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Silogismos deductivos:Mapas de inclusion

y las diferentestransformaciones1

Saul Martınez Arroyoxichari

2 de agosto de 2006

1Este documento tiene«copyleft

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Edicion Primera: Toluca. Mexico 02-Ago-2006Revision Primera: Toluca, Mexico 13-Ago-2006Revision Segunda: Toluca, Mexico 04-Abr-2008Revision Tercera: Toluca, Mexico 08-Mar-2009Revision Otra: Toluca, Mexico 15-Mar-2009Revision Una mas... Toluca, Mexico 07-Feb-2010Revision La que sigue... (Sin fecha aun, pero ya merito...)

Indice general

1. Preambulo 5

2. Introduccion 7

3. Representacion binaria 133.1. Propuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4. Leyes de implicacion 19

5. Silogismos deductivos 235.1. FIGURA I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5.1.1. Modo Barbara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.1.2. Modo Celaren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.1.3. Modo Darii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.1.4. Modo Ferio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.2. Figura II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.2.1. Modo Cesare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.2.2. Modo Camestres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.2.3. Modo Festino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.2.4. Modo Baroco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5.3. FIGURA III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.3.1. Modo Darapti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.3.2. Modo Felapton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.3.3. Modo Disamis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.3.4. Modo Datisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.3.5. Modo Bocardo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325.3.6. Modo Ferison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.4. FIGURA IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.4.1. Modo Bamalip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.4.2. Modo Calemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.4.3. Modo Dimatis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.4.4. Modo Fesapo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.4.5. Modo Fresison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3

4 INDICE GENERAL

6. Casos especiales 376.1. Inferencias inmediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6.1.1. Por subalternacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386.1.2. Por oposicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406.1.3. Por conversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416.1.4. Por contraposicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

7. Mapas de inclusion 43

8. Esquemas de pensamiento 51

9. Resumen 53

10.Si... ya se 55

11.«Copyleft 57

Capıtulo 1

Preambulo

En el mundo de la logica y todas sus variantes, existe una correlacion entrevarias disciplinas como son la logica proposicional, la logica simbolica, la logicasilogıstica y la teorıa de conjuntos.

Lamentablemente para el autor, los expertos las tratan de manera separaday salvo algunos ejemplos que las relacionan, no existe en la bibliografıa actualalguna referencia de como se pueden representar las estructuras del pensamien-to como las leyes de implicacion y los silogismos deductivos en formasimbolica o en forma grafica con diagramas de Venn.

Y es que el comportamiento de los mismos tiene diferencias importantescon respecto a las inferencias inmediatas. Las cuales han sido ampliamenteejemplificadas y referidas con tablas logicas y formulas simbolicas, ası como conlos diagramas de Venn.

Partiendo de la necesidad de conocimiento y de una explicacion satisfactoriade todas las interrogantes que se le presentan al respecto, el autor se propusoencontrar alguna metodologıa de representacion de las leyes de implicacion y delos silogismos deductivos, encontrando en el camino muchas interrogantes mas ymuchas etapas de confusion y frustracion, que poco a poco han sido superadasy se ha encontrado al fin una propuesta que es demostrable tanto en formagrafica (diagramas de Venn y mapas de inclusion de Euler), como de manerasimbolica. Representada ademas de forma binaria con sus valores expresados ensistema decimal (esto ultimo como hallazgo de investigacion y valor agregado).

Queda pues en manos del lector el valor crıtico de su apreciacion, esperandoque tal vez sea arduo el camino de la comprension de este modelo, pero noimposible de integrar.

Aun le quedan al autor realizar adecuaciones de estilo y forma que se for-taleceran con la acertada opinion del lector. Por lo que queda la invitacion acolaborar con una mejor exposicion de este trabajo.

5

6 CAPITULO 1. PREAMBULO

Capıtulo 2

Introduccion

Para este trabajo y propuesta, partimos de la representacion del conjuntoUniverso incluyendo a los tres conjuntos (p,q,r) con un esquema o diagramade 8 areas como el siguiente:

Figura 2.1: figura basica

Para representar un area especıfica se colorea, por ejemplo el diagrama querepresenta al conjunto p es:

Figura 2.2: p

Como podemos notar, las areas representadas se colorean con un tono grisclaro, lo que les da un valor de ‘VERDADERO’ y las areas en blanco se consi-deran con valor ‘FALSO’. A diferencia de otras propuestas que representan estosvalores invertidos. Aunque otra forma de representarlas dentro de esta propuesta Palabras clave:

tridimensionales de forma ‘tridimensional’, es decir como una superposicion de capas, en dondesi las ocho areas se cubren de color se ‘anulan’ y pasan a ser la base de otrarepresentacion.

7

8 CAPITULO 2. INTRODUCCION

Por ejemplo, el conjunto p tambien puede ser representado como en el si-guiente diagrama.

Figura 2.3: p en relieve

Esto tiene una base natural, ya que el cerebro anula una capa regular y tomaen cuenta las capas en relieve (alto o bajo). Es como un letrero, si las letras sonde unicel resaltaran de la superficie donde se escribe, pero es igual si estan enuna superficie plana del mismo material, solo se toman en cuenta las letras quesobresalen para poder leer el mensaje.

Los diagramas de los otros conjuntos los podemos representar con este sis-tema:

Figura 2.4: q Figura 2.5: r

Las funciones mas importantes se representan tambien con este metodo: Lafuncion ‘NO’ queda:

Figura 2.6: ∼ p Figura 2.7: ∼ q

9

Figura 2.8: ∼ r

Para la disyuncion (‘OR’), se considera ‘VERDADERO’ cualquier area co-loreada (sin importar si es simple o doblemente coloreada):

FORMA PROPUESTA:

Figura 2.9: p ∨ q

FORMA ‘CLASICA’:

Figura 2.10: p ∨ q

Figura 2.11: p ∨ r Figura 2.12: p ∨ r

Figura 2.13: q ∨ r Figura 2.14: q ∨ r

Para este caso se considera una disyuncion inclusiva o incluyente.En el caso de una disyuncion exclusiva o excluyente (‘XOR’), se usan los

mismos diagramas de la izquierda, pero se toman en cuenta las areas coloreadasUNA SOLA VEZ (es decir, de color gris claro), quedando con valor de ‘FALSO’las de color blanco y gris oscuro.


Y para el caso de la conjuncion ‘Y’, se usan los mismos diagramas (figs.9,10,11), pero se toman en cuenta solo las areas de color gris obscuro (doblementecoloreadas), tomando valor ‘FALSO’ las otras (en blanco y gris claro).

En los esquemas clasicos, en la funcion ‘Y’ se muestran solo las areas doble-mente coloreadas(gris oscuro).

Es interesante ver que con este sistema, la conjuncion y disyuncion tomanel mismo esquema pero lo que cambia son los valores de verdad y falsedad delas areas. Pero es necesario usar TODAS las areas para las interacciones quedespues se van a realizar.

Se debe tener en cuenta la representacion de las diferentes interacciones paralas secciones siguientes, cuando se traten las leyes de implicacion y los silogismosdeductivos. Por ejemplo, la expresion:

Figura 2.15: p → q

Queda ası por la superposicion de las imagenes de las figuras 2.4 y 2.6.Los siguientes esquemas se encuentran en las diferentes figuras, premisas

y conclusiones de los diferentes silogismos. Se recomienda como ejercicio men-tal que el lector trate de visualizar los esquemas basicos superpuestos que losconforman (como en el diagrama anterior).

Figura 2.16: q→ p Figura 2.17: r→ q

Figura 2.18: q→ r Figura 2.19: r→ p

11

Figura 2.20: r ∧ p Figura 2.21: p ∧ q

Figura 2.22: q ∧ r Figura 2.23: p→∼ q

Figura 2.24: q→∼ r Figura 2.25: r→∼ p

Figura 2.26: q∧ ∼ p Figura 2.27: r∧ ∼ q

Capıtulo 3

Representacion binaria

Los diagramas de Venn utilizados hasta ahora, tambien tienen una repre-sentacion binaria propuesta en este sistema. Al utilizar un diagrama con 8 areas,las hacemos coincidir con un byte binario, de tal manera que cada area repre-senta un bit del byte.

Figura 3.1: figura base (pag. 7 )

De esta forma, su representacion binaria queda:

0 0 0 0 0 0 0 08 7 6 5 4 3 2 1

Tenemos entonces que el conjunto p esta formado por las areas (bits):{1,2,3,4}, el conjunto q esta formado por las areas {1,2,5,6} y r esta forma-do por las areas {1,3,5,7}.

Obtenemos los siguientes valores binarios para los tres conjuntos:

conjunto bits binario valorp 1,2,3,4 00001111 15∼ p 5,6,7,8 11110000 240q 1,2,5,6 00110011 51∼ q 3,4,7,8 11001100 204

r 1,3,5,7 01010101 85∼ r 2,4,6,8 10101010 170

13

14 CAPITULO 3. REPRESENTACION BINARIA

De esta suerte, podemos representarlos de manera binaria, octal, hexadeci-mal,etc.. Lo que nos facilita su expresion dentro de las funciones logicas en unprograma de PC.

Asimismo, se pueden representar todas las interacciones o funciones logicasentre los mismos. Lo que tambien nos facilita la representacion de las leyes deimplicacion y de los silogismos categoricos, de acuerdo a la seccion anterior.

Las inferencias inmediatas o ‘planas’ se pueden representar facilmentecon una sola capa como funciones simples:

p ∧ q :0 0 0 0 1 1 1 1 p0 0 1 1 0 0 1 1 q

0 0 0 0 0 0 1 1 p ∧ qQue equivale a los diagramas:

∧

Figura 3.2: p

=

Figura 3.3: q Figura 3.4: p ∧ q ‘plano’

Otro asunto es cuando intentamos representarlos de forma ‘tridimensional’(como en las leyes de implicacion y en los silogismos deductivos).

∧

Figura 3.5: p

=

Figura 3.6: q Figura 3.7: p ∧ q‘tridimensional’

El tercer diagrama (p ∧ q ), a nivel numerico binario se representa de estamanera:

0 0 0 0 0 0 1 1 Complemento disyuntivo0 0 1 1 1 1 1 1 Base ‘plana’(OR)

Es decir, se tiene que representar como 2 capas superpuestas de bytes. Losbits 1 y 2 de la tabla superior representan las areas 1 y 2 del diagrama de Venn(capa gris obscuro).

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Practicamente todas las interacciones a nivel binario se han representado coninteracciones y formulas ‘planas’, ya que cumplen con las tablas de verdad de lasque se habla en los textos. Pero ha habido dificultad para representar las leyesde implicacion y los silogismos categoricos bajo las mismas condicionesdebido a que son ‘tridimensionales’. Palabras clave:

disyuncion agregadaOtra dificultad es la representacion binaria de tales interacciones, las cualesse deben representar como una disyuncion agregada a la conjuncion basica.Por ejemplo en la formula:

[(p→ q) ∧ p]→ (p ∧ q) ( Formulas e interacciones ‘planas’ )

∧

Figura 3.8: p→q

=

Figura 3.9: p Figura 3.10: p∧q ‘plano’

Se cumple con la tabla de verdad de una inferencia simple por subalternacionde un juicio a a un juicio i. Como se demuestra en la siguiente tabla de verdadtradicional. 1

p q r ∼ p ∼ p ∨ q (∼ p ∨ q) ∧ p p ∧ qv v v f v v vv v f f v v vv f v f f f fv f f f f f ff v v v v f ff v f v v f ff f v v v f ff f f v v f f

En cambio, la misma formula [(p → q) ∧ p] nos da un resultado diferentecuando se trata de una ley de implicacion:

[(p→ q) ∧ p]→ q¿Como sucede esto?, bien pues por efecto de una interaccion ‘tridimensional’:(diagramas ‘tridimensionales’)

1 Se hace uso de una tabla de tres conjuntos, debido a que en este trabajo usaremos lostres conjuntos basicos (p,q,r). Aunque en este caso no se involucra a r


∧

Figura 3.11: p→q

=

Figura 3.12: p Figura 3.13: q‘tridimensional’

Esto equivale a un Modus Ponendo Ponens, cuya aplicacion y significadodifiere de manera importante con su contraparte ‘plana’.

3.1. Propuesta

Atendiendo a las funciones logicas basicas, el primer caso ‘plano’ lo repre-sentamos de este modo:

[(p′ ∨ q) ∧ p]→ (p ∧ q)Y a nivel binario (se anotan sus numeros en decimal):[(240 ∨ 51) ∧ 15]→ 3

Mientras que en el segundo caso ‘tridimensional’ lo representamos:[((p′ ∨ q) ∧ p)∨(p′ ∧ q) ]→ qY en binario:[((240 ∨ 51) ∧ 15)∨(240 ∧ 51)]→ 51palabras clave:

complemento disyuntivoSe propone con lo anterior, que las representaciones ‘tridimensionales’ re-

quieren de aplicar una disyuncion a la propuesta ‘plana’: ((∼ p ∨ q) ∧ p), quecorresponde con su ‘complemento disyuntivo’: (∼ p ∧ q).

Se aclara que el complemento mencionado se aplica a la implicacion tomandoen cuenta que: ∼ p ∨ q = p→ q

Por lo que, el ‘complemento disyuntivo’ de:p → qes:∼ p ∧ qAsimismo, el complemento disyuntivo de una conjuncion:p ∧ q sera:p ∨ qY en lugar de una disyuncion, se agregara como una conjuncion:∧(p ∨ q)El nombre de complemento disyuntivo se toma de que los principales termi-

nos de una premisa se manejan como una implicacion.

POR CONVENCION, propuesta por el autor, las formulas simbolicas de lasleyes de implicacion y de los silogismos deductivos analizados posteriormente se

3.1. PROPUESTA 17

plantearan solamente con la version ‘plana’ (sin el ‘complemento disyuntivo’).con el objeto de simplificar la expresion simbolica y esperando que esto seamas entendible. Baste decir que las formulas son ‘tridimensionales’ para lasLEYES DE IMPLICACION y los SILOGISMOS DEDUCTIVOS analizados eneste trabajo.

Con esto se da un intento por explicar el comportamiento binario de lossilogismos categoricos y las leyes de implicacion.

Analizamos los puntos de esta propuesta:2

1. Se usan diagramas de Venn planos de ocho areas, representando al conjun-to Universo y a los tres conjuntos (p,q,r), para representar las diferentesinteracciones tradicionales (infererencias inmediatas).

2. Se usan los mismos diagramas de Venn modificados tridimensionalespara representar las interacciones de las leyes de implicacion y de lossilogismos deductivos clasicos, con imagenes basicas (figs. 2.2—2.8 ),que se van superponiendo para realizar las interacciones.

3. Se proponen formulas simbolicas para las leyes de implicacion y lossilogismos deductivos de acuerdo a la demostracion grafica de los mismos.

4. Se propone la representacion binaria de los conjuntos y su valor numeri-co binario y decimal, con base a la homologacion del diagrama de Vennbasico de ocho areas con un byte binario.

5. Se propone el complemento disyuntivo para las formulas simbolicas delos silogismos y leyes de implicacion, ası como su expresion numericaen decimal.

6. Se proponen los mapas de inclusion(pag. 43 ) basados en los diagramasde Euler a la par de la simbologıa de la teorıa de conjuntos para establecerlas relaciones de orden y magnitud de los terminos de los silogismos enlos diferentes modos.

7. Se propone incluir a los juicios singulares como una modalidad de losjuicios tipo i y o, dando un total de seis combinaciones posibles, ası comosu sintaxis propia.

2El autor considera que ya esta gran parte de este conocimiento disperso en diferentespublicaciones, pero no esta hilvanado ni estructurado como en el presente trabajo, por lo quese considera este documento como pionero en este campo

Capıtulo 4

Leyes de implicacion

Este es un artıculo anterior el cual fue la base de este trabajo, se anexa porser el primer intento de interpretacion y manejo de este modelo. Posteriormentese hizo extensivo a los silogismos, pero los principios que se presentan son losmismos para el siguiente capıtulo.

1. El Modus Ponendo Ponens (MPP) se puede esquematizar con diagramasde Venn de la siguiente manera:

∧

Figura 4.1: p→q

=

Figura 4.2: p Figura 4.3: qPor superposicion deimagenes

En este caso, se toma como referencia la zona mas obscura.

Formula:

[(p→ q) ∧ p]→ q

Ejemplo:

Si es yucateco es mexicano

Es yucateco

...Luego ...

Es mexicano

En donde:

19

20 CAPITULO 4. LEYES DE IMPLICACION

p= “es yucateco”

q= “es mexicano”

Condicion: p ⊂ q

2. El Modus Ponendo Tollens (MPT) se comporta como un XOR quedando:

∧

Figura 4.4: p→∼ q

=

Figura 4.5: p Figura 4.6: ∼ qPor superposicion

de imagenes

Formula:

[(p→∼ q) ∧ p]→∼ qEjemplo:

Si es espanol no es mexicano

Es espanol

...luego ...

no es mexicano

En donde:

p= “es espanol”

q= “es mexicano”

Condicion: p ∧ q = φ (son conjuntos disjuntos).

3. El Modus Tollendo Tollens (MTT) se representa:

∧

Figura 4.7: p→ q

=

Figura 4.8: ∼ q Figura 4.9: ∼ pPor superposicionde imagenes

Formula:

21

[(p→ q)∧ ∼ q]→∼ pEjemplo:

Si es yucateco es mexicano

no es mexicano

...Luego ...

no es yucateco

Condicion: p ⊂ q

4. El Modus Tollendo Ponens (MTP) se revela como:

∧

Figura 4.10: ∼ p→ qTambien: p ∨ q

=

Figura 4.11: ∼ p Figura 4.12: qPor superposicionde imagenes

Formula:

[(∼ p→ q)∧ ∼ p]→ q

Ejemplo:

Si no es espanol es mexicano

No es espanol

...luego ...

Es mexicano

Condicion: p ∧ q = φ (son conjuntos disjuntos).

5. El Silogismo Hipotetico es una de las leyes mas utilizadas:

∧

Figura 4.13: p→ q

=

Figura 4.14: q→ r Figura 4.15: p→ rPor superposicionde imagenes

22 CAPITULO 4. LEYES DE IMPLICACION

Formula:

[(p→ q) ∧ (q → r)]→ (p→ r)

Ejemplo:

Si es catalan es espanol

Si es espanol es europeo

...Luego ...

Si es catalan es europeo

En donde:

p=“ es catalan”

q=“ es europeo ”

Condicion: p ⊂ q ⊂ r

Capıtulo 5

Silogismos deductivos

Los silogismos categoricos se agrupan en cuatro figuras de acuerdo a la posi-cion de sus terminos. 1

5.1. FIGURA I

La figura I tiene los terminos en la siguiente forma:MP (premisa 1)SM (premisa 2)SP (conclusion)Recordemos que los terminos de un silogismo categorico son: mayor (P),

medio (M) y menor (S). ... y la figura I tiene los modos:

1. Barbara 5.1.1

2. Celaren 5.1.2

3. Darii 5.1.3

4. Ferio 5.1.4

Igualando los conjuntos: p = P; q = M; r = S y aplicando los modos enforma de graficas, (diagramas de Venn). Tenemos: (Como ya se menciono, Losdiagramas de Venn hay que visualizarlos como areas superpuestas para formaruna imagen tridimensional, al final de la interaccion se quita la capa que secompleto para aclarar los tonos de grises y se visualice mejor el resultado).

Tal vez sea bueno imaginar que los diagramas estan en una transparenciatipo acetato y se van superponiendo entre sı.

Aclarando entonces, que de acuerdo con la propuesta del autor, los silogis-mos deductivos y las leyes de implicacion son interacciones en donde las

1El tıtulo original de este capıtulo es:Silogismos deductivos, logica simbolica y teorıade conjuntos. Por razones de espacio fue modificado, ya que afectaba la cabecera de paginadel libro (no supe como remediarlo, por el momento).

23

24 CAPITULO 5. SILOGISMOS DEDUCTIVOS

disyunciones y conjunciones se expresan de forma ‘tridimensional’, es decircomo capas superpuestas de conjuntos.

Comenzamos con el analisis de la figura I y sus modos.

5.1.1. Modo Barbara

Tiene las proposiciones: a a a . Es decir, la primera y segunda premisas sondel tipo ‘a’ , ası tambien lo es la conclusion:

∧ →a = q → p a = r → q a = r → p simplificandoRecordamos que en este caso es basico tomar en cuenta la equivalencia

de: ( q → p ), con:(∼ q ∨ p), para mejor comprension de los diagramas deVenn.

La formula simbolica del modo Barbara es pues:

[(q → p) ∧ (r → q)]→ (r → p) (5.1)

Notese que en la conclusion hay al menos una capa completa sombreada(tautologıa). Asimismo, se aprecian varios tonos de grises que significan una,dos o tres capas superpuestas. Las partes en blanco significan ausencia decapas.

Ejemplo del modo Barbara: (todos los ejemplos estan tomados del libro:“Curso de Logica”, Carlos Dion Martınez, Mc Graw Hill, Tercera edicion,1992).2

Los ejemplos de la derecha son adaptados al lenguaje de la logica simbolicapara mejor comprension de las implicaciones.

Todos los seres vivos son mortalesTodos los humanos son seres vivos... luego ...Todos los humanos son mortales

| Si es ser vivo es mortal| Si es humano es ser vivo| ... luego...| Si es humano es mortal

En donde:p= “es mortal”q= “es ser vivo”r= “es humano”(ver formula)

2La pretension original del autor, fue de usar en este trabajo solo los ejemplos de la logicasimbolica expuestos a la derecha, pero: “honor a quien honor merece”, se prefirio hacer re-ferencia del trabajo y autor que motivo a la realizacion de este documento. De paso es unainvitacion a la lectura de este gran libro de texto del maestro Carlos Dion Martınez(�).

5.1. FIGURA I 25

5.1.2. Modo Celaren

Tiene las proposiciones: e a e.

∧ →e = q →∼ p a = r → q e = r →∼ p simplificandoLa formula del modo Celaren es:

[(q →∼ p) ∧ (r → q)]→ (r →∼ p) (5.2)

Ejemplo:

Ningun mamıfero respira porbranquiasTodos los solıpedos son mamıferos... luego ...Ningun solıpedo respira por branquias

| Si es mamıfero no respira por bran-quias| Si es solıpedo es mamıfero... luego...| Si es solıpedo no respira por branquias

En donde:p= “respira por branquias”q= “es mamıfero”r= “es solıpedo”

5.1.3. Modo Darii

Tiene las proposiciones: a i i

∧ →a = q → p i = r ∧ q i = r ∧ p simplificandoLa formula del modo Darii es:

[(q → p) ∧ (r ∧ q)]→ (r ∧ p) (5.3)

Ejemplo:Todos los cetaceos son acuaticosAlgunos mamıferos son cetaceos... luego ...Algunos mamıferos son acuaticos

| Si es cetaceo es acuatico| Es mamıfero y es cetaceo... luego...| Es mamıfero y es acuatico

En donde:


p= “es acuatico”q= “es cetaceo”r= “es mamıfero”

5.1.4. Modo Ferio

Tiene las proposiciones: e i o.

∧ →e = q →∼ p i = r ∧ q o = r∧ ∼ p simplificando

La formula del modo Ferio es:

[(q →∼ p) ∧ (r ∧ q)]→ (r∧ ∼ p) (5.4)

Ejemplo:

Ningun protozoario vive a mas de 100ºLa amiba es un protozoario... luego ...La amiba no vive a mas de 100º

| Si es protozoario no vive a mas de 100°| Es amiba y es protozoario... luego...| Es amiba y no vive a mas de 100°

En donde:p= “vive a mas de 100ºC”q= “es protozoario”r= “es amiba”

5.2. Figura II

La figura II tiene los terminos en la siguiente forma:PM (premisa 1)SM (premisa 2)SP (conclusion)... y tiene los modos:

1. Cesare 5.2.1

2. Camestres 5.2.2

3. Festino 5.2.3

4. Baroco 5.2.4

5.2. FIGURA II 27

5.2.1. Modo Cesare

Tiene las proposiciones: e a e.

∧ →e = p→∼ q a = r → q e = r →∼ p simplificandoLa formula de modo Cesare es:

[(p→∼ q) ∧ (r → q)]→ (r →∼ p) (5.5)

Ejemplo:Ningun hombre de ciencia es irrespon-sableTodos los ociosos son irresponsables... luego ...Ningun ocioso es hombre de ciencia

| Si es hombre de ciencia no es irrespon-sable| Si es ocioso es irresponsable... luego...| Si es ocioso no es hombre de ciencia

En donde:p= “es hombre de ciencia”q= “es irresponsable”r= “es ocioso”

5.2.2. Modo Camestres

Tiene las proposiciones: a e e.

∧ →a = p→ q e = r →∼ q e = r →∼ p simplificandoLa formula del modo Camestres es:

[(p→ q) ∧ (r →∼ q)]→ (r →∼ p) (5.6)

Ejemplo:

Todos los mamıferos son de sangre calienteNingun reptil es de sangre caliente... luego ...

Ningun reptil es mamıfero

| Si es mamıfero es de sangre caliente| Si es reptil no es de sangre caliente...luego ...| Si es reptil no es mamıfero

En donde:


p= “es mamıfero”q= “es de sangre caliente”r= “es reptil”

5.2.3. Modo Festino


∧ →e = p→∼ q i = r ∧ q o = r∧ ∼ p simplificandoLa formula del modo Festino es:

[(p→∼ q) ∧ (r ∧ q)]→ (r∧ ∼ p) (5.7)

Ejemplo:Ningun pez respira por pulmonesLa ballena respira por pulmones... luego ...La ballena no es pez

| Si es pez no respira por pulmones| Es ballena y respira por pulmones... luego...| Es ballena y no es pez

En donde:p= “es pez”q= “respira por pulmones”r= “es ballena”

5.2.4. Modo Baroco

Tiene las proposiciones: a o o.

∧ →a = p→ q o = r∧ ∼ q o = r∧ ∼ p simplificandoLa formula del modo Baroco es:

[(p→ q) ∧ (r∧ ∼ q)]→ (r∧ ∼ p) (5.8)

Ejemplo:

5.3. FIGURA III 29

Todas las personas educadas son atentasAlgunos funcionarios no son atentos... luego ...Algunos funcionarios no son personaseducadas

| Si es persona educada es atenta| Es funcionario y no es atento...luego ...| Es funcionario y no es persona educa-da

En donde:p= “es persona educada”q= “es atento”r= “es funcionario”

5.3. FIGURA III

La figura III tiene los terminos en la siguiente forma:MP (premisa 1)MS (premisa 2)SP (conclusion)... y tiene los modos:

1. Darapti 5.3.1

2. Felapton 5.3.2

3. Disamis 5.3.3

4. Datisi 5.3.4

5. Bocardo 5.3.5

6. Ferison 5.3.6

5.3.1. Modo Darapti

Tiene las proposiciones: a a i.

∧ →a = q → p a = q → r a = q → (r ∧ p) i = r ∧ p

Aquı la expresion mas propia de la conclusion serıa: [q→ (r ∧ p)], podemosver que es un caso sui generis de silogismo, ya que no cumple con al menos unacapa de areas cubiertas en su totalidad (tautologıa), por lo que podemos deducirque es un ejemplo mas bien de la sıntesis de dos implicaciones o tambien comola ley distributiva inversa:

[q → (r ∧ p)] ≡ [(q → r) ∧ (q → p)]


Otro caso tambien es que sea por subalternacion (de a a i ) y por ley desimplificacion de la conclusion ( personalmente, creo que es la mejor opcion ):

[ q→ ( r ∧p)]→ subalternacion→ [q∧(r∧p)]→ simplificacion→ (r∧p)

Quedarıa pues, de acuerdo a este sistema grafico-simbolico propuesto, laformula del modo Darapti:

[(q → p) ∧ (q → r)]→ (r ∧ p) (5.9)

Ejemplo:Todos los acidos son corrosivosTodos los acidos tienen hidrogeno... luego ...Algo que tenga hidrogeno es corrosivo

| Si es acido es corrosivo| Si es acido tiene hidrogeno...luego ...| Tiene hidrogeno y es corrosivo

En donde:p= “es corrosivo”q= “es acido”r= “tiene hidrogeno”

5.3.2. Modo Felapton

Tiene las proposiciones: e a o.

∧ →e = q →∼ p a = q → r a = q → (r∧ ∼ p) o = r ∼ p

Al igual que en el caso anterior, la conclusion correctamente expresadaes:[q → (r∧ ∼ p)], pero tambien se aplican la subalternacion ( de e a o ) yla ley de simplificacion:

[q → (r∧ ∼ p)]→subalternacion→ [q ∧ (r∧ ∼ p)]→ simplificacion→ (r∧ ∼ p)Tenemos entonces la formula del modo Felapton:

[(q →∼ p) ∧ (q → r)]→ (r∧ ∼ p) (5.10)

Ejemplo:

5.3. FIGURA III 31

Ningun gas tiene volumen constanteTodos los gases son cuerpos... luego ...Algunos cuerpos no tienen volumenconstante

| Si es gas no tiene volumen constante| Se es gas es cuerpo...luego ...| (Es gas y ...) Es cuerpo y no tiene vo-lumen constante

En donde:p= “tiene volumen constante”q= “es gas”r= “es cuerpo”

5.3.3. Modo Disamis

Tiene las proposiciones: i a i.

∧ →i = q ∧ p a = q → r i = r ∧ p simplificando

La formula de modo Disamis queda:

[(q ∧ p) ∧ (q → r)]→ (r ∧ p) (5.11)

Ejemplo:Algunos triangulos son equilaterosTodos los triangulos son polıgonos... luego ...Algunos polıgonos son equilateros

| Es triangulo y es equilatero| Si es triangulo es polıgono...luego ...| Es polıgono y es equilatero

En donde:p= “es equilatero”q= “es triangulo”r= “es polıgono”

5.3.4. Modo Datisi

Tiene las proposiciones: a i i .

∧ →a = q → p i = q ∧ r i = r ∧ p simplificandoLa formula del modo Datisi queda:


[(q → p) ∧ (q ∧ r)]→ (r ∧ p) (5.12)

Ejemplo:Todo movimiento produce calorAlgunos movimientos producen reac-ciones quımicas... luego ...Algo que produce reacciones quımicasproduce calor

| Si es movimiento produce calor| Es movimiento y produce reaccionquımica...luego ...| Produce reaccion quımica y producecalor

En donde:p= “produce calor”q= “es movimiento”r= “produce reaccion quımica”

5.3.5. Modo Bocardo

Tiene las proposiciones: o a o.

∧ →o = q∧ ∼ p a = q → r o = r∧ ∼ p simplificandoLa formula del modo Bocardo queda:

[(q∧ ∼ p) ∧ (q → r)]→ (r∧ ∼ p) (5.13)

Ejemplo:Algunos insectos no tienen alasTodos los insectos son animales articulados... luego ...

Algunos animales articulados no tienen alas

| Es insecto y no tiene alas| Si es insecto es animal articulado...luego ...| Es animal articulado y no tiene alas

En donde:p= “tienen alas”q= “es insecto”r= “es animal articulado”

5.3.6. Modo Ferison

Tiene las proposiciones e i o.

5.4. FIGURA IV 33

∧ →e = q →∼ p i = q ∧ r o = r∧ ∼ p simplificandoLa formula del modo Ferison queda:

[(q →∼ p) ∧ (q ∧ r)]→ (r∧ ∼ p) (5.14)

Ejemplo:Ninguna novela es libro de textoAlgunas novelas son interesantes... luego ...Algo interesante no es libro de texto

| Si es novela no es libro de texto| Es novela y es interesante...luego ...| Es interesante y no es libro de texto

En donde:p= “es libro de texto”q= “es novela”r= “es interesante”

5.4. FIGURA IV

La figura IV tiene los terminos en la siguiente forma:PM (premisa 1)MS (premisa 2)SP (conclusion)... y tiene los modos:

1. Bamalip 5.4.1

2. Calemes 5.4.2

3. Dimatis 5.4.3

4. Fesapo 5.4.4

5. Fresison 5.4.5

5.4.1. Modo Bamalip

Tiene las proposiciones: a a i.

∧ →a = p→ q a = q → r a = p→ r i = r ∧ p


Se puede observar que el caso de la conclusion debe ser: ( p → r ) o bien:(∼ r →∼ p) para seguir la estructura de la figura, pero como en casos anteriores( ver: Darapti y Felapton), se lleva a cabo una SUBALTERNACION (de a a i):

(p→ r)→subalternacion → (p ∧ r)→conmutativa → (r ∧ p)Tambien podemos ver el modo Bamalip como una modificacion de la con-

clusion del Silogismo hipotetico, ya analizado en el capıtulo anterior.La formula del modo Bamalip queda:

[(p→ q) ∧ (q → r)]→ (r ∧ p) (5.15)

Ejemplo:Todos los genios son colericosTodos los colericos son poco sociales... luego ...Algunos poco sociales son genios

| Si es genio es colerico| Si es colerico es poco social...luego ...| es poco social y es genio

En donde:p= “es genio”q= “es colerico”r= “es poco social”

5.4.2. Modo Calemes

Tiene las proposicones: a e e.

∧ →a = p→ q e = q →∼ r e = r →∼ p simplificandoLa formula del modo Calemes queda:

[(p→ q) ∧ (q →∼ r)]→ (r →∼ p) (5.16)

Ejemplo:Todos los atletas cuidan su saludNadie que cuida su salud es vicioso... luego ...Nadie que sea vicioso es atleta

| Si es atleta cuida su salud| Si cuida su salud no es vicioso...luego ...| Si es vicioso no es atleta

En donde:p= “es atleta”q= “cuida su salud”r= “es vicioso”

5.4.3. Modo Dimatis

Tiene las proposiciones: i a i.

5.4. FIGURA IV 35

∧ →i = p ∧ q a = q → r i = r ∧ p simplificandoLa formula del modo Dimatis queda:

[(p ∧ q) ∧ (q → r)]→ (r ∧ p) (5.17)

Ejemplo:Algunos mexicanos son socialistasTodos los socialistas son reformistas... luego ...Algunos reformistas son mexicanos

|Es mexicano y es socialista|Si es socialista es reformista...luego ...|Es reformista y es mexicano

En donde:p= “es mexicano”q= “es socialista”r= “es reformista”

5.4.4. Modo Fesapo

Tiene las proposiciones: e a o.

∧ →e = p→∼ q a = q → r a = q → (r∧ ∼ p) o = r∧ ∼ p

Como ya se ha visto, en este caso la conclusion es transformada por subal-ternacion y por simplificacion.

[q → (r∧ ∼ p)]→subalternacion→ [q ∧ (r∧ ∼ p)]→simplificacion→ (r∧ ∼ p)

La formula del modo Fesapo queda:

[(p→∼ q) ∧ (q → r)]→ (r∧ ∼ p) (5.18)

Ejemplo:Ninguna figura con diagonales estrianguloTodos los triangulos son polıgonos... luego ...Algunos polıgonos no tienen diagonales

| Si tiene diagonales no es triangulo| Si es triangulo es polıgono...luego ...| Es polıgono y no tiene diagonales

En donde:p= “tiene diagonales”q= “es triangulo”r= “es polıgono”


5.4.5. Modo Fresison


∧ →e = p→∼ q i = q ∧ r o = r∧ ∼ p simplificandoLa formula del modo Fresison queda:

[(p→∼ q) ∧ (q ∧ r)]→ (r∧ ∼ p) (5.19)

Ejemplo:Ninguna cosa venenosa es alimentoAlgunos alimentos son hongos... luego ...Algunos hongos no son venenosos

| Si es venenoso no es alimento| Es alimento y es hongo...luego ...| Es hongo y no es venenoso

En donde:p= “es venenoso”q= “es alimento”r= “es hongo”

Capıtulo 6

Casos especiales

Como pudimos notar, practicamente la totalidad de los silogismos cumplencomo tautologıas.

Mencion aparte de los modos Darapti y Felapton; y Bamalip y Fesapo delas figuras III y IV; que sufren una transformacion en su conclusion. En realidadse trata de explicarse como una inferencia simple o inmediata de la conclusion,en las que, a partir de un juicio (premisa), se obtiene una conclusion. Esto talvez los haga verse como sorites progresivos mas que como silogismos puros (locual serıa cierto si atendemos la definicion de sorites).

Aquı coincidimos con Copi-Cohen en cuanto a no considerar silogismos purosa los 4 casos mencionados (no cumplen con la regla 6).

Reglas de Copi-Cohen:

1. Un silogismo categorico de forma estandar valido debe contener exacta-mente tres terminos, cada uno de los cuales se usa en el mismo sentido entodo el argumento.

2. En un silogismo categorico de forma estandar valido, el termino mediodebe estar distribuido por lo menos en una de las premisas.

3. En un silogismo categorico de forma estandar valido, si cualquier terminoesta distribuido en la conclusion, entonces debe estar distribuido en laspremisas.

4. Ningun silogismo categorico de forma estandar que tiene dos premisasnegativas es valido.

5. Si cualquier premisa de un silogismo categorico de forma estandar es ne-gativa, la conclusion debe ser negativa.

6. Ningun silogismo categorico de forma estandar con una conclusion parti-cular puede tener dos premisas universales.

Repasemos pues, cuales son las inferencias inmediatas o simples.

37

38 CAPITULO 6. CASOS ESPECIALES

Recordemos que las inferencias inmediatas son del tipo plano, y que solopara los silogismos y leyes de implicacion se aplican de manera tridimen-sional. De acuerdo con la propuesta del autor.

6.1. Inferencias inmediatas

6.1.1. Por subalternacion

Se pasa de un juicio universal valido a otro particular analogo. Solo hay dostipos:

De modo a a i

(analisis de caso p, q )

→a = p→ q i = p ∧ q (diagramas ‘planos’)La formula de esta inferencia es:[(p→ q)→ (p ∧ q)] 1

Ejemplo:2Todos los textos son utiles...luego...Este texto es util.

| Si es texto es util...luego ...| Es texto y es util

Aquı se aplica la ley de ejemplificacion universal:(∀x)Px⊥PaAunque en realidad es la simplificacion de una forma ‘plana’ tipo silogismo:Todos los textos son utilesEste es un textoluego...Este texto es util.

| Si es texto es util| Es texto...luego ...| Es texto y es util

Cuya formula es:[(p→ q) ∧ p]→ (p ∧ q) (formulas ‘planas’)

1Se puede hacer para el caso ( q,p ); ( r,q ); ( q,r ). Solo se muestra un ejemplo.2Reitero la mencion de que los ejemplos son tomados del libro de Carlos Dion Martınez,

excepto su adaptacion al lenguaje simbolico del lado derecho.

6.1. INFERENCIAS INMEDIATAS 39

∧ →a = p→ q p i = p∧ q (diagramas ‘planos’)La tabla de verdad de esta inferencia se describio en la pag. 15Equivale a un Modus Ponendo Ponens ‘plano’.3

Posteriormente, por ley de simplificacion se puede concluir:p ∧ q → q

pQuedando completa la transformacion:(p→ q)→ (p ∧ q)→ q

Primero por subalternacion y luego por simplificacion. (Ver modo Darapti,formula 5.9, en la pag. 30; el modo Felapton, pag. 30; el modo Bamalip, pag.34 y el modo Fesapo, pag. 35).

Del modo e a o

→e = p→∼ q o = p∧ ∼ q (diagramas ‘planos’)La formula de esta inferencia es:(p→∼ q)→ (p∧ ∼ q)Ejemplo:Ningun gas tiene volumen constanteluego...El helio no tiene volumen constante

| Si es gas no tiene volumen constante...luego ...| Es helio y no tiene volumen constante

Igualmente que el acaso anterior, es una simplificacion de la forma ‘plana’tipo silogismo:

Ningun gas tiene volumen constanteEl helio es un gasluego...El helio no tiene volumen constante

| Si es gas no tiene volumen constante| Es helio y es gas...luego ...| Es helio y no tiene volumen constante

Cuya formula queda:[(p→∼ q) ∧ p]→ (p∧ ∼ q) (formulas ‘planas’)Algo ası como un Modus Ponendo Tollens ‘plano’.Notese que el juicio a es la negacion del juicio o y viceversa, ası como el

juicio e con el juicio i

3Esta forma de descripcion de la inferencia es propuesta por el autor, ya que tiene la mismabase de premisas sin el ‘complemento disyuntivo’.


Tenemos ası los diagramas de Venn ‘planos’ de los cuatro tipos de juicios: a,e, i, o (para los conjuntos: p,q).

a = p→ q e = p→∼ q

i = p ∧ q o = p∧ ∼ qCon estos diagramas se ha realizado el cuadro de oposicion clasico de los

juicios.palabras clave:conjuncion plana Podemos decir que las inferencias inmediatas por subalternacion se dan

por una conjuncion plana de a con p, ası como de e con p, de forma ‘plana’(ver los diagramas).

Para las leyes de implicacion y los silogismos deductivos se usan en estapropuesta los diagramas ‘tridimensionales’ (ejemplos con los los conjuntos p,q).

a = p→ q e = p→∼ q

i = p ∧ q o = p∧ ∼ qAunque como ya vimos en el capıtulo anterior, dependiendo de la figura

seran los conjuntos que interactuaran en cada juicio.

6.1.2. Por oposicion

En donde la negacion de a nos da o, y la negacion de e nos da i. como sepuede apreciar en los diagramas anteriores.

Aquı conviene hacer la observacion, con base en lo anteriormente explicadoque tenemos los siguientes cuadros de equivalencias:

Iniciamos con las equivalencias de los cuatro juicios con su correspondienteformula simbolica:

6.1. INFERENCIAS INMEDIATAS 41

a p→ qe p→∼ qi p ∧ qo p∧ ∼ q

(Ver figuras anteriores)Y en combinacion con las inferencias inmediatas ya expuestas tenemos que:

a = i∨ ∼ p e = o∨ ∼ p i = a ∧ p o = e ∧ pa =∼ o e =∼ i i =∼ e o =∼ a

a =∼ e∨ ∼ p e =∼ a∨ ∼ p i =∼ o ∧ p o =∼ i ∧ p

Se invita al lector a hacer la tabla de verdad de las proposiciones anteriores,ası como su diagrama de Venn.

6.1.3. Por conversion

simple

Casos validos:Para a: (p→ q)−−−− > (q → p) ( solo definiciones ), es decir p = q.Para e: (p→∼ q)−−− > (q →∼ p) ( equivale a la contraposicion de e )Para i: (p ∧ q)−−− > (q ∧ p) ( equivale a la ley conmutativa )

por accidente

Unico caso validoPara a (p→ q)−−− > (q ∼ p) ( equivale a subalternacion y ley conmutativa)

6.1.4. Por contraposicion

Se intercambian los terminos ( p , q ) y se niega toda la proposicion.Casos validos:

juicio Proposicion Intercambio de terminos Negacion y transformaciona p→ q q → p ∼ q →∼ pe p→∼ q q →∼ p ∼ q ∧ po p∧ ∼ q q∧ ∼ p ∼ q ∧ p

Capıtulo 7

Mapas de inclusion

Dentro de el estudio de los silogismos y la teorıa de conjuntos esta el analisisde las estructuras de las proposiciones, esto ha dado lugar a confusiones ya quehay cierto parecido entre los mapas de inclusion y los diagramas de Venn.

Esperando aclararlo dentro de esta propuesta:

Los diagramas de Venn son muy utiles para representar las proposiciones ylas formulas de las mismas ( ya mostradas en este documento ), ası como susinteracciones al llevarlas a cabo; tambien nos permiten estandarizar el modelode interacciones (diagrama con p, q y r y ocho areas), pero no nos informanacerca de sus relaciones de orden y magnitud.

Los mapas de inclusion (cırculos de Euler), nos dan una vision mas es-tructurada de las relaciones entre los juicios, es decir nos ubican en la relacionde orden y de magnitud entre los terminos de los mismos (Mayor, Medio yMenor). Pudiendo visualizarse los terminos como un conjunto ( p,q,r), sien-do parte de otro conjunto o siendo conjunto disjunto (relacion de orden y dejerarquıa o magnitud).

Aqui el autor propone el uso de los mapas de Euler en conjunto con lassimbologıa de la teorıa de conjuntos para establecer estas relaciones que no sedan con los diagramas de Venn

Tenemos los cinco arreglos tıpicos de los cırculos de Euler:

p = q p ⊂ q q ⊂ p

43

44 CAPITULO 7. MAPAS DE INCLUSION

p ∧ q p ∧ q = φAunque en este caso se hace una modificacion debido a que en los juicios

categoricos analizados, se utilizan tres conjuntos ( p,q,r ).Quedando entonces diagramas en donde p, q y r, se van alternando la posi-

cion de acuerdo a la relacion de orden y magnitud (inclusion), dentro del juicio,modo, figura y silogismo.

Los ejemplos han sido para el caso p,q, que corresponderıan a las interac-ciones de los terminos M y P de la premisa 1 de los silogismos. Aunque sepueden obtener los diagramas para el caso q,r, o para p,r.

Tradicionalmente se usan principalmente 4 tipos de juicios (a,e,i,o), debidoa la combinacion de los juicios universales y particulares, en esta propuesta setoman en cuenta todos los tipos de juicios y sus combinaciones que son 6,con la salvedad de que los juicios singulares se ingresan como una modalidadde los tipos i, o.

Partiendo entonces de que existen 3 tipos de juicios con su expresion posi-tiva (afirmativa) y negativa, tenemos 6 expresiones de Euler para los juicios(aunque se reconocen solo 4). 1

Tipo de juicio Palabras clavePositivo Negativo

Universal “todo (s)... es (son)” a “Ningun (o,os)... es (son)”,“Nadie” ... es” e

Particular “algun (o, os)... es(son)” i “Algun (os) ... no es(son)” oSingular “(el/la) x es...” i “(el/la) x no es...” o

Los mapas de inclusion de los juicios quedan:

1. Juicios universales:

a) Positivo: p→q “Todo p es q”

b) Negativo:p→∼ q “Ningun p es q”

1Derivada de esta propuesta, esta pendiente una revision de los silogismos con la cuantifi-cacion tanto del sujeto como del predicado, tal y como lo propone Hamilton, la cual estara in-cluida en una proxima revision.

45

2. Juicios particulares

a) Positivo: p ∧ q “Algun(os) p es(son) q”

b) Negativo: p∧ ∼ q “algun(os) p no es(son) q”

Otra forma positiva es:

3. Juicios singulares

a) Positivo: p ∧ q “Px es q”

b) Negativo: p∧ ∼ q “Px no es q”


En los juicios singulares se usa la misma nomencalatura simbolica queen los particulares, solo cambia la expresion en la proposion refiriendose a unelemento o elementos en particular.

Podemos analizar los silogismos deductivos bajo esta perspectiva para obten-er sus mapas de inclusion, y al mismo tiempo preparar su demostracion tantografica como simbolica.

Se usa la simbologıa de la teorıa de conjuntos para especificar la relacion deorden y magnitud de los terminos de los silogismos.

Estos son pues los mapas de inclusion propuestos para los ejemplos de lossilogismos ya expuestos (capıtulo 4 ). Los modelos pueden variar de acuerdo alejemplo dado, por lo que es posible hallar otros mapas de inclusion parael mismo modo.

Se recuerda que al igual que en los diagramas de Venn, las areas represen-tadas con valor verdadero se colorean.

1. Figura I

a) Modo Barbara 5.1.1 :r ⊂ q ⊂ p

b) Modos Celaren 5.1.2 y Ferio 5.1.4 :r ⊂ q;q ∧ p = φ

c) Modo Darii 5.1.3:q ⊂ p; q ⊂ pq ⊂ r; p ⊂ rr ∧ p = q

47

2. Figura II

a) Modos Cesare 5.2.1 y Festino 5.2.3 :r ⊂ q;q ∧ p = φ

b) Modo Camestres 5.2.2 :p ⊂ q;r ∧ q = φ

c) Modo Baroco 5.2.4 :p ⊂ q p = q

q ⊂ r q ⊂ r

3. Figura III

a) Modo Darapti 5.3.1 :q ⊂ r; q ⊂ p;r ⊂ p q ⊂ r;

r ∧ p = q

b) Modo Felapton 5.3.2 :p ⊂ r; q ⊂ r;q ⊂ r; r ∧ p = φ

p ∧ q = φ;


q = ¬p

c) Modo Disamis 5.3.3 :p ⊂ q;q ⊂ r

d) Modo Datisi 5.3.4 :q ⊂ p;q ⊂ r;r ∧ p = q

e) Modo Bocardo 5.3.5 :p ⊂ q;q ⊂ r

f ) Modo Ferison 5.3.6 :r ⊂ q;q ∧ p = φ

49

4. Figura IV

a) Modo Bamalip 5.4.1 :p ⊂ q;q ⊂ r

b) Modo Calemes 5.4.2 :p ⊂ q;r ∧ q = φ

c) Modo Dimatis 5.4.3 :q ⊂ p; q ⊂ pq ⊂ r; p ⊂ rr ∧ p = q

d) Modo Fesapo 5.4.4 :p ⊂ r;q ⊂ rp ∧ q = φ;q = ¬p


e) Modo Fresison 5.4.5 :r ⊂ q; p ⊂ r;q ∧ p = φ; q ⊂ rr ∧ p = φ p ∧ q = φ; q = ¬p

Capıtulo 8

Esquemas de pensamiento

Estas son algunas fomulas simbolicas de los tipos de razonamiento.

1. Razonamiento deductivo:

(∀x)(Sx→ Px)

Sa...

(Sa→Pa)

Se parte de lo general a lo particular.

2. Razonamiento inductivo:

a, b, c ∧ sa, b, c ∧ p

...

s→p

Se parte de lo particular a lo general.

3. Razonamiento analogico:

S ∧ Pa ≈ Sa ≈ PSe aplica el mismo principio a situaciones o eventos similares.

51

52 CAPITULO 8. ESQUEMAS DE PENSAMIENTO

Capıtulo 9

Resumen

En esta tabla se trata de resumir las formulas de la propuesta del autor. Lasformulas y las condiciones tienen sus diagramas correspondientes mostrados eneste documento.

Ley/silogismo Formula Condicion(es)Modus ponendo ponens [(p→ q) ∧ p]→ q p ⊂ qModus ponendo tollens [(p→∼ q) ∧ p]→∼ q p ∧ q = φModus tollendo tollens [(p→ q)∧ ∼ q]→∼ p p ⊂ qModus tollendo ponens [(∼ p→ q)∧ ∼ p]→ q p ∧ q = φSilogismo hipotetico [(p→ q) ∧ (q → r)]→ (p→ r) p ⊂ q ⊂ r

Modo Barbara [(q → p) ∧ (r → q)]→ (r → p) r ⊂ q ⊂ pModo Celaren [(q →∼ p) ∧ (r → q)]→ (r →∼ p) r ⊂ q; q ∧ p = φ

Modo Darii [(q → p) ∧ (r ∧ q)]→ (r ∧ p) q ⊂ p; q ⊂ r; r ∧ p = q||q ⊂ p; p ⊂ r

Modo Ferio [(q →∼ p) ∧ (r ∧ q)]→ (r∧ ∼ p) r ⊂ q; q ∧ p = φ

Modo Cesare [(p→∼ q) ∧ (r → q)]→ (r →∼ p) r ⊂ q; q ∧ p = φModo Camestres [(p→ q) ∧ (r →∼ q)]→ (r →∼ p) r ⊂ q; q ∧ p = φ

Modo Festino [(p→∼ q) ∧ (r ∧ q)]→ (r∧ ∼ p) r ⊂ q; q ∧ p = φModo Baroco [(p→ q) ∧ (r∧ ∼ q)]→ (r∧ ∼ p) p ⊂ q; q ⊂ r||p = q; q ⊂ rModo Darapti [(q → p) ∧ (q → r)]→ (r ∧ p) q ⊂ p; q ⊂ r; r ∧ p = q||q ⊂ r; r ⊂ pModo Felapton [(q →∼ p) ∧ (q → r)]→ (r∧ ∼ p) p ⊂ r; q ⊂ r; p ∧ q = φ; q = ¬p||q ⊂ r; p ∧ q = φ

Modo Disamis [(q ∧ p) ∧ (q → r)]→ (r ∧ p) q ⊂ r; p ⊂ qModo Datisi [(q → p) ∧ (q ∧ r)]→ (r ∧ p) q ⊂ r; q ⊂ p; r ∧ p = q

Modo Bocardo [(q∧ ∼ p) ∧ (q → r)]→ (r∧ ∼ p) p ⊂ q; q ⊂ rModo Ferison [(q →∼ p) ∧ (q ∧ r)]→ (r∧ ∼ p) r ⊂ q; q ∧ p = φ

Modo Bamalip [(p→ q) ∧ (q → r)]→ (r ∧ p) p ⊂ q ⊂ rModo Calemes [(p→ q) ∧ (q →∼ r)]→ (r →∼ p) p ⊂ q; q ∧ r = φModo Dimatis [(p ∧ q) ∧ (q → r)]→ (r ∧ p) q ⊂ r; q ⊂ p; p ∧ r = q||q ⊂ p; p ⊂ rModo Fesapo [(p→∼ q) ∧ (q → r)]→ (r∧ ∼ p) p ⊂ r; q ⊂ r; p ∧ q = φ; q = ¬pModo Fresison [(p→∼ q) ∧ (q ∧ r)]→ (r∧ ∼ p) q ∧ p = φ; r ⊂ q||p ⊂ r; q ⊂ r; q = ¬p

53

54 CAPITULO 9. RESUMEN

Capıtulo 10

Si... ya se

Que al principio de este documento se hablo del complemento disyuntivoy que las formulas tridimensionales lo requieren. Por lo que se anexan las mismasformulas con sus complementos disyuntivos y su valor en decimal. Insistiendo enque el complemento disyuntivo (de una implicacion) expresa el ‘byte superior’,mientras que la formula ‘plana’ expresa el ‘byte inferior’ del par. Si se trata deuna conjuncion(juicios particulares y singulares) la expresion se invierte.

Como podemos ver, las formulas son algo complejas si usamos el comple-mento disyuntivo, es mejor visualizar las formulas desde la perspectiva de latabla del capıtulo anterior (pag. 53 ).

El objetivo de la presente tabla es como referencia para quienes quierantrabajar con programas de computadora y necesiten realizar las operacionesbinarias/numericas requeridas, asimismo para aquellos que quieran realizar lastablas de verdad de cada una de las implicaciones y silogismos (asunto que nose contempla en este documento por considerarse recursivo).1

Bien... espero que no haya reclamos.

Es muy difıcil decir que el conocimiento esta terminado, por el contrario,ahora surgen nuevas preguntas:

¿Como encontraron las leyes del pensamiento los grandes como Aristoteles,Platon, Kant... y un largo etcetera?

El autor se apoyo en la tecnologıa y gracias a ello pudo llevar a cabo lascomprobaciones necesarias, pero queda en el aire la admiracion por quienes sin‘ayudas’ tecnologicas lograron establecer las bases de lo que hasta ahora siguesiendo objeto de estudio y comprension.

1Los modos en negritas son los que no se consideran silogismos puros por no cumplir laregla 6 de Copi-Cohen(pag. 37).Por lo que su resultado binario se altera, se presentan ambosresultados binarios.Se recomienda ver en el capıtulo 4 la aclaracion correspondiente a estosmodos.

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56 CAPITULO 10. SI... YA SE

Ley/silogismo Formula con complemento disyuntivoModus ponendo ponens [((p→ q) ∧ p)∨(∼ p ∧ q)]→ q

Binario [((240 ∨ 51) ∧ 15)∨(240 ∧ 51)]→ 51

Modus ponendo tollens [((p→∼ q) ∧ p)∨(∼ p∧ ∼ q)]→∼ q

[((240 ∨ 204) ∧ 15)∨(240 ∧ 204)]→ 204

Modus tollendo tollens [((p→ q)∧ ∼ q)∨(∼ p ∧ q)]→∼ p

[((240 ∨ 51) ∧ 204)∨(240 ∧ 51)]→ 240

Modus tollendo ponens [((∼ p→ q)∧ ∼ p)∨(p ∧ q)]→ q

[((15 ∨ 51) ∧ 240)∨(15 ∧ 51)]→ 51

Silogismo hipotetico [((p→ q) ∧ (q → r))∨((∼ p ∧ q) ∨ (∼ q ∧ r))]→ (p→ r)∨(∼ p ∧ r)221 [((240 ∨ 51) ∧ (204 ∨ 85))∨((240 ∧ 51) ∨ (204 ∧ 85))]→ (240 ∨ 85)∨(240 ∧ 85)

Modo Barbara [((q → p) ∧ (r → q))∨((∼ q ∧ p) ∨ (∼ r ∧ q))]→ (r → p)∨(∼ r ∧ p)175 [((204 ∨ 15) ∧ (170 ∨ 51))∨((204 ∧ 15) ∨ (170 ∧ 51))]→ (170 ∨ 15)∨(170 ∧ 15)

Modo Celaren [((q →∼ p) ∧ (r → q))∨((∼ q∧ ∼ p) ∨ (∼ r ∧ q))]→ (r →∼ p)∨(∼ r∧ ∼ p)250 [((204 ∨ 240) ∧ (170 ∨ 51))∨((204 ∧ 240) ∨ (170 ∧ 51))]→ (170 ∨ 240)∨(170 ∧ 240)

Modo Darii [((q → p) ∧ (r ∧ q))∨((∼ q ∧ p) ∧ (r ∨ q))]→ (r ∧ p)∧(r ∨ p)5 [((204 ∨ 15) ∧ (85 ∧ 51))∨((204 ∧ 15) ∧ (85 ∨ 51))]→ (85 ∧ 15)∧(85 ∨ 15)

Modo Ferio [((q →∼ p) ∧ (r ∧ q))∨((∼ q∧ ∼ p) ∧ (r ∨ q))]→ (r∧ ∼ p)∧(r∨ ∼ p)80 [((204 ∨ 240) ∧ (85 ∧ 51))∨((204 ∧ 240) ∧ (85 ∨ 51))]→ (85 ∧ 240)∧(85 ∨ 240)

Modo Cesare [((p→∼ q) ∧ (r → q))∨((∼ p∧ ∼ q) ∨ (∼ r ∧ q))]→ (r →∼ p)∨(∼ r∨ ∼ p)250 [((240 ∨ 204) ∧ (170 ∨ 51))∨((240 ∧ 204) ∨ (170 ∧ 51))]→ (170 ∨ 240)∨(170 ∧ 240)

Modo Camestres [((p→ q) ∧ (r →∼ q))∨((∼ p ∧ q) ∨ (∼ r∧ ∼ q))]→ (r →∼ p)∨(∼ r∧ ∼ p)250 [((240 ∨ 51) ∧ (170 ∨ 204))∨((240 ∧ 51) ∨ (170 ∧ 204))]→ (170 ∨ 240)∨(170 ∧ 240)

Modo Festino [((p→∼ q) ∧ (r ∧ q))∨((∼ p∧ ∼ q) ∧ (r ∨ q))]→ (r∧ ∼ p)∧(r∨ ∼ p)80 [((240 ∨ 204) ∧ (85 ∧ 51))∨((240 ∧ 204) ∧ (85 ∨ 51))]→ (85 ∧ 240)∧(85 ∨ 240)

Modo Baroco [(p→ q) ∧ (r∧ ∼ q)∨((∼ p ∧ q) ∧ (r∨ ∼ q))]→ (r∧ ∼ p)∧(r∨ ∼ p)80 [((240 ∨ 51) ∧ (85 ∧ 204))∨((240 ∧ 51) ∧ (85 ∨ 204))]→ (85 ∧ 240)∧(85 ∨ 240)

Modo Darapti [(q → p) ∧ (q → r)∨((∼ q ∧ p) ∨ (∼ q ∧ r))]→ (r ∧ p)∧(r ∨ p)205/5 [((204 ∨ 15) ∧ (204 ∨ 85))∨((204 ∧ 15) ∨ (204 ∧ 85))]→ (85 ∧ 15)∧(85 ∨ 15)

Modo Felapton [(q →∼ p) ∧ (q → r)∨((∼ q∧ ∼ p) ∨ (∼ q ∧ r))]→ (r∧ ∼ p)∧(r∨ ∼ p)220/80 [((204 ∨ 240) ∧ (204 ∨ 85))∨((204 ∧ 240) ∨ (204 ∧ 85))]→ (85 ∧ 240)∧(85 ∨ 240)

Modo Disamis [(q ∧ p) ∧ (q → r)∨((q ∨ p) ∧ (∼ q ∧ r))]→ (r ∧ p)∧(r ∨ p)5 [((51 ∧ 15) ∧ (204 ∨ 85))∨((51 ∨ 15) ∧ (204 ∧ 85))]→ (85 ∧ 15)∧(85 ∨ 15)

Modo Datisi [(q → p) ∧ (q ∧ r)∨((∼ q ∧ p) ∧ (q ∨ r))]→ (r ∧ p)∧(r ∨ p)5 [((204 ∨ 15) ∧ (51 ∧ 85))∨((204 ∧ 15) ∧ (51 ∨ 85))]→ (85 ∧ 15)∧(85 ∨ 15)

Modo Bocardo [(q∧ ∼ p) ∧ (q → r)∨((q∨ ∼ p) ∧ (∼ q ∧ r))]→ (r∧ ∼ p)∧(r∨ ∼ p)80 [((51 ∧ 240) ∧ (204 ∨ 85))∨((51 ∨ 240) ∧ (204 ∧ 85))]→ (85 ∧ 240)∧(85 ∨ 240)

Modo Ferison [(q →∼ p) ∧ (q ∧ r)∨((∼ q∧ ∼ p) ∧ (q ∨ r))]→ (r∧ ∼ p)∧(r∨ ∼ p)80 [((204 ∨ 240) ∧ (51 ∧ 85))∨((204 ∧ 240) ∧ (51 ∨ 85))]→ (85 ∧ 240)∧(85 ∨ 240)

Modo Bamalip [(p→ q) ∧ (q → r)∨((∼ p ∧ q) ∨ (∼ q ∧ r))]→ (r ∧ p)∧(r ∨ p)245/5 [((240 ∨ 51) ∧ (204 ∨ 85))∨((240 ∧ 51) ∨ (204 ∧ 85))]→ (85 ∧ 15)∧(85 ∨ 15)

Modo Calemes [(p→ q) ∧ (q →∼ r)∨((∼ p ∧ q) ∨ (∼ q∧ ∼ r))]→ (r →∼ p)∨(∼ r∧ ∼ p)250 [((240 ∨ 51) ∧ (204 ∨ 170))∨((240 ∧ 51) ∨ (204 ∧ 170))]→ (170 ∨ 240)∨(170 ∧ 240)

Modo Dimatis [(p ∧ q) ∧ (q → r)∨((p ∨ q) ∧ (∼ q ∧ r))]→ (r ∧ p)∧(r ∨ p)5 [((15 ∧ 51) ∧ (204 ∨ 85))∨((15 ∨ 51) ∧ (204 ∧ 85))]→ (85 ∧ 15)∧(85 ∨ 15)

Modo Fesapo [(p→∼ q) ∧ (q → r)∨((∼ p∧ ∼ q) ∨ (∼ q ∧ r))]→ (r∧ ∼ p)∧(r∨ ∼ p)220/80 [((240 ∨ 204) ∧ (204 ∨ 85))∨((240 ∧ 204) ∨ (204 ∧ 85))]→ (85 ∧ 240)∧(85 ∨ 240)

Modo Fresison [(p→∼ q) ∧ (q ∧ r)∨((∼ p∧ ∼ q) ∧ (q ∨ r))]→ (r∧ ∼ p)∧(r∨ ∼ p)80 [((240 ∨ 204) ∧ (51 ∧ 85))∨((240 ∧ 204) ∧ (51 ∨ 85))]→ (85 ∧ 240)∧(85 ∨ 240)

Capıtulo 11

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