sisteme dinamice - horatiuvlad.com dinamice... · 5 sisteme de ecuat¸ii diferent¸iale 41 5.1...

UNIVERSITATEA ”TRANSILVANIA” BRASOVDEPARTAMENT: INVATAMANT LA DISTANTA (DID)FACULTATEA: MATEMATICA - INFORMATICASPECIALIZAREA: INFORMATICA, ANUL II

MARIN MARIN GABRIEL STAN

SISTEME DINAMICE

BRASOV - 2006

REPROGRAFIA UNIVERSITĂŢII “TRANSILVANIA” DIN BRAŞOV

user

Rectangle

user

Rectangle

user

Rectangle

Cuprins

1 Ecuatii direct integrabile 3

1.1 Scurta introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Ecuatii diferentiale ordinare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Ecuatii diferentiale de ordinul I . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Ecuatii cu variabile separabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5 Ecuatii omogene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.6 Ecuatii reductibile la ecuatii omogene . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.7 Ecuatii cu diferentiala totala exacta . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Ecuatii lineare si cu parametru 13

2.1 Ecuatii de ordinul I liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Ecuatii reductibile la ecuatii liniare . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3 Ecuatii Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4 Ecuatii Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.5 Ecuatii diferentiale cu parametru . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.6 Ecuatia Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.7 Ecuatia Clairaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.8 Teorema lui Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Ecuatii de ordin superior 25

3.1 Ecuatii liniare de ordin superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4 Ecuatii lineare neomogene 33

4.1 Ecuatii neomogene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2 Ecuatii cu coeficienti constanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1

2 CUPRINS

4.3 Ecuatii de ordinul n neomogene . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.4 Ecuatii diferentiale de tip Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5 Sisteme de ecuatii diferentiale 415.1 Sisteme de ecuatii diferentiale liniare . . . . . . . . . . . . . . . 415.2 Sisteme cu coeficienti constanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6 Sisteme autonome 496.1 Sisteme autonome de ecuatii diferentiale . . . . . . . . . . . . . 496.2 Sisteme diferentiale simetrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

7 Ecuatii cu derivate partiale 577.1 Ecuatii cu derivate partiale de ordinul I . . . . . . . . . . . . . . 577.2 Problema Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617.3 Ecuatii cu derivate partiale de ordinul I cvasiliniare . . . . . . . 617.4 Ecuatii cu derivate partiale de ordinul I neliniare . . . . . . . . 63

8 Stabilitate 678.1 Notiuni de stabilitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678.2 Stabilitatea solutiilor ecuatiilor diferentiale . . . . . . . . . . . . 708.3 Stabilitatea ın sens Liapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

9 Teme aplicative 759.1 Ecuatii diferentiale elementare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 759.2 Ecuatii liniare si reductibile la liniare . . . . . . . . . . . . . . . 899.3 Ecuatii cu parametru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 949.4 Ecuatii de ordin superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

Lectia 1

Ecuatii direct integrabile

1.1 Scurta introducere

Obiective:

1. Prezentarea notiunilor de baza ale teoriei ecuatiilor diferentiale, a prin-cipalelor probleme care se pun ın aceasta teorie.

2. Sunt prezentate principalele tipuri de ecuatii diferentiale de ordinul I,pentru fiecare ın parte este expus algoritnul de rezolvare.

3. Este rezolvat complet cate un exemplu de ecuatie diferentiala conformcu algoritmul expus la teorie.

Disciplina Ecuatii diferentiale este una dinre cele mai vechi si mai am-ple ramuri ale matematicii. Terminologia, metodele si tehnicile de lucru pen-tru demonstratii de rezultate teoretice precum si pentru rezolvarea efectivaa ecuatiilor diferentiale, se bazeaza pe elemente la varf din alte ramuri alematematicii, precum Analiza matematica clasica, Topologie, Geometrie diferen-tiala, Mecanica, etc.

Abordarea ecuatiilor diferentiale este uneori ıngreunata mai ales de faptulca sunt necesare notiuni si rezultate de la frontiera disciplinelor enumerate.

Aproape ca nu exista fenomen ın fizica, mecanica, ın tehnica ın general

3

4 LECTIA 1. ECUATII DIRECT INTEGRABILE

si, si mai general, ın orice domeniu al stiintelor naturii, care sa nu poata fimodelat printr-o ecuatie diferentiala.

Simplificat spus, o ecuatie diferentiala este o ecuatie ın care functia ne-cunoscuta apare macar sub o derivata. Deci, ın ecuatia respectiva apare atatfunctia necunoscuta cat si derivata ei. Ordinul maxim de derivare sub careapare functia necunoscuta este ordinul ecuatiei. Astfel, vom spune ca avemo ecuatie diferentiala de ordinul I, II, etc., daca ın ecuatia diferentiala respec-tiva apare doar derivata ıntai a functiei necunoscute, derivata a doua, etc.

Daca functia necunoscuta dintr-o ecuatie diferentiala depinde de o singuravariabila independenta, spunem ca avem o ecuatie diferentiala ordinara,iar daca functia necunoscuta depinde de mai multe varibile, spunem ca careavem o ecuatie diferentiala cu derivate partiale.

Daca ıntr-o ecuatie functia necunoscuta apare sub o integrala, avem oecuatie integrala. In sfarsit, daca functia necunoscuta apare si sub o derivatasi sub o integrala, spunem ca avem o ecuatie integro-diferentiala.

Exemple.

1) Ecuatie diferentiala ordinara:

mx′′ = F (t, x), x = x(t), t ∈ [a, b];

2) Ecuatie diferentiala cu derivate partiale:

P (x, y)∂u

∂x+Q(x, y)

∂u

∂y= R(x, y) u = u(x, y), (x, y) ∈ Ω ⊂ R2;

3) Ecuatie integrala:

x(t) + λ∫ t

0k(τ, x)x(τ)dτ = 0, t ∈ [0, a], λ = parametru;

4) Ecuatie integr-o diferentiala:

x(t) + αx = λ∫ t

0k(τ, x)x(τ)dτ, t ∈ [0, a], α, λ = parametri;

1.2. ECUATII DIFERENTIALE ORDINARE 5

1.2 Ecuatii diferentiale ordinare

O ecuatie diferentiala ordinara are forma generala

F(x, y(x), y′(x), y′′(x), ..., y(n)(x)

)= 0,

unde x ∈ [a, b], y(k)(x) =dky

dxk.

Functia F , care depinde de n+ 2 variabile,

F : Δ → R, Δ ⊂ Rn+2,

este cunoscuta si suficient de regulata pentru a permite operatiile care se facasupra ei pentru a rezolva ecuatia. Cazul cel mai simplu este

F (x, y(x), y′(x)) = 0, y = y(x), x ∈ [a, b], F : Δ → R, Δ ⊂ R3.

In mod uzual, ecuatiile diferentiale sunt puse sub forma ”normala”, ın carese expliciteaza derivata de ordin maxim

y(n)(x) = f(x, y(x), y′(x), ..., y(n−1)(x)

),

sau, ın cazul particular 1−dimensional, de mai sus,

y′(x) = f (x, y(x)) . (1.1)

In continuare, ın afara unei precizari exprese, se fac consideratii numaiasupra ecuatiilor de forma (1.1).

Se numeste solutie a ecuatiei diferentiale (1.1), o functie

ϕ : (a, b) → R, ϕ ∈ C1(a, b),

care ınlocuita ın ecuatia (1.1) o transforma pe aceasta ın identitate, deci

F (x, ϕ(x), ϕ′(x)) ≡ 0.


Consideram, ca un exemplu foarte simplu, ecuatia diferentiala

y′(x) = x2, saudy

dx= x2.

Prin integrare directa, se obtine solutia

y(x) =x3

3+ C, C = constanta, ;C ∈ R.

Exemplul dat ofera si un exemplu de solutie, si o metoda de rezolvare aunei ecuatii diferentiale si, ın plus, anticipeaza si faptul ca o aceiasi ecuatiediferentiala poate avea mai multe solutii, care sunt numite curbe integrale,denumire sugerata de modul ın care au fost obtinute solutiile, adica prin in-tegrare. Multimea solutiilor este generata de variatia constantei C, numitaconstanta de integrare.

Cand constanta C nu este precizata, spunem ca avem solutia generala.Prin particularizarea constantei C se obtin solutii particulare. Daca oecuatie diferentiala admite o solutie care nu se obtine prin particularizareaconstantei C, atunci spunem ca avem o solutie singulara.

Principalele probleme care se urmaresc, atunci cand se abordeaza o ecuatiediferentiala, sunt:

i) existenta solutiei, adica ın ce conditii o ecuatie diferentiala admite macaro solutie;

ii) unicitatea solutiei, adica ce trebuie pretins suplimentar unei ecuatiidiferentiale pentru ca aceasta sa admita numai o solutie;

iii) constructia efectiva a solutiei. Termenul este folosit pentru a surprindemetoda prin care este determinata solutia ecuatiei diferentiale.

O modalitate concreta prin care se elimina arbitrariul din solutia generalaa unei ecuatii diferentiale consta ın a obliga curba integrala sa treaca printr-unpunct precizat din plan (x0, y0), deci y0 = y(x0). Astfel constanta C capatavaloare concreta si solutia devine unica.

In mod firesc, ın cazul general al unei ecuatii diferentiale de ordinul n,curbele integrale depind de n constante de integrare si atunci pentru eliminarealor sunt necesare conditii suplimentare.

Conditiile suplimentare care se impun unei ecuatii diferentiale pentru de-terminarea constantelor de integrare se numesc conditii Cauchy.

1.3. ECUATII DIFERENTIALE DE ORDINUL I 7

Se numeste Problema Cauchy, problema integrarii unei ecuatii diferent-iale si determinarea constantelor de integrare.

Precizam acum, pe scurt, care sunt alte probleme care se pun ın studiulunei ecuatii diferentiale.

1) Odata ce am demonstrat existenta si unicitatea solutiei pentru o ecuatiediferentiala, se pune problema determinarii intervalului maxim pe care aceastaeste definita. Apare astfel notiunea de solutie saturata.

2) Se poate pune problema daca solutia este definita pe un interval ınjurul punctului fixat ın problema Cauchy, sau daca este definita pe o semiaxaıncepand de la acel punct, sau, chiar pe ıntreaga axa a numerelor reale.

3) Se poate apoi urmari care este legatura ıntre schimbarea unor date dinecuatia diferentiala, sau a conditiei Cauchy, si schimbarea solutiei. Apare astfelnotiunea de dependenta continua de date.

4) In cazul ın care solutia unei ecuatii diferentiale este definita pe o semiaxa,sau pe axa ıntreaga, se pune problema comportarii solutiei la infinit.

1.3 Ecuatii diferentiale de ordinul I

Dupa cum s-a precizat mai sus, ın cazul acestor ecuatii diferentiale, functianecunoscuta apare doar sub derivata de ordinul ıntai. Forma generala a aestorecuatii diferentiale este

F (x, y(x), y′(x)) = 0, sau y′(x) = f (x, y(x)) ,

ın care functia f este data si suficient de regulata pentru a permite operatiilematematice ce se fac asupra ei pentru a integra ecuatia data.

In cele ce urmeaza expunem catalogul celor mai cunoscute ecuatii diferentialede ordinul I care sunt direct integrabile, prin simple cuadraturi.


1.4 Ecuatii cu variabile separabile

Sunt acele ecuatii diferentiabile pentru care functia din membrul drept auforma f(x, y(x)) = g(x)h(y), deci

y′(x) =dy

dx= f(x, y(x)) = g(x)h(y).

Solutia se obtine foarte usor, dupa separarea variabilelor, dupa cum urmeaza

dy

h(y)= g(x)dx⇒

y∫y0

ds

h(s)=

x∫x0

g(s)ds⇒

⇒ G (y(x)) −G (y0) =

x∫x0

g(s)ds⇒

y(x) = G−1

⎛⎝G (y0) +

x∫x0

g(s)ds

⎞⎠ .

Exemplu.

y′ =xy(1 + y2)

1 + x2.

Procedand ca ın cazul teoretic, obtinem:

dy

y(1 + y2)=

x

1 + x2dx⇒

(1

y− y

1 + y2

)dy =

x

1 + x2dx⇒

lny − 1

2ln(1 + y2) =

1

2(1 + x2) + lnC ⇒ y2

1 + y2= C(1 + x2).

1.5 Ecuatii omogene

Sa reamintim mai ıntai ca o functie f = f(x, y) este numita functie omogenade grad n, ın sens Euler, daca satisface relatia

f(tx, ty) = tnf(x, y), ∀t ≥ 0.

1.6. ECUATII REDUCTIBILE LA ECUATII OMOGENE 9

In cazul particular cand n = 0 se obtine functia omogena de grad 0, sau,simplu, omogena : f(tx, ty) = f(x, y). Relatia este similara pentru o functiede n variabile f = f(x1, x2, ..., xn).

O ecuatie diferentiala y′ = f(x, y) se numeste omogena daca functia ”mem-bru drept” este functie omogena de grad 0, in sens Euler. Pentru rezolvareaunei astfel de ecuatii, se da factor comun x si se face schimbarea de functienecunoscuta :y/x = u(x) sau y = xu(x). Se obtine o noua ecuatie diferentialaın functia necunoscuta u = u(x) care este o ecuatie diferentiala cu variabileseparabile.

Exemplu.

xy′ − y = xtgy

x.

Putem sa scriem:

dy

dx=y

x+ tg

y

x

Cu schimbarea de functie y = xu(x), ın care derivam ın raport cu x, deci,y′ = u + xu′, se obtine ecuatia xu′(x) = tgu, care este cu variabile separa-bile. Acesta se rezolva dupa modelul de mai sus, se obtine functia u(x) si apoiy(x) = xu(x).

1.6 Ecuatii reductibile la ecuatii omogene

Au forma generala

y′ = f

(a1x+ b1y + c1a2x+ b2y + c2

).

Se disting trei cazuri:


i) c21 + c22 = 0, deci c1 = c2 = 0 si atunci

y′ = f

(a1x+ b1y

a2x+ b2y

)= f

(a1 + b1

yx

a2x+ b2yx

)= g

(y

x

),

adica s-a obtinut direct o ecuatie omogena.

ii) Cel putin una dintre constantele c1 si c2 este nenula iar dreptele de ecuatiia1x+b1y+c1 = 0 si a2x+b2y+c2 = 0 sunt concurente, adica a1b2y−a2b1 = 0.

Fie (x0, y0) punctul de intersectie al celor doua drepte. Se face schimbareade variabila independenta si de functie necunoscuta

{x = x0 + t ⇒ dx = dty = y0 + u ⇒ dy = du

⇒dy

dx=du

dt= f

(a1t+ b1u+ a1x0 + b1y0 + c1a2t+ b2u+ a2x0 + b2y0 + c2

)=

= f

(a1t+ b1u

a2t+ b2u

)= g

(u

t

),

adica am ajuns la cazul i).

iii) Cele doua drepte sunt paralele, deci a1b2y = a2b1. Se face schimbareanumai de functie a2x+ b2y = u (1). Atunci

a1x+ b1y + c1 = a1x+a1b2a2

y + c1 =a1

a2u+ c1.

Derivam acum ın relatia (1) ın raport cu x si obtinem a2 + b2y′ = u′ si atunci

ecuatia devine

u′ − a2

b1= f

( a1

a2u+ c1

u+ c2

),

adica o ecuatie diferentiala cu variabile separabile.

1.7. ECUATII CU DIFERENTIALA TOTALA EXACTA 11

1.7 Ecuatii cu diferentiala totala exacta

Aceste ecuatii diferentiale au forma generala P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 (1),care poate fi scrisa ın forma

dy

dx=M(x, y)

N(x, y),

ın care semnificatia noilor functii M(x, y) si N(x, y) este clara.Nu orice ecuatie de forma (1) este cu diferentiala totala. Conditia necesara

si suficienta ca membrul drept din (1) sa fie o diferentiala totala exacta esteca functiile P (x, y) si Q(x, y) sa admita derivate partiale de ordinul I si acestederivate sa satisfaca conditia

∂P

∂y=∂Q

∂x.

Acesta conditie asigura existenta unei functii F (x, y) astfel ıncat

dF (x, y) = P (x, y)dx+Q(x, y)dy,

ın care P (x, y) =∂F

∂x, Q(x, y) =

∂F

∂y.

Atunci ecuatia ecuatia devine dF (x, y) = 0, de unde obtinem F (x, y) = C,adica solutia ecuatiei diferentiale este o curba integrala data sub forma im-plicita. Pentru a gasi efectiv forma functiei F , fixam un punct A0(x0, y0) siluam un punct arbitrar A(x, y). Deoarece expresia P (x, y)dx+Q(x, y)dy esteo diferentiala totala, atunci interala acestei expresii ıntre A0 si A nu depindede drumul ce le uneste, ci numai de capetele A0 si A. Integram atunci ıntreA0(x0, y0) si B(x, y0), pe un drum paralel cu axa Ox, apoi ıntre B(x, y0) siA(x, y), pe un drum paralel cu axa Oy. Atunci

∫ A

A0

P (x, y)dx+Q(x, y)dy =∫ A

A0

dF (x, y) = F (x, y) = C.

Lectia 2

Ecuatii lineare si cu parametru

2.1 Ecuatii de ordinul I liniare

Obiective:

1. Prezentarea ecuatiei diferentiale liniara de ordinul I si a doua metodede rezolvare a acesteia.

2. Sunt prezentate principalele tipuri de ecuatii diferentiale de ordinul I,care se pot reduce la ecuatii diferentiale liniare (ecuatii de tip Bernoulli siRiccati).

3. Sunt prezentate pe scurt ecuatiile diferentiale cu parametru precum sicele mai cunoscute astfel de ecuatii: ecuatiile Lagrange si ecuatiile Clairaut.

4. Prezentarea rezultatului central al teoriei ecuatiilor diferentiale liniare deordinul I: teorema privind existenta si unicitatea solutiei unei astfel de ecuatii,teorema datorata lui Picard.

Denumirea de ecuatii liniare este data de faptul ca la astfel de ecuatii atatfunctia necunoscuta cat si derivata ei apar doar la puterea ıntai. Aceste ecuatiiau forma generala

13

14 LECTIA 2. ECUATII LINEARE SI CU PARAMETRU

(1) y′ + P (x)y = Q(x).

In cazul ın care Q(x, y) ≡ 0 spunem ca avem o ecuatie omogena, deci

y′ + P (x)y = 0.

Vom indica doua metode de rezolvare a ecuatiei (1).

Metoda 1.

Se rezolva ıntai ecuatia omogena, folosind tehnica de la ecuatiile cu variabileseparabile:

y′ + P (x)y = 0 ⇒ dy

dx= −P (x)y ⇒ dy

y= −P (x)dx.

De aici, prin integrare, ın ambii membri

∫ y

y0

ds

s= −

∫ x

x0

P (t)dt, y0 = y(x0) ⇒ lny − lny0 = −∫ x

x0

P (t)dt

⇒ y = y0e−∫ x

x0P (t)dt

Notam cu C = y(x0) si cu y0(x) solutia generala a ecuatiei omogene. Asadar

y0(x) = Ce−∫ x

x0P (t)dt

.

Pentru determinarea solutiei generale a ecuatiei neomogene, vom folosimetoda variatiei constantele. Asta ınseamna ca vom presupune ca C dinexpresia solutiei ecuatiei omogene devine functie. Vom cauta o solutie par-ticulara a ecuatiei neomogene sub forma yp(x) = C(x)y0(x). Functia C(x)se determina prin fortarea acestui yp(x) sa fie efectiv solutie pentru ecuatianeomogena:

C ′y0 + Cy′0 + PCy0 = Q⇒ C ′y0 = Q⇒ C ′ =Q

y0⇒

⇒∫ x

x0

C ′(t)dt =∫ x

x0

Q(t)

y0(t)dt.

2.2. ECUATII REDUCTIBILE LA ECUATII LINIARE 15

Folosim acum faptul ca C(x0) = y0 si tinem cont de expresia lui y0(x), astfelca obtinem

C(x) = y0 +∫ x

x0

Q(t)e∫ s

x0P (τ)dτ

dt⇒

⇒ yp(x) = e−∫ x

x0P (t)dt

[y0 +

∫ x

x0

Q(t)e∫ s

x0P (τ)dτ

dt].

Metoda 2.

Inmultim ın ambii membri ai ecuatiei neomogene initiale cu

e∫ x

x0P (τ)dτ

si obtinem succesiv:

y′e∫ x

x0P (τ)dτ

+ P (x)ye∫ x

x0P (τ)dτ

= Q(x)e∫ x

x0P (τ)dτ ⇒

d

sx

[ye∫ x

x0P (τ)dτ

]= Q(x)e

∫ x

x0P (τ)dτ

Integram acum ın ambii membri :

ye∫ x

x0P (τ)dτ − C =

∫ x

x0

Q(s)e∫ s

x0P (τ)dτ

ds

Pentru x = x0 obtinem y(x0)−C = 0 si deci C = y(x0) = y0 astfel ca, ın final,solutia devine

y(x) = e−∫ x

x0P (τ)dτ

[y0 +

∫ x

x0

Q(s)e∫ s

x0P (τ)dτ

ds].

2.2 Ecuatii reductibile la ecuatii liniare

2.3 Ecuatii Bernoulli

Aceste ecuatii diferentiale au forma generala

y′ + P (x)y = Q(x)yα, α = 0 siα = 1.


Sa remarcam faptul ca restrictia α = 0, 1 nu este esentiala, este impusa doarde metoda de abordare a ecuatiilor Bernoulli. Daca α = 0 sau α = 1 se obtindirect ecuatii diferentiale liniare.Primul pas ın abordarea ecuatiilor Bernoulli este ınmultirea ın ambii membriai formei geberale cu y−α, deci:

y−αy′ + P (x)y1−α = Q(x).

Se face apoi schimbarea de functie y1−α(x) = z(x), relatie ın care se deriveazaın raport cu x si se obtine (1 − α)y−αy′ = z′. Atunci ecuatia initiala devine

1

1 − αz′ + P (x)z = Q(x) ⇒

z′ + (1 − α)P (x)z = (1 − α)Q(x),

adica o ecuatie diferentiala liniara.

2.4 Ecuatii Riccati

Sunt ecuatii diferentiale a caror forma generala este

y′ = P (x)y2 +Q(x)y +R(x).

Pentru a afla solutia generala a ecuatiilor Riccati, trebuie sa se cunoasca osolutie particulara a lor. Daca nu este data explicit o astfel de solutie particu-lara, atunci se poate tatona o solutie particulara, cautand-o de forma functiilorP (x), Q(x) sau R(x). In cele ce urmeaza vom presupune cunoscuta o solutieparticulara pe care o notam cu y1. Pentru a reduce o ecuatie Riccati la oecuatie liniara vom indica doua metode.

Metoda 1.

2.4. ECUATII RICCATI 17

Se face schimbarea de functie z(x) = y(x)−y1(x), relatie din care, prin derivare,conduce la z′ = y′ − y′1. Introducem ın ecuatia Riccati initiala si obtinem

z′ = Py2 +Qy +R − (Py21 +Qy1 +R) ⇒

z′ = zPy + zPy1 + zQ⇒z′ − (2Py1 +Q) z = Pz2,

adica am obtinut o ecuatie Bernoulli cu α = 2, din care se va obtine apoi oecuatie liniara.

Metoda 2.

Notam cu y1 o solutie particulara a ecuatiei Riccati si facem schimbarea defunctie

y(x) = y1(x) +1

z(x)⇒ y′ = y′1 −

z′

z2.

Introducem ın ecuatia initiala si, dupa reducerea termenilor asemenea, seobtine

− z′

z2= P

1

z2+ 2y1P

1

z+Q

1

z2.

In aceasta ultima ecuatie ınmultim cu −z2 si obtinem

z′ + (2P (x)y1(x) +Q(x)) = −P (x).

Se observa ca prin metoda a doua se obtine direct o ecuatie diferentiala liniara.


2.5 Ecuatii diferentiale cu parametru

Denumirea este sugerata de faptul ca ın rezolvarea acestor ecuatii se introduceıntotdeauna un parametru, de obicei notat cu p. De asemenea, solutia acestorecuatii are forma parametrica:

{x = x(p)y = y(p)

Ecuatiile cu parametru sunt usor de recunoscut, caci ın locul formei cunoscutey′ = f(x, y) ele au forma y = f(x, y′). Dupa ce se face notatia y′ = p oecuatie cu parametru se transforma ıntr-o ecuatie diferentiala de un tip anteriorstudiat. Cu notatia y′ = p ecuatia capata forma y = f(x, p). Avem

y′ = p⇒ dy

dx= p⇒ dy = pdx.

Apoi din

y = f(x, p) ⇒ dy =∂f

∂xdx+ frac∂f∂pdp.

Egalam cele doua expresii ale lui dy:

dy =∂f

∂xdx+

∂f

∂pdp⇒

(p− ∂f

∂x

)dx+

∂f

∂pdp = 0.

Aceasta este o ecuatie diferentiala ın care functia necunoscuta este x iar vari-abile este p. Tipul ecuatiei este unul anterior studiat. Solutia va fi x = ϕ(p)iar din y = f(x, p) se va obtine y = f(ϕ(p), p) = ψ(p), adica solutia finala va fidata ın forma parametrica. Sunt consacrate doua tipuri de ecuatii diferentialecu parametru: ecuatia Lagrange si ecuatia Clairaut.

2.6. ECUATIA LAGRANGE 19

2.6 Ecuatia Lagrange.

Are forma generala (1) y = xf(y′) + g(y′) cu conditia f(x) = x. Se face decinotatia y′ = p si atunci din (1) avem y = xf(p) + g(p). Egalam, ca ın cazulgeneral, cele doua expresii pentru dy si obtinem

dy =∂

∂x(xf(p) + g(p)) dx+

∂

∂p(xf(p) + g(p))dp⇒

dy = f(p)dx+ xf ′(p)dp+ g′(p)dp = pdx⇒(f(p) − p)) dx+ (xf ′(p) + g′(p)) dp = 0 ⇒

(f(p) − p))dx

dp+ xf ′(p) = −g′(p) ⇒

dx

dp+

f ′(p)f(p) − p

x = − g′(p)f(p) − p

.

Ultima ecuatie este o ecuatie diferentiala lineara, ın functia necunoscuta x, devariabila p, si deci va da solutia x = ϕ(p). Apoi functia y se determina cuformula y = ϕ(p)f(p) + g(p) = ψ(p). Asadar, solutia ecuatiei Lagrange esteuna parametrica.

2.7 Ecuatia Clairaut

Are forma generala (1) y = xy′ + g(y′), adica surprinde tocmai situatia ex-ceptata de la ecuatia Lagrange. Din y′ = p obtinem dy = pdx iar diny = xp + g(p) avem dy = pdx + (x+ g′(p)) dp. Egalam cele doua expresii alelui dy si reducem termenul pdx, care apare ın ambii membri. Se obtine ecuatia(x+ g′(p)) dp = 0. Atunci dp = 0 de unde p = C =constanta. Deci y′ = C deunde rezulta y = Cx+C1, C1 = constanta. Avem astfel un exemplu de solutiesingulara. Pe de alta parte, din x + g′(p) = 0 se obtine x = −g′(p) = ϕ(p) siatunci y = −pg′(p) + g(p) = ψ(p), adica, din nou, solutia este parametrica.


In cele ce urmeaza vom demonstra un rezultat central ın teoria ecuatiilordiferentiale. Este un rezultat calitativ care asigura existenta si unicitateasolutiei pentru problema Cauchy asociata unei ecuatii diferentiale ordinare,de ordinul I. Reamintim ca pentru problema Cauchy se fixeaza un punct x0 ınplan si se noteaza y0 = y(x0). Deci problema Cauchy este :

{y′ = f(x, y)y0 = y(x0).

(2.1)

Pentru a > 0 si b > 0 se considera dreptunghiul D dat de urmatorul produscartezian D = [x0 − a, x0 + a] × [y0 − b, y0 + b], adica

D ={(x, y) ∈ R2/|x− x0| ≤ a, |y − y0| ≤ b

}.

2.8 Teorema lui Picard

Teorema 1 Presupunem satisfacute ipotezele:i) f este functie continua pe domeniul D ın ambele variabile;ii) f este functie Lipschitz ın raport cu variabila y, pe D.

Atunci, problema Cauchy (1) admite o solutie y = ϕ(x) definita pe intervalul|x− x0| ≤ h, unde

h = min

{a,

b

M

}, M = sup

(x,y)∈D|f(x, y)|.

In plus, solutia problemei este unica.

Demonstratie. Reamintim definitia functiei Lipschitz:∀y1, y2 ∈ [y0 − b, y0 + b], ∃L > 0 astfel ıncat

|f(x, y1) − f(x, y2)| ≤ L |y1 − y2| , ∀x ∈ [x0 − a, x0 + a].

O presupusa solutie a problemei Cauchy y = ϕ(x) trebuie sa satisfaca conditiaCauchy ϕ(x0) = y0 si ınlocuita ın ecuatie o transforma pe acesta ın identitate:

2.8. TEOREMA LUI PICARD 21

ϕ′(x) = f(x, ϕ(x)). Integram aceasta ecuatie pe intervalul [x0, x] si obtinem∫ x

x0

ϕ′(τ)dτ =∫ x

x0

f(τ, ϕ(τ))dτ ⇒

ϕ(x) − ϕ(x0) =∫ x

x0

f(τ, ϕ(τ))dτ.

Folosind conditia Cauchy, se obtine

ϕ(x) = y0 +∫ x

x0

f(τ, ϕ(τ))dτ. (2.2)

Asadar, daca functia ϕ este o solutie a problemei Cauchy (2.1) atunci ea sat-isface ecuatia integrala (2.2). Vom demonstra acum si rezultatul reciproc sianume daca functia ϕ satisface ecuatia (2.2), atunci ϕ este o solutie a problemeiCauchy. Intr-adevar, daca ın (2.2) ınlocuim x cu x0 se obtine

ϕ(x0) = y0 +∫ x0

x0

f(τ, ϕ(τ))dτ = y0.

Apoi, derivam ın (2.2), membru cu membru si folosind regula de derivarea integralei cu parametru, obtinem ϕ′(x) = f(x, ϕ(x)), deci ϕ satisface siconditia Cauchy si ecuatia din problema Cauchy.

Demonstratia acestor doua rezultate ne da dreptul ca, ın cele ce urmeaza, ınloc sa rezolvam problema Cauchy (2.1) vom rezolva ecuatia integrala (2.2). Cuo sugestie data de forma ecuatiei (2.2) vom construi un sir de functii a caruilimita este tocmai solutia ecuatiei (2.2), deci a problemei Cauchy (2.1). Inultima parte a demonstratiei vom arata ca solutia este unica. Pentru existentasolutiei vom construi sirul de functii {yn}n∈N astfel:

y1(x) = y0 +∫ x

x0

f(τ, y0)dτ, yn(x) = y0 +∫ x

x0

f(τ, yn−1(τ))dτ, n ≥ 2.

Sirul este construit astfel ıncat |x− x0| ≤ h. Se arata fara dificultate ca siruleste bine construit, ın sensul ca argumentele functiei f sunt din domeniul D.Demonstram acum ca sirul este convergent. Folosind definitia lui M si faptulca f este functie Lipschitz, obtinem succesiv:

|y1(x) − y0| ≤M(x − x0),

|y2(x) − y1(x)| ≤∫

x0

x|f(τ, y1(τ) − f(τ, y0)|dτ ≤

L∫

x0

x|y1(τ) − y0|dτ ≤ LM∫

x0

x(τ − x0)dτ = LM(x− x0)

2

2.


Se demonstreaza imediat prin inductie matematica, prin analogie cu calculelede mai sus, ca:

|yn(x) − yn−1(x)| ≤ Ln−1M(x− x0)

n

n!.

Este clar ca sirul poate fi scris ın forma

yn =yn−yn−1+yn−1−yn−1+...+y1−y0+y0=y0+n∑

k=1

(yk−yk−1) .

Atunci sirul ynn∈N poate fi privit ca sirul sumelor partiale ale seriei

y0 +∞∑

k=1

(yk − yk−1) .

Aceasta serie este convergenta deoarece este de o serie numerica convergenta,si anume de seria

|y0| +∞∑

k=1

Lk−1Mhk

k!.

Se stie ca sirul sumelor partiale este chiar uniform convergent. Apoi un sir uni-form convergent are proprietatea de ”ereditate”, adica transmite proprietatiletermenilor sai si limitei. Deoarece termenii sirului sunt functii continue, de-ducem astfel ca si limita sa este functie continua. Notam cu ϕ(x) limitasirului, deci ϕ(x) = lim

n→∞ yn(x). Ne propunem sa aratam ca functia ϕ(x),

astfel definita, este solutia problemei Cauchy (2.1), adica conform cu primaparte a demonstratiei, ϕ(x) este solutia ecuatiei (2.2). Daca trecem la limitaın relatia de definitie a sirului ynn∈N

yn(x) = y0 +∫ x

f(τ, yn−1(τ))dτ

obtinem

ϕ(x) = y0 +∫ x

f(τ, ϕ(τ))dτ.

2.8. TEOREMA LUI PICARD 23

Cum ϕ(x0) = y0, deducem ca ϕ satisface ecuatie (2.2). Sa demonstram acumunicitattea solutiei. Presupunem, prin reducere la absurd, ca ar mai fi o functieψ care sa satisfaca problema Cauchy (2.1), deci si ecuatia (2.2). Atunci

ψ(x) = y0 +∫ x

x0

f(τ, ψ(τ))dτ.

Pe de alta parte, avem

yn(x) = y0 +∫ x

x0

f(τ, yn−1(τ))dτ.

Daca scadem ultimele doua relatii, obtinem

|yn(x) − ψ(x)| ≤∫ x

x0

|f(τ, yn−1(τ)) − f(τ, ψ(τ))|dτ ≤

≤ L∫ x

x0

|yn−1(τ) − ψ(τ)|dτ ≤ L2∫ x

x0

|yn−2(τ) − yn−1(τ)|dτ.

Din aproape ın aproape se obtine, ın final

|yn(x) − ψ(x)| ≤ Ln−1Mhn

n!.

Prin trecere la limita cu n → ∞ deducem ca ψ este limita sirului {yn}n∈N sicum limita unui sir este unica, deducem ca ϕ ≡ ψ.

Observatie. In demonstratia unicitatii solutiei este esential faptul ca f estefunctie Lipschitz. Daca se renunta la aceasta ipoteza, atunci problema Cauchyare solutie, dar aceasta nu mai este unica, asa cum afirma si rezultatul urmator,pe care ıl dam fara demonstratie.

Teorema 2 (Peano). Consideram problema Cauchy (2.1), formulata ca ınTeorema lui Picard, ın care ınsa functia f este doar continua ın ambele vari-abile (deci f nu este si functie Lipschitz). Atunci problema (2.1) are cel putino solutie.

.

Lectia 3

Ecuatii de ordin superior

3.1 Ecuatii liniare de ordin superior

[Ecuatii diferentiale liniare de ordin superior] Obiective:

1. Se prezinta ecuatiile diferentiale de ordin superior cu coeficienti variabilisi cu coeficienti constanti.

2. Pentru ecuatiile diferentiale de ordin superior omogene, sunt prezentatenotiunile de independenta a solutiilor precum si sistemul fundamental de solutiipentru astfel de ecuatii.

Definitia 1 Se numeste ecuatie diferentiala de ordinul n liniara si neomogenao ecuatie de forma

an(x)y(n)(x)+an−1(x)y(n−1)(x)+...+a1(x)y

′(x)+a0(x)y(x)=f(x), (3.1)

ın care functia necunoscuta este y = y(x), x ∈ [a, b]. Coeficientii ecuatiei simembrul drept sunt functii date si continue pe [a, b], deci ai, f ∈ C0[a, b].Daca f(x) ≡ 0, obtinem ecuatia omogena, deci

an(x)y(n)(x)+an−1(x)y(n−1)(x)+...+a1(x)y

′(x)+a0(x)y(x)=0. (3.2)

25

26 LECTIA 3. ECUATII DE ORDIN SUPERIOR

Pentru formularea problemei Cauchy, se adauga conditiile initiale:

y(x0) = y0, y′(x0) = y1, y

(n−1)(x0) = yn−1, (3.3)

ın care y0, y1, ..., yn−1 sunt cantitati date, deci cunoscute. Punctul x0 este fixatarbitrar, x0 ∈ [a, b]. Conditiile initiale precizeaza, de fiecare data, valoareainitiala a functiei necunoscute si ale derivatelor sale pana la ordinul de derivaren − 1. In cazul de fata problema Cauchy este problema formata din ecuatia(3.1) si conditiile initiale (3.3).

Definitia 2 Se numeste solutie a problemei Cauchy, data de (3.1) si (3.3),œo functie ϕ = ϕ(x), x ∈ [a, b], ϕ ∈ Cn[a, b], care verifica conditiile initiale(3.3) si ınlocuita ın ecuatia (3.1) o transforma pe aceasta ın identitate.

Introducem operatorul diferential L prin

L = andn

dxn+ an−1

dn−1

dxn−1+ ... + a0

d

dx+ a0 (3.4)

si atunci ecuatia (3.1) capata forma mai simpla

(1′) Ly(x) = f(x), x ∈ [a, b]

Propozitia 1 Operatorul diferential introdus ın (3.4) este liniar:

L (y1 + y2) = Ly1 + Ly2, L (λy) = λLy ⇔L (λ1y1 + λ2y2) = λ1Ly1 + λ2Ly2.

Demonstratie. Afirmatiile sunt imediate avand ın vedere liniaritatea operatieide derivare:

(f + g)(n) = f (n) + g(n), (λf)(n) = λf (n).

Sa mai remarcam forma mai simpla a ecuatiei omogene, folosind operatorul L,introdus ın (3.4), adica Ly(x) = 0. De asemenea, daca y1, y2,..., yn sunt solutii

pentru ecuatia omogena, atunci si functia y =n∑

i=1Ciyi, unde C1, C2,..., Cn

sunt constante, este de asemenea solutie pentru ecuatia omogena. Intr-adevar,avem Lyi = 0 (pentru ca yi este solutie) si, ın baza liniaritatii lui L,

Ly = L

(n∑

i=1

Ciyi

)=

n∑i=1

L (Ciyi) =n∑

i=1

CiL (yi) = 0.

3.1. ECUATII LINIARE DE ORDIN SUPERIOR 27

Definitia 3 Functiile y1, y2,..., yn se numesc liniar independente pe inter-valul [a, b] daca nu exista o combinatie liniara a lor fara ca toti coeficientiicombinatiei sa fie nuli, adica daca

λ1y1 + λ2y2 + ... + λnyn = 0 ⇒ λ1 = λ2 = ... = λn = 0.

Exemplu. Functiile 1, x, ex sunt liniar independente pe R caci daca avemλ1 + λ2x + λ3e

x = 0, ∀x ∈ R atunci λ1 = λ2 = λ3 = 0. Intr-adevar, damlui x valorile 0,−1 si 1 si obtinem un sistem liniar si omogen de ecuatii ınnecunoscutele λi al carui determinant este nenul, deci admite numai solutiabanala.

Definitia 4 Se numeste wronskian al functiilor y1(x), y2(x),..., yn(x), deter-minantul definit prin

W (x) = W (y1(x), y2(x), ..., yn(x)) =

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

y1(x), y2(x), ... yn(x)y′1(x), y′2(x), ... y′n(x)− − − −

y(n−1)1 (x), y

(n−1)2 (x), ... y(n−1)

n (x)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Teorema 1 Daca functiile y1(x), y2(x),..., yn(x) sunt liniar dependente, atunciwronskianul lor este nul, deci W (y1, y2, ..., yn) = 0, ∀x ∈ [a, b].

Demonstratie Pentru ca functiile y1(x), y2(x),..., yn(x) sunt liniar depen-dente, deducem ca exista coeficientii λ1, λ2,...,λn, nu toti nuli, astfel ıncat saavem λ1y1 + λ2y2 + ...+ λnyn = 0. Derivam aceasta relatie, succesiv, membrucu membru, si obtinem sistemul de ecuatii⎧⎪⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎪⎩

λ1y1 + λ2y2 + ...+ λnyn = 0λ1y

′1 + λ2y

′2 + ...+ λny

′n = 0

−−−−−−−−−−−−λ1y

(n−1)1 + λ2y

(n−1)2 + ...+ λny

(n−1)n = 0

Am obtinut un sistem liniar si omogen ın necunoscutele λ1, λ2,...,λn. Dar,conform cu ipoteza, acest sistem admite si solutii nenule.


Deducem astfel ca determinantul sistemului (care este tocmai wronskianulfunctiilor y1(x), y2(x),..., yn(x)) trebuie sa fie nul, deci W (x) = 0.

Observatie Folosind negarea ın teorema anterioara, se obtine un alt rezultatcare este mai util ın aplicatii decat cel din Teorema 1. Asadar avem urmatorulrezultat.

Teorema 2 Daca ∃x0 ∈ [a, b] astfel ıncat wronskianul lor este nenul,

W (y1(x0), y2(x0), ..., yn(x0)) = 0,

atunci functiile y1(x), y2(x),..., yn(x) sunt liniar independente pe [a, b].

Un rezultat foarte important privind wronskianul unui sistem de functii estede urmatoarea teorema, datorata lui Liouville.

Teorema 3 (Liouville) Daca exista un punct x0 ∈ [a, b] astfel ıncat sa avemW (x0) = 0, atunci W (x) = 0, ∀x ∈ [a, b].

Demonstratie. Folosind regula de derivare a unui determinant, se obtineecuatia

dW

dx= −an−1(x)

an(x)W (x) ⇒ dW

W= −an−1(x)

an(x)dx.

Se integreaza ultima ecuatie (care este cu variabile separabile) pe intervalul[x0, x] si se obtine

W (x) = W (x0)e−∫ x

x0

an−1(τ)

an(τ)dτ.

Avand ın vedere ipoteza ca W (x0) = 0 si tinand cont ca functia exponentialaeste strict pozitiva, se deduce ca W (x) = 0, ∀x ∈ [a, b].

Observatie. Avand ın vedere rezultatele din ultimele doua teoreme, deducemca daca un sistem de functii este liniar independent ıntr-un punct x0 ∈ [a, b]atunci functiile sunt liniar independent pe ıntreg intervalul [a, b].


Teorema 4 Sa presupunem ca functiile y1, y2, ..., yn, y ∈ Cn−1[a, b] satisfacconditiile W (y1, y2, ..., yn) = 0 pe intervalul [a, b] si W (y1, y2, ..., yn, y) = 0 peintervalul [a, b].Atunci exista constantele Ci, i = 1, 2, ..., n astfel ıncat sa avem

y = C1y1 + C2y2 + ... + Cnyn.

Demonstratie. In baza primei ipoteze, avem

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

y1 y2 ... yn yy′1 y′2 ... y′n y′

− − − − −y

(n−1)1 y

(n−1)2 ... y(n−1)

n y(n−1)

y(n)1 y

(n)2 ... y(n)

n y(n)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0.

Putem sa scriem

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

y1 y2 ... yn yy′1 y′2 ... y′n y′

− − − − −y

(n−1)1 y

(n−1)2 ... y(n−1)

n y(n−1)

y(k)1 y

(k)2 ... y(k)

n y(k)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0, ∀k = 0, 1, 2, ..., n

Dezvoltam acest determinat dupa ultima linie si obtinem

λ1y(k)1 + λ2y

(k)2 + ...+ λny

(k)n + λ0y

(k) = 0, (3.5)

ın care λ0 este tocmai wronskianul functiilor y1, y2,...,yn si care este nenul, ınbaza primei ipoteze a teoremei. Deci putem ımparti cu −λ0 ın ecuatia (3.5),scrisa pentru k = 0 si obtinem

y =λ1

λ0y1 +

λ2

λ0y2 + ...+

λn

λ0yn. (3.6)

Folosind notatia λi(x)λ0(x)

= μi(x), relatia (3.6) devine

y = μ1y1 + μ2y2 + ...+ μnyn. (3.7)


Demonstratia se ıncheie daca aratam ca μi sunt constante, ∀i = 1, 2, ..., n. Inacest scop derivam succesiv ın (3.7) si, de fiecare data folosim (3.5) astfel case obtine sistemul de ecuatii

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

μ′1y1 + μ′

2y2 + ...+ μ′nyn = 0

μ′1y

′1 + μ′

2y′2 + ...+ μ′

ny′n = 0

−−−−−−−−−−−−μ′

1y(n−1)1 + μ′

2y(n−1)2 + ...+ μ′

ny(n−1)n = 0

Acesta este un sistem algebric liniar si omogen ın necunoscutele μ′i al carui

determinant este tocmai wronskianul W (y1, y2, ..., yn = 0 si atunci sistemuladmite doar solutia banala μ′

i = 0 si deci μi = Ci =constant, ∀i = 1, 2, ..., n.

Definitia 5 Se numeste sistem fundamental de solutii pentru ecuatia omogena(3.2), un sistem de functii y1, y2,...,yn care au wronskianul nenul, deci

W (y1, y2, ..., yn) = 0.

Dupa Teorema 4, daca se cunoaste un sistem fundamental de solutii y1, y2,...,yn

pentru ecuatia omogena (3.2), atunci solutia generala a acestei ecuatii estey = C1y1 + C2y2 + ... + Cnyn, unde Ci sunt constante, ∀i = 1, 2, ..., n.

Exemplu. Fie ecuatia x2y′′ − 2xy′ + 2y = 0 care are solutiile y1 = x, y2 = x2.Se constata imediat ca W (y1, y2) = x = 0 pe R \ {0}. Atunci y1 si y2 formeazaun sistem fundamental de solutii pentru ecuatia data si deci solutia generalaa ecuatiei este y = C1y1 + C2y2, unde C1 si C2 sunt constante.

In ıncheierea acestui paragraf facem cateva consideratii asupra problemeiCauchy data de (3.2) si (3.3).

Teorema 5 Daca pentru ecuatia (3.2) se cunoaste un sistem fundamental desolutii, definite pe [a, b], atunci exista o singura solutie a acestei ecuatii caresa satisfaca conditiile initiale (3.3).

Demonstratie. Dupa Teorema 4, daca se cunoaste un sistem fundamentalde solutii y1, y2,...,yn pentru ecuatia omogena (3.2), atunci solutia generalaa acestei ecuatii este y = C1y1 + C2y2 + ... + Cnyn, unde Ci sunt constante,


∀i = 1, 2, ..., n. Obligam aceasta solutie sa verifice conditiile initiale si obtinemsistemul

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

C1y1(x0) + C2y2(x0) + ...+ Cnyn(x0) = y0

C1y′1(x0) + C2y

′2(x0) + ...+ Cny

′n(x0) = y1

−−−−−−−−−−−−C1y

(n−1)1 (x0) + C2y

(n−1)2 (x0) + ...+ Cny

(n−1)n (x0) = yn−1

Am obtinut un sistem algebric liniar si neomogen ın necunoscutele C1, C2,...,Cn.Determinantul sistemului este wronskianul functiilor y1, y2,...,yn si deci estenenul caci am presupus ca funstiile y1, y2,...,yn formeaza un sistem funda-mental de solutii. Deci sistemul admite solutie unica. Cum constantele C1,C2,...,Cn sunt unice, deducem ca solutia y de mai sus este unica.

Exemplu. Fie ecuatia y′′′ − 6y′′ + 11y′ − 6y = 0 cu solutiile y1 = ex,y2 = e2x, y3 = e3x. Se verifica imediat (cu ajutorul wronskianului) ca acestefunctii formeaza un sistem fundamental de solutii. Atunci solutia generala aecuatiei date este y = C1e

x +C2e2x +C3e

3x. Daca impunem conditiile Cauchyy(0) = y′(0) = 0 si y′′(0) = 1 obtinem ca problema Cauchy are ca singurasolutie functia

y =1

2ex − e2x +

1

2e3x.

In propozitia urmatoare, demonstram un rezultat prin care se poate reduceordinul unei ecuatii diferentiale.

Propozitia 2 Daca pentru ecuatia neomogena (3.1) se cunoaste o solutiey1(x), atunci ordinul ecuatiei devine n− 1 daca se face schimbarea de functie

z(x) =y(x)

y1(x).

Demonstratie. Avem succesiv

y = y1z ⇒ y′ = y′1z + y1z′ ⇒

y′′ = y′′1z + 2y′z′ + y1z′.


Prin inductie matematica se obtine imediat

y(n) =n∑

k=0

Ckny

(n−k)1 z(k).

Aceste derivate se ınlocuiesc ın ecuatia (3.1) si se obtine o ecuatie ın functia zcare are coeficientul lui z nul, pentru ca y1 este solutie a ecuatiei (3.1).

Se noteaza apoi z′ = u si astfel se obtine o noua ecuatie diferentiala ınfunctia necunoscuta u care are ordinul n− 1.

Exemplu. Fie ecuatia de ordinul II y′′+2xy′−2y = 0 cu solutia y1 = x. Facemschimbarea de functie y(x) = xz(x), calculam derivatele lui y, le ınlocuim ınecuatie si obtinem noua ecuatie xz′′+2(1+x2)z′ = 0. Facem o noua schimbarede functie z′(x) = u(x) si obtinem ecuatia de ordinul I xu′ +2(1+x2)u = 0.

Lectia 4

Ecuatii lineare neomogene

4.1 Ecuatii de ordin superior neomogene

Obiective:

1. Este expusa metoda variatiei constantelor pentru aflarea unei solutiiparticulare pentru ecuatiile diferentiale de ordin superior neomogene.

2. Pentru ecuatiile diferentiale de ordin superior omogene, cu coeficienticonstanti, se ataseaza ecuatia caracteristica si se analizeaza cazurile candecuatia caracteristica are radacini reale simple, radacini reale multiple, radacinicomplexe simple si radacini complexe conjugate.

3. Pentru ecuatiile diferentiale de ordin superior neomogene sunt prezen-tate doua metode pentru determinarea unei solutii particulre si anume metodavariatiei constantelor si metoda sugestiva.

4. Pentru ecuatia diferentiala Euler, care are coeficientii variabili, esteprezentat algoritmul de reducere a acesteia la o ecuatie cu coeficienti constanti.

Forma generala a unei ecuatii diferentiale de ordinul n liniara si neomogenaeste

any(n)(x)+an−1y

(n−1)(x)+...+a1y′(x)+a0y(x)=f(x), (4.1)

33

34 LECTIA 4. ECUATII LINEARE NEOMOGENE

unde x ∈ [a, b].Daca introducem operatorul diferential L prin

L = andn

dxn+ an−1

dn−1

dxn−1+ ...+ a1

d

dx+ a0, (4.2)

ecuatia capata forma

Ly(x) = f(x). (4.3)

Teorema care urmeaza furnizeaza metoda de aflare a solutiei generale a ecuatiineomoege.

Teorema 1 Solutia generala a ecuatiei neomogene se obtine adunand la solutiagenerala a ecuatiei omogene o solutie particulara a ecuatiei neomogene.

Demonstratie. Deci, daca notam cu yO solutia generala a ecuatie omogene,cu yp o soluti particulara a ecuatie neomogene si yG solutia generala a ecuatieneomogene, atunci avem de demonstrat relatia

yG = yO + yp

Fie y(x) o solutie a ecuatiei neomogene, Ly(x) = f(x). Presupunem cunoscutao solutie particulara a ecuatiei neomogene, yp.Facem schimbarea de functie y(x) = yp(x) + z(x). Atunci avemL(y) = L(yp + z) +L(yp) +L(z), adica f(x) = f(x) +L(z) astfel ca L(z) = 0,adica z este solutie a ecuatiei omogene. Dar orice solutie a ecuatiei omogeneare forma z(x) = C1y1 + C2y2 + ... + Cnyn, unde y1, y2,...,yn este un sistemfundamental de solutii pentru ecuatia omogena. Revenind la schimbarea defunctie de mai sus ca y = yp + C1y1 + C2y2 + ... + Cnyn si demonstratia seıncheie.

Urmeaza sa indicam o metoda pentru determinarea unei solutii particularea ecuatiei neomogene. Cea mai generala metoda este cea propusa de Lagrange,numita metoda variatiei constantelor.

Teorema 2 Daca functiile y1, y2,...,yn formeaza un sistem fundamental desolutii pentru ecuatia omogena, atunci o solutie particulara a ecuatiei neomo-gene este

yp(x) = C1(x)y1(x) + C2(x)y2(x) + ... + Cn(x)yn(x), (4.4)

4.1. ECUATII NEOMOGENE 35

unde functiile C1(x), C2(x), ..., Cn(x) verifica sistemul

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

y1C′1 + y2C

′2 + ... + ynC

′n = 0

y′1C′1 + y′2C

′2 + ... + y′nC

′n = 0

−−−−−−−−−−−−y

(n−2)1 C ′

1 + y(n−2)2 C ′

2 + ... + y(n−2)n C ′

n = 0

y(n−1)1 C ′

1 + y(n−1)2 C ′

2 + ... + y(n−1)n C ′

n = f(x)an(x)

(4.5)

Demonstratie. Deoarece functiile y1, y2,...,yn formeaza un sistem funda-mental de solutii pentru ecuatia omogena, atunci solutia generala a ecuatieiomogene este z(x) = C1y1 + C2y2 + ... + Cnyn ın care Ci sunt constante. Fiefunctia y(x) = C1(x)y1 +C2(x)y2 + ...+Cn(x)yn obtinuta din z ınlocuind con-stantele Ci cu functiile Ci(x). Aratam ca daca functiile Ci(x) verifica sistemul(4.5), atunci y este o solutie particulara a ecuatiei neomogene. Derivam suc-cesiv ın expresia lui y si, dupa ce folosim ecuatiile sistemului (4.5), obtinemurmatorul sistem⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

y = C1y1 + C2y2 + ...+ Cnyn

y′ = C1y′1 + C2y

′2 + ... + Cny

′n

−−−−−−−−−−−−y(n−1) = C1y

(n−1)1 + C2y

(n−1)2 + ... + Cny

(n−1)n

y(n) = C1y(n)1 + C2y

(n)2 + ... + Cny

(n)n + f(x)

an

Inmultim prima ecuatie cu a0, a doua cu a1,..., ultima cu an iar relatiile obtnutese aduna membru cu membru. Obtinem ecuatia

any(n) + an−1y

(n−1) + ...+ a1y′ + a0y =

= C1

[any

(n)1 + an−1y

(n−1)1 + ...+ a1y

′1 + a0y1

]+

+C2

[any

(n)2 + an−1y

(n−1)2 + ...+ a1y

′2 + a0y2

]+

+...+ Cn

[any

(n)n + an−1y

(n−1)n + ...+ a1y

′n + a0yn

]+ f(x).

Dar, parantezele drepte care sunt coeficienti pentru C1, C2,...,Cn sunt nule,deoarece functiile yi sunt solutii pentru ecuatia omogena. Astfel, ecuatia demai sus devine any

(n) + an−1y(n−1) + ... + a1y

′ + a0y = f(x), ceea ce arata cay este solutie pentru ecuatia neomogena.


4.2 Ecuatii diferentiale de ordin superior cu

coeficienti constanti

Vom studia ıntai ecuatiile diferentiale de ordinul n omogene, care au formagenerala

any(n)(x) + an−1y

(n−1)(x) + ... + a1y′(x) + a0y(x) = 0, x ∈ [a, b] (4.6)

ın care ai =constant, ∀i = 1, 2, ..., n.Pentru astfel de ecuatii se poate determina ıntotdeauna un sistem fun-

damnetal de solutii. In acest scop, se cauta solutii sub forma y(x) = Aeλx

unde A este o constanta A = 0 iar λ este un parametru complex, λ ∈ C.Derivam succesiv expresia lui y, derivatele obtinute se ınlocuiesc ın ecuatia

(4.6) si gasim

Aeλx(anλ

n + an−1λn−1 + ... + a1λ+ a0

)= 0.

Deoarece A = 0 si eλx = 0 deducem ca

anλn + an−1λ

n−1 + ... + a1λ+ a0 = 0. (4.7)

In felul acesta am obtinut o ecuatie algebrica ın necunoscuta λ care se numesteecuatie caracteristica atasata unei ecuatii diferentiale de ordinul n. In celece urmeaza, vom aborda ecuatia (4.6) prin intermediul ecuatiei sale caracter-istice (4.7). Distingem mai multe cazuri:

Cazul 1. Presupunem ıntai ca ecuatia (4.7) are toate radacinile reale si simpleλ1 = λ2 = ... = λn. Atunci functiile y1(x) = eλ1x, y2(x) = eλ2x,..., yn(x) = eλnx

formeaza un sistem fundamental de solutii pentru ecuatia (4.6) deoarece acestefunctii au wronskianul nul. Intr-adevar, ınlocuind ın expresia wronskianului,vom obtine un determinant Vandermonde:

W (y1, y2, ..., yn) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

eλ1x eλ2x − eλnx

λ1eλ1x λ2e

λ2x − λneλnx

− − − −λn−1

1 eλ1x λn−12 eλ2x − λn−1

n eλnx

∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

4.2. ECUATII CU COEFICIENTI CONSTANTI 37

= e(λ1+λ2+...+λn)x

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 − 1λ1 λ2 − λn

λ21 λ2

2 − λ2n

− − − −λn−1

1 λn−12 − λn−1

n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

= e(λ1+λ2+...+λn)x∏

1≤j<i≤n

(ai − aj) = 0.

Cazul 2. Presupunem ca ecuatia caracteristica (4.7) are toate radacinilecomplexe, simple. Atunci ecuatia caracteristica are grad par. Daca admiteradacina λ1 = α + iβ atunci admite si radacina λ2 = α − iβ, care este com-plex conjugata primei radacini. Consideram cunoscute formula lui Euler dela numere complexe si regula de derivare a functiei exponentilae, de exponentcomplex

ez = ex+iy = e (cos y + i sin y)(eλx)′

= λeλx, λ ∈ C.

Corespunzator celor doua radacini complexe ale ecuatiei caracteristice, pentruecuatia diferentiala (4.6) se ia solutia

eαx (C1 cosβx+ C2 sin βx)

Analog pentru o alta radacina complexa a ecuatiei caracteristice. Atunci, ıntr-o maniera asemanatoare celei din cazul 1, se arata ca aceste functii au wron-skianul nenul, deci formeaza un sistem fundamental de solutii pentru ecuatiaomogena.

Cazul 3. Presupunem ca ecuatia caracteristica are o radacina reala λ1, mul-tipla de ordinul m. Atunci functiile eλ1x, xeλ1x, x2eλ1x,..., xm−1eλ1x sunt liniarindependente, ceea ce se poate constata cu ajutorul wronskianului. De aseme-nea, se folosesc relatiile

L(xkeλx

)= L

(dk

dλk

(eλx))

=dk

dλk

(L(eλx)),

unde L este operatorul diferential introdus ın prima parte a lectiei.


Cazul 4. Presupunem ca ecuatia caracteristica (4.7) are o radacina complexamultipla de ordinul m, λ1 = α+ iβ. Atunci ea admite si radacina λ2 = α− iβ,care este complex conjugata primei tot multipla de ordinul m. Atunci solutiaecuatiei diferentiale va fi

eαx[(C0 + C1x+ ...+ Cm−1x

m−1)

cosβx+

+(B0 +B1x+ ...+Bm−1x

m−1)

sin βx].

4.3 Ecuatii diferentiale de ordinul n neomo-

gene

O solutie particulara a ecuatiei neomogene se poate determina folosind metodavariatiei constantelor, expusa ın prima parte a lectiei. Din cauza particu-laritatii ecuatiei de a avea coeficientii constanti, se poate folosi si o metoda”sugestiva”, ın sensul ca solutia particulara a ecuatiei neomogene sa fie cautatade forma termenul liber al ecuatiei, deci de forma functiei f(x). Se distingurmatoarele cazuri.

Cazul 1. Presupunem ca functia termen liber a ecuatiei, f(x), are formaf(x) = eαxP (x), unde P (x) este o functie polinomiala. Se testeaza ıntai dacaα este radacina pentru ecuatia caracteristica. Daca nu este, atunci solutiaparticulara yp(x) se cauta de forma yp(x) = eαxQ(x), unde Q(x) este o functiepolinomiala, de acelasi grad cu P , dar cu alti coeficienti. Coeficientii lui Q sedetrmina obligand yp sa fie efectiv solutie pentru ecuatia diferentiala. Dacaα este radacina pentru ecuatia caracteristica, multipla de ordinul m, atuncisolutia particulara yp(x) se cauta de forma yp(x) = xmeαxQ(x), unde Q(x) esteo functie polinomiala ın situatia de mai sus si care se determina la fel ca mai sus.

Cazul 2. Presupunem ca functia termen liber a ecuatiei, f(x), are formaf(x) = eαx [A(x) cosβx+B(x) sin βx], unde A(x) si B(x) sunt functii polino-miale, nu neaparat de acelasi grad. Se testeaza ıntai daca α+ iβ este radacinapentru ecuatia caracteristica. Daca nu este, atunci solutia particulara yp(x) se

4.4. ECUATII DIFERENTIALE DE TIP EULER 39

cauta de forma

yp(x) = eαx [P (x) cosβx+Q(x) sin βx] ,

unde P (x) si Q(x) sunt functii polinomiale, de acelasi grad si anume degrad=max{gradA, gradB}. Daca α + iβ este radacina pentru ecuatia car-acteristica, multipla de ordinul m, atunci solutia particulara yp(x) se cautade forma yp(x) = xmeαx [P (x) cosβx+Q(x) sin βx], unde P (x) si Q(x) suntfunctii polinomiale ın situatia de mai sus. Coeficientii pentru P si Q se de-trmina obligand yp sa fie efectiv solutie pentru ecuatia diferentiala, si se pro-cedeaza la identificare.

Cazul 3. Presupunem ca functia termen liber a ecuatiei, f(x), are formaf(x) = f1(x) + f2(x), unde au formele corespunzatoare cazurile 1, respectiv2. Atunci solutia particulara yp(x) se cauta de forma yp(x) = yp1(x) + yp2(x),unde yp1(x) si yp2(x) sunt solutiile particulare de la cazurile 1, respectiv 2.

4.4 Ecuatii diferentiale de tip Euler

O ecuatie diferentiala de tip Euler este un exemplu de ecuatie cu coeficientivariabili pentru care se poate determina un sistem fundamental de solutii,pentru ecuatia omogena. Ecuatiile diferentiale de tip Euler au forma generala

anxny(n) + an−1x

n−1y(n−1) + ... + a1xy′ + a0y = f(x),

ın care coeficientii ai sunt constanti si dati, iar functia termen liber f este deasemenea data.O ecuatie diferentiala de tip Euler este usor de recunoscut pentru ca mono-mul din fata unei derivate are acelasi grad cu ordinul de derivare al functieinecunoscute.

Se face schimbarea de variabila x = et, daca x > 0 sau x = −et, daca x < 0si ecuatia Euler se transforma ıntr-o ecuatie cu coeficienti constanti. Dupamodelul de derivare expus mai jos

y′ =dy

dx=dy

dt

dt

dx=dy

dt

1

x=dy

dte−t


y′′ =d2y

dx2=

d

dx

(dy

dx

)=

d

dx

(dy

dte−t

)=

=d

dt

(dy

dte−t

)e−t = e−2t

(d2y

dt2− dy

dt

),

se obtine ca regula generala

y(k) = e−kt

(dky

dtk+ bk−1

dk−1y

dtk−1+ ...+ b1

dy

dt

),

ın care coeficientii bi sunt constanti. Coeficientul din fata lui y(k) este xk = ekt

si atunci cand ınlocuim ın ecuatia initiala exponentialele dispar, deci se obtineo ecuatie cu coeficienti constanti.

Lectia 5

Sisteme de ecuatii diferentiale

5.1 Sisteme de ecuatii diferentiale liniare

Obiective:

1. Sunt prezentate doua metode de rezolvare a sistemelor de ecuatii diferen-tiale liniare. Metoda reducerii este metoda prin care abordarea unui sistemde ecuatii diferentiale se reduce la rezolvarea unei ecuatii diferentiale de or-din superior. A doua metoda, metoda ecuatiei caracteristice, este destul deasemanatoare cucea din cazul ecuatiilor diferentiale de ordin superior.

2. Pentru sistemele de ecuatii diferentiale liniare nepmogene sunt ex-puse doua metode pentru a determina o solutie particulara. Prima metoda,metoda variatiei constantelor (metoda lui Lagrange) propune o solutie partic-ulara pornind de la solutia generala a formei omogene a respectivului sistemde ecuatii diferentiale. Prin a doua metoda se propune o solutie particulara deforma vectorului termen liber.

41

42 LECTIA 5. SISTEME DE ECUATII DIFERENTIALE

Forma generala a unui sistem de ecuatii diferentiale liniare de ordinul I este

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩y′1 = f1 (x, y1, y2, ..., yn)y′2 = f2 (x, y1, y2, ..., yn)−−−−−−−−−−y′n = fn (x, y1, y2, ..., yn)

(5.1)

ın care functiile necunoscute sunt yi = yi(x), i = 1, 2, ..., n. Functiile fi(x), i =1, 2, ..., n sunt date si suficient de regulate pentru a permite operatiile matem-atice ce se fac asupra lor pentru a rezolva sistemul sistemul de ecuatii. Dacatoate functiile fi(x) sunt liniare ın argumentele lor, atunci sistemul devineliniar si are forma generala

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩y′1 = a11y1 + a12y2 + ...+ a1nyn + b1y′2 = a21y1 + a22y2 + ...+ a2nyn + b2−−−−−−−−−−−−−−−−y′n = an1y1 + an2y2 + ... + annyn + bn

(5.2)

Si la sistemul (5.2) functiile necunoscute sunt yi = yi(x), x ∈ [a, b] iar functiilecoeficienti aij = aij(x) si functiile termen liber bi = bi(x) sunt date. Daca totibi = 0, i = 1, 2, ..., n, atunci sistemul capata forma sa omogena.

Un sistem de ecuatii diferentiale liniare de ordinul I capata o forma maisimpla daca folosim scrierea matriceala

Y ′ = AY + b, unde Y =

⎛⎜⎜⎜⎝y1

y2

−yn

⎞⎟⎟⎟⎠ ,

A =

⎛⎜⎜⎜⎝a11 a12 − a1n

a21 a22 − a2n

− − − −an1 an2 − ann

⎞⎟⎟⎟⎠ , b =

⎛⎜⎜⎜⎝b1b2−bn

⎞⎟⎟⎟⎠ . (5.3)

Ne propunem sa aratam ca o ecuatie diferentiala liniara de ordinul n sereduce la un sistem de n ecuatii diferentiale liniare de ordinul I cu n functiinecunoscute. De exemplu, ecuatia de ordinul doi y′′ − ky = 0 se reduce la unsistem de doua ecuatii diferentiale de ordinul I cu doua functii necunoscute.

5.1. SISTEME DE ECUATII DIFERENTIALE LINIARE 43

Intr-adevar, daca folosim notatiile y1(x) = y(x) si y2(x) = y′1(x), obtinemsistemul liniar {

y′1(x) = y2(x)y′2(x) = ky1(x)

In general, pentru ecuatia anyn + an−1y

n−1 + ...+ a1y′ + a0y = f se folosesc

notatiile y1 = y, y2 = y′, y3 = y′′,..., yn = y(n−1) si atunci obtinem sistemulliniar ⎧⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎩y′1(x) = y2(x)y′2(x) = y3(x)y′n−1(x) = yn(x)y′n(x) = f(x) − 1

an(a0y1 + a1y2 + ...+ an−1yn)

Vom expune doua metode de rezolvare un sistem de n ecuatii diferentialeliniare de ordinul I.

Metoda 1.

Analogia de mai sus dintre o ecuatie diferentiala liniara de ordinul n siun sistem de n ecuatii diferentiale liniare de ordinul I sugereaza o primametoda de rezolvare a sistemelor de ecuatii diferentiale liniare si pe care ovom numi metoda reducerii. Aceasta consta ın reducerea sistemului la oecuatie diferentiala cu o singura functie necunoscuta, ın general de ordin egalcu numarul ecuatiilor din sistem. Mai precis, se fixeaza o functie necunos-cuta, sa zicem yn, si se expliciteaza celelalte functii necunoscute ımpreuna cuderivatele lor cu ajutorul lui yn. Se obtine o ecuatie diferentiala de ordinul nın functia necunoscuta yn.

Exemplu. Sa consideram sistemul particular

{y′1 = 4y1 − y2

y′2 = 5y1 + 2y2

Prin derivare obtinem y′′1 = 4y′1−y′2 si y′′2 = 5y′1 +2y′2 din care, prin combinatiievidente, rezulta y′′1 − 6y′1 + 13y1 = 0, adica o ecuatie diferentiala de ordinul


doi, cu o singura functie necunoscuta, y1.

Metoda 2.Vom expune acum o metoda care aminteste de rezolvarea ecuatiilor diferentialecu coeficienti constanti. Se numeste metoda ecuatiei caracteristice. Pen-tru sistemul dat se cauta solutii de forma

Y =

⎛⎜⎜⎜⎝y1

y2

−yn

⎞⎟⎟⎟⎠ =

⎛⎜⎜⎜⎝C1

C2

−Cn

⎞⎟⎟⎟⎠ eλx =

⎛⎜⎜⎜⎝C1e

λx

C2eλx

−Cne

λx

⎞⎟⎟⎟⎠

Se obliga acest Y sa fie efectiv solutie si dupa ce simplificam cu eλx obtinemurmatorul sistem algebric, liniar si omogen

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

(a11 − λ)C1 + a12C2 + ... + a1nCn = 0a21C1 + (a22 − λ)C2 + ... + a2nCn = 0

−−−−−−−−−−−−an1C1 + an2C2 + ... + (ann − λ)Cn = 0

Pentru ca sistemul sa admita si solutii diferite de solutia banala, trebuie cadeterminantul sistemului sa fie nul, adica

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 − λ a12 − a1n

a21 a22 − λ − a2n

− − − −an1 an2 − ann − λ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0.

Dupa calcularea determinantului se obtine o ecuatie algebrica de gradul n ınnecynoscuta λ, de forma

λn + b1λn−1 + ...+ bn−1λ+ b0 = 0, (5.4)

care se numeste ecuatia caracteristica a sistemului. Aici se vede analogia cuecuatia caracteristica atasata ecuatiilor diferentiale de ordinul n. In felul acestaam redus problema rezolvarii sistemului de ecuatii diferentiale la rezolvareaecuatiei sale caracteristice care este o ecuatie algebrica polinomiala.

5.1. SISTEME DE ECUATII DIFERENTIALE LINIARE 45

Ca si ın cazul ecuatiilor diferentiale de ordinul n, vom distinge mai multecazuri, ın functie de natura radacinilor ecuatiei caracteristice.

Cazul 1. Presupunem ca ecuatia caracteristica are o radacina reala simpla λ1.Solutia sistemului se cauta de forma y1 = C1e

λ1x, y2 = C2eλ1x,...,yn = Cne

λ1x,care se obliga sa verifice sistemul de ecuatii diferentiale. Se va obtine un sistemalgebric de n − 1 ecuatii ın necunoscutele C1, C2, ..,Cn. Se vor explicita, deexemplu, constantele C2, C3,...,Cn ın functie de C1 iar, ın final, se va lui C1 ovaloare particulara.

Cazul 2. Presupunem ca ecuatia caracteristica are o radacina complexasimpla λ1 = α + iβ. Pentru ca ecuatia caracteristica are coeficienti reali,ea va admite si radacina complex conjugata λ2 = α− iβ. Solutia sistemului secauta de forma

Y =

⎛⎜⎜⎜⎝

C1 cosβx+B1 sin βxC2 cosβx+B2 sin βx

−−−−−−−−−−−Cn cosβx+Bn sin βx

⎞⎟⎟⎟⎠ eαx

Introducem solutia gasita ın sistemul de ecuatii diferentiale initial si, prinmetoda identificarii, se obtine un sistem algebric din care se determina con-stantele C2, B2, C3, B3,...,Cn, Bn ın functie de C1 si B1, iar ın final se dauvalori particulare pentru C1 si B1.

Cazul 3. Presupunem ca ecuatia caracteristica are o radacina reala, α, mul-tipla de ordinul m. Cautam solutia sistemului de ecuatii diferentiale sub forma

Y =

⎛⎜⎜⎜⎝C11 + C12x+ ...+ C1mx

m−1

C21 + C22x+ ...+ C2mxm−1

−−−−−−−−−−−Cn1 + Cn2x+ ... + Cnmx

m−1

⎞⎟⎟⎟⎠ eαx

Coeficientii Cij se determina ca ın cazul doi.

Cazul 4. Presupunem ca ecuatia caracteristica are o radacina complexa


λ1 = α+ iβ, (deci automat are si conjugata, λ2 = α− iβ), multipla de ordinulm. Cautam solutia sistemului de ecuatii diferentiale sub forma

Y=

⎛⎜⎜⎜⎝

(C11+...+C1mxm−1)cosβx+(B11+...+B1mx

m−1)sin βx(C21+...+C2mx

m−1)cosβx+(B21+...+B2mxm−1)sin βx

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−(Cn1+...+Cnmx

m−1)cosβx+(Bn1+...+Bnmxm−1)sin βx

⎞⎟⎟⎟⎠eαx

5.2 Sisteme cu coeficienti constanti

[Sisteme cu coeficienti constanti]

Prin analogie cu algoritmul de rezolvare al ecuatiilor diferentiale de ordinsuperior, algoritmul de rezolvare al sistemelor neomogene de ecuatii diferentialeeste urmatorul:

i) se ataseaza sitemul omogen si se afla solutia sa generala;ii) se afla o solutie particulara a sistemului neomogen;iii) solutia generala a sistemului meomogen se obtine prin ınsumarea solutiei

generale a sistemului omogen cu solutia particulara a sistemului neomogen.Deoarece algoritmul pentru determinarea solutiei generale a sistemului omo-

gen a fost deja expus, a mai ramas sa indicam metode pentru a afla o solutieparticulara a sistemului neomogen. Ca si ın cazul ecuatiilor diferentiale deordin superior, sunt doua metode: metoda variatiei constantelor, aceiasi caın cazul sistemelor cu coeficienti variabili si metoda sugestiva. Cat privesteaceasta ultima metoda, prezentam trei cazuri.

Cazul 1. Presupunem ca toti termenii liberi ai sistemului sunt polinoame,care pot fi de grade diferite, adica de forma

(f1(x), f2(x), ..., fn(x))T = (P1(x), P2(x), ..., Pn(x))T

Atunci o solutie particulara a sistemului neomogen va fi luata de forma

(y1(x), y2(x), ..., yn(x))T = (Q1(x), Q2(x), ..., Qn(x))T

ın care Qi sunt polinoame de grade egale, si anume

grQ1 = grQ2 = ... = grQn = max{grP1, grP2, ..., grPn}.

5.2. SISTEME CU COEFICIENTI CONSTANTI 47

Coeficientii polinoamelor Qi se afla obligand vectorul coloana

(y1(x), y2(x), ..., yn(x))T

sa verifice efectiv sistemul diferential neomogen, procedandu-se apoi la identi-ficare.

Cazul 2. Presupunem ca toti termenii liberi ai sistemului neomogen suntde forma

(f1(x), f2(x), ..., fn(x))T = (P1(x), P2(x), ..., Pn(x))T eαx

unde Pi sunt polinoame, care pot fi de grade diferite. Atunci o solutie partic-ulara a sistemului neomogen va fi luata de forma

(y1(x), y2(x), ..., yn(x))T = (Q1(x), Q2(x), ..., Qn(x))T eαx

daca α nu este radacina pentru ecuatia caracteristica atasata sistemului omogen.Aici, Qi sunt polinoame de grade egale, si anume

grQ1 = grQ2 = ... = grQn = max{grP1, grP2, ..., grPn}.Coeficientii polinoamelor Qi se afla obligand vectorul coloana

(y1(x), y2(x), ..., yn(x))T

sa verifice efectiv sistemul diferential neomogen, procedandu-se apoi la iden-tificare. Daca α este radacina pentru ecuatia caracteristica atasata sistemuluiomogen, multipla de ordinul m, atunci o solutie particulara a sistemului neo-mogen va fi luata de forma

(y1(x), y2(x), ..., yn(x))T = (Q1(x), Q2(x), ..., Qn(x))T xmeαx

ın care polinoamele Qi sunt ın situatia de mai sus si se determina ın manieraexpusa mai sus. Trebuie sa remarcam ca, prin particularizarea lui α = 0, ıncazul 2, obtinem cazul 1.

Cazul 3. Presupunem ca termenii liberi ai sistemului neomogen sunt de forma

f(x) = (f1(x), f2(x), ..., fn(x))T =

=[(P1(x), ..., Pn(x))T cosβx+ (R1(x), ..., Rn(x))T sin βx

]eαx


Daca α + iβ nu este radacina pentru ecuatia caracteristica atasata sistemuluiomogen, atunci o solutie particulara a sistemului neomogen va fi luata de forma

yp(x) = (y1(x), y2(x), ..., yn(x))T =

=[(Q1(x), ..., Qn(x))T cosβx+ (S1(x), ..., Sn(x))T sin βx

]eαx

Daca α + iβ este radacina pentru ecuatia caracteristica atasata sistemuluiomogen, de ordin m, atunci o solutie particulara a sistemului neomogen va filuata de forma

yp(x) = (y1(x), y2(x), ..., yn(x))T =

=[(Q1(x), ..., Qn(x))T cosβx+ (S1(x), ..., Sn(x))T sin βx

]xmeαx

Polinoamele Qi si Si sunt ın situatia expusa la cazul 2 si se determina ın aceiasimaniera.

Lectia 6

Sisteme autonome

6.1 Sisteme autonome de ecuatii diferentiale

Obiective:

1. Este prezentata notiunea de integrala prima pentru sistemele autonomede ecuatii diferentiale liniare.

2. Rezolvarea sistemelor autonome este redusa la rezolvarea sistemelorcaracteristice atasate lor, iar rezolvarea acestora din urma se reduce la deter-minarea unui numar de integrale prime liniar independente.

3. Sunt prezentate sistemele simetrice de ecuatii diferentiale si se dovedesteechivalenta dintre acestea si sistemele autonome de ecuatii diferentiale.

Se considera functiile fi : D → R, D ⊂ Rn, fi ∈ C1(D), i = 1, 2, ..., n.

Definitia 1 Se numeste sistem diferential autonom un sistem de ecuatii diferen-tiale de ordinul I, neliniare, de forma

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩y′1 = f1 (y1, y2, ..., yn)y′2 = f2 (y1, y2, ..., yn)−−−−−−−−−−−−y′n = fn (y1, y2, ..., yn)

(6.1)

49

50 LECTIA 6. SISTEME AUTONOME

ın care functiile f1, f2,...,fn nu sunt simultan nule pe D.

Denumirea este sugerata de faptul ca functiile fi(x), i = 1, 2, ..., n nu depindexplicit de variabila x. Reamintim ca ecuatiile diferentiale ale unui sistemneautonom au forma y′i = fi (x, y1, y2, ..., yn), deci variabila x apare explicit.

Definitia 2 Functia ϕ : D → R, ϕ ∈ C1(D) se numeste integrala primapentru sistemul autonom (6.1) daca pentru solutie (y1, y2, ..., yn) a sistemuluiavem ϕ (y1, y2, ..., yn) = C, unde C este o constanta.

Nu trebuie ınteles ca functia ϕ este constanta, ci valoarea ei calculata pen-tru o solutie a sistemului este constanta. De exemplu, functia ϕ(x, y) = sin x+yeste integrala prima pentru un sistem diferential autonom de doua ecuatii cudoua necunoscute care admite solutia y1 =arcsinx, y2 = 2 − x. Intr-adevar,ϕ(y1, y2) = sin y1 + y2 = x + 2 − x = 2. Valoarea constantei C depinde desolutia sistemului pentru care se calculeazafunctia ϕ, deci pentru alta solutiea sistemului, valoarea functiei ϕ va fi alta constanta.

Anticipam ca rezolvarea unui sistem autonom de ecuatii diferentiale sereduce la aflarea unui anumit numar de integrale prime ale sale. Vom ıncepeprin a indica tehnici pentru a afla integrale prime.

Teorema 1 Functia ϕ : D → R, ϕ ∈ C1(D) este integrala prima pe D pentrusistemul autonom (1) daca si numai daca ϕ satisface ecuatia

f1 (y1, ..., yn)∂ϕ

∂y1+ f2 (y1, ..., yn)

∂ϕ

∂y2+ ...+ fn (y1, ..., yn)

∂ϕ

∂yn= 0,

∀ (y1, ..., yn) ∈ D. (6.2)

Demonstratie. Necesitatea Presupunem ca functia ϕ este integrala primapentru sistemul (6.1), deci, pentru orice solutie (y1, y2, ..., yn) a sistemului,avem ϕ (y1, y2, ..., yn) = C. Prin diferentiere, obtinem dϕ (y1, y2, ..., yn) = 0,adica

∂ϕ

∂y1

y′1 +∂ϕ

∂y2

y′2 + ... +∂ϕ

∂yn

y′n = 0.

Insa din ecuatiile sistemului avem y′k = fk si atunci ecuatia de mai sus devine

∂ϕ

∂y1f1 +

∂ϕ

∂y2f2 + ...+

∂ϕ

∂ynfn = 0,

6.1. SISTEME AUTONOME DE ECUATII DIFERENTIALE 51

adica tocmai ecuatia (6.2).Suficienta. Presupunem ca functia ϕ satisface ecuatia (6.2). Trebuie saaratam ca ϕ este integrala prima pentru sistemul (6.1). Luam o solutie oarecarea sistemului, (y1, y2, ..., yn) si vrem sa aratam ca ϕ (y1, y2, ..., yn) = C. De fapt,aratam ca dϕ (y1, y2, ..., yn) = 0. Deoarece (y1, y2, ..., yn) este solutie pentrusistem, avem y′k = fk. Pentru ca ϕ satisface ecuatia (2) si fk = y′k, deducem

∂ϕ

∂y1

y′1 +∂ϕ

∂y2

y′2 + ... +∂ϕ

∂yn

y′n = 0,

adica dϕ (y1, y2, ..., yn) = 0 de unde deducem ca ϕ (y1, y2, ..., yn) = C, pentruorice solutie (y1, y2, ..., yn) a sistemului.

Definitia 3 Functiile ϕ1, ϕ2,...,ϕp cu p ≤ n, care sunt integrale prime pentrusistemul atronom (1), sunt liniar independente ıntr-un punct x0 ∈ [a, b] daca

rang

(D (ϕ1, ϕ2, ..., ϕp)

D (y1, y2, ..., yn)

)= rang

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

∂ϕ1

∂y1

∂ϕ1

∂y2... ∂ϕ1

∂yn∂ϕ2

∂y1

∂ϕ2

∂y2... ∂ϕ2

∂yn

− − − −∂ϕp

∂y1

∂ϕp

∂y2... ∂ϕp

∂yn

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ = p ≤ n,

matricea jacobiana fiind calculata ın x0 ∈ [a, b].

Teorema 2 Sistemul diferential autonom (6.1) nu poate avea mai mult den− 1 integrale prime independente.

Demonstratie. Conform cu definitia integralelor prime independente, rangulmatricii iacobiene, care este dreptunghiulara, nu poate depasi n. Sa aratamca rangul acestei matrici nu poate fi n, deci sistemul nu poate avea n integraleprime independente. Presupunem, prin reducere la absurd, ca sistemul (6.1)admite n integrale prime independente. Deci rangul matricii iacobiene atasatacelor n integrale prime, care acum devine patratica, este n, deci determinantulacestei matrici este nenul:∣∣∣∣∣D (ϕ1, ϕ2, ..., ϕp)

D (y1, y2, ..., yn)

∣∣∣∣∣ = 0.


Conform cu teorema 1, fiecare integrala prima satisface o ecuatie de forma(6.2). Se obtine urmatorul sistem de ecuatii

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

∂ϕ1

∂y1f1 + ∂ϕ1

∂y2f2 + ... + ∂ϕ1

∂ynfn = 0,

∂ϕ2

∂y1f1 + ∂ϕ2

∂y2f2 + ... + ∂ϕ2

∂ynfn = 0,

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−∂ϕn

∂y1f1 + ∂ϕn

∂y2f2 + ...+ ∂ϕn

∂ynfn = 0

(6.3)

Avem deci un sistem algebric liniar, patratic, omogen, ın care necunoscutelesunt functiile f1, f2,...,fn. Pentru ca acest sistem are determinantul nenul,deducem ca el admite numai solutia banala. Deci toate functiile f1, f2,...,fn

sunt nule, contrar cu definitia unui sistem autonom.Dam acum, fara demonstratie, un rezultat care completeaza rezultatul din

teorema 2 ın privinta numarului de integrale prime. Rezultatul este atribuitlui Pontreaghin.

Teorema 3 Sistemul autonom (6.1) nu poate avea mai putin de n−1 integraleprime independente.

Observatie. Daca confruntam rezultatele din teorema 2 si teorema 3 deducemca orice sistem autonom are exact n − 1 integrale prime independente. Ast-fel, rezolvarea unui sistem autonom revine la aflarea a n − 1 integrale primeindependente.

Cele mai uzuale sisteme autonome sunt ın trei dimensiuni si atunci re-zolvarea lor ınseamna determinarea a doua integrale prime independente.

6.2 Sisteme diferentiale simetrice

Pornim de la un sistem diferential autonom si tinem cont ca o ecuatie din acestsistem, sa zicem prima, dy1/dx = f1 poate fi scrisa si ın forma dy1/f1 = dx.Analog se scriu si celelalte ecuatii ale sistemului.

6.2. SISTEME DIFERENTIALE SIMETRICE 53

Definitia 4 Se numeste sistem simetric, un sistem diferential de forma

dy1

f1(y1, y2, ..., yn)=

dy2

f2(y1, y2, ..., yn)= ...

dyn

fn(y1, y2, ..., yn). (6.4)

Reamintim ca functiile f1, f2, ..., fn nu pot fi simultan nule. Se face conventiaca daca una din functiile f1, f2, ..., fn este nula, atunci raportul, corespunzatorei, din sistemul simetric (6.4) lipseste. Am aratat cum un sistem autonompoate fi adus la forma sa simetrica. Reciproc, unsistem simetric poate fi scrissub forma unui sistem autonom. Scriem ca rapoartele din (6.4) sunt toateegale cu ultimul:

dy1

f1=dyn

fn⇒ dy1

dyn=f1

fn,dy2

dyn=f2

fn, ...,

dyn−1

dyn=fn−1

fn.

Folosim notatiile gi = fi/fn si consideram ca variabila independenta pe u = yn

si obtinem:

dy1

du= g1,

dy2

du= g2, ...,

dyn−1

du= gn−1,

care este un sistemul autonom de n−1 ecuatii diferentiale ın functiile necunos-cute y1, y2, ..., yn−1 de variabila independenta u = yn.

Dupa ce am stabilit ca rezolvarea unui sistem autonom (ın baza consideratii-lor de mai sus, deci si a unui sistem simetric) revine la aflarea a n−1 integraleprime independente, trebuie acum sa indicam tehnici pentru determinarea in-tegralelor prime. Cea mai generala metoda este cea a combinatiilor liniare,expusa ın teorema care urmeaza.

Teorema 4 Presupunem determinate functiile μi = μi(y1, y2, ..., yn), undeμi : D → R, D ⊂ Rn, μi ∈ C1(D), i = 1, 2, ..., n astfel ıncat

μ1f1 + μ2f2 + ...+ μnfn = 0

μ1dy1 + μ2dy2 + ...+ μndyn =

= dϕ, ϕ = ϕ (y1, y2, ..., yn)

Atunci functia ϕ : D → R este integrala prima pentru sistemul (6.4).


Demonstratie. Luam (y1, y2, ..., yn) o solutie oarecare a sistemului (4) si saaratam ca ϕ (y1, y2, ..., yn) = C. Scriem ecuatiile sistemului simetric ın forma

dy1 =f1

fn

, dy2 =f2

fn

, ..., dyn−1 =fn−1

fn

, dyn =fn

fn

.

Inlocuim aceste diferentiale ın a doua ipoteza a teoremei si obtinem

μ1dy1+μ2dy2+...+μndyn =

=

(μ1f1

fn+μ2

f2

fn+...+μn−1

fn−1

fn+μn

fn

fn

)dyn =dϕ⇒

dyn

fn(μ1f1+μ2f2+...+μnfn)=dϕ⇒ dϕ = 0 ⇒ ϕ (y1, y2, ..., yn) = C.

Observatie. Practic, teorema propune amplificarea rapoartelor ce definescsistemul simetric cu μi, care ın general sunt functii de variabilele y1, y2, ..., yn,astfel ıncat suma numaratorilor sa fie nula. Conditia a doua din teorema serealizeaza aproape de la sine. Reamintim ca daca o functie fi este nula, atuncidyi = 0, deci yi = C (practic aceasta este o integrala prima particulara) siatunci sistemul simetric nu mai contine raportul respectiv.

Vom da un exemplu particular de sistem simetric ın trei dimensiuni cuscopul de a urmari concret metoda furnizata de teorema. Intr-un domeniudin spatiul euclidian cu trei dimensiuni pentru care x = y, x = z si y = z,consideram sistemul (ın functiile necunoscute x, y, z de variabila t):

dx

y − z=

dy

z − x=

dz

x− y.

i) Luam ca factori de amplificare μ1 = μ2 = μ3 = 1 si atunci obtinem1.(y − z) + 1.(z − x) + 1.(x− y) = 0, deci dx+ dy + dz = d(x+ y + z) = 0 deunde x+ y + z = C si am gasit prima integrala prima ϕ1(x, y, z) = x+ y + z.Am folosit aici proprietati ale proportiilor derivate.

ii) Amplificam acum cele trei rapoarte cu μ1 = x, μ2 = y, μ3 = z, respectivsi obtinem x(y − z) + y(z − x) + z(x − y) = 0. Atunci xdx + ydy + zdz =d(x2/2 + y2/2 + z2/2) = 0 de unde rezulta x2 + y2 + z2 = C si atunci a douaintegrala prima este ϕ2(x, y, z) = x2 + y2 + z2. Mai trebuie verificat ca cele

6.2. SISTEME DIFERENTIALE SIMETRICE 55

doua integrale prime sunt independente. Avem matricea iacobiana

( ∂ϕ1

∂x∂ϕ1

∂y∂ϕ1

∂z∂ϕ2

∂x∂ϕ2

∂y∂ϕ2

∂z

)=

(1 1 12x 2y 2z

)

care are rangul doi din cauza ipotezei impuse unui sistem simetric ca macarun numitor sa fie nenul.

O alta metoda pentru determinare de integrale prime, care este mai putingenerala, consta ın cuplarea convenabila a rapoartelor pentru a putea separavariabilele, apoi integram ın fiecare membru unde avem o singura variabila.

Lectia 7

Ecuatii cu derivate partiale

7.1 Ecuatii cu derivate partiale de ordinul I

Obiective:

1. O ecuatie cu derivate partiale de ordinul I liniara este abordata prinprisma sistemului sau caracteristic, care este un sistem simetric. Rezolvareasistemului caracteristic este redusa la determinarea unui numar de integraleprime liniar independente.

2. Este apoi expusa forma generala a unei ecuatii cu derivate partiale deordinul I cvasi-liniara precum si algoritmul cum aceasta este redusa la o ecuatieliniara cu derivate partiale de ordinul I.

3. Atat pentru ecuatia cu derivate partiale de ordinul I liniara cat si pentruecuatia cvasi-liniara este prezentata Problema Cauchy precum si tehnicilede abordare ale acestora.

4. In finalul lectiei sunt abordate ecuatiile neliniare cu derivate partialede ordinul I. Este propusa o procedura pentru a obtine sistemul caracteristicatasat acestor ecuatii precum si modalitatea de a obtine integrala generala aacestor ecuatii prcum si a unei integrale particulare.

Definitia 1 Se numeste ecuatie diferentiala cu derivate partiale de ordinul I

57

58 LECTIA 7. ECUATII CU DERIVATE PARTIALE

liniara si omogena o ecuatie de forma

P1(x1, x2, ..., xn)∂u

∂x1+ P2(x1, x2, ..., xn)

∂u

∂x2+ ... +

+Pn(x1, x2, ..., xn)∂u

∂xn

= 0 (7.1)

ın care functia necunoscuta este u = u(x1, x2, ..., xn).

Functiile coeficienti Pi = Pi(x1, x2, ..., xn) sunt date si au proprietatile Pi :D → R, D ⊂ Rn, Pi ∈ C1(D), i = 1, 2, ..., n si nu se anuleaza simultan pedomeniul D.

Definitia 2 Se numeste solutie pentru ecuatia (7.1) o functie

ϕ = ϕ(x1, x2, ..., xn),

ϕ : D → R, D ⊂ Rn astfel ıncat ϕ ∈ C1(D) si ınlocuita ın (7.1) o transformape aceasta ın identitate.

Definitia 3 Se numeste sistem caracteristic asociat ecuatiei cu derivate partiale(7.1) urmatorul sistem simetric

dx1

P1(x1, x2, ..., xn)=

dx2

P2(x1, x2, ..., xn)= ... =

dxn

Pn(x1, x2, ..., xn)(7.2)

Se remarca faptul ca functiile de la numitorii sistemului (7.2) sunt functiilecoeficient ale ecuatiei (1).

Observatie. Anticipam ca rezolvarea unei ecuatii cu derivate partiale revinela rezolvarea sistemului sau caracteristic, care este un sistem simetric pentrucare, dupa cum am demonstrat deja, rezolvarea ınseamna determinarea a n−1integrale prime independente.

Teorema care urmeaza demonstreaza faptul ca rezolvarea unei ecuatii cuderivate partiale revine la rezolvarea sistemului sau caracteristic.

Teorema 1 Conditia necesara si suficienta ca functia ϕ : D ⊂ Rn → R safie solutie pentru ecuatia (7.1) este ca ϕ sa fie integrala prima pentru sistemulcaracteristic (7.2).

7.1. ECUATII CU DERIVATE PARTIALE DE ORDINUL I 59

Demonstratie. Suficienta Presupunem ca ϕ este integrala prima pentrusistemul caracteristic (7.2). Conform cu teorema de caracterizare a integraleiprime, ϕ satisface ecuatia

P1(x1, x2, ..., xn)∂ϕ

∂x1

+ P2(x1, x2, ..., xn)∂ϕ

∂x2

+ ... +

+Pn(x1, x2, ..., xn)∂ϕ

∂xn

= 0,

adica ϕ verifica ecuatia (7.1).Necesitatea. Presupunem ca ϕ este solutie pentru ecuatia (7.1) si sa aratamca ϕ este inegrala prima pentru sistemul (7.2). Pentru aceasta luam o solutiearbitrara (x1, x2, ..., xn) a sistemului (7.2) si aratam ca ϕ(x1, x2, ..., xn) = C.Astfel, daca calculam diferentiala functiei ϕ constatam

dϕ =∂ϕ

∂x1dx1 +

∂ϕ

∂x2dx2 + ... +

∂ϕ

∂xndxn =

=∂ϕ

∂x1

P1

Pn

dxn +∂ϕ

∂x2

P2

Pn

dxn + ... +∂ϕ

∂xn

Pn

Pn

dxn =

dxn

Pn

(P1(x1, x2, ..., xn)

∂ϕ

∂x1+P2(x1, x2, ..., xn)

∂ϕ

∂x2+...+

Pn(x1, x2, ..., xn)∂ϕ

∂xn

)=0,

ın care am folosit faptul ca ϕ satisface ecuatia (7.1). Deoarece dϕ = 0 deducemca ϕ(x1, x2, ..., xn) = C, adica ϕ este integrala prima.

Teorema care urmeaza indica modalitatea prin care se afla solutia generalaa unei ecuatii cu derivate partiale de forma (7.1).

Teorema 2 Presupunem cunoscute functiile ϕ1, ϕ2, ..., ϕn−1 care sunt inte-grale prime independente pentru sistemul caracteristic (7.2). Atunci oricefunctie Φ : Rn−1 → R,Φ ∈ C1(Rn−1), care are ca argumente cele n − 1integrale prime, este solutie pentru ecuatia cu derivate partiale (7.1).

Demonstratie. Trebuie sa verificam ca functia u = Φ(ϕ1, ϕ2, ..., ϕn) ınlocuitaın ecuatia (7.1) o transforma pe aceasta ın identitate. Calculam derivatele


partiale ale functiei u:

∂u

∂x1=

∂Φ

∂ϕ1

∂ϕ1

∂x1+∂Φ

∂ϕ2

∂ϕ2

∂x1+ ... +

∂Φ

∂ϕn−1

∂ϕn−1

∂x1

∂u

∂x2=

∂Φ

∂ϕ1

∂ϕ1

∂x2+∂Φ

∂ϕ2

∂ϕ2

∂x2+ ... +

∂Φ

∂ϕn−1

∂ϕn−1

∂x2

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−∂u

∂xn

=∂Φ

∂ϕn

∂ϕ1

∂xn

+∂Φ

∂ϕ2

∂ϕ2

∂xn

+ ... +∂Φ

∂ϕn−1

∂ϕn−1

∂xn

.

Inmultim prima relatie cu P1, a doua cu P2,..., ultima cu Pn si adunam relatiileastfel obtinute, membru cu membru:

P1∂u

∂x1

+ P2∂u

∂x2

+ ...+ Pn∂u

∂xn

=

=∂Φ

∂ϕ1

(P1∂ϕ1

∂x1

+ P2∂ϕ1

∂x2

+ ... + Pn∂ϕ1

∂xn

)+

+∂Φ

∂ϕ2

(P1∂ϕ2

∂x1+ P2

∂ϕ2

∂x2+ ... + Pn

∂ϕ2

∂xn

)+

+... +∂Φ

∂ϕn−1

(P1∂ϕn−1

∂x1+ P2

∂ϕn−1

∂x2+ ...+ Pn

∂ϕn−1

∂xn

)= 0.

Am folosit aici faptul ca parantezele sunt nule din cauza ca functiile ϕi suntintegrale prime deci verifica ecuatia din teorema de caracterizare a integralelorprime.

Exemplu. Oferim acum un exemplu simplu ın trei dimensiuni, pentru a fixarezultatele teoretice. Fie ecuatia cu derivate partiale si sistemul caracteristicasociat:

x∂u

∂x+ y

∂u

∂y+ (x+ y)

∂u

∂z= 0,

dx

x=dy

y=

dz

x+ y.

Obtinem ca sistemul caracteristic admite urmatoarele doua integralele primeϕ1(x, y, z) = x/y, ϕ2(x, y, z) = x + y − z. Cu ajutorul matricii iacobiane seconstata ca aceaste integrale prime sunt independente. Atunci, conform cuteorema anterioara, solutia generala a ecuatiei date este functia

u = Φ (x/y, x+ y − z) .

7.2. PROBLEMA CAUCHY 61

7.2 Problema Cauchy

Se remarca din forma solutiei generale a unei ecuatii cu derivate partiale deordinul I gradul mare de arbitrarietate al solutiei. Daca la ecuatiile diferentialeordinare solutia generala depinde constantele de integrare care sunt arbitrare,ın cazul de fata chiar si functia care defineste solutia este arbitrara. Se puneproblema determinarii unei anumite solutii, adica a eliminarii arbitrariuluidin solutie. Ca si la ecuatiile diferentiale ordinare acest lucru se rezolva prinimpunerea unor conditii, numite conditii initiale sau conditii Cauchy. Acesteconditii ımpreuna cu ecuatia propriu-zisa formeaza problema Cauchy. Formagenerala a conditiei Cauchy este

u(x1, x2, ..., xn−1, x0n) = Ψ(x1, x2, ..., xn−1),

ın care functia Psi este cunoscuta. Deci s-a fixat una dintre variabile si, farasa se restranga generalitatea, aceasta s-a ales ultima. Daca se fixeaza altavariabila, atunci se poate recurge la reordonarea variabilelor.

Algoritmul de rezolvare a problei Cauchy este urmatorul :i) se determina cele n− 1 integrale prime independente ale sistemului car-

acteristic;ii) se ataseaza conditia Cauchy langa integralele prime. Se obtine un sistem

de n relatii din care se elimina variabilele si se obtine o relatie ”curata” numaiın constantele C1, C2, ...,Cn−1;

iii) ın relatia obtinuta la pasul precedent se ınlocuisc constantele cu expre-siile lor complete de la integralele prime.

7.3 Ecuatii de ordinul I cvasiliniare

Ecuatiile diferentiale acest nume pentru ca sunt liniare numai ın derivatelepartiale ale functiei necunoscute si au forma generala:

Q1(x1, x2, .., xn, u)∂u

∂x1

+Q2(x1, x2, .., xn, u)∂u

∂x2

+..+

+Qn(x1, x2, .., xn, u)∂u

∂xn=0 (7.3)


De remarcat ca la o ecuatie cvasiliniara functiile coeficient depind si de functianecunoscuta, care este functia u = u(x1, x2, ..., xn), iar termenul liber nu maieste nul, ca la ecuatiile liniare.

In teorema care urmeaza se demonstreaza o modalitate prin care rezolvareaunei ecuatii cvasiliniare se reduce la rezolvarea unei ecuatii liniare.

Teorema 3 Orice ecuatie cvasiliniara se reduce la o ecuatie liniara pentru onoua functie necunoscuta care depinde de n + 1 variabile.

Demonstratie. Cautam solutia ecuatiei cvasiliniare (7.3) nu sub forma ex-plicita u = u(x1, x2, ..., xn) ci sub forma implicita

v(x1, x2, ..., xn) = 0, v ∈ C1(D), D ⊂ Rn+1,∂u

∂x= 0. (7.4)

Daca derivam ın (7.4) ın raport cu x1 obtinem

∂v

∂x1

+∂v

∂u

∂u

∂x1

= 0 ⇒ ∂u

∂x1

= − ∂v

∂x1

/∂v

∂u.

Analog se calculeaza celelalte derivate partiale care se introduc ın ecuatia (7.3)si se obtine:

−Q1∂v

∂x1/∂v

∂u−Q2

∂v

∂x2/∂v

∂u− ...−Qn

∂v

∂xn/∂v

∂u= Qn+1.

Inmultim aici cu − ∂v∂u

, mutam termenul din dreapta ın stanga si obtinemecuatia liniara

Q1∂v

∂x1

+Q2∂v

∂x2

+ ...+Qn∂v

∂xn

+Qn+1∂v

∂u= 0.

Avem aici o ecuatie cu derivate partiale liniara ın functia necunoecuta vcare depinde de n + 1 varibile, ultimul fiind xn+1 = u. In consecinta, pen-tru sistemul caracteristic asociat acestei ecuatii vor fi necesare n integraleprime independente ϕ1, ϕ2, ..., ϕn iar solutia generala a ecuatiei va fi de forma

7.4. ECUATII CU DERIVATE PARTIALE DE ORDINUL I NELINIARE63

Psi(ϕ1, ϕ2, ..., ϕn) = 0. Pentru a concretiza rezultatul teoretic din teorema 3,indicam un exemplu simplu de ecuatie cvasiliniara. Fie deci ecuatia cvasiliniara

xy2∂u

∂x+ x2y

∂u

∂y= u

(x2 + y2

).

Cu procedeul din teorema acesta ecuatie se transforma ıntr-o ecuatie liniaraın functia necunoscuta v = v(x, y, u):

xy2 ∂v

∂x+ x2y

∂v

∂y+ u

(x2 + y2

) ∂v∂u

= 0.

Se ataseaza apoi sistemul sau caracteristic, se gasesc integralele prime inde-pendente ϕ1(x, y, u) = x2 − y2 si ϕ2(x, y, u) = xy/u si atunci solutia generalaa ecuatiei initiale este Ψ (x2 − y2, xy/u) = 0.

7.4 Ecuatii de ordinul I neliniare

Vom trata aceste ecuatii, fiind mai dificile, doar ın cazul particular cand functianecunoscuta depinde numai de doua variabile. Pentru functia z = z(x, y)introducem notatiile lui Monge:

p =∂z

∂x, q =

∂z

∂y

si atunci forma generala a unei ecuatii neliniare cu derivate partiale este :

F (x, y, z, p, q) = 0, F : D ⊂ R4 → R, (x, y) ∈ Δ ⊂ R2. (7.5)

Procedeul de abordare a ecuatiilor neliniare este unul de liniarizare. In acestscop, derivam ın (7.5), pe rand, ın raport cu x si y:

∂F

∂x+∂F

∂z

∂z

∂x+∂F

∂p

∂p

∂x+∂F

∂q

∂q

∂x= 0

∂F

∂y+∂F

∂z

∂z

∂y+∂F

∂p

∂p

∂y+∂F

∂q

∂q

∂y= 0. (7.6)


Se poate constata imediat ca

∂p

∂y=

∂

∂y

(∂z

∂x

)=

∂2z

∂x∂y

∂q

∂x=

∂

∂x

(∂z

∂y

)=

∂2z

∂x∂y,

ın care am folosit faptul ca functia z ∈ C(Δ) si deci satisface criteriul luiSchwartz. Atunci sistemul de ecuatii (7.6) poate fi scris ın forma

∂F

∂p

∂p

∂x+∂F

∂p

∂p

∂y= −∂F

∂x− ∂F

∂z

∂z

∂x∂F

∂p

∂q

∂x+∂F

∂p

∂q

∂y= −∂F

∂y− ∂F

∂z

∂z

∂y(7.7)

Extindem acum notatiile lui Monge:

X =∂F

∂x, Y =

∂F

∂y, Z =

∂F

∂z, P =

∂F

∂p, Q =

∂F

∂q(7.8)

si atunci sistemul (7.7) capata forma:

P∂p

∂x+Q

∂p

∂y= − (X + pZ)

P∂q

∂x+Q

∂q

∂y= − (Y + qZ) .

Avem aici doua ecuatii cvasiliniare cu derivate partiale. Folosim aici pro-cedeul deja expus si trecem aceste ecuatii ın forma lor liniara, apoi atasaampentru fiecare sistemul caracteristic. Dupa egalarea partilor comune obtinemurmatorul sistem simetric:

dx

P=dy

Q=

dp

−(X + pZ)=

dq

−(Y + qZ). (7.9)

Daca tinem cont ca

dz =∂z

∂xdx+

∂z

∂ydy = pdx+ qdy,

7.4. ECUATII CU DERIVATE PARTIALE DE ORDINUL I NELINIARE65

atunci putem scrie

pdx

pP=qdy

qQ⇒ pdx+ qdy

pP + qQ=dx

P⇒ dx

P=

dz

pP + qQ,

ın care am folosit proprietati ale proportiilor derivate. Cu relatia de mai suscompletam sistemul caracteristic (7.9) si atunci avem:

dx

P=dy

Q=

dz

pP + qQ=

dp

−(X + pZ)=

dq

−(Y + qZ). (7.10)

Cu sistemul simetric (7.10) putem acum sa rezolvam ecuatia initiala neliniara.Se cauta doua integrale prime pentru sistemul simetric (7.10) din care sa sepoata explicita functiile p si q ın functie de x si y si doua constante de inte-grare C1 si C2. Apoi tinem cont ca dz = pdx + qdy, ınlocuim aici expresiilegasite pentru p si q si obtinem o ecuatie numai ın functia z. Se rezolva acestaecuatie si se gaseste z(x, y) = ϕ(x, y, C1, C2, K), constanta K, care a aparutde ultima integrare, se elimina prin impunerea functiei z sa verifice ecuatianeliniara initiala.Spunem ca am obtinut astfel integrala generala a ecuatiei neliniare z(x, y) =ϕ(x, y, C1, C2). O integrala particulara se obtine prin eliminarea constan-telor C1 si C2 din sistemul

⎧⎪⎨⎪⎩z = ϕ(x, y, C1, C2)∂ϕ∂C1

= 0,∂ϕ∂C2

= 0

Lectia 8

Stabilitate

8.1 Notiuni de stabilitate

Obiective:

1. Ca un mic studiu calitativ al ecuatiilor diferentiale, se expun catevanotiuni privind stabilitatea solutiilor ecuatiilor diferentiale.

2. Sunt prezentate principalele tipuri de stabilitate si este expus ın detaliucriteriul lui Hurwitz.

3. O tratare moderna a teoriei stabilitatii se bazeaza pe rezultatele lui Lia-punov. Aici sunt prezentate doar notiunile introductive ale stabilitatii in sensLiapunov.

Este cunoscut faptul ca cele mai multe fenomene fizice sunt modelate prinecuatii diferentiale sau sisteme de ecuatii diferentiale. O stare distincta aacestor fenomene fizice, mai ales ın cazul proceselor ın functionare ın regimstationar, o constituie starea de echilibru, sau pozitia de echilibru. Pentruspecialistii tehnicieni prezinta interes deosebit starea de echilibru stabil. Intermeni tehnici, aceasta este starea ın jurul careia se misca sistemul daca estesupus unor impulsuri initiale. In termeni matematici, stabilitatea ınseamnastudiul acelor solutii ale sistemelor de ecuatii diferentiale care sunt constante

67

68 LECTIA 8. STABILITATE

ın timp.Sa consideram un sistem de ecuatii diferentiale scris ın forma sa vectoriala:

x = f(t, x), (8.1)

ın care x si f sunt functii vectoriale n−dimensionale.Se presupun satisfacute urmatoarele ipoteze standard:

i) f este continua ın (t, x) pe domeniul D = {(x, y)/t ≥, ‖x‖ ≤ a};ii) f este functie Lipschitz ın variabila x pe domeniul D.

Observatie. Daca ın sistemul (8.1) se presupune ca x si f sunt functii scalaresi ın definitia domeniului D se ınlocuieste norma cu modulul, se obtine cazulecuatiilor diferentiale.

Ne intereseaza pentru sistemul (8.1) numai solutiile stationare, sau deechilibru, adica solutiile x = ϕ(t) ≡ C, C =constanta. Si mai mare interesprezinta solutia banala x = 0. Orice studiu asupra solutiei x = ϕ(t), pen-tru sistemul (8.1), se poate reduce la studiul solutiei banale, x = 0, printr-ooperatie de translatie. Singurul inconvenient este ca sistemul sufera o usoaraadaptare. Intr-adevar, daca facem translatia y = x−ϕ(t), obtinem y = x−ϕ =f(t, x) − ϕ = f(t, y + ϕ) − ϕ.Am obtinut deci sistemul

y = g(t, y), unde g(t, y) = f(t, y + ϕ(t)) − ϕ(t). (8.2)

Aceasta dovedeste ca nu restrangem generalitatea daca studiem doar stabili-tatea solutiei banale pentru sistemul diferential (8.1). Trebuie doar ca sistemulsa satisfaca conditia f(t, 0) = 0, ∀t ≥ 0, adica sistemul sa admita solutia ba-nala x = 0.Daca fixam t0 ≥ 0 si consideram cunoscuta valoarea

x0 = x(t0) (8.3)

atunci am format problema Cauchy (8.1)+(8.3).Pentru o fixare a perechii (t0, x0) ∈ D, ın baza ipotezelor standard, deducemca problema Cauchy (8.1)+(8.3) admite solutie unica. Evident, pentru o altafixare (t0, x0) ∈ D, problema va avea o alta unica solutie. Pentru a evidentiadependenta solutiei de fixarea (t0, x0) ∈ D o vom nota cu x(t, t0, x0).

8.1. NOTIUNI DE STABILITATE 69

Definitia 1 Solutia x = 0 pentru problema Cauchy (8.1)+(8.3) este numitastabila daca: ∀ε > 0 si t0 ≥ 0 ∃δ(ε, t0) > 0 astfel ıncat pentru toti x0 xuproprietatea ‖x0‖ ≤ δ(ε, t0) solutia corespunzatoare lui t0 si x0 este definita pesemiaxa [t0,∞) si satisface conditia

‖x(t, t0, x0)‖ ≤ ε, ∀t ≥ t0.

Definitia 2 Solutia x = 0 pentru problema Cauchy (8.1)+(8.3) este numitauniform stabila daca sunt satisfacute conditiile din definitia 1 cu δ(ε, t0) ≡δ(ε), adica δ nu depinde t0.

Definitia 3 Solutia x = 0 pentru problema Cauchy (8.1)+(8.3) este numitaasimptotic stabila daca este stabila ın sensul definitiei 1 si ın plus avem :

∃γ(t0) > 0 astfel ıncat limt→∞ ‖x(t, t0, x0)‖ = 0 pentru orice solutie x(t, t0, x0)

ce corespunde lui x0 care satisface conditia ‖x0‖ ≤ γ(t0).

Definitia 4 Solutia x = 0 pentru problema Cauchy (8.1)+(8.3) este numitauniform asimptotic stabila daca sunt ındeplinite conditiile din definitia 3 ıncare ınsa γ nu depinde t0.

Studiind cele patru definitii ale stabilitatii putem deduce urmatoarea legaturaıntre tipurile de stabilitate:

Stabilitatea asimptotica uniforma implica atat stabilitatea uniforma cat sistabilitatea asimptotica iar acestea doua implica, fiecare, stabilitatea simpla.

Facem precizarea ca proprietatea de stabilitate se refera la solutia unui sis-tem de ecuatii diferentiale si nu la sistem ın sine. Este posibil ca un acelasisistem sa aiba simultan atat solutii stabile cat si solutii instabile.

Exemplul 1. Un exemplu clasic care sustine aceasta afirmatie este oferitde pendulul matematic, a carui miscare este modelata prin ecuatia:

x′′ + sin x = 0, t ≥ 0. (8.4)

Se observa ca ecuatia (8.4) admite doua solutii stationare x1 = 0 si x2 = π,corespunzatoare celor doua pozitii de echilibru ale pendulului. Se arata ime-diat ca x1 este solutie stabila ın timp ce solutia x2 este instabila.


Exemplul 2. Pentru a evidentia diferenta ıntre stabilitatea simpla si stabil-itatea asimptotica vom considera miscarea unui punct material sub actiuneaunei forte de atractie, modelata de ecuatia x′′ = −kx, k > 0 sau x′′ +ω2x = 0.Ecuatia sa caracteristica λ2 +ω2 = 0 are radacini complex conjugate si atuncisolutia generala x(t) = C1 cosωt+ C2 sinωt. Daca luam datele initiale x(0) =x0 si x′(0) = v0 obtinem constantele C1 = x0 si C2 = v0/ω, deci solutia unicacorespunzatoare acestor date initiale este

x(t) = x0 cosωt+v0

ωsinωt

Se constata imediat ca nu exista limt→∞ x(t), pentru ca functiile sin t si cos t nu

au limita la infinit. Deci solutia nu este asimptotic stabila. Daca alegem x0

si v0 astfel ıncat |x0| + |v0|/ω < δ obtinem |x(t)| ≤ ε si deci solutia nula estestabila.

8.2 Stabilitatea solutiilor

Ne vom limita la studiul solutiilor ecuatiilor diferentiale de ordinul n cu coeficienticonstanti, deci au forma generala:

x(n) + an−1x(n−1) + ... + a1x

′ + a0x = 0, (8.5)

ın care a0, a1, ..., an−1 sunt constante.Fiind o ecuatie liniara, stabilitatea unei solutii oarecare se reduce la sta-

bilitatea solutiei nule, adica solutia care corespunde la datele initiale x(t0) =x′(t0) = ... = x(n−1)(t0) = 0. O solutie arbitrara corespunzatoare unor dateinitiale situate ın vecinatatea celor de mai sus se obtine din forma generala asolutiei care, ın cazul cand ecuatia caracteristica are radinile reale si simple,este

x(t) = C1eλ1t + C2e

λ2t + ...+ Cneλnt

In cazul ın care ecuatia caracteristica are o radina reala λ multipla de ordinulm, solutia este de forma

x(t) =(C1 + C2t+ ... + Cmt

m−1)eλt + ...

8.2. STABILITATEA SOLUTIILOR ECUATIILOR DIFERENTIALE 71

Indicam acum, fara demonstratie, un rezultat de stabilitate.

Teorema 1 Conditia necesara si suficienta pentru ca solutia nula x(t) = 0sa fie asimptotic stabila (deci si stabila) pentru ecuatia (8.4) este ca toateradacinile ecuatiei caracteristice, atasata ecuatiei diferentiale (8.4), sa aibapartea reala negativa.

Evident, daca ecuatia caracteristica are radacini reale, acestea trebuie sa fienegative. Vom transpune rezultatul teoretic din aceasta teorema pe catevacazuri particulare.

Ecuatia de ordinul I. Fie ecuatia x′ + ax = 0, a =constanta. Ecuatiacaracteristica λ+ a = 0 are radacina λ = −a si atunci solutia nula este asimp-totic stabila daca a > 0.

Ecuatia de ordinul II. Fie ecuatia x′′ + ax′ + bx = 0, a, b =constante.Daca ecuatia caracteristica λ2 + aλ+ b = 0 are radacinile reale, atunci acesteasunt negative daca si numai daca S < 0 si P > 0 si atunci a > 0, b > 0. Dacaecuatia caracteristica are radacinile complex conjugate x1,2 = α ± iβ, atuncipartea reala este α si trebuie sa fie negativa. Dar x1 + x2 = 2α = −a, decia > 0. Apoi x1x2 = a = α2 + β2 > 0 si deci a > 0.

Ecuatia de ordinul III. Rezultatul de stabilitate pentru acesta ecuatie estecunoscut sub denumirea de Criteriul lui Hurwitz.Fie ecuatia (*) x′′′ + ax′′ + bx′ + cx = 0, a, b, c =constante.

Propozitia 1 Conditia necesara si suficienta ca radacinile ecuatiei caracter-istice atasata ecuatiei (*) sa aiba partea reala negativa (deci ca solutia banalasa fie asimptotic stabila) este sa avem a > 0, b > 0, c > 0 si ab > c.

Demonstratie. Necesitatea Presupunem ca radacinile ecuatiei caracteris-tice sunt reale si negative sau sunt complexe si au toate partea reala nega-tiva si atunci sa aratam ca sunt ındeplinite conditiile a > 0, b > 0, c > 0si ab > c. Oricum, una din radacinile ecuatiei caracteristice este realea, sazicem x1 = α, iar celelalte x2,3 = α1 ± iβ1. Atunci x1 + x2 + x3 = −a six1 + x2 + x3 = α + 2α1 < 0, deci a > 0. Apoi x1x2 + x2x3 + x1x3 = bsi x1x2 + x2x3 + x1x3 = 2αα1 + α2

1 + β21 > 0, deci b > 0. In sfarsit, din


x1x2x3 = −c si x1x2x3 = α(α21 +β2

1) < 0 deducem c > 0. Sa aratam ca ab > c.Se constata prin calcul direct ca ab = −(x1 + x2 + x3)(x1x2 + x1x3 + x2x3) =−(α + 2α1)(2αα1 + α2

1 + β21) si atunci −ab < −c, deci ab > c.

Suficenta. Se demonstreaza ıntr-o maniera foarte asemanatoare cu cea de lanecesitate.

8.3 Stabilitatea ın sens Liapunov

Vom ıncheia paragraful cu cateva consideratii asupra stabilitatii ın sens Lia-punov. Pentru aceasta reluam sistemul diferential

x′ = f(t, x), (8.6)

ın care functia f satisface pe [0,∞)×D, D ⊂ Rn conditiile teoremei lui Picardsi f(t, 0) = 0.

Definitia 5 Se numeste functie Liapunov atasata sistemului (8.6), functiaV = V (t, x) care satisface conditiile:

i) V ∈ C1 ([0,∞) ×D);ii) V este functie pozitiv definita, adica V (t, x) ≥ a(|x|), unde a : [0,∞) →

R, a(0) = 0 si a este functie continua si crescatoare;iii)

dV

dt=∂V

∂t+

n∑i=1

∂V

∂xif i ≤ 0, ∀t ∈ [0,∞).

Spunem ca ın iii) avem derivata totala a functiei V ın baza sistemului (6).

Teorema 2 Daca sistemului (8.6) i se poate atasa o functie Liapunov, atuncisolutia banala x(t) = 0 este stabila.

Demonstratie. Fixam t0 ∈ [0,∞) si x0 = x(t0). Atasam aceasta conditielanga sistemul diferential (8.6) pentru a constitui problema Cauchy. Trebuieatunci sa aratam ca orice solutie a problemei Cauchy, pentru care x0 estesuficient de mic, deci x(t, t0, x0) este ea ınsasi suficient de mica. Alegem ε > 0,

8.3. STABILITATEA IN SENS LIAPUNOV 73

arbitrar de mic si notam ε1 = a(ε). Pentru ca functia V este continua, deducemca daca |x0| ≤ δ(ε1) atunci V (t, x0) < ε1, ∀t ≥ 0 (1). Apoi, din conditia iii)a definitiei lui V , prin integrarea ei, se obtine V (t, x(t, t0, x0)) ≤ V (t, x0) (2).Din relatiile (1) si (2) se obtine V (t, x(t, t0, x0)) ≤ ε1 = a(ε) (3). Dar dinpozitiva definire avem V (t, x(t, t0, x0)) ≥ a|x(t, t0, x0)| si atunci folosind (3)deducem a(ε) > a(|x(t, t0, x0)|) si pentru ca functia a este crescatoare deducem|x(t, t0, x0)| < ε, ceea ce ıncheie demonstratia.Studiul stabilitatii cu metoda propusa de Liapunov prezinta dezavantajul capentru fiecare sistem diferential trebuie gasita functia Liapunov, ceea ce nueste un lucru foarte facil.

Lectia 9

Teme aplicative

9.1 Ecuatii diferentiale elementare

1. Sa se integreze ecuatia:

xdy − ydx =√

1 + x2dy +√

1 + y2dx.

Rezolvare:

Observam ca este o ecuatie cu variabile separabile.

xdy −√

1 + x2dy = ydx+√

1 + y2dx ⇔

(x−√1 + x2)dy = (y +

√1 + y2)dx ⇔

dy

y +√

1 + y2=

dx

x−√1 + x2

⇔∫

dy

y +√

1 + y2=∫

dx

x−√1 + x2

⇔∫

(y −√

1 + y2)dy =∫

(x+√

1 + x2)dx.

75

76 LECTIA 9. TEME APLICATIVE

Calculam separat integrala:

I =∫ √

1 + t2dt.

Avem:

I =∫

1 + t2√1 + t2

dt =∫

1√1 + t2

dt+∫

t2√1 + t2

dt =

= ln(√

1 + t2 + t) +∫t

t√1 + t2

dt = ln(√

1 + t2 + t) +∫t(√

1 + t2)′dt =

= ln(√

1 + t2 + t) + t√

1 + t2 −∫ √

1 + t2dt.

Obtinem:

I =ln(

√1 + t2 + t) + t

√1 + t2

2.

Revenim ın ecuatia noastra si avem:

y2

2− ln(

√1 + y2 + y) + y

√1 + y2

2=

=x2

2+

ln(√

1 + x2 + x) + x√

1 + x2

2+ c


(y2 + xy2

)dx =

(x2 − yx2

)dy

Rezolvare:

Observam ca este o ecuatie cu variabile separabile

y2 (1 + x) dx = x2 (1 − y)dy ⇔1 + x

x2dx =

1 − y

y2dy ⇔

9.1. ECUATII DIFERENTIALE ELEMENTARE 77

∫1 + x

x2dx =

∫1 − y

y2dy ⇔

−1

x+ ln x = −1

y− ln y + c


(x+ 2y)dx− xdy = 0

Rezolvare:

Observam ca este o ecuatie omogena deoarece:

P (x, y) = x+ 2y ⇔ P (tx, ty) = tx+ 2ty ⇔ P (tx, ty) = tP (x, y)

siQ(x, y) = x ⇔ Q(tx, ty) = tx ⇔ Q(tx, ty) = Q(x, y).

Facem schimbarea de variabila y = zx si diferentiind obtinem:

dy = zdx+ xdz.

Inlocuind ın ecuatia initiala avem:

(x+ 2zx)dx− x(zdx+ xdz) = 0 ⇔

(x+ zx)dx− xzdx− x2dz = 0 ⇔

xdx = x2dz ⇔ dz =dx

x⇔ z = ln x+ ln c ⇔

y

x= ln(xc) ⇔ y = x ln(cx).


ydx+ (2√xy − x) dy = 0.


Rezolvare:

Observam ca este o ecuatie omogena deoarece:

P (x, y) = y ⇔ P (tx, ty) = ty ⇔ P (tx, ty) = tP (x, y)

Q(x, y) = 2√xy − x ⇔ Q(tx, ty) = 2

√txty − tx ⇔

Q(tx, ty) = t(2√xy − x) ⇔ Q(tx, ty) = tQ(x, y).

Facem schimbarea de variabila y = zx si diferentiind obtinem:

dy = zdx+ xdz.

Inlocuind ın ecuatia initiala avem:

zxdx+ (2√x2z − x)(zdx+ xdz) = 0 ⇔

zxdx + 2x√zdx− xzdx+ x2(2

√z − 1)dz = 0 ⇔

2x√zdx = −x2(2

√z − 1)dz ⇔

2dx

x= − 2

√z − 1√z

dz ⇔∫

2dx

x=∫−2

√z − 1√z

dz ⇔

2 ln x =∫

(−2 +1√z)dz ⇔ 2 lnx = −2z + 2

√z + c ⇔

2 lnx = −2y

x+ 2

√y

x+ c

5. Sa se integreze ecuatia

(3x+ 3y − 1)dx+ (x+ y − 1)dy = 0.

Rezolvare:(3x+ 3y − 1)dx = −(x+ y − 1)dy ⇔

dy

dx= −3x+ 3y − 1

x+ y − 1⇔ y, = −3x+ 3y − 1

x+ y − 1.


Observam ca ecuatia se poate reduce la o ecuatie cu variabile separabile.Facem schimbarea de variabila z = x+ y . Derivand obtinem:

y, + 1 = z, ⇔ −3z − 1

z − 1+ 1 = z, ⇔

−3z + 1 + z − 1

z − 1=dz

dx⇔ z − 1

zdz = −2dx ⇔

∫z − 1

zdz =

∫−2dx ⇔ z − ln z = −2x+ c ⇔

x+ y − ln(x+ y) + 2x = c ⇔3x+ y − ln(x+ y) = c


y, =√

4x+ 2y − 1

Rezolvare:

Observam ca ecuatia se poate reduce la o ecuatie cu variabile separabile.Facem schimbarea de variabila z = 4x+ 2y − 1.. Derivand obtinem:

z, = 4 + 2y, ⇔ y, =z, − 4

2⇔

z, − 4 = 2√z ⇔ z, = 2

√z + 4 ⇔

dz

dx= 2

√z + 4 ⇔ dz

2√z + 4

= dx ⇔∫

dz

2√z + 4

=∫dx ⇔ t =

√z ⇔ z = t2 ⇔ dz = 2tdt ⇔

∫2tdt

2t+ 4= x+ c ⇔

∫(1 − 4

2t)dt = x+ c ⇔

t− 2 ln t = x+ c ⇔ √z − 2 ln

√z = x+ c ⇔


√4x+ 2y − 1 − ln(4x+ 2y − 1) = x+ c


2(x+ 4y − 6)dx = (7x+ y − 15)dy.

Rezolvare:

Observam ca ecuatia se poate reduce la o ecuatie omogena.Avem sistemul:

x+ 4y − 6 = 0, 7x+ y − 15 = 0.

Rezolvand acest sistem se obtin solutiile:

x0 = 2, y0 = 1.

Facem translatia:

u = x− 2 ⇔ x = u+ 2 ⇔ dx = du

v = y − 1 ⇔ y = v + 1 ⇔ dy = dv.

Cu aceasta translatie obtinem:

2 (u+ 4v) du = (7u+ v) dv ⇔

Am obtinut o ecuatie omogena.Facem schimbarea de variabil,a v = zu si diferentiind obtinem: dv = zdu+udz.Inlocuind ın ecuatia initiala avem:

2 (u+ 4zu) du = (7u+ zu) (zdu+ udz) ⇔

2 (1 + 4z) du = (7 + z)zdu + (7 + z)udz ⇔(2 + 8z − 7z − z2)du = (7 + z)udz ⇔

du

u=

7 + z

−z2 + z + 2dz ⇔


∫du

u=∫

7 + z

−z2 + z + 2dz

du

u⇔

lnu = −∫

z + 7

z2 − z − 2dz ⇔

z + 7

z2 − z − 2=

z + 7

(z + 1) (z − 2)=

A

z + 1+

B

z − 2⇔

z + 7 = Az − 2A+Bz +B

echivalent cu sistemul:

A+B = 1, −2A+B = 7,

care are solutiile:A = −2, B = 3 ⇔

ln u =∫ 2

z + 1dz −

∫ 3

z − 2dz

ln u = 2 ln(z + 1) − 3 ln(z − 2) + ln c ⇔u = c (z + 1)2 (z − 2)−3 ⇔

u = c(v

u+ 1)2 (v

u− 2)−3

⇔

x− 2 = c(y − 1

x− 2+ 1)2 (y − 1

x− 2− 2)−3

⇔

(y − 2x+ 3)3 = c (y + x− 3)2

8. Aflati solutia generala a ecuatiei:

(2x− 4y + 6)dx+ (x+ y − 3)dy = 0.

Rezolvare:

Observam ca ecuatia se poate reduce la o ecuatie omogena.Avem sistemul:

2x− 4y + 6 = 0, x+ y − 3 = 0


cu solutiilex0 = 1, y0 = 2.

Facem schimbarile de variabile :

u = x− 1 ⇔ x = u+ 1 dx = du

v = y − 2 ⇔ y = v + 2 dy = dv.

Inlocuind ın ecuatia initiala obtinem :

(2u+ 2 − 4v − 8 + 6)du+ (u+ 1 + v + 2 − 3)dv = 0.

Ecuatia fiind omogena, facem schimbarea v = zu , dv = zdu+ udz

(2u− 4zu)du+ (u+ zu)(zdu+ udz) = 0 ⇔(2 − 4z)du+ (1 + z)(zdu + udz) = 0 ⇔(2 − 4z + z + z2)du+ u(1 + z)dz = 0 ⇔

(z2 − 3z + 2)du = −u(z + 1) ⇔du

u= − z + 1

z2 − 3z + 2⇔

∫du

u= −

∫z + 1

z2 − 3z + 2dz (1)

z + 1

z2 − 3z + 2=

z + 1

(z − 1)(z − 2)=

A

z − 1+

B

z − 2⇔

Az − 2A+Bz − B = z + 1 ⇔Avem sistemul:

A+B = 1, −2A−B = 1

cu solutiile:A = −2, B = 3.

Inlocuind ın relatia (1) obtinem:

ln u =∫

2

z − 1dz −

∫3

z − 2dz


ln u = 2 ln(z − 1) − 3 ln(z − 2) + ln c

ln u = ln( y

u− 1)2

( yu− 2)

+ ln c⇔

u = c(v − u)2

(v − 2u)3u⇔

(v − 2u)3 = c(v − u)2 ⇔(y − 2 − 2x+ 2)3 = c(y − 2 − x+ 1)2

(y − 2x)3 = c(y − x− 1)2


(2x+ 3x2y)dx+ (x3 − 3y2)dy = 0.

Rezolvare:P (x, y) = 2x+ 3x2y, Q(x, y) = x3 − 3y2

∂P

∂y= 3x2 ∂Q

∂x= 3x2

Avem o ecuatie diferentiala exacta. Atunci

∃F a.i.∂F

∂x= P si

∂F

∂y= Q.

Functia F = F (x, y) se obtine ın felul urmator:

F =∫P (x, y)dx =

∫(2x+ 3x2y)dx = x2 + x3y + C(y)

Vom calcula∂F

∂y

si egalam cu Q.∂F

∂y= x3 + C

′(y)


x3 + C′(y) = x3 − 3y2 ⇔

C′(y) = −3y2 ⇔

C(y) =∫

−3y2dy = −y3 + c ⇔F = x3 − y3 + c ⇔

x3 − y3 = c


2x(1 +√x2 − y)dx−

√x2 − ydy = 0,

Rezolvare:P = 2x(1 +

√x2 − y), Q = −

√x2 − y

∂P

∂y= 2x

−1

2√x2 − y

=−x√x2 − y

∂Q

∂x=

−2x

2√x2 − y

=−x√x2 − y

.

Avem o ecuatie diferentiala exacta. Atunci

∃F a.i.∂F

∂x= P si

∂F

∂y= Q

F =∫P (x, y)dx =

∫(2x+ 2x

√x2 − y)dx =

= x2 +∫

(x2 − y)′(x2 − y)

12dx =

= x2 +2

3(x2 − y)

32 + C(y)

∂F

∂y=

2

3(−1)

3

2(x2 − y)

12 + C

′(y) =

= −√x2 − y + C

′(y)


∂F

∂y= −

√x2 − y

−√x2 − y = −

√x2 − y + C

′(y) ⇔

C′(y) = 0 ⇔ C(y) = C ⇔

F (x, y) = x2 +2

3(x2 − y)

32 + C ⇔

x2 +2

3(x2 − y)

32 = C


(x2 + y2 + x)dx+ ydy = 0.

Rezolvare:

P (x, y) = (x2 + y2 + x), Q(x, y) = y

∂P

∂y= 2y

∂Q

∂x= 0

−Qx + Py

Q=

2y

yunde Qx =

∂Q

∂x, Py =

∂P

∂y

μ′

μ= 2 ⇔, lnμ = 2x⇔, μ = e2x ⇔

(x2 + y2 + x)e2xdx+ ye2xdx = 0 ⇔P (x, y) = (x2 + y2 + x)e2x, Q(x, y) = ye2x

∂P

∂y= 2ye2x

∂Q

∂x= 2ye2x.


Avem o ecuatie diferentiala exacta. Atunci:

(∃)F a.i.∂Q

∂x= P ′si

∂F

∂y= Q

F =∫Q(x, y)dy =

∫ye2xdy =

y2

2e2x + C(x) ⇔

∂F

∂xy2e2x + C ′(x) ⇔

(x2 + y2 + x)e2x = y2e2x + C ′(x) ⇔C ′(x) = (x2 + x)e2x ⇔

C(x) =∫

(x2 + x)e2xdx = (x2 + x)e2x

2− 1

2

∫(2x+ 1)e2xdx =

=1

2(x2 + x)e2x − 1

2(2x+ 1)

e2x

2+

1

2

∫2e2x

2dx =

=1

2(x2 + x)e2x − 1

4(2x+ 1)e2x +

1

2

e2x

2=

=1

4e2x(2x2 + 2x− 2x− 1 + 1) =

=1

2x2e2x + C ⇔

F = y2e2x +1

2x2e2x + C

y2e2x +1

2x2e2x = C


(x2 − sin2 y)dx+ x sin 2ydy = 0.

Rezolvare:

P = x2 − sin2 y, Q = x sin 2y


∂P

∂y= −2 sin y cos y = − sin 2y

∂Q

∂x= 2 sin 2y

Nu avem o ecuatie diferentiala exacta si ıncercam sa o rezolvam cu ajutorulfactorului integrant.

−Py +Qx

P=

2 sin 2y

x2 − sin2 y

Depinde si de x si de y, deci nu convine.

−Qx + Py

Q=

−2 sin 2y

x sin 2y=

−2

x

Depinde numai de x si atunci deducem ca exista factor integrant μ = μ(x)care transforma ecuatia data ıntr-o ecuatie diferentiala exacta.

μ′

μ= −2

x⇔

lnμ = −2 ln x+ lnC ⇔lnμ = lnCx−2 ⇔

μ =C

x2⇔

Pentru C = 1 rezulta factorul integrant

μ =1

x2.

Inmultim ecuatia initiala cu

μ =1

x2

si obtinem:

(1 − sin2 y

x2)dx+

sin 2y

xdy = 0

P = 1 − sin2 y

x2, Q =

sin 2y

x2


∂P

∂y= −2 sin y cos y

x2= −sin 2y

x2

∂Q

∂x= −sin 2y

x2.

Rezulta o ecuatie diferentiala exacta.

(∃)F a.i.∂F

∂x= P ′si

∂F

∂y= Q

F =∫Qdy =

∫sin 2y

xdy =

1

x

∫sin 2ydy =

= −1

x

cos 2y

2+ C(x) = −cos 2y

2x

∂F

∂x=

cos 2y

2x2+ C ′(x) =

1 − 2 sin2 y

2x2+ C ′(x) =

=1

2x2− sin2 y

x2+ C ′(x).

Dar∂F

∂x= 1 − sin2 y

x2.

Rezulta:1

2x2− sin2 y

x2+ C ′(x) = 1 − sin′ y

x2

C ′(x) = 1 − 1

2x2⇔

C(x) = x+1

2x+ C.

Deci:

F (x, y) = −cos 2y

2x+ x+

1

2x+ C.

−cos 2y

2x+ x+

1

2x= C

9.2. ECUATII LINIARE SI REDUCTIBILE LA LINIARE 89

9.2 Ecuatii diferentiale liniare si reductibile la

liniare


xy′ − 2y = 2x4.

Rezolvare:

Ecuatia se poate scrie sub forma:

y′ − 2

xy = 2x3,

care este o ecuatie liniara. Avem solutia ecuatiei:

y(x) = e∫

2xdx(C +

∫2x3e−

∫2xdxdx

)=

= e2 ln x(C +

∫2x3e−2 lnxdx

)=

= x2(C +

∫2x3x−2dx

)

= x2(C +

∫2xdx

)

= x2(C + x2

).

Observatie: elna = a.


(xy′ − 1) ln x = 2y.

Rezolvare:

Ecuatia este echivalenta cu:

x ln x · y′ − ln x = 2y ⇔


x ln x · y′ − 2y = lnx ⇔

y′ − 2

x ln xy =

1

x

y(x) = e∫

2x ln x

dx(C +

∫1

xe−∫

2x lnx

dxdx)

I1 =∫

2

x ln xdx

ln x = t⇔ 1

xdx = dt

I1 =∫

2

tdt = 2 ln t = 2 ln ln x = ln

(ln2 x

)

I2 =∫ 1

xe−∫

2x ln x

dxdx =∫ 1

xe− ln(ln2 x)dx =

=∫

1

x· 1

ln2 xdx =

∫dt

t2= −1

t= − 1

ln x

y (x) = eln(ln2 x)(C − 1

ln x

)=

= ln2 x(C − 1

ln x

)= C ln2 x− ln x


(sin2 y + x cot yy′ = 1.

Ecuatia nu este liniara ın y:

(sin2 y + x cot y)dy

dx= 1

dx

dy= x cot y + sin2 y

x′ − x cot y = sin2 y,


rezulta ecuatie liniara ın x = x(y).

x(y) = e∫

cot ydy(C +∫

sin2 ye−∫

cot ydydy) =

= eln sin y(C +∫

sin2 ye− ln sin ydy) =

= sin y(C +∫

sin2 y1

sin ydy) =

= sin y(C − cos y).

Deci x(y) = sin y(C − cos y).


(2ey − x)y′ = 1.

Rezolvare:

Ecuatia nu e liniara ın y. Avem:

(2ey − x)dy

dx= 1 →

dx

dy= 2ey − x

x′ + x = 2ey.

Am obtinut o ecuatie liniara ın x:

x(y) = e−∫

dy(C +∫

2eye∫

dydy) =

= e−y(C +∫

2eyeydy) =

= e−y(C + 2e2y

2) =

= ey + Ce−y.



y′ = y cos x+ y2 cos x.

Rezolvare:

Este o ecuatie Bernoulli cu α = 2. Facem substitutia:

z = y1−α ⇔ z = y−1 ⇔ y = z−1 ⇒y′ = −z−2z′ ⇒ z′(−z−2) = z−1 cos x+ z−2 cosx/z2

−z′ = z cosx+ cosx

z′ + z cosx = − cosx

care este o ecuatie liniara ın z. Solutia sa:

z(x) = e−∫

cos xdx(C +∫

− cosxe∫

cos xdxdx)

z(x) = e− sinx(C +∫

− cosxesin xdx)

z(x) = e− sin x(C − esin x) = Ce− sinx − 1 ⇒y−1 = Ce− sin x − 1 ⇒y =

1

Ce− sinx − 1


xy′ + y + x5y3ex = 0.

Rezolvare:

Este o ecuatie Bernoulli cu α = 3. Facem substitutia:

z = y1−α ⇔ z = y−2 ⇔ y = z−12


y′ = −1

2z−

32 z′ ⇔

−1

2xz−

32z′ + z−

12 + x5z−

32 ex = 0 ⇔

−1

2xz′ + z = −x5ex ⇔

z′ − 2

xz = 2x4ex ⇔

z(x) = e∫

2xdx(C +

∫2x4exe−

∫2xdx)⇔

z (x) = e2 ln x(C +

∫2x4exe−2 ln xdx

)⇔

z (x) = x2(C +

∫2x4exx−2dx

)⇔

z (x) = x2(C + 2

∫x2exdx

)⇔

z (x) = x2(C + 2x2ex −

∫4xexdx

)⇔

z (x) = x2(C + 2x2ex − 4xex + 4

∫exdx

)⇔

z (x) = x2(C + 2x2ex − 4xex + 4ex

)⇔

y = ± 1√z⇔

y = ± 1

x√C + 2x2ex − 4xex + 4ex

19. Sa se integreze urmatoarea ecuatie Riccati stiind ca admite solutia par-ticulara indicata

y′ = −y2 sin x+2 sin x

cos2 x′si ϕ (x) =

1

cosx


Rezolvare:

Se face substitutia:

y =1

cosx+

1

z⇒

y′ =sin x

cos2 x− z′

z2⇒

sin x

cos2 x− z′

z2= − sin x

cos2 x− 2 sin x

z cosx− sin x

z2+

2 sin x

cos2 x

z′ = 2z tanx− sin x ,

care este ecuatie liniara ⇒

z (x) = e∫

2 tan xdx(C +

∫sin xe−

∫2 tan xdxdx

)⇔

z (x) = e−2 ln cos x(C +

∫sin xe2 ln cos xdx

)⇔

z (x) = cos−2 x(C +

∫sin x cos2 xdx

)⇔

z (x) = cos−2 x

(C − cos3 x

3

)⇔

z (x) =C

cos2 x− cosx

3⇔

y (x) =1

cosx+

1C

cos2 x− cos x

3

9.3 Ecuatii diferentiale cu parametru

20. Sa se integreze ecuatia Lagrange:

y = −x+

(y′ + 1

y′ − 1

)2

9.3. ECUATII CU PARAMETRU 95

Rezolvare:

y′ = p ⇒ dy

dx= p ⇒ dy = pdx

y = −x+

(p+ 1

p− 1

)2

⇔

dy = −dx+ 2

(p+ 1

p− 1

)(p+ 1

p− 1

)′

dp⇔

pdx = −dx+ 2

(p+ 1

p− 1

)p− 1 − p− 1

(p− 1)2dp⇔

(p+ 1) dx = −4(p+ 1)

(p− 1)3dp

i) p+ 1 = 0 ⇒ p = −1 ⇒ y′ = −1 ⇒y = −x+ C.

Inlocuind ın ecuatia initiala si obtinem:

−x+ C = −x ⇒ C = 0 ⇒y = −x,

care este o solutie singulara.

ii) dx =−4

(p− 1)3dp

x =2

(p− 1)2 + C

Avem solutia:

y = −x+

(p+ 1

p− 1

)2

x =2

(p− 1)2+ C.


21. Sa se integreze ecuatia Clairaut:

y =x√

1 + y′2 + 9√1 + y′2

y′

Rezolvare:

y = xy′ +9√

1 + y′2y′ ⇔

y′ = p⇒ dy = pdx⇔

y = xp+9p√

1 + p2⇔

dy = pdx+

⎛⎜⎜⎝x+ 9

√1 + p2 − p2√

1+p2

1 + p2

⎞⎟⎟⎠ dp⇔

pdx = pdx+

(x+

9

(1 + p2)3/2

)dp⇔

(x+

9

(1 + p2)3/2

)dp = 0.

Avem doua posibilitati:

i) dp = 0 ⇒ p = C1

y′ = C1 ⇒ y = C1x+ C2,

care este solutie singulara.Inlocuind ın ecuatia initiala se obtine C1 si C2.

ii) x+9

(1 + p2)3/2= 0

9.4. ECUATII DE ORDIN SUPERIOR 97

Avem solutia generala:

x =−9

(1 + p2)3/2

y = xp +9p√

1 + p2

9.4 Ecuatii diferentiale de ordin superior


y′′ + y′ − 2y = 0.

Rezolvare:

Avem o ecuatie omogena cu coeficienti constanti. Ecuatia caracteristica atasataeste:

r2 + r − 2 = 0.

Δ = 1 + 8 = 9

r1,2 =−1 ± 3

2⇒ r1 = −2 ∈ R, r2 = 1 ∈ R.

Avem radacini reale si atunci

y (x) = C1er1x + C2e

r2x ⇒y (x) = C1e

−2x + C2ex.

Observatie: Ecuatia caracteristica se scrie astfel:

y(n) → rn, y → 1

din ecuatia initiala.


y′′ − 2y′ = 0.


Rezolvare:

Avem o ecuatie omogena cu coeficienti constanti.Ecuatia caracteristica atasata este:

r2 − 2r = 0 ⇒ r1 = 0, r2 = 2 ⇒y (x) = C1e

2x + C2


4y′′ + 4y′ + y = 0.

Rezolvare:Avem o ecuatie omogena cu coeficienti constanti.Ecuatia caracteristica atasata este:

4r2 + 4r + 1 = 0 ⇒

r1 = r2 = −1

2→

care are radacina dubla ⇒y (x) = C1e

− 12x + C2xe

− 12x.


y′′ − 4y′ + 5y = 0.

Rezolvare:


r2 − 4r + 5 = 0

Δ = 16 − 20 = −4


r1,2 =4 ± 2i

2⇒ r1 = 2 + i

r2 = 2 − i.

Avem radacini complexe a + bi, rezulta:

y (x) = eax (C1 cos bx+ C2 sin bx) ,

rezulta:y (x) = e2x (C1 cosx+ C2 sin x)


y′′ + 4y = 0.

Rezolvare:


r2 + 4 = 0 ⇒ r1,2 = ±2i

y (x) = C1 cos 2x+ C2 sin 2x.


y′′′′ − y = 0.

Rezolvare:


r4 − 1 = 0 ⇒(r2 − 1

) (r2 + 1

)= 0 ⇒

r1,2 = ±1, r3,4 = ±i⇒


y (x) = C1ex + C2e

−x + C3 cosx+ C4 sin x.


y′′′′ + 64y = 0.

Rezolvare:


r4 + 64 = 0 ⇔ r4 + 16r2 + 64 − 16r2 = 0 ⇔(r2 + 8

)2 − (4r)2 = 0 ⇔(r2 − 4r + 8

) (r2 + 4r + 8

)= 0

r2 − 4r + 8 = 0

Δ = 16 − 32 = −16 ⇒ r1,2 =4 ± 4i

2= 2 ± 2i

r2 + 4r + 8 = 0

Δ = 16 − 32 = −16 ⇒ r3,4 =4 ± 4i

2= −2 ± 2i

rezulta:

y (x) = e2 (C1 cos 2x+ C2 sin 2x) + e−2 (C3 cos 2x+ C4 sin 2x) .


yV − 2yIV − 16y′ + 32y = 0.

Rezolvare:


r5 − 2r4 − 16r + 32 = 0 ⇔


r4 (r − 2) − 16 (r − 2) = 0 ⇔(r − 2)

(r4 − 16

)= 0 ⇔

(r − 2)2 (r + 2)(r2 + 4

)= 0 ⇒ r1 = 2 →

radacina dublar2 = −2, r3,4 = ±2i.

Rezulta:

y (x) = C1e2x + C2xe

2x + C3e−2x + C4 cos 2x+ C5 sin 2x.


y′′′′ + 2y′′ + y = 0.

Rezolvare:Avem o ecuatie omogena cu coeficienti constanti.Ecuatia caracteristica atasata este:

r4 + 2r2 + 1 = 0(r2 + 1

)= 0

r2 = −1 ⇒ r1 = ±i →radacina dubla si atunci rezulta:

y (x) = C1 cosx+ C2 sin x+ C3x cosx+ C4x sin x.


y′′ − 2y′ − 3y = e4x.

Rezolvare:

Avem o ecuatie neomogena careia ii atasam ecuatia omogena:

y′′ − 2y′ − 3y = 0.


Ecuatia caracteristica atasata acesteia este:

r2 − 2r − 3 = 0

Δ = 4 + 12 = 16 ⇒ r1,2 =2 ± 4

2⇒ r1 = 3

r2 = −1

si atunci rezulta:yo = C1e

3x + C2e−x.

Cautam acum o solutie particulara a ecuatiei neomogene. Deoarece termenulperturbant este e4x, vom cauta o solutie de tipul:

yp = C1e4x.

Calculam derivatele de ordinul ıntii si respectiv doi si ınlocuim ın ecuatiainitiala:

y′p = 4C1e4x

y′′p = 16C1e4x

Inlocuind ın ecuatia ınitiala, obtinem:

16C1e4x − 8C1e

4x − 3C1e4x = e4x ⇔

5C1e4x = e4x ⇔

5C1 = 1 ⇒ C1 =1

5.

Rezulta:

yp =1

5e4x

In concluzie, solutia generala este:

yg = yo + yp ⇔

yg = C1e3x + C2e

−x +1

5e4x.



y′′ − y = 2ex − x2.

Rezolvare:

Avem o ecuatie neomogena. Ii atasam ecuatia omogena:

y′′ − y = 0.

Ecuatia caracteristica atasata este:

r2 − 1 = 0 ⇒ r1,2 = ±1

si atunci rezulta:yo = C1e

x + C2e−x

Consideram ecuatiiley′′ − y = 2ex

y′′ − y = −x2,

carora le gasim solutii particulare.Pentru

y′′ − y = 2ex (∗)cautam

yp = qex ⇒y′p = qex

y′′p = qex

ınlocuind ın (∗), obtinem:qex − qex = 2ex

care nu convine.Cautam yp = qxex. Avem:

y′p = qex + qxex


y′′p = qex + qex + qxex.

Inlocuind ın (∗), obtinem:

2qex + qxex − qxex = 2ex

q = 1 ⇒ yp1 = xex.

Pentru ecuatia

y′′ − y = −x2 (∗ ∗ ∗)cautam o solutie particulara de forma

yp2 = ax2 + bx+ c.

Avem:

y′p2= 2ax+ b

y′′p2= 2a.

Inlocuind ın (∗∗), obtinem:

a− ax2 − bx− c = −x2.

Identificand coeficientii rezulta:

−a = −1 ⇒ a = 1

−b = 0 ⇒ b = 0

2a− c = 0 ⇒ 2 − c = 0 ⇒ c = 2

si atunci rezulta:

yp2 = x2 + 2

deci solutia generala a ecuatiei ınitiale este:

y = yo + yp1 + yp2

y = C1ex + C2e

−x + xex + x2 + 2.



′′ − 3y′ + 2y = sin x.

Rezolvare:

Avem o ecuatie neomogena. Ii atasam ecuatia omogena:

y′′ − 3y′ + 2y = 0.

Ecuatia caracteristica atasata este:

r2 − 3r + 2 = 0,

Δ = 1 ⇒ r1,2 =3 ± 1

2⇒ r1 = 2, r2 = 1.

Rezulta:yo = C1e

x + C2e2x.

Cautam solutii particulare pentru ecuatia neomogena.

yp = C1 sin x+ C2 cosx

y′p = C1 cosx− C2 sin x

y′′p = −C1 sin x− C2 cosx

Inlocuind ın ecuatia neomogena, rezulta:

−C1 sin x− C2 cosx− 3 (C1 cos x− C2 sin x) + 2 (C1 sin x+ C2 cos x) = sin x

(−C1 + 3C2 + 2C1) sin x+ (−C2 − 3C1 + 2C2) cosx = sin x

Identificand coeficientii, rezulta:

3C2 + C1 = 1

C2 − 3C1 = 0


si acest sistem are solutiile:

C1 =1

10, C2 =

3

10.

Atunci:

yp =1

10sin x+

3

10cosx⇔

yg = yo + yp ⇔

yg = C1ex + C2e

2x +1

10sin x+

3

10cosx.


Bibliografie

1. Arnold, V., Equations differentielles ordinairesEdition MIR Moscova, 1974

2. Barbu, V., Metode matematice ın optimizarea sistemelor diferentialeEditura Academiei, Bucuresti, 1989

3. Barbu, V., Ecuatii diferentialeEditura Junimea, Iasi, 1985

4. Corduneanu, C., Ecuatii diferentiale si integraleLitografia Univ. ”Al. I. Cuza”, Iasi, 1977

5. Marin, M. si Marinescu C., Ecuatii diferentiale si integraleEditura Tehnica, Bucuresti, 1996

6. Marin, M., Ecuatii cu derivate partialeEditura Tehnica, Bucuresti, 1998

7. Marin, M., Ecuatii diferentiale - IDLitografia Universitatii Brasov, 2002

8. Marin, M. si Stan G., Special MathematicsEditura Universitatii ”Transilvania”, Brasov, 2004

9. Marinescu, C., Curs de ecuatii diferentialeLitografia Universitatii Brasov, 1986

10. Philippov, A., Requell de problemes d′equations differentiellesEdition MIR, Moscova, 1976

11. Teodorescu, N., Ecuatii diferentiale si cu derivate partialeEditura Tehnica, 1979

sisteme dinamice - horatiuvlad.com dinamice... · 5 sisteme de ecuat¸ii diferent¸iale 41 5.1...

Documents