1

Centro Preuniversitario de la UNS S-08 Ingreso Directo

1xCscxCot

1xCotxscCZn ; nRx ; 1xCotxCsc

1xSecxTan

1xTanxSecZn ;

21)(2nRx ; 1xTanxSec

xSen1xCos

xCos1xSenRx ; 1xCosxSen

22

2222

22

2222

22

2222

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA

CEPUNS Ciclo 2013-III

TRIGONOMETRÍA “Identidades Trigonométricas de Arcos

Compuestos” Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V.

Objetivos:

Discrimar información relevante, sintetizar y construir conocimientos para resolver problemas con Identidades trigonométricas.

Aplicar técnicas de comprobación en diversas identidades trigonométricas.

En el presente capítulo realizaremos el estudio de las

razones trigonométricas de aquellos ángulos que a su

vez están constituidas por la suma o resta de otros 2

ángulos. Iniciaremos el estudio del presente capitulo

con la demostración de las principales Identidades para

ángulos compuestos que son:

* Sen( + ) = Sen.Cos + Cos.Sen

* Cos( + ) = Cos.Cos-Sen.Sen

Demostración:

A partir del grafico:

Se observa:

Sen ( + ) = MP = PS + SM = QR + SM; (PS = QR)

En el OQR QR = ORSen = Sen.Cos;

(OR = Cos)

En el MSR SM = RMCos = Cos.Sen;

(RM = Sen)

Reemplazando

Sen (+) = Sen Cos + Cos.Sen …….. Demostrado

También observamos:

Cos(+) = OP = OQ - PQ = OQ - SR; (PQ = SR)

En el OQR OQ = ORCos = Cos.Cos; (OR = Cos)

En el MSR SR = MRSen = Sen.Sen; (MR = Sen)

Reemplazamos:

Cos(+) = Cos. Cos - Sen.Sen .......(Demostrado)

Procedemos ahora a obtener la Tg(+) de la siguiente

manera:

Sabemos que:

Tg(+) =

sen sen sen

sen sen

cos

cos cos

cos cos

Dividimos a la expresión por (Cos.Cos)

Tg(+) =

sen sen

sen sen

cos

cos cos

cos

cos cos

cos cos

cos cos cos cos

Simplificando obtendremos:

Tg(+) =

sen sen

sen sen

Tg Tg

Tg Tg

cos cos

cos.cos

.

1

1

* Tg(+) =

Tg

Tg Tg

+ Tg

1 . (Demostrado)

Tomaremos en cuenta para las demás razones

trigonométricas que:

1 SR

P Q A X

Y

MB

Semana Nº 8

0

Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.

2

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CtgTg

SecCos

CscSen

1

1

1

Identidades Trigonométricas para la Diferencia de

Ángulos:

Usando las Identidades para la suma de ángulos (ya

demostrados), deducimos las identidades para la

diferencia de ángulos, utilizando el siguiente artificio.

* Sen( - ) = sen(+(-))

Sen(+(-)) =

sen sen

sen

cos cos

cos

sen sen sen cos cos Demostrado

* Cos(-) = Cos(+(-))

Cos(+(-)) = Cos . Cos(-) - SenSen(-)

Cos - Sen

cos cos cos sen sen

(Demostrado)

* Tg(-) =

TgTg

TgTg

.1

De igual manera tomar en cuenta que:

CtgTg

SecCos

CscSen

1

1

1

Algunas Propiedades de Importancia

a) Sen( + ).Sen(-) = Sen² - Sen²

b) Tg + Tg + Tg(+).Tg.Tg = Tg(+)

c) Si: + + = 180° Tg + Tg+ Tg = Tg.Tg.Tg

d) Si: + + = 90° Tg.Tg +Tg.Tg + Tg.Tg = 1

e) Cos( + ).Cos(-) = cos² - Sen²

f) Si: + + =180°Ctg.Ctg+Ctg.Ctg+Ctg.Ctg=1

g) 1

2.

22.

22.

2

Ctg

Btg

Ctg

Atg

Btg

Atg

h) 2

.2

.2222

CCtg

BCtg

ACtg

CCtg

BCtg

ACtg

i) Tg - Tg - Tg( - ).Tg.Tg = Tg( - )

j)

yx

yxsentgyTgx

cos.cos

)(

k)

SenySenx

yxsenCtgyCtgx

.

)(

l)

SenyCosx

yxCosCtgytgx

.

)(

m) )(... 22 xSenbaCosxbsenxa

Donde:

22 ba

bSen

22 ba

aCos

n) Si: Rxxbsenxaxf ;cos..)(

Se cumple: 2222 )( baxfba

Demostremos las propiedades

a) “sen(+).sen(-) = Sen² - sen²”

Sabemos que:

Sen(+) = Sencos + cossen ..(I)

Sen(-) = sencos - cossen ..(II)

Multiplicamos Miembro a miembro:

sen(+).sen(-) = sen².cos²- cos².sen²

Reemplazamos:

Cos² = 1 – sen2

Cos² = 1 - sen²

sen(+) sen(-) = sen² (1 - sen²) - (1 - sen²)sen²

= sen² - sen².sen² - [sen² - sen².sen²]

= sen² - sen².sen² - sen² + sen².sen²

sen(+).sen(-) = sen² - sen²..............(Demostrado)

b) “Tg + Tg + Tg( + ).Tg Tg = Tg( + )”

Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.

3

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Sabemos que:

Tg( + ) =

tgtg

tagtg

.1

Multiplicamos (1-Tg.Tg) a ambos miembros:

(1 - Tg.Tg)Tg( + ) =

tgtg

tagtg

.1

(1 – Tg.Tg)

Tg( + ) -Tg.Tg.Tg( + ) = Tg + Tg

Ordenamos convenientemente:

Tg + Tg + Tg( + ).Tg Tg = Tg( + ) …Demostrado

c) Si: “ + + = 180° Tg + Tg + Tg = Tg.Tg.Tg”

Sabemos que:

+ + = 180° + = 180° -

Tomamos tangente a ambos miembros:

Tg( + ) = Tg(180° - )

tgtg

tagtg

.1

= -Tg

Tg + Tg = -Tg (1 - Tg.Tg)

Tg + Tg = -Tg + Tg.Tg.Tg

Ordenamos convenientemente:

Tg + Tg + Tg = Tg.Tg.Tg (Demostrado)

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Simplifique:

sen º cos cos º senP

cos cos º sen sen º

15 15

15 15

A) 2 3 B) 2 3 C) 2 3 D)3

2 E)

3

6

RESOLUCIÓN

sen ºP

cos º

15

15

sen ºP tg º

cos º

1515

15

P 2 3

RPTA.: B

2. Siendo: tg x y tg x y 3 2 4 2 3 5

Halle: “ tg x y ”

A) 1

21

B) -1 C) 1

10

D) 1

21

E) 1

10

RESOLUCIÓN

* tg( x y) tg 3 2 4 4

* tg( x y) tg 2 3 5 5

* tg x y ? tg = ?

“ ”

tg tg

tgtg tg

4 5

1 1 4 5

tg 1

21

RPTA.: D

3. Si a y b son ángulos complementarios y

además: sena senb3 7 . Halle: tg (a-b)

A) 17

21

B) 19

21

C) 20

21

D) 22

21

E) 23

21

RESOLUCIÓN

Si:

a + b =90º senb= cosa

sena cosa3 7

tga ctgb 7

3

Se pide:

tga tgb

tg a btgatgb

7 3

3 7

7 311

3 7

tg a b 20

21

RPTA.: C

4. Halle “ tg ” de la figura.

A) -18 B) 1

18

C) 18 D) 1

18 E) 1

RESOLUCIÓN

53º

53º

3k

2k2k4k

3k

4k

37º

Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.

4

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Se observa:

i) ktg tg

k

3 3

2 2

ii) º tg tg º 37 37

tg tg ºtg tg

tg tg º

3 3

37 2 4

3 31 371

2 4

tg 18

RPTA.: A

5. De la figura mostrada, calcular: tg

A) 5

3

B) 55

3

C) 5

3

D) 55

3

E) 4

3

RESOLUCIÓN

tg 4

5 tg

7

5

tg tg

tg tgtg

tg tg

1

tg

4 7

5 5

4 71

5 5

tg

11

5

3

25

tg 55

3

RPTA.: B

PROBLEMAS DE CLASE

1. Si:

tg(5+ 3)= 5 . . . (1)

tg(5– 3)= 2 . . . (2)

calcular: k=tg(10)+(6)

A) B) C) D)3 E)

2. Si A y B son ángulos agudos y se cumple que senA = 5/13 y cosB =4/5 , calcule el valor de F = 130 cos(A + B).

A) 22 B) 33 C)44 D) 55 E)66

3. Si , se pide hallar:

A) 1/5 B)1/7 C)1/9 D) 1/11 E) 1/13

4. Si x + y + z = , se pide reducir:

TgyTgzTgzTgxTgyTgxE

.

2

.

2

.

2

A) 1 B) 2 C) 6 D) E) ½

5. Evaluar:

S= tg22º+tg23º+tg22º.tg23º

A) tg 22º B) tg 23º C) 2tg 22º

D) 2tg 23º E) 1

6. Si: kCosSen º12º12.3 ,

Calcular: º27cosº27 senW

a) k2

2 b) k

4

2 c)

5

k d) k

6

2 e) k2

2

7. Si:

sennmsennm ).().( ;

determinar:

tg

tg

a)nm

b) mn

c) n

m d)

mn

e) nmnm

8. Der la figura mostrada ; calcular tg 2

a) 2.tgTg b) 3.tgTg c) 4.tgTg

7

9

25

9

3

11

26

9

1 1

tg y tg3 4

E tg

3

4

5

3

4

5

4

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5

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d) 3.2 tgTg e) 4.2 tgTg

9. Si: xtgtgx

btgxxtg

xtgaM

2.12

2.

tal que

4

kx ; Zk , ¿Cuál es el valor de M para

que M sea independiente de x?

a)-1 b)- 1/3 c) 1/3 d) 1 e) 2

10. En un triángulo ABC, se cumple que:

SenCSenBSenA

.2 y CosCCosBCosA

.2

Calcular Sen 2A

a)

12

1

b)

12

1

c) 2

2 d) 12 e) 12

11. Si:

º10º.2532º10º25)( tgtgtgtgyxtg

Y

2.0)(

yxtgCalcularyxtg

a) 2326 b) 2326

c) 2326 d) 2326

e) 2326

PROBLEMA DE REPASO

1. Dado el cuadrado ABCD, calcule “K”

a) 1 b) 2 c)3 d) ½ e) 3/2

2. Sabiendo que:

Halle: tg(x + y + z)

a) 1 b)-1 c) d) e)

3. Si “x” e “y” son ángulos complementarios

(x > 0º), calcular el valor de “m” de modo que

se verifique la identidad.

21

21

xtg

ytg

m

a)2

xtg b)

2

ytg c)

2

ytg .

2

xtg d) 1 e) 2

4. Si:

xCtgCalcularxTg

28

5;

2

1

14

a) 1 b)2 c)3 d) ½ e) 1/3

5. Del gráfico, calcular:

a) – 4 b) – 8 c)–16 d)- 9 e)32

6. Si:

0.cos)(.)( coxyxnmsenysenxnm

; determinar: )cos(

)cos(

yx

yxM

a)n

m b)

m

n c)

n

m d)

m

n e) nm.

7. Determina el valor mínimo de F, si

F = a(Senx - cosx) +b(Senx + cosx); 0 < a < b

a) 22 ba b) ab2

1 c) ba .

d) a + b e) 222 ba

1cot(3x 2y 5z)

3

1cot(2x 3y 6z)

2

1

5

1

6

1

7

Tan

37º

A

B C

D

P

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8. Calcular el valor de:

Tan13º + Tan32º + Tan13º Tan32º

a) b) c) d) e) 1

9. Si: 3

2

20

tg ; calcular:

5tg

a) 1/5 b) 1/3 c) 3 d) 5 e) 6

10. Si y son las raíces de la ecuación:

Calcular el valor de:

a) -1/5 b) 1/5 c) -5

d) 5 e) 1

11. Si

Calcular el valor de:

a) 2 b) -1 c) 0

d) 1 e) 2

12. En un triángulo ABC, se sabe que:

Calcular el valor:

a) 2 b) 4 c) 8 d) 16 e) 20

13. Si se cumple:

Además:

Calcular el valor de:

a) 1/2 b) 2/3 c) 3/2

d) 2 e) 3

14. Calcular el valor aproximado de:

√

a) 7,1 b) 7,2 c) 7,3

d) 8,3 e) 8,7

15. Del grafico mostrado, calcular

45˚2

5

14

x

a)1/3 b) 1/2 c) 3/4

d) 1 e) 4/3

16. De un triángulo ABC, reducir:

a) -1 b) 2 c) 1

d) 3 e) 0

17. Si

¿A que es igual?

a) b) c)

d) e)

18. En el grafico mostrado se cumple que:

¿A que es igual?

β

αθ

x

a) Senx b) Cosx c) Tanx

d)Cotx e) Secx

22 21 2

21

2

2