simulacion analogica y digital de sistemas mecánicos

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1 SIMULACIÓN ANALÓGICA Y DIGITAL DE SISTEMAS MECÁNICOS Sergio David Vera Rodríguez, [email protected] Abstract—This report will make an analog and digital simula- tion of a mechanical system of mass translation, spring-damper, the program Proteus and Matlab. Getting the response time with respect to parameter variations. Finally develop the physical circuit, so compare the simulated and physical responses. Index Terms—Matlab,Mechanical System,Parameter Varia- tions , Proteus. I. OBJETIVOS Diseñar circutos eléctricos empleando amplificadores op- eracionales (Amp Op.) para simular el comportamiento dinámico de sistemas mecánicos de primer y segundo orden. Obtener la respuesta en el tiempo de un sistema mecánico de traslación resorte-amortiguador, y de masa-resorte- amortiguador, sobre la base de simulaciones análogicas y digitales. Evaluar la variación de la respuesta de sistema de primero y segundo orden con relación a variaciones en sus párametros. II. I NTRODUCCIÓN D Esde una perspectiva histórica, las máquinas y sistemas mecánicos constituyen la primera tecnología triunfante, la que ha permitido a la humanidad tomar el control y manejar la energía. La mecánica ha sido, asimismo, el núcleo de las ciencias físicas . La mecánica clásica (newtoniana) se ocupa de describir fenómenos asociados con el movimiento de los cuerpos. Por este motivo, en los sistemas mecánicos se tendran habitualmente tanto variables descriptivas, como las posiciones, velocidades y aceleraciones, con sus relaciones constitutivas básicas. III. MARCO TEÓRICO Un sistema de primer orden es aquel en el que la mayor derivada de la señal de salida en la ecuación diferencial que relaciona sus señales de entrada y salida es de orden uno, esto es, su función de transferencia solo tiene un polo. Teniendo en cuenta el principio de causalidad un sistema de primer orden puede tener un cero como máximo. En un primer estudio se considera el caso en el que la función de transferencia es de la forma: G(s)= Y (s) R(s) = K 1+ sT con T>0 dejando para el siguiente punto el caso de un sistema de primer orden con cero adicional. A la hora de analizar el transitorio de este sistema se va a calcular la expresión analítica de su señal de salida ante la entrada escalón unitario. Para una mayor profundización en el conocimiento del comportamiento del sistema podría ser de utilidad el realizar el mismo estudio para otra señal de entrada, como puede ser la rampa o la parábola, o una combinación de ellas. Sin embargo, en general basta con analizar el comportamiento de un sistema ante entrada escalón unitario para inferir su respuesta ante otro tipo de entradas. Figure 1. Salida de un sistema de primer orden ante entrada escalón unitario[1] Para una entrada escalón unitario se tiene que la salida es: Como se puede observar estudiando la señal de respuesta del sistema de primer orden, dada la simplicidad del mismo no es necesario el cálculo de los diferentes parámetros o especificaciones que definen el transitorio de la señal. La respuesta del sistema queda completamente definida con la ganancia del sistema K, y con la constante de tiempo T que se define como el tiempo que tarda el sistema en alcanzar el 63,21% del valor final de la señal de salida (Figura 1)\. La respuesta del transitorio está desprovista de oscilaciones, y por ello no tiene sentido ni el rebose ni el tiempo de pico. Dado que a lo largo de esta asignatura se van a analizar y diseñar los sistemas de control en el plano s, es conveniente que se llegue a tener facilidad en relacionar la situación de los polos y ceros de la función de transferencia de un sistema con su comportamiento ante las diferentes entradas patrón, y en concreto ante la entrada escalón.

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SIMULACIÓN ANALÓGICA Y DIGITAL DESISTEMAS MECÁNICOSSergio David Vera Rodríguez, [email protected]

Abstract—This report will make an analog and digital simula-tion of a mechanical system of mass translation, spring-damper,the program Proteus and Matlab. Getting the response timewith respect to parameter variations. Finally develop the physicalcircuit, so compare the simulated and physical responses.

Index Terms—Matlab,Mechanical System,Parameter Varia-tions , Proteus.

I. OBJETIVOS

• Diseñar circutos eléctricos empleando amplificadores op-eracionales (Amp Op.) para simular el comportamientodinámico de sistemas mecánicos de primer y segundoorden.

• Obtener la respuesta en el tiempo de un sistema mecánicode traslación resorte-amortiguador, y de masa-resorte-amortiguador, sobre la base de simulaciones análogicas ydigitales.

• Evaluar la variación de la respuesta de sistema de primeroy segundo orden con relación a variaciones en suspárametros.

II. INTRODUCCIÓN

DEsde una perspectiva histórica, las máquinas y sistemasmecánicos constituyen la primera tecnología triunfante,

la que ha permitido a la humanidad tomar el control y manejarla energía. La mecánica ha sido, asimismo, el núcleo delas ciencias físicas . La mecánica clásica (newtoniana) seocupa de describir fenómenos asociados con el movimientode los cuerpos. Por este motivo, en los sistemas mecánicosse tendran habitualmente tanto variables descriptivas, comolas posiciones, velocidades y aceleraciones, con sus relacionesconstitutivas básicas.

III. MARCO TEÓRICO

Un sistema de primer orden es aquel en el que la mayorderivada de la señal de salida en la ecuación diferencial querelaciona sus señales de entrada y salida es de orden uno, estoes, su función de transferencia solo tiene un polo. Teniendo encuenta el principio de causalidad un sistema de primer ordenpuede tener un cero como máximo. En un primer estudio seconsidera el caso en el que la función de transferencia es dela forma:

G(s) =Y (s)

R(s)=

K

1 + sT

con T>0dejando para el siguiente punto el caso de un sistema de

primer orden con cero adicional.

A la hora de analizar el transitorio de este sistema se vaa calcular la expresión analítica de su señal de salida antela entrada escalón unitario. Para una mayor profundizaciónen el conocimiento del comportamiento del sistema podríaser de utilidad el realizar el mismo estudio para otra señalde entrada, como puede ser la rampa o la parábola, o unacombinación de ellas. Sin embargo, en general basta conanalizar el comportamiento de un sistema ante entrada escalónunitario para inferir su respuesta ante otro tipo de entradas.

Figure 1. Salida de un sistema de primer orden ante entrada escalónunitario[1]

Para una entrada escalón unitario se tiene que la salida es:

Como se puede observar estudiando la señal de respuestadel sistema de primer orden, dada la simplicidad del mismono es necesario el cálculo de los diferentes parámetros oespecificaciones que definen el transitorio de la señal. Larespuesta del sistema queda completamente definida con laganancia del sistema K, y con la constante de tiempo T quese define como el tiempo que tarda el sistema en alcanzarel 63,21% del valor final de la señal de salida (Figura 1)\. Larespuesta del transitorio está desprovista de oscilaciones, y porello no tiene sentido ni el rebose ni el tiempo de pico.

Dado que a lo largo de esta asignatura se van a analizar ydiseñar los sistemas de control en el plano s, es convenienteque se llegue a tener facilidad en relacionar la situación delos polos y ceros de la función de transferencia de un sistemacon su comportamiento ante las diferentes entradas patrón, yen concreto ante la entrada escalón.

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Figure 2. Configuración polo-cero de un sistema de primer orden[2]

En el caso del sistema de primer orden se observa quecuanto mayor sea la constante de tiempo T más lentos sontanto la velocidad de respuesta como la llegada al estadoestacionario (en estos sistemas estas dos características estánsiempre relacionadas, no así en general), y viceversa. Y dadoque el polo está situado en s = -1/T, se puede concluir quecuanto más cerca esté el polo del eje imaginario (menor sea sumódulo) más lento será el sistema , siendo esta característicageneral para todos los sistemas, cualquiera que sea su orden.[1]

Un sistema de segundo orden es aquel cuya función detransferencia tiene dos polos. Al igual que en los sistemasde primer orden, en cualquier sistema físico real el númerode ceros debe ser inferior o a lo sumo igual al de polos, ypor ello los sistemas de segundo orden pueden tener comomáximo dos ceros.

En general, y debido a su simplicidad, se tiende a intentarmodelar cualquier sistema como uno de segundo orden, porlo que es necesario estudiar en profundidad dicho tipo desistemas. Así, en un principio se van a estudiar los sistemas desegundo orden sin ningún cero para más adelante estudiar elefecto de añadirle ceros o polos obteniendo sistemas de ordensuperior y/o con ceros[2].

Si se considera, entonces, el caso de un sistema de controlde segundo orden sin ceros, se puede siempre reescribir sufunción de transferencia para que quede de la forma:

(1)

Figure 3. Evolución de los polos de un sistema de segundo orden típico conwn constante[3]

A. Actividades Previas

a) Investigue la forma general de un sistema de primer ordentanto en el tiempo como en el dominio de Laplace.

Un sistema de primer orden (en el denominador orden 1)tiene la siguiente forma para su función de transferencia (H(s)):

H(s) =1

ζs+ 1=

1/ζ

s+ 1/ζ

A la ecuación diferencial que modela matemáticamente a unsistema lineal de primer orden con una variable de entrada,"X (t)", y una variable salida, "Y(t)" se le puede aplicar latransformada de Laplace y expresarla como una función detransferencia, G(s), así:

G(s) =Y (s)

X(s)=

k

τs+ 1

La transformada de Laplace permite encontrar la respuestadel sistema para un determinado tipo de cambio en su variablede entrada, mediante un procedimiento algebraico que requierede la expansión de la fracción en fracciones parciales, laevaluación de los coeficientes para cada una de las fraccionesy finalmente la inversión de la transformada de Laplace. Elsignificado de los parámetros dinámicos es el mismo estudiadoen el dominio del tiempo.

Al considerar que en la función de transferencia, la variablede entrada es perturbada con un cambio paso constante, esdecir que X (s) = ∆x /s , entonces se puede escribir que:

Y (s) =k∆x/τ

s(s+ 1/τ)

Luego de aplicar fracciones parciales y límites se obtiene:

Y (t) = k∆x[1 − exp(− t

τ)]

b) Investigue la forma general de un sistema de segundoorden tanto en el tiempo cómo en el dominio de Laplace.

A la ecuación diferencial que modela matemáticamente a unsistema lineal de segundo orden con una variable de entrada,"

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X (t)", y una variable salida, "Y(t)" se le puede aplicar latransformada de Laplace y expresarla como una función detransferencia, G(s), así:

G(s) =Y (s)

X(s)=

k

τ2s2 + 2ζτs+ 1

Luego de aplicar fracciones parciales y límites se obtiene:

Y (t) = k∆x[1 − τ1τ1 − τ2

e−(t/τ1) − τ2τ2 − τ1

e−(t/τ2)]

c) En un sistema de primer orden, £qué representa laconstante de tiempo?

La constante t es la constante de tiempo , la cual nos indicarael tiempo en el cual el sistema tiene un 63,21% del valor enestado estacionario.

d) Para la siguiente función de transferencia, obtenga laconstante de tiempo .

G(s) =10

s+ 2

Teniendo en cuenta el modelo

G(s) =1

ζs+ 1

G(s) =5

0.5s+ 1

Así la constante de tiempo es ζ = 0.5.e)Para las siguientes, funciones de transferencia, obtenga el

tiempo de establecimiento, el máximo sobre impulso,el factordé-amortiguamiento y la frecuencia natural amortiguada.

G(s) =10

s2 + s+ 1

Teniendo en cuenta el modelo

G(s) =kWn2

s2 + 2ζWns+Wn2

El factor de amortiguamiento es ζ = 0.5El máximo sobreimpulso es Mp = 16.3%El tiempo de establecimiento es Ts = 8sLa frecuencia natural amortiguada es Wn = 1

B. Preguntas de reflexión:

a) Qué relación existe entre el sobre impulso en la respuestaal escalón de un sistema de segundo orden y el factor deamortiguamiento?

Dependiendo el factor de amortiguamiento del sistema es larespuesta propia para lo cual ya están definidos unos rangos :• 0<cte. amortiguamiento<1 -Subamortiguado.• cte. amortiguamiento = 1 -críticamente amortiguado.• cte. amortiguamiento>1 sobre amortiguado .

b) En un sistema de segundo orden, qué diferencia existe entrela frecuencia natural amorti-guada y la no amortiguada?

La frecuencia natural no amortiguada del sistema (Wn enrad/s), depende de los parámetros del sistema y es constante,mientras que la frecuencia natural amortiguada del sistema(Wd) depende de Wn y ζ y por lo tanto no es fija, así :Wd = Wn

√1 − ζ2.

c) Qué relación existe entre el Factor de amortiguamiento;la frecuencia natural no amortiguada y el tiempo de establec-imiento de la respuesta al escalón unitario en un sistema desegundo orden?

A partir de ecuaciones se llega a una relaciónde que el tiempo de establecimiento es igual a

4cte.amortiguamiento∗frecuencianatural .

IV. DESARROLLO EXPERIMENTAL

A. Materiales

• 5 amplificadores operacionales.• 10 resistencias de 10k.• 2 capacitores de 10uf .• Resistencia de 22k.• Resistencia de 47k.• Fuente de voltaje bipolar +-15.• Osciloscopio.• Protoboard..

B. Actividades

. Pregunta. De qué orden es el sistema de la figura 3.1?

El sistema de la figua es de orden 2 ya que hay dosintegradores en el circuito

Figure 4. Circuito Simulado[4]

1) Con los siguientes valores de resistencias obtenga en elosciloscopio la respuesta del sistema utilizando comoentrada una señal constante de 5v.

• R2=10k, R1=10k.

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Figure 5. Respuesta con R2=10k, R1=10k.[5]

La salida del sistema con R2=10k, R1=10k es una subamor-tiguada.

• R2=22k, R1=10k.

Figure 6. Circuito monctado con R2=22k, R1=10k.[6]

La salida del sistema con R2=22k, R1=10k es una critica.

• R2=47k, R1=10k.

La salida del sistema con R2=47k, R1=10k es una critica.

2.En el mismo circuito desconescte el punto A y obtengala respuesta del ssistema en el osciloscopio analogico. Anotesus comentarios.

Figure 7. Circuto montado con R2=47k, R1=10k.[7]

Figure 8. Circuito desconectando punto A.[8]

la respuesta del sistema se pone inestable ya que se saturanlos operacionales.

3. Utilizando el programa Matlab corrobore sus resultadosrealizando su simulación digital.

con la ecuación diferencial:

x1(t) − kx2 − SSx′2(t) = mx′′2(t)

La función de transferencia es:

x2(s)

x1(s)=

1

ms2 + SSs+ k

Se inserta la funcion de transferencia al programa Matlab» num=[1] num = 1 » m=1;b=1;k=1; » den=[m b k] den =

1 1 1 » step(num,den);La respuesta :Al comprar las respuestas dadas tanto como la simulación en

proteus, como la simulación en Matlab estos dan una presiciónrazonable.

Para queen el circuito la salida diera una oscilatoria secambio el valor tanto de R1 como de R2 , el valor de R2se tomo un valor pequeño y R1 un valor grande en Ohmniaje.

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Figure 9. Respuesta en Matlab[9].

Figure 10. Respuesta oscilatoria en Proteus.[10]

C. Circuito Físico

Después de haber hecho la simulación en proteus. Seprocedió a alambrar el circuito propuesto, para así ver lasrespuestas en el osciloscopio. Para tener mas facilidad en lavisualización de las respuestas, la R2 se remplazo por untrimer de 100k.

Respuesta Subamortiguada:

Figure 11. Respuesta Subamortiguada[11]

Respuesta Critica:

Figure 12. Respuesta Critica[12]

Falto tomar la imagen de la respuesta oscilatoria, pero estaresulto dejando el trimer al minimo y dejando una resistenciade 1M en R1.

D. Actividades complementarias

a) Obtenga la función de transferencia del sistema mecánicoque se .muestra en la figura 3.3. Considere que x2(s)es lasalida del sistema y F(s) es la entrada. En el sistema mostradox1(t) y x2(t). representan las posiciones de los puntos p1y p2 respectivamente. La constante de rigidez del resorteviene expresada por K, B es el coeficiente de fricción deamortiguador y F(t) es una fuerza aplicada directamente alpunto p1.

Figure 13. Sistema Resorte-Amortiguador.[13]

A continuación estan los ejes de coordenadas:

Figure 14. Eje de cooordenadas Sistema Resorte-Amortiguador.[14]

Para x1

F (t) + k(x1(t) − x2(t)) = 0

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F (s) + k(x1(s) − x2(s)) = 0

x1(s)

kx2(s) − F (s)=

1

k(1)

Para x2

−k(x1(s) − x2(s)) + b(x′2(s) − 0) = 0

x2(s)(bs+ k) = kx1(s)

x2(s)

x1(s)=

k

bs+ k(2)

b) Realizar la simulación digital del sistema del punto an-terior considerando que F(t) señal escalón unitario .ConsidereK=1 y B=1,3 y 6.

Con K=1 y B=1» k=1 k = 1 » b=1 b = 1 » num=[k] num = 1 » b=1 b = 1

» den=[b k] den = 1 1 » step(num,den);

Figure 15. Simulación con K=1 y B=1[15]

Con K=1 y B=3» k=1 k = 1 » b=3 b = 3 » num=[k] num = 1 » b=3 b = 3

» den=[b k] den = 3 1 » step(num,den);

Figure 16. Simulación con K=1 y B=3[16]

Con K=1 y B=6» k=1 k = 1 » b=6 b = 6 » num=[k] num = 1 » b=6 b = 6

» den=[b k] den = 6 1 » step(num,den);

Figure 17. Simulación con K=1 y B=6[17]

c) Arme el circuito con amplificadores operacionales quesimula el mismo sistema mecánico de primer orden.

Figure 18. Sistema de primer orden armado con operacionales[18]

d)En el circuito armado considere una señal de entrada detipo escalón unitario, obtenga la respuesta y compárela con laobtenida en la simulación digital.

Figure 19. Respuesta del sistema de primer orden con un señal de entradade escalon unitario.[19]

e) Modifique su circuito de tal forma que el parámetro Badopte los valores de 1,3 y 6. Comparé las respuestas con lasobtenidas en las simulaciones digitales.

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Figure 20. Respuesta del circcuito con B=1[20].

Figure 21. Respuesta del circcuito con B=3.[21]

Figure 22. Respuesta del circcuito con B=6.[22]

f) A partir de las comparaciones realizadas sobre las re-spuestas digital y analógica de la actividad previa, £cómoson las respuestas? Si no son iguales, ha cometido un error.Verifique sus análisis.

Al mirar las respuestas en las 2 simulaciomes, estas presen-tan gran similitud

V. CONCLUSIONES

• La forma de la señal de salida en función del coeficientede amortiguamiento. Se puede precisar aún más y añadiruna serie de rangos que permitirán analizar detallada-mente los sistemas de segundo orden.

• Al simular el circuito con Proteus y Matlab se encuentranque son herramientas que permiten ver el comportamientode sistemas mecanicos, abriendo la posibilidad de analizarlas diferentes respuestas cambiando los valores de lasconstantes .

• Se interpreto la forma de como diferenciar un sistema deprimer orden con respecto a uno de segundo orden.

• Al trabajar con una señal de entrada del tipo escalónpermite conocer la respuesta del sistema frente a cambiosabruptos en su entrada. Así mismo, se da una idea deltiempo de establecimiento de la señal, es decir, cuanto setarda el sistema en alcanzar su estado estacionario.

VI. REFERENCIAS

A. Documentación Teorica

• [1]Capitulo 6: Regimen Transitorio, Curso de enseñanzastecnicas-Automatica . Recuperado el 14 de mayo del2008 .Universidad del Pais Vasco. España.

• [2]Capitulo 6: Regimen Transitorio, Curso de enseñanzastecnicas-Automatica . Recuperado el 14 de mayo del2008 .Universidad del Pais Vasco. España.

B. Imagenés

• [1]Capitulo 6: Regimen Transitorio, Curso de enseñanzastecnicas-Automatica . Recuperado el 14 de mayo del2008 .Universidad del Pais Vasco. España.

• [2]Capitulo 6: Regimen Transitorio, Curso de enseñanzastecnicas-Automatica . Recuperado el 14 de mayo del2008 .Universidad del Pais Vasco. España.

• [3]Capitulo 6: Regimen Transitorio, Curso de enseñanzastecnicas-Automatica . Recuperado el 14 de mayo del2008 .Universidad del Pais Vasco. España.

• [4]Imagen tomada del circuito elaborada en Proteus,hecho por el autor del informe.

• [5]Imagen tomada del circuito elaborada en Proteus,hecho por el autor del informe.

• [6]Imagen tomada del circuito elaborada en Proteus,hecho por el autor del informe.

• [7] Imagen tomada del circuito elaborada en Proteus,hecho por el autor del informe.

• [8] Imagen tomada del circuito elaborada en Proteus,hecho por el autor del informe.

• [9] Imagen tomada del circuito elaborada en Matlab,hecho por el autor del informe.

• [10] Imagen tomada del circuito elaborada en Proteus,hecho por el autor del informe.

• [11] Imagen tomada del circuito elaborado en el labora-torio , hecho por el autor del informe.

• [12] Imagen tomada del circuito elaborado en el labora-torio , hecho por el autor del informe.

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• [13] Imagen tomada de la guia de laboratorio “PRAC-TICA V3: Simulación analogica y digital de sistemasmecanicos”.

• [14] Imagen tomada y modificada de la guia de laborato-rio “PRACTICA V3: Simulación analogica y digital desistemas mecanicos”.

• [15] Imagen tomada del circuito elaborada en Matlab,hecho por el autor del informe.

• [16] Imagen tomada del circuito elaborada en Matlab,hecho por el autor del informe.

• [17] Imagen tomada del circuito elaborada en Matlab,hecho por el autor del informe.

• [18] Imagen tomada del circuito elaborada en Proteus,hecho por el autor del informe.

• [19] Imagen tomada del circuito elaborada en Proteus,hecho por el autor del informe.

• [20] Imagen tomada del circuito elaborada en Proteus,hecho por el autor del informe.

• [21] Imagen tomada del circuito elaborada en Proteus,hecho por el autor del informe.

• [22] Imagen tomada del circuito elaborada en Proteus,hecho por el autor del informe.