M E H A N I K A F L U I D A

Dr.sc. Antun Glasnović, red. prof

Literatura:

1. B. S. Masey, Mechanics of Fluids, 2nd Ed., Butler&Tanner, London, 1976.

2. D. N. Roy, Applied Fluid Mechanics, J. Wiley, New York, 1989.

3. J. Ferguson, Z. Kemblowski, Applied Fluid Rheology, Elsevier, London

4. I. H. Shames, Mechanics of Fluids, 4tf Ed., Mc Graw-Hill Companies, New York,

2003.

5. M. Pečornik, Tehnička mehanika fluida, Školska knjiga, Zagreb, 1985.

6. I. P. Granet, Fluid Mechanics for Engineering Tehnology, Simon&Schuster, New

York, 1989.

7. B. R. Munson, D. F. Young, T. K. Okiishi, Fundamentals of Fluid Mechanics, 5th

Ed.,J. Wiley&Sons. Ltd., 2005.

1

MEHANIKA FLUIDA predstavlja znanost o mehaničkom ponašanju fluida.

Mehanika fluida je dio širokog znanstvenog područja koje se naziva REOLOGIJA (znanost o

tečenju).

REOLOGIJA je grana mehanike koja se bavi modelima neprekidnih sredina i proučava odnose

između naprezanja i brzina deformacije.

Mehanika fluida se ovisno o stanju fluida dijeli na područja:

Statika fluida – bavi se zakonima ravnoteže i tlakovima u fluidima u stanju mirovanja

Kinematika fluida – bavi se zakonima o gibanju fluida

Dinamika fluida – bavi se silama koje djeluju na fluide,

gibanjima koja nastaju pod djelovanjem tih sila i

interakcijama između čvrstih tijela i fluida u gibanju.

Prema vrsti fluida razlikuju se dvije osnovne grane:

Aerodinamika – znanost o ravnoteži i gibanjima stlačivih

fluida (plinova)

Hidrodinamika – znanost o ravnoteži i gibanjima nestlačivih fluida (kapljevina)

RAZVOJ MEHANIKE FLUIDA KROZ POVIJEST

Prethistorijsko doba – splav, čamac, brod, jedro, vodeničko kolo

Prva zapisana tumačenja:

Aristotel – proučava gibanje tijela kroz zrak i vodu i zaključuje da je otpor medija (sila otpora)

proporcionalan gustoći medija

FD = f (ρ)

Arhimed – osnivač hidrostatike

2

Leonardo da Vinci – hidrostatika, hidrodinamika, mehanika leta

- postavio princip zakona kontinuiteta

- postavio približnu raspodjelu brzina kod turbulentnog strujanja

- izradio nacrte različitih hidrauličkih uređaja (preteče

centrifugalne pumpe)

Galileo Galilei, Torricelli...

Veliki doprinos razvoju Mehanike fluida dali su matematičari

Descartes, Leibnitz, Pascal

Issac Newton - uveo pojam kontinuuma, viskoznost, princip količine gibanja

Bernoulli (XVII.) - postavio zakon očuvanja mehaničke energije,

definirao pojam unutrašnjeg tlaka

Euler (XVIII.) - osnivač moderne hidromehanike primijenio

matematičku analizu izveo prve jednadžbe gibanja

idealnog fluida uveo pojam kavitacije i razjasnio

princip rada centrifugalnih uređaja i reakcijske

turbine

U XVIII. i XIX. stoljeću učinjen je veliki napredak u eksperimentalnoj mehanici fluida.

( Pitot, Ventouri, Haggen, Poisseuille, Darcy)

Navier (XIX.) - modificirao Eulerove diferencijalne jednadžbe strujanja fluida uzevši u obzir i

molekularne sile

Stokes u Navierove jednadžbe uveo viskoznost

Osborne Reynolds – opis strujanja (laminarno i turbulentno)

3

Ludwig Prandtl (1875–1953.) – osnivač današnje mehanike fluida, postavio teoriju graničnog

sloja, objasnio turbulenciju

Mehanika fluida – interdisciplinarna znanost koju su razvijali znanstvenici različitih profila:

matematičari

fizičari

fizikalni kemičari

inženjeri različitih struka (strojarski, građevinski, rudarski, geološki), a od XX stoljeća i

kemijski inženjeri

FIZIKALNE OSNOVE

Fluid ili tekućina je tvar koja se pod djelovanjem smičnog naprezanja, koliko god malenog,

neprekidno deformira.

Smično naprezanje je tangencijalna komponenta površinske sile podijeljene s površinom.

Neprekidna deformacija, o kojoj se govori u definiciji fluida, pojava je koja se naziva strujanje

fluida.

Strujanje fluida - ireverzibilan proces

U fluidu u stanju mirovanja ne postoje smična naprezanja

Čvrsta tijela (elastična) se, za razliku od fluida, deformiraju pod djelovanjem smičnog

naprezanja (do određene granice), a nakon prestanka djelovanja naprezanja poprimaju prvobitni

oblik.

Prividno čvrsta tijela – kada naprezanje premaši određenu vrijednost neprekidno se deformiraju

poput fluida («plastično strujanje»)

4

TEKUĆINE (kapljevine i plinovi)

Neprekidna sredina ili KONTINUUM

Fluid se ponaša kao neprekidna sredina ili kontinuum koji zadržava neprekidnost fizikalnih

svojstava prelazeći od infinitezimalne volumene, odnosno u graničnom slučaju u točku.

KRITERIJ KONTINUUMA

Knudsenov broj 1<Kn

LlKn = fluid se ponaša kao kontinuum

STLAČIVO I NESTLAČIVO STRUJANJE

Mach-ov broj: cvMa =

3,0...02,0<Ma utjecaj stlačivosti zanemaren - nestlačivo strujanje

3,0<Ma stlačivo strujanje

GUSTOĆA

Vm

V ΔΔ

=→Δ 0

limρ Vm

kap =ρ o

dρρ

=

d - relativna gustoća

VISKOZNOST

Svojstvo otpornosti fluida prema smičnoj ili kutnoj deformaciji naziva se viskoznost.

Recipročno svojstvo - fluidnost.

TEKUĆINA(fluid)

Kapljevina(liquid)

Plin(gas)

TEKUĆINA(fluid)

Kapljevina(liquid)

Plin(gas)

cvMa =

5

REOLOGIJA – znanost koja se bavi proučavanjem deformacija materijala (krutina) ili njihovog

toka (tekućine) zbog djelovanja sila.

Reologija određuje odnose između brzine protjecanja (smične brzine) i tlaka (smičnog

naprezanja) koje uzrokuje gibanje fluida.

Pojam viskoznosti prvi je uveo Newton.

Gibanje fluida zamišljeno je kao gibanje zamišljenih slojeva (ploha) fluida koji se kreću paralelno,

ali različitim brzinama.

Zamislimo gibanje fluida između dvije čvrste plohe od kojih jedna miruje, a druga se giba

brzinom v.

dydv - gradijent brzine

F – sila koja uzrokuje gibanje

Ftr- sila koja se opire gibanju

NEWTONOV ZAKON VISKOZNOSTI:

ili

dijeljenjem s površinom

vrijedi za laminarno (slojevito)gibanje

τ - smično naprezanje, Pa

η - dinamička viskoznost (koeficijent viskoznosti), Pa·s

y

x

v1

v2

v3

dy

dv

y

x

v1

v2

v3

dy

dv

F

vx=0 x

y vx(y) Ftr

vx(y1)vx(y2)

dydv

F

vx=0 x

y vx(y) Ftr

vx(y1)vx(y2)

dydv

dydvSF ⋅⋅=η

dydvSFtr ⋅⋅−= η

dydv

SF

⋅== ητ

6

- gradijent brzine (smično naprezanje), s-1

Grafički prikaz Newtonovog zakona

η1> η2>η3

η - koeficijent smjera pravca

Svi fluidi koji se ponašaju po toj zakonitosti nazivaju se Newtonoski fluidi

- kinematička viskoznost, m2·s-1

Newtonov zakon:

v·ρ - količna gibanja po jedinici volumena

OPĆENITIJI OBLIK NEWTONOVOG ZAKONA

Promatra se pravokutni element fluida:

v(M1)>v(M)

vx(y) vx(y+Δy)

γ&=dydv

ρην =

dyvd )( ρντ ⋅

⋅=

Vvm ⋅

ydydvMvMv x Δ⋅+≅ )()( 1

7

Put koji prođe točka M u vremenu t do t+Δt je vx(y)·Δt

Udaljenost točke M1 od vertikale:

za male kutove:

Promjena kuta s vremenom – brzina kutne deformacije

ili

Smično naprezanje u fluidu proporcionalno je brzini kutne deformacije.

Analogija s Hookeovim zakonom za elastična čvrsta tijela:

Newton: Hooke:

SILE U FLUIDU

Na ili u masi fluida djeluju razne sile:

- gravitacijske

- tlačne

- smične

tydydvx Δ⋅Δ⋅

y

tydydv

tg

x

Δ

Δ⋅Δ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=Δ )( θ

θθ Δ≈Δ )(tg

dydv

tyty

dydv

dtd x

x

xyt

=Δ

ΔΔ⋅Δ⋅

=

→Δ→Δ→Δ

000

limθ ,dydv

dtd x=θ

dydvητ = dt

dθητ =

γτη&

= εσ

=E

8

- inercijske...

Sa stajališta korisnosti:

-korisne sile (npr. uzgon)

-parazitske (sile otpora)

Određivanje i definiranje tih sila – zadatak mehanike fluida.

Sve se sile mogu razvrstati u dvije grupe:

masene ili volumenske sile (vanjske) površinske sile (vanjske)

gravitacijska tlačna sila

centrifugalna sila trenja

inercijska sila napetosti površine

elektromagnetska

Masene sile

-raspoređene su po prostoru i djeluju na svaki djelić fluida

-javljaju se bez fizičkog dodira, a rezultat su položaja mase u određenom polju sile

Gustoća masene sile (akceleracija):

Vanjska sila (diferencijalna):

Relativno se jednostavno određuju.

Površinske sile

Posljedice su dodira između samih čestica fluida ili između čestica fluida i stjenke čvrstog tijela

(npr. posuda, cijev, avion)

Najčešće se ne mogu egzaktno odrediti.

Zbog toga: problemi mehanike fluida su najčešće vezani uz

određivanje rasporeda površinskih sila, te njihovih

kvantitativnih vrijednosti.

VFlim

mFlima m

V

m

m ΔΔ

ρΔΔ

ΔΔ

rrr

00

1→→

==

dVaFd m ⋅⋅= ρrr

9

PROBLEM!

Potrebno je utvrditi kolika mora biti vanjska sila da bi se savladale unutrašnje sile.

Promatrajmo zamišljeni elementarni (individualni) volumen fluida koji se giba u prostoru:

REZULTANTA MASENIH SILA:

REZULTANTA POVRŠINSKIH SILA:

(kojom čestice fluida izvan elementarnog volumena djeluju na promatrani elementarni djelić

fluida)

(granična ploha može biti i stjenka posude)

Integriranjem diferencijalnih sila dobiva se rezultanta svih sila koje djeluju na cijelu masu fluida:

STATIKA FLUIDA

Proučava zakone ravnoteže i tlakove u fluidima u stanju mirovanja fluida i u relativnom

mirovanju.

Nema tangencijalnih naprezanja niti gibanja čestica fluida (jer nema inercijskih sila koje bi

uzrokovale gibanje)

dVa ⋅⋅ ρr

dS⋅σr

10

ZBOG TOGA: pojednostavljen matematički opis, te je statika fluida najegzaktniji dio mehanike

fluida.

Zakoni statike fluida vrijede jednako i za newtonovske i nenewtonske fluide.

Pored masene (gravitacijske) sile, osnovna sila u stanju mirovanja je TLAČNA SILA koja djeluje:

-u cijeloj masi fluida

-na površini posude

Promatrajmo fluid u cilindričnoj posudi:

Volumen fluida:

Sila na dno posude:

F=Fp – tlačna sila koja djeluje na dno posude jednaka je težini fluida.

Tlak:

OSNOVNA JEDNADŽBA HIDROSTATIKE

HIDROSTATSKI PARADOKS: tlak koji djeluje na dno posude ovisi samo o visini (z), a ne i o

volumenu fluida.

Hidrostatski tlak izražen je kroz čitavu masu fluida

Važno svojstvo hidrostatskog tlaka je što je u svim smjerovima jednak. (Pascal)

Promatrajmo elementarni djelić fluida s bridovima Δx, Δy, Δz

zAV ⋅=

gzAgmF ⋅⋅⋅=⋅= ρ

zgA

gzAA

Fp p ⋅⋅=

⋅⋅⋅== ρρ

zgp ⋅⋅= ρ

11

Ako je hidrostatski tlak u nekoj točki M prikazan funkcijom:

a u točki M1:

Hidrostatski tlak se promjenio za:

Euler

Parcijalni diferencijali predstavljaju promjene hidrostatskog tlaka u smjeru osi x, y ili z.

Bilanca sila u smjeru osi z:

za os x:

(nema sile gravitacije)

za os y:

Uvrštenjem u Eulerovu jednadžbu:

zakonitost promjene hidrostatskog tlaka s visinom (dubinom)

Integriranjem:

težina stupca fluida visine (z-z0) po jediničnoj površini

p0(z)- tlak koji vlada na površini tekućine

( )z,y,xfp =

( )zz,yy,xxfp ΔΔΔ +++=

dzzpdy

ypdx

xpdp ⋅

∂∂

+⋅∂∂

+⋅∂∂

=

0=⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

∂∂

+−⋅⋅ dzdydxgdydxdzzppdydxp ρ

0=⋅−∂∂ g

zp ρ

0=∂∂

xp

0=∂∂

yp

gzp

⋅−=∂∂ ρ

( ) ( ) ∫ ⋅⋅−=z

z

dzgzpzp0

0 ρ

∫ ⋅⋅z

z

dzg0

ρ

12

KONAČNO:

supstitucijom: h – dubina

¸ z - visina

hidrostatski tlak raste s dubinom

DINAMIKA FLUIDA

Vrlo često je u okviru dinamike fluida obuhvaćena i kinematika fluida.

KINEMATIKA FLUIDA opisuje gibanje fluida u vremenu i prostoru, međutim ne ulazi u

uzroke gibanja, te se stoga u razmatranjima ne uzimaju u obzir sile koje uzrokuju gibanja.

DINAMIKA FLUIDA proučava sile koje djeluju na fluide, gibanja koja nastaju pod djelovanjem

tih sila i interakcijama između čvrstih tijela i fluida u gibanju.

U dinamici fluida se proučavaju osnovni zakoni očuvanja:

ZAKON OČUVANJA MASE

ZAKON OČUVANJA KOLIČINE GIBANJA

ZAKON OČUVANJA ENERGIJE (mehaničke)

Iz zakona očuvanja izvode se fundamentalne fenomenološke jednadžbe za newtonske fluide.

Za nenewtonske fluide nužno je povezivanje s fenomenološkim reološkim jednadžbama.

Sva se proučavanja temelje na dva osnovna pristupa:

Lagrange-ov pristup

Prati se putanja čestice kroz prostor. (pogodno kod eksperimentiranja)

Euler-ov pristup

U nekoj fiksnoj točki prostora (definiranoj koordintama) promatraju se brzine, tlakovi i ostale

veličine koje se javljaju u toj točki tijekom vremena.

STACIONARNOST I NESTACIONARNOST PROCESA

Ovisno o promjeni neke fizikalne veličine s vremenom razlikujemo:

stacionarne i nestacionarne procese.

( ) ( )00 zzgpzp −⋅⋅−= ρ

zh −=

( ) hgphp ⋅⋅−= ρ0

13

STACIONARNI PROCESI

razina fluida u spremniku je konstantna

Toriccelli

z=konst. ⇒ v=const. ⇒ vr=const.

NESTACIONARNI PROCESI

POJAM FLUKSA (gustoće toka)

X – količina gibanja

A – površina

t - vrijeme

POJAM TOKA

Volumni protok (tok)

Maseni protok (tok)

zgv ⋅⋅= 2

0=dtdv ( ) 0=

⋅dtvd ρ

11 2 zgv ⋅⋅= 22 2 zgv ⋅⋅=

0≠dtdv ( ) 0≠

⋅dtvd ρ

tAX⋅

=φ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⋅ smkg2

tVV =& ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡s

m3

tmm =& ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

skg

14

OPĆI ZAKON OČUVANJA

- volumni protok, m3 s-1

XV - količina gibanja, tvari ili energije po

jedinici volumena

Npr: (količina gibanja)

Vr – količina generirane veličine X u procesnom prostoru

(nastajanje ili nestajanje)

OPĆI ZAKON

AKUMULACIJA = ULAZ – IZLAZ + GENERACIJA

Fizikalno značenje produkta VXV ⋅& :

ili

Npr:

Dakle mjerodavna veličina kod zakona očuvanja gibanja je sila

Produkt predstavlja brzinu procesa i naziva se tok (maseni tok, toplinski tok).

Zakon očuvanja mase

Promatra se izdvojeni elementarni volumen fluida (paralelopiped s bridovima dx, dy, dz.

V&

vmX ⋅=

vV

vmXV ⋅=⋅

= ρ

rizl,vizlul,vulv VXVXV

dtdXV +⋅−⋅=⋅ &&

sX

mX

smXV v =⋅=⋅ 3

3&

tX

sgibanja.kol

Ft

vm=

⋅

sJ

skg

VXV ⋅&

15

m& - maseni tok, kg·s-1

U smjeru osi x: maseni fluks Φ=vx·ρ kg·m-2·s-1

Opći zakon očuvanja Acc = U – I + G

3mkg

Stacinarni proces: Acc=0

Nema nastajanja ili nastajanja u procesnom prostoru Vr=0

Promatramo protok u smjeru x-osi

Kroz površinu dy·dz potiče maseni tok:

ULAZ

IZLAZ

parcijalna promjena brzine u smjeru os x

Acc=U–I+V

Acc=0 Vr=0

Dakle:

riz,Vizul,VulV VXVXV

dtdXV +⋅−⋅=⋅ &&

ρ==VmXV

0=dt

dXV

mdVXV V && =⋅=⋅ ρ dzdyvV ⋅⋅=&

dzdyvmd xx ⋅⋅⋅= ρ&s

kg

dzdydxxvvmd x

xdxx ⋅⋅⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

∂∂

+=+ ρ&s

kg

0=⋅⋅⋅⋅∂∂ dzdydx

xvx ρ

0=xmd & .konstmx =&

16

Analogno: y-os:

z-os:

Promatrajući ukupni maseni tok u smjeru x, y i z i dijeljenjem jednadžbi s dx, dy i dz:

Za nekompresibilne fluide (kapljevine):

Za jednodimenzijsko gibanje:

Za x-os:

odnosno

Slijedi: ili

Ovaj izraz vrijedi za A = konst.

Općenitiji oblik zakona:

Za x-os:

Za jednodimenzijsko strujanje i ρ=konst:

ZAKON KONTINUITETA v1·A1 =v2·A2 =v3·A3 vx·Ax=konst.

Zakon očuvanja gibanja

0=⋅⋅⋅⋅∂

∂dzdydx

yvy ρ

0=⋅⋅⋅⋅∂∂ dzdydx

zvz ρ

( ) ( ) ( ) 0=∂

⋅∂+

∂

⋅∂+

∂⋅∂

zv

yv

xv zyx ρρρ

0=++ zyx mdmdmd &&& .konstmmm zyx =++ &&&

.konst=ρ 0=∂∂

+∂

∂+

∂∂

zv

yv

xv zyx

( ) 0=∂

⋅∂x

vx ρ 0=∂∂

xvx

.konstvx =⋅ ρ .konstvx =

0=⋅⋅⋅⋅∂∂ dzdydx

xvx ρ

0=⋅⋅⋅⋅∂∂ dzdydx

xvx ρ 0=⋅⋅ dzdydvx

dA.konstdAvx =⋅

321 VVV &&& ==

17

Promatramo elementarni volumen fluida koji struji kroz prostor.

Postavlja se pitanje koje sile djeluju na taj djelić fluida.

Bilanca površinskih sila i vanjske gravitacijske sile.

Tlačne sile:

EULEROVE JEDNADŽBE

za fluid u mirovanju

Kod viskoznog fluida u gibanju javljaju se sile trenja.

smično naprezanje

Prednja ploha dx·dz:

Stražnja ploha dx·dz:

Rezultirajuća smična sila:

os x: 0=∂∂

−xp

os y: 0=∂∂

−yp

os z: 0=⋅−∂∂

− gzp ρ

os x: 0=∂∂

−xp

os y: 0=∂∂

−yp

os z: 0=⋅−∂∂

− gzp ρ

dzdxF

SF trtr

⋅==τ

dydv

⋅=ητ

dyy

⋅∂∂

+ττ

dzdydxy

dzdxdzdxdyy

⋅⋅⋅∂∂

=⋅⋅−⋅⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

∂∂

+ττττ

τ∂ S

trF∂

18

Diferenciranjem:

Pretpostavka: promjena brzine vx odvija se i obzirom na x i z te se sumiranjem dobiva ukupna

promjena smične sile:

Uzimajući u obzir i komponentu ubrzanja u smjeru osi x, tada u smjeru osi x djeluje suma sila:

Osnovni princip dinamike:

Suma svih sila koja djeluje na elementarni volumen fluida u gibanju jednak je inercijskoj sili koja

uzrokuje gibanje.

Općenito:

Promatrajući parcijalno za sve tri osi:

Diferenciranjem po dt:

vx, vy, vz komponente brzine u smjeru osi x, y i z.

Rezultanta sila inercije u smjeru os x, uz mogućnost promjene brzine s vremenom:

Izraz u zagradi predstavlja supstitucionalni izvod ili individualnu vremensku derivaciju i označava

se s:

Ako se prati gibanje elementarnog volumena fluida, i ukoliko se postupak diferenciranja provodi

praćenjem kretanja čestice, tada se ovakav izvod naziva supstitucijalni.

U kemijskom inženjerstvu se supstitucijalni izvod primjenjuje i kod drugih fizikalnih veličina.

Npr.

yvx

∂∂

=ητ

2

2

yv

yx

∂∂

=∂∂ ητ

dzdydxyvdzdydx

yx ⋅⋅⋅

∂∂

=⋅⋅⋅∂∂

2

2

ητ

trzyx dFdzdydx

zv

yv

xv

=⋅⋅⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂

∂+

∂∂

2

2

2

2

2

2

η

τ∂ S

dzdydxzv

yv

xv

xpa xxx

x ⋅⋅⋅⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

−⋅ 2

2

2

2

2

2

ηρ

dtdvdzdydxF ⋅⋅⋅⋅= ρ

dxxvdv ⋅

∂∂

= dyyvdv ⋅

∂∂

= dzzvdv ⋅

∂∂

=

dtdx

xv

tv xx ⋅

∂∂

=∂

∂

dtdy

yv

tv xx ⋅

∂∂

=∂

∂dtdz

xv

tv xx ⋅

∂∂

=∂

∂

xvdtdx

= yvdtdy

= zvdtdz

=

dzdydxzvv

yvv

xvv

tv:F x

zx

yx

xx

i ⋅⋅⋅⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⋅+∂∂

⋅+∂∂

⋅+∂

∂ ρ

DtDvx

DtDρ

DtDv

DtDc

DtDT

DtDF

19

Značenje članova npr. :

lokalna promjena gustoće ovaj član ukazuje na stacionarnost (nestacionarnost)

procesa

konvektivna promjena gustoće u prostoru

Konačno:

Izjednačavanjem svih sila koje djeluju na elementarni volumen fluida:¸

sila inercije = sila gravitacije + tlačne sile + viskozne sile

masene sile unutrašnje sile

površinske sile

To znači da sve sile moraju biti u ravnoteži:

Sada se zakon očuvanja u skraćenom obliku može napisati:

x-os:

y-os.

z-os:

ili:

Navier-Stokesova jednadžba za strujanje viskoznih fluida

Navier-Stokesova jednadžba predstavlja najopćenitiji oblik zakona očuvanja količine gibanja i

vrijedi za Newtonskwe fluide i nekompresibilne fluide, te za laminarno strujanje.

Zašto najopćenitiji?

promatra se strujanje u svim smjerovima u prostoru

uzima se u obzir stacionarnost odnosno nestacionarnost procesa

ZNAČENJE ČLANOVA NAVIER-STOKESOVE JEDNADŽBE:

predstavlja promjenu akumulacije količine gibanja s vremenom i prijenos količine

gibanja u prostoru.

DtDρ

t∂∂ρ

zv

yv

xv

tDtD

zyx ∂∂

⋅+∂∂

⋅+∂∂

⋅+∂∂

=ρρρρρ

zv

yv

xv zyx ∂

∂⋅+

∂∂

⋅+∂∂

⋅ρρρ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

−⋅=⋅ 2

2

2

2

2

2

zv

yv

xv

xpa

DtDv xxx

xx ηρρ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂∂

−⋅=⋅ 2

2

2

2

2

2

zv

yv

xv

ypa

DtDv yyy

yy ηρρ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

−⋅=⋅ 2

2

2

2

2

2

zv

yv

xv

zpa

DtDv zzz

zz ηρρ

vpgDtDv 2∇+∇−⋅=⋅ ηρρ

DtDv

⋅ρ

20

gravitacijski član (gravitacijska sila)

gradijent tlaka (predznak “-” znači da tlak opada u smjeru gibanja zbog

gubitka energije uslijed viskoznog trenja

viskozne sile

Svaki član ima dimenziju, N·m-3

Značenje sile po jedinici volumena.

Dakle:

Za idealni (neviskozni) fluid:

Te slijedi:

Eulerova jednadžba gibanja idealnog fluida

Za fluid u mirovanju:

Eulerova jednadžba ravnoteže u stanju mirovanja fluida

Rješenje Navier-Stokesove jednadžbe:

jedino uz niz aproksimacija kako bi se smanjio niz nepoznanica

za laminarno strujanje (npr. gibanje u jednom smjeru i u stacionarnim uvjetima)

U protivnom primjenjuje se DIMENZIJSKA ANALIZA

Protjecanje Protjecanje je strujanje fluida kroz cijev, kanal, i općenito strujanje fluida između čvrstih

površina različitih geometrijskih karakteristika.

Vrste strujanja Osborne Reynolds još je koncem prošlog stoljeća istraživao pojave pri strujanju pomoću

jednostavnog i praktičnog uređaja. Iz spremnika u kojem se održava konstantna razina kapljevine, istječe voda u ravnu cijev. Na ulazu u cijev ugrađena je u sredini tanka kapilara kroz koju se pušta tanku mlaz obojene kapljevine.

ρ⋅g

p∇−

v2∇η

∑=

n

iiF

1

pgDtDv

∇−⋅=⋅ ρρ

0=∇−⋅ pg ρ

21

voda boja

laminarno prijelazno turbulentno

v v v1 2 3< < Slika 4.6. Reynoldsov pokus; prikaz promjene slike strujnica

s povećanjem brzine strujanja kapljevine

Kod vrlo malih brzina uočeno je da se obojena kapljevina ne miješa između slojeva, već da struji u sredini toka u obliku niti pa se zaključuje da se čestice fluida gibaju pravocrtno i da nema miješanja između slojeva. To je tzv. slojevito ili laminarno strujanje. Povećanjem brzine strujanja dolazi do djelomičnog remećenja slojevitog strujanja te obojena tekućina struji u obliku krivudave linije. Takvo stanje strujanja naziva se prijelazno područje. Kod još većih brzina strujanja, poprečni presjek cijevi je jednolično obojen što znači da je došlo do potpunog miješanja slojeva, došlo je do pojave vrtloženja i to se gibanje naziva vrtložno ili turbulentno strujanje. Reynolds je na temelju svojih eksperimenata zaključio da brzina gibanja nije jedini faktor koji utječe na vrstu strujanja već da je potrebno uzeti u obzir još i fizikalna svojstva tekućine, gustoću i viskoznost te promjer cijevi. Kriterij koji uzima u obzir ove veličine, a na temelju kojeg se definira vrsta strujanja je Reynoldsova značajka ili Reynoldsov broj koji se definira na sljedeći način:

ηρvd

=Re (44)

ili

νvd

=Re (45)

Eksperimentalno je utvrđeno da kritična vrijednost Reynoldsovog broja koja predstavlja granicu između laminarnog i prijelaznog područja pri strujanju kroz glatku cijev iznosi 3202=krRe . Postoje ekstremni slučajevi, npr. tanka glatka kapilara 00050≈Re , a strujanje je jos uvijek laminarno ili npr. izrazito hrapava površina cijevi gdje je i kod 3202<Re strujanje turbulentno.

Laminarno strujanje

Proučavat će se strujanje u horizontalnoj cijevi.

22

Laminarno strujanje je, kako je navedeno ranije, slojevito strujanje, strujnice ne mijenjaju smjer te nema miješanja između slojeva.

Prijenos količine gibanja uzrokovan je isključivo površinskim trenjem. Količina gibanja se prenosi s fluida na nepokretnu površinu molekularnim mehanizmom što ima za posljedicu gubitak energije koji se izražava padom tlaka.

Kod analize laminarnog gibanja važno je utvrditi koja se količina gibanja prenosi na nepokretnu površinu, odnosno utvrditi fluks i utvrditi kakva je raspodjela brzina. Raspodjela brzina neće biti ista ako fluid struji između dvije paralelne ploče, između dvije koncentrične cijevi ili kroz okruglu cijev.

Raspodjela brzina pri laminarnom stacionarnom strujanju u horizontalnoj cijevi

Promatra se laminarno strujanje fluida kroz ravnu cijev promjera R u stacionarnim

uvjetima.

p1 p2x x1 2-

rR

x

y

vx

Za analizu gibanja laminarnog stacionarnog toka polazna je osnova zakon očuvanja količine gibanja.

( ) ( ) ( ) ∑+⋅−⋅=⋅ xxx FvVvVdtvdV izl.izl.ul.ul. ρρρ &&

Stacionarno strujanje podrazumijeva ( ) 0=dtvd ρ tako da se član na lijevoj strani jednadžbe gubi.

Budući da nema generiranja količine gibanja u sustavu ( )0=rV , iz zakona očuvanja slijedi da su sve sile koje djeluju u sustavu u ravnoteži, odnosno: 0=∑ xF . Postavljanjem bilance karakterističnih sila u sustavu dobiva se:

otpora) (sila trenja silasila) a(pokretačk gibanje uzrokuje koja sila =⋅=⋅Δ SAp τ

( )2122

12 2 xxrprpr −⋅⋅⋅⋅=⋅⋅−⋅⋅ πτππ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅=

−−

⋅=dxdpr

xxppr

22 21

21τ (54)

Granični uvjeti:

23

os cijevi ( )0=r , 0=τ , .maxvv x = stijenka cijevi ( )Rr = , .maxττ = , 0=xv

Izjednačavanjem Newtonovog zakona viskoznosti ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−=

drdvητ s jednadžbom (54) dobijemo:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅=⋅−

dxdpr

drdv

2η (55)

Integriranjem jednažbe (55): ( )

∫∫−

⋅⋅⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅−=

r

R

rv

drrdxdpdv

x

η21

0

dobijemo:

( ) ( )22

41 rR

dxdprv x −⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅−=

η (56)

ili

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅= 2

22 1

41

RrR

dxdprv x η

(57)

Za 0=r iz jednadžbe (57) slijedi da je u sredini cijevi maksimalna brzina strujanja: 2

.max 41 R

dxdpv ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅=

η (58)

Budući da je za proračune važna srednja brzina strujanja fluida, potrebno ju je definirati. Polazna osnova je izraz za protok:

π⋅⋅=⋅= 2sr.sr. RvAvV& (59)

Protok se može definirati i analiziranjem gibanja dijelića fluida lokalnom brzinom ( )rv x .

rvx

r

drdr

R

Analizom gornje slike slijedi da se protok može pisati kao:

( )∫ ⋅⋅⋅⋅=R

x rvdrrV0

2 π&

te uvrštenjem izraza za lokalnu brzinu:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅

⋅⋅

=−⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅⋅⋅⋅⋅= ∫ dx

dpRrRdxdpdrrV

R

0

222

8412

ηπ

ηπ&

Izjednačavanjem gornje jednadžbe s jednadžbom (59)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅

⋅⋅

=⋅⋅dxdpRRv

ηππ

8

22

sr.

dobijemo izraz za srednju brzinu strujanja u horizontalnoj cijevi:

24

2

81 R

dxdpv ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅=

ηsr. (60)

te konačno odnos između maksimalne i srednje brzine strujanja:

2=sr.

max.

vv

Poznavanje ovog odnosa je od izuzetnog značaja za mjerenje srednje brzine strujanja iz koje se određuje i protok. Npr. pri mjerenju brzine pomoću Pitotove cijevi mjeri se brzina u osi cijevi koja predstavlja maksimalnu brzinu strujanja iz koje se može izračunati srednja brzina.

Gubitak energije pri laminarnom strujanju u horizontalnoj cijevi

Pri strujanju fluida dolazi do nepovratnog gubitka energije, a gubitak energije izražen je padom tlaka. Sređivanjem izraza (60) dobijemo:

∫∫ ⋅⋅⋅

=−2

1

2

1

2

8 x

x

p

p

dxR

vdp sr.η

i integriranjem slijedi:

( )122218

xxR

vpp −⋅

⋅⋅=− sr.η

(61)

Zbog praktičnosti se uvodi: ( ) lxx =− 12 - dužina cijevi ( ) ppp Δ=− 21 - pad tlaka u cijevi

2dR =

4

22 dR =

pa iz jednadžbe (61) slijedi Hagen-Poiseuilleova jednadžba za pad tlaka:

2

32d

vlp sr.⋅⋅⋅

=Δη

(62)

Na slici 4.8. prikazana je raspodjela brzina i smičnog naprezanja po presjeku cijevi na temelju koje se jasno vidi da je u osi cijevi maksimalna brzina protjecanja, a smično naprezanje jednako je nuli, dok je uz stijenku cijevi obrnut slučaj.

v = 0

τ = Δpl

. r2

v = vmax

vsr

Slika 4.8. Vektorski prikaz brzina i smičnog naprezanja

u ovisnosti o položaju u cijevi

25

Iz Hagen-Poiseuilleove jednadžbe jasno je izražen utjecaj viskoznosti ( )η u cijelom toku. To znači da se pri laminarnom strujanju količina gibanja prenosi samo molekularnim mehanizmom, odnosno da do gubitka energije dolazi isključivo zbog viskoznog trenja između samih čestica fluida i čestica fluida i stijenke.

Turbulentno strujanje

Slika 4.6. (Reynoldsov pokus) pokazuje transformaciju laminarnog strujanja u turbulentno. Dakle, turbulentno područje ostvareno je kod većih brzina strujanja kada se postigne neka kritična vrijednost Reynoldsovog broja ( )3

kr. 102 ⋅=Re . Karakteristika turbulentnog strujanja su nepravilne putanje čestica fluida, te osim komponente brzine u smjeru osnovnog toka, prisutne su i bočne komponente.

Prema Hinzeu turbulentno gibanje je neravnomjerno stanje strujanja u kojem parametri strujanja podliježu slučajnim promjenama u vremenu i prostoru, pri čemu se statističkim metodama ovi parametri mogu osrednjiti.

Prema Tayloru i von Karmanu do turbulencije dolazi uslijed uspostavljanja određenog gradijenta brzine koji nastaje zbog:

• prisustva nepokretnog čvrstog tijela u strujnom polju (zidna turbulencija) • uspostavljanja gradijenta brzine u slobodnom toku (slobodna turbulencija)

Pri turbulentnom strujanju se uvodi pojam vremenski osrednjeno turbulentno

strujanje. To je matematički model strujanja u kojemu su strujnice pravilne linije. Raspodjela osrednjenih brzina je slična kao u laminarnom području, ali je profil vremenskih brzina bitno različit od profila brzina laminarnog strujanja. Reynoldsov pokus pokazao je da je osnovna karakteristika turbulentnog strujanja neravnomjerno pulzacijsko gibanje čestica.

v'

odstupajućabrzina

v

v

t

Odstupanje brzine od srednje brzine strujanja u jednoj točki ukazuje na nestacionarnost turbulentnog strujanja.

Ako je vrijeme dovoljno veliko u odnosu na vrijeme trajanja jednog impulsa tada je srednja brzina mjerodavna veličina. Srednja vrijednost komponente brzine ( )v je konstantna dok trenutne vrijednosti brzine ( )'v fluktuiraju oko srednje vrijednosti.

Trenutna brzina može se izraziti kao funkcija srednje brzine: ( ) ( )tzyxvzyxvv ,,,',, +=

26

gdje je vrijednost srednje brzine u točki ( )zyx ,, definirana integralom:

( ) 0,,,'1

0

=⋅= ∫t

dttzyxvt

v (63)

pri čemu vrijednost t mora biti velika u odnosu na vrijeme trajanja jednog impulsa. Srednja vrijednost odstupajućih brzina jednaka je nuli:

( ) 0,,,'1'0

=⋅= ∫t

dttzyxvt

v (64)

U stvarnom turbulentnom strujanju strujnice fluktuirajućeg gibanja presijecaju strujnice tog kvazi uređenog, osrednjenog strujanja i time se iz sloja u sloj fluida prenosi količina gibanja, topline, tvari i ostale karakteristične veličine. Za razliku od laminarnog strujanja, u kojem također postoji prijenos tih veličina iz sloja u sloj ali u mikroskopskim razmjerima jer su nosioci tog prijenosa molekule, pri turbulentnom strujanju nosioci tog prijenosa su “grozdovi” čestica fluida (grupe molekula) pa je i miješanje odvija u makroskopskim razmjerima.

turbulentnolaminarno

vsr vsr

Slika 4.9. Prikaz kvazistacionarnog vremenski osrednjenog strujanja

Laminarno: 2

.maxvv =sr.

Turbulentno: ( ) .max9,07,0 vv ⋅−=sr. Empirijski izraz za raspodjelu brzina pri turbulentnom strujanju:

10611

.max −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅= n

Rrvv

n

Strujanje se naziva kvazistacionarno jer je ono nestacionarno ako 0→t , a ako je t dovoljno velik u odnosu na vrijeme trajanja jednog impulsa, zbog velikog broja impulsa srednja brzina strujanja je konstantna za određeni radijus ovojnice. Teorija o turbulentnom tečenju nije egzaktno riješena pa se u praksi koriste empirijske jednadžbe. Turbulentni doprinos ukupnom fluksu količine gibanja u razvijenom turbulentnom području višestruko je veći od laminarnog doprinosa. Molekularni mehanizam prijenosa uvijek je prisutan, a kod visokih vrijednosti Reynoldsa, prisutan je samo u tankom sloju fluida neposredno uz stijenku, a koji se naziva hidrodinamički granični sloj.

Teorija graničnog sloja

Teoriju graničnog sloja postavio je Ludwig Prandtl još 1904. godine, a koja je i danas temelj

objašnjenja svih pojava prijenosa količine gibanja, topline i tvari.

27

Pri strujanju viskoznog fluida uz nepokretnu čvrstu površinu zbog svojstva viskoznosti dolazi do pojave kočenja susjednih slojeva fluida. Kod turbulentnog strujanja (kod visokih vrijednosti Reynoldsove značajke) utjecaj kočenja osjetit će se samo na određeni broj zamišljenih slojeva u blizini stijenke, dok se u ostalom dijelu fluida na određenoj udaljenosti od nepokretne površine taj utjecaj ne osjeća i u tom dijelu fluid struji turbulentno.

Najjednostavniji slučaj za razmatranje je strujanje preko ravne ploče.

dvdy = 0

dvdy = 0

∞v∞v∞v

y

x

hidrodinamičkigranični

sloj

hidrodinamičkigranični

sloj

Brzina ∞v je brzina strujanja fluida na koju se ne osjeća utjecaj čvrste stijenke (brzina

nesmetanog toka fluida). Dio fluida u kojem se, zbog svojstva viskoznosti fluida, osjeća utjecaj nepokretne

površine (na taj način da postoji gradijent brzine dydv ) naziva se hidrodinamički granični sloj.

Svojim postojanjem hidrodinamički granični sloj utječe na prijenos tvari, topline i količine gibanja pružajući otpor pa se zbog toga uvijek nastoji proces voditi u takvim uvjetima da je njegova debljina što manja.

Brzina sloja neposredno uz nepokretnu površinu, uz uvjet da nema klizanja, jednaka je nuli i povećava se s udaljenošću od površine te asimptotski približava brzini nesmetanog toka,

∞v . Dakle, Prandtl je podijelio gibanje fluida u dva područja:

• područje u kojem se osjeća utjecaj čvrste površine na tok fluida • područje u kojem se ne osjeća utjecaj čvrste površine na tok fluida

Granični sloj je vrlo tanak i unutar njega je, zbog svojstva viskoznosti, smično naprezanje vrlo veliko tako da je i gradijent brzine izrazito velik. Iznad graničnog sloja fluid se može smatrati praktički neviskoznim, gradijent brzine je mali pa je i smično naprezanje koje je posljedica

viskoznosti, vrlo malo što rezultira približno jednakim brzinama unutar tog područja ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≈ 0

dydv .

Prandtl je svojim proučavanjima došao do spoznaje da struktura graničnog sloja nije tako jednostavna već da se on na nekoj udaljenosti od početka razvoja dijeli u tri područja.

28

PRIJELAZNO PODRUČJELaminarni podsloj

Područje turbulentnoggraničnog sloja

Laminarnigranični sloj

Početakturbulencije

debl

jina

gran

ično

g sl

oja,

y

udaljenost od početka razvijanja graničnog sloja, x

LAMINARNOPODRUČJE

PRIJELAZNO PODRUČJETURBULENTNO

PODRUČJE

mjestospajanja

dvdy 0≈

Slika 4.10. Razvoj hidrodinamičkog graničnog sloja do razvijenog,

ustaljenog toka fluida u ravnoj cijevi.

U potpuno razvijenom turbulentnom toku egzistira tzv. laminarni podsloj. To je područje

fluida na koji se osjeća utjecaj čvrste površine zbog svojstva viskoznosti, a nalazi se tik uz čvrstu površinu. Mjesto početka turbulencije (udaljenost od početnog ruba x ) može se definirati modificiranim Reynoldsovim brojem ( )xRe :

ηρ⋅⋅

=xv

xRe (72)

Vrijednost xRe ukazuje na hidrodinamičke uvjete strujanja za određeni položaj u smjeru strujanja x , tako da se može smatrati lokalnom Reynoldsovom značajkom. Za ravnu ploču vrijedi:

5102 ⋅<xRe laminarni granični sloj 65 103102 ⋅<<⋅ xRe prijelazno

6103 ⋅>xRe turbulentni granični sloj

Blasius je rješavanjem niza diferencijalnih jednadžbi i predložio izraze za određivanje debljine hidrodinamičkog graničnog sloja za ravnu ploču.

29

Za laminarno područje:

x

xkRe⋅

=Hδ 64,4=k (73)

Za turbulentno područje:

5x

xkRe⋅

=Hδ 376,0=k (74)

Utjecaj hidrodinamičkih uvjeta izražen sa xRe općenito se može izraziti:

mH1

xRe≈δ

što znači da se debljina hidrodinamičkog graničnog sloja smanjuje povećanjem Reynoldsove značajke.

Gubitak energije pri turbulentnom gibanju tekućine kroz cijev kružnog presjeka

Procjena gubitka energije, koji se izražava padom tlaka, kod turbulentnog strujanja vrlo je

složena zbog kompleksne slike strujnica, zbog prisutnosti graničnog sloja i zbog laminarnog i turbulentnog doprinosa fluksu količine gibanja.

Iako su eksperimentalno utvrđene varijable koje utječu na pad tlaka, nije poznata diferencijalna jednadžba koja opisuje pojavu prijenosa količine gibanja. Ukoliko nije poznata diferencijalna jednadžba koja opisuje ponašanje sustava, ali su poznate sve varijable koje bi tvorile tu jednadžbu moguće je izvesti kriterije sličnosti iz predodređenog broja poznatih varijabli koristeći se metodom dimenzijske analize.

Dimenzijska analiza je matematička metoda koja omogućuje da ponašanje nekog fizikalnog sustava izrazimo pomoću smanjenog broja varijabli. Ona ne daje egzaktnu funkciju nego skup bezdimenzijskih značajki u obliku tzv. bezdimenzijskih, odnosno korelacijskih jednadžbi.

PRINCIP SLIČNOSTI Princip sličnosti bazira se na saznanju da se pod sličnim uvjetima moraju javiti i slične posljedice. Ako su dva fizikalna sustava slična, može se iz poznavanja jednog predvidjeti ponašanje drugoga. Materijalni objekti i fizikalni sustavi mogu se okarakterizirati sa tri kvalitete: oblik, veličina i sastav.Ove tri varijable nezavisne su jedna o drugoj. Princip sličnosti odnosi se na oblik. Pod pojmom oblika kemijski inženjer ne podrazumijeva samo geometrijski oblik nego i sliku strujnica, sliku temperaturnog polja i sliku koncentracijskog polja. Dakle, u kemijskom inženjerstvu su važne četiri sličnosti:

• geometrijska • mehanička

30

• termička • koncentracijska (kemijska)

Svaka od ovih sličnosti, i to ovako poredanih, pretpostavlja one iznad nje same. Npr. dva će sustava biti termički slična ako su geometrijski slična, a ako se nalaze u gibanjima moraju biti i mehanički slična. • Geometrijska sličnost

Dva su sustava geometrijski slična, ako za svaku točku u jednom sustavu postoji odgovarajuća točka u drugom sustavu. Sličnost može biti izražena odnosom karakterističnih veličina.

Iz gornje slike slijedi da su dva trokuta slična ako je zadovoljen sljedeći uvjet:

sličnosti konstanta'' 2

2

1

1 ==== +lall

ll

l

Odnos tih karakterističnih veličina koje definiraju sustav, a ne mogu se više razdijeliti (konačne su) naziva se simpleks.

• Mehanička sličnost

Kada govorimo o mehaničkoj sličnosti podrazumijevamo: • statičku, • kinematičku • ili dinamičku sličnost.

Statička sličnost Geometrijski slična tijela su i statički slična kad su pod konstantnim tlakom njihove

relativne deformacije takove da tijela ostaju geometrijski slična.

konst.'=Δ==

ΔΔ

+lall

l

Kinematička sličnost

1'l

2'l

l1

l2

lΔ 'lΔ

31

Geometrijski slični sustavi u gibanju su kinematički slični kad odgovarajuće točke prelaze geometrijski slične puteve u odgovarajućim vremenskim intervalima.

vavv

='

Dinamička sličnost

Geometrijski slični sustavi u gibanju su i dinamički slični kad su odnosi odgovarajućih sila u odgovarajućim točkama dvaju sustava u stalnom odnosu. U prijenosu količine gibanja primjenjuje se dinamička sličnost. Dinamička sličnost podrazumijeva postavljanje odnosa između inercijske sile ( )iF koja uzrokuje gibanje i neke sile koja se javlja u sustavu, dakle koja je karakteristična za određenu prijenosnu pojavu. Npr. pri gibanju viskoznog fluida u cijevi kao sila otpora javlja se sila trenja ( )trF , dakle viskozno trenje, te se postavlja odnos između sile inercije i sile trenja.

ηρ

η

ρ

τ⋅⋅

=⋅⋅

⋅⋅=

⋅⋅

=lv

llv

lvl

Sam

FF

2

23

tr

i (85)

ηρ⋅⋅

=lvRe (86)

Jednadžba (86) predstavlja Reynoldsovu značajku koja je bezdimenzijski kriterij sličnosti. Linearna dimenzija l definira mjerodavnu geometrijsku karakteristiku sustava (npr. kod strujanja u cijevi to je promjer cijevi d ). Pri definiranju odvih odnosa bitno je baratati s konačnim, a ne s diferencijalnim veličinama. Isto tako numeričke konstante (npr. 2,π ) ulaze u vrijednost značajke. Reynoldsova značajka može se definirati i na temelju odnosa fluksa količine gibanja i laminarnog doprinosa fluksu količine gibanja:

ηρ

η

ρ

ττ ⋅⋅

=⋅

⋅⋅

==lv

lv

vf2

2

L

UKRe

Za cijev vrijedi već spomenuti izraz za Reynoldsovu značajku (jednadžba 44):

ηρdvRe =

Vrijednost Reynoldsove značajke ukazuje na dominirajući mehanizam prijenosa. Odnos sile inercije i sile gravitacije izražava se Froudeovom značajkom:

gdv

glv

gl

v

gmam

FFFr

g ⋅=

⋅==

⋅⋅

==22

2

i

Pri strujanju realnog fluida dolazi do gubitka energije koji se izražava padom tlaka. Dakle,

na temelju dinamičke sličnosti vrijedi:

32

pv

lpl

vl

Apam

FF

p

2

2

23

⋅=

⋅

⋅⋅=

⋅⋅

=ρρ

i (87)

Pri izražavanju gubitka energije uobičajeno je koristiti Eulerovu značajku:

2vpEu

⋅Δ

=ρ

(88)

Eulerova značajka mjera je za količinu izgubljene energije pri strujanju viskoznog fluida.

• Termička sličnost

Geometrijski slični sustavi su i termički slični ako su odgovarajuće temperaturne razlike u konstantnom odnosu, a ako su sustavi u gibanju moraju biti i kinematički, odnosno dinamički slični.

konst.'=Δ==

ΔΔ

+TaTT

T

• Koncentracijska (kemijska) sličnost

Geometrijski i termički slični sustavi su kemijski slični ako koncentracijske razlike među geometrijski odgovarajućim točkama u oba sustava stoje u konstantnom odnosu. Ako su sustavi u gibanju, moraju biti i dinamički slični.

cacc

=ΔΔ '

DIMENZIJSKA ANALIZA Dimenzijska analiza matematička je metoda koja omogućuje da se dobiju informacije o obliku funkcionalne ovisnosti među veličinama u fizičkim sustavima za koje, zbog njihove složenosti, ne postoje egzaktna rješenja. Međutim, moguće je odrediti uvjete fizičke sličnosti među zbivanjima te tako i zakone modeliranja i prenošenja rezultata iz eksperimenata na veliko mjerilo tehničke izvedbe. Smisao je dimenzijske analize da se iz predodređenog broja varijabli (koje utječu na odvijanje procesa) izvede korelacijska jednadžba koja povezuje bezdimenzijske značajke i simplekse. Pri tome je nužan eksperiment. Tri su osnovne metode provedbe dimenzijske analize:

• Buckinghamova metoda (π teorem) • Rayleighova metoda • Metoda sustavnog kušanja

Napomena: U ovom kolegiju dane su samo osnovne provedbe dimenzijske analize. Opširan prikaz se može naći u raznoj literaturi (npr. Tehnička enciklopedija).

33

Buckinghamov teorem ili π - teorem osnovni je teorem dimenzijske analize i sadrži svu njenu bit. Osnovni je princip metode da se svaka dimenzijski homogena funkcija od n dimenzijskih varijabli može svesti na zavisnost ( )rn − bezdimenzijskih produkata potencija (bezdimenzijskih grupa) pri čemu je r maksimalni broj dimenzijskih varijabli koje međusobno ne mogu tvoriti bezdimenzijsku grupu, odnosno r je minimalni broj varijabli čijim se jedinicama mogu izraziti jedinice svih n varijabli. Na taj se način pojednostavljuje izvođenje korelacija između karakterističnih varijabli. Npr. ako je 7=n , a 3=r tvori se korelacija između 437 =−=− rn bezdimenzijske grupe. Dimenzijska homogenost kod dimenzijske analize podrazumijeva da svi članovi jednadžbe moraju tvoriti iste dimenzije na obje strane jednadžbe. Npr.: amF ⋅=

[ ] [ ] [ ] [ ]-2-2-2 T L MT LMT L M =⋅= gdje je [ ]M - masa

[ ]L - duljina [ ]T - vrijeme

Rayleighova metoda Provedbu ove metode promotrit ćemo na primjeru strujanja kroz cijev. Eksperimentalnim je istraživanjima utvrđena ovisnost narinute sila, odnosno sile koja uzrokuje gibanje fluida definiranih svojstava, brzinom v , kroz cijev određenih geometrijskih karakteristika.

Fv

ρ, η

l, d, ε

Utvrđeno je da narinuta sila, odnosno sila otpora ovisi o nizu varijabli: ( )dd

ldvfF εηρ ,,,,,=

gdje su dl i d

ε simpleksi.

Broj dimenzijskih varijabli: 5=n ( )dvF ,,,, ηρ Broj dimenzijskih varijabli koje ne mogu međusobno dati bezdimenzijsku grupu: 3=r

( )T L, M,

[ ]M - masa [ ]L - duljina [ ]T - vrijeme

Budući da navedene varijable i simpleksi utječu na vrijednost sile, postavlja se jednadžba: gf

ecbak ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅=

ddldvF εηρ (89)

Izraženo dimenzijama: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]ec-1-1b-3a-1-2 LT L ML MT LT L M ⋅⋅⋅= (90)

(konstanta k i simpleksi ne ulaze u dimenzijsku jednadžbu).

34

Izjednačavanjem eksponenata na istovrsnim dimenzijama, iz jednadžbe (90) slijede tri jednadžbe sa četiri nepoznanice:

c--a2- :Tec-3b-a1 :L

cb1 :M

=+=

+=

Budući da se u sve tri jednadžbe pojavljuje nepoznanica “c” svi eksponenti izražavaju se preko ove nepoznanice:

cecac 1b

−=−=−=

22

Uvrštavanjem eksponenata izraženih preko napoznanice “c” u jednadžbu (89) dobijemo: gf

c-2cc-1c-2k ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅=

ddldvF εηρ (91)

Grupiranjem varijabli istog eksponenta dobijemo: gfc

k ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅

⋅=⋅⋅ dd

ldvdv

F ερ

ηρ 22 (92)

U jednadžbi (92) eksponent “f” je određen eksperimentalno i ima vrijednost jedan što znači da je ovisnost sile o simpleksu d

l linearna.

Nadalje, pdF

Δ== τ2 , ( 2d izražava površinu, tako da sila po površini predstavlja smično

naprezanje, odnosno pad tlaka), a cc

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅ Re

1ρ

ηdv

pa se jednadžba (92) može pisati

u sljedećem obliku: gc

k ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

⋅Δ

ddl

vp ερ Re

12 (93)

odnosno:

dl

df

vp

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⋅Δ ε

ρRe,2 (94)

Izjednačavanjem jednadžbe (94) i jednadžbe (88) dobijemo:

dl

dfEu ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

εRe, (95)

Jednadžba (95) predstavlja bezdimenzijsku korelacijsku jednadžbu koja ukazuje na utjecaj hidrodinamičkih uvjeta i geometrijskih karakteristika na gubitak energije pri protjecanju. Pokazalo se da broj bezdimenzijskih značajki stvarno odgovara: 235 =−=− rn (Eulerova i Reynoldsova značajka).

Funkcionalna ovisnost ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

df εRe, izražava se faktorom trenja ξ , a izražava utjecaj viskoznih sila

i geometrijskih karakteristika pri strujanju fluida.

Dogovorno je, umjesto ξ , uvedeno 2ξ tako da se

21 poveže sa ρ2v te se na taj način dobiva

kinetička energija izražena po jedinici volumena (jednadžba 97).

35

2ξε

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

df Re, (96)

Jednadžba (94) prelazi u oblik:

dl

vp

⋅=⋅

Δ22

ξρ

odnosno:

2

2 ρξ ⋅⋅⋅=Δv

dlp (97)

Jednadžba (97) omogućava procjenu pada tlaka pri strujanju kroz cijev, a naziva se Darcy-Weissbachova jednadžba.

Ovisnost faktora trenja o Reynoldsovoj značajci

Kod laminarnog strujanja vrijede oba zakona, Hagen-Poiseuilleov (jednadžba 62) i Darcy-Weissbachov (jednadžba 97). Izjednačavanjem tih izraza dobiva se:

ρξη

232 2

2

vdl

dvl

=sr

Kraćenjem i sređivanjem dobije se:

dv ρηξ

sr

64=

Re64

=ξ (98)

Jednadžba (98) vrijedi za laminarno područje.

log ξ

log Re

ε/ d

LAMINARNO PODRUČJE

PRIJELAZNO PODRUČJE

RAZVIJENATURBULENCIJA;HRAPAVE CIJEVI

2 103.

Slika 4.12. MOODYJEV DIJAGRAM – ovisnost faktora trenja o

Reynoldsovoj značajci i relativnoj hrapavosti

Laminarno područje

36

( )Ref=ξ Prilikom laminarnog strujanja fluida faktor trenja ovisi samo o Reynoldsovoj značajci i može se primjeniti jednadžba (98). Površina cijevi prekrivena je zamišljenim slojem fluida koji praktički miruje, a čija je debljina dovoljno velika da prekriva površinu cijevi, pa nema utjecaja relativne

hrapavosti ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛dε . Zbog toga relativna hrapavost površine cijevi nema utjecaja na gubitak energije,

odnosno gubitak energije je isključivo posljedica viskoznog trenja. Količina gibanja se prenosi na čvrstu površinu isključivo molekularnim mehanizmom, a analitički izraz za fluks količine gibanja je:

dydvητ −= odnosno ( )

dyvd ρντ −= .

Turbulentno i prijelazno područje

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

dRe, εξ f

Kod većih brzina dolazi do formiranja graničnog sloja koji se smanjuje povećanjem brzine i udaljenošću, što je izraženo lokalnom Reynoldsovom značajkom ( )xRe (jednadžba 74). Ukoliko je debljina graničnog sloja takva da hrapava površina nije u potpunosti prekrivene laminarnim

podslojem, dolazi do izražaja i oblik, odnosno faktor trenja ovisi i o relativnoj hrapavosti ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛dε .

Čestice koje se gibaju vrtložnim mehanizmom mogu doći u kontakt s površinom toka pa se pored mehanizma molekularnog prijenosa količine gibanja javlja i prijenos količine gibanja uzrokovan otporom oblika. Molekularni mehanizam prijenosa prisutan je samo u laminarnom podsloju. Izrazito turbulentno područje i izrazito hrapave cijevi

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=dεξ f (visoke vrijednosti Re-značajke i izrazito hrapave cijevi)

Debljina laminarnog podsloja je u odnosu na apsolutnu hrapavost zanemariva tako da faktor trenja ovisi samo o relativnoj hrapavosti cijevi.

Gubitak energije pri turbulentnom gibanju tekućine kroz cijev koja nije kružnog presjeka

Dimenzijskom analizom dobivena je Darcy-Weissbachova jednadžba koja omogućava procjenu pada tlaka pri strujanju fluida u cijevi kružnog presjeka. Problem se javlja kada cijevi nisu kružnog presjeka, što znači da je potrebno definirati d .

37

l

O

AlOS ⋅=

Bilanca količine gibanja:

SAp ⋅=⋅Δ τ Promotrimo li gornju sliku vidljivo je da se površina plašta ( )S može definirati na sljedeći način:

lOS ⋅= gdje je O nakvašeni opseg ili nakvašeni perimetar, a l dužina cijevi pa slijedi:

lOAp ⋅⋅=⋅Δ τ (99) odnosno:

pl

OA

Δ⋅

=τ (100)

Promatramo li cijev kružnog presjeka jednadžbu (99) možemo pisati na sljedeći način:

lddp ⋅⋅=⋅Δ πτπ4

2

(101)

iz čega slijedi:

pld

Δ⋅

=τ

4 (102)

Izjednačavanjem jednadžbe (100) i jednadžbe (102) dobijemo izraz za ekvivalentni promjer koji se definira kao omjer između četiri površine poprečnog presjeka cijevi kroz nakvašeni opseg:

OAd ⋅= 4ekv. (103)

Uvrstimo li ovu jednadžbu u jednadžbu (97) dobijemo izraz za procjenu pada tlaka pri strujanju fluida kroz cijev koja nema kružni presjek:

2

2 ρξ ⋅⋅⋅=Δv

dlpekv.

(104)

Vrijednost Re-značajke definira se na sljedeći način:

ηρekvdv

Re =

Protjecanje kroz cjevovod

U procesnoj industriji (i u svakodnevnom životu) transport fluida odvija se kroz cjevovod koji se sastoji od ravne cijevi i ugrađenih armaturnih dijelova (ventili, koljena, mjerni instrumenti, suženja, proširenja itd.), a koji uzrokuju dodatni gubitak energije. Konstrukcija armaturnih dijelova je takova da uzrokuje naglu promjenu smjera strujanja i vrtloženje (prisutan je otpor oblika) što uzrokuje gubitak kinetičke energije.

Ukupni gubitak energije (pad tlaka) može se izraziti kao suma:

38

ARCUK ppp Δ+Δ=Δ (105) gdje je RCpΔ pad tlaka zbog protjecanja kroz ravne cijevi, a ApΔ je pad tlaka zbog protjecanja kroz armaturne dijelove. Pad tlaka pri protjecanju kroz ravne cijevi definiran je jednadžbom (97):

2

2

RCρξ ⋅

⋅⋅=Δv

dlp

Budući da je kod armature nemoguće definirati promjer, duljinu i faktor trenja, uvodi se faktor mjesnog otpora ( )ζ , a izraz za pad tlaka armaturnih dijelova poprima sljedeći oblik:

2

2 ρζ ⋅⋅=ΔvpA (106)

v - brzina s kojom fluid nastrujava na mjesni otpor. Iz toga slijedi da je izraz za ukupni pad tlaka kroz cjevovod:

∑=

⋅⋅+

⋅⋅⋅=Δ

n

1iiUK 22

22 ρζρξ vvdlp

što se može pisati kao:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅⋅

⋅=Δ ∑

=

n

1iiUK ζξρ

dlvp

2

2

(107)

Izjednačavanjem Darcy-Weissbachove jednadžbe i jednadžbe (106):

ζξ =⋅dl

slijedi:

ξζ dl ⋅=ekv. (108)

gdje je ekv.l zamišljena duljina ravne cijevi promjera d koja bi pružala isti otpor kao i odgovarajući armaturni dio. Jednadžba (107) sada se može pisati i u obliku:

2

2 ρξ ⋅⋅

+⋅=Δ

vdll

p ekv.UK (109)

STRUJANJE NEKOMPRESIBILNIH NENEWTONSKIH FLUIDA

Proučavanja se provode u cilju dobivanja izraza za:

Raspodjelu brzina i vsr

procjenu gubitaka energije (Δp)

Laminarno strujanje

Odnosi su složeniji u odnosu na strujanje Newtonovskih fluida.

Zašto?

39

Funkcionalna veza τ- γ& je znatno složenija, jer je ( )γfη &=

Newtonovski fluidi Nenowtonovski fluidi

γητ &⋅= nγητ &⋅= Ostwald de Walle

drdv

γ =& γkττ p &⋅+= 0 Binghamov

U proučavanjima se polazi od funkcionalne ovisnosti smične brzine ( γ& ) o smičnom

naprezanju ( τ ). Za potpuno razvijeni tok u cijevi kružnog presjeka:

( )τfdrdv

=

Definiranje protoka:

Po definiciji protok predstavlja:

AvV sr ⋅=&

vsr – srednja brzina

A – površina poprečnog presjeka

Promatrajući diferencijalne veličine:

Površina kružnog vijenca: drπrdA ⋅⋅= 2

Površina kruga polumjera R: ∫ ⋅⋅⋅=R

drπrA0

2

Volumni protok: ∫ ∫=

=

⋅=⋅⋅⋅⋅=R Rr

r

rdvπdrπrvV0 0

22 )(&

Parcijalnim integriranjem: [ ] Rr

rdvrrvπV

=

=∫ ⋅−⋅⋅=0

22&

Uz uvjet da nema ´klizanja´ prvog zamišljenog sloja uz stjenku:

00

002

2

=⋅⇒=⇒=

=⋅⇒=⇒=

rvvvr

RvvRr R

maxmax

Slijedi:

∫=

=

⋅−=Rr

r

dvrπV0

2& /drdr

⋅ (množimo desnu stranu jednadžbe)

∫=

=

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

Rr

r

drrdrdvπV

0

2&

R

r dr

R

r dr

40

Budući da je: ( )τfdrdv

=⋅

( )∫=

=

⋅⋅−=Rr

r

drrτfπV0

2&

Smično naprezanje za bilo koji `r`: 2r

dxdpτ ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

za `R`: 2R

dxdpτ R ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

Eliminacijom ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

dxdp R

ττrR

⋅=

Diferenciranjem: τdτRdr

R⋅=

Potrebno je učiniti određene transformacije:

τdτRdr

R⋅= desnu stranu množimo s r2

lijevu stranu množimo s 22

2

ττR

R

⋅ (to je isto r2)

τdττR

τRdrr

RR2

222 ⋅⋅=⋅

τdττRdrr

R

⋅⋅=⋅ 23

32

Slijedi opći izraz za protok nenewtonovskih fluida:

( )∫ ⋅⋅⋅−=Rτ

R

τdτfττRπV

0

23

3&

OSTWALD DE WAELLE-OVI FLUIDI

Reološko ponašanje se opisuje potencijskim modelom: n

drdvkτ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅= ( )

n

kττf

drdv

1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

( ) τdk

ττRπτdτfτ

τRπV

RR τ

n

nn

R

τ

R∫∫

+

−=⋅⋅⋅−=0

1

12

3

3

0

23

3&

n

dxdp

kR

nRπnV

13 1213 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅⋅⋅

+⋅⋅

=&

Dijeljenjem s R2·π:

41

nnn

n

sr dxdp

kR

nnv

111

21

13⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅

+=

+

za n = 1 k = η dobiva se izraz za srednju brzinu pri laminarnom strujanju Newtonovskih

fluida:

2

81 R

dxdp

ηvsr ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅= (Podsjetimo se: 1−⋅= n

a γkη & )

Raspodjela brzina:

Općenito za bilo koji ´r´ vrijedi:

2r

dxdpτ ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

Izjednačavanjem s Ostwald de Waellovim modelom:

2r

dxdp

drdvk ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

nn

kr

dxdp

drdv

11

2⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

++

∫∫ nn

nnR

r

nn

v

rRk

rdxdpdv

r

11110

2 raspodjela brzina u cijevi kružnog presjeka

Ako je n =1, a k = η dobiva se izraz za raspodjelu brzina za Newtonovski fluid:

( ) ( )22

41 rR

dxdp

ηrv −⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅=

Maksimalna brzina je u osi cijevi (za r = 0)

nnn

Rkdx

dpn

nv11

21

1

+

⋅⋅

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

+=max

Odnos maksimalne i srednje brzine:

113

++

=nn

vv

sr

max

Profil brzina u cijevi kružnog presjeka:

Gubitak energije (pad tlaka)

Izvodi se iz izraza za srednju brzinu:

n<1 n=1 n>1

Newtonovski fluid

n<1 n=1 n>1

Newtonovski fluid

n<1 n=1 n>1

Newtonovski fluid

42

nsr

n

n vn

nR

kdxdp

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

+

1321

nsr

n

n vn

nd

klp

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⋅=Δ

+

2641

Ako je n = 1 i k =η (Newtonski fluid), dobiva se Hagen Poisseuilleov zakon za pad tlaka pri

laminarnom strujanju kroz cijev kružnog presjeka:

2

32d

vlηp sr⋅⋅⋅

=Δ

Faktor trenja

Pad tlaka za sve vrijednosti Re značajke izračunava se po Darcy – Weissbachovoj jednadžbi:

2

2 ρvdlξp sr ⋅

⋅⋅=Δ

Izjednačavanjem izraza za pad tlaka pri laminarnom strujanju s Darcy – Weissbachovom

jednadžbom

2264 2

1

ρvdlξv

nn

dk srn

sr

n

n

⋅⋅⋅=⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⋅+

n

nn nn

ρdvkξ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⋅⋅⋅⋅

=−

2682 *

Reps

Prema definiciji:

ηρdv ⋅⋅

=Re

Za potencijski model: n

a drdvkη ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

Budući da su u bezidimenzijskoj značajki sve veličine konačne, umjesto drdv pišemo:

dv , (d opća oznaka za linearnu veličinu)

Dakle: n

a dvkη ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

Uvođenjem u Re – značajku, dobiva se Repseudoplastični (Reps):

43

kρdv nn

ps⋅⋅

=−2

Re

Ako jednadžbu * pomnožimo s 88 :

*Re psnnn

nnρdv

ξ 64

268

4

642

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+⋅⋅

⋅⋅=

−

n

psps nn

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+⋅⋅=

268ReRe *

Ako se faktor trenja prikazuje grafički u Moody-evom dijagramu u ovisnosti o Reps, tada se za

svaki indeks ponašanja toka, n ovisnost ξ - Re prikazuje zasebnim pravcem:

( )nfξ ps ,Re=

Ako se u dijagramu prikazuje ovisnost ξ - *Re ps tada se ta ovisnost prikazuje jednim

dijagramom:

n=1n=0,8n=0,4

Laminarno područje

log Reps*

log ξ

n=1n=0,8n=0,4

Laminarno područje

log Reps*

log ξ

44

( )*Re psfξ =

TURBULENTNO STRUJANJE

Kod turbulentnog strujanja zbog formiranja hidrodinamičkog graničnog sloja koji zbog svoje

male debljine u potpunosti ne pokriva površinu stijenke cijevi, dolazi do utjecaja i hrapavosti

površine:

( )ndεfξ ps ,,Re=

Zbog toga, za svaku vrijednost indeksa ponašanja toka ´n´ treba koristiti odgovarajući

moodyev dijagram:

odnosno

Vrijednost Re-značajke kojom se definira mehanizam strujanja određuje se iz izraza:

( ) ( )( )2

12

1326464

+

+⋅⋅=

++

nnn n

n

kritps*Re

Ako je ( )kritpsps

** ReRe = turbulentno strujanje

STRUJANJE BINGHAMOVIH FLUIDA

Opći izraz za protok nenewtonskih fluida u laminarnim uvjetima:

( )∫ ⋅⋅⋅−=R

dfRVR

τ

ττττ

π0

23

3&

za bilo koji ´n´

log Reps*

log ξ

za bilo koji ´n´

log Reps*

log ξ

n = 0,8

log Reps

log ξn = 0,8

log Reps

log ξ n = 0,6

log Reps

log ξn = 0,6

log Reps

log ξ

45

Reološko ponašanje Binghamovih fluida opisuje se modelom:

γηττ &⋅+= p0 drdv

γ =&

( )pdr

dvfη

τττ 0−

==

Integral koji definira protok zbroj je dva integrala, jer su granice integrala definirane i

granicom tečenja τ0.

Granice integrala:

00 τ− ako je 00 =⇒<drdvττ nema tečenja

Rττ −0 ako je 0ττ > , te vrijedi ( )pηττ

τfdrdv 0−

==

( )⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⋅+⋅⋅⋅−= ∫∫

444 3444 2144 344 21

&Rτ

τ p

τ

R

τdηττ

ττdτfττRπV

0

002

0

0

23

3

područje A područje B (područje tečenja)

Integriranjem: Rτ

τpR

τττητ

RπV0

340

34

3

3 ⋅−⋅

⋅⋅

−=&

Konačni izraz za protok:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅−⋅

⋅⋅−=

400

3

121

31

41

RRp

R

ττ

ττ

ητRπ

V& Bingham Reinerova jednadžba za laminarno strujanje

τ

dv/dr

τ0

Područje ˝A˝

Područje ˝B˝

τ

dv/dr

τ0

Područje ˝A˝

Područje ˝B˝

46

Supstitucijom: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

dxdpRτ R 2

; 00 =τ ; ηη p =

i dijeljenjem jednadžbe protoka s R2π:

2

81 R

dxdp

ηvsr ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−= srednja brzina za laminarno strujanje Newtonskog fluida

Raspodjela brzina: dobiva se analizom osnovnih jednadžbi

drdvηττ p ⋅+= 0 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

dxdprτ

2

drdvητ

dxdpr

p ⋅+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− 02

drdvητ

dxdpr

p ⋅=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− 02

Gibanje fluida se ostvaruje ako je 02 0 >−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛− τ

dxdpr

Opis gibanja fluida

Dio fluida se giba jednoličnom brzinom kao jedan simetrično koncentrično smješteni čep

(eng. Plug) u srednjem dijelu cijevi, koji je okružen dijelom fluida koji se giba laminarno s

raspodjelom brzina.

Rp – radijus čepa

Za r=Rp vrijedi: 02 0 =−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛− τ

dxdpR p

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⋅=

dxdpτ

R p02

Ovakav tok se naziva ˝PLUG FLOW˝

Objašnjenje

Smično naprezanje je najveće uz stjenku cijevi, i smanjuje se približavanjem osi cijevi. Na

određenom radijusu Rp, smično naprezanje više nije dovoljno veliko u odnosu na 0τ , te se

ne može ostvariti raspodjela brzina.

U tom dijelu fluida smično naprezanje nije dovoljno veliko da bi se ostvarile razlike u

brzinama gibanja zamišljenih slojeva.

Laminarno gibanje

Laminarno gibanje

Čep (plug)

RRp

Laminarno gibanje

Laminarno gibanje

Čep (plug)

RRp

Laminarno gibanje

Laminarno gibanje

Čep (plug)

RRp

47

Zato u tom dijelu fluida radijusa Rp nema raspodjele brzina i taj se dio fluida giba poput

čepa, taj tok se naziva ˝plug flow˝

U području između čepa i zida cijevi postoji raspodjela brzina koja se dobije integriranjem

jednadžbe:

02τr

dxdp

drdvη p −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=⋅

Raspodjela brzina:

( ) ( ) ( )rRητ

rRdxdp

ηrv

p−−−⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−= 022

41

za r = 0 Rητ

Rdxdp

ηv

p⋅−⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−= 02

41

max

Brzina gibanja čepa:

( ) ( )pp

pp RRητ

RRdxdp

ηv −⋅−−⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−= 022

41

Što je spljoštenost veća, to je manja brzina gibanja čepa

Srednja brzina se dobiva iz izraza za protok dijeljen s R2π:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅−

⋅−=

400

121

31

41

RRp

Rsr τ

τττ

ητR

v

Procjena Δp može se provesti iz gornjeg izraza za vsr, ako se u jednadžbu uvrsti:

2R

dxdpτ R ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

Rješenje tako dobivene jednadžbe moguće je samo iteracijama.

Često se raspodjela brzina prikazuje normaliziranjem brzine, pri čemu se dobiva odnos

( )maxvrv prema

Rr

vmax – brzina gibanja čepa

Porastom Rττ 0 raste i dijametar čepa, a brzina strujanja čepa opada

vp2

vp1vp2

vp1

48

200 ,=Rττ 00 =

Rττ

400 ,=Rττ

800 ,=Rττ

10 =Rττ

Rr

RRp

maxvv

1

10

200 ,=Rττ 00 =

Rττ

400 ,=Rττ

800 ,=Rττ

10 =Rττ

Rr

RRp

maxvv

1

10

49

PROTJECANJE KAPLJEVINE KROZ USKI OTVOR

PRIMJER:

Istjecanje iz spremnika uz nepromjenjivu razinu kapljevine u

spremniku (za idealni fluid)

.konstz =Δ

gzvid ⋅Δ⋅= 2

Bilanca za 1 kg:

22

222

2

211

1v

ρp

gzv

ρp

gz ++⋅=++⋅

1

221 A

Avv = uvrstimo u Bernoullijevu jednadžbu

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅Δ+

−⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

= gzρ

pp

AA

v 212

1

2

2

1

2 brzina istjecanja za određenu razliku Δz

Kada je 12 AA << tada se 2

1

2⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛AA može zanemariti

01 =v , brzina u spremniku može se zanemariti

21 pp = ako se radi o otvorenom spremniku

zgv Δ⋅⋅= 22 vrijedi za otvoreni spremnik i neviskozni fluid

Ukoliko je zgρ

ppΔ⋅>>

− 21 , tada se zg Δ⋅ može zanemariti

ρpv Δ⋅

≅2

2

z1-z2

p1 v1 A1 z1

p2 v2 A2 z2

z1-z2

p1 v1 A1 z1

p2 v2 A2 z2

50

Istjecanje u realnim uvjetima

Zbog svojstava viskoznosti dolazi do gubitaka energije, tako da je stvarna brzina istjecanja

smanjena u odnosu na neviskozni fluid. Osnovni uzrok gubitka energije je mjesni otpor

istjecanja

zg

vΔ=

2

2

vrijedi za neviskozne fluide, dok se za viskozne, realne fluide dodaje

energetski član koji se odnosi na savladavanje mjesnog otpora. Visinu stupca kapljevine treba

uvećati zbog postojanja mjesnog otpora.

zg

vςg

vΔ=⋅+

22

22

realni fluid

gzcζ

gzv vstv ⋅Δ⋅=

+

⋅Δ⋅= 2

1

2

ζcv

+=

11 brzinski koeficijent

VENA CONTRACTA

Pri istjecanju kroz oštre rubove dolazi do suženja mlaza kapljevine (Am<A0). Naime čestice

kapljevine ne mogu skretati oko oštrih rubova u lomljenim strujnicama, već ih zaobilaze u

blagim zakrivljenjima i tek se na nekoj udaljenosti od otvora izravnavaju u pravocrtne i

paralelne strujnice

Presjek mlaza Am gdje se uspostavlja konstantan tok, naziva se VENA CONTRACTA.

0AA

c mc = koeficijent kontrakcije

vAμvcAcvAV ivcstvmstv ⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅= 00&

Produkt cv i cc:

A0

Am

A0

Am

51

icv μcc =⋅ koeficijent istjecanja

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅Δ+

−⋅⋅= gz

ρpp

AμV istv21

0 2&

Istjecanje iz spremnika uz promjenjivu razinu kapljevine u

spremniku

)( tfz = 11 2 zgv ⋅⋅=

0≠dtdv 22 2 zgv ⋅⋅=

22 vAμdtdV

i ⋅⋅=− dzAdV ⋅= 1

dtvAμdzA i ⋅⋅⋅=⋅− 221

22

1

vAμdzA

dti ⋅⋅

⋅−=

zgAμdzA

dti ⋅⋅⋅

⋅−=

22

1 ( )tfz =

Ukoliko je A1 = konst. )( zfA ≠ vrijedi:

12

1

22

zgAμ

At

⋅⋅

⋅= z1 z0

z1

z2

dz dV

p1 v1 A1

p2 v2 A2

z1

z2

dz dV

p1 v1 A1

p2 v2 A2

z2

dz dV

p1 v1 A1

p2 v2 A2

52

( )212

1

22

zzgAμ

At −

⋅⋅

⋅= z1 z2

Ukoliko se površina mijenja prilikom istjecanja )( zfA = , vrijedi:

( )∫ ⋅⋅⋅

=1

02 21 z

i zdzzA

gAμt

KAVITACIJA

Ako na nekom mjestu u strujnom toku dolazi do suženja, apsolutni tlak tekućine opada s

kvadratom brzine.

22

222

211 v

ρpv

ρp

+=+ ( )21

222

1 vvρp

−=Δ

pv* - ravnotežni tlak para kod ravnoteže

Ispod pv zas se ne može ići kad je v>vkrit postoji kavitacija u širem području

Pri strujanju kapljevine kroz suženi prostor dolazi do smanjenja tlaka. Ukoliko se apsolutni

tlak kapljevine smanji do vrijednosti pv* kapljevina počinje ˝hladno ključati˝ odnosno

isparavati. U prvom trenutku pojavljuju se mali mjehurići plina koji se sjedinjuju i tvore veće

šupljine (˝caverne˝). Zbog toga je narušena homogenost i kontinuitet kapljevite faze, te za to

područje ne vrijede više osnovne jednadžbe strujanja nestlačivog fluida. U daljnjem strujnom

toku ti mjehurići dolaze u područje manjih brzina (na širom presjeku), a time i u područje

većeg tlaka, te trenutno implodiraju (kontrakcija volumena). Para se pri tome trenutačno

p1v1A1

p2v2A2

p1v1A1

p2v2A2

p

Pv*

p1

Promjena tlaka za dređenu brzinu strujanja

v1v2 v3=kritično

p

Pv*

p1

Promjena tlaka za dređenu brzinu strujanja

v1v2 v3=kritično

53

kondenzira, a kako je volumen kondenzata oko 1 000 puta manji od volumena pare, na

određenim mjestima nastaje vakuum. Nadolazeća kapljevina dobiva ogromno ubrzanje kojim

udara u stijenke uređaja. Posljedica toga može biti erozija čvrstog materijala. Ta pojava

naziva se KAVITACIJSKA EROZIJA.

Kavitacijski broj

2

2 ρvpp

c vstat

⋅

−=

*

2

2 ρvpp

c vstatkr ⋅

−=

pv- tlak para kod određene temperature

Ukoliko je krcc ≤ dolazi do kavitacije.

54

TRANSPORT KAPLJEVINA

Uređaji za transport kapljevine nazivaju se PUMPE

SPECIFIČNI RAD (J/kg) potreban za transport kapljevine izračunava se na temelju

Bernoullijeve jednadžbe:

ghv

ρp

gzWv

ρp

gz Wm ⋅+++⋅=+++⋅22

222

2

211

1

( ) ghvv

ρpp

gzzW Wm ⋅+−

+−

+⋅−=2

21

2212

12

Za provedbu procesa zanima nas efektivna snaga pumpe, Pef.

Za idealne kapljevine:

Teoretski rad:

ttt HgmW ⋅⋅= [ ]J

( )321

&

tmW

ttt HgmP ⋅⋅= [ ]sJ / ( )tmtt WρVP ⋅⋅= &

Realni uvjeti – prisutni su gubici koji su uključeni u ukupnu djelotvornost pumpe, ηp

Na ukupnu djelotvornost utječe niz faktora vezanih uz iskoristivost, V& , P, W.

Volumetrijska djelotvornost

pumpu kroz prolazi koja kapljevina vodu tlacni odlazi stvarno koja kapljevina

==t

v VVη&

&

gv VV

Vη&&

&

+=

Vg – gubici - neidealnost brtvljenja

- kašnjenje u fazi rada rezultira konstrukcijskim nedostacima

- dio kapljevine se zadržava u pumpi (mrtvi prostori) ili se vraća u nasisni vod

P

1

2

p1, z1

p2, z2

d1, v1

d2, v2

P

1

2

p1, z1

p2, z2

d1, v1

d2, v2

55

Hidrodinamička djelotvornost (manometarska)

energija) (ulozena dobave visinateoretskaenergije) (mjera dobave visinaostvarena

==i

H HHη

tt

mH W

WHH

η == Hm<Ht umanjeno zbog otpora same pumpe

Manometarska visina:

Wm hgvv

gρpp

zzH +−

+⋅−

+−=2

21

2212

12 [ ]m

Mehanička djelotvornost mjera za energiju pumpe izražena visinom.

ef

tM P

Pη = Pef>Pt zbog gubitaka uzrokovanih mehaničkim trenjem u ležajevima

Ukupna djelotvornost pumpe

( )tmtt WρVP ⋅⋅= &

H

m

vMef η

Wρ

ηVηP ⋅⋅=⋅&

η

VρWηηηVρW

P m

MHv

mef

&& ⋅⋅=

⋅⋅⋅⋅

=

Osnovni problem pri izračunavanju Wm je procijeniti Δp cjevovoda, dok su ostali članovi lako

izmjerljivi.

PODJELA PUMPI

DINAMIČKE

- centrifugalne

- mlazne, uzgonske

Kapljevina se transportira djelovanjem sila koje se na nju prenose u prostoru (kućištu) koje je

neprekidno povezano s usisnim i tlačnim cjevovodom.

56

Volumenske - pulzirajuće

- rotacijske

Kapljevina se prenosi pomoću periodičkih promjena volumena prostora koji zauzima

kapljevina, a koji se naizmjenično povezuje s usisnim tlačnim cjevovodom.

Zajednička karakteristika

Kapljevina se usisava stvaranjem potlaka pomoću radnog dijela u kućištu pumpe. Usisna

visina je teoretski 10 m vodenog stupca – 1 barr potlak.

Osnovni nedostatak DINAMIČKIH u odnosu na VOLUMENSKE

Prisutna je pretvorba kinetičke energije u tlačnu energiju (statičku). Budući da svaka

pretvorba povlači određeni gubitak – posljedica toga je niža djelotvornost.

Karakteristike pumpi

?=optV&

Univerzalna

za različit broj okretaja, ostvaruje se ista djelotvornost

V&

HmHmPefηp

ηp

Pef

V&

HmHmPefηp

ηp

Pef

Hm

η=0,8

η=0,6

η=0,4

η=0,2n1

n2

n3

n4

n5

n6Hm

η=0,8

η=0,6

η=0,4

η=0,2n1

n2

n3

n4

n5

n6

57

DINAMIČKE PUMPE

Centrifugalna pumpa U praksi je zastupljena s više od 80 %

Centrifugalna pumpa

Višestupnjevita centrifugalna

Prednosti

- lagana

- lako prenosiva

- kontinuirana dobava

- nema ventila

58

Nedostaci

- nije samonasisna

- ne ostvaruje visoke tlakove (zbog toga se koriste višestupnjevite centrifugalne pumpe)

- zbog pretvorbe kinetičke energije u tlačnu ima nižu ukupnu djelotvornost

NPSH karakteristika

Netto Positive Suction Head

Neto pozitivna visina usisa – svojstvena je centrifugalnoj pumpi

Definicija:

NPSH predstavlja razliku tlaka u točki osi pumpe na usisnoj prirubnici i tlaka para kapljevine

na radnoj temperaturi. Zapravo to je mjera za energiju potrebnu da se savladaju svi energetski

otpori u nasisnom cjevovodu.

Vrlo je važna karakteristika centrifugalne pumpe, posebno u slučajevima kada se

transportiraju lako hlapljive kapljevine ili kapljevine na povišenim temperaturama, ukoliko su

u kapljevini otopljeni plinovi ili kod transporta vrlo viskoznih kapljevina.

trvNPSH pppvgzp Δ−−+⋅

+⋅⋅=2

2 ρρ [ ]Pa

gp

gp

gp

gvzNPSH trv

⋅Δ

−⋅

−⋅

++=ρρρ2

2

[ ]m

z – razlika geodetskih visina spremnika i osi pumpe (ukoliko je spremnik iznad osi pumpe, z

je pozitivan

p – tlak u spremniku

pv – tlak kapljevine na radnoj temperaturi

Δptr – pad tlaka u nasisnom vodu, zbog viskoznog trenja i mjesnih otpora

gv2

2

- kinetička energija kapljevine u nasisnom vodu (često se zanemaruje zbog male

vrijednosti)

Razlikuje se:

NPSHA – raspoloživa

NPSHR – potrebna

Za nesmetani rad potrebno je da

59

NPSHA> NPSHR

U protivnom može doći do pojave kavitacije, ili pumpa uopće ne može ostvariti transport.

MLAZNE (STRUJNE) PUMPE

Ejektori i injektori Princip rada osniva se na temelju Bernoullijeve jednadžbe – zbog povećane brzine strujanja

radnog fluida (npr. vodena para) u mlaznici se snizuje tlak u komori što uzrokuje usis

kapljevine koja se transportira.

Strujna pumpa

Ejektori se koriste samo za transport, a injektori i za ostvarivanje povišenog tlaka u tlačno

vodu.

VOLUMENSKE PUMPE

Klipne i stapne

Jednoradna

Prednosti:

- ostvaruju visoke tlakove

- visoka djelotvornost

Nedostaci:

- zbog pulzirajućih opterećenja potrebna su postolja na koja se učvršćuju

- neravnomjeran protok (jednoradne)

60

Zbog toga se često koriste dvoradne jer se ostvaruje jednoličniji protok kapljevine.

Dvoradna

jednoradna dvoradna

Stapne – klipne pumpe

jednoradna dvoradna

ROTACIJSKE PUMPE

V&

n

V&

n

V&

n

V&

n

61

Roots pumpa zupčasta pumpa

Ostvaruju visoke tlakove i ostvaruje se praktički jednoličan protok kapljevine

IZBOR PUMPI

Ovisi o nizu faktora:

- zahtjevi procesa (potrebni tlak, brzina transporta)

- reološka svojstva kapljevine

- lokacija

Primjeri:

- za visoke tlakove – pogodne su volumenske pumpe

- za brzi transport – centrifugalne pumpe

- pseudoplastični fluidi – volumenske rotacijske pumpe, a može se koristiti i

centrifugalna pumpa jer η opada sγ&

- lako hlapive kapljevine – centrifugalna nije pogodna zbog mogućnosti pojave kavitacije

- dilatantni i viskoplastični fluidi – pogodne su volumenske pumpe

62

DINAMIKA STLAČIVIH FLUIDA

Proučava strujanje stlačivih fluida – plinova.

Zbog jednostavnosti proučavanja se temelje na ponašanju savršenog plina.

Savršeni plin je tvar koja se ponaša u skladu s jednadžbom stanja:

TRmVp ⋅⋅=⋅

ili

TRp ⋅⋅= ρ

Jednadžba stanja se koristi u ovom obliku jer je zbog stlačivosti plina mjerodavna veličina

maseni protok, odnosno gustoća.

U tehničkoj primjeni se mnogi plinovi mogu smatrati savršenim ukoliko se nalaze:

- ispod kritičnog tlaka

- iznad kritične temperature

Savršeni plin se ne može poistovjetiti s idealnim fluidom, budući da u idealnom fluidu ne

postoje smična naprezanja.

Savršeni plin je viskozan, dok idealan nema viskoznost.

ZAKONI OČUVANJA

Zakon očuvanja mase Pri stlačivom strujanju gustoća fluida je mjerodavno svojstvo.

Zašto?

Zbog promjenjivosti gustoće s tlakom i temperaturom.

.konstAVm =⋅⋅= ρ&

Zakon očuvanja količine gibanja

∫ ∫ ∫ ⋅+⋅⋅=⋅⋅)( )( )( sile povrsinskesile masenetV tV tS

dSdVfdVvdtd

32143421

rr σρρ

Kod plinova se masene sile zbog male gustoće često zanemaruju. Potrebno ih je uzeti u obzir

pri strujanjima velikih masa plinova (npr. u meteorologiji).

63

Zakon očuvanja energije Promatra se unutrašnjost nekog toplinsko – strujnog uređaja (npr. klipni kompresor):

Energetska jednadžba u diferencijalnom obliku:

dWdQvddUpddzg +=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅

2

2

ρ J/kg

( ) dWdQvddUVpddzg m +=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⋅+⋅

2

2

*

P – snaga koju stroj predaje promatranom sustavu

dQ - razmjenjena toplina = dU+p⋅dVm

dW – rad predan fluidu

dU – promjena unutrašnje energije

p⋅dVm – rad usljed promjene volumena

dH = dU +d(p⋅Vm) promjena entalpije

mV1

=ρ - specifični volumen, m3/kg

Kod realnih sustava uzima se u obzir viskozno trenje:

( ) mw dVpdUghddQ ⋅+=⋅+

Uvrštenjem u jednadžbu * i sređivanjem:

( ) dWhdvdVdpdzg gwm =+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅+⋅ ⋅2

2

**

Integriranjem:

( ) 21

21

22

12

2

12 −=⋅+−

+⋅+⋅− ∫ Wghvv

dpVgzz w

p

pm

Pm&

m&

A2, v2, p2, T2, U2, z2

A1, v1, p1, T1, U1, z1

Q&

Pm&

m&

A2, v2, p2, T2, U2, z2

A1, v1, p1, T1, U1, z1

Pm&

m&

A2, v2, p2, T2, U2, z2

A1, v1, p1, T1, U1, z1

Q&

64

Kod stlačivog strujanja umjesto brzine (v), pogodnije je koristiti maseni protok ( m& ) ili maseni

fluks ( m& A).

mVvvm =⋅= ρ& ,

smkg

⋅2

ρA

mAm

Vmv&

& =⋅=

Množenjem jednadžbe ** s ρ2 ili s 2

1

mV i integriranjem:

∫∫∫ ⋅=⋅⋅+⋅+⋅+⋅⋅2

1

22

2

12

1

22

1

2

2ln dWm

dlmdpdzg A

A ρξρρ

ρρ ***

Odnosi između ρ (ili Vm), p i T dani su jednadžbom stanja.

IZOTERMNO STRUJANJE SAVRŠENOG PLINA U HORIZONTALNOJ CIJEVI

Promatra se strujanje savršenog plina između presjeka 1 i 2 uz uvjet da nema dovođenja rada

između 1 i 2.

Zaključak: 21

0zz

dW=

=

Izraz *** se pojednostavljuje:

02

22

1 2

12 =⋅⋅+⋅+⋅∫ AA

mdlξ

ρρ

mdpρ ln&

Uz izotermne uvjete vrijedi:

321uvjeti pocetni

11 mm VpVp =⋅ ili 1

1

ρp

ρp

=

slijedi: 1

1

pρ

pρ ⋅=

Uvrštenjem u prvi član gornjeg izraza:

22

21

22

11

21

22

2

1

21

22

1

1

1

1

222ρ

ppp

ρp

pppppρ

dpppρ

⋅−

=⋅−

=−

⋅=⋅∫

Izraz za procjenu pada tlaka kod izotermnog strujanja savršenog plina:

2

122

11

22

21

22 ρρ

ξρ lnmm

dl

ppp

AA &&

+⋅⋅=⋅−

65

DINAMIKA DVOFAZNIH SUSTAVA

Proučava odnose pri gibanja smjesa:

Kapljevto – plinovito (L-G)

Kapljevito - čvrsto (L-S)

Plinovito – čvrsto (G-S)

L – liquid; G- gas; S- solid

Smjesu kapljevito – plinovito često se svrstava u homogene sustave jer su obje faze tekućine.

Smjese L-S i G-S su heterogeni sustavi.

STRUJANJE KAPLJEVITO – PLINOVITIH SUSTAVA

Prisustvo plinovite faze u toku strujanja kapljevine znatno se mijenjaju svojstva prvobitnog

jednofaznog strujanja. To je posljedica sklopa međudjelovanja različitih interaktivnih sila i

različitih fizikalnih svojstava svake faze. Plinovita faza u pravilu struji brže od kapljevite, pa

dolazi do vremenske promjene udjela faza obzirom na poprečni presjek cijevi. Obje faze

mogu strujati turbulentno i laminarno. Turbulentno strujanje dvofaznog strujanja započinje

kod nižih vrijednosti Re – značajke nego što je to kod jednofaznog strujanja (Re = 2320).

Kod dvofaznog strujanja smatra se da se već za Re > 1000 može govoriti o turbulentnom

strujanju.

ZAŠTO?

Prisustvo druge faze uvijek remeti ustaljeno pravocrtno gibanje kapljevine.

Povećanjem protoka plinovite faze u odnosu na protok kapljevite faze javljaju se različiti

pojavni oblici dvofaznog strujanja.

66

ALVES – sistematizirao sve pojavne oblike:

Pri horizontalnom strujanju povećanjem brzine strujanja plina u odnosu na brzinu strujanja

kapljevite faze javljaju se slijedeći pojavni oblici:

Mjehurasto: mjehurići plina struje u gornjem dijelu cijevi.

Čepoliko (klipasto): povećanjem GV& u odnosu na LV& , mjehurići se stapaju u veće, te se

oblikuju čepoliki (klipasti) oblici koji također struje u gornjem dijelu cijevi.

Slojevito (ravninsko): plinovita i kapljevita faza struje odvojeno; međufazna površina je

ravna.

Valovito: Zbog velike brzine strujanja plinovite faze dolazi do pojave valova.

Udarno (bregasto): plinovita faza struji znatno brže od kapljevite što uzrokuje podizanje

valova do gornje stjenke cijevi. Ovaj pojavni oblik može uzrokovati određena mehanička

oštećenja. Treba ga izbjegavati u cjevovodu.

Prstenasto (anularno): plinovita faza struji središnjim dijelom cijevi, a oko nje uz stjenku

cijevi, tvoreći prsten, struji kapljevita faza.

Raspršeno: zbog velikog protoka i udjela plinovite faze kapljevina je raspršena u sitne

kapljice.

Svi se pojavni oblici mogu vizualno odrediti.

67

BAKER – utvrdio kvantitativne veličine za definiranje pojavnog oblika strujanja. Tako je

moguće procijeniti i predvidjeti pojavni oblik dvofaznog strujanja bez prethodnih

eksperimentiranja.

By i Bx ovise o protocima i fizikalnim svojstvima obje faze

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ση

ρ

ρρmm

B L

L

LG

GA

LAx

3

3 23891

&

&,

LG

GAy ρρ

mB

⋅=

&097,

gdje je:

GALA mm && , - masena brzina kapljevite i plinske faze, kg m-2 h-1 GL ρρ , - gustoća kapljevite i plinske faze, kg m-3 Lη - viskoznost kapljevite faze, mPa s σ - napetost površine kapljevite faze, N m-1

68

MANDHANE – također je predložio dijagram koji definira pojavne oblike o brzinama

strujanja obje faze.

Jednostavniji je od Baheovog jer stavlja u odnos samo vL i vG.

Nedostatak neprecizniji je zato su između pojedinih područja široke vrpce (prelazna

područja).

PROCJENA GUBITAKA ENERGIJE (PADA TLAKA) PRI DVOFAZNOM STRUJANJU

Pad tlaka dvofaznog strujanja veći je od sume pada tlakova jednofaznog strujanja svake faze.

GLDS ppp Δ+Δ>Δ

ZAŠTO?

Određena količina energije troši se na:

Formiranje međufazne površine koja ovisi o fizikalnim svojstvima obje faze (ρ, η, σ)

Međufazno viskozno trenje

Kod jednofaznog strujanja:

( )dεdlηρvfp ,,,,,=Δ , na temelju čega se izvodi Darcy – Weisbachova jednadžba:

21 2 ρvd

ξlp ⋅

⋅⋅=Δ

69

Kod dvofaznog strujana znatno je povećan broj varijabli:

),,,,,,,,,,( , dεldσηηρρωωmmfp LGLGLfGL &&=Δ

te nije mogućeegzaktno izvesti izraze za Δp.

LOCKHART – MARTINELLI – predložili postupak koji se temelji na Darcy – Weisbachovoj

jednadžbi. Vrijedi za sve pojavne oblike i za tanke cijevi.

LL

GG

DS lp

lp

lp

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

⋅Φ=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

⋅Φ=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ 22 DS – dvofazno strujanje

( )( )Xg

Xf

L

L

=Φ=Φ

prikazuje se tablično ili grafički

X – parametar koji ovisi o fizikalnim svojstvima i udjelu pojedinih faza. c

G

Lb

L

Ga

G

G

ηη

ρρ

ωω

X ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

1

a, b, c ovise o Re kapljevite i plinske faze i ako obje faze struje u turbulentnim uvjetima:

a = 0,9; b =0,5; c =0,1

70

Ovisnost φ - X

Lockhart – Martinelli postupak se može primijeniti i u prijelaznom području.

Baker – je dao jednadžbu za svako područje.

Pokazalo se da je Lockart – Martinelli postupak ipak najprikladniji

ZADATAK

Izračunajte pad tlaka po dužnom metru, pri strujanju smjese plina i kapljevine kroz

horizontalnu cijev.

Podaci:

d = 0,02 m; ε = 1,5·10-6m; ukm& = 0,2 kg s-1; ωG = 0,149;

ηG = 10-5 Pa s; ρG = 60 kg m-3;

ηL = 2·10-3 Pa s; ρL = 1000 kg m-3

Ako ΔpDS računamo na temelju pada tlaka kapljevite faze:

21 2

22 LLL

LL

DS

ρvd

ξlp

lp ⋅

⋅⋅Φ=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

⋅Φ=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

L

LLL η

ρdv ⋅⋅=Re ( )

Aρωm

Aρm

AV

vL

Guk

L

LLL ⋅

−⋅=

⋅==

1&&&

( ) ( ) 5420102

4020

02014901201

32 =

⋅⋅⋅

⋅−⋅=

⋅⋅−⋅

=−πAη

dωm

L

GukL ,

,,,Re&

turbulentno strujanje

Primjenom Moody – evog dijagrama, a za ε/d = 0,000075 ξL = 0,039

LΦ GΦΦ

X

LΦ GΦΦ

X

71

101

5090

,,,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

G

L

L

G

G

G

ηη

ρρ

ωω

X

2996110

1021000

601490

1490110

5

35090

≅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=−

−

,,

,,,,

X

Φ se određuje iz tablica ili dijagrama:

LΦLΦ

0,01 128 2,0 3,100,02 68,4 4,0 2,380,04 38,5 7,0 1,960,07 24,4 10 1,750,10 18,5 20 1,480,20 11,2 40 1,290,40 7,05 70 1,170,70 5,04 100 1,111,0 4,20

21 2

22 LLL

LL

DS

ρvd

ξlp

lp ⋅

⋅⋅Φ=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

⋅Φ=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

mPalp

DS

⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ 2409

DINAMIKA ČVRSTO – KAPLJEVITIH SUSTAVA

Kapljevito – čvrsti sustavi nazivaju se suspenzije.

Reološka ponašanja suspenzija istraživana su niz godina zbog velike važnosti u brojnim

industrijskim procesima.

Transport suspenzija naziva se hidraulički transport i već se mnogo godina primjenjuje u

rudarskoj i građevinskoj industriji zbog niza pogodnosti:

Jednostavne instalacije, mali radni prostor

Niski potrošak snage

Jednostavnost operacije

Mogu se koristiti prirodne pogodnosti (rijeke, kanali)

72

Danas se hidraulički transport i druge operacije s čvrsto kapljevitim sustavima (npr.

miješanje) primjenjuju i u drugim industrijama (kemijska, grafička, prehrambena) u kojima se

provode operacije s industrijski važnim suspenzijama: cementna kaša, glinene suspenzije,

tiskarske boje, uljne suspenzije, celulozne suspenzije itd.)

Osnovna svrha istraživanja hidrauličkog transporta je određivanje uvjeta transporta, a to su:

- protok

- pad tlaka (potrebna energija za transport)

Zbog prisustva čvrste faze nastaju vrlo složeni odnosi, mnoge pojave još nisu razjašnjene, te

ne postoje egzaktni matematički izrazi.

Pad tlaka pri strujanju suspenzije (Δpsusp) ovisi o velikom broju veličina:

),,,,,,,,,,,( aSSSsusp ηψξγρddεηρldvfp =Δ

S – oznaka za čvrstu fazu

ψ - sfericitet (definira oblik čvrstih čestica)

ηa – prividna viskoznost (zbog prisustva čvrste faze može doći do promjene reoloških

svojstava)

Zbog toga je pogodnije promatrati odnose bezdimenzijskih veličina:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Δ

Δψξ

ρρ

dd

γfp

pS

L

S

G

S

L

susp ,,,,Re,'

Ovako veliki broj varijabli uvjetovao je da su korelacije često temeljene na iskustvu.

Problemi postaju sve složeniji povećanjem koncentracije čvrstih čestica.

Suspenzije se grubom klasifikacijom svrstavaju u dvije osnovne grupe:

- heterogene suspenzije

dS > 50 μm

ρS >2600 kg m-3

- homogene suspenzije

dS < 50 μm

ρS <2600 kg m-3

Vrijednosti dS , ρS su orijentacione i to se ne može uzeti kao strogo granične vrijednosti.

73

Heterogene suspenzije sadrže velike čestice (uglavnom veće od 50 μm), a zbog velike

razlike u gustoći (ρS >> ρL) čestice se u stanju mirovanja i pri razmjerno malim brzinama

strujanja kapljevite faze talože na stjenke cijevi. Kod vrlo velikih čestica taloženje je prisutno

i kod viših brzina strujanja.

Prikaz stanja pri strujanju heterogenih suspenzija

Kako se čvrsta i kapljevita faza ponašaju kao zasebna faza predložen je izraz:

( )2

2 ρvdlξξp ssusp

⋅⋅⋅+=Δ

ξs – faktor trenja za čvrstu fazu

vc kritična (minimalna) brzina strujanja kapljevine kod koje se čestice ne zadržavaju uz

stjenku cijevi duže od 1-2 sekunde.

( )ρdηρfv SSc ,,,=

Za određivanje vc koriste se tablice i dijagrami za različite materijale definirane veličine

čestica, gustoće i koncentracije.

U praksi je uobičajeno da je brzina strujanja kapljevine za 10 % veća od vc.

Empirijski izraz za ξS:

nc

S vKξ = K i n se odrede iz tablica za određeni sustav

74

Ukoliko su brzine strujanja preniske materijal se transportira ''poskakujući'' po donjem dijelu

cijevi, te može doći do mehaničkih oštećenja. Taj način poznat je pod nazivom SALTATION

(engl.).

Kod vrlo velikih čestica taj se način transporta ne može izbjeći.

Homogene suspenzije su smjese vrlo finih čestica (uglavnom manjih od 50 μm) i kapljevine.

One su stabilne, odnosno koncentracija čvrstih čestica je ravnomjerno raspodijeljena po

cijelom volumenu kapljevite faze i u stanju mirovanja. Osnovna je karakteristika homogenih

suspenzija da pri višim volumnim koncentracijama čvrste faze dolazi do promjene reoloških

svojstava prvobitne kapljevite faze, te se javljaju izrazito nenewtonska svojstva

(viskoplastična, pseudoplastična).

Zašto se naglašava volumna koncentracija?

U homogenim suspenzijama prisustvom finih suspendiranih čestica (koje su još uvijek

razmjerno velike u odnosu na molekule fluida) dolazi do međusobnih interakcija, uzrokovanih

raznim silama:

1. hidrodinamičke sile

2. sile odbijanja i privlačenja (London – Van der Waalsove sile)

3. sile koje uzrokuju slučajno Brownovo gibanje (kod čestica manjih od 1 μm)

4. viskozne sile trenja koje se javljaju na međufaznoj površini, a uzrokovane su

razlikama u lokalnim brzinama gibanja čvrstih čestica i čestica fluida

Sve te sile ovise o površini čestica, a koja pak ovisi o njihovoj volumnoj koncentraciji.

Faktori koji utječu na reološka svojstva suspenzija

Koncentracija čvrstih čestica

Suspenzije s volumnim udjelom većim od 10% pokazuju nenewtonska svojstva – najčešće

viskoplastična ili pseudoplastična.

τ

γ&

τo

viskoplastični fluidi

pseudoplastični fluidi

τ

γ&

τo

viskoplastični fluidi

pseudoplastični fluidi

75

Ukoliko je koncentracija manja (ϕ<0,1) ne dolazi do promjene viskoznih svojstava (misli se

na mijenjanje iz Newtonskih u nenewtonske).

Utjecaj koncentracije na reološko ponašanje rijetkih suspenzija ϕ<0,1 izražava se pomoću

Einsteinove jednadžbe:

( )φηη Lsusp 2,51 +=

Ovim izrazom nisu uzeti u obzir utjecaj veličina čestica ili utjecaj njihove međusobne

udaljenosti.

Kod većeg volumnog udjela to je uzeto u obzir:

( )26,2521 φηη Lsusp ++= ,

član ϕ2 uzima u obzir postojanje drugih čestica i njihov utjecaj na viskoznost suspenzije.

Viskoznost kapljevite faze

Porast viskoznosti kapljevite faze uzrokuje i porast visokoznosti suspenzija u kojima nema

interakcije između čestica. Međutim, ukoliko postoje interakcije između čvrstih čestica

povećanje viskoznosti kapljevite faze smanjuje brzinu formiranja novih struktura jer je brzina

difuzije čestica kroz kapljevitu fazu manja.

Veličina i raspodjela veličina čestica

Na reološka svojstva utječu čestice koje su u pravilu vrlo fine (dS < 50 μm).

Kod suspenzija s ϕ < 0,2 nije uočen direktan utjecaj veličine čestica na viskoznost suspenzije.

Viskoznost suspenzija je manja ukoliko su čestice u širokom rasponu veličina. Ovaj efekt je

posljedica boljeg pakiranja čestica ukoliko se njihove veličine znatno razlikuju jer manje

čestice popunjavaju šupljine između većih čestica.

Oblik čestica

Oblik čestica može se izraziti sfericitetom:

1 volumenaistog cestice povrsina

kugle povrsina≤=ψ

Za kuglaste čestice ψ =1, a što su čestice nepravilnijeg oblika ψ je manji.

Utjecaj je prikazan grafički:

76

Što oblik čestice više odstupa od kugle (manji ψ) to je veći utjecaj na porast viskoznosti

suspenzije. To je i razumljivo, budući čestice nepravilnog oblika imaju veću površinu uz isti

volumni udio, te su veće i interakcije na međufaznoj površini.

Specifična površina Specifična površina predstavlja ukupnu površinu čestica po jedinici volumena ili mase (m2 m-3,

m2 kg-1) i ovisi o raspodjeli veličina čestica i obliku čestica.

Povećanjem specifične površine povečava se i utjecaj na promjenu reoloških svojstava (porast

viskoznosti i poprimanje nenewtonskih svojstava).

Ostali faktori Kemijska svojstva (pH i zeta potencijal) utječu na promjenu reoloških svojstava.

Zeta potencijal je posljedica postajanja površinskog naboja na vrlo finim česticama (< 1 μm)

što uzrokuje odbijanja između čestica zbog istovrsnog naboja.

Procjena pada tlaka

Predložen je izraz za suspenzije koje pokazuju Binghamova viskoplastična svojstva, akoji je

izveden iz Hagen-Poiseuilleovog zakona:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

⋅=

Δdτ

dvη

lp

632 0

2

Pretpostavka je da ove suspenzije zbog visokih viskoznosti u pravilu uvijek struje laminarnom

području.

Za suspenzije s pseudoplastičnim svojstvima koristi se Darcy – Weissbachova jednadžba:

2

2 ρξ vdlp susp ⋅⋅=Δ

ηsusp

ϕ

ψ=1

ψ=0,6

ψ=0,2ηsusp

ϕ

ψ=1

ψ=0,6

ψ=0,2

77

Porastom Re – značajke smanjuje se utjecaj viskoznosti, odnosno reoloških svojstava

suspenzije, te se pad tlaka izjednačava s padom tlaka čiste kapljevine.

Vidljivo je da kod suspenzije s manjim volumnim udjelom čvrste faze pri nižim vrijednostima

Re – značajke dolazi do izjednačavanja pada tlaka suspenzije i čiste kapljevine.

STRUJANJE U OTVORENIM TOKOVIMA

Pri strujanju u otvorenim tokovima strujni tok nije potpuno okružen čvrstim stjenkama, pa

zato ima slobodnu površinu nad kojom vlada atmosferski tlak. Ovakvim tokom mogu teći

samo kapljevine. Pri tome kapljevina može teći u otvorenim i zatvorenim kanalima.

Tečenje se zbiva zbog djelovanja sile teže, tj. zbog nagiba dna i razine kapljevine.

Strujanje može biti stacionarno i nestacionarno, jednoliko i nejednoliko.

Kod stacionarnog strujanja je u svakom presjeku protok konstantan.

Strujanje se smatra jednolikim ako su svi presjeci kroz koje protječe kapljevina jednaki, a

prosječna brzina je tada nepromijenjena.

Kod nejednolikog strujanja presjeci se mijenjaju, tako da su i brzine različite.

ϕ = 0,8

ϕ = 0,6

ϕ = 0,2

Δp

Re

čista kapljevina

ϕ = 0,8

ϕ = 0,6

ϕ = 0,2

Δp

Re

čista kapljevina

78

Jednoliko stacionarno strujanje

v

Δp/l

h0 – normalna dubina

lh

lh gub=

Δ predstavlja gradijent gubitka energije izražene visinom

Za jednoliko strujanje h0 = konst; V& = konst, A = konst. i lhΔ = konst. (uvjet: hrapavost

stijenke uzduž kanala je također konstantna).

Prikaz djelovanja sila:

79

v

Iz slike:

α

α

sin

sin

⋅=

=

GFGF

G

G

FG - komponenta sile teže u smjeru gibanja

F1, F2 – sile hidrostatskih tlakova su jednake

gmG ⋅=

G – sila teža

Budući da se sile hidrostatskih tlakova poništavaju, u bilancu sila ulaze samo sile otpora i

komponenta sile teže u smjeru strujanja.

lOglAm

⋅⋅=⋅⋅⋅⋅ ταρ sin321

O – nakvašeni opseg

A – površina poprečnog presjeka

Iz slike:

lh

lhgub Δ

==αsin

Uvrštenjem u prethodni izraz:

lOlhglA ⋅⋅=

Δ⋅⋅⋅⋅ τρ

HrOA

= (hidraulički radijus)

Slijedi:

Hgub

H rl

plhrg ⋅

Δ=

Δ⋅⋅⋅= ρτ

Općenito vrijedi:2

2 ρτ vf ⋅=

80

4ξ

=f

f – faktor otpora (Fanningov faktor)

Konačno se dobiva izraz za srednju brzinu strujanja:

Hsr rlhgv ⋅

Δ⋅=

ξ8

Iz vsr može se izračunati protok.

U praksi se za procjenu srednje brzine koristi izraz:

lhrcv Hsr

Δ⋅⋅= 3

2

Faktor c ovisi o karakteristikama stjenki i dobiva se iz tablica:

c

Betonski kanali 50-90

Drveni kanali 65-90

Limeni kanali 55-95

Zidani kanali 50-60

Zemljani kanali 30-60

Prirodni tok 7-40

Strujanje može biti laminarno i turbulentno.

Ako promjer izrazimo kao ekvivalentni promjer tada Rekrit≈2300.

Ako se koristi hidraulički radijus Rekrit≈500-600

Zašto?

Pogledati lekciju: Definiranje promjera koji nisu kružni

Podsjetimo se:

OAr

OAd

H

ekv

=

= 4

Raspodjela brzina izražena profilom:

vsr je približno 0,62 dubine od razine

vmax

vsr

vp

vmax

vsr

vp

81

Površinska brzina , vp je približno 10 % veća od srednje brzine.

Nejednoliko strujanje u otvorenim tokovima

U pravilu, jednoliko strujanje nalazimo samo u umjetno izvedenim kanalima, konstantnog

presjeka i konstantnog pada. Usprkos tome i u tim otvorenim tokovima dolazi do mjestimično

nejednolikog strujanja. Kod prirodnih tokova mijenjaju se presjek i pad, tako da je jednoliko

strujanje rijetkost. Kao glavna karakteristika nejednolikog strujanja je razlika u dubinama na

promatranom presjeku. Dok je kod jednolikog strujanja dubina h0 = konst. Kod nejednolikog

strujanja može biti h1 ≠ h2. Svako nejednoliko strujanje prolaznog je karaktera i dubina teži

doći na normalu, h0

Kod nejednolikog tečenja česta je pojava ˝hidraulički skok˝. Kod tečenja (u otvornim

tokovima) razina slobodne površine mijenja se na različite načine. Zbog toga (u usporedbi sa

zatvorenim cijevima), moguće su različite vrste pojava, od kojih neke imaju praktično

značenje.

Pretpostavimo da se kroz neko korito giba voda velikom brzinom. Nećemo zapaziti ništa osim

glatke površine. Međutim, može se na nekom mjestu, u izvjesnim okolnostima (npr.

neravnina ili prepreka na dnu) pojaviti naglo povišenje razine, koja nizvodno i dalje ostaje na

toj visini. Ta se pojava zove ˝hidraulički skok˝. Brzo gibanje tekućine u otvorenom kanalu

naglo se mijenja u polagano strujanje, zbog većeg strujnog presjeka i naglog porasta površine

tekućine. Takav je hidraulički skok primjer stacionarnoga, nejednolikog strujanja. Za tekućinu

koja brzo struji mogli bi smo reći da ˝ekspandira˝, tj. pretvara kinetičku energiju u

potencijalnu (i dakako, toplinsku u gubicima).

Kako se vidi iz slijedeće slike, česta je pojava hidrauličkog skoka i nastanak tekućinskog

˝valjka˝ na usponskoj površini, koji povlači zrak u tekućinu, pa ona zbog toga ima i naboranu

82

(nemirnu) površinu. Površina skoka vrlo je hrapava i turbulentna, gubici su veliki (veći što je

skok veći).

Na temelju bilance sila izveden je izraz koji ima praktično značenje:

1

21

1

2 241

21

ghv

hh

++−=

Gdje je 11

21 Fr

ghv

=

Fr1 je Frudov broj za strujanje ispred hidrauličkog skoka, pa prethodnu jednadžbu možemo

pisati:

11

2 241

21 Fr

hh

++−=

Iz jednadžbe je uočljivo da do hidrauličkog skoka može doći ako je Fr>1 jer će tada biti

h2>h1, Taj Froudov broj (Frkr=1) zovemo kritičnim ili graničnim, a brzinu kod Frkr zovemo

kritičnom (graničnom) brzinom. Ona iznosi:

hgvkr ⋅=

Hidraulički se skok pojavljuje, dakle, samo kod strujanja pri većoj brzini od kritične, koja je

jednaka brzini površinskih valova. Giba li se tekućina brzinom v>vkr, to strujanje zovemo

šibanjem, a gibanje tekućine brzinom v<vkr zovemo mirnim strujanjem ili tečenjem. Šibanju

odgovara u prirodi gibanje brzaka, koje prepoznajemo po zrcalno glatkoj površini (ukočenost;

površinski se valovi ne mogu gibati uzvodno!). Nakon hidrauličkog skoka mijenja se šibanje

u tečenje, čemu odgovara strujanje rijeka. Ako je v<vkr, bit će Fr1<1, pa imamo tečenje;

razina se ne može povisiti, već će je neka prepreka samo sniziti.