seth a. major- towards quantum gravity: discrete geometry observable consequences

8/3/2019 Seth A. Major- Towards Quantum Gravity: Discrete Geometry Observable Consequences

1/18

T O W A R D S Q U A N T U M G R A V I T Y : D I S C R E T E G E O M E T R Y {

O B S E R V A B L E C O N S E Q U E N C E S

S E T H A . M A J O R

A b s t r a c t . T h i s i s a n e x t e n d e d s e t o f l e c t u r e n o t e s o f a t a l k a t S w a r t h m o r e

C o l l e g e i n M a r c h 1 9 9 9 . T h e H a m i l t o n i a n a p p r o a c h t o q u a n t u m g r a v i t y i s

r e v i e w e d w i t h a f o c u s o n s o m e c o n c e p t u a l i s s u e s , s p i n n e t w o r k d i a g r a m m a t i c s ,

a n d t w o p o s s i b l e a r e n a s f o r o b s e r v a t i o n o f q u a n t u m g r a v i t a t i o n a l p h e n o m e n o n .

1 . I n t r o d u c t i o n

T o d a y I w i s h t o t e l l y o u a b o u t a p r o m i s i n g a t t e m p t t o c o m b i n e t w o d e v e l o p m e n t s

i n t w e n t i e t h c e n t u r y p h y s i c s , g e n e r a l r e l a t i v i t y a n d q u a n t u m t h e o r y . P r o g r e s s o n

t h i s p r o b l e m h a s b e e n s i m m e r i n g a l o n g o n a b a c k b u r n e r s i n c e t h e 1 9 2 0 ' s , e c l i p s e d

i n p a r t d u e t o t h e r e m o t e n e s s o f i t s e x p e c t e d r a n g e o f a p p l i c a b i l i t y . H e r e I h o p e t o

m o t i v a t e w h y o n e w o u l d u n d e r t a k e s u c h a s t u d y , p r e s e n t s o m e o f t h e r e s u l t s i n t h i s

s t u d y , a n d e x p l a i n w a y s i n w h i c h t h e q u a n t u m e e c t s o f g r a v i t a t i o n c o u l d m a n i f e s t

t h e m s e l v e s i n o b s e r v a b l e w a y s .

B o t h t h e o r i e s a r e g r e a t d e p a r t u r e s f r o m c l a s s i c a l p h y s i c s . I n g e n e r a l r e l a t i v i t y ,

s p a c e a n d t i m e c o m b i n e d t o g i v e t h e s i n g l e , d y n a m i c a l e n t i t y o f s p a c e t i m e . S i m p l e

s t a t e m e n t s a s , \ T w o p a r t i c l e s a r e a d i s t a n c e r a p a r t a t t i m e t . " b e c o m e m e a n i n g l e s s .

S u c h c o n c e p t s a s l o c a l e n e r g y d e n s i t y o f t h e g r a v i t a t i o n a l e l d e l u d e d e n i t i o n . I n

q u a n t u m t h e o r y w e l o o s e t h e n o t i o n o f a s s i g n i n g d e n i t e v a l u e s t o o b s e r v a b l e s . A l s o

i n q u a n t u m t h e o r y p h y s i c a l q u a n t i t i e s m a y n o l o n g e r c o m m u t e , x p

2

i s n o l o n g e r

e q u a l t o p x p . T h i s v a s t n e w f r e e d o m m e a n s t h a t t h e r e a r e m a n y q u a n t u m t h e o r i e s

f o r e v e r y c l a s s i c a l o n e w h e n q u a n t i z i n g o n e i s f a c e d w i t h m a n y c h o i c e s . C l a s s i c a l

t h e o r i e s h a v e n o n e e d f o r a w e l l - d e n e d q u a n t u m l i m i t . T h e y m a y b e o b l i v i o u s t o

i t . T h u s w h e n \ g o i n g t h e w r o n g w a y , " f r o m a c l a s s i c a l t h e o r y t o q u a n t u m o n e , i t

a s i f o n e i s c l i m b i n g a t r e e i n t h e d a r k , g o i n g f r o m t r u n k t o t w i g , t r y i n g t o n d t h e

b r a n c h w i t h a n E a s t e r e g g { t h e c o r r e c t p h y s i c a l t h e o r y . A t e a c h c h o i c e o n e d o e s n ' t

k n o w a p r i o r i w h i c h t u r n w i l l l e a d t o t h e c o r r e c t s p a c e .

T h e a p p r o a c h I ' l l t a l k a b o u t h e r e i s b e a c o n s e r v a t i v e o n e , \ T a k e g e n e r a l r e l a -

t i v i t y a n d q u a n t i z e i t . " B u t i t i s a l s o a r a d i c a l a p p r o a c h . S i n c e t h e r e i s n o w a y t o

d e n e d i s t a n c e w i t h o u t t h e m e t r i c o n e n e e d s a b a c k g r o u n d - i n d e p e n d e n t q u a n t i z a -

t i o n { e n t i r e l y n e w f o r q u a n t u m t h e o r y . T h e s t r a t e g y i s f a m i l i a r , r s t s t u d y t h e

k i n e m a t i c s , t h e n t u r n t o t h e d y n a m i c s . T h e p r e s e n t s t a t u s o f t h i s q u a n t i z a t i o n i s

t h a t t h e k i n e m a t i c s i s l a r g e l y f o r m u l a t e d , t h o u g h t h e r e i s m u c h t o u n d e r s t a n d , b u t

t h e d y n a m i c s r e m a i n s c o n t r o v e r s i a l . T h e r e i s a g o o d r e v i e w i n R e f . 2 0 ] , t h o u g h i t

a s s u m e s a f a i r a m o u n t o f b a c k g r o u n d .

I n w h a t r e g i m e m i g h t t h i s t h e o r y b e v a l i d ? T o p u t i t d r a m a t i c a l l y , e v e r y g o o d

t h e o r y c a r r i e s t h e s e e d o f i t s o w n d e s t r u c t i o n . T o p u t i t m o r e a c c u r a t e l y , f r o m

e v e r y g o o d t h e o r y o n e c a n d e r i v e i t s r a n g e o f v a l i d i t y . A s a n e x a m p l e , l e t ' s d o a

c a l c u l a t i o n w h i c h L a p l a c e p e r f o r m e d t w o h u n d r e d y e a r s a g o . I t i s s o m e t h i n g w e

m i g h t u s e t o l l u p t h e m a r g i n s o f o u r m e c h a n i c s t e x t b o o k s . I n t h e c h a p t e r o n

g r a v i t a t i o n . I s t h e r e a s i t u a t i o n i n w h i c h e v e n l i g h t d o e s n ' t h a v e e n o u g h s p e e d t o

e s c a p e a p o t e n t i a l w e l l ? M o r e p r e c i s e l y , i f w e h a d a t e s t m a s s m o v i n g v e r y n e a r

D a t e : 2 3 M a r c h 1 9 9 9 .

1


2/18

2 S E T H A . M A J O R

t h e s p e e d o f l i g h t , i s t h e r e a s y s t e m f r o m w h i c h i t c a n n o t e s c a p e ? I n g e n e r a l , t o

n d e s c a p e v e l o c i t y w e n e e d t o n d t h e k i n e t i c e n e r g y n e e d e d t o c l i m b o u t o f t h e

g r a v i t a t i o n a l p o t e n t i a l

m v

2

e s c

2 r

=

G m M

r

I f o u r t e s t m a s s c a n n o t e s c a p e { v

e s c

= c { t h e n t h e e s c a p e v e l o c i t y e q u a t i o n c a n

b e u s e d t o g i v e a d i s t a n c e R

S

1

R

S

=

2 G M

c

2

( 1 )

w h i c h i s n o w c a l l e d , n o t t h e L a p l a c e r a d i u s , b u t t h e S c h w a r s c h i l d r a d i u s a f t e r

t h e p e r s o n w h o f o u n d t h e s p h e r i c a l l y s y m m e t r i c s o l u t i o n t o E i n s t e i n ' s e q u a t i o n s .

T h i s c a l c u l a t i o n i s n o t \ a s e e d o f d e s t r u c t i o n " f o r N e w t o n i a n t h e o r y { w e f o u n d a

r e a s o n a b l e a n s w e r { b u t r a t h e r g i v e s a j u s t i a b l y s p e c i a l r a d i u s ( w h e n c i s n i t e ) .

T o n d t h e e x p e c t e d s c a l e o f t h e t h e o r y o f q u a n t u m g r a v i t y w e c a n p e r f o r m a

v e r y s i m p l e c a l c u l a t i o n : S o m e t h i n g n e w o u g h t t o h a p p e n w h e n a m a s s i v e p a r t i c l e ' s

C o m p t o n w a v e l e n g t h a n d S c h w a r s c h i l d r a d i u s o f E q . ( 1 ) b e c o m e e q u a l , i . e . w h e n

h

m c

=

2 G m

c

2

o r , a t t h e P l a n c k s c a l e

m

p

=

r

h c

G

1 0

1 9

G e V 1 0

9

J

I n f a c t i t w a s P l a n c k o f P l a n c k ' s c o n s t a n t w h o r s t w r o t e d o w n t h i s r e l a t i o n a n d

t h e d i s t a n c e s c a l e

l

p

=

r

G ~

c

3

1 0

; 3 5

m

{ a d i s t a n c e s c a l e f a r b e l o w a n y t h i n g t h a t w e c o u l d e x p e c t t o d i r e c t l y a c c e s s w i t h

e x p e r i m e n t s . I n t e r m s o f m o d e r n a c c e l e r a t o r s w h i c h o p e r a t e a t 1 0

3

G e V t h i s i s

u n o b s e r v a b l e . T h e r e a r e 1 9 o r d e r s o f m a g n i t u d e b e t w e e n t h e P l a n c k s c a l e a n d t h e

s c a l e s t e s t e d b y p r e s e n t d a y a c c e l e r a t o r s . I n f a c t , u s i n g a c c e l e r a t o r s t o t e s t q u a n t u m

g r a v i t y w o u l d b e l i k e u s i n g s o c c e r m a t c h e s t o n d t h e m a s s o f t h e t o p q u a r k !

I f n o t h e r e o n E a r t h , p e r h a p s a s t r o n o m i c a l o b s e r v a t i o n s c o u l d p r o v i d e a r e a l m

o f q u a n t u m g r a v i t y . P e r h a p s t h e r s t o b j e c t s t o c o m e t o m i n d a r e b l a c k h o l e s . B u t

t h e s e a r e o b j e c t f r o m w h i c h \ n o t h i n g c a n e s c a p e . " T h i s m a k e s d i r e c t l y o b s e r v i n g

t h e m d i c u l t . H o w e v e r t h e r e i s s t r o n g , i n d i r e c t e v i d e n c e t h a t t h e u n i v e r s e i s p o p -

u l a t e d w i t h t h e s e b e a s t s . P e r h a p s t h e b e s t i s f r o m a s e t o f o b s e r v a t i o n s o f g a l a c t i c

n u c l e i . T h e r s t o b s e r v a t i o n s w e r e w i t h r a d i o d a t a o f w a t e r m a s e r s i n N G C 4 2 5 8

1 5 ] . U s i n g r a d i a t i o n f r o m m a t t e r o r b i t i n g a c e n t r a l , s u p e r m a s s i v e o b j e c t t h e y w e r e

a b l e t o m e a s u r e t h e D o p p l e r s h i f t i n r a d i a t i o n f r o m t h e o r b i t a n d t h u s w e r e a b l e t o

n d t h e v e l o c i t y . W i t h t h e r a d i u s o f t h e o r b i t t h e y w e r e a b l e t o n d t h e m a s s o f

t h e n u c l e u s , 3 . 6 1 0

7

s o l a r m a s s e s . T h e m o s t l i k e l y c a n d i d a t e i s a b l a c k h o l e .

I n t h e r e m a i n d e r o f t h i s t a l k w i l l b e t o d e s c r i b e q u a n t u m g r a v i t y p h e n o m e n o n ,

o n e r e l a t e d t o b l a c k h o l e s , t h e o t h e r a r i s i n g f r o m t h e m i c r o s t r u c t u r e o f s p a c e t i m e .

T o d o t h i s I w i l l r s t n e e d t o d e s c r i b e t h e s c e n e r y . T h e r s t s e c t i o n w i l l b e o n

p r o p e r t i e s o f b l a c k h o l e s . T h e s e c o n d w i l l b e o n q u a n t u m g r a v i t y i t s e l f , b y w a y

o f a n e w w a y o f l o o k i n g a t t h e f a m i l i a r a n g u l a r m o m e n t u m o p e r a t o r s o f q u a n t u m

1

T h i s c a l c u l a t i o n o u g h t t o b e t r e a t e d w i t h s o m e c a r e . F o r i n s t a n c e , i t d o e s n o t i m p l y t h a t

l i g h t r e l e a s e d f r o m a m a s s i v e o b j e c t w o u l d c l i m b t o a h e i g h t e q u a l t o t h e S c h w a r s c h i l d r a d i u s a n d

t h e n f a l l b a c k t o w a r d s t h e s u r f a c e . T h i s c a l c u l a t i o n m e r e l y g i v e s a r e s u l t w h i c h , w h e n p l a c e d i n

t h e c o n t e x t o f g e n e r a l r e l a t i v i t y , y i e l d s r a d i u s o f t h e h o r i z o n .


3/18

T O W A R D S Q U A N T U M G R A V I T Y : D I S C R E T E G E O M E T R Y { O B S E R V A B L E C O N S E Q U E N C E S3

m e c h a n i c s . I n t h e n a l s e c t i o n I r e t u r n t o b l a c k h o l e s a n d p o s s i b l e e x p e r i m e n t a l

o b s e r v a t i o n s .

2 . B l a c k H o l e s a n d T h e r m o d y n a m i c s

I n t h e e a r l y s e v e n t i e s t h e r e w a s a u r r y o f n e w r e s u l t s a b o u t b l a c k h o l e s . T h e s e

w e r e o f t e n g i v e n i n m a t h e m a t i c a l l y r i g o r o u s t e r m s a n d a r e c o l l e c t i v e l y k n o w n a s

\ B l a c k H o l e M e c h a n i c s . " I w i l l s u m m a r i z e t h e s e f o r n e u t r a l , t i m e - i n d e p e n d e n t ,

( t h e t e c h n i c a l t e r m i s \ s t a t i o n a r y " ) n o n - r o t a t i n g b l a c k h o l e s ( t h o u g h a l l t h i s g o e s

t h r o u g h f o r b l a c k h o l e s w i t h c h a r g e a n d a n g u l a r m o m e n t u m ) .

L e t m e r s t g i v e a b r i e f s u m m a r y o f t h e g e o m e t r y . S c h w a r s c h i l d b l a c k h o l e s h a v e

m a n y w i l d a n d w o n d e r f u l p r o p e r t i e s b u t I w i l l c o n c e n t r a t e o n j u s t a f e w . T h e m e t r i c

{ u s e d t o m e a s u r e t h e l e n g t h a n d d u r a t i o n b e t w e e n e v e n t s { o n t h e s p a c e t i m e i s

d s

2

= ;

1 ;

2 G M

c

2

r

d t

2

+

1 ;

2 G M

c

2

r

; 1

d r

2

+ r

2

d

2

+ r

2

s i n

2

d

2

T w o a s p e c t s o f t h i s m e t r i c c a l l o u r a t t e n t i o n . S o m e t h i n g s h y h a p p e n s a t r = 0

a n d a t r =

2 G M

c

2

. I t t u r n s o u t t h a t o n l y a t r = 0 i s t h e r e a n a s t y s i n g u l a r i t y . T h e

\ a p p a r e n t s i n g u l a r i t y " a t r =

2 G M

c

2

i s a n a r t i f a c t o f t h e c o o r d i n a t e s . H o w e v e r , a s

w e s e e f r o m L a p l a c e ' s c a l c u l a t i o n t h i s r a d i u s i s n e v e r t h e l e s s i m p o r t a n t . I t i d e n t i e s

t h e h o r i z o n b e y o n d w h i c h l i g h t ( a n d t h u s , c l a s s i c a l l y , e v e r y t h i n g ) c a n n o t e s c a p e .

A n i c e w a y t o t h i n k a b o u t h o r i z o n s i s t o i d e n t i f y t h e m w i t h t h e b o u n d a r y b e t w e e n

t h e r e g i o n i n w h i c h l i g h t r a y s c l i m b o u t o f a g r a v i t a t i o n a l w e l l a n d t h e r e g i o n i n

w h i c h l i g h t r a y s f a l l i n t o t h e s i n g u l a r i t y a t r = 0 . W h i l e a n o b s e r v e r w i l l n o t n o t i c e

a n y t h i n g u n u s u a l w h i l e p a s s i n g t h r o u g h t h e h o r i z o n , I t w a s o n l y r e a l i z e d r e l a t i v e l y

r e c e n t l y t h a t i t m a y n o t b e t h e c e n t r a l s i n g u l a r i t y w h i c h i s a s i m p o r t a n t a s t h e f a c t

t h a t s u c h o b j e c t s c o m e w i t h h o r i z o n s . T h e h o r i z o n h a s a n a r e a

A

H

= 4 R

2

S

=

1 6 G

2

c

4

M

2

( 2 )

O n t h i s h o r i z o n t h e r e i s a q u a n t i t y c a l l e d \ s u r f a c e g r a v i t y " w h i c h i s l i k e n e d ( b u t

s o m e w h a t m i s l e a d i n g l y ! ) t o l i t t l e g o f N e w t o n i a n g r a v i t y . I t i s t h e f o r c e t h a t a

d i s t a n t o b s e r v e r w o u l d e x e r t o n a u n i t t e s t m a s s t o h o l d i t a t t h e h o r i z o n .

L a w T h e r m o d y n a m i c s B l a c k H o l e s

0 T i s c o n s t a n t t h r o u g h o u t b o d y i n

t h e r m a l e q u i l i b r i u m

i s c o n s t a n t o v e r t h e h o r i z o n

1 d U = T d S w h e n d W = 0 d M =

1

8

d A

H

2 d S 0 f o r a n y p r o c e s s d A

H

0 f o r a n y p r o c e s s

3 T = 0 i s n o t a t t a i n a b l e b y p h y s -

i c a l a p r o c e s s \ S ! 0 a s T ! 0 "

= 0 i s n o t a t t a i n a b l e b y a p h y s -

i c a l p r o c e s s

( G = c = ~ = k = 1 i n t h i s t a b l e ! )

N o t e t h a t t h e r e i s a m a p p i n g b e t w e e n t h e t w o :

U $ M

T $

2

a n d

S $ A

H

= 4

( 3 )


4/18


d o e s t h e t r i c k .

B e k e n s t e i n r s t m a d e a n a n a l o g y b e t w e e n t h e r m o d y n a m i c s a n d b l a c k h o l e m e -

c h a n i c s b y n d i n g t h a t , w h e n b l a c k h o l e e n t r o p y w a s r e l a t e d t o a r e a , t h e n a

\ g e n e r a l i z e d s e c o n d l a w o f t h e r m o d y n a m i c s " h e l d . D e n i n g t h e t o t a l e n t r o p y a s

S

T

= S

B H

+ S

E

w i t h S

E

b e i n g t h e e n t r o p y o f t h e e n v i r o n m e n t a n d

S

B H

=

1

4

k

A

H

l

2

p

( k i s t h e B o l t z m a n n c o n s t a n t ) f o r t h e e n t r o p y o f t h e b l a c k h o l e t h e t o t a l e n t r o p y

n e v e r d e c r e a s e s , S

T

0 . T h i s w a s b a s e d o n c l a s s i c a l a n a l y s i s . H o w e v e r , B e k e n -

s t e i n d i d n o t c o m p l e t e t h e a n a l o g y i n t h e s e n s e t h a t h e d i d n o t i d e n t i f y t h e t e m -

p e r a t u r e o f a b l a c k h o l e . C l a s s i c a l l y t h e b l a c k h o l e i s a p e r f e c t a b s o r b e r s o o n e

w o u l d e x p e c t t h a t t h e t e m p e r a t u r e i s z e r o . H o w e v e r , t h i s s u g g e s t i o n o f B e k e n s t e i n

e e c t i v e l y r e q u i r e d t h a t t h e r e w a s a n o n - z e r o t e m p e r a t u r e .

T h e t e m p e r a t u r e w a s f o u n d b y a n i n c r e d u l o u s H a w k i n g w h o , w h i l e a t t e m p t i n g

t o s h o w t h a t t h e g e n e r a l i z e d s e c o n d l a w w a s i l l - f o u n d e d , m a n a g e d t o n d t h a t i n

t h e s e m i c l a s s i c a l r e g i m e b l a c k h o l e s d o e m i t a t h e r m a l d i s t r i b u t i o n o f p a r t i c l e s . H e

f o u n d t h a t t h e t e m p e r a t u r e o f a s t a t i o n a r y b l a c k h o l e w a s r e l a t e d t o t h e s u r f a c e

g r a v i t y , , 1 0 ]

T

H

=

~ c

3

2 G k

=

~ c

3

2 G k

1

4 M

1 0

; 7

M

J

M

w i t h =

1

4 M

:( 4 )

B l a c k h o l e s ( i n v a c u u m ) a r e n o t b l a c k ! T h e y r a d i a t e a b l a c k b o d y s p e c t r u m a t t e m -

p e r a t u r e T

H

. T h i s c o m p l e t e d t h e a n a l o g y . F o r e a c h o f t h e l a w s o f t h e r m o d y n a m i c s ,

t h e r e i s a c o r r e s p o n d i n g l a w o f b l a c k h o l e m e c h a n i c s .

B u t t h e r e i s a c a n d i d a t e t h e o r y o f q u a n t u m s p a c e t i m e . W h a t d o e s i t s a y a b o u t

t h e n a t u r e o f t h e r a d i a t i o n f r o m b l a c k h o l e s ? T o a n s w e r t h i s I m u s t i n t r o d u c e a f u n ,

n e w t o o l , s p i n n e t w o r k s , w h i c h a l s o g i v e s y o u a n e w w a y o f l o o k i n g a t a ( h o p e f u l l y )

f a m i l i a r o b j e c t { t h e a n g u l a r m o m e n t u m s t a t e s o f q u a n t u m m e c h a n i c s .

3 . A n g u l a r m o m e n t u m r e p r e s e n t a t i o n : D i a g r a m m a t i c s

T h i s i s a m a t t e r o f e x p r e s s i n g t h e f a m i l i a r r e s u l t s o f a n g u l a r m o m e n t u m s t a t e s

i n t e r m s o f d i a g r a m s , l i n e s , l o o p s , a n d o p e r a t o r s . I b e g i n w i t h a \ t o p o l o g i c a l "

d i a g r a m m a t i c a l g e b r a .

3 . 1 . L i n e , b e n d a n d l o o p . T h e K r o n e c k e r

B

A

i s t h e 2 2 i d e n t i t y m a t r i x i n

c o m p o n e n t n o t a t i o n . T h u s ,

;

B

A

=

1 0

0 1

a n d

0

0

=

1

1

= 1 w h i l e

1

0

=

0

1

= 0 . T h e L a t i n c a p i t a l i n d i c e s , A a n d B i n t h i s

e x p r e s s i o n , m a y t a k e o n e o f t w o v a l u e s 0 o r 1 .

T h e d i a g r a m m a t i c s b e g i n s b y a s s o c i a t i n g t h e K r o n e c k e r t o a l i n e

B

A

:

T h e p o s i t i o n o f t h e i n d i c e s o n d e t e r m i n e s t h e l o c a t i o n o f t h e l a b e l s o n t h e e n d s

o f t h e l i n e . A p p l y i n g t h e d e n i t i o n s o n e h a s

= 1 a n d = 0 :

I f a l i n e i s t h e i d e n t i t y t h e n i t i s r e a s o n a b l e t o a s s o c i a t e a c u r v e t o a m a t r i x w i t h

t w o u p p e r ( o r l o w e r ) i n d i c e s . H e r e , t h e r e i s s o m e c h o i c e i n d e n i t i o n . A p a r t i c u l a r l y


5/18


n i c e o n e i . e . o n e w i t h u s e f u l a n d f u n p r o p e r t i e s i s t h e a n t i s y m m e t r i c m a t r i x

A B

(

A B

) =

;

A B

=

0 1

; 1 0

:

B u t w i t h a n e x t r a i t o s s e d i n :

~

A B

: = i

A B

:

S i m i l a r l y ,

~

A B

: = i

A B

:

A f t e r a b i t o f e x p e r i m e n t a t i o n w i t h t h e s e i d e n t i c a t i o n s , o n e d i s c o v e r s s o m e n e

f e a t u r e s . T h e m a n i p u l a t i o n s a r e e q u i v a l e n t t o c o n t i n u o u s d e f o r m a t i o n s o f l i n e s i n

a p l a n e 1 6 ] : S i n c e

C

A

C D

D E

B

E

=

A D

D B

= ;

B

A

, w e h a v e

= :

E x e r c i s e 1 . S h o w t h a t

=

u s i n g a p r o d u c t o f ' s .

O n a c c o u n t o f t h e r e l a t i o n

C

A

D

B

~

C D

= ; ~

A B

o n e h a s ( T h e i n d i c e s C a n d D a r e

a d d e d t o t h e d i a g r a m f o r c l a r i t y . )

= ;

{ n o t w h a t o n e w o u l d e x p e c t f o r s m o o t h d e f o r m a t i o n s o f l i n e s i n a p l a n e . T h i s

p r o b l e m c a n b e c u r e d b y a s s o c i a t i n g a m i n u s s i g n t o e a c h c r o s s i n g . T h u s b y a s s o -

c i a t i n g a n i t o e v e r y a n d a s i g n t o e v e r y c r o s s i n g , t h e d i a g r a m s b e h a v e a s l i n e s i n

t h e p l a n e 1 6 ] . T h e m o r e p r e c i s e n a m e o f t h i s c o n c e p t i s k n o w n a s p l a n a r i s o t o p y .

S t r u c t u r e s w h i c h c a n b e m o v e d a b o u t i n t h i s w a y a r e c a l l e d t o p o l o g i c a l . T h i s a s -

s o c i a t i o n o f c u r v e s t o ' s a n d ~ ' s a l l o w s o n e t o p e r f o r m a l g e b r a i c c a l c u l a t i o n s b y

m o v i n g l i n e s i n a p l a n e .

A n u m b e r o f p r o p e r t i e s f o l l o w f r o m t h e a b o v e d e n i t i o n s . T h e v a l u e o f a s i m p l e

c l o s e d l o o p t a k e s a n e g a t i v e v a l u e

2

= ; 2 ( 5 )

s i n c e ~

A B

~

A B

= ;

A B

A B

= ; 2 . A c l o s e d l i n e i s a n u m b e r . T h i s t u r n s o u t t o b e

a g e n e r i c r e s u l t i n t h a t a s p i n n e t w o r k w h i c h h a s n o o p e n l i n e s i s e q u i v a l e n t t o a

n u m b e r .

A s u r p r i s i n g l y r i c h s t r u c t u r e e m e r g e s w h e n c r o s s i n g s , a r e c o n s i d e r e d . F o r i n -

s t a n c e t h e i d e n t i t y , o f t e n c a l l e d t h e \ s p i n o r i d e n t i t y , " l i n k s a p a i r o f e p s i l o n s t o

p r o d u c t s o f d e l t a s

A C

B D

=

B

A

D

C

;

D

A

B

C

:

E x e r c i s e 2 . U s i n g t h e d e n i t i o n s o f t h e ~ m a t r i c e s s h o w t h a t , d i a g r a m m a t i c a l l y ,

t h i s b e c o m e s

+ + = 0 :( 6 )

2

T h i s l e d P e n r o s e t o d u b t h e s e \ n e g a t i v e d i m e n s i o n a l t e n s o r s " 1 6 ] . I n g e n e r a l r e l a t i v i t y , t h e

d i m e n s i o n o f a s p a c e i s g i v e n b y t h e t r a c e o f t h e m e t r i c , g

g

, h e n c e t h e n a m e .


6/18


N o t e t h e s i g n c h a n g e s , e . g . ;

D

A

B

C

b e c o m e s + . T h i s d i a g r a m m a t i c r e l a t i o n

o f E q . ( 6 i s k n o w n a s \ s k e i n r e l a t i o n s " o r t h e \ b i n o r i d e n t i t y . " T h e u t i l i t y o f

t h i s r e l a t i o n b e c o m e s e v i d e n t w h e n o n e r e a l i z e s t h a t t h e e q u a t i o n m a y b e a p p l i e d

a n y w h e r e w i t h i n a l a r g e r d i a g r a m .

T h e r e s u l t o f t h e s e a s s o c i a t i o n s i s a t o p o l o g i c a l s t r u c t u r e i n w h i c h a l g e b r a i c

m a n i p u l a t i o n s o f ' s , ' s , a n d o t h e r 2 2 m a t r i c e s a r e e n c o d e d i n m a n i p u l a t i o n s o f

o p e n o r c l o s e d l i n e s .

E x e r c i s e 3 . S h o w t h a t t h e d i a g r a m m a t i c s i n t r o d u c e d i n t h i s s e c t i o n s a t i s f y t h e

R e i d e m e i s t e r M o v e s ( s e e t h e a p p e n d i x ) a n d t h u s a r e t o p o l o g i c a l l y i n v a r i a n t .

3 . 2 . D i a g r a m s f o r a n g u l a r m o m e n t u m s t a t e s . T h i s m e t h o d e x p r e s s e s s t a t e s

s u c h a s j j m i a n d o p e r a t o r s s u c h a s

^

J

2

i n t e r m s o f d i a g r a m s . T h e n o t a t i o n s a r e

r e l a t e d a s

j

1

2

1

2

i = u

A

=

A

1

a n d

j

1

2

;

1

2

i = d

A

=

A

0

:

T h e s e o b j e c t s a r e l i k e v e c t o r s , o n l y a b i t m o r e s i m p l e . T h e v e c t o r i n d e x A t a k e s

v a l u e s 0 o r 1 o n l y . ( S e c r e t l y , t h e \ u " f o r \ u p " t e l l u s t h a t t h e i n d e x A o n l y t a k e s

t h e v a l u e 1 . L i k e w i s e \ d " t e l l s u s t h e i n d e x i s 0 . ) T h e i n n e r p r o d u c t i s g i v e n b y

l i n k i n g u p p e r a n d l o w e r i n d i c e s , f o r i n s t a n c e

h

1

2

1

2

j

1

2

1

2

i = 1 :

T h i s n e w d i a g r a m m e a n s t h a t t w o o f t h e d i a g r a m s a r e t i e d t o g e t h e r w i t h a

K r o n e k e r d e l t a , u

A

u

B

B

A

. F o r h i g h e r r e p r e s e n t a t i o n s 1 4 ]

j j m i : = j r s i = N

r s

u

( A

u

B

: : : u

C

| { z }

r

d

D

d

E

: : : d

F )

| { z }

s

( 7 )

i n w h i c h

N

r s

=

1

r ! s ! ( r + s ) !

1 = 2

j =

r + s

2

a n d m =

r ; s

2

:( 8 )

T h e p a r e n t h e s e s i n E q . ( 7 ) a r o u n d t h e i n d i c e s i n d i c a t e s y m m e t r i z a t i o n , e . g . u

( A

d

B )

=

u

A

d

B

+ u

B

d

A

. T h e n o r m a l i z a t i o n N

r s

e n s u r e s t h a t t h e s t a t e s a r e o r t h o n o r m a l i n

t h e u s u a l i n n e r p r o d u c t f o r j j m i .

M u l t i p l e s t r a n d s r e q u i r e m u l t i p l e c o p i e s . T h e s i m p l e s t e x a m p l e i s f o r t w o l i n e s

=

1

2

;

!

:( 9 )

F o r m o r e t h a n t w o l i n e s t h e i d e a i s t h e s a m e . O n e s u m s o v e r p e r m u t a t i o n s o f t h e

l i n e s , a d d i n g a s i g n f o r e a c h c r o s s i n g . T h e g e n e r a l d e n i t i o n i s

: =

1

n !

X

2 S

n

( ; 1 )

j j

( 1 0 )

i n w h i c h a r e p r e s e n t s o n e p e r m u t a t i o n o f t h e n l i n e s a n d j j i s t h e m i n i m u m

n u m b e r o f c r o s s i n g s f o r t h i s p e r m u t a t i o n . T h e b o x e d i n t h e d i a g r a m r e p r e s e n t s

t h e a c t i o n o f t h e p e r m u t a t i o n o n t h e l i n e s . I t c a n b e d r a w n b y w r i t i n g 1 2 : : : n ,

t h e n p e r m u t a t i o n j u s t a b o v e i t , a n d c o n n e c t i n g t h e s a m e e l e m e n t s b y l i n e s .


7/18


I n t h i s d e n i t i o n , t h e l a b e l n s u p e r i m p o s e d o n t h e e d g e r e c o r d t h e n u m b e r o f

\ s t r a n d s " i n t h e e d g e . E d g e a r e u s u a l l y l a b e l e d t h i s w a y , t h o u g h I w i l l l e a v e s i m p l e

1 - l i n e s u n l a b e l e d . T w o o t h e r n o t a t i o n s a r e u s e d f o r t h i s a r e

= = :

T h e a n t i s y m m e t r i z e r s h a v e a c o u p l e o f l o v e l y p r o p e r t i e s , r e t r a c i n g a n d p r o j e c t i o n .

T h e a n t i s y m m e t r i z e r s a r e \ i r r e d u c i b l e , " o r v a n i s h w h e n a p a i r o f l i n e s i s r e t r a c e d

= 0 :( 1 1 )

w h i c h f o l l o w s f r o m t h e a n t i s y m m e t r y . U s i n g t h i s a n d t h e b i n o r i d e n t i t y o f E q . ( 6 )

o n e m a y s h o w t h a t t h e a n t i s y m m e t r i z e r s a r e \ p r o j e c t o r s " ( t h e c o m b i n a t i o n o f t w o

i s e q u a l t o o n e )

= :

E x e r c i s e 4 . S h o w t h i s f o r a 2 - l i n e , i . e m u l t i p l y ( v e r t i c a l c o m p o s i t i o n ) t w o c o p i e s

o f t h e r i g h t h a n d s i d e o f E q . ( 9 ) a n d s i m p l i f y u s i n g t h e s k e i n r e l a t i o n s ( E q . ( 6 ) ) t o

s h o w t h a t o n l y o n e c o p y r e m a i n s .

M a k i n g t h e s i m p l e s t c l o s e d d i a g r a m o u t o f t h e s e l i n e s g i v e s t h e l o o p v a l u e o f t e n

d e n o t e d a s

n

=

n

= ( ; 1 )

n

( n + 1 ) :

T h e f a c t o r n + 1 e x p r e s s e s t h e n u m b e r o f t h e \ m u l t i p l i c i t y " o r t h e n u m b e r o f p o s s i b l e

\ A - v a l u e s " o n t h e e d g e : E a c h l i n e i n t h e e d g e c a r r i e s a n i n d e x , w h i c h t a k e s t w o

p o s s i b l e v a l u e s . F o r a n e d g e w i t h a s t r a n d s t h e s u m o f t h e i n d i c e s A B C : : : i s

0 1 2 : : : a . S o t h a t t h e s u m t a k e s a + 1 p o s s i b l e v a l u e s . O n e c a n s h o w u s i n g t h e

r e c u r s i o n r e l a t i o n s f o r

n

3

t h a t t h e l o o p v a l u e i s e q u a l t o t h e m u l t i p l i c i t y . B u t t h i s

i s a l o n g e r a r g u m e n t . A s w e w i l l s e e i n t h e n u m b e r o f p o s s i b l e c o m b i n a t i o n s i s t h e

d i m e n s i o n o f t h e r e p r e s e n t a t i o n .

E x e r c i s e 5 . S h o w t h a t t h e 2 - l o o p h a s v a l u e 3 ,

2

= 3 , u s i n g t h e r e l a t i o n s f o r t h e

b a s i c l o o p v a l u e ( E q . ( 5 ) ) a n d t h e e x p a n s i o n o f t h e 2 - l i n e u s i n g t h e s k e i n r e l a t i o n

= +

1

2

:( 1 2 )

T h e s e l i n e s m a y b e f u r t h e r j o i n e d i n t o n e t w o r k s b y m a k i n g u s e o f v e r t i c e s . T h e

t r i v a l e n t v e r t e x i s d e n e d a s

: = :

T h e d a s h e d c i r c l e i s a m a g n i c a t i o n o f t h e d o t i n t h e d i a g r a m o n t h e l e f t . S u c h

d a s h e d c u r v e s i n d i c a t e s p i n n e t w o r k s t r u c t u r e a t a p o i n t . T h e \ i n t e r n a l " l a b e l s

i j k a r e p o s i t i v e i n t e g e r s d e t e r m i n e d b y t h e e x t e r n a l l a b e l s a b c v i a

i = ( a + c ; b ) = 2 j = ( b + c ; a ) = 2 a n d k = ( a + b ; c ) = 2 :

A s i n q u a n t u m m e c h a n i c s , t h e e x t e r n a l l a b e l s m u s t s a t i s f y t h e t r i a n g l e i n e q u a l i t i e s

a + b c b + c a a + c b

a n d t h e s u m a + b + c i s a n e v e n i n t e g e r . T h e s e r e l a t i o n s c a n b e s e e n b y d r a w i n g

t h e s t r a n d s t h r o u g h t h e v e r t e x .

3

T h e l o o p v a l u e s a t i s e s

0

= 1

1

= ; 2 , a n d

n + 2

= ( ; 2 )

n + 1

;

n

.


8/18


A u s e f u l r e p r e s e n t a t i o n o f a n g u l a r m o m e n t u m s t a t e s i s i n t e r m s o f t h e t r i v a l e n t

v e r t e x . U s i n g t h e n o t a t i o n f o r m a n y s t r a n d s a l l l a b e l e d w i t h 1 a n d s i m i l a r l y

f o r d o n e h a s

j j m i :

N o t e t h a t t h e i n d e x o n t h e o p e n l i n e ( w h i c h I h a v e n o t i n c l u d e d ) i s a s e t o f r + s

i n d i c e s , r o f w h i c h a r e 1 a n d s o f w h i c h a r e 0 . T h i s i s a n o t h e r w a y o f w r i t i n g t h e

s i n g l e i n d e x m .

A n g u l a r m o m e n t u m o p e r a t o r s a l s o t a k e a d i a g r a m m a t i c f o r m . A s a l l s p i n n e t -

w o r k s a r e b u i l t f r o m s p i n -

1

2

s t a t e s , i t i s w o r t h e x p l o r i n g t h i s t e r r i t o r y r s t . S p i n -

1

2

o p e r a t o r s h a v e a r e p r e s e n t a t i o n i n t e r m s o f t h e P a u l i m a t r i c e s

1

=

0 1

1 0

2

=

0 ; i

i 0

3

=

1 0

0 ; 1

w i t h

^

S

i

=

~

2

i

f o r i = 1 2 3 . U s i n g t h e n o t a t i o n j + i f o r j

1

2

1

2

i o n e h a s

3

2

j + i =

1

2

j + i

w h i c h i s e x p r e s s e d d i a g r a m m a t i c a l l y a s

=

1

2

:

O r , s i n c e P a u l i m a t r i c e s a r e t r a c e l e s s ,

= 0

a n d u s i n g E q ( 1 2 ) o n e h a s

=

1

2

:

A s i m i l a r r e l a t i o n h o l d s f o r t h e s t a t e s j ; i . T h e b a s i c a c t i o n o f t h e s p i n o p e r a t o r s

c a n b e d e s c r i b e d a s a \ h a n d " w h i c h a c t s o n t h e s t a t e b y \ g r a s p i n g " a l i n e 1 9 ] .

T h e r e s u l t , a f t e r u s i n g t h e d i a g r a m m a t i c a l g e b r a , i s e i t h e r a m u l t i p l e o f t h e s a m e

s t a t e , a s f o r

3

, o r a n e w s t a t e . I f t h e o p e r a t o r a c t s o n m o r e t h a n o n e l i n e , a h i g h e r

d i m e n s i o n a l r e p r e s e n t a t i o n , t h e n t h e t o t a l a c t i o n i s t h e s u m o f t h e g r a s p i n g s o n

e a c h e d g e .

4

E x e r c i s e 6 . ( N B : A b i t m o r e t h a n a n e x e r c i s e ! ) T h i s f o r m o f t h e P a u l i m a t r i c e s

a l s o p r o v i d e t h e n e e d e d f o u n d a t i o n f o r t h e b a s i c o p e r a t i o n s i n q u a n t u m c o m p u t i n g .

T h i s i s a l s o t h e b a s i s f o r a d i a g r a m m a t i c p r o g r a m m i n g l a n g u a g e ! T r y c o n s t r u c t i n g

t h e N O T a n d C o n t r o l l e d N O T g a t e s .

4

T h i s m a y b e s h o w n b y n o t i c i n g t h a t

= , s o t h a t + + = n

a s m a y b e d e r i v e d u s i n g E q s . ( 6 ) a n d ( 1 1 ) .


9/18


T h e

^

J

z

o p e r a t o r c a n b e c o n s t r u c t e d o u t o f t h e

3

m a t r i x . T h e t o t a l a n g u l a r

m o m e n t u m z - c o m p o n e n t i s t h e s u m o f i n d i v i d u a l m e a s u r e m e n t s o n e a c h o f t h e

s u b - s y s t e m s t h e o p e r a t o r i s

^

J

z

= ~

P

2 j + 1

i = 1

1 : : :

;

3

2

i

: : : 1 w h e r e t h e s u m i s

o v e r t h e p o s s i b l e p o s i t i o n s o f t h e P a u l i m a t r i x . I n d i a g r a m s , t h e a c t i o n o f t h e

^

J

z

o p e r a t o r b e c o m e s

^

J

z

j j m i =

= r + s

= ~

r

2

;

s

2

= ~ m j j m i :

T h e d e n i t i o n o f t h e q u a n t i t i e s r a n d s w a s u s e d i n t h e l a s t l i n e .

T h i s s a m e p r o c e d u r e w o r k s f o r t h e o t h e r a n g u l a r m o m e n t u m o p e r a t o r s a s w e l l .

T h e

^

J

x

o p e r a t o r i s c o n s t r u c t e d f r o m t h e P a u l i m a t r i x

1

. W h e n a c t i n g o n o n e l i n e

t h e o p e r a t o r

^

J

x

m a t r i x \ i p s t h e s p i n " a n d l e a v e s a f a c t o r

= ~

1

2

:

E x e r c i s e 7 . T r y t h e s a m e p r o c e d u r e f o r

^

J

y

.

T h e r a i s i n g a n d l o w e r i n g o p e r a t o r s a r e c o n s t r u c t e d w i t h t h e s e d i a g r a m s a s i n

t h e u s u a l a l g e b r a . F o r t h e r a i s i n g o p e r a t o r

^

J

+

=

^

J

1

+ i

^

J

2

o n e h a s

^

J

+

j j m i = ~ s :

I n a s i m i l a r w a y o n e c a n c o m p u t e

^

J

;

^

J

+

j j m i = ~

2

( r + 1 ) s j j m i

f r o m w h i c h o n e c a n c o m p u t e t h e n o r m a l i z a t i o n o f t h e s e o p e r a t o r s : T a k i n g t h e i n n e r

p r o d u c t w i t h h j m j g i v e s t h e u s u a l n o r m a l i z a t i o n f o r t h e r a i s i n g o p e r a t o r

^

J

+

j j m i = ~

p

s ( r + 1 ) j j m i = ~

p

( j ; m ) ( j + m + 1 ) j j m i :

N o t e t h a t s i n c e r a n d s a r e n o n - n e g a t i v e a n d n o l a r g e r t h a n 2 j , t h e u s u a l c o n d i t i o n

o n m , ; j m j , i s a u t o m a t i c a l l y s a t i s e d .

T h o u g h a b i t m o r e i n v o l v e d , t h e s a m e p r o c e d u r e g o e s t h r o u g h f o r t h e

^

J

2

o p e r a -

t o r . I t i s b u i l t f r o m t h e s u m o f p r o d u c t s o f o p e r a t o r s

^

J

2

=

^

J

x

2

+

^

J

y

2

+

^

J

z

2

. A c t i n g

o n c e w i t h t h e a p p r o p r i a t e P a u l i o p e r a t o r s , o n e n d s

^

J

2

j j m i = ~

^

1

2

2

6

4

r

2

+

s

2

3

7

5

+ ~

^

2

2

2

6

4

i r

2

;

i s

2

3

7

5

+ ~

^

3

2

( r + s )

2

:


10/18

1 0 S E T H A . M A J O R

A c t i n g o n c e a g a i n , s o m e h a p p y c a n c e l l a t i o n o c c u r s a n d t h e r e s u l t i s

^

J

2

j j m i =

~

2

2

r

2

+ s

2

2

+ r s + r + s

j j m i

w h i c h e q u a l s t h e f a m i l i a r j ( j + 1 ) . A c t u a l l y , t h e r e i s a p r e t t y i d e n t i t y w h i c h g i v e s

a n o t h e r r o u t e t o t h i s r e s u l t . T h e P a u l i m a t r i c e s s a t i s f y t h e m a g i c a l r e l a t i o n

1

2

3

X

i = 1

B

i A

D

i C

=

1

2

;

B

A

D

C

;

A C

B D

( 1 3 )

s o t h e p r o d u c t i s a 2 - l i n e . S i m i l a r l y , t h e

^

J

2

o p e r a t o r m a y b e e x p r e s s e d a s a 2 - l i n e .

A s w i l l b e s h o w n i n S e c t i o n ( 4 ) t h i s s i m p l i e s t h e a b o v e c a l c u l a t i o n c o n s i d e r a b l y .

4 . A q u a n t u m d e s c r i p t i o n o f g e o m e t r y

N o w w e h a v e a l l t h e t o o l s i n p l a c e t o d e s c r i b e q u a n t u m g e o m e t r y , a d i a g r a m m a t i c

a l g e b r a a n d t h e f a m i l i a r

^

J o p e r a t o r s o f a n g u l a r m o m e n t u m . A s t a t e o f q u a n t u m

g r a v i t y i s g i v e n b y a g r a p h - a s e t o f v e r t i c e s a n d e d g e s c o n n e c t i n g t h e m . T o e v e r y

e d g e o f t h e g r a p h w e a s s o c i a t e a n a n g u l a r m o m e n t u m s t a t e a n d s o a s p i n j . F i n a l l y ,

a t t h e v e r t i c e s { j u s t a s w e d o i n s p i n - o r b i t c o u p l i n g { t h e a n g u l a r m o m e n t a o f t h e

i n c i d e n t e d g e s a r e s u m m e d t o g e t h e r . T h e s e t h r e e q u a n t i t i e s , a g r a p h , e d g e l a b e l s ,

a n d v e r t e x l a b e l s d e n e a \ s p i n n e t w o r k . "

5

T h e s e s p i n n e t w o r k s a r e \ g o o d q u a n t u m

n u m b e r s " f o r t h e s t a t e s . A t a n i n s t a n t o f t i m e , q u a n t u m t h r e e d i m e n s i o n a l s p a c e

i s r e p r e s e n t e d b y t h e s e g r a p h s a n d l a b e l s . T h e e d g e s m a y b e a l l k n o t e d t o g e t h e r .

T h e d y n a m i c s p r o v i d e s a w a y t o c h n a g e t h i s \ k n o t y n e s s . " A s S h a k e s p e a r e w r o t e

i n T w e l f t h N i g h t \ O t i m e , t h o u m u s t u n t a n g l e t h i s , n o t I , I t i s t o o h a r d a k n o t f o r

m e t ' u n t i e " ( V i o l a ) .

I h a v e n o t d e r i v e d t h a t s p i n n e t w o r k s f o r m a b a s i s , b u t r a t h e r s t a t e d t h e r e s u l t .

Y o u m i g h t b e ( r i g h t l y ) s k e p t i c a l . S o I m u s t o e r s o m e m o t i v a t i o n f o r t h i s . W e m i g h t

e x p e c t t h a t a q u a n t u m d e s c r i p t i o n o f c o n t i n u o u s g e o m e t r y o u g h t t o b e d i s c r e t e ( p u n

i n t e n d e d ! ) .

6

B u t o n e c a n s e e h o w t h i s c o m e s o u t o f t h e q u a n t i z a t i o n .

I n g e n e r a l r e l a t i v i t y t h e d e g r e e s o f f r e e d o m a r e e n c o d e d i n t h e m e t r i c o n s p a c e -

t i m e . H o w e v e r , i t i s q u i t e u s e f u l t o u s e d i e r e n t v a r i a b l e s t o q u a n t i z e t h e t h e o r y

2 ] . I n s t e a d o f a m e t r i c , i n t h e H a m i l t o n i a n a p p r o a c h t h e v a r i a b l e s a r e a n \ e l e c t r i c

e l d , " w h i c h i s t h e \ s q u a r e r o o t " o f t h e s p a t i a l m e t r i c , a n d a v e c t o r p o t e n t i a l . T h e

e l e c t r i c e l d E i s n o t o n l y v e c t o r b u t a l s o t a k e s 2 2 m a t r i x v a l u e s i n a n \ i n t e r n a l "

s p a c e . T h i s e l e c t r i c e l d i s c l o s e l y r e l a t e d t o t h e c o o r d i n a t e t r a n s f o r m a t i o n f r o m

c u r v e d t o a t c o o r d i n a t e s ( a t r i a d ) . T h e c a n o n i c a l l y c o n j u g a t e A , u s u a l l y t a k e n t o

b e t h e c o n g u r a t i o n v a r i a b l e , i s s i m i l a r t o t h e v e c t o r p o t e n t i a l i n e l e c t r o m a g n e t i s m

b u t i s m o r e a p p r o p r i a t e l y c a l l e d a \ m a t r i x p o t e n t i a l " f o r A a l s o i s m a t r i x v a l u e d . I t

d e t e r m i n e s t h e e e c t s o f g e o m e t r y o n s p i n -

1

2

p a r t i c l e s a s t h e y t r a v e l a b o u t s p a c e .

7

( S e e R e f s . 3 ] a n d 2 0 ] f o r m o r e o n t h e n e w v a r i a b l e s . ) S t a t e s o f l o o p q u a n t u m

g r a v i t y a r e f u n c t i o n s o f t h e p o t e n t i a l A . A c o n v e n i e n t b a s i s i s b u i l t f r o m k e t s j s i

l a b e l e d b y s p i n n e t w o r k s s . I n t h i s a p p l i c a t i o n o f s p i n n e t w o r k s , t h e y h a v e s p e c i a l

t a g s o r w e i g h t s o n t h e e d g e s o f t h e g r a p h . E v e r y s t r a n d e o f t h e g r a v i t a t i o n a l s p i n

n e t w o r k h a s t h e \ p h a s e "

R

e

A d l a s s o c i a t e d t o i t . A n o r i e n t a t i o n a l o n g e v e r y e d g e

5

T h e s e o b j e c t s w e r e r s t i n v e n t e d b y R o g e r P e n r o s e t o c o n s t r u c t a d i s c r e t e m o d e l o f s p a c e

1 6 ] .

6

I n a c o n t i n u o u s s p a c e , i n e v e r y i n t e r v a l t h e r e i s a n i n n i t e n u m b e r o f p o i n t s . S u p p o s e t h a t

w e a r e t r y i n g t o s p e c i f y t h e g r a v i t a t i o n a l e l d i n a r e g i o n . I f t h e t h e o r y a s s o c i a t e s 2 d e g r e e s o f

f r e e d o m p e r p o i n t , a s g e n e r a l r e l a t i v i t y d o e s , a n d i f t h i s i n f o r m a t i o n r e q u i r e s s o m e e n e r g y t o s t o r e

t h e n t h e r e g i o n w o u l d c o l l a p s e i n t o a b l a c k h o l e . T h i s i s a g r a v i t a t i o n a l u l t r a - v i o l e t c a t a s t r o p h e .

O n e s o l u t i o n t o t h i s i s t o r e m o v e t h e a s s u m p t i o n o f a c o n t i n u o u s s p a c e .

7

F o r t h o s e r e a d e r s f a m i l i a r w i t h g e n e r a l r e l a t i v i t y t h e p o t e n t i a l d e t e r m i n e s t h e p a r a l l e l t r a n s -

p o r t o f s p i n -

1

2

p a r t i c l e s .


11/18

T O W A R D S Q U A N T U M G R A V I T Y : D I S C R E T E G E O M E T R Y { O B S E R V A B L E C O N S E Q U E N C E S 1 1

h e l p s t o d e t e r m i n e t h e s e p h a s e s o r w e i g h t s . T h e s t a t e s o f q u a n t u m g e o m e t r y a r e

e n c o d e d i n t h e k n o t t e d n e s s a n d c o n n e c t i v i t y o f t h e s p i n n e t w o r k s .

8

O n t h i s k i n e m a t i c a l s t a t e s p a c e w e h a v e o p e r a t o r s w h i c h m e a s u r e t h e g e o m e t r y ,

s u c h a s a r e a . I n c a l c u l u s w e c a l c u l a t e a n a r e a b y i n t e g r a t i n g o v e r a r e g i o n R

Z

R

d

2

x

H i d i n g i n t h i s i n t e g r a l i s a s t r o n g a s s u m p t i o n { t h a t t h e s p a c e i s a t . F o r b e t t e r

o r f o r w o r s e , t h e r e g i o n m i g h t c o n t a i n s o m e c u r v a t u r e . I n t h i s c a s e t h e c a l c u l a t i o n

i s t h e s a m e b u t t h e r e i s a f u r t h e r d e p e n d e n c e o n t h e c o o r d i n a t e s v i a t h e m e t r i c .

T h u s , t h e a r e a o f a s u r f a c e i s t h e i n t e g r a l

A

S

=

Z

S

d

2

x

p

g

i n w h i c h g i s t h e d e t e r m i n a n t o f t h e m e t r i c o n t h e s u r f a c e . T h e a v o r o f t h i s s o r t

o f t h i n g i s a l r e a d y f a m i l i a r i n a t s p a c e i n t e g r a l s i n s p h e r i c a l c o o r d i n a t e s :

A =

Z

r

2

s i n ( ) d d :

I n t h e ( A E ) v a r i a b l e s t h e c a l c u l a t i o n i s m o r e s i m p l e w h e n t h e s u r f a c e i s s p e c i e d

b y z = 0 i n a n a d a p t e d c o o r d i n a t e s y s t e m . E x p r e s s e d i n t e r m s o f E , t h e a r e a o f a

s u r f a c e S o n l y d e p e n d s o n t h e z - v e c t o r c o m p o n e n t 1 7 ] , 8 ] , 4 ]

A

S

=

Z

S

d

2

x

p

E

z

E

z

:( 1 4 )

T h e d o t p r o d u c t i s i n t h e \ i n t e r n a l " s p a c e . I t i s t h e s a m e p r o d u c t b e t w e e n P a u l i

m a t r i c e s a s a p p e a r s i n E q . ( 1 3 ) . I n t h e s p i n n e t w o r k b a s i s E i s t h e m o m e n t u m

o p e r a t o r . A s p ! ; i ~

d

d x

i n q u a n t u m m e c h a n i c s , t h e e l e c t r i c e l d b e c o m e s a h a n d ,

E ! ; i ~ . T h e i s p r o p o r t i o n a l t o a P a u l i m a t r i x , =

i

2

a n d t h e i s

a s i g n f a c t o r . I t i s p o s i t i v e w h e n t h e o r i e n t a t i o n s o n t h e e d g e a n d s u r f a c e a r e t h e

s a m e , n e g a t i v e w h e n t h e e d g e i s o r i e n t e d o p p o s i t e l y f r o m t h e s u r f a c e , a n d v a n i s h e s

w h e n t h e e d g e s i s t a n g e n t t o t h e s u r f a c e . I t t u r n s o u t t h a t t h e E o p e r a t o r i s l i k e

t h e a n g u l a r m o m e n t u m o p e r a t o r

^

J ,

^

E =

^

J ! S i n c e t h e E o p e r a t o r v a n i s h e s u n l e s s

i t g r a s p s a n e d g e , t h e o p e r a t o r o n l y a c t s w h e r e t h e s p i n n e t w o r k i n t e r s e c t s t h e

s u r f a c e .

T h e s q u a r e o f t h e a r e a o p e r a t o r i s c a l c u l a t e d r s t . C a l l i n g t h e s q u a r e o f t h e

i n t e g r a n d o f E q . ( 1 4 )

^

O , t h e t w o - h a n d e d o p e r a t o r a t o n e i n t e r s e c t i o n i s

^

O j s i = ;

X

e

I

e

J

I

J

^

J

I

^

J

J

j s i ( 1 5 )

w h e r e t h e s u m i s o v e r e d g e s e

I

a t t h e i n t e r s e c t i o n . H e r e ,

^

J

I

d e n o t e s t h e v e c t o r

o p e r a t o r

^

J =

^

J

x

+

^

J

y

+

^

J

z

a c t i n g o n t h e e d g e e

I

. T h i s

^

O i s a l m o s t

^

J

2

b u t f o r t h e

s i g n f a c t o r s

I

.

I n t h e q u a n t u m t h e o r y , t h e i n t e g r a l o f t h e a r e a o f a s u r f a c e E q . ( 1 4 ) i s p a r t i t i o n e d

i n t o s m a l l b i t s o f a r e a { a s i n t h e d e n i t i o n o f i n t e g r a l s i n c a l c u l u s { w h i c h h a v e

o n l y o n e i n t e r s e c t i o n w i t h t h e s p i n n e t w o r k s t a t e . T h e a r e a o p e r a t o r t h e n i s t h e

s u m o v e r c o n t r i b u t i o n s f r o m a l l p a r t s o f t h e s p i n n e t w o r k w h i c h t h r e a d t h r o u g h t h e

s u r f a c e . I n t e r m s o f

^

O a c t i n g a t a l l i n t e r s e c t i o n s i

^

A

S

j s i : =

G

4 c

3

X

i

^

O

i

1 = 2

j s i :( 1 6 )

8

I n m o r e d e t a i l , e v e r y e d g e h a s a h o l o n o m y o r p a t h o r d e r e d e x p o n e n t i a l ( i . e . P e x p

R

e

d t _ e ( t )

A ( e ( t ) ) ) a s s o c i a t e d t o i t . S e e , f o r e x a m p l e , R e f . 3 ] .


12/18


( a . ) ( b . )

F i g u r e 1 . T w o t y p e s o f i n t e r s e c t i o n s o f a s p i n n e t w o r k w i t h a

s u r f a c e ( a . ) O n e i s o l a t e d e d g e e i n t e r s e c t s t h e s u r f a c e t r a n s v e r s e l y .

T h e n o r m a l ^ n i s a l s o s h o w n . ( b . ) O n e v e r t e x o f a s p i n n e t w o r k l i e s

i n t h e s u r f a c e . A l l t h e n o n - t a n g e n t e d g e s c o n t r i b u t e t o t h e a r e a .

N o t e t h a t t h e n e t w o r k c a n b e k n o t t e d .

O n e c a n c a l c u l a t e t h e a c t i o n o f t h e o p e r a t o r

^

O o n a n e d g e e l a b e l e d b y n a s

d e p i c t e d i n F i g u r e 4 ( a . ) . I n t h i s c a s e , t h e h a n d s a c t o n t h e s a m e e d g e s o t h e s i g n

i s 1 ,

2

I

= 1 , a n d t h e o p e r a t o r b e c o m e s

^

J

2

. T h e c a l c u l a t i o n m a k e s u s e o f t h e P a u l i

m a t r i x i d e n t i t y o f E q . ( 1 3 )

^

O

e

j s i = ;

^

J

2

j s i

= ; ~

2

n

2

2

j ( s ; e ) i :

T h e e d g e i s s h o w n i n t h e t h e d i a g r a m s o i t i s r e m o v e d s p i n n e t w o r k s g i v i n g t h e

s t a t e j ( s ; e ) i . N o w t h e d i a g r a m m a y b e r e d u c e d u s i n g t h e d i a g r a m i d e n t i t i e s .

T h e b u b b l e m a y b e e x t r a c t e d w i t h E q . ( 2 2 )

^

O

e

j s i = ; ~

2

n

2

2

j ( s ; e ) i

= ; ~

2

n

2

2

( n n 2 )

n

j ( s ; e ) i

= ; ~

2

n

2

2

;

n + 2

2 n

j s i

= ~

2

n ( n + 2 )

4

j s i

i n w h i c h E q . ( 2 1 ) w a s a l s o u s e d i n t h e s e c o n d l i n e . P u t t i n g t h i s r e s u l t i n t o t h e a r e a

o p e r a t o r , o n e l e a r n s t h a t t h e a r e a c o m i n g f r o m a l l t h e t r a n s v e r s e e d g e s i s 1 7 ]

^

A

S

j s i =

G ~

c

3

X

i

r

n

i

( n

i

+ 2 )

4

j s i

= l

2

p

X

i

p

j

i

( j

i

+ 1 ) j s i :

( 1 7 )

T h e u n i t s ~ c a n d G a r e c o l l e c t e d i n t o t h e P l a n c k l e n g t h l

p

=

q

G ~

c

3

1 0

; 3 5

m .

T h e r e s u l t i s a l s o r e - e x p r e s s e d i n t e r m s o f t h e m o r e f a m i l i a r a n g u l a r m o m e n t u m

v a r i a b l e s j =

n

2

.

T h e f u l l s p e c t r u m o f t h e a r e a o p e r a t o r i s f o u n d b y c o n s i d e r i n g a l l t h e i n t e r s e c t i o n s

o f t h e s p i n n e t w o r k w i t h t h e s u r f a c e S i n c l u d i n g v e r t i c e s w h i c h l i e o n t h e s u r f a c e

a s i n F i g u r e 4 ( b . ) . T h e e d g e s i n c i d e n t t o a v e r t e x o n t h e s u r f a c e a r e d i v i d e d i n t o

t h r e e c a t e g o r i e s , t h o s e w h i c h a r e a b o v e t h e s u r f a c e j

u

, b e l o w t h e s u r f a c e j

d

, a n d

t a n g e n t t o t h e s u r f a c e j

t

. S u m m i n g o v e r a l l c o n t r i b u t i o n s 4 ]

^

A

S

j s i =

l

2

P

2

X

v

2 j

u

v

( j

u

v

+ 1 ) + 2 j

d

v

( j

d

v

+ 1 ) ; j

t

v

( j

t

v

+ 1 )

1 = 2

j s i :


13/18


T h i s r e s u l t i s u t t e r l y r e m a r k a b l e i n t h a t t h e c a l c u l a t i o n p r e d i c t s t h a t s p a c e i s d i s -

c r e t e . M e a s u r e m e n t s o f a r e a c a n o n l y t a k e t h e s e q u a n t i z e d v a l u e s . A s i s t h e c a s e i n

m a n y q u a n t u m s y s t e m s t h e r e i s a \ g a p " f r o m z e r o t o t h e l o w e s t p o s s i b l e n o n - z e r o

v a l u e . T h i s a r e a g a p i s

A

0

=

p

3

4

l

2

p

:( 1 8 )

I n a n a n a l o g o u s f a s h i o n , a s f o r a n e l e c t r o n i n a h y d r o g e n a t o m , s u r f a c e s m a k e a

q u a n t u m j u m p b e t w e e n s t a t e s i n t h e s p e c t r u m o f t h e a r e a o p e r a t o r t h e r e i s a

q u a n t a o f a r e a .

N o w w e c a n r e t u r n t o t h e q u e s t i o n o f b l a c k h o l e r a d i a t i o n .

4 . 1 . S p e c t r a o f b l a c k h o l e r a d i a t i o n . S u p p o s e t h a t t h e m o s t l i k e l y c o n g u r a t i o n

f o r a b l a c k h o l e i s o n e w i t h m a n y , m a n y ( 1 0

7 0

) e d g e s i n t e r s e c t i n g t h e b o u n d a r y

e a c h c a r r y i n g t h e s i m p l e s t r e p r e s e n t a t i o n j = 1 = 2 . T o r e d u c e t h e a r e a o f t h e

h o r i z o n , a b l a c k h o l e m u s t l o o s e a n e d g e i n t e r s e c t i n g t h e h o r i z o n - p o p ! T h e a r e a

o f t h e h o r i z o n m a k e s a q u a n t u m j u m p a n d r a d i a t e s l i k e a n a t o m . T h i s s m a l l e s t

t r a n s i t i o n d e t e r m i n e s t h e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y o f a b l a c k h o l e 6 ] .

F r o m E q . ( 2 ) w e h a v e t h a t , f o r a S c h w a r s c h i l d b l a c k h o l e ,

M

2

=

c

4

1 6 G

2

A

H

s o t h a t t h e c h a n g e i n m a s s i s

M =

c

4

3 2 G

2

1

M

A

H

:

U s i n g t h e c h a n g e i n a r e a A

0

o f E q . ( 1 8 ) , t h e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y !

0

i s

!

0

=

p

3

6 4

c

3

G

1

M

1 : 7 1 0

3

M

J

M

H z

F o r e x a m p l e , i f t h e b l a c k h o l e h a s a n e e c t i v e m a s s o f o n e s o l a r m a s s t h e n !

0

i s o n

t h e o r d e r o f k H z { s t e l l a r m a s s b l a c k h o l e s e m i t r a d i o w a v e s 2 1 ] !

T o n d w h e t h e r t h i s f r e q u e n c y i s s m a l l i n s c a l e r e l a t i v e t o t h e b o d y b o d y s p e c -

t r u m , o n e c a n n d t h e m a x i m u m o f t h e s p e c t r u m . T h e m a x i m u m i s l o c a t e d a t

~ ! = k T 3 s o t h e f r e q u e n c y o f t h e m a x i m u m i s

!

m a x

3 k T

H

~

=

3 c

3

8 G M

1 4 !

0

:

T h e m a x i m u m o f t h e P l a n c k d i s t r i b u t i o n i s j u s t 1 4 t i m e s t h e f u n d a m e n t a l f r e q u e n c y !

T h i s i s r a d i c a l l y d i e r e n t t h a n t h e H a w k i n g s p e c t r u m . T h o u g h b o t h s p e c t r a w o u l d

t i n t h e s a m e e n v e l o p e , t h e r e w o u l d o n l y b e a b o u t 3 0 v i s i b l e l i n e s f o r a l l b l a c k

h o l e s , i n d e p e n d e n t o n t h e m a s s .

T h e s e r e s u l t s a r e f o r t h e s p e c t r u m o f a s p h e r i c a l l y s y m m e t r i c b l a c k h o l e . O n e

c o u l d e x p e c t t h a t t h e s p e c t r u m o f r e a l b l a c k h o l e s w o u l d b e s i g n i c a n t l y m o d i e d

b y t r a n s i t i o n s b e t w e e n v a r i o u s a n g u l a r m o m e n t u m s t a t e s . A s i n a t o m i c p h y s i c s ,

t h e s e t r a n s i t i o n s , e m i s s i o n o r a b s o r p t i o n o f g r a v i t o n s o r p h o t o n s , g i v e n e s t r u c t u r e .

H o w e v e r , a s l o n g a s t h e s e t r a n s i t i o n s b e t w e e n d i s c r e t e a n g u l a r m o m e n t u m s t a t e s

a r e s m a l l c o m p a r e d t o t h e i r r e d u c i b l e m a s s s q u a r e d , t h e b l u r r i n g o f t h e b l a c k h o l e

e m i s s i o n l i n e s i s s m a l l c o m p a r e d t o t h e f u n d a m e n t a l w a v e l e n g t h !

; 1

0

5 ] .

T h e r e i s a n u n f o r t u n a t e a s p e c t o f t h e s e l a r g e r b l a c k h o l e s . T h e p o w e r r a d i a t e d ,

a s i t s c a l e s a s T

4

H

, i s f a n t a s t i c a l l y s m a l l . S o i t i s n o t l i k e l y t h a t t h i s e e c t c o u l d b e

o b s e r v e d . T h i s c a l c u l a t i o n i s t o o s i m p l e i n a n o t h e r r e g a r d a s w e l l . T h e a s s u m p t i o n

t h a t A =

p

3

4

l

2

p

m a y n o t b e t r u e . I n f a c t , t h e l e v e l s p a c i n g o f t h e s p e c t r u m

d e c r e a s e s w i t h i n c r e a s i n g s p i n . I n t h e s e c a s e s , t h e s e m i c l a s s i c a l H a w k i n g s p e c t r u m

i s r e p r o d u c e d 3 ] .


14/18


4 . 2 . T r a c e s o f d i s c r e t e s t r u c t u r e . A d i s c r e t e s t r u c t u r e s u c h a s s p i n n e t w o r k s

c o u l d y i e l d o b s e r v a b l e a e c t s . O n e p o s s i b i l i t y i s t h r o u g h a s m a l l m o d i c a t i o n o f

M a x w e l l ' s e q u a t i o n s . A s i n o p t i c a l m e d i a s u c h a s c r o w n o r i n t g l a s s , a q u a n t u m

g r a v i t a t i o n a l m e d i u m w o u l d r e s p o n d d i e r e n t l y t o t h e p r o p a g a t i o n o f p a r t i c l e s a t

d i e r e n t w a v e l e n g t h s o r e n e r g i e s . T h i s w o u l d b e a v e r y s m a l l e e c t b u t o v e r v a s t

d i s t a n c e s , t h e r e s u l t c o u l d b e m e a s u r a b l e .

L e t ' s l o o k a t h o w t h i s w o u l d w o r k f o r p h o t o n s 1 ] . F o r a t h e o r y a t a s c a l e E

Q G

,

t h e e e c t w o u l d b e r e a l i z e d b y a m o d i c a t i o n o f t h e s p e e d o f l i g h t

v ( E ) = c

1 +

E

E

Q G

+

E

E

Q G

2

+ : : :

!

s o t h a t p h o t o n s w i t h d i e r e n t e n e r g i e s E w o u l d t r a v e l a t d i e r e n t s p e e d s . I n o p t i c s

w e n o r m a l l y e n c o d e t h i s c h a n g e a s t h e i n d e x o f r e f r a c t i o n n v

m e d i u m

=

c

n

. F o r

v ( E ) ,

n =

1

1 +

E

E

Q G

:

I f a b u n d l e o f p h o t o n s w e r e r e l e a s e d s i m u l t a n e o u s l y o v e r a w i d e r a n g e o f e n e r g y ,

t h e p h o t o n s w o u l d a r r i v e a t t h e i r d e s t i n a t i o n , s a y a d i s t a n c e L f r o m t h e s o u r c e , a t

d i e r e n t t i m e s . T h e r s t o r d e r d e l a y c a n b e f o u n d t o b e

t

L

c

E

E

Q G

:( 1 9 )

T h o u g h t h e e e c t (

E

E

Q G

) i s t i n y , i f t h e d i s t a n c e s a r e a s t r o n o m i c a l t h e n t h e e e c t

c o u l d b e o b s e r v e d . I t w a s s u g g e s t e d l a s t y e a r 1 ] , t h a t t h e c u r r e n t - r a y o b s e r v a t i o n s

a l r e a d y p l a c e l i m i t s o n t h e s c a l e o f t h i s e e c t u p t o E

Q G

> 1 0

1 6

G e V .

H o w c o u l d t h i s b e d o n e ? T h e i d e a i s t h a t i t t h e s i g n a l h a s a n e e n o u g h t i m e

s t r u c t u r e , a d e t a i l e d t i m e - s e r i e s a n a l y s i s c o m p a r i n g s i g n a l s i n d i e r e n t e n e r g y b a n d s

m i g h t r e v e a l c o i n c i d e n c e s o n a t i m e s c a l e o f t 1 0

; 2

. I f t h e s o u r c e s a r e a t

L 1 0

1 0

l . y r . a n d s i n c e t h e e n e r g y r e s o l u t i o n o f t h e B A T S E d e t e c t o r o n t h e

C o m p t o n O b s e r v a t o r y i s E 2 0 0 k e V , t h e n E q . ( 1 9 ) c o n s t r a i n s t h e e n e r g y s c a l e

E

Q G

o f q u a n t u m g r a v i t y d i s p e r s i v e e e c t s . I n p r i n c i p l e , o n e c o u l d d o m u c h b e t t e r .

G a m m a r a y s o u r c e s h a v e p h o t o n s i n t h e 0 . 1 - 1 0 0 M e V r a n g e ( w i t h s o m e p o s s i b i l i t y

o f p h o t o n s i n t h e T e v r a n g e ) w i t h t i m e s c a l e f e a t u r e s o n t h e o r d e r o f 1 0

; 3

s . T h e r e

i s a l s o a p o s s i b i l i t y o f p o l a r i z a t i o n e e c t s s u c h a b i r e f r i n g e n c e a s w e l l 9 ] .

H o w c o u l d w e d i s t i n g u i s h t h i s f r o m r e g u l a r d i s p e r s i v e e e c t s ? T h e k e y p r o p e r t y

o f t h i s d i s p e r s i o n i s t h a t , u n l i k e n o r m a l d i s p e r s i o n ,

d n

Q G

d

> 0

t h e i n d e x o f r e f r a c t i o n d e c r e a s e s a s t h e w a v e l e n g t h d e c r e a s e s .

T h i s b e i n g a c u m u l a t i v e e e c t , s i g n a l s t r a v e l i n g o v e r a v a s t d i s t a n c e w o u l d d e -

v e l o p t r a c e s o f t h e u n d e r l y i n g d i s c r e t e s t r u c t u r e .

E x e r c i s e 8 . ( N B : A b i t m o r e t h a n a n e x e r c i s e ! ) F o r a r e a l i s t i c s p i n n e t w o r k m o d e l

o f a t s p a c e , n d t h e d i s p e r s i o n r e l a t i o n f o r m a s s l e s s p a r t i c l e p r o p a g a t i o n .

5 . C o n c l u s i o n s

T h i s t a l k o n q u a n t u m g r a v i t y o e r s a v i e w o f i s s u e s s u r r o u n d i n g t h e f o r m u l a t i o n

o f s u c h a t h e o r y , a g l i m p s e o f t h e s t r u c t u r e o f s p i n n e t w o r k g e o m e t r y , a n d t w o

a v e n u e s f o r e x p e r i m e n t a l o b s e r v a t i o n s .

B u t I d o n o t w a n t t o l e a v e y o u w i t h o u t a n o t e o f c a u t i o n , w h i c h a l s o m a y

t i c k l e y o u r i m a g i n a t i o n . T h i s c o m m e n t r e l a t e s t o t h e t h e r m o d y n a m i c a l r e l a t i o n s


15/18


I m e n t i o n e d b e f o r e w h i c h w a s t h a t g e n e r a l r e l a t i v i t y p l u s s o m e q u a n t u m t h e o r y

r e p r o d u c e d t h e r m o d y n a m i c s .

L e t m e q u o t e f r o m a s t a t i s t i c a l m e c h a n i c s t e x t , \ T h e t h e r m o d y n a m i c l a w s , t h e n ,

a r e i n t r o d u c e d o n l y a s p h e n o m e n o l o g i c a l s t a t e m e n t s t h a t c o n v e n i e n t l y s u m m a r i z e

m a c r o s c o p i c e x p e r i e n c e . . . . w e i n t r o d u c e t h e r m o d y n a m i c l a w s , w h i c h m a y b e

r e g a r d e d a s m a t h e m a t i c a l a x i o m s d e n i n g a m a t h e m a t i c a l m o d e l . I t i s p o s s i b l e

t o d e d u c e r i g o r o u s c o n s e q u e n c e s o f t h e s e a x i o m s , b u t i t i s i m p o r t a n t t o r e m e m b e r

t h a t t h i s m o d e l m a y n o t r i g o r o u s l y c o r r e s p o n d t o t h e p h y s i c a l w o r l d " 1 1 ]

I n t h e r s t s e c t i o n o f t h e t a l k I b r i e y r e v i e w e d h o w g e n e r a l r e l a t i v i t y p l u s

q u a n t u m t h e o r y g i v e s t h e r m o d y n a m i c s . D o e s t h i s n o t s u g g e s t s t h a t , \ G e n e r a l

r e l a t i v i t y i s t h e p h e n o m e n o l o g y o f g e o m e t r y " ? ! D o e s E i n s t e i n ' s w o r k \ c o n v e n i e n t l y

s u m m a r i z e m a c r o s c o p i c e x p e r i e n c e " ?

E x e r c i s e 9 . ( N B : A b i t m o r e t h a n a n e x e r c i s e ! ) W h a t i s t h e s t a t i s t i c a l m e c h a n i c s

o f s p a c e t i m e g e o m e t r y ?

W e m a y h a v e t o c o m e u p w i t h a f a r m o r e r a d i c a l t h e o r y t h a n e i t h e r g e n e r a l

r e l a t i v i t y o r q u a n t u m t h e o r y . W h e n D i r a c r s t t r i e d t o n d a ( s p e c i a l ) r e l a t i v i s t i c

e q u a t i o n f o r t h e e l e c t r o n h e a s k e d f o r a n e q u a t i o n t h a t s i m u l t a n e o u s l y s a t i s e d t h e

p r i n c i p l e s o f s p e c i a l r e l a t i v i t y a n d q u a n t u m m e c h a n i c s , h e f o u n d a n e w \ i n t e r n a l "

d e g r e e o f f r e e d o m . T h i s i s t h e f u l l y - q u a n t u m \ s p i n " o f p a r t i c l e s . S p i n h a s p r o f o u n d

c o n s e q u e n c e s f r o m s t e l l a r e v o l u t i o n t o h i g h s c h o o l c h e m i s t r y ( w i t h t h e f o r m a t i o n

o f l i f e i n b e t w e e n ! ) . O u r w o r l d w o u l d n o t b e r e c o g n i z a b l e w i t h o u t t h i s q u a n t u m

p h e n o m e n o n . S o j u s t a s w h e n D i r a c , f a c e d w i t h t h e s e e m i n g l y i n c o m p a t i b l e r e -

q u i r e m e n t s o f s p e c i a l r e l a t i v i t y a n d q u a n t u m t h e o r y p u s h e d h a r d , p l a y e d a c l e v e r

t r i c k , a n d d i s c o v e r e d s p i n , t h e r e i s n o r e a s o n t o e x p e c t t h a t q u a n t u m g r a v i t y w i l l

l e a d t o p h y s i c a l p h e n o m e n o n l e s s p r o f o u n d . A t l e a s t , I h o p e t o l e a v e y o u w i t h o u r

e y e s o p e n t o t h i s p o s s i b i l i t y .

A p p e n d i x A . L o o p s , T h e t a s , T e t s a n d a l l t h a t

T h i s a p p e n d i x c o n t a i n s t h e b a s i c d e n i t i o n s a n d f o r m u l a e o f d i a g r a m m a t i c r e c o u -

p l i n g t h e o r y u s i n g t h e c o n v e n t i o n s o f K a u m a n a n d L i n s 1 3 ] , a b o o k w r i t t e n i n t h e

c o n t e x t o f t h e m o r e g e n e r a l T e m p e r l e y - L i e b a l g e b r a . I t a l s o i n c l u d e s a d e s c r i p t i o n

o f t h e R e i d e m e i s t e r M o v e s o f k n o t t h e o r y .

A . 1 . R e i d e m e i s t e r M o v e s . I t i s r e m a r k a b l e t h a t a k n o t i n t h r e e d i m e n s i o n a l

s p a c e c a n b e c o n t i n u o u s l y d e f o r m e d i n t o a n o t h e r k n o t , i f a n d o n l y i f , t h e p l a n a r

p r o j e c t i o n o f t h e k n o t s c a n b e t r a n s f o r m e d i n t o e a c h o t h e r v i a a s e q u e n c e o f f o u r

m o v e s c a l l e d t h e \ R e i d e m e i s t e r m o v e s " 1 8 ] . T h o u g h I d i s c u s s o n l y t w o d i m e n -

s i o n a l d i a g r a m s h e r e , t h e R e i d e m e i s t e r m o v e s a r e s h o w n i n t h e i r f u l l g e n e r a l i t y { a s

p r o j e c t i o n s o f k n o t s i n t h r e e d i m e n s i o n a l s p a c e . W h i l e i n t w o d i m e n s i o n s o n e h a s

o n l y a n i n t e r s e c t i o n , , w h e n t w o l i n e s c r o s s , i n t h r e e d i m e n s i o n s o n e h a s t h e

\ o v e r c r o s s i n g , " a n d t h e \ u n d e r c r o s s , " , a s w e l l a s t h e i n t e r s e c t i o n .

T h e r e a r e f o u r m o v e s :

M o v e 0 : I n t h e p l a n e o f p r o j e c t i o n , o n e c a n m a k e s m o o t h d e f o r m a t i o n s o f

t h e c u r v e

:

M o v e I : A s t h e s e m o v e s a r e d e s i g n e d f o r o n e d i m e n s i o n a l o b j e c t s , a c u r l m a y

b e u n d o n e

:


16/18


T h i s m o v e d o e s n o t w o r k o n g a r d e n - v a r i e t y s t r i n g . T h e s t r i n g b e c o m e s t w i s t e d

( o r u n t w i s t e d ) . ( I n f a c t , t h i s i s t h e w a y y a r n i s m a d e . )

M o v e I I : T h e o v e r l a p s o f d i s t i n c t c u r v e s a r e n o t k n o t t e d

:

M o v e I I I : O n e c a n p e r f o r m p l a n a r d e f o r m a t i o n s u n d e r ( o r o v e r ) a d i a g r a m

:

W i t h a n i t e s e q u e n c e o f t h e s e m o v e s t h e p r o j e c t i o n o f a k n o t m a y b e t r a n s f o r m e d

i n t o t h e p r o j e c t i o n o f a n y o t h e r k n o t w h i c h i s t o p o l o g i c a l l y e q u i v a l e n t t o t h e o r i g i -

n a l . I f t w o k n o t s m a y b e e x p r e s s e d a s t h e o t h e r w i t h a s e q u e n c e o f t h e s e m o v e s t h e n

t h e k n o t s a r e c a l l e d \ i s o t o p i c . " P l a n a r i s o t o p y i s g e n e r a t e d b y a l l f o u r m o v e s w i t h

t h e s i g n i c a n t c a v e a t t h a t t h e r e a r e n o c r o s s i n g s , o n l y i n t e r s e c t i o n s . P l a -

n a r i s o t o p y m a y b e s u m m a r i z e d a s t h e m a n i p u l a t i o n s o n e w o u l d e x p e c t f o r e l a s t i c ,

n o n - s t i c k y s t r i n g s o n a t a b l e t o p { i f t h e y a r e i n n i t e l y t h i n .

M o v e I o n r e a l s t r i n g s i n t r o d u c e s a t w i s t i n t h e s t r i n g . T h i s m o v e i s v i o l a t e d b y

a n y l i n e w h i c h h a s s o m e s p a t i a l e x t e n t i n t h e t r a n s v e r s e d i r e c t i o n s u c h a s r i b b o n s .

H a p p i l y , t h e r e a r e d i a g r a m m a t i c s p i n n e t w o r k s f o r t h e s e \ r i b b o n s " a s w e l l 1 2 ] , 1 3 ] .

A . 2 . D i a g r a m m a t i c F o r m u l a e . T h e f u n c t i o n ( m n l ) i s g i v e n b y

( m n l ) = = ( ; 1 )

( a + b + c )

( a + b + c + 1 ) ! a ! b ! c !

( a + b ) ! ( b + c ) ! ( a + c ) !

( 2 0 )

w h e r e a = ( l + m ; n ) = 2 , b = ( m + n ; l ) = 2 , a n d c = ( n + l ; m ) = 2 . A n e v a l u a t i o n

w h i c h i s u s e f u l i n c a l c u l a t i n g t h e s p e c t r u m o f t h e a r e a o p e r a t o r i s ( n n 2 ) , f o r

w h i c h a = 1 , b = n ; 1 , a n d c = 1 .

( n n 2 ) = ( ; 1 )

( n + 1 )

( n + 2 ) ! ( n ; 1 ) !

( 2 n ! )

2

= ( ; 1 )

( n + 1 )

( n + 2 ) ( n + 1 )

2 n

:( 2 1 )

A \ b u b b l e " d i a g r a m i s p r o p o r t i o n a l t o a s i n g l e e d g e .

=

n l

( ; 1 )

n

( a b n )

( n + 1 )

:( 2 2 )

E x e r c i s e 1 0 . C h e c k t h e i d e n t i t y E q . ( 2 2 ) b y c l o s i n g u p t h e l i n e s a n d a p p l y i n g t h e

d e n i t i o n s o f t h e l o o p v a l u e a n d .

T h e b a s i c r e c o u p l i n g i d e n t i t y r e l a t e s t h e d i e r e n t w a y s i n w h i c h t h r e e a n g u l a r

m o m e n t a , s a y a , b , a n d c , c a n c o u p l e t o f o r m a f o u r t h o n e , d . T h e t w o p o s s i b l e

r e c o u p l i n g s a r e r e l a t e d b y

b

a

c

d i

=

X

j a ; b j i ( a + b )

a b i

c d i

0

a d

b ci

( 2 3 )

w h e r e o n t h e r i g h t h a n d s i d e i s t h e 6 j - s y m b o l d e n e d b e l o w . I t i s c l o s e l y r e l a t e d

t o t h e T e t s y m b o l . T h i s i s d e n e d b y 1 3 ]

a

b c

d f

e=

a

b c e

d = T e t

a b e

c d f

T e t

a b e

c d f

= N

X

m s S

( ; 1 )

s

( s + 1 ) !

Q

i

( s ; a

i

) !

Q

j

( b

j

; s ) !

N =

Q

i j

b

j

; a

i

] !

a ! b ! c ! d ! e ! f !

( 2 4 )


17/18


i n w h i c h

a

1

=

1

2

( a + d + e ) b

1

=

1

2

( b + d + e + f )

a

2

=

1

2

( b + c + e ) b

2

=

1

2

( a + c + e + f )

a

3

=

1

2

( a + b + f ) b

3

=

1

2

( a + b + c + d )

a

4

=

1

2

( c + d + f ) m = m a x f a

i

g M = m i n f b

j

g

T h e 6 j - s y m b o l i s t h e n d e n e d a s

a b i

c d j

: =

T e t

a b i

c d j

i

( a d i ) ( b c i )

:

T h e s e s a t i s f y a n u m b e r o f p r o p e r t i e s i n c l u d i n g t h e o r t h o g o n a l i d e n t i t y

X

l

a b l

c d j

d a i

b c l

=

j

i

a n d t h e B i e d e n h a r n - E l l i o t o r P e n t a g o n i d e n t i t y

X

l

d i l

e m c

a b f

e l i

a f k

d d l

=

a b k

c d i

k b f

e m c

:

T w o l i n e s m a y b e j o i n e d v i a

=

X

c

c

( a b c )

:( 2 5 )

O n e a l s o h a s o c c a s i o n t o u s e t h e c o e c i e n t o f t h e \ - m o v e "

ab

c

=

a b

c

a

cbw h e r e

a b

c

i s

a b

c

= ( ; 1 )

a

2

+ b

2

; c

2

] = 2

:

( 2 6 )

R e f e r e n c e s

1 ] G . A m e l i n o - C a m e l i a , J . E l l i s , N . E . M a v r o m a t o s , D . V . N a n o p o u l o s , a n d S . S a r k a r , N a -

t u r e 3 9 3 ( 1 9 9 8 ) 7 6 3 - 7 6 5 . S e e a l s o O n l i n e e p r i n t a r c h i v e : h t t p : / / x x x . l a n l . g o v / a b s / a s t r o -

p h / 9 8 1 0 4 8 3 .

2 ] A b h a y A s h t e k a r , \ N e w v a r i a b l e s f o r c l a s s i c a l a n d q u a n t u m g r a v i t y , " P h y s . R e v . L e t t .

5 7 ( 1 8 ) , 2 2 4 4 - 2 2 4 7 ( 1 9 8 6 ) N e w p e r s p e c t i v e s i n c a n o n i c a l g r a v i t y ( B i b l i o p o l i s , N a p l e s ,

1 9 8 8 ) L e c t u r e s o n n o n - p e r t u r b a t i v e c a n o n i c a l g r a v i t y , A d v a n c e d S e r i e s i n A s t r o p h y s i c s

a n d C o s m o l o g y - V o l . 6 ( W o r l d S c i e n t i c , S i n g a p o r e , 1 9 9 1 ) .

3 ] A b h a y A s h t e k a r , \ Q u a n t u m m e c h a n i c s o f R i e m a n n i a n g e o m e t r y , "

h t t p : / / v i s h n u . n i r v a n a . p h y s . p s u . e d u / r i e m q m / r i e m q m . h t m l .

4 ] A b h a y A s h t e k a r a n d J e r z y L e w a n d o w s k i , \ Q u a n t u m T h e o r y o f G e o m e t r y I : A r e a o p e r -

a t o r s , " C l a s s . Q u a n t . G r a v . 1 4 , A 5 5 - A 8 1 ( 1 9 9 7 ) .

5 ] J . B e k e n s t e i n , L e t t . N u o v o C i m e n t o 1 1 ( 1 9 7 4 ) 4 6 7 .

6 ] J . B e k e n s t e i n a n d V . F . M u k a n h o v , P h y s . L e t t . B 3 6 0 ( 1 9 9 5 ) 7 .

7 ] R o b e r t o D e P i e t r i a n d C a r l o R o v e l l i , \ G e o m e t r y e i g e n v a l u e s a n d t h e s c a l a r p r o d u c t f r o m

r e c o u p l i n g t h e o r y i n l o o p q u a n t u m g r a v i t y , " P h y s . R e v . D 5 4 ( 4 ) , 2 6 6 4 - 2 6 9 0 ( 1 9 9 6 ) .

8 ] S . F i t t e l l i , L . L e h n e r , C . R o v e l l i , \ T h e c o m p l e t e s p e c t r u m o f t h e a r e a f r o m r e c o u p l i n g

t h e o r y i n l o o p q u a n t u m g r a v i t y , " C l a s s . Q u a n t . G r a v . 1 3 , 2 9 2 1 - 2 9 3 2 ( 1 9 9 6 ) .

9 ] R . G a m b i n i a n d J . P u l l i n , \ N o n s t a n d a r d o p t i c s f r o m q u a n t u m s p a c e t i m e . " O n l i n e e p r i n t

a r c h i v e : h t t p : / / x x x . l a n l . g o v / a b s / g r - q c / 9 8 0 9 0 3 8 .

1 0 ] S . H a w k i n g , N a t u r e 2 4 8 ( 1 9 7 4 ) 3 0 C o m m . M a t h . P h y s 4 3 ( 1 9 7 4 ) 2 4 8 .

1 1 ] K e r s o n H u a n g , S t a t i s t i c a l M e c h a n i c s ( J o h n W i l e y , 1 9 6 3 ) p p . 6 - 7 .

1 2 ] L o u i s H . K a u m a n , K n o t s a n d P h y s i c s , S e r i e s o n K n o t s a n d E v e r y t h i n g - V o l . 1 ( W o r l d

S c i e n t i c , S i n g a p o r e , 1 9 9 1 ) p p . 1 2 5 - 1 3 0 , 4 4 3 - 4 7 1 .

1 3 ] L o u i s H . K a u m a n a n d S o s t e n e s L . L i n s , T e m p e r l e y - L i e b R e c o u p l i n g T h e o r y a n d I n -

v a r i a n t s o f 3 - M a n i f o l d s , A n n a l s o f M a t h e m a t i c s S t u d i e s N . 1 3 4 , ( P r i n c e t o n U n i v e r s i t y

P r e s s , P r i n c e t o n , 1 9 9 4 ) , p p . 1 - 1 0 0 .


18/18


1 4 ] J o h n P . M o u s s o u r i s , \ Q u a n t u m m o d e l s a s s p a c e t i m e b a s e d o n r e c o u p l i n g t h e o r y , " O x f o r d

P h . D . d i s s e r t a t i o n , u n p u b l i s h e d ( 1 9 8 3 ) .

1 5 ] M i y o s h i e t a l , N a t u r e 3 7 3 ( 1 9 9 5 ) 1 2 7 .

1 6 ] R o g e r P e n r o s e , \ A n g u l a r m o m e n t u m : A n a p p r o a c h t o c o m b i n a t o r i a l s p a c e t i m e " i n

Q u a n t u m T h e o r y a n d B e y o n d T . B a s t i n , e d . ( C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s , C a m b r i d g e ,

1 9 7 1 ) \ C o m b i n a t o r i a l Q u a n t u m T h e o r y a n d Q u a n t i z e d D i r e c t i o n s " i n A d v a n c e s i n

T w i s t o r T h e o r y , R e s e a r c h N o t e s i n M a t h e m a t i c s 3 7 , L . P . H u g h s t o n a n d R . S . W a r d ,

e d s . ( P i t m a n , S a n F r a n c i s c o , 1 9 7 9 ) p p . 3 0 1 - 3 0 7 \ T h e o r y o f Q u a n t i z e d D i r e c t i o n s , " u n -

p u b l i s h e d n o t e s .

1 7 ] C a r l o R o v e l l i a n d L e e S m o l i n , \ D i s c r e t e n e s s o f a r e a a n d v o l u m e i n q u a n t u m g r a v i t y , "

N u c . P h y s . B 4 4 2 , 5 9 3 - 6 2 2 ( 1 9 9 5 ) .

1 8 ] K . R e i d e m e i s t e r , K n o t e n t h e o r i e ( C h e l s e a P u b l i s h i n g C o . , N e w Y o r k , 1 9 4 8 ) , o r i g i n a l

p r i n t i n g ( S p r i n g e r , B e r l i n , 1 9 3 2 ) . S e e a l s o L o u i s K a u m a n , K n o t s a n d P h y s i c s , p p . 1 6 .

1 9 ] C a r l o R o v e l l i a n d L e e S m o l i n , \ L o o p R e p r e s e n t a t i o n o f q u a n t u m g e n e r a l r e l a t i v i t y , " N u c .

P h y s . B 3 3 1 ( 1 ) , 8 0 - 1 5 2 ( 1 9 9 0 ) .

2 0 ] C a r l o R o v e l l i , \ L o o p Q u a n t u m G r a v i t y , " L i v i n g R e v i e w s i n R e l a t i v i t y

h t t p : / / w w w . l i v i n g r e v i e w s . o r g / A r t i c l e s / V o l u m e 1 / 1 9 9 8 - 1 r o v e l l i \ S t r i n g s , L o o p s , a n d

O t h e r s : A c r i t i c a l s u r v e y o f t h e p r e s e n t a p p r o a c h e s t o q u a n t u m g r a v i t y , " i n G r a v -

i t a t i o n a n d R e l a t i v i t y : A t t h e t u r n o f t h e M i l l e n n i u m , P r o c e e d i n g s o f t h e G R - 1 5

C o n f e r e n c e , N a r e s h D a d h i c h a n d J a y a n t N a r l i k a r , e d . ( I n t e r - U n i v e r s i t y C e n t e r f o r

A s t r o n o m y a n d A s t r o p h y s i c s , P u n e , I n d i a , 1 9 9 8 ) , p p . 2 8 1 - 3 3 1 , O n l i n e e p r i n t a r c h i v e :

h t t p : / / x x x . l a n l . g o v / a b s / g r - q c / 9 8 0 3 0 2 4 .

2 1 ] L . S m o l i n , M a t t e r s o f G r a v i t y 7 ( 1 9 9 6 ) 1 0 .

I n s t i t u t f

u r T h e o r e t i s c h e P h y s i k , D e r U n i v e r s i t

a t W i e n , B o l t z m a n n g a s s e 5 , A - 1 0 9 0

W i e n A U S T R I A

E - m a i l a d d r e s s : s m a j o r @ g a l i l e o . t h p . u n i v i e . a c . a t

seth a. major- towards quantum gravity: discrete geometry observable consequences

Documents