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6 Índice

Introducción 2

Planificación 3

1. Números naturales. Las cuatro operaciones. Paralelogramos 6

2. Sistemas de numeración. La multiplicación. Polígonos 8

3. Números naturales. La división. Polígonos 10

4. Divisibilidad. Medida: simela 12

5. Proporcionalidad. Polígonos 14

6. Fracciones. Proporcionalidad. Área del rectángulo y del paralelogramo 16

7. Fracciones. Proporcionalidad. Área del rombo y del trapecio 18

8. Decimales. Porcentaje. Lugares geométricos y figuras circulares 20

9. Decimales. Estadística. Área y perímetro 22

Bibliografía sugerida para ampliar las discusiones planteadas 24

Solucionario 25

© 2011, Edelvives. Av. Callao 224, 2º piso (C1022AAP) Ciudad Autónoma de Buenos Aires, Argentina.

ISBN 978-987-642-099-0

Reservados todos los derechos de la edición por la Fundación Edelvives. Queda rigurosamente prohibida, sin la autorización escrita de los titulares del copyright, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución de los ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público. Queda hecho el depósito que dispone la ley 11.723.

Proyecto didáctico y Dirección EditorialPedro Saccaggio

AutoríaFlavia GuibourgJorge Horacio Zacconé

Coordinación autoralPierina Lanza

EdiciónAndrés Albornoz

CorrecciónAmanda Paltrinieri

Proyecto visual y Dirección de ArteMariana Valladares

Diseño de tapa Mariana Valladares

DiagramaciónBlaunt diseño editorialSergio Israelson

IlustraciónTapa: Paula Ana Socolovsky

Fotografía y documentaciónMariana Jubany

Preimpresión y producción gráficaSamanta Kalifón

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Recursos para el docente

2 Los conocedores

pero también puede construir un nuevo saber cuestio-nando y reformulando lo previo, circunscribiéndolo, desestimándolo, etc. ¿Cómo desarrolla esta actividad un alumno? Resolviendo problemas que necesiten de sus saberes previos para ser abordados y que, al mismo tiempo, pidan algo más.

El enfoque centrado en la resolución de problemas facilita la producción matemática. Cuando hablamos de resolución de problemas, estamos hablando amplia-mente, abarcando todos los ejes del quehacer matemá-tico en el grado: numeración, operaciones, geometría y medida. Por eso, en los capítulos del libro, los proble-mas se plantean en cada eje y al inicio del trabajo sobre los temas.

Para trabajar desde este enfoque son necesarias al-gunas condiciones: trabajar a partir de las hipótesis que plantean los alumnos y plantear verdaderos problemas que los desafíen para que busquen la construcción de un nuevo saber y, al mismo tiempo, les permitan poner en juego sus conocimientos previos para resolverlos.

También en este enfoque hace falta equilibrar el tra-bajo grupal con el trabajo en parejas y el trabajo indi-vidual. El trabajo grupal y las puestas en común pos-teriores para recuperar lo hecho habilitan el debate, la argumentación, la validación de las hipótesis y de los procedimientos, el trabajo sobre los errores y las institu-cionalizaciones parciales. El trabajo en parejas facilita ciertas confrontaciones y un espacio más íntimo para que cada uno comparta sus hipótesis e ideas. El trabajo individual pone en contacto al alumno con lo que cada uno ha podido construir a partir del trabajo en conjunto.

En el segundo ciclo es importante, además, tener en cuenta la necesidad de “algoritmizar” los procedimien-tos y de aplicar los saberes en otros contextos.

Es nuestra intención que, al recorrer cada capítulo del libro, reflexionemos juntos sobre algunos aspectos de la didáctica de la matemática. Empleamos la pala-bra didáctica en un sentido amplio, ya que considera-mos aspectos metodológicos, asuntos de la gestión de las clases, punteos sobre aspectos disciplinares específi-cos y su implicancia en la elección de las propuestas que les hacemos a los alumnos, etc. Cuando sea pertinente, incluiremos también notas sobre la dinámica de los gru-pos; por ejemplo, cuando se trata del trabajo sobre los errores, de las puestas en común y de la expresión del pensamiento propio a través de hipótesis, conjeturas y argumentaciones.

En los múltiples haceres comprendidos en la tarea de enseñar, los docentes ponemos en acto más o me-nos explícitamente un conjunto de ideas sobre qué sig-nifica aprender Matemática y sobre cómo facilitar ese proceso de aprendizaje a los alumnos. Cada docente ha ido elaborando este conjunto de ideas a lo largo de los años, no solo a través de sus experiencias en la práctica docente, sino también en los años de su propia escola-ridad. Por eso, habitualmente ese conjunto de ideas no tiene una cohesión interna relacionada en forma exclu-siva con una línea teórica determinada. Este entretejido de ideas y experiencias se constituye en un marco refe-rencial conceptual y operativo, es decir que no solo es el referente desde el cual se piensa la tarea de enseñar y el aprendizaje, sino que también es un referente operativo desde el cual se actúa en la situación de aula frente a la toma de decisiones.

En esta guía docente del libro Matemática 6 de la se-rie Los conocedores les proponemos la interesante tarea de recorrer juntos algunas actividades a modo de ejem-plo de un hacer matemático centrado en el enfoque teórico de los diseños y de los documentos actuales.

Para comenzar, pongamos el foco en los aprendiza-jes relacionados con un saber matemático significativo que el alumno hace en la escuela y centrémonos en la construcción del saber. A la pregunta acerca de cómo es posible una construcción con sentido, qué facilita esa construcción y qué procesos y saberes están imbricados en ella, podemos decir que la teoría cognitiva del apren-dizaje que sustenta este enfoque:• responde que un conocimiento genuino implica

procesos de resolución de problemas: observar los indicios y combinarlos, reordenar las evidencias dis-ponibles y, finalmente, observar el problema desde una perspectiva nueva;

• aduce que un conocimiento significativo no puede ser introducido en el sujeto desde el exterior sino que ha de elaborarse y construirse desde el interior, y que el aprendizaje significativo es un proceso dis-tinto de aprender de memoria; y

• plantea que una persona que sabe es alguien que tiene comprensión y que posee medios para solucio-nar problemas nuevos. Aprender matemática implica no solo un hacer sino

un hacer en el que se ponen en juego saberes previos de cierta manera. Por ejemplo, un alumno puede ela-borar un saber que supera los anteriores y los incluye,

Introducción

3Los conocedores

Objetivos por eje. Que los alumnos... Contenidos por eje

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Numeración•Identifiquenyutilicenlaspropiedadesdelsistemadenumeracióndecimalparain-

terpretar, registrar, comunicar y comparar números y cantidades. •Ubiquennúmerosenunarectanuméricaapartirdeciertasinformacionesdadas.•Profundicenelanálisisdelvalorposicionaldelascifrasenelsistemadecimal.•Argumentensobrelasequivalenciasdelasdistintasdescomposicionesdeunnúme-

ro usando unidades de distintos órdenes.Operaciones: resolución de problemas•Resuelvansituacionesqueinvolucrandiferentesoperacionesypasos.•Seancapacesdecombinarlascuatrooperacionesconnúmerosnaturales,utilizando

y organizando diferentes informaciones y procedimientos.•Elaborenenunciadosdesituacionesproblemáticasapartirdeciertosdatosdados.•Seancapacesdeevaluarlarazonabilidaddelresultadoydelenunciadoelaborado.Operaciones: estrategias de cálculo•Analicenrelacionesnuméricasparaformularreglasdecálculo.•Utilicenparéntesisparajerarquizarlasoperaciones.Geometría•Construyanparalelogramosapartirdeciertosdatoseindicacionessobremedidasy

propiedades, empleando los instrumentos adecuados. •Investiguenacercadelaspropiedadesdelasdiagonalesdelosparalelogramos.•Identifiquenlascondicionesdeposibilidaddeconstruccióndeunparalelogramo.

Numeración•Sistemadenumeracióndecimal,regularidades.•Lecturayescrituradenúmerosnaturalesutilizandolos

miles, millones y miles de millones.•Diferentesexpresionesparaunmismonúmero.•Usodelarectanumérica.•Análisisdelvalorposicional.•Interpretacióndelainformacióncontenidaenlaescri-

tura decimal.Operaciones: resolución de problemas•Tratamientodelainformación:problemasconmásde

una respuesta.•Resolucióndeproblemasquecombinenlascuatroope-

raciones con números naturales.Operaciones: estrategias de cálculo •Usarparéntesisparajerarquizarlasoperaciones.Geometría•Construccióndeparalelogramos.Condicionesdeposibi-lidad.Identificacióndepropiedades.

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Numeración•Caractericenelsistemadecimalestableciendocomparacionesconotrossistemas.•Identifiquenlasrelacionesaditivasymultiplicativasquesubyacenaunnúmeroylo

expresen en términos de unidades, decenas, centenas, etcétera.•Interpretenlainformacióncontenidaenlaescrituradecimaldeunnúmeroyargu-

menten sobre las equivalencias de las distintas descomposiciones de un número.Operaciones: resolución de problemas•Organicendiferentesinformacionesyutilicenvariadosprocedimientosderesolución

para resolver problemas del campo multiplicativo.•Identifiquenlamultiplicacióncomolaoperaciónqueresuelveproblemasdecombi-

natoria y de potenciación y sean capaces de evaluar la razonabilidad del resultado.Operaciones: estrategias de cálculo•Usenlacalculadoracomoherramientaparainvestigar,deducireinterpretarpropie-

dades de los números y resuelvan cálculos mentales.•Comparenprocedimientosdecálculoexactoparamultiplicarpordoscifraseidenti-

fiquen el uso de las propiedades de la multiplicación. •Seancapacesdeelegirlaestrategiadecálculomáspertinenteenrelaciónconlos

números y las operaciones involucrados.•Enuncienposiblesdefinicionesdelaspropiedadesdelamultiplicación.Geometría•Describan,comparenyclasifiquenpolígonosenbasealaspropiedadesconocidas.•Diferencienpolígonoscóncavosyconvexos.•Estudienacercadelasumadelosángulosinterioresdeunpolígonocualquiera.•Calculenlasumadelosángulosinterioresdeunpolígonoyelaborenargumentos

sobre su validez.

Numeración•Investigación sobre las reglas de funcionamiento de

algunos sistemas de numeración antiguos posicionales (indio) y no posicionales (egipcio, romano).

•Comparaciónconelsistemadecimal.•Relacionesaditivasymultiplicativasquesubyacenaun

número.•Descomposicióndenúmerosbasadaenlaorganización

decimal del sistema. •Expresióndeunnúmeroentérminosdeunidades,de-

cenas, etcétera.•Interpretacióndelainformacióncontenidaenlaescri-

tura decimal.Operaciones: resolución de problemas •Resolucióndeproblemasdecombinatoria.•Resolución de problemas de combinatoria que involu-

cren variaciones y permutaciones sin repetición.•Potenciación.Operaciones: estrategias de cálculo •Propiedadesdelamultiplicación.Geometría•Definiciónyclasificacióndelospolígonos.•Sumade losángulos interioresdeunpolígonocual-

quiera.

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Numeración•Distinganescalasdiferentesypuedanutilizarlasapropiadamente.•Utilicenescalasparainterpretar,registrar,comunicarycompararcantidadesgrandes.Operaciones: resolución de problemas•Resuelvanproblemasdelcampomultiplicativo:dereparto,departiciónydeiteración.•Analicenlavalidezdeconsideraronoelresto.•Elaboreny respondanpreguntasapartirdediferentes informaciones, registren y

organicen la información en tablas y gráficos sencillos.Operaciones: estrategias de cálculo•Explicitenrelacionesnuméricasvinculadasalamultiplicaciónyladivisión:D=d×c+r.•Interpretenlarelaciónentredivisor,dividendo,cocienteyresto.•Usenlacalculadoracomoherramientaparainvestigar,deducireinterpretarpropie-

dades de los números y las operaciones. •Elaborenenunciadossobrelaspropiedadesdeladivisiónyargumentensobresuvalidez.Geometría•Estudienacercadelascondicionesnecesariasysuficientesparalaconstrucciónde

triángulos y cuadriláteros.•Establezcanrelacionesentrediferenteselementosdeuntriánguloparaestablecer

condiciones de posibilidad. •Determinenelvalordelosángulosinterioresdeuntriánguloyuncuadriláterodadas

ciertas informaciones.•Determinenelvalordelosángulosexterioresdeuntriánguloydeunpolígonocual-

quiera, dadas ciertas informaciones.

Numeración •Representaciónaescaladecantidadesgrandes.•Interpretacióndeconsignas.Operaciones: resolución de problemas •Divisiónentera:análisisdelresto.Iteracióndeunproce-

so de adición o sustracción.•Divisiónentera:utilizacióndelalgoritmopararesolver

problemas.Operaciones: estrategias de cálculo •Utilizacióndelasrelacionesc×d+r=Dyr<d.Usode

la calculadora para reconstruir el resto de una división.•Propiedadesdeladivisión.Geometría•Sumadelosángulosinterioresdeuntriángulo.•Sumadelosángulosinterioresdeuncuadrilátero.•Ánguloexterior.Propiedaddelánguloexterior.•Suma de los ángulos exteriores de un polígono cual-

quiera.

Planificación. Matemática 6

4 Los conocedores


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Numeración•Explicitenrelacionesnuméricasvinculadasalamultiplicaciónyladivisión:múlti-

plos y divisores. •Formulenconjeturasrelativasalasnocionesdemúltiploydivisorylasvaliden.•Estudienacercadeloscriteriosdedivisibilidadyelaborenenunciadosparadiversos

criterios. •Encuentrenyutilicenmúltiplosydivisores.Operaciones: resolución de problemas•Identifiquenenlanocióndeescalaelusoderelacionesdeproporcionalidaddirecta

entre números naturales. •Encuentrenyutiliceneldivisorcomúnmayoryelmúltiplocomúnmenorentredos

números naturales para resolver situaciones.•Resuelvanproblemasdeproporcionalidaddirectaeinversa,incluyendolaconstante

de proporcionalidad.•Determinencuándodosvariablesserelacionandemaneraproporcionalono.•Seancapacesdeseleccionarlosdatospertinentesydeorganizarlainformaciónpara

resolver un problema.Operaciones: estrategias de cálculo•Distingannúmerosprimosycompuestos.•Encuentrenyutilicenestrategiasdecálculoparaencontrareldivisorcomúnmayory

el múltiplo común menor entre dos números naturales.•Analicenrelacionesentrecantidadesparadeterminarydescribirregularidades.•Elaborenycomparendiferentesprocedimientos.•Analicendatosatravésdelaorganizacióndelainformaciónentablaseidentifiquen

la estrategia del pasaje por la unidad.Medida•Comprendanelprocesodemedir.•Comprendanlasnocionesdemagnitudydeunidadmedida.•Estimenmedidasymidanefectivamente,eligiendoelinstrumentoadecuadoenfun-

ción de la precisión requerida. •Establezcanequivalenciasentrediversasunidadesdelongitud,pesoycapacidadal

interior de cada magnitud y argumenten sobre ellas.•Calculencantidadesestimandoelresultadoyevalúenlapertinenciadelaunidad

elegida para expresar ese resultado.•Organicenycomprendanelfuncionamientodelasunidadesdemedidadelsimela.

Numeración •Criteriosdedivisibilidadpor10,por5,por100,por2y

por 4.•Formulaciónyvalidacióndeconjeturas relativasa las

nociones de múltiplo y divisor.•Lasrelacionesdeproporcionalidaddirectaentrenúme-

ros naturales: escalas. Operaciones: resolución de problemas •Usodelmúltiplocomúnmenorydeldivisorcomúnma-

yor de un número para la resolución de problemas. •Relacionesdeproporcionalidaddirectayrelacionesde

proporcionalidad inversa.•Proporcionalidad directa e inversa: constante de pro-porcionalidad.Situacionesnoproporcionales.

•Proporcionalidad directa e inversa: magnitudes dediferente naturaleza, constante de proporcionalidad, cambiodeunidades,propiedades.Situacionesnopro-porcionales.

Operaciones: estrategias de cálculo •Númerosprimosycompuestos.•Descomposiciónmultiplicativadeunnúmero.•Cálculodeldivisorcomúnmayorydelmúltiplocomún

menor.•Lasrelacionesdeproporcionalidaddirecta:elaboración

de tablas para organizar datos y favorecer su análisis: la regla de tres.

Medida •Conceptodemedida,magnitudyunidaddemedida.•Múltiplosysubmúltiplosdelmetro.Profundizaciónde

las equivalencias entre las diferentes unidades de medi-da de longitud.

•Múltiplosysubmúltiplosdelgramo.•Profundizacióndelasequivalenciasentrelasdiferentes

unidades de medida de peso.•Múltiplosysubmúltiplosdellitro.•Profundizacióndelasequivalenciasentrelasdiferentes

unidades de medida de capacidad.•simela.

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a) Numeración

•Identifiquenlarelaciónqueexisteentreladivisiónenteraylafracción.•Interpreten,registren,comuniquenycomparenel resultadodeunrepartoouna

partición a través de distintas escrituras de fracciones, eligiendo la representación más adecuada según el problema a resolver.

•Utilicenlarectanuméricapararepresentarycompararnúmerosracionales.•Ubiquennúmerosfraccionariosenintervalosdados,determinenlosintervalospara

ubicar otros números dados, e intercalen números fraccionarios entre otros números dados.

•Comparennúmerosfraccionariosutilizandodiversasestrategias.Operaciones: resolución de problemas•Operenconfracciones.•Comprendanelconceptodenúmerofraccionarioyloutilicenenelcontextodela

proporcionalidad directa. Operaciones: estrategias de cálculo•Elijanlaestrategiadecálculoadecuadadeacuerdoconlaoperaciónquetienenque

realizar y los números involucrados.•Decidanquéfracciónsumarorestaraunadadaparaobtenerunentero.•Reconstruyanunafracciónounenterousandofraccionesdeunaovariasclases.Geometría•Determinenlascondicionesnecesariasysuficientesparalaconstruccióndeunpolí-

gono determinado y validen sus afirmaciones.•Identifiquenlapropiedaddelosladosdeunpolígono.•Profundicenelestudioenrelaciónconelconceptodeperímetroycalculenelperí-

metro de un polígono dado.•Elaborenposibles fórmulasparahallarelperímetrodeunpolígonodediferente

número de lados.

Numeración•Relaciónentrelasfraccionesyladivisión.•Conceptodefraccióncomococientedenúmerosnatu-

rales.•Representacióndefraccionesenlarectanumérica.•Ubicacióndefraccionesenlarectanuméricaapartirde

diferentes informaciones.Operaciones: resolución de problemas •Fraccionesenelcontextodelaproporcionalidad

directa. •Constantedeproporcionalidadfraccionaria.Operaciones: estrategias de cálculo•Elaboraciónderecursosdecálculomentalpararesolver

sumas y restas, para encontrar la fracción de un entero y para reconstruir una fracción o un entero usando frac-ciones de una o varias clases.

Geometría•Construccióndepolígonosnoregularesapartirdecier-

tas informaciones. •Propiedaddelosladosdeunpolígono.•Perímetrodeunpolígono.

Planificación. Matemática 6

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lo 7 Numeración

•Resuelvansituacionesenlasquehayqueusarfraccionesencontextodemedida.•Establezcanrelacionesentrefraccionesyrealicencomparacionesatravésdediferen-

tes procedimientos. Operaciones: resolución de problemas •Estudienlarepresentacióngráficadelafuncióndeproporcionalidaddirectaeinversa.•Utilicenlamultiplicacióndefraccionesenelcontextodelaproporcionalidaddirecta.•Determinensiunasituaciónesdeproporcionalidaddirectaoinversaatravésdel

análisis de las condiciones.Operaciones: estrategias de cálculo•Elaborenprocedimientosparamultiplicarfracciones.•Elaborenelconceptodefraccionesinversas.Medida•Profundicenelestudioenrelaciónconelconceptodeárea.•Determinenlamedidadeunasuperficiepoligonalutilizandodiferentesunidadesde

medida y establezcan la relación entre la unidad de medida y el área de las figuras.•Elaborenycomparendiferentesprocedimientosparacalculareláreadepolígonos,

estableciendo equivalencias entre figuras de diferente forma mediante composicio-nes y descomposiciones en triángulos y rectángulos.

•Construyansuperficiesequivalentesaunadadayelaborenestrategiasdecomparación.•Calculeneláreadesuperficiespoligonales:rectángulosyparalelogramos,rombosy

trapecios.

Numeración•Fracciones en el contexto de lamedición: segmentos

conmensurables.•Relacionesentrefracciones,utilizacióndediferentesre-

cursos para comparar fracciones.Operaciones: resolución de problemas •Representacióngráficadelafuncióndeproporcionali-

dad directa.•Multiplicacióndefraccionesenelcontextodelapropor-

cionalidad directa.•Relacionesdeproporcionalidaddirectaeinversa.•Análisisdelascondicionesparaqueunasituaciónsea

de proporcionalidad directa o inversa.Operaciones: estrategias de cálculo•Multiplicacióndefracciones.Fraccionesinversas.Medida •Medidadeunasuperficiepoligonal.•Diferentesunidadesdemedida.•Cálculodeláreadesuperficiespoligonales.•Áreadesuperficiesequivalentes.•Áreadelromboydeltrapecio.

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Numeración•Establezcanrelacionesentrefraccionesdecimalesyexpresionesdecimalesutilizando

la organización decimal del sistema como contexto.•Ubiquendecimalesenunarectanuméricaapartirdeciertasinformacionesdadas.•Elaborencriteriosútilesparacompararyordenarexpresionesdecimales.•Utilicenlacalculadoracomoherramientaparainvestigaryreflexionarsobrelaes-

tructura decimal de la notación decimal.Operaciones: resolución de problemas•Profundicenelestudiodelasrelacionesentrevariables.•Establezcanrelacionesentrelosconceptosdeporcentaje,proporcionalidadyfracción.•Analicenrelacionesentrevariables,seleccionenlosdatospertinentesyorganicenla

información para resolver un problema.Operaciones: estrategias de cálculo•Elijanlaestrategiadecálculoadecuadadeacuerdoconlaoperaciónquetienenque

realizar y los números involucrados.•Elaborenestrategiasdecálculoaproximadoyredondeodedecimales.•Resuelvansituacionesdesumayrestaenlasqueintervienenexpresionesdecimales.•Identifiquen ciertas características de los números racionales al analizar posibles

errores de cálculo y resuelvan situaciones de cálculo mental que pongan en juego la organización decimal de la notación.

Medida•Estudiensobrelosprocedimientosparadeterminardiferenteslugaresgeométricos.•Reproduzcanfigurascircularesdadasciertasindicacionesyelaboreninstrucciones

para su representación.

Numeración •Expresióndecimaldefraccionesdecimales.•Descomposicióndeuna fraccióndecimalen sumadefraccionescondenominador10,100,1.000ynumera-dor de una cifra.

•Representaciónenlarectanuméricadeexpresionesde-cimales a partir de ciertas informaciones.

•Nocióndedensidad.•Interpolacióndeexpresionesdecimalesentredosexpre-

siones decimales dadas.•Relacionesdeorden:resolucióndeproblemasqueexi-

jan comparar y ordenar expresiones decimales. Operaciones: resolución de problemas •Definición de porcentaje. Constante de proporcionali-

dad, relación entre magnitudes de la misma naturaleza.Operaciones: estrategias de cálculo•Redondeodeexpresionesdecimales.•Redondeodelasexpresionesdecimalesalosdécimos,

centésimos y milésimos.•Cálculoexactoyaproximadodeadicionesysustraccio-

nes de expresiones decimales por procedimientos di-versos de cálculo mental, con calculadora y utilizando algoritmos convencionales. Estimación de resultados.

Medida •Lugargeométrico.Mediatrizdeunsegmento.•Lugargeométrico.Bisectrizdeunángulo.•Figurascirculares:sectorycoronacircular.

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Numeración•Profundicenelestudiodelvalorposicionalyresuelvanproblemasqueloinvolucren.•Utilicenlacalculadoraparareflexionarsobrelaestructuradecimaldelanotación

decimal y para resolver problemas que impliquen la búsqueda de equivalencias.Operaciones: resolución de problemas•Elaborenycomparendiferentesprocedimientosparaanalizarrelacionesentredatos.•Organicenlosdatosentablas,gráficosypictogramas.Operaciones: estrategias de cálculo•Elaborenycomparenprocedimientosdecálculoexactoparamultiplicarydividirun

decimal por un natural. •Elijanlaestrategiadecálculoadecuadadeacuerdoconlaoperaciónquetienenque

realizar y los números involucrados.Medida•Elaborenprocedimientosparacalcularelperímetrodeunacircunferenciayelárea

de un círculo.•Analicenlavariacióndeláreaydelperímetrodeunafigurapoligonalapartirdel

análisis de diferentes situaciones.

Numeración•Resolucióndeproblemasqueinvolucrenelvalorposi-

cional en la notación decimal.•Utilizaciónde la calculadorapara reflexionar sobre la

estructura decimal de la notación decimal.Operaciones: resolución de problemas •Organizacióndeinformaciónentablasygráficosesta-

dísticos. Población y muestra. •Pictograma.Operaciones: estrategias de cálculo•Multiplicacióndeunnúmerodecimalporunonatural.•Multiplicacióndenúmerosdecimales.•Cálculomentalycálculoalgorítmico.•Divisióndeunnúmerodecimalporunnúmeronatural.•Divisióndenúmerosdecimales.•Cálculomental,algorítmicoyaproximado.Medida •Cálculodelperímetrodelacircunferencia.•Cálculoaproximadodeláreadelcírculo.•Relaciónentreáreayperímetrodefiguraspoligonales.

6 Los conocedores

NumeraciónEl propósito en Números muy grandes es el tratamien-

to del sistema de numeración decimal: la lectura y la escritura de números utilizando los miles, los millones y los miles de millones y las diferentes expresiones orales y escritas posibles para representar un mismo número, que se proponen con el fin de que los alumnos puedan establecer relaciones entre ambas.

En Analizar el valor posicional se profundiza sobre un tema trabajado en años anteriores: la interpretación de la información contenida en la escritura decimal.

Tengamos en cuenta, además, que el trabajo de este primer tiempo de clase se constituye en una síntesis de todo lo que se hizo en años anteriores sobre numeración.

Para no dejar esta mirada librada solo a lo espontá-neo, es necesario que el docente realice intervenciones que provoquen ciertas reflexiones en pos de construir el conocimiento al que se apunta. En este sentido, con las secciones Para conversar juntos y Para conversar y responder juntos se incluyen preguntas y sugerencias, con la certeza de que no es la explicitación por parte del docente de las propiedades y regularidades del sistema lo que hace que los alumnos se apropien del conoci-miento, sino el trabajo constructivo a partir de propues-tas que permiten a los chicos explorar, utilizar y analizar el comportamiento del sistema de numeración.

Este tipo de preguntas dirigidas a la reflexión im-plican intervenciones del docente que son necesarias y apuntan a detenerse sobre aspectos del hacer que a menudo son intuitivos y pueden parecer de cierta ob-viedad, pero sin los cuales el avance queda librado a las posibilidades de cada chico.

Este es el único capítulo en el que se propone el tra-bajo con la recta numérica connaturales.La rectaesmuy útil no solo en este campo numérico sino también en el trabajo con los racionales. Por eso, es necesario que los chicos comiencen comprendiendo su uso con losnaturales.Sieldocenteobservaquesusalumnosnocuentan con suficientes conocimientos previos sobre la recta numérica, puede recurrir a las actividades plan-teadassobreesetemaenloslibrosde4.ºy5.ºgrado.

Operaciones: resolución de problemasLanocióndeproblema no debe confundirse con la

realización de una operación y el hallazgo del resultado, ni debe significar la simple ejecución de un algoritmo. Tiene que ver, en cambio, con la construcción de nuevos objetos matemáticos.

Algunos problemas surgen del interior de la disciplina (intramatemáticos).Sonlosqueencontraremoshabitual-

Antes de entrar en los contenidos específicos de este capítulo, es importante destacar que en cada capítulo se presentan recuadros con juegos, desafíos e información.

Los juegos permiten una entrada lúdica a los con-tenidos trabajados en las actividades numeradas del capítulo. Pueden jugarse al comienzo, durante el desa-rrollooenelcierredeltema.Sisejueganalcomienzo,pueden ser útiles para observar los saberes previos de los alumnos.

Losdesafíos proponen una nueva vuelta en la cons-trucción de los contenidos trabajados a partir de las acti-vidadesnumeradasdelcapítulo.Sugerimospresentarloscuando el tema esté avanzado. Con ellos se intenta favo-recer la búsqueda de estrategias de resolución diferentes, que escapen a lo convencional y que superen aspectos muy mecánicos a menudo presentes en las prácticas de resolución que habitualmente emplean los chicos.

El trabajo con los desafíos y las situaciones de juego favorece la problematización de algunos conceptos ma-temáticos que es interesante poner en discusión.

Losrecuadrosde información funcionan como ven-tanas al exterior y, a menudo, al pasado. Con ellos bus-camos favorecer una mirada del conocimiento desde el punto de vista de la construcción, un conocimiento que la humanidad ha ido y continúa construyendo para dar respuesta a las necesidades e interrogantes que se van presentando.

Por otra parte, los contenidos de cada capítulo están organizados en relación con los ejes que es necesario trabajar en una misma unidad temporal: Numeración, Operaciones:resolucióndeproblemas,Operaciones:es-trategias de cálculo y Geometría o Medida.

En cada unidad de trabajo, de un mes aproximada-mente, se abordan todos los ejes, de manera que lo que un alumno está construyendo en el eje Numeraciónsea puesto en foco al mismo tiempo en Estrategias de cálculo y en Resolución de problemas. En cada capítu-lo las actividades están identificadas según su eje, pero todasestánrelacionadasentresí.Loscontenidosdelosejes Geometría y Medida se construyen de un modo más sólido si se trabajan en forma constante a lo largo del año que si se abordan en bloque durante un tiempo breve.

Por último, para afianzar la construcción de los con-tenidos y facilitar las institucionalizaciones teóricas, en las fichas, que irán pegadas en la carpeta, se encuen-tran los recuadros teóricos sintetizados y una propuesta de actividades relacionadas con el tema del recuadro. Es importante que el trabajo con las fichas se proponga a posteriori de la construcción de los conceptos.

Números naturalesLas cuatro operacionesParalelogramos

1

7Los conocedores

mente en los ejesNumeración y Estrategias de cálculo.Otros, en cambio, provienen delmundo exterior, de lavida real (extramatemáticos). En la escuela se propicia la enseñanza de una Matemática relacionada con la faz ins-trumental; por eso, conviene trabajar con situaciones que impliquen una matemática aplicada, contextualizada, relacionada con la interpretación del mundo que rodea a los chicos, con sus necesidades e intereses cotidianos, que paulatinamente les ofrecerán los elementos formales propios de la ciencia objeto de estudio. En este libro, hay problemas cuyo título proviene del contexto extramate-mático, porque el objetivo es, al mismo tiempo, la cons-trucción progresiva de las operaciones necesarias para resolverlos y el tratamiento de la información presentada.

En Remeras y pantalones, la intención es trabajar con si-tuaciones que admitan más de una respuesta. El objeto de discusión es claramente el tratamiento de la información.

Laresolucióndeproblemasesunobjetivodeapren-dizaje, y no solo una propuesta metodológica para aprender matemática. Algunas actividades posibles para aprender a resolver problemas son:• Apartirdeunaseriededatos,plantearposiblespre-

guntas que se puedan responder con esos datos.• Indicarquédatossirvenycuálesnosirvenparares-

ponder una pregunta.• Darunaseriedecálculoseindicarcuálocuálesper-

miten resolver el problema.• Apartirdeuncálculo,inventarunasituaciónquese

pueda resolver con él.• Apartirdeunconjuntodedatos,inventarunenunciado.

Enlaspáginas14y15,sepresentandiferentessitua-ciones que implican el tratamiento de la información.

Operaciones: estrategias de cálculo

Para discutir la jerarquía de las operaciones, nos apo-yamos en un desafío matemático que a los chicos les gus-ta mucho: con las 4 operaciones básicas y determinados números, los chicos tienen que armar otros números. Este desafío tiene su origen en uno similar presentado en el libro El hombre que calculaba,deMalbaTahan.Lainten-ción de esta actividad es que los chicos observen la ne-cesidad del uso de paréntesis para encontrar el núme-ro. Por ejemplo, con cuatro cuatros podemos escribir el 3delasiguientemanera:(4+4+4):4.Muchoschicosomiten los paréntesis y no se dan cuenta, en un princi-pio, de que el número que escribieron es el 9 y no el 3.

Para poder resolver un cálculo con las operaciones de suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radi-cación combinadas (en 6.º solo trabajamos con las cuatro operaciones básicas), se deben respetar dos convenciones.

Unaesquelasoperacionesdesumayrestaseparantér-minos.Laotraesque,pararesolveruncálculoconopera-ciones combinadas sin paréntesis, primero hay que resol-ver las potencias y las raíces, luego las multiplicaciones y las divisiones, y finalmente las sumas y las restas.

Elproblema23bresultamuypotente,porqueade-más de requerir el uso de paréntesis, pone en acto la propiedaddistributiva:(14+20)×2=14×2+20×2.Loschicosloresolverándeunauotraforma,yambassonválidas.Elproblema24plantealadiscusiónsobrela jerarquía de las operaciones usando la calculadora.

GeometríaEn este capítulo se abordan las condiciones nece-

sarias y suficientes para la construcción de paralelo-gramos. Por un lado, las construcciones son objeto de estudio. Por otro, son una herramienta para lograr “el mejor dibujo” del objeto geométrico. A mayor precisión, mayores posibilidades tiene el chico de comenzar a identificar las propiedades que caracterizan al objeto.

El uso de la regla y el compás permite el transporte de segmentos y de ángulos y, por supuesto, otras construc-ciones que, siguiendo a la escuela griega, se consideran fundamentales: trazar la recta que une dos puntos (regla), hallar el punto de intersección de dos rectas (regla), trazar una circunferencia de centro y radio dados (compás), ha-llar la intersección de recta y circunferencia (regla y com-pás) y la intersección de dos circunferencias (compás).

En particular, para poder construir un paralelogra-mo, hay que contar con los siguientes datos.• Dosladosconsecutivosyunadiagonal(seconstruye

el triángulo que forman).• Dosladosconsecutivosyunángulo(sedeterminael

comprendido).• Unlado,unadiagonalyunángulo(sehallaunode

los ángulos no concurrentes con la diagonal, y se construye el triángulo que determina con los ele-mentos dados).

• Unladoy lasdosdiagonales (seconstruyeel triánguloque determina el lado con las mitades de las diagonales).En las páginas de Geometría se analizan las dife-

rentesconstruccionesy,además,en laactividad28 sepropone el análisis de los casos del cuadrado, el rombo y el rectángulo. En particular, para poder construir un rombo se necesitan el lado y una diagonal, el lado y uno de los ángulos, las dos diagonales, o una diagonal y un ángulo. Para construir un cuadrado se necesitan el lado o la diagonal. Asimismo, en las páginas finales de Geo-metría se avanza en la discusión sobre las propiedades de los paralelogramos.

8 Los conocedores

Operaciones: resolución de problemasEn estas páginas presentamos situaciones de com-

binatoria y potenciación. Con frecuencia tenemos que formar conjuntos que reúnan ciertas condiciones, eligien-do sus elementos entre los de otro conjunto dado. Por ejemplo,sienelaulahay25alumnos,¿cuántosgruposdistintossepuedenformar?Situacionesdeestetipoofre-cendistintasposibilidades.Laintenciónenestecapítuloes que los chicos aprendan a calcular el número total de posibilidades para formar partes de un conjunto en situa-ciones similares a la planteada.

Lapotenciaciónesuncasoparticulardelproductoenel que los factores son iguales, y puede plantearse como la descripción de un diseño cuadrangular (número de filas por igual número de columnas), o la descripción de un diseño cúbico en el espacio (número de filas por igual número de hileras, por igual número de “capas”), o como la descripción de un orden rítmico con una cons-tante multiplicativa (a partir de la potencia cuarta, no podemos materializar en un espacio sensible).

El aprendizaje de la potenciación adquiere cierta sig-nificación en la escuela Primaria porque el sistema posi-cional de numeración se interpreta como un polinomio o una suma de potencias de la misma base. Además, los cálculos de áreas y volúmenes hacen necesario el mane-jo de cuadrados y cubos.

Operaciones: estrategias de cálculoTrabajemos recordando que la habilidad de calcular

implica manejar propiedades relacionadas con la natu-raleza de los números, con las reglas del sistema posi-cional decimal y con las propiedades de la operación en sí misma.

Loscálculos mentales tienen las siguientes caracte-rísticas.Soncálculosenlosqueseconsideraelnúmerototal;sonreflexionados.Sepuederecurrirallápizypa-pel, y a la calculadora, según sea la búsqueda que se realice con ella en función del cálculo propuesto. Estos cálculos se caracterizan por una diversidad de técnicas y de estrategias que guardan relación con los números en juego, con los conocimientos del sistema de nume-ración, con las operaciones que tiene disponibles quien los realiza y también con sus preferencias personales.

En relación con el estudio de las propiedades de la multiplicación, hay que tener presente que la búsque-da de sentido de las propiedades se da en el uso y que la definición de las propiedades ha de ser posterior a la resolución de problemas que impliquen su uso. En este capítulo el trabajo se centra en la utilización de estra-tegias de cálculo mental ligadas a la multiplicación,

En los recuadros teóricos que aparecen a lo largo del libro, se presenta una síntesis de los contenidos mate-máticos más relevantes de cada eje. Estos recuadros son el resultado de diversas institucionalizaciones parciales. Laintenciónessistematizarloshaceresylosconceptosmatemáticos que se fueron desplegando a partir de las propuestas de las actividades anteriores. Es un buen momento para que el docente se comprometa con la fase de institucionalización.

NumeraciónLosprincipales objetivosde estudiar otros sistemas

de numeración son investigar sobre las reglas de fun-cionamiento de algunos sistemas de numeración anti-guos, tanto posicionales, como el indio, como no posi-cionales, como el romano o el egipcio; y comparar con otros nuestro sistema decimal, con el fin de profundi-zar la explicitación de sus características y de avanzar en una reflexión que potencie su uso en las estrategias de cálculo que cada alumno va construyendo y desple-gando.Otroobjetivoimportanteesreflexionarsobreelhecho de que los saberes se han ido construyendo a lo largo del tiempo, con el aporte de muchas civilizaciones y como respuesta a las necesidades que se fueron pre-sentando.

Para poder hacer este análisis comparativo es nece-sario conocer algo de los otros sistemas. Por eso, hay algunas actividades de escritura y de “traducción” de un número de un sistema al otro. Es esperable que en 6.º grado los chicos puedan contar con saberes sobre algunas características de nuestro sistema que les per-mitan hacer una reflexión y una comparación con otros sistemas en el plano del comportamiento y del funcio-namiento de cada sistema y elaborar una explicación guiada por los Para conversar juntos.

En las páginas en las que se aborda nuestro sistema de numeración, se enfocan especialmente las relaciones aditivas y multiplicativas que subyacen a un número, se observa la descomposición de números basada en la organización decimal del sistema y la expresión de un número en términos de unidades, decenas, etc., y se profundiza la interpretación de la información conteni-da en la escritura decimal.

Lasreglasdenuestrosistemadenumeraciónyanoestán consignadas en un recuadro teórico en el cuerpo del libro (comoocurría en el libro de 5.º, capítulo 1),pero sí están sintetizadas en una ficha. En estas páginas, el conocimiento que tienen los alumnos sobre el siste-ma se pone en juego en el uso, en la resolución de las actividades propuestas.

Sistemas de numeraciónLa multiplicaciónPolígonos

2

9Los conocedores

basadas en el uso de las propiedades de la multiplica-ción. Esto implica el uso de la multiplicación por la uni-dad seguida de ceros y el afianzamiento del algoritmo, todas estrategias cuyo desarrollo se inició en 4.º grado y secontinuóen5.º.

Este es un buen momento para poner en duda, ra-tificar o rectificar algunas estrategias, obtener progre-sivamente algunas certezas, profundizar y generalizar. Por eso, se les pide a los alumnos, en el Para conversar y responder juntos, que escriban frases que sirvan como una posible definición de cada una de las propiedades de la multiplicación.

Sugerimos al docente que, si considera u observaque alguno o algunos de sus alumnos no cuentan con suficientes conocimientos previos para desarrollar estas actividades, recurra a las actividades planteadas sobre estemismotemaenloslibrosde4.ºgradoyde5.ºgrado.

En muchos momentos del libro se proponen activi-dades para realizar con la calculadora. Algunas veces se utiliza para verificar, otras para resolver y corregir, otras para explorar, etc. En este capítulo, la calculadora es un buen instrumento para explorar las propiedades de la multiplicación, ya que facilita poner el foco en las propiedades sin el esfuerzo de numerosas reiteraciones del procedimiento algorítmico y con una reducción fa-vorable de posibles errores.

GeometríaEn estas páginas, comenzamos con el tratamiento de

los polígonos. Con la primera actividad, intentamos de-finir polígono, polígono cóncavo y convexo, y polígono regular.

Luego,enlapágina36,indagamosacercadelasuma de los ángulos de un polígono. Para responder a esto, se presentan diferentes polígonos con las diagonales tra-zadas desde un vértice, de tal forma que quede dividido en triángulos. Para cada caso, la suma de las medidas de los ángulos del polígono es la suma de las medidas de los ángulos de los triángulos. A partir de esta observación se completa una tabla. El razonamiento inductivo presen-tado en la tabla sugiere dos afirmaciones (teoremas). El primero es que la suma de los ángulos de un polígono convexodenladoses:(n–2)×180º.Elsegundo,quelamedida de un ángulo de un polígono regular de n lados es:(n–2)×180º/n.

Con las actividades propuestas, iremos viendo que se manifiestan diversos y variados procedimientos de reso-lución, si damos el espacio para que los chicos las resuel-van de forma autónoma y del modo que sepan hacerlo. En los momentos de análisis conjunto de las formas de

resolución se va a ir institucionalizando el conocimiento que desde otro enfoque se daba en una clase.

Es importante permitir que los chicos desarrollen sus procedimientos y sus hipótesis sin darles desde el adulto un formato previo, para que, de este modo, puedan ela-borar progresivamente los objetos geométricos. En esta elaboración –con la intervención docente– irán logran-do conceptualizaciones parciales que se convertirán en el saber previo para encarar la construcción de los con-ceptos matemáticos en los años siguientes. Es importan-te respetar el momento del intercambio para que los chicos tengan la posibilidad de argumentar, confrontar, corregir, preguntar y debatir. Todas estas acciones son fundantes en la construcción de los conceptos.

Laconjeturaescentraleneltrabajomatemáticodela escuela Primaria y el razonamiento deductivo lo será enlaescuelaSecundaria.

El Para conversar juntos que se encuentra en la pá-gina 36, a continuación de la actividad 25, apunta ala elaboración de una afirmación y, por supuesto, a su justificación. Los chicos no cuentan con herramientasdesde el marco metodológico-matemático, en particu-lar, con la demostración; pero sí pueden, a partir de la tabla que completaron, “observar” las relaciones entre la cantidad de lados y la suma de las medidas de los ángulos interiores del polígono.

10 Los conocedores

“prestar especial atención a las preguntas, porque nos orientan acerca de la respuesta buscada”, aspecto espe-cialmente marcado por la segunda situación, en la que se desestima el resto, porque la pregunta no requiere que se considere.

En relación con el uso de las páginas tituladas Re-flexionemos juntos sobre los problemas es necesario puntualizar que, antes de abordarlas, hay que poner en común las soluciones que desplegaron los alumnos, ya que la introducción de posibles soluciones, a menu-do presentadas como realizadas por otros chicos, tiene como finalidad recrear procedimientos interesantes y ofrecerlos al análisis del grupo, al debate, considerando la posibilidad de que algunos de esos procedimientos no aparezcan en un grupo escolar, aunque sí hayan apa-recido en otros.

Hay que destacar que la presencia en el libro de los diferentes procedimientos no implica su enseñanza y que la reflexión sobre esos procedimientos no implica imponer una única manera de resolver las situaciones. Nuestraintenciónalincluirlosesfacilitarlagestióndelaclase.Sialgunode losalumnoshubierapresentadoun procedimiento distinto, es conveniente tomarlo y presentarlo también.

LosobjetivosdelosapartadosPara conversar juntos son mirar diferentes soluciones junto con otros, generar la posibilidad de descentrar la mirada de la propia pro-ducción, observar con más objetividad lo hecho por uno mismo, y analizar los procedimientos y las estrategias de loscompañeros.Desdeelpuntodevistadelaprendizajematemático estas prácticas en el aula generan avances sobre los conocimientos y su interrelación: el compor-tamiento de los números, las relaciones entre ellos, las operaciones posibles, la diversidad de caminos de reso-lución, etc. Por otra parte, en un enfoque que toma en cuenta la construcción del saber matemático, el pedido por la validación posterior al hacer, la reflexión sobre la propia acción y la argumentación basada en lo hecho son fundantes del avance progresivo.

Hay que tener en cuenta que, cuando hablamos de saberes previos, nos referimos no solo a los que los chi-cos ya tienen, sino también a la actualización que pue-dan hacer de esos saberes para encarar la nueva situa-ción.Loschicosdeberíansaberenquéviejosconceptospueden apoyarse, e ir estableciendo las relaciones que existen entre la división, la multiplicación, la suma y la resta. Es función de la escuela favorecer el trabajo con diferentes situaciones y contextos que permitan a los chicos aprender a distinguir cuál es la operación o las operaciones que resuelven cada situación.

NumeraciónEn el primer capítulo, se enfocó el trabajo en los

números muy grandes y sus diferentes expresiones. En estas páginas, en Las escalas, avanzamos hacia otra representación de cantidades muy grandes y decimos que “para representar cantidades grandes muchas ve-ces se utilizan escalas”, que “una escala es la relación matemática que hay entre la dimensión de lo real que estamos representando y el dibujo que hacemos para representarlo” y que “hay diferentes tipos de escalas”. Este tipo de relación –que intencionalmente no enun-ciamos en este momento– es una relación de propor-cionalidad, que será tratada en el momento de trabajar las relaciones entre variables, para cuyo abordaje estas actividades se constituyen en un buen cimiento. En este momento de trabajo apelamos a los conocimientos que los alumnos tienen a partir del trabajo de representa-ción de números en la recta numérica.

Este enfoque implica un movimiento respecto de la postura“primeroenseñoydespuéslousan”.Losdesa-fíos tienen que ser de tal clase que, para resolverlos, los alumnos puedan usar sus conocimientos previos, pero que, al mismo tiempo, no les sean suficientes y experi-menten la necesidad de construir otros saberes.

Operaciones: resolución de problemasEn muchas ocasiones, las preguntas que se plantean

tienen como propósito generar un avance en relación altratamientodelmismotemaen4.ºy5.ºgrado.EnLa casa de iluminación, seguimos ocupándonos del avan-ce en la construcción del concepto de división y, entre otros aspectos, hacemos foco en el hecho de que un chi-co se encuentre con la posibilidad de resolver diversos problemas mediante la división, por ejemplo, que en-cuentre que la división le permite: • averiguar en cuántas partes se puede repartir una

cantidad dada y saber cuánto le corresponde a cada una (problemas de partición);

• averiguarcuántolecorrespondeacadapartedentrode un reparto (problemas de reparto);

• averiguarcuántasveces se repiteunperíododeter-minado (problemas de iteración);

• analizarquésucedeconelresto,dondeseponeenevidencia que el resultado de la cuenta no es siempre la respuesta al problema;

• determinar la relación entre dividendo, divisor, co-ciente y resto.En la primera situación de La casa de iluminación

el tema central es el análisis del resto y, desde el tra-tamiento de la información, remarcar la necesidad de

Números naturalesLa divisiónPolígonos

3

11Los conocedores

Operaciones: estrategias de cálculoEs esperable que los alumnos hayan ido transitando

por variadas estrategias de cálculo mental en torno a la multiplicación y la división. Esto implica la construcción de un repertorio y el trabajo sobre las propiedades de las operaciones y los números, con el doble objetivo de la construcción y el uso.

Los chicos exploran diversas estrategias heurísticaspara resolver una división. Es objetivo de 4.º grado comenzarautilizarelalgoritmoconvencionalyde5.ºgrado avanzar en su construcción y afianzar su uso con mayor dominio de las propiedades de la multiplicación y de la división que se ponen en juego en su resolución. En 6.º grado el objetivo es el afianzamiento del algorit-mo de la división y la reflexión y utilización de las rela-cionesexpresadasenelalgoritmo:c×d+r=Dyr<d.

Esesperablequeen4.ºyen5.ºsehayatrabajadoso-bre las estrategias de cálculo mental más significativas para abordar la construcción del algoritmo. En El algo-ritmo de la división se propone el trabajo con la cuenta y los números que intervienen en ella. Es importante que los alumnos puedan establecer las relaciones entre cada una de las partes del algoritmo y que puedan identificar a qué se refiere cada una (cociente, resto, divisor y divi-dendo).Sibiencomotemacentralyahasidoabordadoytrabajadoen5.ºgrado,essuficientementecomplejoytiene un nivel de abstracción que justifica que se vuelva a tratar. Por eso, en las fichas se encuentra un recuadro teórico y diversas actividades para revisar el tema.

El trabajo que se propone sobre algunas estrategias decálculopuedeparecer“poco”.Larazónesquesees-pera que el abordaje de esas estrategias haya sido ini-ciadoyaen4.ºgradoycontinuadoen5.º.Sieldocenteencuentra que sus alumnos no cuentan con esos sabe-res previos y que hace falta un mayor desarrollo, puede utilizarlaspáginasdeloslibrosde4.ºy5.ºgradoenlasque se inicia el trabajo con esas estrategias.

Cuando se enfocan Las propiedades de la división, en el Para conversar y responder juntos se les pide a los alumnos que elaboren explicaciones, ya que la comuni-cación requiere niveles de precisión y elaboración cada vez mayores del conocimiento que se viene utilizando para resolver las actividades.

Geometría

En este capítulo se estudia una propiedad fundamen-tal para evaluar la existencia del triángulo: la suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo. También se estudian la suma de las medidas de los án-gulos interiores de un cuadrilátero, la propiedad de los

ángulos exteriores de un triángulo y la suma de las me-didas de los ángulos exteriores de un polígono.

El trabajo que se intenta hacer en general a lo lar-go de las páginas del libro es claramente científico: a partir de diferentes pruebas, cálculos, etc., los niños ela-borarán conjeturas que luego se corroborarán o refuta-rán. En la escuela primaria, los chicos no cuentan aún con elementos que les permitan llevar adelante proce-sos deductivos (de lo general a lo particular), caracterís-ticos de la construcción del conocimiento matemático. Detodasmaneras,cuandoseaposible, sepresentaránalgunas pruebas matemáticas.

Enlasactividadesdelaspáginas48y49revisamoslapropiedad para la suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo y, a partir de ella, elabora-mos la propiedad para la suma de las medidas de los ángulos de un cuadrilátero.

Laactividadinicialdelapágina50apuntaaqueloschicos puedan hipotetizar acerca de la relación entre las medidas de un ángulo exterior del triángulo y la suma de las medidas de los ángulos interiores no contiguos. Por supuesto, no estamos en condiciones de demostrar que la medida de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de las medidas de los dos ángulos inte-riores no contiguos; pero sí institucionalizaremos esta afirmación a partir de las diferentes afirmaciones elabo-radas por los chicos luego de realizar las mediciones en losdiferentestriángulos.Sabemos,comodijimosantes,que no es un proceso deductivo, pero es el camino que ubica a los niños como hacedores del conocimiento ma-temático, del mismo modo que los matemáticos cons-truyeron el conocimiento matemático cuando se les presentó un problema.

Enlapágina52,tambiénapartirdelamedición,pre-tendemos que los chicos elaboren conjeturas acerca de la suma de las medidas de los ángulos exteriores de un polígono.Loschicosnocuentanconherramientasparademostrarestapropiedad.Pero,enlaactividad24,pre-sentamos una posible demostración que ellos deberán completar.Laideaesqueloschicosempiecenatomarcontacto con las argumentaciones deductivas.

12 Los conocedores

4. El 3 es primo, pero no los múltiplos de 3; entonces, tachamos los múltiplos de 3 no tachados, salvo el 3.

5.El5esprimo,perono loson losmúltiplosde5;entonces, tachamos losmúltiplosdel5apartirdel25(el10,el15yel20yafuerontachados).

6. El 7 es primo, pero no lo son los múltiplos de 7; entonces,tachamosel49,el77yel91.

7.El11esprimoysusmúltiploshasta100yafuerontachados,entoncesdejamosel11sintachar.Losnúme-ros que quedaron sin tachar, son los números primos menoresque100.

Identificar losnúmerosprimosy losnúmeros com-puestos es fundamental para el estudio del divisor co-mún mayor y el múltiplo común menor.

En este capítulo, también se continúa con la cons-trucción de los criterios de divisibilidad que se inició en5.ºgrado.La intencióntantoen5.ºcomoen6.ºesque los chicos “exploren” los números para elaborar di-chos criterios.

Lascifrasquecomponenunnúmeronosindicanlasposibilidades que tiene ese número de ser divisible por otro.Lascondicionesquesedescribenparaesascifrasdeterminan los criterios de divisibilidad que permiten averiguar el número por el cuál es divisible otro dado sin necesidad de hacer la cuenta de dividir. Por ejemplo, unnúmeroesdivisiblepor11 cuando la sumade lascifras de los lugares pares menos la suma de las cifras de los lugares imparesesmúltiplode11 (4.357noesmúltiplode11porque(3+7)–(4+5)=1noesmúl-tiplode11).

Operaciones: resolución de problemasEn Abrochadoras y lapiceras, se presentan situaciones

para el tratamiento de la divisibilidad en el conjunto de los números naturales: los conceptos de múltiplo co-mún menor y divisor común mayor.

En estas páginas se abordan los conceptos de múlti-plo común y de divisor común y la interpretación de los pasos a seguir para determinar el menor de los múlti-plos comunes no nulos y el divisor común mayor entre dos o más números. El aprendizaje de estos conceptos es fundamental para la resolución de determinados problemas de contexto intramatemático y extramate-mático, como los que se presentan en estas páginas.

Para encontrar el divisor común mayor, se calculan todos los divisores de los dos números, se eligen los co-munes y, entre estos, el mayor. Para números grandes este método puede resultar bastante largo y tedioso, por lo que es conveniente utilizar otro procedimiento, que es el que se mostrará en las páginas siguientes. En

NumeraciónEn 4.º grado se comenzó con los conceptos de múlti-

plo y de divisor de un número y con las relaciones entre cociente,divisor,dividendoyresto.En5.ºgradosesiguióprofundizando en el tratamiento de la divisibilidad, se abordaron de nuevo los conceptos de múltiplo y de di-visor y, además, se trabajaron los conceptos de número primo y de número compuesto, y algunos criterios de di-visibilidad. En 6.º grado se construyen y se justifican los criterios de divisibilidad, y se formulan y validan algunas conjeturas relativas a los múltiplos y los divisores de un número. Asimismo, se trabaja con los conceptos de múlti-plo común menor y de divisor común mayor.

Ladivisibilidad es el estudio que se lleva a cabo so-bre la división exacta y las conclusiones que surgen de él.Unnúmeronaturala tiene la propiedad de ser divi-sible por otro número natural b cuando, al efectuar la división entre a y b, el cociente es exacto. Como con-secuencia de esta definición, surgen afirmaciones que comenzaremos a institucionalizar progresivamente en Segundociclo,asaber:• todonúmeroesdivisibleporsímismoyporlauni-

dad;• elnúmero1esdivisordetodoslosnúmerosporque

todoslosnúmerossonmúltiplosde1;• todonúmerotieneinfinitosmúltiplosporquepode-

mos multiplicarlo por cualquiera de los números na-turales y obtener un múltiplo;

• si semultiplicaunnaturalpor cero el resultadoescero, por lo que el cero es múltiplo de todos los nú-meros;

• todonúmerotieneunacantidadfinitadedivisores,porque solo todos los números naturales menores que él pueden generar cocientes exactos; y

• todonúmeroparesmúltiplode2.En el conjunto de los números naturales se pueden

reconocer tres subconjuntos disjuntos: el de los núme-ros primos (que son divisibles por sí mismos y por la unidad), el de los números compuestos (que tienen más de dos divisores) y el conjunto cuyo único elemen-toesel1.Enlatotalidaddelconjuntodelosnúmerosnaturales no podemos realizar esta partición, pero sí en el conjunto de los cien primeros, a partir de la construc-ción de la criba de Eratóstenes, que se armó en el libro de5.ºgrado.Elprocedimientoutilizadoeselsiguiente.

1.Armamosunatablaconlosnúmerosdel1al100,comolaquesepresentaenlaficha20.

2.Tachamosel1,quenoesprimonicompuesto.3. El 2 es primo, pero no sonprimos losmúltiplos

de2;entonces,tachamoslosnúmerospares,salvoel2.

DivisibilidadMedida: simela

4

13Los conocedores

particular, se trabajará con la descomposición en facto-res primos.

Los conceptosque involucraelestudiode ladivisi-bilidad resultan, en general, muy complejos para los chicos. Por eso, es necesario avanzar progresiva y “sua-vemente” en su estudio y uso.

Operaciones: estrategias de cálculoEn estas páginas se presenta un posible algoritmo

para determinar el múltiplo común menor y el divisor común mayor de dos o más números. En el caso del divi-sor común mayor, cuando los números que se trabajan son muy grandes, se puede utilizar un procedimiento que consiste en descomponer cada uno de los números dados en sus factores primos, elegir los factores comu-nes considerados con su menor exponente y calcular el producto de estos factores. En el caso del múltiplo co-mún menor, el procedimiento consiste en descomponer los números dados del mismo modo que en el procedi-miento anterior, pero luego se determina el producto de los factores comunes y no comunes con su mayor exponente.

Ladescomposición de un número en factores pri-mos nos proporciona bastante información sobre su es-tructura y nos permite obtener con más facilidad todos sus divisores. El aprendizaje de esta descomposición es uno de los puntos esenciales de la divisibilidad, ya que el teorema conocido como teorema fundamental de la Aritmética demuestra que existe esa descomposición y que es única, salvo el orden de los factores. Puede con-siderarse que esta propiedad da lugar a la considera-ción de un nuevo sistema de numeración, con notación multiplicativa y cuya base la constituyen los números primos, y que, con esto, se simplifica la escritura de nú-meros grandes.

MedidaEste es el primero de una serie de capítulos (4, 6, 7 y

9)enlosquesevaabordarelejeMedida.Sugerimosaldocente relevar los saberes previos de sus alumnos y las experiencias realizadas en torno a la medida antes de iniciar el trabajo con las situaciones propuestas en este capítulo, ya que es el único que aborda el trabajo con las medidas de longitud, peso y capacidad, y el simela.

En el comienzo del tema se presenta un recuadro teórico que sintetiza algunos conceptos que es espera-ble que hayan sido trabajados en años anteriores. Lamedida es a menudo un tema al que se le dedica poco espacio en los primeros años de la escolaridad. Al co-menzar en 6.º grado sin haber pasado por experiencias y

conceptos clave anteriores, los alumnos no cuentan con saberes que son necesarios para construir los conceptos que se abordan en estas páginas.

El trabajo con la medida tiene que contemplar estos puntos:• Elhechodemedir,elconceptodemedida.• Elconceptodemagnitud.Todoloquepuedemedirse

recibe el nombre de magnitud.• Losinstrumentosqueseutilizanyparaquésonapro-

piados.• Lasunidadesdemedidacotidianasymásaccesibles.• Laestimacióndeunamedida.• Elconceptodeequivalenciademedidas.• Lasequivalenciasposiblesapartirdelasunidadesde

medida vistas durante las actividades que se propo-nen.

• Elusodefraccionesenelcontextodelamedida:1/2,1/4,3/4.A partir de las actividades de este capítulo, se propo-

ne una profundización de las equivalencias entre las diferentes unidades de medida. Es necesario recuperar con los alumnos lo siguiente:• Medireselegirunaunidadydeterminarcuántasve-

ces entra en el objeto que se mide.• El resultado de lamedición depende de la unidad

elegida.• Almedir,muchasveceshacefaltafraccionar,partirla

unidaddemedidaelegida(“mide11/2”).• Laeleccióndelasunidadesdemedidadependedel

objeto que se va a medir.• Lamedición siempre es aproximada; sin embargo,

hay instrumentos y procedimientos que garantizan una medición de mayor exactitud.

• Paracadamagnitudsonadecuadosdiferentesinstru-mentos de medida.Al comienzo del eje hay un espacio dedicado espe-

cialmente a volver sobre los conceptos de medida, mag-nitud y unidad de medida.

Con cada magnitud tratada se propone el mismo tra-bajo: ver unidades convencionales, realizar estimacio-nesycomparaciones,yhallarequivalencias.Seincluyeen cada caso una tabla con la información de todas las unidades de medida de cada magnitud y la relación con los prefijos que dan pistas de las relaciones entre ellas. Estas tablas serán luego organizadas en una tabla gene-ral en la página dedicada al simela.

14 Los conocedores

Operaciones: estrategias de cálculoEn las páginas tituladas La regla de tres se pone aten-

ción a una estrategia ampliamente escolarizada, que propone una mirada en torno al tratamiento de la infor-mación y a la organización de los datos de este tipo de problemas del campo multiplicativo: las situaciones de proporcionalidad directa.

Cuando se trabaja con situaciones de proporciona-lidad, surge la necesidad de contar con algún procedi-miento que permita resolverlas. Generalmente, por la complejidad que implica ese concepto, se suele elegir un procedimiento y explicitar la secuencia de pasos que lo componen y, además, se piensa que, cuanto mejor comprendan los chicos el método, más fácil les resultará utilizarlo. Sin embargo, la existencia en el aula de unúnico procedimiento de resolución genera algunas di-ficultades: el uso de una única forma de resolución im-pide la búsqueda de nuevas alternativas, no siempre la estrategia utilizada resulta la más económica y, además, no se dispone de ningún procedimiento diferente que permita el control de las producciones. En definitiva, el procedimiento termina funcionando como un algorit-mo: una serie de pasos que se puede utilizar para todas las situaciones.

Entonces, el desafío es generar situaciones que per-mitan el avance de los procedimientos espontáneos, en los que los chicos emplean las propiedades de la propor-cionalidad (aunque inicialmente no puedan definirlas): en una situación de proporcionalidad directa, si multi-plicamos una de las cantidades por un número, la otra cantidad se multiplica por el mismo número y, en una situación de proporcionalidad directa, se cumple que a la suma de dos valores de una de las cantidades, le corres-ponde la suma de los valores correspondientes de la otra cantidad. Esto implica abordar la construcción de una colección de procedimientos que se utilicen en función del problema a resolver. Entonces, desde la gestión de la clase, es importante que tengamos en cuenta algunos aspectos:• Presentarunavariedaddeproblemasquerequieran

el despliegue de la mayor cantidad posible de estra-tegias de resolución.

• Plantearactividadesparaqueaparezcanconceptua-lizaciones erróneas, de manera tal que puedan ser discutidas en clase y que, por consiguiente, puedan ser modificadas.

• Generarespaciosdetrabajocolectivo,grupaleindivi-dual.

• Enlapuestaencomún,exponerlosprocedimientoscorrectos y los procedimientos incorrectos y dejar

NumeraciónEn el capítulo 3 se plantearon las escalas desde

el punto de vista de la representación de cantidades grandes y se definió escala como “la relación mate-mática que hay entre la dimensión de lo real que es-tamos representando y el dibujo que hacemos para representarlo”.

En ese momento, intencionalmente, no enunciamos que la relación entre lo representado y lo real es una relación de proporcionalidad, que es lo que vamos a enfocar en este capítulo con Escalas proporcionales. Este capítulo sí es un buen momento para trabajar las relaciones entre variables, y las actividades realizadas en el capítulo 3 se constituyen en un buen cimiento para abordar esas relaciones. En este momento de tra-bajo apelamos a los conocimientos que los alumnos tienen a partir del trabajo de representación de nú-meros a escala y complejizamos lo transitado con la propuesta de un trabajo sobre el plano, que pide a los alumnos la inclusión, además, de saberes previos en relación con el área.

Operaciones: resolución de problemasSabemosqueparalograrunaprendizajesignificativo

en Matemática hay que proponer situaciones que plan-teen problemas. Enfrentados al problema, las nociones matemáticas se constituyen en instrumentos necesarios para su resolución y, por lo tanto, se les otorga valor y sentido. Por ello, un conocimiento matemático solo puede considerarse aprendido cuando se ha funcionali-zado, es decir, cuando es posible emplearlo como medio para resolver una situación o un problema.

El concepto de proporcionalidad resulta propicio para el trabajo con situaciones problemáticas de contex-to extramatemático. Este concepto aparece claramente como una herramienta óptima para la resolución de los diferentes problemas que se presentan a lo largo de es-tas páginas.

En este capítulo se estudiarán las situaciones de pro-porcionalidad directa e inversa, haciendo hincapié en la constante de proporcionalidad.En5.ºgradoseco-menzó a trabajar el concepto de proporcionalidad, que adquirió “estatus” de conocimiento. Durante los añosanteriores los chicos abordaron situaciones de propor-cionalidad, pero como uno de los significados posibles de la multiplicación.

En 6.º grado la intención es profundizar dicho con-cepto, distinguiendo claramente las situaciones propor-cionalesdelasnoproporcionales.Laproporcionalidades un tema central en este grado.

ProporcionalidadPolígonos

5

15Los conocedores

tiempo para que los chicos argumenten a favor de ellos o los refuten, es decir, que el docente no emite juicio sobre lo realizado hasta que los chicos hayan tenido el espacio para la justificación de sus procedi-mientos.

• Favorecereldebateyasegurarquelasconclusionesqueden registradas.

• Permitirqueenclase“circulen”losprocedimientosde algunos chicos para que todos puedan apropiar-se de ellos y utilizarlos en la resolución de nuevas situaciones.

• Presentar nuevas situaciones donde estos procedi-mientos puedan ser reinvertidos.Sienlaclaseconsideramosestosaspectos,esespera-

ble que los chicos comiencen a identificar y utilizar los procedimientos que resulten más eficaces, en función del problema que tienen que resolver.

El juego que aparece en estas páginas es útil para entrar en tema –los niños, jugando, elaboran sus prime-ras afirmaciones en relación con la proporcionalidad–, o para evaluar parte del tema, ya que a partir del jue-go los chicos revisan sus saberes elaborados en la clase. Aunque en el juego simplemente completan una tabla, aparece en acto el concepto de constante de proporcio-nalidad.

Es muy importante tener en cuenta que los juegos se deben jugar a lo largo del año en diferentes oportuni-dades, ya que permiten el avance y el afianzamiento de los contenidos.

GeometríaEn estas páginas se trabajan las condiciones de posi-

bilidad para la construcción de un polígono y el perí-metro de un polígono.

Para la construcción de un polígono nos apoyamos en la propiedad triangular, que se constituye en herra-mienta para la elaboración de este nuevo concepto. Este es un buen ejemplo para “observar” la estructura del contenido matemático.

Queremos destacar la necesidad de dejar siempre el espacio y el tiempo para las discusiones planteadas en los Para conversar y responder juntos de estas páginas de Geometría. Estas discusiones son las que favorecen el encadenamiento de las institucionalizaciones par-ciales y progresivas que vamos realizando. Asimismo, las preguntas fueron incluidas oportunamente con el objetivo de cuidar epistemológicamente los objetos matemáticos.

En lasactividadesde lapágina87 sepretendequelos chicos apliquen lo trabajado sobre polígonos en las

páginas anteriores del capítulo, pero además se presen-taunaactividad–la45,enlaquesesolicitalacopiadeunos polígonos– que puede provocar mayor discusión entre los niños y que necesita de un mayor acompa-ñamiento. Hasta ahora los chicos han trabajado con la copia de polígonos de 3 y 4 lados; en esta actividad, en cambio,lospolígonossonde5y6lados.Enlasfichas,por su parte, hay más actividades para aplicar y reforzar todo lo visto.

También es posible que algunas de las actividades presentadas en la sección Para volver a pasar por los te-mas sean utilizadas para realizar evaluaciones parciales a lo largo del año, a fin de considerar el posicionamien-to de los chicos en relación con los diferentes ejes con-ceptuales.

16 Los conocedores

de su grupo de alumnos mientras los deja explorar la recta, y que acompañe y guíe el debate posterior con intervenciones como “Compartan las estrategias que utilizaron para decidir dónde representar los números en las rectas y elaboren una explicación posible de lo que hicieron” o “Compartan cómo pensaron la ubica-ción de 1/10 en la segunda recta. ¿Todos lo ubicaronen el mismo lugar? ¿Por qué?”. Por otra parte, el juego Números cada vez más incómodos aborda el concepto de densidad desde una propuesta lúdica.

En muchas ocasiones a lo largo del libro se pide a los alumnos que expliquen con sus palabras, por ejemplo: “¿Qué les dirían a estos chicos para aclararles sus dudas? Compartan las estrategias que utilizaron para ubicar las fracciones en las rectas de estas páginas y elaboren una explicación posible de lo que hicieron”. Esto se debe a que cada intento de explicación implica necesariamen-te una objetivación del concepto, de la estrategia, de las ideas que se tienen sobre el tema, y la distancia y la objetivación son un objetivo importante en 6.º grado.

Operaciones: resolución de problemasEn este capítulo presentamos las fracciones en el

contexto de la proporcionalidad. Los problemas deproporcionalidad resultan un contexto apropiado para el tratamiento de las operaciones con fracciones. Al re-solver estos problemas, los chicos hacen un uso implíci-to de determinadas relaciones, que implica operar con las fracciones; por ejemplo, al doble de una cantidad le corresponde el doble de su correspondiente y, en general, cuando una de las cantidades se multiplica o se divide por un mismo número, su correspondiente se multiplica o se divide también por el mismo número.

En la primera situación de En la pinturería, se expli-cita (aunque ya se pudo haber hecho antes) un proce-dimiento para multiplicar una fracción por un núme-ronatural:pararesolver9×3/4,sepuedemultiplicar9×3ymantenereldenominador4.

Lasegundasituación,alagregarotrosvalores,espo-tente para discutir otras relaciones. Por ejemplo, si para 1mesasenecesita1/2litro,para7mesassenecesitará7veces1/2,esdecir,1/2+1/2+1/2+1/2+1/2+1/2+1/2,queequivalea7/2.Además,sipara3mesassene-cesitan3/2litrosypara4mesassenecesitan4/2litros,para7mesassenecesitarálasumaentre3/2y4/2=7/2,lo que permite controlar el resultado obtenido antes. También, para calcular la cantidad que se necesita para 6 mesas, sabemos que 6 es el doble de 3; entonces, si para 3 se necesitan 3/2 litros, para 6 se necesitará eldoblede3/2,quees6/2.Finalmente,sabiendoquepara

NumeraciónEn este capítulo se inicia el trabajo con los números

racionales, que va a desplegarse en los restantes ca-pítulos del libro. El concepto de fracción es central en elSegundociclo.Poreso,es indispensabledefinirquéaspectos deberán ser abordados en cada año del ciclo, tomando en cuenta el avance en la complejidad del objeto matemático. En 4.º grado el foco estuvo puesto en el concepto de fracción y en ciertas estrategias de cálculo que confluyen en la construcción del concepto, ya que un buen trabajo sobre el concepto crea una base sólida para todos los contenidos relacionados con frac-ciones.En5.ºgradolaentradaaltemadelasfraccionestambién se propone desde las situaciones de reparto de enteros en partes iguales, el análisis de esos repartos y el concepto de equivalencia.

Esesperablequeen4.ºyen5.ºelconceptohayasidoelaborado y que, entonces, los alumnos estén en condi-ciones de abordar la relación entre las fracciones y la di-visión en 6.º, con la descontextualización que implican lasactividades3y4deestecapítulo.Laactividad4en-foca, además, el aspecto de la escritura de las fracciones y su relación con las partes del algoritmo de la división, mientras que el recuadro teórico enuncia aspectos de la relaciónentrelasfraccionesyladivisión.Sieldocenteconsidera que sus alumnos no cuentan con suficientes saberes previos para iniciar este análisis, sugerimos uti-lizar algunas de las actividades propuestas en el libro de5.ºgrado.

Larecta numérica es un instrumento muy interesan-te para avanzar en la representación y en la compren-sión del sistema de numeración y, al mismo tiempo, ofrecealgunasdificultadesamuchoschicos.En4.ºy5.ºla utilizaron para ubicar naturales y fracciones. En 6.º, con las actividades de las páginas tituladas Representa-ción de fracciones en la recta numérica, se entra de lleno con varias fracciones de diferente denominador y se tra-baja la ubicación de fracciones en la recta numérica a partir de diferentes informaciones.

Es importante recordar que, como la recta numéri-ca no es un contendido de estudio sino un instrumen-to, algunos docentes no la toman en consideración al planificar las actividades, por lo que, si los alumnos no tuvieron contacto previo con la recta para ubicar frac-ciones, hay que comenzar ubicando fracciones de igual denominador. La recta se convierte en un excelenteinstrumento para avanzar este año en el concepto de fracciones y elaborar con creciente precisión teórica el concepto de densidad de los racionales.

Sugerimosqueeldocenteobserve lasposibilidades

FraccionesProporcionalidadÁrea del rectángulo y del paralelogramo

6

17Los conocedores

1mesanecesito1/2litrodepintura,puedoobtenerto-daslasotrascantidadesmultiplicandopor1/2,queeslaconstante de proporcionalidad.

Enlaspáginas94y95,continuamostrabajandoconlas fracciones en el contexto de la proporcionalidad, pero discutiendo, además, para cada caso, cuál es la constante de proporcionalidad. Aquí aparece una situa-ción muy interesante para pensar en la “entrada” del número fraccionario: la ampliación de un rompecabe-zasenlaactividad15.

Operaciones: estrategias de cálculoEl trabajo con fracciones se plantea en estas páginas

desde la perspectiva del cálculo mental y no de la del cálculo algorítmico. El cálculo mental se define como un conjunto de procedimientos que no refieren a un al-goritmo –conjunto de estrategias y procedimientos que va desplegando el que los hace a partir del análisis de los datos con los que cuenta–, y que se utilizan para ob-tenerresultadosexactosoaproximados.Lasestrategiaspueden ser muy diversas y no se espera un único cami-no posible para llegar a la resolución. Por eso, las estra-tegias que se analizan son propias del cálculo mental y se hacen preguntas y propuestas que apuntan a que cada alumno valide su solución; por ejemplo: “¿Cómo explicarían que todos sacaron muy bien? Justifiquen cada caso.”.

En Cálculos mentales con fracciones se vuelve sobre la elaboración de recursos de cálculo mental para resolver sumas y restas con fracciones, para encontrar la fracción de un entero y para reconstruir una fracción o un entero usando fracciones de una o varias clases dadas.

La relación entre las partes y los enteros ha sido un temacentral en4.º grado.En5.º esesperablequese haya avanzado en los recursos de cálculo mental para encontrar la fracción de un entero, reconstruir una fracción y componer una cantidad a partir de otras ex-presadas en fracciones, tanto con magnitudes continuas como discretas, ya que ambas presentan dificultades di-ferentesalmomentodeidentificarlaparteyeltodo.Larealización de sumas y restas a partir de procedimientos de cálculo mental ha sido transitada desde 4.º grado.

Tengamos en cuenta que es fundamental generar un espacio que favorezca el trabajo colectivo de reflexión y de análisis de los problemas planteados –sobre todo con la descontextualización que implican los que aquí proponemos–, para promover la comunicación y la ex-plicitación de las distintas conclusiones y la observación de cuáles son los conocimientos de los que parten los chicos y cuáles los que utilizan.

MedidaEn estas páginas comenzamos con la construcción

de las fórmulas para determinar el área de polígonos particulares: el rectángulo y el paralelogramo. Es posi-ble que el docente evalúe que es mejor que los chicos resuelvan algunas o todas las actividades en pequeños grupos o en parejas, ya que el concepto de área resulta complejo para muchos chicos.

También se discute en estas páginas el sistema de me-dición para la magnitud área. Como consecuencia de la medición de diferentes polígonos, se discutirá, aunque no sea explícito en el texto, la estimación, en particular el cálculo aproximado de medidas.

Lasintervencionesdeldocenteenrelaciónconlases-timaciones son necesarias y apuntan a detenerse sobre un aspecto del hacer que a menudo es intuitivo y pue-de parecer de cierta obviedad, pero sin esa reflexión el avancequedalibradoalaposibilidaddecadauno.Deallí la importancia de compartir lo que cada uno hizo en sus páginas.

Es evidente que existe un tipo de conocimiento ma-temático que puede ser construido, adquirido o desa-rrollado fuera de la escuela, en diferentes contextos sociales y a través de diversas prácticas habituales en la culturaenlaquesevive.Lamedidaesbuenejemplodeesto.Sibienenlavidacotidianaeseconocimientosueleser eficaz, es un conocimiento que, al mismo tiempo, desconoce las condiciones de su propia producción. El aprendizaje escolar es un aprendizaje que pide una or-ganización de la tarea donde las metas, los contenidos, las actividades y la organización son muy diferentes de los de la vida cotidiana y complementan sus saberes con reflexiones conjuntas y sistematizaciones teóricas cada vez más avanzadas.

18 Los conocedores

FraccionesProporcionalidadÁrea del rombo y del trapecio

7eje, les permitirá a los niños avanzar en la comprensión de los enunciados y en la construcción de estrategias de resolución, y progresivamente en la comprensión de la operación.

En Relación de orden entre fracciones, se trabajan las relaciones entre las fracciones y las estrategias de cálcu-lo para comparar fracciones. Es esperable que los alum-nos puedan recurrir a cálculos mentales que impliquen larelaciónentrenumeradorydenominador.Unadees-tas estrategias es considerar cuál es la relación de cada fraccióncon1/2yconsiderarsilafracciónesmenorque1/2omayorque1/2,talcomosepresentaenlasactivi-dades9y10.

Operaciones: resolución de problemasEn estas páginas aparece un aspecto importante para

comprender el concepto de proporcionalidad: la repre-sentación gráfica. El camino operatorio desarrollado se completa con la representación gráfica en el sistema de ejes cartesianos, en el que queda determinada (en el caso de la proporcionalidad directa) una recta que pasa por el origen (puntos definidos por pares de coor-denadas ordenados en el plano). Aunque no se discuta el concepto de función en la escuela Primaria, estamos trabajando la representación gráfica de la función de proporcionalidaddirecta.Setratadeunafunciónpor-que a cada valor (punto) de x le corresponde un solo valor (punto) de y.

En este capítulo, también estudiamos las situaciones de proporcionalidad inversa. A partir de la proporcio-nalidad directa, la inversión operatoria asegura la orga-nización continua de los procedimientos que permiten la resolución de situaciones de este tipo. En este caso, la constante aparece como resultado de una operación de multiplicación, mientras que en las situaciones de propor-cionalidad directa actúa como operador multiplicativo.

Para lograr el aprendizaje de la proporcionalidad inversa nos apoyamos en las estructuras ya consegui-das para el caso de la proporcionalidad directa. Para resolver los problemas nos basamos en la necesidad de encontrar una cuarta cantidad que, ubicada conve-nientemente, forma con las otras tres una proporción. Luego de decidir si dos cantidades son inversamenteproporcionales, se recorren las mismas secuencias que se presentaron para la proporcionalidad directa.

Unadiscusiónmuyimportantequepresentamoseneste capítulo es la representación gráfica cuando inter-vienen cantidades continuas o discretas.

Resulta muy importante, al igual que en todos los capítulos, tomarnos un tiempo para la lectura de las

NumeraciónEn las primeras actividades del capítulo, bajo el título

Medir con fracciones, se propone utilizar fracciones para medir longitudes. Es interesante observar las estrategias de los alumnos para constatar estas medidas y para es-tablecer las relaciones que se plantean en las pregun-tasdelasactividades2y3,asícomolasrelacionesconel entero y la fracción enunciadas en las actividades 4,5y6.Seesperaquelosalumnosutilicenlareglaparaestablecer estas relaciones.

En 6.º grado se intensifica el trabajo con fracciones en el contexto de la medición. Por eso, se plantean si-tuaciones problemáticas con fracciones en contextos de medida,conlacomplejizaciónenrelacióncon5.ºgradodel contexto intramatemático. Es tarea de 6.º grado la profundización y el avance en el estudio de las relacio-nes entre fracciones. En distintas actividades (no solo de este eje o de este capítulo) el objetivo es comparar fracciones apelando a diferentes argumentos y se debe trabajar también con algunas actividades que permitan la reconstrucción de la unidad a partir de la medida de una fracción de esa unidad, como en la actividad 4.

Podemos afirmar que, para llegar a un aprendizaje significativo, el alumno debe construir por sí mismo el conocimientomatemático.Losproblemassonelmotorque lo motivan a indagar entre sus saberes previos para decidir qué le conviene hacer y lo conducen a la inves-tigación de nuevos saberes, que le permitirán revisar y reorganizar sus estructuras cognitivas.

La búsqueda de procedimientos para resolver lasdiferentes situaciones va otorgando sentido a los con-ceptos matemáticos. Entonces, el docente debe contex-tualizar los conocimientos que desea que los alumnos aprendan y vincularlos con una gran variedad de situa-ciones en las que aquellos puedan emplearse para favo-recer esta búsqueda de sentido.

Este enfoque propone una forma de trabajar centrada en la construcción y procura evitar la enseñanza de meca-nismos que los chicos no comprenden. Por eso, cuando se trata de resolver problemas, se los alienta a que lo hagan conlossaberesylasestrategiasconlosquecuentan.Deeste modo, avanzan de manera gradual y segura hacia la comprensión del sentido de las operaciones.

Es posible que algunos chicos utilicen procedimien-tos adquiridos mecánicamente; está en la gestión del docente indagar si son sólidos y comprendidos, si son solo mecánicos o en parte comprendidos y en parte mecánicos. El momento de compartir lo hecho y de re-flexionar sobre algunos aspectos de la tarea o de los con-tenidos es muy importante porque, en el caso de este

19Los conocedores

resoluciones propuestas en Reflexionemos juntos sobre los problemas. En esa página, se presenta un análisis de posibles estrategias de resolución cuyo objetivo es faci-litar la reflexión conjunta acerca de estas estrategias en función de la resolución de las situaciones.

Operaciones: estrategias de cálculoLasoperacionespropiasdelasexpresionesfracciona-

rias son la multiplicación y la división, así como la suma y la resta sonpropiasde losnúmerosenteros. Sibiennuestro sistema de numeración es posicional y como tal es multiplicativo, los números enteros surgen por acciones de agregar, reunir o comparar y diferenciar o sustraer, mientras que los fraccionarios implican repetir, partir, repartir y estar contenido en.

En estas páginas nos ocupamos de avanzar en la construcción del algoritmo para la multiplicación de fracciones.Nosapoyamosenelprocedimientográfico,que permite “la visualización” del resultado y facilita su comprensión. Además, hacemos una presentación muy acotada de las fracciones inversas.

Medida

Al igual que en el capítulo anterior, presentamos nuevas fórmulas para determinar el área de figuras po-ligonales: el rombo y el trapecio. Además, dedicamos dos páginas al trabajo con el área de superficies equi-valentes.

El estudio de superficies equivalentes resulta funda-mentalparalacomprensióndelconceptodeárea.Lasfiguras que ocupan la misma superficie se llaman equi-valentes y tienen lamismaárea. Las figuras formadaspor la suma de figuras congruentes son equivalentes en superficie.Lanocióndeconservacióndeunasuperficie,aunque sus partes se distribuyan de diferente manera, se basa en la idea de que la adición y la sustracción de partes equivalentes de dos estados equivalentes en su-perficie generan superficies también equivalentes.

En este capítulo se encuentran las últimas discusio-nes del libro respecto de la medición. Por eso, es impor-tante recordar algunas cuestiones importantes.• Ladefinición de medida. Cuando medimos una can-

tidad, necesitamos establecer una unidad de medi-da y, en función de ella, asignamos un número a la cantidad,quesellamasumedida.Dichomatemáti-camente, sea una magnitud medible A (por ejemplo longitud, peso, etc.) con una unidad de medida u y sea a cualquier cantidad en A; entonces, existe un único número m tal que a = m . u, al cual se le llama medida de a respecto de u. Es decir que la medida

de la cantidad a expresa el número de veces que a contiene a u. Lamedidadeuna cantidaddependede la unidad cuyo uso se convenga, pero la cantidad esindependientedequeselamidaono.Dehecho,cuando se expresa el valor de una cantidad respec-to de diferentes unidades de medida, se evidencia la conservación de la cantidad. Para la construcción de cualquiera de las magnitudes, el chico debe con-siderar y percibir una magnitud como una propiedad de los objetos, aislándola de otros atributos que esos objetos puedan presentar. El chico debe identificar qué cambios en el objeto dejan invariante la propie-dad característica de la magnitud y debe poder rea-lizar ordenaciones respecto de la magnitud. Asimis-mo, debe poder establecer correspondencias entre números y cantidades de magnitud (la capacidad de medir).

• Hayalgunosaspectos esenciales de la medición que no podemos dejar de trabajar en relación con cual-quier magnitud, a saber:• Medireselegirunaunidadydeterminarcuántas

veces entra en el objeto que se mide.• Elresultadodelamedicióndependedelaunidad

elegida.• Almedir,muchasveceshacefaltafraccionar,par-

tirlaunidaddemedidaelegida(“mide11/2”).• Laelecciónde lasunidadesdemedidadepende

del objeto que se va a medir.• Lamediciónsiempreesaproximada;sinembargo,

hay instrumentos y procedimientos que garanti-zan una medición de mayor exactitud.

• Paracadamagnitudsonadecuadosdiferentesins-trumentos de medida.

• Ladiferencia entre superficie y área.Unasuperficieplana es una parte del plano; una superficie es un conjunto de puntos. El área es una propiedad de la superficie; es una cantidad.

20 Los conocedores

DecimalesPorcentajeLugares geométricos y figuras circulares

8Operaciones: resolución de problemas

En este capítulo abordamos la noción de porcentaje. En las primeras páginas presentamos la definición y en las siguientes presentamos diferentes situaciones en las quedichoconceptoseponeenacto.Lasfraccionesapa-recen nuevamente. En el capítulo anterior abordamos uno de los significados y las trabajamos en el marco de la proporcionalidad: una situación de proporcionalidad directa en la que la constante de proporcionalidad es un número racional. En estas páginas, en cambio, las abor-damos como porcentaje. Por ejemplo, cuando plantea-mosque“hoyfaltóaclaseel16%delos25alumnosdelcurso”,estamosdividiendo25encienpartesytomando16deellas.Loquebuscamos,endefinitiva,esexpresarcon una fracción equivalente, de denominador 25, larelaciónentre16deuntotalde100alumnos.Deestamanera,16/100esequivalentea4/25.

En los problemas 14 y 15, trabajamos la fraccióncomo porcentaje. Cuando estudiamos las fracciones, otros significados que se discuten son la relación entre la parte y el todo sobre un contexto continuo, y sobre un contexto discreto. Al definir el porcentaje como una fracción, estos significados vuelven a ponerse en discu-sión.Eselcasodelosproblemas12y15.Enparticularenel12,altrabajarelcontextocontinuo,elmarcocon-ceptual es la medida: para pensar la relación entre la parte y el todo, las partes en las que se separa el todo deben ser equivalentes entre sí, la partición no debe de-jar resto, la reunión de las partes reconstituye el todo, a mayor cantidad de partes tenemos menor extensión en cada una de ellas y la cantidad de partes no tiene por qué ser igual al número de cortes. En esta activi-dad “se ve claramente” la noción de superficies equi-valentes: que dos formas sean equivalentes no significa que deban tener la misma forma y el mismo tamaño. En laactividad13,ademásdetrabajarlarelaciónentrelafracción y el porcentaje, se establece la relación de las expresiones anteriores con la expresión decimal.

Los problemas 16, 17 y 18 representan situacionesclásicas en el contexto cotidiano y justamente por esta razón se presentan en el capítulo. Generalmente, el porcentaje se aprende como un procedimiento algo-rítmico: procedimiento por regla de tres. Se presentacomo una aplicación de la proporcionalidad directa. Este tratamiento, en muchos casos, provoca la mecani-zación del concepto y no su comprensión; y por consi-guiente la resolución no comprensiva de las situaciones problemáticas. Muchas situaciones, como las indicadas anteriormente, se resuelven de manera irreflexiva; por ejemplo,es comúnescucharque siaplicamosun20%

NumeraciónEl juego simulado con el que se inicia el capítulo

plantea desde el comienzo, si bien hay un contexto de “juego de cartas”, una situación directamente entre nú-meros, es decir, un contexto intramatemático, ya que el desafío es encontrar las descomposiciones escritas en fracciones decimales equivalentes a la expresión de ese mismo racional, escrito con coma.

Lanotacióndecimalylanotaciónfraccionarianoper-miten un reconocimiento inmediato del mismo número, es decir, no es inmediatamente reconocido el número que está expresado de ambas formas y, por eso, es necesario explorar la relación entre ambas escrituras.

Es interesante subrayar que el juego resulta una he-rramienta efectiva para el aprendizaje de determinados contenidos. Por eso, es conveniente señalar la diferencia entre el uso didáctico del juego y su uso social. Mien-tras que el chico siempre tiene como propósito ganar y jugar, el docente tiene como propósito que el alumno aprenda el contenido involucrado en el juego.

Hemos dicho que la recta numérica es un muy buen instrumento y recurso para trabajar el concepto de den-sidad de los racionales.Losalumnosyafueronelabo-rando algunos aspectos sobre el uso de la recta con las fracciones. En Los decimales en la recta numérica se trata de recuperar lo aprendido y de reinvertirlo en relación con los decimales. A los chicos continúa sorprendién-doles el hecho de que siempre es posible ubicar otros números entre dos números decimales. El concepto de densidad cuestiona la idea de encontrar “el anterior y el posterior”, una actividad extensamente recorrida con losnaturalesdesde1.er grado. Con la intención de avan-zar en la sistematización del concepto de densidad se proponen las actividades 6 y 7, y se realizan las siguien-tes preguntas: “¿Existe un número decimal siguiente a otro número decimal? ¿Por qué?”.

Es necesario que todas las afirmaciones, tanto las del propio alumno como las del docente y las de los compa-ñeros, estén abiertas al cuestionamiento, la reflexión y laelaboraciónenelaula.Losalumnosnecesitanapren-der a ser capaces de explicar, justificar y argumentar acerca de lo que han pensado.

Las rectas se van escalonando en dificultad; se co-mienza con la representación en la recta numérica de expresiones decimales a partir de ciertas informacio-nes y se avanza hacia la interpolación de expresiones decimales entre dos expresiones decimales dadas. Por eso, queremos recalcar que, antes de avanzar, hace falta detenerse lo necesario en cada una de las rectas y las actividades propuestas.

21Los conocedores

de descuento al precio de un producto y luego al valor obtenidoaplicamosel5%,endefinitivaseríalomismoque aplicar el 25%al precio del producto. Este, es unerror muy común, consecuencia de la incomprensión de la noción de porcentaje.

Porúltimo,elproblema19esfundamentalparaen-tender que es lo mismo calcular el porcentaje de cierto ingrediente para una galletita que para 12 galletitas,porque estamos pensando en un reparto proporcional. Eslomismo10/14=20/28=30/42,etc.

Operaciones: estrategias de cálculoEl sentido de las operaciones es una construcción

que está vinculada tanto a las situaciones problemáti-cas como a los procesos que llevan a su resolución y se construye paralelamente en el terreno de la resolución de los problemas y en el de las estrategias y recursos de cálculo. Recordemos también que la habilidad de cal-cular implica manejar propiedades relacionadas con la naturaleza de los números, con las reglas del sistema posicional decimal y, al mismo tiempo, con las propie-dades de la operación en sí misma.

Todo el trabajo transitado elaborando estrategias de cálculo mental aproximado con naturales es útil en este caso al abordar el redondeo y la estimación con los ra-cionales, si bien pide un ajuste acorde con la naturaleza de los números en cuestión. En estas actividades retoma-mos estrategias de cálculo vistas en capítulos anteriores.

Recordemos que las actividades de cálculo mental requierenunagestiónmuy cercanade la clase.Noesfructífero proponer los cálculos y dar la consigna de hacerlos mentalmente; es necesario que, al mismo tiempo, la serie de cálculos se proponga como objeto de reflexión, ya que es esta pregunta del docente y la reflexión conjunta la que favorecerán la aparición y el tratamiento de relaciones y propiedades de los números y las operaciones.

El uso de la calculadora facilita el cálculo, y la com-probación es veloz. Algunos docentes no ven con bue-nos ojos el uso de la calculadora, basados en la idea de que su uso inhibe el aprendizaje de las operaciones y el desarrollo del pensamiento asociado al cálculo. Cabe explicitar que muchas veces los problemas presentados requieren usos de la calculadora que no son para ob-tener un resultado (como lo hemos ido transitando en distintas actividades a lo largo de diferentes capítulos hasta aquí), y la calculadora se convierte en una herra-mienta muy apta para explorar propiedades, encontrar regularidades, rectificar o ratificar de manera inmediata el resultado de la anticipación que se ha pedido.

En Redondear decimales se trabaja el redondeo de expresiones decimales a los décimos, centésimos y mi-lésimos; el cálculo exacto y aproximado de adiciones y sustracciones de expresiones decimales por procedi-mientos diversos de cálculo mental y utilizando algorit-mos convencionales; y la estimación de resultados. Con-viene recordar que, para estimar un resultado, como se pideenlasactividades24y25,esposibleredondearlosnúmeros del cálculo con el fin de transformarlo en un cálculo más sencillo de resolver mentalmente.

GeometríaEn 6.º grado tiene una importancia especial el con-

cepto de lugar geométrico. Decir que una figura esel lugar geométrico de los puntos que cumplen una propiedad dada significa que todo punto de la figura cumple la propiedad y que todo punto que cumple la propiedad pertenece a la figura. También se puede de-cir que, cuando una figura contiene todos los puntos que cumplen una determinada propiedad y, recíproca-mente, solo contiene puntos que la cumplen, es el lugar geométrico de dichos puntos. Por ejemplo, decimos que lamediatrizdeunsegmentoABesellugargeométricodelospuntosqueequidistandelosextremosAyBdelsegmento.

El concepto de lugar geométrico es potente para comenzar a trabajar implícitamente con el método de-ductivo de la Matemática. Más adelante, en la escuela secundaria, se discutirán algunas cuestiones como, por ejemplo, que el enunciado de todo teorema consta de una premisa llamada hipótesis, que expresa lo que se supone se verifica, y de una conclusión, llamada tesis, que expresa lo que se demuestra que se verifica. Si CequidistadeAydeB(hipótesis),CestáenlamediatrizdeAB(tesis).Tambiéntrabajaránquedosteoremassonrecíprocos cuando la tesis de uno es la hipótesis del otro yviceversa.Lacertezadeunteoremanoimplicalacer-teza del recíproco; por ejemplo, este teorema verdade-ro:“Siuntriánguloesequilátero,entoncesesisósceles”tieneunrecíprocofalso:“Siuntriánguloesisósceles,en-tonces es equilátero”. En los años siguientes, los chicos trabajarán varias cuestiones similares a las presentadas.

22 Los conocedores

DecimalesEstadísticaÁrea y perímetro

9Pero ampliar la comprensión de este tema también im-plica la posibilidad de poder determinar cuál es el grá-fico más representativo para la información presentada.

Operaciones: estrategias de cálculoSabemos que los números con coma ofrecen nu-

merosas dificultades a los chicos. Generalmente estos problemas surgen de una asimilación mecanizada y no de una comprensión operativa del rol que juega esta expresión de los números. Además, no lograr la elabora-ción adecuada del sistema de numeración no les permi-te transferir los valores posicionales de los números na-turales a los valores posicionales de las cifras decimales.

También con las operaciones con números con coma se presentan ciertas dificultades. Por ejemplo, algunas respuestas erróneas al trabajo con las operaciones son las siguientes.• 10,2 + 2,9 = 12,11. Algunos chicos suman por se-

parado las partes enteras y las no enteras, y no se dan cuenta de que el resultado de la parte no entera –once décimos– forma una unidad más y un décimo, y no once centésimos.

• 1,5×10=10,5.Enestecaso,laconvicciónesque,almultiplicar por diez, se agrega un cero.

• 2,14:2=1,7.• 2,3×2,3=4,9.• 2×3,9=6,18. En estosúltimos tres ejemplos, los

chicos multiplican o dividen las partes enteras entre sí y las no enteras entre sí.Estas respuestas erróneas se encuentran con frecuen-

ciaenlosalumnosdeSegundocicloynossirvenparareflexionar, ya que las reglas que siguen funcionando son las de los números naturales. Además, al analizar las respuestas erróneas, observamos que los números con coma son percibidos como pares de números en-teros. Pareciera que los errores que cometen los niños están relacionados con la manera de comprender.

Estos errores son indicadores de que el sistema de numeración decimal no ha sido instalado convenien-temente en los niños. Vemos que algunos errores –por ejemplo, aquellos relacionados con el valor de posición o con la utilización del cero– se repiten tanto para los números decimales enteros como para los no enteros. Algunas de las causas de estos errores pueden ser las siguientes.• Unconocimiento insuficientede lasreglasde lanu-

meración decimal. Puesto que la base de la escritura de los números decimales es el sistema de numera-ción decimal, no puede esperarse que los alumnos y las alumnas comprendan la escritura de los decimales

NumeraciónEs esperable que los alumnos puedan resolver los

cálculos presentados mediante las estrategias de cálculo mental que han venido elaborando juntos. Cabe pun-tualizar en este caso que el cálculo mental, al exigir la puesta en juego de estrategias específicas en función de los números con los que se trabaja, habilita un mayor control de las propiedades que hacen válida la estrate-gia que se despliega.

Hemos puntualizado ya la utilidad de la calculadora en la exploración del sistema de numeración. En las ac-tividades de Investigar el valor posicional en los decima-les se la aprovecha en el contexto de los racionales para resolver problemas que involucren el valor posicional en la notación decimal y para reflexionar sobre la es-tructura decimal de la notación decimal.

En la actividad 7, los objetivos son que interpreten la información que ofrece el número con coma, que analicen que un mismo valor puede formarse de varia-das maneras y que compartan acerca de la expresión numérica de las equivalencias establecidas e incluyan losdiezmilésimos,queen5.ºgradonotuvieronmucholugar.

Operaciones: resolución de problemasEn este capítulo nos ocupamos de algunos concep-

tos de estadística, que es el estudio de los mejores mo-dos de acumular y analizar datos y de establecer con-clusiones acerca del colectivo del que se han recogido tales datos. Por otra parte, la estadística es la ciencia que estudia el comportamiento matemático del azar, midiendo y controlando los riesgos de los fenómenos aleatorios.

Losdatosresultantesdeuntrabajoestadísticosuelenpresentarse de dos maneras inseparables y complemen-tarias: mediante una tabla de datos y mediante una grá-ficaapropiada.Lagráfica permite ver de una manera rápida y esquemática el resultado global. Los gráficosmás utilizados son los diagramas de barras, los histo-gramas, los polígonos de frecuencias, los diagramas de sectoresylospictogramas.Latabla de datos permite un análisis más detallado de la situación.

Las situacionesdeestadísticaque seabordanenelcapítulo requieren del uso de los conceptos de gráfico de barras y de pictograma, de frecuencia, de muestra y población, y de moda.

En la enseñanza de nociones estadísticas, general-mente las actividades solo apuntan a que los alumnos reconozcan algunas medidas representativas o a que manejen los algoritmos necesarios para calcularlas.

23Los conocedores

menores que la unidad mientras no esté asegurado el dominio del sistema de numeración decimal para la escritura de los números enteros.

• Un conocimiento suficiente de los naturales, perocon resistencia al cambio de estatus. Es el caso de los niños que dominan bien las decenas y las centenas, pero no asocian las escrituras de décimos, centési-mos,etc.almismoesquema.Nolleganaverque,asícomo diez unidades hacen una decena, diez décimos hacen una unidad.

• Laformaenquesehanpresentadolosdecimalesalos chicos. El origen de algunos errores hay que bus-carlo en la introducción que se ha hecho de los deci-males. Por ejemplo, si la situación en la que han apa-recido es para comunicar la cantidad de habitantes, tomando como unidad el mil o el millón, o si se ha introducido a través de la medida, basta con cambiar la unidad para que desaparezca la coma (por ejem-plo, 1,23m= 123 cm). En estos casos, se acentúala idea de que a todo número natural que expresa una medida se lo puede asociar a un decimal con un cambio de unidad adecuado y que a todo decimal lo podemos asociar a un número natural. Estas situacio-nes no aclaran la diferencia entre la discretitud de los naturales y la densidad, aunque no continua, de los decimales. Todas las formas de introducir los decima-les que no permitan su aparición como números nue-vos, con algunas propiedades distintas de las de los números naturales, pueden ocasionar obstáculos que se suman a los obstáculos epistemológicos asociados al concepto.

• Losteoremasimplícitosquesefabricanlosalumnos.Es sumamente importante conocer qué significación dan los chicos a las operaciones y hacer que explici-ten las definiciones o los teoremas que se han fabri-cado para poder aceptarlos o rechazarlos según su nivel de validez. Por ejemplo, aplican reglas como “es menor el número que tiene más cifras después de la coma”, que es falsa porque fracasa, por ejemplo, para4,135y4,13.Otroejemploeselalgoritmodeor-den para los enteros, que lo aplican para ordenar los números que están antes de la coma y los que están despuésdelacoma,entoncesdicenque4,5esmenorque4,15,porque5esmenorque15.Muchos de estos errores señalados se originan en

obstáculos epistemológicos. Para Guy Brousseau, unobstáculo es un conocimiento que es válido en un de-terminado contexto y que, como tal, puede durar mu-chotiempomientrasnoaparezcaunconflicto.Sehablade conflicto cognitivo cuando dos ideas contradictorias

chocan y producen un desequilibrio que puede provo-car dudas y producir errores.

Los obstáculos oponen una resistencia al cambiopara aceptar un modelo más amplio, y esta resistencia puede justificar la lentitud en la evolución de algunos conceptos. Por ejemplo, el producto de números natu-rales es mayor que cada uno de los factores, y si dividi-mos un número a por otro b distinto de cero, el cociente siempre es más pequeño. Aunque los niños sepan muy bien estas dos reglas para el campo de los números na-turales, encontrarán un obstáculo epistemológico a la hora de hallar multiplicaciones o divisiones de números inferiores a la unidad.

Los obstáculos epistemológicos dependen única-mente del concepto mismo y superarlos forma parte del conocimiento. Además, se encuentran en el desarrollo histórico de los conceptos. Para el caso de los números decimales nos encontramos con obstáculos tales como la interpretación del orden de los decimales con las ideas que persisten respecto del orden de los naturales; la reducción del producto de decimales (como medi-das) al producto de naturales; y que, del hecho de po-der siempre intercalar decimales entre dos decimales, seesperadescribirelcontinuo,peroestonoesasí.Nosencontramos, entonces, con obstáculos ligados con el concepto de infinito.

Además de los obstáculos de origen epistemológico, Brousseauha estudiado losobstáculos de origen on-togénico, es decir, que provienen de limitaciones del sujeto en un momento dado de su desarrollo mental y los obstáculos de origen didáctico, que dependen de la elección de un proyecto de sistema educativo.

MedidaEn este último capítulo del libro, nos ocuparemos

de la medición de las figuras circulares, pero solo será una aproximación de carácter inductivo y experimental. A partir de la medición, los chicos encontrarán en un principio la relación entre el perímetro y el diámetro de la circunferencia: el número π.

Para el caso de la medida de la superficie también hacemos un trabajo experimental a partir de la medi-ción,utilizandocomosoportelahojacuadriculada.Nopretendemos que los chicos puedan determinar alguna fórmula: directamente se las presentamos y les pedimos que determinen nuevamente los valores del área para cada uno de los círculos dibujados. Esta es la primera aproximación al concepto de área del círculo y, como su justificación tiene dificultad, es conveniente dejarla para más adelante.

24 Los conocedores

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DocumentosdeactualizaciónydesarrollocurriculardelGo-biernodelaCiudaddeBuenosAires,SecretaríadeEducación,DirecciónGeneraldePlaneamiento,DireccióndeCurrícula.En:http://www.buenosaires.gov.ar/areas/educacion/curricula/docum/matematica.php

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Bibliografía sugerida

para ampliar las discusiones planteadas

25Los conocedores

Solucionario

Capítulo 1

Para conversar y responder juntos•Sí,eslomismo,porque2,2milloneseslomismoque2,2×1.000.000=2.200.000;y2,25milloneseslomismoque2,25×1.000.000=2.250.000.

•6,5millonesesequivalentea6.500.000,porque6,5milloneseslomismoque6,5×1.000.000.

1) 39.746.000.

2) 39,746 millones.

3) 8.509.760.

4) a)Dosmilseis. b) Mil novecientos treinta. c)Dosmilocho. d) Treinta y nueve millones setecientos cuarenta y cinco mil seiscientos trece. e) Veintiún mil setecientos ochenta.

5) a)5.000.000.000. b)350.000.000. c)38.000.000. d)137.000.

6) 1.930 - 2.006 - 2.008 - 21.780 - 137.000 - 38.000.000 -39.745.613-350.000.000-5.000.000.000.

7)

8)

9)

10)

Para conversar y responder juntos•Unaformaposibleespartirde780.000y,contandode5.000en5.000,ubicarelrestodelospuntosenlarectanumérica.

•Unaexplicaciónesqueencadacasoserespetalaunidad.

11) a)Porejemplo,300. b)Nosepuede. c)1. d)100.000. e) Por ejemplo,30. f)Nosepuede. g)Porejemplo,2.000.000.

Para conversar y responder juntos•En todos los casos es posible hacer que cambie la cifra marca-

da, salvo en los incisos b y f. Al sumar cualquier número pa-samos a la unidad inmediata superior y cambian dos cifras.

•En los incisos a, e y g hay más de una posibilidad porque la cifraesinferiora8.Solopuedehabermásdeunaposibilidadcuandolacifraes0,1,2,3,4,5,6o7.Porejemploen1.238,paraquesolocambieel2,podríasumar100,200,300,400,500,600o700.

•En c y dhayunaúnicaposibilidadporquelacifraes8.•Unareglaposiblepodríaser:“Dadounnúmerocualquiera,

para que cambie solo la cifra de las decenas a partir de una

0 100.000 200.000 300.000 400.000

450.000 675.000

500.000 600.000

0 125.000 150.000 175.000100.00075.000 200.000

60 millones 65 millones 70 millones 75 millones

72,5 millones61,25 millones 66,25 millones

80 millones

780.000 789.000

790.000

795.000

800.000

810.000

suma,necesitosumarledecenas.Silacifraes0puedosumar-lede1a9decenas;silacifraes1,de1a8decenas;silacifraes2,de1a7decenas;silacifraes3,de1a6decenas;silacifraes4,de1a5decenas;silacifraes5,de1a4decenas;silacifraes6,de1a3decenas;silacifraes7,de1a2dece-nas;silacifraes8,solounadecena;ysilacifraes9,ningunadecena (porque pasaría a la unidad superior, y cambiarían doscifras).”Unageneralizaciónsimilarpuedehacerseparacualquier número y para una cifra de cualquier orden.

12) a) 100. b) Por ejemplo, 8.000. c) Por ejemplo, 2. d) Por ejemplo,200.000. e)Porejemplo,20. f) Por ejemplo, 7.

Para conversar y responder juntos•Unareglaposiblepodríaser:“Dadounnúmerocualquiera,

para que cambie solo la cifra de las decenas a partir de una resta,necesitorestarledecenas.Silacifraes0,nopuedores-tarleningunadecena;silacifraes1,puedorestarle1decena;silacifraes2,de1a2decenas;silacifraes3,de1a3dece-nas;silacifraes4,de1a4decenas;silacifraes5,de1a5decenas;silacifraes6,de1a6decenas;silacifraes7,de1a7decenas;silacifraes8,de1a8decenas;ysilacifraes9,de1a9decenas.”Unageneralizaciónsimilarpuedehacersepara cualquier número y para una cifra de cualquier orden.

13) a)Porsutrabajocobró$20porhora(40horas)y$40porhora(5horas),respectivamente. b)Gastó$1.271.

14) Repartieron126figuritas.Enzorecibió42yLuciano21.

15) El valor de la cuota para la primera forma de pago es de $641.Sioptaporlasegundaformadepago,lacomputa-doraseencarece$354.

Para conversar juntos•En este momento es importante recuperar las diferentes pro-

ducciones de los nenes, que serán diversas, especialmente en losproblemas13y14.Siloschicostuvieransaberesdeálge-bra, resolverían estos problemas mediante ecuaciones, pero, como no cuentan con esos saberes, los resolverán por ensayo y error. Esta es, justamente, la intención de la presentación de este tipo de situaciones.

16) Evaeslasecretariadelaescuela.Necesitacomprar32cua-dernosde$16cadauno,16lapicerasde$5cadaunayunsacapuntasde$5.¿Cuántodinerogastará?

17) Mary, Germán y Horacio son vendedores de libros. Mary tieneensupoder462librosynecesitaentregareldoble;Germán tiene 572 libros y necesita entregar lamitad, yHoracio tiene 498 y necesita entregar 100 librosmenos.¿Cuántos libros tienen que entregar en total?

18) •¿Cuántoschupetinescompróentotal?•¿Cuántodinerogastóentotal?•¿Cuántopagóporcadabolsadechupeti-nes?•¿Cuántopagóporlas3cajasdealfajores?

19) Sexto grado organizó unpicnic. Como prepararían ham-burguesas, para no llevar ingredientes de más, le pregun-taron a cada chico con qué preferían acompañarlas. Sicada chico debía indicar un único ingrediente, ¿cuál es la cantidad de chicos que van al picnic de acuerdo con los datos de la tabla?

26 Los conocedores

28) Para construir un rectángulo necesitamos conocer, por ejemplo, la medida de dos lados. Para construir un rombo, por ejemplo, la medida de un lado y uno de los ángulos in-teriores. Para construir un cuadrado, la medida de un lado.

DesafíoPara el paralelogramo, por ejemplo:

Para el rombo, la construcción es única:

29)

30)

31)

32)

Para conversar juntos•Enla29fuenecesariotenerencuentaladefiniciónyunpar

de propiedades que son consecuencia de esta: los ángulos opuestos son congruentes y los lados opuestos son congruen-tes.Enla30,lasdefinicionesdeparalelogramoyrombo,ylaspropiedades explicitadas anteriormente. En las actividades 31y32,sololasdefinicionesderectánguloydecuadrado.

33) Nopuedenserparalelogramos:b (porque los lados opues-tos no son congruentes); c y f (porque los ángulos opuestos no son congruentes).

34) a) Sepuededibujarun rectángulooun cuadrado. b) Sepuede construir un paralelogramo, un rectángulo, un rom-bo o un cuadrado. c)Nosepuedeconstruirningúnparale-logramo. d)Sepuedeconstruiruncuadrado.

Para conversar juntos•Nodibujarántodoselmismoparalelogramo,yaqueennin-

guno de los casos se indicaron las medidas.

35) a) 10. b)Porejemplo,2. c)Porejemplo,100.000. d) Por ejemplo,20. e)Porejemplo,3.000.000.

3 cm

3 cm

5 cm

5 cm

3 cm

3 cm

5 cm

5 cm

5 cm32º

3,5 cm

A B

C D

122º

2 cm

6,5 cm

3 cm

2,5 cm

20) •0=5–5+5–5.•1=5–5+5:5.•2=5:5+5:5.•3=(5+5+5):5.•4=(5×5–5):5.•5=(5–5):5+5.

Para conversar juntos•Tiene razón Julián. Para que dé 3, debería agregar paréntesis deestaforma:(5+5+5):5.

21) •6=(5×5+5):5.•7=(5+5):5+5.•10=5×5:5+5.•9=5–5:5+5.•50=5×5+5×5.•26=5×5+5:5.

22) •1=4–4+4:4.•2=4:4+4:4.•3=(4+4+4):4. •4=(4–4):4+4.•5=(4×4+4):4.•6=(4+4):4+4. •7=4–4:4+4.•8=4×4:4+4.•9=4+4:4+4.

•10=(44–4):4.

23) a) Este año viajan 77 chicos. b)Esteañoviajan68chicos.

Para conversar juntos•a)35×2+7. b)(14+20)×2.

24) a)151. b)2.304. c)216. d)55.

25) a)

Para conversar y responder juntos•Los lados consecutivos y la diagonal deben cumplir con la

condición de que la medida de cada uno debe ser menor que la suma de las medidas de los otros dos.

•Delosdatosdelproblema,paraconstruirunrectángulone-cesito la medida de un lado y la medida de la diagonal, o la medida de los dos lados. Para el rombo, necesito la medida de un lado y la de una de las diagonales. Para el cuadrado, necesito la medida de un lado o la de la diagonal.

b)

Para conversar y responder juntos•Deestosdatos,paraconstruirunrectángulonecesitolamedi-

da de una diagonal y la medida del ángulo comprendido entre las dos diagonales. En el caso del rombo, necesito la medida de las dos diagonales. Para el cuadrado, necesito la medida de una diagonal.

26) a) “Construyan un paralelogramo dados sus lados conse-cutivosAByBDyelángulocomprendidoentreambos.”“Construyan un paralelogramo dados sus lados consecuti-vosAByBDysudiagonalAD.”b) “Construyan un paralelogramo dados sus lados conse-cutivos AO yAC y el ángulo comprendido entre ambos.”“ConstruyanunparalelogramodadosAO,OCyAC.”

27)

Para conversar juntos•Para que la construcción sea única hay que indicar la medida

del ángulo comprendido entre las diagonales.

4 cm

3 cm 5 cm

35º

6 cm3 cm

4 cm

3 cm 5 cm

35º

6 cm3 cm

5,4 cm

27Los conocedores

52)

53)

Capítulo 2

1) a)CDLXXII. b)MMDXLIII. c)CMXXXIX.

2) a)

b)

c)

3) a)

b)

c)

Para conversar juntos•Algunas reflexiones pueden ser las siguientes.•El sistema egipcio no es posicional. Es un sistema aditivo

caracterizado por la presencia de un símbolo distinto para cada una de las potencias de la base. Por eso, se dice que es de agrupamiento múltiple. El desorden en la escritura de los números no es un problema a tener en cuenta.

•El sistema egipcio no tiene límite para la cantidad de sím-bolos necesarios, pero sí para el número de repeticiones de los símbolos: como máximo los que indica la base elegida paraelagrupamiento,esdecir,10.

•En el sistemade la antigua India importa el ordende laescritura, porque una cifra a la izquierda de otra representa potencias de la base inmediatamente superiores y porque cada cifra tiene dos valores, uno según su forma y otro por el lugar que ocupa, de modo que la primera de la derecha expresa unidades simples; la segunda, unidades de segun-do orden; la tercera de tercer orden, etc.

•En el sistema egipcio se considera la misma base que en nuestrosistema.EldelaantiguaIndiatieneexactamentelas mismas características y el romano, ninguna.

•El sistema egipcio es aditivo de agrupamiento múltiple. El sistema romano es aditivo. El sistema indio es decimal, cifrado y posicional. En particular, nuestro sistema de nu-meración escrita tiene estas características, pero el oral es multiplicativo ordenado.

•El cero es necesario y útil para expresar la carencia de uni-dades de cualquier orden.

a) b)

c) d)

3 cm

3 cm

5 cm

4 cm

4 cm

7 cm

3,5

cm

5 cm 30º

6 cm 3 cm

36) a)Porejemplo,60. b)1. c)Porejemplo,100.000. d)Noesposible. e)1.000.000.

37) a) Cuatrocientos setenta y cinco mil novecientos tres.b)Nuevemillonesochentaysietemilcuatrocientostreintay dos. c) Ciento treinta y nueve millones ochenta y siete mil cuatrocientos cinco.

38) a)2.475.000. b)35.000. c)5.900.000.

39) 93.840.050.

40) 15.392.007.

41)

42) Podrácomprar25gaseosasde$6cadaunaylesobrarán$4.

43) •23=6+5+2×4+1+3=6×2+3+4+5–1.•65=3×4×5+6–2+1=3×4×6–(2×1+5).•72=3×4×5+6×2×1=(6×5×2)+(3×4×1).•88=(6+5)×(2+3+4–1)=(6×5×3)–4:2×1.

44) a)18. b)26. c)105. d)5. e) 33.

45) a)Sirvenelterceroyelcuarto.Enelcuartocálculonohacefalta poner paréntesis por la jerarquía de las operaciones. b)Sirvenelprimeroyelcuarto.

46) a)(3+5)×2+(12–5)×5. b)Noseagreganingúnparén-tesis. c)3+5×(2+12)–5×5. d)(3+5)×2+12–5×5.

47) En el caso del paralelogramo se deben cortar en el pun-to medio. En el caso del rombo, además de cortarse en el punto medio, deben hacerlo perpendicularmente. En el caso del romboide, solo debemos considerar que se corten perpendicularmente.

48)

Paraconstruirelrombo,elángulodeberíamedir90°.

49)

50) a) Trapecio rectángulo y romboide. b) Paralelogramo, rec-tángulo, cuadrado, rombo y trapecio isósceles. c) Rectán-gulo y cuadrado. d) Paralelogramo, cuadrado, rectángulo, rombo y romboide.

51) En todos los casos la construcción es única.

100.0000 200.000

220.000

250.000 300.000

3 cm 5 cm

40º

4,5 cm

a) b)

c) d)

3 cm

3 cm

5 cm

4 cm

4 cm

7 cm

3,5

cm

28 Los conocedores

13) Puedenserelegidosde5.040manerasdiferentes.Sisepre-sentan4,de24manerasdiferentes.

14) Silascifrasnoserepiten,sepuedenescribir24númerosdiferentes.Silascifrasserepiten,sepuedenescribir64nú-meros diferentes.

15) Puede elegir a los tres primos que recibirán un libro de 336manerasdiferentes(8×7×6).

16) Seenterarondelmensaje256chicas(4×4×4×4=44).

17) Enlasconfiguracioneshay4asteriscos(22), 9 asteriscos (32) y16asteriscos(42), respectivamente. En una configuración de6×6,habrá36asteriscos(62).

18) Cristinacambióelpisodeldormitorio.Sielpisoylasbaldo-sastienenformacuadradayentraronporlado15baldosas,¿cuántas baldosas tiene en total el piso?

Para conversar juntos•Losproblemasseparecenenquesepuedenresolverconlamultiplicaciónyenquesondecombinatoria.Sediferencianen que algunos se pueden resolver a partir de una potencia.

19) 3.200:a,b,c,e,f,h,i,l,m.320.000:d,g,j,k,n.

20) a)35×15×10×10. b)27×12×4×10. c)54×9×2.000. d)3×6×49×100. e)243×40. f)48×1.000.

DesafíoSepuedehacer:1.102:3×5=170.2.170+9=179(deberáquedarescritoenalgúnlugar).3.37×4=148.4.148+179=327.

21) Ambos usaron las propiedades distributiva y asociativa. Daniela:3.125×42=3.125×(40+2).

Lucio:3.125×42=3.125×(1+1+10+10+10+10).

Para conversar y responder juntos•Propiedad conmutativa. El producto no depende del orden

de los factores.•Propiedad asociativa. El producto no depende de la forma

en que se asocien los factores. También se puede decir: al multiplicar tres números naturales, podemos multiplicar los dos primeros, y al resultado, multiplicarlo por el tercero; o multiplicar el primero por el resultado de multiplicar el se-gundo por el tercero.

•Propiedad distributiva. Al multiplicar una suma por un nú-mero natural, podemos multiplicar cada uno de los términos de la suma por este número y sumar los resultados. Es decir, la multiplicación distribuye la suma a izquierda y a derecha.

22) b)

d)

a)

c)

4) a)Egipcia:18.Romana:4.India:2. b) Egipcia: 6. Romana: 3. India:4. c)Egipcia:12.Romana:8.India:3. d)Egipcia:15.Romana:8.India:5.

5) •Nuestrosistemadenumeraciónutiliza10símbolosquesellaman cifras. Estos números formados por una sola cifra se llaman dígitos. Combinándolos de acuerdo con ciertas reglas se pueden representar todos los números naturales.

•El conjunto de símbolos y reglas constituyen el sistema de numeración.

•El sistema de numeración decimal usa diez símbolos y agrupa las unidades de diez en diez. Por eso, se llama sistema decimal o sistema de base diez.

•Cada símbolo tiene un valor relativo que depende del lugar que ocupa. En consecuencia, el sistema decimal de numeración es un sistema posicional. En este sistema se usa el cero, que se escribe en el lugar correspondiente cuandonofiguranunidadesdeundeterminadoorden.

6) a y d.

7) a)63.290=6×10.000+3×1.000+2×100+9×10. b)541.758=54×10.000+1×1.000+75×100+8. c)2.098.354=2×1.000.000+98×1.000+3×100+5

×10+4.

8) a)2×100.000+7×10.000+3×1.000+9×100+8×10+5×1.b)27×10.000+3×1.000+98×10+5.c)273×1.000+9×100+8×10+5.d)2×100.000+73×1.000+98×10+5×1.e)2×100.000+7×10.000+39×100+8×10+5×1.

9)

¿Cuántas tiene? 87.654 1.902.805Centenas de mil 0 19Decenas de mil 8 190Unidades de mil 87 1.902Centenas 876 19.028Decenas 8.765 190.280Unidades 87.654 1.902.805

10) a)F. b) V. c) V. d)F. e) V. f)F. g) V. h)F.

Para conversar y responder juntos•Esto sucede porque cuando tengo un número de cuatro ci-

fras, lo puedo descomponer en un número formado por las unidades de mil y un número de tres cifras. Por ejemplo: 4.827=4.000+827.Aldividirlopor1.000observoqueob-tendréporresultado4yelrestoserá827.

11) Puedensentarsede24manerasdiferentes(4×3×2×1).

12) Federicotiene6posibilidades.

Mañana TardeGabriela X XLuján X XGermán X X

MañanaTardeMañanaTardeMañanaTarde

Gabriela

Luján

Germán

29Los conocedores

32) Nuevemillonessetecientoscinco:9.000.705.Nuevemillonessetentamilcinco:9.070.005.Novecientosmilsetecientoscincuenta:900.750.Novecientossetentaycincomil:975.000.Noventamilsetentaycinco:90.075.

33) a)8×1.000.000+669×1.000+4×100+2×10.b)86×100.000+69×1.000+42×10.c)8×1.000.000+66×10.000+9×1.000+4×100+2×10.

34) a) V. b) V. c)F. d)Siquierodarle100dadosacadaunadelasescuelasesF;si los100dadosserepartenentrelas3escuelas es V. e) V. f) V.

35) a, c, d y f.

36) a, b, c y e.

37) Por ejemplo: a)7×8×20×100. b)7×12×5.000. c)72×9×100. d)4×18×1.000. e)108×10.000.

38) De720manerasdiferentes(6×5×4×3×2×1).

39) Sepuedencubrirde336manerasdiferentes(8×7×6).

40) De720manerasdiferentes(6×5×4×3×2×1).

41) Sepuedenarmar6númerosdiferentes(3×2×1).

42) Sepuedenarmar625númerosdiferentes(5×5×5×5).

43) Hay216chupetinesentotal.

44) a) 9. b)625. c)125. d) 64.

45) a y b son convexos y regulares; c no es regular y es cóncavo.

46) a) Se pueden trazar 5 diagonales. b) Se pueden trazar 9diagonales. c)Sepuedentrazar54diagonales.

47) a)F.Todosloscuadradossonconvexos. b) V. c)F.Haypen-tágonos cóncavos. d) V.

Capítulo 3

1) a) Entre villa Bonita y Los Eucaliptos: 40 km. Entre LosEucaliptosySierradelaNiebla:60km.EntreSierradelaNieblayLosLirios:80km.b)Brendavivea180kmdeLosLirios;susabuelos,a140kmy,susprimos,a80km.

2) Deizquierdaaderecha:PuertoSegundo,PuertoLuminoso,LosPescadores,LasBallenas,villaAlejada.

Para conversar juntos•Sicadacentímetroequivalea50km,determinamosacuán-

tos centímetros equivale cada una de las distancias y ubica-mos los puntos en función de los centímetros determinados.

DesafíoCadacentímetroequivalea5m.

3) Producción personal.


Para conversar juntos•Esprobablequetodoselijan lamismafigura.Enelprimercaso, porque lafigura elegidano esunpolígono como lasotras, sinounacircunferencia.Enel segundo,porque lafi-gura no es un polígono, ya que tiene “lados cruzados”. En el tercero,porque lafiguraesunpolígono cóncavo,mientrasque el resto son convexos. En el último, porque el polígono no es regular como el resto de la serie.

23)

Lados Nombre Lados Nombre9 Eneágono o nonágono 14 Tetradecágono10 Decágono 15 Pentadecágono11 Undecágono 16 Hexadecágono12 Dodecágono 17 Heptadecágono13 Tridecágono

24) De izquierda a derecha: a) Octógono regular y convexo.Triángulonoregularyconvexo.Noesunpolígono.Pentá-gono no regular y convexo. b) Hexágono regular y convexo. Triángulono regulary convexo.Noesunpolígono.Cua-drángulo (o cuadrilátero) no regular y convexo. c) Pentá-gonoregularyconvexo.Dodecágononoregularycóncavo.Triángulo no regular y convexo. Cuadrilátero no regular y convexo. d) Triángulo regular y convexo. Cuadrilátero regu-lar y convexo. Hexágono regular y convexo. Cuadrilátero no regular y convexo.

25)

Polígono Número de lados

Número de triángulos

Suma de las medidas de los ángulos interiores

Cuadrilátero 4 2 2 × 180° = 360°Pentágono 5 3 3 × 180° = 540°Hexágono 6 4 4 × 180° = 720°Heptágono 7 5 5 × 180° = 900°

Para conversar y responder juntos•8lados:(8–2)×180°=1.080°.•9lados:(9–2)×180°=1.260°. •10lados:(10–2)×180°=1.440°.•11lados:(11–2)×180°=1.620°.

26) Sepresentalacomprobaciónenlaactividadanterior.

27) Losotrosángulosmiden145°.

28) Los ángulos interiores de un pentágono regular miden108°, porque al ser todos sus lados iguales, todos sus ángu-los también lo son.

Para conversar y responder juntos•A la fórmula anterior tenemos que dividirla por n.

29) Elángulointeriorrestantemide40°.

DesafíoElpolígonotiene9ladosycadaángulointeriormide140°.

30) El primero, el cuarto y el quinto.

31) a)238.542=2×100.000+3×10.000+8×1.000+5×100+4×10+2.b)97.560=97×1.000+5×100+6×10.c)8.922.098=8×1.000.000+9×100.000+22×1.000 +9×10+8.

30 Los conocedores

14) a) 12:4×3+12:4×3. b) (6:2+6:2+6:2)×6.

Para conversar y responder juntos•Para la división no se cumplen las mismas propiedades que para lamultiplicación. Lamultiplicación es conmutativa yasociativa; la división, no. Lamultiplicación es distributivacon respecto a la suma y la división también:(9+18):3=9:3+18:3=3+6=9.Novalelapropiedaddistributivaenelotrosentido:1/9≠3:(9+18)≠3:9+3:18≠1/3+1/6≠1/2.

•Noeslomismoporqueladivisiónnoesasociativa.•Noeslomismoporqueladivisiónnoesconmutativa.

15) Deizquierdaaderechaydearribaabajo:52°,100°,55°y54°.

Para conversar y responder juntos•Cuando el triángulo es rectángulo, la suma de las medidas de losdosángulosinterioresdiferentesdelrectoes90°.

•Cuando el triángulo es isósceles, los ángulos de la base son congruentes, porque la bisectriz del ángulo opuesto a la base es eje de simetría del triángulo. En el aula, la intención es queloschicoshagan“aproximaciones”aestarespuesta.Nose hará una argumentación deductiva.

•Deladiscusiónanteriorsederivaquelosángulosdeltrián-gulo equilátero son isósceles (recordemos que el triángulo equilátero es isósceles).

DesafíoDeizquierdaaderecha:55°y70°.

16)

Para conversar y responder juntos•Lostriángulossoncongruentes,porquealserparalelogramos

los lados opuestos son congruentes.•Losángulosopuestosdeunparalelogramosoncongruentes.

El valor de la suma de las medidas de un par de ángulos ad-yacentesdelparalelogramoes180°.

•El valor de la suma de las medidas de los ángulos interiores deuncuadriláteroes180°.Unamaneraposibledeexplicarloes teniendo en cuenta que, cuando lo divido por una de las diagonales,quedanformadosdostriángulos.Lasumadelasmedidasdelosángulosinterioresdelostriánguloses180°;por lo tanto, la de las medidas de los ángulos interiores de un cuadriláteroes360°(180°×2).

17) De izquierdaaderechaydearribaabajo:1:40°,2:15°y3:25°.1:160°,2:120°y3:40°.1:90°,2:30°y3:60°. 1:150°,2:30°y3:120°.

Para conversar y responder juntos•Cada ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los

ángulos interiores no adyacentes a él.

Para conversar y responder juntos•Cada triángulo tiene seis ángulos exteriores.

34˚

29˚

130˚

130˚

25˚ 25˚25˚ 25˚

122˚

122˚

24˚ 90˚

61˚29˚ 90˚

61˚

24˚

34˚

90˚ 45˚

45˚

45˚

45˚ 90˚

a)

b)

c)

d)

5) El álbum tendrá 77 páginas.

6) Eldinerolealcanzarápara25días.

7) Normanecesitará79díasparacontestartodoslosmails.

8) Elúltimonúmeropositivoquecuentekarinaseráel2,yaque848noesmúltiplode9,mientrasque846síloesy848–846=2.

Para conversar y responder juntos•846esmúltiplode9.

9) a) El13estáenlacuartafila. b) El12estáenlaprimeracolum-na. c) El19estáenlaquintafilayenlacuartacolumna. d) El 38estáenlafila10yenlacolumnadel2.El49,enlafila13yenlacolumnadel1.El56,enlafila15yenlacolumnadel0.e) El235estáenlafila59yenlacolumnadel3.El367,enlafila92yenlacolumnadel3.El589,enlafila148yenlacolumnadel1.El2.459,enlafila615yenlacolumnadel3.

Para conversar y responder juntos•Para determinar la posición de los números en la tabla hay

que hacer la división del número dado por 4 (porque tene-mos4columnas).Elcocientemás1indicaenquéfilaseen-cuentra y el resto en qué columna.

•Paraanticiparlaposicióndelnúmero643.568podemosver,por ejemplo, si es múltiplo de 4; si lo es, ya tenemos la posi-ción en la columna. Además, podemos determinar aproxima-damentelafilaenqueseencuentracalculandoelresultadoaproximado de la división del número dado por 4.

10) a) 3. b) 16. c) 108. d) Divisor:37.Cociente:4.Divisor:74.Cociente:2.

Para conversar y responder juntos•Laposibilidadnoeraunasolaenladivisióndelincisod, por-

que hay que encontrar dos números que, al multiplicarlos, dan 148. Para determinar las posibles respuestas, despuéshay que tener en cuenta que el divisor debe ser mayor que 7.

11) a) Cociente:27.Resto:24. b) Cociente:135.Resto:9. c) Cociente:16.Resto:2.

Para conversar y responder juntos•Hacemos en la calculadora la división y consideramos la parteenteradelcocienteobtenido.Luego,hacemoslarestaentre el dividendo y la multiplicación del divisor por la parte entera del cociente.

12) Ramiro llegará al resultado correcto mediante la estrategia deCarla,peronoconladeOmar,yaqueenlasdivisioneses válido disociar el dividendo, no el divisor. Para mante-nereldividendoconstantehabríaquehacer4.812:8+4.812:8,esdecir,multiplicareldivisorporlacantidaddetérminos que deseamos tener. Por ejemplo, si quiero tener 3términos:4.812:(4×3)+4.812:12+4.812:12.

Para conversar juntos•Ambos resuelven correctamente, pero “desarman” diferente

el dividendo.

13) a) 784:7=700:7+70:7+14:7. b) 1.881:9=1.800:9+81:9. c) 165:5=150:5+15:5. d) 176:8=160:8+16:8.

31Los conocedores

1+1’=180°,2+2’=180°,3+3’=180°,4+4’=180°,5+5’=180°(sonángulosadyacentes)1+1’+2+2’+3+3’+4+4’+5+5’=180°+180°+180°+180°+180°.1’+2’+3’+4’+5’+540°=180°+180°+180°+180°+180°(lasumadelasmedidasdelosángulosinterioresdeunpentágonoes540°).1’+2’+3’+4’+5’=180°+180°=360°.•Para un hexágono:

1+1’=180°,2+2’=180°,3+3’=180°,4+4’=180°,5+5’=180°,6+6’=180°(sonángulosadyacentes).1+1’+2+2’+3+3’+4+4’+5+5’+6+6’=180°+180°+180°+180°+180°+180°.1’+2’+3’+4’+5’+6’+720°=180°+180°+180°+180°+180°+180°(lasumadelasmedidasdelosángulosinterioresdeunhexágonoes720°).1’+2’+3’+4’+5’+6’=180°+180°=360°.

25) Mide140°cadaángulo.Elpolígonotiene9lados.

26) Noesposible.Sielángulo interiordeunpolígonomide75°,elánguloexteriormide105°.Paracalcularlacantidaddeladoshago360°:105°,y360°noesmúltiplode105°.

27) Noesposible,porque360°noesmúltiplode35°.

28) Sí,esposible.Lasumadelosángulosinterioresdaría180°másunvalormayorque270°yporlotantonosesuperanlos540°quedebedarlasumadelasmedidasdelosángulosinteriores de un pentágono.

Para conversar y responder juntos•Noesposiblequeel ángulo exteriordeunpolígonomida180°porqueelángulointeriormediría0°.

29) 1cmrepresenta200m.

30) 1cmrepresenta80km.

31) Ladistanciarealesde1.800km.

32) Es necesario comprar 34 paquetes.

33) Hoyarmaron100cajas.

34) Sí,porque9mequivalena900cm.

35) Noesposibleenvasarlastodasporquesobran11.Sepue-denarmar55cajasde20.

36) Podráacomodar1.210librosylesobrarán45libros.

37) Elálbumdeberátener112páginas.

38) Eldinerolealcanzópara12almuerzos.

39) Restando215vecesel4llegoal3;sirestounavezmásel4,mepasodel0.

40) No,porquellegaríaal3.

11'

55'

2 2'

44'

33'

66'

18) Elvalordelasumadelostresángulosexterioreses360°.

1+1'=180°,2+2'=180°y3+3'=180°(sonángulosadyacentes).1+1'+2+2'+3+3'=180°+180°+180°.1’+2’+3’+180°=180°+180°+180°.1’+2’+3’=180°+180°=360°.

19) X=90°.y=150°.

20) Los ángulos exterioresdeun triángulo equiláteromiden120°,yaquetodossusángulosinterioresmiden60°.Porlotanto,120°×3=360°.

21) 144°,72°y144°.

22) Losángulosinterioresmiden135°,30°y15°;elotroángu-loexterior,150°.

23)

Para conversar y responder juntos•En todos los casos la suma de las medidas de los ángulos exterioreses360°.SejustificaenelsiguientePara conversar y responder juntos.

24) 180°.180°.540°.180°.

Para conversar y responder juntos•Para un cuadrilátero:

1+1’=180°,2+2’=180°,3+3’=180°,4+4’=180°(sonángulos adyacentes).1+1’+2+2’+3+3’+4+4’=180°+180°+180°+180°.1’+2’+3’+4’+360°=180°+180°+180°+180°(lasumade las medidas de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360°).1’+2’+3’+4’=180°+180°=360°.•Para un pentágono:

33'

1'

2'2

1

a)

b)

c)

d)

160˚

25˚ 140˚ 35˚50˚

110˚

20˚ 25˚

120˚

45˚

120˚30˚

70˚

130˚

35˚ 130˚

60˚135˚

1'1 2 2'

33' 44'

11'

2 2'

33'

55'

44'

32 Los conocedores

4)

Número Resto de la división por 10 Resto de la división por 5389 9 4654 4 4287 7 2455 5 0293 3 3730 0 0

Para conversar juntos•Parabuscarlosrestosdeladivisiónpor10hayquefijarseen

la cifra de las unidades, que indica el resto de la división. El restodeladivisiónpor5eslacifradelasunidadescuandonollegaa5,yelexcesosobre5cuandosobrepasaesacifra.

5) Elrestodeladivisiónpor2deunnúmerocualquieraescerosi el número es par y uno si es impar. Esto se justifica pensan-doenladescomposicióndelnúmero.Siemprelasdecenas,centenas,etc.,sonmúltiplosde2.quedaporverquésucedeconlacifradelasunidades:sies0,2,4,6u8,elnúmerotienerestocero;sies1,3,5,7o9,elnúmerotieneresto1.

6) Sisesumandosnúmerospareselresultadoespar,puestoqueelrestodecadaunodeellosaldividirlopor2escero.Sisesumandosnúmerosimpareselresultadoespar,pues-to que se compensan los restos.

Para conversar juntos•Se puede descomponer el número en dos sumandos, uno

formado por las dos últimas cifras y el otro por el resto. Por ejemplo,14.564=14.500+64.Como4dividea100,divideacualquiermúltiplosuyo,enparticulara14.500.Porlotanto,para averiguar la divisibilidad de un número por 4 sólo se necesitan las dos últimas cifras.

DesafíoUnnúmeroposiblees138.600.

7) Sí,porqueloquehagoesmultiplicarpor2,3o4a15.

Para conversar y responder juntos•Sí.SiBesdivisordeA,entoncesexisteunnúmeronaturaln,talqueA=B×n.SimultiplicoporcualquiernaturalmaA,m×A=B×n×m;Bresultaserdivisortambiéndem×A.

8) Sí,porque15esmúltiplode5.

9) Sí,81esmúltiplode3.Estosucederáparacualquierpardenúmerosmúltiplosde3.Engeneral,3×ny3×msonmúltiplos de 3, paran ymnaturales. La suma tambiénseráunmúltiplode3porque:3×n+3×m=3×(n+m).

10) 45–36=9esmúltiplode3,porque45=3×15y36=3×12.45–36=3×(15–12).

Para conversar y responder juntos•Si un número es divisor de otros, lo es de su suma. Si un

número es divisor de otros dos, lo es de la diferencia entre el mayoryelmenor.Laformadejustificarestasafirmacionessedesprendedelasactividades9y10.

11) 1:1.2:1,2.3:1,3.6:1,2,3,6.8:1,2,4,8.9:1,3,9.15:1,3,5,15.

12) 124=62×2=31×2×2=31×4=124×1=31×4×1=62×2×1.

41) Entra31veces.

42) Dentrode80díasserásábado.

43) Elúltimonúmeropositivoalquellegamosesel2.

44) Antesdellegaralnúmeromáscercanoal0,esposibleres-tar66vecesel15a999.Llegamosal9.

45) Parallegara333necesitosumar48vecesel7.Enrealidadlopasoporque333=7×47+4.

46) Eldividendoes290.

47) Eldividendoes1.236.

48) Eldivisores11.

49) Porejemplo,eldividendoes873yelcociente45.

50) x=130°.

51) a) ×=55°,y=70°. b) ×=105°,y=45°.

52) Sí, esposibleporque, si el ángulo interiormide108°, elánguloexteriormide72°,y360°esmúltiplode72°.

53) a) 33°, aproximadamente. b) 18°. c) 10°,aproximadamente. d) 9°.

54) Elpolígonotiene5lados.

55) Elpolígonotiene25lados.

Capítulo 4

1) Noescorrecto,porque50esmúltiplode5,peronode6.Elnúmeroquecumplecontodaslascondicionesesel30.

2) Sí,escorrecto,porque24cumplecontodaslascondiciones.

Para conversar juntos•Unnúmeroesdivisiblepor2cuandolacifradelasunidadeses0,2,4,6u8.•Unnúmeroesdivisiblepor5cuandolacifradelasunidadeses0o5.•Unnúmeroesdivisiblepor10siloesalmismotiempopor2ypor5.•Unnúmeroesdivisible por 3 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 3. •Unnúmeroesdivisiblepor9cuandolasumadesuscifrasesmúltiplode9.•Unnúmeroesdivisiblepor4sielnúmeroformado por las dos últimas cifras es un múltiplo de 4.

3) Unnúmeroesdivisiblepor100silasdosúltimascifrassonceros. Para justificar el criterio podemos hacer un planteo similaralusadoparaelcriteriodedivisibilidadpor10.

Para conversar juntos•Sepuedeconsiderarunaseriedemúltiplosde5:0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,etc.Alanalizar laserieseobtieneelcriterio:unnúmeroesdivisiblepor5siterminaen0oen5.Otraformaposible:Porejemplo,340=300+40+0=(34×10)+0.Porejemplo,465=400+60+5=(46×10)+5.Comolasdecenas,centenas,etc.,siempresonmúltiplosde5,hay que imponer que lo sean las unidades. Por lo tanto, para queseadivisiblepor5,lacifradelasunidadesdebeser0o5.

33Los conocedores

24)kg hg dag g dg cg mg

0,005 0,05 0,5 5 50 500 5.0000,0268 0,268 2,68 26,8 268 2.680 26.800

3,42 34,2 342 3.4200,155 1,55 15,5 155

9 90 900 9.000 90.000 900.000 9.000.000

Para conversar y responder juntos•Multiplicamospor10,por100ypor1.000.•Dividimospor10ypor100.•Se parecen en el procedimiento:multiplicamos o dividimosporpotenciasde10.Sediferencianenlasunidadesdemedida.

25) Hacenfalta60bicicletas.

26)

Kilolitro Hectolitro Decalitro Litro Decilitro Centilitro Mililitrokl hl dal l dl cl ml

1.000 l 100 l 10 l 1 l 0,1 l 0,01 l 0,001 l1.000/1 l 100/1 l 10/1 l 1/1 l 1/10 l 1/100 l 1/1.000 l

27) a) 6 l. b) 19.000l. c) 0,6l. d) 190.000l. e) 70l. f) 1.900l.

28) 3,125l,3l+0,125ly3.125/1.000l,3.125ml.

29) 2.250.000l,2.250kly22.500hl.

30) kilo-:mil.Hecto-:cien.Deca-:diez.Deci-:ladécimapartede. Centi-: la centésima parte de. Mili-: la milésima parte de.

Para conversar y responder juntos•Mayoresque launidad: kilo-,hecto-,deca-.Menoresque la

unidad: deci-, centi-, mili-.

31)

Número 2 3 4 5 6 9 10 25242 X540 X X X X X X X2.540 X X X X396 X X X X X1.320 X X X X X X2.800 X X X X X3.600 X X X X X X X X

32) a) 411,441,471.Nuncaesdivisiblepor2porque termi-naen1.b)5.010,5.013,5.016,5.019,5.112,5.115,5.118,5.211, 5.214, 5.217, 5.310, 5.313, 5.316, 5.319, 5.412,5.415, 5.418, 5.511, 5.514, 5.517, 5.610, 5.613, 5.616,5.619, 5.712, 5.715, 5.718, 5.811, 5.814, 5.817, 5.910,5.913,5.916,5.919.Sondivisiblespor2losqueterminanen cifra par. c) 3.024, 3.054, 3.084, 3.114, 3.144, 3.174,3.204, 3.234, 3.264, 3.294, 3.324, 3.354, 3.384, 3.414,3.444, 3.474, 3.504, 3.534, 3.564, 3.594, 3.624, 3.654,3.684, 3.714, 3.744, 3.774, 3.804, 3.834, 3.864, 3.894,3.924,3.954,3.984.Sontodosdivisiblespor2.

33) 3.800,3.850,3.825,3.875.Esmúltiplode3yde9el3.825.

34) a) 64=26. b) 228=22×3×19. c) 540=22×33×5.d) 144=24×32. e) 99=32×11.

35) Por ejemplo: a) 32:64,96,128. b) 25:25,50,75. c) 12:24,36,48. d) 124:248,372,744. e) 43:86,172,516.

Para conversar y responder juntos•124=2×2×31.

13) 2,3,5,6,9,15.Losdivisoresprimosson:2,3y5.

14) a) 256. b) 17.920. c) 224. d) 448. e) 32. f) 128.

15) Resuelto en el recuadro teórico.

16) Resuelto en el recuadro teórico.

Para conversar y responder juntos•En el caso de la cantidad de nueces, la medida no tiene sen-tidoenfuncióndelapreparaciónquesequiererealizar.Sise necesita unmoldede 20 cmdediámetro, es imposibleconsiderar50kgdenueces.Porlamismarazón,lacantidaddelechenopuedeestarexpresadaenlitros.Lacantidaddenuecesqueindicalarecetapuedeser50g.

17) Lamedidadeunacantidadeselnúmerodevecesqueotracantidad (unidad de medida) está contenida en ella.

18) •Cuandosequieremediralgo,esconvenienteelegirunaunidad de medida adecuada a lo que se quiere medir. •Elinstrumentoadecuadoparamediralgodependedeloquesevaamedir.•Silaunidaddemedidaesmenor,elresultado en números de la medición va a ser mayor.

•Silaunidaddemedidaesmayor,elresultadoennúme-ros de la medición va a ser menor.

19) a) Para determinar la medida de un lápiz conviene elegir como unidad de medida el centímetro. b) Para medir la puerta conviene usar un metro y no una regla. c) Silauni-daddemedidaes1cm,unatirade1mmedirá100cm.d) Silaunidades1m,unatirade10cmmedirá0,1m.

20)

Kilóme-tro

Hectóme-tro

Decáme-tro Metro Decímetro Centíme-

troMilíme-

trokm hm dam m dm cm mm

1.000 m 100 m 10 m 1 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m1.000/1 m 100/1 m 10/1 m 1/1m 1/10 m 1/100 m 1/1.000 m

21) a) 1.500.000m. b) 0,07m. c) 15m. d) 0,7m. e) 1,5m.f) 7 m.

22)km hm dam m dm cm mm

0,035 0,35 3,5 35 350 3.500 35.0000,792 7,92 79,2 7920,29 2,9 29 2900,41 4,1 41 410

0,14 1,4 14 140 1.400 14.000 140.00056,1 561 5.610 56.100 561.000 5.610.000 56.100.000

8 80 800 8.000 80.000 800.000 8.000.000

Para conversar y responder juntos•Multiplicamospor10,por100ypor1.000.•Dividimospor10,por100ypor1.000.

23)

Kilogra-mo

Hectogra-mo

Decagra-mo Gramo Decigramo

Centigra-mo

Miligra-mo

kg hg dag g dg cg mg1.000 g 100 g 10 1 g 0,1 g 0,01 g 0, 001 g

1.000/1 g 100/1 g 10/1 g 1/1 g 1/10 g 1/100 g 1/1.000 g

34 Los conocedores

2)

3)

4)

Medida realMedida en

el planoMedida real

Medida en el plano

7 m 1 cm 1.400 cm 2 cm 42 m 6 cm 350 cm 0,5 cm 35 m 5 cm 49 m 7 cm28 m 4 cm 56 m 8 cm21 m 3 cm

DesafíoDeberíatener32cuadraditosdebasey20dealto.

5) Tartas 1 2 3 4 8 6Harina (en g) 120 240 360 480 960 720

6)

Para conversar y responder juntos•Laconstantedeproporcionalidaddirectaes2,150y2,5,res-

pectivamente.

7) Sicoloca8alfajoresporcaja,llenará18cajas;sicoloca6,llenará24;sicoloca12,llenará12;ysicoloca18,llenará8.

8) a)

Trozos de hilo 16 32 48 4 2 12 24Longitud (en m) 3 1,5 1 12 24 4 2

b)Velocidad (km/h) 80 40 160 20 32Duración del viaje (h) 4 8 2 16 10

Para conversar y responder juntos•La constantedeproporcionalidad inversa es 48 y 320, res-

pectivamente.

9) a) Proporcionalidad inversa. Cuanto mayor sea la cantidad de pintores, menor será el tiempo que tardarán en pintar la casa (siempre y cuando la cantidad les permita trabajar con comodidad). b) Proporcionalidad directa. Cuantos más m2 ocupe la casa, mayor será el precio de venta. c) Propor-cionalidad directa. Cuanto mayor sea el peso de la caja, mayor será el costo de envío. d) Nohayproporcionalidad.El peso de una persona no mantiene relación de propor-cionalidad con su estatura. e) Nohayproporcionalidad.Nose puede establecer una relación entre las horas dedicadas

7 m __ 1cm 7m ___ 1cm28m_ x=4cm 21m___ x=3cm

4 cm

3 cm

7 m __ 1cm 7m ___ 1cm14m_ x=2cm 3,5m__ x=0,5cm

2 cm0,5 cm

Cinta (en m) Precio (en $)1 22 43 66 129 18

18 3636 72

Libros Páginas1 1502 3003 4504 6009 1.350

10 1.50020 3.000

Alfajores Precio (en $)1 2,52 53 7,56 159 22,5

20 50200 500

36) a) 2.345:1,5,7,35,67,335,469,2.345. b) 826:1,2,7,14,59,118,413,826. c) 232:1,2,4,8,29,58,116,232. d) 470:1,2,5,10,47,94,235. e) 2.400:1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,16,20,24,25,30,32,40,48,50,60,75,80,96,100,120,150,200,240,300,400,480,600,800,1.200,2.400.

37) Puedetener335o395bolitas.

38) Cadabandeja tendrá4alfajoresdedulcede leche,2dedulcedemembrilloy1dedulcedepera.Entotalhabrá30bandejascon7alfajorescadauna.Larespuestaesúnica.

39) Nicopuedetenerunmínimode35figuritas.Elnúmerodefiguritas que puede tener es un número que tiene en la cifra delasunidadesun5,queademásnoesmúltiplode3.

40) Tiene1.656adornos.

41) a) No.3×3×13=117. b) Sí. c) Sí. d) No.3×5×5×9=675.

42) a) DCM:4,MCM:13.392. b) DCM:24,MCM:144. c) DCM:1,MCM:50.400. d) DCM:6,MCM:720.

43) 6.300esmúltiplode2,4,5,7,9,25y30.

44) Sonsusdivisores:12,105y14.

45) Tresmúltiploscomunes:1.260,2.520y3.780.Losdivisorescomunesson:1,2,3,5,6,9,10,15,18,30.18noesmúlti-plodemy21esdivisorden.

46) a) 1cmy2/10cm. b) 3cmy5/10cm. c) 5cmy8/10cm.d) 9cmy2/10cm.

47) • 8cm=8/100m=0,08m=80mm.• 8km=80.000/10m=8.000m=80hm.• 8m=80/10m=0,008km=8.000mm.• 8mm=8/1.000m=0,008m=0,8cm.• 8hm=8.000/10m=800m=80.000cm.• 8dm=8/10m=0,8m=80cm.

48) a) 12kl=120hl=1.200dal=12.000l. b) 76l=760dl=7.600cl=76.000ml. c) 0,432kg=4,32hg=43,2dag=432g. d) 0,102g=1,02dg=10,2cg=102mg.

49) 50bolsas.

50) Unkiwipesa200g.

Capítulo 5

Para conversar y responder juntos•La escala se representa por medio de una constante. Porejemplo,100cmenlarealidadequivalena4cmeneldibu-jo;laescalaes4/100=1/25.1/25eslaconstantedepropor-cionalidad que hay que tener en cuenta cuando se tiene el dibujo en escala y hay que calcular el tamaño real.

1) a) 1.470m2. b) 0,49m2. c) Para la pregunta a se multiplica 6(basedelrectángulo)×7(valordelaescala)y5(ladodelrectángulo)×7(valordelaescala).Luego,semultiplicanambos resultados entre sí y se obtiene la respuesta. Para la pregunta b semultiplica 0,1 (lado del cuadrado)× 7(valor de la escala). El resultado se multiplica por el mismo número y se obtiene la respuesta.

35Los conocedores

18) a) 16. b) 72.

Para conversar y responder juntos•Micaelapensóquesi3velasocupaban1caja, simultiplicapor5lacantidaddevelas,deberámultiplicarpor5lacanti-daddecajas.Para30velaspensódelmismomodo.Enelcasode45velas,sumólascantidadesdecajasquelecorrespondena15velasya30velas.Delmismomodopensópara48velas.En el inciso bteníaeldatodeque24velasocuparon4cajas,entoncesdeterminólacantidaddevelasquetiene1caja.Fi-nalmentecalculópara12cajascuántasvelasnecesitaría.

Desafío4minutos.8minutos.

19)

Recorrido (en km) 100 200 350 720 1.000Nafta consumida (en l) 10 20 35 72 100

20)

Para conversar y responder juntos•Noesposibleconstruirotropolígonoporque,considerando

las diagonales, se forman 3 triángulos y para cada uno se dan las medidas de los tres lados.

21) Nosepuedeconstruirelpentágono.

Para conversar y responder juntos•Nosepuedeconstruirelpentágono,porqueconlosdatosda-

dos no es posible construir los tres triángulos, en un caso 3 cm +5cm=8cmyenelotro9cmesmayorque3cm+5cm.

22)

Para conversar y responder juntos•Sepuedeconstruirunpolígonodiferente,porquedependerá

de la amplitud que considere para los ángulos interiores.

Para conversar y responder juntos•Sepuedeaplicarlapropiedadtriangular.EnABC:AB<BC+AC.EnACD:AC<CD+AD.EnADE:AD<DE+AE.AB+AC+AD<BC+AC+CD+AD+DE+AE.Entonces,AB<BC+CD+DE+AE.

23) a) Sí,porquelamedidadecadaladoesmenorquelasumade las medidas del resto de los lados. b) No,porque98cmno es menor que la suma de las medidas del resto de los lados. c) No,porque100cmnoesmenorquelasumadelas medidas del resto de los lados.

B

C

D

E6 cm

5 cm

4 cm

4 cm

3 cm

3 cm

2 cm

A

4 cm 2,5

cm

3 cm

5 cm

6 cm

A

B

C

D

E

a estudiar y las dedicadas a descansar, ya que dependerá de las necesidades de la persona. f) Proporcionalidad di-recta. Cuanto mayor sea la cantidad de páginas de un libro, mayor será el tiempo que se tarde en leerlo. g) Proporcio-nalidad inversa. Cuanto mayor sea la cantidad de canillas, menor será el tiempo que tarde en llenarse una pileta de natación. h) Proporcionalidad inversa. Cuanto mayor sea la cantidad de días que nos quedamos de vacaciones, me-nor será el dinero que tengamos disponible por día.

10) a) Lascantidadesnosonproporcionales.

Precio del pantalón (en $) Precio de la remera (en $)50 7065 55

75,84 44,1689,90 30,10

b) Lascantidadessonproporcionales.Serelacionanenfor-ma directa.

Café (en kg) Precio (en $)1 142 283 425 70

c) Lascantidadessonproporcionales.Serelacionanenfor-ma inversa.

Personas que viajan Precio por persona (en $)1 6004 150

10 6020 30

d) Lascantidadesnosonproporcionales.Edad de Soledad Edad de Lola

14 1718 2128 3131 34

11) Base 1 cm 2 cm 3 cm 4 cm 5 cm 6 cmAltura 120 cm 60 cm 40 cm 30 cm 24 cm 20 cm

Hay una relación de proporcionalidad inversa entre las medidasdelabaseylaaltura.Área=base×altura.

12) Diegofuemásrápido. 13) virginia habría tardado 1 h. Para llegar en 4 h debería

haberconducidoa20km/h.

14) a) 0,8. b) 9. c) 18. d) 3,2.

15) Ochocajasdelechecuestan$33,60(hay2gratis).

16)

Capacidad (en kg) 1 1,5 2 6 9Frascos 18 12 9 3 2

17) a) 17. b) 52.

36 Los conocedores

38) a) Nohayproporcionalidad,porquelaalturaylaedadnoaumentan en forma proporcional. b) Hay proporcionali-dad directa, porque la escala representa una constante de proporcionalidad. c) Hay proporcionalidad directa, ya que cuanta mayor cantidad compro, mayor será el monto que debo pagar. d) Nohayproporcionalidad,porquelacanti-dad se determina a partir de la resta de dos cantidades.e) Nohayproporcionalidad,porquenopodemos“amon-tonar” los obreros para poder terminar la obra. f) Hay pro-porcionalidad inversa, porque al aumentar la velocidad disminuye proporcionalmente el tiempo empleado.

39) a) Proporcionalidadinversa.Constante:18. b) Nohaypro-porcionalidad. c) Nohayproporcionalidad. d) Proporcio-nalidaddirecta.Constante:2,5.

40) a) 198gramos. b) $72.

41) a) 10bizcochuelos. b) 60bizcochuelos. c) 20bizcochuelos.

42) Soloconelconjuntoa.

43) 6 cm.

44) Elquintoladomide14cm.


46) Perímetrodeuntrapecioisósceles:BM+Bm+2×l. Perímetrodeunromboide:2×l

1+2×l

2.

Capítulo 6

Para conversar y responder juntos•Lasdosrespuestassoncorrectas,yaqueambasescriturasson

equivalentes.

1) •60/7=84/7.•101/12=85/12.•243/15=163/15.

2) •Serepartieron60alfajoresentre7personas.Cadaunorecibió 8 alfajores y 4/7 de alfajor. • Se repartieron 101alfajoresentre12personas.Cadauno recibió8alfajoresy5/12dealfajor.•Se repartieron243alfajoresentre15personas.Cadaunorecibió16alfajoresy3/15dealfajor.

3) •7/4=13/4.•3=1/2×6.•1=5×1/5.•Nohayningúnnúmeronaturalquemultiplicadopor5tengacomoresul-tado1.Sí,lafracción1/5.

4) En la c.

5) Por ejemplo: a) Tengo26chocolatespararepartirentre10chicos.Sitodosrecibiránlamismacantidad,¿cuántoreci-birá cada uno? b) Tengo23tartaspararepartirentre9fa-milias.Sicadafamiliarecibirálamismacantidad,¿cuántastartas recibirá cada una? c) Tengo 3 alfajores para repartir entre5chicos.Sitodosrecibiránlamismacantidad,¿quécantidad de alfajor recibirá cada chico?

Desafío20:50,200:500,4:10,40:100y6:15.

14 cm

4 cm7 cm

24) Elladorestantepuedemedir34cmo10cm,porquesoloen estos casos la medida de cada lado es menor que la suma de las medidas del resto de los lados.

25) a) 10,9cmaproximadamente. b) 12,2cmaproximadamente. c) 12cm.

Para conversar y responder juntos•Para encontrar el perímetro de cada polígono sumamos las

medidas de todos sus lados.

26) 21cm.

27) 20cm.

28) 5,6cm.

29) a) P=2cm×6=12cm. b) P=2cm×2+1cm×8+1,5cm×2=15cm. c) P=2cm×4+1cm×4=12cm.

30) a) 9 cm. b) 6,75cm. c) 4,5cm. d) 3,375cm.

Para conversar juntos•En cada caso el resultado del segundo representa la mitad

del primero.

31) a) Lacocinamide3,60mdelargoy2,70deancho.b)

32) Laescalaqueseusóes1/4.000(1cm=40m).

33)

34) a)

b)

35) a) Lasseriessondirectamenteproporcionales,yaquehayunaconstantedeproporcionalidadentreellas:0,8. b) Lasseries no son proporcionales, ya que no existe una cons-tante de proporcionalidad.

36) a) 1/10.000.000. b) 8,2cm. c) 280km.

37) Tardará20minutos.

5 cm

3 cm

Ramos Flores1 96 547 63

12 108

Vidrieras Globos2 723 1084 144

10 360

a) b)

Bolsas de caramelos 6 1 8 14 20Caramelos 120 20 160 280 400

: 6

: 6

× 8

× 8

+ 6

+ 120

+ 6

+ 120

Cajas de alfajores 8 2 20 5 25Alfajores 96 24 240 60 300

: 4

× 4

× 10

× 10

: 4

: 4

× 5

× 5

37Los conocedores

Para conversar y responder juntos•Todos sacaron muy bien porque trabajaron con escrituras equivalentes.Ladiferenciamásimportanteestáenlasfrac-ciones equivalentes que utilizaron.

•1–3/8=8/8–3/8=5/8.

16) a)31/9=34/9. b) 5/2=21/2.

17) jazmínsellevó14hebillitas.

18) javierconvirtió16goles.

19) Porejemplo,paralacompra1:Nueces:1/2kg+1/2kg+3/4kg.Almendras:3/4kg+3/4kg+1/4k+1/4kg+1/4kg.Castañas:3/4kg+1/4kg+1/2kg.Paralacompra2:Nue-ces:3/4kg+3/4kg+1/4kg.Almendras:3/4kg+1/4kg+1/4kg+1/2kg+1/2kg.Castañas:1/2kg+1/2kg+1/2kg.

Para conversar juntos•Seguramentelasestrategiasquesecompartiránsereferirána

las diferentes maneras de “armar y desarmar” fracciones para obtener las cantidades buscadas. Trabajando con fracciones usuales la intención es que se busquen escrituras equivalen-tes para pensar ciertos resultados.

20) a) 36 cuadraditos. b) 24 cuadraditos. c) 24 cuadraditos.d) 16 cuadraditos. e) 35 cuadraditos. f) 24 cuadraditos.g) 6 cuadraditos. h) 22cuadraditos. i) 28cuadraditos.

21) •Siconsideramos2cuadraditoscomounidaddemedida: a) 18. b) 12. c) 12. d) 8. e) 17,5. f) 12. g) 3. h) 11. i) 14.•Siconsideramos8cuadraditoscomounidaddemedida: a) 4,5. b) 3. c) 3. d) 2. e) 4,375. f) 3. g) 0,75. h) 2,75. i) 3,5.•Siconsideramos1cm2 como unidad de medida:a) 9. b) 6. c) 6. d) 4. e) 8,75. f) 6. g) 1,5. h) 5,5. i) 7.

Para conversar y responder juntos•A medida que aumenta el tamaño de la unidad de medida,

disminuye el valor del área: utilizo más cuadraditos para la unidad de medida.

22) 36 cm2=0,0036m2=3.600mm2.

23) 24unidadesy96unidades,respectivamente.

Para conversar juntos•1m2equivalea100dm2.

24)

Rectángulo Longitud de l1 Longitud de l2 Áreaa 3 2 6b 3 4 12c 2 5 10d 4 4 16e 3 3 9

Para conversar y responder juntos•La formapara determinar el área deunparalelogramo se

presenta en uno de los recuadros teóricos de la página si-guiente. Para determinar el área del triángulo, podemos considerarunrectángulo.Lostriángulosquequedandeter-minados luego de trazar una de las diagonales son congruen-tes. Por lo tanto, el área del triángulo será la del rectángulo divididapor2,esdecir,b×a/2.

•Siparacadaunodelosrectángulosdibujadostrazamosunadelasdiagonales,lasuperficiedecadaunodelostriángulosque quedan determinados mide la mitad de lo que mide la

Para conversar y responder juntos•Alanenalediríaqueserefierealadistanciaentrelasunida-des,porejemplo,entre0y1,entre1y2,entre2y3,etc.Alnene, que lo importante es conservar la unidad de medida encada recta. Si sondiferentes,puedevariar launidaddemedida.

6)a)

b)

c)

7)

Para conversar y responder juntos•Porejemplo,1/3=2/6o1/2=3/6.

8) a)Relacióndirectamenteproporcional.Laconstantees5/3. b) Nosonmagnitudesdirectamenteproporcionales.

c) Relacióndirectamenteproporcional.Laconstantees5.

9) a)0,06kg. b) 0,08kg. c) 14tazas.

10) a)$3.500. b) 750kg. c) $ 4,7 aproximadamente.

11) a)10jarrasdeaguacaliente. b) 15jarrasdeaguacaliente. c) 7 jarras de agua fría.

12) Tardará3hy20minutos.

13) Senecesitanaproximadamente334gdechocolate,10cu-charadasdeazúcar,7yemasdehuevoy17nueces.Salvoen el caso del azúcar, en el resto no se pudo determinar la cantidad exacta, porque las cantidades no son múltiplos de 6 y, además, representan expresiones decimales periódicas.

14) Es más intenso en la segunda jarra.

15) Los lados del cuadrado pequeñomedirán 5 cm; los delcuadradogrande10cm,y ladiagonaldelcuadradomásgrande14,14cmaproximadamente.Laconstantedeam-pliaciónes5/2.

Para conversar y responder juntos•Laconstantedeproporcionalidadencadacasoes,enlaac-tividad9,0,02kgportaza;enla10,$4,7elkgdenaranjas;enla11,2,5jarrasdeaguacalienteporcadajarradeaguafría;enla12,0,8minutosporcadakilómetrorecorrido;enla13,200/6gporpersona,1cucharadadeazúcarporpersona,4/6deyemasporpersonay10/6denuecesporpersona;enla14,1vasodejugodelimóncada2deaguaparalaprimerajarray1vasodejugodelimóncada1deaguaenlasegunda;enla15,5/2.

0 1 21/4 4/8 7/4

16/4

4/4 16/8

0 5/51/5 2/5 4/5

7/10

2/10

1/10

0 2/61/6 3/6 12/6

2/12 1/3 4/3

0 1/31/6 1/2 2/3 5/6 1

38 Los conocedores

Capítulo 7

1) a) Entra 4 veces. b) Entra 6 veces.

2) Medía10cm.

3) a) 36 cm. b) Seríamáscortaqueenelcasoanterior.Sire-presentara1/9seríamáslarga,yaquecuantomenorsealafracción, mayor será la distancia para completar el entero.

4) Lasunidadesmiden: a) 6 cm. b) 8cm. c) 4 cm.

5) Unsegmentode2cm. 6) Unsegmentode1cm. Para conversar y responder juntos•Por ejemplo, si consideramos la actividad 4:

a) Divido en 8 partes iguales el segmento y determino “lalongitud”de1/8.b) Dividoen8partesigualeselsegmentoydetermino“lalongitud”de1/6.c) Dividoen9partesigualeselsegmento(21/4=9×1/4)ydeterminolalongitudde1/4.

DesafíoLadistanciaentre0y7/8es7cm.

7) Loquediceelchicoescierto:1/6esmenorque1/5.Cuantomayor sea el denominador, la unidad estará dividida en mayor cantidad de partes y, si se trata de una misma uni-dad, estas partes serán más pequeñas.

8) a) 6/7. b) 17/9. c) 2/3. d) 23/3.

Para conversar y responder juntos•Comparo17/9y19/10.En17/9falta1/9parallegara2,en19/10falta1/10parallegara2.Entoncesfaltamenosparallegara2con19/10,loquesignificaqueesmayor19/10.Enelcasode23/2y23/3,esmayorlaprimerafracciónporqueelnumerador,que es el mismo para ambas, está dividido en menos partes.

9) Alma tejiómás ya que completómás de lamitad (5/8),mientrasqueAmandatodavíanollegóalamitad(4/10).

10) joaquínpegómásstickersqueRomina.

Para conversar juntos•En la 9) se compara con la mitad, es decir, quién tejió más o menosdelamitad.Enla10)secomparaloquefaltapegar:4/7y4/9.Entonces,lefaltapegarmásalquetiene3/7.

11) Ambas situaciones son de proporcionalidad directa por-que,gráficamente,lasrectaspasanporelpar(0,0).

Constante de proporcionalidad: a) 2.b)1,2.

12) El gráfico b se ajusta a la situación planteada ya que los segmentosnocomienzanapartirdel0, sinodel6;ade-más,los“saltos”queseobservanocurrencada1km.

13) El auto tardaría 6,4 horas.

14) No,noexisteproporcionalidaddirecta,porquedichascan-tidades no aumentan proporcionalmente.

15) Elladomáslargomedirá24cm.

16) Pagará$13,5por3kgdeharinay$6,75por11/2kg.

superficiedelrectángulo:3,4,5,6,5,y8,respectivamente.

25) Aproximadamente8cm2.

26) Laalturamide12cm.

27) a)17. b) Entre5tortas. c) Usó32/5frascos.

28) 5/8.

29) Por8.

30) Por1/7ypor2/7,respectivamente.

31) 1/3.

32) En la c.

33) a)

b)

34)

35) a)11/8=13/8. b) 2.

36) a)6/8=3/4. b) 5/4.

37) a)23/4=2/4+2/4+2/4+2/4+3/4. b) 11/4=3/4+1/4+1/4. c) 11/2=2/4+2/4+2/4.

38) $ 3.

39) Para9personas:13,5cucharadas. Para 4 personas: 6 cucharadas.

40) 7 libros.

41) Sonnecesarios375kgdecemento.Paraelpiso,necesito187,5kgdecementoy562,5kgdearena.

42) El jugo estará menos concentrado.

43) Hay 80 libros de cuentos.No es posible, porque tendríaquehaber85,71librosdecuentos,locualesimposible.

44) a)8cm2. b) 7,5cm2. c) 4 cm2.

45) 22cm2.

46) 10,5625m2.

47) 4,3681m2.

48) 26,25m2.

49) 17,9776cm2.

50) Laalturaesde15mm.

3 4 5

15/5 11/3 9/2 20/4 21/4

0 1/31/61/9 2/3

4/6

0 1/4 3/8 5/8 6/81/21/8

39Los conocedores

28) Porejemplo,unrectángulode3,4cm×1,5cm.

Para conversar y responder juntos•Sepresentaenunodelosrecuadrosteóricosdelapágina.

Para conversar y responder juntos•Porque a partir de la partición que se hace del rectángulo que-dan8rectánguloscongruentes,yelromboestáformadopor4.

•Lafórmulaparaelcuadradoes:D×D/2.Lafórmulaparaelromboidees:D

M×D

m/2.

29)

Gráficamente se observa que queda conformado un parale-logramo.Eláreadeunparalelogramoes (B

1+B

2)×A,pero

como el área buscada es la del trapecio dividimos la fórmula anteriorpor2.

30) a) 8 cm2. b) 4,5 cm2. c) 9 cm2. d) 8 cm2. e) 7,5 cm2.f) 4 cm2.

31) Lossegmentosmiden: a) 4,5cm. b) 7,5cm. c) 1cm. d) 6,75cm. e) 1cm.

32) LacintaquetienequecomprarMarinamide40cm.

33) Es un segmento de 6 cm.

34) Lacañaenteramedía,aproximadamente,1,33m.

35) Losgráficossediferencianenque,enelprimero,comolasvariables son continuas, la traza es continua; en cambio, en el segundo, como la cantidad de entradas es una varia-ble discreta, la traza es un conjunto finito de puntos.

a) b)

B2E F

K J

A

B1

B2B1

0

10

20

30

40

50

60

70

80

Tiem

po (m

in)

Distancia (km)

1 2 3 4 x

y

Distancia (km) Tiempo (min)1 202 404 80

0

200

400

600

800

1.000

1.200

1.400

1.600

1.800

Cost

o ($

)

Entradas

2 4 6 8 10 12 x

y

Entradas Costo ($)4 600

12 1.800

Para conversar y responder juntos•Enel15,laconstantedeproporcionalidades2;enel16,4,5.•Enelcasodelaproporcionalidadinversa,elgráficonoesuna

recta porque dos magnitudes son inversamente proporciona-les si, al aumentar una, la otra disminuye en la misma propor-ción, o a la inversa, es decir, cuando el producto entre las can-tidadesquesecorrespondenessiempreelmismo:y××=k.Elgráficoquerepresentaunarelacióninversamentepropor-cional es una curva que se conoce con el nombre de hipérbola.

17) Gerardocomió1/6delchocolate.

Para conversar y responder juntos•1/3de1/2dechocolaterepresenta1/6dechocolate.

18) a) 1/3. b) 1/10. c) 3/10.

Para conversar y responder juntos•Para encontrar el resultado de una multiplicación se puede

hacer el producto de los numeradores y dividirlo por el pro-ducto de los denominadores.

19) a) 8/9. b) 9/10. c) 7/10.

Para conversar y responder juntos•Aunque en este caso tengamos fracciones mayores que la

unidad en el producto, la regularidad anterior se mantiene.

20) a) 1. b) 1. c) 1.

Para conversar y responder juntos•1/2y7,respectivamente.

21) Todas las superficies sombreadas son equivalentes. Esto se debe a que los 3 rectángulos están divididos en cuatro partes equivalentes entre sí; por lo tanto, las partes som-breadasenlosrectángulos(1/4)tienenigualárea.

22) Lasuperficierojatieneigualáreaquelablanca.

23) a) Lasuperficiesombreadamidelamitaddeláreadelrec-tángulo. b) Lasuperficiesombreadarepresenta1/4de lasuperficie del rectángulo.

24) Por ejemplo,

25)

26) Porejemplo,un rectángulode4 cm×3,6 cmyotrode2cm×7,2cm.

27) Porejemplo,unrectángulode1,5cm×1,7cmaproxima-damente.

2 cm

1 cm

3 cm

40 Los conocedores

Capítulo 8

1) 8/10.000.

2) a) 9/100; 9/1.000; 9/10.000. b) 5/10; 7/100; 2/10.000.c)2/10;1/1.000;8/10.000. d)7/100;1/1.000;5/10.000.

3) a)0,597. b)0,1046. c)0,0238. d)0,3502.

4) Porejemplo:0,9052=9/10;5/1.000;2/10.000.

5) a)

b)

6)

7) a)

b)

Para conversar y responder juntos•Unaformadeubicarlosnúmerosenlarectanuméricaesde-

terminar qué fracción representa la parte decimal del entero, por ejemplo: décimos, centésimos, etc.

•Para cualquier número decimal siempre existe otro decimal siguiente. El conjunto de los números reales es denso.

8) a)106y107. b)0y1. c)10y11. d)1y2.

9) a)0y1. b)9y10. c)9y10. d)9y10.

10) Elnúmeromáscercanoa0,3es0,299.Unamaneradepen-sarloesrestandolosdiferentesnúmerosa0,3yaquelquedé como resultado la menor diferencia es el más cercano.

11) 7,1874-7,350-8,108-8,18-8,9.

12)

13)

Fracción 18/100 45/100 43/100 66/100 9/100 40/100 20/100 7/100 1/100 100/100Decimal 0,18 0,45 0,43 0,66 0,09 0,4 0,2 0,07 0,01 1Porcentaje 18% 45% 43% 66% 9% 40% 20% 7% 1% 100%

14) El40%de340es136.

15) Enlaescuelahay270mujeres.

16) Iriscobrará$1.260.

0 10,25 1,75 2,1

8,2 8,38,25 8,29 8,32

19 19,2 19,3 19,6 20 20,119,919,519,1

25,6 25,7 25,7525,6425,5

25,61

17 17,05 17,116,5 16,55

16,5316,551

16,6 16,7 16,8 16,9

36) a) b)

37) Si compraunabolsade 10 kg, el alimento ledurará 30días.Sicompralade15kg,ledurará45días.

38) a) Sí.b)No.c)Sí.

39) Lasmedidasdelosladosdelosalmohadonespuedenserlas siguientes:

Par de lados 1(en cm) 1 2 3 4 5 6 10 12 15 20 24

Par de lados 2(en cm) 600 300 200 150 120 100 60 50 40 30 25

40) a) 8/3. b) 5/9. c) 7/20.

41)

42)

43) Elotrofactores10/3.

44) Lasáreasdelosdostriángulossombreadossonigualesporqueambos representan la mitad de la superficie del rectángulo.

45) Untrapeciode2cmdebasemenor,3cmdebasemayory5cmdealtura.Unromboidede5cmdealturay2,5cmdebase.

46) Unrectángulode4cm×3,125cm.

47) Eláreadeltrapecioes14cm2.

48) Eláreadelromboes10,4cm2.

49) Convaloresenteroshaytresposibilidades:DM=6cmyDm=5cm;DM=10cmyDm=3cm;yDM=15yDm=2.

50) Untrapeciode2,25cmdebasemenor,3cmdebasema-yory2cmdealtura.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

Vaso

s de

lech

e ch

ocol

atad

a

Personas

5 10 15 20 x

y

PersonasVasos de leche

chocolatada5 108 16

120 24020 40

0

Tiem

po (m

in)

Distancia (km)

2 4 6 8 10 12 14 16 x

y

5

10

15

20

25

30

35

40

45

Distancia (en km) Tiempo (en minutos)4 126 1860 18015 45

41Los conocedores

29) El lugar geométrico de los puntos que equidistan de dos rectas paralelas es la paralela media de esta.

Para conversar y responder juntos•Para poder intersectar las circunferencias. Entre el punto de

intersección y el punto A, y el punto de intersección y el pun-toBhaylamismadistancia:elradiodelascircunferencias,que son congruentes.

30) Por ejemplo:

Para conversar y responder juntos•Con A como centro y con un

radio conveniente se cons-truye un arco que corte a los lados del ángulo A en ByC.ConByCcomocen-tros y con el radio anterior se construyen arcos que se cortaránenD.SetrazaAD.Entonces,ADeslabisectrizbuscada.Claramente,1y2son congruentes porque los triángulosABDyACDsoncongruentes.

31) a)Lainterseccióndelasbisectricesdedosdelosángulos. b)Lainterseccióndelasmediatricesdedosdeloslados.c)Lospuntosquecumplenconlacondiciónquedanfueradel triángulo.

32)

DesafíoEl lugar geométrico es una circun-ferencia exterior a la dada y con-céntrica con ella.

33)

34)

35)

36) Dibujáuna semicorona circular. Las circunferencias con-céntricastendránunradiode2,5cmyde1,5cm,respecti-vamente.

A

B

1

2

C

D

BA

DC

BA

DC

E

F

BA

DC

b) y c) El segmento EF.a) d)

P

5 cm

3 cm

5 cm

6 cm

4 cm

17) Cecilia pagó $ 64.

18) Ganaun40%.

19) Losporcentajes (aproximados)son:carbohidratos,71%;proteínas,7%;grasastotales,18%;sodio,0,31%.

20) a)208. b)19. c)75. d)200. e)202; f)1.203.

21) a)4,2. b)4,1. c)37,1. d) 37,3. e)114,7. f)114,1.

22) a)8,13. b)8,12. c)86,02. d)86,99. e)225,06. f)225,79.

23) a)1,121. b)1,358. c)59,007. d)59,01. e)548,123. f)548,038.

Para conversar y responder juntos•Losnúmerossepodríanredondeardelasiguientemanera:24,100y17,respectivamente.

24) Mayor que 1.000: 800,85 + 199,91; 1.200,75 – 199,99;2.010,18–998,88.

Menorque1.000:599,99+399,99;555,25+400,72.

25)

Cálculo Mentalmente Escribiendo la cuenta 17,8 + 0,1 17,9198,2908 + 505,7204 704,011234,5 – 0,5 34184,293 + 1,1 185,393873,50 – 46,753 826,747275,21 – 0,20 275,011.000,34 – 356,074 644,266

Para conversar juntos•Unaestrategiaposible esque comparen,primero, laparte

entera y, luego, la parte decimal.

26) Laura puede vivir en cualquiera de lospuntos que conforman la circunferencia, ya que todos se encuentran a la misma distancia del centro.

27) Su casa puede quedar en cualquiera de los puntos quepertenecen a la mediatriz del segmento formado entre el punto donde se encuentra el teatro y el punto donde se encuentra el cine.

Para conversar y responder juntos

28) Enzo vive en la intersec-ción de las tres mediatri-ces del triángulo formado por los puntos dónde vi-venGraciela,CeciliaeInés.

100 m

Teatro

Cine

Graciela

CeciliaInés

Enzo

42 Los conocedores

Capítulo 9

1) a) 1vez. b) 10veces. c) 24veces. d) 11veces. e) 5veces. f) 7 veces. g) 6 veces. h) 100veces.

2) 76,82-77,02-78,12.

3) 5,341.

4)a)

En el visor de la calculadora al principio se ve…

El cálculo único es… Para que aparezca en el visor de la calcula-dora…

89,452 – 0,001 89,451 89,452 – 0,002 89,45 89,45 – 0,048 89,402 89,452 – 0,4 89,052 89,45 – 1,098 88,352 89,45 – 1,008 88,442 89,45 – 0,999 88,451 89,45 – 1,108 88,342 89,45 – 1,109 88,341 89,45 – 11,109 78,341

b)

En el visor de la calculadora al principio se ve…

El cálculo único es…Para que aparezca en el visor de la calcula-dora…

406,723 + 0,1 406,823 406,723 + 0,01 406,733 406,723 + 0,002 406,725 406,723 + 1 407,723 406,723 + 1,1 407,823 406,723 + 1,11 407,833 406,723 + 2,111 408,834

Para conversar y responder juntos•Es importante destacar que, para resolver un nuevo cálculo,

si observamos determinadas regularidades podemos apoyar-nos en alguno de los anteriores.

5) a) 0,586. b) 1,532. c) 0,66.

6) a) 2+0,3+0,02+0,004=2,3+0,02+0,004=2+0,32+0,004.b) 0,1+0,05+0,002=0,15+0,002=0,1+0,052.

7) 1:100veces0,01;1.000veces0,001;10veces0,1.10:100veces0,1;1.000veces0,01.100:1.000veces0,1.0,1:100veces0,001;1.000veces0,0001;10veces0,01.0,01:100veces0,0001;10veces0,001.

Para conversar y responder juntos•Todas las equivalencias se pueden resolver a partir de una multiplicación.Porejemplo:100veces0,01eslomismoquehacer100×0,01=100×1/100=1.Para1:100×0,01=100×1/100=1.000×1/1.000=10×1/10=1.

8) a) 0,02. b) 0,4. c) 1,2. d) 0,403. e) 6,7. f) 0,11. g) 0,009.h) 0,004. i) 0,09. j) 7,22.

9) a) 1centésimo. b) 1milésimo. c) 10milésimos. d) 100mi-lésimos.

Para conversar y responder juntos•Parapasarde17,8a17,9podemossumar10veces0,01;osumar20veces0,005.Parapasarde1,234a1,2343pode-mossumar5veces0,00005y2veces0,000025.

37) a)0,291. b)0,3085. c)0,0674. d)0,9107.

38) a)1/10+5/100+2/1.000+4/10.000. b)7/10+9/1.000+2/10.000.c)3/10+8/1.000+8/10.000.

39) 3,0025-3,0052-3,025-3,052-3,205-3,25.

40) Por ejemplo: a) 0,62; 0,65; 0,68. b) 0,881; 0,883; 0,889.c)0,7764;0,7766;0,7768.

41)

42)

43) a)5,1 b)5,8 c)42,8. d) 43. e)905,2. f)905,7.

44) a)3,91. b) 3,33. c)59,23. d)59,89. e)732,08. f)732,07.

45) Elpreciodecostodellibroera$70.

46) Elprecionovolvióasuvalororiginal,yaqueel20%delprecioinicialnoesigualal20%delpreciofinal;esteúltimoesmenor.Siprimeroaumentabayluegobajabatampocose hubiera vuelto al valor inicial, ya que los porcentajes se aplican sobre distintos precios.

47) Lehicieronundescuentodel24,3%,aproximadamente.

48) Antesdehacerelgasto,Federicotenía$756ahorrados.

49) Elporcentajerealdedescuentoesel25%.

50) Enefectivo,pagó$722,50poreltelevisor,$1.615porlacomputadora, y $ 272,65por la cafetera. En total, gastó$ 2.610,15. Esmás fácil sumar todos los precios y luegoaplicarleeldescuentodel15%.

51) Laescuelaseencuentraenlainterseccióndelamediatrizdel segmento formado por los puntos donde están ubica-das lacasadeLeilay lacasadeCarla,y lamediatrizdelsegmento formado por los puntos donde están ubicadas la casadeFrancoylacasadejulián.

52) a) El lugar geométrico de los puntos que equidistan de dos rectas que se cortan está formado por las bisectrices de los ángulos que determinan dichas rectas. b) El lugar geomé-trico de los puntos que equidistan de dos circunferencias concéntricas es otra circunferencia, concéntrica con las da-das, y cuyo radio es la semisuma de los de las dadas.

53) a) El punto E. b) El punto E. c) Es la intersección entre la circunferenciadecentroAyradio5cmylacircunferenciadecentroByradio2,5cm.Soloseconsideraelpuntointe-rior al cuadrado. d)Entotal,son2puntos,losobtenidosalintersectarselacircunferenciadecentroEyradio1,25cm,ylamediatrizdelsegmentoAB. e) En total, son 4 puntos los obtenidos al intersectarse la circunferencia de centro E yradio1,25cm.

54) a) AC. b) El punto de intersección de las dos diagonales.

6,75 7,5

6,9

8,176

64 64,1

64,2 64,3 64,9 65,2

64,5 64,6 65

43Los conocedores

recuadro teórico de la página. Además, la primera cuenta no da como resultado un número decimal, sino una expresión decimalperiódica.Noeslaintenciónabrirladiscusiónen6.ºgrado, pero sí saber que hay otros números que nos acercan cada vez más a “completar la recta numérica”.

Para conversar y responder juntos•El procedimiento de Agustina es adecuado porque un modo

de resolver esta cuenta es expresar cada uno de los decima-les como fracciones y realizar la división entre las fracciones resultantes.

•Es conveniente que las dos fracciones tengan el mismo de-nominador para utilizar lo que ya conocemos de división de fracciones.

16) 0,4.

Para conversar y responder juntos•En este caso, para transformar los números decimales hace-moslosiguiente:6,64=664/100;16,6=166/10=1.660/100(buscamos una fracción equivalente a la dada, de tal manera que tenga el mismo denominador que la otra).

17) Mayorque1:b y c.Menorque1:a y d.

18) a) 20. b) 7. c) 46. d) 131.

19)

Circunferencia Radio Diámetro Perímetro Perímetro/diámetro

1 3 6 18,8 3,1333…2 2 4 12,6 3,153 1,5 3 9,4 3,1333…4 1 2 6,3 3,155 0,5 1 3,1 3,16 2,5 5 16 3,2

Para conversar y responder juntos•Laregularidadeselresultadodelcocienteentreelperímetroyeldiámetro;losvaloressonpróximosalnúmero3,14.


Para conversar y responder juntos•Los chicos encontrarán lamisma regularidad que plantea-

mos anteriormente.

21) P=2×π×r=2×π×8,3=52,124cm,aproximadamente.

22) Posiblemente, los chicos presentarán como soluciones aproximadas:12cm2,18cm2,28cm2, respectivamente.

Para conversar y responder juntos•Seguramente,diránquecontaronloscuadraditosycompen-

saron los “incompletos” con otros también “incompletos”.

23) Eláreadeloscírculoses12,56cm2,19,625cm2y28,26cm2, respectivamente. Los valores son aproximados porque soloconsideramosdoscifrasdecimalesparaπ.

Para conversar y responder juntos•Losvaloresquesehallaroninicialmenteseaproximanalosdeterminadosusando la fórmula.Para justificar la fórmulapodría pensar que el círculo es un polígono de un núme-roinfinitodelados.Siconsiderolostriángulosdebasequecoincide con un lado del polígono y lados que coinciden con el radio, el área del triángulo sería aproximadamente: b×r/2(estamospensandoquelaalturacasicoincidecon

DesafíoCon una cifra decimal no hay ningún número, con dos cifras decimales hay 9, y con tres cifras decimales, hay 99.

10) a) 0,6. b) 1,2. c) 1,8. d) 5. e) 10. f) 15. g) 0,6. h) 0,6. i) 0,6.

Para conversar y responder juntos•En todos los casos puedo pensar que para resolver el cálculo

puedo no considerar la coma decimal, multiplicar los números enteros y luego ubicar en el resultado la coma. En la primera y en la segunda columna puedo hacer los dos primeros cálculos, y para obtener el resultado del tercero sumar los resultados de los mismos. En la tercera columna tengo tres escrituras equivalen-tesdel0,6:1/10×6=1×6/10=1/100×60.Enlosdiferentescálculos presentados bastaría con hacer uso del cálculo mental.

11) a) 120,85. b) 399,24 c) 547,12.

Para conversar y responder juntos•Para resolver estos cálculos no alcanza con el cálculo mental;

es necesario pensar en la multiplicación sin considerar la coma decimal, tal cual se aclara en el recuadro teórico de la página.

Para conversar y responder juntos•Los procedimientos se parecen enque en ambosmultipli-

camos los mismos números enteros y luego dividimos por 1.000,enelprimercasodesdeelproductodedosfraccionesdecimales,yenelsegundo,almultiplicarpor10ypor100transformamos los números decimales en enteros y luego necesitamosdividirpor1.000paravolveralcálculooriginal.

•El procedimiento de Elisa es adecuado porque hace lo si-guiente:12,25×8,6=12,25×100×8,6×10=1.225×86=12,25×8,6×1.000.Entonces,paravolveralresultadooriginalnecesitamosdividirpor1.000.

12) a) 2,76. b) 649,688. c) 0,02. d) 0,018.

13) a) 122,048. b) 9,4402. c) 24,619. d) 252,63.

14) a)0,1. b) 0,01. c) 0,001. d) 0,6. e) 0,3. f) 0,2. g) 1,4. h) 0,4.i) 0,2. j) 0,45. k) 0,045. i) 0,0045.

Para conversar y responder juntos•Primeracolumna:entodosloscasos,aldividirpor6o60,mequedael1comocifradecimal.Lacantidaddecifrasdecima-les dependerá de la cantidad que tenga el dividendo y de la cantidad de ceros que tenga el divisor.

•Segundacolumna:parahacerladivisiónpodemosobviarlacoma, y luego considerar en el resultado tantas cifras deci-males como tiene el dividendo.

•Tercera columna: sucede lo mismo que en el caso anterior.•Cuarta columna: el resultado se puede obtener considerando que, al dividir por una potencia de 10, el 45 seguirá apa-reciendo pero se deberá agregar tantos ceros después de la coma decimal en función de la cantidad de ceros que tiene lapotenciade10.

•La conclusión más importante que podemos obtener es:“Hago los cálculos pensando en enteros y después tengo en cuenta el lugar de la coma.” Teniendo en cuenta el tamaño de los números me apoyo en estrategias de cálculo mental.

15) a) 8,08333… b) 4,74. c) 29,55625.

Para conversar y responder juntos•En este caso no alcanzan las estrategias de cálculo mental.

Por eso puedo utilizar como estrategia la presentada en el

44 Los conocedores

Porejemplo:¿Cuántosalumnostiene5.º?¿quécursotienemás alumnos? ¿Cuántos alumnos hay entre 6.º y 7.º?

38) a) 87. b) 30. c) Lamodaen5.ºy6.ºesCola,yen7.º,Naran-ja. d) Limón. e) Considerando los tres grados, la gaseosa máselegidafueCola,ylamenoselegida,Limón. f) Limón,en5.ºy6.º;Pomelo,en5.ºy7.º.g)


40) Población: a, b y c. Muestra: d y e.

41) a) $ 9. b) $ 469. c) $31,875. d) 6 cuadernos.

42) a) 9. b) 30. c) 10. d) 36. e) 250. f) 750.

43) a) 7×0,01×0,5=7×0,005=0,035. b) 2×0,01×8×0,01=16×0,0001=0,0016. c) 9×0,001×2×0,01=18×0,00001=0,00018. d) 4×0,001×6×0,001=24×0,000001=0,000024.

44) a) 0,1. b) 0,2. c) 0,1. d) 0,25. e) 0,5. f) 0,5.

45) Labasemide5,5mylaaltura1,5m.

46) P=15,7aproximadamente.

47) Lamedidadelradioes3,82cm,aproximadamente,yladeldiámetro, 7,64 cm, aproximadamente.

48) Eláreadelrectánguloes20cm2. a) Noesposible. b) Cua-dradodelado5cm. c) Cuadrado de lado 3 cm. d) Rectán-gulode2cm×10cm. e) Rectángulode3cm×6,5cm. f) Noesposible. g) Rectángulode3cm×6cm. h) Noesposible.

5.º grado

Naranja

Cola

Limón

Pomelo

7.º grado

Naranja

Cola

Limón

Pomelo

6.º grado

Naranja

Cola

Limón

Pomelo

los lados, porque en realidad el concepto que se trabaja es el de apotema, que no se aborda en 6.º grado); pero cuando sumo las áreas de todos los triángulos, la suma de las dife-rentes bases coinciden con el perímetro de la circunferencia: P×r/2=2×π×r×r/2=π×r2, que es la fórmula que permite hallar el área del círculo.

24) Porejemplo,sepuedendibujarrectángulosde1cm×10cm,de2cm×9cm,yde3cm×8cm.

Para conversar y responder juntos•Losrectángulosquesepuedendibujarson5;lostresanterio-res,unode4cm×7cmyotrode5cm×6cm.

25) El áreade losdiferentes rectánguloses: 10 cm2, 18 cm2, 24cm2,28cm2y30cm2, respectivamente.

Para conversar y responder juntos•que el perímetro se mantenga constante no significa que

también se mantenga constante el área.

26) Sepuedendibujarlossiguientesrectángulos:de1cm×24cm,de2cm×12cm,yde3cm×8cm.

Para conversar y responder juntos•Sepuedendibujar4rectángulosdiferentes.Losanterioresyunode4cm×6cm.

27) El perímetro de los diferentes rectángulos es:P=2×1cm+2×24cm=50cmP=2×2cm+2×12cm=28cmP=2×3cm+2×8cm=22cmP=2×4cm+2×6cm=20cm

Para conversar y responder juntos•queeláreasemantengaconstantenosignificaquetambién

se mantenga constante el perímetro.

28) Losladosmiden60cmy120cm.

29) Losladosseránmayoresque60cmyque120cm.

Para conversar y responder juntos•Los lados y el perímetro aumentarán; por consiguiente, el

área también.

30) Segastarán$200.

31) Sepodríadibujarunrectángulode1cm×8cm.

32) 1.215,25.

33) 348,769.

34) 609,75y610,45.

35) 609,46;609,55y609,47.

36) a) 0,06. b) 0,2. c) 0,1. d) 7,9. e) 0,007. f) 0,6. g) 1,5. h) 0,002.

37)Curso Cantidad de alumnos

4.º 245.º 246.º 277.º 25

45Los conocedores

2) a) F. b) V. c) V. d) V. e) F. f) V. g) F.

Ficha 7

1) a) 517.033 = 51 × 10.000 + 70 × 100 + 3 × 10 + 3.b) 68.345=6×10.000+8×1.000+34×10+5.

2) a) 25×1.000.000+6×100.000+7×10.000+34×100+8×10 b) 2×10.000.000+5×1.000.000+6×100.000+7×10.000+34×100+8×10. c) 256×100.000+7×10.000+3×1.000+4×100+8×10.

3) Loscálculosb, c y e representanelnúmero2.903.745.

4) a) 3. b) 39. c) 397. d) 3.976. e) 39.762. f) 397.621.

Ficha 8

1) Marianopuedearmar24guardasdiferentes.

2) Enlacadenaderecetasparticipan27personas.

Ficha 9

1) Por ejemplo: a) 2×63×15×100. b) 81×7×1.000.

2) V: a, b, c, f, g, i;F:d, e, h.

Ficha 10

1) a) 3. b) 4. c) 5. d) 6. e) 7. f) 8.


Ficha 11

1) Soncóncavos:b, d g, h.Sonconvexos:a, c, e, f, i.Cantidad de diagonales: a) 5. b) 2. c) 2. d) 5. e) 2. f) 9. g) 9.h) 20. i) 20.

Ficha 12

1) Losángulosinterioresdelpolígonomiden120°,porque:(n–2)×180°=4×180°=720°y720°:6=120°.

2) Losotrosángulosmiden79°.

3) Lasumadelasmedidasdelosángulosinterioreses6.120°.

4) Susángulosinterioresmiden156°.

Ficha 13

Producción personal.

Ficha 14

1) Sí,porquetiene1.200baldosasytienequecolocar1.175.

TriánguloCuadrado

Guarda

G

Círculo

P GP GP

R Az Am V R Az Am V R Az Am V R Az Am V R Az Am V R Az Am V

Ficha 1

1)10.000 Diez mil100.000 Cien mil1.000.000 Un millón10.000.000 Diez millones100.000.000 Cien millones1.000.000.000 Mil millones10.000.000.000 Diez mil millones100.000.000.000 Cien mil millones1.000.000.000.000 Un billón

2) a) 17.328.000. b) 185.000. c) 9.200.0000.

3) 4.100.000 es equivalente a 4,1millones, ya que a 4mi-llones hay que sumarle la décima parte de un millón (100.000),loquedaporresultadoelnúmerodeseado.

Ficha 2

1) a) No,dependedeltamañodelnúmero.b) El 3. c) 853.

2) a) 2.597.308. b) 97.469. c) 7.506.800.Enestasactividadesestamos pensando en que a cada cantidad indicada se le sumalaotra.Sino,enelprimercaso,porejemplo,deberíadecir:25centenasdemil,yno5centenasdemil.

3) a) 6.531 b) 1.356.Enestecasoestamospensandoenqueusan las cifras sin repetirlas.

4) a) 8.888.310. b) 1.000.038.

Ficha 3

1) Lospadresjuntaron$3.825.En6.ºgradohay27chicos.

2) Lorenatiene$100yquierecomprarse2librosdiferentes.Losquelegustancuestan:$34,$48,$67,$54y$49.¿Cuáles puede comprarse?

Ficha 4

1) a) 34. b) 182,25. c) 34. d) 461.

2) 5×8+20–4=40+20–4;5×28–4=5×(8+20)–4;40+4:4=5×8+(20–16):4.

3) Porejemplo:2+4×5–1=21;(2+4)×(5–1)=24.

Ficha 5

1) 2)

Ficha 6

1) Paralelogramo ¿Cómo es la

medida de las diagonales?

¿Cómo se cortan las diagonales?

¿Las diagonales se cortan en el punto medio?

¿Cómo son los ángulos opuestos?

Rectángulo La misma En forma oblicua Sí Congruentes

Rombo Diferente Perpendicular-mente Sí Congruentes

Cuadrado La misma Perpendicular-mente Sí Congruentes

Paralelogramo propiamente dicho Diferente En forma

oblicua Sí Congruentes

7 cm

2 cm 8 cm

4 cm

6 cm70º

46 Los conocedores

Ficha 21

1) Loscocientesson6.885,2.106y8.840,respectivamente.

2) Seprendentodasjuntascada12segundos.

3) MCM(24,55,36)=23×32×5×11=3.960.

Ficha 22

1) Podráhacer54almohadones.Tendrán21cmdelado.

2) a) 50y b) 14.

Ficha 23

1) Lamagnitud.

2) Launidaddemedida.

3) a) Capacidad b) Longitud. c) Capacidad. d) Tiempo e) Masa (aunque en la escuela primaria hablamos de peso). f) Án-gulo. g) Capacidad. h) Temperatura. i) Tiempo. j) Longitud.

Ficha 24

1) a) 37.000 m. b) 1.500 cm. c) 12,3 m. d) 469.000 mm.e) 752,1cm. f) 1,325g. g) 12kg. h) 777.000mg. i) 89.000g.j) 0,95g. k) 80.200 l. l) 0,457 l. m) 0,37kl. n) 6.090ml.ñ) 86cl. o) 13,098m.

2) 4.970kg.

Ficha 25

1) Sedebedibujarunrectángulode3cm×4cm.

2) 32m,80my5cm,respectivamente.

Ficha 26

1) 3,6.000,8,10.800,12.000y18.000,respectivamente.

2) 70,50y35,respectivamente.

Ficha 27

1) a) 500,1.500,3.500,6.500y13.500,respectivamente. b) Laconstantedeproporcionalidades500gpormaceta.

2) a) 24,16,12y8,respectivamente. b) 240.

Ficha 28

1) a) $ 127,1 b) 325 c) Para hacer 7 budines se necesitan 1.400gdeazúcar;parahacer23,4.600g d) 350.

Ficha 29

1) Trazá un segmento de 2 cm; a continuación, uno de1cmqueformeconelanteriorunángulode120°;luego,unode2cmqueformeconelanteriorunángulode130°;luego,unode1cmqueformeconelanteriorunángulode134°;luegounode2cmqueformeconelanteriorunángulode116°.Uníelextremolibredelprimersegmentocon el extremo libre del último segmento.

2) Encadaflorerotienequecolocar5rosas.

3) El9,porqueelrestode999:11es9.

Ficha 15

1) 907=19×47+14.907:dividendo.19:divisor.47:cociente.14:resto.

2) a) 6. b) d:24yr:3. c) 555.

3) a) 170yr=11. b) 88yr=80. c) 99yr=7.

Ficha 16

1 y 2) a) Losángulosmiden25°y50°,porque90°–65°=25°y180°–65°–(25°+40°)=50°. b) Por ser rectángulo, to-dossusángulosinterioresmiden90°.Además,losángulosinteriores a cada uno de los triángulos determinados por lasdiagonalesmiden61°(90°–29°)y29°(90°–61°). c) El ángulo del vértice superior izquierdo del paralelogra-mo mide 63°, lo mismo que su opuesto (propiedad de los paralelogramos). El ángulo señalado del triángulo inferior mide47°(180°–63°–70°);elánguloseñaladoenelvér-tice inferior izquierdo del paralelogramo mide 47° porque (360°–2×63°) /2=47° (propiedadde lasumade lasmedidas de los ángulos interiores de un cuadrilátero y propiedad de los paralelogramos), y, finalmente, el ángulo señaladoquefaltaeneltriángulosuperiormide70°por-que180°–63°–47°=70°(propiedaddelasumadelasmedidas de los ángulos interiores de un triángulo).

Ficha 17

1) Ángulosexteriores:1,2,3.

2) F':98°,P':130°,L:48°yL':132°.

Ficha 18

1) a) Cadaánguloexteriormide72°porqueelpolígonoesregular.

b) Losángulosexterioresmiden,aproximadamente,50°,115°,55°,40°y100°,respectivamente.

Ficha 19

1) a) 1,2,4,8,16,32,64. b) 1,2,4,5,10,20,25,50,100.

2) 2,4,6y18(y,porsupuesto,1).

3) Porejemplo:2:48y96;3:27y63;6:36y126;9:81y387;4:100y92;5:25y65;10:20y60;25:100y150.

Ficha 20

1) Es útil porque permite partir el conjunto de los primeros 100númerosnaturalesenprimos,compuestosy1.

2) 248=2×2×2×31.

1

2

3

47Los conocedores

2) 34.500m2.

Ficha 36

1) 10cm2.

2) Laalturamide8cm.

3) Labasemide9cm.

Ficha 37

1) a) Lavarillaoriginalmedía8cm. b) Sifuera1/5delaori-ginal,estaseríamáslargaqueenelcasoanterior.Sifuera1/2delaoriginal,seríamáscorta.Cuantomáschicaeslafracción que considero, más larga es la varilla.

2) El segmento unidad medirá: a)5cm.b) 6,333. c)12,25.

3) El segmento unidad medirá 6 cm; entonces, un segmento querepresente1/5delsegmentounidadmedirá1,2cm.

Ficha 38

1) Sí,escierto,porqueaBrendalefalta1/4paraterminarlatareayaEzequiel,1/3;y1/4esmenorque1/3.

2) Mónicarecorriómás:2/6,queesequivalentea1/3.

Ficha 39

1) a) 2m,$40;3m,$60;4m,$80;5m,$100;10m,$200.b)

2) Tardaráenllegar,aproximadamente,131/2h.Siviajaraa120km/h,tardaría111/4h.

3) Tardaría9horasy50minutos,aproximadamente.

Ficha 40

1) Cortó2/15delavarilla.

2) Colocó3/16delasbaldosasqueteníaquecolocar.

3) Mónicausó5piedras.

Ficha 41

1) Unrectánguloequivalentemedirá2,5cm×1,5cm,aproxi-madamente.Unromboideequivalentepodríatenerunadiagonalmayorquemida3cmyunadiagonalmenorquemida2,5cm.

2) Sepodríadibujarcualquierparalelogramoquetengaunpardeladosparalelosquemidan2cmycuyaalturamida

0

Cost

o ($

)

Metros de tela

2 4 6 8 10 12 x

y

50

100

150

200

250

2) Construíun segmentode3,5cm; los ladoscontiguos,de-benmedir2,7cmy1,6cm,yformar,elprimero,unángulode65°conelprimersegmentodibujadoyelsegundo,unode71°.Unílosdosextremosquequedaronlibres,paraquequede determinada la figura.


Ficha 30

1) 39 cm.

2) 54cm.

3) 37,5cm.

4) 8cm.

5) 7,5cm.

Ficha 31

1) a) Serepartieron27galletitasentre4personas,ycadaunarecibió63/4galletitas. b) Serepartieron17galletitasentre2personas,ycadaunarecibió81/2galletitas.


Ficha 32

1)Vasos de jugo 4 2 1 1/2 1/2 4 1/2 5 12 1/2Vasos de agua 8 4 3 1 9 10 25

2) a) b)

Ficha 33

1) a) 26/6=41/3. b) 27/2=131/2. c) 31/4=73/4. d) 37/10=37/10. e) 11/7=14/7.

2) Usó14naranjas.

Ficha 34

1) Lamedidaes4y36,respectivamente.

2) 15.000m2.

3) a) 3.000.000m2. b) 1,5 hm2. c) 300mm2. d) 0,015 km2.e) 30.000m2. f) 1,5cm2.

Ficha 35

1) a) A=b×a=5cm×3cm=15cm2. b) A=b×a=3cm×2cm=6cm2.

Tazas de chocolate Tabletas de chocolate

4 4/3 = 1 1/33 11 1/310 10/3 = 3 1/314 14/3 = 4 2/322 22/3 = 7 1/3

Tazas de chocolate Leche (en l)

4 13 3/4 1 1/4

10 10/4 = 2 1/214 14/4 = 3 1/222 22/4 = 5 1/2

48 Los conocedores

lo mismo. En cuanto al trapecio, se podría dibujar uno que tengacomoaltura2cm,ybasesquemidan1cmy3cm,respectivamente.

Ficha 42

1) A=15,265cm2.

2) Sepuededibujarunrombocuyasdiagonalesmidan8cmy5cm,respectivamente.

3) A=15cm2.

Ficha 43

1) a)

b)

c)

Ficha 44

1) 1,009,porqueladiferenciaentre1,009y1eslamenor:0,009.

2) Por ejemplo: a) 1,1-1,3-1,7. b) 1,12-1,14-1,18. c) 1,111-1,117-1,119. d) 1,1111-1,1113-1,1118.

3) 52/1.000-5/10-0,52-53/100-cincoenterosdoscentési-mos-cincoenterosdosdécimos-5,3.

Ficha 45

1)

2) 36.

3) Hay90gdecacaoenlatableta.

4) Tendréquepagar40,5dólares.

Ficha 46

1) a) 1.201. b) 645. c) 78. d) 37.909.

2) Mayor que 500: 300,75 + 199,92; 251,25 + 249,72;2.350,54 – 1.469,03. Menor que 500: 299,99 + 199,99;292,98+189,88;801–375,03;1.200,75–917,36.

Ficha 47

1) 2)

5 6 6,56,34,9 5,1 5,25 5,75

3,4 3,5 3,63,55

3,41

37,337,2 37,2537,21

37,211

F

L

P

Ficha 48

1) 2)

Ficha 49

1) a) 15. b) 10. c) 5. d) 6. e) 2. f) 14. g) 7. h) 50. i) 50.

2) •1=10veces0,1.•0,001=10veces0,0001.•0,1=10veces0,01.

Ficha 50

1) 2)Gusto PersonasMenta 10Limón 30Dulce de leche 25Chocolate 35Tramontana 20Frutilla 25

Ficha 51

Cálculo Usando cálculo mental Usando cálculo algorítmico3,25 × 32 1040,04 × 15 0,640 × 0,16 6,47,82 × 24 187,68

Ficha 52

Cálculo Usando cálculo mental Usando cálculo algorítmico45,6 : 10 4,56346,5 : 12 28,87546,8 : 2 23,4

87,92 : 26 3,38 (considerando dos cifras decimales)

Ficha 53

1) Aproximadamente,28,888cm.

2) Aproximadamente, 9 cm.

3) a) A=3,14cm2. b) A=7,065cm2.

Ficha 54

1) Igualáreaymayorperímetro:unrectángulode0,5cm×8 cm. Igual área y menor perímetro: un cuadrado de2cmdelado.Igualperímetroymenorárea:unrectángu-lode0,5cm×4,5cm.

2) Tresrectángulosposiblesson:1,75cm×2,25cm;1cm×3cmy1,25cm×2,75cm.

r1 = 1 cmr2 = 2 cmr 1

r2

0

Pers

onas

Men

ta

Lim

ón

Dulc

e de

lech

e

Choc

olat

e

Tram

onta

na

Frut

illa

5

10

15

20

25

30

35

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