series de laurent - bifi.esgopar/teaching/web_slides_cv_8_2015.pdf · teoría de los residuos para...
TRANSCRIPT
![Page 1: Series de Laurent - bifi.esgopar/TEACHING/web_slides_CV_8_2015.pdf · Teoría de los residuos Para encontrar los polos y residuos se puede utilizar el siguiente resultado: Un punto](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022070614/5bc0347009d3f215708cabdb/html5/thumbnails/1.jpg)
Series de Laurent
En la práctica, los coeficientes de una serie de Laurent se obtienen por métodos distintos a las expresiones integrales an y bn dadas anteriormente.
● Además se puede demostrar que la serie de Laurent (y de Taylor) son únicas.
También se puede demostrar que:● una serie de potencias (serie de Taylor) es una función
analítica en el disco de convergencia● Una serie de potencias se puede derivar e integrar
término a término en el interior de su radio de convergencia
![Page 2: Series de Laurent - bifi.esgopar/TEACHING/web_slides_CV_8_2015.pdf · Teoría de los residuos Para encontrar los polos y residuos se puede utilizar el siguiente resultado: Un punto](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022070614/5bc0347009d3f215708cabdb/html5/thumbnails/2.jpg)
Teoría de los residuos
![Page 3: Series de Laurent - bifi.esgopar/TEACHING/web_slides_CV_8_2015.pdf · Teoría de los residuos Para encontrar los polos y residuos se puede utilizar el siguiente resultado: Un punto](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022070614/5bc0347009d3f215708cabdb/html5/thumbnails/3.jpg)
Teoría de los residuos
Recordemos que:
Singularidades: ● se dice que un punto es singular si la
función en cuestión no es analítica en ese punto, pero es analítica en el entorno de .
● Se dice que un punto singular es aislado si existe un entorno “perforado” en el que la función f es analítica.
![Page 4: Series de Laurent - bifi.esgopar/TEACHING/web_slides_CV_8_2015.pdf · Teoría de los residuos Para encontrar los polos y residuos se puede utilizar el siguiente resultado: Un punto](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022070614/5bc0347009d3f215708cabdb/html5/thumbnails/4.jpg)
Teoría de los residuos
Supongamos que queremos evaluar la integral de una función f sobre un contorno cerrado (positivo) y f es una función analítica, excepto en el interior del contorno:
![Page 5: Series de Laurent - bifi.esgopar/TEACHING/web_slides_CV_8_2015.pdf · Teoría de los residuos Para encontrar los polos y residuos se puede utilizar el siguiente resultado: Un punto](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022070614/5bc0347009d3f215708cabdb/html5/thumbnails/5.jpg)
Teoría de los residuos
● Sabemos que en este caso, f tiene una expansión en serie de Laurent:
Noten que anteriormente habíamos escrito la serie de Laurent como:
Parte principal de f en z0
![Page 6: Series de Laurent - bifi.esgopar/TEACHING/web_slides_CV_8_2015.pdf · Teoría de los residuos Para encontrar los polos y residuos se puede utilizar el siguiente resultado: Un punto](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022070614/5bc0347009d3f215708cabdb/html5/thumbnails/6.jpg)
Teoría de los residuos
Pero también sabemos que el valor de la integral no cambia si deformamos el contorno de integración:
Así, la integral puede calcularse integrando término a término la serie de Laurent sobre C.
![Page 7: Series de Laurent - bifi.esgopar/TEACHING/web_slides_CV_8_2015.pdf · Teoría de los residuos Para encontrar los polos y residuos se puede utilizar el siguiente resultado: Un punto](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022070614/5bc0347009d3f215708cabdb/html5/thumbnails/7.jpg)
Teoría de los residuos
Sin embargo, el único término que no nulo es aquel con , es decir, (o ).
De modo que:
Vemos que juega un papel importante.
![Page 8: Series de Laurent - bifi.esgopar/TEACHING/web_slides_CV_8_2015.pdf · Teoría de los residuos Para encontrar los polos y residuos se puede utilizar el siguiente resultado: Un punto](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022070614/5bc0347009d3f215708cabdb/html5/thumbnails/8.jpg)
Teoría de los residuos
Definición:
Si f tiene una singularidad aislada en el punto entonces el coeficiente de en la serie de Laurent de f alrededor de , se le llama residuo de f en y se denota como
●
●
●
![Page 9: Series de Laurent - bifi.esgopar/TEACHING/web_slides_CV_8_2015.pdf · Teoría de los residuos Para encontrar los polos y residuos se puede utilizar el siguiente resultado: Un punto](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022070614/5bc0347009d3f215708cabdb/html5/thumbnails/9.jpg)
Teoría de los residuos
Si existe un número finito de singularidades dentro del contorno de integración, podemos utilizar el llamado teorema de los residuos:
● Sea C un camino cerrado simple (positivo). Si una función es analítica en C y en su interior, excepto en un número finito de singularidades interiores a C, entonces
![Page 10: Series de Laurent - bifi.esgopar/TEACHING/web_slides_CV_8_2015.pdf · Teoría de los residuos Para encontrar los polos y residuos se puede utilizar el siguiente resultado: Un punto](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022070614/5bc0347009d3f215708cabdb/html5/thumbnails/10.jpg)
Teoría de los residuos
Clasificación de singularidades y definición de otros puntos/términos de la series de Laurent y Taylor:
● f(z) tiene una singularidad removible/evitable en si para toda n
● f(z) tiene una singularidad esencial en si existen infinitos no nulos
● f(z) tiene un polo de orden n en , si el último coeficiente no nulo de la parte principal es .
Si el único coeficiente no nulo es , se dice que f(z) tiene un polo simple en
![Page 11: Series de Laurent - bifi.esgopar/TEACHING/web_slides_CV_8_2015.pdf · Teoría de los residuos Para encontrar los polos y residuos se puede utilizar el siguiente resultado: Un punto](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022070614/5bc0347009d3f215708cabdb/html5/thumbnails/11.jpg)
Teoría de los residuos
Ejemplo:
Sea
Entonces, f tiene un polo simple en = 2 con residuo 3, es decir, = 3
![Page 12: Series de Laurent - bifi.esgopar/TEACHING/web_slides_CV_8_2015.pdf · Teoría de los residuos Para encontrar los polos y residuos se puede utilizar el siguiente resultado: Un punto](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022070614/5bc0347009d3f215708cabdb/html5/thumbnails/12.jpg)
Teoría de los residuos
Para encontrar los polos y residuos se puede utilizar el siguiente resultado:
Un punto singular aislado de una función f es un polo de orden m si y solo si f se puede escribir como:
donde es analítica y no nula en
Además,
![Page 13: Series de Laurent - bifi.esgopar/TEACHING/web_slides_CV_8_2015.pdf · Teoría de los residuos Para encontrar los polos y residuos se puede utilizar el siguiente resultado: Un punto](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022070614/5bc0347009d3f215708cabdb/html5/thumbnails/13.jpg)
Teoría de los residuos
Comentario:● Los ceros de una función pueden ser una
fuente de polos
Definición: Se dice que una función analítica en tiene un cero de orden n en si y sólo si y
con
![Page 14: Series de Laurent - bifi.esgopar/TEACHING/web_slides_CV_8_2015.pdf · Teoría de los residuos Para encontrar los polos y residuos se puede utilizar el siguiente resultado: Un punto](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022070614/5bc0347009d3f215708cabdb/html5/thumbnails/14.jpg)
Teoría de los residuos
Resumen (método básico para encontrar los polos y residuos):
Supongamos que tenemos la serie de Laurent
Notamos que es un polo de orden k. Además,
![Page 15: Series de Laurent - bifi.esgopar/TEACHING/web_slides_CV_8_2015.pdf · Teoría de los residuos Para encontrar los polos y residuos se puede utilizar el siguiente resultado: Un punto](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022070614/5bc0347009d3f215708cabdb/html5/thumbnails/15.jpg)
Teoría de los residuos
Entonces si multiplicamos f(z) por tenemos que
![Page 16: Series de Laurent - bifi.esgopar/TEACHING/web_slides_CV_8_2015.pdf · Teoría de los residuos Para encontrar los polos y residuos se puede utilizar el siguiente resultado: Un punto](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022070614/5bc0347009d3f215708cabdb/html5/thumbnails/16.jpg)
Teoría de los residuos
Ahora, supongamos que sabemos el orden k del polo (por ejemplo usando el método anterior). Entonces considerando la función
tenemos que
De aquí que derivando k-1 veces:
![Page 17: Series de Laurent - bifi.esgopar/TEACHING/web_slides_CV_8_2015.pdf · Teoría de los residuos Para encontrar los polos y residuos se puede utilizar el siguiente resultado: Un punto](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022070614/5bc0347009d3f215708cabdb/html5/thumbnails/17.jpg)
Teoría de los residuos
O bien, sustituyendo g(z), tenemos
Cuando es un polo simple, el resultado anterior se reduce a:
![Page 18: Series de Laurent - bifi.esgopar/TEACHING/web_slides_CV_8_2015.pdf · Teoría de los residuos Para encontrar los polos y residuos se puede utilizar el siguiente resultado: Un punto](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022070614/5bc0347009d3f215708cabdb/html5/thumbnails/18.jpg)
Aplicaciones de la teoría de los residuos
● La teoría de residuos tiene muchas aplicaciones en matemáticas aplicadas y física
Por ejemplo, está teoría es muy útil para calculo de varios tipos de integrales reales. Por mencionar dos ejemplos:
● integrales de la forma:
● e integrales impropias
![Page 19: Series de Laurent - bifi.esgopar/TEACHING/web_slides_CV_8_2015.pdf · Teoría de los residuos Para encontrar los polos y residuos se puede utilizar el siguiente resultado: Un punto](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022070614/5bc0347009d3f215708cabdb/html5/thumbnails/19.jpg)
Aplicaciones de la teoría de los residuos
● Integrales impropias
En Cálculo la integral impropia de una función continua se define como
Cuando los límites existen se dice que la integral converge
![Page 20: Series de Laurent - bifi.esgopar/TEACHING/web_slides_CV_8_2015.pdf · Teoría de los residuos Para encontrar los polos y residuos se puede utilizar el siguiente resultado: Un punto](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022070614/5bc0347009d3f215708cabdb/html5/thumbnails/20.jpg)
Aplicaciones de la teoría de los residuos
O bien,
y cuando los límites existen se dice que la integral converge.
● Comentario: los límites pueden existir, pero la integral impropia no.
![Page 21: Series de Laurent - bifi.esgopar/TEACHING/web_slides_CV_8_2015.pdf · Teoría de los residuos Para encontrar los polos y residuos se puede utilizar el siguiente resultado: Un punto](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022070614/5bc0347009d3f215708cabdb/html5/thumbnails/21.jpg)
Aplicaciones de la teoría de los residuos
Con este motivo se introduce el valor principal de Cauchy o simplemente, valor principal (VP):
siempre que los límites existen.● Comentarios:
- La existencia del valor principal no asegura que la integral impropia sea convergente
- Si la integral impropia existe, ésta es igual al valor principal
![Page 22: Series de Laurent - bifi.esgopar/TEACHING/web_slides_CV_8_2015.pdf · Teoría de los residuos Para encontrar los polos y residuos se puede utilizar el siguiente resultado: Un punto](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022070614/5bc0347009d3f215708cabdb/html5/thumbnails/22.jpg)
Aplicaciones de la teoría de los residuos
El procedimiento utilizado en el ejemplo anterior puede aplicarse a una clase general de integrandos.
De hecho, el éxito del procedimiento anterior depende de dos condiciones:
● f sea analítica en el eje real y encima de él, excepto por un número finito de singularidades aisladas (en la parte superior del plano complejo).
●
![Page 23: Series de Laurent - bifi.esgopar/TEACHING/web_slides_CV_8_2015.pdf · Teoría de los residuos Para encontrar los polos y residuos se puede utilizar el siguiente resultado: Un punto](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022070614/5bc0347009d3f215708cabdb/html5/thumbnails/23.jpg)
Aplicaciones de la teoría de los residuos
Se puede demostrar que si P(z) y Q(z) son dos polinomios de grado m y n, respectivamente, y
entonces
para
:semicírculo superior