sistem linier4
TRANSCRIPT
-
7/31/2019 Sistem Linier4
1/19
Sistem waktu Diskrit
Sistem waktu diskrit yaitu sebuah sistem yang mengubahmasukan waktu-diskrit kedalam keluaran waktu-diskrit
Sistem waktu-kontinu merupakan sistem dimanasinyal masukan waktu-kontinu diterapkan dan
menghasilkan sinyal keluaran waktu-kontinu
Sistem waktudiskrit
x(n)
y(n)
x[n] y[n]
Sistem waktukontinu
x(n)
y(n)
x[t] y[t]
-
7/31/2019 Sistem Linier4
2/19
Sistem waktu diskrit linier
Sistem waktu diskit linier mentransformasikan barisan masukanuk kedalam barisan keluaran yk, menurut suatu rumus atau
persamaan beda.Contoh
21 32 kkkk uuuy
Artinya
Carilah harga keluaran yk dengan menjumlahkan secarabersama-sama masukan sekarang (uk) dengan dua kali masukansebelumnya(2u k-1) dan tiga kali masukan yang tertunda dua kalisebelumnya (3u k-2). Sehingga untuk barisan masukan{1,0,1,2,0,0,} diperoleh keluaran sebagai berikut :
I. PERSAMAAN BEDA LINIER
-
7/31/2019 Sistem Linier4
3/19
Persamaan beda akan lebih mudah dipahami denganmenggunakan blok atau diagram aliran sinyal. Skema terdiridari 3 komponen yaitu :- Unit tunda yang berfungsi untuk menyimpan berbagai masukanyang lalu
- Pengganda- PenjumlahGambar skema untuk 21 32 kkkk uuuy
tsdy
y
y
y
k
k
k
k
..40.31.22
41.30.21
20.31.20
10.30.21
4
3
2
1
-
7/31/2019 Sistem Linier4
4/19
knknkkk uybybyby .....211
Ada dua pemecahan jika persamaan tak homogen uk 0 yaitu:- Y(h) untuk pemecahan homogen dan- Y(p) untuk pemecahan non homogen
Ada beberapa metode yang digunakan untuk mencari keluarandari sebuah system waktu diskrit dari barisan masukan. Salahsatunya dengan menyelesaikan persamaan beda. Bentukpersamaan beda seperti dibawah ini, dan dikatakan homogen jikauk = 0.
II. PEMECAHAN PERSAMAAN HOMOGEN
Untuk persamaan umum 0.....211 nknkkk ybybyby
rnrrahterdapatmakabrbrbr
ataurbrbrb
rbrbrbr
rbrbrbr
ry
nnnn
n
n
n
n
k
nk
n
kkk
k
k
,...,arg0......
0....1
0....1
0....
212
21
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
Maka apabila
-
7/31/2019 Sistem Linier4
5/19
k
nn
kk
nnhk
rcrcrc
kyckyckycy
)(.....)()(
)(.....)()(
2211
2211)(
Maka pemecahan homogennya
CONTOH 1
Sebuah persamaan beda 065 21 kkk yyy
Carilah penyelesaian homogennya dan gambarlah skemanya
065 21 kkk yyy
065 21 kkk rrr
0651 21 rrrkkkh
ccy
rr
rr
32
3;2
065
21
)(21
2
Penyelesaian
-
7/31/2019 Sistem Linier4
6/19
Gambar blok diagram sbb:
T T
Uk
Yk
5
ATURAN-ATURAN PEMECAHAN PERSAMAAN HOMOGEN(terbatas untuksystem orde 2)
kkh
k rcrcy )()( 2211)(
kccry khk 211
)()(
)coscos)(( 21)(
kckcyh
k
a
bba 122 tan;
1. Untuk tiap-tiap akar riel r1 dan r2 maka
2. Untuk tiap-tiap akar riel rangkap r1 maka
3. Untuk tiap-tiap akar kompleks r1 dan r2 maka
Jika r1= a + b ndan r2 = a jb maka
6
-+
-
7/31/2019 Sistem Linier4
7/19
CONTOH 2
Carilah tegangan-tegangan v1,v2,,vN di titik-titik simpul sepertiyang diperlihatkan pada gambar dibawah ini.
Penyelesaian
Pada titik ke-k dipergunakan arus kirchoff
aR
v
R
vv
R
vv
iii
kkkkk
11
321
-
7/31/2019 Sistem Linier4
8/19
Disamakan suku-sukunya
0)12(
02
11
11
11
321
kkk
kkkk
kkkkk
avvaav
avvavavaR
v
R
vv
R
vv
iii
Untuk k = 1,2,.,N-1 dengan syarat batas Vo = E dan VN = 0
Misal a = 1, maka
38,0;62,2
03
0)31(
03
03
21
2
21
21
11
rr
rrr
rrr
rrr
vvv
k
kkk
kkk
)38,0()62,2( 21)(
ccvkh
k
Jadi
-
7/31/2019 Sistem Linier4
9/19
)2(..............................)38,0()62,2(0
)1........(....................
)38,0()62,2(
21
21
0
2
0
1
NN
N
o
ccV
ccE
ccEv
Untuk mencari nilai c1 dan c2 dapat digunakan syarat-syarat batas
Setelah dieliminasi akan diperoleh
kk
k
NN
N Ecdan
Ec
)38,0()62,2(
)62,2(
)62,2()38,0(
)38,0(
21
Jadi
kNkNkkk
Ev )38,0()62,2()62,2()38,0(
)38,0()62,2(
-
7/31/2019 Sistem Linier4
10/19
-
7/31/2019 Sistem Linier4
11/19
Barisan paksaanOperator Pemusnah Bentuk Khusus Pemusnah
U LA
ak 1-as-1 cak
Sin k atau cos k (1-ej
s-1
)(1-e-j
s-1
) c1 sin k+ c2 cos k
kn (1-s-1)n+1 c0+c1k+c2k2+.+cnk
n
kn ak (1-as-1)n+1 ak[c0+c1k+c2k2+.+cnk
n]
aksin k atau akcos
k
(1-aejs-1)(1-ae-js-
1)
c1 aksin k+c2 a
kcos k
ksinkatau k cos
k[(1-ejs-1)(1-e-js-
1)]2c1 sin k+ c2 cos k+ c3 k sin
k+ c4 k cos k
ejk (1-ejs-1) c1ak+c2e
jk
TABELMenemukan Bentuk Khusus Pemecahan
-
7/31/2019 Sistem Linier4
12/19
T TUk
Yk
5/6
1/6
Penyelesaian
k
ykkk
k
ykkk yyatauyy 36/16
536/1
6
52121
kkyss 3)(
6
1
6
51 21
Persamaan beda untuk system diatas adalah
Dalam notasi operator
A. Penyelesaian persamaan homogen
3
1
2
1,0
6
1
6
521
2
rdanrakarnyaakarrrPersamaan Bantu
-+
-
7/31/2019 Sistem Linier4
13/19
kk
h
k ccy
3
1
2
121
)(Sehingga pemecahan homogennya
0)3(0)( k
AkA LuL
Dari table diperoleh untuk ak=3k, bentuk pecahan khususnya)( p
ky
20
27
154
1
18
5
336
13
6
53
33
6
13
6
53
3
333
2
3
1
33
2
3
1
33
C
CCC
CCC
CCC
kk
kkkk
Substitusikanke persamaan bedamenjadi
kp
ky 320
27)( Jadi penyelesaian partikulirnya
0320
27
3
1
2
121
)()(
kuntukcc
yyy
k
kk
p
k
h
kkPersamaan umum
B. Penyelesaian persamaan nonhomogen
kp
k Cy 33)(
-
7/31/2019 Sistem Linier4
14/19
-
7/31/2019 Sistem Linier4
15/19
2
)2(cos
2
)2(sin
kb
ka
2sin5
k
17
6
17
7 bdana
2cos6
2sin7
17
1)( kky p
k
Gunakan Identitas Trigonometri
Diperoleh hasil akhir
Jadi pemecahan tunaknya
CATATANRumus Identitas Trigonometri
sin(a+b) = sin a.cos b + cos a.sin b
sin(a-b) = sin a.cos b cos a.sin bcos(a+b) = cos a.cos b - sin a.sin bcos(a-b) = cos a.cos b + sin a.sin b
-
7/31/2019 Sistem Linier4
16/19
TANGGAPAN FREKUENSI DARI SISTEM WAKTU DISKRIT
jke
jkj
eeH )(
)(j
eH
jkk eu
Tanggapan frekuensi merupakan ciri khas dari system-sistemlinier. Kebanyakan persyaratan system linier dinyatakan dalam
pernyataan tanggapan frekuensi.
Jika diberi masukan suatu eksponensial kompleks, misalnya
maka tanggapan tunaknya selalu berbentuk
Besaran sebagai fungsi dari adalah tanggapan frekuensi dari sy
untuk menentukan tanggapan frekuensi dari system.
Dalam system waktu diskrit, hanya perlu mencari pemecahantunak bagi masukan
jkjpk
jkk eeHYeu )(
)(
-
7/31/2019 Sistem Linier4
17/19
CONTOH 1
Carilah tanggapan frekuensi untuk system orde pertama
kkk uayy 1
Penyelesaianjk
k eu 11 seL jA
jkkp
k ecacy 21)(
Bila , maka sesuai table
berarti tanggapan tunaknya berbentuk
Substitusi ke persamaan awal diperoleh :
j
jkjkj
jkjjkkjkk
jkkjkjkk
aec
eeaec
eeeacacecac
eecacaecac
11
1
2
2
2121
)1(
2
1
121
jk
j
p
ke
aey
1
1)(
j
j
ae
eH
1
1)(
Jadi pemecahan tunaknya
-
7/31/2019 Sistem Linier4
18/19
Tanggapan frekuensi adalah tanggapan tunak terhadap suatumasukan berbentuk sinus dari system. Tanggapan ini menentukanpenguatan (gain).Dan tanggapan fase system terhadap masukan sinusoida pada
semua frekuensi.Untuk menggambarkan
)( jeH , perlu dihitung amplitude dan fasenya
2
2222
22
1
cos21
1
sincoscos21
1
sin)cos1(
1
sincos11
cos1
sintan(arg;
sincos1
1(
aa
aaa
aa
jaa
a
aeH
jaaeH
jj
-
7/31/2019 Sistem Linier4
19/19