Design Theory

村松 充政策・メディア研究科　後期博士課程3年目X-Design Program 山中デザイン研究室

第９回　2012 6/13

Lecture Theme

CAXD -Computer Aided X-Design-

■3DCG基礎　ー3次元表現のための数学基礎■滑らかな形の科学　ー3D CAD による形状表現■自然、物理学と形■コンピューターによるX-Design　ー動きのデザイン、シミュレーション　ーアルゴリズムによる形状生成

Lecture Theme

CAXD -Computer Aided X-Design-

■3DCG基礎　ー3次元表現のための数学基礎■滑らかな形の科学　ー3D CAD による形状表現■自然、物理学と形■コンピューターによるX-Design　ー動きのデザイン、シミュレーション　ーアルゴリズムによる形状生成

Lecture 2

滑らかな形の科学滑らかな形状をCADでモデリングするために必要な曲線の性質、理論、数学を学ぶ

Lecture 2

「滑らかさ」は数学的に定義することが出来る美しい形の作り方を教える事は難しい

「滑らか」な形を作るための理論を知る事は美しい形を作るための助けになる。(と思っています)

CAD ーコンピューター支援設計ーComputer Aided Design

製品の形状、その他の属性データからなるモデルを、

コンピュータの内部に作成し解析・処理することに

よって進める設計JIS(日本工業規格) における定義

CAD ーコンピューター支援設計ーComputer Aided Design

ex) 車、製品筐体、機械、建築、電子回路

主にハードウェアを対象として、設計対象に合わせた様々なソフトウェアが開発されている。

主なモデリングのシステムComputer Aided Design

サーフェスモデリング

ソリッドモデリング

ポリゴンモデリング

ワイヤーフレームに面を張っていくことで形状を生成- Rhinoceros, Autodesk Alias, ...etc

塊(ソリッド)のモデルに操作を加える事で形状を生成- Solidworks, Autodesk Inventor, ...etc

ポリゴンを操作して形状を生成(CADでは使われない)- Blender, Autodesk Maya, modo ...etc

※上に挙げたのはそのソフトが得意とするモデリング手法ですが　ほとんどのソフトが複数のモデリング手法に対応しています

主なモデリングのシステムComputer Aided Design

サーフェスモデリングワイヤーフレームに面を張っていくことで形状を生成複雑な曲面を作成出来るため、主に車のボディや工業製品の外装等の意匠面の設計に用いられる

主なモデリングのシステムComputer Aided Design

モデリングの履歴を保持出来るため、後から設計パラメーターを変更する機械部品の設計等に用いられる

ソリッドモデリング塊(ソリッド)のモデルに操作を加える事で形状を生成

主なモデリングのシステムComputer Aided Design

複雑な曲面ー滑らかな線、面ーのモデリングには主にサーフェスモデリングが用いられる。

サーフェスモデリングにおいて重要な「滑らか」な曲線、曲面の概念を理解する

「滑らか」とは？

Computer Aided Design

Smooth Curve

Computer Aided Design

「滑らか」な曲線は？Smooth Curve

「滑らか」な曲線は？Computer Aided Design

Smooth Curve

Computer Aided Design

直線

円弧

直線

Computer Aided Design

直線

円弧

直線

Computer Aided Design

車の動きとステアリングの角度の関係

動く前の車の向きからθだけ回転した方向にLの距離進む

θ

L

Smooth Curve

Computer Aided Design

ステアリングを一定角度に保っていると、一定の半径の円弧を描くように動く

θ

車の動きの軌跡は、ハンドルの角度に反比例する半径の大きさの円弧の集合になる

Computer Aided Design

θΦ

ー車体の向きをΦーステアリングの向きをθー単位時間に移動可能な距離をLとすると

一定時間後の車の位置はX = L*cos(Φ+θ) Y = L*sin(Φ+θ)

Computer Aided Design

Smooth Curve

Computer Aided Design

Smooth Curve

クロソイド曲線

Computer Aided Design

直線

直線

滑らかなカーブ

Smooth Curve

Computer Aided Design

Smooth Curve

ハンドルの傾きを徐々に変化させて曲がることが出来るカーブが「滑らか」なカーブ

CAD、工業製品の曲線／曲面において「滑らかさ」はどのような意味を持つか？

Computer Aided Design

Smooth Curve

Computer Graphics Basic

映り込みの表現前回説明した拡散反射光、鏡面反射光に加えて、金属や磨かれた樹脂表面では、周りの景色が映り込む

Environmental Mapping

Computer Graphics Basic

映り込みを表現するために物体の外側の球面に景色等のテクスチャを張りつけ、反射して見える景色を近似的に計算し、映り込みを表現する。

Environmental Mapping ー環境マッピングー

Computer Graphics Basic

視点

物体

反射

Environmental Mapping

Computer Graphics Basic

θ

nV

eV

refEV

|eV

|*co

s(θ)*

nV

R

n * refEV

P(x,y)

eV

Environmental Mapping

Computer Graphics Basic

ーサンプルプログラムーhttp://www.openprocessing.org/sketch/63980

Environmental Mapping

Computer Graphics Basic

ーCADソフト上で確認ーEnvironmental Mapping

Computer Graphics Basic

ーCADソフト上で確認ーEnvironmental Mapping

Computer Graphics Basic

ーCADソフト上で確認ーEnvironmental Mapping

Computer Aided Design

Smooth Curve

ハンドルの傾きを徐々に変えながら走る車の軌跡のような「滑らか」な曲線を使用する事は曲面上の綺麗な映り込みを実現するために重要である

Computer Aided Design

Smooth Curve

「ハンドルの傾きが徐々に変わる」

曲面の性質としてはどのように定義することが出来るか？

Computer Aided Design

Smooth Curve

ステアリングを一定角度に保っていると、一定の半径の円弧を描くように動く

θ

車の動きの軌跡は、ハンドルの角度に反比例する半径の大きさの円弧の集合になる

Computer Aided Design

Smooth Curve

曲線Sを、ハンドルの角度θで微小な時間 Δt 走った時の軌道である円弧ΔS の集合と定義

ステアリングを一定角度に保っていると、一定の半径の円弧を描くように動く

車の動きの軌跡は、ハンドルの角度に反比例する半径の大きさの円弧の集合になる

※実際の車ではハンドルの角度と車の向き(タイヤの傾き)は一致しませんが、ここでは簡略化のためこのようなモデルとして定義します。

Computer Aided Design

Smooth Curve

曲線Sを、ハンドルの角度θで微小な時間 Δt 走った時の軌道である円弧ΔS の集合と定義

「ハンドルの角度θが徐々に変化する」ということは「θによって決まる円弧ΔS の曲がり具合が徐々に変化する」ことである。

曲がり具合がなだらかに変化する→曲線が滑らかである

Computer Aided Design

Smooth Curve

曲がり具合の定義

角度θによって決まる微小な円弧の曲がり具合（カーブの急さ）はその円弧の半径に反比例する。

R1 R2

R1>R2

Computer Aided Design

Smooth Curve

曲がり具合の定義

曲線を細かくわけた時に出来る微小な円弧の半径を「曲率半径」

曲率半径に反比例する曲がり具合を表すパラメーターを「曲率」

と定義

Computer Aided Design

Smooth Curve

曲率半径を求める

Φ Φ+Δθ

Δθ

(曲率半径) RΔS

Δθ

Computer Aided Design

Smooth Curve

曲率半径を求める

Δθ

(曲率半径) RΔS

Δθ

ΔS = R*ΔθR = ΔS / Δθ

Computer Aided Design

Smooth Curve

曲率半径を求める

C(t)

C(t+Δt)

[x,y]

[x+Δx,y+Δy]

ΔS

Computer Aided Design

Smooth Curve

曲率半径を求める

v

v+Δv

v

v+Δv Δv

Δθ|v| = |v+Δv|=1 とする

Δvは微小なので |Δv| = |v|*Δθ

Δθの求め方は少しややこしいので割愛します。Δv(接線の変化率)で表せる事に着目

Computer Aided Design

Smooth Curve

曲率の定義

曲率（曲線上のある点における曲がり具合）

(曲率半径の逆数)C = ー

R

1

C = ーΔS

Δθ

Computer Aided Design

Smooth Curve

曲率半径を求める曲率半径を求めるには、曲線の接線の変化率を用いる

接線：曲線の傾き、曲線の変化率→曲線の一階微分

曲率：曲線の曲がり具合、接線の変化率→曲線の二階微分

Computer Aided Design

Smooth Curve

滑らかな曲線

→曲線の二階微分が連続している曲率が連続している曲線

Computer Aided Design

Curve Continuity

曲線の連続性

接線(一階微分)が連続している曲線

曲率 (二階微分) が連続している曲線

C1連続 (接線連続)

C2連続 (接線連続)

位置が連続している曲線C0連続 (位置連続)

…

n階微分 が連続している曲線Cn連続

Computer Aided Design

Curve Continuity

Gn連続

CADのソフトウェア上では、 Cn連続性ではなく、Gn連続性が用いられる。Gn連続性は「許容される範囲内で」n階の連続性が保たれる、という意味で、数学的に厳密でないプログラム上ではGn連続性が用いられる。

Computer Aided Design

Bezier Curve

ベジェ曲線の連続性

Computer Aided Design

Bezier Curve

３次のベジェ曲線

Computer Aided Design

Bezier Curve

３次のベジェ曲線

Computer Aided Design

Bezier Curve

３次のベジェ曲線

Computer Aided Design

Bezier Curve

３次のベジェ曲線一階微分

二階微分

Computer Aided Design

Bezier Curve

３次のベジェ曲線３次のベジェ曲線は、曲線上すべての点で曲率が連続している。(G2連続である)

n次のベジェ曲線n次のベジェ曲線は、曲線上すべての点でG(n-1)連続になる。

Computer Aided Design

Bezier Curve

３次のベジェ曲線の接続 PA0

PA1 PA2

PA3PB0

PB1

PB2

PB3

PA3 = PB0

であれば、位置連続(曲線は接続されている)

Computer Aided Design

Bezier Curve

３次のベジェ曲線の接続接線連続で接続する条件Ba(1)と Bb(0) での接線(微分)が等しければ、２曲線は接線連続になる。

Computer Aided Design

Bezier Curve

３次のベジェ曲線の接続接線連続で接続する条件

Computer Aided Design

Bezier Curve

３次のベジェ曲線の接続接線連続で接続する条件

PA3 - PA2

PB1 - PB0

Computer Aided Design

Bezier Curve

３次のベジェ曲線の接続曲率連続で接続する条件Ba(1)と Bb(0) での曲率(二階微分)が等しければ、２曲線は曲率連続になる。

Computer Aided Design

Bezier Curve

３次のベジェ曲線の接続曲率連続で接続する条件

Computer Aided Design

Bezier Curve

３次のベジェ曲線の接続曲率連続で接続する条件