slid epdm
DESCRIPTION
Saya dapat dr Dosen MTK saya XDTRANSCRIPT
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 1 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
1
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 1 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Pengantar Dasar Matematika
I Made [email protected]
February 9, 2005
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 1 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
CONTENTS
1 PERNYATAAN 41.1 Pengertian Umum Logika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1 Notasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.2 Definisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Pernyataan Tunggal dan Negasinya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.1 Pengertian Pernyataan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.2 Pernyataan Tunggal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.3 Negasi Pernyataan Tunggal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Pernyataan majemuk dan negasinya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.1 Perakit Konjungsi (dan) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3.2 Perakit Disjungsi (atau) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 Tautologi dan Kontradiksi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.5 Aljabar pernyataan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.6 Bentuk Rangkap dan Prinsip Kerangkapan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 2 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
1.7 Perakit-perakit Lain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.7.1 Perakit Disjungsi eksklusif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.7.2 Fungsi / Operator Stroke dan Dagger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.8 Bacaan Lebih Lanjut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.9 Soal-soal Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2 PERNYATAAN BERSYARAT/KONDISIONAL 332.1 Implikasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.2 Implikasi dan variasinya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.3 Biimplikasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.4 Implikasi Logis dan Ekuivalensi Logis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.5 Negasi Pernyataan Bersyarat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.6 Hirarki perakit dan Notasi Lukasiewicz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.6.1 Hirarki perakit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.6.2 Notasi Lukasiewicz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.7 Bacaan Lebih Lanjut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.8 Soal-soal Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3 KARAKTERISTIK, BENTUKNORMAL DAN APLIKASINYA 533.1 Karakteristik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.2 Bentuk Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.2.1 Bentuk Normal Disjungtif (DNF) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.2.2 Bentuk Normal Konjugtif (CNF) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3 Komplemen Bentuk Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.4 Translasi Bentuk Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.5 Aplikasi Bentuk Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.6 Aplikasi Logika dalam Aljabar Himpunan dan Listrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.7 Aljabar Jaringan Listrik atau Saklar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.8 Bacaan Lebih Lanjut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.9 Soal-soal Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 3 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
4 KUANTOR 754.1 Tetapan dan Peubah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.2 Kalimat matematika, kalimat terbuka, kalimat tertutup . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.3 Kuantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.3.1 Kuantor Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.3.2 Kuantor Eksistensial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.4 Negasi Kuantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.5 Notasi lain untuk ∀ dan ∃ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.6 Kuantor, Disjungsi, Konjungsi dan Implikasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.7 Contoh Penyanggah/ Contoh Kontra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.8 Kuantor dan kalimat terbuka lebih dari satu peubah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.9 Beberapa Bentuk Khusus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.10 Bacaan Lebih Lanjut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.11 Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5 PENALARAN LOGIS 995.1 Argumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.2 Bentuk-Bentuk Argumen Yang Valid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.3 Pembuktian Tidak Langsung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.3.1 Pembuktian dengan Negasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.3.2 Pembuktian dengan Kontradiksi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105.3.3 Pembuktian dengan Kontra Positif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.4 Induksi Matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.5 Argumen berkuantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.5.1 Translasi kuantor universal dan eksistensial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1125.5.2 Spesifikasi Universal, Spesifikasi Eksistensial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1145.5.3 Generalisasi Universal dan Generalisasi Eksistensial . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.6 Sesat Pikir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1165.7 Sistem Deduktif dalam Matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175.8 Bacaan Lebih Lanjut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1185.9 Soal-soal Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 4 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
6 HIMPUNAN 1236.1 Definisi dan Jenis Himpunan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1256.2 Relasi Himpunan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1286.3 Operasi Himpunan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.3.1 Operasi Dasar Himpunan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1316.3.2 Sifat-sifat Operasi Himpunan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1336.3.3 Operasi Jumlah dan Selisih Himpunan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.4 Sifat-sifat Lanjut Relasi Himpunan bagian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1386.5 Penggunaan Himpunan dalam Silogisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1426.6 Bacaan Lebih Lanjut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1456.7 Soal-soal Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7 HIMPUNAN BILANGAN 1477.1 Himpunan Bilangan Asli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1487.2 Himpuan Bilangan Cacah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1517.3 Himpuan Bilangan Bulat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1527.4 Himpuan Bilangan Rasional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1537.5 Himpunan Bilangan Irasional dan Himpunan Bilangan Riil . . . . . . . . . . . . . . . . 1537.6 Perkembangan perhitungan π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1557.7 Bacaan Lebih Lanjut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1567.8 Soal-soal Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
8 PERKALIAN KARTESIUS, RELASI DAN FUNGSI 1598.1 Perkalian Kartesius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1608.2 Relasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1618.3 Sifat-sifat Relasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1628.4 Penyajian Relasi dengan Matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1678.5 Fungsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1698.6 Jenis-Jenis Fungsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1708.7 Bentuk, Skala dan Lokasi Fungsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1728.8 Bacaan Lebih Lanjut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1738.9 Soal-soal Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 5 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
9 PENGANTAR LOGIKA DAN HIMPUNAN SAMAR 1769.1 Konsep Dasar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1779.2 Logika bernilai tiga atau lebih . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1799.3 Himpunan Samar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1829.4 Bacaan Lebih Lanjut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 6 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
DAFTAR GAMBAR
1.1 Diagram Pembagian kalimat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.1 Diagram Venn mengilustrasikan A ∩B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.1 Diagram Venn mengilustrasikan himpunan dan himpunanbagiannya . . . . 1286.2 Diagram Venn mengilustrasikan relasi himpunan . . . . . . . . . . . . . . . 1296.3 Diagram Venn mengilustrasikan Ac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1316.4 Diagram Venn mengilustrasikan A ∩B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1326.5 Diagram Venn mengilustrasikan A ∪B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1336.6 Diagram Venn mengilustrasikan A/B dan A + B . . . . . . . . . . . . . . . 1376.7 Diagram pohon mengilustrasikan subset himpunan . . . . . . . . . . . . . . 142
7.1 Diagram Venn mengilustrasikan < . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1537.2 Diagram mengilustrasikan < . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 7 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
8.1 Diagram kartesius mengilustrasikan A×B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1618.2 Diagram panah mengilustrasikan relasi A ke B . . . . . . . . . . . . . . . . 1628.3 Diagram panah mengilustrasikan relasi A ke A . . . . . . . . . . . . . . . . 1668.4 Contoh Grafik Relasi dari suatu himpunan ke dirinya sendiri dengan Software R1688.5 Contoh Grafik Relasi dari {a, b, c, d, e} ke {u, v, w, x, y, z} dengan Software R 1698.6 Diagram panah mengilustrasikan fungsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1698.7 Fungsi kuadrat yang mempunyai persamaan berbeda walau sebenarnya ben-
tuk dan skalanya sama, tetapi lokasi berbeda . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 8 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
DAFTAR TABEL
1.1 Tabel Kebenaran Stroke dan Dagger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1 Notasi Lukasiewicz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1 Tabel kebenaran konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi . . . . . . . 553.2 Aljabar Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7.1 Perhitungan π secara analitik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1567.2 Perhitungan π dengan mesin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 9 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
BAB 1
PERNYATAAN
Tujuan Umum
Setelah menyelesaikan materi pada bab ini diharapkan pembaca memahami pengertianumum logika, pengertian pernyataan tunggal maupun majemuk dan negasinya serta mampumenilai kalimat.
Tujuan Khusus
Setelah menyelesaikan materi pada bab ini diharapkan pembaca dapat:
1. menyebutkan definisi logika;
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 10 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
2. menyebutkan pengertian pernyataan tunggal;
3. menentukan negasi sebuah pernyataan tunggal;
4. membentuk kalimat majemuk dengan perakit “dan”, “atau”;
5. menentukan negasi kalimat mejemuk dengan perakit “dan”, “atau”;
6. menerapkan prinsip ganda pada kalimat majemuk;
7. menentukan apakah suatu pernyataan merupakan kontradiksi atau tautologi;
8. membuktikan ekuivalensi bentuk logika;
9. menyebutkan definisi perakit disjungsi eksklusif, dagger dan stroke.
Materi
1. Pengertian Umum Logika
2. Pengertian Pernyataan
3. Pernyataan Tunggal dan Negasinya
4. Pernyataan majemuk dan negasinya
5. Tautologi dan Kontradiksi
6. Aljabar pernyataan
7. Bentuk Ganda dan Prinsip Kegandaan
8. Perakit-perakit Lain
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 11 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
1.1. Pengertian Umum Logika
Definisi mengenai logika diberikan oleh para ahli dengan rumusan yang agak berbeda satusama lain, tetapi artinya tidak jauh berbeda misalnya menurut Soekadijo bk:Soekadijo83“Logika adalah suatu studi yang sistimatik tentang struktur proposisi dan syarat-syaratumum mengenai penalaran yang sahih dengan menggunakan metode yang mengesamp-ingkan isi atau bahan proposisi dan hanya membahas bentuk logisnya saja”. Sejalan denganpendapat di atas, menurut kamus matematika oleh Borowsky & Borwein bk:BorowskyBorwein89,dijelaskan bahwa logika adalah prinsip dan metode khas yang dipergunakan dalam argu-mentasi atau penalaran yang tidak memperhatikan isi atau konteks dari bentuk penalaran.Logika yang mengesampingkan isi dari pernyataan dan hanya melihat bentuknya saja(terutama pada saat mengadakan penalaran), lebih dikenal dengan istilah logika formal,logika simbolik, logika modern atau logika matematika. Ciri lain dari logika matematikaadalah penalarannya berdasarkan penalaran deduktif, yang didasarkan atas sejumlah unsurtak terdefinisi (undifine term), unsur terdefinisi, asumsi dasar/ aksioma serta aturan-aturantertentu yang daripadanya dapat diturunkan teorema-teorema. Keseluruhan ini mem-bangun suatu sistem yang disebut sistem matematika. Lebih lanjut, dalam menetapkandefininsi maupun aksioma seorang matematisi sesungguhnya, tidak harus menghubungkan-nya dengan keadaan nyata (real world/ concrete situation), namun demikian yang terpent-ing, aksioma atau definisi yang dirumuskan haruslah konsisten tidak bertentangan satudengan yang lain. Beberapa buku teks tentang logika simbolik atau logika matematikadiantaranya adalah Copi bk:Copi61, Gemignani bk:Gemignani68, Thomas bk:Thomas68,dan Polimeni & Straight bk:PolimeniStraight85.
1.1.1. Notasi
Notasi adalah alat bantu untuk menyatakan sesuatu. Notasi menyingkat kalimat verbalyang panjang dengan suatu simbol yang ringkas. Tanpa menggunakan simbol kita akanmengulang-ulang beberapa kalimat seperti : “Sembarang mahasiswa Universitas Jember”atau “Sembarang bilangan real” dan lain-lain. Hal ini bukannya tidak mungkin dilakukan,
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 12 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
tetapi tentu saja akan tidak efisien. Sementara, dengan menggunakan simbol, istilah itubisa dipersingkat menjadi “Si-X” atau X.
Beberapa hal yang harus diperhatikan dalam penggunaan notasi yang baik, antara lain,seperti diuraikan berikut.
1. Beberapa simbol tertentu, secara tetap sudah digunakan untuk menunjukkan hal-haltertentu. Misalnya, notasi π biasa digunakan sebagai lambang bilangan irasional3,1415.... Demikian pula konsensus lainnya yang telah disepakati oleh para ahliharus tetap diikuti. Sebagai contoh dalam hubungannya dengan tetapan dan peubah,seperti pada y = ax2 + bx + c, disepakati bahwa hurup-hurup pertama abjad diper-gunakan untuk melambangkan tetapan, sedangkan hurup-hurup akhir dipergunakansebagai lambang peubah.
2. Sekali simbol telah diperkenalkan sebagai wakil suatu objek, maka secara konsisten,simbol tersebut sebisanya digunakan untuk objek tersebut. Jika suatu objek da-pat disimbolkan dengan lebih dari satu macam simbol dan semua simbol itu akandigunakan tanpa suatu pengkhususan maka hal ini biasanya dijelaskan sejak awal.Sebaliknya jika suatu notasi terpaksa digunakan untuk objek lain, selain yang telahdidefinisikan, maka definisi baru harus diberikan. Hal ini mungkin terjadi mengin-gat terbatasnya jumlah simbol yang bisa digunakan sebagai notasi sebaliknya sangatbanyak objek yang harus dinotasikan.
1.1.2. Definisi
Supaya arti istilah-istilah yang dipergunakan jelas, perlu ditetapkan definisi yang benar.Sekali suatu istilah didefinisikan maka untuk selanjutnya istilah tersebut dipergunakandalam arti yang sama. Jika suatu istilah tidak jelas definisinya maka tidak mustahil diadipergunakan dalam arti yang berbeda-beda, hal ini dapat mengantarkan kita kepada halyang salah.
Menurut Borowsky & Borwein bk:BorowskyBorwein89 definisi adalah pernyataan yangtepat tentang suatu istilah (disebut definiendum) dengan menggunakan istilah lain yang
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 13 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
ekuivalen (disebut definien).Untuk merumuskan suatu definisi ada beberapa aturan yang perlu diikuti antara lain
(Copi bk:Copi61):
1. Definisi sebaiknya menyatakan konotasi yang konvensional (yang disepakati) dari is-tilah yang didefinisikan. Yang dimaksud dengan konotasi adalah sifat, karakteristikatau kualitas dari suatu benda.
2. Definisi mestinya tidak berbelit-belit (tidak circular). Contoh definisi yang kurangbaik adalah : Manusia adalah orang. Binatang adalah hewan dan sebagainya.
3. Definisi haruslah tidak terlalu luas ataupun terlalu sempit. Contoh definisi terlaluluas : Manusia adalah binatang berkaki dua. Definisi yang terlalu sempit misalnya :Mamalia adalah binatang berkaki empat.
4. Definisi tidak boleh menggunakan kata-kata yang samar-samar, harus lebih jelas dariyang didefinisikan. Definisi tidak boleh dinyatakan dalam bahasa metaphora(kiasan/figurative) juga tidak boleh menggunakan kata-kata yang samar-samar (obscure).Salah satu tujuan perumusan definisi adalah menghilangkan ketidakjelasan dari istilahbukan sebaliknya membuat menjadi lebih samar/tidak jelas.
5. Definisi seharusnya tidak dinyatakan dalam kalimat negatif jika masih dapat diny-atakandengan kalimat positif. Definisi yang kurang baik misalnya, “bangku adalahmebel kayu tetapi bukan kursi dan bukan meja”. Akan tetapi memang ada istilahyang harus didefinisikan dalam bentuk kalimat negatif seperti“botak adalah kepalayang tidak mempunyai rambut”.
Unsur yang didefinisikan disebut juga definiendum dan sejumlah symbol yang dipergunakanuntuk menjelaskan definiendum tersebut dinamakan definien. Definisi yang menyatakanhubungan atara definiendum dengan definien degan tanda sama dengan (=) disebut definisieksplisit.
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 14 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Contoh 1.1.1.definisi︷ ︸︸ ︷
xn︸︷︷︸definiendum
= x× x× x× · · · × x︸ ︷︷ ︸definien
Mendefinisikan suatu istilah berarti menjelaskan istilah tersebut dengan menggunakankata-kata (istilah) yang lain, maka ada tahapan kita harus menerima suatu istilah tertentutanpa suatu definisi (selanjutnya ini disebut istilah tak terdefinisi, undefined term ataupremitive symbol). Sebagaimana dikatakan oleh Bertrand Russel berikut :
Since all terms that defined, are defined by means of other terms, it is clear thathuman knowledge must always be content to accept some terms as an intelligibledefinition, in order to have a starting-point for its definition.
Selain definisi, dalam matematika atau logika ada beberapa istilah lain yang seringdipergunakan diantaranya adalah:[aksioma??],[teorema??] atau dalil, [asumsi??].
1.2. Pernyataan Tunggal dan Negasinya
1.2.1. Pengertian Pernyataan
Pernyataan disebut juga : kalimat deklaratif, stetemen, proposisi, atau verbal assertion. Be-berapa ahli ada yang membedakan istilah pernyataan dan proposisi, ada pula yang menya-makan saja. Dalam buku ini istilah-istilah tersebut dipergunakan dengan arti yang samadan dipakai secara acak. Sebelum kita membicarakan lebih lanjut tentang kalimat deklaratifini, ada baiknya kita lihat pembagian kalimat yang umum dilakukan dalam matematika.
Gambar 1.1: Diagram pembagian kalimat dilihat dari nilai logikanya
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 15 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Definisi 1.2.1. Pernyataan adalah suatu kalimat yang bernilai benar atau salah tetapitidak dua-duanya.
Istilah benar dan salah dapat dijadikan sebagai suatu istilah tak terdefinisikan karenabisa kita anggap jelas pernyataan yang bernilai benar dan pernyataan yang bernilai salah.Dengan demikian, tidak perlu lagi didefinisikan apa yang dimaksud pernyataan bernilaibenar atau pernyataan bernilai salah.
Contoh 1.2.1. Contoh pernyataan diantaranya:
1. Lima(5) adalah bilangan prima
2. Jakarta adalah ibukota negara Republik Indonesia
3. Dua (2) adalah bilangan prima yang genap
4. Saat ini di ruang 1 Matematika MIPA sedang ada kuliah.
Benar tidaknya kalimat pertama sampai ketiga dapat segera ditentukan, sedangkanpada kalimat terakhir untuk menentukan benar atau tidaknya perlu diadakan observasi.Pernyataan yang langsung dapat dinyatakan benar atau tidaknya disebut pernyataan ab-solut/mutlak. Sedangkan pernyataan yang tidak segera diketahui kebenaran atau tidaknyadinamakan pernyataan empirik. Untuk memudahkan pembahasan, kita lebih banyak mem-bicarakan pernyataan yang absolut.
Dari segi matematika atau logika, kalimat-kalimat seperti: “lima (5) mencintai 3”; “ayahhabis dibagi anak”; tidak dikatakan sebagai pernyataan salah, tetapi disebut kalimat yangtidak bermakna (tidak benar, tidak salah). Hal ini akan menjadi lebih jelas setelah kitamembicarakan nilai kebenaran suatu pernyataan.
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 16 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
1.2.2. Pernyataan Tunggal
Secara tata bahasa, sebuah kalimat atau pernyataan harus memiliki pokok kalimat ataupokok persoalan dan kata kerja yang menggambarkan apa yang dilakukan atau terjadipada pokok persoalan tadi. Pernyataan yang hanya memuat satu pokok persoalan disebutpernyataan tunggal.
Definisi 1.2.2. Pernyataan tunggal adalah pernyataan yang hanya memuat satu pokokpersoalan atau satu ide.
Notasi 1.2.1. Pernyataan tunggal pada umumnya dinyatakan dengan huruf-huruf kecilseperti p, q, dan r.
Contoh 1.2.2. Berikut ini adalah beberapa contoh kalimat tunggalp : Lima (5) adalah bilangan primaq : Sembilan (9) adalah bilangan sempurnar : Sepuluh (10) adalah bilangan berlebih/abundan [abundan??]
Kebenaran atau ketidakbenaran suatu pernyataan dinamakan nilai kebenaran atau nilailogik (truth value) dari pernyataan tersebut dan diotasikan dengan τ(p). Sebagai simboldari benar biasa di pakai B (benar), R (right), T (true) atau 1 sedangkan simbol salahdigunakan S (salah), W (wrong), F (false) atau 0. Penggunaan notasi nilai kebenaran iniharus berpasangan (B-S, R-W,T-F, l-0). Jadi, pada contoh di atas
(i) nilai kebenaran p adalah benar,τ(p) = 1;
(ii) nilai kebenaran q adalah salah, τ(q) = 0 dan
(iii) nilai kebenaran r adalah salah, τ(r) = 0.
Nilai kebenaran pernyataan dapat pula disusun dalam suatu tabel yang disebut tabel kebe-naran (truth table).
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 17 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
p ¬p1 00 1
1.2.3. Negasi Pernyataan Tunggal
Definisi 1.2.3. Negasi dari pernyataan p adalah suatu pernyataan yang bernilai salahjika p benar dan bernilai benar jika p salah.
τ(¬p) = 1 jika τ(p) = 0 dan τ(¬p) = 0 jika τ(p) = 1. (1.1)
Notasi 1.2.2. Negasi dari p dinotasikan dengan p′ atau ∼ p atau ¬p. (dibaca “negasi p”,“tidak p ” , “ bukan p” atau “ingkaran p”).
Jika pernyataan p dan negasinya di buat tabel kebenarannya maka kita peroleh tabelkebenaran dari ¬p seperti tabel di sebelah kiri.
Contoh 1.2.3. Buatlah negasi dari kalimat/ pernyataan-pernyataan berikut :
p : Lima (5) adalah bilangan prima;
q : sepuluh (10) adalah bilangan abundan.
Jawab :Untuk mencari negasi yang tepat dari pernyataan-pernyataan tersebut pertama kita
buat pernyataan berikut :
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 18 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
¬p : tidak benar 5 adalah bilangan prima;: lima (5) adalah bukan bilangan prima;
¬q : tidak benar 10 adalah bilangan abundan/ berlebih;: sepuluh (10) adalah bukan bilangan abundan/berlebih.
Babarapa hal yang harus diperhatikan terkait definisi dan negasi.
1. Kata sifat tidak bisa dijadikan sebagai unsur tak terdefinisi (undefined term). Jikakata-kata seperti ini dibuat untuk membuat pernyataan, maka harus didefinisikanterlebih dahulu. Misalnya pada kalimat “Ani anak yang pandai”, selain butuh ob-servasi juga harus didefinisikan terlebih dahulu tentang kriteria “pandai”, sehinggatidak menimbulkan penafsiran berbeda1.
2. Jika suatu pernyataan bernilai benar, maka negasinya bernilai salah. Jika pernyataandan negasinya tidak bisa dinilai benar atau salah maka kalimat tersebut dikatakankalimat tak bermakna (lihat pembangian kalimat pada Gambar 1.1). Misalnya, kalimat-kalimat berikutp : kakak habis dibagi adik, dan¬p : kakak tidak habis dibagi adik,
keduanya tidak bisa dinilai benar atau salah sehingga keduanya bukan merupakanpernyataan.
3. Dilihat dari jumlah faktor-faktor sejatinya (termasuk 1) bilangan dibedakan menjadibilangan [abundan??], bilangan [sempurna??], dan bilangan [defisien??] berku-rang
1.3. Pernyataan majemuk dan negasinya
Beberapa kalimat tunggal, p, q, dapat digabung dengan menggunakan kata penghubungsehingga membentuk pernyataan baru seperti: p dan q, p atau q, p yang q dan sebagainya.
1Logika yang berkaitan dengan kata sifat dibahas pada bagian logika samar (fuzzy logics)
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 19 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
p q p ∧ q1 1 11 0 00 1 00 0 0
Pernyataan baru ini disebut pernyataan majemuk. Kata-kata penghubung kedua perny-ataan biasa disebut konektor atau perakit. Berikut dibahas beberapa perakit dasar besertatabel kebenarannya.
1.3.1. Perakit Konjungsi (dan)
Salah satu cara menggabungkan pernyataan adalah dengan menggunakan kata hubung dan.Dalam logika penghubung ini disebut konjungsi.
Definisi 1.3.1. Konjungsi dari p dan q (ditulis :p ∧ q, dibaca “p dan q”) adalah perny-ataan majemuk yang bernilai benar hanya apabila masing-masing p, maupun q bernilaibenar. Sedangkan untuk keadaan lain maka dia bernilai salah.
Notasi 1.3.1. Beberapa simbol yang sering digunakan untuk perakit dan ini adalah : p ∧ q,p× q, p& q atau pq.
Dari definisi di atas dapat dibuat tabel kebenaran untuk p ∧ q seperti pada tabel disebelah. Dalam membuat tabel kebenaran, banyaknya pasangan yang bisa dibuat dari npernyataan/ kalimat penyusun adalah 2n, ini disebabkan karena untuk setiap pernyataanhanya ada 2 nilai yang mungkin (0 atau 1). Perakit konjungsi disebut juga perakit penyer-taan, karena harus menyertakan semua komponen-komponennya dan bernilai benar hanya
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 20 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
jika semua komponennya benar. Dalam kehidupan sehari -hari banyak kata hubung lainyang mempunyai arti yang sama dengan “dan” yaitu : yang , tetapi, meskipun, maupun.
Contoh 1.3.1. Diketahui:p : dua (2) adalah bilangan genapq : dua (2) adalah bilangan prima.
Konjungsi p ∧ q dapat dinyatakan sebagai:p ∧ q : dua (2) adalah bilangan genap dan prima;p ∧ q : dua (2) adalah bilangan genap yang prima.
Contoh 1.3.2. Diketahui :r : Ani adalah anak yang rendah hati;s : Ani adalah anak yang pandai.
Maka konjungsi r dan s adalahr ∧ s : Ani adalah anak yang rendah hati meskipun pandai.
Dalam matematika ada beberapa konsep yang harus dihubungkan dengan konjungsi.
Contoh 1.3.3.
Jika xy < 0 maka x > 0 dan y < 0, ataux < 0 dan y > 0.
Jika xy ≥ 0 maka x ≥ 0 dan y ≥ 0, ataux ≤ 0 dan y ≤ 0.
1.3.2. Perakit Disjungsi (atau)
Selain dengan kata hubung dan pernyataan-pernyataan dapat juga digabung dengan meng-gunakan kata hubung atau. Kata hubung ini dalam logika disebut perakit disjungsi.
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 21 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
p q p ∨ q1 1 11 0 10 1 10 0 0
Definisi 1.3.2. Disjungsi dari pernyataan p dan q adalah pernyataan yang dibaca “p atauq”. Pernyataan ini bernilai salah hanya apabila masing-masing p dan q salah. Sedangkanuntuk keadaan lain ia bernilai benar.
Notasi 1.3.2. Notasi : notasi yang umum digunakan untuk perakit disjungsi adalah :p ∨ q; p + q.
τ(p ∨ q) = 1 jika[τ(p) = 1 atau τ(q) = 1 atau τ(p) = τ(q) = 1
](1.2)
Sesuai dengan definisinya, maka tabel kebenaran disjungsi ini adalah seperti pada tabel disebelah.
Disjungsi disebut juga alternatif, karena cukup salah satu saja komponennya benarmaka disjungsinya benar. Disjungsi yang didefinisikan seperti di atas disebut disjungsiinklusif (lemah/ weak). Disjungsi ini yang banyak dibicarakan dalam matematika dan jikadikatakan p atau q maka yang dimaksud adalah disjungsi inklusif ini.
Contoh 1.3.4. Diketahui:
(i) . Jakarta ada dipulau Jawa atau 2 + 3 = 5;
(ii) . sin 90o = 1 atau 2× 3 = 9;
(iii) . akar sembilan (√
9) adalah irasional atau 3 + 7 = 9;
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 22 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
(iv) . tujuh (7) adalah bilangan komposit atau 8 adalah bilangan prima.
Tentukan nilai kebenaran pernyataan di atas.
Jawab:Dengan mudah dapat dipahami bahwa nilai kebenaran kalimat-kalimat di atas adalah
:(i) . B , (ii) . B (iii) . B dan (iv). S
Contoh 1.3.5. Diketahui :p : 2 adalah bilangan genapq : cos 60o = 1, 5r : matahari terbit dari barats : jumlah sudut-sudut segitiga adalah 180o
Tentukan
p ∨ r dan q ∨ s.Jawab :
(i) p ∨ r : 2 adalah bilangan genap atau matahari terbit dari barat;
(ii) q ∨ s : cos 60o = 1, 5 atau jumlah sudut-sudut segitiga adalah 180o.
Dalam matematika ada kalimat yang harus dihubungkan dengan disjungsi seperti padacontoh berikut.
Contoh 1.3.6. 1. Jika xy = 0, maka x = 0 atau y = 0.
2. x2 = 4, maka x = 2 atau x = −2.
Setelah kita mengetahui tiga perakit dasar dalam logika (¬,∧,∨), kita tinjau kembalidefinisi pernyataan dalam matematika yaitu bahwa pernyataan itu harus bernilai benaratau salah tetapi tidak mungkin sekaligus benar dan salah, prinsip ini merupakan prinsipdasar logika yang dapat dinyatakan dalam suatu persamaan berikut ini.
τ(p) =(0 ∨ 1
)∧
[¬(0 ∧ 1)
](1.3)
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 23 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Prinsip di atas dapat dinyatakan secara lebih luas dan dikenal dengan prinsip excludedmiddle yang dinyatakan seperti berikut ini.
Definisi 1.3.3 (Prinsip Excluded Middle). Salah satu dari pernyataan p atau q benartetapi tidak dua-duanya. [
p ∨ q]∧
[¬
(p ∧ q
)](1.4)
Contoh yang paling jelas adalah ketika q = ¬p, yaitu[p ∨ (¬p)
]∧
[¬
(p ∧ (¬q)
)]1.4. Tautologi dan Kontradiksi
Sebagaimana telah disampaikan sebelumnya, bahwa beberapa pernyataan dapat digabunguntuk membentuk pernyataan majemuk.
Notasi 1.4.1. Pernyataan-pernyataan tunggal p1, p2, · · · , pn dapat membentuk suatu perny-atan majemuk yang dihubungkan oleh berbagai perakit dan dinotasikan dengan P (p1, p2, · · · , pn).
Dilihat dari nilai kebenarannya, ada dua jenis kalimat majemuk yang istimewa, yaitukalimat majemuk yang selalu bernilai benar dan kalimat majemuk yang selalu bernilaisalah, terlepas dari nilai kebenaran masing-masing komponennya.
Definisi 1.4.1. Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar (dalamsegala hal) tanpa memandang nilai kebenaran komponen-komponennya.
P (p1, p2, · · · , pn) = T, jika τ[P (p1, p2, · · · , pn)
]= 1 (1.5)
untuk semua kemungkinan τ(pi).
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 24 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Definisi 1.4.2. Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai salah(dalam segala hal) tanpa bergantung nilai kebenaran dari komponennya.
P (p1, p2, · · · , pn) = F, jika τ[P (p1, p2, · · · , pn)
]= 0 (1.6)
untuk semua kemungkinan τ(pi).
Kita menggunakan notasi T dan F untuk menunjukkan bahwa nilai pernyataan maje-muk tersebut selalu benar atau selalu salah untuk semua kombinasi nilai p1, p2, · · · , pn.
Contoh 1.4.1.
(i) . p ∨ (¬p) adalah suatu tautologi.
(ii) . p ∧ (¬p) adalah suatu kontradiksi.
Tabel kebenaran untuk tautologi dan kontradiksi di atas dapat ditunjukkan dalam duatabel berikut.
Tabel kebenaran p ∨ (¬p) dan p ∧ qp ¬p p ∨ (¬p) p ∧ q1 0 1 00 1 1 0
1.5. Aljabar pernyataan
Susunan pernyataan majemuk dapat juga dianggap sebagai hasil operasi dari beberapapernyataan dengan perakit-perakit pernyataan sebagai operasi hitung. Sedangkan sebagaipengganti kesamaan dalam logika kita mengenal ekuivalensi, (≡). Operasi beserta perny-ataannya ini dikenal dengan istilah aljabar pernyataan atau kalkulus pernyataan.
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 25 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Definisi 1.5.1. Dua pernyataan dikatakan ekuivalen jika pernyataan-pernyataan terse-but mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk setiap keadaan komponennya
Jika τ[P (pl, p2, ..., pn)
]= τ
[Q(ql, q2, ..., qn)
]maka
P (pl, p2, ..., pn) ≡ Q(ql, q2, ..., qn) (1.7)
Definisi yang lain tentang ekuivalensi juga disampaikan pada Definisi 2.4.2 persamaan(2.4) halaman 41 setelah membicarakan ekuivalensi logis.
Jadi dalam aljabar pernyataan kita memiliki:
1. objek: pernyataan-pernyataan, p1, p2, · · · , pn;
2. operator: ¬,∧,∨;
3. kesamaan: ≡.
Pada bagian ke dua buku ini, akan ditunjukkan bahwa ≡ merupakan relasi ekuivalensi.
Teorema 1.5.1. Relasi ≡ ini adalah relasi ekuivalensi yaitu :
(i) . p ≡ p (refleksif)
(ii) . Jika p ≡ q maka q ≡ p (simetris)
(iii) . Jika p ≡ q dan q ≡ r maka p ≡ r (transitif)
Contoh 1.5.1. Buatlah tabel kebenaran dari ¬(p∨ q) serta (¬p)∧ (¬q). Tunjukkan/ selidikibahwa ¬(p ∨ q) ≡ (¬p) ∧ (¬q).
Jawab :
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 26 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Tabel kebenaran ¬(p ∨ q) dan (¬p) ∧ (¬q)p q (p ∨ q) ¬(p ∨ q) ¬p ¬q (¬p) ∧ (¬q)1 1 1 0 0 0 01 0 1 0 0 1 00 1 1 0 1 0 00 0 0 1 1 1 1
Karena nilai kebenaran ¬(p∨ q) dan (¬p)∧ (¬q) sama untuk setiap pasangan nilai kompo-nennya, maka ¬(p ∨ q) ≡ (¬p) ∧ (¬q)
1.6. Bentuk Rangkap dan Prinsip Kerangkapan
Salah satu sifat yang sangat menarik dalam aljabar logika adalah sifat rangkap atau dualdari suatu pernyataan majemuk.
Definisi 1.6.1. Bentuk rangkap (dual) dari kalimat majemuk P (p1, p2, · · · , pn) adalahbentuk yang diperoleh dengan menggantikan tanda ∨ dengan ∧ dan sebaliknya, demikianjuga F dengan T dan sebaliknya secara serempak.
Contoh 1.6.1.
(i) bentuk rangkap dari p ∧ (q ∨ r) adalah p ∨ (q ∧ r);
(ii) bentuk rangkap dari p ∨ (¬p) ≡ T adalah p ∧ (¬p) ≡ F
Teorema 1.6.1 (Prinsip kerangkapan/dualitas). Jika suatu pernyataan (teorema)sudah terbukti kebeharannya maka bentuk rangkapnya juga valid.
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 27 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Contoh 1.6.2.
(i) Bentuk p∨ (¬p) ≡ T adalah valid (merupakan tautologi), maka bentuk p∧ (¬p) ≡ Fjuga valid (merupakan kontradiksi);
(ii) Bentuk p ∧ p ≡ p adalah valid, maka bentuk p ∨ p ≡ p juga valid.
Berikut disampaikan beberapa sifat dasar aljabar kalimat yang dapat dibuktikan denganmembuat tabel kebenaran dari bentuk aljabar yang bersangkutan.
Teorema 1.6.2 (Negasi ganda).
¬(¬p)) ≡ p (1.8)
Teorema 1.6.3 (Hukum Komutatif/ pertukaran).
(p ∧ q) ≡ (q ∧ p) (1.9a)
(p ∨ q) ≡ (q ∨ p) (1.9b)
Teorema 1.6.4 (Hukum Assosiatif/ pengelompokan).
p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r (1.10a)p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r (1.10b)
Teorema 1.6.5 (Hukum Identitas).
p ∧ F ≡ F dan p ∧ T ≡ p (1.11a)p ∨ T ≡ T dan p ∨ F ≡ p (1.11b)
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 28 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Teorema 1.6.6 (Hukum Komplemen/invers).
p ∧ (¬p) ≡ F dan (¬F ) ≡ T (1.12a)p ∨ (¬p) ≡ T dan (¬T ) ≡ F (1.12b)
Teorema 1.6.7 (Hukum De Morgan).
¬(p ∧ q) ≡ ¬(p) ∨ (¬q) (1.13a)¬(p ∨ q) ≡ (¬p) ∧ (¬q) (1.13b)
Teorema 1.6.8 (Hukum Distributif).
p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) (1.14a)p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) (1.14b)
Teorema 1.6.9 (Hukum Idempoten).
p ∧ p ≡ p (1.15a)p ∨ p ≡ p (1.15b)
Teorema 1.6.10 (Hukum Absorpsi /Penyerapan).
p ∧ (p ∨ q) ≡ p dan p ∨ (p ∧ (¬q)) ≡ p (1.16a)p ∨ (p ∧ q) ≡ p dan p ∧ (p ∨ (¬q) ≡ p (1.16b)
Teorema 1.6.11 (Komplementasi Gabungan).
p ∧ ((¬p) ∨ q) ≡ p ∧ q (1.17a)p ∨ ((¬p) ∧ q) ≡ p ∨ q (1.17b)
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 29 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Hukum-hukum di atas dapat dibuktikan dengan membuat tabel kebenarannya. Se-lanjutnya hukum-hukum di atas dapat digunakan untuk membuktikan ekuivalensi yanglain. Jika diminta, maka pembuktian harus diturunkan dari kesepuluh hukum diatas(bukan dengan tabel kebenaran). Bahkan dalam sistem deduksi yang akan kita pelajaripada bab berikutnya asumsi dasar (aksioma) yang kita pakai sebagai dasar lebih ter-batas lagi dan yang lainnya harus kita turunkan dengan menggunakan aksioma-aksiomaatau definisi yang diketahui. Sebenarnya hukum absorpsi dapat dibuktikan secara deduk-tif (bukan menggunakan tabel kebenaran) dengan menggunakan sifat-sifat sebelumnya.Dalam logika sangat penting sekali menunjukkan alasan yang dipergunakan pada setiaplangkah. Bukti hukum absorpsi/ penyerapan adalah sebagai berikut ini (lihat Sulistyan-ingsih bk:Sulistyaningsih84).
p ∧ (p ∨ q) ≡ (p ∨ F ) ∧ (p ∨ q) identittas≡ p ∨ (F ∧ q) distributif≡ p ∨ F identitas≡ p identitas
1.7. Perakit-perakit Lain
Selain perakit-perakit yang telah disampaikan di depan, ada lagi perakit lain yang memangtidak banyak dipakai atau dibicarakan yaitu: perakit disjungsi eksklusif, perakit Strokedan perakit Dagger (lihat Copi bk:Copi61). Perakit-perakit ini pada prinsipnya dapatdidefinisikan sebagai fungsi dari perakit dasar (¬,∧,∨).
1.7.1. Perakit Disjungsi eksklusif
Selain disjungsi yang telah dibicarakan sebelumnya, yang dikenal dengan istilah disjungsiinklusif, dalam logika ada juga disjungsi yang lain yang disebut disjungsi eksklusif, sepertididefinisikan berikut ini.
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 30 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Definisi 1.7.1. Disjungsi eksklusif dari p dengan q (dibaca “atau p ....atau q”) adalahpernyataan yang berarti p atau q tetapi tidak keduanya.
Notasi 1.7.1. Disjungsi eksklusif p dengan q dinotasikan dengan p∨ q
Secara simbolis dapat dituliskan :
p∨ q = (p ∨ q) ∧[¬(p ∧ q)
](1.18a)
= (p ∨ q) ∧(p ∧ q
)(1.18b)
Dari definisi di atas, dapat ditentukankan tabel kebenaran dari disjungsi eksklusif ini,seperti pada tabel berikut.
Tabel Kebenaran Disjungsi Eksklusif
p q r = s = t = r ∧ t = p∨ q(p ∨ q) (p ∧ q) ¬(s)
1 1 1 1 0 01 0 1 0 1 10 1 1 0 1 10 0 0 0 1 0
Dengan demikian, jika seseorang mengajukan alternatif dengan maksud hanya dipilihsalah satu tidak boleh keduanya, maka sebaiknya dan seharusnya dinyatakan dengan dis-jungsi eksklusif ini. Misalnya, secara matematis, gadis-gadis, kepada pacarnya, sebaiknyamengatakan : “Silahkan pilih atau dia atau aku !”, jika dia ingin pacarnya hanya memilihsalah satu dari mereka. Sebab, jika mereka mengatakan : “Pilih dia atau aku !” maka sanglelaki tidak salah kalau memilih keduanya. Namun, secara alami memang ada kejadianyang sifatnya eksklusif (saling asing), misalnya seperti contoh berikut ini.
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 31 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
1. Pak Amir saat ini sedang memberi kuliah atau rapat.
2. Tiga (3) adalah bilangan ganjil atau genap.
3. Sembilan (9) adalah bilangan prima atau komposit.
4. Adik sedang bersiul atau gosok gigi.
1.7.2. Fungsi / Operator Stroke dan Dagger
Operator Stroke (/)
Operator Stroke dinotasikan dengan “/ ”. Fungsi atau operator Stroke ini disebut jugapengingkaran alternatif (The alternative denial). Dalam bentuk notasi dasar yang telahkita pelajari operasi Stroke ini dapat dinyatakan sebagai
Definisi 1.7.2 (Operator Stroke).
p/q = (¬p) ∨ (¬(q)) (alternatif) (1.19)
Operator Dagger (↓)Operator Dagger dinotasikan dengan “↓” atau “†”. p ↓ q dibaca “bukan p dan bukanpula q”, neither p nor q. Operator Dagger disebut juga the joint denial atau pengingkaranbersama atau konjungsi ingkaran. Dalam bentuk notasi dasar yang telah kita pelajarioperasi dagger ini dapat dinyatakan sebagai
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 32 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Tabel 1.1: Tabel Kebenaran Operator Stroke dan Daggerp q ¬p ¬q p/q p ↓ q1 1 0 0 0 01 0 0 1 1 00 1 1 0 1 00 0 1 1 1 1
Definisi 1.7.3 (Operator Dagger).
p ↓ q = ¬p ∧ ¬q (bersama-sama) (1.20)
Dari Definisi 1.7.2 dan Definisi 1.7.3, kita dapat turunkan sifat atau aksioma berikut.
Teorema 1.7.1.
p/q = ¬(p ∧ q) (1.21)p ↓ q = ¬(p ∨ q) (1.22)
Dari definisi sebelumnya maupun dari teorema di atas, kita dapat menentukan nilaikebenaran dari operator Stroke dan Dagger seperti Tabel Kebenaran 1.1.
Catatan: Untuk menghindarkan penggunaan kurung yang terlalu banyak, maka di-adakan kesepakatan bahwa dalam aljabar pernyataan, urutan/hirarki operasi ¬,∧,∨ adalahyang pertama ¬, lalu diikuti ∧ dan ∨.
Contoh 1.7.1.
¬p ∧ ¬q ∨ p ∧ q ≡[(¬p) ∧ (¬q)
]∨ (p ∧ q)
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 33 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
1.8. Bacaan Lebih Lanjut
Untuk mendalami lebih jauh materi pada bab ini selai beberapa sumber yang telah dikutipsebelumnya, dapat juga dibaca beberapa sumber lain diantaranya Enderton bk:Enderton72,Thomas bk:Thomas68, Gemignani bk:Gemignani68. Definisi umum beberapa istilah dalambuku ini selain diambil dari kamus matematika oleh Borowsky & Borwein bk:BorowskyBorwein89.juga diambil dari eksiklopedia matematika oleh Negoro & Harahap bk:NegoroHarahap98.
1.9. Soal-soal Latihan
Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan berikut kemudian tentukan negasinya.
1. 7 + 3 =10.
2. 7 + 5 > 10− 4.
3. Sembilan (9) adalah bilangan ganjil.
4. Bujur sangkar adalah persegi panjang.
5. Jumlah sudut-sudut segitiga adalah 180.
6. Seratus dua puluh satu (121) adalah bilangan prima.
7. Gajah adalah binatang berkaki dua.
8. Jumlah dua bilangan ganjil adalah bilangan genap.
9. Tujuh (7) adalah bilangan komposit (bukan prima).
10. Matahari terbit dari sebelah timur.
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 34 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
11. Diketahui :
p : Jakarta adalah ibu kota negara RIq : 3 + 4 =10r : persegi panjang adalah suatu bujur sangkars : 7 adalah bilangan ganjilt : 8 adalah bilangan genap
Tentukan :
(i) . p ∧ q
(ii) . q ∧ r
(iii) . r ∧ s
(iv) . s ∧ t
12. Buktikan bahwa :
(a) ¬p ≡ p/p
(b) p ∧ q ≡ (p/q)/(p/q)
(c) ¬p ∨ q ≡ (p/p)/(q/q)
(d) p/q ≡[(p ↓ p) ↓ (q ↓ q) ↓ (p ↓ p) ↓ (q ↓ q)
](e) p ↓ q ≡
[(p/p)/(q/q)/(q/q)/(p/p)/(q/q)
]13. Buatlah tabel kebenaran dari :
(a) p ∨ ¬q
(b) p ∧ ¬q
(c) (p ∧ q) ∨ (¬p ∧ q)
(d) ¬(¬p ∨ ¬q)
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 35 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
14. Buktikan dengan hukum-hukum aljabar proposisi
(a) ¬(p ∨ q) ∨ p ≡ T
(b) p ∧ ¬(p ∨ q) ≡ F
(c) (p ∧ q) ≡ ¬(¬p ∨ ¬q)
(d) (p ∧ q) ∨ ¬p ≡ ¬p ∨ q
(e) Hukum komplementasi gabungan dan hukum absorpsi yang belum dibuktikan.
15. Buktikan bahwa (p ∨ q) ∨ (¬p ∧ ¬q) = T
16. Buktikan bahwa :
(a) ¬p ≡ p ↓ p
(b) p ∧ q ≡ (p ↓ p) ↓ (q ↓ q)
(c) p ∨ q ≡ (p ↓ q) ↓ (p ↓ q)
(d) p ≡ (p ↓ p) ↓ (p ↓ p
(e) p ↓ (p ↓ p) ≡ F
(f) p/(p/p) ≡ T
17. Misalkan
p : Angin bertiup
q : Cuaca cerah
Tulis kalimat yang disimbolkan seperti berikut ini :
(a) ¬p
(b) ¬p ∧ ¬q
(c) p ∧ q
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 36 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
(d) ¬(p ∧ q)
(e) ¬(p ∨ q)
(f) ¬p ∨ q
(g) p ∨ q
(h) ¬p ∨ ¬q
18. Diketahui
p : Ani anak yang cantik
q : Ani anak yang pandai
r : Ani anak yang disiplin
Tulis notasi dari pernyataan-pernyataan berikut :
(a) Ani adalah anak yang cantik dan pandai.
(b) Meskipun tidak pandai, Ani disiplin
(c) Ani adalah anak yang pandai dan disiplin tetapi tidak cantik.
(d) Ani adalah anak yang cantik atau sekaligus pandai dan disiplin.
(e) Mustahil Ani sekaligus pandai dan cantik
(f) Ani tidaklah cantik dan tidak pula pandai.
19. Selidikilah pasangan-pasangan kalimat berikut, tentukan apakah kalimat yang kedua meru-pakan ingkaran dari kalimat pertama.
(a) Saya haus. Saya tidak haus.
(b) Siti berbaju merah. Siti berbaju putih.
(c) 7 adalah bilangan ganjil dan prima. 7 bukan bilangan ganjil dan bukan bilanganprima.
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 37 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
(d) Ayah atau Ibu menjemput adik. Ayah menjemput adik tetapi ibu tidak menjemputadik.
(e) Hari ini cuaca cerah. Hari ini hujan deras.
(f) 2 + 3 > 7− 6. 2 + 3 < 7− 6.
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 38 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
BAB 2
PERNYATAAN BERSYARAT/KONDISIONAL
Tujuan Umum
Setelah menyelesaikan materi pada bab ini pembaca diharapkan memahami bentuk-bentuk,penilaian serta negasi pernyataan bersyarat, hierarki perakit-perakit termasuk perakit bersyarat.
Tujuan Khusus
Setelah menyelesaikan materi pada bab ini pembaca diharapkan dapat
1. menyebutkan definisi implikasi dan variasinya
2. menyebutkan definisi biimplikasi
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 39 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
3. menentukan apakah suatu implikasi merupakan implikasi logis
4. menentukan apakah suatu biimplikasi merupakan biimplikasi logis
5. menentukan hubungan implikasi dengan perakit dasar (dan, atau, negasi)
6. menentukan negasi kalimat bersyarat
7. menerapkan hierarki perakit
8. menerapkan notasi Lukasiewicz
Materi
1. Implikasi dan variasinya
2. Biimplikasi
3. Implikasi Logis dan Ekuivalensi Logis
4. Ekuivalensi dengan perakit dasar
5. Negasi pernyataan bersyarat
6. Hirarki perakit dan Notasi Lukasiewicz
Banyak pernyataan-pernyataan dalam matematika berbentuk “jika ... maka...”. Kalimat ataupernyataan seperti ini disebut kalimat bersyarat atau kondisional. Pernyataan berbentuk “jika... maka ... ” ini disebut implikasi. Sedangkan pernyataan berbentuk “jika ... maka dan jika... maka ...” disebut pernyataan berbentuk implikasi dua arah atau biimplikasi. Biimplikasi inilebih umum dinyatakan dengan “... jika dan hanya jika ...” .
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 40 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
2.1. Implikasi
Secara matematis kalimat dalam bentuk “jika p maka q” dinotasikan dengan “p → q” disebutimplikasi. Selanjutya “p → q” dapat dibaca:
1. jika p maka q;
2. setiap kali p, (maka) q;
3. p hanya jika q;
4. p syarat cukup (sufficient) untuk q;
5. q syarat perlu (necessary) untuk p.
Selanjutnya, pada pernyataan p → q:
1. p disebut anteseden/ hipotesis,
2. q disebut konsekuen/ konklusi/ kesimpulan.
Nilai kebenaran implikasi diberikan pada definisi berikut.
Definisi 2.1.1. Implikasi adalah pernyataan yang bernilai salah hanya apabila hipotesis-nya benar tetapi diikuti oleh konklusi yang salah. Untuk keadaan lain implikasinya benar.
τ(p → q) =
{0 jika τ(p) = 1 ∧ τ(q) = 0, dan1 untuk yang lain.
(2.1)
Dari definisi diatas dapat kita buat tabel kebenaran untuk implikasi ini seperti tabel sebelah.Sebagaimana telah disinggung dalam bab pendahuluan bahwa seorang matematisi sebe-
narnya dapat secara bebas mendefinisikan istilah-istilahnya secara abstrak (tanpa terikat situasi
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 41 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Tabel kebenaran implikasip q p → q1 1 11 0 00 1 10 0 1
konkrit), yang penting dia konsisten dan kosekuen dengan definisi yang dibuat. Sepintas pene-tapan nilai kebenaran untuk keadaan ketiga (yaitu : anteseden salah, konklusi benar implikasikedengarannya agak janggal dan tidak sesuai dengan kondisi riil, akan tetapi jika kita pikirkanlebih dalam sebenarnya tidak terjadi pertentangan antara nilai kebenaran yang didefinisikandengan tabel implikasi dengan logika umum (common sense) dan penetapan nilai kebenaran inimasuk akal.
Contoh 2.1.1. Seseorang berjanji kepada orang lain : “Jika hari tidak hujan, (maka) sayaakan datang.” Yang kita pertanyakan sekarang adalah : kapan orang yang bicara tadi dikatakaningkar janji (menyalahi yang diucapkan)? Jawaban kita adalah jika hari tidak hujan (p benar)tetapi ia tidak datang (q salah). Hanya dalam keadaan ini saja. Itu berarti untuk tindakannyayang lain ia tidak dapat dipersalahkan, yaitu jika hari hujan dan ia tetap datang ia tidak dapatdipersalahkan.
Kita menetapkan nilai kebenaran dari suatu implikasi selanjutnya adalah berdasarkan definisidiatas tanpa memperhatikan hubungan antara p dan q. (tidak harus sebab akibat atau janji).Karena penetapan nilai kebenaran implikasi maka implikasi ini disebut implikasi material atauimplikasi formal.
Contoh 2.1.2. Tentukan nilai kebenaran pernyataan-pernyataann berikut:
(i) jika 2 + 3 = 5, maka 5 + 3 = 8
(ii) jika ika 2 adalah bilangan prima, maka matahari terbit dari barat.
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 42 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
(iii) jika saya lahir di Amerika Serikat, maka sayalah presiden negara tersebut.
(iv) jika matahari terbit dari barat, maka manusia tidak akan pernah mati.
Nilai kebenaran implikasi-implikasi diatas adalah
(i) B, �(ii) S �(iii) B dan (iv) B.
Perhatikan bahwa dalam implikasi, jika antesedennya salah maka implikasinya selalu be-nar tanpa memperhatikan konklusinya. Ini berarti dari anteseden yang salah kita dapat bebasmenentukan konklusi.
Contoh 2.1.3. “Jika matahari terbit dari barat” (salah), kita dapat membuat kesimpulanmisalnya:
1. maka manusia bisa terbang;
2. maka manusia tidak pernah mati;
3. maka manusia tidak perlu makan;
dan implikasi yang dibentuk bernilai benar.
Untuk memahami pengertian syarat perlu dan syarat cukup ada baiknya kita perhatikandefinisi berikut :
Definisi 2.1.2. Pernyataan p dikatakan syarat cukup bagi q, apabila q selalu munculsetiap kali p muncul. Pernyataan q dikatakan sebagai syarat perlu untuk p apabila p munculhanya jika q muncul, jika q tidak muncul maka p juga tidak bisa muncul.
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 43 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Contoh 2.1.4. Jika suatu bilangan prima maka bilangan itu bulat. Bilangan prima adalahsyarat cukup untuk bilangan bulat. Pernyataan bahwa bilangan itu prima sudah cukup untukmenyatakan bilangan tersebut bulat. Artinya juga, jika kita ingin bilangan bulat cukup kitamengambil bilangan prima, karena bilangan prima pasti bulat. Sebaliknya, jika kita mengambilbilangan yang tidak bulat maka tidak mungkin kita memperoleh bilangan prima. Akan tetapiuntuk memperoleh bilangan bulat tidak perlu (tidak harus) mengambil bilangan prima (4;1 jugabulat). Supaya suatu bilangan itu prima tidak cukup hanya dikatakan bulat (4, 8, bulat tetapitidak prima). Jadi, kita juga peroleh kenyataan bahwa syarat cukup belum tentu perlu dansyarat perlu belum tentu cukup.
Perhatikan bahwa pernyataan-pernyataan berikut mempunyai arti yang sama.
1. Jika matahari bersinar maka udara hangat.
2. Udara hangat, jika matahari bersinar
3. Setiap kali matahari bersinar, udara hangat
4. Matahari bersinar hanya jika udara hangat.
5. Matahari bersinar adalah syarat cukup untuk udara hangat.
6. Udara hangat adalah syarat perlu untuk matahari bersinar.
7. Matahari bersinar secara implisit berarti udara hangat.
2.2. Implikasi dan variasinya
Dari implikasi p → q, kita dapat membentuk berbagai pernyataan-pernyataan yaitu:(i) ¬p → ¬q yang disebut invers(ii) q → p disebut konvers(iii) ¬q → ¬p disebut kontra posisi/ kontra positif
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 44 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
dari implikasi tadi. Dari definisi di atas dapat dibuat tabel kebenaran untuk invers, konvers dankontra positif sebagai berikut:
Tabel kebenaran invers, konvers dan kontra positif.p q ¬p ¬q p → q ¬p → ¬q q → p ¬q → ¬p1 1 0 0 1 1 1 11 0 0 1 0 1 1 00 1 1 0 1 0 0 10 0 1 1 1 1 1 1
Dari tabel di atas terlihat bahwa :
1. p → q ≡ ¬q → ¬p dan
2. ¬p → ¬q ≡ q → p.
Sebenarnya dari definisi syarat cukup dan syarat perlu, sudah jelas bahwa “jika p maka q”artinya sama dengan “jika tidak ada q maka tidak ada p” (artinya implikasi ekuivalen dengankontra positif). Hubungan antara implikasi, invers, konvers dan kontra positifnya ditunjukkandengan gambar berikut.
Diagram Venn mengilustrasikan variasi implikasi, invers, konvers dan kontrapositip
2.3. Biimplikasi
Pada implikasi p dengan q, pernyataan p maupun q dua-duanya sekaligus merupakan syaratcukup dan perlu dari yang lainnya.
Definisi 2.3.1. Biimplikasi dari pernyataan p dan q (dinotasikan dengan p ↔ q dan dibaca“p jika dan hanya jika (jhj) q” atau “p bila dan hanya bila (bhb) q”) adalah pernyataan
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 45 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Tabel kebenaran biimplikasip q p ↔ q1 1 11 0 00 1 00 0 1
yang bernilai benar jika komponen-komponennya bernilai sama, serta bernilai salah jikakomponen-komponennya bernilai tidak sama, yaitu
τ(p ↔ q) =
{1 jika τ(p) = τ(q) dan0 jika τ(p) 6= τ(q).
(2.2)
Tabel kebenaran biimplikasi adalah seperti tabel sebelah.
Contoh 2.3.1. (i) 2 + 3 = 5 ↔ 3× 5 = 15 (Benar)
(ii) 2 adalah prima ↔ 4 adalah ganjil (Salah)
(iii) Matahari terbit dari barat ↔ 2 + 3 = 5 (Salah)
(iv) 2× 5 = 6 ↔ 33 = 9 (Benar).
Contoh 2.3.2.
Biimplikasi banyak dipergunakan dalam mendefinisikan sesuatu, misalnya: “Persegi panjangdisebut bujur sangkar jika dan hanya jika masing-masing sudutnya 90o dan keempat sisinya samapanjang”. Disini terkandug pengertian bahwa jika suatu persegi panjang adalah bujur sangkar,maka keempat sudutnya masing-masing 90o dan keempat sisinya sama panjang. Sebaliknya jikasuatu persegi panjang masing-masing sudutnya 90o dan keempat sisinya sama panjang, makapersegi panjang itu disebut bujur sangkar.
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 46 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
“Suatu bilangan asli (yang tidak sama dengan 1) dikatakan bilangan prima jika dan hanyajika bilangan itu hanya bisa dibagi oleh 1 dan bilangan itu sendiri”. Definisi ini mengandungpengertian bahwa, jika bilangan asli selain 1, hanya bisa dibagi oleh 1 dan bilangan itu sendiri,maka bilangan itu disebut bilangan prima. Sebaliknya, jika suatu bilangan adalah prima, makabilangan itu (tidak sama dengan 1) dan hanya bisa dibagi oleh 1 dan bilangan itu sendiri.
2.4. Implikasi Logis dan Ekuivalensi Logis
Sejauh ini kita memahami bahwa nilai kebenaran suatu implikasi bergantung pada nilai kebe-naran hipotesis dan konklusinya. Ada bentuk khusus dari suatu implikasi yang nilainya selalubenar tanpa bergantung pada nilai kebenaran dari hipotesis dan konklusinya. Implikasi semacamini disebut implikasi logis.
Definisi 2.4.1. Suatu implikasi dikatakan implikasi logis (dinotasikan dengan p ⇒q), jika implikasinya merupakan tautologi tanpa memandang nilai kebenaran komponen-komponennya. Dengan kata lain
P (pl, p2, ...) ⇒ Q(ql, q2, ...) jika P (pl, p2, ...) → Q(ql, q2, ...) ≡ T. (2.3)
Seperti halnya nilai kebenaran implikasi, nilai kebenaran biimplikasi juga ditentukan olehnilai kebenaran masing-masing komponennya. Jika suatu biimplikasi selalu bernilai benar makadia disebut ekuivalensi logis, yang dinotasikan dengan ⇔.
Definisi 2.4.2. Suatu biimplikasi dikatakan ekuivalensi logis, jika biimplikasinya meru-pakan tautologi, yaitu :
P (pl, p2, ...) ⇔ Q(ql, q2, ...) jika P (pl, p2, ...) ↔ Q(ql, q2, ...) ≡ T. (2.4)
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 47 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Bandingkan definisi di atas dengan Definisi 1.5.1 persamaan (1.7) pada halaman 20. Per-hatikan bahwa kedua definisi tersebut meskipun perumusannya agak berbeda namun keduanyakonsisten dan sesungguhnya ekuivalen satu dengan lainnya.
Selanjutnya untuk membuktikan bahwa suatu implikasi atau biimplikasi adalah logis atautidak, perlu dibuktikan bahwa implikasi atau biimplikasinya adalah suatu tautologi. Untukmemudahkan pembuktian ini diperlukan ekuivalensi antara implikasi atau biimplikasi denganperakit-perakit dasar. Penurunan secara lebih sistimatis diberikan pada Bab 3.
Teorema 2.4.1 (Ekuivakensi disjungsi dan implikasi (EDI)).
p → q ≡ ¬p ∨ q (2.5)
Teorema 2.4.2 (Ekuivalensi biimplikasi dengan disjungsi, konjungsi).
p ↔ q ≡ (¬p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬q) (2.6)
Contoh 2.4.1.
Buktikan bahwa :
1. p ⇒ (p ∨ q)
2. (p ∧ q) ⇒ p
3. (p ∨ q) ⇔ (q ∨ p)
4. (p ∧ q) ⇔ (q ∧ p)
5. (p ↔ q) ⇔[(p → q) ∧ (q → p)
]
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 48 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
6.[(p → q) ∧ ¬q
]⇒ (¬p)
7.[(p → q) ∧ (p → r)
]⇒
[p → (q ∧ r)
]Bukti:Salah satu cara untuk membuktikan adanya implikasi logis adalah dengan membuktikan
bahwa implikasinya adalah suatu tautologi.
p → (p ∨ q) ≡ ¬p ∨ (p ∨ q) persamaan (2.5)≡ (¬p ∨ p) ∨ q hukum asosiatif
≡ T ∨ q hukum komplemen
≡ T hukum identitas
Maka p ⇒ (p ∨ q).
(p ∧ q) → q ≡ ¬(p ∧ q) ∨ q persamaan (2.5)≡ (¬p ∨ ¬q) ∨ q hukum De Morgan
≡ ¬p ∨ (¬q ∨ q) hukum Asosiatif
≡ ¬p ∨ T hukum komplemen
≡ T hukum identitas.
2.5. Negasi Pernyataan Bersyarat
Negasi kalimat bersyarat dicari melalui negasi dari ekuivalensinya yang terdiri atas perakit-perakit dasar. Ingat bahwa negasi tidak sama baik dengan invers maupun konvers.
Teorema 2.5.1 (Negasi Implikasi). Negasi implikasi adalah
¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q. (2.7)
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 49 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Bukti:
¬(p → q) ≡ ¬(¬p ∨ q) persamaan (2.5)≡ ¬(¬p)) ∧ ¬q De Morgan
≡ p ∧ ¬q negasi ganda
Contoh 2.5.1. Negasi dari pernyataan: “Jika matahari bersinar maka udara hangat.” adalah“Matahari bersinar tetapi udara tidak hangat.”
Ada beberapa variasi bentuk negasi biimplikasi seperti dinyatakan dalam teorema berikut.
Teorema 2.5.2 (Negasi biimplikasi). Negasi bimplikasi adalah
¬(p ↔ q) ≡ ¬(p → q) ∨ ¬(p → q) (2.8a)≡ (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q) (2.8b)≡ ¬p ↔ q (2.8c)≡ p ↔ ¬q (2.8d)
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 50 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Bukti:
¬(p ↔ q) ≡ ¬[(p → q) ∧ (q → p)
≡ ¬(p → q) ∨ ¬(p → q) De Morgan
≡ (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q) Teorema 2.7
≡[(p ∧ ¬q) ∨ ¬p
]∧
[(p ∧ ¬q) ∨ q
]distributif
≡[T ∧ (¬q ∨ ¬p)
]∧
[(p ∨ q) ∧ T
]distributif
≡[(¬q ∨ ¬p)
]∧
[(p ∨ q)
]identitas
≡[(¬q ∨ ¬p)
]∧
[(p ∨ q)
]identitas
≡[(¬q ∨ ¬p)
]∧
[(¬¬p ∨ q)
]negasi dobel
≡ ¬p ↔ q atau,
≡[(¬q ∨ ¬p)
]∧
[(p ∨ ¬¬q)
]negasi dobel
≡ p ↔ ¬q.
Dengan demikian pernyataan “Saya datang jika dan hanya jika cuaca cerah” mempunyainegasi : “Saya datang jika dan hanya jika cuaca tidak cerah” atau “Saya tidak datang jika danhanya jika cuaca cerah”. Untuk meyakinkan ekuivalensi variasi bentuk-bentuk negasi biimplikasi,kita dapat membuat tabel kebenarannya.
2.6. Hirarki perakit dan Notasi Lukasiewicz
2.6.1. Hirarki perakit
Untuk menghindari penggunaan tanda kurung yang terlalu banyak maka dalam pembicaraanlogika diadakan konsensus tentang hirarki pengerjaan operasi logika (perakit). Urutan yangharus dikerjakan dalam operasi logika jika tidak menggunakan tanda kurung adalah :
1. Negasi: ¬
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 51 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
2. Konjungsi: ∧
3. Disjungsi: ∨
4. Implikasi: →
5. Biimplikasi: ↔
6. Implikasi logis: ⇒
7. Ekuivalensi logis: ⇔ atau ≡
Contoh 2.6.1. Jika ditulis:
r ∧ ¬p ∨ q → p ↔ q ∧ ¬r
maka diartikan sebagai: (((r ∧ (¬p)
)∨ q
)→ p
)↔
(q ∧ (¬r)
).
Sedangkanp ∧ q ⇒ r ≡ p ∧ q → r
diartikan sebagai ((p ∧ q) ⇒ r
)≡
((p ∧ q) → r
).
2.6.2. Notasi Lukasiewicz
J. Lukasiewicz adalah seorang logisi Polandia yang memperkenalkan suatu cara penulisan pernyataaan-pernyataan logika, yang juga menghindarkan penggunaan kurung yang banyak. Notasinya jugasering disebut notasi Polandia (Polish Notation) atau notasi Lukasiewicz seperti pada Copibk:Copi61. Notasi perakit menurut Lukasiewicz diberikan pada Tabel 2.1
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 52 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Tabel 2.1: Notasi Lukasiewicz untuk perakit logika
Perakit Notasi Lukasiewicz Notasi biasa Notasi LukasiewiczNegasi N ¬p Np
Konjungsi K p ∧ q KpqDisjungsi A (=Alternasi) p ∨ q ApqImplikasi C p → q Cpq
Biimplikasi E p ↔ q Epq(Ekuivalensi)
Contoh 2.6.2. Tentukan Notasi Lukasiewicz dari :
(i) ¬p ∨ (q → ¬r)
(ii) p → ¬(q ∨ ¬r) ≡ (¬q ∧ r) ∨ (¬s ∧ t)
Jawab :
(i) (a) implikasi q dengan negasi r : CqNr
(b) selanjutnya dialternasikan dengan negasi p : ANpCqNr
(ii) a. Alternasi q dengan negasi r : AqNr
b. Negasi a. : NAqNr
c. Implikasi dp dengan a. : CpNAqNr
d. Konjungsi, Negasi q dengan r : KNqr
e. Konjungsi Negasi s dengan t : KNst
f. Alternasi d. dengan e. : AKNqrKNst
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 53 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
g. Equivalensi c. dengan f. : ECpNAqNrAKNqrKNst
Jadi notasi terakhir yang porelah : ECpNAqNrAKNqrKNst. Untuk memudahkan mengin-gat notasi Polandia ini kita ingat N (untuk uner) dan C,A, K,E untuk binernya sehingga seringdisebut sebagai huruf roti (CAKE Letters)
Contoh 2.6.3. Tulis Notasi berikut dalam bentuk standar ! CCNqqq dan ApKrEsCtu
Jawab :
1. (a) Nq = ¬q
(b) CNqq = ¬q → q
(c) CCNqqq = ¬q → q → q
2. (a) Ctu = t → u
(b) EsCtu = s ↔ (t → u)
(c) KrEsCtu = r ∧(s ↔ (t → u)
)(d) ApKrEsCtu = p ∨
[r ∧
(s ↔ (t → u)
)]2.7. Bacaan Lebih Lanjut
Untuk mendalami lebih jauh materi pada bab ini selain beberapa sumber yang telah dikutipsebelumnya, dapat juga dibaca beberapa sumber lain diantaranya Enderton bk:Enderton72,Thomas bk:Thomas68, Gemignani bk:Gemignani68, Copi bk:Copi61.‘
2.8. Soal-soal Latihan
1. Nyatakan penyataan-pernyataan berikut dalam bentuk jika . . . maka . . .
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 54 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
(a) Saya akan pergi hanya jika kamu menyuruh.
(b) Setiap kali saya memikirkan pelajaran, saya ingin bermain.
(c) Kamu akan menemukan jika mencari.
(d) Tidak ada manusia yang bisa terbang.
(e) Setiap bilangan asli adalah bulat.
(f) Adalah perlu bagi kita makan, untuk hidup.
(g) Untuk membuat segitiga sama kaki adalah cukup dengan membuat segitiga samasisi.
2. Buatlah pernyataan-pernyataan konversi, inversi dan kontra positif dari pernyataan-pernyataanberikut :
(a) Jika n bilangan asli maka 2n adalah bilangan asli
(b) Jika turun hujan maka tanah basah.
(c) Jika 12 adalah bilangan prima, maka 9 adalah bilangan sempurna.
3. Jika syarat cukupnya sekaligus merupakan syarat perlu dan sebaliknya maka dikatakanimplikasi tersebut dapat diganti dengan biimplikasi (dua-duanya benar) misalnya “Jikax < 0 maka 2x dapat dikatakan sebagai: x < 0 jhj 2x < 0. Nyatakan apakah implikasi-implikasi berikut dapat diubah dengan biimplikasi :
(a) Jika n genap maka 2n genap
(b) Jika x2 positif maka x adalah positif.
(c) Jika ketiga sisi segitiga sama, maka ketiga sudutnya sama besar.
(d) Jika x = 3 maka x2 = 9.
(e) Untuk sembarang himpunan A,B, jika A//B maka A ⊂ B = ∅.(f) Jika x1 adalah jawab dari persamaan ax + b = 0 maka ax1 + b = 0.
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 55 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
4. Buatlah negasi dan invers dari pernyataan-pernyataan berikut :
(a) Jika 6 adalah bilangan sempurna, maka 7 adalah bilangan ganjil.
(b) Jika n adalah bilangan genap maka 2n adalah genap.
(c) 2x + 3 = 4x− 5 jhj 2= 8.
(d) Saya akan datang jhj kamu menyuruh.
5. Diketahui :
p : segitiga ABC sama kaki
q : segitiga ABC sama sisi
r : 5 adalah bilangan prima
s : sudut-sudut segitiga ABC masing-masing 600.
Tulis kalimat yang disimbolkan oleh notasi berikut :
(a) ¬p → q
(b) q ↔ s
(c) ¬(p → r)
(d) p ∨ q ↔ r ∧ s
(e) ¬q → ¬r
(f) p ∧ q → q ∧ s
6. Selidikilah valid tidaknya pernyataan berikut:
(a) p ⇒ p ∨ q
(b) (p → q) ∧ (p → r) ⇒ (p → (q ∧ r)
(c) (p → q) ≡ (q → p)
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 56 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
(d) (p ∧ q) → r ≡ (p → r) ∧ (q → r)
(e) (p ∨ q) → r ≡ (p → r) ∨ (q → r)
(f) (p → q) → r ≡ p → (q → r)
(g) p ⇒ p
(h) (p → q) ∧ p ⇒ q
(i) (p ∨ q) ∧ p ⇒ ¬q
(j)[¬(p ∧ q) ∧ p] ⇒ ¬q
7. Ubah dari notasi Lukasiewicz ke notasi biasa.
(a) KcpNqNApq
(b) ECpNNpNANqNq
(c) CCCKpNqKNrsKANpNrsq
(d) ENCpNKNprANpKpNq
8. Ubah dari notasi standart ke notasi Lukasiewicz
(a) ¬p ∧ q → q ∧ ¬p
(b) ¬(p ∧ q) → ¬p ↔ ¬(p ∧ q) → ¬q
(c) p → q”(p → q)
(d) ¬p → ¬q ∨ r
9. Diketahui :
p : udara segar
q : cuaca cerah
r : matahari bersinar
Nyatakan kalimat-kalimat berikut dengan simbol-simbol yang tepat.
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 57 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
(a) Mustahil, jika udara segar cuaca tidak cerah.
(b) Jika cuaca tidak cerah udara tidak segar.
(c) Matahari bersinar hanya jika cuaca cerah.
(d) Cuaca cerah jhj matahari bersinar dan udara segar.
(e) Mustahil jika cuaca cerah, udara tidak segar.
10. Diketahui:
r : 2 adalah bilangan genap
t : 3 adalah bilangan ganjil
s : 6 adalah bilangan sempurna
Nyatakan kalimat-kalimat yang dinotasikan seperti berikut ini.
(a) ¬(r → s)
(b) r → s
(c) r → ¬s
(d) s → r ∧ t
(e) s ∨ t → r
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 58 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
BAB 3
KARAKTERISTIK, BENTUKNORMAL DANAPLIKASINYA
Tujuan Umum
Setelah menyelesaikan materi pada bab ini pembaca diharapkan mampu memahami konsepkarakteristik dan bentuk normal serta mengaplikasikannya dalam aljabar logika, himpunanmaupun aljabar jaringan listrik.
Tujuan Khusus
Setelah menyelesaikan materi pada bab ini pembaca diharapkan dapat
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 59 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
1. menentukan karakteristik suatu bentuk logika
2. mengubah bentuk logika ke bentuk Normal
3. mencari komplemen bentuk Normal
4. mengubah bentuk normal disjungtif ke bentuk normal konjungtif dan sebaliknya
5. mengaplikasikan bentuk Normal baik dalam aljabar logika, himpunan maupun aljabarjaringan listrik
Materi
1. Karakteristik
2. Bentuk Normal
3. Komplemen Bentuk Normal
4. Translasi diantara bentuk normal
5. Aplikasi bentuk Normal
6. Aplikasi Logika dalam aljabar himpunan dan listrik
3.1. Karakteristik
Dalam keadaan tertentu kita membutuhkan cara penulisan yang lebih ringkas untuk menun-jukkan nilai kebenaran suatu pernyataan majemuk. Perhatikan tabel kebenaran konjungsi, dis-jungsi, implikasi maupun biimplikasi pada Tabel 3.1
Dari Tabel 3.1, dikatakan bahwa:
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 60 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Tabel 3.1: Tabel kebenaran konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi
p q p ∧ q p ∨ q p → q p ↔ q1 1 1 1 1 11 0 0 1 0 00 1 0 1 1 00 0 0 0 1 1
1. karakteristik dari p ∧ q adalah 1000;
2. karakteristik dari p ∨ q adalah 1110;
3. karakteristik dari p → q adalah 1011, dan
4. karakteristik dari p ↔ q adalah 1001.
Untuk menentukan karakteristik suatu perakit, perlu diadakan kesepakatan atau konvensibagaimana kita mengurut nilai logika dalam tabel kebenaran. Dalam diktat ini, kita sepakatbahwa nilai kebenaran pernyataan disusun berdasarkan urutan yang sistematis yaitu dari benar(1) ke salah (0).
Definisi 3.1.1. Karakteristik suatu pernyataan majemuk adalah nilai logika dari perny-ataan tersebut dalam tabel kebenaran dengan urutan kemungkinan nilai yang disepakati.
Contoh 3.1.1. Dari definisi di atas, kita dapat mencari karakteristik dari bentuk yang lainmisalnya karakteristik dari p∨ q adalah 0110 karakteristik dari p ↓ q adalah 0001 dan seterusnya.
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 61 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
3.2. Bentuk Normal
Sejauh ini yang telah kita lakukan adalah membuat tabel kebenaran dari suatu pernyataan yangdiberikan. Dengan kata lain, kita mencari karakteristik dari suatu pernyataan. Kita akan men-coba mengerjakan hal yang sebaliknya yaitu bagaimana mencari bentuk suatu pernyataan yangdiketahui karakteristiknya. Misalnya bagaimana bentuk persamaan yang mempunyai karakter-istik 1101 ?
Permasalahan yang dikemukakan diatas dapat diselesaikan dengan menggunakan bentuknormal. Bentuk normal dibedakan menjadi dua yaitu normal konjungtif dan normal disjungtif.Untuk memudahkan pembicaraan bentuk normal ini kita memilih penggunaan simbol danatau sebagai notasi disjungsi. Sedangkan negasi (¬) dinotasikan dengan ′. Selanjutnya bentukyang dipisahkan oleh + disebut sebagai suku sedangkan bentuk yang dipisahkan oleh × atau. kita sebut sebagai faktor. Misalkan jika pernyataannya hanya 2, p dan q maka bentuk suku-sukunya adalah : pq, pq′, p′q dan p′q′ jadi bentuk faktornya adalah (p+q), (p+q′), (p′+q) dan(p′ + q′). Dengan demikian pernyataan majemuk dapat dianggap sebagai kumpulan suku-sukuatau faktor-faktor.
3.2.1. Bentuk Normal Disjungtif (DNF)
Bentuk pernyataan majemuk ada yang dapat dianggap sebagai sepenuhnya jumlah dari suku-suku yang setiap sukunya memuat secara lengkap unsur-unsur penyusunnya.
Definisi 3.2.1. Bentuk normal disjungtif ( DNF = Disjunctive Normal Form ) ditandaidengan ciri-ciri berikut :
1. disusun dalam bentuk jumlah suku-suku.
2. tiap-tiap suku memuat secara lengkap semua unsur atau pernyataan yang dibicarakandalam bentuk konjungsi.
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 62 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Contoh 3.2.1. Berikut ini adalah contoh pernyataan dalam bentuk DNF
(i) pqr + p′qr + pqr′;
(ii) p′q + pq + pq′;
(iii) p;
(iv) p + q;
(v) pqr.
Tetapi, bentuk-bentuk seperti : p + qr dan p + pq bukan berbentuk normal sebab suku-sukunya tidak memuat semua pernyataan (pernyataan yang dibicarakan tidak ada pada setiapsukunya), yaitu ada suku yang hanya mengandung p tanpa mengandung q. Selanjutnya perludiingat bahwa pq sendiri merupakan bentuk normal dengan hanya satu suku.
Definisi 3.2.2. Apabila semua kemungkinan/ semua bentuk suku-suku termuat dalambentuk normal tersebut dikatakan bentuk normal tersebut adalah lengkap, dalam hal inidisebut Bentuk Normal Disjungtif Lengkap (CDNF = Complete Disjunctive Nor-mal Form).
Contoh 3.2.2. Berikut adalah pernyataan-pernyataan yang berbentuk CDNF
(i) pq + pq′ + p′q + p′q′ dan
(ii) pqr + pqr′ + pq′r + pq′r′ + p′qr + p′qr′ + p′q′r + p′q′r′
Dapat ditunjukkan bahwa bentuk Normal Disjungsi Lengkap (CDNF) ini adalah suatu tau-tologi. Kita mungkin juga mengubah bentuk tidak normal menjadi suatu bentuk normal atausebaliknya menyederhanakan suatu bentuk normal sehingga diperoleh bentuk yang meskipuntidak normal tetapi lebih sederhana.
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 63 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Contoh 3.2.3.
(i) Ubahlah p + pq′ ke bentuk normal
(ii) Sederhanakan bentuk p′q + pq′ + pq
Jawab:Untuk mengerjakan hal-hal diatas kita harus menggunakan hukum-hukum aljabar kalimat
/ proposisi yang telah diberikan, hanya saja harus diingat dengan baik bahwa untuk menyeder-hanakan notasi kita menggunakan p.q = pq untuk p ∧ q, p + q untuk p ∨ q, 1 untuk T dan 0untuk F .
p + pq′ ≡ p.1 + pq′ identitas
≡ p(q + q′) + pq′ komplemen
≡ pq + pq′ + pq′ distributif
≡ pq + pq′ (DNF) idempoten
pq + pq′ + p′q ≡ p(q + q′) + p′q distributif
≡ p.1 + p′q komplemen
≡ p + p′q identitas
≡ (p + p′).(p + q) distributif
≡ 1.(p + q) ≡ (p + q) komplemen, identitas
3.2.2. Bentuk Normal Konjugtif (CNF)
Bentuk pernyataan majemuk ada yang dapat dianggap sebagai sepenuhnya hasikali faktor-faktoryang setiap faktornya memuat secara lengkap unsur-unsur penyusunnya dalam bentuk jumlah.
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 64 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Definisi 3.2.3. Bentuk Normal Konjungtif (CNF = Conjunctive Normal Form)adalah bentuk yang ditandai oleh ciri-ciri berikut :
1. disusun dalam bentuk perkalian faktor-faktor.
2. tiap-tiap faktor memuat secara lengkap semua unsur atau pernyataan yang dibicarakan.
Contoh 3.2.4. Beberapa pernyataan yang berbentuk CNF
(i) (x + y)(x + y′)
(ii) (p + q + r)(p + q′ + r)(p + q + r)
(iii) (p + q)
Tetapi, p(p + q); p(p + r) bukan dalam bentuk normal.
Definisi 3.2.4. Bentuk Normal Konjungsi dikatakan Lengkap ( CCNF = CompleteConjunctive Normal Form) jika memuat secara lengkap semua bentuk faktor-faktornya.
Contoh 3.2.5. Bentuk CCNF untuk dua unsur p dan q adalah
(x + y)(x + y′)(x′ + y)(x′ + y′)
Dapat ditunjukkan bahwa betuk CCNF adalah suatu kontradiksi.
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 65 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
3.3. Komplemen Bentuk Normal
Definisi 3.3.1. Komplemen dari suatu bentuk normal adalah suku-suku atau faktor-faktordari bentuk lengkap yang tidak dimuat dalam bentuk normal tersebut.
Contoh 3.3.1. Tentukan komplemen dari:
(i) pq′ + p′q
(ii) xyz + xyz′ + xy′z + xy′z′
Jawab:Suku-suku yang tidak termuat dari dua bentuk di atas adalah masing- masing:
(i) pq + p′q′
(iii) x′yz + x′yz′ + x′y′z + x′y′z′
Contoh 3.3.2. Tentukan komplemen dari :
(i) (x + y′)(x′ + y)(x′ + y′)
(ii) (x + y)
Jawab :Faktor- faktor dari bentuk lengkap yang tidak termuat masing- masing adalah:
(i) (x + y)
(ii) (x + y′)(x′ + y)(x′ + y′)
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 66 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
3.4. Translasi Bentuk Normal
Suatu bentuk CNF dapat diubah atau ditranslasikan ke bentuk DNF atau sebaliknya baik denganmenggunakan sifat- sifat perakit maupun dengan membuat negasi dari komplemennya.
Contoh 3.4.1. Translasikan bentuk CNF ke DNF atau sebaliknya.
(i) (x + y)(x′ + y′), CNF;
(ii) xy + x′y′, DNF.
Jawab:
(x + y)(x′ + y′) ≡ (x + y)x′ + (x + y)y′ distributif
≡ xx′ + yx′ + xy′ + yy′ distributif
≡ 0 + yx′ + xy′ + 0 komplemen
≡ yx′ + xy′ DNF identitas
xy + x′y′ ≡ (xy + x′)(xy + y′) distributif
≡ (x + x′)(y + x′)(x + y′)(y + y′) distributif
≡ 1.(y + x′)(x + y′).1 komplemen
≡ (y + x′)(x + y′) CNF identitas
Dapat dibayangkan bahwa semakin kompleks bentuknya, operasi yang dilibatkan juga semakinkompleks sehingga tidak semua bentuk dapat diselesaikan dengan mudah dengan cara di atas.Untuk itu dapat dipergunakan cara negasi komplemen.
Aturan 3.4.1. Langkah langkah untuk mengubah dari bentuk CNF ke DNF dan seba-liknya
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 67 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
1. Tentukan komplemen dari bentuk yang dimiliki, yaitu suku atau faktor dari CDNFatau CCNF yang tidak ada dalam pernyataan yang dimiliki;
2. Tentukan negasi dari komplemen yang diperoleh
Maka bentuk yang diperoleh sudah berubah dari CNF ke DNF atau sebaliknya, tetapimasih ekuivalen dalam artian nilai kebenarannya masih sama.
Contoh 3.4.2. Ubah bentuknya dengan aturan di atas.
1. Bentuk CNF (x + y)(x′ + y′),
(a) komplemen:(x′ + y)(x + y′)
(b) negasi komplemen:[(x′ + y)(x + y′)
]′.
(c) Selanjutnya dengan menerapkan hukum De Morgan, diperoleh xy′+x′y yang meru-pakan bentuk DNF.
2. Diketahui bentuk DNF xyz + xyz′ + xy′z + xy′z′ + x′yz
(a) komplemennya x′yz′ + x′y′z + x′y′z′
(b) negasinya:[x′yz′ + x′y′z + x′y′z′
]′.
(c) Hukum De Morgan menghasilkan bentuk CNF (x + y′ + z)(x + y + z′)(x + y + z).
3.5. Aplikasi Bentuk Normal
Sebagaimana telah disampaikan di depan, manfaat utama bentuk Normal ini adalah dalammenentukan bentuk persamaan yang diketahui karakteristiknya. Sebagimana telah dipelajarisebelumnya nilai karakteristik terdiri atas 0 dan 1.
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 68 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Aturan 3.5.1. Jika kita perhatikan nilai 1 dari karakteristiknya maka aturannya adalahsebagai berikut :
1. bentuk yang diperoleh adalah DNF;
2. tiap baris yang bernilai 1 merupakan satu suku dengan nilai 1 berarti bentuk adalahpositif dan nilai 0 berarti negasi (′ ).
Aturan 3.5.2. Jika yang kita perhatikan adalah nilai 0 dari karakteristiknya maka atu-rannya adalah:
1. bentuk yang diperoleh adalah bentuk CNF;
2. tiap baris yang bernilai 0 berbentuk positif dan yang bernilai 1 berbentuk negasi (′ ).
Untuk mengerjakan yang lebih sederhana kita memilih bentuk CNF atau DNF sesuai denganjumlah yang lebih sedikit dari yang lain yaitu :
1. jika 1 lebih sedikit, gunakan DNF
2. jika 0 lebih sedikit gunakan CNF
Contoh 3.5.1. Tentukan persamaaan yang mempunyai karakteristik 10001001
Karena 1 lebih sedikit, maka kita menggunakan bentuk DNF.
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 69 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
p q r yp 1 1 1 1 pqr
1 0 1 01 0 0 01 0 0 0
p′ 0 1 1 1 p′qr0 1 0 00 0 0 0
p′ 0 0 0 1 p′q′r′ y = pqr + p′qr + p′q′r′
q′ r′
Kita peroleh bentuk DNF dengan 3 suku ( ada tiga karakteristik 1 ) yaitu
y = pqr + p′qr + p′q′r′.
Tugas kita selanjutnya adalah menyederhanakan bentuk normal ini dengan hukum-hukum yangtelah dipelajari. Kita bisa periksa ( cek ) kebenarannya dengan membuat tabel kebenarannya.
Contoh 3.5.2. Tentukan persamaan dengan karakteristik 01111110
Karena 0 lebih sedikit kita menggunakan bentuk CNF
p q r yp′ 1 1 1 0 p′ + q′ + r′
1 0 1 11 0 0 11 0 0 10 1 1 10 1 0 10 0 0 1
p 0 0 0 0 p + q + r y = (p + q + r)(p′ + q′ + r′)q r
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 70 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Tabel 3.2: Hubungan antara aljabar Boole, Aljabar Himpunan, Aljabar Proposisi dan al-jabar jaringan listrik
No Aspek Aljb. Proposisi Aljb. Himpunan Aljb. Listrik1 Unsur pernyataan himpunan saklar
p, q, r A,B,C A,B, C2 Negasi ¬p ()c saklar balik3 Konjugsi ∧ ∩ seri4 Disjungsi ∨ ∪ paralel5 Implikasi logis ⇒ ⊆6 Ekuivalensi ekuivalensi kesamaan ekuivalensi7 Nilai global T S tertutup8 Nilai global F ∅ terbuka9 nilai lokal 1 ∈ tertutup9 nilai lokal 0 6 in terbuka
Gambar 3.1: Diagram Venn mengilustrasikanA ∩B
Maka bentuk yang kita peroleh adalah CNF dengan dua faktor yaitu
y = (p + q + r)(p′ + q′ + r′).
3.6. Aplikasi Logika dalam Aljabar Himpunan dan Listrik
Hukum-hukum logika dapat diterapkan dalam aljabar jaringan listrik (electrical network atauelectrical switching). Pada dasarnya semua pembahasan ini didasari oleh aljabar Boole. Kehar-monisan aljabar Boole, logika himpunan dan aljabar jaringan listrik dapat ditunjukkan dengantabel berikut :
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 71 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Dalam himpunan didefinisikan bahwa A ∩ B adalah himpunan yang hanya beranggotakanunsur-unsur yang yang sekaligus ∈ A dan ∈ B. Tabel keanggotaan untuk A ∩ B dilihat padatabel berikut. Perhatikan bahwa tabel kebenaran A ∩ B ini ekuivalen dengan tabel kebenarankonjungsi p ∧ q.
Tabel Keanggotaan A ∧B dan tabel kebenaran A ∩BA B A ∧B1 1 11 0 00 1 00 0 0
dan
A B A ∩B∈ ∈ ∈∈ /∈ /∈/∈ ∈ /∈/∈ /∈ /∈
3.7. Aljabar Jaringan Listrik atau Saklar
Rangkaian seri
Dalam aljabar jaringan listrik rangkaian seri identik dengan konjungsi seperti diilustrasikan padagambar berikut
Jaringan/ rangkaian listrik mengilustrasikan AB
Keterangan :
1. Jika suatu jaringan dirangkai seri dan salah satu saja saklarnya dibuka (off) maka aruslistrik tidak dapat lewat dan lampu padam (off).
2. Dalam pembicaraan jaringan listrik ini kita hanya memperhatikan susunan. rangkaiansaklarnya, sumber listrik dan lampu biasanya diabaikan.
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 72 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
p q A + Bon on onon off onoff on onoff off off
Kondisi aliran listrik berdasarkan terbuka dan tertutupnya saklar A dan B ditunjukkan dalamtabel berikut. Bandingkan tabel tersebut dengan tabel kebenaran A∧B dan tabel keanggotaanA ∩B.
Tabel aliran listrik (kondisi menyala/tidaknya lampu Ldilihat dari kondisi tertutup/terbukanya saklar Adan B
A B Ltertutup (1) tertutup(1) menyala (1)tertutup (1) terbuka(0) padam (0)terbuka (0) tertutup(1) padam (0)terbuka (0) terbuka(0) padam (0)
Rangkaian paralel
Rangkaian paralel seperti pada Gambar identik dengan aljabar perakit disjungsiKeterangan :
1. Pada rangkaian paralel arus listrik bisa lewat jika salah satu saklarnya di on/ ditutup.
2. Jika salah satu/semua dibuka/on arus listrik dapat lewat dan lampu menyala.
Rangkaian negasi
Rangkaian A dan A′ dipasang sedemikian sehingga jika p on maka otomatis p′ off dan sebaliknya.
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 73 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Ketiga rangkaian di atas (negasi, seri , paralel ) yang merupakan rangkaian dari bentukdasar (negasi, konjungsi, dan disjungsi) disebut rangkaian dasar. Rangkaian-rangkaian lainseperti implikasi, biimplikasi, Nor (Not Or), Nand (Not And) dan lain-lainnya, dapat diturunkandari rangkaian-rangkaian dasar diatas. Sebagai aplikasi dari bentuk normal, kita juga dapatmerangkai jaringan listrik dengan bermacam-macam hasil (out put/karakteristik ) yang kitainginkan.
Contoh 3.7.1. Tiga buah saklar dirangkai dan dihubungkan pada sebuah bel. Ternyatabel tersebut hanya berbunyi apabila tepat satu saja dari ketiga saklar diatas di tekan (on).Jika sekaligus dua saklar atau lebih di-on-kan bel tidak mau berbunyi. Tentukan bagaimanasaklar-saklar tadi dirangkai.
Jawab:Misalkan ketiga saklar itu adalah x, y, z (kita juga bisa menggunakan huruf besar A,B,C)
hasil yang terjadi adalah sebagai berikut:
x y z keluaran1 1 1 01 1 0 01 0 1 01 0 0 1*)0 1 1 00 1 0 1 *)0 0 1 1*)0 0 0 0
Tanda *) menunjukkan bahwa dalam keadaan ini bel berbunyi (output = 1), yang lain padam,tidak berbunyi (output= 0). Karena banyaknya berbunyi ( 1 ) lebih sedikit kita gunakan bentukDNF dan persamaan rangkaiannya adalah:
xy′z′ + x′yz′ + x′y′z
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 74 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
atau(x(¬y(¬z)((¬x(y(¬z)((¬x(¬y(z).
Contoh 3.7.2.
Ubah ekspresi berikut ke bentuk DNF
(i) (x + y′)
(ii) (pqr′) + (pr) + (pq)
Jawab :
(i) Bentuk (x + y′) adalah berbentuk CNF , maka cara merubah ke bentuk DNF nya kitalakukan dengan mencari negasi dari komplemennya. Komplemen bentuk ini adalah: (x +y)(x′ + y)(x′ + y′). Negasi komplemennya adalah:
= ((x + y)(x′ + y)(x′ + y′)′)′
= (x + y)′ + (x′ + y)′ + (x′ + y′)= x′y′ + xy′ + xy(DNF)
(ii) Bentuk pqr′ + pr + pq, suku pertamanya sudah lengkap, tinggal suku kedua dan ketigayang tidak lengkap. Suku kedua tidak mengandung q. Kita bisa menganggap pr = pr.1
pr = pr(q + q′) identitas
= pqr + pq′r distributif
Suku ketiga tidak mengandung r, maka
pq = pq.1= pq(r + r′) ident. & komp.
= pqr + pqr′ distributif
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 75 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Jadi kita peroleh :pqr + pq′r + pqr′
Contoh 3.7.3. Ubah ekspresi berikut ke bentuk CNF.
1. p′q + pq
2. p(q + r)
Jawab:
1. Bentuk p′q + pq adalah DNF , karenanya kita translasikan dengan menggunakan negasikomplemennya. Komplemennya adalah : (pq′ + p′q′). Negasinya:
(pq′ + p′q′)′ = (pq′)(p′q′)′
= (p′ + q)(p + q).
Jadi bentuk CNF nya adalah :(p′ + q)(p + q)
2. p(q + r) ; terdiri atas dua faktor, yaitu faktor pertama p tidak lengkap, dan faktor kedua(q + r) juga tidak lengkap
p = p + 0 identitas
= p + (q.q′) komplemen
= (p + q)(p + q′) distributif
= ((p + q) + 0)((p + q)′ + 0) identitas
= ((p + q) + (rr′))((p + q′) + (rr′)) komplemen
= (p + q + r)(p + q + r′)(p + q′ + r)(p + q′ + r′) distributif.
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 76 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
p q keluaran1 1 11 0 00 1 00 1 1
(q + r) tidak mengandung p
(q + r) = (q + r) + 0 identitas
= (q + r) + pp′ komplemen
= (q + r + p)(q + r + p′) distributif
Jadi bentuk keseluruhannya adalah :
(p + q + r)(p + q + r′)(p + q′ + r)(p + q′ + r′)(q + r + p)(q + r + p′)
atau(p + q + r)(p′ + q + r)(p + q′ + r)(p + q + r′)(p + q′ + r′)
( dengan menerapkan hukum distributuf dan idempoten )
Contoh 3.7.4. Tentukan persamaan yang mempunyai karakteristik 1001.
Jawab :Misalkan unsur-unsurnya adalah p dan q, makaBanyaknya 1 dan 0 sama jadi bisa memakai DNF maupun CNF. Misalkan 0 kita jadikan
pedoman maka kita peroleh :
y = (p′ + q)(p + q′) (CNF).
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 77 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Contoh 3.7.5. Suatu alat peraga logika terdiri atas tiga saklar dan sebuah lampu. Ternyatalampu tersebut menyala hanya apabila ketiga saklar tersebut di-on-kan atau jika ketiga saklardi-off-kan. Tentukan persamaan rangkaiannya.
Jawab:Lampu menyala (1 ) hanya pada dua keadaan A = B = C = 1atau A = B = C = 0
(A,B,C menunjukkan saklar-saklarnya ). Dengan menggunakan nilai 1 berarti kita menujubentuk DNF dan unsur-unsur bernilai 1 adalah positif, yang bernilai 0 adalah beerbentuk negasi.Dengan demikian kita peroleh persamaannya :
y = ABC + A′B′C ′.
Contoh 3.7.6. Empat orang anak masing-masing Ali , Budi , Citra dan Didiek menghadapisaklar yang dihubungkan pada sebuah lampu. Ternyata lampu tersebut dalam keadaan:
(i) Jika Ali dan Citra meng-on-kan saklarnya sedangkan Budi dan Didiek tidak, lampu menyala.
(ii) Jika Citra sendiri meng-onkan saklarnya sedang yang lainnya tidak, lampu menyala.
(iii) Jika keempat-empatnya serempak meng-on-kan saklarnya lampu menyala. Untuk keadaanyang lain-lainnya lampu padam. Tentukan persamaan rangkaiannya.
Jawab:Misalkan saklar yang mereka hadapi adalah A,B, C, D. Untuk menyelesaikan ini kita bisa
membuat semacam tabel kebenarannya atau langsung dengan hanya memperhatikan keadaan-keadaan pada saat lampunya menyala yaitu :
(i) hanya Ali dan Citra yang meng-onkan lampu
AB′CD′ (B dan D dalam bentuk negasi)
(ii) hanya Citra sendiri yang meng-onkan saklar
A′B′CD′ ( hanya C yang tidak negasi )
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 78 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
(iii) Keempat-empatnya serempak meng-onkan saklar
ABCD
Jadi persamaannya y = ABCD+AB′CD′+A′B′CD′. Langkah berikutnya tinggal menyeder-hanakan bentuk tadi jika memang diangggap perlu.
3.8. Bacaan Lebih Lanjut
Untuk mendalami lebih jauh aplikasi logika atau aljabar Boole dalam aljabar jaringan listrikselain beberapa sumber yang telah dikutip sebelumnya. Selain itu dapat juga dibaca beber-apa sumber lain diantaranya Lipschutz bk:Lipschutz74, Nissanke bk:Nissanke99, Sulistyaningsihbk:Sulistyaningsih84 dan Siang bk:Siang02.
3.9. Soal-soal Latihan
1. Tentukan persamaan yang paling sederhana dari bentuk yang mempunyai karakteristikberikut:
(a) 01010001
(b) 01101111
(c) 00110011
(d) 00111011
2. Pikirkan persamaan rangkaian listrik dengan tiga saklar A,B,C dengan ketentuan:
(a) Arus mengalir setiap kali A on dan C off kecuali jika sekaligus A dan B on (arustidak mengalir).
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 79 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
(b) Jika B on dan A dan C off arus mengalir.
3. Empat peserta cerdas cermat masing-masing menghadapi sebuah saklar yang dihubungkanpada sebuah bel. Juri ingin agar bel tersebut berbunyi hanya apabila salah satu saja darikeempat kelompok tersebut yang meng-onkan saklarnya. Sedangkan jika lebih dari satukelompok mengonkan saklarnya bersama-sama bel tidak boleh berbunyi. Cobalah andabantu juri merangkaikan bel dan saklarnya tersebut.
4. Seorang bapak berhasrat agar lampu kebunnya dapat dimatikan maupun dihidupkanmasing-masing dari tiga tempat (ruang tamu (T) , garasi (G) , ruang tengah (H)). Jadijika ia ingin menghidupkan atau mematikan lampu kebunnya ia harus dapat melakukan-nya melalui saklar T , saklar G maupun H. Bantulah bapak ini membuat persamaanrangkaiannya.
5. Buatlah rangkaian dari persamaan berikut :
(a) (A + B)(A′((B′ + (A′B′)
(b)[((A + B)C)
]+ (A′B′C ′)
(c)[((A + B) ↔ C)
](A + C)
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 80 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
BAB 4
KUANTOR
Tujuan Umum
Setelah menyelesaikan materi ada bab ini diharapkan memahami kuantor serta mampu meng-gunakannya dalam menyelesikan soal-soal logika yang mengandung kuantor.
Tujuan Khusus
Setelah menyelesaikan materi ada bab ini diharapkan dapat
1. memberi contoh tetapan dan peubah
2. memberi contoh kalimat matematika terbuka maupun tertutup
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 81 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
3. memberi kuantor universal maupun eksistensial yang sesuai untuk suatu kalimat
4. mencari negasi suatu pernyataan berkuantor
5. mencari contoh penyanggah suatu pernyataan berkuantor
6. menentukan kuantor untuk pernyataan yang mengandung perakit
7. menentukan kuantor untuk pernyataan dengan lebih dari 1 peubah
Materi
1. Tetapan dan peubah
2. Kalimat matematika, kalimat terbuka, kalimat tertutup
3. Kuator universal dan Kuantor eksistensial
4. Negasi kuantor
5. Contoh penyanggah
6. Kuantor dengan disjungsi, konjungsi dan implikasi
7. Kuantor lebih dari satu peubah
4.1. Tetapan dan Peubah
Dalam matematika, notasi yang melambangkan unsur dibedakan atas dua macam yaitu yangmewakili unsur yang bersifat tetap dan unsur yang berubah.
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 82 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Definisi 4.1.1. Tetapan atau konstanta adalah lambang yang mewakili suatu elementertentu yang bersifat khusus atau bersifat tetap dalam suatu semesta pembicaraan.
Definisi 4.1.2. Semesta pembicaraan adalah kumpulan yang menjadi sumber atau asalunsur-unsur yang dibicarakan.
Dalam matematika, terutama dalam bentuk umum fungsi maupun persamaan, tetapanbiasanya disimbolkan dengan huruf-huruf pertama dari abjad seperti : a, b, c, ...
Contoh 4.1.1. Dalam pernyataan-pernyataan berikut, simbol yang digaris bawahi adalahsuatu tetapan.
((i) 2 adalah bilangan asli.
(ii) Ani berbaju merah.
(iii) Betuk umum pungsi linier adalah y = ax + b.
Pada contoh di atas, Ani meskipun kita tidak tahu persis siapa orangnya, namun Ani tidakdikatakan sebagai peubah karena jelas Ani menunjukkan nama seseorang tertentu tidak semuaorang dapat disebut Ani. Pada contoh (iii) a, b meskipun tidak diketahui dengan persis, tetapikeduanya adalah suatu tetapan yang tidak berubah sebagaimana halnya x dan y.
Definisi 4.1.3. Peubah atau variabel adalah lambang yang masih mewakili suatu elemenumum yang belum dikhususkan atau yang nilainya berubah-ubah pada semesta pembicaran-nya.
Contoh 4.1.2. Bagian-bagian yang digarisbawahi pada contoh kalimat berikut adalah peubah.Pada umumnya peubah dilambangkan dengan huruf-huruf terahkir dari abjad seperti : x, y, z.
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 83 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
(i) x adalah bilangan asli
(ii) Manusia berbaju merah
(iii) Bentuk umum fungsi linier adalah y = ax + b
4.2. Kalimat matematika, kalimat terbuka, kalimat tertutup
Dalam pembahasan matematika, banyak dilibatkan kalimat-kalimat ataupun pernyataan-pernyataanyang memuat simbol-simbol matematika. Kalimat-kalimat tersebut ada yang berbentuk perny-ataan ada yang tidak.
Definisi 4.2.1. Kalimat matematika adalah kalimat yang memuat simbol-simbol matem-atika seperti peubah, tetapan dan operator lainnya.
Definisi 4.2.2. Kalimat matematika terbuka adalah kalimat matematika yang belumbisa dinilai benar atau salah.
Definisi 4.2.3. Kalimat matematika tertutup (disebut juga pernyataan matematis)adalah kalimat matematika yang sudah bisa dinilai benar atau salah.
Contoh 4.2.1. Kalimat p(x) : x + 2 ≥ 7, adalah suatu kalimat matematika terbuka, karenabelum bisa dinilai bear atau salah. Misalkan semesta pembicaraannya adalah himpunan semuabilangan real. Berarti x adalah anggota dari himpunan bilangan real. Jika kita gantikan xdengan sembarang bilangan real x ≥ 5 maka terbentuklah pernyataan yang bernilai benar.Sebaliknya jika kita gantikan x dengan bilangan-bilangan x < 5 , maka terbentuk pernyataanyang bernilai salah.
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 84 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Pada kalimat terbuka p(x) dengan semesta U , setiap kali kita mengambil elemen u dariU , maka p(x) = p(u) bernilai tepat salah satu benar atau salah . Semua elemen x ∈ U yangmenyebabkan p(x) bernilai benar disebut himpunan penyelesaian/ himpunan kebenaran (truthset/ solution set) dari p dan dinotasika dengan Tp.
Teorema 4.2.1. Untuk p, kalimat terbuka pada U , maka untuk setiap u ∈ U atauτ(p(u)) = 1, atau τ(p(u)) = 0.
Definisi 4.2.4. Himpunan kebenaran atau himpunan penyelesaian adalah him-punan semua unsur dari semesta pembicaraan yang menyebabkan terjadinya kalimat/ perny-ataan yang bernilai benar.
Tp = {u ∈ U, τ(p(u)
)= 1}
Contoh 4.2.2.
(i) Perhatikan kalimat terbuka : x + 2 ≥ 10, x bilangan asli, maka Tp = {x ≥ 8, x bilaganasli }.
(ii) Misalkan p(x);x2 < 0 ; x bilangan real, maka Tp = ∅
(iii) Misalkan p(y); y2 ≥ 0; y bilangan real, maka Tp = U = <. Semua bilangan real jikadikuadratkan akan lebih atau sama dengan nol.
Teorema 4.2.2. Suatu kalimat terbuka dapat dinyatakan kalimat tertutup dengan meng-gantikan peubahnya dengan tetapan dari semesta pembicaraannya.
Contoh 4.2.3.
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 85 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
(i) Misalkan p(n) : n + 2 > 8 adalah kalimat terbuka, misalnya pada semesta N (himpunansemua bilangan asli), maka
(a) p(2) : 2 + 2 > 8 adalah pernyataan salah.
(b) p(8) : 8 + 2 > 8 adalah pernyataan benar.
(ii) q(x) : x2 − 2x + 1 = 0 adalah kalimat terbuka pada <, maka:
(a) q(2) : 22 − 2.2 + 1 = 0 adalah pernyataan salah dan
(b) q(1) : 12 − 2.1 + 1 = 0 adalah pernyataan benar
Telah disampaikan diatas bahwa jika p(x) kalimat terbuka pada semesta U maka p(x) bisabenar untuk semua x ∈ U , yaitu Tp = U . Benar untuk beberapa atau tak satu pun x ∈ U .Secara implisit ini berarti dengan memberikan kata -kata : Setiap, beberapa atau tak satupun, di depan kalimat terbuka tasi maka kalimat terbuka tadi maka kalimat terbuka tadi akanmenjadi pernyataan yang bernilai benar atau salah.
Contoh 4.2.4.
1. p(x) : x + 2 ≥ 8 adalah kalimat terbuka pada N , maka :
(a) untuk semua x ∈ N berlaku x + 2 ≥ 8, adalah pernyataan salah,
(b) ada x bilangan asli yang bersifat x + 2 ≥ 8 adalah benar.
2. p(x) : x2 < 0; x bilangan asli adalah kalimat terbuka, maka:
(a) ada x bilangan asli yang bersifat x2 < 0 adalah salah;
(b) tidak satupun x bersifat x2 < 0 adalah benar.
Jadi istilah-istilah terdapat, semua, taksatupun dapat megubah kalimat terbuka menjadi pery-ataan.
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 86 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
4.3. Kuantor
Istilah-istilah : terdapat , semua/ setiap, dengan demikian, dan sejenisnya, dapat digunakan un-tuk mengukur keberadaan himpunan penyelesaian (unsur-unsur yang menyebabkan p(x) berni-lai benar). Kata-kata ini dalam logika disebut kuantor/ quantifier (to quantify = mengukur).Kuantor dibedakan menjadi kuantor universal dan kuantor eksistensial.
4.3.1. Kuantor Universal
Misalkan p(x) adalah suatu kalimat terbuka pada semesta U maka
∀x ∈ U, p(x) atau ∀x, p(x) atau ∀x, τ(p(x)) = 1
adalah pernyataan yang dibaca : “untuk semua/ setiap x ∈ U x bersifat p” atau “semuax bersifat p”, atau “untuk semua x pernyataan p(x) adalah benar”. Notasi ∀ yang dibaca“setiap” atau “semua” disebut kuantor universal. Perlu kita catat bahwa p(x) sendiri adalahsuatu kalimat terbuka, akan tetapi akan tetapi ∀x, p(x) adalah suatu pernyataan.
Definisi 4.3.1. Nilai kebenaran pernyataan yang mengandung kuantor universal adalah
τ(∀x, p(x)
)= 1 jika dan hanya jika Tp = U.
Contoh 4.3.1. Misalkan(i) p(x) : x + 2 ≥ 3 dengan semesta N , maka Tp = N . sehingga ∀x ∈ N,x + 2 ≥ 3 adalah
benar. Demikian juga dengan(ii) p(x) : x + 2 = 10 dengan semesta N maka Tp = {8}, sehingga ∀x ∈ N,x + 2 = 10
adalah salah.Dengan cara yang sama dapat dibuktikan bahwa(iii) ∀x ∈ <, x2 < 0 adalah salah dan(iv) ∀x ∈ <, x2 + 2x + 8 > 0 adalah benar.
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 87 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
4.3.2. Kuantor Eksistensial
Misalkan p adalah suatu kalimat terbuka pada semesta U , maka:
∃x ∈ U, p(x) atau ∃x,3 p(x) atau ∃x,3 τ(p(x)) = 1
adalah pernyataan yang dibaca : “terdapat x yang bersifat p”, atau “beberapa x bersifat p”,atau “paling sedikit satu x bersifat p. Notasi ∃ yang dibaca : “beberapa” , “terdapat”, “palingsedikit satu ” disebut kuantor eksistensial.
Definisi 4.3.2. Nilai kebenaran kuantor eksistensial adalah
τ(∃x, p(x)
)= 1, jika dan hanya jika Tp 6= ∅.
Contoh 4.3.2.
(i) p(x) : x2 − 4x + 4 = 0 untuk semesta <, dengan Tp = {2}, maka ∃x, x2 − 4x + 4 = 0untuk semesta < adalah benar.
(ii) p(x) : x2 − 2x + 4 = 0 untuk semesta <, dengan Tp = ∅, maka ∃x, x2 − 4x + 4 = 0adalah salah.
Dalam menggunakan kata-kata “terdapat x”, biasanya ditambahkan juga istilah “sedemikiansehingga” yang dalam logika dinotasikan dengan “3 ”
Contoh 4.3.3. Notasi logika dari pernyataan “terdapat bilangan asli sedemikian sehinggakuadratnya lebih dari 26 tetapi tidak lebih dari 100” adalah ∃x ∈ N,3 26 < x2 ≤ 100.
Kuantor Universal dan eksistensial masing-masing dapat digunakan untuk mendefinisikanIrisan dan gabungan dari keluarga himpunan {Ai, i = 1, 2, 3, · · · };
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 88 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
(i) Irisan (Interseksi) keluarga himpunan. adalah himpunan yang beranggotakan unsur-unsuryang muncul pada setiap himpunan, yaitu:⋂
i∈I
Ai = {x|x ∈ Ai,∀i ∈ I}
(ii) Gabungan (Union) dari keluarga himpunan adalah himpunan yang beranggotakan unsur-unsur yang cukup muncul pada salah satu himpunan Ai tadi⋃
i∈I
Ai = {x|∃i ∈ I 3 x ∈ Ai}
Pembahasan yang lebih rinci akan disampaikan pada Bab Pada Bab 6.
4.4. Negasi Kuantor
Seperti halnya pada pernyataan tanpa kuantor, pada dasarnya negasi diperoleh dengan melakukanpenyangkalan terhadap kalimat bersangkutan. Misalnya penyangkalan terhadap pernyataan :“Semua manusia berhati dengki”, mengandung pengertian bahwa tidak semua manusia berhatidengki, atau, “setidak-tidaknya ada satu manusia yang tidak berhati dengki”. Secara simbolisdapat dituliskan:
(∀x ∈ M)(x berhati dengki )) ≡ ∀x ∈ M,d(x)
¬(∀x ∈ M)(x berhati dengki )
)≡ ¬
(∀x ∈ M,d(x)
)∃(x ∈ M)(x tidak berhati dengki) ≡
(∃x ∈ M 3 d(x)
)Kita peroleh kesimpulan bahwa :
¬[(∀x)
(p(x))
)]= ∃x,3 p(x). (4.1)
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 89 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Hasil di atas dapat diangap sebagai penerapan hukum De Morgan pada pernyataan yang men-gandung kuantor. Pernyataan/ kalimat x tidak bersifat p biasa dinotasikan dengan“¬p(x)”atau “p(x)” atau “ 6 p(x)”.
Contoh 4.4.1. Tuliskan Kalimat / pernyataan berikut dengan tanda kuantor yang tepat dantentukan negasinya. Demikian pula tulis secara lengkap bagaimana pengucapan negasinya.
(i) “Semua bilangan asli n bersifat n + 2 ≥ 10.”
Jawab
Notasi p : ∀n ∈ N,n + 2 ≥ 10.Negasi ¬p : ∃n ∈ N,3 n + 2 � 10
≡ ∃n ∈ N,3 n + 2 < 10Pernyataan di atas dapat diucapkan sebagai “beberapa bilangan asli jika ditambah 2hasilnya kurang dari 10”, atau “beberapa bilangan asli n bersifat n + 2 < 10”.
(ii) “Setiap manusia dapat mati”
Jawab:
Notasi : p ≡ (∀x ∈ M)(x dapat mati)≡ (∀x ∈ M)m(x)
Negasi : ¬p ≡ (∃x ∈ M),3 (xtidak dapat mati)≡ (∃x ∈ M),3 (m(x))
Ada manusia yang tidak dapat mati.
Selanjutnya negasi dari pernyataan yang mengandung kuantor eksistensial dicari dengan carayang sama. Misalnya sanggahan terhadap pernyataan:“Ada manusia yang bisa terbang” adalah:“Tidak benar (mustahil) ada manusia yang dapat terbang”. Pernyataan ini mengandung artibahwa semua manusia tidak dapat terbang. Secara simbolis kita dapat ditulis:
∃x ∈ M 3 x dapat terbang ≡ ∃x ∈ M, t(x)¬
[∃x ∈ M(xdapat terbang)
]≡ ¬
[x ∈ M, t(x)
]∀x ∈ M(x tidak dapat terbang) ≡ ∀x ∈ M, t(x)
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 90 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Jadi, secara umum kita peroleh
¬[(∃x) 3
(q(x))
)]= ∀x, q(x). (4.2)
Perhatikan bahwa nilai kebenaran p dengan ¬p untuk p yang mengandung kuantor adalahsaling berlawanan, sebagaimana p yang tidak mengandung kuantor.
Contoh 4.4.2. Tuliskan notasi pernyataan berikut dengan tepat. Selanjutnya tentukan negasidan pengucapannya.
i Ada bilangan prima yang genap
Jawab :
misalkan P adalah bilangan prima, dan g : bersifat genap.
Notasi : ∃x ∈ P, g(x)Negasi : ∀x ∈ P, g(x)
: semua bilangan prima, tidak genap.
ii Semua bujur sangkar adalah persegi panjang
Jawab :
misalkan B : bujur sangkar p : persegi panjang.
Notasi : ∀x ∈ B, p(x)Negasi : ∃x ∈ B,3 p(x)
Ada bujur sangkar yang bukan persegi panjang.
4.5. Notasi lain untuk ∀ dan ∃Misalkan U = {2, 3, 5} dan p(x): x adalah bilangan prima, maka pernyataan : “2 adalahbilangan prima dan 3 adalah bilangan prima dan 5 adalah bilangan prima” dapat dinotasikan
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 91 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
dengan : p(8) ∧ p(3) ∧ p(5) = ∀u ∈ U, p(u). Pernyataan ini berarti: “setiap u ∈ U bersifatp(u). Jadi kita peroleh :
∀u ∈ U, p(u) ≡∧
u∈U
p(u) (4.3)
Demikian pula kalimat : “2 adalah bilangan prima atau 3 adalah bilangan prima atau 5 adalahbilangan prima” dapat dinotasikan :p(2) ∨ p(3) ∨ p(5) ≡
∨u∈U p(u). Pernyataan di atas sama
artinya dengan setidaknya (paling tidak) ada satu elemen U yang bersifat p yaitu : ∃u ∈ Up(u).Jadi
∃u ∈ U, p(u) ≡∨
u∈U
p(u) (4.4)
Jadi notasi∧ dan ∨ juga dapat dipergunakan selain notasi ∀ dan ∃.Catatan : Jika U adalah himpunan yang berhingga maka pernyataan (4.3) dan (4.4) dapat
dibuat. Tetapi untuk U yang takberhingga hanya (4.4) yang dibuat.
4.6. Kuantor, Disjungsi, Konjungsi dan Implikasi
Penggunaan kuantor dapat bersama-sama dengan konektif atau perakit -perakit pernyataanseperti dijungsi, konjungsi maupun implikasi.
Contoh 4.6.1. Berikut ini adalah beberapa contoh kuantor yang bergabung dengan beberapaperakit logika yang telah dipelajari.
1. Untuk semua bilangan asli, jika dia prima (P), maka dia ganjil (G)
∀x ∈ <, P (x) → G(x)
2. Semua segitiga sama sisi (S) adalah sama kaki(K). Pernyataan ini ekuivalen dengan “un-tuk semua segitiga, jika dia sama sisi maka dia sama kaki”.
∀x ∈ G, S(x) → K(x)
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 92 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
3. Ada bilangan prima (P) yang genap (A). Pernyataan ini ekuivalen dengan “ada bilanganasli (N) yang sekaligus prima (P) dan genap (A)”.
∃x ∈ N 3[P (x) ∧A(x)
]4. Untuk semua bilangan bulat, jika tidak ganjil, pastilah dia genap dan tidak mungkin
dua-duanya.∀x ∈ B, G(x)∨A(x)
Apabila P (x) adalah kalimat majemuk yang mengandung perakit, maka negasinya adalah
¬[(∀x)
(P (x))
)]= ∃x,3 p(x). (4.5)
demikian juga
¬[(∃x) 3
(q(x))
)]= ∀x, q(x). (4.6)
dengan P (x) maupun Q(x) mengikuti aturan negasi perakit seperti hukum De Morgan.Berikut adalah negasi dari pernyataan berkuantor yang bergabung dengan beberapa perakit
logika seperti pada contoh-contoh berikut
Contoh 4.6.2. Ada bilangan asli yang prima(P) tetapi tidak ganjil(G)
∃x ∈ N,3[P (x) ∧ ¬G(x)
]Contoh 4.6.3. Ada segitiga sama sisi (S) yang tidak sama kaki(K).
∃x ∈ G, S(x) ∧ ¬K(x)
Contoh 4.6.4. Semua bilangan prima (P) tidak genap (A). Pernyataan ini ekuivalen dengan“untuk semua bilangan asli (N) jika dia prima (P) maka dia tidak genap (A)”.
∀x ∈ N,(P (x) → ¬A(x)
)
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 93 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Contoh 4.6.5. Ada bilangan bulat yang tidak ganjil dan tidak genap atau ada bilangan bulatyang sekaligus ganjil dan genap.
∃x ∈ B,
[(¬G(x) ∧ ¬A(x)
)∨
(G(x) ∧A(x)
)]
4.7. Contoh Penyanggah/ Contoh Kontra
Perhatikan bahwa ¬∀x, P (x) ≡ ∃x, P (x) yang dapat diartikan bahwa pernyataan “tidak benarbahwa semua x bersifat P , ekuivalen dengan pernyataan“ada x tidak bersifat P”. Jadi untukmengatakan bahwa kalimat ∀x, P (x) salah, ekuivalen dengan menunjukkan bahwa ¬∀x, P (x)benar. Pernyataan terakhir ini ekuivalen dengan menunjukkan bahwa paling tidak ada satu xyang tidak bersifat P . x yang tidak bersifat P disebut contoh penyanggah/ kontra (counterexample) dari pernyataan ∀x, P (x).
Teorema 4.7.1. Pernyataan ∀x, p(x) bernilai salah jika ada contoh penyanggahnya danbernilai benar jika tidak ada contoh penyanggahnya.
∃x, 6 p(x) ⇒ τ(∀x, p(x)
)= 0
6 ∃x, 6 p(x) ⇒ τ(∀x, p(x)
)= 1
Pada contoh-contoh berikut kita dapat menentukan nilai kebenaran pernyataannya denganmenentukan contoh penyanggahnya.
Contoh 4.7.1. Pernyataan ∀x, |x| > 0 bernilai salah karena ada x = 0 dengan |x| ≯ 0.
Contoh 4.7.2. Pernyataan ∀x, x2 > x bernilai salah karena ada x = 12 dengan
(x2 = 1
4
)≯(
x = 12
)
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 94 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Contoh 4.7.3. Semua bilangan prima (P) adalah ganjil (G) atau untuk setiap bilangan riil,jika dia prima pastilah ganjil.
∀x, x ∈ P →∈ G
Pernyataan ini adalah salah karena ada contoh penyanggahnya, yaitu
∃x = 2 3(x ∈ P ∧ x /∈ G
)Contoh 4.7.4. Pernyataan berikut adalah benar, karena tidak ada contoh penyanggahnya.
∀x, x ∈ P →∈ G
4.8. Kuantor dan kalimat terbuka lebih dari satu peubah
Untuk kalimat terbuka dengan lebih dari satu peubah, pada prinsipnya tiap-tiap peubah dis-ajikan dengan kuantor masing-masing. Misalkan ada beberapa himpuan A1, A2, · · · , An. Su-atu kalimat terbuka pada A1 × A2 × · · · × An dinotasikan dengan p(x1, x2, · · · , xn) dengansifat bahwa p(x1, x2, · · · , xn) bernilai benar atau salah (tetapi tidak keduanya) untuk suatu(x1, x2, · · · , xn) ∈ A1 ×A2 × · · · ×An
Contoh 4.8.1. Misalkan M adalah himpunan laki-laki dan W adalah himpunan perempuan,maka: “x suami dari y” adalah kalimat terbuka pada M ×W dan kalimat : “x istri dari y”adalah kalimat terbuka pada W ×M .
Contoh 4.8.2. Tentukan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan berikut untuk semesta U ={1, 2, 3}.
i ∀x,∃y, x2 + y2 < 14
ii ∃x,∀y, x2 + y2 < 14
iii ∀x,∀y, x2 + y2 < 14
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 95 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Jawab:
i Pernyataan ini mengandung pengertian bahwa setiap kali kita mengambil x ∈ U , kitadapat mengambil beberapa y ∈ U , sedemikian sehingga x2 + y2 < 14.
Jika kita ambil x = 1 maka kita bisa ambil y = 1, 2, 3x = 2 y = 1, 2, 3x = 3 y = 1, 2
Jadi pernyataan [i] bernilai:benar.
ii Pernyataan ini mengandung pengertian bahwa ada x ∈ U yang berlaku untuk semuay ∈ U sedemikian sehingga x2 + y2 < 14. Dari pernyataan [i] di atas terlihat bahwa jikakita ambil x = 1, 2, maka nilai x ini berlaku untuk semua y ∈ U sedemikian sehinggax2 + y2 < 14. Jadi pernyataan [ii] bernilai benar.
iii Pernyataan ini mengandung pengertian bahwa untuk semua x ∈ U dan semua y ∈ Uberlaku x2 + y2 < 14. Dari pernyataan [i] di atas terlihat bahwa jika kita ambil x = 3dan y = 3 tidak berlaku x2 + y2 < 14. Jadi pernyataan [iii] bernilai salah.
Contoh 4.8.3. Untuk semesta U = {1, 2, 3} selidiki apakah pernyataan berikut benar atausalah
∀x, ∀y, ∃z,3 x2 + y2 ≤ 2z2
Jawab:Untuk sembarang atau semua x, y ∈ U terdapat atau dapat diambil z ∈ U sedemikian
sehingga x2 +y2 ≤ 2z2. Pernyataan ini benar karena tidak ada contoh penyanggahnya. Namununtuk lebih jelasnya kita dapat memeriksa semua pasangan x dan y seperti berikut ini:
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 96 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
x y z x2 + y2 ≤ 2z2 Nilai(B/S)1 1 3 2 18 B1 2 3 5 18 B1 3 3 10 18 B2 1 3 5 18 B2 2 3 8 18 B2 3 3 13 18 B3 1 3 10 18 B3 2 3 13 18 B3 3 3 18 18 B
Teorema 4.8.1. Jika x dan y berasal dari semesta yang sama, maka berlaku
1. ∀x,∀y p(x, y) ≡ ∀x, y p(x, y) ≡ ∀y,∀x p(x, y)
2. ∃x,∃y p(x, y) ≡ ∃x, y p(x, y) ≡ ∃y,∃x p(x, y)
3. ∀x,∃y p(x, y) ⇒ ∃y, forallx p(x, y)
4. ∀x p(x) ⇔ ¬[∃x 3 p(x)
]5.
[∀x p(x)
]∧
[∀x q(x)
]⇔ ∀x
[p(x) ∧ q(x)
]6.
[∃x p(x)
]∨
[∃x q(x)
]⇔ ∃x
[p(x) ∨ q(x)
]7.
[∀x p(x)
]∨
[∀x q(x)
]⇒ ∀x
[p(x) ∨ q(x)
]
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 97 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
4.9. Beberapa Bentuk Khusus
Selain kuantor dalam bentuk umum ∀ dan ∃ ada bentuk kuantor khusus seperti pada berikutini, yang berlaku apabila peubahnya berasal dari semesta yang sama. Apabila semestanya tidaksama, maka sifat-sifat tersebut belum tentu berlaku.
1. Terdapat dengan tunggal x yang bersifat p.
∃!x p(x)
2. Ada sebanyak-banyaknya satu objek bersifat p. Ini berarti jika ada x dan y masing-masingbersifat p, maka x = y.
(∀x, y)(p(x) ∧ p(y)
)⇔ x = y
3. Setidaknya ada dua objek bersifat p. Berarti ada dua objek yang tidak sama masing-masing bersifat p.
∃x, y (x 6= y) ∧(p(x) ∧ p(y)
)4. Tepat ada dua objek bersifat p. Berarti ada dua objek yang tidak sama masing-masing
bersifat p dan setiap objek ketiga yang bersifat p, maka objek ketiga ini pasti sama dengansalah satu dua objek pertama.
∃x, y (x 6= y) ∧(p(x) ∧ p(y)
)∧ (∀z)
[p(z) ⇒ (z = x ∨ z = y)
]5. Sebanyak-banyaknya ada dua objek bersifat p. Berarti bisa ada dua, satu atau tidak ada
objek yang bersifat p.
∀x, y, z(p(x) ∧ p(y) ∧ p(z)
)⇒
[(x = y) ∨ (x = z) ∨ (y = z)
6. Setidaknya ada satu objek bersifat p
∃x p(x)
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 98 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Contoh 4.9.1.
Misalkan M = { Pak Ali, Pak Amir,Pak Budi } merupakanhimpunan suami
W = { Ny. Budi, Ny. Amir, Ny. Ali, Ny. Ton, Ny. Hasan }merupakan himpunan istri.
s(x, y) : x suami yt(x, y) : x istri y
Us = M ×W dan Ut = W ×M. Selanjutnya selidiki nilai kebenaran pernyataan-pernyataan
i ∀x ∈ M,∃y ∈ W, s(x, y).
ii ∃y ∈ W,∀x ∈ M, s(x, y).
iii ∃x ∈ W,∃y ∈ M, s(x, y).
iv ∃x ∈ W,∃y ∈ M, t(x, y).
v ∀x ∈ W,∃y ∈ M, t(x, y).
Jawab:
i Pernyataan ∀x ∈ M,∃y ∈ W, s(x, y) berarti bahwa untuk setiap orang anggota Mterdapat perempuan anggota W sedemikian sehingga x suami y. Dengan kata lain setiapsuami di M ada istrinya di W . Pernyataan ini benar.
ii Pernyataan ∃y ∈ W,∀x ∈ M, s(x, y) berarti ada perempuan anggota W yangberlakuuntuk semua laki-laki angggota M sehingga laki-laki tersebut suami perempuan tadi.Dengan kata lain ada beberapa perempuan yang menjadi istri semua laki-laki di M .Pernyataan ini salah.
iii Pernyataan ∃x ∈ W,∃y ∈ M, s(x, y) berarti dari anggota M dan W dapat dibuatpasangan suami-istri. Pernyataan ini benar.
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 99 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
iv Pernyataan ∃x ∈ W,∃y ∈ M, t(x, y) identik dengan pernyataan (iii) jadi bernilai benar.
v Pernyataan ∀x ∈ W,∃y ∈ M, t(x, y) berarti bahwa untuk semua perempuan anggota Wdapat ditentukan laki-laki anggota M sehingga dia menjadi istri laki-laki ini. Pernyataanini salah karena ada contoh penyanggah yaitu untuk Ny. Hasan tidak dapat ditentukanlaki-laki anggota M sehigga Ny. Hasan istri laki-laki tersebut.
4.10. Bacaan Lebih Lanjut
Untuk mendalami lebih jauh materi pada bab ini dapat dibaca beberapa sumber yang telahdikutip sebelumnya. Slain itu dapat juga dibaca beberapa sumber lain di antaranya Ender-ton bk:Enderton72, Thomas bk:Thomas68, Gemignani bk:Gemignani68, Polimeni & Straightbk:PolimeniStraight85, Fletcher et al. bk:FletcherEtAl91.
4.11. Latihan
1. Bubuhkan tanda kuantor yang paling tepat (6 ∃,∃!,∃,∀) sehingga pernyataan-pernyataanberikut menjadi benar untuk semesta pembicaraan <. Selanjutnya berikan himpunanpenyelesaiannya.
(a) (. . . x) x2 = 0
(b) (. . . x) cos xo = 3
(c) (. . . x) x2 + 2x + 1 = 0
(d) (. . . x) x2 + 5x + 6 = 0
(e) (. . . x) x2 + 2x + 4 = 0
(f) (. . . x) (. . . y) x > y
(g) (. . . x (. . . y) xy = y
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 100 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
(h) (. . . x (. . . y) (. . . z) x = y = z
(i) (. . . x (. . . y) (. . . z) x + y = z
2. Bubuhkan tanda kuantor yang paling tepat (6 ∃,∃!,∃,∀) sehingga pernyataan-pernyataanberikut menjadi benar untuk semesta pembicaraan himpunan manusia. Selanjutnya ten-tukan negasinya.
(a) (. . . x) (x ada yang melahirkan).
(b) (. . . x) (x berkaki lima).
(c) (. . . x) (. . . y) (x adalah saudara kandung y).
(d) (. . . x) (. . . y) (x tepat sama dengan y).
(e) (. . . x) (. . . y) (x adalah suami y).
(f) (. . . x) (. . . y) (. . . y) (x, y, z saling mengenal).
3. Misalkan
M(x) : x adalah manusiaP (x) : x adalah priaW (x) : x adalah wanitar(x) : x suka merokok
q(x, y) : x dan y saling mencintait(x, y) : x lebih cerdas dari y
Untuk masing-masing soal berikut tentukan simbol logikanya, simbol negasinya dan pengucapan negasinya.Selanjutnya dengan menggunakan dunia riil sebagai semesta tentukan yang mana daripernyataan (atau negasinya) yang bernilai benar.
(a) Setiap pria lebih cerdas dari setiap wanita.
(b) Ada wanita yang lebih cerdas dari beberapa pria.
(c) Setiap manusia adalah pria atau wanita tetapi tidak dua-duanya.
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 101 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
(d) Setidaknya ada satu wanita yang suka merokok.
(e) Ada beberapa pria dan wanita yang saling menciantai.
(f) Setiap pria tidak lebih cerdas dari setiap wanita.
(g) Paling tidak ada 3 laki-laki yang suka merokok.
(h) Paling banyak hanya ada 2 wanita yang suka merokok.
4. Buatlah negasi dari pernyataan-pernyataan berikut:
(a) ∀x, |x| > 0
(b) ∃x 3 x2 = x
(c) ∀x∃y 3 xy = 1
(d) ∀x∃y 3 xy = x
(e) ∃x∀y 3 xy = y
(f) ∀(x, y)[p(x) ∨ q(x)
](g) ∀(x, y)
[p(x, y) → q(x, y)
]5. Diketahui:
N(x) : x adalah bilangan asli.P (x) : x adalah bilangan prima.G(x) : x adalah bilangan genap.I(x) : x adalah bilangan ganjil.C(x) : x adalah bilangan cacah.S(x) : x adalah bujur sangkar.J(x) : x adalah persegi panjang.
Tentukan notasi pernyataan-pernyataan berikut:
(a) Setiap bilangan asli adalah ganjil atau genap, tetapi tidak keduanya.
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 102 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
(b) Setiap bilangan asli aalah bilangan cacah.
(c) Terdapat bilangan yang sekaligus prima dan genap.
(d) Tidak ada bilangan asli yang ganjil.
(e) Semua bujur sangkar adalah persegi panjang.
(f) setiap bilagan prima adalah bilangan asli.
6. Nyatakan pernyataan-pernyataan berikut dengan notasi yang ditunjuk:
(a) Orang yang bangun pagi memperoleh udara segar. O(x) : x adalah orang, S(x) : xadalah udara segar, p(x, y) : x memperoleh y.
(b) Setiap mawar memiliki duri. M(x) : x adalah mawar, D(x) : x adalah duri, p(x, y) :x memiliki y.
(c) Singa yang mati lebih berbahaya dari anjing hidup. S(x) : x adalah singa, M(x) : xadalah mati, A(x) : x adalah anjing, H(x) : x adalah hidup, B(x, y) : X lebihberbahaya dari y.
(d) Semua manusia tidak mengetahui sesuatu, sebelum dia mempelajarinya. M(x) : xadalah manusia,T (x, y) : x tidak mengetahui y, B(x, y) : x mempelajari y.
7. Nyatakan apakah kalimat-kalimat berikut merupakan suatu kalimat terbuka (bermakna)pada himpunan yang diberikan.
(a) x + 2 < 1 untuk semesta himpunan bilangan asli.
(b) x2 + 2x + 1 = 0 untuk semesta bilangan riil.
(c) x + 3 > 5 untuk semesta bilangan kompleks.
(d) sin2 xo + cos2 xo = 1 untuk semesta bilangan riil.
(e) x mencintai y untuk semesta bilangan kompleks.
(f) tanxo =sinxo
cos xountuk semesta bilangan riil.
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 103 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
8. Tentukan negasi dari pernyataan-pernyataan berikut:
(a) ∀x ∈ <, x + 3 > 3
(b) ∃x ∈ < 3 x− 5 < 4
(c)[∃x, p(x)
]∨
[∀y, q(y)
](d) ∀x, y
[p(x, y) → q(x, y)
](e) ∃x, y
[p(x, y) ∧ q(x, y)
](f) ∀ε > 0,∃N0,3 ∀N,
[N > N0 → |aN | < ε
]9. Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5, }. Tentukan himpunan penyelaian dari kalimat-kalimat ter-
buka berikut.
(a) ∃x 3 2x + 3 < 7.
(b) ∃x 3 x adalah genap.
(c) ∃x 3 x bukan prima.
(d) ∃x 3 xx = x
10. Untuk semesta U = {2, 3, 4, . . . , 8, 9} tentukan contoh penyanggah pernyataan-pernyataanberikut.
(a) ∀x, x + 5 < 12.
(b) ∀x, x adalah prima.
(c) ∀x, x2 > 1.
(d) ∀x, x + 5 > 7.
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 104 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
BAB 5
PENALARAN LOGIS
Tujuan Umum
Setelah meyelesaikan materi pada bab ini pembaca diharapkan memahami tehnik-tehnik pe-narikan kesimpulan yang valid baik secara langsung (deduktif), tak langsung, maupun secarainduktif. Nantinya diharapkan mampu menerapkannya dalam pembuktian teorema-teorema diberbagai bidang matematika.
Tujuan Khusus
Setelah meyelesaikan materi pada bab ini pembaca diharapkan dapat
1. menyebutkan definisi argumen
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 105 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
2. mengguakan berbagai bentuk argumen yang valid dalam menrik kesimpulan
3. menggunakan pembuktian tidak langsung
4. menggunakan Induksi Matematika
5. menggunakan tehnik Argumen yang mengandung kuantor
6. menghindarkan sesat Pikir
Materi
1. Argumen
2. Bentuk-Bentuk argumen yang valid
3. Pembuktian tidak langsung
4. Induksi Matematika
5. Argumen berkuantor
6. Sesat Pikir
5.1. Argumen
Definisi 5.1.1. Argumen adalah suatu proposisi/ pernyataan majemuk yang memuat sekumpu-lan pernyataan-pernyataan P1, P2, ...Pn (disebut premis) dan diikuti suatu pernyataan lain Qyang disebut disebut konklusi /kesimpulan.
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 106 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Notasi : Argumen secara umum dinotasikan dengan:
P1, P2, . . . Pn ` Q
Karena argumen itu adalah suatu proporsi/ pernyataan maka ia dapat bernilai benar atau salah.Argumen yang benar disebut argumen valid /sah /sahih. Sedangkan argumen yang tidak benardisebut argumen yang invalid /sesat /fallacy.
Definisi 5.1.2. Suatu argumen dikatakan valid jika kesimpulannya merupakan implikasi logisdari premis-premisnya, yaitu:
P1, P2, . . . Pn ` Q jhj P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ · · · ∧ Pn ⇒ Q atau
P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ · · · ∧ Pn → Q ≡ T
Karena suatu tautologi akan tetap benar tanpa bergantung pada isi pernyataan-pernyataannyamaka vadilitas argumen juga tidak bergantung pada isi pernyataan-pernyataan baik pada premismaupun konklusinya. Ia hanya bergantung pada bentuknya, apakah suatu tautologi atau tidak.Ini adalah ciri khas dari logika matematika yang bersifat formal. Untuk lebih jelasnya berikutdikutipkan pendapat Lipschutz (1974:27) berikut :
We emphasize that the validity of an argument does not depend upon the truthvalues nor the content of the statement appearing in the argument, but upon theparticular form of the argument.
Contoh 5.1.1.
P1 : Jika orang hidup membujang maka ia akan tidak bahagiaP2 : Jika orang tidak bahagia maka ia akan mati mudaQ : Jadi (∴)orang yang hidup membujang akan mati muda.
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 107 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Untuk menyelidiki valid tidaknya argumen di atas kita buat bentuk/ simbol, misalkan:p : hidup membujang (orang hidup membujang)q : orang hidup bahagiar : orang mati mudaKita peroleh :
(p → q, q → r) → (p → r)
Kita bisa membuktikan/ menunjukkan bahwa:
(p → q, q → r) ⇒ (p → r)
Jadi penalaran diatas adalah benar/ logis/ valid, terlepas dari keadaan yang sebenarnya (theconcrete situation).
kata-kata jadi, oleh karena itu, kesimpulan, dalam matematika sering dinotasikan dengan ∴.
Contoh 5.1.2.
P1 : Jika dua sisi segitiga sama panjang maka sudut-sudut dihadapannyasama besar
P2 : Sudut dihadapannya sama besarQ : Jadi sisi (dua sisi) segitiga sama panjang.
Sepintas kesimpulan di atas nampak valid, karena pernyataan kesimpulan sesuai dengankenyataan sifat-sifat dalam geometri. Tetapi dilihat dari cara penarikan kesimpulannya, pe-nalaran diatas tidak sah /sesat. Kita dapat menyelidiki bahwa bentuk:(
(p → q) ∧ q)→ r
bukan tautologi.
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 108 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
5.2. Bentuk-Bentuk Argumen Yang Valid
Telah diuraikan di depan bahwa validitas suatu argumen bergantung pada bentuknya apakahmerupakan implikasi logis atau tidak. Dengan demikian sembarang implikasi logis dapat di-jadikan argumen yang valid. Berikut ini diberikan beberapa bentuk implikasi logis yang umumdipakai dalam penarikan kesimpulan.
1. Simplifikasi
Bentuk umump ∧ q ` p
p ∧ q ` q
Simplifikasi ini merupakan penalaran yang paling sederhana dan dengan mudah dapatdipahami bahwa jika p ∧ q benar maka baik p maupun q adalah benar.
Contoh 5.2.1.
2 dan 5 adalah bilangan prima2 adalah bilangan prima
2. Konjungsi
Bentuk umum :p, q ` p ∧ q
Contoh 5.2.2.
2 adalah bilangan prima2 adalah bilangan genap2 adalah bilangan prima dan genap
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 109 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
3. Adisi
Bentuk umum :p ` p ∨ q
q ` p ∨ q
Contoh 5.2.3.
2 adalah bilangan prima2 atau 8 adalah bilangan prima
4. Silogisme disjungtif
Bentuk umum :p ∨ q,¬p ` q
Pernyataan p∨ q benar jika salah satu atau keduanya benar, karena itu, jika p tidak benarmaka logis kita simpulkan q benar.
Contoh 5.2.4.
2 atau 8 adalah bilangan prima8 bukan bilangan prima2 adalah bilangan prima
Contoh 5.2.5.
Ayah atau ibu menjemput adikAyah tidak menjemput adikIbu menjemput adik
5. Silogisme Disjungsi Eksklusif
Bentuk umum :p∨q, p ` q
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 110 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Pada disjungsi eksklusif kebenaran komponennya tidak terjadi bersama-sama. Jadi jika pbenar haruslah q salah (tidak terjadi).
Contoh 5.2.6.
Ayah sedang di pasar atau di kantorAyah sedang di kantorAyah tidak sedang di pasar
6. Modus Ponens/ Hukum Detasemen
Bentuk umum :p → q, p ` q
Bukti validitasnya dapat ditunjukkan berikut :
(p → q) ∧ p ≡ ( p ∨ q) ∧ p ekuivalensi
≡ ( p ∧ p) ∨ (q ∧ p) distributif
≡ 0 ∨ (q ∧ p) komplemen
≡ q ∧ p identitas
⇒ q simplifikasi
Jadi (p → q) ∧ p ⇒ q dan p → q, p ` q.
Contoh 5.2.7.
Jika matahari terbit dari barat maka manusia tidak pernah matiMatahari terbit dari baratManusia tidak pernah mati
7. Modus Tolens
Bentuk umum :p → q,¬q ` ¬p
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 111 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Bukti :
(p → q) ∧ ¬q ≡ (¬p ∨ q) ∧ ¬q EDI
≡ (¬p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ ¬q) distributif
≡ (¬p ∧ q) ∨ 0 komplemen
≡ (6= p ∧ ¬q) identitas
⇒ ¬p simplifikasi
Pada penerapan hukum simplifikasi di atas ¬p∧¬q karena ¬q diketahui, maka tidak perludigunakan sebagai kesimpulan dan kesimpulan kita adalah ¬p.
8. Silogisme Hipotetik
Bentuk umum :p → q, q → r ` p → r
Salah satu cara untuk membuktikannya adalah sebagai berikut ini. Misalkan:
P1 : p → r
P2 : q → r
Di lain pihak secara keseluruhan implikasinya dapat diubah
Andaikan p
⇒q berdasar P1 dan Modes Ponen
⇒r berdasar P2 dan Modes Ponen
⇒p → r
Dengan kata lain pengandaian p akan menghasilkan kesimpulan r.
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 112 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
9. Dilema Kontruktif
Bentuk umum :p → q, r → s, p ∨ r ` q ∨ s
Dilema kontruktif ini adalah merupakan bentuk Modus Ponens yang lengkap (gabungandua modus ponen). Ini dapat dipahami sebagai berikut : p syarat cukup untuk q dan rsyarat cukup untuk s, jika salah satu dari p atau r muncul pastilah salah satu q atau smuncul.(Bisa juga dilakukan dengan membuktikan tautologinya)
Contoh 5.2.8.
Jika hari hujan maka tanah basahJika kamu datang maka saya senangHari ini hujan atau kamu datangTanah basah atau saya senang
Bentuk lain, yang lebih sederhana dari Dilema konstruktif ini adalah:
(p → q), (r → q), (p ∨ r) ` q
Yang merupakan bentuk modus ponen. Untuk membuktikan validitasnya kita harus mem-buktikan implikasi logisnya kita harus membuktikan bahwa :
(p → q) ∧ (r → q) ∧ (p ∨ r) ⇒ q
Contoh 5.2.9.
Jika hari hujan maka tanah basahJika tanah disiram maka tanah basahHari hujan atau tanah disiramMaka tanah basah
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 113 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
10. Dilema Destruktif
Bentuk umum :(p → q), (r → s), (¬q ∨ ¬s) ` (¬p ∨ ¬r)
Karena q adalah syarat perlu untuk p dan s syarat perlu untuk r maka, jika q atau s tidakterjadi maka p atau r juga tidak terjadi.
Contoh 5.2.10.
Jika hari hujan maka tanah basahJika kamu datang maka saya senangTanah tidak basah atau saya tidak senangHari tidak hujan atau kamu tidak datang
Bentuk lain yang termasuk dilema destruktif adalah :
(p → q), (p → r),¬(q ∧ r) ` ¬p
Contoh 5.2.11.
Jika suatu bilangan asli maka bilangan itu bulatJika suatu bilangan asli maka bilangan itu rasional√
2 tidak sekaligus bulat dan rasional√2 bukan bilangan asli
5.3. Pembuktian Tidak Langsung
Kadang-kadang dalam membuktikan suatu pernyataan matematis kita tidak dapat/ tidak praktismembuktikan langsung dari premis-premisnya. Beberapa cara pembuktian yang umum dikelom-pokkan ke dalam bukti tidak langsung ini adalah :
1. Bukti negasi atau bukti dengan contoh kontra/ penyanggah
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 114 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
2. Bukti kotradiksi (Absurditas/ Reduksio ad Absurdum/ Argument by cotradiction)
3. Bukti kontra positif
4. Bukti pemilihan dan pencoretan.
5.3.1. Pembuktian dengan Negasi
Kita telah mengetahui bahwa p dan ¬p mempunyai nilai kebenaran yang bertentangan. Jikap benar maka ¬p salah. Dengan demikian jika kita dapat membuktikan ¬p salah sama halnyamembuktikan ¬p benar, sebaliknya jika kita dapat menunjukkan ¬p benar berarti kita telahmembuktikan p salah. Dalam argumen berkuantor universal kita dapat menunjukkan valid/tidaknya dengan menunjukkan contoh-contohnya.
∃xo ∈ U, p(xo) ` ¬(∀(x ∈ U, p(x)
)@xo ∈ U, p(x) ` ∀x ∈ U, p(x)
Di sini xo dikatakan sebagai contoh penyanggah dan pembuktian dengan cara menunjukkancontoh penyanggah disebut pembuktian dengan negasi.
Contoh 5.3.1.
p: setiap bilangan prima adalah ganjil.Jika kita ingin menunjukkan bahwa p adalah salah, maka kita dapat melakukannya dengan
menunjukkan bahwa ¬p adalah benar, dengan ¬p adalah “ada bilangan prima yang tidak ganjil”.Pernyataan ini (¬p) adalah pernyataan yang bernilai benar, yaitu ada xo = 2 yang merupakanbilangan prima tidak ganjil. 2 disebut contoh penyanggah dari pernyataan p.
Contoh 5.3.2. p: setiap bilangan asli adalah bulat.
Negasi pernyataan tersebut, ¬p adalah: “terdapat bilangan asli yang tidak bulat”. Peny-ataan p tidak benar, karena tidak ada bilangan asli yang tidak bulat (contoh kontranya tidakada, ∅). Jadi pernyataan p benar.
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 115 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
5.3.2. Pembuktian dengan Kontradiksi
Untuk membuktikan kebenaran suatu pernyataan kita dapat juga mengandaikan bahwa perny-ataan itu salah, dari pengandaian ini akan ditemukan suatu kontradiksi. Dari kontradiksi yangterjadi disimpulkan bahwa pengandaian ini salah. Bukti ini sering juga disebut bukti penganda-ian .
Bentuk pembuktian ini adalah : (¬p → F
)` p
Pengambilan ¬p disini adalah suatu pengandaian.
Contoh 5.3.3.
Buktikan bahwa “himpunan kosong adalah subset sembarang himpunan H”, ∅ ⊆ H.Bukti :Misalkan pernyataan “himpunan kosong adalah subset sembarang himpunan H” adalah p.
Andaikan yang benar adalah ¬p, “∅ bukan subset dari H”. Ini berarti (dari definisi tentangsubset):
∃x ∈ ∅, tetapi x ∈ H.
Pernyataan x ∈ ∅ adalah suatu kontradiksi, sebab ∅ tidak pernah memiliki suatu elemen. Iniberarti pengandaian harus diingkar, yaitu yang bear adalah ¬(¬p) ≡ p. Kesimpulannya, yangbenar adalah p : ∅ ⊆ H
5.3.3. Pembuktian dengan Kontra Positif
Membuktikan bahwa p adalah syarat cukup untuk q sama halnya membuktikan q adalah syaratperlu untuk p. Ini berarti jika q tidak muncul, maka p tidak muncul. Jadi:
¬q → ¬p ⇒ p → q
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 116 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Contoh : Jika Abang tidak punya uang maka adik tidak sayang Kesimpulannya : Jika adiksayang abang berarti (maka) Abang lagi punya uang. Kita menganggap ruas kanan adalahkesimpulan/ konsekuensinya logis dari ruas kiri. Meskipun kenyataan berlaku ≡, tetapi dalamhal ini kita hanya memperhatikan → saja.
5.4. Induksi Matematika
Dalam matematika khususnya yang menyangkut himpunan bilangan asli dikenal juga pem-buktian lain yang disebut Induksi Matematika/ Induksi Lengkap. Sebenarnya pembuktian inibukanlah induksi tetapi suatu deduksi yang di dasarkan atas aksioma/ postulat Peano tentangbilangan asli. Postulat dari Peano menyatakan bahwa
Sembarang subset K dari N dengan sifat
1. 1 ∈ K.
2. jika untuk sembarang k ∈, maka k∗ = k + 1 ∈ K,
3. maka K = N Postulat ini dapat dipakai sebagai suatu pembuktian
P (1), (p(k) → p(k + 1) ` p(n),∀n ∈ N
Secara rinci langkah-langkah induksi matematika untuk membuktikan bahwa P (n) berlaku un-tuk semua n ∈ N adalah sebagai berikut:
Langkah 1 (awal) buktikan P (1)
Langkah 2 (hipotesis induktif) andaikan P (k)
Langkah 3 (kesimpulan induktif) buktikan P (k + 1)
Contoh 5.4.1.
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 117 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Buktikan, bahwa untuk semua n ∈ N berlaku
1 + 2 + 3 + · · ·+ n = 1/2n(n + 1)
Bukti :
i Periksa untuk n = 11 = 1/2(1 + 1) (Benar)
ii Misalkan untuk sembarang k berlaku :
1 + 2 + ... + k = 1/2k(k + 1)
iii Maka untuk k∗ = k + 1
1 + 2 + ... + k + k + 1 =12k(k + 1) + (k + 1)
= (k + 1)(12k + 1)
=12(k + 1)(k + 2)
=12(k + 1)(k + 1 + 1)
=12k∗(k∗ + 1) untuk k∗ = k + 1
5.5. Argumen berkuantor
5.5.1. Translasi kuantor universal dan eksistensial
Perhatikan empat pernyataan berikut :
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 118 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
(i) Setiap/ semua P bersifat Q
(ii) Taksatupun P bersifat Q
(iii) Sebagian P bersifat Q
(iv) Sebagian P tidak bersifat Q
Pernyataan-pernyataan tersebut dapat dinyatakan baik dengan kuantor universal maupun ek-sistensial.
Dengan kuantor universal
(i) ∀x, P (x) → Q(x)
(ii) ∀x, P (x) →6 Q(x)
(iii) ¬(∀x)(P (x) → Q(x))
(iv) ¬[(∀x)(P (x) → Q(x))]
Pernyataan sebagian P bersifat Q sama artinya bahwa tidak benar bahwa untuk semua x jika xbersifat P maka x tidak bersifat Q. Ingat bahwa ¬(p → q) ≡ (p∧¬q) dan ¬(p∧¬q) ≡ (p → q).
Dengan kuantor eksistensial
Kalimat atau pernyataan (i), sama artinya dengan tidak benar bahwa ada x yang bersifat Ptetapi tidak bersifat Q. Pernytaan (ii) sama artinya dengan : tidak benar bahwa ada x yangsekaligus bersifat P dan Q. Jadi notasinya :
(i) ¬[∃x,3
(P (x) ∧Q(x)
)](ii) ¬
[∃x,3
(P (x) ∧Q(x)
)]
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 119 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
(iii) ∃x,3 P (x) ∧Q(x)
(iv) ∃x,3 P (x) ∧Q(x).
Kita peroleh kesamaan berikut :
(i) (∀x)(P (x) → Q(x)) ≡ ¬(∃x)[P (x) ∧Q(x)
](ii) (∀x)
[P (x) → Q(x)
]≡ ¬(∃x)
[P (x) ∧Q(x)
](iii) ¬(∀x)
[P (x) → Q(x)
]≡ (∃x)
[P (x) ∧Q(x)
](iv) ¬(∀x)
[P (x) → Q(x)
]≡ (∃x)
[P (x) ∧Q(x)
]5.5.2. Spesifikasi Universal, Spesifikasi Eksistensial
Perhatikan pernyataan : (∀x)(P (x)), yang berarti kita dapat mengambil tetapan a ∈ U ,secara bebas dan kita peroleh P (a). Jadi kita telah mengkhususkan dari peubah x ke suatutetapan a, dengan kata lain kita memberikan contoh. Prinsip ini disebut dengan SpesifikasiUniversal (US = Universally Specified = UI = Universal Instantiation). Perhatikan bahwapemunculan a di sini adalah bebas (free occurrence) karena P (x) berlaku untuk semua x.
US : (∀x)(p(x)) ` P (a), a ∈ U(bebas)
Sebaliknya dari pernyataan (∃x)(P (x)), kita hanya dapat mengambil elemen (tetapan) atertentu yang bersifat P atau P (a). Dengan demikian kita juga dapat mengambil contohataupun menspesifikasikan yang disebut pengambilanSpesifikasi Eksistensial (ES = EI = Existentially Specified = Existentially Instantiation).
ES : (∃x)(P (x)) ` P (a), a ∈ U(terbatas)
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 120 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
5.5.3. Generalisasi Universal dan Generalisasi Eksistensial
Apabila untuk sembarang (arbitrary) a kita menemukan P (a) maka kita dapat menggeneral-isasikan bahwa setiap x, P (x). Ingat bahwa a diambil secara sembarang (arbitrarily selected).Generalisasi ini disebut Generalisasi Universal (UG).
UG : a ∈ U,P (a)(∀x)(P (x))asembarang
Apabila a adalah elemen teretentu (diambil dengan memilih beberapa saja ), maka kita dapatmengadakan generalisasi yaitu terdapat x yang bersifat P , prinsip ini disebut GeneralisasiEksistensial (EG)
EG : (a ∈ U), P (a)(∃x)(P (x))atertentu
Secara umum apabila premis-premisnya hanya memuat kuantor universal dan kita hanyamenggunakan US dan UG persoalannya agak mudah dibandingkan dengan penggunaan kuantoruniversal dan eksistensial bersama-sama ES dan EG. Untuk itu perlu diperhatikan dalampenggunaannys:
(i) Tidak benar(∃x)(x 6= y) ` (y 6= y)
Ada suatu x yang tidak sama dengan y. x yang dimaksud adalah x 6= y jadi x tidakdapat digantikan dengan y
(ii) Kita tidak dapat menggunakan ES sebagai kesimpulan dari
(∀x)(∃y)F (x, y) ` (∃y)(∀x)F (x, y)
(iii) Kita tidak dapat menggunakan ES untuk menyimpulkan
(∃x)P (x), (∃x)Q(x) ` (∃x)[P (x) ∧Q(x)
]
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 121 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
(iv) Kita tidak dapat menggunakan ES untuk menyimpulkan sembarang unsur
(∃x)P (x) ` P (y)
Kesimpulan-kesimpulan (generalisasi) di atas dikenal sebagai konsekuensi (kesimpulan) yangtidak diinginkan yang sering mengelirukan (unwanted consequences).
5.6. Sesat Pikir
Penarikan kesimpulan dengan menggunakan argumen yang tidak valid dikatakan sesat pikir.
Contoh 5.6.1.
Jika hari hujan maka tanah basahTanah basahHari hujan
Penarikan kesimpulan hari hujan dari tanah basah adalah tidak sah / sesat. Kita dapatmembuktikan bahwa
[(p → q) ∧ q
]→ p adalah bukan tautologi.
Contoh 5.6.2.
Jika hari hujan maka tanah basahHari tidak hujanTanah tidak basah
Adalah penarikan kesimpulan yang tidak sah / sesat. sebab[(p → q) ∧ (¬p)
]→ ¬q bukan
tautologi. Akan tetapi berbeda halnya jika premis mayornya dinyatakan dengan biimplikasiseperti misalnya :
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 122 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
P1 : Suatu banguan segiempat disebut bujur sangkar Keempat sudutnya = 90o
dan keempat sisinya sama panjang.P2 : Segi empat ABCD , AB = CD = BC = AD dan ∠A = ∠B = ∠C =
∠D = 90o
K1 : ABCD bujur sangkaratauP3 : PQRS bukan bujur sangkarK2 : Salah satu sisinya tidak sama dengan yang lain atau Salah satu sudutnya
bukan 90o
Dapat dibuktikan bahwa(p ↔ q),¬p ` ¬q
(p ↔ q), q ` p
dua-duanya valid.
5.7. Sistem Deduktif dalam Matematika
Teori matematika (yang lebih sering disebut sebagai matematika murni) dapat dipandang suatusistem deduktif yang tidak harus terkait dengan dunia nyata. Sebagai sistem deduktif matem-atika terdiri atas beberapa komponen diantaranya:
1. unsur primitif atau unsur tak terdefinisi;
2. definisi yang biasanya terdiri atas sekumpulan aksioma atau postulat;
3. aturan yang mengatur bagaimana suatu operasi dalam sistem tersebut diberlakukan;
4. [teorema??] atau [proposisi??] yang merupakan sekumpulan sifat-sifat yang ditu-runkan dari definisis dan aturan yang ada;
5. [lemma??] yang merupakan teorama bantu yang diperlukan untuk membuktikan teo-rema utama;
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 123 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
6. [korolari??] yang merupakan konsekuensi logis dari suatu teorema yang dianggap terlaludekat untuk dipisah menjadi teorema lain;
7. [konjektur??] yang belum bisa dibuktikan.
Aksioma dalam sistem matematika harus memenuhi syarat utama yang disebut syaratkonsistensi yaitu antara satu aksioma dengan aksioma lain dalam suatu sistem tidak boleh adakontradiksi. Dengan demikian, dapat juga dijamin bahwa teorema-teorama yang diturunkan jugaterbebas dari kontradiksi. Syarat yang kedua, namun tidak dianggap mendesak adalah syaratindependensi yaitu aksioma-aksioma yang menjadi definisi tidak ada yang dapat diturunkandari aksioma lainnya. Karena kalau terjadi demikian, maka aksioma tersebut sesungguhnyatelah menjadi suatu teorema. Kegiatan mendefinisikan suatu sistem (misalnya Aljabar Boole,Grup atau Ring) dengan jumlah aksioma seminim mungkin, merupakan suatu topik penelitiantersendiri yang cukup menarik dalam bidang matematika murni.
Beberapa sistem aksioma yang penting yang banyak dikenal dalam matematika diantaranyaadalah Sistem Aksioma Aljabar Boole dan beberapa struktur dalam matematika sepertigrup/kelompok, ring/gelanggang dan field/medan. Sistem aksioma ini banyak dibahasdalam aljabar abstrak.
5.8. Bacaan Lebih Lanjut
Untuk mendalami lebih jauh materi pada bab ini selain beberapa sumber yang telah dikutipsebelumnya, dapat juga dibaca beberapa sumber lain diantaranya Enderton bk:Enderton72,Thomas bk:Thomas68, Gemignani bk:Gemignani68, Lipschutz bk:Lipschutz74, dan Polimeni& Straight bk:PolimeniStraight85. Sedangkan untuk melihat beberapa contoh sistem aksiomadalam matematika dapat dibaca beberapa referensi tentang aljabar boole maupun aljabar ab-strak.
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 124 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
5.9. Soal-soal Latihan
1. Selidiki apakah argumen-argumen beriku valid atau tidak.
(a) p → q, q → p ` p ↔ q
(b) p → q,¬p ` ¬q
(c) p → q,¬p ` q
(d) p → q, r → q ` r → ¬p
2. Selidiki apakah penarikan kesimpulan ini sah / valid atau tidak.
(a) Argumen
Jika saya belajar maka saya lulus ujianJika saya tidak menikah maka saya tidak lulus ujianJika saya belajar maka saya menikah
(b) Argumen
Jika 2 bilangan genap maka 7 bilangan prima7 bukan bilangan prima atau 9 bilangan sempurna9 adalah bilangan sempurna
(c) Argumen
Setiap manusia adalah makhluk TuhanSetan adalah makhluk TuhanSetan adalah manusia
(d) Argumen
Semua bujur sangkar adalah persegi panjangTidak ada persegi panjang yang bukan jajaran genjangBujur sangkar adalah jajaran genjang
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 125 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
(e) Argumen
Jika matahari terbit dari barat maka 2 + 2 = 5Jika manusia bermuka dua maka matahari terbit dari barat2 + 2 6= 5Manusia tidak bermuka dua
3. Jika dapat berikan kesimpulannya agar argumen-argumen berikut valid. Tentukan prinsipapa yang dipakai.
(a) Argumen
Setiap manusia adalah hewanEinstein adalah manusiaK ...............................................
(b) Argumen
Siti adalah mahasiswaSiti adalah pegawai negeriK ..................................................
(c) Argumen
Saya naik kelas atau tidak diberi hadiahSaya tidak naik kelas atau saya senangSaya tidak senangK ........................................................
(d) Argumen
Atau ayah atau ibu menjemput adik (tapi tidak keduanya)Ayah menjemput adikK ..............................................................
(e) Argumen
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 126 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Jika 2 + 3 = 5 maka 6 adalah bilangan sempurnaJika 2× 7 = 14 maka 8 adalah bilangan asli6 bukan bilangan sempurna atau 8 bukan bilangan asliK .................................................................
(f) Argumen
Jika Paris ada di Perancis maka 3 + 5 = 6Jika 4 + 5 = 9 maka 72 = 14Paris ada di Perancis atau 4 + 5 = 9K .....................................................................
(g) Argumen
Jika 2 = 3 maka 62 = 12Jika 3 + 2 = 6 maka 62 = 1262 6= 12K ..........................................................
4. Selidiki valid (sah) atau tidaknya penarikan kesimpulan berikut :
(a) Argumen
Jika London tidak di Denmark, maka Paris tidak di PerancisParis di PerancisLondon di Denmark
(b) Argumen
Jika saya belajar, maka saya tidak jatuh (gagal) dalam matematikaSaya tidak belajarSaya jatuh dalam matematika
(c) Argumen
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 127 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Jika 6 adalah genap, maka 2 adalah bukan pembagi 75 bukan prima atau 2 adalah pembagi 75 adalah prima6 adalah bukan genap
(d) Argumen
Pada hari ini ulang tahun istriku, kuberikan dia bungaHari ini ulang tahun istriku atau saya terlambat ke kantorSaya tidak memberikan bunga istriku hari iniHari ini saya terlambat ke kantor
(e) Argumen
Jika saya bekerja, saya tidak dapat belajarSaya belajar atau saya lulus ujianSaya bekerjaSaya lulus ujian
(f) Argumen
Jika saya bekerja, saya tidak dapat belajarSaya belajar atau saya lulus ujianSaya lulus ujianSaya bekerja
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 128 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
BAB 6
HIMPUNAN
Tujuan Umum
Setelah mempelajari materi pada bab ini diharapkan agar pembaca memahami konsep himpunanbeserta operasinya serta menggunakannya dalam menyelesaikan permasalahan yang berhubun-gan dengan himpunan.
Tujuan Khusus
Setelah mempelajari materi pada bab ini diharapkan agar pembaca dapat:
1. memberi contoh berbagai jenis himpunan;
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 129 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
2. menentukan relasi dua himpunan;
3. menyelesaikan operasi dasar himpunan;
4. menentukan sifat-sifat operasi himpunan;
5. menyelesaikan jumlah dan selisih himpunan;
6. menunjukkan sifat-sifat relasi ⊆;
7. menggunakan himpunan untuk memeriksa validitas silogisme.
Materi
1. Definisi dan jenis himpunan
2. Relasi himpunan
3. Operasi dasar himpunan
4. Sifat-sifat operasi himpunan
5. Operasi jumlah dan selisih himpunan
6. Sifat-sifat relasi himpunan bagian/ subset (⊆)
7. Pengguaan himpuan dalam silogisme
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 130 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
6.1. Definisi dan Jenis Himpunan
Himpunan pada dasarnya adalah kumpulan objek, namun dalam himpunan ‘tradisional’ kumpu-lan ini dibatasi dengan jelas, dalam arti dengan jelas dapat ditentukan apakah suatu objektermasuk dalam suatu kumpulan atau tidak. Selain itu dalam himpunan ‘tradisional’ (untukmembedakan dengan pengertian himpunan samar atau fuzzy set) tidak ada perbedaan tingkatkeangggotaan suatu objek pada suatu himpunan. Berbeda dengan himpunan organisasi yanganggotanya mungkin dibedakan atas anggota aktif, pasif dan lain sebagainya. Himpunan seringjuga disebut gugus (Lihat misalnya Nasoetion bk:Nasoetion80).
Orang yang dianggap sebagai pengenal himpunan adalah matematikawan Jerman GeorgeCantor (1845-1918). Cantor menggunakan istilah ”menge” dalam bahasa German yang berarti“Hasil usaha penghimpunan beberapa benda yang memiliki ciri pembeda tertentu, menjadikesatuan”. Dalam bahasa Inggris “menge” disebut set (Nasoetion [6, hal.15]).
Definisi 6.1.1. Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang dibatasi dengan tegas.
Himpunan pada umumya dinotasikan dengan huruf besar dan objek yang menjadi angggotaditulis diatara kurung kurawal, {}. Objek yang menjadi anggota suatu himpunan disebut unsuratau elemen. Unsur-unsur suatu himpunan dapat dinyatakan dengan menulis keseluruhannya(disebut cara tabulasi atau dengan menulis aturan yang menjadi ciri (disebut cara rumusanatau deskripsi).
Contoh 6.1.1. A = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17}, maka dengan jelas dapat ditentukan
i 2 merupakan unsur dari himpunan A, ditulis: 2 ∈ A.
ii 3 merupakan unsur dari himpunan A, ditulis: 3 ∈ A.
iii 4 bukan merupakan unsur dari himpunan A, ditulis: 2 6∈ A.
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 131 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Himpunan A dapat juga dinyatakan sebagai himpunan bilangan prima sama atau dibawah 17,dalam notasi matematika
A = {x|x ≤ 17 ∧ x : prima} atau
A = {x : x ≤ 17 dan x adalah prima} atau
A = {x;x ≤ 17 dan x adalah prima}
Antara x dan deskripsinya umumnya digunakan tanda “|”, namun ada juga yang menggu-nakan tanda “:” dan “;”. (Ruseffendi bk:Ruseffendi82)
Contoh 6.1.2. G adalah kumpulan Gadis-gadis dengan tinggi badan antara 150 cm sampaidengan 165 cm dan dengan berat badan dari 50kg sampai dengan 60 kg. Dalam kumpulan inijelas kriteria untuk menjadi anggota, dalam arti, setiap kita mengambil seorang gadis, berat dantingginya dapat diukur dengan pasti, dengan demikian dapat ditentukan dengan jelas apakahdia termasuk dalam kategori dimaksud. Jadi G adalah suatu himpunan.
Contoh 6.1.3. M adalah kumpulan Gadis-gadis manis. Dalam kumpulan ini tidak jelaskriteria untuk menjadi anggota, sehingga M bukan merupakan suatu himpunan, karena jikakita mengambil seorang gadis, tidak jelas apakah dia termasuk gadis manis atau tidak.
Definisi 6.1.2. Himpunan semesta, dinotasikan dengan S atau U adalah himpunandari semua objek yang dibicarakan (menjadi pembicaraan)
Himpunan semesta disebut juga himpunan universal (universal set).
Contoh 6.1.4. Beberapa contoh himpunan semesta misalnya
i U adalah himpunan bilangan riil,
ii U adalah himpunan manusia.
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 132 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Definisi 6.1.3. Kardinal suatu himpunan adalah banyaknya unsur dari himpunan tersebut.Kardinal himpunan A dinotasikan dengan #(A)
Contoh 6.1.5. Untuk A = {1, 3, 5, 7, 9}, maka #(A) = 5.
Dilihat dari kardinalnya himpunan dapat dibedakan menjadi himpunan kosong, himpunanberhingga dan himunan takhingga.
Definisi 6.1.4. Himpunan kosong atau empty set atau void set, dinotasikan dengan∅ atau {} adalah himpunan yang tidak memiliki unsur dengan kata lain
A = ∅ jika dan hanya jika #(A) = 0
Definisi 6.1.5. Himpunan berhingga atau finite set adalah himpunan yang kardinalnya0 atau merupakan bilangan asli tertentu
A himpunan berhingga jika dan hanya jika 0 ≤ #(A) < ∞
Definisi 6.1.6. Himpunan takhingga adalah himpunan yang kardinalnya tak hingga
A himpunan takhingga jika dan hanya jika #(A) = ∞
Contoh 6.1.6. H adalah himpunan manusia berkaki lima adalah merupakan himpunankosong.
Contoh 6.1.7. A = {2, 3, 5, 7} adalah merupakan himpunan berhingga.
Contoh 6.1.8. N himpuan seluruh bilangan bulat adalah merupakan himpunan takhingga.
Himpunan dapat diilustrasikan dengan diagram yang disebut diagram Venn. DiagramVenn terdiri atas persegi panjang untuk mengambarkan himpunan semesta, kurva tertutupuntuk menggambarkan himpunan dan titik-titik untuk menggambarkan unsur-unsur himpunanseperti pada Gambar 6.1.
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 133 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Gambar 6.1: Contoh Diagram Venn
6.2. Relasi Himpunan
Dilihat dari unsur-unsur yang menyusun himpunan-himpunan, beberapa himpunan mungkinsama sekali tidak memiliki unsur yang sama, memiliki beberapa unsur yang sama, atau semuaunsur-unsurnya sama.
Definisi 6.2.1 (Himpunan Saling lepas). Dua himpunan dikatakan saling lepas dis-joint set jika kedua himpunan itu sama sekali tidak memiliki unsur bersama.
A||B jika dan hanya jika ∀x, (x ∈ A → x 6∈ B) ∧ (x ∈ B → x 6∈ A)
Definisi 6.2.2 (Himpunan berpotongan). Dua himpunan dikatakan berpotongan (dino-tasikan G) jika kedua himpunan itu memiliki beberapa unsur bersama.
A G B jika dan hanya jika ∃x 3 x ∈ A ∧ x ∈ B
Definisi 6.2.3 (Himpunan sama). Dua himpunan dikatakan sama jika semua unsurmasing-masing himpunan merupakan unsur bersama.
A = B jika dan hanya jika ∀x, x ∈ A ↔ x ∈ B
Definisi 6.2.4 (Himpunan ekuivalen). Dua himpunan dikatakan ekuivalen jika kedu-anya memiliki kardinal yang sama.
A ≡ B ↔ #(A) = #(B)
Definisi 6.2.5 (Himpunan bagian). Suatu himpunan dikatakan himpunan bagian (sub-set) dari himpunan lain, jika seluruh unsurnya merupakan unsur himpunan lain tadi.
A ⊆ B ↔ ∀x, (x ∈ A ⇒ x ∈ B)
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 134 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Gambar 6.2: Diagram Venn mengilustrasikan relasi himpunan
Teorema 6.2.1 (Kesamaan dua himpunan).
A = B ⇔ (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A)
Bukti:Berdasarkan definisi maka jika A = B berlaku:
⇒∀x, x ∈ A ⇔ x ∈ B
⇒∀x, (x ∈ A ⇐ x ∈ B) ∧ (x ∈ A ⇒ x ∈ B)⇒(A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A)
Sebaliknya jika (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A) berlaku:
⇒∀x, (x ∈ A ⇐ x ∈ B) ∧ (x ∈ A ⇒ x ∈ B)⇒∀x, x ∈ A ⇔ x ∈ B
⇒A = B
Contoh 6.2.1. Jika A = {2, 3, 5} dan B = {1, 2, 3, 4, 5} maka A ⊆ B.
Ilustrasi himpunan bagian, himpunan lepas dan himpunan berpotongan diberikan pada Gam-bar 6.2. Pada gambar tersebut diilustrasikan A ⊆ B, A maupun B masing-masing lepas denganC maupun D, namun C berpotongan dengan D.
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 135 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Teorema 6.2.2. Jika A dan B adalah himpunan-himpunan berhingga yang bersifat A ⊆ Bdan A ≡ B, maka A = B
Definisi 6.2.6 (Keluarga himpunan). Keluarga himpunan adalah himpunan yangunsur-unsurnya adalah himpunan-himpunan.
Definisi 6.2.7 (Himpunan kuasa). Himpunan kuasa dari suatu himpunan adalah kelu-arga himpunan yang beranggotakan semua subset dari himpunan tadi.
PA = {B|B ⊆ A}
Contoh 6.2.2. Jika A = {1, 3, 5} dan B = {2, 4, 6, 8}, maka A||B.
Contoh 6.2.3. Jika C = {4, 5, 7, 9} dan D = {5, 7, 11, 12, 15}, maka A berpotongan dengan(G) B
Contoh 6.2.4. A = {2, 3, 5} dan B = {3, 2, 5} adalah merupakan himpunan yang sama.
Contoh 6.2.5. Jika A = {2, 3, 4}, B = {2, 3, 5}, C = {a, b, c} maka
i A ≡ B ≡ C
ii A G B
iii A||C dan B||CContoh 6.2.6. Jika A,B,C adalah suatu himpunan, maka K = {A,B,C} adalah keluarga
himpunan.
Contoh 6.2.7. Jika A = {1, 2}, maka PA = {{}, {1}, {2}, {1, 2}}. Jika B = {a, b, c} makaPB = {{}, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}
Teorema 6.2.3. Jika #(A) = n maka #(PA) = 2n.
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 136 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Gambar 6.3: Diagram Venn untuk Ac
6.3. Operasi Himpunan
6.3.1. Operasi Dasar Himpunan
Ada tiga operasi dasar dalam himpunan yaitu: operasi uner komplemen (()c), operasi bineririsan (∩) dan gabungan (∪). Ketiga operasi ini ekuivalen dengan operasi negasi, konjungsidan disjungsi pada logika. Selain itu pada himpunan juga dikenal operasi selisih dan perkalianhimpunan.
Definisi 6.3.1 (Operasi Komplemen). Komplemen suatu himpunan adalah himpuanyang beranggotakan unsur-unsur dari semesta pembicaraan yang tidak menjadi unsur him-puan bersangkutan.
Ac = {x|x ∈ U ∧ x 6∈ A}
Contoh 6.3.1. Jika U = {1, 2, 3, · · · , 10} A = {1, 3, 5} dan B = {5, 7, 9}
maka
1. Ac = {2, 4, 6, 7, 8, 9, 10}
2. Bc = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 10}
Ilustrasi grafis komplemen himpunan diberikan pada Gambar 6.3.
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 137 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Gambar 6.4: Diagram Venn A ∩B
Definisi 6.3.2 (Operasi Irisan). Irisan dua buah himpunan adalah himpunan yangberanggotakan unsur-unsur yang menjadi unsur bersama kedua himpunan.
A ∩B = {x|x ∈ A ∧ x ∈ B}
Teorema 6.3.1.A ⊆ B ⇔ A ∩B = A
Contoh 6.3.2.
Jika U = {1, 2, 3, · · · , 10} A = {1, 3, 5} dan B = {5, 7, 9} maka A ∩B = {5}Diagram Venn irisan dua himpunan diberikan pada Gambar 6.4.
Definisi 6.3.3 (Operasi Gabungan). Gabungan dua buah himpunan adalah himpunanyang beranggotakan semua unsur-unsur yang menjadi unsur salah satu atau kedua him-punan.
A ∪B = {x|x ∈ A ∨ x ∈ B}
Contoh 6.3.3.
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 138 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Gambar 6.5: Diagram Venn A ∪B
Jika U = {1, 2, 3, · · · , 10} A = {1, 3, 5} dan B = {5, 7, 9} maka A∪B = {1, 3, 5, 7, 9} Ilustrasidiagram Venn dari gabungan himpunan diberikan pada Gambar 6.5.
6.3.2. Sifat-sifat Operasi Himpunan
Secara prinsip, himpunan dengan operasinya merupakan Aljabar Boole, sehingga dalil-dalil yangberlaku pada opersi perakit logika dan aljabar Boole juga berlaku pada operasi himpunan.Demikian juga sifat dualitas berlaku pula pada himpunan. Dengan demikian pembuktian sifat-sifat operasi pada himpunan analog dengan pembuktian pada aljabar perakit.
Teorema 6.3.2 (Komplemen Ganda). Untuk sembarang himpunan A berlaku:
(Ac)c = A (6.1)
Teorema 6.3.3 ( Sifat Komutatif/ Pertukaran). Untuk sembarang himpunan A danB berlaku:
A ∩B = B ∩A (6.2a)
A ∪B = B ∪A (6.2b)
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 139 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Teorema 6.3.4 ( Sifat Asosiatif/ Pengelompokan). Untuk sembarang himpunan A,Bdan C berlaku:
(A ∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C (6.3a)
(A ∪B) ∪ C = A ∩ (B ∪ C) (6.3b)
Teorema 6.3.5 ( Sifat Identitas). Terdapat identitas untuk interseksi (∅) dan identitasuntuk gabungan (U) dan untuk setiap himpunan A berlaku
A ∩ U = A dan A ∩ ∅ = ∅ (6.4a)
A ∪ U = U dan A ∪ ∅ = A (6.4b)
Teorema 6.3.6 ( Sifat Komplemen). Untuk setiap A terdapat dengan tunggal Ac
sehingga(A ∩Ac) = ∅ (6.5a)
(A ∪Ac) = U (6.5b)
Teorema 6.3.7 (Komplemen identitas).
∅c = U (6.6a)
U c = ∅ (6.6b)
Teorema 6.3.8 (Hukum De Morgan). Untuk sembarang himpunan A dan B berlaku
(A ∩B)c = Ac ∪Bc (6.7a)
(A ∪B)c = Ac ∩Bc (6.7b)
Teorema 6.3.9 ( Hukum Distributif). Untuk sembarang himpunan A,B dan C berlaku:
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C) (6.8a)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C) (6.8b)
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 140 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Teorema 6.3.10 ( Sifat Idempoten). Untuk sembarang himpunan A berlaku
A ∩A = A (6.9a)
A ∪A = A (6.9b)
Dalam membuktikan sifat-sifat di atas kita menggunakan hasil pada Teorema 6.2.1 yaituA = B jika dan hanya jika A ⊆ B dan B ⊆ A. Berikut diambil salah satu sifat sebagai contohpembuktian, misalnya A ∩B = B ∩A.
Bukti:Ambil sembarang unsur x ∈ (A ∩B)
⇒(x ∈ A) ∧ (x ∈ B) definisi A ∩B
⇒(x ∈ B) ∧ (x ∈ A) komutatif konjungsi
⇒x ∈ (B ∩A) definisi B ∩A
⇒(A ∩B) ⊆ (B ∩A) definisi A ⊆ B
Sebaliknya, ambil sembarang unsur y ∈ B ∩A
⇒(y ∈ B) ∧ (y ∈ A) definisi B ∩A
⇒(y ∈ A) ∧ (y ∈ B) komutatif konjungsi
⇒y ∈ (A ∩B) definisi A ∩B
⇒(B ∩A) ⊆ (A ∩B) definisi B ⊆ A
Karena (A ∩ B) ⊆ (B ∩ A) dan (B ∩ A) ⊆ (A ∩ B), berdasarkan Teorema 6.2.1, maka(B ∩A) = (A ∩B)
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 141 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
6.3.3. Operasi Jumlah dan Selisih Himpunan
Selain operasi dasar komplemen, gabungan dan irisan, dalam operasi himpunan dikenal jugaoperasi jumlah dan selisih yang definisinya dapat dirumuskan dengan menggunakan operasidasar tadi.
Definisi 6.3.4 (Operasi Selisih). Selisih dua buah himpunan adalah himpunan yang be-ranggotakan unsur-unsur yang menjadi unsur himpunan pertama yang tidak menjadi unsurhimpunan pengurang.
A/B = A−B = {x|x ∈ A ∧ x 6∈ B}
Teorema 6.3.11.A/B = A ∩Bc
Definisi 6.3.5 (Operasi Jumlah). Jumlah dua himpunan adalah himpunan yang be-ranggotakan semua unsur yang menjadi anggota salah satu himpunan.
A + B = {(x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ x 6∈ (A ∩B)}
Contoh 6.3.4. Jika A = {1, 3, 5, 7, 9} dan B = {4, 5, 6, 8, 10} maka
1. A ∩B = {5}
2. A ∪B = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
3. A/B = {1, 5, 7, 9}
4. B/A = {4, 6, 8, 10}
5. A + B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10}
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 142 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Gambar 6.6: Diagram Venn A/B dan A + B
Beberapa sifat yang terkait dengan opersi selisih dan jumlah serta hubungannya denganoperasi dasar sebelumnya diberikan pada teorema-teorama berikut. Ilustrasi dapat menggunakandiagram Venn sedangkan pembuktian secara formal dapat menggunakan definisi kesamaan duahimpunan.
Teorema 6.3.12. Untuk sembarang himpunan A,B
A + B = (A ∪B)/(A ∩B)
Teorema 6.3.13. Untuk sembarang himpunan A,B
A + B = (A/B) ∪ (B/A)
Teorema 6.3.14 (Komutatif jumlah). Untuk sembarang himpunan A,B
A + B = B + A
Teorema 6.3.15 (Distributif Selisih). Untuk sembarang himpunan A,B, C
(A ∪B)/C = (A/C) ∪ (B/C) (6.10a)
(A ∩B)/C = (A/C) ∩ (B/C) (6.10b)
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 143 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Definisi 6.3.6 (Partisi himpunan). Himpunan A dan B dikatakan partisi dari him-punan C jika dan hanya jika A dan B saling lepas dan gabungannya sama dengan C.
A,B partisi dari C ↔[(A ∩B = ∅) ∧ (A ∪B = C)
]
6.4. Sifat-sifat Lanjut Relasi Himpunan bagian
Konsep himpunan bagian (⊂) ekuivalen dengan konsep implikasi logis pada himpunan, kare-nanya implikasi logis dan penalaran dapat dimanfaatkan untuk mempelajari sifat-sifat himpunanbagian seperti diuraikan berikut ini.
Teorema 6.4.1. Relasi ⊆ adalah relasi yang bersifat refleksif, transitif tetapi non simetrikyaitu:
∀A, A ⊆ A (6.11a)
∀(A,B,C)[(A ⊆ B) ∧ (B ⊆ C)
]⇒ (A ⊆ C) (6.11b)
∀(A,B)[(A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A)
]⇒ (A = B) (6.11c)
Teorema 6.4.2. Untuk sembarang himpunan A dari semesta U maka
1. A ⊆ A
2. ∅ ⊆ A
3. A ⊆ U
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 144 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Pembuktian butir 1. jelas dari definisi. Sedangkan pembuktian butir 2. dan butir 3. dapatdilakukan dengan menggunakan bukti pengandaian.
Bukti 3.:Andaikan A 6⊆ U berarti ∃x ∈ A, 3 x 6∈ U . Tetapi berdasarkan definisi U tidak ada x /∈ U .
Oleh karena itu terjadi kontradiksi dan pengandaian harus diingkar. Artinya untuk sembaranghimpunan A, maka A ⊆ U
Teorema 6.4.3.A ⊆ B ⇔ A ∪B = B
Bukti: Teorema ini mengandung beberapa pengertian dintaranya
1. (A ⊆ B) ⇒ A ∪B = B
2. A ⊆ B ⇐ (A ∪B = B)
3. (A ∪B) ⊆ B)
4. B ⊆ (A ∪B)
Jika A ⊆ B maka ∀x ∈ A ⇔ x ∈ B. Ambil sembarang y ∈ (A ∪B)
⇒(y ∈ A) ∨ (y ∈ B) definisi A ∩B
⇒(y ∈ B) ∨ (y ∈ B) A ⊆ B
⇒(y ∈ B) idempoten ∨⇒(A ∪B) ⊆ ∩B) definisi B ⊆ A
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 145 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Ambil sembarang z ∈ B
⇒(z ∈ A) ∨ (z ∈ B) sifat additif ∨⇒(y ∈ (A ∪B) A ⊆ B
⇒(y ∈ B) idempoten ∨⇒(A ∪B) ⊆ ∩B) definisi B ⊆ A
Berarti kita telah membuktikan bahwa
A ⊆ B ⇒ A ∪B = B
Untuk hal sebaliknya, misalkan A ∪B = B, berarti A ∪B ⊆ B, karenanya
⇒∀x x ∈ (A ∪B),⇒ x ∈ B
⇒ 6 ∃x 3 x ∈ (A ∪B),∧x 6∈ B
⇒ 6 ∃x 3 (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ x 6∈ B
⇒(6 ∃x ∈ A) ∧ (6 ∃x ∈ B) 3 x 6∈ B
⇒(6 ∃x ∈ A) 3 x 6∈ B
⇒∀x, x ∈ A ⇒ x ∈ B
⇒A ⊆ B
Teorema 6.4.4. Untuk himpunan semesta U dan himpunan A
U ⊆ A ⇔ A = U
Teorema 6.4.5.A ⊆ ∅ ⇔ A = ∅
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 146 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Teorema 6.4.6. Untuk sembarang himpunan A dan B,
A ⊆ A ∪B dan B ⊆ A ∪B
Teorema 6.4.7. Untuk sembarang himpunan A dan B,
(A ∩B) ⊆ A dan (A ∩B) ⊆ B
Teorema 6.4.8. Untuk sembarang himpunan A dan B,
(A/B) ⊆ A dan (B/A) ⊆ B
Teorema 6.4.9. Untuk A,B,C ⊆ U
(A ⊆ C) ∧ (B ⊆ C) ⇒[(A ∩B) ⊆ (A ∪B) ⊆ C
](6.12)
Teorema 6.4.10. Untuk A,B,C ⊆ U
(A ⊆ C) ∨ (B ⊆ C) ⇒[(A ∩B) ⊆ C
](6.13)
Teorema 6.4.11. Untuk A,B,C ⊆ U
(A ⊆ B) ∧ (B ⊆ C) ⇒(A ⊆ C
)(6.14)
Selain dengan diagram Venn, hubungan subset dapat juga diilustrasikan dengan meng-gunakan diagram subset yang pada dasarnya merupakan pohon subset. Dengan pohon sub-set, himpunan-himpunan digambarkan dalam diagram pohon. Himpunan yang mejadi sub-set dari himpunan yang lain ditulis lebih rendah dari himpunan yang menjadi supersetnyadan dihubungkan dengan garis. Apabila sudah ada jalur yang menghubungkan suatu hubun-ganantara sutu himpunan dengan himpunan lain, maka tidak perlu membuat garis kusus yangmenghubungkan kedua himpunan tadi. Selain itu, dalam hal hubungan “subset dari” maka adadua hal yang selalu benar yaitu:
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 147 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Gambar 6.7: Diagram pohon untuk A,B,C, D (kiri) dan untuk S, X, Y, Z dan V (kanan)
1. setiap himpunan adalah subset dari Himpunan semesta S dan
2. himpunan kosong, yaitu himpunan yang tidak memiliki anggota, (∅) adalah subset darisetiap himpunan.
Oleh karena itu puncak atas dari pohon subset adalah himpunan semesta dan puncak bawahnyaadalah himpunan kosong.
Misalkan diketahui subset-sebset A,B,C, D, E dari S mempunyai hubungan sebagai berikut:A ⊆ B, B ⊆ C, D ⊆ B. maka diagram pohon lengkapnya adalah seperti pada bagian kiriGambar 6.7, sedangkan jika S = {1, 2, 3, · · · , 10} X = {1, 3, 5, 7, 9}, Y = {2, 4, 6, 8, 10},Z = {2, 3, 5, 7} W = {2, 4} dan V = {2} maka diagram pohhon lengkapnya adalah sepertipada bagian kanan Gambar 6.7.
6.5. Penggunaan Himpunan dalam Silogisme
Pada Subbab 5.5 telah dibicarakan tata cara penarikan kesimpulan dengan argumen yang men-gandung kuantor. Dalam subbab ini kita akan membahas hal serupa dengan menggunakanbantuan himpunan khususnya relasi himpunan dan diagram Venn. Berikut diberikan rangku-man kondisi unsur dua himpunan (A dan B) beserta hubungan yang terjadi diantaranya
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 148 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
No Unsur A dan B Relasi Adengan B
A ∩B Diagram Venn
1 semua unsur A menjadi unsurB (universal affirmative)
A ⊂ B A ∩ B = A atauA ∩Bc = ∅
Gambar 6.5
2 semua unsur A tidak menjadiunsur B (universal negative)
A ⊂ Bc A ∩B = ∅ Gambar 6.5
3 sebagian unsur A menjadi un-sur B (particular affirmative)
A G B A ∩B 6= ∅ Gambar 6.5
4 sebagian unsur A tidak men-jadi unsur B (particular nega-tive)
A G B A ∩Bc 6= ∅ Gambar 6.5
21arranged1 Diagram Venn untuk A ⊂ B atau A ∩ Bc = ∅ arranged2Diagram Venn A|| atau
A ∩B = ∅21arranged3 Diagram Venn untuk A ∩B 6= ∅ arrangedO521Diagram Venn untuk A ∩Bc 6= ∅Berikut diuraikan sifat-sifat relasi himpunan yang terkait dengan penarikan kesimpulan secara
sillogisme.
Teorema 6.5.1. Untuk A,B,C ⊆ U jika A himpunan bagian dari B dan A himpunanbagian dari C maka A himpunan bagian dari C
(A ∩Bc = ∅) ∧ (B ∩ Cc = ∅) ↔ (A ∩ Cc = ∅) (6.15)
Teorema 6.5.2. Untuk A,B,C ⊆ U jika A beririsan dengan B dan B beririsan denganC,
(A ∩B = ∅) ∧ (B ∩ C = ∅) (6.16)
maka tidak ada yang dapat disimpulkan tentang A ∩ C
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 149 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Teorema 6.5.3. Untuk A,B,C ⊆ U jika A lepas dengan B dan B lepas dengan C,
(A ∩B 6= ∅) ∧ (B ∩ C 6= ∅) (6.17)
maka tidak ada yang dapat disimpulkan tentang A ∩ C
Aturan 6.5.1. Secara umum ada 7 aturan mendasar dalam penarikan kesimpulan sepertidi atas
1. Tidak ada kesimpulan yang dapat diambil dari dua pernyataan negatif. Jika A||Bdan B||C, maka tidak ada kesimpulan yang dapat diambil tentang hubungan A danC (lihat Gambar 2).
2. Jika salah satu premis negatif, maka kesimpulan juga negatif. Jika A||B dan C ⊆ B,maka A||C. (lihat Gambar 2.
21arranged4 Diagram Venn untuk A||B dan B||C1;B||C2, namun A||C1, A G C1 ar-ranged5 Diagram Venn untuk A||B, C ⊂ B, maka A||C21arranged6 Diagram Venn untuk A G B, B G C1 dan B G C2. Namun, A 6G C1 danA G C2 arranged7 Diagram Venn untuk A G B dan B ⊆ C, maka A G C
3. Jika kedua premis positif, maka kesimpulannya juga positif. Jika A ⊆ B dan B ⊆ C,maka A ⊆ C.
4. Unsur tengah harus terdistribusi setidaknya sekali dalam premis mayor atau premisminor.
5. Semua unsur yang muncul dalam kesimpulan, harus juga muncul dalam premis mayoratau premis minor.
6. Tidak ada kesimpulan yang dapat diambil dari dua premis khusus (particular premi-sis), baik yang positif (afirmatif) maupun yang negatif. Jika A∩B 6= ∅ dan B∩C 6= ∅,maka tidak ada kesimpulan yang bisa diambil tentang A ∩ C (lihat Gambar 2.)
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 150 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
7. Jika salah satu premis betuknya khusus (eksistensial), maka kesimpulan juga berben-tuk khusus (eksistensial). Jika A∩B 6= ∅ dan ada beberapa kondisi lain (B ⊂ C),makakesimpulan yang pasti, yang dapat diambil adalah A ∩ C 6= ∅ (lihat Gambar 2).
6.6. Bacaan Lebih Lanjut
Untuk mendalami lebih jauh materi pada bab ini selain beberapa sumber yang telah dikutip se-belumnya, dapat juga dibaca beberapa sumber lain diantaranya Ruseffendi bk:Ruseffendi82, Na-soetion bk:Nasoetion80, Lipschutz bk:Lipschutz74, Polimeni & Straight bk:PolimeniStraight85dan Courant & Robbins bk:CourantRobbins78 . Secara umum hampir semua buku teks tetangmatematika mulai dengan pembahasan tentang himpunan.
6.7. Soal-soal Latihan
1. Nyatakan benar atau salah pernyataan-pernyataan berikut ini:
(a) ∅ ∈ {2, 3}(b) {1, 2, 3} = {2, 3, 1}(c) {x ≤ 16|x : prima} ⊆ {0, 1, 2, · · · , 13}(d) {1, 3, 5, · · · } ≡ {1, 2, 3, · · · }(e) {1, 3, 5, · · · } ⊆ {1, 2, 3, · · · }
2. Untuk himpunan-himpunan berikut, tentukan semua subset-subsetnya. Selanjutnya buatmasing-masing diagram subsetnya.
(a) {2, 3, 4}
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 151 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
(b) {∅, {2, 3}}(c) {a, b, c, d}
3. Buktikan Teorema 6.4.1 pada halaman 138.
4. Buktikan Teorema 6.4.4 pada halaman 140.
5. Buktikan Teorema 6.4.10 pada halaman 141.
6. Buat gambar subset dari serangkaian himpunan-himpunan A,B,C, D, E dan ∅ berikut:
(a) A = {1, 2, 3, 5}, B = {1, 3, 5}, C = {2, 3, 5}, D = {2, 5}, E = {1, 5}(b) A = {a, b, c, d}, B = {b, c, d}, C = {a, b, c}, D = {b, c}, E = {b, d}
7. Buatlah himpunan yang memenuhi struktur subset seperti pada gambar berikut:
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 152 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
BAB 7
HIMPUNAN BILANGAN
Bilangan walaupun merupakan konsep yang sangat abstrak, namun penggunaannya tidak bisadilepaskan dengan kehidupan manusia sejak dini. Untuk menggambarkan bilangan, kita meng-gunakan lambang bilangan (angka). Dalam kaitan dengan operasi hitung dan matematkaumumnya, lambang bilangan yang kita pakai adalah lambang bilangan Hindu-Arab yang terdiriatas sembilan angka 0,1,2,...9. Selain itu, untuk menunjukkan tingkatan dan urutan ada lam-bang bilagan lain yang disebut lambang bilangan Romawi (i,ii,iii,iv,v ...). Pada subbab ini akandibahas beberapa himpunan bilangan yang penting.
Tujuan Umum
Mahasiswa memahami himpunan-himpunan bagian dari himpunan bilangan riil.
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 153 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Tujuan Khusus
Mahasiswa dapat menyebutkan ciri-ciri, contoh, dan sifat-sifat operasi hitung dalam himpunan-himpunan bagian dari himpunan bilangan riil.
Materi
1. himpunan Bilangan Asli;
2. himpunan Bilangan Cacah;
3. himpunan Bilangan Bulat;
4. himpunan Bilangan Rasional;
5. himpunan Bilangan ;
6. himpunan Bilangan Riil;
7.1. Himpunan Bilangan Asli
Bilangan Asli disebut juga bilangan Alam (Natural numbers). Bilangan ini merupakan bilanganyang kita kenal paling awal, ketika kita ingin menghitung banyaknya sesuatu yang ada di sekuitarkita.
Himpunan bilangan Asli N = {1, 2, 3, · · · }
Operasi hitung yang dapat dilakukan pada bilangan asli adalah penjumlahan dan perkaliandengan beberapa sifat berikut:
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 154 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Sifat 1 Bilangan asli tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian
∀x, y ∈ N, x + y ∈ N
∀x, y ∈ N, (x.y ∈ N)
Sifat 2 Bilangan asli memenuhi sifat kumutatif dan assosiatif baik penjumlahan dan perkalian,yaitu:
∀x, y ∈ N x + y = y + x
x.y = y.x
∀x, y, z ∈ N x + (y + z) = (x + y) + z
x.(y.z) = (x.y).z
Sifat 3 Bilangan asli memenuhi sifat distributif perkalian atas penjumlahan.
∀x, y, z ∈ N (x + y)z = xz + yz
Sifat 4 Bilangan asli memiliki unsur identitas perkalian tetapi tidak identitas penjumlahan.
∃1, 3 ∀x ∈ N x.1 = 1.x = x
tetapi6 ∃ e ∈ N, 3 ∀x ∈ N x + e = e + x = x
Tetapi himpunan bilangan asli tidak memiliki beberapa sifat berikut:
1. Bilangan asli (kecuali 1) tidak memiliki invers baik penjumlahan maupun perkalian.
∀x(6= 1) ∈ N, 6 ∃x′ ∈ N, 3 x.x′ = 1
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 155 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
2. Bilangan asli tidak tertutup terhadap pengurangan dan pembagian.
∃x, y ∈ N 3 (x− y) 6∈ N dan
∃x, y ∈ N 3 (x/y) 6∈ N
Bilangan Asli dibedakan menjadi bilangan prima dan bilangan komposit. Bilangan prima1
adalah bilangan yang hanya dapat dibagi bilangan itu sendiri dan 1. Bilangan 1 tidak termasukbilangan prima. Sedangkan sisanya (termasuk 1) disebut bilangan komposit. Jadi
1. Himpunan bilangan Prima = P = {2, 3, 5, 7, 11, 13 · · · }
2. Himpunan bilangan Komposit = N/P
Definisi 7.1.1. Pengurut bilangan asli k, dinotasikan k∗ adalah bilangan asli berikutnyasetelah bilagan asli k. Jadi k∗ = k + 1.
Ada suatu hasil dalam bilangan asli yang sangat terkenal yang disebut Postulat Peano yangmengatakan bahwa Untuk S ⊆ N , berlaku[
(1 ∈ N) ∧ (∀ k ∈ S ⇒ k∗ ∈ S)]⇒ (S = N) (7.1)
Persamaan (7.1) pada dasarnya mengatakan bahwa jika pada suatu himpunan bagian S dariN , berlaku 1 pada S dan untuk setiap k pada S maka pengurutnya (k∗) juga pada S, maka Sadalah himpunan seluruh bilangan asli.
[(n1 ∈ N) ∧ (∀ (k > n1) ∈ S ⇒ k∗ ∈ S)
]⇒ (S = {n1, n1 + 1, n1 + 2, · · · }) (7.2)
1Teori tentang himpunan bilangan prima dapat dilihat pada beberapa sumber diantaranya Courant &Robbins [10, hal 21-31]
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 156 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Persamaan (7.2) pada dasarnya mengatakan bahwa jika pada suatu himpunan bagian S dariN , berlaku n1 pada S dan untuk setiap k > n1 pada S maka pengurutnya (k∗) juga pada S,maka S adalah himpunan bilangan asli mulai dari n1, yaitu S = {n1, n1 + 1, n1 + 2, · · · }.
Postulat Peano di atas menjadi dasar dari pembuktian dengan menggunakan induksi matem-atika, yang telah dibicarakan pada bab penalaran, yang dapat dirumuskan sebagai berikut:[(
P (1))∧
(∀ k, P (k) ⇒ P (k∗)
)]⇒
(P (n),∀n ∈ N
)(7.3)
Ada pengelompokan jenis himpunan yang kardinalnya terkait dengan himpunan bilanganAsli, yaitu himpunan terhitung dan himpunan tak terhitung.
Definisi 7.1.2. Himpunan dikatakan terhitung (denumerable) atau himpunan diskrit, jikahimpunan tersebut kosong atau ekuivalen dengan sebagian atau seluruh himpunan bilanganAsli. Jika tidak demikian maka himpunan dikatakan himpunan takterhitung yang meru-pakan himpunan kontinu.
Contoh 7.1.1. H = {1, 3, 5, · · · },Himpunan bilangan Prima, himpunan Bilangan bulat adalahtermasuk himpunan bilangan terhitung. Sedangkan H = {x|1 < x < 2, x ∈ <}, himpunanbilangann Rasional, himpunan bilangan Riil adalah himpunan tak terhitung.
7.2. Himpuan Bilangan Cacah
Sebagaimana dikatakan sebelumnya bahwa Bilangan Asli tidak mempunyai identitas penjumla-han. Apabila himpunan bilangan Asli digabung dengan 0 sebagai unsur identitas penjumlahan,maka terbentuklah himpunan bilangan Cacah. Himpuan bilangan cacah disebut juga himpunanbilangan kardinal, karena bilangan cacah ini dipergunakan untuk mementukan kardinal suatu
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 157 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
himpunan. Kardinal himpunan ∅ adalah 0. Jadi bilangan cacah atau bilangan kardinal mulaidari 0.
Himpunan bilangan Cacah(C) =(N ∪ {0}
)= {0, 1, 2, · · · }
Semua sifat operasi yang berlaku pada himpunan bilangan asli juga berlaku pada himpunanbilangan cacah. Beberapa sifat yang tidak berlaku pada himpunanbilangan asli (identitas pen-jumlahan, berlaku pada himpunan bilangan cacah. Himpunan bilangan cacah meskipun memilikiidentitas penjumlahan dan perkalian tetapi tidak memiliki invers penjumlahan maupun inversperkalian.
Sifat 5 Identitas Penjumlahan
∃ 0 ∈ C, 3 ∀c ∈ C, 0 + c = c + 0 = c
Tetapi∀ c(6= 0) ∈ C, 6 ∃ c′ ∈ C 3 c + c′ = 0
7.3. Himpuan Bilangan Bulat
Apabila himpunan bilangan cacah digabung dengan himpunan inverse penjumlahannya, makaterbentuklah himpunan bilangan bulat, Z.
Z = C ∪ {−1,−2, · · · } = {· · · ,−2,−1, 0, 1, 2, · · · }
Jadi himpunan pada bilangan semua unsur memiliki invers penjumlahan, tetapi bukan inversperkalian.
Sifat 6 Invers Penjumlahan.∀ c ∈ C, ∃ c′ ∈ C 3 c + c′ = 0
Tetapi,
∀ c(6= 0) ∈ C, 6 ∃ c′ ∈ C 3 c.c′ = 1
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 158 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
7.4. Himpuan Bilangan Rasional
Apabila himpunan bilangan bulat digabung dengan himpunan invers perkaliannya, maka terben-tuklah himpunan bilangan Rasional, Q. Disamping itu bilangan rasional juga tertutup terhadappenjumlahan dan perkalian (termasuk perkalian dengan inversdari unsur lainnya). Secara umumbilangan rasional didefinisika seperti pada definisi berikut ini.
Definisi 7.4.1. Bilangan rasional q adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuka/b dengan b 6= 0. Dalam bentuk desimal q dapat dinyatakan sebagai pecahan desimalberhingga atau pecahan desimal takhingga tapi berulang.
Contoh 7.4.1. 1/5 = 0, 20 dan 1/3 = 0, 33333... = 0, 33 adalah bilangan-bilangan rasional
Jadi pada himpunan bilangan Rasional, semua unsur memiliki invers penjumlahan, maupuninvers perkalian.
Sifat 7 Invers Perkalian∀x ∈ Q, ∃x′ ∈ Q 3 x + x′ = 0 dan
∀x(6= 0) ∈ C, ∃x′ ∈ Q 3 c.c′ = 1
7.5. Himpunan Bilangan Irasional dan Himpunan Bilangan Riil
Gambar 7.1: Diagram Venn mengilustrasikan himpunan Bilangan Riil
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 159 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Dalam himpunan bilangan rasional persamaan xn = y untuk n ≥ 2 tidak memiliki penyelesa-ian. Pernyataan ini ekuivalen dengan pernyataan bahwa tidak ada bilangan rasional x sedemikiansehingga xn = 2. Dengan kata lain, n
√2 bukan bilangan rasional. Bilangan-bilangan yang tidak
rasional, yaitu bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai rasio dua bilangan bulat (a/b),disebut bilangan irasional. Bilangan rasional selain merupaka bilangan akar ( n
√a) juga ter-
masuk didalamnya adalah bilangan yang dinyatakan dalam bentuk pecahan desimal takhinggatapi tak berulang. Ada dua bilangan irasional yang sangat penting yaitu bilangan Euler e yangdiperkenalkan Euler tahun 1748 dan bilangan Archimedes π. Bilangan e didefinisikan sebagai
e =∞∑
n=0
1n
= 1 +11!
+12!
+13!
+ · · ·
dan pendekatan π diberikann oleh banyak matematisi diantaranya adalah John Wallis denganrumus
π
2=
∞∏n=1
(2n
2n + 12n
2n− 1
)(Courant & Robbins bk:CourantRobbins78) Gabungan antara himpunan bilangan Rasional danhimpunan bilangan Irasional disebut bilagan Riil R. Secara diagram struktur Himpunan Bilangandapat digambarkan pada Gambar 7.1.
Sifat-sifat yang berlaku dalam himpunan bilangan dapat dirangkum seperti pada Tabelberikut.
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 160 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
No Sifat-sifat Operasi Himpunan BilanganN C Z Q <
1 Identitas Penjumlahan (0), 0 + a = a +0 = a
× X X X X
2 Identitas Perkalian(1), 1a = a1 = a X X X X X3 Kumutatif Penjumlahan a + b = b + a X X X X X4 Kumutatif Perkalian ab = ba X X X X X5 Asosiatif Penjumlahan (a + b) + c = a +
(b + c)X X X X X
6 Asosiatif Perkalian (ab)c = a(bc) X X X X X7 Invers Penjumlahan a + (−a) = 0 × × X X X8 Invers Perkalian a(1/a) = 1 × × X X X9 Distributif Perkalian terhadap Penjumla-
han a(b + c) = ab + acX X X X X
10 Tertutup terhadap Operasi Invers Pen-jumlahan a + (−b) = c
× × X X X
11 Tertutup terhadap Operasi InversPerkalian a(1/b) = c
× × × X X
12 Tertutup terhadap Operasi ab = c × × × × X
7.6. Perkembangan perhitungan π
Gambar 7.2: Diagram struktur mengilustrasikan pembagian himpunan Bilangan Riil
Sejak zaman dahulu diketahui bahwa rasio luas lingkaran terhadap kuadrat jaraknya dan rasiokeliling lingkaran dengan diameternya adalah konstan. Namun, pada awalnya belum diketahui
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 161 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
bahwa kedua konstanta tersebut adalah sama. Buku-buku kuno menggunakan konstanta yangberbeda untuk kedua rasio tersebut.
Perhitungan π menarik perhatian sejak zaman sebelum masehi (sekuitar 1650 SM, di MesirKuno digunakan pendekatan π = 3, 16.). Kalkulasi teoritis sepertinya dimulai oleh Archimedes(287-212 SM) yang mendapatkan pendekatan
223/71 < π < 22/7.
Sejak itu sampai sekarang banyak sekali para matematisi yang melakukan perhitungan baiksecara analitik maupun dengan menggunakan komputer. Pada zaman modern sekarang akurasiperhitungan π sempat dijadikan salah satu tes untuk mengukur kecanggihan komputer maupunsuatu algorithma. Beberapa hasil perhitungan π diberiikan pada Tabel 7.1 dan Tabel 7.2
Tabel 7.1: Perhitungan π secara analitikMatematisi Waktu Desimal NilaiRhind papyrus 2000 SM 1 3.16045 (= 4(8/9)2)Archimedes 250 SM 3 3.1418Aryabhata 499 4 3.1416 (= 62832/2000)Brahmagupta 640 1 3.1622 (=
√10)
Fibonacci 1220 3 3.141818Madhava 1400 11 3.14159265359Newton 1665 16 3.1415926535897932Rutherford 1824 208 hanya 152 benarShanks 1874 707 hanya 527 benar
7.7. Bacaan Lebih Lanjut
Untuk mendalami lebih jauh materi pada bab ini selai beberapa sumber yang telah dikutip se-belumnya, dapat juga dibaca beberapa sumber lain diantaranya Ruseffendi bk:Ruseffendi82, Na-
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 162 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
soetion bk:Nasoetion80, Lipschutz bk:Lipschutz74, Polimeni & Straight bk:PolimeniStraight85dan Courant & Robbins bk:CourantRobbins78. Bagi yang berminat mempelajari bilangan darisisi sejarahnya dapat membaca Haza’s et al. bk:KaduriEtAl04. Secara umum hampir semuabuku teks tetang matematika mulai dengan pembahasan tentang himpunan.
7.8. Soal-soal Latihan
1. Berikan dua contoh bilangan desimal yang takberhingga dan berulang.
2. Tentukan bentuk pecahan biasa dari contoh di atas.
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 163 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Tabel 7.2: Perhitungan π dengan mesinMatematisi Waktu Desimal Mesin
Ferguson 1947 710 KalkulatorFerguson, Wrench 1947 808 KalkulatorSmith, Wrench 1949 1120 KalkulatorReitwiesner dkk. 1949 2037 ENIACNicholson, Jeenel 1954 3092 NORACFelton 1957 7480 PEGASUSGenuys 1958 10000 IBM 704Felton 1958 10021 PEGASUSGuilloud 1959 16167 IBM 704Shanks, Wrench 1961 100265 IBM 7090Guilloud, Filliatre 1966 250000 IBM 7030Guilloud, Dichampt 1967 500000 CDC 6600Guilloud, Bouyer 1973 1001250 CDC 7600Miyoshi, Kanada 1981 2000036 FACOM M-200Guilloud 1982 2000050Kanada, Yoshino, Tamura 1982 16777206 HITACHI M-280HUshiro, Kanada 1983 10013395 HITACHI S-810/20Gosper 1985 17526200 SYMBOLICS 3670Bailey 1986 29360111 CRAY-2Kanada, Tamura, Kubo 1987 134217700 NEC SX-2Kanada, Tamura 1988 201326551 HITACHI S-820/80Chudnovskys 1989 525229270Kanada, Tamura 1989 536870898Chudnovskys 1989 1011196691Kanada, Tamura 1989 1073741799Chudnovskys 1994 4044000000Kanada, Tamura 1995 3221225466Kanada 1995 6442450938Kanada, Takahashi 1999 206158430000 HITACHI SR8000
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 164 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
BAB 8
PERKALIAN KARTESIUS, RELASI DAN FUNGSI
Tujuan Umum
Setelah mempelajari materi pada bab ini diharapkan agar pembaca memahami konsep dansifat-sifat relasi dan fungsi serta menggunakannya dalam menyelesaikan permasalahan yangberhubungan relasi dan fungsi.
Tujuan Khusus
Setelah mempelajari materi pada bab ini diharapkan agar pembaca dapat
1. menyelesaikan perkalian Kartesius dua himpunan
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 165 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
2. memberi contoh berbagai jenis relasi dengan sifat-sifatnya
3. memberi contoh berbagai jenis fungsi dengan sifat-sifatnya
Materi
1. Perkalian Kartesius
2. Relasi dan sifat-sifatnya
3. Fungsi
Selain operasi himpunan yang telah dibicarakan sebelumnya, ada juga operasi himpunanyang disebut perkalian himpunan, yang disebut perkalian kartesius.
8.1. Perkalian Kartesius
Definisi 8.1.1 (Operasi Perkalian). Perkalian (atau disebut juga perkalian kartesius)dua buah himpunan adalah himpunan yang beranggotakan semua pasangan berurut unsurpertamanya berasal dari himpunan terkali dan unsur keduanya berasal dari himpunan pen-gali.
A×B = {(x, y)|x ∈ A ∧ y ∈ B}
Contoh 8.1.1. Jika A = {1, 3, 5} dan B = {4, 5} maka
1. A×B = {(1, 4), (1, 5), (3, 4), (3, 5), (5, 4), (5, 5)}
2. B ×A = {(4, 1), (4, 3), (4, 5), (5, 1), (5, 3), (5, 5)}
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 166 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Gambar 8.1: Diagram katesius mengilustrasikan A×B
Hasil perkalian himpunan selain dinyatakan dengan himpunan pasangan terurut, dapat jugadinyatakan dengan grafik kartesius. seperti pada Gambar 8.1.
Teorema 8.1.1. Untuk sembarang A dan B, secara umum berlaku:
1. A×B 6= B ×A
2. A×B ≡ B ×A
3. (A×B) = (B ×A) ⇔ A = B
Definisi 8.1.2.A×A = A2 = {(a1, a2)|a1, a2 ∈ A} (8.1a)
A×A× . . .×A︸ ︷︷ ︸n
= An = {(a1, a2, . . . , an)|ai ∈ A, i = 1, 2, . . . , n} (8.1b)
8.2. Relasi
Relasi atau hubungan antara dua himpunan merupakan himpunan bagian dari perkalian duahimpunan bersangkutan. Relasi dari himpunan A ke B dinotasikan dengan RA×B atau R :A → B. Ada tiga komponen yang harus dipenuhi oleh suatu relasi R : A → B yaitu:
1. Adanya daerah definisi atau daerah asal yang disebut domin, yaitu himpuan A yang yangakan dihubungkan dengan suatu himpunan lain.
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 167 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Gambar 8.2: Diagram panah untukrelasi A ke B, atau ARB
2. Adanya daerah kawan yang disebut kodomin, yaitu himpunan B yang menjadi kawanhimpunan A.
3. Adanya aturan pengawanan antara himpunan asal A dan himpunan kawan B.
Bentuk aturan pengawanan dapat dilakukan dengan berbagai cara diantaranya adalah den-gan mengguakan diagram panah, himpunan pasangan berurut. Jika pasangan berurut (x, y)merupakan ang-gota dari R maka dinotasikan dengan (x, y) ∈ R, jika tidak maka dinotasikan(x, y) 6∈ R.
Contoh 8.2.1. Misalkan R adalah relasi dari N ke N dengan aturan pengawanan
R = {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2), (3, 3), · · · }
atauR = {(x, y)|y ≤ x; x, y ∈ N}
Contoh 8.2.2. Misalkan R adalah relasi dari N ke N dengan aturan R(n) = 2n dapatdinyatakan dengan R = {(x, y)|y = 2x, x ∈ N}
Himpunan bagian dari himpunan kawan yang dipilih menjadi kawan disebut daerah hasil/range dari R. Pada contoh diatas daerah hasil HR adalah himpunan bilangan bulat positif,yaitu HR = {2, 4, 6, · · · }.
8.3. Sifat-sifat Relasi
Relasi dari suatu himpunan ke dirinya sendiri dapat dibedakan menjadi beberapa jenis di-antaranya dilihat dari banyaknya unsur yang berkawan kedirinya sendiri, kesimetrisan perkawanan.
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 168 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Berikut adalah definisi formal dari beberapa sifat relasi himpunan ke dirinya sendiri.
Definisi 8.3.1. Relasi R dikatakan bersifat refleksif jika
∀x, (x, x) ∈ R
Definisi 8.3.2. Relasi R dikatakan bersifat non-refleksif jika
∃x, (x, x) 6∈ R
Definisi 8.3.3. Relasi R dikatakan bersifat irrefleksif jika
∀x, (x, x) 6∈ R
Definisi 8.3.4. Relasi R dikatakan bersifat simetrik jika
∀x, y (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R
Definisi 8.3.5. Relasi R dikatakan bersifat non-simetrik jika
∃x, y (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) 6∈ R
Definisi 8.3.6. Relasi R dikatakan bersifat asimetrik jika
∀x, y (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) 6∈ R
Definisi 8.3.7. Relasi R dikatakan bersifat transitif jika
∀x, y, z[(x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R
]⇒ (x, z) ∈ R
Definisi 8.3.8. Relasi yang sekaligus bersifat reflektif, simetrik dan transitif disebut relasiekuivalensi.
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 169 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Contoh 8.3.1. Berikut adalah beberapa contoh relasi yang merupakan relasi refleksif.
1. Relasi sama dengan (=) pada himpunan bilangan riil.
∀x, x = x yaitu (xRx)
2. Relasi kongruensi pada himpunan segitiga.
3. Relasi faktor dari, pada himpunan bilangan bulat selai 0.
∀x, x faktor dari x yaitu (xRx)
4. Relasi mirip pada himpunan manusia. Setiap orang mirip dirinya sendiri.
Contoh 8.3.2. Berikut adalah beberapa contoh relasi non-reflektif.
1. Relasi faktor dari pada himpunan semua bilangan bulat. (Ada 0 tidak dapat dibagi 0)
2. Relasi mencintai pada himpunan manusia. Ada orang yang tidak mencintai dirinya sendiri.
Contoh 8.3.3. Berikut adalah beberapa contoh relasi irreflektif.
1. Relasi tidak sama pada himpunan bilangan riil. Tidak ada bilangan yang tidak samadengan dirinya sendiri.
2. Relasi kurang dari pada himpunan bilangan riil. Tidak ada bilangan yag kurang daridirinya sendiri.
3. Relasi lebih gemuk pada himpunan manusia. Tidak ada orang yang lebih gemuk daridirinya sendiri.
4. Relasi lebih cantik pada himpunan manusia. Tidak ada orang yang lebih cantik dari dirinyasendiri.
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 170 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Contoh 8.3.4. Berikut adalah contoh relasi yang bersifat simetrik.
1. Relasi sama dengan pada himpunan bilangan riil.
2. Relasi kongruensi pada himpunan segitiga.
3. Relasi kenal dengan (pernah berkenalan) pada himpunan manusia
Contoh 8.3.5. Berikut adalah contoh relasi yang bersifat non-simetrik.
i Relasi lebih besar atau sama dengan pada himpunan bilangan riil.
ii Relasi mencintai pada himpunan manusia
Contoh 8.3.6. Berikut adalah contoh relasi yang bersifat asimetrik.
i Relasi lebih besar dari pada himpunan bilangan riil.
ii Relasi lebih tinggi pada himpunan manusia
iii Relasi lebih tua pada himpunan manusia
Contoh 8.3.7. Berikut adalah contoh relasi yang bersifat transitif.
i Relasi lebih besar dari pada himpunan bilangan riil.
ii Relasi lebih tinggi pada himpunan manusia
iii Relasi lebih tua pada himpunan manusia
Definisi 8.3.9. Relasi R dikatakan bersifat non-transitif jika
∃x, y, z[(x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R
]⇒ (x, z) 6∈ R
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 171 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Contoh 8.3.8. Berikut adalah contoh relasi yang bersifat non-transitif.
i Relasi berpotongan pada himpunan.
ii Relasi mengenal pada himpunan manusia
Definisi 8.3.10. Relasi R dikatakan bersifat intransitif jika
∀x, y, z[(x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R
]⇒ (x, z) 6∈ R
Gambar 8.3: Diagram panah mengilustrasikan relasi A ke A
Secara grafik, dalam bentuk diagram panah, beberapa jenis relasi dari A ke A digambarkandalam Gambar 8.3. Dalam diagram tersebut panah melingkar menunjukkan pengawanan kedirinya sendiri (refleksif).
Contoh 8.3.9. Berikut adalah contoh relasi yang bersifat intransitif.
i Relasi pangkat kuadrat dari pada himpunan bilangan riil selain 0 dan 1.
i Relasi akar kuadrat dari pada himpunan bilangan riil selain 0 dan 1.
ii Relasi pacar dari pada himpunan manusia.
Contoh 8.3.10. Berikut adalah contoh relasi yang bersifat ekuivalensi.
i Relasi sama dengan pada himpunan bilangan riil.
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 172 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
ii Relasi kongruensi pada himbunan segitiga.
iii Relasi kesejajaran pada himbunan garis.
iv Relasi sama tinggi pada himpunan manusia.
v Relasi sama berat pada himpunan manusia.
8.4. Penyajian Relasi dengan Matriks
Selain dengan cara diagram panah, reasi juga dapat disajikan dalam bentuk matriks. Dalamhal ini matriks representasinya memiliki ciri-ciri sebagai berikut.
1. Baris matriks menunjukkan unsur-unsur himpunan domain;
2. Kolom matriks menunjukkan unsur-unsur himpunan kodomain;
3. Jika dua unsur memiliki relasi maka unsur matriks yang bersesuaian adal 1, jika tidakmaka unsurnya adalah 0.
Contoh 8.4.1.
Misalkan R1 adalah relasi dari A = {1, 2, 3, 4} ke B = {a, b, c} dengan aturan R1 = {(1, a), (1, b), (2, c), (3, a), (4, b)}.Misalkan pula R2 adalah relasi dari A ke dirinya sendiri dengan aturan R2 = {(1, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (3, 3), (4, 4)},maka dalam bentuk matriks dapat disajukan sebagai berikut:
R1 =
a b c
1 1 1 02 0 0 13 1 0 04 0 1 0
, R2 =
1 2 3 4
1 1 0 1 02 0 1 0 03 1 0 1 04 0 0 0 1
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 173 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Gambar 8.4: Contoh Grafik Relasi dari suatu himpunan ke dirinya sendiri dengan SoftwareR
Representasi relasi dengan matriks merupakann bidang yang berkembang melalui teori graph.Matriks representasi tersebut biasda disebut matriks ajasen adjacent matrix. Representasi den-gan matriks memungkinkan kita memanfaatkan perangkat lunak (software) untuk menggambargrafik dari relasi. Hal ini bermanfaat ntuk menggambar relasi dengan unsur yang cukup banyak.Pada contoh berikut baik matriks relasi maupun grafiknya seperti pada Gambar 8.4 dihasilkandengan program R.
y x z u v p r t s q a c by 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0x 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0z 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0u 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0v 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0p 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0r 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0t 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0s 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0q 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0a 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1c 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0b 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
Selanjutnya relasi dari {a, b, c, d} ke {x, y, z} dapat juga disajikan dalam bentuk matriks,dengan mendefinisikan unsur matriks yang bersesuaian. Lihat matriks berikut dan grafiknyapada Gambar 8.5.
x a b c d y z u e v wx 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 174 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Gambar 8.5: Contoh Grafik Relasi dari {a, b, c, d, e} ke {u, v, w, x, y, z} dengan Software R
Gambar 8.6: Diagram mengilustrasikan fungsi dari A ke B
a 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0b 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1c 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0d 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0y 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0z 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0u 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0e 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1v 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0w 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
8.5. Fungsi
Perhatikan bahwa relasi R : A → B adalah himpunan bagian dari A × B. Dalam keadaandemikian bisa jadi ada unsur A yang tidak mempunyai kawandi B atau suatu unsur di Amemiliki lebih dari satu kawan di B. Beberapa relasi yang sifatnya khusus disebut, yaitu tidakmemiliki sifat tadi disebut fungsi. Dengan kata lain, setiap unsur di A memiliki satu dan hanyasatu kawan unsur B.
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 175 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Definisi 8.5.1. f : A → B adalah suatu hubungan yang memiliki sifat bahwa
∀a ∈ A, ∃!, b ∈ B, 3 b = f(a)
Dalam fungsi ada tiga komponen yang harus dipenuhi yaitu
1. Domain (daerah asal), misalnya himpunan A.
2. Kodomain (daerah kawan), misalnya himpunan B.
3. Aturan pemetaan b = f(a) atau y = f(x) jika fungsinya dari X ke Y.
Dilihat pada diagram panah, maka diagram panah suatu fungsi memiliki ciri-ciri sebagai berikut:
1. ada panah yang keluar dari domain,
2. panah yang keluar untuk masing-masing unsur hanya ada 1,
3. tidak ada unsur yang tidak memiliki panah keluar.
8.6. Jenis-Jenis Fungsi
Dalam fungsi tidak disyaratkan bahwa semua unsur kodomain harus memiliki prakawan di do-main. Demikian juga tidak ada keharusan bahwa dua unsur asal harus memiliki kawan yangberbeda. Dilihat dari cara pengambilan unsur daerah kawan, fungsi dapat dibedakan menjadibeberapa macam yaitu surjektif, injektif dan bijektif. Fungsi injektif dari suatu himpunan kedirinya sendiri sering disebut sebagai permutasi.
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 176 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Definisi 8.6.1. Fungsi f dari X ke Y dikatakan fungsi satu-satu (injektif), jika setiapunsur berbeda memiliki kawan yang berbeda pula.
f : injektif ↔ ∀x1, x2
[(x1 6= x2) ⇒ f(x1) 6= f(x2)
]Definisi 8.6.2. Fungsi f dari X ke Y dikatakan fungsi pada (surjektif), jika setiap unsur
daerah kawan memiliki prakawan atau prabayangan.
f : surjektif ↔ ∀y ∈ Y,∃x ∈ X 3, y = f(x)
Definisi 8.6.3. Fungsi f dari X ke Y dikatakan fungsi korespondensi satu-satu (bijektif),jika f sekaligus injektif dan surjektif.
f : bijektif ↔ ∀y ∈ Y,∃x ∈ X 3, y = f(x) dan (f(x1) = f(x2)) ⇒ (x1 = x2)
Teorema 8.6.1. Jika suatu fungsi f dari X yang berhingga ke dirinya sendiri bersifatinjektif, maka dia akan bersifat surjektif, sehingga dia juga merupakan korespondensi satu-satu.
Bukti:Andaikan f tidak bersifat surjektif, berarti ada x1 ∈ X sedemikian sehingga tidak ada x
sehingga x1 = f(x), sehingga RA 6= A. Tetapi karena f satu-satu berarti DA = A ≡ RA.Karena RA ⊆ A, RA ≡ A berarti RA = A(lihat Teorema 6.2.2). Ini merupakan kontradiksi(A 6= A). Oleh karena itu haruslah juga f bersifat surjektif. Sifat ini tidak berlaku untukhimpunan tak hingga. Misalnya jika X = N dan f(n) = 2n−1, maka f bersifat injektif, tetapitidak surjektif, karena bilangan asli dipetakan satu-satu ke subsetnya, himpunan bilangan asliganjil.
Teorema 8.6.2. Jika suatu fungsi dari X yang berhingga ke dirinya sendiri bersifatsurjektif, maka dia akan bersifat injektif, sehingga dia juga merupakan korespondensi satu-satu.
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 177 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Dilihat dari bentuk hubungan antara x ∈ X dengan y ∈ Y pada fungsi dari X ke Y., fungsidapat dibedakan atas:
1. fungsi aljabar (polinomial), yaitu fungsi yang berbentuk y =∑n
i=0 aixi. beberapa fungsi
istimewa termasuk dalam kelompok ini adalah
(a) fungsi konstan, yaitu bila ai = 0,untuk ∀i 6= 0;
(b) fungsi linier, yaitu bila n = 1 dan a1 6= 0
(c) fungsi kuadrat, yaitu bila n = 2 dan a2 6= 0
2. fungsi transenden, yaitu fungsi-fungsi selain fungsi aljabar seperti fungsi trigonmetri (men-gandung fungsi sin, cos, dll), fungsi log dan exponensial ( bk:MunemFoulis78).
8.7. Bentuk, Skala dan Lokasi Fungsi
. Fungsi memiliki tiga karakteristik utama yaitu bentuk skala dan lokasi. Sebagai contoh ambilfungsi yang sederhana yaitu fungsi kuadrat, y = x2. Fungsi memiliki bentuk khas yag disebutparabola. Skala parabola pada suatu nilai a apakah membuka lebar atau sempit, membukake atas atau ke bawah. Sehingga bentuk yang lebih umum y = ax2, a 6= 0 tetap mempunyaibentuk sama tetapi dengan sekala berbeda tergantung nilai a. Selanjutnya jika lokasi fungsidigeser sepanjang sumbu X maupun sumbu Y , maka menghasilkan persamaan fungsi denganbentuk fungsi lebih umum yaitu y = a(x− xp)2 + yp. Fungsi ini adalah fungsi kuadrat denganpuncak (xp, yp) dengan bentuk parabola dan membuka (skala) sesuai dengan nilai a. Dengankata lain parabola yang dihasilkan hanya berbeser lokasi tanpa mengubah bentuk, maupun skala(jika a tetap). Ilustrasi tentang bentuk, skala dan lokasi fungsi diberikan pada Gambar 8.7.
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 178 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Gambar 8.7: Fungsi kuadrat yang mempunyai persamaan berbeda walau sebenarnya bentukdan skalanya sama, tetapi lokasi berbeda
8.8. Bacaan Lebih Lanjut
Untuk mendalami lebih jauh materi pada bab ini selain beberapa sumber yang telah dikutip se-belumnya, dapat juga dibaca beberapa sumber lain diantaranya Ruseffendi bk:Ruseffendi82, Na-soetion bk:Nasoetion80, Lipschutz bk:Lipschutz74, Polimeni & Straight bk:PolimeniStraight85.Secara umum hampir semua buku teks tentang kalkulus, pada bagian awalnya membahas re-lasi dan fungsi. Khusus untuk perangkat lunak program R dapat dilihat lansung pada situshttp://www.r-project.org.
8.9. Soal-soal Latihan
1. Diketahui A = {a, b, c, d} dan B = {1, 3, 5} tentukan
(a) A×B
(b) B ×A
2. Diketahui H adalah himpunan bilangan asli kurang dari 17. Buatlah relasi dari H kedirinyasendiri yang menggambarkan:
(a) h1 kelipatan dari h2
(b) h1 faktor dari h2
3. Buatlah relasi (daerah asal dan aturannya) yang bersifat
(a) refleksif dan simetrik tetapi non-transitif
(b) irefleksif tetapi simetrik dan transitif
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 179 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
(c) refleksif dan non-simetrik tetapi transitif
4. Buatlah fungsi (daerah asal dan aturannya) yang bersifat
(a) injektif dan surjektif
(b) injektif tetapi tidak surjektif
(c) tidak injektif dan tidak surjektif
5. Buatlah fungsi dari suatu himpunan ke dirinya sendiri yang bersifat
(a) injektif dan surjektif
(b) injektif tetapi tidak surjektif
(c) tidak injektif dan tidak surjektif
Kesimpulan apa yang dapat anda petik dari soal ini.
6. Buktikan Teorema 8.6.2 pada halaman 171.
7. Diketahui A = {1, 3, 5} dan B = {a, b, c}. Tentukan berapa banyaknya fungsi (sebutkanfungsi apa saja) yang bisa dibuat dari A ke B yang bersifat
(a) umum (fungsi biasa)
(b) injektif
(c) surjektif
(d) bijekttif
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 180 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
8. Sebutkan ada berapa kondisi relasi yang menyebabkan dia tidak menjadi fungsi.
9. Perhatikan diagram relasi berikut. Tentukan sifat-sifat relasi yang diwakili. Apakah bersi-fat refleksif, simetrik atau transitif?
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 181 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
BAB 9
PENGANTAR LOGIKA DAN HIMPUNAN SAMAR
Tujuan Umum
Setelah mempelajari materi pada bab ini diharapkan agar pembaca mengenal dan memahamikonsep logika dan himpunan samar serta mampu membedakannya dengan himpunan atau logikayag telah dibicarakan pada bab sebelumnya.
Tujuan Khusus
Setelah mempelajari materi pada bab ini diharapkan agar pembaca dapat
1. menyebutkan definisi logika samar
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 182 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
2. menyebutkan definisi himpunan samar
3. memberi contoh logika samar
4. memberi contoh himpunan samar
Materi
1. Konsep Dasar
2. Logika bernilai-3 atau lebih
3. Memodelkan tingkat keanggotaan himpunan
9.1. Konsep Dasar
Sejauh ini kita telah mempelajari logika dengan nilai kebenaran yang mutlak, 0 atau 1. Logikaini selanjutnya disebut logika biner (bernilai 2). Padahal di masyarakat dikenal banyak hal yangsulit ditentukan secara mutlak apakah suatu itu benar atau salah. Masyarakat biasa menyebutsebagai wilayah abu-abu (grey area. Demikian juga dalam hal himpunan, kita belum bisa mem-bicarakan himpunan dengan kriteria bersifat kualitatif. Sifat-sifat atau keadaan seperti:“cantik,manis, muda, tinggi” adalah merupakan kondisi yang tidak bisa dinilai secara mutlak. Se-tiap orang mungkin saja mempuyai penilaian yang berbeda terhadap objek yang sama. Logikasamar maupun himpunan samar fuzzy logics & fuzzy set logika atau himpunan yang memper-timbangkan nilai keberan atau keanggotaan yang bersifat samar (tidak mutlak). Namun, dalamkenyataan justru fenomena samar-samar ini yang banyak dijumpai di masyarakat.
Nilai kebenaran suatu pernyataan p yang dinotasikan dengan τp pada logika biner dapat di-anggap sebagai suatu fungsi indikator yang memetakan p ke himpunan {0, 1}, seperti dinyatakandalam definisi berikut.
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 183 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Definisi 9.1.1. Nilai kebenaran p pada logika biner didefinisikan sebagai τp : p → {0, 1}dengan
τp(p) ={
1 jika p benar0 jika p salah (9.1)
Demikian juga keanggotaan suatu unsur x pada himpunan biner, A dapat dianggap sebagaifungsi karakteristik atau fungsi indikator ξA yang memetakan setiap anggota ke salah satudari dua kategori, yaitu menjadi anggota (1) atau bukan anggota (0). Jadi daerah kawanatau hasilnya hanyalah {0, 1}. Formalnya, fungsi indikator keanggotaan dalam himpunan Adidefinisikan sebagai berikut.
Definisi 9.1.2. Keanggotaan pada himpunan biner A didefinisikan sebagai ξA : S → {0, 1}dengan
ξA(x) ={
1 jika x ∈ A0 jika x 6∈ A
(9.2)
Ide fungsi indikator di atas lalu diperluar untuk memungkinkan suatu unsur memperolehnilai antara 0 dan 1. Ada banyak hal yang tidak dapat diukur secara mutlak dengan hanya duakategori, diantaranya adalah:
1. kondisi sifat seseorang atau sesuatu seperti kecil, tinggi, muda;
2. kondisi keberadaan sesuatu seperti tidak ada, sedikit, banyak, kebanyakan, sebagianbesar semua;
3. kondisi hubungan seperti sama, mirip, lebih baik dan lain-lain;
4. kondisi kebenaran seperti salah, relatif benar, benar sekali;
5. kondisi kemungkinan seperti, tidak mungkin, mungkin, mungkin sekali, pasti.
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 184 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
9.2. Logika bernilai tiga atau lebih
Logika matematika tradisional1 dapat juga dikatakan sebagai logika dengan 2 kategori, yaitu 0dan 1. Salah satu bentuk generalisasi yang paling sederhana adalah dengan menambahkan satukategori lagi, misalkan s yang menyatakan bahwa nilai kebenarannya masih samar (ragu-rahu).
Dengan logika bernilai tiga ini maka nilai kebenaran pada logika ini merupakan fungsi in-dikator dengan definisi berikut.
Definisi 9.2.1. Nilai kebenaran p pada logika matematika ‘bernilai-3’ didefinisikan sebagaiτs : p → {0, s, 1} dengan
τs(p) =
1 jika p benar0 jika p salahs jika p bukan salah satu di atas.
(9.3)
Karena nilai kebenaran dapat dianggap sebagai bilangan riil, atau setidaknya bilangan ra-sional, 0 < s < 1, maka operator ¬,∧,∨ dapat didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 9.2.2. Nilai kebenaran logika samar dari pernyataan-pernyataan p, q, r, · · · , masing-masing dengan nilai kebenaran kontinu pada [0,1] didefinisikan sebagai
τs(¬p) = 1− τs(p) (9.4)τs(p ∧ q) = minimum{τs(p), τs(q)} (9.5)τs(p ∨ q) = maksimum{τs(p), τs(q)} (9.6)
1Sebenarnya logika matematika sendiri sudah termasuk kategori logika modern, namun dengan muncul-nya logika samar, maka dari kaca mata logika samar, logika matemtika ini dapat dianggap sebagai logikatradisional juga
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 185 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Jika x dan y merupakan nilai dari suatu pernyataan, yang berada pada interval [0,1], makanilai kebenaran dari hasil operasi konektif dasar seperti pada Definisi 9.2.2 dapat dinyatakansebagai berikut:
¬x = 1− x
x ∧ y = min{x, y}x ∨ y = min{x, y}
Dengan demikian, untuk kategori penilaian 3, yaitu 0,s dan 1, maka tabel kebenaran ¬p,p ∧ q dan p ∨ q dapat didefinisikan sebagai berikut ini.
∧ 0 s 10 0 0 0s 0 s s1 0 s 1
∨ 0 s 10 0 s 1s s s 11 1 1 1
¬0 1s s1 0
Dengan cara yang sama kita juga dapat membuat tabel kebenaran untuk implikasi → danbiimplikasi ↔. Sebagaimana pada logika biasa, maka p → q ≡ (¬p ∨ q), maka s → 0 ≡¬s ∨ 0 ≡ s sedangkan dan seterusnya.
→ 0 s 10 1 1 1s s 1 11 0 s 1
↔ 0 s 10 1 s 0s s 1 s1 0 s 1
Contoh 9.2.1. Diketahui pernyataan-pernyataan berikut:p : Ani adalah gadis cantikq : Ali adalah pemuda cerdasr : Setiap manusia perlu makant : Ada negara dengan tiga ibukota
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 186 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Jika pernyataan emperik yang belum diketahui kebenarannya, nilainya dinyatakan dengan s,maka nilai kebenaran pernyataan berikut adalah:
1. τ(p) = s, τ(q) = s, τ(r) = 1, τ(t) = 0;
2. τ(p ∧ r) = s,τ(p ∨ r) = 1;
3. τ(q ∧ t) = 0, τ(q ∨ t) = s.
Sebagaimana disinggung pada pembukaan subbab sebelumnya bahwa fungsi keanggotaanatau kebenaran dapat diberi nilai secara bebas pada interval [0,1]. Hal ini memungkinkan kitamembuat sistim logika dengan lebih dari 3 nilai.
Definisi 9.2.3. Nilai kebenaran samar dari pernyataan p, dinotasikan dengan fs adalahsuatu fungsi dari p ke [0, 1]. Selanjutnya fs dikatakan sebagai fungsi kebenaran.
Definisi 9.2.4. Nilai kebenaran p pada logika matematika dapat didefinisikan sebagaiτs : p → [0, 1] dengan
τs(p) =
1 jika p benar0 jika p salah
0 < f(s) < 1 jika p bukan salah satu di atas.(9.7)
f(s) dapat berupa fungsi yang menunjukkan derajat keyakinan seseorang terhadap nilaikebenaran p. Jika P adalah himpunan pernyataan-pernyataan dengan nilai kebenaran beradapada interval [0,1], maka operasi pernyataan dengan konektif ¬,∧,∨ maupun yang lainnyadapat dilakukan dengan menggunakan Definsi 9.2.2. Dengan kata lain definisi tersebut jugaberlaku untuk sistim yang mempunyai nilai lebih dari 3 kategori, bahkan untuk sistim yangmempunyai nilai kebenaran kontinu.
Teorema 9.2.1. Pada logika samar, berlaku hukum komutatif baik untuk ∧ maupun ∨
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 187 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Bukti:
x ∧ y = min(x, y)= min(y, x)= y ∧ x
Teorema 9.2.2. Pada logika samar, berlaku hukum asosiatif baik untuk ∧ maupun ∨
9.3. Himpunan Samar
Himpunan dengan tiga atau lebih kategori keanggotaan
Seperti halnya pada logika samar. Himpunan samar juga mempunyai tingkat keanggotaan yanglebih luas dari sekedar ∈ dan /∈. Perluasan yang paling sederhana adalah mengelompokkankeanggotaan menjadi tiga kategori:
1. anggota (pasti) (∈)
2. anggota (ragu-ragu) (s)
3. bukan anggota (/∈)
Contoh 9.3.1. Misalkan kita memiliki sejumlah calon mahasiswa dengan kondisi Niai Ujianmatematika (M) dan Penghasilan orang tua dalam jutaan rupiah (P ) sebagai berikut:
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 188 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Calon M Pa 6,5 25,0b 4,0 0,1c 9,0 10,0d 6,0 1,0e 8,0 1,5
Jika A adalah himpunan calon mahasiswa cerdas dan B adalah himpunan calon mahasiswakaya, maka keanggotaan dari a, b, · · · , e terhadap A dan B salah satunya dapat ditentukansebagai berikut:
Unsur A Ba s ∈b /∈ /∈c ∈ ∈d s se ∈ s
Memodelkan tingkat keanggotaan kontinu dari himpunan
Tingkat keanggotaan himpunan selain dapat dikategorikan menjadi beberapa kategori, jugadapat didefinisikan secara kontinu.
Definisi 9.3.1. Keanggotaan samar dari suatu himpunan S adalah suatu fungsi dari Ske [0, 1].
Untuk suatu himpunan samar, misalnya S, fungsi A : S → [0, 1] dikatakan fungsi keang-gotaan dan nilai A(x) disebut tingkat keanggotaan dari x pada himpuan samar A. Tentu sajafungsi keanggotaan untuk suatu masalah yang sama dapat berbeda-beda. Jika x merupakan
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 189 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
suatu kualitas/ sifat yang dapat diukur secara kuantitaif (misalnya umur, tinggi badan, beratbadan), maka fungsi derajat keanggotaan ini dapat didefinisikan sebagai fungsi dari kuantitastadi yag dipetakan ke [0,1]. Dengan kata lain kita dapat membuat model keanggotaan secarakontinu untuk sesuatu sifat yang dapat dinyatakan dalam bentuk angka.
Contoh 9.3.2. Misalkan kita ingin membuat model keanggotaan dari himpunan orang muda.Status muda atau tidak dapat dilihat dari umur yang dinyatakan dalam bentuk angka. Den-gan demikian kita dapat membuat model yang menghubungkan umur dengan keanggotaanhimpunan. Misalkan pula untuk membuat himpunan orang muda seperti ini ada beberapapendapat. Satu kelompok masyarakat sepakat/ yakin bahwa umur dibawah 25 tahun adalahmuda, dan di atas 45 tahun bukan muda lagi. Tetapi banyak diantara mereka yang mengang-gap antara 25 sampai 45 tahun juga masih tergolong muda. Kenggotaan ini dapat dirumuskandengan Mi(x). Kelompok lain misalnya mempunyai kriteria berbeda. Mereka sepakat/ yakinbahwa dibawah 30 tahun adalah muda sedangkan di atas 50 tahun sudah tidak muda lagi.Sedangkan mereka juga menganggap antara 30 dan 50 tahun juga masih bisa dikelompokkanmuda (walaupun samar-samar). Fungsi keanggotaan M diberikan pada persamaan (9.8a) dangrafiknya diberikan pada Gambar 9.8.
M1(x) =
1 jika x < 2545−x
20 jika 25 < x < 450 jika x > 45
(9.8a)
21 Grafik keanggotaan M1 Grafik keanggotaan M2
Misalkan pula bagi kelompok yang lebih senior memiliki model yang sedikit berbeda (tidakada keraguan kategori muda untuk usia dibawah 30 dan tidak ada keraguan tidak muda untukusia di atas 50 tahun), maka salah satu modelnya adalah seperti pada persamaan (9.8b) dengangrafik seperti Gambar 9.8.
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 190 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
M2(x) =
1 jika x < 301−
(x−30
20
)2jika 30 < x < 50
0 jika x > 50(9.8b)
Contoh 9.3.3. Misalkan kita ingin membuat keanggotaan himpunan orang kaya. Untuk inimisalkan pula masyarakat sepakat bahwa penghasilan dibawah Rp 1 juta tidak dapat dikatakankaya, sedangkan penghasilan diatas 5 juta sebulan sudah pasti termasuk kelompok kaya. Makasalah satu fungsi keanggotaan untuk masalah ini adalah seperti persamaan (9.9) dengan grafikseperti Gambar 9.3.
K(x) =
0 untuk x < 0, 5× 106√
x−0,5×106
4,5×106 untuk 0, 5× 106 < x < 5106
1 untuk x > 5× 106
(9.9)
Contoh 9.3.4. Misalkan pula kita membuat model keanggotaan himpunan jarang ditentukandengan mendefinisikan istilah jarang dengan proporsi keberadaan x sebagai berikut:
1. benar mutlak (bernilai 1, berarti benar jarang) jika tidak ada sama sekali;
2. mutlak tidak benar (bernilai 0, berarti tidak benar jarang) jika ada lebih dari 1/2
3. 1− 4x22 untuk situasi diantara dua di atas, dengan x adalah proporsi keberadaan.
Maka bentuk fungsi secara keseluruhan adalah seperti persamaan (9.10) dengan grafik sepertipada Gambar 9.3.
J(x) =
1 jika x < 01− 4x2 jika 0 < x < 1/20 jika x > 1/2
(9.10)
2kita dapat memilih definisi atau bentuk yang lain, misalnya 1− 12x2 + 16x3
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 191 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Grafik dari fungsi ini dapat dilihat pada Gambar 9.3 21arrange8 Grafik fungsi keanggotaanK Grafik fungsi keanggotaan J
Contoh 9.3.5. Misalkan kita ingin membuat keanggotaan himpunan sebagian besar. Makapertama kita tentukan karakteristik dari keberadaan tersebut. Salah satu yang bisa dilakukanadalah dengan melihat prosentase keberadaan objek yang kita jadikan perhatian. Misalkan pulakita didefinisikan sebagai berikut:
1. benar mutlak (sebagian besar, bernilai 1) jika adanya lebih dari separuh (0.5);
2. salah mutlak (tidak benar sebagian besar, bernilai 0) jika adanya 0 (tidak ada);
3. 8x33 untuk situasi diantara dua di atas, dengan x menunjukkan proporsi keberadaan.
Maka bentuk fungsi secara keseluruhan adalah seperti pada persamaan (9.11).
S(x) =
0 jika x < 08x3 jika 0 < x < 1/21 jika x > 1/2
(9.11)
9.4. Bacaan Lebih Lanjut
Teori tentang himpunan samar (fuzzy sets) dimulai oleh L.A. Zadeh, seorang ahli teori kon-trol, pada tahun 1965. Walaupun pada awalnya mendapat banyak penolakan, terutama darikalangan statistisi, dewasa ini teori samar berkembang cukup pesat dan banyak diapliasikandalam automatisasi alat-alat elektronika. Automatisasi dengan sistim atau logika samar diklaimmendapatkan hasil yang lebih sempurna (dibandingkan dengan tehnik digital yang berdasarkanlogika 2 nilai) dan dalam pengendalian robot akan menghasilkan robot yang lebih cerdas danlebih mendekati prilaku manusia.
3kita dapat memilih definisi atau bentuk yang lain, misalnya 4x2
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 192 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
1. mesin cuci, yang dipelopori oleh perusahan Matsushita tahun 1990. Dengan kontrolmenggunakan logika samar mesin cuci lebih cerdas dalam membaca jenis dan tingkatkotoran pakaian serta mengatur prilaku mesin cuci;
2. pengatur transmisi automatis pada mobil dipelopori oleh perusahan mobil Nissan. Dengansistim ini mobil dapat menghemat bahan bakar sampai 12 sampai 17 %. Tahun 1992perusahan mobil Mitsubishi menerapkan logika samar bukan saja pada transmisi tetapijuga pada suspensi, kemudi dan daya 4 roda serta pengatur udara;
3. kamera dan video. Kamera dan video yang dilengkapi dengan sistim logika samar dapatmenghasilkan perhitungan penyinaran yang dan kontrol yang lebih sempurna sehinggamenghasilkan gambar yang lebih baik.
Bagi pemula, buku tulisan Nguyen & Walker bk:NguyenWalker2000 cukup memadai sebagaitahap awal mendalami logika samar. Aplikasi logika samar pada pengambilan keputusan dapatdibaca pada Kusumadewi & Purnomo bk:KusumadewiPurnomo04. Sedangkan aplikasi dalamsistim dan kontrol dapat dibaca pada Wang bk:Wang97. Pada buku yang sama Wang jugamenguraikan arah dan cabang pengembangan teori samar.
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 193 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
DAFTAR PUSTAKA
[1] E.J. Borowsky & J.M. Borwein. Collins Dictionary Mathematics. Collins, Great Britain,1989.
[2] I. M. Copi. Symbolic Logic. The Macmillan Company, New York, 1961.
[3] M.C. Gemignani. Basic Concept of Mathematics and Logic. Addison Wisley Pub.Co.,1968.
[4] H.B.Enderton. Mathematical Introduction to Logic. Academic Press, 1972.
[5] S. Lipschutz. Set Theory and Relatd Topics. Schaum’s Outline Series, McGraw-Hill BookCo., New York, 1974.
[6] A.H. Nasoetion. Landasan Matematika. Bharata Karya Aksara, Jakarta, 1980.
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 194 of 189
Go Back
Full Screen
Close
Quit
[7] N. Nissanke. Introductory Logic and Sets for Computer Scientists. Addison-Wesley Long-man Lmt., England:Harlow, 1999.
[8] P. Fletcher, H. Hoyle & C.W. Patty. Foundation of Discrete Mathematics. PWS-KentPub. Co., Boston, 1991.
[9] A.D. Polimeni and H.J. Straight. Foundations of Discrete Mathematics. Brooks/Cole Pub.Co., California, 1985.
[10] R. Courant & H. Robbins. What is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas andMethods. Oxford University Press, Oxford, 1978.
[11] E.T. Ruseffendi. Dasar-dasar Matematika Modern untuk Guru. Tarsito, Bandung, 3 edition,1982.
[12] R. Soekadijo. Logika Dasar. Gramedia, Jakarta, 1983.
[13] S. Sulistyaningsih. Mengenal Tehnik Dasar Komputer. M2S, Bandung, 1984.
[14] N.L. Thomas. Modern Logic-an Introduction. Barnes & Noble, New York, 1968.
[15] H.T. Nguyen & E. A. Walker. A First Course in Fuzzy Logic. Chapman & Hall/CRC,London, 2nd edition, 2000.
[16] L-X. Wang. A Course in Fuzzy Systems and Control. Prentice-Hall International Inc.,London, 1997.