[email protected] - renxiaodan.com 5.pdf · 1....
TRANSCRIPT
三维单元
四面体单元（Tetrahedral elements）
四面体单元（Tetrahedral elements）
体积坐标
1
vol(P 234)
vol(1234)L 2
vol(P134)
vol(1234)L
3
vol(P124)
vol(1234)L 4
vol(P123)
vol(1234)L
1
11vol( )
13!
1
i i i
j j j
k k k
l l l
x y z
x y zijkl
x y z
x y z
1 2 3 4+ + + 1L L L L
四面体单元（Tetrahedral elements）
线性单元（4节点）： , 1, 2,3,4i iN L i
二次单元（10节点）： (2 1) , 1,2,3,4i i iN L L i 角结点
5 1 2 , etc.N L L 边内结点
三次单元（20节点）：1
(3 1)(3 2) , 1,2,3,42
i i i iN L L L i 角结点
5 1 2 1
9(3 1), etc.
2N L L L 边内结点
17 1 2 327 , etc.N L L L 面内结点
六面体单元（Hexahedral elements）
拉格朗日单元
( ) (n) (p)( ) ( ) ( )m
I J K
i IJK
l l l
N N
六面体单元（Hexahedral elements）
八结点单元
0 0 0
1(1 )(1 )(1 )
8iN
0
0
0
i
i
i
六面体单元（Hexahedral elements）
二十结点单元
0 0 0
0 0 0
1(1 )(1 )(1 )
8
( 2)
iN
角结点
边内结点
2
0 0
1(1 )(1 )(1 )
4iN
( 0, 1, 1)i i i
六面体单元（Hexahedral elements）
三十二结点单元
角结点
边内结点
面内结点
五面体单元（Wedge elements）
三角形单元×矩形单元
15结点单元为例：
角结点
三角形边内结点
四边形边内结点
11 1 12
2112
(2 1)(1 )
(1 )
N L L
L
10 1 22 (1 )N L L
2
7 1(1 )N L
阶谱单元
阶谱单元
之前讨论的单元称为标准单元，它的各个结点参数具有明确的含义，即为函数在节点处的取值。
在有限元发展过程中，针对某些需求，可以构造结点参数并不一定具有明确含义、而计算可以保证收敛的单元。
阶谱单元即为这样一类单元，其初衷是考虑在自适应分析中，根据需求调整单元插值函数的精度，同时尽量保证已有的计算结果能够充分利用。
（hierarchical elements）
一维阶谱单元
0 1
111
ˆ ( )N 2ˆ ( )N
1
1ˆ ( ) (1 )2
N 2
1ˆ ( ) (1 )2
N
0 1
111( )N 2 ( )N 3( )N 1 1 3
1ˆ( ) ( ) ( )2
N N N 2 2 3
1ˆ( ) ( ) ( )2
N N N
2
3( ) 1N 3
1
( )i i
i
N
3
1
( )i i
i
H a
1 1 2 2 3 3ˆ ˆ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( )H N H N H N
1 21 2
1 2 3 3, , 2
a a a
一维阶谱单元
2
3( ) 1H 二次形函数：
2
4 ( ) (1 )H 三次形函数：
1 23 3
2a
2 14
0
d
d 2a
一类阶谱单元族：
1
1
1( 1) 3,5,......
( 1)!( )
1( ) 4,6,......
( 1)!
i
i
i
ii
H
ii
1
1
=0
0 2,3,..., 2d ( )
1 1d
j
i
j
j iH
j i
1
1
0
d, 3
d
i
i ia i
阶谱单元
阶谱刚度矩阵：
(3)
13
(3)
23
(3) (3
(4)
14
(4)
) (3)
32
(2) (2)
11 12
(2)
24
(4)
34
(4) (4) (4) (4)
41 42 4
3
(2)
21 2
33
3 4
1
4
2
K
K
K
K
K
K
K K K K
K K
K K
K K
二维、三维阶谱单元
与一维阶谱单元思路类似，自己学习！
等参单元
整体与局部
整体坐标系下网格划分
局部坐标系下规则单元
坐标变换
坐标变换
坐标变换1
2
3
4
or
Lx
Ly f f
Lz
L
一般坐标变换：
利用有限元插值函数进行坐标变换：
1 1
( , , ) ( , ,( , , ) ( ,) , )m
i i i i
i
m
i i
i
N xx N x
1 1
( , , ) ( , ,( , , ) ( ,) , )m
i i i i
i
m
i i
i
N yy N y
1 1
( , , ) ( , ,( , , ) ( ,) , )m
i i i i
i
m
i i
i
N zz N z
等参元，超参元，亚参元。
偏导数变换
i x i
i y i
i z i
N N
N N
N N
J
x y z
x y z
x y z
J
Jacobian matrix
1 1 1
1 2
2 2 2
1 2
1 2
m
m
m
m m m
x y zN N N
x y zN N N
N N Nx y z
1
x i i
y i i
z i i
N N
N N
N N
J
1
( , , ) ( , , )m
i i
i
x N x
1
( , , ) ( , , )m
i i
i
y N y
1
( , , ) ( , , )m
i i
i
z N z
体积变换
1dr
2dr3dr
1 2 3 1 2 3det d d d d d d dV r r ρ ρJr ρ
1dρ
2dρ
3dρ
整体坐标系局部坐标系
d d d d| d|d dV x y z J
一般体积变换：
正交坐标系：
体积分：
1 1 1
1 1 1
d ( , , )d d d
( |, d d d|, )
G V G x y z x y z
G
J
面积变换与长度变换
d d d d
x x
A y y
z z
n A2d L d d
x x
A y y
z z
0
d d 0 d d
0 1 0
x y
S y x
n S2 2
2d L d = ( ) ( ) d
0
y
S x y x
面积变换：
长度变换：
自然坐标为面积坐标
注意积分的上下限！
等参变换合理性
合理变换
不合理变换（多值情况！）
| | 0J
合理等参变换的必要条件
1、角节点内角不得大于180度！2、中节点应该在中间安全区域内！
等参元插值的性质
1
( , , ) ( , , )n
i i
i
x N x
1
( , , ) ( , , )n
i i
i
z N z
1
( , , ) ( , , )n
i i
i
y N y
1 1
( , , ) = ( , , )n n
i i i i
i i
x y z N N
一般函数插值：
一次项： ( , , ) or or x y z x y z 自动满足！
常数项： ( , , )x y z C 1
( , , ) 1n
i
i
N
单位分解！
高次项： ( , , ) p q rx y z x y z 1
( , , )n
p q r p q r
i i i i
i
N x y z x y z
1 1 1 1
( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )
p q rn n n n
p q r
i i i i i i i i i i
i i i i
N x y z N x N y N z
大作业一（须提交分析报告）
对于函数：
完成以下计算。
1. 采用3节点、6节点三角形单元，4节点、8节点矩形单元，对函数进行插值，画出原函数-插值函数、原函数导数-插值导数的图形，并讨论计算结果。（插值网格取1×1, 2×2，5×5，三角形单元在矩形单元中采用对角线斜跨划分即可。）
2. 计算原函数插值和插值导数的2-范数误差，将误差-单元长度（E-h）曲线绘制在双对数坐标系中，观察和讨论计算所得曲线的性质。（至少变化5个单元长度，跨过3个长度量级，才可能得到稳定且有规律的结果。）
1
2 2
2
ˆ ˆ df f f f
( , ) sin cos , , [0, / 2] [0, / 2]x y x y x y
4月20日提交！
