos usando juros compostos e simples para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Soluccedilatildeo as sequecircncias a seguir apresentam os resultados para o caacutelculo do valor futuro com juros simples para o periacuteodo fracionaacuterio e juros compostos para o periacuteodo fracionaacuterios respectivamente
185030000 14
45 334383879
Valor futuro calculado com juros simples para o periacuteodo
fracionaacuterio
185030000
14 45 333667556
Valor futuro calculado com juros compostos para o
periacuteodo fracionaacuterio
Exemplo 213 (exemplo 1 paacuteg 81 do livro Matemaacutetica Financeira)
Determine o valor do desconto composto racional e o valor do resgate de um tiacutetulo de R$ 1560000 descontado 5 meses antes do seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto composto racional eacute de 4 am
43
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Unidade 2
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor do desconto racional composto e o valor liacutequido a receber
1560000 1
1 004 5
277794 1560000 1282206
Valor do desconto Valor liacutequido
Exemplo 214 (exemplo 1 paacuteg 84 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um tiacutetulo de valor nominal de R$ 1500000 eacute descontado em um banco 3 meses antes de seu vencimento Se a taxa de desconto comercial usada pelo banco eacute de 8 am qual eacute o valor do desconto
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor liacutequido e o valor do desconto bancaacuterio ou comercial
1500000 3 8
-1168032 331968
Valor liacutequido Valor do desconto
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Nesta unidade vocecirc usou a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros simples e compostos descontos simples e compostos valor presente taxa de juros periacuteodo e montante Na proacutexima unidade usaremos a ferramenta para auxiliar no caacutelculo de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir foram propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo em PDF estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as questotildees 1 3 5 e 6 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteginas 38 e 39 Confira os resultados na paacuteg 194
1) Qual o rendimento que obtemos ao aplicarmos um capital de R$ 1000000 a uma taxa de juros simples de 5 aa durante 3 anos
3) Em um regime de capitalizaccedilatildeo simples qual eacute o montante que se obteacutem quando aplicamos um capital de R$ 200000 a uma taxa 6 aa durante 24 meses
5) Uma quantia de R$ 6200000 foi aplicada em uma operaccedilatildeo financeira no dia 20 de setembro de 2003 e resgatada no dia 21 de dezembro de 2003 a uma taxa de 125 aa Quais os juros simples exatos e comerciais da operaccedilatildeo
6) Calcule os juros simples exatos e comerciais nas seguintes condiccedilotildees
bull R$ 600000 aplicados por 180 dias a 12 aa
bull R$ 520000 aplicados por 230 dias a 15 aa
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Unidade 2
2 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 2 e 4 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegs 52 e 53 Confira os resultados nas paacuteginas 194 e 195
1) Uma empresa desconta uma duplicata no valor nominal de R$ 5000000 no Banco ldquoXrdquo 4 meses antes do seu vencimento Sabendo que o banco ldquoXrdquo trabalha com uma taxa de desconto simples bancaacuterio de 45 am qual eacute o valor do desconto e o valor liacutequido recebido
2) Para pagar uma diacutevida hoje uma empresa descontou em uma carteira de creacutedito uma duplicata no valor de R$ 1650000 com vencimento daqui a 2 meses recebendo um valor nominal liacutequido de R$ 1500000 Determine a taxa mensal de desconto simples bancaacuterio utilizada
4) Uma letra de cacircmbio no valor nominal de R$ 500000 foi comercializada 4 meses antes do vencimento a uma taxa de desconto simples de 22 am Se o desconto simples fosse o racional qual seria o valor deste desconto
3 Elabore uma sequecircncia de passos para resolver as questotildees propostas 1 2 3 4 e 6 nas paacuteginas 65 66 e 67 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira e confira os resultados na paacuteg 195
1) Calcule o montante produzido por um capital de R$ 2600000 aplicado a uma taxa de juros compostos de 52 am por 6 meses
2) Calcule os juros compostos auferidos por um capital de R$ 420000 aplicado a uma taxa de 3 am durante 10 meses
3) Um empreacutestimo de R$ 600000 deve ser pago em 120 dias a juros compostos pelo valor de R$ 900000 Qual eacute a taxa mensal da operaccedilatildeo
4) Em que prazo uma aplicaccedilatildeo a juros compostos de R$ 2400000 produziraacute um montante de R$ 6151930 agrave taxa de 4 am
6) Quanto Paulo deve aplicar hoje a juros compostos em uma instituiccedilatildeo financeira que paga uma taxa de 12 am para pagar um compromisso de valor nominal igual a R$ 3800000 que vence daqui a 3 meses
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Universidade do Sul de Santa Catarina
4 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 e 8 das paacuteginas 88 e 90 respectivamente do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira Confira os resultados na paacuteg 196
1) Determine o valor do desconto composto racional de um tiacutetulo de valor nominal de R$ 830000 descontado 6 meses antes de seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto eacute de 42 am
8) Um tiacutetulo de R$ 3000000 foi descontado em uma instituiccedilatildeo financeira a uma taxa de desconto composto comercial de 64 am e o valor liacutequido recebido era de R$ 2017327 Quantos meses antes do vencimento foi descontado este tiacutetulo
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
3UNIDADE 3
Taxas de juros equivalentes e caacutelculo de pagamentos perioacutedicos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para calcular taxas equivalentes
Usar as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP ndash 12C para programar o algoritmo da taxa equivalente no regime de capitalizaccedilatildeo composto
Calcular pagamentos perioacutedicos de sequecircncias uniformes postecipadas e antecipadas
Calcular montante de uma sequecircncia uniforme
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Taxas equivalentes
Seccedilatildeo 2 Sequecircncia de capitais
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar taxas equivalentes no regime de capitalizaccedilatildeo composto Vocecirc usaraacute as funccedilotildees de programaccedilatildeo com o objetivo de elaborar um algoritmo para fazer a conversatildeo de taxas de um periacuteodo de capitalizaccedilatildeo (ex mensal) para outro periacuteodo (ex anual) usando o programa Vamos explorar as funccedilotildees ldquoPMTrdquo ldquoBEGrdquo e ldquoENDrdquo para realizar caacutelculo de pagamentos antecipados e postecipados em uma sequecircncia uniforme Destacamos que os exemplos que seratildeo apresentados estatildeo no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira
Seccedilatildeo 1 ndash Taxas equivalentes
Nesta unidade vocecirc usaraacute algumas funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos (postecipados e antecipados) de uma seacuterie uniforme Vocecirc usaraacute ainda as funccedilotildees de programaccedilatildeo para elaborar um programa para calcular taxas equivalentes A figura a seguir apresenta as funccedilotildees que vocecirc usaraacute nos exemplos apresentados posteriormente
Aciona o modo de programaccedilatildeo de HP ndash 12C
Aciona a funccedilatildeo Begin que calcula a parcela com pagamento antecipado
Aciona a funccedilatildeo End (natildeo aparece no visor da calculadora) que calcula parcela com pagamento postecipado
Figura 31 - Teclas utilizadas para acionar as funccedilotildees Beg e End e entrar no modo de programaccedilatildeo
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
49
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
Taxas equivalentes
No mercado financeiro e nas operaccedilotildees bancaacuterias e comerciais a palavra taxa eacute empregada de vaacuterias formas ou seja vaacuterios conceitos satildeo abordados em vaacuterias situaccedilotildees Esta seccedilatildeo tem como objetivo mostrar como as taxas de juros satildeo informadas no mercado financeiro e como adequaacute-las agraves condiccedilotildees padronizadas pela HP ndash 12C
Duas taxas satildeo consideradas equivalentes a juros compostos quando aplicadas a um mesmo capital por um periacuteodo de tempo equivalente e geram o mesmo rendimento
Exemplo 31(exemplo 1 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
No regime de juros compostos qual a taxa anual equivalente a 4 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente anual
Exemplo 32 (exemplo 2 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
Calcule a taxa quadrimestral equivalente agrave taxa de juros compostos de 8 aa
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente quadrimestral
1 004 12 1 1 10000 6010
Taxa anual
50
Universidade do Sul de Santa Catarina
1 008 1 3 1 10000 260
Taxa quadrimestral
Programa para caacutelculo da taxa equivalente pela hp ndash 12c
O professor Carlos Shinoda em seu livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48) apresenta um programa para calcular a taxa equivalente atraveacutes da calculadora HP ndash 12C
Siga os procedimentos abaixo para introduzir o programa na HP ndash 12C
Figura 32 - Algoritmo para a programaccedilatildeo de taxa equivalente
Fonte Livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48)
51
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
Agora que vocecirc programou a HP ndash 12C para o caacutelculo de taxas equivalentes resolva o exemplo a seguir usando o programa
Exemplo 33
Usando o programa anterior determine as taxas equivalentes propostas nos exemplos 31 e 32
Soluccedilatildeo
As sequecircncias abaixo calculam as taxas equivalentes
Executa oprograma
4 1 12 6010
Taxa anual
Executa oprograma
8 360 120 260
Taxa quadrimestral
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Seccedilatildeo 2 ndash Sequecircncia de capitais
Nesta seccedilatildeo vocecirc acompanharaacute as situaccedilotildees em que haacute mais de um pagamento ou seja vocecirc estudaraacute as operaccedilotildees envolvendo pagamentos ou recebimentos perioacutedicos e uniformes
As seacuteries uniformes de pagamentos satildeo aquelas em que os pagamentos ou recebimentos satildeo constantes e ocorrem em intervalos iguais
Seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas e antecipadas
As seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1 Este sistema eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada (0 + n)
Pagamentos ou recebimentos podem ser chamados de prestaccedilatildeo representada pela sigla PMT que vem do inglecircs Payment e significa pagamento ou recebimento
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentosPMT
++
0 1 2 3 4 5 6 n
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
++
0 1 2 3 4 5 6 n
PMT
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
As seacuteries uniformes de pagamentos antecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre na data focal 0 (zero) Este tipo de sistema de pagamento eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento com entrada (1+ n)
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
Exemplo 34 (exemplo 2 paacuteg 108 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um automoacutevel eacute vendido em uma loja por R$ 3200000 A loja propotildee as seguintes condiccedilotildees para financiamento
Proposta A 12 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta B 24 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta C 36 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
A taxa de juros usada eacute de 32 am Qual o valor de cada prestaccedilatildeo nas 3 modalidades de financiamento
Soluccedilatildeo
As sequecircncias a seguir calculam os valores das parcelas nas trecircs propostas
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3200000
32 12 -325329
parcela
3200000
32 24 -193046
parcela
3200000
32 36 -150979
parcela
Exemplo 35 (exemplo 2 paacuteg 111 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma casa cujo valor agrave vista eacute R$ 4924456 eacute vendida em prestaccedilotildees mensais e iguais de R$ 250000 sendo a primeira dada como entrada Se a taxa de financiamento eacute de 18 am determine o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas no financiamento
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o nuacutemero de parcelas
4924456 18
250000 24
nordm de parcelas
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
No exemplo acima o nuacutemero de pagamento deu um nuacutemero inteiro Mas podem acontecer situaccedilotildees em que ao se determinar o nuacutemero de parcelas o resultado natildeo seja um nuacutemero inteiro
Nessa situaccedilatildeo a HP ndash 12C arredonda a resposta para o proacuteximo inteiro para cima antes de armazenaacute-la e exibi-la
Exemplo 36
Vocecirc comprou um terreno por R$ 3500000 a juros de 105 aa Vocecirc pretende fazer pagamentos de R$ 32500 no fim de cada mecircs Quantos pagamentos seratildeo necessaacuterios para pagar o terreno e quanto tempo levaraacute
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o nuacutemero de pagamentos e o tempo necessaacuterio
3500000 105
32500 328 2733
nordm de parcelas Tempo (anos)
Como a calculadora arredonda o valor do tempo para o proacuteximo inteiro eacute provaacutevel que apesar de serem necessaacuterios 328 pagamentos somente 327 seratildeo inteiros de R$ 32500 com o pagamento final sendo menor do que R$ 32500 Para calcular o valor do pagamento de nuacutemero 328 vamos fazer o seguinte
A calculadora natildeo ajusta os valores nos outros registros financeiros automaticamente para refletir os n pagamentos iguais ao contraacuterio ela lhe permite escolher quais valores (se houver) que vocecirc deseja ajustar
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328 18189 - 32500 -14311
Valor da parcela 328
Nesta unidade vocecirc calculou taxas equivalentes usou as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP e fez caacutelculos de pagamentos perioacutedicos de uma seacuterie uniforme antecipado ou postecipado Na proacutexima unidade vamos realizar caacutelculos de valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades abaixo (Essa atividade corresponde agrave autoavaliaccedilatildeo 1 da unidade 5 do livro didaacutetico de Matemaacutetica Financeira) Em seguida use o programa elaborado para resolver a mesma questatildeo
Calcule a taxa anual das seguintes taxas
a) 26 am
b) 42 ab
c) 48 at
d) 12 as
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
2 Elabore um algoritmo para resolver as seguintes atividades (Estas questotildees equivalem agraves autoavaliaccedilotildees 1 2 3 4 e 5 da unidade 8 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 121 122 e 123)
a) Calcule o valor da prestaccedilatildeo mensal de um empreacutestimo de R$ 600000 que seraacute amortizado em 12 prestaccedilotildees mensais postecipadas sabendo que o banco cobra uma taxa de juros de 2 am
b) Uma loja vende um automoacutevel agrave vista por R$ 1650000 Se o comprador quiser fazer um financiamento em 36 parcelas mensais e iguais onde o 1ordm pagamento seraacute efetuado no 1ordm mecircs apoacutes a compra a uma taxa de juros de 21 am qual o valor da prestaccedilatildeo
c) Uma mercadoria custa R$ 9038071 agrave vista podendo ser vendida em prestaccedilotildees mensais de R$ 1050000 sendo a primeira prestaccedilatildeo dada como entrada Sabendo-se que a loja aplica uma taxa de 35 am qual o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas
d) Carlos depositou certa quantia durante 10 meses de forma antecipada a uma taxa de 25 am obtendo um montante de R$ 25000000 Quanto depositou mensalmente Carlos
e) Um produto eacute vendido agrave vista por R$ 200000 ou em 10 prestaccedilotildees mensais iguais sem entrada com uma carecircncia de 90 dias apoacutes a compra Qual o valor de cada prestaccedilatildeo sabendo que a taxa de juros eacute de 6 am
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
4UNIDADE 4
Valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa
Usar as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Valor presente liacutequido
Seccedilatildeo 2 Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs ndash SFA (Price)
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa usando as funccedilotildees CF0 CFj e NPV Vocecirc deveraacute ainda fazer uso da funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos usando o Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo ndash SFA ou tabela Price
Seccedilatildeo 1 ndash Valor presente liacutequido
A figura 41 a seguir apresenta as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C que vocecirc usaraacute nessa unidade para realizar caacutelculo de valor presente liacutequido e para a elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos ou financiamento
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor inicial do fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor do fluxo de caixa no periacuteodo j
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula o valor presente atual de um fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula a parte dos pagamentos usada para pagar juros
Figura 41 - Teclas para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
Valor presente liacutequido
Nessa seccedilatildeo vocecirc usaraacute as funccedilotildees da HP ndash 12C para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa Para entender como usar as funccedilotildees CF0 CFj e NPV considere o fluxo de caixa para um investimento que exige capital inicial (CF0) e que gera um fluxo de caixa (CFj ) no final de j periacuteodos
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Unidade 4
Veja a seguir o fluxo de caixa
CF0CF1
CF2 CF5
CFn
CF3 CF4
O VPL = Valor Presente Liacutequido eacute calculado somando ao investimento inicial o valor presente dos fluxos de caixa futuros projetados Portanto
se o VPL for positivo o valor financeiro do ativo do investidor aumentaraacute ou seja o investimento financeiro seraacute atrativo em termos financeiros
se o VPL for zero o valor financeiro do ativo financeiro do investidor natildeo mudaraacute ou seja o investidor seraacute indiferente ao investimento
se o VPL for negativo o valor financeiro do ativo do investidor seraacute reduzido ou seja o investimento natildeo seraacute atrativo em termos financeiros
Exemplo 41
Um investidor compra uma casa por R$ 7000000 e gostaria de ter um retorno de pelo menos 15 Ele pretende manter a casa por 4 anos e depois vendecirc-la por R$ 11000000 Ele prevecirc os fluxos de caixa mostrados no diagrama abaixo
CF0CF1
CF1
CF3CF4
CF5
R$ 7000000
R$ 50000
R$ 450000R$ 450000
R$ 13000000R$ 550000
Sendo assim calcule o VPL para determinar se o investimento resultaria em um retorno ou perda
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Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o VPL
7000000 50000
450000 550000 450000
13000000 15 379007
VPL
Como o VPL eacute positivo o investimento aumentaria o valor financeiro do ativo do investidor
Exemplo 42 (exemplo 4 paacuteg 98 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um proprietaacuterio recebeu as seguintes propostas para a venda de uma casa
Proposta A entrada de R$ 10000000 + R$ 5000000 em 6 meses + R$ 6000000 em 1 ano
Proposta B entrada de R$ 8000000 + R$ 6000000 em 5 meses + R$ 7000000 em 10 meses
Sabendo-se que a taxa de juros de mercado eacute de 3 am qual a melhor proposta para o vendedor
Soluccedilatildeo
Essa questatildeo deve ser resolvida pelo meacutetodo do Valor Presente Liacutequido A alternativa que tiver o maior valor seraacute a melhor Entretanto para facilitar a elaboraccedilatildeo do algoritmo de resoluccedilatildeo na HP ndash 12C elabore o fluxo de caixa para cada situaccedilatildeo
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Unidade 4
1 Proposta A Fluxo de caixa
10000000 5000000 6000000
1 2 3 4 5 7 8 9 10 110 6 12
Calculando o VPL
10000000 000 5
5000000 000
5
6000000
3
18395701
VPL
Armazena o zero 5 vezes
2 Proposta B Fluxo de caixa
8000000 70000006000000
1 2 3 4 6 7 8 90 5 10
Calculando o VPL
8000000 000 4
6000000 000
4
7000000
3
18384310
VPL
Armazena o zero 4 vezes
Resposta a melhor proposta eacute a A
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Exemplo 43
Dois equipamentos satildeo examinados Considerando ser a taxa miacutenima de atratividade de 20aa qual o equipamento que deve ser adquirido
Dados
41 - Tabela de DadosEquipamento K Equipamento L
Custo R$ 5000000 R$ 8000000Custo anual de manutenccedilatildeo R$ 2000000 R$ 1500000Valor residual para venda R$ 400000 R$ 800000Duraccedilatildeo em anos 10 10
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
A seguir veja o diagrama de fluxo de caixa
Os caacutelculos do Valor Presente Liacutequido para as duas situaccedilotildees satildeo
Equipamento K
5000000
Equipamento K
2000000
400000
0 1 2 10
8000000
Equipamento L
1500000
800000
0 1 2 10
50000 20000
9 4000 20000 1
20 -13320342
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Unidade 4
Equipamento L
80000 15000
9 8000 15000 1
20 -14159504
Importante Veja que a alternativa K equivale a um equipamento em que se investe R$ 13320342 enquanto que o equipamento L equivale a um investimento de R$ 14159504 Portanto eacute preferiacutevel o equipamento K pois o investimento eacute menor
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Seccedilatildeo 2 ndash Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs - SFA
Este sistema consiste no pagamento de empreacutestimos ou financiamentos com prestaccedilotildees iguais e com periodicidade constante Eacute considerado o sistema de amortizaccedilatildeo mais utilizado pelas instituiccedilotildees financeiras e pelo comeacutercio em geral
O Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo eacute assim chamado por ter sido inventado na Franccedila por volta do seacuteculo XVIII pelo matemaacutetico inglecircs Richard Price daiacute portanto a origem da denominaccedilatildeo Sistema Price tambeacutem comumente chamado de Tabela Price
Na verdade a Tabela Price eacute um caso particular derivado do Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo Neste sistema o financiamento (PV) eacute pago em parcelas (PMT) iguais constituiacutedas da amortizaccedilatildeo do principal da diacutevida + juros compensatoacuterios (J) que variam inversamente ao longo do tempo Ou seja agrave medida que aumenta o valor da parcela de amortizaccedilatildeo haveraacute uma queda dos juros compensatoacuterios em funccedilatildeo da reduccedilatildeo do saldo devedor
Principais Caracteriacutesticas
As principais caracteriacutesticas do SFA satildeo
a prestaccedilatildeo eacute constante durante todo o periacuteodo do financiamento
a parcela de amortizaccedilatildeo aumenta a cada periacuteodo (n)
os juros compensatoacuterios diminuem a cada periacuteodo (n)
Exemplo 44 (exemplo 1 paacuteg 148 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma instituiccedilatildeo financeira libera um empreacutestimo para uma induacutestria no valor de R$ 60000000 para ser pago pelo sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs em 120 meses a uma taxa de 15 am Faccedila a planilha ateacute o 4ordm mecircs e calcule o saldo devedor no 100ordm mecircs
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Unidade 4
Soluccedilatildeo
A sequecircncia abaixo calcula o valor da prestaccedilatildeo os juros a amortizaccedilatildeo o saldo devedor e valor do saldo devedor no 100ordm mecircs Acompanhe
Zera os registradores
60000000 Armazena o valor presente
120 Armazena o periacuteodo
15 Armazena a taxa
- R$ 1081111 Valor da prestaccedilatildeo
1 - R$ 900000 Valor dos juros da 1ordf parcela
R$ 181111Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 1ordf parcela
R$ 58918889 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 897283 Valor dos juros da 2ordf parcela
- R$ 183828Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 2ordf parcela
R$ 59635061 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 894526 Valor dos juros da 3ordf parcela
- R$ 186585Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 3ordf parcela
R$ 59448476 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 891727 Valor dos juros da 4ordf parcela
- R$ 189384Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 4ordf parcela
R$ 59259092 Recupera o saldo devedor
A tabela a seguir apresenta um resumo das operaccedilotildees realizadas
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Tabela 42 ndash Planilha de amortizaccedilatildeoPeriacuteodo (n) Amortizaccedilatildeo (A) Juros (J) Prestaccedilotildees (R) Saldo Devedor (S)
0 - - - R$ 600000001 R$ 181111 R$ 900000 R$ 1081111 R$ 598188892 R$ 183828 R$ 897283 R$ 1081111 R$ 596350613 R$ 186585 R$ 894526 R$ 1081111 R$ 594484764 R$ 189384 R$ 891727 R$ 1081111 R$ 59259092
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Para determinar o saldo devedor no 100ordm mecircs faccedila como indicado a seguir
60000000 120 150
-1081111 18561247
Prestaccedilatildeo Saldo devedor no 100ordm mecircs
Nesta unidade vocecirc usou as funccedilotildees de fluxo de caixa para calcular o valor presente liacutequido e a funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
69Unidade 4
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Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades a seguir (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 4 e 5 da unidade 7 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegina 102) Em seguida use o programa elaborado para resolver as mesmas questotildees
a) Qual das alternativas de pagamento eacute a melhor para uma taxa de juros compostos de 75 am
Alternativa A Pagamento de R$ 15000000 agrave vista
Alternativa B Entrada de R$ 5000000 + R$ 8000000 em 90 dias + R$ 6000000 em 150 dias
b) Uma pessoa deve a um banco dois tiacutetulos com valores de R$ 300000 e R$ 600000 venciacuteveis respectivamente em 4 meses e 8 meses Se a pessoa deseja antecipar para hoje a liquidaccedilatildeo dos tiacutetulos qual o valor a pagar considerando que o banco opera com uma taxa de juros compostos de 23 am
2 Elabore um algoritmo para resolver as atividades abaixo (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 1 e 4 da unidade 10 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 151 e 153)
a) Um cliente solicita a um banco um empreacutestimo de R$ 4000000 pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs em 60 prestaccedilotildees mensais Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de juros de 28 am obtenha o valor da prestaccedilatildeo e o saldo devedor depois de pagar a 20ordf prestaccedilatildeo
b) Um empreacutestimo de R$ 30000000 seraacute saldado em 50 prestaccedilotildees mensais a uma taxa de 15 am Determine a parcela de juros relativa agrave 15ordf prestaccedilatildeo pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs (price)
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
Manual da calculadora HP ndash 12C
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico ndash 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7ed Satildeo Paulo Atlas 2000
Para concluir o estudo
Com o teacutermino desse curso de extensatildeo acreditamos que proporcionamos momentos de aprendizagem por meio da interaccedilatildeo da calculadora financeira e que vocecirc estaacute habilitado(a) a fazer uso dessa ferramenta com qualidade no mercado de trabalho relacionado a essa aacuterea tatildeo importante no nosso dia-a-dia
Referecircncias
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7 ed Satildeo Paulo Atlas 2000
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003 Disponiacutevel em lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt Acesso em 05 jun 2008
Sobre o professor conteudista
Joseacute Humberto Dias de Toledo - eacute Mestre em Educaccedilatildeo pela Universidade do Sul de Santa Catarina Graduado em Licenciatura em Matemaacutetica e em Engenharia Civil Professor das disciplinas Meacutetodos Numeacutericos Informaacutetica Aplicada agrave Matemaacutetica Financeira Caacutelculo I e Matemaacutetica Financeira no Curso de Matemaacutetica ndash Licenciatura nesta mesma instituiccedilatildeo Atualmente ministra a disciplina Representaccedilotildees Graacuteficas na Poacutes-graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo Matemaacutetica da UNISUL
Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo
Unidade 1
1 a) 5
b) -2359
c) 3311
d) 077
e) 081
Respostas modo RPN
a)
b)
c)
d)
e)
Respostas modo ALG
a
b
c
d
e
78
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 R$ 167757
Modo RPN
Modo ALG
3 -242
4 Data 13082008 3 (quarta-feira)
5 Florianoacutepolis = 3303 Curitiba = 5018 Porto Alegre = 1680
Unidade 2
1 1) 150000
Dados
C = R$ 1000000
i = 5 aa
n = 3 anos = 1080 dias
J =
3) 24 meses = 2 anos
Dados
C = R$ 200000
i = 6 aa
n = 24 meses = 720 dias
M =
79
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
85
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c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
86
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b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
87
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b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
88
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34
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Exemplo 21 (exemplo 1 paacuteg 29 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital de R$ 1800000 foi aplicado a juros simples durante 3 anos agrave taxa de 6 aa Qual eacute o valor dos juros e o montante adquirido
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula os juros e o montante
Exemplo 22 (exemplo 1 paacuteg 33 do livro Matemaacutetica Financeira)
Ache os juros simples exatos auferidos em uma aplicaccedilatildeo de R$ 1500000 a uma taxa de 16 aa de 20 de abril de 2003 a 1ordm de julho de 2003
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula os juros comerciais e os juros exatos
Neste exemplo utilizamos duas teclas que seratildeo ilustradas a seguir para realizar o caacutelculo dos juros exatos
1800000 1080 6
324000 2124000
Juros Montante
No caacutelculo de Juros simples o periacuteodo deve ser em dias
Calcula juros simples
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Unidade 2
1500000 20042003 01072003
72 16 48000 47342
Juro comercial Juro exato nordm de dias
Ao apertar essa tecla ela rola para baixo o conteuacutedo da pilha para visualizaccedilatildeo no registro X
Ao apertar essa tecla ela troca o conteuacutedo dos registros X e Y da pilha
Figura 22 - Teclas utilizadas para registros de dados Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Exemplo 23 (exemplo 2 paacuteg 34 do livro Matemaacutetica Financeira)
Determine o juro simples exato obtido em uma aplicaccedilatildeo de R$ 1300000 durante 146 dias a uma taxa de 9 aa
Soluccedilatildeo a sequecircncia a seguir realiza os caacutelculos solicitados
1330000 146 9
48545 47880
Juro comercial Juro exato
36
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Exemplo 24 (exemplo 1 paacuteg 47 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma duplicata de R$ 1500000 com vencimento no dia 03042005 foi descontada em um banco em 08012005 a uma taxa de 25 am Qual eacute o desconto simples bancaacuterio da operaccedilatildeo
Soluccedilatildeo
08012005 03042005 85
1500000 0025 30 106250
Taxa decimal Desconto bancaacuterio
Nordm de dias entre as datas
Exemplo 25 (exemplo 1 paacuteg 48 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma empresa descontou um tiacutetulo com valor de face de R$ 1450000 3 meses e 15 dias antes do vencimento com uma taxa de desconto bancaacuterio simples de 24 am Quanto a empresa recebeu liacutequido na operaccedilatildeo
Soluccedilatildeo
1450000 0024 35 1450000 1328200
Periacuteodo em meses Valor liacutequidoTaxa decimal
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Unidade 2
Exemplo 26 (exemplo 1 paacuteg 49 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma duplicata de R$ 4800000 foi descontada 6 meses antes de seu vencimento em uma instituiccedilatildeo financeira que trabalha com uma taxa de desconto simples de 32 am Com base nestes dados determine
o valor do desconto simples bancaacuterio
o valor do desconto simples racional
Soluccedilatildeo
4800000 6 0032 921600
Taxa decimal Valor liacutequido
921600 1 0032
6 773154
Taxa decimal Valor liacutequido
Na proacutexima seccedilatildeo vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros compostos e de desconto compostos
38
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Seccedilatildeo 2 ndash Regime de capitalizaccedilatildeo composto
Os exemplos apresentados a partir de agora satildeo ilustrativos de uma ampla variedade de caacutelculos financeiros Para resolvecirc-los vocecirc precisa estruturaacute-los identificando os elementos baacutesicos do problema de maneira que fiquem evidentes as quantidades que devem ser fornecidas agrave calculadora e quem eacute o valor desconhecido ou seja o valor que desejamos determinar
Na resoluccedilatildeo dos caacutelculos usando a HP ndash 12C eacute indispensaacutevel elaborar o diagrama de fluxo de caixa Eacute importante ressaltar que a calculadora precisa de ajuda para comparar o fluxo de caixa ou seja eacute preciso informar quando temos uma entrada ou uma saiacuteda
O fluxo de caixa serve para demonstrar graficamente as transaccedilotildees financeiras em um periacuteodo de tempo
O tempo eacute representado por uma linha horizontal dividida pelo nuacutemero de periacuteodos relevantes para anaacutelise As entradas ou recebimentos satildeo representados por setas verticais apontadas para cima e as saiacutedas ou pagamentos satildeo representados por setas verticais apontadas para baixo Observe o modelo simplificado
(+) entradas
(-) saiacutedas
tempo (n)
Veja agora o modelo detalhado
Entradas
Saiacutedas
Tempo
Fluxo de caixa pode ser definido como sendo a movimentaccedilatildeo de recursos financeiros (entradas e saiacutedas de caixa) ao longo de um periacuteodo de tempo - agrave entrada e saiacuteda de dinheiro O conceito caixa (financeiro) natildeo pode ser confundido com conceito de competecircncia (contaacutebil)
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Unidade 2
Na HP-12C a tecla (do inglecircs Change Sign) serve para introduzir ou tirar um sinal negativo de um nuacutemero ou seja faz o fluxo de caixa
Na sequecircncia de exemplos apresentados a seguir realizaremos caacutelculos de juros montantes valor presente prazo taxa de juros e descontos no regime composto com o auxiacutelio dos registradores financeiros da calculadora HP ndash 12C
Exemplo 27 (exemplo 1 paacuteg 58 do livro Matemaacutetica Financeira)
Qual o montante gerado por um capital de R$ 450000 aplicado por 9 meses a juros compostos a uma taxa de 35 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o montante composto
450000 9 35 613304
MontanteFluxo de caixa saiacuteda do dinheiro para aplicaccedilatildeo
Exemplo 28 (exemplo 2 paacuteg 58 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital de R$ 1200000 foi aplicado a juros compostos durante 6 meses agrave taxa de 2 am Calcule os juros auferidos na aplicaccedilatildeo
Soluccedilatildeo use a sequecircncia a seguir para calcular os juros
1200000 6 2
1351395 151395
Montante Juros
Fluxo de caixa saiacuteda do dinheiro para aplicaccedilatildeo
Recupera um valor em um registrador
financeiro
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Exemplo 29 (exemplo 3 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital ldquoXrdquo eacute aplicado a juros compostos agrave taxa de 35 am gerando um montante de R$ 1950000 apoacutes 1 ano e 3 meses Determine o capital ldquoXrdquo
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar o capital
1950000 35 15 -1163937
Capital aplicado
Exemplo 210 (exemplo 4 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
A que taxa mensal de juros compostos um capital de R$ 1250000 pode transformar-se em R$ 1537342 no periacuteodo de 7 meses
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
1250000 1537342 7 300
Taxa de juros mensal
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Unidade 2
Exemplo 211 (exemplo 5 paacuteg 60 do livro Matemaacutetica Financeira)
Em que prazo um empreacutestimo de R$ 3500000 pode ser pago pela quantia de R$ 4790000 se a taxa de juros compostos cobrada for de 4 am
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
3500000 4790000 4 8
Periacuteodo em meses
Funccedilatildeo ldquoCrdquo na HP ndash 12C e as teclas ldquoSTOrdquo e ldquoEEXrdquo
Vocecirc pode calcular taxa de juros (i) Capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos Perioacutedicos (PMT) para transaccedilotildees financeiras com periacuteodos fracionaacuterios Ao digitar um periacuteodo fracionaacuterio por exemplo 23 meses a parte inteira do nuacutemero indica o nuacutemero de periacuteodos inteiro e a parte fracionaacuteria do nuacutemero o tamanho do periacuteodo fracionaacuterio como uma fraccedilatildeo do periacuteodo inteiro (no exemplo 2 meses e 03 meses)
De acordo com o criteacuterio do usuaacuterio os caacutelculos de taxa de juros ( i ) capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos perioacutedicos (PMT) podem ser executados com juros simples ou compostos acumulados durante o periacuteodo fracionaacuterio Para escolher uma das duas opccedilotildees faccedila
Aparece o indicador ldquoCldquo Portanto os juros compostos satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Natildeo aparece o indicador ldquoCrdquo Portanto os juros simples satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Figura 23 - Teclas utilizadas para caacutelculo de juros simples e compostos para periacuteodo fracionaacuterio Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
42
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Exemplo 212
Calcular o valor futuro de uma aplicaccedilatildeo de R$ 185030000 aplicado agrave taxa de 14 aa durante 45 anos usando juros compostos e simples para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Soluccedilatildeo as sequecircncias a seguir apresentam os resultados para o caacutelculo do valor futuro com juros simples para o periacuteodo fracionaacuterio e juros compostos para o periacuteodo fracionaacuterios respectivamente
185030000 14
45 334383879
Valor futuro calculado com juros simples para o periacuteodo
fracionaacuterio
185030000
14 45 333667556
Valor futuro calculado com juros compostos para o
periacuteodo fracionaacuterio
Exemplo 213 (exemplo 1 paacuteg 81 do livro Matemaacutetica Financeira)
Determine o valor do desconto composto racional e o valor do resgate de um tiacutetulo de R$ 1560000 descontado 5 meses antes do seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto composto racional eacute de 4 am
43
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Unidade 2
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor do desconto racional composto e o valor liacutequido a receber
1560000 1
1 004 5
277794 1560000 1282206
Valor do desconto Valor liacutequido
Exemplo 214 (exemplo 1 paacuteg 84 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um tiacutetulo de valor nominal de R$ 1500000 eacute descontado em um banco 3 meses antes de seu vencimento Se a taxa de desconto comercial usada pelo banco eacute de 8 am qual eacute o valor do desconto
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor liacutequido e o valor do desconto bancaacuterio ou comercial
1500000 3 8
-1168032 331968
Valor liacutequido Valor do desconto
44
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Nesta unidade vocecirc usou a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros simples e compostos descontos simples e compostos valor presente taxa de juros periacuteodo e montante Na proacutexima unidade usaremos a ferramenta para auxiliar no caacutelculo de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir foram propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo em PDF estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as questotildees 1 3 5 e 6 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteginas 38 e 39 Confira os resultados na paacuteg 194
1) Qual o rendimento que obtemos ao aplicarmos um capital de R$ 1000000 a uma taxa de juros simples de 5 aa durante 3 anos
3) Em um regime de capitalizaccedilatildeo simples qual eacute o montante que se obteacutem quando aplicamos um capital de R$ 200000 a uma taxa 6 aa durante 24 meses
5) Uma quantia de R$ 6200000 foi aplicada em uma operaccedilatildeo financeira no dia 20 de setembro de 2003 e resgatada no dia 21 de dezembro de 2003 a uma taxa de 125 aa Quais os juros simples exatos e comerciais da operaccedilatildeo
6) Calcule os juros simples exatos e comerciais nas seguintes condiccedilotildees
bull R$ 600000 aplicados por 180 dias a 12 aa
bull R$ 520000 aplicados por 230 dias a 15 aa
45
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Unidade 2
2 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 2 e 4 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegs 52 e 53 Confira os resultados nas paacuteginas 194 e 195
1) Uma empresa desconta uma duplicata no valor nominal de R$ 5000000 no Banco ldquoXrdquo 4 meses antes do seu vencimento Sabendo que o banco ldquoXrdquo trabalha com uma taxa de desconto simples bancaacuterio de 45 am qual eacute o valor do desconto e o valor liacutequido recebido
2) Para pagar uma diacutevida hoje uma empresa descontou em uma carteira de creacutedito uma duplicata no valor de R$ 1650000 com vencimento daqui a 2 meses recebendo um valor nominal liacutequido de R$ 1500000 Determine a taxa mensal de desconto simples bancaacuterio utilizada
4) Uma letra de cacircmbio no valor nominal de R$ 500000 foi comercializada 4 meses antes do vencimento a uma taxa de desconto simples de 22 am Se o desconto simples fosse o racional qual seria o valor deste desconto
3 Elabore uma sequecircncia de passos para resolver as questotildees propostas 1 2 3 4 e 6 nas paacuteginas 65 66 e 67 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira e confira os resultados na paacuteg 195
1) Calcule o montante produzido por um capital de R$ 2600000 aplicado a uma taxa de juros compostos de 52 am por 6 meses
2) Calcule os juros compostos auferidos por um capital de R$ 420000 aplicado a uma taxa de 3 am durante 10 meses
3) Um empreacutestimo de R$ 600000 deve ser pago em 120 dias a juros compostos pelo valor de R$ 900000 Qual eacute a taxa mensal da operaccedilatildeo
4) Em que prazo uma aplicaccedilatildeo a juros compostos de R$ 2400000 produziraacute um montante de R$ 6151930 agrave taxa de 4 am
6) Quanto Paulo deve aplicar hoje a juros compostos em uma instituiccedilatildeo financeira que paga uma taxa de 12 am para pagar um compromisso de valor nominal igual a R$ 3800000 que vence daqui a 3 meses
46
Universidade do Sul de Santa Catarina
4 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 e 8 das paacuteginas 88 e 90 respectivamente do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira Confira os resultados na paacuteg 196
1) Determine o valor do desconto composto racional de um tiacutetulo de valor nominal de R$ 830000 descontado 6 meses antes de seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto eacute de 42 am
8) Um tiacutetulo de R$ 3000000 foi descontado em uma instituiccedilatildeo financeira a uma taxa de desconto composto comercial de 64 am e o valor liacutequido recebido era de R$ 2017327 Quantos meses antes do vencimento foi descontado este tiacutetulo
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
3UNIDADE 3
Taxas de juros equivalentes e caacutelculo de pagamentos perioacutedicos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para calcular taxas equivalentes
Usar as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP ndash 12C para programar o algoritmo da taxa equivalente no regime de capitalizaccedilatildeo composto
Calcular pagamentos perioacutedicos de sequecircncias uniformes postecipadas e antecipadas
Calcular montante de uma sequecircncia uniforme
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Taxas equivalentes
Seccedilatildeo 2 Sequecircncia de capitais
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar taxas equivalentes no regime de capitalizaccedilatildeo composto Vocecirc usaraacute as funccedilotildees de programaccedilatildeo com o objetivo de elaborar um algoritmo para fazer a conversatildeo de taxas de um periacuteodo de capitalizaccedilatildeo (ex mensal) para outro periacuteodo (ex anual) usando o programa Vamos explorar as funccedilotildees ldquoPMTrdquo ldquoBEGrdquo e ldquoENDrdquo para realizar caacutelculo de pagamentos antecipados e postecipados em uma sequecircncia uniforme Destacamos que os exemplos que seratildeo apresentados estatildeo no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira
Seccedilatildeo 1 ndash Taxas equivalentes
Nesta unidade vocecirc usaraacute algumas funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos (postecipados e antecipados) de uma seacuterie uniforme Vocecirc usaraacute ainda as funccedilotildees de programaccedilatildeo para elaborar um programa para calcular taxas equivalentes A figura a seguir apresenta as funccedilotildees que vocecirc usaraacute nos exemplos apresentados posteriormente
Aciona o modo de programaccedilatildeo de HP ndash 12C
Aciona a funccedilatildeo Begin que calcula a parcela com pagamento antecipado
Aciona a funccedilatildeo End (natildeo aparece no visor da calculadora) que calcula parcela com pagamento postecipado
Figura 31 - Teclas utilizadas para acionar as funccedilotildees Beg e End e entrar no modo de programaccedilatildeo
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
49
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Unidade 3
Taxas equivalentes
No mercado financeiro e nas operaccedilotildees bancaacuterias e comerciais a palavra taxa eacute empregada de vaacuterias formas ou seja vaacuterios conceitos satildeo abordados em vaacuterias situaccedilotildees Esta seccedilatildeo tem como objetivo mostrar como as taxas de juros satildeo informadas no mercado financeiro e como adequaacute-las agraves condiccedilotildees padronizadas pela HP ndash 12C
Duas taxas satildeo consideradas equivalentes a juros compostos quando aplicadas a um mesmo capital por um periacuteodo de tempo equivalente e geram o mesmo rendimento
Exemplo 31(exemplo 1 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
No regime de juros compostos qual a taxa anual equivalente a 4 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente anual
Exemplo 32 (exemplo 2 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
Calcule a taxa quadrimestral equivalente agrave taxa de juros compostos de 8 aa
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente quadrimestral
1 004 12 1 1 10000 6010
Taxa anual
50
Universidade do Sul de Santa Catarina
1 008 1 3 1 10000 260
Taxa quadrimestral
Programa para caacutelculo da taxa equivalente pela hp ndash 12c
O professor Carlos Shinoda em seu livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48) apresenta um programa para calcular a taxa equivalente atraveacutes da calculadora HP ndash 12C
Siga os procedimentos abaixo para introduzir o programa na HP ndash 12C
Figura 32 - Algoritmo para a programaccedilatildeo de taxa equivalente
Fonte Livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48)
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Unidade 3
Agora que vocecirc programou a HP ndash 12C para o caacutelculo de taxas equivalentes resolva o exemplo a seguir usando o programa
Exemplo 33
Usando o programa anterior determine as taxas equivalentes propostas nos exemplos 31 e 32
Soluccedilatildeo
As sequecircncias abaixo calculam as taxas equivalentes
Executa oprograma
4 1 12 6010
Taxa anual
Executa oprograma
8 360 120 260
Taxa quadrimestral
52
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Seccedilatildeo 2 ndash Sequecircncia de capitais
Nesta seccedilatildeo vocecirc acompanharaacute as situaccedilotildees em que haacute mais de um pagamento ou seja vocecirc estudaraacute as operaccedilotildees envolvendo pagamentos ou recebimentos perioacutedicos e uniformes
As seacuteries uniformes de pagamentos satildeo aquelas em que os pagamentos ou recebimentos satildeo constantes e ocorrem em intervalos iguais
Seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas e antecipadas
As seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1 Este sistema eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada (0 + n)
Pagamentos ou recebimentos podem ser chamados de prestaccedilatildeo representada pela sigla PMT que vem do inglecircs Payment e significa pagamento ou recebimento
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentosPMT
++
0 1 2 3 4 5 6 n
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
++
0 1 2 3 4 5 6 n
PMT
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Unidade 3
As seacuteries uniformes de pagamentos antecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre na data focal 0 (zero) Este tipo de sistema de pagamento eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento com entrada (1+ n)
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
Exemplo 34 (exemplo 2 paacuteg 108 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um automoacutevel eacute vendido em uma loja por R$ 3200000 A loja propotildee as seguintes condiccedilotildees para financiamento
Proposta A 12 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta B 24 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta C 36 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
A taxa de juros usada eacute de 32 am Qual o valor de cada prestaccedilatildeo nas 3 modalidades de financiamento
Soluccedilatildeo
As sequecircncias a seguir calculam os valores das parcelas nas trecircs propostas
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3200000
32 12 -325329
parcela
3200000
32 24 -193046
parcela
3200000
32 36 -150979
parcela
Exemplo 35 (exemplo 2 paacuteg 111 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma casa cujo valor agrave vista eacute R$ 4924456 eacute vendida em prestaccedilotildees mensais e iguais de R$ 250000 sendo a primeira dada como entrada Se a taxa de financiamento eacute de 18 am determine o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas no financiamento
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o nuacutemero de parcelas
4924456 18
250000 24
nordm de parcelas
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Unidade 3
No exemplo acima o nuacutemero de pagamento deu um nuacutemero inteiro Mas podem acontecer situaccedilotildees em que ao se determinar o nuacutemero de parcelas o resultado natildeo seja um nuacutemero inteiro
Nessa situaccedilatildeo a HP ndash 12C arredonda a resposta para o proacuteximo inteiro para cima antes de armazenaacute-la e exibi-la
Exemplo 36
Vocecirc comprou um terreno por R$ 3500000 a juros de 105 aa Vocecirc pretende fazer pagamentos de R$ 32500 no fim de cada mecircs Quantos pagamentos seratildeo necessaacuterios para pagar o terreno e quanto tempo levaraacute
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o nuacutemero de pagamentos e o tempo necessaacuterio
3500000 105
32500 328 2733
nordm de parcelas Tempo (anos)
Como a calculadora arredonda o valor do tempo para o proacuteximo inteiro eacute provaacutevel que apesar de serem necessaacuterios 328 pagamentos somente 327 seratildeo inteiros de R$ 32500 com o pagamento final sendo menor do que R$ 32500 Para calcular o valor do pagamento de nuacutemero 328 vamos fazer o seguinte
A calculadora natildeo ajusta os valores nos outros registros financeiros automaticamente para refletir os n pagamentos iguais ao contraacuterio ela lhe permite escolher quais valores (se houver) que vocecirc deseja ajustar
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328 18189 - 32500 -14311
Valor da parcela 328
Nesta unidade vocecirc calculou taxas equivalentes usou as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP e fez caacutelculos de pagamentos perioacutedicos de uma seacuterie uniforme antecipado ou postecipado Na proacutexima unidade vamos realizar caacutelculos de valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades abaixo (Essa atividade corresponde agrave autoavaliaccedilatildeo 1 da unidade 5 do livro didaacutetico de Matemaacutetica Financeira) Em seguida use o programa elaborado para resolver a mesma questatildeo
Calcule a taxa anual das seguintes taxas
a) 26 am
b) 42 ab
c) 48 at
d) 12 as
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Unidade 3
2 Elabore um algoritmo para resolver as seguintes atividades (Estas questotildees equivalem agraves autoavaliaccedilotildees 1 2 3 4 e 5 da unidade 8 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 121 122 e 123)
a) Calcule o valor da prestaccedilatildeo mensal de um empreacutestimo de R$ 600000 que seraacute amortizado em 12 prestaccedilotildees mensais postecipadas sabendo que o banco cobra uma taxa de juros de 2 am
b) Uma loja vende um automoacutevel agrave vista por R$ 1650000 Se o comprador quiser fazer um financiamento em 36 parcelas mensais e iguais onde o 1ordm pagamento seraacute efetuado no 1ordm mecircs apoacutes a compra a uma taxa de juros de 21 am qual o valor da prestaccedilatildeo
c) Uma mercadoria custa R$ 9038071 agrave vista podendo ser vendida em prestaccedilotildees mensais de R$ 1050000 sendo a primeira prestaccedilatildeo dada como entrada Sabendo-se que a loja aplica uma taxa de 35 am qual o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas
d) Carlos depositou certa quantia durante 10 meses de forma antecipada a uma taxa de 25 am obtendo um montante de R$ 25000000 Quanto depositou mensalmente Carlos
e) Um produto eacute vendido agrave vista por R$ 200000 ou em 10 prestaccedilotildees mensais iguais sem entrada com uma carecircncia de 90 dias apoacutes a compra Qual o valor de cada prestaccedilatildeo sabendo que a taxa de juros eacute de 6 am
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
4UNIDADE 4
Valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa
Usar as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Valor presente liacutequido
Seccedilatildeo 2 Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs ndash SFA (Price)
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa usando as funccedilotildees CF0 CFj e NPV Vocecirc deveraacute ainda fazer uso da funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos usando o Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo ndash SFA ou tabela Price
Seccedilatildeo 1 ndash Valor presente liacutequido
A figura 41 a seguir apresenta as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C que vocecirc usaraacute nessa unidade para realizar caacutelculo de valor presente liacutequido e para a elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos ou financiamento
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor inicial do fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor do fluxo de caixa no periacuteodo j
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula o valor presente atual de um fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula a parte dos pagamentos usada para pagar juros
Figura 41 - Teclas para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
Valor presente liacutequido
Nessa seccedilatildeo vocecirc usaraacute as funccedilotildees da HP ndash 12C para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa Para entender como usar as funccedilotildees CF0 CFj e NPV considere o fluxo de caixa para um investimento que exige capital inicial (CF0) e que gera um fluxo de caixa (CFj ) no final de j periacuteodos
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Unidade 4
Veja a seguir o fluxo de caixa
CF0CF1
CF2 CF5
CFn
CF3 CF4
O VPL = Valor Presente Liacutequido eacute calculado somando ao investimento inicial o valor presente dos fluxos de caixa futuros projetados Portanto
se o VPL for positivo o valor financeiro do ativo do investidor aumentaraacute ou seja o investimento financeiro seraacute atrativo em termos financeiros
se o VPL for zero o valor financeiro do ativo financeiro do investidor natildeo mudaraacute ou seja o investidor seraacute indiferente ao investimento
se o VPL for negativo o valor financeiro do ativo do investidor seraacute reduzido ou seja o investimento natildeo seraacute atrativo em termos financeiros
Exemplo 41
Um investidor compra uma casa por R$ 7000000 e gostaria de ter um retorno de pelo menos 15 Ele pretende manter a casa por 4 anos e depois vendecirc-la por R$ 11000000 Ele prevecirc os fluxos de caixa mostrados no diagrama abaixo
CF0CF1
CF1
CF3CF4
CF5
R$ 7000000
R$ 50000
R$ 450000R$ 450000
R$ 13000000R$ 550000
Sendo assim calcule o VPL para determinar se o investimento resultaria em um retorno ou perda
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Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o VPL
7000000 50000
450000 550000 450000
13000000 15 379007
VPL
Como o VPL eacute positivo o investimento aumentaria o valor financeiro do ativo do investidor
Exemplo 42 (exemplo 4 paacuteg 98 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um proprietaacuterio recebeu as seguintes propostas para a venda de uma casa
Proposta A entrada de R$ 10000000 + R$ 5000000 em 6 meses + R$ 6000000 em 1 ano
Proposta B entrada de R$ 8000000 + R$ 6000000 em 5 meses + R$ 7000000 em 10 meses
Sabendo-se que a taxa de juros de mercado eacute de 3 am qual a melhor proposta para o vendedor
Soluccedilatildeo
Essa questatildeo deve ser resolvida pelo meacutetodo do Valor Presente Liacutequido A alternativa que tiver o maior valor seraacute a melhor Entretanto para facilitar a elaboraccedilatildeo do algoritmo de resoluccedilatildeo na HP ndash 12C elabore o fluxo de caixa para cada situaccedilatildeo
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Unidade 4
1 Proposta A Fluxo de caixa
10000000 5000000 6000000
1 2 3 4 5 7 8 9 10 110 6 12
Calculando o VPL
10000000 000 5
5000000 000
5
6000000
3
18395701
VPL
Armazena o zero 5 vezes
2 Proposta B Fluxo de caixa
8000000 70000006000000
1 2 3 4 6 7 8 90 5 10
Calculando o VPL
8000000 000 4
6000000 000
4
7000000
3
18384310
VPL
Armazena o zero 4 vezes
Resposta a melhor proposta eacute a A
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Exemplo 43
Dois equipamentos satildeo examinados Considerando ser a taxa miacutenima de atratividade de 20aa qual o equipamento que deve ser adquirido
Dados
41 - Tabela de DadosEquipamento K Equipamento L
Custo R$ 5000000 R$ 8000000Custo anual de manutenccedilatildeo R$ 2000000 R$ 1500000Valor residual para venda R$ 400000 R$ 800000Duraccedilatildeo em anos 10 10
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
A seguir veja o diagrama de fluxo de caixa
Os caacutelculos do Valor Presente Liacutequido para as duas situaccedilotildees satildeo
Equipamento K
5000000
Equipamento K
2000000
400000
0 1 2 10
8000000
Equipamento L
1500000
800000
0 1 2 10
50000 20000
9 4000 20000 1
20 -13320342
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Unidade 4
Equipamento L
80000 15000
9 8000 15000 1
20 -14159504
Importante Veja que a alternativa K equivale a um equipamento em que se investe R$ 13320342 enquanto que o equipamento L equivale a um investimento de R$ 14159504 Portanto eacute preferiacutevel o equipamento K pois o investimento eacute menor
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Seccedilatildeo 2 ndash Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs - SFA
Este sistema consiste no pagamento de empreacutestimos ou financiamentos com prestaccedilotildees iguais e com periodicidade constante Eacute considerado o sistema de amortizaccedilatildeo mais utilizado pelas instituiccedilotildees financeiras e pelo comeacutercio em geral
O Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo eacute assim chamado por ter sido inventado na Franccedila por volta do seacuteculo XVIII pelo matemaacutetico inglecircs Richard Price daiacute portanto a origem da denominaccedilatildeo Sistema Price tambeacutem comumente chamado de Tabela Price
Na verdade a Tabela Price eacute um caso particular derivado do Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo Neste sistema o financiamento (PV) eacute pago em parcelas (PMT) iguais constituiacutedas da amortizaccedilatildeo do principal da diacutevida + juros compensatoacuterios (J) que variam inversamente ao longo do tempo Ou seja agrave medida que aumenta o valor da parcela de amortizaccedilatildeo haveraacute uma queda dos juros compensatoacuterios em funccedilatildeo da reduccedilatildeo do saldo devedor
Principais Caracteriacutesticas
As principais caracteriacutesticas do SFA satildeo
a prestaccedilatildeo eacute constante durante todo o periacuteodo do financiamento
a parcela de amortizaccedilatildeo aumenta a cada periacuteodo (n)
os juros compensatoacuterios diminuem a cada periacuteodo (n)
Exemplo 44 (exemplo 1 paacuteg 148 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma instituiccedilatildeo financeira libera um empreacutestimo para uma induacutestria no valor de R$ 60000000 para ser pago pelo sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs em 120 meses a uma taxa de 15 am Faccedila a planilha ateacute o 4ordm mecircs e calcule o saldo devedor no 100ordm mecircs
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Unidade 4
Soluccedilatildeo
A sequecircncia abaixo calcula o valor da prestaccedilatildeo os juros a amortizaccedilatildeo o saldo devedor e valor do saldo devedor no 100ordm mecircs Acompanhe
Zera os registradores
60000000 Armazena o valor presente
120 Armazena o periacuteodo
15 Armazena a taxa
- R$ 1081111 Valor da prestaccedilatildeo
1 - R$ 900000 Valor dos juros da 1ordf parcela
R$ 181111Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 1ordf parcela
R$ 58918889 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 897283 Valor dos juros da 2ordf parcela
- R$ 183828Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 2ordf parcela
R$ 59635061 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 894526 Valor dos juros da 3ordf parcela
- R$ 186585Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 3ordf parcela
R$ 59448476 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 891727 Valor dos juros da 4ordf parcela
- R$ 189384Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 4ordf parcela
R$ 59259092 Recupera o saldo devedor
A tabela a seguir apresenta um resumo das operaccedilotildees realizadas
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Tabela 42 ndash Planilha de amortizaccedilatildeoPeriacuteodo (n) Amortizaccedilatildeo (A) Juros (J) Prestaccedilotildees (R) Saldo Devedor (S)
0 - - - R$ 600000001 R$ 181111 R$ 900000 R$ 1081111 R$ 598188892 R$ 183828 R$ 897283 R$ 1081111 R$ 596350613 R$ 186585 R$ 894526 R$ 1081111 R$ 594484764 R$ 189384 R$ 891727 R$ 1081111 R$ 59259092
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Para determinar o saldo devedor no 100ordm mecircs faccedila como indicado a seguir
60000000 120 150
-1081111 18561247
Prestaccedilatildeo Saldo devedor no 100ordm mecircs
Nesta unidade vocecirc usou as funccedilotildees de fluxo de caixa para calcular o valor presente liacutequido e a funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
69Unidade 4
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Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades a seguir (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 4 e 5 da unidade 7 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegina 102) Em seguida use o programa elaborado para resolver as mesmas questotildees
a) Qual das alternativas de pagamento eacute a melhor para uma taxa de juros compostos de 75 am
Alternativa A Pagamento de R$ 15000000 agrave vista
Alternativa B Entrada de R$ 5000000 + R$ 8000000 em 90 dias + R$ 6000000 em 150 dias
b) Uma pessoa deve a um banco dois tiacutetulos com valores de R$ 300000 e R$ 600000 venciacuteveis respectivamente em 4 meses e 8 meses Se a pessoa deseja antecipar para hoje a liquidaccedilatildeo dos tiacutetulos qual o valor a pagar considerando que o banco opera com uma taxa de juros compostos de 23 am
2 Elabore um algoritmo para resolver as atividades abaixo (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 1 e 4 da unidade 10 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 151 e 153)
a) Um cliente solicita a um banco um empreacutestimo de R$ 4000000 pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs em 60 prestaccedilotildees mensais Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de juros de 28 am obtenha o valor da prestaccedilatildeo e o saldo devedor depois de pagar a 20ordf prestaccedilatildeo
b) Um empreacutestimo de R$ 30000000 seraacute saldado em 50 prestaccedilotildees mensais a uma taxa de 15 am Determine a parcela de juros relativa agrave 15ordf prestaccedilatildeo pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs (price)
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Saiba mais
Manual da calculadora HP ndash 12C
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico ndash 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7ed Satildeo Paulo Atlas 2000
Para concluir o estudo
Com o teacutermino desse curso de extensatildeo acreditamos que proporcionamos momentos de aprendizagem por meio da interaccedilatildeo da calculadora financeira e que vocecirc estaacute habilitado(a) a fazer uso dessa ferramenta com qualidade no mercado de trabalho relacionado a essa aacuterea tatildeo importante no nosso dia-a-dia
Referecircncias
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7 ed Satildeo Paulo Atlas 2000
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003 Disponiacutevel em lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt Acesso em 05 jun 2008
Sobre o professor conteudista
Joseacute Humberto Dias de Toledo - eacute Mestre em Educaccedilatildeo pela Universidade do Sul de Santa Catarina Graduado em Licenciatura em Matemaacutetica e em Engenharia Civil Professor das disciplinas Meacutetodos Numeacutericos Informaacutetica Aplicada agrave Matemaacutetica Financeira Caacutelculo I e Matemaacutetica Financeira no Curso de Matemaacutetica ndash Licenciatura nesta mesma instituiccedilatildeo Atualmente ministra a disciplina Representaccedilotildees Graacuteficas na Poacutes-graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo Matemaacutetica da UNISUL
Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo
Unidade 1
1 a) 5
b) -2359
c) 3311
d) 077
e) 081
Respostas modo RPN
a)
b)
c)
d)
e)
Respostas modo ALG
a
b
c
d
e
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2 R$ 167757
Modo RPN
Modo ALG
3 -242
4 Data 13082008 3 (quarta-feira)
5 Florianoacutepolis = 3303 Curitiba = 5018 Porto Alegre = 1680
Unidade 2
1 1) 150000
Dados
C = R$ 1000000
i = 5 aa
n = 3 anos = 1080 dias
J =
3) 24 meses = 2 anos
Dados
C = R$ 200000
i = 6 aa
n = 24 meses = 720 dias
M =
79
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
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c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
85
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
86
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b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
87
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
88
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
1500000 20042003 01072003
72 16 48000 47342
Juro comercial Juro exato nordm de dias
Ao apertar essa tecla ela rola para baixo o conteuacutedo da pilha para visualizaccedilatildeo no registro X
Ao apertar essa tecla ela troca o conteuacutedo dos registros X e Y da pilha
Figura 22 - Teclas utilizadas para registros de dados Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Exemplo 23 (exemplo 2 paacuteg 34 do livro Matemaacutetica Financeira)
Determine o juro simples exato obtido em uma aplicaccedilatildeo de R$ 1300000 durante 146 dias a uma taxa de 9 aa
Soluccedilatildeo a sequecircncia a seguir realiza os caacutelculos solicitados
1330000 146 9
48545 47880
Juro comercial Juro exato
36
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Exemplo 24 (exemplo 1 paacuteg 47 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma duplicata de R$ 1500000 com vencimento no dia 03042005 foi descontada em um banco em 08012005 a uma taxa de 25 am Qual eacute o desconto simples bancaacuterio da operaccedilatildeo
Soluccedilatildeo
08012005 03042005 85
1500000 0025 30 106250
Taxa decimal Desconto bancaacuterio
Nordm de dias entre as datas
Exemplo 25 (exemplo 1 paacuteg 48 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma empresa descontou um tiacutetulo com valor de face de R$ 1450000 3 meses e 15 dias antes do vencimento com uma taxa de desconto bancaacuterio simples de 24 am Quanto a empresa recebeu liacutequido na operaccedilatildeo
Soluccedilatildeo
1450000 0024 35 1450000 1328200
Periacuteodo em meses Valor liacutequidoTaxa decimal
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
Exemplo 26 (exemplo 1 paacuteg 49 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma duplicata de R$ 4800000 foi descontada 6 meses antes de seu vencimento em uma instituiccedilatildeo financeira que trabalha com uma taxa de desconto simples de 32 am Com base nestes dados determine
o valor do desconto simples bancaacuterio
o valor do desconto simples racional
Soluccedilatildeo
4800000 6 0032 921600
Taxa decimal Valor liacutequido
921600 1 0032
6 773154
Taxa decimal Valor liacutequido
Na proacutexima seccedilatildeo vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros compostos e de desconto compostos
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Seccedilatildeo 2 ndash Regime de capitalizaccedilatildeo composto
Os exemplos apresentados a partir de agora satildeo ilustrativos de uma ampla variedade de caacutelculos financeiros Para resolvecirc-los vocecirc precisa estruturaacute-los identificando os elementos baacutesicos do problema de maneira que fiquem evidentes as quantidades que devem ser fornecidas agrave calculadora e quem eacute o valor desconhecido ou seja o valor que desejamos determinar
Na resoluccedilatildeo dos caacutelculos usando a HP ndash 12C eacute indispensaacutevel elaborar o diagrama de fluxo de caixa Eacute importante ressaltar que a calculadora precisa de ajuda para comparar o fluxo de caixa ou seja eacute preciso informar quando temos uma entrada ou uma saiacuteda
O fluxo de caixa serve para demonstrar graficamente as transaccedilotildees financeiras em um periacuteodo de tempo
O tempo eacute representado por uma linha horizontal dividida pelo nuacutemero de periacuteodos relevantes para anaacutelise As entradas ou recebimentos satildeo representados por setas verticais apontadas para cima e as saiacutedas ou pagamentos satildeo representados por setas verticais apontadas para baixo Observe o modelo simplificado
(+) entradas
(-) saiacutedas
tempo (n)
Veja agora o modelo detalhado
Entradas
Saiacutedas
Tempo
Fluxo de caixa pode ser definido como sendo a movimentaccedilatildeo de recursos financeiros (entradas e saiacutedas de caixa) ao longo de um periacuteodo de tempo - agrave entrada e saiacuteda de dinheiro O conceito caixa (financeiro) natildeo pode ser confundido com conceito de competecircncia (contaacutebil)
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
Na HP-12C a tecla (do inglecircs Change Sign) serve para introduzir ou tirar um sinal negativo de um nuacutemero ou seja faz o fluxo de caixa
Na sequecircncia de exemplos apresentados a seguir realizaremos caacutelculos de juros montantes valor presente prazo taxa de juros e descontos no regime composto com o auxiacutelio dos registradores financeiros da calculadora HP ndash 12C
Exemplo 27 (exemplo 1 paacuteg 58 do livro Matemaacutetica Financeira)
Qual o montante gerado por um capital de R$ 450000 aplicado por 9 meses a juros compostos a uma taxa de 35 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o montante composto
450000 9 35 613304
MontanteFluxo de caixa saiacuteda do dinheiro para aplicaccedilatildeo
Exemplo 28 (exemplo 2 paacuteg 58 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital de R$ 1200000 foi aplicado a juros compostos durante 6 meses agrave taxa de 2 am Calcule os juros auferidos na aplicaccedilatildeo
Soluccedilatildeo use a sequecircncia a seguir para calcular os juros
1200000 6 2
1351395 151395
Montante Juros
Fluxo de caixa saiacuteda do dinheiro para aplicaccedilatildeo
Recupera um valor em um registrador
financeiro
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Exemplo 29 (exemplo 3 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital ldquoXrdquo eacute aplicado a juros compostos agrave taxa de 35 am gerando um montante de R$ 1950000 apoacutes 1 ano e 3 meses Determine o capital ldquoXrdquo
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar o capital
1950000 35 15 -1163937
Capital aplicado
Exemplo 210 (exemplo 4 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
A que taxa mensal de juros compostos um capital de R$ 1250000 pode transformar-se em R$ 1537342 no periacuteodo de 7 meses
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
1250000 1537342 7 300
Taxa de juros mensal
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
Exemplo 211 (exemplo 5 paacuteg 60 do livro Matemaacutetica Financeira)
Em que prazo um empreacutestimo de R$ 3500000 pode ser pago pela quantia de R$ 4790000 se a taxa de juros compostos cobrada for de 4 am
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
3500000 4790000 4 8
Periacuteodo em meses
Funccedilatildeo ldquoCrdquo na HP ndash 12C e as teclas ldquoSTOrdquo e ldquoEEXrdquo
Vocecirc pode calcular taxa de juros (i) Capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos Perioacutedicos (PMT) para transaccedilotildees financeiras com periacuteodos fracionaacuterios Ao digitar um periacuteodo fracionaacuterio por exemplo 23 meses a parte inteira do nuacutemero indica o nuacutemero de periacuteodos inteiro e a parte fracionaacuteria do nuacutemero o tamanho do periacuteodo fracionaacuterio como uma fraccedilatildeo do periacuteodo inteiro (no exemplo 2 meses e 03 meses)
De acordo com o criteacuterio do usuaacuterio os caacutelculos de taxa de juros ( i ) capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos perioacutedicos (PMT) podem ser executados com juros simples ou compostos acumulados durante o periacuteodo fracionaacuterio Para escolher uma das duas opccedilotildees faccedila
Aparece o indicador ldquoCldquo Portanto os juros compostos satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Natildeo aparece o indicador ldquoCrdquo Portanto os juros simples satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Figura 23 - Teclas utilizadas para caacutelculo de juros simples e compostos para periacuteodo fracionaacuterio Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
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Exemplo 212
Calcular o valor futuro de uma aplicaccedilatildeo de R$ 185030000 aplicado agrave taxa de 14 aa durante 45 anos usando juros compostos e simples para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Soluccedilatildeo as sequecircncias a seguir apresentam os resultados para o caacutelculo do valor futuro com juros simples para o periacuteodo fracionaacuterio e juros compostos para o periacuteodo fracionaacuterios respectivamente
185030000 14
45 334383879
Valor futuro calculado com juros simples para o periacuteodo
fracionaacuterio
185030000
14 45 333667556
Valor futuro calculado com juros compostos para o
periacuteodo fracionaacuterio
Exemplo 213 (exemplo 1 paacuteg 81 do livro Matemaacutetica Financeira)
Determine o valor do desconto composto racional e o valor do resgate de um tiacutetulo de R$ 1560000 descontado 5 meses antes do seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto composto racional eacute de 4 am
43
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor do desconto racional composto e o valor liacutequido a receber
1560000 1
1 004 5
277794 1560000 1282206
Valor do desconto Valor liacutequido
Exemplo 214 (exemplo 1 paacuteg 84 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um tiacutetulo de valor nominal de R$ 1500000 eacute descontado em um banco 3 meses antes de seu vencimento Se a taxa de desconto comercial usada pelo banco eacute de 8 am qual eacute o valor do desconto
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor liacutequido e o valor do desconto bancaacuterio ou comercial
1500000 3 8
-1168032 331968
Valor liacutequido Valor do desconto
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Nesta unidade vocecirc usou a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros simples e compostos descontos simples e compostos valor presente taxa de juros periacuteodo e montante Na proacutexima unidade usaremos a ferramenta para auxiliar no caacutelculo de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir foram propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo em PDF estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as questotildees 1 3 5 e 6 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteginas 38 e 39 Confira os resultados na paacuteg 194
1) Qual o rendimento que obtemos ao aplicarmos um capital de R$ 1000000 a uma taxa de juros simples de 5 aa durante 3 anos
3) Em um regime de capitalizaccedilatildeo simples qual eacute o montante que se obteacutem quando aplicamos um capital de R$ 200000 a uma taxa 6 aa durante 24 meses
5) Uma quantia de R$ 6200000 foi aplicada em uma operaccedilatildeo financeira no dia 20 de setembro de 2003 e resgatada no dia 21 de dezembro de 2003 a uma taxa de 125 aa Quais os juros simples exatos e comerciais da operaccedilatildeo
6) Calcule os juros simples exatos e comerciais nas seguintes condiccedilotildees
bull R$ 600000 aplicados por 180 dias a 12 aa
bull R$ 520000 aplicados por 230 dias a 15 aa
45
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Unidade 2
2 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 2 e 4 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegs 52 e 53 Confira os resultados nas paacuteginas 194 e 195
1) Uma empresa desconta uma duplicata no valor nominal de R$ 5000000 no Banco ldquoXrdquo 4 meses antes do seu vencimento Sabendo que o banco ldquoXrdquo trabalha com uma taxa de desconto simples bancaacuterio de 45 am qual eacute o valor do desconto e o valor liacutequido recebido
2) Para pagar uma diacutevida hoje uma empresa descontou em uma carteira de creacutedito uma duplicata no valor de R$ 1650000 com vencimento daqui a 2 meses recebendo um valor nominal liacutequido de R$ 1500000 Determine a taxa mensal de desconto simples bancaacuterio utilizada
4) Uma letra de cacircmbio no valor nominal de R$ 500000 foi comercializada 4 meses antes do vencimento a uma taxa de desconto simples de 22 am Se o desconto simples fosse o racional qual seria o valor deste desconto
3 Elabore uma sequecircncia de passos para resolver as questotildees propostas 1 2 3 4 e 6 nas paacuteginas 65 66 e 67 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira e confira os resultados na paacuteg 195
1) Calcule o montante produzido por um capital de R$ 2600000 aplicado a uma taxa de juros compostos de 52 am por 6 meses
2) Calcule os juros compostos auferidos por um capital de R$ 420000 aplicado a uma taxa de 3 am durante 10 meses
3) Um empreacutestimo de R$ 600000 deve ser pago em 120 dias a juros compostos pelo valor de R$ 900000 Qual eacute a taxa mensal da operaccedilatildeo
4) Em que prazo uma aplicaccedilatildeo a juros compostos de R$ 2400000 produziraacute um montante de R$ 6151930 agrave taxa de 4 am
6) Quanto Paulo deve aplicar hoje a juros compostos em uma instituiccedilatildeo financeira que paga uma taxa de 12 am para pagar um compromisso de valor nominal igual a R$ 3800000 que vence daqui a 3 meses
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Universidade do Sul de Santa Catarina
4 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 e 8 das paacuteginas 88 e 90 respectivamente do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira Confira os resultados na paacuteg 196
1) Determine o valor do desconto composto racional de um tiacutetulo de valor nominal de R$ 830000 descontado 6 meses antes de seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto eacute de 42 am
8) Um tiacutetulo de R$ 3000000 foi descontado em uma instituiccedilatildeo financeira a uma taxa de desconto composto comercial de 64 am e o valor liacutequido recebido era de R$ 2017327 Quantos meses antes do vencimento foi descontado este tiacutetulo
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
3UNIDADE 3
Taxas de juros equivalentes e caacutelculo de pagamentos perioacutedicos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para calcular taxas equivalentes
Usar as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP ndash 12C para programar o algoritmo da taxa equivalente no regime de capitalizaccedilatildeo composto
Calcular pagamentos perioacutedicos de sequecircncias uniformes postecipadas e antecipadas
Calcular montante de uma sequecircncia uniforme
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Taxas equivalentes
Seccedilatildeo 2 Sequecircncia de capitais
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar taxas equivalentes no regime de capitalizaccedilatildeo composto Vocecirc usaraacute as funccedilotildees de programaccedilatildeo com o objetivo de elaborar um algoritmo para fazer a conversatildeo de taxas de um periacuteodo de capitalizaccedilatildeo (ex mensal) para outro periacuteodo (ex anual) usando o programa Vamos explorar as funccedilotildees ldquoPMTrdquo ldquoBEGrdquo e ldquoENDrdquo para realizar caacutelculo de pagamentos antecipados e postecipados em uma sequecircncia uniforme Destacamos que os exemplos que seratildeo apresentados estatildeo no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira
Seccedilatildeo 1 ndash Taxas equivalentes
Nesta unidade vocecirc usaraacute algumas funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos (postecipados e antecipados) de uma seacuterie uniforme Vocecirc usaraacute ainda as funccedilotildees de programaccedilatildeo para elaborar um programa para calcular taxas equivalentes A figura a seguir apresenta as funccedilotildees que vocecirc usaraacute nos exemplos apresentados posteriormente
Aciona o modo de programaccedilatildeo de HP ndash 12C
Aciona a funccedilatildeo Begin que calcula a parcela com pagamento antecipado
Aciona a funccedilatildeo End (natildeo aparece no visor da calculadora) que calcula parcela com pagamento postecipado
Figura 31 - Teclas utilizadas para acionar as funccedilotildees Beg e End e entrar no modo de programaccedilatildeo
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
49
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Unidade 3
Taxas equivalentes
No mercado financeiro e nas operaccedilotildees bancaacuterias e comerciais a palavra taxa eacute empregada de vaacuterias formas ou seja vaacuterios conceitos satildeo abordados em vaacuterias situaccedilotildees Esta seccedilatildeo tem como objetivo mostrar como as taxas de juros satildeo informadas no mercado financeiro e como adequaacute-las agraves condiccedilotildees padronizadas pela HP ndash 12C
Duas taxas satildeo consideradas equivalentes a juros compostos quando aplicadas a um mesmo capital por um periacuteodo de tempo equivalente e geram o mesmo rendimento
Exemplo 31(exemplo 1 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
No regime de juros compostos qual a taxa anual equivalente a 4 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente anual
Exemplo 32 (exemplo 2 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
Calcule a taxa quadrimestral equivalente agrave taxa de juros compostos de 8 aa
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente quadrimestral
1 004 12 1 1 10000 6010
Taxa anual
50
Universidade do Sul de Santa Catarina
1 008 1 3 1 10000 260
Taxa quadrimestral
Programa para caacutelculo da taxa equivalente pela hp ndash 12c
O professor Carlos Shinoda em seu livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48) apresenta um programa para calcular a taxa equivalente atraveacutes da calculadora HP ndash 12C
Siga os procedimentos abaixo para introduzir o programa na HP ndash 12C
Figura 32 - Algoritmo para a programaccedilatildeo de taxa equivalente
Fonte Livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48)
51
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
Agora que vocecirc programou a HP ndash 12C para o caacutelculo de taxas equivalentes resolva o exemplo a seguir usando o programa
Exemplo 33
Usando o programa anterior determine as taxas equivalentes propostas nos exemplos 31 e 32
Soluccedilatildeo
As sequecircncias abaixo calculam as taxas equivalentes
Executa oprograma
4 1 12 6010
Taxa anual
Executa oprograma
8 360 120 260
Taxa quadrimestral
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Seccedilatildeo 2 ndash Sequecircncia de capitais
Nesta seccedilatildeo vocecirc acompanharaacute as situaccedilotildees em que haacute mais de um pagamento ou seja vocecirc estudaraacute as operaccedilotildees envolvendo pagamentos ou recebimentos perioacutedicos e uniformes
As seacuteries uniformes de pagamentos satildeo aquelas em que os pagamentos ou recebimentos satildeo constantes e ocorrem em intervalos iguais
Seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas e antecipadas
As seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1 Este sistema eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada (0 + n)
Pagamentos ou recebimentos podem ser chamados de prestaccedilatildeo representada pela sigla PMT que vem do inglecircs Payment e significa pagamento ou recebimento
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentosPMT
++
0 1 2 3 4 5 6 n
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
++
0 1 2 3 4 5 6 n
PMT
53
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Unidade 3
As seacuteries uniformes de pagamentos antecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre na data focal 0 (zero) Este tipo de sistema de pagamento eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento com entrada (1+ n)
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
Exemplo 34 (exemplo 2 paacuteg 108 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um automoacutevel eacute vendido em uma loja por R$ 3200000 A loja propotildee as seguintes condiccedilotildees para financiamento
Proposta A 12 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta B 24 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta C 36 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
A taxa de juros usada eacute de 32 am Qual o valor de cada prestaccedilatildeo nas 3 modalidades de financiamento
Soluccedilatildeo
As sequecircncias a seguir calculam os valores das parcelas nas trecircs propostas
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3200000
32 12 -325329
parcela
3200000
32 24 -193046
parcela
3200000
32 36 -150979
parcela
Exemplo 35 (exemplo 2 paacuteg 111 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma casa cujo valor agrave vista eacute R$ 4924456 eacute vendida em prestaccedilotildees mensais e iguais de R$ 250000 sendo a primeira dada como entrada Se a taxa de financiamento eacute de 18 am determine o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas no financiamento
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o nuacutemero de parcelas
4924456 18
250000 24
nordm de parcelas
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Unidade 3
No exemplo acima o nuacutemero de pagamento deu um nuacutemero inteiro Mas podem acontecer situaccedilotildees em que ao se determinar o nuacutemero de parcelas o resultado natildeo seja um nuacutemero inteiro
Nessa situaccedilatildeo a HP ndash 12C arredonda a resposta para o proacuteximo inteiro para cima antes de armazenaacute-la e exibi-la
Exemplo 36
Vocecirc comprou um terreno por R$ 3500000 a juros de 105 aa Vocecirc pretende fazer pagamentos de R$ 32500 no fim de cada mecircs Quantos pagamentos seratildeo necessaacuterios para pagar o terreno e quanto tempo levaraacute
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o nuacutemero de pagamentos e o tempo necessaacuterio
3500000 105
32500 328 2733
nordm de parcelas Tempo (anos)
Como a calculadora arredonda o valor do tempo para o proacuteximo inteiro eacute provaacutevel que apesar de serem necessaacuterios 328 pagamentos somente 327 seratildeo inteiros de R$ 32500 com o pagamento final sendo menor do que R$ 32500 Para calcular o valor do pagamento de nuacutemero 328 vamos fazer o seguinte
A calculadora natildeo ajusta os valores nos outros registros financeiros automaticamente para refletir os n pagamentos iguais ao contraacuterio ela lhe permite escolher quais valores (se houver) que vocecirc deseja ajustar
56
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328 18189 - 32500 -14311
Valor da parcela 328
Nesta unidade vocecirc calculou taxas equivalentes usou as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP e fez caacutelculos de pagamentos perioacutedicos de uma seacuterie uniforme antecipado ou postecipado Na proacutexima unidade vamos realizar caacutelculos de valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades abaixo (Essa atividade corresponde agrave autoavaliaccedilatildeo 1 da unidade 5 do livro didaacutetico de Matemaacutetica Financeira) Em seguida use o programa elaborado para resolver a mesma questatildeo
Calcule a taxa anual das seguintes taxas
a) 26 am
b) 42 ab
c) 48 at
d) 12 as
57
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
2 Elabore um algoritmo para resolver as seguintes atividades (Estas questotildees equivalem agraves autoavaliaccedilotildees 1 2 3 4 e 5 da unidade 8 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 121 122 e 123)
a) Calcule o valor da prestaccedilatildeo mensal de um empreacutestimo de R$ 600000 que seraacute amortizado em 12 prestaccedilotildees mensais postecipadas sabendo que o banco cobra uma taxa de juros de 2 am
b) Uma loja vende um automoacutevel agrave vista por R$ 1650000 Se o comprador quiser fazer um financiamento em 36 parcelas mensais e iguais onde o 1ordm pagamento seraacute efetuado no 1ordm mecircs apoacutes a compra a uma taxa de juros de 21 am qual o valor da prestaccedilatildeo
c) Uma mercadoria custa R$ 9038071 agrave vista podendo ser vendida em prestaccedilotildees mensais de R$ 1050000 sendo a primeira prestaccedilatildeo dada como entrada Sabendo-se que a loja aplica uma taxa de 35 am qual o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas
d) Carlos depositou certa quantia durante 10 meses de forma antecipada a uma taxa de 25 am obtendo um montante de R$ 25000000 Quanto depositou mensalmente Carlos
e) Um produto eacute vendido agrave vista por R$ 200000 ou em 10 prestaccedilotildees mensais iguais sem entrada com uma carecircncia de 90 dias apoacutes a compra Qual o valor de cada prestaccedilatildeo sabendo que a taxa de juros eacute de 6 am
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
4UNIDADE 4
Valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa
Usar as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Valor presente liacutequido
Seccedilatildeo 2 Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs ndash SFA (Price)
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa usando as funccedilotildees CF0 CFj e NPV Vocecirc deveraacute ainda fazer uso da funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos usando o Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo ndash SFA ou tabela Price
Seccedilatildeo 1 ndash Valor presente liacutequido
A figura 41 a seguir apresenta as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C que vocecirc usaraacute nessa unidade para realizar caacutelculo de valor presente liacutequido e para a elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos ou financiamento
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor inicial do fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor do fluxo de caixa no periacuteodo j
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula o valor presente atual de um fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula a parte dos pagamentos usada para pagar juros
Figura 41 - Teclas para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
Valor presente liacutequido
Nessa seccedilatildeo vocecirc usaraacute as funccedilotildees da HP ndash 12C para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa Para entender como usar as funccedilotildees CF0 CFj e NPV considere o fluxo de caixa para um investimento que exige capital inicial (CF0) e que gera um fluxo de caixa (CFj ) no final de j periacuteodos
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Veja a seguir o fluxo de caixa
CF0CF1
CF2 CF5
CFn
CF3 CF4
O VPL = Valor Presente Liacutequido eacute calculado somando ao investimento inicial o valor presente dos fluxos de caixa futuros projetados Portanto
se o VPL for positivo o valor financeiro do ativo do investidor aumentaraacute ou seja o investimento financeiro seraacute atrativo em termos financeiros
se o VPL for zero o valor financeiro do ativo financeiro do investidor natildeo mudaraacute ou seja o investidor seraacute indiferente ao investimento
se o VPL for negativo o valor financeiro do ativo do investidor seraacute reduzido ou seja o investimento natildeo seraacute atrativo em termos financeiros
Exemplo 41
Um investidor compra uma casa por R$ 7000000 e gostaria de ter um retorno de pelo menos 15 Ele pretende manter a casa por 4 anos e depois vendecirc-la por R$ 11000000 Ele prevecirc os fluxos de caixa mostrados no diagrama abaixo
CF0CF1
CF1
CF3CF4
CF5
R$ 7000000
R$ 50000
R$ 450000R$ 450000
R$ 13000000R$ 550000
Sendo assim calcule o VPL para determinar se o investimento resultaria em um retorno ou perda
62
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Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o VPL
7000000 50000
450000 550000 450000
13000000 15 379007
VPL
Como o VPL eacute positivo o investimento aumentaria o valor financeiro do ativo do investidor
Exemplo 42 (exemplo 4 paacuteg 98 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um proprietaacuterio recebeu as seguintes propostas para a venda de uma casa
Proposta A entrada de R$ 10000000 + R$ 5000000 em 6 meses + R$ 6000000 em 1 ano
Proposta B entrada de R$ 8000000 + R$ 6000000 em 5 meses + R$ 7000000 em 10 meses
Sabendo-se que a taxa de juros de mercado eacute de 3 am qual a melhor proposta para o vendedor
Soluccedilatildeo
Essa questatildeo deve ser resolvida pelo meacutetodo do Valor Presente Liacutequido A alternativa que tiver o maior valor seraacute a melhor Entretanto para facilitar a elaboraccedilatildeo do algoritmo de resoluccedilatildeo na HP ndash 12C elabore o fluxo de caixa para cada situaccedilatildeo
63
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
1 Proposta A Fluxo de caixa
10000000 5000000 6000000
1 2 3 4 5 7 8 9 10 110 6 12
Calculando o VPL
10000000 000 5
5000000 000
5
6000000
3
18395701
VPL
Armazena o zero 5 vezes
2 Proposta B Fluxo de caixa
8000000 70000006000000
1 2 3 4 6 7 8 90 5 10
Calculando o VPL
8000000 000 4
6000000 000
4
7000000
3
18384310
VPL
Armazena o zero 4 vezes
Resposta a melhor proposta eacute a A
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Exemplo 43
Dois equipamentos satildeo examinados Considerando ser a taxa miacutenima de atratividade de 20aa qual o equipamento que deve ser adquirido
Dados
41 - Tabela de DadosEquipamento K Equipamento L
Custo R$ 5000000 R$ 8000000Custo anual de manutenccedilatildeo R$ 2000000 R$ 1500000Valor residual para venda R$ 400000 R$ 800000Duraccedilatildeo em anos 10 10
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
A seguir veja o diagrama de fluxo de caixa
Os caacutelculos do Valor Presente Liacutequido para as duas situaccedilotildees satildeo
Equipamento K
5000000
Equipamento K
2000000
400000
0 1 2 10
8000000
Equipamento L
1500000
800000
0 1 2 10
50000 20000
9 4000 20000 1
20 -13320342
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Unidade 4
Equipamento L
80000 15000
9 8000 15000 1
20 -14159504
Importante Veja que a alternativa K equivale a um equipamento em que se investe R$ 13320342 enquanto que o equipamento L equivale a um investimento de R$ 14159504 Portanto eacute preferiacutevel o equipamento K pois o investimento eacute menor
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Seccedilatildeo 2 ndash Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs - SFA
Este sistema consiste no pagamento de empreacutestimos ou financiamentos com prestaccedilotildees iguais e com periodicidade constante Eacute considerado o sistema de amortizaccedilatildeo mais utilizado pelas instituiccedilotildees financeiras e pelo comeacutercio em geral
O Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo eacute assim chamado por ter sido inventado na Franccedila por volta do seacuteculo XVIII pelo matemaacutetico inglecircs Richard Price daiacute portanto a origem da denominaccedilatildeo Sistema Price tambeacutem comumente chamado de Tabela Price
Na verdade a Tabela Price eacute um caso particular derivado do Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo Neste sistema o financiamento (PV) eacute pago em parcelas (PMT) iguais constituiacutedas da amortizaccedilatildeo do principal da diacutevida + juros compensatoacuterios (J) que variam inversamente ao longo do tempo Ou seja agrave medida que aumenta o valor da parcela de amortizaccedilatildeo haveraacute uma queda dos juros compensatoacuterios em funccedilatildeo da reduccedilatildeo do saldo devedor
Principais Caracteriacutesticas
As principais caracteriacutesticas do SFA satildeo
a prestaccedilatildeo eacute constante durante todo o periacuteodo do financiamento
a parcela de amortizaccedilatildeo aumenta a cada periacuteodo (n)
os juros compensatoacuterios diminuem a cada periacuteodo (n)
Exemplo 44 (exemplo 1 paacuteg 148 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma instituiccedilatildeo financeira libera um empreacutestimo para uma induacutestria no valor de R$ 60000000 para ser pago pelo sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs em 120 meses a uma taxa de 15 am Faccedila a planilha ateacute o 4ordm mecircs e calcule o saldo devedor no 100ordm mecircs
67
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Unidade 4
Soluccedilatildeo
A sequecircncia abaixo calcula o valor da prestaccedilatildeo os juros a amortizaccedilatildeo o saldo devedor e valor do saldo devedor no 100ordm mecircs Acompanhe
Zera os registradores
60000000 Armazena o valor presente
120 Armazena o periacuteodo
15 Armazena a taxa
- R$ 1081111 Valor da prestaccedilatildeo
1 - R$ 900000 Valor dos juros da 1ordf parcela
R$ 181111Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 1ordf parcela
R$ 58918889 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 897283 Valor dos juros da 2ordf parcela
- R$ 183828Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 2ordf parcela
R$ 59635061 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 894526 Valor dos juros da 3ordf parcela
- R$ 186585Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 3ordf parcela
R$ 59448476 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 891727 Valor dos juros da 4ordf parcela
- R$ 189384Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 4ordf parcela
R$ 59259092 Recupera o saldo devedor
A tabela a seguir apresenta um resumo das operaccedilotildees realizadas
68
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Tabela 42 ndash Planilha de amortizaccedilatildeoPeriacuteodo (n) Amortizaccedilatildeo (A) Juros (J) Prestaccedilotildees (R) Saldo Devedor (S)
0 - - - R$ 600000001 R$ 181111 R$ 900000 R$ 1081111 R$ 598188892 R$ 183828 R$ 897283 R$ 1081111 R$ 596350613 R$ 186585 R$ 894526 R$ 1081111 R$ 594484764 R$ 189384 R$ 891727 R$ 1081111 R$ 59259092
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Para determinar o saldo devedor no 100ordm mecircs faccedila como indicado a seguir
60000000 120 150
-1081111 18561247
Prestaccedilatildeo Saldo devedor no 100ordm mecircs
Nesta unidade vocecirc usou as funccedilotildees de fluxo de caixa para calcular o valor presente liacutequido e a funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
69Unidade 4
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Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades a seguir (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 4 e 5 da unidade 7 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegina 102) Em seguida use o programa elaborado para resolver as mesmas questotildees
a) Qual das alternativas de pagamento eacute a melhor para uma taxa de juros compostos de 75 am
Alternativa A Pagamento de R$ 15000000 agrave vista
Alternativa B Entrada de R$ 5000000 + R$ 8000000 em 90 dias + R$ 6000000 em 150 dias
b) Uma pessoa deve a um banco dois tiacutetulos com valores de R$ 300000 e R$ 600000 venciacuteveis respectivamente em 4 meses e 8 meses Se a pessoa deseja antecipar para hoje a liquidaccedilatildeo dos tiacutetulos qual o valor a pagar considerando que o banco opera com uma taxa de juros compostos de 23 am
2 Elabore um algoritmo para resolver as atividades abaixo (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 1 e 4 da unidade 10 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 151 e 153)
a) Um cliente solicita a um banco um empreacutestimo de R$ 4000000 pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs em 60 prestaccedilotildees mensais Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de juros de 28 am obtenha o valor da prestaccedilatildeo e o saldo devedor depois de pagar a 20ordf prestaccedilatildeo
b) Um empreacutestimo de R$ 30000000 seraacute saldado em 50 prestaccedilotildees mensais a uma taxa de 15 am Determine a parcela de juros relativa agrave 15ordf prestaccedilatildeo pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs (price)
70
Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
Manual da calculadora HP ndash 12C
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico ndash 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7ed Satildeo Paulo Atlas 2000
Para concluir o estudo
Com o teacutermino desse curso de extensatildeo acreditamos que proporcionamos momentos de aprendizagem por meio da interaccedilatildeo da calculadora financeira e que vocecirc estaacute habilitado(a) a fazer uso dessa ferramenta com qualidade no mercado de trabalho relacionado a essa aacuterea tatildeo importante no nosso dia-a-dia
Referecircncias
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7 ed Satildeo Paulo Atlas 2000
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003 Disponiacutevel em lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt Acesso em 05 jun 2008
Sobre o professor conteudista
Joseacute Humberto Dias de Toledo - eacute Mestre em Educaccedilatildeo pela Universidade do Sul de Santa Catarina Graduado em Licenciatura em Matemaacutetica e em Engenharia Civil Professor das disciplinas Meacutetodos Numeacutericos Informaacutetica Aplicada agrave Matemaacutetica Financeira Caacutelculo I e Matemaacutetica Financeira no Curso de Matemaacutetica ndash Licenciatura nesta mesma instituiccedilatildeo Atualmente ministra a disciplina Representaccedilotildees Graacuteficas na Poacutes-graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo Matemaacutetica da UNISUL
Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo
Unidade 1
1 a) 5
b) -2359
c) 3311
d) 077
e) 081
Respostas modo RPN
a)
b)
c)
d)
e)
Respostas modo ALG
a
b
c
d
e
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Universidade do Sul de Santa Catarina
2 R$ 167757
Modo RPN
Modo ALG
3 -242
4 Data 13082008 3 (quarta-feira)
5 Florianoacutepolis = 3303 Curitiba = 5018 Porto Alegre = 1680
Unidade 2
1 1) 150000
Dados
C = R$ 1000000
i = 5 aa
n = 3 anos = 1080 dias
J =
3) 24 meses = 2 anos
Dados
C = R$ 200000
i = 6 aa
n = 24 meses = 720 dias
M =
79
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
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c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
86
Universidade do Sul de Santa Catarina
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
87
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
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Universidade do Sul de Santa Catarina
36
Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 24 (exemplo 1 paacuteg 47 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma duplicata de R$ 1500000 com vencimento no dia 03042005 foi descontada em um banco em 08012005 a uma taxa de 25 am Qual eacute o desconto simples bancaacuterio da operaccedilatildeo
Soluccedilatildeo
08012005 03042005 85
1500000 0025 30 106250
Taxa decimal Desconto bancaacuterio
Nordm de dias entre as datas
Exemplo 25 (exemplo 1 paacuteg 48 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma empresa descontou um tiacutetulo com valor de face de R$ 1450000 3 meses e 15 dias antes do vencimento com uma taxa de desconto bancaacuterio simples de 24 am Quanto a empresa recebeu liacutequido na operaccedilatildeo
Soluccedilatildeo
1450000 0024 35 1450000 1328200
Periacuteodo em meses Valor liacutequidoTaxa decimal
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
Exemplo 26 (exemplo 1 paacuteg 49 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma duplicata de R$ 4800000 foi descontada 6 meses antes de seu vencimento em uma instituiccedilatildeo financeira que trabalha com uma taxa de desconto simples de 32 am Com base nestes dados determine
o valor do desconto simples bancaacuterio
o valor do desconto simples racional
Soluccedilatildeo
4800000 6 0032 921600
Taxa decimal Valor liacutequido
921600 1 0032
6 773154
Taxa decimal Valor liacutequido
Na proacutexima seccedilatildeo vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros compostos e de desconto compostos
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Seccedilatildeo 2 ndash Regime de capitalizaccedilatildeo composto
Os exemplos apresentados a partir de agora satildeo ilustrativos de uma ampla variedade de caacutelculos financeiros Para resolvecirc-los vocecirc precisa estruturaacute-los identificando os elementos baacutesicos do problema de maneira que fiquem evidentes as quantidades que devem ser fornecidas agrave calculadora e quem eacute o valor desconhecido ou seja o valor que desejamos determinar
Na resoluccedilatildeo dos caacutelculos usando a HP ndash 12C eacute indispensaacutevel elaborar o diagrama de fluxo de caixa Eacute importante ressaltar que a calculadora precisa de ajuda para comparar o fluxo de caixa ou seja eacute preciso informar quando temos uma entrada ou uma saiacuteda
O fluxo de caixa serve para demonstrar graficamente as transaccedilotildees financeiras em um periacuteodo de tempo
O tempo eacute representado por uma linha horizontal dividida pelo nuacutemero de periacuteodos relevantes para anaacutelise As entradas ou recebimentos satildeo representados por setas verticais apontadas para cima e as saiacutedas ou pagamentos satildeo representados por setas verticais apontadas para baixo Observe o modelo simplificado
(+) entradas
(-) saiacutedas
tempo (n)
Veja agora o modelo detalhado
Entradas
Saiacutedas
Tempo
Fluxo de caixa pode ser definido como sendo a movimentaccedilatildeo de recursos financeiros (entradas e saiacutedas de caixa) ao longo de um periacuteodo de tempo - agrave entrada e saiacuteda de dinheiro O conceito caixa (financeiro) natildeo pode ser confundido com conceito de competecircncia (contaacutebil)
39
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
Na HP-12C a tecla (do inglecircs Change Sign) serve para introduzir ou tirar um sinal negativo de um nuacutemero ou seja faz o fluxo de caixa
Na sequecircncia de exemplos apresentados a seguir realizaremos caacutelculos de juros montantes valor presente prazo taxa de juros e descontos no regime composto com o auxiacutelio dos registradores financeiros da calculadora HP ndash 12C
Exemplo 27 (exemplo 1 paacuteg 58 do livro Matemaacutetica Financeira)
Qual o montante gerado por um capital de R$ 450000 aplicado por 9 meses a juros compostos a uma taxa de 35 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o montante composto
450000 9 35 613304
MontanteFluxo de caixa saiacuteda do dinheiro para aplicaccedilatildeo
Exemplo 28 (exemplo 2 paacuteg 58 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital de R$ 1200000 foi aplicado a juros compostos durante 6 meses agrave taxa de 2 am Calcule os juros auferidos na aplicaccedilatildeo
Soluccedilatildeo use a sequecircncia a seguir para calcular os juros
1200000 6 2
1351395 151395
Montante Juros
Fluxo de caixa saiacuteda do dinheiro para aplicaccedilatildeo
Recupera um valor em um registrador
financeiro
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Exemplo 29 (exemplo 3 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital ldquoXrdquo eacute aplicado a juros compostos agrave taxa de 35 am gerando um montante de R$ 1950000 apoacutes 1 ano e 3 meses Determine o capital ldquoXrdquo
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar o capital
1950000 35 15 -1163937
Capital aplicado
Exemplo 210 (exemplo 4 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
A que taxa mensal de juros compostos um capital de R$ 1250000 pode transformar-se em R$ 1537342 no periacuteodo de 7 meses
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
1250000 1537342 7 300
Taxa de juros mensal
41
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Unidade 2
Exemplo 211 (exemplo 5 paacuteg 60 do livro Matemaacutetica Financeira)
Em que prazo um empreacutestimo de R$ 3500000 pode ser pago pela quantia de R$ 4790000 se a taxa de juros compostos cobrada for de 4 am
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
3500000 4790000 4 8
Periacuteodo em meses
Funccedilatildeo ldquoCrdquo na HP ndash 12C e as teclas ldquoSTOrdquo e ldquoEEXrdquo
Vocecirc pode calcular taxa de juros (i) Capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos Perioacutedicos (PMT) para transaccedilotildees financeiras com periacuteodos fracionaacuterios Ao digitar um periacuteodo fracionaacuterio por exemplo 23 meses a parte inteira do nuacutemero indica o nuacutemero de periacuteodos inteiro e a parte fracionaacuteria do nuacutemero o tamanho do periacuteodo fracionaacuterio como uma fraccedilatildeo do periacuteodo inteiro (no exemplo 2 meses e 03 meses)
De acordo com o criteacuterio do usuaacuterio os caacutelculos de taxa de juros ( i ) capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos perioacutedicos (PMT) podem ser executados com juros simples ou compostos acumulados durante o periacuteodo fracionaacuterio Para escolher uma das duas opccedilotildees faccedila
Aparece o indicador ldquoCldquo Portanto os juros compostos satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Natildeo aparece o indicador ldquoCrdquo Portanto os juros simples satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Figura 23 - Teclas utilizadas para caacutelculo de juros simples e compostos para periacuteodo fracionaacuterio Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
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Exemplo 212
Calcular o valor futuro de uma aplicaccedilatildeo de R$ 185030000 aplicado agrave taxa de 14 aa durante 45 anos usando juros compostos e simples para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Soluccedilatildeo as sequecircncias a seguir apresentam os resultados para o caacutelculo do valor futuro com juros simples para o periacuteodo fracionaacuterio e juros compostos para o periacuteodo fracionaacuterios respectivamente
185030000 14
45 334383879
Valor futuro calculado com juros simples para o periacuteodo
fracionaacuterio
185030000
14 45 333667556
Valor futuro calculado com juros compostos para o
periacuteodo fracionaacuterio
Exemplo 213 (exemplo 1 paacuteg 81 do livro Matemaacutetica Financeira)
Determine o valor do desconto composto racional e o valor do resgate de um tiacutetulo de R$ 1560000 descontado 5 meses antes do seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto composto racional eacute de 4 am
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Unidade 2
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor do desconto racional composto e o valor liacutequido a receber
1560000 1
1 004 5
277794 1560000 1282206
Valor do desconto Valor liacutequido
Exemplo 214 (exemplo 1 paacuteg 84 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um tiacutetulo de valor nominal de R$ 1500000 eacute descontado em um banco 3 meses antes de seu vencimento Se a taxa de desconto comercial usada pelo banco eacute de 8 am qual eacute o valor do desconto
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor liacutequido e o valor do desconto bancaacuterio ou comercial
1500000 3 8
-1168032 331968
Valor liacutequido Valor do desconto
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Nesta unidade vocecirc usou a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros simples e compostos descontos simples e compostos valor presente taxa de juros periacuteodo e montante Na proacutexima unidade usaremos a ferramenta para auxiliar no caacutelculo de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir foram propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo em PDF estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as questotildees 1 3 5 e 6 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteginas 38 e 39 Confira os resultados na paacuteg 194
1) Qual o rendimento que obtemos ao aplicarmos um capital de R$ 1000000 a uma taxa de juros simples de 5 aa durante 3 anos
3) Em um regime de capitalizaccedilatildeo simples qual eacute o montante que se obteacutem quando aplicamos um capital de R$ 200000 a uma taxa 6 aa durante 24 meses
5) Uma quantia de R$ 6200000 foi aplicada em uma operaccedilatildeo financeira no dia 20 de setembro de 2003 e resgatada no dia 21 de dezembro de 2003 a uma taxa de 125 aa Quais os juros simples exatos e comerciais da operaccedilatildeo
6) Calcule os juros simples exatos e comerciais nas seguintes condiccedilotildees
bull R$ 600000 aplicados por 180 dias a 12 aa
bull R$ 520000 aplicados por 230 dias a 15 aa
45
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Unidade 2
2 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 2 e 4 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegs 52 e 53 Confira os resultados nas paacuteginas 194 e 195
1) Uma empresa desconta uma duplicata no valor nominal de R$ 5000000 no Banco ldquoXrdquo 4 meses antes do seu vencimento Sabendo que o banco ldquoXrdquo trabalha com uma taxa de desconto simples bancaacuterio de 45 am qual eacute o valor do desconto e o valor liacutequido recebido
2) Para pagar uma diacutevida hoje uma empresa descontou em uma carteira de creacutedito uma duplicata no valor de R$ 1650000 com vencimento daqui a 2 meses recebendo um valor nominal liacutequido de R$ 1500000 Determine a taxa mensal de desconto simples bancaacuterio utilizada
4) Uma letra de cacircmbio no valor nominal de R$ 500000 foi comercializada 4 meses antes do vencimento a uma taxa de desconto simples de 22 am Se o desconto simples fosse o racional qual seria o valor deste desconto
3 Elabore uma sequecircncia de passos para resolver as questotildees propostas 1 2 3 4 e 6 nas paacuteginas 65 66 e 67 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira e confira os resultados na paacuteg 195
1) Calcule o montante produzido por um capital de R$ 2600000 aplicado a uma taxa de juros compostos de 52 am por 6 meses
2) Calcule os juros compostos auferidos por um capital de R$ 420000 aplicado a uma taxa de 3 am durante 10 meses
3) Um empreacutestimo de R$ 600000 deve ser pago em 120 dias a juros compostos pelo valor de R$ 900000 Qual eacute a taxa mensal da operaccedilatildeo
4) Em que prazo uma aplicaccedilatildeo a juros compostos de R$ 2400000 produziraacute um montante de R$ 6151930 agrave taxa de 4 am
6) Quanto Paulo deve aplicar hoje a juros compostos em uma instituiccedilatildeo financeira que paga uma taxa de 12 am para pagar um compromisso de valor nominal igual a R$ 3800000 que vence daqui a 3 meses
46
Universidade do Sul de Santa Catarina
4 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 e 8 das paacuteginas 88 e 90 respectivamente do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira Confira os resultados na paacuteg 196
1) Determine o valor do desconto composto racional de um tiacutetulo de valor nominal de R$ 830000 descontado 6 meses antes de seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto eacute de 42 am
8) Um tiacutetulo de R$ 3000000 foi descontado em uma instituiccedilatildeo financeira a uma taxa de desconto composto comercial de 64 am e o valor liacutequido recebido era de R$ 2017327 Quantos meses antes do vencimento foi descontado este tiacutetulo
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
3UNIDADE 3
Taxas de juros equivalentes e caacutelculo de pagamentos perioacutedicos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para calcular taxas equivalentes
Usar as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP ndash 12C para programar o algoritmo da taxa equivalente no regime de capitalizaccedilatildeo composto
Calcular pagamentos perioacutedicos de sequecircncias uniformes postecipadas e antecipadas
Calcular montante de uma sequecircncia uniforme
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Taxas equivalentes
Seccedilatildeo 2 Sequecircncia de capitais
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar taxas equivalentes no regime de capitalizaccedilatildeo composto Vocecirc usaraacute as funccedilotildees de programaccedilatildeo com o objetivo de elaborar um algoritmo para fazer a conversatildeo de taxas de um periacuteodo de capitalizaccedilatildeo (ex mensal) para outro periacuteodo (ex anual) usando o programa Vamos explorar as funccedilotildees ldquoPMTrdquo ldquoBEGrdquo e ldquoENDrdquo para realizar caacutelculo de pagamentos antecipados e postecipados em uma sequecircncia uniforme Destacamos que os exemplos que seratildeo apresentados estatildeo no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira
Seccedilatildeo 1 ndash Taxas equivalentes
Nesta unidade vocecirc usaraacute algumas funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos (postecipados e antecipados) de uma seacuterie uniforme Vocecirc usaraacute ainda as funccedilotildees de programaccedilatildeo para elaborar um programa para calcular taxas equivalentes A figura a seguir apresenta as funccedilotildees que vocecirc usaraacute nos exemplos apresentados posteriormente
Aciona o modo de programaccedilatildeo de HP ndash 12C
Aciona a funccedilatildeo Begin que calcula a parcela com pagamento antecipado
Aciona a funccedilatildeo End (natildeo aparece no visor da calculadora) que calcula parcela com pagamento postecipado
Figura 31 - Teclas utilizadas para acionar as funccedilotildees Beg e End e entrar no modo de programaccedilatildeo
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
49
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
Taxas equivalentes
No mercado financeiro e nas operaccedilotildees bancaacuterias e comerciais a palavra taxa eacute empregada de vaacuterias formas ou seja vaacuterios conceitos satildeo abordados em vaacuterias situaccedilotildees Esta seccedilatildeo tem como objetivo mostrar como as taxas de juros satildeo informadas no mercado financeiro e como adequaacute-las agraves condiccedilotildees padronizadas pela HP ndash 12C
Duas taxas satildeo consideradas equivalentes a juros compostos quando aplicadas a um mesmo capital por um periacuteodo de tempo equivalente e geram o mesmo rendimento
Exemplo 31(exemplo 1 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
No regime de juros compostos qual a taxa anual equivalente a 4 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente anual
Exemplo 32 (exemplo 2 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
Calcule a taxa quadrimestral equivalente agrave taxa de juros compostos de 8 aa
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente quadrimestral
1 004 12 1 1 10000 6010
Taxa anual
50
Universidade do Sul de Santa Catarina
1 008 1 3 1 10000 260
Taxa quadrimestral
Programa para caacutelculo da taxa equivalente pela hp ndash 12c
O professor Carlos Shinoda em seu livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48) apresenta um programa para calcular a taxa equivalente atraveacutes da calculadora HP ndash 12C
Siga os procedimentos abaixo para introduzir o programa na HP ndash 12C
Figura 32 - Algoritmo para a programaccedilatildeo de taxa equivalente
Fonte Livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48)
51
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
Agora que vocecirc programou a HP ndash 12C para o caacutelculo de taxas equivalentes resolva o exemplo a seguir usando o programa
Exemplo 33
Usando o programa anterior determine as taxas equivalentes propostas nos exemplos 31 e 32
Soluccedilatildeo
As sequecircncias abaixo calculam as taxas equivalentes
Executa oprograma
4 1 12 6010
Taxa anual
Executa oprograma
8 360 120 260
Taxa quadrimestral
52
Universidade do Sul de Santa Catarina
Seccedilatildeo 2 ndash Sequecircncia de capitais
Nesta seccedilatildeo vocecirc acompanharaacute as situaccedilotildees em que haacute mais de um pagamento ou seja vocecirc estudaraacute as operaccedilotildees envolvendo pagamentos ou recebimentos perioacutedicos e uniformes
As seacuteries uniformes de pagamentos satildeo aquelas em que os pagamentos ou recebimentos satildeo constantes e ocorrem em intervalos iguais
Seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas e antecipadas
As seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1 Este sistema eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada (0 + n)
Pagamentos ou recebimentos podem ser chamados de prestaccedilatildeo representada pela sigla PMT que vem do inglecircs Payment e significa pagamento ou recebimento
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentosPMT
++
0 1 2 3 4 5 6 n
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
++
0 1 2 3 4 5 6 n
PMT
53
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Unidade 3
As seacuteries uniformes de pagamentos antecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre na data focal 0 (zero) Este tipo de sistema de pagamento eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento com entrada (1+ n)
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
Exemplo 34 (exemplo 2 paacuteg 108 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um automoacutevel eacute vendido em uma loja por R$ 3200000 A loja propotildee as seguintes condiccedilotildees para financiamento
Proposta A 12 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta B 24 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta C 36 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
A taxa de juros usada eacute de 32 am Qual o valor de cada prestaccedilatildeo nas 3 modalidades de financiamento
Soluccedilatildeo
As sequecircncias a seguir calculam os valores das parcelas nas trecircs propostas
54
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3200000
32 12 -325329
parcela
3200000
32 24 -193046
parcela
3200000
32 36 -150979
parcela
Exemplo 35 (exemplo 2 paacuteg 111 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma casa cujo valor agrave vista eacute R$ 4924456 eacute vendida em prestaccedilotildees mensais e iguais de R$ 250000 sendo a primeira dada como entrada Se a taxa de financiamento eacute de 18 am determine o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas no financiamento
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o nuacutemero de parcelas
4924456 18
250000 24
nordm de parcelas
55
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Unidade 3
No exemplo acima o nuacutemero de pagamento deu um nuacutemero inteiro Mas podem acontecer situaccedilotildees em que ao se determinar o nuacutemero de parcelas o resultado natildeo seja um nuacutemero inteiro
Nessa situaccedilatildeo a HP ndash 12C arredonda a resposta para o proacuteximo inteiro para cima antes de armazenaacute-la e exibi-la
Exemplo 36
Vocecirc comprou um terreno por R$ 3500000 a juros de 105 aa Vocecirc pretende fazer pagamentos de R$ 32500 no fim de cada mecircs Quantos pagamentos seratildeo necessaacuterios para pagar o terreno e quanto tempo levaraacute
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o nuacutemero de pagamentos e o tempo necessaacuterio
3500000 105
32500 328 2733
nordm de parcelas Tempo (anos)
Como a calculadora arredonda o valor do tempo para o proacuteximo inteiro eacute provaacutevel que apesar de serem necessaacuterios 328 pagamentos somente 327 seratildeo inteiros de R$ 32500 com o pagamento final sendo menor do que R$ 32500 Para calcular o valor do pagamento de nuacutemero 328 vamos fazer o seguinte
A calculadora natildeo ajusta os valores nos outros registros financeiros automaticamente para refletir os n pagamentos iguais ao contraacuterio ela lhe permite escolher quais valores (se houver) que vocecirc deseja ajustar
56
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328 18189 - 32500 -14311
Valor da parcela 328
Nesta unidade vocecirc calculou taxas equivalentes usou as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP e fez caacutelculos de pagamentos perioacutedicos de uma seacuterie uniforme antecipado ou postecipado Na proacutexima unidade vamos realizar caacutelculos de valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades abaixo (Essa atividade corresponde agrave autoavaliaccedilatildeo 1 da unidade 5 do livro didaacutetico de Matemaacutetica Financeira) Em seguida use o programa elaborado para resolver a mesma questatildeo
Calcule a taxa anual das seguintes taxas
a) 26 am
b) 42 ab
c) 48 at
d) 12 as
57
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
2 Elabore um algoritmo para resolver as seguintes atividades (Estas questotildees equivalem agraves autoavaliaccedilotildees 1 2 3 4 e 5 da unidade 8 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 121 122 e 123)
a) Calcule o valor da prestaccedilatildeo mensal de um empreacutestimo de R$ 600000 que seraacute amortizado em 12 prestaccedilotildees mensais postecipadas sabendo que o banco cobra uma taxa de juros de 2 am
b) Uma loja vende um automoacutevel agrave vista por R$ 1650000 Se o comprador quiser fazer um financiamento em 36 parcelas mensais e iguais onde o 1ordm pagamento seraacute efetuado no 1ordm mecircs apoacutes a compra a uma taxa de juros de 21 am qual o valor da prestaccedilatildeo
c) Uma mercadoria custa R$ 9038071 agrave vista podendo ser vendida em prestaccedilotildees mensais de R$ 1050000 sendo a primeira prestaccedilatildeo dada como entrada Sabendo-se que a loja aplica uma taxa de 35 am qual o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas
d) Carlos depositou certa quantia durante 10 meses de forma antecipada a uma taxa de 25 am obtendo um montante de R$ 25000000 Quanto depositou mensalmente Carlos
e) Um produto eacute vendido agrave vista por R$ 200000 ou em 10 prestaccedilotildees mensais iguais sem entrada com uma carecircncia de 90 dias apoacutes a compra Qual o valor de cada prestaccedilatildeo sabendo que a taxa de juros eacute de 6 am
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
4UNIDADE 4
Valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa
Usar as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Valor presente liacutequido
Seccedilatildeo 2 Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs ndash SFA (Price)
60
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa usando as funccedilotildees CF0 CFj e NPV Vocecirc deveraacute ainda fazer uso da funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos usando o Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo ndash SFA ou tabela Price
Seccedilatildeo 1 ndash Valor presente liacutequido
A figura 41 a seguir apresenta as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C que vocecirc usaraacute nessa unidade para realizar caacutelculo de valor presente liacutequido e para a elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos ou financiamento
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor inicial do fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor do fluxo de caixa no periacuteodo j
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula o valor presente atual de um fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula a parte dos pagamentos usada para pagar juros
Figura 41 - Teclas para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
Valor presente liacutequido
Nessa seccedilatildeo vocecirc usaraacute as funccedilotildees da HP ndash 12C para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa Para entender como usar as funccedilotildees CF0 CFj e NPV considere o fluxo de caixa para um investimento que exige capital inicial (CF0) e que gera um fluxo de caixa (CFj ) no final de j periacuteodos
61
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Veja a seguir o fluxo de caixa
CF0CF1
CF2 CF5
CFn
CF3 CF4
O VPL = Valor Presente Liacutequido eacute calculado somando ao investimento inicial o valor presente dos fluxos de caixa futuros projetados Portanto
se o VPL for positivo o valor financeiro do ativo do investidor aumentaraacute ou seja o investimento financeiro seraacute atrativo em termos financeiros
se o VPL for zero o valor financeiro do ativo financeiro do investidor natildeo mudaraacute ou seja o investidor seraacute indiferente ao investimento
se o VPL for negativo o valor financeiro do ativo do investidor seraacute reduzido ou seja o investimento natildeo seraacute atrativo em termos financeiros
Exemplo 41
Um investidor compra uma casa por R$ 7000000 e gostaria de ter um retorno de pelo menos 15 Ele pretende manter a casa por 4 anos e depois vendecirc-la por R$ 11000000 Ele prevecirc os fluxos de caixa mostrados no diagrama abaixo
CF0CF1
CF1
CF3CF4
CF5
R$ 7000000
R$ 50000
R$ 450000R$ 450000
R$ 13000000R$ 550000
Sendo assim calcule o VPL para determinar se o investimento resultaria em um retorno ou perda
62
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Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o VPL
7000000 50000
450000 550000 450000
13000000 15 379007
VPL
Como o VPL eacute positivo o investimento aumentaria o valor financeiro do ativo do investidor
Exemplo 42 (exemplo 4 paacuteg 98 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um proprietaacuterio recebeu as seguintes propostas para a venda de uma casa
Proposta A entrada de R$ 10000000 + R$ 5000000 em 6 meses + R$ 6000000 em 1 ano
Proposta B entrada de R$ 8000000 + R$ 6000000 em 5 meses + R$ 7000000 em 10 meses
Sabendo-se que a taxa de juros de mercado eacute de 3 am qual a melhor proposta para o vendedor
Soluccedilatildeo
Essa questatildeo deve ser resolvida pelo meacutetodo do Valor Presente Liacutequido A alternativa que tiver o maior valor seraacute a melhor Entretanto para facilitar a elaboraccedilatildeo do algoritmo de resoluccedilatildeo na HP ndash 12C elabore o fluxo de caixa para cada situaccedilatildeo
63
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Unidade 4
1 Proposta A Fluxo de caixa
10000000 5000000 6000000
1 2 3 4 5 7 8 9 10 110 6 12
Calculando o VPL
10000000 000 5
5000000 000
5
6000000
3
18395701
VPL
Armazena o zero 5 vezes
2 Proposta B Fluxo de caixa
8000000 70000006000000
1 2 3 4 6 7 8 90 5 10
Calculando o VPL
8000000 000 4
6000000 000
4
7000000
3
18384310
VPL
Armazena o zero 4 vezes
Resposta a melhor proposta eacute a A
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Exemplo 43
Dois equipamentos satildeo examinados Considerando ser a taxa miacutenima de atratividade de 20aa qual o equipamento que deve ser adquirido
Dados
41 - Tabela de DadosEquipamento K Equipamento L
Custo R$ 5000000 R$ 8000000Custo anual de manutenccedilatildeo R$ 2000000 R$ 1500000Valor residual para venda R$ 400000 R$ 800000Duraccedilatildeo em anos 10 10
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
A seguir veja o diagrama de fluxo de caixa
Os caacutelculos do Valor Presente Liacutequido para as duas situaccedilotildees satildeo
Equipamento K
5000000
Equipamento K
2000000
400000
0 1 2 10
8000000
Equipamento L
1500000
800000
0 1 2 10
50000 20000
9 4000 20000 1
20 -13320342
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Unidade 4
Equipamento L
80000 15000
9 8000 15000 1
20 -14159504
Importante Veja que a alternativa K equivale a um equipamento em que se investe R$ 13320342 enquanto que o equipamento L equivale a um investimento de R$ 14159504 Portanto eacute preferiacutevel o equipamento K pois o investimento eacute menor
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Seccedilatildeo 2 ndash Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs - SFA
Este sistema consiste no pagamento de empreacutestimos ou financiamentos com prestaccedilotildees iguais e com periodicidade constante Eacute considerado o sistema de amortizaccedilatildeo mais utilizado pelas instituiccedilotildees financeiras e pelo comeacutercio em geral
O Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo eacute assim chamado por ter sido inventado na Franccedila por volta do seacuteculo XVIII pelo matemaacutetico inglecircs Richard Price daiacute portanto a origem da denominaccedilatildeo Sistema Price tambeacutem comumente chamado de Tabela Price
Na verdade a Tabela Price eacute um caso particular derivado do Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo Neste sistema o financiamento (PV) eacute pago em parcelas (PMT) iguais constituiacutedas da amortizaccedilatildeo do principal da diacutevida + juros compensatoacuterios (J) que variam inversamente ao longo do tempo Ou seja agrave medida que aumenta o valor da parcela de amortizaccedilatildeo haveraacute uma queda dos juros compensatoacuterios em funccedilatildeo da reduccedilatildeo do saldo devedor
Principais Caracteriacutesticas
As principais caracteriacutesticas do SFA satildeo
a prestaccedilatildeo eacute constante durante todo o periacuteodo do financiamento
a parcela de amortizaccedilatildeo aumenta a cada periacuteodo (n)
os juros compensatoacuterios diminuem a cada periacuteodo (n)
Exemplo 44 (exemplo 1 paacuteg 148 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma instituiccedilatildeo financeira libera um empreacutestimo para uma induacutestria no valor de R$ 60000000 para ser pago pelo sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs em 120 meses a uma taxa de 15 am Faccedila a planilha ateacute o 4ordm mecircs e calcule o saldo devedor no 100ordm mecircs
67
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Soluccedilatildeo
A sequecircncia abaixo calcula o valor da prestaccedilatildeo os juros a amortizaccedilatildeo o saldo devedor e valor do saldo devedor no 100ordm mecircs Acompanhe
Zera os registradores
60000000 Armazena o valor presente
120 Armazena o periacuteodo
15 Armazena a taxa
- R$ 1081111 Valor da prestaccedilatildeo
1 - R$ 900000 Valor dos juros da 1ordf parcela
R$ 181111Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 1ordf parcela
R$ 58918889 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 897283 Valor dos juros da 2ordf parcela
- R$ 183828Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 2ordf parcela
R$ 59635061 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 894526 Valor dos juros da 3ordf parcela
- R$ 186585Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 3ordf parcela
R$ 59448476 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 891727 Valor dos juros da 4ordf parcela
- R$ 189384Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 4ordf parcela
R$ 59259092 Recupera o saldo devedor
A tabela a seguir apresenta um resumo das operaccedilotildees realizadas
68
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Tabela 42 ndash Planilha de amortizaccedilatildeoPeriacuteodo (n) Amortizaccedilatildeo (A) Juros (J) Prestaccedilotildees (R) Saldo Devedor (S)
0 - - - R$ 600000001 R$ 181111 R$ 900000 R$ 1081111 R$ 598188892 R$ 183828 R$ 897283 R$ 1081111 R$ 596350613 R$ 186585 R$ 894526 R$ 1081111 R$ 594484764 R$ 189384 R$ 891727 R$ 1081111 R$ 59259092
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Para determinar o saldo devedor no 100ordm mecircs faccedila como indicado a seguir
60000000 120 150
-1081111 18561247
Prestaccedilatildeo Saldo devedor no 100ordm mecircs
Nesta unidade vocecirc usou as funccedilotildees de fluxo de caixa para calcular o valor presente liacutequido e a funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
69Unidade 4
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Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades a seguir (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 4 e 5 da unidade 7 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegina 102) Em seguida use o programa elaborado para resolver as mesmas questotildees
a) Qual das alternativas de pagamento eacute a melhor para uma taxa de juros compostos de 75 am
Alternativa A Pagamento de R$ 15000000 agrave vista
Alternativa B Entrada de R$ 5000000 + R$ 8000000 em 90 dias + R$ 6000000 em 150 dias
b) Uma pessoa deve a um banco dois tiacutetulos com valores de R$ 300000 e R$ 600000 venciacuteveis respectivamente em 4 meses e 8 meses Se a pessoa deseja antecipar para hoje a liquidaccedilatildeo dos tiacutetulos qual o valor a pagar considerando que o banco opera com uma taxa de juros compostos de 23 am
2 Elabore um algoritmo para resolver as atividades abaixo (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 1 e 4 da unidade 10 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 151 e 153)
a) Um cliente solicita a um banco um empreacutestimo de R$ 4000000 pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs em 60 prestaccedilotildees mensais Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de juros de 28 am obtenha o valor da prestaccedilatildeo e o saldo devedor depois de pagar a 20ordf prestaccedilatildeo
b) Um empreacutestimo de R$ 30000000 seraacute saldado em 50 prestaccedilotildees mensais a uma taxa de 15 am Determine a parcela de juros relativa agrave 15ordf prestaccedilatildeo pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs (price)
70
Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
Manual da calculadora HP ndash 12C
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico ndash 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7ed Satildeo Paulo Atlas 2000
Para concluir o estudo
Com o teacutermino desse curso de extensatildeo acreditamos que proporcionamos momentos de aprendizagem por meio da interaccedilatildeo da calculadora financeira e que vocecirc estaacute habilitado(a) a fazer uso dessa ferramenta com qualidade no mercado de trabalho relacionado a essa aacuterea tatildeo importante no nosso dia-a-dia
Referecircncias
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7 ed Satildeo Paulo Atlas 2000
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003 Disponiacutevel em lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt Acesso em 05 jun 2008
Sobre o professor conteudista
Joseacute Humberto Dias de Toledo - eacute Mestre em Educaccedilatildeo pela Universidade do Sul de Santa Catarina Graduado em Licenciatura em Matemaacutetica e em Engenharia Civil Professor das disciplinas Meacutetodos Numeacutericos Informaacutetica Aplicada agrave Matemaacutetica Financeira Caacutelculo I e Matemaacutetica Financeira no Curso de Matemaacutetica ndash Licenciatura nesta mesma instituiccedilatildeo Atualmente ministra a disciplina Representaccedilotildees Graacuteficas na Poacutes-graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo Matemaacutetica da UNISUL
Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo
Unidade 1
1 a) 5
b) -2359
c) 3311
d) 077
e) 081
Respostas modo RPN
a)
b)
c)
d)
e)
Respostas modo ALG
a
b
c
d
e
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2 R$ 167757
Modo RPN
Modo ALG
3 -242
4 Data 13082008 3 (quarta-feira)
5 Florianoacutepolis = 3303 Curitiba = 5018 Porto Alegre = 1680
Unidade 2
1 1) 150000
Dados
C = R$ 1000000
i = 5 aa
n = 3 anos = 1080 dias
J =
3) 24 meses = 2 anos
Dados
C = R$ 200000
i = 6 aa
n = 24 meses = 720 dias
M =
79
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
85
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c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
86
Universidade do Sul de Santa Catarina
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
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b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
88
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
Exemplo 26 (exemplo 1 paacuteg 49 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma duplicata de R$ 4800000 foi descontada 6 meses antes de seu vencimento em uma instituiccedilatildeo financeira que trabalha com uma taxa de desconto simples de 32 am Com base nestes dados determine
o valor do desconto simples bancaacuterio
o valor do desconto simples racional
Soluccedilatildeo
4800000 6 0032 921600
Taxa decimal Valor liacutequido
921600 1 0032
6 773154
Taxa decimal Valor liacutequido
Na proacutexima seccedilatildeo vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros compostos e de desconto compostos
38
Universidade do Sul de Santa Catarina
Seccedilatildeo 2 ndash Regime de capitalizaccedilatildeo composto
Os exemplos apresentados a partir de agora satildeo ilustrativos de uma ampla variedade de caacutelculos financeiros Para resolvecirc-los vocecirc precisa estruturaacute-los identificando os elementos baacutesicos do problema de maneira que fiquem evidentes as quantidades que devem ser fornecidas agrave calculadora e quem eacute o valor desconhecido ou seja o valor que desejamos determinar
Na resoluccedilatildeo dos caacutelculos usando a HP ndash 12C eacute indispensaacutevel elaborar o diagrama de fluxo de caixa Eacute importante ressaltar que a calculadora precisa de ajuda para comparar o fluxo de caixa ou seja eacute preciso informar quando temos uma entrada ou uma saiacuteda
O fluxo de caixa serve para demonstrar graficamente as transaccedilotildees financeiras em um periacuteodo de tempo
O tempo eacute representado por uma linha horizontal dividida pelo nuacutemero de periacuteodos relevantes para anaacutelise As entradas ou recebimentos satildeo representados por setas verticais apontadas para cima e as saiacutedas ou pagamentos satildeo representados por setas verticais apontadas para baixo Observe o modelo simplificado
(+) entradas
(-) saiacutedas
tempo (n)
Veja agora o modelo detalhado
Entradas
Saiacutedas
Tempo
Fluxo de caixa pode ser definido como sendo a movimentaccedilatildeo de recursos financeiros (entradas e saiacutedas de caixa) ao longo de um periacuteodo de tempo - agrave entrada e saiacuteda de dinheiro O conceito caixa (financeiro) natildeo pode ser confundido com conceito de competecircncia (contaacutebil)
39
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
Na HP-12C a tecla (do inglecircs Change Sign) serve para introduzir ou tirar um sinal negativo de um nuacutemero ou seja faz o fluxo de caixa
Na sequecircncia de exemplos apresentados a seguir realizaremos caacutelculos de juros montantes valor presente prazo taxa de juros e descontos no regime composto com o auxiacutelio dos registradores financeiros da calculadora HP ndash 12C
Exemplo 27 (exemplo 1 paacuteg 58 do livro Matemaacutetica Financeira)
Qual o montante gerado por um capital de R$ 450000 aplicado por 9 meses a juros compostos a uma taxa de 35 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o montante composto
450000 9 35 613304
MontanteFluxo de caixa saiacuteda do dinheiro para aplicaccedilatildeo
Exemplo 28 (exemplo 2 paacuteg 58 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital de R$ 1200000 foi aplicado a juros compostos durante 6 meses agrave taxa de 2 am Calcule os juros auferidos na aplicaccedilatildeo
Soluccedilatildeo use a sequecircncia a seguir para calcular os juros
1200000 6 2
1351395 151395
Montante Juros
Fluxo de caixa saiacuteda do dinheiro para aplicaccedilatildeo
Recupera um valor em um registrador
financeiro
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Exemplo 29 (exemplo 3 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital ldquoXrdquo eacute aplicado a juros compostos agrave taxa de 35 am gerando um montante de R$ 1950000 apoacutes 1 ano e 3 meses Determine o capital ldquoXrdquo
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar o capital
1950000 35 15 -1163937
Capital aplicado
Exemplo 210 (exemplo 4 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
A que taxa mensal de juros compostos um capital de R$ 1250000 pode transformar-se em R$ 1537342 no periacuteodo de 7 meses
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
1250000 1537342 7 300
Taxa de juros mensal
41
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
Exemplo 211 (exemplo 5 paacuteg 60 do livro Matemaacutetica Financeira)
Em que prazo um empreacutestimo de R$ 3500000 pode ser pago pela quantia de R$ 4790000 se a taxa de juros compostos cobrada for de 4 am
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
3500000 4790000 4 8
Periacuteodo em meses
Funccedilatildeo ldquoCrdquo na HP ndash 12C e as teclas ldquoSTOrdquo e ldquoEEXrdquo
Vocecirc pode calcular taxa de juros (i) Capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos Perioacutedicos (PMT) para transaccedilotildees financeiras com periacuteodos fracionaacuterios Ao digitar um periacuteodo fracionaacuterio por exemplo 23 meses a parte inteira do nuacutemero indica o nuacutemero de periacuteodos inteiro e a parte fracionaacuteria do nuacutemero o tamanho do periacuteodo fracionaacuterio como uma fraccedilatildeo do periacuteodo inteiro (no exemplo 2 meses e 03 meses)
De acordo com o criteacuterio do usuaacuterio os caacutelculos de taxa de juros ( i ) capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos perioacutedicos (PMT) podem ser executados com juros simples ou compostos acumulados durante o periacuteodo fracionaacuterio Para escolher uma das duas opccedilotildees faccedila
Aparece o indicador ldquoCldquo Portanto os juros compostos satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Natildeo aparece o indicador ldquoCrdquo Portanto os juros simples satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Figura 23 - Teclas utilizadas para caacutelculo de juros simples e compostos para periacuteodo fracionaacuterio Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
42
Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 212
Calcular o valor futuro de uma aplicaccedilatildeo de R$ 185030000 aplicado agrave taxa de 14 aa durante 45 anos usando juros compostos e simples para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Soluccedilatildeo as sequecircncias a seguir apresentam os resultados para o caacutelculo do valor futuro com juros simples para o periacuteodo fracionaacuterio e juros compostos para o periacuteodo fracionaacuterios respectivamente
185030000 14
45 334383879
Valor futuro calculado com juros simples para o periacuteodo
fracionaacuterio
185030000
14 45 333667556
Valor futuro calculado com juros compostos para o
periacuteodo fracionaacuterio
Exemplo 213 (exemplo 1 paacuteg 81 do livro Matemaacutetica Financeira)
Determine o valor do desconto composto racional e o valor do resgate de um tiacutetulo de R$ 1560000 descontado 5 meses antes do seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto composto racional eacute de 4 am
43
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor do desconto racional composto e o valor liacutequido a receber
1560000 1
1 004 5
277794 1560000 1282206
Valor do desconto Valor liacutequido
Exemplo 214 (exemplo 1 paacuteg 84 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um tiacutetulo de valor nominal de R$ 1500000 eacute descontado em um banco 3 meses antes de seu vencimento Se a taxa de desconto comercial usada pelo banco eacute de 8 am qual eacute o valor do desconto
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor liacutequido e o valor do desconto bancaacuterio ou comercial
1500000 3 8
-1168032 331968
Valor liacutequido Valor do desconto
44
Universidade do Sul de Santa Catarina
Nesta unidade vocecirc usou a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros simples e compostos descontos simples e compostos valor presente taxa de juros periacuteodo e montante Na proacutexima unidade usaremos a ferramenta para auxiliar no caacutelculo de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir foram propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo em PDF estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as questotildees 1 3 5 e 6 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteginas 38 e 39 Confira os resultados na paacuteg 194
1) Qual o rendimento que obtemos ao aplicarmos um capital de R$ 1000000 a uma taxa de juros simples de 5 aa durante 3 anos
3) Em um regime de capitalizaccedilatildeo simples qual eacute o montante que se obteacutem quando aplicamos um capital de R$ 200000 a uma taxa 6 aa durante 24 meses
5) Uma quantia de R$ 6200000 foi aplicada em uma operaccedilatildeo financeira no dia 20 de setembro de 2003 e resgatada no dia 21 de dezembro de 2003 a uma taxa de 125 aa Quais os juros simples exatos e comerciais da operaccedilatildeo
6) Calcule os juros simples exatos e comerciais nas seguintes condiccedilotildees
bull R$ 600000 aplicados por 180 dias a 12 aa
bull R$ 520000 aplicados por 230 dias a 15 aa
45
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Unidade 2
2 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 2 e 4 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegs 52 e 53 Confira os resultados nas paacuteginas 194 e 195
1) Uma empresa desconta uma duplicata no valor nominal de R$ 5000000 no Banco ldquoXrdquo 4 meses antes do seu vencimento Sabendo que o banco ldquoXrdquo trabalha com uma taxa de desconto simples bancaacuterio de 45 am qual eacute o valor do desconto e o valor liacutequido recebido
2) Para pagar uma diacutevida hoje uma empresa descontou em uma carteira de creacutedito uma duplicata no valor de R$ 1650000 com vencimento daqui a 2 meses recebendo um valor nominal liacutequido de R$ 1500000 Determine a taxa mensal de desconto simples bancaacuterio utilizada
4) Uma letra de cacircmbio no valor nominal de R$ 500000 foi comercializada 4 meses antes do vencimento a uma taxa de desconto simples de 22 am Se o desconto simples fosse o racional qual seria o valor deste desconto
3 Elabore uma sequecircncia de passos para resolver as questotildees propostas 1 2 3 4 e 6 nas paacuteginas 65 66 e 67 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira e confira os resultados na paacuteg 195
1) Calcule o montante produzido por um capital de R$ 2600000 aplicado a uma taxa de juros compostos de 52 am por 6 meses
2) Calcule os juros compostos auferidos por um capital de R$ 420000 aplicado a uma taxa de 3 am durante 10 meses
3) Um empreacutestimo de R$ 600000 deve ser pago em 120 dias a juros compostos pelo valor de R$ 900000 Qual eacute a taxa mensal da operaccedilatildeo
4) Em que prazo uma aplicaccedilatildeo a juros compostos de R$ 2400000 produziraacute um montante de R$ 6151930 agrave taxa de 4 am
6) Quanto Paulo deve aplicar hoje a juros compostos em uma instituiccedilatildeo financeira que paga uma taxa de 12 am para pagar um compromisso de valor nominal igual a R$ 3800000 que vence daqui a 3 meses
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4 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 e 8 das paacuteginas 88 e 90 respectivamente do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira Confira os resultados na paacuteg 196
1) Determine o valor do desconto composto racional de um tiacutetulo de valor nominal de R$ 830000 descontado 6 meses antes de seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto eacute de 42 am
8) Um tiacutetulo de R$ 3000000 foi descontado em uma instituiccedilatildeo financeira a uma taxa de desconto composto comercial de 64 am e o valor liacutequido recebido era de R$ 2017327 Quantos meses antes do vencimento foi descontado este tiacutetulo
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
3UNIDADE 3
Taxas de juros equivalentes e caacutelculo de pagamentos perioacutedicos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para calcular taxas equivalentes
Usar as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP ndash 12C para programar o algoritmo da taxa equivalente no regime de capitalizaccedilatildeo composto
Calcular pagamentos perioacutedicos de sequecircncias uniformes postecipadas e antecipadas
Calcular montante de uma sequecircncia uniforme
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Taxas equivalentes
Seccedilatildeo 2 Sequecircncia de capitais
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar taxas equivalentes no regime de capitalizaccedilatildeo composto Vocecirc usaraacute as funccedilotildees de programaccedilatildeo com o objetivo de elaborar um algoritmo para fazer a conversatildeo de taxas de um periacuteodo de capitalizaccedilatildeo (ex mensal) para outro periacuteodo (ex anual) usando o programa Vamos explorar as funccedilotildees ldquoPMTrdquo ldquoBEGrdquo e ldquoENDrdquo para realizar caacutelculo de pagamentos antecipados e postecipados em uma sequecircncia uniforme Destacamos que os exemplos que seratildeo apresentados estatildeo no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira
Seccedilatildeo 1 ndash Taxas equivalentes
Nesta unidade vocecirc usaraacute algumas funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos (postecipados e antecipados) de uma seacuterie uniforme Vocecirc usaraacute ainda as funccedilotildees de programaccedilatildeo para elaborar um programa para calcular taxas equivalentes A figura a seguir apresenta as funccedilotildees que vocecirc usaraacute nos exemplos apresentados posteriormente
Aciona o modo de programaccedilatildeo de HP ndash 12C
Aciona a funccedilatildeo Begin que calcula a parcela com pagamento antecipado
Aciona a funccedilatildeo End (natildeo aparece no visor da calculadora) que calcula parcela com pagamento postecipado
Figura 31 - Teclas utilizadas para acionar as funccedilotildees Beg e End e entrar no modo de programaccedilatildeo
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
49
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Unidade 3
Taxas equivalentes
No mercado financeiro e nas operaccedilotildees bancaacuterias e comerciais a palavra taxa eacute empregada de vaacuterias formas ou seja vaacuterios conceitos satildeo abordados em vaacuterias situaccedilotildees Esta seccedilatildeo tem como objetivo mostrar como as taxas de juros satildeo informadas no mercado financeiro e como adequaacute-las agraves condiccedilotildees padronizadas pela HP ndash 12C
Duas taxas satildeo consideradas equivalentes a juros compostos quando aplicadas a um mesmo capital por um periacuteodo de tempo equivalente e geram o mesmo rendimento
Exemplo 31(exemplo 1 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
No regime de juros compostos qual a taxa anual equivalente a 4 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente anual
Exemplo 32 (exemplo 2 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
Calcule a taxa quadrimestral equivalente agrave taxa de juros compostos de 8 aa
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente quadrimestral
1 004 12 1 1 10000 6010
Taxa anual
50
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1 008 1 3 1 10000 260
Taxa quadrimestral
Programa para caacutelculo da taxa equivalente pela hp ndash 12c
O professor Carlos Shinoda em seu livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48) apresenta um programa para calcular a taxa equivalente atraveacutes da calculadora HP ndash 12C
Siga os procedimentos abaixo para introduzir o programa na HP ndash 12C
Figura 32 - Algoritmo para a programaccedilatildeo de taxa equivalente
Fonte Livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48)
51
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Unidade 3
Agora que vocecirc programou a HP ndash 12C para o caacutelculo de taxas equivalentes resolva o exemplo a seguir usando o programa
Exemplo 33
Usando o programa anterior determine as taxas equivalentes propostas nos exemplos 31 e 32
Soluccedilatildeo
As sequecircncias abaixo calculam as taxas equivalentes
Executa oprograma
4 1 12 6010
Taxa anual
Executa oprograma
8 360 120 260
Taxa quadrimestral
52
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Seccedilatildeo 2 ndash Sequecircncia de capitais
Nesta seccedilatildeo vocecirc acompanharaacute as situaccedilotildees em que haacute mais de um pagamento ou seja vocecirc estudaraacute as operaccedilotildees envolvendo pagamentos ou recebimentos perioacutedicos e uniformes
As seacuteries uniformes de pagamentos satildeo aquelas em que os pagamentos ou recebimentos satildeo constantes e ocorrem em intervalos iguais
Seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas e antecipadas
As seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1 Este sistema eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada (0 + n)
Pagamentos ou recebimentos podem ser chamados de prestaccedilatildeo representada pela sigla PMT que vem do inglecircs Payment e significa pagamento ou recebimento
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentosPMT
++
0 1 2 3 4 5 6 n
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
++
0 1 2 3 4 5 6 n
PMT
53
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Unidade 3
As seacuteries uniformes de pagamentos antecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre na data focal 0 (zero) Este tipo de sistema de pagamento eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento com entrada (1+ n)
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
Exemplo 34 (exemplo 2 paacuteg 108 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um automoacutevel eacute vendido em uma loja por R$ 3200000 A loja propotildee as seguintes condiccedilotildees para financiamento
Proposta A 12 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta B 24 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta C 36 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
A taxa de juros usada eacute de 32 am Qual o valor de cada prestaccedilatildeo nas 3 modalidades de financiamento
Soluccedilatildeo
As sequecircncias a seguir calculam os valores das parcelas nas trecircs propostas
54
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3200000
32 12 -325329
parcela
3200000
32 24 -193046
parcela
3200000
32 36 -150979
parcela
Exemplo 35 (exemplo 2 paacuteg 111 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma casa cujo valor agrave vista eacute R$ 4924456 eacute vendida em prestaccedilotildees mensais e iguais de R$ 250000 sendo a primeira dada como entrada Se a taxa de financiamento eacute de 18 am determine o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas no financiamento
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o nuacutemero de parcelas
4924456 18
250000 24
nordm de parcelas
55
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Unidade 3
No exemplo acima o nuacutemero de pagamento deu um nuacutemero inteiro Mas podem acontecer situaccedilotildees em que ao se determinar o nuacutemero de parcelas o resultado natildeo seja um nuacutemero inteiro
Nessa situaccedilatildeo a HP ndash 12C arredonda a resposta para o proacuteximo inteiro para cima antes de armazenaacute-la e exibi-la
Exemplo 36
Vocecirc comprou um terreno por R$ 3500000 a juros de 105 aa Vocecirc pretende fazer pagamentos de R$ 32500 no fim de cada mecircs Quantos pagamentos seratildeo necessaacuterios para pagar o terreno e quanto tempo levaraacute
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o nuacutemero de pagamentos e o tempo necessaacuterio
3500000 105
32500 328 2733
nordm de parcelas Tempo (anos)
Como a calculadora arredonda o valor do tempo para o proacuteximo inteiro eacute provaacutevel que apesar de serem necessaacuterios 328 pagamentos somente 327 seratildeo inteiros de R$ 32500 com o pagamento final sendo menor do que R$ 32500 Para calcular o valor do pagamento de nuacutemero 328 vamos fazer o seguinte
A calculadora natildeo ajusta os valores nos outros registros financeiros automaticamente para refletir os n pagamentos iguais ao contraacuterio ela lhe permite escolher quais valores (se houver) que vocecirc deseja ajustar
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328 18189 - 32500 -14311
Valor da parcela 328
Nesta unidade vocecirc calculou taxas equivalentes usou as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP e fez caacutelculos de pagamentos perioacutedicos de uma seacuterie uniforme antecipado ou postecipado Na proacutexima unidade vamos realizar caacutelculos de valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades abaixo (Essa atividade corresponde agrave autoavaliaccedilatildeo 1 da unidade 5 do livro didaacutetico de Matemaacutetica Financeira) Em seguida use o programa elaborado para resolver a mesma questatildeo
Calcule a taxa anual das seguintes taxas
a) 26 am
b) 42 ab
c) 48 at
d) 12 as
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Unidade 3
2 Elabore um algoritmo para resolver as seguintes atividades (Estas questotildees equivalem agraves autoavaliaccedilotildees 1 2 3 4 e 5 da unidade 8 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 121 122 e 123)
a) Calcule o valor da prestaccedilatildeo mensal de um empreacutestimo de R$ 600000 que seraacute amortizado em 12 prestaccedilotildees mensais postecipadas sabendo que o banco cobra uma taxa de juros de 2 am
b) Uma loja vende um automoacutevel agrave vista por R$ 1650000 Se o comprador quiser fazer um financiamento em 36 parcelas mensais e iguais onde o 1ordm pagamento seraacute efetuado no 1ordm mecircs apoacutes a compra a uma taxa de juros de 21 am qual o valor da prestaccedilatildeo
c) Uma mercadoria custa R$ 9038071 agrave vista podendo ser vendida em prestaccedilotildees mensais de R$ 1050000 sendo a primeira prestaccedilatildeo dada como entrada Sabendo-se que a loja aplica uma taxa de 35 am qual o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas
d) Carlos depositou certa quantia durante 10 meses de forma antecipada a uma taxa de 25 am obtendo um montante de R$ 25000000 Quanto depositou mensalmente Carlos
e) Um produto eacute vendido agrave vista por R$ 200000 ou em 10 prestaccedilotildees mensais iguais sem entrada com uma carecircncia de 90 dias apoacutes a compra Qual o valor de cada prestaccedilatildeo sabendo que a taxa de juros eacute de 6 am
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
4UNIDADE 4
Valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa
Usar as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Valor presente liacutequido
Seccedilatildeo 2 Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs ndash SFA (Price)
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa usando as funccedilotildees CF0 CFj e NPV Vocecirc deveraacute ainda fazer uso da funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos usando o Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo ndash SFA ou tabela Price
Seccedilatildeo 1 ndash Valor presente liacutequido
A figura 41 a seguir apresenta as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C que vocecirc usaraacute nessa unidade para realizar caacutelculo de valor presente liacutequido e para a elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos ou financiamento
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor inicial do fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor do fluxo de caixa no periacuteodo j
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula o valor presente atual de um fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula a parte dos pagamentos usada para pagar juros
Figura 41 - Teclas para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
Valor presente liacutequido
Nessa seccedilatildeo vocecirc usaraacute as funccedilotildees da HP ndash 12C para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa Para entender como usar as funccedilotildees CF0 CFj e NPV considere o fluxo de caixa para um investimento que exige capital inicial (CF0) e que gera um fluxo de caixa (CFj ) no final de j periacuteodos
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Unidade 4
Veja a seguir o fluxo de caixa
CF0CF1
CF2 CF5
CFn
CF3 CF4
O VPL = Valor Presente Liacutequido eacute calculado somando ao investimento inicial o valor presente dos fluxos de caixa futuros projetados Portanto
se o VPL for positivo o valor financeiro do ativo do investidor aumentaraacute ou seja o investimento financeiro seraacute atrativo em termos financeiros
se o VPL for zero o valor financeiro do ativo financeiro do investidor natildeo mudaraacute ou seja o investidor seraacute indiferente ao investimento
se o VPL for negativo o valor financeiro do ativo do investidor seraacute reduzido ou seja o investimento natildeo seraacute atrativo em termos financeiros
Exemplo 41
Um investidor compra uma casa por R$ 7000000 e gostaria de ter um retorno de pelo menos 15 Ele pretende manter a casa por 4 anos e depois vendecirc-la por R$ 11000000 Ele prevecirc os fluxos de caixa mostrados no diagrama abaixo
CF0CF1
CF1
CF3CF4
CF5
R$ 7000000
R$ 50000
R$ 450000R$ 450000
R$ 13000000R$ 550000
Sendo assim calcule o VPL para determinar se o investimento resultaria em um retorno ou perda
62
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Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o VPL
7000000 50000
450000 550000 450000
13000000 15 379007
VPL
Como o VPL eacute positivo o investimento aumentaria o valor financeiro do ativo do investidor
Exemplo 42 (exemplo 4 paacuteg 98 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um proprietaacuterio recebeu as seguintes propostas para a venda de uma casa
Proposta A entrada de R$ 10000000 + R$ 5000000 em 6 meses + R$ 6000000 em 1 ano
Proposta B entrada de R$ 8000000 + R$ 6000000 em 5 meses + R$ 7000000 em 10 meses
Sabendo-se que a taxa de juros de mercado eacute de 3 am qual a melhor proposta para o vendedor
Soluccedilatildeo
Essa questatildeo deve ser resolvida pelo meacutetodo do Valor Presente Liacutequido A alternativa que tiver o maior valor seraacute a melhor Entretanto para facilitar a elaboraccedilatildeo do algoritmo de resoluccedilatildeo na HP ndash 12C elabore o fluxo de caixa para cada situaccedilatildeo
63
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Unidade 4
1 Proposta A Fluxo de caixa
10000000 5000000 6000000
1 2 3 4 5 7 8 9 10 110 6 12
Calculando o VPL
10000000 000 5
5000000 000
5
6000000
3
18395701
VPL
Armazena o zero 5 vezes
2 Proposta B Fluxo de caixa
8000000 70000006000000
1 2 3 4 6 7 8 90 5 10
Calculando o VPL
8000000 000 4
6000000 000
4
7000000
3
18384310
VPL
Armazena o zero 4 vezes
Resposta a melhor proposta eacute a A
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Exemplo 43
Dois equipamentos satildeo examinados Considerando ser a taxa miacutenima de atratividade de 20aa qual o equipamento que deve ser adquirido
Dados
41 - Tabela de DadosEquipamento K Equipamento L
Custo R$ 5000000 R$ 8000000Custo anual de manutenccedilatildeo R$ 2000000 R$ 1500000Valor residual para venda R$ 400000 R$ 800000Duraccedilatildeo em anos 10 10
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
A seguir veja o diagrama de fluxo de caixa
Os caacutelculos do Valor Presente Liacutequido para as duas situaccedilotildees satildeo
Equipamento K
5000000
Equipamento K
2000000
400000
0 1 2 10
8000000
Equipamento L
1500000
800000
0 1 2 10
50000 20000
9 4000 20000 1
20 -13320342
65
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Equipamento L
80000 15000
9 8000 15000 1
20 -14159504
Importante Veja que a alternativa K equivale a um equipamento em que se investe R$ 13320342 enquanto que o equipamento L equivale a um investimento de R$ 14159504 Portanto eacute preferiacutevel o equipamento K pois o investimento eacute menor
66
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Seccedilatildeo 2 ndash Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs - SFA
Este sistema consiste no pagamento de empreacutestimos ou financiamentos com prestaccedilotildees iguais e com periodicidade constante Eacute considerado o sistema de amortizaccedilatildeo mais utilizado pelas instituiccedilotildees financeiras e pelo comeacutercio em geral
O Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo eacute assim chamado por ter sido inventado na Franccedila por volta do seacuteculo XVIII pelo matemaacutetico inglecircs Richard Price daiacute portanto a origem da denominaccedilatildeo Sistema Price tambeacutem comumente chamado de Tabela Price
Na verdade a Tabela Price eacute um caso particular derivado do Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo Neste sistema o financiamento (PV) eacute pago em parcelas (PMT) iguais constituiacutedas da amortizaccedilatildeo do principal da diacutevida + juros compensatoacuterios (J) que variam inversamente ao longo do tempo Ou seja agrave medida que aumenta o valor da parcela de amortizaccedilatildeo haveraacute uma queda dos juros compensatoacuterios em funccedilatildeo da reduccedilatildeo do saldo devedor
Principais Caracteriacutesticas
As principais caracteriacutesticas do SFA satildeo
a prestaccedilatildeo eacute constante durante todo o periacuteodo do financiamento
a parcela de amortizaccedilatildeo aumenta a cada periacuteodo (n)
os juros compensatoacuterios diminuem a cada periacuteodo (n)
Exemplo 44 (exemplo 1 paacuteg 148 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma instituiccedilatildeo financeira libera um empreacutestimo para uma induacutestria no valor de R$ 60000000 para ser pago pelo sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs em 120 meses a uma taxa de 15 am Faccedila a planilha ateacute o 4ordm mecircs e calcule o saldo devedor no 100ordm mecircs
67
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Soluccedilatildeo
A sequecircncia abaixo calcula o valor da prestaccedilatildeo os juros a amortizaccedilatildeo o saldo devedor e valor do saldo devedor no 100ordm mecircs Acompanhe
Zera os registradores
60000000 Armazena o valor presente
120 Armazena o periacuteodo
15 Armazena a taxa
- R$ 1081111 Valor da prestaccedilatildeo
1 - R$ 900000 Valor dos juros da 1ordf parcela
R$ 181111Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 1ordf parcela
R$ 58918889 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 897283 Valor dos juros da 2ordf parcela
- R$ 183828Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 2ordf parcela
R$ 59635061 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 894526 Valor dos juros da 3ordf parcela
- R$ 186585Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 3ordf parcela
R$ 59448476 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 891727 Valor dos juros da 4ordf parcela
- R$ 189384Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 4ordf parcela
R$ 59259092 Recupera o saldo devedor
A tabela a seguir apresenta um resumo das operaccedilotildees realizadas
68
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Tabela 42 ndash Planilha de amortizaccedilatildeoPeriacuteodo (n) Amortizaccedilatildeo (A) Juros (J) Prestaccedilotildees (R) Saldo Devedor (S)
0 - - - R$ 600000001 R$ 181111 R$ 900000 R$ 1081111 R$ 598188892 R$ 183828 R$ 897283 R$ 1081111 R$ 596350613 R$ 186585 R$ 894526 R$ 1081111 R$ 594484764 R$ 189384 R$ 891727 R$ 1081111 R$ 59259092
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Para determinar o saldo devedor no 100ordm mecircs faccedila como indicado a seguir
60000000 120 150
-1081111 18561247
Prestaccedilatildeo Saldo devedor no 100ordm mecircs
Nesta unidade vocecirc usou as funccedilotildees de fluxo de caixa para calcular o valor presente liacutequido e a funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
69Unidade 4
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades a seguir (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 4 e 5 da unidade 7 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegina 102) Em seguida use o programa elaborado para resolver as mesmas questotildees
a) Qual das alternativas de pagamento eacute a melhor para uma taxa de juros compostos de 75 am
Alternativa A Pagamento de R$ 15000000 agrave vista
Alternativa B Entrada de R$ 5000000 + R$ 8000000 em 90 dias + R$ 6000000 em 150 dias
b) Uma pessoa deve a um banco dois tiacutetulos com valores de R$ 300000 e R$ 600000 venciacuteveis respectivamente em 4 meses e 8 meses Se a pessoa deseja antecipar para hoje a liquidaccedilatildeo dos tiacutetulos qual o valor a pagar considerando que o banco opera com uma taxa de juros compostos de 23 am
2 Elabore um algoritmo para resolver as atividades abaixo (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 1 e 4 da unidade 10 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 151 e 153)
a) Um cliente solicita a um banco um empreacutestimo de R$ 4000000 pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs em 60 prestaccedilotildees mensais Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de juros de 28 am obtenha o valor da prestaccedilatildeo e o saldo devedor depois de pagar a 20ordf prestaccedilatildeo
b) Um empreacutestimo de R$ 30000000 seraacute saldado em 50 prestaccedilotildees mensais a uma taxa de 15 am Determine a parcela de juros relativa agrave 15ordf prestaccedilatildeo pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs (price)
70
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Saiba mais
Manual da calculadora HP ndash 12C
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico ndash 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7ed Satildeo Paulo Atlas 2000
Para concluir o estudo
Com o teacutermino desse curso de extensatildeo acreditamos que proporcionamos momentos de aprendizagem por meio da interaccedilatildeo da calculadora financeira e que vocecirc estaacute habilitado(a) a fazer uso dessa ferramenta com qualidade no mercado de trabalho relacionado a essa aacuterea tatildeo importante no nosso dia-a-dia
Referecircncias
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7 ed Satildeo Paulo Atlas 2000
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003 Disponiacutevel em lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt Acesso em 05 jun 2008
Sobre o professor conteudista
Joseacute Humberto Dias de Toledo - eacute Mestre em Educaccedilatildeo pela Universidade do Sul de Santa Catarina Graduado em Licenciatura em Matemaacutetica e em Engenharia Civil Professor das disciplinas Meacutetodos Numeacutericos Informaacutetica Aplicada agrave Matemaacutetica Financeira Caacutelculo I e Matemaacutetica Financeira no Curso de Matemaacutetica ndash Licenciatura nesta mesma instituiccedilatildeo Atualmente ministra a disciplina Representaccedilotildees Graacuteficas na Poacutes-graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo Matemaacutetica da UNISUL
Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo
Unidade 1
1 a) 5
b) -2359
c) 3311
d) 077
e) 081
Respostas modo RPN
a)
b)
c)
d)
e)
Respostas modo ALG
a
b
c
d
e
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2 R$ 167757
Modo RPN
Modo ALG
3 -242
4 Data 13082008 3 (quarta-feira)
5 Florianoacutepolis = 3303 Curitiba = 5018 Porto Alegre = 1680
Unidade 2
1 1) 150000
Dados
C = R$ 1000000
i = 5 aa
n = 3 anos = 1080 dias
J =
3) 24 meses = 2 anos
Dados
C = R$ 200000
i = 6 aa
n = 24 meses = 720 dias
M =
79
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
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c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
85
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c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
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b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
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b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
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Seccedilatildeo 2 ndash Regime de capitalizaccedilatildeo composto
Os exemplos apresentados a partir de agora satildeo ilustrativos de uma ampla variedade de caacutelculos financeiros Para resolvecirc-los vocecirc precisa estruturaacute-los identificando os elementos baacutesicos do problema de maneira que fiquem evidentes as quantidades que devem ser fornecidas agrave calculadora e quem eacute o valor desconhecido ou seja o valor que desejamos determinar
Na resoluccedilatildeo dos caacutelculos usando a HP ndash 12C eacute indispensaacutevel elaborar o diagrama de fluxo de caixa Eacute importante ressaltar que a calculadora precisa de ajuda para comparar o fluxo de caixa ou seja eacute preciso informar quando temos uma entrada ou uma saiacuteda
O fluxo de caixa serve para demonstrar graficamente as transaccedilotildees financeiras em um periacuteodo de tempo
O tempo eacute representado por uma linha horizontal dividida pelo nuacutemero de periacuteodos relevantes para anaacutelise As entradas ou recebimentos satildeo representados por setas verticais apontadas para cima e as saiacutedas ou pagamentos satildeo representados por setas verticais apontadas para baixo Observe o modelo simplificado
(+) entradas
(-) saiacutedas
tempo (n)
Veja agora o modelo detalhado
Entradas
Saiacutedas
Tempo
Fluxo de caixa pode ser definido como sendo a movimentaccedilatildeo de recursos financeiros (entradas e saiacutedas de caixa) ao longo de um periacuteodo de tempo - agrave entrada e saiacuteda de dinheiro O conceito caixa (financeiro) natildeo pode ser confundido com conceito de competecircncia (contaacutebil)
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Unidade 2
Na HP-12C a tecla (do inglecircs Change Sign) serve para introduzir ou tirar um sinal negativo de um nuacutemero ou seja faz o fluxo de caixa
Na sequecircncia de exemplos apresentados a seguir realizaremos caacutelculos de juros montantes valor presente prazo taxa de juros e descontos no regime composto com o auxiacutelio dos registradores financeiros da calculadora HP ndash 12C
Exemplo 27 (exemplo 1 paacuteg 58 do livro Matemaacutetica Financeira)
Qual o montante gerado por um capital de R$ 450000 aplicado por 9 meses a juros compostos a uma taxa de 35 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o montante composto
450000 9 35 613304
MontanteFluxo de caixa saiacuteda do dinheiro para aplicaccedilatildeo
Exemplo 28 (exemplo 2 paacuteg 58 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital de R$ 1200000 foi aplicado a juros compostos durante 6 meses agrave taxa de 2 am Calcule os juros auferidos na aplicaccedilatildeo
Soluccedilatildeo use a sequecircncia a seguir para calcular os juros
1200000 6 2
1351395 151395
Montante Juros
Fluxo de caixa saiacuteda do dinheiro para aplicaccedilatildeo
Recupera um valor em um registrador
financeiro
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Exemplo 29 (exemplo 3 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital ldquoXrdquo eacute aplicado a juros compostos agrave taxa de 35 am gerando um montante de R$ 1950000 apoacutes 1 ano e 3 meses Determine o capital ldquoXrdquo
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar o capital
1950000 35 15 -1163937
Capital aplicado
Exemplo 210 (exemplo 4 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
A que taxa mensal de juros compostos um capital de R$ 1250000 pode transformar-se em R$ 1537342 no periacuteodo de 7 meses
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
1250000 1537342 7 300
Taxa de juros mensal
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Unidade 2
Exemplo 211 (exemplo 5 paacuteg 60 do livro Matemaacutetica Financeira)
Em que prazo um empreacutestimo de R$ 3500000 pode ser pago pela quantia de R$ 4790000 se a taxa de juros compostos cobrada for de 4 am
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
3500000 4790000 4 8
Periacuteodo em meses
Funccedilatildeo ldquoCrdquo na HP ndash 12C e as teclas ldquoSTOrdquo e ldquoEEXrdquo
Vocecirc pode calcular taxa de juros (i) Capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos Perioacutedicos (PMT) para transaccedilotildees financeiras com periacuteodos fracionaacuterios Ao digitar um periacuteodo fracionaacuterio por exemplo 23 meses a parte inteira do nuacutemero indica o nuacutemero de periacuteodos inteiro e a parte fracionaacuteria do nuacutemero o tamanho do periacuteodo fracionaacuterio como uma fraccedilatildeo do periacuteodo inteiro (no exemplo 2 meses e 03 meses)
De acordo com o criteacuterio do usuaacuterio os caacutelculos de taxa de juros ( i ) capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos perioacutedicos (PMT) podem ser executados com juros simples ou compostos acumulados durante o periacuteodo fracionaacuterio Para escolher uma das duas opccedilotildees faccedila
Aparece o indicador ldquoCldquo Portanto os juros compostos satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Natildeo aparece o indicador ldquoCrdquo Portanto os juros simples satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Figura 23 - Teclas utilizadas para caacutelculo de juros simples e compostos para periacuteodo fracionaacuterio Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
42
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Exemplo 212
Calcular o valor futuro de uma aplicaccedilatildeo de R$ 185030000 aplicado agrave taxa de 14 aa durante 45 anos usando juros compostos e simples para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Soluccedilatildeo as sequecircncias a seguir apresentam os resultados para o caacutelculo do valor futuro com juros simples para o periacuteodo fracionaacuterio e juros compostos para o periacuteodo fracionaacuterios respectivamente
185030000 14
45 334383879
Valor futuro calculado com juros simples para o periacuteodo
fracionaacuterio
185030000
14 45 333667556
Valor futuro calculado com juros compostos para o
periacuteodo fracionaacuterio
Exemplo 213 (exemplo 1 paacuteg 81 do livro Matemaacutetica Financeira)
Determine o valor do desconto composto racional e o valor do resgate de um tiacutetulo de R$ 1560000 descontado 5 meses antes do seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto composto racional eacute de 4 am
43
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Unidade 2
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor do desconto racional composto e o valor liacutequido a receber
1560000 1
1 004 5
277794 1560000 1282206
Valor do desconto Valor liacutequido
Exemplo 214 (exemplo 1 paacuteg 84 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um tiacutetulo de valor nominal de R$ 1500000 eacute descontado em um banco 3 meses antes de seu vencimento Se a taxa de desconto comercial usada pelo banco eacute de 8 am qual eacute o valor do desconto
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor liacutequido e o valor do desconto bancaacuterio ou comercial
1500000 3 8
-1168032 331968
Valor liacutequido Valor do desconto
44
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Nesta unidade vocecirc usou a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros simples e compostos descontos simples e compostos valor presente taxa de juros periacuteodo e montante Na proacutexima unidade usaremos a ferramenta para auxiliar no caacutelculo de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir foram propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo em PDF estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as questotildees 1 3 5 e 6 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteginas 38 e 39 Confira os resultados na paacuteg 194
1) Qual o rendimento que obtemos ao aplicarmos um capital de R$ 1000000 a uma taxa de juros simples de 5 aa durante 3 anos
3) Em um regime de capitalizaccedilatildeo simples qual eacute o montante que se obteacutem quando aplicamos um capital de R$ 200000 a uma taxa 6 aa durante 24 meses
5) Uma quantia de R$ 6200000 foi aplicada em uma operaccedilatildeo financeira no dia 20 de setembro de 2003 e resgatada no dia 21 de dezembro de 2003 a uma taxa de 125 aa Quais os juros simples exatos e comerciais da operaccedilatildeo
6) Calcule os juros simples exatos e comerciais nas seguintes condiccedilotildees
bull R$ 600000 aplicados por 180 dias a 12 aa
bull R$ 520000 aplicados por 230 dias a 15 aa
45
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
2 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 2 e 4 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegs 52 e 53 Confira os resultados nas paacuteginas 194 e 195
1) Uma empresa desconta uma duplicata no valor nominal de R$ 5000000 no Banco ldquoXrdquo 4 meses antes do seu vencimento Sabendo que o banco ldquoXrdquo trabalha com uma taxa de desconto simples bancaacuterio de 45 am qual eacute o valor do desconto e o valor liacutequido recebido
2) Para pagar uma diacutevida hoje uma empresa descontou em uma carteira de creacutedito uma duplicata no valor de R$ 1650000 com vencimento daqui a 2 meses recebendo um valor nominal liacutequido de R$ 1500000 Determine a taxa mensal de desconto simples bancaacuterio utilizada
4) Uma letra de cacircmbio no valor nominal de R$ 500000 foi comercializada 4 meses antes do vencimento a uma taxa de desconto simples de 22 am Se o desconto simples fosse o racional qual seria o valor deste desconto
3 Elabore uma sequecircncia de passos para resolver as questotildees propostas 1 2 3 4 e 6 nas paacuteginas 65 66 e 67 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira e confira os resultados na paacuteg 195
1) Calcule o montante produzido por um capital de R$ 2600000 aplicado a uma taxa de juros compostos de 52 am por 6 meses
2) Calcule os juros compostos auferidos por um capital de R$ 420000 aplicado a uma taxa de 3 am durante 10 meses
3) Um empreacutestimo de R$ 600000 deve ser pago em 120 dias a juros compostos pelo valor de R$ 900000 Qual eacute a taxa mensal da operaccedilatildeo
4) Em que prazo uma aplicaccedilatildeo a juros compostos de R$ 2400000 produziraacute um montante de R$ 6151930 agrave taxa de 4 am
6) Quanto Paulo deve aplicar hoje a juros compostos em uma instituiccedilatildeo financeira que paga uma taxa de 12 am para pagar um compromisso de valor nominal igual a R$ 3800000 que vence daqui a 3 meses
46
Universidade do Sul de Santa Catarina
4 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 e 8 das paacuteginas 88 e 90 respectivamente do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira Confira os resultados na paacuteg 196
1) Determine o valor do desconto composto racional de um tiacutetulo de valor nominal de R$ 830000 descontado 6 meses antes de seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto eacute de 42 am
8) Um tiacutetulo de R$ 3000000 foi descontado em uma instituiccedilatildeo financeira a uma taxa de desconto composto comercial de 64 am e o valor liacutequido recebido era de R$ 2017327 Quantos meses antes do vencimento foi descontado este tiacutetulo
Saiba mais
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DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
3UNIDADE 3
Taxas de juros equivalentes e caacutelculo de pagamentos perioacutedicos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para calcular taxas equivalentes
Usar as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP ndash 12C para programar o algoritmo da taxa equivalente no regime de capitalizaccedilatildeo composto
Calcular pagamentos perioacutedicos de sequecircncias uniformes postecipadas e antecipadas
Calcular montante de uma sequecircncia uniforme
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Taxas equivalentes
Seccedilatildeo 2 Sequecircncia de capitais
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar taxas equivalentes no regime de capitalizaccedilatildeo composto Vocecirc usaraacute as funccedilotildees de programaccedilatildeo com o objetivo de elaborar um algoritmo para fazer a conversatildeo de taxas de um periacuteodo de capitalizaccedilatildeo (ex mensal) para outro periacuteodo (ex anual) usando o programa Vamos explorar as funccedilotildees ldquoPMTrdquo ldquoBEGrdquo e ldquoENDrdquo para realizar caacutelculo de pagamentos antecipados e postecipados em uma sequecircncia uniforme Destacamos que os exemplos que seratildeo apresentados estatildeo no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira
Seccedilatildeo 1 ndash Taxas equivalentes
Nesta unidade vocecirc usaraacute algumas funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos (postecipados e antecipados) de uma seacuterie uniforme Vocecirc usaraacute ainda as funccedilotildees de programaccedilatildeo para elaborar um programa para calcular taxas equivalentes A figura a seguir apresenta as funccedilotildees que vocecirc usaraacute nos exemplos apresentados posteriormente
Aciona o modo de programaccedilatildeo de HP ndash 12C
Aciona a funccedilatildeo Begin que calcula a parcela com pagamento antecipado
Aciona a funccedilatildeo End (natildeo aparece no visor da calculadora) que calcula parcela com pagamento postecipado
Figura 31 - Teclas utilizadas para acionar as funccedilotildees Beg e End e entrar no modo de programaccedilatildeo
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
49
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
Taxas equivalentes
No mercado financeiro e nas operaccedilotildees bancaacuterias e comerciais a palavra taxa eacute empregada de vaacuterias formas ou seja vaacuterios conceitos satildeo abordados em vaacuterias situaccedilotildees Esta seccedilatildeo tem como objetivo mostrar como as taxas de juros satildeo informadas no mercado financeiro e como adequaacute-las agraves condiccedilotildees padronizadas pela HP ndash 12C
Duas taxas satildeo consideradas equivalentes a juros compostos quando aplicadas a um mesmo capital por um periacuteodo de tempo equivalente e geram o mesmo rendimento
Exemplo 31(exemplo 1 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
No regime de juros compostos qual a taxa anual equivalente a 4 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente anual
Exemplo 32 (exemplo 2 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
Calcule a taxa quadrimestral equivalente agrave taxa de juros compostos de 8 aa
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente quadrimestral
1 004 12 1 1 10000 6010
Taxa anual
50
Universidade do Sul de Santa Catarina
1 008 1 3 1 10000 260
Taxa quadrimestral
Programa para caacutelculo da taxa equivalente pela hp ndash 12c
O professor Carlos Shinoda em seu livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48) apresenta um programa para calcular a taxa equivalente atraveacutes da calculadora HP ndash 12C
Siga os procedimentos abaixo para introduzir o programa na HP ndash 12C
Figura 32 - Algoritmo para a programaccedilatildeo de taxa equivalente
Fonte Livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48)
51
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
Agora que vocecirc programou a HP ndash 12C para o caacutelculo de taxas equivalentes resolva o exemplo a seguir usando o programa
Exemplo 33
Usando o programa anterior determine as taxas equivalentes propostas nos exemplos 31 e 32
Soluccedilatildeo
As sequecircncias abaixo calculam as taxas equivalentes
Executa oprograma
4 1 12 6010
Taxa anual
Executa oprograma
8 360 120 260
Taxa quadrimestral
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Seccedilatildeo 2 ndash Sequecircncia de capitais
Nesta seccedilatildeo vocecirc acompanharaacute as situaccedilotildees em que haacute mais de um pagamento ou seja vocecirc estudaraacute as operaccedilotildees envolvendo pagamentos ou recebimentos perioacutedicos e uniformes
As seacuteries uniformes de pagamentos satildeo aquelas em que os pagamentos ou recebimentos satildeo constantes e ocorrem em intervalos iguais
Seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas e antecipadas
As seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1 Este sistema eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada (0 + n)
Pagamentos ou recebimentos podem ser chamados de prestaccedilatildeo representada pela sigla PMT que vem do inglecircs Payment e significa pagamento ou recebimento
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentosPMT
++
0 1 2 3 4 5 6 n
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
++
0 1 2 3 4 5 6 n
PMT
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
As seacuteries uniformes de pagamentos antecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre na data focal 0 (zero) Este tipo de sistema de pagamento eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento com entrada (1+ n)
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
Exemplo 34 (exemplo 2 paacuteg 108 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um automoacutevel eacute vendido em uma loja por R$ 3200000 A loja propotildee as seguintes condiccedilotildees para financiamento
Proposta A 12 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta B 24 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta C 36 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
A taxa de juros usada eacute de 32 am Qual o valor de cada prestaccedilatildeo nas 3 modalidades de financiamento
Soluccedilatildeo
As sequecircncias a seguir calculam os valores das parcelas nas trecircs propostas
54
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3200000
32 12 -325329
parcela
3200000
32 24 -193046
parcela
3200000
32 36 -150979
parcela
Exemplo 35 (exemplo 2 paacuteg 111 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma casa cujo valor agrave vista eacute R$ 4924456 eacute vendida em prestaccedilotildees mensais e iguais de R$ 250000 sendo a primeira dada como entrada Se a taxa de financiamento eacute de 18 am determine o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas no financiamento
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o nuacutemero de parcelas
4924456 18
250000 24
nordm de parcelas
55
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
No exemplo acima o nuacutemero de pagamento deu um nuacutemero inteiro Mas podem acontecer situaccedilotildees em que ao se determinar o nuacutemero de parcelas o resultado natildeo seja um nuacutemero inteiro
Nessa situaccedilatildeo a HP ndash 12C arredonda a resposta para o proacuteximo inteiro para cima antes de armazenaacute-la e exibi-la
Exemplo 36
Vocecirc comprou um terreno por R$ 3500000 a juros de 105 aa Vocecirc pretende fazer pagamentos de R$ 32500 no fim de cada mecircs Quantos pagamentos seratildeo necessaacuterios para pagar o terreno e quanto tempo levaraacute
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o nuacutemero de pagamentos e o tempo necessaacuterio
3500000 105
32500 328 2733
nordm de parcelas Tempo (anos)
Como a calculadora arredonda o valor do tempo para o proacuteximo inteiro eacute provaacutevel que apesar de serem necessaacuterios 328 pagamentos somente 327 seratildeo inteiros de R$ 32500 com o pagamento final sendo menor do que R$ 32500 Para calcular o valor do pagamento de nuacutemero 328 vamos fazer o seguinte
A calculadora natildeo ajusta os valores nos outros registros financeiros automaticamente para refletir os n pagamentos iguais ao contraacuterio ela lhe permite escolher quais valores (se houver) que vocecirc deseja ajustar
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328 18189 - 32500 -14311
Valor da parcela 328
Nesta unidade vocecirc calculou taxas equivalentes usou as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP e fez caacutelculos de pagamentos perioacutedicos de uma seacuterie uniforme antecipado ou postecipado Na proacutexima unidade vamos realizar caacutelculos de valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades abaixo (Essa atividade corresponde agrave autoavaliaccedilatildeo 1 da unidade 5 do livro didaacutetico de Matemaacutetica Financeira) Em seguida use o programa elaborado para resolver a mesma questatildeo
Calcule a taxa anual das seguintes taxas
a) 26 am
b) 42 ab
c) 48 at
d) 12 as
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
2 Elabore um algoritmo para resolver as seguintes atividades (Estas questotildees equivalem agraves autoavaliaccedilotildees 1 2 3 4 e 5 da unidade 8 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 121 122 e 123)
a) Calcule o valor da prestaccedilatildeo mensal de um empreacutestimo de R$ 600000 que seraacute amortizado em 12 prestaccedilotildees mensais postecipadas sabendo que o banco cobra uma taxa de juros de 2 am
b) Uma loja vende um automoacutevel agrave vista por R$ 1650000 Se o comprador quiser fazer um financiamento em 36 parcelas mensais e iguais onde o 1ordm pagamento seraacute efetuado no 1ordm mecircs apoacutes a compra a uma taxa de juros de 21 am qual o valor da prestaccedilatildeo
c) Uma mercadoria custa R$ 9038071 agrave vista podendo ser vendida em prestaccedilotildees mensais de R$ 1050000 sendo a primeira prestaccedilatildeo dada como entrada Sabendo-se que a loja aplica uma taxa de 35 am qual o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas
d) Carlos depositou certa quantia durante 10 meses de forma antecipada a uma taxa de 25 am obtendo um montante de R$ 25000000 Quanto depositou mensalmente Carlos
e) Um produto eacute vendido agrave vista por R$ 200000 ou em 10 prestaccedilotildees mensais iguais sem entrada com uma carecircncia de 90 dias apoacutes a compra Qual o valor de cada prestaccedilatildeo sabendo que a taxa de juros eacute de 6 am
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
4UNIDADE 4
Valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa
Usar as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Valor presente liacutequido
Seccedilatildeo 2 Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs ndash SFA (Price)
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa usando as funccedilotildees CF0 CFj e NPV Vocecirc deveraacute ainda fazer uso da funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos usando o Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo ndash SFA ou tabela Price
Seccedilatildeo 1 ndash Valor presente liacutequido
A figura 41 a seguir apresenta as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C que vocecirc usaraacute nessa unidade para realizar caacutelculo de valor presente liacutequido e para a elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos ou financiamento
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor inicial do fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor do fluxo de caixa no periacuteodo j
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula o valor presente atual de um fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula a parte dos pagamentos usada para pagar juros
Figura 41 - Teclas para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
Valor presente liacutequido
Nessa seccedilatildeo vocecirc usaraacute as funccedilotildees da HP ndash 12C para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa Para entender como usar as funccedilotildees CF0 CFj e NPV considere o fluxo de caixa para um investimento que exige capital inicial (CF0) e que gera um fluxo de caixa (CFj ) no final de j periacuteodos
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Veja a seguir o fluxo de caixa
CF0CF1
CF2 CF5
CFn
CF3 CF4
O VPL = Valor Presente Liacutequido eacute calculado somando ao investimento inicial o valor presente dos fluxos de caixa futuros projetados Portanto
se o VPL for positivo o valor financeiro do ativo do investidor aumentaraacute ou seja o investimento financeiro seraacute atrativo em termos financeiros
se o VPL for zero o valor financeiro do ativo financeiro do investidor natildeo mudaraacute ou seja o investidor seraacute indiferente ao investimento
se o VPL for negativo o valor financeiro do ativo do investidor seraacute reduzido ou seja o investimento natildeo seraacute atrativo em termos financeiros
Exemplo 41
Um investidor compra uma casa por R$ 7000000 e gostaria de ter um retorno de pelo menos 15 Ele pretende manter a casa por 4 anos e depois vendecirc-la por R$ 11000000 Ele prevecirc os fluxos de caixa mostrados no diagrama abaixo
CF0CF1
CF1
CF3CF4
CF5
R$ 7000000
R$ 50000
R$ 450000R$ 450000
R$ 13000000R$ 550000
Sendo assim calcule o VPL para determinar se o investimento resultaria em um retorno ou perda
62
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Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o VPL
7000000 50000
450000 550000 450000
13000000 15 379007
VPL
Como o VPL eacute positivo o investimento aumentaria o valor financeiro do ativo do investidor
Exemplo 42 (exemplo 4 paacuteg 98 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um proprietaacuterio recebeu as seguintes propostas para a venda de uma casa
Proposta A entrada de R$ 10000000 + R$ 5000000 em 6 meses + R$ 6000000 em 1 ano
Proposta B entrada de R$ 8000000 + R$ 6000000 em 5 meses + R$ 7000000 em 10 meses
Sabendo-se que a taxa de juros de mercado eacute de 3 am qual a melhor proposta para o vendedor
Soluccedilatildeo
Essa questatildeo deve ser resolvida pelo meacutetodo do Valor Presente Liacutequido A alternativa que tiver o maior valor seraacute a melhor Entretanto para facilitar a elaboraccedilatildeo do algoritmo de resoluccedilatildeo na HP ndash 12C elabore o fluxo de caixa para cada situaccedilatildeo
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Unidade 4
1 Proposta A Fluxo de caixa
10000000 5000000 6000000
1 2 3 4 5 7 8 9 10 110 6 12
Calculando o VPL
10000000 000 5
5000000 000
5
6000000
3
18395701
VPL
Armazena o zero 5 vezes
2 Proposta B Fluxo de caixa
8000000 70000006000000
1 2 3 4 6 7 8 90 5 10
Calculando o VPL
8000000 000 4
6000000 000
4
7000000
3
18384310
VPL
Armazena o zero 4 vezes
Resposta a melhor proposta eacute a A
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Exemplo 43
Dois equipamentos satildeo examinados Considerando ser a taxa miacutenima de atratividade de 20aa qual o equipamento que deve ser adquirido
Dados
41 - Tabela de DadosEquipamento K Equipamento L
Custo R$ 5000000 R$ 8000000Custo anual de manutenccedilatildeo R$ 2000000 R$ 1500000Valor residual para venda R$ 400000 R$ 800000Duraccedilatildeo em anos 10 10
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
A seguir veja o diagrama de fluxo de caixa
Os caacutelculos do Valor Presente Liacutequido para as duas situaccedilotildees satildeo
Equipamento K
5000000
Equipamento K
2000000
400000
0 1 2 10
8000000
Equipamento L
1500000
800000
0 1 2 10
50000 20000
9 4000 20000 1
20 -13320342
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Unidade 4
Equipamento L
80000 15000
9 8000 15000 1
20 -14159504
Importante Veja que a alternativa K equivale a um equipamento em que se investe R$ 13320342 enquanto que o equipamento L equivale a um investimento de R$ 14159504 Portanto eacute preferiacutevel o equipamento K pois o investimento eacute menor
66
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Seccedilatildeo 2 ndash Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs - SFA
Este sistema consiste no pagamento de empreacutestimos ou financiamentos com prestaccedilotildees iguais e com periodicidade constante Eacute considerado o sistema de amortizaccedilatildeo mais utilizado pelas instituiccedilotildees financeiras e pelo comeacutercio em geral
O Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo eacute assim chamado por ter sido inventado na Franccedila por volta do seacuteculo XVIII pelo matemaacutetico inglecircs Richard Price daiacute portanto a origem da denominaccedilatildeo Sistema Price tambeacutem comumente chamado de Tabela Price
Na verdade a Tabela Price eacute um caso particular derivado do Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo Neste sistema o financiamento (PV) eacute pago em parcelas (PMT) iguais constituiacutedas da amortizaccedilatildeo do principal da diacutevida + juros compensatoacuterios (J) que variam inversamente ao longo do tempo Ou seja agrave medida que aumenta o valor da parcela de amortizaccedilatildeo haveraacute uma queda dos juros compensatoacuterios em funccedilatildeo da reduccedilatildeo do saldo devedor
Principais Caracteriacutesticas
As principais caracteriacutesticas do SFA satildeo
a prestaccedilatildeo eacute constante durante todo o periacuteodo do financiamento
a parcela de amortizaccedilatildeo aumenta a cada periacuteodo (n)
os juros compensatoacuterios diminuem a cada periacuteodo (n)
Exemplo 44 (exemplo 1 paacuteg 148 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma instituiccedilatildeo financeira libera um empreacutestimo para uma induacutestria no valor de R$ 60000000 para ser pago pelo sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs em 120 meses a uma taxa de 15 am Faccedila a planilha ateacute o 4ordm mecircs e calcule o saldo devedor no 100ordm mecircs
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Unidade 4
Soluccedilatildeo
A sequecircncia abaixo calcula o valor da prestaccedilatildeo os juros a amortizaccedilatildeo o saldo devedor e valor do saldo devedor no 100ordm mecircs Acompanhe
Zera os registradores
60000000 Armazena o valor presente
120 Armazena o periacuteodo
15 Armazena a taxa
- R$ 1081111 Valor da prestaccedilatildeo
1 - R$ 900000 Valor dos juros da 1ordf parcela
R$ 181111Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 1ordf parcela
R$ 58918889 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 897283 Valor dos juros da 2ordf parcela
- R$ 183828Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 2ordf parcela
R$ 59635061 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 894526 Valor dos juros da 3ordf parcela
- R$ 186585Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 3ordf parcela
R$ 59448476 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 891727 Valor dos juros da 4ordf parcela
- R$ 189384Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 4ordf parcela
R$ 59259092 Recupera o saldo devedor
A tabela a seguir apresenta um resumo das operaccedilotildees realizadas
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Tabela 42 ndash Planilha de amortizaccedilatildeoPeriacuteodo (n) Amortizaccedilatildeo (A) Juros (J) Prestaccedilotildees (R) Saldo Devedor (S)
0 - - - R$ 600000001 R$ 181111 R$ 900000 R$ 1081111 R$ 598188892 R$ 183828 R$ 897283 R$ 1081111 R$ 596350613 R$ 186585 R$ 894526 R$ 1081111 R$ 594484764 R$ 189384 R$ 891727 R$ 1081111 R$ 59259092
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Para determinar o saldo devedor no 100ordm mecircs faccedila como indicado a seguir
60000000 120 150
-1081111 18561247
Prestaccedilatildeo Saldo devedor no 100ordm mecircs
Nesta unidade vocecirc usou as funccedilotildees de fluxo de caixa para calcular o valor presente liacutequido e a funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
69Unidade 4
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Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades a seguir (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 4 e 5 da unidade 7 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegina 102) Em seguida use o programa elaborado para resolver as mesmas questotildees
a) Qual das alternativas de pagamento eacute a melhor para uma taxa de juros compostos de 75 am
Alternativa A Pagamento de R$ 15000000 agrave vista
Alternativa B Entrada de R$ 5000000 + R$ 8000000 em 90 dias + R$ 6000000 em 150 dias
b) Uma pessoa deve a um banco dois tiacutetulos com valores de R$ 300000 e R$ 600000 venciacuteveis respectivamente em 4 meses e 8 meses Se a pessoa deseja antecipar para hoje a liquidaccedilatildeo dos tiacutetulos qual o valor a pagar considerando que o banco opera com uma taxa de juros compostos de 23 am
2 Elabore um algoritmo para resolver as atividades abaixo (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 1 e 4 da unidade 10 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 151 e 153)
a) Um cliente solicita a um banco um empreacutestimo de R$ 4000000 pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs em 60 prestaccedilotildees mensais Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de juros de 28 am obtenha o valor da prestaccedilatildeo e o saldo devedor depois de pagar a 20ordf prestaccedilatildeo
b) Um empreacutestimo de R$ 30000000 seraacute saldado em 50 prestaccedilotildees mensais a uma taxa de 15 am Determine a parcela de juros relativa agrave 15ordf prestaccedilatildeo pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs (price)
70
Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
Manual da calculadora HP ndash 12C
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico ndash 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7ed Satildeo Paulo Atlas 2000
Para concluir o estudo
Com o teacutermino desse curso de extensatildeo acreditamos que proporcionamos momentos de aprendizagem por meio da interaccedilatildeo da calculadora financeira e que vocecirc estaacute habilitado(a) a fazer uso dessa ferramenta com qualidade no mercado de trabalho relacionado a essa aacuterea tatildeo importante no nosso dia-a-dia
Referecircncias
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7 ed Satildeo Paulo Atlas 2000
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003 Disponiacutevel em lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt Acesso em 05 jun 2008
Sobre o professor conteudista
Joseacute Humberto Dias de Toledo - eacute Mestre em Educaccedilatildeo pela Universidade do Sul de Santa Catarina Graduado em Licenciatura em Matemaacutetica e em Engenharia Civil Professor das disciplinas Meacutetodos Numeacutericos Informaacutetica Aplicada agrave Matemaacutetica Financeira Caacutelculo I e Matemaacutetica Financeira no Curso de Matemaacutetica ndash Licenciatura nesta mesma instituiccedilatildeo Atualmente ministra a disciplina Representaccedilotildees Graacuteficas na Poacutes-graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo Matemaacutetica da UNISUL
Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo
Unidade 1
1 a) 5
b) -2359
c) 3311
d) 077
e) 081
Respostas modo RPN
a)
b)
c)
d)
e)
Respostas modo ALG
a
b
c
d
e
78
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2 R$ 167757
Modo RPN
Modo ALG
3 -242
4 Data 13082008 3 (quarta-feira)
5 Florianoacutepolis = 3303 Curitiba = 5018 Porto Alegre = 1680
Unidade 2
1 1) 150000
Dados
C = R$ 1000000
i = 5 aa
n = 3 anos = 1080 dias
J =
3) 24 meses = 2 anos
Dados
C = R$ 200000
i = 6 aa
n = 24 meses = 720 dias
M =
79
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
85
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
86
Universidade do Sul de Santa Catarina
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
87
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
88
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39
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
Na HP-12C a tecla (do inglecircs Change Sign) serve para introduzir ou tirar um sinal negativo de um nuacutemero ou seja faz o fluxo de caixa
Na sequecircncia de exemplos apresentados a seguir realizaremos caacutelculos de juros montantes valor presente prazo taxa de juros e descontos no regime composto com o auxiacutelio dos registradores financeiros da calculadora HP ndash 12C
Exemplo 27 (exemplo 1 paacuteg 58 do livro Matemaacutetica Financeira)
Qual o montante gerado por um capital de R$ 450000 aplicado por 9 meses a juros compostos a uma taxa de 35 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o montante composto
450000 9 35 613304
MontanteFluxo de caixa saiacuteda do dinheiro para aplicaccedilatildeo
Exemplo 28 (exemplo 2 paacuteg 58 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital de R$ 1200000 foi aplicado a juros compostos durante 6 meses agrave taxa de 2 am Calcule os juros auferidos na aplicaccedilatildeo
Soluccedilatildeo use a sequecircncia a seguir para calcular os juros
1200000 6 2
1351395 151395
Montante Juros
Fluxo de caixa saiacuteda do dinheiro para aplicaccedilatildeo
Recupera um valor em um registrador
financeiro
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Exemplo 29 (exemplo 3 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital ldquoXrdquo eacute aplicado a juros compostos agrave taxa de 35 am gerando um montante de R$ 1950000 apoacutes 1 ano e 3 meses Determine o capital ldquoXrdquo
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar o capital
1950000 35 15 -1163937
Capital aplicado
Exemplo 210 (exemplo 4 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
A que taxa mensal de juros compostos um capital de R$ 1250000 pode transformar-se em R$ 1537342 no periacuteodo de 7 meses
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
1250000 1537342 7 300
Taxa de juros mensal
41
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
Exemplo 211 (exemplo 5 paacuteg 60 do livro Matemaacutetica Financeira)
Em que prazo um empreacutestimo de R$ 3500000 pode ser pago pela quantia de R$ 4790000 se a taxa de juros compostos cobrada for de 4 am
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
3500000 4790000 4 8
Periacuteodo em meses
Funccedilatildeo ldquoCrdquo na HP ndash 12C e as teclas ldquoSTOrdquo e ldquoEEXrdquo
Vocecirc pode calcular taxa de juros (i) Capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos Perioacutedicos (PMT) para transaccedilotildees financeiras com periacuteodos fracionaacuterios Ao digitar um periacuteodo fracionaacuterio por exemplo 23 meses a parte inteira do nuacutemero indica o nuacutemero de periacuteodos inteiro e a parte fracionaacuteria do nuacutemero o tamanho do periacuteodo fracionaacuterio como uma fraccedilatildeo do periacuteodo inteiro (no exemplo 2 meses e 03 meses)
De acordo com o criteacuterio do usuaacuterio os caacutelculos de taxa de juros ( i ) capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos perioacutedicos (PMT) podem ser executados com juros simples ou compostos acumulados durante o periacuteodo fracionaacuterio Para escolher uma das duas opccedilotildees faccedila
Aparece o indicador ldquoCldquo Portanto os juros compostos satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Natildeo aparece o indicador ldquoCrdquo Portanto os juros simples satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Figura 23 - Teclas utilizadas para caacutelculo de juros simples e compostos para periacuteodo fracionaacuterio Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
42
Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 212
Calcular o valor futuro de uma aplicaccedilatildeo de R$ 185030000 aplicado agrave taxa de 14 aa durante 45 anos usando juros compostos e simples para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Soluccedilatildeo as sequecircncias a seguir apresentam os resultados para o caacutelculo do valor futuro com juros simples para o periacuteodo fracionaacuterio e juros compostos para o periacuteodo fracionaacuterios respectivamente
185030000 14
45 334383879
Valor futuro calculado com juros simples para o periacuteodo
fracionaacuterio
185030000
14 45 333667556
Valor futuro calculado com juros compostos para o
periacuteodo fracionaacuterio
Exemplo 213 (exemplo 1 paacuteg 81 do livro Matemaacutetica Financeira)
Determine o valor do desconto composto racional e o valor do resgate de um tiacutetulo de R$ 1560000 descontado 5 meses antes do seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto composto racional eacute de 4 am
43
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor do desconto racional composto e o valor liacutequido a receber
1560000 1
1 004 5
277794 1560000 1282206
Valor do desconto Valor liacutequido
Exemplo 214 (exemplo 1 paacuteg 84 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um tiacutetulo de valor nominal de R$ 1500000 eacute descontado em um banco 3 meses antes de seu vencimento Se a taxa de desconto comercial usada pelo banco eacute de 8 am qual eacute o valor do desconto
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor liacutequido e o valor do desconto bancaacuterio ou comercial
1500000 3 8
-1168032 331968
Valor liacutequido Valor do desconto
44
Universidade do Sul de Santa Catarina
Nesta unidade vocecirc usou a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros simples e compostos descontos simples e compostos valor presente taxa de juros periacuteodo e montante Na proacutexima unidade usaremos a ferramenta para auxiliar no caacutelculo de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir foram propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo em PDF estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as questotildees 1 3 5 e 6 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteginas 38 e 39 Confira os resultados na paacuteg 194
1) Qual o rendimento que obtemos ao aplicarmos um capital de R$ 1000000 a uma taxa de juros simples de 5 aa durante 3 anos
3) Em um regime de capitalizaccedilatildeo simples qual eacute o montante que se obteacutem quando aplicamos um capital de R$ 200000 a uma taxa 6 aa durante 24 meses
5) Uma quantia de R$ 6200000 foi aplicada em uma operaccedilatildeo financeira no dia 20 de setembro de 2003 e resgatada no dia 21 de dezembro de 2003 a uma taxa de 125 aa Quais os juros simples exatos e comerciais da operaccedilatildeo
6) Calcule os juros simples exatos e comerciais nas seguintes condiccedilotildees
bull R$ 600000 aplicados por 180 dias a 12 aa
bull R$ 520000 aplicados por 230 dias a 15 aa
45
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
2 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 2 e 4 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegs 52 e 53 Confira os resultados nas paacuteginas 194 e 195
1) Uma empresa desconta uma duplicata no valor nominal de R$ 5000000 no Banco ldquoXrdquo 4 meses antes do seu vencimento Sabendo que o banco ldquoXrdquo trabalha com uma taxa de desconto simples bancaacuterio de 45 am qual eacute o valor do desconto e o valor liacutequido recebido
2) Para pagar uma diacutevida hoje uma empresa descontou em uma carteira de creacutedito uma duplicata no valor de R$ 1650000 com vencimento daqui a 2 meses recebendo um valor nominal liacutequido de R$ 1500000 Determine a taxa mensal de desconto simples bancaacuterio utilizada
4) Uma letra de cacircmbio no valor nominal de R$ 500000 foi comercializada 4 meses antes do vencimento a uma taxa de desconto simples de 22 am Se o desconto simples fosse o racional qual seria o valor deste desconto
3 Elabore uma sequecircncia de passos para resolver as questotildees propostas 1 2 3 4 e 6 nas paacuteginas 65 66 e 67 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira e confira os resultados na paacuteg 195
1) Calcule o montante produzido por um capital de R$ 2600000 aplicado a uma taxa de juros compostos de 52 am por 6 meses
2) Calcule os juros compostos auferidos por um capital de R$ 420000 aplicado a uma taxa de 3 am durante 10 meses
3) Um empreacutestimo de R$ 600000 deve ser pago em 120 dias a juros compostos pelo valor de R$ 900000 Qual eacute a taxa mensal da operaccedilatildeo
4) Em que prazo uma aplicaccedilatildeo a juros compostos de R$ 2400000 produziraacute um montante de R$ 6151930 agrave taxa de 4 am
6) Quanto Paulo deve aplicar hoje a juros compostos em uma instituiccedilatildeo financeira que paga uma taxa de 12 am para pagar um compromisso de valor nominal igual a R$ 3800000 que vence daqui a 3 meses
46
Universidade do Sul de Santa Catarina
4 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 e 8 das paacuteginas 88 e 90 respectivamente do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira Confira os resultados na paacuteg 196
1) Determine o valor do desconto composto racional de um tiacutetulo de valor nominal de R$ 830000 descontado 6 meses antes de seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto eacute de 42 am
8) Um tiacutetulo de R$ 3000000 foi descontado em uma instituiccedilatildeo financeira a uma taxa de desconto composto comercial de 64 am e o valor liacutequido recebido era de R$ 2017327 Quantos meses antes do vencimento foi descontado este tiacutetulo
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
3UNIDADE 3
Taxas de juros equivalentes e caacutelculo de pagamentos perioacutedicos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para calcular taxas equivalentes
Usar as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP ndash 12C para programar o algoritmo da taxa equivalente no regime de capitalizaccedilatildeo composto
Calcular pagamentos perioacutedicos de sequecircncias uniformes postecipadas e antecipadas
Calcular montante de uma sequecircncia uniforme
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Taxas equivalentes
Seccedilatildeo 2 Sequecircncia de capitais
48
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar taxas equivalentes no regime de capitalizaccedilatildeo composto Vocecirc usaraacute as funccedilotildees de programaccedilatildeo com o objetivo de elaborar um algoritmo para fazer a conversatildeo de taxas de um periacuteodo de capitalizaccedilatildeo (ex mensal) para outro periacuteodo (ex anual) usando o programa Vamos explorar as funccedilotildees ldquoPMTrdquo ldquoBEGrdquo e ldquoENDrdquo para realizar caacutelculo de pagamentos antecipados e postecipados em uma sequecircncia uniforme Destacamos que os exemplos que seratildeo apresentados estatildeo no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira
Seccedilatildeo 1 ndash Taxas equivalentes
Nesta unidade vocecirc usaraacute algumas funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos (postecipados e antecipados) de uma seacuterie uniforme Vocecirc usaraacute ainda as funccedilotildees de programaccedilatildeo para elaborar um programa para calcular taxas equivalentes A figura a seguir apresenta as funccedilotildees que vocecirc usaraacute nos exemplos apresentados posteriormente
Aciona o modo de programaccedilatildeo de HP ndash 12C
Aciona a funccedilatildeo Begin que calcula a parcela com pagamento antecipado
Aciona a funccedilatildeo End (natildeo aparece no visor da calculadora) que calcula parcela com pagamento postecipado
Figura 31 - Teclas utilizadas para acionar as funccedilotildees Beg e End e entrar no modo de programaccedilatildeo
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
49
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
Taxas equivalentes
No mercado financeiro e nas operaccedilotildees bancaacuterias e comerciais a palavra taxa eacute empregada de vaacuterias formas ou seja vaacuterios conceitos satildeo abordados em vaacuterias situaccedilotildees Esta seccedilatildeo tem como objetivo mostrar como as taxas de juros satildeo informadas no mercado financeiro e como adequaacute-las agraves condiccedilotildees padronizadas pela HP ndash 12C
Duas taxas satildeo consideradas equivalentes a juros compostos quando aplicadas a um mesmo capital por um periacuteodo de tempo equivalente e geram o mesmo rendimento
Exemplo 31(exemplo 1 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
No regime de juros compostos qual a taxa anual equivalente a 4 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente anual
Exemplo 32 (exemplo 2 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
Calcule a taxa quadrimestral equivalente agrave taxa de juros compostos de 8 aa
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente quadrimestral
1 004 12 1 1 10000 6010
Taxa anual
50
Universidade do Sul de Santa Catarina
1 008 1 3 1 10000 260
Taxa quadrimestral
Programa para caacutelculo da taxa equivalente pela hp ndash 12c
O professor Carlos Shinoda em seu livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48) apresenta um programa para calcular a taxa equivalente atraveacutes da calculadora HP ndash 12C
Siga os procedimentos abaixo para introduzir o programa na HP ndash 12C
Figura 32 - Algoritmo para a programaccedilatildeo de taxa equivalente
Fonte Livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48)
51
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
Agora que vocecirc programou a HP ndash 12C para o caacutelculo de taxas equivalentes resolva o exemplo a seguir usando o programa
Exemplo 33
Usando o programa anterior determine as taxas equivalentes propostas nos exemplos 31 e 32
Soluccedilatildeo
As sequecircncias abaixo calculam as taxas equivalentes
Executa oprograma
4 1 12 6010
Taxa anual
Executa oprograma
8 360 120 260
Taxa quadrimestral
52
Universidade do Sul de Santa Catarina
Seccedilatildeo 2 ndash Sequecircncia de capitais
Nesta seccedilatildeo vocecirc acompanharaacute as situaccedilotildees em que haacute mais de um pagamento ou seja vocecirc estudaraacute as operaccedilotildees envolvendo pagamentos ou recebimentos perioacutedicos e uniformes
As seacuteries uniformes de pagamentos satildeo aquelas em que os pagamentos ou recebimentos satildeo constantes e ocorrem em intervalos iguais
Seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas e antecipadas
As seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1 Este sistema eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada (0 + n)
Pagamentos ou recebimentos podem ser chamados de prestaccedilatildeo representada pela sigla PMT que vem do inglecircs Payment e significa pagamento ou recebimento
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentosPMT
++
0 1 2 3 4 5 6 n
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
++
0 1 2 3 4 5 6 n
PMT
53
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
As seacuteries uniformes de pagamentos antecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre na data focal 0 (zero) Este tipo de sistema de pagamento eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento com entrada (1+ n)
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
Exemplo 34 (exemplo 2 paacuteg 108 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um automoacutevel eacute vendido em uma loja por R$ 3200000 A loja propotildee as seguintes condiccedilotildees para financiamento
Proposta A 12 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta B 24 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta C 36 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
A taxa de juros usada eacute de 32 am Qual o valor de cada prestaccedilatildeo nas 3 modalidades de financiamento
Soluccedilatildeo
As sequecircncias a seguir calculam os valores das parcelas nas trecircs propostas
54
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3200000
32 12 -325329
parcela
3200000
32 24 -193046
parcela
3200000
32 36 -150979
parcela
Exemplo 35 (exemplo 2 paacuteg 111 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma casa cujo valor agrave vista eacute R$ 4924456 eacute vendida em prestaccedilotildees mensais e iguais de R$ 250000 sendo a primeira dada como entrada Se a taxa de financiamento eacute de 18 am determine o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas no financiamento
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o nuacutemero de parcelas
4924456 18
250000 24
nordm de parcelas
55
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
No exemplo acima o nuacutemero de pagamento deu um nuacutemero inteiro Mas podem acontecer situaccedilotildees em que ao se determinar o nuacutemero de parcelas o resultado natildeo seja um nuacutemero inteiro
Nessa situaccedilatildeo a HP ndash 12C arredonda a resposta para o proacuteximo inteiro para cima antes de armazenaacute-la e exibi-la
Exemplo 36
Vocecirc comprou um terreno por R$ 3500000 a juros de 105 aa Vocecirc pretende fazer pagamentos de R$ 32500 no fim de cada mecircs Quantos pagamentos seratildeo necessaacuterios para pagar o terreno e quanto tempo levaraacute
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o nuacutemero de pagamentos e o tempo necessaacuterio
3500000 105
32500 328 2733
nordm de parcelas Tempo (anos)
Como a calculadora arredonda o valor do tempo para o proacuteximo inteiro eacute provaacutevel que apesar de serem necessaacuterios 328 pagamentos somente 327 seratildeo inteiros de R$ 32500 com o pagamento final sendo menor do que R$ 32500 Para calcular o valor do pagamento de nuacutemero 328 vamos fazer o seguinte
A calculadora natildeo ajusta os valores nos outros registros financeiros automaticamente para refletir os n pagamentos iguais ao contraacuterio ela lhe permite escolher quais valores (se houver) que vocecirc deseja ajustar
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328 18189 - 32500 -14311
Valor da parcela 328
Nesta unidade vocecirc calculou taxas equivalentes usou as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP e fez caacutelculos de pagamentos perioacutedicos de uma seacuterie uniforme antecipado ou postecipado Na proacutexima unidade vamos realizar caacutelculos de valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades abaixo (Essa atividade corresponde agrave autoavaliaccedilatildeo 1 da unidade 5 do livro didaacutetico de Matemaacutetica Financeira) Em seguida use o programa elaborado para resolver a mesma questatildeo
Calcule a taxa anual das seguintes taxas
a) 26 am
b) 42 ab
c) 48 at
d) 12 as
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Unidade 3
2 Elabore um algoritmo para resolver as seguintes atividades (Estas questotildees equivalem agraves autoavaliaccedilotildees 1 2 3 4 e 5 da unidade 8 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 121 122 e 123)
a) Calcule o valor da prestaccedilatildeo mensal de um empreacutestimo de R$ 600000 que seraacute amortizado em 12 prestaccedilotildees mensais postecipadas sabendo que o banco cobra uma taxa de juros de 2 am
b) Uma loja vende um automoacutevel agrave vista por R$ 1650000 Se o comprador quiser fazer um financiamento em 36 parcelas mensais e iguais onde o 1ordm pagamento seraacute efetuado no 1ordm mecircs apoacutes a compra a uma taxa de juros de 21 am qual o valor da prestaccedilatildeo
c) Uma mercadoria custa R$ 9038071 agrave vista podendo ser vendida em prestaccedilotildees mensais de R$ 1050000 sendo a primeira prestaccedilatildeo dada como entrada Sabendo-se que a loja aplica uma taxa de 35 am qual o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas
d) Carlos depositou certa quantia durante 10 meses de forma antecipada a uma taxa de 25 am obtendo um montante de R$ 25000000 Quanto depositou mensalmente Carlos
e) Um produto eacute vendido agrave vista por R$ 200000 ou em 10 prestaccedilotildees mensais iguais sem entrada com uma carecircncia de 90 dias apoacutes a compra Qual o valor de cada prestaccedilatildeo sabendo que a taxa de juros eacute de 6 am
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
4UNIDADE 4
Valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa
Usar as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Valor presente liacutequido
Seccedilatildeo 2 Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs ndash SFA (Price)
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa usando as funccedilotildees CF0 CFj e NPV Vocecirc deveraacute ainda fazer uso da funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos usando o Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo ndash SFA ou tabela Price
Seccedilatildeo 1 ndash Valor presente liacutequido
A figura 41 a seguir apresenta as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C que vocecirc usaraacute nessa unidade para realizar caacutelculo de valor presente liacutequido e para a elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos ou financiamento
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor inicial do fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor do fluxo de caixa no periacuteodo j
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula o valor presente atual de um fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula a parte dos pagamentos usada para pagar juros
Figura 41 - Teclas para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
Valor presente liacutequido
Nessa seccedilatildeo vocecirc usaraacute as funccedilotildees da HP ndash 12C para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa Para entender como usar as funccedilotildees CF0 CFj e NPV considere o fluxo de caixa para um investimento que exige capital inicial (CF0) e que gera um fluxo de caixa (CFj ) no final de j periacuteodos
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Unidade 4
Veja a seguir o fluxo de caixa
CF0CF1
CF2 CF5
CFn
CF3 CF4
O VPL = Valor Presente Liacutequido eacute calculado somando ao investimento inicial o valor presente dos fluxos de caixa futuros projetados Portanto
se o VPL for positivo o valor financeiro do ativo do investidor aumentaraacute ou seja o investimento financeiro seraacute atrativo em termos financeiros
se o VPL for zero o valor financeiro do ativo financeiro do investidor natildeo mudaraacute ou seja o investidor seraacute indiferente ao investimento
se o VPL for negativo o valor financeiro do ativo do investidor seraacute reduzido ou seja o investimento natildeo seraacute atrativo em termos financeiros
Exemplo 41
Um investidor compra uma casa por R$ 7000000 e gostaria de ter um retorno de pelo menos 15 Ele pretende manter a casa por 4 anos e depois vendecirc-la por R$ 11000000 Ele prevecirc os fluxos de caixa mostrados no diagrama abaixo
CF0CF1
CF1
CF3CF4
CF5
R$ 7000000
R$ 50000
R$ 450000R$ 450000
R$ 13000000R$ 550000
Sendo assim calcule o VPL para determinar se o investimento resultaria em um retorno ou perda
62
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Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o VPL
7000000 50000
450000 550000 450000
13000000 15 379007
VPL
Como o VPL eacute positivo o investimento aumentaria o valor financeiro do ativo do investidor
Exemplo 42 (exemplo 4 paacuteg 98 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um proprietaacuterio recebeu as seguintes propostas para a venda de uma casa
Proposta A entrada de R$ 10000000 + R$ 5000000 em 6 meses + R$ 6000000 em 1 ano
Proposta B entrada de R$ 8000000 + R$ 6000000 em 5 meses + R$ 7000000 em 10 meses
Sabendo-se que a taxa de juros de mercado eacute de 3 am qual a melhor proposta para o vendedor
Soluccedilatildeo
Essa questatildeo deve ser resolvida pelo meacutetodo do Valor Presente Liacutequido A alternativa que tiver o maior valor seraacute a melhor Entretanto para facilitar a elaboraccedilatildeo do algoritmo de resoluccedilatildeo na HP ndash 12C elabore o fluxo de caixa para cada situaccedilatildeo
63
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Unidade 4
1 Proposta A Fluxo de caixa
10000000 5000000 6000000
1 2 3 4 5 7 8 9 10 110 6 12
Calculando o VPL
10000000 000 5
5000000 000
5
6000000
3
18395701
VPL
Armazena o zero 5 vezes
2 Proposta B Fluxo de caixa
8000000 70000006000000
1 2 3 4 6 7 8 90 5 10
Calculando o VPL
8000000 000 4
6000000 000
4
7000000
3
18384310
VPL
Armazena o zero 4 vezes
Resposta a melhor proposta eacute a A
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Exemplo 43
Dois equipamentos satildeo examinados Considerando ser a taxa miacutenima de atratividade de 20aa qual o equipamento que deve ser adquirido
Dados
41 - Tabela de DadosEquipamento K Equipamento L
Custo R$ 5000000 R$ 8000000Custo anual de manutenccedilatildeo R$ 2000000 R$ 1500000Valor residual para venda R$ 400000 R$ 800000Duraccedilatildeo em anos 10 10
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
A seguir veja o diagrama de fluxo de caixa
Os caacutelculos do Valor Presente Liacutequido para as duas situaccedilotildees satildeo
Equipamento K
5000000
Equipamento K
2000000
400000
0 1 2 10
8000000
Equipamento L
1500000
800000
0 1 2 10
50000 20000
9 4000 20000 1
20 -13320342
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Unidade 4
Equipamento L
80000 15000
9 8000 15000 1
20 -14159504
Importante Veja que a alternativa K equivale a um equipamento em que se investe R$ 13320342 enquanto que o equipamento L equivale a um investimento de R$ 14159504 Portanto eacute preferiacutevel o equipamento K pois o investimento eacute menor
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Seccedilatildeo 2 ndash Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs - SFA
Este sistema consiste no pagamento de empreacutestimos ou financiamentos com prestaccedilotildees iguais e com periodicidade constante Eacute considerado o sistema de amortizaccedilatildeo mais utilizado pelas instituiccedilotildees financeiras e pelo comeacutercio em geral
O Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo eacute assim chamado por ter sido inventado na Franccedila por volta do seacuteculo XVIII pelo matemaacutetico inglecircs Richard Price daiacute portanto a origem da denominaccedilatildeo Sistema Price tambeacutem comumente chamado de Tabela Price
Na verdade a Tabela Price eacute um caso particular derivado do Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo Neste sistema o financiamento (PV) eacute pago em parcelas (PMT) iguais constituiacutedas da amortizaccedilatildeo do principal da diacutevida + juros compensatoacuterios (J) que variam inversamente ao longo do tempo Ou seja agrave medida que aumenta o valor da parcela de amortizaccedilatildeo haveraacute uma queda dos juros compensatoacuterios em funccedilatildeo da reduccedilatildeo do saldo devedor
Principais Caracteriacutesticas
As principais caracteriacutesticas do SFA satildeo
a prestaccedilatildeo eacute constante durante todo o periacuteodo do financiamento
a parcela de amortizaccedilatildeo aumenta a cada periacuteodo (n)
os juros compensatoacuterios diminuem a cada periacuteodo (n)
Exemplo 44 (exemplo 1 paacuteg 148 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma instituiccedilatildeo financeira libera um empreacutestimo para uma induacutestria no valor de R$ 60000000 para ser pago pelo sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs em 120 meses a uma taxa de 15 am Faccedila a planilha ateacute o 4ordm mecircs e calcule o saldo devedor no 100ordm mecircs
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Unidade 4
Soluccedilatildeo
A sequecircncia abaixo calcula o valor da prestaccedilatildeo os juros a amortizaccedilatildeo o saldo devedor e valor do saldo devedor no 100ordm mecircs Acompanhe
Zera os registradores
60000000 Armazena o valor presente
120 Armazena o periacuteodo
15 Armazena a taxa
- R$ 1081111 Valor da prestaccedilatildeo
1 - R$ 900000 Valor dos juros da 1ordf parcela
R$ 181111Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 1ordf parcela
R$ 58918889 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 897283 Valor dos juros da 2ordf parcela
- R$ 183828Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 2ordf parcela
R$ 59635061 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 894526 Valor dos juros da 3ordf parcela
- R$ 186585Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 3ordf parcela
R$ 59448476 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 891727 Valor dos juros da 4ordf parcela
- R$ 189384Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 4ordf parcela
R$ 59259092 Recupera o saldo devedor
A tabela a seguir apresenta um resumo das operaccedilotildees realizadas
68
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Tabela 42 ndash Planilha de amortizaccedilatildeoPeriacuteodo (n) Amortizaccedilatildeo (A) Juros (J) Prestaccedilotildees (R) Saldo Devedor (S)
0 - - - R$ 600000001 R$ 181111 R$ 900000 R$ 1081111 R$ 598188892 R$ 183828 R$ 897283 R$ 1081111 R$ 596350613 R$ 186585 R$ 894526 R$ 1081111 R$ 594484764 R$ 189384 R$ 891727 R$ 1081111 R$ 59259092
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Para determinar o saldo devedor no 100ordm mecircs faccedila como indicado a seguir
60000000 120 150
-1081111 18561247
Prestaccedilatildeo Saldo devedor no 100ordm mecircs
Nesta unidade vocecirc usou as funccedilotildees de fluxo de caixa para calcular o valor presente liacutequido e a funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
69Unidade 4
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades a seguir (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 4 e 5 da unidade 7 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegina 102) Em seguida use o programa elaborado para resolver as mesmas questotildees
a) Qual das alternativas de pagamento eacute a melhor para uma taxa de juros compostos de 75 am
Alternativa A Pagamento de R$ 15000000 agrave vista
Alternativa B Entrada de R$ 5000000 + R$ 8000000 em 90 dias + R$ 6000000 em 150 dias
b) Uma pessoa deve a um banco dois tiacutetulos com valores de R$ 300000 e R$ 600000 venciacuteveis respectivamente em 4 meses e 8 meses Se a pessoa deseja antecipar para hoje a liquidaccedilatildeo dos tiacutetulos qual o valor a pagar considerando que o banco opera com uma taxa de juros compostos de 23 am
2 Elabore um algoritmo para resolver as atividades abaixo (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 1 e 4 da unidade 10 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 151 e 153)
a) Um cliente solicita a um banco um empreacutestimo de R$ 4000000 pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs em 60 prestaccedilotildees mensais Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de juros de 28 am obtenha o valor da prestaccedilatildeo e o saldo devedor depois de pagar a 20ordf prestaccedilatildeo
b) Um empreacutestimo de R$ 30000000 seraacute saldado em 50 prestaccedilotildees mensais a uma taxa de 15 am Determine a parcela de juros relativa agrave 15ordf prestaccedilatildeo pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs (price)
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
Manual da calculadora HP ndash 12C
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico ndash 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7ed Satildeo Paulo Atlas 2000
Para concluir o estudo
Com o teacutermino desse curso de extensatildeo acreditamos que proporcionamos momentos de aprendizagem por meio da interaccedilatildeo da calculadora financeira e que vocecirc estaacute habilitado(a) a fazer uso dessa ferramenta com qualidade no mercado de trabalho relacionado a essa aacuterea tatildeo importante no nosso dia-a-dia
Referecircncias
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7 ed Satildeo Paulo Atlas 2000
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003 Disponiacutevel em lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt Acesso em 05 jun 2008
Sobre o professor conteudista
Joseacute Humberto Dias de Toledo - eacute Mestre em Educaccedilatildeo pela Universidade do Sul de Santa Catarina Graduado em Licenciatura em Matemaacutetica e em Engenharia Civil Professor das disciplinas Meacutetodos Numeacutericos Informaacutetica Aplicada agrave Matemaacutetica Financeira Caacutelculo I e Matemaacutetica Financeira no Curso de Matemaacutetica ndash Licenciatura nesta mesma instituiccedilatildeo Atualmente ministra a disciplina Representaccedilotildees Graacuteficas na Poacutes-graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo Matemaacutetica da UNISUL
Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo
Unidade 1
1 a) 5
b) -2359
c) 3311
d) 077
e) 081
Respostas modo RPN
a)
b)
c)
d)
e)
Respostas modo ALG
a
b
c
d
e
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Universidade do Sul de Santa Catarina
2 R$ 167757
Modo RPN
Modo ALG
3 -242
4 Data 13082008 3 (quarta-feira)
5 Florianoacutepolis = 3303 Curitiba = 5018 Porto Alegre = 1680
Unidade 2
1 1) 150000
Dados
C = R$ 1000000
i = 5 aa
n = 3 anos = 1080 dias
J =
3) 24 meses = 2 anos
Dados
C = R$ 200000
i = 6 aa
n = 24 meses = 720 dias
M =
79
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
85
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
86
Universidade do Sul de Santa Catarina
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
87
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
88
Universidade do Sul de Santa Catarina
40
Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 29 (exemplo 3 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um capital ldquoXrdquo eacute aplicado a juros compostos agrave taxa de 35 am gerando um montante de R$ 1950000 apoacutes 1 ano e 3 meses Determine o capital ldquoXrdquo
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar o capital
1950000 35 15 -1163937
Capital aplicado
Exemplo 210 (exemplo 4 paacuteg 59 do livro Matemaacutetica Financeira)
A que taxa mensal de juros compostos um capital de R$ 1250000 pode transformar-se em R$ 1537342 no periacuteodo de 7 meses
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
1250000 1537342 7 300
Taxa de juros mensal
41
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
Exemplo 211 (exemplo 5 paacuteg 60 do livro Matemaacutetica Financeira)
Em que prazo um empreacutestimo de R$ 3500000 pode ser pago pela quantia de R$ 4790000 se a taxa de juros compostos cobrada for de 4 am
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
3500000 4790000 4 8
Periacuteodo em meses
Funccedilatildeo ldquoCrdquo na HP ndash 12C e as teclas ldquoSTOrdquo e ldquoEEXrdquo
Vocecirc pode calcular taxa de juros (i) Capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos Perioacutedicos (PMT) para transaccedilotildees financeiras com periacuteodos fracionaacuterios Ao digitar um periacuteodo fracionaacuterio por exemplo 23 meses a parte inteira do nuacutemero indica o nuacutemero de periacuteodos inteiro e a parte fracionaacuteria do nuacutemero o tamanho do periacuteodo fracionaacuterio como uma fraccedilatildeo do periacuteodo inteiro (no exemplo 2 meses e 03 meses)
De acordo com o criteacuterio do usuaacuterio os caacutelculos de taxa de juros ( i ) capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos perioacutedicos (PMT) podem ser executados com juros simples ou compostos acumulados durante o periacuteodo fracionaacuterio Para escolher uma das duas opccedilotildees faccedila
Aparece o indicador ldquoCldquo Portanto os juros compostos satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Natildeo aparece o indicador ldquoCrdquo Portanto os juros simples satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Figura 23 - Teclas utilizadas para caacutelculo de juros simples e compostos para periacuteodo fracionaacuterio Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
42
Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 212
Calcular o valor futuro de uma aplicaccedilatildeo de R$ 185030000 aplicado agrave taxa de 14 aa durante 45 anos usando juros compostos e simples para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Soluccedilatildeo as sequecircncias a seguir apresentam os resultados para o caacutelculo do valor futuro com juros simples para o periacuteodo fracionaacuterio e juros compostos para o periacuteodo fracionaacuterios respectivamente
185030000 14
45 334383879
Valor futuro calculado com juros simples para o periacuteodo
fracionaacuterio
185030000
14 45 333667556
Valor futuro calculado com juros compostos para o
periacuteodo fracionaacuterio
Exemplo 213 (exemplo 1 paacuteg 81 do livro Matemaacutetica Financeira)
Determine o valor do desconto composto racional e o valor do resgate de um tiacutetulo de R$ 1560000 descontado 5 meses antes do seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto composto racional eacute de 4 am
43
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor do desconto racional composto e o valor liacutequido a receber
1560000 1
1 004 5
277794 1560000 1282206
Valor do desconto Valor liacutequido
Exemplo 214 (exemplo 1 paacuteg 84 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um tiacutetulo de valor nominal de R$ 1500000 eacute descontado em um banco 3 meses antes de seu vencimento Se a taxa de desconto comercial usada pelo banco eacute de 8 am qual eacute o valor do desconto
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor liacutequido e o valor do desconto bancaacuterio ou comercial
1500000 3 8
-1168032 331968
Valor liacutequido Valor do desconto
44
Universidade do Sul de Santa Catarina
Nesta unidade vocecirc usou a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros simples e compostos descontos simples e compostos valor presente taxa de juros periacuteodo e montante Na proacutexima unidade usaremos a ferramenta para auxiliar no caacutelculo de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir foram propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo em PDF estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as questotildees 1 3 5 e 6 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteginas 38 e 39 Confira os resultados na paacuteg 194
1) Qual o rendimento que obtemos ao aplicarmos um capital de R$ 1000000 a uma taxa de juros simples de 5 aa durante 3 anos
3) Em um regime de capitalizaccedilatildeo simples qual eacute o montante que se obteacutem quando aplicamos um capital de R$ 200000 a uma taxa 6 aa durante 24 meses
5) Uma quantia de R$ 6200000 foi aplicada em uma operaccedilatildeo financeira no dia 20 de setembro de 2003 e resgatada no dia 21 de dezembro de 2003 a uma taxa de 125 aa Quais os juros simples exatos e comerciais da operaccedilatildeo
6) Calcule os juros simples exatos e comerciais nas seguintes condiccedilotildees
bull R$ 600000 aplicados por 180 dias a 12 aa
bull R$ 520000 aplicados por 230 dias a 15 aa
45
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
2 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 2 e 4 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegs 52 e 53 Confira os resultados nas paacuteginas 194 e 195
1) Uma empresa desconta uma duplicata no valor nominal de R$ 5000000 no Banco ldquoXrdquo 4 meses antes do seu vencimento Sabendo que o banco ldquoXrdquo trabalha com uma taxa de desconto simples bancaacuterio de 45 am qual eacute o valor do desconto e o valor liacutequido recebido
2) Para pagar uma diacutevida hoje uma empresa descontou em uma carteira de creacutedito uma duplicata no valor de R$ 1650000 com vencimento daqui a 2 meses recebendo um valor nominal liacutequido de R$ 1500000 Determine a taxa mensal de desconto simples bancaacuterio utilizada
4) Uma letra de cacircmbio no valor nominal de R$ 500000 foi comercializada 4 meses antes do vencimento a uma taxa de desconto simples de 22 am Se o desconto simples fosse o racional qual seria o valor deste desconto
3 Elabore uma sequecircncia de passos para resolver as questotildees propostas 1 2 3 4 e 6 nas paacuteginas 65 66 e 67 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira e confira os resultados na paacuteg 195
1) Calcule o montante produzido por um capital de R$ 2600000 aplicado a uma taxa de juros compostos de 52 am por 6 meses
2) Calcule os juros compostos auferidos por um capital de R$ 420000 aplicado a uma taxa de 3 am durante 10 meses
3) Um empreacutestimo de R$ 600000 deve ser pago em 120 dias a juros compostos pelo valor de R$ 900000 Qual eacute a taxa mensal da operaccedilatildeo
4) Em que prazo uma aplicaccedilatildeo a juros compostos de R$ 2400000 produziraacute um montante de R$ 6151930 agrave taxa de 4 am
6) Quanto Paulo deve aplicar hoje a juros compostos em uma instituiccedilatildeo financeira que paga uma taxa de 12 am para pagar um compromisso de valor nominal igual a R$ 3800000 que vence daqui a 3 meses
46
Universidade do Sul de Santa Catarina
4 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 e 8 das paacuteginas 88 e 90 respectivamente do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira Confira os resultados na paacuteg 196
1) Determine o valor do desconto composto racional de um tiacutetulo de valor nominal de R$ 830000 descontado 6 meses antes de seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto eacute de 42 am
8) Um tiacutetulo de R$ 3000000 foi descontado em uma instituiccedilatildeo financeira a uma taxa de desconto composto comercial de 64 am e o valor liacutequido recebido era de R$ 2017327 Quantos meses antes do vencimento foi descontado este tiacutetulo
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
3UNIDADE 3
Taxas de juros equivalentes e caacutelculo de pagamentos perioacutedicos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para calcular taxas equivalentes
Usar as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP ndash 12C para programar o algoritmo da taxa equivalente no regime de capitalizaccedilatildeo composto
Calcular pagamentos perioacutedicos de sequecircncias uniformes postecipadas e antecipadas
Calcular montante de uma sequecircncia uniforme
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Taxas equivalentes
Seccedilatildeo 2 Sequecircncia de capitais
48
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar taxas equivalentes no regime de capitalizaccedilatildeo composto Vocecirc usaraacute as funccedilotildees de programaccedilatildeo com o objetivo de elaborar um algoritmo para fazer a conversatildeo de taxas de um periacuteodo de capitalizaccedilatildeo (ex mensal) para outro periacuteodo (ex anual) usando o programa Vamos explorar as funccedilotildees ldquoPMTrdquo ldquoBEGrdquo e ldquoENDrdquo para realizar caacutelculo de pagamentos antecipados e postecipados em uma sequecircncia uniforme Destacamos que os exemplos que seratildeo apresentados estatildeo no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira
Seccedilatildeo 1 ndash Taxas equivalentes
Nesta unidade vocecirc usaraacute algumas funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos (postecipados e antecipados) de uma seacuterie uniforme Vocecirc usaraacute ainda as funccedilotildees de programaccedilatildeo para elaborar um programa para calcular taxas equivalentes A figura a seguir apresenta as funccedilotildees que vocecirc usaraacute nos exemplos apresentados posteriormente
Aciona o modo de programaccedilatildeo de HP ndash 12C
Aciona a funccedilatildeo Begin que calcula a parcela com pagamento antecipado
Aciona a funccedilatildeo End (natildeo aparece no visor da calculadora) que calcula parcela com pagamento postecipado
Figura 31 - Teclas utilizadas para acionar as funccedilotildees Beg e End e entrar no modo de programaccedilatildeo
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
49
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
Taxas equivalentes
No mercado financeiro e nas operaccedilotildees bancaacuterias e comerciais a palavra taxa eacute empregada de vaacuterias formas ou seja vaacuterios conceitos satildeo abordados em vaacuterias situaccedilotildees Esta seccedilatildeo tem como objetivo mostrar como as taxas de juros satildeo informadas no mercado financeiro e como adequaacute-las agraves condiccedilotildees padronizadas pela HP ndash 12C
Duas taxas satildeo consideradas equivalentes a juros compostos quando aplicadas a um mesmo capital por um periacuteodo de tempo equivalente e geram o mesmo rendimento
Exemplo 31(exemplo 1 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
No regime de juros compostos qual a taxa anual equivalente a 4 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente anual
Exemplo 32 (exemplo 2 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
Calcule a taxa quadrimestral equivalente agrave taxa de juros compostos de 8 aa
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente quadrimestral
1 004 12 1 1 10000 6010
Taxa anual
50
Universidade do Sul de Santa Catarina
1 008 1 3 1 10000 260
Taxa quadrimestral
Programa para caacutelculo da taxa equivalente pela hp ndash 12c
O professor Carlos Shinoda em seu livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48) apresenta um programa para calcular a taxa equivalente atraveacutes da calculadora HP ndash 12C
Siga os procedimentos abaixo para introduzir o programa na HP ndash 12C
Figura 32 - Algoritmo para a programaccedilatildeo de taxa equivalente
Fonte Livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48)
51
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
Agora que vocecirc programou a HP ndash 12C para o caacutelculo de taxas equivalentes resolva o exemplo a seguir usando o programa
Exemplo 33
Usando o programa anterior determine as taxas equivalentes propostas nos exemplos 31 e 32
Soluccedilatildeo
As sequecircncias abaixo calculam as taxas equivalentes
Executa oprograma
4 1 12 6010
Taxa anual
Executa oprograma
8 360 120 260
Taxa quadrimestral
52
Universidade do Sul de Santa Catarina
Seccedilatildeo 2 ndash Sequecircncia de capitais
Nesta seccedilatildeo vocecirc acompanharaacute as situaccedilotildees em que haacute mais de um pagamento ou seja vocecirc estudaraacute as operaccedilotildees envolvendo pagamentos ou recebimentos perioacutedicos e uniformes
As seacuteries uniformes de pagamentos satildeo aquelas em que os pagamentos ou recebimentos satildeo constantes e ocorrem em intervalos iguais
Seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas e antecipadas
As seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1 Este sistema eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada (0 + n)
Pagamentos ou recebimentos podem ser chamados de prestaccedilatildeo representada pela sigla PMT que vem do inglecircs Payment e significa pagamento ou recebimento
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentosPMT
++
0 1 2 3 4 5 6 n
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
++
0 1 2 3 4 5 6 n
PMT
53
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Unidade 3
As seacuteries uniformes de pagamentos antecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre na data focal 0 (zero) Este tipo de sistema de pagamento eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento com entrada (1+ n)
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
Exemplo 34 (exemplo 2 paacuteg 108 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um automoacutevel eacute vendido em uma loja por R$ 3200000 A loja propotildee as seguintes condiccedilotildees para financiamento
Proposta A 12 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta B 24 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta C 36 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
A taxa de juros usada eacute de 32 am Qual o valor de cada prestaccedilatildeo nas 3 modalidades de financiamento
Soluccedilatildeo
As sequecircncias a seguir calculam os valores das parcelas nas trecircs propostas
54
Universidade do Sul de Santa Catarina
3200000
32 12 -325329
parcela
3200000
32 24 -193046
parcela
3200000
32 36 -150979
parcela
Exemplo 35 (exemplo 2 paacuteg 111 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma casa cujo valor agrave vista eacute R$ 4924456 eacute vendida em prestaccedilotildees mensais e iguais de R$ 250000 sendo a primeira dada como entrada Se a taxa de financiamento eacute de 18 am determine o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas no financiamento
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o nuacutemero de parcelas
4924456 18
250000 24
nordm de parcelas
55
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
No exemplo acima o nuacutemero de pagamento deu um nuacutemero inteiro Mas podem acontecer situaccedilotildees em que ao se determinar o nuacutemero de parcelas o resultado natildeo seja um nuacutemero inteiro
Nessa situaccedilatildeo a HP ndash 12C arredonda a resposta para o proacuteximo inteiro para cima antes de armazenaacute-la e exibi-la
Exemplo 36
Vocecirc comprou um terreno por R$ 3500000 a juros de 105 aa Vocecirc pretende fazer pagamentos de R$ 32500 no fim de cada mecircs Quantos pagamentos seratildeo necessaacuterios para pagar o terreno e quanto tempo levaraacute
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o nuacutemero de pagamentos e o tempo necessaacuterio
3500000 105
32500 328 2733
nordm de parcelas Tempo (anos)
Como a calculadora arredonda o valor do tempo para o proacuteximo inteiro eacute provaacutevel que apesar de serem necessaacuterios 328 pagamentos somente 327 seratildeo inteiros de R$ 32500 com o pagamento final sendo menor do que R$ 32500 Para calcular o valor do pagamento de nuacutemero 328 vamos fazer o seguinte
A calculadora natildeo ajusta os valores nos outros registros financeiros automaticamente para refletir os n pagamentos iguais ao contraacuterio ela lhe permite escolher quais valores (se houver) que vocecirc deseja ajustar
56
Universidade do Sul de Santa Catarina
328 18189 - 32500 -14311
Valor da parcela 328
Nesta unidade vocecirc calculou taxas equivalentes usou as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP e fez caacutelculos de pagamentos perioacutedicos de uma seacuterie uniforme antecipado ou postecipado Na proacutexima unidade vamos realizar caacutelculos de valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades abaixo (Essa atividade corresponde agrave autoavaliaccedilatildeo 1 da unidade 5 do livro didaacutetico de Matemaacutetica Financeira) Em seguida use o programa elaborado para resolver a mesma questatildeo
Calcule a taxa anual das seguintes taxas
a) 26 am
b) 42 ab
c) 48 at
d) 12 as
57
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
2 Elabore um algoritmo para resolver as seguintes atividades (Estas questotildees equivalem agraves autoavaliaccedilotildees 1 2 3 4 e 5 da unidade 8 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 121 122 e 123)
a) Calcule o valor da prestaccedilatildeo mensal de um empreacutestimo de R$ 600000 que seraacute amortizado em 12 prestaccedilotildees mensais postecipadas sabendo que o banco cobra uma taxa de juros de 2 am
b) Uma loja vende um automoacutevel agrave vista por R$ 1650000 Se o comprador quiser fazer um financiamento em 36 parcelas mensais e iguais onde o 1ordm pagamento seraacute efetuado no 1ordm mecircs apoacutes a compra a uma taxa de juros de 21 am qual o valor da prestaccedilatildeo
c) Uma mercadoria custa R$ 9038071 agrave vista podendo ser vendida em prestaccedilotildees mensais de R$ 1050000 sendo a primeira prestaccedilatildeo dada como entrada Sabendo-se que a loja aplica uma taxa de 35 am qual o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas
d) Carlos depositou certa quantia durante 10 meses de forma antecipada a uma taxa de 25 am obtendo um montante de R$ 25000000 Quanto depositou mensalmente Carlos
e) Um produto eacute vendido agrave vista por R$ 200000 ou em 10 prestaccedilotildees mensais iguais sem entrada com uma carecircncia de 90 dias apoacutes a compra Qual o valor de cada prestaccedilatildeo sabendo que a taxa de juros eacute de 6 am
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
4UNIDADE 4
Valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa
Usar as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Valor presente liacutequido
Seccedilatildeo 2 Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs ndash SFA (Price)
60
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa usando as funccedilotildees CF0 CFj e NPV Vocecirc deveraacute ainda fazer uso da funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos usando o Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo ndash SFA ou tabela Price
Seccedilatildeo 1 ndash Valor presente liacutequido
A figura 41 a seguir apresenta as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C que vocecirc usaraacute nessa unidade para realizar caacutelculo de valor presente liacutequido e para a elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos ou financiamento
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor inicial do fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor do fluxo de caixa no periacuteodo j
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula o valor presente atual de um fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula a parte dos pagamentos usada para pagar juros
Figura 41 - Teclas para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
Valor presente liacutequido
Nessa seccedilatildeo vocecirc usaraacute as funccedilotildees da HP ndash 12C para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa Para entender como usar as funccedilotildees CF0 CFj e NPV considere o fluxo de caixa para um investimento que exige capital inicial (CF0) e que gera um fluxo de caixa (CFj ) no final de j periacuteodos
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Veja a seguir o fluxo de caixa
CF0CF1
CF2 CF5
CFn
CF3 CF4
O VPL = Valor Presente Liacutequido eacute calculado somando ao investimento inicial o valor presente dos fluxos de caixa futuros projetados Portanto
se o VPL for positivo o valor financeiro do ativo do investidor aumentaraacute ou seja o investimento financeiro seraacute atrativo em termos financeiros
se o VPL for zero o valor financeiro do ativo financeiro do investidor natildeo mudaraacute ou seja o investidor seraacute indiferente ao investimento
se o VPL for negativo o valor financeiro do ativo do investidor seraacute reduzido ou seja o investimento natildeo seraacute atrativo em termos financeiros
Exemplo 41
Um investidor compra uma casa por R$ 7000000 e gostaria de ter um retorno de pelo menos 15 Ele pretende manter a casa por 4 anos e depois vendecirc-la por R$ 11000000 Ele prevecirc os fluxos de caixa mostrados no diagrama abaixo
CF0CF1
CF1
CF3CF4
CF5
R$ 7000000
R$ 50000
R$ 450000R$ 450000
R$ 13000000R$ 550000
Sendo assim calcule o VPL para determinar se o investimento resultaria em um retorno ou perda
62
Universidade do Sul de Santa Catarina
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o VPL
7000000 50000
450000 550000 450000
13000000 15 379007
VPL
Como o VPL eacute positivo o investimento aumentaria o valor financeiro do ativo do investidor
Exemplo 42 (exemplo 4 paacuteg 98 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um proprietaacuterio recebeu as seguintes propostas para a venda de uma casa
Proposta A entrada de R$ 10000000 + R$ 5000000 em 6 meses + R$ 6000000 em 1 ano
Proposta B entrada de R$ 8000000 + R$ 6000000 em 5 meses + R$ 7000000 em 10 meses
Sabendo-se que a taxa de juros de mercado eacute de 3 am qual a melhor proposta para o vendedor
Soluccedilatildeo
Essa questatildeo deve ser resolvida pelo meacutetodo do Valor Presente Liacutequido A alternativa que tiver o maior valor seraacute a melhor Entretanto para facilitar a elaboraccedilatildeo do algoritmo de resoluccedilatildeo na HP ndash 12C elabore o fluxo de caixa para cada situaccedilatildeo
63
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
1 Proposta A Fluxo de caixa
10000000 5000000 6000000
1 2 3 4 5 7 8 9 10 110 6 12
Calculando o VPL
10000000 000 5
5000000 000
5
6000000
3
18395701
VPL
Armazena o zero 5 vezes
2 Proposta B Fluxo de caixa
8000000 70000006000000
1 2 3 4 6 7 8 90 5 10
Calculando o VPL
8000000 000 4
6000000 000
4
7000000
3
18384310
VPL
Armazena o zero 4 vezes
Resposta a melhor proposta eacute a A
64
Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 43
Dois equipamentos satildeo examinados Considerando ser a taxa miacutenima de atratividade de 20aa qual o equipamento que deve ser adquirido
Dados
41 - Tabela de DadosEquipamento K Equipamento L
Custo R$ 5000000 R$ 8000000Custo anual de manutenccedilatildeo R$ 2000000 R$ 1500000Valor residual para venda R$ 400000 R$ 800000Duraccedilatildeo em anos 10 10
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
A seguir veja o diagrama de fluxo de caixa
Os caacutelculos do Valor Presente Liacutequido para as duas situaccedilotildees satildeo
Equipamento K
5000000
Equipamento K
2000000
400000
0 1 2 10
8000000
Equipamento L
1500000
800000
0 1 2 10
50000 20000
9 4000 20000 1
20 -13320342
65
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Equipamento L
80000 15000
9 8000 15000 1
20 -14159504
Importante Veja que a alternativa K equivale a um equipamento em que se investe R$ 13320342 enquanto que o equipamento L equivale a um investimento de R$ 14159504 Portanto eacute preferiacutevel o equipamento K pois o investimento eacute menor
66
Universidade do Sul de Santa Catarina
Seccedilatildeo 2 ndash Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs - SFA
Este sistema consiste no pagamento de empreacutestimos ou financiamentos com prestaccedilotildees iguais e com periodicidade constante Eacute considerado o sistema de amortizaccedilatildeo mais utilizado pelas instituiccedilotildees financeiras e pelo comeacutercio em geral
O Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo eacute assim chamado por ter sido inventado na Franccedila por volta do seacuteculo XVIII pelo matemaacutetico inglecircs Richard Price daiacute portanto a origem da denominaccedilatildeo Sistema Price tambeacutem comumente chamado de Tabela Price
Na verdade a Tabela Price eacute um caso particular derivado do Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo Neste sistema o financiamento (PV) eacute pago em parcelas (PMT) iguais constituiacutedas da amortizaccedilatildeo do principal da diacutevida + juros compensatoacuterios (J) que variam inversamente ao longo do tempo Ou seja agrave medida que aumenta o valor da parcela de amortizaccedilatildeo haveraacute uma queda dos juros compensatoacuterios em funccedilatildeo da reduccedilatildeo do saldo devedor
Principais Caracteriacutesticas
As principais caracteriacutesticas do SFA satildeo
a prestaccedilatildeo eacute constante durante todo o periacuteodo do financiamento
a parcela de amortizaccedilatildeo aumenta a cada periacuteodo (n)
os juros compensatoacuterios diminuem a cada periacuteodo (n)
Exemplo 44 (exemplo 1 paacuteg 148 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma instituiccedilatildeo financeira libera um empreacutestimo para uma induacutestria no valor de R$ 60000000 para ser pago pelo sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs em 120 meses a uma taxa de 15 am Faccedila a planilha ateacute o 4ordm mecircs e calcule o saldo devedor no 100ordm mecircs
67
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Soluccedilatildeo
A sequecircncia abaixo calcula o valor da prestaccedilatildeo os juros a amortizaccedilatildeo o saldo devedor e valor do saldo devedor no 100ordm mecircs Acompanhe
Zera os registradores
60000000 Armazena o valor presente
120 Armazena o periacuteodo
15 Armazena a taxa
- R$ 1081111 Valor da prestaccedilatildeo
1 - R$ 900000 Valor dos juros da 1ordf parcela
R$ 181111Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 1ordf parcela
R$ 58918889 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 897283 Valor dos juros da 2ordf parcela
- R$ 183828Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 2ordf parcela
R$ 59635061 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 894526 Valor dos juros da 3ordf parcela
- R$ 186585Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 3ordf parcela
R$ 59448476 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 891727 Valor dos juros da 4ordf parcela
- R$ 189384Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 4ordf parcela
R$ 59259092 Recupera o saldo devedor
A tabela a seguir apresenta um resumo das operaccedilotildees realizadas
68
Universidade do Sul de Santa Catarina
Tabela 42 ndash Planilha de amortizaccedilatildeoPeriacuteodo (n) Amortizaccedilatildeo (A) Juros (J) Prestaccedilotildees (R) Saldo Devedor (S)
0 - - - R$ 600000001 R$ 181111 R$ 900000 R$ 1081111 R$ 598188892 R$ 183828 R$ 897283 R$ 1081111 R$ 596350613 R$ 186585 R$ 894526 R$ 1081111 R$ 594484764 R$ 189384 R$ 891727 R$ 1081111 R$ 59259092
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Para determinar o saldo devedor no 100ordm mecircs faccedila como indicado a seguir
60000000 120 150
-1081111 18561247
Prestaccedilatildeo Saldo devedor no 100ordm mecircs
Nesta unidade vocecirc usou as funccedilotildees de fluxo de caixa para calcular o valor presente liacutequido e a funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
69Unidade 4
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades a seguir (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 4 e 5 da unidade 7 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegina 102) Em seguida use o programa elaborado para resolver as mesmas questotildees
a) Qual das alternativas de pagamento eacute a melhor para uma taxa de juros compostos de 75 am
Alternativa A Pagamento de R$ 15000000 agrave vista
Alternativa B Entrada de R$ 5000000 + R$ 8000000 em 90 dias + R$ 6000000 em 150 dias
b) Uma pessoa deve a um banco dois tiacutetulos com valores de R$ 300000 e R$ 600000 venciacuteveis respectivamente em 4 meses e 8 meses Se a pessoa deseja antecipar para hoje a liquidaccedilatildeo dos tiacutetulos qual o valor a pagar considerando que o banco opera com uma taxa de juros compostos de 23 am
2 Elabore um algoritmo para resolver as atividades abaixo (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 1 e 4 da unidade 10 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 151 e 153)
a) Um cliente solicita a um banco um empreacutestimo de R$ 4000000 pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs em 60 prestaccedilotildees mensais Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de juros de 28 am obtenha o valor da prestaccedilatildeo e o saldo devedor depois de pagar a 20ordf prestaccedilatildeo
b) Um empreacutestimo de R$ 30000000 seraacute saldado em 50 prestaccedilotildees mensais a uma taxa de 15 am Determine a parcela de juros relativa agrave 15ordf prestaccedilatildeo pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs (price)
70
Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
Manual da calculadora HP ndash 12C
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico ndash 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7ed Satildeo Paulo Atlas 2000
Para concluir o estudo
Com o teacutermino desse curso de extensatildeo acreditamos que proporcionamos momentos de aprendizagem por meio da interaccedilatildeo da calculadora financeira e que vocecirc estaacute habilitado(a) a fazer uso dessa ferramenta com qualidade no mercado de trabalho relacionado a essa aacuterea tatildeo importante no nosso dia-a-dia
Referecircncias
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7 ed Satildeo Paulo Atlas 2000
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003 Disponiacutevel em lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt Acesso em 05 jun 2008
Sobre o professor conteudista
Joseacute Humberto Dias de Toledo - eacute Mestre em Educaccedilatildeo pela Universidade do Sul de Santa Catarina Graduado em Licenciatura em Matemaacutetica e em Engenharia Civil Professor das disciplinas Meacutetodos Numeacutericos Informaacutetica Aplicada agrave Matemaacutetica Financeira Caacutelculo I e Matemaacutetica Financeira no Curso de Matemaacutetica ndash Licenciatura nesta mesma instituiccedilatildeo Atualmente ministra a disciplina Representaccedilotildees Graacuteficas na Poacutes-graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo Matemaacutetica da UNISUL
Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo
Unidade 1
1 a) 5
b) -2359
c) 3311
d) 077
e) 081
Respostas modo RPN
a)
b)
c)
d)
e)
Respostas modo ALG
a
b
c
d
e
78
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 R$ 167757
Modo RPN
Modo ALG
3 -242
4 Data 13082008 3 (quarta-feira)
5 Florianoacutepolis = 3303 Curitiba = 5018 Porto Alegre = 1680
Unidade 2
1 1) 150000
Dados
C = R$ 1000000
i = 5 aa
n = 3 anos = 1080 dias
J =
3) 24 meses = 2 anos
Dados
C = R$ 200000
i = 6 aa
n = 24 meses = 720 dias
M =
79
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
85
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
86
Universidade do Sul de Santa Catarina
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
87
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
88
Universidade do Sul de Santa Catarina
41
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
Exemplo 211 (exemplo 5 paacuteg 60 do livro Matemaacutetica Financeira)
Em que prazo um empreacutestimo de R$ 3500000 pode ser pago pela quantia de R$ 4790000 se a taxa de juros compostos cobrada for de 4 am
Soluccedilatildeo
Use a sequecircncia a seguir para determinar a taxa de juros mensal
3500000 4790000 4 8
Periacuteodo em meses
Funccedilatildeo ldquoCrdquo na HP ndash 12C e as teclas ldquoSTOrdquo e ldquoEEXrdquo
Vocecirc pode calcular taxa de juros (i) Capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos Perioacutedicos (PMT) para transaccedilotildees financeiras com periacuteodos fracionaacuterios Ao digitar um periacuteodo fracionaacuterio por exemplo 23 meses a parte inteira do nuacutemero indica o nuacutemero de periacuteodos inteiro e a parte fracionaacuteria do nuacutemero o tamanho do periacuteodo fracionaacuterio como uma fraccedilatildeo do periacuteodo inteiro (no exemplo 2 meses e 03 meses)
De acordo com o criteacuterio do usuaacuterio os caacutelculos de taxa de juros ( i ) capital (PV) Montante (FV) e Pagamentos perioacutedicos (PMT) podem ser executados com juros simples ou compostos acumulados durante o periacuteodo fracionaacuterio Para escolher uma das duas opccedilotildees faccedila
Aparece o indicador ldquoCldquo Portanto os juros compostos satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Natildeo aparece o indicador ldquoCrdquo Portanto os juros simples satildeo calculados para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Figura 23 - Teclas utilizadas para caacutelculo de juros simples e compostos para periacuteodo fracionaacuterio Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
42
Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 212
Calcular o valor futuro de uma aplicaccedilatildeo de R$ 185030000 aplicado agrave taxa de 14 aa durante 45 anos usando juros compostos e simples para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Soluccedilatildeo as sequecircncias a seguir apresentam os resultados para o caacutelculo do valor futuro com juros simples para o periacuteodo fracionaacuterio e juros compostos para o periacuteodo fracionaacuterios respectivamente
185030000 14
45 334383879
Valor futuro calculado com juros simples para o periacuteodo
fracionaacuterio
185030000
14 45 333667556
Valor futuro calculado com juros compostos para o
periacuteodo fracionaacuterio
Exemplo 213 (exemplo 1 paacuteg 81 do livro Matemaacutetica Financeira)
Determine o valor do desconto composto racional e o valor do resgate de um tiacutetulo de R$ 1560000 descontado 5 meses antes do seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto composto racional eacute de 4 am
43
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor do desconto racional composto e o valor liacutequido a receber
1560000 1
1 004 5
277794 1560000 1282206
Valor do desconto Valor liacutequido
Exemplo 214 (exemplo 1 paacuteg 84 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um tiacutetulo de valor nominal de R$ 1500000 eacute descontado em um banco 3 meses antes de seu vencimento Se a taxa de desconto comercial usada pelo banco eacute de 8 am qual eacute o valor do desconto
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor liacutequido e o valor do desconto bancaacuterio ou comercial
1500000 3 8
-1168032 331968
Valor liacutequido Valor do desconto
44
Universidade do Sul de Santa Catarina
Nesta unidade vocecirc usou a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros simples e compostos descontos simples e compostos valor presente taxa de juros periacuteodo e montante Na proacutexima unidade usaremos a ferramenta para auxiliar no caacutelculo de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir foram propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo em PDF estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as questotildees 1 3 5 e 6 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteginas 38 e 39 Confira os resultados na paacuteg 194
1) Qual o rendimento que obtemos ao aplicarmos um capital de R$ 1000000 a uma taxa de juros simples de 5 aa durante 3 anos
3) Em um regime de capitalizaccedilatildeo simples qual eacute o montante que se obteacutem quando aplicamos um capital de R$ 200000 a uma taxa 6 aa durante 24 meses
5) Uma quantia de R$ 6200000 foi aplicada em uma operaccedilatildeo financeira no dia 20 de setembro de 2003 e resgatada no dia 21 de dezembro de 2003 a uma taxa de 125 aa Quais os juros simples exatos e comerciais da operaccedilatildeo
6) Calcule os juros simples exatos e comerciais nas seguintes condiccedilotildees
bull R$ 600000 aplicados por 180 dias a 12 aa
bull R$ 520000 aplicados por 230 dias a 15 aa
45
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
2 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 2 e 4 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegs 52 e 53 Confira os resultados nas paacuteginas 194 e 195
1) Uma empresa desconta uma duplicata no valor nominal de R$ 5000000 no Banco ldquoXrdquo 4 meses antes do seu vencimento Sabendo que o banco ldquoXrdquo trabalha com uma taxa de desconto simples bancaacuterio de 45 am qual eacute o valor do desconto e o valor liacutequido recebido
2) Para pagar uma diacutevida hoje uma empresa descontou em uma carteira de creacutedito uma duplicata no valor de R$ 1650000 com vencimento daqui a 2 meses recebendo um valor nominal liacutequido de R$ 1500000 Determine a taxa mensal de desconto simples bancaacuterio utilizada
4) Uma letra de cacircmbio no valor nominal de R$ 500000 foi comercializada 4 meses antes do vencimento a uma taxa de desconto simples de 22 am Se o desconto simples fosse o racional qual seria o valor deste desconto
3 Elabore uma sequecircncia de passos para resolver as questotildees propostas 1 2 3 4 e 6 nas paacuteginas 65 66 e 67 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira e confira os resultados na paacuteg 195
1) Calcule o montante produzido por um capital de R$ 2600000 aplicado a uma taxa de juros compostos de 52 am por 6 meses
2) Calcule os juros compostos auferidos por um capital de R$ 420000 aplicado a uma taxa de 3 am durante 10 meses
3) Um empreacutestimo de R$ 600000 deve ser pago em 120 dias a juros compostos pelo valor de R$ 900000 Qual eacute a taxa mensal da operaccedilatildeo
4) Em que prazo uma aplicaccedilatildeo a juros compostos de R$ 2400000 produziraacute um montante de R$ 6151930 agrave taxa de 4 am
6) Quanto Paulo deve aplicar hoje a juros compostos em uma instituiccedilatildeo financeira que paga uma taxa de 12 am para pagar um compromisso de valor nominal igual a R$ 3800000 que vence daqui a 3 meses
46
Universidade do Sul de Santa Catarina
4 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 e 8 das paacuteginas 88 e 90 respectivamente do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira Confira os resultados na paacuteg 196
1) Determine o valor do desconto composto racional de um tiacutetulo de valor nominal de R$ 830000 descontado 6 meses antes de seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto eacute de 42 am
8) Um tiacutetulo de R$ 3000000 foi descontado em uma instituiccedilatildeo financeira a uma taxa de desconto composto comercial de 64 am e o valor liacutequido recebido era de R$ 2017327 Quantos meses antes do vencimento foi descontado este tiacutetulo
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
3UNIDADE 3
Taxas de juros equivalentes e caacutelculo de pagamentos perioacutedicos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para calcular taxas equivalentes
Usar as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP ndash 12C para programar o algoritmo da taxa equivalente no regime de capitalizaccedilatildeo composto
Calcular pagamentos perioacutedicos de sequecircncias uniformes postecipadas e antecipadas
Calcular montante de uma sequecircncia uniforme
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Taxas equivalentes
Seccedilatildeo 2 Sequecircncia de capitais
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar taxas equivalentes no regime de capitalizaccedilatildeo composto Vocecirc usaraacute as funccedilotildees de programaccedilatildeo com o objetivo de elaborar um algoritmo para fazer a conversatildeo de taxas de um periacuteodo de capitalizaccedilatildeo (ex mensal) para outro periacuteodo (ex anual) usando o programa Vamos explorar as funccedilotildees ldquoPMTrdquo ldquoBEGrdquo e ldquoENDrdquo para realizar caacutelculo de pagamentos antecipados e postecipados em uma sequecircncia uniforme Destacamos que os exemplos que seratildeo apresentados estatildeo no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira
Seccedilatildeo 1 ndash Taxas equivalentes
Nesta unidade vocecirc usaraacute algumas funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos (postecipados e antecipados) de uma seacuterie uniforme Vocecirc usaraacute ainda as funccedilotildees de programaccedilatildeo para elaborar um programa para calcular taxas equivalentes A figura a seguir apresenta as funccedilotildees que vocecirc usaraacute nos exemplos apresentados posteriormente
Aciona o modo de programaccedilatildeo de HP ndash 12C
Aciona a funccedilatildeo Begin que calcula a parcela com pagamento antecipado
Aciona a funccedilatildeo End (natildeo aparece no visor da calculadora) que calcula parcela com pagamento postecipado
Figura 31 - Teclas utilizadas para acionar as funccedilotildees Beg e End e entrar no modo de programaccedilatildeo
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
49
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
Taxas equivalentes
No mercado financeiro e nas operaccedilotildees bancaacuterias e comerciais a palavra taxa eacute empregada de vaacuterias formas ou seja vaacuterios conceitos satildeo abordados em vaacuterias situaccedilotildees Esta seccedilatildeo tem como objetivo mostrar como as taxas de juros satildeo informadas no mercado financeiro e como adequaacute-las agraves condiccedilotildees padronizadas pela HP ndash 12C
Duas taxas satildeo consideradas equivalentes a juros compostos quando aplicadas a um mesmo capital por um periacuteodo de tempo equivalente e geram o mesmo rendimento
Exemplo 31(exemplo 1 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
No regime de juros compostos qual a taxa anual equivalente a 4 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente anual
Exemplo 32 (exemplo 2 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
Calcule a taxa quadrimestral equivalente agrave taxa de juros compostos de 8 aa
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente quadrimestral
1 004 12 1 1 10000 6010
Taxa anual
50
Universidade do Sul de Santa Catarina
1 008 1 3 1 10000 260
Taxa quadrimestral
Programa para caacutelculo da taxa equivalente pela hp ndash 12c
O professor Carlos Shinoda em seu livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48) apresenta um programa para calcular a taxa equivalente atraveacutes da calculadora HP ndash 12C
Siga os procedimentos abaixo para introduzir o programa na HP ndash 12C
Figura 32 - Algoritmo para a programaccedilatildeo de taxa equivalente
Fonte Livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48)
51
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
Agora que vocecirc programou a HP ndash 12C para o caacutelculo de taxas equivalentes resolva o exemplo a seguir usando o programa
Exemplo 33
Usando o programa anterior determine as taxas equivalentes propostas nos exemplos 31 e 32
Soluccedilatildeo
As sequecircncias abaixo calculam as taxas equivalentes
Executa oprograma
4 1 12 6010
Taxa anual
Executa oprograma
8 360 120 260
Taxa quadrimestral
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Seccedilatildeo 2 ndash Sequecircncia de capitais
Nesta seccedilatildeo vocecirc acompanharaacute as situaccedilotildees em que haacute mais de um pagamento ou seja vocecirc estudaraacute as operaccedilotildees envolvendo pagamentos ou recebimentos perioacutedicos e uniformes
As seacuteries uniformes de pagamentos satildeo aquelas em que os pagamentos ou recebimentos satildeo constantes e ocorrem em intervalos iguais
Seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas e antecipadas
As seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1 Este sistema eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada (0 + n)
Pagamentos ou recebimentos podem ser chamados de prestaccedilatildeo representada pela sigla PMT que vem do inglecircs Payment e significa pagamento ou recebimento
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentosPMT
++
0 1 2 3 4 5 6 n
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
++
0 1 2 3 4 5 6 n
PMT
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
As seacuteries uniformes de pagamentos antecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre na data focal 0 (zero) Este tipo de sistema de pagamento eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento com entrada (1+ n)
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
Exemplo 34 (exemplo 2 paacuteg 108 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um automoacutevel eacute vendido em uma loja por R$ 3200000 A loja propotildee as seguintes condiccedilotildees para financiamento
Proposta A 12 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta B 24 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta C 36 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
A taxa de juros usada eacute de 32 am Qual o valor de cada prestaccedilatildeo nas 3 modalidades de financiamento
Soluccedilatildeo
As sequecircncias a seguir calculam os valores das parcelas nas trecircs propostas
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3200000
32 12 -325329
parcela
3200000
32 24 -193046
parcela
3200000
32 36 -150979
parcela
Exemplo 35 (exemplo 2 paacuteg 111 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma casa cujo valor agrave vista eacute R$ 4924456 eacute vendida em prestaccedilotildees mensais e iguais de R$ 250000 sendo a primeira dada como entrada Se a taxa de financiamento eacute de 18 am determine o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas no financiamento
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o nuacutemero de parcelas
4924456 18
250000 24
nordm de parcelas
55
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
No exemplo acima o nuacutemero de pagamento deu um nuacutemero inteiro Mas podem acontecer situaccedilotildees em que ao se determinar o nuacutemero de parcelas o resultado natildeo seja um nuacutemero inteiro
Nessa situaccedilatildeo a HP ndash 12C arredonda a resposta para o proacuteximo inteiro para cima antes de armazenaacute-la e exibi-la
Exemplo 36
Vocecirc comprou um terreno por R$ 3500000 a juros de 105 aa Vocecirc pretende fazer pagamentos de R$ 32500 no fim de cada mecircs Quantos pagamentos seratildeo necessaacuterios para pagar o terreno e quanto tempo levaraacute
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o nuacutemero de pagamentos e o tempo necessaacuterio
3500000 105
32500 328 2733
nordm de parcelas Tempo (anos)
Como a calculadora arredonda o valor do tempo para o proacuteximo inteiro eacute provaacutevel que apesar de serem necessaacuterios 328 pagamentos somente 327 seratildeo inteiros de R$ 32500 com o pagamento final sendo menor do que R$ 32500 Para calcular o valor do pagamento de nuacutemero 328 vamos fazer o seguinte
A calculadora natildeo ajusta os valores nos outros registros financeiros automaticamente para refletir os n pagamentos iguais ao contraacuterio ela lhe permite escolher quais valores (se houver) que vocecirc deseja ajustar
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328 18189 - 32500 -14311
Valor da parcela 328
Nesta unidade vocecirc calculou taxas equivalentes usou as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP e fez caacutelculos de pagamentos perioacutedicos de uma seacuterie uniforme antecipado ou postecipado Na proacutexima unidade vamos realizar caacutelculos de valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades abaixo (Essa atividade corresponde agrave autoavaliaccedilatildeo 1 da unidade 5 do livro didaacutetico de Matemaacutetica Financeira) Em seguida use o programa elaborado para resolver a mesma questatildeo
Calcule a taxa anual das seguintes taxas
a) 26 am
b) 42 ab
c) 48 at
d) 12 as
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Unidade 3
2 Elabore um algoritmo para resolver as seguintes atividades (Estas questotildees equivalem agraves autoavaliaccedilotildees 1 2 3 4 e 5 da unidade 8 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 121 122 e 123)
a) Calcule o valor da prestaccedilatildeo mensal de um empreacutestimo de R$ 600000 que seraacute amortizado em 12 prestaccedilotildees mensais postecipadas sabendo que o banco cobra uma taxa de juros de 2 am
b) Uma loja vende um automoacutevel agrave vista por R$ 1650000 Se o comprador quiser fazer um financiamento em 36 parcelas mensais e iguais onde o 1ordm pagamento seraacute efetuado no 1ordm mecircs apoacutes a compra a uma taxa de juros de 21 am qual o valor da prestaccedilatildeo
c) Uma mercadoria custa R$ 9038071 agrave vista podendo ser vendida em prestaccedilotildees mensais de R$ 1050000 sendo a primeira prestaccedilatildeo dada como entrada Sabendo-se que a loja aplica uma taxa de 35 am qual o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas
d) Carlos depositou certa quantia durante 10 meses de forma antecipada a uma taxa de 25 am obtendo um montante de R$ 25000000 Quanto depositou mensalmente Carlos
e) Um produto eacute vendido agrave vista por R$ 200000 ou em 10 prestaccedilotildees mensais iguais sem entrada com uma carecircncia de 90 dias apoacutes a compra Qual o valor de cada prestaccedilatildeo sabendo que a taxa de juros eacute de 6 am
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
4UNIDADE 4
Valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa
Usar as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Valor presente liacutequido
Seccedilatildeo 2 Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs ndash SFA (Price)
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa usando as funccedilotildees CF0 CFj e NPV Vocecirc deveraacute ainda fazer uso da funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos usando o Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo ndash SFA ou tabela Price
Seccedilatildeo 1 ndash Valor presente liacutequido
A figura 41 a seguir apresenta as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C que vocecirc usaraacute nessa unidade para realizar caacutelculo de valor presente liacutequido e para a elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos ou financiamento
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor inicial do fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor do fluxo de caixa no periacuteodo j
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula o valor presente atual de um fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula a parte dos pagamentos usada para pagar juros
Figura 41 - Teclas para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
Valor presente liacutequido
Nessa seccedilatildeo vocecirc usaraacute as funccedilotildees da HP ndash 12C para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa Para entender como usar as funccedilotildees CF0 CFj e NPV considere o fluxo de caixa para um investimento que exige capital inicial (CF0) e que gera um fluxo de caixa (CFj ) no final de j periacuteodos
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Unidade 4
Veja a seguir o fluxo de caixa
CF0CF1
CF2 CF5
CFn
CF3 CF4
O VPL = Valor Presente Liacutequido eacute calculado somando ao investimento inicial o valor presente dos fluxos de caixa futuros projetados Portanto
se o VPL for positivo o valor financeiro do ativo do investidor aumentaraacute ou seja o investimento financeiro seraacute atrativo em termos financeiros
se o VPL for zero o valor financeiro do ativo financeiro do investidor natildeo mudaraacute ou seja o investidor seraacute indiferente ao investimento
se o VPL for negativo o valor financeiro do ativo do investidor seraacute reduzido ou seja o investimento natildeo seraacute atrativo em termos financeiros
Exemplo 41
Um investidor compra uma casa por R$ 7000000 e gostaria de ter um retorno de pelo menos 15 Ele pretende manter a casa por 4 anos e depois vendecirc-la por R$ 11000000 Ele prevecirc os fluxos de caixa mostrados no diagrama abaixo
CF0CF1
CF1
CF3CF4
CF5
R$ 7000000
R$ 50000
R$ 450000R$ 450000
R$ 13000000R$ 550000
Sendo assim calcule o VPL para determinar se o investimento resultaria em um retorno ou perda
62
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Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o VPL
7000000 50000
450000 550000 450000
13000000 15 379007
VPL
Como o VPL eacute positivo o investimento aumentaria o valor financeiro do ativo do investidor
Exemplo 42 (exemplo 4 paacuteg 98 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um proprietaacuterio recebeu as seguintes propostas para a venda de uma casa
Proposta A entrada de R$ 10000000 + R$ 5000000 em 6 meses + R$ 6000000 em 1 ano
Proposta B entrada de R$ 8000000 + R$ 6000000 em 5 meses + R$ 7000000 em 10 meses
Sabendo-se que a taxa de juros de mercado eacute de 3 am qual a melhor proposta para o vendedor
Soluccedilatildeo
Essa questatildeo deve ser resolvida pelo meacutetodo do Valor Presente Liacutequido A alternativa que tiver o maior valor seraacute a melhor Entretanto para facilitar a elaboraccedilatildeo do algoritmo de resoluccedilatildeo na HP ndash 12C elabore o fluxo de caixa para cada situaccedilatildeo
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Unidade 4
1 Proposta A Fluxo de caixa
10000000 5000000 6000000
1 2 3 4 5 7 8 9 10 110 6 12
Calculando o VPL
10000000 000 5
5000000 000
5
6000000
3
18395701
VPL
Armazena o zero 5 vezes
2 Proposta B Fluxo de caixa
8000000 70000006000000
1 2 3 4 6 7 8 90 5 10
Calculando o VPL
8000000 000 4
6000000 000
4
7000000
3
18384310
VPL
Armazena o zero 4 vezes
Resposta a melhor proposta eacute a A
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Exemplo 43
Dois equipamentos satildeo examinados Considerando ser a taxa miacutenima de atratividade de 20aa qual o equipamento que deve ser adquirido
Dados
41 - Tabela de DadosEquipamento K Equipamento L
Custo R$ 5000000 R$ 8000000Custo anual de manutenccedilatildeo R$ 2000000 R$ 1500000Valor residual para venda R$ 400000 R$ 800000Duraccedilatildeo em anos 10 10
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
A seguir veja o diagrama de fluxo de caixa
Os caacutelculos do Valor Presente Liacutequido para as duas situaccedilotildees satildeo
Equipamento K
5000000
Equipamento K
2000000
400000
0 1 2 10
8000000
Equipamento L
1500000
800000
0 1 2 10
50000 20000
9 4000 20000 1
20 -13320342
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Unidade 4
Equipamento L
80000 15000
9 8000 15000 1
20 -14159504
Importante Veja que a alternativa K equivale a um equipamento em que se investe R$ 13320342 enquanto que o equipamento L equivale a um investimento de R$ 14159504 Portanto eacute preferiacutevel o equipamento K pois o investimento eacute menor
66
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Seccedilatildeo 2 ndash Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs - SFA
Este sistema consiste no pagamento de empreacutestimos ou financiamentos com prestaccedilotildees iguais e com periodicidade constante Eacute considerado o sistema de amortizaccedilatildeo mais utilizado pelas instituiccedilotildees financeiras e pelo comeacutercio em geral
O Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo eacute assim chamado por ter sido inventado na Franccedila por volta do seacuteculo XVIII pelo matemaacutetico inglecircs Richard Price daiacute portanto a origem da denominaccedilatildeo Sistema Price tambeacutem comumente chamado de Tabela Price
Na verdade a Tabela Price eacute um caso particular derivado do Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo Neste sistema o financiamento (PV) eacute pago em parcelas (PMT) iguais constituiacutedas da amortizaccedilatildeo do principal da diacutevida + juros compensatoacuterios (J) que variam inversamente ao longo do tempo Ou seja agrave medida que aumenta o valor da parcela de amortizaccedilatildeo haveraacute uma queda dos juros compensatoacuterios em funccedilatildeo da reduccedilatildeo do saldo devedor
Principais Caracteriacutesticas
As principais caracteriacutesticas do SFA satildeo
a prestaccedilatildeo eacute constante durante todo o periacuteodo do financiamento
a parcela de amortizaccedilatildeo aumenta a cada periacuteodo (n)
os juros compensatoacuterios diminuem a cada periacuteodo (n)
Exemplo 44 (exemplo 1 paacuteg 148 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma instituiccedilatildeo financeira libera um empreacutestimo para uma induacutestria no valor de R$ 60000000 para ser pago pelo sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs em 120 meses a uma taxa de 15 am Faccedila a planilha ateacute o 4ordm mecircs e calcule o saldo devedor no 100ordm mecircs
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Unidade 4
Soluccedilatildeo
A sequecircncia abaixo calcula o valor da prestaccedilatildeo os juros a amortizaccedilatildeo o saldo devedor e valor do saldo devedor no 100ordm mecircs Acompanhe
Zera os registradores
60000000 Armazena o valor presente
120 Armazena o periacuteodo
15 Armazena a taxa
- R$ 1081111 Valor da prestaccedilatildeo
1 - R$ 900000 Valor dos juros da 1ordf parcela
R$ 181111Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 1ordf parcela
R$ 58918889 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 897283 Valor dos juros da 2ordf parcela
- R$ 183828Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 2ordf parcela
R$ 59635061 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 894526 Valor dos juros da 3ordf parcela
- R$ 186585Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 3ordf parcela
R$ 59448476 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 891727 Valor dos juros da 4ordf parcela
- R$ 189384Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 4ordf parcela
R$ 59259092 Recupera o saldo devedor
A tabela a seguir apresenta um resumo das operaccedilotildees realizadas
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Tabela 42 ndash Planilha de amortizaccedilatildeoPeriacuteodo (n) Amortizaccedilatildeo (A) Juros (J) Prestaccedilotildees (R) Saldo Devedor (S)
0 - - - R$ 600000001 R$ 181111 R$ 900000 R$ 1081111 R$ 598188892 R$ 183828 R$ 897283 R$ 1081111 R$ 596350613 R$ 186585 R$ 894526 R$ 1081111 R$ 594484764 R$ 189384 R$ 891727 R$ 1081111 R$ 59259092
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Para determinar o saldo devedor no 100ordm mecircs faccedila como indicado a seguir
60000000 120 150
-1081111 18561247
Prestaccedilatildeo Saldo devedor no 100ordm mecircs
Nesta unidade vocecirc usou as funccedilotildees de fluxo de caixa para calcular o valor presente liacutequido e a funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
69Unidade 4
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Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades a seguir (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 4 e 5 da unidade 7 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegina 102) Em seguida use o programa elaborado para resolver as mesmas questotildees
a) Qual das alternativas de pagamento eacute a melhor para uma taxa de juros compostos de 75 am
Alternativa A Pagamento de R$ 15000000 agrave vista
Alternativa B Entrada de R$ 5000000 + R$ 8000000 em 90 dias + R$ 6000000 em 150 dias
b) Uma pessoa deve a um banco dois tiacutetulos com valores de R$ 300000 e R$ 600000 venciacuteveis respectivamente em 4 meses e 8 meses Se a pessoa deseja antecipar para hoje a liquidaccedilatildeo dos tiacutetulos qual o valor a pagar considerando que o banco opera com uma taxa de juros compostos de 23 am
2 Elabore um algoritmo para resolver as atividades abaixo (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 1 e 4 da unidade 10 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 151 e 153)
a) Um cliente solicita a um banco um empreacutestimo de R$ 4000000 pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs em 60 prestaccedilotildees mensais Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de juros de 28 am obtenha o valor da prestaccedilatildeo e o saldo devedor depois de pagar a 20ordf prestaccedilatildeo
b) Um empreacutestimo de R$ 30000000 seraacute saldado em 50 prestaccedilotildees mensais a uma taxa de 15 am Determine a parcela de juros relativa agrave 15ordf prestaccedilatildeo pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs (price)
70
Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
Manual da calculadora HP ndash 12C
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico ndash 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7ed Satildeo Paulo Atlas 2000
Para concluir o estudo
Com o teacutermino desse curso de extensatildeo acreditamos que proporcionamos momentos de aprendizagem por meio da interaccedilatildeo da calculadora financeira e que vocecirc estaacute habilitado(a) a fazer uso dessa ferramenta com qualidade no mercado de trabalho relacionado a essa aacuterea tatildeo importante no nosso dia-a-dia
Referecircncias
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7 ed Satildeo Paulo Atlas 2000
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003 Disponiacutevel em lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt Acesso em 05 jun 2008
Sobre o professor conteudista
Joseacute Humberto Dias de Toledo - eacute Mestre em Educaccedilatildeo pela Universidade do Sul de Santa Catarina Graduado em Licenciatura em Matemaacutetica e em Engenharia Civil Professor das disciplinas Meacutetodos Numeacutericos Informaacutetica Aplicada agrave Matemaacutetica Financeira Caacutelculo I e Matemaacutetica Financeira no Curso de Matemaacutetica ndash Licenciatura nesta mesma instituiccedilatildeo Atualmente ministra a disciplina Representaccedilotildees Graacuteficas na Poacutes-graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo Matemaacutetica da UNISUL
Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo
Unidade 1
1 a) 5
b) -2359
c) 3311
d) 077
e) 081
Respostas modo RPN
a)
b)
c)
d)
e)
Respostas modo ALG
a
b
c
d
e
78
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 R$ 167757
Modo RPN
Modo ALG
3 -242
4 Data 13082008 3 (quarta-feira)
5 Florianoacutepolis = 3303 Curitiba = 5018 Porto Alegre = 1680
Unidade 2
1 1) 150000
Dados
C = R$ 1000000
i = 5 aa
n = 3 anos = 1080 dias
J =
3) 24 meses = 2 anos
Dados
C = R$ 200000
i = 6 aa
n = 24 meses = 720 dias
M =
79
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
85
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
86
Universidade do Sul de Santa Catarina
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
87
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
88
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42
Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 212
Calcular o valor futuro de uma aplicaccedilatildeo de R$ 185030000 aplicado agrave taxa de 14 aa durante 45 anos usando juros compostos e simples para a parte fracionaacuteria do periacuteodo
Soluccedilatildeo as sequecircncias a seguir apresentam os resultados para o caacutelculo do valor futuro com juros simples para o periacuteodo fracionaacuterio e juros compostos para o periacuteodo fracionaacuterios respectivamente
185030000 14
45 334383879
Valor futuro calculado com juros simples para o periacuteodo
fracionaacuterio
185030000
14 45 333667556
Valor futuro calculado com juros compostos para o
periacuteodo fracionaacuterio
Exemplo 213 (exemplo 1 paacuteg 81 do livro Matemaacutetica Financeira)
Determine o valor do desconto composto racional e o valor do resgate de um tiacutetulo de R$ 1560000 descontado 5 meses antes do seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto composto racional eacute de 4 am
43
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor do desconto racional composto e o valor liacutequido a receber
1560000 1
1 004 5
277794 1560000 1282206
Valor do desconto Valor liacutequido
Exemplo 214 (exemplo 1 paacuteg 84 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um tiacutetulo de valor nominal de R$ 1500000 eacute descontado em um banco 3 meses antes de seu vencimento Se a taxa de desconto comercial usada pelo banco eacute de 8 am qual eacute o valor do desconto
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor liacutequido e o valor do desconto bancaacuterio ou comercial
1500000 3 8
-1168032 331968
Valor liacutequido Valor do desconto
44
Universidade do Sul de Santa Catarina
Nesta unidade vocecirc usou a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros simples e compostos descontos simples e compostos valor presente taxa de juros periacuteodo e montante Na proacutexima unidade usaremos a ferramenta para auxiliar no caacutelculo de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir foram propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo em PDF estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as questotildees 1 3 5 e 6 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteginas 38 e 39 Confira os resultados na paacuteg 194
1) Qual o rendimento que obtemos ao aplicarmos um capital de R$ 1000000 a uma taxa de juros simples de 5 aa durante 3 anos
3) Em um regime de capitalizaccedilatildeo simples qual eacute o montante que se obteacutem quando aplicamos um capital de R$ 200000 a uma taxa 6 aa durante 24 meses
5) Uma quantia de R$ 6200000 foi aplicada em uma operaccedilatildeo financeira no dia 20 de setembro de 2003 e resgatada no dia 21 de dezembro de 2003 a uma taxa de 125 aa Quais os juros simples exatos e comerciais da operaccedilatildeo
6) Calcule os juros simples exatos e comerciais nas seguintes condiccedilotildees
bull R$ 600000 aplicados por 180 dias a 12 aa
bull R$ 520000 aplicados por 230 dias a 15 aa
45
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
2 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 2 e 4 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegs 52 e 53 Confira os resultados nas paacuteginas 194 e 195
1) Uma empresa desconta uma duplicata no valor nominal de R$ 5000000 no Banco ldquoXrdquo 4 meses antes do seu vencimento Sabendo que o banco ldquoXrdquo trabalha com uma taxa de desconto simples bancaacuterio de 45 am qual eacute o valor do desconto e o valor liacutequido recebido
2) Para pagar uma diacutevida hoje uma empresa descontou em uma carteira de creacutedito uma duplicata no valor de R$ 1650000 com vencimento daqui a 2 meses recebendo um valor nominal liacutequido de R$ 1500000 Determine a taxa mensal de desconto simples bancaacuterio utilizada
4) Uma letra de cacircmbio no valor nominal de R$ 500000 foi comercializada 4 meses antes do vencimento a uma taxa de desconto simples de 22 am Se o desconto simples fosse o racional qual seria o valor deste desconto
3 Elabore uma sequecircncia de passos para resolver as questotildees propostas 1 2 3 4 e 6 nas paacuteginas 65 66 e 67 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira e confira os resultados na paacuteg 195
1) Calcule o montante produzido por um capital de R$ 2600000 aplicado a uma taxa de juros compostos de 52 am por 6 meses
2) Calcule os juros compostos auferidos por um capital de R$ 420000 aplicado a uma taxa de 3 am durante 10 meses
3) Um empreacutestimo de R$ 600000 deve ser pago em 120 dias a juros compostos pelo valor de R$ 900000 Qual eacute a taxa mensal da operaccedilatildeo
4) Em que prazo uma aplicaccedilatildeo a juros compostos de R$ 2400000 produziraacute um montante de R$ 6151930 agrave taxa de 4 am
6) Quanto Paulo deve aplicar hoje a juros compostos em uma instituiccedilatildeo financeira que paga uma taxa de 12 am para pagar um compromisso de valor nominal igual a R$ 3800000 que vence daqui a 3 meses
46
Universidade do Sul de Santa Catarina
4 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 e 8 das paacuteginas 88 e 90 respectivamente do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira Confira os resultados na paacuteg 196
1) Determine o valor do desconto composto racional de um tiacutetulo de valor nominal de R$ 830000 descontado 6 meses antes de seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto eacute de 42 am
8) Um tiacutetulo de R$ 3000000 foi descontado em uma instituiccedilatildeo financeira a uma taxa de desconto composto comercial de 64 am e o valor liacutequido recebido era de R$ 2017327 Quantos meses antes do vencimento foi descontado este tiacutetulo
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
3UNIDADE 3
Taxas de juros equivalentes e caacutelculo de pagamentos perioacutedicos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para calcular taxas equivalentes
Usar as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP ndash 12C para programar o algoritmo da taxa equivalente no regime de capitalizaccedilatildeo composto
Calcular pagamentos perioacutedicos de sequecircncias uniformes postecipadas e antecipadas
Calcular montante de uma sequecircncia uniforme
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Taxas equivalentes
Seccedilatildeo 2 Sequecircncia de capitais
48
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar taxas equivalentes no regime de capitalizaccedilatildeo composto Vocecirc usaraacute as funccedilotildees de programaccedilatildeo com o objetivo de elaborar um algoritmo para fazer a conversatildeo de taxas de um periacuteodo de capitalizaccedilatildeo (ex mensal) para outro periacuteodo (ex anual) usando o programa Vamos explorar as funccedilotildees ldquoPMTrdquo ldquoBEGrdquo e ldquoENDrdquo para realizar caacutelculo de pagamentos antecipados e postecipados em uma sequecircncia uniforme Destacamos que os exemplos que seratildeo apresentados estatildeo no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira
Seccedilatildeo 1 ndash Taxas equivalentes
Nesta unidade vocecirc usaraacute algumas funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos (postecipados e antecipados) de uma seacuterie uniforme Vocecirc usaraacute ainda as funccedilotildees de programaccedilatildeo para elaborar um programa para calcular taxas equivalentes A figura a seguir apresenta as funccedilotildees que vocecirc usaraacute nos exemplos apresentados posteriormente
Aciona o modo de programaccedilatildeo de HP ndash 12C
Aciona a funccedilatildeo Begin que calcula a parcela com pagamento antecipado
Aciona a funccedilatildeo End (natildeo aparece no visor da calculadora) que calcula parcela com pagamento postecipado
Figura 31 - Teclas utilizadas para acionar as funccedilotildees Beg e End e entrar no modo de programaccedilatildeo
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
49
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
Taxas equivalentes
No mercado financeiro e nas operaccedilotildees bancaacuterias e comerciais a palavra taxa eacute empregada de vaacuterias formas ou seja vaacuterios conceitos satildeo abordados em vaacuterias situaccedilotildees Esta seccedilatildeo tem como objetivo mostrar como as taxas de juros satildeo informadas no mercado financeiro e como adequaacute-las agraves condiccedilotildees padronizadas pela HP ndash 12C
Duas taxas satildeo consideradas equivalentes a juros compostos quando aplicadas a um mesmo capital por um periacuteodo de tempo equivalente e geram o mesmo rendimento
Exemplo 31(exemplo 1 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
No regime de juros compostos qual a taxa anual equivalente a 4 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente anual
Exemplo 32 (exemplo 2 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
Calcule a taxa quadrimestral equivalente agrave taxa de juros compostos de 8 aa
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente quadrimestral
1 004 12 1 1 10000 6010
Taxa anual
50
Universidade do Sul de Santa Catarina
1 008 1 3 1 10000 260
Taxa quadrimestral
Programa para caacutelculo da taxa equivalente pela hp ndash 12c
O professor Carlos Shinoda em seu livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48) apresenta um programa para calcular a taxa equivalente atraveacutes da calculadora HP ndash 12C
Siga os procedimentos abaixo para introduzir o programa na HP ndash 12C
Figura 32 - Algoritmo para a programaccedilatildeo de taxa equivalente
Fonte Livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48)
51
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
Agora que vocecirc programou a HP ndash 12C para o caacutelculo de taxas equivalentes resolva o exemplo a seguir usando o programa
Exemplo 33
Usando o programa anterior determine as taxas equivalentes propostas nos exemplos 31 e 32
Soluccedilatildeo
As sequecircncias abaixo calculam as taxas equivalentes
Executa oprograma
4 1 12 6010
Taxa anual
Executa oprograma
8 360 120 260
Taxa quadrimestral
52
Universidade do Sul de Santa Catarina
Seccedilatildeo 2 ndash Sequecircncia de capitais
Nesta seccedilatildeo vocecirc acompanharaacute as situaccedilotildees em que haacute mais de um pagamento ou seja vocecirc estudaraacute as operaccedilotildees envolvendo pagamentos ou recebimentos perioacutedicos e uniformes
As seacuteries uniformes de pagamentos satildeo aquelas em que os pagamentos ou recebimentos satildeo constantes e ocorrem em intervalos iguais
Seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas e antecipadas
As seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1 Este sistema eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada (0 + n)
Pagamentos ou recebimentos podem ser chamados de prestaccedilatildeo representada pela sigla PMT que vem do inglecircs Payment e significa pagamento ou recebimento
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentosPMT
++
0 1 2 3 4 5 6 n
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
++
0 1 2 3 4 5 6 n
PMT
53
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
As seacuteries uniformes de pagamentos antecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre na data focal 0 (zero) Este tipo de sistema de pagamento eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento com entrada (1+ n)
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
Exemplo 34 (exemplo 2 paacuteg 108 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um automoacutevel eacute vendido em uma loja por R$ 3200000 A loja propotildee as seguintes condiccedilotildees para financiamento
Proposta A 12 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta B 24 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta C 36 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
A taxa de juros usada eacute de 32 am Qual o valor de cada prestaccedilatildeo nas 3 modalidades de financiamento
Soluccedilatildeo
As sequecircncias a seguir calculam os valores das parcelas nas trecircs propostas
54
Universidade do Sul de Santa Catarina
3200000
32 12 -325329
parcela
3200000
32 24 -193046
parcela
3200000
32 36 -150979
parcela
Exemplo 35 (exemplo 2 paacuteg 111 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma casa cujo valor agrave vista eacute R$ 4924456 eacute vendida em prestaccedilotildees mensais e iguais de R$ 250000 sendo a primeira dada como entrada Se a taxa de financiamento eacute de 18 am determine o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas no financiamento
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o nuacutemero de parcelas
4924456 18
250000 24
nordm de parcelas
55
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
No exemplo acima o nuacutemero de pagamento deu um nuacutemero inteiro Mas podem acontecer situaccedilotildees em que ao se determinar o nuacutemero de parcelas o resultado natildeo seja um nuacutemero inteiro
Nessa situaccedilatildeo a HP ndash 12C arredonda a resposta para o proacuteximo inteiro para cima antes de armazenaacute-la e exibi-la
Exemplo 36
Vocecirc comprou um terreno por R$ 3500000 a juros de 105 aa Vocecirc pretende fazer pagamentos de R$ 32500 no fim de cada mecircs Quantos pagamentos seratildeo necessaacuterios para pagar o terreno e quanto tempo levaraacute
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o nuacutemero de pagamentos e o tempo necessaacuterio
3500000 105
32500 328 2733
nordm de parcelas Tempo (anos)
Como a calculadora arredonda o valor do tempo para o proacuteximo inteiro eacute provaacutevel que apesar de serem necessaacuterios 328 pagamentos somente 327 seratildeo inteiros de R$ 32500 com o pagamento final sendo menor do que R$ 32500 Para calcular o valor do pagamento de nuacutemero 328 vamos fazer o seguinte
A calculadora natildeo ajusta os valores nos outros registros financeiros automaticamente para refletir os n pagamentos iguais ao contraacuterio ela lhe permite escolher quais valores (se houver) que vocecirc deseja ajustar
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Universidade do Sul de Santa Catarina
328 18189 - 32500 -14311
Valor da parcela 328
Nesta unidade vocecirc calculou taxas equivalentes usou as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP e fez caacutelculos de pagamentos perioacutedicos de uma seacuterie uniforme antecipado ou postecipado Na proacutexima unidade vamos realizar caacutelculos de valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades abaixo (Essa atividade corresponde agrave autoavaliaccedilatildeo 1 da unidade 5 do livro didaacutetico de Matemaacutetica Financeira) Em seguida use o programa elaborado para resolver a mesma questatildeo
Calcule a taxa anual das seguintes taxas
a) 26 am
b) 42 ab
c) 48 at
d) 12 as
57
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
2 Elabore um algoritmo para resolver as seguintes atividades (Estas questotildees equivalem agraves autoavaliaccedilotildees 1 2 3 4 e 5 da unidade 8 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 121 122 e 123)
a) Calcule o valor da prestaccedilatildeo mensal de um empreacutestimo de R$ 600000 que seraacute amortizado em 12 prestaccedilotildees mensais postecipadas sabendo que o banco cobra uma taxa de juros de 2 am
b) Uma loja vende um automoacutevel agrave vista por R$ 1650000 Se o comprador quiser fazer um financiamento em 36 parcelas mensais e iguais onde o 1ordm pagamento seraacute efetuado no 1ordm mecircs apoacutes a compra a uma taxa de juros de 21 am qual o valor da prestaccedilatildeo
c) Uma mercadoria custa R$ 9038071 agrave vista podendo ser vendida em prestaccedilotildees mensais de R$ 1050000 sendo a primeira prestaccedilatildeo dada como entrada Sabendo-se que a loja aplica uma taxa de 35 am qual o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas
d) Carlos depositou certa quantia durante 10 meses de forma antecipada a uma taxa de 25 am obtendo um montante de R$ 25000000 Quanto depositou mensalmente Carlos
e) Um produto eacute vendido agrave vista por R$ 200000 ou em 10 prestaccedilotildees mensais iguais sem entrada com uma carecircncia de 90 dias apoacutes a compra Qual o valor de cada prestaccedilatildeo sabendo que a taxa de juros eacute de 6 am
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
4UNIDADE 4
Valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa
Usar as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Valor presente liacutequido
Seccedilatildeo 2 Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs ndash SFA (Price)
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa usando as funccedilotildees CF0 CFj e NPV Vocecirc deveraacute ainda fazer uso da funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos usando o Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo ndash SFA ou tabela Price
Seccedilatildeo 1 ndash Valor presente liacutequido
A figura 41 a seguir apresenta as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C que vocecirc usaraacute nessa unidade para realizar caacutelculo de valor presente liacutequido e para a elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos ou financiamento
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor inicial do fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor do fluxo de caixa no periacuteodo j
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula o valor presente atual de um fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula a parte dos pagamentos usada para pagar juros
Figura 41 - Teclas para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
Valor presente liacutequido
Nessa seccedilatildeo vocecirc usaraacute as funccedilotildees da HP ndash 12C para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa Para entender como usar as funccedilotildees CF0 CFj e NPV considere o fluxo de caixa para um investimento que exige capital inicial (CF0) e que gera um fluxo de caixa (CFj ) no final de j periacuteodos
61
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Veja a seguir o fluxo de caixa
CF0CF1
CF2 CF5
CFn
CF3 CF4
O VPL = Valor Presente Liacutequido eacute calculado somando ao investimento inicial o valor presente dos fluxos de caixa futuros projetados Portanto
se o VPL for positivo o valor financeiro do ativo do investidor aumentaraacute ou seja o investimento financeiro seraacute atrativo em termos financeiros
se o VPL for zero o valor financeiro do ativo financeiro do investidor natildeo mudaraacute ou seja o investidor seraacute indiferente ao investimento
se o VPL for negativo o valor financeiro do ativo do investidor seraacute reduzido ou seja o investimento natildeo seraacute atrativo em termos financeiros
Exemplo 41
Um investidor compra uma casa por R$ 7000000 e gostaria de ter um retorno de pelo menos 15 Ele pretende manter a casa por 4 anos e depois vendecirc-la por R$ 11000000 Ele prevecirc os fluxos de caixa mostrados no diagrama abaixo
CF0CF1
CF1
CF3CF4
CF5
R$ 7000000
R$ 50000
R$ 450000R$ 450000
R$ 13000000R$ 550000
Sendo assim calcule o VPL para determinar se o investimento resultaria em um retorno ou perda
62
Universidade do Sul de Santa Catarina
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o VPL
7000000 50000
450000 550000 450000
13000000 15 379007
VPL
Como o VPL eacute positivo o investimento aumentaria o valor financeiro do ativo do investidor
Exemplo 42 (exemplo 4 paacuteg 98 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um proprietaacuterio recebeu as seguintes propostas para a venda de uma casa
Proposta A entrada de R$ 10000000 + R$ 5000000 em 6 meses + R$ 6000000 em 1 ano
Proposta B entrada de R$ 8000000 + R$ 6000000 em 5 meses + R$ 7000000 em 10 meses
Sabendo-se que a taxa de juros de mercado eacute de 3 am qual a melhor proposta para o vendedor
Soluccedilatildeo
Essa questatildeo deve ser resolvida pelo meacutetodo do Valor Presente Liacutequido A alternativa que tiver o maior valor seraacute a melhor Entretanto para facilitar a elaboraccedilatildeo do algoritmo de resoluccedilatildeo na HP ndash 12C elabore o fluxo de caixa para cada situaccedilatildeo
63
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Unidade 4
1 Proposta A Fluxo de caixa
10000000 5000000 6000000
1 2 3 4 5 7 8 9 10 110 6 12
Calculando o VPL
10000000 000 5
5000000 000
5
6000000
3
18395701
VPL
Armazena o zero 5 vezes
2 Proposta B Fluxo de caixa
8000000 70000006000000
1 2 3 4 6 7 8 90 5 10
Calculando o VPL
8000000 000 4
6000000 000
4
7000000
3
18384310
VPL
Armazena o zero 4 vezes
Resposta a melhor proposta eacute a A
64
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Exemplo 43
Dois equipamentos satildeo examinados Considerando ser a taxa miacutenima de atratividade de 20aa qual o equipamento que deve ser adquirido
Dados
41 - Tabela de DadosEquipamento K Equipamento L
Custo R$ 5000000 R$ 8000000Custo anual de manutenccedilatildeo R$ 2000000 R$ 1500000Valor residual para venda R$ 400000 R$ 800000Duraccedilatildeo em anos 10 10
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
A seguir veja o diagrama de fluxo de caixa
Os caacutelculos do Valor Presente Liacutequido para as duas situaccedilotildees satildeo
Equipamento K
5000000
Equipamento K
2000000
400000
0 1 2 10
8000000
Equipamento L
1500000
800000
0 1 2 10
50000 20000
9 4000 20000 1
20 -13320342
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Unidade 4
Equipamento L
80000 15000
9 8000 15000 1
20 -14159504
Importante Veja que a alternativa K equivale a um equipamento em que se investe R$ 13320342 enquanto que o equipamento L equivale a um investimento de R$ 14159504 Portanto eacute preferiacutevel o equipamento K pois o investimento eacute menor
66
Universidade do Sul de Santa Catarina
Seccedilatildeo 2 ndash Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs - SFA
Este sistema consiste no pagamento de empreacutestimos ou financiamentos com prestaccedilotildees iguais e com periodicidade constante Eacute considerado o sistema de amortizaccedilatildeo mais utilizado pelas instituiccedilotildees financeiras e pelo comeacutercio em geral
O Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo eacute assim chamado por ter sido inventado na Franccedila por volta do seacuteculo XVIII pelo matemaacutetico inglecircs Richard Price daiacute portanto a origem da denominaccedilatildeo Sistema Price tambeacutem comumente chamado de Tabela Price
Na verdade a Tabela Price eacute um caso particular derivado do Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo Neste sistema o financiamento (PV) eacute pago em parcelas (PMT) iguais constituiacutedas da amortizaccedilatildeo do principal da diacutevida + juros compensatoacuterios (J) que variam inversamente ao longo do tempo Ou seja agrave medida que aumenta o valor da parcela de amortizaccedilatildeo haveraacute uma queda dos juros compensatoacuterios em funccedilatildeo da reduccedilatildeo do saldo devedor
Principais Caracteriacutesticas
As principais caracteriacutesticas do SFA satildeo
a prestaccedilatildeo eacute constante durante todo o periacuteodo do financiamento
a parcela de amortizaccedilatildeo aumenta a cada periacuteodo (n)
os juros compensatoacuterios diminuem a cada periacuteodo (n)
Exemplo 44 (exemplo 1 paacuteg 148 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma instituiccedilatildeo financeira libera um empreacutestimo para uma induacutestria no valor de R$ 60000000 para ser pago pelo sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs em 120 meses a uma taxa de 15 am Faccedila a planilha ateacute o 4ordm mecircs e calcule o saldo devedor no 100ordm mecircs
67
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Unidade 4
Soluccedilatildeo
A sequecircncia abaixo calcula o valor da prestaccedilatildeo os juros a amortizaccedilatildeo o saldo devedor e valor do saldo devedor no 100ordm mecircs Acompanhe
Zera os registradores
60000000 Armazena o valor presente
120 Armazena o periacuteodo
15 Armazena a taxa
- R$ 1081111 Valor da prestaccedilatildeo
1 - R$ 900000 Valor dos juros da 1ordf parcela
R$ 181111Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 1ordf parcela
R$ 58918889 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 897283 Valor dos juros da 2ordf parcela
- R$ 183828Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 2ordf parcela
R$ 59635061 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 894526 Valor dos juros da 3ordf parcela
- R$ 186585Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 3ordf parcela
R$ 59448476 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 891727 Valor dos juros da 4ordf parcela
- R$ 189384Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 4ordf parcela
R$ 59259092 Recupera o saldo devedor
A tabela a seguir apresenta um resumo das operaccedilotildees realizadas
68
Universidade do Sul de Santa Catarina
Tabela 42 ndash Planilha de amortizaccedilatildeoPeriacuteodo (n) Amortizaccedilatildeo (A) Juros (J) Prestaccedilotildees (R) Saldo Devedor (S)
0 - - - R$ 600000001 R$ 181111 R$ 900000 R$ 1081111 R$ 598188892 R$ 183828 R$ 897283 R$ 1081111 R$ 596350613 R$ 186585 R$ 894526 R$ 1081111 R$ 594484764 R$ 189384 R$ 891727 R$ 1081111 R$ 59259092
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Para determinar o saldo devedor no 100ordm mecircs faccedila como indicado a seguir
60000000 120 150
-1081111 18561247
Prestaccedilatildeo Saldo devedor no 100ordm mecircs
Nesta unidade vocecirc usou as funccedilotildees de fluxo de caixa para calcular o valor presente liacutequido e a funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
69Unidade 4
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades a seguir (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 4 e 5 da unidade 7 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegina 102) Em seguida use o programa elaborado para resolver as mesmas questotildees
a) Qual das alternativas de pagamento eacute a melhor para uma taxa de juros compostos de 75 am
Alternativa A Pagamento de R$ 15000000 agrave vista
Alternativa B Entrada de R$ 5000000 + R$ 8000000 em 90 dias + R$ 6000000 em 150 dias
b) Uma pessoa deve a um banco dois tiacutetulos com valores de R$ 300000 e R$ 600000 venciacuteveis respectivamente em 4 meses e 8 meses Se a pessoa deseja antecipar para hoje a liquidaccedilatildeo dos tiacutetulos qual o valor a pagar considerando que o banco opera com uma taxa de juros compostos de 23 am
2 Elabore um algoritmo para resolver as atividades abaixo (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 1 e 4 da unidade 10 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 151 e 153)
a) Um cliente solicita a um banco um empreacutestimo de R$ 4000000 pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs em 60 prestaccedilotildees mensais Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de juros de 28 am obtenha o valor da prestaccedilatildeo e o saldo devedor depois de pagar a 20ordf prestaccedilatildeo
b) Um empreacutestimo de R$ 30000000 seraacute saldado em 50 prestaccedilotildees mensais a uma taxa de 15 am Determine a parcela de juros relativa agrave 15ordf prestaccedilatildeo pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs (price)
70
Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
Manual da calculadora HP ndash 12C
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico ndash 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7ed Satildeo Paulo Atlas 2000
Para concluir o estudo
Com o teacutermino desse curso de extensatildeo acreditamos que proporcionamos momentos de aprendizagem por meio da interaccedilatildeo da calculadora financeira e que vocecirc estaacute habilitado(a) a fazer uso dessa ferramenta com qualidade no mercado de trabalho relacionado a essa aacuterea tatildeo importante no nosso dia-a-dia
Referecircncias
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7 ed Satildeo Paulo Atlas 2000
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003 Disponiacutevel em lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt Acesso em 05 jun 2008
Sobre o professor conteudista
Joseacute Humberto Dias de Toledo - eacute Mestre em Educaccedilatildeo pela Universidade do Sul de Santa Catarina Graduado em Licenciatura em Matemaacutetica e em Engenharia Civil Professor das disciplinas Meacutetodos Numeacutericos Informaacutetica Aplicada agrave Matemaacutetica Financeira Caacutelculo I e Matemaacutetica Financeira no Curso de Matemaacutetica ndash Licenciatura nesta mesma instituiccedilatildeo Atualmente ministra a disciplina Representaccedilotildees Graacuteficas na Poacutes-graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo Matemaacutetica da UNISUL
Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo
Unidade 1
1 a) 5
b) -2359
c) 3311
d) 077
e) 081
Respostas modo RPN
a)
b)
c)
d)
e)
Respostas modo ALG
a
b
c
d
e
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Universidade do Sul de Santa Catarina
2 R$ 167757
Modo RPN
Modo ALG
3 -242
4 Data 13082008 3 (quarta-feira)
5 Florianoacutepolis = 3303 Curitiba = 5018 Porto Alegre = 1680
Unidade 2
1 1) 150000
Dados
C = R$ 1000000
i = 5 aa
n = 3 anos = 1080 dias
J =
3) 24 meses = 2 anos
Dados
C = R$ 200000
i = 6 aa
n = 24 meses = 720 dias
M =
79
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
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b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
87
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
88
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Unidade 2
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor do desconto racional composto e o valor liacutequido a receber
1560000 1
1 004 5
277794 1560000 1282206
Valor do desconto Valor liacutequido
Exemplo 214 (exemplo 1 paacuteg 84 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um tiacutetulo de valor nominal de R$ 1500000 eacute descontado em um banco 3 meses antes de seu vencimento Se a taxa de desconto comercial usada pelo banco eacute de 8 am qual eacute o valor do desconto
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o valor liacutequido e o valor do desconto bancaacuterio ou comercial
1500000 3 8
-1168032 331968
Valor liacutequido Valor do desconto
44
Universidade do Sul de Santa Catarina
Nesta unidade vocecirc usou a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros simples e compostos descontos simples e compostos valor presente taxa de juros periacuteodo e montante Na proacutexima unidade usaremos a ferramenta para auxiliar no caacutelculo de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir foram propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo em PDF estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as questotildees 1 3 5 e 6 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteginas 38 e 39 Confira os resultados na paacuteg 194
1) Qual o rendimento que obtemos ao aplicarmos um capital de R$ 1000000 a uma taxa de juros simples de 5 aa durante 3 anos
3) Em um regime de capitalizaccedilatildeo simples qual eacute o montante que se obteacutem quando aplicamos um capital de R$ 200000 a uma taxa 6 aa durante 24 meses
5) Uma quantia de R$ 6200000 foi aplicada em uma operaccedilatildeo financeira no dia 20 de setembro de 2003 e resgatada no dia 21 de dezembro de 2003 a uma taxa de 125 aa Quais os juros simples exatos e comerciais da operaccedilatildeo
6) Calcule os juros simples exatos e comerciais nas seguintes condiccedilotildees
bull R$ 600000 aplicados por 180 dias a 12 aa
bull R$ 520000 aplicados por 230 dias a 15 aa
45
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
2 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 2 e 4 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegs 52 e 53 Confira os resultados nas paacuteginas 194 e 195
1) Uma empresa desconta uma duplicata no valor nominal de R$ 5000000 no Banco ldquoXrdquo 4 meses antes do seu vencimento Sabendo que o banco ldquoXrdquo trabalha com uma taxa de desconto simples bancaacuterio de 45 am qual eacute o valor do desconto e o valor liacutequido recebido
2) Para pagar uma diacutevida hoje uma empresa descontou em uma carteira de creacutedito uma duplicata no valor de R$ 1650000 com vencimento daqui a 2 meses recebendo um valor nominal liacutequido de R$ 1500000 Determine a taxa mensal de desconto simples bancaacuterio utilizada
4) Uma letra de cacircmbio no valor nominal de R$ 500000 foi comercializada 4 meses antes do vencimento a uma taxa de desconto simples de 22 am Se o desconto simples fosse o racional qual seria o valor deste desconto
3 Elabore uma sequecircncia de passos para resolver as questotildees propostas 1 2 3 4 e 6 nas paacuteginas 65 66 e 67 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira e confira os resultados na paacuteg 195
1) Calcule o montante produzido por um capital de R$ 2600000 aplicado a uma taxa de juros compostos de 52 am por 6 meses
2) Calcule os juros compostos auferidos por um capital de R$ 420000 aplicado a uma taxa de 3 am durante 10 meses
3) Um empreacutestimo de R$ 600000 deve ser pago em 120 dias a juros compostos pelo valor de R$ 900000 Qual eacute a taxa mensal da operaccedilatildeo
4) Em que prazo uma aplicaccedilatildeo a juros compostos de R$ 2400000 produziraacute um montante de R$ 6151930 agrave taxa de 4 am
6) Quanto Paulo deve aplicar hoje a juros compostos em uma instituiccedilatildeo financeira que paga uma taxa de 12 am para pagar um compromisso de valor nominal igual a R$ 3800000 que vence daqui a 3 meses
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Universidade do Sul de Santa Catarina
4 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 e 8 das paacuteginas 88 e 90 respectivamente do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira Confira os resultados na paacuteg 196
1) Determine o valor do desconto composto racional de um tiacutetulo de valor nominal de R$ 830000 descontado 6 meses antes de seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto eacute de 42 am
8) Um tiacutetulo de R$ 3000000 foi descontado em uma instituiccedilatildeo financeira a uma taxa de desconto composto comercial de 64 am e o valor liacutequido recebido era de R$ 2017327 Quantos meses antes do vencimento foi descontado este tiacutetulo
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
3UNIDADE 3
Taxas de juros equivalentes e caacutelculo de pagamentos perioacutedicos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para calcular taxas equivalentes
Usar as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP ndash 12C para programar o algoritmo da taxa equivalente no regime de capitalizaccedilatildeo composto
Calcular pagamentos perioacutedicos de sequecircncias uniformes postecipadas e antecipadas
Calcular montante de uma sequecircncia uniforme
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Taxas equivalentes
Seccedilatildeo 2 Sequecircncia de capitais
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar taxas equivalentes no regime de capitalizaccedilatildeo composto Vocecirc usaraacute as funccedilotildees de programaccedilatildeo com o objetivo de elaborar um algoritmo para fazer a conversatildeo de taxas de um periacuteodo de capitalizaccedilatildeo (ex mensal) para outro periacuteodo (ex anual) usando o programa Vamos explorar as funccedilotildees ldquoPMTrdquo ldquoBEGrdquo e ldquoENDrdquo para realizar caacutelculo de pagamentos antecipados e postecipados em uma sequecircncia uniforme Destacamos que os exemplos que seratildeo apresentados estatildeo no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira
Seccedilatildeo 1 ndash Taxas equivalentes
Nesta unidade vocecirc usaraacute algumas funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos (postecipados e antecipados) de uma seacuterie uniforme Vocecirc usaraacute ainda as funccedilotildees de programaccedilatildeo para elaborar um programa para calcular taxas equivalentes A figura a seguir apresenta as funccedilotildees que vocecirc usaraacute nos exemplos apresentados posteriormente
Aciona o modo de programaccedilatildeo de HP ndash 12C
Aciona a funccedilatildeo Begin que calcula a parcela com pagamento antecipado
Aciona a funccedilatildeo End (natildeo aparece no visor da calculadora) que calcula parcela com pagamento postecipado
Figura 31 - Teclas utilizadas para acionar as funccedilotildees Beg e End e entrar no modo de programaccedilatildeo
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
49
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
Taxas equivalentes
No mercado financeiro e nas operaccedilotildees bancaacuterias e comerciais a palavra taxa eacute empregada de vaacuterias formas ou seja vaacuterios conceitos satildeo abordados em vaacuterias situaccedilotildees Esta seccedilatildeo tem como objetivo mostrar como as taxas de juros satildeo informadas no mercado financeiro e como adequaacute-las agraves condiccedilotildees padronizadas pela HP ndash 12C
Duas taxas satildeo consideradas equivalentes a juros compostos quando aplicadas a um mesmo capital por um periacuteodo de tempo equivalente e geram o mesmo rendimento
Exemplo 31(exemplo 1 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
No regime de juros compostos qual a taxa anual equivalente a 4 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente anual
Exemplo 32 (exemplo 2 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
Calcule a taxa quadrimestral equivalente agrave taxa de juros compostos de 8 aa
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente quadrimestral
1 004 12 1 1 10000 6010
Taxa anual
50
Universidade do Sul de Santa Catarina
1 008 1 3 1 10000 260
Taxa quadrimestral
Programa para caacutelculo da taxa equivalente pela hp ndash 12c
O professor Carlos Shinoda em seu livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48) apresenta um programa para calcular a taxa equivalente atraveacutes da calculadora HP ndash 12C
Siga os procedimentos abaixo para introduzir o programa na HP ndash 12C
Figura 32 - Algoritmo para a programaccedilatildeo de taxa equivalente
Fonte Livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48)
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
Agora que vocecirc programou a HP ndash 12C para o caacutelculo de taxas equivalentes resolva o exemplo a seguir usando o programa
Exemplo 33
Usando o programa anterior determine as taxas equivalentes propostas nos exemplos 31 e 32
Soluccedilatildeo
As sequecircncias abaixo calculam as taxas equivalentes
Executa oprograma
4 1 12 6010
Taxa anual
Executa oprograma
8 360 120 260
Taxa quadrimestral
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Seccedilatildeo 2 ndash Sequecircncia de capitais
Nesta seccedilatildeo vocecirc acompanharaacute as situaccedilotildees em que haacute mais de um pagamento ou seja vocecirc estudaraacute as operaccedilotildees envolvendo pagamentos ou recebimentos perioacutedicos e uniformes
As seacuteries uniformes de pagamentos satildeo aquelas em que os pagamentos ou recebimentos satildeo constantes e ocorrem em intervalos iguais
Seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas e antecipadas
As seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1 Este sistema eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada (0 + n)
Pagamentos ou recebimentos podem ser chamados de prestaccedilatildeo representada pela sigla PMT que vem do inglecircs Payment e significa pagamento ou recebimento
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentosPMT
++
0 1 2 3 4 5 6 n
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
++
0 1 2 3 4 5 6 n
PMT
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Unidade 3
As seacuteries uniformes de pagamentos antecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre na data focal 0 (zero) Este tipo de sistema de pagamento eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento com entrada (1+ n)
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
Exemplo 34 (exemplo 2 paacuteg 108 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um automoacutevel eacute vendido em uma loja por R$ 3200000 A loja propotildee as seguintes condiccedilotildees para financiamento
Proposta A 12 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta B 24 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta C 36 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
A taxa de juros usada eacute de 32 am Qual o valor de cada prestaccedilatildeo nas 3 modalidades de financiamento
Soluccedilatildeo
As sequecircncias a seguir calculam os valores das parcelas nas trecircs propostas
54
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3200000
32 12 -325329
parcela
3200000
32 24 -193046
parcela
3200000
32 36 -150979
parcela
Exemplo 35 (exemplo 2 paacuteg 111 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma casa cujo valor agrave vista eacute R$ 4924456 eacute vendida em prestaccedilotildees mensais e iguais de R$ 250000 sendo a primeira dada como entrada Se a taxa de financiamento eacute de 18 am determine o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas no financiamento
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o nuacutemero de parcelas
4924456 18
250000 24
nordm de parcelas
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Unidade 3
No exemplo acima o nuacutemero de pagamento deu um nuacutemero inteiro Mas podem acontecer situaccedilotildees em que ao se determinar o nuacutemero de parcelas o resultado natildeo seja um nuacutemero inteiro
Nessa situaccedilatildeo a HP ndash 12C arredonda a resposta para o proacuteximo inteiro para cima antes de armazenaacute-la e exibi-la
Exemplo 36
Vocecirc comprou um terreno por R$ 3500000 a juros de 105 aa Vocecirc pretende fazer pagamentos de R$ 32500 no fim de cada mecircs Quantos pagamentos seratildeo necessaacuterios para pagar o terreno e quanto tempo levaraacute
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o nuacutemero de pagamentos e o tempo necessaacuterio
3500000 105
32500 328 2733
nordm de parcelas Tempo (anos)
Como a calculadora arredonda o valor do tempo para o proacuteximo inteiro eacute provaacutevel que apesar de serem necessaacuterios 328 pagamentos somente 327 seratildeo inteiros de R$ 32500 com o pagamento final sendo menor do que R$ 32500 Para calcular o valor do pagamento de nuacutemero 328 vamos fazer o seguinte
A calculadora natildeo ajusta os valores nos outros registros financeiros automaticamente para refletir os n pagamentos iguais ao contraacuterio ela lhe permite escolher quais valores (se houver) que vocecirc deseja ajustar
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328 18189 - 32500 -14311
Valor da parcela 328
Nesta unidade vocecirc calculou taxas equivalentes usou as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP e fez caacutelculos de pagamentos perioacutedicos de uma seacuterie uniforme antecipado ou postecipado Na proacutexima unidade vamos realizar caacutelculos de valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades abaixo (Essa atividade corresponde agrave autoavaliaccedilatildeo 1 da unidade 5 do livro didaacutetico de Matemaacutetica Financeira) Em seguida use o programa elaborado para resolver a mesma questatildeo
Calcule a taxa anual das seguintes taxas
a) 26 am
b) 42 ab
c) 48 at
d) 12 as
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Unidade 3
2 Elabore um algoritmo para resolver as seguintes atividades (Estas questotildees equivalem agraves autoavaliaccedilotildees 1 2 3 4 e 5 da unidade 8 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 121 122 e 123)
a) Calcule o valor da prestaccedilatildeo mensal de um empreacutestimo de R$ 600000 que seraacute amortizado em 12 prestaccedilotildees mensais postecipadas sabendo que o banco cobra uma taxa de juros de 2 am
b) Uma loja vende um automoacutevel agrave vista por R$ 1650000 Se o comprador quiser fazer um financiamento em 36 parcelas mensais e iguais onde o 1ordm pagamento seraacute efetuado no 1ordm mecircs apoacutes a compra a uma taxa de juros de 21 am qual o valor da prestaccedilatildeo
c) Uma mercadoria custa R$ 9038071 agrave vista podendo ser vendida em prestaccedilotildees mensais de R$ 1050000 sendo a primeira prestaccedilatildeo dada como entrada Sabendo-se que a loja aplica uma taxa de 35 am qual o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas
d) Carlos depositou certa quantia durante 10 meses de forma antecipada a uma taxa de 25 am obtendo um montante de R$ 25000000 Quanto depositou mensalmente Carlos
e) Um produto eacute vendido agrave vista por R$ 200000 ou em 10 prestaccedilotildees mensais iguais sem entrada com uma carecircncia de 90 dias apoacutes a compra Qual o valor de cada prestaccedilatildeo sabendo que a taxa de juros eacute de 6 am
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
4UNIDADE 4
Valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa
Usar as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Valor presente liacutequido
Seccedilatildeo 2 Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs ndash SFA (Price)
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa usando as funccedilotildees CF0 CFj e NPV Vocecirc deveraacute ainda fazer uso da funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos usando o Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo ndash SFA ou tabela Price
Seccedilatildeo 1 ndash Valor presente liacutequido
A figura 41 a seguir apresenta as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C que vocecirc usaraacute nessa unidade para realizar caacutelculo de valor presente liacutequido e para a elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos ou financiamento
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor inicial do fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor do fluxo de caixa no periacuteodo j
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula o valor presente atual de um fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula a parte dos pagamentos usada para pagar juros
Figura 41 - Teclas para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
Valor presente liacutequido
Nessa seccedilatildeo vocecirc usaraacute as funccedilotildees da HP ndash 12C para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa Para entender como usar as funccedilotildees CF0 CFj e NPV considere o fluxo de caixa para um investimento que exige capital inicial (CF0) e que gera um fluxo de caixa (CFj ) no final de j periacuteodos
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Unidade 4
Veja a seguir o fluxo de caixa
CF0CF1
CF2 CF5
CFn
CF3 CF4
O VPL = Valor Presente Liacutequido eacute calculado somando ao investimento inicial o valor presente dos fluxos de caixa futuros projetados Portanto
se o VPL for positivo o valor financeiro do ativo do investidor aumentaraacute ou seja o investimento financeiro seraacute atrativo em termos financeiros
se o VPL for zero o valor financeiro do ativo financeiro do investidor natildeo mudaraacute ou seja o investidor seraacute indiferente ao investimento
se o VPL for negativo o valor financeiro do ativo do investidor seraacute reduzido ou seja o investimento natildeo seraacute atrativo em termos financeiros
Exemplo 41
Um investidor compra uma casa por R$ 7000000 e gostaria de ter um retorno de pelo menos 15 Ele pretende manter a casa por 4 anos e depois vendecirc-la por R$ 11000000 Ele prevecirc os fluxos de caixa mostrados no diagrama abaixo
CF0CF1
CF1
CF3CF4
CF5
R$ 7000000
R$ 50000
R$ 450000R$ 450000
R$ 13000000R$ 550000
Sendo assim calcule o VPL para determinar se o investimento resultaria em um retorno ou perda
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Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o VPL
7000000 50000
450000 550000 450000
13000000 15 379007
VPL
Como o VPL eacute positivo o investimento aumentaria o valor financeiro do ativo do investidor
Exemplo 42 (exemplo 4 paacuteg 98 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um proprietaacuterio recebeu as seguintes propostas para a venda de uma casa
Proposta A entrada de R$ 10000000 + R$ 5000000 em 6 meses + R$ 6000000 em 1 ano
Proposta B entrada de R$ 8000000 + R$ 6000000 em 5 meses + R$ 7000000 em 10 meses
Sabendo-se que a taxa de juros de mercado eacute de 3 am qual a melhor proposta para o vendedor
Soluccedilatildeo
Essa questatildeo deve ser resolvida pelo meacutetodo do Valor Presente Liacutequido A alternativa que tiver o maior valor seraacute a melhor Entretanto para facilitar a elaboraccedilatildeo do algoritmo de resoluccedilatildeo na HP ndash 12C elabore o fluxo de caixa para cada situaccedilatildeo
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Unidade 4
1 Proposta A Fluxo de caixa
10000000 5000000 6000000
1 2 3 4 5 7 8 9 10 110 6 12
Calculando o VPL
10000000 000 5
5000000 000
5
6000000
3
18395701
VPL
Armazena o zero 5 vezes
2 Proposta B Fluxo de caixa
8000000 70000006000000
1 2 3 4 6 7 8 90 5 10
Calculando o VPL
8000000 000 4
6000000 000
4
7000000
3
18384310
VPL
Armazena o zero 4 vezes
Resposta a melhor proposta eacute a A
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Exemplo 43
Dois equipamentos satildeo examinados Considerando ser a taxa miacutenima de atratividade de 20aa qual o equipamento que deve ser adquirido
Dados
41 - Tabela de DadosEquipamento K Equipamento L
Custo R$ 5000000 R$ 8000000Custo anual de manutenccedilatildeo R$ 2000000 R$ 1500000Valor residual para venda R$ 400000 R$ 800000Duraccedilatildeo em anos 10 10
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
A seguir veja o diagrama de fluxo de caixa
Os caacutelculos do Valor Presente Liacutequido para as duas situaccedilotildees satildeo
Equipamento K
5000000
Equipamento K
2000000
400000
0 1 2 10
8000000
Equipamento L
1500000
800000
0 1 2 10
50000 20000
9 4000 20000 1
20 -13320342
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Unidade 4
Equipamento L
80000 15000
9 8000 15000 1
20 -14159504
Importante Veja que a alternativa K equivale a um equipamento em que se investe R$ 13320342 enquanto que o equipamento L equivale a um investimento de R$ 14159504 Portanto eacute preferiacutevel o equipamento K pois o investimento eacute menor
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Seccedilatildeo 2 ndash Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs - SFA
Este sistema consiste no pagamento de empreacutestimos ou financiamentos com prestaccedilotildees iguais e com periodicidade constante Eacute considerado o sistema de amortizaccedilatildeo mais utilizado pelas instituiccedilotildees financeiras e pelo comeacutercio em geral
O Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo eacute assim chamado por ter sido inventado na Franccedila por volta do seacuteculo XVIII pelo matemaacutetico inglecircs Richard Price daiacute portanto a origem da denominaccedilatildeo Sistema Price tambeacutem comumente chamado de Tabela Price
Na verdade a Tabela Price eacute um caso particular derivado do Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo Neste sistema o financiamento (PV) eacute pago em parcelas (PMT) iguais constituiacutedas da amortizaccedilatildeo do principal da diacutevida + juros compensatoacuterios (J) que variam inversamente ao longo do tempo Ou seja agrave medida que aumenta o valor da parcela de amortizaccedilatildeo haveraacute uma queda dos juros compensatoacuterios em funccedilatildeo da reduccedilatildeo do saldo devedor
Principais Caracteriacutesticas
As principais caracteriacutesticas do SFA satildeo
a prestaccedilatildeo eacute constante durante todo o periacuteodo do financiamento
a parcela de amortizaccedilatildeo aumenta a cada periacuteodo (n)
os juros compensatoacuterios diminuem a cada periacuteodo (n)
Exemplo 44 (exemplo 1 paacuteg 148 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma instituiccedilatildeo financeira libera um empreacutestimo para uma induacutestria no valor de R$ 60000000 para ser pago pelo sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs em 120 meses a uma taxa de 15 am Faccedila a planilha ateacute o 4ordm mecircs e calcule o saldo devedor no 100ordm mecircs
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Unidade 4
Soluccedilatildeo
A sequecircncia abaixo calcula o valor da prestaccedilatildeo os juros a amortizaccedilatildeo o saldo devedor e valor do saldo devedor no 100ordm mecircs Acompanhe
Zera os registradores
60000000 Armazena o valor presente
120 Armazena o periacuteodo
15 Armazena a taxa
- R$ 1081111 Valor da prestaccedilatildeo
1 - R$ 900000 Valor dos juros da 1ordf parcela
R$ 181111Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 1ordf parcela
R$ 58918889 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 897283 Valor dos juros da 2ordf parcela
- R$ 183828Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 2ordf parcela
R$ 59635061 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 894526 Valor dos juros da 3ordf parcela
- R$ 186585Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 3ordf parcela
R$ 59448476 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 891727 Valor dos juros da 4ordf parcela
- R$ 189384Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 4ordf parcela
R$ 59259092 Recupera o saldo devedor
A tabela a seguir apresenta um resumo das operaccedilotildees realizadas
68
Universidade do Sul de Santa Catarina
Tabela 42 ndash Planilha de amortizaccedilatildeoPeriacuteodo (n) Amortizaccedilatildeo (A) Juros (J) Prestaccedilotildees (R) Saldo Devedor (S)
0 - - - R$ 600000001 R$ 181111 R$ 900000 R$ 1081111 R$ 598188892 R$ 183828 R$ 897283 R$ 1081111 R$ 596350613 R$ 186585 R$ 894526 R$ 1081111 R$ 594484764 R$ 189384 R$ 891727 R$ 1081111 R$ 59259092
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Para determinar o saldo devedor no 100ordm mecircs faccedila como indicado a seguir
60000000 120 150
-1081111 18561247
Prestaccedilatildeo Saldo devedor no 100ordm mecircs
Nesta unidade vocecirc usou as funccedilotildees de fluxo de caixa para calcular o valor presente liacutequido e a funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
69Unidade 4
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades a seguir (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 4 e 5 da unidade 7 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegina 102) Em seguida use o programa elaborado para resolver as mesmas questotildees
a) Qual das alternativas de pagamento eacute a melhor para uma taxa de juros compostos de 75 am
Alternativa A Pagamento de R$ 15000000 agrave vista
Alternativa B Entrada de R$ 5000000 + R$ 8000000 em 90 dias + R$ 6000000 em 150 dias
b) Uma pessoa deve a um banco dois tiacutetulos com valores de R$ 300000 e R$ 600000 venciacuteveis respectivamente em 4 meses e 8 meses Se a pessoa deseja antecipar para hoje a liquidaccedilatildeo dos tiacutetulos qual o valor a pagar considerando que o banco opera com uma taxa de juros compostos de 23 am
2 Elabore um algoritmo para resolver as atividades abaixo (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 1 e 4 da unidade 10 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 151 e 153)
a) Um cliente solicita a um banco um empreacutestimo de R$ 4000000 pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs em 60 prestaccedilotildees mensais Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de juros de 28 am obtenha o valor da prestaccedilatildeo e o saldo devedor depois de pagar a 20ordf prestaccedilatildeo
b) Um empreacutestimo de R$ 30000000 seraacute saldado em 50 prestaccedilotildees mensais a uma taxa de 15 am Determine a parcela de juros relativa agrave 15ordf prestaccedilatildeo pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs (price)
70
Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
Manual da calculadora HP ndash 12C
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico ndash 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7ed Satildeo Paulo Atlas 2000
Para concluir o estudo
Com o teacutermino desse curso de extensatildeo acreditamos que proporcionamos momentos de aprendizagem por meio da interaccedilatildeo da calculadora financeira e que vocecirc estaacute habilitado(a) a fazer uso dessa ferramenta com qualidade no mercado de trabalho relacionado a essa aacuterea tatildeo importante no nosso dia-a-dia
Referecircncias
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7 ed Satildeo Paulo Atlas 2000
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003 Disponiacutevel em lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt Acesso em 05 jun 2008
Sobre o professor conteudista
Joseacute Humberto Dias de Toledo - eacute Mestre em Educaccedilatildeo pela Universidade do Sul de Santa Catarina Graduado em Licenciatura em Matemaacutetica e em Engenharia Civil Professor das disciplinas Meacutetodos Numeacutericos Informaacutetica Aplicada agrave Matemaacutetica Financeira Caacutelculo I e Matemaacutetica Financeira no Curso de Matemaacutetica ndash Licenciatura nesta mesma instituiccedilatildeo Atualmente ministra a disciplina Representaccedilotildees Graacuteficas na Poacutes-graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo Matemaacutetica da UNISUL
Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo
Unidade 1
1 a) 5
b) -2359
c) 3311
d) 077
e) 081
Respostas modo RPN
a)
b)
c)
d)
e)
Respostas modo ALG
a
b
c
d
e
78
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 R$ 167757
Modo RPN
Modo ALG
3 -242
4 Data 13082008 3 (quarta-feira)
5 Florianoacutepolis = 3303 Curitiba = 5018 Porto Alegre = 1680
Unidade 2
1 1) 150000
Dados
C = R$ 1000000
i = 5 aa
n = 3 anos = 1080 dias
J =
3) 24 meses = 2 anos
Dados
C = R$ 200000
i = 6 aa
n = 24 meses = 720 dias
M =
79
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
85
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
86
Universidade do Sul de Santa Catarina
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
87
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
88
Universidade do Sul de Santa Catarina
44
Universidade do Sul de Santa Catarina
Nesta unidade vocecirc usou a calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de juros simples e compostos descontos simples e compostos valor presente taxa de juros periacuteodo e montante Na proacutexima unidade usaremos a ferramenta para auxiliar no caacutelculo de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir foram propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo em PDF estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as questotildees 1 3 5 e 6 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteginas 38 e 39 Confira os resultados na paacuteg 194
1) Qual o rendimento que obtemos ao aplicarmos um capital de R$ 1000000 a uma taxa de juros simples de 5 aa durante 3 anos
3) Em um regime de capitalizaccedilatildeo simples qual eacute o montante que se obteacutem quando aplicamos um capital de R$ 200000 a uma taxa 6 aa durante 24 meses
5) Uma quantia de R$ 6200000 foi aplicada em uma operaccedilatildeo financeira no dia 20 de setembro de 2003 e resgatada no dia 21 de dezembro de 2003 a uma taxa de 125 aa Quais os juros simples exatos e comerciais da operaccedilatildeo
6) Calcule os juros simples exatos e comerciais nas seguintes condiccedilotildees
bull R$ 600000 aplicados por 180 dias a 12 aa
bull R$ 520000 aplicados por 230 dias a 15 aa
45
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 2
2 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 2 e 4 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegs 52 e 53 Confira os resultados nas paacuteginas 194 e 195
1) Uma empresa desconta uma duplicata no valor nominal de R$ 5000000 no Banco ldquoXrdquo 4 meses antes do seu vencimento Sabendo que o banco ldquoXrdquo trabalha com uma taxa de desconto simples bancaacuterio de 45 am qual eacute o valor do desconto e o valor liacutequido recebido
2) Para pagar uma diacutevida hoje uma empresa descontou em uma carteira de creacutedito uma duplicata no valor de R$ 1650000 com vencimento daqui a 2 meses recebendo um valor nominal liacutequido de R$ 1500000 Determine a taxa mensal de desconto simples bancaacuterio utilizada
4) Uma letra de cacircmbio no valor nominal de R$ 500000 foi comercializada 4 meses antes do vencimento a uma taxa de desconto simples de 22 am Se o desconto simples fosse o racional qual seria o valor deste desconto
3 Elabore uma sequecircncia de passos para resolver as questotildees propostas 1 2 3 4 e 6 nas paacuteginas 65 66 e 67 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira e confira os resultados na paacuteg 195
1) Calcule o montante produzido por um capital de R$ 2600000 aplicado a uma taxa de juros compostos de 52 am por 6 meses
2) Calcule os juros compostos auferidos por um capital de R$ 420000 aplicado a uma taxa de 3 am durante 10 meses
3) Um empreacutestimo de R$ 600000 deve ser pago em 120 dias a juros compostos pelo valor de R$ 900000 Qual eacute a taxa mensal da operaccedilatildeo
4) Em que prazo uma aplicaccedilatildeo a juros compostos de R$ 2400000 produziraacute um montante de R$ 6151930 agrave taxa de 4 am
6) Quanto Paulo deve aplicar hoje a juros compostos em uma instituiccedilatildeo financeira que paga uma taxa de 12 am para pagar um compromisso de valor nominal igual a R$ 3800000 que vence daqui a 3 meses
46
Universidade do Sul de Santa Catarina
4 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 e 8 das paacuteginas 88 e 90 respectivamente do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira Confira os resultados na paacuteg 196
1) Determine o valor do desconto composto racional de um tiacutetulo de valor nominal de R$ 830000 descontado 6 meses antes de seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto eacute de 42 am
8) Um tiacutetulo de R$ 3000000 foi descontado em uma instituiccedilatildeo financeira a uma taxa de desconto composto comercial de 64 am e o valor liacutequido recebido era de R$ 2017327 Quantos meses antes do vencimento foi descontado este tiacutetulo
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
3UNIDADE 3
Taxas de juros equivalentes e caacutelculo de pagamentos perioacutedicos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para calcular taxas equivalentes
Usar as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP ndash 12C para programar o algoritmo da taxa equivalente no regime de capitalizaccedilatildeo composto
Calcular pagamentos perioacutedicos de sequecircncias uniformes postecipadas e antecipadas
Calcular montante de uma sequecircncia uniforme
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Taxas equivalentes
Seccedilatildeo 2 Sequecircncia de capitais
48
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar taxas equivalentes no regime de capitalizaccedilatildeo composto Vocecirc usaraacute as funccedilotildees de programaccedilatildeo com o objetivo de elaborar um algoritmo para fazer a conversatildeo de taxas de um periacuteodo de capitalizaccedilatildeo (ex mensal) para outro periacuteodo (ex anual) usando o programa Vamos explorar as funccedilotildees ldquoPMTrdquo ldquoBEGrdquo e ldquoENDrdquo para realizar caacutelculo de pagamentos antecipados e postecipados em uma sequecircncia uniforme Destacamos que os exemplos que seratildeo apresentados estatildeo no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira
Seccedilatildeo 1 ndash Taxas equivalentes
Nesta unidade vocecirc usaraacute algumas funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos (postecipados e antecipados) de uma seacuterie uniforme Vocecirc usaraacute ainda as funccedilotildees de programaccedilatildeo para elaborar um programa para calcular taxas equivalentes A figura a seguir apresenta as funccedilotildees que vocecirc usaraacute nos exemplos apresentados posteriormente
Aciona o modo de programaccedilatildeo de HP ndash 12C
Aciona a funccedilatildeo Begin que calcula a parcela com pagamento antecipado
Aciona a funccedilatildeo End (natildeo aparece no visor da calculadora) que calcula parcela com pagamento postecipado
Figura 31 - Teclas utilizadas para acionar as funccedilotildees Beg e End e entrar no modo de programaccedilatildeo
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
49
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
Taxas equivalentes
No mercado financeiro e nas operaccedilotildees bancaacuterias e comerciais a palavra taxa eacute empregada de vaacuterias formas ou seja vaacuterios conceitos satildeo abordados em vaacuterias situaccedilotildees Esta seccedilatildeo tem como objetivo mostrar como as taxas de juros satildeo informadas no mercado financeiro e como adequaacute-las agraves condiccedilotildees padronizadas pela HP ndash 12C
Duas taxas satildeo consideradas equivalentes a juros compostos quando aplicadas a um mesmo capital por um periacuteodo de tempo equivalente e geram o mesmo rendimento
Exemplo 31(exemplo 1 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
No regime de juros compostos qual a taxa anual equivalente a 4 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente anual
Exemplo 32 (exemplo 2 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
Calcule a taxa quadrimestral equivalente agrave taxa de juros compostos de 8 aa
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente quadrimestral
1 004 12 1 1 10000 6010
Taxa anual
50
Universidade do Sul de Santa Catarina
1 008 1 3 1 10000 260
Taxa quadrimestral
Programa para caacutelculo da taxa equivalente pela hp ndash 12c
O professor Carlos Shinoda em seu livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48) apresenta um programa para calcular a taxa equivalente atraveacutes da calculadora HP ndash 12C
Siga os procedimentos abaixo para introduzir o programa na HP ndash 12C
Figura 32 - Algoritmo para a programaccedilatildeo de taxa equivalente
Fonte Livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48)
51
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
Agora que vocecirc programou a HP ndash 12C para o caacutelculo de taxas equivalentes resolva o exemplo a seguir usando o programa
Exemplo 33
Usando o programa anterior determine as taxas equivalentes propostas nos exemplos 31 e 32
Soluccedilatildeo
As sequecircncias abaixo calculam as taxas equivalentes
Executa oprograma
4 1 12 6010
Taxa anual
Executa oprograma
8 360 120 260
Taxa quadrimestral
52
Universidade do Sul de Santa Catarina
Seccedilatildeo 2 ndash Sequecircncia de capitais
Nesta seccedilatildeo vocecirc acompanharaacute as situaccedilotildees em que haacute mais de um pagamento ou seja vocecirc estudaraacute as operaccedilotildees envolvendo pagamentos ou recebimentos perioacutedicos e uniformes
As seacuteries uniformes de pagamentos satildeo aquelas em que os pagamentos ou recebimentos satildeo constantes e ocorrem em intervalos iguais
Seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas e antecipadas
As seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1 Este sistema eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada (0 + n)
Pagamentos ou recebimentos podem ser chamados de prestaccedilatildeo representada pela sigla PMT que vem do inglecircs Payment e significa pagamento ou recebimento
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentosPMT
++
0 1 2 3 4 5 6 n
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
++
0 1 2 3 4 5 6 n
PMT
53
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
As seacuteries uniformes de pagamentos antecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre na data focal 0 (zero) Este tipo de sistema de pagamento eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento com entrada (1+ n)
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
Exemplo 34 (exemplo 2 paacuteg 108 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um automoacutevel eacute vendido em uma loja por R$ 3200000 A loja propotildee as seguintes condiccedilotildees para financiamento
Proposta A 12 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta B 24 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta C 36 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
A taxa de juros usada eacute de 32 am Qual o valor de cada prestaccedilatildeo nas 3 modalidades de financiamento
Soluccedilatildeo
As sequecircncias a seguir calculam os valores das parcelas nas trecircs propostas
54
Universidade do Sul de Santa Catarina
3200000
32 12 -325329
parcela
3200000
32 24 -193046
parcela
3200000
32 36 -150979
parcela
Exemplo 35 (exemplo 2 paacuteg 111 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma casa cujo valor agrave vista eacute R$ 4924456 eacute vendida em prestaccedilotildees mensais e iguais de R$ 250000 sendo a primeira dada como entrada Se a taxa de financiamento eacute de 18 am determine o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas no financiamento
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o nuacutemero de parcelas
4924456 18
250000 24
nordm de parcelas
55
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
No exemplo acima o nuacutemero de pagamento deu um nuacutemero inteiro Mas podem acontecer situaccedilotildees em que ao se determinar o nuacutemero de parcelas o resultado natildeo seja um nuacutemero inteiro
Nessa situaccedilatildeo a HP ndash 12C arredonda a resposta para o proacuteximo inteiro para cima antes de armazenaacute-la e exibi-la
Exemplo 36
Vocecirc comprou um terreno por R$ 3500000 a juros de 105 aa Vocecirc pretende fazer pagamentos de R$ 32500 no fim de cada mecircs Quantos pagamentos seratildeo necessaacuterios para pagar o terreno e quanto tempo levaraacute
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o nuacutemero de pagamentos e o tempo necessaacuterio
3500000 105
32500 328 2733
nordm de parcelas Tempo (anos)
Como a calculadora arredonda o valor do tempo para o proacuteximo inteiro eacute provaacutevel que apesar de serem necessaacuterios 328 pagamentos somente 327 seratildeo inteiros de R$ 32500 com o pagamento final sendo menor do que R$ 32500 Para calcular o valor do pagamento de nuacutemero 328 vamos fazer o seguinte
A calculadora natildeo ajusta os valores nos outros registros financeiros automaticamente para refletir os n pagamentos iguais ao contraacuterio ela lhe permite escolher quais valores (se houver) que vocecirc deseja ajustar
56
Universidade do Sul de Santa Catarina
328 18189 - 32500 -14311
Valor da parcela 328
Nesta unidade vocecirc calculou taxas equivalentes usou as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP e fez caacutelculos de pagamentos perioacutedicos de uma seacuterie uniforme antecipado ou postecipado Na proacutexima unidade vamos realizar caacutelculos de valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades abaixo (Essa atividade corresponde agrave autoavaliaccedilatildeo 1 da unidade 5 do livro didaacutetico de Matemaacutetica Financeira) Em seguida use o programa elaborado para resolver a mesma questatildeo
Calcule a taxa anual das seguintes taxas
a) 26 am
b) 42 ab
c) 48 at
d) 12 as
57
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
2 Elabore um algoritmo para resolver as seguintes atividades (Estas questotildees equivalem agraves autoavaliaccedilotildees 1 2 3 4 e 5 da unidade 8 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 121 122 e 123)
a) Calcule o valor da prestaccedilatildeo mensal de um empreacutestimo de R$ 600000 que seraacute amortizado em 12 prestaccedilotildees mensais postecipadas sabendo que o banco cobra uma taxa de juros de 2 am
b) Uma loja vende um automoacutevel agrave vista por R$ 1650000 Se o comprador quiser fazer um financiamento em 36 parcelas mensais e iguais onde o 1ordm pagamento seraacute efetuado no 1ordm mecircs apoacutes a compra a uma taxa de juros de 21 am qual o valor da prestaccedilatildeo
c) Uma mercadoria custa R$ 9038071 agrave vista podendo ser vendida em prestaccedilotildees mensais de R$ 1050000 sendo a primeira prestaccedilatildeo dada como entrada Sabendo-se que a loja aplica uma taxa de 35 am qual o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas
d) Carlos depositou certa quantia durante 10 meses de forma antecipada a uma taxa de 25 am obtendo um montante de R$ 25000000 Quanto depositou mensalmente Carlos
e) Um produto eacute vendido agrave vista por R$ 200000 ou em 10 prestaccedilotildees mensais iguais sem entrada com uma carecircncia de 90 dias apoacutes a compra Qual o valor de cada prestaccedilatildeo sabendo que a taxa de juros eacute de 6 am
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
4UNIDADE 4
Valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa
Usar as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Valor presente liacutequido
Seccedilatildeo 2 Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs ndash SFA (Price)
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa usando as funccedilotildees CF0 CFj e NPV Vocecirc deveraacute ainda fazer uso da funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos usando o Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo ndash SFA ou tabela Price
Seccedilatildeo 1 ndash Valor presente liacutequido
A figura 41 a seguir apresenta as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C que vocecirc usaraacute nessa unidade para realizar caacutelculo de valor presente liacutequido e para a elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos ou financiamento
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor inicial do fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor do fluxo de caixa no periacuteodo j
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula o valor presente atual de um fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula a parte dos pagamentos usada para pagar juros
Figura 41 - Teclas para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
Valor presente liacutequido
Nessa seccedilatildeo vocecirc usaraacute as funccedilotildees da HP ndash 12C para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa Para entender como usar as funccedilotildees CF0 CFj e NPV considere o fluxo de caixa para um investimento que exige capital inicial (CF0) e que gera um fluxo de caixa (CFj ) no final de j periacuteodos
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Unidade 4
Veja a seguir o fluxo de caixa
CF0CF1
CF2 CF5
CFn
CF3 CF4
O VPL = Valor Presente Liacutequido eacute calculado somando ao investimento inicial o valor presente dos fluxos de caixa futuros projetados Portanto
se o VPL for positivo o valor financeiro do ativo do investidor aumentaraacute ou seja o investimento financeiro seraacute atrativo em termos financeiros
se o VPL for zero o valor financeiro do ativo financeiro do investidor natildeo mudaraacute ou seja o investidor seraacute indiferente ao investimento
se o VPL for negativo o valor financeiro do ativo do investidor seraacute reduzido ou seja o investimento natildeo seraacute atrativo em termos financeiros
Exemplo 41
Um investidor compra uma casa por R$ 7000000 e gostaria de ter um retorno de pelo menos 15 Ele pretende manter a casa por 4 anos e depois vendecirc-la por R$ 11000000 Ele prevecirc os fluxos de caixa mostrados no diagrama abaixo
CF0CF1
CF1
CF3CF4
CF5
R$ 7000000
R$ 50000
R$ 450000R$ 450000
R$ 13000000R$ 550000
Sendo assim calcule o VPL para determinar se o investimento resultaria em um retorno ou perda
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Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o VPL
7000000 50000
450000 550000 450000
13000000 15 379007
VPL
Como o VPL eacute positivo o investimento aumentaria o valor financeiro do ativo do investidor
Exemplo 42 (exemplo 4 paacuteg 98 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um proprietaacuterio recebeu as seguintes propostas para a venda de uma casa
Proposta A entrada de R$ 10000000 + R$ 5000000 em 6 meses + R$ 6000000 em 1 ano
Proposta B entrada de R$ 8000000 + R$ 6000000 em 5 meses + R$ 7000000 em 10 meses
Sabendo-se que a taxa de juros de mercado eacute de 3 am qual a melhor proposta para o vendedor
Soluccedilatildeo
Essa questatildeo deve ser resolvida pelo meacutetodo do Valor Presente Liacutequido A alternativa que tiver o maior valor seraacute a melhor Entretanto para facilitar a elaboraccedilatildeo do algoritmo de resoluccedilatildeo na HP ndash 12C elabore o fluxo de caixa para cada situaccedilatildeo
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Unidade 4
1 Proposta A Fluxo de caixa
10000000 5000000 6000000
1 2 3 4 5 7 8 9 10 110 6 12
Calculando o VPL
10000000 000 5
5000000 000
5
6000000
3
18395701
VPL
Armazena o zero 5 vezes
2 Proposta B Fluxo de caixa
8000000 70000006000000
1 2 3 4 6 7 8 90 5 10
Calculando o VPL
8000000 000 4
6000000 000
4
7000000
3
18384310
VPL
Armazena o zero 4 vezes
Resposta a melhor proposta eacute a A
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Exemplo 43
Dois equipamentos satildeo examinados Considerando ser a taxa miacutenima de atratividade de 20aa qual o equipamento que deve ser adquirido
Dados
41 - Tabela de DadosEquipamento K Equipamento L
Custo R$ 5000000 R$ 8000000Custo anual de manutenccedilatildeo R$ 2000000 R$ 1500000Valor residual para venda R$ 400000 R$ 800000Duraccedilatildeo em anos 10 10
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
A seguir veja o diagrama de fluxo de caixa
Os caacutelculos do Valor Presente Liacutequido para as duas situaccedilotildees satildeo
Equipamento K
5000000
Equipamento K
2000000
400000
0 1 2 10
8000000
Equipamento L
1500000
800000
0 1 2 10
50000 20000
9 4000 20000 1
20 -13320342
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Unidade 4
Equipamento L
80000 15000
9 8000 15000 1
20 -14159504
Importante Veja que a alternativa K equivale a um equipamento em que se investe R$ 13320342 enquanto que o equipamento L equivale a um investimento de R$ 14159504 Portanto eacute preferiacutevel o equipamento K pois o investimento eacute menor
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Seccedilatildeo 2 ndash Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs - SFA
Este sistema consiste no pagamento de empreacutestimos ou financiamentos com prestaccedilotildees iguais e com periodicidade constante Eacute considerado o sistema de amortizaccedilatildeo mais utilizado pelas instituiccedilotildees financeiras e pelo comeacutercio em geral
O Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo eacute assim chamado por ter sido inventado na Franccedila por volta do seacuteculo XVIII pelo matemaacutetico inglecircs Richard Price daiacute portanto a origem da denominaccedilatildeo Sistema Price tambeacutem comumente chamado de Tabela Price
Na verdade a Tabela Price eacute um caso particular derivado do Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo Neste sistema o financiamento (PV) eacute pago em parcelas (PMT) iguais constituiacutedas da amortizaccedilatildeo do principal da diacutevida + juros compensatoacuterios (J) que variam inversamente ao longo do tempo Ou seja agrave medida que aumenta o valor da parcela de amortizaccedilatildeo haveraacute uma queda dos juros compensatoacuterios em funccedilatildeo da reduccedilatildeo do saldo devedor
Principais Caracteriacutesticas
As principais caracteriacutesticas do SFA satildeo
a prestaccedilatildeo eacute constante durante todo o periacuteodo do financiamento
a parcela de amortizaccedilatildeo aumenta a cada periacuteodo (n)
os juros compensatoacuterios diminuem a cada periacuteodo (n)
Exemplo 44 (exemplo 1 paacuteg 148 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma instituiccedilatildeo financeira libera um empreacutestimo para uma induacutestria no valor de R$ 60000000 para ser pago pelo sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs em 120 meses a uma taxa de 15 am Faccedila a planilha ateacute o 4ordm mecircs e calcule o saldo devedor no 100ordm mecircs
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Unidade 4
Soluccedilatildeo
A sequecircncia abaixo calcula o valor da prestaccedilatildeo os juros a amortizaccedilatildeo o saldo devedor e valor do saldo devedor no 100ordm mecircs Acompanhe
Zera os registradores
60000000 Armazena o valor presente
120 Armazena o periacuteodo
15 Armazena a taxa
- R$ 1081111 Valor da prestaccedilatildeo
1 - R$ 900000 Valor dos juros da 1ordf parcela
R$ 181111Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 1ordf parcela
R$ 58918889 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 897283 Valor dos juros da 2ordf parcela
- R$ 183828Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 2ordf parcela
R$ 59635061 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 894526 Valor dos juros da 3ordf parcela
- R$ 186585Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 3ordf parcela
R$ 59448476 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 891727 Valor dos juros da 4ordf parcela
- R$ 189384Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 4ordf parcela
R$ 59259092 Recupera o saldo devedor
A tabela a seguir apresenta um resumo das operaccedilotildees realizadas
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Tabela 42 ndash Planilha de amortizaccedilatildeoPeriacuteodo (n) Amortizaccedilatildeo (A) Juros (J) Prestaccedilotildees (R) Saldo Devedor (S)
0 - - - R$ 600000001 R$ 181111 R$ 900000 R$ 1081111 R$ 598188892 R$ 183828 R$ 897283 R$ 1081111 R$ 596350613 R$ 186585 R$ 894526 R$ 1081111 R$ 594484764 R$ 189384 R$ 891727 R$ 1081111 R$ 59259092
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Para determinar o saldo devedor no 100ordm mecircs faccedila como indicado a seguir
60000000 120 150
-1081111 18561247
Prestaccedilatildeo Saldo devedor no 100ordm mecircs
Nesta unidade vocecirc usou as funccedilotildees de fluxo de caixa para calcular o valor presente liacutequido e a funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
69Unidade 4
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Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades a seguir (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 4 e 5 da unidade 7 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegina 102) Em seguida use o programa elaborado para resolver as mesmas questotildees
a) Qual das alternativas de pagamento eacute a melhor para uma taxa de juros compostos de 75 am
Alternativa A Pagamento de R$ 15000000 agrave vista
Alternativa B Entrada de R$ 5000000 + R$ 8000000 em 90 dias + R$ 6000000 em 150 dias
b) Uma pessoa deve a um banco dois tiacutetulos com valores de R$ 300000 e R$ 600000 venciacuteveis respectivamente em 4 meses e 8 meses Se a pessoa deseja antecipar para hoje a liquidaccedilatildeo dos tiacutetulos qual o valor a pagar considerando que o banco opera com uma taxa de juros compostos de 23 am
2 Elabore um algoritmo para resolver as atividades abaixo (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 1 e 4 da unidade 10 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 151 e 153)
a) Um cliente solicita a um banco um empreacutestimo de R$ 4000000 pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs em 60 prestaccedilotildees mensais Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de juros de 28 am obtenha o valor da prestaccedilatildeo e o saldo devedor depois de pagar a 20ordf prestaccedilatildeo
b) Um empreacutestimo de R$ 30000000 seraacute saldado em 50 prestaccedilotildees mensais a uma taxa de 15 am Determine a parcela de juros relativa agrave 15ordf prestaccedilatildeo pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs (price)
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Saiba mais
Manual da calculadora HP ndash 12C
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico ndash 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7ed Satildeo Paulo Atlas 2000
Para concluir o estudo
Com o teacutermino desse curso de extensatildeo acreditamos que proporcionamos momentos de aprendizagem por meio da interaccedilatildeo da calculadora financeira e que vocecirc estaacute habilitado(a) a fazer uso dessa ferramenta com qualidade no mercado de trabalho relacionado a essa aacuterea tatildeo importante no nosso dia-a-dia
Referecircncias
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7 ed Satildeo Paulo Atlas 2000
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003 Disponiacutevel em lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt Acesso em 05 jun 2008
Sobre o professor conteudista
Joseacute Humberto Dias de Toledo - eacute Mestre em Educaccedilatildeo pela Universidade do Sul de Santa Catarina Graduado em Licenciatura em Matemaacutetica e em Engenharia Civil Professor das disciplinas Meacutetodos Numeacutericos Informaacutetica Aplicada agrave Matemaacutetica Financeira Caacutelculo I e Matemaacutetica Financeira no Curso de Matemaacutetica ndash Licenciatura nesta mesma instituiccedilatildeo Atualmente ministra a disciplina Representaccedilotildees Graacuteficas na Poacutes-graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo Matemaacutetica da UNISUL
Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo
Unidade 1
1 a) 5
b) -2359
c) 3311
d) 077
e) 081
Respostas modo RPN
a)
b)
c)
d)
e)
Respostas modo ALG
a
b
c
d
e
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2 R$ 167757
Modo RPN
Modo ALG
3 -242
4 Data 13082008 3 (quarta-feira)
5 Florianoacutepolis = 3303 Curitiba = 5018 Porto Alegre = 1680
Unidade 2
1 1) 150000
Dados
C = R$ 1000000
i = 5 aa
n = 3 anos = 1080 dias
J =
3) 24 meses = 2 anos
Dados
C = R$ 200000
i = 6 aa
n = 24 meses = 720 dias
M =
79
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5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
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Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
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Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
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c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
86
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b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
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Unidade 2
2 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 2 e 4 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegs 52 e 53 Confira os resultados nas paacuteginas 194 e 195
1) Uma empresa desconta uma duplicata no valor nominal de R$ 5000000 no Banco ldquoXrdquo 4 meses antes do seu vencimento Sabendo que o banco ldquoXrdquo trabalha com uma taxa de desconto simples bancaacuterio de 45 am qual eacute o valor do desconto e o valor liacutequido recebido
2) Para pagar uma diacutevida hoje uma empresa descontou em uma carteira de creacutedito uma duplicata no valor de R$ 1650000 com vencimento daqui a 2 meses recebendo um valor nominal liacutequido de R$ 1500000 Determine a taxa mensal de desconto simples bancaacuterio utilizada
4) Uma letra de cacircmbio no valor nominal de R$ 500000 foi comercializada 4 meses antes do vencimento a uma taxa de desconto simples de 22 am Se o desconto simples fosse o racional qual seria o valor deste desconto
3 Elabore uma sequecircncia de passos para resolver as questotildees propostas 1 2 3 4 e 6 nas paacuteginas 65 66 e 67 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira e confira os resultados na paacuteg 195
1) Calcule o montante produzido por um capital de R$ 2600000 aplicado a uma taxa de juros compostos de 52 am por 6 meses
2) Calcule os juros compostos auferidos por um capital de R$ 420000 aplicado a uma taxa de 3 am durante 10 meses
3) Um empreacutestimo de R$ 600000 deve ser pago em 120 dias a juros compostos pelo valor de R$ 900000 Qual eacute a taxa mensal da operaccedilatildeo
4) Em que prazo uma aplicaccedilatildeo a juros compostos de R$ 2400000 produziraacute um montante de R$ 6151930 agrave taxa de 4 am
6) Quanto Paulo deve aplicar hoje a juros compostos em uma instituiccedilatildeo financeira que paga uma taxa de 12 am para pagar um compromisso de valor nominal igual a R$ 3800000 que vence daqui a 3 meses
46
Universidade do Sul de Santa Catarina
4 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 e 8 das paacuteginas 88 e 90 respectivamente do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira Confira os resultados na paacuteg 196
1) Determine o valor do desconto composto racional de um tiacutetulo de valor nominal de R$ 830000 descontado 6 meses antes de seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto eacute de 42 am
8) Um tiacutetulo de R$ 3000000 foi descontado em uma instituiccedilatildeo financeira a uma taxa de desconto composto comercial de 64 am e o valor liacutequido recebido era de R$ 2017327 Quantos meses antes do vencimento foi descontado este tiacutetulo
Saiba mais
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3UNIDADE 3
Taxas de juros equivalentes e caacutelculo de pagamentos perioacutedicos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para calcular taxas equivalentes
Usar as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP ndash 12C para programar o algoritmo da taxa equivalente no regime de capitalizaccedilatildeo composto
Calcular pagamentos perioacutedicos de sequecircncias uniformes postecipadas e antecipadas
Calcular montante de uma sequecircncia uniforme
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Taxas equivalentes
Seccedilatildeo 2 Sequecircncia de capitais
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar taxas equivalentes no regime de capitalizaccedilatildeo composto Vocecirc usaraacute as funccedilotildees de programaccedilatildeo com o objetivo de elaborar um algoritmo para fazer a conversatildeo de taxas de um periacuteodo de capitalizaccedilatildeo (ex mensal) para outro periacuteodo (ex anual) usando o programa Vamos explorar as funccedilotildees ldquoPMTrdquo ldquoBEGrdquo e ldquoENDrdquo para realizar caacutelculo de pagamentos antecipados e postecipados em uma sequecircncia uniforme Destacamos que os exemplos que seratildeo apresentados estatildeo no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira
Seccedilatildeo 1 ndash Taxas equivalentes
Nesta unidade vocecirc usaraacute algumas funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos (postecipados e antecipados) de uma seacuterie uniforme Vocecirc usaraacute ainda as funccedilotildees de programaccedilatildeo para elaborar um programa para calcular taxas equivalentes A figura a seguir apresenta as funccedilotildees que vocecirc usaraacute nos exemplos apresentados posteriormente
Aciona o modo de programaccedilatildeo de HP ndash 12C
Aciona a funccedilatildeo Begin que calcula a parcela com pagamento antecipado
Aciona a funccedilatildeo End (natildeo aparece no visor da calculadora) que calcula parcela com pagamento postecipado
Figura 31 - Teclas utilizadas para acionar as funccedilotildees Beg e End e entrar no modo de programaccedilatildeo
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
49
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
Taxas equivalentes
No mercado financeiro e nas operaccedilotildees bancaacuterias e comerciais a palavra taxa eacute empregada de vaacuterias formas ou seja vaacuterios conceitos satildeo abordados em vaacuterias situaccedilotildees Esta seccedilatildeo tem como objetivo mostrar como as taxas de juros satildeo informadas no mercado financeiro e como adequaacute-las agraves condiccedilotildees padronizadas pela HP ndash 12C
Duas taxas satildeo consideradas equivalentes a juros compostos quando aplicadas a um mesmo capital por um periacuteodo de tempo equivalente e geram o mesmo rendimento
Exemplo 31(exemplo 1 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
No regime de juros compostos qual a taxa anual equivalente a 4 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente anual
Exemplo 32 (exemplo 2 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
Calcule a taxa quadrimestral equivalente agrave taxa de juros compostos de 8 aa
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente quadrimestral
1 004 12 1 1 10000 6010
Taxa anual
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1 008 1 3 1 10000 260
Taxa quadrimestral
Programa para caacutelculo da taxa equivalente pela hp ndash 12c
O professor Carlos Shinoda em seu livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48) apresenta um programa para calcular a taxa equivalente atraveacutes da calculadora HP ndash 12C
Siga os procedimentos abaixo para introduzir o programa na HP ndash 12C
Figura 32 - Algoritmo para a programaccedilatildeo de taxa equivalente
Fonte Livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48)
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
Agora que vocecirc programou a HP ndash 12C para o caacutelculo de taxas equivalentes resolva o exemplo a seguir usando o programa
Exemplo 33
Usando o programa anterior determine as taxas equivalentes propostas nos exemplos 31 e 32
Soluccedilatildeo
As sequecircncias abaixo calculam as taxas equivalentes
Executa oprograma
4 1 12 6010
Taxa anual
Executa oprograma
8 360 120 260
Taxa quadrimestral
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Seccedilatildeo 2 ndash Sequecircncia de capitais
Nesta seccedilatildeo vocecirc acompanharaacute as situaccedilotildees em que haacute mais de um pagamento ou seja vocecirc estudaraacute as operaccedilotildees envolvendo pagamentos ou recebimentos perioacutedicos e uniformes
As seacuteries uniformes de pagamentos satildeo aquelas em que os pagamentos ou recebimentos satildeo constantes e ocorrem em intervalos iguais
Seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas e antecipadas
As seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1 Este sistema eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada (0 + n)
Pagamentos ou recebimentos podem ser chamados de prestaccedilatildeo representada pela sigla PMT que vem do inglecircs Payment e significa pagamento ou recebimento
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentosPMT
++
0 1 2 3 4 5 6 n
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
++
0 1 2 3 4 5 6 n
PMT
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
As seacuteries uniformes de pagamentos antecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre na data focal 0 (zero) Este tipo de sistema de pagamento eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento com entrada (1+ n)
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
Exemplo 34 (exemplo 2 paacuteg 108 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um automoacutevel eacute vendido em uma loja por R$ 3200000 A loja propotildee as seguintes condiccedilotildees para financiamento
Proposta A 12 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta B 24 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta C 36 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
A taxa de juros usada eacute de 32 am Qual o valor de cada prestaccedilatildeo nas 3 modalidades de financiamento
Soluccedilatildeo
As sequecircncias a seguir calculam os valores das parcelas nas trecircs propostas
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3200000
32 12 -325329
parcela
3200000
32 24 -193046
parcela
3200000
32 36 -150979
parcela
Exemplo 35 (exemplo 2 paacuteg 111 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma casa cujo valor agrave vista eacute R$ 4924456 eacute vendida em prestaccedilotildees mensais e iguais de R$ 250000 sendo a primeira dada como entrada Se a taxa de financiamento eacute de 18 am determine o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas no financiamento
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o nuacutemero de parcelas
4924456 18
250000 24
nordm de parcelas
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
No exemplo acima o nuacutemero de pagamento deu um nuacutemero inteiro Mas podem acontecer situaccedilotildees em que ao se determinar o nuacutemero de parcelas o resultado natildeo seja um nuacutemero inteiro
Nessa situaccedilatildeo a HP ndash 12C arredonda a resposta para o proacuteximo inteiro para cima antes de armazenaacute-la e exibi-la
Exemplo 36
Vocecirc comprou um terreno por R$ 3500000 a juros de 105 aa Vocecirc pretende fazer pagamentos de R$ 32500 no fim de cada mecircs Quantos pagamentos seratildeo necessaacuterios para pagar o terreno e quanto tempo levaraacute
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o nuacutemero de pagamentos e o tempo necessaacuterio
3500000 105
32500 328 2733
nordm de parcelas Tempo (anos)
Como a calculadora arredonda o valor do tempo para o proacuteximo inteiro eacute provaacutevel que apesar de serem necessaacuterios 328 pagamentos somente 327 seratildeo inteiros de R$ 32500 com o pagamento final sendo menor do que R$ 32500 Para calcular o valor do pagamento de nuacutemero 328 vamos fazer o seguinte
A calculadora natildeo ajusta os valores nos outros registros financeiros automaticamente para refletir os n pagamentos iguais ao contraacuterio ela lhe permite escolher quais valores (se houver) que vocecirc deseja ajustar
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328 18189 - 32500 -14311
Valor da parcela 328
Nesta unidade vocecirc calculou taxas equivalentes usou as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP e fez caacutelculos de pagamentos perioacutedicos de uma seacuterie uniforme antecipado ou postecipado Na proacutexima unidade vamos realizar caacutelculos de valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades abaixo (Essa atividade corresponde agrave autoavaliaccedilatildeo 1 da unidade 5 do livro didaacutetico de Matemaacutetica Financeira) Em seguida use o programa elaborado para resolver a mesma questatildeo
Calcule a taxa anual das seguintes taxas
a) 26 am
b) 42 ab
c) 48 at
d) 12 as
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Unidade 3
2 Elabore um algoritmo para resolver as seguintes atividades (Estas questotildees equivalem agraves autoavaliaccedilotildees 1 2 3 4 e 5 da unidade 8 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 121 122 e 123)
a) Calcule o valor da prestaccedilatildeo mensal de um empreacutestimo de R$ 600000 que seraacute amortizado em 12 prestaccedilotildees mensais postecipadas sabendo que o banco cobra uma taxa de juros de 2 am
b) Uma loja vende um automoacutevel agrave vista por R$ 1650000 Se o comprador quiser fazer um financiamento em 36 parcelas mensais e iguais onde o 1ordm pagamento seraacute efetuado no 1ordm mecircs apoacutes a compra a uma taxa de juros de 21 am qual o valor da prestaccedilatildeo
c) Uma mercadoria custa R$ 9038071 agrave vista podendo ser vendida em prestaccedilotildees mensais de R$ 1050000 sendo a primeira prestaccedilatildeo dada como entrada Sabendo-se que a loja aplica uma taxa de 35 am qual o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas
d) Carlos depositou certa quantia durante 10 meses de forma antecipada a uma taxa de 25 am obtendo um montante de R$ 25000000 Quanto depositou mensalmente Carlos
e) Um produto eacute vendido agrave vista por R$ 200000 ou em 10 prestaccedilotildees mensais iguais sem entrada com uma carecircncia de 90 dias apoacutes a compra Qual o valor de cada prestaccedilatildeo sabendo que a taxa de juros eacute de 6 am
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
4UNIDADE 4
Valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa
Usar as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Valor presente liacutequido
Seccedilatildeo 2 Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs ndash SFA (Price)
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa usando as funccedilotildees CF0 CFj e NPV Vocecirc deveraacute ainda fazer uso da funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos usando o Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo ndash SFA ou tabela Price
Seccedilatildeo 1 ndash Valor presente liacutequido
A figura 41 a seguir apresenta as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C que vocecirc usaraacute nessa unidade para realizar caacutelculo de valor presente liacutequido e para a elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos ou financiamento
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor inicial do fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor do fluxo de caixa no periacuteodo j
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula o valor presente atual de um fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula a parte dos pagamentos usada para pagar juros
Figura 41 - Teclas para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
Valor presente liacutequido
Nessa seccedilatildeo vocecirc usaraacute as funccedilotildees da HP ndash 12C para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa Para entender como usar as funccedilotildees CF0 CFj e NPV considere o fluxo de caixa para um investimento que exige capital inicial (CF0) e que gera um fluxo de caixa (CFj ) no final de j periacuteodos
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Unidade 4
Veja a seguir o fluxo de caixa
CF0CF1
CF2 CF5
CFn
CF3 CF4
O VPL = Valor Presente Liacutequido eacute calculado somando ao investimento inicial o valor presente dos fluxos de caixa futuros projetados Portanto
se o VPL for positivo o valor financeiro do ativo do investidor aumentaraacute ou seja o investimento financeiro seraacute atrativo em termos financeiros
se o VPL for zero o valor financeiro do ativo financeiro do investidor natildeo mudaraacute ou seja o investidor seraacute indiferente ao investimento
se o VPL for negativo o valor financeiro do ativo do investidor seraacute reduzido ou seja o investimento natildeo seraacute atrativo em termos financeiros
Exemplo 41
Um investidor compra uma casa por R$ 7000000 e gostaria de ter um retorno de pelo menos 15 Ele pretende manter a casa por 4 anos e depois vendecirc-la por R$ 11000000 Ele prevecirc os fluxos de caixa mostrados no diagrama abaixo
CF0CF1
CF1
CF3CF4
CF5
R$ 7000000
R$ 50000
R$ 450000R$ 450000
R$ 13000000R$ 550000
Sendo assim calcule o VPL para determinar se o investimento resultaria em um retorno ou perda
62
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Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o VPL
7000000 50000
450000 550000 450000
13000000 15 379007
VPL
Como o VPL eacute positivo o investimento aumentaria o valor financeiro do ativo do investidor
Exemplo 42 (exemplo 4 paacuteg 98 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um proprietaacuterio recebeu as seguintes propostas para a venda de uma casa
Proposta A entrada de R$ 10000000 + R$ 5000000 em 6 meses + R$ 6000000 em 1 ano
Proposta B entrada de R$ 8000000 + R$ 6000000 em 5 meses + R$ 7000000 em 10 meses
Sabendo-se que a taxa de juros de mercado eacute de 3 am qual a melhor proposta para o vendedor
Soluccedilatildeo
Essa questatildeo deve ser resolvida pelo meacutetodo do Valor Presente Liacutequido A alternativa que tiver o maior valor seraacute a melhor Entretanto para facilitar a elaboraccedilatildeo do algoritmo de resoluccedilatildeo na HP ndash 12C elabore o fluxo de caixa para cada situaccedilatildeo
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Unidade 4
1 Proposta A Fluxo de caixa
10000000 5000000 6000000
1 2 3 4 5 7 8 9 10 110 6 12
Calculando o VPL
10000000 000 5
5000000 000
5
6000000
3
18395701
VPL
Armazena o zero 5 vezes
2 Proposta B Fluxo de caixa
8000000 70000006000000
1 2 3 4 6 7 8 90 5 10
Calculando o VPL
8000000 000 4
6000000 000
4
7000000
3
18384310
VPL
Armazena o zero 4 vezes
Resposta a melhor proposta eacute a A
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Exemplo 43
Dois equipamentos satildeo examinados Considerando ser a taxa miacutenima de atratividade de 20aa qual o equipamento que deve ser adquirido
Dados
41 - Tabela de DadosEquipamento K Equipamento L
Custo R$ 5000000 R$ 8000000Custo anual de manutenccedilatildeo R$ 2000000 R$ 1500000Valor residual para venda R$ 400000 R$ 800000Duraccedilatildeo em anos 10 10
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
A seguir veja o diagrama de fluxo de caixa
Os caacutelculos do Valor Presente Liacutequido para as duas situaccedilotildees satildeo
Equipamento K
5000000
Equipamento K
2000000
400000
0 1 2 10
8000000
Equipamento L
1500000
800000
0 1 2 10
50000 20000
9 4000 20000 1
20 -13320342
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Unidade 4
Equipamento L
80000 15000
9 8000 15000 1
20 -14159504
Importante Veja que a alternativa K equivale a um equipamento em que se investe R$ 13320342 enquanto que o equipamento L equivale a um investimento de R$ 14159504 Portanto eacute preferiacutevel o equipamento K pois o investimento eacute menor
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Seccedilatildeo 2 ndash Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs - SFA
Este sistema consiste no pagamento de empreacutestimos ou financiamentos com prestaccedilotildees iguais e com periodicidade constante Eacute considerado o sistema de amortizaccedilatildeo mais utilizado pelas instituiccedilotildees financeiras e pelo comeacutercio em geral
O Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo eacute assim chamado por ter sido inventado na Franccedila por volta do seacuteculo XVIII pelo matemaacutetico inglecircs Richard Price daiacute portanto a origem da denominaccedilatildeo Sistema Price tambeacutem comumente chamado de Tabela Price
Na verdade a Tabela Price eacute um caso particular derivado do Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo Neste sistema o financiamento (PV) eacute pago em parcelas (PMT) iguais constituiacutedas da amortizaccedilatildeo do principal da diacutevida + juros compensatoacuterios (J) que variam inversamente ao longo do tempo Ou seja agrave medida que aumenta o valor da parcela de amortizaccedilatildeo haveraacute uma queda dos juros compensatoacuterios em funccedilatildeo da reduccedilatildeo do saldo devedor
Principais Caracteriacutesticas
As principais caracteriacutesticas do SFA satildeo
a prestaccedilatildeo eacute constante durante todo o periacuteodo do financiamento
a parcela de amortizaccedilatildeo aumenta a cada periacuteodo (n)
os juros compensatoacuterios diminuem a cada periacuteodo (n)
Exemplo 44 (exemplo 1 paacuteg 148 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma instituiccedilatildeo financeira libera um empreacutestimo para uma induacutestria no valor de R$ 60000000 para ser pago pelo sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs em 120 meses a uma taxa de 15 am Faccedila a planilha ateacute o 4ordm mecircs e calcule o saldo devedor no 100ordm mecircs
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Unidade 4
Soluccedilatildeo
A sequecircncia abaixo calcula o valor da prestaccedilatildeo os juros a amortizaccedilatildeo o saldo devedor e valor do saldo devedor no 100ordm mecircs Acompanhe
Zera os registradores
60000000 Armazena o valor presente
120 Armazena o periacuteodo
15 Armazena a taxa
- R$ 1081111 Valor da prestaccedilatildeo
1 - R$ 900000 Valor dos juros da 1ordf parcela
R$ 181111Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 1ordf parcela
R$ 58918889 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 897283 Valor dos juros da 2ordf parcela
- R$ 183828Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 2ordf parcela
R$ 59635061 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 894526 Valor dos juros da 3ordf parcela
- R$ 186585Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 3ordf parcela
R$ 59448476 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 891727 Valor dos juros da 4ordf parcela
- R$ 189384Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 4ordf parcela
R$ 59259092 Recupera o saldo devedor
A tabela a seguir apresenta um resumo das operaccedilotildees realizadas
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Tabela 42 ndash Planilha de amortizaccedilatildeoPeriacuteodo (n) Amortizaccedilatildeo (A) Juros (J) Prestaccedilotildees (R) Saldo Devedor (S)
0 - - - R$ 600000001 R$ 181111 R$ 900000 R$ 1081111 R$ 598188892 R$ 183828 R$ 897283 R$ 1081111 R$ 596350613 R$ 186585 R$ 894526 R$ 1081111 R$ 594484764 R$ 189384 R$ 891727 R$ 1081111 R$ 59259092
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Para determinar o saldo devedor no 100ordm mecircs faccedila como indicado a seguir
60000000 120 150
-1081111 18561247
Prestaccedilatildeo Saldo devedor no 100ordm mecircs
Nesta unidade vocecirc usou as funccedilotildees de fluxo de caixa para calcular o valor presente liacutequido e a funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
69Unidade 4
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Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades a seguir (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 4 e 5 da unidade 7 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegina 102) Em seguida use o programa elaborado para resolver as mesmas questotildees
a) Qual das alternativas de pagamento eacute a melhor para uma taxa de juros compostos de 75 am
Alternativa A Pagamento de R$ 15000000 agrave vista
Alternativa B Entrada de R$ 5000000 + R$ 8000000 em 90 dias + R$ 6000000 em 150 dias
b) Uma pessoa deve a um banco dois tiacutetulos com valores de R$ 300000 e R$ 600000 venciacuteveis respectivamente em 4 meses e 8 meses Se a pessoa deseja antecipar para hoje a liquidaccedilatildeo dos tiacutetulos qual o valor a pagar considerando que o banco opera com uma taxa de juros compostos de 23 am
2 Elabore um algoritmo para resolver as atividades abaixo (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 1 e 4 da unidade 10 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 151 e 153)
a) Um cliente solicita a um banco um empreacutestimo de R$ 4000000 pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs em 60 prestaccedilotildees mensais Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de juros de 28 am obtenha o valor da prestaccedilatildeo e o saldo devedor depois de pagar a 20ordf prestaccedilatildeo
b) Um empreacutestimo de R$ 30000000 seraacute saldado em 50 prestaccedilotildees mensais a uma taxa de 15 am Determine a parcela de juros relativa agrave 15ordf prestaccedilatildeo pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs (price)
70
Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
Manual da calculadora HP ndash 12C
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico ndash 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7ed Satildeo Paulo Atlas 2000
Para concluir o estudo
Com o teacutermino desse curso de extensatildeo acreditamos que proporcionamos momentos de aprendizagem por meio da interaccedilatildeo da calculadora financeira e que vocecirc estaacute habilitado(a) a fazer uso dessa ferramenta com qualidade no mercado de trabalho relacionado a essa aacuterea tatildeo importante no nosso dia-a-dia
Referecircncias
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7 ed Satildeo Paulo Atlas 2000
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003 Disponiacutevel em lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt Acesso em 05 jun 2008
Sobre o professor conteudista
Joseacute Humberto Dias de Toledo - eacute Mestre em Educaccedilatildeo pela Universidade do Sul de Santa Catarina Graduado em Licenciatura em Matemaacutetica e em Engenharia Civil Professor das disciplinas Meacutetodos Numeacutericos Informaacutetica Aplicada agrave Matemaacutetica Financeira Caacutelculo I e Matemaacutetica Financeira no Curso de Matemaacutetica ndash Licenciatura nesta mesma instituiccedilatildeo Atualmente ministra a disciplina Representaccedilotildees Graacuteficas na Poacutes-graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo Matemaacutetica da UNISUL
Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo
Unidade 1
1 a) 5
b) -2359
c) 3311
d) 077
e) 081
Respostas modo RPN
a)
b)
c)
d)
e)
Respostas modo ALG
a
b
c
d
e
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Universidade do Sul de Santa Catarina
2 R$ 167757
Modo RPN
Modo ALG
3 -242
4 Data 13082008 3 (quarta-feira)
5 Florianoacutepolis = 3303 Curitiba = 5018 Porto Alegre = 1680
Unidade 2
1 1) 150000
Dados
C = R$ 1000000
i = 5 aa
n = 3 anos = 1080 dias
J =
3) 24 meses = 2 anos
Dados
C = R$ 200000
i = 6 aa
n = 24 meses = 720 dias
M =
79
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
85
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
86
Universidade do Sul de Santa Catarina
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
87
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
88
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46
Universidade do Sul de Santa Catarina
4 Elabore um algoritmo para resolver as questotildees 1 e 8 das paacuteginas 88 e 90 respectivamente do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira Confira os resultados na paacuteg 196
1) Determine o valor do desconto composto racional de um tiacutetulo de valor nominal de R$ 830000 descontado 6 meses antes de seu vencimento sabendo-se que a taxa de desconto eacute de 42 am
8) Um tiacutetulo de R$ 3000000 foi descontado em uma instituiccedilatildeo financeira a uma taxa de desconto composto comercial de 64 am e o valor liacutequido recebido era de R$ 2017327 Quantos meses antes do vencimento foi descontado este tiacutetulo
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
3UNIDADE 3
Taxas de juros equivalentes e caacutelculo de pagamentos perioacutedicos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para calcular taxas equivalentes
Usar as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP ndash 12C para programar o algoritmo da taxa equivalente no regime de capitalizaccedilatildeo composto
Calcular pagamentos perioacutedicos de sequecircncias uniformes postecipadas e antecipadas
Calcular montante de uma sequecircncia uniforme
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Taxas equivalentes
Seccedilatildeo 2 Sequecircncia de capitais
48
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar taxas equivalentes no regime de capitalizaccedilatildeo composto Vocecirc usaraacute as funccedilotildees de programaccedilatildeo com o objetivo de elaborar um algoritmo para fazer a conversatildeo de taxas de um periacuteodo de capitalizaccedilatildeo (ex mensal) para outro periacuteodo (ex anual) usando o programa Vamos explorar as funccedilotildees ldquoPMTrdquo ldquoBEGrdquo e ldquoENDrdquo para realizar caacutelculo de pagamentos antecipados e postecipados em uma sequecircncia uniforme Destacamos que os exemplos que seratildeo apresentados estatildeo no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira
Seccedilatildeo 1 ndash Taxas equivalentes
Nesta unidade vocecirc usaraacute algumas funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos (postecipados e antecipados) de uma seacuterie uniforme Vocecirc usaraacute ainda as funccedilotildees de programaccedilatildeo para elaborar um programa para calcular taxas equivalentes A figura a seguir apresenta as funccedilotildees que vocecirc usaraacute nos exemplos apresentados posteriormente
Aciona o modo de programaccedilatildeo de HP ndash 12C
Aciona a funccedilatildeo Begin que calcula a parcela com pagamento antecipado
Aciona a funccedilatildeo End (natildeo aparece no visor da calculadora) que calcula parcela com pagamento postecipado
Figura 31 - Teclas utilizadas para acionar as funccedilotildees Beg e End e entrar no modo de programaccedilatildeo
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
49
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
Taxas equivalentes
No mercado financeiro e nas operaccedilotildees bancaacuterias e comerciais a palavra taxa eacute empregada de vaacuterias formas ou seja vaacuterios conceitos satildeo abordados em vaacuterias situaccedilotildees Esta seccedilatildeo tem como objetivo mostrar como as taxas de juros satildeo informadas no mercado financeiro e como adequaacute-las agraves condiccedilotildees padronizadas pela HP ndash 12C
Duas taxas satildeo consideradas equivalentes a juros compostos quando aplicadas a um mesmo capital por um periacuteodo de tempo equivalente e geram o mesmo rendimento
Exemplo 31(exemplo 1 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
No regime de juros compostos qual a taxa anual equivalente a 4 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente anual
Exemplo 32 (exemplo 2 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
Calcule a taxa quadrimestral equivalente agrave taxa de juros compostos de 8 aa
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente quadrimestral
1 004 12 1 1 10000 6010
Taxa anual
50
Universidade do Sul de Santa Catarina
1 008 1 3 1 10000 260
Taxa quadrimestral
Programa para caacutelculo da taxa equivalente pela hp ndash 12c
O professor Carlos Shinoda em seu livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48) apresenta um programa para calcular a taxa equivalente atraveacutes da calculadora HP ndash 12C
Siga os procedimentos abaixo para introduzir o programa na HP ndash 12C
Figura 32 - Algoritmo para a programaccedilatildeo de taxa equivalente
Fonte Livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48)
51
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
Agora que vocecirc programou a HP ndash 12C para o caacutelculo de taxas equivalentes resolva o exemplo a seguir usando o programa
Exemplo 33
Usando o programa anterior determine as taxas equivalentes propostas nos exemplos 31 e 32
Soluccedilatildeo
As sequecircncias abaixo calculam as taxas equivalentes
Executa oprograma
4 1 12 6010
Taxa anual
Executa oprograma
8 360 120 260
Taxa quadrimestral
52
Universidade do Sul de Santa Catarina
Seccedilatildeo 2 ndash Sequecircncia de capitais
Nesta seccedilatildeo vocecirc acompanharaacute as situaccedilotildees em que haacute mais de um pagamento ou seja vocecirc estudaraacute as operaccedilotildees envolvendo pagamentos ou recebimentos perioacutedicos e uniformes
As seacuteries uniformes de pagamentos satildeo aquelas em que os pagamentos ou recebimentos satildeo constantes e ocorrem em intervalos iguais
Seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas e antecipadas
As seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1 Este sistema eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada (0 + n)
Pagamentos ou recebimentos podem ser chamados de prestaccedilatildeo representada pela sigla PMT que vem do inglecircs Payment e significa pagamento ou recebimento
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentosPMT
++
0 1 2 3 4 5 6 n
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
++
0 1 2 3 4 5 6 n
PMT
53
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
As seacuteries uniformes de pagamentos antecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre na data focal 0 (zero) Este tipo de sistema de pagamento eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento com entrada (1+ n)
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
Exemplo 34 (exemplo 2 paacuteg 108 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um automoacutevel eacute vendido em uma loja por R$ 3200000 A loja propotildee as seguintes condiccedilotildees para financiamento
Proposta A 12 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta B 24 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta C 36 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
A taxa de juros usada eacute de 32 am Qual o valor de cada prestaccedilatildeo nas 3 modalidades de financiamento
Soluccedilatildeo
As sequecircncias a seguir calculam os valores das parcelas nas trecircs propostas
54
Universidade do Sul de Santa Catarina
3200000
32 12 -325329
parcela
3200000
32 24 -193046
parcela
3200000
32 36 -150979
parcela
Exemplo 35 (exemplo 2 paacuteg 111 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma casa cujo valor agrave vista eacute R$ 4924456 eacute vendida em prestaccedilotildees mensais e iguais de R$ 250000 sendo a primeira dada como entrada Se a taxa de financiamento eacute de 18 am determine o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas no financiamento
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o nuacutemero de parcelas
4924456 18
250000 24
nordm de parcelas
55
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
No exemplo acima o nuacutemero de pagamento deu um nuacutemero inteiro Mas podem acontecer situaccedilotildees em que ao se determinar o nuacutemero de parcelas o resultado natildeo seja um nuacutemero inteiro
Nessa situaccedilatildeo a HP ndash 12C arredonda a resposta para o proacuteximo inteiro para cima antes de armazenaacute-la e exibi-la
Exemplo 36
Vocecirc comprou um terreno por R$ 3500000 a juros de 105 aa Vocecirc pretende fazer pagamentos de R$ 32500 no fim de cada mecircs Quantos pagamentos seratildeo necessaacuterios para pagar o terreno e quanto tempo levaraacute
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o nuacutemero de pagamentos e o tempo necessaacuterio
3500000 105
32500 328 2733
nordm de parcelas Tempo (anos)
Como a calculadora arredonda o valor do tempo para o proacuteximo inteiro eacute provaacutevel que apesar de serem necessaacuterios 328 pagamentos somente 327 seratildeo inteiros de R$ 32500 com o pagamento final sendo menor do que R$ 32500 Para calcular o valor do pagamento de nuacutemero 328 vamos fazer o seguinte
A calculadora natildeo ajusta os valores nos outros registros financeiros automaticamente para refletir os n pagamentos iguais ao contraacuterio ela lhe permite escolher quais valores (se houver) que vocecirc deseja ajustar
56
Universidade do Sul de Santa Catarina
328 18189 - 32500 -14311
Valor da parcela 328
Nesta unidade vocecirc calculou taxas equivalentes usou as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP e fez caacutelculos de pagamentos perioacutedicos de uma seacuterie uniforme antecipado ou postecipado Na proacutexima unidade vamos realizar caacutelculos de valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades abaixo (Essa atividade corresponde agrave autoavaliaccedilatildeo 1 da unidade 5 do livro didaacutetico de Matemaacutetica Financeira) Em seguida use o programa elaborado para resolver a mesma questatildeo
Calcule a taxa anual das seguintes taxas
a) 26 am
b) 42 ab
c) 48 at
d) 12 as
57
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
2 Elabore um algoritmo para resolver as seguintes atividades (Estas questotildees equivalem agraves autoavaliaccedilotildees 1 2 3 4 e 5 da unidade 8 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 121 122 e 123)
a) Calcule o valor da prestaccedilatildeo mensal de um empreacutestimo de R$ 600000 que seraacute amortizado em 12 prestaccedilotildees mensais postecipadas sabendo que o banco cobra uma taxa de juros de 2 am
b) Uma loja vende um automoacutevel agrave vista por R$ 1650000 Se o comprador quiser fazer um financiamento em 36 parcelas mensais e iguais onde o 1ordm pagamento seraacute efetuado no 1ordm mecircs apoacutes a compra a uma taxa de juros de 21 am qual o valor da prestaccedilatildeo
c) Uma mercadoria custa R$ 9038071 agrave vista podendo ser vendida em prestaccedilotildees mensais de R$ 1050000 sendo a primeira prestaccedilatildeo dada como entrada Sabendo-se que a loja aplica uma taxa de 35 am qual o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas
d) Carlos depositou certa quantia durante 10 meses de forma antecipada a uma taxa de 25 am obtendo um montante de R$ 25000000 Quanto depositou mensalmente Carlos
e) Um produto eacute vendido agrave vista por R$ 200000 ou em 10 prestaccedilotildees mensais iguais sem entrada com uma carecircncia de 90 dias apoacutes a compra Qual o valor de cada prestaccedilatildeo sabendo que a taxa de juros eacute de 6 am
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
4UNIDADE 4
Valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa
Usar as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Valor presente liacutequido
Seccedilatildeo 2 Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs ndash SFA (Price)
60
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa usando as funccedilotildees CF0 CFj e NPV Vocecirc deveraacute ainda fazer uso da funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos usando o Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo ndash SFA ou tabela Price
Seccedilatildeo 1 ndash Valor presente liacutequido
A figura 41 a seguir apresenta as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C que vocecirc usaraacute nessa unidade para realizar caacutelculo de valor presente liacutequido e para a elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos ou financiamento
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor inicial do fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor do fluxo de caixa no periacuteodo j
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula o valor presente atual de um fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula a parte dos pagamentos usada para pagar juros
Figura 41 - Teclas para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
Valor presente liacutequido
Nessa seccedilatildeo vocecirc usaraacute as funccedilotildees da HP ndash 12C para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa Para entender como usar as funccedilotildees CF0 CFj e NPV considere o fluxo de caixa para um investimento que exige capital inicial (CF0) e que gera um fluxo de caixa (CFj ) no final de j periacuteodos
61
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Veja a seguir o fluxo de caixa
CF0CF1
CF2 CF5
CFn
CF3 CF4
O VPL = Valor Presente Liacutequido eacute calculado somando ao investimento inicial o valor presente dos fluxos de caixa futuros projetados Portanto
se o VPL for positivo o valor financeiro do ativo do investidor aumentaraacute ou seja o investimento financeiro seraacute atrativo em termos financeiros
se o VPL for zero o valor financeiro do ativo financeiro do investidor natildeo mudaraacute ou seja o investidor seraacute indiferente ao investimento
se o VPL for negativo o valor financeiro do ativo do investidor seraacute reduzido ou seja o investimento natildeo seraacute atrativo em termos financeiros
Exemplo 41
Um investidor compra uma casa por R$ 7000000 e gostaria de ter um retorno de pelo menos 15 Ele pretende manter a casa por 4 anos e depois vendecirc-la por R$ 11000000 Ele prevecirc os fluxos de caixa mostrados no diagrama abaixo
CF0CF1
CF1
CF3CF4
CF5
R$ 7000000
R$ 50000
R$ 450000R$ 450000
R$ 13000000R$ 550000
Sendo assim calcule o VPL para determinar se o investimento resultaria em um retorno ou perda
62
Universidade do Sul de Santa Catarina
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o VPL
7000000 50000
450000 550000 450000
13000000 15 379007
VPL
Como o VPL eacute positivo o investimento aumentaria o valor financeiro do ativo do investidor
Exemplo 42 (exemplo 4 paacuteg 98 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um proprietaacuterio recebeu as seguintes propostas para a venda de uma casa
Proposta A entrada de R$ 10000000 + R$ 5000000 em 6 meses + R$ 6000000 em 1 ano
Proposta B entrada de R$ 8000000 + R$ 6000000 em 5 meses + R$ 7000000 em 10 meses
Sabendo-se que a taxa de juros de mercado eacute de 3 am qual a melhor proposta para o vendedor
Soluccedilatildeo
Essa questatildeo deve ser resolvida pelo meacutetodo do Valor Presente Liacutequido A alternativa que tiver o maior valor seraacute a melhor Entretanto para facilitar a elaboraccedilatildeo do algoritmo de resoluccedilatildeo na HP ndash 12C elabore o fluxo de caixa para cada situaccedilatildeo
63
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
1 Proposta A Fluxo de caixa
10000000 5000000 6000000
1 2 3 4 5 7 8 9 10 110 6 12
Calculando o VPL
10000000 000 5
5000000 000
5
6000000
3
18395701
VPL
Armazena o zero 5 vezes
2 Proposta B Fluxo de caixa
8000000 70000006000000
1 2 3 4 6 7 8 90 5 10
Calculando o VPL
8000000 000 4
6000000 000
4
7000000
3
18384310
VPL
Armazena o zero 4 vezes
Resposta a melhor proposta eacute a A
64
Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 43
Dois equipamentos satildeo examinados Considerando ser a taxa miacutenima de atratividade de 20aa qual o equipamento que deve ser adquirido
Dados
41 - Tabela de DadosEquipamento K Equipamento L
Custo R$ 5000000 R$ 8000000Custo anual de manutenccedilatildeo R$ 2000000 R$ 1500000Valor residual para venda R$ 400000 R$ 800000Duraccedilatildeo em anos 10 10
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
A seguir veja o diagrama de fluxo de caixa
Os caacutelculos do Valor Presente Liacutequido para as duas situaccedilotildees satildeo
Equipamento K
5000000
Equipamento K
2000000
400000
0 1 2 10
8000000
Equipamento L
1500000
800000
0 1 2 10
50000 20000
9 4000 20000 1
20 -13320342
65
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Equipamento L
80000 15000
9 8000 15000 1
20 -14159504
Importante Veja que a alternativa K equivale a um equipamento em que se investe R$ 13320342 enquanto que o equipamento L equivale a um investimento de R$ 14159504 Portanto eacute preferiacutevel o equipamento K pois o investimento eacute menor
66
Universidade do Sul de Santa Catarina
Seccedilatildeo 2 ndash Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs - SFA
Este sistema consiste no pagamento de empreacutestimos ou financiamentos com prestaccedilotildees iguais e com periodicidade constante Eacute considerado o sistema de amortizaccedilatildeo mais utilizado pelas instituiccedilotildees financeiras e pelo comeacutercio em geral
O Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo eacute assim chamado por ter sido inventado na Franccedila por volta do seacuteculo XVIII pelo matemaacutetico inglecircs Richard Price daiacute portanto a origem da denominaccedilatildeo Sistema Price tambeacutem comumente chamado de Tabela Price
Na verdade a Tabela Price eacute um caso particular derivado do Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo Neste sistema o financiamento (PV) eacute pago em parcelas (PMT) iguais constituiacutedas da amortizaccedilatildeo do principal da diacutevida + juros compensatoacuterios (J) que variam inversamente ao longo do tempo Ou seja agrave medida que aumenta o valor da parcela de amortizaccedilatildeo haveraacute uma queda dos juros compensatoacuterios em funccedilatildeo da reduccedilatildeo do saldo devedor
Principais Caracteriacutesticas
As principais caracteriacutesticas do SFA satildeo
a prestaccedilatildeo eacute constante durante todo o periacuteodo do financiamento
a parcela de amortizaccedilatildeo aumenta a cada periacuteodo (n)
os juros compensatoacuterios diminuem a cada periacuteodo (n)
Exemplo 44 (exemplo 1 paacuteg 148 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma instituiccedilatildeo financeira libera um empreacutestimo para uma induacutestria no valor de R$ 60000000 para ser pago pelo sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs em 120 meses a uma taxa de 15 am Faccedila a planilha ateacute o 4ordm mecircs e calcule o saldo devedor no 100ordm mecircs
67
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Soluccedilatildeo
A sequecircncia abaixo calcula o valor da prestaccedilatildeo os juros a amortizaccedilatildeo o saldo devedor e valor do saldo devedor no 100ordm mecircs Acompanhe
Zera os registradores
60000000 Armazena o valor presente
120 Armazena o periacuteodo
15 Armazena a taxa
- R$ 1081111 Valor da prestaccedilatildeo
1 - R$ 900000 Valor dos juros da 1ordf parcela
R$ 181111Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 1ordf parcela
R$ 58918889 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 897283 Valor dos juros da 2ordf parcela
- R$ 183828Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 2ordf parcela
R$ 59635061 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 894526 Valor dos juros da 3ordf parcela
- R$ 186585Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 3ordf parcela
R$ 59448476 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 891727 Valor dos juros da 4ordf parcela
- R$ 189384Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 4ordf parcela
R$ 59259092 Recupera o saldo devedor
A tabela a seguir apresenta um resumo das operaccedilotildees realizadas
68
Universidade do Sul de Santa Catarina
Tabela 42 ndash Planilha de amortizaccedilatildeoPeriacuteodo (n) Amortizaccedilatildeo (A) Juros (J) Prestaccedilotildees (R) Saldo Devedor (S)
0 - - - R$ 600000001 R$ 181111 R$ 900000 R$ 1081111 R$ 598188892 R$ 183828 R$ 897283 R$ 1081111 R$ 596350613 R$ 186585 R$ 894526 R$ 1081111 R$ 594484764 R$ 189384 R$ 891727 R$ 1081111 R$ 59259092
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Para determinar o saldo devedor no 100ordm mecircs faccedila como indicado a seguir
60000000 120 150
-1081111 18561247
Prestaccedilatildeo Saldo devedor no 100ordm mecircs
Nesta unidade vocecirc usou as funccedilotildees de fluxo de caixa para calcular o valor presente liacutequido e a funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
69Unidade 4
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades a seguir (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 4 e 5 da unidade 7 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegina 102) Em seguida use o programa elaborado para resolver as mesmas questotildees
a) Qual das alternativas de pagamento eacute a melhor para uma taxa de juros compostos de 75 am
Alternativa A Pagamento de R$ 15000000 agrave vista
Alternativa B Entrada de R$ 5000000 + R$ 8000000 em 90 dias + R$ 6000000 em 150 dias
b) Uma pessoa deve a um banco dois tiacutetulos com valores de R$ 300000 e R$ 600000 venciacuteveis respectivamente em 4 meses e 8 meses Se a pessoa deseja antecipar para hoje a liquidaccedilatildeo dos tiacutetulos qual o valor a pagar considerando que o banco opera com uma taxa de juros compostos de 23 am
2 Elabore um algoritmo para resolver as atividades abaixo (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 1 e 4 da unidade 10 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 151 e 153)
a) Um cliente solicita a um banco um empreacutestimo de R$ 4000000 pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs em 60 prestaccedilotildees mensais Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de juros de 28 am obtenha o valor da prestaccedilatildeo e o saldo devedor depois de pagar a 20ordf prestaccedilatildeo
b) Um empreacutestimo de R$ 30000000 seraacute saldado em 50 prestaccedilotildees mensais a uma taxa de 15 am Determine a parcela de juros relativa agrave 15ordf prestaccedilatildeo pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs (price)
70
Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
Manual da calculadora HP ndash 12C
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico ndash 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7ed Satildeo Paulo Atlas 2000
Para concluir o estudo
Com o teacutermino desse curso de extensatildeo acreditamos que proporcionamos momentos de aprendizagem por meio da interaccedilatildeo da calculadora financeira e que vocecirc estaacute habilitado(a) a fazer uso dessa ferramenta com qualidade no mercado de trabalho relacionado a essa aacuterea tatildeo importante no nosso dia-a-dia
Referecircncias
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7 ed Satildeo Paulo Atlas 2000
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003 Disponiacutevel em lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt Acesso em 05 jun 2008
Sobre o professor conteudista
Joseacute Humberto Dias de Toledo - eacute Mestre em Educaccedilatildeo pela Universidade do Sul de Santa Catarina Graduado em Licenciatura em Matemaacutetica e em Engenharia Civil Professor das disciplinas Meacutetodos Numeacutericos Informaacutetica Aplicada agrave Matemaacutetica Financeira Caacutelculo I e Matemaacutetica Financeira no Curso de Matemaacutetica ndash Licenciatura nesta mesma instituiccedilatildeo Atualmente ministra a disciplina Representaccedilotildees Graacuteficas na Poacutes-graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo Matemaacutetica da UNISUL
Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo
Unidade 1
1 a) 5
b) -2359
c) 3311
d) 077
e) 081
Respostas modo RPN
a)
b)
c)
d)
e)
Respostas modo ALG
a
b
c
d
e
78
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 R$ 167757
Modo RPN
Modo ALG
3 -242
4 Data 13082008 3 (quarta-feira)
5 Florianoacutepolis = 3303 Curitiba = 5018 Porto Alegre = 1680
Unidade 2
1 1) 150000
Dados
C = R$ 1000000
i = 5 aa
n = 3 anos = 1080 dias
J =
3) 24 meses = 2 anos
Dados
C = R$ 200000
i = 6 aa
n = 24 meses = 720 dias
M =
79
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
85
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
86
Universidade do Sul de Santa Catarina
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
87
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
88
Universidade do Sul de Santa Catarina
3UNIDADE 3
Taxas de juros equivalentes e caacutelculo de pagamentos perioacutedicos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para calcular taxas equivalentes
Usar as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP ndash 12C para programar o algoritmo da taxa equivalente no regime de capitalizaccedilatildeo composto
Calcular pagamentos perioacutedicos de sequecircncias uniformes postecipadas e antecipadas
Calcular montante de uma sequecircncia uniforme
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Taxas equivalentes
Seccedilatildeo 2 Sequecircncia de capitais
48
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar taxas equivalentes no regime de capitalizaccedilatildeo composto Vocecirc usaraacute as funccedilotildees de programaccedilatildeo com o objetivo de elaborar um algoritmo para fazer a conversatildeo de taxas de um periacuteodo de capitalizaccedilatildeo (ex mensal) para outro periacuteodo (ex anual) usando o programa Vamos explorar as funccedilotildees ldquoPMTrdquo ldquoBEGrdquo e ldquoENDrdquo para realizar caacutelculo de pagamentos antecipados e postecipados em uma sequecircncia uniforme Destacamos que os exemplos que seratildeo apresentados estatildeo no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira
Seccedilatildeo 1 ndash Taxas equivalentes
Nesta unidade vocecirc usaraacute algumas funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos (postecipados e antecipados) de uma seacuterie uniforme Vocecirc usaraacute ainda as funccedilotildees de programaccedilatildeo para elaborar um programa para calcular taxas equivalentes A figura a seguir apresenta as funccedilotildees que vocecirc usaraacute nos exemplos apresentados posteriormente
Aciona o modo de programaccedilatildeo de HP ndash 12C
Aciona a funccedilatildeo Begin que calcula a parcela com pagamento antecipado
Aciona a funccedilatildeo End (natildeo aparece no visor da calculadora) que calcula parcela com pagamento postecipado
Figura 31 - Teclas utilizadas para acionar as funccedilotildees Beg e End e entrar no modo de programaccedilatildeo
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
49
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
Taxas equivalentes
No mercado financeiro e nas operaccedilotildees bancaacuterias e comerciais a palavra taxa eacute empregada de vaacuterias formas ou seja vaacuterios conceitos satildeo abordados em vaacuterias situaccedilotildees Esta seccedilatildeo tem como objetivo mostrar como as taxas de juros satildeo informadas no mercado financeiro e como adequaacute-las agraves condiccedilotildees padronizadas pela HP ndash 12C
Duas taxas satildeo consideradas equivalentes a juros compostos quando aplicadas a um mesmo capital por um periacuteodo de tempo equivalente e geram o mesmo rendimento
Exemplo 31(exemplo 1 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
No regime de juros compostos qual a taxa anual equivalente a 4 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente anual
Exemplo 32 (exemplo 2 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
Calcule a taxa quadrimestral equivalente agrave taxa de juros compostos de 8 aa
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente quadrimestral
1 004 12 1 1 10000 6010
Taxa anual
50
Universidade do Sul de Santa Catarina
1 008 1 3 1 10000 260
Taxa quadrimestral
Programa para caacutelculo da taxa equivalente pela hp ndash 12c
O professor Carlos Shinoda em seu livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48) apresenta um programa para calcular a taxa equivalente atraveacutes da calculadora HP ndash 12C
Siga os procedimentos abaixo para introduzir o programa na HP ndash 12C
Figura 32 - Algoritmo para a programaccedilatildeo de taxa equivalente
Fonte Livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48)
51
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
Agora que vocecirc programou a HP ndash 12C para o caacutelculo de taxas equivalentes resolva o exemplo a seguir usando o programa
Exemplo 33
Usando o programa anterior determine as taxas equivalentes propostas nos exemplos 31 e 32
Soluccedilatildeo
As sequecircncias abaixo calculam as taxas equivalentes
Executa oprograma
4 1 12 6010
Taxa anual
Executa oprograma
8 360 120 260
Taxa quadrimestral
52
Universidade do Sul de Santa Catarina
Seccedilatildeo 2 ndash Sequecircncia de capitais
Nesta seccedilatildeo vocecirc acompanharaacute as situaccedilotildees em que haacute mais de um pagamento ou seja vocecirc estudaraacute as operaccedilotildees envolvendo pagamentos ou recebimentos perioacutedicos e uniformes
As seacuteries uniformes de pagamentos satildeo aquelas em que os pagamentos ou recebimentos satildeo constantes e ocorrem em intervalos iguais
Seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas e antecipadas
As seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1 Este sistema eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada (0 + n)
Pagamentos ou recebimentos podem ser chamados de prestaccedilatildeo representada pela sigla PMT que vem do inglecircs Payment e significa pagamento ou recebimento
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentosPMT
++
0 1 2 3 4 5 6 n
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
++
0 1 2 3 4 5 6 n
PMT
53
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
As seacuteries uniformes de pagamentos antecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre na data focal 0 (zero) Este tipo de sistema de pagamento eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento com entrada (1+ n)
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
Exemplo 34 (exemplo 2 paacuteg 108 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um automoacutevel eacute vendido em uma loja por R$ 3200000 A loja propotildee as seguintes condiccedilotildees para financiamento
Proposta A 12 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta B 24 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta C 36 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
A taxa de juros usada eacute de 32 am Qual o valor de cada prestaccedilatildeo nas 3 modalidades de financiamento
Soluccedilatildeo
As sequecircncias a seguir calculam os valores das parcelas nas trecircs propostas
54
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3200000
32 12 -325329
parcela
3200000
32 24 -193046
parcela
3200000
32 36 -150979
parcela
Exemplo 35 (exemplo 2 paacuteg 111 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma casa cujo valor agrave vista eacute R$ 4924456 eacute vendida em prestaccedilotildees mensais e iguais de R$ 250000 sendo a primeira dada como entrada Se a taxa de financiamento eacute de 18 am determine o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas no financiamento
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o nuacutemero de parcelas
4924456 18
250000 24
nordm de parcelas
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
No exemplo acima o nuacutemero de pagamento deu um nuacutemero inteiro Mas podem acontecer situaccedilotildees em que ao se determinar o nuacutemero de parcelas o resultado natildeo seja um nuacutemero inteiro
Nessa situaccedilatildeo a HP ndash 12C arredonda a resposta para o proacuteximo inteiro para cima antes de armazenaacute-la e exibi-la
Exemplo 36
Vocecirc comprou um terreno por R$ 3500000 a juros de 105 aa Vocecirc pretende fazer pagamentos de R$ 32500 no fim de cada mecircs Quantos pagamentos seratildeo necessaacuterios para pagar o terreno e quanto tempo levaraacute
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o nuacutemero de pagamentos e o tempo necessaacuterio
3500000 105
32500 328 2733
nordm de parcelas Tempo (anos)
Como a calculadora arredonda o valor do tempo para o proacuteximo inteiro eacute provaacutevel que apesar de serem necessaacuterios 328 pagamentos somente 327 seratildeo inteiros de R$ 32500 com o pagamento final sendo menor do que R$ 32500 Para calcular o valor do pagamento de nuacutemero 328 vamos fazer o seguinte
A calculadora natildeo ajusta os valores nos outros registros financeiros automaticamente para refletir os n pagamentos iguais ao contraacuterio ela lhe permite escolher quais valores (se houver) que vocecirc deseja ajustar
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328 18189 - 32500 -14311
Valor da parcela 328
Nesta unidade vocecirc calculou taxas equivalentes usou as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP e fez caacutelculos de pagamentos perioacutedicos de uma seacuterie uniforme antecipado ou postecipado Na proacutexima unidade vamos realizar caacutelculos de valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades abaixo (Essa atividade corresponde agrave autoavaliaccedilatildeo 1 da unidade 5 do livro didaacutetico de Matemaacutetica Financeira) Em seguida use o programa elaborado para resolver a mesma questatildeo
Calcule a taxa anual das seguintes taxas
a) 26 am
b) 42 ab
c) 48 at
d) 12 as
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
2 Elabore um algoritmo para resolver as seguintes atividades (Estas questotildees equivalem agraves autoavaliaccedilotildees 1 2 3 4 e 5 da unidade 8 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 121 122 e 123)
a) Calcule o valor da prestaccedilatildeo mensal de um empreacutestimo de R$ 600000 que seraacute amortizado em 12 prestaccedilotildees mensais postecipadas sabendo que o banco cobra uma taxa de juros de 2 am
b) Uma loja vende um automoacutevel agrave vista por R$ 1650000 Se o comprador quiser fazer um financiamento em 36 parcelas mensais e iguais onde o 1ordm pagamento seraacute efetuado no 1ordm mecircs apoacutes a compra a uma taxa de juros de 21 am qual o valor da prestaccedilatildeo
c) Uma mercadoria custa R$ 9038071 agrave vista podendo ser vendida em prestaccedilotildees mensais de R$ 1050000 sendo a primeira prestaccedilatildeo dada como entrada Sabendo-se que a loja aplica uma taxa de 35 am qual o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas
d) Carlos depositou certa quantia durante 10 meses de forma antecipada a uma taxa de 25 am obtendo um montante de R$ 25000000 Quanto depositou mensalmente Carlos
e) Um produto eacute vendido agrave vista por R$ 200000 ou em 10 prestaccedilotildees mensais iguais sem entrada com uma carecircncia de 90 dias apoacutes a compra Qual o valor de cada prestaccedilatildeo sabendo que a taxa de juros eacute de 6 am
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
4UNIDADE 4
Valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa
Usar as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Valor presente liacutequido
Seccedilatildeo 2 Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs ndash SFA (Price)
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa usando as funccedilotildees CF0 CFj e NPV Vocecirc deveraacute ainda fazer uso da funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos usando o Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo ndash SFA ou tabela Price
Seccedilatildeo 1 ndash Valor presente liacutequido
A figura 41 a seguir apresenta as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C que vocecirc usaraacute nessa unidade para realizar caacutelculo de valor presente liacutequido e para a elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos ou financiamento
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor inicial do fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor do fluxo de caixa no periacuteodo j
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula o valor presente atual de um fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula a parte dos pagamentos usada para pagar juros
Figura 41 - Teclas para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
Valor presente liacutequido
Nessa seccedilatildeo vocecirc usaraacute as funccedilotildees da HP ndash 12C para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa Para entender como usar as funccedilotildees CF0 CFj e NPV considere o fluxo de caixa para um investimento que exige capital inicial (CF0) e que gera um fluxo de caixa (CFj ) no final de j periacuteodos
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Unidade 4
Veja a seguir o fluxo de caixa
CF0CF1
CF2 CF5
CFn
CF3 CF4
O VPL = Valor Presente Liacutequido eacute calculado somando ao investimento inicial o valor presente dos fluxos de caixa futuros projetados Portanto
se o VPL for positivo o valor financeiro do ativo do investidor aumentaraacute ou seja o investimento financeiro seraacute atrativo em termos financeiros
se o VPL for zero o valor financeiro do ativo financeiro do investidor natildeo mudaraacute ou seja o investidor seraacute indiferente ao investimento
se o VPL for negativo o valor financeiro do ativo do investidor seraacute reduzido ou seja o investimento natildeo seraacute atrativo em termos financeiros
Exemplo 41
Um investidor compra uma casa por R$ 7000000 e gostaria de ter um retorno de pelo menos 15 Ele pretende manter a casa por 4 anos e depois vendecirc-la por R$ 11000000 Ele prevecirc os fluxos de caixa mostrados no diagrama abaixo
CF0CF1
CF1
CF3CF4
CF5
R$ 7000000
R$ 50000
R$ 450000R$ 450000
R$ 13000000R$ 550000
Sendo assim calcule o VPL para determinar se o investimento resultaria em um retorno ou perda
62
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Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o VPL
7000000 50000
450000 550000 450000
13000000 15 379007
VPL
Como o VPL eacute positivo o investimento aumentaria o valor financeiro do ativo do investidor
Exemplo 42 (exemplo 4 paacuteg 98 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um proprietaacuterio recebeu as seguintes propostas para a venda de uma casa
Proposta A entrada de R$ 10000000 + R$ 5000000 em 6 meses + R$ 6000000 em 1 ano
Proposta B entrada de R$ 8000000 + R$ 6000000 em 5 meses + R$ 7000000 em 10 meses
Sabendo-se que a taxa de juros de mercado eacute de 3 am qual a melhor proposta para o vendedor
Soluccedilatildeo
Essa questatildeo deve ser resolvida pelo meacutetodo do Valor Presente Liacutequido A alternativa que tiver o maior valor seraacute a melhor Entretanto para facilitar a elaboraccedilatildeo do algoritmo de resoluccedilatildeo na HP ndash 12C elabore o fluxo de caixa para cada situaccedilatildeo
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Unidade 4
1 Proposta A Fluxo de caixa
10000000 5000000 6000000
1 2 3 4 5 7 8 9 10 110 6 12
Calculando o VPL
10000000 000 5
5000000 000
5
6000000
3
18395701
VPL
Armazena o zero 5 vezes
2 Proposta B Fluxo de caixa
8000000 70000006000000
1 2 3 4 6 7 8 90 5 10
Calculando o VPL
8000000 000 4
6000000 000
4
7000000
3
18384310
VPL
Armazena o zero 4 vezes
Resposta a melhor proposta eacute a A
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Exemplo 43
Dois equipamentos satildeo examinados Considerando ser a taxa miacutenima de atratividade de 20aa qual o equipamento que deve ser adquirido
Dados
41 - Tabela de DadosEquipamento K Equipamento L
Custo R$ 5000000 R$ 8000000Custo anual de manutenccedilatildeo R$ 2000000 R$ 1500000Valor residual para venda R$ 400000 R$ 800000Duraccedilatildeo em anos 10 10
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
A seguir veja o diagrama de fluxo de caixa
Os caacutelculos do Valor Presente Liacutequido para as duas situaccedilotildees satildeo
Equipamento K
5000000
Equipamento K
2000000
400000
0 1 2 10
8000000
Equipamento L
1500000
800000
0 1 2 10
50000 20000
9 4000 20000 1
20 -13320342
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Unidade 4
Equipamento L
80000 15000
9 8000 15000 1
20 -14159504
Importante Veja que a alternativa K equivale a um equipamento em que se investe R$ 13320342 enquanto que o equipamento L equivale a um investimento de R$ 14159504 Portanto eacute preferiacutevel o equipamento K pois o investimento eacute menor
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Seccedilatildeo 2 ndash Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs - SFA
Este sistema consiste no pagamento de empreacutestimos ou financiamentos com prestaccedilotildees iguais e com periodicidade constante Eacute considerado o sistema de amortizaccedilatildeo mais utilizado pelas instituiccedilotildees financeiras e pelo comeacutercio em geral
O Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo eacute assim chamado por ter sido inventado na Franccedila por volta do seacuteculo XVIII pelo matemaacutetico inglecircs Richard Price daiacute portanto a origem da denominaccedilatildeo Sistema Price tambeacutem comumente chamado de Tabela Price
Na verdade a Tabela Price eacute um caso particular derivado do Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo Neste sistema o financiamento (PV) eacute pago em parcelas (PMT) iguais constituiacutedas da amortizaccedilatildeo do principal da diacutevida + juros compensatoacuterios (J) que variam inversamente ao longo do tempo Ou seja agrave medida que aumenta o valor da parcela de amortizaccedilatildeo haveraacute uma queda dos juros compensatoacuterios em funccedilatildeo da reduccedilatildeo do saldo devedor
Principais Caracteriacutesticas
As principais caracteriacutesticas do SFA satildeo
a prestaccedilatildeo eacute constante durante todo o periacuteodo do financiamento
a parcela de amortizaccedilatildeo aumenta a cada periacuteodo (n)
os juros compensatoacuterios diminuem a cada periacuteodo (n)
Exemplo 44 (exemplo 1 paacuteg 148 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma instituiccedilatildeo financeira libera um empreacutestimo para uma induacutestria no valor de R$ 60000000 para ser pago pelo sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs em 120 meses a uma taxa de 15 am Faccedila a planilha ateacute o 4ordm mecircs e calcule o saldo devedor no 100ordm mecircs
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Unidade 4
Soluccedilatildeo
A sequecircncia abaixo calcula o valor da prestaccedilatildeo os juros a amortizaccedilatildeo o saldo devedor e valor do saldo devedor no 100ordm mecircs Acompanhe
Zera os registradores
60000000 Armazena o valor presente
120 Armazena o periacuteodo
15 Armazena a taxa
- R$ 1081111 Valor da prestaccedilatildeo
1 - R$ 900000 Valor dos juros da 1ordf parcela
R$ 181111Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 1ordf parcela
R$ 58918889 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 897283 Valor dos juros da 2ordf parcela
- R$ 183828Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 2ordf parcela
R$ 59635061 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 894526 Valor dos juros da 3ordf parcela
- R$ 186585Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 3ordf parcela
R$ 59448476 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 891727 Valor dos juros da 4ordf parcela
- R$ 189384Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 4ordf parcela
R$ 59259092 Recupera o saldo devedor
A tabela a seguir apresenta um resumo das operaccedilotildees realizadas
68
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Tabela 42 ndash Planilha de amortizaccedilatildeoPeriacuteodo (n) Amortizaccedilatildeo (A) Juros (J) Prestaccedilotildees (R) Saldo Devedor (S)
0 - - - R$ 600000001 R$ 181111 R$ 900000 R$ 1081111 R$ 598188892 R$ 183828 R$ 897283 R$ 1081111 R$ 596350613 R$ 186585 R$ 894526 R$ 1081111 R$ 594484764 R$ 189384 R$ 891727 R$ 1081111 R$ 59259092
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Para determinar o saldo devedor no 100ordm mecircs faccedila como indicado a seguir
60000000 120 150
-1081111 18561247
Prestaccedilatildeo Saldo devedor no 100ordm mecircs
Nesta unidade vocecirc usou as funccedilotildees de fluxo de caixa para calcular o valor presente liacutequido e a funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
69Unidade 4
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Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades a seguir (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 4 e 5 da unidade 7 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegina 102) Em seguida use o programa elaborado para resolver as mesmas questotildees
a) Qual das alternativas de pagamento eacute a melhor para uma taxa de juros compostos de 75 am
Alternativa A Pagamento de R$ 15000000 agrave vista
Alternativa B Entrada de R$ 5000000 + R$ 8000000 em 90 dias + R$ 6000000 em 150 dias
b) Uma pessoa deve a um banco dois tiacutetulos com valores de R$ 300000 e R$ 600000 venciacuteveis respectivamente em 4 meses e 8 meses Se a pessoa deseja antecipar para hoje a liquidaccedilatildeo dos tiacutetulos qual o valor a pagar considerando que o banco opera com uma taxa de juros compostos de 23 am
2 Elabore um algoritmo para resolver as atividades abaixo (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 1 e 4 da unidade 10 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 151 e 153)
a) Um cliente solicita a um banco um empreacutestimo de R$ 4000000 pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs em 60 prestaccedilotildees mensais Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de juros de 28 am obtenha o valor da prestaccedilatildeo e o saldo devedor depois de pagar a 20ordf prestaccedilatildeo
b) Um empreacutestimo de R$ 30000000 seraacute saldado em 50 prestaccedilotildees mensais a uma taxa de 15 am Determine a parcela de juros relativa agrave 15ordf prestaccedilatildeo pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs (price)
70
Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
Manual da calculadora HP ndash 12C
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico ndash 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7ed Satildeo Paulo Atlas 2000
Para concluir o estudo
Com o teacutermino desse curso de extensatildeo acreditamos que proporcionamos momentos de aprendizagem por meio da interaccedilatildeo da calculadora financeira e que vocecirc estaacute habilitado(a) a fazer uso dessa ferramenta com qualidade no mercado de trabalho relacionado a essa aacuterea tatildeo importante no nosso dia-a-dia
Referecircncias
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7 ed Satildeo Paulo Atlas 2000
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003 Disponiacutevel em lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt Acesso em 05 jun 2008
Sobre o professor conteudista
Joseacute Humberto Dias de Toledo - eacute Mestre em Educaccedilatildeo pela Universidade do Sul de Santa Catarina Graduado em Licenciatura em Matemaacutetica e em Engenharia Civil Professor das disciplinas Meacutetodos Numeacutericos Informaacutetica Aplicada agrave Matemaacutetica Financeira Caacutelculo I e Matemaacutetica Financeira no Curso de Matemaacutetica ndash Licenciatura nesta mesma instituiccedilatildeo Atualmente ministra a disciplina Representaccedilotildees Graacuteficas na Poacutes-graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo Matemaacutetica da UNISUL
Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo
Unidade 1
1 a) 5
b) -2359
c) 3311
d) 077
e) 081
Respostas modo RPN
a)
b)
c)
d)
e)
Respostas modo ALG
a
b
c
d
e
78
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 R$ 167757
Modo RPN
Modo ALG
3 -242
4 Data 13082008 3 (quarta-feira)
5 Florianoacutepolis = 3303 Curitiba = 5018 Porto Alegre = 1680
Unidade 2
1 1) 150000
Dados
C = R$ 1000000
i = 5 aa
n = 3 anos = 1080 dias
J =
3) 24 meses = 2 anos
Dados
C = R$ 200000
i = 6 aa
n = 24 meses = 720 dias
M =
79
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
85
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
86
Universidade do Sul de Santa Catarina
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
87
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar taxas equivalentes no regime de capitalizaccedilatildeo composto Vocecirc usaraacute as funccedilotildees de programaccedilatildeo com o objetivo de elaborar um algoritmo para fazer a conversatildeo de taxas de um periacuteodo de capitalizaccedilatildeo (ex mensal) para outro periacuteodo (ex anual) usando o programa Vamos explorar as funccedilotildees ldquoPMTrdquo ldquoBEGrdquo e ldquoENDrdquo para realizar caacutelculo de pagamentos antecipados e postecipados em uma sequecircncia uniforme Destacamos que os exemplos que seratildeo apresentados estatildeo no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira
Seccedilatildeo 1 ndash Taxas equivalentes
Nesta unidade vocecirc usaraacute algumas funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para realizar caacutelculos de taxas equivalentes e de pagamentos perioacutedicos (postecipados e antecipados) de uma seacuterie uniforme Vocecirc usaraacute ainda as funccedilotildees de programaccedilatildeo para elaborar um programa para calcular taxas equivalentes A figura a seguir apresenta as funccedilotildees que vocecirc usaraacute nos exemplos apresentados posteriormente
Aciona o modo de programaccedilatildeo de HP ndash 12C
Aciona a funccedilatildeo Begin que calcula a parcela com pagamento antecipado
Aciona a funccedilatildeo End (natildeo aparece no visor da calculadora) que calcula parcela com pagamento postecipado
Figura 31 - Teclas utilizadas para acionar as funccedilotildees Beg e End e entrar no modo de programaccedilatildeo
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
Taxas equivalentes
No mercado financeiro e nas operaccedilotildees bancaacuterias e comerciais a palavra taxa eacute empregada de vaacuterias formas ou seja vaacuterios conceitos satildeo abordados em vaacuterias situaccedilotildees Esta seccedilatildeo tem como objetivo mostrar como as taxas de juros satildeo informadas no mercado financeiro e como adequaacute-las agraves condiccedilotildees padronizadas pela HP ndash 12C
Duas taxas satildeo consideradas equivalentes a juros compostos quando aplicadas a um mesmo capital por um periacuteodo de tempo equivalente e geram o mesmo rendimento
Exemplo 31(exemplo 1 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
No regime de juros compostos qual a taxa anual equivalente a 4 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente anual
Exemplo 32 (exemplo 2 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
Calcule a taxa quadrimestral equivalente agrave taxa de juros compostos de 8 aa
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente quadrimestral
1 004 12 1 1 10000 6010
Taxa anual
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1 008 1 3 1 10000 260
Taxa quadrimestral
Programa para caacutelculo da taxa equivalente pela hp ndash 12c
O professor Carlos Shinoda em seu livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48) apresenta um programa para calcular a taxa equivalente atraveacutes da calculadora HP ndash 12C
Siga os procedimentos abaixo para introduzir o programa na HP ndash 12C
Figura 32 - Algoritmo para a programaccedilatildeo de taxa equivalente
Fonte Livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48)
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
Agora que vocecirc programou a HP ndash 12C para o caacutelculo de taxas equivalentes resolva o exemplo a seguir usando o programa
Exemplo 33
Usando o programa anterior determine as taxas equivalentes propostas nos exemplos 31 e 32
Soluccedilatildeo
As sequecircncias abaixo calculam as taxas equivalentes
Executa oprograma
4 1 12 6010
Taxa anual
Executa oprograma
8 360 120 260
Taxa quadrimestral
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Seccedilatildeo 2 ndash Sequecircncia de capitais
Nesta seccedilatildeo vocecirc acompanharaacute as situaccedilotildees em que haacute mais de um pagamento ou seja vocecirc estudaraacute as operaccedilotildees envolvendo pagamentos ou recebimentos perioacutedicos e uniformes
As seacuteries uniformes de pagamentos satildeo aquelas em que os pagamentos ou recebimentos satildeo constantes e ocorrem em intervalos iguais
Seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas e antecipadas
As seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1 Este sistema eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada (0 + n)
Pagamentos ou recebimentos podem ser chamados de prestaccedilatildeo representada pela sigla PMT que vem do inglecircs Payment e significa pagamento ou recebimento
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentosPMT
++
0 1 2 3 4 5 6 n
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
++
0 1 2 3 4 5 6 n
PMT
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
As seacuteries uniformes de pagamentos antecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre na data focal 0 (zero) Este tipo de sistema de pagamento eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento com entrada (1+ n)
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
Exemplo 34 (exemplo 2 paacuteg 108 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um automoacutevel eacute vendido em uma loja por R$ 3200000 A loja propotildee as seguintes condiccedilotildees para financiamento
Proposta A 12 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta B 24 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta C 36 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
A taxa de juros usada eacute de 32 am Qual o valor de cada prestaccedilatildeo nas 3 modalidades de financiamento
Soluccedilatildeo
As sequecircncias a seguir calculam os valores das parcelas nas trecircs propostas
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3200000
32 12 -325329
parcela
3200000
32 24 -193046
parcela
3200000
32 36 -150979
parcela
Exemplo 35 (exemplo 2 paacuteg 111 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma casa cujo valor agrave vista eacute R$ 4924456 eacute vendida em prestaccedilotildees mensais e iguais de R$ 250000 sendo a primeira dada como entrada Se a taxa de financiamento eacute de 18 am determine o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas no financiamento
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o nuacutemero de parcelas
4924456 18
250000 24
nordm de parcelas
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Unidade 3
No exemplo acima o nuacutemero de pagamento deu um nuacutemero inteiro Mas podem acontecer situaccedilotildees em que ao se determinar o nuacutemero de parcelas o resultado natildeo seja um nuacutemero inteiro
Nessa situaccedilatildeo a HP ndash 12C arredonda a resposta para o proacuteximo inteiro para cima antes de armazenaacute-la e exibi-la
Exemplo 36
Vocecirc comprou um terreno por R$ 3500000 a juros de 105 aa Vocecirc pretende fazer pagamentos de R$ 32500 no fim de cada mecircs Quantos pagamentos seratildeo necessaacuterios para pagar o terreno e quanto tempo levaraacute
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o nuacutemero de pagamentos e o tempo necessaacuterio
3500000 105
32500 328 2733
nordm de parcelas Tempo (anos)
Como a calculadora arredonda o valor do tempo para o proacuteximo inteiro eacute provaacutevel que apesar de serem necessaacuterios 328 pagamentos somente 327 seratildeo inteiros de R$ 32500 com o pagamento final sendo menor do que R$ 32500 Para calcular o valor do pagamento de nuacutemero 328 vamos fazer o seguinte
A calculadora natildeo ajusta os valores nos outros registros financeiros automaticamente para refletir os n pagamentos iguais ao contraacuterio ela lhe permite escolher quais valores (se houver) que vocecirc deseja ajustar
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328 18189 - 32500 -14311
Valor da parcela 328
Nesta unidade vocecirc calculou taxas equivalentes usou as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP e fez caacutelculos de pagamentos perioacutedicos de uma seacuterie uniforme antecipado ou postecipado Na proacutexima unidade vamos realizar caacutelculos de valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades abaixo (Essa atividade corresponde agrave autoavaliaccedilatildeo 1 da unidade 5 do livro didaacutetico de Matemaacutetica Financeira) Em seguida use o programa elaborado para resolver a mesma questatildeo
Calcule a taxa anual das seguintes taxas
a) 26 am
b) 42 ab
c) 48 at
d) 12 as
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Unidade 3
2 Elabore um algoritmo para resolver as seguintes atividades (Estas questotildees equivalem agraves autoavaliaccedilotildees 1 2 3 4 e 5 da unidade 8 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 121 122 e 123)
a) Calcule o valor da prestaccedilatildeo mensal de um empreacutestimo de R$ 600000 que seraacute amortizado em 12 prestaccedilotildees mensais postecipadas sabendo que o banco cobra uma taxa de juros de 2 am
b) Uma loja vende um automoacutevel agrave vista por R$ 1650000 Se o comprador quiser fazer um financiamento em 36 parcelas mensais e iguais onde o 1ordm pagamento seraacute efetuado no 1ordm mecircs apoacutes a compra a uma taxa de juros de 21 am qual o valor da prestaccedilatildeo
c) Uma mercadoria custa R$ 9038071 agrave vista podendo ser vendida em prestaccedilotildees mensais de R$ 1050000 sendo a primeira prestaccedilatildeo dada como entrada Sabendo-se que a loja aplica uma taxa de 35 am qual o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas
d) Carlos depositou certa quantia durante 10 meses de forma antecipada a uma taxa de 25 am obtendo um montante de R$ 25000000 Quanto depositou mensalmente Carlos
e) Um produto eacute vendido agrave vista por R$ 200000 ou em 10 prestaccedilotildees mensais iguais sem entrada com uma carecircncia de 90 dias apoacutes a compra Qual o valor de cada prestaccedilatildeo sabendo que a taxa de juros eacute de 6 am
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
4UNIDADE 4
Valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa
Usar as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Valor presente liacutequido
Seccedilatildeo 2 Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs ndash SFA (Price)
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa usando as funccedilotildees CF0 CFj e NPV Vocecirc deveraacute ainda fazer uso da funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos usando o Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo ndash SFA ou tabela Price
Seccedilatildeo 1 ndash Valor presente liacutequido
A figura 41 a seguir apresenta as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C que vocecirc usaraacute nessa unidade para realizar caacutelculo de valor presente liacutequido e para a elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos ou financiamento
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor inicial do fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor do fluxo de caixa no periacuteodo j
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula o valor presente atual de um fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula a parte dos pagamentos usada para pagar juros
Figura 41 - Teclas para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
Valor presente liacutequido
Nessa seccedilatildeo vocecirc usaraacute as funccedilotildees da HP ndash 12C para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa Para entender como usar as funccedilotildees CF0 CFj e NPV considere o fluxo de caixa para um investimento que exige capital inicial (CF0) e que gera um fluxo de caixa (CFj ) no final de j periacuteodos
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Unidade 4
Veja a seguir o fluxo de caixa
CF0CF1
CF2 CF5
CFn
CF3 CF4
O VPL = Valor Presente Liacutequido eacute calculado somando ao investimento inicial o valor presente dos fluxos de caixa futuros projetados Portanto
se o VPL for positivo o valor financeiro do ativo do investidor aumentaraacute ou seja o investimento financeiro seraacute atrativo em termos financeiros
se o VPL for zero o valor financeiro do ativo financeiro do investidor natildeo mudaraacute ou seja o investidor seraacute indiferente ao investimento
se o VPL for negativo o valor financeiro do ativo do investidor seraacute reduzido ou seja o investimento natildeo seraacute atrativo em termos financeiros
Exemplo 41
Um investidor compra uma casa por R$ 7000000 e gostaria de ter um retorno de pelo menos 15 Ele pretende manter a casa por 4 anos e depois vendecirc-la por R$ 11000000 Ele prevecirc os fluxos de caixa mostrados no diagrama abaixo
CF0CF1
CF1
CF3CF4
CF5
R$ 7000000
R$ 50000
R$ 450000R$ 450000
R$ 13000000R$ 550000
Sendo assim calcule o VPL para determinar se o investimento resultaria em um retorno ou perda
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Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o VPL
7000000 50000
450000 550000 450000
13000000 15 379007
VPL
Como o VPL eacute positivo o investimento aumentaria o valor financeiro do ativo do investidor
Exemplo 42 (exemplo 4 paacuteg 98 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um proprietaacuterio recebeu as seguintes propostas para a venda de uma casa
Proposta A entrada de R$ 10000000 + R$ 5000000 em 6 meses + R$ 6000000 em 1 ano
Proposta B entrada de R$ 8000000 + R$ 6000000 em 5 meses + R$ 7000000 em 10 meses
Sabendo-se que a taxa de juros de mercado eacute de 3 am qual a melhor proposta para o vendedor
Soluccedilatildeo
Essa questatildeo deve ser resolvida pelo meacutetodo do Valor Presente Liacutequido A alternativa que tiver o maior valor seraacute a melhor Entretanto para facilitar a elaboraccedilatildeo do algoritmo de resoluccedilatildeo na HP ndash 12C elabore o fluxo de caixa para cada situaccedilatildeo
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Unidade 4
1 Proposta A Fluxo de caixa
10000000 5000000 6000000
1 2 3 4 5 7 8 9 10 110 6 12
Calculando o VPL
10000000 000 5
5000000 000
5
6000000
3
18395701
VPL
Armazena o zero 5 vezes
2 Proposta B Fluxo de caixa
8000000 70000006000000
1 2 3 4 6 7 8 90 5 10
Calculando o VPL
8000000 000 4
6000000 000
4
7000000
3
18384310
VPL
Armazena o zero 4 vezes
Resposta a melhor proposta eacute a A
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Exemplo 43
Dois equipamentos satildeo examinados Considerando ser a taxa miacutenima de atratividade de 20aa qual o equipamento que deve ser adquirido
Dados
41 - Tabela de DadosEquipamento K Equipamento L
Custo R$ 5000000 R$ 8000000Custo anual de manutenccedilatildeo R$ 2000000 R$ 1500000Valor residual para venda R$ 400000 R$ 800000Duraccedilatildeo em anos 10 10
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
A seguir veja o diagrama de fluxo de caixa
Os caacutelculos do Valor Presente Liacutequido para as duas situaccedilotildees satildeo
Equipamento K
5000000
Equipamento K
2000000
400000
0 1 2 10
8000000
Equipamento L
1500000
800000
0 1 2 10
50000 20000
9 4000 20000 1
20 -13320342
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Unidade 4
Equipamento L
80000 15000
9 8000 15000 1
20 -14159504
Importante Veja que a alternativa K equivale a um equipamento em que se investe R$ 13320342 enquanto que o equipamento L equivale a um investimento de R$ 14159504 Portanto eacute preferiacutevel o equipamento K pois o investimento eacute menor
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Seccedilatildeo 2 ndash Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs - SFA
Este sistema consiste no pagamento de empreacutestimos ou financiamentos com prestaccedilotildees iguais e com periodicidade constante Eacute considerado o sistema de amortizaccedilatildeo mais utilizado pelas instituiccedilotildees financeiras e pelo comeacutercio em geral
O Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo eacute assim chamado por ter sido inventado na Franccedila por volta do seacuteculo XVIII pelo matemaacutetico inglecircs Richard Price daiacute portanto a origem da denominaccedilatildeo Sistema Price tambeacutem comumente chamado de Tabela Price
Na verdade a Tabela Price eacute um caso particular derivado do Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo Neste sistema o financiamento (PV) eacute pago em parcelas (PMT) iguais constituiacutedas da amortizaccedilatildeo do principal da diacutevida + juros compensatoacuterios (J) que variam inversamente ao longo do tempo Ou seja agrave medida que aumenta o valor da parcela de amortizaccedilatildeo haveraacute uma queda dos juros compensatoacuterios em funccedilatildeo da reduccedilatildeo do saldo devedor
Principais Caracteriacutesticas
As principais caracteriacutesticas do SFA satildeo
a prestaccedilatildeo eacute constante durante todo o periacuteodo do financiamento
a parcela de amortizaccedilatildeo aumenta a cada periacuteodo (n)
os juros compensatoacuterios diminuem a cada periacuteodo (n)
Exemplo 44 (exemplo 1 paacuteg 148 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma instituiccedilatildeo financeira libera um empreacutestimo para uma induacutestria no valor de R$ 60000000 para ser pago pelo sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs em 120 meses a uma taxa de 15 am Faccedila a planilha ateacute o 4ordm mecircs e calcule o saldo devedor no 100ordm mecircs
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Unidade 4
Soluccedilatildeo
A sequecircncia abaixo calcula o valor da prestaccedilatildeo os juros a amortizaccedilatildeo o saldo devedor e valor do saldo devedor no 100ordm mecircs Acompanhe
Zera os registradores
60000000 Armazena o valor presente
120 Armazena o periacuteodo
15 Armazena a taxa
- R$ 1081111 Valor da prestaccedilatildeo
1 - R$ 900000 Valor dos juros da 1ordf parcela
R$ 181111Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 1ordf parcela
R$ 58918889 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 897283 Valor dos juros da 2ordf parcela
- R$ 183828Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 2ordf parcela
R$ 59635061 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 894526 Valor dos juros da 3ordf parcela
- R$ 186585Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 3ordf parcela
R$ 59448476 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 891727 Valor dos juros da 4ordf parcela
- R$ 189384Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 4ordf parcela
R$ 59259092 Recupera o saldo devedor
A tabela a seguir apresenta um resumo das operaccedilotildees realizadas
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Tabela 42 ndash Planilha de amortizaccedilatildeoPeriacuteodo (n) Amortizaccedilatildeo (A) Juros (J) Prestaccedilotildees (R) Saldo Devedor (S)
0 - - - R$ 600000001 R$ 181111 R$ 900000 R$ 1081111 R$ 598188892 R$ 183828 R$ 897283 R$ 1081111 R$ 596350613 R$ 186585 R$ 894526 R$ 1081111 R$ 594484764 R$ 189384 R$ 891727 R$ 1081111 R$ 59259092
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Para determinar o saldo devedor no 100ordm mecircs faccedila como indicado a seguir
60000000 120 150
-1081111 18561247
Prestaccedilatildeo Saldo devedor no 100ordm mecircs
Nesta unidade vocecirc usou as funccedilotildees de fluxo de caixa para calcular o valor presente liacutequido e a funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
69Unidade 4
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Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades a seguir (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 4 e 5 da unidade 7 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegina 102) Em seguida use o programa elaborado para resolver as mesmas questotildees
a) Qual das alternativas de pagamento eacute a melhor para uma taxa de juros compostos de 75 am
Alternativa A Pagamento de R$ 15000000 agrave vista
Alternativa B Entrada de R$ 5000000 + R$ 8000000 em 90 dias + R$ 6000000 em 150 dias
b) Uma pessoa deve a um banco dois tiacutetulos com valores de R$ 300000 e R$ 600000 venciacuteveis respectivamente em 4 meses e 8 meses Se a pessoa deseja antecipar para hoje a liquidaccedilatildeo dos tiacutetulos qual o valor a pagar considerando que o banco opera com uma taxa de juros compostos de 23 am
2 Elabore um algoritmo para resolver as atividades abaixo (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 1 e 4 da unidade 10 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 151 e 153)
a) Um cliente solicita a um banco um empreacutestimo de R$ 4000000 pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs em 60 prestaccedilotildees mensais Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de juros de 28 am obtenha o valor da prestaccedilatildeo e o saldo devedor depois de pagar a 20ordf prestaccedilatildeo
b) Um empreacutestimo de R$ 30000000 seraacute saldado em 50 prestaccedilotildees mensais a uma taxa de 15 am Determine a parcela de juros relativa agrave 15ordf prestaccedilatildeo pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs (price)
70
Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
Manual da calculadora HP ndash 12C
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico ndash 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7ed Satildeo Paulo Atlas 2000
Para concluir o estudo
Com o teacutermino desse curso de extensatildeo acreditamos que proporcionamos momentos de aprendizagem por meio da interaccedilatildeo da calculadora financeira e que vocecirc estaacute habilitado(a) a fazer uso dessa ferramenta com qualidade no mercado de trabalho relacionado a essa aacuterea tatildeo importante no nosso dia-a-dia
Referecircncias
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7 ed Satildeo Paulo Atlas 2000
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003 Disponiacutevel em lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt Acesso em 05 jun 2008
Sobre o professor conteudista
Joseacute Humberto Dias de Toledo - eacute Mestre em Educaccedilatildeo pela Universidade do Sul de Santa Catarina Graduado em Licenciatura em Matemaacutetica e em Engenharia Civil Professor das disciplinas Meacutetodos Numeacutericos Informaacutetica Aplicada agrave Matemaacutetica Financeira Caacutelculo I e Matemaacutetica Financeira no Curso de Matemaacutetica ndash Licenciatura nesta mesma instituiccedilatildeo Atualmente ministra a disciplina Representaccedilotildees Graacuteficas na Poacutes-graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo Matemaacutetica da UNISUL
Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo
Unidade 1
1 a) 5
b) -2359
c) 3311
d) 077
e) 081
Respostas modo RPN
a)
b)
c)
d)
e)
Respostas modo ALG
a
b
c
d
e
78
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2 R$ 167757
Modo RPN
Modo ALG
3 -242
4 Data 13082008 3 (quarta-feira)
5 Florianoacutepolis = 3303 Curitiba = 5018 Porto Alegre = 1680
Unidade 2
1 1) 150000
Dados
C = R$ 1000000
i = 5 aa
n = 3 anos = 1080 dias
J =
3) 24 meses = 2 anos
Dados
C = R$ 200000
i = 6 aa
n = 24 meses = 720 dias
M =
79
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
85
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
86
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b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
87
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
88
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49
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
Taxas equivalentes
No mercado financeiro e nas operaccedilotildees bancaacuterias e comerciais a palavra taxa eacute empregada de vaacuterias formas ou seja vaacuterios conceitos satildeo abordados em vaacuterias situaccedilotildees Esta seccedilatildeo tem como objetivo mostrar como as taxas de juros satildeo informadas no mercado financeiro e como adequaacute-las agraves condiccedilotildees padronizadas pela HP ndash 12C
Duas taxas satildeo consideradas equivalentes a juros compostos quando aplicadas a um mesmo capital por um periacuteodo de tempo equivalente e geram o mesmo rendimento
Exemplo 31(exemplo 1 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
No regime de juros compostos qual a taxa anual equivalente a 4 am
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente anual
Exemplo 32 (exemplo 2 paacuteg 71 do livro Matemaacutetica Financeira)
Calcule a taxa quadrimestral equivalente agrave taxa de juros compostos de 8 aa
Soluccedilatildeo
A sequecircncia de passos a seguir calcula a taxa equivalente quadrimestral
1 004 12 1 1 10000 6010
Taxa anual
50
Universidade do Sul de Santa Catarina
1 008 1 3 1 10000 260
Taxa quadrimestral
Programa para caacutelculo da taxa equivalente pela hp ndash 12c
O professor Carlos Shinoda em seu livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48) apresenta um programa para calcular a taxa equivalente atraveacutes da calculadora HP ndash 12C
Siga os procedimentos abaixo para introduzir o programa na HP ndash 12C
Figura 32 - Algoritmo para a programaccedilatildeo de taxa equivalente
Fonte Livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48)
51
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
Agora que vocecirc programou a HP ndash 12C para o caacutelculo de taxas equivalentes resolva o exemplo a seguir usando o programa
Exemplo 33
Usando o programa anterior determine as taxas equivalentes propostas nos exemplos 31 e 32
Soluccedilatildeo
As sequecircncias abaixo calculam as taxas equivalentes
Executa oprograma
4 1 12 6010
Taxa anual
Executa oprograma
8 360 120 260
Taxa quadrimestral
52
Universidade do Sul de Santa Catarina
Seccedilatildeo 2 ndash Sequecircncia de capitais
Nesta seccedilatildeo vocecirc acompanharaacute as situaccedilotildees em que haacute mais de um pagamento ou seja vocecirc estudaraacute as operaccedilotildees envolvendo pagamentos ou recebimentos perioacutedicos e uniformes
As seacuteries uniformes de pagamentos satildeo aquelas em que os pagamentos ou recebimentos satildeo constantes e ocorrem em intervalos iguais
Seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas e antecipadas
As seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1 Este sistema eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada (0 + n)
Pagamentos ou recebimentos podem ser chamados de prestaccedilatildeo representada pela sigla PMT que vem do inglecircs Payment e significa pagamento ou recebimento
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentosPMT
++
0 1 2 3 4 5 6 n
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
++
0 1 2 3 4 5 6 n
PMT
53
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
As seacuteries uniformes de pagamentos antecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre na data focal 0 (zero) Este tipo de sistema de pagamento eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento com entrada (1+ n)
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
Exemplo 34 (exemplo 2 paacuteg 108 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um automoacutevel eacute vendido em uma loja por R$ 3200000 A loja propotildee as seguintes condiccedilotildees para financiamento
Proposta A 12 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta B 24 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta C 36 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
A taxa de juros usada eacute de 32 am Qual o valor de cada prestaccedilatildeo nas 3 modalidades de financiamento
Soluccedilatildeo
As sequecircncias a seguir calculam os valores das parcelas nas trecircs propostas
54
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3200000
32 12 -325329
parcela
3200000
32 24 -193046
parcela
3200000
32 36 -150979
parcela
Exemplo 35 (exemplo 2 paacuteg 111 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma casa cujo valor agrave vista eacute R$ 4924456 eacute vendida em prestaccedilotildees mensais e iguais de R$ 250000 sendo a primeira dada como entrada Se a taxa de financiamento eacute de 18 am determine o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas no financiamento
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o nuacutemero de parcelas
4924456 18
250000 24
nordm de parcelas
55
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
No exemplo acima o nuacutemero de pagamento deu um nuacutemero inteiro Mas podem acontecer situaccedilotildees em que ao se determinar o nuacutemero de parcelas o resultado natildeo seja um nuacutemero inteiro
Nessa situaccedilatildeo a HP ndash 12C arredonda a resposta para o proacuteximo inteiro para cima antes de armazenaacute-la e exibi-la
Exemplo 36
Vocecirc comprou um terreno por R$ 3500000 a juros de 105 aa Vocecirc pretende fazer pagamentos de R$ 32500 no fim de cada mecircs Quantos pagamentos seratildeo necessaacuterios para pagar o terreno e quanto tempo levaraacute
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o nuacutemero de pagamentos e o tempo necessaacuterio
3500000 105
32500 328 2733
nordm de parcelas Tempo (anos)
Como a calculadora arredonda o valor do tempo para o proacuteximo inteiro eacute provaacutevel que apesar de serem necessaacuterios 328 pagamentos somente 327 seratildeo inteiros de R$ 32500 com o pagamento final sendo menor do que R$ 32500 Para calcular o valor do pagamento de nuacutemero 328 vamos fazer o seguinte
A calculadora natildeo ajusta os valores nos outros registros financeiros automaticamente para refletir os n pagamentos iguais ao contraacuterio ela lhe permite escolher quais valores (se houver) que vocecirc deseja ajustar
56
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328 18189 - 32500 -14311
Valor da parcela 328
Nesta unidade vocecirc calculou taxas equivalentes usou as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP e fez caacutelculos de pagamentos perioacutedicos de uma seacuterie uniforme antecipado ou postecipado Na proacutexima unidade vamos realizar caacutelculos de valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades abaixo (Essa atividade corresponde agrave autoavaliaccedilatildeo 1 da unidade 5 do livro didaacutetico de Matemaacutetica Financeira) Em seguida use o programa elaborado para resolver a mesma questatildeo
Calcule a taxa anual das seguintes taxas
a) 26 am
b) 42 ab
c) 48 at
d) 12 as
57
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
2 Elabore um algoritmo para resolver as seguintes atividades (Estas questotildees equivalem agraves autoavaliaccedilotildees 1 2 3 4 e 5 da unidade 8 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 121 122 e 123)
a) Calcule o valor da prestaccedilatildeo mensal de um empreacutestimo de R$ 600000 que seraacute amortizado em 12 prestaccedilotildees mensais postecipadas sabendo que o banco cobra uma taxa de juros de 2 am
b) Uma loja vende um automoacutevel agrave vista por R$ 1650000 Se o comprador quiser fazer um financiamento em 36 parcelas mensais e iguais onde o 1ordm pagamento seraacute efetuado no 1ordm mecircs apoacutes a compra a uma taxa de juros de 21 am qual o valor da prestaccedilatildeo
c) Uma mercadoria custa R$ 9038071 agrave vista podendo ser vendida em prestaccedilotildees mensais de R$ 1050000 sendo a primeira prestaccedilatildeo dada como entrada Sabendo-se que a loja aplica uma taxa de 35 am qual o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas
d) Carlos depositou certa quantia durante 10 meses de forma antecipada a uma taxa de 25 am obtendo um montante de R$ 25000000 Quanto depositou mensalmente Carlos
e) Um produto eacute vendido agrave vista por R$ 200000 ou em 10 prestaccedilotildees mensais iguais sem entrada com uma carecircncia de 90 dias apoacutes a compra Qual o valor de cada prestaccedilatildeo sabendo que a taxa de juros eacute de 6 am
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
4UNIDADE 4
Valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa
Usar as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Valor presente liacutequido
Seccedilatildeo 2 Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs ndash SFA (Price)
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa usando as funccedilotildees CF0 CFj e NPV Vocecirc deveraacute ainda fazer uso da funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos usando o Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo ndash SFA ou tabela Price
Seccedilatildeo 1 ndash Valor presente liacutequido
A figura 41 a seguir apresenta as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C que vocecirc usaraacute nessa unidade para realizar caacutelculo de valor presente liacutequido e para a elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos ou financiamento
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor inicial do fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor do fluxo de caixa no periacuteodo j
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula o valor presente atual de um fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula a parte dos pagamentos usada para pagar juros
Figura 41 - Teclas para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
Valor presente liacutequido
Nessa seccedilatildeo vocecirc usaraacute as funccedilotildees da HP ndash 12C para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa Para entender como usar as funccedilotildees CF0 CFj e NPV considere o fluxo de caixa para um investimento que exige capital inicial (CF0) e que gera um fluxo de caixa (CFj ) no final de j periacuteodos
61
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Veja a seguir o fluxo de caixa
CF0CF1
CF2 CF5
CFn
CF3 CF4
O VPL = Valor Presente Liacutequido eacute calculado somando ao investimento inicial o valor presente dos fluxos de caixa futuros projetados Portanto
se o VPL for positivo o valor financeiro do ativo do investidor aumentaraacute ou seja o investimento financeiro seraacute atrativo em termos financeiros
se o VPL for zero o valor financeiro do ativo financeiro do investidor natildeo mudaraacute ou seja o investidor seraacute indiferente ao investimento
se o VPL for negativo o valor financeiro do ativo do investidor seraacute reduzido ou seja o investimento natildeo seraacute atrativo em termos financeiros
Exemplo 41
Um investidor compra uma casa por R$ 7000000 e gostaria de ter um retorno de pelo menos 15 Ele pretende manter a casa por 4 anos e depois vendecirc-la por R$ 11000000 Ele prevecirc os fluxos de caixa mostrados no diagrama abaixo
CF0CF1
CF1
CF3CF4
CF5
R$ 7000000
R$ 50000
R$ 450000R$ 450000
R$ 13000000R$ 550000
Sendo assim calcule o VPL para determinar se o investimento resultaria em um retorno ou perda
62
Universidade do Sul de Santa Catarina
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o VPL
7000000 50000
450000 550000 450000
13000000 15 379007
VPL
Como o VPL eacute positivo o investimento aumentaria o valor financeiro do ativo do investidor
Exemplo 42 (exemplo 4 paacuteg 98 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um proprietaacuterio recebeu as seguintes propostas para a venda de uma casa
Proposta A entrada de R$ 10000000 + R$ 5000000 em 6 meses + R$ 6000000 em 1 ano
Proposta B entrada de R$ 8000000 + R$ 6000000 em 5 meses + R$ 7000000 em 10 meses
Sabendo-se que a taxa de juros de mercado eacute de 3 am qual a melhor proposta para o vendedor
Soluccedilatildeo
Essa questatildeo deve ser resolvida pelo meacutetodo do Valor Presente Liacutequido A alternativa que tiver o maior valor seraacute a melhor Entretanto para facilitar a elaboraccedilatildeo do algoritmo de resoluccedilatildeo na HP ndash 12C elabore o fluxo de caixa para cada situaccedilatildeo
63
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
1 Proposta A Fluxo de caixa
10000000 5000000 6000000
1 2 3 4 5 7 8 9 10 110 6 12
Calculando o VPL
10000000 000 5
5000000 000
5
6000000
3
18395701
VPL
Armazena o zero 5 vezes
2 Proposta B Fluxo de caixa
8000000 70000006000000
1 2 3 4 6 7 8 90 5 10
Calculando o VPL
8000000 000 4
6000000 000
4
7000000
3
18384310
VPL
Armazena o zero 4 vezes
Resposta a melhor proposta eacute a A
64
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Exemplo 43
Dois equipamentos satildeo examinados Considerando ser a taxa miacutenima de atratividade de 20aa qual o equipamento que deve ser adquirido
Dados
41 - Tabela de DadosEquipamento K Equipamento L
Custo R$ 5000000 R$ 8000000Custo anual de manutenccedilatildeo R$ 2000000 R$ 1500000Valor residual para venda R$ 400000 R$ 800000Duraccedilatildeo em anos 10 10
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
A seguir veja o diagrama de fluxo de caixa
Os caacutelculos do Valor Presente Liacutequido para as duas situaccedilotildees satildeo
Equipamento K
5000000
Equipamento K
2000000
400000
0 1 2 10
8000000
Equipamento L
1500000
800000
0 1 2 10
50000 20000
9 4000 20000 1
20 -13320342
65
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Equipamento L
80000 15000
9 8000 15000 1
20 -14159504
Importante Veja que a alternativa K equivale a um equipamento em que se investe R$ 13320342 enquanto que o equipamento L equivale a um investimento de R$ 14159504 Portanto eacute preferiacutevel o equipamento K pois o investimento eacute menor
66
Universidade do Sul de Santa Catarina
Seccedilatildeo 2 ndash Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs - SFA
Este sistema consiste no pagamento de empreacutestimos ou financiamentos com prestaccedilotildees iguais e com periodicidade constante Eacute considerado o sistema de amortizaccedilatildeo mais utilizado pelas instituiccedilotildees financeiras e pelo comeacutercio em geral
O Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo eacute assim chamado por ter sido inventado na Franccedila por volta do seacuteculo XVIII pelo matemaacutetico inglecircs Richard Price daiacute portanto a origem da denominaccedilatildeo Sistema Price tambeacutem comumente chamado de Tabela Price
Na verdade a Tabela Price eacute um caso particular derivado do Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo Neste sistema o financiamento (PV) eacute pago em parcelas (PMT) iguais constituiacutedas da amortizaccedilatildeo do principal da diacutevida + juros compensatoacuterios (J) que variam inversamente ao longo do tempo Ou seja agrave medida que aumenta o valor da parcela de amortizaccedilatildeo haveraacute uma queda dos juros compensatoacuterios em funccedilatildeo da reduccedilatildeo do saldo devedor
Principais Caracteriacutesticas
As principais caracteriacutesticas do SFA satildeo
a prestaccedilatildeo eacute constante durante todo o periacuteodo do financiamento
a parcela de amortizaccedilatildeo aumenta a cada periacuteodo (n)
os juros compensatoacuterios diminuem a cada periacuteodo (n)
Exemplo 44 (exemplo 1 paacuteg 148 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma instituiccedilatildeo financeira libera um empreacutestimo para uma induacutestria no valor de R$ 60000000 para ser pago pelo sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs em 120 meses a uma taxa de 15 am Faccedila a planilha ateacute o 4ordm mecircs e calcule o saldo devedor no 100ordm mecircs
67
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Soluccedilatildeo
A sequecircncia abaixo calcula o valor da prestaccedilatildeo os juros a amortizaccedilatildeo o saldo devedor e valor do saldo devedor no 100ordm mecircs Acompanhe
Zera os registradores
60000000 Armazena o valor presente
120 Armazena o periacuteodo
15 Armazena a taxa
- R$ 1081111 Valor da prestaccedilatildeo
1 - R$ 900000 Valor dos juros da 1ordf parcela
R$ 181111Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 1ordf parcela
R$ 58918889 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 897283 Valor dos juros da 2ordf parcela
- R$ 183828Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 2ordf parcela
R$ 59635061 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 894526 Valor dos juros da 3ordf parcela
- R$ 186585Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 3ordf parcela
R$ 59448476 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 891727 Valor dos juros da 4ordf parcela
- R$ 189384Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 4ordf parcela
R$ 59259092 Recupera o saldo devedor
A tabela a seguir apresenta um resumo das operaccedilotildees realizadas
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Tabela 42 ndash Planilha de amortizaccedilatildeoPeriacuteodo (n) Amortizaccedilatildeo (A) Juros (J) Prestaccedilotildees (R) Saldo Devedor (S)
0 - - - R$ 600000001 R$ 181111 R$ 900000 R$ 1081111 R$ 598188892 R$ 183828 R$ 897283 R$ 1081111 R$ 596350613 R$ 186585 R$ 894526 R$ 1081111 R$ 594484764 R$ 189384 R$ 891727 R$ 1081111 R$ 59259092
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Para determinar o saldo devedor no 100ordm mecircs faccedila como indicado a seguir
60000000 120 150
-1081111 18561247
Prestaccedilatildeo Saldo devedor no 100ordm mecircs
Nesta unidade vocecirc usou as funccedilotildees de fluxo de caixa para calcular o valor presente liacutequido e a funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
69Unidade 4
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades a seguir (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 4 e 5 da unidade 7 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegina 102) Em seguida use o programa elaborado para resolver as mesmas questotildees
a) Qual das alternativas de pagamento eacute a melhor para uma taxa de juros compostos de 75 am
Alternativa A Pagamento de R$ 15000000 agrave vista
Alternativa B Entrada de R$ 5000000 + R$ 8000000 em 90 dias + R$ 6000000 em 150 dias
b) Uma pessoa deve a um banco dois tiacutetulos com valores de R$ 300000 e R$ 600000 venciacuteveis respectivamente em 4 meses e 8 meses Se a pessoa deseja antecipar para hoje a liquidaccedilatildeo dos tiacutetulos qual o valor a pagar considerando que o banco opera com uma taxa de juros compostos de 23 am
2 Elabore um algoritmo para resolver as atividades abaixo (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 1 e 4 da unidade 10 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 151 e 153)
a) Um cliente solicita a um banco um empreacutestimo de R$ 4000000 pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs em 60 prestaccedilotildees mensais Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de juros de 28 am obtenha o valor da prestaccedilatildeo e o saldo devedor depois de pagar a 20ordf prestaccedilatildeo
b) Um empreacutestimo de R$ 30000000 seraacute saldado em 50 prestaccedilotildees mensais a uma taxa de 15 am Determine a parcela de juros relativa agrave 15ordf prestaccedilatildeo pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs (price)
70
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Saiba mais
Manual da calculadora HP ndash 12C
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico ndash 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7ed Satildeo Paulo Atlas 2000
Para concluir o estudo
Com o teacutermino desse curso de extensatildeo acreditamos que proporcionamos momentos de aprendizagem por meio da interaccedilatildeo da calculadora financeira e que vocecirc estaacute habilitado(a) a fazer uso dessa ferramenta com qualidade no mercado de trabalho relacionado a essa aacuterea tatildeo importante no nosso dia-a-dia
Referecircncias
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7 ed Satildeo Paulo Atlas 2000
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003 Disponiacutevel em lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt Acesso em 05 jun 2008
Sobre o professor conteudista
Joseacute Humberto Dias de Toledo - eacute Mestre em Educaccedilatildeo pela Universidade do Sul de Santa Catarina Graduado em Licenciatura em Matemaacutetica e em Engenharia Civil Professor das disciplinas Meacutetodos Numeacutericos Informaacutetica Aplicada agrave Matemaacutetica Financeira Caacutelculo I e Matemaacutetica Financeira no Curso de Matemaacutetica ndash Licenciatura nesta mesma instituiccedilatildeo Atualmente ministra a disciplina Representaccedilotildees Graacuteficas na Poacutes-graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo Matemaacutetica da UNISUL
Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo
Unidade 1
1 a) 5
b) -2359
c) 3311
d) 077
e) 081
Respostas modo RPN
a)
b)
c)
d)
e)
Respostas modo ALG
a
b
c
d
e
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2 R$ 167757
Modo RPN
Modo ALG
3 -242
4 Data 13082008 3 (quarta-feira)
5 Florianoacutepolis = 3303 Curitiba = 5018 Porto Alegre = 1680
Unidade 2
1 1) 150000
Dados
C = R$ 1000000
i = 5 aa
n = 3 anos = 1080 dias
J =
3) 24 meses = 2 anos
Dados
C = R$ 200000
i = 6 aa
n = 24 meses = 720 dias
M =
79
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
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c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
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c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
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b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
87
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b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
88
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50
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1 008 1 3 1 10000 260
Taxa quadrimestral
Programa para caacutelculo da taxa equivalente pela hp ndash 12c
O professor Carlos Shinoda em seu livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48) apresenta um programa para calcular a taxa equivalente atraveacutes da calculadora HP ndash 12C
Siga os procedimentos abaixo para introduzir o programa na HP ndash 12C
Figura 32 - Algoritmo para a programaccedilatildeo de taxa equivalente
Fonte Livro de Matemaacutetica Financeira para usuaacuterios do Excelreg (1998 p48)
51
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Unidade 3
Agora que vocecirc programou a HP ndash 12C para o caacutelculo de taxas equivalentes resolva o exemplo a seguir usando o programa
Exemplo 33
Usando o programa anterior determine as taxas equivalentes propostas nos exemplos 31 e 32
Soluccedilatildeo
As sequecircncias abaixo calculam as taxas equivalentes
Executa oprograma
4 1 12 6010
Taxa anual
Executa oprograma
8 360 120 260
Taxa quadrimestral
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Seccedilatildeo 2 ndash Sequecircncia de capitais
Nesta seccedilatildeo vocecirc acompanharaacute as situaccedilotildees em que haacute mais de um pagamento ou seja vocecirc estudaraacute as operaccedilotildees envolvendo pagamentos ou recebimentos perioacutedicos e uniformes
As seacuteries uniformes de pagamentos satildeo aquelas em que os pagamentos ou recebimentos satildeo constantes e ocorrem em intervalos iguais
Seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas e antecipadas
As seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1 Este sistema eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada (0 + n)
Pagamentos ou recebimentos podem ser chamados de prestaccedilatildeo representada pela sigla PMT que vem do inglecircs Payment e significa pagamento ou recebimento
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentosPMT
++
0 1 2 3 4 5 6 n
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
++
0 1 2 3 4 5 6 n
PMT
53
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Unidade 3
As seacuteries uniformes de pagamentos antecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre na data focal 0 (zero) Este tipo de sistema de pagamento eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento com entrada (1+ n)
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
Exemplo 34 (exemplo 2 paacuteg 108 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um automoacutevel eacute vendido em uma loja por R$ 3200000 A loja propotildee as seguintes condiccedilotildees para financiamento
Proposta A 12 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta B 24 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta C 36 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
A taxa de juros usada eacute de 32 am Qual o valor de cada prestaccedilatildeo nas 3 modalidades de financiamento
Soluccedilatildeo
As sequecircncias a seguir calculam os valores das parcelas nas trecircs propostas
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3200000
32 12 -325329
parcela
3200000
32 24 -193046
parcela
3200000
32 36 -150979
parcela
Exemplo 35 (exemplo 2 paacuteg 111 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma casa cujo valor agrave vista eacute R$ 4924456 eacute vendida em prestaccedilotildees mensais e iguais de R$ 250000 sendo a primeira dada como entrada Se a taxa de financiamento eacute de 18 am determine o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas no financiamento
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o nuacutemero de parcelas
4924456 18
250000 24
nordm de parcelas
55
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
No exemplo acima o nuacutemero de pagamento deu um nuacutemero inteiro Mas podem acontecer situaccedilotildees em que ao se determinar o nuacutemero de parcelas o resultado natildeo seja um nuacutemero inteiro
Nessa situaccedilatildeo a HP ndash 12C arredonda a resposta para o proacuteximo inteiro para cima antes de armazenaacute-la e exibi-la
Exemplo 36
Vocecirc comprou um terreno por R$ 3500000 a juros de 105 aa Vocecirc pretende fazer pagamentos de R$ 32500 no fim de cada mecircs Quantos pagamentos seratildeo necessaacuterios para pagar o terreno e quanto tempo levaraacute
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o nuacutemero de pagamentos e o tempo necessaacuterio
3500000 105
32500 328 2733
nordm de parcelas Tempo (anos)
Como a calculadora arredonda o valor do tempo para o proacuteximo inteiro eacute provaacutevel que apesar de serem necessaacuterios 328 pagamentos somente 327 seratildeo inteiros de R$ 32500 com o pagamento final sendo menor do que R$ 32500 Para calcular o valor do pagamento de nuacutemero 328 vamos fazer o seguinte
A calculadora natildeo ajusta os valores nos outros registros financeiros automaticamente para refletir os n pagamentos iguais ao contraacuterio ela lhe permite escolher quais valores (se houver) que vocecirc deseja ajustar
56
Universidade do Sul de Santa Catarina
328 18189 - 32500 -14311
Valor da parcela 328
Nesta unidade vocecirc calculou taxas equivalentes usou as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP e fez caacutelculos de pagamentos perioacutedicos de uma seacuterie uniforme antecipado ou postecipado Na proacutexima unidade vamos realizar caacutelculos de valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades abaixo (Essa atividade corresponde agrave autoavaliaccedilatildeo 1 da unidade 5 do livro didaacutetico de Matemaacutetica Financeira) Em seguida use o programa elaborado para resolver a mesma questatildeo
Calcule a taxa anual das seguintes taxas
a) 26 am
b) 42 ab
c) 48 at
d) 12 as
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Unidade 3
2 Elabore um algoritmo para resolver as seguintes atividades (Estas questotildees equivalem agraves autoavaliaccedilotildees 1 2 3 4 e 5 da unidade 8 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 121 122 e 123)
a) Calcule o valor da prestaccedilatildeo mensal de um empreacutestimo de R$ 600000 que seraacute amortizado em 12 prestaccedilotildees mensais postecipadas sabendo que o banco cobra uma taxa de juros de 2 am
b) Uma loja vende um automoacutevel agrave vista por R$ 1650000 Se o comprador quiser fazer um financiamento em 36 parcelas mensais e iguais onde o 1ordm pagamento seraacute efetuado no 1ordm mecircs apoacutes a compra a uma taxa de juros de 21 am qual o valor da prestaccedilatildeo
c) Uma mercadoria custa R$ 9038071 agrave vista podendo ser vendida em prestaccedilotildees mensais de R$ 1050000 sendo a primeira prestaccedilatildeo dada como entrada Sabendo-se que a loja aplica uma taxa de 35 am qual o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas
d) Carlos depositou certa quantia durante 10 meses de forma antecipada a uma taxa de 25 am obtendo um montante de R$ 25000000 Quanto depositou mensalmente Carlos
e) Um produto eacute vendido agrave vista por R$ 200000 ou em 10 prestaccedilotildees mensais iguais sem entrada com uma carecircncia de 90 dias apoacutes a compra Qual o valor de cada prestaccedilatildeo sabendo que a taxa de juros eacute de 6 am
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
4UNIDADE 4
Valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa
Usar as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Valor presente liacutequido
Seccedilatildeo 2 Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs ndash SFA (Price)
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa usando as funccedilotildees CF0 CFj e NPV Vocecirc deveraacute ainda fazer uso da funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos usando o Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo ndash SFA ou tabela Price
Seccedilatildeo 1 ndash Valor presente liacutequido
A figura 41 a seguir apresenta as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C que vocecirc usaraacute nessa unidade para realizar caacutelculo de valor presente liacutequido e para a elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos ou financiamento
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor inicial do fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor do fluxo de caixa no periacuteodo j
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula o valor presente atual de um fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula a parte dos pagamentos usada para pagar juros
Figura 41 - Teclas para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
Valor presente liacutequido
Nessa seccedilatildeo vocecirc usaraacute as funccedilotildees da HP ndash 12C para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa Para entender como usar as funccedilotildees CF0 CFj e NPV considere o fluxo de caixa para um investimento que exige capital inicial (CF0) e que gera um fluxo de caixa (CFj ) no final de j periacuteodos
61
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Veja a seguir o fluxo de caixa
CF0CF1
CF2 CF5
CFn
CF3 CF4
O VPL = Valor Presente Liacutequido eacute calculado somando ao investimento inicial o valor presente dos fluxos de caixa futuros projetados Portanto
se o VPL for positivo o valor financeiro do ativo do investidor aumentaraacute ou seja o investimento financeiro seraacute atrativo em termos financeiros
se o VPL for zero o valor financeiro do ativo financeiro do investidor natildeo mudaraacute ou seja o investidor seraacute indiferente ao investimento
se o VPL for negativo o valor financeiro do ativo do investidor seraacute reduzido ou seja o investimento natildeo seraacute atrativo em termos financeiros
Exemplo 41
Um investidor compra uma casa por R$ 7000000 e gostaria de ter um retorno de pelo menos 15 Ele pretende manter a casa por 4 anos e depois vendecirc-la por R$ 11000000 Ele prevecirc os fluxos de caixa mostrados no diagrama abaixo
CF0CF1
CF1
CF3CF4
CF5
R$ 7000000
R$ 50000
R$ 450000R$ 450000
R$ 13000000R$ 550000
Sendo assim calcule o VPL para determinar se o investimento resultaria em um retorno ou perda
62
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Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o VPL
7000000 50000
450000 550000 450000
13000000 15 379007
VPL
Como o VPL eacute positivo o investimento aumentaria o valor financeiro do ativo do investidor
Exemplo 42 (exemplo 4 paacuteg 98 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um proprietaacuterio recebeu as seguintes propostas para a venda de uma casa
Proposta A entrada de R$ 10000000 + R$ 5000000 em 6 meses + R$ 6000000 em 1 ano
Proposta B entrada de R$ 8000000 + R$ 6000000 em 5 meses + R$ 7000000 em 10 meses
Sabendo-se que a taxa de juros de mercado eacute de 3 am qual a melhor proposta para o vendedor
Soluccedilatildeo
Essa questatildeo deve ser resolvida pelo meacutetodo do Valor Presente Liacutequido A alternativa que tiver o maior valor seraacute a melhor Entretanto para facilitar a elaboraccedilatildeo do algoritmo de resoluccedilatildeo na HP ndash 12C elabore o fluxo de caixa para cada situaccedilatildeo
63
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Unidade 4
1 Proposta A Fluxo de caixa
10000000 5000000 6000000
1 2 3 4 5 7 8 9 10 110 6 12
Calculando o VPL
10000000 000 5
5000000 000
5
6000000
3
18395701
VPL
Armazena o zero 5 vezes
2 Proposta B Fluxo de caixa
8000000 70000006000000
1 2 3 4 6 7 8 90 5 10
Calculando o VPL
8000000 000 4
6000000 000
4
7000000
3
18384310
VPL
Armazena o zero 4 vezes
Resposta a melhor proposta eacute a A
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Exemplo 43
Dois equipamentos satildeo examinados Considerando ser a taxa miacutenima de atratividade de 20aa qual o equipamento que deve ser adquirido
Dados
41 - Tabela de DadosEquipamento K Equipamento L
Custo R$ 5000000 R$ 8000000Custo anual de manutenccedilatildeo R$ 2000000 R$ 1500000Valor residual para venda R$ 400000 R$ 800000Duraccedilatildeo em anos 10 10
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
A seguir veja o diagrama de fluxo de caixa
Os caacutelculos do Valor Presente Liacutequido para as duas situaccedilotildees satildeo
Equipamento K
5000000
Equipamento K
2000000
400000
0 1 2 10
8000000
Equipamento L
1500000
800000
0 1 2 10
50000 20000
9 4000 20000 1
20 -13320342
65
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Unidade 4
Equipamento L
80000 15000
9 8000 15000 1
20 -14159504
Importante Veja que a alternativa K equivale a um equipamento em que se investe R$ 13320342 enquanto que o equipamento L equivale a um investimento de R$ 14159504 Portanto eacute preferiacutevel o equipamento K pois o investimento eacute menor
66
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Seccedilatildeo 2 ndash Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs - SFA
Este sistema consiste no pagamento de empreacutestimos ou financiamentos com prestaccedilotildees iguais e com periodicidade constante Eacute considerado o sistema de amortizaccedilatildeo mais utilizado pelas instituiccedilotildees financeiras e pelo comeacutercio em geral
O Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo eacute assim chamado por ter sido inventado na Franccedila por volta do seacuteculo XVIII pelo matemaacutetico inglecircs Richard Price daiacute portanto a origem da denominaccedilatildeo Sistema Price tambeacutem comumente chamado de Tabela Price
Na verdade a Tabela Price eacute um caso particular derivado do Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo Neste sistema o financiamento (PV) eacute pago em parcelas (PMT) iguais constituiacutedas da amortizaccedilatildeo do principal da diacutevida + juros compensatoacuterios (J) que variam inversamente ao longo do tempo Ou seja agrave medida que aumenta o valor da parcela de amortizaccedilatildeo haveraacute uma queda dos juros compensatoacuterios em funccedilatildeo da reduccedilatildeo do saldo devedor
Principais Caracteriacutesticas
As principais caracteriacutesticas do SFA satildeo
a prestaccedilatildeo eacute constante durante todo o periacuteodo do financiamento
a parcela de amortizaccedilatildeo aumenta a cada periacuteodo (n)
os juros compensatoacuterios diminuem a cada periacuteodo (n)
Exemplo 44 (exemplo 1 paacuteg 148 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma instituiccedilatildeo financeira libera um empreacutestimo para uma induacutestria no valor de R$ 60000000 para ser pago pelo sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs em 120 meses a uma taxa de 15 am Faccedila a planilha ateacute o 4ordm mecircs e calcule o saldo devedor no 100ordm mecircs
67
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Soluccedilatildeo
A sequecircncia abaixo calcula o valor da prestaccedilatildeo os juros a amortizaccedilatildeo o saldo devedor e valor do saldo devedor no 100ordm mecircs Acompanhe
Zera os registradores
60000000 Armazena o valor presente
120 Armazena o periacuteodo
15 Armazena a taxa
- R$ 1081111 Valor da prestaccedilatildeo
1 - R$ 900000 Valor dos juros da 1ordf parcela
R$ 181111Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 1ordf parcela
R$ 58918889 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 897283 Valor dos juros da 2ordf parcela
- R$ 183828Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 2ordf parcela
R$ 59635061 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 894526 Valor dos juros da 3ordf parcela
- R$ 186585Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 3ordf parcela
R$ 59448476 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 891727 Valor dos juros da 4ordf parcela
- R$ 189384Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 4ordf parcela
R$ 59259092 Recupera o saldo devedor
A tabela a seguir apresenta um resumo das operaccedilotildees realizadas
68
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Tabela 42 ndash Planilha de amortizaccedilatildeoPeriacuteodo (n) Amortizaccedilatildeo (A) Juros (J) Prestaccedilotildees (R) Saldo Devedor (S)
0 - - - R$ 600000001 R$ 181111 R$ 900000 R$ 1081111 R$ 598188892 R$ 183828 R$ 897283 R$ 1081111 R$ 596350613 R$ 186585 R$ 894526 R$ 1081111 R$ 594484764 R$ 189384 R$ 891727 R$ 1081111 R$ 59259092
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Para determinar o saldo devedor no 100ordm mecircs faccedila como indicado a seguir
60000000 120 150
-1081111 18561247
Prestaccedilatildeo Saldo devedor no 100ordm mecircs
Nesta unidade vocecirc usou as funccedilotildees de fluxo de caixa para calcular o valor presente liacutequido e a funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
69Unidade 4
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades a seguir (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 4 e 5 da unidade 7 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegina 102) Em seguida use o programa elaborado para resolver as mesmas questotildees
a) Qual das alternativas de pagamento eacute a melhor para uma taxa de juros compostos de 75 am
Alternativa A Pagamento de R$ 15000000 agrave vista
Alternativa B Entrada de R$ 5000000 + R$ 8000000 em 90 dias + R$ 6000000 em 150 dias
b) Uma pessoa deve a um banco dois tiacutetulos com valores de R$ 300000 e R$ 600000 venciacuteveis respectivamente em 4 meses e 8 meses Se a pessoa deseja antecipar para hoje a liquidaccedilatildeo dos tiacutetulos qual o valor a pagar considerando que o banco opera com uma taxa de juros compostos de 23 am
2 Elabore um algoritmo para resolver as atividades abaixo (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 1 e 4 da unidade 10 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 151 e 153)
a) Um cliente solicita a um banco um empreacutestimo de R$ 4000000 pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs em 60 prestaccedilotildees mensais Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de juros de 28 am obtenha o valor da prestaccedilatildeo e o saldo devedor depois de pagar a 20ordf prestaccedilatildeo
b) Um empreacutestimo de R$ 30000000 seraacute saldado em 50 prestaccedilotildees mensais a uma taxa de 15 am Determine a parcela de juros relativa agrave 15ordf prestaccedilatildeo pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs (price)
70
Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
Manual da calculadora HP ndash 12C
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico ndash 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7ed Satildeo Paulo Atlas 2000
Para concluir o estudo
Com o teacutermino desse curso de extensatildeo acreditamos que proporcionamos momentos de aprendizagem por meio da interaccedilatildeo da calculadora financeira e que vocecirc estaacute habilitado(a) a fazer uso dessa ferramenta com qualidade no mercado de trabalho relacionado a essa aacuterea tatildeo importante no nosso dia-a-dia
Referecircncias
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7 ed Satildeo Paulo Atlas 2000
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003 Disponiacutevel em lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt Acesso em 05 jun 2008
Sobre o professor conteudista
Joseacute Humberto Dias de Toledo - eacute Mestre em Educaccedilatildeo pela Universidade do Sul de Santa Catarina Graduado em Licenciatura em Matemaacutetica e em Engenharia Civil Professor das disciplinas Meacutetodos Numeacutericos Informaacutetica Aplicada agrave Matemaacutetica Financeira Caacutelculo I e Matemaacutetica Financeira no Curso de Matemaacutetica ndash Licenciatura nesta mesma instituiccedilatildeo Atualmente ministra a disciplina Representaccedilotildees Graacuteficas na Poacutes-graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo Matemaacutetica da UNISUL
Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo
Unidade 1
1 a) 5
b) -2359
c) 3311
d) 077
e) 081
Respostas modo RPN
a)
b)
c)
d)
e)
Respostas modo ALG
a
b
c
d
e
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2 R$ 167757
Modo RPN
Modo ALG
3 -242
4 Data 13082008 3 (quarta-feira)
5 Florianoacutepolis = 3303 Curitiba = 5018 Porto Alegre = 1680
Unidade 2
1 1) 150000
Dados
C = R$ 1000000
i = 5 aa
n = 3 anos = 1080 dias
J =
3) 24 meses = 2 anos
Dados
C = R$ 200000
i = 6 aa
n = 24 meses = 720 dias
M =
79
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
85
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c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
86
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b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
87
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b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
88
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Unidade 3
Agora que vocecirc programou a HP ndash 12C para o caacutelculo de taxas equivalentes resolva o exemplo a seguir usando o programa
Exemplo 33
Usando o programa anterior determine as taxas equivalentes propostas nos exemplos 31 e 32
Soluccedilatildeo
As sequecircncias abaixo calculam as taxas equivalentes
Executa oprograma
4 1 12 6010
Taxa anual
Executa oprograma
8 360 120 260
Taxa quadrimestral
52
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Seccedilatildeo 2 ndash Sequecircncia de capitais
Nesta seccedilatildeo vocecirc acompanharaacute as situaccedilotildees em que haacute mais de um pagamento ou seja vocecirc estudaraacute as operaccedilotildees envolvendo pagamentos ou recebimentos perioacutedicos e uniformes
As seacuteries uniformes de pagamentos satildeo aquelas em que os pagamentos ou recebimentos satildeo constantes e ocorrem em intervalos iguais
Seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas e antecipadas
As seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1 Este sistema eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada (0 + n)
Pagamentos ou recebimentos podem ser chamados de prestaccedilatildeo representada pela sigla PMT que vem do inglecircs Payment e significa pagamento ou recebimento
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentosPMT
++
0 1 2 3 4 5 6 n
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
++
0 1 2 3 4 5 6 n
PMT
53
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Unidade 3
As seacuteries uniformes de pagamentos antecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre na data focal 0 (zero) Este tipo de sistema de pagamento eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento com entrada (1+ n)
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
Exemplo 34 (exemplo 2 paacuteg 108 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um automoacutevel eacute vendido em uma loja por R$ 3200000 A loja propotildee as seguintes condiccedilotildees para financiamento
Proposta A 12 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta B 24 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta C 36 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
A taxa de juros usada eacute de 32 am Qual o valor de cada prestaccedilatildeo nas 3 modalidades de financiamento
Soluccedilatildeo
As sequecircncias a seguir calculam os valores das parcelas nas trecircs propostas
54
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3200000
32 12 -325329
parcela
3200000
32 24 -193046
parcela
3200000
32 36 -150979
parcela
Exemplo 35 (exemplo 2 paacuteg 111 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma casa cujo valor agrave vista eacute R$ 4924456 eacute vendida em prestaccedilotildees mensais e iguais de R$ 250000 sendo a primeira dada como entrada Se a taxa de financiamento eacute de 18 am determine o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas no financiamento
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o nuacutemero de parcelas
4924456 18
250000 24
nordm de parcelas
55
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Unidade 3
No exemplo acima o nuacutemero de pagamento deu um nuacutemero inteiro Mas podem acontecer situaccedilotildees em que ao se determinar o nuacutemero de parcelas o resultado natildeo seja um nuacutemero inteiro
Nessa situaccedilatildeo a HP ndash 12C arredonda a resposta para o proacuteximo inteiro para cima antes de armazenaacute-la e exibi-la
Exemplo 36
Vocecirc comprou um terreno por R$ 3500000 a juros de 105 aa Vocecirc pretende fazer pagamentos de R$ 32500 no fim de cada mecircs Quantos pagamentos seratildeo necessaacuterios para pagar o terreno e quanto tempo levaraacute
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o nuacutemero de pagamentos e o tempo necessaacuterio
3500000 105
32500 328 2733
nordm de parcelas Tempo (anos)
Como a calculadora arredonda o valor do tempo para o proacuteximo inteiro eacute provaacutevel que apesar de serem necessaacuterios 328 pagamentos somente 327 seratildeo inteiros de R$ 32500 com o pagamento final sendo menor do que R$ 32500 Para calcular o valor do pagamento de nuacutemero 328 vamos fazer o seguinte
A calculadora natildeo ajusta os valores nos outros registros financeiros automaticamente para refletir os n pagamentos iguais ao contraacuterio ela lhe permite escolher quais valores (se houver) que vocecirc deseja ajustar
56
Universidade do Sul de Santa Catarina
328 18189 - 32500 -14311
Valor da parcela 328
Nesta unidade vocecirc calculou taxas equivalentes usou as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP e fez caacutelculos de pagamentos perioacutedicos de uma seacuterie uniforme antecipado ou postecipado Na proacutexima unidade vamos realizar caacutelculos de valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades abaixo (Essa atividade corresponde agrave autoavaliaccedilatildeo 1 da unidade 5 do livro didaacutetico de Matemaacutetica Financeira) Em seguida use o programa elaborado para resolver a mesma questatildeo
Calcule a taxa anual das seguintes taxas
a) 26 am
b) 42 ab
c) 48 at
d) 12 as
57
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
2 Elabore um algoritmo para resolver as seguintes atividades (Estas questotildees equivalem agraves autoavaliaccedilotildees 1 2 3 4 e 5 da unidade 8 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 121 122 e 123)
a) Calcule o valor da prestaccedilatildeo mensal de um empreacutestimo de R$ 600000 que seraacute amortizado em 12 prestaccedilotildees mensais postecipadas sabendo que o banco cobra uma taxa de juros de 2 am
b) Uma loja vende um automoacutevel agrave vista por R$ 1650000 Se o comprador quiser fazer um financiamento em 36 parcelas mensais e iguais onde o 1ordm pagamento seraacute efetuado no 1ordm mecircs apoacutes a compra a uma taxa de juros de 21 am qual o valor da prestaccedilatildeo
c) Uma mercadoria custa R$ 9038071 agrave vista podendo ser vendida em prestaccedilotildees mensais de R$ 1050000 sendo a primeira prestaccedilatildeo dada como entrada Sabendo-se que a loja aplica uma taxa de 35 am qual o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas
d) Carlos depositou certa quantia durante 10 meses de forma antecipada a uma taxa de 25 am obtendo um montante de R$ 25000000 Quanto depositou mensalmente Carlos
e) Um produto eacute vendido agrave vista por R$ 200000 ou em 10 prestaccedilotildees mensais iguais sem entrada com uma carecircncia de 90 dias apoacutes a compra Qual o valor de cada prestaccedilatildeo sabendo que a taxa de juros eacute de 6 am
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
4UNIDADE 4
Valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa
Usar as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Valor presente liacutequido
Seccedilatildeo 2 Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs ndash SFA (Price)
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa usando as funccedilotildees CF0 CFj e NPV Vocecirc deveraacute ainda fazer uso da funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos usando o Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo ndash SFA ou tabela Price
Seccedilatildeo 1 ndash Valor presente liacutequido
A figura 41 a seguir apresenta as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C que vocecirc usaraacute nessa unidade para realizar caacutelculo de valor presente liacutequido e para a elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos ou financiamento
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor inicial do fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor do fluxo de caixa no periacuteodo j
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula o valor presente atual de um fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula a parte dos pagamentos usada para pagar juros
Figura 41 - Teclas para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
Valor presente liacutequido
Nessa seccedilatildeo vocecirc usaraacute as funccedilotildees da HP ndash 12C para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa Para entender como usar as funccedilotildees CF0 CFj e NPV considere o fluxo de caixa para um investimento que exige capital inicial (CF0) e que gera um fluxo de caixa (CFj ) no final de j periacuteodos
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Veja a seguir o fluxo de caixa
CF0CF1
CF2 CF5
CFn
CF3 CF4
O VPL = Valor Presente Liacutequido eacute calculado somando ao investimento inicial o valor presente dos fluxos de caixa futuros projetados Portanto
se o VPL for positivo o valor financeiro do ativo do investidor aumentaraacute ou seja o investimento financeiro seraacute atrativo em termos financeiros
se o VPL for zero o valor financeiro do ativo financeiro do investidor natildeo mudaraacute ou seja o investidor seraacute indiferente ao investimento
se o VPL for negativo o valor financeiro do ativo do investidor seraacute reduzido ou seja o investimento natildeo seraacute atrativo em termos financeiros
Exemplo 41
Um investidor compra uma casa por R$ 7000000 e gostaria de ter um retorno de pelo menos 15 Ele pretende manter a casa por 4 anos e depois vendecirc-la por R$ 11000000 Ele prevecirc os fluxos de caixa mostrados no diagrama abaixo
CF0CF1
CF1
CF3CF4
CF5
R$ 7000000
R$ 50000
R$ 450000R$ 450000
R$ 13000000R$ 550000
Sendo assim calcule o VPL para determinar se o investimento resultaria em um retorno ou perda
62
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Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o VPL
7000000 50000
450000 550000 450000
13000000 15 379007
VPL
Como o VPL eacute positivo o investimento aumentaria o valor financeiro do ativo do investidor
Exemplo 42 (exemplo 4 paacuteg 98 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um proprietaacuterio recebeu as seguintes propostas para a venda de uma casa
Proposta A entrada de R$ 10000000 + R$ 5000000 em 6 meses + R$ 6000000 em 1 ano
Proposta B entrada de R$ 8000000 + R$ 6000000 em 5 meses + R$ 7000000 em 10 meses
Sabendo-se que a taxa de juros de mercado eacute de 3 am qual a melhor proposta para o vendedor
Soluccedilatildeo
Essa questatildeo deve ser resolvida pelo meacutetodo do Valor Presente Liacutequido A alternativa que tiver o maior valor seraacute a melhor Entretanto para facilitar a elaboraccedilatildeo do algoritmo de resoluccedilatildeo na HP ndash 12C elabore o fluxo de caixa para cada situaccedilatildeo
63
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Unidade 4
1 Proposta A Fluxo de caixa
10000000 5000000 6000000
1 2 3 4 5 7 8 9 10 110 6 12
Calculando o VPL
10000000 000 5
5000000 000
5
6000000
3
18395701
VPL
Armazena o zero 5 vezes
2 Proposta B Fluxo de caixa
8000000 70000006000000
1 2 3 4 6 7 8 90 5 10
Calculando o VPL
8000000 000 4
6000000 000
4
7000000
3
18384310
VPL
Armazena o zero 4 vezes
Resposta a melhor proposta eacute a A
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Exemplo 43
Dois equipamentos satildeo examinados Considerando ser a taxa miacutenima de atratividade de 20aa qual o equipamento que deve ser adquirido
Dados
41 - Tabela de DadosEquipamento K Equipamento L
Custo R$ 5000000 R$ 8000000Custo anual de manutenccedilatildeo R$ 2000000 R$ 1500000Valor residual para venda R$ 400000 R$ 800000Duraccedilatildeo em anos 10 10
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
A seguir veja o diagrama de fluxo de caixa
Os caacutelculos do Valor Presente Liacutequido para as duas situaccedilotildees satildeo
Equipamento K
5000000
Equipamento K
2000000
400000
0 1 2 10
8000000
Equipamento L
1500000
800000
0 1 2 10
50000 20000
9 4000 20000 1
20 -13320342
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Unidade 4
Equipamento L
80000 15000
9 8000 15000 1
20 -14159504
Importante Veja que a alternativa K equivale a um equipamento em que se investe R$ 13320342 enquanto que o equipamento L equivale a um investimento de R$ 14159504 Portanto eacute preferiacutevel o equipamento K pois o investimento eacute menor
66
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Seccedilatildeo 2 ndash Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs - SFA
Este sistema consiste no pagamento de empreacutestimos ou financiamentos com prestaccedilotildees iguais e com periodicidade constante Eacute considerado o sistema de amortizaccedilatildeo mais utilizado pelas instituiccedilotildees financeiras e pelo comeacutercio em geral
O Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo eacute assim chamado por ter sido inventado na Franccedila por volta do seacuteculo XVIII pelo matemaacutetico inglecircs Richard Price daiacute portanto a origem da denominaccedilatildeo Sistema Price tambeacutem comumente chamado de Tabela Price
Na verdade a Tabela Price eacute um caso particular derivado do Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo Neste sistema o financiamento (PV) eacute pago em parcelas (PMT) iguais constituiacutedas da amortizaccedilatildeo do principal da diacutevida + juros compensatoacuterios (J) que variam inversamente ao longo do tempo Ou seja agrave medida que aumenta o valor da parcela de amortizaccedilatildeo haveraacute uma queda dos juros compensatoacuterios em funccedilatildeo da reduccedilatildeo do saldo devedor
Principais Caracteriacutesticas
As principais caracteriacutesticas do SFA satildeo
a prestaccedilatildeo eacute constante durante todo o periacuteodo do financiamento
a parcela de amortizaccedilatildeo aumenta a cada periacuteodo (n)
os juros compensatoacuterios diminuem a cada periacuteodo (n)
Exemplo 44 (exemplo 1 paacuteg 148 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma instituiccedilatildeo financeira libera um empreacutestimo para uma induacutestria no valor de R$ 60000000 para ser pago pelo sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs em 120 meses a uma taxa de 15 am Faccedila a planilha ateacute o 4ordm mecircs e calcule o saldo devedor no 100ordm mecircs
67
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Unidade 4
Soluccedilatildeo
A sequecircncia abaixo calcula o valor da prestaccedilatildeo os juros a amortizaccedilatildeo o saldo devedor e valor do saldo devedor no 100ordm mecircs Acompanhe
Zera os registradores
60000000 Armazena o valor presente
120 Armazena o periacuteodo
15 Armazena a taxa
- R$ 1081111 Valor da prestaccedilatildeo
1 - R$ 900000 Valor dos juros da 1ordf parcela
R$ 181111Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 1ordf parcela
R$ 58918889 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 897283 Valor dos juros da 2ordf parcela
- R$ 183828Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 2ordf parcela
R$ 59635061 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 894526 Valor dos juros da 3ordf parcela
- R$ 186585Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 3ordf parcela
R$ 59448476 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 891727 Valor dos juros da 4ordf parcela
- R$ 189384Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 4ordf parcela
R$ 59259092 Recupera o saldo devedor
A tabela a seguir apresenta um resumo das operaccedilotildees realizadas
68
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Tabela 42 ndash Planilha de amortizaccedilatildeoPeriacuteodo (n) Amortizaccedilatildeo (A) Juros (J) Prestaccedilotildees (R) Saldo Devedor (S)
0 - - - R$ 600000001 R$ 181111 R$ 900000 R$ 1081111 R$ 598188892 R$ 183828 R$ 897283 R$ 1081111 R$ 596350613 R$ 186585 R$ 894526 R$ 1081111 R$ 594484764 R$ 189384 R$ 891727 R$ 1081111 R$ 59259092
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Para determinar o saldo devedor no 100ordm mecircs faccedila como indicado a seguir
60000000 120 150
-1081111 18561247
Prestaccedilatildeo Saldo devedor no 100ordm mecircs
Nesta unidade vocecirc usou as funccedilotildees de fluxo de caixa para calcular o valor presente liacutequido e a funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
69Unidade 4
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Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades a seguir (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 4 e 5 da unidade 7 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegina 102) Em seguida use o programa elaborado para resolver as mesmas questotildees
a) Qual das alternativas de pagamento eacute a melhor para uma taxa de juros compostos de 75 am
Alternativa A Pagamento de R$ 15000000 agrave vista
Alternativa B Entrada de R$ 5000000 + R$ 8000000 em 90 dias + R$ 6000000 em 150 dias
b) Uma pessoa deve a um banco dois tiacutetulos com valores de R$ 300000 e R$ 600000 venciacuteveis respectivamente em 4 meses e 8 meses Se a pessoa deseja antecipar para hoje a liquidaccedilatildeo dos tiacutetulos qual o valor a pagar considerando que o banco opera com uma taxa de juros compostos de 23 am
2 Elabore um algoritmo para resolver as atividades abaixo (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 1 e 4 da unidade 10 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 151 e 153)
a) Um cliente solicita a um banco um empreacutestimo de R$ 4000000 pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs em 60 prestaccedilotildees mensais Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de juros de 28 am obtenha o valor da prestaccedilatildeo e o saldo devedor depois de pagar a 20ordf prestaccedilatildeo
b) Um empreacutestimo de R$ 30000000 seraacute saldado em 50 prestaccedilotildees mensais a uma taxa de 15 am Determine a parcela de juros relativa agrave 15ordf prestaccedilatildeo pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs (price)
70
Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
Manual da calculadora HP ndash 12C
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico ndash 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7ed Satildeo Paulo Atlas 2000
Para concluir o estudo
Com o teacutermino desse curso de extensatildeo acreditamos que proporcionamos momentos de aprendizagem por meio da interaccedilatildeo da calculadora financeira e que vocecirc estaacute habilitado(a) a fazer uso dessa ferramenta com qualidade no mercado de trabalho relacionado a essa aacuterea tatildeo importante no nosso dia-a-dia
Referecircncias
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7 ed Satildeo Paulo Atlas 2000
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003 Disponiacutevel em lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt Acesso em 05 jun 2008
Sobre o professor conteudista
Joseacute Humberto Dias de Toledo - eacute Mestre em Educaccedilatildeo pela Universidade do Sul de Santa Catarina Graduado em Licenciatura em Matemaacutetica e em Engenharia Civil Professor das disciplinas Meacutetodos Numeacutericos Informaacutetica Aplicada agrave Matemaacutetica Financeira Caacutelculo I e Matemaacutetica Financeira no Curso de Matemaacutetica ndash Licenciatura nesta mesma instituiccedilatildeo Atualmente ministra a disciplina Representaccedilotildees Graacuteficas na Poacutes-graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo Matemaacutetica da UNISUL
Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo
Unidade 1
1 a) 5
b) -2359
c) 3311
d) 077
e) 081
Respostas modo RPN
a)
b)
c)
d)
e)
Respostas modo ALG
a
b
c
d
e
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Universidade do Sul de Santa Catarina
2 R$ 167757
Modo RPN
Modo ALG
3 -242
4 Data 13082008 3 (quarta-feira)
5 Florianoacutepolis = 3303 Curitiba = 5018 Porto Alegre = 1680
Unidade 2
1 1) 150000
Dados
C = R$ 1000000
i = 5 aa
n = 3 anos = 1080 dias
J =
3) 24 meses = 2 anos
Dados
C = R$ 200000
i = 6 aa
n = 24 meses = 720 dias
M =
79
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
86
Universidade do Sul de Santa Catarina
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
87
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
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Seccedilatildeo 2 ndash Sequecircncia de capitais
Nesta seccedilatildeo vocecirc acompanharaacute as situaccedilotildees em que haacute mais de um pagamento ou seja vocecirc estudaraacute as operaccedilotildees envolvendo pagamentos ou recebimentos perioacutedicos e uniformes
As seacuteries uniformes de pagamentos satildeo aquelas em que os pagamentos ou recebimentos satildeo constantes e ocorrem em intervalos iguais
Seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas e antecipadas
As seacuteries uniformes de pagamentos postecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1 Este sistema eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada (0 + n)
Pagamentos ou recebimentos podem ser chamados de prestaccedilatildeo representada pela sigla PMT que vem do inglecircs Payment e significa pagamento ou recebimento
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentosPMT
++
0 1 2 3 4 5 6 n
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
++
0 1 2 3 4 5 6 n
PMT
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Unidade 3
As seacuteries uniformes de pagamentos antecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre na data focal 0 (zero) Este tipo de sistema de pagamento eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento com entrada (1+ n)
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
Exemplo 34 (exemplo 2 paacuteg 108 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um automoacutevel eacute vendido em uma loja por R$ 3200000 A loja propotildee as seguintes condiccedilotildees para financiamento
Proposta A 12 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta B 24 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta C 36 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
A taxa de juros usada eacute de 32 am Qual o valor de cada prestaccedilatildeo nas 3 modalidades de financiamento
Soluccedilatildeo
As sequecircncias a seguir calculam os valores das parcelas nas trecircs propostas
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3200000
32 12 -325329
parcela
3200000
32 24 -193046
parcela
3200000
32 36 -150979
parcela
Exemplo 35 (exemplo 2 paacuteg 111 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma casa cujo valor agrave vista eacute R$ 4924456 eacute vendida em prestaccedilotildees mensais e iguais de R$ 250000 sendo a primeira dada como entrada Se a taxa de financiamento eacute de 18 am determine o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas no financiamento
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o nuacutemero de parcelas
4924456 18
250000 24
nordm de parcelas
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Unidade 3
No exemplo acima o nuacutemero de pagamento deu um nuacutemero inteiro Mas podem acontecer situaccedilotildees em que ao se determinar o nuacutemero de parcelas o resultado natildeo seja um nuacutemero inteiro
Nessa situaccedilatildeo a HP ndash 12C arredonda a resposta para o proacuteximo inteiro para cima antes de armazenaacute-la e exibi-la
Exemplo 36
Vocecirc comprou um terreno por R$ 3500000 a juros de 105 aa Vocecirc pretende fazer pagamentos de R$ 32500 no fim de cada mecircs Quantos pagamentos seratildeo necessaacuterios para pagar o terreno e quanto tempo levaraacute
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o nuacutemero de pagamentos e o tempo necessaacuterio
3500000 105
32500 328 2733
nordm de parcelas Tempo (anos)
Como a calculadora arredonda o valor do tempo para o proacuteximo inteiro eacute provaacutevel que apesar de serem necessaacuterios 328 pagamentos somente 327 seratildeo inteiros de R$ 32500 com o pagamento final sendo menor do que R$ 32500 Para calcular o valor do pagamento de nuacutemero 328 vamos fazer o seguinte
A calculadora natildeo ajusta os valores nos outros registros financeiros automaticamente para refletir os n pagamentos iguais ao contraacuterio ela lhe permite escolher quais valores (se houver) que vocecirc deseja ajustar
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328 18189 - 32500 -14311
Valor da parcela 328
Nesta unidade vocecirc calculou taxas equivalentes usou as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP e fez caacutelculos de pagamentos perioacutedicos de uma seacuterie uniforme antecipado ou postecipado Na proacutexima unidade vamos realizar caacutelculos de valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades abaixo (Essa atividade corresponde agrave autoavaliaccedilatildeo 1 da unidade 5 do livro didaacutetico de Matemaacutetica Financeira) Em seguida use o programa elaborado para resolver a mesma questatildeo
Calcule a taxa anual das seguintes taxas
a) 26 am
b) 42 ab
c) 48 at
d) 12 as
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Unidade 3
2 Elabore um algoritmo para resolver as seguintes atividades (Estas questotildees equivalem agraves autoavaliaccedilotildees 1 2 3 4 e 5 da unidade 8 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 121 122 e 123)
a) Calcule o valor da prestaccedilatildeo mensal de um empreacutestimo de R$ 600000 que seraacute amortizado em 12 prestaccedilotildees mensais postecipadas sabendo que o banco cobra uma taxa de juros de 2 am
b) Uma loja vende um automoacutevel agrave vista por R$ 1650000 Se o comprador quiser fazer um financiamento em 36 parcelas mensais e iguais onde o 1ordm pagamento seraacute efetuado no 1ordm mecircs apoacutes a compra a uma taxa de juros de 21 am qual o valor da prestaccedilatildeo
c) Uma mercadoria custa R$ 9038071 agrave vista podendo ser vendida em prestaccedilotildees mensais de R$ 1050000 sendo a primeira prestaccedilatildeo dada como entrada Sabendo-se que a loja aplica uma taxa de 35 am qual o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas
d) Carlos depositou certa quantia durante 10 meses de forma antecipada a uma taxa de 25 am obtendo um montante de R$ 25000000 Quanto depositou mensalmente Carlos
e) Um produto eacute vendido agrave vista por R$ 200000 ou em 10 prestaccedilotildees mensais iguais sem entrada com uma carecircncia de 90 dias apoacutes a compra Qual o valor de cada prestaccedilatildeo sabendo que a taxa de juros eacute de 6 am
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
4UNIDADE 4
Valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa
Usar as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Valor presente liacutequido
Seccedilatildeo 2 Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs ndash SFA (Price)
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa usando as funccedilotildees CF0 CFj e NPV Vocecirc deveraacute ainda fazer uso da funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos usando o Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo ndash SFA ou tabela Price
Seccedilatildeo 1 ndash Valor presente liacutequido
A figura 41 a seguir apresenta as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C que vocecirc usaraacute nessa unidade para realizar caacutelculo de valor presente liacutequido e para a elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos ou financiamento
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor inicial do fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor do fluxo de caixa no periacuteodo j
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula o valor presente atual de um fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula a parte dos pagamentos usada para pagar juros
Figura 41 - Teclas para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
Valor presente liacutequido
Nessa seccedilatildeo vocecirc usaraacute as funccedilotildees da HP ndash 12C para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa Para entender como usar as funccedilotildees CF0 CFj e NPV considere o fluxo de caixa para um investimento que exige capital inicial (CF0) e que gera um fluxo de caixa (CFj ) no final de j periacuteodos
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Veja a seguir o fluxo de caixa
CF0CF1
CF2 CF5
CFn
CF3 CF4
O VPL = Valor Presente Liacutequido eacute calculado somando ao investimento inicial o valor presente dos fluxos de caixa futuros projetados Portanto
se o VPL for positivo o valor financeiro do ativo do investidor aumentaraacute ou seja o investimento financeiro seraacute atrativo em termos financeiros
se o VPL for zero o valor financeiro do ativo financeiro do investidor natildeo mudaraacute ou seja o investidor seraacute indiferente ao investimento
se o VPL for negativo o valor financeiro do ativo do investidor seraacute reduzido ou seja o investimento natildeo seraacute atrativo em termos financeiros
Exemplo 41
Um investidor compra uma casa por R$ 7000000 e gostaria de ter um retorno de pelo menos 15 Ele pretende manter a casa por 4 anos e depois vendecirc-la por R$ 11000000 Ele prevecirc os fluxos de caixa mostrados no diagrama abaixo
CF0CF1
CF1
CF3CF4
CF5
R$ 7000000
R$ 50000
R$ 450000R$ 450000
R$ 13000000R$ 550000
Sendo assim calcule o VPL para determinar se o investimento resultaria em um retorno ou perda
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Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o VPL
7000000 50000
450000 550000 450000
13000000 15 379007
VPL
Como o VPL eacute positivo o investimento aumentaria o valor financeiro do ativo do investidor
Exemplo 42 (exemplo 4 paacuteg 98 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um proprietaacuterio recebeu as seguintes propostas para a venda de uma casa
Proposta A entrada de R$ 10000000 + R$ 5000000 em 6 meses + R$ 6000000 em 1 ano
Proposta B entrada de R$ 8000000 + R$ 6000000 em 5 meses + R$ 7000000 em 10 meses
Sabendo-se que a taxa de juros de mercado eacute de 3 am qual a melhor proposta para o vendedor
Soluccedilatildeo
Essa questatildeo deve ser resolvida pelo meacutetodo do Valor Presente Liacutequido A alternativa que tiver o maior valor seraacute a melhor Entretanto para facilitar a elaboraccedilatildeo do algoritmo de resoluccedilatildeo na HP ndash 12C elabore o fluxo de caixa para cada situaccedilatildeo
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Unidade 4
1 Proposta A Fluxo de caixa
10000000 5000000 6000000
1 2 3 4 5 7 8 9 10 110 6 12
Calculando o VPL
10000000 000 5
5000000 000
5
6000000
3
18395701
VPL
Armazena o zero 5 vezes
2 Proposta B Fluxo de caixa
8000000 70000006000000
1 2 3 4 6 7 8 90 5 10
Calculando o VPL
8000000 000 4
6000000 000
4
7000000
3
18384310
VPL
Armazena o zero 4 vezes
Resposta a melhor proposta eacute a A
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Exemplo 43
Dois equipamentos satildeo examinados Considerando ser a taxa miacutenima de atratividade de 20aa qual o equipamento que deve ser adquirido
Dados
41 - Tabela de DadosEquipamento K Equipamento L
Custo R$ 5000000 R$ 8000000Custo anual de manutenccedilatildeo R$ 2000000 R$ 1500000Valor residual para venda R$ 400000 R$ 800000Duraccedilatildeo em anos 10 10
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
A seguir veja o diagrama de fluxo de caixa
Os caacutelculos do Valor Presente Liacutequido para as duas situaccedilotildees satildeo
Equipamento K
5000000
Equipamento K
2000000
400000
0 1 2 10
8000000
Equipamento L
1500000
800000
0 1 2 10
50000 20000
9 4000 20000 1
20 -13320342
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Unidade 4
Equipamento L
80000 15000
9 8000 15000 1
20 -14159504
Importante Veja que a alternativa K equivale a um equipamento em que se investe R$ 13320342 enquanto que o equipamento L equivale a um investimento de R$ 14159504 Portanto eacute preferiacutevel o equipamento K pois o investimento eacute menor
66
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Seccedilatildeo 2 ndash Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs - SFA
Este sistema consiste no pagamento de empreacutestimos ou financiamentos com prestaccedilotildees iguais e com periodicidade constante Eacute considerado o sistema de amortizaccedilatildeo mais utilizado pelas instituiccedilotildees financeiras e pelo comeacutercio em geral
O Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo eacute assim chamado por ter sido inventado na Franccedila por volta do seacuteculo XVIII pelo matemaacutetico inglecircs Richard Price daiacute portanto a origem da denominaccedilatildeo Sistema Price tambeacutem comumente chamado de Tabela Price
Na verdade a Tabela Price eacute um caso particular derivado do Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo Neste sistema o financiamento (PV) eacute pago em parcelas (PMT) iguais constituiacutedas da amortizaccedilatildeo do principal da diacutevida + juros compensatoacuterios (J) que variam inversamente ao longo do tempo Ou seja agrave medida que aumenta o valor da parcela de amortizaccedilatildeo haveraacute uma queda dos juros compensatoacuterios em funccedilatildeo da reduccedilatildeo do saldo devedor
Principais Caracteriacutesticas
As principais caracteriacutesticas do SFA satildeo
a prestaccedilatildeo eacute constante durante todo o periacuteodo do financiamento
a parcela de amortizaccedilatildeo aumenta a cada periacuteodo (n)
os juros compensatoacuterios diminuem a cada periacuteodo (n)
Exemplo 44 (exemplo 1 paacuteg 148 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma instituiccedilatildeo financeira libera um empreacutestimo para uma induacutestria no valor de R$ 60000000 para ser pago pelo sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs em 120 meses a uma taxa de 15 am Faccedila a planilha ateacute o 4ordm mecircs e calcule o saldo devedor no 100ordm mecircs
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Unidade 4
Soluccedilatildeo
A sequecircncia abaixo calcula o valor da prestaccedilatildeo os juros a amortizaccedilatildeo o saldo devedor e valor do saldo devedor no 100ordm mecircs Acompanhe
Zera os registradores
60000000 Armazena o valor presente
120 Armazena o periacuteodo
15 Armazena a taxa
- R$ 1081111 Valor da prestaccedilatildeo
1 - R$ 900000 Valor dos juros da 1ordf parcela
R$ 181111Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 1ordf parcela
R$ 58918889 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 897283 Valor dos juros da 2ordf parcela
- R$ 183828Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 2ordf parcela
R$ 59635061 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 894526 Valor dos juros da 3ordf parcela
- R$ 186585Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 3ordf parcela
R$ 59448476 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 891727 Valor dos juros da 4ordf parcela
- R$ 189384Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 4ordf parcela
R$ 59259092 Recupera o saldo devedor
A tabela a seguir apresenta um resumo das operaccedilotildees realizadas
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Tabela 42 ndash Planilha de amortizaccedilatildeoPeriacuteodo (n) Amortizaccedilatildeo (A) Juros (J) Prestaccedilotildees (R) Saldo Devedor (S)
0 - - - R$ 600000001 R$ 181111 R$ 900000 R$ 1081111 R$ 598188892 R$ 183828 R$ 897283 R$ 1081111 R$ 596350613 R$ 186585 R$ 894526 R$ 1081111 R$ 594484764 R$ 189384 R$ 891727 R$ 1081111 R$ 59259092
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Para determinar o saldo devedor no 100ordm mecircs faccedila como indicado a seguir
60000000 120 150
-1081111 18561247
Prestaccedilatildeo Saldo devedor no 100ordm mecircs
Nesta unidade vocecirc usou as funccedilotildees de fluxo de caixa para calcular o valor presente liacutequido e a funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
69Unidade 4
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Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades a seguir (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 4 e 5 da unidade 7 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegina 102) Em seguida use o programa elaborado para resolver as mesmas questotildees
a) Qual das alternativas de pagamento eacute a melhor para uma taxa de juros compostos de 75 am
Alternativa A Pagamento de R$ 15000000 agrave vista
Alternativa B Entrada de R$ 5000000 + R$ 8000000 em 90 dias + R$ 6000000 em 150 dias
b) Uma pessoa deve a um banco dois tiacutetulos com valores de R$ 300000 e R$ 600000 venciacuteveis respectivamente em 4 meses e 8 meses Se a pessoa deseja antecipar para hoje a liquidaccedilatildeo dos tiacutetulos qual o valor a pagar considerando que o banco opera com uma taxa de juros compostos de 23 am
2 Elabore um algoritmo para resolver as atividades abaixo (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 1 e 4 da unidade 10 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 151 e 153)
a) Um cliente solicita a um banco um empreacutestimo de R$ 4000000 pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs em 60 prestaccedilotildees mensais Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de juros de 28 am obtenha o valor da prestaccedilatildeo e o saldo devedor depois de pagar a 20ordf prestaccedilatildeo
b) Um empreacutestimo de R$ 30000000 seraacute saldado em 50 prestaccedilotildees mensais a uma taxa de 15 am Determine a parcela de juros relativa agrave 15ordf prestaccedilatildeo pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs (price)
70
Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
Manual da calculadora HP ndash 12C
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico ndash 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7ed Satildeo Paulo Atlas 2000
Para concluir o estudo
Com o teacutermino desse curso de extensatildeo acreditamos que proporcionamos momentos de aprendizagem por meio da interaccedilatildeo da calculadora financeira e que vocecirc estaacute habilitado(a) a fazer uso dessa ferramenta com qualidade no mercado de trabalho relacionado a essa aacuterea tatildeo importante no nosso dia-a-dia
Referecircncias
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7 ed Satildeo Paulo Atlas 2000
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003 Disponiacutevel em lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt Acesso em 05 jun 2008
Sobre o professor conteudista
Joseacute Humberto Dias de Toledo - eacute Mestre em Educaccedilatildeo pela Universidade do Sul de Santa Catarina Graduado em Licenciatura em Matemaacutetica e em Engenharia Civil Professor das disciplinas Meacutetodos Numeacutericos Informaacutetica Aplicada agrave Matemaacutetica Financeira Caacutelculo I e Matemaacutetica Financeira no Curso de Matemaacutetica ndash Licenciatura nesta mesma instituiccedilatildeo Atualmente ministra a disciplina Representaccedilotildees Graacuteficas na Poacutes-graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo Matemaacutetica da UNISUL
Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo
Unidade 1
1 a) 5
b) -2359
c) 3311
d) 077
e) 081
Respostas modo RPN
a)
b)
c)
d)
e)
Respostas modo ALG
a
b
c
d
e
78
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 R$ 167757
Modo RPN
Modo ALG
3 -242
4 Data 13082008 3 (quarta-feira)
5 Florianoacutepolis = 3303 Curitiba = 5018 Porto Alegre = 1680
Unidade 2
1 1) 150000
Dados
C = R$ 1000000
i = 5 aa
n = 3 anos = 1080 dias
J =
3) 24 meses = 2 anos
Dados
C = R$ 200000
i = 6 aa
n = 24 meses = 720 dias
M =
79
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
85
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
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b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
87
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
88
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Unidade 3
As seacuteries uniformes de pagamentos antecipadas satildeo aquelas em que o primeiro pagamento ocorre na data focal 0 (zero) Este tipo de sistema de pagamento eacute tambeacutem chamado de sistema de pagamento com entrada (1+ n)
Veja a seguir o fluxo de caixa
do ponto de vista de quem vai receber os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
0 1 2 3 4 n
++
PMT
Exemplo 34 (exemplo 2 paacuteg 108 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um automoacutevel eacute vendido em uma loja por R$ 3200000 A loja propotildee as seguintes condiccedilotildees para financiamento
Proposta A 12 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta B 24 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
Proposta C 36 prestaccedilotildees mensais iguais postecipadas
A taxa de juros usada eacute de 32 am Qual o valor de cada prestaccedilatildeo nas 3 modalidades de financiamento
Soluccedilatildeo
As sequecircncias a seguir calculam os valores das parcelas nas trecircs propostas
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3200000
32 12 -325329
parcela
3200000
32 24 -193046
parcela
3200000
32 36 -150979
parcela
Exemplo 35 (exemplo 2 paacuteg 111 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma casa cujo valor agrave vista eacute R$ 4924456 eacute vendida em prestaccedilotildees mensais e iguais de R$ 250000 sendo a primeira dada como entrada Se a taxa de financiamento eacute de 18 am determine o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas no financiamento
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o nuacutemero de parcelas
4924456 18
250000 24
nordm de parcelas
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Unidade 3
No exemplo acima o nuacutemero de pagamento deu um nuacutemero inteiro Mas podem acontecer situaccedilotildees em que ao se determinar o nuacutemero de parcelas o resultado natildeo seja um nuacutemero inteiro
Nessa situaccedilatildeo a HP ndash 12C arredonda a resposta para o proacuteximo inteiro para cima antes de armazenaacute-la e exibi-la
Exemplo 36
Vocecirc comprou um terreno por R$ 3500000 a juros de 105 aa Vocecirc pretende fazer pagamentos de R$ 32500 no fim de cada mecircs Quantos pagamentos seratildeo necessaacuterios para pagar o terreno e quanto tempo levaraacute
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o nuacutemero de pagamentos e o tempo necessaacuterio
3500000 105
32500 328 2733
nordm de parcelas Tempo (anos)
Como a calculadora arredonda o valor do tempo para o proacuteximo inteiro eacute provaacutevel que apesar de serem necessaacuterios 328 pagamentos somente 327 seratildeo inteiros de R$ 32500 com o pagamento final sendo menor do que R$ 32500 Para calcular o valor do pagamento de nuacutemero 328 vamos fazer o seguinte
A calculadora natildeo ajusta os valores nos outros registros financeiros automaticamente para refletir os n pagamentos iguais ao contraacuterio ela lhe permite escolher quais valores (se houver) que vocecirc deseja ajustar
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328 18189 - 32500 -14311
Valor da parcela 328
Nesta unidade vocecirc calculou taxas equivalentes usou as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP e fez caacutelculos de pagamentos perioacutedicos de uma seacuterie uniforme antecipado ou postecipado Na proacutexima unidade vamos realizar caacutelculos de valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades abaixo (Essa atividade corresponde agrave autoavaliaccedilatildeo 1 da unidade 5 do livro didaacutetico de Matemaacutetica Financeira) Em seguida use o programa elaborado para resolver a mesma questatildeo
Calcule a taxa anual das seguintes taxas
a) 26 am
b) 42 ab
c) 48 at
d) 12 as
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Unidade 3
2 Elabore um algoritmo para resolver as seguintes atividades (Estas questotildees equivalem agraves autoavaliaccedilotildees 1 2 3 4 e 5 da unidade 8 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 121 122 e 123)
a) Calcule o valor da prestaccedilatildeo mensal de um empreacutestimo de R$ 600000 que seraacute amortizado em 12 prestaccedilotildees mensais postecipadas sabendo que o banco cobra uma taxa de juros de 2 am
b) Uma loja vende um automoacutevel agrave vista por R$ 1650000 Se o comprador quiser fazer um financiamento em 36 parcelas mensais e iguais onde o 1ordm pagamento seraacute efetuado no 1ordm mecircs apoacutes a compra a uma taxa de juros de 21 am qual o valor da prestaccedilatildeo
c) Uma mercadoria custa R$ 9038071 agrave vista podendo ser vendida em prestaccedilotildees mensais de R$ 1050000 sendo a primeira prestaccedilatildeo dada como entrada Sabendo-se que a loja aplica uma taxa de 35 am qual o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas
d) Carlos depositou certa quantia durante 10 meses de forma antecipada a uma taxa de 25 am obtendo um montante de R$ 25000000 Quanto depositou mensalmente Carlos
e) Um produto eacute vendido agrave vista por R$ 200000 ou em 10 prestaccedilotildees mensais iguais sem entrada com uma carecircncia de 90 dias apoacutes a compra Qual o valor de cada prestaccedilatildeo sabendo que a taxa de juros eacute de 6 am
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
4UNIDADE 4
Valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa
Usar as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Valor presente liacutequido
Seccedilatildeo 2 Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs ndash SFA (Price)
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa usando as funccedilotildees CF0 CFj e NPV Vocecirc deveraacute ainda fazer uso da funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos usando o Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo ndash SFA ou tabela Price
Seccedilatildeo 1 ndash Valor presente liacutequido
A figura 41 a seguir apresenta as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C que vocecirc usaraacute nessa unidade para realizar caacutelculo de valor presente liacutequido e para a elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos ou financiamento
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor inicial do fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor do fluxo de caixa no periacuteodo j
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula o valor presente atual de um fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula a parte dos pagamentos usada para pagar juros
Figura 41 - Teclas para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
Valor presente liacutequido
Nessa seccedilatildeo vocecirc usaraacute as funccedilotildees da HP ndash 12C para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa Para entender como usar as funccedilotildees CF0 CFj e NPV considere o fluxo de caixa para um investimento que exige capital inicial (CF0) e que gera um fluxo de caixa (CFj ) no final de j periacuteodos
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Unidade 4
Veja a seguir o fluxo de caixa
CF0CF1
CF2 CF5
CFn
CF3 CF4
O VPL = Valor Presente Liacutequido eacute calculado somando ao investimento inicial o valor presente dos fluxos de caixa futuros projetados Portanto
se o VPL for positivo o valor financeiro do ativo do investidor aumentaraacute ou seja o investimento financeiro seraacute atrativo em termos financeiros
se o VPL for zero o valor financeiro do ativo financeiro do investidor natildeo mudaraacute ou seja o investidor seraacute indiferente ao investimento
se o VPL for negativo o valor financeiro do ativo do investidor seraacute reduzido ou seja o investimento natildeo seraacute atrativo em termos financeiros
Exemplo 41
Um investidor compra uma casa por R$ 7000000 e gostaria de ter um retorno de pelo menos 15 Ele pretende manter a casa por 4 anos e depois vendecirc-la por R$ 11000000 Ele prevecirc os fluxos de caixa mostrados no diagrama abaixo
CF0CF1
CF1
CF3CF4
CF5
R$ 7000000
R$ 50000
R$ 450000R$ 450000
R$ 13000000R$ 550000
Sendo assim calcule o VPL para determinar se o investimento resultaria em um retorno ou perda
62
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Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o VPL
7000000 50000
450000 550000 450000
13000000 15 379007
VPL
Como o VPL eacute positivo o investimento aumentaria o valor financeiro do ativo do investidor
Exemplo 42 (exemplo 4 paacuteg 98 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um proprietaacuterio recebeu as seguintes propostas para a venda de uma casa
Proposta A entrada de R$ 10000000 + R$ 5000000 em 6 meses + R$ 6000000 em 1 ano
Proposta B entrada de R$ 8000000 + R$ 6000000 em 5 meses + R$ 7000000 em 10 meses
Sabendo-se que a taxa de juros de mercado eacute de 3 am qual a melhor proposta para o vendedor
Soluccedilatildeo
Essa questatildeo deve ser resolvida pelo meacutetodo do Valor Presente Liacutequido A alternativa que tiver o maior valor seraacute a melhor Entretanto para facilitar a elaboraccedilatildeo do algoritmo de resoluccedilatildeo na HP ndash 12C elabore o fluxo de caixa para cada situaccedilatildeo
63
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Unidade 4
1 Proposta A Fluxo de caixa
10000000 5000000 6000000
1 2 3 4 5 7 8 9 10 110 6 12
Calculando o VPL
10000000 000 5
5000000 000
5
6000000
3
18395701
VPL
Armazena o zero 5 vezes
2 Proposta B Fluxo de caixa
8000000 70000006000000
1 2 3 4 6 7 8 90 5 10
Calculando o VPL
8000000 000 4
6000000 000
4
7000000
3
18384310
VPL
Armazena o zero 4 vezes
Resposta a melhor proposta eacute a A
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Exemplo 43
Dois equipamentos satildeo examinados Considerando ser a taxa miacutenima de atratividade de 20aa qual o equipamento que deve ser adquirido
Dados
41 - Tabela de DadosEquipamento K Equipamento L
Custo R$ 5000000 R$ 8000000Custo anual de manutenccedilatildeo R$ 2000000 R$ 1500000Valor residual para venda R$ 400000 R$ 800000Duraccedilatildeo em anos 10 10
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
A seguir veja o diagrama de fluxo de caixa
Os caacutelculos do Valor Presente Liacutequido para as duas situaccedilotildees satildeo
Equipamento K
5000000
Equipamento K
2000000
400000
0 1 2 10
8000000
Equipamento L
1500000
800000
0 1 2 10
50000 20000
9 4000 20000 1
20 -13320342
65
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Unidade 4
Equipamento L
80000 15000
9 8000 15000 1
20 -14159504
Importante Veja que a alternativa K equivale a um equipamento em que se investe R$ 13320342 enquanto que o equipamento L equivale a um investimento de R$ 14159504 Portanto eacute preferiacutevel o equipamento K pois o investimento eacute menor
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Seccedilatildeo 2 ndash Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs - SFA
Este sistema consiste no pagamento de empreacutestimos ou financiamentos com prestaccedilotildees iguais e com periodicidade constante Eacute considerado o sistema de amortizaccedilatildeo mais utilizado pelas instituiccedilotildees financeiras e pelo comeacutercio em geral
O Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo eacute assim chamado por ter sido inventado na Franccedila por volta do seacuteculo XVIII pelo matemaacutetico inglecircs Richard Price daiacute portanto a origem da denominaccedilatildeo Sistema Price tambeacutem comumente chamado de Tabela Price
Na verdade a Tabela Price eacute um caso particular derivado do Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo Neste sistema o financiamento (PV) eacute pago em parcelas (PMT) iguais constituiacutedas da amortizaccedilatildeo do principal da diacutevida + juros compensatoacuterios (J) que variam inversamente ao longo do tempo Ou seja agrave medida que aumenta o valor da parcela de amortizaccedilatildeo haveraacute uma queda dos juros compensatoacuterios em funccedilatildeo da reduccedilatildeo do saldo devedor
Principais Caracteriacutesticas
As principais caracteriacutesticas do SFA satildeo
a prestaccedilatildeo eacute constante durante todo o periacuteodo do financiamento
a parcela de amortizaccedilatildeo aumenta a cada periacuteodo (n)
os juros compensatoacuterios diminuem a cada periacuteodo (n)
Exemplo 44 (exemplo 1 paacuteg 148 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma instituiccedilatildeo financeira libera um empreacutestimo para uma induacutestria no valor de R$ 60000000 para ser pago pelo sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs em 120 meses a uma taxa de 15 am Faccedila a planilha ateacute o 4ordm mecircs e calcule o saldo devedor no 100ordm mecircs
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Unidade 4
Soluccedilatildeo
A sequecircncia abaixo calcula o valor da prestaccedilatildeo os juros a amortizaccedilatildeo o saldo devedor e valor do saldo devedor no 100ordm mecircs Acompanhe
Zera os registradores
60000000 Armazena o valor presente
120 Armazena o periacuteodo
15 Armazena a taxa
- R$ 1081111 Valor da prestaccedilatildeo
1 - R$ 900000 Valor dos juros da 1ordf parcela
R$ 181111Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 1ordf parcela
R$ 58918889 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 897283 Valor dos juros da 2ordf parcela
- R$ 183828Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 2ordf parcela
R$ 59635061 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 894526 Valor dos juros da 3ordf parcela
- R$ 186585Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 3ordf parcela
R$ 59448476 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 891727 Valor dos juros da 4ordf parcela
- R$ 189384Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 4ordf parcela
R$ 59259092 Recupera o saldo devedor
A tabela a seguir apresenta um resumo das operaccedilotildees realizadas
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Tabela 42 ndash Planilha de amortizaccedilatildeoPeriacuteodo (n) Amortizaccedilatildeo (A) Juros (J) Prestaccedilotildees (R) Saldo Devedor (S)
0 - - - R$ 600000001 R$ 181111 R$ 900000 R$ 1081111 R$ 598188892 R$ 183828 R$ 897283 R$ 1081111 R$ 596350613 R$ 186585 R$ 894526 R$ 1081111 R$ 594484764 R$ 189384 R$ 891727 R$ 1081111 R$ 59259092
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Para determinar o saldo devedor no 100ordm mecircs faccedila como indicado a seguir
60000000 120 150
-1081111 18561247
Prestaccedilatildeo Saldo devedor no 100ordm mecircs
Nesta unidade vocecirc usou as funccedilotildees de fluxo de caixa para calcular o valor presente liacutequido e a funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
69Unidade 4
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades a seguir (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 4 e 5 da unidade 7 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegina 102) Em seguida use o programa elaborado para resolver as mesmas questotildees
a) Qual das alternativas de pagamento eacute a melhor para uma taxa de juros compostos de 75 am
Alternativa A Pagamento de R$ 15000000 agrave vista
Alternativa B Entrada de R$ 5000000 + R$ 8000000 em 90 dias + R$ 6000000 em 150 dias
b) Uma pessoa deve a um banco dois tiacutetulos com valores de R$ 300000 e R$ 600000 venciacuteveis respectivamente em 4 meses e 8 meses Se a pessoa deseja antecipar para hoje a liquidaccedilatildeo dos tiacutetulos qual o valor a pagar considerando que o banco opera com uma taxa de juros compostos de 23 am
2 Elabore um algoritmo para resolver as atividades abaixo (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 1 e 4 da unidade 10 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 151 e 153)
a) Um cliente solicita a um banco um empreacutestimo de R$ 4000000 pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs em 60 prestaccedilotildees mensais Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de juros de 28 am obtenha o valor da prestaccedilatildeo e o saldo devedor depois de pagar a 20ordf prestaccedilatildeo
b) Um empreacutestimo de R$ 30000000 seraacute saldado em 50 prestaccedilotildees mensais a uma taxa de 15 am Determine a parcela de juros relativa agrave 15ordf prestaccedilatildeo pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs (price)
70
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Saiba mais
Manual da calculadora HP ndash 12C
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico ndash 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7ed Satildeo Paulo Atlas 2000
Para concluir o estudo
Com o teacutermino desse curso de extensatildeo acreditamos que proporcionamos momentos de aprendizagem por meio da interaccedilatildeo da calculadora financeira e que vocecirc estaacute habilitado(a) a fazer uso dessa ferramenta com qualidade no mercado de trabalho relacionado a essa aacuterea tatildeo importante no nosso dia-a-dia
Referecircncias
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7 ed Satildeo Paulo Atlas 2000
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003 Disponiacutevel em lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt Acesso em 05 jun 2008
Sobre o professor conteudista
Joseacute Humberto Dias de Toledo - eacute Mestre em Educaccedilatildeo pela Universidade do Sul de Santa Catarina Graduado em Licenciatura em Matemaacutetica e em Engenharia Civil Professor das disciplinas Meacutetodos Numeacutericos Informaacutetica Aplicada agrave Matemaacutetica Financeira Caacutelculo I e Matemaacutetica Financeira no Curso de Matemaacutetica ndash Licenciatura nesta mesma instituiccedilatildeo Atualmente ministra a disciplina Representaccedilotildees Graacuteficas na Poacutes-graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo Matemaacutetica da UNISUL
Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo
Unidade 1
1 a) 5
b) -2359
c) 3311
d) 077
e) 081
Respostas modo RPN
a)
b)
c)
d)
e)
Respostas modo ALG
a
b
c
d
e
78
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2 R$ 167757
Modo RPN
Modo ALG
3 -242
4 Data 13082008 3 (quarta-feira)
5 Florianoacutepolis = 3303 Curitiba = 5018 Porto Alegre = 1680
Unidade 2
1 1) 150000
Dados
C = R$ 1000000
i = 5 aa
n = 3 anos = 1080 dias
J =
3) 24 meses = 2 anos
Dados
C = R$ 200000
i = 6 aa
n = 24 meses = 720 dias
M =
79
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
85
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
86
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b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
87
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
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Universidade do Sul de Santa Catarina
3200000
32 12 -325329
parcela
3200000
32 24 -193046
parcela
3200000
32 36 -150979
parcela
Exemplo 35 (exemplo 2 paacuteg 111 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma casa cujo valor agrave vista eacute R$ 4924456 eacute vendida em prestaccedilotildees mensais e iguais de R$ 250000 sendo a primeira dada como entrada Se a taxa de financiamento eacute de 18 am determine o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas no financiamento
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o nuacutemero de parcelas
4924456 18
250000 24
nordm de parcelas
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
No exemplo acima o nuacutemero de pagamento deu um nuacutemero inteiro Mas podem acontecer situaccedilotildees em que ao se determinar o nuacutemero de parcelas o resultado natildeo seja um nuacutemero inteiro
Nessa situaccedilatildeo a HP ndash 12C arredonda a resposta para o proacuteximo inteiro para cima antes de armazenaacute-la e exibi-la
Exemplo 36
Vocecirc comprou um terreno por R$ 3500000 a juros de 105 aa Vocecirc pretende fazer pagamentos de R$ 32500 no fim de cada mecircs Quantos pagamentos seratildeo necessaacuterios para pagar o terreno e quanto tempo levaraacute
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o nuacutemero de pagamentos e o tempo necessaacuterio
3500000 105
32500 328 2733
nordm de parcelas Tempo (anos)
Como a calculadora arredonda o valor do tempo para o proacuteximo inteiro eacute provaacutevel que apesar de serem necessaacuterios 328 pagamentos somente 327 seratildeo inteiros de R$ 32500 com o pagamento final sendo menor do que R$ 32500 Para calcular o valor do pagamento de nuacutemero 328 vamos fazer o seguinte
A calculadora natildeo ajusta os valores nos outros registros financeiros automaticamente para refletir os n pagamentos iguais ao contraacuterio ela lhe permite escolher quais valores (se houver) que vocecirc deseja ajustar
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328 18189 - 32500 -14311
Valor da parcela 328
Nesta unidade vocecirc calculou taxas equivalentes usou as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP e fez caacutelculos de pagamentos perioacutedicos de uma seacuterie uniforme antecipado ou postecipado Na proacutexima unidade vamos realizar caacutelculos de valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades abaixo (Essa atividade corresponde agrave autoavaliaccedilatildeo 1 da unidade 5 do livro didaacutetico de Matemaacutetica Financeira) Em seguida use o programa elaborado para resolver a mesma questatildeo
Calcule a taxa anual das seguintes taxas
a) 26 am
b) 42 ab
c) 48 at
d) 12 as
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Unidade 3
2 Elabore um algoritmo para resolver as seguintes atividades (Estas questotildees equivalem agraves autoavaliaccedilotildees 1 2 3 4 e 5 da unidade 8 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 121 122 e 123)
a) Calcule o valor da prestaccedilatildeo mensal de um empreacutestimo de R$ 600000 que seraacute amortizado em 12 prestaccedilotildees mensais postecipadas sabendo que o banco cobra uma taxa de juros de 2 am
b) Uma loja vende um automoacutevel agrave vista por R$ 1650000 Se o comprador quiser fazer um financiamento em 36 parcelas mensais e iguais onde o 1ordm pagamento seraacute efetuado no 1ordm mecircs apoacutes a compra a uma taxa de juros de 21 am qual o valor da prestaccedilatildeo
c) Uma mercadoria custa R$ 9038071 agrave vista podendo ser vendida em prestaccedilotildees mensais de R$ 1050000 sendo a primeira prestaccedilatildeo dada como entrada Sabendo-se que a loja aplica uma taxa de 35 am qual o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas
d) Carlos depositou certa quantia durante 10 meses de forma antecipada a uma taxa de 25 am obtendo um montante de R$ 25000000 Quanto depositou mensalmente Carlos
e) Um produto eacute vendido agrave vista por R$ 200000 ou em 10 prestaccedilotildees mensais iguais sem entrada com uma carecircncia de 90 dias apoacutes a compra Qual o valor de cada prestaccedilatildeo sabendo que a taxa de juros eacute de 6 am
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
4UNIDADE 4
Valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa
Usar as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Valor presente liacutequido
Seccedilatildeo 2 Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs ndash SFA (Price)
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Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa usando as funccedilotildees CF0 CFj e NPV Vocecirc deveraacute ainda fazer uso da funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos usando o Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo ndash SFA ou tabela Price
Seccedilatildeo 1 ndash Valor presente liacutequido
A figura 41 a seguir apresenta as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C que vocecirc usaraacute nessa unidade para realizar caacutelculo de valor presente liacutequido e para a elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos ou financiamento
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor inicial do fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor do fluxo de caixa no periacuteodo j
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula o valor presente atual de um fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula a parte dos pagamentos usada para pagar juros
Figura 41 - Teclas para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
Valor presente liacutequido
Nessa seccedilatildeo vocecirc usaraacute as funccedilotildees da HP ndash 12C para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa Para entender como usar as funccedilotildees CF0 CFj e NPV considere o fluxo de caixa para um investimento que exige capital inicial (CF0) e que gera um fluxo de caixa (CFj ) no final de j periacuteodos
61
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Veja a seguir o fluxo de caixa
CF0CF1
CF2 CF5
CFn
CF3 CF4
O VPL = Valor Presente Liacutequido eacute calculado somando ao investimento inicial o valor presente dos fluxos de caixa futuros projetados Portanto
se o VPL for positivo o valor financeiro do ativo do investidor aumentaraacute ou seja o investimento financeiro seraacute atrativo em termos financeiros
se o VPL for zero o valor financeiro do ativo financeiro do investidor natildeo mudaraacute ou seja o investidor seraacute indiferente ao investimento
se o VPL for negativo o valor financeiro do ativo do investidor seraacute reduzido ou seja o investimento natildeo seraacute atrativo em termos financeiros
Exemplo 41
Um investidor compra uma casa por R$ 7000000 e gostaria de ter um retorno de pelo menos 15 Ele pretende manter a casa por 4 anos e depois vendecirc-la por R$ 11000000 Ele prevecirc os fluxos de caixa mostrados no diagrama abaixo
CF0CF1
CF1
CF3CF4
CF5
R$ 7000000
R$ 50000
R$ 450000R$ 450000
R$ 13000000R$ 550000
Sendo assim calcule o VPL para determinar se o investimento resultaria em um retorno ou perda
62
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Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o VPL
7000000 50000
450000 550000 450000
13000000 15 379007
VPL
Como o VPL eacute positivo o investimento aumentaria o valor financeiro do ativo do investidor
Exemplo 42 (exemplo 4 paacuteg 98 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um proprietaacuterio recebeu as seguintes propostas para a venda de uma casa
Proposta A entrada de R$ 10000000 + R$ 5000000 em 6 meses + R$ 6000000 em 1 ano
Proposta B entrada de R$ 8000000 + R$ 6000000 em 5 meses + R$ 7000000 em 10 meses
Sabendo-se que a taxa de juros de mercado eacute de 3 am qual a melhor proposta para o vendedor
Soluccedilatildeo
Essa questatildeo deve ser resolvida pelo meacutetodo do Valor Presente Liacutequido A alternativa que tiver o maior valor seraacute a melhor Entretanto para facilitar a elaboraccedilatildeo do algoritmo de resoluccedilatildeo na HP ndash 12C elabore o fluxo de caixa para cada situaccedilatildeo
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Unidade 4
1 Proposta A Fluxo de caixa
10000000 5000000 6000000
1 2 3 4 5 7 8 9 10 110 6 12
Calculando o VPL
10000000 000 5
5000000 000
5
6000000
3
18395701
VPL
Armazena o zero 5 vezes
2 Proposta B Fluxo de caixa
8000000 70000006000000
1 2 3 4 6 7 8 90 5 10
Calculando o VPL
8000000 000 4
6000000 000
4
7000000
3
18384310
VPL
Armazena o zero 4 vezes
Resposta a melhor proposta eacute a A
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Exemplo 43
Dois equipamentos satildeo examinados Considerando ser a taxa miacutenima de atratividade de 20aa qual o equipamento que deve ser adquirido
Dados
41 - Tabela de DadosEquipamento K Equipamento L
Custo R$ 5000000 R$ 8000000Custo anual de manutenccedilatildeo R$ 2000000 R$ 1500000Valor residual para venda R$ 400000 R$ 800000Duraccedilatildeo em anos 10 10
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
A seguir veja o diagrama de fluxo de caixa
Os caacutelculos do Valor Presente Liacutequido para as duas situaccedilotildees satildeo
Equipamento K
5000000
Equipamento K
2000000
400000
0 1 2 10
8000000
Equipamento L
1500000
800000
0 1 2 10
50000 20000
9 4000 20000 1
20 -13320342
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Unidade 4
Equipamento L
80000 15000
9 8000 15000 1
20 -14159504
Importante Veja que a alternativa K equivale a um equipamento em que se investe R$ 13320342 enquanto que o equipamento L equivale a um investimento de R$ 14159504 Portanto eacute preferiacutevel o equipamento K pois o investimento eacute menor
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Seccedilatildeo 2 ndash Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs - SFA
Este sistema consiste no pagamento de empreacutestimos ou financiamentos com prestaccedilotildees iguais e com periodicidade constante Eacute considerado o sistema de amortizaccedilatildeo mais utilizado pelas instituiccedilotildees financeiras e pelo comeacutercio em geral
O Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo eacute assim chamado por ter sido inventado na Franccedila por volta do seacuteculo XVIII pelo matemaacutetico inglecircs Richard Price daiacute portanto a origem da denominaccedilatildeo Sistema Price tambeacutem comumente chamado de Tabela Price
Na verdade a Tabela Price eacute um caso particular derivado do Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo Neste sistema o financiamento (PV) eacute pago em parcelas (PMT) iguais constituiacutedas da amortizaccedilatildeo do principal da diacutevida + juros compensatoacuterios (J) que variam inversamente ao longo do tempo Ou seja agrave medida que aumenta o valor da parcela de amortizaccedilatildeo haveraacute uma queda dos juros compensatoacuterios em funccedilatildeo da reduccedilatildeo do saldo devedor
Principais Caracteriacutesticas
As principais caracteriacutesticas do SFA satildeo
a prestaccedilatildeo eacute constante durante todo o periacuteodo do financiamento
a parcela de amortizaccedilatildeo aumenta a cada periacuteodo (n)
os juros compensatoacuterios diminuem a cada periacuteodo (n)
Exemplo 44 (exemplo 1 paacuteg 148 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma instituiccedilatildeo financeira libera um empreacutestimo para uma induacutestria no valor de R$ 60000000 para ser pago pelo sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs em 120 meses a uma taxa de 15 am Faccedila a planilha ateacute o 4ordm mecircs e calcule o saldo devedor no 100ordm mecircs
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Unidade 4
Soluccedilatildeo
A sequecircncia abaixo calcula o valor da prestaccedilatildeo os juros a amortizaccedilatildeo o saldo devedor e valor do saldo devedor no 100ordm mecircs Acompanhe
Zera os registradores
60000000 Armazena o valor presente
120 Armazena o periacuteodo
15 Armazena a taxa
- R$ 1081111 Valor da prestaccedilatildeo
1 - R$ 900000 Valor dos juros da 1ordf parcela
R$ 181111Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 1ordf parcela
R$ 58918889 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 897283 Valor dos juros da 2ordf parcela
- R$ 183828Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 2ordf parcela
R$ 59635061 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 894526 Valor dos juros da 3ordf parcela
- R$ 186585Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 3ordf parcela
R$ 59448476 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 891727 Valor dos juros da 4ordf parcela
- R$ 189384Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 4ordf parcela
R$ 59259092 Recupera o saldo devedor
A tabela a seguir apresenta um resumo das operaccedilotildees realizadas
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Tabela 42 ndash Planilha de amortizaccedilatildeoPeriacuteodo (n) Amortizaccedilatildeo (A) Juros (J) Prestaccedilotildees (R) Saldo Devedor (S)
0 - - - R$ 600000001 R$ 181111 R$ 900000 R$ 1081111 R$ 598188892 R$ 183828 R$ 897283 R$ 1081111 R$ 596350613 R$ 186585 R$ 894526 R$ 1081111 R$ 594484764 R$ 189384 R$ 891727 R$ 1081111 R$ 59259092
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Para determinar o saldo devedor no 100ordm mecircs faccedila como indicado a seguir
60000000 120 150
-1081111 18561247
Prestaccedilatildeo Saldo devedor no 100ordm mecircs
Nesta unidade vocecirc usou as funccedilotildees de fluxo de caixa para calcular o valor presente liacutequido e a funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
69Unidade 4
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Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades a seguir (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 4 e 5 da unidade 7 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegina 102) Em seguida use o programa elaborado para resolver as mesmas questotildees
a) Qual das alternativas de pagamento eacute a melhor para uma taxa de juros compostos de 75 am
Alternativa A Pagamento de R$ 15000000 agrave vista
Alternativa B Entrada de R$ 5000000 + R$ 8000000 em 90 dias + R$ 6000000 em 150 dias
b) Uma pessoa deve a um banco dois tiacutetulos com valores de R$ 300000 e R$ 600000 venciacuteveis respectivamente em 4 meses e 8 meses Se a pessoa deseja antecipar para hoje a liquidaccedilatildeo dos tiacutetulos qual o valor a pagar considerando que o banco opera com uma taxa de juros compostos de 23 am
2 Elabore um algoritmo para resolver as atividades abaixo (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 1 e 4 da unidade 10 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 151 e 153)
a) Um cliente solicita a um banco um empreacutestimo de R$ 4000000 pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs em 60 prestaccedilotildees mensais Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de juros de 28 am obtenha o valor da prestaccedilatildeo e o saldo devedor depois de pagar a 20ordf prestaccedilatildeo
b) Um empreacutestimo de R$ 30000000 seraacute saldado em 50 prestaccedilotildees mensais a uma taxa de 15 am Determine a parcela de juros relativa agrave 15ordf prestaccedilatildeo pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs (price)
70
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Saiba mais
Manual da calculadora HP ndash 12C
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico ndash 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7ed Satildeo Paulo Atlas 2000
Para concluir o estudo
Com o teacutermino desse curso de extensatildeo acreditamos que proporcionamos momentos de aprendizagem por meio da interaccedilatildeo da calculadora financeira e que vocecirc estaacute habilitado(a) a fazer uso dessa ferramenta com qualidade no mercado de trabalho relacionado a essa aacuterea tatildeo importante no nosso dia-a-dia
Referecircncias
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7 ed Satildeo Paulo Atlas 2000
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003 Disponiacutevel em lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt Acesso em 05 jun 2008
Sobre o professor conteudista
Joseacute Humberto Dias de Toledo - eacute Mestre em Educaccedilatildeo pela Universidade do Sul de Santa Catarina Graduado em Licenciatura em Matemaacutetica e em Engenharia Civil Professor das disciplinas Meacutetodos Numeacutericos Informaacutetica Aplicada agrave Matemaacutetica Financeira Caacutelculo I e Matemaacutetica Financeira no Curso de Matemaacutetica ndash Licenciatura nesta mesma instituiccedilatildeo Atualmente ministra a disciplina Representaccedilotildees Graacuteficas na Poacutes-graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo Matemaacutetica da UNISUL
Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo
Unidade 1
1 a) 5
b) -2359
c) 3311
d) 077
e) 081
Respostas modo RPN
a)
b)
c)
d)
e)
Respostas modo ALG
a
b
c
d
e
78
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 R$ 167757
Modo RPN
Modo ALG
3 -242
4 Data 13082008 3 (quarta-feira)
5 Florianoacutepolis = 3303 Curitiba = 5018 Porto Alegre = 1680
Unidade 2
1 1) 150000
Dados
C = R$ 1000000
i = 5 aa
n = 3 anos = 1080 dias
J =
3) 24 meses = 2 anos
Dados
C = R$ 200000
i = 6 aa
n = 24 meses = 720 dias
M =
79
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
85
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
86
Universidade do Sul de Santa Catarina
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
87
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
88
Universidade do Sul de Santa Catarina
55
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
No exemplo acima o nuacutemero de pagamento deu um nuacutemero inteiro Mas podem acontecer situaccedilotildees em que ao se determinar o nuacutemero de parcelas o resultado natildeo seja um nuacutemero inteiro
Nessa situaccedilatildeo a HP ndash 12C arredonda a resposta para o proacuteximo inteiro para cima antes de armazenaacute-la e exibi-la
Exemplo 36
Vocecirc comprou um terreno por R$ 3500000 a juros de 105 aa Vocecirc pretende fazer pagamentos de R$ 32500 no fim de cada mecircs Quantos pagamentos seratildeo necessaacuterios para pagar o terreno e quanto tempo levaraacute
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir apresenta o nuacutemero de pagamentos e o tempo necessaacuterio
3500000 105
32500 328 2733
nordm de parcelas Tempo (anos)
Como a calculadora arredonda o valor do tempo para o proacuteximo inteiro eacute provaacutevel que apesar de serem necessaacuterios 328 pagamentos somente 327 seratildeo inteiros de R$ 32500 com o pagamento final sendo menor do que R$ 32500 Para calcular o valor do pagamento de nuacutemero 328 vamos fazer o seguinte
A calculadora natildeo ajusta os valores nos outros registros financeiros automaticamente para refletir os n pagamentos iguais ao contraacuterio ela lhe permite escolher quais valores (se houver) que vocecirc deseja ajustar
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Universidade do Sul de Santa Catarina
328 18189 - 32500 -14311
Valor da parcela 328
Nesta unidade vocecirc calculou taxas equivalentes usou as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP e fez caacutelculos de pagamentos perioacutedicos de uma seacuterie uniforme antecipado ou postecipado Na proacutexima unidade vamos realizar caacutelculos de valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades abaixo (Essa atividade corresponde agrave autoavaliaccedilatildeo 1 da unidade 5 do livro didaacutetico de Matemaacutetica Financeira) Em seguida use o programa elaborado para resolver a mesma questatildeo
Calcule a taxa anual das seguintes taxas
a) 26 am
b) 42 ab
c) 48 at
d) 12 as
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
2 Elabore um algoritmo para resolver as seguintes atividades (Estas questotildees equivalem agraves autoavaliaccedilotildees 1 2 3 4 e 5 da unidade 8 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 121 122 e 123)
a) Calcule o valor da prestaccedilatildeo mensal de um empreacutestimo de R$ 600000 que seraacute amortizado em 12 prestaccedilotildees mensais postecipadas sabendo que o banco cobra uma taxa de juros de 2 am
b) Uma loja vende um automoacutevel agrave vista por R$ 1650000 Se o comprador quiser fazer um financiamento em 36 parcelas mensais e iguais onde o 1ordm pagamento seraacute efetuado no 1ordm mecircs apoacutes a compra a uma taxa de juros de 21 am qual o valor da prestaccedilatildeo
c) Uma mercadoria custa R$ 9038071 agrave vista podendo ser vendida em prestaccedilotildees mensais de R$ 1050000 sendo a primeira prestaccedilatildeo dada como entrada Sabendo-se que a loja aplica uma taxa de 35 am qual o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas
d) Carlos depositou certa quantia durante 10 meses de forma antecipada a uma taxa de 25 am obtendo um montante de R$ 25000000 Quanto depositou mensalmente Carlos
e) Um produto eacute vendido agrave vista por R$ 200000 ou em 10 prestaccedilotildees mensais iguais sem entrada com uma carecircncia de 90 dias apoacutes a compra Qual o valor de cada prestaccedilatildeo sabendo que a taxa de juros eacute de 6 am
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
4UNIDADE 4
Valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa
Usar as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Valor presente liacutequido
Seccedilatildeo 2 Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs ndash SFA (Price)
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa usando as funccedilotildees CF0 CFj e NPV Vocecirc deveraacute ainda fazer uso da funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos usando o Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo ndash SFA ou tabela Price
Seccedilatildeo 1 ndash Valor presente liacutequido
A figura 41 a seguir apresenta as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C que vocecirc usaraacute nessa unidade para realizar caacutelculo de valor presente liacutequido e para a elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos ou financiamento
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor inicial do fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor do fluxo de caixa no periacuteodo j
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula o valor presente atual de um fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula a parte dos pagamentos usada para pagar juros
Figura 41 - Teclas para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
Valor presente liacutequido
Nessa seccedilatildeo vocecirc usaraacute as funccedilotildees da HP ndash 12C para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa Para entender como usar as funccedilotildees CF0 CFj e NPV considere o fluxo de caixa para um investimento que exige capital inicial (CF0) e que gera um fluxo de caixa (CFj ) no final de j periacuteodos
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Veja a seguir o fluxo de caixa
CF0CF1
CF2 CF5
CFn
CF3 CF4
O VPL = Valor Presente Liacutequido eacute calculado somando ao investimento inicial o valor presente dos fluxos de caixa futuros projetados Portanto
se o VPL for positivo o valor financeiro do ativo do investidor aumentaraacute ou seja o investimento financeiro seraacute atrativo em termos financeiros
se o VPL for zero o valor financeiro do ativo financeiro do investidor natildeo mudaraacute ou seja o investidor seraacute indiferente ao investimento
se o VPL for negativo o valor financeiro do ativo do investidor seraacute reduzido ou seja o investimento natildeo seraacute atrativo em termos financeiros
Exemplo 41
Um investidor compra uma casa por R$ 7000000 e gostaria de ter um retorno de pelo menos 15 Ele pretende manter a casa por 4 anos e depois vendecirc-la por R$ 11000000 Ele prevecirc os fluxos de caixa mostrados no diagrama abaixo
CF0CF1
CF1
CF3CF4
CF5
R$ 7000000
R$ 50000
R$ 450000R$ 450000
R$ 13000000R$ 550000
Sendo assim calcule o VPL para determinar se o investimento resultaria em um retorno ou perda
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o VPL
7000000 50000
450000 550000 450000
13000000 15 379007
VPL
Como o VPL eacute positivo o investimento aumentaria o valor financeiro do ativo do investidor
Exemplo 42 (exemplo 4 paacuteg 98 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um proprietaacuterio recebeu as seguintes propostas para a venda de uma casa
Proposta A entrada de R$ 10000000 + R$ 5000000 em 6 meses + R$ 6000000 em 1 ano
Proposta B entrada de R$ 8000000 + R$ 6000000 em 5 meses + R$ 7000000 em 10 meses
Sabendo-se que a taxa de juros de mercado eacute de 3 am qual a melhor proposta para o vendedor
Soluccedilatildeo
Essa questatildeo deve ser resolvida pelo meacutetodo do Valor Presente Liacutequido A alternativa que tiver o maior valor seraacute a melhor Entretanto para facilitar a elaboraccedilatildeo do algoritmo de resoluccedilatildeo na HP ndash 12C elabore o fluxo de caixa para cada situaccedilatildeo
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
1 Proposta A Fluxo de caixa
10000000 5000000 6000000
1 2 3 4 5 7 8 9 10 110 6 12
Calculando o VPL
10000000 000 5
5000000 000
5
6000000
3
18395701
VPL
Armazena o zero 5 vezes
2 Proposta B Fluxo de caixa
8000000 70000006000000
1 2 3 4 6 7 8 90 5 10
Calculando o VPL
8000000 000 4
6000000 000
4
7000000
3
18384310
VPL
Armazena o zero 4 vezes
Resposta a melhor proposta eacute a A
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Exemplo 43
Dois equipamentos satildeo examinados Considerando ser a taxa miacutenima de atratividade de 20aa qual o equipamento que deve ser adquirido
Dados
41 - Tabela de DadosEquipamento K Equipamento L
Custo R$ 5000000 R$ 8000000Custo anual de manutenccedilatildeo R$ 2000000 R$ 1500000Valor residual para venda R$ 400000 R$ 800000Duraccedilatildeo em anos 10 10
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
A seguir veja o diagrama de fluxo de caixa
Os caacutelculos do Valor Presente Liacutequido para as duas situaccedilotildees satildeo
Equipamento K
5000000
Equipamento K
2000000
400000
0 1 2 10
8000000
Equipamento L
1500000
800000
0 1 2 10
50000 20000
9 4000 20000 1
20 -13320342
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Equipamento L
80000 15000
9 8000 15000 1
20 -14159504
Importante Veja que a alternativa K equivale a um equipamento em que se investe R$ 13320342 enquanto que o equipamento L equivale a um investimento de R$ 14159504 Portanto eacute preferiacutevel o equipamento K pois o investimento eacute menor
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Seccedilatildeo 2 ndash Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs - SFA
Este sistema consiste no pagamento de empreacutestimos ou financiamentos com prestaccedilotildees iguais e com periodicidade constante Eacute considerado o sistema de amortizaccedilatildeo mais utilizado pelas instituiccedilotildees financeiras e pelo comeacutercio em geral
O Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo eacute assim chamado por ter sido inventado na Franccedila por volta do seacuteculo XVIII pelo matemaacutetico inglecircs Richard Price daiacute portanto a origem da denominaccedilatildeo Sistema Price tambeacutem comumente chamado de Tabela Price
Na verdade a Tabela Price eacute um caso particular derivado do Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo Neste sistema o financiamento (PV) eacute pago em parcelas (PMT) iguais constituiacutedas da amortizaccedilatildeo do principal da diacutevida + juros compensatoacuterios (J) que variam inversamente ao longo do tempo Ou seja agrave medida que aumenta o valor da parcela de amortizaccedilatildeo haveraacute uma queda dos juros compensatoacuterios em funccedilatildeo da reduccedilatildeo do saldo devedor
Principais Caracteriacutesticas
As principais caracteriacutesticas do SFA satildeo
a prestaccedilatildeo eacute constante durante todo o periacuteodo do financiamento
a parcela de amortizaccedilatildeo aumenta a cada periacuteodo (n)
os juros compensatoacuterios diminuem a cada periacuteodo (n)
Exemplo 44 (exemplo 1 paacuteg 148 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma instituiccedilatildeo financeira libera um empreacutestimo para uma induacutestria no valor de R$ 60000000 para ser pago pelo sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs em 120 meses a uma taxa de 15 am Faccedila a planilha ateacute o 4ordm mecircs e calcule o saldo devedor no 100ordm mecircs
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Soluccedilatildeo
A sequecircncia abaixo calcula o valor da prestaccedilatildeo os juros a amortizaccedilatildeo o saldo devedor e valor do saldo devedor no 100ordm mecircs Acompanhe
Zera os registradores
60000000 Armazena o valor presente
120 Armazena o periacuteodo
15 Armazena a taxa
- R$ 1081111 Valor da prestaccedilatildeo
1 - R$ 900000 Valor dos juros da 1ordf parcela
R$ 181111Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 1ordf parcela
R$ 58918889 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 897283 Valor dos juros da 2ordf parcela
- R$ 183828Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 2ordf parcela
R$ 59635061 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 894526 Valor dos juros da 3ordf parcela
- R$ 186585Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 3ordf parcela
R$ 59448476 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 891727 Valor dos juros da 4ordf parcela
- R$ 189384Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 4ordf parcela
R$ 59259092 Recupera o saldo devedor
A tabela a seguir apresenta um resumo das operaccedilotildees realizadas
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Tabela 42 ndash Planilha de amortizaccedilatildeoPeriacuteodo (n) Amortizaccedilatildeo (A) Juros (J) Prestaccedilotildees (R) Saldo Devedor (S)
0 - - - R$ 600000001 R$ 181111 R$ 900000 R$ 1081111 R$ 598188892 R$ 183828 R$ 897283 R$ 1081111 R$ 596350613 R$ 186585 R$ 894526 R$ 1081111 R$ 594484764 R$ 189384 R$ 891727 R$ 1081111 R$ 59259092
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Para determinar o saldo devedor no 100ordm mecircs faccedila como indicado a seguir
60000000 120 150
-1081111 18561247
Prestaccedilatildeo Saldo devedor no 100ordm mecircs
Nesta unidade vocecirc usou as funccedilotildees de fluxo de caixa para calcular o valor presente liacutequido e a funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
69Unidade 4
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades a seguir (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 4 e 5 da unidade 7 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegina 102) Em seguida use o programa elaborado para resolver as mesmas questotildees
a) Qual das alternativas de pagamento eacute a melhor para uma taxa de juros compostos de 75 am
Alternativa A Pagamento de R$ 15000000 agrave vista
Alternativa B Entrada de R$ 5000000 + R$ 8000000 em 90 dias + R$ 6000000 em 150 dias
b) Uma pessoa deve a um banco dois tiacutetulos com valores de R$ 300000 e R$ 600000 venciacuteveis respectivamente em 4 meses e 8 meses Se a pessoa deseja antecipar para hoje a liquidaccedilatildeo dos tiacutetulos qual o valor a pagar considerando que o banco opera com uma taxa de juros compostos de 23 am
2 Elabore um algoritmo para resolver as atividades abaixo (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 1 e 4 da unidade 10 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 151 e 153)
a) Um cliente solicita a um banco um empreacutestimo de R$ 4000000 pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs em 60 prestaccedilotildees mensais Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de juros de 28 am obtenha o valor da prestaccedilatildeo e o saldo devedor depois de pagar a 20ordf prestaccedilatildeo
b) Um empreacutestimo de R$ 30000000 seraacute saldado em 50 prestaccedilotildees mensais a uma taxa de 15 am Determine a parcela de juros relativa agrave 15ordf prestaccedilatildeo pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs (price)
70
Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
Manual da calculadora HP ndash 12C
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico ndash 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7ed Satildeo Paulo Atlas 2000
Para concluir o estudo
Com o teacutermino desse curso de extensatildeo acreditamos que proporcionamos momentos de aprendizagem por meio da interaccedilatildeo da calculadora financeira e que vocecirc estaacute habilitado(a) a fazer uso dessa ferramenta com qualidade no mercado de trabalho relacionado a essa aacuterea tatildeo importante no nosso dia-a-dia
Referecircncias
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7 ed Satildeo Paulo Atlas 2000
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003 Disponiacutevel em lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt Acesso em 05 jun 2008
Sobre o professor conteudista
Joseacute Humberto Dias de Toledo - eacute Mestre em Educaccedilatildeo pela Universidade do Sul de Santa Catarina Graduado em Licenciatura em Matemaacutetica e em Engenharia Civil Professor das disciplinas Meacutetodos Numeacutericos Informaacutetica Aplicada agrave Matemaacutetica Financeira Caacutelculo I e Matemaacutetica Financeira no Curso de Matemaacutetica ndash Licenciatura nesta mesma instituiccedilatildeo Atualmente ministra a disciplina Representaccedilotildees Graacuteficas na Poacutes-graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo Matemaacutetica da UNISUL
Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo
Unidade 1
1 a) 5
b) -2359
c) 3311
d) 077
e) 081
Respostas modo RPN
a)
b)
c)
d)
e)
Respostas modo ALG
a
b
c
d
e
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Universidade do Sul de Santa Catarina
2 R$ 167757
Modo RPN
Modo ALG
3 -242
4 Data 13082008 3 (quarta-feira)
5 Florianoacutepolis = 3303 Curitiba = 5018 Porto Alegre = 1680
Unidade 2
1 1) 150000
Dados
C = R$ 1000000
i = 5 aa
n = 3 anos = 1080 dias
J =
3) 24 meses = 2 anos
Dados
C = R$ 200000
i = 6 aa
n = 24 meses = 720 dias
M =
79
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
85
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
86
Universidade do Sul de Santa Catarina
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
87
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
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56
Universidade do Sul de Santa Catarina
328 18189 - 32500 -14311
Valor da parcela 328
Nesta unidade vocecirc calculou taxas equivalentes usou as funccedilotildees de programaccedilatildeo da HP e fez caacutelculos de pagamentos perioacutedicos de uma seacuterie uniforme antecipado ou postecipado Na proacutexima unidade vamos realizar caacutelculos de valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades abaixo (Essa atividade corresponde agrave autoavaliaccedilatildeo 1 da unidade 5 do livro didaacutetico de Matemaacutetica Financeira) Em seguida use o programa elaborado para resolver a mesma questatildeo
Calcule a taxa anual das seguintes taxas
a) 26 am
b) 42 ab
c) 48 at
d) 12 as
57
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
2 Elabore um algoritmo para resolver as seguintes atividades (Estas questotildees equivalem agraves autoavaliaccedilotildees 1 2 3 4 e 5 da unidade 8 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 121 122 e 123)
a) Calcule o valor da prestaccedilatildeo mensal de um empreacutestimo de R$ 600000 que seraacute amortizado em 12 prestaccedilotildees mensais postecipadas sabendo que o banco cobra uma taxa de juros de 2 am
b) Uma loja vende um automoacutevel agrave vista por R$ 1650000 Se o comprador quiser fazer um financiamento em 36 parcelas mensais e iguais onde o 1ordm pagamento seraacute efetuado no 1ordm mecircs apoacutes a compra a uma taxa de juros de 21 am qual o valor da prestaccedilatildeo
c) Uma mercadoria custa R$ 9038071 agrave vista podendo ser vendida em prestaccedilotildees mensais de R$ 1050000 sendo a primeira prestaccedilatildeo dada como entrada Sabendo-se que a loja aplica uma taxa de 35 am qual o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas
d) Carlos depositou certa quantia durante 10 meses de forma antecipada a uma taxa de 25 am obtendo um montante de R$ 25000000 Quanto depositou mensalmente Carlos
e) Um produto eacute vendido agrave vista por R$ 200000 ou em 10 prestaccedilotildees mensais iguais sem entrada com uma carecircncia de 90 dias apoacutes a compra Qual o valor de cada prestaccedilatildeo sabendo que a taxa de juros eacute de 6 am
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
4UNIDADE 4
Valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa
Usar as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Valor presente liacutequido
Seccedilatildeo 2 Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs ndash SFA (Price)
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa usando as funccedilotildees CF0 CFj e NPV Vocecirc deveraacute ainda fazer uso da funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos usando o Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo ndash SFA ou tabela Price
Seccedilatildeo 1 ndash Valor presente liacutequido
A figura 41 a seguir apresenta as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C que vocecirc usaraacute nessa unidade para realizar caacutelculo de valor presente liacutequido e para a elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos ou financiamento
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor inicial do fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor do fluxo de caixa no periacuteodo j
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula o valor presente atual de um fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula a parte dos pagamentos usada para pagar juros
Figura 41 - Teclas para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
Valor presente liacutequido
Nessa seccedilatildeo vocecirc usaraacute as funccedilotildees da HP ndash 12C para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa Para entender como usar as funccedilotildees CF0 CFj e NPV considere o fluxo de caixa para um investimento que exige capital inicial (CF0) e que gera um fluxo de caixa (CFj ) no final de j periacuteodos
61
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Veja a seguir o fluxo de caixa
CF0CF1
CF2 CF5
CFn
CF3 CF4
O VPL = Valor Presente Liacutequido eacute calculado somando ao investimento inicial o valor presente dos fluxos de caixa futuros projetados Portanto
se o VPL for positivo o valor financeiro do ativo do investidor aumentaraacute ou seja o investimento financeiro seraacute atrativo em termos financeiros
se o VPL for zero o valor financeiro do ativo financeiro do investidor natildeo mudaraacute ou seja o investidor seraacute indiferente ao investimento
se o VPL for negativo o valor financeiro do ativo do investidor seraacute reduzido ou seja o investimento natildeo seraacute atrativo em termos financeiros
Exemplo 41
Um investidor compra uma casa por R$ 7000000 e gostaria de ter um retorno de pelo menos 15 Ele pretende manter a casa por 4 anos e depois vendecirc-la por R$ 11000000 Ele prevecirc os fluxos de caixa mostrados no diagrama abaixo
CF0CF1
CF1
CF3CF4
CF5
R$ 7000000
R$ 50000
R$ 450000R$ 450000
R$ 13000000R$ 550000
Sendo assim calcule o VPL para determinar se o investimento resultaria em um retorno ou perda
62
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Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o VPL
7000000 50000
450000 550000 450000
13000000 15 379007
VPL
Como o VPL eacute positivo o investimento aumentaria o valor financeiro do ativo do investidor
Exemplo 42 (exemplo 4 paacuteg 98 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um proprietaacuterio recebeu as seguintes propostas para a venda de uma casa
Proposta A entrada de R$ 10000000 + R$ 5000000 em 6 meses + R$ 6000000 em 1 ano
Proposta B entrada de R$ 8000000 + R$ 6000000 em 5 meses + R$ 7000000 em 10 meses
Sabendo-se que a taxa de juros de mercado eacute de 3 am qual a melhor proposta para o vendedor
Soluccedilatildeo
Essa questatildeo deve ser resolvida pelo meacutetodo do Valor Presente Liacutequido A alternativa que tiver o maior valor seraacute a melhor Entretanto para facilitar a elaboraccedilatildeo do algoritmo de resoluccedilatildeo na HP ndash 12C elabore o fluxo de caixa para cada situaccedilatildeo
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
1 Proposta A Fluxo de caixa
10000000 5000000 6000000
1 2 3 4 5 7 8 9 10 110 6 12
Calculando o VPL
10000000 000 5
5000000 000
5
6000000
3
18395701
VPL
Armazena o zero 5 vezes
2 Proposta B Fluxo de caixa
8000000 70000006000000
1 2 3 4 6 7 8 90 5 10
Calculando o VPL
8000000 000 4
6000000 000
4
7000000
3
18384310
VPL
Armazena o zero 4 vezes
Resposta a melhor proposta eacute a A
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Exemplo 43
Dois equipamentos satildeo examinados Considerando ser a taxa miacutenima de atratividade de 20aa qual o equipamento que deve ser adquirido
Dados
41 - Tabela de DadosEquipamento K Equipamento L
Custo R$ 5000000 R$ 8000000Custo anual de manutenccedilatildeo R$ 2000000 R$ 1500000Valor residual para venda R$ 400000 R$ 800000Duraccedilatildeo em anos 10 10
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
A seguir veja o diagrama de fluxo de caixa
Os caacutelculos do Valor Presente Liacutequido para as duas situaccedilotildees satildeo
Equipamento K
5000000
Equipamento K
2000000
400000
0 1 2 10
8000000
Equipamento L
1500000
800000
0 1 2 10
50000 20000
9 4000 20000 1
20 -13320342
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Unidade 4
Equipamento L
80000 15000
9 8000 15000 1
20 -14159504
Importante Veja que a alternativa K equivale a um equipamento em que se investe R$ 13320342 enquanto que o equipamento L equivale a um investimento de R$ 14159504 Portanto eacute preferiacutevel o equipamento K pois o investimento eacute menor
66
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Seccedilatildeo 2 ndash Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs - SFA
Este sistema consiste no pagamento de empreacutestimos ou financiamentos com prestaccedilotildees iguais e com periodicidade constante Eacute considerado o sistema de amortizaccedilatildeo mais utilizado pelas instituiccedilotildees financeiras e pelo comeacutercio em geral
O Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo eacute assim chamado por ter sido inventado na Franccedila por volta do seacuteculo XVIII pelo matemaacutetico inglecircs Richard Price daiacute portanto a origem da denominaccedilatildeo Sistema Price tambeacutem comumente chamado de Tabela Price
Na verdade a Tabela Price eacute um caso particular derivado do Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo Neste sistema o financiamento (PV) eacute pago em parcelas (PMT) iguais constituiacutedas da amortizaccedilatildeo do principal da diacutevida + juros compensatoacuterios (J) que variam inversamente ao longo do tempo Ou seja agrave medida que aumenta o valor da parcela de amortizaccedilatildeo haveraacute uma queda dos juros compensatoacuterios em funccedilatildeo da reduccedilatildeo do saldo devedor
Principais Caracteriacutesticas
As principais caracteriacutesticas do SFA satildeo
a prestaccedilatildeo eacute constante durante todo o periacuteodo do financiamento
a parcela de amortizaccedilatildeo aumenta a cada periacuteodo (n)
os juros compensatoacuterios diminuem a cada periacuteodo (n)
Exemplo 44 (exemplo 1 paacuteg 148 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma instituiccedilatildeo financeira libera um empreacutestimo para uma induacutestria no valor de R$ 60000000 para ser pago pelo sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs em 120 meses a uma taxa de 15 am Faccedila a planilha ateacute o 4ordm mecircs e calcule o saldo devedor no 100ordm mecircs
67
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Soluccedilatildeo
A sequecircncia abaixo calcula o valor da prestaccedilatildeo os juros a amortizaccedilatildeo o saldo devedor e valor do saldo devedor no 100ordm mecircs Acompanhe
Zera os registradores
60000000 Armazena o valor presente
120 Armazena o periacuteodo
15 Armazena a taxa
- R$ 1081111 Valor da prestaccedilatildeo
1 - R$ 900000 Valor dos juros da 1ordf parcela
R$ 181111Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 1ordf parcela
R$ 58918889 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 897283 Valor dos juros da 2ordf parcela
- R$ 183828Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 2ordf parcela
R$ 59635061 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 894526 Valor dos juros da 3ordf parcela
- R$ 186585Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 3ordf parcela
R$ 59448476 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 891727 Valor dos juros da 4ordf parcela
- R$ 189384Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 4ordf parcela
R$ 59259092 Recupera o saldo devedor
A tabela a seguir apresenta um resumo das operaccedilotildees realizadas
68
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Tabela 42 ndash Planilha de amortizaccedilatildeoPeriacuteodo (n) Amortizaccedilatildeo (A) Juros (J) Prestaccedilotildees (R) Saldo Devedor (S)
0 - - - R$ 600000001 R$ 181111 R$ 900000 R$ 1081111 R$ 598188892 R$ 183828 R$ 897283 R$ 1081111 R$ 596350613 R$ 186585 R$ 894526 R$ 1081111 R$ 594484764 R$ 189384 R$ 891727 R$ 1081111 R$ 59259092
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Para determinar o saldo devedor no 100ordm mecircs faccedila como indicado a seguir
60000000 120 150
-1081111 18561247
Prestaccedilatildeo Saldo devedor no 100ordm mecircs
Nesta unidade vocecirc usou as funccedilotildees de fluxo de caixa para calcular o valor presente liacutequido e a funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
69Unidade 4
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades a seguir (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 4 e 5 da unidade 7 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegina 102) Em seguida use o programa elaborado para resolver as mesmas questotildees
a) Qual das alternativas de pagamento eacute a melhor para uma taxa de juros compostos de 75 am
Alternativa A Pagamento de R$ 15000000 agrave vista
Alternativa B Entrada de R$ 5000000 + R$ 8000000 em 90 dias + R$ 6000000 em 150 dias
b) Uma pessoa deve a um banco dois tiacutetulos com valores de R$ 300000 e R$ 600000 venciacuteveis respectivamente em 4 meses e 8 meses Se a pessoa deseja antecipar para hoje a liquidaccedilatildeo dos tiacutetulos qual o valor a pagar considerando que o banco opera com uma taxa de juros compostos de 23 am
2 Elabore um algoritmo para resolver as atividades abaixo (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 1 e 4 da unidade 10 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 151 e 153)
a) Um cliente solicita a um banco um empreacutestimo de R$ 4000000 pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs em 60 prestaccedilotildees mensais Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de juros de 28 am obtenha o valor da prestaccedilatildeo e o saldo devedor depois de pagar a 20ordf prestaccedilatildeo
b) Um empreacutestimo de R$ 30000000 seraacute saldado em 50 prestaccedilotildees mensais a uma taxa de 15 am Determine a parcela de juros relativa agrave 15ordf prestaccedilatildeo pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs (price)
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
Manual da calculadora HP ndash 12C
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico ndash 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7ed Satildeo Paulo Atlas 2000
Para concluir o estudo
Com o teacutermino desse curso de extensatildeo acreditamos que proporcionamos momentos de aprendizagem por meio da interaccedilatildeo da calculadora financeira e que vocecirc estaacute habilitado(a) a fazer uso dessa ferramenta com qualidade no mercado de trabalho relacionado a essa aacuterea tatildeo importante no nosso dia-a-dia
Referecircncias
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7 ed Satildeo Paulo Atlas 2000
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003 Disponiacutevel em lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt Acesso em 05 jun 2008
Sobre o professor conteudista
Joseacute Humberto Dias de Toledo - eacute Mestre em Educaccedilatildeo pela Universidade do Sul de Santa Catarina Graduado em Licenciatura em Matemaacutetica e em Engenharia Civil Professor das disciplinas Meacutetodos Numeacutericos Informaacutetica Aplicada agrave Matemaacutetica Financeira Caacutelculo I e Matemaacutetica Financeira no Curso de Matemaacutetica ndash Licenciatura nesta mesma instituiccedilatildeo Atualmente ministra a disciplina Representaccedilotildees Graacuteficas na Poacutes-graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo Matemaacutetica da UNISUL
Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo
Unidade 1
1 a) 5
b) -2359
c) 3311
d) 077
e) 081
Respostas modo RPN
a)
b)
c)
d)
e)
Respostas modo ALG
a
b
c
d
e
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2 R$ 167757
Modo RPN
Modo ALG
3 -242
4 Data 13082008 3 (quarta-feira)
5 Florianoacutepolis = 3303 Curitiba = 5018 Porto Alegre = 1680
Unidade 2
1 1) 150000
Dados
C = R$ 1000000
i = 5 aa
n = 3 anos = 1080 dias
J =
3) 24 meses = 2 anos
Dados
C = R$ 200000
i = 6 aa
n = 24 meses = 720 dias
M =
79
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
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Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
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Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
85
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
86
Universidade do Sul de Santa Catarina
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
87
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 3
2 Elabore um algoritmo para resolver as seguintes atividades (Estas questotildees equivalem agraves autoavaliaccedilotildees 1 2 3 4 e 5 da unidade 8 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 121 122 e 123)
a) Calcule o valor da prestaccedilatildeo mensal de um empreacutestimo de R$ 600000 que seraacute amortizado em 12 prestaccedilotildees mensais postecipadas sabendo que o banco cobra uma taxa de juros de 2 am
b) Uma loja vende um automoacutevel agrave vista por R$ 1650000 Se o comprador quiser fazer um financiamento em 36 parcelas mensais e iguais onde o 1ordm pagamento seraacute efetuado no 1ordm mecircs apoacutes a compra a uma taxa de juros de 21 am qual o valor da prestaccedilatildeo
c) Uma mercadoria custa R$ 9038071 agrave vista podendo ser vendida em prestaccedilotildees mensais de R$ 1050000 sendo a primeira prestaccedilatildeo dada como entrada Sabendo-se que a loja aplica uma taxa de 35 am qual o nuacutemero de prestaccedilotildees pagas
d) Carlos depositou certa quantia durante 10 meses de forma antecipada a uma taxa de 25 am obtendo um montante de R$ 25000000 Quanto depositou mensalmente Carlos
e) Um produto eacute vendido agrave vista por R$ 200000 ou em 10 prestaccedilotildees mensais iguais sem entrada com uma carecircncia de 90 dias apoacutes a compra Qual o valor de cada prestaccedilatildeo sabendo que a taxa de juros eacute de 6 am
Saiba mais
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
4UNIDADE 4
Valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa
Usar as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Valor presente liacutequido
Seccedilatildeo 2 Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs ndash SFA (Price)
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa usando as funccedilotildees CF0 CFj e NPV Vocecirc deveraacute ainda fazer uso da funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos usando o Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo ndash SFA ou tabela Price
Seccedilatildeo 1 ndash Valor presente liacutequido
A figura 41 a seguir apresenta as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C que vocecirc usaraacute nessa unidade para realizar caacutelculo de valor presente liacutequido e para a elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos ou financiamento
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor inicial do fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor do fluxo de caixa no periacuteodo j
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula o valor presente atual de um fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula a parte dos pagamentos usada para pagar juros
Figura 41 - Teclas para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
Valor presente liacutequido
Nessa seccedilatildeo vocecirc usaraacute as funccedilotildees da HP ndash 12C para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa Para entender como usar as funccedilotildees CF0 CFj e NPV considere o fluxo de caixa para um investimento que exige capital inicial (CF0) e que gera um fluxo de caixa (CFj ) no final de j periacuteodos
61
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Veja a seguir o fluxo de caixa
CF0CF1
CF2 CF5
CFn
CF3 CF4
O VPL = Valor Presente Liacutequido eacute calculado somando ao investimento inicial o valor presente dos fluxos de caixa futuros projetados Portanto
se o VPL for positivo o valor financeiro do ativo do investidor aumentaraacute ou seja o investimento financeiro seraacute atrativo em termos financeiros
se o VPL for zero o valor financeiro do ativo financeiro do investidor natildeo mudaraacute ou seja o investidor seraacute indiferente ao investimento
se o VPL for negativo o valor financeiro do ativo do investidor seraacute reduzido ou seja o investimento natildeo seraacute atrativo em termos financeiros
Exemplo 41
Um investidor compra uma casa por R$ 7000000 e gostaria de ter um retorno de pelo menos 15 Ele pretende manter a casa por 4 anos e depois vendecirc-la por R$ 11000000 Ele prevecirc os fluxos de caixa mostrados no diagrama abaixo
CF0CF1
CF1
CF3CF4
CF5
R$ 7000000
R$ 50000
R$ 450000R$ 450000
R$ 13000000R$ 550000
Sendo assim calcule o VPL para determinar se o investimento resultaria em um retorno ou perda
62
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Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o VPL
7000000 50000
450000 550000 450000
13000000 15 379007
VPL
Como o VPL eacute positivo o investimento aumentaria o valor financeiro do ativo do investidor
Exemplo 42 (exemplo 4 paacuteg 98 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um proprietaacuterio recebeu as seguintes propostas para a venda de uma casa
Proposta A entrada de R$ 10000000 + R$ 5000000 em 6 meses + R$ 6000000 em 1 ano
Proposta B entrada de R$ 8000000 + R$ 6000000 em 5 meses + R$ 7000000 em 10 meses
Sabendo-se que a taxa de juros de mercado eacute de 3 am qual a melhor proposta para o vendedor
Soluccedilatildeo
Essa questatildeo deve ser resolvida pelo meacutetodo do Valor Presente Liacutequido A alternativa que tiver o maior valor seraacute a melhor Entretanto para facilitar a elaboraccedilatildeo do algoritmo de resoluccedilatildeo na HP ndash 12C elabore o fluxo de caixa para cada situaccedilatildeo
63
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Unidade 4
1 Proposta A Fluxo de caixa
10000000 5000000 6000000
1 2 3 4 5 7 8 9 10 110 6 12
Calculando o VPL
10000000 000 5
5000000 000
5
6000000
3
18395701
VPL
Armazena o zero 5 vezes
2 Proposta B Fluxo de caixa
8000000 70000006000000
1 2 3 4 6 7 8 90 5 10
Calculando o VPL
8000000 000 4
6000000 000
4
7000000
3
18384310
VPL
Armazena o zero 4 vezes
Resposta a melhor proposta eacute a A
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Exemplo 43
Dois equipamentos satildeo examinados Considerando ser a taxa miacutenima de atratividade de 20aa qual o equipamento que deve ser adquirido
Dados
41 - Tabela de DadosEquipamento K Equipamento L
Custo R$ 5000000 R$ 8000000Custo anual de manutenccedilatildeo R$ 2000000 R$ 1500000Valor residual para venda R$ 400000 R$ 800000Duraccedilatildeo em anos 10 10
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
A seguir veja o diagrama de fluxo de caixa
Os caacutelculos do Valor Presente Liacutequido para as duas situaccedilotildees satildeo
Equipamento K
5000000
Equipamento K
2000000
400000
0 1 2 10
8000000
Equipamento L
1500000
800000
0 1 2 10
50000 20000
9 4000 20000 1
20 -13320342
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Unidade 4
Equipamento L
80000 15000
9 8000 15000 1
20 -14159504
Importante Veja que a alternativa K equivale a um equipamento em que se investe R$ 13320342 enquanto que o equipamento L equivale a um investimento de R$ 14159504 Portanto eacute preferiacutevel o equipamento K pois o investimento eacute menor
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Seccedilatildeo 2 ndash Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs - SFA
Este sistema consiste no pagamento de empreacutestimos ou financiamentos com prestaccedilotildees iguais e com periodicidade constante Eacute considerado o sistema de amortizaccedilatildeo mais utilizado pelas instituiccedilotildees financeiras e pelo comeacutercio em geral
O Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo eacute assim chamado por ter sido inventado na Franccedila por volta do seacuteculo XVIII pelo matemaacutetico inglecircs Richard Price daiacute portanto a origem da denominaccedilatildeo Sistema Price tambeacutem comumente chamado de Tabela Price
Na verdade a Tabela Price eacute um caso particular derivado do Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo Neste sistema o financiamento (PV) eacute pago em parcelas (PMT) iguais constituiacutedas da amortizaccedilatildeo do principal da diacutevida + juros compensatoacuterios (J) que variam inversamente ao longo do tempo Ou seja agrave medida que aumenta o valor da parcela de amortizaccedilatildeo haveraacute uma queda dos juros compensatoacuterios em funccedilatildeo da reduccedilatildeo do saldo devedor
Principais Caracteriacutesticas
As principais caracteriacutesticas do SFA satildeo
a prestaccedilatildeo eacute constante durante todo o periacuteodo do financiamento
a parcela de amortizaccedilatildeo aumenta a cada periacuteodo (n)
os juros compensatoacuterios diminuem a cada periacuteodo (n)
Exemplo 44 (exemplo 1 paacuteg 148 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma instituiccedilatildeo financeira libera um empreacutestimo para uma induacutestria no valor de R$ 60000000 para ser pago pelo sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs em 120 meses a uma taxa de 15 am Faccedila a planilha ateacute o 4ordm mecircs e calcule o saldo devedor no 100ordm mecircs
67
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Soluccedilatildeo
A sequecircncia abaixo calcula o valor da prestaccedilatildeo os juros a amortizaccedilatildeo o saldo devedor e valor do saldo devedor no 100ordm mecircs Acompanhe
Zera os registradores
60000000 Armazena o valor presente
120 Armazena o periacuteodo
15 Armazena a taxa
- R$ 1081111 Valor da prestaccedilatildeo
1 - R$ 900000 Valor dos juros da 1ordf parcela
R$ 181111Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 1ordf parcela
R$ 58918889 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 897283 Valor dos juros da 2ordf parcela
- R$ 183828Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 2ordf parcela
R$ 59635061 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 894526 Valor dos juros da 3ordf parcela
- R$ 186585Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 3ordf parcela
R$ 59448476 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 891727 Valor dos juros da 4ordf parcela
- R$ 189384Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 4ordf parcela
R$ 59259092 Recupera o saldo devedor
A tabela a seguir apresenta um resumo das operaccedilotildees realizadas
68
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Tabela 42 ndash Planilha de amortizaccedilatildeoPeriacuteodo (n) Amortizaccedilatildeo (A) Juros (J) Prestaccedilotildees (R) Saldo Devedor (S)
0 - - - R$ 600000001 R$ 181111 R$ 900000 R$ 1081111 R$ 598188892 R$ 183828 R$ 897283 R$ 1081111 R$ 596350613 R$ 186585 R$ 894526 R$ 1081111 R$ 594484764 R$ 189384 R$ 891727 R$ 1081111 R$ 59259092
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Para determinar o saldo devedor no 100ordm mecircs faccedila como indicado a seguir
60000000 120 150
-1081111 18561247
Prestaccedilatildeo Saldo devedor no 100ordm mecircs
Nesta unidade vocecirc usou as funccedilotildees de fluxo de caixa para calcular o valor presente liacutequido e a funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
69Unidade 4
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades a seguir (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 4 e 5 da unidade 7 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegina 102) Em seguida use o programa elaborado para resolver as mesmas questotildees
a) Qual das alternativas de pagamento eacute a melhor para uma taxa de juros compostos de 75 am
Alternativa A Pagamento de R$ 15000000 agrave vista
Alternativa B Entrada de R$ 5000000 + R$ 8000000 em 90 dias + R$ 6000000 em 150 dias
b) Uma pessoa deve a um banco dois tiacutetulos com valores de R$ 300000 e R$ 600000 venciacuteveis respectivamente em 4 meses e 8 meses Se a pessoa deseja antecipar para hoje a liquidaccedilatildeo dos tiacutetulos qual o valor a pagar considerando que o banco opera com uma taxa de juros compostos de 23 am
2 Elabore um algoritmo para resolver as atividades abaixo (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 1 e 4 da unidade 10 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 151 e 153)
a) Um cliente solicita a um banco um empreacutestimo de R$ 4000000 pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs em 60 prestaccedilotildees mensais Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de juros de 28 am obtenha o valor da prestaccedilatildeo e o saldo devedor depois de pagar a 20ordf prestaccedilatildeo
b) Um empreacutestimo de R$ 30000000 seraacute saldado em 50 prestaccedilotildees mensais a uma taxa de 15 am Determine a parcela de juros relativa agrave 15ordf prestaccedilatildeo pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs (price)
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Saiba mais
Manual da calculadora HP ndash 12C
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico ndash 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7ed Satildeo Paulo Atlas 2000
Para concluir o estudo
Com o teacutermino desse curso de extensatildeo acreditamos que proporcionamos momentos de aprendizagem por meio da interaccedilatildeo da calculadora financeira e que vocecirc estaacute habilitado(a) a fazer uso dessa ferramenta com qualidade no mercado de trabalho relacionado a essa aacuterea tatildeo importante no nosso dia-a-dia
Referecircncias
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7 ed Satildeo Paulo Atlas 2000
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003 Disponiacutevel em lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt Acesso em 05 jun 2008
Sobre o professor conteudista
Joseacute Humberto Dias de Toledo - eacute Mestre em Educaccedilatildeo pela Universidade do Sul de Santa Catarina Graduado em Licenciatura em Matemaacutetica e em Engenharia Civil Professor das disciplinas Meacutetodos Numeacutericos Informaacutetica Aplicada agrave Matemaacutetica Financeira Caacutelculo I e Matemaacutetica Financeira no Curso de Matemaacutetica ndash Licenciatura nesta mesma instituiccedilatildeo Atualmente ministra a disciplina Representaccedilotildees Graacuteficas na Poacutes-graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo Matemaacutetica da UNISUL
Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo
Unidade 1
1 a) 5
b) -2359
c) 3311
d) 077
e) 081
Respostas modo RPN
a)
b)
c)
d)
e)
Respostas modo ALG
a
b
c
d
e
78
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 R$ 167757
Modo RPN
Modo ALG
3 -242
4 Data 13082008 3 (quarta-feira)
5 Florianoacutepolis = 3303 Curitiba = 5018 Porto Alegre = 1680
Unidade 2
1 1) 150000
Dados
C = R$ 1000000
i = 5 aa
n = 3 anos = 1080 dias
J =
3) 24 meses = 2 anos
Dados
C = R$ 200000
i = 6 aa
n = 24 meses = 720 dias
M =
79
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
85
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
86
Universidade do Sul de Santa Catarina
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
87
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
88
Universidade do Sul de Santa Catarina
4UNIDADE 4
Valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Objetivos de aprendizagem
Usar a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa
Usar as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Seccedilotildees de estudo
Seccedilatildeo 1 Valor presente liacutequido
Seccedilatildeo 2 Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs ndash SFA (Price)
60
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa usando as funccedilotildees CF0 CFj e NPV Vocecirc deveraacute ainda fazer uso da funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos usando o Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo ndash SFA ou tabela Price
Seccedilatildeo 1 ndash Valor presente liacutequido
A figura 41 a seguir apresenta as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C que vocecirc usaraacute nessa unidade para realizar caacutelculo de valor presente liacutequido e para a elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos ou financiamento
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor inicial do fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor do fluxo de caixa no periacuteodo j
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula o valor presente atual de um fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula a parte dos pagamentos usada para pagar juros
Figura 41 - Teclas para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
Valor presente liacutequido
Nessa seccedilatildeo vocecirc usaraacute as funccedilotildees da HP ndash 12C para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa Para entender como usar as funccedilotildees CF0 CFj e NPV considere o fluxo de caixa para um investimento que exige capital inicial (CF0) e que gera um fluxo de caixa (CFj ) no final de j periacuteodos
61
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Veja a seguir o fluxo de caixa
CF0CF1
CF2 CF5
CFn
CF3 CF4
O VPL = Valor Presente Liacutequido eacute calculado somando ao investimento inicial o valor presente dos fluxos de caixa futuros projetados Portanto
se o VPL for positivo o valor financeiro do ativo do investidor aumentaraacute ou seja o investimento financeiro seraacute atrativo em termos financeiros
se o VPL for zero o valor financeiro do ativo financeiro do investidor natildeo mudaraacute ou seja o investidor seraacute indiferente ao investimento
se o VPL for negativo o valor financeiro do ativo do investidor seraacute reduzido ou seja o investimento natildeo seraacute atrativo em termos financeiros
Exemplo 41
Um investidor compra uma casa por R$ 7000000 e gostaria de ter um retorno de pelo menos 15 Ele pretende manter a casa por 4 anos e depois vendecirc-la por R$ 11000000 Ele prevecirc os fluxos de caixa mostrados no diagrama abaixo
CF0CF1
CF1
CF3CF4
CF5
R$ 7000000
R$ 50000
R$ 450000R$ 450000
R$ 13000000R$ 550000
Sendo assim calcule o VPL para determinar se o investimento resultaria em um retorno ou perda
62
Universidade do Sul de Santa Catarina
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o VPL
7000000 50000
450000 550000 450000
13000000 15 379007
VPL
Como o VPL eacute positivo o investimento aumentaria o valor financeiro do ativo do investidor
Exemplo 42 (exemplo 4 paacuteg 98 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um proprietaacuterio recebeu as seguintes propostas para a venda de uma casa
Proposta A entrada de R$ 10000000 + R$ 5000000 em 6 meses + R$ 6000000 em 1 ano
Proposta B entrada de R$ 8000000 + R$ 6000000 em 5 meses + R$ 7000000 em 10 meses
Sabendo-se que a taxa de juros de mercado eacute de 3 am qual a melhor proposta para o vendedor
Soluccedilatildeo
Essa questatildeo deve ser resolvida pelo meacutetodo do Valor Presente Liacutequido A alternativa que tiver o maior valor seraacute a melhor Entretanto para facilitar a elaboraccedilatildeo do algoritmo de resoluccedilatildeo na HP ndash 12C elabore o fluxo de caixa para cada situaccedilatildeo
63
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
1 Proposta A Fluxo de caixa
10000000 5000000 6000000
1 2 3 4 5 7 8 9 10 110 6 12
Calculando o VPL
10000000 000 5
5000000 000
5
6000000
3
18395701
VPL
Armazena o zero 5 vezes
2 Proposta B Fluxo de caixa
8000000 70000006000000
1 2 3 4 6 7 8 90 5 10
Calculando o VPL
8000000 000 4
6000000 000
4
7000000
3
18384310
VPL
Armazena o zero 4 vezes
Resposta a melhor proposta eacute a A
64
Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 43
Dois equipamentos satildeo examinados Considerando ser a taxa miacutenima de atratividade de 20aa qual o equipamento que deve ser adquirido
Dados
41 - Tabela de DadosEquipamento K Equipamento L
Custo R$ 5000000 R$ 8000000Custo anual de manutenccedilatildeo R$ 2000000 R$ 1500000Valor residual para venda R$ 400000 R$ 800000Duraccedilatildeo em anos 10 10
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
A seguir veja o diagrama de fluxo de caixa
Os caacutelculos do Valor Presente Liacutequido para as duas situaccedilotildees satildeo
Equipamento K
5000000
Equipamento K
2000000
400000
0 1 2 10
8000000
Equipamento L
1500000
800000
0 1 2 10
50000 20000
9 4000 20000 1
20 -13320342
65
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Equipamento L
80000 15000
9 8000 15000 1
20 -14159504
Importante Veja que a alternativa K equivale a um equipamento em que se investe R$ 13320342 enquanto que o equipamento L equivale a um investimento de R$ 14159504 Portanto eacute preferiacutevel o equipamento K pois o investimento eacute menor
66
Universidade do Sul de Santa Catarina
Seccedilatildeo 2 ndash Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs - SFA
Este sistema consiste no pagamento de empreacutestimos ou financiamentos com prestaccedilotildees iguais e com periodicidade constante Eacute considerado o sistema de amortizaccedilatildeo mais utilizado pelas instituiccedilotildees financeiras e pelo comeacutercio em geral
O Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo eacute assim chamado por ter sido inventado na Franccedila por volta do seacuteculo XVIII pelo matemaacutetico inglecircs Richard Price daiacute portanto a origem da denominaccedilatildeo Sistema Price tambeacutem comumente chamado de Tabela Price
Na verdade a Tabela Price eacute um caso particular derivado do Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo Neste sistema o financiamento (PV) eacute pago em parcelas (PMT) iguais constituiacutedas da amortizaccedilatildeo do principal da diacutevida + juros compensatoacuterios (J) que variam inversamente ao longo do tempo Ou seja agrave medida que aumenta o valor da parcela de amortizaccedilatildeo haveraacute uma queda dos juros compensatoacuterios em funccedilatildeo da reduccedilatildeo do saldo devedor
Principais Caracteriacutesticas
As principais caracteriacutesticas do SFA satildeo
a prestaccedilatildeo eacute constante durante todo o periacuteodo do financiamento
a parcela de amortizaccedilatildeo aumenta a cada periacuteodo (n)
os juros compensatoacuterios diminuem a cada periacuteodo (n)
Exemplo 44 (exemplo 1 paacuteg 148 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma instituiccedilatildeo financeira libera um empreacutestimo para uma induacutestria no valor de R$ 60000000 para ser pago pelo sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs em 120 meses a uma taxa de 15 am Faccedila a planilha ateacute o 4ordm mecircs e calcule o saldo devedor no 100ordm mecircs
67
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Soluccedilatildeo
A sequecircncia abaixo calcula o valor da prestaccedilatildeo os juros a amortizaccedilatildeo o saldo devedor e valor do saldo devedor no 100ordm mecircs Acompanhe
Zera os registradores
60000000 Armazena o valor presente
120 Armazena o periacuteodo
15 Armazena a taxa
- R$ 1081111 Valor da prestaccedilatildeo
1 - R$ 900000 Valor dos juros da 1ordf parcela
R$ 181111Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 1ordf parcela
R$ 58918889 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 897283 Valor dos juros da 2ordf parcela
- R$ 183828Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 2ordf parcela
R$ 59635061 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 894526 Valor dos juros da 3ordf parcela
- R$ 186585Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 3ordf parcela
R$ 59448476 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 891727 Valor dos juros da 4ordf parcela
- R$ 189384Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 4ordf parcela
R$ 59259092 Recupera o saldo devedor
A tabela a seguir apresenta um resumo das operaccedilotildees realizadas
68
Universidade do Sul de Santa Catarina
Tabela 42 ndash Planilha de amortizaccedilatildeoPeriacuteodo (n) Amortizaccedilatildeo (A) Juros (J) Prestaccedilotildees (R) Saldo Devedor (S)
0 - - - R$ 600000001 R$ 181111 R$ 900000 R$ 1081111 R$ 598188892 R$ 183828 R$ 897283 R$ 1081111 R$ 596350613 R$ 186585 R$ 894526 R$ 1081111 R$ 594484764 R$ 189384 R$ 891727 R$ 1081111 R$ 59259092
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Para determinar o saldo devedor no 100ordm mecircs faccedila como indicado a seguir
60000000 120 150
-1081111 18561247
Prestaccedilatildeo Saldo devedor no 100ordm mecircs
Nesta unidade vocecirc usou as funccedilotildees de fluxo de caixa para calcular o valor presente liacutequido e a funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
69Unidade 4
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades a seguir (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 4 e 5 da unidade 7 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegina 102) Em seguida use o programa elaborado para resolver as mesmas questotildees
a) Qual das alternativas de pagamento eacute a melhor para uma taxa de juros compostos de 75 am
Alternativa A Pagamento de R$ 15000000 agrave vista
Alternativa B Entrada de R$ 5000000 + R$ 8000000 em 90 dias + R$ 6000000 em 150 dias
b) Uma pessoa deve a um banco dois tiacutetulos com valores de R$ 300000 e R$ 600000 venciacuteveis respectivamente em 4 meses e 8 meses Se a pessoa deseja antecipar para hoje a liquidaccedilatildeo dos tiacutetulos qual o valor a pagar considerando que o banco opera com uma taxa de juros compostos de 23 am
2 Elabore um algoritmo para resolver as atividades abaixo (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 1 e 4 da unidade 10 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 151 e 153)
a) Um cliente solicita a um banco um empreacutestimo de R$ 4000000 pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs em 60 prestaccedilotildees mensais Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de juros de 28 am obtenha o valor da prestaccedilatildeo e o saldo devedor depois de pagar a 20ordf prestaccedilatildeo
b) Um empreacutestimo de R$ 30000000 seraacute saldado em 50 prestaccedilotildees mensais a uma taxa de 15 am Determine a parcela de juros relativa agrave 15ordf prestaccedilatildeo pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs (price)
70
Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
Manual da calculadora HP ndash 12C
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico ndash 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7ed Satildeo Paulo Atlas 2000
Para concluir o estudo
Com o teacutermino desse curso de extensatildeo acreditamos que proporcionamos momentos de aprendizagem por meio da interaccedilatildeo da calculadora financeira e que vocecirc estaacute habilitado(a) a fazer uso dessa ferramenta com qualidade no mercado de trabalho relacionado a essa aacuterea tatildeo importante no nosso dia-a-dia
Referecircncias
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7 ed Satildeo Paulo Atlas 2000
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003 Disponiacutevel em lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt Acesso em 05 jun 2008
Sobre o professor conteudista
Joseacute Humberto Dias de Toledo - eacute Mestre em Educaccedilatildeo pela Universidade do Sul de Santa Catarina Graduado em Licenciatura em Matemaacutetica e em Engenharia Civil Professor das disciplinas Meacutetodos Numeacutericos Informaacutetica Aplicada agrave Matemaacutetica Financeira Caacutelculo I e Matemaacutetica Financeira no Curso de Matemaacutetica ndash Licenciatura nesta mesma instituiccedilatildeo Atualmente ministra a disciplina Representaccedilotildees Graacuteficas na Poacutes-graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo Matemaacutetica da UNISUL
Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo
Unidade 1
1 a) 5
b) -2359
c) 3311
d) 077
e) 081
Respostas modo RPN
a)
b)
c)
d)
e)
Respostas modo ALG
a
b
c
d
e
78
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 R$ 167757
Modo RPN
Modo ALG
3 -242
4 Data 13082008 3 (quarta-feira)
5 Florianoacutepolis = 3303 Curitiba = 5018 Porto Alegre = 1680
Unidade 2
1 1) 150000
Dados
C = R$ 1000000
i = 5 aa
n = 3 anos = 1080 dias
J =
3) 24 meses = 2 anos
Dados
C = R$ 200000
i = 6 aa
n = 24 meses = 720 dias
M =
79
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
85
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
86
Universidade do Sul de Santa Catarina
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
87
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
88
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60
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para iniacutecio de estudo
Nesta unidade vocecirc usaraacute a calculadora HP ndash 12C para determinar o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa usando as funccedilotildees CF0 CFj e NPV Vocecirc deveraacute ainda fazer uso da funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos usando o Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo ndash SFA ou tabela Price
Seccedilatildeo 1 ndash Valor presente liacutequido
A figura 41 a seguir apresenta as funccedilotildees da calculadora HP ndash 12C que vocecirc usaraacute nessa unidade para realizar caacutelculo de valor presente liacutequido e para a elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos ou financiamento
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor inicial do fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc armazena o valor do fluxo de caixa no periacuteodo j
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula o valor presente atual de um fluxo de caixa
Ao apertar essa tecla vocecirc calcula a parte dos pagamentos usada para pagar juros
Figura 41 - Teclas para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa e amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor 2008
Valor presente liacutequido
Nessa seccedilatildeo vocecirc usaraacute as funccedilotildees da HP ndash 12C para calcular o valor presente liacutequido de um fluxo de caixa Para entender como usar as funccedilotildees CF0 CFj e NPV considere o fluxo de caixa para um investimento que exige capital inicial (CF0) e que gera um fluxo de caixa (CFj ) no final de j periacuteodos
61
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Veja a seguir o fluxo de caixa
CF0CF1
CF2 CF5
CFn
CF3 CF4
O VPL = Valor Presente Liacutequido eacute calculado somando ao investimento inicial o valor presente dos fluxos de caixa futuros projetados Portanto
se o VPL for positivo o valor financeiro do ativo do investidor aumentaraacute ou seja o investimento financeiro seraacute atrativo em termos financeiros
se o VPL for zero o valor financeiro do ativo financeiro do investidor natildeo mudaraacute ou seja o investidor seraacute indiferente ao investimento
se o VPL for negativo o valor financeiro do ativo do investidor seraacute reduzido ou seja o investimento natildeo seraacute atrativo em termos financeiros
Exemplo 41
Um investidor compra uma casa por R$ 7000000 e gostaria de ter um retorno de pelo menos 15 Ele pretende manter a casa por 4 anos e depois vendecirc-la por R$ 11000000 Ele prevecirc os fluxos de caixa mostrados no diagrama abaixo
CF0CF1
CF1
CF3CF4
CF5
R$ 7000000
R$ 50000
R$ 450000R$ 450000
R$ 13000000R$ 550000
Sendo assim calcule o VPL para determinar se o investimento resultaria em um retorno ou perda
62
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Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o VPL
7000000 50000
450000 550000 450000
13000000 15 379007
VPL
Como o VPL eacute positivo o investimento aumentaria o valor financeiro do ativo do investidor
Exemplo 42 (exemplo 4 paacuteg 98 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um proprietaacuterio recebeu as seguintes propostas para a venda de uma casa
Proposta A entrada de R$ 10000000 + R$ 5000000 em 6 meses + R$ 6000000 em 1 ano
Proposta B entrada de R$ 8000000 + R$ 6000000 em 5 meses + R$ 7000000 em 10 meses
Sabendo-se que a taxa de juros de mercado eacute de 3 am qual a melhor proposta para o vendedor
Soluccedilatildeo
Essa questatildeo deve ser resolvida pelo meacutetodo do Valor Presente Liacutequido A alternativa que tiver o maior valor seraacute a melhor Entretanto para facilitar a elaboraccedilatildeo do algoritmo de resoluccedilatildeo na HP ndash 12C elabore o fluxo de caixa para cada situaccedilatildeo
63
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
1 Proposta A Fluxo de caixa
10000000 5000000 6000000
1 2 3 4 5 7 8 9 10 110 6 12
Calculando o VPL
10000000 000 5
5000000 000
5
6000000
3
18395701
VPL
Armazena o zero 5 vezes
2 Proposta B Fluxo de caixa
8000000 70000006000000
1 2 3 4 6 7 8 90 5 10
Calculando o VPL
8000000 000 4
6000000 000
4
7000000
3
18384310
VPL
Armazena o zero 4 vezes
Resposta a melhor proposta eacute a A
64
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Exemplo 43
Dois equipamentos satildeo examinados Considerando ser a taxa miacutenima de atratividade de 20aa qual o equipamento que deve ser adquirido
Dados
41 - Tabela de DadosEquipamento K Equipamento L
Custo R$ 5000000 R$ 8000000Custo anual de manutenccedilatildeo R$ 2000000 R$ 1500000Valor residual para venda R$ 400000 R$ 800000Duraccedilatildeo em anos 10 10
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
A seguir veja o diagrama de fluxo de caixa
Os caacutelculos do Valor Presente Liacutequido para as duas situaccedilotildees satildeo
Equipamento K
5000000
Equipamento K
2000000
400000
0 1 2 10
8000000
Equipamento L
1500000
800000
0 1 2 10
50000 20000
9 4000 20000 1
20 -13320342
65
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Equipamento L
80000 15000
9 8000 15000 1
20 -14159504
Importante Veja que a alternativa K equivale a um equipamento em que se investe R$ 13320342 enquanto que o equipamento L equivale a um investimento de R$ 14159504 Portanto eacute preferiacutevel o equipamento K pois o investimento eacute menor
66
Universidade do Sul de Santa Catarina
Seccedilatildeo 2 ndash Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs - SFA
Este sistema consiste no pagamento de empreacutestimos ou financiamentos com prestaccedilotildees iguais e com periodicidade constante Eacute considerado o sistema de amortizaccedilatildeo mais utilizado pelas instituiccedilotildees financeiras e pelo comeacutercio em geral
O Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo eacute assim chamado por ter sido inventado na Franccedila por volta do seacuteculo XVIII pelo matemaacutetico inglecircs Richard Price daiacute portanto a origem da denominaccedilatildeo Sistema Price tambeacutem comumente chamado de Tabela Price
Na verdade a Tabela Price eacute um caso particular derivado do Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo Neste sistema o financiamento (PV) eacute pago em parcelas (PMT) iguais constituiacutedas da amortizaccedilatildeo do principal da diacutevida + juros compensatoacuterios (J) que variam inversamente ao longo do tempo Ou seja agrave medida que aumenta o valor da parcela de amortizaccedilatildeo haveraacute uma queda dos juros compensatoacuterios em funccedilatildeo da reduccedilatildeo do saldo devedor
Principais Caracteriacutesticas
As principais caracteriacutesticas do SFA satildeo
a prestaccedilatildeo eacute constante durante todo o periacuteodo do financiamento
a parcela de amortizaccedilatildeo aumenta a cada periacuteodo (n)
os juros compensatoacuterios diminuem a cada periacuteodo (n)
Exemplo 44 (exemplo 1 paacuteg 148 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma instituiccedilatildeo financeira libera um empreacutestimo para uma induacutestria no valor de R$ 60000000 para ser pago pelo sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs em 120 meses a uma taxa de 15 am Faccedila a planilha ateacute o 4ordm mecircs e calcule o saldo devedor no 100ordm mecircs
67
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Soluccedilatildeo
A sequecircncia abaixo calcula o valor da prestaccedilatildeo os juros a amortizaccedilatildeo o saldo devedor e valor do saldo devedor no 100ordm mecircs Acompanhe
Zera os registradores
60000000 Armazena o valor presente
120 Armazena o periacuteodo
15 Armazena a taxa
- R$ 1081111 Valor da prestaccedilatildeo
1 - R$ 900000 Valor dos juros da 1ordf parcela
R$ 181111Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 1ordf parcela
R$ 58918889 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 897283 Valor dos juros da 2ordf parcela
- R$ 183828Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 2ordf parcela
R$ 59635061 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 894526 Valor dos juros da 3ordf parcela
- R$ 186585Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 3ordf parcela
R$ 59448476 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 891727 Valor dos juros da 4ordf parcela
- R$ 189384Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 4ordf parcela
R$ 59259092 Recupera o saldo devedor
A tabela a seguir apresenta um resumo das operaccedilotildees realizadas
68
Universidade do Sul de Santa Catarina
Tabela 42 ndash Planilha de amortizaccedilatildeoPeriacuteodo (n) Amortizaccedilatildeo (A) Juros (J) Prestaccedilotildees (R) Saldo Devedor (S)
0 - - - R$ 600000001 R$ 181111 R$ 900000 R$ 1081111 R$ 598188892 R$ 183828 R$ 897283 R$ 1081111 R$ 596350613 R$ 186585 R$ 894526 R$ 1081111 R$ 594484764 R$ 189384 R$ 891727 R$ 1081111 R$ 59259092
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Para determinar o saldo devedor no 100ordm mecircs faccedila como indicado a seguir
60000000 120 150
-1081111 18561247
Prestaccedilatildeo Saldo devedor no 100ordm mecircs
Nesta unidade vocecirc usou as funccedilotildees de fluxo de caixa para calcular o valor presente liacutequido e a funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
69Unidade 4
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades a seguir (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 4 e 5 da unidade 7 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegina 102) Em seguida use o programa elaborado para resolver as mesmas questotildees
a) Qual das alternativas de pagamento eacute a melhor para uma taxa de juros compostos de 75 am
Alternativa A Pagamento de R$ 15000000 agrave vista
Alternativa B Entrada de R$ 5000000 + R$ 8000000 em 90 dias + R$ 6000000 em 150 dias
b) Uma pessoa deve a um banco dois tiacutetulos com valores de R$ 300000 e R$ 600000 venciacuteveis respectivamente em 4 meses e 8 meses Se a pessoa deseja antecipar para hoje a liquidaccedilatildeo dos tiacutetulos qual o valor a pagar considerando que o banco opera com uma taxa de juros compostos de 23 am
2 Elabore um algoritmo para resolver as atividades abaixo (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 1 e 4 da unidade 10 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 151 e 153)
a) Um cliente solicita a um banco um empreacutestimo de R$ 4000000 pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs em 60 prestaccedilotildees mensais Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de juros de 28 am obtenha o valor da prestaccedilatildeo e o saldo devedor depois de pagar a 20ordf prestaccedilatildeo
b) Um empreacutestimo de R$ 30000000 seraacute saldado em 50 prestaccedilotildees mensais a uma taxa de 15 am Determine a parcela de juros relativa agrave 15ordf prestaccedilatildeo pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs (price)
70
Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
Manual da calculadora HP ndash 12C
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico ndash 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7ed Satildeo Paulo Atlas 2000
Para concluir o estudo
Com o teacutermino desse curso de extensatildeo acreditamos que proporcionamos momentos de aprendizagem por meio da interaccedilatildeo da calculadora financeira e que vocecirc estaacute habilitado(a) a fazer uso dessa ferramenta com qualidade no mercado de trabalho relacionado a essa aacuterea tatildeo importante no nosso dia-a-dia
Referecircncias
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7 ed Satildeo Paulo Atlas 2000
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003 Disponiacutevel em lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt Acesso em 05 jun 2008
Sobre o professor conteudista
Joseacute Humberto Dias de Toledo - eacute Mestre em Educaccedilatildeo pela Universidade do Sul de Santa Catarina Graduado em Licenciatura em Matemaacutetica e em Engenharia Civil Professor das disciplinas Meacutetodos Numeacutericos Informaacutetica Aplicada agrave Matemaacutetica Financeira Caacutelculo I e Matemaacutetica Financeira no Curso de Matemaacutetica ndash Licenciatura nesta mesma instituiccedilatildeo Atualmente ministra a disciplina Representaccedilotildees Graacuteficas na Poacutes-graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo Matemaacutetica da UNISUL
Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo
Unidade 1
1 a) 5
b) -2359
c) 3311
d) 077
e) 081
Respostas modo RPN
a)
b)
c)
d)
e)
Respostas modo ALG
a
b
c
d
e
78
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 R$ 167757
Modo RPN
Modo ALG
3 -242
4 Data 13082008 3 (quarta-feira)
5 Florianoacutepolis = 3303 Curitiba = 5018 Porto Alegre = 1680
Unidade 2
1 1) 150000
Dados
C = R$ 1000000
i = 5 aa
n = 3 anos = 1080 dias
J =
3) 24 meses = 2 anos
Dados
C = R$ 200000
i = 6 aa
n = 24 meses = 720 dias
M =
79
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
85
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
86
Universidade do Sul de Santa Catarina
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
87
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
88
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61
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Veja a seguir o fluxo de caixa
CF0CF1
CF2 CF5
CFn
CF3 CF4
O VPL = Valor Presente Liacutequido eacute calculado somando ao investimento inicial o valor presente dos fluxos de caixa futuros projetados Portanto
se o VPL for positivo o valor financeiro do ativo do investidor aumentaraacute ou seja o investimento financeiro seraacute atrativo em termos financeiros
se o VPL for zero o valor financeiro do ativo financeiro do investidor natildeo mudaraacute ou seja o investidor seraacute indiferente ao investimento
se o VPL for negativo o valor financeiro do ativo do investidor seraacute reduzido ou seja o investimento natildeo seraacute atrativo em termos financeiros
Exemplo 41
Um investidor compra uma casa por R$ 7000000 e gostaria de ter um retorno de pelo menos 15 Ele pretende manter a casa por 4 anos e depois vendecirc-la por R$ 11000000 Ele prevecirc os fluxos de caixa mostrados no diagrama abaixo
CF0CF1
CF1
CF3CF4
CF5
R$ 7000000
R$ 50000
R$ 450000R$ 450000
R$ 13000000R$ 550000
Sendo assim calcule o VPL para determinar se o investimento resultaria em um retorno ou perda
62
Universidade do Sul de Santa Catarina
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o VPL
7000000 50000
450000 550000 450000
13000000 15 379007
VPL
Como o VPL eacute positivo o investimento aumentaria o valor financeiro do ativo do investidor
Exemplo 42 (exemplo 4 paacuteg 98 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um proprietaacuterio recebeu as seguintes propostas para a venda de uma casa
Proposta A entrada de R$ 10000000 + R$ 5000000 em 6 meses + R$ 6000000 em 1 ano
Proposta B entrada de R$ 8000000 + R$ 6000000 em 5 meses + R$ 7000000 em 10 meses
Sabendo-se que a taxa de juros de mercado eacute de 3 am qual a melhor proposta para o vendedor
Soluccedilatildeo
Essa questatildeo deve ser resolvida pelo meacutetodo do Valor Presente Liacutequido A alternativa que tiver o maior valor seraacute a melhor Entretanto para facilitar a elaboraccedilatildeo do algoritmo de resoluccedilatildeo na HP ndash 12C elabore o fluxo de caixa para cada situaccedilatildeo
63
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
1 Proposta A Fluxo de caixa
10000000 5000000 6000000
1 2 3 4 5 7 8 9 10 110 6 12
Calculando o VPL
10000000 000 5
5000000 000
5
6000000
3
18395701
VPL
Armazena o zero 5 vezes
2 Proposta B Fluxo de caixa
8000000 70000006000000
1 2 3 4 6 7 8 90 5 10
Calculando o VPL
8000000 000 4
6000000 000
4
7000000
3
18384310
VPL
Armazena o zero 4 vezes
Resposta a melhor proposta eacute a A
64
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Exemplo 43
Dois equipamentos satildeo examinados Considerando ser a taxa miacutenima de atratividade de 20aa qual o equipamento que deve ser adquirido
Dados
41 - Tabela de DadosEquipamento K Equipamento L
Custo R$ 5000000 R$ 8000000Custo anual de manutenccedilatildeo R$ 2000000 R$ 1500000Valor residual para venda R$ 400000 R$ 800000Duraccedilatildeo em anos 10 10
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
A seguir veja o diagrama de fluxo de caixa
Os caacutelculos do Valor Presente Liacutequido para as duas situaccedilotildees satildeo
Equipamento K
5000000
Equipamento K
2000000
400000
0 1 2 10
8000000
Equipamento L
1500000
800000
0 1 2 10
50000 20000
9 4000 20000 1
20 -13320342
65
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Unidade 4
Equipamento L
80000 15000
9 8000 15000 1
20 -14159504
Importante Veja que a alternativa K equivale a um equipamento em que se investe R$ 13320342 enquanto que o equipamento L equivale a um investimento de R$ 14159504 Portanto eacute preferiacutevel o equipamento K pois o investimento eacute menor
66
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Seccedilatildeo 2 ndash Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs - SFA
Este sistema consiste no pagamento de empreacutestimos ou financiamentos com prestaccedilotildees iguais e com periodicidade constante Eacute considerado o sistema de amortizaccedilatildeo mais utilizado pelas instituiccedilotildees financeiras e pelo comeacutercio em geral
O Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo eacute assim chamado por ter sido inventado na Franccedila por volta do seacuteculo XVIII pelo matemaacutetico inglecircs Richard Price daiacute portanto a origem da denominaccedilatildeo Sistema Price tambeacutem comumente chamado de Tabela Price
Na verdade a Tabela Price eacute um caso particular derivado do Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo Neste sistema o financiamento (PV) eacute pago em parcelas (PMT) iguais constituiacutedas da amortizaccedilatildeo do principal da diacutevida + juros compensatoacuterios (J) que variam inversamente ao longo do tempo Ou seja agrave medida que aumenta o valor da parcela de amortizaccedilatildeo haveraacute uma queda dos juros compensatoacuterios em funccedilatildeo da reduccedilatildeo do saldo devedor
Principais Caracteriacutesticas
As principais caracteriacutesticas do SFA satildeo
a prestaccedilatildeo eacute constante durante todo o periacuteodo do financiamento
a parcela de amortizaccedilatildeo aumenta a cada periacuteodo (n)
os juros compensatoacuterios diminuem a cada periacuteodo (n)
Exemplo 44 (exemplo 1 paacuteg 148 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma instituiccedilatildeo financeira libera um empreacutestimo para uma induacutestria no valor de R$ 60000000 para ser pago pelo sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs em 120 meses a uma taxa de 15 am Faccedila a planilha ateacute o 4ordm mecircs e calcule o saldo devedor no 100ordm mecircs
67
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Soluccedilatildeo
A sequecircncia abaixo calcula o valor da prestaccedilatildeo os juros a amortizaccedilatildeo o saldo devedor e valor do saldo devedor no 100ordm mecircs Acompanhe
Zera os registradores
60000000 Armazena o valor presente
120 Armazena o periacuteodo
15 Armazena a taxa
- R$ 1081111 Valor da prestaccedilatildeo
1 - R$ 900000 Valor dos juros da 1ordf parcela
R$ 181111Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 1ordf parcela
R$ 58918889 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 897283 Valor dos juros da 2ordf parcela
- R$ 183828Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 2ordf parcela
R$ 59635061 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 894526 Valor dos juros da 3ordf parcela
- R$ 186585Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 3ordf parcela
R$ 59448476 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 891727 Valor dos juros da 4ordf parcela
- R$ 189384Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 4ordf parcela
R$ 59259092 Recupera o saldo devedor
A tabela a seguir apresenta um resumo das operaccedilotildees realizadas
68
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Tabela 42 ndash Planilha de amortizaccedilatildeoPeriacuteodo (n) Amortizaccedilatildeo (A) Juros (J) Prestaccedilotildees (R) Saldo Devedor (S)
0 - - - R$ 600000001 R$ 181111 R$ 900000 R$ 1081111 R$ 598188892 R$ 183828 R$ 897283 R$ 1081111 R$ 596350613 R$ 186585 R$ 894526 R$ 1081111 R$ 594484764 R$ 189384 R$ 891727 R$ 1081111 R$ 59259092
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Para determinar o saldo devedor no 100ordm mecircs faccedila como indicado a seguir
60000000 120 150
-1081111 18561247
Prestaccedilatildeo Saldo devedor no 100ordm mecircs
Nesta unidade vocecirc usou as funccedilotildees de fluxo de caixa para calcular o valor presente liacutequido e a funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
69Unidade 4
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Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades a seguir (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 4 e 5 da unidade 7 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegina 102) Em seguida use o programa elaborado para resolver as mesmas questotildees
a) Qual das alternativas de pagamento eacute a melhor para uma taxa de juros compostos de 75 am
Alternativa A Pagamento de R$ 15000000 agrave vista
Alternativa B Entrada de R$ 5000000 + R$ 8000000 em 90 dias + R$ 6000000 em 150 dias
b) Uma pessoa deve a um banco dois tiacutetulos com valores de R$ 300000 e R$ 600000 venciacuteveis respectivamente em 4 meses e 8 meses Se a pessoa deseja antecipar para hoje a liquidaccedilatildeo dos tiacutetulos qual o valor a pagar considerando que o banco opera com uma taxa de juros compostos de 23 am
2 Elabore um algoritmo para resolver as atividades abaixo (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 1 e 4 da unidade 10 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 151 e 153)
a) Um cliente solicita a um banco um empreacutestimo de R$ 4000000 pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs em 60 prestaccedilotildees mensais Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de juros de 28 am obtenha o valor da prestaccedilatildeo e o saldo devedor depois de pagar a 20ordf prestaccedilatildeo
b) Um empreacutestimo de R$ 30000000 seraacute saldado em 50 prestaccedilotildees mensais a uma taxa de 15 am Determine a parcela de juros relativa agrave 15ordf prestaccedilatildeo pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs (price)
70
Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
Manual da calculadora HP ndash 12C
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico ndash 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7ed Satildeo Paulo Atlas 2000
Para concluir o estudo
Com o teacutermino desse curso de extensatildeo acreditamos que proporcionamos momentos de aprendizagem por meio da interaccedilatildeo da calculadora financeira e que vocecirc estaacute habilitado(a) a fazer uso dessa ferramenta com qualidade no mercado de trabalho relacionado a essa aacuterea tatildeo importante no nosso dia-a-dia
Referecircncias
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7 ed Satildeo Paulo Atlas 2000
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003 Disponiacutevel em lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt Acesso em 05 jun 2008
Sobre o professor conteudista
Joseacute Humberto Dias de Toledo - eacute Mestre em Educaccedilatildeo pela Universidade do Sul de Santa Catarina Graduado em Licenciatura em Matemaacutetica e em Engenharia Civil Professor das disciplinas Meacutetodos Numeacutericos Informaacutetica Aplicada agrave Matemaacutetica Financeira Caacutelculo I e Matemaacutetica Financeira no Curso de Matemaacutetica ndash Licenciatura nesta mesma instituiccedilatildeo Atualmente ministra a disciplina Representaccedilotildees Graacuteficas na Poacutes-graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo Matemaacutetica da UNISUL
Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo
Unidade 1
1 a) 5
b) -2359
c) 3311
d) 077
e) 081
Respostas modo RPN
a)
b)
c)
d)
e)
Respostas modo ALG
a
b
c
d
e
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2 R$ 167757
Modo RPN
Modo ALG
3 -242
4 Data 13082008 3 (quarta-feira)
5 Florianoacutepolis = 3303 Curitiba = 5018 Porto Alegre = 1680
Unidade 2
1 1) 150000
Dados
C = R$ 1000000
i = 5 aa
n = 3 anos = 1080 dias
J =
3) 24 meses = 2 anos
Dados
C = R$ 200000
i = 6 aa
n = 24 meses = 720 dias
M =
79
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
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Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
85
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c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
86
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b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
87
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
88
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62
Universidade do Sul de Santa Catarina
Soluccedilatildeo
A sequecircncia a seguir calcula o VPL
7000000 50000
450000 550000 450000
13000000 15 379007
VPL
Como o VPL eacute positivo o investimento aumentaria o valor financeiro do ativo do investidor
Exemplo 42 (exemplo 4 paacuteg 98 do livro Matemaacutetica Financeira)
Um proprietaacuterio recebeu as seguintes propostas para a venda de uma casa
Proposta A entrada de R$ 10000000 + R$ 5000000 em 6 meses + R$ 6000000 em 1 ano
Proposta B entrada de R$ 8000000 + R$ 6000000 em 5 meses + R$ 7000000 em 10 meses
Sabendo-se que a taxa de juros de mercado eacute de 3 am qual a melhor proposta para o vendedor
Soluccedilatildeo
Essa questatildeo deve ser resolvida pelo meacutetodo do Valor Presente Liacutequido A alternativa que tiver o maior valor seraacute a melhor Entretanto para facilitar a elaboraccedilatildeo do algoritmo de resoluccedilatildeo na HP ndash 12C elabore o fluxo de caixa para cada situaccedilatildeo
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
1 Proposta A Fluxo de caixa
10000000 5000000 6000000
1 2 3 4 5 7 8 9 10 110 6 12
Calculando o VPL
10000000 000 5
5000000 000
5
6000000
3
18395701
VPL
Armazena o zero 5 vezes
2 Proposta B Fluxo de caixa
8000000 70000006000000
1 2 3 4 6 7 8 90 5 10
Calculando o VPL
8000000 000 4
6000000 000
4
7000000
3
18384310
VPL
Armazena o zero 4 vezes
Resposta a melhor proposta eacute a A
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Exemplo 43
Dois equipamentos satildeo examinados Considerando ser a taxa miacutenima de atratividade de 20aa qual o equipamento que deve ser adquirido
Dados
41 - Tabela de DadosEquipamento K Equipamento L
Custo R$ 5000000 R$ 8000000Custo anual de manutenccedilatildeo R$ 2000000 R$ 1500000Valor residual para venda R$ 400000 R$ 800000Duraccedilatildeo em anos 10 10
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
A seguir veja o diagrama de fluxo de caixa
Os caacutelculos do Valor Presente Liacutequido para as duas situaccedilotildees satildeo
Equipamento K
5000000
Equipamento K
2000000
400000
0 1 2 10
8000000
Equipamento L
1500000
800000
0 1 2 10
50000 20000
9 4000 20000 1
20 -13320342
65
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Equipamento L
80000 15000
9 8000 15000 1
20 -14159504
Importante Veja que a alternativa K equivale a um equipamento em que se investe R$ 13320342 enquanto que o equipamento L equivale a um investimento de R$ 14159504 Portanto eacute preferiacutevel o equipamento K pois o investimento eacute menor
66
Universidade do Sul de Santa Catarina
Seccedilatildeo 2 ndash Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs - SFA
Este sistema consiste no pagamento de empreacutestimos ou financiamentos com prestaccedilotildees iguais e com periodicidade constante Eacute considerado o sistema de amortizaccedilatildeo mais utilizado pelas instituiccedilotildees financeiras e pelo comeacutercio em geral
O Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo eacute assim chamado por ter sido inventado na Franccedila por volta do seacuteculo XVIII pelo matemaacutetico inglecircs Richard Price daiacute portanto a origem da denominaccedilatildeo Sistema Price tambeacutem comumente chamado de Tabela Price
Na verdade a Tabela Price eacute um caso particular derivado do Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo Neste sistema o financiamento (PV) eacute pago em parcelas (PMT) iguais constituiacutedas da amortizaccedilatildeo do principal da diacutevida + juros compensatoacuterios (J) que variam inversamente ao longo do tempo Ou seja agrave medida que aumenta o valor da parcela de amortizaccedilatildeo haveraacute uma queda dos juros compensatoacuterios em funccedilatildeo da reduccedilatildeo do saldo devedor
Principais Caracteriacutesticas
As principais caracteriacutesticas do SFA satildeo
a prestaccedilatildeo eacute constante durante todo o periacuteodo do financiamento
a parcela de amortizaccedilatildeo aumenta a cada periacuteodo (n)
os juros compensatoacuterios diminuem a cada periacuteodo (n)
Exemplo 44 (exemplo 1 paacuteg 148 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma instituiccedilatildeo financeira libera um empreacutestimo para uma induacutestria no valor de R$ 60000000 para ser pago pelo sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs em 120 meses a uma taxa de 15 am Faccedila a planilha ateacute o 4ordm mecircs e calcule o saldo devedor no 100ordm mecircs
67
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Soluccedilatildeo
A sequecircncia abaixo calcula o valor da prestaccedilatildeo os juros a amortizaccedilatildeo o saldo devedor e valor do saldo devedor no 100ordm mecircs Acompanhe
Zera os registradores
60000000 Armazena o valor presente
120 Armazena o periacuteodo
15 Armazena a taxa
- R$ 1081111 Valor da prestaccedilatildeo
1 - R$ 900000 Valor dos juros da 1ordf parcela
R$ 181111Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 1ordf parcela
R$ 58918889 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 897283 Valor dos juros da 2ordf parcela
- R$ 183828Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 2ordf parcela
R$ 59635061 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 894526 Valor dos juros da 3ordf parcela
- R$ 186585Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 3ordf parcela
R$ 59448476 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 891727 Valor dos juros da 4ordf parcela
- R$ 189384Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 4ordf parcela
R$ 59259092 Recupera o saldo devedor
A tabela a seguir apresenta um resumo das operaccedilotildees realizadas
68
Universidade do Sul de Santa Catarina
Tabela 42 ndash Planilha de amortizaccedilatildeoPeriacuteodo (n) Amortizaccedilatildeo (A) Juros (J) Prestaccedilotildees (R) Saldo Devedor (S)
0 - - - R$ 600000001 R$ 181111 R$ 900000 R$ 1081111 R$ 598188892 R$ 183828 R$ 897283 R$ 1081111 R$ 596350613 R$ 186585 R$ 894526 R$ 1081111 R$ 594484764 R$ 189384 R$ 891727 R$ 1081111 R$ 59259092
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Para determinar o saldo devedor no 100ordm mecircs faccedila como indicado a seguir
60000000 120 150
-1081111 18561247
Prestaccedilatildeo Saldo devedor no 100ordm mecircs
Nesta unidade vocecirc usou as funccedilotildees de fluxo de caixa para calcular o valor presente liacutequido e a funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
69Unidade 4
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades a seguir (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 4 e 5 da unidade 7 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegina 102) Em seguida use o programa elaborado para resolver as mesmas questotildees
a) Qual das alternativas de pagamento eacute a melhor para uma taxa de juros compostos de 75 am
Alternativa A Pagamento de R$ 15000000 agrave vista
Alternativa B Entrada de R$ 5000000 + R$ 8000000 em 90 dias + R$ 6000000 em 150 dias
b) Uma pessoa deve a um banco dois tiacutetulos com valores de R$ 300000 e R$ 600000 venciacuteveis respectivamente em 4 meses e 8 meses Se a pessoa deseja antecipar para hoje a liquidaccedilatildeo dos tiacutetulos qual o valor a pagar considerando que o banco opera com uma taxa de juros compostos de 23 am
2 Elabore um algoritmo para resolver as atividades abaixo (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 1 e 4 da unidade 10 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 151 e 153)
a) Um cliente solicita a um banco um empreacutestimo de R$ 4000000 pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs em 60 prestaccedilotildees mensais Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de juros de 28 am obtenha o valor da prestaccedilatildeo e o saldo devedor depois de pagar a 20ordf prestaccedilatildeo
b) Um empreacutestimo de R$ 30000000 seraacute saldado em 50 prestaccedilotildees mensais a uma taxa de 15 am Determine a parcela de juros relativa agrave 15ordf prestaccedilatildeo pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs (price)
70
Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
Manual da calculadora HP ndash 12C
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico ndash 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7ed Satildeo Paulo Atlas 2000
Para concluir o estudo
Com o teacutermino desse curso de extensatildeo acreditamos que proporcionamos momentos de aprendizagem por meio da interaccedilatildeo da calculadora financeira e que vocecirc estaacute habilitado(a) a fazer uso dessa ferramenta com qualidade no mercado de trabalho relacionado a essa aacuterea tatildeo importante no nosso dia-a-dia
Referecircncias
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7 ed Satildeo Paulo Atlas 2000
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003 Disponiacutevel em lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt Acesso em 05 jun 2008
Sobre o professor conteudista
Joseacute Humberto Dias de Toledo - eacute Mestre em Educaccedilatildeo pela Universidade do Sul de Santa Catarina Graduado em Licenciatura em Matemaacutetica e em Engenharia Civil Professor das disciplinas Meacutetodos Numeacutericos Informaacutetica Aplicada agrave Matemaacutetica Financeira Caacutelculo I e Matemaacutetica Financeira no Curso de Matemaacutetica ndash Licenciatura nesta mesma instituiccedilatildeo Atualmente ministra a disciplina Representaccedilotildees Graacuteficas na Poacutes-graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo Matemaacutetica da UNISUL
Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo
Unidade 1
1 a) 5
b) -2359
c) 3311
d) 077
e) 081
Respostas modo RPN
a)
b)
c)
d)
e)
Respostas modo ALG
a
b
c
d
e
78
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 R$ 167757
Modo RPN
Modo ALG
3 -242
4 Data 13082008 3 (quarta-feira)
5 Florianoacutepolis = 3303 Curitiba = 5018 Porto Alegre = 1680
Unidade 2
1 1) 150000
Dados
C = R$ 1000000
i = 5 aa
n = 3 anos = 1080 dias
J =
3) 24 meses = 2 anos
Dados
C = R$ 200000
i = 6 aa
n = 24 meses = 720 dias
M =
79
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
85
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
86
Universidade do Sul de Santa Catarina
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
87
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
88
Universidade do Sul de Santa Catarina
63
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
1 Proposta A Fluxo de caixa
10000000 5000000 6000000
1 2 3 4 5 7 8 9 10 110 6 12
Calculando o VPL
10000000 000 5
5000000 000
5
6000000
3
18395701
VPL
Armazena o zero 5 vezes
2 Proposta B Fluxo de caixa
8000000 70000006000000
1 2 3 4 6 7 8 90 5 10
Calculando o VPL
8000000 000 4
6000000 000
4
7000000
3
18384310
VPL
Armazena o zero 4 vezes
Resposta a melhor proposta eacute a A
64
Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 43
Dois equipamentos satildeo examinados Considerando ser a taxa miacutenima de atratividade de 20aa qual o equipamento que deve ser adquirido
Dados
41 - Tabela de DadosEquipamento K Equipamento L
Custo R$ 5000000 R$ 8000000Custo anual de manutenccedilatildeo R$ 2000000 R$ 1500000Valor residual para venda R$ 400000 R$ 800000Duraccedilatildeo em anos 10 10
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
A seguir veja o diagrama de fluxo de caixa
Os caacutelculos do Valor Presente Liacutequido para as duas situaccedilotildees satildeo
Equipamento K
5000000
Equipamento K
2000000
400000
0 1 2 10
8000000
Equipamento L
1500000
800000
0 1 2 10
50000 20000
9 4000 20000 1
20 -13320342
65
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Equipamento L
80000 15000
9 8000 15000 1
20 -14159504
Importante Veja que a alternativa K equivale a um equipamento em que se investe R$ 13320342 enquanto que o equipamento L equivale a um investimento de R$ 14159504 Portanto eacute preferiacutevel o equipamento K pois o investimento eacute menor
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Seccedilatildeo 2 ndash Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs - SFA
Este sistema consiste no pagamento de empreacutestimos ou financiamentos com prestaccedilotildees iguais e com periodicidade constante Eacute considerado o sistema de amortizaccedilatildeo mais utilizado pelas instituiccedilotildees financeiras e pelo comeacutercio em geral
O Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo eacute assim chamado por ter sido inventado na Franccedila por volta do seacuteculo XVIII pelo matemaacutetico inglecircs Richard Price daiacute portanto a origem da denominaccedilatildeo Sistema Price tambeacutem comumente chamado de Tabela Price
Na verdade a Tabela Price eacute um caso particular derivado do Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo Neste sistema o financiamento (PV) eacute pago em parcelas (PMT) iguais constituiacutedas da amortizaccedilatildeo do principal da diacutevida + juros compensatoacuterios (J) que variam inversamente ao longo do tempo Ou seja agrave medida que aumenta o valor da parcela de amortizaccedilatildeo haveraacute uma queda dos juros compensatoacuterios em funccedilatildeo da reduccedilatildeo do saldo devedor
Principais Caracteriacutesticas
As principais caracteriacutesticas do SFA satildeo
a prestaccedilatildeo eacute constante durante todo o periacuteodo do financiamento
a parcela de amortizaccedilatildeo aumenta a cada periacuteodo (n)
os juros compensatoacuterios diminuem a cada periacuteodo (n)
Exemplo 44 (exemplo 1 paacuteg 148 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma instituiccedilatildeo financeira libera um empreacutestimo para uma induacutestria no valor de R$ 60000000 para ser pago pelo sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs em 120 meses a uma taxa de 15 am Faccedila a planilha ateacute o 4ordm mecircs e calcule o saldo devedor no 100ordm mecircs
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Unidade 4
Soluccedilatildeo
A sequecircncia abaixo calcula o valor da prestaccedilatildeo os juros a amortizaccedilatildeo o saldo devedor e valor do saldo devedor no 100ordm mecircs Acompanhe
Zera os registradores
60000000 Armazena o valor presente
120 Armazena o periacuteodo
15 Armazena a taxa
- R$ 1081111 Valor da prestaccedilatildeo
1 - R$ 900000 Valor dos juros da 1ordf parcela
R$ 181111Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 1ordf parcela
R$ 58918889 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 897283 Valor dos juros da 2ordf parcela
- R$ 183828Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 2ordf parcela
R$ 59635061 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 894526 Valor dos juros da 3ordf parcela
- R$ 186585Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 3ordf parcela
R$ 59448476 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 891727 Valor dos juros da 4ordf parcela
- R$ 189384Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 4ordf parcela
R$ 59259092 Recupera o saldo devedor
A tabela a seguir apresenta um resumo das operaccedilotildees realizadas
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Tabela 42 ndash Planilha de amortizaccedilatildeoPeriacuteodo (n) Amortizaccedilatildeo (A) Juros (J) Prestaccedilotildees (R) Saldo Devedor (S)
0 - - - R$ 600000001 R$ 181111 R$ 900000 R$ 1081111 R$ 598188892 R$ 183828 R$ 897283 R$ 1081111 R$ 596350613 R$ 186585 R$ 894526 R$ 1081111 R$ 594484764 R$ 189384 R$ 891727 R$ 1081111 R$ 59259092
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Para determinar o saldo devedor no 100ordm mecircs faccedila como indicado a seguir
60000000 120 150
-1081111 18561247
Prestaccedilatildeo Saldo devedor no 100ordm mecircs
Nesta unidade vocecirc usou as funccedilotildees de fluxo de caixa para calcular o valor presente liacutequido e a funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
69Unidade 4
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades a seguir (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 4 e 5 da unidade 7 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegina 102) Em seguida use o programa elaborado para resolver as mesmas questotildees
a) Qual das alternativas de pagamento eacute a melhor para uma taxa de juros compostos de 75 am
Alternativa A Pagamento de R$ 15000000 agrave vista
Alternativa B Entrada de R$ 5000000 + R$ 8000000 em 90 dias + R$ 6000000 em 150 dias
b) Uma pessoa deve a um banco dois tiacutetulos com valores de R$ 300000 e R$ 600000 venciacuteveis respectivamente em 4 meses e 8 meses Se a pessoa deseja antecipar para hoje a liquidaccedilatildeo dos tiacutetulos qual o valor a pagar considerando que o banco opera com uma taxa de juros compostos de 23 am
2 Elabore um algoritmo para resolver as atividades abaixo (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 1 e 4 da unidade 10 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 151 e 153)
a) Um cliente solicita a um banco um empreacutestimo de R$ 4000000 pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs em 60 prestaccedilotildees mensais Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de juros de 28 am obtenha o valor da prestaccedilatildeo e o saldo devedor depois de pagar a 20ordf prestaccedilatildeo
b) Um empreacutestimo de R$ 30000000 seraacute saldado em 50 prestaccedilotildees mensais a uma taxa de 15 am Determine a parcela de juros relativa agrave 15ordf prestaccedilatildeo pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs (price)
70
Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
Manual da calculadora HP ndash 12C
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico ndash 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7ed Satildeo Paulo Atlas 2000
Para concluir o estudo
Com o teacutermino desse curso de extensatildeo acreditamos que proporcionamos momentos de aprendizagem por meio da interaccedilatildeo da calculadora financeira e que vocecirc estaacute habilitado(a) a fazer uso dessa ferramenta com qualidade no mercado de trabalho relacionado a essa aacuterea tatildeo importante no nosso dia-a-dia
Referecircncias
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7 ed Satildeo Paulo Atlas 2000
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003 Disponiacutevel em lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt Acesso em 05 jun 2008
Sobre o professor conteudista
Joseacute Humberto Dias de Toledo - eacute Mestre em Educaccedilatildeo pela Universidade do Sul de Santa Catarina Graduado em Licenciatura em Matemaacutetica e em Engenharia Civil Professor das disciplinas Meacutetodos Numeacutericos Informaacutetica Aplicada agrave Matemaacutetica Financeira Caacutelculo I e Matemaacutetica Financeira no Curso de Matemaacutetica ndash Licenciatura nesta mesma instituiccedilatildeo Atualmente ministra a disciplina Representaccedilotildees Graacuteficas na Poacutes-graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo Matemaacutetica da UNISUL
Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo
Unidade 1
1 a) 5
b) -2359
c) 3311
d) 077
e) 081
Respostas modo RPN
a)
b)
c)
d)
e)
Respostas modo ALG
a
b
c
d
e
78
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 R$ 167757
Modo RPN
Modo ALG
3 -242
4 Data 13082008 3 (quarta-feira)
5 Florianoacutepolis = 3303 Curitiba = 5018 Porto Alegre = 1680
Unidade 2
1 1) 150000
Dados
C = R$ 1000000
i = 5 aa
n = 3 anos = 1080 dias
J =
3) 24 meses = 2 anos
Dados
C = R$ 200000
i = 6 aa
n = 24 meses = 720 dias
M =
79
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
85
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
86
Universidade do Sul de Santa Catarina
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
87
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
88
Universidade do Sul de Santa Catarina
64
Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo 43
Dois equipamentos satildeo examinados Considerando ser a taxa miacutenima de atratividade de 20aa qual o equipamento que deve ser adquirido
Dados
41 - Tabela de DadosEquipamento K Equipamento L
Custo R$ 5000000 R$ 8000000Custo anual de manutenccedilatildeo R$ 2000000 R$ 1500000Valor residual para venda R$ 400000 R$ 800000Duraccedilatildeo em anos 10 10
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
A seguir veja o diagrama de fluxo de caixa
Os caacutelculos do Valor Presente Liacutequido para as duas situaccedilotildees satildeo
Equipamento K
5000000
Equipamento K
2000000
400000
0 1 2 10
8000000
Equipamento L
1500000
800000
0 1 2 10
50000 20000
9 4000 20000 1
20 -13320342
65
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Equipamento L
80000 15000
9 8000 15000 1
20 -14159504
Importante Veja que a alternativa K equivale a um equipamento em que se investe R$ 13320342 enquanto que o equipamento L equivale a um investimento de R$ 14159504 Portanto eacute preferiacutevel o equipamento K pois o investimento eacute menor
66
Universidade do Sul de Santa Catarina
Seccedilatildeo 2 ndash Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs - SFA
Este sistema consiste no pagamento de empreacutestimos ou financiamentos com prestaccedilotildees iguais e com periodicidade constante Eacute considerado o sistema de amortizaccedilatildeo mais utilizado pelas instituiccedilotildees financeiras e pelo comeacutercio em geral
O Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo eacute assim chamado por ter sido inventado na Franccedila por volta do seacuteculo XVIII pelo matemaacutetico inglecircs Richard Price daiacute portanto a origem da denominaccedilatildeo Sistema Price tambeacutem comumente chamado de Tabela Price
Na verdade a Tabela Price eacute um caso particular derivado do Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo Neste sistema o financiamento (PV) eacute pago em parcelas (PMT) iguais constituiacutedas da amortizaccedilatildeo do principal da diacutevida + juros compensatoacuterios (J) que variam inversamente ao longo do tempo Ou seja agrave medida que aumenta o valor da parcela de amortizaccedilatildeo haveraacute uma queda dos juros compensatoacuterios em funccedilatildeo da reduccedilatildeo do saldo devedor
Principais Caracteriacutesticas
As principais caracteriacutesticas do SFA satildeo
a prestaccedilatildeo eacute constante durante todo o periacuteodo do financiamento
a parcela de amortizaccedilatildeo aumenta a cada periacuteodo (n)
os juros compensatoacuterios diminuem a cada periacuteodo (n)
Exemplo 44 (exemplo 1 paacuteg 148 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma instituiccedilatildeo financeira libera um empreacutestimo para uma induacutestria no valor de R$ 60000000 para ser pago pelo sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs em 120 meses a uma taxa de 15 am Faccedila a planilha ateacute o 4ordm mecircs e calcule o saldo devedor no 100ordm mecircs
67
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Soluccedilatildeo
A sequecircncia abaixo calcula o valor da prestaccedilatildeo os juros a amortizaccedilatildeo o saldo devedor e valor do saldo devedor no 100ordm mecircs Acompanhe
Zera os registradores
60000000 Armazena o valor presente
120 Armazena o periacuteodo
15 Armazena a taxa
- R$ 1081111 Valor da prestaccedilatildeo
1 - R$ 900000 Valor dos juros da 1ordf parcela
R$ 181111Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 1ordf parcela
R$ 58918889 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 897283 Valor dos juros da 2ordf parcela
- R$ 183828Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 2ordf parcela
R$ 59635061 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 894526 Valor dos juros da 3ordf parcela
- R$ 186585Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 3ordf parcela
R$ 59448476 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 891727 Valor dos juros da 4ordf parcela
- R$ 189384Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 4ordf parcela
R$ 59259092 Recupera o saldo devedor
A tabela a seguir apresenta um resumo das operaccedilotildees realizadas
68
Universidade do Sul de Santa Catarina
Tabela 42 ndash Planilha de amortizaccedilatildeoPeriacuteodo (n) Amortizaccedilatildeo (A) Juros (J) Prestaccedilotildees (R) Saldo Devedor (S)
0 - - - R$ 600000001 R$ 181111 R$ 900000 R$ 1081111 R$ 598188892 R$ 183828 R$ 897283 R$ 1081111 R$ 596350613 R$ 186585 R$ 894526 R$ 1081111 R$ 594484764 R$ 189384 R$ 891727 R$ 1081111 R$ 59259092
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Para determinar o saldo devedor no 100ordm mecircs faccedila como indicado a seguir
60000000 120 150
-1081111 18561247
Prestaccedilatildeo Saldo devedor no 100ordm mecircs
Nesta unidade vocecirc usou as funccedilotildees de fluxo de caixa para calcular o valor presente liacutequido e a funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
69Unidade 4
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades a seguir (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 4 e 5 da unidade 7 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegina 102) Em seguida use o programa elaborado para resolver as mesmas questotildees
a) Qual das alternativas de pagamento eacute a melhor para uma taxa de juros compostos de 75 am
Alternativa A Pagamento de R$ 15000000 agrave vista
Alternativa B Entrada de R$ 5000000 + R$ 8000000 em 90 dias + R$ 6000000 em 150 dias
b) Uma pessoa deve a um banco dois tiacutetulos com valores de R$ 300000 e R$ 600000 venciacuteveis respectivamente em 4 meses e 8 meses Se a pessoa deseja antecipar para hoje a liquidaccedilatildeo dos tiacutetulos qual o valor a pagar considerando que o banco opera com uma taxa de juros compostos de 23 am
2 Elabore um algoritmo para resolver as atividades abaixo (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 1 e 4 da unidade 10 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 151 e 153)
a) Um cliente solicita a um banco um empreacutestimo de R$ 4000000 pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs em 60 prestaccedilotildees mensais Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de juros de 28 am obtenha o valor da prestaccedilatildeo e o saldo devedor depois de pagar a 20ordf prestaccedilatildeo
b) Um empreacutestimo de R$ 30000000 seraacute saldado em 50 prestaccedilotildees mensais a uma taxa de 15 am Determine a parcela de juros relativa agrave 15ordf prestaccedilatildeo pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs (price)
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
Manual da calculadora HP ndash 12C
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico ndash 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7ed Satildeo Paulo Atlas 2000
Para concluir o estudo
Com o teacutermino desse curso de extensatildeo acreditamos que proporcionamos momentos de aprendizagem por meio da interaccedilatildeo da calculadora financeira e que vocecirc estaacute habilitado(a) a fazer uso dessa ferramenta com qualidade no mercado de trabalho relacionado a essa aacuterea tatildeo importante no nosso dia-a-dia
Referecircncias
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7 ed Satildeo Paulo Atlas 2000
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003 Disponiacutevel em lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt Acesso em 05 jun 2008
Sobre o professor conteudista
Joseacute Humberto Dias de Toledo - eacute Mestre em Educaccedilatildeo pela Universidade do Sul de Santa Catarina Graduado em Licenciatura em Matemaacutetica e em Engenharia Civil Professor das disciplinas Meacutetodos Numeacutericos Informaacutetica Aplicada agrave Matemaacutetica Financeira Caacutelculo I e Matemaacutetica Financeira no Curso de Matemaacutetica ndash Licenciatura nesta mesma instituiccedilatildeo Atualmente ministra a disciplina Representaccedilotildees Graacuteficas na Poacutes-graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo Matemaacutetica da UNISUL
Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo
Unidade 1
1 a) 5
b) -2359
c) 3311
d) 077
e) 081
Respostas modo RPN
a)
b)
c)
d)
e)
Respostas modo ALG
a
b
c
d
e
78
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 R$ 167757
Modo RPN
Modo ALG
3 -242
4 Data 13082008 3 (quarta-feira)
5 Florianoacutepolis = 3303 Curitiba = 5018 Porto Alegre = 1680
Unidade 2
1 1) 150000
Dados
C = R$ 1000000
i = 5 aa
n = 3 anos = 1080 dias
J =
3) 24 meses = 2 anos
Dados
C = R$ 200000
i = 6 aa
n = 24 meses = 720 dias
M =
79
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
85
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
86
Universidade do Sul de Santa Catarina
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
87
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
88
Universidade do Sul de Santa Catarina
65
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Equipamento L
80000 15000
9 8000 15000 1
20 -14159504
Importante Veja que a alternativa K equivale a um equipamento em que se investe R$ 13320342 enquanto que o equipamento L equivale a um investimento de R$ 14159504 Portanto eacute preferiacutevel o equipamento K pois o investimento eacute menor
66
Universidade do Sul de Santa Catarina
Seccedilatildeo 2 ndash Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs - SFA
Este sistema consiste no pagamento de empreacutestimos ou financiamentos com prestaccedilotildees iguais e com periodicidade constante Eacute considerado o sistema de amortizaccedilatildeo mais utilizado pelas instituiccedilotildees financeiras e pelo comeacutercio em geral
O Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo eacute assim chamado por ter sido inventado na Franccedila por volta do seacuteculo XVIII pelo matemaacutetico inglecircs Richard Price daiacute portanto a origem da denominaccedilatildeo Sistema Price tambeacutem comumente chamado de Tabela Price
Na verdade a Tabela Price eacute um caso particular derivado do Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo Neste sistema o financiamento (PV) eacute pago em parcelas (PMT) iguais constituiacutedas da amortizaccedilatildeo do principal da diacutevida + juros compensatoacuterios (J) que variam inversamente ao longo do tempo Ou seja agrave medida que aumenta o valor da parcela de amortizaccedilatildeo haveraacute uma queda dos juros compensatoacuterios em funccedilatildeo da reduccedilatildeo do saldo devedor
Principais Caracteriacutesticas
As principais caracteriacutesticas do SFA satildeo
a prestaccedilatildeo eacute constante durante todo o periacuteodo do financiamento
a parcela de amortizaccedilatildeo aumenta a cada periacuteodo (n)
os juros compensatoacuterios diminuem a cada periacuteodo (n)
Exemplo 44 (exemplo 1 paacuteg 148 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma instituiccedilatildeo financeira libera um empreacutestimo para uma induacutestria no valor de R$ 60000000 para ser pago pelo sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs em 120 meses a uma taxa de 15 am Faccedila a planilha ateacute o 4ordm mecircs e calcule o saldo devedor no 100ordm mecircs
67
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Soluccedilatildeo
A sequecircncia abaixo calcula o valor da prestaccedilatildeo os juros a amortizaccedilatildeo o saldo devedor e valor do saldo devedor no 100ordm mecircs Acompanhe
Zera os registradores
60000000 Armazena o valor presente
120 Armazena o periacuteodo
15 Armazena a taxa
- R$ 1081111 Valor da prestaccedilatildeo
1 - R$ 900000 Valor dos juros da 1ordf parcela
R$ 181111Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 1ordf parcela
R$ 58918889 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 897283 Valor dos juros da 2ordf parcela
- R$ 183828Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 2ordf parcela
R$ 59635061 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 894526 Valor dos juros da 3ordf parcela
- R$ 186585Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 3ordf parcela
R$ 59448476 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 891727 Valor dos juros da 4ordf parcela
- R$ 189384Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 4ordf parcela
R$ 59259092 Recupera o saldo devedor
A tabela a seguir apresenta um resumo das operaccedilotildees realizadas
68
Universidade do Sul de Santa Catarina
Tabela 42 ndash Planilha de amortizaccedilatildeoPeriacuteodo (n) Amortizaccedilatildeo (A) Juros (J) Prestaccedilotildees (R) Saldo Devedor (S)
0 - - - R$ 600000001 R$ 181111 R$ 900000 R$ 1081111 R$ 598188892 R$ 183828 R$ 897283 R$ 1081111 R$ 596350613 R$ 186585 R$ 894526 R$ 1081111 R$ 594484764 R$ 189384 R$ 891727 R$ 1081111 R$ 59259092
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Para determinar o saldo devedor no 100ordm mecircs faccedila como indicado a seguir
60000000 120 150
-1081111 18561247
Prestaccedilatildeo Saldo devedor no 100ordm mecircs
Nesta unidade vocecirc usou as funccedilotildees de fluxo de caixa para calcular o valor presente liacutequido e a funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
69Unidade 4
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades a seguir (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 4 e 5 da unidade 7 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegina 102) Em seguida use o programa elaborado para resolver as mesmas questotildees
a) Qual das alternativas de pagamento eacute a melhor para uma taxa de juros compostos de 75 am
Alternativa A Pagamento de R$ 15000000 agrave vista
Alternativa B Entrada de R$ 5000000 + R$ 8000000 em 90 dias + R$ 6000000 em 150 dias
b) Uma pessoa deve a um banco dois tiacutetulos com valores de R$ 300000 e R$ 600000 venciacuteveis respectivamente em 4 meses e 8 meses Se a pessoa deseja antecipar para hoje a liquidaccedilatildeo dos tiacutetulos qual o valor a pagar considerando que o banco opera com uma taxa de juros compostos de 23 am
2 Elabore um algoritmo para resolver as atividades abaixo (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 1 e 4 da unidade 10 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 151 e 153)
a) Um cliente solicita a um banco um empreacutestimo de R$ 4000000 pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs em 60 prestaccedilotildees mensais Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de juros de 28 am obtenha o valor da prestaccedilatildeo e o saldo devedor depois de pagar a 20ordf prestaccedilatildeo
b) Um empreacutestimo de R$ 30000000 seraacute saldado em 50 prestaccedilotildees mensais a uma taxa de 15 am Determine a parcela de juros relativa agrave 15ordf prestaccedilatildeo pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs (price)
70
Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
Manual da calculadora HP ndash 12C
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico ndash 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7ed Satildeo Paulo Atlas 2000
Para concluir o estudo
Com o teacutermino desse curso de extensatildeo acreditamos que proporcionamos momentos de aprendizagem por meio da interaccedilatildeo da calculadora financeira e que vocecirc estaacute habilitado(a) a fazer uso dessa ferramenta com qualidade no mercado de trabalho relacionado a essa aacuterea tatildeo importante no nosso dia-a-dia
Referecircncias
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7 ed Satildeo Paulo Atlas 2000
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003 Disponiacutevel em lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt Acesso em 05 jun 2008
Sobre o professor conteudista
Joseacute Humberto Dias de Toledo - eacute Mestre em Educaccedilatildeo pela Universidade do Sul de Santa Catarina Graduado em Licenciatura em Matemaacutetica e em Engenharia Civil Professor das disciplinas Meacutetodos Numeacutericos Informaacutetica Aplicada agrave Matemaacutetica Financeira Caacutelculo I e Matemaacutetica Financeira no Curso de Matemaacutetica ndash Licenciatura nesta mesma instituiccedilatildeo Atualmente ministra a disciplina Representaccedilotildees Graacuteficas na Poacutes-graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo Matemaacutetica da UNISUL
Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo
Unidade 1
1 a) 5
b) -2359
c) 3311
d) 077
e) 081
Respostas modo RPN
a)
b)
c)
d)
e)
Respostas modo ALG
a
b
c
d
e
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Universidade do Sul de Santa Catarina
2 R$ 167757
Modo RPN
Modo ALG
3 -242
4 Data 13082008 3 (quarta-feira)
5 Florianoacutepolis = 3303 Curitiba = 5018 Porto Alegre = 1680
Unidade 2
1 1) 150000
Dados
C = R$ 1000000
i = 5 aa
n = 3 anos = 1080 dias
J =
3) 24 meses = 2 anos
Dados
C = R$ 200000
i = 6 aa
n = 24 meses = 720 dias
M =
79
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
85
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
86
Universidade do Sul de Santa Catarina
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
87
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
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Seccedilatildeo 2 ndash Sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs - SFA
Este sistema consiste no pagamento de empreacutestimos ou financiamentos com prestaccedilotildees iguais e com periodicidade constante Eacute considerado o sistema de amortizaccedilatildeo mais utilizado pelas instituiccedilotildees financeiras e pelo comeacutercio em geral
O Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo eacute assim chamado por ter sido inventado na Franccedila por volta do seacuteculo XVIII pelo matemaacutetico inglecircs Richard Price daiacute portanto a origem da denominaccedilatildeo Sistema Price tambeacutem comumente chamado de Tabela Price
Na verdade a Tabela Price eacute um caso particular derivado do Sistema Francecircs de Amortizaccedilatildeo Neste sistema o financiamento (PV) eacute pago em parcelas (PMT) iguais constituiacutedas da amortizaccedilatildeo do principal da diacutevida + juros compensatoacuterios (J) que variam inversamente ao longo do tempo Ou seja agrave medida que aumenta o valor da parcela de amortizaccedilatildeo haveraacute uma queda dos juros compensatoacuterios em funccedilatildeo da reduccedilatildeo do saldo devedor
Principais Caracteriacutesticas
As principais caracteriacutesticas do SFA satildeo
a prestaccedilatildeo eacute constante durante todo o periacuteodo do financiamento
a parcela de amortizaccedilatildeo aumenta a cada periacuteodo (n)
os juros compensatoacuterios diminuem a cada periacuteodo (n)
Exemplo 44 (exemplo 1 paacuteg 148 do livro Matemaacutetica Financeira)
Uma instituiccedilatildeo financeira libera um empreacutestimo para uma induacutestria no valor de R$ 60000000 para ser pago pelo sistema de amortizaccedilatildeo Francecircs em 120 meses a uma taxa de 15 am Faccedila a planilha ateacute o 4ordm mecircs e calcule o saldo devedor no 100ordm mecircs
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Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Soluccedilatildeo
A sequecircncia abaixo calcula o valor da prestaccedilatildeo os juros a amortizaccedilatildeo o saldo devedor e valor do saldo devedor no 100ordm mecircs Acompanhe
Zera os registradores
60000000 Armazena o valor presente
120 Armazena o periacuteodo
15 Armazena a taxa
- R$ 1081111 Valor da prestaccedilatildeo
1 - R$ 900000 Valor dos juros da 1ordf parcela
R$ 181111Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 1ordf parcela
R$ 58918889 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 897283 Valor dos juros da 2ordf parcela
- R$ 183828Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 2ordf parcela
R$ 59635061 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 894526 Valor dos juros da 3ordf parcela
- R$ 186585Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 3ordf parcela
R$ 59448476 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 891727 Valor dos juros da 4ordf parcela
- R$ 189384Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 4ordf parcela
R$ 59259092 Recupera o saldo devedor
A tabela a seguir apresenta um resumo das operaccedilotildees realizadas
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Tabela 42 ndash Planilha de amortizaccedilatildeoPeriacuteodo (n) Amortizaccedilatildeo (A) Juros (J) Prestaccedilotildees (R) Saldo Devedor (S)
0 - - - R$ 600000001 R$ 181111 R$ 900000 R$ 1081111 R$ 598188892 R$ 183828 R$ 897283 R$ 1081111 R$ 596350613 R$ 186585 R$ 894526 R$ 1081111 R$ 594484764 R$ 189384 R$ 891727 R$ 1081111 R$ 59259092
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Para determinar o saldo devedor no 100ordm mecircs faccedila como indicado a seguir
60000000 120 150
-1081111 18561247
Prestaccedilatildeo Saldo devedor no 100ordm mecircs
Nesta unidade vocecirc usou as funccedilotildees de fluxo de caixa para calcular o valor presente liacutequido e a funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
69Unidade 4
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades a seguir (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 4 e 5 da unidade 7 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegina 102) Em seguida use o programa elaborado para resolver as mesmas questotildees
a) Qual das alternativas de pagamento eacute a melhor para uma taxa de juros compostos de 75 am
Alternativa A Pagamento de R$ 15000000 agrave vista
Alternativa B Entrada de R$ 5000000 + R$ 8000000 em 90 dias + R$ 6000000 em 150 dias
b) Uma pessoa deve a um banco dois tiacutetulos com valores de R$ 300000 e R$ 600000 venciacuteveis respectivamente em 4 meses e 8 meses Se a pessoa deseja antecipar para hoje a liquidaccedilatildeo dos tiacutetulos qual o valor a pagar considerando que o banco opera com uma taxa de juros compostos de 23 am
2 Elabore um algoritmo para resolver as atividades abaixo (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 1 e 4 da unidade 10 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 151 e 153)
a) Um cliente solicita a um banco um empreacutestimo de R$ 4000000 pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs em 60 prestaccedilotildees mensais Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de juros de 28 am obtenha o valor da prestaccedilatildeo e o saldo devedor depois de pagar a 20ordf prestaccedilatildeo
b) Um empreacutestimo de R$ 30000000 seraacute saldado em 50 prestaccedilotildees mensais a uma taxa de 15 am Determine a parcela de juros relativa agrave 15ordf prestaccedilatildeo pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs (price)
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Saiba mais
Manual da calculadora HP ndash 12C
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico ndash 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7ed Satildeo Paulo Atlas 2000
Para concluir o estudo
Com o teacutermino desse curso de extensatildeo acreditamos que proporcionamos momentos de aprendizagem por meio da interaccedilatildeo da calculadora financeira e que vocecirc estaacute habilitado(a) a fazer uso dessa ferramenta com qualidade no mercado de trabalho relacionado a essa aacuterea tatildeo importante no nosso dia-a-dia
Referecircncias
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7 ed Satildeo Paulo Atlas 2000
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003 Disponiacutevel em lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt Acesso em 05 jun 2008
Sobre o professor conteudista
Joseacute Humberto Dias de Toledo - eacute Mestre em Educaccedilatildeo pela Universidade do Sul de Santa Catarina Graduado em Licenciatura em Matemaacutetica e em Engenharia Civil Professor das disciplinas Meacutetodos Numeacutericos Informaacutetica Aplicada agrave Matemaacutetica Financeira Caacutelculo I e Matemaacutetica Financeira no Curso de Matemaacutetica ndash Licenciatura nesta mesma instituiccedilatildeo Atualmente ministra a disciplina Representaccedilotildees Graacuteficas na Poacutes-graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo Matemaacutetica da UNISUL
Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo
Unidade 1
1 a) 5
b) -2359
c) 3311
d) 077
e) 081
Respostas modo RPN
a)
b)
c)
d)
e)
Respostas modo ALG
a
b
c
d
e
78
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 R$ 167757
Modo RPN
Modo ALG
3 -242
4 Data 13082008 3 (quarta-feira)
5 Florianoacutepolis = 3303 Curitiba = 5018 Porto Alegre = 1680
Unidade 2
1 1) 150000
Dados
C = R$ 1000000
i = 5 aa
n = 3 anos = 1080 dias
J =
3) 24 meses = 2 anos
Dados
C = R$ 200000
i = 6 aa
n = 24 meses = 720 dias
M =
79
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
85
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
86
Universidade do Sul de Santa Catarina
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
87
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
88
Universidade do Sul de Santa Catarina
67
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Unidade 4
Soluccedilatildeo
A sequecircncia abaixo calcula o valor da prestaccedilatildeo os juros a amortizaccedilatildeo o saldo devedor e valor do saldo devedor no 100ordm mecircs Acompanhe
Zera os registradores
60000000 Armazena o valor presente
120 Armazena o periacuteodo
15 Armazena a taxa
- R$ 1081111 Valor da prestaccedilatildeo
1 - R$ 900000 Valor dos juros da 1ordf parcela
R$ 181111Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 1ordf parcela
R$ 58918889 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 897283 Valor dos juros da 2ordf parcela
- R$ 183828Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 2ordf parcela
R$ 59635061 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 894526 Valor dos juros da 3ordf parcela
- R$ 186585Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 3ordf parcela
R$ 59448476 Recupera o saldo devedor
1 - R$ 891727 Valor dos juros da 4ordf parcela
- R$ 189384Amortizaccedilatildeo gerada pelo pagamento da 4ordf parcela
R$ 59259092 Recupera o saldo devedor
A tabela a seguir apresenta um resumo das operaccedilotildees realizadas
68
Universidade do Sul de Santa Catarina
Tabela 42 ndash Planilha de amortizaccedilatildeoPeriacuteodo (n) Amortizaccedilatildeo (A) Juros (J) Prestaccedilotildees (R) Saldo Devedor (S)
0 - - - R$ 600000001 R$ 181111 R$ 900000 R$ 1081111 R$ 598188892 R$ 183828 R$ 897283 R$ 1081111 R$ 596350613 R$ 186585 R$ 894526 R$ 1081111 R$ 594484764 R$ 189384 R$ 891727 R$ 1081111 R$ 59259092
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Para determinar o saldo devedor no 100ordm mecircs faccedila como indicado a seguir
60000000 120 150
-1081111 18561247
Prestaccedilatildeo Saldo devedor no 100ordm mecircs
Nesta unidade vocecirc usou as funccedilotildees de fluxo de caixa para calcular o valor presente liacutequido e a funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
69Unidade 4
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades a seguir (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 4 e 5 da unidade 7 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegina 102) Em seguida use o programa elaborado para resolver as mesmas questotildees
a) Qual das alternativas de pagamento eacute a melhor para uma taxa de juros compostos de 75 am
Alternativa A Pagamento de R$ 15000000 agrave vista
Alternativa B Entrada de R$ 5000000 + R$ 8000000 em 90 dias + R$ 6000000 em 150 dias
b) Uma pessoa deve a um banco dois tiacutetulos com valores de R$ 300000 e R$ 600000 venciacuteveis respectivamente em 4 meses e 8 meses Se a pessoa deseja antecipar para hoje a liquidaccedilatildeo dos tiacutetulos qual o valor a pagar considerando que o banco opera com uma taxa de juros compostos de 23 am
2 Elabore um algoritmo para resolver as atividades abaixo (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 1 e 4 da unidade 10 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 151 e 153)
a) Um cliente solicita a um banco um empreacutestimo de R$ 4000000 pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs em 60 prestaccedilotildees mensais Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de juros de 28 am obtenha o valor da prestaccedilatildeo e o saldo devedor depois de pagar a 20ordf prestaccedilatildeo
b) Um empreacutestimo de R$ 30000000 seraacute saldado em 50 prestaccedilotildees mensais a uma taxa de 15 am Determine a parcela de juros relativa agrave 15ordf prestaccedilatildeo pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs (price)
70
Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
Manual da calculadora HP ndash 12C
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico ndash 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7ed Satildeo Paulo Atlas 2000
Para concluir o estudo
Com o teacutermino desse curso de extensatildeo acreditamos que proporcionamos momentos de aprendizagem por meio da interaccedilatildeo da calculadora financeira e que vocecirc estaacute habilitado(a) a fazer uso dessa ferramenta com qualidade no mercado de trabalho relacionado a essa aacuterea tatildeo importante no nosso dia-a-dia
Referecircncias
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7 ed Satildeo Paulo Atlas 2000
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003 Disponiacutevel em lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt Acesso em 05 jun 2008
Sobre o professor conteudista
Joseacute Humberto Dias de Toledo - eacute Mestre em Educaccedilatildeo pela Universidade do Sul de Santa Catarina Graduado em Licenciatura em Matemaacutetica e em Engenharia Civil Professor das disciplinas Meacutetodos Numeacutericos Informaacutetica Aplicada agrave Matemaacutetica Financeira Caacutelculo I e Matemaacutetica Financeira no Curso de Matemaacutetica ndash Licenciatura nesta mesma instituiccedilatildeo Atualmente ministra a disciplina Representaccedilotildees Graacuteficas na Poacutes-graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo Matemaacutetica da UNISUL
Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo
Unidade 1
1 a) 5
b) -2359
c) 3311
d) 077
e) 081
Respostas modo RPN
a)
b)
c)
d)
e)
Respostas modo ALG
a
b
c
d
e
78
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 R$ 167757
Modo RPN
Modo ALG
3 -242
4 Data 13082008 3 (quarta-feira)
5 Florianoacutepolis = 3303 Curitiba = 5018 Porto Alegre = 1680
Unidade 2
1 1) 150000
Dados
C = R$ 1000000
i = 5 aa
n = 3 anos = 1080 dias
J =
3) 24 meses = 2 anos
Dados
C = R$ 200000
i = 6 aa
n = 24 meses = 720 dias
M =
79
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
85
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
86
Universidade do Sul de Santa Catarina
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
87
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
88
Universidade do Sul de Santa Catarina
68
Universidade do Sul de Santa Catarina
Tabela 42 ndash Planilha de amortizaccedilatildeoPeriacuteodo (n) Amortizaccedilatildeo (A) Juros (J) Prestaccedilotildees (R) Saldo Devedor (S)
0 - - - R$ 600000001 R$ 181111 R$ 900000 R$ 1081111 R$ 598188892 R$ 183828 R$ 897283 R$ 1081111 R$ 596350613 R$ 186585 R$ 894526 R$ 1081111 R$ 594484764 R$ 189384 R$ 891727 R$ 1081111 R$ 59259092
Fonte Elaboraccedilatildeo do autor
Para determinar o saldo devedor no 100ordm mecircs faccedila como indicado a seguir
60000000 120 150
-1081111 18561247
Prestaccedilatildeo Saldo devedor no 100ordm mecircs
Nesta unidade vocecirc usou as funccedilotildees de fluxo de caixa para calcular o valor presente liacutequido e a funccedilatildeo AMORT para auxiliar na elaboraccedilatildeo de uma planilha de amortizaccedilatildeo de empreacutestimos
69Unidade 4
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades a seguir (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 4 e 5 da unidade 7 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegina 102) Em seguida use o programa elaborado para resolver as mesmas questotildees
a) Qual das alternativas de pagamento eacute a melhor para uma taxa de juros compostos de 75 am
Alternativa A Pagamento de R$ 15000000 agrave vista
Alternativa B Entrada de R$ 5000000 + R$ 8000000 em 90 dias + R$ 6000000 em 150 dias
b) Uma pessoa deve a um banco dois tiacutetulos com valores de R$ 300000 e R$ 600000 venciacuteveis respectivamente em 4 meses e 8 meses Se a pessoa deseja antecipar para hoje a liquidaccedilatildeo dos tiacutetulos qual o valor a pagar considerando que o banco opera com uma taxa de juros compostos de 23 am
2 Elabore um algoritmo para resolver as atividades abaixo (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 1 e 4 da unidade 10 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 151 e 153)
a) Um cliente solicita a um banco um empreacutestimo de R$ 4000000 pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs em 60 prestaccedilotildees mensais Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de juros de 28 am obtenha o valor da prestaccedilatildeo e o saldo devedor depois de pagar a 20ordf prestaccedilatildeo
b) Um empreacutestimo de R$ 30000000 seraacute saldado em 50 prestaccedilotildees mensais a uma taxa de 15 am Determine a parcela de juros relativa agrave 15ordf prestaccedilatildeo pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs (price)
70
Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
Manual da calculadora HP ndash 12C
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico ndash 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7ed Satildeo Paulo Atlas 2000
Para concluir o estudo
Com o teacutermino desse curso de extensatildeo acreditamos que proporcionamos momentos de aprendizagem por meio da interaccedilatildeo da calculadora financeira e que vocecirc estaacute habilitado(a) a fazer uso dessa ferramenta com qualidade no mercado de trabalho relacionado a essa aacuterea tatildeo importante no nosso dia-a-dia
Referecircncias
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7 ed Satildeo Paulo Atlas 2000
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003 Disponiacutevel em lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt Acesso em 05 jun 2008
Sobre o professor conteudista
Joseacute Humberto Dias de Toledo - eacute Mestre em Educaccedilatildeo pela Universidade do Sul de Santa Catarina Graduado em Licenciatura em Matemaacutetica e em Engenharia Civil Professor das disciplinas Meacutetodos Numeacutericos Informaacutetica Aplicada agrave Matemaacutetica Financeira Caacutelculo I e Matemaacutetica Financeira no Curso de Matemaacutetica ndash Licenciatura nesta mesma instituiccedilatildeo Atualmente ministra a disciplina Representaccedilotildees Graacuteficas na Poacutes-graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo Matemaacutetica da UNISUL
Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo
Unidade 1
1 a) 5
b) -2359
c) 3311
d) 077
e) 081
Respostas modo RPN
a)
b)
c)
d)
e)
Respostas modo ALG
a
b
c
d
e
78
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 R$ 167757
Modo RPN
Modo ALG
3 -242
4 Data 13082008 3 (quarta-feira)
5 Florianoacutepolis = 3303 Curitiba = 5018 Porto Alegre = 1680
Unidade 2
1 1) 150000
Dados
C = R$ 1000000
i = 5 aa
n = 3 anos = 1080 dias
J =
3) 24 meses = 2 anos
Dados
C = R$ 200000
i = 6 aa
n = 24 meses = 720 dias
M =
79
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
85
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
86
Universidade do Sul de Santa Catarina
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
87
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
88
Universidade do Sul de Santa Catarina
69Unidade 4
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Atividades de autoavaliaccedilatildeo
As questotildees a seguir satildeo propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira cujo arquivo digital estaacute disponiacutevel na ferramenta MIDIATECA do EVA Portanto fazendo uso da calculadora HP ndash 12C e usando duas casas decimais no mostrador da ferramenta elabore o que se pede
1 Elabore uma sequecircncia de passos (algoritmo) para resolver as atividades a seguir (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 4 e 5 da unidade 7 propostas no livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacutegina 102) Em seguida use o programa elaborado para resolver as mesmas questotildees
a) Qual das alternativas de pagamento eacute a melhor para uma taxa de juros compostos de 75 am
Alternativa A Pagamento de R$ 15000000 agrave vista
Alternativa B Entrada de R$ 5000000 + R$ 8000000 em 90 dias + R$ 6000000 em 150 dias
b) Uma pessoa deve a um banco dois tiacutetulos com valores de R$ 300000 e R$ 600000 venciacuteveis respectivamente em 4 meses e 8 meses Se a pessoa deseja antecipar para hoje a liquidaccedilatildeo dos tiacutetulos qual o valor a pagar considerando que o banco opera com uma taxa de juros compostos de 23 am
2 Elabore um algoritmo para resolver as atividades abaixo (Essas questotildees correspondem agraves autoavaliaccedilotildees 1 e 4 da unidade 10 do livro didaacutetico da disciplina Matemaacutetica Financeira paacuteg 151 e 153)
a) Um cliente solicita a um banco um empreacutestimo de R$ 4000000 pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs em 60 prestaccedilotildees mensais Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de juros de 28 am obtenha o valor da prestaccedilatildeo e o saldo devedor depois de pagar a 20ordf prestaccedilatildeo
b) Um empreacutestimo de R$ 30000000 seraacute saldado em 50 prestaccedilotildees mensais a uma taxa de 15 am Determine a parcela de juros relativa agrave 15ordf prestaccedilatildeo pelo sistema de amortizaccedilatildeo francecircs (price)
70
Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
Manual da calculadora HP ndash 12C
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico ndash 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7ed Satildeo Paulo Atlas 2000
Para concluir o estudo
Com o teacutermino desse curso de extensatildeo acreditamos que proporcionamos momentos de aprendizagem por meio da interaccedilatildeo da calculadora financeira e que vocecirc estaacute habilitado(a) a fazer uso dessa ferramenta com qualidade no mercado de trabalho relacionado a essa aacuterea tatildeo importante no nosso dia-a-dia
Referecircncias
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7 ed Satildeo Paulo Atlas 2000
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003 Disponiacutevel em lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt Acesso em 05 jun 2008
Sobre o professor conteudista
Joseacute Humberto Dias de Toledo - eacute Mestre em Educaccedilatildeo pela Universidade do Sul de Santa Catarina Graduado em Licenciatura em Matemaacutetica e em Engenharia Civil Professor das disciplinas Meacutetodos Numeacutericos Informaacutetica Aplicada agrave Matemaacutetica Financeira Caacutelculo I e Matemaacutetica Financeira no Curso de Matemaacutetica ndash Licenciatura nesta mesma instituiccedilatildeo Atualmente ministra a disciplina Representaccedilotildees Graacuteficas na Poacutes-graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo Matemaacutetica da UNISUL
Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo
Unidade 1
1 a) 5
b) -2359
c) 3311
d) 077
e) 081
Respostas modo RPN
a)
b)
c)
d)
e)
Respostas modo ALG
a
b
c
d
e
78
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 R$ 167757
Modo RPN
Modo ALG
3 -242
4 Data 13082008 3 (quarta-feira)
5 Florianoacutepolis = 3303 Curitiba = 5018 Porto Alegre = 1680
Unidade 2
1 1) 150000
Dados
C = R$ 1000000
i = 5 aa
n = 3 anos = 1080 dias
J =
3) 24 meses = 2 anos
Dados
C = R$ 200000
i = 6 aa
n = 24 meses = 720 dias
M =
79
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
85
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
86
Universidade do Sul de Santa Catarina
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
87
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
88
Universidade do Sul de Santa Catarina
70
Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
Manual da calculadora HP ndash 12C
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico ndash 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7ed Satildeo Paulo Atlas 2000
Para concluir o estudo
Com o teacutermino desse curso de extensatildeo acreditamos que proporcionamos momentos de aprendizagem por meio da interaccedilatildeo da calculadora financeira e que vocecirc estaacute habilitado(a) a fazer uso dessa ferramenta com qualidade no mercado de trabalho relacionado a essa aacuterea tatildeo importante no nosso dia-a-dia
Referecircncias
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7 ed Satildeo Paulo Atlas 2000
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003 Disponiacutevel em lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt Acesso em 05 jun 2008
Sobre o professor conteudista
Joseacute Humberto Dias de Toledo - eacute Mestre em Educaccedilatildeo pela Universidade do Sul de Santa Catarina Graduado em Licenciatura em Matemaacutetica e em Engenharia Civil Professor das disciplinas Meacutetodos Numeacutericos Informaacutetica Aplicada agrave Matemaacutetica Financeira Caacutelculo I e Matemaacutetica Financeira no Curso de Matemaacutetica ndash Licenciatura nesta mesma instituiccedilatildeo Atualmente ministra a disciplina Representaccedilotildees Graacuteficas na Poacutes-graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo Matemaacutetica da UNISUL
Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo
Unidade 1
1 a) 5
b) -2359
c) 3311
d) 077
e) 081
Respostas modo RPN
a)
b)
c)
d)
e)
Respostas modo ALG
a
b
c
d
e
78
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 R$ 167757
Modo RPN
Modo ALG
3 -242
4 Data 13082008 3 (quarta-feira)
5 Florianoacutepolis = 3303 Curitiba = 5018 Porto Alegre = 1680
Unidade 2
1 1) 150000
Dados
C = R$ 1000000
i = 5 aa
n = 3 anos = 1080 dias
J =
3) 24 meses = 2 anos
Dados
C = R$ 200000
i = 6 aa
n = 24 meses = 720 dias
M =
79
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
85
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
86
Universidade do Sul de Santa Catarina
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
87
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
88
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para concluir o estudo
Com o teacutermino desse curso de extensatildeo acreditamos que proporcionamos momentos de aprendizagem por meio da interaccedilatildeo da calculadora financeira e que vocecirc estaacute habilitado(a) a fazer uso dessa ferramenta com qualidade no mercado de trabalho relacionado a essa aacuterea tatildeo importante no nosso dia-a-dia
Referecircncias
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7 ed Satildeo Paulo Atlas 2000
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003 Disponiacutevel em lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt Acesso em 05 jun 2008
Sobre o professor conteudista
Joseacute Humberto Dias de Toledo - eacute Mestre em Educaccedilatildeo pela Universidade do Sul de Santa Catarina Graduado em Licenciatura em Matemaacutetica e em Engenharia Civil Professor das disciplinas Meacutetodos Numeacutericos Informaacutetica Aplicada agrave Matemaacutetica Financeira Caacutelculo I e Matemaacutetica Financeira no Curso de Matemaacutetica ndash Licenciatura nesta mesma instituiccedilatildeo Atualmente ministra a disciplina Representaccedilotildees Graacuteficas na Poacutes-graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo Matemaacutetica da UNISUL
Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo
Unidade 1
1 a) 5
b) -2359
c) 3311
d) 077
e) 081
Respostas modo RPN
a)
b)
c)
d)
e)
Respostas modo ALG
a
b
c
d
e
78
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 R$ 167757
Modo RPN
Modo ALG
3 -242
4 Data 13082008 3 (quarta-feira)
5 Florianoacutepolis = 3303 Curitiba = 5018 Porto Alegre = 1680
Unidade 2
1 1) 150000
Dados
C = R$ 1000000
i = 5 aa
n = 3 anos = 1080 dias
J =
3) 24 meses = 2 anos
Dados
C = R$ 200000
i = 6 aa
n = 24 meses = 720 dias
M =
79
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
85
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
86
Universidade do Sul de Santa Catarina
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
87
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
88
Universidade do Sul de Santa Catarina
Referecircncias
DUTRA Maurici Joseacute Matemaacutetica Financeira livro didaacutetico 3 ed rev e atual Palhoccedila Unisul Virtual 2007
HIRSCHELD Henrique Engenharia econocircmica e anaacutelise de custos aplicaccedilotildees praacuteticas para economistas engenheiros analistas de investimento e administradores 7 ed Satildeo Paulo Atlas 2000
SHINODA Carlos Matemaacutetica financeira para usuaacuterio do Excel Satildeo Paulo Atlas 1998
HP-12C Platinum Manual do usuaacuterio e guia de resoluccedilatildeo de problemas Hewlett-Packard Company 2003 Disponiacutevel em lthttph10032www1hpcomctgManualbpia5238pdfgt Acesso em 05 jun 2008
Sobre o professor conteudista
Joseacute Humberto Dias de Toledo - eacute Mestre em Educaccedilatildeo pela Universidade do Sul de Santa Catarina Graduado em Licenciatura em Matemaacutetica e em Engenharia Civil Professor das disciplinas Meacutetodos Numeacutericos Informaacutetica Aplicada agrave Matemaacutetica Financeira Caacutelculo I e Matemaacutetica Financeira no Curso de Matemaacutetica ndash Licenciatura nesta mesma instituiccedilatildeo Atualmente ministra a disciplina Representaccedilotildees Graacuteficas na Poacutes-graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo Matemaacutetica da UNISUL
Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo
Unidade 1
1 a) 5
b) -2359
c) 3311
d) 077
e) 081
Respostas modo RPN
a)
b)
c)
d)
e)
Respostas modo ALG
a
b
c
d
e
78
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 R$ 167757
Modo RPN
Modo ALG
3 -242
4 Data 13082008 3 (quarta-feira)
5 Florianoacutepolis = 3303 Curitiba = 5018 Porto Alegre = 1680
Unidade 2
1 1) 150000
Dados
C = R$ 1000000
i = 5 aa
n = 3 anos = 1080 dias
J =
3) 24 meses = 2 anos
Dados
C = R$ 200000
i = 6 aa
n = 24 meses = 720 dias
M =
79
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
85
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
86
Universidade do Sul de Santa Catarina
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
87
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
88
Universidade do Sul de Santa Catarina
Sobre o professor conteudista
Joseacute Humberto Dias de Toledo - eacute Mestre em Educaccedilatildeo pela Universidade do Sul de Santa Catarina Graduado em Licenciatura em Matemaacutetica e em Engenharia Civil Professor das disciplinas Meacutetodos Numeacutericos Informaacutetica Aplicada agrave Matemaacutetica Financeira Caacutelculo I e Matemaacutetica Financeira no Curso de Matemaacutetica ndash Licenciatura nesta mesma instituiccedilatildeo Atualmente ministra a disciplina Representaccedilotildees Graacuteficas na Poacutes-graduaccedilatildeo em Educaccedilatildeo Matemaacutetica da UNISUL
Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo
Unidade 1
1 a) 5
b) -2359
c) 3311
d) 077
e) 081
Respostas modo RPN
a)
b)
c)
d)
e)
Respostas modo ALG
a
b
c
d
e
78
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 R$ 167757
Modo RPN
Modo ALG
3 -242
4 Data 13082008 3 (quarta-feira)
5 Florianoacutepolis = 3303 Curitiba = 5018 Porto Alegre = 1680
Unidade 2
1 1) 150000
Dados
C = R$ 1000000
i = 5 aa
n = 3 anos = 1080 dias
J =
3) 24 meses = 2 anos
Dados
C = R$ 200000
i = 6 aa
n = 24 meses = 720 dias
M =
79
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
85
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
86
Universidade do Sul de Santa Catarina
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
87
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
88
Universidade do Sul de Santa Catarina
Respostas e comentaacuterios das atividades de autoavaliaccedilatildeo
Unidade 1
1 a) 5
b) -2359
c) 3311
d) 077
e) 081
Respostas modo RPN
a)
b)
c)
d)
e)
Respostas modo ALG
a
b
c
d
e
78
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 R$ 167757
Modo RPN
Modo ALG
3 -242
4 Data 13082008 3 (quarta-feira)
5 Florianoacutepolis = 3303 Curitiba = 5018 Porto Alegre = 1680
Unidade 2
1 1) 150000
Dados
C = R$ 1000000
i = 5 aa
n = 3 anos = 1080 dias
J =
3) 24 meses = 2 anos
Dados
C = R$ 200000
i = 6 aa
n = 24 meses = 720 dias
M =
79
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
85
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
86
Universidade do Sul de Santa Catarina
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
87
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
88
Universidade do Sul de Santa Catarina
78
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 R$ 167757
Modo RPN
Modo ALG
3 -242
4 Data 13082008 3 (quarta-feira)
5 Florianoacutepolis = 3303 Curitiba = 5018 Porto Alegre = 1680
Unidade 2
1 1) 150000
Dados
C = R$ 1000000
i = 5 aa
n = 3 anos = 1080 dias
J =
3) 24 meses = 2 anos
Dados
C = R$ 200000
i = 6 aa
n = 24 meses = 720 dias
M =
79
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
85
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
86
Universidade do Sul de Santa Catarina
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
87
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
88
Universidade do Sul de Santa Catarina
79
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
5) 198056
Dados
C = R$ 6200000
i = 125 aa
Je=
Jc =
6) 49833
Dados
C = R$ 600000
i = 12 aa
n = 180 dias
Je=
Jc =
Dados
C = R$ 520000
i = 15 aa
n = 230 dias
Je=
Jc =
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
85
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
86
Universidade do Sul de Santa Catarina
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
87
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
88
Universidade do Sul de Santa Catarina
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
2 1) 4100000
Dados
N = R$ 5000000
i = 45 am
n = 4 meses
DCS =
VL =
Foacutermulas
DCS = N i n
VL =N ndash DCS
2) 45455 am
Dados
N = R$ 1650000
i =
n = 2 meses
VL = R$ 1500000
Foacutermulas
DCS = N i n
VL = N ndash DCS = N ndash N i n
VL = N(1 ndashin)
4) 39706
Dados
N = R$ 500000
n = 4 meses
i = 22 am
dr =
Foacutermulas
dr = Nin
1 + in
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
85
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
86
Universidade do Sul de Santa Catarina
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
87
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
88
Universidade do Sul de Santa Catarina
81
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
3 1) 3524259
Dados
FV =
PV = R$ 2600000
i = 52 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV =PV(1+i)n
2) 144445
Dados
FV =
J =
PV = R$ 420000
i = 3 am
n = 10 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
3) 106682 am
Dados
FV = R$ 900000
PV = R$ 600000
i = 3 am
n = 120 dias = 4 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
85
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
86
Universidade do Sul de Santa Catarina
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
87
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
88
Universidade do Sul de Santa Catarina
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) 24 meses
Dados
FV = R$ 6151930
PV = R$ 2400000
i = 4 am
n =
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
6) 3666419
Dados
FV = R$ 3800000
PV =
i = 12 am
n = 3 meses
Foacutermula
FV = PV(1+i)n
4 1) 181557
Dados
FV = R$ 830000
DRC =
i = 42 am
n = 6 meses
Foacutermula
FV = DRC = N [1ndash(1 +i)-n]
8) 6 meses
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
85
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
86
Universidade do Sul de Santa Catarina
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
87
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
88
Universidade do Sul de Santa Catarina
83
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
Dados
N = R$ 3000000
DCC =
i = 64 am
n =
VL = R$ 2017327
Unidade 3
a) 26 amb) 42 abc) 48 atd) 12 as
a) Foacutermula (1 + ia) = (1+im)12 rArr ia = [(1 + im)12 - 1] x100
Algoritmo
Programa
b) Foacutermula (1 + ia) = (1+ib)6 rArr ia = [(1 + ib)
6 - 1] x100
Algoritmo
Programa
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
85
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
86
Universidade do Sul de Santa Catarina
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
87
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
88
Universidade do Sul de Santa Catarina
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) Foacutermula (1 + ia) = (1+it )4 rArr ia = [(1 + it )
4 - 1] x100
Algoritmo
Programa
d) Foacutermula (1 + ia) = (1+is )2 rArr ia = [(1 + is )
2 - 1] x100
Algoritmo
Programa
2 a) 56736
b) 65778
85
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
86
Universidade do Sul de Santa Catarina
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
87
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
88
Universidade do Sul de Santa Catarina
85
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
c) 10
d) 2177043
e) 32364
Unidade 4
1 a) A melhor alternativa eacute a ldquoArdquo
86
Universidade do Sul de Santa Catarina
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
87
Mini-curso usando a calculadora financeira na Internet
b) 774120
2 a) 3304990
b) 355640
Siga esse raciociacutenio ateacute preencher a planilha de financiamento a seguir
Planilha de Financiamento
Periacuteodo (n)
Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
88
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2 a) 3304990
b) 355640
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Saldo devedor (SD)
Amortizaccedilatildeo (PA)
Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
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Juros (J)
Prestaccedilatildeo (PMT)
0 R$ 30000000
1 R$ 29592850 R$ 407150 R$ 450000 R$ 857150
2 R$ 29179592 R$ 413258 R$ 443893 R$ 857150
3 R$ 28760135 R$ 419457 R$ 437694 R$ 857150
4 R$ 28334387 R$ 425748 R$ 431402 R$ 857150
5 R$ 27902252 R$ 432135 R$ 425016 R$ 857150
6 R$ 27463635 R$ 438617 R$ 418534 R$ 857150
7 R$ 27018439 R$ 445196 R$ 411955 R$ 857150
8 R$ 26566565 R$ 451874 R$ 405277 R$ 857150
9 R$ 26107913 R$ 458652 R$ 398498 R$ 857150
10 R$ 25642382 R$ 465532 R$ 391619 R$ 857150
11 R$ 25169867 R$ 472515 R$ 384636 R$ 857150
12 R$ 24690264 R$ 479602 R$ 377548 R$ 857150
13 R$ 24203468 R$ 486797 R$ 370354 R$ 857150
14 R$ 23709369 R$ 494098 R$ 363052 R$ 857150
15 R$ 23207859 R$ 501510 R$ 355641 R$ 857150
Portanto os Juros correspondem da 15ordf parcela corresponde a R$ 355641
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