separata de cinetica
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Lic. Jorge Daniel Torres Alvarez FISICA I
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA
ESCUELA ACADEMICA PROFESIONAL DE INGENIERA DE SISTEMAS Y CIVIL
CINETICA DE LA PARTICULA
Cuando en el colegio o en las academias preuniversitarias se estudiaron las causas del
movimiento de las partculas, cada mtodo de solucin y anlisis de fenmenos se estudiaba
como captulos separados. En esta separata quiero dejar constancia que universitariamente las
causas del movimiento de un cuerpo se deben estudiar en un solo capitulo: Cintica de La
Partcula, la cual ofrece tres mtodos de solucin para resolver problemas en el que se involucre
la accin de las fuerzas, cada uno con sus ventajas.
Asi mismo, es indispensable que el estudiante sepa trazar un diagrama de cuerpo libre
(DCL), punto tratado a nivel bsico en su preparacin universitaria.
Los mtodos de solucin de problemas de Cintica de la partcula son:
a) Mtodo de la Segunda Ley de Newton, en el que predomina el clculo de la aceleracin.
b) Mtodo del Trabajo y la Energa, en el que predomina el clculo de la rapidez.
c) Mtodo del impulso y la cantidad de movimiento, en el que predomina el clculo del tiempo.
METODO DE LA SEGUNDA LEY DE NEWTON
Segunda Ley (Ley fundamental de la dinmica).- Si la fuerza resultante es diferente de cero el
cuerpo experimenta una aceleracin que tiene la misma direccin que la fuerza externa neta que
la produce. Matemticamente la expresamos de la siguiente manera:
zizi
yiyi
xixi
ii
maF
maF
maF
maF
Aplicaciones de la segunda ley de Newton.-
La aplicacin de las leyes de Newton implica:
a) Identificar todas las fuerzas externas que actan sobre un cuerpo o sistema.
b) Trasladar estas fuerzas a un sistema de coordenadas donde se pueda descomponer.
c) Establecer las condiciones y ecuaciones de movimiento.
d) Solucionar las ecuaciones establecidas.
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Ejemplo .1.- En la siguiente figura, determinar la aceleracin del cuerpo si su masa es
m=0.5kg
NF 52
NF 81
60
20x
y
Solucin.-
xx aFFF 5.060cos20cos 21
2/4.175.0
7.8sm
kg
Nax
yy asenFsenFF 5.06020 21
2/44.105.0
22.5sm
kg
Nay
222 /2044.104.17 sma
311
x
y
a
atg
Ejemplo .2.- Un bloque empujado por otro en el siguiente sistema determinar:
a) Determinar la aceleracin del sistema
b) La magnitud de la fuerza de contacto
1m2m
F
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Solucin.-
a) 21 mm
Fa
b) Aplicando la segunda ley de Newton a 21 mym
F
mm
mRamRFx
21
22
amRFFx 1
Fmm
m
mm
FmFR
21
2
21
1
Ejemplo 3.- Mquina de Atwood, este sistema se utiliza para medir la aceleracin de la
gravedad.
1m
2m
a
a
Solucin.-
12 mmSi
amgmTFy 11)1
amTgmFy 22)2
gmm
mma
21
12
gmm
mmT
21
212
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Ejemplo 4.- Pesando un cuerpo en un elevador. a) si el elevador se acelera hacia arriba,
b) S i el elevador se acelera hacia abajo. Calcule la tensin en la cuerda en cada caso.
a a
Solucin.-
a) si el elevador se acelera hacia arriba
mawTFy
Ng
awT 2.481
8.9
2401
c) S i el elevador se acelera hacia abajo
maTwFy
Ng
amgT 8.31
8.9
21401
Ejemplo 5.- Objetos conectados
Si los pesos son iguales y el coeficiente de rozamiento el 0.2 encontrar:
a) La aceleracin de los bloques
b) La tensin en la cuerda que los une
30
1m
2m
a
a
Solucin.-
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130 11 amsenmfrT )a 222 amTgm
amgsenmframgm 1122 30
mamgsenfrmg 230
mamgsenmg 230cos301
2/63.12
30cos301sm
senga
)b NmmmgT 17.863.1
Ejemplo 6.- En la Figura, hallar la fuerza F horizontal para que m no resbale en el
plano inclinado.
FM
m
Solucin.-
fr N
mg
x
y
amMF
mafNsenFx cos mgfsenNFy cos
mafsenfsenmg
cos
cos
m
ffsenmgtga
cos
m
ffsenmgtgmMF
cos
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Fuerza Centrpeta y Centrifuga.
Si una partcula se mueve a lo largo de una trayectoria circular, la direccin que
desde la partcula seala el centro de la trayectoria se denomina DIRECCION
CENTRIPETA. En el movimiento circular el mdulo de la velocidad puede cambiar o no;
sin embargo el vector cambia en direccin y sentido. Esto implica la aparicin de una
aceleracin que causa este cambio, denominada aceleracin centrpeta o normal
v
v
CF
ca
r
vaC
2
Para que el cuerpo tenga una aceleracin centrpeta es necesario que actuara una fuerza
hacia el centro del crculo. La fuerza centrpeta es la resultante de todas las fuerzas
radiales que actan sobre un cuerpo con movimiento circular.
r
mvFC
2
Ejemplo 7 .- Una pelota de 0.5 kg atada a una cuerda de 1.5 m gira en un crculo
horizontal. Si la cuerda puede soportar una tensin mxima de 50N Cul es la mxima de
la pelota?
l
Tv
Solucin.-
sm
m
lTv
l
mvT /2.12
5.0
505.12
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Ejemplo 8.- Una masa suspendida de una cuerda de longitud l , se mueve con velocidad
constante en un crculo horizontal. Determinar el periodo de rotacin.
Solucin.-
l
Tsen
cosT
mg
T.mov
r
mvTsen
2
mgT cos
g
rtg
mg
rm
T
Tsen 22
cos
senlrpero :
cosl
g
g
lT
cos2
Ejemplo 9.- Cual es el coeficiente de rozamiento entre las llantas de un auto y la
calzada si su velocidad es de 72 km/h en una curva de 50 m de radio?
Solucin.-
La fuerza horizontal es la fuerza de rozamiento que suministra la fuerza centrpeta
v
CFmg
r
mvfr
2
8.0500
4002
rg
v
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Curvas con pendiente (peralte).-
Una carretera curvada no es horizontal, sino inclinada, la fuerza normal de la
carretera tiene una componente dirigida hacia el centro del crculo que contribuye a la
fuerza centrpeta. El ngulo de la pendiente (o peralte) puede elegirse da tal modo que,
para una determinada velocidad, no sea necesario el rozamiento para tomar la curva sin
patinar.
Ejemplo 10.- Una curva de 30 m de radio tiene un ngulo de peralte . Determinar
para el cual un coche puede tomar la curva a 40 km/h aunque este cubierta de hielo.
N
mg
Solucin.-
x
y
mg
N R
mvNsenFx
2
mgNFy cos
41.0300
5.1232
Rg
vtg
3.2241.01 tg
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METODO DEL TRABAJO Y ENERGIA
El concepto de energa es uno de los conceptos fsicos ms importantes tanto en la ciencia
como en la prctica de la ingeniera, la combinacin de energa y materia forman el universo. La
materia es sustancia, la energa mueve la sustancia. Es fcil captar la idea de materia, materia es
lo que podemos ver, oler y sentir, tiene masa y ocupa un espacio. La energa es abstracta y en
muchos casos solo se observa cuando se transfiere o se transforma.
En el uso cotidiano, se considera a la energa en trminos del costo del combustible para
el transporte, para la iluminacin, aparatos domsticos y alimentos que consumimos. Los
conceptos de energa y trabajo se fundamentan en las leyes de Newton.
Trabajo.-
ntimamente asociado al concepto de energa se encuentra el concepto de trabajo.
Una fuerza realiza trabajo cuando acta sobre un objeto el cual
recorre cierta distancia siempre y cuando exista una componente
de la fuerza a lo largo de la lnea de movimiento.
xFW cos
dFW siendo d el desplazamiento
Unidad S.I.: JjoulioW
Si la fuerza es perpendicular al desplazamiento, el trabajo es nulo (cero).
Cuando varias fuerzas actan sobre un objeto, se cumple el principio de superposicin:
nnxFxFxFxFW 332211
Ejemplo 1.- Se arrastra una caja de kg15 a una rapidez uniforme hacia arriba por un plano
inclinado 37, con una longitud de 12m. Si 4.0 Cul es el trabajo que realiza la fuerza
aplicada?
Solucin.-
037 wsenfrF
WsenwF cos
senwF cos
1386.032.0150 F 138 12 1656W J
x
F
m
mg
fr
37wsen
F
N
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Ejemplo 2.- En la siguiente figura si el cuerpo recorre 3m hacia arriba y 2.0 Cul
es el trabajo neto sobre el cuerpo?
30
NF 120kg2
Solucin.-
x
y
N
30wsen
fr
30cosF
30Fsen
30cosw
3030cos3030cos FsenwwsenFFx
NFx 76.772.772.0102.103
ciadisxFW netoneto tan
JWneto 3.233376.77
Ejemplo 3.- Un automvil de 1200 kg se acelera uniformemente desde el reposo hasta
70 km/h en 5 seg Cul es el trabajo realizado por el motor?
Solucin.-
29.35
4.19
sm
t
va
m
atx 6.48
2
259.3
2
2
6.489.31200 xmaFxW
JxW 51028.2
Potencia.-
La potencia mide la rapidez con la cual se realiza trabajo (energa transferida por unidad de
tiempo)
Fvt
WP
Unidad S.I.: wvatiosP
JxhoraKw 6106.31
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En el sistema ingls: wHp 7461
La capacidad de un motor se puede dar tanto en kw como en Hp.
Ejemplo 4.- Un elevador cuya masa es 1000 kg y cuya carga es 800 kg al moverse hacia
arriba tiene que vencer una fuerza de friccin de 4000 N. Determinar:
a) La potencia mnima que debe entregar el motor
para que el elevador se mueva a 300 m/s.
b) La potencia para que se mueva con una
aceleracin de 1 m/s2.
Solucin.-
a) NxTgmMfrT 4102.20
HpKws
mNxTvP 5.88663102.2 4min
b) NxTamMgmMfrT 41038.2
wvxTvP 41038.2
Ejemplo 5.- Un automvil de 1 Tn lleva una velocidad de 90 km/h a lo largo de una
carretera que posee una pendiente de 10 Qu potencia consumir el motor en su
desplazamiento si el coeficiente de rozamiento es 2.0 ?
Solucin.-
wsenfrF
senwF cos
NF 36693669.000010
wxFvP 4102.9253669
Ejemplo 6.- Un promedio de 900 m3/s de agua pasan por unas cataratas de 40 m de
altura Cul es la potencia producida por esta cada de agua?
Solucin.-
kgxdmxmV 5353 109109900
JxhFWNxmgF 86 106.3.109
wxseg
Jx
t
WP 8
8
106.31
106.3
motor
T
fr
wsen
N
F
w
fr
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Energa.-
La energa es la capacidad de un cuerpo o un sistema para realizar trabajo. Directa o
indirectamente la energa es esencial para cualquier cosa que existe o es realizada en la sociedad
moderna.
Por ejemplo, un automvil consume gasolina porque necesita energa para moverse, nosotros
necesitamos una ingestin diaria de energa, contenida en los alimentos no solo para realizar
trabajo sino para sobrevivir.
elicaenerga
solarenerga
hidrulicaenerga
nuclearenerga
alesconvencionno
madera
naturalgas
fsilcarbn
petrleo
alesconvencion
energadeFuentes
Existen muchas formas de energa; Mecnica, elctrica, qumica, etc. En este curso
solamente estudiaremos la energa mecnica.
A. Energa Mecnica.-
Es propia de todo sistema mecnico y est compuesta de 2 formas de energa.
a. Energa Cintica.- Depende del movimiento relativo de un cuerpo con respecto a un
nivel de referencia.
Jouliomv
Ec2
2
Ejemplo 7.- Se deja caer un cuerpo de 0.8 kg desde una altura de 90m. Calcular su
energa cintica despus de recorrer el 65% de su altura.
Solucin.-
mh 5.58%65
222
0
2 11702 smghvv
Jmv
Ec 46811704.02
2
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Ejemplo 8.- En el siguiente sistema A parte del reposo y aumenta su velocidad angular
a razn de seg
rad2.0 . Encontrar el tiempo necesario para que la rueda B tenga una
energa cintica de J20 .
Solucin.-
AB vsmv
seg
rad 47.463.0
seg
radr
vAA 7.49
09.0
47.4
segt 7963.0
7.49
AB vsmv
seg
rad 47.463.0
seg
radr
vAA 7.49
09.0
47.4
segt 7963.0
7.49
Ejemplo 9.- Un disco de 1.5 m de radio y 120 kg de masa gira alrededor de su eje a
razn de 80 RPM Cul es su energa cintica de rotacin?
Solucin.-
segradRPM 37.880
Jx
mrEC
322
1046.92
11.7025.2120
2
b. Energa Potencial.- Depende de la posicin de un cuerpo respecto a un nivel de
referencia:
2
. :
. : , constante 2
p
p
E potencial gravitacional E mgh
Clases kxE potencial elstica E donde k es la de un resorte
cm9cm4
A B
kgmB 2kgmA 5
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Ejemplo 10.- Una caja de 50 kg cuelga de una cuerda vertical de 5 m. Si se desplaza 4 m
lateralmente respecto a su posicin inicial Cul es su energa potencial en su nueva
posicin?
Solucin.-
JmghEp 100021050
Ejemplo 5.11.- Una varilla de 2 m, cuya masa es 3 kg puede girar alrededor de un
eje horizontal colocado en uno de sus extremos. Si su energa potencial varia en un 20%,
qu ngulo giro lateralmente?
Solucin.-
Energa en su posicin vertical
JmghEp 301103
JEp 6%20
mhmgh 2.0
30
66
378.0
1
8.0cos
B. Principio de Trabajo - Energa.-
El trabajo efectuado sobre un objeto es igual a su cambio de energa cintica.
El principio del trabajo y la energa nos dice que si se efecta trabajo positivo W sobre un
cuerpo, su energa cintica aumenta una cantidad igual. El principio tambin es vlido para el
caso inverso.
dd
vvmmadFdW
2
2
0
2
3
2
5
4
kg50
53
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EcmvmvvvmW 222
2
0
22
0
2
EcW
Ejemplo 12.- Un automvil se mueve en una superficie horizontal cuyo 3.0 . En
cierto punto su hkmv /62 ; m10 ms adelante su hkmv /85 . Use el principio del trabajo
y la energa para determinar la fuerza producida por el motor del automvil.
Solucin.-
segmv /2.170
m10
segmv f /26
EcW
dd
vvmmadFdW
2
2
0
2
NmmW 1320
296557
Ejemplo 13.- Se requiere una bomba para elevar 100 m3 de agua por minuto desde el
fondo de un pozo de 12 m, expulsndola con una rapidez de 20m/s Qu trabajo se efectuar
para impartirle la energa cintica que tiene al salir?
Solucin.-
kgaguamkgmV 3353 10110100
kgxmseg
kgx
kgm 335 1067.11067.1
min10
Jx
xmvEc 5
32
1034.32
4001067.1
2
Ejemplo 5.14.- Un bloque de 3 kg se desliza hacia abajo por el plano inclinado y spero
como se ve en la figura. El bloque parte del reposo y de la parte ms alta y experimenta una
fuerza de friccin de 5N. a) Utilizando el principio del trabajo y la energa determinar la
velocidad al llegar a la base del plano. b) Verifique la respuesta obtenida en la parte A)
usando la segunda ley de Newton. c) Suponiendo que 0 cual es su velocidad y su
aceleracin.
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30
.movm
m4
Solucin.-
A) 2
302mv
dfmgsen
sm
m
dfmgsenv 3.7
3
8102302
B) s
mamafmgsen 33.33
30
s
maxv 3.7833.322
C)
253
15
9.83
8152
0
sma
smv
si
C. Conservacin de la Energa Mecnica.-
La energa mecnica solamente se conserva en un campo de fuerzas conservativas. Si el
trabajo efectuado por una fuerza sobre una partcula que se mueve entre dos puntos es
independiente de la trayectoria se dice que la partcula se mueve en un campo de fuerzas
conservativas.
Por el principio del trabajo y la energa:
0 Cp EE
022
0
2
0
2
mghmghmvmv
00 pCpC EEEE
0MM EE
Esta ecuacin expresa un principio til y profundo con respecto a la energa mecnica.
La energa mecnica total permanece constante siempre y cuando no acten fuerzas no
conservativas
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Ejemplo 15.- El siguiente sistema est en reposo y luego se libera calcular la velocidad
de kgm 32 cuando golpea el piso. Compruebe este resultado desde el punto de la dinmica.
Solucin.-
MM EE 0
ghmvmvm
ghmghm 1
2
02
2
22211
22
310215.121031102 2 v
sm83.2
5.2
2020
teniendo en cuenta la dinmica
2
21
12 2s
mgmm
mma
s
maxv 83.22222
Ejemplo 6.- En la figura utilizando la conservacin de la energa. a) Determinar la
componente yv0 sabiendo que s
mv x 250 b) La velocidad del proyectil en el punto P.
m70
m30
0v
m
P
Solucin.-
ghvmghmv
y
y2
20
2
0
a) s
mv y 5.24600301020
b) s
mvgHvv yyy 7.44140060022
0
2
smvP 512000625
kg3
kg2m2
m1
1m
2m
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Ejemplo 5.17.- La energa cintica de una partcula es J30 y su energa potencial J25
despus de un tiempo su JEc 20 si nicamente actan fuerzas conservativas. Cul es su
velocidad y su altura respecto a los valores inciales?
Solucin.-
0220
82.04060
vvvv
010
25
10
352055
hhmgh
04.1 hh
D. Eficiencia de un sistema (mquina).-
La eficiencia es el factor que nos indica el mximo rendimiento de una mquina. Tambin se
puede decir que es el ndice que nos indica el grado de perfeccin alcanzado por una
mquina.
La potencia generada por una mquina no es transformada en su totalidad en trabajo til,
sino que una parte del total se utiliza dentro de la mquina, se expulsa o se disipa en forma
de calor.
MQUINAentregada
potencia
til
potencia
perdida
potencia
%100.
.x
entregadaP
tilP
Ejemplo 18.- Se tiene una bomba de Hp15 y una eficiencia de 60% Cuntos litros de
agua puede extraer de un pozo cuya profundidad es 20 m al cabo de 2 horas?
Solucin.-
wxUPEP
UP 3107.6....
..6.0
JxxxtPW 733 108.4102.7107.6.
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kgxx
gh
Wm 5
7
104.2200
108.4
litrosxV 5104.2
Ejemplo 19.- Cul es la potencia de una gra de %30 de rendimiento que debe levantar
cargas de kg200 a razn de s
m20 ?
Solucin.-
wmgvFvP 4002.010200
La potencia de la gra debe ser: wxPgra3103.1
E. Potencia automotriz.-
La energa que requiere un automvil de gasolina es un ejemplo importante y practico de los
conceptos de este captulo. Si los caminos no tuvieran friccin y no existiera la resistencia
del aire, el automvil no necesitara motor. La funcin del motor es suministrar potencia para
vencer dicha resistencia.
Si el automvil tiene una masa de kg1200
Friccin por rodamiento: NNFrod 18000012015.0
Resistencia del aire: 2
2
1vAFaire
= coeficiente de arrastre, que depende de la forma del cuerpo 5.035.0
A= rea perpendicular al movimiento 277.1 mA
= densidad del aire
32.1 mkg
NFaire 401002.177.138.02
1
Zona residencial: s
mh
kmv 1036
Fuerza total del motor: airerodmotor FFF
kwvFP motor 2.210220
Cunto combustible consume el motor para suministrar esta potencia?
La combustin de 1 galn (gasolina) libera Jx 8104.1 de esto solo el %15 efecta trabajo
sobre las fuerzas de friccin.
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Energa disponible/galn: galn
Jxx 58 101.2104.115.0
La energa requerida es:
Jxsegseg
JE 61092.736002200
durante 1 hora recorre: kmsegseg
m36360010
combustible gastado en un hora:
galones
galnJx
Jx38.0
101.2
1092.77
6
El diseo actual de los autos ha mejorado la eficiencia del uso del combustible.
Ejemplo 5.20.- La masa de un automvil es kg800 y su rendimiento %14 Qu cantidad
de gasolina se emplea para acelerar desde el reposo hasta h
km95 ?
Solucin.-
Jx
mvEc 5
22
108.22
4.26800
2
galn
Jxxgaln 78 1096.1104.114.01
galonesx
xgalonesden 014.0
1096.1
108.2
7
5
1 galn servir para acelerar 72 veces. Esto demuestra que en la ciudades donde es
congestionado el transito gran parte de energa se gasta en la detencin y el arranque.
Ejemplo 5.21.- El motor de un camin transmite kw25 a las ruedas de traccin cuando el
camin viaja a h
km50 sobre un camino plano. a) Que fuerza de resistencia acta sobre el
camin. b) Suponga que el %65 de esta fuerza se debe a la friccin de rodamiento y el resto
a la resistencia del aire. Si la fuerza de friccin de rodamiento es independiente de la rapidez
y la resistencia del aire es proporcional al cuadrado de la rapidez Qu potencia impulsar al
camin a h
km100 ?
Solucin.-
a) Nv
PF 7991
9.13
25000
b) NFNFF airerad 6301169%65
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Lic. Jorge Daniel Torres Alvarez FISICA I
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ESCUELA ACADEMICA PROFESIONAL DE INGENIERA DE SISTEMAS Y CIVIL
sm
hkmv 8.27100
26.32.193
6306302
v
k
NFaire 25208.77226.3
kwFvP 1028.276893
METODO DEL IMPULSO Y LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Conservacin de la cantidad de movimiento.-
En ausencia de una fuerza externa neta, la cantidad total de movimiento de un sistema
permanece constante.
La conservacin de la cantidad de movimiento (es tan fundamental como la conservacin de la
energa) es el cimiento sobre el que se construye la solucin de diversos problemas que implican
dos o ms cuerpos que interactan, tambin se aplica a la propulsin de los cohetes, a la presin
que ejerce un gas sobre las paredes de un recipiente.
zz
yy
xx
pp
pp
pp
pp
0
0
0
0
Ejemplo 24.- Un vaso inicialmente en reposo se rompe en 3 pedazos: dos de igual masa se
mueven perpendicularmente con velocidades de 20 y 15m/s. Cul es la velocidad del tercer
pedazo si 13 2mm ?
Solucin.-
1m2m
3m
1v
2v
3v
smv 201
smv 152
2233 cos vmvm
1133 vmsenvm
5333.1 tg
sm
senm
vmv 5.12
8.0
10
3
113
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Ejemplo 25.- Un can dispara un proyectil con una velocidad inicial de s
m300 y un 60
sobre la horizontal. Cuando el proyectil est en la cspide de su trayectoria, una explosin interna
origina una rotura en dos partes de igual masa, una parte cae al piso como si partiera del reposo
en la cspide. Determinar la velocidad de la otra parte inmediatamente despus de la explosin y
la distancia entre el can y el punto de impacto.
CM
0v
boom
Solucin.-
Meditamos un poco antes de insertar a ciegas nmeros en ecuaciones. En la cspide, en el
momento de la explosin
smv x 15060cos3000
smvv
M
s
mkgMpp xxxx 300
2150 220
segg
senvt 5.26
8.9
2600
durante este tiempo ha viajado horizontalmente
mxx 31 1098.35.26150
En ese instante se lleva a cabo la explosin, el tiempo que necesitan las partes para llegar al suelo
son otros seg5.26 .
mxmx T 9301179505.263002
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Colisiones.-
Representa el evento en el que 2 cuerpos estn juntos en un intervalo de tiempo muy corto,
produciendo fuerzas impulsivas entre s, siendo estas muy grandes comparadas con cualquier otra
fuerza externa presente.
Impulso o impet: tFI
Teorema del impulso o cantidad de movimiento pI
Ejemplo 26.- Cules son las magnitudes razonables para el impulso I , fuerza media F y
tiempo de colisin t en el caso de un palo de golf golpeando a una pelota?
Solucin.-
0v
m150
122
max
2
0
senxparag
senvx
smvxgv 7.3800
a) segNxmvpI .9.17.381050 30
b) 2
2
0 5003702.02
1500
2 sm
x
vamaF
x es la distancia recorrida por la pelota mientras est en contacto con el palo de golf, es el
radio de la propia pelota.
NF 87515003705.0
c) segF
It 001.0
1875
9.1
t
F
t
-
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colisionesdeclases
CC EE
ppElstica
0
0
CC EE
ppInelstica
0
0
juntoscuerposinelsticantePerfectame :
Ejemplo 27.- Dos bolas de billar se mueven una hacia la otra, el choque es elstico y frontal.
Determinar la velocidad de las bolas despus del choque y en qu direccin se mueve.
1m2m
810 v 620 v
1v 2v
antes
despus
Solucin.-
2212010 vvvv
100222
1
2
20
2
10 vvvv
221 22v 048210044 2
2
2
2
2
2
22 vvvvv
smv
smv 68 12
Ejemplo 28.- En una mesa de billar se tiene 2 bolas de diferente masa, una se encuentra en
reposo y la otra se dirige hacia ella. El choque es elstico, luego del cual tienen velocidades
iguales y opuestas. Calcular 2
1
m
m.
Solucin.-
1m2m10v
020 v
1v2v
antes
despus
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12101 mmvvm 2
2
2
1
2
101 vmvmvm
21
2
1
2
12
2
mmvm
mmv
21
2
1
2
121
2
2 2 mmmmmmm
1221
2
2 33 mmmmm
3
1
2
1 m
m
Ejemplo 29.- Un proyectil se dirige a un taco en reposo, si se introduce en el taco de madera y el
conjunto se mueve una distancia x Cul fue la velocidad del proyectil? mx 52.0
x
02 v
Solucin.-
Por conservacin de la cantidad de movimiento;
vm
mmvvmmvm
1
211021101
Por conservacin de la energa;
22
.
2
212
221vmmvmm
xfr
s
mgxmm
gxmmv 5.42
2
21
21
smv
m
mmv 80015.4
005.0
005.2
1
2110
Ejemplo 31.- Prueba de choque. segtkgm 15.02001 s
mkgxmvp 400 1044.1
s
mkgxmvp 4103.0
a) Calcular el impulso. b )La fuerza desarrollada durante el choque
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smv 120
smv 5.2
Solucin.-
a) s
mkgxxxppI 4440 1074.11044.1103.0
b) Nxx
t
pF 5
4
1016.115.0
1074.1
Ejemplo 32.- Una camioneta de kg1500 parada en una esquina es golpeada por un automvil
cuya masa es kg900 , los vehculos quedan enredados despus del choque. a)Si 2m se mova a
sm20 Cul es la velocidad de la masa enredada? b) Cuanta energa cintica se pierde en el
choque?
Solucin.-
ppp 2010
vmmvm 21202
a)
sm
mm
vmv 5.7
2400
20900
21
202
b) Jxvm
EC5
2
2020 108.1
20
Jx
vmmEC
522
21 1068.05.712002
JxEE CC5
0 1012.1