singular value decomposition
DESCRIPTION
rtrtrtrtqrtqrqb4b66TRANSCRIPT
SINGULAR VALUE DECOMPOSITION
A. PENGERTIAN
Singular Value Decomposition (SVD) adalah suatu pemfaktoran matrik dengan
mengurai suatu matrik ke dalam dua matrik P dan Q. Jika diketahui suatu matrik adalah
matrik A berukuran m×n dengan rank r > 0 , maka dekomposisi dari matrik A dinyatakan
sebagai
A = PΔ QT
Rank (r) menyatakan banyaknya jumlah baris atau kolom yang saling independen antara baris
atau kolom lainnya dalam suatu matrik. P merupakan matrik orthogonal berukuran m×r
sedangkan Q merupakan matrik orthogonal berukuran n×r. Δ adalah matrik diagonal
berukuran r×r yang elemen diagonalnya merupakan akar positif dari eigenvalue matrik A.
Terbentuknya matrik Δ tergantung kondisi matrik A, yaitu diantaranya:
a. Δ bila r = m = n c. [ Δ (0 )] bila r=m dan r<n
b.
[ Δ ¿ ]¿¿
¿¿ bila r = n dan r<m d.
[ Δ[ (0 )
[
(0 )](0 )¿
] bila r<m dan r<n
Matrik P dapat diperoleh melalui perkalian antara A, Q dan -1 sehingga dapat dinyatakan
P=AQ-1
Untuk memperjelas dari argumen di atas maka akan diberikan beberapa contoh beserta cara
pengerjaaanya. Contoh yang diberikan berupa matrik simetri dan non simetri.
B. PROSEDUR PENYELESAIAN SINGULAR VALUE DECOMPOSITION (SVD)
I. Prosedur Penyelesaian SVD untuk matrik berukuran mxm
1. Misal diketahui matrik B berukuran mxm non singular (matrik fullrank / matrik yang
determinannya tidak sama dengan nol).
2. Menghitung matrik BTB dan BBT. Misalkan matrik BTB = matrik Y dan BBT = matrik
Z.
3. Mencari eigenvalue () dari matrik Y dan Z . Dimana determinan dari matrik Y dan Z
dikurangi dikalikan dengan matrik identitas (I) sama dengan 0.
Y-I=0 dan
1
Z-I=0
Banyaknya eigenvalue () yang akan diperoleh sama dengan ukuran matrik Y dan Z
yaitu sebanyak m.
4. Setelah diketahui nilai-nilai nya, langkah selanjutnya adalah mencari eigenvektor
untuk masing-masing . Eigenvektor diperoleh melalui rumus (Y− λI ) x=0 dan
( Z−λI ) x=0 . Sehingga nanti akan diperoleh persamaan x dalam bentuk x1, x2 hingga
xm (a1x1+a2x2+..+amxm=0). Kemudian dari beberapa variabel tersebut jadikan menjadi
satu variabel. Misalnya didapatkan persamaan berikut ini:
4,945x11 + 8x12 = 0....(pers. 1)
8x11 + 12,945x12 = 0....(pers.2)
Dari persamaan 1 didapatkan sebuah persamaan baru, yaitu:
x11 = -1,62x12.... pers.4
Setelah didapatkan persamaan 4 dilakukan normalisasi (penormalan) dari tiap-tiap
dengan mensubsitusikan tiap elemen x1 . Proses penormalan adalah sebagai berikut:
x1¿
=
x1
( x1T x1 )
1/2
=
(x11 ¿)¿¿
¿¿¿¿=
(−1 , 62 x12 ¿)¿¿
¿¿¿¿
=(−1 ,62 x12 ¿)¿¿
¿¿¿¿
Selajutnya juga dilakukan penormalan seperti contoh di atas untuk eigenvalue
(λ ) yang lain. Setelah x1¿
danx2¿
telah diperoleh elemen-elemennya, selanjutnya
adalah menggabungkan ketiga hasil penormalan tersebut ke dalam satu matrik dimana
kolom pertama adalah x1¿
, kolom kedua adalah x2¿
. Sehingga diperoleh matrik
X=[ x1¿ x2
¿ ] =
[ x11
[ x21
[
x12
] x22
¿]
5. Menentukan D yang merupakan matrik diagonal dengan elemen diagonalnya adalah
akar dari eigenvalue matrik Y atau Z.
D=¿[√λ1
[0[0]√ λ2
¿]
2
x11
x21
6. Diperoleh SVD dengan mengoperasikan P DQ dimana hasilnya akan sama dengan
matrik B.
[ x11
[ x21
[
x12
] x22
¿][√λ1
[ 0[
0]√ λ2
¿][ x11
[ x12
[
x21
] x22
¿]=
[ a11
[ a21
[
a12
]a22
¿]
Note: Jika P adalah eigenvektor dari matrik Z dan Q adalah eigenvektor dari matrik
Y. Dan ketika dioperasikan kedalam P DQ maka akan menghasilkan matrik yang
sama dengan B.
II. Prosedur Penyelesaian SVD untuk Matrik Simetri mxm
1. Misal diketahui matrik A berukuran mxm.
2. Mencari eigenvalue () dari matrik A. Dimana determinan dari matrik A dikurangi
dikalikan dengan matrik identitas (I) sama dengan 0.
A-I=0
3. Banyaknya eigenvalue () yang akan diperoleh sama dengan ukuran matrik A yaitu
sebanyak m.
4. Setelah diketahui nilai-nilai nya, langkah selanjutnya adalah mencari eigenvektor
untuk masing-masing . Eigenvektor diperoleh melalui rumus ( A−λI ) x=0 .
Sehingga nanti akan diperoleh persamaan x dalam bentuk x1, x2 hingga xm
(a1x1+a2x2+..+amxm=0). Kemudian dari beberapa variabel tersebut jadikan menjadi satu
variabel. Misalnya didapatkan persamaan berikut ini:
5x1 + x2 + 4x3 = 0....(pers. 1)
X1 + 2x2 – x3 = 0....(pers.2)
4x1 – x2 + 5x3 = 0....(pers.3)
Kemudian lakukan eliminasi dari pers.1 dan pers.2 sehingga didapatkan
x1 = -x3.... pers.4
Pers.4 tersebut dapat disubstitusikan ke salah satu dari 3 persamaan di atas. Sehingga
didapatkan
x2 = x3....pers.5
Setelah didapatkan persamaan 4 dan pers.5 dilakukan normalisasi (penormalan) dari
tiap-tiap dengan mensubsitusikan tiap elemen x1 . Proses penormalan adalah sebagai
berikut:
3
x1¿
=
x1
( x1T x1 )
1/2
=
(x1 ¿) (x2 ¿)¿¿
¿¿¿¿=
(−x3 ¿ )( x3 ¿)¿¿
¿¿¿¿
(−x3 ¿ )( x3 ¿)¿¿
¿¿¿¿Selajutnya juga dilakukan penormalan seperti contoh di atas untuk eigenvalue
(λ ) yang lain. Setelah x1¿
,x2¿
,dan x3¿
telah diperoleh elemen-elemennya, selanjutnya
adalah menggabungkan ketiga hasil penormalan tersebut ke dalam satu matrik dimana
kolom pertama adalah x1¿
, kolom kedua adalah x2¿
dan kolom ketiga adalah x3¿
.
Sehingga diperoleh matrik X=[ x1¿
x2¿
x3¿ ] =
[ x11
[ x21
[ x31
[
x12
x22
x32
x13
] x23
] x33
¿
]
5. Menentukan Δ yang merupakan matrik diagonal dengan elemen diagonalnya adalah
eigenvalue dari matrik A.
Δ=¿[ λ1
[ 0[ 0
[
0λ2
0
0]0] λ3¿
]
6. Diperoleh SVD dengan mengoperasikan X Δ XT dimana hasilnya akan sama dengan
matrik A.
[ x11
[ x21
[ x31
[
x12
x22
x32
x13
] x23
] x33
¿
]
[ λ1
[ 0[ 0
[
0λ2
0
0]0] λ3¿
][ x11
[ x12
[ x13
[
x21
x22
x23
x31
] x32
] x33
¿
]
=
[ a11
[ a21
[ a31
[
a12
a22
a23
a13
]a23
]a33
¿
]
III.Prosedur Penyelesaian SVD untuk matrik berukuran mxn
1. Misal diketahui matrik B berukuran mxn.
2. Menghitung matrik BTB dan BBT. Misalkan matrik BTB = matrik C(nxn) dan BBT =
matrik D(mxm).
4
x11
x21
x31
3. Mencari eigenvalue () dari matrik C(nxn) dan D(mxm) . Dimana determinan dari matrik
C(nxn) dan D(mxm) dikurangi dikalikan dengan matrik identitas (I) sama dengan 0.
C-I=0 dan
D-I=0
Banyaknya eigenvalue () yang akan diperoleh sama dengan ukuran matrik C yaitu
sebanyak n (1, 2, ... n) dan eigenvalue untuk matrik D yaitu sebanyak m
(1, 2, ... m). Selanjutnya, setiap eigenvalue dari matrik C dan D dinamai matrik
diagonal dan
Note: Jika dalam perhitungan eigenvalue didapatkan = 0 maka untuk prosedur
perhitungan eigenvektor dapat diabaikan. Sehingga, matrik diagonal =
4. Setelah diketahui nilai-nilai nya, langkah selanjutnya adalah mencari eigenvektor
untuk masing-masing untuk setiap matrik C dan D. Eigenvektor diperoleh melalui
rumus (C−λI ) x=0 dan ( D− λI ) x=0 . Sehingga nanti akan diperoleh persamaan x
dalam bentuk x1, x2 hingga xm (a1x1+a2x2+..+amxm=0). Kemudian dari beberapa
variabel tersebut jadikan menjadi satu variabel. Misalnya, didapatkan persamaan
berikut ini:
5x11 + x12 + 4x13 = 0....(pers. 1)
X11 + 2x12 – x13 = 0....(pers.2)
4x11 – x12 + 5x13 = 0....(pers.3)
Kemudian lakukan eliminasi dari pers.1 dan pers.2 sehingga didapatkan
x11 = -x13.... pers.4
Pers.4 tersebut dapat disubstitusikan ke salah satu dari 3 persamaan di atas. Sehingga
didapatkan
x12 = x13....pers.5
Setelah didapatkan persamaan 4 dan pers.5 dilakukan normalisasi (penormalan) dari
tiap-tiap dengan mensubsitusikan tiap elemen x1 . Proses penormalan adalah sebagai
berikut:
x1¿
=
x1
( x1T x1 )
1/2
=
(x1 ¿) (x2 ¿)¿¿
¿¿¿¿=
(−x3 ¿ )( x3 ¿)¿¿
¿¿¿¿5
(−x3 ¿ )( x3 ¿)¿¿
¿¿¿¿Selajutnya juga dilakukan penormalan seperti contoh di atas untuk eigenvalue
(λ ) yang lain. Setelah x1¿
,x2¿
,dan x3¿
telah diperoleh elemen-elemennya, selanjutnya
adalah menggabungkan ketiga hasil penormalan tersebut ke dalam satu matrik dimana
kolom pertama adalah x1¿
, kolom kedua adalah x2¿
dan kolom ketiga adalah x3¿
.
Sehingga diperoleh matrik X=[ x1¿
x2¿
x3¿ ] =
[ x11
[ x21
[ x31
[
x12
x22
x32
x13
] x23
] x33
¿
]
5. Dekomposisi nilai singular matrik B dinyatakan dalam:
dimana
Keterangan:
= matrik diagonal yang berisi akar kuadrat dari eigenvalue matrik C atau D
-1 = invers
Q1 = eigenvektor dari matrik C (BTB)
Q1T = transpose Q1
C. CONTOH
Contoh 1:
Menghitung SVD matriks non singular A(2x2)
Bila deketahui matrik X sebagai berikut
X = [2 12 3 ]. Maka Hitunglah SVD dari matrik X!
Jawab:
X XT = [2 12 3 ][2 2
1 3 ]=[5 77 13 ]
Eigenvalue X XT
|XXT−λI|=0 |[5 7
7 13 ]−[ λ 00 λ ]|=0
6
x11
x21
x31
B = P1 Q1T P1 = B Q1 -1
|5−λ 77 13−λ
|=0
(5-λ )(13-λ )-(7)(7) = 0
65-5λ -13λ +λ 2 -49 = 0
λ 2 -18λ +16 = 0
λ1,2=−b±√b2−4 ac
2 a=−(−18 )±√(−18 )2−4 (1 )(16 )
2(1)
=
18±√324−642
= 18±2√652
=9±√65
∴Eigenvalue matrik X adalahλ1 = 9−√65= 0,9377 dan λ 2 = 9+√65 = 17,0623
Eigenvektor XXT
Untuk λ 1 = 0,9377
( XXT−λI ) x=0
([5 77 13 ]−[0,9377 0
0 0,9377 ]) (x1 ¿)¿¿
¿¿=
(0 ¿ ) ¿¿
¿¿
[4 ,0623 77 12,0623 ]¿ (x1 ¿)¿
¿¿
4,0623 x1 -7 x2 = 0 ; 7x1 + 12,0623 x2 = 0
x1= − 7
4 ,0623x2
= -1,7232
Proses normalisasi
x1¿=
x1
( x1T x1)
12
=(x1 ¿)¿¿
¿¿¿¿
=
(-1,7232 ¿ ) ¿¿
¿¿¿¿
Untuk λ 2 = 17,0623
( XXT−λI ) x=0
7
([5 77 13 ]−[17,0623 0
0 17,0623 ]) (x1 ¿)¿¿
¿¿=
(0 ¿ ) ¿¿
¿¿
[−12 ,0623 77 −4 ,0623 ]¿ (x1 ¿)¿
¿¿
-12,0623 x1 + 7 x2 = 0 ; 7 x1 – 4,0623 x2 = 0
x1=
712 , 0623
x2=0 , 5803 x2
Proses normalisasi
x2¿=
x1
( x1T x1)
12
=(x1 ¿)¿¿
¿¿¿¿
=
(0 , 5803 ¿ ) ¿¿
¿¿¿¿∴Sehingga eigenvektor X XT adalah
P = [−0 , 8649 0 , 5019
0 , 5019 0 , 8649 ]
XTX = [2 21 3 ] [
2 12 3 ] =
[8 88 10 ]
Eigenvalue XTX
|XT X−λI|=0 |[8 8
8 10 ]−[ λ 00 λ ]|=0
|8−λ 88 10−λ
|=0
(8-λ )(10-λ )-(8)(8) = 0
80-8λ -10λ +λ 2 -64= 0
λ 2 -18λ +16 = 0
λ1,2=−b±√b2−4 ac
2 a=−(−18 )±√(−18 )2−4 (1 )(16 )
2(1)
8
=
18±√324−642
= 18±2√652
=9±√65
∴Eigenvalue matrik X adalahλ1 = 9−√65= 0,9377 dan λ 2 = 9+√65 = 17,0623
Eigenvektor XTX
Untuk λ 1 = 0,9377
( XT X−λI ) x=0
([8 88 10 ]−[0,9377 0
0 0,9377 ]) (x1 ¿)¿¿
¿¿=
(0 ¿ ) ¿¿
¿¿
[7 , 0623 88 9 ,0623 ]¿ (x1 ¿)¿
¿¿
7,0623 x1 + 8x2 = 0 ; 8x1 + 9,0623x2 = 0
x1 =
− 87 , 0623
x2= - 1,1328 x2
Proses normalisasi
x1¿=
x1
( x1T x1)
12
=(x1 ¿)¿¿
¿¿¿¿
=
(- 1,1328 ¿ ) ¿¿
¿¿¿¿
Untuk λ 2 = 17,0623
( XT X−λI ) x=0
([8 88 10 ]−[17,0623 0
0 17,0623 ]) (x1 ¿)¿¿
¿¿=
(0 ¿ ) ¿¿
¿¿
[−9 , 0623 88 −7 ,0623 ]¿ (x1 ¿)¿
¿¿
-9,0623 x1 + 8 x2 = 0 ; 8x1 - 7,0623x2 = 0
x1 =
89 ,0623
x2= 0,8828 x2
9
Proses normalisasi
x1¿=
x1
( x1T x1)
12
=(x1 ¿)¿¿
¿¿¿¿
=
(0,8828 ¿ ) ¿¿
¿¿¿¿
∴Sehingga eigenvektor XTX adalah
Q = [−0 , 7497 0 , 6618
0 , 6618 0 , 7497 ]
Sedangkan matrik Δ adalah Δ=[√0 , 9377 0
0 √17 ,0623 ]=[0 , 9684 00 4 ,1307 ]
SVD suatu matrik X bila PΔ Q = X
PΔ Q = [−0 , 8649 0 , 5019
0 , 5019 0 , 8649 ][0 , 9684 00 4 , 1307 ][−0 , 7497 0 , 6618
0 , 6618 0 , 7497 ] =
[−0 , 8376 2 , 07330 , 4861 3 , 5727 ][−0 , 7497 0 , 6618
0 , 6618 0 , 7497 ] =
[2 12 3 ]
∴Terbukti bahwa PΔ Q = X
Contoh 2:
Menghitung SVD matriks simetri non singular A(2x2)
1. Diketahui bahwaA=[5 2
2 2 ]2. Mencari eigenvalue matrik A
|A-I| = 0
10
|(5 2
2 2 )−( λ 00 λ )| = 0
|5−λ 22 2−λ
| = 0
(5-)(2-)-4 = 0
-7
-7
(-1)(-6) = 0
Sehingga didapatkan dan
3. Mencari eigenvektor matrik A
Untuk 1=0
( A−λ1 I ) χ1=0 .
[(5 22 2 )−(1 0
0 1 )] (x1
x2)=(00 )
(4 22 1 )(x1
x2)=(00)
(4 x1+2 x2
2 x1+x2)=(00 )
=>2 x1+x2=0
2 x1=−x2
x1=−1
2x2
x1¿=
x1
(x1T x1)
12
=(−1
2x2
x2)
[(−12
x2 x2 ) (−12
x2
x2)]
12
= 1
√ 54
x22 (−1
2x2
x2)=(−0 , 4472
0 , 8944 )
Untuk 2=6
( A−λ2 I ) χ= 0 .
11
[(5 22 2 )−(6 0
0 6 )] (x1
x2)=(00 )
(−1 22 −4 )( x1
x2)=(00 )
(−x1+2 x2
2 x1−4 x2)=(00)
=> 2 x1−4 x2=0
2 x1=4 x2
x1=2x2
x2¿=
x2
(x2T x2 )
12
=(2 x2
x2)
[(2 x2 x2 ) (2 x2
x2)]
12
= 1
√5 x22 (2 x2
x2)=(0 ,8944
0 , 4472)
Sehingga didapatkan eigenvector matrik A yaitu
χ¿=(−0 ,4472 0 ,89440 , 8944 0 , 4472 )
4. Menentukan
merupakan metric diagonal yang elemen-elemennya adalah eigen value dari matrik A
sehingga:
Δ=(λ1 00 λ2
)=(1 00 6 )
5. Mencari SVDnya dengan rumus A=X Δ X T
A =(−0 , 4472 0 ,8944
0 , 8944 0 ,4472 ) (1 00 6 ) (−0 ,4472 0 ,8944
0 ,8994 0 ,4472 )=(−0 , 4472 5 ,3664
0 , 8944 2 ,6832 ) (−0 , 4472 0 ,89440 ,8994 0 , 4472 )
=(5 , 027 1 , 992 , 013 1 , 99 )
=(5 22 2 )
Maka dapat disimpulkan bahwa bentuk svd dari matriks A adalah
12
(5 22 2 )=(−0 ,4472 0 ,8944
0 ,8944 0 ,4472 ) (1 00 6 ) (−0 ,4472 0 ,8944
0 ,8994 0 ,4472 )
Contoh 3:
Menghitung SVD matriks A(mxn) = A(3x2)
A=[1 10 11 0 ]
Jawab:
AT = [1 0 11 1 0 ]
ATA = [1 0 11 1 0 ][
1 10 11 0 ]=
[2 11 2 ]
Eigenvalue ATA
|[2 11 2 ]−[ λ 0
0 λ ]|=0
|2−λ 11 2−λ
|=0
(2- λ )2-1=0
4-4 λ + λ 2-1=0
λ 2-4 λ +3=0
(λ -3)( λ -1)=0
λ1=1 λ 2=3
Eigenvektor ATA
Untuk λ 1=1
( A−λ1 I ) x=0
[2−λ 11 2−λ ]¿ [ x1 ¿ ] ¿
¿¿
[2−1 11 2−1 ]¿ [ x1 ¿ ] ¿
¿¿
13
[1 11 1 ]¿ [ x1 ¿ ] ¿
¿¿
x1 + x2 = 0 x1 = - x2
Proses Normalisasi
x1¿=(x1 ¿)¿
¿¿¿¿¿
=(−x2 ¿)¿¿
¿¿¿¿
Untuk λ 1=3
( A−λ2 I ) x=0
[2−λ 11 2−λ ]¿ [ x1 ¿ ] ¿
¿¿
[2−3 11 2−3 ]¿ [ x1 ¿ ]¿
¿¿
[−1 11 −1 ]¿ [ x1 ¿ ] ¿
¿¿
-x1 + x2 = 0 x1 = x2
Proses Normalisasi
x2¿=(x1 ¿)¿
¿¿¿¿¿
=( x2¿ )¿¿
¿¿¿¿Sehingga eigenvektor ATA
X=¿[−
1
√2
[ 1
√2
[
1
√2
]1√2¿
]
14
AAT = [1 10 11 0 ][1 0 1
1 1 0 ]= [2 1 11 1 01 0 1 ]
Eigenvalue AAT
|[2 1 11 1 01 0 1 ]−[ λ 0 0
0 λ 00 0 λ ]|=0
|2−λ 1 1
1 1−λ 01 0 1− λ
|=0
(2− λ )(1− λ)(1− λ)+0+0-(1− λ) -(1− λ)=0
(λ 2-2λ +1)(2-λ )-(2-2λ )=0
2λ 2-4λ +2-λ 3-2λ -λ -2+2λ =0
-λ 3-3λ =0
-λ (λ 2-3)=0 λ =0 ; λ =1 ; λ =3
Eigenvektor AAT
Untuk λ 1 = 0
( A−λ1 I ) x=0
[2−λ 1 11 1−λ 01 0 1−λ ] [x1
x2
x3]=[000 ]
[2 1 11 1 01 0 1 ] [x1
x2
x3]=[000 ]
2x1 + x2 + x3 =0 ; x1 + x2 = 0 ; x1 + x3 = 0
x2 = - x1 ; x3 = - x1
Proses Normalisasi
x1¿=
[ x1
x2
x3]
([ x1 x2 x3 ] [ x1
x2
x3])
12
15
x1¿=
[ x1
−x1
−x1]
([ x1 −x1 −x1 ] [ x1
−x1
−x1])
12
x1¿=
[ x1
−x1
−x1]
(3 x12)
12
=[ x1
−x1
−x1]
√3 x1
=[1√3−1
√3−1√3
] Untuk λ 2 = 1
[2−λ 1 11 1−λ 01 0 1−λ ] [x1
x2
x3]=[000 ]
[1 1 11 0 01 0 0 ][ x1
x2
x3]=[000 ]
x1 + x2 + x3 =0 ; x1 = 0 ; x1 = 0
x3 = - x2
Proses Normalisasi
x2¿=
[ x1
x2
x3]
([ x1 x2 x3 ] [ x1
x2
x3])
12
x2¿=
[ 0−x3
x3]
([0 −x3 x3 ] [ 0−x3
x3])
12
16
x2¿=
[ 0−x3
x3]
(2 x32 )
12
=[ 0−12
√2
12√2 ]
Untuk λ 3 = 3
[2−λ 1 11 1−λ 01 0 1−λ ] [x1
x2
x3]=[000 ]
[−1 1 1
1 −2 01 0 −2 ][ x1
x2
x3]=[000 ]
-x1 + x2 + x3 =0 ; x1 – 2x2 = 0 ; x1 – 2x3 = 0
x2 = 12
x1; x3 = 12
x1
Proses Normalisasi
x3¿=
[ x1
x2
x3]
([ x1 x2 x3 ] [ x1
x2
x3])
12
x3¿=
[x1
12
x1
12
x1]
([ x112
x112
x1][x1
12
x1
12
x1])
12
17
x3¿=
[x1
12
x1
12
x1]
(1 12
x12)
12
=
[x1
12
x1
12
x1]
1,2247 x1
=[0,81650,40820,4082]
Mencari Nilai P:
P = AQ∆-1
= [1 10 11 0][−1
√21
√21√2
1√2
][ 1
√10
01√3
]= [ 0 √2
1√2
1√2
−1
√21
√2] [ 1
√10
01√3
]= [ 0 √6
3√22
√66
−√22
√66]
A = P∆Q
= [ 0 √63
√22
√66
−√22
√66][1 0
0 √3] [−√22
√22
√22
√22]
= [ 0 √2√22
√22
−√22
√22] [−√2
2√22
√22
√22]
18
= [1 10 11 0]
Contoh 4
Menghitung SVD matriks A(mxn) = A(2x3)
Dapatkan Singular Value Decomposition (SVD) dari matrik yang berukuran m×n berikut ini:
B(2×3) = [2 −2 44 2 2 ]
Jawab:
1. Menghitung Matrik BTB dan BBT
BTB = C =[ 2 4−2 24 2 ] [2 −2 4
4 2 2 ]=[20 4 16
4 8 −416 −4 20 ]
BBT = D =
[2 −2 44 2 2 ] [ 2 4
−2 24 2 ]=[24 12
12 24 ]2. Mencari Eigenvalue () dari Matrik BTB dan BBT
Eigenvalue Matrik B T B : C-I= 0
|[20 4 164 8 −4
16 −4 20 ]− [ λ 0 00 λ 00 0 λ ]|=0
|20−λ 4 16
4 8−λ −416 −4 20− λ
|=0
(
= 0
= 0
dan
19
Jika dinyatakan dalam bentuk matrik diagonal 12 =
[0 0 00 12 00 0 36 ]
Eigenvalue Matrik BB T : D-I= 0
|[24 1212 24 ]−[λ 0
0 λ ]|=0
|24−λ 1212 24−λ
|=0
] = 0
0
dan
Jika dinyatakan dalam bentuk matrik diagonal 22 =
[12 00 36 ]
Pada proses mencari eigenvalue matrik BTB (matrik C) didapatkan 1 = 0, mengacu pada
prosedur penyelesaian SVD matrik m×n terdapat catatan bahwa: jika dalam perhitungan
eigenvalue didapatkan = 0 maka untuk prosedur perhitungan eigenvalue = 0 diabaikan
yang berakibat eigenvektor untuk kolom = 0 pada prosedur selanjutnya akan
dihilangkan dari matrik eigenvektornya.. Sehingga, matrik diagonal =
2 = [12 0
0 36 ]3. Mencari Eigenvektor Matrik BTB dan BBT
Untuk
Eigenvektor Matrik B T B:
Untuk (C – x1 = 0
[20−λ 4 164 8−λ −4
16 −4 20−λ ] x1=0
20
[20−0 4 164 8−0 −4
16 −4 20−0 ] [ x11
x12
x3]=0
[20 4 164 8 −416 −4 20 ] [x11
x12
x3]=0
[20 x11+4 x12+16 x13
4 x11+8 x12−4 x13
16 x11−4 x12+20 x13]=[000 ]
(20 x11+4 x12+16 x13=04 x11+8 x12−4 x13=0
16 x11−4 x12+20 x13=0)Eliminasi Pers.1 dan Pers.3:
20x11 + 4x12 + 16x13 = 016x11 – 4x12 + 20x13 = 0
+36x11 + 36x13 = 0
x11 + x13 = 0x11 = – x13 Pers.4
Subsitusikan Pers.4 ke Pers.2
4(x13) + 8x12 4x13 = 08x12 8x13 = 0x12 = x13 Pers.5
Proses normalisasi untuk x1 :
x1¿
=
x1
( x1T x1 )
1/2
=
(x11 ¿) (x12 ¿ )¿¿
¿¿¿¿=
(−x13 ¿) (x13 ¿)¿¿
¿¿¿¿
21
Pers.1
Pers.2
Pers.3
=
(−x13 ¿) (x13 ¿)¿¿
¿¿¿¿=(−0 ,5774
0 ,57740 ,5774 )
Untuk (C – x2 = 0
[20−λ 4 164 8−λ −4
16 −4 20−λ ] x2=0
[20−12 4 164 8−12 −4
16 −4 20−12 ] [x21
x22
x23]=0
[ 8 4 164 −4 −416 −4 8 ] [x21
x22
x23]=0
[8 x21+4 x22+16 x23
4 x21−4 x22−4 x23
16 x21−4 x22+8 x23]=[000 ]
(8 x21+4 x22+16 x23=04 x21−4 x22−4 x23=0
16 x21−4 x22+8 x23=0)Eliminasi Pers.1 dan Pers.3:
8x21 + 4x22 + 16x23 = 016x21 – 4x22 + 8x23 = 0
+24x21 + 24x23 = 0
x21 + x23 = 0x21 = – x23 Pers.4
Subsitusikan Pers.4 ke Pers.2
4(x23) 4x22 4x23 = 04x22 8x23 = 0x22 = 2x23 Pers.5
22
Pers.1
Pers.2
Pers.3
Proses normalisasi untuk x2 :
x2¿
=
x2
( x2T x2)
1/2
=
(x21 ¿ ) (x22 ¿)¿¿
¿¿¿¿=
(−x23 ¿) (−2 x23 ¿)¿¿
¿¿¿¿
=
(−x23 ¿) (−2 x23 ¿)¿¿
¿¿¿¿=(−0 ,4082−0.81650 ,4082 )
Untuk (C – x3 = 0
[20−λ 4 164 8−λ −4
16 −4 20−λ ] x3=0
[20−36 4 164 8−36 −4
16 −4 20−36 ] [ x31
x32
x33]=0
[−16 4 164 −28 −4
16 −4 −16 ] [ x31
x32
x33]=0
[−16 x31+4 x32+16 x33
4 x31−28x32−4 x33
16 x31−4 x32−16 x33]=[000 ]
(−16 x31+4 x32+16 x33=04 x31−28 x32−4 x33=0
16 x31−4 x32−16 x33=0 )Eliminasi Pers.1 dan 4 × Pers.2:
16x31 + 4x32 + 16x33 = 016x31 – 112x32 + 16x33 = 0
+108x32 = 0
x32 = 0 Pers.4
23
Pers.1
Pers.2
Pers.3
Subsitusikan Pers.4 ke Pers.3
16x31 4(0) 16x33 = 016x31 16x33 = 0 x31 = x33 Pers.5
Proses normalisasi untuk x3 :
x3 =
x3
( x3T x3 )
1 /2
=
(x31 ¿ )( x32 ¿)¿¿
¿¿¿¿=
(x33 ¿ ) (0 ¿ ) ¿¿
¿¿¿¿
=
(x33 ¿ ) (0 ¿ ) ¿¿
¿¿¿¿=(0 , 7071
00 , 7071)
Sehingga, eigenvektor yang didapatkan adalah:
X = [−0 , 5774 −0 , 4082 0 ,7071
0 , 5774 −0 ,8165 00 , 5774 0 , 4082 0 ,7071 ]
Akan tetapi, untuk prosedur selanjutnya eigenvektor yang digunakan adalah eigenvektor
dari kolom yang nilai eigenvalue () lebih dari nol (positif).
Q = [−0 , 4082 0 , 7071−0 , 8165 00 , 4082 0 , 7071 ]
Eigenvektor Matrik BB T :
Untuk D – 1I) x1= 0
[24−λ 1212 24−λ ] x1=0
[24−12 1212 24−12 ] [x11
x12]=0
24
[12 1212 12 ] [x11
x12]=0
[12 x11+12 x12
12 x11+12 x12]=[00 ]
(12 x11+12 x12=0¿ )¿¿
¿¿
12x11 + 12x12 = 0 x11 + x12 = 0
x11 = – x12 Pers.3
Proses normalisasi untuk x1 :
x1¿
=
x1
( x1T x1 )
1/2
=
(x11
x12)
(( x11 x12 ) ( x11
x12))
1/2
=
(−x12
x12)
((−x12 x12 ) (−x12
x12))
1 /2
=
(−x12
x12)
( x12
2+x12
2 )1/2=
(−x12
x12)
(2 x12
2 )1/2=(−1/√2
1/√2 )=(−0 ,7071
0 ,7071 )
Untuk D – 2I) x2 = 0
[24−λ 1212 24−λ ] x2=0
[24−36 1212 24−36 ] [x21
x22]=0
[−12 1212 −12 ] [ x21
x22]=0
[−12 x21+12 x22
12 x21−12 x22]=[00 ]
(−12 x21+12 x22=0 ¿)¿¿
¿¿
12x21 + 12x22 = 0 x21 + x22 = 0
x21 = x22 Pers.3
25
Pers.1
Pers.2
Pers.1
Pers.2
Proses normalisasi untuk x2 :
x2¿
=
x2
( x2T x2)
1/2
=
( x21
x22)
(( x21 x22 ) (x21
x22))
1/2
=
( x21
x22)
(( x21 x22 ) (x21
x22))
1/2
=
(x21
x22)
( x21
2+x12
2 )1/2=
( x21
x22)
(2 x22
2)1/2=(1/√2
1/√2)=(0 , 70710 , 7071)
Sehingga, eigenvektor yang didapatkan adalah:
Y = [−0 , 7071 0 ,7071
0 , 7071 0 ,7071 ]4. Dekompisisi Nilai Singular (SVD) Matrik B
Diketahui: 2 = [12 0
0 36 ] = [√12 0
0 √36 ]=[3 , 464 00 6 ]
-1 = [1/√12 0
0 1 /√12 ]= [0 , 2887 0
0 0 ,1667 ]Didapatkan:
P1 = B Q1 -1
P1 =
[2 −2 44 2 2 ] [−0 ,4082 0 , 7071
−0 ,8165 00 , 4082 0 , 7071 ] [0 , 2887 0
0 0 , 1667 ]
P1 = [ 2 , 4494 4 ,2426−2 , 4494 4 ,2426 ] [0 , 2887 0
0 0 ,1667 ]P1 =
[ 0 , 7071 0 ,7071−0 , 7071 0 ,7071 ]
Dekomposisi matrik B = P1 Q1T
B = [ 0 , 7071 0 ,7071−0 , 7071 0 ,7071 ] [3 ,464 0
0 6 ] [−0 , 4082 −0 , 8165 0 , 40820 , 7071 0 0 ,7071 ]
B = [ 2 , 4494 4 ,2426−2 , 4494 4 ,2426 ] [−0 , 4082 −0 , 8165 0 ,4082
0 ,7071 0 0 ,7071 ]26
B = [2 , 0001 −2 , 0000 3 ,99993 , 9999 2 , 0000 2 ,0001 ]
B = [2 −2 44 2 2 ]
27