seminar 8 jordanizare, conice, cuadrice · etti-ag, 2017—2018, a. nit, a˘ & a. oprinanotit,e...

Seminar 8Jordanizare, conice, cuadrice

CUPRINS

1 Forme biliniare 1

2 Forme patratice 22.1 Forma canonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Metoda lui Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Metoda transformarilor ortogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Signatura unei forme patratice. Teorema inert, iei 9

4 Conice 11

5 Reducerea conicelor la forma canonica 145.1 Metoda valorilor proprii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.2 Metoda roto-translat, iei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

6 Intersect, ia între o dreapta s, i o conica 16

7 Exercit, ii rezolvate 18

8 Cuadrice 228.1 Sfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228.2 Elipsoidul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238.3 Hiperboloizii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248.4 Paraboloizii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268.5 Cilindri, perechi de plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278.6 Generatoare rectilinii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288.7 Cuadrice descrise prin ecuat, ia generala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308.8 Centrul cuadricelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318.9 Reducerea la forma canonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338.10 Intersect, ia cu o dreapta sau un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348.11 Exercit, ii rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

9 REZUMAT Conice & Cuadrice 379.1 Ecuat, iile canonice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

9.1.1 Conice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379.1.2 Cuadrice nedegenerate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389.1.3 Cuadrice degenerate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

9.2 Conice — Forma canonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389.3 Cuadrice — Forma canonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

10 Forma canonica Jordan 41

1

ETTI-AG, 2017—2018, A. Nit, a & A. Oprina Notit,e de Adrian Manea

1 Forme biliniare

Definitie 1.1: Fie V un spat, iu vectorial s, i F : V × V → R o aplicat, ie.F se numes, te forma biliniara daca satisface:

(a) F(αx+βy, z) = αF(x, z) +βF(y, z);

(b) F(x,αy+βz) = αF(x,y) +βF(x, z).

Definitie 1.2: O forma biliniara F : V × V → R se numes, te simetrica daca F(x,y) = F(y, x),∀x,y ∈ V .

Definitie 1.3: O forma biliniara simetrica F se numes, te pozitiv (negativ) semidefinita daca F(x, x) = 0(respectiv F(x, x) 6 0), pentru orice x ∈ V .

Daca, în plus, F(x, x) = 0 numai pentru x = 0V , ea se numes, te pozitiv (negativ) definita.

Exemple:

(1) Daca V este un spat, iu euclidian real, atunci produsul scalar este o forma biliniara, simetrica s, ipozitiv definita.

(2) Daca D ⊆ Rn este o submult, ime deschisa, iar f : D → R este o funct, ie de clasa C2(D), atuncidiferent, iala a doua a lui f este o forma biliniara s, i simetrica:

F : Rn ×Rn → R, F(h,k) =n∑i,j=1

fxixj(hikj),

unde (hi), (kj) ∈ Rn.

Folosind biliniaritatea, putem asocia unei forme patratice o matrice într-o baza:

F(x,y) = F(∑i

xiei∑j

yjej

)=∑i

∑j

xiyjF(ei, ej).

2 Forme patratice

Definitie 2.1: Fie F o forma biliniara s, i simetrica. Aplicat, ia:

Q : V → R,Q(x) = F(x, x)

se numes, te forma patratica asociata formei biliniare simetrice F.În acest context, F se numes, te polara formei patratice Q.

Observatie 2.1: Oricarei forme patratice i se poate asocia o unica forma biliniara simetrica s, i reciproc.

Asocierea formei patratice rezulta din definit, ie, iar forma biliniara poate fi definita astfel:

Q(x+ y) = F(x+ y, x+ y)

= F(x, x) + 2F(x,y) + F(y,y)

= Q(x) + 2F(x,y) +Q(y)

⇒ F(x,y) =12(Q(x,y) −Q(x) −Q(y)

).

De exemplu, produsul scalar, ca forma biliniara, induce patratul normei, ca forma patratica.

2


2.1 Forma canonica

Ne vor interesa problemele de aducere a unei forme patratice la forma canonica:

Definitie 2.2: Spunem ca forma patratica Q : V → R este redusa la forma canonica daca gasim pentruQ o scriere de forma:

Q(x) =∑i

bix2i,

într-o anumita baza a lui V .

Aceasta metoda se bazeaza pe rezultatul urmator:

Teorema 2.1 (C. F. GAUSS): Pentru orice forma patratica Q : V → R, exista o baza B a lui V în care formapatratica este redusa la forma canonica.

Demonstratie. Fie B = {e1, . . . , en} baza lui V fat, a de care forma patratica Q are scrierea:

Q(x) =∑

16i,j6n

aijxixj.

Vom distinge doua cazuri:(1) Daca exista cel put, in un indice 1 6 i 6 n astfel încît aii 6= 0 (deoarece în expresia formei

patratice apare cel put, in un termen la patrat), atunci, printr-o eventuala renumerotare a indicilor (s, i,respectiv, a vectorilor bazei B), putem presupune a11 6= 0. În expresia formei Q, regrupam termenii:

Q(x) = a11x21 + 2

n∑j=2

a1jx1xj +∑

26i,j6n

aijxixj

=1a11

(a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn

)2−

1a11·∑

26i,j6n

a1ia1jxixj +∑

26i,j6n

aijxixj

=1a11

(a11x1 + a12x2 + · · ·++a1n xn

)2+∑

26i,j6n

a′ijxixj,

unde am notat a′ij = aija1ia1j

a11, pentru orice indice 2 6 i, j 6 n.

Facem urmatoarele notat, ii:x′1 = a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn

x′2 = x2

. . . . . . . .

x′n = xn.

Cu aceasta, obt, inem:

Q(x) =1a11x′1

2+∑

26i,j6n

a′ijx′ix′j.

În aceasta expresie, x′1, x′2, . . . , x′n sînt componentele vectorului x în baza B′ = {e′i}. De remarcatfaptul ca suma

∑26i,j6n

a′ijx′ix′j care apare în expresia de mai sus este o forma patratica cu n− 1 vari-

abile. As, adar, dupa cel mult n− 1 astfel de pas, i, obt, inem o baza B = {ei} a lui V , fat, a de care formapatratica are forma canonica:

Q(x) = α1x21 +α2x

22 + · · ·+αnx2

n.

(2) Pentru al doilea caz, daca tot, i coeficient, ii aii sînt nuli, adica în forma patratica apar doartermeni mics, ti, presupunem, mai departe, ca întreaga forma nu este nula, deci exista 1 6 i 6= j 6 n,

3


cu aij 6= 0. Putem, din nou, sa facem o eventuala renumerotare s, i sa presupunem a12 6= 0. Facemschimbarile de coordonate:

x1 = x′1 + x′2

x2 = x′1 − x′2

x3 = x′3

. .

xn = x′n.

Obt, inem:Q(x) = 2a12

[(x′1)

2 − (x′2)2]+ . . . .

În aceasta expresie, avem cel put, in un termen la patrat, deci putem continua apoi procedeulpentru restul termenilor (cei omis, i).

Procedeul descris în aceasta teorema se numes, te metoda lui Gauss de a reduce o forma patratica laforma canonica.

Sa luam un exemplu:

Exemplu 2.1: Fie forma patratica Q : R3 → R, care, într-o baza a spat, iului R3 are expresia:

Q(x) = x21 + 4x2

2 + x23 − 2x1x2 + 2x1x3.

Folosim metoda lui Gauss. Deoarece în expresia acestei forme patratice avem s, i termeni la patrat,ne situam în primul caz din demonstrat, ie. Urmam procedeul s, i avem:

Q(x) = (x21 − 2x1x2 + 2x1x3) + 4x2

2 + x23

= (x1 − x2 + x3)2 − x2

2 − x23 + 2x2x3 + 4x2

2 + x23

= (x1 − x2 + x3)2 + 3x2

2 + 2x2x3

= (x1 − x2 + x3)2 +

13(9x2

2 + 6x2x3)

= (x1 − x2 + x3)2 +

13(3x2 + x3)

2 −13x2

3.

Facem notat, iile: x1 = x1 − x2 + x3

x2 = 3x2 + x3

x3 = x3.

Cu acestea, obt, inem forma canonica a formei patratice:

Q(x) = x21 +

13x2

2 −13x2

3.

Sa determinam s, i baza B = {e1, e2, e3} în care s-a obt, inut aceasta forma canonica. Pentru aceasta,exprimam componentele init, iale {x1, x2, x3} în funct, ie de componentele {x1, x2, x3} din baza B:

x1 = x1 +13x2 −

43x3

x2 =13x2 −

13x3

x3 = x3.

Rezulta ca matricea de trecere de la baza init, iala B = {e1, e2, e3} la baza B este:

C =

1 13 −4

30 1

3 −13

0 0 1.

4


As, adar, vectorii bazei B sînt: e1 = e1

e2 =13e1 +

13e2

e3 = −43e1 −

13e2 + e3.

Sa mai vedem un exemplu care sa puna la lucru cazul al doilea din teorema.

Exemplu 2.2: Fie forma patratica:

Q : R3 → R,Q(x) = x1x2 + x2x3 + x3x1.

O vom aduce la forma canonica folosind metoda lui Gauss s, i vom specifica s, i baza în care ea areaceasta forma canonica.

Deoarece în expresia formei patratice apar doar termeni mics, ti, ne situam în al doilea caz dindemonstrat, ia teoremei. Facem schimbarile de coordonate:

x1 = x′1 + x′2

x2 = x′1 − x′2

x3 = x′3.

Forma patratica devine:

Q(x) = (x′1)2 − (x′2)

2 + (x′1 − x′2) · x′3 + x′3(x′1 + x′2)

= (x′1)2 − (x′2)

2 + 2x′1x′3

=[(x′1)

2 + 2x′1x′3]− (x′2)

2

= (x′1 + x′3)

2 − (x′2)2 − (x′3)

2.

Facem alta schimbare de coordonate: x1 = x′1 + x

′3

x2 = x′2

x3 = x′3.

Cu acestea, rezulta forma canonica:

Q(x) = x21 − x

22 − x

23.

De asemenea, din schimbarile de variabile rezulta s, i schimbarile de coordonate:x1 =

12x1 +

12x2 + x3

x2 =12x1 −

12x2

x3 = x3.

2.2 Metoda lui Jacobi

Cea de-a doua metoda pe care o studiem este metoda lui Jacobi, care se bazeaza pe urmatorulrezultat:

Teorema 2.2 (C. JACOBI): Fie V un spat, iu vectorial s, i B = {e1, . . . en} o baza a lui V . FieQ : V → R o formapatratica, cu expresia în baza B:

Q(x) =∑

16i,j6n

aijxixj.

5


Daca matricea A = (aij) asociata formei patratice Q în baza B are tot, i minorii principali:

∆1 = a11, ∆2 =

∣∣∣∣a11 a12

a12 a22

∣∣∣∣ , ∆3 =

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ , . . . ,∆n = det(A)

nenuli, atunci exista o baza B a lui V fat, a de care Q are forma canonica:

Q(x) =1∆1x2

1 +∆1

∆2x2

2 +∆2

∆3x2

3 + · · ·+∆n−1

∆nx2n.

Demonstratie. Fie F : V × V → R polara formei patratice Q. Cautam vectorii bazei B, de forma:

e1 = c11e1

e2 = c12e1 + c22e2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ei = c1ie1 + c2ie2 + · · ·+ ciiei. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

en = c1ne1 + c2ne2 + · · ·+ cnnen.

(1)

Coeficient, ii cij se determina din condit, iile:

F(ei, ej) = 0,∀1 6 j < i 6 n

F(ei, ei) = 1,∀1 6 i 6 n.

Condit, iile se obt, in din faptul ca matricea asociata formei patratice Q în baza B sa fie diagonala, cucii pe diagonala.

Fie i ∈ {1, 2, . . . ,n} arbitrar fixat. Avem:

F(ei, ej) = F( i∑k=1

ckiekej

)=

i∑k=1

ckiF(ek, ej) =i∑k=1

ckiakj,

de unde, t, inînd cont ca akj = ajk, obt, inem sistemul:

a11c1i + a12c2i + · · ·+ a1icii = 0

a12c1i + a22c− 2i+ · · ·+ a2icii = 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a− 1, i− 1c1i + a2,i−1c2i + · · ·+ ai−1,icii = 0

a1ic1i + a2ic2i + · · ·+ aii cii = 1.

Remarcam ca determinantul matricei acestui sistem este minorul principal ∆i, care, conform ipo-tezei, este nenul. As, adar, putem rezolva sistemul cu regula lui Cramer:

cii =1∆i·∆i−1.

Mai folosim faptul ca:

det

c11 c12 . . . c1n

0 c12 . . . c2n

. . . . . . . . . . . .0 0 . . . cnn

= c11c22 · · · cnn =1∆n6= 0

s, i, în plus, ca B = {ee, e2, . . . , en} este o baza a lui V , rezulta s, i ca B = {e1, e2, . . . , en} este o baza a luiV . Deoarece:

F(ei.ej) =

{0, i 6= jcii, i = j,

rezulta concluzia teoremei.

6


Sa mai facem o observat, ie importanta. Spre deosebire de metoda lui Gauss, care poate fi aplicataoricarei forme patratice, metoda lui Jacobi cere în mod necesar ca tot, i minorii principali ai matriceiatas, ate formei patratice în baza init, iala sa fie nenuli. Altfel, aceasta metoda nu se poate aplica.

Sa o vedem într-un exemplu:

Exemplu 2.3: Reducem la forma canonica forma patratica:

Q : R3 → R,Q(x) = 3x21 + 3x2

2 + 2x1x2 + 4x1x3 + 4x2x3.

Matricea asociata formei patratice Q în baza canonica a lui R3 este:

A =

3 −1 2−1 3 22 2 0

Minorii principali ai matricei sînt tot, i nenuli, dupa cum se poate verifica simplu. As, adar, putem

aplica metoda lui Jacobi s, i forma canonica a formei patratice Q este, direct:

Q(x) =1∆1x2

1 +∆1

∆2x2

2 +∆2

∆3x2

3

=13x2

1 +38x2

2 −14x2

3.

Pentru a obt, ine baza în care avem aceasta forma, se rezolva sistemul (1).

2.3 Metoda transformarilor ortogonale

În fine, ultima metoda algoritmica pe care o discutam este metoda transformarilor ortogonale. Ea sebazeaza pe urmatorul rezultat, care, la rîndul lui, pune în prim-plan bazele ortonormate din spat, iivectoriale:

Teorema 2.3: Fie V un spat, iu euclidian de dimensiune n s, i Q o forma patratica.Exista o baza ortonormata a lui V în raport cu care forma patratica Q este redusa la forma canonica.

Demonstratie. S, tim ca exista o baza ortonormata pentru V . Fie aceasta B = {e1, e2, . . . , en}. Fie A =

(aij) matricea asociata formei patratice Q în baza B. Deoarece A este matrice simetrica, rezulta caexista doua matrice ortogonale C = (cij) s, i D – o matrice diagonala cu λ1, λ2, . . . , λn, care reprezintaforma diagonala a matricei A, astfel încît:

A = CDCT .

Construim acum baza B = {e1, e2, . . . , en} a lui V , astfel încît matricea de trecere de la B la B sa fiechiar C, adica:

e1 = c11 e1 + c21e2 + · · ·+ cn1en

e2 = c12e1 + c22e2 + · · ·+ cn2en

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

en = c1n e1 + c2n e2 + · · ·+ cnn en

T, inem cont de faptul ca B = {e1, . . . , en} este o baza ortonormata, iar C este o matrice ortogonala.

7


Deci obt, inem relat, iile:

〈ei, ei〉 =⟨ n∑k=1

ckiek,n∑j=1

cjiej

⟩=∑

16k,j6n

ckicji〈ek, ej〉

=

n∑k=1

c2ki = 1,∀1 6 i 6 n

〈ei, ej〉 =⟨ n∑k=1

ckiek,n∑p=1

cpjep

⟩=

∑16k,p6n

ckicpj〈ek, ep〉

=

n∑k=1

ckickj

= 0,∀i 6= j.

Rezulta B = {e1, . . . , en} este o baza ortonormata a lui V .Fie F polara formei patratice Q. Rezulta ca matricea asociata lui F în baza B este diagonala, cu λi

pe diagonala s, i deci, forma patratica Q va avea scrierea în baza B:

Q(x) = λ1x21 + λ2x

22 + · · ·+ λnx2

n,

adica este redusa la forma canonica, ceea ce se dorea.

Trebuie remarcat faptul ca, înca din enunt, , este clar ca metoda aceasta se aplica doar spat, iiloreuclidiene. Dar, cum spat, iul Rn este euclidian, vom avea suficiente exemple s, i exercit, ii în care sa opunem la lucru.

Sumarizînd, algoritmul de aplicat, as, a cum reiese din demonstrat, ia anterioara, cuprinde:

(1) Scriem matricea A atas, ata formei patratice;

(2) Gasim, prin rezolvarea ecuat, iei caracteristice, det(A− λIn) = 0, valorile proprii λi, cu 1 6 i 6p, care au ordinele de multiplicitate ni s, i determinam subspat, iile vectorilor proprii V(λi), carecorespund acestor valori proprii.

(3) Pentru fiecare subspat, iu V(λi), determinam cîte o baza ortonormata Bi;

(4) Forma canonica a formei patratice este, cu acestea:

Q(x) = λ1x21 + λ2x

22 + · · ·+ λnx2

n,

cu observat, ia ca fiecare valoare proprie apare de un numar de ori egal cu multiplicitatea sa. Bazaortonormata în care se obt, ine aceasta forma canonica este data de reuniunea B = B1 ∪B2 ∪ · · · ∪Bn.

Aplicam aceasta metoda pe un exemplu.

Exemplu 2.4: Fie forma patratica:

Q : R3 → R,Q(x) = 3x21 + 3x2

2 − 2x1x2 + 4x1x3 + 4x2x3.

O vom aduce la forma canonica folosind metoda transformarilor ortogonale s, i, totodata, vomdetermina s, i baza ortonormata în care Q are acea forma.

8


Matricea asociata formei patratice Q în baza canonica este:

A =

3 −1 2−1 3 22 2 0

.

Determinam valorile proprii, prin rezolvarea ecuat, iei caracteristice. Rezulta:

λ1 = −2, λ2 = λ3 = 4.

Vectorii proprii corespunzatori valorii proprii λ1 = −2 genereaza subspat, iul invariant:

V(−2) = {(−α,−α, 2α)T | α ∈ R}.

O baza pentru acest subspat, iu este, de exemplu, {(−1,−1, 2)T }. Aplicam algoritmul Gram-Schmidtpentru ortonormare s, i obt, inem:

B1 ={(

−1√6

,−1√6

,2√6

)T}.

Procedam similar pentru valoarea proprie λ = 4 s, i obt, inem:

V(4) = {(−α+ 2β,α,β)T | α,β ∈ R}.

Alegem e2 = (−1, 1, 0)T ∈ V(4) s, i vrem sa determinam e3 ⊥ e2, cu e3 = (−α3 + 2β3,α3,β3)T .

Condit, ia de perpendicularitate înseamna 〈e2, e3〉 = 0, deci obt, inem: β3 = α3 =⇒ e3 = (α3,α3,α3)T .

Ortonormam aceasta baza s, i obt, inem:

B2 ={(

−1√2

,1√2

, 0)T

,( 1√

3,

1√3

,1√3

)T}.

Forma canonica a formei patratice date este, atunci:

Q(x) = −2x21 + 4x2

2 − 4x23.

Aceasta forma se obt, ine în baza ortonormata B = B1 ∪B2.

Observatie 2.2: De remarcat faptul ca, pornind cu aceeas, i forma patratica s, i aplicînd metode diferitede aducere la forma canonica, putem obt, ine rezultate diferite.

În sect, iunea urmatoare, vom identifica un invariant al formei canonice.

3 Signatura unei forme patratice. Teorema inert,iei

Definitie 3.1: Fie Q o forma patratica, ce are forma canonica:

Q(x) =

n∑i=1

aix2i.

Presupunem ca în aceasta scriere sînt p coeficient, i strict pozitivi, q coeficient, i strict negativi, iarr = n− (p+ q) coeficient, i sînt nuli.

Tripletul (p,q, r) se numes, te signatura formei patratice.

Acesta este invariantul din forma canonica a unei forme patratice, dupa cum arata teorema ur-matoare:

Teorema 3.1 (Teorema inert, iei): Signatura unei forme patratice este un invariant al formei canonice, adicaeste aceeas, i în orice forma canonica a formei patratice respective.

9


Demonstratie. Fie Q : V → R o forma patratica s, i B1 = {e1, . . . , en}, B2 = {f1, . . . , fn} doua baze ale luiV , în raport cu care Q are formele canonice:

Q(x) =

n∑i=1

bix2i, Q(x) =

n∑i=1

bix2i.

Presupunem ca signatura în prima scriere este (p1,q1, r1), iar în a doua, (p2,q2, r2). Printr-o even-tuala rearanjare a termenilor, putem presupune ca primii p1 (respectiv p2) coeficient, i sînt strict pozi-tivi, apoi urmatorii q1 (respectiv q2) sînt negativi, iar ultimii r1, respectiv r2 sînt nuli.

Sa presupunem ca p1 > p2. Fie V1 = Span{e1, . . . ep1} s, i V2 = Span{ep2+1, . . . , en}. Rezulta:

dimR V1 + dimR V2 = p1 +n− p2 > n.

As, adar, exista o intersect, ie nevida între cele doua s, i avem, conform teoremei dimensiunii (Grass-mann):

n > dimR(V1 + V2) = dimR V1 + dimR V2 − dimR(V1 ∩ V2) > n− dimR(V1 ∩ V2).

Deci V1 ∩ V2 6= {0V } s, i putem considera un vector nenul x∗ în V1 ∩ V2.Pe de o parte, deoarece x∗ ∈ V1, avem ca el se poate scrie în baza corespunzatoare, x∗ = x1e1 +

· · ·+ xpep, de unde deducem:

Q(x∗) =

p∑i=1

aix2i > 0.

Pe de alta parte, deoarece x∗ ∈ V2, avem s, i scrierea sa în baza B2, x∗ = xp2+1fp2+1 + · · ·+ xnfn.Deci:

Q(x∗) =

n∑i=p2+1

bix2i 6 0.

Din relat, iile de mai sus, rezulta ca Q(x∗) = 0, ceea ce implica faptul ca el are toate coordonatelenule, deci x∗ = 0V , contradict, ie.

As, adar, presupunerea p1 > p2 este falsa s, i similar se arata ca nu putem avea nici inegalitateainversa s, i la fel pentru q1 = q2.

Definitie 3.2: Spunem ca o forma patratica Q : V → R este pozitiv (negativ) definita daca Q(x) > 0(respectiv Q(x) < 0), pentru orice x ∈ V − {0V }.

Evident, aceasta definit, ie este echivalenta cu faptul ca polara ei, F, este pozitiv (respectiv negativ)definita.

Urmatorul rezultat ne ajuta sa decidem cînd este o forma patratica pozitiv definita.

Teorema 3.2 (Criteriul lui SYLVESTER): FieQ : V → R o forma patratica s, i B = {e1, . . . , en} o baza a lui V ,iar A = (aij) matricea asociata formei patratice Q în baza B. Fie ∆1, . . . ,∆n minorii principali ai matricei A.Atunci:

(a) Q este pozitiv definita daca s, i numai daca ∆i > 0, pentru tot, i 1 6 i 6 n;

(b) Q este negativ definita daca s, i numai daca (−1)i∆i > 0, pentru orice 1 6 i 6 n.

De asemenea, o consecint, a imediata, as, teptata, este urmatoarea:

Propozitie 3.1: Forma patratica este pozitiv definita daca s, i numai daca matricea ei asociata este pozitiv defi-nita.

S, tim, de asemenea, ca între mult, imea formelor patratice Q : V → R s, i mult, imea matricelor sime-trice exista o corespondent, a bijectiva. Astfel ca, folosind s, i propozit, ia anterioara, putem reformulacriteriul lui Sylvester astfel:

Teorema 3.3: O matrice simetrica este pozitiv definita daca are tot, i minorii principali strict pozitivi.

10


4 Conice

Studiul conicelor, ca obiecte geometrice, are o vechime considerabila, fiind discutate înca dinvremea lui Euclid s, i Grecia Antica. Appollonius din Perga (262 – 190 î. Hr.) a fost cel care le-a datpentru prima data numele pe care le folosim s, i astazi, anume elipsa, parabola s, i hiperbola.

În perioada Renas, terii s, i ulterior, conicele au devenit din ce în ce mai importante s, i studiate, prinprisma relevant,ei lor în fizica. Mis, carile planetare s, i alte traiectorii studiate de Kepler, Galilei s, i alt, ii,dar s, i în scopuri geometrice pure la Descartes, Fermat, Desargues, Pascal s, i alt, ii au constituit cadrulîn care teoria conicelor a evoluat.

Contextul geometric init, ial a fost acela al sect, iunilor determinate de un con infinit, intersectatcu un plan, în diverse configurat, ii. De asemenea, pe lînga aceasta definit, ie geometrica simpla s, igenerala, ele se pot studia s, i cu ajutorul formelor patratice din spat, ii vectoriale – abordare pe care ovom lua în cele ce urmeaza.

Consideram, as, adar, un plan E2, cu un reper cartezian {0,~i,~j} prin care planul se poate identificacu R2. Acest model ne va permite sa descriem figurile cu ajutorul ecuat, iilor s, i inecuat, iilor asociateunor funct, ii reale.

Fie o forma patratica afina g : R2 → R, definita prin:

g(x,y) = a11x2 + 2a12xy+ a22y

2 + 2a10x+ 2a20y+ a00,

cu a211 + a

212 + a

222 6= 0.

Atunci:

Definitie 4.1: Mult, imea de nivel constant zero:

Γ = {M(x,y) | (x,y) ∈ R2,g(x,y) = 0}

se numes, te conica sau curba algebrica de ordinul al doilea.Notam aceasta cu Γ : g(x,y) = 0.

Sa remarcam ca, din punct de vedere topologic, conicele sînt mult, imi închise în R2, deoarece{0} este mult, ime închisa în R, iar Γ , care este imaginea sa inversa prin funct, ia continua g este, deasemenea, închisa.

Problema principala careia se adreseaza în prima faza studiul conicelor este aceea de a arataca orice conica este congruenta cu una din mult, imile cunoscute: cerc, elipsa, hiperbola, parabola,pereche de drepte, punct sau mult, ime vida.

Pentru aceasta, vom folosi o serie de transformari geometrice, precum rotat, ia s, i translat, ia, fat, a decare conica de interes sa aiba o forma canonica.

În calcule, vor interveni urmatoarele numere asociate polinoamelor g(x,y) ca mai sus:

∆ =

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a10

a12 a22 a20

a10 a20 a00

∣∣∣∣∣∣δ =

∣∣∣∣a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣I = a11 + a22

K = δ+

∣∣∣∣a11 a10

a10 a00

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣a22 a20

a20 a00

∣∣∣∣Observatie 4.1: Atunci cînd se fac rotat, ii s, i translat, ii asupra unei conice, se poate arata ca numerele demai sus sînt invariante, motiv pentru care se vor numi invariant, i metrici ai conicei (rotat, ia s, i translat, iafiind izometrii).

Ultimul numar asociat, K, este invariat doar de rotat, ii s, i, de aceea, se mai numes, te semi-invariantmetric al conicei.

11


Pe scurt, clasificarea conicelor este data în tabelul urmator:

δ ∆ I∆ K Conica Genul6= 0 < 0 Elipsa

> 0 6= 0 > 0 Conica vida Gen eliptic= 0 Punct (dublu)6= 0 Hiperbola

< 0 6= 0 Hiperbola Gen hiperbolic= 0 Pereche de drepte concurente6= 0 Parabola

= 0 = 0 < 0 Pereche de drepte paralele Gen parabolic= 0 = 0 Pereche de drepte confundate= 0 > 0 Conica vida

Dupa cum se vede din tabel, invariantul δ ne da genul conicei, în timp ce invariantul ∆ ne dadegenerarea.

În cazul hiperbolic, daca se anuleaza invariantul I, sîntem condus, i la o hiperbola echilatera, încare asimptotele sînt perpendiculare, iar în cazul degenerat, cu ∆ = 0, hiperbola este redusa la opereche de drepte perpendiculare.

Cazurile principale, prezentate în tabel, împreuna cu ecuat, iile lor, sînt redate în figura 4.

Figura 1: Conice s, i ecuat, iile lor

Punctele critice ale funct, iei g se determina folosind instrumentele cunoscute de analiza multidi-mensionala. Astfel, avem de rezolvat sistemul liniar:

12∂g

∂x= a11x+ a12y+ a10 = 0

12∂g

∂y= a12x+ a22y+ a20 = 0.

12


Determinantul acestui sistem liniar este chiar:

δ =

∣∣∣∣a11 a12

a12 a22

∣∣∣∣ .Rezulta, din teoria sistemelor liniare, ca, daca δ 6= 0, atunci sistemul are solut, ie unica, deci funct, ia

are un singur punct critic.Din configurat, ia geometrica, interpretata algebric, rezulta:

Teorema 4.1: Punctul M0(x0,y0) este centru de simetrie al conicei Γ : g(x,y) = 0 daca s, i numai dacaM0(x0,y0) este un punct critic al funct, iei g.

Demonstratie. Facem translat, ia x = x0 + x′ s, i y = y0 + y

′. Atunci ecuat, ia conicei devine:

a11x′2 + 2a12x

′y′ + a22y′2 + x′gx0 + y

′gy0 + g(x0,y0) = 0,

unde gx0 =∂g

∂x(x0,y0), iar gy0 =

∂g

∂y(x0,y0).

Originea M0(x0,y0) a reperului translatat este centru de simetrie daca s, i numai daca odata cu unpunct arbitrar (x′,y′), conica Γ cont, ine s, i punctul (−x′,−y′), adica are loc:

a11x′2 + 2a12x

′y′ + a22y′2 − x′gx0 − y

′gy0 + g(x0,y0) = 0.

Prin scadere din ecuat, ia init, iala, rezulta:

x′gx0 + y′gy0 = 0,

deciM0(x0,y0) satisface gx0 = gy0 = 9, deoarece (x′,y′) este un punct arbitrar pe Γ .

În concluzie, privitor la clasificarea conicelor, avem:

(1) Daca δ 6= 0, atunci conica Γ : g(x,y) = 0 are un centru de simetrie, care este punctul critic alfunct, iei g, ales originea reperului canonic.

Conicele cu centru sînt: cercul, elipsa, hiperbola, perechea de drepte concurente, punctul s, imult, imea vida. În acest context, ecuat, ia lui Γ redusa la centru este:

a11x′2 + 2a12x

′y′ + a22y′2 + g(x0,y0) = 0.

De asemenea, se poate demonstra s, i ca:

g(x0,y0) =∆

δ.

(2) Daca δ = 0 s, i ∆ 6= 0, atunci funct, ia g nu are puncte critice, deci conica Γ nu are centru. O conicafara centru este o parabola.

(3) Daca δ = 0 s, i∆ = 0, atunci funct, ia g are o dreapta de puncte critice, deci Γ are o dreapta de centre.Conicele cu o dreapta de centre sînt perechile de drepte paralele sau confundate, s, i mult, imeavida.

De asemenea, alte observat, ii care merita ment, ionate sînt:

• Conica pentru care δ > 0 (elipsa, conica vida s, i punctul) se numes, te conica de gen eliptic. Celepentru care δ < 0, adica hiperbola s, i perechea de drepte concurente se numes, te conica de genhiperbolic. Pentru δ = 0, cum este cazul parabolei, dreptelor paralele sau confundate s, i mult, imiivide, obt, inem conice de gen parabolic.

13


• Ecuat, ia generala a unei conice, g(x,y) = 0, cont, ine s, ase coeficient, i aij, care se numesc parametrineesent, iali. Daca împart, im prin unul diferit de zero, se obt, in cinci parametri, care se numescparametri esent, iali. Rezulta de aici ca, pentru a determina o conica sînt suficiente cinci condit, ii,precum cinci puncte de pe conica.

• Daca a12 = 0 s, i a11 = a22 = a 6= 0, notam:

ρ =(a10

a

)2+(a20

a

).

Cu ajutorul lui ρ putem decide imediat:

– Daca ρ < 0, atunci Γ = ∅;

– Daca ρ > 0, atunci Γ este un cerc, cu centrul în punctul C(−a10

a,−a20

a

)s, i cu raza

√ρ;

– Daca ρ = 0, atunci Γ se reduce la punctul C de mai sus.

5 Reducerea conicelor la forma canonica

Ca în cazul formelor patratice, ne vom ocupa acum de cîteva metode computat, ionale pentru aaduce conicele la forma canonica.

Pornim, as, adar, cu o conica Γ , ce are ecuat, ia generala:

g(x,y) = a11x2 + 2a12xy+ a22y

2 + 2a10x+ 2a20y+ a00 = 0.

Pentru a stabili ecuat, ia canonica, t, inem cont de urmatoarele:

• Daca a12 = 0, atunci facem o translat, ie;

• Daca a12 6= 0, ase face mai întîi o rotat, ie.

Detaliem acum fiecare dintre aceste proceduri.

5.1 Metoda valorilor proprii

Pornind cu conica de ecuat, ie generala:

a11x2 + 2a12xy+ a22y

2 + 2a10x+ 2a20y+ a00 = 0,

tipul ei este determinat de forma patratica:

a11x2 + 2a12xy+ a22y

2.

Aceasta forma patratica poate fi modelata de produsul de matrice:

(x y

)·(a11 a12

a21 a22

)·(x

y

),

cu observat, ia ca a12 = a21. Matricei simetrice 2× 2 din aceasta scriere, îi atas, am ecuat, ia caracteristica:∣∣∣∣a11 − λ a12

a21 a22 − λ

∣∣∣∣ = 0⇐⇒ λ2 − Iλ+ δ = 0,

ale carei radacini λ1, λ2 sînt reale s, i distincte.Distingem urmatoarele cazuri:

(a) Daca λ1, λ2 au semne contrare, adica δ < 0, rezulta ca avem o conica de tip hiperbolic;

(b) Daca λ1, λ2 au acelas, i semn, adica δ > 0, conica este de tip eliptic;

14


(c) Daca una dintre radacini este nula, adica δ = 0, rezulta ca avem o conica de tip parabolic.

Aflînd valorile proprii ca mai sus, construim sistemele asociate pentru a determina vectorii pro-prii (i = 1, 2): {

(a11 − λi)ui + a12 vi = 0

a21ui + (a22 − λi)vi = 0.

Astfel, gasim coordonatele vectorilor proprii (u1, v1), respectiv (u2, v2), care sînt ortogonali. Prinnormare, gasim apoi versorii ~e1, ~e2.

Fie acum R matricea formata cu coordonatele versorilor ~e1 s, i ~e2, pe coloane. Putem înlocui unuldintre versori cu opusul sau sau sa renumerotam valorile proprii, astfel ca putem presupune det(R) =1.

Atunci rotat, ia: (x

y

)= R ·

(x′

y′

)reduce forma patratica init, iala la expresia canonica:

λ1x′2 + λ2y

′2.

Versorii ~e1 s, i ~e2 dau direct, iile noilor axe OX′ s, i, respectiv, OY′.De asemenea, înlocuind în ecuat, ia conicei, rotat, ia efectuata o transforma în:

λ1x′2 + λ2y

′2 + 2a′12x′ + 2a′20y

′ + a′00 = 0.

Putem restrînge patratele s, i sa fort, am factorii comunic λ1 s, i λ2, ajungînd la forma:

λ1(x′ + P)2 + λ2(y

′ +Q)2 + a = 0,

unde P s, i Q sînt termeni specifici care apar în prelucrarea algebrica.Atunci putem face translat, ia: {

x′′ = x′ + P

y′′ = y′ +Q

s, i sîntem condus, i la forma canonica:

λ1x′′2 + λ2y

′′2 + a = 0.

În acest context, cel put, in una dintre axele reperului canonic X′′O′′Y′′ este axa de simetrie pentruconica Γ .

5.2 Metoda roto-translat,iei

Cum am vazut mai sus, se obt, ine o matrice de trecere R, care este ortogonala, deci det(R) = 1.Rezulta ca ea este asociata unei rotat, ii R, în raport cu o baza ortonormata. Aceasta rotat, ie poate fifixata printr-un unghi de rotat, ie specific θ.

Metoda pe care o expunem se bazeaza pe urmatorul rezultat:

Teorema 5.1: Fie conica Γ : g(x,y) = 0. Daca a12 6= 0, atunci unghiul θ dat de ecuat, ia:

(a11 − a22) sin 2θ = 2a12 cos 2θ

determina o rotat, ie R în plan: {x = x′ cos θ− y′ sin θ

y −x′ sin θ− y′ cos θ,

care produce anularea coeficientului produsului x′y′ din ecuat, ia g ◦R(x′,y′) = 0.

15


Demonstratie. Dupa efectuarea rotat, iei, ecuat, ia g(x,y) = 0 devine g ◦ R(x′,y′) = 0. Coeficientultermenului x′y′ din aceasta ecuat, ie este:

2a′12 = (a22 − a11) sin 2 θ+ 2a12 cos 2θ.

Astfel, teorema devine evidenta.Deoarece noua ecuat, ie a conicei nu cont, ine termenul x′y′, putem sa completam patratele, daca

este cazul, iar în urma unei translat, ii obt, inem ecuat, ia canonica.

Rezultatele aplicabile relativ la reducerea la forma canonica a ecuat, iei unei conice se rezuma ast-fel:

(1) Daca ∆ = 0, avem subcazurile:

(a) Pentru δ > 0, atunci Γ = {(x0,y0)};

(b) Pentru δ = 0, atunci Γ = D1 ∩D2, undeD1 s, iD2 sînt drepte paralele sau confundate ori Γ = ∅;(c) Pentru δ < 0, atunci Γ = D1 ∪D2, unde D1 s, i D2 sînt drepte concurente. Daca I = 0, atunci

D1 ⊥ D2.

(2) Daca ∆ 6= 0, avem subcazurile:

(a) Pentru δ > 0, daca I∆ < 0, atunci avem o elipsa;

(b) Pentru δ > 0, daca I∆ > 0, atunci Γ = ∅;(c) Pentru δ = 0, avem o parabola;

(d) Pentru δ < 0, atunci avem o hiperbola. Daca I = 0, atunci hiperbola este echilatera.

În toate aceste cazuri, transformarile care se fac înseamna:

• Daca a12 = 0, atunci se face o translat, ie;

• Daca a12 6= 0, atunci se face mai întîi o rotat, ie ca în teorema de mai sus, dupa unghiul rezultatdin ecuat, ia respectiva;

• Dupa rotat, ie, daca mai este cazul, se face o translat, ie.

6 Intersect,ia între o dreapta s, i o conica

Date fiind formele diverse ale conicelor, vom fi interesat, i de cazurile posibile ale punctelor deintersect, ie dintre o dreapta s, i o conica.

Fie D o dreapta de ecuat, ii parametrice:{x = x0 + lt

y = y0 +mt, t ∈ R

s, i Γ o conica de ecuat, ie carteziana implicita g(x,y) = 0.Intersect, ia D∩ Γ este descrisa de sistemul:

x = x0 + lt

y = y0 +mt

g(x,y) = 0, t ∈ R.

Daca eliminam pe x s, i y, intersect, ia D∩ Γ corespunde radacinilor t1 s, i t2 din R ale ecuat, iei:

t2ϕ(l,m) + t(l∂g

∂x0+m

∂g

∂y0

)+ g(x0,y0) = 0, (2)

16


unde am introdus funct, ia:ϕ(l,m) = a11l

2 + 2a12lm+ a22 m2.

În cele ce urmeaza, vom face urmatoarele notat, ii standard:

gx0 =∂g

∂x0=∂g

∂x(x0,y0)

gy0 =∂g

∂y0=∂g

∂y(x0,y0).

Se impune acum urmatoarea discut, ie:

(1) Daca ϕ(l,m) 6= 0, atunci ecuat, ia de interes, anume (2) este de gradul al doilea. Atunci, daca

q = (lgx0 +mgy0)2 − 4ϕ(l,m)g(x0,y0) > 0,

atunci ecuat, ia are doua radacini reale s, i distincte, t1, t2. În acest caz, avem ca D taie pe Γ în douapuncte distincte, P1,P2.

În cazul în care q = 0, atunci ecuat, ia are doua radacini reale confundate, t1 = t2. Atunci D taiepe Γ în doua puncte confundate, P1 = P2, iar dreapta se numes, te tangenta la conica Γ în punctulP1.

Evident, din configurat, ia geometrica rezulta imediat ca din orice punct P0 /∈ Γ se pot duce cel multdoua tangente la Γ . În particular, daca P0 ∈ Γ , iar gx0 s, i gy0 nu se anuleaza simultan, observam catangenta la Γ în punctul P0 are ecuat, ia:

(x− x0)gx0 + (y− y0)gy0 = 0,

care se obt, ine din condit, ia de tangent, a, anume lgx0 +mgy0 = 0, împreuna cu ecuat, iile lui D, dincare am eliminat tl s, i tm.

În general, o conica se numes, te neteda, daca se poate duce o tangenta în fiecare punct al sau.A netezi o conica înseamna sa i se elimine punctele critice, anume acelea în care gx,gy s, i g seanuleaza simultan.

O alta pozit, ie relativa importanta a unei drepte fat, a de o conica este aceea de normala. O dreaptaeste normala la o conica daca este perpendiculara pe tangenta dusa la conica în punctul respectiv.Normala în punctul P0(x0,y0) are ecuat, ia:

x− x0

gy0

=y− y0

gx0

,

care poate fi obt, inuta simplu din condit, ia de perpendicularitate pe tangenta, interpretata analitic.

În fine, daca q < 0, atunci ecuat, ia (2) nu are solut, ii reale, deci D este paralela cu Γ .

(2) Daca ϕ(l,m) = 0, atunci ecuat, ia (2) este de gradul întîi. Daca lgx0 +mgy0 6= 0, atunci avem osolut, ie unica t1, deci D taie pe Γ într-un singur punct P1.

Daca lgx0 +mgy0 = 0 s, i g(x0,y0) 6= 0, atunci ecuat, ia reprezinta o imposibilitate, deci D esteparalela cu Γ .

În fine, daca lgx0 +mgy0 = 0 s, i g(x0,y0) = 0, atunci ecuat, ia este identic satisfacuta, deci D ⊆ Γ ,adica Γ este o pereche de drepte.

Daca Γ este o conica nedegenerata, luam acum un vector nenul ~d(l,m), care da o direct, ie în planulconicei.

Definitie 6.1: Direct, ia ~d(l,m) se numes, te direct, ie asimptotica pentru Γ daca:

ϕ(l,m) = a11l2 + 2a12lm+ a22m

2 = 0.

17


Evident, rezulta ca o dreapta care are o asemenea direct, ie taie conica nedegenerata în cel mult unpunct.

În ce prives, te direct, ia asimptotica, distingem urmatoarele cazuri:

(1) Daca δ < 0 s, i ∆ 6= 0, adica sîntem în situat, ia unei hiperbole, atunci ecuat, ia ϕ(l,m) = 0 determinadoua direct, ii asimptotice distincte, (l1,m1) s, i (l2,m2).

(2) Daca δ > 0 s, i ∆ 6= 0, adica sîntem în situat, ia unei elipse, atunci ecuat, ia ϕ(l,m) = 0 nu admitesolut, ii reale nebanale. Rezulta de aici ca elipsa nu admite direct, ii asimptotice.

(3) Daca δ = 0 s, i ∆ 6= 0, adica sîntem în cazul unei parabole, atunci ecuat, ia ϕ(l,m) = 0 da o direct, ieasimptotica dubla (l,m), care este, de fapt, direct, ia axei parabolei.

Definitie 6.2: O dreapta D se numes, te asimptota a unei conice nedegenerate Γ daca direct, ia ei esteasimptotica s, i D∩ Γ = ∅.

Din discut, ia anterioara, putem demonstra us, or:

Teorema 6.1: O asimptota a unei conice nedegenerate Γ este caracterizata analitic prin ecuat, ia:

lgx +mgy = 0,

unde (l,m) este o direct, ie asimptotica.

De asemenea, din discut, ia privitoare la direct, iile asimptotice, avem:

(1) Hiperbola are doua asimptote, care trec prin centrul conicei. Ele aproximeaza ramurile infiniteale hiperbolei.

(2) Elipsa nu are direct, ie asimptotica s, i, în consecint, a, nu are nici asimptota.

(3) Parabola admite o direct, ie asimptotica pentru care ecuat, ia lgx +mgy = 0 reprezinta mult, imeavida, deci parabola nu are asimptota.

7 Exercit,ii rezolvate

1. Sa se reduca ecuat, ia:3x2 − 4xy− 2x+ 4y− 3 = 0

la forma canonica s, i sa se identifice conica corespunzatoare.

Solut, ie: Matricea formei patratice q(x) = 3x2 − 4xy este(

3 −2−2 0

). Ecuat, ia caracteristica este,

atunci, λ2 − 3λ− 4 = 0, care are radacinile λ1 = −1 s, i λ2 = 4.Coordonatele (u1, v1) ale vectorului propriu corespunzator lui λ1 se afla ca solut, ia sistemului:{

4u1 − 2v1 = 0

−2u1 + v1 ==,

adica (k, 2k) ∈ R∗ ×R∗. Prin normalizare, obt, inem versorul propriu ~e1 =( 1√

5,

2√5

).

Analog, pentru λ2 = 4, gasim ~e2 =( 2√

5,−

1√5

).

Sa remarcam ca matricea:

R =

1√5

2√5

2√5

−1√5

18


este o simetrie, deoarece det(R) = −1. Vrem sa înlocuim matricea R cu matricea unei rotat, ii s, i folosimunul din urmatoarele procedee.

(1) Putem renumerota λ′1 = λ2 s, i λ′2 = λ1 s, i, corespunzator, ~e′1 = ~e2, iar ~e′2 = ~e1. Atunci rotat, ia:

(x

y

)=

1√5

2√5

2√5

−1√5

·(x′y′

),

care poate fi scrisa echivalent ca: x =

1√5(2x′ + y′)

y =1√5(−x′ + 2y′),

conduce la:4x′2 − y′2 −

8√5+

6√5y′ − 3 = 0.

Completam patratele s, i fort, am factorii comuni, obt, inînd:

4(x′ −

1√5

)2−(y′ −

3√5

)2− 2 = 0.

Pentru ultimul pas, efectuam translat, ia sistemului de coordonate în punctulC1

( 1√5

,3√5

), translat, ie

data de:x′ = x′′ +

1√5

, y′ = y′′ +3√5

.

În fine, obt, inem ecuat, ia canonica a hiperbolei:

x′′2

1/2−y′′2

2− 1 = 0.

Vîrfurile acestei hiperbole se afla pe axa C1x′′.

(2) Alternativ, o alta metoda este urmatoarea: convenim sa folosim versorii: ~e∗1 = −~e1,~e∗2 = ~e2.Atunci rotat, ia: (

x

y

)=

−1√5

2√5

−2√5

−1√5

·(x1

y1

)

conduce la ecuat, ia:

−x21 + 4y2

1 −6√5x1 −

8√5y1 − 3 = 0.

În plus, direct, iile axelor de coordonate OX1 s, i OY1 sînt determinate de versorii ~e∗1 s, i ~e∗2 , respectiv.

Sistemul este translatat în C2

(−

3√5

,1√5

)prin:

x1 = x2 +3√5

, y1 = y2 −1√5

.

Hiperbola are vîrfurile pe axa C2y2; iar ecuat, ia canonica a ei, raportata la sistemul x2C2y2 este:

x22

2−y2

21/2

+ 1 = 0.

19


2. Sa se stabileasca natura s, i genul conicei:

Γ : 9x2 − 6xy+ y2 + 20x = 0.

Sa se reduca ecuat, ia lui Γ la forma canonica folosind metoda rotat, iei s, i translat, iei.Solut, ie: Calculam invariant, ii:

∆ =

∣∣∣∣∣∣9 −3 10−3 1 010 0 0

∣∣∣∣∣∣ = −100, δ =

∣∣∣∣ 9 −3−3 1

∣∣∣∣ = 0.

Rezulta ca Γ este o parabola. Deoarece a12 6= 0, putem face o rotat, ie de unghi θ, care este solut, iaecuat, iei:

(a11 − a22) sin 2θ− 2a12 cos 2θ = 0.

Ecuat, ia este echivalenta cu:

4 sin 2θ+ 3 cos 2θ = 0 =⇒ 3 tan2 θ− 8 tan2 θ− 3 = 0 =⇒ tan θ ∈ {3,13}.

Alegem atunci tan θ = 3, care se poate obt, ine s, i folosind formula tan θ = −a11

a12= 3. Nu ne

intereseaza θ, ci doar sin θ =3√10

s, i cos θ =1√10

.

Formulele care descriu atunci rotat, ia sistemului XOY sînt:

x =1√10

(x′ − 3y′), y =1√10

(3x′ + y′).

Fat, a de sistemul rotit X′OY′, ecuat, ia conicei Γ este:

y′2+

2√10x′ −

6√10y′ = 0.

În aceasta expresie, completam patratele s, i obt, inem:(y′ −

3√10

)2=

910

−2√10x′.

Atunci, cu translat, ia: x′ = x′′

y′ = y′′ +3√10

,

gasim ecuat, ia canonica a parabolei:

y′′2= −

2√10x′′ +

910

.

Pentru cealalta solut, ie, tan θ = −13

, obt, inem:

sin θ =1√10

, cos θ = −3√10

.

În acest caz, facem rotat, ia:

x =1√10

(−3x′ − y′), y =1√10

(x′ − 3y′),

20


iar ecuat, ia conicei devine:

x′2−

6√10x′ +

2√10x′ = 0.

Completam patratele, efectuam translat, ia:x′ = x′′ +3√10

y′ = y′′

s, i gasim ecuat, ia canonica a parabolei:

x′′2=

2√10y′′ +

9√10

.

3. Se da conica:Γ : x2 − 2xy+ 3y2 − 4x+ 6y− 4 = 0.

Aflat, i:

(a) polara relativ la A(1, 2) s, i tangentele duse din A la conica;

(b) Diametrul conjugat cu ~v =~i− 2~j s, i tangentele de direct, ie ~v la conica;

(c) tangenta dusa în punctul B(1, 1) la conica.

Solut, ie: (a) Ecuat, ia polarei punctului A în raport cu conica se deduce prin dedublarea ecuat, ieiconicei cu coordonatele punctului A(1, 2). Rezulta:

∆pol,A : 1 · x+ 2 · 12(x · 2 + 1 · y) + 3 · 2y− 4 · 1

2· (x+ 1) + 6 · 1

2· (y+ 2) − 4 = 0⇐⇒ y =

38x.

Acum, intersect, ia dintre polara ∆ s, i conica este data de:x2 − 2xy+ 3y2 − 4x+ 6y− 4 = 0

y =3x8

⇐⇒

43x2 − 112x− 256 = 0

y =3x8

,

care are solut, iile:

T1,2

(56± 8√

22143

,21± 3

√221

43

).

Rezulta ca cele doua tangente au ecuat, iile:

∆1,2 : y− 2 = (x− 1) · −65± 3√

22113± 8

√221

.

(b) Diametrul conicei Γ conjugat cu direct, ia ~v =~i− 2~j = (1,−2) este dat de ecuat, ia:

∆conj,~v : 1 · (2x− 2y− 4) + (−2) · (−2x+ 6y+ 6) = 0⇐⇒ 3x− y7 − 8 = 0.

Daca ducem tangentele de direct, ie~v = (1,−2) la conica, atunci punctele de tangent, a (A,B) se afladin sistemul:

{A,B} = Γ ∩∆conj :

{x2 − 2xy+ 3y2 − 4x+ 6y− 4 = 0

3x− 7y− 8 = 0⇐⇒

x =7y+ 8

30 = y2 + y− 2

,

de unde rezulta A(−2,−2) s, i B(5, 1). În concluzie, ecuat, iile tangentelor de direct, ie ~v la conica sînt:

∆1 :x+ 2

1=y+ 2−2

⇐⇒ 2x+ y+ 6 = 0

∆2 :x− 5

1=y− 1

2⇐⇒ 2x+ y− 11 = 0.

21


(c) Tangenta dusa prin punctulB(1, 1) ∈ Γ la Γ are ecuat, ia obt, inuta prin dedublare cu coordonatelepucntului B, adica:

∆tg,B : 1 · x− (x+ y) + 3 · y− 2(x+ 1) + 3(y+ 1) − 4 = 0,

care se poate scrie echivalent:2x− 5y+ 3 = 0.

8 Cuadrice

8.1 Sfera

Fie E3 un spat, iu euclidian real tridimensional, raportat la un reper cartezian {0,~i,~j,~k}. FieC(x0,y0, z0)

un punct fixat s, i r > 0 un numar real fixat. Sfera S de centru C s, i raza r este mult, imea punctelorM(x,y, z), cu proprietatea ca d(C,M) = r.

Distant,a euclidiana se defines, te cu ajutorul radicalului, dar asta nu o face diferent, iabila peste tot,astfel ca este înlocuita prin ridicare la patrat.

Avem, as, adar:

Teorema 8.1: PunctulM(x,y, z) apart, ine sferei S de centru C(x0,y0, z0) s, i raza r daca s, i numai daca:

(x− x0)2 + (y− y0)

2 + (z− z0)2 = r2.

Aceasta ecuat, ie se numes, te ecuat, ia carteziana implicita a sferei. Ea este echivalenta cu trei ecuat, iiparametrice în R3:

x = x0 + r sinu cos v

y = y0 + r sinu sin v

z = z0 + r cosu,

unde u ∈ [0,π], v ∈ [0, 2π] sînt parametrii, sau cu ecuat, ia vectoriala:

~r = ~r0 + r(sinu cos v~i+ sinu sin v~j+ cosu~k).

Figura 2: Sfera în spat, iul euclidian tridimensional

Expresia care apare în definit, ia sferei este un polinom de gradul doi în nedeterminatele x,y, z,lucru care ne sugereaza ca ar trebui, în general, sa cercetam mult, imea Σ din R3, descrisa de o ecuat, iede forma:

x2 + y2 + z2 + 2ax+ 2by+ 2cz+ d = 0.

Aceasta ecuat, ie poate fi rescrisa ca:

(x+ a)2 + (y+ b)2 + (z+ c)2 = ρ = a2 + b2 + c2 − d,

numita ecuat, ia carteziana generala a sferei.Rezulta din aceasta descriere ca:

22


(a) Daca ρ > 0, atunci Σ este o sfera cu centrul în (−a,−b,−c) s, i cu raza√ρ;

(b) Daca ρ = 0, atunci Σ = {(−a,−b,−c)};

(c) Daca ρ < 0, atunci Σ = ∅.

Ca suprafat, a din R3, sfera este o mult, ime marginita s, i închisa, deci compacta. Ea separa spat, iulîn doua submult, imi disjuncte, interiorul ei s, i exteriorul ei.

Daca consideram funct, ia:

f : R3 → R, f(x,y, z) = (x− x0)2 + (y− y0)

2 + (z− z0)2 − r2,

atunci cele doua mult, imi pot fi descrise ca:

int(S) = {(x,y, z) | f(x,y, z) < 0}, ext(S) = {(x,y, z) | f(x,y, z) > 0}.

Doua proprietat, i topologice importante s, i totodata simple sînt:

Teorema 8.2: (a) Mult, imea int(S) este convexa.

(b) Pentru orice punctM1 ∈ int(S) s, i orice punctM2 ∈ ext(S), segmentul [M1M2] intersecteaza pe S.

Prin definit, ie, se numes, te plan tangent la sfera în punctul M1(x1,y1, z1) locul geometric al tuturordreptelor tangente la sfera în punctulM1. O alta proprietate topologica a sferei, dedusa din definit, iaei cu ajutorul funct, iei de gradul al doilea, ne spune ca ea este o suprafat, a neteda, adica în fiecarepunct al sau exista un plan tangent.

Ecuat, ia planului tangent în punctulM1 ∈ S se obt, ine prin dedublarea ecuat, iei sferei, adica:

(x− x0)(x1 − x0) + (y− y0)(y1 − y0) + (z− z0)(z1 − z0) − r2 = 0,

care poate fi prelucrata s, i rescrisa ca:

xx1 + yy1 + zz1 + a(x+ x1) + b(y+ y1) + c(z+ z1) + d = 0.

8.2 Elipsoidul

Elipsoidul este o suprafat, a care generalizeaza sfera, la fel cum elipsa este un caz mai general decerc.

Definitie 8.1: Suprafat,a Σ ⊆ R2, de ecuat, ie:

x2

a2 +y2

b2 +z2

c2 − 1 = 0,a,b, c > 0

se numes, te elipsoid.

Pentru a descrie forma geometrica a elipsoidului, îi studiem simetriile s, i intersect, iile cu axele decoordonate, precum s, i cu plane paralele cu axele de coordonate.

Daca schimbam oricare dintre nedeterminate cu opusa ei, ecuat, ia elipsoidului nu se schimba.As, adar, un elipsoid este simetric fat, a de planele de coordonate, care se numesc plane principale aleelipsoidului.

Totodata, suprafat,a este simetrica s, i fat, a de axele de coordonate, care se numesc axele suprafet, ei,deoarece schimbarile tripletului (x,y, z) în (x,−y,−z) sau (−x,y,−z) ori (−x,−y, z) nu modificaecuat, ia elipsoidului. Rezulta de aici, în plus, ca originea este un centru de simetrie. Punctele încare axele de coordonate înt,eapa suprafat,a elipsoidului se numesc vîrfuri.

23


Din ecuat, ie, numerele a,b, c se numesc semiaxe. Intersect, iile dintre planele de coordonate s, i elip-soid sînt elipse:

(1)

x2

a2 +y2

b2 − 1 = 0

z = 0, (2)

x2

a2 +z2

c2 − 1 = 0

y = 0, (3)

y2

b2 +z2

c2 − 1 = 0

x = 0.

Daca intersectam elipsoidul cu plane paralele cu XOY, obt, inem elipsele:x2

a2

c2 (c2 − k2)+

y2

b2

c2 (c2 − k2)− 1 = 0

z = k,k ∈ [−c, c]

care sînt asemenea cu elipsa (1).

Figura 3: Intersect, ia elipsoidului cu planele principale

O proprietate topologica importanta este:

Teorema 8.3: Elipsoidul este o mult, ime marginita s, i închisa, deci compacta în spat, iu.

Demonstratie. Din ecuat, ia elipsoidului, deducem ca toate rapoartele sînt subunitare, adica:

−a 6 x 6 a, −b 6 y 6 b, −c 6 z 6 c.

Astfel, toate punctele elipsodului sînt cuprinse într-un paralelipiped cu laturile de lungimi finite.Elipsoidul Σ este o mult, ime închisa în spat, iu, deoarece {1} este închisa în R, iar întreg elipsoidul

poate fi privit ca imaginea inversa a lui 1, prin funct, ia:

g : R3 → R,g(x,y, z) =x2

a2 +y2

b2 +z2

c2 ,

care este o funct, ie continua, deci întoarce închis, i în închis, i.

De asemenea, avem s, i:

Teorema 8.4: Intersect, ia dintre un elipsoid s, i un plan arbitrar este o elipsa, un punct sau mult, imea vida.

Demonstratie. Intersect, ia dintre un elipsoid s, i un plan este o curba de gradul al doilea, adica o conica.Deoarece elipsoidul este o mult, ime compacta, fiind închisa s, i marginita, rezulta ca intersect, ia trebuiesa fie marginita. Singurele conice marginite sînt elipsa, punctul s, i mult, imea vida.

8.3 Hiperboloizii

Urmatoarea cuadrica de care ne ocupam este hiperboloidul.Vom vedea ca exista doua tipuri de hiperboloizi, de aceea referint,a este la plural.

24



x2

a2 +y2

b2 −z2

c2 − 1 = 0,a,b, c > 0

se numes, te hiperboloid cu o pînza.

De remarcat, înca din ecuat, ie, este faptul ca aceasta suprafat, a particulara are aceleas, i simetrii cas, i elipsoidul. Intersect, iile hiperboloidului cu planele x = 0 s, i y = 0 sînt hiperbole:

y2

b2 −z2

c2 − 1 = 0

x = 0,

x2

a2 −z2

c2 − 1 = 0

y = 0.

Daca intersectam suprafat,a cu plane de forma z = k, obt, inem elipse asemenea, pentru oricek ∈ R. Rezulta, as, adar, forma din figura de mai jos.

Figura 4: Hiperboloidul cu o pînza

Se observa, din figura, ca hiperboloidul cu o pînza este o mult, ime nemarginita, deoarece cont, inedoua hiperbole s, i închisa în R3.


x2

a2 +y2

b2 −z2

c2 + 1 = 0,a,b, c > 0

se numes, te hiperboloid cu doua pînze.

Aceleas, i simetrii ca s, i în cazul hiperboloidului cu o pînza se pot remarca s, i în acest caz. Hiperbo-loidul cu doua pînze are doua vîrfuri situate pe axaOZ, iar intersect, iile sale cu planele x = 0 s, i y = 0sînt hiperbolele:

y2

b2 −z2

c2 + 1 = 0

x = 0,

x2

a2 −z2

c2 + 1 = 0

y = 0

În regiunea −c < z < c nu avem puncte ale hiperboloidului, iar intersect, ia suprafet,ei cu planelez = k, cu |k| > c este data de elipsele asemenea:

x2

a2

c2 (k2 − c2)+

y2

b2

c2 (k2 − c2)− 1 = 0

z = k

De asemenea, hiperboloidul cu doua pînze este o mult, ime nemarginita s, i închisa în R3 s, i esteschit,at în figura de mai jos.

25


Figura 5: Hiperboloidul cu doua pînze

8.4 Paraboloizii


z =x2

a2 +y2

b2 ,a,b > 0

se numes, te paraboloid eliptic.

Planele de simetrie x = 0 s, i y = 0 se numesc plane principale. De asemenea, remarcam ca OZeste axa de simetrie s, i înt,eapa suprafat,a în origine. Punctul acesta se numes, te vîrf, iar intersect, iileparaboloidului eliptic cu planele x = 0 s, i y = 0 sînt parabolele:z =

y2

b2

x = 0,

z =x2

a2

y = 0.

Rezulta ca paraboloidul eliptic este o suprafat, a nemarginita. Evident, din ecuat, ia de definit, ie sevede ca paraboloidul eliptic exista numai pentru z > 0.

Intersect, ia paraboloidului cu planele z = k > 0 da elipsele:x2

a2 +y2

b2 = k

z = k.

Din aceste considerente, deducem ca forma paraboloidului eliptic este ca în figura de mai jos.

Figura 6: Paraboloidul eliptic

În cazul particular a = b, obt, ine paraboloidul de rotat, ie, care se obt, ine prin rotat, ia unei paraboleîn jurul axei sale. Paraboloidul eliptic este o mult, ime nemarginita s, i închisa în R3.

26


Definitie 8.5: Suprafat,a Σ de ecuat, ie:

z =x2

a2 −y2

b2

se numes, te paraboloid hiperbolic sau suprafat, a-s, a.

Aceasta suprafat, a are aceleas, i simetrii ca s, i paraboloidul eliptic. Originea este vîrf al suprafet,ei,iar intersect, ia cu planul x = 0 da parabola: z = −

y2

b2

x = 0,

care are concavitatea spre sensul negativ al axei OZ, deoarece z 6 0. Intersect, ia cu planul y = 0 neda parabola: z =

x2

a2

y = 0,

care are axa de simetrie OZ s, i este dirijata în sensul pozitiv al acestei axe.Daca intersectam suprafat,a cu planele z = k > 0, obt, inem hiperbolele:

x2

a2 −y2

b2 = k

z = k,

care au axa transversa paralela cu OX.Daca intersectam cu planele z = k < 0, obt, inem hiperbolele:

x2

a2 −y2

b2 = k

z = k.

As, adar, obt, inem forma din figura de mai jos.

Figura 7: Paraboloidul hiperbolic (suprafat, a-s, a)

Ca mult, ime, suprafat,a este nemarginita s, i închisa.

8.5 Cilindri, perechi de plane

În acest paragraf, completam lista cuadricelor definite prin ecuat, ii canonice, cu cazurile specialecare au ramas.

Cuadrica de ecuat, ie:x2 + y2 − a2 = 0

27


se numes, te cilindru circular. Un alt exemplu îl constituie cuadrica de ecuat, ie:

x2

a2 +y2

b2 − 1 = 0,

care se numes, te cilindru eliptic.În fine, cuadrica de ecuat, ie:

x2

a2 −y2

b2 − 1 = 0

se numes, te cilindru hiperbolic, iar cuadrica de ecuat, ie:

y2 = 2px

se numes, te cilindru parabolic.Alte tipuri speciale de cuadrice includ:

• perechi de plane concurente, de ecuat, ie:

x2

a2 −y2

b2 = 0;

• perechi de plane paralele, de ecuat, ie x2 − a2 = 0;

• perechi de plane confundate: x2 = 0;

• dreapta (în spat, iu):x2

a2 +y2

b2 = 0;

• punctul (în spat, iu):x2

a2 +y2

b2 +z2

c2 = 0;

• mult, imea vida:x2

a2 +y2

b2 +z2

c2 + 1 = 0 saux2

a2 +y2

b2 + 1 = 0 sau x2 + a2 = 0, cu a 6= 0.

8.6 Generatoare rectilinii

În cele ce urmeaza, vom studia moduri în care o cuadrica poate fi generata, prin diverse metodegeometrice. De exemplu, vom vedea ca unele cuadrice pot fi generate prin mis, carea unei drepte sauprin mis, carea unor alte tipuri de conice.

Definitie 8.6: O cuadrica Σ care poate fi generata prin mis, carea unei drepte D care se sprijina pe ocurba C se numes, te cuadrica riglata.

DreaptaD se numes, te generatoarea rectilinie a cuadricei riglate, iar curba C se numes, te curba direc-toare.

Definit, ia poate fi reformulata fara a face uz de dreapta directoare. Într-adevar, putem numi ocuadrica riglata daca prin orice punct al sau trece cel put, in o dreapta cont, inuta în cuadrica.

O cuadrica se numes, te dublu riglata daca prin fiecare punct al sau trec doua drepte distincte, caresînt cont, inute în cuadrica.

În ce prives, te cuadricele discutate pîna acum, avem:

Teorema 8.5: Hiperboloidul cu o pînza s, i paraboloidul hiperbolic sînt cuadrice dublu riglate.

Demonstratie. Hiperboloidul cu o pînza are ecuat, ia:

Σ1 :x2

a2 +y2

b2 −z2

c2 − 1 = 0.

28


Aceasta ecuat, ie poate fi rescrisa ca:(xa−z

c

)·(xa+z

c

)=(

1 −y

b

)·(

1 −y

b

).

Rezulta ca avem urmatoarele familii de drepte incluse în hiperboloidul cu o pînza:

Dλ :

x

a+z

c= λ(

1 +y

b

)λ(xa−z

c

)= 1 −

y

b

, D∞ :

x

a−z

c= 0

1 +y

b= 0

Dµ :

x

a+z

c= µ

(1 −

y

b

)µ(xa−z

c

)= 1 +

y

b

, D′∞ :

x

a−z

c= 0

1 −y

b= 0.

Mai mult, hiperboloidul poate fi obt, inut ca reuniune a acestor familii de drepte.Cu alte cuvinte, familiile de mai sus sînt generatoare rectilinii ale hiperboloidului cu o pînza.Sa remarcam simplu ca, daca generatoarele rectilinii ale hiperboloidului cu o pînza sînt translatate

paralel în origine, atunci obt, inem generatoarele rectilinii ale conului:

Σ :x2

a2 +y2

b2 −z2

c2 = 0.

Evident, de aici rezulta ca conul este o suprafat, a simplu riglata.Similar pentru paraboloidul hiperbolic:

Σ2 : z =x2

a2 −y2

b2

poate fi generat de doua familii de drepte. Pentru a gasi aceste familii de drepte, transcriem ecuat, iaparaboloidului hiperbolic în forma:

z =(xa−y

b

)·(xa+y

b

).

De aici, rezulta ca putem gasi familiile de drepte care sînt incluse în paraboloidul hiperbolic:

Dλ :

x

a+y

b= λz

λ(xa−y

b

)= 1

, D∞ :

x

a−y

b= 0

z = 0

Dµ :

x

a−y

b= µz

µ(xa+y

b

)= 1

, D′∞ :

x

a+y

b= 0

z = 0.

Paraboloidul se realizeaza ca reuniunea acestor familii de drepte s, i avem concluzia.

Proprietat, ile esent, iale ale familiilor de generatoare pentru cuadricele prezentate au urmatoareleproprietat, i:

Teorema 8.6: Hiperboloidul cu o pînza:

(a) Orice doua drepte din aceeas, i familie sînt necoplanare;

(b) O dreapta din familia Dλ s, i una din familia Dµ sînt coplanare;

(c) Oricare trei drepte din aceeas, i familie nu sînt paralele cu acelas, i plan

Paraboloidul hiperbolic:

(a) Orice doua drepte din aceeas, i familie sînt necoplanare;

29


(b) O dreapta din familia Dλ s, i una din familia Dµ sînt concurente;

(c) Oricare trei drepte din aceeas, i familie sînt paralele cu acelas, i plan.

Proprietatea de a fi riglat poate fi extinsa s, i la suprafet,e: o suprafat, a se numes, te riglata daca estegenerata prin mis, carea unei drepte D care se sprijina pe o curba C.

În acest caz, daca generatoarea D are ecuat, iile parametrice:x = x0 + vl

y = y0 + vm

z = z0 + vn, v ∈ R,

atunci suprafat,a riglata are ecuat, ii parametrice de gradul 1 în v, adica:x = x0(u) + vl(u)

y = y0(u) + vm(u)

z = z0(u) + vn(u), (u, v) ∈ I×R,

unde I este un interval convenabil din R.De remarcat este faptul ca are loc s, i o reciproca part, iala a teoremei de mai sus:

Teorema 8.7: Orice suprafat, a dublu riglata este un plan, un hiperboloid cu o pînza sau un paraboloid hiper-bolic.

Demonstratie. O suprafat, a riglata este dublu riglata daca s, i numai daca ecuat, iile ei parametrice sîntecuat, ii de gradul 1 în v s, i de gradul 1 în u, adica arata:

x = a0 + a1u+ v(l0 + l1u)

y = b0 + b1u+ v(m0 +m1u)

z = c0 + c1u+ v(n0 +n1u), (u, v) ∈ R2.

Facem urmatoarea notat, ie:

∆ =

∣∣∣∣∣∣a1 l0 l1b1 m0 m1

c1 n0 n1

∣∣∣∣∣∣Se impune discut, ia: daca ∆ = 0, atunci exista α,β,γ numere reale, astfel încît:

α(x− a0) +β(y− b0) + γ(z− c0) = 0,

ceea ce face ca suprafat,a studiata sa fie un plan, care este o suprafat, a riglata într-o infinitate de mo-duri.

Daca ∆ 6= 0, atunci, prin eliminarea lui u s, i v, obt, inem o ecuat, ie de gradul al doilea în (x,y, z). Înacest caz, suprafat,a dublu riglata este o cuadrica, iar singurele cuadrice dublu riglate sînt hiperbolo-idul cu o pînza s, i paraboloidul hiperbolic.

8.7 Cuadrice descrise prin ecuat,ia generala

Descrierea analitica a cuadricelor invita la cautarea spat, iului pe care ecuat, ia lor îl genereaza.Spat, iul ambiant în care lucram este R3, dar vom cauta sa identificam mai precis spat, iul corespun-zator cuadricelor prezentate prin ecuat, ia generala.

Fie o forma patratica afina g : R3 → R:

g(x,y, z) =a11x2 + a22y

2 + a33z2+

+2a12xy+ 2a13xz+ 2a23yz+

+2a10x+ 2a20y+ 2a30z

+a00.

Cu aceasta, avem urmatoarea not, iune:

30


Definitie 8.7: Mult, imea de nivel constant zero:

Σ = {M(x,y, z) ∈ R3 | g(x,y, z) = 0}

se numes, te cuadrica sau suprafat, a algebrica de ordinul al doilea.Aceasta se noteaza: Σ : g(x,y, z) = 0.

Ca s, i în cazul conicelor, remarcam ca toate cuadricele sînt mult, imi închise în spat, iu, deoarece sîntimaginea inversa a lui {0} – care este mult, ime închisa – printr-o funct, ie continua, g, polinomiala.

Ideea principala a sect, iunii prezente s, i a celor ce vor urma este sa vedem moduri prin care ocuadrica poate fi adusa la forma canonica, identificînd (sub)spat, ii corespunzatoare în care aceastaforma are loc. As, adar, se va trece de la reperul cartezian standard {0,~i,~j,~k} orientat pozitiv la un altreper fat, a de care ecuat, ia g(x,y, z) = 0 sa aiba forma cea mai simpla posibila, care se va numi ecuat, iaredusa (canonica).

Prin aceasta transformare, se va arata ca mult, imea Σ este congruenta cu una din mult, imile: sfera,elipsoid, hiperboloid, paraboloid, con, cilindru, pereche de plane, dreapta, punct sau mult, ime vida.

Relativ la operat, iile de rotat, ie s, i translat, ie pe care le vom face, cuadricele au urmatorii invariant, i:

∆ = det(A), δ = det(A)

J =

∣∣∣∣a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣a11 a13

a31 a33

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣a22 a23

a32 a33

∣∣∣∣I = tr(A),

unde matricele corespunzatoare sînt:

A =

a11 a12 a13 a10

a21 a22 a23 a20

a31 a32 a33 a30

a01 a02 a03 a00

, A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

,

cu convent, ia pe care am mai folosit-o, anume aij = aji, i 6= j.Aces, ti invariant, i vor fi folosit, i pentru clasificarea cuadricelor. În prima faza, vom avea:

• Daca ∆ = 0, atunci cuadrica este degenerata, fiind o reuniune de plane;

• Daca ∆ 6= 0, atunci cuadrica este nedegenerata.

Dintre cuadricele nevide, sfera, elipsoidul, hiperboloizii s, i paraboloizii sînt cuadrice nedegene-rate, iar conul, cilindrii s, i perechile de plane sînt cuadrice degenerate.

În cazul sferei, avem o cuadrica pentru care a11 = a22 = a33 = m, numar real nenul, iar a12 =

a13 = a23 = 0, identificari care rezulta din examinarea ecuat, iei corespunzatoare. De asemenea:

ρ =(a10

m

)2+(a20

m

)2+(a30

m

)2−a00

m> 0.

Centrul sferei este punctul: (−a10

m,−a20

m,−a30

m

),

iar raza sferei este r =√ρ.

8.8 Centrul cuadricelor

Ca în cazul conicelor, centrul de simetrie al unei cuadrice este un punct critic al funct, iei g, adicaeste solut, ia sistemului liniar:

12∂g

∂x= a11x+ a12y+ a13z+ a10 = 0

12∂g

∂y= a12 x+ a22y+ a23 z+ a20 = 0

12∂g

∂z= a13x+ a23y+ a33z+ a30 = 0/

31


Discut, ia cazurilor posibile:

(1) Daca det(A) = δ 6= 0, atunci sistemul liniar de mai sus este compatibil unic determinat. As, adar,cuadrica admite un singur centru de simetrie la distant, a finita. Acesta este cazul sferei, elipsoi-dului, hiperboloizilor s, i conului;

(2) Daca δ = 0 s, i(a11 a12

a12 a22

)6= 0, s, i unicul determinant caracteristic al sistemului este nenul, atunci

sistemul este incompatibil. Cele trei plane reprezentate de cele trei ecuat, ii formeaza o prismatriunghiulara. Acesta este cazul paraboloidului eliptic s, i paraboloidului hiperbolic.

(3) Daca δ = 0, iar determinantul de mai sus este nenul s, i unicul determinant caracteristic este nul,sistemul liniar este compatibil simplu nedeterminat.

Cele trei plane reprezentate de cele trei ecuat, ii din sistem se intersecteaza dupa o dreapta numitadreapta de centre. Este cazul cilindrilor circulari, eliptici s, i hiperbolici.

(4) Daca δ = 0 s, i rangul sistemului este 1, iar cei doi determinant, i caracteristici sînt nenuli, atuncisistemul este incompatibil

Obt, inem doua plane paralele, care este cazul cilindrului parabolic.

(5) Daca δ = 0, rangul sistemului este 1, iar cei doi determinant, i caracteristici sînt nuli, atunci sis-temul este compatibil dublu nedeterminat. Obt, inem trei plane confundate, iar cuadrica are unplan de centre.

Este cazul planelor paralele distincte sau confundate.

Sa vedem un exemplu.

Exemplu 8.1: Fie cuadrica Σ, care cont, ine doua puncte, A(−1, 2, 3) s, i B(1, 1,−1), precum s, i axa OY s, icercul Γ cu centrul în C(0, 0, 3), fiind tangent axei OX în origine.

Vom scrie ecuat, ia cuadricei, îi determinam invariant, ii s, i coordonatele centrului.Cercul Γ se afla în planul XOZ s, i are ecuat, iile:

x2 + z2 − 6z = 0, y = 0.

Atunci ecuat, ia cuadricei are forma:

x2 + z2 − 6z+ y(αx+βy+ γz+ δ) = 0,

deoarece intersect, ia dintre aceasta suprafat, a s, i planul XOZ este cercul Γ .Deoarece cuadrica cont, ine axa OY, ecuat, ia ei este identitatea pentru z = 0 s, i x = 0, de unde

rezulta ca β = δ = 0.Condit, iile A ∈ Σ s, i B ∈ Σ conduc la sistemul:{

α− 3γ = 4

α+ γ = 8=⇒ α = 7,γ = 1.

Obt, inem, în fine:Σ : x2 + z2 + 7xy+ yz− 6z = 0.

Invariant, ii corespunzatori sînt:

∆ =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 7

2 0 072 0 1

2 00 1

2 1 −30 0 −3 0

∣∣∣∣∣∣∣∣ =4414

.

32


Rezulta ca avem o cuadrica nedegenerata. Mai departe, δ = −252

, deci cuadrica are un centru s, i

J = −232

, iar I = 2.Centrul se afla rezolvînd sistemul:

2x+ 7y = 0

7x+ z = 0

2z+ y− 6 = 0.

8.9 Reducerea la forma canonica

Vrem sa stabilim ecuat, ia canonica a unei cuadrice. Procedam astfel:

(a) Daca a12 = a13 = a23 = 0, atunci facem o translat, ie s, i eventual o rotat, ie;

(b) Daca cel put, in unul dintre numerele a12,a13,a23 este nenul, atunci tipul cuadricei este determinatde forma patratica:

a11x2 + a22y

2 + a33z2 + 2a12xy+ 2a13xz+ 2a23yz.

Consideram matricea (simetrica) atas, ata acestei forme patratice, careia îi determinam valorileproprii, care sînt reale, precum s, i vectorii proprii corespunzatori, care sunt ortogonali sau pot fifacut, i astfel. Prin urmare, obt, inem versorii ~e1,~e2, ~e3.

Fie R matricea formata de coordonatele acestor versori, aranjate pe coloane. Putem presupune,eventual dupa o renumerotare sau înlocuirea unuia dintre versori cu opusul sau, ca det(R) = 1.Atunci: xy

z

= R ·

x′y′z′

reduce forma patratica la expresia canonica:

λ1x′2 + λ2y

′2 + λ3z′2.

Mai departe, direct, iile noilor axe de coordonate sînt date de direct, iile versorilor proprii ~e1,~e2, ~e3.Daca este cazul, la final se poate face o translat, ie.

Sa vedem acestea aplicate pe un exemplu.

Exemplu 8.2: Se da ecuat, ia:

x2 + y2 + 5z2 − 6xy+ 2xz− 2yz− 4x+ 8y− 12z+ 14 = 0.

Vrem sa o reducem la forma canonica s, i sa construim cuadrica corespunzatoare.Consideram forma patratica asociata:

q(x,y, z) = x2 + y2 + 5z2 − 6xy+ 2xz− 2yz.

Aceasta are matricea asociata:

A =

1 −3 1−3 1 −11 −1 5

Matricea are valorile proprii reale s, i distincte, λ1 = −2, λ2 = 3, λ3 = 6. Vectorii proprii corespun-

zatori vor fi ortogonali, deoarece matricea A este simetrica s, i are valori proprii distincte.

33


Versorii proprii obt, inut, i vor fi: ~e1 =

( 1√2

,1√2

, 0)

~e2 =(−

1√3

,1√3

,1√3

)~e3 =

( 1√6

,−1√6

,2√6

).

Matricea ortogonala R, ale carei coloane sînt formate din componentele versorilor proprii aredeterminantul 1. Facem, atunci, rotat, ia: xy

z

= R ·

x′y′z′

Astfel, ecuat, ia carteziana generala devine:

−2x′2 + 3y′2 + 6z′2 +4√2x′ −

36√6z′ + 14 = 0.

Completam patratele s, i fort, am factorii comuni, obt, inînd:

−2(x′ −

1√2

)2+ 3y′2 + 6

(z′ −

3√6

)2+ 6 = 0.

Facem, atunci, translat, ia, în fine:

x′ =1√2+ x′′, y′ = y′′, z′ =

3√6+ z′′

s, i obt, inem ecuat, ia canonica a unui hiperboloid cu doua pînze, ale carui vîrfuri se afla pe axa abscise-lor CX′′:

−x′′2

3+y′′2

2+z′′2

1+ 1 = 0.

Reprezentarea geometrica este redata în figura 8.2:

Figura 8: Hiperboloidul cu 2 pînze din exemplu

8.10 Intersect,ia cu o dreapta sau un plan

Ca în cazul conicelor, studiem cazurile corespunzatoare intersect, iilor între o cuadrica s, i o dreaptasau un plan.

34


Fie, as, adar, D o dreapta în spat, iu de ecuat, ii parametrice:x = x0 + lt

y = y0 +mt

z = z0 +nt, t ∈ R,

precum s, i o cuadrica Σ de ecuat, ie generala g(x,y, z) = 0.Intersect, ia D∩ Σ corespunde radacinilor ecuat, iei reale:

t2ϕ(l,m,n) + t(lgx0 +mgy0 +ngz0) + g(x0,y0, z0) = 0,

unde am introdus funct, ia:

ϕ(l,m,n) = a11l2 + a22m

2 + a33n2 + 2a12lm+ 2a13ln+ 2a23mn,

iar gx0 = gx(x0,y0, z0) s, .cl.Cazurile pe care le distingem sînt urmatoarele:

(1) Daca ϕ(l,m,n) 6= 0, atunci ecuat, ia corespunzatoare este o ecuat, ie de gradul 2. Introducemnotat, ia pentru discriminant:

q = (lgx0 +mgy0 +ngz0)2 − 4ϕ(l,m,n)g(x0,y0, z0) > 0,

de unde deducem ca ecuat, ia are doua radacini reale distincte, t1 s, i t2.

Astfel, rezulta ca dreapta D intersecteaza cuadrica în doua puncte,M1 s, iM2.

Daca q = 0, atunci t1 = t2. În acest caz, D intersecteaza Σ în doua puncte confundate, caz în caredreapta D se numes, te tangenta la Σ.

Daca q < 0, atunci ecuat, ia nu are radacini reale, deci D nu intersecteaza pe Σ.

(2) Daca ϕ(l,m,n) = 0, atunci ecuat, ia devine una de gradul întîi, pentru care discut, ia este maisimpla. Daca lgx0 +mgy0 +ngz0 6= 0, atunci avem o solut, ie unica, deci D intersecteaza cuadricaΣ într-un singur punct.

Daca lgx0 +mgy0 + ngz0 = 0, dar g(x0,y0, z0) 6= 0, atunci ecuat, ia nu are solut, ii. În acest caz,dreapta D nu intersecteaza cuadrica Σ.

Daca lgx0 +mgy0 +ngz0 = 0 s, i g(x0,y0, z0) = 0, atunci ecuat, ia este o identitate s, i D ⊆ Σ.

Fie M(x0,y0, z0) ∈ Σ un punct pentru care cel put, in unul din numerele gx0 ,gy0 ,gz0 este nenul.Aceasta ipoteza este folosita implicit în rezultatele care urmeaza.

Teorema 8.8: DreaptaD, de parametri directori (l,m,n) este tangenta la cuadricaΣ în punctulM(x0,y0, z0) ∈Σ daca s, i numai daca lgx0 +mgy0 +ngz0 = 0.

Justificarea a fost deja descrisa în cazurile analizate mai sus.

Teorema 8.9: Locul geometric al tuturor tangentelor la cuadrica Σ în punctulM0 ∈ Σ este planul de ecuat, ie:

(x− x0)gx0 + (y− y0)gy0 + (z− z0)gz0 = 0.

Acest plan se numes, te planul tangent la cuadrica Σ în punctulM0.

De remarcat faptul ca ecuat, ia planului tangent într-un punct M0 ∈ Σ se poate obt, ine s, i prindedublarea ecuat, iei g(x,y, z) = 0 în punctulM0. Cu aceasta, ecuat, ia planului tangent este:

a11xx0 + a22yy0 + a33zz0 + a12(x0y+ xy0) + a13(x0z+ xz0) + a23(y0z+ yz0)

+ a10(x+ x0) + a20(y+ y0) + a30(z+ z0) + a00 = 0.

35


Ca în cazul conicelor, cuadrica Σ se numes, te neteda daca în fiecare punct al sau exista un plantangent. Netezimea cuadricei Σ elimina punctele critice, adica acele puncte în care gx,gy,gz,g seanuleaza simultan (e.g. vîrful unui con).

Dreapta care trece prin M0 ∈ Σ s, i este perpendiculara pe planul tangent se numes, te normala la ΣînM0 s, i are ecuat, iile:

x− x0

gx0

=y− y0

gy0

=z− z0

gz0

Intersect, ia dintre un plan P : ax+ by+ cz+ d = 0 s, i o cuadrica oarecare Σ : g(x,y, z) = 0 estedescrisa de sistemul anularilor lor simultane.

Daca c 6= 0, atunci z = αx+ βy+ γ s, i înlocuim în ecuat, ia cuadricei. Astfel, intersect, ia P ∩ Σ sereduce la intersect, ia dintre planul P s, i cilindrul de gradul doi, de ecuat, ie g(x,y,αx+ βy+ γ) = 0,care are generatoarele paralele cu axa OZ; deci P ∩ Σ este o conica Γ .

Proiect, ia acestei conice Γ = P ∩ Σ pe planul XOY : z = 0 este o conica Γ ′, descrisa de sistemul:{z = 0

g(x,y,αx+βy+ γ) = 0

8.11 Exercit,ii rezolvate

1. Se da cuadrica:Σ1 : x2 − y2 + z2 − 2xy− 2yz− 2zx− 5x− 1 = 0.

(a) Calculat, i invariant, ii ∆, δ, J, I;

(b) Aflat, i centrul de simetrie al cuadricei;

(c) Aducet, i cuadrica la forma canonica folosind metoda rotat, iilor s, i translat, iilor; obt, inet, i matriceade rotat, ie folosind metoda valorilor proprii.

Solut, ie: (a) Forma patratica asociata este:

g(x,y, z) = x2 − y2 + z2 − 2xy− 2yz− 2zx.

Matricea formei patratice este:

A =

1 −1 −1−1 −1 −1−1 −1 1

Invariant, ii cuadricei sînt:

∆ =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 −1 −1 −5

2−1 −1 −1 0−1 −1 1 0−5

2 0 0 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣ =332

δ = det(A) =

∣∣∣∣∣∣1 −1 −1−1 −1 −1−1 −1 1

∣∣∣∣∣∣ = −4

J =

∣∣∣∣ 1 −1−1 −1

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣ 1 −1−1 1

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣−1 −1−1 1

∣∣∣∣ = −2 + 0 − 2 = −4

I = tr(A) = 1 − 1 + 1 = 1.

Obt, inem concluzia: cuadrica este nedegenerata (∆ 6= 0) s, i admite un centru de simetrie, deoareceδ 6= 0.

36


(b) Centrul de simetrie se determina din sistemul:gx = 0

gy = 0

gz = 0

⇐⇒

2x− 2y− 2z = 5

−2y− 2x− 2z = 0

2z− 2y− 2x = 0

⇐⇒

x = 5

4

y = −54

z = 0

As, adar, centrul de simetrie este:

Cs

(54

,−54

, 0)

(c) Valorile proprii ale matricei se obt, in a fi:

λ1 = 1, λ2 = −2, λ3 = 2.

Vectorii proprii, care vor alcatui o baza ortonormata, se obt, in:

B ={~e1 =

( 1√3

,−1√3

,1√3

),~e2 =

( 1√6

,2√6

,1√6

),~e3 =

(−

1√2

, 0,1√2

)}Relat, iile de trecere la noul sistem de coordonate sînt: xy

z

= B ·

x′y′z′

Înlocuim expresiile obt, inute ale coordonatelor x,y, z în ecuat, ia cuadricei s, i rezulta ecuat, ia relativ

la noul sistem de coordonate:

Σ′ :x′2− 2y′2 + 2z′2 −

5√3x′ −

5√6y′ +

5√2z′ − 1 = 0

⇐⇒(x′ −

52√

3

)2− 2(y′ −

54√

6

)+ 2(z′ +

54√

2

)−

338

= 0.

Facem translat, iile corespunzatoare expresiilor din paranteze s, i obt, inem:

x′′2− 2y′′2 + 2z′′2 −

338

= 0,

de unde obt, inem, în fine, forma canonica:

x′′2

33/8−

y′′2

33/16+

z′′2

33/16− 1 = 0,

deci este vorba despre un hiperboloid cu o pînza.

9 REZUMAT Conice & Cuadrice

9.1 Ecuat,iile canonice

9.1.1 Conice

Conica Ecuat, ia canonica

Cerc x2 + y2 = a2

Elipsa x2

a2 +y2

b2 = 1

Parabola y2 = 4ax

Hiperbola x2

a2 −y2

b2 = 1

37


9.1.2 Cuadrice nedegenerate

Cuadrica Ecuat, ia canonica

Elipsoid x2

a2 +y2

b2 +z2

c2 = 1

Sfera x2

a2 +y2

a2 +z2

a2 = 1

Paraboloid eliptic x2

a2 +y2

b2 − z = 0

Paraboloid circular x2

a2 +y2

a2 − z = 0

Paraboloid hiperbolic x2

a2 −y2

b2 − z = 0

Hiperboloid eliptic cu o pînza x2

a2 +y2

b2 −z2

c2 = 1

Hiperboloid circular cu o pînza x2

a2 +y2

a2 −z2

b2 = 1

Hiperboloid eliptic cu 2 pînze x2

a2 +y2

b2 −z2

c2 = −1

Hiperboloid circular cu 2 pînze x2

a2 +y2

a2 −z2

b2 = −1

9.1.3 Cuadrice degenerate

Cuadrica Ecuat, ia canonica

Con eliptic x2

a2 +y2

b2 −z2

c2 = 0

Con circular x2

a2 +y2

a2 −z2

b2 = 0

Cilindru eliptic x2

a2 +y2

b2 = 1

Cilindru circular x2

a2 +y2

a2 = 1

Cilindru hiperbolic x2

a2 −y2

b2 = 1

Cilindru parabolic x2 + 2ay = 0

9.2 Conice — Forma canonica

5x2 + 8xy+ 5y2 − 18x− 18y+ 9 = 0.

Forma matriceala a conicei este:(x y

)·(

5 44 5

)·(x

y

)− 2 ·

(9 9

)·(x

y

)+ 9 = 0.

Matricea formei patratice este: A =

(5 44 5

). Ecuat, ia caracteristica:

λ2 − 10λ+ 9 = 0⇒ λ1 = 1, λ2 = 9.

38


Determinam vectorii proprii:{4x1 + 4x2 = 0

4x1 + 4x2 = 0⇒ u1 = (1,−1)⇒ e1 =

1√2(1,−1){

−4x1 + 4x2 = 0

4x1 − 4x2 = 0⇒ u2 = (1, 1)⇒ e2 =

1√2(1, 1).

Matricea de rotat, ie este:

R =

(1√2

1√2

− 1√2

1√2

), detR = 1.

Transformarea coordonatelor, conform matricei de rotat, ie:(x

y

)= R ·

(x ′

y ′

)Conica devine: (

x ′ y ′)· R ·A · Rt ·

(x ′

y ′

)− 2 ·

(9 9

)· Rt ·

(x ′

y ′

)+ 9 = 0.

Prelucrînd ecuat, ia obt, inuta, ajungem la:

x′2 + 9(y′ −√

2)2 − 9 = 0.

Facem schimbarea de coordonate: {X = x ′

Y = y ′ −√

2

s, i ajungem la forma canonica:

X2 + 9Y2 − 9 = 0⇔ X2

9+ Y2 − 1 = 0,

care este o elipsa.

x2 − 4xy+ 4y2 − 6x+ 2y+ 1 = 0.

Scriem ecuat, ia matriceala a conicei:

(x y

)·(

1 −2−2 4

)·(x

y

)+ 2 ·

(−3 1

)·(x

y

)+ 1 = 0.

Matricea formei patratice este A =

(1 −2−2 4

).

Ecuat, ia caracteristica:λ2 − 5λ = 0⇒ λ1 = 0, λ2 = 5.

Vectorii proprii se obt, in:{x1 − 2x2 = 0

−2x1 + 4x2 = 0⇒ u1 = (2, 1)⇒ e1 =

1√5(2, 1);{

−4x1 − 2x2 = 0

−2x1 − x2 = 0⇒ u2 = (1,−2)⇒ e2 =

1√5(1,−2).

39


Matricea de rotat, ie este:

R =

(2√5

1√5

1√5

− 2√5

)Cum detR = −1, trebuie sa schimbam vectorii pentru a obt, ine detR = 1. Schimbam sensul vectoruluie2 în e2 = 1√

5(−1, 2) s, i acum avem:

R =

(2√5

− 1√5

1√5

2√5

), detR = 1.

Mai departe, problema continua similar. Obt, inem forma canonica:

Y2 −2√5X = 0,

adica o parabola.

9.3 Cuadrice — Forma canonica

x2 + 3y2 + 4yz− 6x+ 8y+ 8 = 0.

Consideram forma patratica asociata:

g = x2 + 3y2 + 4yz,

care are matricea simetrica.

A =

1 0 00 3 20 2 0

Ecuat, ia caracteristica rezulta: (1 − λ)(λ2 − 3λ− 4) = 0, deci λ1 = 1, λ2 = −1, λ3 = 4.

Gasim subspat, iile invariante:

V(λ1) =

{(x,y, z) ∈ R3 |

0 0 00 2 20 2 −1

·xyz

=

000

}

= {(x, 0, 0) | x ∈ R}

Similar:

V(λ2) = {(0,y,−2y) | y ∈ R}

V(λ3) = {(0, 2z, z) | z ∈ R}.

Alegem vectori proprii ortonormat, i particularizînd elemente din subspat, iile invariante. De exem-plu:

e1 = (1, 0, 0), e2 =1√5(0, 1,−2), e3 =

1√5(0, 2, 1).

Matricea R cu aces, ti vectori pe coloane are proprietatea detR = 1, deci este o matrice de rotat, ie. Oaplicam s, i gasim schimbarea de coordonate:

x = x ′

y = 1√5(y ′ + 2z ′)

z = 1√5(−2y ′ + z ′)

40


Ecuat, ia cuadricei devine:

x′2 − y′2 + 4z′2 − 6x′ +8√5y′ +

16√5z′ + 8 = 0.

Formam patrate s, i obt, inem:

(x ′ − 3)2 −(y ′ −

4√5

)2+ 4(z ′ +

2√5

)2− 1 = 0.

Efectuam translat, ia corespunzatoare noilor coordonate s, i obt, inem:

X2 − Y2 + 4Z2 − 1 = 0⇔ X2 − Y2 +Z2

14

− 1 = 0,

adica un hiperboloid cu o pînza.

10 Forma canonica Jordan

Pentru matricele care nu se pot diagonaliza, exista o forma mai simpla, numita forma canonica Jordan,la care se pot aduce mereu.

Definitie 10.1: Se numes, te celula Jordan de ordinul s > 1 atas, ata scalarului λ ∈ k s, i se noteaza Js(λ)matricea:

Js(λ) =

λ 0 0 . . . 01 λ 0 . . . 00 1 λ . . . 0

. . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . λ

∈Ms(k).

Se numes, te bloc Jordan o matrice notata B(λ), care are pe diagonala celule Jordan, nu neaparat deacelas, i ordin, dar cu acelas, i scalar λ. Cu alte cuvinte, B(λ) = diag(Js1(λ), . . . , Jsp(λ)).

O matrice patratica J cu elemente din k se numes, te în forma canonica Jordan daca este bloc-diagonala,adica are forma

J = diag(B1(λ1), . . . ,Br(λr)).

De exemplu, matricea de mai jos este în forma canonica Jordan:

J =

8 0 00 10 00 1 10

.

Definitie 10.2: Un endomorfism f : V → V se numes, te jordanizabil daca exista o baza B a lui V astfelîncît matriceaMB

f are forma canonica Jordan.A jordaniza o matrice A ∈Mn(k) înseamna a determina o matrice nesingulara T ∈Mn(k) astfel

încît J = T−1AT .

Metoda de aducere a unei matrice la forma canonica Jordan se va baza pe urmatorul rezultat:

Teorema 10.1: Fie V un k-spat, iu vectorial finit dimensional s, i f : V → V un endomorfism. Atunci au loc:

(a) Kerfi ⊆ Kerfi+1, iar Imfi+1 ⊆ Imfi,∀n ∈N∗;

(b) Exista i ∈N∗ astfel încît s, irul de incluziuni se stabilizeaza:

Kerf ⊆ Kerf2 ⊆ . . . ⊆ Kerfi = Kerfi+1 = . . . not.=== K(f);

Imf ⊇ Imf2 ⊇ · · · ⊇ Imfi = imfi+1 = . . . not.=== I(f);

41


(c) V ' K(f)⊕ I(f).

Definitie 10.3: Subspat, iul vectorial K(f) de mai sus se numes, te nucleul stabil al lui f, iar subspat, iulvectorial I(f) se numes, te imaginea stabila a lui f.

De asemenea, în teorema de mai sus, am notat prin fk compunerea lui f cu sine de k ori, dar modulîn care se va folosi va fi prin intermediulMB

f , unde compunerea revine la produsul matriceal.Teorema de mai sus se utilizeaza în felul urmator. Daca f : V → V este un endomorfism ca

în teorema, notam gi = f − λiIdV , pentru orice valoare proprie λi a lui f. Atunci V(λi) = K(gi),subspat, iul invariant asociat valorii proprii λi.

Pas, ii de urmat sînt:

(1) Se determina polinomul caracteristic Pf(X) = PA(X);

(2) Fie λ o valoare proprie a lui A, cu ordinul de multiplicitate m, fie g = f− λIdV s, i MBg = A− λIn.

Se calculeaza s, irul ascendent de nuclee:

Kerg ⊆ Kerg2 ⊆ . . . ⊆ Kergs = K(g) = V(λ).

Facem notat, iile:

p1 = dim Kergs − dim Kergs−1,p2 = dim Kergs−1 − dim Kergs−2, . . .ps = dim Kerg

s, i avem relat, iile:

p1 6 p2 6 · · · 6 psp1 + p2 + · · ·+ ps = m = dim Kergs = dimV(λ).

(3) Alegem vectorii liniar independent, i ut ∈ Kergs−Kergs−1, cu proprietatea ca Kergs−1⊕Sp{ut} =Kergs = V(λ);

(4) Calculam g(ut) ∈ Kergs−1 − Kergs−2 s, i apoi determinam vectorii liniar independent, i u ′t ∈Kergs−1 − Kergs−2, cu proprietatea ca Kergs−2 ⊕ Sp{g(u ′t)} = Kergs−1 s, i as, a mai departe;

(5) În final, obt, inem o baza a lui V(λ) = Kerg. Fiecarei etape din cele doua de mai sus îi corespundeun bloc Jordan de marime egala cu numarul de vectori ales, i;

(6) Se repeta etapele pentru fiecare valoare proprie s, i se obt, in bazele pentru fiecare V(λi);

(7) Deoarece V = V(λ1)⊕V(λ2)⊕ · · · ⊕V(λt), rezulta ca baza data de reuniunea bazelor subspat, iilorinvariante este baza pentru V . Fie T matricea de trecere de la baza canonica (B) la aceasta baza(B ′). Atunci avem relat, ia finala:

MB ′f = T−1MB

f T = diag(B1(λ1), . . . ,Bt(λt),

unde fiecare bloc diagonal Bi(λi) este format din atîtea celule Jordan cît este dimV(λi).

Exemplu rezolvat: Fie endomorfismul:

f : R3 → R3, f(x,y, z) = (3x+ y− z, 2y, x+ y+ z).

Îi vom aduce matricea la forma canonica Jordan. Avem:

MBcf =

3 1 −10 2 01 1 1

, Pf(λ) = (2 − λ)(λ− 2)2.

42


Subspat, iul propriu asociat acestei valori proprii este:

V(λ) = {(x,y, z) ∈ R3 | f(x,y, z) = 2(x,y, z)}

= {(x,y, z) ∈ R3 | x+ y− z = 0}

= Sp{(1, 0, 1), (0, 1, 1)},

deci dimV(2) = 2, de unde rezulta ca vom avea 2 celule Jordan corespunzatoare acestei valori proprii.S, irul ascendent de nuclee, pentru g = f− 2IdR3 , este:

Kerg ⊆ Kerg2 = Vλ = R3.

Deoarece dimVλ − dimV(λ) = 3 − 2 = 1, avem un singur vector u1 ∈ Vλ − V(λ), iar la pasulurmator, avem 2 vectori:

• u1 ∈ Vλ − V(λ);

• g(u1) = u2 s, i u3 ∈ V(λ) astfel încît {u2,u3} sa fie baza a lui V(λ).

Fie u1 = (0, 1, 0) ∈ Vλ −V(λ), iar u2 = g(u1) = (1, 0, 1). Atunci putem alege u3 = (0, 1, 1) s, i avem:

T =

0 1 01 0 10 1 1

⇒MBf = T−1MBc

f T =

2 0 01 2 00 0 2

Exercit, ii propuse:Sa se aduca la forma canonica Jordan matricele:

A =

4 −1 11 3 −10 1 1

, B =

1 1 1 0−1 3 0 1−1 0 −1 10 −1 −1 1

, C =

0 −1 0−1 −2 20 −1 0

.

43

seminar 8 jordanizare, conice, cuadrice · etti-ag, 2017—2018, a. nit, a˘ & a. oprinanotit,e...

Documents