simetrias do plano e grupos de friso. 1. isometrias no plano

Simetrias do Plano Simetrias do Plano e Grupos de Frisoe Grupos de Friso

1. Isometrias no Plano1. Isometrias no Plano

Transformação geométrica (em IR2)

É uma aplicação bijectiva T, de IR2 em IR2, que a

cada ponto faz corresponder um novo ponto.

Isometria

É uma transformação geométrica T, de IR2 em IR2,

que preserva as distâncias, ou seja, tal que, se A e B são

dois pontos quaisquer de IR2, se tem

dist(T(A), T(B))=dist(A, B).

Isometrias

Reflexões Translações Reflexões deslizantes Rotações

1.1. Translação

Translação definida por v

É a transformação T de IR2 em IR2 tal que T(A)=A+v

(figura 1).

Translação inversa de T 1 vector v

Translação identidade I vector nulo

A

v

Figura 1

A=T(A)

A translação é uma isometria

Prova: Se P e Q forem enviados em P e Q,

respectivamente, então QQPP . Se P, Q, P e Q

forem colineares (figura 2a),

QPPPQPQQQPPQ .

Caso contrário, P PQQ é um paralelogramo (figura

2b). Logo, QPPQ .

P P

Q Q Q' P' P Q

Figura 2a Figura 2b

1.2. Rotação. Simetria central

Rotação de centro O e amplitude (figura 3)

É uma transformação T de IR2 em IR2

tal que para A=T(A) verifica-se:

AOOA

o ângulo orientado AOOA , tem amplitude .

O

A

Figura 3

A=T(A)

A rotação inversa T 1 é a rotação de centro O e

amplitude .

A transformação identidade é a rotação (de centro O)

em que =0º (ou um múltiplo de 360º).

Simetria central ou meia-volta

A simetria de centro O é uma rotação de centro O e

amplitude 180º.

A simetria central é involutiva (TT=I)

A rotação é uma isometria.

Prova: Sejam P e Q enviados em P e Q,

respectivamente, pela rotação de centro O e amplitude

. Se O, P e Q forem colineares (figura 4a), atendendo

à definição, QPPOQOOPOQPQ . De

contrário (figura 4b), POOP , QOOQ e

QOPPOQ )( QQOPPO . Logo, pelo

critério LAL (de congruência de triângulos) conclui-se

que QOPPOQ . Pelo que, QPPQ .

Figura 4a

P'

Q'

O

Q P

Figura 4b

P´

Q´

Q P

O

1.3. Reflexão

Reflexão (ou simetria axial) de eixo e

É a transformação T de IR2 em IR2 tal

que, qualquer que seja o ponto A de IR2

( eA ), a mediatriz do segmento de recta

AA , com A T(A), é a recta e (figura 5).

A reflexão é involutiva (TT=I). T= T 1

e

A' A

Figura 5

A reflexão é uma isometria.

Prova: (uma ideia)

Sejam P e Q dois pontos de IR2 e P e Q as suas

imagens, respectivamente, por uma reflexão de eixo e.

1º Caso: P e Q estão do mesmo lado de e.

2º Caso: P e Q estão em lados opostos de e.

3º Caso: Só Pe (ou Pe e Qe).

A prova assenta sobretudo na decomposição de PQ

na soma ou diferença de comprimentos de segmentos

de recta, que permitem obter QP , usando

essencialmente a definição de reflexão.

Reflexão deslizante

Dada uma reflexão R, de eixo e, e uma translação T

de direcção paralela a e, chama-se reflexão deslizante à

transformação S=TR de IR2 em IR2 (figura 6).

A inversa de S=TR é S 1=R 1T 1.

Figura 6. A reflexão deslizante S transforma ABC em CBA . S é

a composta da reflexão de eixo e com a translação de vector BB .

e

C''

B''

A' B'

C'

C B

A

A''

A reflexão deslizante é uma isometria.

Prova: Seja S=TR uma reflexão deslizante.

Atendendo que T e R são isometrias tem-se:

dist(S(A), S(B))=dist(T(R(A)), T(R(B)))

=dist(R(A), R(B))

=dist(A, B).

1.5. Algumas propriedades das isometrias

1.5.1.Composta de duas translações

B''

C''

C'

B' C

B

A

A' A''

21 vv

2 v 1v

Figura 7. A translação T, de vector 21 vv , transforma ABC em CBA . T é a composta da translação T2, de vector 2v (que transforma CBA

em CBA ), com a translação T1, de vector 1v (que transforma ABC em CBA ).

A composta de duas translações T1 e T2, de

vectores 21

e vv

é uma translação T, de vector 21

vv .

Prova: Seja A um ponto qualquer do plano. Vamos

mostrar que T(A)= A 21

vv .

T(A)=(T2T1)(A)

=T2(T1(A))

= T2(A 1 v )

=(A1

v )

2 v

=A 21

vv .

1.5.2.Composta de duas rotações com o mesmo

centro

A composta de duas rotações R1(O; ) e R2(O; ) é

a rotação R(O; +).

Prova: Omitida (ver trabalho escrito). €

Figura 8. A rotação R1(O; ) transforma ABC em CBA e a rotação R2(O; ) transforma CBA em CBA . A rotação R (O; +) é a composta da R2 com R1, transformando ABC em CBA .

B''

A''

C''

C'

B'

A'

A

B

C

O

1.5.2.Composta de duas reflexões

2e

A'' C''

B'' C'

A'

B'

A

B

C

d 2d

1e

Figura 9a. A composta de duas reflexões de eixos paralelos é uma translação. A reflexão R1, de eixo e1, transforma ABC em CBA e a reflexão R2, de eixo e2, transforma CBA em CBA . A translação T, de vector

BB , é a composta da R2 com R1, transformando ABC em CBA .

A composta da reflexão R2, de eixo e2, com a reflexão

R1, de eixo e1, é uma translação de vector perpendicular

aos eixos, se estes forem estritamente paralelos, sentido

de e1 para e2 e norma igual ao dobro da distância entre

os eixos.

Prova. Omitida (ver trabalho escrito).

Figura 9b. A composta de duas reflexões de eixos concorrentes é uma rotação. A reflexão R1, de eixo e1 transforma

ABC em CBA e a reflexão R2, de eixo e2, transforma CBA em CBA . A rotação R (O; 2) é a composta da R2

com R1, transformando ABC em CBA .

C''

A''

B''

C'

A'

B' A

B

C

O

2e

1e

2

A composta da reflexão R2, de eixo e2, com a reflexão

R1, de eixo e1, é uma rotação de centro no ponto de

intersecção dos eixos, se estes forem concorrentes, e

amplitude igual ao dobro do ângulo dos eixos.

Prova. Omitida (ver trabalho escrito).

2. Simetrias do Plano2. Simetrias do Plano

2.1. Transformações de simetria

Transformação de simetria (ou simplesmente

simetria) de F (subconjunto de IR2 ou figura de IR2)

É uma transformação T de IR2 em IR2 tal que T(F)=F.

Significa que como subconjuntos de IR2 T(F) e F são

iguais.

e

Figura 1

Exemplos de figuras simétricas

A reflexão de eixo e deixa a figura 1 invariante. A

figura tem uma simetria de reflexão.

A rotação de amplitude 72º e centro no centro da

figura deixa a figura 2 invariante. A figura 2 tem uma

simetria de rotação.

Figura 2

Exemplo de uma figura não simétrica

A figura 3 não é simétrica. Não existe nenhuma

transformação geométrica da identidade que a deixe

invariante.

Figura 3

2.2. Grupo de simetria de F

O conjunto das transformações de simetria de F é um

grupo para a composição de transformações (grupo de

simetria de F).

Sejam T, R e S transformações de simetria de F. Então:

TS transformação de simetria de F.

TS(F)=T(S(F))

=T(F)

=F.

A composição é associativa

((TR) S)(F)= (TR)(S(F))

=T(R(S(F)))

=T ((RS)(F))

Então, (TR) S=T (RS).

T 1 transformação de simetria. T 1(F)=F

(porque T(F) =F).

I transformação de simetria. I(F)=F.

Elementos do grupo de simetria da figura 1

8 reflexões (de eixos e, f, g, h, i, j, l, e m).

8 rotações em torno do centro da figura (de

amplitudes 45º, 90º, 135º, 180º, 225º, 270º, 315º e

360º).

Geradores do grupo: reflexão de eixo e e rotação

de 45º ou reflexões de eixos e e f

m l

j i h

g

f

Figura 1

e

Elementos do grupo de simetria da figura 2

5 rotações (de 72º, 144º, 216º, 288º, e 360º em

torno do centro da figura).

Transformação geradora: rotação de 72º.

Figura 2

3. Frisos e grupos de friso3. Frisos e grupos de friso

Padrão

Figura obtida pela repetição de outra - o motivo do

padrão.

Friso

Padrão com simetrias de translação numa só direcção

(com uma translação de módulo mínimo não nulo).

Podem existir outras simetrias para além da de

translação.

Figura 3b. Motivo do padrão da figura 2. Figura 2

v

Figura 1

Figura 3a. Motivo do padrão

da figura 1.

Grupos de frisos

Só existem sete grupos de friso (ou tipos de friso).

Isto significa que ao associarmos a cada friso o seu

grupo de simetria, apenas obteremos 7 grupos distintos.

Prova: (no Livro Transformation Geometry de George Martin faz-

se a prova desta afirmação entre as páginas 78 e 81)

Fluxograma de Washburn-Crowe para classificação de frisos

não

Existe uma reflexão de eixo vertical?

não sim

Existe uma reflexão de eixo horizontal?

Existe uma reflexão de eixo horizontal ou uma reflexão deslizante?

sim Existe uma meia-volta?

sim não

Existe uma reflexão de eixo horizontal?

Existe uma meia-volta?

sim não sim não

sim não

pmm2 pma2 pm11 p1m1 p1a1 p112 p111

(fig. 11) (fig. 10) (fig. 9) (fig. 8) (fig. 7) (fig. 6) (fig. 5)

Friso p111

1 não tem nenhuma reflexão de eixo perpendicular

à direcção de translação do friso.

1 não tem reflexão de eixo com a direcção da

translação do friso

nem reflexão deslizante de eixo (de reflexão)

paralelo à direcção da translação do friso

1 não existe uma meia-volta

Figura 5. Friso com simetria de translação.

Friso p112




translação do friso.

nem reflexão deslizante de eixo (de reflexão)

paralelo à direcção da translação do friso

2 existe uma meia-volta

Figura 6. Friso com simetria de meia-volta.

Friso p1a1



a tem reflexão deslizante de eixo (de reflexão)

paralelo à direcção da translação do friso.

1 não existe uma meia-volta.

Figura 7. Friso com simetria de reflexão deslizante.

Friso p1m1



m tem reflexão cujo eixo tem a direcção da



Figura 8. Friso com simetria de reflexão de eixo horizontal.

Friso pm11

m tem uma reflexão de eixo perpendicular à

direcção de translação do friso.



nem reflexão deslizante de eixo (da reflexão)



Figura 9. Friso com simetria de reflexão de eixo vertical.

Friso pma2



a tem reflexão deslizante de eixo (da reflexão)


2 existe uma meia-volta.

Figura 10. Friso com simetrias de reflexão deslizante, meia-volta e reflexão vertical.

Figura 11. Friso com simetrias de reflexões de eixos horizontal e vertical e meia volta.



m tem reflexão cujo eixo tem a direcção da


2 existe uma meia-volta.

Friso pmm2

FIMFIM(da 1ª parte)(da 1ª parte)

4. Padrões Periódicos ou Papeis de 4. Padrões Periódicos ou Papeis de ParedeParede

Padrões periódicos ou Padrões periódicos ou papeis de parede são papeis de parede são figuras planas figuras planas caracterizadas por caracterizadas por terem uma região terem uma região fundamental (motivo) e fundamental (motivo) e duas translações duas translações linearmente linearmente independentesindependentes

DefiniçãoDefinição

17 Grupos de Simetria dos 17 Grupos de Simetria dos Padrões PeriódicosPadrões Periódicos

Grupos Sem RotaçõesGrupos Sem Rotações

Grupo p1Grupo p1

Apenas estão presentes Apenas estão presentes translações;translações;

É um grupo de É um grupo de translações.translações.

Grupo pmGrupo pm

Além das duas Além das duas translações presentes translações presentes que formam um que formam um subgrupo de qualquer subgrupo de qualquer papel de parede, estão papel de parede, estão presentes reflexões.presentes reflexões.

Grupo pgGrupo pg

Além do subgrupo das Além do subgrupo das translações estão translações estão presentes também as presentes também as reflexões deslizantes.reflexões deslizantes.

Grupo cmGrupo cm

Grupo onde estão Grupo onde estão presentes as reflexões.presentes as reflexões.

Reflexões deslizantes Reflexões deslizantes onde o eixo não é das onde o eixo não é das reflexões. reflexões.

Grupos Com Rotações de Grau 2 - 180 GrausGrupos Com Rotações de Grau 2 - 180 Graus

Grupo p2Grupo p2

Rotações de 180 graus Rotações de 180 graus e translações.e translações.

Grupo pggGrupo pgg

Rotações de 180 graus;Rotações de 180 graus; Não há reflexões;Não há reflexões; Há reflexões deslizantes.Há reflexões deslizantes.

Grupo pmgGrupo pmg

Para além das Para além das translações e rotações translações e rotações de 180 graus, estão de 180 graus, estão presente reflexões em presente reflexões em uma só direcção.uma só direcção.

Grupo pmmGrupo pmm

Rotações de 180 grausRotações de 180 graus Reflexões em duas Reflexões em duas

direcções.direcções. Os centros de rotação Os centros de rotação

estão sobre os eixos de estão sobre os eixos de reflexão.reflexão.

Grupo cmmGrupo cmm

Rotações de 180 graus onde Rotações de 180 graus onde os centros de rotação não os centros de rotação não estão sobre os eixos de estão sobre os eixos de reflexão.reflexão.

Reflexões em duas Reflexões em duas direcções.direcções.

Grupo p4Grupo p4

Não tem reflexões nem Não tem reflexões nem reflexões deslizantes, reflexões deslizantes, apenas rotações de 90 e apenas rotações de 90 e 180 graus.180 graus.

Grupo p4mGrupo p4m

Rotações de 90 e 180 graus.Rotações de 90 e 180 graus. Reflexões onde os eixos Reflexões onde os eixos

fazem um ângulo de 45 graus.fazem um ângulo de 45 graus.

Grupo p4gGrupo p4g

Rotações de 90 e 180.Rotações de 90 e 180. Reflexões onde os eixos não Reflexões onde os eixos não

fazem ângulo de 45 graus.fazem ângulo de 45 graus.

Grupo p3Grupo p3

Apenas rotações de 120 Apenas rotações de 120 graus.graus.

Grupo p31mGrupo p31m

Rotações de 120 graus.Rotações de 120 graus. Reflexões.Reflexões. Os centros de rotação não Os centros de rotação não

estão todos sobre os eixos estão todos sobre os eixos de reflexão.de reflexão.

Grupo p3m1Grupo p3m1

Rotações de 120 graus.Rotações de 120 graus. Reflexões.Reflexões. Os centros de rotação estão Os centros de rotação estão

todos sobre os eixos de todos sobre os eixos de reflexão.reflexão.

Grupo p6Grupo p6

Rotações de 60, 120 e 180 graus.Rotações de 60, 120 e 180 graus.

Grupo p6mGrupo p6m

Acrescenta reflexões às Acrescenta reflexões às simetrias do grupo simetrias do grupo anterioranterior

Qual é a menor rotação?

060 0120 090 0180 nenhuma

Existe reflexão? Existe reflexão? Existe reflexão? Existe reflexão? Existe reflexão?

Sim

Não

Não

Sim

6p m 6p 3pEstão

todos os eixos de rotação sobre os eixos de reflexão?

Sim

Não

31p m3 1p m

Não

Sim

4p Existem reflexões

cujos eixos fazem

um ângulo de 450

Sim

Não

4p g4p m

Não S

im

Existem reflexões em duas

direcções?

Não

Sim

pmg

Existe reflexão

deslizante?

Sim

Não

2ppgg Estão todos os centros

de rotação sobre os eixos de reflexão?

Sim

Não

cmmpmm

Não

Sim

Existe uma

reflexão deslizante cujo eixo não é de reflexão?

Não

Sim

pm

Existe reflexão

deslizante?

Sim

Não

pg 1p cm

PavimentaçõesPavimentações

Cada um dos motivos é Cada um dos motivos é isolado por uma figura isolado por uma figura geométrica.geométrica.

A reunião destas figuras A reunião destas figuras geométricas gera uma rede, geométricas gera uma rede, que cobre todo o plano.que cobre todo o plano.

PavimentaçõesPavimentações

Com as pavimentações pretende-se cobrir Com as pavimentações pretende-se cobrir completamente o plano, através de um conjunto completamente o plano, através de um conjunto numerável de ladrilhos que não se sobrepõem e não numerável de ladrilhos que não se sobrepõem e não deixam espaços em branco.deixam espaços em branco.

Conjuntos aceitáveis Conjuntos aceitáveis para ladrilhos de uma para ladrilhos de uma

pavimentaçãopavimentação

Conjuntos não Conjuntos não aceitáveis para aceitáveis para

ladrilhos de uma ladrilhos de uma pavimentaçãopavimentação

Conjuntos não conexos e cuja fronteira não é uma curva Conjuntos não conexos e cuja fronteira não é uma curva fechada ou que se cruza não são aceitáveis para fechada ou que se cruza não são aceitáveis para

construir uma pavimentação.construir uma pavimentação.

Pavimentações RegularesPavimentações Regulares

São constituídas apenas por polígonos regulares do São constituídas apenas por polígonos regulares do mesmo tipomesmo tipo

Só é possível construir 3.Só é possível construir 3.

LadosLados Ângulo InternoÂngulo Interno Nº de PolígonosNº de Polígonos

33 6060 66

44 9090 44

55 108108 3,3333333333,333333333

66 120120 33

77 128,5714286128,5714286 2,82,8

88 135135 2,6666666672,666666667

99 140140 2,5714285712,571428571

1010 144144 2,52,5

1111 147,2727273147,2727273 2,4444444442,444444444

1212 150150 2,42,4

1313 152,3076923152,3076923 2,3636363642,363636364

1414 154,2857143154,2857143 2,3333333332,333333333

1515 156156 2,3076923082,307692308

1616 157,5157,5 2,2857142862,285714286

1717 158,8235294158,8235294 2,2666666672,266666667

1818 160160 2,252,25

1919 161,0526316161,0526316 2,2352941182,235294118

2020 162162 2,2222222222,222222222

Pavimentações Semi-Regulares ou Pavimentações Semi-Regulares ou ArquimedianasArquimedianas

São as que não são formadas apenas por um polígono regular. São as que não são formadas apenas por um polígono regular.

Em torno de cada vértice pode encontrar-se triângulos equiláteros, Em torno de cada vértice pode encontrar-se triângulos equiláteros, hexágonos, quadrados e pentágonos regulares.hexágonos, quadrados e pentágonos regulares.

Chama-se Chama-se espécieespécie de um vértice aos polígonos regulares que se de um vértice aos polígonos regulares que se intersectam nesse vértice.intersectam nesse vértice.

Chama-se Chama-se tipotipo de vértice à ordem pela qual estão colocados os de vértice à ordem pela qual estão colocados os polígonos em torno do vértice. polígonos em torno do vértice.

17 espécies de vértices e 21 tipos17 espécies de vértices e 21 tipos É condição necessária para que uma pavimentação formada É condição necessária para que uma pavimentação formada

por polígonos por polígonos regularesregulares seja de um dos seguintes dos 21 seja de um dos seguintes dos 21 tipostipos

3.3.3.3.3.3 3.3.3.3.6 3.3.3.4 3.3.4.3.4

3.3.4.12 3.4.3.12 3.3.6.6 3.6.3.6

3.4.4.6 3.4.6.4 3.7.42 3.9.18

3.9.18 3.8.24 3.10.15 3.12.12

17 espécies de vértices e 21 tipos17 espécies de vértices e 21 tipos

4.4.4.4 4.5.20 4.8.8 5.5.10

4.6.12 6.6.6

17 espécies de vértices e 21 tipos17 espécies de vértices e 21 tipos

ExemplosExemplos

FIMFIM

simetrias do plano e grupos de friso. 1. isometrias no plano

Documents