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8/20/2019 Sistem as Line Are s
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Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU
Resolução de equações linearesIntrodução e métodos exatos
Ivanovitch Medeiros Dantas da Silva
Universidade Federal do Rio Grande do NorteDepartamento de Engenharia de Computação e AutomaçãoDCA0399 - Métodos Computacionais para Engenharia Civil
Natal, 14 de Março de 2012
Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos
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Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU
Sumário
1 Introdução
Objetivos
Aplicações
Sistemas Lineares
2 Método de Gauss
3 Método de Jordan
4 Método LU
Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos
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8/20/2019 Sistem as Line Are s
3/101
Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU
Sumário
1 Introdução
Objetivos
Aplicações
Sistemas Lineares
2 Método de Gauss
3 Método de Jordan
4 Método LU
Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos
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8/20/2019 Sistem as Line Are s
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Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU
Objetivos
Objetivos gerais
Definição dos conceitos de equação linear e sistema linear
Apresentação dos métodos numéricos para resolução de
sistemas lineares:Métodos exatos ou diretos: Gauss, Jordan, DecomposiçãoLUMétodos iterativos: Gauss-Seidel, Jacobi
Aplicações dos métodos descritos na engenharia
Descrição de algoritmos para implementação em software
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Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU
Aplicações
Aplicações de sistemas lineares
Análise do estado estacionário de um sistema de reatores
(Engenharia Quı́mica/Bioengenharia)
Análise de uma treliça estaticamente determinada(Engenharia Civil/Ambiental)
Correntes e Voltagens em Circuitos de Resistores
(Engenharia Elétrica)
Sistemas Massa-Mola (EngenhariaMecânica/Aeroespacial)
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I d ˜ M ´ d d G M ´ d d J d M ´ d LU
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Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU
Aplicações
Sistema de reatores
Q 1c 1 + Q 2c 2 = Q 3c 3
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I t d ˜ M ´ t d d G M ´ t d d J d M ´ t d LU
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Introduçao Metodo de Gauss Metodo de Jordan Metodo LU
Aplicações
Sistema de reatores
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Introducão Método de Gauss Método de Jordan Método LU
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Introduçao Metodo de Gauss Metodo de Jordan Metodo LU
Aplicações
Correntes e voltagens em circuitos de resistores
Segunda Lei de Kirchhoff (Lei das Tensões ou Lei das Malhas)
A soma algébrica da d.d.p (Diferença de Potencial Elétrico) em umpercurso fechado é nula.
2i 1 + 4(i 1 − i 2) + 2(i 1 − i 3) − 10 = 0
2i 2 − 2i 2 + 2(i 2 − i 3) + 4(i 2 − i 1) = 0
6i 3 + 2(i 3 − i 1) + 2(i 3 − i 2) − 4 = 0
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Introducão Método de Gauss Método de Jordan Método LU
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Introduçao Metodo de Gauss Metodo de Jordan Metodo LU
Sistemas Lineares
O que é uma equação linear?
Uma equação é linear se:
Cada termo contém não mais do que uma variávelCada variável aparece na primeira potência
Exemplos
3x + 4y − 10z = 50 Linear2xy + 6y = −1 Não Linear
x
4
− 6y + z = 0 Não Linear
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Introducão Método de Gauss Método de Jordan Método LU
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Introduçao Metodo de Gauss Metodo de Jordan Metodo LU
Sistemas Lineares
O que é uma equação linear?
Uma equação é linear se:
Cada termo contém não mais do que uma variávelCada variável aparece na primeira potência
Exemplos
3x + 4y − 10z = 50 Linear2xy + 6y = −1 Não Linear
x
4
− 6y + z = 0 Não Linear
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Introducão Método de Gauss Método de Jordan Método LU
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Introduçao Metodo de Gauss Metodo de Jordan Metodo LU
Sistemas Lineares
O que é uma equação linear?
Uma equação é linear se:
Cada termo contém não mais do que uma variávelCada variável aparece na primeira potência
Exemplos
3x + 4y − 10z = 50 Linear2xy + 6y = −1 Não Linear
x
4
− 6y + z = 0 Não Linear
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Introducão Método de Gauss Método de Jordan Método LU
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Introduçao Metodo de Gauss Metodo de Jordan Metodo LU
Sistemas Lineares
O que é uma equação linear?
Uma equação é linear se:
Cada termo contém não mais do que uma variávelCada variável aparece na primeira potência
Exemplos
3x + 4y − 10z = 50 Linear2xy + 6y = −1 Não Linear
x
4
− 6y + z = 0 Não Linear
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Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU
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Sistemas Lineares
O que é uma equação linear?
Uma equação é linear se:
Cada termo contém não mais do que uma variávelCada variável aparece na primeira potência
Exemplos
3x + 4y − 10z = 50 Linear2xy + 6y = −1 Não Linear
x
4
− 6y + z = 0 Não Linear
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Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU
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Sistemas Lineares
O que é uma equação linear?
Uma equação é linear se:
Cada termo contém não mais do que uma variávelCada variável aparece na primeira potência
Exemplos
3x + 4y − 10z = 50 Linear2xy + 6y = −1 Não Linear
x
4 −6y + z = 0 N
˜ao Linear
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Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU
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Sistemas Lineares
O que é uma equação linear?
Uma equação é linear se:
Cada termo contém não mais do que uma variávelCada variável aparece na primeira potência
Exemplos
3x + 4y − 10z = 50 Linear2xy + 6y = −1 Não Linearx 4 − 6y
+ z
= 0 Não Linear
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Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU
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Sistemas Lineares
O que é uma equação linear?
Uma equação é linear se:
Cada termo contém não mais do que uma variávelCada variável aparece na primeira potência
Exemplos
3x + 4y − 10z = 50 Linear2xy + 6y = −1 Não Linearx 4 − 6y + z = 0 Não Linear
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Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU
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Sistemas Lineares
O que são sistemas lineares?
Um conjunto de n equações lineares com n variáveis(incógnitas) é denominado de:
Sistemas de n equações lineares ouSistema Linear de Ordem n
Uma solução para um sistema linear consiste de
determinar valores para as n variáveis que satisfaçam
todas as equações simultaneamente.
x + y + z = 1x − y − z = 1
2x + 3y − 4z = 9
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Sistemas Lineares
O que são sistemas lineares?
Um conjunto de n equações lineares com n variáveis(incógnitas) é denominado de:
Sistemas de n equações lineares ouSistema Linear de Ordem n
Uma solução para um sistema linear consiste de
determinar valores para as n variáveis que satisfaçam
todas as equações simultaneamente.
x + y + z = 1x − y − z = 1
2x + 3y − 4z = 9
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Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU
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Sistemas Lineares
Representação
a 11x 1 + a 12x 2 + a 13x 3 . . . + a 1n x n = b 1
a 21x 1 + a 22x 2 + a 23x 3 . . . + a 2n x n = b 2
a 31x 1 + a 32x 3 + a 33x 3 . . . + a 3n x n = b 3
. . . . . .a n 1x 1 + a n 2x 2 + a n 3x 3 . . . + a nn x n = b n
a 11 a 12 . . . a 1n
a 21 a 22 . . . a 2n ...
... . . .
...
a n 1 a n 2 . . . a nn
×
x 1
x 2...
x n
=
b 1
b 2...
b n
⇒ Ax = b
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Sistemas Lineares
Representação
a 11x 1 + a 12x 2 + a 13x 3 . . . + a 1n x n = b 1
a 21x 1 + a 22x 2 + a 23x 3 . . . + a 2n x n = b 2
a 31x 1 + a 32x 3 + a 33x 3 . . . + a 3n x n = b 3
. . . . . .a n 1x 1 + a n 2x 2 + a n 3x 3 . . . + a nn x n = b n
a 11 a 12 . . . a 1n
a 21 a 22 . . . a 2n ...
... . . .
...
a n 1 a n 2 . . . a nn
×
x 1
x 2...
x n
=
b 1
b 2...
b n
⇒ Ax = b
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Sistemas Lineares
Classificação dos Sistemas Lineares
Possı́vel ou consistente: pelo menos uma solução
Determinado : apenas uma solução.Indeterminado : mais de uma solução.
Impossı́vel ou inconsistente: nenhuma solução
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Sistemas Lineares
Classificação dos Sistemas LinearesSistema Possı́vel e Determinado
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Sistemas Lineares
Classificação dos Sistemas LinearesSistema Possı́vel e Indeterminado
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Sistemas Lineares
Classificação dos Sistemas LinearesSistema Impossı́vel
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Sistemas Lineares
Peculiaridades dos Sistemas LinearesTransformações básicas
São operações efetuadas sobre um sistema linear com o
intuito de obter um outro sistema linear equivalente.
Objetivo é transformar esse outro sistema linear numaversão mais fácil de resolver.
1 Trocar a ordem de duas equações do sistema.
2 Multiplicar uma equação do sistema por uma constante
não nula.3 Adicionar duas equações.
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Sistemas Lineares
Peculiaridades dos Sistemas LinearesTransformações básicas
São operações efetuadas sobre um sistema linear com o
intuito de obter um outro sistema linear equivalente.
Objetivo é transformar esse outro sistema linear numaversão mais fácil de resolver.
1 Trocar a ordem de duas equações do sistema.
2 Multiplicar uma equação do sistema por uma constante
não nula.3 Adicionar duas equações.
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Sistemas Lineares
Peculiaridades dos Sistemas LinearesTransformações básicas - Trocar a ordem de duas equações do sistema
x + y = 1
2x +
y =
5
1 1
2 1
×
x
y
=
1
5
⇒ x = 4, y = −3
2 11 1
×
x
y
=
5
1
⇒ x = 4, y = −3
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Sistemas Lineares
Peculiaridades dos Sistemas LinearesTransformações básicas - Multiplicar uma equação do sistema por uma constante não
nula
x + y = 12x + y = 5
1 1
2 1
×
x
y
=
1
5
⇒ x = 4, y = −3
2 22 1
×
x
y
=
2
5
⇒ x = 4, y = −3
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Sistemas Lineares
Peculiaridades dos Sistemas LinearesTransformações básicas - Adicionar duas equações
x + y = 1
2x + y = 5
1 1
2 1
×
x
y
=
1
5
⇒ x = 4, y = −3
L2 = L2 − L1
1 1
1 0
×
x
y
=
2
4
⇒ x = 4, y = −3
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Sistemas Lineares
Observações gerais
Os métodos numéricos para resolução de sistemas
lineares que serão discutidos são usados para sistemas
lineares de ordem n que tenham solução única.
Esses sistemas são aqueles em que a matriz dos
coeficientes é não singular.
det (A) = 0
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Sistemas Lineares
Resolução numérica de sistemas lineares
Métodos exatos ou diretos
São aqueles que forneceriam a solução exata, não fossem
os erros de arredondamento, com um número finito deoperações
Métodos iterativos
São aqueles que permitem obter a solução de um sistemacom uma dada precisão através de um processo infinito
convergente
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Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU
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Sumário
1 Introdução
Objetivos
Aplicações
Sistemas Lineares
2 Método de Gauss
3 Método de Jordan
4 Método LU
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Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU
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Método da Eliminação de GaussVisão geral
O método de Gauss consiste em transformar o sistemaoriginal num sistema triangular superior (eliminaç ˜ ao
progressiva) e em seguida resolver o sistema através de
uma substituiç ˜ ao regressiva
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Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU
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Método da Eliminação de GaussVisão geral
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Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU
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Eliminação progressiva das variáveis - Passo 1Formando a matriz aumentada
a 11 a 12 a 13 . . . a 1n ... b 1
a 21 a 22 a 23 . . . a 2n ... b 2
... ...
... . . .
... ...
a n 1 a n 2 a n 3 . . . a nn ... b n
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Eliminação progressiva das variáveis - Passo 2Normalização
a 11 a 12 a 13 . . . a 1n ... b 1
a 21 a 22 a 23 . . . a 2n ... b 2
..
.
...
...
. ..
...
...
a n 1 a n 2 a n 3 . . . a nn ... b n
L2 = L2 − L1 × a 21a 11
L3 = L3 − L1 × a 31a 11
Ln = Ln − L1 × a n 1a 11
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Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU
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Eliminação progressiva das variáveis- Passo 2Normalização
a 11 a 12 a 13 . . . a 1n ... b 1
0 a 22 a
23 . . . a
2n ... b 2
... ...
... . . .
... ...
0 a n 2 a
n 3 . . . a
nn
... b n
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Eliminação progressiva das variáveis- Passo 3Normalizando o próximo elemento da diagonal principal
a 11 a 12 a 13 . . . a 1n ... b 1
0 a 22 a
23 . . . a
2n
... b 2...
... ...
. . . ...
...
0 a n 2 a
n 3 . . . a
nn
... b n
L3 = L3 − L2 × a
32a 22
L4 = L4 − L2 × a 42a
22
Ln = Ln − L2 × a
n 2
a 22
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Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU
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Eliminação progressiva das variáveis - Passo 4Normalizando até o (n-1)ésimo elemento da diagonal principal
a 11 a 12 a 13 . . . a 1n ... b 1
0 a 22 a
23 . . . a
2n ... b 2
... ...
... . . .
... ...
0 0 0 . . . a n −1nn ... b n −1n
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Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU
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Eliminação Progressiva das variáveisAlgoritmo
Entrada: a matriz de coeficientes A(n ,n ) e o vetor dos termos independentes B (n ,1) .
Saı́da : a matriz aumentada triangular superior.
// Percorre os n-1 elementos da diagonal principal
1 Para i ← 1 até n − 1
// Percorre os elementos abaixo do pivô na mesma coluna2 Para j ← i + 1 até n
3 fator ←a ji a ii
;
// Zera os elementos
4 a ji ← 0;
// Normaliza os elementos de uma linha
5 Para k ← i + 1 até n 6 a jk ← a jk - fator × a ik ;
7 b j ← b j - fator × b i ;
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Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU
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Substituição regressiva - Ideia básica
a 11 a 12 a 13 . . . a 1n ... b 1
0 a 22 a
23 . . . a
2n
... b 2...
... ...
. . . ...
...
0 0 0 . . . a n −1nn ... b n −1n
x n = b n −1n /a
n −1nn
x n −1 = (b n −2n −1 − a
n −2n −1,n x n )/a
n −2n −1,n −1
x 1 = (b 1 − a 12x 2 − . . . − a 1n x n )/a 11
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Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU
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Substituição regressiva - Exemplo
3 4 5 2 ... 8
0 2 8 7 ... 1
0 0 4 5 ... 2
0 0 0 3 ... 6
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Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU
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Substituição regressivaAlgoritmo
Entrada: a matriz aumentada triangular superior (A(n ,n )
.
.
.B (n ,1)).
Saı́da : o vetor solução X (n ,1) .
1 x n ← b n a nn
// Percorre as n-1 linhas da matriz aumentada
2 Para i ← n − 1 até 13 soma ← b i ;
// Somatorio das outra incógnitas que x i depende4 Para j ← i + 1 até n 5 soma ← soma- x j × a ij ;
6 x i ←
soma
a ii ;
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Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU
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Exemplo - Método de Gauss
6 2 −1
... 7
2 4 1 ... 7
3 2 8 ... 13
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Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU
-
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Exemplo - Método de GaussEliminação progressiva
6 2 −1 ... 7
2 4 1 ... 7
3 2 8
... 13
L2 = L2 − L1 ×2
6L3 = L3 − L1 ×
3
6
L2,1 = 2 − 2 = 0 L3,1 = 3 − 3 = 0
L2,2 = 4 − 23
= 103
L3,2 = 2 − 1 = 1
L2,3 = 1 +1
3=
4
3L3,3 = 8 +
1
2=
17
2
L2,4 = 7 −7
3=
14
3L3,4 = 13 −
7
2=
19
2
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Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU
E l M ´ d d G
-
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Exemplo - Método de GaussEliminação progressiva
6 2 −1
... 7
0 10343
... 143
0 1 172 ... 192
L3 = L3 − L2 × 1
103
L3,2 = 1 − 1 = 0L3,3 =
172 − 4
10 = 8110
L3,4 = 19
2 − 14
10 = 8110
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Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU
E l M ´ d d G
-
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Exemplo - Método de GaussSubstituição regressiva
6 2 −1
... 7
0 10343
... 143
0 0 8110 ... 8110
x 3 =81108110
= 1
x 2 =143 − 4
3103
= 1
x 1 = 7+1−2
6 = 1
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Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU
-
8/20/2019 Sistem as Line Are s
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Alguns problemas
“Embora existam muitos sistemas de equações que
podem ser resolvidos pela eliminação de Gauss, háalgumas armadilhas que precisam ser exploradas antes
de escrever um programa de computador geral para
implementar o método”. Steven C. Chapra
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Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU
Al bl
-
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Alguns problemasDivisão por zero
Durante a normalização, se o pivô usado para normalizar
as outras equações for igual a zero, um erro ocorrerá.
0 2 3 ... 8
4 6 7 ... −3
2 1 6 ... 5
L2 = L2 − L1 × 40
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Introduç˜ao M
´etodo de Gauss M
´etodo de Jordan M
´etodo LU
Alguns problemas
-
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Alguns problemasErros de arredondamento
Um erro de arredondamento pode torna-se
particularmente importante quando se resolve um número
grande de equações, por causa do fato de que cadaresultado depende dos resultados anteriores. Um erro nas
etapas inicias tende a se propagar causando erros nas
etapas subsequentes.
Vocês devem sempre substituir suas respostas no sistema
original para verificar se erros substanciais ocorreram.
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Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU
Alguns problemas
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Alguns problemasErro de arredondamento
0.0003 3.0000 ... 2.0001
1.0000 1.0000 ... 1.0000
Algarismos significativos x2 x1 Erro relativo (x1)
3 0.667 -3.000 1099
4 0.6667 0.0000 100
5 0.66667 0.30000 10
6 0.666667 0.330000 1
7 0.6666667 0.3330000 0.1
Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos
Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU
M ´ t d d i t t i l
-
8/20/2019 Sistem as Line Are s
55/101
Metodo do pivoteamento parcial
Antes que cada linha seja normalizada, é vantajoso
determinar o maior coeficiente disponı́vel na coluna abaixodo elemento pivô.
As linhas podem ser trocadas de modo que o maior
coeficiente seja o elemento pivô.
Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos
Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU
Método do pivoteamento parcial
-
8/20/2019 Sistem as Line Are s
56/101
Metodo do pivoteamento parcial
0 2 3
... 8
4 6 7 ... −3
2 1 6 .
.. 5
⇓
4 6 7
... −3
0 2 3 ... 8
2 1 6 ... 5
Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos
Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU
Método do pivoteamento parcial
-
8/20/2019 Sistem as Line Are s
57/101
Metodo do pivoteamento parcialOnde posicionar o algoritmo?
Eliminação progressiva
Entrada: a matriz de coeficientes A(n ,n ) e o vetor dos termos independentes B (n ,1) .
Saı́da : a matriz aumentada triangular superior.
// Percorre os n-1 elementos da diagonal principal
1 Para i ← 1 até n − 1
2 pivoteamentoParcial(A,B,i )// Percorre os elementos abaixo do pivô na mesma coluna3 Para j ← i + 1 até n
4 fator ←a ji a ii
;
// Zera os elementos
5 a ji ← 0;
// Normaliza os elementos de uma linha
6 Para k ← i + 1 até n
7 a jk ← a jk - fator × a ik ;8 b j ← b j - fator × b i ;
Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos
Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU
Método do pivoteamento parcial
-
8/20/2019 Sistem as Line Are s
58/101
Metodo do pivoteamento parcialAlgoritmo
Entrada: A(n ,n ), B
(n ,1) e a posição j do elemento pivô.
Saı́da : a matriz aumentada com o pivoteamento parcial.
1 maxValor ← a j , j ; // pivô
2 maxLinha ← j; // linha do pivô// Identificar o maior coeficiente da coluna, a partir da linha do pivô
3 Para i ← j até n − 14 Se ABS(maxValor)
< ABS(a
i +1,
j ) Entao
5 maxValor ← a i +1, j ;
6 maxLinha ← i+1;
7 Se maxValor = a j , j Entao// Fazendo a troca entre as linhas
8 Para i ← 1 até n 9 aux ← a j ,i ;
10 a j ,i ← a maxLinha,i ;
11 a maxLinha,i ← aux;
12 aux ← b j ;
13 b j ← b maxLinha;
14 b maxLinha ← aux;
Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos
Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU
Método do pivoteamento parcial
-
8/20/2019 Sistem as Line Are s
59/101
Metodo do pivoteamento parcialExemplo
0.0003 3.0000 ... 2.0001
1.0000 1.0000 ... 1.0000
Sem pivoteamento
Algarismos significativos x2 x1 Erro relativo (x1)
3 0.667 -3.000 1099
4 0.6667 0.0000 100
5 0.66667 0.30000 10
6 0.666667 0.330000 1
Com pivoteamento
Algarismos significativos x2 x1 Erro relativo (x1)
3 0.667 0.333 0.1
4 0.6667 0.3333 0.01
5 0.66667 0.33333 0.001
6 0.666667 0.333333 0.0001
Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos
Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU
Sumário
-
8/20/2019 Sistem as Line Are s
60/101
Sumario
1 Introdução
Objetivos
Aplicações
Sistemas Lineares
2 Método de Gauss
3 Método de Jordan
4 Método LU
Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos
Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU
Método de Jordan
-
8/20/2019 Sistem as Line Are s
61/101
Metodo de JordanIdeia básica
Consiste em operar transformações elementares sobre as
equações do sistema linear até que seja encontrado um
sistema diagonal equivalente.
A =
a 11 0 . . . 0
0 a 22 . . . 0..
.
..
.
. . . ..
.0 0 . . . a nn
Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos
Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU
Método de Jordan
-
8/20/2019 Sistem as Line Are s
62/101
Metodo de JordanIdeia básica
ax + by + cz = d
ex + fy + gz = h
ix + jy + lz = m
a b c d
e f g h
i j l m
a b c d
0 f g h
0 j l m
a 0 c d
0 f g h
0 0 l m
a 0 0 d
0 f
0 h
0 0 l m
x = d
a
y = h
f
z = m
l
Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos
-
8/20/2019 Sistem as Line Are s
63/101
Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU
Método de Jordan
-
8/20/2019 Sistem as Line Are s
64/101
Metodo de JordanIdeia básica
ax + by + cz = d
ex + fy + gz = h
ix + jy + lz = m
a b c d
e f g h
i j l m
a b c d
0 f g h
0 j l m
a 0 c d
0 f g h
0 0 l m
a 0 0 d
0 f
0 h
0 0 l m
x = d
a
y = h
f
z = m
l
Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos
Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU
Método de Jordan
-
8/20/2019 Sistem as Line Are s
65/101
Ideia básica
ax + by + cz = d
ex + fy + gz = h
ix + jy + lz = m
a b c d
e f g h
i j l m
a b c d
0 f g h
0 j l m
a 0 c d
0 f g h
0 0 l m
a 0 0 d
0 f
0 h
0 0 l m
x = d
a
y = h
f
z = m
l
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Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU
Método de Jordan
-
8/20/2019 Sistem as Line Are s
66/101
Ideia básica
ax + by + cz = d
ex + fy + gz = h
ix + jy + lz = m
a b c d
e f g h
i j l m
a b c d
0 f g h
0 j l m
a 0 c d
0 f g h
0 0 l m
a 0 0 d
0 f
0 h
0 0 l m
x = d
a
y = h
f
z = m
l
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Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU
Método de Jordan
-
8/20/2019 Sistem as Line Are s
67/101
Ideia básica
ax + by + cz = d
ex + fy + gz = h
ix + jy + lz = m
a b c d
e f g h
i j l m
a b c d
0 f g h
0 j l m
a 0 c d
0 f g h
0 0 l m
a 0 0 d
0 f
0 h
0 0 l m
x = d
a
y = h
f
z = m
l
Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos
Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU
Método de Jordan
-
8/20/2019 Sistem as Line Are s
68/101
Ideia básica
ax + by + cz = d
ex + fy + gz = h
ix + jy + lz = m
a b c d
e f g h
i j l m
a b c d
0 f g h
0 j l m
a 0 c d
0 f g h
0 0 l m
a 0 0 d
0 f
0 h
0 0 l m
x = d
a
y = h
f
z = m
l
Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos
Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU
Método de Jordan
-
8/20/2019 Sistem as Line Are s
69/101
Ideia básica
ax + by + cz = d
ex + fy + gz = h
ix + jy + lz = m
a b c d
e f g h
i j l m
a b c d
0 f g h
0 j l m
a 0 c d
0 f g h
0 0 l m
a 0 0 d
0 f
0 h
0 0 l m
x = d
a
y = h
f
z = m
l
Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos
Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU
Método de Jordan
-
8/20/2019 Sistem as Line Are s
70/101
Exemplo
x + y + 2z = 4
2x − y − z = 0
x − y − z = −1
1 1 2 4
2 −1 −1 0
1 −1 −1 −1
Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos
Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU
Método de JordanE l
-
8/20/2019 Sistem as Line Are s
71/101
Exemplo
1 1 2 4
2 −1 −1 0
1 −1 −1 −1
L2 = L2 − L1 ×2
1L3 = L3 − L1 ×
1
1
L2,1 = 2 − 1x 2 = 0 L3,1 = 1 − 1x 1 = 0
L2,2 = −1 − 1x 2 = −3 L3,2 = −1 − 1x 1 = −2
L2,3 = −1 − 2x 2 = −5 L3,3 = −1 − 2x 1 = −3
L2,4 = 0 − 4x 2 = −8 L3,4 = −1 − 4x 1 = −5
Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos
Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU
Método de JordanE l
-
8/20/2019 Sistem as Line Are s
72/101
Exemplo
1 1 2 4
2 −1 −1 0
1 −1 −1 −1
L2 = L2 − L1 ×2
1L3 = L3 − L1 ×
1
1
L2,1 = 2 − 1x 2 = 0 L3,1 = 1 − 1x 1 = 0
L2,2 = −1 − 1x 2 = −3 L3,2 = −1 − 1x 1 = −2
L2,3 = −1 − 2x 2 = −5 L3,3 = −1 − 2x 1 = −3
L2,4 = 0 − 4x 2 = −8 L3,4 = −1 − 4x 1 = −5
Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos
Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU
Método de JordanE emplo
-
8/20/2019 Sistem as Line Are s
73/101
Exemplo
1 1 2 4
2 −1 −1 0
1 −1 −1 −1
L2 = L2 − L1 ×2
1L3 = L3 − L1 ×
1
1
L2,1 = 2 − 1x 2 = 0 L3,1 = 1 − 1x 1 = 0
L2,2 = −1 − 1x 2 = −3 L3,2 = −1 − 1x 1 = −2
L2,3 = −1 − 2x 2 = −5 L3,3 = −1 − 2x 1 = −3
L2,4 = 0 − 4x 2 = −8 L3,4 = −1 − 4x 1 = −5
Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos
Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU
Método de JordanExemplo
-
8/20/2019 Sistem as Line Are s
74/101
Exemplo
1 1 2 4
2 −1 −1 0
1 −1 −1 −1
L2 = L2 − L1 ×2
1L3 = L3 − L1 ×
1
1
L2,1 = 2 − 1x 2 = 0 L3,1 = 1 − 1x 1 = 0
L2,2 = −1 − 1x 2 = −3 L3,2 = −1 − 1x 1 = −2
L2,3 = −1 − 2x 2 = −5 L3,3 = −1 − 2x 1 = −3
L2,4 = 0 − 4x 2 = −8 L3,4 = −1 − 4x 1 = −5
Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos
Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU
Método de JordanExemplo
-
8/20/2019 Sistem as Line Are s
75/101
Exemplo
1 1 2 4
0 − 3 −5 −8
0 −2 −3 −5
L1 = L1 − L2 ×1
−3L3 = L3 − L2 ×
−2
−3
L1,1 = 1 − 0x 1
−3= 1 L3,1 = 0
L1,2 = 1 − (−3)x
1
−3 = 0 L3,2 = −2 − (−3)x
−2
−3 = 0
L1,3 = 2 − (−5)x 1
−3=
1
3L3,3 = −3 − (−5)x
−2
−3=
1
3
L1,4 = 4 − (−8)x 1
−3=
4
3L3,4 = −5 − (−8)x
−2
−3=
1
3
Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos
Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU
Método de JordanExemplo
-
8/20/2019 Sistem as Line Are s
76/101
Exemplo
1 1 2 4
0 − 3 −5 −8
0 −2 −3 −5
L1 = L1 − L2 ×1
−3L3 = L3 − L2 ×
−2
−3
L1,1 = 1 − 0x 1
−3= 1 L3,1 = 0
L1,2 = 1 − (−3)x
1
−3 = 0 L3,2 = −2 − (−3)x
−2
−3 = 0
L1,3 = 2 − (−5)x 1
−3=
1
3L3,3 = −3 − (−5)x
−2
−3=
1
3
L1,4 = 4 − (−8)x 1
−3=
4
3L3,4 = −5 − (−8)x
−2
−3=
1
3
Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos
Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU
Método de JordanExemplo
-
8/20/2019 Sistem as Line Are s
77/101
Exemplo
1 1 2 4
0 − 3 −5 −8
0 −2 −3 −5
L1 = L1 − L2 ×1
−3L3 = L3 − L2 ×
−2
−3
L1,1 = 1 − 0x 1
−3= 1 L3,1 = 0
L1,2 = 1 − (−3)x
1
−3 = 0 L3,2 = −2 − (−3)x
−2
−3 = 0
L1,3 = 2 − (−5)x 1
−3=
1
3L3,3 = −3 − (−5)x
−2
−3=
1
3
L1,4 = 4 − (−8)x 1
−3=
4
3L3,4 = −5 − (−8)x
−2
−3=
1
3
Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos
Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU
Método de JordanExemplo
-
8/20/2019 Sistem as Line Are s
78/101
Exemplo
1 1 2 4
0 − 3 −5 −8
0 −2 −3 −5
L1 = L1 − L2 ×1
−3L3 = L3 − L2 ×
−2
−3
L1,1 = 1 − 0x 1
−3= 1 L3,1 = 0
L1,2 = 1 − (−3)x
1
−3 = 0 L3,2 = −2 − (−3)x
−2
−3 = 0
L1,3 = 2 − (−5)x 1
−3=
1
3L3,3 = −3 − (−5)x
−2
−3=
1
3
L1,4 = 4 − (−8)x 1
−3=
4
3L3,4 = −5 − (−8)x
−2
−3=
1
3
Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos
Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU
Método de JordanExemplo
-
8/20/2019 Sistem as Line Are s
79/101
Exemplo
1 0 1343
0 −3 −5 −8
0 0 1
3
1
3
L1 = L1 − L3 ×1/3
1/3L2 = L2 − L3 ×−15
L1,1 = 1 − 0x (1) = 1 L2,1 = 0
L1,2 = 0 − 0x (1) = 0 L2,2 = −3
L1,3 =1
3−
1
3x (1) = 0 L2,3 = −5 −
1
3x (−15) = 0
L1,4 =4
3−
1
3x (1) = 1 L2,4 = −8 −
1
3x (−15) = −3
Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos
Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU
Método de JordanExemplo
-
8/20/2019 Sistem as Line Are s
80/101
Exemplo
1 0 1343
0 −3 −5 −8
0 0 1
3
1
3
L1 = L1 − L3 ×1/3
1/3L2 = L2 − L3 ×−15
L1,1 = 1 − 0x (1) = 1 L2,1 = 0
L1,2 = 0 − 0x (1) = 0 L2,2 = −3
L1,3 =1
3−
1
3x (1) = 0 L2,3 = −5 −
1
3x (−15) = 0
L1,4 =4
3−
1
3x (1) = 1 L2,4 = −8 −
1
3x (−15) = −3
Ivanovitch Silva Introdução e métodos exatos
Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU
Método de JordanExemplo
-
8/20/2019 Sistem as Line Are s
81/101
p
1 0 1343
0 −3 −5 −8
0 0 1
3
1
3
L1 = L1 − L3 ×1/3
1/3L2 = L2 − L3 ×−15
L1,1 = 1 − 0x (1) = 1 L2,1 = 0
L1,2 = 0 − 0x (1) = 0 L2,2 = −3
L1,3 =1
3−
1
3x (1) = 0 L2,3 = −5 −
1
3x (−15) = 0
L1,4 =4
3−
1
3x (1) = 1 L2,4 = −8 −
1
3x (−15) = −3
Ivanovitch Silva Introducão e métodos exatos
Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU
Método de JordanExemplo
-
8/20/2019 Sistem as Line Are s
82/101
p
1 0 1343
0 −3 −5 −8
0 0 1
3
1
3
L1 = L1 − L3 ×1/3
1/3L2 = L2 − L3 ×−15
L1,1 = 1 − 0x (1) = 1 L2,1 = 0
L1,2 = 0 − 0x (1) = 0 L2,2 = −3
L1,3 =1
3−
1
3x (1) = 0 L2,3 = −5 −
1
3x (−15) = 0
L1,4 =4
3−
1
3x (1) = 1 L2,4 = −8 −
1
3x (−15) = −3
Ivanovitch Silva Introducão e métodos exatos Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU
Método de JordanExemplo
-
8/20/2019 Sistem as Line Are s
83/101
1 0 0 1
0 −3 0 −3
0 0 1
313
x = 11 = 1
y = −3−
3
= 1
z =1313
= 1
Ivanovitch Silva Introducão e métodos exatos
-
8/20/2019 Sistem as Line Are s
84/101
Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU
Sumário
-
8/20/2019 Sistem as Line Are s
85/101
1 Introdução
Objetivos
Aplicações
Sistemas Lineares
2 Método de Gauss
3 Método de Jordan
4 Método LU
Ivanovitch Silva Introducão e métodos exatos Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU
Método LUIntrodução
-
8/20/2019 Sistem as Line Are s
86/101
O método LU é conhecido também como método da
decomposiç ˜ ao LU ou método da fatoraç ˜ ao LU
O objetivo do método é fatorar a matriz dos coeficientes,A, em um produto entre duas matrizes:
L - matriz triangular inferior, onde todos os elementos dadiagonal são iguais a 1U - matriz triangular superior, onde todos os elementos dadiagonal são diferentes de 0.
A = LU
Ax = b
LUx = b
y = Ux
Ly = b
Ux = y
Ivanovitch Silva Introducão e métodos exatos Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU
Método LUIntrodução
-
8/20/2019 Sistem as Line Are s
87/101
O método LU é conhecido também como método da
decomposiç ˜ ao LU ou método da fatoraç ˜ ao LU
O objetivo do método é fatorar a matriz dos coeficientes,A, em um produto entre duas matrizes:
L - matriz triangular inferior, onde todos os elementos dadiagonal são iguais a 1U - matriz triangular superior, onde todos os elementos dadiagonal são diferentes de 0.
A = LU
Ax = b
LUx = b
y = Ux
Ly = b
Ux = y
Ivanovitch Silva Introducão e métodos exatos
-
8/20/2019 Sistem as Line Are s
88/101
Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU
Método LUMatrizes L e U
-
8/20/2019 Sistem as Line Are s
89/101
L =
1 0 . . . 0
m 21 1 . . . 0
... ... . . . ...
m n 1 m n 2 . . . 1
U =
a (0)11 a
(0)12 . . . a
(0)1n
0 a (1)22 . . . a
(1)2n
... ... . . . ...
0 0 . . . a (n −1)nn
m i , j - são os multiplicadores (fatores) usados nos métodos de Gauss ou Jordan
a k
i , j - são os elementos de A modificados durante a triangulaçãoLembrando que Ux = y
Ivanovitch Silva Introducão e métodos exatos Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU
Método LUExemplo
-
8/20/2019 Sistem as Line Are s
90/101
4 3 −1 −2
−2 −4 5 20
1 2 6 7
L =
1 0 0
−0.5 1 0
0.25 0 1
L2 = L2 − L1 ×−2
4L3 = L3 − L1 ×
1
4
L2,1 = −2 − 4x (−0.5) = 0 L3,1 = 1 − 4x 0.25 = 0
L2,2 = −4 − 3x (−0.5) = −2.5 L3,2 = 2 − 3x 0.25 = 1.25
L2,3 = 5 − (−1)x (−0.5) = 4.5 L3,3 = 6 − (−1)x 0.25 = 6.25
L2,4 = 20 − (−2)x (−0.5) = 19 L3,4 = 7 − (−2)x 0.25 = 7.50
Ivanovitch Silva Introducão e métodos exatos Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU
Método LUExemplo
-
8/20/2019 Sistem as Line Are s
91/101
4 3 −1 −2
−2 −4 5 20
1 2 6 7
L =
1 0 0
−0.5 1 0
0.25 0 1
L2 = L2 − L1 ×−2
4L3 = L3 − L1 ×
1
4
L2,1 = −2 − 4x (−0.5) = 0 L3,1 = 1 − 4x 0.25 = 0
L2,2 = −4 − 3x (−0.5) = −2.5 L3
,2 = 2 − 3x 0.25 = 1.25L2,3 = 5 − (−1)x (−0.5) = 4.5 L3,3 = 6 − (−1)x 0.25 = 6.25
L2,4 = 20 − (−2)x (−0.5) = 19 L3,4 = 7 − (−2)x 0.25 = 7.50
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Método LUExemplo
-
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4 3 −1 −2
−2 −4 5 20
1 2 6 7
L =
1 0 0
−0.5 1 0
0.25 0 1
L2 = L2 − L1 ×−2
4L3 = L3 − L1 ×
1
4
L2,1 = −2 − 4x (−0.5) = 0 L3,1 = 1 − 4x 0.25 = 0
L2,
2 = −4 − 3x (−0.5) = −2.5 L3,
2 = 2 − 3x 0.25 = 1.25L2,3 = 5 − (−1)x (−0.5) = 4.5 L3,3 = 6 − (−1)x 0.25 = 6.25
L2,4 = 20 − (−2)x (−0.5) = 19 L3,4 = 7 − (−2)x 0.25 = 7.50
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Método LUExemplo
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4 3 −1 −2
0 − 2.5 4.5 19
0 1.25 6.25 7.5
L =
1 0 0
−0.5 1 0
0.25 −0.5 1
L3 = L3 − L2 ×1.25
−2.50
L2,1 = 0 − 0x (−0.5) = 0
L2,2 = 1.25 − (−2.5)x (−0.5) = 0L2,3 = 6.25 − 4.5x (−0.5) = 8.5
L2,4 = 7.5 − 19x (−0.5) = 17
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Método LUExemplo
-
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4 3 −1 −2
0 − 2.5 4.5 19
0 1.25 6.25 7.5
L =
1 0 0
−0.5 1 0
0.25 −0.5 1
L3 = L3 − L2 ×1.25
−2.50
L2,1 = 0 − 0x (−0.5) = 0
L2,2 = 1.25 − (−2.5)x (−0.5) = 0L2,3 = 6.25 − 4.5x (−0.5) = 8.5
L2,4 = 7.5 − 19x (−0.5) = 17
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Método LUExemplo
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4 3 −1 −2
0 − 2.5 4.5 19
0 1.25 6.25 7.5
L =
1 0 0
−0.5 1 0
0.25 −0.5 1
L3 = L3 − L2 ×1.25
−2.50
L2,1 = 0 − 0x (−0.5) = 0
L2,
2 = 1.25 − (−2.5)x (−0.5) = 0L2,3 = 6.25 − 4.5x (−0.5) = 8.5
L2,4 = 7.5 − 19x (−0.5) = 17
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´etodos exatos
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Método LUExemplo
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4 3 −1 −2
0 −2.5 4.5 19
0 0 8.5 17
L =
1 0 0
−0.5 1 0
0.25 −0.5 1
U =
4 3 −1
0 −2.5 4.5
0 0 8.5
y =
−2
19
17
x =
3
−4
2
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Método LUAlgoritmo
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Entrada: a matriz de coeficientes A(n ,n ) e o vetor dos termos independentes B (n ,1) .
Saı́da : a matriz aumentada triangular superior (U,y) e a matriz L.
// Inicia a matriz L, com 1’s na diagonal principal e os outros elementos tudo em
zero
1 L ← ones();// Percorre os n-1 elementos da diagonal principal
2 Para i ← 1 até n − 13 pivoteamentoParcial(A,B,i )
// Percorre os elementos abaixo do pivô na mesma coluna4 Para j ← i + 1 até n
5 fator ←a ji a ii
;
// Armazena os fatores na matriz L
6 l ji ← fator;
// Zera os elementos
7 a ji ← 0;
// Normaliza os elementos de uma linha
8 Para k ← i + 1 até n 9 a jk ← a jk - fator × a ik ;
10 b j ← b j - fator × b i ;
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Método LUQual a vantagem?
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8/20/2019 Sistem as Line Are s
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Se o método LU faz os mesmos procedimentos da técnicade eliminação de Gauss, qual a diferença entre essasduas técnicas?
Imagine um sistema onde desejamos calcular diferentessituações mudando apenas o vetor b.Na primeira execução já encontrarı́amos as matrizes L e U.Para os outros casos, diferentes b’s, era apenas necessáriorealizar substituições diretas (encontrar y) e regressivas(encontrar x). Nesse exemplo apenas o b muda, L e U
sempre são os mesmos.
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Método LUQual a vantagem?
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Se o método LU faz os mesmos procedimentos da técnicade eliminação de Gauss, qual a diferença entre essasduas técnicas?
Imagine um sistema onde desejamos calcular diferentessituações mudando apenas o vetor b.Na primeira execução já encontrarı́amos as matrizes L e U.Para os outros casos, diferentes b’s, era apenas necessáriorealizar substituições diretas (encontrar y) e regressivas(encontrar x). Nesse exemplo apenas o b muda, L e U
sempre são os mesmos.
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Se o método LU faz os mesmos procedimentos da técnicade eliminação de Gauss, qual a diferença entre essasduas técnicas?
Imagine um sistema onde desejamos calcular diferentessituações mudando apenas o vetor b.Na primeira execução já encontrarı́amos as matrizes L e U.Para os outros casos, diferentes b’s, era apenas necessáriorealizar substituições diretas (encontrar y) e regressivas(encontrar x). Nesse exemplo apenas o b muda, L e U
sempre são os mesmos.
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Método LUQual a vantagem?
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Se o método LU faz os mesmos procedimentos da técnicade eliminação de Gauss, qual a diferença entre essasduas técnicas?
Imagine um sistema onde desejamos calcular diferentessituações mudando apenas o vetor b.Na primeira execução já encontrarı́amos as matrizes L e U.Para os outros casos, diferentes b’s, era apenas necessáriorealizar substituições diretas (encontrar y) e regressivas(encontrar x). Nesse exemplo apenas o b muda, L e U
sempre são os mesmos.
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