simulation of the dynamic response of transmission line in strong winds - estransmlines1981

7/24/2019 Simulation of the Dynamic REsponse of Transmission Line in Strong Winds - ESTransmLines1981

1/6

im u l a tio n o f th e d y n a m i c

response o f t ransm ission lines

in s t rong w inds

M . J . M a t h e s o n a n d J . D . H o l m e s

Departm ent o f Civ i l and S ystems Engineering, James C ook University o f North

Queensland, Townsville, Queensland, 4811, Australia

(Received M arch 1980; revised October 1 980j

ntroduct ion

T h e lo ad in g o n t r an sm iss io n l in es an d th e i r su p p o r t in g

t o w e r s d u e t o w i n d i s a n e x t r e m e l y i m p o r t a n t f a c t o r in

th e i r d es ig n . A m o re accu ra t e k n o w led g e o f t h e o sc i l l a to ry

b eh av io u r o f t r an sm iss io n l in es i n s t ro n g w in d s , an d o f t h e

lo ad s t r an sm i t t ed to t h e t o w ers , i s v e ry d es ir ab l e t o p ro d u ce

m o re eco n o m ica l d es ig n s .

T h e t r ad i t i o n a l d es ig n m e th o d h as b een b ased o n th e u se

o f a p eak g u s t w in d sp ee d , i .e . t h e l a rg es t r eco rd ed o r p re -

d i c t ed w in d sp eed ex p ec t ed to o ccu r o n ce in a sp ec i f i ed

re tu rn p e r io d . H o w ev er , i t w as r eco g n ized m an y y ea r s ag o

th a t t o u se t h e t o t a l d rag fo rce , ca l cu l a t ed o n th e a s su m p -

t io n th a t t h e d es ign g u s t sp eed ac t ed s im u l t an eo u s ly a lo n g

a 3 0 0 - 5 0 0 m s p a n , w o u l d b e e x t r e m e l y c o n se r v a t iv e . S p a n

red u c t io n f ac to r s h av e b een ap p l i ed to a l l o w fo r t h i s e f f ec t .

T h e f a c t o r s p r e s e n t l y u s e d h a v e o f t e n b e e n e m p i r i c a l ly

d e r iv ed f ro m th e ac tu a l m easu rem en t s o n t e s t l i n es -

u s u a ll y , h o w e v e r , a t w i n d s p e e d s m u c h l o w e r t h a n t h o s e

rep resen ta t iv e o f d es ig n s i t u a t io n s .

I n r e c e n t y e a r s , a m o r e r a t i o na l a p p r o a c h , u s in g r a n d o m

v ib ra t io n th eo r y , h as b een ad v o c a t ed b y sev e ra l au th o r s . 1-5

In th i s t y p e o f an a ly s i s , w h ich h as a l so b een ap p l i ed to o th e r

s t ru c tu res , t h e r ed u c t io n e f f ec t d u e to t h e t ack o f co r r e l a t i o n

o f w in d g u s t s a lo n g th e sp an , an d th e m a in f ea tu res o f t h e

d y n a m i c r e s p o n s e o f t h e li n e , ar e t a k e n a c c o u n t o f i n a

r a t i o n a l m an n er . H o w ev er , t h e m e th o d in v o lv es l i n ea ri za -

t i o n b o t h i n t h e a e r o d y n a m i c s a n d i n t h e l in e d y n a m i c

b eh av io u r . A l i n ea r r e l a t i o n sh ip b e tw een th e f l u c tu a t in g

d rag fo rces ap p l i ed to t h e l i n e an d th e u p w in d v e lo c i ty

f lu c tu a t io n s i s a s su m ed , an d a l i n ea r i za t io n o f t h e eq u a t io n s

o f m o t io n o f t h e l i n e , i s a l so m a d e . In o rd e r t o ach iev e th e

l a t t e r , i t i s a s su m e d th a t t h e l i n e t en s io n r em a in s co n s t an t

d u r in g th e m o t io n - t h i s a s su m p t io n av o id s an y co n s id e ra -

t i o n o f t h e ex t en s ib i l i t y o f t h e l i n e . T h ese a s su m p t io n s h av e

b een q u es t io n ed p a r t i cu l a r ly a t h ig h w in d sp eed s .

In t h e p resen t p ap e r , a s im u la t io n p ro ced u re i s d esc r ib ed

in w h ich r ep resen ta t i v e w in d v e lo c i t i e s , fo rces , li n e r e sp o n se

a n d l a t e ra l t o w e r l o a d s a r e c o m p u t e d o n a s t e p b y s t e p

A n u m e r i c a l s i m u l a t i o n p r o c e d u r e f o r p r e d i c t in g t h e r e s po n s e o f a s in g le

s p a n t r a n s m is s i o n l in e t o s t r o n g t u r b u l e n t w i n d s is d e s c r ib e d . T h e w i n d

v e l o c i t ie s a r e g e n e r a t e d u s in g a M o n t e C a r l o t e c h n i q u e b a s e d o n a n

i n ve r s e f a s t F o u r i e r t r a n s f o r m ; t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n o f t h e li n e a r e t h e n

s o l ve d n u m e r i c a l l y u s i n g a f i n i t e d i f f e r e n c e m e t h o d . R e s u l t s o b t a i n e d

u s in g th e m e t h o d w e r e c o m p a r e d w i t h t h o s e f ro m l in e a r iz e d r a n d o m

v i b r a t i o n t h e o r y . E f f e c t s d u e t o t h e m e a n s w i n g a n g l e o f t h e l in e , a n d d u e

t o t h e e x c i t a t i o n o f a n i n -p l a n e m o d e o f v ib r a t i o n w e r e a p p a r e n t .

b as i s. In t h i s w ay , a l l n o n l in ea r e f f ec t s a r e i n c lu d ed . T h e

s im u la t ed w in d r eco rd s a r e g en e ra t ed u s in g a M o n te C ar lo

s i m u l a t io n p r o c e d u r e w h i c h r e c o g n iz e s t h e r a n d o m n a t u r e

o f n a tu ra l t u rb u len ce an d a l l o w s fo r a r ea l is t i c r ep resen ta -

t i o n o f t h e co r r e l a t i o n p ro p e r t i e s o f t h e t u rb u len t f l u c tu a -

t i o n s a lo n g th e l en g th o f th e sp an , d raw in g o n a ccu m u la t ed

k n o w l e d g e o f a c t u a l m e a s u r e m e n t s o f t h e s e p r o p e r t i e s i n

th e n a tu ra l w in d . T h e m e th o d o f w in d r eco rd g en e ra t io n

h as b een d esc r ib ed fu l ly b y H o lm es , 6 an d h as b een p re -

v io u s ly ap p l i ed to co m p u te t h e r e sp o n se o f a cab le s t ay ed

brid ge .7

A b r i e f s u m m a r y o f t h e m e t h o d o f w i n d r e c o r d g e ne r a -

t i o n i s g iv en in t h e n e x t sec t io n . T h en th e p a r t i a l d i f f e r en t i a l

eq u a t io n s o f m o t io n o f t h e l in e an d th e i r n u m er i ca l so lu t io n

b y f in i t e d i f f e r en ce m e th o d s a re d i scu ssed . T h e in t e r f ac in g

o f t h e t w o n u m e r i c a l p r o c e d u r e s a n d th e i m p l e m e n t a t i o n

to co m p u te t h e r e sp o n se o f a t y p i ca l t r an sm iss io n li n e sp an

i s d i scu ssed , fo l lo w ed b y so m e r e su l t s o f t h e co m p u ta t io n s ,

an d a co m p ar i so n i s m ad e w i th e q u iv a l en t ca l cu l a t i o n s u sin g

r a n d o m v i b r a t io n t h e o r y .

S i m u l a t i o n o f w i n d v e l o c i t ie s

T h e b as i s o f t h e n u m er i ca l s im u la t io n o f t h e w in d v e lo c i ty

r e c o r ds i s t h a t t h e r a n d o m f l u c t u a ti n g o r t u r b u l e n t c o m -

p o n e n t o f t h e w i n d v e l o c i t y a t a n y p o i n t c a n b e r e p r e s e n t e d

as a su m m a t io n o f co sin e w av es o f N eq u a l ly sp aced f r e -

q u en c ie s , w i th p h ase an g les r an d o m ly d i s t r i b u t ed b e tw een 0

an d 2 n r ad i an s . T h e am p l i tu d e o f each co s in e fu n c t io n i s

c h o s e n s o t h a t i t s c o n t r ib u t i o n t o t h e t o t a l m e a n s q u a r e

v a lu e is eq u iv a l en t t o t h e a r ea u n d e r a sp ec i f i ed t a rg e t

sp ec t r a l d en s i ty cu rv e w i th in a ch o sen f r e q u en c y in t e rv a l ,

A n . I n t h e p r e s e n t c a s e t h e t a r g e t s p e c t u m w a s t h e y o n

K a r m a n - H a r r i s w i n d v e l o c i t y sp e c t r u m :

1.04 Xu 2

S u ( n ) - [ 2 + 3 ( n X u ~ ] (1 )

0141-0296[81/020105-06/ 02.00

1981 IPC Business Press

Eng. Struct ., 198 1, Vol . 3, Apr i l 1 5


2/6

D gn am ic r esponse o f t ransmiss ion l i nes : M d Ma theson and J D H o lmes

w h e r e : Xu is a s p e c if i e d w a v e l e n g t h i n m e t r e s a t w h i c h

nSu n)

i s a m a x i m u m I ~ i s t h e i n t e n s i t y o f t u r b u l e n c e a n d

a i s t h e m e a n w i n d v e l o c i t y .

A v e r y e f f i c i e n t n u m e r i c a l p r o c e d u r e i s o b t a i n e d b y u s i n g

a n i n v e r s e f a s t F o u r i e r a l g o r i t h m t o c a r r y o u t t h e s u m m a -

t i o n d e s c r i b e d a b o v e . I n t h i s c a s e , t h e n u m b e r , N , o f

g e n e r a t e d v a l u e s i n t h e s i m u l a t e d w i n d v e l o c i t y s e q u e n c e i s

e q u a l t o t h e n u m b e r o f d i s c re t e f r e q u e n c i e s i n t o w h i c h t h e

s p e c i f i e d f r e q u e n c y r a n g e i s d i v i d e d . T h e t i m e i n c r e m e n t

b e t w e e n v a l u e s, A t , is e q u a l t o t h e r e c i p r o c a l o f t h e c h o s e n

m a x i m u m f r eq u e n c y .

S i m u l a t e d r a n d o m w i n d v e l o c i t y r e c o r d s s a m p l e d a l o n g

a h o r i z o n t a l l i n e n o r m a l t o t h e m e a n f l o w d i r e c t i o n a r e

g e n e ra t ed b y s u m m i n g a n u m b e r o f c o m p l e x n u m b e r

v e c t o r s b e f o r e p e r f o r m i n g t h e i n v e r s e f a s t F o u r i e r t r a n s f o r m .

E a c h v e c t o r i s r e q u i r e d t o p r o v i d e t h e c o r r e c t c o r r e l a t i o n

r e l a t i o n s h i p w i t h p r e v i o u s l y g e n e r a t e d r e c o r d s .

T h e f o r m o f t h e n o r m a l i z e d c o - s p e c t r u m s u g g e st e d b y

D a v e n p o r t 8 is u s e d :

w h e r e d i s t h e s e p a r a t i o n d i s t a n c e a n d c i s t h e d e c a y c o n -

s t a n t . F o r a fu l l e x p o s i t i o n o f t h e s i m u l a t i o n m e t h o d , s e e

H o l m e s . 6

C o m p u t a t i o n o f l in e re s p o n s e

Partial differen tial equa tions

T h e m a t h e m a t i c a l e q u a t i o n s o f m o t i o n f o r a n e x t e n s i b le ,

p e r f e c t l y f l e x i b l e , s u s p e n d e d l i n e a r e p r e s e n t e d b e l o w . T h e s e

a r e de r iv e d b y a p p l y i n g N e w t o n s s e c o n d la w o f m o t i o n t o

a smal l e leme nt o f line , 5s , a s in

Figure I .

T h e b a s i c

e q u a t i o n i s :

- - = - - r + f 3 )

P

3t 2 as

w h e r e x = d i s p l a c e m e n t v e c t o r f r o m o r i g i n ; p = m a s s / l e n g t h ;

t = t i m e ; s = c u r v il i n e a r d i s t a n c e a l o n g l in e ; T = t e n s i o n a n d

f = f o r c e / u n i t l e n g t h o f li n e .

A l t e r n a t i v e l y , b y e s t a b l i s h i n g a r e f e r e n c e s t a t e , d e n o t e d

b y a s u b s c r i p t 0 , e q u a t i o n ( 1 ) c a n b e e x p r e s s e d a s

f o l l o w s :

p o

a t 2 ( 1 + e ) a s o / f ( 1 + e ) ( 4 )

z ~ C z - x

igure I S u s p e n d e d l i n e a n d e l e m e n t

Lin~

e l e m e n t

L

I n t h i s c a s e , t h e r e f e r e n c e s t a t e w a s t a k e n t o b e t h e h o r i -

z o n t a l s t r a i g h t l i n e b e t w e e n t h e t w o s u p p o r t s .

Whe re:

e = s t ra in re la t ive to re fe rence s ta te

s = so 1 + e ) 5 )

P = p o / l + e ) 6 )

as

--

(1 e ) (7 )

3So

E q u a t i o n ( 4 ) c a n b e e x p a n d e d i n t o c a r t es i a n c o o r d i n a t e s

x , y , z , a s f o l l o w s :

Po at z

(1 + e)

aZy

a ( T ~ o ) + f , ( 9 )

P e a t 2 - 3 s 0 ( l + e )

32z ~So T 32o) + z

( 1 0 )

Po

a t = (1 + e )

T h e s e a r e t h e t h r e e p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s o f

m o t i o n . T o p r o v i d e t h e b a s i s f o r a s o l u t i o n a l g o r i t h m ,

f u r t h e r e q u a t i o n s r e l a t i n g t e n s i o n t o s t r a i n a n d s t r a i n t o

d i s p l a c e m e n t s a r e n e c e s s a r y . T h e s t r a i n i n a n e l e m e n t r e la -

t ive to the re fe rence s ta te :

5s - 5So

e ( 1 1 )

8So

b y d e f i n i t i o n , a n d :

T = A E e

e o ) + T l ( 1 2 )

W h e r e : A = a r e a o f c r o s s - s e c t i o n ; E = n r o d u l u s o f e l a s t i c i ty ;

eo = s t ra in in an e lem ent in s ta t i c s t a te r e la t ive to re fe re nce

s ta te and T~ = tens ion in an e lem ent in s ta t i c s t a te .

T h e f o l l o w i n g a s s u m p t i o n s h a v e b e e n l n a d e t o i m p l e -

m e n t t h e r a n d o m v i b r a t i o n a n a l y s i s m e n t i o n e d i l l t h e

i n t r o d u c t i o n . 3

( a ) , t h e t e n s i o n T i s a s s u m e d c o n s t a n t t h r o u g h o u t t h e c a b le

a n d e q u a l t o t h e h o r i z o n t a l c o m p o n e n t u n d e r n o w i n d

l o a d i n g , H .

( b ) , d e f l e c t i o n s i n t h e x a n d z d i r e c t i o n a r e n e g l e c t e d .

( c ) , t h e t e r m

3/3s

i s a p p r o x i m a t e d b y

3lax.

H e n c e e q u a t i o n ( 3 ~ i s r e d u c e d t o :

3 2 Y = H 3 2 Y + f~

( 1 3 )

P

a t a x

A l in e a r e q u a t i o n , l i k e (1 3 ) , c a n b e s o l v e d b y r a n d o m

v i b r a ti o n t h e o r y .

Num er ica l mode l

T h e f i n i te d i f f e r e n c e e q u a t i o n s a r e d i s c r e t iz e d v e r s i o n s

o f e q u a t i o n s ( 8 ) - ( 1 2 ) , g i v en a b o v e , f o r a s i ng l e s p a n , f i x e d

e n d e d l i n e . T w o n u m e r i c a l a l g o r i t h m s h a v e b e e n s t u d i e d ,

o n e b e i n g a d i r e c t e x p l i c i t a p p r o a c h 9 a n d t h e o t h e r a s e m i -

i m p l i c i t - e x p l ic i t a p p r o a c h , l o , n T h e l a t t e r m o d e l a l l o w s a

r e d u c t i o n o f c o m p u t a t i o n t i m e b y a f a c t o r o f a b o u t t e n.

B o t h s e t s o f f i n it e d i f f e r e n c e e q u a t i o n s a r e v e r y s i m i la r ,

a n d a l i st o f t h o s e c o r r e s p o n d i n g t o W a t t s m e t h o d a r e

p r e s e n t e d b e l o w :

X ? I 1 =

X f

{

[ h l + ein++,):)]

_ [ y / n , y ? I ] 2 _

[ Z~ + +: _ Z f l + t ] 2 } u 2 ( 1 4 )

1 0 6 E n g . S t r u c t . , 1 9 8 1 , V o l . 3 , A p r i l


3/6

D y n a m i c r e s p o ns e o f t r a n s m i s s i o n l i n e s : M . J . M a t h e s o n a n d J . D . H o l m e s

y /n ]

= 2 Y / n - Y / n - ' + ( A r / h ) 2 { R ~ + ' / 2 Y ~ + I

[R i + /2 + R j - Y/n n n

+ R j - Y ] - I }

+ (Fy)/n Ar 2 (15)

z / n + = 2 z / n - Z / n - I

n tl n l~ It

- [ R i+ , /2 + R / _ ] Z ) + R i _ Z ] _ 1 }

+ ( F z f f A r 2 (1 6 )

R n + l _

{ [X/n+ 1_ 2X/n

+ X / n - ] ( h [ A r ) 2

+1/2

[ X l n 1 r e n + l l o n - - l l t r v n + l v n l ] (1 7 )

- - A i _ I I I X j _ S I L A j + 1

A i J

c n l

i+ /2 = [ ( A E / T I ) ( 1 + C o ) - 1 ] / [ ( A E /T 1 ) 2 - R 7 ~ 2 ] - 1

(1 8 )

w h e r e :

l = span

X , Y , Z = x / l , y / l , z / l

F y = d im en s io n l e s s d i s t r i b u t io n w in d fo rce o n an

e l e m e n t = f y l / T l

F z

= d im en s io n l e s s g rav i t a t i o n a l fo rce =

f z l / T 1

h = d im en s io n l e s s sp ace s t ep = A x f l

A z = d im en s io n l e s s t im e s t ep =

A t ( T l / p ) t / 2 [ l

R = T / [ T , ( 1 +

e)]

.n = t im e n At , no de j

s

T h e m e t h o d o u t l i ne d b y W a t ts ~ h a s b e e n a d o p t e d i n

th i s s t u d y , d u e t o i t s su p e r io r co m p u ta t i o n a l e f f i c i en cy .

T e s t i n g

T o c l a r i f y a n y d o u b t s a b o u t t h e a c c u r a c y o f t h e f i n i te

d i f f e r en ce a lg o r i t h m , ex t en s iv e t e s t s w ere p e r fo rm ed . U n -

fo r tu n a t e ly , i t i s d i f f i cu l t t o e s t ab l i sh co m p le t e v a l i d i t y fo r

th e f i n i t e d i f f e r en ce eq u a t io n s . T h e p a r t i a l d i f f e r en t i a l

eq u a t io n s a r e n o n l in ea r , an d h en ce n u m er i ca l s t ab i l i t y

c a n n o t b e p r o v e d t h r o u g h a n a l y t ic a l m e a n s a l o n e . H o w e v e r ,

b y r u n n i n g t h e p r o g r a m a n d p r o d u c i n g r e s u l ts f o r k n o w n

so lu t io n s , r i g o ro u s co m p ar i so n s can b e m ad e .

T en s io n s an d d i sp l acem en t a lo n g a p a r t i cu l a r l i n e w h en

su b jec t ed t o a co n s t an t l o ad , e . g . a co n s t an t s t ead y w in d ,

c a n b e c o m p a r e d w i t h e x a c t s o l u t io n s . A n u m b e r o f s u c h

t e s t s w ere u n d e r t ak en an d th e r e su l t s sh o w ed ex ce l l en t

ag ree m en t w i th t h e ex a c t so lu t io n s . A n in d i ca t i o n o f t h e

p e r f o r m a n c e a n d a c c u r a c y o f t h e s y s t e m in a d y n a m i c

s i t u a t i o n w as ach i ev ed b y a f r ee v ib ra t i o n an a ly s i s . N a tu ra l

f r e q u e n c ie s o b t a i n e d f r o m n u m e r o u s t e s t s w e r e c o m p a r e d

w i th t h o se p red i c t ed an a ly t i ca l l y b y I rv in e an d C au g h ey 12

a n d a g a i n s h o w e d g o o d a g r e e m e n t .

R o u s s e l 9 c o n d u c t e d a n u m b e r o f t e s t s t o c o m p a r e t h e

resp o n se g iv en b y h i s n u m er i ca l m o d e l w i th t h o se f ro m

m e a s u r e m e n t s . T h e a g r e e m e n t w a s g o o d .

F u r th e r v e r i f i ca t i o n o f t h e m e th o d o u t l i n ed i n t h i s

p a p e r w a s a c h i e v e d b y c o m p a r i n g s o m e r e s p o n s e s w i t h

t h o s e c a l c u la t e d b y R o u s s e l s m e t h o d ; t h e c o m p u t e d

resp o n ses w ere e s sen t i a l l y i d en t i ca l.

T a b l e 1 i n d a n d l i n e prop rt i s

In tensity o f t u r b u l e n c e , / u 0 . 1 5

ecay c ons tan t , c 10

P eak wav e l eng th , Ku 7 0 0 m

Mas s dens i t y o f l i ne , p 1 .69 k g /m

L i n e d i a m e t e r , D 2 9 . 3 m m

S pan , I 300 m

H o r i z o n t a l t e n s i o n ( n o w i n d ) , H 2 7 . 5 k N

Y o u n g s m o d u l u s , E 6 8 G P a

I m p l e m e n t a t i o n

T h e n u m er i ca l p ro ced u res d esc r ib ed i n t h e p rev io u s tw o

s e c t io n s w e r e i m p l e m e n t e d t o c a l c u l a te t h e r e s p o n s e o f a

p a r t i cu l a r t r an sm is s io n l i n e o n a D E C -1 0 m ach in e . T a b l e 1

l i s ts t h e w in d an d t r an sm iss io n l i ne p ro p e r t i e s u sed .

T h e in s t an t an eo u s w in d v e lo c i t y , g en e ra t ed a s d esc r ib ed

in t h e seco n d o n th e s im u la t i o n o f w in d v e lo c i t i e s w as co n -

. v e r t ed t o a r e su l t d r ag fo rce p e r u n i t l en g th u s in g eq u a t io n

(1 9 ) :

f r ( t ) = P a i r C a D u 2 (t ) (1 9 )

w h e r e u r ( t ) i s t h e i n s t an t an eo u s r e l a t i v e w in d v e lo c i t y

b e tw een th e a i r an d t r an sm iss io n l i n e . T h u s , ae ro d y n am ic

d am p in g e f f ec t s w ere im p l i c i t l y i n c lu d ed in t h e ca l cu l a t i o n s.

T h e a i r d en s i t y P a i r, w as t a k en to b e 1 .2 0 k g /m 3 an d th e

d rag co e f f i c i en t , Ca, w as a s su m ed to b e 1 .0 .

T h e t i m e i n c r e m e n t f o r t h e w i n d s i m u l a t i o n p r o g ra m e

w a s d i c t a t e d b y t h e s t a b i l i ty r e q u i r e m e n t s o f t h e f m i t e

d i f f e r en ce p ro g ram . S t ab i l i t y is en su red w h en :

T x/2 A t

| < 1 (Wa t ts 1) (20)

/

A x

F o r t h e r e su l t s d esc rib ed i n t h i s p ap e r , a sp ace s t ep , A x ,

o f 1 0 m , an d a t im e s t ep o f 0 . 0 5 7 s w ere u sed . T h u s t h e

t r an sm iss io n l i n e sp an w as d iv id ed in to 3 0 e l em en t s . W in d

v e lo c i t ie s an d fo rces w ere g en e ra t e d a t 1 5 p o in t s a lo n g th e

s p a n . T h is n u m b e r w a s d i c t a t e d b y c o m p u t i n g t i m e l i m i ta -

t i o n s ; h o w e v e r , a n i n c re a s e i n t h e n u m b e r o f p o i n t s w h e r e

w in d fo rces w ere ap p l i ed , w as fo u n d to p ro d u ce n o s ig n if i-

can t ch an g e i n t h e r e sp o n se p a ram ete r s . D u e to l im i t a t i o n s

o n c o m p u t e r c o r e s pa c e , th e n u m b e r o f g e n e ra t e d p o i n t s

in t h e v e lo c i t y an d r e sp o n se seq u en ces w as r e s t r i c t ed t o

4 0 9 6 ; t h i s gav e a t o t a l r eco rd l en g th o f 2 3 3 s . H o w ev er ,

t h e r an d o m e r ro r s i n t h e r e sp o n se ca l cu l a t i o n s w ere m in i -

m i z e d b y e n s e m b l e a v e r a gi n g o v e r a n u m b e r o f r u n s , e a c h

o n e u s in g a d i f f e r en t s eq u en ce o f r an d o m n u m b er s i n t h e

w in d r eco rd g en e ra t i o n .

R e s u l t s

R esp o n se ch a rac t e r i s t i c s o f m o s t i n t e r e s t h e re , a r e l o ad s

ex e r t ed o n su p p o r t s an d l i n e d e f l ec t i o n s . T im e-h i s to ry p lo t s

o f a t y p i ca l si ng le w in d r eco rd , co r r e sp o n d in g cen t r e sp an

sw ay an g le r e sp o n se 0, an d l a t e r a l su p p o r t r eac t i o n R , a r e

g iven in F i g u r e 2 .

S ig n i f i can t f ea tu res f ro m F i g u r e 2 a r e : t h e s y m p a t h e t i c

l i n e r e sp o n se t o t h e ex c i t a t i o n fo rce , co n t r i b u t io n o f

p a r t i cu l a r f r eq u en c i e s t o r e sp o n se ; an d th e d eg ree o f

f l u c tu a t i o n s i n r e sp o n se . T h e sw ay an g le ap p ea r s t o b e

d o m in a t ed b y t h e l o w w in d f r eq u en c i e s an d th e f i r s t sw ay

m o d e f r e q u e n c y . H o w e v e r , th e s u p p o r t r e a c t i o n a p p e a r s

m o re w id e b an d , s im i l a r t o t h e w in d v e lo c i t y r eco rd an d

sh o w s h ig h e r f r eq u en cy co m p o n en t s t h an t h e sw ay an g le .

M e a n a n d r . m . s , f l u c t u a t i n g r e s p o n s e

T es t ru n s u s in g t h e s im u la t i o n m o d e l w ere ru n fo r m ean

w in d v e lo c i t i e s ran g in g f ro m 1 0 to 2 0 m / s . M ean an d r . m . s .

r e sp o n ses r eco rd ed in T a b l e 2 , r ep resen t t h e en sem b le

av e rag e o f fo u r ru n s a t each m ean w in d v e lo c i t y .

T h e r . m . s , l a t e r a l su p p o r t r eac t i o n i s p lo t t ed ag a in s t

m ean w in d v e lo c i t y i n F i g u r e 3 . S im u la t i o n p o in t s r ep resen t

av e rag ed v a lu es , w h i l e t h e b a r - l i n es i n d i ca t e t h e m ax i m u m

a n d m i n i m u m v a l ue s o b t a i ne d . C o m p a r i s o n i s m a d e w i t h

th e so lu t i o n g iv en b y r an d o m v ib ra t i o n t h eo ry . S t r a ig h t

l i nes o n t h i s g r ap h r ep rese n t p o w er l aw r e l a t i o n sh ip s .

En g . S t ru c t . , 1 9 8 1 , Vo l . 3 , Ap r i l 1 0 7


4/6

D y n a m i c r e s p o n s e o f t ra n s m i s s io n

l ines . M. J. Mathe son and J. D . Hohn es

2 0

1 0 0 r -

a 4 0

U3

2 0

l

O_

j

o

2

o

&

co

I I I I

4

0

0 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 0

T i m e , ( s )

F i g u r e

T y p i c a l s i m u l a t e d r e s p o n s e r ec o r d s

T a b l e

M e a n a n d r . m . s , f l u c t u a t i n g r e s p o n s e s

0 ( m / s ) / ~ ( k N ) , d ~ 7 ~ ( k N ) 6 d e g ) ~ ~ 5 ( d e g )

1 0 0 . 2 6 1 0 . 0 4 9 2 6 . 1 9 1 . 0 4

2 0 1 . 0 4 0 . 2 0 1 2 3 . 4 3 . 8 9

3 0 2 . 3 5 0 . 4 5 8 4 3 . 9 5 . 81

s ~

l

v

c

o _ 0 2 0

o

0 1 0

u~

L

0 0 5 -

D i f f e r e n c e s b e t w e e n t h e t w o s o l u t i o n s i n c r e a s e w i t h

h i g h e r m e a n w i n d s p e e d s , v a r y i n g f r o m 6 a t t i = 1 0 m / s , 5

t o 9 a t t i = 3 0 m / s . T h e s e d i f f e r e n c e s c a n b e e x p l a i n e d b y

t h e c o n t r i b u t i o n f r o m f l u c t u a t i o n s i n li n e t e n s i o n n o t

a c c o u n t e d f o r in r a n d o m v i b r a ti o n t h e o r y , w h i c h i n c r e a se s

w i t h h i g h e r m e a n v e l o c i t y . L i n e a r i za t i o n o f f o r c e s in r a n d o m

v i b r a t i o n a n a l y s i s a l s o m a y c o n t r i b u t e t o t h e u n d e r e s t i m a - 4

t i o n o f s u p p o r t l o a d s .

T h e s l o p e o f t h e r a n d o m v i b r a ti o n t h e o r y l i n e w a s c a l cu -

l a t e d a s e q u a l t o 2 . 0 1 , w h e r e a s a l i n e d r a w n t h r o u g h t h e

s i m u l a t i o n m o d e l p o i n t s e x h i b i t s a sl o p e o f 2 . 0 3 . I f d y n a m i c

b e h a v i o u r o f t h e l i n e w a s i g n o r e d ( e . g . a r i gi d b a r i n s t e a d o f 3

a l i n e ) t h e n t h e s u p p o r t r e a c t i o n w o u l d b e d i r e c t l y p r o p o r - 7

t i o n a l t o v e l o c i t y s q u a r e d , i . e . t h e s l o p e w o u l d b e 2 . 0 0 . z

T h e s e r e s u l t s a p p e a r t o i n d i c a t e t h a t t h e e x c l u s i o n o f r e s o - ~ z

n a n t d y n a m i c r e s p o n s e w h e n e s t i m a t i n g t h e s u p p o r t

r e a c t i o n R m a y b e j u s t i f i e d .

~ 2

v

S p ec r a

T h e s p e c t r u m o f t h e s u p p o r t r e a c t i o n i s p l o t t e d i n

F i g u r e f o r fi = 3 0 m / s , f o r b o t h t h e s i m u l a t i o n r e s u l t s a n d

f o r t h e l i n e a ri z e d r a n d o m v i b r a t io n t h e o r y .

I m m e d i a t e l y o b v i o u s f r o m t h i s f i g u r e , i s t h e c l o s e a g r e e -

m e n t b e t w e e n t h e s p e c tr a a t l o w f r e q u e n c ie s , a n d t h e

s m a ll c o n t r i b u t i o n o f t h e r e s o n a n t f r e q u e n c i e s t o t h e t o t a l

m e a n s q u a r e v a l u e . T h e l a t t e r o b s e r v a t i o n i s a t t r i b u t e d t o

t h e h ig h e r a e r o d y n a m i c d a m p i n g a t h i g h m e a n w i n d s p e e d s

( 2 0 - 2 5 o f c r i ti c a l f o r t i = 3 0 m / s ) . S m a l l r e s o n a n t p e a k s

o c c u r a t t h e f ir s t s w a y m o d e a n d f i rs t in - p l an e m o d e , t h e

l a tt e r a p p e a ri n g in t h e s i m u l a t i o n m o d e l s p e c t r u m o n l y .

H o w e v e r , a t l o w v e l o c i t i e s t h e r e s o n a n t f r e q u e n c i e s a r e

0 0 2

5

F i g u r e

S i m u l a t i o n

m o d e l DOi

v i b r a t i o n t h e o r y

1 s t s w a y 1 s t i n - p l a n e

m o d e m o d e

/ I L _ _ _

1 0 2 0

M e a n v e l o c i t y , ( m / s )

r . m . s , s u p p o r t r e a c t i o n

J t . . . . .

3 0 5 0

0

F i g u r e

( - - - - G - - - - ) , s i m u l a t i o n n o n l i n e a r ) ;

l i n e a r )

01 02 03 04 05 6

F r e q u e n c y , ( Hz )

S p e c t r a l d e n s i t y o f s u p p o r t r e a c t i o n ( O = 3 0 m / s ) .

) , r a n d o m v i b r a t i o n t h e o r y

1 0 8 E n g . S t r u c t . 1 9 8 1 V o l . 3 A p r i l


5/6

D y n a m i c r e sp o n s e o f t ra n s m i s s io n l i n e s : M J M a t h e s o n a n d J D H o l m e s

m o r e p r o n o u n c e d i n t h e s p e c t r a b e c a u s e t h e a e r o d y n a m i c

d a m p i n g d r o p s . A l th o u g h t h e i n p l a n e m o d e c o n t r i b u t i o n

i s s ig n i f ican t i n am p l i tu d e r e l a t i v e t o t h e r a n d o m v ib ra t io n

th eo ry v a lu e a t t h i s f r eq u en cy , i t i s q u i t e ap p a ren t t h a t

o v e ra l l i t m ak es l i t t le d i f f e r en ce to t h e t o t a l m ean sq u a re

and r .m.s , values . Th is i s a lso ind icated in Figure 3

A c o m p a r i s o n o f l in e d e f l e c t i o n r e s p o n s e b e t w e e n t h e

t w o m e t h o d s i s o f l im i t e d u s e . T h e u s e o f r a n d o m v i b r a t io n

t h e o r y t o p r e d i c t d e f l e c t io n s a s e x p o u n d e d b y M a n u z i o

an d P a r i s 3 d o es n o t a l l o w fo r t h e m e an d e f l ec t io n o f t h e

l in e u n d e r w i n d . T h e l a t t e r h a s t w o e f f e c t s : t h e m o m e n t

a r m o f t h e h o r i z o n t a l w i n d l o a d i n g is r e d uc e d a n d t h e

m o m e n t a r m s o f t h e r e s t o ri n g g r a vi t a ti o n a l f o rc e s a r e

i n c re a s e d . T h e t w o e f f e c t s c o m b i n e t o p r o d u c e r e d u c e d

sw ay an g les an d l a t e r a l d e f l ec t io n s a t h ig h w in d sp eed s .

T h e s p e c t r u m o f s w a y a ng le f r o m t h e s i m u l a t io n m e t h o d i s

sh o w n in Figure 5 T h e p r o m i n e n c e o f t h e f i r st s w a y

m o d e f r e q u en c y can b e seen in t h i s f i g u re .

Design factors

T h e sp an r ed u c t io n f ac to r tx , fo r su p p o r t r eac t io n i s

d e f i n e d a s t h e r a t i o o f t h e m a x i m u m e x p e c t e d r e a c t i o n , R ,

t o t h e u n m o d i f i e d r e a c t i o n c a l c u l a te d f r o m t h e p e a k g u st

velo ci ty , i . e . :

R m a x

o ~ = I 2 2 1 )

~PairCaDumaxl/2

A S m e n t io n e d ea r l i e r in t h e p ap e r , t h i s r ed u c t io n f ac to r

a c c o u n t s f o r t h e r e d u c t i o n i n c o r r e l a ti o n o f w i n d w i t h

d i s t an ce a lo n g th e l i n e , a s w e l l a s d y n am ic e f f ec t s .

T h e p e ak v e lo c i ty , U m ax , i n t h e d en o m in a to r i s d if f i cu l t

t o d e f in e , a s i t d ep en d s u p o n th e f r eq u en cy r e sp o n se o f t h e

in s t ru m e n t u sed to m easu re i t , an d o n th e d u ra t io n o f t h e

reco rd . T h i s r e su l ts i n e s t im a tes o f e h av in g co n s id e rab le

v a r i ab i l i t y .

The gust facto r , G, i s def ined as in (21) , excep t t~ is used

in s t ead o f U m ax , an d r ep resen t s t h e r a t i o o f p eak to m ea n

resp o n se . Table 3 sh o w s r ed u c t io n an d g u s t f ac to r s o b t a in ed

fo r v a r io u s v e lo c i t i e s , w h ere ag a in r e su lt s p re sen ted f ro m th e

0 2 0

0.15

o ~ o

0 0 5 -

0

Figu re 5

simulation. 0 = 30 m/s

1st swoy

mode

I I ~ 9 I

01 0.2 03 04 05

Fnzquency, Hz)

Spectral density of centre-span sway angle. --o --),

06

Table Span reduction and gust factors

Random vibration

Simulatio n model theory

0

m/s) a G e G

10 0.662 1.55 0.626 1,46

20 0.665 1.57 0.628 1.48

30 0.685 1.62 0.630 1.49

s im u la t io n m o d e l a r e an en sem b le av e rag e o f fo u r ru n s .

T h e sp an r ed u c t io n f ac to r s , i n b o th cases , h av e b een

ca l cu l a t ed u s in g a m ax i m u m v e lo c i ty U m ax, d e r iv ed u s in g

e q u a t i o n ( i ) a n d t h e m e t h o d o f D a v e n p o r t , 13 w i t h a c u t o f f

f r eq u e n cy o f 8 . 8 H z an d a t im e d u ra t io n o f 2 3 3 s . T h ese

v a lu es co r r e sp o n d to t h e v a lu es u sed in th e s im u la t io n

m e t h o d . T h e v a lu e o f Umax/~ so d e t e rm in ed w as c lo se t o

1 .53 fo r a l l mean wind veloci t ies .

In a ll ca ses, t h e f ac to r s g iv en b y th e s im u la t io n m o d e l

a hi g h er t h a n t h e c o r r e s p o n d i n g o n e s f r o m t h e r a n d o m

v ib ra t io n th eo ry . F o r b o th so lu t io n s , t h e f ac to r s v a ry l i t tl e

w i th i n c reases i n v e lo c i ty . C o m p ar i so n b e tw een th e tw o

m e t h o d s s h o w s t h a t g u s t f a c t o r s a n d r e d u c t i o n f a c t o r s

d i f f e r b y ab o u t 7 .

L i m i t e d t e s t s w e re c o n d u c t e d w i t h a n i n t e n s i t y o f t u r b u -

l en ce o f 0 . 3 0 . T h e s im u la t io n m o d e l r e su l ts g av e 2 0 -2 5

increase in G.

C o n c l u s i o n s

(1 ) T h e s im u la t io n a l l o w s th e n o n l in ea r b eh av io u r o f t r an s -

m iss io n l i n es t o b e t r ea t ed , an d h ig h l ig h ts t h e s ig n if i can ce

o f i n -p lan e m o d e s i n t h e r e sp o n se . E x c i t a t i o n o f i n -p lan e

m o d e s i s n o t a c h i e ve d i n r a n d o m v i b r a t io n t h e o r y b e c a u s e

l in ea r iz in g a s su m p t io n s su p p ress t h ese m o d es .

(2 ) C o n v en t io n a l l i n ea r ized r an d o m v ib ra t io n th eo ry

s l ig h t ly u n d e res t im a tes t h e r . m . s , su p p o r t r eac t io n .

( 3 ) R e s u lt s ha v e s u p p o r te d t h e c o n c l u s i on s f r o m r a n d o m

v ib ra t io n th e o ry th a t a t h ig h v e lo c i t i e s , d y n am ic r e sp o n se i s

n o t d o m i n a n t d u e t o t h e h ig h a e r o d y n a m i c d a m p i n g .

( 4 ) C o n v e n t io n a l r a n d o m v i b r a t i o n t h e o r y n e e d s t o b e

m o d i f i ed to co n s id e r t h e f l u c tu a t in g b eh av io u r ab o u t t h e

m e an d e f l ec t ed p o s i t i o n , i f i t is t o p red i c t t h e l i n e d e f lec -

t i o n s accu ra t e ly . T h e s im u la t io n m e th o d d esc r ib ed in t h i s

p ap e r can b e u sed to p red i c t d e f l ec t io n s r ea l i s ti ca l ly .

(5 ) S p an r ed u c t io n f ac to r s an d g u s t f ac to r s a re so m ew h a t

h ig h e r t h an th o se cu r r e n t ly u sed in d es ig n . A n in c rease i n

G o f 2 0 - 2 5 o c c u r s w i t h a d o u b l i n g o f w i n d t u r b u l e n t

in t en s i ty .

F u t u r e d e v e l o p m e n t s s h o u ld i n c l u de t h e i n c o r p o r a t i o n

o f v e r t ic a l v e l o c i t y c o m p o n e n t s a n d h e n c e v e r ti c a l a e ro -

d y n a m i c f o r c e s.

A l t h o u g h r a n d o m v i b r a t io n t h e o r y h a s s h o w n i t s e lf

accep tab l e fo r d e t e rm in in g su p p o r t r eac t io n s , i t sh o w s

s ig n i f ican t d e f i c i en c i e s w h en e s t im a t in g l i n e d e f l ec t io n s .

T h e r e f o r e , t h e s i m u l a t i on a p p r o a c h c o u l d p r o v e m o s t

u se fu l i n s tu d y in g th e c l a sh ing o f p a ra l le l l in es i n s t ro n g

w in d s .

A c k n o w l e d g e m e n t s

T h e s u p p o r t a n d e n c o u r a g e m e n t o f M r B . J . B u l m a n o f t h e

Q u een s l an d E lec t r i c i t y G en era t in g B o ard fo r t h e w o rk

d esc r ib ed in t h i s p ap e r i s g ra t e fu l ly ack n o w led g ed b y th e

au th o r s .

E ng . S t r uc t . , 1981 , V o l . 3 , A p r i l 109


6/6

D yn am ic r esponse o f t r ansmiss ion li nes . M . J . Ma theson and J . D . H o lm es

Ref erences f

F

1 Da v e n p o r t , A . G. Th e re sp o n se o f s l e n d er li n e - li k e s t ru c t u re s

G

to a gusty w i n d ,Pro c . LC .E . 1 9 6 2 , 2 3 ,3 8 9

2 Da v e n p o r t , A . G. Gu s t r e sp o n se fa c t o r s fo r t r a n smi ss io n l i n e h

loading , Proc. 5 th ln t . Conf . W indE ng. , Fo rt Col lins, Ju ly 1979 H

3 Manuzio , C. and Pari s, L. Sta t i s t ica l de ter min at ion of wind ]u

l o a d in g e f fe c t s o n o v e rh e a d l i n e c o n d u c t o rs , C.L G.R.E. Rep . /

2 3 1 , 1964 l

4 C a s t a n h e ta , M . N. Dy n a mi c b e h a v i o u r o f o v e rh e a d p o we r

l ines subjec t to th e ac t ion o f wind , C .LG .R . I Re p . 2 2 0 8 , n

1970 N

5 Arm i t t , J . et al. C a l c u l a t i o n o f wi n d l o a d i ng s o n c o mp o n e n t s R

o f o v e rh e a d l i n es ,Pro c . LE .E . 1975, 122 , 1247

6 Ho l me s , J . D . C o m p u t e r s imu l a t i o n o f mu t l i p l e , c o r re l a t e d

wi n d re c o rd s u s in g t h e In v e rse Fa s t Fo u r i e r T ra n s fo rm , Cir. s

Eng. Trans.. LE. Aust. 1 9 7 8 , C E2 0 , 6 7 S ( n )

7 Ho l me s , J . D . M o n t e C a r l o s i mu l a t i o n o f t h e wi n d - i n d u c e d t

re sp o n se o f a c a b l e - s ta y e d b r i d g e , Pro c. 3 rd h i t . C o n f Ap p L T

Stat. Probabili ty Soil Strucr. Eng. Sy d n e y , J a n u a ry 1 9 7 9 T~

8 Da v e n p o r t , A . G. Th e sp e c t ru m o f h o r iz o n t a l g u s t in e s s n e a r

the ground in h igh winds , Quart . Z Roy. Met . Soc . 1 9 6 1 , 8 7 , u

194 x

9 R o u sse l, P . Nu m e r i c a l so l u t io n o f s t a t ic a n d d y n a m i c e q u a t i o n s X

o f c a b l e s , Comp. Meth . Appl . Mech . Eng . 1976, 9 , 65

0 Wat ts, A. M. Effic ien t num erica l so lu t ion of the dyna nuc Y

e q u a t i o n s o f c a b l e s , Austra l ian Appl . Math . ConJL, K a t o o m b a , z

1 9 7 9 X, Y, Z

11 Fri th , R. J . and Watts , A. M. D ynam ic behaviour of t rans-

mi s s i on l i n e c o n d u c t o rs u n d e r t h e i n f l u e n c e o f wi n d , An n . AT

Eng. Conf . , I .E . Au s t , Ad e l a i d e , 1 9 8 0 AX

12 Irv ine , H. M. and Caughey , T. K. T he l inear theo ry of free

v i b ra t io n s o f a su sp e n d e d c a b l e , Proc. Roy. Soc . A. 197 4, 341 , ~ku

299 P

1 3 Da v e n p o r t , A . G. No t e o n t h e d is t r i b u t i o n o f t h e la rg e s t v a l u e p ( n )

o f a r a n d o m fu n c t i o n w i t h a p p l ic a t i o n t o z u s t l o a d i n g , Proc.

Pair

1. C.E. 1964, 28, 187 0

omenc l a t u r e

A

c

C~

d

D

E

c r o s s - s e c t i o n a l a r e a o f l i n e

d e c a y c o n s t a n t ( e q u a t i o n ( 2 ) )

d r a g c o e f f i c i e n t

s e p a r a t io n d i s t a n c e ( e q u a t i o n ( 2 ) )

l in e d i a m e t e r

Y o u n g s m o d u l u s

force unit length

d i m e n s i o n l e s s f o r c e

g u s t f a c t o r

d i m e n s i o n l e s s s p a c e s t e p = A x / l

h o r i z o n t a l t e n s i o n i n s t a t i c s t a t e

l o n g i t u d in a l t u r b u l e n c e i n t e n s i t y

n o d e n u m b e r

s p a n

( 1 ) f r e q u e n c y , ( 2 ) n u m b e r o f ti m e s t e p

t o t a l n u m b e r o f t i m e s t e ps p e r r e c o r d

( 1 ) d i m e n s i o n l e s s l i n e t e n s i o n , ( 2 ) l a t e r a l c o m -

p o n e n t o f s u p p o r t r e a c t i o n

d i s t a n c e a l o n g l i n e

s p e c t r a l d e n s i t y

t i m e

l i n e t e n s i o n

t e n s i o n i n s t a t i c s t a t e

v e l o c i t y

p o s i t i o n v e c t o r

C a r t e s i a n c o o r d i n a t e s y s t e m

n o n d i m e n s i o n a l c o o r d i n a t e s

s p a n r e d u c t i o n f a c t o r

d i m e n s i o n l e s s t i m e s t e p

e l e m e n t l e n g t h ( in r e f e r e n c e c o n d i t i o n )

p e a k w a v e l e n g t h ( e q u a t i o n ( 1 ) )

m a s s / u n i t l e n g t h

n o r m a l i z e d c o - s p e c t r a l d e n s i t y ( e q u a t i o n ( 2 ) )

a i r d e n s i t y

s w a y a n g l e a t c e n t r e s p a n

s t r a i n

S u b s c r i p t s :

0 r e f e r e n c e s t a t e

r r e l a t i v e v a l u e

S u p e r s c r i p t s :

m e a n v a l u e

f l u c t u a t i n g v a l u e

110 Eng. Struc t . 1981 Vol . 3 Apr i l

simulation of the dynamic response of transmission line in strong winds - estransmlines1981

Documents