Memorias del XVIII Congreso Mexicano de Rob otica 2016Universidad Aut onoma de Sinaloa

XVIII COMRob 2016, ISBN: En tr amite9-11 de Noviembre, 2016, Mazatl an, Sin., M exico

XVIII COMRob2016/ID-001

SINTONIZACION E IMPLEMENTACION ANAL OGICA DE LALEY DE CONTROL INTEGRAL RETARDADA

Kevin L opez, Rub en GarridoDepartamento de Control Automatico

CINVESTAV-IPNMexico DF, 07360

Email: klopez,garrido@ctrl.cinvestav.mx

ABSTRACTEste trabajo trata sobre la sintonizacion e implementacion

analogica de la ley de control integral retardada (IR) parael control en velocidad de un servomecanismo de CorrienteDirecta. Se estudian los aspectos relacionados con la im-plementacion analogica de retardos de tiempo ası como lametodologıa de sintonizacion del controlador IR. Los experi-mentos en un prototipo de laboratorio muestran que la imple-mentacion analogica de la ley de control IR tiene un desempenosimilar al obtenido empleando su version implementada con unprocesador digital.

INTRODUCCIONEl empleo de retardos de tiempo dentro de una ley de control

exhibe aspectos teoricos interesantes y ademas presenta ventajasdesde un punto de vista practico [1–8]. Es importante subrayarque el empleo de un retardo de tiempo introduce un numero in-finito de raıces en el sistema en lazo cerrado y puede producirinestabilidad si la sintonizacion del controlador es inadecuada.Por otro lado, en elarea de la Robotica una aplicacion poten-cial del controlador IR es la regulacion de velocidad en robotsmoviles. Otra posibilidad es la puesta a punto de los lazos inter-nos de velocidad en un robot manipulador.

El interes de este trabajo se centra en el controlador Inte-gral Retardado (IR) reportado en [8] y aplicado a sistemas deprimer orden conenfasis en el control en velocidad de servomo-tores de Corriente Directa (CD). Una contribucion de ese trabajo

es un metodo de sintonizacion que permite obtener el maximodecaimiento exponencial del sistema en lazo cerrado. Ademas,la estructura del controlador IR hace innecesario el empleode fil-tros adicionales para atenuar el ruido de medicion los cuales soncasi siempre imprescindibles en controladores Proporcionales In-tegrales (PI). Por otro lado, la accion integral del controlador IRotorga robustez al sistema en lazo cerrado respecto de perturba-ciones constantes. Cabe mencionar que la implementacion entiempo real del controlador IR en [8] se realizo utilizando unprocesador digital y su desempeno se comparo con el de un con-trolador PI.

El objetivo de este trabajo es explorar la puesta a punto dela ley de control IR utilizando electronica analogica para la reg-ulacion en tiempo real de la velocidad de un motor de Corri-ente Directa (CD). Una de las ventajas del empleo de circuitosanalogicos es que permiten una implementacion de bajo costo.Otra ventaja respecto a una implementacion en un sistema digi-tal es queestaultima requiere de convertidores analogico-digital(AD) y digital-analogico (DA) de alta resolucion para disminuirel ruido asociado al muestreo espacial introducido por estos dis-positivos. De acuerdo con [9] el empleo de circuitos analogicospara implementar leyes de control con retardo tienen un de-sempeno comparable con un sistema digital dotado de conver-tidores AD y DA de 16 bits.

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1 Modelo del servo sistemaEl servo sistema utilizado para este caso de estudio consiste

en un servomotor de CD, un amplificador de corriente y un sen-sor de velocidad [10]. El modelo correspondiente esta dado por:

y(t) =−ay(t)+bu(t)+c (1)

La variabley(t) es la velocidad del servomotor ,u(t) es la entradade control,a = 0.28 y b = 50.8 son los parametros del servosistema yc se considera una perturbacion constante desconocida.El error en velocidad se define comoe(t) = r −y(t) donder es lavelocidad de referencia la cual se supone constante. Derivandorespecto al tiempoe(t) permite obtener la dinamica siguiente:

e(t) = ar−ae(t)−bu(t)−c (2)

La ecuacion diferencial (2) representa la dinamica del servo sis-tema en terminos del error en velocidad.

2 Ley de control Integral RetardadaSea la ley de control IR:

u(t) =∫ t

0[Kie(τ)−Kir e(τ−h)]dτ (3)

dondeKi ,Kir son las ganancias de la ley de control ye(t −h) esel error retardado. Considerese el siguiente cambio de variable:

z(t) = ar−bu(t)−c (4)

Derivando respecto del tiempo la ecuacion (4) y considerando laderivada temporal de la ley de control (3) produce:

z(t) = bKir e(t −h)−bKie(t) (5)

A partir de (3), (4) y (5) es posible obtener la siguiente repre-sentacion de estado:

x(t) = A0x(t)+A1x(t −h) (6)

Conx(t) =

(

e(t)z(t)

)

, A0 =

(

−a 1−bKi 0

)

, A1 =

(

0 0bKir 0

)

. El punto

de equilibrio de (6) corresponde a

x∗ =

(

00

)

(7)

y su cuasi-polinomio caracterıstico esta dado por:

P(s) = det(s∗ I −A0−A1e−sh)

= s2+as+bKi −bKir e−sh

(8)

La Fig. 1 muestra un diagrama de bloques del servo sistema enlazo cerrado con la ley de control IR.

FIGURA 1. Servo sistema en lazo cerrado con la ley de control IR.

3 Aspectos de la implementaci on anal ogicaEL problema principal en la implementacion analogica de

controladores que utilizan retardos de tiempo es la generacionde estosultimos. En [1] el retardo de tiempo se aproxima me-diante un filtro pasa bajos construido utilizando inductores y re-sistores. El problema principal con este metodo es la dificultaden la obtencion de un valor exacto de retardo debido a las tol-erancias de los componentes. Una alternativa es el empleo delıneas de retardo BBD (Bucket Brigade Device), las cuales sehan empleado en el procesamiento de senales de audio [11] y enla puesta a punto de leyes de control repetitivo [9], [12]. Unalınea de retardo BBD aplica un muestreo temporal a la senal deentrada y la frecuencia deeste se fija mediante un reloj externo.Una lınea BBD consiste esencialmente de una cadena de capac-itores conectados a traves de interruptores, ambos construidosutilizando transistores. El voltaje correspondiente a la senal deentrada es muestreado y almacenado en un capacitor medianteun interruptor durante un ciclo de reloj. En el siguiente ciclode reloj la carga del primer capacitor se transfiere a un segundocapacitor al cerrarse y abrirse un interruptor. Al mismo tiempose vuelve a muestrear la senal de entrada. En un ciclo de relojsubsecuente la carga del segundo capacitor se transfiere a unter-cer capacitor, la carga del primer capacitor se transfiere alse-gundo capacitor y se vuelve a muestrear la senal de entrada. Esteproceso de transferencia se repite hasta que la carga alcanza lasalida. El numero de capacitores o etapas y la frecuencia delreloj determinan el retardo de tiempo. Cabe mencionar que sise desea generar un retardo de tiempo empleando un procesadordigital, este aplica tanto un muestreo temporal como uno espa-cial. El primero se genera empleando un muestreador-retenedor

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controlado mediante un reloj y el segundo es el resultado de laresolucion de los convertidores AD y DA. El ruido introducidopor el muestreo espacial puede minimizarse empleando conver-tidores de alta resolucion.

En este trabajo se emplea el circuito integrado PanasonicMN3207 el cual cuenta con 1024 etapas. El reloj externo se gen-era mediante el circuito MN3102. El valor del retardo se calculade acuerdo a la siguiente expresion:

τ =1024

2∗ frelo j(9)

Donde frelo j es la frecuencia del reloj. Las frecuencias mınimay maxima para el funcionamiento del MN3207 son de 10khz y200kHz respectivamente que corresponden a retardos de 2.56msa 51.2 ms.La frecuencia de la senal de relojfout aplicada al MN3207 es 1/2de la frecuencia de oscilacion fin generada dentro del MN3102.La frecuencia de oscilacion del MN3102 (fin) y la frecuencia desalida al MN3207 (fout) se muestran en la tabla (1). Esta tablacontiene tambien los valores de capacitanciaCT y de resistenciaRT correspondientes a ambas frecuencias. Estos componentes seobservan en la Fig. 7.

RT (Ω) CT (pF) fin(KHz) fout(KHz)

5k - 1M 22 20 - 1400 10 - 700

5k - 1M 100 6.4 - 520 3.2 - 260

5k - 1M 200 3.0 - 260 1.5 - 130

TABLA 1 . Ejemplos de configuracion del circuito MN3102

Cabe mencionar que aparte del empleo de una lınea de re-tardo, para la implementacion analogica del controlador IR seemplean amplificadores operacionales, resistores y capacitores.

4 Sintonizaci on del Controlador IRPara sintonizar el controlado IR se emplean las formulas

siguientes propuestas en [8]:

Ki =1b(σ2

d −aσd +a2

2) (10)

h=1

(

σd −a2

) (11)

Kir =2(

σd −a2

)

hbehσd(12)

Estas son funcion de los parametrosa y b del servo sistema asıcomo del decaimiento exponencial deseadoσd en lazo cerrado.Debido a las limitaciones de implementacion impuestas por loscircuitos integrados se fija la gananciaKi = 10. Con este valor ydespejandoσd de (10) se obtiene

σd =±

√

bKi −6a8

+a2

(13)

Tomando la raız positiva y utilizando los valores de losparametros del servo sistema se obtiene:

σd = 22.6775 (14)

Esteultimo valor sera el maximo decaimiento exponencial que sepuede obtener en la implementacion analogica del controladorIR empleada en los experimentos. Los valores del par (h, Kir )obtenidos utilizando las ecuaciones (11) y (12) sonh= 0.04437sy Kir = 7.3111. Estos tambien se pueden obtener a traves delmetodo deσ-estabilidad [13], [14]. El metodo consiste en re-alizar el cambio de variables→ (s−σ) en (8) para obtener elnuevo cuasi-polinomio:

P(s) = s2−2σs+σ2+a(s−σ)+bKi −bKir e−h(s−σ) (15)

De igual manera que en el metodo de D-particiones original, elprimer paso consiste en buscar los cruces por cero asociadosalcuasi-polinomioP(s). Esta operacion permite obtener una ex-presion para la gananciaKir en terminos del retardoh:

Kir (h) =σ2−aσ+bKi

behσ (16)

La ecuacion anterior define una hiper-superficie en el planoh−Kir . Posteriormente se buscan los cruces sobre el eje imagi-nario considerandos= jω en (15). En la expresion resultante seseparan la parte real y la parte imaginaria, y se despejanKir (w)y h(w):

h(ω) =1ω

arccot(−ω2+σ2+bKi −aσ

2σω−aω)+

nπω

(17)

Kir (ω) =2σω−aω

beh(ω)ωsin(h(ω)ω)(18)

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La interseccion de las hiper-superficies definidas por (16), (17) y(18) permite obtener la grafica mostrada en la Fig. 2. La coorde-nadaKir = 7.31,h= 0.0443, corresponde al maximo decaimientoexponencial.

0 0.05 0.10

5

10

h

K ir

FIGURA 2. Regiones deσ-estabilidad considerandoKi = 10.

5 Resultados ExperimentalesEl desempeno de la implementacion analogica del contro-

lador IR se comparo con el correspondiente a su implementaciondigital. El servosystema empleado consta de un servomotorClifton Precision modelo JDTH-2250-BQ-IC el cual impulsa unainercia, un tacogenerador y de un amplificador Copley ControlsModelo 413 configurado en modo corriente. Una tarjeta Servo-ToGo 2.0 alojada en una computadora personal y un oscilosco-pio LeCroy WaveRunner 104MXi sirven para la adquisicion dedatos. La implementacion de la senal de referencia ası comola implementacion digital del controlador IR se efectuan en unacomputadora personal empleando MatLab/simulink y el ambi-ente de tiempo real WINCON. Simulink se ejecuta con un pe-riodo de muestreo de 1 ms utilizando el metodo de integracionRunge-Kutta de cuarto orden.

La Fig. 3 muestra el diagrama de bloques del controlador IRen su version analogica. El circuito consta de los bloques sigu-ientes: dos puntos suma (Fig. 4), tres ganancias correspondientesa Kt , Ki y Kir (Fig. 5), un integrador (Fig. 6) y un circuito degeneracion de retardo utilizando el circuito integrado MN3207(Fig. 7). La resistenciaR AMPLITUDen Fig. 5 se ajusta a losvalores 71.42kΩ para obtenerKT = 2.83, 300kΩ para obtenerKi = 10 y 219.3kΩ para obtenerKir. En la Fig. 7 se utilizaRT = 18.059kΩ para fijar el retardo a 0.0443s que correspondea fout = 11.558kHz.

La Fig. 8 muestra la plataforma experimental empleada. Lasenal de referencia esta descrita por:

r(t) = 6.66(1−e−t)+3.33tanh(5sin(0.2πt)) (19)

Retardo

Analógico

Referencia

Convertidor

D/Ar(t)

y(t)

ComputadoraPunto Suma

Ki

Kir

Punto Suma-

+

+

-

Integradore(t)

u(t)

Tacogenerador

v2(t)e(t-h)

v1(t) v(t)

Kt

FIGURA 3. Diagrama de bloques del controlador IR analogico.

FIGURA 4. Bloque punto suma.

FIGURA 5. Bloque ganancia.

FIGURA 6. Bloque integrador.

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FIGURA 7. Circuito de generacion de retardo de tiempo.

FIGURA 8. Plataforma experimental.

Las Fig. 9 y 10 muestran respectivamente la respuestadel controlador IR correspondiente a sus implementacionesanalogica y digital. Las senales de control correspondientes semuestran en las Fig. 11 y 12. Se puede observar que las graficasde velocidad correspondientes al controlador IR en su versionanalogica muestran variaciones mas pronunciadas las cuales sepueden deber al hecho de que la lınea de retardo analogica y elintegrador introducen ruido. Salvo este aspecto, la respuesta uti-lizando ambas implementaciones es similar.

0 5 10 15 20 25 30 35

0

100

200

300

400

500

600

700

Tiempo(s)

Velocidad(r/min)

Salida y(t)

Referencia r(t)

FIGURA 9. Respuesta del controlador IR: Implementacion analogica.

6 Conclusiones

A partir de los resultados experimentales se puede con-cluir que la implementacion del controlador IR utilizando lıneasde retardo analogicas produce resultados similares a aquellosobtenidos con una implementacion digital. La principal ventajade la implementacion analogica es su precio reducido. En amboscasos la accion integral hace al sistema en lazo cerrado robustoante perturbaciones constantes. Por otro lado, en el caso delaimplementacion analogica es posible disminuir el contenido dealta frecuencia de la senal de control mejorando el diseno de loscircuitos impresos y empleando amplificadores operacionales debajo ruido.

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0 5 10 15 20 25 30 35

0

100

200

300

400

500

600

700

Tiempo(s)

Velocidad(r/min)

Salida y(t)

Referencia r(t)

FIGURA 10. Respuesta del controlador IR: Implementacion digital.

FIGURA 11. Controlador IR: Senal de control correspondiente a la im-plementacion analogica.

FIGURA 12. Controlador IR: Senal de control correspondiente a la im-plementacion digital.

AGRADECIMIENTOS

Los autores agradecen a G. Castro y J. Meza por su ayuda enla puesta a punto del prototipo del laboratorio, al CINVESTAV-IPN por su apoyo para la asistencia al congreso. Tambien seagradece al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnologıa (CONA-CYT) por el apoyo para poder realizar este trabajo dentro delproyecto CONACyT 222140 y por la beca otorgada al primerautor.

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