Department of Science and Technology Institutionen för teknik och naturvetenskap Linköping University Linköpings universitet

gnipökrroN 47 106 nedewS ,gnipökrroN 47 106-ES

LiU-ITN-TEK-A--13/057--SE

Självkalibrering avvarvtalsregulator

Rickard Dahm

2013-10-28

LiU-ITN-TEK-A--13/057--SE

Självkalibrering avvarvtalsregulator

Examensarbete utfört i Elektroteknikvid Tekniska högskolan vid

Linköpings universitet

Rickard Dahm

Handledare Lars BackströmExaminator Anna Lombardi

Norrköping 2013-10-28

Upphovsrätt

Detta dokument hålls tillgängligt på Internet – eller dess framtida ersättare –under en längre tid från publiceringsdatum under förutsättning att inga extra-ordinära omständigheter uppstår.

Tillgång till dokumentet innebär tillstånd för var och en att läsa, ladda ner,skriva ut enstaka kopior för enskilt bruk och att använda det oförändrat förickekommersiell forskning och för undervisning. Överföring av upphovsrättenvid en senare tidpunkt kan inte upphäva detta tillstånd. All annan användning avdokumentet kräver upphovsmannens medgivande. För att garantera äktheten,säkerheten och tillgängligheten finns det lösningar av teknisk och administrativart.

Upphovsmannens ideella rätt innefattar rätt att bli nämnd som upphovsman iden omfattning som god sed kräver vid användning av dokumentet på ovanbeskrivna sätt samt skydd mot att dokumentet ändras eller presenteras i sådanform eller i sådant sammanhang som är kränkande för upphovsmannens litteräraeller konstnärliga anseende eller egenart.

För ytterligare information om Linköping University Electronic Press seförlagets hemsida http://www.ep.liu.se/

Copyright

The publishers will keep this document online on the Internet - or its possiblereplacement - for a considerable time from the date of publication barringexceptional circumstances.

The online availability of the document implies a permanent permission foranyone to read, to download, to print out single copies for your own use and touse it unchanged for any non-commercial research and educational purpose.Subsequent transfers of copyright cannot revoke this permission. All other usesof the document are conditional on the consent of the copyright owner. Thepublisher has taken technical and administrative measures to assure authenticity,security and accessibility.

According to intellectual property law the author has the right to bementioned when his/her work is accessed as described above and to be protectedagainst infringement.

For additional information about the Linköping University Electronic Pressand its procedures for publication and for assurance of document integrity,please refer to its WWW home page: http://www.ep.liu.se/

© Rickard Dahm

❙❛♠♠❛♥❢❛tt♥✐♥❣

❯♥❞❡r ❞❡tt❛ ♣r♦❥❡❦t s♦♠ ✉t❢ör❞❡s ♣å ❙❝❛♥✐❛ ❈❱ ❆❇ ✉♥❞❡rsö❦t❡s ♠ö❥❧✐❣❤❡✲t❡♥ ❛tt ❛♥✈ä♥❞❛ s✐❣ ❛✈ ❡♥ ❛❞❛♣t✐✈ r❡❣✉❧❛t♦r ❢ör ❛tt r❡❣❧❡r❛ ♠♦t♦r✈❛r✈t❛❧❡t♣å ❡♥ ❧❛st❜✐❧s♠♦t♦r s♦♠ ❞r✐✈❡r ✉tr✉st♥✐♥❣ ✈✐❛ ❡tt ❦r❛❢t✉tt❛❣✳ ❋ör❞❡❧❡♥ ♠❡❞❛tt ❛♥✈ä♥❞❛ s✐❣ ❛✈ ❛❞❛♣t✐✈ r❡❣❧❡r✐♥❣ ✐stä❧❧❡t ❢ör ❞❡♥ ♣❛r❛♠❡t❡rst②r❞❛ P■❉r❡❣❧❡r✐♥❣ s♦♠ ❛♥✈ä♥❞s ✐❞❛❣ är ❛tt r❡❣✉❧❛t♦r♥ ❦❛♥ ❦❧❛r❛ ❛✈ ✢❡r ✉tr✉st♥✐♥❣s✲t②♣❡r✳ ❉❛❣❡♥s r❡❣✉❧❛t♦r ❦❛♥ ❢å ♣r♦❜❧❡♠ ✈✐❞ st♦r❛ ❜❡❧❛st♥✐♥❣s♠♦♠❡♥t ❡❧❧❡rtrö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t✳ ❉❡tt❛ ❦❛♥ ❧ös❛s ♠❡❞ ❛❞❛♣t✐✈ r❡❣❧❡r✐♥❣✳

■ r❛♣♣♦rt❡♥ ♣r❡s❡♥t❡r❛s ❡♥ ♠♦❞❡❧❧❜❛s❡r❛❞ r❡❣✉❧❛t♦r s♦♠ ❛♥✈ä♥❞❡r s②st❡✲♠❡ts trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t✳ ❉å s②st❡♠❡ts trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t är ♦❦ä♥t ❣❡s ä✈❡♥ ❢ör✲s❧❛❣ ♣å ❤✉r ❞❡tt❛ s❦✉❧❧❡ ❦✉♥♥❛ ❡st✐♠❡r❛s✳ ❉❡♥ ♠♦❞❡❧❧❜❛s❡r❛❞❡ r❡❣✉❧❛t♦r♥✈✐s❛r s✐❣ ✈❛r❛ ♠②❝❦❡t ❡✛❡❦t✐✈ ❞å s❦❛tt♥✐♥❣❡♥ ❛✈ trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t❡t ❧②❝❦❛s✳❉❡t ❑❛❧♠❛♥✜❧t❡r s♦♠ ❞❡s✐❣♥❛ts ❢ör ❛tt ❡st✐♠❡r❛ s②st❡♠❡t ❢✉♥❣❡r❛r ❞♦❝❦ ❡❥❢ör ❛❧❧❛ ö♥s❦✈är❞❛ ❢❛❧❧ ♦❝❤ ❡♥ ❢♦rts❛tt st✉❞✐❡ ♣å ❤✉r ❞❡♥♥❛ ❞❡s✐❣♥ s❦❛ s❡ ✉t❦rä✈s ✐♥♥❛♥ r❡❣✉❧❛t♦r♥ t❡st❛s ♣å ❡tt ✈❡r❦❧✐❣t s②st❡♠✳

❆❜str❛❝t

❚❤✐s ♣r♦❥❡❝t ✇❛s ♣❡r❢♦r♠❡❞ ❛t ❙❝❛♥✐❛ ❈❱ ❆❇ ✐♥ ♦r❞❡r t♦ r❡s❡❛r❝❤ ✐❢ ❛♥ ❛❞✲❛♣t✐✈❡ ❝♦♥tr♦❧❧❡r ❝♦✉❧❞ ❜❡ ✉s❡❞ t♦ ❝♦♥tr♦❧ t❤❡ ❡♥❣✐♥❡s♣❡❡❞ ♦❢ ❛ tr✉❝❦s ❡♥❣✐♥❡✇❤❡♥ ✉s✐♥❣ ♣♦✇❡r t❛❦❡✲♦✛s ✭P❚❖✮✳ ❚❤❡ ❝♦♥tr♦❧❧❡r ✉s❡❞ t♦❞❛② ✐s ❛ ❣❛✐♥s❝❤❡❞✉✲❧❡❞ P■❉✲❝♦♥tr♦❧❧❡r t❤❛t ✇♦r❦s ✇❡❧❧ ❢♦r ♠♦st s②st❡♠s ❜✉t ❡♥❝♦✉♥t❡r ♣r♦❜❧❡♠s❛t ❤✐❣❤ t♦rq✉❡❧♦❛❞s ♦r ❛t ❤✐❣❤ ✈❛❧✉❡s ♦❢ ♠♦♠❡♥ts ♦❢ ✐♥❡rt✐❛s✳ ❆♥ ❛❞❛♣t✐✈❡❝♦♥tr♦❧❧❡r ❝♦✉❧❞ ♣❡r❢♦r♠ ❜❡tt❡r ❛t t❤❡s❡ ❞✐✣❝✉❧t ❝♦♥❞✐t✐♦♥s✳

❚❤✐s r❡♣♦rt ♣r❡s❡♥ts ❛♥ ♠♦❞❡❧❜❛s❡❞ ❝♦♥tr♦❧❧❡r t❤❛t ✉s❡s ❛♥ ❡st✐♠❛t❡ ♦❢t❤❡ s②st❡♠s ♠♦♠❡♥t ♦❢ ✐♥❡rt✐❛ t♦ ❝♦♥tr♦❧ t❤❡ s②st❡♠✳ ❙✐♥❝❡ t❤✐s ♠♦♠❡♥t ♦❢ ✐♥✲❡rt✐❛ ✐s ✉♥❦♥♦✇♥ s♦♠❡ ❡st✐♠❛t✐♦♥ ♠❡t❤♦❞s ❛r❡ ♣r♦♣♦s❡❞✳ ❚❤❡ ♥❡✇ ❝♦♥tr♦❧❧❡rs❤♦✇s ❣r❡❛t ♣r♦♠✐s❡ ✇❤❡♥ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ♦❢ ✐♥❡rt✐❛ ❝❛♥ ❜❡ ❝♦rr❡❝t❧② ❡st✐♠❛t❡❞✳❍♦✇❡✈❡r✱ t❤❡ ❞❡s✐❣♥ ♦❢ ❛ ❑❛❧♠❛♥ ✜❧t❡r t❤❛t ❤❛s ❜❡❡♥ ♣r♦♣♦s❡❞ ✐♥ t❤✐s ♣r♦❥❡❝t✐s ✢❛✇❡❞ ❛♥❞ ❞♦❡s ♥♦t ♠❛♥❛❣❡ t♦ ❛❝❝✉r❛t❡❧② ❡st✐♠❛t❡ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ♦❢ ✐♥❡rt✐❛❢♦r ❛❧❧ t❤❡ s✐♠✉❧❛t❡❞ ❧♦❛❞s✳ ❇❡❢♦r❡ t❤❡ ❝♦♥tr♦❧❧❡r ❝❛♥ ❜❡ ✉s❡❞ ♦♥❧✐♥❡ t♦ ❝♦♥tr♦❧t❤❡ P❚❖ ♦❢ ❛ tr✉❝❦ t❤❡ ❛❝❝✉r❛❝② ♦❢ t❤❡ ❡st✐♠❛t✐♦♥ ♠✉st ❜❡ ✐♥❝r❡❛s❡❞✳

✐

❋ör♦r❞

❉❡tt❛ ❡①❛♠❡♥s❛r❜❡t❡ ❤❛r ✉t❢örts ♣å ❙❝❛♥✐❛ ❈❱ ❆❇ ✉♥❞❡r ✈år❡♥ ✷✵✶✸✳ ❏❛❣s❦✉❧❧❡ ✈✐❧❥❛ t❛❝❦❛ ❣r✉♣♣❡♥ ◆❊❈❊ ✲ P♦✇❡rtr❛✐♥ ❚♦rq✉❡ ❈♦♥tr♦❧ ❢ör ❛tt ❞❡ ✈❛r✈ä♥❧✐❣❛ ♥♦❣ ❛tt t❛ ❤❛♥❞ ♦♠ ♠✐❣ ✉♥❞❡r ♠✐tt ❡①❛♠❡♥s❛r❜❡t❡ ♦❝❤ ❢ör ❛❧❧❛ tr❡✈✲❧✐❣❛ ❞✐s❦✉ss✐♦♥❡r ❦r✐♥❣ ✜❦❛❜♦r❞❡t✳ ❊tt s♣❡❝✐❡❧❧t t❛❝❦ ❣år t✐❧❧ ♠✐♥❛ ❤❛♥❞❧❡❞❛r❡♣å ❙❝❛♥✐❛✱ ▼❛rt✐♥ ❊✈❛❧❞ss♦♥ ♦❝❤ ❊❧✈❡❞✐♥ ❘❛♠✐❝ ❢ör ❛❧❧ ❤❥ä❧♣ ♠❡❞ s②♥♣✉♥❦✲t❡r ♦❝❤ ✐❞❡❡r s♦♠ ♥✐ ❜å❞❛ ❤❛r ❜✐❞r❛❣✐t ♠❡❞✳ ❊tt st♦rt t❛❝❦ ✈✐❧❧ ❥❛❣ ä✈❡♥ ❣❡t✐❧❧ ♠✐♥ ❤❛♥❞❧❡❞❛r❡ ▲❛rs ❇❛❝❦strö♠ ♦❝❤ ♠✐♥ ❡①❛♠✐♥❛t♦r ❆♥♥❛ ▲♦♠❜❛r❞✐ ♣å▲✐♥❦ö♣✐♥❣s ❯♥✐✈❡rs✐t❡t✳

✐✐✐

■♥♥❡❤å❧❧

✶ ■♥❧❡❞♥✐♥❣ ✶

✶✳✶ ❇❛❦❣r✉♥❞ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶

✶✳✷ ❙②❢t❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷

✶✳✸ ▼❡t♦❞ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷

✶✳✹ ❉✐s♣♦s✐t✐♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸

✶✳✺ ❆✈❣rä♥s♥✐♥❣❛r ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸

✶✳✻ ▼å❧❣r✉♣♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸

✶✳✼ ❉❡✜♥✐t✐♦♥❡r ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹

✶✳✽ ◆♦♠❡♥❦❧❛t✉r ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹

✷ ❚❡♦r✐ ✺

✷✳✶ ❑r❛❢t✉tt❛❣ ✲ P❚❖ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺

✷✳✶✳✶ ❑♦♣♣❧✐♥❣s♦❜❡r♦❡♥❞❡ ❦r❛❢t✉tt❛❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻

✷✳✶✳✶✳✶ ▼♦t♦r❞r✐✈❡t ❦r❛❢t✉tt❛❣ ✲ ❊❉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻

✷✳✶✳✶✳✷ ❙✈ä♥❣❤❥✉❧s❞r✐✈❡t ❦r❛❢t✉tt❛❣ ✲ ❊❑ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽

✷✳✶✳✷ ❑♦♣♣❧✐♥❣s❜❡r♦❡♥❞❡ ❦r❛❢t✉tt❛❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾

✷✳✶✳✷✳✶ ❱ä①❡❧❧å❞s❞r✐✈❡t ❦r❛❢t✉tt❛❣ ✲ ❊● ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾

✷✳✶✳✷✳✷ ❑❛r❞❛♥❛①❡❧❞r✐✈❡t ❦r❛❢t✉tt❛❣ ✲ ❙♣❧✐ts❤❛❢t ✳ ✳ ✳ ✶✵

✷✳✷ ❘❡❣r❡ss✐♦♥s❛♥❛❧②s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶

✷✳✷✳✶ ▼✐♥st❛ ❦✈❛❞r❛t♠❡t♦❞❡♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✸

✷✳✷✳✷ ❘❡❦✉rs✐✈ ♠✐♥st❛ ❦✈❛❞r❛t ♠❡❞ ❣❧ö♠s❦❡❢❛❦t♦r ✲ ❘▲❙ ✳ ✳ ✶✹

✷✳✷✳✸ ❑❛❧♠❛♥✜❧t❡r ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺

✷✳✸ ❘❡❣❧❡rt❡❦♥✐❦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻

✷✳✸✳✶ P■❉✲r❡❣✉❧❛t♦r ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✼

✈

✷✳✸✳✷ ❆❞❛♣t✐✈ r❡❣❧❡r✐♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽

✷✳✹ ◆❡✇t♦♥s ❧❛❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✾

✸ ❋♦r❞♦♥s♠♦❞❡❧❧ ✷✶

✸✳✶ ▼♦❞❡❧❧ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✶

✸✳✷ ❆❧t❡r♥❛t✐✈ ♠♦❞❡❧❧ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✸

✹ ❘❡❣❧❡r✐♥❣ ✷✺

✹✳✶ ▼♦❞❡❧❧❜❛s❡r❛❞ r❡❣✉❧❛t♦r ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✺

✹✳✷ ❊st✐♠❡r✐♥❣ ❛✈ trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✼

✺ ❘❡s✉❧t❛t ✸✶

✺✳✶ ❊①♣❡r✐♠❡♥t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✶

✺✳✶✳✶ Ö♣♣❡♥ ❞r✐✈❧✐♥❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✶

✺✳✶✳✷ ❱❛r✐❡r❛♥❞❡ ❞r✐✈❧✐♥❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✸

✺✳✷ ❙✐♠✉❧❡r✐♥❣❛r ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✺

✺✳✷✳✶ ❏ä♠❢ör❡❧s❡ ♠❡❧❧❛♥ P■❉ ♦❝❤ ♠♦❞❡❧❧❜❛s❡r❛❞ r❡❣✉❧❛t♦r ✳ ✳ ✸✺

✺✳✷✳✷ ❑♦♥st❛♥t trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✻

✺✳✷✳✸ ▼✐♥s❦❛♥❞❡ trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✵

✺✳✷✳✹ ❖❧✐❦❛ trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✶

✺✳✷✳✺ ❙t❡❣ ✐ ❜❡❧❛st♥✐♥❣s♠♦♠❡♥t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✷

✺✳✷✳✻ P❡r✐♦❞t✐❞❡r ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✸

✺✳✷✳✼ ❘❛♠♣❡r ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✹

✺✳✷✳✽ ❱❛❧ ❛✈ ❑❛❧♠❛♥♣❛r❛♠❡tr❛r ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✺

✻ ❙❧✉ts❛ts❡r ✹✾

✈✐

✼ ❋♦rts❛tt ❛r❜❡t❡ ✺✶

✽ ❘❡❢❡r❡♥s❡r ✺✸

✈✐✐

✶ ■♥❧❡❞♥✐♥❣

❉❡t ❤är ❡①❛♠❡♥s❛r❜❡t❡t ❤❛r ✉t❢örts ♣å ❙❝❛♥✐❛ ❈❱ ❆❇ ✐ ❙ö❞❡rtä❧❥❡ ♠❡❞ ♠å❧❡t❛tt t❛ ❢r❛♠ ❡♥ s❥ä❧✈❦❛❧✐❜r❡r❛♥❞❡ r❡❣✉❧❛t♦r ❢ör ✈❛r✈t❛❧sr❡❣❧❡r✐♥❣ ❛✈ ❡♥ ❧❛st✲❜✐❧s♠♦t♦r s♦♠ ❞r✐✈❡r ✉tr✉st♥✐♥❣ ✈✐❛ ❡tt ❦r❛❢t✉tt❛❣✳

✶✳✶ ❇❛❦❣r✉♥❞

På ❧❛st❜✐❧❛r ♠♦♥t❡r❛s ✐ ♠å♥❣❛ ❢❛❧❧ ✉tr✉st♥✐♥❣ s♦♠ ❞r✐✈s ♠❡❞ ❤❥ä❧♣ ❛✈ ❧❛st❜✐✲❧❡♥s ❦r❛❢t✉tt❛❣✳ ❊①❡♠♣❡❧ ♣å så❞❛♥ ✉tr✉st♥✐♥❣ är ❡♥ ❦r❛♥✱ ❡♥ ❜❡t♦♥❣❜❧❛♥❞❛r❡❡❧❧❡r ❡♥ ♣✉♠♣✳ ❉❡ss❛ ♣å❜②❣❣♥❛t✐♦♥❡r är ❡❥ ❢❛❜r✐❦s♠♦♥t❡r❛❞❡ ✈✐❞ ❧❡✈❡r❛♥s ❢rå♥❙❝❛♥✐❛ ✉t❛♥ ❦✉♥❞❡♥ s♦♠ ❦ö♣t s✐♥ ❧❛st❜✐❧ ❤♦s ❙❝❛♥✐❛ ❦♦♥t❛❦t❛r s❥ä❧✈ ❡♥ ♣å✲❜②❣❣❛r❡ s♦♠ ♠♦♥t❡r❛r ✉tr✉st♥✐♥❣❡♥ ♣å ❧❛st❜✐❧❡♥✳ ❉❡tt❛ ❜❡t②❞❡r ❛tt ❙❝❛♥✐❛✐♥t❡ ✈❡t ✈❛❞ ❦r❛❢t✉tt❛❣❡♥ ♣å ❧❛st❜✐❧❡♥ ❦♦♠♠❡r ❛tt ❞r✐✈❛✳ ❉❡t är ❞är❢ör s✈årt❛tt ❢örs❡ ❦✉♥❞❡r♥❛ ♠❡❞ ❡♥ r❡❣✉❧❛t♦r s♦♠ ♣❛ss❛r ❢ör ❛❧❧❛ ❞r✐❢t❢❛❧❧✳

❉❡♥ ✈❛r✈t❛❧sr❡❣✉❧❛t♦r s♦♠ ❞✐s❦✉t❡r❛s ✐ ❞❡♥♥❛ r❛♣♣♦rt ❛♥s✈❛r❛r ❢ör ❛tt❤å❧❧❛ ♠♦t♦r♥s ✈❛r✈t❛❧ ♣å ❡♥ ❢ör❞❡✜♥✐❡r❛❞ r❡❢❡r❡♥s♥✐✈å ✭ωref ✮✳ ●❡♥♦♠ ❛tt ❤å❧❧❛♠♦t♦r♥s ✈❛r✈t❛❧ ❦♦♥st❛♥t ❤å❧❧s ä✈❡♥ ❦r❛❢t✉tt❛❣❡ts ✈❛r✈t❛❧ ❦♦♥st❛♥t ♣å ❡♥ ♥✐✈ås♦♠ ❜❡stä♠s ♠❡❞ ❤❥ä❧♣ ❛✈ s②st❡♠❡ts ✉t✈ä①❧✐♥❣ ✭IPTO✮ ❡♥❧✐❣t ❡❦✈❛t✐♦♥ ✶✳

ωPTO =ωe

IPTO

✭✶✮

■ ❞❡♥ ❤är r❛♣♣♦rt❡♥ ❤❛r ❡♥❞❛st ♠♦t♦r♥s ✈❛r✈t❛❧ ✭ωe✮ ♦❜s❡r✈❡r❛ts ❡❢t❡rs♦♠❦r❛❢t✉tt❛❣❡ts ✈❛r✈t❛❧ är ❞✐r❡❦t ❜❡r♦❡♥❞❡ ❛✈ ❞❡tt❛ ❡♥❧✐❣t ❡❦✈❛t✐♦♥ ✶✳ ■ r❛♣♣♦r✲t❡♥ ❦♦♠♠❡r ❞är❢ör ❡♥❞❛st ωe ❞✐s❦✉t❡r❛s ♠❡♥ ❞❡t är ✈✐❦t✐❣t ❛tt ♣♦ä♥❣t❡r❛❛tt ❣❡♥♦♠ ❛tt r❡❣❧❡r❛ ♠♦t♦r✈❛r✈t❛❧❡t ♠♦t ❡tt ❦♦♥st❛♥t ✈är❞❡ ❤å❧❧s ä✈❡♥ ä✈❡♥❦r❛❢t✉tt❛❣❡ts ✈❛r✈t❛❧ ❦♦♥st❛♥t✳

■❞❛❣ ❛♥✈ä♥❞s ❡♥ P■❉✲r❡❣✉❧❛t♦r ♠❡❞ ♣❛r❛♠❡t❡rst②r♥✐♥❣ ❢ör ✈❛r✈t❛❧sr❡❣❧❡✲r✐♥❣ ❛✈ ♠♦t♦r♥ ❞å ♠♦t♦r♥ ❞r✐✈❡r ❦r❛❢t✉tt❛❣✳ P❛r❛♠❡t❡rst②r♥✐♥❣ ✐♥♥❡❜är ❛ttr❡❣✉❧❛t♦r♥s ♣❛r❛♠❡tr❛r ä♥❞r❛s ❡♥❧✐❣t ❢ör❜❡stä♠❞❛ ❣rä♥s❡r ♣å ✈❛r✈t❛❧s❢❡❧❡t✳❉❡♥♥❛ t②♣ ❛✈ r❡❣✉❧❛t♦r ❤❛r ❢ör❞❡❧❡♥ ❛tt ❞❡♥ är ❡♥❦❡❧ ❛tt ✐♠♣❧❡♠❡♥t❡r❛ ♦❝❤♠❡❞ ❤❥ä❧♣ ❛✈ ♣❛r❛♠❡t❡rst②r♥✐♥❣❡♥ ❦❛♥ ❡tt ❛❣❣r❡ss✐✈t ❜❡t❡❡♥❞❡ ❛♥✈ä♥❞❛s ✈✐❞st♦r❛ ✈❛r✈t❛❧s❢❡❧ ♠❡❞❛♥ ❡♥ ♠❥✉❦❛r❡ r❡❣❧❡r✐♥❣ ❛♥✈ä♥❞s ✈✐❞ s♠å ✈❛r✈t❛❧s✈❛✲r✐❛t✐♦♥❡r✳ ◆❛❝❦❞❡❧❡♥ ♠❡❞ ❞❡♥ ❤är t②♣❡♥ ❛✈ r❡❣✉❧❛t♦r ❢ör ❛♥✈ä♥❞♥✐♥❣ ♣å❦r❛❢t✉tt❛❣ är ❛tt ♣r❡st❛♥❞❛♥ ♣å r❡❣❧❡r✐♥❣❡♥ är ❜❡r♦❡♥❞❡ ♣å ✈✐❧❦❛ ❢örstär❦✲♥✐♥❣s♣❛r❛♠❡tr❛r s♦♠ ✈❛❧ts ♦❝❤ ✐♥❣❡♥ ❤ä♥s②♥ t❛s t✐❧❧ ✈❛❞ s♦♠ ❢❛❦t✐s❦t ❞r✐✈s

✶

❛✈ ❦r❛❢t✉tt❛❣❡t✳ ❊tt t✉♥❣t s②st❡♠ r❡❣❧❡r❛s ❞är❢ör ♠❡❞ s❛♠♠❛ r❡❣✉❧❛t♦r s♦♠❡tt ❡♥❦❧❛r❡ s②st❡♠ ✈✐❧❦❡t ✐♥♥❡❜är ❛tt ❡♥ ❦♦♠♣r♦♠✐ss ♠åst❡ t❛s✳ ❆♥t✐♥❣❡♥ r❡✲❣❧❡r❛r ♠❛♥ ❞❡t ❧ättr❡❣❧❡r❛❞❡ s②st❡♠ ❛❣❣r❡ss✐✈t ❢ör ❛tt ❤❛ ♠ö❥❧✐❣❤❡t ❛tt ❦❧❛r❛❛✈ ❞❡ s✈årr❡❣❧❡r❛❞❡ s②st❡♠❡♥ ❡❧❧❡r så ❧åt❡r ♠❛♥ r❡❣❧❡r✐♥❣❡♥ ✈❛r❛ ❧å♥❣s❛♠♠❛r❡♠❡♥ r✐s❦❡r❛r ❞å ❛tt r❡❣❧❡r✐♥❣❡♥ ✐♥t❡ ❦❧❛r❛r ❛✈ s✈år❛r❡ s②st❡♠✳ ❙❝❛♥✐❛ ❤❛r ✐❞❛❣❧öst ❞❡t ❣❡♥♦♠ ❛tt ❧åt❛ ❦✉♥❞❡♥ ✈ä❧❥❛ ♠❡❧❧❛♥ tr❡ ✐♥stä❧❧♥✐♥❣❛r✱ s♦❢t✱ ♥♦r♠❛❧♦❝❤ st✐✛✳ ▼❡❞ ❞❡tt❛ ✈❛❧ ❦❛♥ ❙❝❛♥✐❛s ❦✉♥❞❡r stä❧❧❛ ✐♥ ❤✉r ❞❡ ✈✐❧❧ ❛tt ❞❡r❛s♣å❜②❣❣♥❛t✐♦♥ s❦❛ ❞r✐✈❛s✳ ❉❡t s❦✉❧❧❡ ❞♦❝❦ ✈❛r❛ ö♥s❦✈ärt ❛tt ❞❡tt❛ ✈❛❧ s❦öt❡s❛✉t♦♠❛t✐s❦t ♦❝❤ ❛tt ✐ ❢r❛♠t✐❞❡♥ ❦✉♥♥❛ ❧åt❛ r❡❣✉❧❛t♦r♥ ❛❞❛♣t✐✈t ❦❛❧✐❜r❡r❛ ✐♥s✐❣ ❡❢t❡r ❞❡ ❦r❛✈ s♦♠ ✜♥♥s ♣å s②st❡♠❡t✳

✶✳✷ ❙②❢t❡

❙②❢t❡t ♠❡❞ ❞❡tt❛ ❡①❛♠❡♥s❛r❜❡t❡ är ❛tt ✉♥❞❡rsö❦❛ ♠ö❥❧✐❣❤❡t❡♥ ❛tt ❛♥✈ä♥❞❛s✐❣ ❛✈ ❡♥ s❥ä❧✈❦❛❧✐❜r❡r❛♥❞❡ r❡❣✉❧❛t♦r ❢ör ❛tt ❞r✐✈❛ ❦r❛❢t✉tt❛❣❡♥ ♣å ❙❝❛♥✐❛s❢♦r❞♦♥ ♦❝❤ ❛tt ❣❡ ❢örs❧❛❣ ♣å ❤✉r ❞❡♥♥❛ r❡❣✉❧❛t♦r ❦❛♥ s❡ ✉t ♦❝❤ ❢✉♥❣❡r❛✳ ❊ttst♦rt ❢♦❦✉s ❤❛r ❧❛❣ts ♣å ❛tt ✉♥❞❡rsö❦❛ ❛❞❛♣t✐✈ r❡❣❧❡r✐♥❣ s♦♠ ❦❛♥ ❦ä♥♥❛ ❛✈✈✐❧❦❡t s②st❡♠ s♦♠ ❦♦♥tr♦❧❧❡r❛s ♦❝❤ ♠❡❞ ❤❥ä❧♣ ❛✈ ❞❡♥♥❛ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥♣❛ss❛r❡❣❧❡r✐♥❣❡♥✳

✶✳✸ ▼❡t♦❞

❆r❜❡t❡t ❜ör❥❛❞❡ ♠❡❞ ❡♥ ❧✐tt❡r❛t✉rst✉❞✐❡ ❦r✐♥❣ ❦r❛❢t✉tt❛❣✱ r❡❣❧❡rt❡❦♥✐❦ ♦❝❤r❡❣r❡ss✐♦♥s❛♥❛❧②s✳ ▲✐tt❡r❛t✉rst✉❞✐❡♥ r❡s✉❧t❡r❛❞❡ ✐ ❞❡♥ t❡♦r✐ s♦♠ ❛♥✈ä♥ts✳

❊❢t❡r ❛tt ❧✐tt❡r❛t✉rst✉❞✐❡♥ ❛✈s❧✉t❛ts t♦❣s ❡♥ ♠♦❞❡❧❧ ❛✈ ❢♦r❞♦♥❡t ❢r❛♠ ❢ör❛tt ❦✉♥♥❛ ❛♥✈ä♥❞❛s ✐ s✐♠✉❧❡r✐♥❣❛r ❛✈ ❦r❛❢t✉tt❛❣s❜❡❧❛st♥✐♥❣❡♥s ♣å✈❡r❦❛♥ ♣å♠♦t♦r✈❛r✈t❛❧❡t✳

❉å ❡♥ ♠♦❞❡❧❧ ö✈❡r ❢♦r❞♦♥❡t t❛❣✐ts ❢r❛♠ t♦❣s ❡♥ ♠♦❞❡❧❧❜❛s❡r❛❞ r❡❣✉❧❛t♦r❢r❛♠ ❢ör ❛tt r❡❣❧❡r❛ ♠♦t♦r✈❛r✈t❛❧❡t✳ ❉❡♥♥❛ r❡❣✉❧❛t♦r ❦rä✈❞❡ ❦✉♥s❦❛♣ ♦♠ ❢②s✐✲❦❛❧✐s❦❛ st♦r❤❡t❡r s♦♠ är ♦❦ä♥❞❛ ♦❝❤ s✈år❛ ❛tt ♠ät❛ ✈✐❧❦❡t ✐♥♥❡❜❛r ❛tt ♠❡t♦❞❡r❛tt ❡st✐♠❡r❛ ❞❡ss❛ ✈är❞❡♥ ✉♥❞❡rsö❦t❡s✳ ❊①♣❡r✐♠❡♥t ✐ ❧❛st❜✐❧ ✉t❢ör❞❡s ❢ör ❛tt✉♥❞❡rsö❦❛ ♦♠ ❞❡ss❛ ❢②s✐❦❛❧✐s❦❛ st♦r❤❡t❡r ❦❛♥ ❤✐tt❛s ✐ ❡tt ✈❡r❦❧✐❣t s②st❡♠✳

❙❧✉t❧✐❣❡♥ ✉t❢ör❞❡s s✐♠✉❧❡r✐♥❣❛r ✐ ♣r♦❣r❛♠♠❡t ▼❆❚▲❆❇ ❙✐♠✉❧✐♥❦ ❢ör ❛tt✉♥❞❡rsö❦❛ ♣r❡st❛♥❞❛♥ ❛✈ ❞❡♥ ❢r❛♠t❛❣♥❛ r❡❣✉❧❛t♦r♥✳

✷

✶✳✹ ❉✐s♣♦s✐t✐♦♥

❘❛♣♣♦rt❡♥ ♣r❡s❡♥t❡r❛r ✐♥❧❡❞♥✐♥❣✈✐s ✐ ❦❛♣✐t❡❧ ✷ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦♠ ❦r❛❢t✉tt❛❣✱t❡♦r✐ ❦r✐♥❣ r❡❣r❡ss✐♦♥s❛♥❛❧②s ♦❝❤ ❣r✉♥❞❧ä❣❣❛♥❞❡ t❡♦r✐ ♦♠ r❡❣❧❡rt❡❦♥✐❦✳

❉❡♥ ❢♦r❞♦♥s♠♦❞❡❧❧ s♦♠ ❤❛r ❛♥✈ä♥ts ❢ör ❛tt ❜❡s❦r✐✈❛ ❞❡t ❢②s✐❦❛❧✐s❦❛ s②✲st❡♠❡t ♣r❡s❡♥t❡r❛s ✐ ❦❛♣✐t❡❧ ✸ ♦❝❤ ❞❡♥ r❡❣✉❧❛t♦r s♦♠ ❤❛r t❛❣✐ts ❢r❛♠ ❢ör ❛ttr❡❣❧❡r❛ ❦r❛❢t✉tt❛❣❡t ♣r❡s❡♥t❡r❛s ✐ ❦❛♣✐t❡❧ ✹✳

❘❡s✉❧t❛t❡♥ s♦♠ ♣r❡s❡♥t❡r❛s ✐ ❦❛♣✐t❡❧ ✺ ❤❛r ❞❡❧❛ts ✉♣♣ ✐ t✈å ❛✈s♥✐tt ❞är❛✈s♥✐tt ✺✳✶ ✐♥♥❡❤å❧❧❡r ❞❡ ❡①♣❡r✐♠❡♥t s♦♠ ✉t❢örts ♣å ❧❛st❜✐❧ ♦❝❤ ❛✈s♥✐tt ✺✳✷✈✐s❛r ❞❡ s✐♠✉❧❡r✐♥❣❛r s♦♠ ✉t❢örts ✐ ▼❆❚▲❆❇ ❙✐♠✉❧✐♥❦✳ ❙❧✉t❧✐❣❡♥ ♣r❡s❡♥t❡r❛s❞❡ s❧✉ts❛ts❡r s♦♠ ❞r❛❣✐ts ♦❝❤ ❢örs❧❛❣ ♣å ✈✐❞❛r❡✉t✈❡❝❦❧✐♥❣ ❛✈ r❡❣✉❧❛t♦r♥ ❣❡s ✐❦❛♣✐t❡❧ ✻ r❡s♣❡❦t✐✈❡ ✼✳

✶✳✺ ❆✈❣rä♥s♥✐♥❣❛r

❇❡❤♦✈❡t ❛✈ ❡♥ ♥② r❡❣✉❧❛t♦r är störst ❢ör ❛♣♣❧✐❦❛t✐♦♥❡r s♦♠ ❤❛♥t❡r❛r st♦r❛❜❡❧❛st♥✐♥❣❛r ❡❧❧❡r trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t✳ ❉❡ss❛ ❞r✐❢t❢❛❧❧ ❢ör❡❦♦♠♠❡r ♦❢t❛st ❞å ❢♦r✲❞♦♥❡t är st✐❧❧❛stå❡♥❞❡✳ På ❣r✉♥❞ ❛✈ ❞❡tt❛ ❤❛r ❢♦❦✉s ❧❛❣ts ♣å ❞❡ ❦r❛❢t✉tt❛❣s♦♠ ❛♥✈ä♥❞s ❞å ❢♦r❞♦♥❡t är st✐❧❧❛stå❡♥❞❡✳ ❊tt t✐❞✐❣❛r❡ ❡①❥♦❜❜ ✉t❢ört ♣å ❙❝❛✲♥✐❛ ✉t❛✈ ❙é❧❧❞❡♥ ❬✽❪ ✈✐s❛❞❡ ❞❡ss✉t♦♠ ♣å s✈år✐❣❤❡t❡r ❛tt ❡st✐♠❡r❛ ❧❛st❡r ♣å❦r❛❢t✉tt❛❣ ✉♥❞❡r ❦ör♥✐♥❣ ✈✐❧❦❡t ✈✐❞❛r❡ ♠♦t✐✈❡r❛r ✐♥r✐❦t♥✐♥❣❡♥ ♠♦t st✐❧❧❛stå✲❡♥❞❡ ❢♦r❞♦♥✳

❉❡♥ ♠♦❞❡❧❧ ö✈❡r ❞r✐✈❧✐♥❛♥ s♦♠ ❛♥✈ä♥❞s ✐♥♥❡❤å❧❧❡r ❢ör❡♥❦❧✐♥❣❛r ❥ä♠❢ört♠❡❞ ❡tt ✈❡r❦❧✐❣t s②st❡♠✳ ❉❡ss❛ ❢ör❡♥❦❧✐♥❣❛r ❜❡står ✐ ❛tt ❛①❧❛r ❛♥t❛s ✈❛r❛st❡❧❛ ♦❝❤ ❛tt t✐❞s❢ör❞rö❥♥✐♥❣❛r ♦❝❤ ❣❧❛♣♣ ❢örs✉♠♠❛s✳ ❉r✐✈❧✐♥❛♥ ❛♥s❡s ✈❛r❛ö♣♣❡♥ ✈✐❧❦❡t ✐♥♥❡❜är ❛tt ✢❡r❛ ❦♦♠♣♦♥❡♥t❡r ✐ ❞r✐✈❧✐♥❛♥ ❦❛♥ ❜♦rts❡s ✐❢rå♥✳❉❡tt❛ ❜❡s❦r✐✈s ②tt❡r❧✐❣❣❛r❡ ✐ ❦❛♣✐t❡❧ ✸✳

✶✳✻ ▼å❧❣r✉♣♣

▲äs❛r❡ ❛✈ r❛♣♣♦rt❡♥ ❛♥t❛s ❤❛ ❣r✉♥❞❧ä❣❣❛♥❞❡ ❦✉♥s❦❛♣❡r ✐ r❡❣❧❡rt❡❦♥✐❦✳

✸

✶✳✼ ❉❡✜♥✐t✐♦♥❡r

❉r✐✈❧✐♥❛ ✲ ❉❡t ❦♦♠♣♦♥❡♥ts②st❡♠ s♦♠ ❛♥✈ä♥❞s ❢ör ❛tt ♦♠✈❛♥❞❧❛ ❡♥❡r❣✐ t✐❧❧rör❡❧s❡ ✐ ❢♦r❞♦♥❡t✳ ❑♦♠♣♦♥❡♥t❡r s♦♠ ❛♥s❡s t✐❧❧❤ör❛ ❞r✐✈❧✐♥❛♥ är ♠♦t♦r✱ ❦♦♣♣✲❧✐♥❣✱ ✈ä①❡❧❧å❞❛✱ ❦❛r❞❛♥❛①❡❧✱ s❧✉t✈ä①❡❧✱ ❞r✐✈❤❥✉❧ ♦❝❤ ❦r❛❢t✉tt❛❣✳

Ö♣♣❡♥ ❞r✐✈❧✐♥❛ ✲ ▼❡❞ ö♣♣❡♥ ❞r✐✈❧✐♥❛ ♠❡♥❛s ❛tt ❞r✐✈❤❥✉❧❡♥ är ❢r✐❦♦♣♣❧❛❞❡❢rå♥ ♠♦t♦r♥✳ ❱✐❞ ö♣♣❡♥ ❞r✐✈❧✐♥❛ ❜❡❧❛st❛s ♠♦t♦r♥ ✐♥t❡ ❛✈ ✈ä①❡❧❧å❞❛✱ ❦❛r❞❛✲♥❛①❡❧✱ s❧✉t✈ä①❡❧✱ ❞r✐✈❤❥✉❧❡♥ ❡❧❧❡r ❞❡ ❦♦♣♣❧✐♥❣s❜❡r♦❡♥❞❡ ❦r❛❢t✉tt❛❣❡♥✳ Ö♣♣❡♥❞r✐✈❧✐♥❛ ❢ås ❞å ✈ä①❡❧❧å❞❛♥ är ✐ ♥❡✉tr❛❧ ✈ä①❡❧ ❡❧❧❡r ❞å ❦♦♣♣❧✐♥❣❡♥ är ♥❡❞tr②❝❦t✳❉å ❦♦♣♣❧✐♥❣❡♥ är ♥❡❞tr②❝❦t ❢ås ✐♥❣❡♥ ❜❡❧❛st♥✐♥❣ ✐❢rå♥ ✈ä①❡❧❧å❞❛♥ ♠❡♥ ❞å✈ä①❡❧❧å❞❛♥ är ✐ ♥❡✉tr❛❧ ✈ä①❡❧ ❜❡❧❛st❛s ♠♦t♦r♥ ä✈❡♥ ❛✈ ❞❡♥ ✐♥❣å❡♥❞❡ ❛①❡❧♥ t✐❧❧✈ä①❡❧❧å❞❛♥✳

❙❧✉t❡♥ ❞r✐✈❧✐♥❛ ✲ ▼❡❞ s❧✉t❡♥ ❞r✐✈❧✐♥❛ ♠❡♥❛s ❛tt ❞r✐✈❤❥✉❧❡♥ är ❦♦♣♣❧❛❞❡ t✐❧❧♠♦t♦r♥✳ ❉❡tt❛ ✐♥♥❡❜är ❛tt ❤❡❧❛ ❞r✐✈❧✐♥❛♥ ❜❡❧❛st❛r ♠♦t♦r♥✳

P❚❖ ✲ ❑r❛❢t✉tt❛❣ ❢ör❦♦rt❛s P❚❖ ❡❢t❡r ❞❡t ❡♥❣❡❧s❦❛ ♥❛♠♥❡t P♦✇❡r ❚❛❦❡✲❖✛✳

❊▼❙ ✲ ❊♥❣✐♥❡ ▼❛♥❛❣❡♠❡♥t ❙②st❡♠✳ ❉❡t st②rs②st❡♠ s♦♠ ❛♥✈ä♥❞s ❛✈ ❙❝❛♥✐❛❢ör ❛tt st②r❛ ♠♦t♦r♥s ❢✉♥❦t✐♦♥❡r✳

✶✳✽ ◆♦♠❡♥❦❧❛t✉r

❚❛❜❡❧❧ ✶✳✶✿ ◆♦♠❡♥❦❧❛t✉r

❙②♠❜♦❧ ❇❡s❦r✐✈♥✐♥❣ ❊♥❤❡tF ❑r❛❢t ◆T ▼♦♠❡♥t ◆♠J ❚rö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t ❦❣♠✷

ω ❱✐♥❦❡❧❤❛st✐❣❤❡t r❛❞

s

ω ❱✐♥❦❡❧❛❝❝❡❧❡r❛t✐♦♥ r❛❞

s✷

I ❯t✈ä①❧✐♥❣ ✲

✹

✷ ❚❡♦r✐

■ ❞❡t ❤är ❦❛♣✐t❧❡t ♣r❡s❡♥t❡r❛s ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦♠ ❦r❛❢t✉tt❛❣✱ t❡♦r✐♥ ❜❛❦♦♠ ❞❡♥r❡❣r❡ss✐♦♥s❛♥❛❧②s s♦♠ ❤❛r ❦rä✈ts ❢ör ❛tt ❡st✐♠❡r❛ trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t ♦❝❤ t❡♦r✐❢ör ❞❡♥ r❡❣❧❡rt❡❦♥✐❦ s♦♠ ❛♥✈ä♥❞s✳ ■♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦♠ ❦r❛❢t✉tt❛❣ ♣r❡s❡♥t❡r❛s ✐❛✈s♥✐tt ✷✳✶✱ t❡♦r✐ ❦r✐♥❣ ❞❡♥ r❡❣r❡ss✐♦♥s❛♥❛❧②s s♦♠ ❤❛r ❛♥✈ä♥ts t❛s ✉♣♣ ❛✈s♥✐tt✷✳✷ ♦❝❤ r❡❣❧❡rt❡❦♥✐❦ ❜❡s❦r✐✈s ✐ ❛✈s♥✐tt ✷✳✸✳

✷✳✶ ❑r❛❢t✉tt❛❣ ✲ P❚❖

❑r❛❢t✉tt❛❣ ❛♥✈ä♥❞s ❢ör ❛tt ❞r✐✈❛ ✉tr✉st♥✐♥❣ s♦♠ ♠♦♥t❡r❛s ♣å ❧❛st❜✐❧❡♥ ❛✈❡①t❡r♥❛ ♣å❜②❣❣❛r❡✳ ◆å❣r❛ ❡①❡♠♣❡❧ ♣å ✉tr✉st♥✐♥❣ s♦♠ ♦❢t❛ ♠♦♥t❡r❛s ♣å ❧❛st✲❜✐❧❛r ♦❝❤ ❞r✐✈s ❛✈ ❦r❛❢t✉tt❛❣ är ❦r❛♥❛r✱ ♣✉♠♣❛r✱ ❝❡♠❡♥t❜❧❛♥❞❛r❡✱ ❦②❧✲ ❡❧❧❡r❢r②s❛❣❣r❡❣❛t✳ ❈✐r❦❛ ✺✵ ✪ ❛✈ ❙❝❛♥✐❛s ❧❛st❜✐❧❛r ❧❡✈❡r❡r❛s ♠❡❞ ♥å❣♦♥ ❢♦r♠ ❛✈❦r❛❢t✉tt❛❣✳

❉❡t ✜♥♥s ♦❧✐❦❛ t②♣❡r ❛✈ ❦r❛❢t✉tt❛❣ s♦♠ ❧ä♠♣❛r s✐❣ ❢ör ♦❧✐❦❛ ✉tr✉st♥✐♥❣ ♦❝❤✢❡r❛ ♦❧✐❦❛ ❦r❛❢t✉tt❛❣ ❦❛♥ ✜♥♥❛s ♠♦♥t❡r❛❞❡ ♣å s❛♠♠❛ ❢♦r❞♦♥✳ ❇❡r♦❡♥❞❡ ♣å❦r❛❢t✉tt❛❣❡ts ♣❧❛❝❡r✐♥❣ ✐ ❞r✐✈❧✐♥❛♥ ❦♦♠♠❡r ❦r❛❢t✉tt❛❣❡t ❛tt ✈❛r❛ ❦♦♣♣❧✐♥❣s❜❡✲r♦❡♥❞❡ ❡❧❧❡r ❦♦♣♣❧✐♥❣s♦❜❡r♦❡♥❞❡✳ ❑r❛❢t✉tt❛❣❡♥s ♣❧❛❝❡r✐♥❣❛r ✈✐s❛s ✐ ✜❣✉r ✷✳✶✱t❛❜❡❧❧ ✷✳✶ ✐♥♥❡❤å❧❧❡r ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦♠ ❞❡ ❦r❛❢✉tt❛❣ s♦♠ ❙❝❛♥✐❛ ❧❡✈❡r❡r❛r✳

❚❛❜❡❧❧ ✷✳✶✿ ❉❛t❛ ❢ör ❦r❛❢t✉tt❛❣ s♦♠ ❣år ❛tt ❜❡stä❧❧❛ ♣å ❙❝❛♥✐❛

❚②♣▼❛①✐♠❛❧t ✈r✐❞♠♦♠❡♥t ❬◆♠❪

✭❡♥❧✐❣t ❬✶✵❪ ♦❝❤ ❬✶✶❪✮❊❉ ✻✵✵ ❑♦♣♣❧✐♥❣s♦❜❡r♦❡♥❞❡❊❑ ✶✷✵✵✲✷✵✵✵ ❑♦♣♣❧✐♥❣s♦❜❡r♦❡♥❞❡❊● ✹✸✵✲✶✷✵✵ ❑♦♣♣❧✐♥❣s❜❡r♦❡♥❞❡

❙♣❧✐ts❤❛❢t ▼♦t♦r♥s ♠❛①♠♦♠❡♥t ❑♦♣♣❧✐♥❣s❜❡r♦❡♥❞❡

✺

❋✐❣✉r ✷✳✶✿ ❑r❛❢t✉tt❛❣s♣❧❛❝❡r✐♥❣ ♣å ❡♥ ❧❛st❜✐❧✳ ❬✾❪

✷✳✶✳✶ ❑♦♣♣❧✐♥❣s♦❜❡r♦❡♥❞❡ ❦r❛❢t✉tt❛❣

❉❡ ❦♦♣♣❧✐♥❣s♦❜❡r♦❡♥❞❡ ❦r❛❢t✉tt❛❣❡♥ ♣å✈❡r❦❛s ✐♥t❡ ❛✈ ❦♦♣♣❧✐♥❣❡♥ ♦❝❤ ❦❛♥ ❞är✲❢ör ❛♥✈ä♥❞❛s ❜å❞❡ ✈✐❞ ❢ör✢②tt♥✐♥❣ ♦❝❤ ❞å ❢♦r❞♦♥❡t står st✐❧❧❛✳ ❋ör ✉tr✉st♥✐♥❣s♦♠ ❜❡❤ö✈❡r ❞r✐✈❛s ✉♥❞❡r ❦ör♥✐♥❣ ♠åst❡ ❡tt ❦♦♣♣❧✐♥❣s♦❜❡r♦❡♥❞❡ ❦r❛❢t✉tt❛❣❛♥✈ä♥❞❛s✳ ❉❡ ❦♦♣♣❧✐♥❣s♦❜❡r♦❡♥❞❡ ❦r❛❢t✉tt❛❣❡♥ st❥ä❧ stä♥❞✐❣t ♠♦t♦r❡✛❡❦t ❢ör❛tt ♣✉♠♣❛ r✉♥t ❤②❞r❛✉❧♦❧❥❛✳ ❬✶✷❪

❉❡ ❦♦♣♣❧✐♥❣s♦❜❡r♦❡♥❞❡ ❦r❛❢t✉tt❛❣❡♥ är✿

• ❊❉ ✲ ▼♦t♦r❞r✐✈❡t ❦r❛❢t✉tt❛❣

• ❊❑ ✲ ❙✈ä♥❣❤❥✉❧s❞r✐✈❡t ❦r❛❢t✉tt❛❣

✷✳✶✳✶✳✶ ▼♦t♦r❞r✐✈❡t ❦r❛❢t✉tt❛❣ ✲ ❊❉❉❡t ♠♦t♦r❞r✐✈♥❛ ❊❉ ❦r❛❢t✉tt❛❣❡t ♠♦♥t❡r❛s ♣å ♠♦t♦r♥s ❦❛♠❞r❡✈s❤✉s ♦❝❤ är❞❡s✐❣♥❛t ❢ör ❛tt ❞r✐✈❛ ❡♥ ❤②❞r❛✉❧♣✉♠♣✳ ❊❉ ❦r❛❢t✉tt❛❣❡t är ❛❧❧t✐❞ ♠❡❦❛♥✐s❦t

✻

✐♥❦♦♣♣❧❛t ❞✐r❡❦t ♣å ♠♦t♦r♥ ♦❝❤ ♠ö❥❧✐❣❤❡t ❛tt ❦♦♣♣❧❛ ✐❢rå♥ ❦r❛❢t✉tt❛❣❡t s❛❦✲♥❛s✳ ❉❡tt❛ ❧❡❞❡r t✐❧❧ ❛tt ❊❉ ❦r❛❢t✉tt❛❣❡t stä♥❞✐❣t st❥ä❧ ♠♦t♦r❡✛❡❦t ❢ör ❛tt♣✉♠♣❛ r✉♥t ❤②❞r❛✉❧♦❧❥❛♥ ✐ s②st❡♠❡t✳

❑r❛❢t✉tt❛❣❡t ❦❧❛r❛r ❜❡❧❛st♥✐♥❣❛r ♣å ✉♣♣ t✐❧❧ ✻✵✵ ◆♠✳ ❊❉ ❦r❛❢t✉tt❛❣❡t❛♥✈ä♥❞s ♣å ❣r✉♥❞ ❛✈ ❞❡♥ r❡❧❛t✐✈t ❧å❣❛ ♠❛①❜❡❧❛st♥✐♥❣❡♥ ❢rä♠st ❢ör ❛tt ❞r✐✈❛✉tr✉st♥✐♥❣ ♠❡❞ ❧å❣❛ ❜❡❧❛st♥✐♥❣❛r ❞å ❦r❛✈ ❛tt ✉tr✉st♥✐♥❣❡♥ s❦❛ ❦✉♥♥❛ ❞r✐✈❛sä✈❡♥ ✈✐❞ ❢ör✢②tt♥✐♥❣ ❛✈ ❢♦r❞♦♥❡t ✜♥♥s✳

◆å❣r❛ ❡①❡♠♣❡❧ ♣å ✈❛♥❧✐❣❛ ❛♥✈ä♥❞♥✐♥❣s♦♠rå❞❡♥ är ❦②❧ ♦❝❤ ❢r②str❛♥s♣♦r✲t❡r✱ t✐♣♣✢❛❦ ♦❝❤ ❧❛st✈ä①❧❛r❡✳

❋✐❣✉r ✷✳✷✿ ❙♥ö♣❧♦❣✱ ❡tt ❡①❡♠♣❡❧ ❞är ❊❉ ❦r❛❢t✉tt❛❣ ❛♥✈ä♥❞s❋♦t♦✿ ❉❛♥ ❇♦♠❛♥✱ ❙❝❛♥✐❛

✼

❋✐❣✉r ✷✳✸✿ ▲❛st❜✐❧ ♠❡❞ t✐♣♣✢❛❦✱ ❡tt ❡①❡♠♣❡❧ ❞är ❊❉ ❦r❛❢t✉tt❛❣ ❛♥✈ä♥❞s❋♦t♦✿ ●ör❛♥ ❲✐♥❦✱ ❙❝❛♥✐❛

✷✳✶✳✶✳✷ ❙✈ä♥❣❤❥✉❧s❞r✐✈❡t ❦r❛❢t✉tt❛❣ ✲ ❊❑❊❑ ❦r❛❢t✉tt❛❣❡t ❞r✐✈s ❛✈ s✈ä♥❣❤❥✉❧❡t ♦❝❤ ❦❧❛r❛r ❤ö❣r❡ ❜❡❧❛st♥✐♥❣❛r ä♥ ❊❉❦r❛❢t✉tt❛❣❡t ✭✶✷✵✵✲✷✵✵✵ ◆♠✮ ❬✶✵❪✳ ❊❑ ❦r❛❢t✉tt❛❣❡t ❤❛r ❡♥ ♠❡❦❛♥✐s❦ ✐♥❦♦♣♣✲❧✐♥❣ ♠❡♥ t✐❧❧ s❦✐❧❧♥❛❞ ❢rå♥ ❊❉ ❦r❛❢t✉tt❛❣❡t ❦❛♥ ❞❡t ❦♦♣♣❧❛s ✉r så ❛tt ♠♦t♦r♥✐♥t❡ ❜❡❤ö✈❡r ❞r✐✈❛ ❦r❛❢t✉tt❛❣❡t ❞å ❞❡t ✐♥t❡ ❛♥✈ä♥❞s✳ ❉❡tt❛ ❦r❛❢t✉tt❛❣ ❧ä♠♣❛rs✐❣ t✐❧❧ ✉tr✉st♥✐♥❣ s♦♠ s❦❛ ❞r✐✈❛s ✉♥❞❡r ❦ör♥✐♥❣ ♠❡❞ ❤ö❣r❡ ❜❡❧❛st♥✐♥❣ ä♥ ✈❛❞❊❉ ❦r❛❢t✉tt❛❣❡t ❦❧❛r❛r ❛✈✳ ◆å❣r❛ ❛♥❧❡❞♥✐♥❣❛r t✐❧❧ ❛tt ✐♥t❡ ❛❧❧t✐❞ ❛♥✈ä♥❞❛ s✐❣❛✈ ❊❑ ❦r❛❢t✉tt❛❣ är ❛tt ❞❡ är ❞②r❛r❡ ♦❝❤ ✈ä❣❡r ♠❡r ä♥ ❊❉ ❦r❛❢t✉tt❛❣✳

❊tt ❡①❡♠♣❡❧ ♣å ❛♥✈ä♥❞♥✐♥❣s♦♠rå❞❡♥ ❢ör ❊❑ ❦r❛❢t✉tt❛❣❡t är ❝❡♠❡♥t❜❧❛♥✲❞❛r❡✳

✽

❋✐❣✉r ✷✳✹✿ ❈❡♠❡♥t❜❧❛♥❞❛r❡ ❛♥✈ä♥❞❡r s✐❣ ♦❢t❛st ❛✈ ❊❑ ❦r❛❢t✉tt❛❣✳❋♦t♦✿ P❡❣❣② ❇❡r❣♠❛♥✱ ❙❝❛♥✐❛

✷✳✶✳✷ ❑♦♣♣❧✐♥❣s❜❡r♦❡♥❞❡ ❦r❛❢t✉tt❛❣

❉❡ ❦♦♣♣❧✐♥❣s❜❡r♦❡♥❞❡ ❦r❛❢t✉tt❛❣❡♥ ❦❛♥ ❡♥❞❛st ❛♥✈ä♥❞❛s ❞å ❢♦r❞♦♥❡t står st✐❧✲❧❛✳ ❉❡ ❦♦♣♣❧❛s ✐♥ ♠❡❞ ❤❥ä❧♣ ❛✈ ♣♥❡✉♠❛t✐❦✳ ❊❢t❡rs♦♠ ❞❡ ✐♥t❡ st❥ä❧ ♠♦t♦r❡✛❡❦t✉♥❞❡r ❦ör♥✐♥❣ är ❞❡ ❡tt ❜ättr❡ ❛❧t❡r♥❛t✐✈ ä♥ ❦♦♣♣❧✐♥❣s♦❜❡r♦❡♥❞❡ ❦r❛❢t✉tt❛❣❢ör så❞❛♥ ✉tr✉st♥✐♥❣ s♦♠ ❡♥❞❛st ❦örs ❞å ❢♦r❞♦♥❡t är st✐❧❧❛stå❡♥❞❡✳

❉❡ ❦♦♣♣❧✐♥❣s❜❡r♦❡♥❞❡ ❦r❛❢t✉tt❛❣❡♥ är✿

• ❊● ✲ ❱ä①❡❧❧å❞s❞r✐✈❡t ❦r❛❢t✉tt❛❣

• ❙♣❧✐ts❤❛❢t ✲ ❑❛r❞❛♥❛①❡❧❞r✐✈❡t ❦r❛❢t✉tt❛❣

✷✳✶✳✷✳✶ ❱ä①❡❧❧å❞s❞r✐✈❡t ❦r❛❢t✉tt❛❣ ✲ ❊●❊● ❦r❛❢t✉tt❛❣ ❞r✐✈s ❛✈ ✈ä①❡❧❧å❞❛♥ ♦❝❤ ❦❛♥ ❞är❢ör ❦ör❛s ♠❡❞ ♦❧✐❦❛ ✉t✈ä①❧✐♥❣❛r✳❉❡t ✜♥♥s tr❡ ♦❧✐❦❛ t②♣❡r ❛✈ ❊● ❦r❛❢t✉tt❛❣✿ s♣❧✐ts❤❛❢t✱ tr❛♥s❢❡r ❣❡❛r❜♦① ♦❝❤ ❞❡ts♦♠ ♠♦♥t❡r❛s ❞✐r❡❦t ♣å ✈ä①❡❧❧å❞❛♥✳ ■ ❞❡♥ ❤är r❛♣♣♦rt❡♥ ❦♦♠♠❡r ❊● ❜❡t②❞❛❞❡t s✐st♥ä♠❞❛✳ ❊tt ✈❛♥❧✐❣t ✈ä①❡❧❧å❞s♠♦♥t❡r❛t ❊●✲✉tt❛❣ ❦❧❛r❛r ❜❡❧❛st♥✐♥❣❛r♣å ✹✸✵✲✶✷✵✵ ◆♠ ❬✶✶❪✳

◆å❣r❛ ❡①❡♠♣❡❧ ♣å ❛♥✈ä♥❞♥✐♥❣s♦♠rå❞❡♥ ❢ör ❊● ❦r❛❢t✉tt❛❣❡t är ❦r❛♥❜✐❧✱s❧❛♠s✉❣❛r❡ ♦❝❤ ❜✉❧❦tr❛♥s♣♦rt❡r✳

✾

❋✐❣✉r ✷✳✺✿ ❇✉❧❦tr❛♥s♣♦rt❋♦t♦✿ ❉❛♥ ❇♦♠❛♥✱ ❙❝❛♥✐❛

✷✳✶✳✷✳✷ ❑❛r❞❛♥❛①❡❧❞r✐✈❡t ❦r❛❢t✉tt❛❣ ✲ ❙♣❧✐ts❤❛❢t❊tt s♣❡❝✐❛❧❧❢❛❧❧ ❛✈ ❊● ❦r❛❢t✉tt❛❣❡t är s♣❧✐ts❤❛❢t✉tt❛❣❡t s♦♠ är ❞❡t st❛r❦❛st❡❦r❛❢t✉tt❛❣❡t ♣å ❡♥ ❧❛st❜✐❧✳ ❊♥ ❢ör❞❡❧♥✐♥❣s❧å❞❛ st②r ♦♠ ❦r❛❢t❡♥ ♣å ❦❛r❞❛♥❛①✲❡❧♥ så ❛tt ❞❡♥ ❦r❛❢t s♦♠ ✈❛♥❧✐❣❡♥ ❛♥✈ä♥❞s ❢ör ❛tt ❞r✐✈❛ ❤❥✉❧❡♥ ✐stä❧❧❡t ♥år❦r❛❢t✉tt❛❣❡t ❬✽❪ ♦❝❤ ♠❛①❜❡❧❛st♥✐♥❣❡♥ ❜❡❣rä♥s❛s ❞är❢ör ❛✈ ♠♦t♦r♥s ♠❛①❡✛❡❦t✳❙♣❧✐ts❤❛❢t✉tt❛❣❡t ❛♥✈ä♥❞s ❞är❢ör ❞å st♦r❛ ❜❡❧❛st♥✐♥❣❛r s❦❛ ❤❛♥t❡r❛s ❡❢t❡rs♦♠♠❛♥ ❢år t✐❧❧❣å♥❣ t✐❧❧ ♠♦t♦r♥s ❤❡❧❛ ❡✛❡❦t✳

❋✐❣✉r ✷✳✻✿ ❙♦♣❜✐❧❋♦t♦✿ ❉❛♥ ❇♦♠❛♥✱ ❙❝❛♥✐❛

✶✵

◆å❣r❛ ❡①❡♠♣❡❧ ♣å ✉tr✉st♥✐♥❣ ❞är s♣❧✐ts❤❛❢t✉tt❛❣❡t ❛♥✈ä♥❞s är ❜❡t♦♥❣✲♣✉♠♣✱ ✢✐st✉❣❣ ♦❝❤ s♦♣❜✐❧✳ På s♦♣❜✐❧❛r ❛♥✈ä♥❞s s♣❧✐ts❤❛❢t✉tt❛❣❡t ❢ör ❛tt ❞r✐✈❛♣å❜②❣❣♥❛t✐♦♥❡♥ ♦❝❤ ❢r❛♠❞r✐✈♥✐♥❣❡♥ ❛✈ ❢♦r❞♦♥❡t s❦öts ♠❡❞ ❡tt ❤②❞r❛✉❧✐s❦ts②st❡♠ s♦♠ ❞r✐✈s ❛✈ ❡tt ❊❉ ❡❧❧❡r ❊❑ ✉tt❛❣ ❬✽❪✳

❋✐❣✉r ✷✳✼✿ ❇❡t♦♥❣♣✉♠♣❋♦t♦✿ ❏♦♥❛s ◆♦r❞✐♥✱ ❙❝❛♥✐❛

✷✳✷ ❘❡❣r❡ss✐♦♥s❛♥❛❧②s

■ ❦❛♣✐t❡❧ ✸ ❜❡s❦r✐✈s ❤✉r t✈å ❢②s✐❦❛❧✐s❦❛ st♦r❤❡t❡r✱ ✭trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t JPTO ♦❝❤❜❡❧❛st♥✐♥❣s♠♦♠❡♥t TLoad✮✱ är ♦❦ä♥❞❛ ❢ör s②st❡♠❡t✳ ❉❡♥ ❢r❛♠t❛❣♥❛ r❡❣✉❧❛✲t♦r♥ ❦rä✈❡r ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦♠ trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t❡t✳ ❉❡tt❛ ❧❡❞❡r t✐❧❧ ❛tt ❡♥ ❡st✐✲♠❡r✐♥❣ ❛✈ ✈är❞❡t ♣å trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t❡t ❦rä✈s✳ ❉❡t ❤är ❦❛♣✐t❧❡t ä♠♥❛r ❣❡ ❡♥❣r✉♥❞❧ä❣❣❛♥❞❡ ❦✉♥s❦❛♣ ✐♥♦♠ ❞❡♥ r❡❣r❡ss✐♦♥s❛♥❛❧②s s♦♠ ❦rä✈s ❢ör ❛tt ❡st✐✲♠❡r❛ trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t❡t✳ ❍✉r ❞❡♥♥❛ ❦✉♥s❦❛♣ ❛♥✈ä♥ts ✐ ❞❡tt❛ ❡①❛♠❡♥s❛r❜❡t❡❜❡s❦r✐✈s ✐ ❦❛♣✐t❡❧ ✹✳

❊♥ s✐❣♥❛❧♠♦❞❡❧❧ ❦❛♥ s❦r✐✈❛s ♣å ❡♥ ❧✐♥❥ärr❡❣r❡ss✐♦♥str✉❦t✉r ❡♥❧✐❣t ❡❦✈❛t✐♦♥✷ ❬✷✱ s✳✸✹✻❪✳

y[n] = ϕT [n] · θ[n] + e[n] ✭✷✮

❉är y[n] är ❡♥ ♠ät❜❛r s✐❣♥❛❧✱ θ[n] är ❡♥ ✈❡❦t♦r ♠❡❞ ❞❡ ♣❛r❛♠❡tr❛r s♦♠

✶✶

s❦❛ ❡st✐♠❡r❛s ♦❝❤ ϕ[n] är ❡♥ ♠ät✈❡❦t♦r ✭r❡❣r❡ss✐♦♥s✈❡❦t♦r♥✮ s♦♠ ❜❡s❦r✐✈❡rs❛♠❜❛♥❞❡t ♠❡❧❧❛♥ ♣❛r❛♠❡tr❛r♥❛ ✐ θ[n] ♦❝❤ y[n]✳ ❱❛r✐❛❜❡❧♥ e[n] r❡♣r❡s❡♥t❡r❛r♠ät❢❡❧✳ ❚✐❧❧stå♥❞s✈❡❦t♦r♥ θ ❛♥t❛s ✉♣♣❞❛t❡r❛s ❡♥❧✐❣t ❡❦✈❛t✐♦♥ ✸ ❞är ✈❡❦t♦r♥w ❜❡s❦r✐✈❡r ❢örä♥❞r✐♥❣❡♥ ❛✈ ✈är❞❡♥ ✐ ✈❡❦t♦r♥ θ✳ ❬✷❪

θ[n] = θ[n− 1] + w[n] ✭✸✮

❉❡t ✜♥♥s ✢❡r❛ ❦ä♥❞❛ ❛❧❣♦r✐t♠❡r s♦♠ ❦❛♥ ♦❜s❡r✈❡r❛ ❡♥ s✐❣♥❛❧ s♦♠ är❜❡s❦r✐✈❡♥ ❡♥❧✐❣t s✐❣♥❛❧♠♦❞❡❧❧❡♥ ✐ ❡❦✈❛t✐♦♥ ✷ ♦❝❤ ❡st✐♠❡r❛ t✐❧❧stå♥❞s✈❡❦t♦r♥θ✳ ◆å❣r❛ ❡①❡♠♣❡❧ är ♠✐♥st❛ ❦✈❛❞r❛t♠❡t♦❞❡♥✱ r❡❦✉rs✐✈ ♠✐♥st❛ ❦✈❛❞r❛t ♠❡❞❣❧ö♠s❦❡❢❛❦t♦r ✭❘▲❙✮ ♦❝❤ ❑❛❧♠❛♥✜❧t❡r ❬✷❪✳ ❉❡ss❛ ❛❧❣♦r✐t♠❡r ❜❡s❦r✐✈s ♥❡❞❛♥ ✐❛✈s♥✐tt❡♥ ✷✳✷✳✶✲✷✳✷✳✸✳ ❉❡ s②♠❜♦❧❡r s♦♠ ❛♥✈ä♥❞s ✐ r❡❣r❡ss✐♦♥s❛♥❛❧②s❡♥ ❜❡s❦r✐✈s✐ t❛❜❡❧❧ ✷✳✷✳

❆❧❣♦r✐t♠❡r♥❛ ♦❝❤ ❞❡ss ♥♦t❛t✐♦♥❡r är ❤✉✈✉❞s❛❦❧✐❣❡♥ s❦r✐✈♥❛ s♦♠ ✐ ❜♦❦❡♥❙✐❣♥❛❧❜❡❤❛♥❞❧✐♥❣ s❦r✐✈❡♥ ❛✈ ❋✳ ●✉st❛❢ss♦♥✱ ▲✳ ▲❥✉♥❣ ♦❝❤ ▼✳ ▼✐❧❧♥❡rt ❬✷❪✳

❚❛❜❡❧❧ ✷✳✷✿ ❉❡✜♥✐t✐♦♥❡r ❛✈ s②♠❜♦❧❡r ✐♥♦♠ r❡❣r❡ss✐♦♥s❛♥❛❧②s ✭❬✷❪ ♦❝❤ ❬✸❪✮

❙②♠❜♦❧ ❇❡s❦r✐✈♥✐♥❣θ ❚✐❧❧stå♥❞s✈❡❦t♦rP ❑♦✈❛r✐❛♥s♠❛tr✐s ❛✈ s❦❛tt♥✐♥❣s♦sä❦❡r❤❡t❡♥R ❑♦✈❛r✐❛♥s♠❛tr✐s ❛✈ ♦sä❦❡r❤❡t ✈✐❞ ♠ät♥✐♥❣❛rQ ❑♦✈❛r✐❛♥s♠❛tr✐s ❛✈ ✢✉❦t✉❛t✐♦♥❡r ✐ ♣r♦❝❡ss❡♥K ❋örstär❦♥✐♥❣s♠❛tr✐sϕ ❚✐❧❧stå♥❞s❢örä♥❞r✐♥❣s♠❛tr✐sy ❖❜s❡r✈❡r❛❞❡ ✈är❞❡♥ ✭▼ät♥✐♥❣❛r✮λ ●❧ö♠s❦❡❢❛❦t♦r ❢ör ❘▲❙Λ ●❧ö♠s❦❡❢❛❦t♦r✈❡❦t♦r ❢ör ❘▲❙

e❊♥ ❢ö❧❥❞ ❛✈ ♦❜❡r♦❡♥❞❡ st♦❦❛st✐s❦❛ ✈❛r✐❛❜❧❡r ♠❡❞ ♠❡❞❡❧✈är❞❡ ✵♦❝❤ ✈❛r✐❛♥s ❘ ❬✷❪

w ❋örä♥❞r✐♥❣s✈❡❦t♦r ❢ör ❞❡ ✈är❞❡♥ s♦♠ s❦❛ ❡st✐♠❡r❛s ✭✈❡❦t♦r♥ θ✮

✶✷

✷✳✷✳✶ ▼✐♥st❛ ❦✈❛❞r❛t♠❡t♦❞❡♥

❊tt ✈ä❧❦ä♥t ✈❡r❦t②❣ ❢ör ❡st✐♠❡r✐♥❣ är ♠✐♥st❛ ❦✈❛❞r❛t♠❡t♦❞❡♥✳ ▼å❧❡t ♠❡❞♠✐♥st❛ ❦✈❛❞r❛t♠❡t♦❞❡♥ är ❛tt ❤✐tt❛ ❞❡t ✈är❞❡ ♣å θ s♦♠ ♠✐♥✐♠❡r❛r ❢ör❧✉st✲❢✉♥❦t✐♦♥❡♥ s♦♠ ❜❡s❦r✐✈s ❛✈ ❡❦✈❛t✐♦♥ ✹✳ ❬✷❪

VN(θ) =1

N

N∑

n=1

(

y(n)− ϕT (n)θ

)2

✭✹✮

▼✐♥st❛ ❦✈❛❞r❛t♠❡t♦❞❡♥ är ❞♦❝❦ ❢rä♠st ❡♥ ♦✤✐♥❡✲♠❡t♦❞ ♦❝❤ ❦rä✈❡r ❡♥ st♦r♠ä♥❣❞ ♠ät✈är❞❡♥✳ ❉å ❡st✐♠❡r✐♥❣❡♥ ❜❡❤ö✈❡r t❛s ❢r❛♠ ✉♥❞❡r ❞r✐❢t är ❞❡♥♥❛♠❡t♦❞ ✐♥t❡ ♦♣t✐♠❛❧ ❞å ❞❡♥ ❜✉✛❡r s♦♠ ❦rä✈s s❦✉❧❧❡ ❦rä✈❛ ♠②❝❦❡t ❧❛❣r✐♥❣s♣❧❛ts✐ ❊▼❙✳

❉❡t ✜♥♥s ❞♦❝❦ ❛❧t❡r♥❛t✐✈ s♦♠ ✉t❢ör ♠✐♥st❛ ❦✈❛❞r❛t♠❡t♦❞❡♥ r❡❦✉rs✐✈t✳❉❡ss❛ ❛❧❣♦r✐t♠❡r ❦❛❧❧❛s ▲▼❙ ✭❧❡❛st ♠❡❛♥ sq✉❛r❡✮ ❡❧❧❡r ◆▲▼❙ ✭♥♦r♠❛❧✐③❡❞❧❡❛st ♠❡❛♥ sq✉❛r❡✮ ❬✷❪✳

❆❧❣♦r✐t♠✿ ▲❡❛st ▼❡❛♥ ❙q❛✉r❡

❘❡❦✉rs✐✈ ♣❛r❛♠❡t❡r✉♣♣❞❛t❡r✐♥❣ ❡♥❧✐❣t✿

θ[n] = θ[n− 1] +K[n] ·

(

y[n]− ϕT [n] · θ[n− 1]

)

✭✺✮

❉är ❢örstär❦♥✐♥❣s✈❡❦t♦r♥ ❑ ❢ör ▲▼❙ ❣❡s ❛✈✿

K[n] = µϕ(n) ✭✻✮

❋ör ◆▲▼❙ ❣❡s ❢örstär❦♥✐♥❣s✈❡❦t♦r♥ ❑ ❛✈✿

K[n] = µϕ(n)

α + |ϕ(n)|2✭✼✮

❉är ❛ är ❡♥ ❧✐t❡♥ ❦♦♥st❛♥t s♦♠ s❡r t✐❧❧ ❛tt ❛❧❣♦r✐t♠❡♥ ✉♥❞✈✐❦❡r ❞✐✈✐s✐♦♥♠❡❞ ♥♦❧❧✳

▲❡❛st ♠❡❛♥ sq✉❛r❡ är ❞❡♥ ✈❛♥❧✐❣❛st❡ ♦❝❤ ❡♥❦❧❛st❡ ❛❧❣♦r✐t♠❡♥ ❛tt ❛♥✈ä♥❞❛✈✐❞ ❦♦♥t✐♥✉❡r❧✐❣ ❛❞❛♣t❡r✐♥❣✳ ❉❡♥ är ❧ätt ❢ör ❛♥✈ä♥❞❛r❡ ❛tt stä❧❧❛ ✐♥ ❞å ❡♥❞❛stst❡❣❧ä♥❣❞❡♥ ♠ ❜❡❤ö✈❡r ❜❡stä♠♠❛s✳ ❬✷❪

✶✸

✷✳✷✳✷ ❘❡❦✉rs✐✈ ♠✐♥st❛ ❦✈❛❞r❛t ♠❡❞ ❣❧ö♠s❦❡❢❛❦t♦r ✲ ❘▲❙

❘❡❣r❡ss✐♦♥s♠♦❞❡❧❧❡r ❛✈ ❞❡♥ t②♣ s♦♠ ❜❡s❦r✐✈s ❛✈ ❡❦✈❛t✐♦♥ ✷ ❦❛♥ ❡st✐♠❡r❛s♠❡❞ ❤❥ä❧♣ ❛✈ ♠✐♥st❛❦✈❛❞r❛t❦r✐t❡r✐❡t ✐ ❡❦✈❛t✐♦♥ ✽ ❬✷❪✳

VN(θ) =N∑

t=1

(

y(n)− ϕT (n)θ

)2

✭✽✮

❉å ♣❛r❛♠❡tr❛r♥❛ s♦♠ s❦❛ ❡st✐♠❡r❛s ✈❛r✐❡r❛r ♠❡❞ t✐❞ ❦❛♥ ❦r✐t❡r✐❡t s❦r✐✲✈❛s ♦♠ ❢ör ❛tt ♣r✐♦r✐t❡r❛ ♥②❛r❡ ♠ät♥✐♥❣❛r ❤ö❣r❡ ä♥ ä❧❞r❡✳ ❉❡t r❡s✉❧t❡r❛♥❞❡t✐❞s❜❡r♦❡♥❞❡ ♠✐♥st❛ ❦✈❛❞r❛t❦r✐t❡r✐❡t ❦❛♥ ❞å s❦r✐✈❛s ❡♥❧✐❣t ❡❦✈❛t✐♦♥ ✾✳

VN(θ) =N∑

n=1

λt−n

(

y(n)− ϕT (n)θ

)2

✭✾✮

❉är ❧ är ❡♥ ❣❧ö♠s❦❡❢❛❦t♦r s♦♠ ❧❡❞❡r t✐❧❧ ❛tt ❣❛♠❧❛ ♠ät✈är❞❡♥ ❣❧ö♠s ❜♦rt❡①♣♦♥❡♥t✐❡❧❧t ❞å ✵❁❧❁✶✳

❆❧❣♦r✐t♠❡♥ ❣❡s ❛✈ ❡❦✈❛t✐♦♥❡r♥❛ ✶✵✲✶✷ ❡♥❧✐❣t ❬✷✱ s✳ ✸✺✷❪

❆❧❣♦r✐t♠✿ ❘❡❦✉rs✐✈ ♠✐♥st❛ ❦✈❛❞r❛t ♠❡❞ ❣❧ö♠s❦❡❢❛❦t♦r

❘❡❦✉rs✐✈ ♣❛r❛♠❡t❡r✉♣♣❞❛t❡r✐♥❣ ❡♥❧✐❣t✿

P [n] =P [n− 1]− P [n−1]·ϕ[n]·ϕT [n]·P [n−1]

λ+ϕT [n]·P [n−1]·ϕ[n]

λ✭✶✵✮

K[n] = P [n] · ϕ[n] ✭✶✶✮

θ[n] = θ[n− 1] +K[n] ·

(

y[n]− ϕT [n] · θ[n− 1]

)

✭✶✷✮

❋ör❞❡❧❡♥ ♠❡❞ ❞❡♥ r❡❦✉rs✐✈❛ ♠✐♥st❛ ❦✈❛❞r❛t♠❡t♦❞❡♥ är ❛tt ❞❡♥ är ❧ätt❛tt stä❧❧❛ ✐♥ ❞å ❡♥❞❛st ❣❧ö♠s❦❡❢❛❦t♦r♥ ❧ ❜❡❤ö✈❡r ❜❡stä♠♠❛s✳ ❉❡♥♥❛ ❢ör❞❡❧❦❛♥ ❞♦❝❦ ä✈❡♥ ✈❡r❦❛ s♦♠ ❡♥ ♥❛❝❦❞❡❧ ❞å ❣❧ö♠s❦❡❢❛❦t♦r♥ ♣å✈❡r❦❛r ❛❧❧❛ ✈är❞❡♥

✶✹

s♦♠ s❦❛ ❡st✐♠❡r❛s✳ ❉❡tt❛ ❧❡❞❡r t✐❧❧ ❛tt ❞❡♥ r❡❦✉rs✐✈❛ ♠✐♥st❛ ❦✈❛❞r❛t♠❡t♦❞❡♥❢✉♥❣❡r❛r ♠✐♥❞r❡ ❜r❛ ❞å ♣❛r❛♠❡tr❛r s♦♠ ä♥❞r❛s ♦❧✐❦❛ ❢♦rt ❡st✐♠❡r❛s✳

●❧ö♠s❦❡❢❛❦t♦r♥ s♦♠ ❜❡stä♠♠❡r ❤✉r ♠å♥❣❛ ✈är❞❡♥ s♦♠ s❦❛ ♠❡♠♦r❡r❛s❧❡❞❡r ä✈❡♥ t✐❧❧ ❡tt t✐❞s❜❡r♦❡♥❞❡ ✈✐❧❦❡t ❧❡❞❡r t✐❧❧ ❛tt ❞❡t ❦❛♥ ✉♣♣stå ♣r♦❜❧❡♠✈✐❞ ✈✐ss❛ ♣❡r✐♦❞t✐❞❡r ♣å ❜❡❧❛st♥✐♥❣❡♥✳ ▼❡❞ ♣❡r✐♦❞t✐❞❡r ♠❡♥❛s ❤är ❛tt ❜❡❧❛st✲♥✐♥❣❡♥ ❦❛♥ ✈❛r✐❡r❛ ♦❢t❛ ♦❝❤ ❦rä✈❡r ❞å ❡tt ❧å❣t ✈är❞❡ ♣å ❣❧ö♠s❦❡❢❛❦t♦r♥ ❢ör ❛tt❛❧❣♦r✐t♠❡♥ s❦❛ ❤✐♥♥❛ ❡st✐♠❡r❛ s②st❡♠❡t✳ ❊tt ❧å❣t ✈är❞❡ ♣å ❣❧ö♠s❦❡❢❛❦t♦r♥ ❦❛♥❢ör ❡tt ❧å♥❣s❛♠t s②st❡♠ ✐stä❧❧❡t ✐♥♥❡❜är❛ ❛tt s❦❛tt♥✐♥❣❡♥ ❜❧✐r ♦♥ö❞✐❣t ❦ä♥s❧✐❣♠♦t stör♥✐♥❣❛r✳ ❍✉r ❞❡tt❛ ✈är❞❡ ♣å ❣❧ö♠s❦❡❢❛❦t♦r♥ s❦❛ stä❧❧❛s ✐♥ ❜❧✐r ❞är❢ör❡♥ ❦♦♠♣r♦♠✐ss ♠❡❧❧❛♥ ❛tt ❤✐♥♥❛ ❡st✐♠❡r❛ rätt ♦❝❤ ❛tt ❦❧❛r❛ ❛✈ stör♥✐♥❣❛r✳

❋ör ❛tt ❢ör❜ättr❛ ❞❡♥ r❡❦✉rs✐✈❛ ♠✐♥st❛ ❦✈❛❞r❛t♠❡t♦❞❡♥ så ❛tt ❞❡♥ ❦❛♥❦❧❛r❛ ❛✈ ❛tt ♣❛r❛♠❡tr❛r s♦♠ s❦❛ ❡st✐♠❡r❛s ❦❛♥ ä♥❞r❛s ♦❧✐❦❛ ✜♥♥s ♦❧✐❦❛ ✈✐❞❛✲r❡✉t✈❡❝❦❧✐♥❣❛r ♣å ♠❡t♦❞❡♥✳ ❊♥ ❛✈ ❞❡ss❛ ♠❡t♦❞❡r ❛♥✈ä♥❞❡r s✐❣ ❛✈ ❡♥ ❣❧ö♠s✲❦❡❢❛❦t♦rs✈❡❦t♦r ❞är ✈❛r❥❡ ♣❛r❛♠❡t❡r s♦♠ s❦❛ ❡st✐♠❡r❛s ❢år ❡♥ ❡❣❡♥ ❣❧ö♠s❦❡✲❢❛❦t♦r ❡♥❧✐❣t ❡❦✈❛t✐♦♥ ✶✸✲✶✹ ❬✼❪✳

P [n] = Λ−1(I −K(n) · ϕT (n)) · P [n− 1] · Λ−1 ✭✶✸✮

Λ = diag[λ1, λ2, . . . , λn] ✭✶✹✮

✷✳✷✳✸ ❑❛❧♠❛♥✜❧t❡r

❑❛❧♠❛♥✜❧tr❡t är ❡tt ❦r❛❢t❢✉❧❧t ✈❡r❦t②❣ ❢ör ❡st✐♠❡r✐♥❣ ❛✈ ❞②♥❛♠✐s❦❛ s②st❡♠✳❑❛❧♠❛♥✜❧tr❡t ❦❛♥ ♠❡❞ ❤❥ä❧♣ ❛✈ ❦ä♥♥❡❞♦♠ ♦♠ s②st❡♠❡ts ❢②s✐❦❛❧✐s❦❛ ❡❦✈❛t✐♦✲♥❡r ♦❝❤ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦♠ ❤✉r s②st❡♠❡t t✐❞✐❣❛r❡ ✉♣♣trätt ❣❡ ❡tt ✈är❞❡ ♣å ✈❛❞❞❡ ♥✉✈❛r❛♥❞❡ t✐❧❧stå♥❞❡♥ st❛t✐st✐s❦t s❡tt ❜♦r❞❡ ✈❛r❛✳ ❑❛❧♠❛♥✜❧tr❡t är ♣r❡❝✐ss♦♠ ▲▼❙ ♦❝❤ ❘▲❙ ❡♥ r❡❦✉rs✐✈ ❛❧❣♦r✐t♠ s♦♠ ❦❛♥ ❛♥✈ä♥❞❛s ❢ör ❛tt ❡st✐♠❡r❛❡tt ♦❦ä♥t s②st❡♠✳ ❬✸❪

❆❧❣♦r✐t♠❡♥ ♣r❡s❡♥t❡r❛s ♥❡❞❛♥ ✐ ❡❦✈❛t✐♦♥ ✶✺✲✶✼✳ ❚❛❜❡❧❧ ✷✳✷ ✐♥♥❡❤å❧❧❡r ❡♥s②♠❜♦❧❜❡s❦r✐✈♥✐♥❣✳

✶✺

❆❧❣♦r✐t♠✿ ❑❛❧♠❛♥✜❧t❡r

❘❡❦✉rs✐✈ ♣❛r❛♠❡t❡r✉♣♣❞❛t❡r✐♥❣ ❡♥❧✐❣t✿

θ[n] = θ[n− 1] +K[n] ·

(

y[n]− ϕT [n] · θ[n− 1]

)

✭✶✺✮

K[n] =P [n− 1] · ϕ[n]

R[n] + ϕT [n] · P [n− 1] · ϕ[n]✭✶✻✮

P [n] = P [n− 1]−P [n− 1] · ϕ[n] · ϕT [n] · P [n− 1]

R[n] + ϕT [n] · P [n− 1] · ϕ[n]+Q[n] ✭✶✼✮

▼❛tr✐s❡♥ Q ❛✈❣ör ❤✉r ❦ä♥s❧✐❣ ❡st✐♠❡r✐♥❣❡♥ är ❛✈ ②ttr❡ stör♥✐♥❣❛r s♦♠✈❡r❦❛r ♣å s②st❡♠❡t✳❊tt störr❡ Q ✐♥♥❡❜är ❡♥ s♥❛❜❜❛r❡ ❡st✐♠❡r✐♥❣ ♠❡❞❛♥ ❡tt♠✐♥❞r❡ ✈är❞❡ ♣å Q ✐♥♥❡❜är ♠✐♥❞r❡ ❦ä♥s❧✐❣❤❡t ♠♦t stör♥✐♥❣❛r ❬✷❪✳

✷✳✸ ❘❡❣❧❡rt❡❦♥✐❦

❘❡❣❧❡rt❡❦♥✐❦ ❤❛♥❞❧❛r ♦♠ ❛tt ❢å ❡tt s②st❡♠ ❛tt ✉♣♣❢ör❛ s✐❣ ♣å ❡tt ö♥s❦❛t sätt❬✶❪✳ ❆tt ❢å ❡tt s②st❡♠ ❛tt ✉♣♣❢ör❛ s✐❣ s♦♠ ö♥s❦❛t ❦rä✈❡r ❛tt ♠❛♥ ♠❡❞ ❤❥ä❧♣ ❛✈❞❡♥ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ s♦♠ ✜♥♥s t✐❧❧❣ä♥❣❧✐❣✱ ❞✈s ♠ät❜❛r❛ s✐❣♥❛❧❡r✱ ä♥❞r❛r s②st❡♠❡tsst②rs✐❣♥❛❧❡r✳ ❊tt ♣r✐♥❝✐♣s②st❡♠ ✈✐s❛s ♥❡❞❛♥ ✐ ✜❣✉r ✷✳✽✳

❋✐❣✉r ✷✳✽✿ ❊tt ❡①❡♠♣❡❧ ♣å ❡tt s②st❡♠ ❙✳ ✉ är ❡♥ st②rs✐❣♥❛❧✱ ✈ ❡♥ störs✐❣♥❛❧s♦♠ ♣å✈❡r❦❛r s②st❡♠❡t ♦❝❤ ② är s②st❡♠❡ts ✉ts✐❣♥❛❧

✶✻

❖♠ ✉ts✐❣♥❛❧❡♥ y ❣år ❛tt ♠ät❛ ❦❛♥ ❞❡♥ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥❡♥ ❛♥✈ä♥❞❛s ❢ör ❛ttr❡❣❧❡r❛ s②st❡♠❡t✳ ▼❛♥ åt❡r❦♦♣♣❧❛r ❞å ✉ts✐❣♥❛❧❡♥ så ❛tt ❞❡♥ ♣å✈❡r❦❛r s②st❡✲♠❡ts ✐♥s✐❣♥❛❧ u✳ ❋ör❞❡❧❡♥ ♠❡❞ ❡tt åt❡r❦♦♣♣❧❛t s②st❡♠ är ❛tt s②st❡♠❡t ❦❛♥r❡❣❧❡r❛s ✉t❛♥ ❛tt r❡❣✉❧❛t♦r♥ ❜❡❤ö✈❡r ✈❡t❛ ❡①❛❦t ❤✉r ✉ts✐❣♥❛❧❡♥ ♣å✈❡r❦❛s ❛✈✐♥s✐❣♥❛❧❡♥✳ ❬✶❪

❉❡t ✜♥♥s ä✈❡♥ s✐❣♥❛❧❡r s♦♠ ♣å✈❡r❦❛r s②st❡♠❡t ✉t✐❢rå♥ s♦♠ ✐♥t❡ ❦❛♥ ❢ör✲✉ts❡s✳ ❉❡ss❛ ❦❛❧❧❛s störs✐❣♥❛❧❡r✳ ■ ❛✈s♥✐tt ✷✳✸✳✶ ♥❡❞❛♥ ❜❡s❦r✐✈s ❤✉r ❡♥ P■❉✲r❡❣✉❧❛t♦r ❢✉♥❣❡r❛r ♦❝❤ ❤✉r ❞❡♥ ✐ ❢♦r❞♦♥s❜r❛♥❝❤❡♥ ♦❢t❛ ❛♥♣❛ss❛s ❢ör ❛tt ❦❧❛r❛❛✈ ❛tt r❡❣❧❡r❛ ❡♥ störr❡ ✈❛r✐❛t✐♦♥ ❛✈ s②st❡♠✳ ❆✈s♥✐tt ✷✳✸✳✷ ❜❡s❦r✐✈❡r ✈❛❞ ❛❞✲❛♣t✐✈ r❡❣❧❡r✐♥❣ ✐♥♥❡❜är✳

✷✳✸✳✶ P■❉✲r❡❣✉❧❛t♦r

❊♥ ✈❛♥❧✐❣ ♠❡t♦❞ ❢ör ❛tt r❡❣❧❡r❛ ❡tt åt❡r❦♦♣♣❧❛t s②st❡♠ är P■❉✲r❡❣❧❡r✐♥❣✳ ▼❛♥❧åt❡r ❞å st②rs✐❣♥❛❧❡♥ u ✈❛r❛ ❡♥ ❢✉♥❦t✐♦♥ ❛✈ r❡❣❧❡r❢❡❧❡t e(k) s♦♠ ❜❡s❦r✐✈s ♥❡❞❛♥❛✈ ❡❦✈❛t✐♦♥ ✶✽✳

e(k) = r(k)− y(k) ✭✶✽✮

❉är e(k) är r❡❣❧❡r❢❡❧❡t✱ r(k) är ❞❡t ö♥s❦❛❞❡ ✈är❞❡t ♣å ✉ts✐❣♥❛❧❡♥ ♦❝❤ y(k)är ❞❡t ✈❡r❦❧✐❣❛ ✈är❞❡t ♣å ✉ts✐❣♥❛❧❡♥✳ ❬✶❪

❊♥ P■❉✲r❡❣✉❧❛t♦r ❢örsö❦❡r ♠✐♥✐♠❡r❛ r❡❣❧❡r❢❡❧❡t ❣❡♥♦♠ ❛tt r❡❣❧❡r❛ s②st❡✲♠❡t ♠❡❞ ❡♥ ♣r♦♣♦rt✐♦♥❡❧❧ ❞❡❧✱ ❡♥ ✐♥t❡❣r❡r❛♥❞❡ ❞❡❧ ♦❝❤ ❡♥ ❞❡r✐✈❡r❛♥❞❡ ❞❡❧✳ ❊♥❞✐✛❡r❡♥t✐❡❧❧ P■❉✲r❡❣✉❧❛t♦r ❛♥✈ä♥❞s ♦❢t❛ ✐♥♦♠ ❢♦r❞♦♥s❜r❛♥❝❤❡♥ ♦❝❤ ❜❡s❦r✐✈s❛✈ ❡❦✈❛t✐♦♥ ✶✾✳

u(k) = Kp∆e+KIe+KD∆(∆e) + u(k − 1) ✭✶✾✮

❉är ∆e ❜❡s❦r✐✈s ❡♥❧✐❣t ❡❦✈❛t✐♦♥ ✷✵ ♦❝❤ ∆(∆e) ❜❡s❦r✐✈s ❛✈ ❡❦✈❛t✐♦♥ ✷✶✿

∆e = e(k)− e(k − 1) ✭✷✵✮

∆(∆e) = e(k)− 2e(k − 1) + e(k − 2) ✭✷✶✮

✶✼

■ ❡❦✈❛t✐♦♥ ✶✾ är KP ✱ KI ♦❝❤ KD ❞❡ tr❡ ❢örstär❦♥✐♥❣s♣❛r❛♠❡tr❛r♥❛ s♦♠❛✈❣ör ❤✉r ♠②❝❦❡t ❡tt r❡❣❧❡r❢❡❧ s❦❛ ♣å✈❡r❦❛ ✐♥s✐❣♥❛❧❡♥✳ ❋ör ❡tt s②st❡♠ s♦♠ ✈❛✲r✐❡r❛r ♠②❝❦❡t ❜❡r♦❡♥❞❡ ♣å ❞r✐❢t❢❛❧❧ ❡❧❧❡r ②ttr❡ stör♥✐♥❣❛r ❦❛♥ ❦❛❧✐❜r❡r✐♥❣❡♥ ❛✈❞❡ss❛ ♣❛r❛♠❡tr❛r ✈❛r❛ s✈år✳ ❑❛❧✐❜r❡r✐♥❣❡♥ ❜❧✐r ❡♥ ❦♦♠♣r♦♠✐ss ♠❡❧❧❛♥ ❛tt ❢å❡♥ t✐❧❧rä❝❦❧✐❣t s♥❛❜❜ r❡❣❧❡r✐♥❣ ♠❡♥ s❛♠t✐❞✐❣t ✉♥❞✈✐❦❡r ❢ör st♦r❛ ❢örstär❦♥✐♥❣s✲❢❛❦t♦r❡r ❞å ❞❡tt❛ ❦❛♥ ✐♥♥❡❜är❛ ❛tt s②st❡♠❡t ❜❧✐r ✐♥st❛❜✐❧t ❬✶❪✳ ❊♥ ❧❛st❜✐❧s♠♦t♦rs♦♠ ❞r✐✈❡r ❡♥ ♦❦ä♥❞ ♣å❜②❣❣♥❛t✐♦♥ är ❡tt ❜r❛ ❡①❡♠♣❡❧ ❞är ❦❛❧✐❜r❡r✐♥❣❡♥ ❛✈❡♥ P■❉✲r❡❣✉❧❛t♦r är ❡♥ st♦r ✉t♠❛♥✐♥❣✳

❋ör ❛tt ❢å ❡♥ ❜ättr❡ r❡❣❧❡r✐♥❣ s♦♠ ❦❛♥ ❦❧❛r❛ ❛✈ ❡tt störr❡ ❛♥t❛❧ ♣å❜②❣❣♥❛✲t✐♦♥❡r ♦❝❤ ❞r✐❢t❢❛❧❧ ❦❛♥ P■❉✲r❡❣✉❧❛t♦r♥ ❛♥♣❛ss❛s ♠❡❞ ❤❥ä❧♣ ❛✈ ♣❛r❛♠❡t❡rst②r✲♥✐♥❣ ✭❡♥❣✳ ❣❛✐♥ s❝❤❡❞✉❧✐♥❣✮✳ P❛r❛♠❡t❡rst②r♥✐♥❣ ✐♥♥❡❜är ❛tt ❢örstär❦♥✐♥❣s♣❛✲r❛♠❡tr❛r♥❛ ä♥❞r❛s ❜❡r♦❡♥❞❡ ♣å ❤✉r st♦rt r❡❣❧❡r❢❡❧❡t ❡ är✳ ❉❡t ✐♥♥❡❜är ❛tt ❡ttst♦rt ❢❡❧ ❦❛♥ r❡❣❧❡r❛s ♠❡r ❛❣❣r❡s✐✈t ä♥ ❡tt ❧✐t❡t ❢❡❧ ♦❝❤ r❡s✉❧t❛t❡t ❜❧✐r ❛tt r❡❣❧❡✲r✐♥❣❡♥ ❜❧✐r ♠❥✉❦ s❛♠t✐❞✐❣t s♦♠ ❞❡♥ ❦❧❛r❛r ❛✈ s✈år❛r❡ ❞r✐❢t❢❛❧❧✳ ❉❡tt❛ ✐♥♥❡❜är❞♦❝❦ ❛tt ❛♥t❛❧❡t ♣❛r❛♠❡tr❛r s♦♠ s❦❛ ❦❛❧✐❜r❡r❛s ö❦❛r ❜❡r♦❡♥❞❡ ♣å ❤✉r ♠å♥❣❛st❡❣ s♦♠ ❛♥✈ä♥❞s ✐ ♣❛r❛♠❡t❡rst②r♥✐♥❣❡♥✳

❯tö✈❡r ❞❡ss❛ ♠❡t♦❞❡r ❦❛♥ ♠❛♥ s❥ä❧✈❦❧❛rt ❛♥✈ä♥❞❛ ♦❧✐❦❛ ❦❛❧✐❜r❡r✐♥❣❛r ❜❡✲r♦❡♥❞❡ ♣å ✈✐❧❦❡t s②st❡♠ s♦♠ s❦❛ r❡❣❧❡r❛s✳ ❊tt ❡①❡♠♣❡❧ ♣å ❤✉r ❞❡tt❛ ❦❛♥ s❡✉t ✐ ♣r❛❦t✐❦❡♥ är ❞❡t s②st❡♠ s♦♠ ❙❝❛♥✐❛ ❡r❜❥✉❞❡r ❞är ❦✉♥❞❡r♥❛ s❥ä❧✈❛ ❢år✈ä❧❥❛ ♠❡❧❧❛♥ tr❡ ♦❧✐❦❛ r❡❣✉❧❛t♦r✐♥stä❧❧♥✐♥❣❛r✳ ❉❡ss❛ är s♦❢t✱ ♥♦r♠❛❧ ♦❝❤ st✐✛❞är s♦❢t ✐♥♥❡❜är ♠✐♥❞r❡ ✈är❞❡♥ ♣å ❢örstär❦♥✐♥❣s♣❛r❛♠❡tr❛r♥❛ så ❛tt ❡♥ ♠❥✉❦✐♥s✈ä♥❣♥✐♥❣ ❢ås✳ ❙t✐✛ ✐♥♥❡❜är ❤ö❣r❡ ✈är❞❡♥ ✈✐❧❦❡t ❧❡❞❡r t✐❧❧ ❡♥ ❛❣❣r❡s✐✈❛r❡✐♥s✈ä♥❣♥✐♥❣ ✈✐❧❦❡t ❦❛♥ ❧❡❞❛ t✐❧❧ ✢❡r ♦❝❤ störr❡ ö✈❡r✲ ♦❝❤ ✉♥❞❡rs❧ä♥❣❛r ä♥ ❞❡❛♥❞r❛ t✈å ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡♥✳ ❉❡tt❛ ✈❛❧ ❛♥✈ä♥❞s ✈✐❞ s✈år❛ ❜❡❧❛st♥✐♥❣s❢❛❧❧ ❞är ❜❡❧❛st✲♥✐♥❣s♣r♦✜❧❡♥ ä♥❞r❛s s♥❛❜❜t ❡❧❧❡r ✈✐❞ s✈år❛❝❝❡❧❡r❡r❛❞❡ s②st❡♠✳ Pr♦❜❧❡♠❡t ♠❡❞❞❡♥♥❛ ❛❣❣r❡s✐✈❛ r❡❣❧❡r✐♥❣ är ❛tt r✐s❦❡♥ ❢ör ✐♥st❛❜✐❧✐t❡t ö❦❛r ♦♠ st✐✛✲r❡❣✉❧❛t♦r♥❛♥✈ä♥❞s ♣å ❡tt ❢ör ❧ättr❡❣❧❡r❛t s②st❡♠✳ ❇å❞❡ s♦❢t ♦❝❤ st✐✛ är s♣❡❝✐❛❧❧❢❛❧❧ s♦♠❛♥✈ä♥❞s ♦♠ ❞❡t ✜♥♥s s♣❡❝✐❡❧❧❛ ❦r❛✈ ♣å s②st❡♠❡ts r❡❣❧❡r✐♥❣✳ ◆♦r♠❛❧ ❢✉♥❣❡r❛r❜r❛ ❢ör ❞❡ ❛❧❧r❛ ✢❡st❛ ❢❛❧❧❡♥ ♦❝❤ är ♦❝❦så ❞❡♥ ♠❡st ❛♥✈ä♥❞❛ r❡❣✉❧❛t♦r♥ ❛✈ ❞❡tr❡ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡♥✳

✷✳✸✳✷ ❆❞❛♣t✐✈ r❡❣❧❡r✐♥❣

❊♥ ❛❞❛♣t✐✈ r❡❣✉❧❛t♦r är ❡♥ r❡❣✉❧❛t♦r ✈❛rs ❢örstär❦♥✐♥❣s♣❛r❛♠❡tr❛r ä♥❞r❛s✈✐❞ ❢örä♥❞r✐♥❣❛r ✐ ♣r♦❝❡ss❡♥✳ ❊♥ P■❉✲r❡❣✉❧❛t♦r ♠❡❞ ♣❛r❛♠❡t❡rst②r♥✐♥❣ är ❡♥s❧❛❣s ❛❞❛♣t✐✈ r❡❣✉❧❛t♦r ❞å ❢örstär❦♥✐♥❣s❢❛❦t♦r❡r♥❛ ä♥❞r❛s ♠❡❞ r❡❣❧❡r❢❡❧❡t ❬✻❪✳❉♦❝❦ så ❦rä✈❡r ❞❡♥♥❛ r❡❣✉❧❛t♦r ❡♥ ❦❛❧✐❜r❡r✐♥❣ ❛✈ ♣❛r❛♠❡tr❛r♥❛ ✈✐❞ ✈❛r❥❡ st❡❣✐ r❡❣❧❡r❢❡❧ s♦♠ ❛♥✈ä♥❞s✳ ❉❡t ✐♥♥❡❜är ❛tt ❞❡t är ♦♠ö❥❧✐❣t ❛tt s❦❛❧❛ ✉♣♣ ❞❡♥♥❛

✶✽

t②♣ ❛✈ r❡❣✉❧❛t♦r ❢ör ❛tt ❢å ❡♥ ✉♥✐❦ r❡❣❧❡r✐♥❣ ❢ör ✈❛r❥❡ ❡♥s❦✐❧❞ ♣å❜②❣❣♥❛t✐♦♥❞å ❞❡♥♥❛ ❦❛❧✐❜❡r✐♥❣ ❦rä✈❡r ❜å❞❡ t✐❞ ♦❝❤ ♣❡rs♦♥❛❧✳

❋ör ❛tt ❦✉♥♥❛ ❢å ❡♥ ✉♥✐❦ r❡❣❧❡r✐♥❣ s♦♠ är ♥är♠❛r❡ ❡♥ ♦♣t✐♠❛❧ r❡❣❧❡r✐♥❣ ❢ör❡tt ❡♥s❦✐❧t s②st❡♠ ❦rä✈s ❡♥ ❛♥♥❛♥ t②♣ ❛✈ ❛❞❛♣t✐✈ r❡❣❧❡r✐♥❣✳ ❊♥ så❞❛♥ t②♣ ❛✈❛❞❛♣t✐✈ r❡❣✉❧❛t♦r ❦❛♥ ✈❛r❛ ❡♥ ♠♦❞❡❧❧❜❛s❡r❛❞ r❡❣✉❧❛t♦r s♦♠ ❡st✐♠❡r❛r ✈är❞❡♥♣å ♦❦ä♥❞❛ ❢②s✐s❦❛ st♦r❤❡t❡r ❡❧❧❡r s✐❣♥❛❧❡r ♦❝❤ ❛♥✈ä♥❞❡r ❞❡♥♥❛ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❢ör❛tt r❡❣❧❡r❛ s②st❡♠❡t✳ ❊♥ så❞❛♥ r❡❣✉❧❛t♦r t❛s ❢r❛♠ ✐ ❦❛♣✐t❡❧ ✹✳ ❉❡tt❛ ❦rä✈❡r❞♦❝❦ ❛tt ❦✉♥s❦❛♣ ♦♠ ❤✉r s②st❡♠❡t ❦❛♥ ❜❡s❦r✐✈❛s ❛✈ ❡❦✈❛t✐♦♥❡r ✜♥♥s✳ ❊♥så❞❛♥ ♠♦❞❡❧❧ t❛s ❢r❛♠ ✐ ❦❛♣✐t❡❧ ✸✳

✷✳✹ ◆❡✇t♦♥s ❧❛❣

◆❡✇t♦♥s ❛♥❞r❛ ❧❛❣ ❢ör ✈r✐❞♥✐♥❣ ❦r✐♥❣ ❡♥ ❛①❡❧ ❜❡s❦r✐✈s ❛✈ ❡❦✈❛t✐♦♥ ✷✷✳

T = J · ω ✭✷✷✮

❉är T är ❡tt ✈r✐❞♠♦♠❡♥t✱ J är trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t ♦❝❤ ω är ❡♥ ✈✐♥❦❡❧❛❝❝❡✲❧❡r❛t✐♦♥✳

✶✾

✸ ❋♦r❞♦♥s♠♦❞❡❧❧

❊♥ ♠♦❞❡❧❧ ❛✈ ❞r✐✈❧✐♥❛♥ ❜❡s❦r✐✈s ✐ ❞❡tt❛ ❦❛♣✐t❡❧✳ ❱✐ss❛ ❢ör❡♥❦❧✐♥❣❛r ❤❛r ✉t✲❢örts ❢ör ❛tt ❢ör❡♥❦❧❛ s✐♠✉❧❡r✐♥❣✳ ■ ♠♦❞❡❧❧❡♥ t❛s t✐❧❧ ❡①❡♠♣❡❧ ✐♥❣❡♥ ❤ä♥s②♥t✐❧❧ ✉♣♣✈r✐❞♥✐♥❣ ❛✈ ❛①❧❛r ❡❧❧❡r ❣❧❛♣♣ ✐ ❞r✐✈❧✐♥❛♥✳ ▼♦t♦r♥ ❛♥t❛s ❡♥❞❛st ❞r✐✈❛❡tt ❦r❛❢t✉tt❛❣✳ ❉❡♥♥❛ ❢ör❡♥❦❧✐♥❣ ❜♦r❞❡ ✐♥t❡ ♣å✈❡r❦❛ r❡s✉❧t❛t❡t ♥ä♠♥✈ärt ❞å❢♦r❞♦♥❡t ❛♥t❛s ✈❛r❛ st✐❧❧❛stå❡♥❞❡ ♦❝❤ ❡♥❞❛st ❡tt ❛✈ ❦r❛❢t✉tt❛❣❡♥ ❛♥✈ä♥❞s✳

❆✈s♥✐tt ✸✳✶ ❜❡s❦r✐✈❡r ❞❡♥ ♠♦❞❡❧❧ s♦♠ ❤❛r ❛♥✈ä♥ts ✉♥❞❡r ❞❡tt❛ ❡①❛♠❡♥s✲❛r❜❡t❡ ♦❝❤ ❤✉r ❞❡♥♥❛ ♠♦❞❡❧❧ t♦❣s ❢r❛♠✳ ❆✈s♥✐tt ✸✳✷ ✈✐s❛r ❡tt ❛❧t❡r♥❛t✐✈t sätt❛tt ❛♥✈ä♥❞❛ s✐❣ ❛✈ ❢♦r❞♦♥s♠♦❞❡❧❧❡♥ ✈✐❧❦❡t s❦✉❧❧❡ ❦✉♥♥❛ ✈❛r❛ ❡♥ ✐♥tr❡ss❛♥t♠♦❞❡❧❧ ♦♠ ❡♥ ✉♣♣s❦❛❧♥✐♥❣ ❛✈ s②st❡♠❡t s❦❛❧❧ s❦❡✱ ❞✈s✳ ♦♠ ✢❡r❛ ❦r❛❢✉tt❛❣ s❦❛❞r✐✈❛s s❛♠t✐❞✐❣t ❡❧❧❡r ♦♠ ❛♥❞r❛ ♦❦ä♥❞❛ trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t t❛s ♠❡❞✳

✸✳✶ ▼♦❞❡❧❧

❋✐❣✉r ✸✳✶ ✈✐s❛r ♠♦❞❡❧❧str✉❦t✉r❡♥ ❢ör ❞❡♥ ö♣♣♥❛ ❞r✐✈❧✐♥❛ s♦♠ ❛♥✈ä♥❞s ♠❡❞❡tt ❊❉ ❦r❛❢t✉tt❛❣ ✭P❚❖✮ ✐♥❦♦♣♣❧❛t✳ ▼♦❞❡❧❧str✉❦t✉r❡♥ är ✉♣♣❜②❣❣❞ ❡♥❧✐❣t❞❡♥ ♠❡t♦❞ s♦♠ ♣r❡s❡♥t❡r❛s ✐ ❜♦❦❡♥ ▼♦❞❡❧✐♥❣ ❛♥❞ ❈♦♥tr♦❧ ♦❢ ❊♥❣✐♥❡s ❛♥❞

❉r✐✈❡❧✐♥❡s s❦r✐✈❡♥ ❛✈ ▲✳ ❊r✐❦ss♦♥ ♦❝❤ ▲✳ ◆✐❡❧s❡♥ ❬✹❪✳

❋✐❣✉r ✸✳✶✿ ❙❦✐ss ö✈❡r ❞r✐✈❧✐♥❛♥ ✈✐❞ ö♣♣❡♥ ❦♦♣♣❧✐♥❣

▼♦t♦r✿

❉å ❦♦♣♣❧✐♥❣❡♥ är ö♣♣❡♥ ❦♦♠♠❡r ♠♦♠❡♥t❡t TDemand ❛❝❝❡❧❡r❡r❛ ♠♦t♦r♥✱❦r❛❢t✉tt❛❣❡t ♦❝❤ ❞❡ ❤❥ä❧♣❛❣❣r❡❣❛t s♦♠ ❛♥✈ä♥❞s✳ ▼❡❞ ❤❥ä❧♣❛❣❣r❡❣❛t ♠❡♥❛s✢ä❦t✱ ❧✉❢t❦♦♥❞✐t✐♦♥❡r✐♥❣✱ ❧✉❢t❦♦♠♣r❡ss♦r✱ ❣❡♥❡r❛t♦r ♦❝❤ s❡r✈♦st②r♥✐♥❣✳ ❉❡♥♠♦♠❡♥t❢ör❧✉st s♦♠ ✉♣♣står ♣å ❣r✉♥❞ ❛✈ ❤❥ä❧♣❛❣❣r❡❣❛t❡♥ s❛♠❧❛s ✐ TLoss✳ ❊♥②tt❡r❧✐❣❛r❡ ❢ör❧✉st ❢ås ❛✈ ♠♦t♦r♥s ❢r✐❦t✐♦♥ s♦♠ ♥❡❞❛♥ ❜❡t❡❝❦♥❛s ❛✈ Tfr,e✳

Je · ωe = TDemand − TLoss − Tfr,e − Te ✭✷✸✮

✷✶

■ ❞❡♥ ❢♦r❞♦♥s♠♦❞❡❧❧ s♦♠ ❛♥✈ä♥❞s ❛♥t❛s ♠♦t♦r♥ ✈❛r❛ ❢ör❧✉st❢r✐✳ ❉❡tt❛ ✐♥✲♥❡❜är ❛tt ❡❦✈❛t✐♦♥ ✷✸ ❦❛♥ s❦r✐✈❛s ♦♠ t✐❧❧ ✷✹✳

Je · ωe = TDemand − Te ✭✷✹✮

❯t✈ä①❧✐♥❣✿

❯t✈ä①❧✐♥❣❡♥ ❜❡står ❛✈ ❞❡ ❦✉❣❣❤❥✉❧ s♦♠ ö✈❡r❢ör ♠♦t♦r♥s ♠♦♠❡♥t t✐❧❧ ❦r❛❢t✉t✲t❛❣❡t✳ ❯t✈ä①❧✐♥❣❡♥ ❜❡t❡❝❦♥❛s ♥❡❞❛♥ ❛✈ IPTO✳ ❯t✈ä①❧✐♥❣❡♥ ♣å✈❡r❦❛r ✈❛r✈t❛❧❡t❡♥❧✐❣t ❡❦✈❛t✐♦♥ ✶ s♦♠ ❜❡s❦r✐✈s ✐ ❦❛♣✐t❡❧ ✶✳✶ ♦❝❤ ♠♦♠❡♥t ❡♥❧✐❣t ❡❦✈❛t✐♦♥ ✷✺✳

TPTO = IPTO · Te ✭✷✺✮

P❚❖✿ ❑r❛❢t✉tt❛❣❡t ❜❡❧❛st❛s ❛✈ ❡tt ❡①t❡r♥t ♠♦♠❡♥t TLoad✳ ❙t♦r❛ ❡①t❡r♥❛❜❡❧❛st♥✐♥❣❛r ✭TLoad✮ ♦❝❤ ❤ö❣❛ trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t ✭JPTO✮ ♣å ❞❡♥ ✉tr✉st♥✐♥❣ s♦♠❦♦♣♣❧❛s ✐♥ ♣å ❦r❛❢t✉tt❛❣❡t är s✈år❛ ❢❛❧❧ ❢ör ❞❛❣❡♥s r❡❣✉❧❛t♦r❡r✳ ❉är❢ör ❤❛r ❡tt❢♦❦✉s ❧❛❣ts ♣å ❛tt ✉♥❞❡rsö❦❛ ❞❡ss❛ ❢❛❧❧✳ ◆❡✇t♦♥s ❛♥❞r❛ ❧❛❣ ✭❡❦✈❛t✐♦♥ ✷✷✮ ❢ör❦r❛❢t✉tt❛❣❡t ❦❛♥ s❦r✐✈❛s s♦♠ ❡❦✈❛t✐♦♥ ✷✻✳

JPTO · ωPTO = TPTO − TLoad ✭✷✻✮

❉är trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t❡t ❏P❚❖ ❜❡s❦r✐✈❡r trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t❡t ❢ör ❦r❛❢t✉tt❛❣❡t♦❝❤ ❞❡♥ ♣å❜②❣❣♥❛t✐♦♥ s♦♠ ❞r✐✈s ❛✈ ❦r❛❢t✉tt❛❣❡t✳

❘❡s✉❧t❡r❛♥❞❡ ❞r✐✈❧✐♥❡♠♦❞❡❧❧✿

■❢rå♥ ❡❦✈❛t✐♦♥❡r♥❛ ✷✹✲✷✻ ❦❛♥ ❡❦✈❛t✐♦♥ ✷✼ ❢ås✳ ❉❡♥♥❛ ❡❦✈❛t✐♦♥ är ❞❡♥ ♠♦✲❞❡❧❧ ö✈❡r ❞r✐✈❧✐♥❛♥ s♦♠ ❛♥✈ä♥❞s✳

Je · ωe = TDemand −TLoad

IPTO

−JPTO · ωe

I2PTO

✭✷✼✮

■ ❙❝❛♥✐❛s ❢♦r❞♦♥ är Je ♦❝❤ IPTO ❦ä♥❞❛ ❦♦♥st❛♥t❡r✳ ▼❡❞ ❤❥ä❧♣ ❛✈ s❡♥s♦r❡r❦❛♥ ✈❛r✈t❛❧❡t ♠ät❛s ♦❝❤ ✈❛r✈t❛❧s❛❝❝❡❧❡r❛t✐♦♥❡♥ ❜❡rä❦♥❛s✳ ❱✐rt✉❡❧❧❛ s❡♥s♦r❡r❛♥✈ä♥❞s ❢ör ❛tt ❢å ❢r❛♠ ✈✐❧❦❡t ♠♦♠❡♥t s♦♠ ♠♦t♦r♥ ❧❡✈❡r❡r❛r ✭TDemand✮✳ ❉❡❢②s✐❦❛❧✐s❦❛ st♦r❤❡t❡r♥❛ s♦♠ ♣å✈❡r❦❛r ❦r❛❢t✉tt❛❣❡♥ ✭trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t❡t JPTO

♦❝❤ ❜❡❧❛st♥✐♥❣s♠♦♠❡♥t❡t TLoad✮ ❦❛♥ ✐❞❛❣ ✐♥t❡ ♠ät❛s ♦❝❤ är ♦❦ä♥❞❛✳

✷✷

ωe ♦❝❤ TDemand är ♠ät❜❛r❛ ✈är❞❡♥✳ TLoad ♦❝❤ JPTO är ❞♦❝❦ ♦❦ä♥❞❛✳ ❊❦✲✈❛t✐♦♥ ✷✼ ❦❛♥ s❦r✐✈❛s ♦♠ t✐❧❧ ❡❦✈❛t✐♦♥ ✷✽ ❞å trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t❡♥ s❦r✐✈✐ts ✐❤♦♣❡♥❧✐❣t ❡❦✈❛t✐♦♥ ✷✾✳

J · ωe = TDemand −TLoad

IPTO

✭✷✽✮

J = Je +JPTO

I2PTO

✭✷✾✮

❉❡t ❢ör❡❦♦♠♠❡r ❡♥ t✐❞s❢ör❞ö❥♥✐♥❣ ❢rå♥ ❞❡t ❛tt ❡tt ♠♦♠❡♥t ❜❡❣ärs ❛✈r❡❣✉❧❛t♦r♥ t✐❧❧s ❛tt ❞❡t ♣å✈❡r❦❛r ♠♦t♦r❤❛st✐❣❤❡t❡♥ ♣å ❣r✉♥❞ ❛✈ ❢ör❜rä♥♥✐♥❣s✲♣r♦❝❡ss❡♥ ✐ ♠♦t♦r♥✳ ❊tt ♠✐♥st❛ ✈är❞❡ ❢ör ❞❡♥♥❛ t✐❞s❢ör❞rö❥♥✐♥❣ ❦❛♥ ❢ås ✉r❡❦✈❛t✐♦♥ ✸✵✳ ❬✺✱ s✳✷✾✹❪

τd,e =2

ncyl · ne

✭✸✵✮

❉är ncyl är ❛♥t❛❧❡t ❝②❧✐♥❞r❛r ♦❝❤ ne är ♠♦t♦r❤❛st✐❣❤❡t ✐ ✈❛r✈ ♣❡r s❡❦✉♥❞✳■ ♠♦❞❡❧❧❡♥ ❛♥t❛s ❞❡♥♥❛ t✐❞s❢ör❞rö❥♥✐♥❣❡♥ ✈❛r❛ ❦♦♥st❛♥t ✵✱✵✸ s✳

✸✳✷ ❆❧t❡r♥❛t✐✈ ♠♦❞❡❧❧

❊♥ ✈✐❞❛r❡✉t✈❡❝❦❧✐♥❣ ❛✈ ❞❡♥ ♠♦❞❡❧❧ s♦♠ t❛❣✐ts ❢r❛♠ ♦✈❛♥ ❢ås ♦♠ ❤ä♥s②♥ ❡♥❞❛stt❛s t✐❧❧ ❞❡t ❜❡❧❛st♥✐♥❣s♠♦♠❡♥t ♦❝❤ trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t s♦♠ ❢❛❦t✐s❦t ♣å✈❡r❦❛r♠♦t♦r♥ ♦❝❤ ❛❧❧tså ✐❣♥♦r❡r❛ ✉t✈ä①❧✐♥❣❛r✳ ❋ör❞❡❧❡♥ ♠❡❞ ❞❡tt❛ s②♥sätt är ❛tt♠❛♥ ❦❛♥ ❜♦rts❡ ❢rå♥ ✉t✈ä①❧✐♥❣❛r ✐ s②st❡♠❡t ♦❝❤ ❛tt ♠❛♥ ❢år ❡♥ ♠♦❞❡❧❧ s♦♠ är♦❜❡r♦❡♥❞❡ ❛✈ ❦r❛❢t✉tt❛❣st②♣ ♦❝❤ ä✈❡♥ ❜♦r❞❡ ❦❧❛r❛ ❛✈ ❦♦♠❜✐♥❛t✐♦♥❡r ❛✈ ✢❡r❛❦r❛❢t✉tt❛❣✳ ◆❛❝❦❞❡❧❡♥ ♠❡❞ ❞❡tt❛ s②♥sätt är ❛tt ♠❛♥ ❜♦rts❡r ❢rå♥ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✭✈är❞❡♥ ♣å ✉t✈ä①❧✐♥❣❛r✮ s♦♠ ♦❢t❛st ✜♥♥s ❛tt t✐❧❧❣å✳

❉❡♥♥❛ ♠♦❞❡❧❧ ❢ås ♦♠ ♠❛♥ ✉t❣år ❢rå♥ ❡❦✈❛t✐♦♥ ✷✽ ♦❝❤ ✈ä❧❥❡r ❛tt ❡♥❞❛sts❡ ♣å ❜❡❧❛st♥✐♥❣s♠♦♠❡♥t ♦❝❤ trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t ❢rå♥ ♠♦t♦r♥s s②♥✈✐♥❦❡❧✳ ❊♥r❡s✉❧t❡r❛♥❞❡ ❡❦✈❛t✐♦♥ ❦❛♥ ❞å s❦r✐✈❛s ❡♥❧✐❣t ❡❦✈❛t✐♦♥ ✸✶✳

JTotal · ωe = TDemand − TLoadTotal✭✸✶✮

❉❡tt❛ ✐♥♥❡❜är ❛tt ✉t✈ä①❧✐♥❣❛r ✐ s②st❡♠❡t s❡s s♦♠ ❡♥ ❞❡❧ ❛✈ ❜❡❧❛st♥✐♥❣s✲♠♦♠❡♥t❡t ♦❝❤ trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t❡♥✳ ❉❡♥♥❛ ♠♦❞❡❧❧ ❜♦r❞❡ ✈❛r❛ ❦ä♥s❧✐❣❛r❡ ♠♦t

✷✸

❣❧❛♣♣✱ t✐❞s❢örs❦❥✉t♥✐♥❣❛r ♦❝❤ ✉♣♣✈r✐❞♥✐♥❣ ❛✈ ❛①❧❛r ❞å ✐♥❣❡♥ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦♠✈✐❧❦❛ ❦r❛❢t✉tt❛❣ s♦♠ är ✐♥❦♦♣♣❧❛❞❡ ✜♥♥s✳

❉❡♥♥❛ ♠♦❞❡❧❧ ❤❛r ❞♦❝❦ ✐♥t❡ ❛♥✈ä♥ts ✐ ❞❡ s✐♠✉❧❡r✐♥❣❛r s♦♠ ❤❛r ✉t❢örts ✉t❛♥♣r❡s❡♥t❡r❛s ✐stä❧❧❡t s♦♠ ❡♥ ❛❧t❡r♥❛t✐✈ ♠♦❞❡❧❧ s♦♠ ❦❛♥ ❛♥✈ä♥❞❛s ✐ ❢r❛♠t✐❞❛❛r❜❡t❡✳

✷✹

✹ ❘❡❣❧❡r✐♥❣

■ ❦❛♣✐t❡❧ ✷✳✸ ❜❡s❦r❡✈s ❤✉r ❡tt s②st❡♠s s✐❣♥❛❧❡r ❦❛♥ ❢ör❞❡❧❛s✳ ■ ❞❡♥ ❤är r❛♣✲♣♦rt❡♥ så är s②st❡♠❡t s♦♠ r❡❣❧❡r❛s ❧❛st❜✐❧❡♥s ♠♦t♦r✳ ❯ts✐❣♥❛❧❡♥ är ♠♦t♦r✲✈❛r✈t❛❧ ✭ωe✮✱ st②rs✐❣♥❛❧❡♥ är ❜❡❣ärt ♠♦♠❡♥t ✭TDemand✮ ♦❝❤ ♥å❣r❛ ❡①❡♠♣❡❧♣å störs✐❣♥❛❧❡r s♦♠ ♣å✈❡r❦❛r ♠♦t♦r♥ är ②ttr❡ ❜❡❧❛st♥✐♥❣s♠♦♠❡♥t ✭TLoad✮ ♦❝❤trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t ✭JPTO✮✳

■ ❛✈s♥✐tt ✹✳✶ ❦♦♠♠❡r ❡tt ❢örs❧❛❣ ♣å ❡♥ ❛❞❛♣t✐✈ r❡❣❧✉❧❛t♦r ♣r❡s❡♥t❡r❛s✳❉❡♥♥❛ r❡❣✉❧❛t♦r ❦rä✈❡r ❡tt ✈är❞❡ ♣å s②st❡♠❡ts trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t ❢ör ❛tt r❡❣❧❡r❛❦♦rr❡❦t✳ ❉❡tt❛ är ✐❞❛❣ ❡tt ♦❦ä♥t ✈är❞❡ ♦❝❤ ❡tt ❢örs❧❛❣ ♣å ❤✉r ❞❡tt❛ ✈är❞❡ ❦❛♥❡st✐♠❡r❛s ♣r❡s❡♥t❡r❛s ✐ ❛✈s♥✐tt ✹✳✷✳

✹✳✶ ▼♦❞❡❧❧❜❛s❡r❛❞ r❡❣✉❧❛t♦r

❘❡❣✉❧❛t♦r♥ s♦♠ ❤❛r t❛❣✐ts ❢r❛♠ ❜②❣❣❡r ♣å ◆❡✇t♦♥s ❛♥❞r❛ ❧❛❣ ✭s❡ ❡❦✈❛t✐♦♥✷✷✮ ❢ör ✈r✐❞♥✐♥❣ ❦r✐♥❣ ❡♥ ❛①❡❧✳ ❱❛r✈t❛❧s❛❝❝❡❧❡r❛t✐♦♥sr❡❢❡r❡♥s❡♥ ❢ör ❡❦✈❛t✐♦♥✷✷ ❜❡stä♠s ❡♥❧✐❣t ❡❦✈❛t✐♦♥ ✸✷✳

ωref =ωref − ωe

τ✭✸✷✮

●❡♥♦♠ ❛tt r❡❣✉❧❛t♦r♥ ♣å ❞❡tt❛ sätt ♦❜s❡r✈❡r❛r ❢❡❧❡t ✐ ✈❛r✈t❛❧ ❥ä♠❢ört ♠❡❞❞❡ss r❡❢❡r❡♥s ❢ås ❡♥ r❡❣✉❧❛t♦r s♦♠ ❜❡❣är ❡♥ störr❡ ❛❝❝❡❧❡r❛t✐♦♥ ❞å ✈❛r✈t❛❧s❢❡❧❡tär st♦rt ♦❝❤ ♠✐♥❞r❡ ❛❝❝❡❧❡r❛t✐♦♥❡r ❞å ❢❡❧❡t är ❧✐t❡t✳ P❛r❛♠❡t❡r♥ τ ❛♥✈ä♥❞s ❢ör❛tt ❜❡stä♠♠❛ ❤✉r st♦r ♣å✈❡r❦❛♥ ✈❛r✈t❛❧s❢❡❧❡t s❦❛ ❤❛ ♦❝❤ ❦❛♥ ❞är❢ör ❛♥✈ä♥❞❛s❢ör ❛tt ❦♦♥tr♦❧❧❡r❛ ✐♥s✈ä♥❣♥✐♥❣st✐❞❡♥✳

❋ör ❛tt ❜❡rä❦♥❛ ❤✉r ♠♦♠❡♥t❡t s❦❛ ä♥❞r❛s ❥ä♠❢örs r❡❢❡r❡♥s❛❝❝❡❧❡r❛t✐♦♥❡♥s♦♠ ❢ås ✉r ❡❦✈❛t✐♦♥ ✸✷ ♠❡❞ ❞❡♥ ✉♣♣♠ätt❛ ❛❝❝❡❧❡r❛t✐♦♥❡♥ ❡♥❧✐❣t ❡❦✈❛t✐♦♥ ✸✸✳

∆Treq = J

(

ωref − ωe

)

= J

(

ωref − ωe

τ− ωe

)

✭✸✸✮

❉❡t t♦t❛❧❛ ♠♦♠❡♥t❡t ❡❢t❡r ❥✉st❡r✐♥❣ ❡♥❧✐❣t ♠♦♠❡♥tä♥❞r✐♥❣❡♥ s♦♠ ❜❡s❦r✐✈s✐ ❡❦✈❛t✐♦♥ ✸✸ ✈✐s❛s ✐ ❡❦✈❛t✐♦♥ ✸✹✳ ❋ör ❛tt ✉♥❞✈✐❦❛ ✇✐♥❞✉♣ ✐ r❡❣✉❧❛t♦r♥ ❛♥✲✈ä♥❞s ❞❡t ❢❛❦t✐s❦❛ ✉t♠♦♠❡♥t❡t ✐❢rå♥ ♠♦t♦r♥ ✭TDemand✮ s♦♠ ❢ör❡❣å❡♥❞❡ ♠♦✲♠❡♥ts✐❣♥❛❧ ✐stä❧❧❡t ❢ör ❞❡t ❛✈ r❡❣✉❧❛t♦r♥ ö♥s❦❛❞❡ ♠♦♠❡♥t❡t ✭Treq✮✳ ●❡♥♦♠

✷✺

❛tt ❛♥✈ä♥❞❛ TDemand t❛r r❡❣✉❧❛t♦r♥ ❤ä♥s②♥ t✐❧❧ ❞❡ ❜❡❣rä♥s♥✐♥❣❛r s♦♠ ✜♥♥s ✐♠♦t♦r♥ ♦❝❤ ❦❛♥ ✐♥t❡ ❜❡❣är❛ ❢ör st♦r❛ ❡❧❧❡r ❢ör ❧å❣❛ ♠♦♠❡♥t✳

Treq(k) = ∆T +Tdemand(k−1) = J ·

(

ωref − ωe

τ− ωe

)

+Tdemand(k−1) ✭✸✹✮

❉❡♥ r❡❣✉❧❛t♦r s♦♠ ❜❡s❦r✐✈s ❛✈ ❡❦✈❛t✐♦♥ ✸✹ är ❞♦❝❦ ❢ör ❛❣❣r❡ss✐✈ ♦❝❤ s②st❡✲♠❡t sätts ✐ s❥ä❧✈s✈ä♥❣♥✐♥❣❛r ❞å ❞❡♥♥❛ ❛♥✈ä♥❞s✳ ❋ör ❛tt ✉♥❞✈✐❦❛ ❞❡tt❛ s❦❛❧❛s❢örä♥❞r✐♥❣s❞❡❧❡♥ s♦♠ ❜❡s❦r✐✈s ✐ ❡❦✈❛t✐♦♥ ✸✸ ♦♠ ❡♥❧✐❣t ❡❦✈❛t✐♦♥ ✸✺✳

Treq(k) =h

γ· J ·

(

ωref − ωe

τ− ωe

)

+ Tdemand(k − 1) ✭✸✺✮

γ > h

❉är h är s②st❡♠❡ts s❛♠♣❧✐♥❣st✐❞ ♦❝❤ ❣ ❡♥ ♣❛r❛♠❡t❡r s♦♠ ❦❛♥ ä♥❞r❛s ❢ör❛tt ❛♥♣❛ss❛ r❡❣✉❧❛t♦r♥✳ ❉å ❣ är störr❡ ä♥ h ❦♦♠♠❡r r❡❣✉❧❛t♦r♥ t❛ ♠✐♥❞r❡♠♦♠❡♥tst❡❣ ❢ör ❛tt ♥å ö♥s❦❛❞ ❛❝❝❡❧❡r❛t✐♦♥ ✈✐❧❦❡t ✐♥♥❡❜är ❡♥ ❧å♥❣s❛♠♠❛r❡r❡❣❧❡r✐♥❣ ♠❡♥ ö❦❛❞ st❛❜✐❧✐t❡t✳

■ ❡❦✈❛t✐♦♥ ✸✺ är trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t❡t J ♦❦ä♥t ♦❝❤ ♣❛r❛♠❡tr❛r♥❛ τ ✱ γ ✈❛❧✲❜❛r❛✳ ❘❡❣✉❧❛t♦r♣❛r❛♠❡tr❛r♥❛ τ ♦❝❤ γ är ♣❛r❛♠❡tr❛r s♦♠ ❜❡s❦r✐✈❡r ❤✉r ❡tts②st❡♠ s❦❛ r❡❣❧❡r❛s ♦❝❤ ♦♠ trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t❡t J ✈♦r❡ ❦ä♥t s❦✉❧❧❡ ❞❡ss❛ ✈❛r❛❡♥❦❧❛ ❛tt ❦❛❧✐❜r❡r❛ ♠❡❞ ❤❥ä❧♣ ❛✈ s✐♠✉❧❡r✐♥❣ ❡❧❧❡r ❡①♣❡r✐♠❡♥t ✐ ❧❛st❜✐❧ ❜❡r♦❡♥❞❡♣å ✈✐❧❦❛ ❦r❛✈ s♦♠ ✜♥♥s ♣å s♥❛❜❜❤❡t ♦❝❤ st❛❜✐❧✐t❡t ❛✈ r❡❣❧❡r✐♥❣❡♥✳ ❊♥ ❡st✐♠❡✲r✐♥❣ ❛✈ trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t❡t J ❜❡❤ö✈❡r ❞är❢ör ✉t❢ör❛s✳ ■♥♦♠ ❞❡tt❛ ♣r♦❥❡❦t ❤❛r♣❛r❛♠❡tr❛r♥❛ stä❧❧ts ✐♥ ❡♥❧✐❣t t❛❜❡❧❧ ✹✳✶ ❡❢t❡r t❡st ❛✈ ♦❧✐❦❛ ♣❛r❛♠❡t❡r✈är❞❡♥✐ s✐♠✉❧❡r✐♥❣❛r✳

❚❛❜❡❧❧ ✹✳✶✿ ❘❡❣✉❧❛t♦r♣❛r❛♠❡tr❛r

P❛r❛♠❡t❡r ❱är❞❡❣ ✵✳✵✺τ ✵✳✹

❘❡❣✉❧❛t♦r♥ ❦❛♥ ❜❡s❦r✐✈❛s s♦♠ ❡♥ r❡❣✉❧❛t♦r ♣å ❞✐✛❡r❡♥t✐❡❧❧ P■ ❢♦r♠ ♦♠r❡❣❧❡r❢❡❧❡t ✈ä❧❥s ❡♥❧✐❣t ❡❦✈❛t✐♦♥ ✸✻ ♦❝❤ ♦♠ r❡❢❡r❡♥s❤❛st✐❣❤❡t❡♥ ❛♥t❛s ✈❛r❛❦♦♥st❛♥t✳ ❆tt r❡❢❡r❡♥s❤❛st✐❣❤❡t❡♥ är ❦♦♥st❛♥t är ❡tt r✐♠❧✐❣t ❛♥t❛❣❛♥❞❡ ❞å

✷✻

r❡❢❡r❡♥s❤❛st✐❣❤❡t❡♥ ✈ä❧❥s s♦♠ ❡tt ❦♦♥st❛♥t ✈är❞❡ ❛✈ ❛♥✈ä♥❞❛r❡♥✳ ❉♦❝❦ så ❦❛♥❞❡tt❛ ✈är❞❡ ä♥❞r❛s t✐❧❧ ❡tt ♥②tt ❦♦♥st❛♥t ✈är❞❡ ✉♥❞❡r ❦ör♥✐♥❣ ♦❝❤ r❡❣✉❧❛t♦r♥❢år ❞å ❡tt ❛♥♥❛t ✉ts❡❡♥❞❡ ❥✉st ✉♥❞❡r ✐♥s✈ä♥❣♥✐♥❣s❢ör❧♦♣♣❡t✳

e = ωref − ωe ✭✸✻✮

❉å ❦❛♥ ❡❦✈❛t✐♦♥ ✸✺ s❦r✐✈❛s ♦♠ ❡♥❧✐❣t ❡❦✈❛t✐♦♥ ✸✼✳

Treq(k) = Jh

γ · τ· e+ J

h

γ· e+ Tdemand(k − 1) ✭✸✼✮

❱✐❧❦❡t ❦❛♥ ❥ä♠❢ör❛s ♠❡❞ ❡❦✈❛t✐♦♥❡♥ ❢ör ❡♥ P■✲r❡❣✉❧❛t♦r✳ ❊❦✈❛t✐♦♥❡♥ ❢ör❡♥ P■✲r❡❣✉❧❛t♦r ❢ås ♦♠ ❞❡♥ ❞❡r✐✈❡r❛♥❞❡ ❞❡❧❡♥ t❛s ❜♦rt ❢rå♥ ❡❦✈❛t✐♦♥ ✶✾✳ ❊♥P■✲r❡❣✉❧❛t♦r ❜❡s❦r✐✈s ❞är❢ör ❛✈ ❡❦✈❛t✐♦♥ ✸✽✳

u(k) = Kp∆e+KIe+ u(k − 1) ✭✸✽✮

❉❡tt❛ ❜❡t②❞❡r ❛tt ❞❡♥ ♠♦❞❡❧❧❜❛s❡r❛❞❡ r❡❣✉❧❛t♦r s♦♠ ✉t✈❡❝❦❧❛ts är ❡♥❛❞❛♣t✐✈ P■✲r❡❣✉❧❛t♦r ♠❡❞ ♠♦❞❡❧❧❜❛s❡r❛❞❡ ✈❛❧ ❛✈ ❢örstär❦♥✐♥❣s♣❛r❛♠❡tr❛r♥❛❑P ♦❝❤ ❑■✳ ❑P ♦❝❤ ❑■ ❜❡stä♠♠s ❛❧❧tså ❡♥❧✐❣t ❡❦✈❛t✐♦♥❡r♥❛ ✸✾ ♦❝❤ ✹✵✳

Kp = Jh

γ✭✸✾✮

KI = Jh

γ · τ✭✹✵✮

✹✳✷ ❊st✐♠❡r✐♥❣ ❛✈ trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t

❊❢t❡rs♦♠ s②st❡♠❡ts trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t är ♦❦ä♥t ✐ ❡❦✈❛t✐♦♥ ✸✺ s♦♠ ❜❡s❦r✐✈❡rr❡❣✉❧❛t♦r♥ ♠åst❡ ❞❡tt❛ trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t ❡st✐♠❡r❛s✳ ❋♦r❞♦♥s♠♦❞❡❧❧❡♥ s♦♠ ❜❡✲s❦r✐✈s ❛✈ ❡❦✈❛t✐♦♥ ✷✼ s❦r✐✈s ♦♠ t✐❧❧ ❡❦✈❛t✐♦♥ ✹✶✳

Tdemand − Je · ωe =JPTO

I2PTO

· ωe +TLoad

IPTO

✭✹✶✮

✷✼

❊❦✈❛t✐♦♥ ✹✶ s❦r✐✈s s❡❞❛♥ ♦♠ ♣å ❡♥ ❧✐♥❥ärr❡❣r❡ss✐♦♥sstr✉❦t✉r ❡♥❧✐❣t s✐❣♥❛❧✲♠♦❞❡❧❧❡♥ ✐ ❡❦✈❛t✐♦♥ ✷✳ ❉å ❡❦✈❛t✐♦♥ ✹✶ s❦r✐✈s ♣å ❞❡♥♥❛ ❢♦r♠ ❦❛♥ y[n]✱ θ[n]♦❝❤ ϕ[n] ❜❡s❦r✐✈❛s ❛✈ ❡❦✈❛t✐♦♥❡r♥❛ ✹✷✲✹✹✳

y[n] = Tdemand[n]− Je[n] · ωe[n] ✭✹✷✮

θ[n] =

[

JEstimatePTO [n]

TEstimateLoad [n]

]

✭✹✸✮

ϕ[n] =

[

ωe[n]

I2PTO1

IPTO

]

✭✹✹✮

▼❡❞ ❤❥ä❧♣ ❛✈ ❞❡ss❛ ❡❦✈❛t✐♦♥❡r ❦❛♥ ❡♥ s❦❛tt♥✐♥❣ ❛✈ trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t❡t ♦❝❤❜❡❧❛st♥✐♥❣s♠♦♠❡♥t❡t s♦♠ ❜❡s❦r✐✈s ❛✈ t✐❧❧stå♥❞s✈❡❦t♦r♥ θ ✉t❢ör❛s ❞å ❡❦✈❛t✐♦♥✹✶ ❦❛♥ s❦r✐✈❛s ♣å ♠❛tr✐s❢♦r♠ ❡♥❧✐❣t ❡❦✈❛t✐♦♥ ✹✺✳

Tdemand[n]− Je[n] · ωe[n] =[

ωe[n]

I2PTO

1IPTO

]

[

JEstimatePTO [n]

TEstimateLoad [n]

]

✭✹✺✮

❋ör ❡st✐♠❡r✐♥❣❡♥ ❛♥✈ä♥❞❡s ❡tt ❦❛❧♠❛♥✜❧t❡r ❞å ❞❡t ❡♥❧✐❣t t❡♦r✐♥ är ❞❡tst❛r❦❛st❡ ❡st✐♠❡r✐♥❣s✈❡r❦t②❣❡t ❛✈ ❞❡ s♦♠ t♦❣s ✉♣♣ ✐ ❦❛♣✐t❡❧ ✷✳✷✳ ❑❛❧♠❛♥✜❧tr❡t❤❛r ❢ör❞❡❧❡♥ ❥ä♠❢ört ♠❡❞ ♠✐♥st❛ ❦✈❛❞r❛t♠❡t♦❞❡♥ ♦❝❤ ❘▲❙ ❛tt ❤ä♥s②♥ ❦❛♥t❛s t✐❧❧ ❛tt ✈är❞❡♥ ä♥❞r❛s ♦❜❡r♦❡♥❞❡ ❛✈ ✈❛r❛♥❞r❛✳

❑❛❧♠❛♥✜❧t❡ts ❢ör♠å❣❛ ❛tt t❛ ♦❧✐❦❛ ❤ä♥s②♥ t✐❧❧ ❢örä♥❞r✐♥❣❛r ♣å s②st❡♠❡ts♣❛r❛♠❡tr❛r s❡s s♦♠ ❡♥ ❢ör❞❡❧ ✐ ❞❡tt❛ ❢❛❧❧ ❞å trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t❡t ❛♥s❡s ❦✉♥✲♥❛ ✈❛r❛ ❦♦♥st❛♥t ✉♥❞❡r ❧ä♥❣r❡ st✉♥❞❡r ❢ör ❛tt s❡❞❛♥ s♥❛❜❜t ä♥❞r❛s t✐❧❧ ❡tt♥②tt ❦♦♥st❛♥t ✈är❞❡ ♠❡❞❛♥s ❜❡❧❛st♥✐♥❣s♠♦♠❡♥t❡t ❛♥s❡s ✈❛r✐❡r❛ ❜❡r♦❡♥❞❡ ♣å❞r✐❢t❢❛❧❧✳ ❊tt ♣r♦❜❧❡♠ ❤är är ✈✐❧❦❛ ♣❛r❛♠❡t❡r✈är❞❡♥ s♦♠ s❦❛ ❛♥✈ä♥❞❛s ❢ör ❛tt❦❧❛r❛ ❛✈ ❛❧❧❛ ♠ö❥❧✐❣❛ ❞r✐❢t❢❛❧❧ ♣å ❡tt st♦rt ❛♥t❛❧ ♦❧✐❦❛ s②st❡♠✳ ❊tt s✈❛r ♣å❤✉r ❑❛❧♠❛♥✜❧tr❡t s❦❛ stä❧❧❛s ✐♥ ❢ör ❛tt ❦❧❛r❛ ❛✈ ❞❡tt❛ ❜❡❤♦✈ ❤❛r t②✈ärr ✐♥t❡❤✉♥♥✐ts ♠❡❞ ✐ ❞❡tt❛ ❛r❜❡t❡✳ ■stä❧❧❡t ❤❛r ❑❛❧♠❛♥♣❛r❛♠❡tr❛r ❡♥❧✐❣t t❛❜❡❧❧ ✹✳✷❛♥✈ä♥ts✳

P❛r❛♠❡tr❛r♥❛ q✶ ♦❝❤ q✷ sätts s❡❞❛♥ ✐♥ ✐ ♠❛tr✐s❡♥ Q ❡♥❧✐❣t ❡❦✈❛t✐♦♥ ✹✻✳

Q =

[

q1 00 q2

]

✭✹✻✮

✷✽

❚❛❜❡❧❧ ✹✳✷✿ ❉❡s✐❣♥ ❛✈ ❑❛❧♠❛♥✜❧t❡r

P❛r❛♠❡t❡r ❱är❞❡q1 ✵✳✵✶q2 ✵✳✶✺R ✶c ✵✳✾✾✾

P (0) ✶✵✲✼

θ(0)

[

00

]

❑❛❧♠❛♥♣❛r❛♠❡tr❛r♥❛ ❤❛r t❛❣✐ts ❢r❛♠ ❣❡♥♦♠ s✐♠✉❧❡r✐♥❣❛r ✈✐❞ ❡tt ❜❡stä♠tt❡st❢❛❧❧✳ ❉❡tt❛ t❡st❢❛❧❧ ✐♥♥❡❜❛r ❛tt trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t❡t ❤ö❧❧s ❦♦♥st❛♥t ♣å ❡tt ✈är✲❞❡ ❛✈ ✽ ❦❣♠✷ ♦❝❤ ❡tt ❜❡❧❛st♥✐♥❣s♠♦♠❡♥t ♣å ♠♦t♦r♥ ✐ ❢♦r♠ ❛✈ ❡♥ ❢②r❦❛♥ts✈å❣s♦♠ ✈❛r✐❡r❛r ♠❡❧❧❛♥ ✸✻✵ ◆♠ ♦❝❤ ✶✵✾✵ ◆♠ ♠❡❞ ❡♥ ♣❡r✐♦❞t✐❞ ♣å ✹ s ✭s❡ ✜❣✉r✺✳✼✮✳

❋ör ❛tt st❛❜✐❧✐s❡r❛ ✉ts✐❣♥❛❧❡♥ ❛♥✈ä♥❞s ❡tt ❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧✜❧t❡r ❛✈ ❦❛❧♠❛♥✜❧t✲r❡ts ✉ts✐❣♥❛❧ ❡♥❧✐❣t ❡❦✈❛t✐♦♥ ✹✼✳

JEstimate[n] = JEstimate[n− 1] · c+ JKalman[n] · (1− c) ✭✹✼✮

❑♦♥st❛♥t❡♥ ❝ ❦❛♥ ✈❛r✐❡r❛s ❜❡r♦❡♥❞❡ ♣å ❤✉r st♦r ✈✐❦t ♠❛♥ ✈✐❧❧ ❧ä❣❣❛ ♣å♥②❛ ✈är❞❡♥ ❥ä♠❢ört ♠❡❞ ❣❛♠❧❛✳ ●❡♥♦♠ t❡st ✈❛❧❞❡s ❝ t✐❧❧ ✵✳✾✾✾ ✈✐❧❦❡t ✈✐s❛❞❡s✐❣ ❣❡ ❡♥ ❜r❛ ❜❛❧❛♥s ♠❡❧❧❛♥ st❛❜✐❧✐t❡t ♣å ✉ts✐❣♥❛❧❡♥ ♦❝❤ s♥❛❜❜❤❡t✳

❊tt ❧å❣t st❛rt✈är❞❡ ♣å ❦♦✈❛r✐❛♥s♠❛tr✐s❡♥ ❛✈ s❦❛tt♥✐♥❣s♦sä❦❡r❤❡t❡♥ ✭P ✮✐♥♥❡❜är ❛tt ❑❛❧♠❛♥✜❧tr❡t är ♥ö❥❞ ♠❡❞ ❡st✐♠❡r✐♥❣❡♥ ❢rå♥ ❜ör❥❛♥ ♦❝❤ ❣ör s♠åä♥❞r✐♥❣❛r ❢ör ❛tt ♥å s❧✉t✈är❞❡t✳ ❉❡tt❛ ❧❡❞❡r t✐❧❧ ❛tt ❞❡t t❛r ❧ä♥❣r❡ t✐❞ ❢ör ❡s✲t✐♠❡r✐♥❣❡♥ ❛tt ❦♦♥✈❡r❣❡r❛ ♠♦t s❧✉t✈är❞❡t ♠❡♥ ✐♥♥❡❜är ❛tt r✐s❦❡♥ ❛tt s♥❛❜❜t❢å ❡♥ ö✈❡rs❦❛tt♥✐♥❣ ❛✈ ✈är❞❡t ♠✐♥s❦❛r✳ ❍❛st✐❣❤❡t❡♥ ❛✈ ❡st✐♠❡r✐♥❣❡♥ ❤❛r ✈❛r✐t❧å❣t ♣r✐♦r✐t❡r❛❞ ❞å ❞❡ s②st❡♠ s♦♠ s❦❛ ❡st✐♠❡r❛s ♦❢t❛ ❦örs ✉♥❞❡r ❧ä♥❣r❡ t✐❞s✲♣❡r✐♦❞❡r ♦❝❤ ❞❡t är ❞å ❜ättr❡ ❛tt ❧å♥❣s❛♠t ö❦❛ r❡❣✉❧❛t♦r♥s ❛❣❣r❡ss✐✈✐t❡t t✐❧❧s❞❡t ♥år ❡♥ ❢ör❤♦♣♣♥✐♥❣s✈✐s ❦♦rr❡❦t ❡st✐♠❡r❛t ✈är❞❡ ♣å trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t❡t✳❊♥ ö✈❡rs❦❛tt♥✐♥❣ är ❜❡t②❞❧✐❣t ❢❛r❧✐❣❛r❡ ❢ör s②st❡♠❡t s♦♠ s❦❛ st②r❛s ❞å s♥❛❜✲❜❛ ❢örä♥❞r✐♥❣❛r ✐ ❜❡❣ärt ✈r✐❞♠♦♠❡♥t ❦❛♥ ❧❡❞❛ t✐❧❧ ♦s❝✐❧❧❛t✐♦♥❡r✳ ●❡♥♦♠ ❛tt❛♥✈ä♥❞❛ ❡tt störr❡ st❛rt✈är❞❡ ♣å ♠❛tr✐s❡♥ P ❦❛♥ ❤❛st✐❣❤❡t❡♥ ♣å ❡st✐♠❡r✐♥❣❡♥ö❦❛s ✈✐❧❦❡t ❦❛♥ ✈❛r❛ ö♥s❦✈ärt ♦♠ ❤❛st✐❣❤❡t❡♥ ❛✈ ❡st✐♠❡r✐♥❣❡♥ är ✈✐❦t✐❣✳ ❊tt❡①❡♠♣❡❧ ❞å ❡tt ❤ö❣t ✈är❞❡ ♣å P ❦❛♥ ❜❡❤ö✈❛s är ✈✐❞ s✈år❛❝❝❡❧❡r❡r❛❞❡ s②st❡♠❢ör ❛tt ✉♥❞✈✐❦❛ ❛tt ♠♦t♦r♥ ✐♥t❡ ❦❧❛r❛r ❛✈ ❛tt ❤å❧❧❛ ♠♦t♦r✈❛r✈t❛❧❡t ö✈❡r t♦♠✲

✷✾

❣å♥❣s✈❛r✈t❛❧❡t ♦❝❤ ❞är♠❡❞ r✐s❦❡r❛r ❛tt ♠♦t♦r♥ st❛♥♥❛r ✐♥♥❛♥ ❡st✐♠❡r✐♥❣❡♥❧②❝❦❛ts ❦♦♥✈❡r❣❡r❛ ♠♦t s❧✉t✈är❞❡t✳

✸✵

✺ ❘❡s✉❧t❛t

❋ör ❛tt ✉♥❞❡rsö❦❛ ❤✉r ❜r❛ ❡♥ r❡❣✉❧❛t♦r ❛✈ ❞❡♥ t②♣ s♦♠ ❤❛r ❣✐✈✐ts s♦♠ ❢ör✲s❧❛❣ ✐ ❞❡♥♥❛ r❛♣♣♦rt s❦✉❧❧❡ ❦✉♥♥❛ ❢✉♥❣❡r❛ ✐ ❡tt ✈❡r❦❧✐❣t s②st❡♠ ✉t❢ör❞❡s ❢örst❡①♣❡r✐♠❡♥t ♣å ❡♥ ❧❛st❜✐❧✳ ▼å❧❡t ♠❡❞ ❡①♣❡r✐♠❡♥t❡♥ ✈❛r ❛tt ✉♥❞❡rsö❦❛ ♦♠ trö❣✲❤❡ts♠♦♠❡♥t❡t s❦✉❧❧❡ ✈❛r❛ s②♥❧✐❣t ❡❧❧❡r ♦♠ ❜r✉s ✐ ❞❡t ✈❡r❦❧✐❣❛ s②st❡♠❡t s❦✉❧❧❡✐♥♥❡❜är❛ ❛tt ♠❡t♦❞❡♥ ✐♥t❡ s❦✉❧❧❡ ❦✉♥♥❛ ❢✉♥❣❡r❛ ✐ ✈❡r❦❧✐❣❤❡t❡♥✳ ❘❡s✉❧t❛t❡♥ ❛✈❞❡ss❛ ❡①♣❡r✐♠❡♥t ✈✐s❛s ♥❡❞❛♥ ✐ ❛✈s♥✐tt ✺✳✶✳

◆är ❡①♣❡r✐♠❡♥t❡♥ t②❞❞❡ ♣å ❛tt ❞❡t s❦✉❧❧❡ ✈❛r❛ ♠ö❥❧✐❣t ❛tt ❛♥✈ä♥❞❛ r❡✲❣❧❡r✐♥❣ ❛✈ ❞❡♥ t②♣ s♦♠ ❢ör❡s❧❛❣✐ts ✐ ❦❛♣✐t❡❧ ✹ ✉t❢ör❞❡s s✐♠✉❧❡r✐♥❣❛r ❢ör ❛tt✉♥❞❡rsö❦❛ r❡❣✉❧❛t♦r♥s ♣r❡st❛♥❞❛ ♦❝❤ ❤✉r s②st❡♠❡ts ♦❦ä♥❞❛ trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t❦❛♥ ❡st✐♠❡r❛s✳ ❊♥ ❡st✐♠❡r✐♥❣s♠❡t♦❞ s♦♠ ❧②❝❦❛❞❡s ❡st✐♠❡r❛ s②st❡♠❡t ✈✐s❛❞❡s✐❣ ✈❛r❛ s✈år ❛tt t❛ ❢r❛♠✳ ❘❡s✉❧t❛t❡♥ ❛✈ s✐♠✉❧❡r✐♥❣❛r♥❛ ✈✐s❛s ✐ ❛✈s♥✐tt ✺✳✷✳

✺✳✶ ❊①♣❡r✐♠❡♥t

❋ör ❛tt ✉♥❞❡rsö❦❛ ♦♠ ❡tt trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t ❦❛♥ ❤✐tt❛s ✐ ❡tt ✈❡r❦❧✐❣t s②st❡♠ ✉t✲❢ör❞❡s t❡st❡r ♣å ❧❛st❜✐❧✳ ❊st✐♠❡r✐♥❣ ❛✈ trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t❡t ✉t❢ör❞❡s ✐♥t❡ ❞✐r❡❦t✉♥❞❡r ❦ör♥✐♥❣ ✉♥❞❡r ❞❡ss❛ ❡①♣❡r✐♠❡♥t ✉t❛♥ t♦❣s ❢r❛♠ ❡❢t❡råt✳

✺✳✶✳✶ Ö♣♣❡♥ ❞r✐✈❧✐♥❛

■ ❞❡t ❢örst❛ ❡①♣❡r✐♠❡♥t❡t ❛♥✈ä♥❞❡s ❡♥ ❧❛st❜✐❧ ♠❡❞ ö♣♣❡♥ ❞r✐✈❧✐♥❛ ❞är ♠♦✲t♦r♥s r❡❢❡r❡♥s✈❛r✈t❛❧ ä♥❞r❛❞❡s ♠❛♥✉❡❧❧t ❢ör ❛tt ❢r❛♠❦❛❧❧❛ ✈❛r✈t❛❧ss❢örä♥❞✲r✐♥❣❛r ✐ s②st❡♠❡t✳ ❘❡❢❡r❡♥s✈❛r✈t❛❧❡t ♦❝❤ ❞❡t ✈❡r❦❧✐❣❛ ✈❛r✈t❛❧❡t ✈✐s❛s ✐ ✜❣✉r✺✳✶✳ ❯♥❞❡r ❞❡tt❛ ❞r✐❢t❢❛❧❧ ❜ör trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t❡t ✈❛r❛ ❦♦♥st❛♥t ❞å s②st❡♠❡ts❦♦♠♣♦♥❡♥t❡r ✐♥t❡ ä♥❞r❛s✳ ❚rö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t❡t ✈✐❞ ö♣♣❡♥ ❞r✐✈❧✐♥❛ ❜♦r❞❡ ✈❛r❛♥är❛ ♠♦t♦r♥s trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t s♦♠ ❧✐❣❣❡r ♠❡❧❧❛♥ ✹ ♦❝❤ ✺ ❦❣♠✷✳

✸✶

0 20 40 60 80 100 120 14080

100

120

140

160

180

200

220

Tid [s]

Varvtal,ω[rad/s]

MeasuredReference

❋✐❣✉r ✺✳✶✿ ▼♦t♦r❤❛st✐❣❤❡t ✐❢rå♥ ❡①♣❡r✐♠❡♥t ♣å ❧❛st❜✐❧ ❞är ✈❛r✈t❛❧sr❡❢❡r❡♥s❡♥ä♥❞r❛s ✉♥❞❡r ❦ör♥✐♥❣✱ ö♣♣❡♥ ❞r✐✈❧✐♥❛

❖♠ ❡❦✈❛t✐♦♥ ✷✽ ❛♥s❡s stä♠♠❛ ❦❛♥ trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t❡t ❜❡stä♠♠❛s ✉t✐❢rå♥✜❣✉r ✺✳✷ ❞å trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t❡t ♠♦ts✈❛r❛r ❧✉t♥✐♥❣❡♥✳

✸✷

−150 −100 −50 0 50 100 150 200 250−600

−400

−200

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

Acceleration av motorhastighet, ω [rad/s2]

Begart

moment,

TDemand[N

m]

MätvärdenKurvanpassning

❋✐❣✉r ✺✳✷✿ ❇❡❣ärt ♠♦♠❡♥t s♦♠ ❢✉♥❦t✐♦♥ ❛✈ ✈❛r✈t❛❧s❛❝❝❡❧❡r❛t✐♦♥ ✐❢rå♥ ❡①♣❡r✐✲♠❡♥t ♠❡❞ ö♣♣❡♥ ❞r✐✈❧✐♥❛

■ ♠ät♥✐♥❣❛r♥❛ s♦♠ ✈✐s❛s ✐ ✜❣✉r ✺✳✷ s②♥s ❡♥ ❧✉t♥✐♥❣ t②❞❧✐❣t✳ ❉❡t ❣år ❞♦❝❦❛tt ❛♥❛ ②tt❡r❧✐❣❛r❡ ❡♥ ❧✉t♥✐♥❣ ✈✐❞ ❜❡❣ärt ♠♦♠❡♥t ♥är❛ ✽✵ ◆♠ s❛♠t ✈✐❞ s❧ä♣✲♥✐♥❣ ❛✈ ♠♦t♦r♥✳ ❉❡♥♥❛ ❧✉t♥✐♥❣ är ♥är❛ ♥♦❧❧ ♦❝❤ ❜❡r♦r ♣å ♠ät❢❡❧ ✈✐❞ s❡♥s♦r❡r♥❛♦❝❤ ❛tt ♠♦t♦r❤❛st✐❣❤❡t❡♥ ✐♥t❡ ❤å❧❧s ❤❡❧t ❦♦♥st❛♥t ♦❝❤ ♠♦t♦r♥ ❞å ❛r❜❡t❛r ♠❡❞s♠å ❢örä♥❞r✐♥❣❛r ♣å ♠♦t♦r❤❛st✐❣❤❡t❡♥ ❢ör ❛tt ❦♦♠♣❡♥s❡r❛ ❢ör ❞❡tt❛✳

▼❡❞ ❤❥ä❧♣ ❛✈ ▼❆❚▲❆❇ ❢✉♥❦t✐♦♥❡♥ ♣♦❧②✜t t♦❣s ❡♥ ❧✉t♥✐♥❣ ❢ör ❣r❛❢❡♥❢r❛♠✳ ❊♥❧✐❣t ❧✉t♥✐♥❣❡♥ s❦❛ trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t❡t ✈❛r❛ ✹✳✹ ❦❣♠✷ ✈✐❧❦❡t stä♠♠❡r❜r❛ ♠❡❞ ❞❡t ✈❡r❦❧✐❣❛ ✈är❞❡t ❢ör ♠♦t♦r♥ s♦♠ ❧✐❣❣❡r ♠❡❧❧❛♥ ✹ ♦❝❤ ✺ ❦❣♠✷✳

✺✳✶✳✷ ❱❛r✐❡r❛♥❞❡ ❞r✐✈❧✐♥❛

■ ❞❡t ❛♥❞r❛ ❡①♣❡r✐♠❡♥t❡t s♦♠ ✉t❢ör❞❡s ❤ö❧❧s ✈❛r✈t❛❧sr❡❢❡r❡♥s❡♥ ❦♦♥st❛♥t ♠❡✲❞❛♥ s②st❡♠❡t ä♥❞r❛❞❡s ❢rå♥ stä♥❣❞ ❞r✐✈❧✐♥❛ t✐❧❧ ö♣♣❡♥ ❞r✐✈❧✐♥❛ ♠❡❞ ❤❥ä❧♣ ❛✈❦♦♣♣❧✐♥❣❡♥✳ ❋♦r❞♦♥❡t ❤✐♥❞r❛s ❢rå♥ ❛tt rör❛ ♣å s✐❣ ♠❡❞ ❤❥ä❧♣ ❛✈ ♣❛r❦❡r✐♥❣s✲❜r♦♠s❡♥✳ ❘❡s✉❧t❛t❡t ♣å ✈❛r✈t❛❧❡t ❦❛♥ s❡s ✐ ✜❣✉r ✺✳✸✳

✸✸

120 130 140 150 160 170 180 190 200106

108

110

112

114

116

118

120

122

124

Tid [s]

Varvtal,ω[rad/s]

MeasuredReference

❋✐❣✉r ✺✳✸✿ ❚❡st ♣å ❧❛st❜✐❧ ❞är s②st❡♠❡t ✈❛r✐❡r❛s ♠❡❧❧❛♥ ö♣♣❡♥ ♦❝❤ s❧✉t❡♥❞r✐✈❧✐♥❛ ♠❡❞ ❤❥ä❧♣ ❛✈ ❦♦♣♣❧✐♥❣❡♥

■ ✜❣✉r ✺✳✹ ✈✐s❛s ♠♦t♦r♥s ❜❡❣är❞❛ ♠♦♠❡♥t s♦♠ ❡♥ ❢✉♥❦t✐♦♥ ❛✈ ❢örä♥❞r✐♥❣ ✐♠♦t♦r❤❛st✐❣❤❡t✳ ❚✐❧❧ s❦✐❧❧♥❛❞ ❢rå♥ ❞❡t ❢örst❛ ❡①♣❡r✐♠❡♥t❡t ♠❡❞ ö♣♣❡♥ ❞r✐✈❧✐♥❛❦❛♥ ♠❛♥ ✐ ❞❡♥ ❤är ✜❣✉r❡♥ s❡ t✈å ♦❧✐❦❛ ❧✉t♥✐♥❣❛r✳ ❉❡ss❛ ❧✉t♥✐♥❣❛r ♠♦ts✈❛r❛rö♣♣❡♥ ♦❝❤ s❧✉t❡♥ ❞r✐✈❧✐♥❛✳

✸✹

−10 −5 0 5 10 15 20−400

−200

0

200

400

600

800

1000

Acceleration av motorhastighet, ω [rad/s2]

Begart

moment,

TDemand[N

m]

❋✐❣✉r ✺✳✹✿ ❇❡❣ärt ♠♦♠❡♥t s♦♠ ❢✉♥❦t✐♦♥ ❛✈ ✈❛r✈t❛❧s❛❝❝❡❧❡r❛t✐♦♥ ✐❢rå♥ ❡①♣❡r✐✲♠❡♥t ♠❡❞ ✈❛r✐❡r❛♥❞❡ ❞r✐✈❧✐♥❛

✺✳✷ ❙✐♠✉❧❡r✐♥❣❛r

❙✐♠✉❧❡r✐♥❣❛r ✉t❢ör❞❡s ❢ör ❛tt t❡st❛ r❡❣✉❧❛t♦r♥ ♦❝❤ ❡st✐♠❡r✐♥❣❡♥ ❛✈ trö❣❤❡ts✲♠♦♠❡♥t ✈✐❞ ♦❧✐❦❛ ❞r✐❢t❢❛❧❧✳ ❖♠ ✐♥❣❡t ❛♥♥❛t ♥ä♠♥s ❛♥✈ä♥❞❡s r❡❣✉❧❛t♦r♣❛r❛✲♠❡tr❛r ❡♥❧✐❣t t❛❜❡❧❧ ✹✳✶✱ ❑❛❧♠❛♥✜❧t❡r❞❡s✐❣♥ ❡♥❧✐❣t t❛❜❡❧❧ ✹✳✷ ♦❝❤ ❡tt ❜❡❧❛st✲♥✐♥❣s♠♦♠❡♥t ♣å ♠♦t♦r♥ ✐ ❢♦r♠ ❛✈ ❡♥ ❢②r❦❛♥ts✈å❣ s♦♠ ✈❛r✐❡r❛r ♠❡❧❧❛♥ ✸✻✵◆♠ ♦❝❤ ✶✵✾✵ ◆♠ ♠❡❞ ❡♥ ♣❡r✐♦❞t✐❞ ♣å ✹ s ✭s❡ ✜❣✉r ✺✳✼✮✳

✺✳✷✳✶ ❏ä♠❢ör❡❧s❡ ♠❡❧❧❛♥ P■❉ ♦❝❤ ♠♦❞❡❧❧❜❛s❡r❛❞ r❡❣✉❧❛t♦r

❋ör ❛tt ✉♥❞❡rsö❦❛ ❤✉r ❡✛❡❦t✐✈ r❡❣✉❧❛t♦r♥ är ♦♠ ❡♥ ♦♣t✐♠❛❧ ❡st✐♠❡r✐♥❣ s❦❡rs✐♠✉❧❡r❛❞❡s s②st❡♠❡t ♠❡❞ ❛♥t❛❣❛♥❞❡t ❛tt trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t❡t ✈❛r ❦ä♥t✳ ❘❡✲s✉❧t❛t❡t ❥ä♠❢örs ♠❡❞ ❡♥ P■❉✲r❡❣✉❧❛t♦r ❢ör ❛tt ✈✐s❛ s❦✐❧❧♥❛❞❡♥ ♣å ❞❡♥ ♠♦❞❡❧❧✲❜❛s❡r❛❞❡ r❡❣✉❧❛t♦r♥ ❥ä♠❢ört ♠❡❞ ❞❡♥ r❡❣✉❧❛t♦r s♦♠ ❛♥✈ä♥❞s ❛✈ ❙❝❛♥✐❛ ✐❞❛❣✳❉❡t är ✈ärt ❛tt ♥♦t❡r❛ ❛tt ❞❡t är t✈å ♦❧✐❦❛ r❡❣✉❧❛t♦r❡r ♠❡❞ t✈å ♦❧✐❦❛ ✐♥stä❧❧✲♥✐♥❣❛r så ❡♥ ❥ä♠❢ör❡❧s❡ r❛❦t ❛✈ ❦❛♥ ✈❛r❛ ♠✐ss✈✐s❛♥❞❡✳ P❛r❛♠❡tr❛r♥❛ ✐ ❡♥ P■❉r❡❣✉❧❛t♦r ❦❛♥ ✈ä❧❥❛s ♣å ♠å♥❣❛ sätt ♠❡♥ ❞❡♥ r❡❣✉❧❛t♦r s♦♠ ❛♥✈ä♥❞s ❤är är

✸✺

❦❛❧✐❜r❡r❛❞ ❢ör ❡tt ❧å❣t trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t✳ ❘❡s✉❧t❛t❡t ❛✈ ❞❡♥♥❛ s✐♠✉❧❡r✐♥❣ ✈✐s❛s✐ ✜❣✉r ✺✳✺✳

14 16 18 20 22 24 26 28 301150

1200

1250

1300

1350

1400

1450

Mot

orva

rvta

l [R

PM

]

PID regulator

14 16 18 20 22 24 26 28 301150

1200

1250

1300

1350

1400

1450

Tid [s]

Mot

orva

rvta

l [R

PM

]

Modelbaserad regulator (Med korrekt estimerat tröghetsmoment)

JPTO

= 0

JPTO

= 8

JPTO

= 16

Referens

JPTO

= 0

JPTO

= 8

JPTO

= 16

Referens

❋✐❣✉r ✺✳✺✿ ❏ä♠❢ör❡❧s❡ ♠❡❧❧❛♥ P■❉ ♦❝❤ ♠♦❞❡❧❧❜❛s❡r❛❞ r❡❣✉❧❛t♦r ♠❡❞ ❦♦rr❡❦ttrö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t✳ ❱✐❞ t❂✷✻ s ❦♦♠♠❡r ❢❛❧❧❡r ❜❡❧❛st♥✐♥❣s♠♦♠❡♥t❡t ❢rå♥ ✶✵✵✵◆♠ t✐❧❧ ✺✵✵ ◆♠

■ ✜❣✉r ✺✳✺ s❦❡r ❢örst ❡♥ ❢örä♥❞r✐♥❣ ✐ r❡❢❡r❡♥s❤❛st✐❣❤❡t ♦❝❤ s❡❞❛♥ ❡♥ ❢ör✲ä♥❞r✐♥❣ ✐ ❜❡❧❛st♥✐♥❣s♠♦♠❡♥t✳ ▼❛♥ ❦❛♥ s❡ ❛tt P■❉✲r❡❣❧❡r✐♥❣❡♥s ❢ör♠å❣❛ ❛tt❛❝❝❡❧❡r❡r❛ ✉♣♣ s②st❡♠❡t ✈✐❞ ❡♥ ä♥❞r✐♥❣ ❛✈ r❡❢❡r❡♥s❤❛st✐❣❤❡t❡♥ ✈❛r✐❡r❛r ❜❡r♦✲❡♥❞❡ ♣å s②st❡♠❡ts trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t✳ ❉❡♥ ♠♦❞❡❧❧❜❛s❡r❛❞❡ r❡❣✉❧❛t♦r♥ ❦❧❛r❛r ❛✈❞❡♥♥❛ ❛❝❝❡❧❡r❛t✐♦♥ ❜ättr❡ ❞å ❞❡♥ t❛❝❦ ✈❛r❡ ❦ä♥♥❡❞♦♠ ♦♠ trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t❡t❦❛♥ ❦rä✈❛ ❡tt störr❡ ✈r✐❞♠♦♠❡♥t ❢rå♥ ♠♦t♦r♥ ❞å ❡♥ störr❡ trö❣❤❡t s❦❛ ❛❝❝❡❧❡✲r❡r❛s✳ ➘✈❡♥ ❞å ❡♥ ❜❡❧❛st♥✐♥❣ ❧ä❣❣s ♣å s②st❡♠❡t ♣r❡st❡r❛r ❞❡♥ ♠♦❞❡❧❧❜❛s❡r❛❞❡r❡❣✉❧❛t♦r♥ ❜ättr❡ ä♥ ❞❡♥ ❦❧❛ss✐s❦❛ P■❉ r❡❣❧❡r✐♥❣❡♥✳ ❍är ❜❡r♦r ❞❡t ♣å ❛tt ❞❡♥♠♦❞❡❧❧❜❛s❡r❛❞❡ r❡❣✉❧❛t♦r♥ s♥❛❜❜❛r❡ ❜❡❣är ❡tt st♦rt ✈r✐❞♠♦♠❡♥t✳

✺✳✷✳✷ ❑♦♥st❛♥t trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t

❋ör ❡tt s②st❡♠ ♠❡❞ ❡tt ❦♦♥st❛♥t trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t s♦♠ ❜❡❧❛st❛s ♠❡❞ ❡♥ ♠♦✲♠❡♥t❜❡❧❛st♥✐♥❣ ♠❡❞ ❦❛r❛❦t❡r✐st✐❦❡♥ ❛✈ ❡♥ ❢②r❦❛♥ts✈å❣ ✭s❡ ❚▲♦❛❞ ✐ ✜❣✉r ✺✳✼✮

✸✻

❦❛♥ ❑❛❧♠❛♥✜❧tr❡t ❡st✐♠❡r❛ trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t❡t♠✱ ❞❡tt❛ ✈✐s❛s ✐ ✜❣✉r ✺✳✻✳ ■ ✜❣✉r✺✳✻ ✈✐s❛s ä✈❡♥ ♠♦t♦r✈❛r✈t❛❧ ✐♥♥❛♥ ❡st✐♠❡r✐♥❣❡♥ ❜ör❥❛r ♦❝❤ ❤✉r ♠♦t♦r✈❛r✈t❛✲❧❡t s❡❞❛♥ s❡r ✉t ❞å ❡st✐♠❡r✐♥❣❡♥ ❦♦♥✈❡r❣❡r❛t ♠♦t s✐tt s❧✉t✈är❞❡✳ På s❛♠♠❛sätt ✈✐s❛s ✈✐❧❦❡t ✈r✐❞♠♦♠❡♥t s♦♠ ❜❡❣ärs ❛✈ r❡❣✉❧❛t♦r♥ ✐ ✜❣✉r ✺✳✼✳

0 20 40 60 80 1000

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22Estimering av tröghetsmoment

Tid [s]

Trö

ghet

smom

ent [

kgm

2 ]

0 2 4 6 8 10 121040

1060

1080

1100

1120

1140

1160

1180

1200

Var

vfre

kven

s [r

/min

]

Tid [s]

Motorvarvtal innan estimeringen konvergerat mot sitt slutvärde

88 90 92 94 96 98 1001040

1060

1080

1100

1120

1140

1160

1180

1200

Var

vfre

kven

s [r

/min

]

Tid [s]

Motorvarvtal då estimeringen konvergerat mot sitt slutvärde

EstimeradFaktiskt värdeStarttid för estimering

MotorvarvtalReferensStarttid för estimering

MotorvarvtalReferens

❋✐❣✉r ✺✳✻✿ ❚rö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t ♦❝❤ ✈❛r✈t❛❧s❣r❛❢❡r ❢ör s✐♠✉❧❡r✐♥❣ ❛✈ trö❣❤❡ts♠♦✲♠❡♥t ❂ ✷✵ ❦❣♠✷

✸✼

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

Tid [s]

Mom

ent [

Nm

]

Vridmoment − Hela cykeln

0 2 4 6 8 10 120

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

Tid [s]

Mom

ent [

Nm

]

Innan estimeringen konvergerat mot sitt slutvärde

88 90 92 94 96 98 1000

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

Tid [s]

Mom

ent [

Nm

]

Då estimeringen konvergerat mot sitt slutvärde

TDemand

TLoad

Starttid för estimering

TDemand

TLoad

Starttid för estimering

TDemand

TLoad

❋✐❣✉r ✺✳✼✿ ❱r✐❞♠♦♠❡♥t❦✉r✈❛ ❢ör ❡st✐♠❡r✐♥❣❡♥ ✐ ✜❣✉r ✺✳✻✳

▼❛♥ ❦❛♥ ✐ ✜❣✉r ✺✳✻ s❡ ❛tt ❛♠♣❧✐t✉❞❡♥ ♣å ♠♦t♦r✈❛r✈t❛❧❡t sä♥❦s ❞å ❞❡t❡st✐♠❡r❛❞❡ trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t❡t ❦♦♥✈❡r❣❡r❛t ♠♦t s✐tt s❧✉t✈är❞❡✳ ❋✐❣✉r ✺✳✼ ✈✐✲s❛r ❤✉r ❞❡t ❜❡❣är❞❛ ♠♦♠❡♥t❡t ä♥❞r❛s ❞å ❡st✐♠❡r✐♥❣❡♥ ❛✈ trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t❡tä♥❞r❛s✳ ❉❡ ❢örst❛ ✶✷ s❡❦✉♥❞r❛r♥❛ s♦♠ ✈✐s❛s ✐ ❞❡♥ ♥❡❞r❡ ✈ä♥str❛ ✜❣✉r❡♥ ✈✐s❛r♣å ❡♥ ♠❥✉❦ ❦✉r✈❛ ❢ör ❞❡t ❜❡❣är❞❛ ♠♦♠❡♥t❡t ♠❡♥ ♠❡❞ ❡♥ ❧å❣ ❛♠♣❧✐t✉❞✳ ❉❡♥♥❡❞r❡ ❤ö❣r❛ ✜❣✉r❡♥ s♦♠ ✈✐s❛r ❞❡ s✐st❛ ✶✷ s❡❦✉♥❞r❛r♥❛ ❛✈ ❝②❦❡❧♥ ✈✐s❛r ❤✉rr❡❣✉❧❛t♦r♥ ✐stä❧❧❡t ❜❡❣är ❡tt ❤ö❣t ✈är❞❡ ❞✐r❡❦t ♦❝❤ s❡❞❛♥ sä♥❦❡r ❞❡tt❛ ❢ör ❛tt❢å ❡♥ s♥❛❜❜ ✐♥s✈ä♥❣♥✐♥❣ ❛✈ ♠♦t♦r✈❛r✈t❛❧❡t ♠♦t s✐tt r❡❢❡r❡♥s✈är❞❡✳

❋ör ❛tt ✉♥❞❡rsö❦❛ ✈✐❧❦❡♥ ❡✛❡❦t r❡❣✉❧❛t♦r♥ s❦✉❧❧❡ ❤❛ ♣å ❡tt s②st❡♠ ♠❡❞❡tt ❧ä❣r❡ trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t ✉t❢ör❞❡s s❛♠♠❛ s✐♠✉❧❡r✐♥❣ ✐❣❡♥ ♠❡♥ trö❣❤❡ts♠♦✲♠❡♥t❡t är ♥✉ ä♥❞r❛t t✐❧❧ ✹ ❦❣♠✷✳ ❘❡s✉❧t❛t❡t ❛✈ ❞❡♥♥❛ s✐♠✉❧❡r✐♥❣ ✈✐s❛s ✐ ✜❣✉r✺✳✽ ♦❝❤ ✺✳✾✳

✸✽

0 10 20 30 400

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5Estimering av tröghetsmoment

Tid [s]

Trö

ghet

smom

ent [

kgm

2 ]

0 2 4 6 8 10 12

1040

1060

1080

1100

1120

1140

1160

1180

1200

Var

vfre

kven

s [r

/min

]

Tid [s]

Motorvarvtal innan estimeringen konvergerat mot sitt slutvärde

28 30 32 34 36 38 40

1040

1060

1080

1100

1120

1140

1160

1180

1200

Var

vfre

kven

s [r

/min

]

Tid [s]

Motorvarvtal då estimeringen konvergerat mot sitt slutvärde

EstimeradFaktiskt värdeStarttid för estimering

MotorvarvtalReferensStarttid för estimering

MotorvarvtalReferens

❋✐❣✉r ✺✳✽✿ ❚rö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t ♦❝❤ ✈❛r✈t❛❧s❣r❛❢❡r ❢ör s✐♠✉❧❡r✐♥❣ ❛✈ trö❣❤❡ts♠♦✲♠❡♥t ❂ ✹ ❦❣♠✷

0 5 10 15 20 25 30 35 400

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

Tid [s]

Mom

ent [

Nm

]

Vridmoment − Hela cykeln

0 2 4 6 8 10 120

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

Tid [s]

Mom

ent [

Nm

]

Innan estimeringen konvergerat mot sitt slutvärde

28 30 32 34 36 38 400

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

Tid [s]

Mom

ent [

Nm

]

Då estimeringen konvergerat mot sitt slutvärde

TDemand

TLoad

Starttid för estimering

TDemand

TLoad

Starttid för estimering

TDemand

TLoad

❋✐❣✉r ✺✳✾✿ ❱r✐❞♠♦♠❡♥t❦✉r✈❛ ❢ör ❡st✐♠❡r✐♥❣❡♥ ✐ ✜❣✉r ✺✳✽✳

✸✾

➘✈❡♥ ❤är s❡r ♠❛♥ ❛tt ❛♠♣❧✐t✉❞❡♥ ♣å ♠♦t♦r✈❛r✈t❛❧❡t ❤❛r s❥✉♥❦✐t ❞å ❡st✐✲♠❡r✐♥❣❡♥ ❤❛r ❦♦♥✈❡r❣❡r❛t✳ ❉♦❝❦ så är s❦✐❧❧♥❛❞❡♥ ♠❡❧❧❛♥ ✐♥♥❛♥ ❡st✐♠❡r✐♥❣❡♥❤❛r ❧②❝❦❛ts ♦❝❤ ❡❢t❡r ✐♥t❡ ❧✐❦❛ ♣å❢❛❧❧❛♥❞❡ s♦♠ ✐ ✜❣✉r❡r♥❛ ✺✳✻ ♦❝❤ ✺✳✼✳

✺✳✷✳✸ ▼✐♥s❦❛♥❞❡ trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t

■ ❞❡ t✐❞✐❣❛r❡ s✐♠✉❧❡r✐♥❣❛r♥❛ ❤❛r ❞❡t ❛♥t❛❣✐ts ❛tt trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t❡t är ❦♦♥✲st❛♥t ♦❝❤ störr❡ ä♥ ❡st✐♠❡r✐♥❣❡♥s st❛rt✈är❞❡ ✭s♦♠ är ♥♦❧❧✮✳ ■ ❡①♣❡r✐♠❡♥t❡t ❞är❞r✐✈❧✐♥❛♥ ✈❛r✐❡r❛s ❢rå♥ ö♣♣❡♥ t✐❧❧ s❧✉t❡♥ ❦❛♥ ♠❛♥ s❡ ❛tt trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t❡t ❦❛♥✈❛r✐❡r❛s ✉♥❞❡r ❞r✐❢t✳ ❋ör ❛tt ✉♥❞❡rsö❦❛ ✈❛❞ s♦♠ ❤ä♥❞❡r ❞å trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t❡ts♥❛❜❜t s❥✉♥❦❡r ✉t❢örs ❡♥ s✐♠✉❧❡r✐♥❣ ❞är trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t❡t s♥❛❜❜t ❢❛❧❧❡r ❢rå♥❡tt ❤ö❣t ✈är❞❡ t✐❧❧ ❡tt ❧å❣t✳ ❚rö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t❡t ♦❝❤ ♠♦t♦r✈❛r✈t❛❧ ✈✐s❛s ✐ ✜❣✉r✺✳✶✵✳

−10 0 10 200

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10Estimering av tröghetsmoment

Tid [s]

Trö

ghet

smom

ent [

kgm

2 ]

−10 0 10 201020

1040

1060

1080

1100

1120

1140

1160

1180

1200

Var

vfre

kven

s [r

/min

]

Tid [s]

Motorvarvtal − Hela cykeln

−1 0 11020

1040

1060

1080

1100

1120

1140

1160

1180

1200

Var

vfre

kven

s [r

/min

]

Tid [s]

Motorvarvtal − Vid snabb förändring av tröghetsmoment

EstimeradFaktiskt värdeTid då J ändras

MotorvarvtalReferens

MotorvarvtalReferens

❋✐❣✉r ✺✳✶✵✿ ❙♥❛❜❜ sä♥❦♥✐♥❣ ❛✈ trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t✳

■ ✜❣✉r ✺✳✶✵ ❣år ❞❡t s❡ ❛tt ❡st✐♠❡r✐♥❣❡♥ ✐♥t❡ ❤✐♥♥❡r ♠❡❞ ♥är trö❣❤❡ts♠♦✲♠❡♥t❡t s❥✉♥❦❡r ✈✐❧❦❡t ❧❡❞❡r t✐❧❧ ❛tt r❡❣✉❧❛t♦r♥ ❜❡t❡r s✐❣ ❢ör ❛❣❣r❡ss✐✈t✳ ▼❛♥❦❛♥ s❡ ❛tt ✈❛r✈t❛❧❡t ✐♥♥❛♥ trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t❡t ä♥❞r❛s ❤❛r ❡♥ ♠❥✉❦ ✐♥s✈ä♥❣♥✐♥❣♠♦t r❡❢❡r❡♥s✈är❞❡t ♦❝❤ ❛tt ✈❛r✈t❛❧❡t ♣r❡❝✐s ❡❢t❡r trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t❡t ä♥❞r❛ts♦s❝✐❧❧❡r❛r✳ ❉❡tt❛ ❦❛♥ ä✈❡♥ s❡s ♣å ♠♦♠❡♥t❦✉r✈♦r♥❛ s♦♠ ✈✐s❛s ✐ ✜❣✉r ✺✳✶✶✳

✹✵

−10 0 10 20 30 40 50 60 70−200

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

Tid [s]

Mom

ent [

Nm

]

Vridmoment − Hela cykeln

−1 0 1−200

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

Tid [s]

Mom

ent [

Nm

]

Vridmoment − Vid snabb förändring av tröghetsmoment

TDemand

TLoad

TDemand

TLoad

❋✐❣✉r ✺✳✶✶✿ ▼♦♠❡♥t ✈✐❞ ❢❛❧❧ ✐ trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t

✺✳✷✳✹ ❖❧✐❦❛ trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t

❋ör ❛tt ✉♥❞❡rsö❦❛ ❤✉r ❡st✐♠❡r✐♥❣❡♥ ❦❧❛r❛r ❛✈ ♦❧✐❦❛ trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t så s✐✲♠✉❧❡r❛❞❡s ❞❡tt❛✳ ❚r❡ ♦❧✐❦❛ ♥✐✈å❡r ✈❛❧❞❡s✱ JPTO ❂ ✵✱ ✽ ♦❝❤ ✶✻ ❦❣♠✷✳ ❉❡ss❛♠♦ts✈❛r❛r ❛tt r❡❣✉❧❛t♦r♥ ❡♥❞❛st ❦♦♥tr♦❧❧❡r❛r ♠♦t♦r♥ ❞å ✐♥❣❡t ②ttr❡ s②st❡♠❤❛r ❦♦♣♣❧❛ts ✐♥ ♣å ❦r❛❢t✉tt❛❣❡t ✭JPTO ❂ ✵ ❦❣♠✷✮✱ ❡tt s✈år❛❝❝❡❧❡r❛t s②st❡♠✭JPTO ❂ ✽ ❦❣♠✷✮ ♦❝❤ ❡tt ♠②❝❦❡t s✈år❛❝❝❡❧❡r❛t s②st❡♠ ✭JPTO ❂ ✶✻ ❦❣♠✷✮✳❙♦♠ ❥ä♠❢ör❡❧s❡ ❤❛r ❡♥ ❧❛st❜✐❧s♠♦t♦r ❢rå♥ ❙❝❛♥✐❛ ❡tt trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t ♠❡❧❧❛♥✹ ♦❝❤ ✺ ❦❣♠✷✳

✹✶

0 10 20 30 40 50 60−2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Tid [s]

Trö

ghet

smom

ent [

kgm

2 ]

Constant J

JPTO

= 0

Referens − 0J

PTO = 8

Referens − 8J

PTO = 16

Referens − 16

❋✐❣✉r ✺✳✶✷✿ ❊st✐♠❡r✐♥❣ ❛✈ trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t

▼❛♥ ❦❛♥ ✐ ✜❣✉r ✺✳✶✷ s❡ ❛tt ❡st✐♠❡r✐♥❣❡♥ ❧②❝❦❛s ❜r❛ ❢ör ❞❡ tr❡ ❢❛❧❧❡♥✳ ❊s✲t✐♠❡r✐♥❣❡♥ ❦♦♥✈❡r❣❡r❛r ♠♦t ❡tt ✈är❞❡ s♦♠ är ❧✐t❡ st♦rt ❞å ✐♥❣❡t är ❦♦♣♣❧❛t♣å ❦r❛❢t✉tt❛❣❡t ♠❡♥ är ä♥❞å ✐♥♦♠ ❡♥ ❣♦❞❦ä♥t ♥✐✈å✳ ❱✐❞ ❞❡ störr❡ trö❣❤❡ts✲♠♦♠❡♥t❡♥ ❧②❝❦❛s ❡st✐♠❡r✐♥❣❡♥ ❜ättr❡ ♠❡♥ ♠❛♥ ❦❛♥ s❡ ❛tt ❡st✐♠❡r✐♥❣❡♥ ✈✐❞störr❡ trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t ❧ä❣❣❡r s✐❣ str❛① ✉♥❞❡r ❞❡t ❦♦rr❡❦t❛ ✈är❞❡t✳

✺✳✷✳✺ ❙t❡❣ ✐ ❜❡❧❛st♥✐♥❣s♠♦♠❡♥t

❉❡ ❑❛❧♠❛♥♣❛r❛♠❡tr❛r s♦♠ ❛♥✈ä♥ts t♦❣s ❢r❛♠ ♠❡❞ ❤❥ä❧♣ ❛✈ s✐♠✉❧❡r✐♥❣❛r ♠❡❞❡tt ❜❡❧❛st♥✐♥❣s♠♦♠❡♥t ♣å ♠♦t♦r♥ s♦♠ ✈❛r✐❡r❛r ♠❡❧❧❛♥ ✸✻✵ ◆♠ ♦❝❤ ✶✵✾✵ ◆♠♠❡❞ ❡♥ ♣❡r✐♦❞t✐❞ ♣å ✹ s ✭s❡ ✜❣✉r ✺✳✼✮✳ ❋ör ❞❡tt❛ ❜❡❧❛st♥✐♥❣s♠♦♠❡♥t ❢✉♥❣❡✲r❛r ❡st✐♠❡r✐♥❣❡♥ ❜r❛ ♠❡♥ ä♥❞r❛s ❛♠♣❧✐t✉❞❡♥ ♣å ❜❡❧❛st♥✐♥❣s♣r♦✜❧❡♥ ä♥❞r❛sä✈❡♥ r❡s✉❧t❛t❡t ♣å ❡st✐♠❡r✐♥❣❡♥ ❛✈ trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t✳ ❉❡tt❛ ♣å ❣r✉♥❞ ❛✈ ❛tt♠❛tr✐s❡♥ Q ❛✈❣ör ❤✉r s♥❛❜❜t ❞❡ ❡st✐♠❡r❛❞❡ ✈är❞❡♥❛ ä♥❞r❛s ✐ ❢ör❤å❧❧❛♥❞❡ t✐❧❧✈❛r❛♥❞r❛✳ ❊♥ s✐♠✉❧❡r✐♥❣ ♠❡❞ ♦❧✐❦❛ ❜❡❧❛st♥✐♥❣s♣r♦✜❧❡r ✈✐s❛s ✐ ✜❣✉r ✺✳✶✸✳

✹✷

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

Tid [s]

Trö

ghet

smom

ent [

kgm

2 ]

TLoad

= 0 −> 100 Nm

TLoad

= 0 −> 400 Nm

TLoad

= 0 −> 700 Nm

TLoad

= 0 −> 1000 Nm

TLoad

= 0 −> 1500 Nm

TLoad

= 360 −> 1090 Nm

Referens

❋✐❣✉r ✺✳✶✸✿ ❖❧✐❦❛ ❜❡❧❛st♥✐♥❣❛r✳ ❇❡❧❛st♥✐♥❣❡♥ ❤❛r ❦❛r❛❦t❡r✐st✐❦❡♥ ❛✈ ❡♥ ❢②r✲❦❛♥ts✈å❣ ♠❡❞ ♣❡r✐♦❞t✐❞ ✹ s

▼❛♥ ❦❛♥ t②❞❧✐❣t s❡ ❛tt r❡s✉❧t❛t❡♥ ❤❛r ❡♥ st♦r s♣r✐❞♥✐♥❣ ✈✐❧❦❡t ✐♥♥❡❜är❛tt ❞❡t ❦❛❧♠❛♥✜❧t❡r s♦♠ ❛♥✈ä♥ts ❤är ♠✐ss❧②❝❦❛s ❞å ❞❡ss ✐❞❡❡❧❛ ❢ör❤å❧❧❛♥❞❡♥✐♥t❡ rå❞❡r✳ ❋ör ❛tt ❧ös❛ ❞❡tt❛ ♣r♦❜❧❡♠ s❦✉❧❧❡ ♠❛tr✐s❡♥ Q ❜❡❤ö✈❛ ✉♣♣❞❛t❡r❛sr❡❦✉rs✐✈t ❢ör ❛tt t❛ ❤ä♥s②♥ t✐❧❧ ❤✉r ❢ör❤å❧❧❛♥❞❡t ♠❡❧❧❛♥ ❜❡❧❛st♥✐♥❣s♠♦♠❡♥t♦❝❤ trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t ä♥❞r❛s✳

✺✳✷✳✻ P❡r✐♦❞t✐❞❡r

❊❢t❡rs♦♠ r❡❣✉❧❛t♦r♥ s❦❛ ✈❛r❛ t✐❧❧tä❝❦❧✐❣t ❣❡♥❡r❡❧❧ ❢ör ❛tt ❦❧❛r❛ ❞❡ ♦❧✐❦❛ ❞r✐❢t❢❛❧❧s♦♠ ❦❛♥ ❢ör❡❦♦♠♠❛ ♣å ❦r❛❢t✉tt❛❣❡t ❦rä✈s ❛tt ❡st✐♠❡r✐♥❣❡♥ ❦❧❛r❛r ❛✈ ♦❧✐❦❛♣❡r✐♦❞t✐❞❡r✳ ❋ör ❛tt ✉♥❞❡rsö❦❛ ❤✉r ❡st✐♠❡r✐♥❣❡♥ ❜❡r♦r ♣å ❜❡❧❛st♥✐♥❣❡♥s ♣❡✲r✐♦❞t✐❞ ✉t❢ör❞❡s s✐♠✉❧❡r✐♥❣❛r ❞är ❜❡❧❛st♥✐♥❣s♠♦♠❡♥t❡ts ♣❡r✐♦❞t✐❞ ✈❛r✐❡r❛❞❡s♠❡❧❧❛♥ s✐♠✉❧❡r✐♥❣❛r♥❛✳ ❘❡s✉❧t❛t❡t ✈✐s❛s ✐ ✜❣✉r ✺✳✶✹✳

✹✸

0 50 100 1500

2

4

6

8

10

12

14

Tid [s]

Trö

ghet

smom

ent [

kgm

2 ]

Periodtid = 0.5sPeriodtid = 1sPeriodtid = 4sPeriodtid = 20sPeriodtid = 50sReferens

❋✐❣✉r ✺✳✶✹✿ ❖❧✐❦❛ ♣❡r✐♦❞t✐❞❡r

■ ✜❣✉r❡♥ ❦❛♥ ♠❛♥ s❡ ❛tt ♣❡r✐♦❞t✐❞❡♥ ✐♥t❡ ♣å✈❡r❦❛r ✈är❞❡t s♦♠ ❡st✐♠❡✲r✐♥❣❡♥ ❦♦♥✈❡r❣❡r❛r ♠♦t✳ ❉♦❝❦ så ✉♣♣står ♣r♦❜❧❡♠ ❞å ♣❡r✐♦❞t✐❞❡♥ är ❧✐t❡♥❡❧❧❡r st♦r✳ ❊♥ s♥❛❜❜ ❜❡❧❛st♥✐♥❣s♣r♦✜❧ ✭♣❡r✐♦❞t✐❞ ✵✳✺ s ✐ ✜❣✉r ✺✳✶✹✮ ❧❡❞❡r t✐❧❧❧å♥❣s❛♠♠❛r❡ ❡st✐♠❡r✐♥❣ ♦❝❤ r❡s✉❧t❡r❛r ✐ ❛tt r❡❣✉❧❛t♦r♥ ❛♥✈ä♥❞❡r ❡tt ❢ör ❧å❣t✈är❞❡ ♣å trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t❡t ❡♥ ❧ä♥❣r❡ t✐❞✳ ❱✐❞ ❧å♥❣s❛♠♠❛ s②st❡♠ ❦♦♠♠❡rr❡❣❧❡r✐♥❣❡♥ ❛tt s✈ä♥❣❛ r✉♥t ❡st✐♠❡r✐♥❣❡♥s s❧✉t✈är❞❡ ✈✐❧❦❡t ❦❛♥ ❧❡❞❛ t✐❧❧ ♦❥ä♠♥r❡❣❧❡r✐♥❣✳

❉å r❡❣✉❧❛t♦r♥ s❦❛ ❢✉♥❣❡r❛ ❢ör ❛❧❧❛ ♠ö❥❧✐❣❛ ❞r✐❢t❢❛❧❧ s❦✉❧❧❡ ❞❡tt❛ ❜❡❤ö✈❛❢ör❤✐♥❞r❛s✳

✺✳✷✳✼ ❘❛♠♣❡r

■ ❞❡ s✐♠✉❧❡r✐♥❣❛r s♦♠ ♣r❡s❡♥t❡r❛ts ✐ ❞❡♥♥❛ r❛♣♣♦rt ❤❛r ❜❡❧❛st♥✐♥❣s♣r♦✜❧❡♥❛♥t❛❣✐ts ❢ö❧❥❛ ❡♥ ❢②r❦❛♥ts✈å❣✳ ■ ❡tt ✈❡r❦❧✐❣t s②st❡♠ s❦✉❧❧❡ ❜❡❧❛st♥✐♥❣s♣r♦✜❧❡♥❦✉♥♥❛ s❡ ✉t ♣å ❛♥❞r❛ sätt✳ ❊tt tr♦❧✐❣t ❞r✐❢t❢❛❧❧ är ❛tt ❜❡❧❛st♥✐♥❣❡♥ r❛♠♣❛s✉♣♣ t✐❧❧ ❞❡ss ♠❛①✐♠❛❧❛ ✈är❞❡ ❢ör ❛tt s❡❞❛♥ r❛♠♣❛s ♥❡❞ t✐❧❧ ♠✐♥st❛ ✈är❞❡t✳ ❋ör❛tt t❡st❛ ❤✉r ❞❡tt❛ s❦✉❧❧❡ ♣å✈❡r❦❛ r❡❣❧❡r✐♥❣❡♥ t❡st❛❞❡s ♦❧✐❦❛ r❛♠♣t✐❞❡r✳ ❉❡♥t♦t❛❧❛ ♣❡r✐♦❞t✐❞❡♥ ❤å❧❧s ❦♦♥st❛♥t ♣å ✷ s ❢ör ❛❧❧❛ s✐♠✉❧❡r✐♥❣❛r♥❛✳ ❘❡s✉❧t❛t❡t❛✈ s✐♠✉❧❡r✐♥❣❛r♥❛ ♣r❡s❡♥t❡r❛s ✐ ✜❣✉r ✺✳✶✺✳

✹✹

0 10 20 30 40 50 60 70 800

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Tid [s]

Trö

ghet

smom

ent [

kgm

2 ]

Ramptid − 0.9sRamptid − 0.7sRamptid − 0.5sRamptid − 0.3sRamptid − 0.15sRamptid − 0.05sReferens

❋✐❣✉r ✺✳✶✺✿ ❘❛♠♣❡r

■ ✜❣✉r❡♥ ✭✜❣✉r ✺✳✶✺✮ ❦❛♥ ♠❛♥ s❡ ❛tt ♠❡❞ ❞❡t ✈❛❧❞❛ ❑❛❧♠❛♥✜❧tr❡t ❤❛r r❛♠✲♣❡r ❡♥ st♦r ✐♥✈❡r❦❛♥ ♣å ❡st✐♠❡r✐♥❣❡♥s r❡s✉❧t❛t✳ ❊❢t❡rs♦♠ ❑❛❧♠❛♥✜❧tr❡t ♦♣✲t✐♠❡r❛ts ❢ör ❡♥ ❢②r❦❛♥ts✈å❣s♣r♦✜❧ ♣å ❜❡❧❛st♥✐♥❣s♠♦♠❡♥t❡t ❜❧✐r ❡st✐♠❡r✐♥❣❡♥❜ättr❡ ❢ör ❧ä❣r❡ r❛♠♣t✐❞❡r ✈✐❧❦❡t är ❞❡t tr♦❧✐❣❛st❡ ❢❛❧❧❡t ✐ ❡tt ✈❡r❦❧✐❣t s②st❡♠✳❉♦❝❦ så s❦✉❧❧❡ ❞❡t ❦rä✈❛s ❛tt ❡st✐♠❡r✐♥❣❡♥ ❦❧❛r❛❞❡ ❛✈ ä✈❡♥ ❧ä♥❣r❡ r❛♠♣❡r ♦♠r❡❣✉❧❛t♦r♥ s❦✉❧❧❡ ❛♥✈ä♥❞❛s ❢ör ❡tt ♦❦ä♥t s②st❡♠ ♣å ❦r❛❢t✉tt❛❣❡t✳

✺✳✷✳✽ ❱❛❧ ❛✈ ❑❛❧♠❛♥♣❛r❛♠❡tr❛r

❱❛❧❡t ❛✈ ❑❛❧♠❛♥♣❛r❛♠❡tr❛r♥❛ är ✈✐❦t✐❣t ❢ör s❧✉tr❡s✉❧t❛t❡t ❞å ❞❡ ❜❡s❦r✐✈❡rs②st❡♠❡t s♦♠ s❦❛ ❛♥✈ä♥❞❛s ❢ör ❡st✐♠❡r✐♥❣❡♥✳ ■ ❢❛❧❧❡t ❞å ✐♥❣❡t ❜r✉s ❢ör❡❦♦♠✲♠❡r ✐ s②st❡♠❡t ❦❛♥ ❞❡ ♣❛r❛♠❡tr❛r s♦♠ ♥ä♠♥s ✐ t❛❜❡❧❧ ✹✳✷ ❣❡ ❞❡ r❡s✉❧t❛t s♦♠✈✐s❛ts ✐ ❞❡tt❛ ❦❛♣✐t❡❧✳ ❉å q❏ ❃ q❚ ✈ä❧❥s ❢ö❧❥s ❜❡❧❛st♥✐♥❣s♠♦♠❡♥t❡t s♥❛❜❜❛r❡ä♥ trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t❡t ✈✐❧❦❡t är ö♥s❦✈ärt ❞å trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t❡t ❛♥t❛s ✈❛r✐❡r❛❧å♥❣s❛♠♠❛r❡ ä♥ ❜❡❧❛st♥✐♥❣s♠♦♠❡♥t❡t✳ ■ ✜❣✉r ✺✳✶✻ ✈✐s❛s ♥å❣r❛ ♦❧✐❦❛ ✈❛❧ ❛✈❑❛❧♠❛♥♣❛r❛♠❡tr❛r ♦❝❤ ✈✐❧❦❡♥ ❡✛❡❦t ❞❡t ❤❛r ♣å ❡st✐♠❡r✐♥❣❡♥ ❛✈ trö❣❤❡ts♠♦✲♠❡♥t✳

✹✺

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

5

10

15

Tid [s]

Trö

ghet

smom

ent [

kgm

2 ]

q1 = 0.5, q2 = 0.7q1 = 0.2, q2 = 0.5q1 = 0.1, q2 = 0.15q1 = 0.01, q2 = 0.15q1 = 0.001, q2 = 0.015q1 = 0.00001, q2 = 0.00015Referens

❋✐❣✉r ✺✳✶✻✿ P❛r❛♠❡t❡r✈❛❧ ❢ör ❑❛❧♠❛♥✜❧t❡r

❉❡ss❛ ❣r❛❢❡r ❦❛♥ ❥ä♠❢ör❛s ♠❡❞ ❞❡ s♦♠ ✈✐s❛s ✐ ✜❣✉r ✺✳✶✼ ✈✐❧❦❛ ✈✐s❛r s❛♠♠❛♣❛r❛♠❡t❡r✈❛❧ ♣å s❛♠♠❛ s②st❡♠ ♠❡♥ ❞å ❡♥ ❜r✉ss✐❣♥❛❧ ✐♥❢örts ♣å ♠♦t♦r✈❛r✈✲t❛❧❡t ✉t ❢rå♥ ♠♦t♦r♥✳ ❉❡tt❛ ♠♦ts✈❛r❛r ❞❡♥ ♦sä❦❡r❤❡t s♦♠ ✜♥♥s ♣å ❣r✉♥❞ ❛✈s❡♥s♦r❜r✉s ✐ ❡tt ✈❡r❦❧✐❣t s②st❡♠✳

✹✻

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

5

10

15

Tid [s]

Trö

ghet

smom

ent [

kgm

2 ]

q1 = 0.5, q2 = 0.7q1 = 0.2, q2 = 0.5q1 = 0.1, q2 = 0.15q1 = 0.01, q2 = 0.15q1 = 0.001, q2 = 0.015q1 = 0.00001, q2 = 0.00015Referens

❋✐❣✉r ✺✳✶✼✿ P❛r❛♠❡t❡r✈❛❧ ❢ör ❑❛❧♠❛♥✜❧t❡r ❞å ❜r✉s ♣å ♠♦t♦r✈❛r✈t❛❧❡t ✐♥❢örts

▼❛♥ ❦❛♥ ✈✐❞ ❡♥ ❥ä♠❢ör❡❧s❡ ♠❡❧❧❛♥ ✜❣✉r❡r♥❛ ✺✳✶✻ ♦❝❤ ✺✳✶✼ s❡ ❛tt ❦❛❧♠❛♥✲✜❧tr❡t ❦rä✈❡r ❡♥ ❣♦❞ ❦ä♥♥❡❞♦♠ ♦♠ ❞❡ ❜r✉s❦ä❧❧♦r s♦♠ ❢ör❡❦♦♠♠❡r ✐ s②st❡♠❡t✳❉❡tt❛ ❦❛♥ ✈❛r❛ ❡tt ♣r♦❜❧❡♠ ❞å ❜r✉s❡t ✈❛r✐❡r❛r ♠❡❧❧❛♥ ❧❛st❜✐❧s✐♥❞✐✈✐❞❡r ♦❝❤❜❡r♦❡♥❞❡ ♣å ✈✐❧❦❡♥ ✉tr✉st♥✐♥❣ s♦♠ ❛♥✈ä♥❞s ♣å ❦r❛❢t✉tt❛❣❡t✳ ■ ❞❡♥ s✐♠✉❧❡r✐♥❣s♦♠ ♣r❡s❡♥t❡r❛s ✐ ✜❣✉r ✺✳✶✻ ❤❛r ❡♥❞❛st ❡♥ ❜r✉s❦ä❧❧❛ ❛♥✈ä♥ts✱ ✐ ❡tt ✈❡r❦❧✐❣ts②st❡♠ ❦♦♠♠❡r ❛♥❞r❛ ❜r✉s❦ä❧❧♦r ♣å✈❡r❦❛✳ På ❣r✉♥❞ ❛✈ ❛tt ✉tr✉st♥✐♥❣❡♥ s♦♠❦♦♣♣❧❛ts ✐♥ ♣å ❦r❛❢t✉tt❛❣❡t är ♦❦ä♥t är ❞❡t ✐♥t❡ ♠ö❥❧✐❣t ❛tt t❛ ❤ä♥s②♥ t✐❧❧ ❞❡❡✛❡❦t❡r s♦♠ ❞❡tt❛ ❦❛♥ ❤❛ ♣å ❜r✉s ♦❝❤ stör♥✐♥❣❛r ✐ s②st❡♠❡t ✈✐❧❦❡t ❣ör ✈❛❧❡t❛✈ ❦❛❧♠❛♥♣❛r❛♠❡tr❛r s✈årt✳ ❋ör ❡tt s②st❡♠ ❞är ❞❡t är ♦❦ä♥t ❤✉r ❞❡ ✈är❞❡♥s♦♠ s❦❛ ❡st✐♠❡r❛s ✈❛r✐❡r❛r s❦✉❧❧❡ ♠❛tr✐s❡♥ ◗ ❜❡❤ö✈❛ ✈❛r✐❡r❛s ✉♥❞❡r ❞r✐❢t✳ ❍✉r❞❡♥♥❛ ♠❛tr✐s ❦❛♥ ❜❡stä♠♠❛s ❧ä♠♥❛s ❢ör ❡tt ❢r❛♠t✐❞❛ ❛r❜❡t❡✳

✹✼

✻ ❙❧✉ts❛ts❡r

❉❡t ❤❛r ✈✐s❛t s✐❣ ✈❛r❛ s✈årt ❛tt t❛ ❢r❛♠ ❡♥ ♠❡t♦❞ s♦♠ är t✐❧❧rä❝❦❧✐❣t ❣❡♥❡✲r❡❧❧ ❢ör ❛tt ❛♥✈ä♥❞❛s ♣å ❦r❛❢t✉tt❛❣❡♥ ♦❝❤ s❛♠t✐❞✐❣t t✐❧❧❢ör❧✐t❧✐❣ ♥♦❣✳ ❉❡t är❞♦❝❦ t②❞❧✐❣t ❛tt ❡♥ ❛❞❛♣t✐✈ r❡❣✉❧❛t♦r s❦✉❧❧❡ ❦✉♥♥❛ ❢ör❜ättr❛ ♣r❡st❛♥❞❛♥ ❛✈r❡❣❧❡r✐♥❣❡♥✱ s♣❡❝✐❡❧❧t ✈✐❞ s✈år❛ ❜❡❧❛st♥✐♥❣s♣r♦✜❧❡r✳ ■ ❞❡♥ ♠♦❞❡❧❧ s♦♠ ❤❛r s❦❛✲♣❛ts ❤❛r ❞❡t ✈✐s❛t s✐❣ ❛tt stör♥✐♥❣❛r ✐ ✈❛r✈t❛❧s♠ät♥✐♥❣❡♥ ✐♥♥❡❜är ❡tt st♦rt♣r♦❜❧❡♠ ✈✐❞ ❡st✐♠❡r✐♥❣❡♥ ❛✈ s②st❡♠❡ts trö❣❤❡t✳ ❉❡tt❛ är ❡tt ♣r♦❜❧❡♠ s♦♠✐♥t❡ ❤❛r ❧östs ✉♥❞❡r ❞❡tt❛ ♣r♦❥❡❦t ♠❡♥ ❞❡t ✜♥♥s ♠ö❥❧✐❣❤❡t t✐❧❧ ❛tt ❢ör❜ättr❛❡st✐♠❡r✐♥❣❡♥✳

❱✐❞ ❡♥ ❥ä♠❢ör❡❧s❡ ♣å ✈❛r✈t❛❧s❦✉r✈♦r♥❛ ✐ ✜❣✉r ✺✳✻ ♦❝❤ ✜❣✉r ✺✳✽ ❦❛♥ ♠❛♥ s❡❛tt r❡❣❧❡r✐♥❣❡♥ ♣å✈❡r❦❛s ♠❡r ✈✐❞ st♦r❛ trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t✳ ❉❡tt❛ är ❢ör✈ä♥t❛t❞å ❡♥ störr❡ s❦✐❧❧♥❛❞ ♣å ❞❡t ❡st✐♠❡r❛❞❡ trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t ✐♥♥❡❜är ❡♥ störr❡s❦✐❧❧♥❛❞ ✐ ❜❡❣ärt ♠♦♠❡♥t ✈✐❧❦❡t ❜❡t②❞❡r ❛tt ❞❡t r❡s✉❧t❡r❛♥❞❡ ✈❛r✈t❛❧❡t ♣å✈❡r✲❦❛s ♠❡r ❞å ❡st✐♠❡r✐♥❣❡♥ ❧②❝❦❛s ✈✐❞ s✈år❛❝❝❡❧❡r❡r❛❞❡ s②st❡♠✳ ❉❡t ✜♥♥s ❞är❢ör❡♥ st♦r ♣♦t❡♥t✐❛❧ ✐ ❞❡♥ r❡❣✉❧❛t♦r s♦♠ t❛❣✐ts ❢r❛♠ ❤är✳

▼♦❞❡❧❧❡♥ s♦♠ t❛❣✐ts ❢r❛♠ ♦❝❤ ❛♥✈ä♥ts är ❢ör❡♥❦❧❛❞ ♦❝❤ ❢♦❦✉s ✉♥❞❡r ♣r♦✲❥❡❦t❡t ❤❛r ❧❛❣ts ♣å ❞❡♥ ❛❞❛♣t✐✈❛ r❡❣❧❡r✐♥❣❡♥ ♦❝❤ ✐♥t❡ ❛tt t❛ ❢r❛♠ ❡♥ ♣❡r❢❡❦t♠♦❞❡❧❧ ö✈❡r s②st❡♠❡t✳ ▼♦❞❡❧❧❡♥ t❛r t✐❧❧ ❡①❡♠♣❡❧ ✐♥t❡ ❤ä♥s②♥ t✐❧❧ ❞❡ ❣❧❛♣♣s♦♠ ✉♣♣står ♠❡❧❧❛♥ ❦✉❣❣❛r✱ ✉♣♣✈r✐❞♥✐♥❣ ❛✈ ❛①❧❛r ❡❧❧❡r ✢❡r❛ t✐❞s❢ör❞rö❥♥✐♥❣✲❛r s♦♠ ✜♥♥s ✐ s②st❡♠❡t✳ ❊♥❞❛st t✐❞s❢ör❞rö❥♥✐♥❣❡♥ ♠❡❧❧❛♥ ❛tt ❜rä♥s❧❡ s♣r✉t❛s✐♥ ✐ ❝②❧✐♥❞r❛r♥❛ t✐❧❧ ❛tt ♠♦t♦r♥ ❧❡✈❡r❡r❛r ❡tt ♠♦♠❡♥t ❤❛r t❛❣✐ts ♠❡❞ ♦❝❤ ä✈❡♥❞❡♥♥❛ ❢ör❞rö❥♥✐♥❣ ❤❛r ❢ör❡♥❦❧❛ts ♠❡❞ ❛♥t❛❣❛♥❞❡t ❛tt ❞❡♥ s❦✉❧❧❡ ✈❛r❛ ❦♦♥✲st❛♥t✳ ■ ✈❡r❦❧✐❣❤❡t❡♥ ❦❛♥ ❞❡t ✉♣♣stå ♣r♦❜❧❡♠ ❛tt ❛♥✈ä♥❞❛ ❞❡♥♥❛ ❢ör❞rö❥♥✐♥❣♣å ❡tt sä❦❡rt sätt✳

▼❡❞ ❞❡t ❑❛❧♠❛♥✜❧t❡r s♦♠ ❛♥✈ä♥❞s ✐ r❛♣♣♦rt❡♥ ❢✉♥❣❡r❛r ✐♥t❡ ❡st✐♠❡r✐♥❣s✲❞❡❧❡♥ ❛✈ r❡❣✉❧❛t♦r♥ ✐ ❞❡ ✢❡st❛ ❢❛❧❧✳ ❋ör ❛tt ❦✉♥♥❛ ❛♥✈ä♥❞❛ ❞❡♥ ❢r❛♠t❛❣♥❛r❡❣✉❧❛t♦r♥ s❦✉❧❧❡ ❡tt st♦rt ❢♦❦✉s ❜❡❤ö✈❛ ❧ä❣❣❛s ♣å ❤✉r ❡♥ ❜ättr❡ s❦❛tt♥✐♥❣❛✈ trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t❡t ❦❛♥ t❛s ❢r❛♠✳ ❉❡♥♥❛ s❦❛tt♥✐♥❣ s❦✉❧❧❡ ❜❡❤ö✈❛ ✈❛r❛ ✐♥✲♦♠ ❡♥ r✐♠❧✐❣ ❣rä♥s ✐❢rå♥ ❞❡t ✈❡r❦❧✐❣❛ ✈är❞❡t ❢ör ❛tt r❡❣✉❧❛t♦r♥ s❦✉❧❧❡ ❦✉♥♥❛❛♥✈ä♥❞❛s ♣å ❡tt sä❦❡rt sätt✳

❊tt ♣r♦❜❧❡♠ s♦♠ ❦✈❛rstår ä✈❡♥ ♦♠ ❡♥ ❜r❛ ❡st✐♠❡r✐♥❣ s❦✉❧❧❡ ✜♥♥❛s är ✈❛❞s♦♠ ❤ä♥❞❡r ✈✐❞ s♥❛❜❜❛ ❢❛❧❧ ✐ trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t ❡❧❧❡r ♦♠ ❡tt ❢ör ❤ö❣t ✈är❞❡ ❢ås✈✐❞ ❡st✐♠❡r✐♥❣❡♥ ❛✈ trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t❡t✳ ❊tt ❢ör ❤ö❣t ❡st✐♠❡r❛t ✈är❞❡ ♣å trö❣✲❤❡ts♠♦♠❡♥t❡t ♠❡❞❢ör ❡♥ ❛❣❣r❡s✐✈ r❡❣❧❡r✐♥❣ ♦❝❤ ❞❡ ♦s❝✐❧❧❛t✐♦♥❡r ✐ ✈r✐❞♠♦♠❡♥ts♦♠ ✉♣♣står ❦❛♥ s❦❛❞❛ ❦♦♠♣♦♥❡♥t❡r ✐ ❞r✐✈❧✐♥❛♥ ♦❝❤ ❞❡t s♦♠ ❞r✐✈s ❛✈ ❦r❛❢t✉t✲t❛❣❡t✳ ❇❡r♦❡♥❞❡ ♣å ✈✐❧❦❡♥ t②♣ ❛✈ ✉tr✉st♥✐♥❣ s♦♠ ❞r✐✈s ❛✈ ❦r❛❢t✉tt❛❣❡t s❦✉❧❧❡❞❡tt❛ ❛❣❣r❡s✐✈❛ ❜❡t❡❡♥❞❡ ä✈❡♥ ❦✉♥♥❛ ✐♥♥❡❜är❛ ❡♥ ❢❛r❛ ❢ör ♦♠❣✐✈♥✐♥❣❡♥✳ På

✹✾

❣r✉♥❞ ❛✈ ❞❡tt❛ ♣r♦❜❧❡♠ så s❦✉❧❧❡ ❡♥ r❡❣✉❧❛t♦r ❛✈ ❞❡♥ t②♣ s♦♠ ❞✐s❦✉t❡r❛ts ✐❞❡♥♥❛ r❛♣♣♦rt ❡❧❧❡r ❡♥ ❧✐❦♥❛♥❞❡ ❛❞❛♣t✐✈ r❡❣✉❧❛t♦r ❜❡❤ö✈❛ ❡tt ❦♦♥tr♦❧❧s②st❡♠✐♥♥❛♥ ❞❡♥ ❦❛♥ ❛♥✈ä♥❞❛s sä❦❡rt ✐ ❡tt ✈❡r❦❧✐❣t s②st❡♠✳ ❉❡tt❛ ❦♦♥tr♦❧❧s②st❡♠s❦✉❧❧❡ t✐❧❧ ❡①❡♠♣❡❧ ❦✉♥♥❛ ♦❜s❡r✈❡r❛ r❡❣✉❧❛t♦r♥s ❜❡❣är❞❛ ♠♦♠❡♥t ♦❝❤ ♠♦t♦r♥s✈❛r✈t❛❧ ♦❝❤ ❣❡ ❡♥ ✈❛r♥✐♥❣ss✐❣♥❛❧ ❞å ❞❡t ✉♣♣tä❝❦s ♦s❝✐❧❧❛t✐♦♥❡r ✐ s②st❡♠❡t✳

■ ✜❣✉r ✺✳✺ ✈✐s❛s ❞❡♥ ♠♦❞❡❧❧❜❛s❡r❛❞❡ r❡❣✉❧❛t♦r♥s ♣♦t❡♥t✐❛❧ ♦♠ ♠❡r t✐❞s❦✉❧❧❡ ❦✉♥♥❛ ❧ä❣❣❛s ♣å ❛tt ❧ös❛ s❦❛tt♥✐♥❣❡♥ ❛✈ trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t✳ ❉å r❡❣✉❧❛✲t♦r♥ ❤❛r ❡♥ ✐♥s✈ä♥❣♥✐♥❣st✐❞ s♦♠ stä❧❧s ✐♥ ♠❡❞ ❤❥ä❧♣ ❛✈ ♣❛r❛♠❡tr❛r♥❛ τ ♦❝❤ γ

✭s❡ ❡❦✈❛t✐♦♥ ✸✺✮ ❢ås ❡tt ❧✐❦♥❛♥❞❡ ✉ts❡❡♥❞❡ ♣å ✈❛r✈t❛❧❡t ♦❛✈s❡tt ✈✐❧❦❡t s②st❡♠s♦♠ ❞r✐✈s ❛✈ ♠♦t♦r♥✳ ❉❡♥♥❛ ✜❣✉r ✈✐s❛r ❛tt ❡♥ ❛❞❛♣t✐✈ r❡❣✉❧❛t♦r ♣å ❞❡♥ ❢♦r♠s♦♠ ✉♥❞❡rsö❦ts ❤är s❦✉❧❧❡ ❦✉♥♥❛ ❣❡ ❡♥ ❜ättr❡ r❡❣❧❡r✐♥❣ ❛✈ ❡tt ♦❦ä♥t s②st❡♠ä♥ ❞❡♥ P■❉✲r❡❣✉❧❛t♦r s♦♠ ❛♥✈ä♥❞s ❛✈ ❢ör❡t❛❣❡t ✐❞❛❣✳ ❉❡t störst❛ ♣r♦❜❧❡♠❡ts♦♠ ❤✐♥❞r❛r ❞❡♥ ♠♦❞❡❧❧❜❛s❡r❛❞❡ r❡❣✉❧❛t♦r♥ ❢rå♥ ❛tt ❦✉♥♥❛ ❛♥✈ä♥❞❛s är ❛tt❞❡t är s✈årt ❛tt t❛ ❢r❛♠ ❡tt ✈är❞❡ ♣å trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t❡t ♦❝❤ ❡♥ ✈✐❞❛r❡ st✉❞✐❡s❦✉❧❧❡ ❜❡❤ö✈❛s ❢ör ❛tt t❛ ❢r❛♠ ❡♥ s❦❛tt♥✐♥❣ s♦♠ ❧②❝❦❛s ✐ ✢❡r ❢❛❧❧✳

✺✵

✼ ❋♦rts❛tt ❛r❜❡t❡

❆❞❛♣t✐✈ r❡❣❧❡r✐♥❣ är ❡tt ❢ä❧t s♦♠ ❢♦rt❢❛r❛♥❞❡ ✉t✈❡❝❦❧❛s ♦❝❤ ❞❡t ✜♥♥s ✢❡r❛♣r♦❜❧❡♠ s♦♠ s❦✉❧❧❡ ❜❡❤ö✈❛ ❧ös❛s✳ ■ ❞❡t ❛r❜❡t❡ s♦♠ ✉t❢örts ❤är ❧②❝❦❛❞❡s ✐♥t❡❡st✐♠❡r✐♥❣❡♥ ❞å ❜❡❧❛st♥✐♥❣s♠♦♠❡♥t❡t ä♥❞r❛s ❢rå♥ ❞❡ ✈är❞❡♥ s♦♠ ❛♥✈ä♥❞❡s❢ör ❛tt t❛ ❢r❛♠ ❑❛❧♠❛♥♣❛r❛♠❡tr❛r✳ ❉❡t s❦✉❧❧❡ ✈❛r❛ ✐♥tr❡ss❛♥t ❛tt ❢♦rtsätt❛✉♥❞❡rsö❦❛ ❑❛❧♠❛♥✜❧t❡t ♦❝❤ ❞❡ss ✐♥stä❧❧♥✐♥❣❛r ❢ör ❛tt ❢å ❡♥ ❡st✐♠❡r✐♥❣ s♦♠❧②❝❦❛s ♦❛✈s❡tt ❜❡❧❛st♥✐♥❣s♣r♦✜❧✳ ❊st✐♠❡r✐♥❣❡♥ s❦✉❧❧❡ t✐❧❧ ❡①❡♠♣❡❧ ❦✉♥♥❛ ❢ör✲❜ättr❛s ❣❡♥♦♠ ❛tt ❡♥ ❜ättr❡ ✜❧t❡r❞❡s✐❣♥ ❞är ♠❛tr✐s❡♥ ◗ ❢örä♥❞r❛s ✉♥❞❡r ❞r✐❢t❢ör ❛tt r❡✢❡❦t❡r❛ ❤✉r s②st❡♠❡t ä♥❞r❛s✳ ❊tt ❛❧t❡r♥❛t✐✈ s❦✉❧❧❡ ✈❛r❛ ❛tt ✉♥❞❡r✲sö❦❛ ❛❧❣♦r✐t♠❡♥ ❊①t❡♥❞❡❞ ❑❛❧♠❛♥ ❋✐❧t❡r ✭❊❑❋✮ s♦♠ ❦❛♥ ❤❛♥t❡r❛ ♦❧✐♥❥är❛s②st❡♠✳ ❉♦❝❦ så ❦✈❛rstår ✢❡r❛ ❛♥❞r❛ ♣r♦❜❧❡♠ s♦♠ ä✈❡♥ ❞❡ ❦rä✈❡r ❡♥ ❧ös♥✐♥❣✐♥♥❛♥ ❞❡♥ r❡❣✉❧❛t♦r s♦♠ t❛❣✐ts ❢r❛♠ ✐ ❞❡tt❛ ♣r♦❥❡❦t ❛♥✈ä♥❞s ✐ ❡tt ✈❡r❦❧✐❣ts②st❡♠✳

■ ❞❡♥ r❡❣✉❧❛t♦r s♦♠ t❛❣✐ts ❢r❛♠ ❤❛r ❛♥t❛❣❛♥❞❡t ❣❥♦rts ❛tt ❞❡♥ ✉tr✉st♥✐♥❣s♦♠ ❛♥✈ä♥❞s ♣å✈❡r❦❛r ♠♦t♦r♥ ❞✐r❡❦t ✈✐❛ ❦r❛❢t✉tt❛❣❡t✳ ■ ❡tt ✈❡r❦❧✐❣t s②st❡♠❞r✐✈❡r ❞♦❝❦ ♠♦t♦r♥ ♦❢t❛ ❡♥ ❤②❞r❛✉❧♣✉♠♣ s♦♠ ✐ s✐♥ t✉r ❞r✐✈❡r ✉tr✉st♥✐♥❣❡♥✳❉❡tt❛ ❜ör ✉♥❞❡rsö❦❛s ❢ör ❛tt s❡ ❤✉r ❞❡tt❛ s❦✉❧❧❡ ♣å✈❡r❦❛ r❡❣✉❧❛t♦r♥✳ ❉❡t s❦✉❧❧❡ä✈❡♥ ✈❛r❛ ✐♥tr❡ss❛♥t ❛tt ✉♥❞❡rsö❦❛ ❤✉r ❣❧❛♣♣✱ ✉♣♣✈r✐❞♥✐♥❣ ❛✈ ❛①❧❛r ♦❝❤ ❛♥❞r❛t✐❞s❢ör❞ö❥♥✐♥❣❛r ♣å✈❡r❦❛r ❡st✐♠❡r✐♥❣❡♥ ♦❝❤ r❡❣✉❧❛t♦r♥✳ ❉❡♥ ❢♦r❞♦♥s♠♦❞❡❧❧s♦♠ ❛♥✈ä♥ts är ❢ör❡♥❦❧❛t så ❛tt ❡♥❞❛st ❞❡t ♠♦t♦r❞r✐✈♥❛ ❊❉✲❦r❛❢t✉tt❛❣ ❤❛r❛♥✈ä♥ts✳ ❍är ❤❛r ✉t✈ä①❧✐♥❣❡♥ ✈❛r✐t ❦ä♥t ♦❝❤ ❛♥✈ä♥ts ✐ r❡❣❧❡r✐♥❣❡♥✳ ❖♠ ❞❡♥♥❛r❡❣✉❧❛t♦r ❛♥✈ä♥❞s ✐ ❡tt ✈❡r❦❧✐❣t s②st❡♠ ❦❛♥ ❞❡♥♥❛ ✉t✈ä①❧✐♥❣ ✈❛r❛ ♦❦ä♥❞ ❡❧❧❡r✢❡r❛ ❦r❛❢t✉tt❛❣ ❦❛♥ ❛♥✈ä♥❞❛s s❛♠t✐❞✐❣t ✈✐❧❦❡t s❦✉❧❧❡ ✐♥♥❡❜är❛ ❡tt ♣r♦❜❧❡♠❢ör ❞❡♥ ♥✉✈❛r❛♥❞❡ ♠♦❞❡❧❧❡♥✳ ❉❡t ❛❧t❡r♥❛t✐✈❛ s②♥sätt❡t ❛✈ ♠♦❞❡❧❧❡♥ s♦♠ t❛s✉♣♣ ✐ ❛✈s♥✐tt ✸✳✷ s❦✉❧❧❡ ❦✉♥♥❛ ✈❛r❛ ❡♥ ❧ös♥✐♥❣ ♣å ❞❡tt❛ ♣r♦❜❧❡♠ ♠❡♥ ❞❡♥♥❛♠♦❞❡❧❧ är tr♦❧✐❣❡♥ ❦ä♥s❧✐❣❛r❡ ♠♦t ❣❧❛♣♣✱ ✉♣♣✈r✐❞♥✐♥❣ ♦❝❤ t✐❞s❢ör❞rö❥♥✐♥❣❛r❞å ✐♥❣❡♥ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦♠ s②st❡♠❡t ✜♥♥s ❛tt t✐❧❧❣å ❞å ä✈❡♥ ✉t✈ä①❧✐♥❣❛r ♠åst❡✐♥❣å ✐ ❡st✐♠❡r✐♥❣❡♥✳

❊♥ ✉♥❞❡rsö❦♥✐♥❣ ✐ ❤✉r ♠❛♥ ♦♣t✐♠❡r❛r ✈❛❧❡t ❛✈ ♣❛r❛♠❡tr❛r ✐ r❡❣✉❧❛t♦r♥❜ör ✉t❢ör❛s ❢ör ❛tt ✈❡r❦❧✐❣❡♥ ❢å så st♦r ♥②tt❛ s♦♠ ♠ö❥❧✐❣t ❛✈ ❞❡♥ ♥②❛ r❡❣✉❧❛✲t♦r♥✳ ■ ❞❡♥ ✉♥❞❡rsö❦♥✐♥❣ s♦♠ ❞❡♥♥❛ r❛♣♣♦rt ❜❡❤❛♥❞❧❛r ❤❛r ❞❡ss❛ ✭τ ♦❝❤ γ✮✈❛r✐t ❦♦♥st❛♥t❛✳ ❉❡ss❛ s❦✉❧❧❡ ♠ö❥❧✐❣t✈✐s ❦✉♥♥❛ ✈❛r✐❡r❛s ✉♥❞❡r ❞r✐❢t ❢ör ❛tt ❢ör✲❜ättr❛ r❡❣✉❧❛t♦r♥s ♣r❡st❛♥❞❛✳ ❉❡tt❛ ❤❛r ❞♦❝❦ ✐♥t❡ ❤✉♥♥✐ts ♠❡❞ ✉♥❞❡r ❞❡tt❛❡①❛♠❡♥s❛r❜❡t❡ ♠❡♥ ❧ä♠♥❛s ❢ör ❢r❛♠t✐❞❛ ❛r❜❡t❡ ♣å r❡❣✉❧❛t♦r♥✳

❋ör ❛tt ä♥❞r❛ r❡❣✉❧❛t♦r♥s ♣❛r❛♠❡tr❛r s❦✉❧❧❡ ❞❡t ✈❛r❛ ö♥s❦✈ärt ❛tt ✈❡t❛✈✐❧❦❡♥ t②♣ ❛✈ ✉tr✉st♥✐♥❣ s♦♠ är ✐♥❦♦♣♣❧❛t ♣å ❦r❛❢t✉tt❛❣❡t✳ ❉❡t s❦✉❧❧❡ ❞är❢ör✈❛r❛ ✐♥tr❡ss❛♥t ❛tt ✉♥❞❡rsö❦❛ ♦♠ ❞❡t är ♠ö❥❧✐❣t ❛tt ✉t✐❢rå♥ ❞❡t ❡st✐♠❡r❛❞❡

✺✶

trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t❡t ♦❝❤ ❜❡❧❛st♥✐♥❣s♠♦♠❡♥t❡t ✉♣♣tä❝❦❛ ✈✐❧❦❡♥ t②♣ ❛✈ ✉tr✉st✲♥✐♥❣ s♦♠ ❤❛♥t❡r❛s✳ ❉❡t s❦✉❧❧❡ ❦rä✈❛ ❛tt ♠ö♥st❡r ♦❝❤ ❢r❡❦✈❡♥s❡r ✐ ❜❡❧❛st♥✐♥❣s✲♣r♦✜❧❡r ✉♥❞❡rsö❦s ♦❝❤ ❦❧❛ss✐✜❝❡r❛s✳ ❉❡t s❦✉❧❧❡ ä✈❡♥ ❦rä✈❛s ❡♥ ✉♥❞❡rsö❦♥✐♥❣♦♠ ❤✉r ❞❡ ♦❧✐❦❛ t②♣❡r♥❛ s❦❛ st②r❛s✳ ❉❡t ✈✐❧❧ sä❣❛✱ är ❞❡♥ ♦♣t✐♠❛❧❛ st②r♥✐♥❣✲❡♥ ❢ör ❡♥ ❦r❛♥ s❛♠♠❛ s♦♠ ❞❡♥ ♦♣t✐♠❛❧❛ st②r♥✐♥❣❡♥ ❛✈ ❡♥ ♣✉♠♣ ❡❧❧❡r ❜örr❡❣✉❧❛t♦r♣❛r❛♠❡tr❛r♥❛ s❡ ♦❧✐❦❛ ✉t ❢ör ❞❡ ♦❧✐❦❛ ❢❛❧❧❡♥❄

■ ❛✈s♥✐tt❡t ❙❧✉ts❛ts❡r ✭✻✮ ♥ä♠❞❡s ❤✉r ❡♥ ❢❡❧❡st✐♠❡r✐♥❣ ❛✈ trö❣❤❡ts♠♦✲♠❡♥t❡t s❦✉❧❧❡ ❦✉♥♥❛ ❢å ❛❧❧✈❛r❧✐❣❛ ❦♦♥s❡❦✈❡♥s❡r✳ ❉❡t s❦✉❧❧❡ ✈❛r❛ ❡♥ ✐♥tr❡ss❛♥t✈✐❞❛r❡✉t✈❡❝❦❧✐♥❣ ❛✈ r❡❣✉❧❛t♦r♥ ♦♠ ❡tt sä❦❡r❤❡tss②st❡♠ ❦✉♥❞❡ t❛s ❢r❛♠✳ ❉❡tt❛sä❦❡r❤❡tss②st❡♠ s❦✉❧❧❡ ❦✉♥♥❛ ♦❜s❡r✈❡r❛ s✐❣♥❛❧❡r ✐ ❞r✐✈❧✐♥❛♥ ♦❝❤ ✈❛r♥❛ ❞å ❞❡t❡st✐♠❡r❛❞❡ trö❣❤❡ts♠♦♠❡♥t❡t är ❢ör ❧å❣t ❢ör ❛tt ❤å❧❧❛ ♠♦t♦r♥ ✐❣å♥❣ ❡❧❧❡r ❢ör❤ö❣t så ❛tt ♦s❝✐❧❧❛t✐♦♥❡r s❦❛♣❛s✳

✺✷

✽ ❘❡❢❡r❡♥s❡r

❬✶❪ ❚✳ ●❧❛❞✱ ▲✳ ▲❥✉♥❣❘❡❣❧❡rt❡❦♥✐❦ ✲ ●r✉♥❞❧ä❣❣❛♥❞❡ t❡♦r✐✳✹✳ ✉♣♣❧✳ ❙t✉❞❡♥t❧✐tt❡r❛t✉r ❆❇✱ ▲✉♥❞✱ ✷✵✵✻

❬✷❪ ❋✳ ●✉st❛❢ss♦♥✱ ▲✳ ▲❥✉♥❣ ♦❝❤ ▼✳ ▼✐❧❧♥❡rt❙✐❣♥❛❧❜❡❤❛♥❞❧✐♥❣✳✷✳ ✉♣♣❧✳ ❙t✉❞❡♥t❧✐tt❡r❛t✉r ❆❇✱ ▲✉♥❞✱ ✷✵✵✶

❬✸❪ ▼✳ ●r❡✇❛❧✱ ❆✳ ❆♥❞r❡✇s❑❛❧♠❛♥ ❋✐❧t❡r✐♥❣ ✲ ❚❤❡♦r② ❛♥❞ Pr❛❝t✐❝❡ ❯s✐♥❣ ▼❛t❧❛❜✳✷✳ ✉♣♣❧✳ ❏♦❤♥ ❲✐❧❡② ✫ ❙♦♥s✱ ■♥❝✱ ✷✵✵✶

❬✹❪ ▲✳ ❊r✐❦ss♦♥✱ ▲✳ ◆✐❡❧s❡♥▼♦❞❡❧✐♥❣ ❛♥❞ ❈♦♥tr♦❧ ♦❢ ❊♥❣✐♥❡s ❛♥❞ ❉r✐✈❡❧✐♥❡s✳❱❡❤✐❝✉❧❛r ❙②st❡♠s✱ ■❙❨ ▲✐♥❦ö♣✐♥❣ ■♥st✐t✉t❡ ♦❢ ❚❡❝❤♥♦❧♦❣②✱ ✷✵✵✾✳

❬✺❪ ❯✳ ❑✐❡♥❝❦❡✱ ▲✳ ◆✐❡❧s❡♥❆✉t♦♠♦t✐✈❡ ❈♦♥tr♦❧ ❙②st❡♠s✿ ❋♦r ❊♥❣✐♥❡✱ ❉r✐✈❡❧✐♥❡ ❛♥❞ ❱❡❤✐❝❧❡✳✷✳ ✉♣♣❧✳ ❙♣r✐♥❣❡r✱ ✷✵✵✺

❬✻❪ ❑✳❏✳ ➴strö♠✱ ❇✳ ❲✐tt❡♥♠❛r❦❆❞❛♣t✐✈❡ ❈♦♥tr♦❧✳✶✳ ✉♣♣❧✳ ❆❞❞✐s♦♥✲❲❡s❧❡②✱ ✶✾✽✾

❬✼❪ ❆✳ ❱❛❤✐❞✐✱ ❆✳ ❙t❡❢❛♥♦♣♦✉❧♦✉ ♦❝❤ ❍✳ P❡♥❣❘❡❝✉rs✐✈❡ ❧❡❛st sq✉❛r❡s ✇✐t❤ ❢♦r❣❡tt✐♥❣ ❢♦r ♦♥❧✐♥❡ ❡st✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ✈❡❤✐❝❧❡

♠❛ss ❛♥❞ r♦❛❞ ❣r❛❞❡✿ t❤❡♦r② ❛♥❞ ❡①♣❡r✐♠❡♥ts✳❱❡❤✐❝❧❡ ❙②st❡♠ ❉②♥❛♠✐❝s✱ ❱♦❧✉♠❡ ✹✸✱ ◆✉♠❜❡r ✶✱ ❏❛♥✉❛r✐ ✷✵✵✺✱ s✳ ✸✶✲✺✺

❬✽❪ ▼✳ ❙❡❧❧❞é♥❊st✐♠❡r✐♥❣ ❛✈ ❧❛st❡r ♣å P❚❖✲❦r❛❢t✉tt❛❣✳❊①❛♠❡♥s❛r❜❡t❡✱ ▲✐♥❦ö♣✐♥❣s ❯♥✐✈❡rs✐t❡t✱ ✷✵✶✶▲✐❚❍✲■❙❨✲❊❳✲✲✶✶✴✹✸✻✷✲✲❙❊

❬✾❪ ❙❝❛♥✐❛ ❈❱ ❆❇P♦✇❡r ❚❛❦❡✲♦✛s✳❤tt♣✿✴✴❜♦❞②❜✉✐❧❞❡r❤♦♠❡♣❛❣❡✳s❝❛♥✐❛✳❝♦♠ ❃ ❇♦❞②✇♦r❦ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❃P♦✇❡r t❛❦❡✲♦✛s ❯❘▲❤ä♠t❛❞ ✷✵✶✸✲✵✺✲✵✻✳

❬✶✵❪ ❙❝❛♥✐❛ ❈❱ ❆❇❑r❛❢t✉tt❛❣✱ ♠♦t♦r✳❤tt♣✿✴✴✇✇✇✳s❝❛♥✐❛✳s❡✴❧❛st❜✐❧❛r✴♠❛✐♥✲❝♦♠♣♦♥❡♥ts✴tr❛♥s♠✐ss✐♦♥s✴♣♦✇❡r✲t❛❦❡✲♦✛s✴❡♥❣✐♥❡✳❛s♣① ❯❘▲❤ä♠t❛❞ ✷✵✶✸✲✵✾✲✶✹✳

✺✸

❬✶✶❪ ❙❝❛♥✐❛ ❈❱ ❆❇❑r❛❢t✉tt❛❣✱ ✈ä①❡❧❧å❞❛✳❤tt♣✿✴✴✇✇✇✳s❝❛♥✐❛✳s❡✴❧❛st❜✐❧❛r✴♠❛✐♥✲❝♦♠♣♦♥❡♥ts✴tr❛♥s♠✐ss✐♦♥s✴♣♦✇❡r✲t❛❦❡✲♦✛s✴❣❡❛r❜♦①✳❛s♣① ❯❘▲❤ä♠t❛❞ ✷✵✶✸✲✵✾✲✶✹✳

❬✶✷❪ ❱♦❧✈♦ ❚r✉❝❦ ❈♦r♣♦r❛t✐♦♥❑r❛❢t✉tt❛❣ ♦❝❤ ❤②❞r❛✉❧♣✉♠♣❛r✳❤tt♣✿✴✴♣r♦❞✉❝t✐♥❢♦✳✈t❝✳✈♦❧✈♦✳s❡✴✜❧❡s✴♣❞❢✴❧♦✴P♦✇❡r✪✷✵❚❛❦❡✲♦✛✪✷✵✭P❚❖✮❴❙✇❡❴✵✽❴✺✽✵✶✶✺✳♣❞❢ ❯❘▲❤ä♠t❛❞ ✷✵✶✸✲✵✺✲✶✷✳

✺✹