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1
Faculdade de Engenharia
Sistemas Lineares e Invariantes no TempoSistemas Lineares e Invariantes no Tempo(Transf. (Transf. Laplace e Análise Laplace e Análise Temporal)Temporal)
Sistemas e Sinais – 2009/2010
Faculdade de Engenharia
SSin SSin –– 22
SLITs SLITs –– análise temporalanálise temporal
� Sistemas: definições e propriedades
� SLITs causais
� Resposta natural e forçada
� Transformada de Laplace unilateral
� Sistemas descritos por equações diferenciais
� Análise de circuitos eléctricos no domínio s
� Função de transferência
� Pólos e zeros – estabilidade
� Resposta ao degrau de sistemas de 1ª e 2ª ordem
� Efeito dos zeros na resposta ao degrau
� Resposta de sistemas de ordem superior – pólos dominantes
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Faculdade de Engenharia
SSin SSin –– 33
Sistemas e SinaisSistemas e Sinais
� Modelos abstractos da realidade• Permitem estudar processos, fenómenos, etc., através das relações entre as
grandezas envolvidas
SSrr yy
EntradaEntrada SaídaSaída
Operação que permite Operação que permite determinar a saída determinar a saída
conhecendo a entradaconhecendo a entrada
SistemaSistema
SinaisSinais
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SSin SSin –– 44
ExemplosExemplos
ResistênciaResistênciaii vv
( ) ( )v t Ri t=
ResistênciaResistênciavv ii
1( ) ( )i t v t
R=
( ) 1( )
dv ti t
dt C=
ii vvCondensadorCondensador rr yy
( ) ( )y t r t T= −
Sistema de Sistema de comunicaçãocomunicação
Ideal!Ideal!
velocidadevelocidadeaceleradoracelerador
CarroCarro
travãotravão
“caixa”“caixa”
direcçãodirecção
orientaçãoorientação
posiçãoposição
…
tecladotecladoComputadorComputador
imagem monitorimagem monitor…
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SSin SSin –– 55
Sistemas Sistemas (propriedades)(propriedades)
� Com memória• Há instante(s) para o qual(is) o valor da saída depende da entrada noutro(s) instante(s)
� Causal• O valor da saída em cada instante não depende de valores da entrada em instantes
posteriores
� Invariância• A saída correspondente a uma entrada deslocada obtém-se deslocando a saída
correspondente à entrada original
� Linearidade• A saída correspondente a uma combinação linear de entrada é a mesma combinação
linear das saídas correspondentes a cada uma das entradas
� Estabilidade• A saída correspondente a uma entrada limitada é também limitada
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SSin SSin –– 66
SSistemas istemas LL ineares e ineares e IInvariantes no nvariantes no TTempoempo
� Caracterizados pela resposta impulsional � h(t) caracterização SIMPLES
� Relação entrada-saída definida por integral de convolução
SSrr yy
( ) ( )* ( ) ( ) ( )y t h t r t h t r d+∞
−∞
= = − τ τ τ∫
� Linearidade e invariânica
( ) ( )i i i i i ii i
r t t y t tα − → α −∑ ∑
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SSin SSin –– 77
SLITs causaisSLITs causais
A resposta impulsional satisfaz ( ) 0, 0h t t= <
podendo escrever-se ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t
y t h t r d h t r d+∞
−∞ −∞
= − τ τ τ = − τ τ τ∫ ∫
ou ainda0
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )t
y t h t r d h t r d−∞
= − τ τ τ + − τ τ τ∫ ∫
( )r t
t == ++( )Lr t
t
( )Rr t
t
resp
osta
a
resp
osta
a
( ) 0,h t t− τ = < τ
Em cada instante, o valor da saída apenas depende de valores da entrada em instantes anteriores.
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SSin SSin –– 88
SLITs causaisSLITs causais
resposta quanto a entrada é nula para t>0 � resposta natural
0
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )t
y t h t r d h t r d−∞
= − τ τ τ + − τ τ τ∫ ∫útil para determinar a resposta do sistema a uma entrada aplicada no instante zero
resposta quando a entrada nula para t<0 � resposta forçada
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SSin SSin –– 99
Transformada de Laplace unilateralTransformada de Laplace unilateral
Dado o sinal x(t), define-se por
0
[ ( )] ( ) stx t x t e dt−
+∞−= ∫L
� No que se segue iremos sempre representar a transformada de Laplace unilateral simplesmente por [ ]⋅L
Útil para a determinação da resposta de sistemas com condições iniciais não nulas.
� A integração inicia-se em 0- de forma a considerar eventuais impulsos em t = 0
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SSin SSin –– 1010
Transformada de Laplace unilateralTransformada de Laplace unilateral
� A RC (região de convergência) é sempre uma faixa do plano s que se estende de um dado valor de Re(s) até + ∞ (inclusivé)
� A transformada de Laplace unilateral de um sinal é completamente caracterizada pela sua expressão
Re
Im
0
0
| ( ) | tx t e dt−
+∞−σ < +∞∫
0
0
| ( ) | ,tx t e dt−
+∞−σ < +∞ σ ≥ σ∫
000, ttt e e−σ−σ≥ σ ≥ σ ⇒ ≤
0σ
� Esta bem definida desde que o crescimento de x(t) com t seja majorado por uma função exponencial
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SSin SSin –– 1111
T. Laplace: propriedadesT. Laplace: propriedades
Linearidade: 1 1( ) ( )x t X s↔1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )a x t a x t a X s a X s+ ↔ +
2 2( ) ( )x t X s↔
( )1 1 2 2 1 1 2 2
0
1 1 2 2
0 0
1 1 2 2
[ ( ) ( )] ( ) ( )
( ) ( )
[ ( )] [ ( )]
st
st st
a x t a x t a x t a x t e dt
a x t e dt a x t e dt
a x t a x t
−
− −
+∞−
+∞ +∞− −
+ = +
= +
= +
∫
∫ ∫
L
L L
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SSin SSin –– 1212
T. Laplace: propriedadesT. Laplace: propriedades
Translação: ( ) ( )x t X s↔( ) 0x t =
0 0t ≥
00 0( ) ( ) ( )stx t t u t t e X s−− − ↔
0
0
0
0 0 0
0
0
( )
0
0
[ ( )] ( ) ( )
( )
( )
( )
st
st
t
s t
st s
x t t x t t u t t e dt
x t t e dt
x e d
e x e d
−
−
−
−
+∞−
+∞−
+∞− τ+
+∞− − τ
− = − −
= −
= τ τ
= τ τ
∫
∫
∫
∫
L
0t tτ = −
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SSin SSin –– 1313
T. Laplace: propriedadesT. Laplace: propriedades
Mudança de escala: 1( )
sx at X
a a ↔
( ) ( )x t X s↔0a >
0
/
0
0
[ ( )] ( )
( ) /
1( )
sa
st
s a
x at x at e dt
x e d a
x e da
−
−
−
+∞−
+∞− τ
+∞− τ
=
= τ τ
= τ τ
∫
∫
∫
L
atτ =
a>1: compressão da escala temporal ⇔ dilatação da escala das frequências
a<1: dilatação da escala temporal ⇔ compressão da escala das frequências
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SSin SSin –– 1414
T. Laplace: propriedadesT. Laplace: propriedades
Convolução:
1 2 1 2( )* ( ) ( ) ( )x t x t X s X s↔ ⋅1 1( ) ( )x t X s↔
2 2( ) ( )x t X s↔
1 2( ) ( ) 0, 0x t x t t= = <
1 2
0 0 0
1 2
0
( )1 2
0 0
1 2
0 0
[ ( )] ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
tst st
st
s
s s
y t y t e dt x x t e d dt
x x t e dtd
x x e d d
x e d x e d
+
− − −
− −
− −
− −
+∞ +∞− −
+∞ +∞−
τ+∞ +∞
− τ+α
+∞ +∞− τ − α
= = τ − τ τ
= τ − τ τ
= τ α α τ
= τ τ α α
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
L
1 2 1 2 1 2
0
( ) ( ) * ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t
y t x t x t x x t d x x t d
+
−
+∞
−∞
= = τ − τ τ = τ − τ τ∫ ∫
t
τ
1( ) 0, 0x τ = τ <
2( ) 0,x t t− τ = τ >
tα = − τ
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SSin SSin –– 1515
T. Laplace: propriedadesT. Laplace: propriedades
Modulação: ( ) ( )x t X s↔ 00( ) ( )s te x t X s s↔ −
0 0
0
0
( )
0
0
[ ( )] ( )
( )
( )
s t s t st
s s t
e x t x t e e dt
x t e dt
X s s
−
−
+∞−
+∞− −
=
=
= −
∫
∫
L
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SSin SSin –– 1616
T. Laplace: propriedadesT. Laplace: propriedades
Derivação em s: ( ) ( )x t X s↔ ( )( )
dX st x t
ds− ↔
0
0
0
[ ( )] ( )
( )
( )
[ ( )]
st
st
st
d dx t x t e dt
ds ds
dx t e dt
ds
tx t e dt
tx t
−
−
−
+∞−
+∞−
+∞−
=
=
= −
= −
∫
∫
∫
L
L
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SSin SSin –– 1717
T. Laplace: propriedadesT. Laplace: propriedades
Derivação em t:( )
( ) (0 )dx t
sX s xdt
−↔ −( ) ( )x t X s↔
0 0
00
0
[ ( )] ( ) lim ( )
lim ( ) ( )
(0 ) ( )
Lst st
L
LLst st
L
st
x t x t e dt x t e dt
e x t s x t e dt
x x t e dt
− −
−−
−
+∞− −
→+∞
− −→+∞
+∞− −
= =
= +
= − +
∫ ∫
∫
∫
ɺ ɺ ɺL
2( ) ( ) (0 ) (0 )x t s X s sx x− −↔ − −ɺɺ ɺ
...
Aplicando repetidamente obtém-se:
3 2( ) ( ) (0 ) (0 ) (0 )x t s X s s x sx x− − −↔ − − −ɺɺɺ ɺ ɺɺ
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SSin SSin –– 1818
T. Laplace: propriedadesT. Laplace: propriedades
Integração em t:0
( )( )
tX s
x ds−
τ τ ↔∫( ) ( )x t X s↔
[ ( )] [ ( )] (0 ) [ ( )]x t s y t y s y t−= − =L L L
0
( )( ) ( ) ( )
tdy t
y t x d x tdt−
= τ τ ⇒ =∫
0
0
(0 ) ( ) 0y x d
−
−
− = τ τ=∫
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SSin SSin –– 1919
T. Laplace: propriedadesT. Laplace: propriedades
Valor inicial: ( ) ( )x t X s↔
0lim ( ) lim ( )
stx t sX s
+ →∞→=
0lim ( ) existe
tx t
+→
Valor final: ( ) ( )x t X s↔
0lim ( ) lim ( )
t sx t sX s
→+∞ →=
lim ( ) existet
x t→+∞
Estes teoremas só se podem aplicar caso os limites e
existam, respectivamente.0
lim ( )t
x t+→
lim ( )t
x t→+∞
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SSin SSin –– 2020
Alguns pares sinal Alguns pares sinal –– transformadatransformada
( ) 1tδ ↔
1( )u t
s↔
1
1( )
!
n
n
tu t
n s +↔
1( )ate u t
s a− ↔
+
1
1( )
! ( )
nat
n
te u t
n s a−
+↔+
0 2 20
cos( ) ( )s
t u ts
ω ↔+ ω
00 2 2
0
sin( ) ( )t u ts
ωω ↔+ ω
0 2 20
cos( ) ( )( )
at s ae t u t
s a− +ω ↔
+ + ω
00 2 2
0
sin( ) ( )( )
ate t u ts a
− ωω ↔+ + ω
Em todos estes casos, e em muitos outros de interesse prático, a transformada de Laplace de um sinal é um quociente de polinómios em s
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SSin SSin –– 2121
Decomposição em fracções simplesDecomposição em fracções simples
1 21 2
( )( )
( ) ( ) ( ) rr
P sG s
s s sσ σ σ=− ρ − ρ − ρ⋯
,
1 1
( )( )
iri k
ki k i
AG s
s
σ
= ==
− ρ∑∑ 1
1
2
2
1,1,1 1,22
1 1 1
2,2,1 2,22
2 2 2
,,1 ,22
( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )r
r
rr r
r r r
AA AG s
s s s
AA A
s s s
AA A
s s s
σσ
σσ
σσ
= + + + +− ρ − ρ − ρ
+ + + + +− ρ − ρ − ρ
+ +
+ + + +− ρ − ρ − ρ
⋯
⋯
⋯
⋯
fracção própria de dois polinómios
denominador com raízes distintas
de multiplicidades, respectivamente,
1 2, , rρ ρ ρ…
1 2, , rσ σ σ…
,1
( ) ( )( )!
ii
i
i
k
i k iki s
dA s G s
k ds
σ −σ
σ −=ρ
= − ρ σ −
Pode ser escrita como uma soma de fracções simples
onde os numeradores são dados por
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SSin SSin –– 2222
Eq. diferenciais e condições iniciaisEq. diferenciais e condições iniciais
Em muitas situações apenas se conhece
e os valores
SSrr yy
Nestes casos a transformada de Laplace pode ser aplicada com vantagem!
( ), 0r t t ≥
(0), '(0), ''(0),...y y y
condições iniciais
1
1 0 01
( ) ( ) ( )( ) ( )
n n m
n mn n m
d y t d y t d r ta a y t b b r t
dt dt dt
−
− −+ + + = + +⋯ ⋯
Transforma a equação diferencial numa equação algébrica!
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Faculdade de Engenharia
SSin SSin –– 2323
Análise de circuitos no domínio Análise de circuitos no domínio ss
� Resistência( ) ( )v t Ri t=
R( ),i t I
( ),v t V+ −
( ) ( )V s RI s=
� Bobina
( ) ( )V s sL I s=
� Condensador
L
( ),v t V+ −
( ),i t I
C( ),i t I
( ),v t V+ −
( )( )
di tv t L
dt=
( )( )
dv ti t C
dt=
( ) ( )I s sCV s=
Elementos principais
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SSin SSin –– 2424
Impedância e admitânciaImpedância e admitância
( )( )
( )
V sZ s
I s=V
+
−
I
Z � bobina ( )Z s sL=
� condensador1
( )Z ssC
=
� Impedância
1 ( )( )
( ) ( )
I sY s
Z s V s= =
� resistência1
( )Y sR
=
� bobina 1( )Y s
sL=
� condensador ( )Y s sC=
� Admitância
( )Z s R=� resistência
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Faculdade de Engenharia
SSin SSin –– 2525
Leis de KirchhoffLeis de Kirchhoff
� Lei das tensões 1 2( ) ( ) ( ) 0nv t v t v t+ + + =…
1 2( ) ( ) ( ) 0nV s V s V s+ + + =…
( )V s
( )kZ s
( )I s
1( )Z s 2( )Z s( )I s
( )V s
( )eqZ s
1 2( ) ( ) ( ) ( )eq kZ s Z s Z s Z s= + + +⋯
� Associação série
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SSin SSin –– 2626
Leis de KirchhoffLeis de Kirchhoff
� Lei das correntes 1 2( ) ( ) ( ) 0ni t i t i t+ + + =…
1 2( ) ( ) ( ) 0nI s I s I s+ + + =…
� Associação paralelo
1( )Z s
2( )Z s
( )kZ s
( )V s
( )I s ( )I s
( )V s
( )eqZ s
1 2
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )eq kZ s Z s Z s Z s= + + +⋯
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Faculdade de Engenharia
SSin SSin –– 2727
Função de transferênciaFunção de transferência
Para um sistema causal com condições iniciais nulas tem-se SSrr yy
( ) ( )* ( ) ( ) ( ) ( )y t g t r t Y s G S R S= ⇒ =( ) 0, 0r t t= <
( )g t resposta impulsional( )
( )( )
Y sG s
R s=
( ) [ ( )]Y s y t= L ( ) [ ( )]R s r t= L
( ) [ ( )]G s g t= L Função de transferência
permite determinar a saída a partir da entrada
[ ]1( ) ( ) ( )y t G s r t− = L L
Faculdade de Engenharia
SSin SSin –– 2828
Equação diferencial Equação diferencial �� FTFT
� Uma classe importante é a dos sistemas descritos por eq. diferenciais lineares de coeficientes constantes SS
rr yy
1 1
1 1 0 1 1 01 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
n n m m
n m mn n m m
d y t d y t dy t d r t d r t dr ta a a y t b b b b r t
dt dtdt dt dt dt
− −
− −− −+ + + + = + + + +⋯ ⋯
obtém-se a função de transferência
11 1 0
1 21 2 1 0
( )( )
( )
m mm m
n n nn n
b s b s b s bY sG s
R s s a s a s a s a
−−
− −− −
+ + + += =+ + + +
⋯
⋯
que é uma função racional (quociente de polinómios)
aplicando a T. Laplace (com condições iniciais nulas)
( ) ( )1 2 11 2 1 0 1 1 0( ) ( )n n n m m
n n m ms a s a s a s a Y s b s b s b s b R s− − −− − −+ + + + = + + + +⋯ ⋯
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Faculdade de Engenharia
SSin SSin –– 2929
FT racionaisFT racionais
� Uma FT racional pode ser escrita como
onde N(s) e D(s) são os polinómios numerador e denominador.
SSrr yy
� A função de transferência é • Própria se n ≥ m• Estritamente própria se n > m
( )( )
( )
N sG s
D s=
11 1 0( ) m m
m mN s b s b s b s b−−= + + + +⋯
1 21 2 1 0( ) n n n
n nD s s a s a s a s a− −− −= + + + + +⋯
polinómio polinómio característicocaracterístico
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SSin SSin –– 3030
Pólos e ZerosPólos e Zeros
� O número diz-se zero de G(s) se λ ∈ℂ lim ( ) 0s
G s→λ
=
� O número diz-se pólo de G(s) se λ ∈ℂ 1lim 0
( )s G s→λ=
Mapa de pólos e zerosMapa de pólos e zeros
Re
Impólopólozerozero
com N(s) e D(s) sem raízes comuns:
• Os zeros de G(s) são as raízes de N(s)
• Os pólos de G(s) são as raízes de D(s)
( )( )
( )
N sG s
D s=
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SSin SSin –– 3131
FT racionais FT racionais –– representações alternativasrepresentações alternativas
Função de transferência de ordem n, própria e irredutível SSrr yy
11 1 0
11 1 0
( ) , 0,m m
m mnn n
n n
b s b s b s bG s a m n
a s a s a s a
−−
−−
+ + + += ≠ ≤+ + + +
⋯
⋯
Forma factorizada
( )( ) ( )( )( ) ( )
1 2
1 2
( ) m
n
s z s z s zG s K
s p s p s p
+ + +=
+ + +⋯
⋯
Forma das constantes de tempo
( )( ) ( )( )( ) ( )
1 20
1 2
1 1 1( )
1 1 1
qm q
pn p
s sT sT sTG s K
s s s s
−
−
+ + +=
+ τ + τ + τ
⋯
⋯
� zerosiz−
ip− � pólos
m
n
bK
a=
1, 0i i
i
T zz
= ≠
1, 0i i
i
pp
τ = ≠
1 20
1 2, 0, 0m
i in
z z zK K z p
p p p= ≠ ≠⋯
⋯
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SSin SSin –– 3232
FT racionais FT racionais –– estabilidadeestabilidade
Função de transferência racional SSrr yy
( ) ( ) ( )1 21 2
( )( )
nn
N sG s
s p s p s pσ σ σ=
− − −⋯
{ }Re 0ip <
� polinómio numerador( )N s
� pólo de multiplicidadeipiσ
,
1 1( )
iri k
ki k i
A
s p
σ
= ==
−∑∑ decomposta em fracções simples
Resposta impulsional, 1
1 1
( )( 1)!
ii
ri k p tk
i k
Ag t t e
k
σ−
= ==
−∑∑
Sistema estável: 0
( )g t dt+∞
< +∞∫1
0
ip tkt e dt+∞
− < +∞∫
pólos da FT com parte real negativa
pólos da FT no interior do SPE
Re
Im
17
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SSin SSin –– 3333
Resposta a sinais padrãoResposta a sinais padrão
Resposta ao impulso (unitário)
( ) ( )r t t= δSS
rr yy
[ ]1( ) ( )y t G s−= L
Resposta ao degrau (unitário)
( ) ( )r t u t= 1 ( )( )
G sy t
s− = L
Resposta à rampa (unitária)
( ) ( )r t t u t=1
2
( )( )
G sy t
s− =
L
Faculdade de Engenharia
SSin SSin –– 3434
Resposta ao degrauResposta ao degrau
SSrr yy
( ) lim ( )t
y y t→∞
∞ =� Valor final( ) ( )r t u t= 1 ( )
( )G s
y ts
− = L
Teoremas do valor final e do valor inicial (qdo aplicáveis!)
0 0( ) lim ( ) lim ( ) ( )
s sy sY s sG s R s
→ →∞ = =
Características principais da resposta
� Valor inicial0
(0 ) lim ( )t
y y t+
+
→=
� Valor inicial da derivada 0
'(0 ) lim '( )t
y y t+
+
→=
(0 ) lim ( ) lim ( ) ( )s s
y sY s sG s R s+→∞ →∞
= =
( ) ( )'(0 ) lim ( ) (0 ) lim ( ) ( ) (0 )s s
y s sY s y s sG s R s y+ + +→∞ →∞
= − = −
0lim ( )s
G s→
=
lim ( )s
G s→∞
=
( )lim ( ) (0 )s
s G s y +→∞
= −
1( )R s
s=
18
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SSin SSin –– 3535
Resposta ao degrauResposta ao degrau
SSrr yy
0( ) lim ( )
sy G s
→∞ =
( ) ( )r t u t= 1 ( )( )
G sy t
s− = L
Nota: Se o sistema for estável (só pólos com parte real < 0) este limite existe!
Ganho estático (ou de regime permanente)
Valor inicial
(0 ) lim ( )s
y G s+→∞
=
Notas:
= 0 se n > m ( )y t contínua
= K se n = m ( )y t descontínua
( )( ) ( )( )( ) ( )
1 2
1 2( ) m
n
s z s z s zG s K
s p s p s p
+ + +=
+ + +⋯
⋯
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SSin SSin –– 3636
Resposta ao degrauResposta ao degrau
SSrr yy
( )1 1
'(0 ) 1
0 1
m ni ii i
K z p n m
y K n m
n m
= =
+
− == = + > +
∑ ∑
( ) ( )r t u t= 1 ( )( )
G sy t
s− = LValor inicial da derivada
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
1 2
1 2( ) m
n
s z s z s zG s K
s p s p s p
+ + +=
+ + +⋯
⋯( ) ( )'(0 ) lim ( ) (0 ) lim ( ) (0 )s s
y s sY s y s G s y+ + +→∞ →∞
= − = −
19
Faculdade de Engenharia
SSin SSin –– 3737
Sistema de 1ª ordem sem zerosSistema de 1ª ordem sem zeros
Função de transferência de ganho estático k
( )1
ka kG s
s a s= =
+ + τ
SSrr yy
1 , 0a aτ = >
constante de tempo
Re
Im
– a
Pólos: 1p a= −
Equação diferencial: ( ) ( ) ( )y t ay t k a r t+ =ɺ
( ) ( ) ( )y t y t k r tτ + =ɺ
Faculdade de Engenharia
SSin SSin –– 3838
Sistema de 1ª ordem sem zerosSistema de 1ª ordem sem zeros
( )1
ka kG s
s a s= =
+ + τ
SSrr yy
Resposta ao degrau
1 1( ) 1( )
1
G s ky t
s s s− − = = + τ L L
1
1
k k
s s− τ = − + τ L
( ) 1 ( )t
y t k e u tτ− = −
0 1 2 3 4 5 6 7 80
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
t/τ
y(t)/
k
(0 ) 0y + =
final( )y k y∞ = =
'(0 )k
y + =τ
Principais características
1 , 0a aτ = >
20
Faculdade de Engenharia
SSin SSin –– 3939
1ª ordem sem zero 1ª ordem sem zero –– resposta ao degrauresposta ao degrau
final( ) 0.632y yτ =
final(2 ) 0.865y yτ =
0 1 2 3 4 5 6 7 80
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
t/τ
y(t)/
k
final(3 ) 0.950y yτ =
Tempo de estabelecimento a 5% � final final: , 0.95 ( ) 1.05s st t t y y t y∀ ≥ < <
ln(0.05) 2.996 3st = −τ = τ τ≃
Faculdade de Engenharia
SSin SSin –– 4040
1ª ordem sem zero 1ª ordem sem zero –– resposta ao degrauresposta ao degrau
resposta tanto mais rápida quanto mais afastado o pólo está do eixo imaginário
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
t
y(t)
( )1
ka kG s
s a s= =
+ + τ1 , 0a aτ = >
τ aumentaa diminui
Re
Im
– a
( ) 1 ( )t
y t k e u tτ− = −
21
Faculdade de Engenharia
SSin SSin –– 4141
Sistema de 1ª ordem com zeroSistema de 1ª ordem com zero
Funções de transferência de ganho estático k
0( )ka s b
G sb s a
+=+
SSrr yy
01 ( )
( ) ( )dy t
y t y tb dt
= +
( )ka
G ss a
=+
0( ) ( ) ( ) ( )s b s
G s G s G s G sb b
+= = +
Re
Im
– a– b
( , 0)a b>
s/ zero �
c/ zero �
( ) ( ) ( )y t ay t kar t+ =ɺ
0 0( ) ( ) ( ) ( )kaby t ay t r t kar t+ = +ɺ ɺ
1z b= −
Faculdade de Engenharia
SSin SSin –– 4242
Sistema de 1ª ordem com zeroSistema de 1ª ordem com zero
0( ) ( )ka s b s b
G s G sb s a b
+ += =+
SSrr yyResposta ao degrau
( )( ) 1 , 0aty t k e t−= − ≥
01 ( )
( ) ( )dy t
y t y tb dt
= +
( )ka
G ss a
=+
0( ) 1 ( ) , 0at ata b kay t k e y t e t
b b− −− = + = + ≥
Re
Im
– a– b
s/ zero �
c/ zero �
para a fixo, a alteração da resposta é menos significativa se b for grande
22
Faculdade de Engenharia
SSin SSin –– 4343
1ª ordem com zero 1ª ordem com zero –– resposta ao degrauresposta ao degrau
Valores característicos da respostaSS
rr yy
Influência do zero é tanto maior quando maior for o quociente a/b
final( )y k y∞ = =
final(0 )a yka
yb b
+ = =
( )'(0 )
k b ay
ab+ −=
0 1 2 3 4 5 6 7 80
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
t/τ
y(t)/
k
0.5a
b=
2a
b=
Quanto mais para a esquerda do pólo estiver o zero, menor é a sua influência!
Faculdade de Engenharia
SSin SSin –– 4444
Sistema de 2ª ordem sem zerosSistema de 2ª ordem sem zeros
Função de transferência de ganho estático k
2( )
kaG s
s bs a=
+ +
Valores da resposta ao degrau (independentemente da localização dos pólos)
(0 ) 0y + =
final( )y k y∞ = =
'(0 ) 0y + =
2
2 2( )
2n
n n
kG s
s s
ω=+ ζω + ω
Pólos: 21,2 1n np = −ζω ± ω ζ −
SSrr yy
( ) ( )r t u t= 1 ( )( )
G sy t
s− = L
Teoremas dos valores inicial e final
2
2 2
1( )
2n
n n
kY s
s s s
ω=+ ζω + ω
ζ
nω
� coeficiente de amortecimento
� frequência natural não amortecida
23
Faculdade de Engenharia
SSin SSin –– 4545
Sistema de 2ª ordem: localização dos pólosSistema de 2ª ordem: localização dos pólos
21,2 1n np j= −ζω ± ω − ζ
0 1≤ ζ <
2 pólos complexos conjugados
sistema subamortecido
Re
Im
n−ζω
djω
dj− ω
nωθ arccosθ = ζ
21d nω = ω − ζ � frequência natural amortecida
Faculdade de Engenharia
SSin SSin –– 4646
Sistema de 2ª ordem: localização dos pólosSistema de 2ª ordem: localização dos pólos
1,2 n np = −ζω = −ω
1ζ =
1 pólo real duplo
sistema criticamente amortecidoRe
Im
n−ω
21,2 1n np = −ζω ± ω ζ −
1ζ >
2 pólos reais distintos
sistema sobreamortecido
Re
Im
2p 1p
24
Faculdade de Engenharia
SSin SSin –– 4747
2ª ordem sem zeros 2ª ordem sem zeros –– resposta ao degrauresposta ao degrau
Caso geral � pólos diferentes1 2
1 2( )
( )( )
ka aG s
s a s a=
+ +
2 1
1 2 2 1 1 2
1 2 1 2
( )( )
( )( )
ka ka
ka a a a a aG s kY s
s s s a s a s s a s a
− −= = = + ++ + + +
( )1 2
2 1
1( ) 1 ( )a t a ty t k e e u t
a a− −
= + − −
21 2 na a = ω
1 2 2 na a+ = ζω
Faculdade de Engenharia
SSin SSin –– 4848
2ª ordem sem zeros 2ª ordem sem zeros –– resposta ao degrauresposta ao degrau
Sistema subamortecido �
( )2
2
1( ) 1 sin 1 arccos ( )
1nt
ny t k e t u t−ζω = − ω − ζ + ζ − ζ
0 1≤ ζ <
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
25
Faculdade de Engenharia
SSin SSin –– 4949
2ª ordem sem zeros 2ª ordem sem zeros –– resposta ao degrauresposta ao degrau
Sistema subamortecido � 0 1≤ ζ <
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
pt
dT
S
0.9
0.1rt
5%±
Faculdade de Engenharia
SSin SSin –– 5050
2ª ordem sem zeros 2ª ordem sem zeros –– resposta ao degrauresposta ao degrauSistema subamortecido � 0 1≤ ζ <
Tempo de pico � pt 21n
π=ω − ζ
Sobreelongação � max final
final
y yS
y
−=21e
πζ−−ζ=
Período da oscilação � dT2
2 2
1d n
π π= =ω ω − ζ
Tempo de estabelecimento a 5% � st3
nζω≃
Tempo de subida �1.8
rn
tω≃
26
Faculdade de Engenharia
SSin SSin –– 5151
2ª ordem sem zeros 2ª ordem sem zeros –– resposta ao degrauresposta ao degrauSistema subamortecido � 0 1≤ ζ <
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12120
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
t⋅ωn
y(t)
/kζ=0.2
ζ=0.7
ζ=0.4
ζ=0.1
Faculdade de Engenharia
SSin SSin –– 5252
2ª ordem sem zeros 2ª ordem sem zeros –– resposta ao degrauresposta ao degrau
Sistema criticamente amortecido �
( ) 1 (1 ) ( )ntny t k t e u t−ω = − + ω
1ζ =2
2( )
( )n
n
kG s
s
ω=+ ω
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
27
Faculdade de Engenharia
SSin SSin –– 5353
2ª ordem sem zeros 2ª ordem sem zeros –– resposta ao degrauresposta ao degrau
Sistema sobreamortecido �
2 11 2
2 1 1 2( ) 1 ( )a aa t a t
a a a ay t k e e u t− −
− − = − −
1ζ >
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1( )2
1 1 na = ζ − ζ − ω
( )22 1 na = ζ + ζ − ω
21 2
2 21 2
( )( )( )2
n
n n
k ka aG s
s a s as s
ω= =+ ++ ζω + ω
Im
2a− 1a− Re
Faculdade de Engenharia
SSin SSin –– 5454
2ª ordem sem zeros 2ª ordem sem zeros –– resposta ao degrauresposta ao degrau
Sistema sobreamortecido � 1ζ >2
1 22 2
1 2
( )( )( )2
n
n n
k ka aG s
s a s as s
ω= =+ ++ ζω + ω
( )21 1 na = ζ − ζ − ω
( )22 1 na = ζ + ζ − ω
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
a1⋅ t
y(t)
/k
a2=10a
1
a2=4a
1
a2=2a
1
a2=1.2a
1
1-e-a1t
À medida que os pólos se afastam, a resposta aproxima-se da resposta de um sistema de ordem 1, com pólo igual ao pólo mais próximo do eixo imaginário
Im
2a− 1a− Re
2 1a a>> –a1 é pólo dominante
28
Faculdade de Engenharia
SSin SSin –– 5555
0 1 2 3 4 5 6-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
ωn⋅ t
y(t)
/k
b=0.2ωn
b=-ωn
b=2ωn
b=0.5ωn
b=-0.5ωn
1-(1+ωnt)e-ωnt
2ª ordem com um zero 2ª ordem com um zero –– pólo real duplopólo real duplo
função de transferência2
0 2
( )( )
( )n
n
k s bG s
b s
ω +=
+ ω
resposta ao degrau 0( )
( ) / 1 1 ( )ntn n by t k t e u t
b−ω ω ω − = + −
Efeito do zero é tanto maior quanto maior for | |n bω
Zero no SPD causa subelevação (undershoot)
Zero no SPE causa sobreelevação se
nb < ω
2
21
( )n
n
ks
b s
ω = + + ω 0
1 ( )( ) ( )
dy ty t y t
b dt= +
Faculdade de Engenharia
SSin SSin –– 5656
0 1 2 3 4 5 6 7 8-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
ωn⋅ t
y(t)/
k
exemplo para ζ=0.5
b=2ωn
b=0.5⋅ωn
b=ωn
resposta sem zero
b=-ωn
b=0.2⋅ωn
2ª ordem com um zero 2ª ordem com um zero –– pólos complexospólos complexos
função de transferência2
0 2 2
( )( )
( 2 )n
n n
k s bG s
b s s
ω +=+ ζω + ω
resposta ao degrau
Efeito do zero é tanto maior quanto maior for | |n bω
Zero no SPD causa subelevação (undershoot)
Zero no SPE causa aumento da sobreelevação
2
2 21
2n
n n
ks
b s s
ω = + + ζω + ω
01 ( )
( ) ( )dy t
y t y tb dt
= +
29
Faculdade de Engenharia
SSin SSin –– 5757
Sistemas de ordem superiorSistemas de ordem superior
função de transferência1
1
( )( )
( ) ( ) nn
N sG s
s p s p σσ=+ +⋯
resposta ao degrau
( )1
11
1,11
11 1
( )( )
( ) ( ) nn
RRN s ky t
s s ps s p s p s p
σσ σσ
= = + + + +
+ + + +
⋯ ⋯
⋯
-1 -1L L
1 1 1 10 11 12 11 1 1 12 1 1( ) sin( ) sin( )p t p t t ty t k R e R te r e t r te t− − −α −α = + + + + ω + φ + ω + φ +
⋯ ⋯
pólos reais pólos complexos
Efeito de cada pólo
resíduo � determina amplitude da resposta
parte real � determina a constante de tempo
Faculdade de Engenharia
SSin SSin –– 5858
Pólos não dominantes � os que menos influenciam a resposta do sistema(podem ser desprezados sem grande prejuízo de análise)
Sistemas de ordem superiorSistemas de ordem superior
Resíduos elevados
Partes reais mais pequenas � constantes de tempo mais lentas
Estudo sistemático da resposta de um sistema de ordem n pode ser complexo!
Pode aproximar-se o sistema por outro de ordem mais baixa, mais simples de analisar!
Pólos dominantes � os que determinam mais significativamente a forma da resposta
Partes reais elevadas Regra prática: pelo menos 10 vezes maior que a dos pólos dominantes
Resíduos pequenos Normalmente resultam de quase cancelamentos pólo-zero, isto é, zeros muito próximos de pólos
Ao desprezar pólos não dominantes (e eventualmente zeros) é importante garantir que o sistema aproximado mantém o mesmo ganho estático!
30
Faculdade de Engenharia
SSin SSin –– 5959
Sistemas de ordem superior Sistemas de ordem superior –– exemploexemplo
Im
1.1−
Re1−
3j+
2−20−
3j−
2 2
236.36( 1.1)( )
( 1)( 20)[( 2) 3 ]
sG s
s s s
+=+ + + +
2 2
236.36( 1.1)( )
( 1)( 20)[( 2) 3 ]
sY s
s s s s
+=+ + + +
225 2251 0.124 0.0353 0.593 0.593
1 20 2 3 2 3
o oj je e
s s s s j s j
−= − − + +
+ + + + + −
20 2( ) 1 0.124 0.0353 1.19 sin(3 45 ), 0t t t oy t e e e t t− − −= − − − + ≥
pólos não dominantes
Faculdade de Engenharia
SSin SSin –– 6060
Sistemas de ordem superior Sistemas de ordem superior –– exemploexemploIm
1.1−
Re1−
3j+
2−20−
3j−
2 2
236.36( 1.1)( )
( 1)( 20)[( 2) 3 ]
sG s
s s s
+=+ + + +
( )1.12 2
20
236.36 1.1 1
20(1 )(1 )[( 2) 3 ]
s
s s s
× +=
+ + + +
pólo rápido
pólo e zero próximos
aprox 2 2
13( )
( 2) 3G s
s=
+ +
aprox 2 2
13( )
[( 2) 3 ]Y s
s s=
+ +
2aprox( ) 1 1.2 sin(3 56.3 ), 0t oy t e t t−= − + ≥
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
0.2
0.4
0.6
0.8
1
y(t)
y(t)aprox
20 2( ) 1 0.124 0.0353 1.19 sin(3 45 ), 0t t t oy t e e e t t− − −= − − − + ≥