sistem persamaan linear
DESCRIPTION
SISTEM PERSAMAAN LINEAR. Budi Murtiyasa Jur. Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Surakarta Juli 2008. Sistem persamaan linear. 3x 1 – 7x 2 + x 3 = 0 -2x 1 + 3x 2 – 4x 3 = 0. 2x 1 – x 2 + 2x 3 = 7 x 1 + 3x 2 – 5x 3 = 0 - x 1 + x 3 = 4. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
Budi MurtiyasaJur. Pendidikan Matematika
Universitas Muhammadiyah SurakartaJuli 2008
22/04/23 1design by budi murtiyasa 2008
Sistem persamaan linear
2x1 – x2 + 2x3 = 7 x1 + 3x2 – 5x3 = 0- x1 + x3 = 4
Dng notasi matriks
101
531
212
3
2
1
x
x
x
=
4
0
7
A X = G
3x1 – 7x2 + x3 = 0
-2x1 + 3x2 – 4x3 = 0
Dng notasi matriks
432
173
3
2
1
x
x
x
=
0
0
A X = G
A, matriks koefisienX, matriks variabel /peubahG, matriks konstanta
Matriks augmented : matriks koefisien Aditambah matriks konstanta G.
(A | G) =
4101
0531
7212
SISTEM PERSAMAAN LINEARA X = G
G = 0 ?ya
Sistem persamaan linear homogenA X = 0
tidak
Sistem persamaan linear nonhomogenA X = G, dng G ≠ 0
Contoh :
3x – 5y + 3z = 0
x + 2y – z = 0
2x + y + 2z = 0
Contoh :
2x + y – 7z = 0
3x + 2y + z = 5
x – 6y + 2z = 0
SPL NonhomogenA X = G, G ≠ 0
Mempunyai jawab / konsisten
r(A) = r(A G)
Jawab tunggal
r(A) = r(A G) = n
Metode penyelesaian :• Gauss• Gauss-Jordan• matriks invers• Aturan cramer
Banyak Jawab
r(A) = r(A G) < n
Metode penyelesaian :• dng OBE, bawa (A G) ke bentuk echelon. banyaknya variabel bebas = n – r .
Tidak mempunyai jawab / inkonsisten
r(A) ≠ r(A G)
Keterangan :n : banyaknya variabelr : rank(A G) : matriks augmented (tambahan), yaitu matriks koefisien & matriks konstanta
SPL Nonhomogen dengan penyelesaian tunggal (unique)
Cari penyelesaian dari sistem :
x1 – 2x2 + x3 = -5
3x1 + x2 – 2x3 = 11
-2x1 + x2 + x3 = -2
Metode Gauss :
1. lakukan OBE, bawa (A G) menjadi
bentuk echelon
(A G) =
2112
11213
5121
~
12330
26570
5121
4110
26570
5121
~ ~
~
26570
4110
5121
2200
4110
5121
Persamaan baru menjadi :
x1 – 2x2 + x3 = -5
x2 – x3 = 4
2x3 = -2
2. lakukan subtitusi balik :
2x3 = -2 x3 = -1
x2 – x3 = 4 x2 – (-1) = 4
x2 = 3
x1 – 2x2 + x3 = -5
x1 – 2(3) + (- 1) = -5
x1 = 2
Jadi penyelesaiannya :{(2, 3, -1)}.
r(A) = 3r(A G) = 3n = 3
SPL Nonhomogen dengan penyelesaian tunggal (unique)
Cari penyelesaian dari sistem :
x1 – 2x2 + x3 = -5
3x1 + x2 – 2x3 = 11
-2x1 + x2 + x3 = -2
Metode Gauss-Jordan :
lakukan OBE, bawa (A G) menjadi
bentuk echelon baris tereduksi.
(A G) =
2112
11213
5121
~
12330
26570
5121
4110
26570
5121
~ ~
~
26570
4110
5121
2200
4110
5121
Jadi penyelesaiannya :{(2, 3, -1)}.
r(A) = 3r(A G) = 3n = 3
~
1100
4110
5121
~
1100
3010
4021
~
1100
3010
2001
Persamaan terakhir menjadi:
x1 = 2
x2 = 3
x3 = -1
Sistem persamaan linear
2x1 – x2 + 2x3 = 7 x1 + 3x2 – 5x3 = 0- x1 + x3 = 4
Dng notasi matriks
101
531
212
3
2
1
x
x
x
=
4
0
7
A X = G
3x1 – 7x2 + x3 = 0
-2x1 + 3x2 – 4x3 = 0
Dng notasi matriks
432
173
3
2
1
x
x
x
=
0
0
A X = G
A, matriks koefisienX, matriks variabel /peubahG, matriks konstanta
SPL Nonhomogen dengan penyelesaian tunggal (unique)
Cari penyelesaian dari sistem :
x1 – 2x2 + x3 = -5
3x1 + x2 – 2x3 = 11
-2x1 + x2 + x3 = -2
Metode Matriks Invers :
1. Cari invers dari A (bisa dng OBE, atau bisa dng matriks adjoint).
Jadi penyelesaiannya :{(2, 3, -1)}.
Jadi :
x1 = 2
x2 = 3
x3 = -1
A X = GA-1 A X = A-1 GX = A-1 G
A =
112
213
121
, maka
adj A =
735
531
333
det(A) = 6
A-1 = )det(
1
Aadj A =
6
1
735
531
333
2. Selesaikan X = A-1 G
X = 6
1
735
531
333
2
11
5
=
13
2
SPL Nonhomogen dengan penyelesaian tunggal (unique)
Cari penyelesaian dari sistem :
x1 – 2x2 + x3 = -5
3x1 + x2 – 2x3 = 11
-2x1 + x2 + x3 = -2
Metode Cramer :
1. Cari det(A), dan det(Ai) , yaitu determinan dr A dng terlebih dahulu mengganti kolom ke i dengan matriks konstanta G
Jadi penyelesaiannya :{(2, 3, -1)}.
|A| = = 6
| A1 | =
2. Selesaikan Xi = |Ai | / | A |
112
213
121
112
2111
125
= 12
| A2 | =
122
2113
151
= 18
| A3 | =
212
1113
521
= - 6
26
12
||
|| 11
A
Ax
36
18
||
|| 22
A
Ax
16
6
||
|| 33
A
Ax
SPL Nonhomogen dengan banyak jawab / banyak penyelesaian.
Selesaikan sistem :
x1 – 2x2 + x3 = 2
-2x1 + 3x2 – 4x3 = 1
-5x1 + 8x2 – 9x3 = 0
1. lakukan OBE, bawa (A G) menjadi
bentuk echelon
(A G) =
0985
1432
2121
~
10420
5210
2121
~
0000
5210
2121 r(A) = 2r(A G) = 2n = 3
Banyaknya variabel bebas = n – r = 3 – 2 = 1
Variabel bebasnya (yg tidak memuat unsur kunci)adalah : x3
Persamaan baru menjadi : x1 – 2x2 + x3 = 2 – x2 – 2x3 = 5
2. Berikan nilai parameter tertentu pada variabel bebas, kemudian subtitusikan pada persamaan baru.
Misalkan x3 = α, dng α bil Real
– x2 – 2x3 = 5 – x2 – 2α = 5
x2 = - 2α – 5
x1 – 2x2 + x3 = 2
x1 – 2(- 2α – 5) + α = 2
x1 = -5α – 8
Jadi penyelesaian umum :{(-5α – 8, -2α – 5, α)}.
Jika diambil nilai α = 0, maka salah satu penyelesaian khusus adalah {(-8, -5, 0)}.
SPL Nonhomogen dengan banyak jawab / banyak penyelesaian.
Selesaikan sistem :
x1 – x2 + 2x3 – 3x4 = - 2
-x1 + x2 – 3x3 + x4 = 1
2x1 – 2x2 + 3x3 – 8x4= - 5Solusi :
(A G) =
58322
11311
23211
~
~
12100
12100
23211
00000
12100
23211r(A) = 2r(A G) = 2n = 4
Banyaknya variabel bebas = n – r = 4 – 2 = 2
Variabel bebasnya (yg tidak memuat unsur kunci)adalah : x2 dan x4
Persamaan baru menjadi : x1 – x2 + 2x3 – 3x4 = - 2 – x3 – 2x4 = - 1
Misalkan x2 = α, dan x4 = β
dng α, β bil Real
– x3 – 2x4 = - 1 – x3 – 2β = - 1
x3 = - 2β + 1
x1 – x2 + 2x3 – 3x4 = - 2
x1 – α + 2 (-2β + 1) – 3β = -2
x1 = α + 7β – 4
Jadi penyelesiaan umum :{(α + 7β – 4, α, - 2β + 1, β)}.
misal diambil nilai α = 1, dan β = 0, maka salah satu penyelesaian khusus adalah {(-3, 1, 1, 0)}.
SPL Nonhomogen yang tidak mempunyai jawab / penyelesaian.
Selesaikan sistem :
x1 – x2 + 2x3 – 3x4 = - 2
-x1 + x2 – 3x3 + x4 = 1
2x1 – 2x2 + 3x3 – 8x4= - 3Solusi :
(A G) =
38322
11311
23211
~
~
12100
12100
23211
20000
12100
23211r(A) = 2r(A G) = 3n = 4
r(A) ≠ r(A G); tidak punya penyelesaian. Mengapa ?
Persamaan baru yg terakhir dpt dibaca :
0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 = 2
Apakah ada nilai x yang memenuhi ?
Sistem tidak punya penyelesaian.
SPL HomogenA X = 0
Selalu mempunyai jawab / konsisten
Sebab pasti r(A) = r(A 0)
Jawab tunggal /
hanya jawab trivial / jawab nol
r(A) = n
Banyak Jawab. Selain jawab trivial, ada jawab non trivial
r(A) < n
Metode solusi : Lakukan OBE terhadap matriks koefisien A, sehingga menjadi bentuk echelon.
banyaknya var.bebas = n – r
SPL Homogen dangan Jawab Tunggal /hanya jawab trivial / hanya jawab nol
Selesaikan sistem :
x1 – 2x2 + x3 = 0
-x1 + 3x2 – 2x3 = 0
2x1 + x2 – 4x3 = 0
Solusi :
(A 0) =
0412
0231
0121~
0650
0110
0121
~
0100
0110
0121 r(A) = 3r(A 0) = 3n = 3
Sistem hanya mempunyai jawab nol,Dari persamaan baru dapat dibaca :
x1 – 2x2 + x3 = 0
x2 – x3 = 0
– x3 = 0
Dengan subtitusi balik diperoleh :
x3 = 0, x2 = 0, danx1 = 0
Catatan : saat OBE, perhatikan bahwa bagian kanan dari (A | 0) tidak berubah,Jadi khusus sistem homogen kita dapat cukup melakukan OBE terhadap matriks A; dengan mengingat bahwa bagian ruas kanan selalu bernilai 0 (nol).
SPL Homogen dengan banyak Jawab
Selesaikan sistem :
x1 – 2x2 + x3 = 0
-x1 + 3x2 – 2x3 = 0
2x1 + x2 – 3x3 = 0
Solusi :
A =
312
231
121
~
550
110
121
~
000
110
121 r(A) = 2n = 3
Dari persamaan baru dapat dibaca :
x1 – 2x2 + x3 = 0
x2 – x3 = 0
Dengan subtitusi balik diperoleh :
Banyaknya variabel bebas = n – r = 3 – 2 = 1
Variabel bebasnya (yg tidak memuat unsur kunci)adalah : x3
Misalkan x3 = α, dng α bil Real
x2 – x3 = 0 x2 = α
x1 – 2x2 + x3 = 0 x1 = α
Jadi penyelesaian umum :{(α, α , α)}.
misal diambil nilai α = 1, maka salah satu penyelesaian khusus adalah {(1, 1, 1)}.
SPL Homogen dengan banyak Jawab
Selesaikan sistem :
-x1 + x2 – 3x3 + x4 = 0
x1 – x2 + 2x3 – 3x4 = 0
2x1 – 2x2 + 3x3 – 8x4= 0Solusi :
A =
8322
3211
1311~
6300
2100
1311
~
0000
2100
1311r(A) = 2n = 4
Banyaknya variabel bebas = n – r = 4 – 2 = 2
Variabel bebasnya (yg tidak memuat unsur kunci)adalah : x2 dan x4
Persamaan baru menjadi :- x1 + x2 – 3x3 + x4 = 0 – x3 – 2x4 = 0
Misalkan x2 = α, dan x4 = β
dng α, β bil Real
– x3 – 2x4 = 0 – x3 – 2β = 0
x3 = - 2β
-x1 + x2 – 3x3 + x4 = 0
-x1 + α – 3(-2β) + β = 0
x1 = α + 7β
Jadi penyelesaian umum :{(α + 7β, α, - 2β, β)}.
misal diambil nilai α = 0, dan β = 1, maka salah satu penyelesaian khusus adalah {(7, 0, -2, 1)}.
Jika mungkin, carilah jawab yang non trivial dari sistem persamaan :x1 – 3x2 + x3 + 2x4 = 0
2x1 – 5x2 + 3x3 + 4x4 = 0 3x1 – 8x2 + 4x3 + 6x4 = 0 -4x1 + 11x2 – 5x3 – 8x4 = 0Solusi :
A =
85114
6483
4352
2131
~
0110
0110
0110
2131
~
0000
0000
0110
2131
r(A) = 2n = 4
Banyaknya variabel bebas = n – r = 4 – 2 = 2
Variabel bebasnya (yg tidak memuat unsur kunci)adalah : x3 dan x4
Persamaan baru menjadi :x1 – 3x2 + x3 + 2x4 = 0 x2 + x3 = 0
Misalkan x3 = α, dan x4 = β
dng α, β bil Real
x2 + x3 = 0 x2 + α = 0
x2 = - α
x1 – 3x2 + x3 + 2x4 = 0
x1 – 3(-α) + α + 2β = 0
x1 = - 4α – 2β
Jadi penyelesaian umum :{(- 4α – 2β, -α, α, β)}.
misal diambil nilai α = 1, dan β = 1, maka salah satu penyelesaian khusus adalah {(-6, -1, 1, 1)}.
Jika mungkin, carilah jawab yang non trivial dari sistem persamaan :x1 + 3x2 + 3x3 = 0
x1 + 4x2 + 3x3 = 0 x1 + 3x2 + 4x3 = 0
Solusi :
Sistem tersebut hanya mempunyai jawab trivial (jawab nol).Jadi x1 = x2 = x3 = 0.